Quantitative Unternehmensführung: Denken in Austauschraten

Quantitative Unternehmensfçhrung Marion Steven ´ Susanne Sonntag (Herausgeberinnen) Quantitative Unternehmensfçhrung...

Author: Marion Steven | Susanne Sonntag

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Quantitative Unternehmensfçhrung

Marion Steven ´ Susanne Sonntag (Herausgeberinnen)

Quantitative Unternehmensfçhrung Denken in Austauschraten Festschrift fçr Klaus-Peter Kistner zum 65. Geburtstag

Mit 41 Abbildungen und 21 Tabellen

Physica-Verlag Ein Unternehmen von Springer

Professor Dr. Marion Steven Ruhr-Universitåt Bochum Fakultåt fçr Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl Produktionswirtschaft Universitåtsstraûe 150 44801 Bochum [email protected] Dr. Susanne Sonntag noventum consulting GmbH Mçnsterstraûe 111 48155 Mçnster [email protected]

ISBN 3-7908-1593-4 Physica-Verlag Heidelberg Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet çber abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschçtzt. Die dadurch begrçndeten Rechte, insbesondere die der Ûbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfåltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfåltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulåssig. Sie ist grundsåtzlich vergçtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Physica-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media GmbH springer.de ° Physica-Verlag Heidelberg 2005 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wåren und daher von jedermann benutzt werden dçrften. Einbandgestaltung: Erich Kirchner, Heidelberg SPIN 11495604

43/3153-5 4 3 2 1 0 ± Gedruckt auf såurefreiem Papier

Vorwort Am 14. Juli 2005 vollendet Klaus-Peter Kistner sein 65. Lebensjahr. Dieses Ereignis sowie Wertschatzung, Dank und freundschaftliche Verbundenheit mit unserem akademischen Lehrer sind der Anlass zur Herausgabe der vorliegenden Festschrift, in der sich Freunde, Weggefahrten, Kollegen und Schliler aus Wissenschaft und Praxis zusammengefunden haben, um den Jubilar mit Beitragen aus seinen breit angelegten Interessenschwerpunkten in Forschung und Lehre zu ehren. Da die wirtschaftswissenschaftliche Fakultat der Universitat Bielefeld seit nunmehr tiber 30 Jahren die wissenschaftliche Wirkungsstatte von Klaus-Peter Kistner ist, sind fast alle Autoren auf verschiedene Weise mit dieser akademischen Institution verbunden. Der Titel der vorliegenden Festschrift wurde gewahlt, um die wissenschaftliche Position von Klaus-Peter Kistner zu beschreiben: Der Schwerpunkt seines Arbeitens liegt auf der Entwicklung von quantitativen Modellen zur Unterstutzung von Entscheidungen der Unternehmensfuhrung. Sein okonomisches Credo ist dabei die Notwendigkeit eines Denkens in Austauschraten, um die Vorteilhaftigkeit von Entscheidungsalternativen unter Berticksichtigung von zumindest teilweise konfliktaren einzel-, aber auch gesamtwirtschaftlichen Zielen beurteilen zu konnen. Die vorliegenden Beitrage lassen sich vier Themengebieten zuordnen, die gleichzeitig das wissenschaftliche Wirken und die vielfaltigen Interessen von Klaus-Peter Kistner widerspiegeln: Als Schliler von Horst Albach und wissenschaftlicher Enkel von Erich Gutenberg hat Klaus-Peter Kistner stets groBen Wert auf die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre als Wurzel und Klammer der verschiedenen Spezialgebiete gelegt. Daher befassen sich die im ersten Teil zusammengefassten sechs Beitrage dieser Festschrift mit sehr unterschiedlichen Aspekten der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre. Ein wesentlicher Schwerpunkt der Arbeiten von Klaus-Peter Kistner ist die betriebliche Produktion. Gegenstand der vier Beitrage im zweiten Teil ist die Produktionstheorie, deren Weiterentwicklung in Bezug auf aktuelle Themen wie den Umweltschutz stets sein besonderes Interesse gegolten hat. Wahrend sich die Produktionstheorie in erster Linie mit den quantitativen Beziehungen zwischen den bei der Produktion auftretenden Faktoreinsatz- und Ausbringungsmengen befasst, steht bei der Produktionsplanung, der die drei Beitrage des dritten Teils zugeordnet sind, die Gestaltung und Koordination des Produktionsprozesses im Vordergrund. Als Inhaber des Lehrstuhls fur Betriebswirtschaftslehre und Unternehmensforschung an der Fakultat fur Wirtschaftswissenschaften der Universitat Bielefeld ist Klaus-Peter Kistner auch der Weiterentwicklung und Anwendung von Methoden des Operations Research, das hier im vierten Teil mit zwei Beitragen zu den Bereichen Warteschlangentheorie und genetische Algorithmen vertreten ist, stets eng verbunden gewesen.

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Vorwort

Die Konzeption der vorliegenden Festschrift geht zu groBen Teilen auf das Wirken unserer im Herbst 2004 leider viel zu friih verstorbenen Freundin und Kollegin Frau PD Dr. Marlies Rogalski zurlick, die das Buch urspriinglich zusammen mit uns herausgeben und auch einen eigenen Beitrag verfassen wollte. Anstelle des Beitrags von Frau Rogalski finden Sie einen Abdruck ihrer letzten Veroffentlichung, die im Handworterbuch Unternehmensrechnung und Controlling erschienen ist. Wir widmen das Buch auch dem Andenken an Frau Rogalski und hoffen, dass das Ergebnis der von ihr mit initiierten Arbeit ihren Vorstellungen entspricht. Wir wurden uns freuen, wenn die Beitrage der vorliegenden Festschrift nicht nur beim Jubilar, sondern auch bei einem breiten Leserkreis auf Interesse stieBen. Allen Autoren aus Wissenschaft und Praxis, die sich ohne Zogern zur Mitwirkung an dieser Festschrift bereit erklart haben, ist es zu verdanken, dass das vorliegende Werk zum Ehrentag von Klaus-Peter Kistner entstanden ist. Ihnen alien sei an dieser Stelle von Seiten der Herausgeberinnen gedankt fur ihr Engagement und ihre Fachkompetenz, die sie in den jeweiligen Beitragen unter Beweis gestellt haben. Dank geblihrt auch Herrn Dipl.-Ok. Carsten Greb und Frau Auguste Lamers vom Lehrstuhl fur Produktionswirtschaft an der Ruhr-Universitat Bochum, die durch die technische Betreuung der Manuskripterstellung bzw. durch akribisches Korrekturlesen der Beitrage einen nicht unerheblichen Anteil an dem vorliegenden Werk haben. Weiter danken wir alien Personen, Firmen und Institutionen, die einen finanziellen Beitrag zur Abdeckung der Druckkosten dieser Festschrift geleistet haben. Namentlich hervorheben mochten wir in diesem Zusammenhang Herrn Dr. Wolfgang Bollhoff, Herrn Michael J. Beck von McKinsey & Company, Herrn Ortwin Goldbeck, Herrn Sven Kistenpfennig, Herrn Wolf D. Meier-Scheuven, Herrn Gerd Seidensticker sowie Herrn Prof. Dr. h.c. Steiner fur ihr auBerordentliches Engagement. Frau Dr. Martina Bihn und Frau Gabriele Keidel vom Physica-Verlag danken wir ftir die kompetente Hilfe bei den wahrend der Entstehungszeit aufgetretenen verlegerischen und satztechnischen Fragestellungen.

Essen und Leopoldshohe im April 2005

Marion Steven Susanne Sonntag

VII Der Druck der vorliegenden Festschrift wurde freundlicherweise finanziell unterstiitzt von:

BGOLDBECK

C^WLUG

a

KISTENPFENNIG

BOLLHOFF

Inhaltsverzeichnis

Erster Teil: Allgemeine Betriebswirtschaftslehre Theorie der Produktion - Theorie der Firma Horst Albach Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag Alfred Luhmer Der Einfluss der steuerlichen Behandlung von Schuldzinsen auf die Vorteilhaftigkeit fremdfinanzierter Investitionen Rolf Konig

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Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

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Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses Ulrike Settnik

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Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsunternehmen Stephan Schumacher

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Zweiter Teil: Produktionstheorie Applied Performance Measurement: A Case Study Using DEA and Other Frontier Production Function-Related Indexes Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

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Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutern fur die betriebliche Praxis Peter Letmathe

125

Betriebsplankostenrechnung Marlies Rogalski t

149

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion Susanne Sonntag

159

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Inhaltsverzeichnis

Dritter Teil: Produktionsplanung Lerneffekte in der Materialwirtschaft Marion Steven

187

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien Christian Bierwirth

205

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen Sven Behrens

223

Vierter Teil: Operations Research A Modified (S-1, S) Perishable System Under Renewal Demands Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

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Ameisensysteme und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung Martin Feldmann

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Autorenverzeichnis

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Erster Teil Allgemeine Betriebswirtschaftslehre

Theorie der Produktion - Theorie der Firma Horst Albach Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat, Humboldt-Universitat zu Berlin

1. Einleitung Im Jahre 2003 forderte Harald Dyckhoff eine „Neukonzeption der Produktionstheorie"^ Dabei geht es ihm insbesondere darum, die Produktionstheorie aus ihrem „offenbar zu engen Korsett des traditionellen Verstandnisses von Produktionstheorie" zu befreien. Dieser Aufsatz hat erstaunlicherweise eine Diskussion uber Stand und Zukunft der Produktionstheorie ausgelost^. Zu dieser Diskussion soil hier ein kritischer Beitrag geliefert werden. Das erscheint umso wichtiger, als Dyckhoff die Notwendigkeit einer „Neukonzeption" mit der ebenso provokanten wie abwegigen Frage einleitet: „Ist die Produktionstheorie tot oder nur scheintot?"^ Ich widme diesen Aufsatz meinem ehemaligen Mitarbeiter, meinem Kollegen und Freund Klaus-Peter Kistner in Dankbarkeit fiir seine Beitrage zur Produktionstheorie"^.

2. Produktionstheorie als Theorie der Unternehmung Es besteht offenbar Einvemehmen darUber, daB die betriebswirtschaftliche Produktionstheorie von Erich Gutenberg begrlindet wurde. Gutenbergs Erster Band „Die Produktion" ist also nicht eng, sondem eine umfassende Theorie der Unternehmung (theory of the firm). Sie baut auf dem Axiom auf, daB die Unternehmung ein produktivitatsorientierter, systembezogener Agent in der Marktwirtschaft ist, der Produkte von gesellschaftlichem Nutzen herstellt, indem er unter der Leitung des dispositiven Faktors verschiedene Arten von Elementarfaktoren kombiniert. Dyckhoff (2003), S. 705-732 Vgl. die Aufsatze von Zelewski, SchneeweiB, Behrens, Houtman, Steinmetz, Corsten, Gossinger in Heft 5 der ZfB 2004. Dyckhoff (2002) Hier seien zunachst nur die beiden Hauptwerke erwahnt: Kistner, K-P: Produktions- und Kostentheorie, 2. Aufl., Heidelberg 1993; Kistner, K-P, Steven, M: Produktionsplanung, Heidelberg 1990.

Horst Albach Die Produktionstheorie Gutenbergs ist also alles andere als eine linearlimitationale technisch zu verstehende Produktionsfunktion. Wenn das der Fall ware, hatte sich Konrad Mellerowicz nicht so zu ereifern brauchen. Aber er erkannte wie Curt Sandig, daB Erich Gutenberg eine ganz neue AUgemeine Betriebswirtschaftslehre entwickelt hatte. Der Streit iiber die Giiltigkeit des Ertragsgesetzes war der Ausdruck des blanken Entsetzens darliber, daB es ein junger Mann gewagt hatte, den Altmeister der Betriebswirtschaftslehre, Eugen Schmalenbach, vom hohen Sockel zu stUrzen. Aber auch ohne solche dogmenhistorischen Betrachtungen zeigt die Lekture der „Produktion", daB hier eine allgemeine Theorie der Unternehmung vorliegt. Gutenberg spricht von der „Produktivitatsbeziehung". Die „Produktionsfunktion" ist nur der formale Ausdruck fur dieses „produktive System" Betrieb und Unternehmung. Ein Ingenieur mag den Output der Produktionsfunktion rein quantitativ verstehen, der Betriebswirt muB den Output als am Markt verwertbar verstehen. Die absatzpolitischen Instrumente der Leistungsverwertung sind in der „Produktion" schon mitbedacht, die Bedingungen ihres Einsatzes werden im Zweiten Band „Der Absatz" entwickelt. Aber auch die Beschaffung der Faktoreinsatzmengen ist in der „produktiven Beziehung" mitgedacht. Im KombinationsprozeB werden Faktoren unterschiedlicher Qualitat eingesetzt, ihre Ergiebigkeit hangt von einer Fulle individueller, technischer und marktwirtschaftlicher Bedingungen ab, und der jeweilige technologische Kenntnisstand in einer Gesellschaft kommt in den Faktorproportionen wertmaBig zum Ausdruck. Gutenberg hat Zeit seines Lebens besonderen Wert auf die Abschnitte iiber die Ergiebigkeit der Produktionsfaktoren gelegt. Sie bringen die Fiille seiner praktischen Erfahrungen, aber auch die Tiefe seiner Auseinandersetzung mit den Lehren von Alfred Marshall und Josef Schumpeter zum Ausdruck. Gutenbergs Produktionsfunktion enthalt Produktionsfaktoren, die bei Vermehrung dieselbe Qualitat aufweisen. In Ricardos Produktionstheorie dagegen werden Ackerboden eingesetzt, die bei Vermehrung des Bodeneinsatzes immer schlechter werden. Das Problem der Qualitat in der Produktionstheorie ist also schon friih geklart worden. In seiner Schrift zur „Theorie der Qualitat und Quantitat in der Produktions- und Kostentheorie" hat Wolfgang LUcke dieses Thema jiingst wieder aufgegriffen^. Ob die Formalisierung der Produktionstheorie Gutenbergs^ zu einer Verengung der Sichtweise gefuhrt hat, mag dahingestellt bleiben. Sie war notwendig, um bisher nicht geloste Probleme in die Theorie der Unternehmung konsistent einbauen zu konnen.

5 Lucke (2003) 6 Vgl. z.B. Kistner (1981b), S. 145-151; Wittmann (1968); Wittmann (1962), S. 385-407; Wittmann (1966), S. 11-36.

Theorie der Produktion - Theorie der Firma

3. Umweltschutz in der Theorie der Unternehmung Eine der Erweiterungen der Produktionstheorie war und ist die Einbeziehung der Nutzung von Umwelt in die Reihe der Produktionsfaktoren und der Herstellung von umweltschadigenden Kuppelprodukten. Diese Integration der Umwelt in die Theorie der Unternehmung erfolgte zwangslaufig aus der Theorie selbst, als erkannt wurde, daB die Umwelt ein knappes Gut ist. In die Produktionsfunktion gehen namlich alle knappen Faktoren ein. In der alteren Produktionstheorie war die Umwelt ein freies Gut, sie hatte also keinen Platz in der Produktionsfunktion. Nun wurde sie zum knappen Faktor. Klaus-Peter Kistner war nach meiner Kenntnis der erste Betriebswirt, der Umwelteinflusse in der Produktionstheorie berucksichtigte"^. Die Erweiterung der Produktionstheorie um Umwelteinflusse wird besonders deutlich, wenn man die erste Auflage von Kistners Produktions- und Kostentheorie mit der zweiten Auflage vergleicht. In der ersten Auflage erscheinen Umwelteinflusse noch nicht. Hier geht es um die Einbeziehung des technischen Fortschritts in die Produktionstheorie^ In der zweiten Auflage werden dann die „Umweltwirkungen der Produktion" thematisiert^. Mit Recht spricht Marion Steven von einer „Erweiterung produktionstheoretischer Konzepte um Umweltaspekte"^^. Noch im Jahre 1991 meinte Marion Steven, „daB Umwelt nicht gleichrangig zu den klassischen Faktoren in ein Produktionsfaktorsystem integriert werden kann"^^ Wenig spater unterscheidet Steven zwischen der Umwelt als Produktionsfaktor und der Umwelt als Gut. Die Entsorgung von Abfallen ist in ihrem Modell ein Inputfaktor, die Verwertung von Abfalien ist ein Output. Es geht ihr auch nicht um rein quantitative Beziehungen. Vielmehr stellt sie interessante Uberlegungen zu „Wertansatzen fur Umweltguter" an^^. In ihrer dynamischen Produktionsfunktion verbindet sie technischen Fortschritt und Umweltschutz^^ Im Jahre 1993 legten Kistner und Steven eine schone produktionstheoretische Analyse von Umweltfaktoren und Umweltgiitern in Input-Output-Systemen vor^"^, deren Ergebnisse die Autoren wie folgt zusammenfassen: Es besteht „eine weitgehende formale Aquivalenz von traditionellen Gutem und Umweltgiitern, so daB es moglich ist, bewahrte Konzepte der Produktionstheorie wie die lineare Aktivitatsanalyse um Umweltaspekte zu erweitern bzw. auf Umweltschutzprobleme anzuwenden. Insbesondere ist der Nachweis erbracht worden, daB auch eine um Umweltguter erweiterte lineare Technologic folgende neoklassische Eigenschaften aufweist: 1. Substitutionalitatsbeziehungen, 2. Ertragsgesetzliche Beziehungen, 3. Transformationsbeziehungen"^^. Dyckhoff unter7 Kistner (1983), S. 389-395 8 Kistner (1981a) 9 Kistner (1993) 10 Steven (1992) (Vorwort) 11 Steven (1991), hier S. 521 12 Steven (1992), S. 79ff. 13 Steven (1992), Abschnitt 5.3; vgl. auch: Steven (1994a), S. 493-513 14 Kistner u. Steven (1993), S. 106-125 15 Kistner u. Steven (1993), S. 123

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Horst Albach

scheidet den „ProzeBbezug" mit den Dimensionen Input und Output und die „0bjektkategorie" mit den Dimensionen Gut, Neutrum und Ubel. Entsprechend wird dann unterteilt in die Gutfaktoren, die Beifaktoren und die Ubelfaktoren, entsprechend auf der Outputseite in die Gutprodukte, die Beiprodukte und die Ubelprodukte „AbfaH"^^. Marion Steven hat auch gezeigt, wie die Produktionstheorie mit Umweltfaktoren und -giitern auf Probleme der Produktionsplanung angewendet werden kann, als sie die umweltgerechte Gestaltung von Just-in-Time-Problemen untersuchte^'^. Die Umwelt gehort heute zum selbstverstandlichen (weil knappes Gut) Stoff der Lehrbticher der Produktionstheorie^^ und der Allgemeinen Betriebswirtschaftslehre^^.

4. Dienstleistungen in der Theorie der Unternehmung In der achten Auflage seiner „Einfuhrung in die Produktionswirtschaft" stellt Christoph SchneeweiB fest^^, Dienstleistungen werden in der Produktionstheorie ungeniigend erfaBt. In der jiingeren Diskussion wiederholt er diese These und erhofft von einer „Erweiterung (der Produktionstheorie) zumindest konzeptionelle Einsichten im Bereich der Dienstleistungsproduktion"^^ Erich Gutenberg verstand seine Produktionstheorie nicht als eine Theorie des Industriebetriebs. Nach seiner Ansicht umfaBt die „betriebliche Leistungserstellung" auch „die Bereitstellung von Diensten durch die Dienstleistungsbetriebe", und das schon im Jahre 195 P^. Gutenberg wies zugleich auf die Vielfalt der Dienstleistungsbetriebe hin: „Dienste Oder Dienstleistungen gibt es in vielerlei Art und Form". Er erwahnte ausdriicklich die Handelsbetriebe, die Kreditinstitute, die Transportbetriebe, die Versicherungsgesellschaften und die Treuhandbetriebe. In einer jUngeren Arbeit von Marion Steven und Sonja Schade wird behauptet: „Bislang existiert in der Produktionstheorie kein allgemeiner Ansatz zur Analyse industrieller Dienstleistungen"^^ Ob das so ist, hangt von der Definition von „industriellen Dienstleistungen" ab. Aber wenn dem tatsachlich so ware, ist das ja nur Herausforderung, einen solchen allgemeinen Ansatz zu schaffen oder neue Teilprobleme zu losen, um schlieBlich zu einer allgemeinen Theorie vorzustoBen. Und gerade das tun Steven und Schade in ihrem schonen Aufsatz. Eine Ubersicht liber Dienstleistungsunternehmen^"^ und Dienstleistungsmarkte^^ ergibt eine groBe Vielfalt an Erscheinungsformen. Es ist daher verstandlich, daB es zunachst gait, eine Vorstellung vom Forschungsobjekt i6Dyckhoff(1991),S.291f 17 Steven (1994b) 18 Dinkelbach u. Rosenberg (1994); Dyckhoff (1993); Steven (1998) 19 Albach (1999a), Kapitel 9

20 SchneeweiB (2002) 21 SchneeweiB (2004), S. 501 22Gutenberg(1951), S. 2 23 Steven u. Schade (2004), S. 543 24 Albach (1989a), S. 397-420 25 Albach (1989b)

Theorie der Produktion - Theorie der Firma aus der Empirie zu gewinnen, sodann theoretische Konzepte zu ubertragen oder zu entwickeln und schlieBlich den AnschluB an die Allgemeine Theorie der Unternehmung herzustellen. Besonders eng orientiert sich Hedderich in seiner Theorie des Handelsbetriebs an Gutenbergs Produktionstheorie^^. In seinem Diskussionsbeitrag aus dem Jahre 1983 forderte er „einen geistigen Umbruch" in der Handelsbetriebslehre^'^. Er schlug die Entwicklung von Kapazitatsfunktionen fur die theoretische Durchdringung der Warenprozesse vor. Die Warenprozesse stehen im Mittelpunkt seiner formalen Theorie des Handelsbetriebs^^. Sie durchlaufen mehrere Stufen mit gegebenen Kapazitaten. Die GroBe der Zwischenlager und „Wartesysteme" hangt von den Bearbeitungszeiten ab. Neben den „Produktionskosten" unterscheidet Hedderich auch die Transaktionskosten: Anbahnungskosten („Kontaktierungskosten" (Baligh-Richarts-Effekt)), die Verhandlungs- und AbschluBkosten („Einigungskosten" (Griebel-Effekt)), die Priifungskosten („Produktunterschiede") und die Transportkosten. Von Dienstleistungsproduktion wird man fUglich wohl auch bei der universitaren und der betrieblichen Ausbildung sprechen diirfen. Nicht alle Auseinandersetzungen iiber Hochschulokonomie sind der Produktionstheorie zuzuordnen. Es sollte jedoch kein Zweifel daran bestehen, daB das Werk „Hochschulplanung" von Albach, Fandel und Schuler als ein Beispiel fiir die Integration des Dienstleistungsprozesses „Tertiarer Bereich" in die Produktionstheorie zu gelten hat^^. In dieser Arbeit wird auf eine Dissertation von Southwick aus dem Jahre 1967 hingewiesen, in der der ProduktionsprozeB einer Hochschule durch eine linearhomogene Produktionsfunktion beschrieben wird^°. Die Autoren der „Hochschulplanung" lehnen diesen Ansatz ab, weil die Produktionskoeffizienten zu hoch aggregiert sind und keinen Kontakt zu Studienordnungen, Priifungsordnungen und Kapazitaten von Raumen und Personal haben. Sie setzen sich auch mit den Versuchen von Bolsenkotter auseinander, der die Lehrveranstaltung als Output und die Studenten, die daran teilnehmen, als Input in seiner Produktionsfunktion der Hochschule versteht^^ Albach, Fandel und Schuler betrachten die Hochschule als einen mehrstufigen Dienstleistungsbetrieb, der den Inputfaktor „Abiturient" mit anderen Inputfaktoren (Betriebsmittel, Werkstoffe, Personal unterschiedlicher Kategorien) kombiniert und jedes Semester (entsprechend der Studienordnung) ein Zwischenprodukt bestimmter Qualitat herstellt, bis das Endprodukt „Absolvent" hergestellt ist und die Universitat/Hochschule verlaBt. Dieses theoretische Modell ^^ Hedderich (1986), S. 484-499; in dem Aufsatz liber „Leistung und Kapazitat im Handelsbetrieb" finden sich ein Ertragsgebirge und eine Abbildung, die Handelsformen als ProzeBgeraden im Sinne linear-limitationaler Produktionsfunktionen in einem System von Warenprozessen und Serviceprozessen beschreibt. Vgl. Hedderich u. Hedderich (1987), S. 793-815. 27 Hedderich (1983), S. 684-685 28 Hedderich (1978), S. 579-595 29 Albach et al. (1978) 30 Southwick (1967) 31 Bolsenkotter (1968), S. 214-226

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wurde unmittelbar fiir die praktische Kapazitatsplanung der Hochschule eingesetzt: Bei gegebener Kapazitatsausstattung und angenommener drop-out-rate nach jedem Semester (nach der Zwischenpriifung besonders hoch, hier aber auch Ansatz zu zyklischer Produktion) kann eine bestimmte Anzahl von Hochschulanfangern aufgenommen werden. Wird einer Universitat eine bestimmte Anzahl von Studienanfangern zugewiesen, dann braucht die Hochschule eine wohl definierte Anzahl von Raumen verschiedener (von der Studienordnung und der gewiinschten Schuler-Lehrer-Relation abhangiger) GroBe und Ausstattung und eine bestimmte Anzahl von Assistenten und Professoren. Neben den Bildungsprozessen werden Forschungsprozesse unterschieden^^. Im Jahre 2004 haben GUnter Fandel und Steffen Blaga ein „produktionstheoretisches Beschreibungsmodell" der Dienstleistungsproduktion in Hochschulen veroffentlicht^^. In der Festschrift fiir Klaus Brockhoff betrachten sie die Qualitat von Studenten als Input und als Output von Bildungsprozessen eines jeden Semesters des Studiengangs, ganz im Sinne der „Hochschulplanung" aus dem Jahre 1978^"^. Ein ahnliches produktionstheoretisches Modell wie in Albach, Fandel, Schuler wurde fiir die Dienstleistung „Betriebliche berufliche Ausbildung" entwickelt und in der Praxis empirisch getestet^^. Auch hier wird der BildungsprozeB als ein linear-limitationaler ProduktionsprozeB angenommen, an Daten aus der Praxis empirisch iiberpriift und zur Berechnung der Netto-Investitionsausgaben fur berufliche Bildung in verschiedenen Ausbildungsberufen genutzt. Eine „Krankenhausbetriebslehre" hat schon im Jahre 1973 der GutenbergSchiiler Siegfried Eichhorn vorgelegt^^. Von Dieter Farny stammt eine „Produktions- und Kostentheorie der Versicherung*'^"^. Eine umfassende Darstellung der Dienstleistungsproduktion hat Rudolf Maleri vorgelegt. Das Buch, auf der 1973 erschienenen ersten Auflage aufbauend, liegt heute in der vierten Auflage vor und verweist ausdrucklich auf die betriebswirtschaftliche Produktionstheorie als theoretische Grundlage^^ Maleri untersucht eingehend die internen Produktionsfaktoren und die extemen Produktionsfaktoren des Kombinationsprozesses bei Dienstleistungen^^. Die Unterscheidung von internen und externen Produktionsfaktoren der Dienstleistungsproduktion hat sich 32 Vgl. auch: Schuler (1977), S. 123-145; Fandel (1977), S. 146-175.

33 Fandel u. Blaga (2004a), S. 119-138 3^ Fandel u. Blaga (2004b), S. 390-406 35 Edding et al. (1974), S. 29-68 36 Eichhorn (1975)

37 Farny (1965) 3^ Maleri (1997); mit dem „dienstleistungsspezifischen Produktionsfaktorsystem" hat sich Maleri auch in dem von Gardini herausgegebenen Handbuch uber „Intemationales Dienstleistungsmanagement" beschaftigt. Vgl. Maleri (2004), S. 3-28. Die Meinung Maleris, da6 die meisten der in der Betriebswirtschaftslehre verbreiteten Faktorsysteme fiir die Erklamng der Dienstleistungsproduktion nicht geeignet seien, wird hier nicht geteilt. Die Begrundung gibt Maleri selbst (S. 16) bei der Gegenuberstellung intemer und externer Produktionsfaktoren. Sie sind tiberwiegend identisch. 3^ Mit den extemen Faktoren in der Dienstleistungsproduktion hat sich auch Ursula Frietzsche (2001) ausfuhrlich beschaftigt.

Theorie der Produktion - Theorie der Firma durchgesetzt: „Die Produktion der Marktleistung erfolgt im Dienstleistungsbetrieb durch die Kombination der nach Herstellung der Leistungsbereitschaft bereitgestellten betrieblichen Faktorpotentiale mit dem extemen Faktor und weiteren (internen) Produktionsfaktoren. Es ist hierbei ein optimales Verhaltnis von Faktoreinsatzen zur Ausbringung zu finden. Die Beziehung zwischen Produktionsausbringung und Faktoreinsatzen wird als Produktionsfunktion bezeichnet'"^^. Ob die Unterscheidung zwischen intemen und extemen Produktionsfaktoren wirklich notwendig ist und als criterium discernens fUr die Theorie der Dienstleistungsproduktion verwendet werden sollte, mag man bezweifeln. Meiner Ansicht nach sind zunachst die Produktivitatsbeziehungen zu klaren. Erst dann sind die Verftigungsrechte an den Produktionsfaktoren zu untersuchen. Die Vertragsbeziehungen umfassen neben den Fremdleistungen auch Mitwirkungsbeziehungen der verschiedensten Art. Ein einfaches Beispiel mag diese Uberlegungen unterstreichen. Die JahresabschluBprlifung eines Unternehmens durch den Dienstleistungsbetrieb WP-Gesellschaft beginnt erst, wenn der Prlifer die Priifungsbereitschaft erklart hat. Daftir hat der Vorstand des zu priifenden Unternehmens zu sorgen. Der Faktorinput ist also ein prufungsfahiger JahresabschluB. Er ist der „Werkstoff" der Dienstleistung JahresabschluBprtifung. Der Priifer legt die Priifungsfelder unabhangig vom Auftraggeber fest. An dem PrufungsprozeB selbst miissen die Mitarbeiter des Auftraggebers mitwirken. Sie sind Einsatzfaktoren, die sich nur in ihrem rechtlichen Status, nicht jedoch in ihrer wirtschaftlichen Bedeutung von den Priifungsassistenten unterscheiden. Bei der Priifungsgesellschaft entstehen die Ausgaben ftir die Priifungsassistenten, bei dem gepriiften Unternehmen entstehen die Opportunitatskosten fiir die bei der Priifung eingesetzte Zeit. In die Produktionsfunktion gehen diese „externen" Faktoren also ununterscheidbar von den internen ein. Bei den SchluBgesprachen mit dem Vorstand des gepriiften Unternehmens mag es zu Versuchen der Einwirkung auf das Priifungsergebnis kommen, und es kommt nach meiner Erfahrung auch vor, daB als Folge der Diskussion bei der Bilanzsitzung des Aufsichtsrats der Priifungsbericht umgeschrieben oder erganzt werden muB. Hier mag man dann von „externen" Produktionsfaktoren sprechen, aber produktionstheoretisch bereitet die Einbeziehung dieser Faktoren in die Produktionsfunktion keine Schwierigkeiten. Es liegt nichts anderes als ein ProduktionsprozeB mit Zyklen vor, und zyklische Produktionsstrukturen werden seit Iangem in der Produktionstheorie untersucht. Beispiele liefern vor allem RecyclingProzesse^S Innovationsprozesse^^ und Transformationsprozesse'^^

40Frietzsche(2001),S. 186 ^1 Kistner u. Steven (1990), S. 211; Steven (1998), Abschnitt 3.3.2.1; Albach (1999a), S. 381; Dinkelbach (1987); Bruns u. Steven (1997), besonders S. 9 ff. uber „Zyklische Entsorgungsstrukturen". ^2 DePay (1995) ^3 Schmidt (1999); Reetz (1999); Wellershoff (1998); Albach (1995), S. 53-83; Albach (1999b)

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5. Organisation in der Theorie der Unternehmung Dyckhoff vertritt die Ansicht, die Produktionstheorie vernachlassige die „Interaktionen zwischen Subjekten", wortlich: „Die Vernachlassigung von Interaktionen zwischen Subjekten impliziert eine Abgrenzung der Produktionstheorie von der Managementlehre, besonders von der Organisation und der Personalfiihrung'"^^. Diese These tibersieht die ausfiihrliche Untersuchung der Ergiebigkeit des Faktors objektbezogene Arbeit im Ersten Band der „Grundlagen" von Erich Gutenberg. In diesem Kapitel verarbeitet Gutenberg die Erkenntnisse der relevanten Nachbardisziplinen wie Arbeitswissenschaft, Betriebssoziologie und Betriebspsychologie. Die Interaktionen mit Kollegen und Vorgesetzten werden ausfuhrlich diskutiert und auf ihre Wirkungen auf die Ergiebigkeit der objektbezogenen Arbeit hin untersucht. „Das Verhalten des einzelnen Menschen im KombinationsprozeB wird zusatzlich zunachst aus vorwiegend arbeitswissenschaftlichen und individualpsychologischen Determinanten hergeleitet: aus dem Gefuhl der Arbeitsverfremdung, aus dem LeistungsbewuBtsein und aus Geftihlen der Freundschaft und Solidaritat mit den anderen Mitarbeitem des Unternehmens, spater aus sozialpsychologischen Determinanten wie den gesellschaftlichen Strukturen und dem Interaktions- und Rollensystem des Unternehmens erklart""^^. Dies ist dogmenhistorisch deshalb von Bedeutung, weil der Faktor Arbeit bis dahin in der mikrookonomischen Produktionstheorie als homogener Produktionsfaktor behandelt wurde. Gutenberg zeigt, daB es sich um einen sehr heterogenen Faktor handelt. In der Analyse der Ergiebigkeit der verschiedenen Arten und Qualitaten objektbezogener Arbeit werden sie aus der personalen Betrachtung in die funktionale Betrachtung transponiert, also gleichnamig gemacht, und gehen als ein homogener „funktionaler" Faktor in die Produktionsfunktion ein. „Der Betrieb ist ein auf funktionale Kooperation aller Menschen angelegtes Gebilde""^^. Die Organisation ist in Gutenbergs Produktionstheorie auch dadurch beriicksichtigt, daB der dispositive Faktor Aufgaben („Arbeitsverrichtungen") an die objektgebundenen Mitarbeiter delegiert. Wenn diese sich im Sinne der Teambedingung verhalten und wenn die Informationsstruktur vollkommen ist, liegt eine optimale Organisationsstruktur vor. Davon geht Gutenberg im Ersten Band aus. „In der 23. Auflage ist die Betriebsorganisation eine Theorie der optimalen hierarchischen oder kooperativen Leitungssysteme'"^''. Gutenberg hat bewuBt darauf verzichtet, die Organisation in einer Produktionsfunktion zu formalisieren. Das haben diejenigen getan, die an dem Gebaude von Gutenberg systematisch weiter gearbeitet haben. Der erste, der sich der Aufgabe stellte, den dispositiven Faktor in die Produktionsfunktion zu integrieren, war Wolfgang Lucke. Im Jahre 1986 erschien sein Aufsatz „Dispositive Faktoren und Management - Eine vergleichende Betrachtung" in der Gedachtnisschrift fur Pro-

^^4 Dyckhoff (2003), S. 722 ^5 Albach (1982), S. 6 ^6 Albach (1982), S. 5 ^'^ Albach (1982), S. 10

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fessor Saburo Kojima'^^ Llicke stimmt Gutenberg darin zu, daB die schopferischinnovative Unternehmerfunktion des dispositiven Faktors sich schlecht gesetzmaBig in einer Produktionsfunktion abbilden laBt"^^. Dies trifft jedoch nicht fiir die Funktionen Organisation und Kontrolle zu. Es ist durchaus moglich, diese Funktionen als differenzierte Arbeit in die Produktionsfunktion zu integrieren. Diese Uberlegungen muBten jedem Betriebswirt plausibel erscheinen, der sich mit Frederick Taylor's „Wissenschaftlicher Betriebsfuhrung" auseinandergesetzt hatte. Die Meister in Taylor's System iiben dispositive Funktionen aus, sie gehoren dem dispositiven Faktor an, ohne ihn in der von Gutenberg gemeinten vollen Breite abzubilden. Die Produktionsfunktion laBt sich also als ein zweistufiger ProduktionsprozeB verstehen: die Meister wirken als Input auf die Ergiebigkeit des Produktionsfaktors „objektgebundene Arbeit" in instruierender und kontrollierender Funktion ein, dieser so veranderte Produktionsfaktor geht dann als objektgebundene Arbeit in das Bearbeitungsobjekt, den Output, ein. Diese Gedanken Taylor's finden sich in der Organisationstheorie von Martin Beckmann wieder. Beckmann wurde allerdings vor allem durch seine Kollegen an der Cowles Foundation, Jakob Marschak und Roy Radner, die die Teamtheorie als Theorie horizontaler Organisationen entwickelt hatten, dazu inspiriert, eine Theorie hierarchischer Organisationen zu formulieren. Sein Buch „Rank in Organizations"^^ hatte jedoch eine iiber diese Motivation hinausgehende Bedeutung. Die Produktionsfunktion, die Martin Beckmann fiir Dienstleistungsbetriebe entwickelt, enthalt zwei Typen von Arbeit als Produktionsfaktoren, die objektgebundene Arbeit und die (an-)leitende Arbeit. Beckmann spezifiziert die Produktionsfunktion funktional als Ertragsgesetz. Dadurch erhalt er eine eindeutige Losung: die Kontrollspanne - und damit die Anzahl der hierarchischen Stufen im Unternehmen. Die Kontrollspanne ist der Quotient aus prozentualer Lohndifferenz zwischen objektbezogener und leitender Arbeit. Das GroBenwachstum der Organisation (die Anzahl der Rangstufen) ist wegen der Linearhomogenitat der Produktionsfunktion nicht begrenzt. Mit „Rank in Organizations" stellte Beckmann die Verbindung zur Bildungsokonomie Gary Becker's her, in der die Theorie der differenzierten Arbeitskrafte - angelernt und firmenspezifisch ausgebildet - eine zentrale Rolle spielt. Martin Beckmann hat seine Theorie der „Organizational Production Functions" in den bertihmten Tinbergen Lectures weiter ausgebaut^^ Besonders schon hat Jim Hess die Erweiterung der Produktionstheorie um die Theorie der hierarchischen Organisation formuliert: „The authority vested in the employer is mutually beneficial for the following reasons. Division of labor into a sequence of small tasks performed by specialized workers is productive because it allows the workers to accumulate task-specific skills, minimize set-up costs, and facilitate technological progress. When work involves synchronized labor of various types, ^^ Lucke (1986), S. 36-48; Der Aufsatz erschien als Arbeitsbericht 2/1991 unter dem Titel „Dispositiver Faktor - Management - Ein Vergleich" in Gottingen im September 1991. "^^ Vgl. zu einer ausfuhrlichen Darstellung der „Wurzeln der produktivitatstheoretischen Sichtweise des dispositiven Faktors": Hermann (1994). 50 Beckmann (1978)

51 Beckmann (1983), besonders S. 94-126

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the measurement of effort either by observing output or monitoring workers is difficult, so inspectors of labor inputs are desirable. The individual who holds the position of inspector has an advantage over the workers in efficiently acquiring information about the uncertain aspects of production. The workers' inability to verify the inspector's conclusions about the state of nature prevents the use of a contingency contract for employment of labor and thus narrows the choice of employment contracts to those which prespecify a work assignment independent of the state of nature or those which give the inspector authority to unilaterally adjust the assignments to best correspond to the state. Under very general conditions the ex post flexibility provided by an authoritative contract makes it desirable to incorporate the role of director with the role of monitor in the position of the boss"^^. Hess spricht damit einmal die Rolle des Inspektors als Instruktor im Sinne Beckmanns an. Zum anderen weist er auf die Rolle des Inspektors als Motivator im Sinne Arrow's hin^^. Martin Beckmann hat die Organisations-Produktionsfunktion auf den Fall des Industriebetriebs, der mit Betriebsmitteln arbeitet, erweitert. Er benutzt auch fur die industrielle Produktion eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Die Ergebnisse andern sich gegenliber der Dienstleistungs-Produktionsfunktion nicht. Peter Witt hat mit einer Drei-Faktoren-Cobb-Douglas-Produktionsfunktion versucht, die Corporate Governance Systeme von Deutschland, Japan und den USA miteinander zu vergleichen^"^. Unterstellt man nun aber Substitutionalitat der Produktionsfaktoren nur bei der dispositiven Arbeit und macht die Limitationalitatsannahme von objektbezogener Arbeit und Betriebsmitteln fiir die Produktionsstufe der objektgebundenen Arbeit, dann ergibt sich auf dieser Stufe eine andere Optimalitatsbedingung fur die Kontrollspanne als ftir die hoheren hierarchischen Stufen der Organisation. Die Kontrollspanne ist auf der untersten Hierarchiestufe stets kleiner als auf den hoheren Stufen. Je kapitalintensiver die Produktion ist, desto kleiner ist die Kontrollspanne^^. Die Betriebsmittelausstattung wird in der statischen Produktionstheorie als gegeben angenommen. Die Betriebsmittel als ein langlebiger Gebrauchsfaktor mtissen jedoch instand gehalten und schlieBlich ersetzt werden. Das sind MaBnahmen, die in den Aufgabenbereich des dispositiven Faktors fallen, also letztlich organisatorische MaBnahmen. Fur die Instandhaltungs- und WartungsmaBnahmen haben Kistner und Luhmer eine Losung vorgetragen^^. In diesem Modell werden die Kosten des Betriebsmitteleinsatzes einschlieBlich der Instandhaltungskosten unter der Bedingung, daB die Nachfrage befriedigt wird, minimiert. Investitionen in den Bestand an Betriebsmitteln werden in der Produktionstheorie als Ubergange von einer Produktionsfunktion auf eine neue verstanden. Diese Ubergange verursachen Anpassungskosten. Diese werden in den dynamischen 52 Hess (1983), S. 97

53 Arrow (1985), S. 47 54 Witt (2004), S. 309-333 55 Albach (1982), S. 13 5^ Kistner u. L u h m e r (1988), S. 63-83; vgl. auch die Ausftihrungen zum Betriebsmitteleinsatz in der Produktionstheorie bei Kistner (1991), vor allem S. 149 ff.

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Produktionsfunktionen vom Typ Epstein-Denny explizit modelliert^'^. Auf die Weiterentwicklungen dieser Theorie braucht hier nicht im einzelnen eingegangen zu werden. Hier soil nur auf ihre Bedeutung flir die Einbeziehung der Organisationstheorie in die produktivitatsorientierte Theorie der Untemehmung hingewiesen werden. Bei limitationaler Produktion ist es nicht gerechtfertigt, zwischen kapitalgebundenem technischem Fortschritt und arbeitsgebundenem technischem Fortschritt zu unterscheiden, wie es traditionell in volkswirtschaftlichen Wachstumsmodellen geschieht. Vielmehr wird ein separater Produktionsfaktor „Know-howKapital" eingeftihrt, der auch das sog. Organisationskapital neben dem technischen Wissen und der Kenntnis der Markte umfaBt. Dieses Know-how-Kapital wird durch Organisationslernen verandert. Die Effizienz des Organisationslernens wird durch die Corporate Governance-Struktur beeinfluBt. Eine solche dynamische Produktionsfunktion hat Stefan Kayser entwickelt und empirisch getestet mit Uberzeugendem Erfolg^^ Es ist angesichts dieses Standes der Forschung schwer einsichtig, warum die Theorie der Produktionsfunktionen „in Zukunft nur noch eingeschrankt Anregungen"^^ geben sollte. Hier ist vielmehr noch viel Forschungsarbeit zu leisten - im vorvertraglichen Bereich natUrlich. Die dynamischen Produktionsfunktionen sind stets Bestandteile - im allgemeinen Nebenbedingungen - von Entscheidungsmodellen, in denen der Kapitalwert von Cash Flows oder von Ausgaben maximiert bzw. minimiert wird. Die Produktionstheorie ist also stets „entscheidungsorientiert". Die Forderung nach einer „entscheidungsorientierten Offnung der Produktionstheorie" rennt also offene TUren ein^°. Die jiingste Veroffentlichung von Horst Wildemann zeigt sehr schon, daB Erlose, Gewinne und andere ZielgroBen den „Wertbeitrag der Produktion" ausmachen und daB „modulare Organisationsstrukturen" und „Organisationslernen" Forschungsgegenstande einer so verstandenen Produktionstheorie sind^^

6. Produktionstheorie und Produktionsmanagement Die Kluft zwischen Theorie und Anwendung ist in fast alien Wissenschaften in den letzten Dezennien enger geworden. Gleichwohl ist nicht zu leugnen, daB sie besteht. Das gilt auch fiir die Produktionstheorie. „KochbUcher", welche diese Kluft nicht erkennen lassen, sind fur die Unternehmensplanung gefahrlich. Das Beispiel der Arbeitsablaufplanung ist ein schones Beispiel fiir die Verkleinerung der Kluft zwischen Theorie und Praxis. Vor funfzig Jahren hatten die Betriebswirte in der Praxis nur Gantt-Charts zur Hand, wenn sie die Ablaufe in der Produktion von Mehrproduktuntemehmen mit mehrstufiger Fertigung losen wollten. Dank

57 Epstein u. Denny (1963), S. 647-674 58 Kayser (1999), S. 225f 59 Behrens et al. (2004), hier S. 508 ^^Zelewski (2004), S. 487, hier S. 490 unter Verweis auf Dyckhoff (2003), v o r allem S. 718f. 61 Wildemann (2004), S. 385-404

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der Fortschritte in der Diskreten Mathematik konnen heute Probleme mit tausenden von Auftragen und tausenden von Maschinen optimal gelost werden. Die Fortschritte in der Diskreten Mathematik haben auch erhebliche Bedeutung fur die Hierarchische Produktionsplanung, in der das Rucksack-Problem eine entscheidende Rolle spielt. Der Weiterentwicklung der Hierarchischen Produktionsplanung hat Klaus-Peter Kistner eine Reihe von wichtigen Beitragen gewidmet^^. In diesen Arbeiten setzt sich Kistner eingehend mit der Kluft zwischen Theorie und Praxis der Produktionsplanung auseinander. Er zeigt, daB die Kluft durch hierarchische Planung deutlich verkleinert werden kann, und zwar, well bei dieser Planungsmethode 1. genau definierte Planungsbereiche voneinander unterschieden und die wenigen Schnittstellen zwischen ihnen sinnvoll koordiniert werden, 2. die nattirliche Zeitstruktur des Planungsprozesses ausgenutzt wird, 3. die Datenfulle durch Aggregation reduziert wird. Der Hierarchischen Produktionsplanung widmen Kistner und Steven daher auch einen groBen Teil ihres Lehrbuchs „Produktionsplanung"^^ Zu den Anfangen der Hierarchischen Produktionsplanung kann man auch die Bemtihungen zahlen, die Zentralitat der Produktionsplanung mit Hilfe der Linearen Programmierung durch Dezentralisation in der Organisation und Dekomposition in der Durchfuhrung der Planung aufzuheben. Es ist bereits 1966 gezeigt worden, daB die dezentrale Planung bei vom Unternehmensziel abweichenden Zielvorstellungen der Unternehmensbereiche (Divisions) eine „hierarchische Koordination" erfordert, wenn eine second-best-Losung vermieden werden soil. Die Zentrale hat stets „organisatorische Unsicherheit", sie kann das Problem des „cheating" nicht vermeiden^"^. Heute wissen wir, daB im dezentralen Mehrproduktunternehmen mit knappen zentralen Ressourcen das Produktionsprogramm von Art und Form des Rechnungswesens, von den Zielvorgaben fur die Geschaftsbereiche und von den Wettbewerbern abhangt^^. Delegation als Instrument der Organisationsgestaltung fuhrt zu verscharftem Wettbewerb aller Unternehmensbereiche. Das sehr aggressive Wettbewerbsverhalten der Geschaftsbereichsleiter kann von der Zentrale aber durch die Umlage von Fixkosten auf die Geschaftsbereiche gesteuert werden. Besonders interessant sind die Auswirkungen von anreizkompatiblen Vertragen auf die Produktionsentscheidungen in den Geschaftsbereichen. Der Geschaftsbereichsleiter verhalt sich am Markt besonders aggressiv - d.h. er produziert besonders viel und bietet die Produkte zu niedrigen Preisen an - wenn sein Gehalt an das Geschaftsbereichsergebnis gebunden ist. Wenn sein Gehalt sowohl an das Ergebnis seines Geschaftsbereichs als auch an

62 Kistner (1987); Kistner u. Switalski (1987) 63 Kistner u. Steven 1990; Kistner u. Steven (1991), S. 97-113; vgl. auch: Switalski (1989); vgl. ferner: Fandel et al. (1994); in der 2. Auflage dieses Werkes wird nur kurz auf Vorteile und Nachteile der Hierarchischen Produktionsplanung eingegangen: S. 521f. 64 Albach (1967), S. 332-438, vor allem S. 362ff. und Anhang 3

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den Gewinn des ganzen Untemehmens gebunden ist, verhalt sich der Geschaftsbereichsleiter weniger aggressiv gegenuber seinen Wettbewerbern. Wie dicht heute Produktionstheorie und Produktionsplanung beieinander liegen, zeigt das Werk von Alf-Joachim Harkort: „Die Schachbrettmontage"^^. In diesem Werk wird auf der Grundlage der Produktionstheorie von Erich Gutenberg ein komplexes System von Produktionsfunktionen auf drei Ebenen entwickelt, der Makroebene, der Mikroebene und der Logistikebene. Das Modell umfaBt alle Arbeitsablaufstrukturen des Produktionssystems „Schachbrettmontage" und alle innerbetrieblichen Transportleistungen. Die Arbeitsablaufe und Transporte von einer Montagestation zur anderen werden in einem Film sehr eindrucksvoU abgebildet. Mit dem Modell konnen die Auswirkungen von Anderungen der GroBe der Montagestationen (Anzahl der Arbeitsplatze), der Bearbeitungszeiten und der Transportzeiten auf den Output an Fahrzeugen simuliert werden.

7. Schlussbemerkung Ziel dieser Bemerkungen zu Entwicklung und Stand der Produktionstheorie war es, die Behauptung zurtickzuweisen, es bedlirfe einer „Neukonzeption der Produktionstheorie". Es bedarf der systematischen Weiterentwicklung der Produktionstheorie. Klaus-Peter Kistner ist ein Vorbild fur alle Wissenschaftler, die wissen, daB sie „Riesen" sind, die auf den Schultern von „Riesen" sitzend am wissenschaftlichen Fortschritt in der Theorie der Unternehmung auf produktivitatsorientierter Grundlage arbeiten und sich dariiber freuen, daB die nachste Generation von „Riesen" schon herangewachsen ist^"^. Ich habe in diesem Beitrag nicht alle Forschungsergebnisse angesprochen, die Klaus-Peter Kistner auf dem Gebiet der Produktionstheorie vorgelegt hat, wie z.B. das LosgroBenproblem^^, das Wartungsproblem bei storanfalligen Anlagen^^, die Warteschlangentheorie^^ und die Probleme, welche von komplexen Produktionsstrukturen aufgeworfen werden •'^ Ich habe auch nicht alle Probleme angesprochen, die im Rahmen der Produktionstheorie behandelt und gelost worden sind. Hier seien nur beispielhaft das Problem der Mehrbetrieblichkeit'^^ oder das Problem der mehrstufigen MehrproduktProduktion mit Zwischenlagern bei Unsicherheit liber die Nachfrage nach den Produkten'^^ erwahnt. Die Forderung nach einer Neukonzeption der Produktionstheorie hat selbst einen produktionstheoretischen Hintergrund: die Arbeitsteilung zwischen dem 66 Harkort (2001) 67 Merton (1993) 68 Kistner u. Switalski (1988), S. 335-380 69 Kistner (1981c), Kistner u. Subramanian (1974), S. 117-129 70 Kistner (1974) 71 Kistner u. Luhmer (1977), S. 767-786 72 Schwalbach (1981) 73 Inderfurth (1992), S. 1085-1104

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Denk-AnstoBer und dem Denker'^'^. Ich freue mich daruber, daB Klaus-Peter Kistner zu den Denkern gehort, und ich wunsche ihm, daB er sich auch in den kommenden Jahren neuen Problemen stellt und sie durch Nachdenken lost, v^ie er das in der Vergangenheit in so erfreulicher Weise getan hat.

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Variable kalkulatorische Abschreibungen Ein Nachtrag Alfred Luhmer Fakultat fur Wirtschaftswissenschaft, Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg

1. Problemstellung Die Frage nach der Bemessung kalkulatorischer Abschreibungen hat in den friihen achtziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts einiges Interesse deutschsprachiger akademischer Betriebswirte auf sich gezogen. Den AnstoB gab ein Aufsatz von Peter Swoboda (1979), der auf die einschlagigen Arbeiten von Preinreich (1937) und Hotelling (1925) aufmerksam machte. Auch Klaus-Peter Kistner und der Verfasser dieser Zeilen beschaftigten sich daraufhin mit dem Thema und untersuchten speziell das Problem der Auflosung der investitionstheoretisch ermittelten Abschreibungen in einen zeitablaufbedingten (fixen) und einen nutzungsabhangigen (variablen) Anteil (1981, insbesondere S. 167 und 176f). Hans-Ulrich Kiipper (1985) hat den investitionstheoretischen Ansatz der Bemessung von Abschreibungen zu einer allgemeinen, investitionstheoretischen Fundierung der Kostenrechnung erweitert. In neuerer Zeit hat Christoph SchneeweiB (2003) den Ansatz wieder aufgegriffen und als hierarchische Dekomposition eines Entscheidungsproblems identifiziert. In seinem Konzept unterstutzt die Investitionsrechnung die Entscheidungen liber die zur Verfugung zu stellenden Kapazitaten und die Ersatzpolitik, wahrend die Kostenrechnung die Entscheidungen der Kapazitatsnutzung unterstutzen soil. Die Investitionsrechnung nimmt dabei die Top-Ebene der Hierarchic ein, die Kostenrechnung die Basis-Ebene. Die Top-Ebene beeinflusst die Entscheidungen der Basis-Ebene durch Vorgaben („Instruktionen") und ist fUr ihre Entscheidungen darauf angewiesen, zu antizipieren, wie die Basis-Ebene auf die Vorgaben reagiert. Dazu verwendet sie ein vergrobertes Modell der Entscheidung auf der BasisEbene. Die Entscheidung der Basis-Ebene uber die Nutzung des Potentials andert dessen Zustand, worauf die Top-Ebene bei den nachgelagerten Investitionsentscheidungen reagiert. Das Modell der Basisentscheidung, von dem die Top-Ebene ausgeht, basiert auf der Vorstellung einer unendlichen Kette identischer Ersatzinvestitionen, deren erstes Glied bereits einige Perioden der Nutzung hinter sich hat. Die Cash Flows in der Entscheidungsperiode der Kostenrechnung hangen von der tatsachlichen Inanspruchnahme ab. Der Investitionskalkul unterstellt demgegeniiber eine konstante Planbeschaftigung. Die Abweichung zwischen tatsachlicher

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Alfred Luhmer

Beschaftigung und Planbeschaftigung fuhrt zu einer „Beschaftigungsabweichung" der Abschreibung, die als variable kalkulatorische Abschreibung interpretiert werden kann. Der Wert der vorhandenen Maschine besteht darin, dass zur Aufrechterhaltung der Kapazitat nicht sofort ein Neukauf erforderlich ist. Als variable Abschreibung (d.h. als Grenzkosten der Maschinennutzung, die verursachungsgemaB fur einen Kostentrager zu kalkulieren sind) ist die Anderung dieses Wertes zu verstehen, die infolge der zusatzlichen Inanspruchnahme durch den zu kalkulierenden Kostentrager eintritt. Die variable kalkulatorische Abschreibung ergibt sich folglich als Differenz zwischen dem Barwert der Ersatz- und Instandhaltungsausgaben nach und vor optimaler Anpassung des Ersatz- und Instandhaltungsplans an die Inanspruchnahme durch den zu kalkulierenden Kostentrager. Als Basis der Instandhaltungs- und Ersatzplanung vor Berlicksichtigung des zu kalkulierenden Kostentragers schlagen Kistner und Luhmer a.a.O. fiir den Fall einer stationaren Umwelt eine konstante erwartete Nutzungsintensitat vor, so dass sich die Grenzkosten der Maschinennutzung als Beschaftigungsabweichung darstellen lassen. Gegen die Annahme einer konstanten Planbeschaftigung bei der Moglichkeit kurzfristig abweichender Istbeschaftigung hat Reinhold Roski (1987) den Vorwurf der Inkonsistenz erhoben. Er kritisiert sie mit dem Argument, die Inanspruchnahme mlisse endogen bestimmt werden, statt sie exogen vorzugeben. In einem deterministischen Modell konne die tatsachliche Beschaftigung nicht von der Planbeschaftigung abweichen. Er schlug ein kontroll-theoretisches Optimierungsmodell vor, das Beschaftigung und Ersatzinvestitionen simultan optimieren soUte. Statt eines exogen vorgegebenen Pfades ftir die Nutzungsintensitat sei der angesichts der erwarteten Auftragslage optimale Pfad zugrunde zu legen. Die kontrolltheoretische Modellierung optimiert die Nutzungsentscheidung simultan mit der Investitions- und Instandhaltungsplanung und definiert die Grenzkosten der Maschineninanspmchnahme mit Hilfe der Kozustandsvariablen zu den von der Inanspruchnahme abhangigen Zustandsvariablen. Zwar kann die Top-Ebene kontroll-theoretische Kalkule einsetzen, um bei nicht-stationaren Erwartungen einen optimalen Pfad ftir die Nutzungsintensitat zu bestimmen. Auch dieser Pfad ist aber aus Sicht der Basisebene exogen und kann nicht deren detaillierte Informationen einbeziehen. Bei Annahme im strengen Sinne deterministischer Erwartungen ist der Vorwurf der Inkonsistenz durchaus berechtigt. Hans-Ulrich Klipper (1988) hat jedoch das einfache Modell gegen diesen Vorwurf verteidigt. Das Konsistenzpostulat, wie es Roski erhebt, trifft namlich auf die praktische Schwierigkeit, dass der Verlauf der Nachfrage, der ftir die optimale Bestimmung der Inanspruchnahme bekannt sein mtisste, dies tatsachlich nicht ist. Investitionsrechnungen basieren stets auf ungewissen Erwartungen. Sie bewerten Projekte ublicherweise anhand von erwarteten Cash Flows, die mit Hilfe eines risikoangepassten Kapitalkostensatzes diskontiert werden. Die Nutzungsentscheidung hingegen hat bereits eine wesentlich sicherere Informationsbasis als die Investitionsrechnung und kann von (fast) sicheren Erwartungen ausgehen. Die Inkonsistenz lost sich durch Hierarchisierung der Teilprobleme auf, entsprechend dem sehr allgemeinen Konzept, wie es SchneeweiB als theoretische Grundlage zur praktischen Bewaltigung von Interdependenzen

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag

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ausgearbeitet hat und das im tJbrigen Voraussetzung jeder starren, roulierenden Planung ist. Bleibt man aber bei Roskis Konsistenzanforderung, dann sieht man sich einem Spezialfall des so genannten Opportunitatskostendilemmas gegeniiber: die Opportunitatskosten (hier die variablen Abschreibungen) werden erst zusammen mit dem optimalen Ersatz-, Instandhaltungs- und Nutzungsplan bekannt, dann aber nicht mehr gebraucht. Die Bestimmung variabler kalkulatorischer Abschreibungen hat also nur dann einen Sinn, wenn man von einer Situation hierarchischer Planung ausgeht. Sie sind aus dem Modell der Topebene zu bestimmen und dann den Entscheidungen der Basisebene zugrunde zu legen. Die Top-Ebene antizipiert zwar die Entscheidung auf der Basisebene, jedoch lediglich in Form eines vergroberten Modells; sie muss ihre Entscheidung zum Teil festlegen, bevor die genauen Daten fur die Nutzungsentscheidungen bekannt werden und kann diese daher auch nicht detailliert vorweg nehmen. Sie kann lediglich in der nachsten Periode auf den Zustand reagieren, den die Nutzungsentscheidung der laufenden Periode herbeigefiihrt hat. Eine analoge Argumentation mag sich auch in anderem Zusammenhang gegen den Einwand des Opportunitatskostendilemmas anfiihren lassen. Die vereinfachende Annahme einer konstanten Nutzungsintensitat entspricht einer von zwei moglichen Vorgehensweisen, um eine Entscheidung auf einen Kostenkalktil zu reduzieren. Entweder man betrachtet eine individuelle Periode und berucksichtigt die Nachwirkungen der Entscheidungen fur diese Periode durch Bewertung eines geeignet modellierten Zustands am Periodenende oder man geht von einem stationaren, unendlich oft wiederholten Zyklus aus, wie beim klassischen LosgroBenmodell. Die zweite dieser Moglichkeiten beruht auf der Annahme einer konstanten Nutzungsintensitat. Ahnlich wie beim LosgroBenmodell ist in einem Modell roulierender Planung angesichts der Unsicherheit langfristiger Erwartungen bei zahlreichen Anwendungsfallen kaum zu erwarten, dass die Vernachlassigung von Nichtstationaritaten die Planung kurzfristiger Dispositionen wesentlich in die Irre fiihrt. Die Investitionsrechnung auf der Grundlage erwarteter Cash Flows, die mit einem risikoangepassten Kapitalkostensatz diskontiert werden, ist allerdings Einwanden ausgesetzt. Besonders die Bestimmung des risikoangepassten Kapitalkostensatzes macht Schwierigkeiten. Als theoretische Grundlage dazu dient das Capital Asset Pricing Modell. Es beruht auf der Annahme, dass fur den Kapitalmarkt lediglich Erwartungswert und systematisches Risiko eine Rolle spielen. Der risikoangepasste Kapitalkostensatz fur ein Projekt ergibt sich als risikofreie Rendite + systematisches Risiko mal Marktpreis des Risikos, d.h. der Differenz aus Rendite des Marktportefeuilles und risikofreier Rendite. Zeitkonstanz der Parameter vorausgesetzt, erhalt man eine Kleinstquadrateschatzung des systematischen Risikos einer Anlage durch Regression der beobachteten Renditen der Anlage gegen die Rendite des Marktportefeuilles, das in der Regel durch einen umfassenden Aktienindex reprasentiert wird. Die Voraussetzung, dass die Regressionskoeffizienten im Lauf der Zeit konstant bleiben, ist in der Regel nicht erfullt. Daher verfiel man auf die Idee, das systematische Risiko durch eine multiple Regression unter Einbeziehung fundamentaler Kennzahlen des Unternehmens zu bestimmen. Auch das verbessert die Schatzungen kaum wesendich. Die Hohe eines plausiblen

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Alfred Luhmer

Kapitalkostensatzes wird von verschiedenen Autoren sehr verschieden eingeschatzt. Die in der Praxis verwendeten „Hurdle rates" erscheinen jedoch allgemein als sehr hoch; sie werden haufig als Instrument zur Bewaltigung eines „hidden information"-Problems erklart. Bei aller grundsatzlichen Fragwtirdigkeit der Kapitalwertmethode besteht fiir die Praxis bisher kaum eine vemunftige Alternative. In neuerer Zeit wird noch ein anderer Einwand gegen die Kapitalwertmethode besonders hervorgehoben: wenn das Management die Cash Flows nach der ersten Investitionsentscheidung noch beeinflussen kann, dann unterstellt die Kapitalwertmethode allenfalls optimale Erwartungswerte der Cash Flows auf der Basis der Information im Investitionszeitpunkt, wahrend eigentlich fiir die Bewertung die erwarteten optimal an die jeweils herrschende Situation angepassten Cash Flows relevant sind. Harvey M. Wagner (1969) hat das in seinem klassischen Lehrbuch des Operations Research als „Fallacy of the Averages" bezeichnet. Die Kapitalwertmethode auf der Basis erwarteter Cash Flows vernachlassigt den Wert der von einem verniinftigen Betreiber der Anlage zu erwartenden optimalen Anpassungen, mit denen er auf die im Laufe der Zeit zugehenden Informationen optimal reagiert. Wie die neuere Literatur zur Investitionsrechnung bei Ungewissheit zeigt, kann die Anwendung der Kapitalwertmethode auf erwartete Cash Flows daher zu einer Unterbewertung von Investitionen fiihren. Diesen Fehler soil die Methode der Realoptionsbewertung vermeiden. Sie unterscheidet sich insbesondere dadurch von den herkommlichen Verfahren flexibler Planung, dass man im flexiblen Planungskalkiil nicht einfach den risikoangepassten Kapitalkostensatz fiir das durch die erwarteten Cash Flows charakterisierte Projekt verwendet, sondern dem Einfluss der durch die Flexibilitat sich andernden Risikocharakteristik auf die Kapitalkosten explizit Rechnung zu tragen versucht. Ziel der folgenden tjberlegungen ist, hieraus Konsequenzen fiir die Bemessung variabler kalkulatorischer Abschreibungen zu Ziehen. Sie soUen eine einfache, aber nicht zu unrealistische Modellierung des Abnutzungsprozesses einer Maschine daraufhin untersuchen, wie sich die Verwendung dieses Kalkuls auf die variablen kalkulatorischen Abschreibungen auswirkt.

2. Grundmodell: Variable kalkulatorische Abschreibungen auf der Basis erwarteter Cash Flows Betrachtet sei eine Maschine, deren Nutzung stochastische Erlose G pro Zeiteinheit liefert. Die Realisation des Periodenerloses wird jeweils zum Periodenende beobachtet und bestimmt die Erloserwartung fiir die anschlieBende Periode. tJber deren Produktion wird am Periodenanfang entschieden. Dies ist durchaus nicht untypisch fiir die Nutzungsentscheidungen von Maschinen. So wird etwa am Anfang einer Flugplanperiode auf der Basis von Erloserwartungen entschieden, eine bestimmte Strecke zu bedienen, die entsprechenden Kosten sind damit fest disponiert. Es handelt sich um Betriebs- und Instandhaltungskosten, die von der kumulativen Inanspruchnahme und dem Alter der Maschine abhangen.

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag

25

Die tatsachlichen Auszahlungen fur Instandhaltung und Betrieb sind stochastisch. Man denke etwa an die notwendigen Reparaturen eines Fahrzeugs. Allerdings kann man, so sei angenommen, aus dem vergangenen Verlauf der Zahlungsreihe keine zusatzliche Information iiber deren zukunftigen Verlauf ableiten. Daher erfolgen auch keine Anpassungen der Instandhaltungs- und Ersatzpolitik nach Reparaturen. Die Zahlungen dafur werden also durch ihre Erwartungswerte erfasst. Der Erwartungswert der Instandhaltungs- und Betriebskosten sei altersund nutzungsabhangig angenommen. Er bestehe aus einem fixen Anteil und einem variablen Anteil. Der fixe Anteil ist von der momentanen Inanspruchnahme x unabhangig, der variable Anteil ist zur momentanen Inanspruchnahme proportional. Die variablen Stuckkosten und ein Teil der Fixkosten steigen mit der kumulativen Inanspruchnahme der Maschine ZQ - z, gemessen durch die Anzahl der Leistungseinheiten, die die Maschine bisher erbracht hat. Die Konstante Zo dient dazu, den Einfluss des VerschleiBes auf die Kosten zu kalibrieren; je groBer zo, desto langsamer wirkt sich der VerschleiB kostenerhohend aus; ZQ lasst sich als Leistungspotential der neuen Maschine im Sinne von Gutenberg (1983, 9. Kapitel, Abschnitt 1) interpretieren, die Zustandsvariable z als Restpotential der gebrauchten Maschine. Die Fixkosten enthalten auBerdem einen rein altersabhangigen Anteil F{t), Speziell habe eine Maschine des Alters t nach einer kumulativen Inanspruchnahme Zo - z erwartete Instandhaltungs- und Betriebskosten von

Z

pro Periode. Dabei muss man natlirlich die Koeffizienten CQ und C\ entsprechend anpassen. CQIZQ steht ftir die Fixkosten und Ci/zo ftir die variablen Sttickkosten jeweils im Neuzustand. Fiir z -> 0 gehen die Periodenkosten gegen Unendlich^ Wenn das Alter t der Maschine eine bestimmte Grenze Tmax uberschreitet, wird sie unbrauchbar. Die Annahme mit der Inanspruchnahme steigender Betriebskosten war bereits in unseren fruheren Beitragen enthalten und hat bereits damals die Kritik von Adolf Stepan (1981, S. 13f und 69) hervorgemfen. Er hielt diese Annahme fur unrealistisch, Maschinen wurden so lange betrieben, wie ihr Output und ihre Verfugbarkeit technisch definierten Anspruchen genugten, und dann abgeschafft. In der Tat haben Vorstudien zu einem kleineren Praxisprojekts zum Fuhrparkmanagement einer StraBenbauverwaltung unter Leitung des Verfassers innerhalb der beobachteten Lebensdauer der Fahrzeuge keinerlei Anhaltspunkte fur steigende Betriebskosten ergeben. Im Gegenteil sah es so aus, als ob die Kosten anfangs sanken, um dann innerhalb einer plausiblen Nutzungsdauer auf einem niedrigen Niveau zu verharren. Die hier verwendete Modellierung geht auf diesen Einwand insofern ein, als sie einen langen Zeitraum praktisch flacher Kosten ermoglicht, dem schlieBlich gegen Ende der Lebensdauer im Erwartungswert stark ansteigende Kosten folgen. Das starke Ansteigen im Erwartungswert lasst sich dadurch rechtfertigen, dass gegen Ende der Lebensdauer das Risiko eines Versagens der Maschine stark steigt, was mit sehr hohen Kosten verbunden ist. Das gibt m.E. auch die Erfahrungen kostenbewusster Autobesitzer gut wieder, die ihren Wagen so lange fahren, bis sie zu sehr furchten miissen, liegen zu bleiben oder zu verunglticken.

26

Alfred Luhmer

Anders als die beobachteten Ausgaben flir Instandhaltung und Betrieb seien die beobachteten Cash Flows als informativ fiir die kiinftigen Cash Flows angenommen. Wiederum der Einfachheit halber sei unterstellt, dass der potentielle Cash Flow, der in der vergangenen Periode hatte erreicht werden konnen, wenn die Maschine eingesetzt worden ware, am Periodenende beobachtet werden kann. Wurde die Maschine tatsachlich eingesetzt, so entspricht dieser Cash Flow der betreffenden Buchhaltungszahl, anderenfalls sollte die Marktforschung die entsprechende Information liefern konnen. Der erwartete Cash Flow der Folgeperiode, der als Grundlage der Einsatzplanung der Maschine dient, richte sich nach der Beobachtung des Vorperioden-Cash-Flows. Die Maschine wird in der folgenden Periode eingesetzt, wenn der erwartete Cash Flow hoher ist als die variablen Kosten des Einsatzes, einschlieBlich der im Folgenden zu bestimmenden variablen Abschreibung. Dies ist eine Folge der (in der momentanen Inanspruchnahme) linearen Kostenfunktion. Wenn der erzielbare Stuckdeckungsbeitrag positiv ist, wird die Maschine mit ihrer voUen Kapazitat genutzt, anderenfalls iiberhaupt nicht. Die Leistungseinheit sei so skaliert, dass die Periodenkapazitat der Maschine gleich eins ist. Als Anwendungen kommen Passagierflugzeuge, Reisebusse, LKW oder Schiffe in Frage. Ein Unternehmen kann mehrere dieser Maschinen nebeneinander haben. Sie konnen unabhangig voneinander bewertet werden, solange die erzielbaren Deckungsbeitrage von der verfiigbaren Kapazitat unabhangig sind, d.h. solange die Nachfrage nach den Leistungen zum gegebenen Preis vollkommen elastisch ist. Die gewahlte Modellierung spricht nicht dagegen, dass ein Fahrzeug in einer Periode Leerfahrten machen kann oder dass im Flugzeug Platze frei bleiben. Die Maschine arbeitet wahrend der vollen Periode, die verursachten Kosten sind nutzlastunabhangig, die Nutzlast bestimmt aber den Deckungsbeitrag je Leistungseinheit. Am Ende jeder Periode wird auf der Topebene daruber entschieden, ob eine Ersatzmaschine bestellt werden soil, die dann nach einer bestimmten Lieferzeit zur Verfugung steht. Die Ersatzpolitik werde nicht in Form eines bestimmten Ersatzzeitpunkts, sondern als zustandsabhangige Regel definiert. (Jber die momentane Inanspruchnahme wird auf der Basisebene entschieden. Bei ihrer Entscheidung Uber die Ersatzpolitik antizipiert das die Topebene. Die Zustandsentwicklung hangt aber von der Inanspruchnahme ab, uber die die Basisebene entscheidet. Fur deren Entscheidungen sind wiederum die anzusetzenden variablen Abschreibungen maBgebend, die von der Ersatzregel abhangen.

2.1

Antizipierte Inanspruchnahmeentscheidungen in Abhangigkeit vom Zustand auf der Basis erwarteter Deckungsbeitrage und Ersatzregel

Die optimale Entscheidung zu bestimmen, ist ein dynamisches Optimierungsproblem. Zustandsvariablen sind: das Alter / und die kumulative Inanspruchnahme z der Maschine. Die optimale Entscheidung setzt sich grundsatzlich aus zwei Teilen zusammen, der Entscheidung, die Maschine zu behalten {x~^) oder abzuschaffen

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Bin Nachtrag

27

{X - 0) und - falls man sich entschieden hat, die Maschine zu behalten - der Entscheidung tiber die Nutzung in der laufenden Periode. Grundsatzlich kann es optimal sein, in einer Periode die fixen Kosten selbst dann in Kauf zu nehmen, wenn man nicht produziert, um die Maschine fiir zukiinftige Perioden zu erhalten, in denen die Produktion wieder profitabel ist. Wird die Maschine bereits vor dem Ende der maximalen Lebensdauer r^ax abgeschafft, so soil sie im Modell den Zustand z - 0 annehmen: xk^) = 0 => z^ = 0. Der Einfachheit halber sei ein Modell in diskreter Zeit betrachtet. Man beginnt bei t - T^^. Offenbar ist der Ertragswert in Tmax null: VCTmax."i)= 0. Bezeichne g := EG und p =1/(1 + r) den Diskontierungsfaktor zum risikoangepassten Kapitalkostensatz r. Angenommen sei, dass die Kosten am Anfang der Periode zu bezahlen sind, wahrend der Erlos am Periodenende eingeht. Dann erhalt man fiir den Ertragswert der Maschine die Rekursionsformel:

V(t,z) = max

pV(t + U-l)

+pg-^Ol^_^(^)

pV(t-\-lz)

10 •F(t) z

;^(/,z) = x(^,z) = l

x(t,z) = 0 X(t,z) = x(t,z) = 0

Durch Induktion sieht man, dass V{t, z) fiir alle t strikt monoton fallend oder null ist. Ist aber V(t -\-l, z) = 0, so ist es optimal, die Maschine schon in t abzuschaffen, es sei denn, in t ist es optimal, zu produzieren. Wenn es optimal ist, in Periode t + I zu produzieren, dann auch in t. D.h. wenn die optimale Produktion in einer Periode t einmal null ist, dann ist dies auch fiir alle spateren Perioden der Fall, die Maschine kann dann sofort abgeschafft werden. Dies kann man wie folgt einsehen: Sei r + 1 die letzte Periode, in der die optimale Produktion positiv ist. Eine solche Periode muss wegen des endlichen Horizonts jedenfalls existieren. Bezeichne z den Ausgangszustand dieser Periode. Fiir diese Periode gilt dann: F(r + l,z) = 0 + pg -^—^-F(^ + 1)> 0 z Der Ausgangszustand in Periode tmuss dann z+ I gewesen sein, so dass:

28

Alfred Luhmer

z

\p + pg-

^0 + ^1 •Fit) z-1

Cr. +Cl

F(^,z + l) = max

Z-1 0

Die Differenz der beiden ersten Alternativen ist gleich (<^o +<^i)

1 z-1

1

P + P^ • ""^ > p g - - ^ > F ( r + l ) > 0 , z-1 z-1

also positiv. Es kann also nicht optimal sein, in Periode t nicht zu produzieren, aber trotzdem die Maschine nicht abzuschaffen. Wenn jedoch V{t, z - 1) = 0 ware, dann ware die Maschine schon in t abzuschaffen und in f +1 konnte nicht mehr produziert werden. Daher muss es optimal sein, in t zu produzieren. Alter und VerschleiB laufen also planmaBig vollig parallel, es gilt z{t) = zo-t. Dennoch kann es ex post vorkommen, dass in einer Periode nicht produziert wird, obwohl in Zukunft ausreichende Deckungsbeitrage zu erwarten sind. Aus diesen LFberlegungen folgt, dass die Top-Ebene in ihrer roulierenden Planung als Restlebensdauer der vorhandenen Maschine

T(tz) =

mm\T^^^-t,z-

^0+^1 Pg

(2.1)

wahlt, worin \_yj die groBte ganze Zahl kleiner oder gleich 3; bezeichne. Die planmaBige Lebensdauer einer neuen Maschine ist T := 7(0, Zo)- Wenn die neue Maschine nach einer Lieferzeit / zur Verftigung steht, dann wird die Ersatzmaschine bestellt, sobald

max

• / oder z = z- ^0+^1 pg

gilt. 2.2

Der Wert der vorhandenen Maschine

Fiir die roulierende starre Planung ist der Ertragswert der vorhandenen Maschine bis zu ihrem geplanten Ersatzzeitpunkt:

nt,z) V(t,z)= X P' T=0

pS-S^l^-Fit) Z-T

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag

29

Der gesamte Ertragswert einer unendlichen Ersatzkette von okonomisch gleichen Maschinen bei Annahme stationarer Deckungsbeitrage und Anschaffungskosten in Hohe von A betragt folglich:

W(t,z) = Vit, z) + p^(''^> X p"^ [V(0,

ZO)-A]

1 - / Der Wert der vorhandenen Anlage besteht dann in der Differenz W{t,z) + A- W(0, ZQ). Als variable kalkulatorische Abschreibung der laufenden Periode wird die Top-Ebene dem Betrieb D(t,z) = W(t + l,z) - W(t + l,z + 1) vorgeben, namlich den Unterschied zwischen dem Wert einer in der laufenden Periode nicht genutzten Maschine im Vergleich zu dem einer genutzten Maschine zum Periodenende. Man erhalt: D(t,z) = V(t + 1 , z ) - V(t +1,z-1) + (p^('+l'^) -p^'+l--!))^^Q'"0>--^ \-p^ Die variable kalkulatorische Abschreibung hangt davon ab, ob der Ersatzzeitpunkt gemaB Gleichung (2.1) durch Abnutzung oder altersbedingt eintritt. Im zweiten Fall ist T(t +l,z) = T(t+l,z1), so dass

r=0

{Z-T){Z-T-\)

gilt. In diesem Fall wirken sich nur die abnutzungsabhangigen fixen und variablen Bestandteile der Betriebs- und Instandhaltungskosten auf die variable Abschreibung aus. Bei abnutzungsbedingtem Nutzungsdauerende schiebt sich dieses um eine Periode hinaus, man spart also zusatzlich die Kapitalkosten auf den Barwert der Ersatzkette, allerdings fallen dafiir die Betriebskosten der vorhandenen Maschine eine Periode langer an. Beide Effekte heben sich - der klassischen Bedingung fUr den optimalen Ersatzzeitpunkt entsprechend - annahemd auf, so dass diese Effekte vernachlassigt werden konnen. Weder die rein altersabhangigen Fixkosten noch die Hohe der erwarteten Deckungsbeitrage haben einen Einfluss auf die variable kalkulatorische Abschreibung.

3. Variable kalkulatorische Abschreibungen bei flexibler Planung Untersucht sei nun, wie sich die variablen kalkulatorischen Abschreibungen bei flexibler Planung auf der Top-Ebene bestimmen lassen. Der zufallsabhangige Deckungsbeitrag sei dabei als multiplikativer Binomialgitterprozess modelliert, wie

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Alfred Luhmer

dies in der Literatur zu Realoptionen (z.B. in Copeland u. Antikarov (2003) oder Luenberger (1997)) oft geschieht. Als theoretische Rechtfertigung dafiir lasst sich anfiihren, dass - wie Paul A. Samuelson (1965) gezeigt hat - ein informationseffizienter Futures-Markt, der haufige, unabhangige, rein zufallige Informationsereignisse zu verarbeiten hat, als Preisprozess einen Diffusionsprozess liefert. Als Approximation in diskreter Zeit entspricht dem ein Binomialgitter, das durch folgende Parameter bestimmt ist: • •

die Faktoren u bzw. d, mit denen das Ausgangsniveau bei einer Aufwartsbzw. Abwartsbewegung zu multiplizieren ist, die risikoadjustierten Wahrscheinlichkeiten p bzw. (1 - /?) fiir eine Aufwartssowie eine Abwartsbewegung der Zufallsvariablen G.

Die Parameter des Gitters sind durch Erwartungswert und Volatilitat des Diffusionsprozesses bestimmt (hierzu: z. B. Luenberger (1997), Abschnitte 11.1 und 11.9). Allerdings sind verschiedene aquivalente Gitterdarstellungen des Prozesses moglich, es besteht ein Freiheitsgrad in dem Gleichungssystem zur Bestimmung der Parameter. Insbesondere kann man ohne Einschrankung der Allgemeingultigkeit d= l/u setzen. Dies sei im Folgenden so angenommen. Der Ertragswert der vorhandenen Maschine bei flexibler Planung basiert auf der Annahme, dass der risikoadjustierte Kapitalkostensatz r, den man bei der Ermittlung des Ertragswerts bei starrer Planung verwendet hat, ein echter Marktzins ist, d.h. dass man die erwarteten Cash Flows fiir den mit seiner Hilfe berechneten Ertragswert am Kapitalmarkt verkaufen kann. Der Ertragswert tritt damit an die Stelle eines Kapitalmarktpreises fiir den starr geplanten Zahlungsstrom. Tom Copeland hat diese Annahme unter dem - wohl nicht ganz ironiefreien - Akronym „MAD" (fiir „Marketed Asset Disclaimer") eingefuhrt (Copeland u. Antikarov (2003), S. 94f). Kennt man zusatzlich den Zinssatz fiir risikofreie Anlagen, dann lasst sich aus diesen beiden „Assets" ein risikofreies Portefeuille konstruieren, dessen Wert zum risikofreien Zinssatz diskontiert werden kann, um zu einer (Pseudo-)Marktbewertung zu gelangen.

3.1

Wert einer Maschine bei festem Ersatzzeitpunkt

Die nun zu betrachtende Situation tritt immer dann auf, wenn der Ersatzzeitpunkt nicht zustandsabhangig bestimmt wird, sondern bereits festliegt, also auch im allgemeinen Fall, wenn die Ersatzmaschine eine langere Lieferzeit hat und schon bestellt ist. Bezeichne T den Lieferzeitpunkt der Ersatzmaschine. Dann gilt in T fiir den Wert der vorhandenen Maschine: V(T, z) = 0 fiir alle z. LFber den Freiheitsgrad des Binomialgittermodells sei so verfiigt, dass d= l/u. Fiir t
Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag

31

relevant. Man erhalt ftir den Wert Vs{t, z, g) der Maschine im Zeitpunkt t die Rekursionsgleichung: Vs(t + l,z-\,gu)p

Vs(t,z,g) = pf max

+ Vs(t + l,z-l,gd)(l-p)

+ g- ci zpf

[Vsit +1, z, gu)p +Vs{t + \,z, gd\\ - p) Co •F(t)

Die variable Abschreibung zum Ende der Periode t (also fiir ^ - 1 bis t) ist dann definiert als erwarteter Wertverlust der Maschine infolge der Produktion, d.h. als: Ds (t, z, g) = Vs(t^ 1, z, gu)p -hVsit^ 1, z, gd)(l - p) -{Vs{t-^\,z-\,gu)p^-Vs{t

+

\,z-\,gd){\-p))

(3.1)

Kann man dagegen die Maschine jederzeit vor der Lieferung der neuen stilllegen und damit auf ihre Kapazitat verzichten, so erhoht sich der Wert der Maschine, weil die Fixkosten abgebaut werden konnen, wenn sich absehen lasst, dass sie durch die Produktion nicht gedeckt werden. Der Wert der Maschine mit Stilllegungsoption folgt dann der Rekursionsgleichung: V{t +1, z - 1 , gu)p + V(t + l,z-1, gd)il - p) Pf max F(/,z,g) = max^

+ g-

zpf y{t +1, z, gu)p + V(t +1, z, gd)il - p)

Co •F(t)

0 Die variable Abschreibung ergibt sich analog zu (3.1) (ohne den Subindex S). Die Entwicklung beider Werte sowie die der nutzungsabhangigen Abschreibungen lassen sich leicht mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms berechnen. Ein Beispiel zeigt Abb. 1.

32

Alfred Luhmer

Daten go =

5 1 3 4

Co =

t= F,= g=

0 2 5

i'f =

u= P= 1 1,2 10 2,5

0,98 2 0,6 2 1,3 20 5 1,25

B inomialgitterdarstellung des Erlosprozesses

3 1 40 10 2,5

0,6251 Behalten bis zum Ersatzzeitpunkt Zo

Vs(t,g,z)

4 20,72 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1

1

1 34,03 2,989

41,9 7,036 -1,529

31,21 1,205

40,92 6,049 -2,087 38,29 3,638 -2,711

1

37,21 7,8 0,45 -1,25 36,87 7,467 0,117 -1,333 36,2 6,8 -0,55 -1,5 34,2 4,8 -2 -2|

Mit Stilllegungsoption Zo

V(t,g,z)

4 21,42 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1

1

1

1 34,12 3,934 31,52 2,517

37,2| 7,8 0,45 0 40,92 36,87 6,265 7,467 0 0,117 0 38,29 36,2 4,422 6,8 0 0 0 34,2 4,8 0 41,9 7,036 0

Variable Abschreibung x^^ 0 1 2 3 3 t=l 2 1 1 1 2,407 0,987 0,333 0,815 0,333 1 1 1 1 1 0,2331 0 1 1 1 2,54 0,667 1,696 0,667 0 1| 1 ^ 0 1 0,467

u\

i_o_ 21 1,78 1,07

oQl 0

Variable Abschreibung x' 0 3 2 t=l 0,9 0,333 2,127 0,463 0,333 0,2| 2,313 1,106

0,6671 0,447 0,07| 2 1,2 0

1 2 3 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1

1 0 1

CD 1 0

0 0 1

•HO]

o|

Abb. 1. Wertentwicklung und variable Abschreibung einer Maschine wahrend der Lieferzeit der Ersatzmaschine

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag

33

Die Wertentwicklung ist in Abhangigkeit vom Zustand z gezeigt; die einzelnen Zellen korrespondieren fiir jeden Zustand z zu den entsprechenden Zellen des Binomialgitters des Erlosprozesses. Zellen fiir Zustande, die nicht auftreten konnen, sind leer gelassen. Auch die variablen Abschreibungen sind nach demselben Muster wie die Erlose im Binomialgitter des Erlosprozesses angeordnet; sie sind Erwartungswerte zu den risikoangepassten Wahrscheinlichkeiten (also Sicherheitsaquivalente), wie sie sich im Zeitpunkt der Produktionsentscheidung darstellen. (Der angegebene Zeitpunkt ist aber das Periodenende.) Im rechten Drittel der Tabelle sind die zustandsbedingten optimalen Produktionsmengen eingetragen. Die Pfeile zeigen die Folge der Produktionsmengen an fiir die Erlosentwicklung u->d-^u^^u, Wie man sieht, kann es durchaus vorkommen, dass die Produktion selbst ohne Stilllegungsoption unterbrochen und dann wieder aufgenommen wird. Die Stilllegungsoption erhoht den Wert der Maschine erheblich. Man kann leicht Beispiele konstruieren, bei denen die Maschine ohne die Stilllegungsoption einen negativen Wert hat, mit Stilllegungsoption dagegen einen positiven, ja sogar kann es - je nach Erlosentwicklung - vorkommen, dass sie dann sogar bis zum Schluss durchgehalten wird. Die Stilllegungsoption hat natiirlich nur dann einen positiven Wert, wenn die Fixkosten positiv sind, d.h. wenn CQ > 0 oder F{t) > 0 fiir mindestens ein /. Erscheint eine Null am Anfang einer Zeile in der Werttabelle, so bedeutet das, dass es optimal ist, die Maschine in der betreffenden Periode bei dem betreffenden Zustand abzuschaffen. Rechts davon auftretende positive Werte konnen nur dann realisiert werden, wenn die Maschine vorher nicht abgeschafft wurde. Das kann dann der Fall sein, wenn der Erlosprozess einen Abwartsschritt macht, um den betreffenden Wert zu erreichen. Die Werte werden aber jedenfalls fiir die rekursive Berechnung der Vorperiodenwerte benotigt. In dem Beispiel zeigt sich, dass die Stilllegungsoption insgesamt zu hoheren Produktionsmengen fiihren kann als der Zwang zum Behalten. Behauptung: Die Moglichkeit der vorzeitigen Stilllegung reduziert die variable Abschreibung. Der Beweis kann induktiv gefiihrt werden, ist aber trivial und wird daher weggelassen. Der Effekt ist darauf zuruckzufiihren, dass die Nachwirkungen produktionsbedingter Zustandsverschlechterungen durch die Stilllegung abgeschnitten werden. Dieser Effekt ist jedoch nicht allein auf die verschleiBzustandsabhangigen Fixkosten CQJZ zuriickzufiihren. Wie das Beispiel in den Abbildungen zeigt, konnen die variablen Abschreibungen durch die Stilllegungsoption selbst dann strikt abnehmen, wenn CQ = 0 ist. Das hangt damit zusammen, dass in Perioden, in denen die Maschine bei Stilllegungsoption schon nicht mehr da ware, bei zwangsweisem Festhalten an der Maschine Produktion verlustreduzierend sein kann. Die Betriebskosten dieser Perioden werden aber durch Produktion in friiheren Perioden verschlechtert; dieser Umstand kommt in einer hoheren nutzungsabhangigen Abschreibung zum Ausdruck. Das ist durchaus kompatibel mit der Beobachtung des Beispiels, dass bei Stilllegungsoption (bei der angenommenen Erlosentwicklung) in alien Perioden produziert wird, wahrend die hohere variable Abschreibung bei Zwang zum Behalten in der zweiten Periode zum Produktionsstopp fiihrt. Bei die-

34

Alfred Luhmer

ser Erlosentwicklung wird die Maschine auch bei StilUegungsoption bis zum Schluss durchgehalten. Abb. 2 zeigt fur das Beispiel die Abnahme der variablen Abschreibung durch die StilUegungsoption. Abnahme der variablen Abschreibung durch StilUegungsoption ^0

0,44204

4

0,026133 0,137867

3

0,28684 0,596811

2

0 0,0333333 0,0833333 0 0,0666667 0,1666667 0,065 0,2975 0,401056

Abb. 2. Wirkung der StilUegungsoption auf die variable Abschreibung

3.2

Ersatzoption bei einperiodiger Lieferzeit

Nun sei der entgegengesetzte Fall betrachtet, dass die Maschine jederzeit gegen feste Anschaffungskosten A ersetzt werden kann. Die neue Maschine wird dann am Ende der Periode verfugbar, zu deren Beginn die Ersatzentscheidung getroffen wurde. Eine perfekte Analogic zum deterministischen Modell der unendlichen identischen Ersatzkette ist hier allerdings nur schwer zu erreichen. In jedem moglichen Ersatzzeitpunkt ist dazu eine zustandsabhangige Schatzung des Wertes der Ersatzkette erforderlich, die - streng genommen - denselben Flexibilitaten Rechnung tragen muss, die im Anfangsglied der Kette bestehen. Die Realoptionsliteratur halt hierzu meines Wissens noch keine Losung bereit, man verwendet vielmehr den Wert der Investition ohne die Flexibilitat. Mit anderen Worten modelliert man die Situation als Kaufoption auf das Projekt ohne Flexibilitat.^ Allerdings erscheint die Vemachlassigung der typischen Flexibilitaten in der Nutzung einer Maschine dann problematisch, wenn die Maschine ohne die Flexibilitat einen negativen Wert haben wUrde, nur infolge der Moglichkeit zeitweiser Oder dauerhafter Stilllegung aber lohnend sein mag. Insbesondere die Moglichkeit, eine anstehende Ersatzanschaffung hinauszuzogem, solange der Erlosprozess in einem ungtinstigen Zustandsbereich verharrt, kann bei hohen Fixkosten den Wert einer Maschine stark erhohen. ^ Copeland u. Antikarov (2003, S. 236f.) wamen ausdriicklich davor, die Analyse zu iiberkomplizieren und raten dazu, die Zahl der als relevant betrachteten Flexibilitatsoptionen einzuschranken.

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag

35

In der Rekursionsformel fiir den Wert der Maschine kann man nun nicht mehr den Zeitindex mit dem Alter identifizieren, so dass s als Zeitindex eingefiihrt sei. Zur Verktirzung der Schreibweise sei ferner die Bezeichnung E^ fiir den Erwartungswert zu den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten p, I - p fiir den Binomialprozess g eingefiihrt; dessen Zustand zum Beginn der Periode ist g, d.h. es bedeutet E^V, (t, z\g):= V, (/, z, gu)p + V, (t, z, g^)(l - p\ Eine Rekursionsformel im strengen Sinne lasst sich fiir die Wertentwicklung nun nicht mehr angeben. Die Wertentwicklung sollte aber folgendes System von Gleichungen (fiir alle Perioden s des betrachteten Zeitraums) erfiillen: (i^F,+l(0,zo|g)-v4)p/+max|o,p^g-^^^-F(0

Fy(^,z,g) = max Pf maxs

E^F,^l(^ + l , z - l | g ) + g - zpj £^K,^l(^ + l , z - l | g )

z

Die erste Zeile in der groBen geschweiften Klammer bezieht sich dabei auf die Ersatzalternative. Entscheidet man sich im Zeitpunkt s fiir einen Ersatz, so bleibt noch zu entscheiden, ob man in Periode s mit der alten Maschine weiterproduziert Oder sie sofort abschafft. Den Beitrag der besseren dieser beiden Alternativen zeigt der zweite Summand in der ersten Zeile. Am Ende der Periode steht dann die neue Maschine zur Verfiigung. Die Anschaffungskosten werden bei Lieferung fallig.^ Durch die Ersatzbeschaffung wird der VerschleiBzustand z auf ZQ zuriickgesetzt und das Alter t auf 0. Allerdings ist jetzt das Alter der Maschine nicht mehr identisch mit dem Zeitindex. Daher ist s als Zeitindex neu einzufiihren. Entsprechend der ublichen erneuerungstheoretischen Modellierung der unendlichen identischen Ersatzkette erwirbt man mit dem Anschaffungspreis zum Ersatzzeitpunkt denselben Wert, den eine neue Maschine im Zeitpunkt 5 = 0 gehabt hatte, hatte zu diesem Zeitpunkt dieselbe Erlossituation geherrscht wie in dem nun betrachteten Knoten des Binomialgitters. Dieser Wert ist allerdings unbekannt und rekursiv nicht zu ermitteln. Man benotigt daher eine Schatzung. Hier sei folgender - zugegeben nicht gerade durch theoretische Sauberkeit glanzende - Vorschlag zur Diskussion gestellt: Man beachte, dass diese Kosten hier mit dem risikofreien Zinssatz diskontiert werden, daher wird ein fiir die herkommliche Berechnung des Kapitalwerts typischer Fehler vermieden, der darin besteht, negative Cash Flows mit demselben (hoheren) risikoangepassten Zinssatz abzuzinsen wie positive.

36

Alfred Luhmer 0 E^V,^liO,zo\g)

wenn der unter 2.1 dargestellte Algorithmus fiir g den Wert F(0, ZQ , g) = 0 liefert.

= -^Fo(0,zo,go) sonst. ^0

Damit reprasentiert ein zustandsabhangiges Vielfaches des (unbekannten) Anfangswerts der Maschine den benotigten Wert. Flir den Fall g = go ist diese Festlegung unmittelbar plausibel. Fiir groBe Werte von g/go unterschatzt diese Approximation den Wert, denn der Erlos im Ersatzzeitpunkt verhalt sich annahmegemaB zum Ausgangserlos wie g/go. Der Erlos ist aber Wert + Kosten, die Kosten sind dagegen wesentlich weniger sensitiv bezuglich des Erloses. Wird g hinreichend klein, so wird der Wert in einer endlichen Periode irgendwann null. Man muss also nur mit Hilfe des Algorithmus fur diesen Fall ausprobieren, wo hier die Schwelle liegt. Die extremen Werte werden im tJbrigen nur mit geringen Wahrscheinlichkeiten erreicht, so dass der Fehler im Rahmen der Datengenauigkeit ertraglich bleiben dUrfte. Damit wird das Gleichungssystem ftir die Wertentwicklung aber zur Rekursionsgleichung, die sich z.B. durch Wertiteration losen lasst. Praktisch mag man fiir didaktische Beispiele sogar versuchen, sie durch die „Zielwertsuche" in Excel® anzugehen. Streng genommen ist die Existenz eines Fixpunktes hier wegen des unstetigen Zustandes naturlich nicht gesichert. Dennoch wird die Vorgabe einer akzeptablen Fehlertoleranz zum Erfolg fiihren. Praktisch wird man einen bestimmten Untersuchungszeitraum wahlen, von dem man annehmen kann, dass seine Lange eine Oberschranke fiir die (zustandsabhangige) Nutzungsdauer ist, die Endwerte im Horizont schatzen und fur diese Endwerte die Rekursion laufen lassen, um dann mit Hilfe der Zielwertsuche die Obereinstimmung zwischen Anfangswert und Endwert herzustellen. Es sei dem interessierten Leser iiberlassen, die Excel®-Tabelle der Abbildung 1 entsprechend zu erweitern.'^

4. Schluss Die hier vorgelegten tjberlegungen sollen das Problem der variablen kalkulatorischen Abschreibungen wieder in Erinnerung rufen. Es scheint geniigend Maschinen zu geben, fur die dieses Problem nicht irrelevant ist, z.B. teure Baumaschinen, Flugzeuge oder Fahrzeuge. Mogen an die Relevanz dieses Problems eigentlich von je her nur wenige Betriebswirte geglaubt haben und die Zeit inzwischen iiber die Modelle der 80er Jahre hinweg gegangen sein, vielleicht gehort es dennoch Bei Interesse werden die Excel®-Tabellen der Abbildungen 1 und 2 auf Anforderung per e-mail ([email protected]) gem zugesandt. Der Verfasser wiirde auch gem an einer praktischen Erprobung des Modells mitwirken.

Variable kalkulatorische Abschreibungen - Ein Nachtrag

37

nicht ganz zum alten Risen. Im Rahmen eines hierarchischen Planungssystems konnte man variable kalkulatorische Abschreibungen nach der hier beschriebenen Methode auf der Grundlage einer roulierenden flexiblen Planung bestimmen und der Basisebene, d.h. dem Produktionsplaner, zustandsabhangig vorgeben, damit er auf der Grundlage der ihm zur Verfiigung stehenden detaillierteren Informationen iiber Nachfrage und Deckungsbeitrage die Nachwirkungen gegenwartiger Nutzung auf die zukiinftigen Kosten (im Sinne von Opportunitatskosten) besser einschatzen kann. Die explizite Berlicksichtigung stochastischer Einfltisse auf die erzielbaren Deckungsbeitrage fuhren zu reichhaltigeren Entscheidungsmoglichkeiten, die bei der Bemessung einzubeziehen sind. Der Kalkiil, aus dem auf der Top-Ebene die variablen kalkulatorischen Abschreibungen bestimmt werden, kann darliber hinaus als InvestitionscontrollingInstrument aufgefasst werden. Denn er verfolgt die relevante Umweltentwicklung hinsichtlich Stilllegung und Ersatzpolitik mit Hilfe eines flexiblen Planungskalkiils. Fiir diese Art Kalktile haben neuere Entwicklungen auf dem Gebiet der Investitionsrechnung zur Bewertung von Realoptionen erhebliche und sehr relevante Fortschritte gebracht. Ein Zahlenbeispiel sollte das Prinzip zeigen, nach dem sich diese Planungskalklile praktisch bewaltigen lassen, wobei sie dann als Nebenprodukt auch die variablen kalkulatorischen Abschreibungen liefern. Fiir die Praxis miissten die Beispiele stark erweitert und verfeinert werden. Dabei wiirden Entscheidungszeitpunkte iiber die Produktion nicht nach jeder Aufwarts- oder Abwartsbewegung des Erloses eingebaut, sondem erst nach u.U. ziemlich vielen, so dass die Verteilung des Erloses im jeweiligen Entscheidungszeitpunkt nicht mehr eine Zwei-Punktverteilung, sondern eine reichhaltigere Binomial verteilung wiirde. Problematisch bleibt die Bestimmung der Parameter des Binomialgitters und die a priori etwas zweifelhaften Annahmen, die man dazu braucht. Hier wird aber die in vollem Gange befindliche praktische Priifung der Realoptionstheorie mehr Klarheit schaffen.

Literatur Copeland T, Antikarov V (2003) Real Options. Thomson Texere, New York Gutenberg E (1983) Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Erster Band, Die Produktion. Springer, Berlin Heidelberg New York Hotelling H (1925) A General Mathematical Theory of Depreciation. Journal of the American Statistical Association 20: 340-353 Kistner K, Luhmer A (1981) Zur Ermittlung der Kosten der Betriebsmittel in der statischen Produktionstheorie. Zeitschrift fur Betriebswirtschaft 51: 165-179 Kupper H (1985) Investitionstheoretische Fundierung der Kostenrechnung. Zeitschrift fur betriebswirtschaftliche Forschung 37: 26-46 Kupper H (1988) Investitionstheoretische versus kontrolltheoretische Abschreibung: Alternative oder gleichartige Konzepte einer entscheidungsorientierten Kostenrechnung? Zeitschrift fiir Betriebswirtschaft 58: 397-415 Luenberger DG (1997) Investment Science. Oxford University Press, New York Oxford Preinreich GAD (1937) Valuation and Amortization. The Accounting Review 12: 209-226

38

Alfred Luhmer

Roski R (1987) Planungsrelevante Aggregatskosten. Zeitschrift fiir Betriebswirtschaft 57: 526-545 Samuelson PA (1965) Proof That Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly. Industrial Management Review. Wiederabgedruckt in: Merton RC (Ed) (1972) The Collected Scientific Papers of Paul A. Samuelson. MIT Press, Cambridge (Mass.) Schneeweil3 C (2003) Distributed Decision Making. Springer, Berlin Heidelberg New York Stepan A (1981) Produktionsfaktor Maschine. Physica, Wien Wiirzburg Swoboda P (1979) Die Ableitung variabler Abschreibungskosten aus Modellen zur Optimierung der Investitionsdauer. Zeitschrift fUr Betriebswirtschaft 49: 563-580 Wagner, HM (1969) Principles of Operations Research. Prentice Hall, Englewood Cliffs

Der Einfluss der steuerlichen Behandlung von Schuldzinsen auf die Vorteilhaftigkeit fremdfinanzierter Investitionen Rolf Konig Fakultat ftir Wirtschaftswissenschaften, Universitat Bielefeld

1.

Einleitung

Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung der Frage, wie und in welchem MaBe die ertragsteuerliche Behandlung von Schuldzinsen die Vorteilhaftigkeit fremdfinanzierter Investitionen beeinflusst und wie sich die so identifizierten steuerlichen Wirkungen erklaren lassen. Dabei wird der Komplex der Gesellschafter-Fremdfinanzierung ausgeklammert, d.h. im Folgenden wird stets von einer Fremdfinanzierung durch fremde Dritte ausgegangen.

2.

Das Modell

Es wird von einem Kapitalmarkt ausgegangen, auf dem die Eigenkapitalaufnahme beschrankt ist und vom Marktzinssatz abweichende Soll-Zinssatze zugelassen sind. Es sei von sicheren Erwartungen ausgegangen. Wir betrachten eine Kapitalgesellschaft, die ihre Gewinne vollstandig thesauriert.^ Dem Unternehmen stellt sich im Zeitpunkt t = 0 die Moglichkeit, eine Realinvestition durchzuftihren, welche in den Zeitpunkten t = 1 bis t = T Ein- und Auszahlungen verursacht und unter Vernachlassigung der durch die Fremdfinanzierung ausgelosten Zahlungen einen positiven Kapitalwert KQ aufweist. Aufgrund fehlender Mittel muss die Investition durch Aufnahme eines Darlehens fremdfinanziert werden, der Darlehensgeber steht dabei in keinem GesellschafterVerhaltnis zu dem betrachteten Unternehmen. Die Investition verursache in / = 0 eine Investitionsausgabe in Hohe von /Q , die im Zuge der Darlehensaufnahme zu finanzieren ist. Auf dem Kapitalmarkt ^ Durch diese Annahme wird die Ebene der hinter der Gesellschaft stehenden Investoren und damit insbesondere deren Konsumentscheidungen ausgeklammert, somit eine Trennung zwischen Konsum- und Investitionsentscheidungen, die unter der Annahme abweichender Soil- und Habenzinssatze ansonsten theoretisch nicht begriindbar ist, erzwungen.

40

Rolf Konig

konnen freie Mittel zum Zinssatz / angelegt werden. Im Zeitraum t = \,...,T erwirtschaftet das Unternehmen anderweitig Gewinne in ausreichendem MaBe, so dass die durch die Fremdfinanzierung verursachten Zins- und Tilgungszahlungen, soweit sie durch die aus der Investition resultierenden Einzahlungsuberschtisse nicht gedeckt sind, jederzeit bedient werden konnen. Somit mindern die Zins- und Tilgungszahlungen (sowie eventuell aus der Investition resultierende AuszahlungsuberschUsse) die Mittel, die auf dem Kapitalmarkt zum Zinssatz / angelegt werden konnen, und sind demgemaB im Zeitpunkt ^ = 0 mit dem Barwert, basierend auf dem Marktzins / als KalkulationszinsfuB, zu bewerten.^ Der Gesamt-Kapitalwert vor Steuern CQ der fremdfinanzierten Investition ergibt sich durch (2.1)

Q - ^0 + ^ 0 '

wobei FQ den Kapitalwert der Fremdfinanzierung bezeichnet. Dieser stellt sich wie folgt dar: (2.2) wobei Z/^ und TIL^ die Zins- bzw. Tilgungszahlungen der Periode t bezeichnen. Die Zinszahlungen der Periode t ergeben sich mit (2.3)

ZI,=p'RS,_^

mit p als SoU-Zinssatz und ^ / _ i als Restschuld zum Ende der Vorperiode, d.h. es ist: RSt_x = IQ

(2.4) 7=1

Mit ^ = 1 + z folgt damit aber fur FQ ^:

^o=^-Z i=\

=

\A

t-\

(1 + 0"'

P7=1

I,-I,.P-.(X-q-T)-Y^

yj

t-\

\ -q

t=\

Ohne diese Annahmen kann auf das Kapitalwertkriterium nicht zurtickgegriffen werden, vgl. hierzu Konig u. Wosnitza (2004), S. 102f. u. 135ff. sowie Schreiber (2004), S. 508ff. Die folgende Herleitung umfasst nicht alle Rechenschritte, sondern nur die wichtigsten Zwischenschritte; diese sind Ausfluss einer geeigneten Umstellung der auftretenden Doppelsumme sowie der Anwendung der Formel fiir die endliche geometrische Reihe.

Steuerliche Behandlung von Schuldzinsen

'

=

T

„

r

^=1

'

t=\

41

Io-Io-^-J:TILrq-'+-^iTILrq-'

'^

1=1 t=l

•0,

(2.5)

wobei T

e:=Y,TIL,(l-q-')

(2.6)

t=l

den barwertmaBigen Vorteil angibt, den der Darlehensnehmer aus der Verteilung der Zahlung IQ auf die Zeitpunkte t = 1 bis t = T hat. Die Besteuerung wird in folgender Form berticksichtigt: Die Ertrage aus der Realinvestition und die Zinsertrage aus Anlagen auf dem Kapitalmarkt zum Zinssatz / werden mit dem Ertragsteuersatz s belastet. Daraus ergibt sich ein nachsteuerlicher KalkulationszinsfuB i^ von ^•^=(1-^)'^'

(2.7)

Um die Wirkungen der steuerlichen Behandlung der Schuldzinsen isoliert identifizieren und analysieren zu konnen, sollen die fiir die Realinvestition relevanten Abschreibungen so ausgestaltet sein, dass die Besteuerung, bezogen auf die Realinvestition, entscheidungsneutral wirkt. Aufgrund der getroffenen Annahmen bieten sich hierfiir die Ertragswertabschreibungen an, d.h. insgesamt wird auf die Realinvestition das System der Besteuerung des okonomischen Gewinns angewendet."^ BekanntermaBen gilt damit fur den Kapitalwert nach Steuern der Realinvestition die Beziehung:

Die steuerliche Entlastung der Darlehenszinsen erfolgt mit dem Steuersatz Sp. Fiir den nachsteuerlichen Kapitalwert der Finanzierung folgt damit analog zu oben:

Fos=Io-t[(^-^F)ZIt-^TIL,](l^isr' t=l

^ Vgl. hierzu insbes. Schneider (1992), S. 218ff.

42

RolfKonig

(2.9) wobei 05 definiert ist durch T

(ds:=YTILt{\-q-s')

(2.10)

und ^5- = 1 + i^ ist.

3. Steuerliche Wirkungen Um zu untersuchen, ob von der ertragsteuerlichen Behandlung der Schuldzinsen Einflusse auf die Vorteilhaftigkeit einer fremdfinanzierten Investition ausgehen, gehen wir wie folgt vor: Zunachst wird ftir den vorsteuerlichen Fall ein kritischer Fremdkapitalzinssatz p^ bestimmt, bei dem der Gesamtkapitalwert der fremdfinanzierten Investition gerade Null wird. Dieser kritische Zinssatz bestimmt sich aus der Gleichung: (3.1)

^0 - - ^ 0

/?0 gibt also den Fremdkapitalzinssatz an, den die Realinvestition gerade noch verkraften kann, ohne im Vergleich zur Unterlassensalternative nachteilhaft zu werden. Entsprechend bestimmen wir den nachsteuerlichen kritischen Zinssatz PQS aus der Bedingung: (3.2) Wegen (2.8) wird (3.2) zu: (3.3) Wegen (2.5) und (2.9) folgt: 1-^10

=

1-1^^.^1.0, 1-5

(3.4)

/

Hieraus lasst sich ableiten: l-s Pos =l-Sf

l-s _0 -Po + l-Spl 0,

0 0 s)

(3.5)

Steuerliche Behandlung von Schuldzinsen

43

Der nachsteuerliche Schwellenwert flir den Fremdkapitalzins ergibt sich somit als gewichtetes Mittel aus dem vorsteuerlichen Schwellenwert und dem Anlagezins /. Wegen i^ < i und TIL^ > 0 gilt (3.6)

@>@s und weiter

(3.7) Daraus folgt wiederum 0

1--®- i>P^'

(3.8)

Das heiBt: Werden die Ertrage aus der Realinvestition bzw. aus der Kapitalanlage mit demselben Steuersatz belastet, mit dem der durch die Fremdfinanzierung verursachte Zinsaufwand entlastet wird (^ = ^^7), so ist p^^ > p^ . Die Realinvestition kann unter Beriicksichtigung von Steuern einen hoheren Fremdkapitalzinssatz verkraften als im Fall ohne Beriicksichtigung von Steuem, die Besteuerung wirkt somit investitionsfordernd in dem Sinne, dass sich die Fremdfinanzierung erst bei hoheren Zinssatzen schadlich auf die Vorteilhaftigkeit der Investition auswirkt. Dieser Effekt wird noch verstarkt, wenn Sf > s gilt, wenn also die Schuldzinsen mit einem hoheren Steuersatz entlastet als die Ertrage belastet werden. Nach aktuellem Steuerrecht gilt fiir den hier betrachteten Fall und unter Vernachlassigung des Solidaritatszuschlags (3.9)

s = sS'^s^-s^''s\

wobei s^^ den effektiven Gewerbesteuersatz und s den Korperschaftsteuersatz darstellen. Fiir die Bestimmung des Entlastungssatzes Sp ist die gewerbesteuerliche Hinzurechnungsvorschrift des § 8 Nr. 1 GewStG zu beachten, gemaB dem die Halfte der Dauerschuldzinsen bei der Ermittlung des Gewerbeertrags wieder hinzuzurechnen sind, was im Ergebnis dazu fiihrt, dass die Fremdkapitalzinsen bei der Gewerbesteuer zur Halfte bzw. mit dem halben effektiven GewSt-Satz entlastet werden. Daraus folgt: s,= -s^'-\-s^--s^'s^ 2

(3.10)

2

Somit gilt sp<s, (3.11) und der oben beschriebene investitionsfordernde Effekt wird durch die Divergenz der Steuersatze s und Sf kompensiert. Das AusmaB der Kompensation hangt dabei von der Differenz der Steuersatze ab. Die beiden gegenlaufigen Effekte heben sich genau dann auf, wenn

44

Rolf Konig

(3.12)

POS = PO

gilt. Dies ist gemaB (3.5) dann der Fall, wenn fiir den vorsteuerlichen Schwellenwert PQ die Beziehung \-s

Pa \-Sp

0 0 7;—Po + 1 - 0 SJ

(3.13)

erfUllt ist, woraus folgt: (3.14)

PQ {\-S)@-{\-SF)@S

Ein einfaches Beispiel moge die theoretisch erhaltenen Ergebnisse veranschaulichen. Wir betrachten den einfachen Fall eines Endfalligkeitsdarlehens, d.h. die Tilgung erfolgt in einem Betrag am Ende der Laufzeit. Es gilt also: ,0 TIL.=\ t

t = \,..,T-\ fur

1,

(3.15)

^^j

Die GroBen 0 und 05 ergeben sich mit (3.16)

0 = /o(l-9-^) bzw.

(3.17) (3.5) wirddamitzu: \-s PQS

l-Sp

^-T '-"-'.,„.il^T

(3.18)

1-^^'

Bei einem unterstellten gewerbesteuerlichen Hebesatz von 400% gilt fiir die Steuersatze s und Sp. 5 = - + 0,25---0,25 = 0,375 6 6

(3.19)

5/, = l . l + 0 , 2 5 - - - - 0 , 2 5 = 0,3125 2 6 ^ 2 6

(3.20)

sowie

Wir unterstellen weiter einen Anlagezins von / = 10% . Tabelle 1 gibt in Abhangigkeit vom vorsteuerlichen Schwellenwert PQ und dem Planungshorizont T den nachsteuerlichen Schwellenwert pos an.

Steuerliche Behandlung von Schuldzinsen

45

Tabelle 1. Vor- und nachsteuerliche Schwellenwerte T=2 9,09% 10,47% 11,85% 13,24% 14,62% 16,00%

Po=10% Po=ll% Po=12% Po=13% Po=14% Po=15%

T=4 9,09% 10,43% 11,77% 13,11% 14,44% 15,78%

T=6 9,09% 10,39% 11,69% 12,99% 14,28% 15,58%

T=8 9,09% 10,35% 11,61% 12,88% 14,14% 15,40%

T=10 9,09% 10,32% 11,55% 12,78% 14,01% 15,23%

Die kursiv gedruckten Zellen geben die Falle an, in denen der nachsteuerliche Schwellenwert den vorsteuerlichen ubersteigt. Wie man sieht, ist dies bei hohen vorsteuerlichen Schwellenwerten der Fall. Bei zunehmendem Planungshorizont sinkt der nachsteuerliche Schwellenwert. Fiir die verschiedenen Planungshorizonte ergeben sich gemaB (3.14) die in Tabelle 2 angegebenen Schwellenwerte, bei denen keine steuerlichen Wirkungen auftreten: Tabelle 2. Schwellenwerte T=2 12,3815%

Po=Pos

T=4 12,6877%

T=6 13,0463%

T=8 13,4696%

T=10 13,9742%

4. Entscheidungsneutrale Entlastung von Schuldzinsen Mit der bis hier vorgenommenen Analyse lassen sich steuerliche Wirkungen zwar identifizieren, aber nicht erklaren. Es stellt sich die Frage, wie eine ertragsteuerliche Entlastung der Schuldzinsen ausgestaltet werden miisste, ohne dass sie die Vorteilhaftigkeit der fremdfinanzierten Investition beeintrachtigt. Da wir auf der Ebene der Realinvestition die Ertragswertabschreibungen angesetzt haben, um den Kapitalwert unverandert zu erhalten, miisste demgemaB auf der Ebene der Finanzierung ebenfalls das System der Besteuerung des okonomischen Gewinns angewendet werden. Hierzu gehen wir von einem vorgegebenen Fremdkapitalzinssatz p aus. Die Fremdkapitalzinsen mlissen in diesem entscheidungsneutralen System mit demselben Steuersatz entlastet werden, mit dem die Ertrage belastet werden, d.h. es gilt: .ok

Sp

,

=S

(4.1)

Anders als im aktuellen Steuerrecht mussen auch die Tilgungszahlungen steuerlich entlastet werden, im Gegenzug mussen bei der Berechnung der periodischen Bemessungsgrundlagen Zuschreibungen A^ vorgenommen werden, die sich als Differenz zweier aufeinander folgender Ertragswerte der Zins- und Tilgungszahlungen ergeben. Formal bedeutet dies:

46

Rolf Konig

(4.2)

A, = FW,.j-FW, wobei T

FW,=

J^{ZIj-^TILj){\^i)<J-'^

(4.3)

Durch geeignete Umformungen lasst sich zeigen, dass gilt: FW,=^

Y^TILj-^^^

Y^TILj{\ + i)-^J-'^

(4.4)

Hieraus wiederum lasst sich fiir die „Ertragswertzuschreibungen" Q leicht die Beziehung (4.5) herleiten. Fiir die periodische Bemessungsgrundlage B^j^ ^ ergibt sich im entscheidungsneutralen System der Besteuerung des okonomischen Gewinns

(4.6)

woraus fiir die periodische Steuerentlastung S^j^j folgt:

(4.7)

dk,t s^

Der nachsteuerliche Barwert Wgj^ der gesamten Steuerentlastungen iiber den Planungshorizont ergibt sich mit: 1-^.(0-0,)

's

(4.8)

Fiir die periodische Bemessungsgrundlage B, und die daraus resultierende Steuerentlastung S/ im aktuellen Steuerrecht gilt dagegen Bt=-ZI, bzw.

(4.9)

Steuerliche Behandlung von Schuldzinsen

47

(4.10)

Sf=Sf' ZIf

Hieraus resultiert ein nachsteuerlicher Barwert W dtr gesamten Steuerentlastungen der Perioden t = l,...,T mit: ^ = ,^.^..0^

(4.11)

^S

Gilt W^j^ =W, so treten keine steuerlichen Wirkungen auf. Gilt W^/^ <W, so liegt eine steuerliche Begunstigung vor, wahrend im Fall W^f^ > W eine steuerliche Benachteiligung gegeben ist. Aus diesen Ergebnissen lassen sich einige Aussagen ableiten: 1. Nur im Fall p = / stimmen die Bemessungsgrundlagen nach aktuellem Steuerrecht und im System der Besteuerung des okonomischen Gewinns Uberein. Es gilt dann:

W

Wok

«

(4.12)

Sp

Bei divergierenden Steuersatzen kommt es hier immer zu Verzerrungen. 2. Sind die Steuersatze identisch, so gilt: <

<

W\ = Wok >

<^ P' = >

(4.13)

In diesem Fall kommt es zu steuerlich induzierten Verzerrungen, wenn der Sollzinssatz vom Anlagezinssatz abweicht. 3. Geht man von den realistischen Konstellationen Sf <s und p > i aus, so gilt: W<W^k <^

sp • — •@s

's O

p-

®S'^ \

< ^

's
- ^ ' •{e-@s)

(0-0^)

(4.14)

Ob eine steuerliche Benachteiligung oder eine steuerliche BegUnstigung vorliegt (oder - zufallig bedingt - keine Wirkung auftritt) hangt also im Wesentlichen einerseits vom Verhaltnis der Steuersatze s und Sf ab, andererseits vom

48

Rolf Konig Verhaltnis der GroBen 0 und 0^, welches wiederum durch den Planungshorizont T bestimmt wird. Dabei treten dann keine Wirkungen auf, wenn Wok=W

(4.15)

gilt, was aquivalent ist zu: (1-^X0-0^) ——I P = —^

(4.16)

Dies entspricht aber gerade dem Ergebnis (3.14).

5.

Fazit

Die im aktuellen Steuerrecht verankerte Behandlung von Fremdkapitalzinsen fiihrt zu Verzerrungen im Sinne einer Beeinflussung der Vorteilhaftigkeit fremdfinanzierter Investitionen. Die Richtung der auftretenden Verzerrungen ist nicht eindeutig, d.h. es konnen steuerinduziert sowohl Begiinstigungen als auch Benachteiligungen auftreten. Ursache hierfiir ist die Tatsache, dass die Ertragswertentwicklung der Zins- und Tilgungszahlungen nicht in adaquater Weise bei der Ermittlung der Bemessungsgrundlage beriicksichtigt werden.

Literatur Konig R, Wosnitza M (2004) Betriebswirtschaftliche Steuerplanungs- und Steuerwirkungslehre. Physica, Heidelberg Schneider D (1992) Investition, Finanzierung und Besteuerung. 7. Aufl Gabler, Wiesbaden Schreiber U (2004) Besteuerung der Unternehmen. Springer, Berlin Heidelberg New York

Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung Lutz Hildebrandt, Dirk Temme Institut fiir Marketing, Humboldt-Universitat zu Berlin

1. Einfuhrung Bei der Durchsicht ftihrender deutschsprachiger Zeitschriften auf dem Gebiet der betriebswirtschaftlichen Forschung fallt eine deutliche Zunahme von Artikeln auf, die sich einer Forschungsfrage iiber den Einsatz von Strukturgleichungsmodellen (SEM) bzw. „Kausalmodellen" nahern. Die Strukturgleichungsmethodik, die ursprlinglich in der psychologischen und sozialwissenschaftlichen Forschung zur Bereinigung von Messfehlern in Daten und zum Test so genannter nomologischer Netzwerke eingesetzt wurde, hat besonders im Marketing, der Organisationssowie der Managementforschung zunehmende Verbreitung gefunden. Der Forschungsansatz beruht im Allgemeinen darauf, dass durch die Befragung von Kunden Oder Schlusselinformanten die wahrgenommenen Auspragungen produkt- oder firmenspezifischer Merkmale erfasst werden, wobei davon ausgegangen wird, dass die Befragungsdaten Informationen zu Konstrukten liefern, die einen Einfluss auf betriebswirtschaftlich relevante ZielgroBen haben. Die Strukturgleichungsmethodologie leistet dabei sowohl eine Validierung der zugrunde gelegten Messmodelle als auch einen Test der Hypothesen liber vermutete Wirkungsstrukturen. Mit der Anwendung von Strukturgleichungsmodellen konnen Ergebnisse von groBerer Validitat als z.B. mit Regressionsanalysen erzielt werden, sofern der Forscher die Annahmen und Voraussetzungen fur die Anwendung der Methodik beachtet. Allerdings drangt sich bei der Lekttire vieler Beitrage der Verdacht auf, dass gerade in den deutschsprachigen Zeitschriften der methodischen Vorgehensweise sowie der angemessenen Dokumentation und Interpretation der Ergebnisse relativ wenig Beachtung geschenkt wird. Vor diesem Hintergrund soil in diesem Beitrag eine Bestandsaufnahme der in den wichtigsten deutschsprachigen betriebswirtschaftlichen Zeitschriften zwischen 1990 und 2003 erschienenen Beitrage mit Strukturgleichungsmodellen erfolgen. Die Studie knupft damit zum Teil an eine Untersuchung von Homburg und Baumgartner (1995) an, beschrankt sich allerdings nicht nur auf Anwendungen in der Marketingforschung, sondern ist durch Beriicksichtigung aller einschlagigen Beitrage in den ausgewerteten Fachzeitschriften thematisch breiter angelegt.

50

Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

Zielsetzung dieses Beitrags ist es, Aussagen iiber die Berticksichtigung der Anwendungsvoraussetzungen, die gewahlten Schatzverfahren und die Glite der publizierten Modelle zu treffen. Wir werden dabei wie folgt vorgehen: Zunachst wird im zweiten Abschnitt die Grundstruktur eines LISREL-Modells aufgezeigt LISREL stellt den dominierenden Ansatz zur Schatzung von Strukturgleichungsmodellen dar. Darliber hinaus wird auf das grundlegende Schatzprinzip sowie die Moglichkeiten der Modellbeurteilung eingegangen. Der dritte Abschnitt dokumentiert die Bestandsaufnahme der ausgewahlten Publikationen. Im Anschluss an eine (jbersicht der Artikel werden Informationen zu ihrer Verteilung auf die ausgewerteten Zeitschriften und iiber die Zeit sowie zum primaren Forschungsfokus gegeben. Die Beurteilung der Beitrage erfolgt danach auf aggregierter Basis hinsichtlich der StichprobengroBe, der Verteilung der Daten, des eingesetzten Schatzverfahrens sowie der verwendeten Gtitekriterien. Der Beitrag schlieBt mit einer grundsatzlichen Bewertung der methodischen Qualitat betriebswirtschaftlicher Anwendungen der Strukturgleichungsmethodologie.

2.

Die Strukturgleichungsmethodik

Die Strukturgleichungsmethodik wird in der betriebswirtschaftlichen Forschung insbesondere zur Berticksichtigung und Kontrolle von Messfehlereinflussen bei der Verwendung von Befragungsdaten eingesetzt (Hildebrandt 1984; Homburg u. Giering 1997). Methodisch vereint die Strukturgleichungsmethodik verschiedene multivariate Analysetechniken, deren Integration die Analyse von Beziehungsstrukturen zwischen nicht beobachtbaren (latenten) Variablen und beobachtbaren (manifesten) Variablen ermoglicht. Ein Strukturgleichungsmodell kann daher als Kombination von regressions- und faktoranalytischen Methoden aufgefasst werden (Hildebrandt 1995; Ullmann 1996). Zur Entwicklung der Strukturgleichungsmethodologie haben Forscher aus verschiedenen Wissenschaftsbereichen beigetragen; den groBten Beitrag hat dabei die psychometrische Methodenforschung geleistet. Fiir Marketinganwendungen wurde der Ansatz der Strukturgleichungsmodelle insbesondere durch Bagozzi (1980) und Fornell (1982) vorangetrieben. LISREL als erste kommerziell verfiigbare Software wurde so popular, dass diese Methodik zeitweise auch als LISREL-Ansatz bezeichnet wurde. Obwohl inzwischen eine Reihe alternativer Programme vorliegt (z.B. AMOS, EQS, CALIS, Mplus; vgl. zu einem aktuellen Programmuberblick Hildebrandt 2004), soil die LISREL-Nomenklatur in der folgenden Darstellung als Grundlage dienen.

2.1

Die Modellstruktur

Die Strukturgleichungsmethodik ist den konfirmatorischen Analysetechniken zuzuordnen. Dabei stellt die Modellbildung, d.h. die theoretische Herleitung von Hypothesen iiber die Beziehungsstrukturen in der betrachteten Variablenmenge, den ersten Schritt der Analyse dar. Die vermuteten Beziehungen werden mithilfe

Stmkturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung

51

eines Pfaddiagramms grafisch abgebildet (vgl. Abb. 1). Mit den heute verfugbaren Programmsystemen (z.B. LISREL oder AMOS) wird diese grafische Struktur fur den Anwender automatisch in eine mathematische Struktur uberfiihrt (vgl. Hildebrandt 2004). Kennzeichnend fiir die Struktur der Modelle ist die explizite Unterscheidung zwischen Messtheorie (Messmodell) und Substanztheorie (Strukturmodell), wie sie auch in Abb. 1 in LISREL-Notation erkennbar ist. Das Messmodell beschreibt die Beziehungen zwischen den unbeobachtbaren theoretischen Konstrukten (den latenten Variablen ^i,<^2»^i ^^^ Vi) ^^^ i^ren Indikatoren (den beobachteten Variablen x^,,..,x^ midy^,...,y^). Das Strukturmodell hingegen bildet die vermuteten Kausalbeziehungen zwischen den latenten Variablen ab.

.5,

—

S,—

5._

s.—

X2 = ^x2 ^1 + ^2

r | l = Y l l ^ l + Y l 2 ? 2 + Cl r|2 = 721 ^1 + Y22 ^2 + P21 rii + ^2

^3 = ^x3 ^2 + S3 X4 = ^x4 ^2 + S4

yi = ?iyir|i + si y2 = A.y2r|i + S2 y3 = '^yS r|2 + S3 y4 = ^y4 r|2 + 84

A b b . 1. Ein Strukturgleichungsmodell

Ein vollstandiges LISREL-Modell kann in Matrixnotation mithilfe der folgenden drei Gleichungen beschrieben werden (vgl. Joreskog u. Sorbom 1996): Strukturmodell: (2.1) Messmodell: (2.2) A: = A

^ + <^,

wobei 7] und ^ die Vektoren der endogenen und exogenen latenten Variablen kennzeichnen. y und x sind Vektoren der beobachteten Indikatoren, und ^, s und d reprasentieren Fehlervariablen. Weiterhin erfassen die Parametermatrizen B

52

Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

und r die Beziehungen im Strukturmodell und A^ und A^ die Beziehungen im Messmodell. Ein allgemeines LISREL-Modell beruht dabei auf folgenden Basisannahmen: ^ ist unkorreliert mit ^ , € ist unkorreliert mit 77, S ist unkorreliert mit ^ , ^, e und S sind untereinander unkorreliert und I - B ist nicht singular. nsgesamt sind zur Spezifikation eines vollstandigen LISREL-Modells acht Parametermatrizen notwendig, die die Kovarianzstruktur der empirischen Daten erfassen soUen. Neben den bereits oben definierten Matrizen B,r,A,,und A, fiir die strukturellen Beziehungen bzw. Messrelationen beinhalten die Matrizen O , ^ , 0 ^ und ©^ jeweils die Varianzen und Kovarianzen der exogenen latenten Variablen, der Residualvariablen der endogenen latenten Variablen sowie der Residualvariablen der beobachteten Indikatoren x und j . Gegenliber anderen multivariaten Analyseverfahren weist die Strukturgleichungsmethodik den Vorteil auf, dass Messfehler liber die Faktormodelle sowohl fur die abhangigen als auch fiir die unabhangigen Variablen modelliert werden. Weiterhin gestattet die Schatzung der Messfehleranteile, die Reliabilitat und Validitat der vorgegebenen Messmodelle zu liberpriifen. Alle Beziehungen zwischen den Variablen des Modells werden simultan geschatzt, was mit keiner anderen im Marketing etablierten multivariaten Analysetechnik moglich ist (in der Okonometrie gehoren simultane Mehrgleichungsmodelle selbstverstandlich zum Standardrepertoire). 2.2

Die Modellschatzung

Die Datengrundlage fiir die Analyse von Strukturgleichungsmodellen des LISREL-Typs bilden im Allgemeinen die Varianzen und Kovarianzen der beobachteten Variablen. Um die Modellparameter schatzen zu konnen, muss aus den Modellgleichungen eine Kovarianzstrukturgleichung hergeleitet werden, die die Populationskovarianzmatrix der beobachtbaren Variablen Z zum Vektor der Modellparameter u in Beziehung setzt: Z = I(^).

(2.3)

Diese Gleichung wird auch als Fundamentaltheorem der Strukturgleichungsmethodik bezeichnet (Bollen 1989). Der Parametervektor o setzt sich aus den Elementen der Parametermatrizen des Modells zusammen. Demzufolge kann Z auch als Funktion der einzelnen Parametermatrizen des Modells ausgedruckt werden (vgl. Homburg u. Hildebrandt 1998), d.h. S = z(B,r,A^,A,,O,%0,,0,).

(2.4)

Stmkturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung

53

Unter der Annahme, dass ein spezifiziertes Modell korrekt ist, lieBe sich die Populationskovarianzmatrix exakt reproduzieren. Eine exakte Reproduktion kann jedoch i.d.R. allein deswegen nicht erreicht werden, weil die Populationskovarianzmatrix S nicht bekannt ist und stattdessen mit der Stichprobenkovarianzmatrix S gearbeitet werden muss. Fiir die Schatzung des Modells auf Basis dieser Matrix muss das Modell identifiziert sein, d.h. die Informationen in den Daten mtissen in alien Teilbereichen des Modells ausreichen, um in den Gleichungen die zu schatzenden Parameter eindeutig bestimmen zu konnen (vgl. Joreskog u. Sorbom 1996). Ist dieses Identifikationsproblem gelost, besteht das Schatzproblem gemaB dem Fundamentaltheorem der Strukturgleichungsanalyse darin, den Parametervektor u zu bestimmen, der zu einer moglichst guten Reproduktion der gegebenen Stichprobenkovarianzmatrix S durch die modellimplizierte Kovarianzmatrix ^{o) ftihrt. Hierzu werden die Parameter so geschatzt, dass eine Fitfunktion F = F{S,l,{u)) minimiert wird. Die am haufigsten verwendeten Schatzverfahren fiir Strukturgleichungsmodelle sind die Maximum Likelihood (ML) und die Generalized Least Squares (GLS) Schatzmethode, die folgende Fitfunktionen verwenden: F^iio) = log I X ( u ) I +tr(si:-\u))-

log I 5 I -{p + q)

(2.5)

und FGLs(^) = -fn

\s-Ao))w-'f

(2.6)

wobei als Gewichtsmatrix W~ in F^^^ haufig S~ gewahlt wird. p steht fiir die Anzahl der beobachtbaren endogenen Variablen im Modell, q fiir die Anzahl der exogenen Variablen und tr bezeichnet die Spur einer Matrix. Beide Verfahren liefern unter der Annahme einer multivariaten Normalverteilung der Variablen asymptotisch unverzerrte, konsistente und effiziente Schatzer. Da die Annahme der multivariaten Normalverteilung in der Praxis jedoch haufig verletzt wird, sind alternative Schatzverfahren mit formal weniger restriktiven Verteilungsannahmen vorgeschlagen worden (z.B. ULS, WLS), auf die im Abschnitt 3.2.3 naher eingegangen wird (vgl. auch Joreskog u. Sorbom 1996).

2.3

Die Beurteilung von l\/lodellstrukturen

Die Beurteilung der Gute des geschatzten Modells besteht in der Priifung, wie gut die theoretischen Hypothesen die in den Stichprobendaten vorliegenden Beziehungen erklaren. Am Anfang jeder Modellbeurteilung sollte zunachst eine PlausibilitatsprUfung der geschatzten Parameter stehen (Bagozzi u. Baumgartner 1994). Dabei wird gepriift, ob die Vorzeichen und die Werte der geschatzten Parameter mit den aufgrund theoretischer Voriiberlegungen vermuteten Zusammenhangen iibereinstimmen. Unplausible bzw. unzulassige Parameterschatzer (z.B. negative Varianzen) sind haufig Hinweise auf Fehlspezifikationen oder Schatzprobleme. Liegen keine derartigen Anomalien vor, so kann der Anwender fur die weitere

54

Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

Prlifung auf eine breite Palette an Fit-MaBen zuriickgreifen, mit deren Hilfe die Anpassung der geschatzten Modellstruktur an die Daten beurteilt werden kann. Die globalen Fit-MaBe geben Aufschluss dariiber, in welchem AusmaB die geschatzte Kovarianzmatrix von der empirischen abweicht. Hierzu kann der Forscher u. a. die ;i;^ -Teststatistik einsetzen. Der x"-Test ist ein inferenzstatistisches globales GutemaB. Fur eine Stichprobe vom Umfang A^ ist bei korrekter Spezifikation des Modells die Teststatistik T = {N-\)F

{2.1)

X^ -verteilt mit 1 / 2\p + q\p + g - 1 ) - r Freiheitsgraden, wobei (/> + q) die Anzahl der beobachtbaren Variablen im Modell ist und r fur die Anzahl der zu schatzenden Parameter steht. Im Gegensatz zu den meisten anderen statistischen Tests erfordert der x^ -Test nicht signifikante Werte flir die Teststatistik, um das spezifizierte Modell als durch die Daten gestutzt zu akzeptieren. Der Test ist allerdings an vier relativ strenge Annahmen gebunden: • • • •

die beobachtbaren Variablen sind multivariat normalverteilt, es wird die Kovarianzmatrix der beobachtbaren Variablen analysiert, es liegt ein hinreichend groBer Stichprobenumfang (» 200) vor, und das spezifizierte Modell ist das wahre Modell, d.h. das Modell, das die unbekannte Populationskovarianzmatrix exakt reproduziert.

Die Verletzung einer oder mehrerer dieser Annahmen ftihrt zu einer geringeren Vertrauenswtirdigkeit des x^ -Tests. Doch selbst bei Erftillung aller Annahmen ist die ;if^-Teststatistik problembehaftet. tJber den Faktor ( A ^ - 1 ) nimmt die StichprobengroBe Einfluss auf den Wert der Teststatistik 7, so dass in groBen Stichproben selbst sehr kleine Abweichungen der modellimplizierten von der empirischen Kovarianzmatrix zu signifikanten ;^^-Werten fuhren, wohingegen die Abweichungen in kleineren Stichproben tendenziell vernachlassigt werden (Bollen 1989). Um die Probleme des x^ -Tests zu tiberwinden, wurde eine Vielzahl deskriptiver globaler Fit-MaBe entwickelt. Ubersichten dazu findet der Leser z.B. bei Homburg u. Baumgartner (1998), Bollen (1989) und Faulbaum u. Bentler (1994). Neben den globalen Fit-MaBen existieren lokale GlitemaBe, die nur Teilstrukturen des spezifizierten Modells Uberprufen. Als inferenzstatistisches GutemaB ist hier die z-Statistik zu nennen, durch die die einzelnen Parameterschatzwerte auf ihre Signifikanz gepriift werden konnen. Die Teststatistik (2.8) SE{V)

mit SE als Standardfehler ist bei korrekter Spezifikation des Modells normalverteilt. Als deskriptive GiitemaBe berechnen die Standardprogramme Indizes fiir die Indikatorreliabilitat, die Faktorreliabilitat und das BestimmtheitsmaB der latenten endogenen Variablen F^ . In den meisten SEM-Softwarepaketen wird inzwischen eine Vielfalt von AnpassungsmaBen berechnet, was den Benutzer vor das Problem der Auswahl geeig-

Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung

55

neter Kennzahlen stellt. Allgemein wird empfohlen, globale und lokale Fit-MaBe zu verwenden. So konnen globale Fit-MaBe Abweichungen aufdecken, die bei der Beurteilung einzelner Modellkomponenten nicht erkennbar sind. Trotz guter globaler Fit-MaBe konnen aber auch lokale GiitemaBe spezifische Probleme in Teilstrukturen des Modells aufdecken. Deshalb mtissen bei der Modellbeurteilung immer globale und lokale Fit-MaBe und die Komplexitat des Modells mit berlicksichtigt werden. Fine vollstandige Systematik fiir die Nutzung der Fit-MaBe bei unterschiedlichen Stichproben, Modellstrukturen und Datentypen steht noch aus (zu Empfehlungen siehe z.B. Tanaka 1993). Hier mtisste im Einzelfall eine Priifung der Angemessenheit bestimmter Gutekriterien vorgenommen werden. Ein Problem stellt die Festlegung von Schwellenwerten fiir die einzelnen Fit-MaBe dar. Neuere Simulationsstudien (z.B. Hu u. Bentler 1999) legen den Schluss nahe, dass gangige Daumenregeln (z.B. CFI > 0,9 oder RMSEA < 0,08) zu wenig sensitiv gegeniiber substantiellen Fehlspezifikationen der Modellstruktur sind. Daruber hinaus wird eine „blinde" Anwendung von vorgegebenen Schwellenwerten fur die verwendeten Fit-Indizes nicht empfohlen, da ihre Validitat von einer Vielzahl von Kontexteffekten (z.B. fehlende Normalverteilung, Schatzmethodik oder Modellkomplexitat) abhangig ist (vgl. Hu u. Bentler 1998).

3 3.1

Bestandsaufnahme und Beurteilung der empirischen Anwendung von Strukturgleichungsmodellen Die analysierten Quellen und Beitrage mit Strukturgleichungsmodellen

Fur die Bestandsaufnahme betriebswirtschaftlich ausgerichteter Forschungsarbeiten, in denen die Strukturgleichungsmethodologie zum Einsatz kommt, wurden die Jahrgange 1990 bis 2003 der Zeitschriften „Die Betriebswirtschaft (DBW)", „Zeitschrift fiir Betriebswirtschaft (ZfB)" und „Zeitschrift fiir betriebswirtschaftliche Forschung (ZfbF)", sowie fiir „Schmalenbachs Business Review (SBR)" die Jahrgange 2000 bis 2003 ausgewertet. Abgedeckt werden damit die wichtigsten Publikationsorgane der deutschsprachigen Betriebswirtschaftslehre (vgl. z.B. Hennig-Thurau et al. 2004; Schlinghoff u. Backes-Gellner 2002). Insgesamt lieBen sich 53 Beitrage identifizieren, die bei der Datenanalyse ausschlieBlich oder zumindest partiell (z.B. zur VaHditatsprufung) auf den SEM-Ansatz zuruckgreifen (siehe Tabelle 1). Die Artikel verteilen sich dabei wie folgt auf die vier Journale: 19 (DBW), 2 (SBR), 19 (ZfB) und 13 (ZfbF). Wie Abb. 2 zu entnehmen ist, erscheinen zwar seit den 1990er Jahren regelmaBig einschlagige Forschungsarbeiten in den ausgewerteten Zeitschriften; mit dem Jahr 1999 setzt jedoch ein deutlicher Anstieg der jahrlichen Publikationszahl ein, der seinen vorlaufigen Hohepunkt im Jahr 2001 erreicht. Hier werden insgesamt 11 Beitrage veroffentlicht. Geht man davon aus, dass in den drei Zeitschriften DBW, ZfB und ZfbF (inkl. SBR) pro Jahr etwa 130 Artikel erscheinen, dann entspricht dies einem Anteil von etwas mehr als 8%.

56

Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

Tabelle 1. tJberblick der ausgewerteten Artikel DBW Joseph/Knauth/ Gemiinden 1992 Fritz 1995 Benkenstein 1996 Hansen/Hennig-Thurau/ Wochnowski 1997 Dichtl/Hardock/Ohlwein/ Schellhase 1997 Lechler/Gemunden 1998 Schefczyk/Gerpott 1998 Homburg/Kiedaisch 1999 Homburg/Krohmer/ Workman 2000 Herrmann/Huber/ Braunstein 2000 Gerpott/Rams 2000 Matiaske/Mellewigt 2001 Homburg/Kebbel 2001 Helmig/Dietrich 2001 Hennig-Thurau/Hansen 2001 Stock 2002 Bauer/Sauer/Merx 2002

Stock 2003 Kressmann/Herrmann/ Huber/Magin 2003 SBR Leker 2001 Schaffer/Willauer 2003

Betz/Krafft 2002 Huber/Herrmann/Peter 2003 Baldauf/Cravens 2003 Walter/Gemtinden/Auer 2003 Ernst 2003

ZfB Bbckenholt/Homburg 1990 Gabele/Moraw 1991 Hildebrandt 1992 Geyer/Steyrer 1994 Schewe 1994 Fritz 1994 Hildebrandt/Annacker 1996 Bauer/Huber/Betz 1998 Homburg/Garbe 1999 Gierl/Helm/Satzinger 1999 Herrmann/Huber 2000 Hauschildt/Schlaak 2001 Homburg/Stock2001 Kuester/Homburg/ Robertson/Schafer2001

ZfbF Homburg/Dobratz 1991 Schewe 1993 Kirchmann 1996 Herrmann/Huber/Wricke 1999 Schefczyk 1999 Becker 2001 Jenner2001 Homburg/Kebbel 2001 Krafft/Litfm 2002 Franke/Luthje 2002 Homburg/Falinacht/ Gunther 2002 Bauer/Mader/Huber 2002 Ernst 2003

Anzahl der Beiträge

12 12 0) D)

10 10

:ro

^ 8 H 0)

+ j

CQ 0) •o

£

6 6

ro

4 4

<

2 2

N C

19 90 19 91 19 92 19 93 19 94 19 95 19 96 19 97 19 98 19 99 20 00 20 01 20 02 20 03

0

^

^

^

^

^

^

^

^

^

^

Jahr Jahr

Abb. 2. Zeitliche Entwicklung der jahrlichen Publikationszahl

cf

cf

cf

cf

Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung

57

Tabelle 2 zeigt in aggregierter Form, welchen thematischen Schwerpunkten die einzelnen Beitrage zuzuordnen sind. Die Einordnung in die Kategorien Innovation, Marketing, Personalmanagement, Unternehmensfuhrung sowie Sonstiges (z.B. methodische Beitrage) erfolgte je nach Zeitschrift anhand der angegebenen Schlusselworter bzw. der Klassifizierung gemaB des Journal of Economic Literature Classification System (JEL) sowie aufgrund eigener Einschatzung. Nicht ganz uberraschend dominieren mit knapp der Halfte der Beitrage (49,1%) Anwendungen im Bereich des Marketing. Diese Beitrage sind dabei zu einem wesentlichen Teil der Erfolgsfaktoren- und Kauferverhaltensforschung zuzurechnen, bei denen mit Befragungsdaten gearbeitet wird. Relativ haufig wird darliber hinaus die Strukturgleichungsmethodologie auch flir Fragestellungen der Unternehmensfuhrung (20,8%) und des Innovationsmanagements (13,2%) eingesetzt. Tabelle 2. Primarer Forschungsfokus Anzahl

Fokus

Prozent

Innovation

7

13,2%

Marketing

26

49,1%

Personalmanagement

4

7,5%

Unternehmensfuhrung

11

20,8%

5

9,4%

Sonstiges

3.2

Die Beurteilungskriterien und die Bewertung der Beitrage

Die Beurteilung der Beitrage erfolgt anhand ausgewahlter Kriterien, die wesentlich flir die Validitat und Interpretierbarkeit der empirischen Ergebnisse sind. Im Einzelnen sind dies die StichprobengroBe, die Verteilung der Variablen in der Stichprobe, das verwendete Schatzverfahren sowie die angegebenen Fit-MaBe. Nachfolgend werden die Kriterien und die zugehorigen Befunde fur die ausgewerteten Artikel dargestellt. 3.2.1

Die StichprobengroBe

Die gangigen Verfahren zur Schatzung von Strukturgleichungsmodellen (z.B. ML Oder GLS) beruhen auf einer asymptotischen Theorie. Dies bedeutet, dass die Schatzer zwar in sehr groBen Stichproben (streng genommen TV -^ oo ) unverzerrt sind, in kleinen Stichproben aber verzerrt sein konnen (vgl. Bollen 1989). Die Anforderung groBer Stichprobenumfange ist in praktischen Anwendungen (insb. bei Befragungen) haufig nicht zu erfullen. Simulationsstudien haben jedoch gezeigt, dass robuste Schatzergebnisse auch bei moderaten StichprobengroBen zu erreichen sind (zu einer Zusammenfassung des aktuellen Forschungsstandes siehe z.B. Urban u. Mayerl 2003). Unter Robustheit wird dabei die Eigenschaft eines Schatzers verstanden, selbst bei Verletzung bestimmter Annahmen (z.B. bei Abweichungen

58

Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

von der Normalverteilung) valide Ergebnisse zu ermoglichen. Der Stichprobenumfang wirkt dabei grundsatzlich positiv auf die Robustheit der Schatzparameter, der geschatzten Standardfehler sowie der Fit-MaBe, interagiert allerdings in komplexer Weise mit einer Vielzahl von Einflussen (z.B. Anzahl der Indikatoren sowie die durchschnittliche Anzahl von Indikatoren pro Faktor, Hohe der Faktorladungen, Schiefe und Wolbung der Verteilung, kontinuierliche vs. kategoriale Daten; vgl. Hoogland 1999; Marsh u. Hau 1999). Die Orientierung an „universellen" Daumenregeln (z.B. Verhaltnis von Anzahl der Beobachtungen zu Anzahl der Parameter groBer oder gleich 5; vgl. Bentler u. Chou 1987) zur Festlegung der erforderlichen StichprobengroBe muss daher inzwischen als uberholt gelten. Eine Beurteilung, ob die Anzahl der Beobachtungen fur die Schatzung eines spezifischen Modells ausreichend ist, kann daher serioserweise nur unter Beriicksichtigung der konkreten Auspragungen aller oben genannten Kriterien erfolgen. Aufgrund des komplexen Zusammenspiels dieser Faktoren lasst sich dies i.d.R. nur auf Basis von Simulationsstudien realisieren (siehe hierzu Muthen u. Muthen 2002; Urban u. Mayerl 2003). Die Erhebung der StichprobengroBen in den ausgewerteten Studien hat somit eher deskriptiven Charakter. Im Allgemeinen ist allerdings davon auszugehen, dass Studien mindestens ab Fallzahlen von weniger als 100 Beobachtungen als sehr problematisch gelten mlissen. Tabelle 3 sind Informationen liber die in den Artikeln verwendeten StichprobengroBen zu entnehmen. Tabelle 3. StichprobengroBen Kategorien

Anzahl

Prozent

0-100

4

7,5%

101-200

15

28,3%

201-300

8

15,1%

18

34,0%

> 1.000

6

11,3%

keine Angaben

2

3,8%

301-1.000

Deutlich wird, dass auch sehr kleine Untersuchungssamples mit der Strukturgleichungsmethodik analysiert worden sind. Allerdings ist der Anteil der Beitrage, die aufgrund zu geringer Fallzahl (A^ < 100) definitiv als problematisch angesehen werden muss, mit 7,5% relativ gering (hinzuzurechnen sind moglicherweise jedoch diejenigen Studien, die keine Angaben tiber die StichprobengroBe machen). Bei Stichprobenumfangen zwischen 101 und 200 (28,3%) ist eine detaillierte Analyse der zuvor angesprochenen EinflussgroBen erforderlich, um Aussagen tiber die Angemessenheit der StichprobengroBe machen zu konnen. Dies ist aber in der uberwiegenden Anzahl der Falle aufgrund der unzureichenden Informationsbasis nicht moglich. Trotzdem kann vermutet werden, dass aufgrund negativer Faktoren

Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung

59

wie z.B. der Verwendung von Rating-Skalen (d.h. geordnet-kategorialen Daten) oder Abweichungen von der Normalverteilung, ein nicht unerheblicher Anteil der publizierten Studien eine zu geringe Zahl von Beobachtungen aufweist, um zu validen Ergebnissen zu gelangen. 3.2.2

Die Stichprobenverteilung

Die in den Softwareprogrammen (z.B. LISREL) voreingestellte ML-Schatzung setzt im Prinzip eine multivariate Normalverteilung der Variablen voraus. Zwar liefert der ML-Ansatz auch bei fehlender Normalverteilung asymptotisch unverzerrte Schatzer und im Falle nichtsignifikanter Kurtosis auch asymptotisch korrekte Standardfehler und x^ -Statistiken (vgl. Bollen 1989); von Interesse ist aber das Verhalten dieses Schatzers in praxisrelevanten Stichprobenumfangen. Die Ergebnisse entsprechender Simulationsstudien spiegeln die Erkenntnisse der asymptotischen Betrachtung insofem wider, als sich die Parameter-Schatzer als vergleichsweise robust erwiesen haben (z.B. im Vergleich zu verteilungsfreien Schatzern), Standardfehler und Teststatistik aber starker durch Abweichungen von der Verteilungsannahme betroffen sind (vgl. z.B. Boomsma u. Hoogland 2001; Olsson et al. 2000). Das genaue AusmaB der Verzerrungen hangt allerdings wiederum von einer Vielzahl weiterer Einflussfaktoren wie z.B. der Verwendung geordnet-kategorialer Daten (vgl. z.B. DiStefano 2002) ab. Um zumindest ansatzweise beurteilen zu konnen, ob eine ML-Schatzung oder aber alternative Schatzverfahren (z.B. robuste Schatzverfahren) der Datenlage angemessen sind, sind Angaben uber die Verteilung der Daten (z.B. Schiefe, Wolbung) zwingend erforderlich. Umso erstaunlicher ist es, dass in 90% der Studien keinerlei Angaben zur Verteilung der Daten gemacht werden. In den ubrigen 10% wird die fehlende Normalverteilung der Variablen zwar erwahnt; fUr keine der Arbeiten liegen jedoch explizite Angaben uber Schiefe/Kurtosis oder Tests auf multivariate Normalverteilung vor. Eine Beurteilung ist daher fiir den groBten Teil der ausgewerteten Arbeiten nur eingeschrankt moglich. 3.2.3

Das eingesetzte Schatzverfahren

FUr die Schatzung von Strukturgleichungsmodellen mit latenten Variablen stehen in den einschlagigen Softwarepaketen neben der ML-Schatzung weitere Schatzverfahren, z.B. GLS oder WLS, zur Verfiigung (vgl. z.B. Joreskog u. Sorbom 1996). Diese unterscheiden sich sowohl in ihren Anforderungen an die Daten als auch in ihren Schatzeigenschaften. Da der ML- und der GLS-Schatzer bereits in Abschnitt 2.2 behandelt wurden, wird nachfolgend nur auf den ULS-Schatzer sowie auf verteilungsfreie Verfahren eingegangen. Das ULS-Verfahren kommt zwar ohne Annahme der Multinormalverteilung aus, besitzt aber z.B. gegeniiber der ML-Schatzung eine Reihe von Nachteilen (vgl. z.B. Bollen 1989). Zum einen erweist sich der Schatzer als weniger effizient, zum anderen reichen fiir die Interpretation der Ergebnisse die reinen Parameterschatzwerte nicht aus. Soil aber die Anpassungsgiite des Modells oder die Signifi-

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kanz der Schatzer Uberpriift werden, miissen letztlich doch wieder Verteilungsannahmen getroffen werden, die mit der Wahl dieser Methodik gerade umgangen werden sollten, Des Weiteren ist der ULS-Schatzer weder skaleninvariant noch skalenfrei (vgl. BoUen 1989). Die fehlende Eigenschaft der Skaleninvarianz fiihrt dazu, dass sich, im Unterschied z.B. zur ML-Schatzung, bei einer Anderung der Skalierung der exogenen und/oder endogenen Indikatoren die Werte der FitFunktion ebenfalls verandem. Gleichzeitig las sen sich die ursprlinglich geschatzten Parameter bei Veranderung der Skalierung nicht konsistent in die neuen Parameter uberfuhren. Aufgrund der Skalenabhangigkeit wird daher die Schatzung auf Basis einer Korrelationsmatrix vorgeschlagen. Letztlich kann aufgrund der genannten Probleme die Verwendung dieses Schatzers nicht empfohlen werden. Bei starkerer Abweichung von der Normalverteilungsannahme stehen im Prinzip verteilungsfreie Verfahren wie z.B. der WLS-Schatzer (Browne 1982, 1984) zur Verfugung. Fur den praktischen Einsatz dieser Schatzverfahren bestand allerdings lange Zeit eine grundlegende Hiirde in der erforderlichen StichprobengroBe. Auch wenn letzdich wieder eine Vielzahl von Faktoren die notwendige Fallzahl determiniert, ist im Regelfall von Umfangen deutlich iiber 1.000 Beobachtungen auszugehen (vgl. Boomsma u. Hoogland 2001). Mit dem Programm Mplus steht jedoch mittlerweile ein Schatzer (WLSMV) bereit, der mit einer deutlich geringeren Fallzahl auskommt (vgl. Muthen et al. 1997). Die Informationen uber die eingesetzten Schatzverfahren sind in Tabelle 4 zusammengestellt. Tabelle 4. Schatzverfahren Schatzer

Anzahl

Prozent

ML

9

17,0%

ULS

17

32,1%

WLS

1

1,9%

26

49,0%

keine Angaben

Bei den verwendeten Schatzverfahren dominiert eindeutig die ULS-Methode (32,1%), gefolgt von der ML-Schatzung (17%). Die gehaufte Anwendung der ULS-Methodik stellt damit nach wie vor ein Spezifikum der deutschsprachigen Forschung dar (vgl. Homburg u. Baumgartner 1995). Die Wahl des ULS-Schatzers wird zwar in ganz wenigen Fallen durch die Stichprobeneigenschaften motiviert (fehlende Normalverteilung, kleine Stichprobe), es liegt allerdings die Vermutung nahe, dass auch die im Vergleich zur ML-Schatzung i.d.R. deutlich besseren Fit-MaBe eine Rolle spielen. Mit nur einer Anwendung ist die WLSSchatzung dagegen praktisch ohne Bedeutung. Dies ist sicherlich auf die extremen Anforderungen an den erforderlichen Stichprobenumfang zuruckzufuhren. Negativ zu beurteilen ist die groBe Anzahl an Studien, in denen keine explizite Angabe der verwendeten Schatzmethode erfolgt (49%).

Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung 3.2.4

61

Die angegebenen Fit-MaBe

Fur die Beurteilung und Interpretation der Analyseergebnisse sind Gute-MaBe erforderlich, die Aufschluss dartiber geben, wie gut das geschatzte Modell in der Lage ist, die Ausgangsdaten, d.h. im Regelfall die entsprechenden Varianzen und Kovarianzen, zu reproduzieren. Die Defizite des hierftir entwickelten z^ -Tests sind hinlanglich bekannt (vgl. z.B. Bollen 1989 sowie die Ausfuhrungen in Abschnitt 2.3) und haben zur Entwicklung zahlreicher approximativer Fit-MaBe gefuhrt (zu einem Uberblick siehe z.B. Homburg u. Baumgartner 1998). Da eine vollstandige Angabe aller globalen Fit-MaBe nicht sinnvoll ist, steht der Anwender vor dem Problem, eine Auswahl treffen zu miissen. Um ein moglichst umfassendes Bild der Anpassungsgute zu vermitteln, sollten die Fit-Indizes dabei unterschiedlichen Kategorien (z.B. inferenzstatistische MaBe wie der RMSEA, inkrementelle AnpassungsmaBe wie der CFI usw.) entstammen (vgl. Homburg u. Baumgartner 1998). Tabelle 5 gibt Auskunft dartiber, wie oft die zur VerfUgung stehenden Gutekriterien in den ausgewerteten Beitragen herangezogen wurden. Tabelle 5. Fit-MaBe Fit-MaB

Anzahl

Prozent''

Fit-MaB

Anzahl

Prozent ^

GFI

36

90,0%

CFI

13

32,5%

AGFI

34

85,0%

NFI

9

22,5%

Chi^ bzw. Chi^/df

24

60,0%

NNFI

4

10,0%

RMSEA

17

42,5%

Sonstige

RMR

15

37,5% Keine Angab. " Basis: Anzahl der Studien, die Fit-MaBe berichten (= 40); ^ Basis: alle Studien (= 53)

7

17,5%

13

24,5%^^

Da die Validitat der substantiellen Befunde einer Studie ganz entscheidend von der Anpassungsgute des postulierten Modells abhangt, kann eine fundierte Beurteilung der Qualitat durch den Leser nur dann erfolgen, wenn geeignete Fit-MaBe dokumentiert werden. Unverstandlich ist daher, dass selbst in neuerer Zeit Arbeiten publiziert werden, in denen keinerlei Angaben uber den Modell-Fit gemacht werden (24,5%). Die mit Abstand am haufigsten verwendeten Fit-MaBe sind der GFI und der AGFI (90 bzw. 85%), sowie mit gewissem Abstand das z^Kriterium (60%). Vor dem Hintergrund, dass Hu und Bentler (1998) aufgrund umfangreicher Simulationen zu dem Ergebnis kommen, dass GFI und AGFI fur die Modellbeurteilung nicht geeignet sind, gibt diese Praxis zu einiger Besorgnis Anlass. Verscharft wird dieses Problem noch dadurch, dass 62,5% der Studien, die uberhaupt Gutekriterien berichten, das postulierte Modell allein aufgrund dreier Oder weniger akzeptierter Fit-MaBe als empirisch haltbar ansehen (siehe Tabelle 6). Gutekriterien mit vorteilhafteren Eigenschaften wie z.B. RMSEA, CFI, NNFI

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Lutz Hildebrandt, Dirk Temme

Oder der (standardisierte) RMR werden dagegen vergleichsweise wenig genutzt (vgl. Hu u. Rentier 1998, 1999). Tabelle 6. Erflillte Fit-MaBe Anzahl erfiillter Fit-MaBe pro Studie

Anzahl

Prozent ^

0

3

7,5%

1

5

12,5%

2

8

20,0%

3

9

22,5%

4

6

15,0%

5

6

15,0%

>5

3

7,5%

^ Basis: Anzahl der Studien, die Fit-MaBe berichten (= 40)

4. Schlussfolgerungen Die Anwendung der Strukturgleichungsmethodologie in der deutschsprachigen betriebswirtschaftlichen Forschung hat seit Ende der 1990er Jahre deutlich zugenommen. Die Griinde konnen einerseits darin gesehen werden, dass die Anwendungssoftware zunehmend komfortabler geworden ist, andererseits aber auch in der sehr viel groBeren Akzeptanz der Methodik in internationalen Zeitschriften und den verstarkten methodischen Anforderungen an Nachwuchswissenschaftler. Die wissenschaftliche Auseinandersetzung mit der SEM-Methodologie hat sogar zu einer eigenstandigen Zeitschrift - Structural Equation Modeling - gefuhrt. Die gestiegene Zahl von Anwendungen mit Strukturgleichungsmodellen spiegelt aber auch die zunehmende Forschung mit Befragungsdaten wider, die besonders im Marketing und in der verhaltenswissenschaftlichen Organisationsforschung verbreitet ist. Hier geht man von Messfehlern in den Daten aus und versucht diese auf statistischem Wege zu kontrollieren. Ob diese Vorgehensweise richtig ist und bessere Erkenntnisse bringt, soil hier nicht diskutiert werden; es soil nur gepruft werden, ob die Forscher mit der machtigen Methodik angemessen umgehen, um zu gehaltvollen Ergebnissen zu gelangen. Nimmt man die auf relativ wenige Kriterien fokussierte Analyse der wissenschafdichen Arbeiten in diesem Beitrag als Ausgangspunkt, so sind an der Validitat vieler Studien Zweifel angebracht. Zunachst konnten wir beobachten, dass die Methodik auch eingesetzt wird, wenn die Datenbasis fiir empirische Analysen mit einem Programm wie LISREL eigendich zu klein ist. Hier kann vom Forscher eingewandt werden, dass fiir manche Probleme schlicht nicht mehr Daten vorliegen. Dann sollte allerdings auf eine Analyse mit Strukturgleichungsmodellen besser verzichtet werden. Allenfalls fiir bestimmte Modelltypen und unter Einbezie-

Stmkturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung

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hung von Korrekturfaktoren sind auch ftir kleine Stichproben Analysen moglich. Die Anforderungen der Schatzmethoden an die Daten werden haufig scheinbar ohne Priifung als erftillt angesehen. Hier weist im Vergleich mit internationalen Standards die deutschsprachige Forschung einige Defizite auf. Besonders in psychologisch orientierten Zeitschriften (z.B. Journal of Consumer Research) werden hartere MaBstabe angelegt. Von daher ist zu fordern, dass die Verfasser in geeigneter Weise dokumentieren, dass die gewahlte Methodik fur den entsprechenden Anwendungsfall geeignet ist. Bei der Wahl der Schatzverfahren scheint die ULSMethode zu dominieren; eine abschlieBende Beurteilung ist aufgrund der groBen Dunkelziffer bei den eingesetzten Schatzverfahren nicht moglich. Diese Dominanz ist insofern nicht gerechtfertigt, als davon auszugehen ist, dass haufig auch bei Verletzung der Verteilungsannahme der ML-Schatzer die besten Eigenschaften aufweist; allerdings miissten dann die Satorra-Bentler x^ -Statistik (Satorra u. Bentler 1988) und robuste Standardfehler genutzt werden. Die Akzeptanz von Untersuchungsergebnissen auf der Basis relativ weniger und zum Teil ungeeigneter Fit-MaBe (z.B. x'» GFI, AGFI) kann insgesamt nicht uberzeugen. Eine Begrtindung fur die ausgewahlten Fit-MaBe wird selten gegeben und ein generelles Muster ist nicht zu erkennen. Insgesamt sollten verstarkt aussagekraftigere Gtitekriterien wie z.B. RMSEA, CFI oder NNFI zum Einsatz kommen. Die vorliegende Bestandsaufnahme von betriebswirtschaftlichen Anwendungen mit Strukturgleichungsmodellen hat einige methodische Defizite identifiziert, die dazu fuhren, dass Forschungsresultate von methodisch sachkundigen Lesern als im strengen Sinne nicht empirisch gestiitzt angesehen werden konnen. Dies bedeutet aber nicht zwangslaufig, dass tatsachlich ungiiltige Ergebnisse produziert worden sind. Eine methodisch angemessene und gut dokumentierte Vorgehensweise bei der Bearbeitung interessanter Fragestellungen wiirde daher die substantiellen Befunde von der statistischen Seite absichern und Zweifel an deren Validitat ausraumen. Angaben tiber die Verteilungseigenschaften der Stichprobe, die verwendete Software und das eingesetzte Schatzverfahren, die Anzahl der geschatzten Parameter bzw. Freiheits grade so wie die Fit-MaBe sollten unabdingbare Voraussetzung ftir eine Veroffentlichung sein.

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Strukturgleichungsmodelle in der betriebswirtschaftlichen Forschung

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Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses Ulrike Settnik Bundesanstalt fUr Finanzdienstleistungsaufsicht, Bonn

1. Problemstellung Dem seit Jahren ansteigenden Wettbewerbsdruck auf Produkt- und Kapitalmarkten versuchen zahlreiche Unternehmen durch die Verfolgung externer Wachstumsstrategien in Form von Unternehmenszusammenschlussen zu begegnen: So wurden im Rahmen der funften groBen, so genannten „Merger Wave", die seit Beginn der Industrialisierung die international Wirtschaft uberrollt hat, bei Zusammenschlussen allein im Rekordjahr 2000 weltweit geschatzte 1.099 Mrd. US-$ umgesetzt.^ Wahrend der empirischen Relevanz von Unternehmenszusammenschlussen in der okonomischen Literatur mittlerweile mit einer Fiille von Studien Rechnung getragen wird^, ist ihre theoretische Fundierung aufgrund des Fehlens einer geschlossenen „Unternehmenszusammenschlusslehre" in Verbindung mit dem Fehlen einer geschlossenen „Theorie der Unternehmung", die das hierarchisch daruber einzuordnende Untersuchungsobjekt Unternehmung erklart (die Palette der Theorien reicht von den „Klassisch-neoklassischen Ansatzen" bis hin zu den „Modernen Institutionenokonomischen Ansatzen"), unzureichend. Zum einen bedingt dieser Mangel, dass die betriebswirtschaftliche Auseinandersetzung mit Unternehmenszusammenschlussen derzeit weniger in einem umfassenderen Rahmen unter Einbeziehung strategischer Aspekte als vielmehr auf der Ebene „technischer" Einzelfragen wie z.B. der UnternehmensbewertungZ-preisfindung sowie der steuerlichen und formaljuristischen Gestaltung des Eigentumerwechsels stattfindet und daher bislang eher komplexitatserhohend denn erkenntnissteigernd wirkt. Zum anderen sind Analysen von Unternehmenstransaktionen deshalb in hohem MaBe durch das den jeweiligen Analysen zugrunde liegende - entweder klassischneoklassische oder institutionenokonomische - Unternehmensmodell determiniert, welches sowohl die Transaktionstypen als auch die Kriterien und Methoden signi1 Vgl. Financial Times Deutschland vom 27.03.2003, S. 20. ^ Bei Eckhardt (1999) findet sich im Anhang auf den S. 469-521 die wohl umfangreichste Ubersicht uber empirische Kapitalmarktstudien zu Unternehmenszusammenschlussen aus verschiedenen Landem, die bis zu diesem Zeitpunkt durchgefuhrt worden sind.

68

Ulrike Settnik

fikant beeinflusst, die zur Beurteilung konkreter Ubernahmestrategien herangezogen werden. Zur Reduzierung der aufgrund der Abhangigkeit vom jeweiligen Unternehmensmodell bestehenden Heterogenitat der Erklarungsansatze und zur Annaherung der darauf aufbauenden divergierenden Argumentationsketten werden zunehmend Forderungen nach einer integrativen Betrachtungsweise des Phanomens Unternehmenszusammenschluss erhoben.^ Unseres Erachtens bietet sich als geeignetes Bezugskonzept im Sinne eines ubergeordneten Meta-Denkmodells, das nicht auf der Ebene okonomischer Teildisziplinen angesiedelt ist und beliebig einzelne, einleuchtend klingende Argumente dieser Wissenschaftsgebiete kombiniert (wie es in der Vergangenheit bei verschiedenen Integrationsversuchen geschah"^), sondern davon abstrahierend konstruktiv zur okonomischen Erklarung und Gestaltung des Sachverhalts beitragt, die sozio-okonomische Tauschtheorie von Coleman an. Gegenstand der folgenden Ausfuhrungen ist daher zunachst eine qualitative Beschreibung des tauschtheoretischen Grundmodells und zweier ausgewahlter Modellspezifikationen^, bevor diese tjberlegungen unter den jeweiligen Blickwinkeln der existierenden „Theorien der Unternehmung" exemplarisch auf „Zusammenschlusse von Versicherungsunternehmen" angewendet werden. Auf dem traditionell stark regulierten deutschen Versicherungsmarkt lassen sich seit der Schaffung des europaischen Binnenmarktes fiir Finanzdienstleistungen im Jahre 1994 und der dadurch einsetzenden Liberalisierungs- und Deregulierungsprozesse vermehrt Zusammenschlusse beobachten, so dass mit der Ausrichtung des Modells darauf zugleich die notwendige Verbindung zur Empiric gezogen wird.

2. Das Grundmodell der Tauschtheorie Zentrale Begriffe eines Tauschsystems im Sinne Colemans stellen einerseits Akteure und Ereignisse bzw. Ressourcen so wie andererseits Kontrolle und Interesse dar. Akteure und Ereignisse bilden dabei die auf der Mikro-, d.h. der Handlungsebene angesiedelten Basiselemente, wahrend ihre Beziehungen zueinander mit Hilfe von Kontrolle und Interesse, zu finden auf der Makroebene des Erklarungsschemas, definiert werden.^ Als Akteure fungieren in erster Linie handelnde Individuen, es konnen darunter aber auch korporative Akteure verstanden werden, denen individuelle Akteure zuvor Handlungsrechte ubertragen haben.'^ Samtliche Akteure zeichnen sich durch 3 Siehe dazu Sautter (1989), S. 58, und Ploger u. Kruse (2001), S. 3. ^ Vgl. Sautter (1989), S. 76. ^ Die Ideen des hier erlauterten Ansatzes sind uberwiegend mathematisch prazisiert worden, wlirden an dieser Stella jedoch den Rahmen sprengen, so dass der interessierte Leser auf Coleman (1991, 1992, 1994), insbesondere auf den dritten Band (1994), verwiesen wird. 6 Vgl. Coleman (1991), S. 34. "^ Vgl. zur Theorie korporativer Akteure umfassend Coleman (1974/75) und (1979).

Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses

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Rationalitat und Egoismus aus, d.h. sie sind rational im Sinne des Maximierungsprinzips, und sie handeln egoistisch, da ihre (individuellen) NutzenkalkUle nicht die Vermehrung oder Verminderung des Nutzens anderer implizieren. Ereignisse bzw. Ressourcen verkorpern „Guter" bzw. „Unguter", in Anlehnung an die volkswirtschaftliche Terminologie sind damit private teilbare Giiter und Dienstleistungen gemeint, die unter der Kontrolle von Akteuren stehen, im Gegensatz zu offentlichen Glitern, die u.a. Eigenschaften wie Unteilbarkeit und externe Effekte aufweisen. Kontrolle bedeutet hier, dass die Akteure in Bezug auf die Ressourcen mit Handlungs- oder Verfiigungsrechten ausgestattet sind, die - wie aus PropertyRights-theoretischer Sicht bekannt^ - in Rechte der Nutzung, der Aneignung von Ertragen und der LFbereignung von Ereignissen differenziert werden konnen; sie sind in der jeweiligen Verfassung eines Tauschsystems fixiert. Der Begriff des Interesses wird inhaltlich offen gehalten und weitgehend in alltagssprachlicher Manier verwendet (z.T. heiBt es praziser subjektives Interesse aus Sicht des Akteurs oder EigenintQrQSSQ), d.h. Akteure interessieren sich fiir bestimmte Ereignisse, und das macht diese entweder zu Giitern oder zu UngUtern. Ein Kind will die strafende Hand seiner Mutter vermeiden und tauscht eine absonderliche Geschichte, welche die Mutter zum Schmunzeln bringt (das „Gut"), gegen das Unterlassen der Strafe (das „Ungut"). Wie kommt nun ein Tauschsystem zustande? Zur Realisierung von Eigeninteressen ware es nicht unbedingt notwendig, mit anderen Individuen bzw. Institutionen in einen Tauschprozess einzutreten. Falls die Akteure namlich samtliche Ressourcen, an denen sie interessiert sind, vollstandig kontrollieren konnten, hatte man es lediglich mit einer Menge von Akteuren zu tun, die zur Wahrung ihrer Interessen unabhangig voneinander Kontrolle dartiber ausubten und diese verbrauchen wtirden; ihre Handlungen waren dann sehr einfach zu beschreiben.^ Die Voraussetzung fiir die Existenz eines geschlossenen Tauschsystems bildet das strukturelle Charakteristikum, dass die Akteure bestimmte Ressourcen, die ihre Interessen befriedigen sollen, eben nicht vollig kontrollieren, sondern sie erleben, dass einige dieser Ressourcen partiell oder sogar vollstandig von anderen Akteuren kontroUiert werden, und umgekehrt. Eine solche KontroUverteilung erfordert nun - wenn die Annahme der Interessenbefriedigung seitens der Akteure aufrechterhalten wird - Transaktionen zwischen den Akteuren.^^ Die minimale Basis fiir ein Tauschsystem stellen zwei Akteure dar, die jeweils bestimmte Ressourcen kontrollieren, an denen der andere interessiert ist. Das spezielle Interesse gerade an denjenigen Ressourcen, die vom anderen kontroUiert werden (m.a.W. die Existenz von Interessenverflechtungen), bewegt die beiden als zielgerichtete Akteure, (Tausch-)Handlungen zu voUziehen. Diese Struktur ist verantwortlich fiir die Interdependenz oder den Systemcharakter ihrer Handlungen; Abb. 1 veranschaulicht sie graphisch. ^ Siehe zum Property-Rights-Ansatz die grundlegenden Arbeiten von Coase (1960), Alchian (1965) und Demsetz (1967). ^ Coleman (1991), S. 35, fiihrt beispielhaft fiir eine derartige Konstellation als Ressourcen Nahrungsmittel an, bei denen die Kontrolle durch ihren Verzehr ausgeubt wird. 10 Vgl. Coleman (1991), S. 36.

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Ulrike Settnik

Akteure Ai

Ereignisse •

Kontrolle

Ei

Akteure •

Ai

interesse

Abb. 1. Bilaterales Tauschsystem mit zwei Akteuren und zwei Ressourcen/Ereignissen Damit sind die grundlegenden Termini der Tauschtheorie dargelegt. Die Modellierung des Austausches geschieht logisch ausgehend von der geschilderten Kontrollund Interessenverteilung, welche quasi dessen institutionelle Pramissen reprasentieren. Akteure maximieren ihren Nutzen, indem sie entweder teilbare Ressourcen, die sie zur Interessenbefriedigung benotigen, unter ihrer eigenen Kontrolle selbst verbrauchen oder bei Uberschussnachfrage unter Beriicksichtigung ihrer individuellen Budgetausstattung^* Kontrollrechte mit anderen Akteuren, die sich durch ein tjberschussangebot auszeichnen, austauschen. Diese anderen werden die angebotenen Ressourcen akzeptieren, sofern sie damit ihre eigene Situation verbessern konnen. Der Tauschprozess kommt in dem Moment zum Stillstand, in dem aus weiteren Tauschhandlungen keine Verbesserungen individueller Positionen mehr resultieren, ohne gleichzeitig diejenigen der anderen zu verschlechtern. Die beschriebene Losung entspricht dem Wettbewerbs-Gleichgewicht der Neoklassik, welches sich fUr den bilateralen Fall zweier Akteure und Ereignisse anschaulich anhand der Edgeworth-Box illustrieren lasst. So zeigt Abb. 2 jeweils zwei Indifferenzkurven der Akteure Ai und A2; die Kurven von Ai weisen die ubliche Form auf, diejenigen von Ai sind spiegelbildlich zum Ursprung eingetragen. Beide Akteure sind in gleichem MaBe an den Ereignissen interessiert, d.h. Xji = 0,5 fur / = 1,2 und 7 = 1 , 2 . Der Punkt p auf der Budgetgeraden P kennzeichnet die primare Ressourcenausstattung von Ax und A2, Ax verfugt iiber 0,15 Kontrolle von Ex und liber 0,85 von £"2; reziprok verhalt sich der Sachverhalt fiir A2. Aufgrund der Differenz von Kontrollrechten und Interessen ergeben sich Tauschmoglichkeiten zwischen den Akteuren. Die Flache zwischen den Indifferenzkurven 4 und 4 beinhaltet alle Punkte, bei denen sich die Akteure besser stiinden als im Ausgangspunktp. Speziell fiir das bilaterale Monopol existiert nun ein Spektrum paretooptimaler Losungen, das durch die so genannte Kontraktkurve K abgebildet wird. Welche dieser Reallokationen eintritt, ist nicht determiniert, sondern hangt Analog zur Vorgehensweise in der Okonomie werden uber eine Nutzenfunktion Interessen und Budgetausstattung der Akteure kombiniert, dies entspricht zugleich der in der Wert-Erwartungs-Theorie angelegten motivationstheoretischen Annahme, dass inneres zu auBerem Handeln wird, wenn zur Motivation des Handelnden die Fahigkeit zur Handlungsausfiihrung tritt. Tauschtheoretisch betrachtet stellen die Instrumente zur Handlungsausfuhrung jedoch nicht personliche Fahigkeiten, sondern handelbare Ressourcen dar. Siehe grundlegend zur Wert-Erwartungs-Theorie u.a. Heckhausen (1989), S. 168ff.

Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses

71

von den Verhandlungsfahigkeiten der Akteure ab. Je groBer die Zahl der Akteure ist, desto geringer wird der Einfluss des Einzelnen, und bei einer hinreichend groBen Zahl stellt sich das Konkurrenzgleichgewicht ein, hier unter Punkt /? * zu erkennen, bei dem die Indifferenzkurven 4 * und 4 * der Akteure die Budgetgerade P tangieren. ^i

Cl2i

p

\

^ 2

yK

Ai

c,,

Abb. 2. Edgeworth-Box (Gleichgewicht in einer Tauschdyade) Das beschriebene Modell des Austausches weist drei bedeutende Implikationen auf: •

•

Erstens verlangt es die Moglichkeit der ungestorten Kommunikation jedes interessierten Akteurs mit jedem anderen; die Zugangsstruktur zum Tauschsystem spiegelt demnach eine so genannte Vollstruktur wider. Zweitens muss beriicksichtigt werden, dass ein Tausch Zeit benotigt. Entsprechend spielt Vertrauen eine groBe Rolle, d.h. die Akteure vertrauen darauf, dass die jeweils anderen ihren Verpflichtungen nachkommen und die Ressourcen auch tatsachlich tibergeben. Vollstandigkeit der Zugangsstruktur und des Vertrauens - zusammenfassend von Coleman als „vollkommenes soziales Kapital" bezeichnet^^ - bilden ein perfektes soziales System.

^^ Coleman (1991), S. 389-417, widmet der Erlauterung des sozialen Kapitals im Rahmen seiner AuBerungen zur Handlungstheorie ein ganzes Kapitel. Er fiillt den Begriff mit mehreren Bedeutungsinhalten, indem er ihn einerseits auf kollektives Handeln projiziert (dann versteht er darunter die Etablierung und Akzeptanz formeller wie informeller Normen, die den Austausch und die Investition in kollektive Projekte erleichtem). Andererseits verwendet er ihn wegen seines speziellen Nutzens fur den individuellen Akteur,

72 •

Ulrike Settnik Die dritte Annahme postuliert vollstandige Konvertierbarkeit der Ressourcen, es existieren also keinerlei Restriktionen, die den Austausch bestimmter Ressourcen - in Form von Verboten etc. - verhindern konnten, weil dieser gesellschaftspolitisch nicht erwunscht ware (darunter fiele z.B. der Kauf von Wahlerstimmen gegen Entgelt). Alle drei soziologisch ausgedruckten Annahmen sind den okonomischen Formulierungen zur Beschreibung eines vollkommenen Marktes Equivalent, m.a.W. ist das Konzept des vollkommenen Handlungssystems als Analogon zum vollkommenen Wettbewerbsmarkt der Okonomie zu interpretieren.

Im Ergebnis liefert die Tauschtheorie drei zentrale Resultate: • • •

Informationen uber den relativen Wert der Ressourcen im Handlungssystem, die Macht der Akteure sowie die Verteilung der Ressourcen nach dem Austausch.

Samtliche Resultate beziehen sich auf die Makroebene des Systems. Die Gleichgewichtsverteilung der Ressourcen ist vor allem deshalb interessant, weil der Vergleich der Verteilung vor und nach dem Austausch einen geeigneten Ansatzpunkt bietet, um die Frage nach denjenigen Akteuren zu beantworten, die miteinander womoglich in einen Tauschprozess treten (diese Frage wird auch in der okonomisch fokussierten Auseinandersetzung mit Unternehmenszusammenschlussen immer wieder aufgeworfen). Der Wert indiziert die Knappheit einer Ressource und stellt wie im okonomischen Standardmodell eine Funktion von Angebot und Nachfrage dar. Macht bedeutet nichts anderes als die bewertete Ressourcenausstattung der Akteure, sie ist gewissermaBen das soziologisch interessante Ergebnis des Tauschprozesses, wohingegen die Kehrseite der Medaille - der Wert der Ressourcen - in okonomischer Hinsicht im Mittelpunkt des Interesses steht.

3. Modellspezifikationen Das beschriebene Grundmodell kann in vielerlei Hinsicht modifiziert werden und als Basis fiir komplexere und zugleich realitatsnahere Modelle dienen. Im Folgenden werden zwei Spezifikationen skizziert, die insbesondere vor okonomischem Hintergrund interessant erscheinen, namlich die Abbildung von Marktunvollkommenheiten mit Hilfe von Transaktionskosten^^ und mangelndem Vertrauen (Misstrauen).

in diesem Sinne besteht das individuelle soziale Kapital aus der Summe seiner personlichen Gutschriften, die in perfekten sozialen Systemen mit seiner Macht identisch sind. ^^ Siehe zum Transaktionskostenkonzept die grundlegenden Arbeiten von Coase (1937) und Williamson (1989, 1990).

Ein sozio-okonomisches Modell des Untemehmenszusammenschlusses 3.1

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Einbeziehung von Transaktionskosten

Transaktionskosten im Rahmen der Tauschtheorie verkorpern Reibungsverluste bei den Tauschhandlungen der Akteure, die von keiner der an einem Tausch beteiligten Parteien wieder wettgemacht werden konnen.^"^ Die Reibungsverluste stellen dabei Verluste in striktem Sinne dar, d.h. sie fallen nicht zugunsten anderer Akteure an, sondern flieBen dem Tauschsystem insgesamt ab.^^ Sie konnen auBerdem unterschiedlich hoch und unter den Tauschpartnem unterschiedlich aufgeteilt sein. Eine reziproke Formulierung ftir das Auftreten von Transaktionskosten ist, dass derartige Kosten die Effizienz des Austausches mindern. Solche Ineffizienzen beruhen haufig auf logistischen und/oder anderen Kommunikationshemmnissen, so mUssen zur Durchfuhrung der Tauschhandlungen von den Akteuren u.a. raumliche, zeitliche und/oder soziale Distanzen uberwunden werden.^^ Besonders wichtig ist an dieser Stelle festzuhalten, dass sich das Auftreten von Transaktionskosten auf Paare von Akteuren bezieht, und nicht auf Paare von Ressourcen, was ebenso denkbar ware und von Coleman auch im weiteren Verlauf seiner Ausfiihrungen als zusatzliche Modellerweiterung diskutiert wird.^'^ Im letztgenannten Fall entstehen Transaktionskosten jedoch nicht - eher unbewusst und unerwunscht durch bestimmte Austauschhemmnisse, sondern werden normalerweise bewusst durch akteursunspezifisch ausgerichtete Gesetze, Normen oder Vorschriften erzeugt. Welche Auswirkungen besitzt nun die Beriicksichtigung von Transaktionskosten auf die Ressourcenallokation im Vergleich zu einer Situation ohne derartige Austauschhemmnisse? Zu konstatieren ist hier zunachst, dass die Erweiterung des Systems um diese Komponente nicht das ursprtingliche Interesse tangiert, welches jeder einzelne Akteur an verschiedenen Ressourcen aufbringt, denn ein Interessenausgleich ist weiterhin - wenn auch nur iiber „Umwege" - zu erzielen. Solange das Netzwerk der Akteursverflechtungen wegen der Transaktionskosten nicht in isolierte Teilstrukturen zerfallt, die getrennt voneinander analysiert werden mussten, da die Paare von Akteuren nicht mehr liber indirekte Tauschhandlungen verknupft waren, werden also trotz Ineffizienzen Ressourcen zwischen den Akteuren flieBen. Diese Annahme gilt selbst dann, wenn die Transaktionskosten zwischen einigen Paaren prohibitiv hoch sein sollten.

1^ Vgl. Coleman (1994), S. 87. ^^ Somit kann nicht mehr wie im Grundmodell von einem geschlossenen System gesprochen werden, sondern es gilt stattdessen die Annahme eines ojfenen Systems dergestalt, dass sich die Akteure auch fur Ressourcen interessieren, die auBerhalb des eigentlichen Tauschsystems platziert sind. Siehe detailliert zum Konzept des offenen Tauschsystems Coleman (1994), S. 39ff. i^Vgl. Coleman (1994), S. 92. ^^ Da die Behandlung solcher Kosten analog derjenigen der Behandlung von Kosten bei Ineffizienzen zwischen Paaren von Akteuren konfiguriert ist, soil hier auf eine separate Betrachtung verzichtet werden. Der Leser sei dazu auf die Uberlegungen bei Coleman (1994), S. 92-96, verwiesen.

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Ebenso wenig beeinflussen sie die Ressourcenverteilung im Gleichgewichtszustand, denn die Existenz indirekter Tauschhandlungen impHziert quasi eine „Kettenreaktion", indem Akteur /, falls er von Akteur h keine Ressourcen aufgrund seiner ungunstigen Tauschposition erhalten kann, diese von g bekommt, nachdem g sie von / erworben hat, der sie zuerst von h bezog. Wenn samtliche Paare von Akteuren mit Hilfe solcher indirekten Tauschhandlungen agieren (/ -^ g, g -^ I, I -^ h), sind lediglich die relative Macht der Akteure sowie der relative Wert der Ereignisse direkt von den Transaktionskosten betroffen. Die Veranderung der Machtverteilung bedingt vor allem einen Ruckgang bei den Werten bzw. bei den Preisen derjenigen Ressourcen, welche gerade im Interesse von Akteuren liegen, die aufgrund von Tauschrestriktionen an Macht eingebiiBt haben, da ihre Kaufkraft und mithin ihre Nachfrage nach den entsprechenden Gutern nun geringer ausfallt.^^ 3.2

Einbeziehung von Misstrauen

Bisher gingen wir von der Existenz eines allgemeinen Tauschmediums aus, das sich mit dem Terminus des „vollstandigen Vertrauens" umschreiben lasst^^; gleichzeitig reprasentiert vollstandiges Vertrauen ein zentrales Kriterium zur Bildung des perfekten Systems. Diese Annahme unterstellt, dass jede tatsachliche Ubertragung von Kontrollrechten eines Akteurs / auf einen anderen Akteur h kostenlos und umgehend mit einem Ruckfluss von Ressourcen an i ausgeglichen wird. Dieser Sachverhalt ist als direkte Zugriffsmoglichkeit von Geber i vermittels seiner Gabe auf die Lieferungen des Nehmers h und seiner Schuldner zu interpretieren. Die Vergabe von (individuellem) Vertrauen ist unter dieser Pramisse demnach eigentlich nicht notwendig, da der Austausch keinerlei Risiken birgt bzw. das Vertrauen, welches in sozialen Systemen die Mittlerfunktion von Geld tibernimmt, eben voUstandig ist; Coleman beschaftigt sich trotzdem ausfuhrlich mit den Konsequenzen, die es fur die Funktionsweise eines Tauschsystems besitzt.^^ Die Abkehr von der Pramisse des vollstandigen Vertrauens lasst sich mit Hilfe einer einfachen Modifikation in das System integrieren, indem man die vormals 1^ Vgl. Matiaske (1999), S. 242. Im Gegensatz zu Coleman (1994), S. 91, nimmt Matiaske deshalb auch Konsequenzen fur die Ressourcenverteilung im Gleichgewicht an, seiner Meinung nach konnen hier Akteure, die keine Transaktionskosten tragen miissen, u.U. ihre Position gegenuber einem friktionslosen Zustand verbessem. ^^ Matiaske (1999), S. 187-206, setzt sich aus der Perspektive verschiedener wissenschaftlicher Theorien (u.a. Sozialpsychologie, Spieltheorie) ausfuhrlich mit dem Begriff des Vertrauens als Tauschmedium auseinander, das allgemein als sehr fragiles Konstrukt gilt, weshalb die Entscheidung Colemans, es als Basiskriterium seiner linearen Handlungstheorie zu verwenden, von Matiaske zu Beginn als „tollkuhne Idee" bezeichnet wird. Der Verfasser selbst kommt allerdings nach Abschluss der Diskussion zu dem Ergebnis, die Vertrauensproblematik sei theoretisch auf verschiedene Weise und recht einfach losbar, demnach sei eine Anwendung des Tauschmodells auch unter dieser Pramisse akzeptabel. 20 Formal geschieht dies bei Coleman (1994), S. 105-109.

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als ein Ereignis konzipierte Tauschhandlung in zwei Komponenten aufspaltet: Einerseits in ein (Zahlungs-)Versprechen und andererseits in die Lieferung der Leistung (in okonomischen Systemen bezeichnet man diesen Sachverhalt ublicherweise als „Lieferung gegen Rechnung"). Lieferungen des Treugebers / e A und der Ressourcenriickfiuss von Treunehmer h e A fallen also auseinander, d.h. die Lieferung von / gestattet keinen direkten Zugriff mehr auf die Gegengabe des Nehmers h. Akteur / erhalt statt eines Verfiigungsrechts lediglich ein Zahlungsversprechen auf die erwarteten Riickflusse des Nehmers h, so dass flir ihn bei dieser Art der Ressourcenubertragung ein Risiko auftritt, und zwar in Abhangigkeit von der Einschatzung der Bonitat des Schuldners. Ein Tauschsystem mit zwei Akteuren / und h, in dem / sofort liefert und h erst zeitverzogert, ist demnach im Gegensatz zum perfekten System, das beim bilateralen Tausch zwei Ereignisse aufweist, durch drei Ereignisse gekennzeichnet: Ei stellt die Lieferung von Gut 1 durch i dar, E2 bildet das Versprechen von h ab, Gut 2 tatsachlich zu liefern, und im Rahmen von E^ erfolgt schlieBlich die Lieferung von Gut 2 durch h?^ Die Lieferung wird dabei teilweise vom jeweiligen Zahlungsversprechen determiniert; d.h. es existieren nun auch direkte Beziehungen zwischen einzelnen Ereignissen (Versprechen -> Leistungen), die im Basismodell nicht auftreten. Somit ist eine Erweiterung der Konzeption des Grundmodells erforderlich, die in einer Verfeinerung der Interessenverflechtungen zwischen den Akteuren miindet, wie aus Abb. 3 ersichtlich. Akteure Ai

Ereignisse

Akteure

—

- ^• E, '-2

•^2

Kontrolle

Abhangigkeit

••

A,

Interesse

Abb. 3. Beziehungen im erweiterten Tauschmodell bei Auftreten von Misstrauen Anhand von Beispielen wird deutlich, dass die Macht eines Akteurs, dessen Lieferung von Versprechen abhangt, denen man nicht uneingeschrankt vertraut, abnimmt, m.a.W. der Wert von Versprechen niedriger ist als der Wert von Ressourcen ohne Versprechen.^^ Infolgedessen reduziert sich bei vorherrschendem Misstrauen im System insgesamt der Umfang des Tausches im Vergleich zu einer Situation mit vollstandigem Vertrauen. Allerdings stellt sich der urspriingliche Wert der Ressourcen desjenigen Akteurs, der umgehend liefert, dem also von den anderen vertraut wird, hier hoher dar; er ist somit in der Lage, seine individuelle Situation gegenliber einer Situation voUstandigen Vertrauens zu verbessern. Diese 21 Vgl. Coleman (1994), S. 109. 22 Vgl. Coleman (1994), S. l l O f und Matiaske (1999), S. 2 4 7 f

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Resultate konnen fUr eine bilaterale Tauschsituation unter Misstrauen als typisch charakterisiert werden. Der Vergleich beider Modellspezifikationen zeigt, dass das Auftreten von Transaktionskosten und Misstrauen ahnliche Konsequenzen ftir ein Tauschsystem hervorrufen. Der zentrale Unterschied besteht darin, dass Misstrauen die Analyse auf einfache, direkte Tauschhandlungen beschrankt, wahrend bei Berucksichtigung von Transaktionskosten auch langere Tauschketten zum Tragen kommen konnen.

4. Der Zusammenschluss von Versicherungsunternehmen als sozio-okonomischer Tausch Unter einem Unternehmenszusammenschluss versteht man in der einschlagigen Literatur im weitesten Sinne die (dauemde) Verbindung von rechtlich und/oder wirtschaftlich selbststandigen Unternehmen zwecks Verfolgung einer - z.T. gemeinsamen - wirtschaftlichen Zielsetzung.^^ Diese Definition bildet nun die Richtschnur zur Identifikation der ftir das Tauschmodell charakteristischen Elemente Akteure und Ereignisse auf der Mikroebene, die durch die auf der Makroebene angesiedelten Konstrukte Kontrolle (durch bestimmte Akteure) sowie Interesse (an bestimmten Ereignissen) miteinander verflochten sind. 4.1

Akteure bei Zusammenschlussen von Versicherern

Neben Individuen fungieren als reale Handlungseinheiten in Tauschsystemen physisch nicht-greifbare Akteure, die so genannten korporativen Akteure (synonym finden die ^Qgxiii juristische Personen oder Korporationen Anwendung). Sie entstehen, sobald mehrere individuelle Akteure ihre Ressourcen in einen gemeinsam genutzten Pool einbringen.^^ Bestand dieser Pool bereits vorher, spricht man von einer Teilnahmeentscheidung, wird dadurch ein solcher Pool neu geschaffen, von einer Grlindungsentscheidung. Die Existenz korporativer Akteure setzt demnach die rationale Entscheidung individueller Akteure gegen den individuellen Einsatz ihrer Ressourcen und fur deren gemeinsamen Einsatz (Verbrauch oder Tausch mit anderen individuellen bzw. korporativen Akteuren) in einem Pool voraus. Die Alternative wird immer dann gewahlt, wenn die Differenz aus dem Nutzenerwar^^ Aussagekraftige Ubersichten uber die zahlreichen Auspragungen untemehmerischer Zusammenarbeit wie Kooperation, Fusion, Konzembildung etc. finden sich bei Schubert/ Kilting (1981), S. lOf. und Bamberger (1994), S. 6. '^^ Die Beispiele fur kollektive Akteure reichen von Zweierbundnissen wie der Ehe bis hin zu vielkopfigen Vereinen, Gemeinden, Kirchen und Staaten. Gepoolt werden konnen Ressourcen wie Geld in Form von Investitionen oder Mitgliedsbeitragen, aber auch Rechte (z.B. das Recht einer Gewerkschaft, im Namen ihrer Mitglieder flachendeckende Tarifvertrage abzuschliefien).

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tungswert der mit dem Ressourcenpooling zu erwartenden Synergieeffekte und dem Kostenerwartungswert des Verlustes an Kontrolle liber die eingebrachten Ressourcen positiv ist^^. Auch und gerade Untemehmen zahlen aus unserer Sicht zum Typ der korporativen Akteure. Nicht alle sind jedoch entwicklungsgeschichtlich als „moderne korporative Akteure" einzustufen, denn die Eigentumer-Unternehmer neoklassischer Pragung zeichnen sich dadurch aus, dass sie als natiirliche Person(en) und Initiator(en)/Organisator(en) korporativen Handelns mit den jeweiligen korporativen Akteuren (in diesem Fall den Untemehmen) eine faktisch unauflosliche Gemeinschaft bilden - Zielsetzung und Existenz des korporativen Akteurs Unternehmen werden hier in hohem MaBe von Zielsetzung und Existenz bestimmter individueller Akteure - den jeweiligen Eigentumern - determiniert. Dieser ist demzufolge nicht beliebig austauschbar, sondern haftet personlich - wie allein der Begriff Personengesellschaft besagt - mit seinem Vermogen fur Verbindlichkeiten der Gesellschaft gegentiber AuBenstehenden.^^ Das neoklassische Unternehmensmodell lasst sich deshalb gut in die Kategorie fruher korporativer Akteure einordnen. Demgegenuber weisen Untemehmen institutionenokonomischer Pragung das charakteristische Attribut moderner korporativer Akteure auf: Die vollstandige Definition des Konstruktes tiber die dort eingebrachten Ressourcen (finanzielle Mittel, Kapital). Die Funktion der Eigentiimer bzw. Aktionare reduziert sich hier auf die Bereitstellung von materiellen/immateriellen Ressourcen; sie selbst als natiirliche Personen stellen keine Grundelemente der Struktur des korporativen Akteurs mehr dar und sind somit jederzeit ersetzbar.^'^ Daraus eroffnen sich den individuellen Akteuren ebenfalls neue Freiheiten, indem sie nun ihrerseits die Ressourcen aus dem korporativen Akteur zuriickziehen und alternativen Verwendungsmoglichkeiten zufiihren konnen, ohne befurchten zu miissen, zugleich ihre Identitat zu verlieren (wie es friiher bei Ausschluss eines Handwerkers aus seiner Zunft der Fall gewesen ware). Am Beispiel der Versicherungswirtschaft, insbesondere bei Versicherungsvereinen (VVaG) und Versicherungs-Aktiengesellschaften (V-AG), lasst sich unseres Erachtens die Entwicklung von Untemehmen hin zu modernen korporativen Ak25 Vgl. Kossbiel u. Spengler (1992), Sp. 1952. 2^ Beim Einzelunternehmen ist dies in vollem Umfang der Fall, aber auch bei Personengesellschaften mit mehreren Gesellschaftem, beispielsweise der Offenen Handelsgesellschaft (OHG), gilt zumindest im AuBenverhaltnis weiterhin das Postulat der unbeschrankten Haftung samtlicher Eigentiimer. 2"^ Auch die real agierenden Agents, die zwecks Handlungsfahigkeit bei korporativen Akteuren eingesetzt werden mussen, spiegeln sich in der Struktur moderner korporativer Akteure nicht als natiirliche Personen wider, sondern fiillen lediglich Positionen (Geschaftsfiihrer, Abteilungsleiter usw.) aus, sind also gleichfalls austauschbar. Die Beziehung dieser Agents zum korporativen Akteur ist vertraglich geregelt, indem sich die Agents verpflichten, dem korporativen Akteur ihre personlichen Dienste (Arbeitskraft) im Austausch gegen eine extrinsische Kompensation (einen festgelegten Einnahmestrom) zur Verfiigung zu stellen.

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teuren sehr gut nachvollziehen. Zeichneten sich die ersten VVaG, deren Ursprunge in den fruhen Brandgilden zu finden sind, durch eine kleine, geschlossene Mitgliederzahl mit vielfaltigen personlichen Beziehungen untereinander und ohne echte Austrittsmoglichkeit aus, so agiert der heutige groBe VVaG^^ bzw. seine Agents in Form des Vorstands weitgehend unabhangig von den jeweiligen Mitgliedern. Sie konnen zwar bei Bedarf satzungsbedingt zur Zahlung von Nachschussen aufgefordert werden^^; eine Umsetzung dieser Vorschrift fand in den letzten Jahrzehnten auf dem deutschen Markt jedoch nie statt. Andererseits verfugen die individuellen Akteure nun liber die Option, ihre Ressourcen in Form der gezahlten bzw. zukunftig zu zahlenden Versicherungsbeitrage abzuziehen.^^ Damit ist jedoch zugleich der Verzicht auf den Versicherungsschutz verbunden, der zwar bei erneutem Abschluss eines Versicherungskontraktes wieder erworben werden kann, spartenabhangig allerdings zu erheblich schlechteren Konditionen (in der privaten Kranken- und Lebensversicherung). Darliber hinaus erreicht der Riickkaufswert in der Lebensversicherung, definiert als derjenige Geldbetrag, der dem Versicherungsnehmer bei vorzeitiger KUndigung seines Kontraktes zusteht, nur ein sehr geringes AusmaB, so dass de facto die Freiheiten der individuellen Akteure im VVaG stark eingeschrankt sind. Aus ihrer Perspektive ist Unabhangigkeit vom korporativen Akteur deshalb eher bei der V-AG gegeben, wo sich die Verbindung zum Unternehmen allein aus ihrer Eigentumerposition heraus ableiten lasst. Umgekehrt gilt dies ebenso fiir den korporativen Akteur: Mittelabfluss ist hier nicht gleichzusetzen mit dem gleichzeitigen Verlust von Beitragseinnahmen, sondern allein mit dem Verlust von Eigenkapital. V-AG reprasentieren folglich modeme korporative Akteure.

4.2

Ereignisse bei Zusammenschlussen von Versicherern

Ein Tauschsystem kann entweder durch eine groBe Anzahl unterschiedlicher Ereignisse/Ressourcen oder durch eine einzige, zum Tausch angebotene bzw. nachgefragte Ressource gekennzeichnet sein; Matiaske entwirft z.B. ein sozio-okonomisches Grundmodell des Austausches bei lateraler Kooperation mit Informa^^ Der groBe VVaG ist anders als der kleine nicht auf einen nach sachlichen, ortlichen oder personenbezogenen Kriterien begrenzten Wirkungskreis beschrankt, sondern betreibt das Versicherungsgeschaft professionell, uberregional und generell; er ist in seiner okonomischen Bedeutung heute mit V-AG und Offentlich-Rechtlichen Versicherungsanstalten (ORA) gleichzusetzen. Siehe genauer Hoppmann (2000), S. 36ff. Ein Beispiel fiir einen solchen groBen VVaG ist in der privaten Krankenversicherungssparte der Debeka VVaG, der seit Jahren vordere Platze in den Rankings der Versicherungsuntemehmen einnimmt. Gemessen an den jahrlichen Brutto-Beitragseinnahmen im Jahre 2002 verkorperte er beispielsweise bei 55 Unternehmen die zweitgroBte Versicherungsgesellschaft. Vgl. Jahresbericht BaFin 2002, Teil B, Tabellen 460 und 560. ^^ Dieser Sachverhalt zahlt zum vorgeschriebenen Mindestinhalt der Satzung eines VVaG, vgl. dazu die §§ 24-27 VAG. ^^ Fama u. Jensen (1983), S. 326, setzen diese Moglichkeit deshalb mit einer effektiven Kontrollmoglichkeit durch den Produktmarkt gleich.

Ein sozio-okonomisches Modell des Untemehmenszusammenschlusses

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tion^^. Die Nachfrage nach Informationen spielt vermutlich auch bei einer Vielzahl von Unternehmenszusammenschltissen in der Praxis eine herausragende Rolle, besonders in Branchen, in denen sie als Produktionsfaktor einen elementaren Bestandteil des Leistungsprozesses darstellt. Zu einer solchen Branche zahlt die Versicherungswirtschaft, deren Produktion des immateriellen Gutes „bedingtes Versicherungsschutz(-versprechen)" besonders auf effiziente Informationsverarbeitung angewiesen ist.^^ Diese Informationen stammen dabei einerseits aus dem Einzelgeschaft, andererseits werden auf den Versicherungsbestand, d.h. auf der Gesamtheit der Vertrage fokussierte Informationen, gegliedert nach Kunden, Versicherungssparten, Regionen etc., - welche im Prinzip Aggregate einzelgeschaftsbezogener Informationen bilden - aufbereitet, um beispielsweise als prognostische Grundlage zur Erstellung interner Sterbetafeln oder Schadensstatistiken zu dienen.^^ Das Interesse an der Ressource Information wird bei Versicherungsunternehmenszusammenschlussen zum groBten Teil mit Hilfe des Erwerbs eines Versicherungsbestands befriedigt werden konnen. Wegen der versicherungsspezifischen Abhangigkeit von Produktion und Absatz fungiert der Versicherungsbestand jedoch nicht nur als Produktionsfaktor, indem dort der zur Produktion notwendige Risikoausgleich im Kollektiv stattfindet, sondern dieser ist auBerdem Ausdruck flir das Produktionsergebnis, also die in der Vergangenheit erfolgreich getatigten Vertragsabschliisse. Dadurch erhalt der Akteur gleichzeitig direkten Zugang zu den Kunden, d.h. zum Markt. Zur effizienten Nutzung dieses Zugangs ist eine weitere Ressource, namlich die Aufienorganisation notwendig, welche die Gesamtheit von MitarbeiternA^ermittlern nebst sachlichen Betriebsmitteln einschlieBlich der darin verankerten organisatorischen Regelungen umfasst. Ihr interner Auf- und Ausbau gestaltet sich i.d.R. sehr langwierig und ist mit hohen Kosten verbunden, so dass Akteure, die die externe tjbernahme dieses Produktionsfaktors beabsichtigen, mit Zeit- und Zugangsvorteilen gegenuber Konkurrenten, die internes Wachstum, d.h. Wachstum aus eigener Kraft, praferieren, rechnen konnen. Zeitvorteile lassen sich auch mittels der tJbernahme der Ressource menschliche Arbeitskraft generieren, da der Anteil von Arbeits- und Dienstleistungen des (Innendienst-)Personals am Gesamtfaktoreinsatz gemaB dem immateriellen Charakter des Gutes Versicherungsschutz traditionell hoch ist und seine Qualitat entscheidend von deren Leistungen abhangt. Verfugt das zu ubernehmende Versicherungsunternehmen dadurch bei den Kunden bereits uber einen Goodwill, ist aufgrund des Spill-Over-Ejfekts^^ anzunehmen, dass im Zuge eines Zusammen31 Siehe Matiaske (1999), S. 268 ff. 3^ Vereinzelt gehen Versicherungswissenschaftler mittlerweile so weit, Information als originaren Output von Versicherungsuntemehmen, d.h. als Kemprodukt, zu interpretieren. Siehe dazu Muller (1995), S. 1024, der im einschlagigen Schrifttum als einer der wichtigsten Vertreter dieser Produktauffassung gilt. 33 Daruber hinaus werden gesamtunternehmens- und selbstverstandlich auch umweltbezogene Informationen zur Versicherungsschutzproduktion benotigt. 3^ Die Idee des Spill-Over-Effekts besagt, dass (positive) Erfahmngen von Kunden mit einem bestimmten Produkt des Unternehmens oft auf alle anderen desselben Unterneh-

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schlusses auch das Kauferunternehmen kunftig davon profitiert und Economies of Scope^^ realisiert, sofern es iiber ein zum Partner komplementar angelegtes Produktsortiment verftigt. Vordergriindig betrachtet verkorpem dementsprechend materielle und immaterielle Produktionsfaktorbiindel zur Erweiterung der Kapazitaten diejenige Menge von Ereignissen E, die fUr die korporativen Akteure „Versicherungsuntemehmen" im Rahmen von Zusammenschlussen auf der einen Seite interessant sind und auf der anderen Seite von ihnen kontrolliert und zum Tausch angeboten werden. Tatsachlich wird damit implizit der Erwerb von Zeit- und Zugangsvorteilen zum Versicherungsmarkt angestrebt, die bei effizienter Nutzung der darin befindlichen Potenziale eine Vielzahl weiterer Vorteile, beispielsweise in Form von Kostensenkungen und Umsatzsteigerungen mittels Synergieeffekten, eroffnen konnen.

4.3

Kontrollverflechtungen bei Zusammenschlussen von Versicherern

Die Anwendung des Tauschmodells in seiner Grundform verlangt bzgl. der Kontrolle nur eine eindeutige Aussage dartiber, wer de facto handlungsberechtigt ist; Fragen nach der Entstehung der Kontrollverteilung sowie den ursprunglich Handlungsberechtigten werden hier nicht beantwortet, dazu mtissten weitere modifizierte Modelle entwickelt werden. Bei Unternehmenszusammenschlussen lassen sich eindeutig korporative Akteure in Form der daran beteiligten Unternehmen als kollektive Handlungsberechtigte identifizieren. Da sie jedoch physisch nicht-greifbare Konstrukte ohne eigene Handlungsfahigkeit verkorpem, sind es in der Praxis die bereits angesprochenen Agents, denen die Eigentumer bzw. Principals (um mit der aus der Principal-Agent-Theorie^^ vertrauten Terminologie zu sprechen, deren Gebrauch hier sinnvoll erscheint und zudem den engen inhaltlichen Bezug zur Okonomie verdeutlicht) in der Hoffnung auf personliche Nutzenmaximierung Kontrollrechte iiber ihre Ressourcen einraumen.^"^ Die Delegation von Entschei-

mens iibertragen werden und daher im Rahmen von Zusammenschlussen ohne zusatzhchen Marketingaufwand weitere Wettbewerbsvorteile fiir den neuen Untemehmensverbund entstehen konnen. Vgl. Moller (1983), S. 142f ^^ Economies of Scope, auch Verbundeffekte genannt, entstehen durch die mehrfache, zeitgleiche und/oder zeitverzogerte Verwendung von unvollstandig teilbaren Produktionsfaktoren bei der Entwicklung, Erstellung und Vermarktung von mehreren (ahnhchen) Produkten, die entweder durch die Herstellung eines Produktes nicht voll ausgelastet sind (dazu zahlen u.a. VerwaUungstatigkeiten) oder anderen Produkten kostenlos zur Verfiigung stehen konnen, wie z.B. bereits erworbenes speziahsiertes Forschungs-Know-how. ^^ Siehe dazu grundlegend Ross (1973), Jensen u. Meckling (1976) und Pratt u. Zeckhauser (1985). Umfassende Auseinandersetzungen mit der Theorie im deutschsprachigen Schrifttum nehmen u.a. Elschen (1991) und Picot et al. (1999) vor. ^^ Vgl. Coleman (1979), S. 29. Dem EigentUmer-Untemehmer neoklassischer Pragung ist es dagegen mit Hilfe der Vereinigung von aktiven und passiven Eigentumsrechten in seiner Hand weiterhin moglich, alleinige, direkte Kontrolle iiber die sich in seinem Besitz

Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses

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dungsmacht „bezahlen" sie also mit dem Verlust direkter Kontrolle. Dieser direkte Kontrollverlust soil durch Etablierung von Marktmacht- und Organisationsmachtmechanismen abgeschwacht werden, wobei Marktmacht die Leichtigkeit charakterisiert, mit der der individuelle Akteur seine Ressourcen zurtickziehen und alternativ verwenden kann, wahrend unter Organisationsmacht die Moglichkeit des Einzelnen, intern auf Entscheidungen des korporativen Akteurs Einfluss zu nehmen, verstanden wird.^^ In diesem Zusammenhang ist allerdings der Aspekt der „Bundelung von Macht" als zunehmend bedeutsam einzuschatzen, d.h. Macht, die sowohl losgelost von ihren urspriinglichen Kontrolleuren operiert als auch isolierbar ist von denen, die jeweils Gebrauch von ihr machen.^^ Vor allem der heutige VVaG ist davon betroffen, zu dem die individuellen Akteure eine doppelgleisige Beziehung unterhalten: Eine korperschaftliche als Mitglieder/Eigentumer und eine vertragsrechtliche als Versicherungsnehmer, wobei der Erwerb der Mitgliedschaft direkt an die Begrundung eines Versicherungsverhaltnisses gekoppelt ist."^^ Endet das (meist) zeitlich befristete Versicherungsverhaltnis, wird automatisch die Mitgliedschaft aufgehoben, ohne dass gezahlte Beitrage wieder zuriickflieBen; das angesammelte Vermogen gehort juristisch gesehen nicht den Mitgliedern, sondern dem Verein, obwohl jeder Akteur mit Zahlung seiner Versicherungspramien zum Aufbau des Eigenkapitals beigetragen hat. Die korporative Macht des VVaG rekrutiert sich demnach zu einem erheblichen Teil aus den Ressourcen ehemaliger Mitglieder, was die Kontrolle des Gebildes, genauer gesagt seiner Agents in Form des Managements, extrem erschwert, da das interne Organisationsmachtpotenzial der Principals stets auf die von ihnen kontrollierten Ressourcen zu bestimmten Zeitpunkten limitiert ist, die nicht notwendigerweise mit den Gesamtressourcen ubereinstimmen."^^ Es wird weiterhin durch das Fehlen von extern ausgerichteter (Kapital-)Marktmacht dezimiert, da - anders als bei den Eigentumem von V-AG, die eine korperschaftliche Beziehung zu ihrem Versicherer unterhalten und denen zur alternativen Anlage ihrer Anteile der gesamte Kapitalmarkt zur Verfugung steht - die Mitgliedschaftsrechte am VVaG am Kapitalmarkt nicht verauBerbar sind.

befindlichen Ressourcen auszuuben, so dass er nicht unter einem signifikanten Machtverlust leiden muss. 38 Vgl. Coleman (1979), S. 62. 39 Vgl. Coleman (1979), S. 41f. ^^ Vgl. § 20 VAG. ^^ Eine zusatzliche Schwachung vorhandener Organisationsmacht im groBen VVaG bedingt die aus Praktikabilitatsgrlinden weit verbreitete Delegation der Stimmrechte an - von den Mitgliedern gewahlte - wenige MiigMtdQxvertreter, die erneut Probleme korporativen Handelns, dann auf einer anderen, ubergeordneten Ebene, hervorrufen. AuBerdem sind speziell im VVaG die Einflussmoglichkeiten des Vorstands erheblich, wenn dieser satzungsgemaB von seinem Recht Gebrauch macht, gemeinsam mit dem Aufsichtsrat die Mitglieder(-vertreter) ftir die Oberste Vertretung vorzuschlagen und dementsprechend wohl eher eine „managementfreundliche" Auswahl trifft.

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Vor dem Hintergrund der Erkenntnisse aus der Theorie korporativer Akteure erstaunt daher die seit geraumer Zeit gefuhrte versicherungswissenschaftliche Diskussion um den Bedarf an verbesserten KontroUmoglichkeiten im VVaG"^^ tiberhaupt nicht.

4.4

Interessenverflechtungen bei Zusammenschlussen von Versicherern

Interessenverflechtungen bilden eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung des Tausches - dieser kommt nur zustande, wenn auf der einen Seite eine tiberschussnachfrage und auf der anderen Seite ein tJberschussangebot zu verzeichnen ist. Welche Interessen konnten Untemehmen als zielgerichtete, d.h. Nutzen maximierende, korporative Akteure dazu bewegen, sich mit anderen zusammenzuschlieBen? In der einschlagigen Literatur wird eine Vielzahl von Grunden diskutiert, deren Ursprunge sich allesamt jedoch entweder auf die neoklassische Oder auf die institutionenokonomische Theorie der Unternehmung zuriickfuhren lassen/^ (Tausch-)Handlungen des korporativen Akteurs „neoklassisches Unternehmen" korrespondieren dabei im Allgemeinen unmittelbar mit den personlichen Interessen des zugleich handlungsbefugten Eigentumer-Unternehmers, denn sein Einkommen setzt sich vorrangig aus denjenigen Uberschiissen zusammen, die durch seine unternehmerische Tatigkeit nach Entlohnung aller Produktionsfaktoren iibrig bleiben: Das korporative Ziel „Maximierung des Unternehmensgewinns" stellt somit i.d.R. auch sein eigenes dar."^^ Fiir Agents in einer Kapitalgesellschaft ist die Situation eine andere: Direkt bedeutsam sind Transaktionen nur fiir die Ziele des korporativen Akteurs, ihre eigenen Ziele werden nur indirekt tangiert. Aus dieser misslichen Verbindung heraus 42 Vgl. dazu Hoppmann (2000), S. 73-76. ^^ Stellvertretend fur viele seien hier die Monopolhypothese, die sich aus der Neoklassik als Erklarungsansatz ableitet, und die Empire-Building-Hypothese, der der institutionenokonomische Ansatz zugrunde liegt, angefuhrt. Die Monopolhypothese erklart Unternehmenszusammenschlusse durch die damit verknupfte Chance des Kauferunternehmens zur Erhohung von Marktmacht, indem es durch den Zusammenschluss mit einem Konkurrenten den Wettbewerb auf einem Markt begrenzt und daraus entstehende Monopolgewinne abschopfen kann. Vgl. insbesondere als Vertreter dieser Denkrichtung Trautwein (1990). Aus Sicht der Empire-Building-Hypothese kommen Zusammenschlusse primar wegen der dadurch moglichen Realisierung individueller Interessen des Managements wie Einkommenserhohungen, Macht- und Prestigestreben sowie dem Bedurfnis nach (Arbeitsplatz-)Sicherheit zustande. Eine umfassende Ubersicht uber die zahlreichen Vertreter dieser These findet sich bei Marris u. Mueller (1983), S. 41ff ^^ Demsetz (1983) relativiert diese Aussage spater dahingehend, dass ein EigentiimerUnternehmer nicht unbedingt den Gedanken der Gewinnmaximierung verfolgen muss, wenn er die Moglichkeit des Konsums am Arbeitsplatz besitzt (beispielsweise durch Schaffung einer angenehmen Arbeitsatmosphare) und die Kosten des dadurch entstehenden Nutzenzuwachses geringer sind als der Einkommensverlust, der einen vergleichbaren Konsumnutzen im privaten Haushalt hatte finanzieren konnen.

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ergeben sich eine Reihe gravierender Konsequenzen fiir die Interessenverteilung von Eigentumern und Unternehmensleitung. Coleman bezeichnet das Interesse angestellter Agents an den (Tausch-)Handlungen des korporativen Akteurs treffend als „abgeleitetes Interesse'"^^, dessen Starke davon abhangt, wie gut es diesem gelingt, die personlichen Interessen seiner Agents wie Reputation, Gehaltserhohungen, Erhaltung des Arbeitsplatzes etc. an die Erreichung korporativer Interessen zu koppeln, m.a.W. Anreize zu schaffen, welche die Agents zu Handlungen im korporativen Interesse bewegen sollen. Die Erfolgsaussichten solcher Anreize werden allgemein als gering eingeschatzt, da fiir den Agent gerade negative Konsequenzen von Tauschhandlungen weniger bedeutsam sind als fiir individuelle Akteure.'*^ Dies lasst sich in Bezug auf Unternehmenszusammenschliisse empirisch beispielhaft anhand des Managementeinkommens dokumentieren, das in vielen Fallen selbst dann hohe Steigerungsraten aufwies, wenn der Zusammenschluss fiir die betroffenen Aktionare mit Wertminderungen einherging/"^ Auch die Wirksamkeit von Kontrollmechanismen hangt entscheidend von den Rahmenbedingungen ab: Je wettbewerbs-, allokations- und informationseffizienter sich der Markt fiir Unternehmenskontrolle darstellt, desto groBer ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Management im Interesse der Anteilseigner agiert, weil Fehlleistungen, die aus der Verfolgung personlicher Interessen resultieren und mit der Zweckentfremdung von Unternehmensressourcen verbunden sind, sofort mit einem Kursabschlag des Unternehmens sanktioniert und es zu einem begehrten Ubernahmeobjekt machen wurden, im Zuge dessen das verantwortliche Management mit seiner Entlassung rechnen miisste/^ Die erhoffte Disziplinierung kann jedoch bezogen auf den deutschen Versicherungsmarkt fiir Versicherungsvereine und auch ORA wegen ihrer Abkopplung vom Kapitalmarkt nicht greifen. Der in45 Coleman (1979), S. 78. 46 Vgl. Coleman (1979), S. 78. 4"^ Diese Beobachtungen werden in der Akquisitionsliteratur vorrangig zur Stutzung der Empire-Building-Hypothese, deren Hauptaussage bereits kurz in Fn. 4 1 erlautert wurde, angefuhrt. 4^ Diese Aussage bildet den Kern der so genannten Disziplinierungs-Hypothese, einer weiteren These zur Erklarung von Unternehmenszusammenschlussen, der die institutionenokonomische Theorie der U n t e m e h m u n g zugrunde liegt. Zusammenschlusse sind demnach eine Antwort auf Managementfehlleistungen beim u b e m o m m e n e n Objekt, die entweder aus mangelnden Managementfahigkeiten (als Beispiel kann die Situation kleiner, stark expandierender Unternehmen angefuhrt werden, die infolge ihres Wachstums nun anderes K n o w - h o w benotigen als zur Grundungszeit, in Bezug auf Marketingstrategien etc., u n d sich das entsprechende Wissen nicht rechtzeitig angeeignet haben) oder aus individuellen Nutzenmaximierungskalkulen resultieren (das M a n a g e m e n t tatigt Ausgaben zur personlichen Bereicherung, beispielsweise in F o r m v o n Luxusdienstwagen, groBzugigen Spesenkonten usw., die dadurch zustande k o m m e n , dass d e r Beitrag jedes einzelnen Managers a m Gesamtoutput schwer quantifizierbar ist u n d er insofem nicht den vollen Vorteil aus seiner Arbeit erhalt), so dass die Unternehmensressourcen in der Vergangenheit suboptimal eingesetzt wurden, was zu einem Sinken des Marktwertes im Vergleich zum Branchendurchschnitt fuhrte und die U b e m a h m e durch einen Wettbewerber ermoglicht. Vgl. besonders Easterbrook u. Fischel (1991), S. 1169.

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ternen Organisationsmacht werden in der Literatur sogar fur alle angesprochenen Rechtsformen wenige Chancen zur Disziplinierung des Managements und damit zur Verhinderung unerwunschter UnternehmenszusammenschlUsse eingeraumt, denn bei der Einrichtung von Mitglieder- bzw. Aktionarsvertretungen hingegen geschieht lediglich die Verlagerung der Probleme korporativen Handelns auf eine iibergeordnete Ebene. Machtmechanismen tragen also - analog zur Losung des KontroUproblems - allenfalls approximativ zur Losung des Interessenproblems bei."^^ Insgesamt ist davon auszugehen, dass sowohl personliche als auch korporative Interessen fur UnternehmenszusammenschlUsse verantwortlich sind, wobei diese Interessen durchaus identisch sein konnen (im Falle des EigentUmerUnternehmers etwa oder wenn es gelingen sollte, die personlichen Interessen unmittelbar mit den korporativen zu verkniipfen).

5. Resumee Das komplexe Phanomen des Unternehmenszusammenschlusses konnte mit Hilfe der sich auf wenige Basiselemente und Beziehungen konzentrierenden Tauschtheorie erstmals vollstandig modelliert werden. Obwohl diese zunachst ganzlich von der bisher in der Literatur diskutierten Ebene divergierender Unternehmensmodelle abstrahiert, gelingt es im konkreten Anwendungsfall trotzdem, die wichtigsten Facetten der aus den verschiedenen Modellen resultierenden Erklarungsansatze fUr Unternehmen und deren Zusammenschliisse in die Argumentation einzubeziehen. Als zielgerichtete, handelnde Akteure konnen demnach Versicherer identifiziert werden, die sich - unter BerUcksichtigung ihrer Budgetausstattung - fiir bestimmte Ressourcen (materielle/immaterielle ProduktionsfaktorbUndel wie Versicherungsbestand, Information, AuBendienstorganisation etc.) interessieren, welche wiederum von anderen Akteuren, d.h. anderen Versicherem, kontrolliert werden. Diese wollen die interessierten Akteure gegen Zahlung eines Entgelts^^ (im Falle

"^^ Coleman (1979), S. 25ff., bezeichnet diejenige Situation als „grundlegendes Dilemma der Organisation", in der eine vollstandige Interessenangleichung von individuellen und korporativen Akteuren nur durch die restriktive Kegel der Einstimmigkeit aller Mitglieder als Handlungsvoraussetzung zustande kame, was wiederum deren Handlungsfahigkeit empfindlich beeintrachtigen und die Vorteile, die aus dem Ressourcenpooling erwachsen sollen, negieren wurde. ^^ Der Austausch von Ressourcen im Rahmen von Untemehmenszusammenschlussen verkorpert folgerichtig keinen rein sozialen Tausch, in dem Vertrauen zusammen mit der Vollstandigkeit der Zugangsstruktur das vollkommene soziale Kapital darstellt, welches Austauschhandlungen auch ohne generelles Transaktionsmedium, verbindliche Eigentumstitel und schriftlich fixierte Vertrage ermoglicht. Vielmehr handelt es sich hier um einen sozio-okonomischen Tausch mit entsprechenden //«/Z7transaktionen (Non Cash Acquisitions in Form von Aktientausch sind in der Praxis kaum verbreitet, auBerdem werden auch dabei - genau genommen - die zu tauschenden Untemehmensanteile mit Preisen bewertet). Diese Tauschhandlung setzt also die allgemeine Akzeptanz eines mo-

Ein sozio-okonomisches Modell des Unternehmenszusammenschlusses

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des Zusammenschlusses handelt es sich dann i.d.R. konkret um den Kaufpreis) tauschen, um damit ausschlieBlich ihren - personlichen bzw. korporativen - Nutzen befriedigen zu konnen, sofern die unter eigener KontroUe stehenden Ressourcen dazu nicht ausreichen und die anderen Akteure in Bezug auf diese speziellen Ressourcen gleichzeitig ein Uberschussangebot aufweisen, sie m.a.W. diese Ressourcen zur eigenen Nutzenbefriedigung im Zeitpunkt des Tausches nicht benotigen. Ob die betreffenden Transaktionen ungehindert (im Sinne Colemans ohne Reibungsverluste in Form von Transaktionskosten) ablaufen bzw. in einigen Tauschsituationen eventuell bestimmte Akteure gegentiber anderen (Informations-)Vorteile besitzen, die dadurch Tauschgelegenheiten erleichtern, ist wiederum von zahlreichen Faktoren abhangig, die bei Bedarf in das Modell iiber die Einbindung direkter und indirekter Beziehungen aufgenommen werden konnen.^^ Somit steht alien okonomischen - sowohl den theoretisch als auch den empirisch ausgerichteten - Analysen ein Meta-Denkmuster als gemeinsamer Ausgangspunkt zur Verfiigung.

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netaren Tauschmediums - in diesem Falle Geld - voraus, das zugleich als Bewertungsmafistab fur die Preissetzung fungiert. ^^ Das Bild eines vollkommenen sozio-okonomischen Systems, das keine Restriktionen in Bezug auf die (Marktzugangs-)Struktur kennt, wird nur in wenigen Fallen angemessen sein. So setzen z.B. Interessenverflechtungen genaue Kenntnisse der handelnden Akteure iiber Werte von Ressourcen und Interessen anderer voraus. Ist der Kapitalmarkt jedoch aus verschiedenen Grunden informationsineffizient, existieren auf der einen Seite Unternehmen, die wegen auftretender myopischer Marktineffizienzen andere Unternehmen falsch bewerten und deshalb von einer Transaktion absehen. Auf der anderen Seite besitzen u.U. Unternehmen bzw. deren Manager aufgrund von Insiderinformationen bessere Kenntnisse iiber den „wahren Wert" der Ressourcen, d.h. des Zielobjekts, die sie gegentiber der unwissenden Konkurrenz auszeichnen und dementsprechend Transaktionen fordern. Siehe zu den Kemaussagen informationseffizienzbezogener Hypothesen, die sich wiederum unter Aufweichung bestimmter Restriktionen aus der neoklassischen Theorie der Unternehmung herleiten lassen, grundlegend u.a. Steiner (1975) und Trautwein (1990), S. 286f.

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Ein sozio-okonomisches Modell des Untemehmenszusammenschlusses

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Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsunternehmen Stephan Schumacher E.ON Westfalen Weser AG, Herford

1. Einleitung In 2003 wurden die Elektrizitatswerk Minden-Ravensberg GmbH (EMR) und die Elektrizitatswerk Wesertal GmbH (Wesertal) mit ihrem Vermogen als Ganzes auf die PES AG AG verschmolzen. Der Gesellschaftername wurde im Zuge der Verschmelzung zu E.ON Westfalen Weser AG (EWA) geandert. Mit der Verschmelzung ist eines der groBten regionalen Energieversorgungsunternehmen in Deutschland entstanden. Die Kerngeschaftsfelder sind Strom, Erdgas, Warme, Wasser und Abwasser. Teilweise liber Tochtergesellschaften ist E.ON Westfalen Weser auf den Gebieten Entsorgung, Telekommunikation und Offentlicher Personenverkehr aktiv. GroBter Aktionar ist die E.ON Energie AG in Munchen mit rund 63% der Anteile. Die restlichen 37% der Anteile verteilen sich auf insgesamt 38 kommunale Anteilseigner im EWA-Netzgebiet. Das Unternehmen erwirtschaftet einen Umsatz von mehr als 900 Mio. € und strebt mittelfristig ein Jahresergebnis von 70 Mio. € nach Steuern an. Direkt oder indirekt ist E.ON Westfalen Weser an 60 Gesellschaften beteiligt, die in den oben genannten Geschaftsfeldern tatig sind. Der Buchwert der Beteiligungen betragt mehr als 210 Mio. €. Der Beteiligungsbereich tragt mit einem Ergebnis von ca. 11 Mio. € zum gesamten Unternehmensergebnis bei. Dieser Ergebnisbeitrag soil in den nachsten Jahren auf ca. 15 Mio. € gesteigert werden. Neben der Verbesserung der Rendite im Beteiligungsbereich steht die Bereinigung des Beteiligungsportfolios im Vordergrund. Nicht werthaltige und nicht zum Kerngeschaft gehorende Beteiligungen sollen verauBert werden.

2. Organisation des Beteiligungsmanagements Das Beteiligungsmanagement zielt auf die Optimierung des Beteiligungsportfolios und der Rendite des Beteiligungsbereichs ab. Es deckt vier Teilbereiche ab:

90 Stephan Schumacher •

• •

•

Das Portfoliomanagement erarbeitet die Strategie fiir den Beteiligungsbereich und legt fest, in welchen Geschaftsfeldern neue Beteiligungen erworben werden soUen bzw. welche Beteiligungen zu verauBern sind, da sie nicht mehr zum Kerngeschaft des Mutterunternehmens gehoren bzw. die Renditevorgaben des E.ON-Konzerns auch langfristig nicht erfullen werden. Die Unternehmensanalyse ermittelt den Wert der vorhandenen Beteiligungen und der Gesellschaften, an denen Anteile erworben werden sollen. Die Beteiligungsbetreuung ist zustandig fiir die Beratung der in den Gremien der Beteiligungsgesellschaften vertretenen Mitarbeiter des Mutterunternehmens. Das Beteiligungscontroiling uberwacht durch permanente Soll/Ist-Vergleiche die Wirtschaftlichkeit der Beteiligungen und versucht, die Rendite des Beteiligungsbereichs zu optimieren.

Die unterschiedlichen Aufgaben konnen organisatorisch verschiedenen Bereichen zugeordnet sein. Grundsatzlich finden sich bei Energieversorgern drei typische Organisationsformen fiir das Beteiligungsmanagement: Das Akquisitionsmodell findet sich bei Unternehmen mit starken Akquisitionstatigkeiten. Es trennt die Akquisition von der spateren Betreuung der Beteiligungsgesellschaft. Portfoliomanagement und Unternehmensanalyse werden in einem eigenen Bereich zusammengefasst, der unabhangig von der Beteiligungsbetreuung und dem Beteiligungscontrolling ist. Vorteil dieses Modells ist die Moglichkeit der groBeren Spezialisierung auf die unterschiedlichen Aufgaben. Wahrend beim Portfoliomanagement und bei der Unternehmensanalyse die Suche nach geeigneten Zielobjekten sowie deren Wertermittlung und damit vor allem auch strategische Fragen im Vordergrund stehen, sind die Tatigkeiten der Beteiligungsbetreuung und des Controlling auf operative Ziele ausgerichtet. Entsprechend ergeben sich Unterschiede im Zeithorizont der Planung: Alle Prozesse der Akquisition sind eher mittel- und langfristig ausgerichtet, wahrend das Beteiligungscontrolling in erster Linie kurzfristige Renditeziele der Beteiligung im Fokus hat. Zu beriicksichtigen ist auch, dass die Ansprechpartner der Bereiche unterschiedlich sind: Die fUr Akquisitionsprozesse zustandigen Mitarbeiter richten ihre Aktivitaten verstarkt auf den oder die Gesellschafter des Zielobjekts aus, wahrend Ansprechpartner fiir das Beteiligungscontrolling in erster Linie die Geschaftsfiihrung oder die leitenden Angestellten der Beteiligungsgesellschaft sind. Dem Vorteil des Akquisitionsmodells, eine starkere Spezialisierung auf die einzelnen Aufgaben des M&A-Prozesses zu erreichen, steht als Nachteil die Gefahr von Informationsverlusten bei der LFbergabe der Beteiligung an den Bereich der Beteiligungsbetreuung nach Beendigung des Akquisitionsprozesses gegenuber. Im kaufmdnnischen Modell werden die Aufgaben des Portfoliomanagements und der Beteiligungsbetreuung getrennt von denen der Unternehmensanalyse und des Controlling. Dieses Modell ist vor allem dann geeignet, wenn strategische Fragen zunachst isoliert von operativen Zielen behandelt werden sollen. Da die Unternehmensanalyse einschlieBlich Wertermittlung in einem anderen Bereich erfolgt als die Zielsuche, wird im Sinne eines Vier-Augen-Prinzips ein optimaler

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsuntemehmen

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Ausgleich zwischen den strategischen und den operativen Zielen erreicht. Nachteil sind teilweise aufwandige Abstimmungsprozesse zwischen den Bereichen. Beim integrierten Modell ist eine Organisationseinheit fur alle Funktionen des Beteiligungsmanagements vorgesehen. Vorteil dieses Modells ist die Vermeidung von Schnittstellen, insbesondere dann, wenn keine wesentlichen Investitions- oder DesinvestitionsmaBnahmen geplant sind bzw. bewusst strategische Fragen Renditezielen untergeordnet werden. Die Betreuung der in den Gremien vertretenen Mitarbeiter der E.ON Westfalen Weser AG und des Beteiligungsuntemehmens selbst erfolgt aus einer Hand. Dadurch werden Informationsverluste zwischen den Bereichen innerhalb des Beteiligungsmanagements minimiert. Nach auBen tritt das Mutterunternehmen gegenuber den Beteiligungen nur mit einem Ansprechpartner auf. Da der Umfang der Akquisitionsprozesse in Zukunft eher gering sein wird, hat sich E.ON Westfalen Weser flir das integrierte Modell entschieden. Das Beteiligungsmanagement ist bei E.ON Westfalen Weser organisatorisch dem Geschaftsbereich Controlling zugeordnet. Dies ermoglicht die enge Einbindung des Beteiligungsmanagements in die ubrigen Planungs- und Controllingprozesse sowie die Anbindung an das ebenfalls dem Controlling zugeordneten Risikomanagement. In regelmaBigen Planungsrunden erfolgt die Abstimmung zwischen dem Beteiligungsmanagement und der ubrigen Unternehmensplanung, um die flir EWA geltenden Zielvorgaben auf den Beteiligungsbereich herunter zu brechen. Entsprechend konnen so aktuelle Entwicklungen aus dem Beteiligungsbereich, die Auswirkungen auf das Beteiligungsergebnis haben, in der Unternehmensplanung zeitnah erfasst und beriicksichtigt werden.

3. Controlling-Prozesse des Beteiligungsmanagements Zur Sicherstellung der untemehmensspezifischen Ziele von EWA ist eine zielgerichtete Steuerung und Koordination der unternehmerischen Aktivitaten aller Tochtergesellschaften notwendig. Das Controllingsystem zielt als zentrales Fiihrungssystem vor allem auf die Steigerung des Unternehmenswerts sowie der Rendite des Beteiligungsbereichs ab. EWA ubernimmt in diesem Prozess als Flihrungsgesellschaft folgende Funktionen: • Leitungsfunktion EWA gibt die strategischen Entwicklungsschwerpunkte vor und stimmt diese mit den Beteiligungsgesellschaften ab. Falls erforderlich, sichert und steuert EWA die erforderlichen Finanzierungsmittel. • Informations- und Kontrollfunktion Das laufende Geschaft einschlieBlich wichtiger Einzelstrategien der Beteiligungsgesellschaften wird kontrolliert und gesteuert. Basis hierfUr sind die von den Beteiligungen zu vorgegebenen Zeitpunkten abzugebenden Berichte.

92 Stephan Schumacher • Beratungs- und Koordinationsfunktion Das Beteiligungsmanagement von EWA nimmt gegenuber den Beteiligungsgesellschaften im Bedarfsfall eine Beratung in alien kaufmannisch relevanten Fragestellungen vor und koordiniert die Bearbeitung von technischen oder juristischen Problemstellungen, die an das Mutterunteraehmen herangetragen werden. Der Ausgangspunkt des Controlling-Prozesses ist das Planungs- und Budgetgesprach, das mit den verantwortlichen Mitarbeitern der Beteiligung vor der Erstellung des neuen Wirtschaftsplans stattfindet. Ziel des Gesprachs ist die Festlegung der wichtigsten finanzwirtschaftlichen Ziele sowie der strategischen Untemehmensziele. Vorbereitend ermittelt das Beteiligungscontrolling auf der Grundlage der vorliegenden wirtschaftlichen Daten der Beteiligung wesentliche Kennzahlen und setzt diese in den Vergleich zu aggregierten Branchenkennzahlen. Dies ermoglicht eine detaillierte Ermittlung von Starken und Schwachen und zeigt entsprechende Verbesserungspotentiale auf (siehe hierzu Abschnitt 4). Aus den ermittelten Verbesserungspotentialen wird zusammen mit den verantwortlichen Mitarbeitern der Beteiligung ein MaBnahmenkatalog erarbeitet, der die Ziele fur das neue Geschaftsjahr festschreibt. Zusatzlich werden die wichtigsten Eckdaten fiir Investitionen, Portfolio- und Wertentwicklung der jeweiligen Gesellschaft verabschiedet. Die Ergebnisse dieser Planungsrunde flieBen in den Wirtschaftsplan ein, der dann Aufsichtsrat und Gesellschafterversammlung des Beteiligungsunternehmens zur Genehmigung vorgelegt wird. Der verabschiedete Wirtschaftsplan wird - teilweise unter Mitwirkung der Geschaftsftihrung bzw. Planungsabteilung der Beteiligungsgesellschaft - auf Quartalsbudgets oder bei den groBeren Gesellschaften auf Monatsbudgets herunter gebrochen. Gegen diese Planzahlen werden dann im laufenden Wirtschaftsjahr die aus den Beteiligungen kommenden Monats- oder Quartalsberichte gespiegelt. Erganzend wird der Jahresabschluss des Vorjahres nach seiner Feststellung mit den vorliegenden Planungen verglichen, um zum einen die Kennzahlen zu aktualisieren und zum anderen die Planungen zu verifizieren. Ziel ist es, Planabweichungen fruhzeitig sichtbar zu machen und gegebenenfalls KorrekturmaBnahmen einleiten zu konnen. Samtliche aus den Beteiligungen kommenden Berichte werden vom Beteiligungscontrolling zu einer Hochrechnung des Beteiligungsergebnisses von E.ON Westfalen Weser verdichtet, die selbst wiederum in die Gesamtunternehmensplanung einflieBt. Mit zunehmender Fortschreitung des Wirtschaftsjahres werden die Hochrechnungen immer genauer und lassen eine gesicherte Prognose fur die Ergebnisse der Beteiligungen und damit des gesamten Beteiligungsergebnisses des Mutterunternehmens zu.

4. Steuerung des Wertbeitrags der Beteiligungen Fiir das Beteiligungsmanagement werden spezielle Kennzahlen ermittelt. Neben Standard-Kennzahlen werden geschaftsfeldtypische Erfolgsfaktoren abgebildet. Dabei wird vor allem auf wertorientierte Kennzahlen abgestellt, die die Wertent-

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsuntemehmen

93

wicklung und operativen Werttreiber der einzelnen Beteiligungen analysieren. Zentrale Idee der wertorientierten Erfolgsmessung ist, dass ein positives Unternehmensergebnis noch keine Aussage im Hinblick auf die Entwicklung des Unternehmenswerts der Beteiligung zulasst, da die Kosten des Eigenkapitals als wesentliche Kostenkomponente nicht ins Kalkiil einbezogen werden. Ein zusatzlicher Wert wird nur geschaffen, wenn ein Unternehmen eine Rendite erwirtschaftet, die liber den risikospezifischen Kosten von Eigen- und Fremdkapital liegt. Die wertorientierte Unternehmenssteuerung basiert im Wesentlichen auf zwei Instrumenten: • Statische Performance Messung mit den Kennzahlen „Return on Capital Employed" (ROCE) und „Value Added" (siehe Abschnitt 4.1 und 4.2). • Fallweise und bei Akquisitionen, Investitionen und Desinvestitionen Durchfuhrung einer Unternehmensbewertung auf Basis dynamischer Wirtschaftlichkeitsrechnungen (siehe Abschnitt 5). 4.1

Return on Capital Employed (ROCE)

Der ROCE ist eine Gesamtkapitalrendite vor Steuern. Er wird als Quotient aus dem Betriebsergebnis vor Zinsen und Ertragssteuern (Earnings before Interest and Taxes = EBIT) und dem derzeit investierten Kapital (Capital Employed) berechnet:

ROCE=

15II Capital Employed

Der ROCE bildet die wirtschaftliche Entwicklung unabhangig von steuerlichen Einflussen ab. Der in den Zahler eingehende EBIT ist Indikator fiir den nachhaltig aus dem operativen Geschaft erzielbaren Erfolg auf das eingesetzte Kapital. Das in den Nenner eingehende Capital Employed spiegelt das gesamte gebundene Kapital wider. Es wird ermittelt aus folgenden Positionen: Buchwert der immateriellen Vermogensgegenstande und Sachanlagen + kumulierte Goodwill-Abschreibungen aus Einzelabschllissen und aus der Kapitalkonsolidierung + Buchwert der Beteiligungen + kumulierte Goodwill-Abschreibungen aus der Equity-Bewertung + Vorrate + Forderungen aus Lieferungen und Leistungen + ubriges unverzinsliches Umlaufvermogen inkl. aktiver RAP - unverzinsliche Riickstellungen - Verbindlichkeiten aus Lieferungen und Leistungen - ubrige unverzinsliche Verbindlichkeiten inkl. passiver RAP = Capital Employed (CE) In den ROCE flieBen als Netto-Kapitalrendite das Ergebnis und das Vermogen nach Abschreibungen ein. Zinstragende Aktiva (Ausleihungen, Wertpapiere, For-

94 Stephan Schumacher derungen und liquide Mittel) werden sowohl im Zahler als auch im Nenner nicht beriicksichtigt, well sie nicht Bestandteil des operativen Geschafts sind. Beteiligungen zahlen hingegen zum operativen Geschaft und werden daher bei der Berechnung des ROCE beriicksichtigt. Der ROCE ist eine statische Kennzahl. Sinnvolle Aussagen liber die Weiterentwicklung des Geschafts sind daher nur moglich, wenn der ROCE im Zeitablauf fur mehrere Perioden ermittelt und verglichen wird. 4.2

Value Added

Der Value Added (VA) dient als Indikator des absoluten Wertbeitrags einer Periode. Er drtickt den Erfolgsuberschuss aus, der iiber die Kosten des Eigen- und Fremdkapitals erwirtschaftet wird. Er tragt der Tatsache Rechnung, dass ein Unternehmen erst dann einen zusatzlichen Wert schafft, wenn die Rendite des investierten Kapitals hoher als die durchschnittlichen Kapitalkosten des Eigen- und Fremdkapitals ist. Wie der ROCE ist auch der VA eine statische Kennzahl, die in ihrer zeitlichen Entwicklung zu interpretieren ist. Der VA ermittelt sich wie folgt: VA = EBIT-kGK CE mit: VA koK CE -

Value Added Kapitalkosten vor Steuem in % Capital Employed

Die Kapitalkosten werden als gewichteter Mittelwert der Eigen- und Fremdkapitalkosten (Weighted Average Cost of Capital) berechnet. Die Renditeanspruche der Eigen- und Fremdkapitalgeber gehen mit den Marktwerten in die Mittelwertbildung ein. In der Regel wird das bestehende Verhaltnis von Eigen- zu Fremdkapital des betrachteten Untemehmens zur Mittelwertbildung herangezogen. Die Renditeanspruche der Eigenkapitalgeber werden mit Hilfe des Capital Asset Pricing Models (CAPM) ermittelt. Die Renditeerwartung ergibt sich als Summe der sicheren Rendite, die mit einer risikofreien Anlage am Kapitalmarkt erzielt werden kann, und einer Risikopramie. Die Rendite fur risikofreie Kapitaleinlagen wird aus der Verzinsung langfristiger Staatsanleihen abgeleitet. Die Hohe der Risikopramie ist vom Kapitalmarkt abhangig und ergibt sich als Differenz aus der erwarteten Aktienmarktrendite und dem risikofreien Zins. Mit Hilfe des Gewichtungsfaktors (Beta-Faktor) wird abgebildet, wie sich das betrachtete Unternehmen bei Renditeschwankungen im Vergleich zum Aktienmarkt verhalt. Ein BetaFaktor groBer 1 signalisiert eine uberproportionale Entwicklung der Einzelrendite zur Rendite des Gesamtmarktportfolios, ein Beta-Faktor kleiner 1 eine unterproportionale Entwicklung. Das RisikomaB Beta kann entsprechenden Veroffentlichungen entnommen werden. Sind diese nicht vorhanden, da das betrachtete Unternehmen nicht borsennotiert ist, kann es aus den Beta-Werten vergleichbarer, offentlich notierter Unternehmen abgeleitet werden. Bezogen auf Energieversorgungsunternehmen wird in der Regel mit einem Beta-Faktor zwischen 0,2 und 0,7

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsuntemehmen

95

gearbeitet. Grundsatzlich besteht bei der Ermitdung von Beta-Faktoren das Problem, dass diese sich aus der Vergangenheit ableiten und nicht notwendigerweise sicher ist, dass sie so in der Zukunft Bestand haben. FUr den Fall, dass keine Markt- und Wettbewerbsdaten vorliegen, werden die Kapitalkosten unter Beriicksichtigung des Geschaftsfelds anhand qualitativer Risikokriterien mit Hilfe eines Scoring-Modells abgeleitet. In das Modell gehen qualitative Faktoren wie die Konjunkturabhangigkeit, die GroBe des Unternehmens, die Wettbewerbssituation oder die Kostenstruktur ein. Die Kosten des Fremdkapitals werden aus stichtagsbezogenen marktgangigen Konditionen fur die Aufnahme von Fremdkapital abgeleitet, wobei die Steuer wirksame Abzugsfahigkeit der Fremdkapitalzinsen in Ansatz gebracht wird. Unter Beriicksichtigung der genannten Faktoren wird der Kapitalkostensatz wie folgt ermittelt: ^GK = ^EK • ^k + TpK • (l - s)- fk mit: TGK rEK rpK s fk Ck

-

gewichteter Gesamtkapitalkostensatz Eigenkapitalkostensatz Fremdkapitalkostensatz Ertragsteuersatz Anteil Fremdkapital Anteil Eigenkapital

wobei: rEK=rf+^.(rM-rf) mit: rf p rM -

risikoloser Zins RisikomaB Beta Marktrendite

und Ck+fk =1 Die Kapitalkosten vor Steuem (koK) ergeben sich als: koK =

4.3

TGK

(1-s)

Performance-Messung anhand von Benchmarks

Die oben beschriebenen Kennzahlen lassen im Zeitablauf eine Bewertung der wirtschaftlichen Entwicklung eines Beteiligungsunternehmens zu und werden im Bedarfsfall um weitere Kennzahlen erganzt. Zusatzlich wird im Rahmen eines Benchmarking die Performance einer Beteiligung im Vergleich zu Unternehmen

Ist-Wert 2002 in T€

Zielwert 2007 in T€ Ausgeschütteter Gewinn in T€

1.226

1.600

Bewertung anhand der größennormierten Vergleichswerte

Worst-inClass

Durchschnitt

Ist-Wert 2002

Zielwert 2007

Best-inClass

Ist-Wert besser als Durchschnitt Ist-Wert schlechter als Durchschnitt

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsunternehmen

97

Fiir die Betrachtungen von Unternehmenswert und Buchwert von Beteiligungen wird ein Vergleichswert auf Basis von Multiples errechnet, die sich auf der Basis langjahriger Erfahrungswerte des E.ON-Konzerns und seiner Beteiligungen ableiten: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Multiple 1 = Umsatz Strom * 1,2 Multiple 2 = Umsatz Gas * 1,1 + Umsatz Wasser * 1,1 Multiple 3 = EBIT * 8 Multiple 4 = EBT * 9,5 Multiple 5 = JahresUberschuss * 14 Multiple 6 = Einwohner * 1050 €

Samtliche Multiples werden fiir mehrere Jahre ermittelt. Der Vergleichswert ergibt sich aus der Summe der Multiples iiber den Betrachtungszeitraum dividiert durch die Anzahl der verwendeten Multiples. Liegt der so ermittelte Unternehmenswert oberhalb des Buchwerts der Beteiligung, zeigt dies eine positive Wertentwicklung der Beteiligung. 1st der Unternehmenswert eines Beteiligungsunternehmens geringer als der Beteiligungs-Buchwert, wird eine detaillierte Unternehmensbewertung angestoBen (Impairment-Test), die gegebenenfalls die Grundlage fiir eine notwendige Abschreibung auf den Buchwert der Beteiligung liefert. Die einzelnen Kennzahlen werden im Rahmen der Gesamtauswertung untereinander verkntipft und in eine Gesamtubersicht eingefugt. Fur eine StadtwerkeBeteiligung ergibt sich damit z.B. der in Abb. 2 angegebene Auszug aus dem Kennzahlen-Netz werk: Beteiligungsrendite Beteiligungsrendite ReVU-Sicht) ReVU-Sicht) in in % % I 6,31 6,31 I I 12,62 12,62

I II

^/

Ausgeschütteter Ausgeschütteter Gewinn Gewinn in in T€ T€ 710 I 355 355 I I 710

Capital Capital Employed Employed (ReVU-Sicht) (ReVU-Sicht) in in T€ T€ 5.624 5.624 | I 5.624 I I 5.624

I

II I

^X Ausschüttungsquote Ausschüttungsquote in % % 100 50,00

Anteiliger Jahresüberschuss in T€ 710 710

I

II X

Steuern Steuer n

I Anteil an Beteiligung Beteiligung in in % % 45,00 I I 45,00

I

I I Anteil an Beteiligung in % 45,00 45,00

Gesamtkapitalrendite (Beteiligung) (Beteiligung) in in % % 12,42 I I 12,13 12,13 I I 12,42

+

Sonderausschüttungen 0 0

IE EBIT EBIT (bereinigt) (bereinigt) In In T€ T€ 2.548 2.548

Gesamtkapital in T€ 21.002

I Abb. 2. Verkniipfung von Kennzahlen

rr

20.510

X •4)^

98 Stephan Schumacher Der Vergleich mit den anderen Beteiligungsunternehmen des E.ON-Konzerns ergibt ein Starke-Schwachen-Profii flir das einzelne Unternehmen. Starke Abweichungen vom Durchschnittswert nach unten zeigen die Notwendigkeit von MaBnahmen zur Verbesserung der in die Kennzahl eingehenden GroBen auf. Die Vergleichskennzahlen liefem Anhaltspunkte, welche MaBnahmen eingeleitet werden sollen. Bei der Auswertung der Kennzahlenvergleiche ist allerdings zu berucksichtigen, dass Kennzahlen nur verdichtete Informationen zur Beurteilung der v^irtschaftlichen Situation liefern. Durch die Kennzahlen wird eine Normierung erreicht, die Uberhaupt erst einen Vergleich von Unternehmen unterschiedlicher GroBenordnung und Auspragung ermoglicht. Allerdings kann selbst die durchgefiihrte GroBennormierung der Kennzahl nicht alle GroBenunterschiede zwischen den betrachteten Unternehmen ausgleichen. Deshalb sind die groBennormierten Kennzahlen durch weitere - z.T. auch qualitative - Informationen zu erganzen, bevor belastbare Aussagen zur wirtschafdichen Situation der Beteiligung oder Handlungsempfehlungen gegeben werden konnen. Hierunter fallen z.B.: • Das regionale Marktumfeld: Aufgrund der Struktur der Energieversorgung, in der nach wie vor mehrere hundert Stadtwerke neben den groBen Energieversorgern im Endkundengeschaft tatig sind, ergeben sich regionale Unterschiede bei den Preisniveaus fUr Energie und Warme. Bei der Bewertung der von den Beteiligungsunternehmen realisierten Margen im Energie- und Wassergeschaft ist hierauf Riicksicht zu nehmen. • Kundenstruktur: Der Anteil von Privat- und Geschaftskunden hat maBgeblichen Einfluss auf die Preisstellung und erzielbaren Margen. • Regionale Unterschiede: Die Kosten fur den Betrieb, die Instandhaltung von Netzen und auch die Hohe von spezifischen Investitionen sind stark davon abhangig, ob das Unternehmen in einer mehr stadtischen oder landlichen Region tatig ist. • Mitarbeiterzahl: Bei Kennzahlen, die auf die Anzahl der Mitarbeiter abzielen, z.B. Umsatz pro Mitarbeiter, muss beriicksichtigt werden, dass der Anteil der Arbeiten, der an Fremdfirmen vergeben wird, bei den Unternehmen je nach Firmenphilosophie unterschiedlich hoch ist. • Geschdftsfelder: Bei Versorgungsuntemehmen ergeben sich starke Unterschiede bei Renditekennzahlen in Abhangigkeit davon, ob das Unternehmen die Sparten Strom, Gas und Wasser abdeckt oder nur Teile davon. • Gesellschafterstruktur, Gerade bei Stadtwerken, an denen kommunale Gesellschafter noch mit hohen Anteilen beteiligt sind, werden zum Teil neben Renditezielen auch andere - eher im politischen oder sozialen Bereich - angesiedelte Ziele verfolgt. • Informationsbasis: Die Informationen, die in den Kennzahlenvergleich einflieBen, kommen in hohem MaBe aus dem Beteiligungsunternehmen selbst. Auch wenn die Abfragen an die Beteiligungsunternehmen standardisiert sind und auf Plausibilitat durch das Beteiligungsmanagement des jeweiligen Mutterunternehmens gepriift werden, kann nicht ausgeschlossen werden, dass bestimmte

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsuntemehmen

99

Angaben aufgrund von unterschiedlichen Erhebungsmethoden nicht einheitlich sind. Aussagen zu Starken und Schwachen sowie die Ableitung von Handlungsempfehlungen miissen diese Aspekte ebenso beriicksichtigen wie die Entwicklung der Kennzahlen im Zeitablauf. Wesentlich in dem Prozess des Benchmarking ist die Diskussion der Ergebnisse mit den Verantwortlichen des Beteiligungsunternehmens selbst. Die sich aus dem Vergleich ergebenden Potentiale werden deshalb jahrlich in einem Planungsgesprach aufgezeigt und abgeglichen. Erst danach werden feste MaBnahmen definiert und als Ziele vorgegeben. Im Rahmen des regelmaBigen Berichtswesens wird dann gepruft, inwieweit die Mafinahmen umgesetzt worden sind und welche Verbesserungen hieraus resultieren.

5. Ermittlung des Unternehmenswerts der Beteiligungen Detaillierte Unternehmensbewertungen werden im Rahmen des Erwerbs bzw. des Verkaufs von Beteiligungen sowie zur tjberpriifung des Buchwerts der Beteiligung (Impairment-Test) durchgefUhrt. Eine erste Orientierung fiir den Unternehmenswert liefert die Bewertung auf Basis von Multiples (vgl. hierzu Abschnitt 4.3). Fiir tiefer gehende Analysen wird bei E.ON der Unternehmenswert mit Hilfe des Discounted Cash Flow (DCF)Verfahrens auf der Basis des Weighted Average Cost of Capital (WACC)-Ansatzes ermittelt. Dabei wird der Wert des Eigenkapitals indirekt aus der Differenz des Unternehmenswerts und des verzinslichen Fremdkapitals ermittelt. Der Unternehmenswert ergibt sich als Summe der diskontierten jahrlichen Free Cash Flows iiber den betrachteten Planungshorizont. Diese sind die den Eigen- und Fremdkapitalgebern nach Unternehmenssteuern und Investitionen, aber vor Zinsen und Tilgung zur Verfiigung stehenden Zahlungsuberschusse. Vorteil dieser Methode ist, dass ein Unternehmenswert ermittelt wird, der unabhangig von der Kapitalstruktur und dem damit verbundenen Finanzierungsrisiko ist. Zur Diskontierung wird der gleiche Kapitalkostensatz verwendet, der auch zur Ermittlung der Kennzahl des Value Added (vgl. Abschnitt 4.2) herangezogen wurde. 5.1

Ermittlung der laufenden Ein- und Auszahlungen

Zur Ermittlung der laufenden Ein- und Auszahlungen wird ein mehrperiodiger, integrierter Geschaftsplan mit GuV, Bilanz und Kapitalflussrechnung entwickelt. Die Abschliisse der drei vorangegangenen Geschaftsjahre dienen zur Plausibilisierung der Planungsrechnung. Hieraus lasst sich der freie Cash Flow sehr einfach ableiten. Dariiber hinaus gelingt es auch, Zusammenhange aufzuzeigen und die Wertgeneratoren zu analysieren. Die Lange des Planungszeitraums hangt von verschiedenen Faktoren ab:

100 Stephan Schumacher • Dem Zeitraum, fUr den fundierte Informationen ftir die Unternehmens- und Cashflow-Planung vorliegen, • dem AusmaB der Schwankungen des Geschaftsverlaufs, • der Prognostizierbarkeit des Marktes, in dem das zu bewertende Unternehmen operiert. Grundsatzlich wird der Planungszeitraum so gewahlt, dass mittel- und langfristige Entwicklungstendenzen erfasst werden konnen. In der Regel legt das Bewertungsobjekt eine entsprechende - teilweise von einem unabhangigen Wirtschaftsprufer testierte - Unternehmensplanung vor. Diese wird kritisch gepriift und gegebenenfalls modifiziert. Dabei werden die bei E.ON geltenden Planungs- und Kalkulationsansatze berticksichtigt und mit denen der vom Bewertungsobjekt vorgelegten Planung abgeglichen. Zusatzlich werden die erwartete Marktentwicklung und Erfahrungen aus der Vergangenheit einbezogen. Sollte eine Unternehmensplanung fehlen, muss aus den vorhandenen Informationen eine eigene Planungsrechnung erstellt werden. Aus den vorliegenden Planungsunterlagen werden dann die freien Cash Flows ftir die einzelnen Planjahre ermittelt. Dabei wird nach folgendem Schema vorgegangen: Operatives Ergebnis vor Zinsen und Steuern Steuern auf das operative Ergebnis = operatives Ergebnis vor Zinsen nach Steuern + Abschreibungen +/- sonstige nicht zahlungswirksame Aufwendungen / Ertrage Investitionen -/+ Anstieg / Rtickgang des Working Capital (Vorrate plus Saldo aus Forderungen und Verbindlichkeiten aus Lieferungen und Leistungen) -/+ sonstige nicht ergebniswirksame Auszahlungen / Einzahlungen = laufende Ein- und Auszahlungen In den Ein- und Auszahlungen werden keine Finanzierungseffekte abgebildet. Finanzierungseffekte sind alle Zinsaufwendungen sowie die Aufnahme und Tilgung von Darlehen. Bei der Ermittlung der Steuern auf das operative Ergebnis vor Zinsen und Steuern werden alle Steuern berticksichtigt, die das Unternehmen belasten. Vereinfachend wird hier mit einer durchschnittlichen Steuerbelastung von 40% gerechnet, die sich aus der Gewerbeertrag- und der Korperschaftsteuer sowie dem Solidaritatszuschlag zusammensetzt. Die Steuer mindernde Wirkung des Zinsaufwandes wird durch den entsprechenden Abschlag in den Kapitalkosten abgebildet. Ein negatives operatives Ergebnis fuhrt nicht zu Steuergutschriften, da diese Effekte erst nach Integration des zu erwerbenden Unternehmens realisiert werden konnen. Verluste werden im Akquisitionsobjekt vorgetragen und mit spateren Gewinnen verrechnet. 1st geplant, gegen Ende des Planungshorizonts das Anlagevermogen oder das Working Capital zu verauBem, kann ein Restwert als Liquidationswert ermittelt werden. Hierfiir sind die erzielbaren VerauBerungserlose nach Steuern zu ermit-

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsunternehmen

101

teln. Hilfsweise konnen die Buchwerte der Vermogensgegenstande angesetzt werden.

5.2

Ermittlung des Entscheidungswerts

Der Barwert der laufenden Ein- und Auszahlungen wird durch Diskontierung der laufenden Ein- und Auszahlungen mit dem Kapitalkostensatz ermittelt: B W = 2 ] E A Z t . ( l + rGK)-' t=0

mit: BW EAZt T roK

-

Barwert der Ein- und Auszahlungen Saldo der laufenden Ein- und Auszahlungen in Periode t Planungshorizont der Detailplanung Kapitalkostensatz nach Steuem

Der so ermittelte Barwert der laufenden Ein- und Auszahlungen ist der Ausgangspunkt fiir die Herleitung des Entscheidungswerts fur das zu bewertende Unternehmen. Die weiteren Rechenschritte zeigt nachfolgendes Schema: Barwert der laufenden Ein- und Auszahlungen + Barwert des Fortfiihrungswerts + Marktwert der Beteiligungen + Marktwert der Zins tragenden Aktiva + Marktwert des sonstigen nicht operativen Vermogens = Gesamt- bzw. Unternehmenswert Marktwert des verzinslichen Fremdkapitals inkl. Pensionsund Entsorgungsriickstellungen = Wert des Eigenkapitals -/+ Barwert der Synergieeffekte = Entscheidungswert Dem Barwert der Ein- und Auszahlungen ist der Fortfiihrungswert (Ewige Rente) hinzuzuaddieren. Der Fortfiihrungswert ist der Barwert der Ein- und Auszahlungen zum Zeitpunkt des letzten Detailplanungsjahres. Er wird auf den Entscheidungszeitpunkt abgezinst:

mit: EAZT +1 roK g

-

Saldo der Ein- und Auszahlungen in Periode T+1 Kapitalkostensatz nach Steuem Wachstumsabschlag

Der Wachstumsabschlag beriicksichtigt, dass bei der Berechnung der ewigen Rente inflationsbedingte Erlos- und Kostensteigerungen und damit ein nominales

102 Stephan Schumacher Wachstum nicht beriicksichtigt werden. Er wird in Abhangigkeit von der gegenwartigen Inflationsrate festgelegt (zurzeit 1%). Da der Fortfiihrungswert groBes Gewicht bei der Berechnung des Unternehmenswerts hat, muss er sehr sorgfaltig geplant werden. Bei der Ermittlung der nachhaltigen Ein- und AuszahlungsuberschUsse ist von den Pramissen auszugehen, dass • konjunkturelle Effekte eliminiert werden, • die Hohe der Abschreibungen der Hohe der Ersatzinvestitionen zur dauerhaften Aufrechterhaltung der Leistungsfahigkeit des Untemehmens entspricht, • das Working Capital maOig wachst bzw. konstant bleibt. Die Unternehmensbewertung trennt die operativen von den nicht operativen Bereichen. Deshalb werden die einzelnen Telle des nicht operativen Bereichs wie Beteiligungen, Zins tragende Aktiva oder sonstiges nicht operatives Vermogen in der Regel in einer eigenen Rechnung bewertet und zu dem Barwert der Ein- und Auszahlungen sowie dem Barwert des FortfUhrungswerts addiert. Beteiligungen werden nach dem gleichen Schema wie oben bewertet. Fur den Fall, dass es sich bei den Beteiligungen um borsennotierte Unternehmen handelt, ergibt sich der Marktwert aus dem Borsenkurs. In Ausnahmefalien werden vereinfachend die oben beschriebenen Multiplikatoren verwendet. Der Marktwert der Zins tragenden Aktiva ist in der Regel mit dem Buchwert identisch. FUr den Marktwert des sonstigen nicht operativen Vermogens wird der Liquidationswert angesetzt. Der Wert des Eigenkapitals ist die Differenz zwischen dem Unternehmenswert und dem Marktwert des verzinslichen Fremdkapitals inklusive Pensionsruckstellungen. Zur Ermittlung dieser Werte werden im AUgemeinen die entsprechenden Buchwerte verwendet. Bei den Pensionsverpflichtungen wird gepruft, ob diese von dem Akquisitionsobjekt angemessen dotiert worden sind. Andemfalls sind bei der Bewertung entsprechende Korrekturen vorzunehmen. GroBe Bedeutung bei der Ermittlung des Entscheidungswerts kommt der Kalkulation von Synergieeffekten zu. Hierunter fallen alle Ein- und Auszahlungen, die erst nach Integration des Unternehmens in den Konzemverbund realisiert werden. Positive Synergien konnen sich z.B. durch die Reduktion der EnergieBeschaffungskosten ergeben, wenn es nach dem Beteiligungserwerb gelingt, die Beschaffungsaktivitaten des Beteiligungsunternehmens mit in die des Mutterunternehmens zu integrieren, um hierdurch GroBenvorteile zu realisieren. Grundsatzlich konnen auch negative Synergien, z.B. durch Kosten fur die notwendige Anpassung von EDV-Systemen, entstehen. Inwieweit Synergieeffekte berucksichtigt werden, ist unabhangig davon, ob diese im Akquisitionsobjekt oder im Mutterunternehmen entstehen. Der Unternehmenswert ohne Synergiepotentiale dient zur Abschatzung der potentiellen Wertvorstellung des Verkaufers. Die Berucksichtigung von Synergieeffekten liefert die Basis zur Ermittlung der Preisobergrenze des Kaufers. SzenarioTechniken und Sensitivitatsanalysen, bei denen wesentliche Parameter, wie die Entwicklung von Rohmargen, variiert werden, ermoglichen die Abbildung von Risiken und Chancen.

Beteiligungsmanagement in einem Regionalversorgungsunternehmen

5.3

103

Bewertung

Der wie oben beschriebene Entscheidungswert liefert die Grundlage fUr die Verhandlungen mit dem Verkaufer der Anteile an einem Unternehmen. In der Regel wird der Kaufpreis, der tatsachlich gezahlt wird, hiervon abweichen, da • haufig der Verkaufsprozess im Rahmen eines strukturierten Bieter-Verfahrens erfolgt. Die Angebote anderer Kaufinteressenten konnen Preis erhohende Effekte auslosen, insbesondere dann, wenn mit der Beteiligung strategische Ziele verfolgt werden. • im Falle des Erwerbs einer Mehrheitsbeteiligung in der Regel der Preis pro Prozentpunkt um den strategischen Aufpreis steigt, da es in diesem Fall dem Erwerber leichter fallt, seine mit der Beteiligung verfolgten Ziele umzusetzen. • fur die Hohe des Kaufpreises auch der Zeitpunkt Bedeutung hat, zu dem die Transaktion stattfindet. So sind z.B. bei Offnung der Energiemarkte fiir Unternehmensbeteiligungen an Versorgungsunternehmen wesentlich hohere Kaufpreise gezahlt worden als in der jungeren Zeit, in der die Konsolidierung des Marktes praktisch abgeschlossen ist. • Auf- und Abschlage auf den Kaufpreis sich auch in Abhangigkeit von den vertraglichen Rahmenbedingungen des Akquisitionsobjekts und der daraus resultierenden individuellen Risikosituation ergeben. Ein Unternehmen mit langfristig marktgerechten Absatz- und Bezugskonditionen wird hohere Kaufpreise erzielen als ein Unternehmen, bei dem wichtige Kundenvertrage in Kurze auslaufen und damit hier ein erhebliches Risiko von Kundenverlusten besteht. • Sonderrisiken, die Uber die ublichen Marktrisiken hinausgehen, zur Reduktion des Kaufpreises fuhren. Ebenfalls kann es zu Abschlagen auf den Kaufpreis kommen, wenn gegenuber der Verkaufsseite bestimmte Garantien (z.B. Standortgarantien) abzugeben sind, die die Integration der Beteiligung in das Mutterunternehmen bzw. die Realisation der Synergien erschweren. • auch die Qualifikation der Mitarbeiter und des Managements des zu erwerbenden Beteiligungsuntemehmens von Bedeutung ist. Gerade zur Erfassung der zuletzt genannten Punkte wird in der Regel der Kauferseite im Rahmen einer Due Diligence der Einblick auch in vertrauliche Unternehmensdaten gewahrt. Die Kauferseite erhalt hier im Rahmen einer fest vorgegebenen Zeitspanne die Moglichkeit, samtliche relevanten Informationen zur Bewertung und damit zur Kaufpreisfindung in einem speziellen Datenraum zu ermitteln, um darauf aufbauend ein verbindliches Angebot an die Verkauferseite abgeben zu konnen. Nicht selten werden die im Rahmen der Due Diligence ausgelegten Informationen in den Kaufvertragen festgehalten, um spatere Regressansprliche des Kaufers an den Verkaufer auszuschlieBen.

104 Stephan Schumacher

6. Zusammenfassung Das Beteiligungsmanagement von E.ON Westfalen Weser zielt stark auf die wertorientierte Entwicklung der Beteiligungsunternehmen ab. Hierzu werden in Abstimmung mit der Beteiligungsgesellschaft Wirtschaftsplane, die als Zielvorgabe dienen, entwickelt und im laufenden Wirtschaftsjahr mit der aktuellen Entwicklung abgeglichen. Der Kennzahlenvergleich mit anderen Unternehmen unterstUtzt die Entwicklung eines Starken-ZSchwachenprofils und bildet die Basis fUr die Definition eines MaBnahmenkatalogs. Der Nachweis der Werthaltigkeit einer Beteiligung sowie die Ermittlung des Kaufpreises bzw. der Untergrenze fur den VerauBerungserlos erfolgt mit Hilfe der Ertragswertrechnung auf der Basis der DCF-Methode auf der Basis des (WACC)Ansatzes. Hierbei wird der Wert des Unternehmens als Summe der Free Cash Flows dargestellt. Hilfsweise konnen Multiples zur Abschatzung des Unternehmenswerts eingesetzt werden. Trotz der zum Teil sehr detaillierten Zahlensysteme mussen allerdings immer auch das Umfeld und die Rahmenbedingungen der Beteiligung gesehen werden. Dies setzt eine enge Zusammenarbeit der Mitarbeiter, die in den Gremien des Beteiligungsunternehmens vertreten sind, der GeschaftsfUhrung der Beteiligung und des Beteiligungsmanagements voraus.

Zweiter Teil Produl(tionstlieorie

Applied Performance Measurement: A Case Study Using DEA and Other Frontier Production Function-Related Indexes Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann Fakultat fiir Maschinenbau, Technische Universitat Wien

1. Introduction "Efficiency" is a magic word and considered to be the solution to all problems in public management. Although it is a well-specified concept and is properly introduced in economics, "efficiency" has widely been misinterpreted so that it has become a buzzword among poHticians and journalists. Efficiency does not simply mean abstaining from wasting resources, it also means allowing for a substitution of inputs and outputs according to the goals and intentions of the productive units which are fully responsible for decision-making. This is particularly important in cases in which there is no functioning price system. The health care sector is a very good example. In the health care system a wellworking price system and, thus, functioning markets are missing. People in need of medical services are not able to shop around for the best "offer", and if so they could hardly work out the information necessary to ask for services they actually need. Have you ever watched a physician searching for treatment for family members or himself/herself? It is surprising how difficult it is even for "insiders" to sort out where to go and what to ask for. The health care market is failing just when people are in need of services; information asymmetries are emerging and leading to supplier-induced demand. It is a pity that the health care market has recently become a showcase concerning the attempt to change it into a competitive market, being well aware that the most important constituents, namely rational agents on the demand side, are lacking. Even if there were rational agents on both sides and competitive prices could be expected, the amount of supply promised by politicians and expected by the public would not correspond to the amount of supply provided/demanded by the agents. In Austria it is said there is enough supply, but prices and rational agents are missing. For this reason, a surrogate price system (LKF, Leistungsorientierte Krankenanstalten Finanzierung), based on the concept of diagnoses related groups (DRGs) has been implemented for hospital service financing. Since the prices have been designed to cover full costs there is an incentive for the managers of a hospital to maximize margins given the hospital capacity. This incentive has led to

108

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

a situation in which some diagnoses are profitable and others are not and, thus, services with high margins are enforced and services with low margins are "outsourced". Besides of these supply effects and other quality effects of the LKF we explore the question of whether the implementation of the surrogate price system LKF has improved the productivity of the hospital sector of a given region. Since 1997, public hospital financing in Austria has been based on an activitybased hospital financing system called LKF. The LKF is a modified, Austrianspecific system of DRGs which is supposed to ensure that the billing of hospital services is based on services actually rendered. The serious changes in public sector hospital financing have been motivated by the necessary enhancement in hospital productivity to cope with increasing hospital costs. This paper suggests a broad framework using DBA and other frontier production function (FPF) related indices for assessing the evolution of public sector hospital performance. First, data from 22 Austrian public sector hospitals are analysed from 1997 to 2000, covering the first period of LKF validity, to investigate hospital performance. Secondly, performing several sensitivity analyses, we examine the robustness of the efficiency results. Thirdly, using the Malmquist productivity index, we analyse hospital data over time to illustrate productivity changes between 1997 and 2000 and to examine whether observed changes are due to efficiency or technology changes.

2. The LKF In Austria, the activity-based hospital financing system LKF, introduced in 1997 and renewed in 2001 for another 4 years, follows a system which was designed to finance inpatient care retrospectively on the basis of a flat rate per inpatient day. The old financing system which had lasted for decades provided the undesirable incentive for hospital actors (doctors and management) to maximise the number of inpatient days and the length of stay (ref. Smith et al. 1997) in order to maximise the hospitals' reimbursement. The LKF is a modified, Austrian-specific system of DRGs. The billing of actual hospital services is based on a system of credit points per inpatient case. The determination of the number of credit points per inpatient case can be traced back to the examination of public sector hospital costs and length of hospital stays for approximately 500,000 patients in 20 reference hospitals in the late 1980s. The credit point system is revised continually, changes in the nation-wide uniform number of credit points per case become effective every 1^^ of January. The LICF comprises a core system and a steering system: The determination of the number of credit points per inpatient case is part of the LKF core system which is standardised in Austria. Within the LKF steering system the Landes funds - appointed to allocate budgets among hospitals - have the possibility of reassessing the total number of credit points reported by hospitals by admitting particular supply side factors beyond the influence of the particular hospital management (hospital type, hospital equipment, etc.) as these factors might adversely influence hospital per-

Applied Performance Measurement

109

formance. The steering factors are determined according to political decisionmaking processes at the provincial level, so that there are different steering factors (for the same (mixes of) supply side factors) in the different Austrian provinces. Besides the core system and the steering system, the LKF is combined with prospectively fixed budgets to finance public hospitals. The (minimum) fixed federal LKF budget consists of (1) fixed payments from social health insurance, which correspond to the 1994 payments from social health insurance companies, annually adjusted according to pre-arranged rules of valorisation, (2) a fixed share of VAT revenues and (3) further federal lump sum payments. In addition, total funds to finance hospital care include (4) additional, small contributions from social health insurance (co-payments) and (5) further public contributions to cover extra costs in university hospitals. The (federal) LKF budget is allocated according to pre-defined quotas to the nine Landes funds, one in each Austrian province. In Austria, roughly 50% of total public hospital costs are financed according to the LKF system. The remaining half has to be raised by hospital owners. The transfer of provincial LKF budgets to hospitals takes place differently in the Austrian provinces. As regards the sample hospitals, the process of transferring funds to hospitals happens as follows: The LKF funds are divided into payments to finance inpatient care, outpatient care and special investments. Payments to finance outpatient care (determined according to a past cost-past revenue ratio in the outpatient care unit) and special investments (determined according to political decisions) are subtracted from the provincial LKF budget which is then available for the activity-based financing of inpatient care.^ Hospitals, on the other hand, report the number of credit points according to the services rendered in the inpatient care unit. The number of credit points per hospital is multiplied by a hospital-specific steering factor, resulting in modified credit points, and, finally, the remaining LKF budget is divided by the total number of modified credit points and each hospital receives its respective budget share. Originally, the number of credit points per inpatient case corresponded to the average (median) full cost of inpatient treatment (ref. BMSG 1997). However, due to lump sum budgets, the more points that are reported, the smaller the corresponding value of one credit point, therefore creating the incentive to practice credit point maximisation. Major revisions of the LKF core system concern, among others, the reweighting of the intensive care component, the daily component and the coding of psychiatric care in 1999. Since re-calculations of the 1997 and 1998 credit points on the basis of the 1999 core system are not available, these facts have to be taken into consideration when interpreting the results of efficiency and productivity changes over time. The specific issue of interest presented here is to analyse whether the LKF system has already been successful in reducing inefficiencies in the provision of pub-

^ In 1997 and 1998 the Landes fund additionally subtracted so-called balance funds which were used to compensate for variations in reimbursement in the first two years after the LKF introduction.

110

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

lie sector hospital care in Austria^ and to further investigate the efficiency results obtained from the analysis with regard to benchmarking purposes. Using Data Envelopment Analysis (DEA), we analyse the productive performance of 22 fund hospitals for the years 1997 - 2000. For that purpose, we calculate technical efficiency for each year separately. To ensure a correct comparison between hospitals and, subsequently, a derivation of meaningful benchmarking strategies for inefficient hospitals, the efficiency results are further classified with special attention given to those hospitals which are rated as fully efficient. This is done by applying several procedures: The first comprises the determination of arbitrary cross efficiency scores (ref. Doyle and Green 1994) to analyse whether there are relatively efficient hospitals which show efficiency scores based on unusual input-output weights. The next steps consist of analysing the frequency with which an efficient hospital appears in the reference set of inefficient ones (ref. Charnes et al. 1985) and calculating the input-oriented peer index (ref. Torgersen et al. 1996) to identify genuinely efficient hospitals. To judge the stability of the annual frontiers, we further calculate the super efficiency scores proposed by Andersen/Petersen (1993). Based on these results, we aim to judge the suitability of efficient hospitals as peers. Using the annual efficiency indexes we then examine whether appropriate incentives are provided for hospitals by analysing the correlation between hospital efficiency and annual budget shares obtained pursuant to the activity-based financing. Finally, we calculate Malmquist productivity indexes to be able to identify and, subsequently, separate efficiency from technology changes during the observation period. Accordingly, this paper is organised as follows: Section 2 briefly describes DEA techniques which are employed in assessing the performance of public sector hospitals. Sample and parameters are defined in section 3. In section 4 the results derived from empirical observations are presented. The last section closes by briefly summarising the findings and discussing necessary and possible extensions to the existing analysis.

3. Efficiency Assessment Using DEA DEA is a non-parametric approach^ which is used to construct an efficient production frontier from observed (multiple) inputs and (multiple) outputs by mathematical programming techniques. The inefficiency of each decision-making unit (DMU) is determined by its distance from the (piecewise) linear efficient frontier which is constructed from the best-practicing DMUs (ref. Farrell 1957).

First examinations of the Austrian hospital performance can be found in Hofmarcher et al. (2002), Stepan/Sommersguter-Reichmann (2002, 2004), and Sommersguter-Reichmann (2000). For an introduction to theory and applications see e.g. Charnes et al. (1997), Cooper et al. (2000), Thanassoulis (2001).

Applied Performance Measurement

111

The CCR model, assuming constant returns to scale (CRS), proposed by Charnes, Cooper and Rhodes in 1978 to evaluate technical efficiency has the form (in input-orientation): min s.t.

e

(3.1)

eX^>XX

(3.2)

XY>Y^

(3.3)

2 > 0,

(3.4)

where X Y Y X X

denotes the mxn matrix for i = \,...,m inputs and J = l,...,k,...,n DMUs denotes the sxn matrix for the r = l,...,ss outputs and j = l,...,k,,..,n DMUs denotes the output vector of DMU k denotes the input vector of DMU k denotes the multipliers.

The scalar variable 0, which corresponds to the Farrell measure of technical efficiency, gives the proportion of all inputs of DMU k which is sufficient to achieve the given outputs; i.e. (l - O) gives the necessary proportional reduction of all inputs of DMU k to be rated as 100% efficient. Thus, if DMU k is assigned the efficiency score 6 = 1, it is considered to be fully (100%) efficient, otherwise it is rated as inefficient. Besides the DEA efficiency score 0, solving (1) - (4) decides to what extent a DMU serves (via the multipliers A) as a reference (benchmark) for inefficient DMUs. This information is important with regard to the construction of virtual DMUs against which any inefficient DMU is compared. The dual to (1)-(4) is max

Y^v^

(3.5)

S.t. X^o)^ = 1

(3.6)

V, CD

YV^-XQ)^<0

v,(o>0,

(3.7)

(3.8)

where v and co denote the optimal input and output weights assigned to the inputs and outputs of DMU k. Obviously, each DMU can specify its own weights to obtain a maximum efficiency score of 100%. A DMU will not reach 100% DEA efficiency if there are other DMUs which do even better with DMU k's optimal input and output weights. The liberalism to choose weights opportunistically may result in quite

112

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

"exotic" optimal weights, thereby indicating that the DMU under analysis might have an unusual input-output mix. This may be problematic for benchmarking purposes since a DMU which is rated 100% efficient may be part of the reference set of inefficient DMUs and, therefore, determine their degree of inefficiency. In order to gain further insight into the results we, therefore, decided to carry out the following procedures: Firstly, we calculate the mean of arbitrary cross efficiency scores to obtain information on whether self appraisal (= DBA efficiency score) differs considerably from peer appraisal (= averaged cross efficiency scores) (ref. Sexton et al. (1986), and Doyle/Green (1994), regarding the introduction of cross efficiency scores, and Braglia/Petroni (1999), for the comparison of DEA with restricted weights and cross efficiency DEA). To determine DMU A:'s cross efficiency scores we simply apply the j ^k optimal input and output weights to the inputs and outputs of DMU k to obtain n-\ cross efficiency scores for DMU k. To be able to compare self with peer appraisal for each DMU we calculate the mean of the n-\ cross efficiency scores, representing the averaged peer appraisal."^ Secondly, we analyse the efficient DMUs' suitability of being enlisted as a benchmark for inefficient DMUs. This is done by investigating the frequency with which each efficient DMU appears in the inefficient DMUs' reference sets. Then we calculate the input-oriented peer index proposed by Torgersen et al. (1996), which is defined as the share of the weighted improvement potential for input / for which the peer is responsible in relation to the total weighted improvement potential for input i. Using this information we are able to identify those efficient hospitals which are rated genuinely efficient (ref. Thanassoulis 2001, pp. 97). Finally, the super efficiency scores introduced by Andersen/Petersen (1993) are used to gain insight into the influence of each peer on the shape of the derived efficiency frontier. As regards the analysis of productivity changes over time, we then calculate an input-oriented Malmquist productivity index (MPI). The MPI, defined as ratio of distance functions d (ref. Shephard 1970), is estimated using DEA by exploring the fact that the value of the distance function is reciprocal to the Farrell measure of efficiency.

[d{X^J^Y^ =mme

s.t. ex^>xx

4

(3.9)

(3.10)

XY>Y^

(3.11)

/I > 0

(3.12)

In this analysis we rely on arbitrary cross efficiency scores; this means we do not calculate the full range of optimal weights. For details on the calculation of cross efficiency scores and the difficulties arising from the existence of multiple optimal weights see Doyle/Green (1994).

Applied Performance Measurement

113

Following Fare et al. (1994) the input-based MPI can be expressed as

MPI(4+^7f^x^,r/)= 1/2

=

d\Xk\Yk')

d^-\x,'-\Y,^-')

(3.13)

d^-\x,^,Y,^)

EFFCH TECHCH. The first term represents a change in efficiency (= EFFCH), illustrating whether there is a move closer to the frontier, and the term inside brackets indicates a shift in the reference-technology (= TECHCH), calculated as the geometric mean of the shift in the technology observed at the production bundle (XJ^^Yl) on the one hand, and the shift in the technology observed at the production bundle (Xi''\Yl''^) on the other.5

4. Sample, Parameters and Methods The original sample consisted of 25 fund hospitals which are eligible for financing by the LKF-system and which are located within one Austrian province. To obtain information on the hospitals' performance, we apply the inputoriented CCR model. The input-oriented analysis is chosen since we assume that the use of hospital services is, to a great extent, random and, therefore, beyond the influence of the hospitals' decision-makers (doctors). Additionally, we assume a constant returns-to-scale technology since previous analyses (ref. SommersguterReichmann/Stepan 2000, and Sommersguter-Reichmann 2000) revealed that scale efficiency is, on average, quite satisfactory. For that purpose we have to quantify hospital production (output) and utilisation of resources (input). Since we are not able to measure the most appropriate hospital output, namely improvement in health status, it is necessary to define hospital output as the intermediate commodity of health services. For that purpose, the amount of modified credit points (PTS) is chosen as proxy for inpatient output. No further differentiating is made since the amount of modified credit points includes both the complexity of treatment, possible co-morbidities and particular supply side factors beyond the influence of hospitals. The total number of outpatient cases treated (CASE) is included to quantify the performance of the outpatient care units. The input vector comprises the full-time equivalent of labour (FTE) and the number of hospital beds (BED) as proxies for labour and capital inputs. ^ The increasing use of the approach proposed by Fare et al. (1994) has revealed several problems concerning the decomposition of the MPI. Since the debate on the most appropriate decomposition is still ongoing we accept this flaw. For further details see GrifellTatje/Lovell (1995, 1999) and Ray/Desli (1997).

114

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

Regarding the use of modified credit points in the output vector, we have to mention that the Landes fund changed steering factors in 1999. As regards the comparison of annual efficiency scores with annual budget shares, we calculate technical efficiency scores based on the steering factors prevailing in the respective year. To analyse efficiency changes over time we apply the 1999 steering factors to the core credit points in each year to avoid distorting effects on efficiency scores as a consequence of the changes in steering factors.^ As mentioned above, the analysis is performed in several stages. First, we calculate technical efficiency indexes based on the input vector X: {FTE, BED} and the output vector Y: {PTS, CASE} using the CCR model for each year separately. Consequently, mean efficiency scores in each year only represent the dispersion of efficiency scores within the sample; statements concerning the position of the annual production frontiers relative to the others are not yet possible. Based on the CCR efficiency results, we then perform the sensitivity analyses discussed in the previous section to obtain further information on the robustness of the efficiency results. Next, we analyse the incentives inherent in the LKF system by investigating the correlation between annual efficiency scores and hospital budgets. Finally, we apply the input-oriented Malmquist productivity index to analyse the position of annual production frontiers relative to each other and to determine whether the changes in productivity are due to moves closer to the frontier (efficiency changes) and/or to shifts in that frontier (technology changes).

5. Results and Interpretation 5.1

Contemporaneous Production Frontiers and Annual Efficiency Assessment

The results of the CCR model are summarised in Tables la and lb (column I). As indicated by the mean of technical efficiency scores, hospitals were, on average, closer to the annual best-practice frontier in 1997 than in any other year. The mean relative efficiency score decreased steadily from 86.5% in 1997 to 77.0% in 2000. The range of annual technical efficiency scores, however, increased steadily, amounting to 36.5% in 1997 and considerable 54.1% in 2000. The number of fully efficient hospitals also decreased from 4 in 1997 and 1998 to 2 in subsequent years. The following hospitals were rated fully efficient: 2, 3, 6 and 21 in 1997, 6, 7, 14 and 21 in 1998 and 14 and 21 in 1999 and 2000. There is only one hospital which was rated fully efficient in each year, namely hospital 21, and one hospital which was rated least efficient in each year, namely hospital 12.

^ The use of the 1997 (1998) steering factors did not result in significantly different efficiency scores when performing productivity analysis (over time).

Applied Performance Measurement

115

Table la. Results of years 1997 and 1998 1997 I Hospital No. 1 67.0

II

III

IV

1998 VI

V a

6 3 J " 2,6,21

I

II

"nf"

VI

V A

b

4.0

6 l 6 ~ 5 6 7 " T4jr

2

100.0 98.4 2

11 104.9 19.0 19.0 95.7

91.3 7,14

3

100.0 97.9 3

6

100.3 19.0 17.0 92.5

89.1

14,21

4

88.5

85.3 2,6,21

84.4

81.8

14

5

64.9

55.4 6

72.7

58.0 6,7

6

100.0 92.4 6

7

92.0

8

98.1

12 112.4 32.0 35.0 100.0 82.0 6

3

100.2 4.0

83.9 2,6

100.0 85.0 7

3

100.2

79.7 6,21

93.3

79.2

9

81.0

77.7 2,6,21

77.3

71.6 6,14

85.5

81.9 2,3

80.8

74.1

14,21

11

99.3

97.1 2,3

89.3

86.6

14,21

12

63.5

53.0 3,21

58.5

45.9

14,21

75.8

13

87.1

85.2 2,6

79.4

14

97.4

93.4 2,6

100.0 98.8

15

77.1

71.2 3,21

66.5

64.5

14,21 14

82.6

80.3 3,21

93.7

87.6 21

17

79.4

74.0 2,6

79.0

69.4 7,14

18

73.4

71.4 2,6,21

81.0

77.5

14,21

19

86.7

83.3 6,21

85.0

79.1

14,21

20

96.8

93.7 3,21

92.6

88.7

14,21

21

100.0 97.9 21

22

82.8

12 118.2 30.0 29.0 100.0 96.1 21

sTT

81.1

72.2 6,14

s i s " TTT"

4

I

Efficiency score

V

Super efficiency

II

Averaged cross efficiency score

VI

Peer index

III Reference set

(a) FTE

IV Frequency of appearing in a reference set

(b) BED

16 112.2 53.0 52.0

14,21

16

78.6 2,6,21

10.0 10.0

14,21

10

Mean 86.5 No. ef- 4 ficient

VI

b

12 110.7

34.0 33.0

116

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

Table l b . Results of years 1999 and 2000 2000

1999 I

II

III

IV

VI

V

Hospital No. 1 5 8 l ~ 5 l 8 ~ 14,21

a

I

II

•"In

b

V

VI a

53.5

51.9

TUT

2

98.4

95.8

14,21

88.0

87.3

14,21

3

85.6

83.4

14,21

80.9

78.0

14,21

4

76.1

74.6

14,21

82.9

74.8

14,21

5

59.0

50.8

14

55.4

47.3

14

6

97.1

86.0

14

92.5

85.4

14,21

7

89.4

82.3

14

82.3

79.7

14,21

8

91.3

82.2

14,21

94.7

82.7

14,21

9

66.0

63.7

14,21

64.5

63.1

14,21

10

76.2

70.9

14,21

70.9

69.5

14,21

11

90.3

89.5

14,21

82.9

82.3

14,21

12

57.8

39.8

14,21

45.9

35.8

14,21

13

73.0

70.5

14,21

67.3

65.0

14,21

14

100.0 100.0 14

15

58.5

57.4

14,21

59.2

16

80.6

77.9

14,21

17

74.6

69.0

14

20 118.2 54.0 54.0 100.0 100.0 14 58.1

14,21

87.0

80.8

14,21

82.4

67.7

14

18

71.8

69.1

14,21

68.8

64.9

14,21

19

80.9

76.6

14,21

84.1

77.1

14,21

20

85.3

80.3

14,21

79.0

75.4

21

100.0 96.9

21

22

72.3

14,21

68.3

VI

16 125.8 46.0 46.0 100.0 97.3 72.2

67.8 72.4

Mean

79!2" 7 4 6 "

77.0

No. efficient

2

2

I

Efficiency score

V

II

Averaged cross efficiency score

VI

b

20 118.7 60.0 60.0

14,21 21

^18 ^81.2 40.0 40.0

14,21

Super efficiency Peer index

III Reference set

(a) FTE

IV Frequency of appearing in a reference set

(b) BED

Since the range of technical efficiency is considerable, thereby indicating sufficient potential for performance improvement, it seems to be advisable to gain further insight into the efficiency results. The averaged cross efficiency scores (see Table 1, column II) were satisfactory for 3 out of 4 efficient hospitals in 1997 since the difference between self (DBA efficiency score) and peer appraisal (averaged cross efficiency scores) amounted to only 1.6% (hospital 2) and 2.2% (hospitals 3 and 21). Moreover, hospitals 2 and 21 are considered to be important

Applied Performance Measurement

117

benchmarks as they appeared 11 and 12 times, respectively, in the reference sets of inefficient hospitals (see Table 1, column IV) and as they were responsible for 19% and around 30% of the total (radial) improvement potential (see Table 1, column VI). Hospital 3, with a frequency of appearing 6 times in inefficient hospitals' reference sets and with the highest peer indexes, was also far from being a self evaluator. However, as regards peer appraisal, hospital 6 was outranked by any other efficient hospital in 1997, with a difference between self and peer appraisal amounting to 7.6%. Since the impact of hospital 6 as a peer seems to be considerable (hospital 6 appears in the reference set of 12 inefficient hospitals), we further compared the virtual inputs and outputs of the efficient hospitals to exclude that hospital 6 relies on an atypical input-output relation and, therefore, lacks the qualification to be a peer (see Table 2): First, no efficient hospital attached zero weights to the inputs and outputs which had been used to assess hospital efficiency. However, there were differences among efficient hospitals in so far as two efficient hospitals (hospitals 2 and 6) obviously rated PTS and FTE higher in relation to CASE and BED. In any case, the results of hospital 6 resembled those of hospital 2 and did not reveal any distorting effects regarding the optimal weights. These results are confirmed by the relatively moderate super efficiency scores (see Table 1, column V) which ranged between 118.2% (hospital 21) and 100.3% (hospital 2). Table 2. Virtual inputs and outputs of efficient hospitals DMU 1997 Hospital 2 Hospital 3 Hospital 6 Hospital 21 1998 Hospital 6 Hospital 7 Hospital 14 Hospital 21 1999 Hospital 14 Hospital 21 2000 Hospital 14 Hospital 21

VX(FTE)

VX(BED)

UY(PTS)

UY(CASE)

0.70933 0.22194 0.85480 0.19184

0.29067 0.77806 0.14520 0.80816

0.91146 0.76024 0.91977 0.67481

0.08854 0.23976 0.08023 0.32519

0.98857 0.99022 0.99141 0.82282

0.01143 0.00978 0.00859 0.17718

0.99502 0.99535 0.99127 0.76245

0.00498 0.00465 0.00873 0.23755

0.81057 0.75461

0.18943 0.24539

0.82165 0.64125

0.17835 0.35875

0.81094 0.18223

0.18906 0.81777

0.82301 0.60014

0.17699 0.39986

The analysis of peer appraisal revealed a slightly different picture for the year 1998. As regards the fully efficient hospitals 6 and 7, the difference between self and peer appraisal amounted to a considerable percentage: 18.0% (hospital 6) and 15.0% (hospital 7), whereas there were only small discrepancies for hospitals 14 (1.2%) and 21 (3.9%). However, in 1998 hospitals 6 and 7 appeared only 3 times in inefficient hospitals' reference sets, so that their importance as a peer had diminished considerably. Consequently, their peer indexes also decreased to 4% and

118

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

10%, respectively. The analysis of virtual inputs and outputs, however, resembled the 1997 results so that the 1998 efficiency results seem to be based on correct comparisons. The super efficiency scores for the efficient hospitals 6 and 7 were even smaller than the smallest super efficiency score in 1997. The classification of the hospitals rated efficient in 1999 and 2000 (hospitals 14 and 21) revealed that in both years the difference between self and peer appraisal was negligibly small for hospital 21. For hospital 14, peer appraisal even fully corresponded to self appraisal in both years. The frequency of appearing in reference sets was high and approximately the same for both hospitals. The peer indexes differed, with the importance of hospital 14 decreasing between 1999 and 2000. Only for hospital 21 the super efficiency score increased to considerable 181.2% in 2000, which indicates that the frontier was no longer well supported by other hospitals. Overall, the results of the sensitivity analyses are considered to confirm the stability of efficiency results.

5.2

LFK and Incentive System

One of the main purposes of the LKF has been to reduce considerable inefficiencies in the field of hospital care. To achieve this, it is necessary to provide appropriate incentives for the decision-makers inside the hospitals. One such incentive could be that budget shares are linked with hospital performance. Consequently, in order to analyse whether there is any correlation between budget shares and hospital performance, we compare the annual hospital budgets with the efficiency scores of the same (Pearson^) and the previous year (Pearson") (see Table 3). For that purpose, we first calculate the following two ratios: the total LKF budget per FTE (hereafter budget 1) and the total LKP budget minus special investment per FTE (hereafter budget 2) since the allocation of special investment might slightly distort the correlation results as it is allocated according to political decisions rather than productive performance. The correlation between technical efficiency and budget 1 increased from 1997 to 1999: starting with 0.65, the correlation coefficient increased to 0.93 in 1999. However, in 2000 the correlation coefficient was only 0.88. The correlation between budget 2 and technical efficiency also increased from 1997 (0.76) to 1998 (0.94), but then decreased again slightly to 0.91 in 1999 and 0.89 in 2000. Obviously, the allocation of special investments partly contributed to meeting the expectations regarding the activitybased financing. Concerning the decreased correlation in 1999 we have to bear in mind that, in 1999, the Landes fund changed the steering factors substantially. In addition, in 1999 there was no longer a variation fund, considered to compensate for budgetary hardship following the introduction of the LKF, as opposed to the preceding years. On the other hand, the effect of variation funds on the activitybased financing is considered to be minor since the balance funds, on average, only amounted to approximately 4% of total LKF funds. So, the 1999 result might point to an arbitrary selection of steering factors and, subsequently, to an arbitrary assignment of LKF inpatient budgets. As regards the correlation between LKF budgets and efficiency scores of the previous year, we obtain similar results: The

Applied Performance Measurement

119

correlation between 1997 efficiency scores and 1998 budget 1 (2) was considerably higher than the correlation between 1997 technical efficiency and 1997 budget 1 (2) (0.78 and 0.85 respectively). With regard to the correlation between 1998 technical efficiency and 1999 budget 1 we find a correlation coefficient of 0.92, whereas the correlation between 1998 technical efficiency and 1999 budget 2 amounted to 0.90 and was therefore much lower than the correlation between 1999 figures. The analysis of 1999 efficiency scores and the budgets of the year 2000 reveals a smaller correlation than in the previous year. Overall, the correlation coefficients are considered to be satisfactory, although a detailed analysis regarding the composition of annual budgets, the effect of hospital performance on annual budgets and the impact on hospital performance of using and changing steering factors over the years should be further investigated by the Lander funds to ensure that appropriate incentives are provided. Table 3. Efficiency and budget shares

I

1997 II

1998 1

][999

II

I

II

I

^000 II

Hospital 1

32.61

30.93

26.31

23.94

24.90

22.99

24.21

22.63

Hospital 2

37.32

36.39

39.65

37.38

42.54

41.30

40.92

39.77

Hospital 3

37.93

34.08

32.98

33.38

31.93

32.65

31.07

Hospital 4

38.85

34.87

35.19 37.52

33.30

33.13

32.82

37.84

32.87

Hospital 5

38.19

31.46

28.48

26.29

26.07

23.47

26.12

24.02

Hospital 6

39.51

37.66

40.38

37.70

40.73

40.16

44.51

40.61

Hospital 7

36.88

33.28

40.57

35.96

39.60

35.62

35.68

34.69

Hospital 8

45.21

42.60

37.87

33.84

34.20

33.38

37.95

34.13

Hospital 9

34.13

33.00

37.54

28.77

26.54

26.33

27.10

26.92

Hospital 10

34.35

33.16

29.24

26.99

28.06

27.04

28.24

27.39

Hospital 11

40.27

36.20

34.73

32.48

36.72

35.86

36.33

35.44

Hospital 12

24.91

23.05

19.52

16.40

17.63

15.05

15.71

14.02

Hospital 13

44.61

36.01

34.38

29.79

31.53

28.73

30.11

27.77

Hospital 14

49.74

37.30

50.50

36.28

41.37

39.89

44.18

43.71

Hospital 15

33.68

27.18

25.23

24.86

23.42

26.03

24.78

Hospital 16

34.47

30.45 33.21

36.50

33.49

31.29

30.99

37.32

34.28

Hospital 17

32.83

31.76

32.58

29.37

33.26

30.42

35.37

30.14

Hospital 18

34.53

31.41

32.10

28.99

28.13

26.70

27.93

26.35

Hospital 19

30.63

28.56

31.71

29.66

29.01

28.52

31.17

30.35

Hospital 20

44.17

34.63

37.88

32.35

37.13

28.79

34.60

28.87

Hospital 21

38.96

36.48

42.52

34.82

40.84

34.56

31.84

31.84

Hospital 22

36.64

34.90

34.67

31.43

32.19

29.60

31.90

30.28

Pearson^

0.649

0.762

0.884

0.944

0.925

0.910

0.878

0.886

...

0.783

0.854

0.916

0.897

0.832

0.870

Pearson"

™

I Total LKF budget, per FTE II Total LKF budget without special investment/equipment, per FTE

120

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

5.3

Contemporaneous Production Frontiers and Assessment of Productivity Clianges over Time

Assessing productive performance over time using the input-oriented Malmquist productivity index (see Table 4) illustrates that total factor productivity increased from 1997 to 1998 by around 4.3%, whereas we found a considerable deterioration from 1998 to 1999 of about 7.2%. From 1999 to 2000 productivity increased again by around 1.3%. The decomposition of productivity changes using the approach proposed by Fare et al. (1994) throws light on these productivity changes: the increases in productivity from 1997 to 1998 and from 1999 to 2000 are exclusively due to increases in technology, indicating positive shifts in the efficient frontier from 1997 to 1998 of about 5.6% and from 1999 to 2000 of about 4.6%. The deterioration of total factor productivity from 1998 to 1999 is partly the result of a negative technology shift of approximately 3.2%. The negative shift in technology was the result of the major revisions concerning the calculation of credit points regarding the intensive care component and the credit points per psychiatric case. The analysis of the 1999 number of intensive care credit points revealed that the total number of intensive care credit points only amounts to approximately 50% of the average total number of intensive care credit points of the previous 2 years. Assuming comparable services rendered in the intensive care unit over the years, these results indicate that the attainable number of intensive care credit points was divided in half since 1999 given the same performance. Therefore, the positive shift in technology from 1997 to 1998 represented the (first) system change (from the financing per inpatient day to the financing per case), thereby reflecting the hospitals' attempts to maximise their share of the fixed budget by optimising the number of credit points to be earned. We have found similar results elsewhere (ref. Sommersguter-Reichmann 2000, Sommersguter-Reichmann/Stepan 2000), including the previous years 1994 to 1996, where we found a significantly positive shift in technology also from 1996 to 1997; the significant technology change from 1997 to 1998 being slightly weaker. In contrast, the decrease in technology from 1998 to 1999 was primarily the result of the (second) system change in terms of major revisions concerning the assignment of intensive and psychiatric care credit points. The renewed enhancement in technology from 1999 to 2000 might be the result of the continuous learning process regarding the activity-based statement of services which results in further optimisation of credit points. Table 4. Malmquist productivity indexes

mean 1.043

1999/2000

1998/1999

1997/1998 MPI

TECHCH

EFFCH

MPI

TECHCH

EFFCH

MPI

TECHCH

EFFCH

1.056

0.988

0.928

0.968

0.958

1.013

1.046

0.968

However, as regards the changes in technical efficiency, we find the following: on average, technical efficiency decreased annually, -1.2% from 1997 to 1998,

Applied Performance Measurement

121

-4.2% from 1998 to 1999 and -3.2% from 1999 to 2000, indicating that the actual improvement in technical efficiency has not yet taken place. From an economic point of view, we draw the following conclusion: the results concerning the productive performance over time indicate that, obviously, there has not yet been any detailed analysis of incentive systems, neither in the phase of developing and introducing the LKF nor in the phase of actually applying the LKF system. However, since the Austrian Ministry of Health did not operationalise efficiency goals and possible sanctions, the only effects are ostensible improvements in terms of reductions in the number of hospital beds and average length of stay, which, in return, are compensated by increases in the total number of inpatients treated (ref. Sommersguter-Reichmann/Stepan 2000). Moreover, we assume that these effects are essentially the results of the fixed budget rather than of the activity-based financing. Summing up, we found that the LKF system and its system changes are reflected in frontier shifts during the observation period, therefore representing artificial rather than actual technology changes. Technical efficiency, however, decreased rather than increased between 1997 and 2000. The efficiency results, in general, provide the first helpful information regarding the detailed analysis of the reasons of inefficiency by analysing the service production process of those hospitals rated efficient in single years. In any case, further research has to be carried out using more disaggregated data.

6. Summary and Conclusion One of the main purposes of the activity-based financing has been to reduce considerable inefficiencies in the provision of hospital care. The analysis of productivity changes over time has revealed that the actual improvement in efficiency has not yet taken place. In return, our analysis reveals the incentives inherent in the new system expressed by the attempt to maximise the budget share by optimising the number of credit points. In addition, the correlation between budget share and efficiency in 1999 rather points to the arbitrary selection of steering factors and assignment of LKF budgets. For future research, it would be interesting to perform an efficiency analysis on a more disaggregated level of hospital performance, at the ward level, for example, to be able to analyse in detail which are the differences that render one hospital fully efficient and the next inefficient.

References Andersen P, Petersen NC (1993) A Procedure for Ranking Efficient Units in Data Envelopment Analysis. Management Science 39: 1261-1264 Braglia M, Petroni A (1999) Evaluating and Selecting Investments in Industrial Robots. International Journal of Production Research 37: 4157-4178

122

Adolf Stepan, Margit Sommersguter-Reichmann

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Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutern fur die betriebliche Praxis Peter Letmathe Fakultat fUr Wirtschaftswissenschaft, Universitat Siegen

1.

PersonlJche Vorgeschichte und Einleitung

Im Wintersemester 1990/91 bot Herr Kistner an der Universitat Bielefeld ein Seminar zu dem Thema „Der Faktor Zeit in der Produktionstheorie" an. Damals wie heute waren Seminarplatze ein knappes Gut und so konnte ich mich als frischgebackener Funftsemester glUcklich schatzen, einen Seminarplatz erhalten zu haben. Das zu bearbeitende Thema „Jahrgangsproduktionsfunktionen" hat die Grundlage fur weiter gehende Untersuchungen und damit auch fur den Beitrag in diesem Festband zu Ehren von Herm Kistner gelegt. Zunachst las ich mich in die nur sparlich vorhandene Literatur zu diesem Thema ein, beschaftigte mich mit verschiedenen Fortschrittskonzepten und fragte mich, was ich Uber eine reine Zusammenfassung der Literatur hinaus noch tun konnte und miisste. So fUhrte mich mein Weg in die Sprechstunde von Herrn Kistner, den ich etwas ratios nach meinem weiteren Vorgehen befragte. Herr Kistner stellte mir zunachst einige Verstandnisfragen, wohl um zu Uberpriifen, ob ich mich uberhaupt schon mit dem Thema befasst hatte. In der weiteren Diskussion meinte er, dass ich neben dem technischen Fortschritt auch tribologische Aspekte in meine Ausfuhrungen einbeziehen konnte. AnschlieBend sprach Herr Kistner liber bestimmte Produktivitatsverluste, die sich wahrend der Lebensdauer einer Maschine einstellen konnten, und zeichnete mir auch diesbezUgliche Kurvenverlaufe auf. SchlieBlich sagte er noch, dass es wunschenswert ware, wenn ich meine Ausfuhrungen mit empirischen Daten belegen konnte. Ich entfernte mich daraufhin recht zugig aus der Sprechstunde. Dies hatte auch einen einfachen Grund: Der Begriff der Tribologie war mir zuvor noch nie begegnet und ich hatte auch keine Vorstellung, was sich dahinter verbergen konnte. So fiihrte mich mein erster Weg nach der Sprechstunde in die gut ausgestattete Bielefelder Bibliothek. Dort konnte ich in Erfahrung bringen, dass sich hinter dem Begriff der Tribologie verkUrzt ausgedriickt die Forschung tiber den VerschleiB von Betriebsmitteln und Werkstoffen verbirgt (Czichos u. Habig 2003, S. Iff.). Nun hatte ich also eine erweiterte Aufgabenstellung: Neben dem technischen Fortschritt, der in Modellen zu Jahrgangsproduktionsfunktionen ohnehin betrachtet wird, sollte ich mich auch

126

Peter Letmathe

noch mit tribologischen Aspekten und der empirischen Fundierung des Gesamtkonzepts befassen. Da die Bielefelder Universitat keine ingenieurswissenschaftliche Fakultat hat, fuhr ich per Fahrrad zur Bibliothek der Fachhochschule Lippe mit Sitz in Lemgo, um Naheres tiber tribologische Kurvenverlaufe in Erfahrung zu bringen. Die empirische Basis versuchte ich durch mehrere Anrufe bei Unternehmen zu legen, die ich nach sinkenden Produktivitaten bei ihren Maschinen befragte. Obwohl ich den Begriff der Tribologie tunlichst vermied, bekam ich lediglich ausweichende und manchmal sogar verstandnislose Antworten. Lediglich das Unternehmen Gildemeister teilte mir mit, dass neuere Drehmaschinen eine hohere Produktivitat als alte aufweisen und dass die Produktivitat von Drehmaschinen im Laufe ihrer Lebensdauer leicht absinkt. Diese Aussage bildete dann die gesamte empirische Basis meiner Seminararbeit. Herr Kistner lieB dann aber Gnade vor Recht ergehen und benotete meine Seminararbeit aus meiner damaligen und heutigen Sicht recht groBzUgig. Dennoch bin ich mir bewusst, dass ich ihm die Antwort noch immer schulde. So mochte ich diesen Beitrag fur einen zweiten Versuch nutzen, den es bei Seminararbeiten bekanntlich nicht gibt. Zugleich verbindet sich mit den Ausfuhrungen dieses Beitrags die Frage, ob produktionstheoretische Konzepte wie das der Jahrgangsproduktionsfunktionen fiir die Betriebswirtschaftslehre einen echten Wert haben oder ob es sich hierbei lediglich um theoretische Abhandlungen im Sinne anspruchsvoller Denkspiele handelt. Diese Frage hat Herr Kistner durch die Forderung der empirischen Fundierung des Konzepts selbst aufgeworfen. Jahrgangsproduktionsmodelle und -funktionen (vintage production functions) sind aus der neoklassischen Wachstumstheorie hervorgegangen und konnen auf Johansen (1959) und Solow (1960) zuriickgefuhrt werden (vgl. auch Kistner 1993, S. 48ff., sowie Kistner 1991, S. 157). Ausgangspunkt ist die substitutionale Produktionsfunktion der allgemeinen Form X(t) = F(K(t),A(tlR(t)),

(1.1)

in die neben dem Einsatz der Produktionsfaktoren Arbeit (A) und Kapital (K) auch der technische Fortschritt (R) auf die Hohe des Outputs X in Abhangigkeit von der Zeit t einwirkt. Die BerUcksichtigung des technischen Fortschritts, insbesondere des kapitalgebundenen technischen Fortschritts (Solow 1957), geht von der Vorstellung aus, dass die in jedem Jahrgang installierten Kapitalgtiter einen eigenen technologischen Stand haben, der sich im Zeitablauf verbessert. Kapitalguter gleicher Art jedoch aus unterschiedlichen Jahrgangen - werden also im Gegensatz zu herkommlichen Betrachtungen als heterogen angesehen. Dies hat zur Folge, dass sich die Produktivitaten der Betriebsmittel einzelner Jahrgange unterscheiden, d.h. dass der Output bei gleichem Einsatz des Faktors Arbeit bei einer neuen Maschine hoher ist als bei einer alten. Um diesen Effekt herauszuarbeiten, lasst sich die allgemeine Produktionsfunktion als Summe mehrerer Jahrgangsproduktionsfunktionen charakterisieren, wobei hier die Additivitat der Jahrgangsproduktionsfunktionen vorausgesetzt wird (Solow 1960, S. 92ff.):

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutem

X(t) = ^ ^ r « = iF,(K,it),MO)

127

(1.2)

mit: T

Jahrgange ( r = l,...,/), in denen die Kapitalgiiter installiert worden sind t aktuelle Periode X^ (t) Output der Kapitalgiiter aus dem Jahrgang r in Periode t

Jahrgangsproduktionsmodelle wurden und werden noch heute zur Schatzung des kapitalgebundenen technischen Fortschritts (vgl. z.B. Intriligator 1965, Wickens 1970, You 1976, Malcolmson u. Prior 1979, McHugh u. Lane 1983, Sakellaris u. Wilson 2004, de Groot et al. 2004) eingesetzt. In der Betriebswirtschaftslehre werden Jahrgangsproduktionsfunktionen jedoch bis auf wenige Ausnahmen (z.B. Kistner 1993, Fischer 1980, S. 321ff.) kaum diskutiert. Die ursprunglichen Modelle zu Jahrgangsproduktionsfunktionen gehen davon aus, dass der Output der Kapitalgiiter, die im Folgenden entsprechend der Gutenberg'schen Produktionsfaktorklassifikation (vgl. Gutenberg 1983) als Betriebsmittel bezeichnet werden, ausschlieBlich vom Stand des technischen Fortschritts abhangt. Hier wird zusatzlich angenommen, dass eine weitere Abhangigkeit des Outputs vom (zeitbedingten) VerschleiB der Betriebsmittel gegeben sein kann. In diesem Fall konnen die hier beschriebenen Jahrgangsproduktionsfunktionen mit VerschleiBfaktorverbrauchsfunktionen, wie sie auf Stepan (1981, S. 16ff.) zuriickfUhrbar sind, verkniipft werden. Die simultane Beriicksichtigung von VerschleiB und technischem Fortschritt fiihrt zu einer weiteren Erhohung von Produktivitatsunterschieden bei Betriebsmitteln aus verschiedenen Jahrgangen. Es ist sicher kein Zufall, dass sich das weitere Vorgehen der Methoden bedient, die ich bei Herrn Kistner wahrend meines Studiums der Betriebswirtschaftslehre an der Universitat Bielefeld erlernt habe. Es handelt sich um die Aktivitatsanalyse, die lineare Programmierung und investitionsrechnerische Methoden. Zunachst wird der Beitrag durch ein handlungsleitendes Praxisbeispiel fundiert, um aufzuzeigen, dass das Konzept der Jahrgangsproduktionsfunktionen iiber den urspriinglichen Betrachtungsgegenstand hinaus erweitert werden kann und dass es auch zu einer Veranderung des betrieblichen Entscheidungsverhaltens beitragt. Im dritten Abschnitt wird angenommen, dass ein Unternehmen iiber verschiedene Betriebsmittel verfugt, die in unterschiedlichen Jahrgangen angeschafft worden sind. Aus den Maschinen der einzelnen Jahrgange und dem von ihnen jeweils reprasentierten Stand des technischen Fortschritts und ihres VerschleiBes lassen sich Aktivitaten ableiten, die im Rahmen eines aktivitatsanalytischen Optimierungsmodells zur Bestimmung eines optimalen Produktionsprogramms herangezogen werden konnen. Der vierte Abschnitt untersucht, inwiefern technischer Fortschritt (vgl. Solow 1962) so wie VerschleiB das Investitionsverhalten und das Technologiemanagement eines Unternehmens beeinflussen (vgl. Kistner et al. 1989). Die Analyse greift die aktivitatsanalytischen tJberlegungen des dritten Abschnitts auf, geht allerdings nicht mehr von einem gegebenen Betriebsmittelbestand aus. Abschnitt fiinf enthalt eine kurze Zusammenfassung und einige Schlussbemerkungen.

128

Peter Letmathe

2. Handlungsleitendes Praxisbeispiel Will man Wege aufzeigen, wie produktionstheoretische Konzepte - wie die Jahrgangsproduktionsfunktionen - fiir anwendungsorientierte betriebswirtschaftliche Fragestellungen genutzt werden konnen, erscheint zunachst ein Blick in die Praxis als sinnvoll. Das gewahlte Beispiel entstammt einem Auftragsforschungsprojekt, bei dem die Ausgestaltung der Kostenrechnung in dem betreffenden Unternehmen im Vordergrund stand. Wie bei Auftragsforschungsprojekten Ublich, konnen an dieser Stelle der Name und die Produkte des Untemehmens nicht genannt werden. Eine Darstellung der mit dem Konzept der Jahrgangsproduktionsfunktionen verkniipften Problemstellung und der Losung ist hingegen in der gebotenen Detailtiefe moglich. Bei dem Unternehmen handelt es sich um einen GroBserienfertiger fiir die Automobilindustrie. Die Produktpalette setzt sich aus verschiedenen Prazisionsteilen fUr verschiedene Anwendungszwecke zusammen. Die Produkte werden in einer mehrstufigen Fertigung aus verschiedenen Stahlsorten hergestellt. In den einzelnen Produktionsstufen befinden sich zumeist (vermeintlich) identische CNCMaschinen, die auf der Basis von Bauteilezeichnungen programmiert und eingestellt werden. Wie alle Unternehmen in der Automobilindustrie steht auch dieses Unternehmen unter einem hohen Kostensenkungsdruck, der sich in zumeist jahrlich sinkenden Preisen fiir die einzelnen Produkte niederschlagt. Das Unternehmen fiihrt daher umfangreiche kontinuierliche Verbesserungsanstrengungen durch und verfiigt tiber ein zertifiziertes Qualitatsmanagementsystem. Bereits vor dem Projekt wurden vom Produktionsleiter des Unternehmens umfangreiche Analysen zu Produktivitatsverlusten und Verbesserungspotenzialen durchgefuhrt. Ein Teil der im Folgenden beschriebenen MaBnahmen wurde daher von der Untemehmensleitung selbst initiiert, wahrend ein anderer Teil wahrend des Projektverlaufs entwickelt wurde. Die Messung der Produktivitatsverluste erfolgte dabei in erster Linie durch den Anteil der Maschinenzeiten, in denen eine tatsachliche Teileproduktion stattfindet. Diese Zeiten definieren sich als Fertigungszeiten, in denen Telle gefertigt werden, die den Kundenspezifikationen hundertprozentig geniigen. Als Produktivitatsverluste werden hingegen alle Rtist- und Einstellungszeiten der Maschinen, die am Anfang eines Loses anfallenden Anlaufverluste, Zeiten, in denen Qualitatsausschuss produziert wird, Stillstandszeiten der Maschinen z.B. infolge der NichtverfUgbarkeit eines Maschineneinstellers, Wartezeiten der Maschinen wegen fehlenden Materials sowie alle sonstigen Leerzeiten und Verzogerungen gerechnet. Trotz groBer Lose mit zum Teil mehrwochigen Maschinenlaufzeiten wurde die Produktionsleitung mit Anteilen der Gutteileproduktion konfrontiert, die sich zwischen 30% und 70% je Schicht bewegten. Ein erster Ansatzpunkt fiir Verbesserungen war die Standardisierung der Maschineneinstellung, die von verschiedenen Maschineneinstellern unabhangig voneinander vorgenommen wurde. Da das Unternehmen in der Regel im Dreischichtbetrieb produziert, kam es zu keiner Abstimmung zwischen den Maschineneinstellern. Probleme und Fehler bei der Maschineneinstellung wurden nur einzelfallbezogen behandelt, aber nicht systema-

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgiitem

129

tisch beseitigt. Eine der ersten MaBnahmen war es daher, einen Qualitatszirkel zu griinden, bei dem die Maschineneinsteller regelmaBig zusammengefuhrt wurden. Das Ziel war die Standardisierung der Maschineneinstellung unabhangig von dem einzelnen Einsteller und der jeweiligen Schicht. Die auf diese Weise erarbeiteten Best Practices zur Maschineneinstellung wurden anschlieBend dokumentiert und in Arbeitsanweisungen auch in visueller Form festgehalten. CNC-Maschinen im Bereich der Zerspanung arbeiten haufig mit mehreren Werkzeugen zur Grob- und Feinbearbeitung der entsprechenden Telle. Beim betrachteten Unternehmen werden bis zu zwolf Werkzeuge gleichzeitig in einer Maschine verwendet. Je nach Eingangsqualitat der Werkzeuge, des zu bearbeitenden Materials und der Maschineneinstellung kommt es immer wieder zu unvorhergesehenen Werkzeugbriichen in der Maschine. Ein solcher Bruch fiihrt dazu, dass die bearbeiteten Telle nicht mehr innerhalb der Fertigungstoleranzen liegen. Je spater ein Werkzeugbruch bemerkt wird, desto hoher ist die Anzahl der nicht verwendbaren Telle. Zudem kann ein Werkzeugbruch auch dazu fUhren, dass die anderen Werkzeuge einer Maschine ebenfalls beschadigt werden. Nach einem Werkzeugbruch muss die Maschine in der Kegel vollig neu eingestellt werden. Einstellungsbedingte Werkzeugbruche konnten zwar durch die Standardisierung der Maschineneinstellung vermindert werden, dennoch traten welter erhebliche Schwankungen bei der Gutteileproduktion auf, fUr die zunachst keine Ursache entdeckt werden konnte. Die weitere Analyse ergab, dass die schwankenden Ausschussquoten weder auf einzelne Mitarbeiter noch auf einzelne Schichten zuruckgefuhrt werden konnten. Ein erster Zusammenhang ergab sich jedoch zwischen den auftretenden Schwankungen und einzelnen Bearbeitungsmaschinen. Dabei handelte es sich durchweg um altere Maschinen, obwohl diese dem gleichen Typ und derselben Modellreihe wie die neueren Maschinen entstammten. Eine Verminderung der Gutteileproduktion trat bei den alteren Maschinen jedoch nicht durchgangig auf, sondem konzentrierte sich auf einzelne Zeitraume, die einzelnen Materialchargen zugeordnet werden konnten. Die Untersuchung der Eingangsmaterialien zeigte, dass die hoheren Ausschussquoten letztlich auf einen schwankenden Schwefelgehalt bei den angelieferten Stahlsorten zuruckzufiihren waren. Zwar wurde das Material, bevor es in die Fertigung ging, durch das Qualitatsmanagement gepriift, aber es stellte sich heraus, dass die Materialspezifikationen fUr die alteren Maschinen problematisch waren. AuBerdem hat der betrachtete Automobilzulieferer nur einen begrenzten Einfluss auf die Materialspezifikationen, da sich diese an Vorgaben der Systemlieferanten orientieren. Eine Anderung der Spezifikationen war auch nicht unbedingt erforderlich, da man durch eine veranderte Zuweisung von Material zu Maschinen weitgehend verhindern konnte, dass Stahle mit ungunstigem Schwefelgehalt auf Maschinen alterer Jahrgange eingelastet werden. Betrachtet man das aufgetretene Problem, so liegt die Kombination zweier Ursachen vor. Eine schwankende Materialzusammensetzung fUhrt zu Problemen bei Maschinen alterer Jahrgange. Obwohl es sich um den identischen Maschinentyp handelt, ist es dem Hersteller der Maschine offensichtlich gelungen, die angebotenen Maschinen im Zeitablauf von zwei bis drei Jahren hinsichtlich der Materialtoleranz zu optimieren. Offensichtliche Anderungen bei der Maschinengeschwin-

130

Peter Letmathe

digkeit und damit der Standard-Produktivitat hat es hingegen nicht gegeben. Aufgrund nicht verftigbarer Daten blieb allerdings unklar, ob die Ursache ftir die verbesserte Materialtoleranz tatsachlich beim technischen Fortschritt oder beim vorangeschrittenen VerschleiB alterer Maschinen zu suchen ist. Aus dem hier skizzierten Praxisbeispiel lassen sich gleich mehrere Schlussfolgerungen ziehen. Das Problem konnte durch interne MaBnahmen, die sich auf eine richtige Zuordnung von Materialien zu Maschinen beziehen, weitgehend behoben werden. Letztlich handelt es sich dabei um eine MaBnahme der selektiven Anpassung bei nicht-identischen Maschinen, wie es bereits bei Gutenberg (1983, S. 386ff.) beschrieben wird. Fur das Konzept der Jahrgangsproduktionsfunktionen ergeben sich folgende Implikationen: • Das Bewusstsein fur jahrgangsbezogenen technischen Fortschritt bzw. voranschreitenden VerschleiB kann zur Losung produktionsplanerischer Probleme beitragen. • Technischer Fortschritt bzw. VerschleiB kann sich durch verschiedene Konsequenzen bemerkbar machen. Dabei kann es sich beispielsweise um die Verarbeitbarkeit von Materialien, um die Maschinenintensitat, um die Einsparung des Faktors Arbeit bzw. von Werkstoffen, um geringere Ausschussquoten, um geringere Laufkosten von Maschinen, um geringere Ansprliche an die Mitarbeiterqualifikation etc. handeln. • Die Analyse des technischen Fortschritts oder VerschleiBes wird dadurch erschwert, dass haufig multiple Ursachen fur Wirtschaftlichkeitsverluste vorhanden sind, die lediglich in Kombination zu Problemen fuhren. Im betrachteten Beispiel waren dies die Materialzusammensetzung und die technische Verarbeitbarkeit von Materialien mit unterschiedlich hohem Schwefelgehalt. Solche multiplen Ursachen konnen z.B. mithilfe von Ursache-Wirkungs-Diagrammen herausgearbeitet werden. Die Priifung jahrgangsbezogener Unterschiede bei vermeintlich identischen Maschinen kann bei der Analyse hilfreich sein. In der Summe zeigt sich durch das Praxisbeispiel die empirische Relevanz des Konzepts der Jahrgangsproduktionsfunktionen auch fUr betriebswirtschaftliche Problemstellungen. Das hier betrachtete Problem kann sowohl mit produktionsplanerischen Methoden als auch mit dem Ersatz von alten CNC-Maschinen gelost werden. Beide Losungsmoglichkeiten werden daher in den Abschnitten drei und vier dieses Artikels naher beleuchtet.

3. Produktionsplanung unter Beriicksichtigung jahrgangsbezogener Unterschiede von Maschinen Die Aktivitatsanalyse bildet schon seit Jahrzehnten sowohl in der Forschung als auch in der Lehre einen Schwerpunkt von Herm Kistner. Die auf Koopmans (1951) zurtickgehende Aktivitatsanalyse eignet sich sowohl zur Fundierung von Ergebnissen der neoklassischen Produktionstheorie (Kistner 1993, S. 54ff.) als auch fiir den unmittelbaren Einsatz in der Produktionsplanung. So kann und wird

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutem

131

die Aktivitatsanalyse auch zur Losung ftir das im Abschnitt zwei beschriebene handlungsleitende Praxisbeispiel verwendet werden. Dabei wird in diesem Abschnitt von einem gegebenen Betriebsmittelbestand des betrachteten Unternehmens ausgegangen, was dazu fuhrt, dass die mit den einzelnen Maschinen durchfUhrbaren Aktivitaten (Prozesse) feststehen. Dennoch bestehen Freiheitsgrade und Substitutionsmoglichkeiten, da auf den einzelnen Maschinen verschiedene Aktivitaten durchfUhrbar sind und auBerdem die Betriebsmittel unterschiedlich ausgelastet werden konnen. Es ist daher zu zeigen, dass die geschickte Kombination der Produktionsmoglichkeiten der Maschinen einzelner Jahrgange zu verringerten Kosten fUhrt, ohne dass Lieferverpflichtungen des Untemehmens nicht erfullt werden konnen. Durch das handlungsleitende Praxisbeispiel aus Abschnitt zwei ist klar geworden, dass technischer Fortschritt nicht linear alle mithilfe einer Maschine durchftihrbaren Prozesse betrifft. Vielmehr bezog sich das Praxisbeispiel auf Produktivitatsverluste alterer Maschinen, die nicht in der Lage waren, eine bestimmte Materialart mit zufriedenstellender Ausschussrate zu bearbeiten. Daraus ergibt sich unmittelbar das Problem einer verbesserten Zuordnung von Materialien zu Maschinen verschiedener Jahrgange, um erhohten Ausschuss und damit einhergehende Produktivitatsverluste zu vermeiden. Ideal ist hier ein Produktionsplanungsmodell, das den Einsatz eines einfachen Losungsverfahrens ermoglicht. Voraussetzung ist zunachst die Erfassung der Materialeigenschaften - im Beispiel insbesondere des Schwefelgehalts der eingesetzten Stahlsorten -, um die ftir ein derartiges Planungsmodell erforderlichen Informationen verfUgbar zu machen. Die genaue Materialzusammensetzung kann beispielsweise von der Qualitatssicherungsabteilung erfasst werden. Auch die obligatorische Angabe der Materialzusammensetzung durch den Lieferanten ist denkbar. 3.1

Aktivitatsanalytische Optimierung im statischen Fall

Eine Aktivitat ist eine Kombination von Einsatzmengen der Werkstoffe r = (ri,...,r/), von Maschineneinsatzzeiten m = (mii,...,mif,...,m^i ...mj^() der einzelnen Maschinentypen n = l,...,N der verschiedenen Jahrgange r = 1,...,/ und von Einsatzzeiten des Faktors Arbeit w = (wi,...,Wf^), welche die Herstellung einer bestimmten Kombination von Ausbringungsmengen x = (xi,...,xj) ermoglicht. Eine Aktivitat kann durch den Punkt y = (zw,r, w,x) dargestellt werden (in enger Anlehnung an Kistner 1993, S. 54). Ein Prozess ergibt sich durch die proportionale Ausdehnung aller Input- und Outputmengen der zugehorigen Basisaktivitat (Kistner 1993, S. 56f.). FUr das betrachtete Praxisbeispiel ist es entscheidend, die einzelnen Aktivitaten bzw. Prozesse so zu erfassen, dass die MaschinenMaterial-Kombination als Ursache fUr iiberhohte Ausschussraten prazise einflieBt. Zum einen miissen bisher als gleichartig angesehene Materialien bezogen auf ihre spezifischen Materialeigenschaften - hier der Schwefelgehalt - separiert und ktinftig als unterschiedliche Materialien betrachtet werden. Zum anderen miissen bisher als identisch angesehene Maschinen bezogen auf ihre Anschaffungsjahr-

132

Peter Letmathe

gauge unterteilt und als unterschiedliche Maschinen erfasst werden. Darliber hinaus konnen selbstverstandlich auch personenbezogene Produktivitatsunterschiede der einzelnen Arbeitskrafte berucksichtigt werden. Im Ergebnis wird eine Aktivitat zur Herstellung einer bestimmten Produktart, die bisher nicht bezogen auf den Schwefelgehalt des eingesetzten Materials sowie auf die Maschinenjahrgange differenziert betrachtet wurde, in mehrere Aktivitaten unterteilt. Die Anzahl der Aktivitaten ergibt sich dann aus den moglichen Material-Maschine-Mensch-Kombinationen. Dies fuhrt beispielsweise bei drei Materialarten, die unterschiedliche Intervalle an Schwefelgehalten abdecken, bei vier Maschinenjahrgangen und zwei Arbeitskraften zu insgesamt 24 Einzelaktivitaten. Bei hinreichend differenzierten Aktivitaten >' = (w,r,w,x) lasst sich ein Planungsmodell formulieren, das eine Zuordnung von Materialien und Arbeitskraften zu Maschinen generiert, die den erzielbaren Deckungsbeitrag maximiert. Der Deckungsbeitrag der Periode t errechnet sich durch die mit Preisen bewerteten Endprodukte abzuglich der Kosten des Maschineneinsatzes, der verbrauchten Materialien und der Einsatzzeiten der Arbeitskrafte: J

N t

I

K

I^^t = YjPj'^j-YjYj^^t'^m-Yj^n'ri-Yj^^k'^k j=\

mit: pj

n=\t=\

i=\

^max!

(3.1)

k=\

Erlos je Einheit des Produkts^

cnij^j Kostensatz je Maschinenstunde der Maschine vom Typ n (n = l,...,N) des Jahrgangs r (r = l,...,0 cri Kostensatz fUr eine Mengeneinheit der Materialart / (/ = !,..., / ) cwj^ Kostensatz je Stunde Arbeitszeit der Arbeitskraft k (k = l,...,K) Diese Zielfunktion ist unter Beachtung der folgenden Nebenbedingungen zu optimieren: 1. Einhaltung der Materialrestriktionen Materialien werden grundsatzlich nach spezifizierten Normen bestellt, bei denen bestimmte Bestandteile - wie im Praxisbeispiel der Schwefelgehalt - schwanken konnen. Erst nach Anlieferung ist bekannt, wie hoch der konkrete Schwefelgehalt der angelieferten Materialien tatsachlich ist. Die Mengen der nach Bestandteilen spezifizierten Materialien ergeben zugleich die maximalen Verbrauchsmengen ri der einzelnen Materialien. Eine Nachbestellung innerhalb der Planungsperiode ist damit ausgeschlossen. Um Fehlmengen zu vermeiden und um sich zugleich gegen Ausschuss und andere Arten der Materialverschwendung abzusichern, wird das Unternehmen immer einen Teil der Materialien als Sicherheitspuffer am Lager behalten. Dennoch ist es ungunstig, wenn die Lagerbestande einzelner Materialarten zu hoch werden. Zum einen wUrde dies zu uberhohter Kapitalbindung fuhren und zum anderen konnen Probleme uberhohter Lagerhaltung, wie Verschwendung, auftreten (vgl. z.B. Chase et al. 2001, S. 398). Um diese negativen Effekte der Lagerhaltung zu

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgtitern

133

vermeiden, bietet es sich an, bei Materialien mit ungunstiger Zusammensetzung mit Mindestverbrauchsmengen r^ zu arbeiten. Der Materialverbrauch einer spezifizierten Materialart / bezogen auf den Prozess / (/ = 1,...,Z) ergibt sich durch die Multiplikation der Prozesskoeffizienten an, die angeben, welche Menge der Materialart / bei einmaliger DurchfUhrung des Prozesses / verbraucht wird, mit der Durchfuhrungshaufigkeit des Prozesses /, die durch yi charakterisiert ist. Hinzu kommt der Materialverbrauchskoeffizient an der Materialart /, der auf die Einrichtung des Prozesses / zuriickzufiihren ist. Ein solcher Verbrauch ist in der Regel auf Anlaufverluste bei der Maschineneinstellung zuriickzufiihren. Die Anzahl der RUstvorgange yi ergibt sich durch die maximalen Standzeiten^ der Bearbeitungswerkzeuge. Wahrend einer Bearbeitung wird angenommen, dass eine Unterbrechung des laufenden Prozesses solange nicht stattfindet, bis entweder die Werkzeuge ausgewechselt werden miissen oder die Planproduktionsmenge erreicht ist. Der Gesamtverbrauch r^ ist dann durch die Summe aller prozessbezogenen Verbrauchsmengen der Materialart / gegeben. Fuhrt man die Bestimmungsgleichungen zu den Material verbrauchsmengen und die zugehorigen Mindest- und Maximalverbrauchsmengen zusammen, so ergeben sich folgende Nebenbedingungen:

rt=Y!yairyi^a^-y^]^rp

(/• = i,...,/)

(3.2)

/=1

2. Einhaltung der Kapazitatsrestriktionen Die Kapazitatsinanspruchnahme niy^ der Maschinen des Typs n eines Jahrgangs T ergibt sich durch die Maschinenzeiten wahrend der Herstellung von Gutteilen der Prozesse (/ = 1,...,L) sowie durch die einrichtungsbedingte und sonstige einmalige Maschinenzeitinanspruchnahme je Los. Unter Beriicksichtigung der Kapazitatsobergrenzen w ^ der Maschinentypen n-\,...,N der Jahrgange r = l,...,^ ergeben sich damit folgende Nebenbedingungen: rnnr=Yk>mryi-^b^ryf]^^Z

{n = \,„.,N, r = l,...,0

(3.3)

/=l

mit: by^i b^l

7

Zeitliche Inanspruchnahme des Maschinentyps n vom Jahrgang r bei einmaliger Durchfiihrung des Prozesses / Einrichtungsbedingte und sonstige einmalige zeitliche Inanspruchnahme des Maschinentyps n vom Jahrgang r je Los

Standzeiten geben an, welche Teilemenge mit einem Werkzeug bearbeitet werden kann. Die Standzeiten determinieren damit die maximale LosgroBe, nach der eine Umrustung der Maschine selbst dann erforderlich ist, wenn mit der Bearbeitung derselben Teileart fortgefahren wird.

134

Peter Letmathe

3. Begrenzung der Arbeitszeit Uber das betrachtete Praxisbeispiel hinaus sind auch mitarbeiterbezogene Fertigkeiten von Bedeutung, die durch eine sinnvoUe Zuordnung von Mitarbeitern zu Prozessen und damit auch zu Maschinen genutzt werden konnen. Die zeitliche Inanspruchnahme w/^ eines Mitarbeiters/: (k = l,...,K) berechnet sich durch die Arbeitszeiten wahrend der Herstellung von Gutteilen der Prozesse (/ = 1,...,Z) sowie durch die einrichtungsbedingte und sonstige einmalige zeitliche Inanspruchnahme der Mitarbeiter je Los. Die zeitlichen Inanspruchnahmen der Mitarbeiter sind durch die Maximalarbeitszeit wj^ , die auch mogliche tFberstunden bereits enthalten kann, begrenzt:

^k=T(ckryi

+ 4'yfh^k

(k = i,...,K)

(3.4)

1=1 n

Die Koeffizienten c/^i sowie % umfassen die zeitliche Inanspruchnahme der Mitarbeiter k je Durchfuhrung des Prozesses / sowie die einrichtungsbedingten Arbeitszeiten je Los. 4. Berucksichtigung von Absatzober- und -untergrenzen Fur die Produkte sind Absatzuntergrenzen Xj , die sich durch vertragliche Verpflichtungen ergeben konnen, sowie Absatzobergrenzen Xj , die die maximal am Markt absetzbaren Mengen charakterisieren, zu beachten. Die Produktionsmengen Xj der Produkte y = 1,..., J erhalt man, indem man die Produktionskoeffizienten dji, die die Ausbringungsmenge des Produkts j je Durchfuhrung des Prozesses / angeben, mit den Prozesshaufigkeiten yi multipliziert und die Ergebnisse uber alle Prozesse aufsummiert. Unter Berucksichtigung der Absatzunter- und -obergrenzen sind folgende Nebenbedingungen relevant: L

^^ ^^j=T'^ji'yi^^f

a=1,...,^)

(3.5)

1=1

5. Erfassung von RUstvorgangen Wie bereits erwahnt, finden bei den einzelnen Prozessen Rustvorgange statt, wenn die Variable fiir die Prozesshaufigkeit yi des Prozesses / einen positiven Wert aufweist. In diesem Fall hat die Rustvariable yf des Prozesses / den aufgerundeten ganzzahligen Wert aus der Division der Prozesshaufigkeit yi durch die aufgrund der Werkzeugstandzeiten maximal zulassige LosgroBe yf^^^ . Falls der entsprechende Prozess / in der Betrachtungsperiode nicht genutzt wird, findet auch kein RUstvorgang statt. Somit gilt:

^R ^ I [yi/yr] Ib/Zyri+l

falls y, lyr"" ^ N„ sonst

^ Die eckige Klammer in der Formel steht fiir die GauB'sche Klammer.

(3.6)

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalglitem 135 Diese Nebenbedingungen lassen sich auf einfache Weise in eine lineare Form bringen, indem gewahrleistet wird, dass die Anzahl der Prozessdurchfuhrungen kleiner oder gleich dem Produkt aus der Anzahl der Rtistvorgange und der maximal zulassigen LosgroBe yf^^^ ist: yi-yr^'-yf^O

(/ = 1,...,Z)

(3.7)

6. Nichtnegativitatsbedingungen und Ganzzahligkeitsbedingungen Die Nichtnegativitatsbedingungen gewahrleisten, dass die Prozessdurchfuhrungshaufigkeiten keine negativen Werte aufweisen konnen: yi>0

(l = l,...,L)

(3.8)

Die Nichtnegativitaten fUr ri,m^^ , wj^ und xj resultieren unmittelbar aus den Nebenbedingungen 3.2 bis 3.5. AbschlieBend ist noch sicherzustellen, dass die Anzahl der Umriistungen je Prozess / nur nicht-negative ganzzahlige Werte annehmen kann: yj^^^o

(/ = i,...,^)

(3.8)

Das dargestellte lineare Modell zur sinnvollen Maschinenbelegungsplanung bei jahrgangsbezogenen Unterschieden von typgleichen Maschinen bzw. von Maschinen mit uberlappendem Fertigungsspektrum lasst sich mit den Standardverfahren der linearen Programmierung losen. Allerdings ist zu beachten, dass der Losungsaufwand mit dem Detaillierungsgrad der Prozesse aufgrund der enthaltenen Ganzzahligkeitsbedingungen erheblich ansteigen kann. Bei zu hoher Anzahl an Prozessen kann Abhilfe geschaffen werden, indem der Detaillierungsgrad der Prozesse entweder auf ein vertragliches MaB gesenkt wird oder indem die Rustvorgange in Form von pauschalen Kapazitatsabschlagen bei den einzelnen Maschinen beriicksichtigt werden. Im letzteren Fall wird von den Ganzzahligkeitsbedingungen vollstandig abstrahiert. Bei beiden vorgeschlagenen Alternativen kann dann, um die Losbarkeit des Programmierungsmodells zu gewahrleisten, lediglich eine zufrieden stellende, aber in der Regel keine optimale Losung mehr erzielt werden. 3.2

Praxisrelevanz von Jahrgangsproduktionsfunktionen

Anfangs wurde die Frage nach dem Wert von produktionstheoretischen Konzepten wie dem Konzept der Jahrgangsproduktionsfunktionen gestellt. Betrachtet man die hier dargestellte Situation, so lasst sich der damit einhergehende Nutzen fur die Unternehmen gleich auf dreierlei Weise verdeutlichen: 1. Niedrigere Ausschussquote: Durch die richtige Zuordnung von Materialien zu Maschinen kann die Ausschussquote deutlich gesenkt werden. Geht man bei Materialien mit einem hohen Schwefelgehalt von einer Ausschussquote von 20% gegenuber einer sonstigen Ausschussquote von 5% aus und betragt der Anteil des Materials mit hohem Schwefelgehalt ein Drittel, so fuhrt eine richtige gegenuber einer falschen Maschinenzuordnung zu einer Senkung der Aus-

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Peter Letmathe

schussquote um 5%. Dies bedeutet zugleich eine 5%ige Senkung des Kapazitatsbedarfs, eine 5%ige Kostensenkung beim Einsatzmaterial, eine um 5% geringere Beanspruchung von Arbeitskraft, einen geringeren Werkzeugeinsatz sowie eine verminderte Anzahl an Werkzeugbruchen. In der Summe kann man somit mindestens von einer 5%igen Kostensenkung fur die in diesem Beispiel betrachteten Produkte ausgehen. 2. Reduktion von Schwankungen and Erhohung der Planungssicherheit: Da Ausschuss Uber den Zeitablauf nicht gleichmaBig auftritt, sondern sich in bestimmten Zeitpunkten hauft, unterliegt eine Fertigung, die jahrgangsbezogene Unterschiede nicht beriicksichtigt, erheblichen Schwankungen. Diese Schwankungen fuhren zum einen dazu, dass eine erhebliche Planungsunsicherheit gegeben ist, da im Voraus nie bekannt ist, wann und in welchem AusmaB Schwankungen bei der Ausschussquote anfallen. Zum anderen muss Schwankungen durch eine vorgehaltene Reservekapazitat oder durch hohe Lagerbestande begegnet werden, da die jederzeitige Lieferfahigkeit gerade in der Automobilindustrie fur die Zulieferer obligatorisch ist (vgl. Letmathe 2002, S. 102ff.). Beides ist mit hohen Kosten verbunden, die durch eine Reduktion von Schwankungen erheblich gesenkt werden konnen. Die Planungssicherheit steigt bei einer Reduktion von Schwankungen massiv an, da Abweichungen von den Planvorgaben in geringerem AusmaB auftreten. 3. Herausstellung von Zusammenhdngen: Das vorgestellte Planungsmodell kann einer Sensitivitatsanalyse unterzogen werden, mit deren Hilfe Substitutionsbeziehungen und sonstige Zusammenhange naher untersucht werden konnen (vgl. Kistner 2003, S. 58ff.). Auf diese Weise lassen sich Wirkungsketten, die insbesondere Produktivitatsunterschiede bei unterschiedlichen Maschinenjahrgangen betreffen, erschlieBen, die sonst im Betriebsalltag verborgen blieben. Fasst man den Wert des Konzepts der Jahrgangsproduktionsfunktionen fiir den statischen Fall zusammen, so kommt man zu dem Ergebnis, dass die dort diskutierten Produktivitatsunterschiede die Problemsensibilitat erhohen und damit auch zu verbesserten Losungen in der Praxis beitragen konnen. Damit soil nicht gesagt werden, dass sich der Praktiker solche Losungen durch seine Intuition nicht selbst erarbeiten kann. Aber neben der Intuition konnen eben auch konzeptionelle Ansatze zu erheblichen Verbesserungen fuhren. AuBerdem sollte nicht vernachlassigt werden, dass die konzeptionelle Schulung auch die spatere Intuition des Praktikers mit ausbildet.

4. Investitionsrechnerische Uberlegungen und Aspekte des Technologiemanagements Im statischen Modell wurde von einer gegebenen Betriebsmittelausstattung ausgegangen, die wahrend des betrachteten Planungshorizonts nicht beeinflusst werden kann. Bei langerfristiger Perspektive ergibt sich die Frage, ob und wann die vorhandenen Betriebsmittel ersetzt werden sollen und wie lange die bisherigen Basis-

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalglitem

137

technologien noch erfolgreich im Markt eingesetzt werden konnen. Hierbei ist eine Reihe an Einzelaspekten zu beachten: • Anschajfungskosten einer Anlage: Steigende Anschaffungskosten bei Anlagen mit einem hoheren technischen Fortschrittsniveau, das sich beispielsweise in einer hoheren Produktivitat niederschlagt, fuhren tendenziell dazu, dass Investitionen in neue Technologien verzogert werden bzw. vollstandig ausbleiben. Bei fallenden Preisen kommt es hingegen zu einem Vorziehen von Investitionen. • Preisniveau der mit einem Betriebsmittel produzierten Telle: Bei einem sinkenden Preisniveau - wie dies beispielsweise in der Automobilindustrie beobachtbar ist - konnen zufrieden stellende Margen bzw. Betriebsergebnisse nur dann erzielt werden, wenn den gesunkenen Preisen auch ein sinkendes Kostenniveau gegenubersteht. Dies lasst sich entweder durch die Investition in neue Technologien und konsequente Anstrengungen zur kontinuierlichen Verbesserung von Produktionsablaufen oder durch die Verlagerung von Produktionsstatten ins Ausland realisieren. Geringere Deckungsspannen einzelner Produkte konnen gegebenenfalls auch durch eine Steigerung der Absatzmengen kompensiert werden. • Verschleifi von Betriebsmitteln: Der VerschleiB von Betriebsmitteln lasst sich zumindest teilweise durch eine vorbeugende Instandhaltung der Betriebsmittel auffangen. Der daruber hinaus auftretende VerschleiB fuhrt in der Tendenz dazu, dass sich die Deckungsspannen der hergestellten Telle, z. B. aufgrund einer erhohten Ausschussrate, verringern. Dies hat zur Folge, dass sich die Nutzungsdauem der eingesetzten Betriebsmittel tendenziell verringern. • Erfahrungskurvenejfekte bei vorhandenen bzw. neuen Betriebsmitteln: Erfahrungskurveneffekte entstehen, wenn das Know-how der Mitarbeiter im Unternehmen gezielt dafur eingesetzt wird, die betrieblichen Ablaufe kontinuierlich zu verbessern. Durch solche Anstrengungen ist auch mit einem gegebenen Betriebsmittelbestand eine erhebliche Produktivitatssteigerung moglich. Eine solche Steigerung wirkt dem Veralten von Maschinen aufgrund von VerschleiB und voranschreitendem technischen Fortschritt tendenziell entgegen. Bei der Investition in eine neue Technologic soUte prinzipiell darauf geachtet werden, dass die erworbenen Erfahrungskurveneffekte bei der Nutzung des neuen Betriebsmittels nicht verloren gehen. • Kostenentwicklung der mit einem vorhandenen Betriebsmittel produzierten Telle: Die Kostenentwicklung der produzierten Telle wird zum einen durch die Kostenentwicklung bei den Werkstoffen beeinflusst und zum anderen durch die Kosten des Faktors Arbeit. Bei den Werkstoffen hat es in der letzten Zeit insbesondere im Stahlbereich erhebliche Kostensteigerungen gegeben, die sich negativ auf die erzielbaren Deckungsspannen auswirken. Der hohe Kostendruck fuhrt u.a. dazu, dass die Untemehmen versuchen, Kostensenkungen bei anderen Faktoren zu erzielen. Dies kann beim Faktor Arbeit dadurch geschehen, dass die Lohnhohe je Monat gesenkt, die Arbeitszeit je Woche erhoht oder die Arbeitszeiten insgesamt flexibilisiert werden. Letzteres ermoglicht auch eine verbesserte Reaktion auf die bereits angesprochenen Schwankungen. Daruber hin-

138

Peter Letmathe

aus konnen auch Lohnnebenkosten sowie Instandhaltung und Nachriistungskosten von Bedeutung sein. • Technischer Fortschritt bei Betriebsmitteln, die auf alternativen Technologien beruhen: Alternative Technologien, die deutliche Produktivitatsspriinge erlauben, ftihren dazu, dass die Investition in neue Betriebsmittel vorgezogen wird. Sie verringern somit die Nutzungsdauer bei veralteten Technologien. Fiir das Unternehmen spielt es dabei eine erhebliche Rolle, ob die neuen Betriebsmittel auf der gleichen Basistechnologie wie die bisher eingesetzten oder auf einem vollkommen neuen Verfahren beruhen. Im ersteren Fall konnen vorhandene Erfahrungskurveneffekte genutzt werden, wahrend im zweiten Fall eine Anpassung des betrieblichen Know-hows an die neue Basistechnologie erforderlich ist. In diesem Fall miissen beispielsweise Mitarbeiterschulungen durchgefuhrt und gegebenenfalls Neueinstellungen vorgenommen werden. Nicht immer gelingt es, das Know-how der Mitarbeiter an die Erfordernisse neuer Technologien anzupassen. Die hier betrachteten Gesichtspunkte werden in den Teilabschnitten 4.1 bis 4.3 aufgegriffen, um verschiedene Aspekte von Investitionsentscheidungen und des Technologiemanagements naher untersuchen zu konnen.

4.1

Wirtschaftlichkeitsberechnungen ohne Beriicksichtigung von Ersatzinvestitionen

Ein adaquates Mittel, um die Wirtschaftlichkeit von Betriebsmitteln zu bestimmen, sind Methoden der dynamischen Investitionsrechnung, von denen im Folgenden die Kapitalwertmethode herangezogen wird. Bei der Kapitalwertmethode werden neben der Anschaffungsauszahlung a^eines Betriebsmittels auch die zeitpunktbezogenen Einzahlungen e{t) und Auszahlungen a{t) sowie der Restwert des Betriebsmittels beriicksichtigt. Die Differenz von Ein- und Auszahlungen bilden die zeitpunktbezogenen Zahlungssalden z{t) : z(t) = e{t)-ait)

(4.1)

Aufgrund des gestiegenen Kostendrucks im Wettbewerb und aufgrund der realisierbaren Vorteile des technischen Fortschritts wird von den Kunden eines Unternehmens haufig erwartet, dass die Preise fiir die gelieferten Produkte bzw. Teile in regelmaBigen Abstanden gesenkt werden. Geht man davon aus, dass dieser Prozess kontinuierlich ablauft und dass die Absatzmengen tiber die Zeit unverandert bleiben, so ergibt sich folgende Einzahlungsfunktion: e(t) = p-x-e~^^ mit: p X /5

Ausgangspreisniveau je Teileeinheit Teilemenge Preissenkungsrate bei kontinuierlicher Senkung der Preise

(4.2)

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgtitem

139

In die Auszahlungsfunktion flieBen neben den Preisveranderungen bei den bezogenen Werkstoffen die Erfahrungskurveneffekte des Betriebsmitteleinsatzes sowie die VerschleiBrate (vgl. hierzu auch die Kurvenverlaufe bei Czichos u. Habig 2003, S. 19ff.) des betrachteten Betriebsmittels ein. Fasst man diese drei Effekte zu einer Kostenanderungsrate a zusammen, so erhalt man folgende Auszahlungsfunktion: a(0 = c-3c.^^' mit: c a

(4-3)

Ausgangskosten je Teil Kostenanderungsrate bei kontinuierlicher Kostenanderung

Mit diesen Informationen lassen sich die zeitpunktbezogenenen Zahlungssalden ermitteln: z(t)^P'X'e-^^ -cx-e"^^

(4.4)

Ohne Beriicksichtigung eines Restwerts ergibt sich die optimale Nutzungsdauer des Betriebsmittels bei monoton fallenden Zahlungssalden, indem man die Einzahlungsfunktion mit der Auszahlungsfunktion gleichsetzt: I

K0 = /?-^-^"^^=^-3c-e"^=a(0

(4.5)

Als Ergebnis erhalt man: In^ /=-

(4.6)

a + yff

Bei einem Anfangspreisniveau von /? = 100, einem Ausgangskostensatz von c = 25, einer Preissenkungsrate von 4% und einer Kostenanderungsrate von 2% erhalt man beispielsweise eine optimale Nutzungsdauer von 23 Jahren. Die Beriicksichtigung von realistischen Restwertentwicklungen, beispielsweise im Bereich von CNC-Maschinen, beeinflusst die optimale Nutzungsdauer kaum. Geht man beispielsweise von einer jahrlichen Abschreibungsrate von 25% ( 8 - 0,25) und Anschaffungskosten der hier betrachteten Maschine in Hohe von 300.000 Euro (a^ = 300.000) aus, so verringert die Beriicksichtigung der Restwerte die optimale Nutzungsdauer nur um wenige Tage. Dies ist auch der Grund, warum viele Metallbearbeiter ihre Maschinen als Kapazitatsreserve im Maschinenbestand behalten, wenn bereits in eine Ersatzmaschine auf aktuellem technologischen Niveau investiert wurde. Auf eine weitere Analyse des Einflusses des Restwerts auf die optimale Nutzungsdauer wird aus diesem Grund verzichtet. Um den Restwert jedoch in die Ermittlung des Kapitalwerts bei gegebener Nutzungsdauer einbeziehen zu konnen, wird von einer monoton fallenden und konvexen Restwertfunktion r(t) ausgegangen, wie sie beispielsweise durch r(t) = a^'e-^'

(4.7)

140

Peter Letmathe

charakterisiert ist. Dahinter steht die Annahme, dass der Restwert anfanglich stark abfallt, was beispielsweise mit den Installationskosten einer Anlage und dem Verlust fur alternative Eignungen erklart werden kann. Wahrend der Nutzungsdauer nimmt der Restwert zwar stetig ab, aber die absolute periodenbezogene Abnahme wird im Zeitablauf immer kleiner. Die Uberlegungen zu den periodenbezogenen Zahlungssalden sowie zur Restwertentwicklung ermoglichen nun die Berechnung des Kapitalswerts CQ , wobei flir den betrachteten Investitionsgegenstand von einer optimalen Nutzungsdauer von T ausgegangen wird: Co = -«o + J

-,

dt ^a^-e

^""^'^

(4.8)

r steht filr den KalkulationszinsfuB bei kontinuierlicher Verzinsung. Durch Berechnung des bestimmten Integrals erhalt man einen Kapitalwert in folgender Hohe:

Q=-.+f^-(l-e-(^^^>^)-^-(l-e(«->^Ka.-.-^'^^^>^ P+r ^

' r-a ^

(4.9)

'

Setzt man die bereits angegebenen Beispieldaten ein, dann ergibt sich bei einer Absatzmenge von 1.000 Stiick je Periode, einer Nutzungsdauer von 23 Jahren und einem KalkulationszinsfuB von 8% ein Kapitalwert in Hohe von: C,=-300.000^i^^:^.(l-.-^'i^-^3L2^ 0,12 ^ ^ 0,06 ^

^ (4.10)

+ 300.000-e"^'^^'^^ =168.900 Von diesem Kapitalwert sind nur 152 Euro auf den Restwert zuriickzufuhren. Zur Verdeutlichung von jahrgangsbezogenen Unterschieden ist es sinnvoll, die zeitbezogenen Zahlungssalden wahrend der Nutzungsdauer der Investition naher zu betrachten. Um ausschlieBUch den VerschleiB sowie die Preisentwicklung einzubeziehen, werden Zinseffekte hier vernachlassigt. Bei den Einzahlungen zeigt sich, dass das Preisniveau wahrend der Nutzungsdauer der Investition um iiber 60% gefallen ist. Die um Zinseffekte bereinigten Auszahlungen sind hingegen um tiber 58% angestiegen. Am Ende der Nutzungsdauer liegen die Auszahlungen daher in etwa auf dem Niveau der Einzahlungen. Diese Situation wird durch Abb. 1 veranschaulicht. Wurde der Investor nach Ablauf der Nutzungsdauer eine identische Ersatzmaschine kaufen, so wtirden die verschleiBbedingten Mehrkosten zwar entfallen. Dennoch konnte er aufgrund des gesunkenen Preisniveaus nur ca. 20% der anfanglichen Deckungsspanne je Produkteinheit realisieren wie bei der Vorgangermaschine. Selbst wenn man Lerneffekte einrechnet, durch die die Kosten je Produkteinheit durchschnittlich um 2% je Jahr wahrend der Nutzungsdauer der

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutern

141

Anlage gesunken sind, so wiirde die anfangliche Deckungsspanne nur auf ca. 32% des anfanglichen Niveaus der Vorgangermaschine ansteigen. Ein positiver Kapitalwert konnte in beiden Fallen nicht mehr realisiert werden. Ein negativer Kapitalwert ergibt sich sogar schon, wenn nach sieben Jahren in den gleichen Maschinentyp (kein technischer Fortschritt) investiert wiirde. Dies impliziert, dass zum einen das Technologietiming eine wichtige Rolle spielt und dass zum anderen eine hohe Maschinenauslastung gerade in den ersten Nutzungsjahren von entscheidender Bedeutung ist. Abb. 2 verdeutlicht die Abhangigkeit des Kapitalwerts vom Investitionszeitpunkt unter der Voraussetzung, dass technischer Fortschritt nicht gegeben ist.

100000 100000

80000 80000 60000 60000

.E

40000

Geldeinheiten

c ^

k V.

....

^

0

^ O

"^

20000

00 -20000 -20000

0

0_

5 5

10 10

">»*

15 15

-^ 20 20

25

^^^^^

330 0

Periode Periode " Einzahlungen • • •

Auszahlungen Auszahlungen

^ Zahlungssaldo

Abb. 1. Zahlungsstrome der betrachteten Beispielinvestition

200000 200000 150000 150000 Kapitalwert

100000 100000 s

I

50000 50000 0 -50000 -50000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-100000 -100000 -150000 -150000 Investitionszeitpunkte Investitionszeitpunkte

Abb. 2. Kapitalwertverlauf der betrachteten Investition

9

10 11 12

142

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Das hier herangezogene Beispiel verdeutlicht die Situation in der Automobilzuliefererindustrie durchaus realistisch. Der technische Fortschritt im Bereich der Metallbearbeitungsmaschinen ist zwar vorhanden, er kompensiert die geforderten jahrlichen Preissenkungen bei den Zulieferteilen aber nicht vollstandig. Daher mussen die Automobilzulieferer einerseits in maschinengebundenen technischen Fortschritt investieren und andererseits zusatzlich eine hohe innerbetriebliche Lernrate realisieren (Jorgenson 1966, S. Iff.). Die damit einhergehende Situation wird im Folgenden aus der Perspektive des Technologiemanagements sowie aus der Perspektive des einzelnen Unternehmens naher beleuchtet.

4.2

Technologische Grundiiberlegungen

Die langfristige Nutzung einer Basistechnologie hangt davon ab, ob alternative Basistechnologien existieren, die zu Betriebsmitteln fiihren, mit denen bestimmte erfolgskritische Eigenschaften verbunden sind, wie eine hohere Produktivitat oder eine iiberlegene Qualitat. In diesem Zusammenhang sind einige Uberlegungen zum technischen Fortschritt anzustellen, die den Lebenszyklus von genutzten Basistechnologien zumindest teilweise erklaren konnen. Dabei wird zunachst angenommen, dass sich technischer Fortschritt und die damit einhergehenden Produktivitatssteigerungen bei derselben bzw. bei alternativen Basistechnologien in der bereits in Abschnitt 4.1 genutzten Preissenkungsrate p niederschlagen. Die Preissenkungsrate spiegelt somit die allgemeinen, fUr das einzelne Unternehmen exogenen Preissenkungen wider. Das Unternehmen hat nun die Moglichkeit, entweder durch interne kontinuierliche Verbesserungsanstrengungen oder durch Investitionen in neue Maschinen auf den Preisdruck zu reagieren. Diese Unternehmensoptionen lassen zugleich SchlUsse zu den langfristigen Entwicklungsperspektiven von im Markt eingefiihrten Basistechnologien zu. So wird eine vorhandene Basistechnologie langfristig vom Markt verschwinden, wenn die Preissenkungsrate p hoher ist als die technische Fortschrittsrate X , die sich in den Investitionsgutern niederschlagt, plus der internen Lernrate // zumindest eines der Unternehmen, die die entsprechende Basistechnologie verwenden. Eine vorhandene Basistechnologie verschwindet also immer dann langfristig vom Markt, wenn Uber einen hinreichend langen Zeitraum gilt: ef^ >e^^^

(4.11)

Wenn bei alien Unternehmen exakt die gleichen Voraussetzungen vorlagen, so wiirde eine derartige Konstellation dazu fiihren, dass eine veraltete Basistechnologie schlagartig ersetzt wird. Ein solcher Degenerationsprozess voUzieht sich im Allgemeinen jedoch liber einen langeren Zeitraum. Hierfur lassen sich folgende Grunde anfiihren: • Unternehmen haben unterschiedliche interne Lernraten. Dadurch konnen einige Unternehmen dem Preisdruck langer standhalten als andere.

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgutem

143

• Unterschiedliche Einsatzfelder derselben Basistechnologie fiihren dazu, dass uberlegene alternative Basistechnologien nicht alle Produktfelder einer bereits vorhandenen Technologie abdecken. Der Preisdruck ist in verschiedenen Markten somit unterschiedlich hoch, so dass die obige Ungleichung nahezu nie gleichzeitig erfullt ist. • Durch die Verlagerung von Betriebsmitteln in das Ausland konnen Kostenvorteile erzielt werden, die den Lebenszyklus von vorhandenen Basistechnologien verlangem. • Marktunvollkommenheiten fuhren dazu, dass der Preisdruck nicht in alien Markten gleichzeitig auftritt. AuBerdem existieren u.U. langfristige Rahmenvertrage, die Zulieferer-Abnehmerbeziehungen regeln und einen schnellen Lieferantenwechsel entsprechend den Marktgegebenheiten erschweren. Hinzu kommt eine gewisse Markttragheit selbst dann, wenn keine langfristigen vertraglichen Regelungen vorhanden sind. Weitere Marktunvollkommenheiten konnen sich durch asymmetrische Machtverteilungen zwischen Zulieferer und Abnehmer ergeben. 4.3

Uberlegungen aus der Sicht einzelner Unternehmen

Fiir das einzelne Unternehmen konnen sowohl der maschinengebundene technische Fortschritt als auch die Preissenkungsrate als exogen angesehen werden. Es verbleibt daher nur die Moglichkeit, den technischen Fortschritt optimal auszunutzen und in geeigneter Weise darauf zu reagieren. Um dies in gezielter Weise tun zu konnen, bietet sich ein dreistufiges Vorgehen an: 1. Auseinandersetzung mit der technologischen Entwicklung: Die gezielte Ausnutzung technologischer Entwicklungen setzt voraus, dass sich das Unternehmen fruhzeitig mit der Erkennung und Prognose von Veranderungen im Verfahrens- und Produktbereich auseinandersetzt. Geeignete Methoden sind hier beispielsweise die Delphi-Methode, die Methode des morphologischen Kastens, Szenariotechniken, das Technology Monitoring und die Konkurrenzanalyse. Auf diese Weise kann sich das Unternehmen fruhzeitig mit technologierelevanten Signalen auseinandersetzen und erhalt Informationen uber die mit neuen Technologien verbunden Chancen und Risiken. Letztlich dient die Technologiefriiherkennung und -prognose dazu, Unsicherheit fiir die Unternehmensentwicklung zu reduzieren, Informationen fiir die strategische Ausrichtung des Technologiemanagements zu erlangen und durch geeignete MaBnahmen zeitbedingte Wettbewerbsvorteile zu realisieren. Wesentliche Betrachtungsfelder (Gerpott 1999, S. lOlff.) sind die Weiterentwicklungspotenziale und Grenzen bekannter Technologien, der Entwicklungsstand und Potenziale neuer Technologien, vorhandene Substitutionsbeziehungen zwischen Technologien, technologische Diskontinuitaten bei der Entwicklung von Verfahren und Produkten und Marktpotenziale von unterlegenen Technologien (Christensen 2000). Das Technologiemanagement legt damit wichtige Grundlagen sowohl fiir die Ausnutzung vorhandener Technologien als auch fiir die Untemehmensstrategie. Als

144

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Folge der Technologiefriiherkennung und -prognose ergeben sich Handlungsvorgaben fur die gezielte Technologieakquisition durch Forschung und Entwicklung, durch die Nutzung des Mitarbeiter-Know-hows, durch die Technologiebeschaffung von externen Quellen sowie durch die Technologieakquisition in Netzwerken. Beispielsweise konnen friihzeitig Mitarbeiter, die bereits mit neuen Technologien vertraut sind, von Mitbewerbem abgeworben werden, oder Forschungs- und Entwicklungsanstrengungen konnen gezielt auf kunftige Erfordemisse abgestimmt werden. Strategische Mafinahmen: Im strategischen Bereich sollte sich das Unternehmen so positionieren, dass es langfristig im Wettbewerb erfolgreich sein kann. Hierfur ist es zunachst sinnvoll, optimale Ersatzzeitpunkte fUr die vorhandenen Betriebsmittel zu bestimmen, um an den Vorteilen des technischen Fortschritts partizipieren zu konnen, ohne dass uberhohte Anschaffungskosten der einzelnen Maschinen anfallen. Da sich mehrere der am Anfang dieses Abschnitts genannten Parameter, wie die Anschaffungskosten, das Preisniveau der produzierten Telle, die Rate des technischen Fortschritts bei der derselben bzw. bei anderen Basistechnologien sowie die Kostenentwicklung bei Rohstoffen gleichzeitig und stetig verandern, ist eine solche Bestimmung keineswegs trivial. Erste Anhaltspunkte bilden die AusfUhrungen zum Technologiemanagement in Abschnitt 4.2. Wie allerdings gezeigt werden konnte, reicht es keineswegs aus, nur in Betriebsmittel zu investieren, die dem neuesten technologischen Standard entsprechen. Vielmehr sollte das Unternehmen aktiv versuchen, Arbitragemoglichkeiten zu erhalten bzw. auszubauen (z.B. Schneider 1995, S. 36ff.). Hierzu zahlt die langfristige Know-how-Entwicklung, die sich in verbesserten Verfahren und Produkten niederschlagen kann. So kann sich das Unternehmen durch uberlegene Produkte eine temporare Monopolsituation sichern, die die Realisation hoher Deckungsspannen je Produkteinheit erlaubt. Ein Beispiel hierfur sind Bauteile, die mithilfe einer gezielten Leichtbauweise eine erhebliche Gewichtsreduktion ermoglichen. Bei den Prozessen ist neben einer hohen Produktivitat auch eine herausragende Qualitat anzustreben, die von den Wettbewerbern nur schwer zu imitieren ist. Eine hohe Prozessqualitat kann ebenfalls zur Sicherung von Deckungsspannen und zur Erhohung von Absatzmengen beitragen. Wenn es trotz dieser MaBnahmen zu einer Absenkung von Deckungsspannen kommt, so ist auch eine Verlagerung des Produktionsstandorts in so genannte Niedriglohnlander in Betracht zu ziehen. Allerdings ist zu beriicksichtigen, dass neben niedrigen Lohnkosten auch ein hinreichendes Know-how der Mitarbeiter sowie eine befriedigende Infrastruktur in den einzelnen Landern vorhanden sein mlissen. Operative Mafinahmen: Der VerschleiB sowie der hohe Preisdruck fiihren wahrend der Nutzungsdauer einzelner Betriebsmittel zu einer potenziellen Verringerung der erzielbaren Deckungsspannen je Produkteinheit. Diesem Sachverhalt konnen die Unternehmen auf verschiedene Weise begegnen. Beriicksichtigt man, dass sich der Gesamtdeckungsbeitrag durch die Summe aller Deckungsspannen multipliziert mit den zugehorigen Absatzmengen der einzelnen Produkte ergibt, so konnen erhohte Liefermengen zu einer stabilen Deckungsbeitragssituation beitragen. Dariiber hinaus gibt es verschiedene Moglichkeiten,

Implikationen des jahrgangsbezogenen technischen Fortschritts von Kapitalgtitem

145

den Verlust an Deckungsspannen so gering wie moglich zu halten. Durch Total Productive Maintenance - also eine vorbeugende Instandhaltung von Betriebsmitteln - konnen verschleiBbedingte Kostenerhohungen eliminiert bzw. verringert werden (Takahashi u. Osada 1990). Die negativen Effekte des technischen Fortschritts auf die Deckungsspannen der Produkte konnen durch richtige Maschinenzuordnungen von Materialien bzw. Vorprodukten zu Maschinen - wie in Abschnitt 3.1 aufgezeigt - gemildert werden. Dabei liegt allerdings kein gleichmaBiger VerschleiB im Zeitablauf mehr vor (vgl. Stepan 1981, S. 68ff., Kistner et al. 1989, S. 388ff.). Eine weitere Moglichkeit besteht schlieBlich darin, die Kosten der einzelnen Produkte systematisch durch Ansatze der kontinuierlichen Verbesserung zu verringem. Kontinuierliche Verbesserungsprozesse fuhren nicht nur zu einer Kostensenkung, sondem erhohen langfristig auch das betriebliche Know-how. Dies kann auch nachfolgenden Betriebsmittelgenerationen zugute kommen, so dass langfristig eine verbesserte Wettbewerbssituation des Unternehmens denkbar ist. In der Summe zeigt sich somit, dass es fur die Unternehmen zahlreiche Moglichkeiten gibt, sich erfolgreich dem Wettbewerb zu stellen. Allerdings ist hierfUr ein langfristig ausgerichtetes Technologic- und Kostenmanagement erforderlich.

5. Schlussbemerkungen In diesem Beitrag konnte gezeigt werden, dass jahrgangsbezogene Unterschiede bei den Betriebsmitteln erhebliche Auswirkungen fur die Unternehmen mit sich bringen konnen. Das Beispiel aus der Automobilindustrie hat veranschaulicht, dass viele Automobilzulieferer unter erheblichem Kosten- und Wettbewerbsdruck stehen, dem sie durch gezielte MaBnahmen begegnen miissen. Ein Gesptir fur Marktveranderungen sowie den technischen Fortschritt ist dabei unbedingt erforderlich. Die Kenntnis von Konzepten wie das der Jahrgangsproduktionsfunktion kann sich ganz konkret - wie im dritten Abschnitt - auf die Planungsmechanismen im Unternehmen auswirken. Etwas abstrakter verhilft jahrgangsbezogenes Denken zu einer dynamischen Perspektive des Unternehmens, die sich in MaBnahmen wie einem gezielt ausgerichteten Wissensmanagement niederschlagen kann. Die in Abschnitt vier vorgeschlagenen MaBnahmen der Technologiefriiherkennung und -prognose sowie die operativen und strategischen MaBnahmen konnen genutzt werden, um Unternehmen auch in Zeiten der Globalisierung und einer zunehmenden Komplexitat in stabilem Fahrwasser zu halten.

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Betriebsplankostenrechnung Marlles Rogalskl* t Fakultat fur Wlrtschaftswlssenschaften, Universltat Bielefeld

Zusammenfassung Die Betriebsplankostenrechnung 1st Insbesondere auf elne Beurtellung alternatlver Produktionsprogramme und -prozesse ausgerichtet; als BeurtellungsmaBstab dlent der Perlodenerfolg. Grundlage slnd Betrlebsmodelle, die den Zusammenhang zwlschen Faktorelnsatzen und Produktlonsprozessen durch eln multlvarlables llneares System von ElnflussgroBenfunktlonen abbllden und unter Elnsatz der Matrlzenrechnung verarbeiten. Wesentliche Telle der Programm- sowle Vollzugsplanung werden In das Rechensystem Integriert, und bei entsprechender Struktur kann das Betrlebsmodell zur Optlmlerung herangezogen werden. Dabel wlrd auf elne stUckbezogene Kosten- und Erlosbetrachtung verzlchtet, kostentragerbezogene Informatlonen konnen aber als sekundare ZlelgroBen abgeleltet werden. Der Elnsatzberelch 1st vor allem dort zu sehen, wo die Frelheltsgrade In der Produktlon hoch slnd.

1. Ziele und Grundlagen der Betriebsplankostenrechnung Das Zlel der Betriebsplankostenrechnung, deren Entwlcklung auf LaBmann und Wartmann zuriickgeht (vgl. LaBmann 1968; LaBmann 1973; Wartmann 1963), 1st die perlodenbezogene Planung und Uberwachung der Produktlon. Dabel steht die kostenmdfiig fundierte Beurteilung alternativer Produktionsprogramme und -verfahren Im Vordergrund. Die Vlelzahl von ElnflussgroBen fuhrt dazu, dass Stuckkosten bzw. -deckungsbeltrage nlcht als BeurtellungsmaBstab geelgnet slnd, da sle nlcht konstant, sondern das Ergebnls bestlmmter betrlebllcher Gegebenhelten (Erzeugnlsprogramm, LosgroBen, technlsche Verfahren) slnd und dlese Konstellatlon Marlies Rogalski konnte ihren fur diese Festschrift geplanten Beltrag uber „Betriebsmodelle als Grundlage der Ressourcenplanung" leider nlcht mehr vollenden. Die Herausgeberinnen danken Herm Professor Dr. Hans-Ulrich Kupper und dem Schaffer-Poeschel Verlag fur die freundliche Genehmigung, stattdessen diesen Beitrag aus dem Handworterbuch Unternehmensrechnung und Controlling abdrucken zu durfen.

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Marlies Rogalski t

ggf. einmalig ist (vgl. LaBmann 1983, S. 91). Als Kennziffer fiir die kurzfristige Unternehmenssteuerung dient deshalb der Periodenerfolg, der damit Grundlage fur Planung, Kontrolle und Dokumentation des Betriebsgeschehens ist. Die Betriebsplankostenrechnung ist besonders flir Unternehmen geeignet, in denen die Freiheitsgrade bezuglich alternativer Produktionsverfahren, Einsatzstoffmischungen und des Produktionsprogramms hoch sind, wie z.B. in der GrundstoffIndustrie. Entsprechend liegen auch konkrete Fallbeispiele aus der Eisen- und Stahlindustrie vor (vgl. z.B. Bleuel 1980; ter Schuren u. Wartmann 1975; Wartmann 1963). Die produktionstheoretische Basis der Betriebsplankostenrechnung sind Betriebsmodelle (vgl. Franke 1972) mit linearen bzw. linearisierten EinflussgroBenfunktionen, die den Zusammenhang zwischen Faktoreinsatzen und Produktionsprozessen abbilden. Vorlaufer der Betriebsmodelle sind die statischen InputOutput-Modelle (vgl. Schweitzer u. Kiipper 1997, S. 59ff.): In dem Modell von Leontief wird jede Produktionsstelle durch einen Prozess dargestellt, der durch die Produktionsmenge als einzige EinflussgroBe determiniert wird (vgl. Leontief 1953). Physikalisch-chemische Zusammenhange werden in den Pichler-Modellen beriicksichtigt (vgl. Pichler 1961; Pichler 1966), die fiir Betriebe mit kontinuierlicher Fertigung ausgelegt sind. Weitgehender ist Gutenbergs Theorie der Anpassungsformen, in der sich durch die verschiedenen Anpassungsformen nicht-lineare Input-Output-Beziehungen auf Basis verschiedener EinflussgroUen ergeben (vgl. Gutenberg 1983, S. 354ff.; Kistner 1993, S. 139ff.).

2. Aufbau der Betriebsplankostenrechnung Ein wesentliches Merkmal der Betriebsplankostenrechnung ist die strikte Trennung zwischen Mengen- und Wertrechnung, Das Mengengerust wird auf der produktionswirtschaftlichen Seite durch ein Betriebsmodell, auf der absatzwirtschaftlichen Seite durch ein Absatzmodell beschrieben (siehe Abb. 1). Diese Modelle erfassen die originaren produktionstechnischen bzw. absatzwirtschaftlichen sowie dispositive und kalkulatorische Zusammenhange mittels Einflussgrofien und Einflussgrdfienfunktionen. Durch die Bewertung mit Preisen gelangt man zu den Kosten bzw. Erlosen einer Periode und kann im letzten Schritt die Zielgrofie der Betriebsplankostenrechnung, den Periodenerfolg, ermitteln. 2.1

EinflussgroBen und EinflussgroBenfunktionen

Als EinflussgroBen werden im mathematisch-statistischen Sinne unabhangige Variablen bezeichnet, die im Rahmen eines technisch-organisatorischen Prozesses andere abhangige Variablen stochastisch oder deterministisch bestimmen (vgl. LaBmann 1968, S. 77). Sie werden als Kosteneinflussgrofien bezeichnet, wenn mit ihrer Veranderung eine Kostenveranderung verbunden ist. Zu unterscheiden sind primare EinflussgroBen und die daraus abgeleiteten sekundaren EinflussgroBen.

Betriebsplankostenrechnung

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Primare Einflussgrofien konnen vom Untemehmen disponierbar sein (z.B. Produktionsprogramm, LosgroBen, technologische Verfahren) oder extern vorgegeben und damit fur das Unternehmen nicht disponierbar sein (z.B. Arbeitstage einer Periode, Witterungsverhaltnisse). Die Disponibilitat der EinflussgroBen ist sowohl vom zeitlichen und sachlichen Bezugsrahmen der Planung als auch von Umweltbedingungen des Betriebes abhangig (vgl. Busse von Colbe u. LaBmann 1991, S. 209ff.). Sekunddre Einflussgrofien egj mit j = l,...,n (z.B. Bearbeitungs- und Rustzeiten, Einsatzstoffbedarf) werden aus den primaren EinflussgroBen sowie bereits disponierten sekundaren EinflussgroBen sukzessiv mittels folgender EinflussgroBenfunktion abgeleitet: j'-l

m

^Sj =ll^ijegi

+ Y,akjegk

i=\

mit:

k=l

eg^ primare EinflussgroBe / eg,^ sekundare EinflussgroBe k ay.aj^j Direktbedarfskoeffizienten der primaren EinflussgroBen / bzw. der sekundaren EinflussgroBen k fUr die sekundare EinflussgroBe 7 ZielgroBe = Periodenerfolg

Betriebskostenmodell

Kosten einer Periode

Eriose einer Periode

k(eg)

e(eg)

/

k(eg)

Bewertung

primare EinflussgroBen

-f(eg)-^

\

sekundare EinflussgroBen

Betriebsmodell

/ primare EinflussgroBen

e(eg)

Bewertung ^

.^

\

Absatzeriosmodell

sekundare EinflussgroBen

Absatzmodell

Abb. 1. Struktur der Betriebsplankostenrechnung Dabei wird grundsatzlich von linearen EinflussgroBenfunktionen ausgegangen, bzw. davon, dass die Funktion fur die relevanten Teilbereiche abschnittsweise approximativ linearisiert werden kann (vgl. Fischer u. Rogalski 1995, S. 55-57). Ein Beispiel fur eine konkrete EinflussgroBenfunktion ist der Stromverbrauch eines Stahlwerkofens (vgl. LaBmann 1992, S. 304). Als primare EinflussgroBe wirkt die gesetzlich mogliche Betriebszeit (GBZ) in Stunden je Rechenperiode, sekundare EinflussgroBen sind die Menge fester Einsatzstoffe (Schrott) je Rechenperiode (FEG) sowie die Menge flussiger Einsatzstoffe (Roheisen) je Rechenperiode (REL). Der Stromverbrauch je Rechenperiode ist gegeben durch:

152

Marlies Rogalski t SV = 5,135 • FEG + 7,245 • REL + 888,047 • GBZ

Zur Ermittlung von EinflussgroBenfunktionen stehen analytische und statistische Verfahren zur Verfugung. Bei den analytischen Verfahren werden die Koeffizienten der EinflussgroBenfunktionen deduktiv festgelegt, indem naturwissenschaftlich-technische Abhangigkeiten, theoretische Verbrauchsstudien oder arbeitswissenschaftliche Erkenntnisse zugrunde gelegt werden. Statistische Verfahren leiten EinflussgroBenfunktionen aus den Istwerten vergangener Perioden regressionsanalytisch ab. In der Praxis kann fiir die Ermittlung von EinflussgroBenfunktionen zum Teil auf Prozesssteuerungsmodelle zuruckgegriffen werden (vgl. Wartmann 1963; ter Schuren u. Wartmann 1975). Der Detaillierungsgrad dieser Modelle ist aber vielfach sehr hoch, so dass unter Wirtschaftlichkeitsaspekten EinflussgroBen mit geringerer Kostenwirkung eliminiert und nicht-lineare Beziehungen approximativ linearisiert werden mussen (vgl. LaBmann 1983, S. 92). 2.2

Betriebsmodelle als Grundlage der Kostenplanung

Einflussgrofien und Einflussgrofienfunktionen bilden das BetriebsmodelU in dem die Verbrauchs- und Potenzialeinsatzfunktionen erfasst werden. Das Gleichungssystem kann in Vektor-Matrix-Notation dargestellt und in einer Strukturmatrix als allgemeines Ordnungsschema zusammengefasst werden (vgl. Sehner et al. 1974, S. 350). Abb. 2 zeigt allgemein den Aufbau einer Strukturmatrix fur eine Mengenrechnung. Koeffizienten fur Faktorverbrauche konnen in Abhangigkeit von primaren und sekundaren EinflussgroBen angegeben werden. Im linken Teil der Strukturmatrix ist in der Kopfzeile der Vektor x der primaren EinflussgroBen enthalten. Die Matrix A enthalt in den Spalten die Koeffizienten fur Faktorverbrauche, die durch die zugehorigen primaren EinflussgroBen determiniert werden; die Zeilen konnen als Verwendungsnachweis der Faktorarten interpretiert werden. Primare EinflussgroBen (x = m - dimensionaler Vektor) X

Faktorverbrauche - dimensionaler Vektor

Sekundare EinflussgroBen (f = n - dimensionaler Vektor) f

^vv f

Verbrauchskoeffizienten A = N * M - Matrix

Abb. 2. Allgemeiner Aufbau der Strukturmatrix

Nullwerte ^ \

y

G)

A-^

^ \ i / VerbrauchskoeffizienteriV. B = N*N-Matrix ^ \

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153

Der Vektor / wird als Vektor der sekunddren Einflussgrofien in die Kopfzeile der Matrix B^ iibertragen; Koeffizienten fllr Faktorverbrduche in Abhangigkeit sekundarer EinflussgroBen werden in der Matrix B erfasst. Die Strukturmatrix enthalt das lineare Gleichungssystem der Faktorverbrauchs-EinflussgroBenBeziehungen. Zyklen sind nicht zugelassen. Der Vektor / kann zeilenweise ermittelt werden (^/Iv '^^im)'^

ftir / = 1

^i

ffll (^/Iv • . « / m ) - ^ + (^/lv "A,i - l ) -

fiir i = 2,...

= f/

l^/-lJ und wird zur Vereinfachung der Rechnungs- und Auswertungsprogramme weiter untergliedert (vgl. Sehner et al. 1974, S. 349). Die primdren Einflussgrofien werden in EinflussgroBen, die das Produktionsprogramm abbilden, in EinflussgroBen, die die Bedingungen des ProduktionsvoUzugs darstellen sowie eine EinflussgroBe, die die Anzahl der Planungsperioden angibt, aufgeteilt (vgl. LaBmann 1983, S. 96). Die sekunddren Einflussgrofien werden ebenfalls kategorisiert und geordnet, so dass anstelle einer zeilenweisen Ermittlung der sekundaren EinflussgroBen die Abrechnung durch Matrizenmultiplikation erfolgen kann. Abb. 3 zeigt den Aufbau einer Strukturmatrix fur einen Produktionsbetrieb, wobei Annahmen beziiglich der Beziehungen zwischen den EinflussgroBen - z.B. dass der Erzeugniseinsatzstoffbedarf ausschlieBlich von primaren EinflussgroBen abhangt - die Struktur dieser Matrix determinieren.

Primare EinflussgroBen PeriodenProgramm Produktionsbedingungen anzahl

ErzeugnisstoflFpreise

Preise der Kostengiiter

fii:

xl

x2

x3

Sekundare EinflussgroBen ErzeugnisstofFErzeugnisstoflFbedarf Restriktionen bedarf

n

n

Al

A2

A3

Fertigungszeitbedarf der Potaizialfaktorai

12

A4

A5

A6

Bl

12

A2

AS

A9

J^

Kostaigiiterbedarf

b

neg^iVe Einheitsrmtrix

Erzeugnisstoffbedarf

EL der Arbeitssysteme

n

Einheitsimrix

B3

Absatzmindest-/ -hochstmengqn Beschaffijngsund Kapazitatsgrenzen

SchlupfgrolJen ungaiutzter BCapazitatQi

Abb. 3. Strukturmatrix eines Betriebsmodells (in Anlehnung an Hahn u. LaBmann 1999, S. 333; LaBmann 1999, S. 96; Sehner et al. 1974, S. 351) Das Betriebsmodell gibt die mengenmaBigen Beziehungen des Produktionssystems wieder. Fla.nkosten einer Periode konnen durch das Einfugen des Preisvektors (in der Abb. 3 unterteilt in p^ und P2) differenziert nach Kostenarten ermit-

154

Marlies Rogalski t

telt werden. Der Vektor b enthalt Restriktionen (Absatz- sowie Beschaffungshochstmengen, Kapazitatsgrenzen) und ermoglicht lineare Optimierungsrechnungen. Dabei gehen in die Zielfunktion die Erlose der Produkte und die Kosten der Faktoren (EinflussgroBen) ein, da die produktbezogenen Stiickdeckungsbeitrage nicht eindeutig determiniert sind, z.B. weil Werkstoffe substituiert oder verschiedene Produktionsverfahren gewahlt werden konnen (ausfuhrliches Beispiel vgl. Hahn u. LaBmann 1999, S. 334-338). Grundsatzlich ist zur Ermittlung des Periodenerfolgs ein Absatzmodell als Basis der Erlosplanung und Erloskontrolle zu erstellen und in analoger Form in eine Strukturmatrix zu uberfuhren (vgl. Kolb 1978; LaBmann 1979; Wittenbrink 1975). Primare disponible EinflussgroBen konnen etwa Produktqualitaten, Rabattstaffeln, Vertriebswege oder sonstige absatzpolitische Instrumente sein; in Form von nichtdisponiblen EinflussgroBen konnen Konkurrenzpreise, Witterungseinflusse, Konjunkturverlauf und Wechselkurse beriicksichtigt werden. Allerdings ist die Ermittlung von EinflussgroBenfunktionen auf der Absatzseite ungleich schwieriger als auf der Kostenseite, da sich die Beziehungen zwischen primaren und sekundaren EinflussgroBen nur schwer quantifizieren lassen und nicht fUr einen langeren Zeitraum unverandert bleiben, da sich das Verhalten der Marktteilnehmer wandelt.

3. Anwendung der Betriebsplankostenrechnung 3.1

Periodenbezogene Produktions- und Kostenplanung

Die periodenbezogene Planung, Dokumentation und Kontrolle des Erfolges ist zentraler Rechnungszweck der Betriebsplankostenrechnung. Dabei wird tiber die Ermittlung von Eingangsdaten fiir Planungsmodelle hinausgegangen, indem die Programmplanung und wesentliche Telle der Vollzugsplanung in das Rechensystem integriert werden. Periodenkosten konnen fur alternative Vorgaben der primaren EinflussgroBen ausgewiesen werden. Diese Simulation verschiedener Produktionssituationen ist insbesondere fur die kurzzyklische Serien- und Sortenfertigung sinnvoll, die durch haufig wechselnde Produktionsprogramme, Verfahrensanderungen durch LosgroBenvariation und Anderung der Sorten- und Serienfolgen gekennzeichnet ist. Im Rahmen der periodenbezogenen Produktions- und Kostenplanung wird die Trennung in Mengen- und Wertrechnung beibehalten. Bei kalkulatorischen Kostenarten (z.B. Abschreibungen) kann die Mengenkomponente eine fiktive GroBe sein und als Geldbetrag ausgedrtickt werden (vgl. LaBmann 1983, S. 93). Fiir gewahlte EinflussgroBenkonstellationen werden im ersten Schritt die Primarbedarfe mengenmaBig errechnet und Engpasse ermittelt. Die Bewertung mit Preisen erfolgt in einem zusatzlichen Schritt. Dadurch werden die Kostenwirkungen alternativer betrieblicher Dispositionen aufgezeigt. Zudem wird es durch die explizite Einfuhrung des Preisvektors moglich, die Preise als weitere EinflussgroBe zu beriicksichtigen. Auswirkungen von Preisanderungen auf die Kosten sind unmittelbar zu erkennen, und AnpassungsmaBnahmen (Substitutionsprozesse) konnen eingeleitet werden (vgl. LaBmann 1973, S. 8). Bei ent-

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sprechender Struktur kann das Betriebsmodell als Optimierungsmodell verwendet und so die Produktions- und Kostenplanung mit entsprechenden Verfahren gelost werden (vgl. LaBmann 1983, S. 90).

3.2

Abweichungsanalysen im Rahmen der Produktions- und Kostenkontrolle

Die Trennung von Mengen- und Wertgeriist und die explizite Beriicksichtigung mehrerer EinflussgroBen ermoglichen eine differenzierte Abweichungsauswertung. Die Gesamtabweichungen lassen sich trennen in Plan- und Verbrauchsabweichungen. Planabweichungen ergeben sich aus der Gegeniiberstellung von Plan- und Sollkosten und sind das Resultat einer wissentlichen Veranderung der Planvorgaben wahrend der Realisationsphase (Programmanderungen, Verfahrensabweichungen, Substitution von Werkstoffen). Verbrauchsabweichungen ergeben sich aus der Gegeniiberstellung von Soil- und Istkosten und konnen auf Unwirtschaftlichkeit im Vollzug hinweisen. Liegen den EinflussgroBenfunktionen statistisch ermittelte Koeffizienten zu Grunde, handelt es sich bei den Sollkosten um Durchschnittswerte und es ist eine Streuung der Daten zu tolerieren. Abweichungen, die auBerhalb der Toleranzgrenzen liegen, sind genauer zu untersuchen. Wenn alle wesentlichen EinflussgroBen im Betriebsmodell abgebildet wurden, konnen Entstehungsort, Ursachen sowie Verantwortung der Abweichungen sehr differenziert aufgezeigt werden.

3.3

Kostentragerkalkulation

Die Kostenarten- und die Kostenstellenrechnung sind durch Erfassung der EinflussgroBen und Faktorverbrauche in der Strukturmatrix integriert. Eine sich anschlieBende Kostentragerrechnung ist nicht zwangslaufig vorgesehen. Es werden weder Teil- noch Vollkosten auf die Kostentrager verrechnet, da die Gesamtkosten einer Periode ermittelt werden. Fiir die Produktions- und Absatzplanung wird eine stUckbezogene Kosten- und Erlosrechnung nicht fur sinnvoll erachtet, da durch die Beriicksichtigung mehrerer EinflussgroBen auch bei einem qualitativ und mengenmaBig konstanten Produktionsprogramm die Bandbreite der moglichen Kostentragerstuckkosten bzw. -erlose zu groB ist (vgl. LaBmann 1983, S. 91). Die Ableitung von Kostentragerinformationen als sekunddre Zielgrofien ist aber moglich und notwendig, z.B. fiir Bestandsbewertungen, Ermittlung zwischenbetrieblicher Verrechnungspreise und Vorkalkulation. Da die Informationen in elementarer Form in der Strukturmatrix erfasst sind und rechentechnisch aus dieser herausgelost werden, kann die Kostentragerrechnung sowohl auf Voll- als auch auf Teilkostenbasis in beliebiger Abstufung und Gliederung erfolgen (vgl. Schweitzer u. Kupper 1998, S. 366).

156

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4. Einordnung der Betriebsplankostenrechnung Die Relative Einzelkostenrechnung steht der Betriebsplankostenrechnung insofem konzeptionell nahe, als auch in diesem System die strikte Trennung von Mengenund WertgerUst und die Erfassung von EinflussgroBen und EinflussgroBenfunktionen als wesentliche Bestandteile eines Kostenrechnungssystems gesehen werden (vgl. Riebel 1956, S. 285-289). Dabei wird in der Betriebsplankostenrechnung ausdrucklich berlicksichtigt, dass viele Kostenarten nicht nur von einer EinflussgroBe, sondern haufig von mehreren EinflussgroBen unterschiedlicher Art und Starke abhangen (vgl. LaBmann 1968, S. 68). Die Strukturmatrix kann aufgrund ihrer Flexibilitat bezUglich verschiedener Auswertungsrechnungen als formalisierte Grundrechnung im Sinne von Schmalenbach und Riebel (vgl. Schmalenbach 1956, S. 280; Riebel 1964, S. 84) interpretiert v^erden. Wesentliche Unterschiede ergeben sich aus der Auffassung des Periodenerfolgs als Kennziffer fiir die kurzfristige Unternehmenssteuerung in der Betriebsplankostenrechnung, was von Riebel abgelehnt wird (vgl. LaBmann 1983, S. 88). Wahrend in fruheren Veroffentlichungen noch die Nahe zur Relativen Einzelkostenrechnung betont wurde (vgl. LaBmann 1968, S. 69), wird die Betriebsplankostenrechnung in letzter Zeit eher als eine Erganzung und Modifikation der Grenzplankostenrechnung (vgl. LaBmann 1983, S. 90) bzw. der flexiblen Plankostenrechnung (vgl. LaBmann 1992, S. 300) gesehen. Eine Weiterentwicklung gegeniiber der Plankostenrechnung ist insbesondere darin zu sehen, dass wesentliche Telle der Produktionsplanung simultan mit der Kostenrechnung durchgefUhrt werden und dabei multiple lineare EinflussgroBenfunktionen mit mehreren unabhangigen Variablen berlicksichtigt werden. Weitere Unterschiede bestehen in der Aufspaltung in Mengen- und WertgerUst anstelle der unterjahrigen Verwendung von Planpreisen in der flexiblen Plankostenrechnung (vgl. ausfiihrlicher zu konzeptionellen Unterschieden LaBmann 1992, S. 315-316; LaBmann 1983). Im Hinblick auf die gestiegenen Gemeinkosten in den indirekten Bereichen ist zu fragen, ob eine Ubertragung der Vorgehensweise fiir den Fertigungsbereich auf die indirekten Bereiche moglich ist. Gerade fiir diese Bereiche wird immer wieder betont, dass die Produktionsmenge als alleinige EinflussgroBe nicht geeignet ist, um das Verhalten von Gemeinkosten abzubilden. Die Prozesskostenrechnung versucht, diesen Mangel zu beheben, indem Prozesse mit weiteren EinflussgroBen als Kalkulationsobjekte eingefuhrt werden. Die Eignung der Prozesskostenrechnung als System zur Entscheidungsunterstiitzung leidet jedoch haufig darunter, dass diese EinflussgroBen letztlich durch die Schliisselung der Prozesskosten auf Kostentrager nivelliert werden. In der Betriebsplankostenrechnung werden viele prozessorientierte Einflussgrofien (z.B. Anzahl der Lose, Anzahl der Varianten) und deren Faktorverbrauchskoeffizienten bereits berlicksichtigt. Prinzipiell kann eine verstarkte Integration weiterer EinflussgroBen in das Betriebsmodell die Kostenplanung auch fiir die indirekten Bereiche verbessern. Dies setzt aber das Vorhandensein von linearen bzw. zu linearisierenden Kostenfunktionen sowie die Beeinflussbarkeit der Kosten voraus.

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Literatur Bleuel B (1980) Untersuchung des (kosten-)optimalen Anpassungsverhaltens in einem Huttenwerk bei Veranderung interner oder externer Einflu6gr613en mit Hilfe linearer parametrischer Optimierung. Zeitschrift fiir betriebswirtschaftliche Forschung 32: 669680 Busse von Colbe W, LaBmann G (1991) Betriebswirtschaftstheorie. 1. Bd. 5. Aufl Springer, Berlin Heidelberg New York Fischer R, Rogalski M (1995) Datenbankgestutztes Kosten- und Erloscontrolling. 2. Aufl Gabler, Wiesbaden Franke R (1972) Betriebsmodelle: Rechensysteme fiir Zwecke der kurzfristigen Planung, Kontrolle und Kalkulation. Bertelsmann, Dusseldorf Gutenberg E (1983) Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre. Erster Band: Die Produktion. 24. Aufl Springer, Berlin Gottingen Heidelberg Hahn D, LaBmann G (1999) Produktionswirtschaft - Controlling industrieller Produktion. Bd. 1 und Bd. 2. 3. Aufl Physica, Heidelberg Kistner K-P (1993) Produktions- und Kostentheorie. 2. Aufl Physica, Heidelberg Kolb J (1978) Industrielle Erlosrechnung - Grundlagen und Anwendung. Gabler, Wiesbaden LaBmann G (1968) Die Kosten- und Erlosrechung als Instrument der Planung und Kontrolle in Betrieben. Verlag Stahleisen, Diisseldorf LaBmann G (1973) Gestaltungsformen der Kosten- und Erlosrechnung im Hinblick auf Planungs- und Kontrollaufgaben. Die Wirtschaftsprlifung 26: 4-17 LaBmann G (1979) Erlosrechnung und Erlosanalyse bei GroBserien- und Sortenfertigung. Zeitschrift fur betriebswirtschaftliche Forschung 31: 135-142 und 153-162 LaBmann G (1983) Betriebsmodelle. In: Chmielewicz K (Hrsg) Entwicklungslinien der Kosten- und Erlosrechnung. Poeschel, Stuttgart, S 87-108 LaBmann G (1992) Betriebsplankosten- und Betriebsplanerfolgsrechnung. In: Mannel W (Hrsg) Handbuch Kostenrechung. Gabler, Wiesbaden, S 300-319 Leontief W (1953) Studies in the structure of the american economiy, Oxford University Press, New York Pichler O (1961) Kostenrechnung und MatrizenkalkUl. Ablauf- und Planungsforschung 2: 30-38 Pichler O (1966) Anwendung der Matrizenrechnung bei der Betriebskosteniiberwachung. In: Adam A, Ferschl F, Klamecker A (Hrsg) Anwendungen der Matrizenrechnung auf wirtschaftliche und statistische Probleme. 3. Aufl Physica, Wurzburg, S 74-111 Riebel P (1956) Die Gestaltung der Kostenrechnung fur Zwecke der Betriebskontrolle und Betriebsdisposition. Zeitschrift fiir Betriebswirtschaft 26: 278-289 Riebel P (1964) Der Aufbau der Grundrechnung im System des Rechnens mit relativen Einzelkosten- und Deckungsbeitragen. Aufwand und Ertrag 10: 84-87 Schmalenbach E (1956) Kostenrechnung und Preispolitik. 7. Aufl Opladen, Koln Schweitzer M, Ktipper H-U (1997) Produktions- und Kostentheorie. 2. Aufl Gabler, Wiesbaden Schweitzer M, Ktipper H-U (1998) Systeme der Kostenrechnung. 7. Aufl Verlag Modeme Industrie, Mlinchen Sehner G, Steinecke V, Wartmann R (1974) Ein Planungssystem fiir die Richtkosten- und Planungsrechnung von Betrieben. IBM-Nachrichten: 348-353

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ter Schiiren H, Wartmann R (1975) Richtkosten- und Planungsrechnung mit Matrizen fiir den Hochofenbereich eines gemischten Hiittenwerkes (Fallstudie 32). Schriften zur Unternehmensfiihrung 21:142-162 Wartmann R (1963) Rechnerische Erfassung der Vorgange im Hochofen zur Planung und Steuerung der Betriebsweise sowie der Erzauswahl. Stahl und Eisen 83: 1414-1425 Wittenbrink H (1975) Kurzfristige Erfolgsplanung und Erfolgskontrolle mit Betriebsmodellen. Gabler, Wiesbaden Originalquelle:

Rogalski M (2002) Betriebsplankostenrechnung. In: Kiipper H-U, Wagenhofer A (Hrsg) Handworterbuch Unternehmensrechnung und Controlling, 4. Aufl Stuttgart, Sp 157-167

Technische Fundierung der GutenbergProduktionsfunktion Susanne Sonntag noventum consulting GmbH, Munster

1. Problemstellung Die Gutenberg'sche Theorie der Anpassungsformen bildet den Kern einer betriebswirtschaftlichen Theorie der Produktion. Sie modelliert die Produktivitatsbeziehungen an den einzelnen, an der Produktion beteiligten maschinellen Anlagen. Gutenberg stellt dabei schon in der ersten Auflage des ersten Bandes seiner „Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre" die Bedeutung der technischen Rahmenbedingungen der Produktion fur die Abbildung der Produktivitatsbeziehungen heraus. So verwendet er das Beispiel eines Motors, dessen Brennstoffverbrauch und PS-Leistung von der Drehzahl abhangen, sowie des WerkzeugverschleiBes von Dreh-, Fras- und Hobelbanken, der mit den Schnittgeschwindigkeiten bzw. der Hubzahl variiert.^ Eine weitergehende Diskussion der Auswirkungen der Variierbarkeit derartiger technischer Parameter auf die Abbildung und die Eigenschaften der Produktivitatsbeziehungen erfolgt jedoch nicht. Ziel dieses Beitrags ist es zu zeigen, wie die Variierbarkeit mehrerer technischer StellgroBen in die Gutenberg-Produktionsfunktion integriert werden kann und welche Auswirkungen sich daraus ftir deren Eigenschaften ergeben. Im Folgenden werden daher zunachst die Eigenschaften der Produktivitatsbeziehungen der Gutenberg-Produktionsfunktion in der traditionellen Form dargestellt und anschlieBend um die Berucksichtigung mehrerer technischer StellgroBen erweitert.

1 Vgl. Gutenberg (1951), S.222f.

160

Susanne Sonntag

2. Eigenschaften der Gutenberg-Produktionsfunktion mit der Intensitat als einziger StellgroBe 2.1

Verbrauchsfunktionen und Anpassungsformen

Bei der Frage nach den Bestimmungsfaktoren des Faktoreinsatzes geht die Theorie der Anpassungsformen davon aus, dass ein betriebswirtschaftlich relevantes Produktionsmodell berticksichtigen muss, dass der eigentliche Transformationsprozess an den einzelnen an der Produktion beteiligten maschinellen Anlagen stattfindet. Es gilt also zunachst, die Produktivitatsbeziehungen an den einzelnen Maschinen zu untersuchen, wobei Maschinen gleichen Typs zu Produktionsstellen zusammengefasst werden konnen.^ Die Produktivitatsbeziehungen der einzelnen Produktionsstellen lassen sich dann zu einem Produktionsmodell fur den gesamten Betrieb aggregieren.^ Jede Produktionsstelle erbringt einen maschinenspezifischen Output x, der in der Anzahl an Arbeitsverrichtungen, die die Produktionsstelle in der Betrachtungsperiode erbringt, gemessen wird/ So ist der maschinenspezifische Output einer Drehmaschine das Volumen an in der Betrachtungsperiode abgehobenem Span, der maschinenspezifische Output einer Bohrmaschine die Anzahl der in der Periode gebohrten Locher eines bestimmten Durchmessers usw. Produktionsstellen weisen dartiber hinaus spezifische technische Eigenschaften z = (zj,..., z^^) auf, die die Faktorverbrauchsmengen beeinflussen konnen. So ist beispielsweise der WerkzeugverschleiB einer Drehbank oder der Einsatz an Betriebsstoffen wie Energie, KUhl- und Schmiermitteln abhangig von der Beschaffenheit des Werkzeugstahls oder von den Einstellungen von Vorschub, Schnitttiefe und Schnittgeschwindigkeit.^ Dieser „Kranz der technischen Eigenschaften der Anlage"^ wird von Gutenberg als z-Situation bezeichnet, flir die weiteren tJberlegungen jedoch als konstant vorausgesetzt.^ Die Leistung einer Produktionsstelle wird durch die Produktionsgeschwindigkeit d als maschinenspezifischer Output x, der je Zeiteinheit t erbracht wird, gemessen: d = xlt Sie kann in der Regel innerhalb eines technisch vorgegebenen Intervalls [d"^^ .d"^^^] variiert werden. Die Produktionsgeschwindigkeit determiniert nicht nur die Ausbringungsmenge, die in einem bestimmten zeitlichen Intervall reali-

2

3 4 5 6 7

Vgl. Gutenberg (1983), S. 326ff. Vgl. Gutenberg (1983), S. 332 u. 336 und insbesondere Kloock (1969). Vgl. Krelle (1969), S. 42ff.; Kilger (1958), S. 54f. Vgl. Gutenberg (1983), S. 326. Gutenberg (1983), S. 330. Vgl. Gutenberg (1983), S. 330.

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

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sierbar ist, sondern auch die zur Herstellung einer Outputeinheit benotigten Faktoreinsatzmengen. Der Zusammenhang zwischen der Leistung einer Anlage und den zur Leistungserstellung benotigten Faktoreinsatzmengen wird in Verbrauchsfunktionen erfasst. Diese geben fur jeden Produktionsfaktor / die Einsatzmenge r^ je Ausbringungsmengen-Einheit x

a^^rjx in Abhangigkeit von der Produktionsgeschwindigkeit d an: ai=ai(d)

(i = l,...,n)

Grundsatzlich ist es fur alle Einsatzfaktoren moglich, empirische Verbrauchsfunktionen zu ermitteln. Innerhalb des Modells der Theorie der Anpassungsformen geniigt es jedoch zunachst, plausible Annahmen uber ihre Verlaufe zu treffen. So diirften die Verbrauchsfunktionen fiir Rohstoffe oder Bauteile, falls kein von der Produktionsgeschwindigkeit abhangiger Ausschuss auftritt, konstant, fUr Betriebsstoffe wie Energie und Kiihlmittel sowie fur Rohstoffe, fur die es eine verbrauchsoptimierende Produktionsgeschwindigkeit gibt, hingegen u-formig verlaufen. Objektbezogene Arbeit fuhrt bei Zeitlohn zu konvexen, monoton fallenden Verbrauchsfunktionen; bei Akkordlohn ist die Verbrauchsfunktion unabhangig von der Produktionsgeschwindigkeit und damit ebenfalls konstant. Bei der Ermittlung der Verbrauchsfunktionen fUr den Betriebsmitteleinsatz sind zwei Aspekte zu berucksichtigen: Die Einsatzdauer der Anlage und damit auch die Anzahl der durchfuhrbaren Arbeitsverrichtungen ist durch die Endlichkeit des Planungshorizonts begrenzt. Durch eine Erhohung der Produktionsgeschwindigkeit sinkt die zeitliche Inanspruchnahme der Anlage je Arbeitsverrichtung; die Verbrauchsfunktion fur den zeitlichen Anlageneinsatz ist somit ebenfalls konvex und monoton fallend. Zum anderen unterliegen die einzelnen Bauteile der Anlage einem NutzungsverschleiB. FUr diesen konnen analog zum Werkstoffverbrauch uformige Verlaufe angenommen werden.^ ZeitverschleiB, KatastrophenverschleiB u.a. sind nicht durch die Produktion verursacht und somit auch nicht durch Produktionsmodelle zu erfassen. Der gesamte Faktoreinsatz einer Periode ergibt sich durch Multiplikation der Verbrauchsfunktion mit der in der Periode realisierten Ausbringungsmenge x. Er lasst sich durch Faktoreinsatzfunktionen r^ ausdriicken:^ r^ =ai(d)'X

(i = \,...,n)

Die Hohe der Ausbringungsmenge einer Produktionsstelle im Betrachtungsintervall [0,r] hangt von der Einsatzzeit t einer jeden in der Produktionsstelle eingesetzten Maschine, von der Anzahl der dort eingesetzten Anlagen A^ und von der

8 Vgl. z.B. Betge, 1983, S. 24ff. 9 Vgl. Kistner (1993a), S.145f.

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Susanna Sonntag

Produktionsgeschwindigkeit d, mit der diese betrieben werden, ab. Sie wird dargestellt als Leistungsfunktion: x = d't'N Einsetzen der Leistungsfunktion in die Faktoreinsatzfunktionen liefert: (i = \,...,n)

rj =aj(d)'d't'N

Aus diesen Beziehungen wird deutlich, dass die Produktionsgeschwindigkeit d in Verbindung mit der Anzahl der eingesetzten Betriebsmittel A^ und deren Einsatzdauer t sowohl die Hohe des Outputs als auch die des Faktoreinsatzes determiniert. Die Faktoreinsatzmengen hangen somit nicht unmittelbar, sondern mittelbar liber diese Entscheidungsparameter von der Hohe des geplanten Outputs ab (vgl. Abb. 1). Geplante Ausbringungsmenge

Faktoreinsatzmengen

Entscheidungsvariablen

^-^^^^ n

y f ,-^n:

^ ^ ^ r : ^ ^ ^ ^2

v^ ^. — ^ ____^

A

~——•(i^^^—-

= ^ ^ r „

Abb. 1. Entscheidungsvariablen der Theorie der Anpassungsformen Da die Hohe der Ausbringung einer Produktionsstelle von den drei Parametern Laufzeit der Anlagen, Anzahl eingesetzter Anlagen und Produktionsgeschwindigkeit determiniert wird, unterscheidet Gutenberg drei Moglichkeiten der Anpassung an veranderte Beschaftigungssituationen:^^ 1. Zeitliche Anpassung: _ Die verfugbaren Anlagen N werden bei konstanter Produktionsgeschwindigkeit d nur wahrendder Zeitdauer t
r^ =

=d-t'N

t=xl{d'N)
a^{d)'d't'N

• Vgl. Kistner (1993a) S. 147; Steven (1998), S. 129ff.

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

163

2. Quantitative Anpassung: _ Es werden bei konstanter Produktionsgeschwindigkeit d und konstanter Laufzeit T so viele Maschinen N
^

N =

[xy(d'T)]+l
(i = \,...,n)

ri=ai(d)''d-T'N

wobei [z] die groBte ganze Zahl kleiner als z bezeichnet. 2. IntensitatsmaBige Anpassung: Bei intensitatsmaBiger Anpassung wird die Ausbringung x^ bei konstanter Laufzeit T und konstanter Anzahl eingesetzter Anlagen N ausschlieBlich durch die Variation der Produktionsgeschwindigkeit d e [d^^^,d^^^] realisiert.

x^=d-T-N und

^

ri=aXd)-d-T-lv

d"^
mit x° e [x™" ,x"""], wobei gilt: ^min ^ ^ m i n . y , . ^

Und

^max ^^max

^j^Jj

3. Mischformen Uber diese reinen Anpassungsformen hinaus besteht die Moglichkeit, diese - je nach den zugrunde liegenden betrieblichen Gegebenheiten - miteinander zu kombinieren (zeitlich-quantitative bzw. zeitlich-intensitatsmaBige Anpassung) oder, falls eine zeitliche Anpassung nicht moglich ist, mit wechselnden Produktionsgeschwindigkeiten zu arbeiten (Intensitatssplitting). Die Entscheidung, welche Form der Anpassung zu wahlen ist, kann zum einen technisch bedingt sein, wenn, wie z.B. bei einem Hochofen, eine zeitliche Anpassung nicht moglich ist oder Maschinen eingesetzt werden, deren Leistung sich nicht variieren lasst, oder aus okonomischen Entscheidungen resultieren. In diesem Fall erfolgt die Argumentation jeweils uber die aus den Verbrauchsfunktionen abgeleiteten Kostenfunktionen. Die Differenzierung von zeitlicher und quantitativer Anpassung, die kostentheoretisch wegen der Notwendigkeit der Berticksichtigung sprungfixer Kosten bei der Inbetriebnahme der Anlagen sinnvoll ist, ist produktionstheoretisch nicht erforderlich. Da zu einer Produktionsstelle nur Maschinen gleichen Typs mit identischen Verbrauchsfunktionen gehoren, konnen die zeitliche und die quantitative Anpassung produktionstheoretisch zur zeitlich-quantitativen Anpassung mit der Interpretation des Entscheidungsparameters t
164

Susanne Sonntag

2.2

Eigenschaften der Gutenberg-Produktionsfunktion

Die Herleitung von Isoquanten und Produktionsfunktionen bei partieller Faktorvariation und von deren Eigenschaften zur Beschreibung der Gutenberg-Produktionsfunktion ergibt sich aus deren Zusammenhang zur Linearen Aktivitatsanalyse.^^ Wie Albach gezeigt hat, konnen Verbrauchsfunktionen - unter bestimmten Voraussetzungen - als Verallgemeinerung von Produktionsprozessen angesehen werden:^^ Ein Produktionsprozess im Sinne der Linearen Aktivitatsanalyse ist wegen der Proportionalitatseigenschaft linearer Technologien durch die zugehorigen Produktionskoeffizienten eindeutig determiniert; ebenso charakterisieren die Verbrauchsfunktionen und die Leistungsfunktion die Faktoreinsatzmengenverhaltnisse einer Produktionsstelle. Zu gegebenen Verbrauchsfunktionen a^ = a^(
x = d 't

Jede Produktionsgeschwindigkeit d e[d^^^ ,d^^^] determiniert somit einen Produktionspunkt im 9i"^^. Wenn die Einsatzzeit t der maschinellen Anlagen einer Produktionsstelle stetig variiert werden kann, dann gilt, dass Ausbringungsmenge und Faktoreinsatzmengen linear mit dem zeitlichen Einsatz der Produktionsstelle variieren: x = d't r. =ai(d)'d't

(/ = !,...,«)

Damit sind sowohl die Faktoreinsatzmengenverhaltnisse u als auch die Produktionskoeffizienten X

fur gegebene Produktionsgeschwindigkeit konstant fur alle Faktoren ij = \,..,,n mit / ^ j und r^ > 0 bzw. x > 0. (*) beschreibt somit immer dann einen Produk-

11 Vgl. Sonntag (2004), S. 48ff.; Kistner u. Sonntag (1993) S. 1297ff.; Kistner (1993a), S. 144f. 12 Vgl. Albach (1962), S. 154ff. 13 Vgl. Kistner (1993a), S. 145.

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

165

tionsprozess im Sinne der linearen Aktivitatsanalyse, wenn eine zeitliche Anpassung der Anlage moglich ist. Das Vorgehen lasst sich fiir zwei Produktionsfaktoren anhand von Abb. 2 graphisch verdeutlichen: Die Verbrauchsfunktionen fiir die beiden Faktoren sind im II. bzw. im IV. Quadranten abgebildet. Die Faktoreinsatzmengen rj und ^2 sind auf den positiven, die Intensitat d ist auf den negativen Achsenabschnitten abgetragen. Dies bedingt, dass jeweils der Absolutwert abzulesen ist. Die Produktionsgeschwindigkeiten d^, d^ und d^ determinieren iiber die Verbrauchsfunktionen ai{d) und a2{d) drei Aktivitaten, die im I. Quadranten als Produktionspunkte dargestellt sind: 0

X 0

0

i\

y={ala\A)

y'={alal\)

Nur durch eine Variation der Einsatzzeit bei gegebener Produktionsgeschwindigkeit (zeitliche Anpassung) konnen Produktionspunkte auf den Geraden durch den o n

1 1

9

9

Koordinatenursprung und die Punkte {a^^aj), (^ij^^i) ^^^ (^15^2) erzeugt werden; diese reprasentieren die den Produktionsgeschwindigkeiten d^, d^ und d^ entsprechenden Produktionsprozesse.

Abb. 2. Konstruktion von Produktionsprozessen aus Verbrauchsfunktionen

166

Susanna Sonntag

Aus Verbrauchsfunktionen konnen also nur dann mehrere Produktionsprozesse abgeleitet werden, wenn sowohl die Produktionsgeschwindigkeit als auch die Einsatzzeit der Anlagen variabel sind (zeitlich-intensitatsmaBige Anpassung).

2.2.1

Eigenschaften der Gutenberg-Produktion In den reinen Anpassungsformen

Bei zeitlicher bzw. zeitlich-quantitativer Anpassung erfolgt die Produktion entlang eines Prozessstrahls. Die (gegebene) Produktionsgeschwindigkeit determiniert die Produktionskoeffizienten. Jede zulassige Ausbringungsmenge x^

=d't
lasst sich in t=x^/d
Diese determiniert wiederum die zur Produktion notwendigen Faktoreinsatzmen(i = \,...,n). Die Isoquante besteht ebenfalls aus einem gen r^=^ ai{d)'d'T, Punkt im 9i"^'. Wegen der mit der Produktionsgeschwindigkeit variierenden Produktionskoeffizienten verandern sich die Faktoreinsatzmengenverhaltnisse mit der Produktionsgeschwindigkeit. Der Expansionspfad ist nicht-linear. Die Produktionsfunktion bei Variation des Faktors 1 und gegebenen Bestanden r^ der Faktoren i = 2,...,n lasst sich aus der Faktoreinsatzfunktion des Faktors 1 r,(d) =

a,id)'d'T

ermitteln. Da jede Ausbringungsmenge x mit genau einer zugehorigen Produktionsgeschwindigkeit d = x/T realisierbar ist, ergibt sich die ausbringungsbezogene Faktoreinsatzfunktion zu: Ri(x) = ai(x/T)'X Die Inverse der ausbringungsbezogenen Faktoreinsatzfunktion ergibt die Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation:

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion x = fi(rO = Ri(ri)

[rr

167

Die Ausbringung lasst sich so langc crhohen, bis entweder dcr Bestand cines konstantcn Faktors ausgeschopft ist (ic) oder die maximale Produktionsgeschwindigkcitcrrcichtist(x"'^''). Im Fall konvcxer Verbrauchsfunktionen weisen die (ausbringungsbczogenen) Faktorcinsatzfunktionen und damit auch deren Inverse maximal cincn Wendcpunkt auf. Falls die Faktorcinsatzfunktionen monoton sind, ergibt sich dcr in Abb. 3 skizzicrte s-formige Verlauf. FUr nicht-monotone Faktorcinsatzfunktionen und nicht-konvexe Verbrauchsfunktionen lasscn sich keinc allgemcincn Aussagen treffen.

Abb. 3. Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation bei rein IntensitatsmaBiger Anpassung

2.2.2

Eigenschaften in den gemischten Anpassungsformen

Kann bei zeitlich-intcnsitatsmaBiger Anpassung die Produktionsgeschwindigkeit in diskreten Schritten und die Einsatzdauer der Betriebsmittcl stctig variiert werden, dann beschrciben die Verbrauchsfunktionen cine lineare Technologic mit ciner cndlichcn Zahl von Produktionsprozessen; ein Wechsel dcr Produktionsgeschwindigkeit bcdcutct cincn Prozcsswcchscl und damit cine Vcrandcrung dcr Vcrhaltnissc dcr Einsatzmcngen der Produktionsfaktorcn. Bei stctig variicrbarer Intensitat ergibt sich cine verallgemeinerte lineare Technologic mit ubcrabzahlbar viclcn linearcn Produktionsprozessen.

168

Susanna Sonntag

Durch einen Wechsel der Produktionsgeschwindigkeit ergeben sich jedoch nur dann mehrere effiziente Produktionsprozesse und damit die Moglichkeit der Faktorsubstitution, wenn es ein Intervall (df,d^) gibt (i ^ k;i,k = l,...,n), in dem mindestens zwei Verbrauchsfunktionen gegenlaufig sind, deren Ableitungen im Intervall (df,d^) somit unterschiedliche Vorzeichen aufweisen (vgl. hierzu noch einmal Abb. 2)}'^ Dabei bezeichnen (df,d^) die Intensitaten, fiir die die Verbrauchsfunktionen der Faktoren / bzw. k ein Minimum annehmen. Da zumindest die Verbrauchsfunktion fur den zeitlichen Betriebsmitteleinsatz streng monoton fallt, bedeutet dies allgemein, dass in Gutenberg-Produktionsmodellen bei zeitlichintensitatsmaBiger Anpassung immer dann mehrere effiziente Produktionsprozesse und damit Substitutionsmoglichkeiten gegeben sind, wenn die Verbrauchsfunktion mindestens eines Produktionsfaktors einen steigenden Ast aufweist. Allgemein ergibt sich das Gebiet, in dem eine Substitution von Einsatzfaktoren stattfinden kann, aus der Menge derjenigen Faktoreinsatzmengenkombinationen, denen Produktionsgeschwindigkeiten aus dem Intervall [d ,d^^^ ] zugrunde liegen, wobei gilt:^^

d^ =mm{d^\i = l,...,n\ Zur Herleitung der Isoquante und ihrer Eigenschaften werden die Verbrauchsfunktionen durch ein Naherungspolygon approximiert, d.h. fiir die relevanten Produktionsgeschwindigkeiten im Substitutionsintervall werden endlich viele Stutzstellen J^ eingefiihrt mit: d'=dU.,.
(i = l..,,n;k

= l,...J)

Weiter sei tj^ die Zeit, wahrend der die Produktionsstelle mit der Intensitat d^ arbeitet. tj^ ist im Intervall [0,T ] variierbar, wobei sicherzustellen ist, dass die gesamte verfugbare Maschinenzeit T nicht Uberschritten wird. Fur die Herleitung der Isoquante sollen zwei Gruppen von Einsatzfaktoren Berticksichtigung finden: Faktoren, deren i^m^a^zmengen zu entlohnen sind, wie beispielsweise Rohstoffe, sowie Faktoren, die in gegebenen Bestanden bereitgestellt und endohnt werden miissen wie beispielsweise die zeitliche Maschinenkapazitat Oder Zeitlohne. Nimmt man nun ohne Beschrankung der AUgemeinheit an, dass fiir die Faktoren / = 2,...,rti Einsatzmengenkonstanz, fiir die Faktoren i = n^-\-l,...,n Bestandskonstanz gilt, dann konnen die Isoquanten fiir die Faktoren (rj,/; ) bei zeitlich-intensitatsmaBiger Anpassung durch parametrische Variation der Einsatzmen-

14 Vgl. insbesondere Albach (1962), S. 156. 15 Vgl. auch Krelle (1969), S. 45

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

169

ge Oder des Bestandes von r, (/ = 2,...,^) im folgenden Linearen Programm abgeleitet werden: •d'

•t^^i

mm!

en Nebenbedingungen

1.4-a'

•h--

-r?

(/ = 2,...,«i)

h^rf

(/ = «i +!,...,«)

k=\

n=t4'

•d'-

k=\

k=\

-x' t„>Q

(^ = 1,...,/)

Im Fall des Intensitatssplittings, bei dem die Maschine nicht abgeschaltet werden kann, modifiziert sich die Kapazitatsrestriktion der Anlage zu:

A:=l

Aus den allgemeinen Eigenschaften parametrischer linearer Programme^^ folgt fiir die Eigenschaften der Isoquante: • Die Isoquanten fiir die Faktoren mit Bestandskonstanz ergeben sich als stUckweise lineare, streng monoton fallende Kurven mit einer endlichen Anzahl von Knickpunkten, in denen Prozesswechsel als Wechsel der Produktionsgeschwindigkeit stattfinden. • Isoquanten fiir die Faktoren mit Einsatzmengenkonstanz konnen hingegen, wie Knolmayer (1983)^^ gezeigt hat, nicht-konvexe und steigende Bereiche aufweisen. Den Zusammenhang verdeutlicht Abb. 4. Ungeachtet der Struktur des linearen Programms betragt der Freiheitsgrad der Substitution genau 1. Wegen der Leistungsfunktion x = d -t ist fUr jede Hohe der Ausbringung mit der Festlegung eines der beiden Parameter Laufzeit der Anlage Oder Produktionsgeschwindigkeit auch die Hohe des anderen Parameters und damit die Einsatzmenge aller an der Produktion beteiligten Einsatzfaktoren festgelegt. r^ = a^(d)'X = ai(d)'d't 16 Vgl. Kistner (1993b), S. 59ff. 17 Vgl. Knolmayer (1983), S. 1122ff.

(i = l,...,n)

170

Susanne Sonntag

de[d""",d^]

'' d e[d

dG[d];,d^]

deid^d"^]

,d\] (InefFizienter steigender Bereich)

d e [^2 , ^"''^ ] (Effizienter steigender Bereich)

Abb. 4. Isoquante bei zeitlich-intensitatsmaBiger Anpassung und Einsatzmengenkonstanz Zur Herleitung der Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation muss, um allgemeine Aussagen Uber ihre Form herleiten zu konnen, vorausgesetzt werden, dass die Verbrauchsfunktionen konvex und die resultierenden Faktoreinsatzfunktionen monoton sind. Da jede Produktionsgeschwindigkeit in Verbindung mit der Moglichkeit der zeitlichen Anpassung einen Produktionsprozess i.S.d. linearen Aktivitatsanalyse definiert, wird man zunachst denjenigen Prozess einsetzen, der die wenigsten Einheiten des variablen Faktors je Ausbringungseinheit benotigt, d.h. man produziert mit der Intensitat di , fUr die die Verbrauchsfunktion des variablen Faktors ai(d) ihr Minimum annimmt. Da der Produktionskoeffizient ai(di) bei konstanter Intensitat konstant ist, steigt die Ausbringungsmenge x linear mit der Einsatzmenge r^ des variablen Faktors:

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

rj = ai(di

)'X

171

und damit

«i(rfi°) Wegen der Konstanz aller Produktionskoeffizienten bei Konstanz der Produktionsgeschwindigkeit steigen die Einsatzmengen aller Faktoren ^ (i = 2,...,n) ebenfalls linear an. Diese zeitliche Anpassung kann solange erfolgen, bis der Bestand eines Faktors ausgeschopft wird. Eine weitere Erhohung der Ausbringungsmenge ist nur dann moglich, wenn durch eine Erhohung der Produktionsgeschwindigkeit Einsatzmengen des Engpassfaktors durch Einsatzmengen des variablen Faktors substituiert werden konnen. Da die Verbrauchsfunktion des variablen Faktors fiir Produktionsgeschwindigkeiten d>d^ steigt, ist dies dann und nur dann moglich, wenn die Verbrauchsfunktion des Engpassfaktors fur d>d^ fallt. In diesem Fall kann die Ausbringungsmenge durch intensitatsmaBige Anpassung solange weiter erhoht werden, wie Einheiten der sich ergebenden Engpassfaktoren durch den variablen Faktor ersetzt werden konnen, die Verbrauchsfunktionen der Engpassfaktoren also fallen (3c), oder die maximale Produktionsgeschwindigkeit erreicht ist (vgl. Abb. 5). Fiir das Intensitatssplitting ist zusatzlich zu beachten, dass die Maschine nicht abgeschaltet werden kann und daher Mindesteinsatzmengen rj > r^^"^ auch fiir den als variabel angenommenen Faktor zu berucksichtigen sind.

Abb. 5. Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation bei gemischten Anpassungsformen

172

Susanne Sonntag

3. Erweiterung der Gutenberg-Produktion urn technische StellgroBen 3.1

Technische StellgroBen In Verbrauchsfunktionen

Die Frage, wie der Zusammenhang zwischen der Veranderbarkeit technischer Variablen (z-Situation) und der okonomischen GroBen Faktoreinsatz und Produktionsgeschwindigkeit, die Gutenberg anfuhrt und in den Verbrauchsfunktionen mit Gi =ai(z^,...,z^;d)

(/ = ! , . . . , « )

bezeichnet, fur weitergehende produktionstheoretische tJberlegungen berucksichtigt werden kann, ist Thema des folgenden Abschnitts. Die Betrachtung kann dabei in einem statischen Produktionsmodell reduziert werden auf die Beriicksichtigung stellbarer technischer GroBen.^^ Nicht-stellbare GroBen, wie exogene (Wind- oder sonstige Wetterverhaltnisse bei Transportprozessen oder Lichtverhaltnisse und Luftfeuchtigkeit beim Drucken) oder endogene Rahmenbedingungen der Produktion, wie sie durch konstruktive Daten der Maschine, durch ihren VerschleiBzustand oder aber durch das Material des zu bearbeitenden Werkstlicks bei spanabhebenden Prozessen gesetzt werden, beeinflussen zwar die Gestalt der Verbrauchsfunktionen^^, konnen aber nicht Entscheidungsparameter eines statischen Produktionsmodells sein.^^ Zur Integration technischer StellgroBen in das Gutenberg'sche Produktionsmodell sind folgende Schritte notwendig (vgl. Abb. 6):^^ • Zunachst sind die unabhangig voneinander variierbaren technischen StellgroBen s^ ( r = 1,..., O zu identifizieren. • Es sind technische Verbrauchsfunktionen als Beziehungen zwischen den Faktoreinsatzmengen je Outputeinheit und den technischen StellgroBen zu ermitteln: Gi =ai(s)

(/ = !,...,«)

• Aus Beziehungen zwischen den technischen StellgroBen und der okonomischen Entscheidungsvariable Produktionsgeschwindigkeit lassen sich unter Umstan18 Vgl. im Einzelnen Sonntag (2004), S. 102ff 1^ So geben z.B. Hersteller von Werkzeugmaschinen jeweils eigene Tabellen mit Empfehlungen fur die vorzunehmenden Einstellungen der technischen Parameter Vorschub und Schnittgeschwindigkeit in Abhangigkeit vom Material des zu bearbeitenden Werkstucks heraus. Schwankende exogene Rahmenbedingungen finden iiber Durchschnitts- oder andere anzunehmende Werte bei der Formulierung von Verbrauchsfunktionen Beriicksichtigung. ^^ Kistner u. Luhmer (1988), S. 63ff zeigen, wie z-Variable als Trager des VerschleiBzustands einer Anlage als StellgroBen eines dynamischen Modells Beriicksichtigung finden. ^1 Vgl. hierzu auch das Vorgehen bei der Ermittlung von Engineering Production Functions bei Chenery (1949).

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

173

den q technische StellgroBen eliminieren. Mit den verbleibenden T StellgroBen lassen sich okonomische Verbrauchsfunktionen ermitteln als

-t-q

a^ = a^(sj^(d;si\l = l,...,T;l j^ k);si\ I = \,...,T'J ^ k)

(/ = !,...,«)

Da die technischen StellgroBen ausschlieBlich unabhangig voneinander variierbare GroBen darstellen, besitzen technische wie okonomische Verbrauchsfunktionen 7 - 1 Freiheitsgrade.^^ Geplante Ausbringung

x0

ök. Entscheidungsvariablen

t N d

(…) (…) (…)

Technische Stellgrößen

Faktoreinsatzmengen

s1 s2

r1 r2

st

rn

Abb. 6. Okonomische Entscheidungsvariablen und technische StellgroBen Das weitere Vorgehen soil anhand des Beispiels einer Drehmaschine verdeutlicht werden. Hierbei lasst sich das Volumen an je Zeiteinheit abgehobenem Span durch die (stellbaren) GroBen Vorschub, Drehgeschwindigkeit und Spantiefe beeinflussen, die jeweils in Abhangigkeit von den endogenen GroBen Werkstoff und Schneidstoff variierbar sind. Vorschub, Drehgeschwindigkeit und Spantiefe beeinflussen daruber hinaus sowohl den Verbrauch von Werkstoffen wie Kiihl- und Schmiermitteln, den Energieverbrauch und den VerschleiB von Werkzeug und Bauelementen als auch die Produktionsgeschwindigkeit als die je Zeiteinheit hergestellte Ausbringungsmenge.^^ Zunachst werden die Zusammenhange zwischen den technischen StellgroBen und der Produktionsgeschwindigkeit aufgezeigt, um diese Beziehungen im Anschluss zu nutzen, um aus den technischen Verbrauchsfunktionen okonomische herzuleiten. Die Produktionsgeschwindigkeit einer Drehmaschine als der maschinenspezifische Output, der je Zeiteinheit erstellt wird, lasst sich interpretieren als das Volumen an Metall, das je Zeiteinheit zerspant wird. Dieses so genannte Zeitspanvolumen wird in ingenieurwissenschaftlichen Publikationen mit der Variablen

^^ Kistner (1993a), S. 141f. zeigt auf, unter welchen Voraussetzungen die Reduktion auf die Intensitat als einzige StellgroBe auch unter Benicksichtigung mehrerer technischer StellgroBen zulassig ist. 23 Vgl. Boge (1995), S. 833ff; Haberbeck (1968), S. 907. Die technischen Daten der folgenden Ausfiihrungen basieren im Wesentlichen auf Stepan (1981), S. 97ff

174

Susanna Sonntag

V^ bezeichnet und in [mm^/min] gemessen. Es lasst sich durch die Einstellung dreier unabhangig voneinander variierbarer technischer StellgroBen beeinflussen:^"^ 1. Die Schnittbewegung wird durch die Drehung des Werkstlicks erzeugt. Die Geschwindigkeit der Schnittbewegung bezeichnet man als Schnittgeschwindigkeit V, Sie ergibt sich als die am Drehkreis des Werkstlicks gemessene Umfanggeschwindigkeit, die bei gegebenem Durchmesser des WerkstUcks von der Drehzahl der Hauptspindel abhangt. MaBeinheit sind [m/min]. 2. Der Vorschub s gibt an, welche Strecke das Werkzeug wahrend einer Spindelumdrehung langs der Drehkontur zuriicklegt. Gemessen wird der Vorschub in [mm]. 3. Die Schnitttiefe a [mm] hangt im Allgemeinen von der Werksttickgeometrie des Rohlings und von der verlangten Oberflachengiite des zu fertigenden Werkstlicks, also von endogenen, nicht-stellbaren GroBen ab. Sie wird fur die folgenden Uberlegungen zunachst als konstant angenommen. Das Zeitspanvolumen und damit die Produktionsgeschwindigkeit ergibt sich multiplikativ aus diesen drei Parametern: V^ = V^ (a, s,v) = \ .000 -a-V'S

[mm^/min]

Fur eine angenommene Schnitttiefe von a = 3mm erhalt man als Zeitspanvolumen in Abhangigkeit von Vorschub s und Schnittgeschwindigkeit v: V^ (s, v) = 3.000 'V'S

[mnv'/min]

Minimale und maximale Produktionsgeschwindigkeit resultieren aus den Intervallen, in denen die technischen Variablen variiert werden konnen. Im Beispiel sei die Schnittgeschwindigkeit v im Intervall 25 bis 265 [m/min], der Vorschub s im Intervall 0,15 bis 0,75 [mm] variierbar: V e [25; 265] 5 e [0,15; 0,75]

[m/min] [mm]

Damit variiert die Produktionsgeschwindigkeit bzw. das Zeitspanvolumen im Intervall 11.250 bis 596.250 [mmVmin]: F^ G [11.250; 596.250]

[mmVmin]

Wegen der multiplikativen Verknupfung von Schnittgeschwindigkeit und Vorschub lasst sich jede Produktionsgeschwindigkeit (auBer der minimalen und der maximalen) mit mehreren Kombinationen von Schnittgeschwindigkeit und Vorschub erzielen, die sich als konvexe, mqnoton fallende Isogeschwindigkeitslinien darstellen lassen (vgl. Abb. 7). Fiir V^ - V^ erhalt man im Beispiel:

—

V

V = v(s;V^) =3.000-^ —

— bzw.

2^ Vgl. Stepan (1981), S. 98f.; Boge (1995), S. 832.

V

s = s(v;V^ • ' )= 3.000-v

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

175

Das Beispiel macht deutlich, wie sich die Produktionsgeschwindigkeit d in Abhangigkeit von den technischen StellgroBen Sj. (r = 1,...,0 abbilden lasst: d = d{s) Diese Abhangigkeitsbeziehungen mlissen sich nicht immer so eindeutig aus technologischen Zusammenhangen ableiten lassen wie im vorliegenden Beispiel, konnen aber in der Regel mit Hilfe geeigneter Approximationsverfahren ermittelt werden.^^ Die Ermittlung von okonomischen aus technischen Verbrauchsfunktionen wird fur das oben eingefuhrte Beispiel der Drehmaschine anhand von 2 Einsatzfaktoren verdeutlicht: Betrachtet werden der VerschleiB des DrehmeiBels und der Energieverbrauch. Die Verbrauchsfunktion fur den DrehmeiBelverschleiB basiert auf ingenieurwissenschaftlichen Daten;^^ beide Verbrauchsfunktionen liegen zunachst in Abhangigkeit von den technischen Parametern Vorschub und Schnittgeschwindigkeit vor. Die Ermittlung der okonomischen Verbrauchsfunktionen erfolgt dann auf der Basis des oben skizzierten Zusammenhangs zwischen Produktionsgeschwindigkeit und technischen StellgroBen Vorschub und Schnittgeschwindigkeit.

3004 2502001501004 50 0

0

-h

-f-

0,1

0,2

0,3

H 0,4

h0,5

+

0,6

0,7

4-

0,8

Abb. 7. Isogeschwindigkeitslinien Zur Quantifizierung des VerschleiBes von Potenzialfaktorkomponenten wird die so genannte Standzeit T als die Zeit, wahrend der die Produktionsaufgaben, fUr die die Anlage konzipiert wurde, mit hinreichender Genauigkeit erfiillt werden kon25 Vgl. Haberbeck (1967). 26 Vgl. Stepan (1981), S. 9 8 f ; Boge (1995), S. 832.

176

Susanne Sonntag

nen, ermittelt. In den Ingenieurwissenschaften wurden fur den WerkzeugverschleiB verschiedene Standzeitmodelle mit unterschiedlichem Erklarungsgehalt entwickelt.^"^ Vorschub und Schnittgeschwindigkeit als VerschleiB verursachende GroBen beriicksichtigt die sog. Depiereux'sche Standzeitgleichung^^: s,v) = e mit:

^

"

[mm]

T = Standzeit der Schneide [min] V = Schnittgeschwindigkeit [m/min] s = Vorschub [mm]

ky, is, m, n, c sind von Schnittgeschwindigkeit v und Vorschub s unabhangig und als exogene StellgroBen - bei gegebener Schneidstoff-Werkstoffpaarung, Schneidengeometrie, Schnitttiefe und Schneidfltissigkeit Konstante. Fiir die Schneidstoff-Werkstoffpaarung HM P 15-Cm55N und eine Schnitttiefe von a = 3 mm ergeben sich z.B. die Parameterwerte: ^,=2,34-10"^ />5,91 m = 2,5 « = 1,43 c = 7,16 Die Standzeit der Schneide in Abhangigkeit von Schnittgeschwindigkeit und Vorschub betragt dann: T(s,v) = e

c „2,5 J,43 (-2,3410"^ ^ ^ - 5 , 9 1 - ^ - 7 ^ + 7 , 1 6 )

2,5

1,43

[^^-^j

Hieraus lasst sich fiir die o.a. Schneidstoff-Werkstoffpaarung folgende technische Verbrauchsfunktion ableiten:^^ a (s y) - ^^^''"^ ^ ^ ;2.341Q-^^H-5.91.4ff-7,16) ^ ' Vz(s,v) 3000-j-v [Schneidenverzehr I mm ] Sie ist in beiden technischen Parametern konvex und nimmt ihr globales Minimum bei einer Schnittgeschwindigkeit v^ von v^ =71,17277 m/min und einem Vorschub ^J i.H.v. 5-^ = 0,288688 mm ein. WUrde zur Optimierung des Einsatzes der Werkzeugmaschine nur der VerschleiB des DrehmeiBels zugrunde gelegt, so ergabe sich fiir die betrachtete Schneidstoff-Werkstoffpaarung eine optimale Produktionsgeschwindigkeit von 27 Vgl. B o g e (1995), S. 841f.; Stepan (1981), S. lOlf. 28 Vgl. Konig u. Depiereux (1969), S. 20; Stepan (1981), S. lOlf. 29 Vgl. Sonntag (2004), S. 11 If.

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion Vz=6l .640,174

177

[mmVmin]

die mit den Parametereinstellungen v ^ = 71,17277 m/min

und

5^=0,288688 mm

zu realisieren ware, Sowohl ein Abweichen von dem als verschleiBoptimal ermittelten Zeitspanvolumen als auch eine Realisierung der verschleiBoptimalen Produktionsgeschwindigkeit mit einer anderen Kombination aus Schnittgeschwindigkeit und Vorschub wtirde zu einem hoheren VerschleiB des DrehmeiBels fuhren. Eine weitere technische Verbrauchsfunktion soil ftir den Faktor Energie eingefUhrt werden: Betrachtet werden zwei Motoren, die Vorschub und Schnittgeschwindigkeit regulieren. Unterstellt werde die folgende (hypothetische) technische Verbrauchsfunktion: a^(v,5) = l,37-5^-l,5-5 + l,5 + (0,45-v^-150-v + 20.000)/10.000 Sie ist ebenfalls in beiden Parametern konvex. Das globale Minimum liegt bei v ^ = 166,6 m/min und ^^ = 0,547445 mm; das zugehorige, den Energieverbrauch minimierende Zeitspanvolumen betragt: Vz = 213.122 A9

[mm^/min]

Wie die Uberlegungen zur Quantifizierung der Produktionsgeschwindigkeit gezeigt haben, lasst sich jedes Zeitspanvolumen (auBer dem minimalen und dem maximalen) mit mehreren Kombinationen aus Schnittgeschwindigkeit und Vorschub realisieren, die als konvexe, monoton fallende Isogeschwindigkeitslinien darstellbar sind. Die okonomische Verbrauchsfunktion erhalt damit bei Variierbarkeit zweier technischer StellgroBen neben der Produktionsgeschwindigkeit eine weitere Dimension: a^ = Qi {s\ v{s\ V^))

bzw.

Gi = a^ (v; ^(v; V^))

Fur das eingefuhrte Beispiel ergibt sich: Substituiert man in den technischen Verbrauchsfunktionen a^(5,v)

3.000-5 und variiert die Produktionsgeschwindigkeit V^ parametrisch, so ergeben sich (weiterhin) dreidimensionale, wegen der Nicht-Linearitat der Isogeschwindigkeitslinien nicht mehr notwendigerweise konvexe okonomische Verbrauchsfunktionen: Qi = ai{s\v(,s\V^)) Ftir den DrehmeiBelverschleiB erhalt man wegen v =

V 3000-5

178

Susanne Sonntag

1

(2,34-10-5 .i^%|^^+5,91.^-7,16)

Fiir den Energieverbrauch gilt analog: a^(5;v(^;F2)) = = 1,37.^'-l,5.5 + l,5 + ( 0 , 4 5 . ( 3 ^ ) ^ - 1 5 0 . 3 ^ + 20.000)710.000 Die technischen Verbrauchsfunktionen ergeben sich - wie oben beschrieben - fUr T technische StellgroBen als Abbildung 91^ -^ 9^1^. Falls sich eine technische StellgroBe durch die okonomische StellgroBe Produktionsgeschwindigkeit ersetzen lasst, bleibt die Dimension des betrachteten Problems unverandert: Auch die okonomische Verbrauchsfunktion ist eine Abbildung 9^^ -> 9^1^. Technische wie okonomische Verbrauchsfunktionen besitzen T -1 Freiheitsgrade. Anders als bei den im Rahmen der Engineering Production Functions untersuchten produktiven Zusammenhangen bestehen diese Freiheitsgrade auch ex post, bei gegebenem Anlagenbestand. 3.2

Eigenschaften der Produktivitatsbeziehungen

Die Uberlegungen im ersten Teil dieses Beitrags haben ergeben, dass die Gutenberg-Produktionsfunktion mit der Intensitat als einziger StellgroBe in den reinen Anpassungsformen limitational ist; die Isoquante besteht aus einem Punkt im SPJ"^^. Wegen x = d't

mit

d^\dr'\dr'''-\

und

0
lasst sich bei gegebener Zeit oder Intensitat jede Hohe der Ausbringung mit genau einer Einstellung des variablen Parameters erzielen. Damit sind uber die Verbrauchsfunktionen bzw. Faktoreinsatzfunktionen auch alle Faktoreinsatzmengen eindeutig festgelegt. Fur die gemischten Anpassungsformen bestehen immer dann Substitutionsmoglichkeiten und stetige Isoquanten, wenn die Verbrauchsfunktionen fur mindestens zwei Faktoren gegenlaufig sind. FUr Faktoren mit Bestandskonstanz sind die Isoquanten konvex und monoton fallend; fiir Faktoren, deren Einsatzmengen zu berucksichtigen sind, konnen sich nicht-konvexe oder steigende Bereiche ergeben. Fiir die Verbrauchsfunktionen mit mehreren StellgroBen hat sich gezeigt, dass sich die okonomischen Verbrauchsfunktionen nicht auf eine Abbildung 5^+ ^ " ^ I H reduzieren lassen; es verbleiben T-\ Freiheitsgrade. Damit bestehen auch in den reinen Anpassungsformen immer dann Substitutionsmoglichkeiten und stetige Isoquanten, wenn es einen Bereich gibt, in dem die Verbrauchsfunktionen fur mindestens zwei Faktoren gegenlaufig sind. Das Substitutionsintervall S ergibt sich wieder aus dem jeweils groBten und kleinsten Wert, fur den die Verbrauchsfunktionen Minima einnehmen:

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

179

^ = b';^'] mit

s^ =min|s*|/ = l,...,«|

und

s^ =max|5'*|/ = l,...,A7|

Fur die Herleitung der Eigenschaften der Isoquanten lassen sich die Uberlegungen des 2. Abschnitts ebenfalls ubertragen: Fur Faktoren mit Bestandskonstanz ergeben sich konvex mono ton fallende Isoquanten; fur Faktoren, deren Einsatzmengen abzubilden sind, konnen sich nicht konvexe und steigende Bereiche ergeben.^^ Der Freiheitsgrad der Substitution ergibt sich zu {Anzahl Stellgrofien - 1}; er erhoht sich in den gemischten Anpassungsformen auf {Anzahl Stellgrofien}. Vorgehen und Ergebnis sollen noch einmal anhand des oben eingefiihrten Beispiels verdeutlicht werden. Sowohl bei zeitHch-quantitativer als auch bei rein intensitatsmaBiger Anpassung besteht wegen

x = V,'t eine eindeutige, lineare Beziehung zwischen der fur den Betrachtungszeitraum geplanten Ausbringungsmenge x und der Produktionsgeschwindigkeit bzw. der Maschinenlaufzeit, mit der diese zu reahsieren ist: V,=^

bzw. t

t = -^ V,

Beriicksichtigt man aber, dass im betrachteten Beispiel jede Produktionsgeschwindigkeit unabhangig davon, ob sie sich bei rein intensitatsmaBiger Anpassung durch Festlegen der Ausbringungsmenge ergibt oder ob sie bei rein zeitlicher Anpassung von vornherein gegeben ist, mit unterschiedlichen Einstellungen der technischen Parameter Schnittgeschwindigkeit und Vorschub realisiert werden kann, dann lassen sich die tJberlegungen zur zeitlich-intensitatsmaBigen Anpassung aus dem ersten Abschnitt ubertragen: Die Variierbarkeit der technischen StellgroBen bei gegebener Produktionsgeschwindigkeit eroffnet genau dann Substitutionsmoglichkeiten, wenn die Verbrauchsfunktionen einen Bereich gegenlaufiger Steigung aufweisen. Wahlen wir zur Verdeutlichung im gegebenen Beispiel ein Zeitspanvolumen von 105.000 mm^/min. Dann ergeben sich die okonomischen Verbrauchsfunktionen a^ = ai{s\v{s\Vz)) zu: aE{s\v{s\Vz))

=

= U 7 - ^ ^ - l , 5 - 5 + l,5 + (0,45-(35/5)^-150-35/^ + 20000)/10000 und 1 (2,34-10"^.-^^5Ml_+5 9i.ll^_716) e ^,5 i,43 ao{s.v{s\Vz)) = ^ 105.000 Das Minimum der Energieverbrauchsfunktion liegt bei 30 Zur Herleitung im Einzelnen vgl. Sonntag (2004), S. 117ff.

180

Susanne Sonntag Sg =0,2302 [mm]

mit

a ^ ( 4 ) = 1,98692,

mit

a^(^^) = 4,4.10-

das des DrehmeiBelverschleiBes bei ^^=0,40512731 [mm]

Bei Variation des Vorschubs s im Intervall_5' = [0,2302; 0,40512731] bestehen bei gegebener Produktionsgeschwindigkeit Kz =105.000 Substitutionsmoglichkeiten: Eine Erhohung des Vorschubs fuhrt zwar zu erhohtem Energieverbrauch, vermindert aber den DrehmeiBelverschleifi. Die Isoquante zu einer gegebenen Ausbringungsmenge x = x lasst sich durch parametrische Variation von S in den Faktoreinsatzfunktionen r, =ai(s;v(s;Vz))'X bestimmen. Ftir x = 1 und Vz =105.000 ergibt sich der in Abb. 8 dargestellte Verlauf.

^FA^^^'Z)

^ 7 = 105.000 2,4

2,3

«£ ( 4 ) =2,1571 2,1

a £ ( 5 £ ) = 1,98692^

l,00E-07

l,50£-07

2,50E-07

^

(s V )

Abb. 8. Isoquante bei Berucksichtigung mehrerer StellgroBen Falls nur die beiden Faktoren DrehmeiBel und Energie am Produktionsprozess beteiligt waren, fUhrte die Realisierung von Vorschtiben auBerhalb des Substitutionsintervalls 5" = [0,2302; 0,40512731] zu Verschwendung sowohl von DrehmeiBelverschleiBeinheiten als auch von Energie; die nicht-konvexen Bereiche der Isoquante waren ineffizient. Sind jedoch mehr als zwei Faktoren zu betrachten, so ergibt sich das Substitutionsintervall - ganz analog zum Vorgehen bei der Be-

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

181

trachtung der zeidich-intensitatsmaBigen Anpassung in der Theorie der Anpassungsformen mit der Intensitat als einziger StellgroBe - zu:

mit

s^ =min\s*\i = l,...,nj

und

^^ =max|5'*|/ = l,...,^|

Da im betrachteten Beispiel nur zwei technische StellgroBen zur Verfugung stehen, betragt der Freiheitsgrad der Substitution eins: Das Zeitspanvolumen lasst sich mit mehreren Kombinationen aus Vorschub und Schnittgeschwindigkeit realisieren; legt man eine der beiden GroBen fest, ergibt sich die andere zwingend. LieBe sich im betrachteten Beispiel zu einer gegebenen Schneidstoff-Werkstoff-Kombination auch die Schnitttiefe in definierten Grenzen variieren, dann konnte jedes Zeitspanvolumen Vz = 1 0 0 0 - a - v ^ mit drei unabhangigen Variablen und somit mit zwei Freiheitsgraden realisiert werden. Entsprechend erhoht sich der Freiheitsgrad der Substitution auf zwei. Allgemein ergibt er sich zu {Anzahl Stellgrofien - 1}. Da der Freiheitsgrad der Substitution in den gemischten Anpassungsformen durch den zusatzlichen okonomischen Entscheidungsparameter um einen Grad Uber dem in den reinen Anpassungsformen liegt, ergibt er sich allgemein zu 7, der Anzahl der verfugbaren StellgroBen. Die Uberlegungen zur Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation lassen sich ebenfalls analog ubertragen. Die Leistungsfunktion ergibt sich zu: X = d{s)' t Die Faktoreinsatzfunktionen lassen sich aus den technischen bzw. okonomischen Verbrauchsfunktionen herleiten: ^i - ^i{§)'^- ^i{§)'^(^)• ^ r^ = Gi (d(s), s)'X = ai (d(s), s) • d(s) • /

technische bzw. okonomische Faktoreinsatzfunktion

Da fUr den Fall, dass es ein Intervall gibt, in dem die Verbrauchsfunktionen gegenlaufig sind, fur alle Anpassungsformen Substitutionsmoglichkeiten bestehen, ergeben sich die Produktionsfunktionen bei partieller Faktorvariation als Ergebnis eines Optimierungsprozesses: Bei rein zeitlicher Anpassung wird zunachst diejenige Einstellung der technischen StellgroBen gewahlt, die bezuglich des variablen Faktors verbrauchsminimal ist. Die Erhohung der Ausbringungsmenge durch zeitliche Anpassung ist solange moglich, bis der Bestand eines fixen Faktors oder die zeitliche Kapazitat der Anlage ausgeschopft ist. Die Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation ist linear. Bei rein intensitatsmaBiger Anpassung ist zu jeder Produktionsgeschwindigkeit die hinsichdich des variablen Faktors verbrauchsminimale Einstellung der technischen StellgroBen zu wahlen; eine Ausdehnung der Produktion kann solange erfolgen, wie Bestande fixer Faktoren verfugbar sind oder bisdie maximale Produk-

182

Susanne Sonntag

tionsgeschwindigkeit erreicht ist. Falls die Faktoreinsatzfunktionen monoton sind, ergibt sich wieder der in Abb. 3 skizzierte s-formige Verlauf. Fiir nicht-monotone Faktoreinsatzfunktionen und nicht-konvexe Verbrauchsfunktionen lassen sich keine allgemeinen Aussagen treffen. In den gemischten Anpassungsformen wird ebenfalls zunachst mit der hinsichtlich des variablen Faktors verbrauchsminimalen Produktionsgeschwindigkeit bei zeitlicher Anpassung produziert, bis der Bestand eines fixen Faktors ausgeschopft ist. Falls die Verbrauchsfunktion des Engpassfaktors in diesem Punkt sinkt, ist eine weitere Ausdehnung der Produktion solange moglich, wie durch Variation der StellgroBen Engpasseinheiten durch Einheiten des variablen Faktors substituiert werden konnen. Die Eigenschaften der Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation stimmen somit mit denen iiberein, die sich ohne Beriicksichtigung mehrerer technischer StellgroBen ergeben, sind jedoch Ergebnis eines Optimierungsprozesses.

4. Zusammenfassung Ziel dieses Beitrags war es zu zeigen, wie die bereits in der ersten Auflage von Gutenbergs „Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre. Band 1: Die Produktion" aufgezeigte Bedeutung technischer Parameter in die Theorie der Anpassungsformen integriert werden kann und welche Auswirkungen sich daraus fUr die Eigenschaften der Produktivitatsbeziehungen ergeben. Die Beriicksichtigung mehrerer technischer StellgroBen ftihrt hierbei auch in den reinen Anpassungsformen zu substitutionalen Faktorbeziehungen, wenn es einen Bereich gibt, in dem die Verbrauchsfunktionen mindestens zweier Faktoren gegenlaufig sind. Der Freiheitsgrad der Substitution ergibt sich in Abhangigkeit von der Anzahl zu berlicksichtigender StellgroBen zu [Anzahl Stellgrofien - 1}; in den gemischten Anpassungsformen stimmt er mit der Anzahl an StellgroBen iiberein. Die Eigenschaften der Isoquanten stimmen mit denen der Theorie der Anpassungsformen mit der Intensitat und der Laufzeit der Anlage als einzigen Entscheidungsvariablen iiberein: Fur Faktoren, fiir die Bestandskonstanz unterstellt werden kann, sind sie konvex und monoton fallend. Fiir Faktoren, die mit ihren Einsatzmengen abgebildet werden miissen, konnen sich nicht-konvexe oder steigende Bereiche ergeben. Die Eigenschaften der Produktionsfunktion bei partieller Faktorvariation verandern sich durch die Beriicksichtigung mehrerer StellgroBen nicht. Sie sind jedoch Ergebnis eines Optimierungsprozesses.

Technische Fundierung der Gutenberg-Produktionsfunktion

183

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Dritter Teil Produlctionsplanung

Lerneffekte in der Materialwirtschaft Marion Steven Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaft, Ruhr-Universitat Bochum

1. Problemstellung In den letzten Jahren sehen sich zahlreiche Unternehmen einem immer starkeren Kostendruck ausgesetzt. Daher ist die Suche nach Moglichkeiten zur systematischen Reduktion der mit der Wertschopfung verbundenen Kosten von groBer Bedeutung ftir die Erhaltung der Wettbewerbsfahigkeit eines einzelnen Unternehmens sowie auch der Gesamtwirtschaft. Einen in der Produktionsplanung bislang wenig beachteten Ansatzpunkt zur Beschreibung von im Produktionsbereich gegebenen Kostensenkungspotenzialen liefert das Konzept der Lernkurve. Die Kernaussage der Lernkurventheorie besteht darin, dass bei jeder Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge die Produktionskosten um einen bestimmten Prozentsatz sinken. Das daraus resultierende Kostensenkungspotenzial eroffnet dem Unternehmen zusatzliche Optionen sowohl bei marktorientierten Entscheidungen als auch bei Einzelfragen der Produktionsplanung. Ausgehend von einer Darstellung der Entwicklung und der Grundlagen der linearen Lerntheorie nimmt der vorliegende Beitrag eine Integration von Lemkurven in verschiedene Bereiche der Materialwirtschaft vor und untersucht, inwiefern Lerneffekte bei der Materialbedarfsplanung, bei der Make or Buy-Entscheidung und insbesondere bei der LosgroBenplanung eine Rolle spielen. Die Ergebnisse werden an anderen Stellen, vor allem im Zusammenhang mit der Produktion auf Abruf, gewonnenen Erkenntnissen gegeniibergestellt.

2. Die Lernkurve 2.1

Historische Entwicklung der Lernkurventheorie

Auch wenn es bereits vorher vereinzelt ahnliche Aussagen gegeben hat (vgl. Smith 1776, Babbage 1835), wird der Ursprung der Lernkurventheorie fUr die moderne industrielle Produktion allgemein auf die von Wright (1936) vorgenommene empirische Untersuchung der Entwicklung der Stuckkosten bei der Flugzeugmontage in der amerikanischen Luftfahrtindustrie zuruckgefiihrt. Der grundlegende Zusammenhang der Lernkurventheorie besteht darin, dass es bei wiederholter

188

Marion Steven

Durchftihrung gleichartiger Tatigkeiten zu Lerneffekten kommt, durch die sich die Produktivitat des betrachteten Produktionsprozesses erhoht und die demzufoige zu einer Reduktion der Stiickkosten fuhren. Dieser Zusammenhang wird in der produktionswirtschaftlichen Literatur iiblicherweise wie folgt formuliert (vgl. z.B. Kistner 1993, S. 234; Kistner u. Steven 2002, S. 178; Fandel 1996, S. 166; Mochty 1996, Sp. 1076): Mit jeder Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge ergeben sich Kostensenkungspotenziale, durch die es moglich wird, die durchschnittlichen Stiickkosten um einen konstanten Prozentsatz zu senken. Derartige Lerneffekte konnten empirisch in verschiedenen Industriebereichen nachgewiesen werden, z.B. in Raffinerien, in Stahl- und Elektrizitatswerken, in der Papier- und Glasindustrie, in der Textilbranche sowie im Automobilbau (vgl. Hieber 1991). Dabei wurden mit der Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge erfolgende Kostensenkungen zwischen 5% und 40% beobachtet. In der deutschsprachigen Literatur etablierte Baur (1967) aus umfangreichen statistischen Untersuchungen das „Lerngesetz der Produktion", das zu qualitativ gleichen Aussagen kommt. Ursachlich fur diese Reduktion der Stuckkosten bei Erhohung der kumulierten Produktionsmenge ist die systematische Ausnutzung von Kostensenkungspotenzialen, die aus verschiedenen Ansatzpunkten resultieren. Dazu zahlen nicht nur die bei der wiederholten Durchftihrung von bestimmten Verrichtungen zunehmenden Erfahrungen der Arbeitnehmer, sondern auch produktionsgerechtere Konstruktionsweisen, Verbesserungen der Prozess- und der Produktqualitat, RationalisierungsmaBnahmen und andere organisatorische Anderungen. Die Lernkurve erhalt man, indem man den oben beschriebenen Zusammenhang von kumulierter Produktionsmenge und Stuckkosten formalisiert bzv^. grafisch darstellt. Abb. 1 zeigt eine idealtypische Lernkurve, bei der die Stiickkosten mit jeder Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge auf 80% des Ausgangswerts fallen. Die formale Darstellung der Lernkurve lasst sich wie folgt herleiten: Wright (1936, S. 124) definiert einen zunachst noch von der Produktionsmenge abhangigen Kostenanderungsfaktor F, der sich ergibt, indem man die Produktionsmenge mit einem konstanten Abnahmefaktor potenziert. Inhaltlich entspricht dieser Kostenanderungsfaktor dem Quotienten aus den Stiickkosten der ersten Einheit und den durchschnittlichen Stuckkosten der bislang hergestellten Einheiten:

Driickt man die kumulierte Produktionsmenge X mithilfe der bereits stattgefundenen Verdopplungen der urspriinglichen Produktionsmenge xi aus, X = 2'^-jci

(2.2)

so lasst sich dieser Kostenanderungsfaktor in eine von der Produktionsmenge unabhangige Lernrate LR iiberfuhren, die angibt, auf welchen Prozentsatz vom Ur-

Lemeffekte in der Materialwirtschaft

189

sprungswert die Stiickkosten bei einer Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge fallen:

J_ = njj

= F^

<^ F = LR~''

(2.3)

LR

kumulierte Produktionsmenge Abb. 1. Beispiel fur eine 80%-Lernkurve Damit lautet die Lernkurve:

k{x)

LR-''

k[x = 2'' •xi)=kx'LR''

(2.4)

Bezeichnet man die Lernrate LR mit (1 - a ) , so gibt a den Prozentsatz an, um den die Stuckkosten bei einer Verdopplung der kumulierten Produktionsmenge abnehmen. 2.2

Lemkurve und Erfahrungskurve

Neben dem Konzept der Lemkurve findet auch die von der Boston Consulting Group entwickelte Erfahrungskurve (vgl. Henderson 1974) Verwendung, um die mit der Steigerung von Produktions- bzw. Abatzmengen einhergehenden Kostensenkungen im Zeitablauf zu beschreiben. Auch die Erfahrungskurve ist empirisch fundiert und geht typischerweise mit Kostensenkungspotenzialen von 20-30%

190

Marion Steven

einher. Zwischen den beiden Konzeptionen bestehen jedoch folgende Unterschiede: •

•

•

Wahrend sich die Aussagen der Lernkurve auf operative Vorgange im Produktionsbereich beschranken, stellt die Erfahrungskurve eine Verallgemeinerung des Ansatzes fUr das gesamte Unternehmen dar und wird vor allem in der strategischen Unternehmensplanung eingesetzt. Wahrend die Lernkurve aus unternehmensinternen GroBen - v^ie Produktionsmengen, Arbeitszeiten und Fertigungszeiten - abgeleitet wird, resultiert die Erfahrungskurve aus marktseitigen Entwicklungen. Empirisch ist sie in erster Linie auf die Entwicklung der Marktpreise bei zunehmender Absatzmenge anstatt auf Kosten gestiitzt. Neben den Auswirkungen von Lernvorgangen gehen in die Erfahrungskurve weitere dynamische Effekte wie der BetriebsgroBeneffekt, Rationalisierungseffekte und die Auswirkungen des technischen Fortschritts sowie statische Skaleneffekte wie der Preiseffekt und der Fixkostendegressionseffekt ein (vgl. Mochty 1996, Sp. 1075f.).

Daher wird fiir die nachfolgenden produktionswirtschaftlichen Untersuchungen ausschlieBlich auf die Lemkurve zurtickgegriffen. 2.3

Theoretische Fundierung der Lernkurve

Obwohl auch andere Verlaufe der Lemkurve denkbar sind und empirisch bestatigt wurden (fiir einen tJberblick vgl. Laarmann 2005, S. 218ff), ist die in Abschnitt 2.1 bereits implizit unterstellte Annahme einer linearen Lernhypothese, die mit einer konstanten Lernrate einhergeht, in der Literatur am weitesten verbreitet (vgl. auch Kistner 1981, S. 191f.). Stellt man eine lineare Lernkurve in einem doppelt logarithmischen Koordinatensystem dar, so erhalt man eine Gerade. In Abb. 2 sind die von Wright (1936, S. 125) ermittelten Lernkurven fiir Rohmaterialkosten (Lernrate 95%), fur Zukaufteile (Lernrate 88%) und fur Lohnkosten (80%) doppelt logarithmisch dargestellt, aus deren Addition sich die Lernkurve fiir die Gesamtkosten eines Flugzeugs ableiten lasst. Ein groBer Vorteil der linearen Lerntheorie ist die Moglichkeit, den Kurvenverlauf bzw. die relevanten Parameter durch Anwendung der linearen Regression zu bestimmen. Formal ergibt sich der lineare Verlauf durch Logarithmieren der in Abschnitt 2.1 hergeleiteten Beziehung fiir die Lernkurve: k[x = 2'''Xx)=kx'i^-af

fur 0 < a < l

<=> log2 k{x) = log2 ki-^n- log2 (l - a)

(2.5) (2.6)

Anstelle des leicht missverstandlichen Begriffs der Lernrate (l - a ) , die ein Absinken der Stiickkosten auf einen bestimmten Prozentsatz des Ausgangswerts beschreibt, empfiehlt sich die Verwendung des Lemgrads a, der dem Absinken der

Lerneffekte in der Materialwirtschaft

191

Stuckkosten um einen bestimmten Prozentsatz des Ausgangswerts entspricht und viel besser mit dem ublichen Verstandnis als Kostensenkungspotenzial korrespondiert. Der Lemgrad einer 90%-Lernkurve betragt somit 10%.

o u

100 1000 Production Quantity N

10000

100000

Abb. 2. Lernkurven nach Wright (1936), S. 125 Eindeutiger und eleganter ist die einheitliche Verwendung einer Lernelastizitat, die das Verhaltnis zwischen dem relativen Anstieg der kumulierten Produktionsmenge und der daraus resultierenden relativen Veranderung der Kosten angibt. Die Lernelastizitat z ist definiert als: £

=•

dK X_ dx' K

mit 0 < 6: < 1

(2.7)

Die Lernelastizitat zu einer 80%-Lernkurve mit einem Lemgrad a von 20% betragt: f = l + l o g 2 ( l - a ) = 0,678

(2.8)

Aufgrund der Lerneffekte ist der Zusammenhang zwischen den Produktionskosten K und der kumulierten Produktionsmenge X nicht linear, sondem konvex, so dass sich die folgende Gesamtmengen-Lemkurve ergibt:

K{x) = ki'X'

(2.9)

Dividiert man durch die kumulierte Produktionsmenge, so erhalt man die zugehorigeDurchschnittsmengen-Lemkurve:

192

Marion Steven

k{x) = ^

= k,.^

= k,-X^-'

(2.10)

Die obigen Betrachtungen gelten nicht nur fiir die Abhangigkeit der Kosten von der kumuiierten Ausbringungsmenge, sondem analog auch fiir DurchfUhrungszeiten bzw. Faktoreinsatzmengen, die je Stiick ebenfalls systematisch mit der kumuiierten Produktionsmenge absinken. Neben der hier durchgefiihrten Untersuchung der durchschnittlichen Kosten der gesamten Produktionsmenge (Durchschnittsbetrachtung) kann die Lernkurve auch zur Berechnung der Kosten der letzten produzierten Einheit formuliert werden (Einheitsbetrachtung). Alternativ zu der Lernkurve nach Wright wird in der Literatur die Lernkurve nach Crawford diskutiert, die sich ebenfalls sowohl in einer Durchschnittsbetrachtung als auch in einer Einheitsbetrachtung darstellen lasst (vgl. Liao 1988). Bei den in Kapitel 3 untersuchten Anwendungen der Lerntheorie wird ausschlieBlich die Durchschnittsbetrachtung nach Wright verwendet. 2.4

Einsatzbereiche der Lernkurve

Bereits in den 1940er Jahren zeigte das US-amerikanische Militar groBes Interesse an der Lerntheorie, um die bei groBeren Stuckzahlen auf Seiten der Lieferanten zu erwartenden Kostensenkungen in den Verhandlungen iiber Angebotspreise bei der Vergabe von Auftragen fiir Flugzeuge und andere GroBgerate angemessen beriicksichtigen zu konnen (vgl. United States Army Air Forces 1947/48). Inzwischen besteht fUr Anbieter militarischer Outer in den USA die Pflicht, die Kostensenkungen aufgrund von Lemeffekten explizit zu beriicksichtigen; eine aus parametrischen Kostenschatzungen gewonnene Lemrate wird in der Regel zum festen Bestandteil der Vertragsunterlagen und damit zur Basis fiir die wahrend der Vertragslaufzeit anfallenden Zahlungen des Auftraggebers. Dariiber hinaus werden Lernkurven in vielen Produktionsunternehmen in zahlreichen betrieblichen Entscheidungsbereichen eingesetzt, z.B. bei der Angebotserstellung, Vorkalkulation und Kostenschatzung, bei der Produktionsprogrammplanung und der Terminplanung, bei der Ermittlung von Vorgabezeiten fiir einzelne Produktionsvorgange, bei Preisverhandlungen mit Kunden und Lieferanten z.B. im Rahmen langerfristiger Zuliefervereinbarungen, bei der Kostenkontrolle sowie bei der Planung von Markteintrittsstrategien (vgl. z.B. Ostwald 1992). Weiter lassen sich erwartete Lerneffekte bei der Gestaltung von Anreizsystemen fiir den Produktionsbereich nutzen: Vereinbart man mit den Mitarbeitern einen von beiden Seiten als realistisch angesehenen Lerngrad von z.B. 5%, der in einem bestimmten Zeitraum realisiert werden soil, so fiihren dariiber hinausgehende Kosteneinsparungen zu einer Zusatzentlohnung fiir die Mitarbeiter, wahrend bei Verfehlen dieses Zielwerts zunachst die konkreten Ursachen ermittelt werden miissen (vgl. hierzu das Konzept von Letmathe 2002, S. 235ff.). Keine Beriicksichtigung finden Lerneffekte hingegen iiblicherweise in den zur Unterstiitzung der operativen Produktionsplanung und -steuerung eingesetzten ERP- und APS-Systemen. Diese verwenden zur Ermittlung ihrer Planungsergeb-

Lemeffekte in der Materialwirtschaft

193

nisse fast ausschlicBlich statische Algorithmen. Dies lasst sich damit begriinden, dass die deutlichsten Lerneffekte in der Anlaufphase neuer Produkte auftreten, in der vielfach noch keine Unterstiitzung durch das Planungssystem erfolgt, wahrend bei der spateren Serienproduktion kaum noch weitere Lerneffekte spurbar sind. Dennoch ist zu erwarten, dass die explizite Berticksichtigung von lembedingten Rtickgangen bei Faktoreinsatzmengen, Produktionszeiten und Stuckkosten zu einer Verbesserung der von den Planungssystemen ermittelten Ergebnisse fUhren wUrde. Daher wird im folgenden Kapitel exemplarisch fUr die im Bereich der Materialwirtschaft anfallenden Planungsaufgaben untersucht, welchen Einfluss Lerneffekte auf die von den Ublicherweise eingesetzten Planungsmodellen generierten Losungen haben konnen.

3. Beriicksichtigung von Lerneffekten in der Materialwirtschaft Die Materialwirtschaft ist eines der Standardmodule in Produktionsplanungs- und -steuerungssystemen. Sie ermittelt zunachst im Rahmen der StUcklistenauflosung auf der Basis der durch das Produktionsprogramm gegebenen Primarbedarfsmengen an Endprodukten die von den verschiedenen Materialarten herzustellenden bzw. zu beschaffenden Mengen an Bauteilen und Vorprodukten, fasst dann diese Sekundarbedarfsmengen zu wirtschafdichen LosgroBen zusammen und ermittelt schlieBlich mithilfe der Vorlaufverschiebung den spatesten Starttermin dieser Lose, der noch eine termingerechte Bereitstellung des Materials auf den nachfolgenden Produktionsstufen sicherstellt (vgl. z.B. Kistner u. Steven 2001, S. 268ff.). In den folgenden Abschnitten werden einzelne Teilbereiche der Materialwirtschaft daraufhin untersucht, inwieweit Lerneffekte die Planungsergebnisse beeinflussen konnen (vgl. Laarmann 2005, S. 72ff.). Da die Aufgabe der StUcklistenauflosung durch das Auftreten von materialbedingten Lerneffekten nicht bzw. nur unwesentlich beeinflusst wird, konzentrieren sich die Ausfiihrungen auf die Materialbedarfsplanung (Abschnitt 3.1), die Entscheidung zwischen der Eigenfertigung Oder dem Fremdbezug eines Materials (Abschnitt 3.2) und die LosgroBenplanung (Abschnitt 3.3).

3.1

Materialbedarfsplanung

Gegenstand der Materialbedarfsplanung ist die Ermittlung der auf einer bestimmten Fertigungsstufe benotigten Materialmengen. Bei Vorliegen von Lerneffekten sinkt der zu einer Materialart gehorige Produktionskoeffizient bei einer Steigerung der kumulierten Produktionsmenge entsprechend dem Lemgrad ab bzw. die zugehorige Produktivitatskennzahl steigt an. Da damit je produzierter Einheit weniger Material benotigt wird, sinken auch die Materialstiickkosten bei einem Ansteigen der kumulierten Produktionsmenge systematisch ab.

194

Marion Steven

Dieser Kostenriickgang lasst sich teils auf betriebsinterne, teils auf externe Ursachen zuruckfiihren: Intern reduziert sich durch Lemeffekte das Mengengertist der Materialkosten, da Verschnitt, Ausschuss usw. umso starker zuriickgehen, je besser die Mitarbeiter die Fertigungsprozesse beherrschen. Die externen Ursachen des Kostenriickgangs wirken iiber die Materialpreise, die an die Lieferanten zu zahlen sind. Zu einem Ruckgang der Materialpreise bei steigender Abnahmemenge kann es zum einen lernunabhangig aufgrund von bestellmengenabhangigen Rabattstaffeln oder sonstigen Nachlassen kommen, zum anderen iiber beim Lieferanten stattfindende Lerneffekte, die dieser teilweise in Form von Preissenkungen an seine Abnehmer weitergibt. Derartige lernbedingte Preisnachlasse spielen vor allem in langfristig angelegten Abnehmer-Lieferanten-Beziehungen z.B. im Rahmen des Supply Chain Management eine groBe Rolle. Bin Beispiel fiir die Verwendung von Materiallernkurven ist in der auf Wright zurtickgehenden Abb. 2 angegeben. Generell finden reine Materiallernkurven kaum Verwendung, da insbesondere die internen Lerneffekte haufig der Fertigung insgesamt und damit der Gesamtlernkurve zugerechnet werden. Weiter liegen die Lerngrade von reinen Materiallernkurven ublicherweise deutlich unter 5% (vgl. Liebau 2002), so dass die daraus resultierenden Kostensenkungspotenziale keine separate Erfassung rechtfertigen.

3.2

Make or Buy-Entscheidung

Bei der als Make or Buy-Entscheidung bezeichneten Wahl des Bezugswegs eines Materials wird aus den unterschiedlichen Kostenstrukturen der Alternativen Eigenfertigung bzw. Fremdbezug die kritische Bedarfsmenge ermittelt, bei der beide Alternativen zu gleich hohen Kosten fuhren. Damit lasst sich fiir jede Bedarfsmenge die kostengiinstigere Bezugsalternative ermitteln. Typischerweise ist die Eigenfertigung eines Materials mit Fixkosten Kf fUr die Bereitstellung der Fertigungseinrichtungen und relativ geringen variablen StUckkosten ky{x) in der Fertigung selbst verbunden, wahrend der Lieferant beim Fremdbezug einen deutlich hoheren Preis je Einheit p verlangt. Die kritische Bedarfsmenge, bei der beide Bezugsalternativen zu gleich hohen Kosten fuhren, ergibt sich aus folgender Gleichung: Kf -\-ky{x)'X = p'X

(3.1)

Aufgrund der Kostenstruktur wird tendenziell bei geringen Bedarfsmengen dem Fremdbezug und bei hohen Bedarfsmengen der Eigenfertigung der Vorzug gegeben (vgl. Kistner u. Steven 2002, S. 236f.). Von weiteren, nicht in den Kosten erfassten Entscheidungskriterien - wie Flexibilitat, Unabhangigkeit oder Lieferzuverlassigkeit - sei hier abgesehen. Werden nun bei der Eigenfertigung Lerneffekte beriicksichtigt, die sich auf die Stuckkosten auswirken, so lautet die relevante Kostenfunktion: k^=ki'X^-^

(3.2)

Lerneffekte in der Materialwirtschaft

195

Durch die Lerneffekte wird es zu Verschiebungen bei der kritischen kumulierten Bedarfsmenge kommen, bei der beide Aiternativen zu denselben Kosten fuhren (vgl. Laarmann 2005, S. 72ff.). Diese liegt - bei Verwendung der linearen Durchschnittstheorie nach Wright - bei konstantem Angebotspreis p des Lieferanten und bekannten anfanglichen Stuckkosten k^ bei: *1 • • « " " ' = ?

(3.3)

Trotz anfanglich hoherer Kosten der Eigenfertigung sollte diese bevorzugt werden, wenn absehbar ist, dass aufgrund von Lerneffekten die bis zum Planungshorizont benotigte Gesamtmenge kostengtinstiger hergestellt als zugekauft werden kann. Andererseits muss berlicksichtigt werden, dass - wie in Abschnitt 3.1 diskutiert - auch der Zulieferer Lerngewinne realisiert, die er im Idealfall Uber gUnstigere Preise an seinen Abnehmer weitergibt. Im Zusammenhang mit der Make or Buy-Entscheidung lasst sich aus der Bedingung ftir die kritische Bedarfsmenge auch der kritische Lerngrad LG ermitteln, den ein Unternehmen mindestens aufweisen muss, damit fiir eine bestimmte Bedarfsmenge die Eigenfertigung kostengtinstiger ist als der Fremdbezug: LG = \-2^-^

(3.5)

mit: £: - 1 = logX

' p_

(3.6)

Das nachfolgende Beispiel ist in Abb. 3 veranschaulicht. Ein Unternehmen steht vor der Entscheidung, ob es ein Vorprodukt, dessen Herstellung nicht zu seinen Kernkompetenzen zahlt, selbst produzieren oder am Markt beziehen soil. Da aufgrund der schlechten Wirtschaftslage auf einer Mehrzweckmaschine ausreichend freie Kapazitaten fiir die Fertigung des Teils verfiigbar sind, fallen bei der Eigenfertigung keine fiir die Entscheidung relevanten, zusatzlichen Fixkosten an. Die Kosten der ersten Einheit werden auf 75 € geschatzt. Aufgrund von betrieblichen Aufzeichnungen aus der Fertigung ahnlicher Produkte erwartet der Betriebsleiter bei der Eigenfertigung einen Lerngrad von 10%. Im Fall des Fremdbezugs kommen zwei Anbieter mit unterschiedlichen Konditionen in Betracht. Anbieter A liefert das Vorprodukt zu einem mengenunabhangigen StUckpreis von 26 €. Anbieter B gewahrt einen mengenabhangigen Staffelpreis: Bei Abnahmemengen bis 1.500 Stiick verlangt er 28 € pro Stuck, fur alle daruber hinausgehenden Einheiten nur noch 16 € pro StUck. Abb. 3 zeigt deutlich, dass bei einer statischen Betrachtung, d.h. bei Vemachlassigung von Lerneffekten, die Eigenfertigung aufgrund der erwarteten (hier allerdings nicht explizit darge-

196

Marion Steven

stellten) Kosten von 75 € je Stiick sowohl von Anbieter A als auch von Anbieter B im gesamten Kurvenverlauf dominiert wtirde. 1

1

1

1

•

|

•A

37 eigene Lernkurve (Lerngrad: 10 %)

CO

"^ \ v

Anbieter B (Staffelpreis)

28 CO

Anbieter A

26 (Einheitspreis)

i N

s

22.46 Lerngrad 12.1 % 17.06

-

'^^ >v \ ^ \ .

4

Lerngrad '^H*^**V^^

10.4 %

100

1 300

1 i 1 653 1064 2787 Kumulierte Menge X [Stk.]

1

^ ^

17026

Abb. 3. Beispiel zur Make-or-Buy Entscheidung mit Lemeffekten Eine vollig andere Entscheidungssituation ergibt sich jedoch bei einer dynamischen Betrachtung. Aufgrund des Lerneffekts bei der Eigenfertigung stellt der Einheitspreis des Anbieters A nunmehr bis zu einer Bedarfsmenge von 1.064 Stuck die kostengunstigste Alternative dar. Zwischen 1.064 und 2.787 Stuck weist die Eigenfertigung die geringsten Kosten auf, wird jedoch bei groBeren Mengen vom Staffelpreis des Anbieters B dominiert. Bei einer Bedarfsmenge von mehr als 17.026 Stuck fUhrt die kontinuierlich fallende Lernkurve dazu, dass auch die Kostenvorteile des Staffelpreises durch die Eigenfertigung aufgeholt werden, fur alle groBeren Bedarfsmengen bleibt die Eigenfertigung die kostengUnstigste Bezugsalternative. Der kritische Lerngrad, bei dem Anbieter B vollstandig aus der Betrachtung ausgeschlossen wUrde, liegt bei 10,5%. Die zugehorige, in Abb. 3 diinn gestrichelt dargestellte Lernkurve liegt knapp unterhalb der aufgrund der logarithmischen Darstellung konvex verlaufenden Preiskurve der Anbieters B. Eine weitere mogliche Untersuchung ist die Bestimmung des erforderlichen Lerngrads in der eigenen Produktion, wenn bekannt ist, dass von dem Vorprodukt insgesamt 300 Stiick benotigt werden und die Eigenfertigung kostengunstiger sein soil als in diesem Fall der Festpreis des Anbieters A. Der kritische Lerngrad belauft sich auf: LG = l-2^''^300(26/75)^j2,lO/%

(3.7)

Lerneffekte in der Materialwirtschaft

197

Wird dieser Lerngrad als realisierbar angesehen, so sollte die Entscheidung fiir die Eigenfertigung fallen, andernfalls ist der Fremdbezug vorzuziehen. Wie das Beispiel zeigt, ist die Make or Buy-Entscheidung bei Beriicksichtigung von Lerneffekten durchaus differenziert zu betrachten. Je groBer die im Betrieb Ublicherweise auftretenden Lerneffekte sind, desto eher dominiert die Eigenfertigung die Buy-Alternative. Bezieht man dariiber hinaus Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Produkten in die tjberlegungen mit ein, so lasst sich durch eine Ausweitung des Eigenfertigungsanteils der im Betrieb herrschende Lerngrad tendenziell erhohen, so dass in zukunftigen Entscheidungssituationen mit einem noch schnelleren Absinken der Stuckkosten gerechnet werden kann. Es lasst sich weiter zeigen, dass der optimale Anteil an nach auBen zu vergebenden Auftragen mit der Geschwindigkeit des technischen Fortschritts sowie mit der Hohe der im eigenen Untemehmen erzielten Lerngewinne monoton fallt (vgl. Anderson u. Parker 2002, S. 313f.). 3.3

LosgroBenplanung

Die Aufgabe der LosgroBenplanung besteht in der Ermittlung der optimalen Anzahl von Teilen, die gemeinsam zu beschaffen (Bestellfall) bzw. herzustellen (Produktionsfall) sind (vgl. Kistner u. Steven 2001, S. 41ff.). Dabei gilt es, die folgenden gegenlaufigen Kostentendenzen gegeneinander abzuwagen: Mit jeder Bestellung eines Zukaufteils bzw. jeder Losauflage in der Eigenfertigung sind losfixe Kosten in Hohe von kj^ verbunden, von denen somit die Tendenz ausgeht, die Gesamtbedarfsmenge auf moglichst wenige groBe Lose zu verteilen. AUerdings muss die Menge, die nicht sofort weiterverarbeitet oder ausgeliefert wird, bis zum Bedarfszeitpunkt gelagert werden. Da die Lagerung eine Kapitalbindung im Umlaufvermogen bedeutet, fiir die Zinsen zu zahlen sind, miissen Lagerhaltungskosten ki angesetzt werden, die umso hoher sind, je groBer der Lagerbestand ist und je langer ein Teil im Lager liegt. Somit bewirken die direkt vom Lagerbestand abhangigen Kosten eine Tendenz zu moglichst groBen Losen. Die unter Kostengesichtspunkten optimale LosgroBe liegt dort, wo die Gesamtkostenfunktion, die sich als Summe aus losfixen Kosten und Lagerhaltungskosten ergibt, ihr Minimum hat. Im klassischen Losgrofienmodell (vgl. Harris 1915; Andler 1929), einem einfachen Grundmodell fiir die LosgroBenplanung, das von kontinuierlicher Produktion und Nachfrage mit konstanten Raten x (Lagerzugangs- bzw. Produktionsrate) und d (Lagerabgangs- bzw. Nachfragerate) ausgeht und mit zyklischen Lagerbestandsverlaufen einhergeht, ergibt sich die optimale statische LosgroBe fiir den Produktionsfall nach folgender Formel: 2'kp 'd 1-V

^y

198

Marion Steven

Da das klassische LosgroBenmodell das bekannteste Lagerhaltungsmodell ist, das sich in der Praxis groBer Beliebtheit erfreut und dessen Ergebnisse nur wenig sensitiv gegeniiber fehlspezifizierten Parametern oder bei Verletzung der allerdings recht restriktiven Annahmen sind, dient es im Folgenden als Basis fiir die Integration von Lerneffekten in die LosgroBenplanung. Analoge Uberlegungen sind auch fUr andere Lagerhaltungsmodelle moglich, die jedoch in der Kegel einerseits weniger anschaulich, andererseits mathematisch anspruchsvoller und daher nicht mehr explizit losbar sind. Ansatzpunkte fiir die Abbildung von Lernvorgangen sind die hinter den Kostenparametern des klassischen LosgroBenmodells, A:^ und ki, stehenden Prozesse (vgl. Laarmann 2005, S. 76ff.). Wahrend die losfixen Kosten umso starker sinken, je haufiger der entsprechende Riistvorgang durchgefUhrt wird, hangen die Lagerhaltungskosten von der Kapitalbindung und damit iiber die Stiickkosten der Produkte von den Lernvorgangen im Fertigungsbereich ab. Je starker die Stiickkosten in der Produktion aufgrund von Lerneffekten zuriickgehen, desto geringer ist die Kapitalbindung je gelagerter Einheit und damit der Lagerhaltungskostensatz. Wie in Abschnitt 3.2 wird auch hier auf die lineare Durchschnittstheorie nach Wright zuriickgegriffen, nach der sich die Gesamtkosten als K{x)=kx'X^

(3.9)

bzw. die durchschnittlichen Stiickkosten als k{x)=k^'X^-^

(3.10)

berechnen lassen. Zur Abbildung der Lerneffekte bei den Rustvorgdngen hangt die Verdopplung der Anzahl der Riistvorgange, die hier der kumulierten Menge X entspricht, von der Anzahl der Lose ab. Diese ergibt sich, wenn man die Lagerabgangsrate durch die LosgroBe teilt: X =-

(3.11)

Da innerhalb der Zyklusdauer T insgesamt dlq Lose eingelastet werden, ergeben sich die gesamten Riistkosten fur die Periode T aus der Gesamtkostenformel der Durchschnittstheorie als: kR{^) = kRi

U^'^

(3.12)

\^ J

Dabei bezeichnen A:^(^) die durchschnittlichen Riistkosten je Los, kj^i die durchschnittlichen Riistkosten des ersten Loses und s^ die Lernelastizitat bezuglich der Riistvorgange. Bei den Lagerhaltungskosten wird der durchschnittliche Lagerbestand nicht mehr mit dem statischen Kostensatz ki bewertet, sondern mit einem dynami-

Lerneffekte in der Materialwirtschaft

199

schen Kostensatz, der von den Lagerhaltungskosten der ersten Einheit k^ und den aufgrund der kumulierten Produktions- bzw. Lagerabgangsmenge erzielten Lerngewinnen abhangt. Dabei bezeichnet 8^ die Lernelastizitat der Lagerhaltungskosten. Die Gesamtkosten fiir das betrachtete Intervall T ergeben sich, indem man die Gleichung der durchschnittlichen Lagerhaltungskosten mit dem durchschnittlichen Lagerbestand multipliziert:

kL{^) = kn'd'^

-1

^

2

(3.13)

1--

Im Normalfall liegen fiir die Lernkurven, die hinter den Riist- bzw. den Lagerhaltungskosten liegen, unterschiedliche Lerngrade und damit Lernelastizitaten vor. Durch Einsetzen der beiden Lernkurven in das Grundmodell der klassischen LosgroBe ergibt sich schlieBlich eine im Vergleich zur statischen Losung erweiterte Gleichung. Die durchschnittlichen Gesamtkosten im Grundmodell betragen: q

2 y

(3.14)

X

Setzt man nun fiir die von der Gesamtmenge unabhangigen Kostenparameter die oben hergeleiteten, iiber Lerneffekte mengenabhangigen Kostenfunktionen ein, so erhalt man: C

A^dyn)=1^R\'

^Ll

^dyn )

2

^\

1-^ -/

(3.15)

•kRvd^^-q%^„^k,,.d^l-'.''-fZur Unterscheidung von der Losung des statischen Grundmodells wird die LosgroBe des dynamischen Modells als (^^^^ bezeichnet. Es ist zu beachten, dass sich die Lerneffekte bei den Riistvorgangen auf jedes Los, bei der Lagerhaltung jedoch auf jede Einheit beziehen. Die optimale dynamische LosgroBe ergibt sich als Minimum dieser Gleichung, das als Nullstelle der ersten Ableitung bestimmt wird: dk

=

-SR^kj,,^d'^^q-;^-'^-k,,-d'L

1

1-^1 = 0

(3.16)

dqdyn

ka-d''-'-\^dyn

~

X-'(3.17)

^R-kRx-d"^

200

Marion Steven

SR+\ _

2'SR'kiii'd^^

^y^

A

^^

(l^£\

i

d

^

(3.18)

d^'-'

Substituiert man den ersten Bruch mithilfe der oben angegebenen optimalen statischen LosgroBe durch q^^ und setzt man die jeweiligen statischen und dynamischen AnfangsgroBen ftir die Rustkosten und Lagerhaltungskosten gleich, kii=ki

bzw.

kRi=kR

(3.19)

so folgt fiir die optimale LosgroBe unter Beriicksichtigung von Lemeffekten: ??;' = d •

"-^^

= A • e, • d^'^-^L

(3.20)

(3.21)

Diese optimale dynamische LosgroBe weist im Vergleich zur optimalen statischen LosgroBe einige Besonderheiten auf: •

•

•

Sind im statischen Fall die Rlist- und Lagerhaltungskosten bei der optimalen LosgroBe identisch, so gilt dies im dynamischen Modell aufgrund der Nichtlinearitat der Lagerhaltungskosten nicht mehr. Je groBer die Lerngrade, desto starker weicht die dynamische von der statischen Losung ab. In Abhangigkeit von der Hohe der Lerngrade sowie von der Kostenart, bei der die starkeren Lerneffekte auftreten, ergeben sich unterschiedliche Einflusse auf die wirtschaftliche LosgroBe. Liegen fiir eine Kostenart keine Lerneffekte vor, so fallt die zugehorige Kurve mit der im statischen Grundmodell zusammen, wahrend die andere Kurve durch den Lerneffekt im Ganzen absinkt und somit die LosgroBe verandert. Falls Lerneffekte ausschlieBlich bei den Rustkosten vorliegen, so verschiebt sich das Minimum der Gesamtkostenkurve zu kleineren LosgroBen, wahrend bei Lerneffekten ausschlieBlich in Bezug auf die Lagerhaltungskosten die Riistkosten relativ mehr Gewicht gewinnen und die Lose groBer werden. Findet bei beiden Kostenarten Lernen statt, so kann vorab keine generelle Aussage Uber den Einfluss auf die optimale LosgroBe gemacht werden, da sie in diesem Fall sowohl von den Absolutwerten als auch von dem Verhaltnis der beiden Lerngrade sowie auch von den jeweiligen Kosten der ersten Einheit abhangt. Bei groBen Differenzen zwischen den Lerngraden verschiebt sich die LosgroBe in die Richtung, wie dies auch bei Vorliegen nur eines Lerneffekts

Lemeffekte in der Materialwirtschaft

201

der Fall ware, also zu kleineren Losen bei uberwiegenden Rustgewinnen und zu groBeren Losen bei uberwiegendem RUckgang der Lagerhaltungskosten. Liegen die Lemgrade hingegen nah beieinander, so konnen je nach den Absolutwerten der Rust- und Lagerhaltungskosten sowie den Absolutwerten der beiden Lemgrade sowohl groBere als auch kleinere Lose resultieren. Fiir den Sonderfall, dass die Lemgrade bezuglich der Rust- und der Lagerhaltungskosten identisch sind, SR=SL=S

(3.22)

vereinfacht sich diese Losung zu:

qdyn='^(A~e

(3.23)

In diesem Fall kann die optimale dynamische LosgroBe aufgrund des Definitionsbereichs der Lernelastizitat (0 < s < 1) niemals kleiner sein als die optimale statische LosgroBe. Bei Vernachlassigung von Lerneffekten ( e ^ = 8 ^ =1) geht die optimale dynamische LosgroBe in die optimale Losung des statischen Modells uber, so dass dieses als Spezialfall im komplexeren dynamischen Modell enthalten ist. Der Einfluss von Lerneffekten auf die LosgroBenplanung wird nun anhand eines numerischen Beispiels fUr das vorgestellte Grundmodell veranschaulicht. Ausgangsbasis sind die folgenden Daten: Lagerabgangsrate: Produktionsrate: Kosten je Riistvorgang: Lagerhaltungskosten:

c/ = 300 x - 600 ki = kn = 48€ kj^ -^Ri =100€

Die optimale statische LosgroBe ergibt sich somit als: qst =

, 2.100-300 ^_ 7 T = 50 48 600

,.^., (3.24)

Die zugehorigen Kosten betragen L200 € und setzen sich je zur Halfte aus Rustund Lagerhaltungskosten zusammen. Der Lerngrad fiir die Umrlistungen betragt 15%, die Lernelastizitat somit 8^ = 0,766 , wahrend fur die Lagerhaltungskosten ein Lerngrad von 20% bzw. eine Lernelastizitat von Zi= 0,678 angenommen wird. Dieses Verhaltnis der Lemgrade ist durchaus realistisch, da hinter dem RUckgang der Lagerhaltungskosten eine groBere Anzahl an Wiederholungen bei den Produktionsvorgangen steht, als dies bei den Riistvorgangen der Fall ist. Dann lautet die optimale dynamische LosgroBe: q^„ = °'^^^^^502.0,766-SOO^'^^^-O'^^^ = 95,85 « 96

(3.25)

202

Marion Steven

Diese Losung ist mit Gesamtkosten von 422,81 € verbunden, die sich aus 239,52 € Rustkosten und 183,29 € Lagerhaltungskosten zusammensetzen. Die Losung ist in Abb. 4 dargestellt.

1

\\

1 ohne Lernen m t Lernen ~~"

7— / /

'E

1200 h

N

d = 300

\

\^''''*

I

\

1

/

fc(9.,)

= 1200

H

ar = 600 kL = 48 A-ii = 100

VL

/

e L = 0.678

E nj to 0)

ER = 0.766 600 423

r

/

N^^^"^

— © — ^:^:i*-«r""

L,—-—

1 50

1 96 111.5 Menge bzw. LosgroBe

^

1 200

Abb. 4. Beispiel zur LosgroBenplanung Ausgangspunkt ist der gestrichelt dargestellte statische Fall, bei dem sich die optimale LosgroBe von 50 Stuck sowohl als Minimum der Gesamtkostenfunktion als auch als Schnittpunkt von RUst- und Lagerhaltungskostenkurve ablesen lasst. Im dynamischen Fall, der durch durchgezogene Linien dargestellt ist, liegt sowohl die Kostenkurve der Rustvorgange als auch die der Lagerhaltung aufgrund der Lerneffekte deutlich unterhalb der jeweiligen statischen Kurve. Die Lagerhaltungskostenkurve hat sich starker verschoben, da hier zum einen der Lerngrad hoher ist und zum anderen die StUckzahlverdopplungen wesentlich schneller auftreten als die Losanzahlverdopplungen und somit die Kostenreduzierungen deutlich fruher eintreten. Im vorliegenden Fall liegt das Minimum der Summe aus Riist- und Lagerhaltungskosten und damit die optimale dynamische LosgroBe bei ungefahr 96 Stuck und somit deutlich Uber dem statischen Wert von 50 StUck. Die zugehorigen Kosten haben sich von 1.200 € auf ungefahr 423 € reduziert, so dass die Lerneffekte einen deutlichen Kostensenkungseffekt zur Folge haben. Die hier fUr den einfachsten Fall des klassischen LosgroBenmodells gefundenen Ergebnisse lassen sich prinzipiell auch bei anderen Lagerhaltungsmodellen herleiten. Mit zunehmender Anzahl an Parametern und EinflussgroBen steigt jedoch die Komplexitat der nichtlinearen Beziehungen stark an, so dass schnell nur noch eine iterative Losung moglich ist. Eine Losung von umfangreichen nichtlinearen Pro-

Lerneffekte in der Materialwirtschaft

203

grammen kann dann liber eine stuckweise Approximation der an sich kontinuierlichen Lemkurve erreicht werden.

4. Ausblick Die vorliegenden Ausfiihrungen haben gezeigt, dass Kostensenkungen aufgrund von Lerneffekten bei Entscheidungen nicht nur direkt in der Fertigung, sondem auch in produktionsnahen Bereichen wie der Materialwirtschaft eine Roile spielen konnen. Die Beriicksichtigung lernbedingter Kostensenkungen im Bereich der Materialbedarfsplanung fuhrt zu keinen uber die aus dem Produktionsbereich bekannten Auswirkungen hinausgehenden Ergebnissen. Bei der Wahl des Bezugswegs eines benotigten Materials hingegen konnte gezeigt werden, dass sich die kritische Menge, ab der eine Eigenfertigung kostengunstiger ist als der Fremdbezug, bei Beriicksichtigung von Lerneffekten deutlich nach unten verschiebt. Umgekehrt ist die Bestimmung eines kritischen Lerngrads moglich, ab dem die Eigenfertigung den Fremdbezug dominiert. Auch bei der LosgroBenplanung, auf der der Schwerpunkt der AusfUhrungen lag, kann die optimale Entscheidung durch Lerneffekte erheblich beeinflusst werden. So fuhren lernbedingte Kostensenkungen sowohl zu einer Senkung der Gesamtkosten als auch zu einer Verschiebung der optimalen LosgroBe. Das AusmaB und die Richtung dieser Verschiebung hangen davon ab, ob der Lerneffekt bei den RUstkosten oder bei den Lagerhaltungskosten starker ausgepragt ist. Sinkende Rustkosten, die Uber lernbedingte Verkiirzungen der Rustzeiten erreicht werden, fiihren c.p. dazu, dass sich die optimale LosgroBe reduziert. Ublicherweise dominiert jedoch der lernbedingte Riickgang der Lagerhaltungskosten aufgrund der haufigeren Wiederholung der zugrunde liegenden Produktionsvorgange den Ruckgang der Rustkosten, so dass sich die optimale LosgroBe bei Vorliegen von Lerneffekten per Saldo erhoht. Ein anderes Bild kann sich ergeben, wenn es aufgrund von Investitionen in technisch fortschrittlichere Maschinen, mit denen sich erheblich kiirzere Riistzeiten realisieren lassen, zu einer Reduktion der optimalen LosgroBe kommt. Dieser Effekt der Substitution von Umlaufvermogen durch Anlagevermogen im Rahmen der Produktion auf Abruf ist z.B. durch Kistner 1994 beschrieben worden, der jedoch auch zeigt, dass sich dabei die LosgroBe niemals bis auf das von manchen Vertretern des Just in Time-Prinzips geforderte Niveau von Eins reduzieren lasst. Durch technischen Fortschritt wird ein Unternehmen in die Lage versetzt, neue Technologien zu implementieren, die mit anderen Faktorkombinationen verbunden sind und haufig zu Veranderungen beim Produktionsverfahren selbst sowie bei der Organisation der Produktion fuhren. Wahrend der technische Fortschritt aus externen Einfltissen resultiert, handelt es sich bei Lerneffekten um unternehmensinterne Vorgange, bei denen durch die wiederholte Durchfiihrung bereits bekannter, identischer Aufgaben Produktivitatsfortschritte erzielt werden, die Rahmenbedingungen der Produktion jedoch unverandert bleiben. Somit ist auch im Rahmen der Produktion auf Abruf zu erwarten,

204

Marion Steven

dass es nach Beginn der Fertigung auf den neuen Anlagen aufgrund von Lerneffekten, die sich in der Regel starker auf die Produktions- und damit auf die Kapitalbindungskosten als auf die Riistkosten auswirken, zum oben beschriebenen Effekt des Riickgangs der Gesamtkosten aufgrund der lernbedingten Erhohung der LosgroBe kommt.

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Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien Christian Bierwirth Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat, Martin-Luther-Universitat HalleWittenberg

Ubersicht Flexible Produktionslinien sind vollautomatisierte Produktionssysteme, die dem Anordnungstyp FlieBfertigung folgen und zugleich eine umrustfreie MehrproduktFertigung gestatten. Der Beitrag beleuchtet das erst schwach erforschte Feld der Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien und zeigt insbesondere den hohen Schwierigkeitsgrad des Aufgabenbereichs auf. Zunachst werden flexible Produktionslinien in die Klasse der flexiblen Produktionssysteme eingeordnet. AnschlieBend werden die komplexen Fertigungsprozesse, die in einer flexiblen Produktionslinie zu vollziehen sind, in einem Grundmodell abgebildet. Es folgt eine Darstellung von drei einfachen heuristischen Verfahren fiir die Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien. Ausgehend von den Schwachstellen dieser Verfahren wird eine neue, auf dem Prinzip der adaptiven Zeitfenster basierende Heuristik vorgestellt. AbschlieBend werden die behandelten Verfahren unter veranderlichen EinflussgroBen an einem Fallbeispiel aus der Teilefertigung in der Flugzeugindustrie vergleichend getestet.

1. Flexible Produktionssysteme In der Klasse flexibler Produktionssysteme unterscheidet man flexible Fertigungssysteme, roboterbediente Fertigungszellen und flexible Produktionslinien. Flexible Produktionssysteme besitzen zwei wesentliche charakteristische Merkmale. Das erste Merkmal ist die Moglichkeit, unterschiedliche Produktarten flexibel, d.h. in prinzipiell beliebig kleinen LosgroBen und ohne manuelle Riistvorgange der Arbeitsstationen nebeneinander fertigen zu konnen. Das zweite charakteristische Merkmal flexibler Produktionssysteme besteht in der Vollautomatisierung der Fertigung. Erreicht wird diese durch die Integration eines rechnergesteuerten Transportsystems, das die Arbeitsstationen des Produktionssystems miteinander verbindet und ihnen automatisch Material zufuhrt. Das Transportsystem verfugt tiber eine oder mehrere Fordereinrichtungen. Hierbei haben die Struktur des Transportsystems und die Geschwindigkeit der Fordereinrichtungen im AUgemeinen einen starken Einfluss auf die Produktionsrate. Im Rahmen der Produktionsablaufpla-

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Christian Bierwirth

nung konnen die Transportzeiten daher nicht, wie bei konventioneller FlieB- oder Werkstattfertigung sonst Ublich, vemachlassigt werden. Hierdurch wird die Komplexitat der Planung drastisch erhoht. Hinzu kommt, dass die Transportzeiten aufgrund der erforderlichen lastfreien Positionierfahrten der Fordereinrichtungen planungsabhangig sind und somit im Gegensatz zu den Bearbeitungszeiten nicht durch feste GroBen approximiert werden konnen. Tabelle 1. Charakterisierung flexibler Produktionssysteme

Anzahl Arbeitsstationen Fordereinrichtungen Anordnungstyp Pufferlager verfugbar maximale Verweilzeiten

Flexibles Fertigungssystem klein - mittel mehrere job-shop ja nein

Roboterbediente Fertigungszelle klein eine flow-shop nein (no-buffer) nein

Flexible Produktionslinie mittel - groB eine - mehrere hybrider flow-shop nein (no-buffer) ja (no-wait)

Die Auspragung der Fordersysteme ist je nach Typ des Produktionssystems unterschiedlich. Flexible Fertigungssysteme verfugen in der Regel Uber ein flurgebundenes Transportsystem mit mehreren Fordereinrichtungen (siehe Tabelle 1). In roboterbedienten Fertigungszellen sind die Arbeitsstationen zumeist in einem Kreissegment angeordnet und werden von einem einzigen stationar zirkulierenden Arm bedient. Demgegenuber konnen flexible Produktionslinien eine oder mehrere Fordereinrichtungen besitzen. Die Fordereinrichtungen verkehren in der Regel flurlos und schienengebunden oberhalb der Produktionslinie. Sind mehrere Fordereinrichtungen beteiligt, so ist ihnen jeweils ein individueller Bedienbereich mit festen Materialiibergabepunkten zugeordnet. Da die Fordereinrichtungen horizontale Fahrtbewegungen und vertikale Hubbewegungen ausfuhren, werden flexible Produktionslinien in der Literatur auch synonym als kranbediente Produktionslinien bezeichnet. Tabelle 1 zeigt weitere Systemmerkmale von flexiblen Produktionssystemen. Wahrend roboterbediente Fertigungszellen nach dem Prinzip der FlieBfertigung arbeiten (flow-shop), kann in flexiblen Fertigungssystemen das allgemeine Prinzip der Werkstattfertigung (job-shop) realisiert werden. Die Arbeitsstationen gestatten haufig eine gewisse Universalitat hinsichtiich der ausfuhrbaren Verrichtungen. Zudem ist die Struktur des Transportsystems zwischen den Arbeitsstationen geschlossen oder gar vernetzt, wodurch gegenlaufige Materialflusse bei der Fertigung unterschiedlicher Produktarten moglich werden. Im Gegensatz hierzu stellt der Anordnungstyp in flexiblen Produktionslinien eine Hybridform dar. Die Arbeitsstationen sind spezialisiert und konnen nur eine einzige Art der Verrichtung durchfiihren. Im Rahmen der Layoutplanung ist daher eine lineare Anordnung der Arbeitsstationen festzulegen, die im Sinne einer Transportwegeminimierung einen uni-direktionalen Materialfluss fUr alle Produktarten vorsieht (Paul et al. 2001). AUerdings kann dieses Prinzip auch durchbrochen werden, etwa wenn einzelne Produktarten gegenlaufige Materialfliisse zwischen Stationen bewirken oder wenn das Zugangslager zugleich auch als Abgangslager genutzt wird.

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien

207

Fur die Ablaufplanung eines flexiblen Produktionssystems ist auBerdem die Frage relevant, ob, und in welcher Menge und Dauer, Zwischenprodukte vor ihrer endgultigen Fertigstellung gelagert werden konnen. In flexiblen Fertigungssystemen stehen hierfur im Allgemeinen Pufferlager zur Verfugung. Wird ein unfertiger Auftrag nach der Bearbeitung durch eine Arbeitsstation nicht unmittelbar von einer anderen Station weiterbearbeitet, so kann das Zwischenprodukt ins Pufferlager verbracht werden, um die Arbeitsstation ftir nachfolgende Auftrage freizugeben. Roboterbediente Fertigungszellen verfugen demgegentiber tiber kein Pufferlager (no-buffer). Wird hier ein Auftrag nicht unmittelbar weiterverarbeitet, so muss er fUr die Dauer der Wartezeit auf der Arbeitsstation verbleiben. Die Arbeitsstation steht wahrend dieser Zeit anderen Auftragen nicht zur VerfUgung. Flexible Produktionslinien verfugen ebenfalls nicht iiber ein Pufferlager. Daruber hinaus sind in flexiblen Produktionslinien typischerweise fiir einige der Arbeitsstationen maximale Verweilzeiten zu berucksichtigen. Sie sagen aus, wie lange Zwischenprodukte nach Ablauf der Bearbeitungszeit auf den Stationen verweilen durfen, ohne beschadigt zu werden. Bedeutung haben Verweilzeiten unter anderem in Fertigungsprozessen, in denen Bearbeitungsvorgange nicht abgeschaltet werden konnen. Eine Beendigung dieser Vorgange kann nur dadurch erfolgen, dass das Material die entsprechende Arbeitsstation verlasst. Ist eine maximale Verweilzeit fur eine Station angegeben, so beschrankt diese die nach der Bearbeitung einsetzenden Wartezeiten der Auftrage. Im Extremfall ist die maximale Verweildauer an einer Station gleich Null. In dieser Situation (no-wait) mussen alle Auftrage unmittelbar nach Ablauf der Bearbeitungszeit von dieser Station zur nachsten Arbeitsstation transportiert werden.

2. Modellierung der Fertigung in einer flexiblen Produktionslinie In der Literatur wurde das Problem der Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien unter Beriicksichtigung des Transportsystems erstmals von Phillips und linger (1976) behandelt. Eine Ubersicht und eine Klassifikation der resultierenden Ablaufplanungsprobleme findet sich bei Crama et al. (2000). Flexible Produktionslinien sind typischerweise in der Prozessindustrie anzutreffen. Die Arbeitsstationen sind hierbei nicht Maschinen, die mechanische Verrichtungen ausfiihren, sondem Bader, die mit Substanzen fiir die elektro-chemische Oder thermische Behandlung von Arbeitsmaterialen gefullt sind. Abb. 1 zeigt den Aufbau einer solchen Produktionslinie mit einer Fordereinrichtung. Diese nimmt das bereitgestellte Arbeitsmaterial aus einem Zugangslager und befordert es in der gewunschten Arbeitsgangfolge zu den beteiligten Arbeitsstationen und schlieBlich zum Abgangslager. Die Fertigung erfolgt durch das Eintauchen des Materials in Wirkbader, wobei Prozesszeiten und Badfolgen zu beachten sind. Der Arbeitsgang, der ausgeftihrt wird, wahrend ein Bad beftillt ist, wird als Wirkprozess bezeichnet. Eine Abfolge bestimmter Wirkprozesse bildet zusammen eine Wirksequenz. Produktionssysteme, die Wirksequenzen durchfuhren, werden u.a. bei der

208

Christian Bierwirth

Oberflachenbehandlung metallischer Teile, bei der Leiterplattenherstellung, in der pharmazeutischen Laborfertigung und in der Lebensmittelindustrie eingesetzt. Kran

^-^ ^v ^-^

^-^ ^v ^-^

JUUi Zugaiigs lager

- Produktionslinie

Abgangslager

Abb. 1, Schema einer flexiblen Produktionslinie mit einer Fordereinrichtung (Kran) Die besondere Schwierigkeit der Ablaufplanung in einer flexiblen Produktionslinie resultiert aus der Notwendigkeit, Restriktionen bzgl. der erlaubten Verweilzeiten (no-wait) und der Zwischenlagerungsmoglichkeiten (no-buffer) zu beachten. Wenn die Bearbeitungsdauer eines Auftrags abgeschlossen und die maximale Verweilzeit erreicht ist, dann muss das zugehorige Teil unverzuglich dem Wirkbad entnommen werden. Um dies realisieren zu konnen, muss sowohl eine Fordereinrichtung als auch das nachfolgende Bad in der Badfolge des Auftrags verfiigbar sein. Anderenfalls kommt es zwangslaufig zur Ausschussproduktion. Hieraus ergibt sich die Notwendigkeit, Bearbeitungsvorgange und Transportvorgange gemeinsam zeitlich zu planen. Folgendes Modell wird fiir das Produktionssystem zugrunde gelegt:

1) Die betrachtete Produktionslinie besteht aus m Arbeitsstationen (z.B. Bader), die entlang eines linearen Transportsystems aufgestellt sind.

2) Das Transportsystem verfiigt liber genau eine Fordereinrichtung (z.B. liber einen fahrbaren Kran).

3) Fertigungsauftrage werden in Gestalt einer Arbeitsgangfolge (also z.B. als

4) 5) 6) 7) 8)

9)

Wirksequenz) definiert. Die Arbeitsgangfolge legt die Reihenfolge, in der der Auftrag von alien oder einer Teilmenge der m Arbeitsstationen zu bearbeiten ist, sowie die zugehorigen Bearbeitungs- und Verweilzeiten fest. Auftrage mit identischer Arbeitsgangfolge beziehen sich auf dieselbe Produktart. Die Durchfuhrung von Arbeitsgangen darf nicht unterbrochen werden. Auftrage konnen zu einer Zeit nur an einer Station bearbeitet werden. Keine Station kann mehr als einen Arbeitsgang zu einer Zeit durchfuhren. Nachdem ein Arbeitsgang an einem Teil abgeschlossen ist, darf dieses Teil bis zum Ablauf der maximalen Verweilzeit dort lagem. Zusatzliche Zwischenlagerplatze sind nicht vorhanden. Der Transfer von Teilen zwischen den Arbeitsstationen erfolgt durch die Fordereinrichtung. An der abgebenden Arbeitsstation wird das Teil aufgenommen und nach erfolgter Lastfahrt der empfangenden Station zugefuhrt. Die

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien

209

Dauer der Lastfahrt und der Ladevorgange bestimmt gemeinsam die Lasttransportzeit. 10) Im Anschluss an eine Lastfahrt kann die Fordereinrichtung an der empfangenden Station warten, um nach Beendigung des Arbeitsgangs hier die nachste Lastfahrt zu starten. Alternativ kann sie eine Leerfahrt zum Zweck der Positionierung an einer abgebenden Station vomehmen und von dort eine Lastfahrt aufnehmen. 11) Die Fordereinrichtung kann nur hochstens ein Teil zurzeit aufnehmen. 12) Die Geschwindigkeit der Fordereinrichtung ist im beladenen und unbeladenen Zustand gleich und konstant, Beschleunigungsvorgange werden nicht beriicksichtigt. Aus diesem Grund sind die Lasttransportzeiten durch die Distanzen zwischen den Arbeitsstationen determiniert und im Voraus bekannt. Das hier untersuchte Modell trifft einige weitere Annahmen. Es soil ein Produktionsprogramm bestehend aus n Fertigungsauftragen vorliegen. Jeder Fertigungsauftrag gehort dabei einer bestimmten Produktart an. Das Mengenverhaltnis der Produktarten kann in unterschiedlichen Programmen verschieden sein. Neben dem Produktionsprogramm ist zusatzlich die Einlastungsreihenfolge der Auftrage vorgegeben. Sie kann sich zum Beispiel aus der Materialbereitstellung im Eingangslager ergeben. Das Ziel der Planung besteht in der Ermittlung von Einlastzeitpunkten fUr alle Fertigungsauftrage entsprechend der gegebenen Einlastungsreihenfolge, so dass a) die Produktion von Ausschussteilen vermieden wird (Sachziel) und b) die Zykluszeit des Produktionsprogramms minimal ist (Formalziel). Strukturell handelt es sich bei dieser Aufgabenstellung um ein Maschinenbelegungsproblem bei FlieBfertigung mit no-buffer und no-wait Bedingungen sowie zusatzlichen Restriktionen hinsichtlich des Materialtransports. Auf den ersten Blick erscheint die Losungskomplexitat des Problems moderat, da die Reihenfolge der Auftragseinlastung vorgegeben und nicht Gegenstand der Planung ist. Dennoch ist das dargestellte Ablaufplanungsproblem bereits im Einproduktfall NPhart (Lei u. Wang 1989), d.h. die Produktionslinie wird nicht flexibel, sondern exklusiv zur Herstellung einer einzigen Produktart eingesetzt. Dieser Spezialfall ist insgesamt leichter zu behandeln als der hier fokussierte Mehrproduktfall.

3. Ansatze zur Komplexitatsreduktion Die Schwierigkeit der betrachteten Aufgabenstellung wird unter anderem an der Zielformulierung deutlich. Im Sinne der Sachzielerreichung a) mussen die Einlastungszeitpunkte der Auftrage groBe Abstande aufweisen, um die Wahrscheinlichkeit von Ressourcenkonflikten zwischen Auftragen, die zwangslaufig zu Ausschussproduktion fuhren, zu reduzieren. Im Extremfall wird die gesamte Produktionslinie nur einen Auftrag zu einer Zeit bearbeiten. Hierdurch kann zwar Ausschussproduktion sicher verhindert werden, zugleich wird aber die Zykluszeit maximal ausgeweitet. Im Sinne der Formalzielerreichung b) muss eine hohe Ka-

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Christian Bierwirth

pazitatsauslastung der Produktionslinie angestrebt werden. Sie ist durch kurze Abstande zwischen den Einlastungszeitpunkten der Auftrage erreichbar, was aber wiederum die Gefahr der Produktion von Ausschussteilen vergroBert. Aus Sicht der Planung resultiert somit die Forderung nach einer Methode, die es erlaubt, einen effizienten Kompromiss zwischen Sicherheitsstreben und betriebswirtschaftlicher Zeit-Leistungsorientierung herzustellen. Zur Reduzierung der Komplexitat der Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien werden in der Literatur drei Ansatze behandelt. Sie zielen im Kern auf eine Verkleinerung des zu durchsuchenden Losungsraums ab. Den Ausgangspunkt dieser heuristischen Vorgehensweise stellt dabei jeweils ein charakteristisches Losungsmerkmal dar, von dem angenommen wird, dass es positiv mit der Qualitat der Ablaufplane korreliert. 3.1

Zyklische Ablaufplanung

Sofern lediglich eine Produktart auf einer Produktionslinie gefertigt wird, lasst sich das Problem der Ablaufplanung vergleichsweise einfach behandeln. Im Einproduktfall werden zyklische Ablaufplane gesucht, durch die genau ein Auftrag in die Produktionslinie eingelastet und ein anderer Auftrag ausgelastet wird (Shapiro u. Nuttle 1988). Ein solcher Zyklus kann durch eine zeitliche Abfolge von Lastfahrten, auch Fordersequenz genannt, reprasentiert werden. Diese Fordersequenz wird anschlieBend solange repetiert, bis das gesamte Produktionsprogramm terminiert ist. Zwar ftihrt auch die durchlaufzeitminimale Fordersequenz nicht notwendigerweise zu einem optimalen Ablaufplan fur das Produktionsprogramm, dennoch stellt der Ansatz, den die zyklische Ablaufplanung verfolgt, eine gute Approximation dar. Im Mehrproduktfall besteht die Moglichkeit der Erzeugung zyklischer Ablaufplane im Allgemeinen nicht. Eine notwendige Bedingung ftir die Existenz eines repetierbaren Zyklus ist, dass das relative Mengenverhaltnis der Produktarten, die innerhalb einer Fordersequenz bearbeitet werden, dem Mengenverhaltnis der Produktarten im gesamten Produktionsprogramm entspricht. Im Normalfall verstoBt dies jedoch bereits gegen die Forderung nach Ganzzahligkeit der LosgroBen. FUr den Zweiproduktfall haben Lei u. Liu (2002) ein Verfahren zur Bestimmung zyklischer Ablaufplane vorgeschlagen. Der Ansatz setzt allerdings die beliebige Teilbarkeit der LosgroBen voraus und kann daher nicht auf eine Teilefertigung tibertragen werden. 3.2

Wartezeitfrele Ablaufplanung

Ein Ansatz zur Generierung von Ablaufplanen besteht darin, die Auftrage in der gegebenen Reihenfolge zum jeweils fruhest moglichen Zeitpunkt in die Produktionslinie einzulasten. Auf diese Weise wird ein Auftrag gestartet, sobald die Fordereinrichtung verftigbar und die erste Arbeitsstation der Arbeitsgangfolge frei ist. Das Verfahren, auch EST-Methode (earliest starting time) genannt, haben Song et

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien

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al. (1993) ftir den Einproduktfall untersucht. Es zeigt sich, dass bereits die Bestimmung zulassiger Einlastzeitpunkte eine keineswegs triviale Aufgabe darstellt. Dies resultiert aus dem Umstand, dass mit der Einlastung eines Auftrags zugleich die Verftigbarkeit der Ressourcen ftir alle nachfolgenden Arbeitsschritte sichergestellt werden muss. Stellt sich bei der Einplanung eines Auftrags heraus, dass es auf einer nachgelagerten Arbeitsstation zur einem Engpass kommt, so muss der vorgesehene Einlastzeitpunkt um die Zeitspanne hinausgezogert werden, durch die der Engpass aufgehoben wird. Dieser Test muss solange wiederholt werden, bis der letzte Arbeitsgang des Auftrags konfliktfrei eingeplant ist. Mit dem EST-Verfahren konnen auch im Mehrproduktfall zulassige Ablaufplane generiert werden. Allerdings ist die Methode nicht in der Lage, Zwischenlagerungen durch die Berticksichtigung von Verweilzeiten einzuplanen. Die Zielsetzung des EST-Ansatzes ist es, ablaufbedingte Wartezeiten zu umgehen, um die folgenden Arbeitsschritte „so friih wie moglich" ausfuhren zu konnen. Dass dieses Ziel jedoch nicht immer erreicht wird, verdeutlicht Abb. 2. Ein Vergleich beider Ablaufplane zeigt, dass die Inanspruchnahme von Verweilzeiten eine positive Wirkung auf die Entwicklung der Zykluszeit haben kann. dii

^10

^ 1 2 ! ^30

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^11

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Abb. 2. Wartezeitfreier Ablaufplan (oben) vs. Ablaufplan mit Verweilzeit auf Station S2 Gezeigt ist eine Situation, in der zwei Auftrage in einer Linie mit zwei Arbeitsstationen Si und S2 auszufuhren sind. Die Bearbeitungszeit von Auftrag i auf Station Sj wird mit 71^ bezeichnet. Die Bewegungen der Fordereinrichtung K sind in Lastfahrten und Positionierfahrten unterschieden. Die Lastfahrtzeit dy bezieht sich auf den Transport, der ftir Auftrag i durchgefuhrt wird und bei Station j beginnt. Das Eingangslager fungiert dabei als Station 0. Demgegenuber bezeichnet 5jk die Dauer einer lastfreien Positionierfahrt zwischen den Stationen j und k. Im oberen Ablaufplan sind die Auftrage nach dem EST-Prinzip eingeplant, wohingegen im unteren Ablaufplan eine Zwischenlagerung von Auftrag 1 im Anschluss an die Bearbeitung auf S2 mit der Verweilzeit ni2 erfolgt. Deutlich zu erkennen ist, dass aufgrund der Verweilzeit eine hohere Aktivitat der Fordereinrichtung und zugleich eine hohere Auslastung der Arbeitsstationen im Planungszeitraum erreicht werden

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Christian Bierwirth

kann. Ein ahnlicher Wirkungszusammenhang ist aus dem Bereich der klassischen Werkstattfertigung zwischen verzogerungsfreien (aktiven) und unverzogerten Ablaufplanen bekannt (Giffler u. Thompson 1960). 3.3

Permutationsbasierte Ablaufplanung

Eine Moglichkeit, Verweilzeiten auch im Mehrproduktfall potenziell in der Ablaufplanung zu beriicksichtigen, haben Yin u. Yih (1992) aufgezeigt. Ihr Verfahren beruht auf dem Konzept permutationsbasierter Ablaufplane. In permutationsbasierten Ablaufplanen ist die Bearbeitungsreihenfolge der Auftrage auf alien Arbeitsstationen identisch. Der Ansatz beruht auf der prinzipiellen Annahme, dass sich Auftrage im Verlauf der Bearbeitung nicht gegenseitig iiberholen konnen bzw. sollen. Ist dies der Fall, so werden die Auftrage an der Produktionslinie in identischer Reihenfolge ein- und ausgelastet. Ein Reihenfolgeproblem ist insofern nur fur die erste Arbeitsstation zu losen. Eine mogliche Losung kann immer als Permutation der Auftrage reprasentiert werden, weshalb vereinfachend auch von einem Permutationsplan gesprochen wird. di3[

p^

^40

^20

^21

=^22

S ^12

H

S dm

^11

8,^ '20

d °20

dxJ °23

^^21

^23

Ki "42

^12 °12

d' °13

^13

Zeii

Abb. 3. Permutationsplan (oben) vs. Ablaufplan mit „Uberholmanover" auf Station S3 Die Heuristik von Yin und Yih wurde von Yih (1994) maBgeblich weiterentwickelt. Ausgangspunkt des PBA-Verfahrens (permutations-basierte Ablaufplanung) ist wiederum die vorgegebene Einlastungsfolge der Auftrage. Zunachst wird der erste Auftrag nach dem EST-Prinzip, d.h. ohne Beriicksichtigung von Verweilzeiten, eingeplant. Da die Produktionslinie noch unbeschaftigt ist, kann es hierdurch nicht zu Ressourcenkonflikten kommen. Die Arbeitsgange des nachstfolgenden Auftrags werden anschlieBend ohne Leerzeiten auf den entsprechenden Arbeitsstationen eingeplant. Hierbei konnen Unzulassigkeiten im Hinblick auf die maxima-

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien

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len Verweilzeiten als auch im Hinblick auf die Verfiigbarkeit der Fordereinrichtung auftreten. Zunachst werden Verletzungen der Verweilzeiten behoben. Hierzu werden die Arbeitsstationen entgegen der Materialflussrichtung, also beginnend mit der letzten Station S^, inspiziert. Kommt es erstmals auf Sk zu einer tFberschreitung der Verweilzeit, so wird der Beginn der Arbeitsgange des Auftrags auf den Stationen Si bis Sk einheitlich um die Dauer der tJberschreitung verzogert. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die letzte potenzielle Verletzung der Verweilzeitrestriktion auf Si behoben ist. AnschlieBend werden bestehende Konflikte um die Fordereinrichtung behoben. Hierzu wird die Realisierbarkeit des Materialtransports fur den aktuellen Auftrag von der Einlastung bis zur Auslastung Uberpruft. Wird ein Konflikt mit einem Transportauftrag fiir einen bereits vollstandig terminierten Auftrag festgestellt, so wird zunachst versucht, diesen zu beseitigen, indem den Arbeitsgangen auf benachbarten Stationen zusatzliche Verweilzeit eingeraumt wird. Erst wenn durch diese MaBnahmen die Unzulassigkeit des Ablaufplans nicht aufgehoben werden kann, wird der aktuelle Auftrag wie im Fall einer Verweilzeitiiberschreitung insgesamt verzogert. Die einheitliche Permutationsstruktur der Auftragsbearbeitung stellt sicher, dass hierdurch nicht erneut Unzulassigkeiten in Bezug auf die Verweilzeiten entstehen. Das PBA-Verfahren wird nacheinander auf alle Auftrage des Produktionsprogramms angewendet. Im Ergebnis liegt ein zulassiger Permutationsplan vor, der auch Verweilzeiten von Auftragen bei bestimmten Arbeitsstationen einbezieht. Es ist daher zu fragen, inwieweit die positiven Effekte von Verweilzeiten durch die Beschrankung auf Permutationsplane kompensiert werden. Abb. 3 zeigt einen diesbezuglichen Extremfall. Im oberen Ablaufplan kann Auftrag 2 erst begonnen werden, nachdem Auftrag 1 vollstandig abgeschlossen ist. Zwar kann Auftrag 2 schon auf Si eingelastet werden, wahrend Auftrag 1 noch auf S2 bearbeitet wird (siehe den unteren Ablaufplan), jedoch flihrt die Weiterbearbeitung von Auftrag 2 auf S3 dann zu einem Konflikt mit Auftrag 1, sofern die Bearbeitungsreihenfolge der Auftrage auf dieser Station eingehalten werden muss. Wird sie jedoch umgekehrt, d.h. wird Auftrag 1 nach Auftrag 2 auf S3 bearbeitet, so resultiert eine drastische Reduzierung der Zykluszeit. Hieran ist zu erkennen, dass die Beschrankung auf Permutationsplane die optimalen Plane von der Suche moglicherweise ausschlieBt. Diese Gefahr wird umso groBer, je starker die Bearbeitungszeiten an den Stationen variieren. Lange Belegzeiten einzelner Auftrage an einer Station konnen dann namlich nicht von der Fordereinrichtung fiir zweckmaBige tJberholmanover anderer Auftrage genutzt werden, die nicht an dieser Station zu bearbeiten sind.

4. Ablaufplanung mit adaptiven Zeltfenstern In den vorangegangenen Abschnitten wurde gezeigt, dass die ausschlieBliche Beriicksichtigung von wartezeitfreien oder permutationsbasierten Ablaufplanen die Zielerreichung erheblich beeintrachtigen kann. Um in einer flexiblen Produktionslinie die Moglichkeit von Verweilzeiten auszunutzen und zugleich die Nachteile von Permutationsplanen zu uberwinden, haben Paul et al. (2004) ein neues Ver-

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Christian Bierwirth

fahren vorgeschlagen. Ahnlich wie beim EST-Ansatz werden auch in diesem Verfahren die Arbeitsgange und die erforderlichen Bewegungen der Fordereinrichtung ftir jeden Auftrag nacheinander in einen bestehenden Ablaufplan eingefugt. Kommt es hierbei zu einem Konflikt, so wird, anders als bei EST, zunachst versucht, durch die Anpassung von Verweilzeiten der betroffenen Arbeitsgange eine Auflosung herbeizufiihren. Erst wenn sich zeigt, dass dies nicht moglich ist, wird der aktuelle Auftrag partiell oder vollstandig verzogert. Somit ist es moglich, die Belegzeiten bereits eingeplanter Auftrage auch im Nachhinein zu modifizieren. Realisiert wird dieses anspruchsvolle Konzept durch eine Zeitfenstersteuerung fur die Arbeitsgange und Fordervorgauge. Zeitfenster drucken hierbei Pufferbereiche aus, in denen Aktivitaten potenziell verschiebbar sind. Sie sind entsprechend der bestehenden Vorganger-Nachfolger Beziehungen zwischen Aktivitaten untereinander vernetzt. Wird eine zeitliche Verschiebung einer Aktivitat erwogen, so konnen andere, hiervon betroffene Aktivitaten als eine Kette im Aktivitatsnetzwerk identifiziert und ihre Zeitfenster gegebenenfalls angepasst werden. Die Methode wird daher als „adaptive time window" Verfahren (ATW) bezeichnet.

EC, LC

•1^

EC Einlastzeitpunkt

LCi ES 15

LS15 EC15

LC15

A b b . 4. Initialisiemng von Zeitfenstern

Das Prinzip der Zeitfenstersteuerung verdeutlicht Abb. 4 am Beispiel der Initialisiemng der Zeitfenster von Auftrag 1. Er wird als Folge von Aktivitaten aio, an... aiN aufgefasst, die abwechselnd Lastfahrten der Fordereinrichtung und Arbeitsgange an den Arbeitsstationen bezeichnen. Ausgehend von der Einlastfahrt aio wird fur alle Aktivitaten der fruheste und der spateste Startzeitpunkt sowie der fruheste und der spateste Endzeitpunkt ermittelt. Es wird davon ausgegangen, dass Aktivitaten so fruh wie moglich innerhalb ihres Zeitfensters auszufUhren sind. Der fruheste Startzeitpunkt einer Aktivitat wird daher mit dem frtihesten Endtermin der Vorgangeraktivitat gleichgesetzt. Die maximale Verweilzeit des Arbeitsgangs an der ersten Arbeitsstation Si bestimmt die zu an gehorige spateste Endzeit. Diese Zeitspanne wird dem Zeitfenster der nachfolgenden Lastfahrt a^ zugerechnet. Auf diese Weise kumuliert das Zeitfenster einer Aktivitat die maximalen Verweil-

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien

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zeiten aller vorangehenden Arbeitsgange. Gerat eine bereits eingeplante Aktivitat im ATW-Verlauf in einen Ressourcenkonflikt, so kann aufgrund ihres Zeitfensters entschieden werden, um welche Zeitspanne diese Aktivitat hinausgezogert werden darf, ohne die Einlastfahrt des zugehorigen Auftrags zu verschieben. Zusammen mit der Vorganger-Nachfolger-Verkettung der Aktivitaten ist das zeitliche Flexibilitatspotenzial der einzelnen Auftrage vollstandig und transparent abgebildet.

Abb. 5. Prinzipieller Ablauf des Verfahrens ATW Abb. 5 zeigt das Zusammenspiel der Hauptschritte im ATW-Verfahren. Die Auftrage werden in der Reihenfolge ihrer Einlastung in die Produktionslinie eingeplant. Hierbei werden die Aktivitaten des aktuellen Auftrags entsprechend der Reihenfolge ihrer Durchfuhrung - also Einlastfahrt, Arbeitgang, Lastfahrt, Arbeitsgang usw. - eingeplant. Zunachst wird eine unverzogerte Einplanung einer Aktivitat angestrebt. Ftihrt dies zu einem zulassigen Ablaufplan, so werden die Zeitfenster der von der Einplanung betroffenen Aktivitaten anderer Auftrage entsprechend angepasst. Gelingt es hingegen nicht, die Aktivitat zulassig einzuplanen, so erfolgt ein Re-Scheduling. Beim Re-Scheduling wird versucht, eine Aktivitat unter Ausnutzung der Verweilzeiten der bereits eingeplanten Aktivitaten desselben Auftrags zu verzogern. Gelingt dies, so erfolgt wiederum die Anpassung der Zeitfenster der vom ReScheduling betroffenen Aktivitaten. Gelingt dies nicht, so wird die aktuelle Aktivitat zuruckgestellt und ein Backtracking auf die zuletzt eingeplante Aktivitat vollzogen. Nunmehr wird ein Re-Scheduling dieser Aktivitat in prinzipiell derselben Weise, wie es oben dargestellt ist, angestrebt. Das Zusammenwirken von Re-Scheduling und Backtracking verdeutlicht Abb. 6 an einem Beispiel. Die gezeigten Aktivitaten U-Z gehoren zu Auftragen, die bereits vollstandig eingeplant sind. Aktivitat i gehort zum aktuellen Auftrag und ist

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bereits auf Station Sj eingeplant. Die nachfolgende Aktivitat i+1 der Fordereinrichtung K wird anschlieBend frtihestmoglich durchgefuhrt. Es zeigt sich, dass es hierdurch fiir Aktivitat i+2 zu einem Konflikt an der Station Sj+i kommt. Aufgrund einer nicht ausreichend verfUgbaren Verweilzeit von Aktivitat i+1 ist die angestrebte Verzogerung von Aktivitat i+2 nicht moglich. Es erfolgt daher ein Backtracking zu Aktivitat i+1 und eine Verzogerung dieser Aktivitat innerhalb der Verweilzeit von Aktivitat i.

Si

u

i

V

^x

^ f\—^ i+1 i H ^ h Y]—[

K

i+1 i

^N

\

Z

Sj+i

i+2

1 ES5

Eq

LS^

LC5

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Abb. 6. Backtracking und Re-Scheduling von Aktivitaten Nachdem die Aktivitaten eines Auftrags vollstandig eingeplant sind, erfolgt eine abschlieBende Riickwartsrekursion, wie sie aus der klassischen Netzwerktechnik bekannt ist. Hierbei wird die Kompatibilitat der Zeitfenster aller Aktivitaten des Auftrags wieder hergestellt. Eine ausfUhrliche Darstellung der erforderlichen Rechenschritte zur netzwerkbasierten Adaption abhangiger Zeitfenster im ATWVerfahren geben Paul et al. (2004).

5. Fallbeispiel aus der Praxis Im Folgenden wird die Ablaufplanung einer flexiblen Produktionslinie in der Flugzeugindustrie betrachtet (Paul et al. 2001). Die Produktionslinie dient zur Oberflachenbehandlung von metallischen Teilen, die an der auBeren Hulle eines Flugzeugs im Rumpf- und Flugelbereich verbaut werden. Die hohen Qualitatsanforderungen der aus Stahl und Aluminium geformten Komponenten machen eine auBerst exakte Einhaltung der physikalisch-chemischen Fertigungsvorschriften erforderlich (Grubbs 2002). 5.1

Beschreibung der Produktionslinie

Die Produktionslinie besteht aus 18 Tauchbadern (Arbeitsstationen), in denen unterschiedliche Hauptwirkprozesse sowie Farbe- und Verdichtungsprozesse und Spulvorgange zur Neutralisation der Komponenten stattfinden. Der Abstand zwischen zwei benachbarten Badern betragt 2 Meter. Das Transportsystem verfUgt liber eine einzige Fordereinrichtung, die mit einer Geschwindigkeit von 1 m/sec.

Ablaufplanung inflexiblenProduktionslinien

217

verkehrt. Die Hub- und Senkzeiten betragen 12,5 sec. Die Lasttransportzeit zwischen benachbarten Badem betragt demzufolge 27 sec. Die Anlage gestattet die Durchfuhrung von vier unterschiedlichen Verfahren zur Oberflachenbehandlung, namlich Chromsaureanodisieren, Gelbchromatieren, Schwefelsaureanodisieren mit Verdichten und Schwefelsaureanodisieren mit Farben. Jedes der Verfahren wird ausgefiihrt, indem die zu behandelnden Metallteile eine Teilmenge der Bader in einer bestimmten Reihenfolge passieren. Tabelle 2. Technische Arbeitsgangfolgen von vier Produktarten Produktart Chromsaureanodi sieren (CSA) Gelbchromatieren (GCM) Schwefelsaureanodisieren (SSA) & Verdichten Schwefelsaureanodisieren (SSA) & Farben

Arbeitsgangfolge (Wirksequenz nach Tabelle 3)

Gesamtbearbeitungszeit

Si, S2, S3, S4, Se, S5

62

S7, Sg, S9, S^, S5

26

Si3» S14, S15, S18, S17, S16, Sii, Sio, S6, S5

154

Si3> S14, S15, S12, Sii, Sio, Sg, S5

136

Tabelle 3. Reihung der Arbeitsstationen (mit Arbeitsgangdaten) in einer Produktionslinie Q bj

A K• AI/ r^^""^ ^ (Wirkprozess)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

CSA Hauptbad CSA Spule 1 CSA Spule 2 CSA Spule 3 Trocknung BCreislaufspUle GCM Hauptbad GCM Spule 1 GCM Spule 2 Verdichten Spule 1 Verdichten Spule 2 Verdichten SSA Hauptbad SSA Spule 1 SSA Spule 2 Verdichten-Farben Farben Splile Farben

Bearbeitungs2:eit TTJ (Min.) 23 3 3 15 15 3 2 3 3 2 2 40 70 2 2 40 3 15

erlaubte Verweilzeit ni(Min.)

relative Verweilzeit UJ n,

3 1 1 1 1 1 1 5 3 1 5 5

0.130 0.333 0.333 00 00 00

0.500 0.333 0.333 00

0.500 0.125 0.043 0.500 00

0.125 00

0.333

Gruppe A B B C C C B B B C B A A B C A C A

Die mittels unterschiedlicher Behandlungsformen realisierbaren vier Produktarten sind mit den zugehorigen Wirksequenzen in Tabelle 2 aufgelistet. Die Gesamtbearbeitungszeiten resultieren aus der Summe der Einzelbearbeitungszeiten. Es ist

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erkennbar, dass einige der Bader in mehreren Verfahren zum Einsatz kommen, wahrend andere Bader exklusiv in jeweils einem Verfahren genutzt werden. Tabelle 3 zeigt die Bearbeitungszeiten und die zulassigen Verweilzeiten in den 18 Badern. Aus dem Verhaltnis der Bearbeitungszeit und der erlaubten Verweilzeit in einem Bad resultiert die relative Verweilzeit. Sie driickt den Grad der Flexibilitat aus, der bei der Belegung eines Bades im Rahmen der Ablaufplanung ausgenutzt werden kann. Die Bader, fiir die keine maximale Verweilzeit angegeben ist, weisen in diesem Sinne eine unbegrenzte Flexibilitat auf. Die anderen Bader besitzen im hier behandelten Fall eine eher geringe Flexibilitat. 5.2

Einfluss der Verweilzeiten

Um eine Testumgebung fiir die Heuristiken EST, PBA und ATW aus dem aufgezeigten Fallbeispiel zu generieren, werden nachfolgend die Bearbeitungszeiten und die Verweilzeiten an den Arbeitsstationen variiert. Hierfiir wird zunachst ein Verweilzeitfaktor eingefiihrt, durch den die relative Verweilzeit skaliert werden kann. Betragt der Verweilzeitfaktor 0, so wird eine no-wait Situation hergestellt, in der die Bauteile unmittelbar nach Ablauf der Bearbeitungszeit das Wirkbad verlassen miissen. Fiir den Verweilzeitfaktor 1 werden die in Tabelle 3 gezeigten erlaubten und relativen Verweilzeiten beibehalten. Mit einem Verweilzeitfaktor groBer als 1 wird demgegeniiber die Flexibilitat bzgl. der Belegung eines Bades heraufgesetzt. Auf diese Weise kann untersucht werden, inwieweit die Heuristiken in der Lage sind, die sich ergebenden positiven Effekte erlaubter Wartezeiten im Rahmen der Ablaufplanung auszuschopfen.

0.0

0.125

0.25

0.5

1.0

2.0

Verweilzeitfaktor

Abb. 7. Leistungsvergleich der Heuristiken bei veranderlichen Verweilzeiten Im ersten Experiment wird der Verweilzeitfaktor schrittweise zwischen 0 und 8 variiert. Fur jede dieser Einstellungen wird eine rechnerbasierte Simulation mit den Heuristiken EST, PBA und ATW durchgefiihrt. Hierbei wird jeweils dasselbe

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien

219

Produktionsprogramm, bestehend aus 40 Auftragen bei gleichem Produktmix (68% CSA, 16% GCM, 8% SSA-Verdichten, 8% SSA-Farben), zugrunde gelegt. Um die Rechenergebnisse nicht durch eine vorgegebene Einlastfolge der Auftrage zu verzerren, werden innerhalb eines Simulationslaufs die Ablaufplane fiir 100 zufallige Einlastfolgen generiert. Der Mittelwert der hierbei beobachteten Zykluszeiten wird anschlieBend dem Simulationslauf zugerechnet. Abb. 7 zeigt die relativen Zykluszeiten, die von PBA und ATW gegentiber EST bei veranderlichen Verweilzeiten erzielt werden. EST kann als BezugsgroBe gewahlt werden, weil diese Heuristik per Konstruktion wartezeitfreie Ablaufplane erzeugt und folglich nicht auf eine Veranderung der erlaubten Verweilzeit reagiert. Die horizontale Linie auf dem Niveau 1 driickt daher die relative Zykluszeit aus, die EST bei positiven Verweilzeiten gegentiber dem no-wait Fall erzielt. Der Linienverlauf verdeutlicht, dass PB A und ATW jeweils eine Reduktion der Zykluszeit realisieren konnen, wenn die erlaubten Verweilzeiten an den Arbeitsstationen verlangert werden. Allerdings ist sowohl das absolute Leistungsniveau als auch die relative Verbesserung gegentiber EST fiir beide Heuristiken deutlich verschieden. Im strengen no-wait Fall erzielen ATW und EST dasselbe Leistungsniveau (tatsachlich arbeitet ATW wie EST, sofern die Verweilzeiten Null betragen). Demgegenuber dominiert EST das PBA-Verfahren um annahernd 17%. Bei Ausdehnung der Verweilzeiten bis zum Achtfachen der ursprUnglichen Werte kann PBA den Ruckstand zu EST lediglich um 2% verkurzen. ATW hingegen dominiert EST durchgangig und kann seinen Vorsprung sogar kontinuierlich auf mehr als 7% ausbauen.

5.3

Einfluss der Bearbeitungszeiten

Das schwache Abschneiden von PBA im vorliegenden Fall kann durch die starken Unterschiede in den Bearbeitungszeiten der Bader erklart werden. Extreme Abweichungen, wie sie etwa zwischen dem GCM Hauptbad mit 2 Min. und dem SSA Hauptbad mit 70 Min. zu beobachten sind (vgl. Tabelle 3), bewirken in Permutationsplanen an vielen Arbeitsstationen uberdurchschnittlich lange Leerzeiten. Folgt namlich z.B. ein Auftrag vom Typ GCM einem Auftrag vom Typ SSA, so darf er diesen nicht iiberholen, obwohl er mit einer Gesamtbearbeitungszeit von nur 26 Min. fiir alle erforderlichen Bader (vgl. Tabelle 2) sicherlich fertig gestellt werden konnte, noch ehe der SSA-Auftrag das Hauptbad verlassen hat. Sind im umgekehrten Fall die Unterschiede zwischen den Bearbeitungszeiten an den Arbeitsstationen nur marginal, so ist zu vermuten, dass die relative Leistungsfahigkeit von PBA gegentiber EST und ATW zunimmt. Es werden daher in einem zweiten Experiment nun die Bearbeitungszeiten der Bader unter Beibehaltung der relativen Verweilzeiten variiert. Um hierdurch eine Niveauangleichung zwischen alien Bearbeitungszeiten herbeizuftihren, erfolgt zunachst eine Aufteilung der Bader in drei Gruppen (vgl. Tabelle 3). Bader der Gruppe A weisen uberdurchschnittlich lange Bearbeitungszeiten und geringe relative Verweilzeiten auf. Bader der Gruppe B haben demgegentiber kur-

220

Christian Bierwirth

ze Bearbeitungszeiten und ebenfalls geringe relative Verweilzeiten. SchlieBlich gehoren Bader der Gruppe C an, wenn die erlaubte Verweilzeit nicht begrenzt ist. Die Modifikation der Bearbeitungszeiten erfolgt separat innerhalb der Gruppen mittels eines Bearbeitungszeitfaktors. Betragt der Bearbeitungszeitfaktor 1, so werden die urspriinglichen Bearbeitungszeiten beibehalten. Der Faktor wird bis zu einem Wert von 0,05 abgesenkt. Fiir die betroffenen Bader wird hierdurch die Bearbeitungszeit auf ein Zwanzigstel der urspriinglichen GroBe reduziert. Die Bearbeitungszeit des SSA-Hauptbades (Gruppe A) kann also z.B. von 70 Min. auf bis zu 3,5 Min. verkiirzt werden, was der durchschnittlichen Bearbeitungszeit aller Bader in Gruppe B (2,57 Min.) sehr nahe kommt. 1.05 1 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65

Gruppe A —^— Gruppe B — ^ ^ Gruppe C + •• 0.2

r^--^^'^ 0.4

0.6

k

0.8

Bearbeitungszeitfaktor

Abb. 8. Leistungsvergleich der Heuristiken bei veranderlichen Bearbeitungszeiten Unter ansonsten unveranderten Bedingungen wird nun das Leistungsverhalten von ATW und PBA getestet. Da ATW das EST-Verfahren prinzipiell dominiert, wird auf eine erneute Beriicksichtigung von EST verzichtet. Abb. 8 zeigt die ermittelten relativen Zykluszeiten von ATW gegenuber PBA bei variierenden Bearbeitungszeiten in den drei Gruppen A, B und C. Die Kennlinie fiir Gruppe B verdeutlicht, dass eine Verkurzung der Bearbeitungszeiten von Badern, die bereits vergleichsweise kurze Bearbeitungszeiten aufweisen, eine weitergehende Verschlechterung der Qualitat der von PBA ermittelten Permutationsplane bewirkt. Demgegenuber wird durch eine Niveauangleichung der Bearbeitungszeiten aller Bader (ausgelost durch die Verktirzung der Bearbeitungszeiten in Gruppe A, vgl. Kennlinie) der umgekehrte Effekt ausgelost. Je geringer die Unterschiede zwischen den Bearbeitungszeiten werden, umso leistungsfahiger wird PBA gegenuber ATW. Werden die Bearbeitungszeiten in Gruppe A mit dem Faktor 0,05 abgesenkt, so dominiert PBA sogar ATW, d.h. die Zykluszeit des Permutationsplans ist kurzer als die Zykluszeit des von ATW ermittelten Ablaufplans.

Ablaufplanung in flexiblen Produktionslinien

5.4

221

Zusammenfassung

Angesichts des Schwierigkeitsgrads der Ablaufplanung in einer flexiblen Mehrprodukt-Produktionslinie hat der Beitrag unterschiedliche heuristische Losungsansatze aufgezeigt und ihre Leistungsfahigkeit an einem Fallbeispiel aus der Praxis untersucht. Es stellte sich heraus, dass es sowohl prinzipiell moglich als auch Erfolg versprechend im Sinne der Zielerreichung ist, zulassige Verweilzeiten als Freiheitsgrad in die heuristische Ablaufplanung einzubeziehen. Ob dies besser durch eine permutationsbasierte Planung oder durch eine adaptive Zeitfenstersteuerung realisiert wird, hangt hingegen von der Problemstruktur ab. Differieren die Bearbeitungszeiten stark - wie oft in der Praxis zu beobachten - so ist die adaptive Zeitfenstersteuerung die klar Uberlegene Methode.

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Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen Sven Behrens Fakultat fur Wirtschaftswissenschaft, Ruhr-Universitat Bochum

1. Einfuhrung Wer Klaus-Peter Kistner kennt, weiB, dass ihm betriebswirtschaftliche Modelle viel Freude bereiten, vor allem, wenn sie eine mathematische Formulierung aufweisen. Im besonderen MaBe gilt dies fUr die LosgroBenmodelle der Lagerhaltungstheorie, und so ist es kein Wunder, dass die Lagerhaltungstheorie als Vorlesung im Kistnerschen Lehrprogramm an der Universitat Bielefeld einen besonderen Stellenwert einnimmt. Im Sommer 2004 war es mir moglich, diese Vorlesung im Rahmen eines Lehrauftrags naher kennen zu lernen, und so entstand die Idee, einen Beitrag zur Lagerhaltungstheorie fur diese Festschrift zu verfassen. Nun ist die Lagerhaltungstheorie bereits ein geschlossenes Lehrgebaude mit statischen und dynamischen, deterministischen und stochastischen, unkapazitierten und kapazitierten sowie einstufigen und mehrstufigen Modellen, so dass es auf den ersten Blick schwer fallt, dort eine Lticke zu finden, die noch zu fUllen ist. Andererseits sind die LosgroBenmodelle, die in der Lagerhaltungstheorie behandelt werden, allesamt dreiBig Jahre und alter, und die Betriebswirtschaftslehre ist seitdem nicht stehen geblieben. Ein - aus Sicht der Lagerhaltungstheorie - neuerer Aspekt, den ich mit diesem Beitrag aufnehmen mochte, ist die Entwicklung zur verteilten Entscheidungsfindung.i Angewandt auf LosgroBenmodelle bedeutet sie, dass es einen Unterschied macht, ob eine mehrstufige Fertigung innerhalb eines Unternehmens oder verteilt auf mehrere selbststandige Unternehmen stattfindet. Dieser Unterschied wird durch die Begriffe „Zulieferer" und „Abnehmer" im Titel verdeutlicht. Wenn die LosgroBenentscheidungen in einer mehrstufigen Fertigung nicht mehr in einer Hand liegen, sondern auf eine Zulieferer- und eine Abnehmerseite verteilt sind, hat dies Auswirkungen. Auswirkungen, die sich - wie in diesem Beitrag deutlich wird - als trade-offs thematisieren lassen, denn setzt der Abnehmer sein Interesse durch, so geht dies zu Lasten des Zulieferers, nimmt er hingegen Abstriche vor, so kann jener davon profitieren. Vgl. den Ubersichtsartikel SchneeweiB 2003.

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Die damit angesprochenen trade-offs erweitern die im Rahmen von LosgroBenmodellen schon immer thematisierten trade-offs zwischen bestandsabhangigen und losfixen Kosten. Durch die auf Zulieferer und Abnehmer verteilte Entscheidungsfindung entstehen vier KostengroBen, zwischen denen trade-offs bestehen, namlich die bestandsabhangigen und losfixen Kosten des Zulieferers und die bestandsabhangigen und losfixen Kosten des Abnehmers. Ehe diese trade-offs im vierten Abschnitt in verschiedenen Modellen quantifiziert werden, wird im zweiten Abschnitt zunachst der Gegenstand der Lagerhaltungstheorie sowie die Vielfalt der LosgroBenmodelle geklart. Im dritten Abschnitt erfolgt die Hinfuhrung auf die verteilte Entscheidungsfindung.

2. Lagerhaltungstheorie und LosgroBenmodelle 2.1

Der Gegenstand der Lagerhaltungstheorie

Ein Lager ist zunachst ein Gebaude, in dem materielle GUter eingelagert werden. In dieser Funktion ist ein Lager Gegenstand verschiedener Fachlehren und wissenschaftlicher Disziplinen, die sich mit der Gebaudetechnik, der Einlagerungstechnik und Ahnlichem befassen. Dass ein Lager dartiber hinaus auch Gegenstand der Betriebswirtschaftslehre ist, verdankt es zwei Umstanden, namlich • •

zum einen, dass mit dem Betrieb des Lagers die Auspragung betriebswirtschaftlicher ZielgroBen, insbesondere AufwandsgroBen, beriihrt ist, zum zweiten, dass es Handlungsalternativen hinsichtlich dieses Betriebs gibt, durch die die Auspragung der ZielgroBen beeinflusst wird.

Beide Umstande bewirken zusammengenommen, dass es sinnvoll erscheint, Modelle zu entwickeln, die sich der effizienten und optimalen Gestaltung eines Lagers annehmen. Effiziente Gestaltung bedeutet dabei, sich auf solche Handlungsalternativen zu beschranken, die nicht von besseren Handlungsalternativen dominiert werden. Eine optimale Gestaltung liegt vor, wenn diejenige Handlungsalternative ausgewahlt wird, die den optimalen Wert einer Zielfunktion erreicht. Handelt es sich bei der Zielfunktion um eine Kostenfunktion, so gilt es diese zu minimieren, liegt eine Gewinnfunktion vor, wird der maximale Wert gesucht. Effizienz und Optimalitat sind betriebswirtschaftliche Kriterien, die normative Aussagen in dem Sinne erlauben, dass aus einer Menge von Handlungsalternativen ausgewahlt wird. Wahrend die Effizienz die Aussonderung unzweckmaBiger Alternativen erlaubt, ermoglicht die Optimalitat die weitergehende Festlegung einer herausragenden Alternative. Daher ist einem Optimierungsmodell grundsatzlich der Vorrang gegeniiber einem bloBen Effizienzmodell einzuraumen. Dass es gleichwohl nicht nur Optimierungsmodelle, sondem auch Effizienzmodelle gibt, liegt daran, dass ein Optimierungsmodell die Formulierung einer Zielfunktion verlangt - eine Voraussetzung, die haufig nicht erfUllbar ist. Ein Beispiel dafur bietet der vorliegende Beitrag, in dem die Interessen von Zulieferer und Abnehmer gegeneinander abgewogen werden. Gehoren beide unterschiedlichen Unternehmen

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

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an, so ist die Formulierung einer gemeinsamen Zielfunktion eher nicht zu erwarten, auch wenn die Literatur zum Supply Chain Management gerade dieses nahe legt. Nun ist die Ausgestaltung der Lagerhaltung ein weites Feld, und Handlungsalternativen bestehen hinsichtlich der unterschiedlichsten Gegenstande, z.B. • • • • • • •

quantitative und qualitative Kapazitat des Lagers (GroBe, Art der einzulagernden Artikel) Standort des Lagers (Verkehrsanbindung, Entfemung zu anderen Standorten) Zweck des Lagers (Rohstoffe, Zwischenprodukte, Endprodukte) Lagergebaude (Fassadengestaltung, Regaltechnik) Lagerungstechnik (Computersteuerung, Robotereinsatz, Ein-/Auslagerungsterminals) Lagerungssicherheit (Kodierung der Bestande, Zugangsbeschrankungen) Lagerbestande (Sicherheitsbestande, saisonale Bestande, losgroBenbedingte Bestande)

Zwischen den genannten Gegenstanden einer betriebswirtschaftlichen Gestaltung der Lagerhaltung bestehen zudem Interdependenzen. So legt beispielsweise die quantitative Kapazitat Obergrenzen fur die Bestande fest. Der Abstand zu den Produktionsstatten bzw. Absatzmarkten hangt damit zusammen, ob Zwischenprodukte Oder Endprodukte eingelagert werden. Die Ausgestaltung des Lagergebaudes hat Einfluss auf Sicherheitsaspekte usw. Diese Interdependenzen konnen dazu verleiten, ein Totalmodell aufzustellen, in dem alle relevanten Aspekte abgedeckt sind. Die Anwendung der betriebswirtschafdichen Kriterien der Effizienz und Optimalitat auf dieses Totalmodell fiihrt dann zu umfassenden Gestaltungsempfehlungen. In der Tat sind eine Zeit lang solche betriebswirtschafdichen Totalmodelle aufgestellt worden. Mehrere Griinde haben dazu gefiihrt, dass dieser Weg zurzeit aber nicht weiter verfolgt wird:^ 1. Jedes Totalmodell ist nur auf einer bestimmten Aggregationsstufe tatsachlich ein Totalmodell. Ein reines Lagerhaltungsmodell vernachlassigt beispielsweise die Interdependenzen zur Produktion und zum Absatz. Versucht man auch diese Interdependenzen zu erfassen, so bleiben doch Finanzierungswirkungen unberiicksichtigt usw. Der Anspruch, ein Totalmodell aufzustellen, fuhrt somit unweigerlich dazu, fur jede Einzelentscheidung, die an irgendeiner Stelle im Betrieb zu fallen ist, die gesamte Geschaftstatigkeit des Unternehmens in einem einzigen Modell zusammenzufuhren. 2. Je mehr Daten in einem Modell verwaltet werden, desto starker macht sich bemerkbar, dass die verwendeten Daten keine bloBen Fakten sind, die unabhangig von den handelnden Personen und von Raum und Zeit Giiltigkeit haben. Vielmehr stellen die mangelnde Vollstandigkeit und Aktualitat der Daten sowie diverse Fehlerquellen, die zu falschen Angaben fiihren, ein erhebliches Problem dar, das die Anwendung von Modellen stark beschrankt.

2 Vgl. auch Kistner u. Steven 2001, S. 207.

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3. Die Bedeutung eines Modells fiir die praktische Anwendung wird in erheblichem Mafie von seiner Losbarkeit bestimmt. Je mehr Variablen ein Modell enthalt, desto schwieriger ist es, eine optimale Losung anzugeben. Dies gilt insbesondere fur ganzzahlige oder binare Variablen. In der Tat lasst sich die Geschichte der Betriebswirtschaftslehre auch als eine Geschichte der verwendeten Losungsmethoden lesen. Wahrend im 19. Jahrhundert Kalkiile, die auf Grenznutzen und Grenzkosten basieren und sich dabei auf die Differenzialund Integralrechnung stutzen, dominierten, nahmen in der zweiten Halfte des 20. Jahrhunderts mit der Entdeckung des Simplex-Algorithmus lineare Modelle einen enormen Aufschwung. Die Alternative zur Aufstellung eines Totalmodells, die Gestaltungsfragen in jeweils einem Partialmodell zu behandeln, fiihrt jedoch ebenso wenig zu sinnvollen Ergebnissen. Will man beispielsweise die kostenminimale Ausgestaltung der Lagerkapazitat in einem Partialmodell ermitteln, so fuhrt dies folgerichtig zu dem Ergebnis, dass eine Minimierung dieser Kosten nur mit dem Verzicht auf jegliche Lagerkapazitat zu erreichen ist, da ja die Kosten fur den Aufbau einer Lagerkapazitat monoton mit der GroBe des Lagers steigen. Aus der Gesamtsicht ebenso suboptimal ist, wenn eine Maximierung der Sicherheitstechnik den Ablauf der Einund Auslagerung erheblich behindert. Wenn nun weder die Erfassung aller Interdependenzen in einem Totalmodell noch die Missachtung der Interdependenzen in Partialmodellen zu befriedigenden Ergebnissen fiihrt, stellt sich die Frage nach einem goldenen Mittelweg. Dieser ist in der Betriebswirtschaftslehre mit den hierarchisch integrierten Modellen gefunden worden.^ Hierarchisch integrierte Modelle zeichnen sich dadurch aus, dass sie ein Gestaltungsproblem in Teilprobleme zerlegen, die einzeln gelost werden, dass zugleich aber die partiellen Losungen sinnvoll zusammenwirken. Das wesentliche Instrument ist dabei die Hierarchisierung, das heiBt die Zerlegung in vertikal angeordnete Planungsebenen:^ • • •

Auf der strategischen Planungsebene werden grundlegende Entscheidungen iiber Ziele, Ressourcen und Strategien getroffen. Auf der taktischen Planungsebene wird der effiziente und effektive Einsatz der Ressourcen sichergestellt. Auf der operativen Planungsebene werden untergeordnete spezielle Aufgaben ausgestaltet.

Die Planungsebenen unterscheiden sich nach ihrer Bindungskraft, nach ihrer Fristigkeit und nach ihrer Detaillierung. Strategische Entscheidungen bilden Vorgaben fur die taktische Planungsebene, taktische Entscheidungen wiederum bestimmen uber das Entscheidungsfeld auf der operativen Planungsebene. Strategische Entscheidungen wirken zudem in der Regel langfristig und konnen auch ^ Zur hierarchischen Planung vgl. Kistner 1992. Die Bezeichnung ,Jiierarchisch integriert" geht auf Rollberg 2002, S. 142f, zuruck, um sie von der ebenfalls hierarchischen Sukzessivplanung abzugrenzen. ^ Vgl. dazu Kistner u. Steven 2001, S. 12.

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

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nur mit erheblichem Aufwand korrigiert werden. Taktische Entscheidungen weisen hingegen in der Regel eine mitdere Fristigkeit auf, wahrend operative Entscheidungen kurzfristig wirken. Strategische Entscheidungen betreffen stark aggregierte Daten und Variablen, die fiir taktische und operative Entscheidungen wieder disaggregiert werden konnen. Im Zusammenhang mit der Lagerhaltung bedeutet dies, dass sich die Gegenstande der Gestaltung hinsichtiich ihres Rangs unterscheiden. Dabei kommt ein strategischer Rang allenfalls der Frage zu, ob das Lager selbst betrieben werden soil Oder die damit verbundenen Aufgaben fremdvergeben werden sollen. Die taktische Planungsebene betrifft die Wahl der Kapazitat und des Standorts sowie den Zweck des Lagers. Die Ausgestaltung des Gebaudes, der Technik, der Sicherheit und der Bestande sind von der taktischen Planung abhangige operative Teilprobleme. Dabei ist zu beachten, dass das Konzept der hierarchisch integrierten Planung keine reine Sukzessivplanung vorsieht. Vielmehr sind die antizipierten Ergebnisse der operativen Planungsmodelle bei der taktischen Gestaltung zu beriicksichtigen. So wird beispielsweise Uber die quantitative Kapazitat des Lagers nicht unabhangig von den erwarteten Lagerbestanden entschieden. Weiter beeinflussen bestimmte Fragen der Lagertechnik und des Gebaudes die Standortwahl usw. Ein besonderer Vorzug der hierarchisch integrierten Planung liegt aus produktionswirtschaftlicher Sicht darin, dass die Integrationsleistungen der Planung weitgehend auf der taktischen Ebene erfolgen mussen, wahrend auf der operativen Ebene uneingeschrankt Partialmodelle eingesetzt werden konnen. Da der Schwerpunkt der produktionswirtschaftlichen Modellbildung traditionell auf der operativen Ebene der LosgroBen- und Reihenfolgeplanung liegt, lassen sich diese Modelle muhelos in eine hierarchisch integrierte Planungskonzeption einbetten. Im Folgenden beschranken auch wir uns auf die operative Planungsebene, und zwar auf die Planung der Lagerbestande. Als Lagerbestand wird die eingelagerte Menge eines Artikels verstanden. Bestande bestehen aus vier verschiedenen Bestandsarten, die aus unterschiedlichen Griinden im Lager gehalten werden:^ •

• • •

Sicherheitsbestand. Er wird bei Unsicherheit bezuglich des Lagerzugangs und -abgangs sowie positiver Wiederbeschaffungsfrist gehalten, um Fehlbestande zu vermeiden. LosgroBenbestand. Er resultiert aus einem losweisen Lagerzugang oder -abgang. Saisonbestand. Er entsteht, wenn sich Nachfrage und Angebot zeitweise unterscheiden (z.B. bei landwirtschafdichen Erzeugnissen). Work in Process (WIP). Er umfasst Bestande im laufenden Prozess wahrend der Durchlaufzeit. Er befindet sich dann im Lager, wenn die Wertschopfung dort erfolgt (z.B. Spekulationsbestand oder Reifung).

Die Optimierung der Bestande kann nicht pauschal, sondern nur getrennt fUr jede Bestandsart erfolgen. Wahrend fUr die Gestaltung der Sicherheitsbestande MaBnahmen zur Verminderung der Unsicherheit ergriffen und bei nicht weiter reduVgl. Fleischmann 2003, S. 23.

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zierbarer Unsicherheit stochastisciie Modelle zur Minimierung der resultierenden Kosten herangezogen werden konnen, dienen zur Gestaltung des LosgroBenbestands LosgroBenmodelle. Saisonbestande konnen mit geeigneten LP-Modellen minimiert werden, der WIP durch eine Verringerung der Durchlaufzeit. In der Lagerhaltungstheorie werden traditionell LosgroBenmodelle behandelt. 2.2

LosgroBenmodelle

Die grundlegende Entdeckung, die die Entwicklung der Lagerhaltungstheorie angestoBen hat, ist vor fast hundert Jahren gemacht worden. „How many parts to make at once?" fragte der amerikanische Ingenieur F.W. Harris und bot als Antwort einen fertigen mathematischen Kalkiil, den wir noch heute als „klassisches LosgroBenmodell" in unseren Lehrveranstaltungen behandeln.^ Harris entdeckte, dass es Kosten gibt, die unmittelbar von der GroBe eines Loses abhangen, und es gelang ihm, eine Kostenfunktion zu formulieren, in der diese Abhangigkeit ausgedruckt ist. Die Minimierung dieser Kostenfunktion fiihrt dann zu der optimalen (kostenminimalen) LosgroBe. Die Eleganz dieser Losung liberzeugt bis heute, denn in der optimalen LosgroBe werden zwei gegenlaufige Tendenzen ausgeglichen, namlich die Tendenz zu groBen Losen, die vom Rustaufwand herruhrt, der fur jede Losauflage zu treiben ist, und die Tendenz zu kleinen Losen, die von den variablen Lagerhaltungskosten ausgeht, die fUr die Bestande anfalien. In der optimalen LosgroBe stimmen beide Kostenbestandteile genau uberein. Gleichwohl zeigt die bis heute anhaltende Diskussion uber LosgroBenmodelle, dass mit dem kiassischen LosgroBenmodell von Harris nicht alle denkbaren Falle erfasst sind. Die Pramissen, die dem Modell von Harris zugrunde liegen, schranken seine Allgemeingiiltigkeit ein. Vor allem vier Pramissen sind es, die zur Weiterentwicklung der Lagerhaltungstheorie durch immer neue Modelle angeregt haben: •

Harris nimmt an, dass die Nachfrage nach dem gelagerten Artikel im Zeitverlauf vollig gleich bleibt. Insofern ist sein Modell ein statisches Modell. In der Folgezeit sind dynamische LosgroBenmodelle entwickelt worden, die eine schwankende Nachfrage zulassen. • Weiter liegt dem kiassischen LosgroBenmodell die Annahme vollstandiger Information zugrunde, so dass keine Unsicherheit uber die zuktinftige Nachfrage besteht. Insbesondere ist es bei effizientem Verhalten unmoglich, dass Fehlmengen entstehen. Insofern handelt es sich bei dem kiassischen LosgroBenmodell um ein deterministisches Modell. In der Folgezeit sind stochastische LosgroBenmodelle entwickelt worden, die unter anderem Fehlmengen zulassen. • Im kiassischen LosgroBenmodell wird nur ein Produkt eingelagert, die Lagerund Fertigungskapazitat ist unbegrenzt. Insbesondere gibt es keine Engpasse, die aus der Konkurrenz mehrerer Produkte um einen begrenzten Lagerraum Vgl. Harris 1913.

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

•

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stammen. In der Folgezeit sind LosgroBenmodelle fur mehrere Produkte entwickelt worden, die Kapazitatsbeschrankungen beriicksichtigen. Die LosgroBenentscheidung erfolgt im klassischen LosgroBenmodell unabhangig von der Einbettung in eine Abfolge von Fertigungsstufen. Insbesondere geht Harris davon aus, dass die Versorgung mit Vorprodukten und Rohstoffen gewahrleistet ist. In der Folgezeit sind mehrstufige LosgroBenmodelle, in denen die Koordination miteinander verknupfter LosgroBenentscheidungen thematisiert wird, entwickelt worden.

Von den hier angesprochenen Entwicklungen der Lagerhaltungstheorie steht die Mehrstufigkeit der Fertigung im Mittelpunkt des vorliegenden Beitrags. In mehrstufigen Modellen werden sachliche Interdependenzen zwischen den LosgroBenentscheidungen benachbarter Fertigungsstufen berticksichtigt. Wahrend die Nachfrage auf der Endproduktstufe vom Absatzmarkt vorgegeben ist, hangt die zeitliche Verteilung des Bedarfs nach Vorprodukten und Rohstoffen von den Dispositionen der nachgelagerten Stufe ab. Mehrstufige LosgroBenmodelle ermoglichen es, die losgroBenbezogenen Dispositionen der Fertigungsstufen zu koordinieren. Der Einsatz verschiedener Koordinationsinstrumente, insbesondere die EinfUhrung einer gemeinsamen Planung, hangt aber von der Struktur der Fertigung ab. Im folgenden Abschnitt werden daher zunachst Besonderheiten prozessorientierter Strukturen vorgestellt.

3. Lagerhaltung in prozessorientierten Strukturen In der Lagerhaltungstheorie und auch sonst in vielen Bereichen der Produktionswirtschaft wird die Annahme verwendet, dass es ein einheitliches Entscheidungszentrum gibt, in dem alle relevanten Informationen verfugbar sind und die Entscheidungen auf dieser Grundlage getroffen werden. FUr dieses Entscheidungszentrum - man kann dafUr den Begriff „Produzent" verwenden - gelten zudem einheitliche Praferenzen, mit denen eine Entscheidungssituation und die Auswirkungen der getroffenen Dispositionen bewertet werden. In kleineren Betrieben weist der Unternehmer diese zentrale Rolle auf, in groBeren Betrieben der Abteilungsleiter oder das Vorstandsmitglied fur die Produktion. Angesichts der Detailfiille der Dispositionen und der von den zeitlichen und sachlichen Interdependenzen hervorgerufenen Komplexitat ist es aber undenkbar, dass alle relevanten Entscheidungen von einer zentralen Stelle aus getroffen werden. In der Praxis findet sich vielmehr eine dezentral verteilte Entscheidungsfindung. Dass dennoch die Pramisse eines einheitlichen Entscheidungszentrums nicht vollig an der Realitat vorbeigeht, hangt mit zwei Umstanden zusammen, namlich •

zum einen den verwendeten hierarchisch integrierten Planungsansatzen. Sie bewirken, dass die relevanten Informationen in den verschiedenen Planungsebenen vorliegen, die Entscheidungen aufeinander abgestimmt und die Interdependenzen dabei angemessen berticksichtigt werden.

230 •

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zum anderen dem implizit angenommenen Solidaritatsaxiom.^ Es besagt, dass die Praferenzen aller Beteiligten in der Produktion ubereinstimmen, und stellt sicher, dass eine einheitliche Bewertung der Handlungsalternativen besteht. Das Solidaritatsaxiom beinhaltet, dass es kein opportunistisches Verhalten von Bereichsmanagern oder ausfUhrend Beschaftigten gibt, so dass auch keine Anreize ftir ein Verhalten, das konform zu den Praferenzen der Unternehmensleitung ist, gesetzt werden mussen.

Beide Umstande, die hierarchisch integrierte Planung und die Solidaritat, besitzen eine unternehmensweite Gultigkeit und ermoglichen es so, die Produktion eines Unternehmens als Einheit aufzufassen. Sie bilden die Rechtfertigung fur die produktionswirtschaftlichen Modelle, die von einer derartig einheitlichen Produktion ausgehen. Aus diesem Grund sind auch bislang kaum Principal-Agent-Ansatze im Bereich der Produktionswirtschaft formuliert worden.^ Hierarchisch integrierte Planung und Solidaritatsaxiom geraten jedoch an Grenzen, wenn untemehmensUbergreifende Entscheidungen modelliert werden. In zwischenbetrieblichen Kooperationen fehlt in der Kegel eine gemeinsame Instanz, in der eine hierarchisch integrierte Planung koordiniert wird. Auch kann nicht davon ausgegangen werden, dass die Praferenzen der beteiligten Unternehmen ubereinstimmen. Wenn es beispielsweise darum geht, welcher der Partner ein Lager vorhalt und damit das Risiko fur Nachfrageschwankungen tragt, oder auch bei Preisverhandlungen besteht ein Konflikt zwischen den Partnern, der mit einem Kompromiss zwischen den gegenlaufigen Interessen ausgeraumt werden muss. Hinzu kommt, dass auch der Austausch von Informationen liber Unternehmensgrenzen hinaus zusatzliche Schwierigkeiten aufwirft. Neben eher technisch bedingten Schwierigkeiten wie unterschiedlichen Bezeichnungen und Datenformaten sowie Soft- und Hardwareunterschieden tritt hier vor allem das Problem der Geheimhaltung sensibler Informationen auf. Wenn beispielsweise ein Abnehmer weiB, dass das Lager des Zulieferers voll ist, besitzt er einen zusatzlichen Verhandlungsspielraum und kann einen Rabatt durchsetzen.^ Der Zulieferer wird darum in diesem Fall versuchen, diese Information vor dem Abnehmer geheim zu halten. FUr die Lagerhaltungstheorie folgt daraus, dass ein einheitlicher Planungsansatz fur mehrstufige LosgroBenentscheidungen nur dann verwendet werden kann, wenn sich die Fertigungsstufen in einem Unternehmen befinden. Bei unternehmensubergreifenden Logistikketten hingegen kann weder davon ausgegangen werden, dass alle relevanten Informationen zentral vorliegen, noch dass einheidiche Praferenzen darUber bestehen, welche Dispositionen vorzunehmen sind. Modelle fiir untemehmensUbergreifende mehrstufige LosgroBenentscheidungen mussen demnach sowohl das Problem der unvoUkommenen Information als auch die abweichenden Praferenzen beriicksichtigen.

7 Vgl. Albach 1997, S. 1263. ^ Eine Ausnahme bildet allerdings Luhmer 1999. 9 Vgl. Bretzke 2002.

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

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Dass gleichwohl ein Bedarf an Modellen fur diese Situation existiert, hangt mit dem gegenwartig feststellbaren Trend zu prozessorientierten Strukturen zusammen. Diese zeichnen sich durch die Kooperation mehrerer organisatorischer Einheiten aus, die dabei zumindest in Grenzen selbststandig agieren, sich jeweils am okonomischen Prinzip orientieren und untereinander Interdependenzen aufweisen. Prozessorientierte Strukturen entstehen zum einen durch eine Modularisierung aus hierarchischen Strukturen, zum anderen durch Verfestigung marktlicher Beziehungen in Form einer Kooperation selbststandiger Unternehmen.^^ Sie umfassen beispielsweise Netzwerke, Allianzen, virtuelle Unternehmen, modulare Fabriken, fraktale Fabriken und Center-Organisationen. Beispiele bilden die Zerlegung von ABB anlasslich der Fusion von Asea und BBC im Jahre 1988 oder ZuliefererNetzwerke in der Automobilindustrie. Prozessorientierte Strukturen nehmen eine mittlere Stellung zwischen hierarchischen Strukturen und marktlichen Beziehungen ein. Von hierarchischen Strukturen unterscheidet sie das Fehlen einer zentralen koordinierenden Instanz, von marktlichen Beziehungen die Langfristigkeit der Zusammenarbeit, die gemeinsame Planung und der erhohte Informationsaustausch.

4. LosgroBenmodelle fur Zulieferer-AbnehmerBeziehungen 4.1

Voruberlegungen

In einem zweistufigen LosgroBenmodell sind grundsatzlich vier Kostenkomponenten zu beachten, namlich die losfixen und bestandsabhangigen Kosten des Abnehmers sowie die losfixen und bestandsabhangigen Kosten des Zulieferers. Die Hohe dieser Kosten hangt bekanntlich nicht allein von den gewahlten LosgroBen, sondern auch von den Pramissen der Modellierung ab. Aus diesem Grund werden diese Pramissen zunachst prazisiert. Wie im klassischen LosgroBenmodell wird eine konstante exogen vorgegebene Nachfragerate angenommen, die der Abnehmer zu erfiillen hat. Weiter werden Fehlmengen beim Abnehmer wie auch beim Zulieferer ausgeschlossen. Es gibt keinen Mengenrabatt, so dass alle Kostenparameter, namlich sowohl die losfixen Kosten als auch die Lagerhaltungskostensatze fur Abnehmer und Zulieferer, konstant sind. Fur den Lagerzugang lassen sich sowohl beim Abnehmer als auch beim Zulieferer unterschiedliche Annahmen setzen. Aus diesen Unterschieden resultiert die Vielfalt der im Folgenden dargestellten Modelle. Zu beachten ist dabei, dass der Lagerzugang beim Abnehmer mit dem Lagerabgang des Zulieferers korrespondiert. Dabei wird vom Transportvorgang abstrahiert, das heiBt, es wird angenommen, dass eine Menge, die das Ausgangslager des Zulieferers verlasst, unmittelbar in die Produktion des Abnehmers einmiindet. ' Vgl. Behrens 2000.

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Sven Behrens

Die einfachste Pramisse ist, dass sowohl das Lager des Zulieferers als auch das Lager des Abnehmers mit unendlicher Rate aufgefullt wird. Unendliche Produktionsrate beim Zulieferer bedeutet, dass er entweder eine geschlossene Produktion aufweist oder nicht selbst produziert, sondem als Handler auftritt. Eine unendliche Zugangsrate beim Abnehmer entspricht einer geschlossenen Produktweitergabe seitens des Zulieferers. Demgegenuber wird bei einer endlichen Produktionsrate des Zulieferers das Ausgangslager aus einer offenen Produktion heraus kontinuierlich aufgebaut. Eine endliche Zugangsrate des Abnehmers wird durch eine offene Produktweitergabe durch den Zulieferer erreicht. Sind beide Zugangsraten endlich, mussen die beiden Falle unterschieden werden, dass der Abnehmer eine geringere bzw. eine hohere Rate als der Zulieferer aufweist. Aus der Kombination von endlicher und unendlicher Lagerzugangsrate beim Zulieferer bzw. Abnehmer ergeben sich die drei in Tabelle 1 angegebenen Modellierungsvarianten. Weiterhin sind Autoren angegeben, die sich mit dem jeweiligen Modell auseinander gesetzt haben. Der letzten Spalte kann entnommen werden, in welchem Abschnitt das entsprechende Modell behandelt wird. Tabelle 1. Varianten des LosgroBenmodells flir Zulieferer-Abnehmer-Beziehungen Zugangsrate Zulieferer unendlich endlich J,. , endlich

4.2

Zugangsrate Abnehmer unendlich unendlich J,. , endlich

Autoren Goyal Fandel, Stadtler Mtiller-Merbach, Mtiller-Merbacl T^ i i Bogaschewsky

Abschnitt 4.2 4.3 . . 4.4

Das Modell von Goyal

Zur Darstellung der Modelle werden zunachst die benotigten Bezeichnungen eingefuhrt.^^ Sie werden in alien drei folgenden Abschnitten verwendet. d

- Nachfrage nach dem Produkt des Abnehmers

c^

- losfixe Kosten beim Abnehmer

Ci

- Lagerhaltungskostensatz fiir Endprodukte des Abnehmers

cf

- losfixe Kosten beim Zulieferer

cf

- Lagerhaltungskostensatz fiir Endprodukte des Zulieferers

q"^ - LosgroBe des Abnehmers q^

- LosgroBe des Zulieferers

k^

- losfixe Kosten pro Zeiteinheit beim Abnehmer

A:f - losfixe Kosten pro Zeiteinheit beim Zulieferer

^^ Die Bezeichnungen sind in Anlehnung an Kistner u. Steven 2001, S. 41, gewahlt.

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen kf

- bestandsabhangige Kosten pro Zeiteinheit beim Abnehmer

kl

- bestandsabhangige Kosten pro Zeiteinheit beim Zulieferer

233

k^ - gesamte losgroBenabhangige Kosten pro Zeiteinheit beim Abnehmer k'^ - gesamte losgroBenabhangige Kosten pro Zeiteinheit beim Zulieferer Da der Abnehmer eine unendliche Zugangsrate und eine endliche Abgangsrate aufweist, gilt fUr ihn das klassische LosgroBenmodell im Bestellfall. Das heiBt, es gilt: k i = ^ q

(4.1)

kL-\q^'ct

(4.2)

und

Bevor die Kosten des Zulieferers berechnet werden konnen, ist zunachst festzustellen, dass ein Los des Zulieferers aufgrund der geschlossenen Produktweitergabe immer mindestens ein Los des Abnehmers umfassen muss, denn sonst entstehen Fehlmengen. Weiter ist es ineffizient, wenn der noch nicht vom Abnehmer beanspruchte Anteil zu gering ist, um ein weiteres Los des Abnehmers abzudecken. In diesem Fall muss der Zulieferer ein neues Los auflegen, obwohl noch ein Restlagerbestand vorliegt. Diese Handlungsalternative wird von einer Losauflagepolitik dominiert, bei der ein Los immer dann aufgelegt wird, wenn kein Restlagerbestand mehr vorliegt und ein neues Abnehmerlos befriedigt werden muss. Diese Argumentation zeigt, dass ein Zuliefererlos aus Effizienzgriinden immer das ganzzahlige Vielfache eines Abnehmerloses umfassen wird, das heiBt, es gibt eine ganze Zahl n , so dass q^ =n-q^

(4.3)

Ein Loszyklus des Zulieferers umfasst dementsprechend n Loszyklen des Abnehmers, und es gilt somit

^f =-^ = -V-

(4.4)

n-q q Der Lagerbestand des Zulieferers ergibt sich aus der Abb. L Es folgt:

^f=i(«-l).,^.c!=l.^./.cf

(4.5)

2 2 n Die losgroBenbedingten Kosten des Abnehmers hangen nur von seiner eigenen LosgroBe ab, so dass er unabhangig vom Zulieferer dariiber verfugen kann. Der Zulieferer muss hingegen bei seiner Disposition die Hohe der Abrufmenge des Abnehmers beachten. Dieses einseitige Abhangigkeitsverhaltnis ergibt sich aus

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der Fesdegung, dass keine Fehlmengen entstehen diirfen. Wlirde der Zulieferer seine LosgroBe ebenfalls autonom festsetzen, so waren Fehlmengen nicht mehr ausgeschlossen.

Abb. 1. Lagerbestandsverlauf beim Zulieferer im Modell von Goyal fur n = l

Die Abhangigkeit des Zulieferers von der Planung des Abnehmers ftihrt zu einem sukzessiven Planungsansatz, in dem zunachst der Abnehmer seine LosgroBe festlegt und anschlieBend der Zulieferer das fUr ihn optimale n bestimmt. Bei vorliegender AbnehmerlosgroUe q"^ ergibt eine Minimierung der losgroBenbedingten Kosten des Zulieferers ein optimales (reellv^ertiges)

\2cl'd

(4.6)

Der optimale ganzzahlige Wert kann ermittelt werden, indem die beiden ganzen Zahlen, zwischen denen der reellwertige Wert liegt, in die Zielfunktion eingesetzt werden. Das Ergebnis, das sich aus diesem Vorgehen fur den Zulieferer ergibt, kann im Einzelfall deutlich von der individuell optimalen LosgroBe abweichen, die sich bei kontinuierlicher Nachfrage ergeben wtirde. Aus diesem Grund schlagt Goyal einen simultanen Planungsansatz vor, in dem die Summe aus den losgroBenbedingten Kosten des Abnehmers und des Zulieferers minimiert wird. Dieses Vorgehen setzt voraus, dass es eine zentrale Planungsstelle gibt, die uber die relevanten Daten, insbesondere alle Kostensatze, verfugt und die fur beide Partner verbindliche Planungsergebnisse durchsetzen kann. Eine besondere Brisanz liegt darin, dass die verbesserte Losung, die durch eine simultane Planung erzielt wird, allein dem Zulieferer zugute kommt, wahrend der Abnehmer eine Steigerung seiner Kosten ertragen muss. Die Durchsetzbarkeit einer simultanen Planung hangt also auch davon ab, ob es gelingt, den Koordinationserlos gerecht auf die beiden Partner zu verteilen. In Tabelle 2 finden sich beispielhafte Ergebnisse zum Vergleich des sukzessiven und des simultanen Planungsansatzes.

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

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Tabelle 2. Vergleich der Kosten im Modell von Goyap2

Zulieferer Abnehmer total

4.3

sukzessive Planung LosgroBe Kosten 1.132 347 € 283 141 € 488 €

simultane Planung LosgroBe Kosten 1.032 297 € 516 168 € 465 €

Das Modell von Fandel

Ahnliche Ergebnisse wie im Modell von Goyal lassen sich erzielen, wenn beim Zulieferer eine endliche Produktionsgeschwindigkeit x^ angenommen wird. Der daraus resultierende Lagerbestandsverlauf des Zulieferers ist in der Literatur erstmals 1988 von Fandel, Fran9ois und May untersucht worden. Weiterhin hat sich Stadtler 1992 mit diesem Modell befasst. Dabei wird angenommen, dass es eine konstante Abrufmenge a, namlich die BestelllosgroBe q"^ des Abnehmers, und einen regelmaBig wiederkehrenden Abrufzyklus der Lange t, namlich den Bestellzyklus des Abnehmers, gibt. Abb. 2 zeigt einen typischen Verlauf des Lagerbestands wahrend einer Produktionsperiode des Zulieferers. Dabei wird zunachst die Menge fiir den ersten Abruf vorproduziert und anschliefiend das Lager weiter gefullt, bis das Produktionslos vollstandig erzeugt ist. Der aufgelaufene Lagerbestand wird von den folgenden Abrufen vollig verzehrt.

Abb. 2. Lagerbestandsverlauf beim Zulieferer bei konstanten Lieferabrufen durch den Abnehmer

^^ Das Zahlenbeispiel ist Gilles u. Souren 2002, S. 1076f. entnommen.

236

Sven Behrens

Auch bei dieser Modellannahme ist es fur den Zulieferer effizient, wenn sein Produktionslos jeweils das ganzzahlige Vielfache der Abrufmenge darstellt.^^ Ware namlich ein Produktionslos q^ echt kleiner ais die Abrufmenge a, so musste rechtzeitig vor dem Abrufzeitpunkt ein weiteres Los ausgelegt werden. Ist dies nicht moglich, weil das Los q^ noch nicht abgeschlossen ist, liegt eine unzulassige Losung vor. Ist dagegen das Los q^ fertiggestellt, so ist damit ein Lagerbestand aufgelaufen, der mindestens die Hohe erreicht, die durch ein Los der Hohe a, das rechtzeitig vor dem Abrufzeitpunkt aufgelegt wurde, verursacht worden ware. Dies zeigt, dass das Los c^ sowohl zusatzliche Riistvorgange als auch zusatzliche Lagerbestande verursacht. Es wird damit von einem Los der GroBe a mit Auflagezeitpunkt rechtzeitig vor dem Abrufzeitpunkt dominiert und ist ineffizient. FUr ein Produktionslos 'q^ mit n-a<^^ <{n-\-\)'a fUr eine natUrliche Zahl n gilt die gleiche tjberlegung nach n Abrufzyklen. Erftillt umgekehrt ein Produktionslos die Ganzzahligkeitsbedingung, so lasst es sich immer nur entweder in Bezug auf die Anzahl der Riistvorgange oder in Bezug auf den kumulierten Lagerbestand verbessern. Eine Verringerung der Anzahl der Losauflagen impliziert hohere Lagerbestande, eine Verringerung der Lagerbestande ist nur durch haufigere Auflagen erreichbar. Der Dispositionsspielraum des Zulieferers erschopft sich bei sukzessiver Planung somit darin, den Quotienten n aus seiner ProduktionslosgroBe und der Abrufmenge a des Abnehmers festzulegen. Der resultierende Lagerbestand des Zulieferers lasst sich mit einer vollstandigen Induktion liber n herleiten. Er betragt

^-\f

1 2

1-2.A

(4.7)

Diese Formel wird hier fur den Fall n = 1 anhand einer Abbildung erlautert. Sie entspricht der des klassischen LosgroBenmodells bei kontinuierlicher Nachfrage, versehen mit einem Korrekturterm, der den abweichenden Lagerbestandsverlauf bei der hier vorliegenden geschlossenen Produktweitergabe wiedergibt. Wahlt man q^ = a, das heiBt, Zulieferer und Abnehmer fertigen synchron, so ergeben sich bei Einschrankung auf effiziente Losungen die in Abb. 3 angegebenen Lagerbestandsverlaufe. Bei offener Produktweitergabe besteht eine kontinuierliche konstante Nachfrage mit Rate d . Es erfolgt zunachst ein Lageraufbau mit der Rate x^-d. AnschlieBend wird der Lagerbestand bis zum Ende des Zyklus mit der Rate d wieder abgebaut. Bei geschlossener Produktweitergabe wird das Lager bis zum Abrufzeitpunkt mit der Produktionsrate Xz aufgefullt und anschlieBend mit einem Schlag komplett geraumt. Bis zum Beginn des nachsten Produktionszyklus steht das Lager leer. Es gilt somit fur den kumulierten Lagerbestand in einem Produktionszyklus bei offener Produktweitergabe

13 Vgl. Behrens 2002, S.20f.

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

Yh=~^'W '

237

(4.8)

't,

^z

im Falle geschlossener Produktweitergabe

2

(4.9)

xz

Die kumulierten Lagerbestande pro Zeiteinheit betragen demnach

.o4-/-

/

1^Z

A V ^ mdYQ=-'q 2

z

d

Xz

(4.10)

denn es gilt t = -

/•h-^

Abb. 3. Lagerbestandsverlaufe innerhalb eines Produktionszyklus bei offener (O) und geschlossener (G) Produktweitergabe Fur die Differenz zwischen den Lagerbestanden bei offener und geschlossener Produktweitergabe folgt daraus

.,-., 4./{,-A 2 ^

1-2--

also gerade die angegebene Form.

xz

2

Xz

1 = — -a- 1-2-2 xz

(4.11)

238

Sven Behrens

Im allgemeinen Fall kann der Korrekturterm fiir effiziente Losungen durch vollstandige Induktion bewiesen werden.^"^ Er ist positiv, wenn x^ >2'd, also wenn die Produktionsrate mehr als doppelt so groB ist wie die Nachfragerate. In diesem Fall ist demnach Produktion auf Abruf (geschlossene Produktweitergabe) fur den Zulieferer giinstiger als ein kontinuierlicher Produktabfluss. In Abb. 3 ist der umgekehrte Fall, dass also die offene Produktweitergabe insgesamt zu geringeren Lagerbestanden fuhrt, dargestellt. Fiir die losgroBenbedingten Kosten des Zulieferers pro Zeiteinheit folgt daraus: 1z

k^

z

d

\ z

=4^—+^4• q

2

\

^z

I

^z

(4.12)

Sie sind insbesondere von der LosgroBe des Abnehmers abhangig. In einem kleinen Zahlenbeispiel lassen sich die Interdependenzen zwischen den LosgroBen des Abnehmers und des Zulieferers verdeutlichen. Seien dazu^^ d = 200, x^ = 600 , Ci =30 undc^ =125, auBerdem c^ =70 sowie c^ = 2 8 0 , dann betragen die optimalen LosgroBen fur den Zulieferer q^ = 50 und fiir den Abnehmer q = 40. Es ist folglich « = 1 zu wahlen. Je nachdem, welche gemeinsame LosgroBe gewahlt wird, entstehen bei Zulieferer und Abnehmer unterschiedliche Kosten, vgl. Tabelle 3. Bei gemeinsamer Planung ware die LosgroBe ^ = 45 optimal. Dies setzt aber voraus, dass die Partner einander oder einer dritten Stelle ihre Kostendaten preisgeben und dass eine gerechte Verteilung der Koordinationserlose gefunden wird. Tabelle 3. Vergleich der Kosten im Modell von Fandel LosgroBe Kosten des Zulieferers Kosten des Abnehmers gesamte Kosten 3.625 40 825 2.800 3.600 45 781 2.819 3.620 50 750 2.870

4.4

Das Modell von Muller-Merbach

Weist nicht nur der Zulieferer eine endliche Produktionsrate auf, sondem auch der Abnehmer, so ist eine offene Produktweitergabe vom Zulieferer zum Abnehmer denkbar, bei der die zwischengelagerten Produkte des Zulieferers direkt in die Fertigung des Abnehmers eingespeist werden. Diese Konstellation ist in der Literatur erstmals 1965 von Muller-Merbach untersucht worden. In der Folgezeit hat vor allem Bogaschewsky mit wechselnden Koautoren dieses Modell behandelt.*^

1^ Vgl. Behrens 2002, S. 25-27. 15 Vgl. Kistner u. Steven 2001, S. 44. 1^ Vgl. Bloech et al. 1998, S. 250ff, Bogaschewsky et al. 1999, Bogaschewsky u. Buscher 1999, S. 337ff.

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

239

Die Gestalt des Lagerbestands beim Zulieferer hangt wesentlich davon ab, welche Produktionsgeschwindigkeit hoher ist. Weist der Zulieferer eine hohere Produktionsrate auf, so reicht es aus, wenn er seinen Produktionszyklus zeitgleich mit dem Abnehmer beginnt. Der nicht sofort vom Abnehmer verwendete Anteil der Vorproduktion bildet ein Kumulationslager. Ist hingegen die Produktionsrate beim Zulieferer niedriger als beim Abnehmer, so muss der Zulieferer vorproduzieren, um Fehlmengen zu vermeiden. Der vorproduzierte Bestand bildet ein ZerreiBlager, das im Zuge der Produktion des Abnehmers nach und nach aufgelost wird. Wahrend sich das ZerreiBlager ahnlich wie das im vorigen Abschnitt behandelte Lager bei Lieferabrufen verhalt, weist das Kumulationslager Besonderheiten auf, insbesondere eine abweichende Effizienzaussage. Anders als im ZerreiBlager und auch bei Lieferabrufen ist es dem Zulieferer beim Kumulationslager moglich, Lose aufzusplitten, vgl. Abb. 4. Neben die Moglichkeit, eine ganze Anzahl von Abnehmerlosen zu einem Zuliefererlos zusammenzufassen, tritt demnach die Moglichkeit, ein Abnehmerlos in eine ganze Anzahl von Zuliefererlosen aufzuteilen.^'^ Dagegen ist beim ZerreiBlager lediglich die Konstellation effizient, dass der Zulieferer eine ganze Anzahl von Abnehmerlosen zusammenfasst.^^

yz\

hi Abb. 4. Lagerbestandsverlauf im Kumulationslager bei Lossplitting Im Fall synchroner Produktionszyklen bei Zulieferer und Abnehmer lassen sich die bestandsabhangigen Kosten des Zulieferers je Zeiteinheit leicht berechnen.^^ Sie betragen im Falle des Kumulationslagers

^^ Zum Beweis, dass genau diese beiden Falle effizient sind, vgl. Behrens 2002, S. 29-32. 18 Vgl. Behrens 2002, S. 33-35. 19 Vgl. Kistner u. Steven 2001, S. 166.

240

Sven Behrens

kl^cf.^

(4.13)

^z und im Falle des ZerreiBlagers

J_

r_i_

kl=cl.^

(4.14)

mit der gemeinsamen LosgrOBe q = q^ = q^ • Wird ein Abnehmerlos in m Lose des Zulieferers gesplittet, so ist m-q^ = q > und die bestandsabhangigen Kosten pro Zeiteinheit sinken proportional zu der reduzierten ZuliefererlosgroBe auf

J_

kl=cl.^

(4.15)

Diese Moglichkeit besteht nur beim Kumulationslager. In Abb. 4 ist der Fall m = 2 abgebildet. Werden n Abnehmerlose zu einem Zuliefererlos zusammengefasst, gilt also q =n'q , so betragen die resultierenden bestandsabhangigen Kosten pro Zeiteinheit des Zulieferers^^ beim Kumulationslager J Z

Z

q^dr

J_

n

^A

^z

(n-\)

(4.16)

und beim ZerreiBlager

1r^ J-

q^dr

1-n

^z

(4.17) 1 , (^-1) x^ d

Den Lagerbestandsverlauf im Kumulationslager fiir den Beispielfall « = 3 gibt Abb. 5 wieder. Geht man davon aus, dass der Zulieferer seine optimale LosgroBe gegentiber dem Abnehmer durchsetzen kann, so lohnen sich fUr ihn weder Lossplitting noch Loszusammenfassung. Zwar lassen sich durch Lossplitting die bestandsabhangigen Kosten und durch Loszusammenfassung die losfixen Kosten reduzieren, der jeweils andere Kostenbestandteil steigt aber und Uberkompensiert die Kostenverminderung. Beim Lossplitting verhalten sich die gesamten losgroBenabhangigen Kosten im Zeitverlauf fUr den Zulieferer in Abhangigkeit von m wie

20 Vgl. zur Berechnung Behrens 2002, S. 39ff.

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

m+k^(m) = ^"(1),

241

(4.18)

denn die losfixen Kosten steigen proportional zu m, wahrend sich die bestandsabhangigen Kosten proportional zum Kehrwert von m verhalten. Da aber gilt, dass 1 m

^

(4.19)

fur jedes ganzzahlige m > 1, steigen die Gesamtkosten an. FUr die Loszusammenfassung gilt eine ahnliche Argumentation, denn hier sinken die losfixen Kosten proportional zum Kehrwert von n , wahrend die bestandsabhangigen Kosten annahernd quadratisch in n anwachsen. Bedenkt man jedoch, dass der Zulieferer in der Regel seine optimale LosgroBe nicht durchsetzen kann, eroffnet sich ein Spielraum fur Lossplitting oder Loszusammenfassungen. V

yA

t k

^

k

yz

•

Abb. 5. Lagerbestandsverlauf im Kumulationslager bei der Zusammenfassung von Abnehmerlosen Zur Illustration des Modells von Muller-Merbach wird an das Zahlenbeispiel des vorigen Abschnitts angekntipft. Sei nun zusatzlich noch x^ = 360, so liegt der Kumulationslagerfall vor. Die optimale LosgroBe des Abnehmers betragt nun g"^ = 60. Fertigt der Zulieferer synchron, d.h. gilt ebenfalls q = 60, so ergeben sich losgroBenabhangige Gesamtkosten von k - 2483 , vgl. die erste Zeile in Ta-

242

Sven Behrens

belle 4. Weder durch eine Loszusammenfassung noch durch ein Lossplitting kann der Zulieferer seine Kosten absenken. Wahlt er « = 2 und fasst damit zwei Abnehmerlose zusammen, steigen seine Lagerhaltungskosten auf den achtfachen Wert, vgl. die zweite Zeile in Tabelle 4. Teilt er hingegen ein Abnehmerlos in zwei Lose auf, sinken zwar die Lagerhaltungskosten. Die losfixen Kosten steigen jedoch durch die haufigere Losauflage wieder an, vgl. die dritte Zeile von Tabelle 4. Die losabhangigen Kosten des Zulieferers sinken jedoch, wenn der Abnehmer von seiner optimalen LosgroBe abweicht. Wahlt er die fur den Zulieferer optimale LosgroBe q = 86,7, so sinken dadurch die Kosten des Zulieferers auf ein Minimum von k = 578 ab. Diese Kostensenkung wird jedoch durch die Kostensteigerung beim Abnehmer Uberkompensiert, vgl. die vierte Zeile in Tabelle 4. Die optimale LosgroBe bei gemeinsamer Planung betragt q =q = 65,5 . Tabelle 4. Vergleich der Kosten im Model! von Muller-Merbach <]'

60 60 60 86,7 65,5

/ 60 120 30 86,7 65,5

k^ 1.867 1.867 1.867 1.994 1.874

k^ ^R

417 208 833 289 218

^f 200

k' 617

1.600

1.808

100 289 382

933 578 600

k 2.483 3.675 2.800 2.572 2.474

5. Ausblick In alien drei betrachteten Modellen ergibt sich der Ubereinstimmende Befund, dass sich durch ein Abgehen von einer rein sukzessiven Planung, in der zunachst der Abnehmer seine optimale LosgroBe festlegt und anschlieBend der Zulieferer iiber seine LosgroBe befindet, Kosten senken lassen. Dies zeigt, dass eine Kooperation zwischen Zulieferer und Abnehmer Vorteile gegenuber einer rein marktlichen Beziehung aufweist. Das Problem liegt jedoch darin, • • •

dass allein der Zulieferer profitiert, wahrend der Abnehmer fur ein Abweichen von seiner optimalen LosgroBe zusatzliche Kosten tragen muss, dass fur eine Verwirklichung der Kostensenkung Informationen, insbesondere die Rust- und Lagerhaltungskostensatze, geteilt werden miissen und dass die bei gemeinsamer Planung optimale LosgroBe weder mit der optimalen LosgroBe des Abnehmers noch mit derjenigen des Zulieferers ubereinstimmt, sondern irgendwo dazwischen liegt.

Bedenkt man dartiber hinaus, dass der Abnehmer in der Regel nicht nur mit einem einzigen, sondern mit mehreren Zulieferern zusammenarbeitet, ergibt sich ein doppeltes Koordinationsproblem, namlich zum einen die Frage nach der Stelle, in

Trade-offs zwischen Zulieferer und Abnehmer in LosgroBenmodellen

243

der die gemeinsame Planung erfolgt, zum anderen die Frage nach der gerechten Verteilung der Kooperationserlose. Da der Abnehmer seine LosgroBe autonom festlegen kann und zudem als einziger Partner Interdependenzen mit alien Zulieferern aufweist, liegt es nahe, dass er die Koordination Ubernimmt. Um zu verhindern, dass die Zulieferer dem Abnehmer Betriebsgeheimnisse, insbesondere Kostensatze, preisgeben, bietet sich ein Vorgehen in Anlehnung an ein Modell von SchneeweiB zur hierarchisch integrierten Planung an.^^ Der Abnehmer (als top-level) ermittelt dabei im ersten Schritt auf der Grundlage seiner internen Kostendaten seine (bei isolierter Betrachtung) optimale LosgroBe und ubermittelt sie an alle betroffenen Zulieferer (als base-level). Der zweite Schritt besteht darin, dass die Zulieferer ihre jeweiligen Kosten in Abhangigkeit von der LosgroBe des Abnehmers berechnen und als Riickmeldung die aus ihrer Sicht optimale LosgroBe des Abnehmers sowie das damit verbundene Kostensenkungspotenzial zuruckgeben. Ftir diese Berechnung bedienen sie sich dabei der Modelle von Goyal, Fandel oder Miiller-Merbach. Der Abnehmer sucht nun im dritten Schritt eine KompromisslosgroBe, die zwischen den verschiedenen optimalen LosgroBen liegt und ein moglichst groBes Kostensenkungspotenzial verwirklicht. Der zweite und dritte Schritt werden eventuell wiederholt, bis nur noch ein geringes Verbesserungspotenzial besteht. Im vierten Schritt geben die Zulieferer an, wie stark ihre Kosten durch die Anderung der LosgroBe gegenuber der Ausgangslosung gesunken sind. Der Vorteil dieses Vorgehens liegt darin, dass ein nahezu optimales Ergebnis erreicht wird, ohne dass die Zulieferer allzu viele Informationen preisgeben mtissen. Zugleich werden Informationen erzeugt, die fur die Verteilung der Kooperationserlose verwendet werden konnen. Je nach Starke seiner Verhandlungsposition kann der Abnehmer einen mehr oder minder groBen Anteil an der Kostensenkung beim Zulieferer ftir sich beanspruchen.

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244

Sven Behrens

Bretzke W (2002) SCM Collaboration und 4LPs - Bemerkungen liber die Grenzen eines Paradigmas. Logistik Management 4: 41-44 Fandel G, Fran9ois P, May E (1988) Effects of Call-Forward Delivery Systems on Suppliers' Serial per Unit Costs. In: Fandel G, Dyckhoff H, Reese J (eds) Essays on Production Theory and Planning, Springer, Berlin usw, pp 66-84 Fleischmann B (2003) Bestandsmanagement zwischen Zero Stock und Inventory Control. OR News 19: 22-27 Gilles R, Souren R (2002) Stationare LosgroBenmodelle mit zwei Akteuren. Das WirtschaftsstudiumSl: 1073-1079 Goyal S (1976) An Integrated Inventory Model for a Single Supplier - Single Customer Problem. International Journal of Productions Research 15: 107-111 Harris FW (1913) How many Parts to make at once. Factory 10: 135-136 u 152 (Nachdruck 1990 in Operations Research 38: 947-950) Kistner K-P (1992) Koordinationsmechanismen in der hierarchischen Planung. Zeitschrift fur Betriebswirtschaft 62: 1125-1146 Kistner K-P, Steven M (2001) Produktionsplanung. 3. Aufl Physica, Heidelberg Luhmer A (1999) Produktionsprogrammplanung bei asymmetrischer Information. Zeitschrift flir Betriebswirtschaft 69 (Erganzungsheft 4): 131-149 Muller-Merbach H (1965) Optimale LosgroBe bei mehrstufiger Fertigung. Zeitschrift fur wirtschaftliche Fertigung 40: 113-118 Rollberg R (2002) Integrierte Produktionsplanung - vom theoretischen Ideal der Simultanplanung bis zum praktischen KompromiB des Advanced Planning and Scheduling. In: Keuper F (Hrsg) Produktion und Controlling. Festschrift fur Manfred Layer zum 65. Geburtstag. DUV, Wiesbaden, S 127-155 SchneeweiB C (2003) Distributed Decision Making - A Unified Approach. European Journal of Operational Research 150: 237-252 Stadtler H (1992) LosgroBenentscheidungen bei zyklischem Lieferabruf. Zeitschrift ftir Betriebswirtschaft 62: 1361-1380

Vierter Teil Operations Researchi

A Modified (S-1,S) Perisliable System Under Renewal Demands Saraswathi Kalpakam\ Subramanian Shanthi Department of Mathematics, Indian Institute of Technology, Madras, India

Abstract This article deals with a lost sales perishable inventory model with renewal demands and exponential lead times, in which orders are placed at every demand epoch with variable order quantity so as to take the inventory position back to its maximum level S. The items are supplied on at a time with mean rate proportional to the total amount on order. The techniques of semi-regenerative process are employed to obtain the steady state operating characteristics. The problem of minimizing the long-run expected cost rate is discussed with numerical examples.

1.

Introduction

Traditional inventory models assume that items can be stored indefinitely to meet the future demands. However, certain types of inventories either deteriorate or perish and hence are unusable after a certain period. While dealing with such systems, the consequent loss due to perishability must be explicitly taken into account, as its inclusion from the model yields inaccurate system performance. The analysis of perishable systems is far more difficult than their infinite lifetime counterparts. The review articles of Nahmias (1982) and Raafat (1991) provide excellent summaries to many of the early modelling efforts, which mostly deal with periodic review systems with fixed lifetimes or continuous review systems with instantaneous supply of orders. The (5-1,5) policy, also known as base-stock policy, is often employed as a stock control policy for expensive slow moving items and is also used in spare parts inventory control. In the case of unit sized demands, this policy is known to be optimal under certain conditions for items with infinite lifetimes (ref. Schultz 1990). Hence it should provide a reasonable approximation to the true optimal policy for its finite lifetime counterpart.

* corresponding author, e-mail: [email protected],

248

Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

In the literature on (S-l,S) perishable systems, almost all the models deal with Poisson demands (ref. Pal 1989, Kalpakam/Sapna 1995 and Perry/Posner 1998). The assumption of Poisson demands can be justified only if the demands originate from a large number of independent clients. The first paper that deals with (5-1,5) perishable system under renewal demands is due to Kalpakam and Sapna (1996), who studied a lost sales situation with independently and identically distributed lead times. Further, all the models studied so far assume that a reorder for an item is placed at both demand and failure epochs. However, for systems stocking perishable goods, it would be more meaningful not to place orders when the inventory level depletes due to failure. Also this would be more practical and economical as it avoids continuous monitoring of the system for detection of failure. Earlier the authors studied (5-1,5) systems with Poisson demands in which orders are placed only at demand epochs (ref. Kalpakam, Shanthi 2000, 2001) and developed matrix recursive schemes to determine the steady state operating characteristics. The points discussed above provide motivation for the perishable system studied in this article with exponential lifetimes under renewal demands and variable order quantity. Items are supplied one at a time with mean replenishment rate dependent on the total amount on order. The analysis of this complex model is rather difficult and the same is achieved by first obtaining the transient solution of the Markovian vector process of the inventory level and the amount on order, using the method of generating functions. Cost optimization which includes sensitivity analysis of the optimal value S to system parameters is carried out.

2.

Problem Formulation and Analysis

Consider an inventory system stocking perishable goods, with a maximum stock of S units, under the following assumptions. • Demand process: Unit demands occur according to a renewal process with inter-demand times having a common distribution function F(.) and mean m. • Lifetime of each item is exponentially distributed with rate y >0 . • Ordering policy: At every demand epoch t, an order is placed for S - I(t) - X(t) units where I(t) denotes the inventory level of usable items and X(t) the total amount on order at time t. • Input process: Under the above ordering policy, the reorder quantity is not fixed. Items are supplied one at a time and the replenishment rate is assumed to depend on the number of items on order. More specifically, Pr[ a replenishment for one unit in (t,t + A\X(t) = n] = njuA + o(A), • Demands during stock out periods are lost. We use the following notation:

m=F'{t)

l
A Modified (S-1,S) Perishable System Under Renewal Demands

249

5(t) = l - F ( 0 N ° = {0,1,2,

}

E ={0,1,2,...,...,5-1} F ={0,1,2,...,...,5} Bim,n,m)

=

^m^ ]y(t)]"[l-Mt)]""",

k

h

h

...

Vi;

0
k\ kilk2l...k„_ilk„\

wherek^ = k-(ki+k2 -^ ... + k^_i). Let 0 = TQ < Tj < ...denote the successive epochs at which demands occur. Let /„ = I(T^). Then the process (I,T) = {(/„,r^); ne N } is a Markov renewal process with state space E x [0,oo). As the inventory position at T^ is always 5, it is advantageous to view the system at T^ than at T~ . In the former a knowledge of inventory level is sufficient, whereas in the latter we need to know both the inventory level and the amount on order to predict the future behaviour of the process. In order to determine the semi-Markov kernel of the Markov renewal process (I T), we introduce the auxiliary functions y/i(j\r,t) which are defined between two successive demand epochs as follows V^, (;,r,t) = Mm

= J,X(t) = r I /o = /•]

(2.1)

Determination of y/j (J, r, t) Since the lifetime of items and lead times of the reorders are exponential, between two demand epochs the vector process {(I(t),X(t)),t>0}with state space is Markovian in nature and the G = {(j,r) \0
j = i^r = S-i

¥\ (y. r, t) = -iJr + r/u)y/i (y, r, 0 + U + l)r¥i U +1^ ^^ 0, 0<j
= S-i

Wi (j\ r, t) = -(jr + rju)y/i (j, r, t)-^(r-^ l)juy/j (j - 1 , r -H1, t), 0
= S-r

W'i {j. r, t) = -Ur + r/u)y/i (j, r, 0 + (j +1)^^^- (J +1, r, 0 + (r + l ) / / ^ y ( 7 - l , r + l,0, 0<j<S-r,0 0. y/\ (5,0,0 = -Syx^i (5,0, /) + ^y/i {S -1,1, t\

0 < r < 5" - /

250

Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

W'i Ufi, t) = -jyy/i U,0, t) + ij + \)yy/i(j +1,0,0 + MWI (J - hi0, 0<J<S (2.2) The above set of difference-differential equations is solved using the two dimensional generating function method. Let S-iS-r

H
G(z,w,t) = X Z z'wV/O'.^O, r=OJ=0

Since dG_ dt QQ

S-iS-r

XZ2'-wv;a,r,o

(2.3)

r=Oj=0 S-iS-r

(2.4) '^ QQ

r=oy=o S-iS-r

(2.5) the set of equations (2.2) is equivalent to - — + Kw -1)-—• + Mz - w)-—= 0 ot aw oz

(2.6)

A solution to the above partial differential equation can be obtained by solving dt 1

dw Y{W-\')

dz

dG

fx(z-w)

0

(2.7)

From the last term we get (2.8)

G = C (a constant) The first and second terms of (2.7) on integration yield

{w-\)e-^

=Ci

(2.9)

Similarly the second and third terms of (2.7) yield

{w-\)

-fi/r

z + (w-l)-^

1

= c,

Hence from (2.8), (2.9), (2.10) any solution to (2.6) is of the form

(2.10)

A Modified (S-1,S) Perishable System Under Renewal Demands

G(z,w,t) = ^\ z - l + ( w - l ) r-ju

|(w-l)-^/^(w-l)^-

251

(2.11)

where 0(...) is an arbitrary function. Since G(z, w,0) = zJ-i.Jw , we have =

z'-'w\

Then S-i

(2.12)

(^+iy where ^ =

\z-\^(w-\)-

iw-X)-^'^

and i; =

{w-\),

Substituting for 0(<^,(^) from (2.12) in (2.11) we have G(z,w,0 = ^ - l > " ^ + l ] ' | ( ^ - l K ^ ' + ( w - l ) - ^ ( e - ^ - ^ - ^ ) + l l (2.13) Although it is difficult to obtain y/i(J,rj) from (2.13) by calculating the coefficients of z^w^\ the same is made simpler by adopting the following partition. Let [x] denote the integral part of x . Case 1: i = 0 ¥oU^r,t) = r J 0
252

Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

Case 2: l < / < [ 5 ' / 2 ] Lf

21 1=0 /•

S-i

MU

^ \e-''^B(i,l,e-^)[77it)y-'[l-77it)-e-f^] jut-\S-i-r-j+l J-l 0<j
J-I

^-'•^B{i,l,e-^)Mt)y-'[l

- 77(0 -

e-^f-'-'-J^',

i<j<S-i-r,0
^^/(y>,0 =

J

S-i

\ \e-'-f'B{i,l,e-^)Mt)y-'[l

- lit) -

e-^f-'-'-J^',

S-i-r-hl<j
Z

r

j-l

|e-^^B(/,/,.-^)[7(0r ^[1 -/7(0 - ^ " ^ ^ ] ^ - ^ " ' ' - ^ ' ^ ^ S-i-r-\-l<j<S-r,0
l
Case 3: [ ^ / 2 ] < / < 5 ' - l

0<j<S-i-r,{)
^/(y,^0 = i l=j-S+i+rV

J

jut-iS-i-r-j+l

|^-^^B(/,/,e-^)[77(0]^"^[l - /7(0 - e-^'] V

S-i-r-\-l<j
r

j-l

\e-'^B(iJ,e-^)[f](t)y-^[l - r](t) -

e-^'f-^-'-J^\

i-\-l<j<S-r,0
-(e-^-e-^)

r-/j

It can be seen that the expressions in (2.14) to (2.16) are equivalent to

A Modified (S-1,S) Perishable System Under Renewal Demands

253

' S ^ r J 0
min(/,y)

r

j-l

=0

\e-'^B{ae-r^)[rj(t)y-^

I /=max(0,y-5'+/+r)

[l-jj(t)-e-^^f-^-'-J^^, 0
Let 6(i, j , t) denote the derivative of the semi-Markov kernel given by e{iJ,t) = -Vr[Ix =j,t<Ti
= lim —Pr[/ <Ti
AJQ = i]

A->0 A

/,yeE

= /(0^(/,y,0,

(2.18) where ^(/,7,0 = Pr[/i=7,|71"=^,/o=0Using standard probability arguments we obtain ^(i,j,t) as s-i

s

r=0

r=0

S-j-\

Z^oO' + i'^O, r=0 S-i

nij,t)

1 < 7 < 5' - 1 , / = 0

S-i

y = 0,l
= r=0 S-i

r=0

^V^,(7 + l,r,0,

1 < y < / -1,1 < / < 5* - 1

r=0

/<7<5'-l,l
(2.19)

254

Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

The one step transition probability function p(i, j) of the underlying Markov chain {/„;« G N } is given by P(hj)=

(2.20)

\9{iJJ)dt 0

Let Lk = {{m,n) \0<m<S-k,0
+ m}

p)\0<m
and define

k

(m,n)eLj^

/

k+m

s

\

k+m

(-1)"

m

r-M, f [(k-\-m - n)y-\-n/u] (2.21)

n(kj)=

S-i

X

I m]\k-l

(m,n,p)eLki

Yk-l n

k-i+n

+n (-1)

m+n+p\

/£

r-ju

/ [(/ + w + p)r + (« -

PM

(2.22)

H(^,/)=

X {m,n,p)eLki

^ i Y S-i ^l

mj k-l

Yk-l

+ n^\(^_l^m+n+p (_tL_

k-l+n

n 5 [(l + m +p)y + (n-p)/u] (2.23)

Using equations (2.17) to (2.19), from equation (2.20), we obtain H(1) + H(0), piij)

H(y + 1), = \ H(l, 0) + H(l, 1) + H(0, 0),

7 = 0,/ = 0 l
min(!,y+l)

XH(^,/),

l<J<S-l,l
1=0

(2.24)

A Modified (S-1,S) Perishable System Under Renewal Demands

255

From the structure of p{i,j), it can be seen that {I^;ne N} is irreducible. Since the Markov chain is also finite, unique stationary distribution {7t{j)J e E} exists and is given by <j) = Z ^ ( O ^ a J) and X <J) = 1 ieE

(2.25)

jeE

Inventory level distribution Let / e E, y 6 F (2.26) P(i, j \ t) = Pr[/(/) = y I /o = /], From our assumptions it can be seen that {I(t);t > 0} is a semi-regenerative process with embedded Markov renewal process {I,T). AS such, the functions P{i,J,t) satisfy the following Markov renewal equations P(iJ,t) = K(iJ,t) + X l0(i,hu)P(l,j,t-

u)du,

/ E E,y e F (2.27)

/eEo

where K(i,j\t) = ?T[I(t) =

J,Ti>t\Io=i]

(2.28)

= Pr[7i>?]Pr[/(0 = y | r , > ? , / o = ' ] Hence S-i 7(0 I WiU^rJ), r=0 K{i,j,t) = s-j HO Z Wi(J,r,t), r =0 Substituting for ^iiJ,r,t)

0<J
l<j<S

from (2.17) in the above equation, we have min(/,y)

K{iJ,t) = Ht)

X

BiU,e-^)B{S-i,J-lMO)

(2.30)

max{0,j-S-\-i)

The Markov renewal process (/, T) is irreducible and positive recurrent, as the underlying MC {I^;ne N} is irreducible and positive recurrent. It is also aperiodic, since the derivative of the semi-Markov kernel exists. As m(0, the mean sojourn time in state /is m\/ i, we have from (2.27) (ref. Cinlar, 1975) P(j) =

\imP(iJ,t) t->0

256

Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

=i:S^«*0''^)

(2.31)

"^ieB

where

k(ij)=

JK(Uj,t)dt 0

From (2.29), we get min(/j)

k(ij)=

X

HO;/),

l<j<S

(2.32)

l=msLx{0,j-S+i)

Reorders and shortages Let Nj^ (t) denote the number of reorders of size k placed in (0, 0- Define hi(k,t) = lim lpr[Nk(t-^A)-Nk(t) A^O A

= 11 /Q = /] •

Using the classification that the reorder at t is either the first one or a subsequent one, we get _

t

hi (k, t) = hj (k, 0 + Z 1^('*' J^ ")^7 (^' ^ ~ ")^^

(^-^^^

JeBo where hi(k,t)=

\im-Fr[Nf,(t

A->0 A

+ A)-Ni,(t)

= U<Ti

=/].

To determine hi(k,t) we consider the following two cases: • Inventory level is zero and there is a demand which is lost. • Inventory level is positive and there is a demand for one unit. The above arguments lead to S-k+\

hi(k,t) =

f(t)y/, (0, S-k,t)+

X /(O^/ 0'' S-J + l-kjX

0,

k>i otherwise (2.34)

Let M{t) denote the number of shortages in (0, t). Define

A Modified (S-1,S) Perishable System Under Renewal Demands

257

gi (0 = lim - Pr[M(/ + A) - M(t) = 11 /Q = /] A^O A and g,(0 = lim —Pr[M/(^ + A) - M / ( 0 = l,t <Ti
gi (0 = gi (0 + Z j^(''' J^ ")^y (^ - ")^^ yeEo where

(2.36)

g/(0 = Z/«^KO,^0. r=0

In the steady state, let Tj (^) (1 < A: < 5) and T2 denote the mean rates of reorders of size k and shortages respectively. Then from (2.33), (2.35), on taking the limit as r ^^ 00 , we get (ref. Srinivasan 1974) ri(k) = lim hj(k,t) t->o

= ±Y,7r(0hi(kl

(2.37)

l
m . r2 = l i m g , ( 0 (2.38)

=—Y^^o)gi where h^(k)=

jhi(k,t)dt 0

' ;^f-'g7 s-i / . , A"l : / [(5-A: + «2)/^ + «3r]

|/_i\*-(-ni+«2+"3

5^+1

min(i,y)

- I I I j=l

td f

max(0,/+l-*) «i=0 v^

,• ^ "ly

258

Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

.

y

A-,-l +j-„2

„

y

E

S-,

Z

\

k-i-UJ

«4=0

^

^k-i-\+j-n2

x(-l)'^l""2-«4

and

0 S-i

i ( : \S-r-i-jf

- - i n

."1 r=0«i=0 V'U

,,

\S-r-i-n2

^ i\r-Mj /.

«2=0

r n^ n^ rii - n^ As P(j) also denotes the long-run proportion of the time the system is in state j , r3 , the mean rate of failure in the steady state is given by (2.39) 7=1

3. Cost Optimization Let C(S) denote the long-run expected cost rate under the following cost structure: c is the purchase price per unit, g is the shortage cost per unit shortage, k is the cost per unit failure. The inventory carrying cost is assumed to be proportional to S, the maximum capacity, as perished goods are detected only at demand epochs (however, no additional complexity will arise if inventory carrying cost is taken to be proportional to the average inventory level). Then C(S) = hS-\- kr^ + gT2 +

cY,mri(m).

(3.1)

m=l

Due to the complex form of p{ij), it is not possible to obtain 7r(J) explicitly. Hence a computer program is developed to evaluate the various operating characteristics and the long-run expected cost rate. In all our results C(S) turned out to be a convex function which shows the existence of a unique minimum. In some cases it turned out to be an increasing function. Numerical search procedure is employed to obtain the optimal values of S and C(S).

A Modified (S-1,S) Perishable System Under Renewal Demands

259

From the examples carried out as part of sensitivity analysis, it is observed that whenever c> g S = 1. This is illustrated in Table 1 where the inter-demand interval is Erlangian of order 3. Also, we note that S is not a monotonic function of product lifetime. This behaviour which is counter intuitive is also noticed earlier by Schmidt and Nahmias (1985) for non-perishable (S-l,S) systems and later by Kalpakam and Sapna (1996) for perishable systems under the usual (S-l,S) policy with renewal demands. Table 1. Effect of altering g and y on the optimal values l/m = 4,5,// = 2,1, c = 2,h = Ofi05,k = 1

1 D\ g

1

4

7

10

20

30

60

0,5

6,81 1

12,64 2

13,66 4

14,10 5

15,00 5

15,34 6

16,14 6

16,24 1

2

8,31 1

17,76 1

22,39 3

24,75 4

28,66 5

30,81 6

34,38 8

35,32 8

3,5

9,81 1

19,94 1

28,32 2

32,61 4

39,95 4

43,96 7

50,79 9

52,23 1

5

11,31 1

21,94 1

32,58 1

38,84 4

49,58 4

55,78 7

65,94 10

68,43 1

6,5

12,81 1

23,83 1

34,86 1

44,09 3

58,21 4

66,32 7

80,93 11

85,27

70

7

10 1

11 1 11 1

However, most of the numerical results agree with what is normally expected. A typical example is illustrated in Table 2 wherein we study the effect of varying h and ju on S when the inter-demand times have Erlangian distribution of order 4 with mean 2. We note that as h increases S decreases and the optimal expected cost increases as expected. Table 2. Influence of holding cost and mean replenishment rate l/m = 0,5, JU = 0,1, c = 2,g = 20,k = l D\ h 0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,01

0,03

0,07

0,1

0,5

0,6

0,7

1

2,23

2,37

2,7

2,91

6,21

6,86

7,51

8,06

4

4

4 1

7

7

6

6

5

2,05

2,15

2,35

2,65

5,07

5,55

6,07

6,39

4

4

4

4

3

3

3

3

2,03

2,13

2,35

2,63

5

5,01

6,01

6,37

4

4

4

4

3

3

3

3

1,83

1,91

2,07

2,31

4,26

4,62

5,01

5,25

3

3

3

3

2

2

2

2

1,78

1,86

2,02

2,26

4,04

4,4

4,79

5,03

3

3

3

2

2

2

2

2

260

Saraswathi Kalpakam, Subramanian Shanthi

References Cinlar E (1975) Introduction to Stochastic Processes. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. Kalpakam S, Sapna KP (1995) On (5-1,5) perishable systems with stochastic lead times. Mathematical and Computer Modelling, 21: 95-104 Kalpakam S, Sapna KP (1996) An (5-1,5) perishable inventory system with renewal demands. Naval Research Logistics 43: 129-142 Kalpakam S, Shanthi S (2000) A perishable inventory system with modified base-stock policy and random supply quanty. Computers and Mathematics with Applications 39: 7989 Kalpakam S, Shanthi S (2001) A perishable inventory system with modified (5-1,5) policy and arbitrary processing times. Computers and Operations Research 28: 453-471 Nahmias S (1982) Perishable inventory theory: A review. Operations Research 30: 680-708 Pal M (1989) The (5-1,5) inventory model for deteriorating items with exponential lead times. Calcutta Statistical Association Bulletin 38: 83-89 Perry D, Posner MJM (1998) An (5-1,5) inventory system with fixed shelf life and constant lead times. Operations Research 46, suppl. S65-S71. Raafat F (1991) Survey of literature on continuously deteriorating inventory models. Journal of Operational Research Society 42: 27-37 Schmidt CP, Nahmias S (1985) (5-1,5) policies for perishable inventory. Management Science 31: 719-728 Schultz CR (1990) On the optimality of the (5-1,5) policy. Naval Research Logistics 37, 715-723 Srinivasan SK (1974) Stochastic Point Processes and their Applications. Griffin, London

Ameisensysteme und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung Martin Feldmann Fakultat fur Wirtschaftswissenschaften, Universitat Bielefeld

1. Einleitung Mit den Ameisensystemen (Dorigo et al. 1999; Dorigo u. Stutzle 2004) und den Schwarmalgorithmen (Bonabeau et al. 1999; Kennedy et al. 2001) werden in den letzten Jahren zwei Metaheuristiken diskutiert, die das interagierende Verhalten von z.B. Insekten oder Fischen als Vorbild nutzen, um neue Losungswege aufzuzeigen. Im Folgenden wird untersucht, wie diese beide Ansatze im Kontext der bereits etablierten Metaheuristiken einzuordnen sind. Generell bieten sich Metaheuristiken an, wenn fiir eine Problemstellung erwiesen ist oder zumindest mit grower Wahrscheinlichkeit vermutet wird, dass sie schwer im Sinne der Komplexitatstheorie (Garey u. Johnson 1979) ist. Fiir diese Probleme konnen exakte Verfahren bei praxisrelevanter GroBe nicht empfohlen werden, weshalb auf Heuristiken zuruckzugreifen ist. Nach Kistner (2003, S. 239) versteht man unter einer Heuristik ein Verfahren, das mit akzeptablem Aufwand gute, zulassige Losungen liefert, ohne aber deren Optimalitat zu garantieren. Jede Metaheuristik ist durch die folgende Zweiteilung charakterisiert (Voss et al. 1999): Ein Ubergeordneter, iterativ ablaufender Master-Prozess dirigiert durch ein allgemein anwendbares Prinzip der Informationsauswertung und Steuerung einen untergeordneten, problemnahen Such-Prozess. Metaheuristiken bewahren sich als robuste Verfahren, da sie erfahrungsgemaB Losungen hoher Qualitat liefern und sich die Anpassung an das konkrete Optimierungsproblem i.d.R. unproblematisch gestaltet: Der Master-Prozess liegt problemunabhangig vor und kann in Kombination mit unterschiedlichen, problemspezifischen Such-Operatoren eingesetzt werden. Um die Problemstellung in eine Form zu iiberfiihren, die sich fur den Einsatz der Such-Operatoren (wie z.B. Mutation oder Crossover) eignet, arbeitet jede Metaheuristik auf einer Reprasentation des Problems bzw. seiner Losungen. Zur Reprasentation kann z.B. ein Bitstring oder eine Permutation von Zahlen genutzt werden. Die so kodierten Losungen werden durch Such-Operatoren verandert und hinsichtlich der Zielfunktion bewertet. Auf den bewerteten Losungen setzt der Master-Prozess zur Steuerung und Informati-

262

Martin Feldmann

onsauswertung auf. Orientieren sich die Representation und/oder der MasterProzess an Ablaufen, die der Natur entlehnt sind, liegt ein naturanaloges Verfahren vor (Feldmann 1999; Feldmann u. Kistner 2000). Im Weiteren werden die Ameisen- und Schwarmalgorithmen beschrieben und ihre Charakteristika herausgearbeitet. Die konzeptionelle Einordnung zeigt Synergiepotenziale auf und tragt zum verfahrensubergreifenden Vergleich bei. Am Beispiel der Wahl des Konstruktionsgraphen fur quadratische Zuordnungsprobleme wird eine Vorgehensweise in die Ameisensysteme ubertragen, die sich im Kontext genetischer Algorithmen bereits vielfach bewahrt.

2. Ameisensysteme Die Grundidee eines Ameisensystems besteht darin, klinstlichen Ameisen einfache Regeln vorzugeben, nach denen diese autonom agieren und kommunizieren. Die Zielsetzung ist, durch die Interaktion der Ameisen ein System zu erschaffen, das bestimmte emergente Eigenschaften aufweist, die zur Losung eines Problems genutzt werden konnen. Als emergente Eigenschaften bezeichnet man die Systemeigenschaften, auf die man bei der Beschreibung der einzelnen Komponenten des Systems verzichten muss, da sie sich erst aus dem Zusammenwirken vieler Komponenten ergeben (Holland 1998). Als Beispiel fur eine emergente Eigenschaft im Ameisenstaat kann die Fahigkeit genannt werden, arbeitsteilig kiirzeste Wege zu Futterstellen zu finden. Bevor auf das grundsatzliche Vorgehen eingegangen wird, werden die Eigenschaften des (Sozial-)Verhaltens der Ameisen diskutiert. 2.1

NatiJrliches Vorbild: Ameisenstaat

Ameisen sind Insekten, die fast durchgangig Staaten bilden und darin eusozial leben (Holldobler u. Wilson 1990). Eine Eusozialitat (Dorigo et al. 2000, S. 859) wird durch die folgenden Merkmale charakterisiert: Die Brutpflege ist mehreren Individuen Ubertragen, es uberlappen sich mindestens zwei Generationen und nur wenige spezialisierte Individuen (die Koniginnen) sind zur Reproduktion fahig. Im Ameisenstaat stellen die sterilen Arbeiterinnen somit die weitaus groBte Gruppe dar und Ubernehmen alle ubrigen Aufgaben. Bei vielen Arten gehoren die Arbeiterinnen dazu Kasten an, die auf bestimmte Aufgaben spezialisiert sind. Eine Eusozialitat setzt aber Kommunikation und Koordination der Aktionen voraus. Ameisenstaaten bilden dazu so genannte dichte Heterarchien, die eine besondere Form der Hierarchic bezeichnen (Holldobler u. Wilson 1990, S. 355). Der Begriff geht auf das griechische heteros (der andere) und archein (herrschen) zuriick und charakterisiert ein System, das sich durch die „Herrschaft des anderen" auszeichnet: Jede Ameise ist jederzeit bereit, sich durch andere Ameisen hinsichtlich ihrer gegenwartigen Tatigkeit beeinflussen zu lassen. Diese Heterarchie wird als „dicht" bezeichnet, da es alien Ameisen eines Staates moglich ist, miteinander zu kommunizieren und die Aktionen zu koordinieren. Die bei den Ameisen

Ameisensysteme und Schwarme: Bin Beitrag zur konzeptionellen Einordnung

263

beobachtbare Selbstorganisation lasst sich nach Bonabeau et al. (1999, S. 9ff) aus dem Zusammenwirken von vier wesentlichen Mechanismen erklaren: Positives Feedback, negatives Feedback, zufdlliges Abweichen und Interaktion. Zur Kommunikation, zur Verteidigung und zum Angriff besitzen die meisten Arten Drusen, mit denen sie chemische Stoffe, etwa Ameisensaure oder Pheromone, produzieren. Letztere dienen - in Kombination mit dem gegenseitigen Bertihren der Fiihler - zur Kommunikation unter den Ameisen. Pheromone werden z.B. fur die Kastenerkennung, die Markierung oder zum Spurlegen genutzt: Indem die Ameisen auf dem RUckweg zum Nest Spurpheromone ausbringen, legen sie von ihrem Nest zu den Futterquellen Pfade. Zu der direkten Kommunikation tritt somit die gezielte Veranderung der Umwelt durch chemische Stoffe, die als Nachrichten interpretierbar sind. Diese Form der indirekten Kommunikation wird als Stigmergie bezeichnet (Dorigo et al. 2000; Theraulaz u. Bonabeau 1999). Sie kann als eine spezielle Form der Stimulanz aufgefasst werden: stigma (der Ansporn) und ergon, (die Arbeit und das Produkt der Arbeit) vereinen sich zum „anspomenden Produkt der Arbeit". Kommunikation mittels Stigmergie liegt dann vor, wenn ein Individuum durch seine Tatigkeit die Umwelt derart verandert, dass ein bestimmtes Verhalten bei anderen Individuen ausgelost wird. Oft folgt daraus ein autokatalytischer Regelkreis: Spurpheromone locken z.B. weitere Ameisen an, so dass die Pfade, die zu Futterquellen fUhren, intensiv genutzt und wiederholt markiert werden. 1st eine Futterquelle ausgeschopft, markieren die Ameisen diesen Pfad nicht mehr, sondern wenden sich der Umgebung zu. Da Pheromone fliichtige Stoffe sind, verblassen mit der Zeit die Spuren auf den nicht mehr genutzten Pfaden. Das Erinnerungsvermogen des Ameisenstaates, definiert als die Gesamtheit aller Pheromonspuren, wird somit durch ein Vergessen erganzt. Der Ameisenstaat als Ganzes erreicht einen weitaus hoheren Entwicklungsstand hinsichtlich des Reaktionsvermogens, der Kompliziertheit der entstehenden Strukturen etc. als der, den jede einzelne Ameise erkennen lasst. Diese Losungsmechanismen mit kUnstlichen Ameisen nachzubilden und sie z.B. fur betriebswirtschaftliche Probleme einzusetzen, ist das Ziel der Ameisenalgorithmen.

2.2

Kunstliche Ameisen

Ameisenalgorithmen, auch als Ant Colony Optimization bezeichnet, konnen wie folgt charakterisiert werden (Dorigo u. StUtzle 2004; Dorigo et al. 2000): Ein Ameisenalgorithmus ist ein Multi-Agenten-System, das auf Stigmergie beruht und durch die Beobachtung echter Ameisenkolonien inspiriert ist. AUgemein versteht man unter einem Agenten „ein langerfristig arbeitendes Programm, dessen Arbeit als eigenstandiges Erledigen von Auftragen oder Verfolgen von Zielen in Interaktion mit einer Umwelt beschrieben werden kann" (Gorz et al. 2000, S. 949). Unmittelbar aus dieser Definition ist abzuleiten, dass die Agenten Autonomie besitzen, da sie keiner (unmittelbaren) Steuerung und Kontrolle durch einen Nutzer unterliegen. Die Agenten kooperieren und kommunizieren mit anderen Agenten, um kollektive Problemlosungsstrategien zu konstruieren. Zudem ha-

264

Martin Feldmann

ben sie die Fahigkeit zur Kommunikation mit dem Nutzer und zum Erlernen und Erkennen seiner Bediirfnisse. Die Agenten reagieren dabei auf Veranderungen der Umgebung (Reaktivitdt) und handeln aus eigenem Antrieb heraus (Proaktivitdt). Treten mehrere interagierende Agenten auf, liegt ein Multi-Agenten-System vor. Kunstliche Ameisen sind als primitive Agenten einzuordnen, die zwar autonom agieren, aber weder mit dem Nutzer noch direkt untereinander kommunizieren. Die einzige Form der Kommunikation erfolgt iiber Stigmergie. Dazu lesen und schreiben sie in einem Graphen kunstliche Pheromonspuren. Diese Spuren sind den Kanten der Kantenmenge L in dem sogenannten Konstruktionsgraphen zugeordnet. Indem eine Ameise einen Pfad in diesem Graphen auswahlt, konstruiert sie eine Losung des zugrunde liegenden Problems. Pfade im Konstruktionsgraphen G = (C, L, W, P) reprasentieren somit die gesuchten Losungen des Problems. Hierbei bezeichnet C = {c;, C2,,.., c^} die endliche Menge von Problemkomponenten - die um kiinstliche Komponenten erganzt sein konnen - und L = {/y} eine Menge an Kanten, die Knoten der Menge C verbinden. Jeder Kante /,y ist ein Speicher pij zugeordnet, der die auf dieser Kante hinterlassene Pheromonmenge angibt. Die Kosten bzw. die Erlose einer Kantennutzung werden als Wj, abgespeichert und konnen z.B. als die Distanzen zwischen den Orten interpretiert werden, die bei der Konstruktion einer Rundreise zu beriicksichtigen sind. Ebenso kann Wy der Eignung einer Person / fiir die Bearbeitung einer Aufgabe j in einem Zuordnungsproblem entsprechen. Die Gewichtung W und die Bewertung P miissen weder symmetrisch vorliegen, noch muss jede Kante /y gewichtet oder bewertet sein. In Erweiterung zu der iiblichen Darstellung (Bonabeau et al. 1999) wird hier nicht verlangt, dass L vollstandig alle Knoten aus C verbindet. Jede Ameise versucht, innerhalb des Graphen G einen Pfad zu finden, der einer zulassigen Losung des Optimierungsproblems entspricht. Dabei hat sie eine Menge von Restriktionen R mit R{C, L) zu beriicksichtigen und orientiert sich an den Gewichten W und den Bewertungen P. Jede kiinstliche Ameise bringt fiir diese Aufgabe mindestens die folgenden Fahigkeiten und Eigenschaften mit: • •

•

• •

Sie lebt in einer diskreten Welt aus Knoten, die sie eindeutig unterscheiden kann. Pro Iteration wechselt jede Ameise von einem Knoten / zu einem anderen Knoten 7, der direkt von dem Knoten / aus erreichbar ist. Die Geschwindigkeit, mit der sie sich zwischen den Knoten bewegt, ist unabhangig von der Bewertung Wy und von der Zahl der Ameisen in den Knoten / und j sowie von der Zahl der Ameisen, die in der gleichen Iteration die Kante /y nutzen. Sie verfiigt iiber ein Gedachtnis (die sogenannte Knotenliste), in dem sie die bereits besuchten Knoten speichert, und iiber eine Abbruchbedingung sowie ggf. uber weitere Restriktionen R, die sie bei der Kantenwahl priift. Trifft sie in einem Knoten i auf verschiedene weiterfiihrende Kanten, kann sie erkennen, in welchen Knoten 7 die Kante /y fiihrt, ohne ihr zu folgen. Sie kann im Knoten / die Bewertung der Kanten Wy und die aktuellen Pheromonmengen py ablesen, diese Werte vergleichen und einfache Berechnungen zur Kantenwahl durchfiihren.

Ameisensysteme und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung

265

•

Die Ameise entscheidet lokal, welcher Kante sie als nachstes folgt. Neben Wy, Pij und den berechneten Werten geht der Zufall in die Wahl der Kante ein. • Jede Ameise kann ihr Gedachtnis (die sogenannte Knotenliste) auslesen und damit ihren Weg im Graphen zuriickverfolgen. • Bei Oder nach der Nutzung einer Kante kann sie die Pheromonmenge p^ verandern. Zur Darstellung des Verfahrens wird der kurzeste Pfad in einem Graphen von einem Ausgangs- zu einem Zielknoten gesucht. Das Beispiel wurde gewahlt, da es eine wesentliche Vereinfachung erlaubt. Die Abbildung des Problems in einem geeigneten Konstruktionsgraphen ist trivial, da das Problem unmittelbar als Graph vorliegt, der direkt als Konstruktionsgraph verwendet werden kann. Bei der Initialisierung wird eine Zahl an Ameisen (AnzahLAmeisen) mit jeweils leerer Knotenliste im Ausgangsknoten ausgesetzt und dieser Knoten als erste Position der Knotenliste jeder Ameise gespeichert. Die Binarvariablen Abbruch, Ziel__erreicht und Start_erreicht sind pro Ameise auf „false" gesetzt. Jede Ameise wahlt in jeder Iteration zufallig einen der fur sie aktuell erreichbaren Knoten, wobei sie nicht zu den Knoten zuriickkehrt, die sie bereits besucht hat und - bei einem Minimierungsproblem - jene Kanten bevorzugt wahlt, deren Gewicht w^ klein ist. Jeden besuchten Knoten fugt sie ihrer Knotenliste an. Die Ameisen bewegen sich damit zeitlich parallel, aber unabhangig voneinander auf den Kanten des Graphen. Erreicht die erste Ameise den Zielknoten, wird ihre Binarvariable ZieLerreicht auf „true" gesetzt und die Losung des Optimierungsproblems ermittelt, die dem Pfad der Ameise entspricht. Die Ameise erhalt eine vorgegebene Pheromonmenge und kehrt auf genau dem Weg zum Ausgangsknoten zuruck, den sie zuvor gewahlt hatte. Dazu bestimmt sie anhand der Lange ihrer Knotenliste den Anteil des Pheromons, den sie pro Kante setzen wird und verteilt dann die Pheromonmenge iiber die Kanten ihres Pfades, bis der Test auf Start_erreicht positiv ausfallt. Ab der zweiten Ameise, die den Zielknoten erreicht, kann die Pheromonmenge proportional zur Giite der gefundenen Losung angepasst werden: Ameisen, die kurzere Pfade gefunden haben, erhalten mehr Pheromon als die, die auf langeren Pfaden zum Ziel gelangt sind. Hier steuert der Ubergeordnete Master-Prozess, wie die Verteilung des Pheromons an die Ameisen vorzunehmen ist. Die Qualitat der bisher gefundenen Losungen wird gespeichert und die Pheromonmenge pro Ameise in Abhangigkeit von ihrer Losungsgute angepasst. Auf die Kanten, die zu besonders guten Losungen fUhren, wird folglich eine groBe Menge Pheromon ausgebracht. Treffen Ameisen auf ihrem Weg vom Ausgangsknoten zum Zielknoten auf bereits mit Pheromon bewertete Kanten, gehen in die Auswahl der nachsten Kante nicht nur die Gewichte der Kanten w^, sondern auch deren Bewertung pij ein. Je starker eine Kante mit Pheromon bewertet ist, desto groBer wird ihre Wahrscheinlichkeit, ausgewahlt zu werden. Die Wahl der Kante wird folglich durch zwei Komponenten beeinflusst: Erstens durch das konstante Gewicht Wy, mit dem im Konstruktionsgraphen die Struktur des zu losenden Problems wiedergegeben wird, und zweitens durch die von den Ameisen gemeinsam vorgenommenen Bewertungen der Kanten uber die Pheromone. Um nachzubilden, dass die Pheromone im Verlauf

266

Martin Feldmann

der Zeit ausdiinsten, wird z.B. pro Iteration die Bewertung jeder Kante pij mil einer Konstanten < 1 multipliziert. Die Bewertung auf den nicht vorteilhaften Kanten verschwindet mit der Zeit, wahrend sich die Spuren auf den Kanten verdichten, die zu den besten Losungen fuhren. Diese Kanten werden bevorzugt gewahlt, so dass erfolgreiche Pheromonmuster im Graphen emergieren. Das Vorgehen wird in dem Pseudocode in Abb. 1 vorgestellt: Ameisenalqorithm us Initialisierung Verfahren: Initialisierung Graph:

Anzahl__Ameisen; lterationen_max; Iteration := 0 Ausgangsknoten, Zielknoten und w/'i/einlesen; Pij := 0 auf alien Kanten Initialisierung Ameise: Knotenliste := leere Liste; Abbruch = false; Ziel_erreicht := false; Start__erreicht := false; Erster Knoten der Knotenliste := Ausgangsknoten Bis Anzahl_Ameisen erreichit: Initialisierung Ameise Solange (Iteration < lterationen_max) Fur jede Ameise Prufeauf Abbruch Prufe auf Ziel_errelcht Falls (Abbruch = Ziel_erreicht = false) Kantenwahl (wif, p,y) Update Knotenliste Falls (ZieLerreicht = true) Pheromonzuteilung Wiederhole Kante bewerten (p,y) Knotenliste abbauen Prufe auf Start_erreicht Bis (Start__erreicht = true) Falls ((Abbruch = true) oder (Start_erreicht = true)) Initialisierung Ameise Pheromonverdunstung Iteration := Iteration + 1 Ende

Abb. 1. Pseudocode Ameisenalgorithmus In der Grundform wird nicht vorausgesetzt, dass der Konstruktionsgraph vollstandig ist. Es kann daher Ameisen geben, die bei der Konstruktion scheitern, da sie keinen Knoten mehr wahlen konnen, den sie nicht schon aufgesucht haben. Fiir diese Ameisen greift das Abbruchkriterium: Sie werden mit leerer Knotenliste erneut im Ausgangsknoten ausgesetzt, ohne dass sie Pheromon ausbringen. Zwar stehen fur dieses leichte Problem polynomial beschrankte Algorithmen zur Verfugung, doch eignet sich der Ameisenalgorithmus auch dann, wenn statt der konstanten Gewichte W mit der Zeit schwankende Werte auftreten. Derartige Probleme stellen sich z.B. im Kontext des Betreibens von Kommunikationsnetzen Oder bei der Planung von Routen auf unterschiedlich stark frequentierten Strecken. Sie fuhren regelmaBig zu sehr anspruchsvollen Optimierungsproblemen, bei denen sich die Informationsweitergabe mittels Stigmergie positiv bewahrt hat (Guntsch et al. 2000; Guntsch u. Middendorf 2002).

AmeisensySterne und Schwarme: Bin Beitrag zur konzeptionellen Einordnung 2.3

267

Varianten der Ameisenalgorithmen und ihre Gemeinsamkeiten

Die vorgestellte Grundform der Ant Colony Optimization hat mittlerweile zahlreiche Modifikationen erfahren (vgl. z.B. die Zusammenstellung in Dorigo u. Sttitzle 2004). Die wichtigsten Ansatzpunkte zur Unterscheidung sind a) b) c) d) e) f) g)

die Vorschrift zur Auswahl der Kanten, die Regel, nach der einer Kante Pheromon zugewiesen wird, die Auswahl der Ameisen, die Pheromone ausbringen dtirfen, die Steuerung der Pheromonverdunstung, der Zeitpunkt und die Art des Pheromonupdates, die Form des Informationsaustausches bei parallelen Systemen, die Eigenschaften der Ameisen bei Systemen mit verschiedenen Ameisenarten.

Ursprtinglich lagen drei von Dorigo et al. (1991) entwickelte Varianten vor. Bei Ant Density wird zu dem Pheromonwert einer Kante eine konstante Menge addiert. Ant Quantity legt die Pheromonmenge umgekehrt proportional zu Wy fest, d.h. bei einem Minimierungsproblem werden kurze Kanten generell intensiver markiert. Ant Cycle passt die insgesamt zu verteilende Pheromonmenge umgekehrt proportional zur Losungsqualitat an, so dass die zu guten Losungen fixhrenden Kanten besonders stark markiert werden. Bei der Elitist Strategic (Dorigo et al. 1996) wird die Bewertung erst vorgenommen, wenn jede Ameise eine zulassige Losung gefunden hat. Zusatzlich markiert eine Ameise die Kanten der bisher besten Losung. Der Ant-Q-Algorithmus (Gambardella u. Dorigo 1995) - oft auch als Ant Colony System (Dorigo u. Gambardella 1997) bezeichnet - stellt eine der bekanntesten Varianten dar. Dort entfernen die Ameisen laufend Pheromon von den Kanten, die sie nutzen. Dies fUhrt zu einer Erhohung der explorativen Kraft der Suche. Der Algorithmus stagniert seltener in schwachen lokalen Optima. AuBerdem fuhrt das Pheromonentfernen dazu, dass die Kanten, die zu schlechten Losungen fuhren, schnell unvorteilhaft erscheinen. Eine ahnliche Idee wird bei der Max-Min-Strategie (Stutzle u. Hoos 1999) verfolgt. Die Pheromonbewertung einer Kante darf weder tiber einen maximalen Wert steigen, noch unter einen minimalen Wert fallen. Auch diese Variante wirkt vorzeitigem Konvergieren auf schwachem Niveau entgegen. Beim Rank-Based Ant System (Bullenheimer et al. 1999) bringen die k besten Ameisen Pheromone aus, wobei Ameisen mit besserem Rang mehr Pheromon verteilen. Diese Variante erinnert an das rangbasierte Auswahlen von Eltern in genetischen Algorithmen und fuhrt tendenziell zu einem Erhalt der Vielfalt von Informationen im Graph. Beim Best-Worst Ant System (Cordon et al. 2002) bringt die beste Ameise Pheromon aus, wahrend die schlechteste Ameise Pheromon einsammelt. Die Kanten, die regelmaBig zu schlechten Losungen ftihren, werden damit sehr schnell erkennbar. Unterschiedliche Ameisenarten, etwa Transport- und Erkundungsameisen, werden im Recruiting Ant Colony System (Stamer 2003) eingesetzt, wahrend im Ant Net (Di Caro u. Dorigo 1998) unterschiedliche Pheromonarten Verwendung finden. Auf mehrere parallel arbeitende Ameisensysteme greift Parallel Ant Colonies (Talbi et al. 2001) zuriick. Mehrere Kolonien und unterschiedliche Methoden des Informationsaustausches untersuchen Middendorf et al. (2002) im Multi Colony Ant Algorithm.

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Die Idee der Metaheuristik bleibt aber in alien Varianten unverandert. Die Ameisen werten bei der Konstruktion der Losung die Knotenliste als privates Gedachtnis und die Pheromonspuren als gemeinsames Gedachtnis aus. Sie entscheiden bei der Kantenwahl myopisch, da im Moment der Entscheidung nur der kleine Ausschnitt der Pheromonbewertung ftir die aktuell erreichbaren Kanten zuganglich ist. Um den Stand der Losungskonstruktion zu verwalten, wird das private Gedachtnis in Form der Knotenliste gehalten. Die ktinstlichen Ameisen konstruieren mithilfe dieser Liste Losungen, die sie in dem Moment wieder vergessen, in dem sie ihre gewonnene Information - den Pfad - fUr das gemeinsame Gedachtnis verfUgbar gemacht haben. Der Ubergeordnete Master-Prozess entscheidet, welche der Informationen zu einer Veranderung der Pheromonspuren beitragt. Grundsatzlich werden aber nur Kanten erinnert und nicht der Pfad als Ganzes: Beim Ubergang in das gemeinsame Gedachtnis wird auf die Information verzichtet, in welcher Kombination die Kanten zu wahlen sind, um eine bestimmte Losung zu erhalten. Zusammenfassend zeichnet sich diese Metaheuristik durch folgende Merkmale aus: • • • • • • •

Die Suche erfolgt populationsgestutzt. Die Ameisen konstruieren sukzessiv Losungen des Problems. Der Zufall und heuristische, lokale KalkUle beeinflussen die Wahl der Kante im Konstruktionsgraphen. Der Konstruktionsprozess wird durch ein privates Kurzzeitgedachtnis gesteuert; Erfahrungen friiherer Losungen werden dort nicht erinnert. Die Speicherung der Erfahrung erfolgt liber Stigmergie im gemeinsamen Konstruktionsgraphen und orientiert sich an den natiirlichen Ameisen. Jede einzelne Ameise partizipiert lokal an den Erfahrungen, die andere Ameisen bereits gemacht haben. Weitergegeben wird in einem Ameisensystem grundsatzlich nur die Information zur Konstruktion der Losung, nicht aber das Ergebnis.

Der Ameisenalgorithmus ist prinzipiell fiir jedes Problem anwendbar, ftir das sich eine konstruktive Heuristik angeben lasst (vgl. Dorigo u. Sttitzle 2004, S. 34). Eingeschrankt wird dies durch die Tatsache, dass das Problem zuvor in einen Graphen zu iiberfiihren ist. Diskrete Problemstrukturen und Wertebereiche eignen sich fiir eine Optimierung mit ktinstlichen Ameisen daher besser als Problemstellungen, die auf kontinuierlichen Wertebereichen formuliert sind. Dariiber hinaus ist es fiir viele kombinatorische Probleme naheliegend, eine Darstellung in Form eines Graphen zu wahlen. Der Schritt zum Konstruktionsgraphen ist dann z.B. beim Traveling Salesman Problem trivial. Bei anderen Fragestellungen (z.B. Zuordnungsproblemen) ist zunachst ein geeigneter Konstruktionsgraph auszuwahlen und der Konstruktionsprozess ggf. durch Restriktionen R{C, L) einzuschranken.

Ameisensysteme und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung

269

3. Schwarmalgorithmen Mit den Schwarmalgorithmen, auch als Particle Swarm Optimization bezeichnet, soil die Form der koordinierten Suche mittels dezentraler Abstimmung erreicht werden, die insbesondere bei niedrig entwickelten Tieren, etwa Insekten oder Fischen, beobachtbar ist. Nachgebildet werden die Mechanismen, die z.B. dazu fUhren, dass in einem Schwarm eine wahrgenommene Gefahren- oder Futterquelle derart kommuniziert wird, dass sich eine praktisch synchrone Richtungsanderung einstellt. Bevor auf den typischen Ablauf der Schwarmalgorithmen eingegangen wird, sind die besonderen Eigenschaften des Schwarms vorzustellen.

3.1

Natijrliches Vorbild: Schwarm

Nach Parrish und Hamner (1997) lasst sich ein Schwarm als eine nichtorganisierte Anhaufung (Menge) sich bewegender Individuen - ublicherweise Insekten oder Fische - definieren und zeichnet sich durch die folgenden Eigenschaften aus: Ein Schwarm hat meist klar definierte Rander und weist eine gleichmaBige Partikeldichte auf. Innerhalb des Schwarms konnen die so genannten Partikel aktiv ihre Position andern und sich relativ zu ihren Nachbam umpositionieren. Schwarme fiihren dabei koordinierte Bewegungsmuster aus, ohne dass ein Anfiihrer identifizierbar ist. Die Emergenz einer stabilen Formation, die auf einer dezentralen Koordination statt einer hierarchischen Abstimmung beruht, soil bei der Entwicklung des optimierenden Verfahrens nachgebildet werden. Schwarme liegen als so genannte anonyme Verbande vor, d.h. die Organismen kennen sich nicht individuell und es steht weiteren Artgenossen offen, sich dem Verband anzuschlieBen. Der Zusammenhalt eines Schwarms wird durch die anziehende Wirkung sozialer Signale, durch soziale Attraktion, sichergestellt, womit der Verband selbst zur Quelle der Anziehung wird. Diese Eigenschaft kann als eine elementare Form von Stigmergie interpretiert werden. Die Arbeit, die die Partikel verrichten, und die dadurch verursachte Veranderung der Umwelt liegen in der gemeinsamen Bewegung und Ausrichtung, die den Schwarm als eine Einheit erscheinen lasst. Diese wird von anderen Partikeln wahrgenommen und regt sie dazu an, sich dem Schwarm anzuschlieBen. Die Umwelt wird somit nur temporar verandert; Botenstoffe oder andere Signale mussen nicht ausgebracht werden. Jeder Partikel folgt zur Positionsveranderung im Schwarm den drei grundlegenden Prinzipien: Auswertung, Vergleich und Imitation (Kennedy et al. 2001). Er bewertet seinen aktuellen Standort, vergleicht ihn mit dem der benachbarten Partikel und imitiert ggf. deren Verhalten (die Richtungsanderung). Dabei achtet er darauf, nicht mit anderen Partikeln zu kollidieren, d.h. er halt eine Art „Mindestabstand" ein. Bewegt sich ein Schwarm nur innerhalb einer bestimmten Region, bezeichnet man ihn als einen territorialen Schwarm. In diesem Fall existiert ein Attraktionspunkt, zu dem jeder Partikel zuruckkehren mochte. Als Vorteile der Schwarmbildung fUr die Organismen sind die Schutzfunktion, der Verwirrungseffekt und die groBere Wachsamkeit in der Gruppe zu nennen. Hinzu kommt die Effektivitatssteigerung bei der Fortbewegung, bei der Suche

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nach Futter oder bei der Partnerwahl (Parrish u. Hamner 1997). Fur die Ubertragung als Optimierungsmethode sind die Koordination der Bewegung, die Effektivitatssteigerung im Verband und die selbststandige Intensivierung der Suche wesentlich. So muss z.B. nur ein Partikel Nahrung ausmachen, um das Verhalten der gesamten Gruppe zu beeinflussen. Andert er seine Richtung, werden einige der benachbarten Partikel diese Veranderung abgeschwacht aufgreifen. Machen auch sie die neue Nahrungsquelle aus, passen sie ihre Bewegung weiter an und wieder folgen deren benachbarte Partikel, bis unter Umstanden der ganze Schwarm in die Richtung einschwenkt. 1st die Nahrung erschopft, verliert sich die gemeinsame Ausrichtung, die Partikel orientieren sich an der Bewegungsrichtung des restlichen Schwarms bzw. folgen einem neuen Impuls (Parrish u. Hamner 1997). Durch die groBe Zahl der Partikel und ihre Moglichkeit der adaptiven Steuerung wird der Suchraum intensiv durchkammt und die Suche an den erfolgversprechenden Stellen erheblich verstarkt. Die sprichwortliche Intensitat der Heuschreckenschwarme kann eine Vorstellung des gewunschten Effekts vermitteln. 3.2

KiJnstliche Schwarme zur Optimierung

In einem Schwarmalgorithmus werden jedem Partikel einfache und dezentral anwendbare Regeln vorgegeben. Mit diesen wird versucht, ein Verhalten des Systems „Schwarm" auszulosen, das emergierende Eigenschaften hervorbringt, die zur Losung eines Problems nutzbar sind. Diese Algorithmen sind wie folgt zu charakterisieren (Kennedy et al. 2001): Ein Schwarmalgorithmus ist ein stochastisiertes, populationsgestUtztes lokales Suchverfahren, dessen Agenten direkt interagieren. Die Agenten bzw. Partikel sind als Punkte in einem hochdimensionalen Raum, dem Losungsraum, aufzufassen. Die Dimension entspricht der Zahl der Entscheidungsvariablen des Optimierungsproblems, wobei jeder Partikel eine zulassige Losung verkorpert und liber die folgenden Fahigkeiten verfUgt: • • •

• •

Er kann seine momentane Position feststellen, die damit erreichte LosungsgUte bestimmen und sich an seine bisher beste Position erinnern. Jeder Partikel bestimmt autonom die Richtung und das AusmaB der Veranderung, in die bzw. mit der er sich in dem Suchraum bewegt. Jeder Partikel nimmt Vergleiche innerhalb seiner Bezugsgruppe (d.h. einer Menge anderer Partikel) vor. Er vergleicht seine aktuell erreichte LosungsgUte und pruft, welche Setzung der Entscheidungsvariablen bei dem besten Partikel in seiner Bezugsgruppe zum Erfolg ftihrt. Ftir die Bestimmung der Richtungsanderung zieht der Partikel neben seiner eigenen Erfahrung auch die aktuell beste Losung in der Bezugsgruppe heran. In die Festlegung der Richtungsanderung gehen zufallige Komponenten ein.

Ein Partikel ist somit als ein Losungsvorschlag x und damit als ein Punkt im Losungsraum aufzufassen. Da jeder Partikel neben der aktuellen Losung auch seine bisher beste Losung speichert, werden in einem Schwarm doppelt so viele Losun-

AmeisensySterne und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung

271

gen erinnert, wie dieser Partikel umfasst. In jeder Iteration werden an jedem Partikel - unabhangig von der Qualitat seiner Losung x(t) - kleine Veranderungen vorgenommen. Im Weiteren wird dazu ein einzelner Partikel betrachtet, der von der Losung in Iteration t zu einer Losung in t+l wechselt: x(f+l) = H [x(t), v(0, e(t), d{t)] Der Vektor x umfasst fiir den Partikel die m Entscheidungsvariablen des Problems. In die Funktion H gehen neben den Werten der Variablen x im Zeitpunkt t die Veranderung des Partikels v(t) und zwei Erfahrungswerte ein: • •

Der Vektor e(t) gibt die bis zum Zeitpunkt t beste Losung dieses Partikels an und speichert sie als Individualerfahrung. Der Vektor d(t) gibt die beste Losung an, die im gegenwartigen Zeitpunkt t in der Bezugsgruppe des Partikels vorliegt. Dieser Vektor stellt die Gruppenerfahrung dar. Die Wahl der Partikel als Bezugsgruppe kann auf einer raumlichen (physischen) oder auf einer sozialen Nachbarschaft definiert sein.

Alle Vektoren haben die Dimension m und geben Werte fiir die Entscheidungsvariablen an. In die Veranderung v(t), die der Partikel hinsichtlich seiner m Dimensionen in t erfahrt, gehen e(t) und d{t) ein: v(r) = a v(M) + zi ki [e{t) - x(t)] + Z2 k2 [d(t) - x^t)] In die Bestimmung des Veranderungsvektors gehen somit drei Komponenten ein: Erstens die bisherige Veranderung des Partikels v(^l). Diese wird mit a gewichtet und als Tragheit interpretiert. Sie stellt eine Form des Kurzzeitgedachtnisses des Partikels dar und sorgt daftir, dass die zuletzt eingeschlagene Richtung der Veranderung beriicksichtigt wird. Zweitens geht, mit dem Parameter ki gewichtet, die Distanz zwischen den aktuellen Werten der Entscheidungsvariablen des Partikels x{t) und seiner eigenen Erfahrung e(t) ein. Die individuelle Erfahrung ist als ein Langzeitgedachtnis ausgestaltet, da der beste Punkt im Losungsraum erinnert wird, den der Partikel bisher fand. Drittens wird, mit k2 gewichtet, die Distanz zwischen dem aktuellen Punkt x(t) und der Gruppenerfahrung d(t) beriicksichtigt, die der Imitation entspricht. Die gewichteten Erfahrungen werden mit den Zufallszahlen zi und Z2 multipliziert, die z.B. aus dem Intervall [0,1] stammen. Fiir v(0 kann erganzend ein Intervall [Vmin» y.m^] vorgegeben sein, das pro Entscheidungsvariable extreme Veranderungen verhindert, die entweder zu einem Verharren fiihren oder so groBe Spriinge im Suchraum verursachen, die den Erfolg des adaptiven Steuerns gefahrden. Mit der Festlegung der drei Parameter a, ki und k2 sowie des Intervalls, aus dem Zi und Z2 zufallig gezogen werden, kann der Einfluss der Tragheit, der eigenen Erfahrung und der Imitation festgelegt werden. Diirfen die Entscheidungsvariablen beliebige kontinuierliche Werte annehmen, ergibt sich x(t+l) unmittelbar aus den Werten x{t), die gemaB v(0 verandert werden: x(f+l) = jc(0 + v(0 Wahrend in der Natur jeder Organismus im Schwarm die ihn unmittelbar physisch umgebenden Individuen beobachtet und sich damit die Zusammensetzung seiner

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Bezugsgruppe laufend andern kann, wird in den kunstlichen Schwarmen regelmaBig darauf verzichtet, variierende Bezugsgruppen zu implementieren. Stattdessen wird mit wesentlich geringerem Rechenaufwand fiir jeden Partikel eine feste Gruppe bestimmt, mit der er sich vergleicht. Dieses Vorgehen bildet, folgt man Kennedy, Eberhart und Shi (2001), soziale Kontakte nach. Um die Bezugsgruppen festzulegen, kann man sich die Partikel bei ihrer Initialisierung ringformig aufgereiht denken. Ausgehend von einem Partikel / werden die g Partikel, die links und rechts von ihm auf dem Ring angeordnet sind, als Bezugsgruppe BGi des Partikels / definiert. Die Gruppen uberlappen sich, d.h. BGj und BGi+i stimmen in 2(^-1) Partikeln Uberein. Unabhangig von den Werten x{t), d.h. den Positionen, die diese Partikel im Losungsraum wahrend der Suche einnehmen werden, bleibt die Zusammensetzung der Bezugsgruppe pro Partikel konstant. Der Ausgangspunkt jedes Partikels: x{l) wird zufallig gesetzt. Raumliche und soziale Nahe miissen sich somit nicht entsprechen (Kennedy et al. 2001, S. 311). Der Pseudocode in Abb. 2 fasst die Vorgehensweise fiir ein Minimierungsproblem zusammen, wobei auf die Beschrankung der Veranderung v(t) auf das Intervall [Vmin» Vmax] vcrzichtct wurdc. F gibt die Bewertung der Partikel an, t_max beschrankt die Iterationen und AnzahLPartikel die Machtigkeit des Schwarms. Schwarmalqorithmus Initialisierung Verfahren: Initialisierung Partikel:

Anzahl_Partikel; t_max; t := 1; a, /cy und kz einlesen; Xi{t) := zufallige Setzung; ej^t) := x^ity, v,
Solange (t < t_max) Fur jeden Partikel/ Bewerten: Falls F{Xj{t)) < F(e,(0) e,<0:=x,{0: Vergleichen: dj(t) := min {F{xj{t))} fur alle Partikel y in BGi; Imitieren: v,{t) := a v,<M) + Zi ki[e,(f) -x,{0)l + Z2 k2m) - m] \ Bewegen: Xj{t+1) := Xj{t) + Vj{t); t:=t+1; Ende

Abb. 2. Pseudocode Schwarmalgorithmus Ein Problem des Schwarmalgorithmus wird anhand dieser Darstellung sofort deutlich: Rein prinzipiell konnen Partikel den Losungsraum verlassen, wenn durch v(0 die Entscheidungsvariablen iiber ihren Wertebereich hinausgehend verandert werden. Diesem Effekt kann man erstens dadurch begegnen, dass die Partikel, die unzulassige Losungen verkorpem, durch die Funktion F mit einer Strafe belegt werden, die eine RUckkehr des Partikels in den zulassigen Raum auslost. Zweitens kann bei der Berechnung der Position x{t) verhindert werden, dass eine Veranderung einer Variablen vorgenommen wird, die diese aus ihrem Definitionsbereich fiihrt: Die Variable wird stattdessen auf der Grenze ihres Definitionsbereichs fixiert. Drittens kann man den Algorithmus erweitern, indem man mit einem Attraktionspunkt in die Berechnung der Veranderung eine Tendenz zur RUckkehr zu diesem Punkt integriert. Der Schwarm ahnelt dann einem territorialen Schwarm.

Ameisensysteme und Schwarme: Bin Beitrag zur konzeptionellen Einordnung

273

Auch bei den Schwarmalgorithmen existieren eine Reihe von Varianten, die sich nur gering z.B. bei der Setzung der Parameter, der Definition der Bezugsgruppe Oder der Berucksichtigung konstriktiver (den Schwann einengender) Komponenten unterscheiden (vgl. Kennedy et al. 2001, S. 327ff.). Eine wichtige Verbesserung geht auf Veeramachaneni et al. (2003) und Peram et al. (2003) zuriick. Dort flieBt nicht nur die gegenwartig beste Position d(t), sondem auch die bisher in der Bezugsgruppe beste gefundene Losung git) als vierte Komponente in die Bestimmung der Richtungsanderung v(t) ein. Diese Variante wirkt der vorzeitigen Konvergenz auf schwachem Niveau entgegen, da der Suchprozess die Richtung beriicksichtigt, die (in der Bezugsgruppe) in der Vergangenheit zum Erfolg fuhrte. Der Verfahrenskern bleibt aber unverandert und lasst sich wie folgt beschreiben: Ein Schwarmalgorithmus ist ein populationsgestUtztes, zufdllig initialisiertes Verfahren, bei dem sich die Verdnderung der Partikel durch eine zufdllig gewichtete Mischung aus sozialem Lernen, d,h. Imitation in der Bezugsgruppe und durch lokales Erinnern sowie durch Trdgheit bestimmt. Der erste Versuch, Schwarmalgorithmen bei diskreten Problemstellungen einzusetzen, stammt von Kennedy und Eberhart (1997), die v(0 analog zur Grundform festlegen. Mithilfe einer sigmoiden Funktion s, z.B. der logistischen Funktion, wird s(v(0) fiir jede Entscheidungsvariable bestimmt und dieser Wert einer zufallig gezogenen Wahrscheinlichkeit gegenlibergestellt. Ist die Zufallszahl kleiner (groBer) als s(v(0) wird der Variablen der Wert 1(0) zugewiesen. Dieser Vorgang wird separat fur alle Entscheidungsvariablen wiederholt. Wahrend die binare Variante des Schwarmalgorithmus fur diverse multimodale Testfunktionen recht gute Ergebnisse erzielt (Kennedy u. Spears 1998), kann der Algorithmus bei kombinatorischen Problemen bislang nicht Uberzeugen (Clerc 2004). Deshalb schlagen Alkazemi und Mohan (2003) vor, eine Hybridisierung mit lokalem Hill Climbing vorzunehmen. Die eigentliche Suche ubemimmt das Hill Climbing, das auf den Losungen aufsetzt, die mittels v(0 verandert wurden. Fiihrt das Verfahren zum Erfolg, ist allerdings nur schwer erkennbar, ob dies der Steuerung des Schwarms zuzuschreiben ist oder aus dem parallelen Hill Climbing folgt.

4. Vergleich und Beurteilung Nach der Darstellung der Verfahren wird nun untersucht, worin ihre Gemeinsamkeiten liegen, die u.a. dazu ftihren, dass diese beiden Ansatze oft in einem Atemzug genannt werden (vgl. z.B. Bonabeau et al. 1999). Zunachst ist die dezentral ausgelegte Steuerung durch autonome primitive Agenten und die Betonung der Kommunikation mittels Stigmergie hervorzuheben. Durch die Vorgabe einfacher Regeln wird jeweils versucht, ein Verhalten des Systems auszulosen, das emergierende Eigenschaften hervorbringt, die zur Losung des Optimierungsproblems nutzbar sind. Beide Verfahren greifen das Verhalten von Insekten bzw. niedrig entwickelten Tieren als Vorbild auf.

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Mit der Verwendung einer Population drangt sich unmittelbar der Vergleich mit evolutionar motivierten Verfahren, z.B. genetischen Algorithmen (Holland 1975, 1992; Goldberg 1989, 2002) und Evolutionsstrategien (Rechenberg 1994; Schwefel 1995; Back et al. 2000a, 2000b) auf. Es stellen sich die folgenden Fragen: • • •

Wie unterscheiden sich die Ansatze von den evolutionar motivierten Verfahren? Erlauben strukturelle Ahnlichkeiten eine Identifikation von Synergiepotenzialen? Konnen diese Potenziale zu einer Verbesserung der Strategien beitragen?

Grundsatzlich greift jede Metaheuristik auf die Komponenten Selektion, Variation (als Mutation oder als Rekombination) und Bewertung zuruck. Diese Schritte werden iterativ und ggf. populationsgestutzt wiederholt, bis ein Abbruchkriterium erreicht ist. Dabei ist von besonderem Interesse, wie jeweils Informationen gehalten, selektiert und dem Suchprozess erneut zuganglich gemacht werden. 4.1

Beurteilung der Schwarmalgorithmen

Bei einem Schwarmalgorithmus halt jeder Partikel mehrere Informationen: v(r), x(t), e{t) und d{t), Beim Ubergang von Iteration t zu t+\ wird fur jede Variable ihr neuer Wert in Abhangigkeit dieser Komponenten festgelegt. Die Auswahl der dabei zu beriicksichtigenden Losung erfolgt rein deterministisch, so dass die Selektion der Eltern letztlich identisch zur Evolutionsstrategie geschieht. Die Behauptung bei Kennedy, Eberhart und Shi (2001, S. 360), im Schwarm fande keine Selektion statt, trifft nicht zu. Ein „Survival of the fittest'' ist innerhalb der Bezugsgruppe gegeben, da die Information des Bezugsgruppenbesten selektiert wird und sie eine hohe Wahrscheinlichkeit hat, wiederholt weitergegeben zu werden. AUerdings verzichtet der Schwarmalgorithmus im Gegensatz zu den genetischen Algorithmen auf eine Auswahl der Eltern nach erreichter Fitness, d.h. alle Losungsvorschlage werden im Schwarm weiter verfolgt, selbst wenn sie unterlegen sind. Zur Steuerung der Suche werden bei der Evolutionsstrategie erganzend Informationen uber die bisher erfolgreiche Art der Suche weitergegeben. Dazu wird die Kodierung der Losung erweitert, indem neben dem konkreten Losungsvorschlag auch die bisher verwendete Schrittweite oder der Operator der lokalen Suche gespeichert werden. Diese Information wird mitvererbt, kombiniert und ggf. mutiert, so dass sich eine evolutionare Entwicklung auf zwei Ebenen ergibt: Losungsvorschlage werden verbessert und indirekt die Parameter der Suchoperatoren optimiert (Schwefel 1995; Rechenberg 1994). Informationen uber bereits bewahrte Losungen halt auch der Schwarm. Eine Anpassung der Schrittweite findet dort aber nur indirekt statt. Durch dit), e(t) und v(r) wird die Richtung der Veranderung weitergegeben und iiber die Parameter a, ki und k2 eine Begrenzung der Schrittweite vorgenommen, die nochmals durch das Intervall [Vmin, Vmax] erganzt wird. Die Anpassung der Parameter an den Suchverlauf ist in der Grundform nicht vorgesehen; sie wird aber bereits diskutiert (Ken-

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nedy et al. 2001, S. 34Iff.), so dass sich hier eine noch starkere Annaherung zur Evolutionsstrategie abzeichnet. Hinsichtlich der Nutzung der gemeinsamen Erfahrung zeichnet sich der Schwarmalgorithmus durch eine wichtige Besonderheit aus: Es wird ein sich iiberlappendes, vermaschtes Gedachtnis genutzt, d.h. einzelne Partikel sind zugleich mehreren Bezugsgruppen zugehorig. Die Reichweite, in der ein Partikel andere beeinflusst, ist durch die Definition der Bezugsgruppe begrenzt. Erfolgt ihre Festlegung fix - interpretiert als soziale Nachbarschaft - entspricht sie den Demen, die in den genetischen Algorithmen zur Strukturierung der Population haufig Verwendung finden (Feldmann 1999, S. 202). Ist die Bezugsgruppe hingegen variabel und auf der physischen Nachbarschaft definiert, liegt ein originar neues und wichtiges Konzept vor, das in keinem Verfahren bislang eingesetzt wurde. Hinsichtlich der Variation der Partikel, also dem Ubergang von x(t) zu x{t+l), wird die Veranderung einer Variablen x generell unabhangig von den Veranderungen der Ubrigen Variablen vorgenommen. Implizit wird damit unterstellt, dass der Beitrag der einzelnen Entscheidungsvariablen zur Qualitat einer Losung „separierbar" ist: Eine vorteilhafte Setzung fuhrt auch in Kombination mit veranderten Werten anderer Variablen zu Losungen mit einer hohen Qualitat. Dieser Zusammenhang ist gerade bei kombinatorischen Problemen haufig nicht gegeben. Erstens entstehen i.d.R. unzulassige Plane, wenn z.B. aus mehreren Maschinenbelegungsplanen die Sequenzen der Auftrage gemischt werden. Zweitens macht das Festlegen und Beibehalten einer Richtung, in der eine Losung verandert werden soil, bei kombinatorischen Problemen wenig Sinn. Es existiert regelmafiig kein sinnvolles MaB fur die Bestimmung der Distanz zwischen zwei Losungen. Eine Definition der Bezugsgruppe uber die physische Nachbarschaft muss daher entfallen. Drittens konnen, abweichend vom Vorbild, mehrere Partikel die gleiche Losung verkorpern. Dieser Fall wird z.B. eintreten, wenn Variable auf ganzzahlige Werte gerundet werden. Unterschiedlich positionierte Partikel stellen dann die gleiche Losung dar und bremsen den Prozess. Viertens konnen bereits kleine Variationen bei einzelnen Variablen zu erheblich veranderten Losungen fuhren, so dass eine simultane Anderung vieler Variabler mehr Struktur zerstort als erhalt. Zusammengefasst werden auf der Ebene der Entscheidungsvariablen in einer kombinatorischen Problemstellung keine Schwarmstrukturen auftreten, da x{t) nicht in den notigen kleinen Schritten variierbar ist und keine gemeinsame Ausrichtung der Bewegung moglich ist. Wird dennoch eine Veranderung durch v(t) vorgenommen, reduziert sich die Suche auf eine willkUrliche und zufallige Variation. Die Schwarmalgorithmen erscheinen daher schon aufgrund ihrer Konzeption fur kombinatorische Optimierungsprobleme wenig geeignet; eine Einschatzung, die sich in den Versuchen von Clerc (2004) bestatigt. In kontinuierlichen Suchraumen bieten die Schwarmalgorithmen - bis auf die variablen Bezugsgruppen - keine Idee, die nicht schon im Rahmen der Evolutionsstrategie nach Rechenberg (1994) und deren Weiterentwicklungen (Back et al. 2000a, 2000b) diskutiert wurde. Die enge Beziehung zwischen den Evolutionsstrategien und den Schwarmen sollte nicht - wie Kennedy, Eberhart und Shi (2001, S. 359-368) dies noch versuchen - infrage gestellt, sondern zum Identifizieren von Synergien genutzt werden. In den co-evolutionaren Methoden, mit Pa-

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rasiten etc., wurde z.B. der Einsatz unterschiedlicher Individuen bereits erprobt. Auch in Schwarmen konnten daher Partikel mit verschiedenen Eigenschaften (z.B. mit unterschiedlichen Werten der Parameter) eingesetzt werden. Weiter muss es fUr den Schwarm nicht immer vorteilhaft sein, nur Bezugsgruppen gleicher GroBe zuzulassen. Hier konnen Ergebnisse der geschachtelten Evolutionsstrategien (Rechenberg 1994) herangezogen werden. 4.2

Beurteilung der Ameisenalgorithmen

Wahrend beim Schwarmalgorithmus der einzelne Partikel als Individuum einer populationsgestutzten Suche aufgefasst werden kann, ist dies bei einem Ameisenalgorithmus nicht eindeutig gegeben. Einerseits kann man argumentieren, dass jede Ameise ein Individuum einer populationsgestutzten Suche darstellt. Dann aber ergibt sich das Problem, wie das gemeinsam genutzte Gedachtnis (die Pheromonspuren) einzuordnen ist. Andererseits kann man auch die Spuren im Graphen als wesentlich ansehen. Auf Basis dieser Spuren werden Versuche durchgefuhrt, die diese in einen neuen Zustand uberfuhren. Die gemeinsame Suche der Ameisen lasst sich als eine - mehrfach und parallel durchgefuhrte - Mutation auffassen. Ist die Pheromonmatrix aber der Kern des Verfahrens, dann drangt sich eine bislang nicht untersuchte Parallele zum Genpool der Genetischen Algorithmen auf. Genetische Algorithmen orientieren sich unmittelbar am evolutionaren Prozess auf Ebene der Genotypen, wobei sie das Vererben mittels Crossover und Mutation nachbilden. Dazu werden in einer Population mehrere, zufallig initialisierte L6sungsvorschlage (Individuen) gehalten. Diese liegen als Genotypen in einer Form kodiert vor, die sich fUr den Einsatz der Suchoperatoren eignet. Die Individuen werden hinsichtlich ihrer Losungsgute bewertet und die mit hoherer Fitness bevorzugt, aber zufallig als Eltern fur die nachste Generation ausgewahlt. Durch Crossover und Mutation entstehen aus den elterlichen Erbanlagen Genotypen der Nachkommen. In diesen sollen sich die Eigenschaften kumulieren, die zu der hohen Fitness der Eltern gefuhrt haben, wobei die Mutation fiir die notige Vielfalt im Genpool sorgt (Holland 1992; Feldmann 1999). Bezieht man die Suche statt auf die einzelnen Individuen auf die im Genpool weitergegebenen Muster, die sogenannten Schemata (Spears 2000), wird deutlich, dass ein genetischer Algorithmus nicht nur explizit, sondem zudem implizit parallel sucht. Jeder einzelne Genotyp kann als Instanz mehrerer Schemata aufgefasst werden. Der Algorithmus erprobt diese Muster, er rekombiniert sie und gibt die Auspragungen bevorzugt weiter, die sich bewahren. Stellt man diese Idee den Ameisenalgorithmen gegenuber, wird deutlich, dass auch dort Muster als Pheromonspuren parallel von verschiedenen Ameisen genutzt und somit erprobt werden. Allerdings bezieht sich die Information, die ein genetischer Algorithmus halt, auf die Losung und nicht auf den Prozess der Konstruktion einer Losung. Durch diesen sukzessiven Charakter kann im Ameisenalgorithmus eine situationsabhangige Anpassung vorgenommen werden. Die Akzeptanz (Auswahl) einer Kante entspricht dabei der Selektion zur Fortpflanzung. Die Berucksichtigung des Pfades (die Pheromonausbringung) gleicht der Selektion zum tJberleben. Als Besonder-

Ameisensysteme und Schwarme: Bin Beitrag zur konzeptionellen Einordnung

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heit erlaubt der Ameisenalgorithmus eine graduelle Abstufung iiber die Pheromonmenge je Kante, mit der auch die Information iiber eine unvorteilhafte Entscheidung weitergegeben wird. Im genetischen Algorithmus werden hingegen ganze Gensequenzen getauscht und i.d.R. wird erst im Anschluss gepriift, ob sich zulassige Losungen ergeben haben. Trotz der Unterschiede liefert die Parallele von Genpool und Pheromonmatrix einen niitzlichen Hinweis: Bei der Kodierung von Losungen fur genetische Algorithmen hat es sich vielfach bewahrt, expansiv zu kodieren. Dazu werden nicht informationstragende Gene, sogenannte Dummys oder Introns, in den Genotyp integriert (Feldmann 1999, S. 167f.; Back et al. 2000, S. 163). Sie helfen, die Zahl unzulassiger Nachkommen zu reduzieren und erleichtern die Interpretation des Genotyps. Auf die Ameisenalgorithmen Ubertragen, konnen Dummys die Wahl eines geeigneten Konstruktionsgraphen erleichtern. Die ubliche Vorgehensweise (Stutzle u. Dorigo, 2004, S. 21 Iff) erfahrt damit eine wichtige Erweiterung, die im Folgenden fiir das quadratische Zuordnungsproblem (QAP) gezeigt wird. 4.3

Dummys im Konstruktionsgraphen

Das QAP ist NP-schwer (Garey u. Johnson 1979) und kann wie folgt beschrieben werden: Gegeben sind zwei nxn Matrizen A = (a^) und B = (^jj), die z.B. die Entfernungen zwischen n Orten und die Transportfrequenzen zwischen n Elementen angeben. Gesucht ist die Permutation, die /[TT) minimiert, wobei 7r[n) die Menge der Permutationen der n Elemente iiber die n Orte ist: n

n

mm in f(7t) = y y an bjr.rr. ;r€nO Die hohe betriebswirtschaftliche Relevanz des QAP zeigt sich bei vielen betrieblichen Layout-Entscheidungen, wenn Maschinen (oder Lager, Fabriken, Server etc.) so auf n Standorte zu verteilen sind, dass die Transportkosten minimal werden. Zur Losung dieses Problems wurden wiederholt Ameisenalgorithmen eingesetzt (Bonabeau et al. 1999, S. 56-67; Dorigo u. Stutzle 2004, S. 160-164). Der dabei genutzte Konstruktionsgraph besteht aus 2n Knoten, die vollstandig untereinander verbunden sind (vgl. Dorigo u. Stutzle 2004, S. 161). Wechselt eine Ameise von einem Ort / zu einem Element y, legt sie die Zuordnung des Elements j auf den Ort i fest. Hat sie alle Orte erreicht, ist eine Losung konstruiert. Integriert man Dummys und lasst unvollstandige Netze zu, kann das QAP (fUr eine n = 5 Instanz) auch mit dem Graph in Abb. 3 dargestellt werden. Sein Vorteil liegt erstens darin, eine problemnahe Abbildung anzubieten, in der pro Zuordnung ein Knoten vorgesehen ist. Zweitens wird der Konstruktionsprozess durch die Dummys in sinnvolle Abschnitte geteilt und drittens werden die Losungen eindeutig reprasentiert, ohne dass eine groBe Zahl an Kanten benotigt wird. Dummys konnen somit die Wahl eines geeigneten Graphen erheblich vereinfachen. Zudem kann der Graph leichter an die Spezifika des Problems angepasst

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Martin Feldmann

werden, wenn eine Strukturierung durch nicht informationstragende Knoten bzw. Kanten zugelassen wird. Die in der Abbildung dunkel hervorgehobenen Knoten sind die nicht informationstragenden Dummy-Knoten. Wahlt eine Ameise in der Spalte A den Knoten 1, weist sie das Element A dem Ort 1 zu und nimmt diesen Ort in ihre Knotenliste auf. Danach wechselt sie in den folgenden Dummy-Knoten und wendet sich der Zuordnung fiir das Element B zu, wobei der Ort 1 gemaB ihrer Knotenliste gesperrt ist.

5J

\5J

X5

Abb. 3. Konstruktionsgraph mit Dummys Die Pheromonbewertung wird nach Abschluss der Losungskonstruktion auf den Knoten ausgebracht, so dass die Ameisen gleichzeitig in beiden Richtungen L 6 sungen konstruieren konnen. SchlieBt man den Graphen zu einem Ring, in d e m der erste u n d der letzte D u m m y - K n o t e n identisch sind, konnen die Ameisen auBerdem in beliebigen Knoten ausgesetzt werden und die Konstruktion mit und gegen den Uhrzeigersinn vornehmen. Bislang wird der Leser hinsichtlich der Wahl des Konstruktionsgraphen darauf verwiesen, seiner Intuition und Erfahrung zu folgen, sich an bestehenden Graphen zu orientieren oder fiir jede mogliche Setzung einer Variablen einen Knoten vorzusehen (Stutzle u. Dorigo 2004, S. 211). Die Notwendigkeit, fUr nicht Standardprobleme Losungswege aufzuzeigen, sehen bislang nur Montgomery et al. (2004). Dort wird versucht, allgemein einen Ruckschluss von Problem-Eigenschaften auf geeignete Graphen herzustellen u n d daraus Designempfehlungen abzuleiten. D i e Potenziale von D u m m y s und unvollstandigen Graphen wurden bislang nicht diskutiert, obwohl sie wesentlich dazu beitragen konnen, Ameisensysteme auch auf Probleme anzuwenden, fiir die sich nicht unmittelbar ein Graph anbietet.

Ameisensysteme und Schwarme: Ein Beitrag zur konzeptionellen Einordnung

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Martin Feldmann

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Autorenverzeichnis Albach, Horst, Prof. Dr. Humboldt-Universitat zu Berlin, Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat Spandauer StraBe 1, 10178 Berlin Behrens, Sven, Dr. Ruhr-Universitat Bochum, Fakultat fur Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl fiir Produktionswirtschaft Universitatsstr. 150, 44801 Bochum Bierwirth, Christian, Prof. Dr. Martin-Luther-Universitat Halle-Wittenberg, Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat, Institut fur BWL, insbes. Produktion und Logistik GroUe SteinstraBe 73, 06108 Halle Feldmann, Martin, PD Dr. Universitat Bielefeld, Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaften, Lehrstuhl fiir Betriebswirtschaftslehre, insbes. Unternehmensforschung Universitatsstr. 25, 33615 Bielefeld Hildebrandt, Lutz, Prof. Dr. Humboldt-Universitat zu Berlin, Wirtschaftswissenschaftliche Fakultat Institut fUr Marketing Unter den Linden 6, 10099 Berlin Kalpakam, Saraswathi, Prof. Dr. Indian Institute of Technology Madras, Department of Mathematics Chennai - 600036, India Konig, Rolf, Prof. Dr. Universitat Bielefeld, Fakultat fur Wirtschaftswissenschaften, Lehrstuhl fiir Betriebswirtschaftslehre, insbes. Betriebliche Steuerlehre Universitatsstr. 25, 33615 Bielefeld Letmathe, Peter, Prof. Dr. Universitat Siegen, FB 5: Wirtschaftswissenschaften Lehrstuhl BWL III/ Umweltokonomik Holderlinstr. 3, 57068 Siegen Luhmer, Alfred, Prof. Dr. Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg, Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaft, Lehrstuhl fiir Untemehmensrechnung und Controlling Universitatsplatz 2, 39106 Magdeburg

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Autorenverzeichnis

Rogalski, Marlies, PD Dr. t Universitat Bielefeld, Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaften, Lehrstuhl fur Betriebswirtschaftslehre, insbes. Unternehmensforschung Universitatsstr. 25, 33615 Bielefeld Schumacher, Stephan, Dr. E.ON Westfalen Weser AG Bielefelder Str. 3, 32051 Herford Settnik, Ulrike, Dr. Bundesanstalt fiir Finanzdienstleistungsaufsicht Graurheindorfer Str. 108, 53117 Bonn Shanthi, Subramanian, Dr. Indian Institute of Technology Madras, Department of Mathematics Chennai - 600036, India Sommersguter-Reichmann, Margit, Dr. Technische Universitat Wien, Fakultat fiir Maschinenbau und Betriebswissenschaften, Institut fur Managementwissenschaften, Abteilung fiir Industrielle Betriebswirtschaftslehre und Wettbewerb Theresianumgasse 27/11, A-1040 Wien Sonntag, Susanne, Dr. noventum consulting GmbH Miinsterstr. H I , 48155 Munster Stepan, Adolf, Prof. Dr. Technische Universitat Wien, Fakultat fur Maschinenbau und Betriebswissenschaften, Institut fiir Managementwissenschaften, Abteilung fur Industrielle Betriebswirtschaftslehre und Wettbewerb Theresianumgasse 27/11, A-1040 Wien Steven, Marion, Prof. Dr. Ruhr-Universitat Bochum, Fakultat fiir Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl fiir Produktionswirtschaft Universitatsstr. 150, 44801 Bochum Temme, Dirk, Dr. Humboldt-Universitat zu Berlin, Wirtschaftswissenschafdiche Fakultat Institut fiir Marketing Unter den Linden 6, 10099 Berlin

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