Schwingungen mechanischer Antriebssysteme: Modellbildung, Berechnung, Analyse, Synthese

Hans Dresig Schwingungen und mechanische Antriebssysteme

Hans Dresig

Schwingungen und mechanische Antriebssysteme Modelbildung, Berechnung, Analyse, Synthese

Zweite Auflage Mit 192 Abbildungen und 46 Tabellen

123

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Hans Dresig Institut für Mechanik Professur Maschinendynamik/Schwingungslehre Straße der Nationen 62 09107 Chemnitz E-Mail: [email protected]

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ISBN-10 3-540-26024-2 2. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-26024-0 2. Aufl. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-41674-9 1. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001, 2006 Printed in EU Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Chemnitz Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: Medionet AG, Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier

7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Antriebssysteme haben die Aufgabe, K¨orper in Bewegung zu setzen und dabei zuverl¨assig und sicher zu funktionieren. Erfahrungsgem¨aß gibt es aber verschiedenartige dynamische St¨orerscheinungen in den Baugruppen zwischen Motor und Abtrieb, insbesondere bei Anlauf- und Bremsvorg¨angen oder bei bestimmten kritischen Drehzahlen. Beim Entwurf und der Konstruktion der mechanischen Antriebssysteme von Maschinen und Transporteinrichtungen, insbesondere des Verarbeitungsmaschinen- und Werkzeugmaschinenbaues, werden hohe Anspr¨uche an den Konstrukteur gestellt, der Aufgaben der Maschinendynamik l¨osen muß. Das beginnt mit der zweckm¨aßigen Konzeption eines Antriebssystems und geht bis zur Auslegung und Dimensionierung einzelner Bauelemente. Solche Aufgaben sind nur l¨osbar, wenn Klarheit u¨ ber die Gesetzm¨aßigkeiten herrscht, die das dynamische Verhalten der Antriebssysteme bestimmen. Die Entwicklung der rechnergest¨utzten Simulation, die eine Analyse festk¨orpermechanischer Erscheinungen in Wechselwirkung mit anderen Einfl¨ussen erlaubt und deren Integration in die CAD-Umgebung, ist gegenw¨artig der Inhalt vieler Forschungsprojekte. Im vergangenen Jahrzehnt gab es enorme Fortschritte bei der Entwicklung der numerischen und der experimentellen Methoden. Das dynamische Verhalten der Maschinenelemente und einiger Baugruppen dynamisch hoch beanspruchter Antriebssysteme ist von vielen Forschern intensiv analysiert worden, wor¨uber in zahlreichen Artikeln berichtet wird. Es ist ein Anliegen des Autors, einen Einblick in den aktuellen Stand zu geben. Es werden die neuesten Publikationen ber¨ucksichtigt, aber da es unm¨oglich ist, bei einer zusammenfassenden Darstellung auf allen Teilgebieten in die Tiefe zu gehen, wird nur exemplarisch gezeigt, wie weit die Modellbildung und Modellberechnung bei manchen Baugruppen bereits getrieben wurde. Das Buch wendet sich an Fachleute, die beim Entwurf der verschiedenartigsten Erzeugnisse dynamische Effekte ber¨ucksichtigen m¨ussen. Es behandelt festk¨opermechanische Antriebssysteme, also keine elektrischen, magnetischen, hydraulischen oder pneumatischen Antriebe. Die Wechselwirkung mit den elektrischen Antrieben wird stellenweise ber¨ucksichtigt, aber der wesentliche Inhalt bezieht sich auf das mechanische Verhalten von Antrieben des klassischen Maschinenbaues. Es wird die Verbindung zwischen den fundamentalen Methoden der Mechanik und den modernen Berechnungsmethoden gezeigt, um zur Integration solcher an den Technischen Universit¨aten und Fachhochschulen vertretenen Grundlagengebiete wie Angewandte Mechanik, Konstruktionstechnik, Maschinenelemente, Getriebe- und Antriebstechnik, Maschinendynamik, Schwingungstechnik, Simulationstechnik und Mechatronik einerseits und den Anwendungsgebieten, wie z. B. allgemeiner Maschinenbau, F¨ordertechnik, Verarbeitungsmaschinen und Werkzeugmaschinen andererseits beizutragen.

VI

Vorwort

Das Buch soll dem Leser helfen, spezifische dynamische Erscheinungen in Antriebssystemen kennenzulernen, zu analysieren, zu bewerten, zu berechnen und konstruktiv zu beeinflussen. Es werden deshalb typische dynamische Effekte erkl¨art und behandelt, die bei der Entwicklung eines Erzeugnisses zu beachten sind, wenn z. B. durch die Drehzahlerh¨ohung ein h¨oheres dynamisches Problemniveau“ er” reicht wird. Manche der Erkenntnisse werden in Form allgemeiner Regeln zusammengefaßt. Allen Mitarbeitern meines Lehrstuhls, insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Gao , Dr.-Ing. Ludwig Rockhausen, Dr.-Ing. Paul Rodionow, Dr.-Ing. Xingliang Holger Weiß und Dipl.-Ing. J¨org Weiß sowie dem Studenten Arnd Golle, die mit ihren Diskussionen und bei der Berechnung von Beispielen behilflich waren, m¨ochte ich f¨ur die Mitarbeit danken, insbesondere auch Frau Gisela Richter, die alle meine W¨unsche bei der Zeichnung von Bildern und Tabellen erf¨ullte und Frau Eugenia Tereschenko, die mich bei der Literaturbeschaffung sehr unterst¨utzte. Dank f¨ur Anregungen und Diskussionen richte ich auch an die mir kollegial verbundenen Herren Dr.-Ing. A. Laschet (ARLA Maschinentechnik/Wipperf¨urth), Dipl.-Ing. U. Schreiber (ITI Dresden), Dipl.-Ing. E. Schr¨oder (Mannesmann Dematic/Wetter), Dr.-Ing. C. Spensberger (Kupplungswerk Dresden) und Dr.-Ing. H. Wiese (MAN Roland Druckmaschinen/Offenbach), die mir Parameterwerte, praktische Beispiele und Bildmaterial zur Verf¨ugung stellten. Ich danke auch den Herren Prof. Dr. sc. nat. I. I. Blekhman (Russische Akademie der Wissenschaften/Sankt Petersburg), Dr.-Ing. A. Fidlin (Fa. LuK Antriebssysteme/B¨uhl), Dr. sc. techn. P. Hupfer (Fraunhofer-Institut f¨ur Werkzeugmaschinen und Umformtechnik Chemnitz), Prof. Dr. rer. nat. E. Kr¨amer (Technische Universit¨at Darmstadt), Prof. Dr. sc. techn. H. Loose (Fachhochschule Brandenburg), Prof. Dr.-Ing. H. H. M¨uller-Slany (Universit¨at Duisburg) und Dipl.-Ing. Friedmar Dresig (Robert Bosch GmbH Stuttgart), die Teile des Manuskriptentwurfs gelesen und mich mit ihren kritischen Fragen und Anmerkungen zu klareren Formulierungen und Erg¨anzungen veranlaßt haben. Besonders danke ich Herrn Dr.-Ing. Steffen Naake, der mit viel Geduld, Sachkenntnis und Verst¨andnis aus meiner sich im Laufe von zwei Jahren entwickelnden Manuskriptvorlage das Buchmanuskript in die vorliegende Form gebracht hat. Herrn Dr. Merkle vom Springer-Verlag danke ich f¨ur die verst¨andnisvolle Zusammenarbeit. Dankbar bin ich auch Barbara, meiner lieben Frau, ohne deren ermunternden Beistand dieses Buch nicht entstanden w¨are. Auerswalde, Dezember 2000

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Hans Dresig TU Chemnitz Institut f¨ur Mechanik Professur Maschinendynamik/Schwingungslehre e-mail: [email protected] http://www.mb1.tu-chemnitz.de

Vorwort zur 2. Auflage

F¨ur die zweite Auflage wurden Druckfehler eliminiert sowie Korrekturen und einige Erg¨anzungen vorgenommen. Zur Modellbildung gibt es neue Abschnitte, die sich auf die Vermeidung steifer Systeme (Abschn. 2.1.2.3), auf geschlossene Frequenzgleichungen von Kontinua-Biegeschwingern (Abschn. 2.4.4.2), auf die Reibung (Abschn. 2.4.7) und die modale Anregbarkeit (Abschn. 5.2.1) beziehen. Der bisherige Abschn. 4.7 wurde als Abschn. 2.4.5 eingeordnet. Ganz neu geschrieben wurden die Abschnitte u¨ ber Planetengetriebe (Abschn. 4.7), Stoßfolgen (Abschn. 5.4.5) und Vibrationsh¨ammer (Abschn. 5.7.4). Darin werden jeweils konkrete Maßnahmen zur Schwingungsminderung empfohlen. Im Literaturverzeichnis wurden schwer erreichbare und/oder veraltete Literaturstellen gestrichen, aber daf¨ur neueste Literatur an 35 Stellen erg¨anzt. Auerswalde, Juni 2005

Prof. em. Dr.-Ing.-habil. Hans Dresig Mittelstr.1 09244 Lichtenau [email protected]

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1

Modellbildung mechanischer Antriebssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 5 Einf¨uhrung in die Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Ziele der Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Typen der Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2.2 Einteilung der Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2.3 Zur Vermeidung steifer“ Systeme . . . . . . . . . . . . . . 22 ” 2.1.3 Beispiel: Antrieb eines Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bewertung von Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Regeln zur Verifikation von Modellgleichungen . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Normierung der Parameter und der Variablen . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Berechnungsmodelle von Schubkurbelgetrieben . . . . . . . . . . . 31 2.2.3.1 Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3.2 Elastisches Abtriebsglied mit Spiel . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3.3 Spiel im Kurbelgelenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3.4 Zur Kolbensekund¨arbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4 Beispiele f¨ur mehrere Modellstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.4.1 Modellgleichungen von Rotoren mit Unwucht . . . . . . 45 2.2.4.2 Schadensfall an einer Pumpenwelle . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.4.3 Versuchsstand mit Unwuchterreger . . . . . . . . . . . . . . 52 Induktive Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.2 Parametererregte Schwingungen einer Buchschneidemaschine . 58 2.3.3 Selbsterregte Schwingungen eines Wicklers . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.4 Instation¨are Bewegungen bei Kranen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.4.1 Anheben der Last vom Boden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.4.2 Heben und Senken (Modell mit n = 2) . . . . . . . . . . . 71 2.3.4.3 Heben und Senken (Modell mit n = 4) . . . . . . . . . . . 79 2.3.4.4 Antriebsmoment bei Wippkranen . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.5 Diskrete Schwinger statt Kontinua (Balken- und Stabmodelle) . 86 Deduktive Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.2 Grundfrequenz von Schleifspindeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4.3 Von 23 zu 5 Parametern (Fahrbewegung eines Br¨uckenkrans) . . 101 2.4.4 Von r¨aumlichen zu eindimensionalen Balken- und Stabmodellen 105 2.4.4.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.2

2.3

2.4

1

X

2.5

2.6

Inhaltsverzeichnis

2.4.4.2 Biegeschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.3 L¨angs- und Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . 2.4.4.4 Modellierung einer Getriebewelle . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Schwenkbewegung eines Auslegerarms . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Modellreduktion mit der Mittelungsmethode . . . . . . . . . . . 2.4.7 Reibungseinfl¨usse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7.1 Zur Modellierung der Reibung . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7.2 Einflußder Schwingungen auf die Reibungszahl . . . Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Sensitivit¨atsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Parameterermittlung aus gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Identifikation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden . . . . . Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Grundlagen der Freiheitsgradreduktion . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.6.2 Statische und dynamische Kondensation (G UYAN , R OHRLE ) 2.6.3 Reduktion nach R IVIN und D I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Modale Reduktion und Eigenformapproximation . . . . . . . . . 2.6.5 Vergleich der Reduktionsmethoden an einem Beispiel . . . . . 2.6.6 Modale Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.7 Kopplung von zwei Schwingerketten . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

113 119 121 124 131 132 132 134 139 139 139 142

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

146 150 153 153 155 157 159 160 164 167

3.5

Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen . . . . . . 173 ¨ Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern . . . . . . . 173 Parameterwerte einzelner Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.2.1 Zylinder- und Kegelelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.2.2 Zusatzl¨angen und Nachgiebigkeitsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2.3 Drehsteifigkeiten von Kurbelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.2.4 D¨ampfungswerte von Torsionsschwingern . . . . . . . . . . . . . . . 186 W¨alzlager und Fugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.3.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.3.2 Kugel- und Rollenlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.3.3 Fugen, Kontaktstellen, Gleit- und W¨alzf¨uhrungen . . . . . . . . . . 194 Getriebe, Kupplungen, Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.4.1 Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.4.2 Berechnungsmodelle f¨ur nachgiebige Kupplungen . . . . . . . . . . 199 3.4.2.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.4.2.2 Berechnungsmodell f¨ur Elastomerkupplungen . . . . . . 201 3.4.2.3 Nichtlineare Effekte bei biharmonischer Erregung . . . . 204 3.4.3 Asynchronmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 D¨ampfungskennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4 4.1 4.2

Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen . . . . . . . 219 Anlaufvorgang eines Antriebs mit Asynchronmotor . . . . . . . . . . . . . . 219 Fahrzeug-Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

3 3.1 3.2

3.3

3.4

XI

Inhaltsverzeichnis

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5 5.1

5.2

5.3

Kupplungen im Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 L¨ufterantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Druckmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Schwingungen am Abtriebsglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Schwingungen infolge elastischer Antriebsglieder . . . . . . . . Selbsthemmende Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Keilschubgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Schneckengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingungen von Zugmittelgetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Eigenfrequenzen des Zweischeiben-Riemengetriebes . . . . . . 4.6.3 Erzwungene und parametererregte Schwingungen . . . . . . . . 4.6.4 Kettengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Zahnriemengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planetengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Bewegungsgleichungen eines einfachen Berechnungsmodells 4.7.3 Beispiel: Getriebe mit drei Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4 Vergleich von drei F¨allen unterschiedlicher Zahneingriffe . . . Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Herleitung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 L¨osung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4 Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irregul¨are Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Querstoßan F¨uhrungsbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.9.2 Nachlauf nach dem Abschalten (Uberlastsicherung) .......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228 228 229 233 236 236 241 246 250 250 251 254 262 262 264 268 270 277 279 279 280 283 286 288 288 290 293 295 298 298 301

Zur Synthese von Antriebssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Regeln zur dynamischen Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.1.1 Zur Struktursynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.1.2 Modellstufe Starrk¨orpersystem“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 ” 5.1.2.1 Bewegung eines einzelnen Starrk¨orpers . . . . . . . . . . . 311 5.1.2.2 Bewegung von Starrk¨orpersystemen . . . . . . . . . . . . . 312 5.1.3 Modellstufe Lineares Schwingungssystem“ . . . . . . . . . . . . . . 315 ” 5.1.4 Modellstufe Nichtlineares Schwingungssystem“ . . . . . . . . . . 318 ” Modale Anregbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 5.2.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 5.2.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Optimale Auslegung von Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.3.1 Konturen von Unwuchtmassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.3.2 Kompensatoren f¨ur ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Getriebe . . . . 326

XII

5.4

5.5

5.6

5.7

Inhaltsverzeichnis

¨ 5.3.3 Ubersetzungsverh¨ altnisse bei minimalem Tr¨agheitsmoment . . 5.3.4 Stabprofile f¨ur extreme Eigenfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . Optimale Bewegungsabl¨aufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Instation¨are Starrk¨orperbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Eigenbewegung von Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Anlaufen und Bremsen eines linearen Schwingers . . . . . . . . . 5.4.3.1 Vergleich von Anlauffunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.2 Optimaler Antriebskraftverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Rechteckspr¨unge und Restschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 St¨oße und deren Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.1 Einzelstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.2 Mehrere St¨oße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.3 Endlose Stoßfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Resonanzdurchlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Gestellschwingungen und Massenausgleich . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Torsionsschwingungen und Leistungsausgleich . . . . . . . . . . . 5.5.3 HS-Profile bei Kurvengetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.2 Rastgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.3 Schrittgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Beeinflussung des Erregerspektrums mehrgliedriger Koppelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimale St¨utzenabst¨ande angetriebener Balken . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Gekoppelte Biege- und Torsionsschwinger . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Balken auf mehreren St¨utzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antriebe von Vibrationsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Schubkurbelgetriebe als Schwingungserreger . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Unwuchterreger und Selbstsynchronisation . . . . . . . . . . . . . 5.7.3.1 Zur historischen Entwicklung dieser Antriebsart . . . . 5.7.3.2 Bedingungen f¨ur stabile Betriebszust¨ande von Unwuchtrotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3.3 Beispiele f¨ur Vibrationsantriebe mit Selbstsynchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Vibrationshammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.1 Minimale konstante Handkraft . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.2 Dynamisch ausgeglichener pneumatischer Schlaghammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327 329 332 332 336 339 339 344 347 354 354 354 358 360 366 372 372 375 378 378 382 384

. . . . . . . . . .

391 393 393 394 397 404 404 405 410 410

. 412 . 416 . 421 . 421 . 423

H¨aufig benutzte Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

1 Einleitung

Antriebssysteme sind das Herzst¨uck aller Maschinen. Die technische Entwicklung (Steigerung der Drehzahlen, der Genauigkeit, der Produktivit¨at, des Wirkungsgrades oder die Senkung des L¨arm- und Schwingungspegels) verlangt bei vielen Antrieben vom Entwickler und Konstrukteur die L¨osung dynamischer Probleme. Schon im Stadium der Projektierung und Konstruktion (also vor dem Musterbau) sollen dynamisch g¨unstige L¨osungen gefunden werden. Vielfach muß der Ingenieur in seiner Firma ein konkretes Problem m¨oglichst schnell, kosteng¨unstig, umweltfreundlich und dauerhaft l¨osen. Was kann man einem Antriebstechniker dazu f¨ur Ratschl¨age geben, wo jedes Erzeugnis und jedes Problem seine Besonderheiten hat? Es kann n¨utzlich sein, die L¨osung vergleichbarer Fragestellungen aus Nachbargebieten zu beachten, um die Fehler, die andere gemacht haben, zu vermeiden. Es gibt erzeugnisunabh¨angige allgemeine Probleme in der Antriebsdynamik. Dazu z¨ahlen: • die Erf¨ullung der von der Technologie (vereinfacht gesagt: an der Kontaktstelle zwischen Werkzeug und Werkst¨uck) gestellten Anforderungen, • Probleme der Modellbildung (von der Problemformulierung bis zur Deutung der Meß- und Rechenergebnisse), • gemeinsame Grundlagen aus der Physik (dynamisches Verhalten, modale und spektrale Betrachtungsweise), • Realisierung von solchen Standardaufgaben“ wie Anfahren, Bremsen, eine Be” wegung erzeugen, Resonanzdurchlauf, • Bewertung von Parametereinfl¨ussen. Man k¨onnte die Probleme der Antriebsdynamik danach ordnen, welche Objekte wie in Bewegung versetzt, wie sie r¨aumlich und zeitabh¨angig bewegt werden, also z. B.: • bewegte Objekte: Punktmassen, starre K¨orper, Mechanismen, St¨abe, Biegebalken, Strukturen, Platten, Scheiben, Schalen, • Bewegung im Raum: rotierend, vibrierend, translatorisch, auf ebenen oder r¨aumlichen Bahnen, • Bewegungsablauf in der Zeit: stetig beschleunigend oder verz¨ogernd, unstetig (stoßartig, sprunghaft), harmonisch, periodisch. Aus der Kombination der verschiedenen F¨alle in diesen drei Punkten resultiert die ganze Vielfalt der praktischen Fragestellungen, wie sie z. B. bei solchen Bewegungen wie

2

1 Einleitung

• rotierenden Bewegungen von Schleifspindeln, Textilspindeln, Wicklern, Zentrifugen, Unwuchterregern, • vibrierenden Bewegungen von Schwingf¨orderern, Webladen und Nadelbarren in Textilmaschinen und R¨utteltischen, • gleichf¨ormigen Bewegungen von Zahnrad-, Planeten- und Riemengetrieben, • ungleichm¨aßigen Bewegungen von Kurven-, Koppel- und R¨aderkoppelgetrieben vorkommen, oder bei unerw¨unschten Schwingungen in Motoren, spielbehafteten Lagern und Gelenken und bei den Abtriebsbewegungen (Positioniergenauigkeit). Grundlagenkenntnisse sind zeitlos g¨ultig und auf verschiedene Erzeugnisse (auch auf noch nicht existierende!) u¨ bertragbar. Die theoretischen und experimentellen Methoden und Verfahren, die von den Bearbeitern konkreter Probleme in der Literatur erw¨ahnt werden, wiederholen sich. Der Autor hat sich bem¨uht, die unver¨anderlichen gemeinsamen Grundlagen so zu vermitteln, daß man die in der Praxis auftauchenden Probleme einordnen und l¨osen kann. Dazu geh¨ort die Deutung komplizierter Erscheinungen (auch von Rechen- oder Meßergebnissen) durch die Zur¨uckf¨uhrung auf Elementarvorg¨ange, wozu z. B. die Beachtung von Eigenbewegungen (und als Sonderfall davon die modale Betrachtungsweise) geh¨ort. Die Entwicklung der Software hat in den vergangenen Jahren große Fortschritte gemacht, so daß heutzutage Probleme l¨osbar sind, die noch vor einigen Jahren wegen der damit verbundenen numerischen Probleme unl¨osbar schienen. Es ist nicht mehr n¨otig, die Gleichungen aufzustellen und analytisch zu l¨osen, aber zum physikalischen Verst¨andnis tr¨agt die Rechnung von Hand“ wesentlich bei. Im vorliegenden Buch ” werden analytische L¨osungen vorgestellt: • wenn es um einfach l¨osbare Aufgaben geht, • wenn analytische Zusammenh¨ange die u¨ bersichtliche Darstellung von Parametereinfl¨ussen erm¨oglichen, • wenn analytische Zusammenh¨ange zur Vorbereitung numerischer Auswertungen interessieren und • wenn dimensionslose Kenngr¨oßen eingef¨uhrt werden. Mit der Einsatzm¨oglichkeit leistungsf¨ahiger Software sind allerdings einige neue Problemgruppen entstanden. Dazu geh¨oren: • h¨ohere Anforderungen an die Kunst der Modellbildung“ (die Problembearbei” ter m¨ussen die physikalischen Zusammenh¨ange verstehen, bevor Software eingesetzt wird), • neue Anforderungen an Eingabedaten (insbesondere f¨ur Erregungen, Steifigkeiten und D¨ampfungen fehlen Parameterwerte), • neue Anforderungen bez¨uglich der Ergebniskontrolle (Computerergebnisse bewerten, Rechenergebnisse u¨ berpr¨ufen), • h¨ohere Anforderungen an die Ergebnisinterpretation und Phantasie bei der konstruktiven Umsetzung. Das zweite Kapitel befaßt sich deshalb ausf¨uhrlich mit Fragen der Modellbildung. Das dritte Kapitel geht auf die Besonderheiten von Torsionsschwingungen in Antriebsstr¨angen ein.

1 Einleitung

3

Das vierte Kapitel befaßt sich mit gekoppelten Biege-, L¨angs- und Torsionsschwingungen. Das f¨unfte Kapitel widmet sich Syntheseaspekten, darunter auch mit optimalen Bewegungsabl¨aufen und Fragen der Struktursynthese. Es werden viele Beispiele aus der Konstruktionspraxis dargestellt. Eine erzeugnisunabh¨angige und problemorientierte Betrachtungsweise erlaubt, Querverbindungen bez¨uglich der Formulierung und L¨osung dynamischer Probleme herzustellen. Es kommt dem Autor darauf an, die M¨oglichkeiten der gezielten konstruktiven Einflußnahme auf den verschiedenen Ebenen der Problembearbeitung zu zeigen. Es werden die Grundlagenkenntnisse der Mathematik und Mechanik vorausgesetzt, die ein Diplomingenieur des Maschinenbaues w¨ahrend seines Studiums normalerweise erworben hat, z. B. Methoden zur Aufstellung von Differentialgleichungen und Grundlagen der Matrizenrechnung. L¨osungsmethoden f¨ur Gleichungen, Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme werden wie die handels¨ubliche Software als black box behandelt. Es wird auf dem im Lehrbuch der Maschinendynamik [150] vermittelten Stoff aufgebaut. Der Autor stellt eigene Forschungsergebnisse vor und ber¨ucksichtigt bei der Stoffauswahl den gegenw¨artigen internationalen Entwicklungsstand. Dazu wurde neben der Literatur des deutschen und englischen Sprachraums auch die sonst wenig beachtete osteurop¨aische Literatur ausgewertet. Am Ende vieler Kapitel erfolgt ein Ausblick auf den aktuellen Stand bei der Untersuchung des behandelten Objekts, wie er sich in Dissertationen und weiterf¨uhrenden Forschungsberichten darstellt, so daß der interessierte Leser auch Anregungen f¨ur eigene weitergehende Arbeiten findet.

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung 2.1.1 Ziele der Modellbildung Ein reales Antriebssystem l¨aßt sich durch kein Berechnungsmodell so abbilden, wie ” es wirklich ist“. Ein Berechnungsmodell ist stets das Ergebnis einer Abstraktion und soll f¨ur einen bestimmten Zweck verwendbar sein. F¨ur ein und dasselbe Antriebssystem k¨onnen durchaus unterschiedliche Berechnungsmodelle zweckm¨aßig sein, je nach den Fragen, die gestellt oder den Antworten, die gesucht werden. Man benutzt Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik aus drei Gr¨unden: 1. Zeit- und Kostenersparnis bei der Entwicklung neuer oder verbesserter Erzeugnisse dadurch, daß an Stelle teurer Versuchsst¨ande (oder Messungen an der realen Maschine, deren Betrieb man unterbrechen muß) die dynamische Simulation am Computer erfolgen kann. 2. Kl¨arung physikalischer Ursachen f¨ur st¨orende Erscheinungen (z. B. Resonanzschwingungen, Br¨uche, L¨arm). St¨or- und Schadensf¨alle haben, nachdem sie intensiv ausgewertet wurden, oft zur Verbesserung der Modellbildung und zum Modellverst¨andnis beigetragen. 3. Ermittlung optimaler Parameterwerte hinsichtlich der jeweiligen speziellen Kriterien (z. B. Materialaufwand, Energiebedarf, Steifigkeit, Lage der kritischen Drehzahlen u. a.). In den vergangenen Jahren haben die M¨oglichkeiten zur modellgest¨utzten Analyse mechanischer Systeme an Bedeutung gewonnen, da sich durch die Leistungsf¨ahigkeit der Computer und der Software der zeitliche und finanzielle Aufwand f¨ur Simulationsrechnungen bedeutend vermindert hat. Demgegen¨uber sind Pr¨ufstandversuche zeit- und kostenaufwendig geblieben. Allgemein kann man sagen: Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik haben den Zweck, das dynamische Verhalten der Objekte (Maschinenelemente, Baugruppen oder das Gesamtsystem) qualitativ richtig darzustellen und die quantitative Berechnung von Kraftund Bewegungsgr¨oßen zu erm¨oglichen, so daß der Einfluß aller f¨ur die jeweilige Fragestellung wesentlichen konstruktiven Parameter auf das dynamische Verhalten erkennbar und interpretierbar wird.

6

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

In einer fr¨uhen Konstruktionsphase, die ohne gesicherte experimentelle Untersuchungen auskommen muß, kann man nur von wenigen Parameterwerten ausgehen. Es empfiehlt sich, in diesem Stadium die Parameter zu variieren und zu analysieren, welchen Einfluß Parameter¨anderungen haben. Erst in einer sp¨ateren Konstruktionsphase, wenn schon ein Funktionsmuster gebaut wurde, kann man mit experimentellen Ergebnissen vergleichen. Da eine experimentelle Untersuchung nur mit zus¨atzlichem Aufwand mehrere Parameter¨anderungen zul¨aßt, ist es prinzipiell schwierig, daraus allgemeing¨ultige Aussagen f¨ur große Parameterbereiche zu gewinnen. Ein deutlicher Vorteil bei experimentellen Untersuchungen sind die unvereinfachten“ realen Verh¨altnisse des Ob” jekts. Der Prozeß der Modellbildung in der Antriebsdynamik ordnet sich in einen allgemeinen Prozeß der Systemdynamik ein, der in [42] beschrieben wird, vgl. Bild 2.1.

Bild 2.1 Simulation dynamischer Systeme [42]

Die Modellbildung in der Antriebsdynamik betrifft physikalische, mathematische und analytisch/numerische Gesichtspunkte. F¨ur dieselbe Fragestellung k¨onnen unterschiedliche Bearbeiter durchaus verschiedene physikalische Modelle zur Problembeschreibung benutzen, also z. B. kontinuierliche Modelle oder diskrete Modelle, vgl. die Abschnitte 2.3.5 und 2.4.4. Es ist durchaus m¨oglich, dasselbe reale Objekt sowohl mit der Methode der Finiten Elemente (FEM) als auch mit der Methode der Mehrk¨orper-Systeme (MKS) zu beschreiben und zu berechnen. Bereits bei der Modellbildung hat man sich auf die Nutzung des großen Angebots an kommerziel¨ ler Software f¨ur die Modellberechnung einzustellen. Tabelle 2.1 gibt eine Ubersicht u¨ ber einige in der Antriebsdynamik vielfach eingesetzte Programmsysteme. Es besteht die Gefahr, daß man bei der Beschr¨ankung auf vorhandene Software die analytischen Zusammenh¨ange vergißt“. Analytische Methoden behalten ihre ” ¨ Bedeutung f¨ur Absch¨atzungen, f¨ur Plausibilit¨atsbetrachtungen,f¨ur die Ahnlichkeits¨ mechanik und f¨ur alle Uberlegungen zur Normierung und Skalierung von Parameterwerten.

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

Tabelle 2.1 Programmsysteme f¨ur die Antriebsdynamik Nr. 1

Name ABAQUS

2

alaska

3

ANSYS

4

ARLA
SIMUL

5

DRESP

6

ITI
-SIM

7

LS-Dyna

8

mHSL

9

MSC

10

Pro/ Mechanica

Kurzbezeichnung Nichtlineares FEM-Berechnungsprogramm (explizite und implizite Zeitintegration), große Verformungen, Kontakt, nichtlineare Materialgesetze Simulation von Mehrk¨orpersystemen einschließlich elektromechanischer Systeme (nichtlinear/linear) zus¨atzliche Differentialgleichungen formulierbar, Modalanalyse Universelles FEM-Programmpaket f¨ur Statik, Dynamik, Temperaturfeld, elektromagnetische Felder, Str¨omung; Große Verformungen, Nichtlinearit¨aten, Kontakt, Station¨are und transiente Berechnungen Berechnung linearer/nichtlinearer Torsionsschwingungssysteme (instation¨ar/ station¨ar), insbesondere Antriebsstr¨ange; Frequenzanalyse, Modalanalyse Simulation des dynamischen Anlagenverhaltens, insbesondere des Drehschwingungsverhaltens von Antriebssystemen Simulationssoftware f¨ur mechanische, elektrische, hydraulische, pneumatische und thermische Komponenten- und Systemanalyse inklusive Regelung Nichtlineares FEM-Programm (explizite und implizite Zeitintegration), Statik und Dynamik, große Verformungen, Kontakt, nichtlineare Materialgesetze, crash und impact Simultane Generierung und Optimierung von bis zu 5 HS-Bewegungsgesetzen (Lagefunktionen) unter Vorgabe von bis zu 120 Forderungen; Ber¨ucksichtigung des Schwingungsverhaltens Mehrk¨orpersimulation, Modalanalyse, Gesamtsystemanalyse Produktfamilie f¨ur funktionelle Simulationsl¨osungen in Verbindung mit dem CAD-Modell f¨ur strukturelle, thermische und mechanische/dynamische Fragestellungen Lineare Statik und Dynamik, Parameteroptimierung, abgeschlossenes FEM-Programm

Internet-Adresse: http://. . . www.abaqus.de

www.tu-chemnitz.de/ifm

www.cadfem.de [10], [312]

www.arla.de [213], [301]

www.ime.rwth-aachen.de/ ˜dresp/

www.iti.de [302], [285]

www.dynamore.de

www.mb.tu-chemnitz.de/ MADYN/

www.mscsoftware.com www.rand.com

7

8

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.1 Programmsysteme f¨ur die Antriebsdynamik (Fortsetzung) Nr. 11

Name SAM

12

SAMCEFMECANO

13

SIMPACK

14

WinDAM

Kurzbezeichnung Getriebeentwurf Bewegungs- und Kraftanalyse von 2-DGetrieben (als Starrk¨orpermechanismus) Mehrk¨orpersimulation von Starrk¨orpern und/oder flexiblen 2-D- oder 3-D-Strukturen Simulation beliebiger mechanischer Systeme FEM, CAD kinetostatische Analyse ebener Mechanismen mit mehreren Antrieben und beliebiger Struktur Integration der Bewegungsgleichung partielle Ableitungen berechenbar

Internet-Adresse: http://. . . www.artras.nl

software.de/sw/software/

www.cam-uksimpack.demon.co.uk/ siminfo.html www.mb.tu-chemnitz.de/ MADYN/

Ein Unterschied zwischen verschiedenen Berechnungsmodellen besteht oft im Aufwand, sowohl bei der physikalischen und mathematischen Beschreibung als auch bei der L¨osung der Modellgleichungen. Die konstruktiven Schlußfolgerungen k¨onnen unabh¨angig vom betriebenen mathematischen oder numerischen Aufwand sein, d. h., es ist im Idealfall m¨oglich, daß man mit Minimalmodellen die geforderten Aussagen zur Beeinflussung des realen Objekts finden kann. Jede Modellberechnung bezieht sich auf eine bei der Modellbildung festzulegende topologische Struktur. Eine charakteristische Gr¨oße f¨ur ein Berechnungsmodell ist der Parametervektor, der die Gesamtheit der Modellparameter erfaßt, mit denen das reale Objekt beschrieben wird. Das reale Objekt wird also stets auf eine endliche Anzahl von K Einflußgr¨oßen reduziert, vgl. Tabelle 2.2. Modellbildung beginnt mit der Definition eines Parametervektors, also der Einflußgr¨oßen, die u¨ berhaupt in Betracht gezogen werden. Konstruktive Maßnahmen“ ” beziehen sich lediglich auf die Umsetzung der am Berechnungsmodell gefundenen zweckm¨aßigen Parameterwerte. Konstruieren ist in diesem Sinne das Festlegen von Zahlenwerten f¨ur die Komponenten der Parametervektoren. Ein reales Objekt wird durch hunderte oder tausende von Parameterwerten definiert, aber nicht alle werden in Berechnungsmodellen erfaßt. Jedes Berechnungsmodell beschr¨ankt sich auf eine endliche Anzahl von Parametern. Manchmal sind noch nicht einmal Minimalmodelle notwendig, um konstruktive Entscheidungen zu treffen. Oft legt ein Experte, der ein tiefes Verst¨andnis des physikalischen Hintergrundes besitzt, die wesentlichen Parameterwerte fest. Auf Grund umfangreicher Erfahrungen kann man auch zu Ergebnissen gelangen, die sich scheinbar nur mit komplizierten Berechnungsmodellen begr¨unden lassen. In einigen Industriezweigen, wo hochwertige Produkte produziert werden, sind oft komplizierte Berechnungsmodelle u¨ blich. Diese sind in jahrzehntelanger Wechselwirkung zwischen Rechnung und Messung entwickelt worden. Das trifft z. B. auf den Turbinenbau, Schiffbau, Fahrzeugbau und die Luft- und Raumfahrttechnik zu, wo hunderte von Mannjahren in die Entwicklung zutreffender Berechnungsmodelle

9

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

Tabelle 2.2 Anzahl der Parameter im Parametervektor p bei typischen Beispielen Gl.-Nr.

Tabelle 2.6

(2.38), (2.47)

2.7

2.2.3

2.8

2.20 2.26 2.29 2.33 2.37 2.39 2.47 2.60

2.2.4.1 2.2.4.2 2.2.4.3 2.3.3 2.3.4.2 2.3.4.3 2.3.5 2.4.2 2.4.3 2.4.4.4 2.5.3

2.57

(2.75) (2.81)

Objekt Ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Mechanismen Schubkurbelgetriebe

Anzahl K 2...5

3...9 8 8 15 6 11 7 11 23 15 (9) 4

2.5.1.2

Rotoren mit Unwucht Pumpenwelle Versuchsstand Wickler Hubwerk Hubwerk Elastisch gelagerter Balken Schleifspindel Fahrbewegung Br¨uckenkran Getriebewelle Torsionsschwinger mit zwei Freiheitsgraden Torsionsschwingerkette

3.13

3.4.2.2

Scheibenkupplung

5

4.3

3.4.3 4.2

Asynchronmotor Torsionsschwingung Fahrzeugantriebsstrang Schneckengetriebe Biege- und Torsionsschwingung Riemen L¨angs- und Torsionsschwingung Riemengetriebe Zahnriemen Planetengetriebe Regalbedienger¨at Koppelgetriebe Schrittgetriebe Kettenwirkmaschine

6 31

2.13

(2.162) (2.173) (2.217) 2.12 2.17 (2.397) (2.368), (2.372) (3.63), (3.64) (3.69) 4.1 (4.46) (4.47)

Bild

Abschnitt 2.1.2.3

4.21

4.5.3 4.6.2

(4.48)

4.25

4.6.2

(4.84)

4.30 4.31 4.36 5.36 5.43 5.49

4.6.5 4.7.2 4.8.4 5.5.1 5.5.3.3 5.6.2

(4.140) (5.217) (5.243)

4.4

6...9

7

15 8 17 6 9 13 15 7 6

und deren Umsetzung in erzeugnisorientierte Spezialprogramme investiert wurden. Dort ist es m¨oglich und u¨ blich, das dynamische Verhalten vieler Baugruppen bei allen denkbaren dynamischen Vorg¨ange mit Berechnungsmodellen zu simulieren. F¨ur viele solcher hochentwickelten Objekte existieren ausgereifte Berechnungsmodelle, die die realen Verh¨altnisse sehr gut wiedergeben. Von Modellbildung“ im engeren Sinne kann man eigentlich nur dann sprechen, ” wenn f¨ur einen realen Vorgang ein Berechnungsmodell u¨ berhaupt erst gebildet wer-

10

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

den soll. Existiert bereits ein Berechnungsmodell und werden bei der Erzeugnisentwicklung neue Parameterbereiche (z. B. h¨ohere Drehzahl, neuer Werkstoff, gr¨oßere Abmessungen) angestrebt, muß dabei eine Modellbildung“ den Geltungsbereich des ” bisherigen Berechnungsmodells erweitern. Im allgemeinen Maschinenbau sind f¨ur viele Objekte und Vorg¨ange noch keine ausreichenden Berechnungsmodelle vorhanden. Der Prozeß der Modellbildung ist bei vielen Baugruppen gegenw¨artig in vollem Gange, und es gibt bisher noch keine allgemeing¨ultige Modellbildungs-Strategie. Im Abschnitt 2.3 wird die induk” tive Modellbildung und im Abschnitt 2.4 die deduktive Modellbildung“ als Stra” ” tegie erl¨autert, aber in der Praxis werden meist gemischte“ heuristische Strategien ” benutzt. Abschließend seien noch einige Regeln genannt, die man bei der Modellbildung beachten sollte: 1.

Man beginne mit der Modellbildung erst dann, wenn man die dynamischen Vorg¨ange am realen Objekt kennt und in der Lage ist, physikalisch begr¨undete Hypothesen zu formulieren. 2. Ein Berechnungsmodell muß zweckm¨aßig und qualitativ richtig sein. Es soll so einfach wie m¨oglich und nur so kompliziert sein, daß es die gestellten Genauigkeitsanforderungen erf¨ullt. Ein Modell wird durch pr¨azise Eingabedaten nicht qualitativ besser. 3. Kein Modell bildet die Realit¨at absolut richtig ab, die Genauigkeit jedes Parameterwertes ist begrenzt, und die Modellstruktur ist ein endlicher Ausschnitt aus der unbegrenzten Realit¨at. 4. Außerhalb des Geltungsbereichs eines Berechnungsmodells kann die Berechnung große Abweichungen von der Realit¨at und sogar unsinnige Ergebnisse liefern. 5. Man erweitere Berechnungsmodelle bei Bedarf und ziehe aus Modellstufen niederer Ordnung keine Schlußfolgerungen h¨oherer Ordnung. 6. Man ber¨ucksichtige in einem Berechnungsmodell insbesondere solche Parameter des realen Objekts, deren Parameterwerte experimentell beeinflußbar sind. 7. Man u¨ berzeuge sich von den Parametereinfl¨ussen einer Modellberechnung durch davon m¨oglichst unabh¨angige Berechnungsmodelle und benutze zumindest Plausibilit¨atskontrollen. 8. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Berechnungsmodells ist nicht direkt abh¨angig von der Anzahl der Parameterwerte. Sie ist zwar ein Maß f¨ur den erforderli¨ chen Rechenaufwand, aber nicht f¨ur die erzielbare Ubereinstimmung zwischen Rechen- und Meßergebnissen. 9. Man erwarte von Eingabedaten f¨ur Parameterwerte keine h¨ohere Genauigkeit als zwei bis drei g¨ultige Ziffern und demzufolge auch nicht von den Ergebnissen der Modellberechnung. 10. Man kann von Computern in der Regel numerisch genaue Ergebnisse erwarten, aber man glaube nicht, daß im Vergleich zur Realit¨at stets unbedingt richtige L¨osungen gewonnen werden. Der Praxisabgleich“ ist entscheidend! ” 11. Man nutze alle Kontrollm¨oglichkeiten f¨ur die numerischen Ergebnisse. Jede Rechnung ohne Kontrolle geh¨ort in den Papierkorb! 12. Man pr¨ufe das Modell durch Abgleich der Parameterwerte und der Simulationsergebnisse mit experimentellen Ergebnissen.

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

11

2.1.2 Typen der Berechnungsmodelle 2.1.2.1 Allgemeines Bild 2.2 zeigt Gesichtspunkte, die mit der Modellbildung im Zusammenhang stehen. Die Anwendung von Berechnungsmodellen ist sinnvoll, wenn die Parameterwerte hinreichend genau zur Verf¨ugung stehen, das Berechnungsmodell das Realsystem qualitativ richtig abbildet, das Simulationsprogramm das Berechnungsmodell korrekt auswertet, die am realen Objekt vorhandenen Kraft- und Bewegungsgr¨oßen vorausberechnet werden k¨onnen, konstruktive Schlußfolgerungen m¨oglich sind und berechnete Gr¨oßen hinreichend genau mit experimentellen Ergebnissen u¨ bereinstimmen. Konstruktionsunterlagen (Vorkenntnisse, Erfahrungen)

Berechnungsmethoden für Parameterwerte

Berechnungsmodell (Struktur, Parameter)

Modellstruktur korrigieren

Parameterwerte (präzisieren)

Modellberechnung (Simulation) (Software, z. B. FEM, MKS)

Strukturbewertung (qualitativer Vergleich)

quantitativer Vergleich

Kraft- und Bewegungsgrößen

Messung von Parameterwerten

Messungen am realen Objekt

Schlußfolgerungen, Systemkonfiguration (z. B. Dimensionierung der Bauteile)

Meßstrategie

reales Objekt (z. B. Antriebssystem) Bild 2.2 Prinzipielle Wechselwirkungen und Aspekte bei der Modellbildung

Zur Modellbildung geh¨oren Daten zu den Parametern (Parameterwerte). Da man die Parameterwerte in der Fachliteratur nicht immer findet, ist ihre Ermittlung eine Teilaufgabe der Modellbildung. Es ist w¨unschenswert, daß die Firmen, welche die f¨ur Antriebssysteme typischen Baugruppen herstellen, in den Prospekten und Erzeugniskatalogen außer geometrischen auch Kennwerte und Kennlinien ver¨offentli-

12

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

chen, welche das mechanische (und/oder elektromagnetische) Verhalten ihrer Produkte quantitativ beschreiben. Jedes diskrete oder kontinuierliche Berechnungsmodell l¨aßt sich durch endlich viele (Anzahl K) Parameter beschreiben, die man einheitlich mit p1 , p2 , . . . , pk bezeichnen kann. Ein konkretes Objekt wird durch Parameterwerte (also Zahlenwerte mit Maßeinheiten) charakterisiert. Man kann sie zusammenfassend in einem Parametervektor pT = (p1 , p2 , . . . , pk )

(2.1)

erfassen. Auf die Auswahl eines Berechnungsmodells (Mitte oben in Bild 2.2) wird in den Abschnitten 2.3 und 2.4 eingegangen. Beim gegenw¨artigen Entwicklungsstand wird meist Software auf der Basis von FE-Modellen, MKS-Modellen oder der Kopplung von solchen Modellen mit CAD-Systemen eingesetzt. Bei großen Bewegungen sind MKS-Programme von Vorteil, da sie alle geometrischen Nichtlinearit¨aten automa” tisch“ ber¨ucksichtigen. In allen F¨allen spielt die modale Analyse eine zentrale Rolle, und das Denken mit Begriffen wie Eigenfrequenzen und Eigenformen ist bei der Modellbildung von großem Vorteil, da zu Anfang oft die Frage steht, ob ein Berechnungsmodell linear oder nichtlinear angesetzt werden kann. Die rechte Spalte in Bild 2.2 dr¨uckt aus, daß man Strategien zum Vergleich von Rechen- und Meßergebnissen und zur Modellanpassung ben¨otigt, wie sie in Abschn. 2.5 behandelt werden. Vor einer Messung sollte schon ein Konzept f¨ur die sp¨atere Auswertung im Hinblick auf die Modellbildung vorhanden sein. Die erw¨ahnte Meßstrategie soll die qualitativ zu erwartenden Systemantworten und deren Gr¨oßenordnung gedanklich vorwegnehmen. Dies ist nicht nur wegen der Auswahl der Meßbereiche der Geber von Interesse, sondern auch wegen des Ergebnisvergleichs mit traditionellen Modellvorstellungen. Mit den unter dem Punkt Modellberechnung erw¨ahnten Kraft- und Bewegungsgr¨oßen sind zeitlich ver¨anderliche Kr¨afte, Momente, Leistungen, Frequenzen, Schwingformen, Wege, Deformationen, Winkel und deren Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Winkelgeschwindigkeiten u. a. gemeint. Die Schlußfolgerungen beziehen sich letzten Endes auf die konstruktive Umsetzung der Parameterwerte, angefangen von den Motordaten, denen der Getriebe, Kupplungen und Antriebsstr¨ange bis zu denen der Abtriebsglieder. Zur Dimensionierung einzelner Baugruppen, auch zur Optimierung, werden in den Abschnitten 3 und 4 typische Beispiele behandelt. Die analytische und numerische Behandlung der Berechnungsmodelle erfolgt f¨ur Antriebssysteme in a¨ hnlicher Weise wie die der Tragsysteme in der Strukturdynamik. Gemeinsam wird auf viele Gebiete der angewandten Mathematik und speziell auf die Theorie der linearen Schwingungssysteme zur¨uckgegriffen. Wenn die Berechnungsmodelle linear sind, k¨onnen u. a. die Methoden der Modalanalyse, der Substrukturtechnik und der Freiheitsgradreduktion auch in der Antriebsdynamik angewendet werden. Worin bestehen die Besonderheiten der Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik? • Antriebssysteme dienen dazu, K¨orper zu bewegen, also werden infolge der Bewegungen stets Massenkr¨afte verursacht. Man hat es also mit Berechnungsmo-

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

•

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•

•

•

•

13

dellen zu tun, bei denen die dynamischen Kr¨afte von den Parametern des Systems selbst abh¨angen, w¨ahrend in der Strukturdynamik die Erregungen meist von au” ßen“, entweder aus einer kinematischen Erregung (z. B. Erdbeben) oder aus den Massenkr¨aften eines Antriebssystems (z. B. Unwuchterregung) stammen. Die Massenkr¨afte kann man nach der Ursache der Beschleunigung zweckm¨aßig als Summe der kinetostatischen Massenkr¨afte und der Vibrationskr¨afte (vibrodynamische Kr¨afte) verstehen. Als kinetostatische Kr¨afte werden diejenigen Anteile bezeichnet, die sich aus der Beschleunigung der starren K¨orper ergeben ( star” re Maschine“, Modellstufe 1). Man kann dabei noch unterscheiden zwischen den kinetostatischen Kr¨aften der zwangl¨aufigen (erw¨unschten) Prim¨arbewegung und denen der unerw¨unschten Sekund¨arbewegung, die sich infolge des stets vorhandenen Spiels in F¨uhrungen, Lagern und Gelenken einstellt und zu Zusatzbeschleunigungen f¨uhrt. Kinetostatische Kraftverl¨aufe der Prim¨arbewegung stellen Mittelwerte dar, denen die kinetostatischen Kr¨afte der Sekund¨arbewegung und die Vibrationskr¨afte u¨ berlagert sind. Die im Abschnitt 2.2.3.3 behandelte tangentiale Bewegung des Bolzens in der Lagerschale, die Kolbensekund¨arbewegung (Abschn. 2.2.3.4) oder der Schr¨aglauf (Abschn. 4.9) sind Beispiele f¨ur Sekund¨arbewegungen, aber auch alle unerw¨unschten zus¨atzlichen Schwingungen kann man als Sekund¨arbewegungen auffassen, vgl. Bilder 2.7, 2.9b, 2.10, 2.12d, 2.17, 2.18, 2.19, 4.13 bis 4.16, 2.50 und 5.45. Als Vibrationskr¨afte werden die Anteile bezeichnet, die infolge der den Beschleunigungen der Starrk¨orper u¨ berlagerten Schwingungen der realen Systeme entstehen. Sie k¨onnen durch die Prim¨arbewegung (z. B. aus erzwungenen Schwingungen resultierenden Massenkr¨afte) oder die Sekund¨arbewegung (z. B. Stoßkr¨afte beim Kontakt von K¨orpern) verursacht werden. Vibrationskr¨afte sind mit Modellen berechenbar, bei denen das (lineare oder nichtlineare) elastische Verhalten (z. B. an den Kontaktstellen oder das Materialverhalten) ber¨ucksichtigt wird, vgl. die Modellstufe 2 oder Modellstufe 3 in Tabelle 2.3 und die Bilder 2.9a, 2.10 und 2.12. Nicht nur bei Verbrennungsmotoren (z. B. Kr¨opfungswinkel bei Kurbelwellen, Reihenfolge der Z¨undzeitpunkte), sondern auch bei allen anderen Antriebssystemen gibt es relativ viele M¨oglichkeiten, Strukturen und Parameter zu variieren, durch optimale Parameter die Schwingungserregung zu vermindern und das Schwingungsverhalten zu beeinflussen, vgl. die Beispiele in Kapitel 5. In Antriebssystemen treten h¨aufig nichtlineare Effekte auf. Diese k¨onnen infolge geometrischer Nichtlinearit¨aten bei großen Bewegungen“ oder infolge nichtli” nearen Materialverhaltens (wozu auch das Reibungsverhalten geh¨ort) auftreten, vgl. Abschn. 2.2.3, 2.2.4, 3.4.2, 4.4 und 4.6.3. Knicke und Unstetigkeiten sind auch eine typische Besonderheit in Berechnungsmodellen der Antriebssysteme. Dazu geh¨oren gestufte Federn, das Spiel in Kupplungen oder Zahnradpaarungen, das Lagerspiel, Reibkraftspr¨unge, die bei Richtungs¨anderung der Relativgeschwindigkeit in Lagern auftreten, und auch die Selbsthemmung (z. B. bei Schneckengetrieben) ist eine unstetige“ Nichtlinea” rit¨at, vgl. Abschn. 4.5. Manchmal spielt bei der Bestimmung der dynamischen Belastungen die Wechselwirkung des Antriebs mit seiner Energiequelle eine wesentliche Rolle. Es wird dann erforderlich, die Kennlinien der hydraulischen, pneumatischen

14

•

•

•

•

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

oder elektromechanischen Antriebe in die Modellgleichungen einzubeziehen, vgl. Abschn. 3.4.3 und 4.1. In der Antriebsdynamik werden von Seiten der Elektriker“ einfache Berechnungsmodelle f¨ur das dynamische Verhalten der ” mechanischen Komponenten gew¨unscht und andererseits m¨ussen von Seiten des Mechanikers“ Methoden der Steuer- und Regelungstechnik beachtet werden. ” Es gibt F¨alle, in denen die Gestellbewegungen einen Einfluß auf die Massenkr¨afte des Antriebssystems haben, d. h., die mechanischen Wechselwirkungen zwischen Antrieb und Gestell m¨ussen manchmal im Berechnungsmodell ber¨ucksichtigt werden, vgl. das Beispiel der Unwuchterregung in Abschn. 2.2.4, des Pressenantriebs in Abschn. 2.2.3.2 und der Selbstsynchronisation in Abschn. 5.7.3. Ein typisches Problem ist die Modellierung der Lagerstellen von Antriebssystemen. Je nach Fragestellung muß einer Kontaktstelle bei der Modellbildung besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden, vgl. das Beispiel in Bild 2.33 und die Kennwerte in Abschn. 3.3.3. Die mathematische Modellierung von Antriebssystemen hat vom Standpunkt der Mechanik noch die Besonderheit, daß es an Stelle der Absolutkoordinaten, welche die Lage des mechanischen Systems gegen¨uber einem raumfesten Bezugssystem beschreiben, oft zweckm¨aßig ist, Relativkoordinaten zu benutzen, vgl. die Beispiele in Abschn. 2.2.3 und 2.2.4. Die Eigenfrequenzen beim Fahren unterscheiden sich von den Eigenfrequenzen im Stillstand des (von der Bremse festgehaltenen) Systems, vgl. die Beispiele in Abschn. 2.3.4. und 4.8.3. Bei rotierenden K¨orpern in einem Antriebssystem unterscheiden sich die bez¨uglich des rotierenden Bezugssystems gemessenen Frequenzen von denen, die man am raumfesten Bezugssystem messen kann. Beim konstruktiven Entwurf eines Antriebssystems gibt es gewisse Freiheiten bei der Gestaltung der Zeitverl¨aufe, die maßgeblichen Einfluß auf das dynami¨ sche Verhalten haben. Dynamisch gunstige Bewegungsgesetze k¨onnen Schwingungen vermeiden und vermindern, vgl. das Beispiel des Schrittgetriebes in Abschn. 5.5.3.3 oder die Beispiele in Abschn. 5.4 und 5.5.4.

2.1.2.2 Einteilung der Berechnungsmodelle Im folgenden wird eine Systematik vorgeschlagen, um die verschiedenen Berechnungsmodelle zu ordnen. Dies soll das theoretische Verst¨andnis erleichtern sowie Hilfestellung bei der Modellbildung und bei der Suche nach den Schwingungsursachen geben, vgl. [81]. In der Technischen Schwingungslehre und Maschinendynamik werden die Schwingungen nach ihren Entstehungsursachen in freie“, erzwun” ” gene“, parametererregte“ und selbsterregte“ Schwingungen unterschieden [231]. ” ” Die internen Zusammenh¨ange, die dieser Einteilung zugrundeliegen, sollen etwas n¨aher betrachtet werden. Ausgehend von der aus der Physik und Systemdynamik bekannten grundlegenden Auffassung, daß Zustands¨anderungen realer dynamischer Systeme nur von ihrem Zustand selbst abh¨angen, folgt auch (weil es in der Realit¨at genau genommen keine mechanische Gr¨oße gibt, die explizit als Funktion der Zeit gegeben ist), daß ¨ aller Zustandsgr¨oßen das Ergebnis von Wechselwirkungen die zeitliche Anderung der Systemelemente ist. Von dieser Auffassung her sind alle Modellgleichungen als Sonderf¨alle selbsterregter Systeme zu betrachten.

15

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

Die Annahme einer von außen“ gegebenen Zeitfunktion f¨ur Kraft- oder Bewe” gungsgr¨oßen ist so gesehen h¨aufig eine sehr zweckm¨aßige Vereinfachung der Realit¨at. Bei der Modellbildung wird also genaugenommen ein urspr¨unglich selbsterregter Schwinger (der in Wechselwirkung mit seiner Umgebung steht) durch einen Schnitt zur Umgebung zum Berechnungsmodell der erzwungenen und parametererregten Schwingungen vereinfacht. Es ist aus diesem Grunde bei realen Schwingungsvorg¨angen auch nicht m¨oglich, scharfe Grenzen zwischen freien“, erzwungenen“ ” ” und selbsterregten“ Schwingungen zu ziehen und diese Unterschiede aus der Ana” lyse von Meßsignalen automatisch“ zu erkennen. ”

a)

m

mq&&+ kq = 0

k

t = 0: q(0) = 0, q& (0) = v0

q

b) m

F (t )

mq&&+ kq = F (t )

k

F(t)

t = 0: q(0) = 0, q& (0) = 0

q

0

ta

T

t

Bild 2.3 Minimalmodell f¨ur Stoßbelastung (Anregungszeit ta ) a) Freie Schwingung, b) Erzwungene Schwingung

¨ Um zu zeigen, wie fließend der Ubergang bei der Modellbildung von freien zu erzwungenen Schwingungen erfolgt, wird ein Stoß betrachtet. Bild 2.3a zeigt das Modell des freien Schwingers, bei dem die Bewegung mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit v0 beginnt. Nach diesem Modell wird dem Schwinger anfangs kinetische Energie u¨ bertragen, die sich aus der Anfangsbedingung zu (1/2) · mv02 ergibt, aber danach wirkt keine Erregerkraft mehr. Es wird eine Schwingung angeregt, die gem¨aß √ v0 sin ω t; Fw = kq = v0 km · sin ω t (2.2) q= ω
mit der Eigenkreisfrequenz ω = k/m verl¨auft (Wandkraft Fw ). Wird dagegen das Modell des erzwungenen Schwingers (Bild 2.3b) benutzt, erfolgt die Energie¨ubertragung durch die Erregerkraft w¨ahrend der Anregungszeit (0
t
ta ), und die allgemeine L¨osung lautet f¨ur beliebige Erregerkraftverl¨aufe mit dem Duhamel-Integral q=

1 mω


t

F(t  ) sin ω (t − t  ) dt 

(2.3)

0



1 1 sin ω t F(t  ) cos ω t  dt  − cos ω t F(t  ) sin ω t  dt  mω mω t

=

0

t

0

16

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Bei einer entsprechend Bild 2.3b kurzzeitig einwirkenden Kraft, d. h. unter der Bedingung t  < ta  T =

2π ω

;

cos ω t  ≈ 1;

sin ω t  ≈ 0

ist der zweite Summand in Gl. (2.3) null und es verbleibt als N¨aherung:  ta 
1 I v0 q= F(t  ) dt  sin ω t = sin ω t = sin ω t mω mω ω

(2.4)

(2.5)

0

Das Zeitintegral u¨ ber die Kraft ist bekanntlich gleich dem Impuls I = mv0 . Also wurde mit dem Modell von Bild 2.3b dasselbe Ergebnis erhalten wie mit dem Modell gem¨aß Bild 2.3a, vgl. Gl. (2.2) und Gl. (2.5). Damit ist gezeigt, daß es bei kurzzeitigen Belastungen f¨ur die angeregten Schwingungen nicht darauf ankommt, welchen Zeitverlauf die Erregerkraft F innerhalb ihrer Stoßzeit hat. Bei ta  T kann man durch den Kraftverlauf (z. B. Rechteck- oder Halbsinusform) die Schwingungsamplitude nicht beeinflussen, vgl. dazu auch Abschn. 5.2, 5.4.3 und 5.4.4. Es ist bei kurzen St¨oßen also zul¨assig, aus dem Impulssatz die Anfangsgeschwindigkeit an der Stoßstelle zu ermitteln und damit die angestoßenen freien Schwingungen zu berechnen. Dieses kleine Beispiel zeigt auch, daß das Modell des erzwungenen Schwingers den freien Schwinger als Sonderfall enth¨alt. Andererseits f¨allt es leichter, von der Vorstellung auszugehen, daß ein Antriebssystem von außen“ mit gegebenen Zeitfunktionen in Bewegung versetzt wird. In ” der Getriebetechnik wurde traditionell so begonnen [336]. Bei dieser Auffassung kann man bei der Modellbildung mit einem Berechnungsmodell eines zwangl¨aufigen Systems beginnen, aber dies ist erfahrungsgem¨aß durch weitere dynamische“ ” Freiheitsgrade zu erweitern. Wesentliche Aspekte sind bei jeder Modellbildung die Anzahl der Freiheitsgrade, die Art der internen Wechselwirkungen und die Beziehung zu der Energiequelle, welche die Bewegungen verursacht. Die r¨aumlich-zeitlichen Schnittgrenzen legen fest, wo und wie eine Wechselwirkung mit der Umgebung ber¨ucksichtigt wird. Nichtlineare Schwingungssysteme besitzen gegen¨uber linearen Schwingungssystemen einige Besonderheiten. • Das Superpositionsprinzip gilt nicht, d. h., die Wirkung der Summe mehrerer Ursachen ist nicht gleich der Summe der Wirkungen der einzelnen Ursachen. • Eigenschwingungen nichtlinearer Systeme verlaufen nicht immer harmonisch. • Die Periodendauer nichtlinearer Systeme ist von den Anfangsbedingungen abh¨angig, sie a¨ ndert sich mit der Amplitude [231]. • Bei Erregung eines nichtlinearen Systems mit einer gegebenen Frequenz f kann es nicht nur mit dieser Frequenz, sondern auch mit ganzzahligen Vielfachen oder ganzzahligen Teilen davon (sogenannten Subharmonischen) antworten; also mit den Frequenzen fa = n · f /m (m, n sind kleine ganze Zahlen) [322]. • Bei Erregung eines nichtlinearen Systems mit zwei Frequenzen ( f1 , f2 ) kann es zu Kombinationsresonanzen bei folgenden Frequenzen kommen: fa = n · f1 ± m · f2 (m, n sind kleine ganze Zahlen) [101]. • Nichtlineare Systeme k¨onnen chaotische Bewegungen ausf¨uhren [17], [46], [231].

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

17

Es ist nicht sinnvoll, ein reales Objekt mit einem linearen Berechnungsmodell zu beschreiben, wenn es die oben genannten nichtlinearen Effekte zeigt, da damit Fehlaussagen zu erwarten sind. Wird ein Zeitverlauf f¨ur eine Kraft- oder Bewegungsgr¨oße angegeben, bedeutet ¨ dies, daß keine Ruckwirkung vom Systemverhalten auf die Erregung stattfindet. Es wird somit also eine von den Bewegungen des Systems unabh¨angige (unersch¨opfliche) Energiequelle in der Systemumwelt angenommen. Randbedingungen modellieren Systemgrenzen und Anfangsbedingungen definieren zu einem Anfangszeitpunkt die potentielle und kinetische Energie eines Antriebssystems. ¨ Die Ermittlung der Schwingungsursachen beginnt zweckm¨aßig mit Uberlegungen zur Suche nach der Energiequelle im realen System. Zu den Energiequellen z¨ahlen die hydraulischen, pneumatischen, elektrischen, piezoelektrischen oder elektromagnetischen Antriebe mit ihren Kennlinien, die meist nichtlineare Funktionen zwischen Kr¨aften oder Momenten und einer Geschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit sind. Auch reibende Oberfl¨achen, str¨omende Medien und thermodynamische Prozesse u. a. k¨onnen solche Energiequellen sein. Tabelle 2.3 Drei Stufen der Berechnungsmodelle Modellstufe 1 1a 1b 2 2a 2b 2c 3

Typ des Systems Starrk¨orpersystem ( starre Maschine“) ” Gegebene Antriebsbewegungen Gegebene Antriebskraftgr¨oßen Zwangserregte Schwingungssysteme Lineares Schwingungssystem mit konstanten Koeffizienten Lineares Schwingungssystem mit zeitvariablen Koeffizienten Nichtlineares Schwingungssystem mit zeitvariablen Koeffizienten Selbsterregte Systeme

Form der Modellgleichungen

q = q0 (t) Mq¨ + F(˙q) = f (t)

Mq¨ + D˙q + Kq = f (t)

(1)

M(t)¨q + D(t)˙q + K(t)q = f (t)

(2)

M(t, q)¨q + D(t, q, q˙ )˙q + K(t)q = f (t) (3) f (q, q˙ , q¨ ) = 0

(4)

Tabelle 2.3 zeigt eine Einteilung der Berechnungsmodelle in 3 Modellstufen. Es wird grunds¨atzlich unterschieden zwischen zwangl¨aufigen, zwangserregten und selbsterregten Systemen. Dasselbe reale Objekt kann mit allen drei Modellstufen abgebildet“ werden, es kommt jeweils auf den Modellzweck und seine konkreten ” Belastungs- und Bewegungsverh¨altnisse an! In Tabelle 2.3 sind die Modelle vom Einfachen (Modellstufe 1) zum Komplizierten (Modellstufe 3) hierarchisch geordnet. Man kann diese Ordnung physikalisch (nach der Herkunft der Energiequelle), mathematisch (nach der Komplexit¨at der Gleichungen) und mit der historischen Entwicklung begr¨unden. Zum ersten Aspekt ist zu erw¨ahnen, daß die Frage nach der Energiequelle von der niederen zur h¨oheren Stufe immer klarer formuliert wird: Auf Stufe 1 sind ki-

18

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

nematische Gr¨oßen vorgegeben, welche mechanische Energie in das zwangl¨aufige mechanische System u¨ bertragen. In Stufe 2 ist eine Kraft- oder Bewegungsgr¨oße als Funktion der Zeit gegeben, die unbeeinflußt von der Antwort des erregten Systems ist. In Stufe 3 ist schließlich die Energiequelle Bestandteil des autonomen Systems. Es ist dann erforderlich, auch eine Modellbildung des Motors (z. B. f¨ur elektrische Baugruppen) vorzunehmen, vgl. Abschn. 3.4.3. Vom mathematischen Standpunkt aus kann man Berechnungsmodelle nach der rechten Seite“ ihrer Gleichungen klassifizieren. Dabei stellt Stufe 3 das autonome ” System dar, von dem die Modelle der anderen Stufen deduktiv ableitbar sind. Man kann rein formal mathematisch zeigen, daß unter vereinfachenden Annahmen die jeweils niedere Stufe eine N¨aherung der h¨oheren Stufe ist, d. h., mit dem Modell der h¨oheren Stufe lassen sich die Effekte prinzipiell realit¨atsnaher als mit den Modellen der tieferen Stufen beschreiben. Zum dritten Aspekt (dem historischen“) ist zu sagen, daß bei vielen Objekten ” eine Modellierung oft mit einem zwangl¨aufigen System begann, vgl. auch Abschn. 2.3.3. Dies h¨angt auch damit zusammen, daß die Entwicklung jedes Antriebssystems zun¨achst bei niederen Geschwindigkeiten beginnt, und wenn es sich bew¨ahrt, werden im Laufe der Jahre immer h¨ohere Geschwindigkeiten angestrebt. Beim Hochlaufen eines Antriebssystems von null auf die Maximaldrehzahl werden gewissermaßen auch die verschiedenen ( historischen“) Modellstufen vom Einfachen zum Kompli” zierten durchlaufen. Bei niederen Geschwindigkeiten verh¨alt sich das Objekt wie ein zwangl¨aufiges System, w¨ahrend man das nichtlineare Verhalten sp¨atestens bei der Zerst¨orung des Objekts vorf¨uhren kann. Dieser Fall muß u¨ brigens bei der Rekonstruktion von Schadensf¨allen manchmal ernsthaft analysiert werden. Berechnungsmodelle der Stufe 1 sind zwangl¨aufige Starrk¨orpersysteme (Modell starre Maschine“) mit gegebenen Zeitfunktionen einer oder mehrerer An” triebsbewegungen oder Antriebskraftgr¨oßen. Die einfachsten Modelle sind die der Stufe 1a, wo an Stelle von Differentialgleichungen nur algebraische Gleichungen auftreten, weil der Bewegungszustand durch eine Prim¨arbewegung“ vorgegeben ” wird. In der Praxis sind dies Modelle f¨ur starre spielfreie gleichm¨aßig oder ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Getriebe, die genau so viele Freiheitsgrade ( Laufgrade“) ” wie Antriebe haben. Bei der Anwendung dieser Modellstufe wird vorausgesetzt, daß sich alle K¨orper gleichzeitig und ohne Zeitverz¨ogerung bewegen. Der Zeitverlauf der Antriebsbewegungen bestimmt dann den Bewegungszustand im Starrk¨orpersystem. Der gegebene Zeitverlauf bestimmt auch, wo und wie viel mechanische Energie dem System zugef¨uhrt (Beschleunigen) oder entzogen (Verz¨ogern) wird. Bei Stufe 1b sind die Bewegungsgleichungen zu integrieren, z. B. bei Starrk¨orpermechanismen mit einem oder mehreren Freiheitsgraden. Beispiele dazu sind Pendel und Kreisel, vgl. auch die Beispiele im Abschnitt 5.7.3. Ein Starrk¨orpersystem ist durch geometrische Abmessungen und Masseparameter beschreibbar, vgl. Tabelle 2.5. Zur Abgrenzung des Geltungsbereichs des Starrk¨orpermodells gegen¨uber dem des erzwungenen Schwingungssystems (Stufe 2 in Tabelle 2.3) gibt es zwei einfache grobe Kriterien: 1. Bei periodischen Erregungen ist das Starrk¨orpersystem (auch Modell der star” ren Maschine“ genannt) f¨ur den station¨aren Zustand als Modell anwendbar, wenn es langsam“ erregt wird. Dies bedeutet bei periodischen Erregungen, daß die ” h¨ochste Erregerfrequenz, die noch eine bedeutsame Amplitude im Fourier-

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

19

spektrum aufweist, wesentlich kleiner als die niedrigste Eigenfrequenz f1 des realen Objekts sein muß. Also lautet das Kriterium: kΩ  ω 1 = 2π f1

(2.6)

mit der Grundkreisfrequenz Ω der Erregung und der Ordnung k der h¨ochsten relevanten Harmonischen. Kraftgr¨oßen a¨ ndern sich mit dem Quadrat der Drehzahl. 2. Bei instation¨aren Erregungen, also den typischen Anfahr-, Brems-, Beschleunigungs- oder Verz¨ogerungsvorg¨angen, ist das Modell des Starrk¨orpersystems anwendbar, so lange die einwirkende Kraft sich langsam“ a¨ ndert, d. h. wenn ” die gr¨oßte Schwingungsdauer T1 des realen Objekts bedeutend kleiner als die Anlaufzeit ta der einwirkenden Kraft- oder Bewegungsgr¨oße ist. Als Kriterium gilt: 1 = T1  ta f1

(2.7)

Die dynamischen Kr¨afte und Momente, die sich bei der Anwendung des Starrk¨orpermodells ergeben, werden als kinetostatische Kr¨afte bezeichnet. Ihre zeitlichen Verl¨aufe stellen Mittelwerte dar, denen sich die aus den Schwingungen eines Systems resultierenden vibrodynamische Kr¨afte“ u¨ berlagern. Meist stellen die ” kinetostatischen Kr¨afte eine untere Grenze f¨ur die dynamische Belastung dar, aber wenn der negative Wert einer Vibrationskraft mit dem Spitzenwert einer kinetostatischen Kraft zeitlich zusammenf¨allt, kann die Gesamtbelastung zu diesem Zeitpunkt auch kleiner werden als der kinetostatische Wert. Entscheidend f¨ur die Grenze zwischen dem Modell des erzwungenen Schwingers und dem Starrk¨orpermodell ist die Grundfrequenz des realen Objekts. Bei der Frage starr oder schwingungsf¨ahig“ ist also eine modale Anregbarkeit (vgl. Abschn. ” 5.2) und die Grundfrequenz abzusch¨atzen. Die Antwort richtet sich nicht nach der absoluten H¨ohe der Drehzahl oder der Grundfrequenz, sondern nach den durch die Kriterien (2.6) und (2.7) beschriebenen Proportionen. Tabelle 2.4 zeigt Bereiche der ersten Eigenfrequenz typischer Baugruppen und Objekte. Es sind dabei auch exemplarisch die im vorliegenden Buch behandelten Beispiele eingeordnet worden. Zur Modellstufe 2 werden lineare und nichtlineare Schwingungssysteme gez¨ahlt, die durch eine gegebene Zeitfunktion erregt werden. Es wird zwischen linearen (Stufe 2a), parametererregten (Stufe 2b) und nichtlinearen (Stufe 2c) Schwingungssystemen unterschieden, vgl. die in Tabelle 2.3 genannten Kennzeichen. In Tabelle 2.5 sind die wesentlichen Parameter aufgef¨uhrt, welche u¨ blicherweise zu den jeweiligen Modellstufen geh¨oren. Ein wesentliches Kennzeichen ist die Anzahl ihrer Freiheitsgrade. Sie richtet sich einerseits danach, welche physikalischen Effekte zu ber¨ucksichtigen sind, wie viele Eigenformen (Moden) bei einem linearen System tats¨achlich angeregt werden, aber auch danach, wie genau man die r¨aumliche Aufl¨osung des Belastungs- und Deformationsverhaltens bestimmen will. Es muß gew¨ahrleistet sein, daß der Erregerfrequenzbereich innerhalb des Eigenfrequenzbereichs des Modells liegt. Deshalb gilt das Kriterium: Das Modell soll Eigenfrequenzen bis oberhalb der h¨ochsten Erregerfrequenz besitzen.

20

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.4 Typische Bereiche von Grundfrequenzen f1 in Hz

Objekt/Baugruppe

Beispiel

<2

Lastpendel, Tragwerk von Turmkran, Tagebaugroßger¨ate

Gl. (2.168)

2...5

Br¨uckenkrane, Fahrzeugantriebsstrang, (Schiffsantrieb)

Gl. (2.158)

5 . . . 10

Blockfundamente, Waschmaschinen, Zentrifugen, Personenaufz¨uge, Textilspindeln

10 . . . 30

Antriebe mit weichen Kupplungen

20 . . . 50

Antriebswellen, mehrstufige Zahnradgetriebe (Kesselspeisepumpe)

50 . . . 100

kurze steife Antriebswellen

100 . . . 300

Schleifspindeln, Kolbenmotoren

200 . . . 500

Motorradmotor, Zylinder in Druckmaschinen

500 . . . 1 000

Zahn eines Zahnrades

1 000 . . . 2 000

L¨angsschwingungen von Ventilen, Kolbenk¨orper in Verbrennungsmotoren

> 2 000

W¨alzk¨orper in W¨alzlagern

Gl. (2.217)

Gl. (2.211)

Abschn. 2.2.3

Tabelle 2.5 Typische Parameter der verschiedenen Modellstufen gegebene Parameter

berechenbare Gr¨oßen

1

geometrische Abmessungen (L¨angen, ¨ Winkel, Ubersetzungsverh¨ altnisse), Masseparameter (Massen, Schwerpunktabst¨ande, Hauptachsen, Tr¨agheitstensor), kinematische Bewegungsabl¨aufe und/oder Antriebskraftgr¨oßen

reduziertes Massentr¨agheitsmoment, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Starrk¨orperbewegungen, Gelenkund Lagerkr¨afte, Fundamentbelastung, Antriebsmoment

L¨angs- und Drehfederkonstanten, L¨angs- und Biegesteifigkeit, L¨angsund Drehd¨ampferkonstanten, Materialkennwerte, zeitliche Erregerkraftverl¨aufe, Fourierkoeffizienten bei periodischer Erregung, zeitliche Vera¨ nderung der Parameter

Eigenfrequenzen und Eigenformen, Zeitverl¨aufe der Kraft- und Bewegungsgr¨oßen bei erzwungenen Schwingungen, Resonanzstellen h¨oherer Ordnung (kritische Drehzahlen), Ortskurven, Instabilit¨atsbereiche parametererregter Schwingungen

geschwindigkeitsabh¨angige Lager¨ daten (Olfilm-Einfluß), Reibwerte, Kennlinien der Motor- und Bremsmomente, nichtelastisches Materialverhalten (viskos, plastisch), nichtlineare geometrische und stoffliche Kennwerte

nichtlineare Schwingungen, selbsterregte Schwingungen, Kombinationsresonanzen, Grenzzykel, Wechselwirkung zwischen Schwingungssystemen und Energiequelle, amplitudenabh¨angige Eigenfrequenzen, nichtlineare Wechselwirkungen

starr

Stufe

linear

2

nichtlinear

3

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

21

Bild 2.4 illustriert diese Zusammenh¨ange. Bei Fall a) ist Bedingung (2.6) erf¨ullt, und es ist keine Resonanz m¨oglich. Liegen viele h¨ohere Eigenfrequenzen des Berechnungsmodells weit u¨ ber dem Gebiet des Erregerfrequenzbereichs, so hat das Berechnungsmodell unn¨otig viele Freiheitsgrade, vgl. Bild 2.4b. Anscheinend hat das Modell zu wenige Freiheitsgrade, wenn die h¨ochste Eigenfrequenz des Berechnungsmodells innerhalb des Bereichs der Erregerfrequenzen liegt, vgl. Bild 2.4c.

a)

0

b) 0

c)

0

f1

f1

f1

fn

Erregerfrequenzbereich

fn

Frequenz f

fn

Frequenz f

Frequenz f Eigenfrequenzbereich

Bild 2.4 Frequenzrelationen bei der Modellbildung a) Starrk¨orpersystem, b) Modell mit zu vielen Freiheitsgraden, c) Modell mit Vernachl¨assigung hoher Eigenfrequenzen

Es kommt dann darauf an, wo fn+1 liegt. Hat fn+1 einen Wert weit oberhalb der h¨ochsten Erregerfrequenz, so ist die Wechselwirkung vernachl¨assigbar, vgl. auch die Mittelungsmethode in Abschn. 2.4.6. Ohne Beachtung der Eigenformen hat der Vergleich der Eigenfrequenzen mit den Erregerfrequenzen keine klare Aussagekraft hinsichtlich des Berechnungsmodells, vgl. auch Abschn. 2.3.5, 2.5.3 und [245]. Wenn die n-dimensionalen Vektoren der Erregerkr¨afte und Eigenformen zueinander orthogonal sind, entsteht z. B. keine ¨ Schwingungserregung, und es besteht trotz der Ubereinstimmung von Erreger- und Eigenfrequenz keine Resonanzgefahr [150]. Bei der Modellbildung in der Antriebsdynamik sollten stets die Kriterien beachtet werden, die in [245] formuliert wurden, vgl. Abschn. 2.3.5. Parametererregte Schwinger (Modellstufe 2b und 2c), die infolge der gegebenen Zeitfunktionen zu den zwangserregten Systemen zu z¨ahlen sind, k¨onnen ebenfalls in lineare und nichtlineare eingeteilt werden. Ihre Differentialgleichungen k¨onnen auf Grund eines sehr allgemeinen Satzes von L JAPUNOV [229] durch eine Transformation in Systeme mit konstanten Koeffizienten u¨ berf¨uhrt werden, weshalb sie sich physikalisch auch wie Modelle der Modellstufe 2a verhalten. Selbsterregte Schwinger (Modellstufe 3) werden meist als Systeme mit wenigen Freiheitsgraden behandelt. Es sind stets nichtlineare Systeme, wobei die Stabi-

22

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

lit¨atsgrenzen oft schon mit linearen Systemen ermittelt werden k¨onnen, z. B. Abschn. 4.5.3. Bei mehr als zwei Freiheitsgraden treten manchmal auch chaotische Bewegungen auf [17], [46], [231]. Es ist aus numerischen Gr¨unden ratsam, sog. steife“ Differentialgleichungen zu ” vermeiden. Das Verh¨altnis der h¨ochsten Eigenfrequenz zur niedrigsten soll m¨oglichst ¨ klein sein. Dahinter steckt die Uberlegung, daß • sich Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen, die sich voneinander mehr als etwa um den Faktor 20 unterscheiden, gegenseitig kaum beeinflussen • die Zeitschrittweite bei numerischen Integrationsverfahren sich nach der h¨ochsten im System auftretenden Frequenz richtet und bei hohen Frequenzen unn¨otig lange Rechenzeiten entstehen. • numerische Ergebnisse mit zunehmender Rechenzeit ungenauer werden Dazu ist zu sagen, daß die expliziten Runge-Kutta-Verfahren (MATLAB-Funktionen ode23 bzw. ode45) ungeeignet sind, weil die Schrittweitensteuerung sehr kleine Schrittweiten w¨ahlt. Die Standard-Routine f¨ur steife Differentialgleichungen ist die Funktion ode15s [266]. Ist die Steifheit nicht zu hoch, so kann man auch ode23t verwenden, welche auf einem einfachen impliziten Verfahren beruht. 2.1.2.3 Zur Vermeidung steifer“ Systeme ” Bei der Modellbildung mechanischer Systeme werden manchmal vorsichtshalber“ ” die Federsteifigkeiten aller elastischen Elemente ber¨ucksichtigt, auch wenn deren Gr¨oße sich voneinander stark unterscheidet. Man argumentiert, daß es korrekter sei, die harten Federn von Anfang an nicht zu vernachl¨assigen, denn man k¨onne sie sp¨ater mit mehreren Zehnerpotenzen auf nahezu unendlich erh¨ohen, dann erhalte man das Ergebnis auch f¨ur die starre Kopplung an der Stelle, wo eine harte Feder im Modell vorhanden ist. Dieses Argument ist aber nicht stichhaltig, denn man erh¨alt damit sehr steife Differentialgleichungen. Das folgende kleine Beispiel soll zeigen, daß und wie man steife Systeme schon bei der Modellbildung vermeiden kann.

m

F x1

a)

b)

x1

κk x3

x2

m F

m

k

k

x2

S

Bild 2.5 Zur zweckm¨aßigen Modellbildung a) Dreimassenmodell, b) Zweimassenmodell

m

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

23

Man betrachte die beiden in Bild 2.5 gezeigten Berechnungsmodelle, die dasselbe reale Objekt abbilden: im Fall a mit drei Freiheitsgraden (Bild 2.5a) und im Fall b (Bild 2.5b) mit zwei Freiheitsgraden. Es interessiert die dynamische Belastung in der Mitte der rechten Masse (Stelle S). Im Modell a wird diese Stelle durch eine harte Feder erfaßt, deren Federkonstante wesentlich gr¨oßer als die der anderen Feder ist (Faktor κ  1), w¨ahrend das Modell b an dieser Stelle keine Feder hat. Die Bewegungsgleichungen f¨ur das Dreimassensystem in Bild 2.5a lauten: mx¨1 + k(x1 − x2 )

=F

(2.8)

mx¨2 − k(x1 − x2 ) +κ k(x2 − x3 ) = 0

(2.9)

−κ k(x2 − x3 ) = 0

(2.10)

mx¨3

Seine drei Eigenkreisfrequenzen, bei denen die Null f¨ur die Starrk¨orperbewegung mit gez¨ahlt wird, ergeben sich aus ω 1 = 0;

√ 1 − κ + κ 2 )k/m; √ ω 32 = (1 + κ + 1 − κ + κ 2 )k/m ω 22 = (1 + κ −

(2.11)

Bei Werten von κ  1 gilt die N¨aherung ω 1 = 0; ω 22 = (1,5 − 0,375/κ )k/m;

(2.12)

ω 32 = (2κ + 0,5)k/m

Bei einer viel h¨arteren rechten Feder unterscheiden sich ω 2 und ω 3 um mehrere Zehnerpotenzen, d. h. es entstehen steife Differentialgleichungen. Die L¨osung wird weiter verfolgt f¨ur den Wert κ = 1 000. Damit ergibt sich aus (2.11) oder (2.12): ω 1 = 0; ω 22 = 1,499 37k/m;

(2.13)

ω 32 = 2 000,50k/m

und f¨ur die Kraft in den Federn erh¨alt man die L¨osung F12 = k(x1 − x2 ) = [0,6665(1 − cos ω 2t) + 0,0001(1 − cos ω 3t)]F

(2.14)

F23 = κ k(x2 − x3 ) = [0,3332(1 − cos ω 2t) + 0,0002(1 − cos ω 3t)]F

(2.15)

Aus den Zahlenwerten ist ablesbar, daß die Komponente mit der niedrigen Eigenfrequenz viel st¨arker als die mit der hohen Eigenkreisfrequenz ω 3 angeregt wird und die wesentliche dynamische Belastung durch die Schwingungen mit der niedrigen Eigenfrequenz bestimmt wird. Die Schwierigkeiten, die bei der numerischen L¨osung des exakten“ Dreimassenmodells entstehen, folgen daraus, daß die f¨ur die Maximal” belastung unbedeutende Komponente mit der hohen Eigenfrequenz den L¨osungsverlauf sehr aufraut“. ” Je gr¨oßer die κ -Werte sind, desto st¨orender macht sich die Rauheit“ bemerkbar. ” Es kann vor allem bei gr¨oßeren un¨uberschaubaren Systemen passieren, daß wegen

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2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

der hohen Steife der Differentialgleichungen die Simulationssoftware relativ lange rechnet und gar keine brauchbare L¨osung liefert. Nun wird ein einfaches Modell (Bild 2.5b) mit zwei Massen ohne die steife zweite Feder betrachtet, das den Bewegungsgleichungen mx¨1 + k(x1 − x2 ) = F;

2mx¨2 − k(x1 − x2 ) = 0

(2.16)

gehorcht. Die interessierende Kraft liegt an der an der Schnittstelle S innerhalb der rechten Masse und wird nicht durch eine steife Feder lokalisiert. Dieses Zweimassenmodell hat die Eigenfrequenzen ω 1 = 0,

ω 2∗2 = 1,5k/m

(2.17)

F¨ur die Kr¨afte in der Feder und an der Schnittstelle S (wo vorher die harte Feder angeordnet war) ergibt sich als L¨osung der Differentialgleichungen (2.16): F12 = k(x1 − x2 ) = 0,6667(1 − cos ω 2∗t)F F23 = −mx¨2 = 0,3333(1 −

cos ω 2∗t)F

(2.18) (2.19)

Diese L¨osung stimmt praktisch mit derjenigen in (2.14) und (2.15) u¨ berein. Bei der Modellbildung kann man meist aus ingenieurtechnischer Sicht unwesentliche Elemente ignorieren und auf diese Weise steife Differentialgleichungen vermeiden. Es ist deshalb vor allem bei Berechnungsmodellen mit vielen Freiheitsgraden zu empfehlen, relativ kleine Massen und relativ steife Federn zu vernachl¨assigen. Dann werden extrem hohe (und physikalisch sinnlose) Eigenfrequenzen von Anfang an vermieden. Es ist also zweckm¨aßig, vor der numerischen Simulation eine Modellvereinfachung vorzunehmen, evtl. auch mit Methoden der Freiheitsgradreduktion, vgl. Abschn. 2.6. 2.1.3 Beispiel: Antrieb eines Mechanismus Als Beispiel erl¨autert Tabelle 2.6 die 3 Stufen der Berechnungsmodelle f¨ur den Antrieb eines ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismus. Verfolgt man die Tabelle, kann man die mathematischen Vereinfachungen (bzw. bei umgekehrter Betrachtung die Verallgemeinerungen) erkennen, die von Stufe zu Stufe erfolgen. Wie ersichtlich, kommen bei h¨oheren Modellstufen nicht unbedingt mehr Freiheitsgrade, aber mehr Parameter im Parametervektor p vor, vgl. auch Tabelle 2.5. In der Modellstufe 1a wird der Antriebswinkel ϕ 0 als Funktion der Zeit vorgegeben. Damit kann man berechnen, welches Antriebsmoment bei einer zwangl¨aufigen kinematischen Bewegung erforderlich ist. Man k¨onnte analog auch Bewegungsabl¨aufe beim Anfahr- oder Bremsvorgang vorgeben und Antriebsmomente infolge instation¨arer Bewegungsabl¨aufe erhalten. Ein stellungsabh¨angiges Antriebsmoment ergibt sich aus dem Verlauf von J(ϕ ), vgl. Gl. (4) in Tabelle 2.6. Das reduzierte Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) charakterisiert die stellungsabh¨angige kinetische Energie eines zwangl¨aufigen Mechanismus, vgl. [81], [150]. Wird das Antriebsmoment Man (t) gegeben, so ist die Differentialgleichung (5) zu integrieren, vgl. Modellstufe 1b. Die Differentialgleichung (5) f¨ur die Absolutkoordinate des Antriebswinkels ist i. allg. nur numerisch integrierbar. Das Torsionsmoment T in der Antriebswelle unterscheidet sich vom Antriebsmoment, wenn das

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

25

Tabelle 2.6 Zur Stufung der Berechnungsmodelle f¨ur einen Antrieb mit einem ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismus Modellstufe 1a

Modell, Parameter

ϕ = ϕ (t)

M an

J (ϕ)

starr

ϕ

1b

Parameter: J(ϕ ), ϕ (t) M an

starr

J0

T

ϕ

q1 << 1, q2 << 1

M an

linear

J0

3

kT ϕ1

J( Ω t ) ϕ2

M an

kT ϕ1

(1) (2) ϕ¨ = ϕ¨ (t) (3) ............................................. 1 (4) Man = J(ϕ )ϕ¨ (t) + J  (ϕ )ϕ˙ 2 (t) 2 ϕ˙ = ϕ˙ (t)

1 [J0 + J(ϕ )]ϕ¨ + J  (ϕ )ϕ˙ 2 = Man (t) (5) 2 ............................................. (6) T = Man − J0 ϕ¨ 

J q¨2 + J Ω q˙2 +

1  2 J Ω q2 + kT (q2 − q1 ) = 2

1  − J Ω2 2 (7)

Parameter: Ω , J(Ω t), kT , J0

J0 nichtlinear

J (ϕ)

Parameter: J0 , J(ϕ ), Man (t)

2

Bewegungsgleichungen

J0 q¨1 − kT (q2 − q1 ) = Man (8) ............................................. T = kT (q1 − q2 ) (9) ϕ 1 = Ω t + q1 (10) ϕ 2 = Ω t + q2 (11) J (ϕ2 )

ϕ2

Parameter: Ω , J(ϕ 2 ), kT , J0 , M0

1 J(ϕ 2 )ϕ¨ 2 + J  (ϕ 2 )ϕ˙ 22 + kT (ϕ 2 − ϕ 1 ) = 0 2

(12)

J0 ϕ¨ 1 − M0 (1 − ϕ˙ 1 /Ω ) − kT (ϕ 2 − ϕ 1 ) = 0 (13) ............................................. (14) Man = M0 (1 − ϕ˙ 1 /Ω ) T = kT (ϕ 1 − ϕ 2 ) (15)

Tr¨agheitsmoment J0 des Motors getrennt ber¨ucksichtigt wird, vgl. Gl. (6). Die Modellstufen 1a und 1b unterscheiden sich nur durch die Art der Erregung (kinematisch oder dynamisch infolge Kraftgr¨oßen). Wird die Elastizit¨at der Antriebswelle durch die Drehfederkonstante kT ber¨ucksichtigt und mit einem gegebenen Zeitverlauf des Antriebswinkels gerechnet, erh¨alt man auf Stufe 2 das Modell eines nichtlinearen erzwungenen Schwingers. Nichtlinearit¨aten entstehen durch das stellungsabh¨angige Tr¨agheitsmoment und das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit. Wird mit den Gln. (10) und (11) die Drehgeschwindigkeit Ω nur als ein Mittelwert definiert, um den sowohl die Drehmasse J0 des Antriebsmotors vor der ”

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2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Antriebswelle“ als auch der Mechanismus hinter der Antriebswelle“ kleine Schwin” gungen mit den Relativwinkeln q1 und q2 ausf¨uhren, so entstehen die beiden Differentialgleichungen (7) und (8), welche die Modellstufe 2 kennzeichnen. Als weiterer Parameter tritt die Drehmasse J0 hinzu. Die Differentialgleichungen f¨ur die beiden Relativwinkel q1 und q2 sind vom Standpunkt der Schwingungstheorie diejenigen eines zwangserregten (d. h. parametererregten erzwungenen) Schwingers. Das urspr¨unglich vom Kurbelwinkel ϕ abh¨angige Tr¨agheitsmoment des Mechanismus wird nun durch das zeitabh¨angige J(Ω t) erfaßt. Ein Antriebsmoment von außen kommt nicht vor, weil die kinematische Erregung durch den Winkel Ω t gewissermaßen als Energiequelle gegeben ist. Das innere Moment T in der Antriebswelle ist aus Gl. (9) nach der L¨osung der Differentialgleichungen berechenbar. Das Modell der Stufe 2 kann man als eine N¨aherung f¨ur das Modell der Stufe 3 oder als eine Verallgemeinerung des Modells der Stufe 1b deuten. Als neuer Parameter der Modellstufe 3 erscheint M0 in Gl. (13). In dem autonomen System der Differentialgleichungen (12) und (13) f¨ur die Absolutkoordinaten ϕ 1 und ϕ 2 ist die linearisierte Drehzahl-Drehmomentenkennlinie die Energiequelle“, vgl. Gl. (14). Die ” Winkelgeschwindigkeiten ϕ˙ 1 und ϕ˙ 2 erh¨alt man als Ergebnis der Integration dieser beiden Differentialgleichungen. Man muß zwischen dem Antriebsmoment des Motors (Gl. (14)) und dem Moment in der Antriebswelle (Gl. (15)) unterscheiden. Da es keine vorgegebene Zeitfunktion gibt, beschreibt das Modell dieser dritten Stufe einen selbsterregten Schwinger.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen 2.2.1 Regeln zur Verifikation von Modellgleichungen Im Anfangsstadium eines Modellbildungsprozesses kommt es darauf an, grobe Fehler zu vermeiden und ohne viele Umwege zu einem ad¨aquaten Modell zu gelangen. Ein mit der Software-Entwicklung neu entstandenes Problem besteht darin, daß man den Rechenergebnissen blind vertrauen muß, wenn man keine Kontrollm¨oglichkeiten hat. Da der Ingenieur (und nicht der Programmentwickler) nach wie vor f¨ur die Rechenergebnisse verantwortlich ist, hat er großes Interesse an M¨oglichkeiten der Ergebniskontrolle. Zur Kontrolle von Formeln und von mit Simulations-Software erhaltenen Rechenprogrammen k¨onnen die folgenden Regeln behilflich sein: 1. Man u¨ berzeuge sich von der Dimension und der physikalischen Bedeutung jedes Summanden! Vielfach sind die Modellgleichungen entweder die Summen von Kraftgr¨oßen (Kr¨afte oder Momente) oder von geometrischen Gr¨oßen (Wege, Verschiebungen oder Winkel), weil sie aus Gleichgewichts- oder Zwangsbedingungen folgen. Bekanntlich d¨urfen nur Gr¨oßen gleicher Dimension gleichgesetzt, addiert oder subtrahiert werden. Es ist also zu empfehlen, anfangs jeden Term bez¨uglich der Dimension zu u¨ berpr¨ufen. Beachtet man auch die Zahlenwerte, kann man die Bedeutung jedes Terms

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

27

(also z. B. die Komponenten der Massenkr¨afte, Feder-, D¨ampfer- und Erregerkr¨afte) innerhalb der Gesamtbilanz erkennen, seinen Einfluß besser verstehen und sich veranschaulichen. Man pr¨ufe die Herkunft der Erregungen (kinematische Erregungen oder Kraft¨ gr¨oßen) eines schwingungsf¨ahigen Systems. Ublicherweise bilden sie die rechten ” Seiten“ der Modellgleichungen, vgl. Tabelle 2.6 und 2.8. 2. Man pr¨ufe die Tendenzen, welche die Variation der Eingabeparameter auf die Ausgabegr¨oßen hat! Im allgemeinen gilt bei jedem linearen Schwingungssystem, daß sich keine der Eigenfrequenzen erh¨oht, wenn eine Masse vergr¨oßert oder eine Federkonstante vermindert wird. In einigen Sonderf¨allen, wenn die Masse u¨ ber den Schwerkrafteinfluß die potentielle Energie ver¨andert (z. B. Pendel oder bei Kreiseln), ist der Einfluß von Masseparametern auf Eigenfrequenzen komplizierter. Ebenso kann u¨ ber die inneren Zwangskr¨afte (Bindungskr¨afte, wie Zahnkr¨afte, Lager- und Gelenkkr¨afte), die infolge der Massenkr¨afte bei Starrk¨orpersystemen entstehen, vorausgesagt werden, daß sie sich mit dem Quadrat der Drehzahl vergr¨oßern m¨ussen. Weitere Aussagen sind auch bez¨uglich der Drehzahlabh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von Rotorsystemen (Aufspaltung infolge der Kreiselwirkung) u. a. m¨oglich. 3. Man kontrolliere die Modellgleichungen und die Ergebnisse f¨ur extreme Parameterwerte! Es kann sehr n¨utzlich sein zu pr¨ufen, wie sich die L¨osungen der Modellgleichungen verhalten, wenn einzelne Parameter sehr große oder sehr kleine Werte annehmen. Das Nullsetzen“ oder Unendlichwerden“ von Parameterwerten kann dazu f¨uhren, daß ” ” sich die Gleichungen entkoppeln und sich ihre L¨osungen vereinfachen. Man kann oft auch u¨ berlegen (indem man sich die physikalischen Konsequenzen der mathematischen Grenzf¨alle verdeutlicht), welche Tendenzen in den Ergebnissen infolge extremer Parameterwerte zu erwarten sind. So m¨ussen die Modellgleichungen unter bestimmten Bedingungen (z. B. durch das Nullsetzen einer Feder in einer Schwingerkette) in zwei getrennte Gleichungssysteme zerfallen, die sich nicht mehr gegenseitig beeinflussen. Ein unendlich großes Tr¨agheitsmoment muß so wirken, wie eine Einspannung. Es kann auch sein, daß f¨ur extreme Parameterwerte geschlossene analytische L¨osungen gefunden werden, die man zum Vergleich mit den weniger u¨ berschaubaren numerischen L¨osungen heranziehen kann. 4. Man nutze das Superpositionsprinzip zur Kontrolle! Bei linearen Systemen muß folgende Bedingung erf¨ullt sein: Die Wirkung (z. B. Deformation), die infolge der gleichzeitigen Einwirkung von zwei Ursachen (z. B. Kraftgr¨oßen) entsteht, muß ebenso groß sein wie die Summe der Wirkungen, die sich aus der Einwirkung jeder einzelnen Ursache ergibt. Daraus folgt auch, daß bei einem linearen Schwingungssystem beliebiger Struktur z. B. bei einer Verdopplung der Erregerkr¨afte auch eine Verdopplung der Schwingwege eintreten muß.

28

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Andererseits sollte sich bei einem nichtlinearen System zeigen, daß das Superpositionsprinzip verletzt ist, denn sonst h¨atte man einen Grund, seine Nichtlinearit¨aten als unwesentlich anzusehen und es zu linearisieren, vgl. dazu die Beispiele mit geometrisch bedingten nichtlinearen Tr¨agheitskr¨aften in Abschn. 2.2.4, mit nichtlinearen Antriebsmomenten in Abschn. 3.4.3, mit nichtlinearer Kupplung in Abschn. 3.4.2 oder mit nicht proportionaler D¨ampfung in Abschn. 3.5. 5. Man benutze Erhaltungss¨atze der Mechanik zur Kontrolle! Der Impulssatz, der Drallsatz, der Energie- und Arbeitssatz eignen sich dazu, die Ergebnisse der numerischen Integration zu kontrollieren. Die Bewegungsgleichungen haben oft die Form von Gleichgewichtsbedingungen, d. h., die genannten S¨atze k¨onnen zus¨atzlich formuliert und ihre Erf¨ullung nach dem Einsetzen der Ergebnisse der numerischen Integration gepr¨uft werden. Manchmal ist es vorteilhaft, diese Erhaltungss¨atze der Mechanik als weitere Gleichungen in den Integrationsprozeß einzubeziehen, vgl. [300], [346]. Die genannten S¨atze stellen ebenso wie die anderen genannten Kontrollm¨oglichkeiten notwendige Bedingungen dar, die erf¨ullt sein m¨ussen, d.h. man kann aus ihrer Nichterf¨ullung zwar auf Fehler, aber aus ihrer Erf¨ullung nicht auf die Richtigkeit der Ergebnisse schließen. 6. Man vergleiche die Ergebnisse mechanisch a¨ hnlicher Parametervektoren! Wie im Abschn. 2.2.2 n¨aher ausgef¨uhrt wird, kann man an Stelle von K dimensionsbehafteten Parameterwerten bei jedem antriebsdynamischen Problem K − 3 dimensionslose Kenngr¨oßen einf¨uhren und mit diesen dimensionslose Ergebnisse berechnen, welche sich schließlich wieder in dimensionsbehaftete Endergebnisse umrechnen lassen. Man kann die Resultate von Softwareprogrammen, deren Algorithmen im einzelnen unbekannt sind, pr¨ufen, indem man die Berechnung mit verschiedenen Parametervektoren wiederholt, denen dieselben dimensionslosen Kenngr¨oßen entsprechen, vgl. das Beispiel in den Gln. (2.47) bis (2.49). Die mit denselben Bezugsgr¨oßen erhaltenen dimensionslosen Resultate m¨ussen f¨ur mechanisch a¨ hnliche Parametervektoren numerisch v¨ollig u¨ bereinstimmen, d. h. durch diese Kontrolle kann man sich vergewissern, wie genau die numerische Berechnung war. 7. Man beachte die Symmetriebedingungen mechanischer Systeme! Viele Rechenprogramme sind so allgemeing¨ultig, daß die installierten Algorithmen die besonderen Beziehungen nicht ausnutzen, die in einer symmetrischen mechanischen Struktur zwischen den mechanischen Gr¨oßen bestehen m¨ussen. Wird ein symmetrisches mechanisches System mit einem Algorithmus f¨ur ein beliebiges System behandelt, kann man deshalb mehrere Proben machen: • Bei symmetrischen Belastungen m¨ussen alle antimetrischen Schnittgr¨oßen in der Symmetrieebene null sein, und alle mechanischen Gr¨oßen m¨ussen an allen symmetrischen Punkten u¨ bereinstimmen. • Bei antimetrischen Belastungen m¨ussen alle symmetrischen Schnittgr¨oßen in der Symmetrieebene null sein, und alle mechanischen Gr¨oßen m¨ussen an allen symmetrischen Punkten entgegengesetzte Vorzeichen haben. Eine beliebige Belastung kann stets als Summe aus einer symmetrischen und einer antimetrischen Belastung dargestellt werden. Deshalb ist diese Kontrolle

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

29

an symmetrischen mechanischen Systemen bei beliebigen Belastungen durchf¨uhrbar. In einem symmetrischen linearen Schwingungssystem existieren ausschließlich symmetrische und antimetrische Eigenformen. Man kann also Softwareprogramme auf ihre Rechengenauigkeit dadurch testen, daß man einerseits Daten f¨ur symmetrische Systeme unabh¨angig von den Symmetriebedingungen eingibt und andererseits die Symmetriebedingungen von Anfang an ausnutzt, d. h. das Gesamtsystem zerlegt und nur die H¨alfte“ berechnet. Bei mehrfacher Symmetrie gibt es noch mehr Kon” trollm¨oglichkeiten, z. B. bei ringf¨ormigen Strukturen. 8. Man verwende analytisch exakte L¨osungen zur Kontrolle! Geschlossene analytische L¨osungen lassen sich zwar oft nur f¨ur Spezialf¨alle finden, aber man kann damit v¨ollig unabh¨angige Werte zum Vergleich erhalten. Es kann damit zwar keine durchgreifende Kontrolle f¨ur beliebige Parameterwerte erfolgen, aber man kann evtl. unterschiedliche Parameterbereiche mit unterschiedlichen exakten L¨osungen u¨ berpr¨ufen, vgl. das Beispiel in Abschn. 2.2.4.3. F¨ur regul¨are mechanische Strukturen, die aus sich wiederholenden gleichen Elementen bestehen, existieren geschlossene analytische L¨osungen, vgl. z. B. in [99], [113], [344]. 2.2.2 Normierung der Parameter und der Variablen Die folgenden Empfehlungen stehen im Zusammenhang mit Gesetzm¨aßigkeiten der ¨ Ahnlichkeitsmechanik, die vor allem bei der Anwendung von Modellgesetzen in der experimentellen Mechanik eine zentrale Rolle spielen. Dazu gibt es eine umfangreiche Fachliteratur, vgl. [123], [143], [145], [193], [277], [297], [305]. ¨ Die Gesetze der Ahnlichkeitsmechanik werden in der Maschinendynamik und Antriebsdynamik viel seltener angewandt als z. B. in der Str¨omungsmechanik, wo selbstverst¨andlich mit der Reynoldszahl, der Froudezahl, der Machzahl u. a. gearbeitet wird. Es gibt nur wenige Beispiele aus dem Gebiet des Turbinenbaus und des ¨ Kranbaus, wo man Ahnlichkeitskennzahlen in Verbindung mit experimentellen Untersuchungen benutzte, z. B. [190], [305]. Nicht nur f¨ur experimentelle Untersuchungen, sondern auch f¨ur theoretische ¨ Betrachtungen, analytische und numerische Berechnungen haben die Ahnlichkeitskennzahlen Bedeutung in der Antriebsdynamik. Das Lehrsche D¨ampfungsmaß ϑ , dimensionslose Eigenwerte λ und das Abstimmungsverh¨altnis η sind als solche h¨aufig ¨ verwendeten Ahnlichkeitskennzahlen einzustufen. ¨ Die wesentlichen Schlußfolgerungen auf dem Gebiet der Ahnlichkeitsmechanik basieren auf dem Gesetz von Buckingham, welches aussagt, daß die Anzahl der Parameter in den Modellgleichungen um die Anzahl der Grundgr¨oßen des physikalischen Prozesses verringert werden kann, wenn man dimensionslose Kenngr¨oßen einf¨uhrt ([277], [193]). Bei den hier interessierenden dynamischen Vorg¨angen gibt es immer drei Grundgr¨oßen. Dies k¨onnen L¨ange, Masse und Zeit sein, aber es kommen auch andere in Frage. Sie werden als Bezugsgr¨oßen stets problemspezifisch formuliert. Es k¨onnen zus¨atzlich eingef¨uhrte oder im Parametervektor schon enthaltene Gr¨oßen sein (z. B. Geschwindigkeit, Federkonstante, Tr¨agheitsmoment), die als Bezugs-

30

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

gr¨oßen definiert werden. Die Bezugsgr¨oßen m¨ussen aber stets drei unabh¨angige Maßeinheiten haben. Wenn man drei Bezugsgr¨oßen definiert, kann man alle urspr¨unglichen Parameter durch Multiplikation oder Division mit den Bezugsgr¨oßen in dimensionslose Kenngr¨oßen π i umformen. Die Modellgleichungen jedes Berechnungsmodells lassen sich mit dimensionslosen Kenngr¨oßen und dimensionslosen Variablen ausdr¨ucken. Beispiele daf¨ur werden in den Abschnitten 2.2.3, 2.2.4, 2.3.4 und 2.4.4 gezeigt, vgl. z. B. Gln. (2.39), (2.58), (2.74), (2.82), (2.163), (2.178) und (2.301). An Stelle der urspr¨unglichen Anzahl von K ( physikalischen“) realen Modell” ¨ parametern treten dann nur noch K − 3 dimensionslose Kenngr¨oßen (Ahnlichkeitskennzahlen) auf, die alle die Form von Potenzprodukten der urspr¨unglichen Parameter haben. Bezeichnet man die urspr¨unglichen Parameter im Parametervektor mit (2.20) pT = (p1 , p2 , . . . , pK ) ¨ dann haben die Ahnlichkeitskennzahlen die Form k k π i = p11i · p22i · . . . · pknni , i = 1, 2, . . . K − 3 (2.21) wobei die Exponenten k1i bis kni positive oder negative ganze Zahlen sind. Es gibt stets mehrere M¨oglichkeiten f¨ur die Zusammenfassung von mehreren Parametern zu dimensionslosen Kenngr¨oßen, d. h., es existiert keine eindeutige Zu¨ π i . Auch Produkte, Quoordnung der Parameter xk zu den Ahnlichkeitskennzahlen ¨ tienten und beliebige Potenzprodukte von Ahnlichkeitskennzahlen k¨onnen solche sein. Die Anzahl (K − 3) unabh¨angiger Kennzahlen ist problemspezifisch und bleibt ¨ erhalten. Die in der Maschinendynamik und Antriebsdynamik benutzten Ahnlichkeitskennzahlen werden selten mit π i bezeichnet. Sie sind als D¨ampfungsgrad D, Abstimmungsverh¨altnis η , bezogene Zeit τ , Eigenwert λ , Schwingbeiwert ψ , bezogene Koordinate, Steifigkeitsverh¨altnis, Sommerfeldzahl (in der Lagertheorie) u. a. bekannt. Jedem Bearbeiter wird empfohlen, die analytischen Rechnungen weitgehend mit dimensionbehafteten Parametern durchzuf¨uhren, um w¨ahrend der Rechnung mehr Kontrollm¨oglichkeiten zu haben. Erst zum Schluß einer Untersuchung, wenn es an die numerische Auswertung und die u¨ bersichtliche Darstellung der Ergebnisse geht, empfiehlt es sich, dimensionslose Kenngr¨oßen einzuf¨uhren. ¨ Unterschiedliche Parametervektoren, die dieselben dimensionslosen Ahnlichkeitskennzahlen haben, werden als mechanisch a¨ hnliche Parametervektoren bezeichnet. Die Einf¨uhrung dimensionsloser Kenngr¨oßen ist bei der analytischen und numerischen Behandlung der Modellgleichungen aus mehreren Gr¨unden zu empfehlen. 1. Man kann damit den Rechenaufwand verringern, weil bei der Analyse von Parametereinfl¨ussen oder bei einer Optimierung an Stelle von K echten“ Parametern ” nur K − 3 dimensionslose Parameter zu variieren sind. 2. Werden dimensionslose Kenngr¨oßen benutzt, kann man den Einfluß von mindestens f¨unf dimensionsbehafteten realen Parametern in zweidimensionalen Diagrammen veranschaulichen. Das ist m¨oglich, weil in Abszisse und Ordinate mindestens zwei, innerhalb der Ergebnisgr¨oße eine Bezugsgr¨oße enthalten sind und der Parameter der Kurvenschar eine weitere Kenngr¨oße sein kann. 3. Dimensionslos dargestellte Ergebnisse sind unabh¨angig von den Maßeinheiten, so daß man sich nicht um SI-Einheiten oder das amerikanische Maßsystem k¨ummern muß.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

31

4. Von vielen Baugruppen von Antriebssystemen werden Serien hergestellt, d. h. abgestufte Baureihen mit unterschiedlichen Parameterwerten (vgl. Gl. (2.20)), die bestimmte Bereiche von Parametern u¨ berdecken. Benutzt man zu deren dy¨ namischer Analyse Ahnlichkeitskennzahlen gem¨aß Gl. (2.21), so ist erkennbar, wie diese sich innerhalb der Baureihe ver¨andern, und man kann die zu erwarten¨ den dynamischen Erscheinungen beurteilen. Aus einer solchen Ubersicht kann abgeleitet werden, ob innerhalb der Baureihe dieselben dynamischen Erscheinungen zu erwarten sind, vgl. die Beispiele in Abschn. 2.2. ¨ 5. Formt man die Modellgleichungen so um, daß in ihnen Ahnlichkeitskennzahlen auftreten, kann man bereits vor der Modellberechnung an Hand der Gr¨oße der ¨ π i die Parametereinfl¨usse bewerten und ModellvereinAhnlichkeitskennzahlen fachungen begr¨unden. Es lassen sich manchmal Schlußfolgerungen u¨ ber wesentliche und unwesentliche Einflußgr¨oßen ziehen, bevor die Differentialgleichungen des Problems gel¨ost werden. Dies ist vor allem bei nichtlinearen Problemen von Interesse, vgl. z. B. Abschn. 2.2.3 und 2.2.4. 6. Man kann den experimentellen Aufwand bei der Bestimmung von Materialpa¨ rametern vermindern, wenn man sich vor den Versuchen die Ahnlichkeitskennzahlen ermittelt, in welche die Versuchsdaten eingehen sollen. Es ist nicht n¨otig, Versuche mit solchen Parameterkombinationen mehrfach durchzuf¨uhren, wenn ¨ sie dieselben Ahnlichkeitskennzahlen haben [143], [277]. ¨ Es ist zweckm¨aßig, die Ahnlichkeitskennzahlen und die Variablen zu skalieren, d. h. in eine Form zu transformieren, daß die Variablen nicht nur dimensionslos werden, sondern auch in derselben Gr¨oßenordnung auftreten. Da man jede Modellgleichung mit einem beliebigen Faktor multiplizieren kann, ohne daß sich an deren phy” sikalischem Inhalt“ etwas a¨ ndert, kann man alle Modellgleichungen so umformen, daß ihre gr¨oßten Summanden die Gr¨oßenordnung von eins erhalten. Dies kann numerische Vorteile bringen und f¨ur weitere Absch¨atzungen genutzt werden. Diese Methode ist anwendbar, wenn man ungef¨ahr die Zahlenbereiche der Parameterwerte des Modells kennt, vgl. [48]. Da dies bei antriebstechnischen Aufgaben ¨ in der Regel der Fall ist, sind dann auch die Zahlenbereiche der Ahnlichkeitskennzahlen bekannt. 2.2.3 Berechnungsmodelle von Schubkurbelgetrieben 2.2.3.1 Modellgleichungen Das Schubkurbelgetriebe ist eine Baugruppe, die h¨aufig in Antriebssystemen zur Umwandlung von Dreh- in Schubbewegungen (und umgekehrt) eingesetzt wird. Es muß je nach Fragestellung mit unterschiedlichen Berechnungsmodellen behandelt werden. Dies soll hier zur Illustration der in den vorangestellten Abschnitten getroffenen allgemeinen Aussagen erl¨autert werden. Die f¨ur Schubkurbelgetriebe dargestellten Probleme treten sinngem¨aß bei allen ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismen (mehrgliedrige Koppelgetriebe, Kurven- und R¨aderkoppelgetriebe) in vielen Antrieben von Verarbeitungsmaschinen auf, vgl. [68]. Auf die Behandlung des Starrk¨orpermodells wird verzichtet. Es ist weithin in der Fachliteratur behandelt worden, vgl. z. B. [132], [336], [366].

32

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

¨ Tabelle 2.7 Ubersicht u¨ ber beim Schubkurbelgetriebe behandelte Effekte (Kurbell¨ange r, Koppell¨ange l; r/l  1) Fall Effekt, Modellbild, Parameter 1

Bewegungsgleichung 1 J(ϕ )ϕ¨ + J  (ϕ )ϕ˙ 2 + kT (ϕ − ϕ 0 ) = 0 (1) 2   J  Ω 2  q1 J(Ω t)q¨1 + J (Ω t)Ω q˙1 + kT + 2 1  = − J (Ω t)Ω 2 =  Antriebsmoment (2) 2 2 J ≈ J0 + m4 r sin2 ϕ (3)

Elastische Antriebswelle kT J 0 ϕ= Ω t + q1 ϕ0 = Ω t

2

m4

elastisches Abtriebsglied mit Spiel k

Ωt

δ

m4

x x1

3

= −m4 x1 Ω 2 =  Massenkraft am Abtrieb

x2

= −m4 x  x,3 Ω 2 (6) =  L¨angskraft in Koppel  x = r cos Ω t + (l + q3 )2 − r2 sin2 Ω t (7)

l + q3 k3

4

m4

ym

ϕ3

Ωt

5

m3* q4 xm

m4

m1 α

  = m∗3 (xm sin ϕ 3 + ym cos ϕ 3 )Ω 2 =  kinetostatische Querkraft m∗3 = 0,493
Al 48EI k4 = 3 l

Ωt

(9) (10)

 kinetostatische m4 =

Lagerkraftkomponente 2, m  m22 = m1 + m4 x,2 ϕ 2 = m4 x x,2 (12)

q2

1 Spiel im Drehgelenk ohne Kontaktver m66 q¨6 + m66 Ω q˙6 + m66,6 q˙26 lust 2 β+q6 ∆r = −mϕ 6 Ω 2 Ωt

(8)

1  m22 q¨2 + m22,2 q˙22 + m22 Ω q˙2 + k2 q2 2  2 = −mϕ 2 Ω (11)

elastisches Kurbellager

k2

6

m∗3 q¨4 + (k4 − m∗3 Ω 2 ϕ 32 )q4

biegeelastische Koppel EI

(5)

 m4 (x,3 q¨3 + 2x,3 Ω q˙3 + x,33 q˙23 )x,3 + k3 q3

l¨angselastische Koppel

Ωt

q2 = x1 − x2 (4) m4 q¨2    δ δ k + q2 − sign(q2 ) 1+ sign(|q2 |)− 2 2 2

m4

=  Tangentialkraft im Drehgelenk 2, m  m66 = m4 x,6 ϕ 6 = m4 x x,6

(13) (14)

Anmerkung: Die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten qk der Zusatzbewegungen werden durch Komma und Index mit ∂x/∂qk = x,k abgek¨urzt.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

33

In Tabelle 2.7 sind einige Berechnungsmodelle mit einem einzigen Freiheitsgrad angegeben. Den F¨allen 1 bis 6 sind die mit dem entsprechenden Index versehenen Koordinaten qk zugeordnet. Auf die Einf¨uhrung von D¨ampfungsparametern wurde in Tabelle 2.7 aus Platzgr¨unden generell verzichtet, sie w¨aren den Federkr¨aften hinzuzuf¨ugen, vgl. Abschn. 4.4.3. Bemerkenswert ist die aus den angegebenen Gleichungen erkennbare Tatsache, daß in allen F¨allen die aus dem Modell des Starrk¨orperMechanismus berechenbaren kinetostatischen Kr¨afte als Erregung auf den rechten Seiten der Gleichungen erscheinen. Die Erregerfunktion f¨ur die betreffenden Schwinger mit einem Freiheitsgrad sind aus dem Starrk¨orpermodell berechenbar, also z. B. die Fourierkoeffizienten der jeweiligen periodischen Erregung. Man kann sich ohne Kenntnis der linken Seite“ der Gleichungen also mit ” Ver¨anderungen am Starrk¨orper-Mechanismus befassen, um die f¨ur die Resonanzen relevanten Erregerharmonischen zu vermindern. Dabei gibt es aber nicht nur die bekannten Resonanzstellen k-ter Ordnung. Es l¨aßt sich in Tabelle 2.7 feststellen, daß infolge des ver¨anderlichen Kurbelwinkels auf den linken Seiten zeitlich ver¨anderliche Koeffizienten zustande kommen (Fall 1, 2, 3, 6), also parametererregte Schwinger entstehen, die ein komplizierteres Schwingungsverhalten als solche mit konstanten Koeffizienten besitzen. Die elastische Koppel wurde entsprechend den in Abschn. 2.3.4 erl¨auterten Grunds¨atzen hier als Minimalmodell mit einem Freiheitsgrad behandelt, vgl. Tabelle 2.7, Fall 4. 2.2.3.2 Elastisches Abtriebsglied mit Spiel Das elastische Abtriebsglied mit Spiel (Fall 2 in Tabelle 2.7) ist ein Sonderfall des in Bild 2.6 dargestellten Systems mit zwei Freiheitsgraden, bei dem auch die Motorkennlinie ber¨ucksichtigt wird. Hier werden die Modellgleichungen des in Bild 2.6 skizzierten Antriebssystems in 3 Formen dargestellt: Mit Absolutkoordinaten, mit Relativkoordinaten und mit dimensionslosen Kenngr¨oßen, vgl. auch Bild 4.16a. Dabei sollen sowohl die Methoden zu ihrer Aufstellung als auch die Vor- und Nachteile der einzelnen Formen hinsichtlich ihrer L¨osung diskutiert werden. Das skizzierte Antriebssystem wird durch einen Motor angetrieben, dessen Drehzahl-Drehmomentenkennlinie im station¨aren Zustand eine Gerade ist, vgl. Gl. (2.22). Das Schubkurbelgetriebe soll eine durch seine kinematischen Abmessungen bestimmte Abtriebsbewegung realisieren. Infolge der (durch die Motorkennlinie und das ver¨anderliche Massentr¨agheitsmoment bedingten) ver¨anderlichen Antriebswinkelgeschwindigkeit und des elastischen spielbehafteten Abtriebsgliedes weicht die Abtriebsbewegung von der idealen kinematischen Bewegung x1 (ϕ ) ab, die sich beim starren spielfreien Mechanismus bei konstanter Antriebsgeschwindigkeit einstellen w¨urde. Das Berechnungsmodell soll dazu dienen, den ( dynamischen“) Abtriebsweg ” x2 (t), das Antriebsmoment Man und die Kraft F12 im Abtrieb zu berechnen, um zu kl¨aren, wie sich diese von den idealen“ Gr¨oßen des zwangl¨aufigen Starrk¨orpersy” stems unterscheiden. Die lineare Motorkennlinie wird (station¨arer Zustand) folgendermaßen angen¨ahert, vgl. Abschn. 3.4.3:   ϕ˙ (2.22) Man = M0 1 − Ω

34

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

l0

Modell J0 M an r

δ

m1

l

k

m2

ϕ x1

l0 + x 2 +δ / 2

a)

Federkraft F12 −

k ( x1 − x 2 +δ / 2)

k ( x1 − x 2 −δ / 2)

δ 2

q2 = x1 − x 2

δ 2

Relativweg

b) F1

m1 && x1

F12

F12

m2 && x2

c) Bild 2.6 Schubkurbelgetriebe mit Spiel im Abtrieb (l0 L¨ange der ungespannten Feder) a) Berechnungsmodell, b) Federkennlinie mit Spiel, c) Erl¨auterung des Kr¨aftegleichgewichts

Der Abtriebsweg des Schubkurbelgetriebes ist eine nichtlineare Funktion des Antriebswinkels und der geometrischen Abmessungen, vgl. Bild 2.6a:   U(ϕ ) (2.23) x1 = r cos ϕ + l 2 − r2 sin2 ϕ = Die f¨ur die Wegfunktion x1 (ϕ ) hier beschriebenen Gleichungen gelten auch f¨ur das Modell in Bild 4.16 mit der Lagefunktion U(ϕ ), vgl. Abschn. 4.4.2. Es wird folgende Abh¨angigkeit der inneren Kraft von Elastizit¨at und Spiel angenommen, vgl. Bild 2.6b: ⎧ ⎪ ⎨k(x1 − x2 − δ /2) f¨ur x1 − x2  δ /2 (2.24) F12 = 0 f¨ur |x1 − x2 | < δ /2 ⎪ ⎩k(x − x + δ /2) f¨ur x − x
−δ /2 1 2 1 2 Derselbe Zusammenhang l¨aßt sich so ausdr¨ucken:

  δ δ k F12 = x1 − x2 − sign(x1 − x2 ) 1 + sign |x1 − x2 | − 2 2 2

(2.25)

Eine andere, f¨ur numerische Berechnungen vorteilhafte, Formulierung stellt Gl. (4.158) dar, vgl. Abschn. 4.9.1 und Bild 4.39.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

35

Das Kr¨aftegleichgewicht zwischen Massenkraft und Federkraft liefert, vgl. Bild 2.6c: F12 = m2 x¨2

(2.26)

Das Antriebsmoment gem¨aß Gl. (2.22) muß die Massenkr¨afte u¨ berwinden. Man gewinnt es durch die Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit: Man = J0 ϕ¨ + m1 x¨1 x1, ϕ + m2 x¨2 x2, ϕ

(2.27)

Der darin vorkommenden Ausdruck f¨ur die Beschleunigung der Masse m1 des Schubgliedes folgt aus der Winkelgeschwindigkeit und der Winkelbeschleunigung der Antriebskurbel sowie aus den Lagefunktionen erster und zweiter Ordnung des Schubkurbelgetriebes: x˙1 = x1, ϕ ϕ˙ ;

x¨1 = x1, ϕ ϕ ϕ˙ 2 + x1, ϕ ϕ¨

(2.28)

Die Ableitungen des Schubweges x1 nach dem Kurbelwinkel ϕ kann man aus Gl. (2.23) berechnen. Sie werden durch die aus Gl. (2.29a) und Gl. (2.29b) ersichtlichen Index-Symbole abgek¨urzt. Es ergibt sich die Lagefunktion erster Ordnung: r2 sin ϕ cos ϕ dx1 = x1, ϕ = −r sin ϕ −  =  U  (ϕ ) dϕ 2 2 2 l − r sin ϕ

(2.29a)

 x1,ϕ ϕ ): und nach weiterer Differentiation die Lagefunktion zweiter Ordnung (U  =   r2 l 2 cos2 ϕ − sin2 ϕ + r4 sin4 ϕ d 2 x1 = x = −r cos ϕ − (2.29b) 1, ϕ ϕ  3 dϕ 2 l 2 − r2 sin2 ϕ 2 Aus dem Momentengleichgewicht am Antrieb und dem Kr¨aftegleichgewicht am Abtrieb folgt, vgl. Gl. (2.22), (2.27) und (2.28) bzw. Gl. (2.25) und (2.26):   ϕ˙ 2 2 =0 (2.30) m2 x2, ϕ x¨2 + (J0 + m1 x1, ϕ )ϕ¨ + m1 x1, ϕ x1, ϕ ϕ ϕ˙ − M0 1 − Ω 

 δ δ k m2 x¨2 − x1 −x2 − sign(x1 −x2 ) 1+sign |x1 −x2 |− =0 (2.31) 2 2 2 Dies sind die Modellgleichungen der Modellstufe 3 bez¨uglich der Absolutkoordinaten (ϕ und x2 ), vgl. Tabelle 2.5. Nun sollen diese in Relativkoordinaten ausgedr¨uckt werden, was bei solchen Aufgaben oft zu empfehlen ist. Es wird der Relativwinkel zur kinematischen Prim¨arbewegung als Variable eingef¨uhrt, vgl. auch Abschn. 2.1.5. q1 = ϕ − ϕ 0 = ϕ − Ω t;

q˙1 = ϕ˙ − Ω ;

q¨1 = ϕ¨

(2.32)

Dieser Relativwinkel q1 bleibt bei den Schwingungen um die kinematische Prim¨arbewegung, die dem Mittelwert Ω t entspricht, in einem endlichen Bereich, wogegen der urspr¨ungliche Absolutwinkel ϕ infolge der Rotationsbewegung beliebig große Werte annehmen kann. Gl. (2.28) erh¨alt damit die Form x˙1 = x1, ϕ (Ω + q˙1 ) ;

x¨1 = x1, ϕ ϕ (Ω + q˙1 )2 + x1, ϕ q¨1

(2.28a)

36

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Außerdem wird der Relativweg q2 als neue Variable eingef¨uhrt, welcher die Sekund¨arbewegung (Zusatzbewegung am Schubglied) bezeichnet. Es gilt q2 = x1 − x2 ;

x2 = x1 − q2 ;

x2,ϕ ≈ x1,ϕ

(2.33)

Damit lauten die aus den Gln. (2.26) und (2.27) bekannten Gr¨oßen F12 = m2 (x¨1 − q¨2 )   Man = J0 q¨1 + (m1 + m2 )x¨1 − m2 q¨2 x1, ϕ

(2.34) (2.35)

Unter Ber¨ucksichtigung von Gl. (2.28a) erscheinen die Systemgleichungen, die bisher als Gl. (2.30) und (2.31) bekannt sind, mit den Relativkoordinaten also in der Form [J0 + (m1 + m2 )(x1, ϕ )2 ]q¨1 − m2 x1, ϕ q¨2 + (m1 + m2 )x1, ϕ x1, ϕ ϕ (q˙1 + Ω )2 + M0

q˙1 =0 Ω

m2 x1, ϕ q¨1 − m2 q¨2 + m2 x1, ϕ ϕ (q˙1 + Ω )2     δ δ k − 1 + sign |q2 | − q2 − sign(q2 ) =0 2 2 2

(2.36)

(2.37)

Die L¨osung der Systemgleichungen ergibt die Verl¨aufe der Variablen q1 (t) und q2 (t) bzw. ϕ (t) und x2 (t). Sie l¨aßt sich mit bekannten Verfahren der numerischen Integration ermitteln. Wird sie in die Gln. (2.29a) und (2.29b) und danach in die Gln. (2.33), (2.34) und (2.35) eingesetzt, erh¨alt man die in der Aufgabenstellung verlangten Gr¨oßen. Alle Ergebnisgr¨oßen sind dann eine Funktion von den insgesamt neun (dimensionsbehafteten) Parametern, die man im Parametervektor pT = (r, l, k, m1 , m2 , δ , Ω , M0 , J0 )

(2.38)

geordnet zusammenfassen kann. Es ist zweckm¨aßig, die Systemgleichungen (2.36) und (2.37) noch in anderer Form darzustellen. Bei der bisherigen Formulierung treten ein Winkel und ein Weg als Variable auf, also Koordinaten mit verschiedenen Dimensionen, die zudem bei der numerischen Rechnung in verschiedenen Zahlenbereichen erscheinen werden. Zur Einf¨uhrung dimensionsloser Gr¨oßen sind f¨ur das gegebene Beispiel als Bezugsgr¨oßen die L¨ange l, die Masse m1 und die Winkelgeschwindigkeit Ω geeignet. Dividiert man die Systemgleichungen (2.36) und (2.37) durch diese Bezugsgr¨oßen (und Potenzen von ihnen), so erhalten alle Koeffizienten und Variablen eine dimensionslose Form. Wie aus den allgemeinen Behauptungen im Abschn. 2.2.1 folgt, kann man ¨ dieses Beispiel mit (9 − 3 =) 6 dimensionslosen Kenngr¨oßen (Ahnlichkeitskenngr¨oßen) beschreiben: r l

π1 = ; π2 =

δ m2 k M0 J0 ; π3 = ; π4 = ; π5 = ; π6 = 2 2 2 m1 2l m1 Ω m1 l Ω m1 l 2

(2.39)

Aus den bisherigen Winkel- und Wegkoordinaten und der Zeit werden dimensionslose Koordinaten: q2 ξ 1 = q1 ; ξ2 = ϕ0 = Ω t (2.40) ; l

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

37

Die Lagefunktion gem¨aß Gl. (2.23) erh¨alt die Form  x1 = π 1 cos τ + 1 − π 12 sin2 τ (2.41) y= l Die Ableitung nach der Zeit t wird durch die Ableitung nach dem Winkel ϕ 0 ersetzt, wof¨ur als neues Symbol ein Strich eingef¨uhrt wird. Somit gilt: d ξk d ϕ 0 d 2ξk d ξk = = ξ k Ω ; · = ξ k Ω 2 (2.42) dt d ϕ0 dt dt 2 Die Modellgleichungen (2.36) und (2.37) werden nun in die u¨ bliche Form gebracht, bei der die unbekannten Funktionen ξ 1 und ξ 2 auf der linken Seite und die bekannten Erregerfunktionen auf der rechten Seite stehen: [π 6 + (1 + π 2 )y2,ϕ ]ξ 1 + (1 + π 2 )y,ϕ y,ϕ ϕ (2ξ 1 + (ξ 1 )2 ) + π 5 ξ 1 − π 2 y,ϕ ξ 2 = −(1 + π 2 )y,ϕ y,ϕ ϕ

(2.43)

π 2 [y,ϕ ξ 1 + y,ϕ ϕ (2ξ 1 + (ξ 1 )2 ) − ξ 2 ]

1 − π 4 [ξ 2 − π 3 sign(ξ 2 )][1 + sign(|ξ 2 | − π 3 )] = −π 2 y,ϕ ϕ (2.44) 2 Diese Bewegungsgleichungen beschreiben parametererregte erzwungene Schwingungen eines nichtlinearen Systems, bei dem die Erregung im station¨aren Zustand durch die Lagefunktion U(ϕ ) bestimmt wird. Die Nichtlinearit¨at ist sowohl durch das Spiel auch durch die Lagefunktion und das Quadrat bedingt. In weiteren Schritten k¨onnte man diese Bewegungsgleichungen linearisieren, so daß die zeitabh¨angigen Erregerterme deutlicher erscheinen, z. B. mit der N¨aherung U(ϕ ) ≈ U(ϕ 0 ) + q1U  (ϕ 0 ). Dies w¨are f¨ur die numerische Integration nicht erforderlich, aber es lassen sich dann bestimmte dynamische Effekte leichter interpretieren, vgl. die Ausf¨uhrungen in Abschn. 4.4. Zum Beispiel ist Gl. (4.6) mit Gl. (2.43) vergleichbar und das Berechnungsmodell in Bild 4.16 gehorcht auch der Gl. (2.44). Die beiden Kraftgr¨oßen folgen aus den Gln. (2.34) und (2.35) und lauten nun   F12 = π 2 y, ϕ ϕ (1 + ξ 1 )2 + y, ϕ ξ 1 − ξ 2 (2.45) f1 = 2 m1 l Ω und Man f2 = = −π 5 ξ 1 (2.46) m1 l 2 Ω 2 Die beiden L¨angen, die die Abtriebsbewegung der Schubkurbel bestimmen, sind in ¨ der dimensionslosen Kenngr¨oße π 1 enthalten. Sie sichern die geometrische Ahnlich¨ ¨ keit. F¨ur die mechanische Ahnlichkeit sorgen die anderen f¨unf Ahnlichkeitskenngr¨oßen. Man k¨onnte die L¨osung der Differentialgleichungen (2.30) und (2.31) f¨ur die Absolutkoordinaten mit realen (dimensionsbehafteten) Parameterwerten mit derjenigen der Gln. (2.36) und (2.37) f¨ur die Relativkoordinaten vergleichen und beide auch mit der L¨osung der Differentialgleichungen (2.43) und (2.44). Zur Kontrolle kann man f¨ur dieselben dimensionslosen Kenngr¨oßen unterschiedliche dimensionsbehaftete Parameters¨atze ermitteln und pr¨ufen, ob sich f¨ur dieselbe Aufgabe u¨ bereinstimmende numerische Resultate ergeben.

38

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Beispielsweise ergeben die beiden mit den Gln. (2.47) und (2.48) definierten Parametervektoren pT1 = (0,044 m; 0,2 m; 2,028 · 105 N/m; 2 kg; 3 kg; 0,000 1 m; . . . 10,4 s−1 ; 4 N · m; 0,008 kg · m2 )

(2.47)

pT2 = (0,088 m; 0,4 m; 76 050 N/m; 3 kg; 4,5 kg; 0,000 2 m; . . . 5,2 s−1 ; 6 N · m; 0,048 kg · m2 )

(2.48)

mit der aus Gl. (2.38) bekannten Bedeutung der Komponenten gleichgroße (aus Gl. (2.39) berechenbare) dimensionslose Kenngr¨oßen: π 1 = 0,22; π 2 = 1,5; π 3 = 0,000 25; π 4 = 938; π 5 = 0,462; π 6 = 0,1 (2.49)

Die beiden Parameters¨atze x 1 und x 2 aus den Gln. (2.47) und (2.48) geh¨oren zu mechanisch a¨ hnlichen Systemen und m¨ussen also u¨ bereinstimmende a¨ hnliche“ ” L¨osungen ergeben. Diese werden sich praktisch voneinander zwar zahlenm¨aßig unterscheiden, aber sie sind durch Multiplikation mit den Bezugsgr¨oßen ineinander umrechenbar. Die genannten Vergleiche erm¨oglichen es also, die Berechnungsmethode (oder das Softwareprogramm) auf numerische Genauigkeit mit sich selbst“ zu ” pr¨ufen.
In Bild 2.7 sind mit dem Rechenprogramm ITI -SIM [302] erhaltene Ergebnisse f¨ur die festen Parameterwerte r = 44 mm;

l = 200 mm;

m2 = 3 kg;

Ω = 10,4 s−1

k = 2,028 · 105 N/m;

(2.50)

f¨ur variable Werte des Spiels δ /r dargestellt. Es wurde ein D¨ampfungsmaß von ϑ = 0,05 ber¨ucksichtigt. Dem kinetostatischen Kraftverlauf sind Schwingungen u¨ berlagert, die als Stoßfolge erscheinen, welche zu Zeitpunkten beginnt, an denen ein Vorzeichenwechsel der Beschleunigung auftritt. Die ersten Kraftspitzen entstehen infolge des Spieldurchlaufs nach dem Aufprall des Schwingers auf die Masse m1 , sie werden infolge der D¨ampfung nach und nach kleiner. Wenn man sich nur f¨ur die Spitzenwerte der Vibrationskr¨afte interessiert, kann man diese mit einer N¨aherungsformel aus [84] (dort S. 159/160) berechnen, die mit den hier benutzten Bezeichnungen folgendermaßen lautet:  
3 3   | = Ω m2 k 4,5δ 2 |x1∗ | (2.51) F12 max = m2 q¨2 max = m2 Ω ω 4,5δ 2 |x1∗ Demzufolge sind die durch den Spieldurchlauf bedingten Vibrationskr¨afte der Drehzahl proportional, und sie a¨ ndern sich mit der Quadratwurzel aus Masse und Steifigkeit und der angegeben Kubikwurzel aus dem Quadrat des Spiels und der Lagefunktion dritter Ordnung. Diese dritte Ableitung ist an der Kurbelstellung ϕ ∗ zu berech (ϕ ∗ ) = 0 ist. Sie ergibt sich nach elementarer nen, an welcher die zweite Ableitung x1∗ aber umfangreicher Rechnung (π 1 = λ ) zu   5λ 3  = r 1 + λ + 4λ 2 + (2.52) x1∗ + O(λ 4 ) 16

39

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

20 10 0 −10 −20

δ/r = 0,001

N

δ/r = 0

N

20 10 0 −10 −20

0

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,002

20 10 0 −10 −20 −30

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,004

N

N

20 10 0 −10 −20 −30

0

0

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,006

30 20 10 0 −10 −20 −30

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,008

N

N

30 20 10 0 −10 −20 −30

0

0

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,012

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,016

40 30 20 10 0 −10 −20 −30 −40 −50

N

N

40 30 20 10 0 −10 −20 −30 −40 −50

0

0

π

2π

ϕ

3π

0

π

2π

ϕ

3π

Bild 2.7 Kraft F12 in Abh¨angigkeit von relativem Spiel δ /r = 2π 3 /π 1 , vgl. Gl. (2.39) (Rechenergebnis von ITI
-SIM)  F¨ur die Werte aus Gl. (2.50) ist x1∗ = 62,3 mm und mit dem Spiel von δ = 0,352 mm folgt damit aus Gl. (2.51) F12 max = 26,5 N. Der aus Bild 2.7 f¨ur δ /r = 0,008 ablesbare Wert der Kraftspitze stimmt damit gut u¨ berein. Die Formel (2.51) gilt dann, wenn der Anlagewechsel in der Kurbelstellung erfolgt, bei der die Beschleunigung Null ist, d. h. ihr Vorzeichen wechselt. Die Stoßzeit“ jedes einzelnen der in Bild 2.7 ”

40

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

sichtbaren Einzelimpulse entspricht einer halben Periodendauer des aus m2 und k bestehenden Einmassenschwingers (vgl. Bild 2.6a) und betr¨agt   m2 3 = 3,141 6 = 0,012 1 s (2.53) T /2 = π k 202 800 Dieser Wert ist auch bei der numerischen Integration von Interesse, denn man kann nur brauchbare Ergebnisse erwarten, wenn die Schrittweite wesentlich kleiner als der Zahlenwert gem¨aß Gl. (2.53) gew¨ahlt wird. Als Beispiel f¨ur den Einfluß elastischer Glieder wird das Schubkurbelgetriebe innerhalb einer Presse betrachtet. Die Wechselwirkung zwischen technologischer Belastung und St¨oßelbewegung eines Schubkurbelgetriebes interessiert bei solchen Umformvorg¨angen, wie Schneiden, Schmieden, Pr¨agen und Stauchen. In [296] wurden die wegabh¨angigen Umformkr¨afte, die elastische Lagerung des Schubkurbelgetriebes, die Gestellelastizit¨at und der schwingungsf¨ahige Antrieb mit relativ wenigen Modellelementen ber¨ucksichtigt. Bei langsamlaufenden Pressen, wenn die Massenkr¨afte des Schubkurbelgetriebes um etwa zwei Zehnerpotenzen unter den maximal m¨oglichen Preßkr¨aften liegen und die Hubfrequenz um etwa eine Zehnerpotenz niedriger als die erste Eigenfrequenz (der Schwingung der gesamten Presse auf der Fundamentaufstellung) liegt, kann das elastische Verhalten mit dem in Bild 2.8 gezeigten Berechnungsmodell erfaßt werden.

Antrieb

Stößel des Schubkurbelgetriebes Fu

Gestell Fundamentblock Fundamentfedern

Bild 2.8 Berechnungsmodell einer Presse nach [296]

Bild 2.9a und b zeigen Rechenergebnisse bei einem Schneidvorgang. Der Grundbelastung am St¨oßel ist eine Schwingung mit der Gestelleigenfrequenz u¨ berlagert. Der Unterschied zwischen dem idealen und dem realen St¨oßelweg zeigt, daß nach Beginn des Kontakts zwischen Werkzeug und Werkst¨uck der reale St¨oßelweg aufgrund der Pressenfederung und der Spiel¨uberbr¨uckung gegen¨uber dem Verlauf des idealen Abtriebswegs (vgl. Gl. (2.23)) zur¨uckbleibt. Die Schneidkraft nimmt auf Grund der elastischen Federung in einer relativ kurzen Zeit zu, bis das Durchschneiden ruckartig erfolgt. Man kann erkennen, daß die Ursache der

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

41

Kraft Q in kN

4000 Stößelkraft

3000

Fundament 2000 Gestell

1000 0 0,05

a)

0,10

Weg x1 in mm

8,0 6,0

0,15 t in s

0,20

ideale Stößelbewegung

4,0

reale Stößelbewegung

2,0 0

b)

0,05

0,10

0,15 t in s

0,20

Bild 2.9 Schneidvorgang an einer Presse nach [296]; a) Kraftverl¨aufe, b) Wegverl¨aufe

extremen dynamischen Belastung und der L¨armentwicklung nicht nur im steilen Schneidkraftanstieg nach dem Aufschlag des Schneidstempels auf das Blechteil liegt. Der pl¨otzliche Kraftabfall nach Bruch des Bleches, wodurch sogar eine Belastungsumkehr in Gestell und Mechanismus auftritt, ist unerw¨unscht, vgl. Bild 2.9a. Der St¨oßel dringt tiefer als in die mit Null bezeichnete Umkehrlage des idealen (starren und spielfreien) Schubkurbelgetriebes ein und verursacht mit zunehmender Eintauchtiefe des Schneidstempels erh¨ohten Werkzeugverschleiß, vgl. Bild 2.9b. Zur Interpretation: Interessant ist, daß auch eine niederfrequente Fundamentschwingung angeregt wird, obwohl die Schnittkraft eine innere Kraft der Presse ist und sich eigentlich (wie in der Statik gelehrt wird) nach außen“ nicht auswirkt. Das ” Fundament wird tats¨achlich nicht durch die Schnittkraft, sondern durch die Massenkr¨afte der vibrierenden Gestellmassen erregt, deren Bewegungen infolge des Schneidens entstehen. 2.2.3.3 Spiel im Kurbelgelenk Im zweiten Beispiel wird das Modell des Schubkurbelgetriebes mit Spiel im Kurbelgelenk betrachtet, vgl. Fall 6 in Tabelle 2.7. Normalerweise wird angenommen, daß sich infolge von Spiel die Stoßwirkungen in radialer Richtung negativ auswirken, vgl. auch Bild 2.7. Zur Interpretation: Durch eine vibrierende tangentiale Bewegung

42

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

¨ des Bolzens in der Lagerschale von Drehgelenken entsteht eine starke Anderung der Gr¨oße und der Richtung der dynamischen Gelenkkraft, obwohl der Kontakt gewahrt bleibt. Ersten Untersuchungen zu diesem spielfreien Stoßeffekt“ in den 70er Jahren ” [86], [298] folgten weiterf¨uhrende Arbeiten, vgl. [25], [80], [220], [338].

Bild 2.10 Radiale Gelenkkraft und Richtungswinkel am Kurbelgelenk des Schubkurbelgetriebes (Fall 6 in Tabelle 2.7), vgl. [80]

Das Berechnungsmodell enth¨alt hierbei ein masseloses Glied, welches die Kreisbahn des Lagerbolzens in der Lagerschale gew¨ahrleistet. Dieses Modell liefert die Aussage, daß bei schnellem Wechsel der Gelenkkraftrichtung hochfrequente tangentiale Schwingungen des Bolzens in der Lagerschale auftreten, vgl. Bild 2.10. F¨ur den Konstrukteur ist die Aussage von Interesse, daß f¨ur die Gelenkkraft die Bedingungen    β˙  rad   (2.54) >1 F  N·s max

m¨oglichst erf¨ullt sein sollen, um solche Schwingungen zu vermeiden [86]. Dabei ist β der Kraftrichtungswinkel im Drehgelenk Kurbel–Koppel, vgl. Fall 6 in Tabelle 2.7.

Das in [25] angegebene Kriterium bewertet Drehgelenke mit der dimensionslosen Kennzahl m∗ |β¨ |δ = Minimum (2.55) |F| und ber¨ucksichtigt neben der Gelenkkraft F die Beschleunigung des Kraftrichtungswinkels β , die mittlere Masse m∗ der beteiligten Getriebeglieder und das radiale Gelenkspiel δ .

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

43

2.2.3.4 Zur Kolbensekund¨arbewegung F¨ur viele Antriebe besteht Interesse an den Gesetzm¨aßigkeiten der Sekund¨arbewegung von Schubgliedern in F¨uhrungsbahnen, da die Querbewegungen und Kippbewegungen viele unerw¨unschte Nebenwirkungen haben, die man m¨oglichst gut vorausberechnen will, z. B. bei Werkzeugmaschinen [167], [345] oder Kranen [284]. Besonders intensiv wurde die Kolbensekund¨arbewegung in Verbrennungsmotoren ¨ in jahrelangen Forschungsarbeiten untersucht, vgl. z. B. die Ubersicht in der Arbeit [192]. Hier soll nur ein Ergebnis aus [210] zitiert werden, welches den Stand und die modernen M¨oglichkeiten f¨ur die Detailuntersuchung an Antriebssystemen demonstriert. Die Modellgrenzen lagen einerseits am Grundlager und andererseits am Zylinderrohr der Kolbenf¨uhrung. Die Lager wurden dabei als ideale reibungsfreie, starre und spielfreie Gelenke und das Pleuel als starrer K¨orper modelliert. Die Kolben-, Bolzen- und Zylinderelastizit¨aten sowie das Verhalten des hydrodynamischen Lagers, die f¨ur die Kolbensekund¨arbewegung und die dabei interessierenden Kr¨afte auf die Zylinderwand von entscheidender Bedeutung sind, wurden ber¨ucksichtigt.

a)

b) FGas

FHyd

e BS

B

FReib

FReib

eB

FHyd

FHyd

S eS

FPleuel M Reib

l

x e

r ϕ

0

A0

A

z y

starres Gelenk

Ω

Bild 2.11 Berechnungsmodell f¨ur die Kolbensekund¨arbewegung a) Starrk¨orpersystem mit Desachsierung [327] (Minimalmodell) b) System mit mehreren tausend Elementen [210]

Masse Trägheitsmoment starres Gelenk

44

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Das FE-Modell besitzt mehrere tausend Freiheitsgrade, womit sowohl das elastische Verhalten als auch der Schmierspalt feinmaschig modelliert werden. Zur numerischen Auswertung werden Methoden der Freiheitsgradreduktion angewen¨ det, vgl. Abschn. 2.5. Die Kolbensekund¨arbewegung beeinflußt Verschleiß, Olverbrauch und den Aufschlagimpuls des Kolbens auf die Zylinderwand. Sie ist eine der Ursachen f¨ur den L¨arm. Durch ihre spezielle Modellierung k¨onnen tiefergehende Erkenntnisse u¨ ber die Kolben-Zylinder-Dynamik gewonnen werden, insbesondere auch dar¨uber, durch welche Parameterwerte der Aufschlagimpuls minimiert werden kann. Die Bewegung des Kolbens in der zylindrischen F¨uhrung wird von solchen Konstruktionsparametern wie Des-achsierung“ der Kolbenbolzen (Exzentrizit¨at der ” Drehachse des Kolbens), Kurbelverh¨altnis, Kolbengeometrie und Fertigungsspiel bestimmt, vgl. dazu das Minimalmodell in Bild 2.11a. Die Ber¨ucksichtigung des ¨ Schmierfilms zwischen Kolben und Zylinderwand, der wiederum von der Olvis¨ ullungsgrad kosit¨at, thermischen Ver¨anderungen der Oberfl¨achenformen, dem Olf¨ sowie Kolben- und Zylinderdeformationen abh¨angt, verlangt ein wesentlich komplizierteres Berechnungsmodell, das in Bild 2.11b aus der Arbeit [210] dargestellt ist.

Bild 2.12 Seitenkraftverlauf der Kolbensekund¨arbewegung aus [192] a) Schaftseitenkraft, b) Weg der Schaftoberkante, c) Kolben-Kippwinkel, d) Kolbenbewegung mit Anstoßen“ ”

Aus Bild 2.12 ist ersichtlich, daß es infolge der starken Verkippung des desachsierten Kolbens zu Sekund¨arbewegungen beim Anlagewechsel kommt.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

45

2.2.4 Beispiele fur ¨ mehrere Modellstufen 2.2.4.1 Modellgleichungen von Rotoren mit Unwucht In Tabelle 2.8 sind f¨ur mehrere Modellstufen eines unwuchtbehafteten scheibenf¨ormigen Rotors die Bewegungsgleichungen angegeben, die auch Parameter des Antriebs und des Aufstellorts ber¨ucksichtigen. Die Berechnungsmodelle sind vom Einfachen zum Komplizierten geordnet, was man in der linken Spalte an der Anzahl der Parameter und in der rechten Spalte an den Differentialgleichungen erkennt. Diese Differentialgleichungen sind mit den dimensionsbehafteten Parametern angegeben. Die einzelnen Modellstufen sind zur L¨osung unterschiedlicher Aufgaben erforderlich. Dies sollen im folgenden auch die beiden Beispiele zeigen, bei denen Schadens- und St¨orf¨alle gekl¨art wurden. Die auch bei anderen Aufgaben in der Antriebsdynamik bestehende Frage, wie bedeutsam nichtlineare Einfl¨usse sind, soll exemplarisch mit diskutiert werden, vgl. dazu auch Abschn. 5.7.3.2. Dimensionslose Kenngr¨oßen werden genutzt, um schon auf der Ebene der Differentialgleichungen zu erkennen, wie einfach ein Berechnungsmodell sein darf oder wie kompliziert es sein muß. Die von der Unwucht eines scheibenf¨ormigen Rotors verursachte vertikale Massenkraftkomponente wird oft einfach als eine Projektion der Fliehkraft gem¨aß Gl. (3) in Schwingungsrichtung erfaßt. Es gibt nur selten F¨alle in der Maschinenbaupraxis, bei denen die Annahme berechtigt ist, daß die aus der Rotorunwucht entstehende Massenkraft einfach mit dem Quadrat der Drehzahl zunimmt, wie es der zwangl¨aufigen Bewegung mit konstanter Drehgeschwindigkeit (Modellstufe 1) entspricht. Schon zum Verst¨andnis der ersten Resonanz und dem v¨ollig anderen dynamischen Verhalten im unterkritischen und u¨ berkritischen Drehzahlbereich ist das Modell der Stufe 2a erforderlich. Das Modell mit f¨unf Parametern der Modellstufe 2a enth¨alt außer den bereits in Modellstufe 1 enthaltenen Parametern m1 , e und Ω noch die Federkonstante k und die Fundamentmasse m als weitere Parameter. Es wird hier zun¨achst auf die Ber¨ucksichtigung der D¨ampfung verzichtet. Mit diesem Modell a¨ ndert sich die vertikale Lagerkraft gem¨aß Gl. (6) aus Tabelle 2.8, also nicht mehr einfach mit dem Quadrat der Drehgeschwindigkeit. Bei vielen Aufgaben zur Fundamentierung und Schwingungsisolierung ist dieses Modell eine erste N¨aherung. Es kann z. B. zur Dimensionierung der Lagerfedern einfacher Fundamente dienen. Nun wird die dimensionslose Koordinate y (2.56) z= e und der Antriebswinkel als die dimensionslose Zeit ϕ 0 = Ω t eingef¨uhrt. An Stelle des Punktes f¨ur Ableitungen nach der Zeit wird im weiteren der Strich als Zeichen f¨ur die Ableitung nach ϕ 0 auftreten. Damit gilt analog zu Gl. (2.42) d( ) d( ) d ϕ 0 = = ( )Ω , dt d ϕ 0 dt

z˙ = Ω z  ,

z¨ = Ω 2 z 

(2.57)

46

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.8 Berechnungsmodelle eines ebenen unwuchtigen Rotors mit Parametern des Antriebs und des Fundaments, dessen Masse m sich nur vertikal bewegen kann Modell- Modell, Parametervektor p stufe Parameterzahl 1a y m1 K=3 e

Bewegungsgleichungen

ϕ0 = Ω t (1) y=0 (2) .......................................... Fy = m1 eΩ 2 sin Ω t (3)

ϕ= Ω t

pT = (m1 , e, Ω ) 2a K=5

ϕ0 = Ω t

(4) my¨ + ky = m1 (5) .......................................... Fy = ky (6) = [m1 eΩ 2 /(1 − Ω 2 m/k)] sin Ω t

m1eΩ 2 sin Ω t

eΩ 2 sin Ω t

m y

k

pT = (m1 , e, Ω , k, m) 2b K=5

e

(m1 + m)y¨ + ky + m1 e(q cos Ω t)¨ = m1 eΩ 2 sin Ω t (7) m1 ey¨ cos Ω t + m1 e2 q¨ = 0 (8) .......................................... (9) Fy = ky

m1 ϕ= Ω t + q

m y

pT

k

q <<1

= (m1 , e, Ω , k, m)

3 K=6

e

ϕ . M an (ϕ)

m

y

(m1 + m)y¨ + ky + m1 e(ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ 2 sin ϕ ) =0 (10) m1 ey¨ cos ϕ + m1 e2 ϕ¨ = Man (ϕ˙ ) (11)

m1

k

pT = (m1 , e, Ω , k, m, M) 2b K=8

2c K=8 2b K=9

(m1 + m)(y¨ + g) + ky + m1 e(q cos Ω t)¨ = m1 eΩ 2 sin Ω t (12) kT ϕ= Ω t + q Ωt m1 ey¨ cos Ω t + (J + m1 e2 )q¨ +(kT − m1 eg sin Ω t)q = −m1 eg cos Ω t (13) m (m1 + m)(y¨ + g) + ky + m1 e(sin ϕ )¨ = 0 (14) y k m1 e(y¨ + g) cos ϕ + (J + m1 e2 )y¨ + kT ϕ pT = (m1 , e, Ω , k, m, g, J, kT ) = kT Ω t (15) m1 (m1 + m)(y¨ + g) + d y˙ + ky + m1 e(q cos Ω t)¨ m1, J , e

e

J y

3 K=9

d

k

ϕ= Ω t + q . ϕ m M 0 1− Ω

FG H

IJ K

pT = (m1 , e, Ω , k, m, g, J, d, M0 )

= m1 eΩ 2 sin Ω t (16) m1 ey¨ cos Ω t + (J + m1 e2 )q¨ + (M0 /Ω )q˙ −m1 eg sin Ω tq = −m1 eg cos Ω t (17) (m1 + m)(y¨ + g) + d y˙ + ky + m1 e(sin ϕ )¨ =0 (18) 2 m1 e(y¨ + g) cos ϕ + (J + m1 e )ϕ¨   (19) = M0 1 − ϕ˙ /Ω (20) Fy = ky + d y˙

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

47

Das Systemverhalten wird nun nicht mehr mit f¨unf dimensionsbehafteten Parametern, sondern mit den beiden dimensionslosen Kenngr¨oßen mΩ 2 m1 π2 = , k m erfaßt. Die dimensionslos darstellbare vertikale Lagerkraft ist π1 =

f =

k m y 1 1 ky = z = m1 eΩ 2 mΩ 2 m1 e π1 π2

(2.58)

(2.59)

Die Kenngr¨oße π 1 entspricht dem Quadrat des Abstimmungsverh¨altnisses η . Um zu beurteilen, unter welcher Bedingung die Federkonstante k und die Fundamentmasse m eine wesentliche Rolle spielen, wird die Gl. (5) in Tabelle 2.8 in folgender Form geschrieben: 1 π2

z  +

1 π1π2

z = sin ϕ 0

(2.60)

F¨ur die dimensionslose Lagerkraft gilt die Differentialgleichung π 1 f  + f = sin ϕ 0

(2.61)

Sie folgt durch Einsetzen der Beziehung (2.59) in Gl. (2.60). Die station¨aren L¨osungen der Differentialgleichungen (2.60) und (2.61) sind z=

π1π2

1 − π1

sin ϕ 0 ,

f =

1 sin ϕ 0 1 − π1

(2.62)

Man kann sehen, daß bei π 1 = 0 (oder π 1  1) f¨ur die vertikale Lagerkraftkomponente einfach f = sin ϕ 0

(2.63)

gilt. Es ist z  1 (d. h. y  e), wenn neben π 1  1 noch π 2  1 ist. Das Modell der Stufe 1 ergibt sich somit als Grenzfall des Modells der Stufe 2a. Aus dieser Betrachtung kann man also schließen, daß man Modellstufe 1 benutzen kann, solange die Bedingungen π1  1

und

π2  1

(2.64)

erf¨ullt sind, also bei relativ niedriger Drehzahl und bei relativ kleiner Unwuchtmasse. Das Modell der Stufe 2a gilt unter der Voraussetzung, daß die Massenkraft des Rotors nicht durch die Fundamentbewegung beeinflußt wird. Tats¨achlich wirken durch die Fundamentbeschleunigung zus¨atzliche Massenkr¨afte auf die Unwuchtmasse, und es entsteht ein sogenanntes R¨uttelrichtmoment [231], welches sich auf die Motordrehzahl auswirkt, vgl. auch Abschn. 5.7.3. ¨ Die Ruckwirkung der Fundamentbeschleunigung auf die Rotorbewegung wird in Stufe 2b (mit K = 5) ber¨ucksichtigt. Dabei kommen gegen¨uber Modellstufe 2a zwar keine neuen Parameter hinzu, aber die Realit¨at wird etwas genauer abgebildet. Die Differentialgleichungen (7) und (8) der kombinierten Parameter- und Zwangserregung entstehen bei der Annahme einer mittleren Prim¨arbewegung Ω t, um die eine kleine Sekund¨arbewegung q erfolgt. Die Beziehungen ϕ = Ω t + q = ϕ 0 + q,

ϕ˙ = Ω + q˙ = Ω (1 + q  ),

ϕ¨ = q¨ = Ω 2 q 

(2.65)

48

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

gelten noch exakt, aber bei den vielfach benutzten Linearisierungen ϕ˙ 2 = (Ω + q) ˙ 2 ≈ Ω 2 + 2Ω q˙

cos ϕ ≈ cos ϕ 0 − q sin ϕ 0 ,

(2.66) sin ϕ ≈ sin ϕ 0 + q cos ϕ 0

(2.67)

wird q  1 und q˙  Ω vorausgesetzt, und quadratische und Terme h¨oherer Ordnung werden vernachl¨assigt, so daß man nach den damit erhaltenen Ergebnissen pr¨ufen muß, ob die getroffenen Voraussetzungen vom erzielten Ergebnis auch erf¨ullt werden, vgl. z. B. die L¨osung aus Gl. (2.60). Die Prim¨arbewegung Ω t kann man als kinematische Erregung von Stufe 1a auffassen oder als Mittelung der exakten L¨osung des Modells von Stufe 3. Die Gln. (7) und (8) in Tabelle 2.8 nehmen unter Benutzung der dimensionslosen Kenngr¨oßen aus Gl. (2.58) folgende Form an:   1 1 z  + z + (q cos ϕ 0 )  = sin ϕ 0 (2.68) 1+ π2



π1π2



z cos ϕ 0 + q = 0

(2.69)

Der Unterschied zu Modellstufe 2a besteht darin, daß zus¨atzlich Gl. (2.69) erscheint. Die Koordinaten z und q sind von gleicher Gr¨oßenordnung. Der Term (q cos ϕ 0 )  ist dann vernachl¨assigbar, wenn π 2  1 ist; er spielt aber eine wesentliche Rolle, wenn π 2  1 ist, d. h., Gl. (2.60) liefert dann gute N¨aherungen, wenn m1  m gilt. Auf Modellstufe 3 ist das Niveau der selbsterregten Schwingungen erreicht, wo beide Koordinaten aus dem System der autonomen Differentialgleichungen (10) und (11) in Tabelle 2.8 folgen. Dieses Modell hat f¨ur die Berechnung instation¨arer Vorg¨ange und des Resonanzdurchlaufs Bedeutung und wird z. B. in [31], [349], [253] ausf¨uhrlich analysiert. Die Bedingungen f¨ur das H¨angenbleiben“ des Rotors, was ” beim Hochlauf mit Man (ϕ˙ ) infolge zu starker R¨uckkopplung zu den Schwingungen des Fundamentblocks auftreten kann ( Sommerfeld-Effekt“ [304], [333]), sind aus ” diesen Differentialgleichungen berechenbar, vgl. Abschn. 5.4.6. Die Modelle in Tabelle 2.8 m¨ußten mindestens noch um die Bewegung des Rotors in zwei Koordinatenrichtungen, um die Reibungsd¨ampfer, um die axiale Ausdehnung des Rotors und um ein umfangreicheres Geh¨ausemodell erweitert werden, wenn man das dynamische Verhalten von W¨ascheschleudern oder Zentrifugen berechnen wollte, vgl. die weiterf¨uhrenden Arbeiten in [201]. Falls mehrere unwuchtige Rotoren in dem selben Gestell oder auf derselben Fundamentmasse aufgestellt sind, beeinflussen sich die Rotoren wechselseitig. Die dabei auftretenden Besonderheiten (z. B. Selbstsynchronisation) werden in Abschn. 5.7.3 behandelt. 2.2.4.2 Schadensfall an einer Pumpenwelle Eine Kreiselpumpe wurde von einem Asynchronmotor durch eine relativ lange Antriebswelle angetrieben und auf einem Fundament schwingungsisoliert aufgestellt, vgl. Bild 2.13. Die Maschinenanlage war als lineares Schwingungssystem berechnet worden: die Eigenfrequenz des Torsionsschwingers (Motor-Welle-Pumpe) lag bei 1,0 Hz, das Fundament hatte eine Eigenfrequenz von 15,8 Hz, und die Drehzahl

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

49

lag bei 390 min−1 (also 6,5 Hz), so daß man bei der Projektierung der Anlage keine Resonanz bef¨urchtete. Jedoch traten beim Umschalten des Asynchronmotors von einer Motorkennlinie auf die andere deutliche Schwebungen und Koppelschwingungen zwischen Rotor und Fundament auf, die so stark waren, daß sie die Antriebswelle zerst¨orten. Diese intensiven Schwingungen waren zun¨achst unerkl¨arlich. Man vermutete, daß diese irgendwie durch die Rotorunwucht bedingt waren. Die Rotorunwucht war aber so klein, daß einfache Berechnungsmodelle damit nichts Gef¨ahrliches ergaben. Motor

Kreiselpumpe Antriebswelle m, J kT q Ω

Kreiselpumpe e m1 S ϕ y

Fundament k Bild 2.13 Berechnungsmodell f¨ur Pumpenantrieb auf Fundament [76]

Es wurde schließlich das nichtlineare Schwingungsmodell aus Tabelle 2.8 der Stufe 2c gew¨ahlt, welches gegen¨uber den bisher erw¨ahnten Modellen die (relativ kleine) Torsionssteifigkeit kT der langen Antriebswelle und das Tr¨agheitsmoment J des Pumpenrotors ber¨ucksichtigt. Das Fundament schwingt anfangs station¨ar mit der von der rotierenden Unwucht stammenden Erregerfrequenz, wie es Bild 2.14a im Bereich 0 < ϕ 0 < ϕ 1 = 20 zeigt. Zur Zeit ϕ 1 = 20 erfolgt bei der Winkelgeschwindigkeit Ω = 40,84 s−1 das Umschalten der Motorkennlinie von einer Schaltstufe auf die andere. Durch den dabei auftretenden Momentensprung erh¨oht sich die Winkelgeschwindigkeit pl¨otzlich um ∆ Ω = 1,05 s−1 und der Winkel um ∆ ϕ = π /2. Zu Beginn der zweiten Bewegungsetappe gilt also: ϕ 0 = ϕ 1: z(ϕ 1 + 0) = z(ϕ 1 − 0), z  (ϕ 1 + 0) = z  (ϕ 1 − 0), ϕ (ϕ 1 + 0) = ϕ (ϕ 1 − 0) + ∆ ϕ , ϕ  (ϕ 1 + 0) = ϕ  (ϕ 1 − 0) + ∆ Ω

(2.70)

¨ Dies sind die Ubergangsbedingungen von der ersten zur zweiten Etappe der erzwungenen Schwingungen eines nichtlinearen Schwingungssystems mit zwei Freiheitsgraden. Es wurde bei der Umformung der Zusammenhang (sin ϕ )¨ = (ϕ˙ cos ϕ )˙ = ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ 2 sin ϕ

(2.71)

benutzt. Aus Gl. (14) und (15) folgen f¨ur die Relativkoordinate q mit Hilfe der in Gl. (2.65) bis (2.67) angegebenen N¨aherungen die linearen Differentialgleichungen (12) und (13). Die folgenden dimensionslosen“ Bewegungsgleichungen entsprechen den ” dimensionsbehafteten Gln. (14) und (15) aus Tabelle 2.8, vgl. auch Gl. (2.56) bis (2.58):   1 1 z + (sin ϕ )  = 0 (2.72) z  + 1+ π2

π1π2

50

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

(z  + π 5 ) cos ϕ + (1 + π 3 )ϕ  + π 4 ϕ = π 4 ϕ 0

(2.73)

Dabei sind als weitere Kennzahlen π3 =

J , m1 e2

π4 =

kT , m1 e2 Ω 2

π5 =

g eΩ 2

(2.74)

eingef¨uhrt worden. Aus den acht realen Parameterwerten (vgl. [149]) m1 = 10 kg, m = 1 000 kg, J = 0,025 kg · m2 , e = 1,0 · 10−5 m, g = 9,81 m/s2

(2.75)

k = 1,0 · 107 N/m, kT = 1,0 N · m, Ω = 40,84 s−1 folgen die Werte f¨ur die f¨unf dimensionslosen Kenngr¨oßen: π 1 = 0,166 8,

π 2 = 0,01,

π 4 = 5,996 · 105 ,

π 5 = 5,882 · 102

π 3 = 2,50 · 107 ,

(2.76)

Das Ergebnis der numerischen Integration der nichtlinearen Differentialgleichungen ¨ (2.72) und (2.73) unter Ber¨ucksichtigung der Ubergangsbedingungen (2.70) wurde in Bild 2.14 dargestellt. Man sieht, daß sich die Werte z, z  und ϕ  stetig a¨ ndern, aber im Verlauf von ϕ  bei ϕ 01 ein Sprung auftritt. Der Zeitmaßstab ist entsprechend Gl. (2.57) so gew¨ahlt, daß f¨ur eine kinematische Periode (Drehfrequenz der Antriebswelle 6,5 Hz) ϕ 0∗ = 2π = 6,283 gilt, f¨ur die Periodendauer der Torsionsschwin∗ ≈ 39,1 und f¨ur die Periodendauer der Fundamentschwingung gung ( f1 = 1 Hz) ϕ 01 ( f2 = 15,8 Hz) ϕ 02 = 2,58. Die Drehschwingungen verlaufen nahezu harmonisch, wobei die Eigenfrequenz des Torsionsschwingers dominiert, w¨ahrend sich an Funda¨ mentweg und -beschleunigung eine Uberlagerung von Schwingungen zeigt, die einer Schwebung a¨ hnelt. Es ist darin die Drehfrequenz von 6,5 Hz und eine halbe Ordnung der Frequenz der Fundamentschwingung enthalten. Die beobachteten Fundament¨ schwingungen waren eine Folge dieser Uberlagerung, aber die eigentliche Ursache der Zerst¨orung der Antriebswelle waren die großen Amplituden der Drehschwingungen, die beim Umschalten angestoßen wurden. Die Sch¨aden ließen sich durch Einsatz einer anderen Motorsteuerung beheben. Man kann dieses Ergebnis n¨aherungsweise als analytische L¨osung erhalten. In Gl. (2.73) haben nur die Terme mit den Faktoren π 3 und π 4 Bedeutung, d. h., es bleibt folgende Gleichung zur Gewinnung einer N¨aherungsl¨osung u¨ brig, wenn man den Relativwinkel q = ϕ − ϕ 0 benutzt: π 3 q  + π 4 q = 0

(2.77)

Physikalisch bedeutet das, daß die Torsionsschwingung der Antriebswelle in guter N¨aherung unabh¨angig von den Fundamentschwingungen ist. Sie wird durch einen Momentensprung beim Umschalten der Motorkennlinie zum Zeitpunkt t1 als freie Schwingung angestoßen und verl¨auft bei einer Anfangsauslenkung q gem¨aß    π4 (ϕ 0 − ϕ 1 ) (2.78) q = q0 1 − cos π3

51

2.2 Bewertung von Modellgleichungen 0.01

z′′ 0.005

z, z′′

z 0

−0.005

−0.01

a)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

ϕ0 0.4

ϕ′−1

ϕ′−1

10⋅ ϕ′′ 0.2 0

−0.2

10⋅ ϕ′′

−0.4

b)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

ϕ0

Bild 2.14 Bewegungen von Fundament und Pumpenwelle des Schwingers von Bild 2.13 a) Weg und Beschleunigung der Fundamentmasse b) Drehgeschwindigkeit und -beschleunigung der Pumpe

Wird die L¨osung in die Differentialgleichung (2.72) eingesetzt, entsteht eine lineare Differentialgleichung mit bekannter rechter Seite:         1 π4 1  z = − sin ϕ 0 + q0 1 − cos (ϕ 0 − ϕ 1 ) (2.79) z + 1+ π2

π1π2

π3

Ihre L¨osung ist mit bekannten Methoden m¨oglich und soll hier nicht weiter ausgef¨uhrt werden. Man erkennt, daß der Sinus einer periodischen Funktion zu einer Fourierreihe f¨uhrt, die h¨ohere Harmonische (der Ordnung k = 1, 2, 3, . . .) enth¨alt und immer dann zu Resonanzen k-ter Ordnung f¨uhrt, wenn eine der Erregerfrequen-

52

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

zen mit der Eigenfrequenz u¨ bereinstimmt. Große Ausschl¨age sind aber zu erwarten, wenn eine der Bedingungen  π4 1 =√ ; k = 1, 2, . . . (2.80) k π3 π1 + π1π2 erf¨ullt ist. Mit den Parameterwerten entsprechend Gl. (2.76) ergibt sich hier k ≈ 15. 2.2.4.3 Versuchsstand mit Unwuchterreger Ein anderes Problem warf ein Versuchsstand f¨ur Schwingungsisolatoren auf, an dem Gummifedern harmonisch belastet werden sollten, um deren dynamische Kennwerte zu messen. Die Gummifedern wurden mit einem Unwuchterreger in einem Frequenzbereich von 1,5 bis 30 Hz erregt. Am Antwortsignal der Messungen fiel auf, daß es nicht nur die Erregerfrequenz, sondern in verschiedenen Drehzahlbereichen ganzzahlige Vielfache oder ganzzahlige Teile der Erregerfrequenz mit beachtlich großen Amplituden enthielt. Diese Resultate widersprachen der Annahme, daß es sich um ein lineares Schwingungssystem handelt. Der Verdacht, daß sich die Gummifedern nicht linear verhielten, best¨atigte sich nicht. Die Aufgabe bestand darin, eine prinzipielle Kl¨arung f¨ur die erhaltenen Meßergebnisse und eine quantitative theoretische Deutung zu geben. Es wurde das Berechnungsmodell der Stufe 2b gew¨ahlt, welches in Tabelle 2.8 enthalten ist, vgl. Gln. (16) und (17). Das Modell enth¨alt K = 9 Parameter, von denen die folgenden Parameterwerte bekannt waren: m1 = 1,2 kg, m = 1 000 kg, J = 0,000 1 kg · m2 , e = 0,022 5 m, g = 9,81 m/s2

(2.81)

k = 4,35 · 105 N/m, M0 = 11,9 N · m, 12,57
Ω
125,7 s−1 ¨ Der Ubergang auf die dimensionslose Form reduziert wieder die Anzahl der Parameter um drei. Außer den bereits in Gl. (2.58) und (2.74) definierten Kenngr¨oßen (von denen hierbei π 4 = 0 ist) kommen noch folgende hinzu: d M0 π7 = , m1 e2 Ω 2 2 km Dabei entspricht π 6 dem D¨ampfungsgrad, f¨ur den als Erfahrungswert π6 = √

(2.82)

D = π 6 = 0,05

(2.83)

angenommen wurde, da die D¨ampferkonstante d unbekannt war. Die Modellgleichungen (16) und (17) aus Tabelle 2.8 lauten in dimensionsloser Form:   1 1 π6 z + (q cos ϕ 0 )  = sin ϕ 0 (2.84) 1+ z  + 2 √ z  + π2



π2 π1 

π1π2



z cos ϕ 0 + (1 + π 3 )q + π 7 q − π 5 sin ϕ 0 · q = −π 5 cos ϕ 0

(2.85)

Aus den Parameterwerten aus Gl. (2.81) ergeben sich die festen Werte π 2 = 0,001 2,

π 3 = 1,165,

π 4 = 0,

π 6 = 0,05

(2.86)

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

53

und folgende drehzahlabh¨angige Kenngr¨oßen, die f¨ur die beiden Grenzf¨alle von 1,5 Hz und 30 Hz Erregerfrequenz angegeben werden: π 1 = 0,204 . . . 81,5,

π 5 = 4,12 . . . 0,123,

π 7 = 220 . . . 0,551

(2.87)

Vergleicht man diese Zahlenwerte mit denen in Gl. (2.76), sieht man, daß bei diesem Beispiel ganz andere mechanische Proportionen vorliegen. Es sind somit auch andere Erscheinungen zu erwarten. Auf der Suche nach wesentlichen nichtlinearen Erscheinungen, die offenbar bei allen Frequenzen und allen Arten der untersuchten Schwingungsisolatoren auftraten, wurden zun¨achst mehrere M¨oglichkeiten in Betracht gezogen: • die R¨uckwirkung der Massenkr¨afte der schwingenden Blockmasse auf den Unwuchterreger • Die geometrische Nichtlinearit¨at infolge des Eigengewichts der Unwuchtmasse (mit dem Kosinus des Drehwinkels ver¨anderlicher Hebelarm, exzentrische Schwerpunktlage) • Die Ver¨anderlichkeit der Motorwinkelgeschwindigkeit infolge der Zusatzkr¨afte aus Massenkr¨aften und Eigengewicht. Alle diese Effekte sind in den vorliegenden nichtlinearen Differentialgleichungen enthalten. Man kann diese Differentialgleichungen jeweils f¨ur gegebene Zahlenwerte der Kenngr¨oßen numerisch integrieren. In Bild 2.15 sind f¨ur einen großen Erregerfrequenzbereich Ergebnisse dargestellt. Zur Interpretation: Man kann an den Ergebnissen als typische nichtlineare Effekte Subharmonische und superharmonische Resonanzen erkennen. Alle Diagramme in Bild 2.15 beschreiben etwa 7 volle Umdrehungen. Bei η = 0,5 ist zu erkennen, daß sich das Fundament mit der doppelten Erregerfrequenz bewegt. Dies liegt daran, daß in der Erregerkraft ein Term mit 2Ω existiert. Die ver¨anderliche Winkelgeschwindigkeit des Rotors ist durch den Schwerkrafteinfluß und die R¨uckwirkung der Fundamentbewegung verursacht. Bei ganzzahligen Verh¨altnissen zwischen der Umlaufzeit des Rotors und der Periodendauer der Fundamentschwingung nimmt das Fundament im Takte seiner Eigenfrequenz mit jeder Umdrehung Energieportionen auf, die es im station¨aren Zustand zu großen Amplituden aufschaukeln, d. h., bei den verschiedenen Resonanzdrehzahlen treten praktisch immer zus¨atzliche Schwingungen mit der Eigenfrequenz des Fundamentblocks auf. Die physikalischen Zusammenh¨ange werden verst¨andlicher, wenn man N¨aherungsl¨osungen gewinnen kann, z. B. f¨ur Gl. (2.84), wenn man annimmt, daß die Schwankung des Winkels q klein ist. Dann ergibt sich f¨ur den station¨aren Zustand die bekannte L¨osung f¨ur die erzwungenen Schwingungen eines ged¨ampften unwuchterregten Schwingers, vgl. z. B. [150]. Die Amplitude betr¨agt π π

1 2 zˆ =  (1 − π 1 )2 + 4π 62 π 1

(2.88)

Setzt man die Kenngr¨oßen aus Gl. (2.86) und (2.87) ein, erkennt man, daß in Gl. (2.85) die Terme mit π 3 und π 7 dominieren, wogegen die mit π 5 q und z  vernachl¨assigbar klein sind. Die Schwankung der Winkelgeschwindigkeit kann n¨ahe-

54

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

0,005

10

0

η=1

0,005

0

−0,005

z, z′′, q′ / 50

η= 0,5

z, z′′, q′ / 50

z, z′′, q′ / 50

0,005

20

30

η= 2

ϕ0

40

0

−0,005

0

10

20

30

z′′

Beschleunigung

z

Weg

ϕ0

40

0

−0,005

10

0

20

30

ϕ0

40

q′ / 50 Winkelgeschwindigkeit

Bild 2.15
Fundamentbewegung bei verschiedenen Drehzahlen √ (η = Ω m/k = π 1 , ϕ 0 = Ω t)

rungsweise aus der Differentialgleichung (2.89) ermittelt werden, die aus Gl. (2.85) entsteht, wenn man die kleinen Summanden dort vernachl¨assigt: (1 + π 3 )q  + π 7 q  = −π 5 cos ϕ 0

(2.89)

Ihre station¨are L¨osung lautet: q=

π 5 [−π 7 sin ϕ 0 + (1 + π 3 ) cos ϕ 0 ] π5 ≈ − sin ϕ 0 ≈ 0,022 sin ϕ 0 π7 π 72 + (1 + π 3 )2

(2.90)

Dies ist eine erste N¨aherung, vgl. Gl. (2.65). Setzt man diese L¨osung in Gl. (2.84) ein, ergibt sich wegen       π5 π5 π5 sin 2ϕ 0 = 2 sin 2ϕ 0 (2.91) (q cos ϕ 0 )  ≈ − sin ϕ 0 cos ϕ 0 = − π7 2π 7 π7 die lineare Differentialgleichung   π6 1 z  + 2 √ z  + 1+ π2

π2 π1

1 π1π2

z = sin ϕ 0 +

2π 5 π7

sin 2ϕ 0

(2.92)

2.3 Induktive Modellbildung

55

Es zeigt sich, daß die zweite Harmonische in der Erregung auf der rechten Seite enthalten ist, d. h., man kann schon nach dem ersten Iterationsschritt die Resonanzstelle bei π 1 = 0,25 (d. h. f = 1,66 Hz) finden. Die zweimal pro Periode schwankende Drehgeschwindigkeit kommt mit der Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems des Fundaments in Resonanz. H¨ohere Harmonische und die anderen Subharmonischen k¨onnten mit weiterf¨uhrenden N¨aherungsl¨osungen ebenfalls analytisch ermittelt und zur Deutung der anderen in Bild 2.15 dargestellten Ergebnisse dienen. Das Problem ließ sich durch Einbau eines st¨arkeren Antriebsmotors l¨osen.

2.3 Induktive Modellbildung 2.3.1 Allgemeines In der Logik spricht man von Induktion, wenn allgemeine Regeln aus Einzelf¨allen hergeleitet werden. Unter induktiver Modellbildung wird eine Strategie verstanden, die vom speziellen Modellfall ausgeht, um zum verallgemeinerten Berechnungsmodell zu gelangen, welches dem vorliegenden Anwendungsfall am besten angemessen ist. Die Suche nach diesem ad¨aquaten“ Berechnungsmodell wird bei der induktiven ” Modellbildung mit einer Hypothese u¨ ber die vermutete Schwingungsursache begonnen und daf¨ur als Startmodell“ ein Minimalmodell definiert, dessen physikalisches ” Verhalten bekannt ist. Ein Minimalmodell ist dadurch charakterisiert, daß es • • • • • • •

nur eine kleine Anzahl von Freiheitsgraden besitzt, die wesentlichen physikalischen Vorg¨ange qualitativ richtig ausdr¨uckt, nur wenige Parameter ber¨ucksichtigt, keinen Anspruch auf hohe Genauigkeit erhebt, m¨oglichst analytisch oder mit wenig Aufwand numerisch zu behandeln ist, erlaubt, qualitativ richtige Schlußfolgerungen f¨ur das Realsystem zu ziehen, bez¨uglich des jeweiligen Zwecks sich nicht weiter vereinfachen l¨aßt.

Ein Minimalmodell wird nicht als endg¨ultig angesehen. Es wird damit gerechnet und in Abh¨angigkeit von den Ergebnissen die Hypothese verworfen und eine neue Hypothese verfolgt, oder es wird schrittweise, unter Ber¨ucksichtigung der jeweiligen Berechnungs- und Meßergebnisse erweitert. Nach jedem Schritt geben die Zwischenresultate die M¨oglichkeit zu entscheiden, ab wann der Prozeß der Modellerweiterung abgebrochen werden kann. Dieser Weg entspricht gewissermaßen auch dem historischen Entwicklungsweg. Sowohl die grundlegenden Theorien der Physik als auch die Berechnungsmodelle im Maschinenbau wurden von vielen Forschern schrittweise entwickelt, bevor sie ihren heutigen Stand erreichten. Interessante Bemerkungen zur Entwicklung von der Kreiselphysik zur Kreiseltechnik und die Entwicklung der Modelle zur Berechnung verschiedener Kreiselger¨ate enth¨alt [230]. Die historische Entwicklung der Berechnungsmodelle der Rotordynamik, bei der die Biegeschwingungen eine große Rolle

56

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

spielen, sind in [201] skizziert. In [132] wird bez¨uglich der Schwingungsprobleme des Motortriebwerks in der Einf¨uhrung auf die 60 Jahre dauernde Weiterentwick” lung der theoretischen und praktischen Kenntnisse“ eingegangen. Im Laufe der vergangenen Jahrzehnte sind Berechnungsmodelle f¨ur immer mehr Maschinenarten und Maschinenbaugruppen entworfen und weiterentwickelt worden. Dynamische Berechnungsmodelle f¨ur Krane und F¨orderanlagen werden erst etwa seit 1955 benutzt, mit Berechnungsmodellen f¨ur Textilmaschinen und anderen Verarbeitungsmaschinen (vgl. [68]) befaßt man sich erst etwa seit 1970. F¨ur viele Maschinen und Maschinenbaugruppen ist der Prozeß der Modellbildung noch voll im Gange, wie man z. B. den Berichten zu den VDI-Schwingungstagungen [68], [227], den VDI-Getriebetagungen, den SIRM-Tagungen [170], [322], [341] oder den Konferenzen der Software-Anbieter entnehmen kann, vgl. [10], [285]. Fr¨uher mußte man darauf achten, daß Berechnungsmodelle nicht zu kompliziert wurden, weil die M¨oglichkeiten der mathematischen und numerischen L¨osungsverfahren begrenzt waren. Wie m¨uhsam allein die Entwicklung der Verfahren zur Berechnung der Torsionsschwingungen von Maschinenwellen war, geht aus [191] hervor, wo aus der Zeit von 1902 bis 1955 etwa 40 Publikationen genannt sind, die sich mit diesen Problemen befaßt haben. In [61] wird auf die historische Entwicklung der Problemstellungen bei Torsionsschwingungen eingegangen. Heutzutage liegt f¨ur die L¨osung der meisten schwingungstechnischen Problemstellungen leistungsf¨ahige Simulations-Software bereit, vgl. Tabelle 2.1. Die Probleme der Schwingungsberechnung haben sich von der Mathematik in die Richtung des Maschinenbaus verlagert. Gegenw¨artig besteht f¨ur Ingenieure oft das Hauptproblem darin, die f¨ur ihre Untersuchungsobjekte zutreffenden Berechnungsmodelle einschließlich zugeh¨origer Eingabedaten bereitzustellen. Vielfach fehlt es an Eingabedaten. Dies ist auch einer der Gr¨unde daf¨ur, daß empfohlen wird, eine Modellberechnung zun¨achst mit einfachen Modellen zu beginnen (wobei man weniger Parameterwerte braucht) und erst nach und nach die erforderlichen komplexen Modelle zu entwickeln. Die wesentlichen Schritte bei diesem induktiven Herangehen kann man grob folgendermaßen ordnen: 1. Formulierung von Hypothesen zur physikalischen Erkl¨arung des interessierenden Vorganges und Entwicklung zugeh¨origer Modellvorstellungen Wenn es sich wirklich um ein ungel¨ostes Problem handelt, werden zu Beginn mehrere Hypothesen bestehen. Man sollte vor einer Rechnung die qualitativ zu erwartenden Ergebnisse und alle Konsequenzen durchdenken. Zum Herantasten“ an die ” zutreffenden Modelle sind Kenntnisse auf dem Gebiet der Maschinendynamik und Schwingungstechnik zu nutzen, d. h. Erfahrungen mit dem bekannten Modellvorrat. Wesentlich sind dabei • Hypothesen u¨ ber m¨ogliche Erregerursachen aufstellen (Pr¨ufung der Anregbarkeit, Kl¨arung der Energiequelle), • die Absch¨atzung einzelner Effekte mit Minimalmodellen (Trennung und Bewertung m¨oglicher Effekte), • die Pr¨ufung der Parameterabh¨angigkeit der Erscheinung (Abh¨angigkeit von Drehzahl, Massen, Steifigkeiten, ...).

2.3 Induktive Modellbildung

57

2. Ermittlung der kinematischen oder dynamischen Eingabegr¨oßen Dazu geh¨oren Zeitverl¨aufe aller ver¨anderlichen Wege oder Winkel und deren h¨ohere Zeitableitungen. Oft sind diese durch ein Zyklogramm erfaßt, welches die geforderten Bewegungsabl¨aufe eines Antriebssystems (z. B. mehrere Antriebe innerhalb derselben Maschine) beschreibt. Ebenso sind Zeitverl¨aufe oder dynamische Kennlinien von Antriebsmomenten oder Antriebskr¨aften zu beschaffen, um eine dynamische Berechnung beginnen zu k¨onnen. 3. Ermittlung der massegeometrischen Parameterwerte Dazu geh¨ort die Bestimmung der Massen, der Schwerpunktkoordinaten und der Massentr¨agheitsmomente der Einzelk¨orper, die zum Antriebssystem geh¨oren. Manchmal muß der gesamte Tr¨agheitstensor bestimmt werden: entweder alle Deviations- und Massentr¨agheitsmomente oder die Lage der zentralen Haupttr¨agheitsachsen und die drei Haupttr¨agheitsmomente um die Schwerpunkthauptachsen. Dazu kommen noch alle kinematischen Abmessungen oder geometrische Gr¨oßen (z. B. Z¨ahnezahlen, La¨ gerabst¨ande, Ubersetzungsverh¨ altnisse). 4. Ermittlung der elastostatischen Parameterwerte Da man i. allg. mit dem Modell des Starrk¨orpersystems nicht auskommt, sind alle Steifigkeiten (Federkonstanten) oder Nachgiebigkeiten (Einflußzahlen) zu bestimmen. Einfacher ausgedr¨uckt: alle Elemente der Steifigkeitsmatrix des diskreten Systems sind zu ermitteln. Dazu sind Vorausberechnungen oder die Auswertung statischer Deformationsmessungen erforderlich. In Abschn. 2.7. wird auf die betreffenden Methoden eingegangen. Am Ende dieses Schrittes muß gekl¨art worden sein, ob sich die Material- oder Bauteileigenschaften mit linearen oder mit nichtlinearen Ans¨atzen erfassen lassen. 5. Ermittlung der modalen Eigenschaften (Eigenfrequenzen, Eigenformen) Bevor nichtlineare Effekte ber¨ucksichtigt werden, wird zun¨achst eine Modalanalyse durchgef¨uhrt. Die wesentlichen Eigenfrequenzen und Eigenschwingformen sollten m¨oglichst mit den Ergebnissen einer experimentellen Modalanalyse verglichen werden. Danach ist meist eine Modellanpassung f¨allig, z. B. entsprechend der in [245] beschriebenen Methode. 6. Aufstellung und L¨osung der Gleichungen Mit der Ber¨ucksichtigung der Erregungen beginnt die eigentliche Modellberechnung, aus welcher alle Verl¨aufe der interessierenden Bewegungs- und Kraftgr¨oßen und die r¨aumliche Verteilung der Beanspruchungen und Verformungen folgen. Aus dem Vergleich mit Meßergebnissen zeigt sich dabei, ob die getroffenen Annahmen richtig“ ” waren. Erst an dieser Stelle des Modellbildungsprozesses wird die Frage beantwortbar, ob die einwirkenden Kraft- und Bewegungsgr¨oßen einfach durch gegebene Zeitfunktionen (die zu erzwungenen oder parametererregten Schwingungen f¨uhren) erfaßbar sind, oder ob eine Wechselwirkung mit dem Schwingungssystem so bedeutend ist, daß sie in einem weiteren Schritt der Modellierung ber¨ucksichtigt werden muß.

58

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

7. Modellerweiterung Es wird empfohlen, daß schon bei der ersten Modellierung alle Fakten, die u¨ ber die beobachteten Ph¨anomene am realen Objekt bekannt sind, ber¨ucksichtigt werden. Wenn z. B. f¨ur ein Antriebssystem bekannt ist, wie viele Resonanzstellen im interessierenden Drehzahlbereich vorhanden sind, muß das Schwingungsmodell entsprechend viele Erreger- und/oder Eigenfrequenzen enthalten. Wenn außerdem die Resonanzamplituden interessieren, m¨ussen die Erreger- und D¨ampfungsans¨atze mit entsprechenden Parameterwerten konkretisiert werden. Im hier betrachteten Schritt werden die anfangs getroffenen Annahmen kritisch gepr¨uft und eventuell eine Modellerweiterung vorgenommen. Dies kann die Erh¨ohung der Anzahl der Freiheitsgrade betreffen, eine genauere Erfassung nichtlinearer Terme oder die pr¨azisere Formulierung der Erregung oder D¨ampfung. 8. Korrektur der Parameterwerte Nach der ersten Berechnung wird sich normalerweise herausstellen, daß die Rechenergebnisse noch betr¨achtlich von den gemessenen Ergebnissen abweichen. Dies gilt oft f¨ur die Amplituden, da in den meisten F¨allen Daten f¨ur D¨ampfungsparameter nur als N¨aherungswerte vorliegen. Wenn das Berechnungsmodell qualitativ hinsichtlich der Zeitverl¨aufe und des Frequenzverhaltens schon richtig war, ist lediglich eine Pr¨azisierung der wenigen Parameterwerte erforderlich. 2.3.2 Parametererregte Schwingungen einer Buchschneidemaschine Bild 2.16 zeigt das kinematische Schema des Messerantriebs einer Buchschneidemaschine. Das Messer zeigte Schwingungen, welche die Qualit¨at der Schnittkante beeintr¨achtigten. Ein Berechnungsmodell f¨ur diesen Antrieb gab es nicht. Es bestand die Frage, wodurch die Schwingungen vermindert werden k¨onnen. Man mußte unter den konkreten Betriebsbedingungen mit einfachem Versuchsaufwand auskommen und konnte nur die Beschleunigung auf dem Messer messen, um quantitative Aussagen zu den beobachteten st¨orenden Schwingungen zu erhalten. Die Messungen erfolgten sowohl im Leerlauf als auch w¨ahrend des Schneidvorganges bei einigen wenigen Drehzahlen. Bild 2.17a zeigt eine Periode des Meßsignals. Die gemessenen Schwingbeschleunigungen ab etwa t = 1,4 s waren wesentlich gr¨oßer als die kinematische Beschleunigung, die an diesem mehrgliedrigen Mechanismus zu erwarten war. Es wurden folgende Hypothesen u¨ ber die Schwingungsursachen gepr¨uft: • Zun¨achst wurde vermutet, daß diese st¨orenden Schwingungen durch technologische Belastungen (durch den Schnittschlag, der bei ca. 1,27 s stattfindet) angestoßen werden, vgl. Bild 2.17a. Es zeigte sich aber bei den Messungen, daß die Schwingungen auch dann auftraten, wenn gar kein Buch geschnitten wurde. • Es kam das Gelenkspiel in einem der vielen Drehgelenke des Antriebsmechanismus als Anregungsursache in Betracht. Ein Vergleich mit den in Abschn. 2.2.3 ¨ in Bild 2.7 dargestellten Verl¨aufen zeigt scheinbar eine gewisse Ahnlichkeit. Bei genauerem Hinsehen erkennt man aber, daß in Bild 2.17a keine solchen einseitigen St¨oße und keine Kraftrichtungswechsel auftreten, wie sie f¨ur Mechanismen mit Spiel typisch sind.

2.3 Induktive Modellbildung

59

Beschleunigungsaufnehmer

Frontmesser (obere Rast)

y

Frontmesser (beim Schneiden)

x

Buchblockstapel Schneidleiste

Kurbelwinkel

ϕ Kurvenscheibe

Schwingwinkel des Hebels Bild 2.16 Kinematisches Schema des Messerantriebs

a in m / s 2

50 0

−50 1,1

a)

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8 t in s

| a| in m / s 2

15 10

5 0

0

10

20

30

40

b)

50

60

70

80

90 f in Hz

100

Bild 2.17 Gemessene Beschleunigung am Messer der Buchschneidemaschine [69] a) Meßsignal, b) Fourierspektrum des Meßsignals

• Als weitere Hypothese wurde als Schwingungsursache ein relativ weiches Glied innerhalb des Antriebsmechanismus vermutet. Um diese Vermutung zu pr¨ufen, wurde in das Berechnungsmodell ein elastisches Getriebeglied im Abtrieb angenommen. Daf¨ur lautet die Bewegungsgleichung f¨ur die Relativkoordinate q2 , vgl. Tabelle 2.7 (Fall 2) m4 q¨2 + d q˙2 + k2 q2 = −m4 x  Ω 2

(2.93)

60

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Die numerische Simulation lieferte das in Bild 2.18a dargestellte Ergebnis. Es zeigt nur geringe Schwingungen mit konstanter Frequenz, die der kinematischen Beschleunigung u¨ berlagert sind. Trotz der Variation der Parameterwerte in einem ¨ weiten Bereich ließ sich keine qualitative Ubereinstimmung mit dem gemessenen Schwingungsverlauf erzielen. • Als weitere Hypothese wurde in das Berechnungsmodell eine Elastizit¨at im Antrieb angenommen. Daf¨ur lautet die Bewegungsgleichung, vgl. auch Tabelle 2.6 (Fall 3) und Abschn. 4.4.3, Gl. (4.6):   Ω2 1   (2.94) q1 = − J  (Ω t)Ω 2 J(Ω t)q¨1 +(dT + Ω J (Ω t))q˙1 + kT +J (Ω t) 2 2 Diese Annahme eines weichen“ Getriebegliedes in der Antriebswelle vor dem ” Schneidemechanismus zeigte ein mit dem Meßergebnis qualitativ gut u¨ bereinstimmendes Rechenergebnis, vgl. Bild 2.18b.

Bild 2.18 Berechnungsergebnisse [69], [367] a) Elastizit¨at im Abtrieb, b) Elastizit¨at im Antrieb

Diese Schwingung entsteht durch eine zeitlich begrenzte Parametererregung, welche infolge der stark ver¨anderlichen stellungsabh¨angigen Eigenfrequenz des Mechanismus innerhalb eines begrenzten Bereichs der Kurbelstellung zustande kommt, vgl. auch Abschn. 4.4 in [150] und [81]. Man kann dies aus der Bewegungsgleichung schließen. In Gl. (2.94) sieht man am Faktor von q˙1 , also an dem Ausdruck, der u¨ blicherweise nur eine D¨ampfungskonstante ist, einen stellungsabh¨angigen Term, der auch negative Werte annehmen kann. Im Bereich der Kurbelstellungen, an denen dieser Term negativ ist, werden die Eigenschwingungen nicht ged¨ampft, sondern angefacht, vgl. Abschn. 4.4.3. Aus Bild 2.17a erkennt man auch, daß die Frequenz der in der Kurbelstellung von etwa 160◦ erkennbaren Schwingung nicht konstant ist, sondern nach der Anfachung langsam zunimmt. Dies ist mit einer in diesem Bereich mit der Kurbelstellung des Mechanismus abnehmenden Gr¨oße des reduzierten Tr¨agheitsmomentes J(Ω t) oder einer zunehmenden Gr¨oße der Steifigkeit kT zu erkl¨aren. Zur Pr¨ufung der vierten Hypothese wurde zus¨atzlich mit Hilfe der Zeit-FrequenzAnalysemethoden das Schwingungssignal analysiert. Es best¨atigte sich die Vermutung, daß innerhalb eines endlichen Bereichs der Kurbelumdrehung die Frequenz von etwa 15 Hz auf etwa 25 Hz ansteigt. Bild 2.19 zeigt zum Vergleich die Zeit-FrequenzAnalyse der Meß- und Rechenergebnisse [367].

61

40

40

30

30

f in Hz

f in Hz

2.3 Induktive Modellbildung

20

20

10

10

a)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

t in s

a in m / s 2

a in m / s 2

0 40 20 0 −20 0

40 20 0

−20 0

b)

0,2

0,4

0,.6

0,8

t in s

Bild 2.19 Zeit-Frequenz-Analyse der Schwingungen der Buchschneidemaschine [69] a) Choi-Williams-Verteilung des Meßsignals, b) Analyse des Rechenergebnisses

Die Schwingungsursache war also nicht der Schneidvorgang oder der Schnittschlag, sondern die sich in einer Kurbelstellung schnell ver¨anderliche kinetische Energie, also ein mit der Kurbelstellung schnell abnehmendes reduziertes Tr¨agheitsmoment des mehrgliedrigen Schneidemechanismus. Die kinetische Energie des Starrk¨orpermodells wird in solchen Getriebestellungen frei und kann sich bei einem elastischen Glied im Antrieb als Schwingung austoben“. Die st¨orenden Schwingun” gen konnten dadurch beseitigt werden, daß eine ver¨anderte Kurvenscheibe eingebaut ¨ wurde, die eine langsamere Anderung des fallenden reduzierten Tr¨agheitsmomentes bewirkte, vgl. auch die in Abschn. 5.5 empfohlenen Gegenmaßnahmen.

2.3.3 Selbsterregte Schwingungen eines Wicklers In Spulmaschinen werden zum Aufwickeln von gesponnenen F¨aden gekoppelte Rotoren eingesetzt. Es gibt eine Bauform, bei der eine sogenannte Reibwalze mit konstanter Drehzahl rotiert und durch Reibkontakt eine Wickelwalze antreibt, auf welcher der textile Faden aufgewickelt und gespeichert wird, vgl. Bild 2.20. Eine im Bild 2.20 nicht dargestellte Changierwalze bewegt den Faden axial, so daß er gleichm¨aßig u¨ ber der Walzenbreite verteilt wird. W¨ahrend des Wickelns vergr¨oßert sich der Durchmesser DW (und damit das Tr¨agheitsmoment) der Wickelwalze, wobei deren Drehzahl umgekehrt proportional zum Durchmesser sinkt. Bei derartigen Wicklerkonstruktionen traten (auch ohne instrumentelle Hilfe leicht erkennbare) intensive Schwingungen an den Wickelwalzen auf, so daß Gefahren f¨ur die Wickelqualit¨at und einen stabilen Dauerbetrieb bestanden. Dazu muß erw¨ahnt werden, daß im Laufe der vergangenen 25 Jahre die Spulgeschwindigkeit

62

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

y

y

Reibwalze DR

k

k

kry k

DW

Ω

krz

x

kry

krz z

Wickelwalze Bild 2.20 Berechnungsmodell f¨ur die gekoppelte Wickel- und Reibwalze [341]

der F¨aden von 1 000 m/min auf u¨ ber 8 000 m/min erh¨oht und die Durchmesser und Drehzahlen der Rotoren infolgedessen immer gr¨oßer wurden. Im weiteren werden die Ergebnisse aus den Untersuchungen aus [341] wiedergegeben. Messungen, die mit optischen Wegsensoren in zueinander orthogonalen Richtungen durchgef¨uhrt wurden, brachten folgende qualitativen Erkenntnisse: • Unterhalb eines bestimmten Wickeldurchmessers sind die Schwingungen (auch meßtechnisch) nicht nachweisbar. • Wird ein bestimmter Mindestwert des Wickeldurchmessers erreicht, so treten die Schwingungen pl¨otzlich mit verh¨altnism¨aßig großen Amplituden auf. • Die Frequenz der Schwingungen liegt anfangs bei ca. 10 Hz und vermindert sich mit zunehmendem Wickeldurchmesser auf 8,8 Hz. Im Vergleich dazu liegt die Drehfrequenz der Reibwalze bei ca. 160 Hz, die der Wickelwalze zwischen 45 Hz und 42,5 Hz (mit zunehmendem Wickeldurchmesser abnehmend). • Die Bahnkurve des Wellenmittelpunktes der Wickelwalze ist eine Ellipse, deren großer Halbmesser etwa in der Tangentialebene der Ber¨uhrungslinie beider Rotoren liegt. Die Ellipsenhalbmesser werden mit zunehmendem Wickeldurchmesser allm¨ahlich gr¨oßer. • Der große Halbmesser der Ellipse ist 2- bis 4-mal so groß wie der kleine. Die Ellipsenbahn wird in Drehrichtung durchlaufen. Im Sinne der in Abschn. 2.3.1 dargelegten induktiven“ Strategie wurden meh” rere Hypothesen in Betracht gezogen, um die Erregungsursache dieser seltsamen Schwingungen zu finden. • Unwuchterregung, die bei einem derart bewickelten Rotor unvermeidlich ist, schied als Ursache aus, da keine Beziehungen zur Drehfrequenz einer der Walzen bestand. • Infolge der tiefen Frequenzen wurde auch an die Erkl¨arung durch nichtlineare Effekte gedacht (z. B. die nichtlineare Federkennlinie des Wickelmaterials an der Kontaktstelle oder nichtlineare Reibungseffekte), um vielleicht Subharmonische oder Kombinationsresonanzen verantwortlich machen zu k¨onnen. Die Resonanzstellen lagen aber in ganz anderen Bereichen.

2.3 Induktive Modellbildung

63

• Kinematische Erregungen infolge eventueller Abweichungen der Oberfl¨achenform der Walzen von der idealen Kreisform (elliptische, dreieckf¨ormig oder polygonal gest¨orte Formen), insbesondere des Wickelk¨orpers, konnten auch nicht zur Erkl¨arung dienen. Es waren keine solche Abweichungen erkennbar, und die ganzzahligen Vielfachen der Drehfrequenz, welche die Theorie f¨ur solche Schwingungen voraussagt, wurden bei den Schwingungsmessungen auch nicht festgestellt. • Resonanznahe erzwungene Schwingungen infolge von Schwingungen des Maschinengestells schieden aus den Betrachtungen aus, weil in der Maschine keine entsprechende Erregerfrequenz vorhanden war. Dies konnte auch durch zus¨atzliche Schwingungsmessungen mit piezoelektrischen Beschleunigungsaufnehmern best¨atigt werden. Schließlich wurde vermutet, daß die Frequenz der gemessenen Schwingungen in der N¨ahe einer Eigenfrequenz des Rotorsystems liegt. Es wurde eine Selbsterregung als m¨ogliche Schwingungsursache angenommen, da bekanntlich die Frequenz selbsterregter Schwingungen in der N¨ahe einer Eigenfrequenz des zugeh¨origen linearisierten Systems liegt [231]. Zur rechnerischen Modalanalyse des Rotorsystems (Schritt 5 in der beschriebenen Strategie) wurde das in Bild 2.20 dargestellte lineare Schwingungssystem benutzt. In ihm sind die beiden gekoppelten Walzen als elastisch gest¨utzte starre Rotoren (mit Kreiselwirkung) modelliert, deren elastische Kopplung durch das Wickelmaterial mit der Federkonstanten k erfaßt wird. Gem¨aß der in der allgemeinen Strategie unter Punkt 3 und 4 genannten Schritte wurden die Modellparameter zun¨achst n¨aherungsweise ermittelt. Die massegeometrischen Parameter der Walzen waren relativ genau bestimmbar, aber die Kopplungsfederzahlen k konnten nur grob abgesch¨atzt werden. Die beiden gekoppelten starren Rotoren bilden ein Schwingungssystem mit 8 Freiheitsgraden, da von den 2 × 6 = 12 Freiheitsgraden, welche die beiden Starrk¨orper im Raum besitzen, vier abgezogen werden m¨ussen (die beiden Rotations- und Axialbewegungen). Die Berechnung zeigte, daß bei großem Spulendurchmesser drei tiefe Eigenfrequenzen auftreten, deren Eigenformen als zwei Gegenlauf-Formen und eine (zwischen diesen beiden liegende) als Gleichlauf der Wickelwalze gedeutet werden k¨onnen, vgl. Bild 2.21a. Da die Meßergebnisse zeigten, daß der Wellenmittelpunkt der Wickelwalze seine Bahn in Drehrichtung der Walze durchl¨auft, wurde geschlußfolgert, daß die Gleichlauf-Eigenfrequenz mit der Erregerursache in Verbindung steht. Sie liegt beim Wickeldurchmesser Dw = 400 mm, bei dem die Schwingungen sehr deutlich ausgepr¨agt waren, etwa bei 8 Hz, also in der N¨ahe der gemessenen Frequenzen (10 Hz bis 8,8 Hz). Somit war mit hoher Wahrscheinlichkeit die Frequenz der Selbsterregung mit dem zur letztgenannten Hypothese geh¨orenden Berechnungsmodell erkl¨arbar. Solche Unterschiede zwischen den gemessenen Frequenzen und der berechneten Eigenfrequenz sind mit R¨ucksicht auf die grobe Modellierung zu erwarten. Ausgehend von den bisher beschriebenen Meß- und Rechenergebnissen wurde folgende physikalische Interpretation des Prozesses der Selbsterregung m¨oglich, vgl. Bild 2.21b. Bild 2.21b zeigt die von der Reibwalze angetriebene Wickelwalze. In einer Gleichlauf-Resonanz der Wickelwalze“ beschreibt nun der Walzenmittelpunkt und ” damit auch die wickelseitige Ber¨uhrungslinie der Walzen eine ellipsenf¨ormige Um-

64

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Frequenz in Hz

60

a)

50

b)

f8 Reibwalze DR

40 f7 30 f6 f5

20

f4 10

DW Wickelwalze

f3 f2 f1

0 0,28 0,40 0,52 0,64 0,76 0,88 1,00 1,12 1,24 Relativer Wickeldurchmesser DW / DR 10000 8000 6000 4000 3000 Drehzahl der Wickelwalze in 1/ min Bild 2.21 Rotorsystem Wickel- und Reibwalze [341] a) Eigenfrequenzen, b) Bahnkurven an der Wickelwalze

laufbahn, deren Durchlaufrichtung mit der Drehrichtung der Wickelwalze u¨ bereinstimmt. Die Wickelwalze besitzt Schlupf gegen¨uber der Reibwalze, also wird durch Reibung Energie u¨ bertragen. Im dynamischen Zusammenwirken der beiden Walzen k¨onnen grob zwei Phasen unterschieden werden: a) Bewegen sich die Walzen aufeinander zu, so w¨achst die Normalkraft zwischen den beiden Walzen. Gleichzeitig bewegt sich der wickelseitige Ber¨uhrungspunkt in Richtung der Umlaufbewegung der Wickelwalze, so daß die schlupfbedingte Relativgeschwindigkeit verringert wird. Diese Bewegung wird auch durch den Effekt der Kreiselwirkung verst¨arkt, weil ein Kreisel immer orthogonal zur radialen Kraftkomponente ausweicht. Setzt man voraus, daß die Reibarbeit zwischen Reib- und Wickelwalze mit abnehmender Relativgeschwindigkeit zunimmt, so wird der betrachteten Gleichlauf-Schwingung in dieser ersten halben Periode relativ viel Energie zugef¨uhrt. b) Bewegen sich die Walzen voneinander weg, so sinkt die Normalkraft an der Kontaktlinie. Da sie in dieser Phase gleichzeitig entgegengesetzt zur Umlaufrichtung schwingt, nimmt die Relativgeschwindigkeit u¨ ber das durch den Schlupf bedingte Maß zu. Auch hierbei wirkt sich die infolge der Kreiselbewegung entstehende Zusatzbewegung in tangentialer Richtung aus. In dieser zweiten Halbperi-

65

2.3 Induktive Modellbildung

ode wird der Schwingung zwar wieder Energie entzogen, aber die Energieabfuhr ist wegen der kleinen Normalkraft (eventuell auch wegen der großen Relativgeschwindigkeit) geringer als die Energiezufuhr in der ersten Halbperiode. Im betrachteten Fall bietet daher die Schwingungsform der Gleichlauf-Eigen” frequenz der Wickelwalze“ Bedingungen f¨ur die periodische Zufuhr mechanischer Energie aus der stetigen Energiequelle der vom Motor angetriebenen Reibwalze. Dies erfolgt im Takte einer Eigenfrequenz und ist typisch f¨ur eine selbsterregte Schwingung. Im weiteren wurde (entsprechend Punkt 6 der induktiven Strategie) auch mittels numerischer Rechnungen nachgewiesen, daß eine Selbsterregung wie beschrieben vorhanden ist. Daf¨ur wurde in [341] das in Bild 2.22b) dargestellte Modell benutzt.

y F0

y Kontaktfeder

ky FR

z

a)

k rz z + d rz z& Jxx mr &&z − Ω y& 2 k ry y + d ry y& (l + a) Jxx mr &&y + Ω z& (l + a) 2 b)

k kϕz

z

S

A G

x

ky l

a

m, Jxx, Jyy = Jzz

Bild 2.22 Minimalmodell zur Selbsterregung des Walzenpaares [341] a) Kr¨aftegleichgewicht am Rotorschwerpunkt der Wickelwalze b) Kennzeichnung der Masse- und Federparameter

Es werden gegen¨uber Bild 2.20 noch folgende Vereinfachungen benutzt: • Es wird nur die Wickelwalze ber¨ucksichtigt. Sie st¨utzt sich mit einer Feder (Federkonstante k) auf einer mit der Geschwindigkeit z˙ (das entspricht der schlupfbedingten Relativgeschwindigkeit zwischen Reib- und Wickelwalze) relativ zu ihr bewegten Ebene ab und ist durch L¨angs- und Drehfedern gefesselt. • Die Wickelwalze ist ein mit der Winkelgeschwindigkeit Ω um die x-Achse drehender Rotor, dessen Achse um y und z drehbar an einem fiktiven Gelenkpunkt G befestigt ist. Die Winkelgeschwindigkeit des Rotors dient in dem Modell der Ber¨ucksichtigung der Kreiselwirkung und der Berechnung der schlupfbedingten Relativgeschwindigkeit z˙rel . • Die Lage des fiktiven Gelenkes G wird so gew¨ahlt, daß die Gleichlauf-Eigenfrequenz des Rotors so groß ist wie die tiefste Gleichlauf-Eigenfrequenz des Modells aus Bild 2.21 (in beiden F¨allen ca. 8 Hz). • Im St¨utzpunkt der Feder wirkt eine statische Vorlast Fϕ /FR (Druckkraft), und an der St¨utzstelle greift tangential eine geschwindigkeitsabh¨angige Reibkraft an.

66

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Die zwei Bewegungsgleichungen erh¨alt man aus dem Drallsatz f¨ur den Rotor bez¨uglich des Gelenkpunktes G und mit den Zwangsbedingungen z = −ϕ y (l + a) y = ϕ z (l + a); nehmen sie folgende Form an: Jxx my¨ + dy y˙ + (ky + k)y + Ω z˙ + F0 = 0 (l + a)2 m¨z + dz z˙ + kz z −

Jxx Ω y˙ + FR = 0 (l + a)2

(2.95)

(2.96) (2.97)

Dabei werden folgende Parameter ber¨ucksichtigt: m, Jxx , Jyy = Jzz Masseparameter des Rotors, Dreh- bzw. translatorische Steifigkeiten der Rotorfesselung, ky , kz , kϕ y , kϕ z D¨ampfungskoeffizienten, dy , dz , dϕ y , dϕ z k Steifigkeit der Kopplungsfeder, Vorspannkraft (Druck). F0 Da die Umlaufbahn des Wellenmittelpunktes bestimmt werden soll, werden y und z als Variable gew¨ahlt. Damit ergibt sich f¨ur den Schwerpunkt S des Rotors das Kr¨aftegleichgewicht gem¨aß Bild 2.22a. Die auf die variablen Koordinaten gem¨aß Gl. (2.95) bezogenen Gr¨oßen sind Jyy (2.98) m =m+ (l + a)2 ky∗ =

ky · l 2 + kϕ z ; (l + a)2

kz∗ =

kz · l 2 + kϕ y (l + a)2

dr y =

dy · l 2 + dϕ z ; (l + a)2

dr z =

dz · l 2 + dϕ y (l + a)2

Die Reibkraft ist

FR = (F0 + k · y) · µ 0 sign(˙zrel ) − z˙rel = z˙s − z˙ = rw Ω

(2.99)

1 z˙r max

(2.100)

z˙rel

s − z˙ 1−s

(2.101) (2.102)

mit s Schlupf zwischen Reib- und Wickelwalze in Prozent, rw Radius des Wickels, µ 0 Haftreibungszahl. In der Arbeit [341] ist ausf¨uhrlicher dargelegt, welche Ergebnisse sich bei der numerischen Integration der Bewegungsgleichungen ergaben. Die Modellberechnungen erlaubten eine tiefergehende Bewertung aller Parametereinfl¨usse, auch des Schlupfes zwischen den beiden Walzen. Es konnte nachgewiesen werden, daß der Einfluß der Kreiselwirkung von wesentlicher Bedeutung ist und daß die Selbsterregung nicht nur infolge einer geschwindigkeitsabh¨angigen Reibkennlinie, sondern auch bei konstantem Reibwert auftritt. Die Vermeidung der st¨orenden Schwingungen wurde durch variable Drehgeschwindigkeit erreicht.

67

2.3 Induktive Modellbildung

Eine v¨ollig andere Hypothese f¨ur das Auftreten selbsterregter Schwingungen an gekoppelten Rotoren wurde in [78] beschrieben. Das dort vorgestellte Modell erkl¨art Resonanzstellen k-ter Ordnung, die eine Welligkeit der Zylinderoberfl¨ache hervorrufen. In [211] wird analysiert, wie sich die theoretisch und experimentell ermittelten Deformations- und Spannungsverteilungen, die beim Rollkontakt zweier Walzen in der Kontaktzone bedeutsam sind, auf den verarbeitungstechnischen Vorgang auswirken, der vor allem bei Druckmaschinen und Papiermaschinen interessiert.

2.3.4 Instation¨are Bewegungen bei Kranen 2.3.4.1 Anheben der Last vom Boden Bei allen Kranen entstehen dynamische Belastungen sowohl beim Fahren und Drehen des Krans als auch beim Heben und Senken der Last. Als ein Beispiel daf¨ur, wie Berechnungsmodelle vom Einfachen beginnend immer komplizierter werden k¨onnen – je nach Zweck des Modells – werden im folgenden die Lastf¨alle des Hebens und Senkens einer Last analysiert. Schon seit langem gibt es Berechnungsvorschriften f¨ur Krane, um die Bauteilsicherheit gegen Bruch und die Standsicherheit bei Auslegekranen nachzuweisen. In den Anf¨angen des Kranbaus, als Material geringer Festigkeit eingesetzt wurde und die Geschwindigkeiten klein waren, erfolgte der Festigkeitsnachweis f¨ur die Bauelemente unter der Annahme einer statischen Belastung. Zur historischen Entwicklung ist zu sagen, daß viele Normen zu Beginn des 20. Jahrhunderts die extremen Belastungen beim Heben (und Senken) dadurch bestimmten, daß die Last mit einem dynamischen Beiwert“ multipliziert wurde. Solche Bei” werte wurden in den Normen in Abh¨angigkeit von der Hubgeschwindigkeit und den Arbeitsbedingungen (leicht, mittel, schwer) vorgegeben. F¨ur Turmkrane empfahlen die Normen der UdSSR den Faktor ψ = 1,1, w¨ahrend die deutsche DIN 120 aus dem Jahre 1936 ψ = 1,2 bis 1,4 und die franz¨osischen Normen aus dem Jahre 1953 ψ = 1,2 bis 1,3 forderten [194]. Das Berechnungsmodell, das diesen ersten (kinetostatischen) Vorstellungen zu Grunde lag, ist in Bild 2.23 skizziert. F mL ( g + a)

mL a

mL g mL ( g + a)

0 a)

b)

ta

t

c)

Bild 2.23 Starrk¨orpermodell f¨ur die Erfassung der dynamischen Kr¨afte beim Lastheben a) Br¨uckenkran, b) Turmkran, c) Zeitverlauf

68

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Dabei wird zur Erdbeschleunigung g, welche die statische Belastung verursacht, noch die Beschleunigung a addiert. Diese wird als mittlere Beschleunigung der Last aufgefaßt, die bei der Zunahme der Hubgeschwindigkeit vom Wert Null (Ruhezustand) bis zur Geschwindigkeit v w¨ahrend der Anlaufzeit ta entsteht: v (2.103) s¨ = a = ta Die Seilkraft ergibt sich demzufolge aus F = mL g + mL a = mL (g + a) = mL gψ

(2.104)

Der dynamische Beiwert ψ ist dabei also a (2.105) ψ =1+ g Bei der Benutzung dieses dynamischen Beiwerts geht man von der Annahme aus, daß eine zwangl¨aufige Bewegung der Last die dynamischen Kr¨afte verursacht, vgl. Modellstufe 1 in Tabelle 2.3 und Tabelle 2.5. Mit den im Laufe der technischen Entwicklung zunehmenden Hubgeschwindigkeiten der Krane und dem sich immer mehr durchsetzenden Leichtbau stellte sich aber heraus, daß in den Kranen Schwingungen auftraten, die qualitativ andere Belastungsverl¨aufe verursachten als es dem in Bild 2.23c skizzierten entspricht. Es traten auch Schadensf¨alle auf, die mit falschen Annahmen f¨ur die Gr¨oße der dynamischer Belastungen zu erkl¨aren waren. Seit den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts wurden in vielen Industriel¨andern experimentelle Untersuchungen an Kranen vorgenommen, um die realen Vorg¨ange besser verstehen zu lernen. Es wurde dabei erkannt, daß Schwingungsmodelle zur richtigen Erfassung der realen dynamischen Belastungen erforderlich sind. Solche wurden nahezu zeitgleich von mehreren Forschern entwickelt. Sie sind in Monografien beschrieben, z. B. [180], [196], [284], [357]. Zuerst suchte man nach einer Berechnungsm¨oglichkeit f¨ur die dynamischen Hubseilkr¨afte. Sowohl das Antriebssystem (Hubseil, Getriebe, Kupplung, Motor) als auch das Stahltragwerk sollten hinsichtlich der entstehenden dynamischen Belastungen mit dieser Seilkraft genauer ausgelegt werden. Es war aus den Experimenten bekannt, daß die gr¨oßten dynamischen Kr¨afte bei der Lastaufnahme auftreten, d. h. beim Anheben der Last vom Boden. Das einfachste Berechnungsmodell daf¨ur ber¨ucksichtigte nur ein elastisches Element zwischen der Masse mL der Last und dem Tragwerk. Es ist in Bild 2.24 dargestellt. FS

FS

FS

s = vt

s = vt

k k

mL g x2

mL

a)

b)

mL

mL && x2

c)

Bild 2.24 Minimalmodell f¨ur den Anhubvorgang; a) Etappe des Seilspannens (Last am Boden), b) Etappe der angehobenen Last, c) Kr¨aftegleichgewicht bei angehobener Last

2.3 Induktive Modellbildung

69

Im Hinblick auf die in Abschn. 2.1. gegebene Systematik ist dieses Berechnungsmodell als ein unged¨ampftes lineares Schwingungssystem mit kinematischer Erregung zu bezeichnen. Bei einer in ihrem Zeitablauf vorgegebenen Seilbewegung s(t) wird die R¨uckwirkung der Seilkraft auf die Motorbewegung vernachl¨assigt, d. h., die Motordrehzahl wird als zeitabh¨angig und unabh¨angig von der Belastung angenommen (Modellstufe 2a). Der Motor ist gewissermaßen bei diesem Modell eine unersch¨opfliche Energiequelle. Variable Gr¨oßen sind: s(t) Weg-Zeit-Verlauf des Hubseils an der Seiltrommel, x2 (t) Weg-Zeit-Verlauf der Last (am anderen Seilende). Nur zwei mechanische Parameter kennzeichnen dieses Minimalmodell: k mL

Steifigkeit des Krans und aller Seile des Flaschenzuges, Masse der Hublast (darin sind auch die Masse von Haken und Unterflasche des Flaschenzuges bzw. Greifer enthalten, wogegen die Seilmasse selbst vernachl¨assigbar klein ist).

Es wird zwischen den Etappen des Anhebens (Last ruht auf dem Boden, Seil wird gespannt) und des eigentlichen Hebens (Last h¨angt frei am Seil und kann vertikal schwingen) unterschieden. Die Seilkraft ergibt sich aus der Federkonstante und der Seilverl¨angerung: FS = k · (s(t) − x2 )

(2.106)

W¨ahrend der ersten Etappe (0
t
t1 ) liegt die Last am Boden (x2 ≡ 0) und das Hubseil wird gespannt, so daß f¨ur die Seilkraft gilt: FS = k · s(t)

(2.107)

Zun¨achst wird der Sonderfall behandelt, daß sich Hubweg und Hubgeschwindigkeit gem¨aß s(t) = vt;

s˙ = v = konst.

(2.108)

a¨ ndern. Die erste Etappe ist zur Zeit t1 beendet, wenn die Kraft des gespannten Seils die Gr¨oße der Hublast erreicht und die Bodenkraft Null wird: mL g FS = mL g = kvt1 ⇒ t1 = (2.109) kv W¨ahrend der zweiten Etappe besteht Gleichgewicht zwischen der Massenkraft, der Seilkraft und dem Eigengewicht, vgl. Bild 2.24c). Es gilt mL x¨2 − FS + mL g = mL x¨2 − k · (s(t) − x2 ) + mL g = 0

(2.110)

Diese Differentialgleichung wird mit der Eigenkreisfrequenz  k ω = (2.111) mL und f¨ur den Fall konstanter Hubgeschwindigkeit s˙ = v folgendermaßen umgeschrieben: x¨2 + ω 2 x2 = ω 2 vt − g

(2.112)

70

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Zu Beginn des Abhebens gelten die Anfangsbedingungen t = t1 :

x2 = 0, x˙2 = 0

(2.113)

Als L¨osung erh¨alt man den Verlauf des Hubweges der Last x2 = −

v mL g + vt − sin ω (t − t1 ) k ω

(2.114)

die Hubgeschwindigkeit x˙2 = v [1 − cos ω (t − t1 )]

(2.115)

und die Beschleunigung der Last: x¨2 = v ω sin ω (t − t1 )

(2.116)

Die Seilkraft ist damit w¨ahrend der Hubbewegung, vgl. Gl. (2.106):
FS = k · (s(t) − x2 ) = mL g + kmL · v sin ω (t − t1 )

(2.117)

2,5 2

x& 2 v

FS mL g

1,5 1

ψ = 1,4 0,5 0

0

5

10

15

20

25

30 τ = ωt

35

Bild 2.25 Verlauf von Seilkraft und Lastgeschwindigkeit beim Anheben

Bild 2.25 zeigt die sich aus diesem Schwingungsmodell ergebenden Verl¨aufe in dimensionsloser Darstellung. Man erkennt darin einen qualitativ ganz anderen Seilkraftverlauf im Vergleich zu dem in Bild 2.23c). Die vibrodynamische Kraft im Seil schwingt um den statischen Mittelwert, und die Hubgeschwindigkeit x˙2 der Last schwankt von Null bis zum doppelten Nennwert. Die Schwingungen erfolgen mit der Eigenfrequenz, die aus Gl. (2.111) bekannt ist. Der Spitzenwert der Seilkraft betr¨agt √  
v kmL (2.118) = mL g · ψ FS max = mL g + v kmL = mL g 1 + gmL

2.3 Induktive Modellbildung

71

Dabei kann man wieder einen dynamischen Beiwert“ analog zu Gl. (2.105) definie” ren, der aber nun von der Hubgeschwindigkeit, einer Federsteifigkeit und der Masse der Last abh¨angt. Dieser Schwingbeiwert ergibt sich hier zu  k vω v ψ =1+ =1+ √ (2.119) =1+v g ggmL gxst Wie man aus Gl. (2.119) erkennt, kann man ihn auch mit der statischen Durchsenkung mL g (2.120) xst = k die an der Last infolge ihres Eigengewichts auftritt, ausdr¨ucken. Damit ist eine einfache Beziehung zu einem (auch experimentell) leicht ermittelbaren Wert vorhanden, die dem Konstrukteur entgegenkommt. In dieser Form ging der Schwingbeiwert in die DDR-Norm TGL 13 470 im Jahre 1968 ein. Im Gegensatz zu der kinetostatischen Betrachtung (Modellstufe 1), wonach die dynamische Seilkraft nur von der Beschleunigung a des Hubwerks abh¨angt, liefert das einfachste Schwingungsmodell (Modellstufe 2) schon die Aussage, daß bei einem weicheren“ Krantragwerk die dynamischen Kr¨afte (bei sonst gleichem Hub” werk) kleiner werden. Diese genauere“ Modellierung hat den Leichtbau und die ” Tendenz zur Materialeinsparung unterst¨utzt. Bemerkenswert war die in der TGL 13 470 enthaltene Anmerkung: Von den Grunds¨atzen der Berechnung und der baulichen Durchbildung darf ab” gewichen werden,wenn durch Theorie, Versuch oder Messung eine ausreichende Begr¨undung erbracht und von der zust¨andigen Pr¨ufdienststelle anerkannt wird“. Seit dem Jahre 1968 war es somit den Berechnungsingenieuren erlaubt, den Pr¨ufdienststellen die mit spezifischen Berechnungsmodellen ermittelten Rechenergebnisse vorzulegen. Gegenw¨artig werden Krane gem¨aß DIN 15 018 und der europ¨aischen Norm FEM 1.001 ausgelegt. Es werden von vielen Firmen aber wesentlich tiefer gehende dynamische Untersuchungen angestellt als es die Vorschriften verlangen. In der Arbeit [361] ist der Einfluß der dynamischen Motorkennlinie f¨ur die dynamische Beanspruchung der Hubwerksantriebswellen gezeigt worden. Der Einfluß des Spiels, des Mehrmotorenantriebs u. a. wurde in [359] behandelt. 2.3.4.2 Heben und Senken (Modell mit n = 2) Das Minimalmodell erlaubt auch, in erster N¨aherung den Einfluß der Hubwerksteuerung auf den Seilkraftverlauf genauer zu berechnen, denn die dynamischen Seilkr¨afte folgen bei beliebigen Zeitverl¨aufen s(t) f¨ur das Heben oder Senken der schwebenden Last aus Gl. (2.106), wenn man die L¨osung von Gl. (2.121) einsetzt. Diese entsteht als Verallgemeinerung von Gl. (2.112): x¨2 + ω 2 x2 = ω 2 s(t) − g

(2.121)

Mit der f¨ur die jeweiligen Anfangsbedingungen ermittelten L¨osung x2 (t) kann die dynamische Seilkraft z. B. f¨ur folgende vier typischen Vorg¨ange berechnet werden:

72

1. 2. 3. 4.

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Anfahren der Senkbewegung, Abbremsen der Hubbewegung, Abbremsen der Senkbewegung, Anfahren der Hubbewegung.

Die Anfangsbedingungen unterscheiden sich von Gl. (2.113), weil z. B. die Last schon mit ihrem Eigengewicht am Seil h¨angt. Es ist auch zu ber¨ucksichtigen, daß jeder dieser instation¨aren Vorg¨ange bei einem bestimmten Seilweg (oder einer Hubh¨ohe h) beginnt und eine andere Seilsteifigkeit bei einem kurzen als bei einem langen Seil einzusetzen ist. Die zu den vier genannten instation¨aren Bewegungsvorg¨angen geh¨origen Anfangsbedingungen sind einheitlich formulierbar. Sie lauten g (2.122) t=0: x2 = h − mL , x˙2 = v k Zu Beginn des Hub- oder Senkvorganges der schwebenden Last ist in Gl. (2.122) v = 0 zu setzen. Ob es sich um eine Hub- oder Senkbewegung handelt, wird hierbei durch einen Weg-Zeit-Verlauf s(t) beschrieben. Beim Abbremsen einer bewegten Last entscheidet das Vorzeichen der Anfangsgeschwindigkeit v, ob es sich um eine Hub- oder Senkbewegung handelt. Der eigentliche Verlauf des Bremsvorgangs wird wiederum durch s(t) beschrieben, wobei s(0) = h ist. H¨aufig stellte sich heraus, daß die Gr¨oße der dynamischen Belastungen sich in der f¨ur diese vier Vorg¨ange oben angegebenen Reihenfolge vermindert [66], d. h. beim Anfahren der Senkbewegung entstehen (abgesehen vom Anheben der Last vom Boden) extreme dynamische Belastungen. Eine weitere Verfeinerung des Berechnungsmodells kann entsprechend der in Abschn. 2.1 vorgeschlagenen Systematik durch Erweiterungen in verschiedenen Richtungen erfolgen. Mit einer gr¨oßeren Anzahl von Freiheitsgraden l¨aßt sich auch zwischen der dynamischen Belastung im Hubseil und innerhalb des Krantragwerks unterscheiden. Je nach dem, was mehr interessiert, kann das Modell des Hubwerks oder des Tragwerks aufgeweitet“ werden. ” Das Hubwerk wird im bisherigen Modell mit einem gegebenem Verlauf s(t) modelliert, d. h. mit dem Weg des Hubseils an der Seiltrommel. Genauer w¨urde es durch seine Motorkennlinie und durch die Elastizit¨at innerhalb von Getriebe und Kupplung als Schwingungssystem mit vielen Freiheitsgraden beschrieben werden, vgl. auch die Modellierung eines Fahrwerks in Abschn. 2.4.3. Auch mehrere Seile im Flaschenzug, der Wirkungsgrad, die Hysterese der Seile u. a. w¨aren zu ber¨ucksichtigen. In das Tragwerk k¨onnte man tiefer hineinsehen“, wenn man die Masse der Kran” br¨ucke auf mehrere Massen aufteilt oder zwischen Kranbr¨ucke und Laufkatze unterscheidet, um genauere Aussagen zu der Belastungsverteilung im Inneren des Tragwerks zu erhalten. Das Modell der Last“, das bisher nur eine Punktmasse ist, k¨onnte dadurch erwei” tert werden, daß man die r¨aumliche Ausdehnung des realen Transportgutes ber¨ucksichtigt, also z. B. alle Kennwerte des starren K¨orpers ermittelt. Es k¨amen weitere sechs Differentialgleichungen hinzu, mit denen das Taumeln und Pendeln eines Containers, die Bewegungen eines Greifers (w¨ahrend seiner F¨ullung in Abh¨angigkeit von den Bewegungen der Schließ- und Halteseile und der Lage des Sch¨uttgutes) oder einen solcher Katastrophenfall, wie das H¨angenbleiben eines Teils der Last an einem Hindernis, simuliert werden kann, vgl. auch [150].

2.3 Induktive Modellbildung

73

Um den Unterschied zwischen der Belastung im Hubseil und im Tragwerk zu erl¨autern, wird als ein weiterer Freiheitsgrad die vom Seil unabh¨angige Bewegung des Tragwerks eingef¨uhrt. Damit kommen zwei weitere Parameter hinzu. Beim Zweimassenmodell des Br¨uckenkrans geh¨oren die Parameter, vgl. Bild 2.26: v k1 m1 k2

Hubgeschwindigkeit im Augenblick der Lastaufnahme die vertikale Steifigkeit der Kranbr¨ucke an der Lastangriffsstelle (dieser Wert ist von der Stellung der Laufkatze auf der Kranbr¨ucke abh¨angig), die reduzierte Masse des Krans, bezogen auf die Lastangriffsstelle (darin wird die Masse der Laufkatze einbezogen), vgl. Tabelle 2.9 (Fall 6), die Gesamtsteifigkeit der Hubseile.

k1 m1

s (t )

s (t )

x1

x1

k2

x2

mL

a)

b)

Bild 2.26 Berechnungsmodell mit 2 Freiheitsgraden f¨ur Br¨uckenkrane a) Etappe des Seilspannens, b) Etappe der frei schwebenden Last

Die Bewegungsgleichungen sind wieder f¨ur zwei Etappen zu formulieren. W¨ahrend der 1. Etappe wird das Hubseil mit gegebenem Weg-Zeit-Verlauf bewegt, die Last ruht auf dem Boden (x2 = 0), das Hubseil spannt sich und der Kran senkt sich. Die Kraft im Hubseil ist: FS = k2 · (s(t) + x1 )

(2.123)

Elastische R¨uckstellkraft der Kranbr¨ucke: F1 = −k1 x1

(2.124)

Dabei wird die statische Ruhelage der Kranbr¨ucke mit x1 = 0 als Bezugspunkt gew¨ahlt, also nur die der statischen Belastung mL g u¨ berlagerte dynamische Kraft berechnet. Das Kr¨aftegleichgewicht zwischen Massenkraft an der Kranbr¨ucke, elastischer R¨uckstellkraft und Seilkraft lautet: m1 x¨1 + k1 x1 + FS = 0

(2.125)

Aus Gl. (2.123) und (2.125) folgt die Bewegungs-Differentialgleichung: m1 x¨1 + (k1 + k2 )x1 = −k2 s(t)

(2.126)

aus der sich mit den Anfangsbedingungen t=0:

x1 = 0, x˙1 = 0

(2.127)

74

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

der weitere Ablauf berechnen l¨aßt. Wird der Sonderfall konstante Hubgeschwindig” keit“ angenommen, gilt s = vt,

s˙ = v

(2.128)

und die L¨osung der Differentialgleichung (2.126) unter Beachtung von Gl. (2.127) und (2.128) lautet x1 =

−k2 v (ω t − sin ω t) (k1 + k2 )ω

(2.129)

Die Kranbr¨ucke senkt sich also in dieser Weise durch. Die Kreisfrequenz w¨ahrend der ersten Etappe ist:  k1 + k2 ω = (2.130) m1 Damit folgt die Seilkraft wegen Gl. (2.123) zu   k1 k2 v k2 FS = k2 (vt + x1 ) = ωt + sin ω t (k1 + k2 )ω k1 und die sich davon unterscheidende Kraft auf die Kranbr¨ucke ist: k1 k2 v (ω t − sin ω t) F1 = −k1 x1 = (k1 + k2 )ω

(2.131)

(2.132)

Die Kr¨afte F1 und FS nehmen also w¨ahrend der ersten Etappe im Gegensatz zum einfachen Modell (Gl. (2.109)) trotz konstanter Hubgeschwindigkeit nicht linear mit der Zeit zu, weil sie von den Schwingungen der Kranbr¨ucke beeinflußt werden. Die erste Etappe endet zum Zeitpunkt t1 , der dann erreicht ist, wenn die Seilkraft so groß wie das Eigengewicht der Hublast ist, also die Bodenkraft Null wird. Aus dieser Bedingung entsteht die transzendente Gl. (2.133) f¨ur t1 , die man numerisch l¨osen kann: FS =

k1 k2 k22 v vt1 + sin ω t1 = mL g k1 + k2 k1 + k2 ω

(2.133)

Die zweite Etappe beginnt mit dem Abheben der Last vom Boden. Jetzt schwingen Last und Kranbr¨ucke wie ein Schwinger mit 2 Freiheitsgraden, vgl. Bild 2.26a. Im Unterschied zu Gl. (2.123) wird hier die Seilkraft auch durch die Vertikalbewegung der Kranbr¨ucke beeinflußt. F¨ur die Seilkraft gilt: FS = k2 (s(t) + x1 − x2 )

(2.134)

Aus den Gleichgewichtsbedingungen an den beiden Massen m1 x¨1 − F1 + FS = 0

und

mL x¨2 + mL g − FS = 0

(2.135)

folgen die beiden Bewegungsgleichungen des Zweimassenschwingers, die unter Beachtung der Gln. (2.134) und (2.124) f¨ur einen beliebigen Hubwegverlauf s(t) lauten: m1 x¨1

+ (k1 + k2 )x1 − k2 x2 = − k2 s(t) k2 x1 + k2 x2 = + k2 s(t) − mL g mL x¨2 −

(2.136) (2.137)

75

2.3 Induktive Modellbildung

W¨ahrend der zweiten Etappe hat das System zwei Eigenfrequenzen, die sich aus    k (m + m ) + k m k m m 1 4k 2 1 L 1 L 1 2 1 L 2 1∓ 1− (2.138) ω 1,2 = 2 m1 mL [k2 (m1 + m) + k1 mL ]2 ergeben. Die Anfangsbedingungen f¨ur die zweite Etappe entsprechen dabei den Bedingungen am Ende der ersten Etappe: t = t1 :

x1 = x1 (t1 ), x2 = 0, x˙1 = x˙1 (t1 ), x˙2 = 0

(2.139)

Bevor auf die L¨osungen in der zweiten Etappe eingegangen wird, soll das Turmkranmodell behandelt werden, das in Bild 2.27 dargestellt ist. xT

xT

F1

mT && xT

F1

y

mT

y

y

mT

FS s (t )

xT

FS

H

FS

s (t )

mL

mL ( g + && xL )

xL

L a)

b)

c)

Bild 2.27 Berechnungsmodell mit 2 Freiheitsgraden f¨ur Turmkrane a) erste Etappe, b) zweite Etappe, c) Kr¨aftebild

Beim Turmkran treten infolge der horizontalen Bewegung der Turmspitze (und des Auslegers) auch Massenkr¨afte in horizontaler Richtung auf, die einen qualitativ anderen Momentenverlauf im Turm hervorrufen als vertikale Massenkr¨afte. Es ist anschaulich auch erkl¨arlich, daß sich infolge der horizontalen Schwingungen der Turmspitze und des mitschwingenden Auslegers im unteren Abschnitt des Turms ein großes Biegemoment ergibt, das nicht nur von vertikalen Massenkr¨aften der Hublast stammt. In das Berechnungsmodell gem¨aß Bild 2.27 gehen dieselben Parameter f¨ur die Hubseilbewegung, die Seilsteifigkeit und die Hublast wie in Bild 2.26 ein, aber der Kran selbst wird durch andere Parameter erfaßt: n11 , n12 , n22 sind Einflußzahlen, welche die elastischen Eigenschaften des Tragwerks quantitativ beschreiben (n12 = n21 ). ist die auf die Turmspitze reduzierte Masse des Tragwerks und des mT Auslegers. Zwischen der in Bild 2.27 eingezeichneten Horizontalkraft F1 an der Turmspitze, der Seilkraft FS und den Verschiebungen bestehen folgende Beziehungen (f¨ur ein linear elastisches Tragwerk, das aus masselosen Balken besteht, vgl. Abschn. 2.3.5): xT = n11 F1 + n12 FS

(2.140)

y = n21 F1 + n22 FS

(2.141)

76

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Als Horizontalkraft wirkt die Massenkraft F1 = −mT x¨T

(2.142)

und die Seilkraft ist analog zu Gl. (2.134) von drei Koordinaten abh¨angig, da sich das Seil bei der Bewegung des Hubwerks (s), der Auslegerspitze (y) und dem Seilende am Lastangriffspunkt (xL ) dehnen kann: FS = kS (s(t) − y − xL )

(2.143)

W¨ahrend der ersten Etappe, solange die Last am Boden liegt, ist xL ≡ 0. Aus den Gln. (2.140) und (2.141) erh¨alt man xT − n12 FS y − n22 FS F1 = = (2.144) n11 n12 Damit und unter Benutzung von FS aus Gl. (2.143) ergibt sich eine Beziehung zwischen den Deformationswegen und der Seilbewegung.    1 (2.145) n12 xT + n11 n22 − n212 kS s(t) y= N Um die Schreibweise zu vereinfachen, wurde folgende Abk¨urzung eingef¨uhrt:   N = n11 + kS n11 n22 − n212 (2.146) Gl. (2.145) dr¨uckt aus, wie die Vertikalverschiebung der Auslegerspitze mit der Horizontalverschiebung der Turmspitze und der Seilbewegung am Hubwerk w¨ahrend der ersten Etappe zusammenh¨angt. Werden y aus Gl. (2.145), F1 aus Gl. (2.144) und FS aus Gl. (2.143) in Gl. (2.142) eingesetzt, ergibt sich f¨ur die erste Etappe folgende Bewegungsgleichung: 1 + kS n22 kS n12 xT = s(t) (2.147) mT x¨T + N N Die Eigenkreisfrequenz w¨ahrend der ersten Etappe ist also  1 + kS n22 ω = (2.148) NmT Die L¨osung mit den zur Gl. (2.127) analogen Anfangsbedingungen t=0:

xT = 0, x˙T = 0

(2.149)

lautet analog zu Gl. (2.129) f¨ur den Sonderfall s(t) = vt kS n12 v xT = (ω t − sin ω t) (2.150) 1 + kS n22 ω Die vertikale Bewegung der Auslegerspitze kann daraus mit Hilfe von Gl. (2.145) berechnet werden:   n2 kS n22 v ω t − 12 sin ω t (2.151) y= 1 + kS n22 ω Nn22 Wie sich die Seilkraft a¨ ndert, folgt nach dem Einsetzen von y in Gl. (2.143), wenn dort (f¨ur die erste Etappe) xL = 0 gesetzt wird, weil die Last liegenbleibt:   v kS kS n212 FS = ωt + (2.152) sin ω t 1 + kS n22 ω N

2.3 Induktive Modellbildung

77

Die erste Etappe ist beendet, wenn die Seilkraft so groß wie die am Boden liegende Last ist. Daraus folgt die mit Gl. (2.133) vergleichbare transzendente Gleichung   v kS kS n212 sin ω t1 = mL g ω t1 + (2.153) FS (t1 ) = 1 + kS n22 ω N aus der man den Zeitpunkt t1 (Beginn des Abhebens) berechnen kann. Die Bewegungsgleichungen f¨ur die zweite Etappe, die danach beginnt, ergeben sich aus den Gln. (2.140) bis (2.143) und der dynamischen Gleichgewichtsbedingung f¨ur die frei h¨angende Last: FS = mL (g + x¨L ) = kS (s(t) − y − xL )

(2.154)

Werden aus diesen Gln. y, F1 und FS eliminiert, kann man die folgenden beiden Differentialgleichungen f¨ur die zwei unbekannten Koordinaten finden: mT x¨T

1 + kS n22 kS n12 kS n12 xT + xL = s(t) N N N kS n12 kS n11 kS n11 xT + xL = s(t) − mL g mL x¨L + N N N +

(2.155) (2.156)

Das am Turmfuß auftretende Biegemoment kann aus den Massenkr¨aften und dem Eigengewicht der Last berechnet werden, vgl. Bild 2.27c): MA = mT x¨T H − mL (g + x¨L )L

(2.157)

An dieser Stelle wird die weitere gesonderte Behandlung des Turmkranmodells abgebrochen. Es zeigt sich n¨amlich, daß grunds¨atzlich die gleichen Formeln f¨ur die beiden in Bild 2.26 und Bild 2.27 dargestellten Schwingungssysteme mit zwei Freiheitsgraden entstehen, wie man z. B. am Vergleich von Gl. (2.134) mit Gl. (2.143), Gl. (2.126) mit Gl. (2.147) oder den Gln. (2.136) und (2.137) mit den Gln. (2.155) und Gl. (2.156) erkennt. Der L¨osungsweg zur Ermittlung der f¨ur den Turmkran interessierenden Kraftund Bewegungsgr¨oßen ist derselbe wie f¨ur den Br¨uckenkran. Die L¨osungen k¨onnen analytisch oder numerisch erfolgen. L¨ost man die Differentialgleichungen (2.136) und (2.137) unter Beachtung der Anfangsbedingungen (2.139), erh¨alt man die beiden Wegkoordinaten zu x1 = −

mL g + A1 cos ω 1t + B1 sin ω 1t + A2 cos ω 2t + B2 sin ω 2t k1

(2.158)

x2 = −

(k1 + k2 )mL g k2 + (A1 cos ω 1t + B1 sin ω 1t) k1 k2 k2 − mL ω 12

(2.159)

+

k2 (A2 cos ω 2t + B2 sin ω 2t) + vt k2 − mL ω 22

Daraus ergeben sich mit den Gln. (2.135) oder (2.124) und (2.134) die beiden Kr¨afte F1 = mL g − k1 (A1 cos ω 1t + B1 sin ω 1t + A2 cos ω 2t + B2 sin ω 2t)

(2.160)

78

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

FS = mL g −

k2 ω 12 (A1 cos ω 1t + B1 sin ω 1t) k2 − mL ω 12

−

k2 ω 22 (A2 cos ω 2t + B2 sin ω 2t) k2 − mL ω 22

(2.161)

Die Berechnung der Koeffizienten A1 , A2 , B1 und B2 aus den Anfangsbedingungen (2.139) ist zwar elementar, aber so umfangreich, daß sie hier unterbleiben soll. Aus den Formeln (2.160) und (2.161) l¨aßt sich schon erkennen, daß sich die dynamischen Kr¨afte in Hubseil und Kran voneinander unterscheiden. Vor der quantitativen Auswertung wird auf dimensionslose Gr¨oßen u¨ bergegangen, da auf diese Weise von den urspr¨unglich 6 Parametern (k1 , k2 , m1 , m2 , v, g) und der Zeit t nur noch drei dimensionslose Kenngr¨oßen π 1 bis π 3 und der dimensionslose Zeitmaßstab τ u¨ brigbleiben. Betragen die sechs Parameterwerte m1 = 18 500 kg, v = 12 m/min mL = 16 000 kg, k1 = 1,6 · 107 N/m, k2 = 107 N/m, g = 9,81 m/s2

(2.162)

dann kann man dimensionslose Kenngr¨oßen π 1 bis π 3 gem¨aß Gl. (2.163) definieren, die hier folgende Zahlenwerte haben: π1 =

k1 m1 v = 1,600, π 2 = = 1,156, π 3 =  = 0,509 7 mL k2 mL g k2

2

2

F1 / mL g FS / mL g

1,5

1

0,5 a)

0

0,5 0

5

10

15

20

25

τ

30

0

35 c)

2

2

1,5

1,5

1

1

0,5

0,5

b)

0

F1 / mL g FS / mL g

1,5

1

(2.163)

0

5

10

15

20

25

τ

30

35

d)

0

0

5

10

15

20

25

τ

30

35

0

5

10

15

20

25

τ

30

35

Bild 2.28 Verl¨aufe von Seilkraft und Kraft auf die Kranbr¨ucke beim Anheben der Last bei verschiedenen Kenngr¨oßen (Modell gem¨aß Bild 2.26) a) π 1 = 1,60, π 2 = 1,156, π 3 = 0,509 7, b) π 1 = 2,08, π 2 = 1,156, π 3 = 0,509 7, c) π 1 = 1,60, π 2 = 1,503, π 3 = 0,509 7, d) π 1 = 1,60, π 2 = 1,156, π 3 = 0,662 6

79

2.3 Induktive Modellbildung

Die Kenngr¨oßen π 1 und π 2 liegen bei den meisten Br¨uckenkranen im Bereich von 0,5 bis 2 [67]. Rechenergebnisse der dimensionslosen Kraftverl¨aufe sind in Bild 2.28 dargestellt. Sie sind mit dem Kraftverlauf in Bild 2.25 vergleichbar. Die Kr¨afte, die im Seil und auf den Kran wirken, unterscheiden sich voneinander, und ihre Spitzenwerte sind gr¨oßer als bei der Berechnung mit dem Minimalmodell von Bild 2.24. Um die Parametereinfl¨usse zu zeigen, wurde jeweils eine der Kenngr¨oßen in Bild 2.28b, c und d gegen¨uber denen in Bild 2.28a um 30 % vergr¨oßert. Die Sensitivit¨atsanalyse zeigt, wie sich die Belastungsverl¨aufe bei Parameter¨anderungen unterscheiden. In allen Varianten steigt die Seilkraft anfangs linear an, und infolge der Tr¨agheit der Masse m1 nimmt die Kranbelastung zu Beginn etwa quadratisch zu. Der Grundschwingung ist die zweite Eigenschwingung u¨ berlagert, aber infolge des nicht ganzzahligen Verh¨altnisses der beiden Eigenfrequenzen stellt sich kein periodischer Belastungsverlauf ein. Trotz des ver¨anderten Steifigkeitsverh¨altnisses (relativ gr¨oßere Kransteifigkeit in Bild 2.28b) und des anderen Massenverh¨altnisses (relativ gr¨oßere Kranmasse in Bild 2.28c) bleiben die Spitzenwerte der Kr¨afte fast dieselben wie in Bild 2.28a. Mit gr¨oßerer Hubgeschwindigkeit werden intensivere Schwingungen angeregt, d. h., die Spitzenwerte der Seilkraft und der Kranbelastung nehmen zu, vgl. Bild 2.28d. Dieses System hat w¨ahrend der zweiten Etappe gem¨aß Gl. (2.138) zwei Eigenfrequenzen, die z. B. f¨ur den Parametersatz von Bild 2.28a f1 = 2,83 Hz

f2 = 6,59 Hz

und

(2.164)

betragen. Der Einfluß der zweiten Schwingform zeigt sich an der Schwingung mit der zweiten Eigenfrequenz, die derjenigen mit der ersten Eigenfrequenz u¨ berlagert ist. 2.3.4.3 Heben und Senken (Modell mit n = 4) Als weitere Modellerweiterung werden das Antriebsmoment, eine elastische Kupplung, das Getriebe und die Seiltrommel eingef¨uhrt, vgl. Bild 2.28. Seiltrommel JT

Getriebe Motor Kupplung u

kM

JM

Kranbrücke mL

Last

ϕM

r

ϕT x1

& M) M(ϕ

k2

m1

Seiltrommel

k1

k1

x2 Bild 2.29 Berechnungsmodell mit vier Freiheitsgraden f¨ur ein Hubwerk

k2 mL x2

80

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Die Bewegungsgleichungen f¨ur das Gesamtsystem folgen aus den Gln. (2.136) und (2.137), bei denen an Stelle der gegebenen Seilbewegung s(t) nun der Seilweg ¨ rϕ T /2 beim Ablaufen von der Seiltrommel einzusetzen ist. Dabei ist das Ubersetzungsverh¨altnis der Umlenkrolle gleich zwei, vgl. den Nenner bei rϕ T . Es gilt:  rϕ T  =0 (2.165) +k1 x1 +k2 x1 − x2 + m1 x¨1 2  rϕ T  = −mL g mL x¨2 −k2 x1 − x2 + (2.166) 2 Dazu kommen noch zwei Gleichungen, welche bei schwebender Last das Momentengleichgewicht an der Seiltrommel und am Motor ausdr¨ucken:  rϕ T  −ukM (ϕ M − uϕ T ) = 0 (2.167) JT ϕ¨ T + k2 r x1 − x2 + 2 +kM (ϕ M − uϕ T ) = Man (t) (2.168) JM ϕ¨ M Diese 4 gekoppelten Differentialgleichungen definieren nunmehr ein Berechnungsmodell, das gegen¨uber den vorhergehenden erweitert ist, vgl. die Gln. (2.136) und (2.137) bzw. Gl. (2.112). Die Bewegungsabl¨aufe der Hub- und Senkbewegungen werden hier nicht durch den Verlauf s(t), sondern durch das Motormoment bestimmt, f¨ur das folgender Ansatz benutzt wird:   π t − exp − (2.169) Man (t) = MK 2 tK Darin treten als neue Parameter das Moment MK und die Zeitkonstante tK auf. Die Seilkraft folgt aus der Gleichung  rϕ T  (2.170) FS = k2 x1 − x2 + 2 Die dynamische Kraft auf die Kranbr¨ucke kann aus F1 = −k1 x1 = mL (g + x¨2 ) + m1 x¨1

(2.171)

berechnet werden. Das auf die Antriebswelle zwischen dem Antriebsmotor und dem Hubwerksgetriebe wirkende Torsionsmoment, das sich vom Motormoment unterscheidet, ist T = kM (ϕ M − uϕ T )

(2.172)

Zu den geometrischen Parametern, den Parametern der Massen, der Steifigkeiten und der Motorkennlinie kommt als ein weiterer Parameter noch die Anhubgeschwindigkeit v hinzu. Damit wird das vorliegende Problem durch K = 11 Parameter gekennzeichnet, die im Parametervektor pT = (k1 , k2 , m1 , mL , u, g, JT , JM , kM , MK , tK )

(2.173)

erfaßt werden. Darin sind die beiden Parameter des Antriebsmoments aus Gl. (2.169) enthalten. Es w¨are ohne weiteres m¨oglich, dieses Modell mit vier Freiheitsgraden mit weiteren Parametern zu vervollst¨andigen, z. B. mit D¨ampfungsparametern f¨ur das Seil, die Kupplung und die Kranbr¨ucke. Es k¨onnten Spiel und Nichtlinearit¨aten an allen elastischen Elementen (z. B. an der Kupplung oder am Seil), der Wirkungsgrad

2.3 Induktive Modellbildung

81

des Hubwerks u. a. Gr¨oßen einbezogen werden. Man k¨ame leicht auf die Gr¨oßenordnung von K = 20 . . . 30 im Parametervektor, vgl. Gl. (2.20). An Stelle der urspr¨unglichen Koordinaten x2 x1

ϕT ϕM

f¨ur den Weg der Last, f¨ur den Schwingweg der Kranbr¨uckenmitte, f¨ur den Drehwinkel der Seiltrommel, f¨ur den Drehwinkel des Hubmotors

wird ein Koordinatenvektor q mit dimensionslosen Koordinaten eingef¨uhrt, die einheitlich mit qk bezeichnet werden (k = 1, . . . ,4). Die Komponenten des Koordinatenvektors werden folgendermaßen definiert: q1 =

k2 x1 , mL g

q2 =

k2 x2 , mL g

q3 =

k2 rϕ T , 2mL g

q4 =

k2 rϕ M 2umL g

(2.174)

¨ Die Ber¨ucksichtigung des Ubersetzungsverh¨ altnisses des Hubwerksgetriebes (es hat meist eine Gr¨oße im Bereich u = 50 . . . 100) und des Trommelradius in Gl. (2.174) sorgen daf¨ur, daß q3 und q4 in derselben Gr¨oßenordnung bleiben. Die Ableitung nach der dimensionslosen Zeit τ = ω 0t wird durch einen Strich gekennzeichnet (ω 0 =
k2 /mL = 25 s−1 ). Die Bewegungsgleichungen (2.165) bis (2.168) lauten mit den dimensionslosen Gr¨oßen in Matrizenschreibweise M · q  + K · q = f (τ )

(2.175)

Die Matrizenelemente findet man aus einem Koeffizientenvergleich aus den Gln. (2.165) bis (2.168), wenn man diese durch die Bezugsgr¨oßen dividiert, vgl. auch die Kenngr¨oßen in Gl. (2.178): ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 + π 1 −1 π2 0 0 0 1 0 ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ −1 1 −1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ (2.176) M=⎜ K=⎜ ⎟, ⎟ ⎝ 0 0 π4 0 ⎠ ⎝ 1 −1 1 + π 6 −π 6 ⎠ 0 0 0 π5 0 0 −π 6 π6 Der Erregerkraftvektor folgt aus den rechten Seiten der Gln. (2.165) bis (2.168): ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ (2.177) f (τ ) = ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 π 7 (1,57 − exp(−π 8 τ )) Zu den aus Gl. (2.163) bekannten drei Kenngr¨oßen kommen f¨unf neue hinzu:  mL 2JT 2JM u2 2kM u2 MK u , π8 = π4 = , π5 = , π6 = , π7 = (2.178) mL r2 mL r2 k2 r2 mL gr k2tK Mit den zus¨atzlichen Parameterwerten JT = 6 kg · m2 , JM = 0,8 kg · m2 , r = 0,25 m, u = 75, kM = 30 N · m, MK = 366 N · m, tK = 0,2 s

(2.179)

82

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

erh¨alt man f¨ur die dimensionslosen Kenngr¨oßen folgende Zahlenwerte: π 4 = 0,012,

π 5 = 9,0,

π 6 = 0,54,

π 7 = 0,7,

π 8 = 0,2

(2.180)

Dieses Schwingungssystem hat in der ersten Etappe (wegen x2 = 0) drei und in der zweiten Etappe als ungefesseltes System vier Freiheitsgrade. Von den vier Eigenfrequenzen w¨ahrend der zweiten Etappe, die sich aus dem aus Gl. (2.175) folgenden Eigenwertproblem ergeben, ist die erste gleich null, weil (im Gegensatz zum Modell mit zwei Freiheitsgraden) eine freie Starrk¨orperbewegung des gesamten Antriebssystems m¨oglich ist: f1 = 0 Hz,

f2 = 2,29 Hz,

f3 = 5,30 Hz,

f4 = 45,3 Hz

(2.181)

f2 und f3 unterscheiden sich nur wenig von denjenigen Werten in Gl. (2.164). Die vierte Eigenfrequenz ist einer Eigenschwingform zuzuordnen, die vor allem die Antriebswelle im Hubwerk deformiert. Folgende Anfangsbedingungen f¨ur den Anhubvorgang dr¨ucken aus, daß sich anfangs nur Hubmotor und Seiltrommel mit der Anhubgeschwindigkeit v bewegen und die anderen Baugruppen sich in der statischen Ruhelage befinden: τ = 0:

q1 = q2 = q3 = q4 = 0, q1 = q2 = 0, q3 = q4 = π 3

(2.182)

2 FS / mL g F1 / mL g

1,5 1 0,5 a)

0

0

5

10

15

20

25

30

τ

35

2 q′2 q′4

1,5 1 0,5 b)

0

0

5

10

15

20

25

30

τ

35

Bild 2.30 Ergebnisse der Berechnung f¨ur das Modell von Bild 2.29; a) Seilkraft, Kraft auf die Kranbr¨ucke, b) Moment uT /(mL gr) und bezogene Hubgeschwindigkeiten

2.3 Induktive Modellbildung

83

Es wird dann von drei auf vier Differentialgleichungen umgeschaltet“, wenn ” analog zu Gl. (2.109) oder Gl. (2.133) die Seilkraft gem¨aß Gl. (2.170) so groß wie ¨ die Hublast ist. Zu diesem Zeitpunkt m¨ussen die Ubergangsbedingungen f¨ur alle Koordinaten und deren Zeitableitungen erf¨ullt werden. Ergebnisse der numerischen Integration der Differentialgleichung (2.175) unter den Anfangsbedingungen (2.182) sind in Bild 2.30 dargestellt. Zur Interpretation ist ¨ zu sagen, daß sich die Verl¨aufe im Vergleich zu Bild 2.28 vor allem durch die Uberlagerung der hochfrequenten Schwingung (mit f4 ) unterscheiden, die durch Hinzunahme der Hubwerksparameter zustandekommt. Die Anwendung der Mittelungsmethode w¨urde zu einem gegl¨atteten Verlauf f¨uhren, vgl. Abschn. 2.4.6. Die Kranbr¨ucke bewegt sich infolge ihrer großen Masse nur niederfrequent. Der Verlauf im Großen“ ” a¨ ndert sich kaum, d. h., die Spitzenwerte der dynamischen Belastung bleiben beim komplizierteren Modell praktisch dieselben wie beim einfachen. F¨ur die Berechnung der Kr¨afte im Seil und im Kran h¨atte also das Modell mit zwei Freiheitsgraden ausgereicht, d. h., eine Modellzerlegung w¨are berechtigt. F¨ur die Dimensionierung der Hubwerkswelle sind die Vorg¨ange im Bereich der ersten drei Eigenfrequenzen als quasistatisch zu betrachten, w¨ahrend der Bereich der vierten Eigenfrequenz (um 45 Hz) dynamisch relevant ist. In diesem Frequenzbereich liegen weitere Eigenfrequenzen des Zahnradgetriebes. Diese im bisherigen ¨ Modell nur durch das Ubersetzungsverh¨ altnis u charakterisierte Baugruppe w¨urde bei n¨aherer Betrachtung (Modellierung des Zahnradgetriebes als Mehrmassensystem mit Zahnsteifigkeiten, Lager- und Wellensteifigkeiten, ...) weitere Eigenfrequenzen im h¨oheren Frequenzbereich zeigen, die deshalb von Interesse sind, weil sie in die Gr¨oßenordnung der Zahneingriffsfrequenzen (Resonanzgefahr, vgl. Abschn. 3.4.1) und der Wechselwirkung mit der dynamischen Motorkennlinie kommen k¨onnen, vgl. Abschn. 3.4.3 [359], [361]. 2.3.4.4 Antriebsmoment bei Wippkranen Das Auslegersystem des Wippkrans besteht aus einem Viergelenkgetriebe, das so bemessen ist, daß sich der Lastaufh¨angepunkt ann¨ahernd auf einer horizontalen Geraden bewegt. Der Wippwerksmotor treibt u¨ ber ein Zahnradgetriebe und eine Zahnstange den Drucklenker an, der sich um einen festen Drehpunkt dreht. Hier interessiert das dynamische Antriebsmoment, das beim Anfahr- und Bremsvorgang des Wippens entsteht und mit dem statischen Antriebsmoment, das aus der Belastung infolge Eigengewicht, Last und Wind resultiert, u¨ berlagert werden muß. Das dynamische Antriebsmoment wird beeinflußt durch • Pendelschwingungen der Last, • Biegeschwingungen des Drucklenkers mit dem Auslegersystem und • Torsionsschwingungen im Zahnradgetriebe. Es wird durch mehr als K = 50 Einflußgr¨oßen pK bestimmt, denn der Parametervektor enth¨alt folgende Teilkomponenten: • 2 Parameter des Lastpendels (Masse, L¨ange) • 6 kinematische Abmessungen des Auslegersystems (Gestellpunkte, Lenkerl¨angen)

84

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

• ca. 20 Masseparameter, d. h. von den massereichen K¨orpern (Zahnstange, Drucklenker, Ausleger, Zuglenker, Gegenmassehebel) jeweils drei bis vier Masseparameter (Masse, Schwerpunktkoordinaten, Tr¨agheitsmomente) • > 6 Federparameter des Auslegersystems (z. B. Biegesteifigkeiten von Drucklenker, Kranportal und Ausleger) • > 10 Parameter des Zahnradgetriebes als Torsionsschwinger(Wellendurchmesser, Tr¨agheitsmomente, Z¨ahnezahlen, Spiel in der Verzahnung) • > 6 Parameter von Motor und Bremse (Kennlinien, Umschaltzeiten). Das Antriebsmoment k¨onnte nach einer Modellierung als Mehrk¨orpersystem (MKS) mit handels¨ublicher Software als Funktion all dieser Parameter berechnet werden, vgl. Tabelle 2.1. Die numerische Integration des dabei entstehenden Systems von nichtlinearen Differentialgleichungen w¨urde die Bewegungen und die dynamischen Beanspruchungen in allen interessierenden Bauteilen liefern. Einen Einblick in den Einfluß der beteiligten 50 Parameter auf das dynamische Antriebsmoment k¨onnte man durch wiederholte Anwendung so eines Rechenprogramms gewinnen. Man kann das dynamische Antriebsmoment aber einfacher beurteilen, wenn man eine Zerlegung in Teilsysteme vornimmt, die jeweils nur wenige Parameter enthalten. So eine Zerlegung, wie sie Bild 2.31 darstellt, kann sowohl zur Gewinnung analytischer Formeln, als auch bei der Modellierung als Mehrk¨orpersystem (MKS) empfohlen werden. Es wird die Tatsache ausgenutzt, daß die Eigenfrequenzen der drei dargestellten Teilsysteme sich jeweils etwa um den Faktor 10 unterscheiden. Aus diesem Grunde verlaufen die Pendelschwingungen der Last nahezu unabh¨angig von den Schwingungen des Auslegersystems, und Getriebeschwingungen beeinflussen nicht die des Lastpendels und des Auslegersystems. Umgekehrt gibt es jedoch eine R¨uckwirkung der jeweils niederfrequenten Schwinger durch eine quasistatische“ Anre” gung auf die h¨oherfrequenten, z. B. werden beim Vorzeichenwechsel der Zahnstangenkraft infolge des Lastpendelns Getriebeschwingungen angestoßen. Im Modell gem¨aß Bild 2.31a werden die Masse der Last, die Pendell¨ange und das Auslegersystem als Starrk¨orpersystem ber¨ucksichtigt. W¨ahrend nur 6 kinematische Abmessungen die Lagefunktion x = x(ϕ ) beeinflussen, wird das reduzierte Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) des Auslegersystems sowohl von diesen als auch von den Masseparametern des Auslegersystems und des Gegenmassehebels bestimmt [66]. Diese vielen Parameter lassen sich auf nur zwei nichtlineare Funktionen kondensie” ren“. Das erste Teilsystem erfaßt die Wechselwirkung zwischen der Pendelschwingung der Last und dem Antriebsmoment bei großen Bewegungen des Auslegersystems und l¨aßt sich durch folgende Bewegungsgleichungen beschreiben: 1 = uMan [J(ϕ ) + mL x 2 ]ϕ¨ + [J  (ϕ ) + 2mL x  x  ]ϕ˙ 2 +mL x  l q¨1 2 x  ϕ¨ +x  ϕ˙ 2 +l q¨1 +gq1 = 0

(2.183) (2.184)

¨ altnis zwischen dem Motor- und DruckDabei ist u = ϕ˙ M /ϕ˙ das Ubersetzungsverh¨ lenkerdrehwinkel und der Strich bedeutet die Ableitung nach ϕ . Beim zweiten Teilsystem in Bild 2.31b wird nur das nachgiebigste Bauteil (der biegsame Drucklenker) als Feder ber¨ucksichtigt. Das reduzierte Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) interessiert dann nur in der Stellung ϕ ∗ , in welcher der Anlauf beginnt, denn diese Schwingungen sind schnell gegen¨uber der langsamen Ausladungs¨anderung.

2.3 Induktive Modellbildung

Zuglenker

Ausleger

Gegenmasse

a)

Pendelschwingungen der Last f1 < 1 Hz

ϕ

Drucklenker

l

85

M, ϕM JM

q1

x

mL q2 m2 EI l2

m1

ϕ l1

b)

m1 ϕ+q3 c)

JM

kT

JM

M, ϕM

M, ϕM

Schwingungen des Auslegersystems 1 Hz < f < 10 Hz

Schwingungen des Getriebes 10 Hz < f < 100 Hz

l1

Bild 2.31 Modellzerlegung f¨ur das Berechnungsmodell eines Wippkrans a) Lastpendel, b) Auslegersystem, c) Getriebeschwingung

Deshalb darf man J(ϕ ∗ ) auf die beiden Einzelmassen m1 und m2 reduzieren, vgl. auch Gl. (2.187). Man kann mit diesem Minimalmodell die Schwingungen relativ zur mittleren kinematischen Prim¨arbewegung berechnen und erh¨alt damit sowohl eine N¨aherung f¨ur das dynamische Motormoment infolge der Schwingungen des Auslegersystems als auch eine Absch¨atzung f¨ur das dynamische Drucklenkermoment. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen a¨ hneln denen in Abschn. 4.9 und sind in Aufgabe 23 in [76] ausf¨uhrlich angegeben. Das Modell in Bild 2.31c soll das Berechnungsmodell eines schwingungsf¨ahigen Zahnradgetriebes andeuten. Die tr¨age Masse des gesamten Auslegersystems wird dabei durch die Einzelmasse m1 repr¨asentiert, und das Minimalmodell f¨ur das Zahnradgetriebe kommt bei der Berechnung mit der reduzierten Torsionsfederkonstante kT aus. Die urspr¨unglich 16 Parameter reduzieren sich also auf drei. F¨ur die Berechnung der Getriebeschwingungen ist evtl. auch die dynamische Motorkennlinie und das Getriebespiel (beim Vorzeichenwechsel der Zahnstangenkraft infolge des Lastpendelns) von Bedeutung, also Parameter, die auf die Teilsysteme a und b keinen Einfluß haben.

86

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

2.3.5 Diskrete Schwinger statt Kontinua (Balken- und Stabmodelle) Als Berechnungsmodelle f¨ur Biegeschwinger wurden zu Beginn des 20. Jahrhunderts bei Ingenieurberechnungen meist diskrete Modelle benutzt. Das reale Objekt (z. B. eine abgesetzte Welle mit Zahnr¨adern) wurde in masselose Balkenabschnitte und Einzelmassen oder Scheiben aufgeteilt und dann als Schwinger mit wenigen Freiheitsgraden behandelt. In den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts kamen die Ver¨ fahren der Ubertragungsmatrizen auf, die es erlaubten, sowohl mit den Kontinua als auch mit diskreten Mehrmassenmodellen zu rechnen. Seit den 70er Jahren haben sich die FE-Modelle f¨ur die Berechnung der Biegeschwingungen durchgesetzt, d. h., sie sind in vielen Programmen implementiert. Einfache Modelle mit wenigen Freiheitsgraden sind f¨ur Absch¨atzungen oder ¨ Uberschlagsrechnungen weiterhin von Interesse, vgl. das Beispiel der Schleifspindel in Abschn. 2.4.2, des Auslegerarms in Abschn. 2.4.5 oder des Regalbedienger¨ats in Abschn. 4.8. F¨ur die Modellierung von Antrieben in Verbindung mit Reglern werden oft einfache diskrete Berechnungsmodelle (Minimalmodelle) gesucht. Man kann kontinuierliche Systeme durch diskrete Systeme mit wenigen Freiheitsgraden ersetzen, wenn man den Erregerfrequenzbereich ber¨ucksichtigt. Die Anzahl der Freiheitsgrade h¨angt von der jeweiligen Aufgabenstellung ab, insbesondere vom Erregerfrequenzbereich und der Anlaufzeit, vgl. Abschn. 2.1.2.2. W¨ahrend die in Abschn. 2.4.4 behandelten Kontinuum-Modelle im gesamten Frequenzbereich brauchbar sind, gelten die diskreten Modelle nur im unteren Frequenzbereich. Entsprechend den in Abschn. 2.1.2 dargelegten Grunds¨atzen zur Einteilung der Modelltypen muß ein Berechnungsmodell, das nur im tiefsten Erregerfrequenzbereich angewendet werden soll, außer den Parametern des Starrk¨orpersystems nur die tiefen Eigenfrequenzen und die niederen Eigenformen gut approximieren, vgl. Bild 2.4. Das einfachste Modell, ein Schwinger mit einem Freiheitsgrad, ist im Frequenzbereich unterhalb der ersten Eigenfrequenz als Minimalmodell dann geeignet, wenn die Grundfrequenz und die Grundschwingungsform eine N¨aherung f¨ur das Kontinuum darstellen. F¨ur einen h¨oheren Frequenzbereich, der zwischen die erste und zweite Eigenfrequenz reicht, ben¨otigt man ein Modell, das außer der ersten auch die zweite Eigenfrequenz und -form erfaßt. Analog kann man zu Modellen u¨ bergehen, die drei oder mehr Eigenfrequenzen approximieren. Beispiele f¨ur Balkenmodelle, die Biegeschwingungen im niederen Frequenzbereich modellieren, sind in Bild 2.32 und Tabelle 2.9 und Tabelle 2.10 angegeben. Zeitlich ver¨anderliche Erregerkr¨afte k¨onnen an den Einzelmassen angreifen, w¨ahrend kinematische Erregungen an den Lagerstellen eingeleitet werden k¨onnen, z. B. eine Vertikalbewegung an jedem gelenkigen Lager oder eine Drehbewegung an der Einspannstelle. Bei der Diskretisierung werden an den Stellen xk einzelne Punktmassen mk angeordnet. Es bestehen folgende drei Bedingungen f¨ur die Berechnung der Parameter des diskreten Systems (xk , mk ) aus denen des Kontinuums [245]: 1. Erhaltung der kinetischen Energie, also Erhalt von Masse:

m=


l 0


A(x) dx = ∑ mk k

(2.185)

87

2.3 Induktive Modellbildung

Statisches Moment: S =


l


A(x)x dx = ∑ mk xk

(2.186)


A(x)x2 dx = ∑ mk xk2

(2.187)

k

0

Tr¨agheitsmoment:

J=


l

k

0

• Erhalt der potentiellen Energie, also gleiche Biegesteifigkeit EI und damit gleiche Deformation an den Stellen der Massenpunkte. Diese Bedingung wird bei den hier beschriebenen Diskretisierungsmethoden erf¨ullt. ¨ • Erhaltung der modalen Gr¨oßen, also die Ubereinstimmung von Eigenfrequenzen und Eigenformen. F¨ur die i-te Eigenfrequenz folgt aus dem Rayleigh-Quotient:
l

ω i2 =

EI(x)wi2 (x) dx

0

l 0

(2.188)


A(x)w2i (x) dx

Durchbiegung an diskreten Stellen der i-ten Eigenschwingform: wi (xk ) = wki

k = 1, 2, . . .

(2.189)

Die Ordnung der N¨aherungen kann man nach der Anzahl der ber¨ucksichtigten Eigenfrequenzen und Eigenformen einteilen (i = 1, 2, . . . , I). Diskrete Modelle, die aus masselosen Balkenabschnitten und punktf¨ormigen Einzelmassen bestehen, k¨onnen auf verschiedene Weise aus dem Kontinuum gewonnen werden. Ein systematischer Weg besteht darin, daß man den Balken in endlich viele Abschnitte einteilt und jede Abschnittmasse auf die beiden Enden jedes Abschnittes so aufteilt, daß der Schwerpunkt des Abschnittes erhalten bleibt. Die Anzahl der Massen entscheidet u¨ ber die Anzahl der berechenbaren Eigenfrequenzen, vgl. die in Bild 2.32 gezeigten Modelle.

A(x), EI(x)

m = Al x

mk

a)

xk

m 8

EI(x)

b)

Bild 2.32 Diskrete Modellbildung bei Balken a) beliebiger Verlauf A(x), I(x), b) konstanter Querschnitt

m 4 l 4

m 4

l 4

m 8

m 4

l 4

l 4

88

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Die folgenden Ausf¨uhrungen beziehen sich auf einen Balken der L¨ange l mit konstanter Biegesteifigkeit EI und gleichm¨aßiger Masseverteilung
A = m/l. W¨ahlt man gleichgroße Abschnitte, so erh¨alt man das in Bild 2.32b dargestellte Modell. Die n Eigenfrequenzen eines beiderseits gelenkig gelagerten Balkens kann man aus Gl. (2.190) berechnen [99]: 2  iπ 12n4 EI cos − 1 n   ; ω i2 = i = 1, 2 . . . , n (2.190) iπ 3 ml 2 + cos n F¨ur den nicht diskretisierten Balken (Kontinuum) kann man in diesem Falle auch eine geschlossene Formel angeben: i4 π 4 EI ω i2 = ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.191) ml 3 Bei großem n und kleinem i ergeben Gl. (2.190) und Gl. (2.191) angen¨ahert dieselben ω i . Die Eigenfrequenzen, die man mit dem diskreten Modell berechnet, sind bei gr¨oßerem i/n etwas tiefer als die des Kontinuums. Bei großen Ordnungen i wird der Unterschied immer gr¨oßer, d. h. die Diskretisierung ist nur f¨ur den unteren Bereich des Spektrums brauchbar. Die hier am Beispiel des beiderseits gelenkig gelagerten Balkens erl¨auterte Vorgehensweise zur Bildung von diskreten Modellen kann sinngem¨aß auf andere Randbedingungen und auf ver¨anderliche Querschnitte (Bild 2.32a) u¨ bertragen werden. Als Erfahrungsregel kann man sagen, daß etwa dreimal soviel Punktmassen (oder Abschnitte) gew¨ahlt werden m¨ussen, wie die Anzahl der interessierenden Eigenfrequenzen, wenn man eine Genauigkeit im einstelligen Prozentbereich erreichen will. Das Minimalmodell eines Balkens besteht aus der Mindestzahl von Massen, die zur Berechnung der interessierenden Eigenfrequenzen ben¨otigt wird. Solche Minimalmodelle f¨ur Balken mit konstantem Querschnitt sind in Tabelle 2.9 und Tabelle 2.10 angegeben. Sie erf¨ullen (außer Fall 3) die Bedingungen (2.185) und (2.186), aber nicht immer die Gln. (2.187) bis (2.188). Es ist in Tabelle 2.9 gekennzeichnet, welche der obengenannten Bedingungen von den betreffenden Modellen erf¨ullt werden ( +“ erf¨ullt, −“ nicht erf¨ullt). ” ” Exemplarisch soll gezeigt werden, wie die f¨ur Fall 4 in Tabelle 2.9 angegebenen Parameterwerte gewonnen wurden. Es folgen aus den Bedingungen (2.185) bis (2.188) folgende Forderungen an die drei unbekannten Massen und zwei unbekannten Abst¨ande: Masse: Statisches Moment: Tr¨agheitsmoment: erste Eigenfrequenz: zweite Eigenfrequenz:

m0 + m1 + m2 = m =
Al ml m1 x1 + m2 x2 = 2 2 ml m1 x12 + m2 x22 = 3
ml 3 1 A + A2 − B = 0,080 9 = 2 EI ω1
ml 3 1 A − A2 − B = 0,002 06 = 2 EI ω2

(2.192) (2.193) (2.194) (2.195) (2.196)

89

2.3 Induktive Modellbildung

Die Formeln auf den linken Seiten entsprechen dem Dreimassensystem, die Werte auf den rechten Seiten denen des Kontinuums, vgl. (2.295) in Abschn. 2.4.4.2. Dabei folgen die Ausdr¨ucke A und B aus den Einflußzahlen, vgl. [150]: A=

m1 x13 + m2 x23 , 6EI

B=

m1 m2 x13 (4x23 − 9x1 x22 + 6x12 x2 − x13 ) (6EI)2

(2.197)

Tabelle 2.9 Diskrete Balkenmodelle als Einzelmassen und Biegefedern (Masse m =
Al, Biegesteifigkeit EI = konst.)

Fall Nr.

m0 m

Modell

1

l

m1 m

m2 m

x1 l

3

4

m0

m1

Bedingung J ω1 ω2 +

0,250 0,750

0,667

0,282 0,718

0,697

+

0,371 0,629

0,728

+ +

x1

2

x2 l

x2

x1 m0

m1

0,116 0,499 0,386 0,355 0,838 + +

+

0,212 0,684 0,104 0,580 1,000 + +

+

m2

x1

5 m0

m1

m2

m0

m1

m0

6 7 8

x1 m0

m1 x1

m1 x1

m0

0,254 0,493

0,500

+

0,090 0,410

0,284

+ +

0,175 0,325

0,340

+

+

Die L¨osung des Gleichungssystems (2.192) bis (2.196) f¨ur die f¨unf Unbekannten ergibt die in Tabelle 2.9 (Fall 4) angegebenen Parameterwerte. Einen wesentlichen Einfluß stellen die Randbedingungen dar. Kein Lager ist ideal starr, keine Einspannung kann eine Verdrehung v¨ollig verhindern. Die an den Lagerstellen eines Berechnungsmodells in Wirklichkeit vorhandenen Bauteile sind auch deformierbar. Die Einspannung in einem elastischen Halbraum w¨urde einen endlichen Biegewinkel an der Einspannstelle ergeben. Vielfach werden diese Kontaktstellen“ bei praktischen Berechnungen zu hart ” modelliert“, weil man an die aus der Grundlagen-Mechanik bekannten starren La” gerbedingungen gewohnt ist. Der Einfluß der Lagersteifigkeiten (und D¨ampfungen) sollte m¨oglichst abgesch¨atzt werden, um entscheiden zu k¨onnen, ob er vernachl¨assigbar ist oder nicht. F¨ur die beiden oben behandelten Lagerbedingungen des Balkens wurde der Einfluß der Lagerfederkonstanten in Bild 2.33 dargestellt.

90

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

10 9 λ21

π1 =10

8 π1 =1

7 6 π1 =

5

k1 = 0,1 k2

4 a)

l

3

EI 2

k1

k2

A

1 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

3

b)

Kennwert π 2 =

k2l EI

Bild 2.33 Zum Einfluß der Lagersteifigkeiten a) Balken
mit zwei elastischen Lagern, b) Abh¨angigkeit der ersten Eigenkreisfrequenz (ω 1 = λ 12 EI/(
Al 4 )) von den relativen Lagersteifigkeiten

Man sieht, wie stark die erste Eigenfrequenz von den Lagersteifigkeiten abh¨angt. Es reicht manchmal aus, einen Vergleich zwischen der Biegesteifigkeit EI und der Federkonstanten vorzunehmen, indem man die dimensionslose Kenngr¨oße π 2 = k2 l 3 /(EI) berechnet. F¨ur den beiderseits gest¨utzten Balken wurde in [76] folgende N¨aherungsformel zur Bewertung der Lagersteifigkeiten hergeleitet: EI
Al 4   ω 12 > 4 π 1 1+ 1+ 3π 2 π1 π4

(2.198)

Die Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von Lagersteifigkeiten und Endmassen zeigt Bild 2.33 und Bild 2.34, vgl. auch [197]. Ein Balken kann als Alternative dazu auch dadurch diskretisiert werden, daß an Stelle der Biegesteifigkeit (wie in Tabelle 2.9) die Masseverteilung u¨ ber der L¨ange unver¨andert bleibt. An die Stelle diskreter Speicher der kinetischen Energie und masseloser Biegefedern treten dann diskrete Speicher der potentiellen Energie (Torsionsfedern) und unelastische Starrk¨orper. Der Kontinuum-Balken wird also durch Torsionsfedern und Starrk¨orper diskretisiert. W¨ahrend bei der Aufteilung in Einzelmassen die Biegesteifigkeit (und damit die potentielle Energie) unver¨andert bleibt

2.3 Induktive Modellbildung

l

m

91

l

m

A, EI

A, EI

k

k

λ5

λi

4π λ4

11,0

3π λ3

7,85

2π 4,73

λ2

π

1

0,5

λ1

0 100

500

m Al

1000

1500 kl EI

2000

3

Bild 2.34 Abh¨angigkeit der ersten f¨unf Eigenwerte λ i und Eigenformen von den
Randbedingungen am Balkenende (ω i = λ i2 EI/
Al 4 )

und eine Approximation der kinetischen Energie des Kontinuums durch Einzelmassen erfolgt, wird bei der Aufteilung in Einzelfedern die Masseverteilung (und damit die kinetische Energie) nicht ver¨andert und die potentielle Energie durch die Einzelfedern ann¨ahernd erfaßt. Die Bedingungen (2.185) bis (2.187), die bei der Diskretisierung in Einzelmassen erf¨ullt werden sollen, sind bei der Aufteilung in Starrk¨orper automatisch erf¨ullt. Als Alternative dazu besteht hier die Forderung nach • Erhaltung der potentiellen Energie bei linearer Momentenverteilung, woraus das Mohrsche Integral f¨ur die am Ende des Kragtr¨agers oder in Balkenmitte auftretende Durchbiegung:

y=


l 0

Mx M ∆lk dx = ∑ EI k Tk k

(2.199)

folgt. Daneben gilt die Forderung nach Erhalt der niederen Eigenfrequenzen ebenfalls, vgl. Gl. (2.188).

92

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.10 stellt als Alternative zu Tabelle 2.9 die Aufteilung von einseitig eingespannten und beiderseits gelenkig gelagerten Balken in starre K¨orper und Torsionsfedern dar. Tabelle 2.10 Diskrete Balkenmodelle als Starrk¨orper und Torsionsfedern (Masse m =
Al, Biegesteifigkeit EI = konst.)

Fall Nr.

kT1l EI

Modell

kT2 l EI

x1 l

Bedingung y ω1 ω2

0

+

kT1

1

4,121

l kT1

2

1,590

x1 kT1

3

kT2

kT1

5

kT1 kT1

6

x1

7

+

+

10,76 1,750 0,351 + +

+

3,963 4,602 0,500

x1

4

0,272 + +

x1

+

2,029

0,500

3,473

0,380 + +

3,077

0,340

+

+

2,070 1,404 0,380 + +

+

kT2 kT1 kT1 kT2

8 x1

Analog zu Tabelle 2.9 sind in Tabelle 2.10 die Bedingungen markiert, welche diese Modelle erf¨ullen. Exemplarisch soll f¨ur Fall 2 gezeigt werden, wie man zu den Parameterwerten kommt. Es wird gefordert, daß die Durchbiegung bei einer Belastung am Balkenende infolge einer Einzelkraft dieselbe ist: y=


l 0

Fl 3 F(l − x1 )2 Fx2 dx = = EI 3EI kT1

(2.200)

und daß die tiefste Eigenkreisfrequenz des einseitig eingespannten Balkens derjenigen gleicht, die sich f¨ur einen prismatischen Starrk¨orper der L¨ange l − x1 ergibt: ω 12 =

12,362 · EI kT1 3 · kT1 = =
Al 4 J
A(l − x1 )3

(2.201)

2.3 Induktive Modellbildung

93

Aus diesen beiden Gln. ergibt sich der Abstand f¨ur die Lage der Torsionsfeder und deren Federkonstante zu EI x1 = 0,272 1, kT1 = 1,590 (2.202) l F¨ur die Berechnung von L¨angsschwingungen k¨onnen an Stelle des Kontinuums (vgl. Abschn. 2.4.4) zur Berechnung der tiefen Eigenfrequenzen auch diskrete Modelle benutzt werden. In Tabelle 2.11 sind die diskreten Parameterwerte f¨ur St¨abe mit konstanter Querschnittsfl¨ache A angegeben. Die hier vorgestellten Diskretisierungsmethoden liefern Modelle mit einer minimalen Anzahl von Freiheitsgraden (Minimalmodelle). Sie unterscheiden sich durch ihre geringe Anzahl von Koordinaten von den weitverbreiteten FE-Modellen. Die Berechnung der Biegelinien und der Momentenverl¨aufe kann mit diesen Minimalmodellen ebenfalls erfolgen. So liefern die diskreten Balkenmodelle mit Einzelmassen gute N¨aherungen f¨ur die Biegelinien, weil der Verlauf der Biegesteifigkeit nicht ver¨andert wurde. Die Querkraft- und Momentenverl¨aufe werden infolge der diskreten Krafteinleitung an den Einzelmassen durch Geradenabschnitte nur grob angen¨ahert. Die diskreten Balkenmodelle mit den Einzelfedern liefern demgegen¨uber gute N¨aherungen f¨ur die Querkraft- und Momentenverl¨aufe, da die urspr¨ungliche Masseverteilung l¨angs des Balkens (aus denen die dynamische Belastung resultiert) erhalten bleibt. Derartige Minimalmodelle von Balken k¨onnen zweckm¨aßig angewendet werden, wenn • eine minimale Anzahl von Freiheitsgraden gew¨unscht wird, z. B. – bei der Echtzeitberechnung innerhalb eines geregelten Antriebssystems, – bei der Variantenberechnung, wenn Bewegungsgleichungen oft zu integrieren sind, – bei nichtlinearen Optimierungsrechnungen (m¨oglichst wenige Variable) • oder wenn ein Bauteil innerhalb eines Antriebssystems vereinfacht erfaßt werden kann, z. B. – das Pleuel in einem Schubkurbelgetriebe, vgl. Tabelle 2.7, Fall 4, – den Auslegerarm in Abschn. 2.4.5, – die F¨uhrungss¨aule eines Regalbedienger¨ats, vgl. Abschn. 4.8.1. Welcher Typ der Minimalmodelle benutzt wird, h¨angt davon ab, in welches Softwarepaket der Anwender es einbauen will. F¨ur MKS-Programme sind die Modelle vorteilhaft, die in Tabelle 2.10 angegeben sind. Werden die Schwingungen von massebelegten Zug-Druck- oder Torsionsst¨aben mit dem Kontinuum-Modell berechnet, ergeben sich bei allen Lagerbedingungen unendlich viele Eigenfrequenzen, vgl. die in Tabelle 2.13 angegebenen Gleichungen. Die meist interessierenden tiefen Eigenfrequenzen k¨onnen mit den in Tabelle 2.11 angegebenen Minimalmodellen, sowohl f¨ur L¨angsschwingungen als auch f¨ur Torsionsschwingungen berechnet werden. Es wurde zwar die Symbolik von diskreten L¨angsschwingern f¨ur diese Darstellung gew¨ahlt, aber diese ist denen der Torsionsschwinger a¨ quivalent, vgl. die Analogien in Bild 5.16 und Tabelle 5.6. Diese Formeln lassen sich aus den Gln. (2.351) bis (2.353) herleiten, die in Abschn. 2.5.1 angegeben sind.

94

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.11 Minimalmodelle f¨ur Zug-Druck-St¨abe (m =
Al, k = EA/l) und  GIT /l) Torsionsst¨abe (m = 
Ip l, k =

Fall Nr. 1

k1 m1

m1

2 3

m0 m

Modell

k1 m1

m1

4 5

k1 m1

k1 m2

m1

6 7

k1 m0

m1 k1

8 m0

9

k2 m1

k1

k2

m2 k1

m1 m

m2 m

k1 k

k1 m0

m0

Bedingung m ω1 ω2

1

+ + − −

0,5

2,467

− + + −

0,203

1

+

0,203 0,595

2

+ + + −

− + −

0,375 0,250 3,701

− + + +

0,203 0,135

2

+

1

+ + + −

0,595 0,405

− + +

0,356 0,488 0,156 1,660 2,516 + + + +

0,230 0,270

2,667

0,297 0,405

2

k1 m1

k

0,5

m0 m1 m1 m0

10

k2 k

4

+ + + +

+ + + −

2.4 Deduktive Modellbildung 2.4.1 Allgemeines In der Logik wird unter Deduktion die Herleitung des Besonderen aus dem Allgemeinen verstanden. Bei der deduktiven Modellbildung wird der Weg vom allgemeinen ( u¨ berdimensionalen“ und unzweckm¨aßigen) Modell zum speziellen (ein” fachen, u¨ bersichtlichen, ad¨aquaten“) Modell beschritten. Im Startmodell“ werden ” ” bei der deduktiven Modellbildung alle physikalischen Effekte ber¨ucksichtigt, von denen man meint, daß sie von Einfluß auf das Ergebnis sein k¨onnten. Damit enth¨alt das Modell aber auch unwesentliche Einflußgr¨oßen, und oft ist auch der numerische Aufwand zur L¨osung der dabei entstehenden umfangreichen Gleichungen unvertretbar hoch. Das komplizierte Modell l¨aßt sich oft wesentlich vereinfachen, ohne daß Nachteile hinsichtlich der Aussagekraft entstehen.

2.4 Deduktive Modellbildung

95

Die wesentlichen Schritte bei dieser Modellbildungsstrategie sind: 1. Formulierung der allgemeinsten Modellgleichungen In das Berechnungsmodell werden alle denkbaren problemspezifischen Einflußgr¨oßen einbezogen, weil erst in den folgenden Schritten deren Bewertung und Auslese erfolgen soll. Es sind ebenfalls die Schritte 2 bis 4 zu durchlaufen, die bei der induktiven Methode (Abschn. 2.3.1) aufgef¨uhrt wurden. 2. Beurteilung der Parametereinfl¨usse in den Modellgleichungen Dies erfolgt durch das Einsetzen der Parameterwerte in die Modellgleichungen. In den Modellgleichungen, die i. allg. aus Summen von mehreren Termen bestehen, werden die Zahlenwerte der einzelnen Summanden ermittelt, die nat¨urlich alle mit gleichen Maßeinheiten auszudr¨ucken sind. Zweckm¨aßig ist die Einf¨uhrung dimensionsloser Kenngr¨oßen, welche stets Form von Potenzprodukten aus den Parametern haben [48], [145], [190], [297], [305]. Die Summanden bestehen aus Produkten dieser Kenngr¨oßen mit den Variablen und deren (auch h¨oheren oder auch partiellen) Ableitungen. Es wird gepr¨uft, ob und welche Summanden große oder kleine Zahlenwerte haben. Diejenigen Summanden, die nur kleine Beitr¨age unterhalb einer gewissen Grenze (ob 0,1 %, 1 % oder 3 % h¨angt von den jeweiligen Anforderungen ab) zum Endergebnis beisteuern, werden vernachl¨assigt, d. h., die Terme, deren Einfluß sich als unwesentlich herausgestellt hat, werden aus den Modellgleichungen gestrichen. 3. Auswertung der Empfindlichkeitsanalyse Zur Bewertung der Bedeutung einzelner Parameter kann eine als Sensitivit¨atsanalyse bekannte Methode benutzt werden [187]. Sie besteht darin, die partiellen Ableitungen der Ergebnisgr¨oßen nach den Parametern zu bilden und somit den Einfluß der Eingabeparameter auf das Ergebnis zu pr¨ufen. An die Stelle partieller Ableitungen k¨onnen auch Differenzenquotienten treten. Dies hat den Vorteil, daß dieselbe Analysemethode (z. B. ein Softwareprogramm) nur mit geringf¨ugig abgewandelten Parameterwerten wiederholt benutzt werden kann. Bei zweckm¨aßiger (in Relation zu den jeweiligen Fertigungstoleranzen) Gr¨oße der ¨ endlichen Parameter¨anderungen kann dabei der Einfluß kleiner Anderungen sichtbar werden. Aus der Sensitivit¨atsanalyse ist zu schlußfolgern, welche Bedeutung die Genauigkeit der einzelnen Parameterwerte f¨ur die Ergebnisgr¨oßen hat. Wenn ein Ergebnis nahezu unempfindlich gegen¨uber einem Parameter ist, kommt es also nicht darauf an, diesen m¨oglichst genau zu bestimmen. Andererseits sieht man, welche Parameter die Ergebnisgr¨oßen besonders stark beeinflussen. Es kann danach entschieden werden, auf welche Parameter es besonders ankommt, welche keinen wesentlichen Einfluß haben und welche der Haupteinflußgr¨oßen relativ genau bestimmt werden m¨ussen, wenn man die Genauigkeit der Ergebnisgr¨oßen verbessern will. 4. Vereinfachung des Startmodells Nach den Schritten 2 und 3 kann das Startmodell auf den zweckm¨aßigen Umfang eines ad¨aquaten Modells verkleinert werden. Zur Vereinfachung linearer Schwin-

96

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

gungssysteme sind die Methoden der Freiheitsgradreduktion anwendbar, die in Abschn. 2.6 behandelt werden. Mit den damit berechenbaren Ergebnissen ist es auch m¨oglich, das Startmodell zu beurteilen, indem man in die allgemeinsten Gleichungen die L¨osungen einsetzt. Die Zahlenwerte der Summanden, die man vernachl¨assigt hat, erh¨alt man zum Vergleich, d. h., man kann sich zum Schluß davon u¨ berzeugen, daß das Startmodell (aus Schritt 1) keine wesentlich anderen Ergebnisse liefert als das durch die beschriebenen Schritte gewonnene ad¨aquate Modell. Im Gegensatz zur induktiven Strategie, wo man mit wenigen Freiheitsgraden und mathematischen Mindestanforderungen beginnt, liegt der Ausgangspunkt des deduktiven Herangehens auf einem h¨oheren Niveau. Das k¨onnen von Anfang an eine gr¨oßere Anzahl von Freiheitsgraden (und damit gew¨ohnliche Differentialgleichungen) oder sogar partielle Differentialgleichungen sein, vgl. Abschn. 2.4.4. Die Diskretisierung der Kontinua, die bei der deduktiven Strategie erst kurz vor einer numerischen Auswertung erfolgt, beginnt bei der induktiven Strategie bereits zu Beginn durch die Einf¨uhrung von Einzelmassen und Einzelfedern. Theoretisch kann man, indem man von der anderen Seite“ kommt, durch das deduktive Herangehen das” selbe Berechnungsmodell finden wie auf induktivem Wege. Beide Strategien werden in der Praxis oft kombiniert. Man kann auch, nachdem man durch die deduktive Herangehensweise die wesentlichen physikalischen Zusammenh¨ange deutlicher erkannt hat, anschließend daf¨ur ein Minimalmodell“ aufstellen. In den Abschnitten 2.4.2 (Schleifspindel) und ” 2.4.3 (Br¨uckenkran) werden Beispiele erl¨autert, bei denen sich zum Schluß ganz einfache Gleichungen zur Berechnung der anfangs undurchschaubaren physikalischen Vorg¨ange ergeben. 2.4.2 Grundfrequenz von Schleifspindeln Schleifspindeln m¨ussen bei m¨oglichst hohen Drehzahlen arbeiten und d¨urfen (im Gegensatz z. B. zu Textilspindeln) unterhalb der Betriebsdrehzahl keine Resonanzstellen haben, da die Gefahr von Bearbeitungsungenauigkeiten entsteht. Ihre tiefste Eigenfrequenz (Grundfrequenz) soll m¨oglichst groß sein. Die historische Entwicklung der Berechnungsmodelle dieser wichtigen Baugruppe von Werkzeugmaschinen begann im Jahre 1939 und ist in der Arbeit [164] ausf¨uhrlich dargestellt, die auch den aktuellen Forschungsstand zur Modellierung und Optimierung von Spindeleinheiten enth¨alt. Schleifscheibe Schleifdorn

Kugellager

Riemenscheibe

Bild 2.35 Technische Zeichnung einer Schleifspindel

Die folgenden Ausf¨uhrungen beziehen sich auf eigene Untersuchungen, die zu Beginn der 70er Jahre in Zusammenarbeit mit dem W¨alzlagerwerk Fraureuth ent-

2.4 Deduktive Modellbildung

97

standen, vgl. [150]. Sie sollen lediglich der Erl¨auterung der in Abschn. 2.4.1 dargelegten Strategie dienen. Nach den ersten Vorstellungen besaßen die Parameter am Schleifdorn eine besondere Bedeutung, vgl. Bild 2.35. Man hatte von konstruktiver Seite alles unternommen, um dieses Teilst¨uck durch Verk¨urzung der Dornl¨ange und Vergr¨oßerung des Durchmessers m¨oglichst steif zu gestalten. Die Frage lautete, ob und mit welchen konstruktiven Maßnahmen (man dachte an eine Vergr¨oßerung des Durchmessers im Mittelteil der Welle oder an zus¨atzliche Kugellager im Mittelteil) die erste Eigenfrequenz der Schleifspindel weiter erh¨oht werden kann.

a)

b) Bild 2.36 Schleifspindel a) Startmodell, b) Berechnete Grundschwingungsform (erste Eigenform)

Als Berechnungsmodell wurde zun¨achst ein Startmodell“ benutzt, bei dem die ” Biegesteifigkeiten aller Wellenabschnitte ber¨ucksichtigt wurden, insbesondere auch der vordere Schleifdorn, der die Schleifscheibe tr¨agt. Bild 2.36a zeigt das Maximalmodell, das zur Berechnung der Eigenfrequenzen (im Sinne von Schritt 1 der deduktiven Modellbildungsstrategie) benutzt wurde. Es ber¨ucksichtigte auch die anfangs nur u¨ berschl¨aglich bekannten Steifigkeiten der vorgespannten spielfreien Kugellager. Die Rechnung ergab die in Bild 2.36b dargestellte Grundschwingungsform. Aus ihr ist erkennbar, daß die Deformation der Kugellager (also deren Steifigkeit) einen wesentlichen Einfluß auf die Grundschwingungsform und damit auf die erste Eigenfrequenz (d. h. die erste kritische Drehzahl) der Schleifspindel besitzt. Man kann der Grundschwingungsform auch entnehmen, daß vor allem die Massen an den Wellenenden (Riemenscheibe, Schleifscheibe) große Amplituden haben. Demzufolge ist die Grundschwingungsform im wesentlichen durch die Starrk¨orperdrehung um den zwischen den Kugellagern befindlichen Schwingungsknoten bestimmt. Die (unter Schritt 2 und 3 der deduktiven Strategie in Abschn. 2.4.1 genannte) Analyse der Parametereinfl¨usse und die Sensitivit¨atsanalyse f¨uhren also zu folgender Interpretation: • Je gr¨oßer die Masse der Riemenscheibe ist, desto tiefer liegt die erste Eigenfrequenz. Also muß man die Riemenscheibe m¨oglichst leicht bauen (z. B. Aluminium statt Stahl). • Eine St¨utzung in der Mitte durch ein oder mehrere zus¨atzliche Kugellager h¨atte praktisch keinen Einfluß auf die erste Eigenfrequenz, weil dort ein Schwingungsknoten liegt. • Die Erh¨ohung der Biegesteifigkeit durch Vergr¨oßerung des mittleren Wellendurchmessers wird die Grundfrequenz nur unwesentlich anheben, weil die gesamte Spindel (mit nur geringem Biegeanteil) fast wie ein starrer K¨orper schwingt.

98

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

• Es ist nicht n¨otig, zwei Federkonstanten an jeder Lagerstelle in das Modell aufzunehmen, da deren Abstand sehr klein ist. • Das Berechnungsmodell l¨aßt sich so vereinfachen, wie es Bild 2.37 zeigt.

398

68

∅94

∅76

∅76

254

a)

Schleifscheibe

m1

I1

Kugellager

I2

m3

k l1

Riemenscheibe

I1

m4

m2

k l2

l3

b) ϕ11 ϕ31

−ϕ41

c)

−ϕ21

Bild 2.37 Schleifspindel a) Skizze, b) Berechnungsmodell mit vier Freiheitsgraden, c) Grundschwingungsform

Auf dieses (gem¨aß Schritt 4 der deduktiven Strategie) wesentlich einfachere Modell gegen¨uber dem von Bild 2.36a war man auf induktivem Wege nicht gekommen, weil man den Parametern in N¨ahe des Schleifdorns zu große Bedeutung beimaß. Man kann mit N¨aherungsformeln die untere und obere Grenze der Grundfrequenz berechnen. In [79] wird gezeigt, wie man solche N¨aherungsformeln herleiten kann. Man muß dazu die Einflußzahlen n jk und N¨aherungswerte f¨ur die Amplitudenverh¨altnis¨ se der ersten Eigenform kennen, die man aus Messungen oder aus einer Uberschlagsrechnung vorher ermitteln muß. Die Einflußzahlen f¨ur das in Bild 2.37 dargestellte Berechnungsmodell folgen aus der elementaren Balkentheorie. Es sind dahinter die Parameterwerte f¨ur ein Beispiel angegeben, vgl. Gln. (2.203) bis (2.210): n11 =

l13 l2 · l12 l 2 + (l1 + l2 )2 + + 1 = 12,000 0 · 10−2 µ m/N 3EI1 3EI2 kl22

(2.203)

2.4 Deduktive Modellbildung

n22 =

l33 l 2 · l2 l 2 + (l2 + l3 )2 + 3 + 3 = 4,321 7 · 10−2 µ m/N 3EI1 3EI2 kl22 1 = 3,009 1 · 10−2 µ m/N, n34 = n43 = 0 µ m/N k l1 l2 l3 2l1 l3 + l2 (l1 + l3 ) = − = −2,945 9 · 10−2 µ m/N 6EI2 kl22

99

(2.204)

n33 = n44 =

(2.205)

n12 = n21

(2.206)

l1 + l2 = 4,929 6 · 10−2 µ m/N kl2

(2.207)

n14 = n41 = −

l1 = −1,920 4 · 10−2 µ m/N kl2

(2.208)

n23 = n32 = −

l3 = −0,5141 · 10−2 µ m/N kl2

(2.209)

l2 + l3 = 3,523 3 · 10−2 µ m/N kl2

(2.210)

n13 = n31 =

n24 = n42 =

Die Grundfrequenz l¨aßt sich folgendermaßen eingrenzen  Z2 1 1 = f1 max f1 min = √ < f1
2π N2 2π N1

(2.211)

Das Gleichheitszeichen gilt dann, wenn die Grundschwingungsform

ϕ T1 = (ϕ 11 , ϕ 21 , ϕ 31 , ϕ 41 ) genau bekannt ist. In Gl. (2.211) werden ben¨otigt:

1 N1 = S1 + 4

   3 S12 S2 − 4 4

(2.212)

S1 = m1 n11 + m2 n22 + m3 n33 + m4 n44 S2 =

(2.213)

+ + +   +2 m1 m2 n212 + m1 m3 n213 + m1 m4 n214   +2 m2 m3 n223 + m2 m4 n224 + m3 m4 n234 m21 n211

m22 n222

m23 n233

m24 n244

2 2 2 2 + m2 ϕ 21 + m3 ϕ 31 + m4 ϕ 41 Z2 = m1 ϕ 11

N2 =

2 m21 n11 ϕ 11

+

2 m22 n22 ϕ 21

+

2 m23 n33 ϕ 31

(2.214)

(2.215) +

2 m24 n44 ϕ 41

+2 (m1 m2 n12 ϕ 11 ϕ 21 + m1 m3 n13 ϕ 11 ϕ 31 + m1 m4 n14 ϕ 11 ϕ 41 )

(2.216)

+2 (m2 m3 n23 ϕ 21 ϕ 31 + m2 m4 n24 ϕ 21 ϕ 41 + m3 m4 n34 ϕ 31 ϕ 41 ) Die Formeln (2.211) in Verbindung mit Gl. (2.203) bis (2.210) und (2.212) bis (2.216) ¨ erlauben es, auf einfache Weise Parametereinflusse zu analysieren. Es sind immerhin K = 11 Parameterwerte (m1 , m2 , m3 , m4 , l1 , l2 , l3 , I1 , I2 , E, c) einer Schleifspindel dabei ber¨ucksichtigt. Sie eignen sich als Analysemodell f¨ur eine nichtlineare Optimierung.

100

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

F¨ur eine Schleifspindel mit den Parameterwerten ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2,06 · 1011 N/m2 E – Elastizit¨atsmodul von Stahl ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l1 ⎟ ⎜254 mm ⎟ – Abst¨ande zwischen den ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l2 ⎟ ⎜398 mm ⎟ Punktmassen und den ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l3 ⎟ ⎜ 68 mm ⎟ Lagerstellen ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I ⎟ ⎜1,64 · 10−6 m4 ⎟ – Fl¨achentr¨agheitsmomente ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ I2 ⎟ = ⎜3,84 · 10−6 m4 ⎟ der Wellenabschnitte ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m1 ⎟ ⎜6,71 kg ⎟ – Masse der Schleifscheibe ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m2 ⎟ ⎜8,95 kg ⎟ – Masse der Riemenscheibe ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m ⎟ ⎜15,06 kg ⎟ – auf Lagerstellen reduzierte ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝m4 ⎠ ⎝15,06 kg ⎠ Wellenmassen 3,323 · 107 N/m k – Lagersteifigkeit

(2.217)

soll nun die Absch¨atzung erprobt werden. Es wurden damit die obengenannten Einflußzahlen in den Gln. (2.203) bis (2.210) berechnet. N¨aherungswerte f¨ur die Amplitudenverh¨altnisse der Grundschwingungsform sind, vgl. Bild 2.37c: ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 2,9 ϕ 11 ⎜ ϕ ⎟ ⎜ −1,4 ⎟ ⎟ ⎜ 21 ⎟ ⎜ (2.218) ϕ1 = ⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎝ ϕ 31 ⎠ ⎝ 1,2 ⎠ −1,0 ϕ 41 Setzt man die Zahlenwerte aus den Gln. (2.203) bis (2.210) in die Gln. (2.212) bis (2.216) und danach in Gl. (2.211) ein, erh¨alt man folgende Eingrenzung der ersten Eigenfrequenz: f1 min = 132,6 Hz,

f1 max = 139,7 Hz

Bild 2.38 FE-Modell einer konventionellen Spindeleinheit aus [164]

(2.219)

2.4 Deduktive Modellbildung

101

Die Grundfrequenz liegt also mit etwa 3,5 % Genauigkeit bei f1 = 135 Hz. Ein Vergleich mit experimentellen Ergebnissen zeigte, daß die Lagerung der Spindeleinheit im Maschinengestell einen weiteren wesentlichen Einfluß darstellt, d. h., f¨ur die Spindel selbst war das Minimalmodell gefunden, aber es mußte mit der Gestellstruktur gekoppelt werden. In [164] wurden mehrere komplizierte Berechnungsmodelle vorgeschlagen und mit einem FEM-Programm analysiert. Bild 2.38 zeigt ein Beispiel. 2.4.3 Von 23 zu 5 Parametern (Fahrbewegung eines Bruckenkrans) ¨ Das folgende Beispiel st¨utzt sich auf die Dissertation [57], in welcher einige Zwischenschritte der Modellbildung eines Br¨uckenkrans beschrieben sind. Der Br¨uckenkran hat eine Eigenmasse von 60 000 kg, eine Spannweite von 30 m und kann Massen von 20 000 kg heben und transportieren. Es geht um ein Berechnungsmodell zur Simulation der Fahrbewegung, wobei das Pendeln der Last ber¨ucksichtigt wird. Bild 2.39a zeigt eine Skizze des Realsystems und Bild 2.39b ein diskretes Berechnungsmodell, das K = 23 Parameter erfaßt. Die Last wird als mathematisches Pendel aufgefaßt und gem¨aß Gl. (2.221) in ein Feder-Masse-System umgerechnet. Aus der Gleichsetzung der Eigenkreisfrequenzen g k ω2 = = (2.220) l m und dem Vergleich des Pendelweges l ϕ mit dem Fahrweg x ergibt sich die gleiche Horizontalkraft bei der Federkonstante g (2.221) k = mL l Im folgenden wird die Modellbildungsstrategie in Anlehnung an die Darstellung in [57] beschrieben. Sie ist im wesentlichen deduktiv, da dabei aus einem komplizierten System mit vielen Einflußgr¨oßen ein einfaches Modell mit drei Freiheitsgraden gebildet wird. Die schrittweisen Vereinfachungen sind aber in [57] eher heuristisch als konsequent mechanisch-mathematisch begr¨undet worden. Das Startmodell besteht schon aus diskreten Masse- und Federparametern, welche das Tragwerk, das Triebwerk und die pendelnde Last beschreiben. Die Parameterwerte des Startmodells sind: Parameterwerte des Br¨uckenkrans: max. Traglast mL = 20 000 kg Eigenmasse: m33 + m34 = 60 000 kg Spannweite: l = 30 m Getriebe/Teilkreisradien: r14 = 0,150 m, r21 = 0,360 m, r22 = 0,110 m, r31 = 0,325 m Drehmassen und Massen J11 = 6,00 kg · m2 , J12 = 1,70 kg · m2 , J13 = 6,80 kg · m2 , J14 = 0,57 kg · m2 , nach Bild 2.39b: J21 = 6,32 kg · m2 , J22 = 0,80 kg · m2 , J31 = 66,21 kg · m2 , J32 = 44,14 kg · m2 , m33 = 25 000 kg, m34 = 35 000 kg, m35 = variabel (
20 000 kg)

102

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Drehsteifigkeiten der Getriebewellen Federsteifigkeiten von Kranbr¨ucke und Lastpendel: Motormoment: Radradius:

MA = 1 217 N · m rA = 0,325 m

Bremse und Kupplung

Motor

r32

l

Laufkatze

kT 11 = 17,03·105 N · m, kT 12 = 0,37·105 N · m, kT 13 = 7,91·105 N · m, kT 21 = 0,21·105 N · m m35 g (variabel) k33 = 3,373 · 107 N/m, k34 = l

Getriebe 1

mL

a)

Getriebe 2

Last J 14

J 13 kT13

J 12 kT12

J 11 kT11

MA

r14 J 22

r21 kT21

kT21

J 32

r22 J 32

r31

ϕ32

J 22

Motor, Bremse Kupplung Getriebe 1

Getriebe 2

J 21 r32 J 31

J 31

m33 / 2 x33

k33 / 2

m33 / 2 m34 k34

b)

Kranbrücke

k33 / 2

m35

Bild 2.39 Br¨uckenkran a) Skizze des Tragwerks und Fahrwerks b) Berechnungsmodell mit 12 Freiheitsgraden (Startmodell)

pendelnde Last

2.4 Deduktive Modellbildung

103

Das in Bild 2.39b skizzierte Startmodell, das insgesamt 12 Freiheitsgrade hat, davon 8 rotatorische und 4 translatorische, wird in einem ersten Schritt zu einem Modell mit 8 Freiheitsgraden vereinfacht, welches nur noch aus translatorischen Freiheitsgraden besteht, vgl. Bild 2.40.

m22

m31 m33 / 2 m32

k 21

FA

m11 m12 m13

k33 / 2

m21 m14

m35 m34 k34

k11 k12 k13 k 21 m22

k33 / 2 m32 m31 m33 / 2

Bild 2.40 Berechnungsmodell eines Br¨uckenkrans mit 8 Freiheitsgraden

¨ Beim Ubergang vom Startmodell zum Modell gem¨aß Bild 2.40 wurden folgende Annahmen getroffen: • Der Kran wird als symmetrisch zur Mitte der Kranbr¨ucke behandelt. Es tritt zwischen den R¨adern und den Schienen kein Schlupf auf. Die Rollbewegung zwischen Rad und Schiene wird mit der Zwangsbedingung x33 = r32 ϕ 32

(2.222)

erfaßt. • Getriebespiel wird vernachl¨assigt. Die Transformation auf Wegkoordinaten erfolgt mit den bekannten Reduktionsbedingungen der starren Maschine“ [150]. Die große Anzahl der konstruktiven ” Parameter reduziert sich auf eine kleinere Anzahl von 17 mechanischen Parametern. Die Umrechnungsformeln lauten hierbei ( j = 1, 2, 3, 4).  2 r21 · r31 J1 j ; j = 1, 2, 3 4 (2.223) m1 j = r14 · r22 · r32  2 r31 J2 j ; j = 1, 2 (2.224) m2 j = r22 · r32  2 1 J3 j ; j = 1, 2 (2.225) m3 j = r32  2 r21 · r31 kT 1 j ; j = 1, 2, 3 (2.226) k1 j = r14 · r22 · r32

104

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

 k21 =

r31 r22 · r32

2 kT 21

(2.227)

Die sich damit ergebenden Zahlenwerte sind in Tabelle 2.12 zusammengefaßt. Tabelle 2.12 Parameterwerte f¨ur das Berechnungsmodell von Bild 2.40 i

j

1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 3

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 5

mi j in kg 2 856 809 3 237 271 522 66 627 418 25 000 35 000 20 000

ki j in 106 N/m 810,6 17,6 376,5 − 1,735 − − − 33,73 0,02 −

1/ki j in 10−8 m/N 0,123 5,682 0,266 − 57,637 − − − 2,965 5 000 −

Man sieht, daß die lange Verbindungswelle, die das Antriebsmoment von Getriebe 1 auf das Getriebe 2 verteilt (Bild 2.39a), außer dem Lastpendel, das weichste Federelement (k12 ) darstellt. Es sind erfahrungsgem¨aß nur die tiefen Eigenfrequenzen f¨ur die Belastung der Kranbr¨ucke infolge der Fahrbewegung von Interesse. Somit werden nur zwei Eigenfrequenzen ber¨ucksichtigt und alle h¨oheren Eigenfrequenzen vernachl¨assigt. Bei der weiteren Vereinfachung zu einem System mit nur noch 3 Freiheitsgraden werden solche Absch¨atzungen vorgenommen, wie sie auch in Abschn. 2.3.4 n¨aher beschrieben sind. Die Absch¨atzung der Eigenfrequenzen der Teilsysteme ergeben f¨ur • das Lastpendel (in Abh¨angigkeit der Pendell¨ange, die zwischen 1 m und 10 m liegen kann): fA = (0,2 . . . 0,5) Hz • die Biegeschwingung der an den R¨adern festgehaltenen Kranbr¨ucke:  k33 1 fB = ≈ 4,9 Hz 2π m34 • die Torsionsschwingung isoliert betrachteter Getriebeabschnitte:   kT 12 + kT 13 2kT 21 1 1 fC = ≈ 55 Hz, fD = ≈ 40 Hz 2π J13 2π J21

(2.228)

(2.229)

105

2.4 Deduktive Modellbildung

Man kann daraus schließen, daß die Torsionswellen des Triebwerks sehr steif gegen¨uber den anderen Bauteilen sind. Sie werden somit als quasistarr behandelt. Die reduzierten Massen k¨onnen addiert werden: m1 = m11 + m12 + m13 + m14 + m21 = 7 695 kg m2 = m22 + m31 + m32 + m33 + m34 = 61 111 kg

(2.230)

m3 = m35 = 20 000 kg Die Gesamtsteifigkeit der elastischen Torsionswellen wird mit der Formel f¨ur die Reihenschaltung in eine einzige Federkonstante umgerechnet, vgl. Tabelle 2.12: 1 1 1 1 1 1 = + + + + k1 k11 k12 k13 2k21 k33 ⇒

k1 = 1,5 · 106 N/m,

k2 = k34 = 20 000 N/m

(2.231)

bei l = 9,81 m m1

m2

m3

FA k1

k2

Bild 2.41 Minimalmodell f¨ur den Br¨uckenkran mit Lastpendel

Damit wurden die 5 Parameterwerte des Dreimassensystems ermittelt, das in Bild 2.41 dargestellt ist. Man erkennt an den Zahlenwerten, daß das Lastpendel weicher ist als der Kran. In der Arbeit [57] wurden mit diesem Modell Simulationsrechnungen durchgef¨uhrt. 2.4.4 ¨ Von raumlichen zu eindimensionalen Balken- und Stabmodellen 2.4.4.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Als Beispiel f¨ur die deduktive Modellbildung werden in diesem Abschnitt Balkenmodelle behandelt. Aus den Grundgleichungen f¨ur beliebige Bewegungen dreidimensionaler Kontinua, die auch große Verschiebungen und große Verzerrungen hervorrufen k¨onnen, vgl. z. B. [326], lassen sich deduktiv alle anderen Differentialgleichungen starrer und deformierbarer Kontinua herleiten. Es ist also nicht n¨otig, f¨ur die in der Antriebsdynamik auftretenden Fragen zur Dynamik von B¨andern, Riemen, Seilen, Dr¨ahten, F¨aden und (zum Teil auch) Ketten jeweils neue“ Differenti” algleichungen aufzustellen. Sind zwei der K¨orperabmessungen (die Querschnittsabmessungen) klein gegen¨uber der dritten (der Abmessung in L¨angsrichtung) – wie das bei fadenf¨ormigen K¨orpern der Fall ist –, dann ist es m¨oglich und zweckm¨aßig, aus den Bewegungsgleichungen die Abh¨angigkeit von zwei Ortskoordinaten zu eliminieren und vom

106

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

dreidimensionalen zum eindimensionalen Kontinuum als mechanischem Modell u¨ berzugehen. Je nachdem, welche Annahmen u¨ ber die Steifigkeitsverh¨altnisse gemacht werden, kann es sich um Balkenmodelle (Timoshenko-Balken, RayleighBalken, Euler-Bernoulli-Balken) oder bei Vernachl¨assigung von Biege- und Torsionssteifigkeit um Fadenmodelle (dehnbarer Faden, undehnbarer Faden) handeln. Aus den grundlegenden Beziehungen dreidimensionaler Kontinua lassen sich die kinematischen und kinetischen Grundgleichungen des geometrisch nichtlinearen Timoshenko-Balkens ableiten, wenn man davon ausgeht, daß die Querschnitte eben bleiben (Bernoulli-Hypothese), daß große Verschiebungen m¨oglich sind, die Verzerrungen aber klein bleiben und daß das Material homogen und isotrop ist und sich linear-elastisch verh¨alt, vgl. [346]. Im Timoshenko-Balken-Modell sind die translatorische und rotatorische Tr¨agheit der Querschnitte ebenso ber¨ucksichtigt wie auch Verschiebungs- und Verdrehungsverzerrungen. Relative Verschiebungen der Querschnitte in Richtung der Balkenachse f¨uhren zu L¨angsdehnungen, Verschiebungen quer zur Balkenachse zu Querschubdeformationen. Verdrehungen der Querschnitte gegeneinander resultieren in Torsions- (bei Verdrehungen um die Balkenachse) und Biegedeformationen (bei Verdrehungen um die Querachsen). Die Wirkung der Umgebung auf den Balken wird durch Linienlasten ber¨ucksichtigt. Punktf¨ormige Lasteinleitungen oder Lagerungen ¨ m¨ussen durch Rand- oder Ubergangsbedingungen in das Berechnungsmodell eingebracht werden. F¨ur den geometrisch nichtlinearen Timoshenko-Balken erh¨alt man das durch die Gln. (2.232) bis (2.238) definierte Berechnungsmodell, das auch große Bewegungen im Raum ber¨ucksichtigt, vgl. z. B. [300]. Zur Darstellung der ben¨otigten kinematischen und kinetischen Gr¨oßen wird ein raumfestes und kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren ex = (1, 0, 0)T ,

ey = (0, 1, 0)T ,

ez = (0, 0, 1)T

(2.232)

eingef¨uhrt. Unabh¨angige Variablen sind die Zeit t und die materielle Bogenkoordinate s. Punkt“ bedeutet im Weiteren die partielle Ableitung nach der Zeit t und Strich“ ” ” die partielle Ableitung nach der Bogenkoordinate s. Abh¨angige Variable sind der T Ortsvektor r = (x, y, z) , der die Lage der Balkenachse im Raum beschreibt und die Kardanwinkel φ = (φ x , φ y , φ z )T , die die Orientierung des Querschnitts im Raum bestimmen. Die geometrischen Verh¨altnisse werden durch die Rotationsmatrix R und die inkrementelle Rotationsmatrix Φ beschrieben: R = Rz Ry Rx , mit

⎛

Φ = ez eTz + Rz ey eTy + Rz Ry ex eTx

1 0 0 ⎜ Rx = ⎝ 0 cos ϕ x − sin ϕ x 0 sin ϕ x cos ϕ x ⎛ cos ϕ z − sin ϕ z 0 ⎜ Rz = ⎝ sin ϕ z cos ϕ z 0 0 0 1

⎞ ⎟ ⎠, ⎞ ⎟ ⎠

⎞ cos ϕ y 0 sin ϕ y ⎟ ⎜ Ry = ⎝ 0 1 0 ⎠, − sin ϕ y 0 cos ϕ y ⎛

(2.233)

2.4 Deduktive Modellbildung

107

Schnittkraft f und Schnittmoment m (Index 0 kennzeichnet Gr¨oßen der spannungsfreien Konfiguration) h¨angen von den geometrischen Verh¨altnissen und den Federparametern ab: f = RΓ (RT r  − RT0 r0 ),

m = RK(Φ Tφ  − Φ T0φ 0 )

Federparameter sind enthalten in den Matrizen ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ GIT 0 EA 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ K = ⎝ 0 EI2 0 ⎠ Γ = ⎝ 0 GAS2 0 ⎠, 0 0 GAS3 0 0 EI3 EA GAS2 , GAS3 GIT EI2 , EI3

(2.234)

(2.235)

Dehnsteifigkeit Schubsteifigkeiten Drehsteifigkeit Biegesteifigkeiten

Zwischen den Massenkr¨aften und -momenten, den Schnittgr¨oßen und den eingepr¨agten Linienlasten q = (qx , qy , qz )T muß Gleichgewicht herrschen:   RJΦ Tφ˙ ˙ = m  + Sr  f (2.236) (M˙r) ˙ = f  + q, ⎞ ⎛ 0 −z  +y  ⎟ ⎜ (2.237) Sr  = ⎝ +z  0 −x  ⎠   −y +x 0 Masseparameter sind enthalten in den Matrizen ⎛ ⎛ ⎞ ⎞
A 0 0
I1 0 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ M = ⎝ 0
A 0 ⎠ , J = ⎝ 0
I2 0 ⎠ 0 0
A 0 0
I3

(2.238)


A Massebelegung
I1 ,
I2 ,
I3 bezogene Tr¨agheitsmomente

Die Gln. (2.235) und (2.238) gelten f¨ur die Querschnittshauptachsen bei Verwendung der Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte als Balkenachse. Im folgenden wird davon ausgegangen, daß die Querschnittskenngr¨oßen konstant sind. Nach Einsetzen der kinematischen Beziehungen (2.233) und der Schnittgr¨oßenVerformungs-Beziehungen (2.234) in die Gleichgewichtsbedingungen (2.236) erh¨alt man 6 nichtlineare partielle Differentialgleichungen f¨ur die 6 Variablen in r(t, s) und φ (t, s), die der Modellstufe 3 entsprechen. Diese Gleichungen sind in vielen F¨allen schwierig mathematisch zu handhaben. Deshalb ist es oft zweckm¨aßig, zu strukturell einfacheren Gleichungen u¨ berzugehen, wenn die Verschiebungen und Verdrehungen eine bestimmte Gr¨oße nicht u¨ berschreiten. Sollen z. B. die Querschwingungen von rotierenden Wellen untersucht werden, dann kann man davon ausgehen, daß die Verschiebungen in den Querrichtungen klein bleiben. Mit dem Ansatz: ⎞ ⎛ s ⎟ ⎜ ϕx = Ω t (2.239) r = ⎝ wy ⎠ , wz

108

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

erh¨alt man nach Linearisierung aus den Beziehungen (2.232) bis (2.238) f¨ur die linearen Querschwingungen des Timoshenko-Balkens mit rotationssymmetrischem Querschnitt folgende partielle Differentialgleichungen f¨ur die Verschiebungen (wy , wz ) und die Verdrehungen (ϕ y , ϕ z ), wenn Ω die als konstant angenommene Winkelgeschwindigkeit der Welle ist:


Aw¨ y

= GAS (wy − ϕ z )  + qy ,


I(ϕ¨ z − 2Ω ϕ˙ y ) = EI ϕ z + GAS (wy − ϕ z )
Aw¨ z

=

GAS (wz



+ ϕ y ) + qz ,


I(ϕ¨ y + 2Ω ϕ˙ z ) = EI ϕ y − GAS (wz + ϕ y )

(2.240) (2.241) (2.242) (2.243)

Dabei ist GAS = GAS2 = GAS3 und I = I2 = I3 = 1/2 · I1 . Die Gln. (2.240) und (2.241) beschreiben die Schwingungen in y-Richtung und die Gln. (2.242) und (2.243) die Schwingungen in z-Richtung. Die Bewegungen in y- und in z-Richtung sind durch die Kreiselwirkung des Querschnitts (repr¨asentiert durch die Terme −2
I Ω ϕ˙ y und +2
I Ω ϕ˙ z ) miteinander gekoppelt. Dreht sich die Welle nicht oder ist die Kreiselwirkung vernachl¨assigbar klein, dann entkoppeln sich die Gln. (2.240) bis (2.243). Die Schwingungen in den zwei Ebenen k¨onnen dann getrennt voneinander betrachtet werden. Eliminiert man aus den Differentialgleichungen (2.240) bis (2.243) die Winkel ϕ y und ϕ z und vernachl¨assigt die Rotation (Ω = 0), dann erh¨alt man die Bewegungsgleichungen f¨ur die Querschwingungen des Timoshenko-Balkens um seine Hauptachsen in der x, y-Ebene und der x, z-Ebene: ....
Aw¨ y −
Izz (1 + EA/GAS )w¨ y +
Izz (
A/GAS ) wy +EIzz wy = qy (2.244) ....
Aw¨ z −
Iyy (1 + EA/GAS )w¨ z +
Iyy (
A/GAS ) wz +EIyy wz = qz (2.245) Die Fl¨ache AS = kA folgt aus der Querschnittsfl¨ache A und einer von der Querschnittsform abh¨angigen Schubverteilungszahl k > 1, die z. B. beim Rechteck-Vollquerschnitt k = 1, 2 betr¨agt. Die Fl¨achentr¨agheitsmomente Iyy und Izz beziehen sich auf die Querschnittshauptachsen. Die bisher betrachteten Differentialgleichungen eindimensionaler Kontinua beziehen sich auf das in Gl. (2.232) eingef¨uhrte raumfeste kartesische Koordinatensystem. Sollen kleine Bewegungen relativ zu einer station¨aren Kontur (z. B. Ballonkurve in Bild 2.44a oder Bewegung u¨ ber Rolle) berechnet werden, so ist es oft zweckm¨aßig, die nat¨urlichen Richtungen (d. h. das begleitende Dreibein) der station¨aren Kontur zur Darstellung der Bewegungsgleichungen zu verwenden. Im folgenden wird am Beispiel der linearen Schwingungen von zylindrischen Schraubenfedern gezeigt, wie sich die betreffenden Differentialgleichungen aus Gln. (2.232) bis (2.238) ergeben. Die Schraubenfeder habe den Wickelradius R und die Steigung m, vgl. Bild 2.42. Die Raumkurve der Schraubenlinie entspricht der Balkenachse im spannungsfreien Zustand und ist gegeben durch: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ R cos ψ x0 s ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ mit ψ =
(2.246) r0 (s) = ⎝ y0 ⎠ = ⎝ R sin ψ ⎠ , 2 R + m2 z0 mψ

2.4 Deduktive Modellbildung

109

z

2πm

ψ

(x0, y0, z0)

R

x

y

Bild 2.42 Geometrische Verh¨altnisse an der Schraubenfeder

Das begleitende Dreibein (Tangenteneinheitsvektor e1 , Normaleneinheitsvektor e2 und Binormaleneinheitsvektor e3 ) der Schraubenlinie ergibt sich aus Gl. (2.246) zu (vgl. z. B. [50]): ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ −R sin ψ − cos ψ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ e2 = ⎝ − sin ψ ⎠ , e1 =
⎝ R cos ψ ⎠ , 2 2 R +m m 0 ⎞ ⎛ m sin ψ 1 ⎟ ⎜ e3 =
(2.247) ⎝ −m cos ψ ⎠ R2 + m2 R Nach Transformation in die durch Gln. (2.247) definierten nat¨urlichen Richtungen erh¨alt man nach Linearisierung aus den allgemeinen Timoshenko-Balkengleichungen (2.232) bis (2.238) folgenden Satz von Bewegungsgleichungen, vgl. z. B. [356]: Gleichgewichtsbedingungen:


Au¨1 = F1 − KF2 + q1

(2.248)


Au¨2 =

F2

+ KF1 − W F3 + q2

(2.249)


Au¨3 =

F3

+ W F2 + q3

(2.250)


I1 ϕ¨ 1 = M1 − KM2

(2.251)


I2 ϕ¨ 2 =

M2

+ KM1 − W M3 − F3

(2.252)


I3 ϕ¨ 3 =

M3

+ W M2 + F2

(2.253)

Schnittgr¨oßen-Verformungs-Beziehungen: F1 = EA(u1 − Ku2 )

(2.254)

F2 =

GAS2 (u2

+ Ku1 − Wu3 − ϕ 3 )

(2.255)

F3 =

GAS3 (u3

+ Wu2 + ϕ 2 )

(2.256)

M1 =

GIT (ϕ 1

− Kϕ 2)

(2.257)

110

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

M2 = EI2 (ϕ 2 + K ϕ 1 − W ϕ 3 ) M3 =

EI3 (ϕ 3

+ W ϕ 2)

(2.258) (2.259)

Dabei sind die uk die Verschiebungen und die ϕ k die Verdrehungen der Schraubenlinie, die Fk die Schnittkr¨afte und die Mk die Schnittmomente, jeweils gemessen in den nat¨urlichen Richtungen (k = 1, 2, 3). K und W sind Kr¨ummung bzw. Windung der Schraubenlinie: m R , W= 2 (2.260) K= 2 R + m2 R + m2 Gln. (2.248) bis (2.259) gelten f¨ur kleine Verschiebungen und Verdrehungen. Nach Einsetzen der Schnittgr¨oßen-Verformungs-Beziehungen (2.254) bis (2.259) in die Gleichgewichtsbedingungen (2.248) bis (2.253) erh¨alt man 6 lineare partielle Differentialgleichungen f¨ur die uk (t, s) und ϕ k (t, s). Die Differentialgleichungen (2.244) bis (2.255) enthalten als Spezialfall die Gleichungen f¨ur die linearen Querschwingungen des geraden Timoshenko-Balkens ohne Kreiselwirkung. Setzt man K = 0 und W = 0, dann erh¨alt man aus den Gln. (2.248) bis (2.259) die Gln. (2.240) bis (2.243), wenn dort Ω = 0 gesetzt wird. Weiterhin erh¨alt man f¨ur K = W = 0 aus den Schraubenfedergleichungen (2.248) und (2.254) die Differentialgleichungen f¨ur den Zug-Druck-Stab (L¨angsverschiebung u = u1 ):


Au¨ = (EAu  )  + q1

(2.261)

und aus den Schraubenfedergleichungen (2.251) und (2.257) die Differentialgleichungen f¨ur den Torsionsstab (Drehwinkel ϕ = ϕ 1 ):


I1 ϕ¨ = (GIT ϕ  ) 

(2.262)

Setzt man in den Schraubenfedergleichungen m = 0 (⇒ W = 0), dann folgen aus Gln. (2.248) bis (2.259) die Bewegungsgleichungen f¨ur einen Kreisbogentr¨ager, vgl. auch [333], Bd. 3. Das Timoshenko-Balkenmodell ber¨ucksichtigt die Querschubdeformation und die rotatorische Tr¨agheit des Querschnitts. Diese sind aber insbesondere f¨ur schlanke Balken sehr klein. Vernachl¨assigt man die Querschubdeformation, dann muß der Normalenvektor des Querschnitts parallel zum Tangentenvektor der Balkenachse sein: Sr  RRT0 r0 = o

(2.263)

Geht man davon aus, daß der Querschnitt rotationssymmetrisch ist und daß der Balken im spannungsfreien Zustand gerade ist, dann erh¨alt man bei Vernachl¨assigung der Querschubdeformation (Gl. (2.263)) und der rotatorischen Tr¨agheit des Querschnitts (J = 0) aus den Timoshenko-Balkengleichungen (2.232) bis (2.238) nach Elimination der Querkr¨afte die Bewegungsgleichung des geometrisch nichtlinearen Euler-Bernoulli-Balkens in folgender Form (vgl. [346]):  √  r 
A¨r = EA r T r  − 1 √ (2.264) r T r       r Sr  r  (r T r  )r  − 2 ϑ +q + GI + EISr  Sr  T (r T r  )2 (r T r  )3 (r T r  )3/2

111

2.4 Deduktive Modellbildung

z in m

100 0 −100

−200 −300 −200 −100

0

100

200

300

400

500 600 x in m

700

0

100

200

300

400

500 600 x in m

700

y in m

200 100 0 −300 −200 −100

Bild 2.43 Anwendungsbeispiel f¨ur Gl. (2.264): Instation¨are Bewegung des Steuerkabels einer Unterwassersonde (Abb. aus [346])

Setzt man EI = 0 und GIT = 0, so geht Gl. (2.264) in die Bewegungsgleichung des geometrisch nichtlinearen dehnbaren, biege- und torsionsschlaffen Fadens u¨ ber:  √  r  T 
A¨r = EA r r −1 √ +q (2.265) r T r  Aus ihr wurde z. B. der Fadenballon beim Ringspinnen und die Fadenbewegung beim Abzug von einer Spule berechnet, vgl. Bild 2.44b. In allen bisher betrachteten Berechnungsmodellen wurde als Ortskoordinate die materielle Bogenkoordinate verwendet. Die Verwendung der materiellen Bogenkoordinate als Ortskoordinate ist zweckm¨aßig, wenn kein Massetransport u¨ ber die Systemgrenzen auftritt. Zur Berechnung von l¨angsbewegten eindimensionalen Kontinua, wie sie bewegte Riemen, Kabel, B¨ander oder Ketten darstellen, empfiehlt sich die Transformation auf ein nichtmaterielles Intervall. Ist v die Geschwindigkeit des Kontinuums in L¨angsrichtung, dann erh¨alt man nach Einf¨uhrung der neuen unabh¨angigen Variablen: τ = t,

σ = s + vt

(2.266)

folgende Ausdr¨ucke f¨ur Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung: ∂r ∂t

=

∂r ∂τ

+v

∂r ∂σ

,

∂2 r ∂t 2

=

∂2 r ∂τ 2

+ 2v

∂2 r ∂σ ∂τ

+ v2

∂2 r ∂σ 2

(2.267)

112

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Bild 2.44 Anwendungsbeispiele f¨ur Gl. (2.265): a) Fadenballon beim Ringspinnen (Abb. aus [274]), b) Fadenabzug von einer Spule (Abb. aus [28])

Die Gln. (2.264) und (2.265) gelten f¨ur beliebig große Verschiebungen, so lange die Verzerrungen klein bleiben. Ist der Bewegungsvorgang eben und sind die auftretenden Verschiebungen im Verh¨altnis zur Balkenl¨ange klein, dann folgt mit dem Ansatz (u – L¨angsverschiebung, w – Querverschiebung, F0 – konstante Vorspannkraft): ⎞ ⎛   s 1 + F0 /(EA) + u ⎟ ⎜ (2.268) r=⎝ w ⎠ 0 f¨ur die gekoppelten nichtlinearen L¨angs- und Querschwingungen des l¨angsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens aus Gl. (2.264), wenn man w  bis zum kubischen Term und alle anderen Gr¨oßen jeweils bis zum linearen Term entwickelt und den Einfluß der L¨angsgeschwindigkeit v entsprechend Beziehungen (2.266) und (2.267) einarbeitet:  

 1 2  2    
A(u+2v ¨ u˙ +v u ) = F0 +EA u + w (2.269) + EIw w +qx 2     1 2  2       w −EI(w −u w ) +qy
A(w+2v ¨ w˙ +v w ) = F0 +EA u + w 2 (2.270) Das dynamische Verhalten von Riemen und langen Abspannseilen (z. B. bei Baggern) oder langer d¨unner St¨abe ist durch gekoppelte Biege-L¨angsschwingungen gekennzeichnet. Die Gln. (2.269) und (2.270) sind u¨ ber die nichtlinearen Terme in den rechten Seiten miteinander gekoppelt. Diese Kopplung ist st¨arker, wenn die Nichtlinearit¨aten gr¨oßer sind. Ist die Querbewegung w so klein, daß die nichtlinearen Terme in Gl. (2.269) vernachl¨assigbar klein sind, und lassen sich die aus der L¨angsbewegung resultierenden Tr¨agheitswirkungen ebenso vernachl¨assigen wie die Linienlast qx , so

2.4 Deduktive Modellbildung

113

erh¨alt man aus Gln. (2.269) und (2.270) die Differentialgleichung f¨ur die parametererregten Querschwingungen des l¨angsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens: (F0 + EAu  )  = 0 

⇒

EAu  = F1 (t)



(2.271) 


A(w¨ + 2vw˙ + v w ) = (F0 + F1 (t)) w − EIw 2



+ qy

(2.272)

Der zeitabh¨angige L¨angskraftanteil F1 (t) kann beispielsweise durch die Drehschwingungen angrenzender Riemenscheiben hervorgerufen werden. F¨ur v = 0 beschreibt Gl. (2.272) den pulsierend belasteten Knickstab (z. B. Pleuelstangen in Mechanismen). 2.4.4.2 Biegeschwingungen Ist die L¨angskraft konstant, dann erh¨alt man aus Gl. (2.272) f¨ur die entkoppelten linearen Querschwingungen des l¨angsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens mit L¨angskrafteinfluß:


A(w¨ + 2vw˙  + v2 w  ) = F0 w  − EIw  + qy

(2.273)

Gl. (2.273) schließt folgende wichtige Sonderf¨alle ein: • f¨ur F0 = 0 und v = 0 den ruhenden Euler-Bernoulli-Balken ohne L¨angskrafteinfluß:


Aw¨ = −EIw  + qy

(2.274)

• f¨ur EI = 0 die l¨angsbewegte Saite (z. B. l¨angsbewegte Riemen oder B¨ander):


A(w¨ + 2vw˙  + v2 w  ) = F0 w  + qy

(2.275)

• und f¨ur EI = 0 und v = 0 die ruhende Saite:


Aw¨ = F0 w  + qy

(2.276)

Die Basis f¨ur viele Schwingungsberechnungen des Biegeschwingers bildet die gew¨ohnliche Differentialgleichung EIr  +
Aω 2 r = 0

(2.277)

die aus Gl. (2.274) folgt, wenn keine Querbelastung auftritt (qy = 0) und harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz angenommen werden: w(t, s) = r(s) exp( jω t)

(2.278)

Lineare Schwingungsprobleme f¨uhren auf Eigenwertprobleme gew¨ohnlicher Differentialgleichungen, aus denen sich die Eigenfrequenzen und Eigenformen bzw. Eigenbewegungen bestimmen lassen (Modellstufe 2a). In Tabelle 2.13 sind die Eigenfrequenzen einiger der in diesem Abschnitt dargestellten linearen Berechnungsmodelle dargestellt, die man aus den genannten Formeln gewinnen kann, vgl. [134], [150].

114

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.13 Eigenfrequenzen bei Querschwingungen (beidseitig gelenkig gelagert) Berechnungsmodell Folgerung aus Eigenfrequenzen fi (i = 1, 2, 3, . . .)    Gln. (2.240), EA π i2 EI ε Timoshenko-Balken (2.242) mit 1− 1+ (1) fi = 2
A 2 GAS 2l Ω =0 ⎡ ⎤  2  2 I I π i Ω Ω EI rotierender Gln. (2.244), f = ± (1+ ε ) ⎦ (2) (1− ε )⎣ + i Rayleigh-Balken (2.245) A A
A 2l 2 Euler-BernoulliBalken mit L¨angskraft l¨angsbewegte Saite

π i2

Gl. (2.273) mit v = 0

fi =

Gl. (2.275)

i fi = 2l

Dabei bedeutet mit der Balkenl¨ange l: ε = π 2 i2



2l 2 

 EI
A

F0
A

1+

F0 l 2 π 2 i2 EI

 
Av 2 1− F0

(3)

(4)

I 1 Al 2

F¨ur Schwingungen des Timoshenko-Balkens in einer Ebene ergibt sich mit dem Ansatz (2.278) aus (2.244) oder (2.245) die gew¨ohnliche lineare Differentialgleichung f¨ur r(s): EIr  +
I ω 2 (1 + EA/GAS )r  +
Aω 2 (
I ω 2 /GAS − 1)r = 0

(2.279)

Diese Gleichung erweitert (2.277) um drei Terme, welche die Rotationstr¨agheit der Querschnitte (
I ω 2 ) und die Schubverformung (GAS ) ber¨ucksichtigen. Wird in (2.279) f¨ur die dynamische Biegelinie der Ansatz r(s) = rˇ exp(κ ξ );

ξ = x/l

(2.280)

eingesetzt, erh¨alt man mit den Abk¨urzungen π1 =

I , AI 2

π2 =

EI , GAS I 2

π3 = λ 4 =


AI 4 ω 2 EI

(2.281)

die charakteristische Gleichung κ 4 + (π 1 + π 2 )λ 4 κ 2 + (π 1 π 2 λ 4 − 1)λ 4 = 0

(2.282)

¨ im Sinne von Abschn. 2.2.2. Die EigenfrequenDie π i sind Ahnlichkeitskennzahlen zen sind in der dimensionslosen Kennzahl π 3 versteckt“. Im Falle π 1 = π 2 = 0 ” verbleibt das Berechnungsmodell der elementaren Theorie, bei dem Schubverfor¨ mung und Rotationstr¨agheit vernachl¨assigt sind. An Hand der Ahnlichkeitskennzahlen kann man in (2.279) erkennen, daß der Einfluß der Rotationstr¨agheit (π 1 ) und der Schubverformung (π 2 ) auf die charakteristischen Werte κ mit h¨oheren Frequenzen (λ ) ansteigt. Von den vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung (2.282) sind κ 1 = −κ 2 reell und die anderen beiden imagin¨ar:  # $
1 −(π 1 + π 2 )λ 4 + λ 2 (π 1 − π 2 )2 λ 4 + 4 κ1 = (2.283) 2

2.4 Deduktive Modellbildung

Dabei ist κ 3 = −κ 4 = jκ 0 und es gilt  # $
1 κ0 = (π 1 + π 2 )λ 4 + λ 2 (π 1 − π 2 )2 λ 4 + 4 2

115

(2.284)

Die vier charakteristischen Werte w¨aren in (2.280) einzusetzen. Wenn man zur Umformung der Exponentialfunktionen die Eulerschen Relationen benutzt, kann man aber die L¨osung auch mit den trigonometrischen Funktionen und den Hyperbelfunktionen beschreiben, d. h. die Gleichung f¨ur die dynamische Biegelinie des Timoshenko-Balkens lautet allgemein r = a1 cosh(κ 1 ξ ) + a2 sinh(κ 1 ξ ) + a3 cos(κ 0 ξ ) + a4 sin(κ 0 ξ )

(2.285)

F¨ur die vier Koeffizienten a1 bis a4 erh¨alt man, wenn man die Erf¨ullung von der vier Randbedingungen eines Balkens fordert, ein homogenes Gleichungssystem. Das Nullsetzen der Koeffizientendeterminante liefert schließlich die Frequenzgleichung, aus welcher die Eigenfrequenzen berechnet werden k¨onnen, die nat¨urlich von den jeweiligen Randbedingungen abh¨angen. Am Beispiel des Kragtr¨agers sollen Ergebnisse verglichen werden. In Tabelle 2.14 sind die Werte λ i2 angegeben, die sich f¨ur den einseitig eingespannten Kragtr¨ager mit Rechteck-Vollquerschnitt ergeben [345, Bd. 3] und gem¨aß (2.281) den Eigenkreisfrequenzen ω i = 2π fi proportional sind. Tabelle 2.14 Eigenwerte λ i2 des Kragtr¨agers (L¨ange l) mit Rechteckquerschnitt (H¨ohe h) Ordnung i 1 2 3 4 5

elementare Theorie 3,52 22,03 61,70 121,0 200,0

Timoshenko-Balken h/l = 0,1 3,49 20,82 55,36 100,9 153,9

h/l = 0,2 3,41 18,42 44,46 74,14 106,4

h/l = 0,3 3,31 15,90 35,52 55,90 76,29

Die Zahlenwerte zeigen, daß die elementare Balkentheorie nur f¨ur h/l  1 akzeptable Werte f¨ur die unteren Eigenfrequenzen liefert. Wegen der Ber¨ucksichtigung der Schubverformung ist der Timoshenko-Balken nachgiebiger und infolge der Rotationstr¨agheit auch tr¨ager“. Dies hat zur Folge, daß alle Eigenfrequenzen, die nach ” der elementaren Balkentheorie berechnet werden, gr¨oßer sind als die des weicheren“ ” Timoshenko-Balkens, der die Realit¨at genauer erfaßt. Die Unterschiede nehmen mit der Ordnung i der h¨oheren Eigenfrequenzen zu. Einen weiteren Vergleich der Ergebnisse der elementaren Theorie mit der Timoshenko-Theorie bez¨uglich der Eigenschwingformen zeigt Bild 2.45. Dort sind f¨ur einen Balken mit Rechteckquerschnitt und dem Verh¨altnis h/l = 0,2 die ersten drei Eigenformen dargestellt. Deutliche Unterschiede sind an der Einspannstelle ersichtlich. Die Eigenformen unterscheiden sich mit zunehmender Ordnung bei den h¨oheren Eigenformen immer mehr voneinander.

116

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

u +1

i =1 i =3

0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,9 1,0 x / l i =2

−1

Bild 2.45 Eigenschwingungsformen des einseitig eingespannten Timoshenko-Balkens Volle Linien: elementare Theorie, gestrichelt: Timoshenko-Theorie

Bei relativ kurzen Balken und insbesondere bei Hohlquerschnitten, bei denen große Schubverteilungszahlen k > 1 vorhanden sind, ist die elementare Theorie zur Berechnung von Balkenschwingungen ungeeignet, da sie zu ungenaue Werte ergibt. Auf die Theorie des Timoshenko- Balkens wird z. B. in [99] und [345, Bd. 3] n¨aher eingegangen. In vielen Rechenprogrammen der modernen Software sind auch Modellelemente des Timoshenko-Balkens enthalten. Zur Erfassung vieler Parameter dient das in Bild 2.46 dargestellte Modell eines ebenen Biegeschwingers. Es ber¨ucksichtigt zwei jeweils in ihrem Schwerpunkt isotrop federnd abgest¨utzte starre K¨orper an beiden R¨andern (k = 1,2). Dieses Modell wird beschrieben durch zwei Massen mk , zwei Tr¨agheitsmomente Jk , zwei L¨angsfedern mit den Federkonstanten kk , zwei Drehfedern mit den Drehfederkonstanten kTk und einem sie verbindenden massebelegten Balken. Der Balken hat die L¨ange l, eine konstante Querschnittsfl¨ache A und das Fl¨achentr¨agheitsmoment I. Sein Material besitzt den Elastizit¨atsmodul E und die Dichte
. Die axialen Tr¨agheitsmomente Jk der K¨orper beziehen sich auf die jeweiligen Schwerpunktachsen senkrecht zur Bildebene. Es sind Haupttr¨agheitsmomente. l m1

m2

J1

J2

EI
A

kT1 k1

kT2 k2

Bild 2.46 Mit L¨angs- und Drehfedern abgest¨utzter Kontinuum-Balken

Der Parametervektor dieses ebenen Modells enth¨alt insgesamt K =13 Parameter: pT = (m1 , m2 , J1 , J2 , k1 , k2 , kT1 , kT2 ,l, E, I,
, A)

(2.286)

2.4 Deduktive Modellbildung

117

Daraus lassen sich mit den drei Bezugsgr¨oßen l, EI und
Al folgende acht dimensi¨ onslosen Ahnlichkeitskennzahlen bilden (k = 1, 2) mk kk l 3 Jk kTk l ; ; (2.287) π 2k = π 3k = ; π 4k =
Al EI
Al 3 EI Aus den physikalischen und geometrischen (dimensionsbehafteten) Parametern folgen alle Eigenfrequenzen fi = ω i /(2π ), die mit den dimensionslosen Eigenwerten λ i im folgenden Zusammenhang stehen: π 1k =


Al 4
Al 4 = ω i2 (2.288) EI EI ¨ Das hier nicht n¨aher beschriebene Verfahren der Ubertragungsmatrizen [150] erlaubt, eine geschlossene Formel f¨ur die Frequenzgleichung zu gewinnen, aus der alle Eigenwerte – und mit (2.288) letztlich auch alle Eigenfrequenzen fi (i = 1, 2, . . ., ∞) – berechnet werden k¨onnen. Es ist m¨oglich, diese Frequenzgleichung mit den vier dimensionslosen Kennzahlen λ i4 = (2π fi )2

Kk = λ π 1k −

π 2k

λ3

;

Lk = λ 3 π 3k −

π 4k

λ

;

k = 1, 2

(2.289)

auszudr¨ucken. Dazu werden folgende nur vom Eigenwert λ abh¨angende Funktionen definiert: g1 = cos λ cosh λ ;

g2 = sin λ sinh λ

g3 = sin λ cosh λ ;

g4 = cos λ sinh λ

(2.290)

Mit den vorgenannten Ausdr¨ucken lautet die Frequenzgleichung: F(λ , p) = (1 − g1 )(K1 L1 K2 L2 + 1) + (1 + g1 )(K1 L1 + K2 L2 ) +2g1 (K1 L2 + K2 L1 ) + 2g2 (K1 K2 − L1 L2 ) +(g3 − g4 )[(K1 + K2 − K1 K2 (L1 + L2 )]

(2.291)

+(g3 + g4 )[(L1 + L2 − L1 L2 (K1 + K2 )] = 0 Es ist eine nichtlineare transzendente Gleichung, aus der man alle Eigenwerte λ i (i = 1, 2, . . ., ∞) berechnen kann. Sie umfaßt die Frequenzgleichungen vieler technisch interessanter Biegeschwinger. Tabelle 2.15 zeigt als Spezialf¨alle von Bild 2.46 einige Beispiele von verschieden gelagerten Biegeschwingern und deren Frequenzgleichungen, die sich deduktiv aus (2.291) gewinnen lassen. Die drei Bezugsgr¨oßen (L¨ange l, Biegesteifigkeit EI, Balkenmasse
Al), die den Kontinuumbalken charakterisieren, sind in Tabelle 2.15 nicht mit eingetragen. Meist interessieren nur die niederen Eigenfrequenzen, d. h. die kleinsten λ Werte. Zweckm¨aßig wird zu deren Ermittlung ein Computerprogramm zur Nullstellensuche benutzt. Mit einer Frequenzgleichung ist die Sensitivit¨atsanalyse, also speziell die Analyse von Parametereinfl¨ussen (z. B. der Lagersteifigkeiten) auf alle Eigenfrequenzen relativ schnell m¨oglich. Auch zur L¨osung von Aufgaben der Synthese kann man (2.291) und deren Spezialf¨alle verwenden. Man kann z. B. bis zu vier gew¨unschte Eigenfrequenzen vorgeben

118

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.15 Beispiele von Biegeschwingern (Spezialf¨alle von dem Modell in Bild 2.46) Fall Skizze 15 cT1

m2

16

Frequenzgleichung −π 41 (1 + g1 ) + (g3 − g4 )(1 + π 12 π 41 )λ + 2g2 π 12 λ 2 = 0

(1 − g1 )π 12 π 32 λ 4 + 1 + g1 − (g3 − g4 )π 12 λ − (g3 + g4 )π 32 λ 3 = 0

m2 J2

17

(1 + g1 )λ 3 − (g3 − g4 )(π 12 λ 4 − π 21 ) = 0

m2 c2

18

cT2

(1 + g1 )π 42 λ 3 − (g3 − g4 )(λ 4 − π 21 π 42 ) + 2g2 π 21 λ = 0

c1

und bei einer Syntheseaufgabe diejenigen Parameterwerte bestimmen, bei denen der Biegeschwinger (neben anderen) genau diese Eigenfrequenzen hat. Mit angenommenen Werten f¨ur die drei Bezugsgr¨oßen erh¨alt man anfangs die geforderten Zahlenwerte λ i und kann damit soviel Frequenzgleichungen aufstellen, wie man Unbekannte hat. Es sind zun¨achst die vier Unbekannten K1 , K2 , L1 und L2 in (2.291) oder z. B. die unbekannten π ik in Tabelle 2.15. Aus den berechneten dimensionslosen Kennzahlen folgen in Verbindung mit den Bezugsgr¨oßen die Parameterwerte pk aus (2.287), welche einen Schwinger definieren, der (neben anderen) die vorgegebenen Eigenfrequenzen hat. Zur Erl¨auterung der scheinbar komplizierten Verfahrensweise werden zwei Beispiele betrachtet. Das erste Beispiel behandelt die Frage nach der Frequenzgleichung f¨ur das Berechnungsmodell in Bild 2.33. Der Parametervektor enth¨alt in diesem Falle sieben Elemente (k1 , k2 , l, E, I,
, A). Es gibt damit gem¨aß (2.287) nur zwei von Null ver¨ schiedene Ahnlichkeitskennzahlen: π 21 =

k1 l 3 , EI

π 22 =

k2 l 3 EI

(2.292)

Damit folgt aus (2.288) L1 = L2 = 0; K1 = −π 21 /λ ; K2 = −π 22 /λ und aus (2.291) die spezielle Frequenzgleichung F(λ , p) = 1 − g1 + 2g2 K1 K2 + (g3 − g4 )(K1 + K2 ) = 1 − cos λ cosh λ + 2 sin λ sinh λ π 21 π 22 /λ 2 −(sin λ cosh λ − cos λ sinh λ )(π 21 + π 22 )/λ = 0

(2.293)

2.4 Deduktive Modellbildung

119

Als zweites Beispiel soll die Frequenzgleichung f¨ur den einseitig eingespannten Balken (Kragtr¨ager, vgl. Bild 2.45) aufgestellt werden. F¨ur diesen Spezialfall ist am rechten freien Rand m2 = 0, J2 = 0, k2 = 0 und kT2 = 0. Die Einspannstelle am linken Rand l¨aßt sich durch den Grenz¨ubergang f¨ur m1 → ∞ (oder k1 → ∞) und J1 → ∞ ¨ (und/oder kT1 → ∞) mit dem Modell in Bild 2.46 auch erfassen. Die Ahnlichkeitskennzahlen sind daf¨ur π 11 = π 21 = π 31 = π 41 → ∞,

π 51 = 0;

(2.294)

π 12 = π 22 = π 32 = π 42 = π 52 = 0

Daraus folgt aus (2.288) K1 → ∞, K2 = 0, L1 → ∞ und L2 = 0. Die Frequenzgleichung (2.291) verk¨urzt sich nach einem Grenz¨ubergang zu F(λ , p) = 1 + g1 = 1 + cos λ cos hλ = 0 (2.295) lim K1 →∞, L1 →∞ K1 L1 Diese Gleichung ergibt sich aus Tabelle 2.15, sowohl f¨ur Fall 1 (mit π 12 = 0, π 41 → ∞), f¨ur Fall 2 (mit π 12 = π 32 = 0) als auch f¨ur Fall 3 (π 12 = π 21 = 0). Die erste und die zweite Nullstelle der Frequenzgleichung (2.295) sind λ 1 = 1,8751 und λ 2 = 4,6941. Diese beiden Werte wurden in (2.195) und (2.196) verwendet (1/λ 14 = 0,080 89; 1/λ 24 = 0,002 060), um die Eigenfrequenzen des diskreten Zweimassenmodells mit denen des Kontinuums zu vergleichen, vgl. Fall 4 in Tabelle 2.9. 2.4.4.3 ¨ Langsund Torsionsschwingungen Werden die L¨angs- oder Torsionsschwingungen von St¨aben mit dem KontinuumModell berechnet, ergeben sich bei allen Lagerbedingungen unendlich viele Eigenfrequenzen. Sie stehen in Verbindung mit der Schallgeschwindigkeit im Kontinuum, welche in Metallen f¨ur L¨angsschwingungen  E ∼ (2.296) c= = 5 km/s


ist, da das Verh¨altnis von E-Modul zu Dichte
bei den u¨ blicherweise verwendeten Metallen etwa in dem selben Verh¨altnis zueinander steht und f¨ur Torsionsschwingungen  GIT ∼ (2.297) c= = 3,2 km/s
Ip betr¨agt. Liegen keine Kreisquerschnitte vor, gilt IT = Ip , d. h., das sogenannte Torsionsfl¨achenmoment IT unterscheidet sich dann vom polaren Fl¨achentr¨agheitsmoment Ip . Die Eigenfrequenzen fi und zugeh¨origen Eigenformen ui ergeben sich f¨ur Zug-Druck-St¨abe und f¨ur Torsionsst¨abe aus denselben Formeln. Sie lauten f¨ur beiderseits freie St¨abe unter Beachtung der Ausdr¨ucke aus Gl. (2.296) oder Gl. (2.297): f1 = 0, (i − 1)c , fi = 2l

u1 = 1   (i − 1)π x ; ui = cos l

i = 2, 3, . . . , ∞

(2.298)

120

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

F¨ur einseitig befestigte/einseitig freie Zug-Druck- oder Torsionsst¨abe gilt   (2i − 1)π x (2i − 1)c fi = , ui = sin ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.299) 4l 2l F¨ur beiderseits befestigte Zug-Druck- oder Torsionsst¨abe gilt   iπ x i·c , ui = sin fi = ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.300) 2l l F¨ur den Kontinuum-Stab, der mit einem diskreten Schwinger verbunden ist, lassen sich zwei dimensionslose Kenngr¨oßen einf¨uhren, von denen (abgesehen von den Randbedingungen) die Eigenwerte λ i abh¨angen: ω il kl m kT l J π1 = ; π2 = λi = =  =  ; (2.301) EA GIT
Al
Ip l c Tabelle 2.16 Frequenzgleichungen f¨ur Kombinationen von Kontinuum und Einzelmasse (links: L¨angsschwinger, rechts: Torsionsschwinger)

Fall

Berechnungsmodell (Frequenzgleichung) l

l

1 A

IP

m

( π1 − π 2 λ ) tan λ + λ = 0 2

A

m

π1 − π 2 λ − π1 π 2 λ tan λ = 0 2

A

IP

J

IP

π1 − π 2 λ − λ tan λ = 0

kT J

(3)

k A

kT

GIT

m

2

4

GIT

(2)

k 3

J

(1)

k 2

kT

GIT

k

m

GIT

kT

IP

J

( π1 − π 2 λ ) tan λ + π1 π 2 λ = 0 (4) 2

F¨ur den Stab, der mit Masse m (bzw. Tr¨agheitsmoment J) verbunden und Feder k (bzw. Torsionsfederkonstante kT ) gekoppelt ist, ergeben sich die Eigenwerte aus den in Tabelle 2.16 angegebenen transzendenten Frequenzgleichungen. Die L¨osung kann f¨ur konkrete Werte der Kennzahlen (also f¨ur gegebene Parameterwerte) numerisch erfolgen. Aus Gl. (1) in Tabelle 2.16 kann man f¨ur π 2 = π 1 = 0 (also f¨ur m = 0, k = 0) aus tan λ = ∞ die in Gl. (2.299) angegebenen Frequenzen finden.

2.4 Deduktive Modellbildung

121

F¨ur mechanische Antriebe lassen sich die in Tabelle 2.16 dargestellten Berechnungsmodelle f¨ur lange Zug-Druck-St¨abe (z. B. Nadelbarren in Textilmaschinen) oder Torsionsst¨abe (z. B. lange Antriebswellen) empfehlen, da sie den Einfluß nachgiebiger Kopplungen an Kontaktstellen erfassen. Bei Torsionsschwingern k¨onnen das Kupplungen sein, bei L¨angsschwingern die Kontaktstellen zu Nachbark¨orpern. Den festen Lagern im Modell k¨onnen in der Realit¨at die Angriffspunkte der kinematischen Erregung zugeordnet werden, z. B. Kurvenscheiben oder Nocken von Ventiltrieben, w¨ahrend den freien R¨andern Krafterregungen zuzuordnen sind. In Abschn. 5.3.4 wird die Kopplung einer Endmasse mit einem Kontinuum ver¨anderlichen Querschnitts n¨aher analysiert. 2.4.4.4 Modellierung einer Getriebewelle Bild 2.47a zeigt eine Getriebewelle, die aus sechs zylindrischen Abschnitten besteht. Neben den darin angegebenen sechs Werten f¨ur die Durchmesser und sechs L¨angen sind folgende drei Materialparameter (also insgesamt 15 Parameter) gegeben: Dichte


= 7 800 kg/m3 ,

Elastizit¨atsmodul

E = 2,1 · 1011 N/m2 und

Querkontraktionszahl

ν = 0,3.

Es sollen die tiefsten drei Torsionseigenfrequenzen mit verschiedenen FE-Modellen berechnet und mit dem einfachen Modell mit 5 Freiheitsgraden (masselose Torsionsfedern, starre Scheiben) verglichen werden, vgl. Bild 2.47b. 40 80

40

80

20

kT1

kT3

∅ 24

∅ 38

∅ 100

∅ 38

∅ 50

∅ 24

20

kT5

J1

kT6

J5

J2

J6

J4

Bild 2.47 Getriebewelle; a) Abmessungen (12 geometrische Parameter), b) Berechnungsmodell mit 5 Freiheitsgraden (9 Parameter)

122

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Es gibt mehrere M¨oglichkeiten, diese Getriebewelle mit FE-Programmen zu berechnen [312]. Es soll die Vernetzung jeweils mit verschiedener Anzahl von Elementen mit 10-knotigen Tetraedern (Solid92), die jeweils drei translatorische Freiheitsgrade haben, mit Hexaedern (Solid45) und mit Balken (Beam4) erfolgen. Mit dem Programm ANSYS (vgl. Tabelle 2.1) wurden die Eigenfrequenzen und Eigenformen f¨ur eine unterschiedliche Anzahl solcher Elemente berechnet. Die in Tabelle 2.17 eingezeichnete Vernetzung entspricht dem dritten Modell. Die Biegeschwingungsformen wurden bloß in einer Ebene (obwohl sie auf Grund der r¨aumlichen Modellierung automatisch in zwei Ebenen berechnet wurden) dargestellt. F¨ur das siebente Berechnungsmodell (Bild 2.47b) wurden mit der in Abschn. 3.2.1 beschriebenen Methode die Kennwerte der Zylinderelemente bestimmt, vgl. Gl. (3.10) und Gl. (3.12). Danach wurde die in Tabelle 2.11 (Fall 1) angegebene Vorschrift zur Diskretisierung benutzt, indem f¨ur jeden der Abschnitte 1, 3, 5 und 6 das ¨ Tr¨agheitsmoment dieser Zylinderabschnitte je zur H¨alfte auf die Ubergangsstellen aufgeteilt wurde und die Drehsteifigkeit erhalten blieb. Die Abschnitte 2 und 4 wurden als starre K¨orper modelliert. Die L¨angen der Abschnitte 1, 3, 5 und 6 wurden mit den Korrekturfaktoren jeweils verl¨angert, vgl. Bild 3.3 und Bild 3.5. Die Parameterwerte des siebenten Modells (vgl. Bild 2.47) ergaben sich also zu J1 = 2,54 kg · mm2 ;

kT1 = 114 383 N · m

J2 = 130,2 kg · mm ;

kT3 = 389 436 N · m

J4 = 3 158,8 kg · mm ;

kT5 = 187 888 N · m

J5 = 74,0 kg · mm2 ;

kT6 = 29 896 N · m

2

2

J6 = 10,2 kg · mm

2

Wie die Modellierung, die Anzahl und die Art der Modellelemente das Ergebnis beeinflussen, geht aus den folgenden Zahlenwerten hervor. Als tiefste Eigenfrequenz der Torsionsschwingung wurde bei allen Modellen f¨ur das ungefesselte System erwartungsgem¨aß f1 = 0 Hz erhalten (Eigenform dazu ist die freie Starrk¨orperdrehung). F¨ur die unteren beiden Torsionseigenfrequenzen ergab sich f¨ur die Modelle: 1:

f2 = 7 380 Hz;

f3 = 8 485 Hz ANSYS, 32 760 Solid92-Elemente

2:

f2 = 7 413 Hz;

f3 = 8 558 Hz ANSYS, 3 627 Solid92-Elemente

3:

f2 = 7 438 Hz;

f3 = 8 616 Hz ANSYS, 9 240 Solid45-Elemente

4:

f2 = 7 453 Hz;

f3 = 8 639 Hz ANSYS, 3 200 Solid45-Elemente

5:

f2 = 7 705 Hz;

f3 = 9 227 Hz ANSYS, 56 Beam4-Elemente

6:

f2 = 7 710 Hz;

f3 = 9 237 Hz ANSYS, 28 Beam4-Elemente

7:

f2 = 6 927 Hz;

f3 = 8 455 Hz Torsionsschwinger, 5-Scheiben

Zur Interpretation der Unterschiede zwischen den berechneten Eigenfrequenzen: Mit gr¨oßer werdender Elemente-Anzahl n¨ahern sich die berechneten Eigenfrequenzen asymptotisch den wahren Werten dieses Kontinuums. Das erste Modell liefert die genauesten Werte, da es die Deformationen im Innern der Welle am genauesten abbildet. Auch diese Ergebnisse best¨atigen die Erfahrungsregel: Je gr¨oßer

2.4 Deduktive Modellbildung

123

Tabelle 2.17 Mit dem Programm ANSYS [10], [312] berechnete Eigenfrequenzen und Eigenformen der Getriebewelle von Bild 2.47a 1

Biegeschwingung: 2 010 Hz

4

Torsionsschwingung: 7 438 Hz

2

Biegeschwingung: 4 526 Hz

5

Torsionsschwingung: 8 616 Hz

3

Biegeschwingung: 6 406 Hz

6

Torsionsschwingung: 10 358 Hz

die Anzahl der Elemente bei der FEM-Modellierung ist, desto kleiner sind die Eigenfrequenzen. Die Tetraeder-Elemente (Solid92) approximieren die Getriebewelle offenbar besser als die Hexaeder-Elemente (Solid45), denn sie liefern mit einer kleineren Elemente-Anzahl die genaueren Eigenfrequenzen. Dies l¨aßt sich aus mechanischer Sicht damit erkl¨aren, daß bei weniger Elementen ein gr¨oßerer Zwang im System herrscht, was zu h¨oheren Steifigkeiten (also zu h¨oheren Frequenzen) f¨uhrt. Die Modellierung beim sechsten Modell mit den 28 Elementen Beam4 (kontinuierliche Torsionsstab-Modelle) ergibt bei f2 etwa 4,5 % und bei f3 etwa 8,9 % zu hohe Werte im Vergleich zu denen des ersten Modells. Das einfache klassische“ siebente Modell des diskreten Torsionsschwingers lie” fert bei f2 etwa 6,5 % bzw. bei f3 etwa 0,4 % zu tiefe Werte gegen¨uber dem genauesten FE-Modell. Die Abweichung zu tieferen Werten ist hier nicht gesetzm¨aßig, sondern zuf¨allig aufgetreten, d. h. der Anwender, der nur das siebente Ergebnis kennen w¨urde, k¨onnte nicht entscheiden, auf welcher Seite das richtige Ergebnis liegt. Vermutlich w¨are dieses Ergebnis aber hinreichend genau und brauchbar, d. h., die einfachen Modelle k¨onnen ausreichen, wenn es nur auf die tiefsten Eigenfrequenzen ankommt, vgl. Abschn. 3.2. In Anbetracht dieser Frequenzunterschiede, die allein durch die Modellierung (und nicht durch die Rechengenauigkeit der Programme) bedingt sind, lehrt schon dieses einfache Beispiel, daß normalerweise stets Unterschiede zwischen Rechenund Meßergebnissen bei Eigenfrequenzen bestehen. In der Praxis wirken sich die begrenzte Genauigkeit der Materialparameter (diese sind meist nur auf zwei Ziffern genau bekannt), der Meßwerte (jede Messung hat eine begrenzte Genauigkeit) und

124

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

¨ der Modellfehler so aus, daß im Normalfall keine genauere Ubereinstimmung als et¨ wa 5 % erwartet werden kann. Eine Ubereinstimmung von weniger als 10 % ist meist ¨ schon gut, aber eine genauere Ubereinstimmung als 2 % ist fragw¨urdig. 2.4.5 Schwenkbewegung eines Auslegerarms Auslegerarme, die als kleine Zeiger in Meßger¨aten (Millimeterbereich), Roboterarme (Meterbereich) oder Ausleger von Turmkranen oder Tagebaugroßger¨aten Schwenkbewegungen ausf¨uhren, lassen sich nicht immer als starre K¨orper behandeln. Ihre Elastizit¨at kann sich sowohl auf das Antriebsmoment als auch auf die Bewegung der Auslegerspitze infolge der angeregten Schwingungen auswirken. F¨ur eine dynamische Zustandsregelung der Bewegungen eines Auslegerarms m¨ussen die sogenannten Streckenparameter bekannt sein, um die R¨uckf¨uhrkoeffizienten des Reglers optimal an die Strecke anzupassen. Es soll an diesem Beispiel gezeigt werden, unter welchen Bedingungen f¨ur ein aus physikalischer Sicht kontinuierliches System (mit unendlich vielen Freiheitsgraden) eine Freiheitsgradreduktion auf ein System mit zwei Freiheitsgraden erfolgen kann. Diese Aufgabe wird hier aus der Sicht der Mechanik gel¨ost, wobei die urspr¨unglichen physikalischen Parameter bekannt sind. Es sei auf ein ganz anderes Konzept hingewiesen, bei dem ebenfalls das Ziel darin besteht, einen beliebigen Mehrmassenschwinger durch die Struktur eines Zwei” massenschwingers abzubilden, um dann die Regelung darauf abzustimmen“ [22]. Es wird dort auf Arbeiten aufgebaut, in denen ein genetischer Algorithmus zur Identifikation der Streckenparameter“ eingesetzt wird. Die in [22] propagierte Art der au” tomatisierten Modellreduktion funktioniert offenbar erfolgreich und erm¨oglicht dem Anwender die Inbetriebnahme von PI-zustandsgeregelten Antrieben, ohne daß dieser die physikalischen Parameter der Regelstrecke kennen muß. Es wird im folgenden das Balkenmodell eines Auslegerarms betrachtet, dessen Einspannstelle zwangl¨aufig gem¨aß des Bewegungsgesetzes   t t 1 ϕ = ϕˆ − sin 2π (2.302) ; 0
t
ta ta 2π ta w¨ahrend der Anregungszeit ta um einen Schwenkwinkel ϕˆ in der horizontalen Ebene gedreht wird, vgl. Bild 2.48. Man vergleiche dazu die Ausf¨uhrungen in Abschn. 5.4.3. ϕ $ ϕ 0 a)

& ϕ

ta

t

0 b)

&& ϕ $ 2ϕ ta

ta

t

0 c)

Bild 2.48 Zwangl¨aufige Schwenkbewegung des Auslegerarms a) Winkel, b) Winkelgeschwindigkeit, c) Winkelbeschleunigung

ta 2

$ 2πϕ

ta

t a2

t

125

2.4 Deduktive Modellbildung

Der Balken mit der drehbaren Einspannung hat eine gleichm¨aßige Massebelegung
A. Infolge der Biegesteifigkeit EI ist er schwingungsf¨ahig, es betragen die ersten beiden Eigenfrequenzen im Stillstand [150]  EI f2 = 3,507ω 0 ; ω0 = (2.303) f1 = 0,560ω 0 ;
Al 4 mit der Bezugskreisfrequenz ω 0 . Zum Vergleich wird mit den beiden in Bild 2.49 dargestellten Modellen gerechnet.

l x2 M an

q2

q1

x1

M an

m2

m1

F2

q3

F1

x1

x2

ϕ(t) a)

b)

w(l)

x

A

&2 mk x k ϕ

xk

w(x)

qk

EI qk &2 m x ϕ xk k k

ϕ(t) d)

c)

Bild 2.49 Berechnungsmodelle eines Auslegerarms a) Diskretes Zweimassensystem, b) Kr¨afte am Zweimassensystem, c) Balken als Kontinuum, d) Zur Erkl¨arung der Fliehkraftkomponente

Als Parameter des Zweimassensystems folgen entsprechend Tabelle 2.9 (Fall 4) in Abschn. 2.3.5 die L¨angen und Einzelmassen (m =
Al): m1 m2 µ1 = µ2 = = 0,499; = 0,386; m m x1 x2 = 0,355; = 0,838 ξ1 = ξ2 = (2.304) l l Es gelten folgende linearen Beziehungen zwischen Kr¨aften und Deformationen des Balkens, vgl. Bild 2.49b: q1 = n11 F1 + n12 F2 ,

q2 = n21 F1 + n22 F2

Die tangential wirkenden Kr¨afte sind     F1 = m1 x1 ϕ¨ − q¨1 + q1 ϕ˙ 2 , F2 = m2 x2 ϕ¨ − q¨2 + q2 ϕ˙ 2

(2.305) (2.306)

126

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Sie setzen sich zusammen aus der Tr¨agheitskraft der Starrk¨orperbewegung (mk xk ϕ¨ ), derjenigen der elastischen Zusatzbewegung (mk q¨k ) und einer in tangentialer Richtung wirkenden Komponente der Fliehkraft. Kombiniert man die Gln. (2.305) und (2.306), erh¨alt man die Bewegungsgleichungen f¨ur die Relativkoordinaten q1 und q2 : n11 m1 q¨1 + n12 m2 q¨2 + (1 − n11 m1 ϕ˙ 2 )q1 − n12 m2 ϕ˙ 2 q2 = ϕ¨ (n11 m1 x1 + n12 m2 x2 )

(2.307)

n21 m1 q¨1 + n22 m2 q¨2 − n21 m1 ϕ˙ q1 + (1 − n22 m2 ϕ˙ )q2 2

2

= ϕ¨ (n21 m1 x1 + n22 m2 x2 )

(2.308)

Es sind zwei gekoppelte gew¨ohnliche Differentialgleichungen mit ver¨anderlichen Koeffizienten. Die Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung f¨ur die Schwenkbewegung des Antriebs folgen aus Gl. (2.302) zu    ϕˆ t t 2π ϕˆ ϕ˙ = ϕ¨ = 2 sin 2π (2.309) 1 − cos 2π , ta ta ta ta Die Einflußzahlen ergeben sich f¨ur k = 1 und k = 2 zu xk3 x2 (3l − xk ) x2 (3x2 − x1 ) , n3k = k , n12 = 1 = n21 (2.310) 3EI 6EI 6EI Das Antriebsmoment folgt aus dem Momentengleichgewicht, vgl. Bild 2.49b und Gl. (2.306): nkk =

Man = x1 F1 + x2 F2 − m1 x1 ϕ˙ 2 q1 − m2 x2 ϕ˙ 2 q2 = x1 m1 (x1 ϕ¨ − q¨1 ) + x2 m2 (x2 ϕ¨ − q¨2 )

(2.311)

Es kann nach der Berechnung der L¨osungen der Bewegungsgleichungen bestimmt werden. F¨ur die Starrk¨orperbewegung w¨urde es einfach Man = (ml 2 /3)ϕ¨ betragen. Der Relativweg an der Armspitze kann mit den Koordinaten q1 und q2 ausgedr¨uckt werden: n31 n22 −n32 n21 n32 n11 −n31 n12 q1 + q2 = −0,667q1 + 1,445q2 (2.312) q3 = n11 n22 −n212 n11 n22 −n212 Die letztgenannten Zahlenwerte ergeben sich nach dem Einsetzen der aus Gl. (2.304) bekannten Gr¨oßen. Die L¨osung der Bewegungsgleichungen (2.307) und (2.308) unter den Anfangsbedingungen t = 0:

q1 = q2 = 0, q˙1 = q˙2 = 0

(2.313)

kann numerisch mit einem expliziten Runge-Kutta-Verfahren erfolgen. Die numerische Integration endet nicht zur Zeit ta , weil sich daran noch die freien Schwingungen anschließen. Die zugeh¨origen Bewegungsgleichungen der zweiten Etappe folgen aus den Gln. (2.307), (2.308) oder (2.317), wenn f¨ur die kinematische Erregung ϕ˙ 1 = 0 und ϕ¨ 1 = 0 gesetzt wird. Die numerische Integration wird bei t = 2ta abgebrochen. Wird f¨ur den Auslegerarm das Kontinuum-Modell benutzt, so ist von der aus Abschn. 2.4.4. folgenden partiellen Differentialgleichung (2.215) auszugehen. Da keine L¨angsgeschwindigkeit vorhanden ist, folgt daraus (v = 0):


Aw¨ − (F0 w  )  + EIw  − qy = 0

(2.314)

2.4 Deduktive Modellbildung

127

Aus der tangentialen und radialen Beschleunigung des sich drehenden Balkens kann man die tangentialen und radialen Streckenlasten qx =
Axϕ˙ 2 ,

qy =
Axϕ¨

(2.315)

berechnen. Querkraft- und L¨angskraftverlauf l¨angs des Balkens folgen daraus nach aus der Statik bekannten Zusammenh¨angen aus einer Integration, wobei hier f¨ur Gl. (2.314) allein der L¨angskraftverlauf interessiert: F0 =


l x

  1
Aϕ˙ 2 x dx =
Aϕ˙ 2 l 2 − x2 2

(2.316)

Setzt man die nunmehr ermittelten kinetostatischen Belastungen in die Differentialgleichung (2.314) ein, ergibt sich folgende partielle Differentialgleichung zur Berechnung der Biegeschwingungen des drehenden Balkens mit konstantem Querschnitt f¨ur beliebige Verl¨aufe ϕ (t):    1 (2.317) EIw  +
A(w¨ − xϕ¨ ) −
Aϕ˙ 2 l 2 − x2 w  = 0 2 Die einzelnen Terme in Gl. (2.317) haben (von links nach rechts gelesen) folgende physikalische Bedeutung: Einfluß der Biegesteifigkeit, der Tr¨agheitskraft (kinematische Beschleunigung infolge der Drehung plus Beschleunigung des Balkens), des Fliehkrafteinflusses in tangentialer Richtung. Der letzte Term entspricht dem dritten Term der Kr¨afte in Gl. (2.306). Als Randbedingungen m¨ussen zur Integration dieser partiellen Differentialgleichung ber¨ucksichtigt werden: x = 0: w = 0, w  = 0; x = l: M = EIw  = 0, Q = −EIw  = 0

(2.318)

Sie dr¨ucken aus, daß der Auslegerarm am Drehpunkt fest eingespannt ist und am ¨ Ende einen freien Rand hat. Zur besseren Ubersicht werden die relative Zeit τ , der relative Abstand ξ und die relative Auslenkung w eingef¨uhrt: t x w (2.319) τ = , ξ = , w= ta l l Mit einem Komma und dem entsprechenden Index wird im folgenden die Ableitung ¨ nach τ und nach ξ gekennzeichnet. Zwei dimensionslose Ahnlichkeitskennzahlen, der Schwenkwinkel und die relative Anregungszeit, charakterisieren diese Aufgabe: ta π 1 = ϕˆ , π 2 = ω 2ta = 1,786ta f1 = 1,786 (2.320) T1 Gl. (2.320) wurde mit einem FEM-Programm gel¨ost. Bei der Ber¨ucksichtigung von 10 kubischen Elementen erh¨alt man die exakte L¨osung“ f¨ur das Kontinuum, die in ” Bild 2.50b dargestellt ist. Der Rechenaufwand betrug beim Minimalmodell nur etwa 2 % desjenigen, der zur L¨osung der partiellen Differentialgleichung (2.317) ben¨otigt wurde. Als Ergebnisgr¨oßen sind der relative Schwingweg an der Auslegerspitze q3 = w(l)/l bzw. q3 /l und der Verlauf des Antriebsmoments angegeben.

128

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

1

q$3 / l π 22

Schwingweg q3 / l π 22

1,5

0,5

0 −0,5

−1

a)

−1,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2

1

1,2 1,4 1,6 1,8 bezogene Zeit t/ta

Schwingweg w(l ) / l π 22

1,5

0,5

0 −0,5

1

−1,5 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

4

Antriebsmoment M an t a2 / ( Al 3ϕ$ )

2

1

−1

b)

3

2

3

1,2 1,4 1,6 1,8 bezogene Zeit t/ta

2

3 2 1

0 π 2 = 1,786ta f1

−1

−2 1 2 3

−3

c)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2 1,4 1,6 1,8 bezogene Zeit t/ta

2

Parameterwerte Kurve 1: π 2 = 18,74; Kurve 2: π 2 = 8,03; Kurve 3: π 2 = 4,46

Bild 2.50 Relativweg der Auslegerspitze und Antriebsmoment a) Balken als Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden, vgl. Tabelle 2.9 (Fall 4), b) Balken als Kontinuum, c) Antriebsmoment f¨ur das Kontinuum

2.4 Deduktive Modellbildung

129

Man vergleiche die mit dem Zweimassensystem erhaltenen Ergebnisse, die in Bild 2.50a dargestellt sind, mit denjenigen des Kontinuums in Bild 2.50b! Die Ergebnisse sind qualitativ sehr a¨ hnlich und unterscheiden sich quantitativ nur wenig voneinander. F¨ur das Antriebsmoment wurde auf die zweite Darstellung verzichtet, da der Unterschied sehr gering war. Zum Vergleich: Der Spitzenwert f¨ur das Antriebsmoment ergibt sich f¨ur die Starrk¨orperbewegung mit Beachtung von Gl. (2.309) zu |Man |max =


Al 3 ϕˆ ml 2 2π
Al 3 ϕˆ · ϕ¨ max = = 2,099 3 3 ta2 ta2

(2.321)

d. h., aus Bild 2.50c geht der Unterschied hervor, den die Schwingungen verursachen. Der Auslegerarm schwingt im wesentlichen mit seiner ersten Eigenfrequenz, die sich infolge des Fliehkrafteinflusses gegen¨uber dem Ruhezustand unwesentlich erh¨oht. Die h¨oheren Eigenfrequenzen, die das Kontinuum-Modell enth¨alt“, werden ” praktisch nicht angeregt. Es best¨atigen sich an diesem Ergebnis einige allgemeine Aussagen zum dynamischen Verhalten und zur Anregbarkeit von Antriebssystemen bei instation¨aren Bewegungen: • Die Schwingungsamplitude am Ende der Bewegungsetappe ist stark von der Kenngr¨oße abh¨angig, die das Verh¨altnis von Anregungszeit ta zur Periodendauer T1 der Grundschwingung ausdr¨uckt. Die Abnahme dieser Kenngr¨oße kann man als kleiner werdende Anregungszeit (bei sonst gleicher Massebelegung und Biegesteifigkeit) oder als kleiner werdende Steifigkeit (bei unver¨anderter Massebelegung und Anregungszeit) oder als zunehmende Massebelegung (bei unver¨anderter Biegesteifigkeit und Anregungszeit) interpretieren. • Wenn die Anregungszeit wesentlich l¨anger dauert als die Periodendauer der Grundschwingung, dann liegt quasi eine kinetostatische Belastung vor, und es werden nur sehr kleine Schwingungen angeregt. Dies geht aus Bild 2.50 hervor und wurde in Abschn. 2.1 durch Gl. (2.7) angek¨undigt. • Wesentlich ist das Verh¨altnis von Anregungszeit zur Periodendauer der ersten Eigenfrequenz. Bild 2.51 zeigt, wie die Amplitude der Restschwingung von der bezogenen Anregungszeit ta f1 = ta /T1 abh¨angt. Die dort eingetragenen Pfeile mit den Zahlen 1 bis 3 markieren die Zeitverh¨altnisse, die den Rechenergebnissen in Bild 2.50 entsprechen. In der N¨ahe ganzzahliger Verh¨altnisse treten gar keine Amplituden der Restschwingungen auf. Dieser ideale Fall gilt nur f¨ur das unged¨ampfte System. Beim ged¨ampften System gibt es keine exakten Nullstellen, lediglich Minima. Endet die Bewegung im Augenblick großer Ausschl¨age, so haben die Restschwingungen große Amplituden. Physikalisch l¨aßt sich dies mit der jeweiligen Phasenlage der Schwingung erkl¨aren, die der Auslegerarm in dem Augenblick besitzt, wenn der Bewegungsvorgang (durch eine Unstetigkeit h¨oherer Ordnung beendet wird. Auf den bemerkenswerten Effekt, daß Schwingungen durch definierte Unstetigkeiten der Erregung (Impulse, Sprungfunktionen, Knicke im Zeitverlauf, ...) abgefangen werden, wird am Beispiel einer Folge von Sprungfunktionen des Antriebsmoments in Abschn. 5.6 ausf¨uhrlicher eingegangen. • Man kann sagen, daß das Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden f¨ur den Be¨ mit den Erreich der Kenngr¨oße π 2 > 0,5 hinreichend gute Ubereinstimmung gebnissen des Kontinuum-Modells zeigt. Der Unterschied ist unwesentlich, vgl.

130

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

1 3

bezogene Schwingungsamplitude q$ 3 / l π 22

0,9 0,8 0,7

2

0,6

$ 90o ϕ=

0,5

$ 60o ϕ=

0,4

$ 30o ϕ=

1

0,3 0,2 0,1 0

0

2

4

6

8

10

12

bezogene Anregungszeit t a / f1

Bild 2.51 Schwingamplitude der Restschwingungen als Funktion der Anregungszeit ta und des Schwenkwinkels ϕˆ

die Spitzenwerte in Bild 2.50a und 2.50b, da im wesentlichen nur die erste Eigenfrequenz des Auslegerarms angestoßen wird. Deshalb ist Bild 2.51 mit Bild 5.18 vergleichbar. • Nur bei extrem schnellen Bewegungen (Kennzahl π 2 < 0,5) sind Schwingungen mit h¨oheren Eigenfrequenzen zu erwarten, da erst dann das Verh¨altnis von Anregungszeit zu Periodendauer der h¨oheren Eigenschwingungen in die Gr¨oßenordnung von Eins kommt. F¨ur die u¨ blichen Parameterverh¨altnisse von Auslegerarmen, die kleine Zeiger in Meßger¨aten (Millimeterbereich), Greifer in Montageeinrichtungen, Roboterarme (Meterbereich) oder Ausleger von Turmkranen oder Tagebaugroßger¨aten sein k¨onnen, erfolgen die Bewegungen (relativ zur jeweiligen Eigenschwingungsdauer!) kaum so schnell. Beispiel: Ein Auslegerarm mit Kreisquerschnitt aus Stahl, der einen Durchmesser von 20 mm und eine L¨ange von l = 2 m hat und dessen erste Eigenfrequenz etwa 15 Hz betr¨agt, m¨ußte innerhalb einer (praktisch unsinnig kurzen) Zeit ta = 0,01 s bewegt werden, damit h¨ohere Eigenformen sp¨urbar angeregt werden. Reale Auslegerarme werden zweckm¨aßigerweise so steif konstruiert, daß sie sich in dem Kenngr¨oßenbereich von π 2 > 1 bewegen. Sie lassen sich aber nicht immer so bauen, daß Schwingungen v¨ollig vermieden werden. Die aus Bild 2.51 ablesbaren g¨unstigen Anregungszeiten sind oft nur in groben Toleranzbereichen realisierbar. Man kann schlußfolgern, daß es zul¨assig ist, die Schwingungsberechnung solcher Auslegerarme mit dem Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden vorzunehmen. Dies gilt auch f¨ur Auslegerarme mit ver¨anderlichem Querschnitt, f¨ur welche zwar die partielle Differentialgleichung (2.215) gilt, aber daf¨ur w¨urde sich erst recht eine Vereinfachung zu entsprechenden gew¨ohnlichen Differentialgleichungen des diskreten Systems empfehlen, vgl. Abschn. 2.3.4.

2.4 Deduktive Modellbildung

131

2.4.6 Modellreduktion mit der Mittelungsmethode Zu den Methoden der Modellreduktion kann man die Mittelungsmethoden z¨ahlen, die sich bei der Untersuchung nichtlinearer Schwingungen bew¨ahrt haben. Mit ihnen ist es m¨oglich, von den urspr¨unglichen nichtlinearen Differentialgleichungen, die die tats¨achlichen komplizierten Bewegungen beschreiben, zu einfacheren Differentialgleichungen u¨ berzugehen. Die gemittelten Gleichungen“, die nur die wich” tigsten Parameter und Freiheitsgrade enthalten, erleichtern die Untersuchungen und erlauben oft auch, die physikalischen Ergebnisse leichter zu interpretieren. Zu den Mittelungsmethoden geh¨oren die asymptotischen Methoden von K RYLOW und B OGOLJUBOW ([37], [122], [183]), welche die urspr¨ unglichen Bewegungsgleichungen in solche f¨ur die Amplituden und Phasen umformen und aus der Sicht der Anwendung, z. B. zur Berechnung der Einh¨ullenden einer Schwingung, geeignet sind. Eine der Mittelungsmethoden erlaubt die direkte Trennung der schnel” len“ und langsamen“ Komponenten der Bewegungen [30]. Hier soll nur auf die letzt” genannte Mittelungsmethode eingegangen werden, die vor allem bei Schwingern mit Unstetigkeiten vorteilhaft einsetzbar ist, bei denen das Erfassen der Umschaltpunkte numerische Schwierigkeiten bereitet, vgl. z. B. [98], [206], [262], [290]. Sie eliminiert auf Grund heuristischer Vorstellungen im Berechnungsmodell die schnellen“ ” (hochfrequenten) Komponenten und beschr¨ankt sich auf die Aufstellung und L¨osung der Gleichungen f¨ur die langsamen“ (niederfrequenten) Komponenten. ” Urspr¨unglich seien folgende Differentialgleichungen des Systems bekannt: m¨q = F(q, q˙ , t) + F ∗ (q, q˙ , t, Ω t)

(2.322)

Dabei ist m eine Masse, q der n-dimensionale Vektor der verallgemeinerten Koordinaten, Ω ein positiver großer“ Parameter, F eine langsam“ ver¨anderliche Kraft, F ∗ ” ” eine schnell ver¨anderliche Kraft, speziell eine 2π -periodische Funktion von τ = Ω t. q

X (t )

Koordinate

q (t )

ψ(t )

q X

T = 2π / Ω

Zeit

t

Bild 2.52 Beispiel mit schnellen und langsamen Komponenten

Es wird angenommen, daß die L¨osung der Gl. (2.322) in folgender Form dargestellt werden kann, vgl. Bild 2.52: q(t, τ ) = X(t) + ψ (t, τ )

(2.323)

Dabei ist X die interessierende langsame“ und ψ eine schnelle“ Komponente. In ” ” den Differentialgleichungen (2.322) wird u¨ ber eine volle Periode der schnellen Kom-

132

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

ponente gemittelt. Wird als Abk¨urzung f¨ur diese Mittelung in Anlehnung an die Literatur [31], [32], [35], [333] eine spitze Klammer benutzt, dann gilt: 1 2π


2π

ψ (t, τ ) d τ = ψ (t, τ ) = 0;

0

1 X(t) = 2π


2π

(2.324) q(t, τ ) d τ = q(t, τ )

0

Analog gilt ˙ = ˙q(t, τ ); X(t) ¨ = ¨q(t, τ ) ψ˙ (t, τ ) = 0; ψ¨ (t, τ ) = 0; X(t)

(2.325)

Der Mittelwert der hochfrequenten Komponente ist also null, und der Mittelwert der Funktion q(t, τ ) ist dann die langsame“ Bewegung X(t). Unter bestimmten Bedin” gungen gelingt es, von der urspr¨unglichen Gl. (2.322) zur Gl. (2.326) u¨ berzugehen, die nur noch langsame Komponenten enth¨alt: ˙ t) ˙ t) + V(X, X, mX¨ = F(X, X,

(2.326)

Gl. (2.326) ist einfacher als die urspr¨ungliche Gl. (2.322). Sie enth¨alt nur solche Parameter, die f¨ur die Gewinnung der langsamen Bewegung n¨otig sind. Gl. (2.326) kann im Vergleich zu der des urspr¨unglichen Systems eine bedeutend niedrigere Ordnung haben, sie kann auch bei urspr¨unglich nichtautonomen Systemen autonom sein; sie kann glatt“ sein (auch bei unstetigen Systemen) und sie kann ein Potential auch ” bei urspr¨unglich nichtkonservativen Systemen haben. Die Gl. (2.326) ist auf zahlreiche praktische Beispiele angewandt worden, z. B. in [30], [31], [32], [35], [307] und [308], vgl. auch Abschn. 5.7.3. 2.4.7 Reibungseinflusse ¨ 2.4.7.1 Zur Modellierung der Reibung Antriebssysteme bewegen sich, und zwischen allen beweglichen Teilen wirken bei der Relativbewegung Reibungskr¨afte. Die Modellierung der Reibung ist deshalb vielfach eine wichtige Aufgabe. Bekanntlich wird die Kraft¨ubertragung durch Reibung (in Kupplungen, Bremsen, R¨adern, Keilriemen, Gleitf¨orderern u. a.) und auch zur Selbsthemmung (in Keilschub- und Schneckengetrieben) angewendet. Andererseits st¨ort die Reibung wegen des Verschleißes und der Energieverluste (in Lagern und Gelenken), die sie verursacht. Aus der Sicht der Dynamik ist sie f¨ur selbsterregte Schwingungen (stick-slip-Effekt) verantwortlich, die bei langsamen Gleitbewegungen, beim Bremsenquietschen oder beim Kontakt aufeinander abrollender Rotoren, z. B. bei Walzwerken, Papiermaschinen, Druckmaschinen und Wicklern (vgl. Abschn. 2.3.3) unangenehm sind. Es ist bekannt, daß sich die Haftreibung von der Gleittreibung unterscheidet, und i. allg. ist die Haftreibungszahl µ 0 gr¨oßer als die Gleitreibungszahl µ . Es ist auch vielfach festgestellt worden, daß die Gleitreibungszahl nicht konstant ist, sondern sich

2.4 Deduktive Modellbildung

133

im allg. mit der relativen Geschwindigkeit v a¨ ndert. Die Reibungskraft FR ist der Normalkraft FN weitgehend proportional. Es gilt FR = µ i (v)FN (2.327) Zur Erfassung der Reibungszahl werden folgende Ans¨atze angewendet, die hier willk¨urlich durchnummeriert werden, um sie von der Reibungszahl µ unterscheiden zu k¨onnen. µ 1 (v) = µ sign(v) (2.328) µ 2 (v) = µ [1 − exp(v/v0 )] sign(v) µv µ 3 (v) = √ 2 v + ε2



µ 4 (v) = µ 5 (v) =

µ0 +

2µ π

v v0

tanh(v/ε )

(2.331) (2.332)



µ0 − µ sign(v) 1 + |v/v0 | %  3 & 1 v v µ 7 (v) = 3µ 1 − + sign(v) v0 3 v0 µ 6 (v) =

(2.330)



arctan(v/ε )



(2.329)

µ+

(2.333) (2.334)

Bei der numerischen Integration von Bewegungsgleichungen m¨ussen die Zeitpunkte ¨ ermittelt werden, zu denen der Ubergang vom Haften zum Gleiten und umgekehrt auftritt. Bei hochfrequenten Bewegungen mit vielen Richtungswechseln f¨uhrt das zu großen Rechenzeiten, wenn man die Signumfunktion benutzt. Aus diesem Grunde werden f¨ur die Reibgesetze gern stetige N¨aherungen eingef¨uhrt, so daß die Suche ¨ der Ubergangszeitpunkte entfallen kann. Es gilt z. B.   v = sign(v) (2.335) lim √ ε →0 v2 + ε 2 In den Ans¨atzen (2.330) bis (2.332) werden sehr kleine ε -Werte eingef¨uhrt, um die Signum-Funktion zu approximieren. Diese Funktionen a¨ ndern bei v = 0 ihr Vorzeichen, ohne daß Unstetigkeiten auftreten. Mit den Konstanten v0 hat man in den Ans¨atzen (2.329), (2.331), (2.333) und (2.334) eine weitere Variable, um experimentell ermittelte Verl¨aufe anzun¨ahern. Ganz andere Ans¨atze werden in [127], [128] zur Erfassung der Reibung in Gleitf¨uhrungen vorgeschlagen. Experimentell wurde festgestellt, daß der Haftreibungswert µ 0 mit der Dauer der Haftung zunimmt. Nach l¨angerer Haftzeit wird er gr¨oßer, was n¨aherungsweise beschrieben wird durch v = 0: µ 0 = µ max − (µ max − µ 0 ) exp(−t/t ∗ ) (2.336) Dabei wird eine weitere Konstante t ∗ eingef¨uhrt, die vom Zustand der Materialpaarung an der Kontaktstelle abh¨angt. W¨ahrend der Gleitphase werden folgende Ans¨atze vorgeschlagen: (2.337) 0 < v < v0 : µ = µ 0 + (µ 0max − µ 0 ) exp(−v/ε ) v > v0 :

µ = µ 0 + c(v − v0 )

(2.338)

134

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Mit diesen Funktionen gem¨aß (2.336) bis (2.338) wurden die Stick-Slip-Bewegungen berechnet, die in Baugruppen von Werkzeugmaschinen bei geringer Schmierung auftraten. 2.4.7.2 Einfluß der Schwingungen auf die Reibungszahl Selbsterregte Reibungsschwingungen (stick-slip-Bewegungen) treten in Gleitf¨uhrungen auf, wenn kleine Relativgeschwindigkeiten in der Gleitpaarung auftreten. Bei Werkzeugmaschinen k¨onnen solche Schwingungen bei Positionierbewegungen sehr ¨ st¨orend sein. In [128] und [146] wird ein Uberblick u¨ ber bislang bekannte Theorien zu dieser Problematik gegeben und in [127] werden die Parametereinfl¨usse auf den Charakter und den Verlauf der selbsterregten Reibungsscheingungen untersucht. Dabei wird ein Ansatz f¨ur die Reibkraft benutzt, der f¨ur die Ruhereibung eine Abh¨angigkeit von der Haftzeit und im Gleitbereich einen Einfluß der Gleitgeschwindigkeit ber¨ucksichtigt.Es gibt allerdings auch selbsterregte Reibungsschwingungen bei konstanter Reibungszahl, vgl. Abschn. 2.3.3 und Abschn. 4.5. In [146] wird mit einfachen Modellen (u. a. ein B¨urstenmodell) das dynamische Verhalten eines Reibschwingers mit simultaner Selbst- und Fremderregung berechnet und auch Meßergebnissen gegen¨ubergestellt. In Abh¨angigkeit von den Systemparametern stellt sich ein harmonisches, ein polyharmonisches oder ein chaotisches Systemverhalten f¨ur fallende Reibkennlinien ein. Die Bestimmung der Parameterwerte der Reibmodelle aus der Geometrie und den Oberfl¨achendaten der Kontaktfl¨achen ist derzeit noch nicht zuverl¨assig m¨oglich. Ans¨atze dazu finden sich in [299]. Bei der folgenden Betrachtung um eine Gesetzm¨aßigkeit bez¨uglich des Einflusses von hochfrequenten Schwingungen, die z. B. die Reibung an Kontaktstellen zwischen K¨orpern, die Materiald¨ampfung (vgl. Abschn. 3.4.2), den Vibrotransport bei Sieben und Schwingf¨orderern, den Widerstand bei Vibrationsrammen oder beim Vibrationsschneiden beeinflussen. Falls niederfrequente harmonische Belastungen von hochfrequenten Schwingungskomponenten u¨ berlagert werden, so ver¨andert sich das Verhalten der niederfrequenten Komponenten oft in u¨ berraschender Weise. Mit dem folgenden einfachen Modell soll die Frage beantwortet werden, wie hochfrequente Vibrationen die Reibung an Kontaktfl¨achen modifizieren, vgl. Bild 2.53. a)

g

b)

q s (t )

m

F (t )

mq&&

F

µ µmg sign(q& − s&)

Bild 2.53 Masse auf horizontal vibrierender Unterlage a) Systemskizze, b) Kr¨afte in horizontaler Richtung

Eine Masse liegt auf einer ebenen horizontal hochfrequent vibrierenden Unterlage, wobei µ die Gleitreibungszahl an der Kontaktfl¨ache ist. Die Unterlage bewegt sich harmonisch gem¨aß s = sˆ sin Ω t;

s˙ = sˆΩ cos Ω t;

s¨ = −sˆΩ 2 sin Ω t

(2.339)

135

2.4 Deduktive Modellbildung

Die Masse m w¨urde auf der Unterlage liegen bleiben (q˙ = s), ˙ wenn ihre Beschleunigung kleiner ist als das Produkt von Erdbeschleunigung und Haftreibungszahl (und die Kraft F = 0 ist), wenn sˆΩ 2 < µ g ist. Bei |F| > µ mg wird die Masse in Kraftrichtung relativ zur Unterlage beschleunigt. Wenn sich infolge der Vibration die Richtung der Relativgeschwindigkeit zwischen der Masse und der Unterlage a¨ ndert, wechselt die Gleitreibungskraft ihr Vorzeichen. Bewegt sich die Unterlage langsamer als die Masse, wird die sich bewegende Masse durch die Reibkraft gebremst, bewegt sich die Unterlage schneller als die Masse, so beschleunigt die Reibkraft diese Masse. Die Richtung der Reibkraft µ mg h¨angt vom Vorzeichen der Relativgeschwindigkeit (q˙ − s) ˙ ab, welches etappenweise pl¨otzlich zu solchen Zeiten ti wechselt, wenn ˙ Ω ti ) ist. Die Reibkraft a¨ ndert ihr Vorzeichen in den Intervallen nicht, in deq(t ˙ i ) = s( nen q(t) ˙ > s(t) ˙ oder q(t) ˙ < −s(t) ˙ gilt, vgl. Kurven 1 und 3 in Bild 2.54. Es wird hier ausgeschlossen, daß die Masse an der Unterlage haftet und in endlichen Zeitabschnitten q(t) ˙ = s(t) ˙ gilt. Zusammenfassend kann man dann das dynamische Kr¨aftegleichgewicht f¨ur alle Etappen folgendermaßen angeben: ˙ mq¨ = F(t) − µ mgsign (q˙ − s)

(2.340)

Geschwindigkeit

q& (t ) s$Ω

1

X& = 〈 q& (t )〉

s$Ω cos Ω t

2 0

τ1

π

2π

3π

Ωt q& (t ) s$Ω

3

b)

sign (q& − s&)

a)

+1 0 −1

τ1

π

2π−τ1 2π

3π

Ωt

Bild 2.54 Zur Anwendung der Mittelungsmethode auf das System gem¨aß Bild 2.53 a) Geschwindigkeiten: Kurve 1: qmin > sΩ ; Kurve 2: −sˆΩ < q˙ < sˆΩ ; Kurve 3: q˙max < −sˆΩ ; b) Signumfunktion gem¨aß Gl. (2.340)

Der u¨ bliche Berechnungsweg w¨urde darin bestehen, diese Differentialgleichung (2.340) analytisch oder numerisch zu integrieren. Es w¨aren dabei Anfangsbedingun-

136

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

gen anzugeben und wegen der Signumfunktion viele Etappen zu unterscheiden, wo¨ bei f¨ur Weg und Geschwindigkeit jeweils die Ubergangsbedingungen (die jeweiligen Endwerte einer Etappe sind die Anfangswerte der n¨achsten Etappe) zu ber¨ucksich¨ tigen sind. Dabei entsteht durch die Suche nach den Zeitpunkten des Ubergangs ein gewisser Rechenaufwand und numerisch ein Genauigkeitsverlust. Man kann den Rechenaufwand vermindern, wenn man sich nur f¨ur die niederfrequente Bewegung u¨ ber viele Schwingungsperioden interessiert, indem man die in Abschn. 2.4.6 vorgestellte Mittelungsmethode anwendet. Nimmt man in Differentialgleichung (2.340) eine Trennung der Komponenten analog zu Gl. (2.322) vor, dann ist die langsame“ Kraft F(q, q˙ , t) = F(t) und die ” schnelle“ Kraft ” ˙ = −µ mg sign (q˙ − sˆΩ cos Ω t) (2.341) F ∗ (q, q˙ , t, Ω t) = −µ mg sign (q˙ − s) Den Mittelwert der niederfrequenten Komponente der Beschleunigung kann man berechnen, indem man die Differentialgleichung (2.340) u¨ ber eine volle Periode der schnellen“ Bewegung (0
Ω t = τ
2π ) integriert. Aus der Anwendung der Ope” ration gem¨aß Gl. (2.324) auf Gl. (2.340) gilt wegen F(t) = F(t) f¨ur den Geschwindigkeitsbereich, der durch Kurve 2 in Bild 2.54 charakterisiert wird: 1 X¨ = 2π


2π 0

2π

F(t) µ g
q¨ d τ = sign (q˙ − sˆΩ cos τ ) d τ − m 2π

(2.342)

0

W¨ahrend der Etappe, in der q˙ > sˆΩ cos τ gilt, ist die Signumfunktion gleich plus Eins, und in dem Zeitbereich, in dem q˙ < sˆΩ cos τ gilt, ist die Signumfunktion gleich minus Eins, vgl. Bild 2.54. Die Grenze zwischen diesen Bereichen tritt auf, wenn   ˙ sˆΩ ) X˙ − sˆΩ cos τ 1 = 0, d. h. bei τ 1 = arccos X/( (2.343) ˙ 1 ) = q(t ˙ 1 , τ 1 ) gilt. wobei angenommen wird, daß zu diesem Zeitpunkt ann¨ahernd X(t Es gilt also X˙ < sˆΩ : sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = −1 0 < τ < τ1: τ 1 < τ < 2π − τ 1 :

X˙ > sˆΩ :

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = +1

2π − τ 1 < τ < 2π :

X˙ < sˆΩ :

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = −1

(2.344)

Den Wert des in Gl. (2.342) auftretenden Integrals kann man sich bei obiger Annahme aus den rechteckigen Fl¨achen berechnen, die in Bild 2.54 zu sehen sind. Es gilt f¨ur −sˆΩ < X˙ < sˆΩ :
2π 0

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) d τ =


τ 1

(−1) dt +

0

2π
−τ 1 τ1

+1 dt +


2π

(−1) dt 2π −τ 1

= −τ 1 + (2π − τ 1 ) − τ 1 − 2π + (2π − τ 1 )   ˙ sˆΩ ) = 2π − 4τ 1 = 2π − 4 arccos X/(

(2.345)

Daraus folgt aus Gl. (2.342) die Beschleunigung aus einer Gleichung der Form von Gl. (2.326) f¨ur die gemittelte Bewegung:

  ˙ sˆΩ ) ¨ = F(t) − µ g 1 − 2 arccos X/( ˙ < sˆΩ : X(t) (2.346) |X| m π

2.4 Deduktive Modellbildung

137

Der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.346) ist kleiner als eins, d. h., bei vibrierender Unterlage wirkt im Mittel eine kleinere Reibkraft als bei ruhender Unterlage. Dies kommt dadurch zustande, daß die Reibkraft intervallweise ihr Vorzeichen ¨ a¨ ndert und die Masse nicht immer bremst, sondern zeitweise beschleunigt. Andert die Gleitgeschwindigkeit zwischen Masse und Unterlage ihr Vorzeichen nicht, so gilt   ¨ = F(t) − µ g sign (X) ˙ ˙  sˆΩ : X(t) (2.347) |X| m Gl. (2.347) beschreibt eine durch Reibung gebremste Bewegung der auf einer ruhenden Unterlage gleitenden Masse. Wenn X˙
−sˆΩ oder X˙  sˆΩ ist (Betrag der Geschwindigkeit der Masse immer gr¨oßer als die maximale Schwinggeschwindigkeit), dann wirkt die Reibung immer entgegengesetzt zur Richtung der Antriebskraft F, sie a¨ ndert nicht ihre Richtung und hemmt die jeweilige Bewegung mit konstanter Reibkraft. Wirkt eine Kraft F auf eine Masse m, so ist deren mittlere Beschleunigung auf der vibrierenden Unterlage gr¨oßer als auf ruhender Unterlage. Bei relativ hohen Schwinggeschwindigkeiten (sˆΩ → ∞ oder X˙ → 0) entsteht der Grenzwert  ˙ arccos X/(sˆΩ ) = π /2, und der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.346) geht gegen null. In diesem Grenzfall rutscht die Masse auf der Unterlage an derselben Stelle schnell“ hin und her. Die langsame“ Bewegung der Masse wird nicht ” ” beschleunigt, d. h., im Mittel“ bewegt sich die Masse bei hohen Frequenzen so, als ” ob gar keine Reibung vorhanden w¨are. Im Gebiet von relativ kleinen Geschwindigkeiten (etwa X˙ < 0,3sˆΩ ) wirkt die trockene Reibung wie eine viskose D¨ampfung, denn die gemittelte Reibkraft ist dann angen¨ahert der Geschwindigkeit proportional. Man kann diese Zusammenh¨ange auch so interpretieren, als ob eine von der Geschwindigkeit abh¨angige Reibungszahl zwischen Masse und vibrierender Unterlage wirksam w¨are. Definiert man die effektive Reibungszahl mit ( '   ˙ sˆΩ ) ˙ > sˆΩ µ sign X/( f¨ur |X|    (2.348) µ eff = ˙ sˆΩ ) ˙ < sˆΩ µ 1 − (2/π ) arccos X/( f¨ur |X|

F I OP GH JK PQ

LM MN

µeff

Reibungszahl µ

X& 2 µ 1− arccos π s$Ω

−1,5

−1

−0,5

0

−µ

0,5

1

X& s$Ω

1,5

Geschwindigkeit

Bild 2.55 Effektive Reibungszahl auf einer harmonisch vibrierenden Unterlage

138

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

6

1

Weg

5 4

2

3 2

3

1 0 −1

a)

π

0

2π

3π

4π

τ = ωt

0,4

2

Beschleunigung

0,2

1

0

−0,2 −0,4 0

b)

π

2π

3π

π

2π

3π

τ = ωt

4π

0,1

Kraft

1 0,05

3

0

2 −0,05 −0,1

c)

0

τ = ωt

4π

Bild 2.56 Masse auf vibrierender Unterlage unter der Wirkung einer harmonischen Kraft a) Wegverlauf: Kurve 1: X/s; ˆ Kurve 2: q/s; ˆ Kurve 3: s/sˆ b) Beschleunigungsverlauf: Kurve 1: F(t)/m; Kurve 2: q/g ¨ ¨ c) Kraftverlauf: Kurve 1: F(t)/mg; Kurve 2: µ eff ; Kurve 3: X/g

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

139

so lassen sich Gl. (2.346) und Gl. (2.347) zu einer einzigen Differentialgleichung zusammenfassen: ¨ = F(t) − µ eff g (2.349) X(t) m Diesen Zusammenhang illustriert Bild 2.55. Unter Benutzung der in den Gln. (2.322) bis (2.326) eingef¨uhrten Bezeichnungen hat man also mit Gl. (2.349) die mathematische Beschreibung f¨ur ein Minimalmodell f¨ur die Bewegung der Masse auf der vibrierenden Unterlage erhalten. Die L¨osung dieser Differentialgleichung (2.349) liefert die langsame“ Bewegung der Masse m. Sie ist einfacher m¨oglich als die L¨osung ” der Differentialgleichung (2.340), bei der infolge der Signumfunktion viele Bewegungsetappen zu unterscheiden sind [98]. Abschließend sei noch die L¨osung der urspr¨unglichen Gl. (2.340) derjenigen der gemittelten Gl. (2.349) gegen¨ubergestellt. F¨ur einen niederfrequenten Kraftverlauf (ω  Ω ) F(t) = 0,2µ mg sin ω t

(2.350)

mit den Werten ω = 0,1Ω und sˆΩ /g = 1, bei dem im statischen Fall (Ω = 0) sich die Masse gar nicht in Bewegung setzen w¨urde, ergaben sich die in Bild 2.56 dargestellten L¨osungen. Im Bild 2.56a sieht man die hochfrequente sinusf¨ormige Bewegung der Unterlage (Kurve 3) im Vergleich zur Bewegung der Masse m. Die Masse m bewegt sich unter dem Einfluß der Reibung genaugenommen hochfrequent (Kurve 2), aber es stellt sich im Mittel ein sinusf¨ormiger Wegverlauf ein (Kurve 1). Da die Anfangsbedingungen nicht klar formuliert sind, liegt die L¨osung der gemittelten“ Gleichung (2.349) nicht ” u¨ berall in der Mitte“ der L¨osung der Gl. (2.340). ” Bild 2.56c zeigt die L¨osung der Differentialgleichung (2.349), also Ergebnisse f¨ur die gemittelte langsame Bewegung. Den Verlauf der Beschleunigung, die durch die Reibkraft mit beeinflußt wird, zeigt Kurve 3 im Vergleich zum Verlauf der eingepr¨agten Kraft (Kurve 1). Die auf die Masse wirkende mittlere Kraft ist die Summe aus der Erregerkraft (Kurve 1) und der gemittelten Reibkraft (Kurve 2). 2

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems 2.5.1 Sensitivit¨atsanalyse 2.5.1.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Im allgemeinen stimmen die berechneten und gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen eines Antriebssystems nicht u¨ berein. F¨ur die Modellanpassung ist es von Interesse, einfache Zusammenh¨ange zwischen den Parameterwerten und den modalen Kenngr¨oßen zu kennen. Die im Abschn. 2.6.2 behandelten Beispiele zeigen, daß lineare Zusammenh¨ange ausgenutzt werden k¨onnen, um die Modellanpassung vorzunehmen. In vielen F¨allen empfiehlt es sich auch, die Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen und Eigenformen in der Umgebung“ konkreter Werte des Parametervektors ”

140

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

x 0 eines vorhandenen Antriebssystems zu untersuchen, da ein Antriebssystem nicht nur in einem engen Parameterbereich funktionieren“ soll. Die Anordnung der fol” ¨ genden Zusammenh¨ange ist auch zur gezielten und effektiven Anderung des Eigenschwingungsverhaltens m¨oglich. F¨ur den praktischen Einsatz ist es wichtig, daß ein Antriebssystem in einem m¨oglichst weiten Parameterbereich stabil betrieben werden ¨ kann, also auch unempfindlich gegen¨uber Fertigungstoleranzen und Anderungen des Betriebspunktes“ (Parameter¨anderungen) ist. ” Ein typisches Beispiel f¨ur einen sensiblen Betriebspunkt ist der Einsatz eines Schwingers in der Resonanzspitze“, z. B. mit dem Ziel, auf einfache Weise große ” Amplituden zu erreichen. Die Resonanzspitze ist aber in ihrer H¨ohe und Frequenzlage sehr empfindlich gegen¨uber Parameterschwankungen! Dies liegt daran, daß die Resonanzamplitude von der (meist schwer vorausberechenbaren) D¨ampfung abh¨angt, daß die Eigenfrequenz gegen¨uber Parameter¨anderungen infolge von Fertigungstoleranzen oder Alterungseffekten empfindlich ist und daß auch die Erregerfrequenz schwanken kann. Ein Ausweg kann in solchen F¨allen durch eine breite ” Resonanzspitze“ gesucht werden, die aber oft nur durch die Verwendung nichtlinearer Federn (und entsprechend kompliziertere Berechnungsmethoden) praktisch realisierbar ist. Typische Verl¨aufe der Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von einem Parameter zeigen die Bilder 2.21, 2.33, 2.34, 5.53 und 5.54. Es empfiehlt sich in jedem Falle, solche Abh¨angigkeiten in der Umgebung des Parameters“ zu berechnen, um die Sensi” tivit¨at der Eigenfrequenzen gegen¨uber Parameter¨anderungen u¨ berblicken zu k¨onnen. Im folgenden wird lediglich auf die Beziehungen zwischen modalen Kenngr¨oßen und Parameter¨anderungen bei linearen unged¨ampften Schwingungssystemen eingegangen. Es gilt in erster N¨aherung     ∂ω i2 ∆ω 2 1 2 2 2 ω i (p0 + ∆ p) = ω i0 1 + 2 ∑ · ∆ pk = ω i0 1 + 2i ω i0 k ∂ pk ω i0   (2.351) ∆ pk 2 2 2 = ω i0 + ∆ ω i = ω i0 1 + ∑ sik pk0 k Die partiellen Ableitungen kann man bez¨uglich der Masse- und Federparameter mit ¨ Hilfe der modalen Parameter ausdr¨ucken. Folgende Beziehung f¨ur die Anderung der Eigenkreisfrequenzen geht auf die Arbeit [104] zur¨uck und hat seitdem in viele Lehrb¨ucher Eingang gefunden, vgl. z. B. [112], [150], [201]:   ∂ω i2 ∂K 1 2 ∂M = ϕ Ti0 − ω ϕ i0 (2.352) i0 ∂ pk µi ∂kk∗ ∂m∗k Dabei sind die Matrizen bekannte Funktionen des Parametervektors, d. h. M(p) und K(p) sind gegeben, wobei in der Massenmatrix meist andere Komponenten des Parametervektors (die Masseparameter m∗k ) als in der Steifigkeitsmatrix (die Federparameter kk∗ ) enthalten sind. Die modalen Massen µ i und die modalen Steifigkeiten γ i stehen mit den Eigenkreisfrequenzen in folgendem Zusammenhang [150]: 2 ω i0 =

γi , µi

γ i = ϕ Ti0 Kϕ i0 ,

µ i = ϕ Ti0 Mϕ i0 ;

i = 1, 2, . . . , n

(2.353)

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

141

Allgemein erh¨alt man die Sensitivit¨atsmatrizen aus ∂K ∂ pk

∂M

= K k (p),

∂ pk

= Mk (p);

k = 1, 2, . . . , K

(2.354)

H¨aufig besteht eine lineare Abh¨angigkeit der Matrizen von den Parametern: K = ∑ pk K k =  ∑ kk∗ K k , k

M = ∑ pk Mk =  ∑ m∗k Mk

k

k

(2.355)

k

so daß man die Sensitivit¨atsmatrizen K k und Mk f¨ur diesen Fall aus den urspr¨unglichen Matrizen K 0 und M0 einfach mit Hilfe eines Koeffizientenvergleichs findet, vgl. auch das Beispiel in Gl. (2.367). Aus den Beziehungen (2.352) folgt dann mit Gl. (2.355) und ∆ λi =

∆ ω i2 2 ω i0

=

1 γi





2 ϕ Ti0 ∑ K k − ω i0 Mk ϕ i0 ∆ pk



k

= ∑ γ ik k

∆kk∗ γi

− µ ik

∆m∗k µi



∆ pk = ∑ sik ∆ ξ k = ∑ sik pk0 k k

(2.356)

¨ Dabei sind die ∆m∗k und ∆kk∗ jeweils Anderungen der Massen- oder Federparameter. In die Gl. (2.356) wurden die Sensitivit¨atskoeffizienten sik sowie γ ik = ϕ Ti K kϕ i

und

µ ik = ϕ Ti Mkϕ i

(2.357)

eingef¨uhrt, von denen in den folgenden Abschnitten noch mehrfach Gebrauch gemacht wird, vgl. z. B. Bild 4.4. Es ist zweckm¨aßig, einen Parametervektor mit relativen Parameterwerten einzuf¨uhren, also p mit seinen eigenen Startwerten p0 dimensionslos zu machen. Es entsteht dabei der Vektor mit dimensionslosen Komponenten:   p1 p2 pK T ξ = , , ..., (2.358) = (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ K ) p10 p20 pK0 Dr¨uckt man die Abh¨angigkeit in Gl. (2.356) mit den relativen Frequenz¨anderungen und relativen Parameter¨anderungen aus, dann gilt mit   ∆ p1 ∆ p2 ∆ pK ∆ξ T = , , ..., (2.359) = (∆ ξ 1 , ∆ ξ 2 , . . . , ∆ ξ K ) p10 p20 pK0 und ∆λ =



∆ ω 12 ∆ ω 22 ∆ω 2 , 2 , ..., 2N 2 ω 10

ω 20

ω N0

T = (∆ λ 1 , ∆ λ 2 , . . . , ∆ λ N )T

(2.360)

folgende Beziehung ∆λ = S∆ξ

(2.361)

Die Sensitivit¨atsmatrix S = ((sik )) enth¨alt relative Sensitivit¨atskoeffizienten. Sie hat n Zeilen (entsprechend der Anzahl der Koordinaten bzw. Freiheitsgrade) und K Spalten (entsprechend der Anzahl der Parameter im Parametervektor p), vgl. das Beispiel in Gl. (2.378).

142

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

¨ Die Anderung der Eigenvektoren infolge von Parameter¨anderungen berechnet sich in erster N¨aherung zu ϕ i = ϕ i0 + ∑ k

∂ϕ i ∂ pk

· ∆ pk = ϕ i0 + ∆ϕ i

(2.362)

Sie k¨onnen ebenfalls durch die modalen Gr¨oßen ausgedr¨uckt werden [104]. Beachtet man die Beziehungen (2.355) bis (2.357), so findet man: ∆ϕ i = µ i

n

∑

j=1

2 γ ik ∆kk∗ − ω i0 µ ik ∆m∗k ϕ j, µ j γ i − µiγ j

j = i

(2.363)

Man kann diese Abh¨angigkeit auch mit den relativen Parameter¨anderungen ausdr¨ucken. Analog zu Gl. (2.361) ergibt sich das Matrizenprodukt ∆ϕ i = Ri · ∆ξ

(2.364)

Dabei sind die Ri Rechteckmatrizen mit n Zeilen und K Spalten, die sich aus dem Koeffizientenvergleich aus Gl. (2.363) ergeben, vgl. auch das Zahlenbeispiel von Gl. (2.379). 2.5.1.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette Der Parametervektor x jeder Torsionsschwingerkette enth¨alt lediglich n Tr¨agheitsmomente Jk und Torsionsfederkonstanten kTk . Bei Benutzung der absoluten Drehwinkel qk im Koordinatenvektor q stehen die Tr¨agheitsmomente in der Hauptdiagonalen der Massenmatrix und die Torsionsfederkonstanten findet man in der Steifigkeitsmatrix, welche eine tridiagonale Bandstruktur besitzt, vgl. die Beispiele in den Gln. (2.367), (2.475), (2.476) und (2.447). Bei Torsionsschwingerketten ergeben sich f¨ur die modalen Massen und Steifigkeiten folgende einfache Ausdr¨ucke: n

µ i = ϕ Ti Mϕ i =

∑ Jk ϕ ki2 ,

k=1

γ i = ϕ Ti Kϕ i =

n

∑ kTk (ϕ ki − ϕ k+1, i )2

(2.365)

k=2

Die modale Erregerkraft bez¨uglich der i-ten Eigenform betr¨agt hi = ϕ Ti F =

n

∑ ϕ ki Mk (t)

(2.366)

k=1

Als Beispiel wird das in Bild 2.57 dargestellte reduzierte Berechnungsmodell eines Antriebsstranges betrachtet. Die Matrizen dieses Systems lauten f¨ur die im Bild 2.57 angegeben Koordinaten: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ kT2 −kT2 0 0 J1 0 0 0 ⎜−k ⎜0 J 0 0 ⎟ −kT3 0 ⎟ ⎟ ⎜ T2 kT2 + kT3 ⎟ ⎜ 2 K=⎜ M=⎜ ⎟, ⎟ ⎝ 0 ⎝0 0 J3 0 ⎠ kT3 + kT4 −kT4 ⎠ −kT3 0 0 0 J4 0 0 −kT4 kT4 (2.367)

143

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

J4 J1 kT2

q1

J3

J2

kT3

kT4

q2

q3 q4

Bild 2.57 Berechnungsmodell eines Antriebsstranges: Torsionsschwingerkette

Die durch Gl. (2.354) definierten Sensitivit¨atsmatrizen ergeben sich aus Gl. (2.367) f¨ur den Parametervektor pT = (p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 ) = (kT2 , kT3 , kT4 , J1 , J2 , J3 , J4 ) dieses Torsionsschwingers zu ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 −1 0 0 0 0 0 0 ⎜−1 1 0 0⎟ ⎜0 1 −1 0⎟ ⎟ ⎟ K2 = ⎜ K1 = ⎜ ⎝ 0 0 0 0⎠ , ⎝0 −1 1 0⎠ , 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎟, ⎟ ⎜ M K3 = ⎜ = 4 ⎝ 0 0 1 −1⎠ ⎝0 0 0 0⎠ 0 0 −1 1 0 0 0 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜0 1 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎜0 ⎟ ⎟ M5 = ⎜ M6 = ⎜ M7 = ⎜ ⎝0 0 0 0⎠ , ⎝0 0 1 0⎠ , ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(2.368)

(2.369)

0 0 0 0

0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎠ 1

Aus Gl. (2.357) folgen die Sensitivit¨atskoeffizienten unter Beachtung von Gl. (2.369) zu µ ik =

∂µ i ∂Jk

= ϕ ki2 ,

γ ik =

∂γ i ∂kTk

= (ϕ ki − ϕ k+1, i )2

(2.370)

Die Koeffizienten µ ik sind ein Maß daf¨ur, welchen Einfluß der k-te Masseparameter auf die i-te Eigenfrequenz hat. Man kann die Zahlenwerte der µ ik den einzelnen Tr¨agheitsmomenten zuordnen und analog zur Eigenform l¨angs der Schwingerkette auftragen. Die kinetische Energie der einzelnen Tr¨agheitsmomente ist bei der betreffenden Eigenschwingform den Zahlenwerten der µ ik proportional, vgl. die Rechnerausdrucke des Programms ARLA
-SIMUL in Abschn. 4.2 und Bild 2.58. Die moda-

144

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

len Massen und modalen Steifigkeiten ergeben sich aus den Sensitivit¨atskoeffizienten zu µi =

n

∑ µ ik Jk ,

γi =

k=1

n

∑ γ ik kTk

(2.371)

k=2

Die Koeffizienten γ ik sind ein Maß daf¨ur, welcher Energieanteil der potentiellen Energie (Form¨anderungsenergie) bei einer Eigenschwingung in der betreffenden Torsionsfeder gespeichert wird. An den Stellen, wo diese Werte besonders groß sind, a¨ ndert sich mit der Torsionsfederkonstante die potentielle Energie (und damit die Eigenfrequenz) besonders stark, vgl. Gl. (2.353). Der Parametervektor des in Bild 2.57 dargestellten Torsionsschwingers hat sieben Komponenten, und die Zahlenrechnung erfolgt mit den Parameterwerten f¨ur x 0 : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 146 N · m kT20 x1 ⎜x2 ⎟ ⎜ 262 N · m ⎟ ⎜kT30 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x3 ⎟ ⎜ 1 025 N · m ⎟ ⎜kT40 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ x 0 = ⎜ 0,221 kg · m ⎟ = ⎜J10 ⎟ =  ⎜ (2.372) ⎜x4 ⎟ ⎜x5 ⎟ ⎜0,008 3 kg · m2 ⎟ ⎜J20 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x6 ⎠ ⎝0,012 6 kg · m2 ⎠ ⎝J30 ⎠ 2 J40 x7 2,000 kg · m Die L¨osung des Eigenwertproblems liefert f¨ur die Modalmatrix φ dieser Torsionsschwingerkette folgende Elemente, wenn bei der Normierung die erste Komponente aller Eigenvektoren gleich 1 gesetzt wird: φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 )

⎛

ϕ 11 ϕ 12 ϕ 13

⎜ϕ ⎜ 21 ϕ 22 ϕ 23 =⎜ ⎝ϕ 31 ϕ 32 ϕ 33 ϕ 41 ϕ 42 ϕ 43

⎞ ⎛ 1 1 1 1 ϕ 14 ⎟ ⎟ ⎜ ϕ 24 ⎟ ⎜1 0,833 −17,26 −34,09⎟ ⎟ ⎟=⎜ ϕ 34 ⎠ ⎝1 0,079 −45,36 8,908 ⎠ 1 −0,114 0,247 −0,025 ϕ 44 ⎞

(2.373)

Die modalen Steifigkeiten und die modalen Massen ergeben sich aus Gl. (2.365): φ T Kφ = diag(γ i ) = diag(0

219,3 2,7721 · 106

φ T Mφ = diag(µ i ) = diag(2,242

1,977 · 106 ) N · m

0,253 28,74 10,87) kg · m2

(2.374)

Die erste modale Steifigkeit ist deshalb null, weil es sich um ein ungefesseltes System handelt. Die Quadrate der Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfrequenzen betragen 2 2 2 2 λ T0 = (ω 10 , ω 20 , ω 30 , ω 40 ) = (0

f1 = 0 Hz,

f2 = 4,69 Hz,

866,6 9,467 · 104

f3 = 48,9 Hz,

1,819 · 105 ) s−2

f4 = 67,9 Hz

(2.375)

vgl. Bild 2.58. Gem¨aß Gl. (2.370) ergeben sich damit die Werte f¨ur die Sensitivit¨atskoeffizienten, mit denen es m¨oglich ist, die Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von ¨ kleinen Parameter¨anderungen auszudr¨ucken. Die Quadrate der relativen Anderungen der drei von Null verschiedenen Eigenkreisfrequenzen (i = 2, 3, 4) ergeben sich gem¨aß Gl. (2.356) wie folgt:

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

∆ ω i2 2 ω i0

= γ i1

∆kT2 γi

−µ i4

+ γ i2

∆J1 µi

∆kT3

− µ i5

γi

∆J2 µi

+ γ i3

145

∆kT4

− µ i6

γi

∆J3 µi

− µ i7

(2.376)

∆J4 µi

Setzt man die Zahlenwerte aus den Gln. (2.373), (2.374)und (2.375) ein, so ergeben ¨ sich die relativen Anderungen ∆λ = S∆ ξ gem¨aß Gl. (2.361) f¨ur ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ∆kT2 /kT20 ∆x1 /x10 ⎜∆kT3 /kT30 ⎟ ⎜∆x2 /x20 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎛ 2 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜∆x3 /x30 ⎟ ∆ ω 2 /ω 20 ∆kT4 /kT40 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎟  ⎜∆x4 /x40 ⎟ ∆λ = ⎝∆ ω 32 /ω 30 , ∆ξ = ⎜ (2.377) ⎜∆J1 /J10 ⎟ = ⎟ ⎜ 2 ⎜∆J2 /J20 ⎟ ⎜∆x5 /x50 ⎟ ∆ ω 42 /ω 40 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝∆J3 /J30 ⎠ ⎝∆x6 /x60 ⎠ ∆J4 /J40

∆x7 /x70

mit Hilfe der Sensitivit¨atsmatrix ⎞ ⎛ 0,146 0,679 0,175 −0,873 −0,023 −0,000 −0,104 S = ((sik )) = ⎝0,140 0,076 0,784 −0,008 −0,086 −0,902 −0,004⎠ 0,714 0,245 0,041 −0,020 −0,888 −0,092 −0,000 (2.378) Diese N¨aherungsformeln liefern f¨ur kleine relative Parameter¨anderungen bis zu 10 % die Eigenfrequenzen mit einer relativen Genauigkeit von etwa 1 %. Aus der unterschiedlichen Gr¨oße der Matrizenelemente sik ist abzulesen, daß die zweite Eigenfrequenz am st¨arksten durch kT3 und J1 , die dritte Eigenfrequenz durch kT4 und J3 und die vierte Eigenfrequenz durch kT2 und J2 beeinflußt wird. Diese unterschiedlichen Empfindlichkeiten lassen sich anschaulich erkl¨aren, wenn man die zugeh¨origen Eigenformen ansieht. Bild 2.58 zeigt die mit ARLA
-SIMUL berechneten Eigenformen [213], [301]. Falls große Parameter¨anderungen analysiert werden sollen, ist die Anwendung der Methoden der Versuchsplanung zu empfehlen, weil mit den dabei entwickelten quadratischen Funktionen eine h¨ohere Genauigkeit in gr¨oßeren Parameterbereichen erreichbar ist. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Polynomkoeffizienten ist geringer und die N¨aherung ist in einem großen Parameterbereich genauer, wenn man Methoden der Korrelationsanalyse oder der optimalen Versuchsplanung anwendet,wie sie z. B. in [2] beschrieben sind und in [79] auf Biegeschwingungen einer Spindel angewendet wurden. Die Koeffizienten f¨ur die Abh¨angigkeit der Eigenformen von Parameter¨anderungen gem¨aß Gl. (2.364) ergeben sich mit den angegebenen Daten f¨ur dieses Beispiel folgendermaßen: ⎛ −0,005 2,257 · 10−3 2,455 · 10−3 ⎜ 0,139 −0,112 −0,027 ⎜ R2 = ⎜ ⎝ 0,028 0,132 −0,16 −2,343 · 10−4 −6,168 · 10−4 8,511 · 10−4

⎞ −0,098 −0,0032 −0,0005 0,102 −0,103 0,0012 −0,0003 0,102⎟ ⎟ ⎟ −0,101 −0,0023 0,0002 0,103⎠ −0,099 −0,0031 −0,0004 1,02

146

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

⎞ ⎛ −0,627 0,568 0,059 −0,958 1,027 −0,073 0,004 ⎜ 26,513 −11,184 −15,329 −1,585 −16,157 17,732 0,010⎟ ⎟ ⎜ R3 = ⎜ ⎟ ⎝−6,885 2,992 3,893 0,028 4,444 −4,259 −0,213⎠ 0,003 −0,035 0,033 0,002 −0,003 0,247 −0,246 ⎞ ⎛ 0,439 −0,312 −0,128 −0,992 0,708 0,284 0,000 ⎜ −4,93 2,024 2,906 −0,553 7,019 −6,454 −0,012⎟ ⎟ ⎜ R4 = ⎜ ⎟ ⎝−13,266 5,711 7,556 0,559 16,267 −16,806 −0,02 ⎠ 0,055 −0,010 −0,046 −0,002 −0,068 0,045 0,025

ARLA-SIMUL FE HZ

Rev. 6.85-X

PHI (NMAX=004)

(2.379)

File: E-PKW.PLT

EKIN (NMAX=004)

EPOT (NMAX=003)

γ 22 x 2

µ 24 x 4 (002) 4.7

µ36 x6

(003) 49.0

µ 45 x5

γ 33 x3

γ 41 x1 γ 42 x 2

(004) 67.9

Bild 2.58 Eigenformen und Sensitivit¨atskoeffizienten von Gl. (2.376) f¨ur das Beispiel in Bild 2.57 (Indizes beziehen sich auf Vektor x)

2.5.2 Parameterermittlung aus gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen Bekanntlich ist es erst dann m¨oglich, Vorausberechnungen, Variantenvergleiche oder eine Optimierung des dynamischen Verhaltens eines Antriebssystems vorzunehmen, wenn das Berechnungsmodell die wesentlichen dynamischen Eigenschaften des Realsystems erfaßt. Zum Modellabgleich kann man experimentelle Ergebnisse nutzen, die sich auf das dynamische Verhalten des Gesamtsystems beziehen. Die Ergebnisse einer experimentellen Modalanalyse k¨onnen auch zur Kontrolle und Bewertung der lokalen Parameterwerte dienen. F¨ur die Modellstufe 2, das lineare Schwingungssystem, ist zwischen dem Berechnungsmodell (z. B. einem FEM-Programm) und dem

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

147

realen Objekt (z. B. einem Prototyp) vor allem ein Abgleich der Eigenfrequenzen und der Eigenschwingformen erforderlich. Erst danach hat es Sinn, sich n¨aher mit den D¨ampfungsparametern zu befassen, vgl. Abschn. 3.5. Im folgenden wird wie in Abschnitt 2.5.1 das unged¨ampfte System betrachtet, f¨ur welches aus den Bewegungsgleichungen das Eigenwertproblem   (2.380) K(p) − ω i2 M(p) ϕ i = o folgt. Darin bestimmt der Parametervektor p die Gr¨oße der Elemente sowohl in der Massenmatrix M als auch in der Steifigkeitsmatrix K. Es wird angenommen, daß von diesem Parametervektor Startwerte p0 bekannt sind, also z. B. diejenigen Zahlenwerte, mit denen beim Entwurf des Antriebssystems gerechnet wurde. Da die einzelnen Komponenten pk nicht ganz genau bekannt sind, wird der gesuchte Parametervektor als Summe p = p0 + ∆ p

(2.381)

aufgefaßt, wobei die Abweichungen ∆ p als Ursache daf¨ur angesehen werden, daß die Rechen- und Meßergebnisse von Eigenfrequenzen und Eigenformen nicht genau u¨ bereinstimmen, d. h., die Struktur des Modells wird als richtig vorausgesetzt. Da der Zusammenhang der Matrizenelemente mit den Elementen des Parametervektors bekannt ist, sind auch die Elemente sik der Sensitivit¨atsmatrix S = ((sik )) bekannt. ¨ Es gilt Gl. (2.351) f¨ur die durch Parameter¨anderungen erreichbaren Anderungen der Quadrate der Eigenkreisfrequenzen. Der Vektor der mit den Startwerten p0 berechneten Eigenkreisfrequenzquadrate wird mit 2 2 2 2 T λ 0 = (ω 10 , ω 20 , . . . , ω i0 , . . . , ω I0 ) ,

i = 1, 2, . . . , I

(2.382)

bezeichnet, und der Vektor der am realen Objekt gemessenen Werte ist 2 2 2 T λ e = (ω 1e , ω 2e , . . . , ω 2je , . . . , ω Je ) ,

j = 1, 2, . . . , J

(2.383)

Es ist im allgemeinen I < n, da nicht alle berechenbaren Eigenfrequenzen verglichen werden, und J < I, da die Anzahl der berechneten Eigenfrequenzen und Eigenformen meist gr¨oßer als die der gemessenen ist. Es kann oft von vornherein nicht gesagt werden, welche der berechneten Eigenfrequenzen welchen der gemessenen Eigenfrequenzen entsprechen, weil nicht nur deren Betr¨age angen¨ahert u¨ bereinstimmen m¨ussen, sondern auch die dazu geh¨orige Eigenschwingform benachbart sein muß. Wenn man zun¨achst deren gegenseitige Zuordnung pr¨uft, kann es sein, daß der Eigenvektor der i-ten berechneten Eigenfrequenz demjenigen einer j-ten gemessenen Eigenfrequenz a¨ hnelt. Die Auswahl und die Reihenfolge der zugeordneten Eigenfrequenzen wird deshalb mit einer Zuordnungsmatrix Z ausgedr¨uckt. Z ist eine Rechteck-Matrix, die Nullen und Einsen enth¨alt und mittels der Matrizenmultiplikation die Zuordnung der berechneten Frequenzen mit den dazu passenden gemessenen besorgt. Z kann man aus der MAC-Matrix erhalten, vgl. Gl. (2.389). Der Differenzvektor λ e − Zλ 0 , der die zueinander richtig zugeordneten Eigenfrequenzen vergleicht, kann analog zu Gl. (2.360) mit den Werten von λ 0 dimensionslos gemacht werden, so daß der aus Gl. (2.360) bekannte dimensionslose Vektor ∆λ entsteht. Die Rechnung mit dimensionslosen Frequenzverh¨altnissen hat den Vorteil, daß große und kleine Eigenfrequenzen numerisch mit gleicher Gewichtung behandelt

148

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

werden. Die Berechnung wird außerdem mit dem gem¨aß Gl. (2.359) definierten dimensionslosen Vektor der Parameter¨anderungen ∆ ξ empfohlen. Dann kann man den Zusammenhang zwischen den Parameter¨anderungen und den Eigenfrequenz¨anderungen wie in Gl. (2.361) ausdr¨ucken: S∆ξ = ∆λ

(2.384)

Dabei ist die (J × K)-Matrix S und der J-dimensionale Vektor ∆λ bekannt und der K-dimensionale Vektor der relativen Parameter¨anderungen ∆ξ gesucht. Wenn J = K = I w¨are, k¨onnte man aus einem linearen Gleichungssystem (2.384) die di¨ der bemensionslosen Komponenten in ∆ξ erhalten, welche die Ubereinstimmung rechneten und gemessenen Eigenfrequenzen garantieren. So w¨urden z. B. bei der Identifikation von zwei Parametern an I = 2 Eigenfrequenzen aus Gl. (2.384) folgende zwei Gleichungen f¨ur die beiden Unbekannten ∆ p1 und ∆ p2 folgen, wenn die Zuordnung schon stimmte und Z eine Einheitsmatrix ist: s11

∆ p1 ∆ p2 ω2 − ω2 ω2 + s12 = 1e 2 10 = 1e −1 2 p10 p20 ω 10 ω 10

(2.385)

s21

∆ p1 ∆ p2 ω2 − ω2 ω2 + s22 = 2e 2 20 = 2e −1 2 p10 p20 ω 20 ω 20

(2.386)

Es muß meist aber noch ber¨ucksichtigt werden, daß sich die Anzahl K der Parameter pk von derjenigen der gemessenen Eigenfrequenzen (J) unterscheidet. Bei praktischen Aufgaben ist meist J > K und S eine (J × K)-Rechteckmatrix, z. B. wie in Gl. (2.378). Die Aufl¨osung des u¨ berbestimmten Gleichungssystems nach den Unbekannten ∆ξ ist dann mit der Pseudo-Inversen m¨oglich, die eine Minimierung der Fehlerquadratsumme des u¨ berbestimmten Gleichungssystems (2.384) erreicht, d. h., es ergibt sich aus Gl. (2.384) ∆ξ = (ST S)−1 ST ∆λ

(2.387)

Die daraus resultierenden dimensionslosen Parameterdifferenzen ∆ξ erlauben die Berechnung von verbesserten Parameterwerten, vgl. Gl. (2.381): pk = pk0 + ∆ pk = pk0 + ∆ ξ k pk0 ,

k = 1, 2, . . . , K

(2.388)

Die Ergebnisse sind jedoch kritisch zu bewerten, da bei jedem linearen Schwingungssystem f¨ur unterschiedliche Parametervektoren dieselben Eigenfrequenzen auf¨ treten k¨onnen, vgl. [282]. Man darf allein aus der Ubereinstimmung von berechneten und gemessenen Eigenfrequenzen nicht den Schluß ziehen, daß die Parameterwerte des Berechnungsmodells mit denen des realen Objekts u¨ bereinstimmen. Man muß sich auch davon u¨ berzeugen, daß auch die Eigenformen u¨ bereinstimmen. Nun soll noch ein anderer Weg gezeigt werden, der von den Eigenschwingformen ausgeht. Wird vorausgesetzt, daß die Rechen- und Meßgr¨oßen sich auf dieselben Punkte der Struktur beziehen, so k¨onnen die Vektorkomponenten ϕ ki der berechneten und gemessenen Eigenformen unmittelbar miteinander verglichen werden, obwohl sie sich im allgemeinen noch durch einen Maßstabsfaktor unterscheiden. Bei den rechnerisch bestimmten Eigenvektoren ϕ i0 ist es ebenfalls wie bei den Eigenfrequenzen zun¨achst unklar, welchen am realen Objekt gemessenen Eigenvektoren ϕ ie sie zuzuordnen sind.

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

149

Es gibt mehrere Methoden, um die richtige Zuordnung der Eigenvektoren zu ermitteln. Bei einfachen Aufgaben kann man sich manchmal auf die Anschauung verlassen. Ein einfacher Vergleich ist dadurch m¨oglich, daß man die Komponenten eines berechneten Eigenvektors ϕ i0 u¨ ber denen des gemessenen Eigenvektors ϕ ie auftr¨agt. ¨ Besteht zwischen beiden Vektoren eine v¨ollige Ubereinstimmung, dann liegen alle Punkte exakt auf einer Geraden. Wenn diese Darstellung eine Punktwolke um eine mittlere Gerade ergibt, so liegt eine gute Korrelation vor, vgl. Bild 2.59. Bei gleichen Normierungen verl¨auft die mittlere Gerade unter einem Winkel von 45◦ . ϕkie Messwerte

ϕki0 Rechenwerte

Bild 2.59 Zum Vergleich der Komponenten berechneter und gemessener Eigenvektoren

Eine in der Strukturdynamik u¨ bliche und bew¨ahrte Vergleichsmethode benutzt die sogenannte MAC-Matrix (MAC – Modal Assurance Criterion). Jedes Element dieser Matrix stellt den Wert eines normierten Skalarprodukts von einem gemessenen Vektor ϕ je und einem berechneten Eigenvektor ϕ i0 dar und bewertet die Korrelation zwischen diesen. Der Wert des Matrizenelements (ϕ Tjeϕ i0 )2 (2.389) = cos2 α i j MAC(i, j) = T (ϕ jeϕ je ) · (ϕ Ti0ϕ i0 ) ¨ ist ein Maß f¨ur die Ubereinstimmung zwischen ϕ je und ϕ i0 [362] und [94]. Eine ideale eindeutige Unterscheidbarkeit zwischen allen Eigenvektoren l¨age vor, wenn in der MAC-Matrix nur Nullen und Einsen stehen. Dann w¨urde die MAC-Matrix der Zuordnungsmatrix Z entsprechen. Praktisch haben die Matrizenelemente Werte zwischen null und eins, weil die betrachteten Vektoren keine idealen Voraussetzungen erf¨ullen. Erfahrungsgem¨aß besteht bei einem Matrizenelement MAC(i, j) < 0,3 zwischen den beiden Vektoren kaum eine Korrelation, aber bei MAC(i, j) > 0,8 ist eine gute Korrelation zwischen beiden Vektoren vorhanden. Die MAC-Matrix ist geeignet, um Eigenvektoren dicht benachbarter Eigenfrequenzen zu unterscheiden. Sie kann eine Rechteckmatrix sein, aber nach den zu Eins aufgerundeten oder zu null abgerundeten Resultaten kann man daraus die Zuordnungsmatrix Z gewinnen. Weitere Kriterien zum Vergleich berechneter und gemessener Eigenvektoren behandelt [272]. Falls derartige Kriterien zur Identifikation von Parameterwerten benutzt werden, sollten auch die in [245] behandelten Aspekte beachtet werden, vgl. Abschn. 2.3.5.

150

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Nachdem die Zuordnung der berechneten Eigenformen ϕ i0 (p) an die experimentell ermittelten Eigenformen ϕ ie erfolgt ist, muß noch eine einheitliche Normierung der Eigenvektoren erfolgen, bevor ein quantitativer Vergleich (z. B. die Differenz zwischen den Komponenten) dieser Vektoren m¨oglich ist. Dies l¨aßt sich mit der Einf¨uhrung eines unbekannten Maßstabsfaktors wi (f¨ur jede Ordnung i) erreichen, der aus der Bedingung

∑(ϕ kie − wi ϕ ki0 )2 = Min!,

i = 1, 2, . . . , I

(2.390)

k

oder max |ϕ kie − wi ϕ ki0 | = Min!, k

i = 1, 2, . . . , I

(2.391)

bestimmbar ist. Ist dies erfolgt, kann von Gl. (2.364) ausgegangen werden. Die Vektoren ∆ϕ i = ϕ ie − wiϕ i0

(2.392)

sind dann die Differenzvektoren zwischen den gemessenen und berechneten (in gleicher Weise normierten) Eigenvektoren. Es entstehen somit die Vektorgleichungen R∆ξ = ∆ϕ

(2.393)

K Spalten und so viele Zeilen hat, wie ∆ξ wobei die Matrix R = Komponenten besitzt. Der Vektor ∆ϕ = (∆ ϕ 1 , ∆ ϕ 2 , . . . , ∆ ϕ I )T ber¨ucksichtigt alle vergleichbaren Eigenformen. Es entstehen auf diese Weise meist wesentlich mehr Gleichungen als Unbekannte, so daß entweder mit der Ausgleichsrechnung (Fehlerquadratminimum) oder mit der linearen Optimierung (minimale Maximalabweichung) eine Kompromißl¨osung gefunden werden muß. Analog zu Gl. (2.387) kann man die L¨osung auf der Grundlage der Ausgleichsrechnung mit der Pseudo-Inversen berechnen: T

(RT1 , RT2 ,

. . . , RTI )

∆ξ = (RT R)−1 RT ∆ϕ

(2.394)

2.5.3 Identifikation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden Hier soll an einem einfachen System mit zwei Freiheitsgraden die Problematik der Identifikation der Parameterwerte an Hand von gemessenen und berechneten Eigenfrequenzen und Eigenformen verdeutlicht werden. Gegeben sei die in Bild 2.60a gezeigte Struktur, an der zwei Eigenfrequenzen von f = 13 Hz und f = 27 Hz und zwei Eigenformen       1 1 ϕ 11 = = , ϕ 1e = κ1 1,7 ϕ 21       (2.395) 1 1 ϕ 21 = = ϕ 2e = κ2 −1,3 ϕ 22

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

151

gemessen wurden. Aus den gemessenen Eigenfrequenzen ergibt sich wegen ω ie = 2π fi gem¨aß Gl. (2.383) 2 2 T λ e = (ω 1e , ω 2e ) = (6 672, 28 780)T s−2

(2.396)

J2 J1 kT2

a) q2

b)

ϕ21

kT1

q1 ϕ11

ϕ12

c)

ϕ22

Bild 2.60 Zur Identifikation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden a) Berechnungsmodell, b) erste Eigenschwingform, c) zweite Eigenschwingform

Der Parametervektor umfaßt zwei Drehfederkonstanten und zwei Tr¨agheitsmomente: p = (p1 , p2 , p3 , p4 )T = (kT1 , kT2 , J1 ,J2 )T

(2.397)

Das System wird durch folgende Matrizen beschrieben, wenn der Koordinatenvektor qT = (q1 , q2 ) gem¨aß Bild 2.60 definiert ist:     kT1 + kT2 −kT2 J1 0 , K= (2.398) M= −kT2 kT2 0 J2 Folgende Beziehung besteht zwischen den Eigenkreisfrequenzen ω i0 , den Eigenformen ϕ i0 und den Massen- und Steifigkeitsmatrizen (Eigenwertproblem), vgl. Gl. (2.380): 2 (K − ω i0 M)ϕ i0 = o,

i = 1, 2

(2.399)

Setzt man alle aus den Gln. (2.395) bis (2.398) bekannten Gr¨oßen ein, so ergibt sich folgendes homogene lineare Gleichungssystem: (kT1 + kT2 )ϕ 11 − kT2 ϕ 21 − ω 12 J1 ϕ 11 = 0 −kT2 ϕ 11 + kT2 ϕ 21 − ω 12 J2 ϕ 21 = 0 (kT1 + kT2 )ϕ 12 − kT2 ϕ 22 − ω 22 J1 ϕ 12 = 0 −kT2 ϕ 12 + kT2 ϕ 22 − ω 22 J2 ϕ 22 = 0

(2.400)

152

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Benutzt man die in Gl. (2.395) schon eingef¨uhrten Amplitudenverh¨altnisse κi und ordnet man diese Gleichungen nach den Unbekannten des Parametervektors, so erh¨alt man folgende 4 Gln. f¨ur die 4 Unbekannten: =0 kT1 + (1 − κ1 )kT2 − ω 12 J1 (κ1 − 1)kT2 − κ1 ω 12 J1 = 0 =0 kT1 + (1 − κ2 )kT2 − ω 22 J1 2 (κ2 − 1)kT2 − κ2 ω 2 J2 = 0

(2.401)

In diesem Fall stimmt die Anzahl K der unbekannten Parameter mit der doppelten Anzahl der Freiheitsgrade (2n) u¨ berein. F¨ur den Fall, daß K < 2n ist, also mehr Gleichungen als Unbekannte vorliegen, kann die L¨osung mit der Ausgleichsrechnung (Pseudo-Inverse) gesucht werden. Falls K > 2n ist, k¨onnen entweder einige Parameterwerte gegeben oder weitere Nebenbedingungen erf¨ullt werden. Da auf der rechten Seite lauter Nullen stehen, k¨onnen prinzipiell keine absoluten Werte, sondern nur Quotienten der Parameterwerte berechnet werden. Bei dem durch die Gln. (2.401) gegebenen homogenen Gleichungssystem muß die Hauptdeterminante null sein, damit L¨osungen existieren. Die Berechnung dieser Determinante liefert:   (2.402) det = (ω 22 − ω 12 ) κ2 ω 22 (κ1 − 1) − κ1 ω 12 (κ2 − 1) = 0 Sie stellt eine notwendige Bedingung dar, welche die in den Gln. (2.395) und (2.396) angegebenen Meßwerte erf¨ullen m¨ussen. Dies ist eine willkommene Kontrollm¨oglichkeit, die auch bei anderen Systemen beachtet werden sollte. Sollte diese Bedingung nicht erf¨ullt sein, ist die Frage berechtigt, ob das Modell in Bild 2.60a ¨ das reale Schwingungssystem richtig abbildet. Naturgem¨aß darf man die Ubereinstimmung nur auf soviel Ziffern erwarten, wie es der Meßgenauigkeit entspricht. Da beim vorliegenden System ω 1 = ω 2 ist, kann aus dem Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.402) die folgende Bedingung hergeleitet werden, die zwischen den modalen Parametern bestehen muß: ω 22 = ω 12

κ1 (κ2 − 1) κ2 (κ1 − 1)

(2.403)

Setzt man die entsprechenden Zahlenwerte f¨ur dieses Beispiel in der rechten Seite dieser Gl. ein, so ergibt sich 28 474, d. h., ein Zahlenwert, der im Rahmen der Genauigkeit der Eingabedaten mit ω 22 hinreichend genau u¨ bereinstimmt, vgl. Gl. (2.396). Die ermittelten Eigenfrequenzen und Eigenformen stehen also nicht im Widerspruch zu dem in Bild 274a angenommenen Berechnungsmodell. Aus den Gln. (2.399) erh¨alt man als L¨osungen folgende Quotienten: ω 2 κ1 ω 2 κ2 kT2 = 2 = 1 J2 κ1 − 1 κ2 − 1

≈ 1,62 · 104 s−2

(2.404)

−ω 12 (κ2 − 1) + ω 22 (κ1 − 1) kT1 = ≈ 1,605 kT2 ω 22 − ω 12

(2.405)

(κ1 − κ2 )ω 12 κ1 J1 = 2 J2 (ω 2 − ω 12 )(κ1 − 1)

(2.406)

≈ 2,207

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

153

Absolute Gr¨oßen von Masse- und Federparametern lassen sich allein aus Eigenfrequenzen und Eigenformen nicht berechnen! Dimensionsbehaftete Parameterwerte lassen sich erst dann berechnen, wenn die absolute Gr¨oße eines Parameters (oder einer Funktion von Parametern) vorgeben wird, z. B. ein Parameterwert von J2 .

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung 2.6.1 Grundlagen der Freiheitsgradreduktion Manche Berechnungsmodelle werden mit sehr vielen Freiheitsgraden (oder Knotenpunkten) behandelt, weil der Verlauf der Spannungen und Verformungen interessiert. H¨aufig werden FE-Modelle engmaschig vernetzt, um die Spannungen und Verformungen am Rande von L¨ochern, an Kerben, innerhalb von Kontaktstellen, an Querschnitts¨uberg¨angen und an Krafteinleitungsstellen zu berechnen. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Berechnungsmodells erreicht bei solchen strukturdynamischen Aufgaben h¨aufig eine Gr¨oßenordnung von n = 105 bis 106 . Bei Systemen mit vielen Freiheitsgraden ist es schwieriger, verschiedene Varianten schnell zu analysieren und eine in dynamischer Hinsicht optimale Variante zu ermitteln als bei Schwingungssystemen mit wenigen Freiheitsgraden. Deshalb kann es zweckm¨aßig sein, ein mathematisches Optimierungsverfahren abwechselnd mit dem Analysemodell des reduzierten Berechnungsmodells und dem des urspr¨unglichen Modells zu koppeln. Die Optimierungsergebnisse, die nach der Analyse vieler Varianten des einfachen Modells erzielt wurden, k¨onnen an das urspr¨ungliche Modell u¨ bergeben werden, mit dem die Optimierungsrechnung fortgesetzt wird. Nach einer gewissen Rechenzeit kann wieder eine Modellreduktion erfolgen und nach mehreren solchen Iterationsschritten das Optimierungsziel mit relativ weniger Aufwand erreicht werden, als wenn man keine Reduktion vorgenommen h¨atte. H¨aufig ist der Erregerfrequenzbereich eines Realsystems eng begrenzt, so daß es nicht n¨otig ist, alle“ Eigenfrequenzen und Eigenformen im Berechnungsmodell ” zu erfassen, vgl. Bild 2.4. F¨ur Aufgaben, bei denen das globale dynamische Verhalten des Antriebssystems interessiert, kann die Anzahl der Freiheitsgrade wesentlich kleiner als f¨ur den Spannungsnachweis sein, also die Gr¨oßenordnung von 101 bis 104 haben. Nachdem die dynamische Analyse mit dem Startmodell die Verteilung der dynamischen Belastungen lieferte, kann danach die feinere Vernetzung f¨ur die Ermittlung der lokalen Zustandsgr¨oßen vorgenommen werden. Ausgehend von einem Berechnungsmodell mit vielen Freiheitsgraden ist es zweckm¨aßig, zur dynamischen Analyse die Anzahl der Freiheitsgrade wesentlich zu reduzieren. Ein Weg, zu solchen Modellen mit wenigen Freiheitsgraden zu gelangen, besteht darin, das große System“ mit einer der Methoden der Freiheitsgradreduktion systematisch ” zu verkleinern“. Solche Methoden sind in der Strukturdynamik entwickelt worden, ” und ihre Herleitung ist in der Literatur ausgiebig beschrieben, vgl. z. B. [112], [150], [202], [278], [365]. Hier sollen deshalb nur einige dieser Methoden erl¨autert und ihre Anwendung bei Antriebssystemen exemplarisch vorgef¨uhrt werden.

154

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Das urspr¨ungliche Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden, das durch die Massenmatrix M, die Steifigkeitsmatrix K, den Erregerkraftvektor f und den Koordinatenvektor q beschrieben wird, lautet Mq¨ + Kq = f

(2.407)

Es soll auf ein System mit n1 Freiheitsgraden reduziert und mit dem Koordinatenvektor qe beschrieben werden, wobei n1 < n ist. Das allgemeine Vorgehen kann man sich so vorstellen, daß die Koordinaten eingeteilt werden in solche, die erhalten bleiben (externe Koordinaten qe ) und solche, die nach außen nicht mehr in Erscheinung treten (interne Koordinaten qi ). Nach der Reduktion sollen die Bewegungsgleichungen die Form Mred q¨ e + K red qe = f red

(2.408)

haben. Die Reduktion erfolgt formal mit Hilfe einer Transformationsmatrix T, einer Rechteckmatrix mit n Zeilen und n1 Spalten. Diese Transformationsmatrix stellt eine lineare Beziehung zwischen den Koordinaten qe des reduzierten Systems und denen des urspr¨unglichen Systems her: q = Tqe

(2.409)

Sie liefert außerdem noch allgemeine Zusammenh¨ange, welche zwischen den Matrizen des urspr¨unglichen Systems (2.407) und denen des reduzierten Systems (2.408) bestehen. Wenn gefordert wird, daß die kinetische und die potentielle Energie des urspr¨unglichen Systems und des reduzierten Systems u¨ bereinstimmen sollen, erh¨alt man  1 1 1  T T  q˙ e T M T q˙ e = q˙ Te Mred q˙ e (2.410) Wkin = q˙ T Mq˙ = 2 2 2  1 1 1  T T  Wpot = qT Kq = (2.411) qe T K Tqe = qTe K red qe 2 2 2 durch einen Koeffizientenvergleich die Matrizen des reduzierten Systems: Mred = T T MT;

K red = T T KT

(2.412)

Aus den (n × n)-Matrizen des urspr¨unglichen Systems (2.407) werden somit diese (n1 × n1)-Matrizen. W¨ahrend das durch Gl. (2.407) beschriebene urspr¨ungliche System n Eigenkreisfrequenzen λ = (ω 12 , ω 22 , . . . , ω n2 )T

(2.413)

besitzt, zu denen in der Modalmatrix Φ die zugeh¨origen n Eigenvektoren ϕ i

Φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n )

(2.414)

stehen, hat das reduzierte System nur n1 < n Eigenkreisfrequenzen 2∗ T λ ∗ = (ω 12∗ , ω 22∗ , . . . , ω n1 )

(2.415)

und n1 Eigenvektoren, die in der reduzierten Modalmatrix

Φ ∗ = (ϕ ∗1 , ϕ ∗2 , . . . , ϕ ∗n1 ) zusammengefaßt sind.

(2.416)

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

155

Die Bewegungsgleichungen (2.407) enthalten also die Form (K red − ω i∗2 Mred )ϕ ∗i = f red

(2.417)

Verlangt man, daß die virtuelle Arbeit der Erregerkr¨afte am urspr¨unglichen System ebenso groß ist wie diejenige am reduzierten System, also mit Gl. (2.409) δ W = f T δ q = f T (T δ qe ) = f Tred δ qe

(2.418)

so erh¨alt man folgende Vorschrift f¨ur die Umrechnung der Erregerkr¨afte: f red = T T f

(2.419)

Mit der Festlegung einer Transformationsmatrix T ist eine formale Reduktion der Freiheitsgrade unter dem Aspekt der Energie¨aquivalenz m¨oglich. Das spektrale Verhalten der urspr¨unglichen und des reduzierten Systems stimmt allerdings nicht v¨ollig u¨ berein, weil n − n1 Eigenfrequenzen verlorengehen. Die Ber¨ucksichtigung von Forderungen an das spektrale und modale Verhalten ist bei der Wahl der Transformationsmatrix T m¨oglich. Von den verschiedenen Methoden, so eine Transformationsmatrix T zu definieren, werden im folgenden einige beschrieben, die auf die Besonderheiten von Antriebssystemen zugeschnitten sind. Bei Antriebssystemen kommt es meist darauf an, daß die tiefen Eigenfrequenzen und Eigenformen des urspr¨unglichen (vollst¨andigen) Systems mit denen des reduzierten (verk¨urzten) Systems u¨ bereinstimmen. Nach der L¨osung der Differentialgleichungen des reduzierten Systems (2.408) ist es m¨oglich, mit Hilfe von Gl. (2.409) die Ergebnisse auf die urspr¨unglichen Koordinaten q umzurechnen. 2.6.2 ¨ ) Statische und dynamische Kondensation (G UYAN , ROHRLE Zur Vorbereitung der Kondensation werden die Koordinaten des urspr¨unglichen Systems (2.407) in interne Koordinaten qi (die nur intern verbleiben) und externe Koordinaten qe (die extern weiter behandelt werden) eingeteilt         qe K ee K ei Mee Mei fe ∗ ∗ ∗ ∗ q = ; K = ; M = ; f = (2.420) qi K ie K ii Mie Mii fi Da normalerweise diese Koordinaten urspr¨unglich noch nicht in einer derartigen Reihenfolge geordnet sind, muß vorher eine solche Umordnung erfolgen, daß im Koordinatenvektor die externen Koordinaten oben und die internen Koordinaten unten angegeben werden. Diese Einteilung (Partitionierung) muß auch bei den Matrizen erfolgen, was durch die entsprechenden Indizes in Gl. (2.420) angegeben ist. Aus dem urspr¨unglichen System der Bewegungsgleichungen (2.407) folgt nach dem Ansatz q∗ = qˆ exp( jω t) das Eigenwertproblem:      o qˆ e K ee − ω 2 Mee K ei − ω 2 Mei = (2.421) o qˆ i K ie − ω 2 Mie K ii − ω 2 Mii Ausmultiplizieren liefert zwei Gleichungen f¨ur zwei unbekannte Vektoren     K ee − ω 2 Mee qˆ e + K ei − ω 2 Mei qˆ i = o (2.422)     2 2 (2.423) K ie − ω Mie qˆ e + K ii − ω Mii qˆ i = o

156

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Aus Gl. (2.423) folgt die Abh¨angigkeit der internen Koordinaten von den externen:  −1   qˆ i = − K ii − ω 2 Mii (2.424) K ie − ω 2 Mie qˆ e = −Sˆqe In Kurzfassung kann man dies mit der Matrix  −1   S = K ii − ω 2 Mii K ie − ω 2 Mie

(2.425)

ausdr¨ucken, die man aus einem Koeffizientenvergleich erh¨alt. Der gesamte Koordinatenvektor q l¨aßt sich somit durch folgende Matrizenmultiplikation darstellen     E qe (2.426) = q= qe = Tqe qi −S d. h., die Transformationsmatrix T = (E, − S)T

(2.427)

liefert eine exakte Reduktion, wenn die Kreisfrequenz ω eingesetzt wird. Man m¨ußte also mit einer frequenzabh¨angigen Transformationsmatrix operieren, wenn man eine im ganzen Frequenzbereich korrekte Reduktion vornehmen wollte. Hat die Transformationsmatrix konstante Elemente, ist also die Erhaltung aller Eigenfrequenzen bei der Freiheitsgradreduktion nicht m¨oglich. Von G UYAN [130] wurde vorgeschlagen, die Kondensation speziell f¨ur den statischen Fall vorzunehmen. Dabei werden gewissermaßen die Massenkr¨afte vernachl¨assigt, und alle statischen Beziehungen zwischen Kr¨aften und Koordinaten bleiben beim reduzierten System korrekt erhalten. Bei dieser Art der Freiheitsgradreduktion ergibt sich aus Gl. (2.425) als Sonderfall ω = 0 die Matrix S = K −1 ii K ie

(2.428)

und mit der daraus in Verbindung mit Gl. (2.427) folgenden Transformationsmatrix  T (2.429) T = (E, − S)T = E, − K −1 ii K ie kann man gem¨aß Gl. (2.412) folgende Matrizen des reduzierten Systems berechnen: K red = K ee − K ei K −1 ii K ie

(2.430)

Mred = Mee − Mei S − ST Mie + ST Mii S

(2.431)

Der reduzierte Erregerkraftvektor ist dann gem¨aß Gl. (2.419) berechenbar und lautet f red = f e − S f i

(2.432)

Die verbleibenden Koordinaten qe werden in der angloamerikanischen Literatur master-degrees“ und die eliminierten Koordinaten qi slave-degrees“ genannt. Die ” ” Transformationsformeln (2.430) bis (2.432) kennzeichnen die sogenannte statische Kondensation. Das reduzierte System besitzt eine geringere Massentr¨agheit, aber dieselbe Steifigkeit, und demzufolge werden alle seine n1 Eigenfrequenzen etwas gr¨oßer gegen¨uber den Werten vergleichbarer Ordnungen des urspr¨unglichen Systems, vgl. auch das Beispiel in Abschn. 2.6.5. ¨ [278] wurde vorgeschlagen, an Stelle einer statischen Reduktion Von R OHRLE bei ω = 0 eine Reduktion f¨ur einen Richtwert ω˜ vorzunehmen, der innerhalb des

157

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

Erregerfrequenzbereichs des Antriebssystems liegt, vgl. Bild 2.4. Dann k¨onnen die obengenannten Formeln benutzt werden, indem mit folgender Matrix S˜ gerechnet wird, vgl. Gl. (2.425): −1    K ie − ω˜ 2 Mie (2.433) S˜ = K ii − ω˜ 2 Mii Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix ˜ T T = (E, − S)

(2.434)

mit der die durch Gln. (2.409), (2.412) und (2.419) beschriebenen Operationen erfolgen k¨onnen, um die Vektoren und Matrizen des reduzierten Systems zu erhalten. 2.6.3 Reduktion nach R IVIN und D I Von R IVIN [275] wurde eine Methode zur Freiheitsgradreduktion bei Torsionsschwingerketten vorgeschlagen, die in der Dissertation von D I [58] aufgegriffen und (z. B. auch auf ged¨ampfte Schwinger) erweitert wurde. Es wird vorausgesetzt, daß bereits eine Diskretisierung erfolgte, z. B. gem¨aß Tabelle 2.11 und Abschn. 3.2.1. Steife Teilsysteme, die an relativ hohen Eigenfrequenzen gegen¨uber ihrer Umge” bung“ erkennbar sind, werden lokal als starre K¨orper behandelt. Das Verfahren beginnt damit, daß aus der Torsionsschwingerkette Teilsysteme mit einem Freiheitsgrad herausgeschnitten werden. Dabei wird zwischen zwei verschiedene Typen von Teilsystemen unterschieden, vgl. Bild 2.61a und b. Beim Teilsystem des Typs A befindet sich die Drehmasse (Jk ) zwischen zwei Torsionsfedern und bei den Teilsystemen des Typs B liegt eine Torsionsfeder (kTk ) zwischen jeweils zwei Drehmassen, die am a¨ ußeren Rand frei schwingen k¨onnen. Bei einem Torsionsschwinger mit n Scheiben entstehen also n Teilsysteme des Typs A und n − 1 Teilsysteme des Typs B. Die freien oder eingespannten Enden der Torsionsschwingerkette k¨onnen auf diese Weise ebenfalls ber¨ucksichtigt werden. kT k−1

a)

kTk

Jk

kTk

b)

Jk

J k+1

Bild 2.61 Zur Illustration eines Reduktionsschrittes bei einer Torsionsschwingerkette a) Modelltyp A, b) Modelltyp B

Die Eigenkreisfrequenzen aller Teilsysteme werden f¨ur k = 1, 2, . . . , n − 1 (mit kT0 = kT n+1 = 0) berechnet aus kT k−1 + kTk kTk (Jk + Jk+1 ) 2 2 ω Ak = ; ω Bk = (2.435) Jk Jk Jk+1 Nach dieser Aufteilung erh¨alt man also aus Gl. (2.435) insgesamt 2n−1 verschiedene Kreisfrequenzen von Teilsystemen. Von allen diesen Kreisfrequenzen wird die gr¨oßte herausgesucht. 2 2 ω k2 max = Max [ω Ak , ω Bk ] (alle k)

(2.436)

158

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Sie markiert gewissermaßen das steifste Teilsystem innerhalb der Schwingerkette. Deshalb wird an dieser Stelle eine partielle Reduktion vorgenommen. Je nach dem, ob die h¨ochste Kreisfrequenz durch ein System vom Typ A oder B zustande kam, erfolgt im folgenden Reduktionsschritt die Aufteilung der in der Mitte liegenden Drehmasse auf die Nachbarscheiben (Bild 2.62a) oder die Aufteilung der mittleren Federkonstante auf die Nachbarfedern (Bild 2.62c), vgl. Tabelle 2.18. Die Erregermomente werden auch umgerechnet. M k−2

M k−1

kT k−2

J k−2

a) M k−2

kT k−1

J k−1

J k−2

M k+1

J k+1

Jk

Mk

M k+2 kT k−1

kT k+1

kTk

J k+2

M k+1 kT k+1

kTk Jk

J k+1

c)

* M k−1

M k*

kT* k−1

kT k−2

b)

Mk

kT* k

kT k+1 J k*

* J k−1

M k*

M k+2

J k+2

d)

kT* k+1

J k*

Bild 2.62 a) Modellabschnitt des Torsionsschwingers, b) Reduktion gem¨aß Modelltyp A, c) Modellabschnitt des Torsionsschwingers, d) Reduktion gem¨aß Modelltyp B

Zur Berechnung der durch einen Stern gekennzeichneten neuen“ Parameter wer” den die folgenden Formeln benutzt: Teilsystem Typ A: ∗ = Jk−1 + Jk−1

kT∗ k−1 =

kT k−1 Jk ; kT k−1 + kTk

Jk∗ = Jk+1 +

kTk Jk kT k−1 + kTk

kT k−1 kTk kT k−1 + kTk

∗ = Mk−1 + Mk−1

(2.437) (2.438)

kT k−1 Mk ; kT k−1 + kTk

Mk∗ = Mk+1 +

kTk Mk kT k−1 + kTk

(2.439)

Teilsystem Typ B: Jk∗ = Jk + Jk+1 ;

Mk∗ = Mk + Mk+1

1 1 1 Jk+1 = + ; ∗ kTk kTk−1 Jk + Jk+1 kTk

1 1 1 Jk = + kT∗ k−1 kT k−1 Jk + Jk+1 kTk

(2.440) (2.441)

Nach jedem Reduktionsschritt wird der Freiheitsgrad des Gesamtsystems um Eins vermindert. Es verschwindet“ jeweils die h¨ochste Eigenfrequenz des Ge” samtsystems, es a¨ ndern sich alle Eigenfrequenzen und Eigenformen ein wenig, erfahrungsgem¨aß die niederen Eigenfrequenzen am wenigsten. Es ist zweckdienlich (aber nicht erforderlich), wenn man w¨ahrend des Reduktionsverfahrens auch die Eigenfrequenzen und Eigenformen des zu vereinfachenden Systems vergleicht und

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

159

aus diesen Resultaten schlußfolgert, wann das Reduktionsverfahren abgebrochen wird. Die h¨ochste Eigenfrequenz des zu reduzierenden Schwingungssystems kann nach jedem Reduktionsschritt aus den Parametern des vorhergehenden und des folgenden Systems (mit Stern gekennzeichnet) berechnet werden: 2 ω n−1 =

∗ + kT∗ k+1 kTk + kT k+1 n−1 kTk −∑ Jk Jk∗ k=1 k=1 n

∑

(2.442)

Die Reduktion wird schrittweise solange vorgenommen, bis eine Reduktionsgrenze“ ” erreicht ist, die der Bearbeiter festlegen kann. Eine solche Grenze kann die minimale Anzahl von Scheiben sein, die man f¨ur die Deutung der Berechnungsergebnisse ¨ ben¨otigt, oder die h¨ochste Eigenfrequenz oder eine zul¨assige Toleranz zu den Anderungen der wichtigen niederen Eigenfrequenzen. Als Erfahrungsregel gilt [275], daß die Reduktion sp¨atestens dann abgebrochen werden sollte, wenn die h¨ochste Eigenfrequenz der Teilsysteme gem¨aß Gl. (2.435) wenigstens etwa viermal gr¨oßer ist als die h¨ochste Eigenfrequenz des reduzierten Gesamtsystems, vgl. Gl. (2.442). Die statische Gesamtsteifigkeit (∑ 1/kTk ) und das summarische Tr¨agheitsmoment (∑ Jk ) bleiben bei allen Reduktionsschritten erhalten, d. h., die summarischen Kennwerte des Starrk¨orpersystems und des elastischen Systems werden entsprechend den bei der Balkendiskretisierung erl¨auterten Grunds¨atzen nicht ver¨andert, vgl. Abschn. 2.3.5. Wenn am freien Ende reduziert wird, entstehen freie Torsionsfedern als Wellenst¨umpfe, die man vernachl¨assigen kann, vgl. Tabelle 2.18. 2.6.4 Modale Reduktion und Eigenformapproximation Eine einfache M¨oglichkeit der Freiheitsgradreduktion besteht darin, nur wenige Eigenformen zu ber¨ucksichtigen, d. h. die Anzahl der Freiheitsgrade auf so viele zu beschr¨anken, wie f¨ur das jeweilige Problem wesentlich sind. Bei dieser modalen Reduktion wird das Eigenwertproblem f¨ur das urspr¨ungliche System einmal vollst¨andig gel¨ost, um alle n Eigenfrequenzen und Eigenformen (Moden) zu ermitteln. Danach wird eine Anzahl n1 < n der wesentlichen Eigenformen ϕ i ausgew¨ahlt, z. B. nach einem Kriterium f¨ur die zu ber¨ucksichtigenden Eigenkreisfrequenzen ω i , vgl. Abschn. 2.1.2 und Bild 2.4. Daraus gewinnt man eine reduzierte Modalmatrix, die dann eine Rechteckmatrix mit n Zeilen und n1 Spalten ist. Da in der Antriebsdynamik meist nur die niederen Eigenfrequenzen interessieren, sind praktisch die ausgew¨ahlten wesentlichen Eigenformen ϕ i oft mit den n1 niederen Eigenformen identisch, aber es k¨onnten auch beliebige andere h¨ohere Ordnungen einbezogen werden, wenn diese sich nach dem Kriterium der Anregbarkeit als wesentlich erweisen sollten, vgl. Abschn. 5.2. Die modale Reduktion erfolgt gem¨aß Gl. (2.409), (2.412) und (2.419), wobei die Transformationsmatrix die Eigenvektoren ϕ i enth¨alt: T = (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n1 )

(2.443)

Die im Koordinatenvektor qe verbleibenden n1 Koordinaten sind dann diejenigen modalen Koordinaten p, die zu den ausgew¨ahlten Freiheitsgraden geh¨oren. Eine modale Koordinate pi beschreibt keine reale physikalischen Koordinate einer einzelnen Masse, sondern die Gesamtheit solcher Koordinaten, die zu der i-ten Eigenform

160

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

geh¨oren. Sowohl die Massenmatrix als auch die Steifigkeitsmatrix werden bei dieser Reduktionsmethode Diagonalmatrizen, deren jeweils n1 Elemente die modalen Massen und modalen Steifigkeiten der ber¨ucksichtigten n1 Moden sind: Mred = diag(µ i );

K red = diag(γ i )

(2.444)

Der Erregerkraftvektor gem¨aß Gl. (2.419) bezieht sich dann nur auf die ber¨ucksichtigten n1 Eigenformen. Es bleiben die ausgew¨ahlten n1 Eigenfrequenzen (f¨ur die dann ω i2 = γ i /µ i gilt) und Eigenformen exakt erhalten, w¨ahrend alle anderen (n−n1) Eigenfrequenzen und Eigenformen nach der Reduktion nicht mehr existieren. Ausgehend von dem Grundgedanken dieser modalen Reduktion besteht eine weitere Reduktionsmethode darin, an Stelle der exakten Eigenformen ϕ i , welche die Transformationsmatrix in Gl. (2.443) definieren, eine Eigenformapproximation vorzunehmen. Es werden dabei Formfunktionen, d. h. N¨aherungsans¨atze ϕ˜ i , f¨ur die wesentlichen Eigenformen benutzt. Diese kann man (im Sinne des Ritzschen Verfahrens) sch¨atzen, indem man z. B. die Lage der Schwingungsknoten und eine Amplitudenverteilung bei den einzelnen Eigenformen annimmt oder indem man z. B. experimentelle Ergebnisse am Realsystem auswertet. Man geht also von einer Transformationsmatrix T = (ϕ˜ 1 , ϕ˜ 2 , . . . , ϕ˜ n1 )

(2.445)

aus, mit der man Beziehungen zwischen den urspr¨unglichen Koordinaten und den neuen Koordinaten des reduzierten Systems erh¨alt, vgl. Gl. (2.409). Man kann damit die anderen in Abschn. 2.6.1 begr¨undeten Transformationen vornehmen, vgl. Gl. (2.409), (2.412) und (2.419). Als Resultat werden dann keine Diagonalmatrizen f¨ur Mred und K red entstehen, wie das bei der exakten modalen Reduktion der Fall ist. Die Approximation mit der Transformationsmatrix gem¨aß Gl. (2.445) stellt gegen¨uber den exakten Eigenformen, die in Gl. (2.443) ber¨ucksichtigt wurden, einen Zwang dar, der zur Folge hat, daß die tiefsten Eigenfrequenz h¨oher als die des ur¨ spr¨unglichen Systems sein wird. Uber die Ver¨anderung der h¨oheren Eigenfrequenzen gegen¨uber denen des urspr¨unglichen Systems lassen sich keine einfachen allgemeinen Aussagen machen. Die Methode der Eigenformapproximation hat gegen¨uber der exakten modalen Reduktion den Vorteil, daß das Eigenwertproblem des urspr¨unglichen (großen) Systems nicht gel¨ost werden muß. Man kann damit auch ein Kontinuum auf wenige Freiheitsgrade reduzieren, vgl. das Beispiel in Abschn. 4.8.2. 2.6.5 Vergleich der Reduktionsmethoden an einem Beispiel Bild 2.63 zeigt einen Torsionsschwinger mit 6 Freiheitsgraden. Er ist in Form einer Bildwelle“ dargestellt, d. h., der Durchmesser charakterisiert die Gr¨oße der Dreh” massen und die L¨ange der Wellen ihre Nachgiebigkeit, vgl. [150]. Dieser Torsionsschwinger soll auf ein Berechnungsmodell mit drei Freiheitsgraden reduziert werden, und zwar nach vier Methoden der Freiheitsgradreduktion: • • • •

der Methode von R IVIN [275], der Methode von G UYAN [130], ¨ der Methode von R OHRLE [278], der Eigenformapproximation.

161

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

Es sollen die Matrizen der reduzierten Systeme ermittelt und deren ersten drei Eigenfrequenzen mit denen des urspr¨unglichen Berechnungsmodells verglichen werden. q1

q2 2kT

q3 kT

q4 3kT

J

2J

4J

q5 kT

q6 2kT

J

J

3J

Bild 2.63 Torsionsschwinger mit sechs Freiheitsgraden

Die Bewegungsgleichung dieses Torsionsschwingers nimmt mit der Massenmatrix M und der Steifigkeitsmatrix K des Torsionsschwingers bez¨uglich der in Bild 2.63 angegebenen Koordinaten qT = (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 ) die Form Mq¨ + Kq = 0

(2.446)

an, wobei die Matrizen lauten: ⎞ ⎛ ⎛ 4 0 0 2 −2 0 0 0 0 ⎜0 1 0 ⎜−2 3 −1 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜0 0 2 ⎜ 0 −1 4 −3 0 0⎟ ⎟ ⎜ , M =J⎜ K = kT ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 −3 4 −1 0⎟ ⎝0 0 0 ⎝ 0 0 0 −1 3 −2⎠ 0 0 0 0 0 0 0 −2 2

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 3 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

(2.447)

1

Tabelle 2.18 Freiheitsgradreduktion nach der Methode von R IVIN Reduktionsschritt 0 (urspr¨ungliches System)

λ i = ω i2 J/kT

Freiheitsgradreduktion nach R IVIN

2

1 1

2

0,9 1 0,6207

4,6897 3

0,8182

1

λ2 λ3 λ4 λ5

2 1

3 0,8182

2 3

3,3103

1

3,3103

λ2 λ3 λ4

= 0,163 6 = 0,718 1 = 2,735 9 = 3,414 9 = 5,467 6 = 0,164 2 = 0,649 2 = 2,748 7 = 3,350 0 = 0,153 1 = 0,598 4 = 2,748 9

λ 2 = 0,154 9 λ 3 = 0,574 8

0,7423

0,6207 4,6897

λ2 λ3 λ4 λ5 λ6

2 3

3

4 2

1

2 1

4

1

3

4

J ω k2 max /kT Typ B 4,50

Typ A 2,90

Typ B 2,667

162

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Das Eigenwertproblem (K − ω 2 M)ϕ = 0 kann mit dimensionslosen Gr¨oßen formuliert werden, so daß an Stelle der Eigenkreisfrequenzquadrate der Eigenwert λ = ω 2 J/kT erscheint. Die L¨osung liefert λ 1 = 0, da es sich um ein ungefesseltes Schwingungssystem handelt. Die anderen 5 dimensionslosen Eigenwerte sind in Tabelle 2.18 oben (Reduktionsschritt 0) angegeben. W¨unscht man eine Reduktion auf ein System mit drei Freiheitsgraden, bedeutet dies, daß der Erregerfrequenzbereich f¨ur dieses System unterhalb von etwa λ = 2 liegt, vgl. Bild 2.4 in Abschn. 2.1. Wird nach der Methode von R IVIN reduziert, ergibt sich nach jedem Reduktionsschritt ein um einen Freiheitsgrad reduziertes Modell. In Tabelle 2.18 sind die nach den Zwischenschritten entstehenden Berechnungsmodelle mit ihren Eigenwerten dargestellt. Die Darstellung als Bildwelle“ zeigt, daß bei allen Reduktionsschritten die Sum” me aller Tr¨agheitsmomente (4 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 12)J ist. Die Gesamtnachgiebigkeit zwischen den a¨ ußeren Scheiben (1/2 + 1 + 1/3 + 1 + 1/2 = 4/3)/kT bleibt erhalten, was auch an der konstanten L¨ange der Bildwelle erkennbar ist. An den Ergebnissen sieht man, wie sich von Schritt zu Schritt der h¨ochste Eigenwert verab” schiedet“ und die niederen Eigenwerte durch N¨aherungswerte ersetzt“ werden. Die ” Reduktion auf das System mit drei Freiheitsgraden stellt offenbar schon eine zu grobe Vereinfachung dar, denn λ 2 unterscheidet sich nach dem dritten Reduktionsschritt schon um etwa 6 %. Bei der statischen Reduktion nach G UYAN [130] muß zun¨achst entschieden werden, auf welche Knoten reduziert wird. Dazu werden zweckm¨aßig diejenigen gew¨ahlt, an denen die gr¨oßten Drehmassen konzentriert sind. Dies sind die Koordinaten q1 , q3 und q5 . Entsprechend der in Abschn. 2.6.2 beschriebenen Methode erfolgt eine Umordnung der Elemente des Koordinatenvektors so, daß im oberen Teil die master“-Koordinaten und im unteren Teil die slave“-Koordinaten stehen. Die ” ” Bewegungsgleichung (2.446) beh¨alt ihre Form, aber der Koordinatenvektor und die Matrizenelemente aus Gl. (2.447) werden umsortiert“, vgl. Gl. (2.420): ” qT = (q1 , q3 , q5 , q2 , q4 , q6 ) = (qTe , qTi ) ⎛ ⎛ ⎞ 4 0 0 2 0 0 −2 0 0 ⎜0 2 0 ⎜ 0 4 0 −1 −3 0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜0 0 3 ⎜ 0 0 3 0 −1 −2⎟ K ∗ = kT ⎜ ⎟, M∗ = J ⎜ ⎜0 0 0 ⎜−2 −1 0 3 0 0⎟ ⎝0 0 0 ⎝ 0 −3 −1 0 4 0⎠ 0 0 −2 0 0 2 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎠ 1

(2.448)

(2.449)

Entsprechend der in Abschn. 2.6.2 begr¨undeten Rechenvorschrift ergeben sich die Matrizen des auf die master“-Koordinaten reduzierten Systems. Aus Gl. (2.430) ” folgt: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 0 0 −2 0 0 1/3 0 0 −2 −1 0 K red /kT = ⎝0 4 0⎠ − ⎝−1 −3 0⎠⎝ 0 1/4 0 ⎠⎝ 0 −3 −1⎠ 0 0 3 0 −1 −2 0 0 1/2 0 0 −2 ⎛ ⎞ 1 ⎝ 8 −8 0⎠ −8 17 −9 (2.450) = 12 0 −9 9

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

163

F¨ur die reduzierte Massenmatrix ergibt sich mit der aus Gl. (2.428) bekannten Matrix ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛ ⎞ −2 −1 0 1/3 0 0 0 1 ⎝−8 −4 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 0 −9 −3 ⎠ S = ⎝ 0 1/4 0 ⎠⎝ 0 −3 −1⎠ = (2.451) 12 0 0 −12 0 0 −2 0 0 1/2 aus Gl. (2.431): ⎞ ⎛ 640 32 0 ⎟ J ⎜ Mred = ⎝ 32 385 27⎠ 144 0 27 585

(2.452)

Dabei f¨allt auf, daß diese Massenmatrix keine Diagonalmatrix mehr ist, im Gegensatz zu allen Massenmatrizen von Torsionsschwingerketten, bei denen die Absolutwinkel der Scheiben als Koordinaten gew¨ahlt werden. Dies ist eine Folge der GuyanReduktion, bei dem die anschauliche Vorstellung aufgegeben werden muß, daß jedem Diagonalelement eine Scheibe des Torsionsschwingers zugeordnet werden kann. Die Eigenwerte des statisch kondensierten Systems folgen gem¨aß Gl. (2.417) aus |K red − ω ∗2 Mred | = 0

(2.453)

und lauten (Reduktion nach G UYAN) mit λ i = ω i∗2 J/kT : λ 1 = 0,

λ 2 = 0,165 8,

λ 3 = 0,755 0

(2.454)

Vergleicht man sie mit denen in Tabelle 2.18 erkennt man, daß die beiden von null verschiedenen Eigenwerte etwas gr¨oßer sind als die des urspr¨unglichen Systems. Sie sind wesentlich genauer als diejenigen, die sich nach der Reduktionsmethode von R IVIN ergeben, vgl. Tabelle 2.18. Die Anwendung der dynamischen Kondensation empfiehlt sich, wenn man den Erregerfrequenzbereich kennt, weil man dann auch weiß, auf welche Eigenfrequenzen es besonders ankommt. Interessiert das dynamische Verhalten der Schwingerkette z. B. im Bereich zwischen der ersten und zweiten Eigenfrequenz, also hier im Bereich 0,2 < λ < 0,6, so sollte ein Richtwert λ˜ = ω 2 (J/k) aus diesem Bereich gew¨ahlt werden. Setzt man diesen Richtwert in Gl. (2.433) und Gl. (2.434) ein, erh¨alt man eine Transformationsmatrix T, aus der sich mit Gl. (2.412) die reduzierte Massen- und Steifigkeitsmatrix berechnen lassen. Hier soll auch gezeigt werden, wie sich die Gr¨oße des Richtwertes λ˜ auf die Eigenwerte auswirkt. Die L¨osung des ¨ ): Eigenwertproblems (2.418) liefert folgende Ergebnisse (Reduktion nach R OHRLE λ˜ λ˜ λ˜ λ˜

= 0,25: = 0,35: = 0,45: = 0,55:

λ1 λ1 λ1 λ1

= 0,006 5; = 0013 6; = 0,023 7; = 0,037 2;

λ2 λ2 λ2 λ2

= 0,164 3; = 0,167 5; = 0,173 8; = 0,184 1;

λ3 λ3 λ3 λ3

= 0,736 3 = 0,730 1 = 0,724 9 = 0,720 9

(2.455)

¨ Die Tendenz der Anderungen ist offensichtlich und auch verst¨andlich. H¨atte man den ersten oder zweiten Eigenwert als Richtwert gew¨ahlt, w¨are der betreffende jeweils exakt herausgekommen. So sieht man, daß eine Kompromißl¨osung zu suchen ist. Bei λ˜ = 0,35 unterscheiden sich der zweite und der dritte Eigenwert nur etwa um 2 % von den exakten Werten, vgl. erste Zeile in Tabelle 2.18. Interessant ist, daß der erste

164

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Eigenwert, der exakt Null ist, im Gegensatz zu den anderen Reduktionsmethoden einen endlichen Wert beh¨alt. Abschließend soll die Eigenformapproximation, die keine L¨osung des urspr¨unglichen Eigenwertproblems verlangt, zum Vergleich herangezogen werden. Da die erste Eigenfrequenz null ist, weil ihr bei der freien Schwingerkette eine Starrk¨orperrotation entspricht, sollen nur N¨aherungen f¨ur die zweite und dritte Eigenform ber¨ucksichtigt werden. Es ist bekannt, daß die zweite Eigenform der Schwingerkette einen Schwingungsknoten und die dritte Eigenform zwei Schwingungsknoten hat. Man kann also die Lage dieser Knoten sch¨atzen, und wenn man darauf achtet, daß bei keiner h¨oheren Eigenform eine Eigenrotation zustandekommt, kann man auch die Gr¨oße der Amplituden der einzelnen Scheiben so absch¨atzen, daß in der Summe kein Drehimpuls in einer Drehrichtung u¨ brigbleibt. Diesen Bedingungen ¨ die beiden Eigenformen, die laut Gl. (2.445) in die entsprechen die Ans¨atze fur Transformationsmatrix eingehen:     ϕ˜ T1 −1,5 −1,0 0 0,3 1,5 2,2 = (2.456) T= ϕ˜ T2 −0,8 −0,3 1,5 1,5 −0,1 −0,7 Berechnet man damit unter Beachtung von Gl. (2.412) die reduzierte Massen- und Steifigkeitsmatrix, so erh¨alt man     4,19 −0,46 21,68 6,60 (2.457) ; K red = kT Mred = J −0,46 7,02 6,60 9,92 Aus der Frequenzdeterminante von Gl. (2.453) folgt eine quadratische Gleichung, als deren Wurzeln sich folgende Eigenwerte ergeben: λ 2 = 0,171 3;

λ 3 = 0,993 8

(2.458)

Der erste Wert stellt eine relativ gute N¨aherung dar, der entsprechend der theoretischen Voraussage etwas oberhalb des richtigen Wertes liegt, vgl. Tabelle 2.18. Die h¨oheren Eigenwerte sind meist weniger genau, da es bei h¨oheren Ordnungen immer schwieriger wird, die Eigenform zu sch¨atzen. 2.6.6 Modale Synthese Bei Antriebssystemen, die aus mehreren Baugruppen zusammengesetzt sind, kann zur Freiheitsgradreduktion eine Substrukturtechnik empfohlen werden, die als modale Synthese in der Strukturdynamik bekannt ist [113]. Ziel dieser Substrukturtechnik ist ein Gleichungssystem, das weniger Koordinaten als das urspr¨ungliche System hat, aber welches das wesentliche dynamische Verhalten im interessierenden (unteren) Frequenzbereich hinreichend genau widerspiegelt. Es wird hierbei nur vorausgesetzt, daß die einzelnen Baugruppen linearen konservativen Systemen entsprechen, deren Eigenfrequenzen und Eigenformen schon ermittelt wurden. Es kann sich dabei z. B. um Teilmodelle f¨ur Wellenstr¨ange, mehrstufige Getriebe oder Bauteile am Abtrieb handeln. In der Praxis kann es auch vorkommen, daß das urspr¨ungliche Antriebssystem durch Anbauteile erg¨anzt werden soll. Dann w¨aren außer den als bekannt vorausgesetzten modalen Parametern des urspr¨unglichen Systems noch diejenigen der Anbauteile zu beschaffen.

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

165

Das resultierende Schwingungsverhalten des aus bekannten Teilsystemen bestehenden Gesamtsystems kann dann unter Nutzung der von den Teilsystemen schon bekannten modalen Daten und den Parametern der Substruktur, welche die Teilsysteme koppelt, vorausberechnet werden. Da in der Praxis oft nur die niederen Eigenfrequenzen des Gesamtsystems interessieren, die wiederum nur von den unteren Bereichen der beiden Eigenfrequenzspektren der Teilsysteme abh¨angen, kann man eine Vereinfachung vornehmen. Man kann sich auf die Mitnahme einer kleinen Anzahl von Eigenfrequenzen und Eigenformen der Teilsysteme beschr¨anken. Bei der Entscheidung, bis zu welcher Ordnung die zugeh¨origen Eigenformen bei der modalen Synthese mitzunehmen“ sind, um ei” ne gewisse Genauigkeit bei den interessierenden Eigenfrequenzen zu erreichen, wird eine in [113] (auf Seite 251) zitierte Erfahrungsregel empfohlen: Ber¨ucksichtigt man bei der modalen Synthese alle Struktureigenformen, deren Eigenfrequenz unter dem Doppelten der gerade noch interessierenden h¨ochsten Eigenfrequenz des Gesamtsystems liegt, so bleibt der Fehler (von einigen Aus” reißern“ abgesehen) unter 1 %. Im folgenden wird die modale Synthese f¨ur den Fall von zwei Teilsystemen beschrieben, die durch eine als tr¨agheitslos angenommene Baugruppe verbunden sind, deren elastisches Verhalten durch die Steifigkeitsmatrix K erfaßt wird. Dabei wird auf die Ber¨ucksichtigung der D¨ampfung verzichtet. Die beiden Teilsysteme werden mit den Buchstaben A und B gekennzeichnet. Die Anzahl der urspr¨unglichen Bewegungskoordinaten der Teilsysteme wird mit NA und NB bezeichnet. Die Bewegungsgleichungen f¨ur die erzwungenen Schwingungen der beiden unabh¨angigen Teilsysteme lauten: MA q¨ A + K A qA = f (0) A

(2.459)

MB q¨ B + K B qB =

(2.460)

f (0) B

Vorausgesetzt wird, daß folgende Gr¨oßen bekannt sind: Massen- oder Steifigkeitsmatrizen MA oder K A und MA oder K B sowie die Eigenfrequenzspektren in Form der diagonalen Spektralmatrizen, die nA bzw. nB Diagonalelemente haben. 2 Ω A = diag (ω Ai ),

2 Ω B = diag (ω Bi )

(2.461)

Die beiden Modalmatrizen

Φ A = (ϕ A1 , ϕ A2 , . . . , ϕ AnA ),

Φ B = (ϕ B1 , ϕ B2 , . . . , ϕ BnB )

(2.462)

enthalten niedere Eigenformen der Teilsysteme, die rechnerisch oder experimentell gewonnen wurden. Die eingepr¨agten Kraftgr¨oßen sind in den Erregerkraftvektoren f (0) A (t),

f (0) B (t)

(2.463)

der Teilsysteme erfaßt. Die Vektoren pA bzw. pB der modalen Koordinaten haben nA bzw. nB Komponenten. Es gilt also: nA
NA ,

nB
NB

(2.464)

In den Modaltransformationen der beiden Teilsysteme qA = Φ A · pA ,

qB = Φ B · pB

(2.465)

166

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

sind deshalb die beiden Modalmatrizen Rechteckmatrizen, deren Zeilenzahl NA bzw. NB betr¨agt und deren Spaltenzahl (nA bzw. nB ) insgesamt kleiner ist als die Anzahl der urspr¨unglichen Koordinaten der Teilsysteme. Man beschr¨ankt sich auf diejenigen Freiheitsgrade, die zu den tiefen Eigenfrequenzen geh¨oren. Die Normierung soll so erfolgt sein, daß mit den Matrizen der Teilsysteme (vgl. Gl. (2.459) und (2.460)) gilt:

Φ TA MAΦ A = E,

Φ TA K AΦ A = Ω A

(2.466)

Φ TB MBΦ B

Φ TB K BΦ B

(2.467)

= E,

=ΩB

Bild 2.64 zeigt schematisch die beiden Teilsysteme mit der Koppelstruktur und den Bezeichnungen der dazu geh¨orenden Gr¨oßen. M A , K A , qA

Koppelstruktur

Struktur A

K

M B , K B , qB

Struktur B

Ω A , Φ A , pA

Ω B , Φ B , pB

Bild 2.64 Gesamtsystem als Kopplung der Strukturen A und B durch die Koppelstruktur K

Die Bewegungsgleichungen in modalen Koordinaten folgen aus den Gleichungen (2.459), (2.460) mit (2.465) bis (2.467) und lauten: p¨ A + Ω A pA = Φ TA · f A

(2.468)

p¨ B + Ω B pB = Φ TB · f B

(2.469)

Die Kopplungssteifigkeiten sind in einer ((NA + NB ) × (NA + NB ))-Steifigkeitsmatrix K erfaßt. Man formuliert, wie die Kraftgr¨oßen u¨ ber die eine tr¨agheitslose Koppelstruktur charakterisierende Steifigkeitsmatrix K mit den urspr¨unglichen Bewegungskoordinaten an beiden Teilsystemen zusammenh¨angen: (k) f A = f (0) A + fA ,

(k) f B = f (0) B + fB

f (0) A

(2.470)

f (0) B

Dabei sind in den Vektoren bzw. die Komponenten der tats¨achlich von außen (k) auf die Teilsysteme wirkenden Kr¨afte und in den Vektoren f (k) A und f B die Koppelkraftkomponenten enthalten.       (k)  ΦA 0 qA pA fA = −K = −K (2.471) 0 ΦB qB pB f (k) B (0) Zu den aus Gl. (2.459) und (2.460) bekannten eingepr¨agten Kraftgr¨oßen f (0) A und f B (k) (k) kommen hier die inneren Kraftgr¨oßen f A und f B hinzu, die an den Koppelstellen auftreten. Durch Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (2.468) und (2.469) ergibt sich eine inhomogene Gleichung f¨ur das gekoppelte Gesamtsystem:      pA ΩA 0 p¨ A + p¨ B pB 0 ΩB   (0)      T ΦA 0 ΦA 0 fA pA − K (2.472) = 0 Φ TB 0 ΦB pB f (0) B

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

167

die auch in folgender Form geschrieben werden kann:      T      p¨ A pA ΩA 0 ΦA 0 ΦA 0 + + ·K· p¨ B pB 0 ΩB 0 ΦB 0 Φ TB  T   (0)  ΦA 0 fA = (2.473) 0 Φ TB f (0) B Diese Bewegungsgleichungen sind zur dynamischen Analyse des gekoppelten Systems geeignet. Daraus folgen z. B. f¨ur beliebige Erregerkraftgr¨oßen die modalen Koordinaten. Aus denen kann man wiederum gem¨aß Gl. (2.465) die Verl¨aufe der urspr¨unglichen Bewegungskoordinaten berechnen, d. h. damit auch alle interessierenden dynamischen Gr¨oßen an allen Stellen des Gesamtsystems. Aus dem homogenen Differentialgleichung-System von (2.473) folgt nach dem Einsetzen der u¨ blichen harmonischen Ans¨atze mit der noch unbekannten Eigenkreisfrequenz ω das Eigenwertproblem           T Ω A − ω 2E 0 ΦA 0 ΦA 0 pA 0 ·K· = + 0 0 Φ TB 0 ΦB 0 Ω B − ω 2E pB (2.474) Daraus k¨onnen sowohl die Eigenfrequenzen als auch die Eigenformen des Gesamtsystems berechnet werden. Die Eigenformen in den urspr¨unglichen Koordinaten folgen aus der Transformation (2.465) Weitere F¨alle von Strukturkopplungen, z. B. mit Benutzung der Eigenformen der eingespannten Systeme oder mit Koppelstrukturen, die durch Masse- und Steifigkeitsmatrix beschrieben werden, finden sich ausf¨uhrlich in [113]. 2.6.7 Kopplung von zwei Schwingerketten In Bild 2.65 ist ein Antriebssystem dargestellt, das aus zwei homogenen Schwingerketten und einem elastischen Kopplungsglied besteht. Die Spektralmatrizen gem¨aß Gl. (2.461) f¨ur die beiden Teilsysteme lauten: ⎞ ⎛ 0 0 0 0 ⎟ 4k ⎜ 0 0,049 52 0 0 2 ⎟ = diag(ω Ai Ω A = T1 ⎜ ) ⎠ 0 0,188 26 0 J1 ⎝ 0 0 0 0 0,388 74 ⎞ ⎛ 0 0 0 4kT2 ⎝ 2 ⎠ = diag(ω Bi 0 0,095 49 0 ΩB = ) (2.475) J2 0 0 0,345 49 Unter Beachtung der Massenmatrizen MA = J1 diag(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) = J1 · E MB = J2 diag(1, 1, 1, 1, 1) = J2 · E

(2.476)

168

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

J1 kT1

a)

q1

b)

Struktur A J1 J1 J1

J1 kT1

q2

kT1

q3

kT1

q4

J1 kT1

q5

Koppelfeder Struktur B J1 J2 J2 J2 J2

kT1

q6

kT

q7

J2

kT2 kT2 kT2 kT2

q8

q9

q10 q11

q12

c)

ϕ 1A

ϕ 1B

ϕ 2A

ϕ 2B

ϕ 3A

ϕ 3B

ϕ 4A

ϕ 4B

ϕ 5A

ϕ 5B

ϕ 6A

ϕ 7A

Bild 2.65 Zur Kopplung von zwei Schwingerketten; a) Strukturen A und B mit Koppelfeder, b) alle 7 Eigenformen der Struktur A, c) alle 5 Eigenformen der Struktur B

lauten die gem¨aß Gl. (2.466) und (2.467) normierten und entsprechend abgeschnit” tenen“ Modalmatrizen, die nur die ersten 4 Eigenformen der Struktur A bzw. die ersten 3 Eigenformen der Struktur B ber¨ucksichtigen, vgl. Bild 2.65: ⎛ ⎞ 1 1,379 −1,274 −1,106 ⎜ 1 1,106 −0,315 0,614 ⎟ ⎜ ⎟ 1 0,614 0,882 1,379 ⎟  ⎜  1 ⎜ ⎟ A A A 0 1,414 0 ΦA = √ ⎜ 1 ⎟ = ϕA 1,ϕ2,ϕ3,ϕ4 7J1 ⎜ 1 −0,614 0,882 −1,379 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −1,106 −0,315 −0,614 ⎠ 1 −1.379 −1,274 1,106

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

⎛ 1 ΦB = √ 5J2

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 1,345 −1,144 1 0,831 0,437 1 0 1,414 1 −0,831 0,437 1 −1,345 −1,144

169

⎞ ⎟ ⎟   ⎟ ⎟ = ϕ B1 , ϕ B2 , ϕ B3 ⎟ ⎠

(2.477)

Mit den Parameterwerten kT1 = 1 000 N · m,

kT2 = 2 000 N · m,

J1 = 0,03 kg · m ,

J2 = 0,05 kg · m2

2

lauten die Eigenfrequenzen der ungekoppelten Teilsysteme: f1A = 0 Hz,

f2A = 81,25 Hz,

f3A = 158,43 Hz,

f1B = 0 Hz,

f2B = 123,61 Hz, f3B = 235,11 Hz

f4A = 227,67 Hz,

Die Torsionsfederkonstante der Kupplung, die beide Teilsysteme miteinander verbindet, ist kT = 500 N · m Es interessiert nur der Frequenzbereich des Gesamtsystems bis zu 120 Hz. Entsprechend der in Abschn. 2.6.6 genannten Erfahrungsregel interessieren bei der modalen Synthese dann nur die Eigenfrequenzen der Teilsysteme bis zu 240 Hz. Dies wurde oben beachtet, d. h., vom Teilsystem A wurden nur die ersten nA = 4 und vom Teilsystem B nur die ersten nB = 3 Eigenfrequenzen und -formen ber¨ucksichtigt. Das Gesamtsystem mit urspr¨unglich 12 Freiheitsgraden kann damit auf ein Modell mit 7 Freiheitsgraden reduziert werden. Die Elemente der Kopplungsmatrix K ergeben sich aus den Bedingungen des Momentengleichgewichts an der Verbindung beider Teilsysteme an den Koordinaten 7 und 8, vgl. Bild 2.65. Es gilt: T78 = kT (q7 − q8 ),

T87 = −kT (q7 − q8 )

(2.478)

In Matrizenschreibweise folgt f¨ur die Kopplungsmatrix also aus einem Koeffizientenvergleich: ⎞ ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ (2.479) ⎟=K ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 kT −kT 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 −kT kT 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

170

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.19 Elemente der Eigenvektoren (Modalmatrix Φ ) a) Eigenformen ϕ i des echten“ Gesamtsystems ” b) Eigenformen ϕ˜ i des Gesamtsystems, die durch die modale Synthese berechnet wurden a) k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ϕ1

ϕ2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0,9478 0,8463 0,7005 0,5183 0,3090 0,0835 −0,3760 −0,4745 −0,5524 −0,6064 −0,6339

ϕ3

−0,9790 −0,7013 −0,2247 0,3159 0,7667 1 0,9496 0,3099 0,0767 −0,1746 −0,3847 −0,5038

ϕ˜ 1

ϕ˜ 2

ϕ˜ 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0,9305 0,8299 0,7035 0,5134 0,2697 0,0855 −0,3743 −0,4524 −0,5477 −0,6046 −0,6205

ϕ4

−0,6426 −0,2885 0,2247 0,6140 0,6649 0,3494 −0,1588 −1 −0,7510 −0,1571 0,5090 0,9413

ϕ5

ϕ6

−0,7809 0,4672 0,9686 −0,0782 −1 −0,3235 0,8701 0,4758 −0,2565 −0,6472 −0,1758 0,5297

ϕ7

0,8936 0,0802 −0,8062 −0,9587 −0,2385 0,6988 1 −0,2183 −0,3573 −0,2252 0,0776 0,3216

ϕ˜ 5

ϕ˜ 6

ϕ˜ 7

−0,5870 0,4829 0,6726 −0,3637 −0,7371 0,2330 0,7784 −0,9683 0,0658 1 0,4153 −0,8002

b) k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−0,9980 −0,7368 −0,2380 0,3557 0,8088 0,9919 1 0,3230 0,1066 −0,1899 −0,4203 −0,5296

ϕ˜ 4

−0,6446 −0,3177 0,2195 0,6690 0,6981 0,2907 −0,1400 −1 −0,7148 −0,1687 0,4820 0,9364

0,8786 0,0234 −0,8043 −0,8405 −0,1717 0,5848 1 −0,2372 −0,3095 −0,2438 0,0469 0,3407

−0,7646 0,4441 0,9586 −0,0443 −1 −0,3793 0,9146 0,5016 −0,2523 −0,7032 −0,2037 0,5801

−0,4373 0,3072 0,5574 −0,1529 0,6911 −0,0544 1 −0,9707 0,1308 0,8698 0,3190 −0,6662

Damit kann die Eigenwertgleichung (2.474) aufgestellt werden. Sie ist eine (7 × 7)Matrix und liefert folgende N¨aherungswerte f¨ur die sieben Eigenfrequenzen: f˜1 = 0 Hz,

f˜2 = 6,69 Hz,

f˜3 = 15,54 Hz,

f˜5 = 27,92 Hz,

f˜6 = 36,76 Hz,

f˜7 = 39,67 Hz

f˜4 = 21,64 Hz,

Berechnet man unabh¨angig davon die ersten sieben damit vergleichbaren exakten Eigenfrequenzen des unverk¨urzten Gesamtsystems, so erh¨alt man die Vergleichswerte: f1 = 0 Hz,

f2 = 6,64 Hz,

f3 = 15,45 Hz,

f5 = 27,72 Hz,

f6 = 36,74 Hz,

f7 = 39,23 Hz

f4 = 21,57 Hz,

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

171

Ein Vergleich zeigt, daß diese ersten sieben Eigenfrequenzen beim reduzierten System mit denen des urspr¨unglichen Systems tats¨achlich nur bis zu etwa 1 % abweichen. (Die maximale Abweichung von 1,12 % tritt bei f7 auf.) Allerdings gibt es die h¨oheren Eigenfrequenzen beim reduzierten System gar nicht mehr. Bez¨uglich der Eigenformen ist auch nur ein Vergleich mit den ersten sieben Ordnungen m¨oglich. Aus der Modalmatrix des reduzierten Gesamtsystems von Gl. (2.474) kann man mit der Transformation gem¨aß Gl. (2.465) die Elemente der Eigenvektoren (ϕ˜ i ) in den urspr¨unglichen Bewegungskoordinaten berechnen, die dann mit denen des vollst¨andigen Gesamtsystems (ϕ i ) vergleichbar sind. In Tabelle 2.19 sind die Elemente ϕ ki und ϕ˜ ki der beiden Modalmatrizen zum Vergleich angegeben. Gesamtsystem J1

J1

kT1

a)

q1

J1 kT1

q2

J1 kT1

q3

J1 kT1

q4

J1 kT1

q5

J1

kT1

q6

J2 kT

q7

J2

J2

J2

J2

kT2 kT2 kT2 kT2

q8

q9

q10 q11 q12

~ 1

~ 2

~

3

~ 4

~ 5

~ 6

~ b)

7

Bild 2.66 Ergebnisse der modalen Synthese zum Vergleich a) Skizze des Gesamtsystems, b) erste sieben Eigenformen des Gesamtsystems

172

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Es zeigt sich, daß die Eigenformen, die hier alle mit dem Wert Eins f¨ur das gr¨oßte Element normiert wurden, zahlenm¨aßig nicht so genau u¨ bereinstimmen wie die Eigenfrequenzen. Das ist eine oft beobachtbare Tatsache. Man kann die (normalerweise zum Vergleich von berechneten und gemessenen Schwingungsformen benutzten und in Abschn. 2.5.2 n¨aher erl¨auterten) Elemente der MAC-Matrix gem¨aß 2  T ϕ i · ϕ˜ j   (2.480) MAC(i, j) =  T ϕ i · ϕ i ϕ˜ Tj · ϕ˜ j berechnen, um einen quantitativen Vergleich vornehmen zu k¨onnen [362]. Es ergibt sich mit den in Tabelle 2.19 enthaltenen Zahlenwerten aus Gl. (2.480): MAC(1,1) = 1, MAC(4,4) = 0,997 4,

MAC(2,2) = 0,999 6, MAC(5,5) = 0,993 1,

MAC(3,3) = 0,999 0, MAC(6,6) = 0,997 5,

MAC(7,7) = 0,945 2 Die Genauigkeit nimmt im Mittel auch hier mit der Ordnungszahl i ab, aber selbst bei der siebenten Eigenform, wo der MAC-Wert etwas abf¨allt, stimmten die Formen noch recht gut u¨ berein, vgl. dazu auch Bild 2.66. In Bild 2.66 sind die ersten sieben Eigenformen dargestellt, die das Gesamtsystem hat. Die exakten“ und die durch modale Synthese ermittelten Eigenformen un” terscheiden sich voneinander so wenig, daß man infolge der Zeichenungenauigkeit kaum Unterschiede erkennen kann. Beachtlich ist allerdings der große Unterschied zu den in Bild 2.65 dargestellten Eigenformen der Teilsysteme!

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

3.1 ¨ Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern Antriebssysteme, welche sich als Torsionsschwinger berechnen lassen, k¨onnen grob aufgeteilt werden in Baugruppen von • Erregerelementen (z. B. alle motorischen Antriebe wie Elektromotoren, Kolbenmaschinen, L¨ufter, Propeller, Bremsen, Bearbeitungsprozesse, die als Kr¨afte oder Momente von außen auf das Antriebssystem wirken) und ¨ • Ubertragungselementen (z. B. Wellen, Getriebe, Kupplungen), vgl. [215]. Die diskrete Struktur eines Drehschwingungsmodells mit allen zugeh¨origen physikalischen Gr¨oßen ist Bild 3.1 zu entnehmen.

Übersetzung M k−1

k −1

k

Mk

uk−1 J k−1 da k−1 ϕk−1

masselose Drehfeder Drehsteifigkeit Relativdämpfung M k+1

kT k−1

uk Jk da k ϕk

k +1

starre Drehmasse Absolutdämpfung

kT k

J k+1 da k+1 ϕk+1

Bild 3.1 Drehschwingungssystem als diskretes Masse-Feder-Modell

Um transiente Vorg¨ange nachbilden zu k¨onnen, sind a¨ ußere Erregungen zu ber¨ucksichtigen, die den Antriebs- bzw. Arbeitsmaschinen und den Arbeitsprozessen zuzuordnen sind. Eine Anregungsfunktion kann deshalb sowohl Antriebs- als auch reine Belastungsfunktion sein. Die zugeh¨origen Modellelemente werden hier als Erregerelemente bezeichnet, die in den zugrundezulegenden Schwingungsmodellen meistens auf eine einzige starre Drehmasse zu beziehen sind. Es ist jedoch zu beachten, daß aufgrund von R¨uckwirkungen zwischen Erreger¨ und Ubertragungselementen, motorische Antriebe auch als Teilsysteme mit diskreten

174

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Feder-Masse-Elementen abgebildet werden. In diesem Fall versteht man unter einem Erregerelement die eigentliche a¨ ußere Drehmomenteneinwirkung (z. B. der harmonische Tangentialdruckverlauf pro Zylinder eines Verbrennungsmotors, umgerechnet als auf die Kurbelwelle wirkendes Erregermoment). Entsprechend der Differentialgleichung Jk ϕ¨ k + da k ϕ˙ k + Tk = ∑ g j M jk = Mk

(3.1)

j

mit den Erregermomenten M jk = M jk (t, ϕ k , ϕ˙ k , x 1 , x 2 )

(3.2)

und g j als zeitunabh¨angige, reine zeitabh¨angige oder winkel- und winkelgeschwindigkeitsabh¨angige Gewichtung. Die a¨ ußere Drehmomentfunktion Mk , die sich wiederum aus j Einzelerregermomenten M jk zusammensetzen kann, wird auf die Drehmasse Jk bezogen und h¨angt entweder explizit oder aber u¨ ber Winkel ϕ k bzw. Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ k implizit von der Zeit t ab. Es ist ebenfalls m¨oglich, daß sich die Erregermomente aus mehrdimensionalen Kennfeldern ergeben, so daß sich noch weitere, parameterbezoge¨ ne Abh¨angigkeiten ergeben (z. B. Verbrennungsmotorkennfelder). Uber die in Gl. (3.2) beispielhaft genannten Parameter x 1 und x 2 ist wiederum eine implizite Zeit-, Winkel- bzw. Geschwindigkeitsabh¨angigkeit zu beachten. Das Erregermoment l¨aßt sich in vielen F¨allen durch Gewichtungsfunktionen g j den gemessenen Beanspruchungen besser anpassen [215]. So l¨aßt sich u¨ ber eine reine Zeitgewichtung ein sanfter Anlaufvorgang mit recht guter Qualit¨at abbilden und rechnerisch simulieren. Gewichtungen spielen vor allem auch dann eine Rolle, wenn pl¨otzliche Unstetigkeiten (wie z. B. Spiele, St¨oße und Anschl¨age) spezifische Systemeigenschaften spontan a¨ ndern. Mit Tk werden die an der Drehmasse Jk angreifenden inneren Momente zusammengefaßt. Diese setzen sich aus den elastischen, d¨ampfenden (relativ d¨ampfenden) oder auch reibungsbehafteten Anteilen zusammen. Im Falle einer impliziten Zeitabh¨angigkeit beeinflussen die Systemantworten u¨ ber die Winkelkoordinaten ϕ k bzw. ϕ˙ k die Erregermomente M jk . Somit sind z. B. Berechnungen von geregelten und damit r¨uckwirkungsbehafteten Antrieben m¨oglich. Erregermomente werden mathematisch mit einem Antriebsmoment Man beschrieben, wenn das mittlere statische Moment Mst gr¨oßer Null ist (Beschleunigungsund somit Antriebsvorgang); bei einer negativen statischen Momentengr¨oße spricht man definitionsgem¨aß von einem Belastungsmoment. Nicht in allen F¨allen lassen sich Erregermomente als geschlossene Funktionen beschreiben. Oft liegen bei der L¨osung praktischer Aufgabenstellungen keine Details bez¨uglich der Erregerkennlinien vor. Selbst wenn der Erregermechanismus bekannt ist, k¨onnen die notwendigen Werte f¨ur die Eingabeparameter ungenau und somit bezogen auf den konkreten Praxisfall unbrauchbar sein. Sollten jedoch Meßwerte zur Verf¨ugung stehen, so kann beispielsweise ein Beschleunigungssignal an einer großen Drehmasse (z. B. an einem Schwungrad) sehr hilfreich sein f¨ur die punktweise Vorgabe des dynamischen Anteils einer Erregerfunktion. Zwischenwerte werden entweder linear oder auch u¨ ber Splines interpoliert.

¨ 3.1 Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern

175

Zur Beurteilung des Erregerverhaltens spielen die typischen Erregerfrequenzen eine wichtige Rolle, vgl. Bild 2.4. Die Erregerfrequenzen sind entweder im Falle von einigen elektrischen Maschinen netzabh¨angige Festfrequenzen oder im Regelfall einfach bzw. k-mal proportional zur Erregerdrehzahl (Motordrehzahl). Tabelle 3.1 faßt die wichtigsten Erregerfrequenzen zusammen, die externen Erregermomenten zugeordnet werden. Tabelle 3.1 Erregerfrequenzen typischer Erregerelemente [54], [319], [339] Erregerelemente 1

Pumpe, L¨ufter, Ventilator, Propeller zP Anzahl von Schaufeln, Bl¨attern

2

spezielle Impeller-Anregung zR Anzahl der Rotorbeschaufelung, zS Anzahl der station¨aren Schaufeln, q gr¨oßter gemeinsame Nenner aus zR und zS Kolben-Kompressor, Pumpe, 2-TaktVerbrennungsmotor 4-Takt-Verbrennungsmotor

3 4 5

6

7

AC-Motor (Generator) fN Netzfrequenz (50 oder 60 Hz) p Anzahl der Pole (z. B. 2, 4) frequenzgeregelter Antrieb (VFD) pV Anzahl der Pulse (VFD) (z. B. 6, 12) p Anzahl der Pole (AC-Motor) (2, 4) Ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Mechanismen, vgl. Abschn. 4.4

Erregerfrequenzen (bezogen auf die jeweilige Drehfrequenz f ) Blattpassierfrequenz (Schaufelfrequenz): zP · f (zR · zS /q) · f

1, 2, 3, . . . , k · f (ganze Ordnungen k) 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; . . .; k · f (halbe Ordnungen k) 1 · fN 2 · fN p· f 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; . . .; k · pV · p · f k · f ; k = 1, 2, . . . ,K (K = Ordnung der h¨ochsten Harmonischen)

¨ Ubertragungselemente lassen sich grob in die folgenden drei Hauptgruppen aufteilen: • Wellen (Torsionsstab, evtl. Ber¨ucksichtigung von Wellen-Naben-Verbindungen) • Getriebe (z. B.: Zahnradgetriebe, Umlaufr¨adergetriebe, Schneckengetriebe, Riemengetriebe, hydrodynamische Getriebe, Ber¨ucksichtigung aller winkel- und geschwindigkeitsabh¨angigen Eigenschaften) • Kupplungen (z. B.: elastische Kupplungen, mehrstufige Fahrzeugkupplungen, Schalt- und Rutschkupplungen, Freil¨aufe, Gelenkwellen) ¨ Wesentlich sind manchmal nichtlineare Effekte, die sich Ubertragungselementen (Wellen, Getrieben, Kupplungen) zuordnen lassen wie z. B. Spiele und D¨ampfungen. Dadurch h¨angt die dynamische Beanspruchung von der a¨ ußeren Anregung nichtline¨ ar ab. Die Ubertragungselemente sorgen daf¨ur, daß sich die Drehmoment¨ubertra¨ gung zwischen zwei benachbarten Drehmassen vollzieht. Diese sogenannten Uber-

176

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

tragungsmomente h¨angen von der Steifigkeit, der D¨ampfung, dem Verdrehwinkel, der Verdrehwinkelgeschwindigkeit oder manchmal explizit von der Zeit ab. F¨ur die an der Drehmasse Jk angekoppelten Drehsteifigkeiten kT k lassen sich die ¨ inneren Ubertragungsmomente Tk wie folgt formulieren: Tk = Tel k + Td k + Tr k

(3.3)

wobei im allgemeinen gilt: Tel k =

kT k ∆ ϕ k uk

elastisches Moment

(3.4)

Td k =

dT k ∆ ϕ˙ k uk

D¨ampfungsmoment

(3.5)

Reibungsmoment

(3.6)

Tr k = Tr k (∆ ϕ k , ∆ ϕ˙ k )

In den Gln. (3.4) bis (3.6) wird mit ∆ ϕ k der Differenzwinkel bzw. mit ∆ ϕ˙ k die Differenzwinkelgeschwindigkeit zwischen zwei benachbarten Drehmassen unter Ber¨uck¨ sichtung der Ubersetzung uk bezeichnet. Es gilt: ∆ϕk =

ϕk

uk

− ϕ k+1 ;

∆ ϕ˙ k =

ϕ˙ k

uk

− ϕ˙ k+1

(3.7)

¨ Die Einf¨uhrung einer Ubersetzung uk hat den Vorteil, daß auf die sonst u¨ blichen Drehmassen- bzw. Drehsteifigkeitsreduktionen verzichtet werden kann. Unter Re” duktion“ versteht man hier die Umrechnung einer Massentr¨agheit oder Drehsteifigkeit (oder auch Relativd¨ampfung) in eine dynamisch ad¨aquate Gr¨oße, das heißt in eine Gr¨oße gleicher kinetischer oder potentieller Energie. Die Reduktion erfolgt auf eine Bildwelle“, die sich in den meisten praktischen Anwendungen mit der Motor” drehzahl dreht. Bei der Beurteilung der Massen- und Steifigkeitsverteilung bez¨uglich des Energieinhalts in einem Schwingungssystem ist die zahlenm¨aßige Gegen¨uberstellung von reduzierten Massen und Steifigkeiten vorteilhaft. Gesamtmassen und Gesamtnachgiebigkeiten lassen sich einfach aus einer Bildwelle ableiten. Allgemein l¨aßt sich folgender Zusammenhang formulieren: R = Jred

JW K

∏

(3.8)

u2k

k=1

wobei mit R die Bildwelle bezeichnet wird und mit W irgendeine Welle, die u¨ ber ¨ eine oder mehrere Ubersetzungen in Beziehung zur Welle R steht. Die Gesamt¨ubersetzung wird als Produkt der Einzel¨ubersetzungen gebildet. F¨ur die Reduktion von Drehsteifigkeiten kT k und Relativd¨ampfungen dT k gilt die analoge Beziehung nach Gl. (3.8). ¨ Die Ubersetzung uk wird im Regelfall durch geometrische Beziehungen vorgegeben, so z. B. im Falle eines Stirnrad- bzw. Kegelradgetriebes u¨ ber das Verh¨altnis von Z¨ahnezahlen z bzw. u¨ ber das Verh¨altnis von Teilkreisdurchmessern d. Bei Riemenund Kettengetrieben gelten analoge Betrachtungsweisen u¨ ber die Rad- und Scheibendurchmessern. Bei Zahnrad- bzw. Zugmittelgetrieben k¨onnen auch die Drehzahl¨ verh¨altnisse zur Bestimmung des Ubersetzungsverh¨ altnisses in Beziehung gesetzt

¨ 3.1 Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern

¨ Tabelle 3.2 Kennlinien von Ubertragungselementen [215] 1

Baugruppe Spiel in Wellen, Getrieben und Kupplungen, vgl. auch Bilder 2.6 und 4.19

Kennlinien-Darstellung

M ∆ϕ

δ 2

Zahnradgetriebe, vgl. auch Bild 3.12

k km

0 3

elastische Kupplung, vgl. Abschn. 3.4.2.2

2π 4π

zϕ

M

∆ϕ 4

Kupplung mit mehrstufiger Elastizit¨at, vgl. Abschn. 3.4.2.2

M

∆ϕ 5

Reibungsbehaftetes Antriebselement, vgl. Tabelle 3.9

M

∆ϕ 6

Rutschkupplung, vgl. Abschn. 5.4.3

M M R1 M R2 & ∆ϕ, ∆ϕ & ∆ϕ

7

Freilauf, vgl. Abschn. 5.4.3

M

∆ϕ

177

178

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

¨ Tabelle 3.3 Erregerfrequenzen typischer Ubertragungselemente ¨ Ubertragungselemente 1

2 3 4

Kupplung (+ Spiel), Zentrifugalkompressor, Turbine (Anregung aufgrund von Unwuchten, Exzentrizit¨aten, Fluchtfehlern) Gelenkwelle, Kurbelgetriebe Zahnradgetriebe z Z¨ahnezahl W¨alzlager

Erregerfrequenzen (bezogen auf die jeweilige Drehfrequenz f ) 1· f 2· f 2· f Zahneingriffsfrequenz: 1, 2, 3 · z · f vgl. Tabelle 3.5

werden. Somit l¨aßt sich folgendes formulieren (Indizes beziehen sich auf die Bezeichnungen in Bild 3.1): uk =

ϕ˙ k zk+1 dk+1 = = zk dk ϕ˙ k+1

(3.9)

¨ Zu den Ubertragungselementen sollen hier auch Baugruppen mit ver¨anderlichen Parametern hinzugez¨ahlt werden. Derartige Baugruppen zeichnen sich dadurch aus, daß je nach Erregertyp das Tr¨agheitsmoment J bzw. die Drehsteifigkeit k bzw. die ¨ Relativd¨ampfung d bzw. die Ubersetzung stellungsabh¨angige (z. B. periodische) Ei¨ genschaften haben. Die in den folgenden Abschnitten beschriebenen Ubertragungselemente stellen repr¨asentative Beispiele aus der Vielzahl der in der Antriebstechnik ¨ vorkommenden Elemente dar. Eine Ubersicht ist der Tabelle 3.2 zu entnehmen. Die typischen Erregerfrequenzen von Baugruppen mit ver¨anderbaren Parametern sind in der Tabelle 3.3 zusammengefaßt.

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente 3.2.1 Zylinder- und Kegelelemente F¨ur jedes Schwingungsmodell, das aus mehreren Masse- und Feder-Elementen besteht und als gerades, verzweigtes oder vermaschtes System abgebildet werden kann, ergibt sich die Frage nach der Ermittlung der entsprechenden Parameter. Die Parameterwerte sind entscheidend f¨ur die Abbildungsqualit¨at des Realsystems durch das Schwingungsmodell und somit f¨ur die darauf folgende Berechnung. Zu den Parametern, die f¨ur die Modellbildung eines Antriebssystems hinsichtlich der Drehschwingungsanalyse von Bedeutung sind, z¨ahlen Tr¨agheitsmomente J, Federsteifigkeiten k, Absolutd¨ampfungen da und Relativd¨ampfungen d. Es ist die Aufgabe des Ingenieurs, diese Parameterwerte anhand von Konstruktionszeichnungen so weit wie m¨oglich zu ermitteln. Falls n¨otig, m¨ussen ggf. auch Absch¨atzungen vorgenommen werden. In manchen F¨allen werden auch Tr¨agheits-

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

179

momente und Drehsteifigkeiten sowie Lagerdaten von Herstellern katalogm¨aßig zur Verf¨ugung gestellt. Im Regelfall wird bei der Berechnung der Tr¨agheitsmomente und Steifigkeiten von Drehschwingungssystemen die abgesetzte Welle zugrunde gelegt, falls nicht schon durch die Zuordnung von diskreten Massen zu Erregerelementen bzw. diskre¨ ten Steifigkeiten zu Ubertragungselementen die Parameter von vornherein durch Katalogwerte gegeben sind. Normalerweise m¨ussen den einzelnen Wellenabschnitten noch die Anteile aus den durch das Modell abgesetzte Welle nicht beschreibbaren Anteile von Massen und Steifigkeiten zugeschlagen werden [189]. Bild 3.2 zeigt eine abgesetzte Welle und die vereinfachte Diskretisierung in Tr¨agheitsmomente und Federsteifigkeiten. Prinzipiell wird hierbei der Schwerpunkt von jedem einzelnen Wellenelement (Zylinder- bzw. Kegelelement) als Bezugspunkt betrachtet. 1

2

kT1

J1

3

kT2

J2

4

kT3

J3

5

kT4

J4

6

kT5

J5

diskretes Masse-Feder-System J6

Bild 3.2 Diskretes Masse-Feder-System als Modell einer abgesetzten Welle

F¨ur die Berechnung des polaren Tr¨agheitsmomentes Jp k (im Folgenden kurz Jk genannt) eines zylindrischen K¨orpers gilt: Jk =
Ip · l;

Ip =

πd4

32

(3.10)

mit der Dichte
und dem polaren Fl¨achentr¨agheitsmoment Ip . Die Steifigkeit kT zwischen zwei benachbarten Zylinderelementen k und k + 1 berechnet sich bei einer Reihenschaltung zu: −1  1 1 + (3.11) kT = kT k kT k+1 Die Teilsteifigkeiten kTk lassen sich aus den halben Zylinderl¨angen des Zylinderelements kTk in erster N¨aherung wie folgt bestimmen: kTk =

GIp lk

(3.12)

In gleicher Weise l¨aßt sich die Relativd¨ampfung di aus zwei D¨ampfungsanteilen dk und dk+1 analog zur Gl. (3.11) bestimmen.

180

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

lk

lk+1 k +1

dk

d k+1

k

∆l lk+1/2

lk /2

Bild 3.3 Modell einer einfach abgesetzten Welle mit zwei Zylinderelementen k und k + 1

Falls ein Hohlzylinderelement zugrunde gelegt wird, berechnet man das polare Fl¨achentr¨agheitsmoment Ip aus π

Ip =

(3.13) (d 4 − d14 ) 32 2 mit Innendurchmesser d1 und Außendurchmesser d2 . Es kann sinnvoll sein, ein Einzelelement in mehrere Abschnitte aufzuteilen. F¨ur einen kegeligen Wellenabschnitt mit kleinen Keilwinkeln (entsprechend Bild 3.4) gilt f¨ur d1 < d2 folgende Beziehung f¨ur das gesamte Tr¨agheitsmoment: J=

π
d25 − d15

160 d2 − d1

l

(3.14)

Falls das Kegelelement als eine einzige diskrete Drehmasse abgebildet wird, ergeben sich rechts und links vom Schwerpunkt S zwei Teilsteifigkeiten k1 und k2 . Die Teilsteifigkeiten ergeben sich bezogen auf die Teill¨angen l1 und l2 zu: kT1 = mit

GIp ; l1 γ 1

kT2 =

GIp l2 γ 2

%  2  3 & d1 d1 1 d1 ; γ1 = + + 3 dS dS dS

(3.15) %  2  3 & dS dS 1 dS γ2 = + + 3 d2 d2 d2

(3.16)

Die Teill¨angen l1 und l2 sind jeweils die Abst¨ande von der Kegelstirnfl¨ache zum Schwerpunkt S: l2 =

l 2d1 + d2 ; 3 d1 + d2

l1 = l − l2

(3.17)

F¨ur den Kegeldurchmesser im Schwerpunkt S gilt: dS = d1 +

l1 (d2 − d1 ) l

(3.18)

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

181

Kegelelement

d2

d1

dS

S

J1 l1

l2

J2

l Bild 3.4 Geometrie an einem kegeligen Wellenabschnitt

Die Teilsteifigkeiten k1 bzw. k2 m¨ussen mit den benachbarten Teilsteifigkeiten kk−1 bzw. kk+1 in Reihe zu der jeweiligen Gesamtsteifigkeit geschaltet werden, vgl. Bild 3.2 und Gl. (3.11). Bei k¨urzeren Kegelabschnitten kann es jedoch auch sinnvoll sein, die Drehmasse des Kegelelementes nach rechts und links vom Schwerpunkt aufzuteilen.

3.2.2 Zusatzl¨angen und Nachgiebigkeitsfaktoren Da der Kraftfluß bei Wellenabs¨atzen – a¨ hnlich wie bei einer Str¨omung – den spontanen Durchmesserspr¨ungen nicht direkt folgen kann, bewirkt die Berechnung der Stei¨ figkeiten nach Gl. (3.11) die Abbildung einer zu harten“ Steifigkeit. An den Uber” gangsstellen zu den gr¨oßeren Zylinderelementen existieren kraftflußfreie Bereiche, die mit den Totwassergebieten in der Hydrodynamik zu vergleichen sind. Dieser Effekt l¨aßt sich rechnerisch durch sogenannte Zusatzl¨angen ∆l n¨aherungsweise erfassen, wenn keine pr¨aziseren FEM-Ergebnisse vorliegen [133], [138], [281], vgl. auch Abschn. 2.4.4.4. Dies bedeutet, daß die Zylinderelemente mit dem kleineren Durchmesser um einen bestimmten Betrag fiktiv verl¨angert werden, um auf diese Art und Weise die zus¨atzliche Nachgiebigkeit aufgrund des Wellenabsatzes abzubilden (siehe Bild 3.3 mit eingetragener Zusatzl¨ange ∆l). F¨ur dk < dk+1 gelten f¨ur die Teilsteifigkeiten kk bzw. kk+1 folgende neuen L¨angen: lk∗ = kk + ∆l;

∗  lk+1 = lk+1 − ∆l

(3.19)

Ausf¨uhrliche Untersuchungen u¨ ber Zusatzl¨angen verschiedener Typen von Wellenabs¨atzen und die Berechnung mit Hilfe von Bessel-Funktionen sind in der Arbeit [281] zu finden. In Bild 3.5 sind die Zusatzl¨angen f¨ur einfach abgesetzte Wellen ¨ ¨ mit Ubergangsradius r dargestellt. Bei großen Ubergangsradien und großen Durchmesserverh¨altnissen kann die Zusatzl¨ange negativ werden, was einer Verh¨artung des ¨ Wellen¨ubergangs entspricht. In diesem Fall w¨are jedoch die Modellierung des Ubergangs mit einem zwischengeschalteten Kegelelement sinnvoller.

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Zusatzlänge

182

bezogener Radius

Durchmesserverhältnis Bild 3.5 Bezogene Zusatzl¨angen f¨ur einfach abgesetzte Wellenabschnitte mit ¨ Ubergangsradius r in Abh¨angigkeit vom Durchmesserverh¨altnis und bezogenem Radius r [281]

F¨ur r = 0 l¨aßt sich die Zusatzl¨ange auch vereinfacht durch drei Bereiche wie folgt beschreiben: ⎧ ⎪ f¨ur 0 < δ
0,3 ⎨0,155 (3.20) λ = −0,115δ + 0,189 5 f¨ur 0,3
δ
0,5 ⎪ ⎩0,264 · (1 − δ ) f¨ur 0,5
δ
1 mit λ = ∆l/dk und δ = dk /dk+1 . Das in Bild 2.47 dargestellte Beispiel einer Getriebewelle wurde zun¨achst als 6Massen-System ohne Zusatzl¨angen hinsichtlich der Eigenfrequenzen und Eigenfor-

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

183

men berechnet. Eine Vergleichsrechnung mit Zusatzl¨angen nach Gl. (3.20) zeigte eine Absenkung der Eigenfrequenzen zwischen 4 und 12 %, w¨ahrend die Eigenformen unver¨andert blieben. Die Steifigkeiten nahmen bis zu 22 % ab. Zusatzl¨angen haben nur einen geringen Einfluß auf das Ergebnis, wenn die L¨angen der Zylinderelemente relativ groß im Verh¨altnis zum Wellendurchmesser sind. Einen Einfluß auf die Steifigkeit eines Zylinderelements haben Paßfederverbindungen. Nach [174] wird dieser Einfluß durch einen Nachgiebigkeitsfaktor ψ > 1 zum Ausdruck gebracht. Dieser gibt an, um wieviel eine Welle mit gegen¨uber einer glatten weicher wird. Als wirksamer Durchmesser d ∗ einer Welle mit Nut wird der Wellendurchmesser d abz¨uglich der Nuttiefe h zugrunde gelegt. Die Teilsteifigkeit berechnet sich dann zu: kT =

GIp (d ∗ ) ψ l

mit d ∗ = d − h

(3.21)

1,2 h

ψ 1,1

d* d

1,0 0 a)

0,1 t = h /d *

0,2

1,8 ψ 1,6 180°

1,4 1,2 1,0 0 b)

0,1 t = h /d *

0,2

Bild 3.6 Ermittlung des Nachgiebigkeitsfaktors ψ f¨ur Wellen mit Nut [174]

Bild 3.6 zeigt die Zusammenh¨ange zwischen der Nuttiefe, dem wirksamen Wellendurchmesser und dem Nachgiebigkeitsfaktor ψ . Man kann den Faktor ψ auch in diesem Fall vereinfacht durch zwei Geradengleichungen f¨ur die betreffende WellenNaben-Verbindung berechnen. F¨ur die Welle mit einer einzigen Paßfeder gilt dann mit der Abk¨urzung t = h/d ∗ : ' 1 f¨ur t
0,05 ψ = (3.22) 0,96 + 0,8t f¨ur t  0,05

184

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

F¨ur die Welle mit zwei um 180◦ versetzten Paßfedern gilt: ' 1 + 2t f¨ur t
0,1 ψ = 0,76 + 4,4t f¨ur t  0,1

(3.23)

Korrekturen bei anderen Wellenausf¨uhrungen (z. B. bei exzentrisch gebohrten Wellen, konischen Wellen, konisch gebohrten zylindrischen Wellen) sind in [133], [247] anhand von Diagrammen bzw. Formeln zusammengestellt. 3.2.3 Drehsteifigkeiten von Kurbelwellen Die Berechnung von Drehsteifigkeiten von Kurbelwellen geschieht im Normalfall nicht mehr nach den in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Regeln, sondern wird anhand einer detaillierten strukturmechanischen Modellierung auf der Basis von CAD-aufbereiteten Geometriedaten mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode (FEM) durchgef¨uhrt. In diesen Berechnungen werden nicht nur Steifigkeiten sondern auch die Ermittlung von Massentr¨agheiten erfaßt. Umfangreiche Strukturberechnungen von Kurbelwellen sind zwar im Regelfall recht genau, stehen aber f¨ur erste rechnerische Untersuchungen nicht immer sofort zur Verf¨ugung. Gerade im Entwurfsstadium kommt der vereinfachten, aber dennoch praxisnahen Modellierung von Kurbelwellen eine besondere Bedeutung zu. Im folgenden wird lediglich auf die Berechnung von Kurbelwellen-Drehsteifigkeiten n¨aher eingegangen. Fr¨uher konnten Steifigkeitswerte nur anhand von Messungen (Verdrehversuchen) ermittelt und dann anhand von (semi-) empirischen Formeln dem Berechnungsingenieur zur Verf¨ugung gestellt werden [140], [247]. Grunds¨atzliche Berechnungsvorschriften f¨ur Kurbelwellen, die sich vor allem auch auf die festigkeitsm¨aßige Auslegung beziehen, werden in den einschl¨agigen Schiffsbau-Richtlinien [224] und [117] detailliert behandelt. Die wichtigsten Formeln, die man auch heute noch f¨ur Berechnungen anwendet, sind in [133], [138], [140] zusammengestellt. In der Triebwerksberechnung ist es u¨ blich, die Gesamtsteifigkeit aus den sog. a¨ quivalenten L¨angen“ le (auch reduzierte L¨angen“ genannt) zu ermitteln [133], ” ” [247], [140]. Unter der a¨ quivalenten L¨ange versteht man die L¨ange einer virtuellen Vollwelle mit vorgegebenem Referenzdurchmesser de und dem gleichen Materialkennwert Ge sowie der gleichen Drehsteifigkeit kT wie bei der gestuften, realen Kurbelwelle. F¨ur die Steifigkeit gilt demnach: kT =

Ge Ip (de ) le

(3.24)

F¨ur eine abgesetzte Welle mit zylindrischen Abschnitten l¨aßt sich folgender Zusammenhang formulieren: le = Ge de4 ∑ j

lj G j (d24 j − d14 j )

(3.25)

mit Innendurchmesser d1 j und Außendurchmesser d2 j . Unter Zugrundelegung der a¨ quivalenten Gr¨oßen sowie des in Bild 3.7 angegebenen Ersatzmodells berechnet sich die Drehsteifigkeit f¨ur einen Kurbelwellenab-

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

185

Bild 3.7 Geometrische Gr¨oßen eines Hubzapfens mit anteiliger Welle f¨ur die Berechnung der Drehsteifigkeit eines Kurbelwellenabschnitts (nach [138])

schnitt nach verschiedenen in der Literatur vorgestellten Formeln. Der mathematische Zusammenhang wird urspr¨unglich in Form einer Nachgiebigkeitsgr¨oße ε = le /de4 dargestellt. Die Ausgangsgleichung f¨ur die a¨ quivalente Steifigkeitsberechnung lautet: π Ge (3.26) kT = 32ε Als a¨ quivalenter Durchmesser de wird der Wellenaußendurchmesser ds festgelegt. Die nachfolgenden Formeln lassen sich je nach Anwendungsfall alternativ einsetzen: a) Formel nach W ILSON ε =

b + 0,4d1s a + 0,4d2c r − 0,2 · (d2s + d2c ) + 4 + 4 − d4 4 h · w3 d2s d − d 1s 2c 1c

b) Formel nach Z IAMANENKO [247] w d2s b + 0,6h d2s 0,8a + 0,2 r3/2 b + r √ ε = + 4 − d4 4 − d4 d2s d2c hw3 d2c 1s 1c c) Formel nach C ONSTANT [53]   b 1 a 0,94 ε = · + 4 + 4 − d4 4 α 1α 2α 3α 4 hw3 d2s d2c − d1c 1s

(3.27)

(3.28)

(3.29)

In der Formel (3.29) werden noch Beiwerte α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ben¨otigt, die sich gem¨aß den folgenden Gleichungen bestimmen lassen. Der Beiwert α 1 korrigiert den Einfluß der Wangenbreite im Verh¨altnis zum Wellendurchmesser: ⎧   −1/2 ⎪ ws −d1s wc −d1c ⎨ 1 − 0,082 5 · + − 0,32 f¨ur d1s > 0 α1 = (3.30) 2ws 2wc ⎪ ⎩0,9 f¨ur d1s = 0

186

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

¨ Mit α 2 wird die Anderung der Wangendicke ber¨ucksichtigt. Es gilt: ⎧ 4h 4h 3 ⎪ ⎪ f¨ur > ⎨1666 − l l 2 (3.31) α2 = ⎪ 4h 2 ⎪ ⎩1 f¨ur
l 3 Die Gr¨oße sowie auch Anordnung der Wangenfasen (Wangenschr¨agen) gehen in den Beiwert α 3 ein: ⎧ 1,010 ohne Fase an den Wangen ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1,000 f¨ur Fase AB und A  B  ⎪ ⎪ ⎨0,965 f¨ur Fase CD α3 = (3.32) ⎪ 0,930 f¨ur Fase CD und CD  ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,950 f¨ur Fase EF ⎪ ⎪ ⎩ 0,900 f¨ur Fase EF und E  F  Der Lagereinfluß wird u¨ ber α 4 abgebildet: ' β f¨ur β  1 α4 = 1 f¨ur β < 1

(3.33)

mit β = pl 3 w/(d24 −d14 )+q. Dabei ist p = 0,002 9; q = 0,91 f¨ur Schiffsmotoren und große Station¨arantriebe und p = 0,01; q = 0,84 f¨ur Fahrzeug- und Flugmotoren. Die Formel (3.29) gilt f¨ur Kurbelwellen mit großen Bohrungen und Wangenfasen. Weitere Formeln zur Ermittlung der a¨ quivalenten L¨ange werden als Redukti” onsformeln“ in [140] ausf¨uhrlich vorgestellt, auf die hier nicht n¨aher eingegangen wird. Die Formeln von G EIGER, S EELMANN, C ARTER und T UPLIN sowie auch die B ICERA-Formel von der British Internal Combustion Engine Research Association werden in der genannten Literatur generell in folgender, anschaulicher Schreibweise pr¨asentiert, siehe auch [133]: le = qs

Ipe Ipe Ipe + qc + qw Ips Ipc Ipw

(3.34)

Der Koeffizient qs ber¨ucksichtigt die Elastizit¨at des Wellenzapfens einschließlich eines Wangenanteils. Mit dem Koeffizienten qc wird die Elastizit¨at des Hubzapfens erfaßt, w¨ahrend der dritte Koeffizient qw die Biegebeanspruchung der Wange infolge des am Hubzapfen wirkenden Torsionsmomentes widerspiegelt. 3.2.4 ¨ Dampfungswerte von Torsionsschwingern Die Ermittlung von praxisnahen D¨ampfungswerten unterliegt im Regelfall immer großen Unsicherheiten, da ein Zusammenhang zwischen D¨ampfung und geometrischen Angaben nicht generell hergestellt werden kann. Wenn versuchstechnisch gewonnene Werte entweder nicht vorliegen bzw. auf den betreffenden Anwendungsfall nicht u¨ bertragbar sind, kann nur mit N¨aherungswerten gearbeitet werden.

187

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

Die D¨ampfung eines Schwingungssystems stammt aus • a¨ ußerer D¨ampfung (Absolutd¨ampfung): D¨ampfung durch a¨ ußere Bewegungswiderst¨ande (F¨uhrungen, Lagerungen), • innere D¨ampfung (Relativd¨ampfung): D¨ampfung durch innere Verformungswiderst¨ande in den elastischen Bauteilen (material- bzw. werkstoffabh¨angig). Solange keine a¨ ußeren Drehmomente konkret als Belastungsgr¨oßen funktional beschreibbar sind, lassen sich Drehmomente, die von außen auf das Antriebssystem ¨ wirken, auch als Absolutd¨ampfungsmoment beschreiben. Ublich ist der Ansatz der viskosen D¨ampfung, vgl. Bild 3.1 und Gl. (3.1): Td k = dd k ϕ˙ k

(3.35)

In vielen F¨allen lassen sich die D¨ampfungskonstanten dd k nur experimentell ermitteln. F¨ur bestimmte Maschinen existieren zur Berechnung der absoluten D¨ampfungskoeffizienten da (in N · m · s/rad) auch analytische Ans¨atze [150]: a) Schubkurbelgetriebe in Kolbenmotoren: da = µ Ar2

(3.36)

mit Kolbenfl¨ache A in m2 , Kurbelradius r in m und D¨ampfungsbeiwert µ . F¨ur den D¨ampfungsbeiwert µ werden folgende Werte angenommen: µ = 1,5 · 104 . . . 2,0 · 104 N · s/m3

f¨ur Kraftfahrzeugmotoren

µ = 4,0 · 10 . . . 5,0 · 10 N · s/m

f¨ur (Groß-)Dieselmotoren

4

4

3

b) Kreiselverdichter, Ventilatoren, Gebl¨ase: da = 19,1

Mab n

(3.37)

mit Mab in N · m, n in min−1 . c) Schiffsschrauben: da = 38,2

Mab n

(3.38)

mit Mab in N · m, n in min−1 . In den letzten beiden Gleichungen wird mit Mab der Absolutwert des mittleren Abtriebsmoments bezeichnet. Es ist oft u¨ blich, daß anstelle der in Gln. (3.37) und (3.38) genannten Absolutd¨ampfungskoeffizienten der Hersteller Kennlinien in Form einer (meist quadratischen) drehzahlabh¨angigen Kurve vorgibt. Da die D¨ampfungskoeffizienten di im Regelfall nicht bekannt sind, l¨aßt sich u¨ ber den dimensionslosen D¨ampfungsgrad D (Lehrsches D¨ampfungsmaß) eine n¨aherungsweise, praxistaugliche Berechnung realisieren [215]. Hierzu wird in einem ersten Berechnungsgang das Eigenverhalten des unged¨ampften Schwingungssystems berechnet. F¨ur die Zuordnung gilt die Annahme, daß der gr¨oßte lokale Anteil der potentiellen Energie einer Eigenform die entsprechende Eigenfrequenz prim¨ar beeinflußt.

188

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Da f¨ur den D¨ampfungsgrad D Erfahrungswerte vorliegen, l¨aßt sich aus der Beziehung dT =

2DkT

(3.39)

ωi

der dimensionsbehaftete D¨ampfungskoeffizient dT f¨ur die Relativd¨ampfung ermitteln. Hierbei besteht eine Zuordnung zwischen dem Wellenabschnitt (kT ), in dem die potentielle Energie der zugewiesenen Eigenform maximal ist, und der zugeh¨origen Eigenkreisfrequenz ω i . Es sei an dieser Stelle angemerkt, daß eine derartige Zuordnung besonders bei mehrfach verzweigten oder gar vermaschten Systemen nicht immer eindeutig gegeben ist. Bei diesem Verfahren wird einem Steifigkeitsort“ immer eindeutig eine Eigen” kreisfrequenz ω i zugeordnet. Es k¨onnen jedoch umgekehrt mehrere Steifigkeitsorte einer einzigen Eigenkreisfrequenz zugewiesen werden. Zahlreiche rechnerische Untersuchungen haben gezeigt, daß die Zuordnung tieferer Eigenkreisfrequenzen generell bevorzugt werden muß, damit das D¨ampfungsverhalten des Schwingungssystems praxisgerecht abgeglichen werden kann (im Regelfall Eigenfrequenzen bis zu 100 Hz). Man kann hieraus auch den Schluß ziehen, daß in vielen Untersuchungen, in denen ohnehin das Grundverhalten des Schwingungssystems prim¨ar von Interesse ist, die Ungenauigkeit von D¨ampfungswerten bez¨uglich h¨oherer Eigenkreisfrequenzen ggf. nicht ins Gewicht f¨allt. Andererseits muß beispielsweise bei dynamischen Untersuchungen von Zahnradstufen gerade das h¨ohere Frequenzverhalten (meist 500 . . . 2 500 Hz) m¨oglichst exakt datenm¨aßig abgebildet werden, damit z. B. eine akustische St¨orschwingung rechnerisch gut nachgebildet werden kann. Erfahrungswerte f¨ur den D¨ampfungsgrad D sind der Tabelle 3.4 zu entnehmen [215]. Tabelle 3.4 Erfahrungswerte f¨ur den D¨ampfungsgrad D ¨ Ubertragungselement

Dimensionsbereiche

Richtwerte f¨ur den D¨ampfungsgrad D

Welle (St)

d
100 mm

0,005

Welle (St)

d > 100 mm

0,01

Zahnradstufe

P
100 kW

0,02

Zahnradstufe

P = 100 . . . 1 000 kW

0,04

Zahnradstufe

P > 1 000 kW

0,06

elastische Kupplung

siehe Herstellerkataloge

0,02 . . . 0,2

Im Einzelfall m¨ussen die in Tabelle 3.4 genannten Richtwerte vom jeweiligen Hersteller u¨ berpr¨uft werden und f¨ur vorgegebene Randbedingungen meßtechnisch eingehend verifiziert werden. Der D¨ampfungsgrad D kann auch f¨ur den Resonanzbereich aus Ans¨atzen umgerechnet werden, die in Abschn. 3.5 angegeben sind.

¨ 3.3 Walzlager und Fugen

189

3.3 ¨ Walzlager und Fugen 3.3.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Antriebssysteme bestehen aus relativ zueinander bewegten K¨orpern, die u¨ ber Lager, Gelenke, Kupplungen und andere Maschinenelemente untereinander und mit dem Tragsystem (Gestell) verbunden sind. Verbindungselemente (oder -stellen) besitzen im Vergleich mit den kompakten K¨orpern oft eine deutlich geringere Steifigkeit, weshalb deren Ermittlung besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden muß. Das Steifigkeitsverhalten der Gelenke, Lager- und Kontaktstellen ist f¨ur das Deformationsund Schwingungsverhalten von großer Bedeutung und muß bei der Modellbildung entsprechend ber¨ucksichtigt werden. Es gibt eine weit entwickelte Gleitlagertheorie, die es erm¨oglicht, die Feder- und D¨ampfungskennwerte der Gleitlager auf Grund der hydrodynamischen Schmierfilmtheorie zu berechnen [201], [202], [333], Bd. 3, vgl. auch DIN 2204-3 (Auslegung von Gleitlagerungen, Berechnung). Die Steifigkeit der Gleitlager spielt insbesondere in der Rotordynamik eine Rolle. Bez¨uglich der dynamisch bedeutungsvollen Kennwerte der W¨alzlager und Fugen liegen aus den vergangenen Jahrzehnten viele experimentelle Untersuchungsergebnisse vor, vgl. [43], [47], [173], [177], [182], [261], [333], [342], [343], [345], [351], [363].

radiale Lagersteifigkeit in N/mm

Gleitlager (ungeschmiert) 106

Wälzlager (einreihig)

105

10 4

103

10 2

Elastomergelenke (statisch belastet)

0

50

100

150

200

Außendurchmesser des Lagers in mm

Bild 3.8 Lagersteifigkeiten als Funktion des Außendurchmessers [106]

190

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

W¨alzlager beeinflussen den Schwingungszustand eines Antriebssystems in verschiedener Hinsicht. Sie wirken sowohl als Schwingungserreger als auch als Federn und D¨ampfer [363]. Aus Sicht der Maschinendynamik interessieren die von ihnen ausgehenden Erregerfrequenzen (die nicht nur durch die Anzahl der W¨alzk¨orper und deren Abmessungen, sondern auch durch W¨alzlagersch¨aden bedingt sein k¨onnen) und die Lagersteifigkeiten, die f¨ur die Berechnung der Eigenfrequenzen von Bedeutung sind, vgl. auch Abschn. 2.4.2. Der unruhige Lauf von Maschinen, eine mangelhafte Arbeitsgenauigkeit oder st¨orende Laufger¨ausche sind oft durch Lagersch¨aden bedingt. Mit dem Ziel der Fr¨uherkennung von W¨alzlagersch¨aden und Beziehungen zwischen den Schwingungssignalen und den Arten der Lagersch¨aden befassen sich ausf¨uhrlich [188], [195] und [316]. ¨ Einen Uberblick u¨ ber die Gr¨oßenordnung von radialen Lagersteifigkeiten vermittelt Bild 3.8. Die dort angegebenen Zahlenbereiche k¨onnen zur groben Orientierung dienen und die Entscheidung erleichtern, ob im konkreten Fall die Lagersteifigkeiten mit hoher Genauigkeit ermittelt werden m¨ussen oder ob N¨aherungswerte ausreichen. In vielen F¨allen, z. B. auch bei der in Abschn. 2.4.2 erw¨ahnten Berechnung der Eigenfrequenzen von Schleifspindeln, hat sich gezeigt, daß außer den Lagersteifigkeiten selbst auch die Steifigkeiten der Umbauteile eines W¨alzlagers von Bedeutung sind, da sie die Gesamtsteifigkeit mitbestimmen. Die Steifigkeiten des Maschinengestells – dabei vor allem der F¨uge- und Kontaktstellen – haben manchmal etwa dieselbe Gr¨oßenordnung wie die der W¨alzlager, d. h., man muß die Umbauteile auch im Berechnungsmodell ber¨ucksichtigen, vgl. Abschn. 3.3.3.

3.3.2 Kugel- und Rollenlager Auf die Erregerfrequenzen, die von W¨alzlagern ausgehen, und auf die verschiedenen M¨oglichkeiten der Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen der W¨alzlager (Schwingungen der Kugeln, der W¨alzlagerringe in der Ringebene und senkrecht dazu) geht [316] ausf¨uhrlich ein. Diese sind f¨ur die W¨alzlagerdiagnostik wesentlich. So a¨ ußert sich z. B. die Besch¨adigung des Außen- oder Innenringes oder eines ¨ W¨alzk¨orpers in einem kurzen Stoßimpuls, der sich infolge der Uberrollvorg¨ ange der W¨alzk¨orper periodisch wiederholt und abh¨angig von der Schadensart ein charakteristisches Spektrum anzeigt, vgl. [195], [188]. Kugel- und Rollenlager k¨onnen nicht einfach mit allgemeinen FE- oder MKS-Programmen berechnet werden. Es empfiehlt sich, zur Simulation spezifische Programme einzusetzen [310]. Die in Tabelle 3.5 angegebenen Formeln zeigen m¨ogliche W¨alzlagerfrequenzen, die sich neben den von den Zahnradgetrieben stammenden Frequenzen (vgl. Abschn. 3.4.1), den Umlauffrequenzen von Riemen, Ketten und anderen Baugruppen innerhalb eines Antriebssystems dann besonders negativ auswirken, wenn an einer wichtigen Stelle eine Eigenfrequenz mit einer dieser Erregerfrequenzen u¨ bereinstimmt.

¨ 3.3 Walzlager und Fugen

191

Tabelle 3.5 Kinematische Erregerfrequenzen von W¨alzlagern [316], [188] Ursache ¨ Uberrollfrequenz Außenring (Außenringschaden) ¨ Uberrollfrequenz Innenring (Innenringschaden) Rotationsfrequenz K¨afig (K¨afigschaden) Rotationsfrequenz W¨alzk¨orper (W¨alzk¨orperschaden) ¨ Uberrollfrequenz eines W¨alzk¨orperbereichs

Erregerfrequenz   1 fa = fn z 1 − (Dw /DT ) cos α 2   1 fi = fn z 1 + (Dw /DT ) cos α 2  1  fk = fn 1 − (Dw /DT ) cos α 2 # $ 1 fw = fn (DT /Dw ) 1 − ((Dw /DT ) cos α )2 2 $ #   fu¨ = fn (DT /Dw ) 1 − (Dw /DT cos α )2

(1) (2) (3) (4) (5)

Die in diesen Gleichungen vorkommenden Gr¨oßen sind in Bild 3.9 eingetragen und haben folgende Bedeutung: fn z Dw DT α

Wellendrehfrequenz (Drehfrequenz des Innenringes fn = n(min−1 )/60), Anzahl der W¨alzk¨orper, W¨alzk¨orperdurchmesser, Teilkreis- oder Rollkreisdurchmesser Druckwinkel, vgl. Bild 3.9.

∅Dw

α

α

∅DT

Bild 3.9 Bezeichnungen der geometrischen Parameter eines W¨alzlagers

Neben dem Eigenverhalten eines W¨alzlagers, das f¨ur h¨ohere Frequenzbereiche wesentlich ist, interessiert f¨ur niederfrequente Schwingungsvorg¨ange eines Antriebssystems vor allem seine Steifigkeit. Die Steifigkeit eines W¨alzlagers, also eines r¨aumlich ausgedehnten Bauelements, das in drei unabh¨angigen Richtungen durch Kr¨afte und Momente belastet ist, muß schon bei linearem Verhalten eigentlich durch eine (6 × 6)-Steifigkeitsmatrix beschrieben werden. Die Koeffizienten solch einer Steifigkeitsmatrix (die verallgemeinerten Federzahlen) h¨angen von vielen Parametern des W¨alzlagers ab. Die Ermittlung dieser Federzahlen kostet einen hohen Aufwand, den man treiben muß, wenn hohe Genauigkeitsanforderungen erf¨ullt werden sollen [47]. F¨ur viele Anwendungsf¨alle kann man sich allerdings auf die Ber¨ucksichtigung der radialen Steifigkeit beschr¨anken, vgl. die in Tabelle 3.6 angegebenen Formeln.

192

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Tabelle 3.6 Beziehungen zwischen Radialkraft Fr , radialer Steifigkeit k und radialer Verschiebung ur bei W¨alzlagern spielfreies Radial-Rillenkugellager

spielfreies Radial-Zylinderrollenlager

Fr = 21,9 . . . 25,2 kN/mm2 × × zD2W · (ur /DW )3/2

(1)

Fr = 7,3 . . . 8,9 kN/mm2 × 2 × zlW · (ur /lW )1,11

(2)

k = 32,9 . . . 37,8 kN/mm2 × × zDW · (ur /DW )1/2

(3)

k = 8,1 . . . 9,9 kN/mm2 × × zlW · (ur /lW )0,11

(4)

k = 1,2 . . . 1,3 kN/mm× $1/3 # × (Fr /N) · z2 · (DW /mm)

(5)

k = 3,3 . . . 4,0 kN/mm× # $0,1 × (Fr /N) · z9 · (lW /mm)8

(6)

Fr = 7,89 kN/mm2 × × zD2W · (ur /DW )3/2 /κ 0,35

(7)

Fr = 6,52 kN/mm2 × 2 × zlW · (ur /lW )1,08

(8)

k = 11,8 kN/mm2 × × zDW · (ur /DW )1/2 /κ 0,35

(9)

k = 7,04 kN/mm2 × × zlW · (ur /lW )0,08

(10)

k = 0,595 kN/mm× (11) × (Fr /N) · z2 · (DW /mm)1/3 /κ 0,35

k = 3,67 kN/mm× (12) × (Fr /N)0,074 · z0,926 · (lW /mm)0,852

k = 1,14 kN/mm× (13) $1/3 # 2 2 × (Fr /N) · z · (DW /mm) · cos α

Die Formeln in Tabelle 3.6 stammen aus verschiedenen Literaturquellen und wurden auf eine einheitliche Form gebracht. Sie differieren etwas untereinander, aber sie liefern etwa dieselben Endwerte. Vermutlich liegen die realen Werte innerhalb der dadurch gegebenen Grenzen. In den Formeln (1) bis (6) wurden die jeweils kleineren Werte der Koeffizienten aus [201] und die gr¨oßeren Werte aus [351] entnommen. Die Formeln (7) bis (12) gehen auf [92] zur¨uck, w¨ahrend Gl. (13) aus [333], Bd. 3, ermittelt wurde. Die Abk¨urzungen bedeuten: Fr Radialkraft auf den Innenring, vgl. Bild 3.11d ur Radialverschiebung des Innenringes gegen¨uber dem Außenring, vgl. Bild 3.11d k radiale Federsteifigkeit (Abh¨angig von Radialverschiebung oder Radialkraft) DW Durchmesser eines W¨alzk¨orpers, vgl. Bild 3.9 und Bild 3.11a lW L¨ange einer Zylinderrolle, vgl. Bild 3.11a z W¨alzk¨orperanzahl κ = (DT /DW − 1) Schmiegung Zwischen den drei Formen von Abh¨angigkeiten bestehen folgende Relationen: dFr = k = k(ur ) = k(Fr ) (3.40) dur Es sind in allen F¨allen nichtlineare Beziehungen, so daß man genau genommen bei k nicht von einer Federkonstante“ sprechen kann. Um eine anschauliche Vorstellung ” von der Gr¨oßenordnung und dem Grad der Nichtlinearit¨at dieser Zusammenh¨ange zu vermitteln, wurde in Bild 3.10 f¨ur konkrete Parameterwerte sowohl die Radialkraft Fr = Fr (ur );

¨ 3.3 Walzlager und Fugen

193

als auch die radiale Lagersteifigkeit f¨ur vier Beispiele berechnet. Die dargestellten Federkennlinien in Bild 3.10a ergeben sich aus den Gln. (1) und (2) in Tabelle 3.6, w¨ahrend die Abh¨angigkeit der Federsteifigkeit in Bild 3.10b aus den Gln. (3) und (4) berechnet wurde. Man sieht, daß die Rollenlager immer steifer als die Kugellager sind, wenn man die Lager mit gleicher Rollenl¨ange, gleicher W¨alzk¨orperanzahl und gleichem Kugeldurchmesser vergleicht. Die nichtlineare Abh¨angigkeit ist augenscheinlich bei kleinen Belastungen erheblich, aber bei großen Belastungen ist die Abweichung von der Linearit¨at gering.

4

6⋅10 4

3

4⋅10 4

2

2⋅10 4

1

0 a)

8⋅10 5

0

20

40

60 80 u in µm

k in kN/mm

Fr in N

8⋅10 4

4 3 2 1

6⋅105 4⋅10 5 2⋅105

0

100 b)

0

20

40

60 80 u in µm

100

Bild 3.10 Vergleich der Kennlinien von Kugel- und Zylinderrollenlagern, vgl. Tabelle 3.6 a) Radialkraft gem¨aß Gl. (1), b) Lagersteifigkeit gem¨aß Gl. (2) Kurve 1: z = 10, DW = 10 mm; Kurve 2: z = 15; DW = 8 mm; Kurve 3: z = 10, lW = 10 mm; Kurve 4: z = 15; lW = 8 mm

F¨ur Radial-Rillenkugellager mit Spiel (δ > 0) oder Vorspannung (δ < 0) besteht nach [92] bei radialer Belastung nachstehende Beziehung zwischen der Radialkraft Fr und den Parametern des W¨alzlagers: ⎧ ⎫ ⎡ ⎤3 ⎡ ⎤32⎪ ⎪ π δ 2 j 2 δ ⎪ ⎪ J−1 ⎪ ⎪ ⎨ ur − 2 2 jπ ⎢ ur cos z − 2 ⎥ ⎬ kN ⎥ −0,35 2 ⎢ 2 DW ⎣ + 2 cos Fr ≈ 34,3κ ⎦ ⎣ ⎦ · ∑ ⎪ ⎪ DW z DW mm2 ⎪ ⎪ j=1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (3.41) In einem W¨alzlager wird die Radialkraft auf die verschiedenen W¨alzk¨orper ungleichm¨aßig verteilt, vgl. Bild 3.11d. J < z ist die Anzahl der belasteten W¨alzk¨orper. Bei z W¨alzk¨orpern betr¨agt der Winkelabstand zwischen ihnen ∆ ϕ = 2π /z. Eine Kontaktkraft besteht an dem jeweiligen ( j-ten) W¨alzk¨orper nur dann, wenn die jeweilige Eindringtiefe [ur cos(2 jπ /z) − δ /2] positiv ist. Die von der Belastung abh¨angige Federsteifigkeit k stellt lediglich einen mittleren Wert dar und ber¨ucksichtigt nicht die Ver¨anderung der Steifigkeit infolge des ¨ Uberrollens der W¨alzk¨orper. Es gibt dabei Stellungen, wo die Last direkt u¨ ber einem W¨alzk¨orper und Stellungen, wo die Last zwischen zwei W¨alzk¨orpern eingeleitet wird. Die synchrone Bewegung aller z Kugeln f¨uhrt genau genommen zu einer drehwinkelabh¨angigen Steifigkeit. Die periodische Steifigkeits¨anderung mit der Kreisfrequenz zΩ kann zu erzwungenen und zu parametererregten Schwingungen

194 a)

δ 4 δ 4

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

lW

b) δ 2

c)

d)

δ 2

∅DT δ 4 δ 4

Fr

ur −

δ 2

δ 2

Bild 3.11 W¨alzlager mit Spiel δ a) Zylinderrollenlager, Radialschnitt; b) Rillenkugellager, Radialschnitt; c) Axialschnitt, Symmetrielage; d) Axialschnitt, Radialverschiebung ur des Innenringes unter Last

der w¨alzgelagerten Rotoren f¨uhren, wobei Ω die Drehgeschwindigkeit des Rotors ist. Es sind F¨alle aufgetreten, wo ein Rotor unerwartet intensive Schwingungen mit der z-fachen Drehfrequenz der Welle zeigte, weil seine (eigentlich sehr hohe) Eigenfrequenz damit u¨ bereinstimmte und zu Resonanz f¨uhrte. Um solche Vorg¨ange rechnerisch zu pr¨ufen, ben¨otigt man genaue Angaben zu entsprechenden Parameterwerten der W¨alzlager, die man von den W¨alzlagerherstellern erhalten kann. Die f¨uhrenden W¨alzlagerhersteller stellen f¨ur die W¨alzlagerauslegung auf CD-ROM oder onlineDaten und Berechnungsverfahren u¨ ber Internet zur Verf¨ugung, z. B. [154], [157], [159]. 3.3.3 Fugen, Kontaktstellen, Gleit- und W¨alzfuhrungen ¨ Die Steifigkeit von Fugen, Schraubverbindungen und anderen Kontaktstellen ist bedeutend kleiner und die D¨ampfung ist erheblich gr¨oßer als diejenige des vollen Materials. Beide haben deshalb einen wesentlichen Einfluß auf das Deformationsund Schwingungsverhaltens eines Antriebssystems, vgl. [288] und die dort zitierte Literatur. Hier seien einige Werte zusammengestellt, die zur Orientierung dienen k¨onnen. ¨ Versuche mit verschraubten Fugestellen, die normal zur Kontaktfl¨ache dynamisch belastet wurden, zeigen eine starke Abh¨angigkeit der Steifigkeit und D¨ampfung von der Fl¨achenpressung. Die Steifigkeit nimmt mit der Oberfl¨achenrauheit zu, w¨ahrend die D¨ampfung vermindert wird. In [343] werden Werte f¨ur die spezifische ¨ benetzter F¨ugestellen angegeben, die an eiFugensteifigkeit trockener und mit Ol nem Versuchsstand im Bereich der genannten Fl¨achenpressung gemessen wurden. Die Federkonstante einer verschraubten F¨ugestelle l¨aßt sich angen¨ahert durch folgende Formeln beschreiben:  p N A f¨ur p = 1 . . . 10 N/mm2 · k ≈ 1 060 mm2 N/mm2 mm (3.42) A N 2 f¨ur p > 10 N/mm k ≈ 3 000 · mm2 mm

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

195

¨ Die D¨ampfungskonstante ist auch von der Olviskosit¨ at abh¨angig, und sie betr¨agt etwa  A N·s p d ≈ 0,045 (3.43) · mm2 N/mm2 mm ¨ Versuchsergebnisse u¨ ber die Steifigkeit von Gleitfuhrungen f¨ur eine Gleitpaarung Kunststoff–Metall wurden in [261] ver¨offentlicht. Die Parameterwerte wurden in Abh¨angigkeit von der Fl¨achenpressung, der Benetzung, der dynamischen F¨ugestellenbelastung und der Gleitgeschwindigkeit ermittelt. Zur Orientierung sei davon hier nur die Kontaktsteifigkeit im Bereich von Gleitgeschwindigkeiten im Bereich von 0 bis 3,5 m/min genannt: N A · (3.44) 2 mm mm ¨ Nach [342] liegt die Fugensteifigkeit geklebter Fugestellen bei Fl¨achenpressungen im Bereich von p = 1 . . . 30 N/mm2 bei etwa k ≈ 100

N A (3.45) · 2 mm mm Sie hat also etwa dieselbe Gr¨oße wie die der verschraubten F¨ugestellen, aber sie ist im Gegensatz dazu nicht von der Fl¨achenpressung an der Kontaktstelle abh¨angig, vgl. Gl. (3.42). k ≈ 3 100

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren 3.4.1 Zahnradgetriebe Die Schwingungen in Zahnradgetrieben werden bestimmt durch • die stellungsabh¨angige Steifigkeit der Verzahnung, • die begrenzte Fertigungsgenauigkeit (z. B. St¨oße beim Eingriff jedes Zahns), • a¨ ußere Anregungen, z. B. Torsionsschwingungen des gesamten Antriebsstranges. Die Zahnr¨ader innerhalb eines Getriebes f¨uhren gekoppelte Translations- und Torsionsschwingungen aus, die aufgrund der stellungsabh¨angigen Steifigkeiten der Verzahnung gekoppelt sind, aber auch durch die Nachgiebigkeit der Wellen und deren Lager beeinflußt werden. Es treten gekoppelte erzwungene und parametererregte Schwingungen auf, so daß das ganze Antriebssystem zus¨atzlichen dynamischen Beanspruchungen unterworfen wird. Die Vorausberechnung der Schwingungen erfordert einen hohen Aufwand bei der Modellierung, die schon in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts begann [6], [324] und zu immer komplizierteren Modellen f¨uhrte, auf die hier nicht eingegangen werden kann, vgl. dazu [156], [185], [206], [257], [290], [364] und Abschn. 4.7. Die Federkonstante eines Zahnrades ist in tangentialer Richtung ver¨anderlich, weil beim Abrollen zweier Z¨ahne sich der Kraftangriffspunkt vom Zahnfuß zum

196

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Zahnkopf (und umgekehrt) verschiebt, wobei sich die Steifigkeit kontinuierlich a¨ ndert. Beim Eingriff jedes neuen Zahns tritt ein Steifigkeitssprung ein. Beim Abw¨alzen sind meist zwei oder mehr Z¨ahne im Eingriff, so daß sich in Abh¨angig¨ ε ein Steifigkeitsverlauf ergibt, wie er exemplarisch in keit vom Uberdeckungsgrad Bild 3.12 dargestellt ist. Zur Berechnung der Steifigkeit bei jeder Eingriffsstellung, wozu die exakte Zahnform (vor allem auch im Fußbereich) ben¨otigt wird, gibt es Software, mit der aus dem zun¨achst berechneten Steifigkeitsverlauf eines einzelnen Zahneingriffs durch Superposition der Steifigkeitsverlauf des gesamten Eingriffs ergibt. Die Zahnradberechnungen mit vorhandener Software [155] beinhalten neben Stirnr¨adern auch Kegel-, Schnecken- und Schraubr¨ader, und es lassen sich u. a. Konfigurationen von Zahnradpaaren, Planetenstufen und Zahnstangengetriebe berechnen [184], [186]. Die stellungsabh¨angige Steifigkeit der Verzahnung ist haupts¨achlich von folgenden Faktoren abh¨angig: • Verzahnungsart (Geradverzahnung, Schr¨agverzahnung), ¨ • Art der Zahnkorrekturen (Profilverschiebung, Uberdeckungsgrad), • Form des Radk¨orpers (Verbindung Zahnkranz- Radk¨orper). Die begrenzte Fertigungsgenauigkeit bedingt Verzahnungsfehler [226], also • Montage- und Fertigungsfehler (z. B. Rundlauffehler, Flankenabweichungen) und • betriebsbedingte Sch¨aden (z. B. verschleißbedingte Flankensch¨aden an allen Z¨ahnen), die mit der Zahneingriffsfrequenz periodisch verlaufen und Sch¨aden an einzelnen Z¨ahnen (z. B. Zahnfußsch¨aden, Ausbr¨uche, Gr¨ubchen), die sich mit der Drehfrequenz periodisch wiederholen, vgl. die in DIN 3979 genannten insgesamt 27 verschiedenen Schadensarten. Der Verlauf der Zahnsteifigkeit ist eine periodische Funktion des Winkels ϕ , der ¨ sich aus der Summe der Verl¨aufe der Einzelsteifigkeiten in Abh¨angigkeit vom Uber¨ deckungsgrad ε ergibt, vgl. Bild 3.12. Dadurch, daß die Uberdeckungsgrade nicht ganzzahlig sind, treten bei jedem Zahneingriff Steifigkeitsspr¨unge auf. Aus dynami¨ scher Sicht w¨are es g¨unstig, ganzzahlige Uberdeckungsgrade zu realisieren, was sich bei Schr¨agverzahnung auch durch die Breite des Zahnkranzes beeinflussen l¨aßt. Der periodische Verlauf der Zahnsteifigkeit l¨aßt sich bei einem Zahnrad mit z Z¨ahnen als Funktion des Drehwinkels ϕ durch die Komponenten der statischen und dynamischen Federkonstante in folgender Weise beschreiben: k(ϕ ) = kst + kdyn F(zϕ )

(3.46)

Das Verh¨altnis der dynamischen zur statischen Steifigkeit betr¨agt etwa kdyn = 0,05 . . . 0,15 (3.47) kst Die Verformung wird nicht allein durch die Werkstoffparameter der sich ber¨uhrenden Z¨ahne beeinflußt, welche f¨ur die Hertzsche Pressung (¨ortliche Abplattung an der Kontaktstelle), die Biege- und Schubdeformation des Zahns und die Deformation im elastischen Zahnradk¨orper verantwortlich sind, sondern auch durch die Oberfl¨achenqualit¨at der Z¨ahne. Man beachte dazu die neueste Software f¨ur die Berechnung der Zahnsteifigkeit [40], [155], [186], vgl. auch DIN 3990.

197

a)

Gesamtsteifigkeit 10

Einzelsteifigkeit

5

0 t se ε⋅t se

Drehweg r⋅ϕ

N / mm µm

15

spezifische Steifigkeit k in

spezifische Steifigkeit k in

N / mm µm

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

15

Gesamtsteifigkeit

10 Einzelsteifigkeit 5

0

b)

t se ε⋅t se

Drehweg r⋅ϕ

Bild 3.12 Steifigkeitsverlauf beim Zahneingriff [215] ¨ ε = 2,5 a) Verzahnung mit Uberdeckungsgrad ¨ ε = 4,1 b) Verzahnung mit Uberdeckungsgrad

Oft sind nur spezifische Zahnsteifigkeiten kspez gegeben, so daß mit den geometrischen Daten f¨ur die Radk¨orperbreite b, den Schr¨agungswinkel β und den Teilkreisdurchmesser do der statische Anteil der Drehsteifigkeit berechnet werden muß:  2 do k b 2 kst = (3.48) cos β Die spezifische Zahnsteifigkeit, die in DIN 3990 mit cγ bezeichnet wird, liegt nach [215] im Bereich kN (3.49) cγ = k = 10 . . . 20 · mm2 Die Berechnung der Steifigkeit der Verzahnung ist mit den Angaben in DIN 3990 m¨oglich, aber es gibt auch tiefergehende Analysen der Herstellerbetriebe. Die Arbeit [7] enth¨alt z. B. Formeln zur Bestimmung der Zahnsteifigkeit von spiralverzahnten Kegelr¨adern unter Ber¨ucksichtigung der Biege- und Kontaktsteifigkeit, welche auf der Basis von Berechnungs- und Meßergebnissen gewonnen wurden. Die berechneten Steifigkeiten der Zahnr¨ader liegen fast immer u¨ ber den Werten, die als Federkonstanten in der Schwingungsberechnung Bedeutung haben, weil sekund¨are Einfl¨usse unbeachtet bleiben. In [352] wird berichtet, daß sich nach DIN 3990 Teil 1 aus der Verzahnung eine theoretische Torsionssteifigkeit von kT = 11,0 · 107 N · m/rad ergab, die in Wirklichkeit aber kT = 1,4 · 107 N · m/rad betrug, weil Nachbarbauteile wesentlichen Einfluß hatten, vgl. Abschn. 4.3.3. Die periodische Funktion bez¨uglich des Winkels zϕ F(zϕ ) = ∑ ck cos zkϕ

(3.50)

¨ l¨aßt sich durch ihre Fourierkoeffizienten ck charakterisieren, die vom Uberdeckungsgrad ε und der Art der Verzahnung abh¨angig sind. Eine kleine Profil¨uberdeckung

198

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

f¨uhrt zu großen Steifigkeitsspr¨ungen und damit zu einer Fourierreihe mit einem breiten Erregerspektrum, d. h. großen Harmonischen k-ter Ordnung. Die Schwingungsanregung ist geringer, wenn die Fourierkoeffizienten ck mit zunehmender Ordnung k ¨ ε , einem gr¨oßeschnell abnehmen. Dies ist bei einem gr¨oßeren Uberdeckungsgrad ren Schr¨agungswinkel β und einem kleineren Modul m der Fall, was sich aber nicht immer verwirklichen l¨aßt. Eine Profilverschiebung (Kopfr¨ucknahme) ergibt steifere Z¨ahne und relativ geringere Schwankungen der Zahnsteifigkeit. Die zeitabh¨angige Erregerfunktion ergibt sich erst, wenn der Verlauf des Winkels ϕ (t) bekannt ist. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit der Antriebswelle ist ϕ = Ω t wird aus der periodischen Funktion bez¨uglich des Winkels zϕ eine periodische Zeitfunktion: F(zΩ t) = ∑ ck cos zkΩ t

(3.51)

Unter Ω wird hier die jeweilige Winkelgeschwindigkeit des betrachteten Zahnrades ¨ (Uberrollkreisfrequenz) verstanden, so daß bei Ω auf Indizes verzichtet wird. Gibt man den einzelnen Wellen innerhalb eines Zahnradgetriebes die Indizes 1 und 2, so besteht zwischen zwei miteinander k¨ammenden Zahnr¨adern, welche die Z¨ahnezahlen z1 und z2 haben, bekanntlich die Beziehung z1 Ω 1 = z2 Ω 2 . Bei Umlaufr¨aderge¨ trieben hat man deren Bauform zu beachten, da sich daraus die Uberrollfrequenzen von Glockenrad, Sonnenrad und Planetenr¨adern ergeben [188], [226]. Wesentliche ¨ Erregerfrequenzen sind die Uberrollfrequenzen der Zahnr¨ader f =

Ω 2π

(3.52)

deren ganzzahlige Vielfache, die sich z. B. infolge von Rundlauffehlern auswirken, und die Zahneingriffsfrequenz fz =

zΩ 2π

(3.53)

Es gibt infolge der periodischen Abl¨aufe also auch Erregerfrequenzen k-ter Ordnung fk =

kΩ ; 2π

fzk =

kzΩ ; 2π

k = 1, 2, . . .

(3.54)

wobei die Bedeutung der letztgenannten von der Gr¨oße der betreffenden Fourierkoeffizienten ck abh¨angt, vgl. auch Abschn. 5.5.3.1. Falls die Winkelgeschwindigkeit des Zahnrades nicht konstant ist, treten weitere Erregerfrequenzen auf, wie die folgende Betrachtung zeigt: Angenommen, der Drehwinkel des Zahnrades schwanke infolge der Torsionsschwingungen des Antriebsstranges harmonisch mit einer Eigenkreisfrequenz ω i gem¨aß ϕ (t) = Ω t + ϕˆ sin ω it

(3.55)

mit einer kleinen Winkelamplitude ϕˆ  1, dann entsteht daraus n¨aherungsweise wegen cos(zkϕˆ sin ω it) ≈ 1;

sin(zkϕˆ sin ω it) ≈ zkϕˆ sin ω it

(3.56)

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

199

nach Anwendung eines Additionstheorems auf den k-ten Summanden cos zkϕ = cos [zk (Ω t + ϕˆ sin ω it)]

(3.57)

= cos(zkΩ t) · cos(zkϕˆ sin ω it) − sin(zkΩ t) · sin(zkϕ sin ω it) ≈ cos(zkΩ t) − zkϕˆ sin(zkΩ t) · sin ω it 1 = cos(zkΩ t) − zkϕˆ [cos(zkΩ − ω i )t − cos(zkΩ + ω i )t] 2 Aus dem letzten Ausdruck erkennt man, daß außer den Erregerfrequenzen gem¨aß Gl. (3.54) auch noch die Erregerfrequenzen (zkΩ − ω i ) (zkΩ + ω i ) und fz k+i = (3.58) 2π 2π existieren. Diese Frequenzen liefern die sogenannten Seitenbandstrukturen eines Spektrums, d. h. unter- und oberhalb der eigentlichen Resonanzspitzen treten Nebenlinien im Abstand der Eigenfrequenzen fi = ω i /2π auf. In vielen F¨allen f¨uhren die ¨ h¨oheren Harmonischen zu dynamischen Uberh¨ ohungen in Form von Resonanzen kter Ordnung. Parametererregte Schwingungssysteme mit mehreren Freiheitsgraden haben die Besonderheit, daß bei einer periodischen Parametererregung Instabilit¨atsgebiete auftreten, wenn die Bedingungen kΩ = 2ω i (Parameterresonanzen) oder kΩ = ω k ± ω i (Kombinationsresonanzen) erf¨ullt sind [81], [113], [101], [231]. Es k¨onnen also Resonanzen bei den Frequenzen fz k−i =

fk ± fi ; k = 1, 2, . . . (3.59) k f¨ur verschiedene Kombinationen der Eigenfrequenzen fk und fi des ungest¨orten Systems auftreten. Im Spektrum mehrstufiger Zahnradgetriebe sind auch solche Summen- und Differenzfrequenzen aus den Eigenfrequenzspektren mehrerer Getriebestufen beobachtet worden [188]. Aus den Darlegungen geht hervor, daß in Zahnradgetrieben die in den Gln. (3.52), (3.53), (3.54), (3.58) und (3.59) angegebenen Frequenzen auftreten, die sich am Geh¨ause, in den Lagern und im Antriebsstrang auswirken k¨onnen. Methoden der Schwingungsdiagnose erm¨oglichen, Verzahnungsfehler im Zusammenhang mit ih¨ ren spektralen Kennzeichen zu identifizieren. In [188] wird ein Uberblick u¨ ber verschiedene signalgest¨utzte Analyseverfahren gegeben und an Hand von Beispielen die Identifikation von Verzahnungsfehlern illustriert. f =

3.4.2 Berechnungsmodelle fur ¨ nachgiebige Kupplungen 3.4.2.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Die Norm DIN 740-2 ( Nachgiebige Wellenkupplungen“) gilt f¨ur schlupffreie Kupp” lungen, deren Kraft¨ubertragungsglieder sowohl aus teilweise oder allseitig nachgie” bigen Elastomeren als auch aus metallelastischen Federelementen bestehen“. F¨ur die

200

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Berechnung wird dort das Berechnungsmodell des linearen Zweimassenschwingers benutzt, wobei die Steifigkeit mit der Drehfederkonstante kT und das D¨ampfungsverhalten mit der relativen D¨ampfung ψ erfaßt wird. Es ist allerdings nur eingeschr¨ankt m¨oglich, das Verhalten von Elastomerkupplungen mit einem linearen Modell zu beschreiben; nicht nur, wenn die Drehfederkennlinien nichtlinear sind, sondern auch, weil die Parameter von der Winkelamplitude, der Frequenz, dem Torsionsmoment, der Temperatur, der Lastwechselzahl und anderen Einflußgr¨oßen abh¨angig sind [20], [107], [238]. Eine Linearisierung kann allein in der N¨ahe eines Betriebspunktes erfolgen (wenn dieser bekannt ist), aber schon ein linearer Ansatz f¨ur die D¨ampfung f¨uhrt zu ungenauen Ergebnissen, wenn von sinusf¨ormigen Zeitverl¨aufen der Belastung abgewichen wird, vgl. Abschn. 3.4.2.3. Experimentelle Untersuchungen mit harmonischer Erregung best¨atigten folgende Tendenzen bei Elastomerkupplungen: • Mit zunehmender Schwingwinkelamplitude fallen die Parameterwerte von kT und ψ ; bei großen Ausschl¨agen bis etwa auf den halben Wert im Vergleich zu kleinen Ausschl¨agen. • Mit der Frequenz steigen diese Parameterwerte. Die dynamische Steifigkeit kann sich gegen¨uber der statischen Steifigkeit um den Faktor 1,1 bis 4,5 erh¨ohen [107]. • Mit steigender Kupplungstemperatur fallen Steifigkeit und D¨ampfung ab. • Mit zunehmender Lastwechselzahl nimmt die Steifigkeit zu, die D¨ampfung bleibt etwa konstant. • Mit der mittleren Belastung nimmt die Steifigkeit zu. Die DIN 740-2 empfiehlt ausdr¨ucklich, auf kompliziertere Berechnungsmodelle u¨ berzugehen, wenn die Voraussetzungen nicht erf¨ullt sind, die f¨ur das Minimalmodell des Zweimassensystems gelten. Ein Problem besteht dabei darin, mit m¨oglichst wenigen (und experimentell leicht ermittelbaren) Parameterwerten solch ein komplizierteres Modell zu definieren. In [238] wurde eine Beschreibung der nichtlinearen Abh¨angigkeiten der Parameterwerte unter Verwendung von Masterkurven“ vorge” schlagen und erl¨autert. Dies l¨auft darauf hinaus, normierte Parameter einzuf¨uhren ¨ und die Werkstoffparameter mit Ahnlichkeitskennzahlen zu charakterisieren, vgl. Abschn. 2.2.2. Andere komplizierte Berechnungsmodelle werden Abschn. 3.4.2.2 beschrieben. Eine Modellierung von Antrieben, in denen hydrodynamische Kupplungen eingesetzt werden, bereitet auf Grund des nichtlinearen Verhaltens dieser Kupplungsbauart besondere Schwierigkeiten, da sich die komplexen Str¨omungsvorg¨ange im Innern der Kupplung schwierig modellieren lassen, wie die Arbeiten [103] und [165] zeigen. Einen anderen Zugang zur Modellierung zeigen die Arbeiten [23] und [311], in denen Berechnungsmodelle hydrodynamischer Kupplungen auf der Grundlage von systemtheoretischen Betrachtungen ( Black-Box-Modelle“) entwickelt werden. ” Die Brauchbarkeit der entwickelten Modelle wird durch den Vergleich von simulierten und an einem Versuchsstand gemessenen Verl¨aufen der Drehzahlen und Drehmomente an der Kupplung bewertet, und es wird in [311] gezeigt, daß sich die diskreten nichtlinearen Modelle in einem Antriebsstrangmodell f¨ur Simulationsrechnungen einsetzen lassen. Es ist zu empfehlen, die Dimensionierung der Kupplungen zun¨achst mit einem Minimalmodell vorzunehmen, auch unter Beachtung der in Abschn. 5.2, 5.4.3 und

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

201

5.4.4 beschriebenen Erregungen. Zur Simulation der nichtlinearen Berechnungsmodelle kann man handels¨ubliche Software einsetzen, wobei zur Kupplungsberechnung z. B. ARLA
SIMUL [301], ITI
-SIM [302] und DRESP geeignet sind, vgl. Tabelle 2.1. Zur Auslegung von Elastomerkupplungen reichen lineare Berechnungsmodelle nicht aus, wie die in den folgenden Abschnitten behandelten Beispiele zeigen. 3.4.2.2 Berechnungsmodell fur ¨ Elastomerkupplungen In der Arbeit [306] werden mehrere Berechnungsmodelle f¨ur elastische Kupplungen analysiert und davon dasjenige bevorzugt, welches auf den Arbeiten [209] und [121] aufbaut. Es wurde u. a. f¨ur das Programm ITI
-SIM und das von der Forschungsvereinigung Antriebstechnik entwickelte Programm DRESP aufbereitet, vgl. Tabelle 2.1. Das im folgenden vorgestellte Kupplungsmodell basiert auf einem nichtli¨ technische Gummiwerkstoffe [209]. Es ber¨ucksichtigt nearen Materialmodell fur deformations- und zeitabh¨angige Eigenschaften und wurde experimentell an Gummifedern u¨ berpr¨uft. Dieses Modell verwendet an Stelle einer Federkennlinie folgenden Ansatz f¨ur das innere Kupplungsmoment [121]: T = kT ϕ + Mr K(t)

Bild 3.13 Hochelastische Scheibenkupplung (Kupplungswerk Dresden)

(3.60)

202

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Dabei ist kT die Torsionsfederkonstante und ϕ der Verdrehwinkel. Das Reib- oder D¨ampfungsmoment Mr = Rk ln(1 +
k ϕ ∗ )

(3.61)

wird durch die Parameter Rk und
k bestimmt, welche experimentell aus der Hysteresekurve zu ermitteln sind. ϕ ∗ = ϕ max − ϕ ist der relative Torsionswinkel, der vom Umkehrpunkt ϕ max jeder Periode aus gez¨ahlt wird. Die Relaxation wird durch die zeitabh¨angige Funktion K(t) erfaßt, die von den Parametern a und b abh¨angt, welche man aus der Sprungantwort bestimmen kann: K(t ∗ ) = (1 + at ∗ · s−1 )b

(3.62)

Die Zeit t ∗ wird ab jedem Umkehrpunkt gemessen und ist in Gl. (3.62) in Sekunden einzusetzen. Der Parametervektor dieses Modells besitzt also f¨unf Komponenten: pT = (kT , Rk ,
k , a, b)

(3.63)

In [121] und [306] wird beschrieben, wie diese Parameterwerte aus der Hysteresekurve und einer Sprungantwort bestimmt werden k¨onnen. F¨ur eine in Bild 3.13 dargestellte hochelastische Scheibenkupplung (Nennmoment Mn = 160 N · m) wurden folgende Parameterwerte ermittelt: kT = 1 115 N · m Rk = 105 . . . 85,38 N · m


k = 30 . . . 39,58

(3.64)

a = 25,78 b = 0,107 Bild 3.14 zeigt die Hysteresekurven, die sich als Kennlinien dieser Kupplung bei harmonischer Erregung rechnerisch ergeben (Programm ITI
-SIM). Die geringe Abh¨angigkeit von der Frequenz geht aus den in Bild 3.14a dargestellten drei Kurven hervor. Die dynamische Steifigkeit nimmt etwas mit der Frequenz zu. Bild 3.14b stellt die mit den Parameterwerten von Gl. (3.64) berechneten Hysteresekurven bei verschiedenen Winkelamplituden dar, die sich f¨ur eine harmonische Erregung mit der Frequenz von 5 Hz ergeben. Es ist deutlich zu sehen, daß die mittlere Steifigkeit der Kupplung bei kleinen relativen Verdrehwinkeln gr¨oßer ist als bei großen Verdrehwinkeln: sie betr¨agt bei ϕ rel = 0,05 rad etwa 2,5 N · m/rad und bei ϕ rel = 0,2 rad nur etwa 1,8 N · m/rad. Bild 3.15 zeigt das Ergebnis eines Ausschwingversuchs f¨ur die Scheibenkupplung HE 16. Die Gegen¨uberstellung der berechneten und gemessenen Kurven¨ verl¨aufe zeigt eine gute Ubereinstimmung. Die berechneten Verl¨aufe sind an den Umkehrstellen etwas zu eckig“ im Vergleich zum realen Vorgang, was durch die ” Modellierung von harten“ Umschaltbedingungen an den Umkehrstellen bedingt ” ist, vgl. Gl. (3.61).

400

400

300

300

200

200 Drehmoment in N . m

Drehmoment in N . m

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

100 0

−100 3

−200

2 1

−300

100

1 2

0

3

−100

4

−200 −300

−400 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 Verdrehwinkel in rad a)

−400 −0,3 −0,2 −0,1 0 0,1 0,2 0,3 b) Verdrehwinkel in rad

Bild 3.14 Simulationsergebnis an einer Scheibenkupplung bei harmonischer Erregung a) Amplitude 0,1 rad mit verschiedenen Frequenzen (Kurve 1: 10 Hz; Kurve 2: 1 Hz; Kurve 3: 0,1 Hz) b) Erregung mit 5 Hz und verschiedenen Amplituden (Kurve 1: 0,01 rad; Kurve 2: 0,05 rad; Kurve 3: 0,1 rad; Kurve 4: 0,2 rad)

200

inneres Moment in N . m

150 100 50 0

2

−50 1

−100 −150 −3

−2

203

−1

0

1

2

3

4

relativer Verdrehwinkel in °

Bild 3.15 Ausschwingversuch der elastischen Kupplung Kurve 1: gemessen, Kurve 2: berechnet

204

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

3.4.2.3 Nichtlineare Effekte bei biharmonischer Erregung Bei den meisten experimentellen Untersuchungen werden dynamische Materialeigenschaften lediglich bei harmonischen Belastungen ermittelt. Es ist sehr gewagt, solche Ergebnisse auf beliebige zeitliche Verl¨aufe zu u¨ bertragen. Eine positive Ausnahme bildet die Arbeit [20], in welcher experimentelle Untersuchungen mit Scheibenkupplungen beschrieben werden, bei denen sowohl harmonische als auch biharmonische Erregungen und deren Antworten gemessen wurden. Bild 3.16 und Bild 3.17 zeigen exemplarisch Ergebnisse aus dieser Dissertation. Das in Bild 3.16 zeigt zwei Hysteresekurven als Folge einer periodischen Belastung, die zwei harmonische Komponenten besitzt, die sich um ganzzahlige Frequenzverh¨altnisse unterscheiden.

Bild 3.16 Gemessene Hysteresekurven bei periodischer Belastung (ϕ 1 = 1◦ ) [20] a) Winkelerregung ϕ = ϕ 1 [sin Ω t + sin(2Ω t + π /2)] b) Winkelerregung ϕ = ϕ 1 (sin Ω t + 1/2 sin 4Ω t)

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

205

Bei einer biharmonischen Belastung kommen in der Hysteresekurve zus¨atzliche Schleifen vor, vgl. Bild 3.16. Die Anzahl der Schleifen entspricht der Differenz der Ordnungszahlen der beiden Schwingungskomponenten. Die von der Hysteresekurve umschlossene Fl¨ache, die ein Maß f¨ur die mechanische Verlustarbeit ist, wird durch die Zusatzschwingung im Vergleich zur Grundschwingung durch diese Schleifen vermindert. Damit wird eine in [20] beobachtete Erscheinung erkl¨arlich: Bei allen Messungen mit Zusatzschwingung reagierten die Kupplungen weicher als bei der Erregung mit der harmonischen Grundschwingung. Eine gr¨oßere Erregeramplitude der hochfrequenten Zusatzschwingung f¨uhrte zu einer Verringerung der AntwortAmplitude der Grundschwingung. Die periodischen Zeitverl¨aufe f¨ur das gemessene station¨are Schwingungsverhalten sind f¨ur drei F¨alle dargestellt. Die Grundfrequenz der Schwingungserregung lag bei 10 Hz und die Schwingwinkelamplitude bei 1◦ . Bild 3.17a und Bild 3.17b zeigen (mono)harmonische Verl¨aufe des Drehwinkels, die in beiden F¨allen der Erregerfrequenz folgen. Ein genaueres Hinsehen zeigt, daß im Fall a die Amplituden gleichsinnig und im Fall b gegensinnig zum Moment verlaufen, d. h., im ersten Fall lag die Erregerfrequenz unterkritisch und im zweiten Fall u¨ ber der Eigenfrequenz dieses Versuchsstandes, die etwa 15 Hz betrug.

Bild 3.17 Meßergebnisse an Scheibenkupplungen [20] a) Harmonische Erregung mit der Frequenz f1 = 10 Hz b) Harmonische Erregung mit der Frequenz f2 = 30 Hz c) Biharmonische Erregung mit den Frequenzen f1 und f2 (Kurve links: Winkelerregung; Kurve rechts: Schwingwinkelantwort)

206

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Die Summe der beiden Erregungen (Fall c, Kurve 1) aus Fall a und Fall b ist als Kurve 1 in Bild c erkennbar. Sie bewirkt eine Antwort (Fall c, Kurve 2), die sich nicht(!) aus der Summe der beiden Antworten (Fall a und b, Kurve 2) ergibt. Offenbar ist das Superpositionsprinzip verletzt, vgl. Abschn. 2.1.2.2. Die Berechnung des in Bild 3.17 erkennbaren nichtlinearen Effekts kann also nicht durch ein lineares Kupplungsmodell erfolgen. Nun soll gepr¨uft werden, ob das in Abschn. 3.4.2.2 vorgestellte nichtlineare Materialmodell vergleichbare Rechenergebnisse liefert. Als ein Beispiel daf¨ur, wie sich die Nichtlinearit¨at des durch die Gln. (3.60) bis (3.62) beschriebenen Modells der Gummikupplung auswirkt, wird eine Kupplung periodisch als ein einseitig eingespannter Torsionsschwinger mit einem Moment M(t) = 150(sin Ω t + sin 3Ω t) N · m

(3.65)

berechnet (Ω = 2π f1 ), das zwei verschiedene Erregerfrequenzen ( f1 und f2 = 3 f1 ) enth¨alt, also eine biharmonische Erregung aus¨ubt. Folgende Parameter liegen dieser Simulation zu Grunde: J = 2 kg · m2 kT = 1 182 N · m Rk = 52,44 N · m
k = 131,3 a = 44,36 b = −0,117

⎫ ⎪ ⎪ ⎬

Tr¨agheitsmoment Torsionsfederkonstante

Parameter des nichtlinearen Kupplungsmodells ⎪ ⎪ ⎭

(3.66)

In Bild 3.18 sind die Ergebnisse der Simulation mit dem Programm ITI
-SIM f¨ur drei verschiedene Grundfrequenzen angegeben (man beachte die unterschiedlichen Zeitmaßst¨abe). Die Ergebnisse unterscheiden sich wesentlich voneinander. Bei der niedrigen Erregergrundfrequenz (Bild 3.18a) a¨ hneln sich die Zeitverl¨aufe von Erregermoment und Kupplungsmoment, d. h., die Kupplung deformiert sich etwa proportional zu dem eingeleiteten Moment. Bei f1 = 5 Hz sieht man in Bild 3.18b zwar denselben Zeitverlauf des Erregermoments, aber das Kupplungsmoment weicht davon betr¨achtlich ab. Das Kupplungsmoment besitzt dabei nur geringe Komponenten der dritten Harmonischen von 3 f1 = 15 Hz, obwohl diese mit der Eigenfrequenz nahezu u¨ bereinstimmt. Es wird erstaunlicherweise nicht die Amplitude der dritten Harmonischen, sondern die Amplitude der Grundfrequenz besonders groß, so daß Spitzenwerte von mehr als 300 N · m erreicht werden, vgl. dazu Bild 3.18a. Dies ist ein typischer nichtlinearer Effekt: Energieanteile der zweiten Erregerfrequenz haben zur Erh¨ohung der Amplitude der Grundfrequenz gef¨uhrt, d. h., es wandert Energie aus der Schwingform mit der h¨oheren Frequenz in die Schwingform mit der niederen Frequenz, vgl. auch Abschn. 2.1.2.2. Bei noch h¨oherer Erregerfrequenz, wenn die dritte Harmonische im u¨ berkritischen Bereich ist, (Bild 3.18c) werden die Amplituden wie beim linearen System ¨ mit zunehmender Erregerfrequenz immer kleiner. Erst bei der Ubereinstimmung der Grunderregerfrequenz mit der Eigenfrequenz treten dann wieder große Amplituden auf, allerdings mit der Grundfrequenz. Die in diesem Abschnitt beschriebenen Erscheinungen lassen sich nicht mit einem linearen Berechnungsmodell deuten. Die experimentell nachweisbaren nichtli-

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

207

nearen Effekte k¨onnen aber mit einem nichtlinearen Modell der Materiald¨ampfung qualitativ und quantitativ rechnerisch erkl¨art werden, vgl. Abschn. 3.5. Auch das in Abschn. 2.4.7.2 behandelte Beispiel der Reibungsschwingung, bei dem sich die effektive Reibungszahl mit der Zusatzschwingung a¨ ndert, beruht auf einem nichtlinearen Effekt.

Bild 3.18 Berechnete Verl¨aufe der Drehwinkel (d¨unne Linien) und Momente (dicke Linien) in dem Kupplungsmodell gem¨aß Gl. (3.65) und Gl. (3.66) mit f2 = 3 f1 a) f1 = 1 Hz; b) f1 = 5 Hz, c) f1 = 10 Hz

208

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

3.4.3 Asynchronmotor Jeder Schaltvorgang am Asynchronmotor, der zur Beschleunigung oder Verz¨ogerung eines Antriebssystems f¨uhrt, bedeutet eine vom elektrischen Netz vorgenommene Energie¨anderung und wird von elektromagnetischen Ausgleichsvorg¨angen innerhalb des Asynchronmotors begleitet. Die genauere Analyse dieser Vorg¨ange kann mit den in der Literatur der elektromotorischen Antriebe genannten Gleichungen [200] erfolgen, wenn die entsprechenden Parameter des Motors zur Verf¨ugung stehen. Der Asynchronmotor ist ein elektromagnetisches System, das eine charakteri¨ stische Ubertragungsfunktion besitzt, die sich aus solchen Parametern wie Polpaarzahl, St¨anderspannung, L¨auferinduktivit¨at, St¨anderinduktivit¨at, L¨auferwiderstand, synchrone Drehzahl u. a. berechnen l¨aßt. Damit ist es m¨oglich, Differentialgleichungen f¨ur die gekoppelten elektromechanischen Schwingungen aufzustellen und zu l¨osen. Ein Beispiel f¨ur eine solche detaillierte Modellierung der Asynchronmaschine wurde in [294] zur Berechnung der Anlaufvorg¨ange von Gurtf¨orderern, vgl. auch [360] und Abschn. 4.1, und in [120] f¨ur einen Straßenbahnantrieb in Verbindung mit dem Programm DRESP, vgl. Tabelle 2.1. Diese allgemeine Berechnung des gekoppelten Schwingungssystems ist mit spezieller Software m¨oglich, z. B. mit dem Programm TUTSIM [153]. H¨aufig fehlen allerdings die Eingabedaten f¨ur solche Berechnungen. Bei Vernachl¨assigung des St¨anderwiderstands und unter der Annahme, daß der Leerlaufschlupf Null ist, k¨onnen die Differentialgleichungen des Asynchronmotors durch die station¨aren Werte der Parameter Kippschlupf sK und Kippmoment MK ausgedr¨uckt werden. F¨ur den Fall, daß bei einem Antrieb nur kleine Schwingungen um ein mittleres Moment (und entsprechend um eine mittlere Winkelgeschwindigkeit) stattfinden, wurde in [348] eine Beziehung f¨ur die statische dynamische Motorkennlinie hergeleitet, die mit diesen beiden Parametern auskommt. Sie lautet in dimensionsloser Form     ϕ¨ ϕ¨ sK 2 2 2 ˙ ¨ (3.67) M Ω + (sK + s )Ω + M = 2MK sK sΩ 2 M + 2sK + sΩ 2 s Dabei bedeuten ⎛ ⎞ M ⎜ Ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ϕ˙ ⎟ x=⎜ ⎟ ⎜ s ⎟ ⎝ s ⎠ K MK

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

Motormoment synchrone Winkelgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit des Motors Schlupf (s = 1 − ϕ˙ /Ω ) Kippschlupf Kippmoment des Motors

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.68)

Der Kippschlupf sK und das Kippmoment MK sind die beiden Parameter, die in diese nichtlineare Differentialgleichung eingehen und den Momentenverlauf bestimmen. Linearisiert man Gl. (3.67) bez¨uglich der Winkelgeschwindigkeit des Rotors, ergibt sich (3.69) M¨ + 2sK M˙ Ω + Ω 2 sK M = 2MK sK sΩ 2 F¨ur den statischen Fall“ (ϕ¨ = 0, M˙ = 0, M¨ = 0) folgt aus Gl. (3.67) ” sK s M = 2MK 2 sK + s2

(3.70)

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

209

Dies ist die bekannte Gleichung von K LOSS. Sie gilt bei ann¨ahernd konstanter Drehgeschwindigkeit ϕ˙ , also im station¨aren Betriebszustand, wenn die Winkelbeschleunigung ϕ¨  Ω 2 ist. Gl. (3.70) kann linearisiert werden, wenn s/sK  1 ist. Dann verbleibt folgende Gleichung f¨ur die Motorkennlinie:   s ϕ˙ M = 2MK = M0 1 − (3.71) sK Ω Sie entsteht auch aus Gl. (3.69) f¨ur M˙ = 0 und M¨ = 0. Diese lineare Form wird h¨aufig benutzt, um kleine Schwingungen in Antriebssystemen unter Ber¨ucksichtigung der elektromagnetischen Vorg¨ange im Antriebsmotor zu berechnen. F¨ur die Schwingungsberechnung eines mit einem Asynchronmotor angetriebenen Antriebssystems kann auch die Differentialgleichung (3.67) angewendet werden, in der dieselben Parameter vorkommen. Mit dem in Bild 3.19 dargestellten Schema wird auf eine Modellierung u¨ bergegangen, welche die urspr¨unglichen elektrischen Motorparameter benutzt. Mit Hilfe dieses Modells f¨ur den Asynchronmotor lassen sich typische Effekte simulieren. In dem Modell gem¨aß Bild 3.19 sind die mit Gl. (3.69) beschriebenen Zusammenh¨ange als Sonderfall enthalten. Es zeigt sich, daß bei niederen Eigenfrequenzen des mechanischen Antriebssystems (bis etwa 10 Hz) der dynamische Einfluß des Asynchronmotors vernachl¨assigbar klein ist. Dar¨uber hinaus ist die Wechselwirkung des elektromagnetischen Systems des Asynchronmotors und des mechanischen Schwingungssystems des Antriebssystems von Bedeutung, z. B. auch f¨ur die Berechnung der Eigenfrequenzen des Gesamtsystems. Besonders groß ist der Einfluß des Asynchronmotors bei Netzspeisung im Bereich der Netzfrequenz (z. B. 50 Hz, 60 Hz (USA), 16 2/3 Hz (Bahn)). Bei Umrichter-Speisung gibt es ein breites Erregerfrequenz-Spektrum, da die Speisefrequenz variabel ist und hochfrequente Oberwellen vorhanden sind. Man sollte die mechanischen Teile des Antriebssystems m¨oglichst so gestalten, daß keine Eigenfrequenzen in diese Erregerfrequenzbereiche des Asynchronmotors fallen. US - Speisespannung RS

US

XSσ

XR´σ XH

R´R s

RS - Statorwiderstand R´R - Rotorwiderstand (auf Statorseite bezogen) XSσ - Streureaktanz Stator XR´σ - Streureaktanz Rotor (auf Statorseite bezogen) XH - Hauptreaktanz s

- Schlupf

Bild 3.19 Ersatzschaltbild f¨ur Asynchronmotoren mit Kurzschlußl¨aufer

Das Motormodell gem¨aß Bild 3.19 beruht auf dem T-Ersatzschaltbild f¨ur Asynchronmotoren mit Kurzschlußl¨aufer [239], [292]. Das entsprechende Differential-

210

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

b)

c) Bild 3.20 Zur Simulation eines Versuchslaufs a) Modellbild gem¨aß ITI
-SIM [302], b) Drehmoment und Drehgeschwindigkeit als Funktion der Zeit, c) dynamische Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

211

gleichungssystem ist in netzsynchron umlaufenden Koordinaten aufgestellt und wird f¨ur jeden Zeitschritt numerisch gel¨ost. Die Ber¨ucksichtigung der Stromverdr¨angung erfolgt durch eine Nachf¨uhrung der Rotorparameter. Die Parameter des in Bild 3.19 gezeigten Ersatzschaltbildes k¨onnen direkt eingegeben werden. Wenn sie nicht gegeben sind, k¨onnen sie aus den Katalogparametern (MK , sK , Ω ) entsprechend der theoretischen Beziehungen ermittelt werden, die z. B. in [129] beschrieben sind, vgl. auch [172], [239]. Als Beispiel wird der Anlauf- und Bremsvorgang eines Asynchronmotors auf einem Pr¨ufstand berechnet. Bei der Anwendung des Programms ITI
-SIM ist keine Kenntnis der Differentialgleichung erforderlich, und es werden lediglich folgende Parameterwerte eingegeben: Motor: P = 4 kW n = 2 910 min−1 MK /Mn = 3,2 MA /Mn = 2,7 J = 0,022 kg · m2

Nennleistung Nenndrehzahl relatives Kippmoment relatives Anlaufmoment Tr¨agheitsmoment des Rotors

Bremse: Bremsvorgang beginnt nach der Hochlaufzeit von ta = 1 s:   t M= − 1 · 50 N · m Bremsmoment (1 s
t
3 s) ta Aus dem Bild 3.20b geht hervor, daß sofort nach dem Einschalten ein Spitzenwert des dynamischen Antriebsmoments von etwa 100 N · m entsteht, der das Anfahrmoment von etwa 35 N · m also etwa um das Dreifache u¨ bersteigt. Die dabei auftretenden Schwingungen haben eine Frequenz der Speisespannung von 50 Hz und klingen bereits nach etwa 0,25 s ab. Der weitere Beschleunigungsvorgang, bei dem der Motor die Nenngeschwindigkeit etwa innerhalb von 0,7 s erreicht, verl¨auft ebenso wie der sich anschließende Bremsvorgang auf der statischen (Kloss’schen) Motorkennlinie. Bild 3.20b zeigt, wie wesentlich die Schwingungen sind, wenn sich das Antriebsmoment des Asynchronmotors beim Einschalten entwickelt.

3.5 ¨ Dampfungskennwerte Mechanische Energieverluste treten bei allen mechanischen Bewegungen auf, d. h., D¨ampfung ist zwar bei allen Schwingungen stets vorhanden, aber bei der dynamischen Analyse eines Antriebssystems muß entschieden werden, ob sie von Bedeutung ist und in welcher Form sie im Berechnungsmodell u¨ berhaupt erfaßt werden soll. Dazu kann man sich an folgende Regeln halten: 1. Auf die Ber¨ucksichtigung der D¨ampfung kann man meist verzichten, wenn bloß folgende Gr¨oßen interessieren:

212

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

• niedere Eigenfrequenzen (und Resonanzgebiete) eines Antriebssystems, • die Spitzenwerte nach Stoßvorg¨angen (Bilder 2.7, 2.9, 2.25, 4.15, 4.14, 4.16 und 2.50), • Schwingungszust¨ande außerhalb der Resonanzgebiete (Bilder 5.32, 5.33, 5.51 und 5.57). 2. D¨ampfungskr¨afte haben merklichen Einfluß und sollten zumindest durch die modale oder viskose D¨ampfung einbezogen werden, wenn folgende Gr¨oßen interessieren: • Resonanzamplituden linearer Systeme bei periodischer Belastung (Bilder 4.6, 5.46 und 5.57), • die Lastwechselzahl bei Ausschwingvorg¨angen (Bilder 2.7, 4.13 und 4.14), • h¨ohere Eigenfrequenzen und h¨ohere Eigenformen, • Aussagen zum Stabilit¨atsverhalten parametererregter Schwinger, vgl. Gln. (4.8) bis (4.11) in Abschn. 4.4.3 und Bild 4.3. 3. Genauere D¨ampfungsans¨atze sind dann zu empfehlen, wenn folgende Gr¨oßen interessieren • die Temperatur des Materials, z. B. von Gummifedern, • das Verhalten absichtlich eingebauter d¨ampfender Baugruppen, z. B. Viskosit¨ats- Drehschwingungsd¨ampfer [204] und ged¨ampfte Tilger, • das dynamische Verhalten nichtmetallischer Werkstoffe, z. B. bei Kupplungen, vgl. Abschn. 3.4.2.2. In Antriebssystemen entstehen D¨ampfungskr¨afte an der Oberfl¨ache der sich bewegenden Festk¨orper, wie z. B. Reibung in F¨uhrungen und Lagern oder bei Relativbewegungen im Innern der Festk¨orperwerkstoffe. Die D¨ampfungskr¨afte an den Fugen und Kontaktstellen werden f¨ur die jeweilige Baugruppe mit experimentell ermittelten D¨ampfungskoeffizienten berechnet, vgl. z. B. die in Abschn. 3.2.4 und 3.3.3 angegebenen Werte. Die inneren D¨ampfungskr¨afte infolge der Werkstoffdeformationen lassen sich theoretisch aus den Werkstoffparametern und dem Deformationsfeld im Innern des belasteten Bauteils berechnen. Infolge der nichtlinearen Stoffgesetze sind aber kontinuumsmechanische Berechnungsmodelle zu verwenden, deren Auswertung aufwendig ist, weil Systeme von partiellen Differentialgleichungen zu l¨osen sind. Meist muß auch die Wechselwirkung der mechanischen und thermodynamischen Prozesse ber¨ucksichtigt werden, weil sich das Material infolge der D¨ampfungsarbeit aufheizt und sich dabei die Werkstoffparameter a¨ ndern. Vielfach hat sich gezeigt, das man allein etwa f¨unf bis zehn Parameter braucht, um das Werkstoffverhalten zu erfassen. F¨ur viele Bauteile werden deshalb Parameterwerte zur Erfassung der D¨ampfung f¨ur das komplette Bauteil ermittelt, vgl. z. B. [204], [235], [252] und die Ausf¨uhrungen zu Kupplungen in Abschn. 3.4.2.2. Es besteht in der Berechnungspraxis der Wunsch, mit wenigen (und nach M¨oglichkeit experimentell einfach zu bestimmenden Parameterwerten) eine m¨oglichst gute Approximation der D¨ampfungskr¨afte bei beliebigen Zeitverl¨aufen der Belastungen zu erhalten. Jeder D¨ampfungsansatz muß mathematisch ausdr¨ucken, daß die D¨ampfungskraft entgegengesetzt zur momentanen Geschwindigkeitsrichtung wirkt, weil nur

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

213

dann dem mechanischen System bei der Bewegung mechanische Energie entzogen wird. Im allgemeinen sind D¨ampfungskr¨afte bei den verschiedenen Werkstoffen auf verschiedene Weise von den Kr¨aften, Deformationen und deren Zeitableitungen abh¨angig, so daß ein funktioneller Zusammenhang ˙ . . .) = 0 f (. . . , q, ¨ q, ˙ q, F, F,

(3.72)

besteht. Falls D¨ampfungskr¨afte nur von der Koordinate und deren Ableitungen abh¨angen, kann man sie in folgender Weise beschreiben: ˙ sign (q) ˙ FD = |F(q, q)|

(3.73)

Dabei ist q die Koordinate, an welcher infolge der Relativbewegung die D¨ampfungskraft FD wirkt. Der Betrag kann gem¨aß Gl. (3.73) eine nichtlineare Funktion der Koordinate und/oder der Geschwindigkeit sein. Der lineare Ansatz f¨ur die viskose D¨ampferkraft mit der D¨ampferkonstante d m¨ußte eigentlich in der Form ˙ sign (q) ˙ geschrieben werden, aber da sich die Kraftrichtung bereits mit q˙ FD = |d q| a¨ ndert, wird die Signumfunktion stets weggelassen und f¨ur die viskose D¨ampfung FD = d q˙

(3.74)

geschrieben, vgl. auch Tabelle 3.9, Gl. (1). Die Parameterwerte des Modells f¨ur eine ged¨ampfte Schwingung lassen sich auf verschiedene Weise ermitteln. In Tabelle 3.7 sind als die beiden gebr¨auchlichsten experimentellen Verfahren zur Bestimmung von D¨ampfungsparametern linearer Schwinger, der Ausschwingversuch und die erzwungene harmonische Bewegung, genannt. Mit den Gln. (1) bis (4) ist angegeben, welche Beziehung zwischen den jeweiligen Daten der Versuchsergebnisse und den Parametern des linearen Berechnungsmodells bestehen. Die Beziehungen zwischen diesen Parametern sind in Tabelle 3.8 angegeben. Bei komplizierteren D¨ampfungsans¨atzen werden oft ebenfalls diese Versuche benutzt, vgl. Abschn. 3.4.2.2. Das logarithmische D¨ampfungsdekrement Λ kann man aus dem Ausschwingvorgang ermitteln, wenn man mehrere Meßwerte zur Verf¨ugung hat, die sich um ganzzahlige (n) Vielfache der Eigenschwingungsdauer T unterscheiden. Es gen¨ugen zwei Werte, aber man kann auch mehr als zwei Amplituden auswerten und dann pr¨ufen, wie genau die Hypothese u¨ ber die viskose D¨ampfung erf¨ullt ist. Die relative D¨ampfung ψ gibt den relativen mechanischen Energieverlust pro Schwingungsperiode an. Sie ist proportional der von der Hysteresekurve w¨ahrend eines vollen Zyklus umschlossenen Fl¨ache und folgt direkt aus der Auswertung der Hysteresekurve, wenn diese bei harmonischer Wegerregung q = qˆ sin Ω t aufgenommen wird. Infolge eines nichtlinearen Material- oder Bauteilverhaltens f¨uhrt eine harmonische Bewegung bereits zu einer nichtharmonischen Belastung. Noch kompliziertere Zusammenh¨ange existieren bei nichtharmonischer (z. B. periodischer) Wegerregung, vgl. z. B. die Hysteresekurven in Abschn. 3.4.2.3. Die Messung des Verlustwinkels δ ist relativ schwierig und liefert meist ungenaue Werte, da dieser Winkel klein und nicht auf mehrere Ziffern genau bestimmbar ist. Die Auswertung erzwungener Schwingungen liefert in Resonanzn¨ahe relativ genaue Aussagen f¨ur den D¨ampfungsgrad D. Um m¨oglichst genaue Werte zu erhalten, wurde schon in [219] vorgeschlagen, nicht die H¨ohe der Resonanzspitze (die umgekehrt proportional zu 2D ist) auszumessen, sondern die Breite der Resonanzkurve bei den angegebenen Frequenzen.

214

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Ausschwingversuch

Tabelle 3.7 Elementare Methoden zur Ermittlung der D¨ampfungsparameter Kenngr¨oße

Herkunft, geometrische Gr¨oße

Logarithmisches D¨ampfungsdekrement   1  q(t0 )  Λ = ln  n q(t0 + nT ) 

Abklingkurve

q (1)

t0 t 0 + 2T

t 0 +T

Zeit t Relative D¨ampfung ψ =

Erzwungene harmonische Schwingung

T = 2π / ω

T

q0

∆W W

Hysteresekurve

F F$ F sin δ

(2)

kq 1 W = kq$ 2 2

q$

∆W

Verlustwinkel d Ω qˆ ≈δ sin δ = Fˆ

Weg q

Zeitverlauf (3)

F$ sin Ω t q$ sin(Ω t −δ)

F, q

Zeit t δ/Ω

D¨ampfungsgrad aus Halbwertsbreite f − f1 D= 2 2 f0

(4)

Resonanzkurve q$ q$ max

q$ max 2

f1 f 2 Frequenz f f

Parameterwerte

0

D¨ampfungsgrad d D= √ 2 km

Berechnungsmodell

m

(5)

q

k d

215

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

Die beim Ansatz in Gl. (3.74) getroffenen Voraussetzungen und die in Tabelle 3.8 genannten Beziehungen sind selten genau erf¨ullt, weil die reale D¨ampfung kaum der Gl. (3.74) gehorcht. Die Linearit¨at der entstehenden Differentialgleichungen erlaubt eine bequeme mathematische Behandlung, so daß man diese N¨aherung oft bevorzugt, obwohl man seit langem weiß, daß sich viele Materialien anders verhalten. Tabelle 3.8 Beziehungen zwischen D¨ampfungskennwerten δ

kψ 2π Ω

kδ Ω

ωΛ 2π

kψ 4π mΩ

kδ 2mΩ

D

Λ 2π

4π η

2η

2π D

Λ

ψ

πδ

β

D

D¨ampfungskonstante d

d

2mβ

2mω D

Abklingkonstante β

d 2m

β

ωD

D¨ampfungsgrad D (Lehrsches D¨ampfungsmaß) Logarithmisches D¨ampfungsdekrement Λ

d √ 2 km

ω

πd

2π β

mω

ω

β

Λ

ψ

d

mω Λ π

ψ

2η

Relative D¨ampfung ψ

2π Ω d k

4π mΩ β k

4π η D

2η Λ

ψ

Verlustwinkel δ

Ωd k

2mΩ β k

2η D

ηΛ π

2π

ψ

δ

η

2π δ δ

F¨ur den Schwinger mit einem Freiheitsgrad ist in Lehrb¨uchern beschrieben, welcher Zusammenhang zwischen der Koordinate q und der Erregerkraft F bei harmonischer Belastung besteht, vgl. z. B. [101], [150], [191], [202], [231], [232], [344], [349]. Es haben sich mehrere Parameter zur Beschreibung der D¨ampfung eingeb¨urgert. Unter der Annahme, daß das Berechnungsmodell ein linearer Schwinger mit einem Freiheitsgrad ist, gelten die in Tabelle 3.8 angegebenen Zusammenh¨ange zwischen logarithmischem D¨ampfungsdekrement Λ , D¨ampfungsgrad D, relativer D¨ampfung ψ und D¨ampferkonstante d [315]. Einige h¨aufig benutzte Ans¨atze zur Erfassung der D¨ampfungskraft, die nur einen einzigen oder zwei Parameter ber¨ucksichtigen, sind in Tabelle 3.9 angegeben. Diese Ans¨atze sind f¨ur beliebige station¨are Bewegungen brauchbar, d. h. auch zur Berechnung der D¨ampfungskr¨afte, die bei periodischen (nichtharmonischen) Bewegungen auftreten. Die gezeigten Hysteresekurven ergeben sich bei der station¨aren Erregung gem¨aß q = qˆ sin Ω t, aber bei anderen Zeitverl¨aufen ergebe sich andere Hysteresekurven, andere Hysteresefl¨achen und ein anderes D¨ampfungsverm¨ogen. Innerhalb der vertikalen Geraden, die bei einigen Hysteresekurven auftreten, in denen q˙ = 0 ist, stellt die Kraft FD eine Reaktionskraft dar. Man beachte die unterschiedlichen Abh¨angigkeiten des relativen Energieverlustes pro Periode (der relativen D¨ampfung) von den Parametern – dies liefert einen Anhaltspunkt zur Auswahl des zweckm¨aßigen Berechnungsmodells.

216

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Tabelle 3.9 Beispiele f¨ur ein- und zweiparametrige D¨ampfungsans¨atze

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

217

Die relative D¨ampfung ψ ergibt sich bei harmonischer Wegerregung eines Bauteils im station¨aren Zustand aus der Hysteresekurve, vgl. die Gln. in Tabelle 3.9. Aus den angegebenen D¨ampfungsans¨atzen (1), (3), (5) bis (13) folgen die Formen der dazu gezeichneten Hysteresekurven und die Ausdr¨ucke in den Gln. (2), (4), (6) bis (14), die f¨ur die relative D¨ampfung gelten. Man kann unter Beachtung des a¨ quivalenten D¨ampfungsverm¨ogens die D¨ampfungsparameter aller Ans¨atze ineinander umrechnen, wenn man die relative D¨ampfung ψ gleichsetzt, also auch in die Parameter eines linearen Schwingers, vgl. Tabelle 3.8. In manchen Publikationen (z. B. [197], [238]) wird der Ansatz mit der komplexen D¨ampfung empfohlen, weil er gegen¨uber der viskosen D¨ampfung angeblich den Vorteil hat, daß er nicht nur bei harmonischen, sondern auch √ bei periodischen Schwingungen anwendbar ist. Man kann zeigen, daß (mit j = −1) der Ansatz F = (k + jk∗ )q

(3.75)

eine von der Geschwindigkeit unabh¨angige Hysteresekurve liefert, die dem Ansatz d∗ q˙ (3.76) Ω bei harmonischer Erregung mit der Kreisfrequenz Ω entspricht, wenn k∗ = d ∗ ist, vgl. auch Abschn. 6.6 in [150]. Damit entsteht eine elliptische Hysteresekurve, und man kann mit Gl. (2) in Tabelle 3.9 mit d = d ∗ /Ω die Umrechnung in die relative D¨ampfung vornehmen, die dann nicht mehr frequenzabh¨angig wird. Der Unterschied zum Ansatz von S OROKIN, der auch zu einer elliptischen Hysteresekurve f¨uhrt, vgl. Gl. (7) und Gl. (8) in Tabelle 3.9, besteht darin, daß bei dem linearen Ansatz von Gl. (3.75) oder (3.76) die Resonanzamplitude bei erzwungenen harmonischen Schwingungen der Erregerkraftamplitude proportional ist, w¨ahrend sie bei dem nichtlinearen Ansatz von Gl. (7) die Resonanzamplitude nur mit der Wurzel aus der Kraftamplitude zunimmt. Der Ansatz (3.75) ist ebenso wie der Ansatz (3.76) nur f¨ur harmonische Belastungen brauchbar. Von S. C RANDALL wurde bereits im Jahre 1962 bewiesen [241], daß der komplexen D¨ampfung gem¨aß Gl. (3.75) kein kausales Verhalten des Werkstoffs entspricht, also z. B. mit diesem Ansatz zwar mathematische L¨osungen gewonnen werden, die aber physikalisch uninteressant sind, weil die Wirkung (Schwingantwort) zeitlich vor(!) der Ursache (Schwingungserregung) auftritt. Berechnungsmodelle mit linearen und nichtlinearen Kraftgesetzen, die mehrere Parameter enthalten, sind z. B. in [16], [268] und f¨ur das Verhalten elastischer Kupplungen in [20], [235] ver¨offentlicht. Die Beachtung des nichtlinearen Verhaltens der realen D¨ampfung wird vor allem in den Arbeiten [84] und [252] betont, vgl. auch [246]. F = kq +

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.1 Anlaufvorgang eines Antriebs mit Asynchronmotor Bei der Auslegung von Antriebssystemen mit Asynchronmotoren ist die dynamische Analyse mit spezifischen Programmen f¨ur die Simulation zu empfehlen, vgl. Tabelle 2.1. Derartige Software st¨utzt sich u. a. auf mathematische Modelle, die das dynamische Verhalten der Asynchronmotoren beschreiben. Die Dimensionierung der Motoren, Getriebe, Wellen und Kupplungen kann damit unter Ber¨ucksichtigung sowohl der technologischen Belastungen als auch der aus den mechanisch-elektrischen Wechselwirkungen innerhalb des Asynchronmotors entstehenden Antriebsmomente ermittelt werden, zu denen die Lastf¨alle Anlassen, Bremsen, Fehlsynchronisation oder Kurzschluß (2- oder 3-polig) geh¨oren.

a)

b) Bild 4.1 Antriebsstrang eines L¨ufterantriebs a) Simulationsmodell von ITI
-SIM [302] b) Kupplungsmoment beim ungesteuerten Hochlauf

220

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Im folgenden wird der Hochlauf eines L¨ufterantriebs analysiert, wobei f¨ur den Asynchronmotor auf das in Abschn. 3.4.3 behandelte Motormodell und die Ausf¨uhrungen in [292] zur¨uckgegriffen wird. Bild 4.1 zeigt den Antriebsstrang eines L¨ufterantriebs, dessen Minimalmodell f¨ur die Torsionsschwingung aus einer starren Drehmasse f¨ur Motor und L¨ufter, einer masselosen nichtlinearen Torsionsfeder f¨ur die Kupplung und der dynamischen Kennlinie des Asynchronmotors besteht. Als Parameterwerte sind bekannt: • Motor: P = 2 260 kW n = 1 480 U/min MA /Mn = 1,7 MK /Mn = 2,1 JR = 64,7 kg · m2

Nennleistung Nenndrehzahl relatives Anlaufmoment relatives Kippmoment Tr¨agheitsmoment des Rotors

• Kupplung: M = 39 kN · m Nennmoment kT = 20 . . . 35 MN · m/rad Drehfedersteifigkeit (Nichtlinearit¨at gem¨aß internem Modell) ψ =1 relative D¨ampfung • L¨ufter: ML = 0,5(Ω /s−1 )2 N · m Lastmoment JL = 990 kg · m2 Tr¨agheitsmoment Aus den Katalogdaten des Motorherstellers werden aufgrund der in [129] beschriebenen Zusammenh¨ange die Parameterwerte des elektrischen Motormodells programmintern bestimmt [302]. Die Eigenfrequenz dieses Torsionsschwingers ist infolge der nichtlinearen Torsionsfeder belastungsabh¨angig und liegt im Bereich von f = 100 . . . 160 Hz, also weit oberhalb der Netzfrequenz von 50 Hz, so daß das Resonanzgebiet nicht durchlaufen wird und (bei dem aus rein mechanischer Sicht dynamisch unterkritischem Belastungsfall) nichts Gef¨ahrliches“ passieren d¨urfte. ” Es soll gepr¨uft werden, ob infolge der beim Anlauf auftretenden Wechselwirkung des elektromagnetischen Systems mit dem mechanischen Antriebssystem das zul¨assige Moment der Kupplung u¨ berschritten wird. Die Simulation des ungesteuerten Hochlaufs liefert den Verlauf des Kupplungsmoments entsprechend Bild 4.1b. Dabei treten gleich zu Beginn intensive Schwingungen mit der Netzfrequenz von 50 Hz auf, und die Spitzenwerte des Moments in der Kupplung betragen mehr als 120 kN · m. Die infolge der elektrischen Ausgleichsvorg¨ange nach dem Einschalten des Motors entstehenden Schwingungen klingen etwa nach zwei Sekunden ab. Man erkennt in diesem Bild, daß der weitere Hochlauf auf der statischen Motorkennlinie stattfindet. Die elektrische Hochlaufsteuerung ist in Bild 4.2a links im Bild angedeutet. Sie besteht aus einer U- f -Steuerung, bei der die elektrische Spannung U und die Frequenz f proportional ge¨andert werden, infolge dessen sich die Motorkennlinie proportional verschiebt. Bei diesem gesteuerten Hochlauf betr¨agt die Speisefrequenz des

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

221

¨ Motors beim Einschalten 5 Hz. Sie nimmt mit einer Anderungsgeschwindigkeit von 5 Hz/s bis auf 50 Hz zu. Die Speisespannung steigt bei dem Beispiel proportional zur Frequenz an, so daß die Nennspannung bei Nennfrequenz erreicht wird.

a)

b) Bild 4.2 Antriebsstrang des L¨ufterantriebs a) Simulationsmodell von ITI
-SIM [302] b) Kupplungsmoment beim gesteuerten Hochlauf

An dem Momentenverlauf in Bild 4.2b sieht man, daß w¨ahrend des Hochlaufvorganges innerhalb der ersten zwei Sekunden das Spitzenmoment unter 25 kN · m verbleibt, also wesentlich unter demjenigen des ungesteuerten Hochlaufs und unter dem Nennmoment der Kupplung, das hier bei etwa 30 kN · m liegt, vgl. Bild 4.1b. Dieses Beispiel lehrt, daß man derartige Antriebe nicht ungesteuert anlaufen las¨ sen darf, wenn man Uberlastungen der mechanischen Baugruppen des Antriebsstranges vermeiden will.

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang Ein typisches Beispiel f¨ur ein komplexes Antriebssystem ist der FahrzeugAntriebsstrang mit Ber¨ucksichtigung des Motors als elastisches Teilsystem sowie des weiteren Strangs mit Kupplung, Getriebe, Gelenkwelle, Differentialgetriebe, Seitenwellen und Rad/Reifen. Die Entwicklung eines Simulationsmodells wird in

222

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

[290] beschrieben, wobei auch auf die vielf¨altige Literatur dazu eingegangen wird. Aus der Sicht der Regelungstechnik wird diese Problematik in Verbindung mit einem Motorenpr¨ufstand in [264] behandelt. Zur Minimierung von Schwingungen (und damit auch zur Reduzierung von L¨arm) werden in Fahrzeugen mit mechanischen Schaltgetrieben so genannte Zwei” Massen-Schwungr¨ader“ (ZMS) eingesetzt, die einen wesentlichen positiven Einfluß auf das Gesamt-Eigenverhalten des Antriebssystems haben, vgl. [288], [337].

Bild 4.3 Fahrzeug-Antriebsstrang, Simulationsmodell von ARLA
-SIMUL [213], [301] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad (ZMS), b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

Bild 4.3a zeigt ein entsprechendes Schwingungsmodell mit allen Drehmassen und Drehsteifigkeiten als unverzweigtes-unvermaschtes System (hinterachsgetriebenes Fahrzeug mit durchgeschaltetem 4. Gang). Mit den in Tabelle 4.1 angegebenen Parameterwerten erfolgte die modale Analyse [213], deren Ergebnisse in Bild 4.4 dargestellt sind. Anhand der ersten Eigenfrequenzen und Schwingungsformen lassen sich die typischen maschinendynamischen Eigenschaften erkennen. Durch Vergleich der Amplituden-Verteilung der Eigenformen (ϕ ki ) mit den Parameterwerten multiplizierten Sensitivit¨atskoeffizienten kann man die physikalischen Ursachen deuten.

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

223

Tabelle 4.1 Parameterwerte des Antriebsstranges von Bild 4.3 k

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Drehmasse Jk in 10−3 kg · m2 a) b) 4 1 10 10 10 10 215 115 0,28 115 4,25 2,5 6,5 2,4 32,5 2,37 1 700 124,1 65 000 4 748

Drehfederkonstante kTk in 104 N · m/rad a) b) 2 9 45 45 45 50 0,16 0,06 0,90 6 0,9 0,9 0,75 5,48 1 0,07 4 0,29 — —

Gesamt¨ubersetzung u a), b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3,7 3,7 3,7

 auf Hauptwelle reduzierte Werte

Es ist deutlich erkennbar, daß das Subsystem Motor“ vom restlichen Schwin” gungssystem zwischen Schwungrad und Fahrzeug-Ersatzmasse dynamisch entkoppelt ist. Hieraus l¨aßt sich beispielsweise auch die Reduktion der elastischen Substruktur Motor“ auf eine einzige Masse als starre“ Substruktur rechtfertigen, wenn das ” ” Antriebssystem selbst nicht analysiert werden soll, denn der Motor verh¨alt sich bei den niederen Formen wie ein rotierender starrer K¨orper. Weiterhin ist vom Standpunkt der Modellbildung interessant und aus Bild 4.4b ersichtlich, daß • die Fahrzeugmasse (J15 ) infolge ihrer großen Tr¨agheit nicht an den Schwingungen beteiligt ist und wie eine Einspannstelle wirkt, • vor allem die zweite Eigenform durch das Zwei-Massen-Schwungrad (ZMS) stark beeinflußt wird (Relativdrehung zwischen Scheibe 7 und 8), • sich alle Eigenfrequenzen infolge des ZMS (Zusatzmasse, kleinere Drehfeder) partiell abgesenkt haben, vgl. fi des Systems a mit fi+1 des Systems b • die h¨oheren Eigenformen durch das ZMS wenig beeinflußt werden, vgl. die Formen ϕ i des Systems a mit ϕ i+1 des Systems b, • die erste Eigenform durch die weichsten Federn (k7 , k13 ) und die große Schwungmasse (J7 ) bedingt ist, • daß erst ab etwa 290 Hz das Eigenverhalten des Vierzylindermotors von Bedeutung ist In Bild 4.4 wurde die (theoretisch erste Eigenform, die) Starrk¨orperdrehung nicht mit dargestellt. Das Bild zeigt auch, daß die grafische Darstellung von der Normierungsbedingung abh¨angt, denn nur weil deren Vorzeichen vertauscht wurden, sieht z. B. ϕ k1 in Bild 4.4a und 4.4b anders aus.

224

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Bild 4.4 Eigenfrequenzen fi , Eigenformen ϕ ki und Produkte von Parameterwerten mit Sensitivit¨atskoeffizienten der kinetischen (µ ik ) und potentiellen Energie (γ ik ) zu Bild 4.3 a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad [213], [301]

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

225

Es interessiert das dynamische Verhalten eines verzweigten Fahrzeugantriebs mit Ber¨ucksichtigung einer spielbehafteten Getriebestufe (im unbelasteten Antriebszweig). Der im Bild 4.5 vorgestellte Torsionsschwinger l¨aßt sich aufgrund der Komplexit¨at (verzweigte Struktur, Spiele in den beiden Getriebestufen) bevorzugt mit Hilfe moderner Simulationsprogramme berechnen [215], [264], [337]. Das Berechnungsmodell von Bild 4.3 wurde um periodische Erregermomente an den vier Zylindern und um die spielbehaftete Vorgelegewelle erweitert.

Bild 4.5 Fahrzeug-Antriebsstrang mit Vorgelegewelle, belastet durch periodische Motormomente, vgl. Bild 4.3 [213], [301] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

In den beiden Versionen ohne bzw. mit ZMS wurde das dynamische Verhalten im Zeitbereich mit der Simulationssoftware ARLA
-SIMUL [213] analysiert. Da die Drehzahl proportional mit der Zeit monoton ansteigt, ist die Zeitabh¨angigkeit auch gleichzeitig die Drehzahlabh¨angigkeit. Die Ergebnisse (Zeitverl¨aufe sowie Amplituden im Frequenzbereich) sind Bild 4.6 und Bild 4.7 zu entnehmen. Es erfolgte die Simulation eines Hochlaufs von der Drehzahl Null bis zu 1 200 min−1 innerhalb von 7 Sekunden. Bild 4.6 zeigt, daß der Fahrzeugantriebs-

226

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Bild 4.6 Mit ARLA
-SIMUL berechnete Zeitverl¨aufe des Moments M16 (Vorgelegewelle) gem¨aß Bild 4.5 [213] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

strang im Drehzahlbereich unterhalb der Leerlaufdrehzahl resonanzf¨ahig ist (besonders das System mit ZMS). Erst oberhalb der Leerlaufdrehzahl wirkt das ZMS vorteilhaft (Minimierung und Quasi-Abkopplung“ der Motorzwangsanregung, ” ¨ keine Resonanzen). Das System ohne ZMS zeigt deutlich eine Uberh¨ ohung im Momentenverlauf aufgrund der Motorzwangsanregung bei der Grundfrequenz von etwa 6 Hz. Bei dem System mit ZMS zeigt sich auch bei der zweiten Eigenfrequenz von 16 Hz eine Resonanzspitze, vgl. Bild 4.4 und Bild 4.6b. Außerdem ist in den Plots ein anderes Ph¨anomen erkennbar: Im tiefen Drehzahlbereich (normalerweise immer unterhalb der Leerlaufdrehzahl) ist die ZMS-Version sogar st¨arker resonanzgef¨ahrdet als der konventionelle Strang; jedoch werden die Amplituden in h¨oheren Drehzahlregionen erheblich geringer (d. h. akustisch g¨unstig abgestimmtes System). Ein besonders u¨ bersichtliches Ergebnis, quasi eine Kombination der Ergebnisse im Zeit- und Frequenzbereich, ist in Bild 4.7 dargestellt. Die DrehmomentAmplituden werden vergleichbar mit der Darstellung von geographischen H¨ohen auf Landkarten in Abh¨angigkeit von der Zeit sowie der Frequenz aufgetragen. Die maximale Amplitude der ZMS-Antriebsstrang-Konfiguration ist oberhalb der Leerlaufdrehzahl nur ca. 20 % von der Amplitude f¨ur die Konfiguration ohne ZMS. Dar¨uber hinaus ist dieses Maximum“ bei erheblich kleineren Drehzahlen vorzufin” den, was wiederum f¨ur die Praxis ein Vorteil bez¨uglich der Entwicklung des L¨arms bedeutet.

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

227

Bild 4.7 Amplitudenkarte des Campbell-Diagramms f¨ur das Moment M16 im Fahrzeugmodell nach Bild 4.5; Rechenergebnisse mit ARLA
-SIMUL [213] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

Solche numerischen Simulationen k¨onnen erheblich zur rechnergest¨utzten, praxisrelevanten Optimierung von komplexen Antriebssystemen beitragen. Die Ordnungsgeraden des Campbell-Diagramms und die Resonanzkurve sind hierbei in einem Diagramm zusammengefaßt. Je tiefer die Schw¨arzung der Fl¨ache ist, desto gr¨oßer sind die Amplituden. Hier in Bild 4.7 dominiert die zweite ErregerHarmonische, aber auch die Ausl¨aufer der ersten und vierten Erregerharmonischen sind erkennbar. Weitergehende Systembetrachtungen von Fahrzeugantriebsstr¨angen – auch im Hinblick einer akustischen Optimierung des dynamischen Gesamtverhaltens – werden in der Literatur eingehend vorgestellt [217].

228

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang 4.3.1 Allgemeine Problemstellung Kupplungen sind oft die wesentlichen Teile eines Antriebsstranges, die dessen dynamisches Verhalten entscheidend bestimmen. Genau genommen m¨ußte man entsprechend der Vielfalt der Bauarten, die aus den verschiedenen Aufgabenstellungen (z. B. Ausgleich von radialem, axialem oder Winkelversatz, linear oder nichtlinear ¨ jede Kupplungsbauart ein spezifisches maschinendynaelastisch u. a.) folgt, fur misches Berechnungsmodell verwenden, vgl. z. B. [20], [216], [238], [240], [256], [306], [337]. Tabelle 3.2 charakterisiert einige Beispiele lediglich mit eindimensionalen“ ” Kennlinien, welche das Torsionsmoment betreffen. Es m¨ussen in Wirklichkeit aber oft ebene oder sogar r¨aumliche Modelle ber¨ucksichtigt werden, um das wesentliche Verhalten zu erfassen. Hier fehlt f¨ur so eine detailliertere Erl¨auterung der Raum, aber an einigen Beispielen soll auf die Modelltiefe“ hingewiesen werden, die ” gelegentlich erforderlich ist. Eine Kupplung ist oft nicht nur das weichste Element innerhalb eines Antriebsstranges, welches die tiefsten Torsionseigenfrequenzen bestimmt, sondern auch die Ursache einer Schwingungserregung. Ist die Kupplung das einzige weiche“ Element ” im Antriebsstrang, so ist f¨ur die Berechnung im niederen Frequenzbereich oft das Zweimassensystem als Minimalmodell geeignet. Dynamische Belastungen in einem Antriebssystem kann man durch den Einbau einer Kupplung vermindern, wenn eine Abkopplung der a¨ ußeren Erregung erreicht wird, vgl. auch Abschn. 4.3.3. Dies ist durch eine Ab¨anderung der Eigenformen m¨oglich, z. B. mit den Methoden der in Abschn. 2.5.1 beschriebenen Sensitivit¨atsanalyse oder im Hinblick auf die Erregungen mit der Analyse der Anregbarkeit gem¨aß Abschn. 5.2. Dazu ermittelt man die Sensitivit¨atskoeffizienten, vgl. auch Gl. (2.370): • µ ik – Einfluß der k-ten Drehmasse auf die i-te Eigenfrequenz, • γ ik – Einfluß der k-ten Drehfeder auf die i-te Eigenfrequenz und • die Matrix, die in Abschn. 2.5.1.2 f¨ur einen Torsionsschwinger erl¨autert wurde. Die µ ik definieren die spezifische kinetische Energie der k-ten Drehmasse und geben durch ihre Gr¨oße zu erkennen, welche Drehmasse welche Eigenfrequenz wie beeinflußt, vgl. Bild 4.4. Analog kennzeichnen die γ ik die spezifische potentielle Energie der Wellenabschnitte und weisen durch ihre Gr¨oßen darauf hin, wie sich die Modifikation der Drehfedersteifigkeiten auf die Verschiebung der Eigenfrequenzen auswirkt. Zur Bewertung der Eigenformen kann man die Matrizen R berechnen, deren Elemente den Einfluß des k-ten Parameters auf die i-te Eigenform erfassen, vgl. Gl. (2.364). Kennt man den Zeitverlauf der Erregermomente, so kann man auch die modalen Anregungsfaktoren wi berechnen, die den spezifischen Anteil der in die i-te Eigenform fließende Erregerarbeit abh¨angig vom Zeitverlauf der Erregerkr¨afte quantitativ bewerten, vgl. Gl. (5.8) und Abschn. 5.2.1.

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

229

Praktische Probleml¨osungen in Verbindung mit der Auslegung von Kupplungen bei großen Anlagen behandeln z. B. die Arbeiten [56], [216], [352] und [360]. In [56] wird empfohlen, die Torsionsgrundschwingung von Mahlanlagen (Kugelm¨uhlen, Rollenpressen, Vertikalm¨uhlen) durch den Einsatz drehelastischer Wellen und Kupplungen in den Bereich zwischen 5 bis 10 Hz zu legen, da die Frequenzspektren ” des Mahlvorganges die st¨arksten Amplituden zwischen 10 und 30 Hz aufweisen“. Aus der modalen Anregbarkeitsanalyse w¨urde sich nach l¨angerer Rechnung dieselbe Schlußfolgerung ergeben, vgl. Abschn. 5.2. Die Beurteilung des dynamischen Verhaltens eines Antriebsstranges erfordert oft eine genaue Modellierung des Steifigkeits- und D¨ampfungsverhaltens der nachgiebigen Kupplungen. In der DIN 740-2 (Nachgiebige Wellenkupplungen. Begriffe und Berechnungsgrundlagen, August 1986) werden am Betriebspunkt linearisierte Berechnungsmodelle empfohlen. F¨ur viele Kupplungen sind aber nichtlineare Berechnungsmodelle erforderlich, d. h., man erh¨alt qualitativ und quantitativ falsche Ergebnisse, wenn man bloß mit linearen Kupplungsmodellen rechnet. Dies gilt besonders f¨ur Einsatzf¨alle, wo eine Kupplung nach der ertragbaren Verlustleistung in der Resonanzstelle ausgelegt werden muß und die D¨ampfungsleistung das wesentliche Auslegungskriterium ist, vgl. [360]. 4.3.2 Lufterantrieb ¨ An einem L¨ufter, der durch einen frequenzgeregelten Asynchronmotor mit Umrichterbetrieb (VSD/AC-Motor, Leistung 2,2 MW) angetrieben wird, gab es Schadensf¨alle [216]. Urspr¨unglich war der Motor u¨ ber eine Ganzstahlkupplung (System ARPEX) mit dem Antrieb verbunden. Diese Kupplung ist drehsteif und kann den Axial-, Winkel- und Radialversatz ausgleichen. Bild 4.8 zeigt das Berechnungsmodell des L¨ufterantriebs, das zur Simulation dieses Antriebssystems verwendet wurde. Es besteht aus sechs Drehmassen und f¨unf Torsionsfedern. Die Kupplung wurde als Torsionsschwinger modelliert und der L¨ufter als starre Drehmasse, da die Eigenfrequenzen der Fl¨ugelbl¨atter im Vergleich zu denen des Torsionsschwingers sehr groß waren. Gem¨aß den Hinweisen in Tabelle 3.1 muß man bei diesem Antriebssystem mit periodischen Torsionsmomenten rechnen, deren Spektrum vor allem Harmonische mit einfacher, doppelter, 12- oder 24-facher Drehfrequenz (je nach Anzahl der Pole und Pulse des Elektromotors) enth¨alt. Hinzu kommen noch Einfl¨usse der Regelung und des L¨ufters, der in diesem Fall 10 Fl¨ugelbl¨atter hatte. Zur Problemgeschichte: 1. Bei der Inbetriebnahme dieses Antriebssystems brach die H¨ulse der urspr¨unglichen Kupplung ( K1“). Die Messung zeigte unzul¨assig große Torsionsschwin” gungen, in dem relativ breiten Drehzahlbereich von 300 bis 1 500 min−1 . 2. Nach dem Auswechseln der bisherigen Kupplung und dem Einbau einer steiferen Kupplung derselben Bauart ( K2“), die auch ein gr¨oßeres Nennmoment u¨ bertra” gen konnte, brach infolge starker Schwingungen die Motorwelle. 3. Aufgrund dieser Erfahrungen wurde eine RUPEX-ARPEX-Kupplungskombination ( K3“) eingesetzt, die eine geringere Torsionssteifigkeit und eine wesentlich ” st¨arkere D¨ampfung besaß. Danach traten im Betrieb keine wesentlichen Schwingungen mehr auf.

230

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Motor

Lamelle kT1

M

kT2

J2 J1

a)

Hülse

Lamelle

Welle

kT4

kT5

kT3

J3

J4

Lüfter

J5 J6

Ganzstahl-Kupplung

b)

µik J k

γ ik kTk

c) Bild 4.8 L¨ufterantrieb a) Berechnungsmodell, b) ARPEX-Kupplung (Kupplung K1“ [14]), c) Eigenformen ” und Eigenfrequenzen des L¨ufterantriebs mit Kupplung K1“ [216] ”

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

231

Die modale Analyse des Antriebssystems mit der urspr¨unglich eingebauten Kupplung K1“ lieferte die in Bild 4.9 dargestellten Eigenformen. Nach dem ” Einbau der zweiten Kupplung zeigte sich, daß sich die Eigenfrequenzen und Eigenformen fast nicht von denen der urspr¨unglichen Variante unterschieden. Die gr¨oßere Kupplung K2“ a¨ nderte am ung¨unstigen Schwingungsverhalten wenig. ”

a)

b) Bild 4.9 Drehmoment in der H¨ulse beim Hochlaufvorgang [216] a) urspr¨unglicher Einbauzustand mit Kupplung K1“ ” b) ver¨andertes Antriebssystem mit Kupplung K3“ ”

Die Simulation des Hochlaufvorganges (Hochlaufzeit 10 s) im Drehzahlbereich von 500 bis 1 400 min−1 erfolgte unter Ber¨ucksichtigung der h¨oheren (2., 10., 12., 24.) Erregerharmonischen. Es zeigte sich im Drehzahlbereich von 200 min−1 bis ¨ der ersten 400 min−1 ein erstes Resonanzgebiet, welches durch die Ubereinstimmung Eigenfrequenz mit der 10. und 12. Erregerharmonischen erkl¨arlich war (ω 1 ≈ kΩ ), vgl. Bild 4.9a. Dem Mittelwert des Drehmoments von etwa 15 kN · m waren in diesem Resonanzgebiet Schwingungen mit ca. 30 Hz mit einer Amplitude von etwa

232

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

15 kN · m u¨ berlagert. Die vom L¨ufter stammende 10. Harmonische verursacht Erregerfrequenzen im Bereich von 83 Hz bis 233 Hz, aber die zugeh¨orige Eigenform besitzt eine geringe modale Anregbarkeit. Dies erkennt man daran, daß dieser Torsionsschwinger an der Stelle des L¨ufters nur eine geringe Amplitude hat (vgl. Bild 4.8c), d. h., die vom L¨ufter kommenden Erregermomente verrichten keine große Erregerarbeit, vgl. Abschn. 5.2. Vermutlich war die 12. Harmonische des Motormoments dominierend. Im Bereich von 600 min−1 bis 1 100 min−1 gab es ein zweites Resonanzgebiet mit intensiveren Schwingungen, vgl. Bild 4.9. Es traten Momentenamplituden von etwa 53 kN · m auf, die zu Spitzenwerten bis etwa 68 kN · m f¨uhrten. Diese zweite ¨ Resonanzstelle entsprach der Ubereinstimmung der zweiten Erregerharmonischen −1 (850 min = 2 · 14,2 Hz = 28,4 Hz) mit der unteren Eigenfrequenz des Torsionsschwingers, vgl. Bild 4.9a. Nach dem Durchfahren des Resonanzgebietes oberhalb von etwa 1 150 min−1 verschwanden die intensiven Schwingungen wieder. F¨ur die Festigkeit der Kupplung waren diese Schwingungen deshalb besonders sch¨adigend, da sie eine hochfrequente Wechselbelastung in der Kupplung hervorriefen. Die L¨osung des Schwingungsproblems gelang durch den Einsatz einer elastischen stark d¨ampfenden Kupplungskombination RAK (RUPEX-ARPEX), vgl. Bild 4.10. Die erste Eigenfrequenz verringerte sich nur unwesentlich, und die Eigenformen a¨ nderten sich auch nicht wesentlich. Die Schwingungsanalyse mit dem in Bild 4.8a dargestellten Berechnungsmodell lieferte die in Bild 4.9b dargestellten Drehmomente beim Hochlauf, deren Spitzenwert nur noch etwa 25 kN · m betr¨agt. Dabei traten nur noch schwellende Belastungen und keine Wechselbelastungen mehr auf.

Bild 4.10 RUPEX-ARPEX-Kupplung (Kupplung K3“ [280]) ”

Bei den erzwungenen Schwingungen waren die Resonanzspitzen kleiner. Dies lag einerseits an der starken D¨ampfung der Kupplung K3“, die einen modalen ” D¨ampfungsgrad bei der ersten Eigenfrequenz von D1 = 0,088 zeigte, w¨ahrend die Kupplungen K1 und K2 nur etwa den D¨ampfungsgrad D1 = 0,010 besaßen. Da die Resonanzamplituden umgekehrt proportional zum D¨ampfungsgrad sind, ist deren Verminderung damit erkl¨arlich.

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

233

Mit dem erw¨ahnten in [216] beschriebenen Berechnungsmodell wurden mehrere ¨ Varianten berechnet und eine Ubereinstimmung von Rechen- und Meßergebnissen erzielt. Die Autoren dieser Untersuchung vermuteten, daß bei den Kupplungsvarianten K1 und K2 der Regler und das mechanische System nicht gut aufeinander abgestimmt waren. Durch die Ber¨ucksichtigung der Wechselwirkung zwischen elektrischen und mechanischen Schwingungen konnte das Antriebssystem des L¨ufters umfassender beurteilt werden. Es kann aber auch sein, daß infolge der u¨ berlagerten hochfrequenten Schwingungen, die beim Hochlauf auftreten, der (selten beachtete) nichtlineare Effekt die Amplituden vergr¨oßerte, der in Abschn. 3.4.2.3 beschrieben ist [84]. 4.3.3 Druckmaschine Die Beherrschung des Schwingungsverhaltens der Antriebssysteme von Druckmaschinen hat mit den Anforderungen an Druckqualit¨at und Produktivit¨at in den vergangenen Jahren immer mehr an Bedeutung gewonnen. Die Ausf¨uhrungen in diesem Abschnitt st¨utzen sich auf die Darstellung und das Bildmaterial aus [352], bei der es um eine Druckmaschine geht, die bis etwa 18 000 Bogen pro Stunde (Grunderregerfrequenz ist 5 Hz) arbeitet. Bild 4.11 zeigt das Schema einer Bogenoffsetdruckmaschine. Der Druckbogen wird am Anlegetisch vom Vorgreifer erfaßt und aus der Ruhelage auf die Umfangsgeschwindigkeit der Druckwerkzylinder beschleunigt. Danach durchl¨auft der Bogen alle Druckwerke, wo der Aufdruck der verschiedenen Farben nacheinander erfolgt. ¨ Das mehrfarbige Druckbild entsteht also durch den m¨oglichst paßgenauen Ubereinanderdruck der einzelnen Farbdrucke bei hoher Maschinengeschwindigkeit.

Anleger

Vorgreifer

Druckwerke

Ausleger

Druckzylinder

Bild 4.11 Bogenoffsetdruckmaschine

Die verschiedenen Zylinder einer Bogendruckmaschine m¨ussen sehr genau synchron rotieren, da bereits Reproduzier-Ungenauigkeiten von etwa 0,01 mm zu wahrnehmbaren Beeintr¨achtigungen der Druckqualit¨at f¨uhren. Bedenkt man, daß eine Bogendruckmaschine eine L¨ange bis zu 20 m haben kann und der Druckbogen sich infolge der Zugspannung und der feuchten Farbe dehnt, so ahnt man, wie schwierig es ist, eine so hohe Paßgenauigkeit zu erreichen. Außerdem ist dieses Antriebssystem mit den vielen rotierenden Zylindern, die durch Zahnr¨ader zwangl¨aufig gekoppelt sind, ein Torsionsschwinger mit vielen Freiheitsgraden. Er wird durch mehrere Mechanismen, die technologisch bedingte ungleichm¨aßige Bewegungen ausf¨uhren

234

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

(z. B. durch das am Anfang befindliche Vorgreifergetriebe) periodisch erregt, so daß auch infolge von Schwingungen Winkeldifferenzen zwischen den Druckzylindern entstehen. Es hat sich herausgestellt, daß die klassische Forderung, daß die Schwingungs” amplituden stets kleiner sein m¨ussen als der Grenzwert der Reproduziergenauigkeit“, nicht erf¨ullbar ist. Man muß sich auf die minimale verarbeitungstechnische Anforderung beschr¨anken: die Wiederholgenauigkeit des sogenannten Passers. Aus der Sicht der Dynamik bestehen folgende Anforderungen an das Antriebssystem: • Minimierung der Winkeldifferenzen in solchen Zylindern des Antriebssystems, die das Druckbild tragen, ¨ • Vermeidung von solchen Anderungen des Drehmoments, die an spielbehafteten Stellen im Antriebssystem einen Vorzeichenwechsel aufweisen. Als Berechnungsmodell wird ein diskretes verzweigtes System mit 11 Freiheitsgraden benutzt, vgl. Bild 4.12. Es besteht aus einem R¨aderzug, von dem aus die Druckwerke DW 1 bis DW 6 und der Ausleger synchron angetrieben werden, sowie aus einer L¨angswelle, die an der Stelle KRS (Keilriemenscheibe) des Antriebsstranges verzweigt und in die Druckwerke DW 1 und DW 4 ein Antriebsmoment einleitet, um die freie Torsionsl¨ange des Antriebsstranges zu verk¨urzen. Die Eigenfrequenzen des Systems mit L¨angswelle liegen oberhalb desjenigen ohne L¨angswelle. Der Antrieb am Wellenende beim Druckwerk DW 1 w¨urde die niedrigsten Eigenfrequenzen und die h¨ochste Anregbarkeit der Torsionsschwingungen bedeuten. In [352] wird auch ein Antrieb nur u¨ ber das Druckwerk DW 3 diskutiert. Es zeigt sich, daß die zus¨atzliche Einspeisung eines Drehmoments am Druckwerk DW 4 eine wesentliche Versteifung bedeutet. Wie problematisch die Bestimmung der Modellparameter ist, wird in [352] am Beispiel der Drehsteifigkeit eines Stirnradpaares erl¨autert, vgl. auch Abschn. 3.4.1. Nach DIN 3990, Teil 1 ergibt sich eine theoretische Zahnsteifigkeit von kT = 11,0 · 107 N · m/rad, aber der richtige Wert lag bei kT = 1,4 · 107 N · m/rad! Dies hat wesentliche Auswirkungen auf die Vorausberechnung der Eigenfrequenzen. Der Unterschied kommt dadurch zu Stande, daß in Wirklichkeit die Biegung der Zylinderzapfen und die Plattenbiegung der Stirnr¨ader eine nicht vernachl¨assigbare Nachgiebigkeit bedeutet. Bei der Simulation werden die Eigenfrequenzen (zu erwartende Resonanzdrehzahlen), die Eigenformen (Bewertung der Anregbarkeit und Sensitivit¨at) und auch die erzwungenen Schwingungen berechnet. Die Aufgabe bestand darin, zu pr¨ufen, wie eine elastische Kupplung zwischen dem Motor des Hauptantriebs und der Druckmaschine das Schwingungsverhalten beeinflußt. Es erfolgte eine rechnerische Modalanalyse f¨ur das ged¨ampfte Schwingungssystem. Die erste Eigenfrequenz ist Null, da sich das Antriebssystem dabei wie ein Starrk¨orpersystem dreht. Bild 4.12 zeigt Eigenschwingformen einer 6-FarbenBogenoffsetdruckmaschine, f¨ur welche die Eigenfrequenzen fi und die modalen D¨ampfungsgrade Di angegeben sind. Man sieht in Bild 4.12a, daß der Schwingungsknoten der zweiten Eigenform zwischen den Druckwerken DW 3 und DW 4 und bei der dritten Eigenform (Bild 4.12b) zwischen DW 4 und DW 5 liegt, d. h., die Druckwerke schwingen vor und hinter dem Knoten in verschiedenen Phasenlagen, also gegensinnig zueinander. F¨ur die Farb¨ubertragung ist das ung¨unstig, da die Relativwege dann groß sind. Mit dem

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

235

Räderzug DW_1

a) KRS

DW_2

DW_3

Getr_1

DW_4

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

Getr_4

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

b) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

c) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

d) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Bild 4.12 Eigenformen der 6-Farben-Druckmaschine [352] a) mit starrer Kupplung, zweite Eigenschwingform ( f2 = 18,88 Hz; D2 = 0,041 6) b) mit starrer Kupplung, dritte Eigenschwingform ( f3 = 26,93 Hz; D3 = 0,035 7) c) mit elastischer Kupplung, zweite Eigenschwingform ( f2 = 11,76 Hz; D2 = 0,022 2) d) mit elastischer Kupplung, dritte Eigenschwingform ( f3 = 21,64 Hz; D3 = 0,052 9)

Einbau einer elastischen Kupplung zwischen Motor und Antriebsstrang ergeben sich die in Bild 4.12c und d dargestellten Eigenformen und Eigenfrequenzen. Die Eigenfrequenzen des Antriebssystems werden durch die elastische Kupplung abgesenkt, und die Eigenformen a¨ ndern sich ebenfalls. An der zweiten Eigenform kann man erkennen, daß an der Stelle KRS, wo die elastische Kupplung eingebaut wurde, ein Schwingungsknoten entsteht. Der Motor schwingt dabei in Gegenphase zum gesamten anderen Teil des Antriebssystems. Die zweite Eigenschwingungsform ist im Bereich jenseits der elastischen Kupplung quasi die Starrk¨orperform aller u¨ ber den R¨aderzug miteinander gekoppelten Druckwerke, d. h., es treten nur geringe Relativwege zwischen den Druckwerken auf. Die st¨orenden Relativwege der Druckwerke sind deutlich kleiner als bei den Eigenformen in Bild 4.12a. Durch eine g¨unstige Wahl der Drehsteifigkeit der elastischen Kupplung l¨aßt sich dieses dynamisch

236

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

g¨unstige Verhalten erreichen. Die dritte Eigenform (Bild 4.12d) hat zwar auch wieder einen Schwingungsknoten in der N¨ahe des Druckwerkes DW 4, aber in diesem Falle sind die Amplituden an der Stelle des Motors sehr gering. Die Anregung dieser Eigenform ist durch die dynamischen Momentenkomponenten des Motors wesentlich kleiner als bei der dritten Eigenform mit starrer Kupplung, vgl. Bild 4.12b und 4.12d. Die in [352] dargestellten Berechnungsergebnisse f¨ur die erzwungenen Schwingungen zeigen, daß bei der Konstruktion mit L¨angswelle wesentlich kleinere Schwingungsamplituden auftraten als bei dem Antriebssystem ohne L¨angswelle. Mit Hilfe des L¨angswellenkonzepts gelang es unter Benutzung der elastischen Kupplung, den Spitze-Spitze-Wert des aus den erzwungenen Schwingungen resultierenden dynamischen Torsionsmomentes von 217 N · m auf 79 N · m bei der Betriebsdrehzahl von 13 000 Bogen/Stunde zu senken. Damit war die Gefahr des Abhebens der Zahnflanken gebannt und die geforderte Passergenauigkeit auch bei hohen Druckgeschwindigkeiten erreichbar, da die technologischen Momente, bedingt durch die rheologischen Eigenschaften der Druckfarben im Farbwerk, eine st¨andige Vorspannung sichern.

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen 4.4.1 Schwingungsursachen Typisch f¨ur viele Verarbeitungsmaschinen, Landmaschinen und Umformmaschinen ist die zyklische Arbeitsweise der in ihnen eingesetzten ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Getriebe (Mechanismen). Die Mechanismen erweisen sich oft als die Baugruppen, welche die Drehzahl einer Maschine begrenzen, weil sie zu L¨arm, erh¨ohtem Verschleiß, unzul¨assigen Antriebs- oder Gestellbelastungen oder St¨orungen des technologischen Prozesses (Schwingungen am Abtriebsglied) f¨uhren. Die Beschleunigungen der Mechanismenglieder, die sich mit handels¨ublicher Software f¨ur Starrk¨orper- Mechanismen beliebiger Struktur relativ schnell berechnen lassen, da sie nur von den kinematischen Abmessungen abh¨angen, erreichen oft ein Vielfaches der Erdbeschleunigung, vgl. Tabelle 4.2. Aus dem Verh¨altnis der in einem Getriebeglied auftretenden Maximalbeschleunigung amax zur Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 geht pauschal das Verh¨altnis kinetostatischer Massenkr¨afte zum Eigengewicht hervor und man erkennt die Bedeutung der dynamischen Belastungen. Um die Schwingungserregung beurteilen zu k¨onnen, ben¨otigt man Aussagen zum Fourierspektrum der Zeitverl¨aufe der ungleichf¨ormigen Abtriebsbewegungen. Entscheidend f¨ur die Beurteilung der Schwingungsanregung bei zyklisch arbeitenden Mechanismen sind • • • •

das Erregerspektrum, das Abstimmungsverh¨altnis η im Betriebsdrehzahlbereich, die Gr¨oße der Unstetigkeiten in den Lagefunktionen h¨oherer Ordnung, die Gr¨oße des Spiels in den Dreh- und Schubgelenken (F¨uhrungsbahnen),

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

237

Tabelle 4.2 Beschleunigungsverh¨altnisse bei typischen Mechanismen Maschinenart Schneidemaschinen, Pressen Webmaschinen Verpackungsmaschinen Wirkmaschinen Schiffsdieselmotoren Haushaltn¨ahmaschinen Industrien¨ahmaschinen

Drehzahlbereich in 1/min 30 . . . 150 200 . . . 1 000 100 . . . 300 1 500 . . . 3 000 400 . . . 500 1 000 . . . 2 000 5 000 . . . 10 000

Beschleunigungsverh¨altnis amax /g 0,3 . . . 10 1,0 . . . 15 5 . . . 50 15 . . . 40 70 . . . 80 50 . . . 100 300 . . . 800

• die Stellungsabh¨angigkeit der Eigenfrequenzen und • das Verh¨altnis der Anregungszeit zur Periodendauer der Eigenschwingungen der Mechanismen oder des Gestells. Mechanismen werden meist unter der Annahme entworfen, daß sie sich entsprechend den kinematischen Forderungen ideal zwangl¨aufig bewegen und sich die Getriebeglieder wie starre K¨orper verhalten. Die Maximalwerte der Massenkr¨afte bei zyklisch arbeitenden Mechanismen nehmen mit dem Quadrat der Drehzahl zu, solange das Starrk¨orpermodell gilt, vgl. Abschn. 2.1.2. Bei unterschiedlichen Drehzahlen treten dann geometrisch a¨ hnliche Verl¨aufe als Funktion des Antriebswinkels auf. Man kann diese Gesetzm¨aßigkeit bei der Berechnung der Massenkr¨afte ausnutzen, denn sie spart die wiederholte Berechnung bei unterschiedlichen Drehzahlen, aber auch f¨ur die Deutung der Oszillogramme gemessener Beschleunigungen oder Kraftgr¨oßen ist dieser Zusammenhang wesentlich, vgl. Bild 4.13 bis Bild 4.14 und Bild 2.7. Infolge der in Wirklichkeit vorhandenen Elastizit¨at der Getriebeglieder und des meist unvermeidlichen Gelenkspiels treten bei realen Mechanismen Abweichungen von den idealen kinematisch geforderten Bewegungen auf. Auch die Lager- und Gelenkkr¨afte weichen dann von den erwarteten kinetostatischen Kraftverl¨aufen ab und verletzen in h¨oheren Drehzahlbereichen ebenfalls die gestellten Anforderungen. Bis zu welcher Drehzahl man mit dem Modell der starren Maschine (Starrk¨orpersystem) rechnen darf, kann in erster N¨aherung durch die in Abschn. 2.1.2 genannten Kriterien entschieden werden, bei denen die erste Eigenfrequenz die wesentliche Rolle spielt, vgl. Gl. (2.6) und Gl. (2.7). Man hat bei Mechanismen, auch wenn sie nur eine einzige wesentliche Eigenfrequenz haben, infolge der periodischen Erregung stets viele kritische Drehzahlen zu erwarten, vgl. Gl. (5.209) und Bild 5.51b. Die kinetostatischen Massenkr¨afte wirken in jedem Falle als Erregerkr¨afte auf das reale elastische Antriebssystem, das in einem ebenfalls schwingungsf¨ahigen Gestell gelagert ist. Im konkreten Fall ist jeweils zu kl¨aren, welche wesentlichen h¨oheren Harmonischen das Erregerspektrum enth¨alt und welche Eigenschwingform angeregt wird, d. h. ob das Abtriebsglied, die Antriebswelle, ein elastisches Glied innerhalb des Mechanismus oder das Gestell die erste Eigenfrequenz und damit weitere kritischen Drehzahlen h¨oherer Ordnung bestimmen. Wirksame Maßnahmen zur Vermeidung der st¨orenden Schwingungen lassen sich meist erst dann treffen, wenn bekannt ist, welches die wesentlichen Eigenschwin-

238

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

gungen sind. Große Schwingungsamplituden treten stets mit Eigenfrequenzen auf, deren Eigenschwingform von irgendeiner Erregung (periodisch oder stoßartig) angeregt wird. Es ist schwierig, alle Erreger- und Eigenfrequenzen bei einem neuen Antrieb schon vor dem Musterbau (oder vor der Inbetriebnahme der Maschine) zu ermitteln. Als h¨aufige Ursachen von Mechanismenschwingungen haben sich herausgestellt: • Resonanzen k-ter Ordnung. Sie treten auf, wenn eine k-te Harmonische der periodisch ver¨anderlichen kinetostatischen Massenkr¨afte mit einer der Eigenfrequenzen des Gestells, des Antriebsstranges oder der elastischen Mechanismenglieder u¨ bereinstimmt, vgl. die Bilder 4.14, 4.15 und das Beispiel in Abschn. 5.5.4. • Parametererregte Schwingungen infolge der stellungsabh¨angigen Eigenfrequenzen des Mechanismus (kurzzeitige dynamische Instabilit¨at), vgl. Bild 2.17, Abschn. 2.3.2 und 4.4.2. • Knicke und Spr¨unge (Ruck und h¨ohere Zeitableitungen) in den Lagefunktionen U(ϕ ), vgl. Bild 4.15, Abschn. 4.6.4 und Abschn. 5.5.3.3. • Eigenschwingungen, die durch impulsartige St¨oße nach dem Durchlaufen des Gelenkspiels (vgl. Bild 2.7 und Bild 2.12) oder unstetige Reibkr¨afte (Wechsel vom Haften zum Gleiten, Reibkraftrichtungsumkehr) angeregt werden. • Wechselwirkungen zwischen mehreren Mechanismen, die innerhalb derselben Maschine miteinander u¨ ber das Gestell oder die Hauptwelle verbunden sind, vgl. den Einfluß des Polygoneffekts in Bild 4.13. • Hochfrequente Schwingungen der Lagerbolzen relativ zur Lagerschale (vgl. Bild 2.10) oder der Schubglieder relativ zur Gleitf¨uhrung [81], vgl. Bild 2.12. • Periodische ( kinetoelastische“) Verspannungen, die bei ebenen Mechanismen ” z. B. durch die Nichtparallelit¨at der Gelenkachsen entstehen, t¨auschen manchmal dynamische“ Belastungen vor. ” VDI-Richtlinie 2149, Bl. 2, enth¨alt Hinweise zur Interpretation von Mechanismenschwingungen und zur Bildung von Minimalmodellen, die mit wenigen Parametern auskommen. Wenn man das Berechnungsmodell und die Parameterwerte kennt, ist die dynamische Simulation der Mechanismenschwingungen zu empfehlen. Vielfach kann der zur Modellbildung und Parameterermittlung erforderliche hohe Aufwand aus Kostengr¨unden nicht getrieben werden, so daß konstruktive Entscheidungen nur auf Grund qualitativer Erkenntnisse der Schwingungsursachen getroffen werden m¨ussen. Es ist leichter, Schwingungsursachen zu identifizieren, wenn man typische Erscheinungsbilder kennt, vgl. dazu die Bilder 2.7, 2.9, 2.10, 2.12, 2.17, 2.18, 4.13 bis 4.16, 2.50, 5.17, 5.22 bis 5.24 und 5.45. Beispiele zur Modellbildung f¨ur ein elastisches Antriebsglied sind in Abschn. 2.1.2 (Tabelle 2.6) und Abschn. 4.4.3 f¨ur Schubkurbelgetriebe mit elastischen Gliedern in Abschn. 2.2.3 (Tabelle 2.7) und f¨ur den Einfluß eines elastischen Gliedes auf das Antriebsmoment und die Gestellkraft in Abschn. 5.1 (Tabelle 5.1 und Tabelle 5.2) zu finden. Auf die Querbewegung eines Schubgliedes wird in Abschn. 4.9.1 eingegangen, vgl. auch Abschn. 2.2.3.4. Der gegenw¨artige Entwicklungsstand erlaubt es, die Kopplung von MKSProgrammen und FEM-Programmen vorzunehmen, um die Wechselwirkung zwi-

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

239

schen Antriebsmechanismus, F¨uhrungsbahn und Gestell genauer zu erfassen. Mit sehr großer Modelltiefe“ (Modellstufe 3 mit Freiheitsgrad 103 und etwa 102 Pa” rametern) erfolgte die Analyse von speziellen Mechanismenschwingungen bei der Analyse der Kolbensekund¨arbewegung von Verbrennungsmotoren [192], [210], [273], [327] und der St¨oßelbewegung bei Umformmaschinen [126], [167]. Die Analyse der Zeitverl¨aufe der Mechanismenschwingungen liefert Zeitpunkte und Getriebestellungen, bei denen instation¨are Schwingungen beginnen. Zur Identifikation der im konkreten Fall interessierenden Schwingungsursache ist es vorteilhaft, auch gegl¨attete oder gefilterte Signale anzusehen. Die klassische Fourieranalyse kann zur Kontrolle der periodischen kinetostatischen Kr¨afte dienen, aber bei Unstetigkeiten in den Verl¨aufen liefert sie kein klares Bild, vgl. Bild 2.17. Die ZeitFrequenz-Analyse eines Beschleunigungssignals ist ein Schl¨ussel zur Bestimmung der Schwingungsursachen. In den Arbeiten [69] und [367] wurden die Merkmale gewisser Schwingungserscheinungen an Mechanismen nach typischen Signalkennzeichen im Zeit-Frequenz-Bereich geordnet dargestellt, vgl. den Auszug in Tabelle 4.3. Die dort angegebenen Zusammenh¨ange k¨onnen zur Merkmalssuche dienen. Um die Schwingungsursachen von Mechanismen zu ermitteln, sollte man die Schwingungen bei verschiedenen Drehzahlen messen, m¨oglichst auch in den kritischen Drehzahlbereichen, da sich dabei der Amplituden-Frequenzgang zu erkennen gibt. Auch die Registrierung des Auslaufvorgangs kann wertvolle Hinweise u¨ ber die Lage der kritischen Drehzahlen liefern. Die experimentellen Untersuchungen an Mechanismen in einer Maschine werden oft dadurch erschwert, daß bez¨uglich der Meßstellenanordnung viele Einschr¨ankungen bestehen. Man kann z. B. die Lagerstellen ¨ oft nur schwierig erreichen und die Ubertragung der Meßwerte von einem schnell bewegten Mechanismenglied ist nicht immer einfach. Die Methoden der experimentellen Modalanalyse sind nur f¨ur die Mechanismen im Stillstand anwendbar, da infolge der Bewegungen geometrische Nichtlinearit¨aten auftreten. H¨aufig muß man sich darauf beschr¨anken, die Erregerkr¨afte durch die technologische Belastung und die eigenen Massenkr¨afte der Mechanismen aufzubringen. Es empfiehlt sich, bei Interpretation der Meßergebnisse folgendes zu beachten: • Die gemessenen Verl¨aufe kann man stets als Superposition der kinetostatischen Verl¨aufe mit denen der u¨ berlagerten Schwingungen interpretieren, vgl. Bild 4.15, Bild 4.16b. • Man kann pr¨ufen, ob die Mittelwerte der gemessenen Verl¨aufe eine quadratische Abh¨angigkeit (kinetostatische Kraftgr¨oßen!) von der Drehzahl zeigen, vgl. Bild 4.14, Bild 4.15. • Bei den vibrodynamischen Kr¨aften ist deren Abh¨angigkeit von Drehzahl und Stellung des Antriebsgliedes wesentlich. Man ermittle die drehzahlunabh¨angigen und die drehzahlabh¨angigen Frequenzen, z. B. aus dem Wasserfalldiagramm. • Man vergleiche die Zeitverl¨aufe mit denjenigen von Standardf¨allen“, die ” nach dem Gesichtspunkt Schwingungsursachen geordnet sind, vgl. [68], [84], [367]. • Man vergleiche die experimentell bei variierten Bedingungen ermittelten Amplituden und Frequenzen mit Tendenzen der Parametereinfl¨usse, die sich aus einem Berechnungsmodell ergeben. • Man entwerfe Minimalmodelle, vergleiche deren theoretische L¨osungen und passe die Parameterwerte des Berechnungsmodells an Meßwerte an. Zweck-

pl¨otzlich angeregte Eigenschwingform (ES) um den kinetostatischen Grundverlauf

Seitenbandstruktur um EF

dicht besetzt (viele Harmonische), bis in sehr hohe Frequenzbereiche, keine EF erkennbar

nur Basisharmonische, Anwachsen von Linien um EF Anwachsen von Linien um Kombinationsfrequenzen

pl¨otzlich angeregte ES mit abwechselnden EF-Niveaus, gleiche Stellung

impulsartige Kraft- oder Beschleunigungsspitzen, ¨ Ubergang zu abklingenden ES im kinematischen Zyklus m¨oglich, folgt kaum der Prim¨arbewegung

dominante Schwingungen u¨ ber gesamter Periode, Frequenz konstant

Anfachung bei immer gleicher Stellung innerhalb einer Periode abklingend

Spektrum

Seitenbandstruktur um Eigenfrequenzen (EF)

Zeitverlauf

Anregung nach Beschleunigungs-Nulldurchg¨angen, wie beim einfachen Spielstoß

viele Basisharmonische

konstante H¨ohenr¨ucken in Zeitrichtung (bei weiten Fenstern)

an Rastgrenzen oder an Intervallgrenzen kombinierte Bewegungsgesetze

scharfe H¨ohenr¨ucken in Frequenzrichtung, intervallweise k¨urzer werdende Abst¨ande bei Verringerung der Intensit¨at

konstante Frequenz

Kinetostatik nach Vorzeichenwechsel der Beschleunigung nach Vorzeichenwechsel der Relativgeschwindigkeit

Zeit-Frequenz-Diagramm H¨ohenr¨ucken in Zeitrichtung (kurz) abnehmende Intensit¨at entsprechend abklingender Schwingungen Keilform

erzwungene Schwingungen und Resonanzen k-ter Ordnung Kombinationsresonanz

Mehrfachst¨oße

Struktur¨anderungen, schnell ver¨anderliche Parameter

technologische Kr¨afte/St¨oße Unstetigkeiten in den Lagefunktionen

Reibung

Spieldurchlauf

Ursache

Tabelle 4.3 Merkmale von Schwingungsursachen bei Mechanismen [69], [367] (ES – Eigenschwingform, EF – Eigenfrequenz)

240 4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

241

m¨aßig ist es, mit einem Minimalmodell zu beginnen, welches nur wenige Parameter besitzt, vgl. Abschn. 2.3.1 • Man benutze die aus dem Minimalmodell folgenden Tendenzen von Parametereinfl¨ussen, um das Berechnungsmodell zu verfeinern. • Man begr¨unde Vorschl¨age f¨ur weiterf¨uhrende Messungen, falls die Schwingungsursache auf Grund der vorliegenden Meßergebnisse nicht identifiziert werden konnte. Eine Vorausberechnung der Schwingungen scheitert selten an der fehlenden Software (vgl. dazu Tabelle 2.1), sondern sie ist oft deshalb unsicher, weil f¨ur die ungleichf¨ormig u¨ bersetzende Mechanismen abgesicherte Berechnungsmodelle und genaue Eingabedaten f¨ur Steifigkeiten und D¨ampfungen fehlen. F¨ur die Massen sind Parameterwerte eher zu ermitteln. Bei einem ersten Entwurf sollte man deshalb zun¨achst das Starrk¨orpersystem berechnen und mit einem Minimalmodell die Eigenfrequenzen und Eigenschwingformen absch¨atzen. Sp¨atere Messungen k¨onnen zur genaueren Identifikation dienen, wenn daf¨ur ein Exemplar der Maschine zur Verf¨ugung steht. Zur Identifikation von Schwingungsursachen sollte man m¨oglichst eine Modalanalyse durchf¨uhren und die Zeitverl¨aufe von Kraft- und Bewegungsgr¨oßen analysieren, da diese mehr Aussagen enthalten als die Fourierspektren. Die folgenden Beispiele bieten einen Einblick in typische Mechanismenschwingungen, wie sie in Maschinenantrieben auftreten. 4.4.2 Schwingungen am Abtriebsglied Das erste Beispiel (Bild 4.13) stammt von der dynamischen Untersuchung des mehrgliedrigen Antriebsmechanismus einer Wollk¨ammaschine. Die gemessene Beschleunigung in Bild 4.13a scheint nach dem ersten Eindruck regellos zu verlaufen. T0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 t in s 1,4

0,8

1,0

1,2 t in s 1,4

5T1

0

0,2

0,4

0,6

Bild 4.13 Beschleunigungen an einer Wollk¨ammaschine [367]; a) Originalmessung, b) Gefiltertes Signal (40 Hz Tiefpaß) und kinematischer Verlauf als Mittellinie

Die Spitzenbeschleunigungen gehen bis zu 50 m/s2 und werden durch hochfrequente Schwingungen bestimmt. Das gefilterte Signal in Bild 4.13b l¨aßt erkennen,

242

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

a in m/s

2

daß die kinematischen Beschleunigungen nur etwa die Gr¨oße von 5 m/s2 erreichen und daß Eigenschwingungen von etwa 10 Hz auftreten. Die kinematische Periodendauer T0 ist wesentlich gr¨oßer als die Periodendauer T1 der tiefsten angestoßenen Eigenfrequenz (T1 /T0  0,05). Man sieht, daß diese Eigenschwingungen bei jedem Vorzeichenwechsel der Beschleunigung angestoßen werden, aber mit ihnen sind nur Werte von etwa a = 10 m/s2 erkl¨arbar. Eine weiterf¨uhrende Analyse zeigte, daß sich die hochfrequenten Schwingungen, die in dem Schrieb im Bereich von etwa 0,2 s bis 0,4 s auftauchen und sich nach einer kinematischen Periode bei etwa 0,9 s bis 1,1 s wiederholen, durch den Polygoneffekt einer Profilwalze erkl¨aren ließen, die von derselben Hauptwelle des Antriebsstranges angetrieben wurde [367]. Der Polygoneffekt ist eigentlich f¨ur Kettengetriebe charakteristisch, vgl. dazu auch Abschn. 4.6.4. Das zweite Beispiel in Bild 4.14 zeigt gemessene Beschleunigungsverl¨aufe am Abtriebsglied einer Verpackungsmaschine u¨ ber je zwei kinematische Perioden bei zwei verschiedenen Drehzahlen. Die kinematischen Beschleunigungsverl¨aufe, die sich f¨ur den starren spielfreien Mechanismus ergeben w¨urden, sind als Mittellinien

a)

a in m/s

2

t in s

b) t in s

Bild 4.14 Gemessene Beschleunigungen an einem Schrittgetriebe a) Drehzahl n = 250 min−1 , b) Drehzahl n = 400 min−1

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

243

angegeben. Sie sind mit denen in Bild 5.44b vergleichbar, bei denen ebenfalls ein Rastwinkel von 200◦ vorhanden ist, vgl. auch Bild 2.48c. Entsprechend der theoretischen Voraussage nehmen diese kinematischen Beschleunigungen mit dem Quadrat der Drehzahl zu (man beachte die unterschiedlichen Maßst¨abe), und sie verlaufen geometrisch a¨ hnlich. In der Getriebestellung, wo ein Knick im kinematischen Beschleunigungsverlauf ist, beginnt die vibrodynamische Beschleunigung, d. h. es wird eine ged¨ampfte Eigenschwingung von ca. f = 85 Hz angeregt, welche dem kinematischen Beschleunigungsverlauf u¨ berlagert ist. Deren Anfangsamplitude w¨achst auch etwa quadratisch mit der Drehzahl. Bei genauem Hinsehen nimmt man beim Nulldurchgang der kinematischen Beschleunigung eine kleine Unstetigkeit infolge des Spieldurchlaufs wahr, also eine kleine Stoßanregung. Die Amplituden der angestoßenen Eigenschwingung h¨angen von der momentanen Phasenlage nach dem Ausschwingen ab, vgl. Bild 4.14a und 4.14b. Am n¨achsten Knick im Verlauf der kinematischen Beschleunigung beginnt die Rast, und dort werden wieder Eigenschwingungen angestoßen, deren Intensit¨at mit h¨oherer Drehzahl deutlich zunimmt. Das Abstimmungsverh¨altnis liegt bei der Drehzahl von n = 400 min−1 etwa bei Ω n 400 η = = = = 0,078 (4.1) ω 60 f 60 · 85 Diese Schwingungen k¨onnen durch ein kleineres Spiel und durch Vermeidung der Unstetigkeiten vermindert werden, z. B. durch Anwendung eines HS-Kurvenprofils, vgl. Abschn. 5.5.3. Im vorliegenden Fall h¨atten etwa K = 3 Harmonische zur Erf¨ullung der kinematischen Forderungen gereicht und der Mechanismus k¨onnte mit einem HS-Bewegungsgesetz etwa bis zur doppelten Drehzahl im Vergleich zu einem traditionellen Kurvenprofil schwingungsfrei betrieben werden, vgl. Bild 5.42. Das dritte Beispiel in Bild 4.15 zeigt st¨orende Schwingungen an einem Mechanismus, dessen St¨oßelbewegung hin und zur¨uck, aber nicht sinusf¨ormig verl¨auft. Der gemessene Beschleunigungsverlauf enth¨alt Schwingungskomponenten mit einer Frequenz h¨oher als 200 Hz, die im Gegensatz zum Beispiel in Bild 4.13, wo diese hochfrequenten Komponenten den Maximalwert bestimmten, hier unwesentlich ist. Bild 4.15a, b zeigt den kinematischen Verlauf als Mittelwert. Innerhalb einer vollen kinematischen Periode sind in Bild 4.15a etwa K = 9 Schwingungsperioden zu erkennen, w¨ahrend in Bild 4.15b bei der niedrigeren Drehzahl von 138 min−1 dieselbe Eigenschwingung etwa 13 Perioden im kinematischen Zyklus zeigt. N¨aherungsweise kann man aus diesen beiden Meßwerten die Eigenfrequenz zu 9 · 212 = 1 908 min−1 = 31,8 Hz bzw. 13 · 138 = 1 794 min−1 = 29,9 Hz ermitteln, also rund fG ≈ 31 Hz. Die n¨ahere Analyse zeigte, daß es sich hierbei um eine Gestelleigenfrequenz handelte. Diese Eigenfrequenz von f1 ≈ 31 Hz wird also durch die 9. und 13. Harmonische der Gestellkr¨afte angeregt, die offenbar große Komponenten im Erregerspektrum besitzen. Kritische Drehzahlen, bei denen große Amplituden dieser Eigenschwingung auftreten, sind gem¨aß Gl. (5.209) auch bei 60 f1 = 186 min−1 ; 10 60 f1 = 155 min−1 ; = 12

n10 = n12

n11 =

60 f1 = 169 min−1 ; 11 (4.2)

244

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Bild 4.15 Gemessene Beschleunigungen einer St¨oßelbewegung a) Drehzahl n = 212 min−1 , b) Drehzahl n = 138 min−1

zu erwarten, wenn die 10. bis 12. Harmonische der Erregerkr¨afte hinreichend große Amplituden besitzt. Diese Resonanzstellen lassen sich durch die Kompensation der betreffenden Erregerharmonischen der auf das Gestell wirkenden Kr¨afte vermeiden, vgl. Abschn. 5.5.3 und 5.5.4. Das vierte Beispiel stammt von einem Berechnungsmodell mit Spiel im Abtrieb, das in [367] analysiert wurde. Das Modell ist durch die in Bild 4.16a angegebenen Parameter charakterisiert und entspricht etwa dem Bild 2.6, aber es ber¨ucksichtigt eine andere (aus Bild 4.16b erkennbare) periodische Weg-Erregerfunktion ˆ ϕ ) und viskose D¨ampfung (D¨ampfungskonstante d). Aus den angegebex(ϕ ) = xU( nen Parametern ergeben sich folgende dimensionslose Kenngr¨oßen: • periodische Lagefunktion: U(ϕ 0 ) = d , • D¨ampfungsgrad: D = 2mω 0

x(Ω t) , xˆ

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

• Abstimmungsverh¨altnis: η = • bezogenes Spiel: 2π 3 =

δ

l0 • Antriebswinkel: ϕ 0 = Ω t,

Ω ω0

δ

x(ϕ)

a)

x¨2 . Ω2

m

ϕ= Ω t x (ϕ) = x$ ⋅U (ϕ)

d l0

,

,

• bezogene Beschleunigung: ξ  = k

245

l0 x2

δ / l0 = 2 π 3 = 2⋅10−5

δ / l0 = 2 π 3 = 6⋅10−5

b) Bild 4.16 Beschleunigungen ξ  = x¨2 /(l0 Ω 2 ) bei Spiel im elastischen Abtrieb [367] a) Minimalmodell, b) Berechnete Beschleunigung bei der Variation von bezogenem Spiel und Abstimmungsverh¨altnis f¨ur den D¨ampfungsgrad D = 0,06; (dicke Vollinie: U  (starr, spielfrei), d¨unne Vollinie: elastisch mit Spiel)

In allen sechs Bildern, die sich durch die Variation des Spiels und des Abstimmungsverh¨altnisses unterscheiden, ist der a¨ hnliche Verlauf der Lagefunktion zweiter Ordnung U  zu erkennen. Die kinematischen Spitzenwerte nehmen zwar mit dem

246

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Quadrat der Drehzahl zu, aber durch die Einf¨uhrung der bezogenen Beschleunigung und mit dem Drehwinkel als Abszisse stimmen diese Verl¨aufe bei allen Parameterwerten u¨ berein. Die kinematische Beschleunigung des Abtriebsgliedes wird durch die vibrodynamische Beschleunigung u¨ berlagert, die mit der Eigenfrequenz dieses Schwingers auftritt. Aus der Anzahl der Schwingungen pro Periode kann man das angegebene Abstimmungsverh¨altnis berechnen. Die Eigenschwingungen werden offenbar jedesmal in derselben Getriebestellung angestoßen, wenn die kinematische Beschleunigung Null ist. Die erste Halbschwingung verl¨auft gleichsinnig wie die kinematische Beschleunigung, aber im n¨achsten Intervall verl¨auft sie entgegengesetzt, so daß es zum erneuten Abheben und zu anschließenden mehrfachen Nulldurchg¨angen kommen kann. F¨ur η = 0,05 und δ /l0 = 0,000 06 (rechts oben im Bild) tritt gerade dieser Fall ein, und das Bild w¨urde bei noch gr¨oßerem Spiel hochfrequente zweiseitige Mehrfachst¨oße zeigen, die eine wesentliche Ursache der Erregung von L¨arm darstellen. Mit dem Spiel nehmen erwartungsgem¨aß die Amplituden der vibrodynamischen Beschleunigungen zu, wie man in den Verl¨aufen sieht, wenn man sie in Bild 4.16b von links nach rechts verfolgt. Mit der Drehzahl (bzw. dem Abstimmungsverh¨altnis η ) scheinen sie abzunehmen. Die Intensit¨at der Stoßanregung ist der Aufprallgeschwindigkeit proportional, d. h., die Amplituden der Zusatzschwingungen wachsen nur linear mit der Drehzahl, vgl. auch Gl. (2.2). Sie nehmen also relativ zur kinematischen Beschleunigung ab, wie man beim Vergleich der Verl¨aufe in Bild 4.16b von oben nach unten sieht, d. h., bei demselben Spiel k¨onnen durch vibrodynamische Schwingungen bedingte mehrfache Nulldurchg¨ange vermieden (und die L¨armerregung reduziert) werden, wenn man in solchen Bereichen (wie in Bild 4.16b) rechts die Drehzahl steigert. 4.4.3 Schwingungen infolge elastischer Antriebsglieder F¨ur das in Bild 4.17 dargestellte Berechnungsmodell trifft die Bewegungsgleichung zu, die sich aus Gl. (2) in Tabelle 2.6 ergibt, wenn man noch eine viskose D¨ampfung im Antrieb durch eine D¨ampfungskonstante dT ber¨ucksichtigt. Die Bewegungsgleichung lautet:   2   Ω2   Ω J(Ω t)q¨ + dT + J (Ω t)Ω q˙ + kT + J (4.3) q = −J  (Ω t) 2 2 Dabei bedeutet der Strich eine Ableitung nach dem Antriebswinkel ϕ 0 = Ω t. F¨ur das in Bild 4.17b dargestellte Modell gilt ebenfalls Gl. (4.3), aber es sind in den Glei¨ chungen weitere Parameter explizit enthalten: die beiden Ubersetzungsverh¨ altnisse u1 und u2 , das Tr¨agheitsmoment J3 und die Endmasse m. In Gl. (4.3) haben die Terme J und J  wegen der anderen Bedeutung der Strich-Ableitung (hier nach dem Winkel u1 ϕ 0 ) eine andere Bedeutung: J = u22 (J3 + mU 2 );

J  = 2mu1 u32U U 

(4.4) 

Bei den u¨ blichen Parameterwerten der meisten Mechanismen gilt kT  J Ω 2 /2, d. h., in Gl. (4.3) ist der Einfluß des Terms J  vernachl¨assigbar. Die Eigenkreisfrequenz des unged¨ampften Systems ist wegen

247

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

m a)

b)

ϕ0 = Ω t

ϕ= Ω t + q1

x = U (ϕ) U (ϕ)

ϕ0 = Ω t

kT , d T

u1 J (ϕ)

kT , d T

ϕ1 = u1ϕ0

u2

J3

ϕ2 = ϕ1 +q ϕ = u2 ϕ2

Bild 4.17 Mechanismus mit elastischer Antriebswelle a) Berechnungsmodell mit reduziertem Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) b) Berechnungsmodell mit Lagefunktion U(ϕ )

ω 2 (Ω t) =

kT kT = 2 J(Ω t) u2 (J3 + mU 2 )

(4.5)

von der Stellung des Antriebsgliedes (ϕ 0 = Ω t) und bei dem Antrieb gem¨aß Bild ¨ 4.17b auch von der Ubersetzung u2 abh¨angig. Interessant ist der dynamische Effekt, der beim Sonderfall u1 u2 = 1 auftritt. Er entspricht bei starrer Welle (kT → ∞) dem ¨ durch die synchronen Lauf der Drehwinkel ϕ 0 und ϕ , weil die erste Ubersetzung ¨ ¨ zweite Ubersetzung wieder kompensiert wird. Falls die erste Ubersetzung ins Schnelle erfolgt, ist u1 > 1 und demzufolge u2 < 1, d. h., durch den Einbau zus¨atzlicher Getriebe a¨ ndert sich kinematisch an der Abtriebsbewegung nichts. Es kommt aber eine resultierende Versteifung durch die Reduktion der Federkonstante auf die schnell laufende Zwischenwelle zustande, und sie erh¨oht die Eigenfrequenz und verbessert somit das Schwingungsverhalten. Wie Gl. (4.5) zeigt, a¨ ndert sich die Ei¨ genfrequenz umgekehrt proportional zum Ubersetzungsverh¨ altnis u2 . F¨ur den Sonderfall u1 = u2 = 1 kann man Gl. (4.3) auch in folgender Form schreiben, wenn man auf den kleinen Einfluß von J  verzichtet: (J3 + mU 2 )q¨ + (dT + 2mΩ U U  )q˙ + kT q = −mΩ 2U U 

(4.6)

Da die Lagefunktion U(ϕ ) eine periodische Funktion ist, stellt Gl. (4.6) ebenso wie die Gln. (4.3) und (4.4) eine Hillsche Differentialgleichung dar, deren L¨osungstheorie bekannt ist [38], [81], [113], [231]. Ein Sonderfall der Hillschen Differentialgleichung ist die Mathieusche Differentialgleichung, die lediglich eine harmonische Erregerfunktion enth¨alt. Aus der in [38], [113], [137], [191], [231], [232] angegebenen Stabilit¨atskarte kann man die stabilen und instabilen Drehzahlbereiche entnehmen. Die Parameterhauptresonanz tritt in der N¨ahe derjenigen Winkelgeschwindigkeit auf, die der doppelten gemittelten Eigenkreisfrequenz ϖ des Schwingers entspricht, also bei η = Ω /ϖ = 2, vgl. auch Gl. (4.52). Die Abstimmungsverh¨altnisse, bei denen Nebenresonanzen k-ter Ordnung auftreten (k = 2, 3, . . .), liegen bei den Werten Ω 2 (4.7) η = = ϖ k vgl. auch Abschn. 4.6.3.

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4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Die Schwingungsamplituden wachsen bei Parameterresonanz exponentiell mit der Zeit an, und die Zerst¨orungsgefahr ist gr¨oßer als bei der bekannten Resonanz erzwungener Schwingungen [150]. Bei der Resonanz erzwungener Schwingungen steigen die Amplituden nur linear mit der Zeit an, so daß ein Durchfahren der Resonanzstelle leichter m¨oglich ist, vgl. Abschn. 5.4.6. Die meisten zyklischen Mechanismen arbeiten aber erfahrungsgem¨aß in Drehzahlbereichen (η < 0,1), die weit unterhalb der instabilen Gebiete der Parameterresonanz liegen [81]. Eine Besonderheit der parametererregten Schwingungen besteht darin, daß weit entfernt von den durch Gl. (4.7) bestimmbaren Drehzahlbereichen der Parameterresonanz auch dynamische Instabilit¨at in einem endlichen Zeitabschnitt m¨oglich ist. Man kann sich diesen Effekt an Hand von Gl. (4.3) oder (4.6) im Zusammenhang mit der Definition der Abklingkonstanten eines linearen Schwingers klar machen. Die Bewegung verl¨auft dynamisch stabil, solange δ (Ω t) =

dT + J  (Ω t)Ω dT + 2mΩ U U  >0 = 2 J(Ω t) u2 (J3 + mU 2 )

(4.8)