Schwingungen mechanischer Antriebssysteme: Modellbildung, Berechnung, Analyse, Synthese

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Author: Hans Dresig

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Hans Dresig Schwingungen und mechanische Antriebssysteme

Hans Dresig

Schwingungen und mechanische Antriebssysteme Modelbildung, Berechnung, Analyse, Synthese

Zweite Auﬂage Mit 192 Abbildungen und 46 Tabellen

123

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Hans Dresig Institut für Mechanik Professur Maschinendynamik/Schwingungslehre Straße der Nationen 62 09107 Chemnitz E-Mail: [email protected]

Bibliograﬁsche Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograﬁe; detaillierte bibliograﬁsche Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN-10 3-540-26024-2 2. Auﬂ. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN-13 978-3-540-26024-0 2. Auﬂ. Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 3-540-41674-9 1. Auﬂ. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverﬁlmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspﬂichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2001, 2006 Printed in EU Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z. B. DIN, VDI, VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für die Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empﬁehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuziehen. Satz: Satzherstellung Dr. Naake, Chemnitz Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: Medionet AG, Berlin Gedruckt auf säurefreiem Papier

7/3100/YL - 5 4 3 2 1 0

Vorwort

Antriebssysteme haben die Aufgabe, K¨orper in Bewegung zu setzen und dabei zuverl¨assig und sicher zu funktionieren. Erfahrungsgem¨aß gibt es aber verschiedenartige dynamische St¨orerscheinungen in den Baugruppen zwischen Motor und Abtrieb, insbesondere bei Anlauf- und Bremsvorg¨angen oder bei bestimmten kritischen Drehzahlen. Beim Entwurf und der Konstruktion der mechanischen Antriebssysteme von Maschinen und Transporteinrichtungen, insbesondere des Verarbeitungsmaschinen- und Werkzeugmaschinenbaues, werden hohe Anspr¨uche an den Konstrukteur gestellt, der Aufgaben der Maschinendynamik l¨osen muß. Das beginnt mit der zweckm¨aßigen Konzeption eines Antriebssystems und geht bis zur Auslegung und Dimensionierung einzelner Bauelemente. Solche Aufgaben sind nur l¨osbar, wenn Klarheit u¨ ber die Gesetzm¨aßigkeiten herrscht, die das dynamische Verhalten der Antriebssysteme bestimmen. Die Entwicklung der rechnergest¨utzten Simulation, die eine Analyse festk¨orpermechanischer Erscheinungen in Wechselwirkung mit anderen Einﬂ¨ussen erlaubt und deren Integration in die CAD-Umgebung, ist gegenw¨artig der Inhalt vieler Forschungsprojekte. Im vergangenen Jahrzehnt gab es enorme Fortschritte bei der Entwicklung der numerischen und der experimentellen Methoden. Das dynamische Verhalten der Maschinenelemente und einiger Baugruppen dynamisch hoch beanspruchter Antriebssysteme ist von vielen Forschern intensiv analysiert worden, wor¨uber in zahlreichen Artikeln berichtet wird. Es ist ein Anliegen des Autors, einen Einblick in den aktuellen Stand zu geben. Es werden die neuesten Publikationen ber¨ucksichtigt, aber da es unm¨oglich ist, bei einer zusammenfassenden Darstellung auf allen Teilgebieten in die Tiefe zu gehen, wird nur exemplarisch gezeigt, wie weit die Modellbildung und Modellberechnung bei manchen Baugruppen bereits getrieben wurde. Das Buch wendet sich an Fachleute, die beim Entwurf der verschiedenartigsten Erzeugnisse dynamische Effekte ber¨ucksichtigen m¨ussen. Es behandelt festk¨opermechanische Antriebssysteme, also keine elektrischen, magnetischen, hydraulischen oder pneumatischen Antriebe. Die Wechselwirkung mit den elektrischen Antrieben wird stellenweise ber¨ucksichtigt, aber der wesentliche Inhalt bezieht sich auf das mechanische Verhalten von Antrieben des klassischen Maschinenbaues. Es wird die Verbindung zwischen den fundamentalen Methoden der Mechanik und den modernen Berechnungsmethoden gezeigt, um zur Integration solcher an den Technischen Universit¨aten und Fachhochschulen vertretenen Grundlagengebiete wie Angewandte Mechanik, Konstruktionstechnik, Maschinenelemente, Getriebe- und Antriebstechnik, Maschinendynamik, Schwingungstechnik, Simulationstechnik und Mechatronik einerseits und den Anwendungsgebieten, wie z. B. allgemeiner Maschinenbau, F¨ordertechnik, Verarbeitungsmaschinen und Werkzeugmaschinen andererseits beizutragen.

VI

Vorwort

Das Buch soll dem Leser helfen, speziﬁsche dynamische Erscheinungen in Antriebssystemen kennenzulernen, zu analysieren, zu bewerten, zu berechnen und konstruktiv zu beeinﬂussen. Es werden deshalb typische dynamische Effekte erkl¨art und behandelt, die bei der Entwicklung eines Erzeugnisses zu beachten sind, wenn z. B. durch die Drehzahlerh¨ohung ein h¨oheres dynamisches Problemniveau“ er” reicht wird. Manche der Erkenntnisse werden in Form allgemeiner Regeln zusammengefaßt. Allen Mitarbeitern meines Lehrstuhls, insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Gao , Dr.-Ing. Ludwig Rockhausen, Dr.-Ing. Paul Rodionow, Dr.-Ing. Xingliang Holger Weiß und Dipl.-Ing. J¨org Weiß sowie dem Studenten Arnd Golle, die mit ihren Diskussionen und bei der Berechnung von Beispielen behilﬂich waren, m¨ochte ich f¨ur die Mitarbeit danken, insbesondere auch Frau Gisela Richter, die alle meine W¨unsche bei der Zeichnung von Bildern und Tabellen erf¨ullte und Frau Eugenia Tereschenko, die mich bei der Literaturbeschaffung sehr unterst¨utzte. Dank f¨ur Anregungen und Diskussionen richte ich auch an die mir kollegial verbundenen Herren Dr.-Ing. A. Laschet (ARLA Maschinentechnik/Wipperf¨urth), Dipl.-Ing. U. Schreiber (ITI Dresden), Dipl.-Ing. E. Schr¨oder (Mannesmann Dematic/Wetter), Dr.-Ing. C. Spensberger (Kupplungswerk Dresden) und Dr.-Ing. H. Wiese (MAN Roland Druckmaschinen/Offenbach), die mir Parameterwerte, praktische Beispiele und Bildmaterial zur Verf¨ugung stellten. Ich danke auch den Herren Prof. Dr. sc. nat. I. I. Blekhman (Russische Akademie der Wissenschaften/Sankt Petersburg), Dr.-Ing. A. Fidlin (Fa. LuK Antriebssysteme/B¨uhl), Dr. sc. techn. P. Hupfer (Fraunhofer-Institut f¨ur Werkzeugmaschinen und Umformtechnik Chemnitz), Prof. Dr. rer. nat. E. Kr¨amer (Technische Universit¨at Darmstadt), Prof. Dr. sc. techn. H. Loose (Fachhochschule Brandenburg), Prof. Dr.-Ing. H. H. M¨uller-Slany (Universit¨at Duisburg) und Dipl.-Ing. Friedmar Dresig (Robert Bosch GmbH Stuttgart), die Teile des Manuskriptentwurfs gelesen und mich mit ihren kritischen Fragen und Anmerkungen zu klareren Formulierungen und Erg¨anzungen veranlaßt haben. Besonders danke ich Herrn Dr.-Ing. Steffen Naake, der mit viel Geduld, Sachkenntnis und Verst¨andnis aus meiner sich im Laufe von zwei Jahren entwickelnden Manuskriptvorlage das Buchmanuskript in die vorliegende Form gebracht hat. Herrn Dr. Merkle vom Springer-Verlag danke ich f¨ur die verst¨andnisvolle Zusammenarbeit. Dankbar bin ich auch Barbara, meiner lieben Frau, ohne deren ermunternden Beistand dieses Buch nicht entstanden w¨are. Auerswalde, Dezember 2000

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Hans Dresig TU Chemnitz Institut f¨ur Mechanik Professur Maschinendynamik/Schwingungslehre e-mail: [email protected] http://www.mb1.tu-chemnitz.de

Vorwort zur 2. Auflage

F¨ur die zweite Auflage wurden Druckfehler eliminiert sowie Korrekturen und einige Erg¨anzungen vorgenommen. Zur Modellbildung gibt es neue Abschnitte, die sich auf die Vermeidung steifer Systeme (Abschn. 2.1.2.3), auf geschlossene Frequenzgleichungen von Kontinua-Biegeschwingern (Abschn. 2.4.4.2), auf die Reibung (Abschn. 2.4.7) und die modale Anregbarkeit (Abschn. 5.2.1) beziehen. Der bisherige Abschn. 4.7 wurde als Abschn. 2.4.5 eingeordnet. Ganz neu geschrieben wurden die Abschnitte u¨ ber Planetengetriebe (Abschn. 4.7), Stoßfolgen (Abschn. 5.4.5) und Vibrationsh¨ammer (Abschn. 5.7.4). Darin werden jeweils konkrete Maßnahmen zur Schwingungsminderung empfohlen. Im Literaturverzeichnis wurden schwer erreichbare und/oder veraltete Literaturstellen gestrichen, aber daf¨ur neueste Literatur an 35 Stellen erg¨anzt. Auerswalde, Juni 2005

Prof. em. Dr.-Ing.-habil. Hans Dresig Mittelstr.1 09244 Lichtenau [email protected]

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2.1

Modellbildung mechanischer Antriebssysteme . . . . . . . . . . . . . . . 5 Einf¨uhrung in die Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.1 Ziele der Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.2 Typen der Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2.2 Einteilung der Berechnungsmodelle . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2.3 Zur Vermeidung steifer“ Systeme . . . . . . . . . . . . . . 22 ” 2.1.3 Beispiel: Antrieb eines Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Bewertung von Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Regeln zur Veriﬁkation von Modellgleichungen . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Normierung der Parameter und der Variablen . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Berechnungsmodelle von Schubkurbelgetrieben . . . . . . . . . . . 31 2.2.3.1 Modellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3.2 Elastisches Abtriebsglied mit Spiel . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.3.3 Spiel im Kurbelgelenk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3.4 Zur Kolbensekund¨arbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.4 Beispiele f¨ur mehrere Modellstufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.4.1 Modellgleichungen von Rotoren mit Unwucht . . . . . . 45 2.2.4.2 Schadensfall an einer Pumpenwelle . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.4.3 Versuchsstand mit Unwuchterreger . . . . . . . . . . . . . . 52 Induktive Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.2 Parametererregte Schwingungen einer Buchschneidemaschine . 58 2.3.3 Selbsterregte Schwingungen eines Wicklers . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.4 Instation¨are Bewegungen bei Kranen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.4.1 Anheben der Last vom Boden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3.4.2 Heben und Senken (Modell mit n = 2) . . . . . . . . . . . 71 2.3.4.3 Heben und Senken (Modell mit n = 4) . . . . . . . . . . . 79 2.3.4.4 Antriebsmoment bei Wippkranen . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.3.5 Diskrete Schwinger statt Kontinua (Balken- und Stabmodelle) . 86 Deduktive Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4.2 Grundfrequenz von Schleifspindeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.4.3 Von 23 zu 5 Parametern (Fahrbewegung eines Br¨uckenkrans) . . 101 2.4.4 Von r¨aumlichen zu eindimensionalen Balken- und Stabmodellen 105 2.4.4.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.2

2.3

2.4

1

X

2.5

2.6

Inhaltsverzeichnis

2.4.4.2 Biegeschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.3 L¨angs- und Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . 2.4.4.4 Modellierung einer Getriebewelle . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Schwenkbewegung eines Auslegerarms . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.6 Modellreduktion mit der Mittelungsmethode . . . . . . . . . . . 2.4.7 Reibungseinﬂ¨usse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7.1 Zur Modellierung der Reibung . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.7.2 Einﬂußder Schwingungen auf die Reibungszahl . . . Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Sensitivit¨atsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Parameterermittlung aus gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Identiﬁkation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden . . . . . Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Grundlagen der Freiheitsgradreduktion . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 2.6.2 Statische und dynamische Kondensation (G UYAN , R OHRLE ) 2.6.3 Reduktion nach R IVIN und D I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.4 Modale Reduktion und Eigenformapproximation . . . . . . . . . 2.6.5 Vergleich der Reduktionsmethoden an einem Beispiel . . . . . 2.6.6 Modale Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.7 Kopplung von zwei Schwingerketten . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

113 119 121 124 131 132 132 134 139 139 139 142

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

146 150 153 153 155 157 159 160 164 167

3.5

Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen . . . . . . 173 ¨ Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern . . . . . . . 173 Parameterwerte einzelner Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.2.1 Zylinder- und Kegelelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.2.2 Zusatzl¨angen und Nachgiebigkeitsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2.3 Drehsteiﬁgkeiten von Kurbelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.2.4 D¨ampfungswerte von Torsionsschwingern . . . . . . . . . . . . . . . 186 W¨alzlager und Fugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.3.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.3.2 Kugel- und Rollenlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.3.3 Fugen, Kontaktstellen, Gleit- und W¨alzf¨uhrungen . . . . . . . . . . 194 Getriebe, Kupplungen, Motoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.4.1 Zahnradgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.4.2 Berechnungsmodelle f¨ur nachgiebige Kupplungen . . . . . . . . . . 199 3.4.2.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.4.2.2 Berechnungsmodell f¨ur Elastomerkupplungen . . . . . . 201 3.4.2.3 Nichtlineare Effekte bei biharmonischer Erregung . . . . 204 3.4.3 Asynchronmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 D¨ampfungskennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4 4.1 4.2

Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen . . . . . . . 219 Anlaufvorgang eines Antriebs mit Asynchronmotor . . . . . . . . . . . . . . 219 Fahrzeug-Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

3 3.1 3.2

3.3

3.4

XI

Inhaltsverzeichnis

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5 5.1

5.2

5.3

Kupplungen im Antriebsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 L¨ufterantrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Druckmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Schwingungen am Abtriebsglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Schwingungen infolge elastischer Antriebsglieder . . . . . . . . Selbsthemmende Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Keilschubgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Schneckengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwingungen von Zugmittelgetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Schwingungsursachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Eigenfrequenzen des Zweischeiben-Riemengetriebes . . . . . . 4.6.3 Erzwungene und parametererregte Schwingungen . . . . . . . . 4.6.4 Kettengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Zahnriemengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planetengetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Bewegungsgleichungen eines einfachen Berechnungsmodells 4.7.3 Beispiel: Getriebe mit drei Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4 Vergleich von drei F¨allen unterschiedlicher Zahneingriffe . . . Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.2 Herleitung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.3 L¨osung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.4 Zahlenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Irregul¨are Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1 Querstoßan F¨uhrungsbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.9.2 Nachlauf nach dem Abschalten (Uberlastsicherung) .......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

228 228 229 233 236 236 241 246 250 250 251 254 262 262 264 268 270 277 279 279 280 283 286 288 288 290 293 295 298 298 301

Zur Synthese von Antriebssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Regeln zur dynamischen Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.1.1 Zur Struktursynthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.1.2 Modellstufe Starrk¨orpersystem“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 ” 5.1.2.1 Bewegung eines einzelnen Starrk¨orpers . . . . . . . . . . . 311 5.1.2.2 Bewegung von Starrk¨orpersystemen . . . . . . . . . . . . . 312 5.1.3 Modellstufe Lineares Schwingungssystem“ . . . . . . . . . . . . . . 315 ” 5.1.4 Modellstufe Nichtlineares Schwingungssystem“ . . . . . . . . . . 318 ” Modale Anregbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 5.2.1 Allgemeine Zusammenh¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 5.2.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Optimale Auslegung von Baugruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.3.1 Konturen von Unwuchtmassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.3.2 Kompensatoren f¨ur ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Getriebe . . . . 326

XII

5.4

5.5

5.6

5.7

Inhaltsverzeichnis

¨ 5.3.3 Ubersetzungsverh¨ altnisse bei minimalem Tr¨agheitsmoment . . 5.3.4 Stabproﬁle f¨ur extreme Eigenfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . Optimale Bewegungsabl¨aufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Instation¨are Starrk¨orperbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Eigenbewegung von Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3 Anlaufen und Bremsen eines linearen Schwingers . . . . . . . . . 5.4.3.1 Vergleich von Anlauffunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3.2 Optimaler Antriebskraftverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.4 Rechteckspr¨unge und Restschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5 St¨oße und deren Kompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.1 Einzelstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.2 Mehrere St¨oße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.3 Endlose Stoßfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6 Resonanzdurchlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Gestellschwingungen und Massenausgleich . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Torsionsschwingungen und Leistungsausgleich . . . . . . . . . . . 5.5.3 HS-Proﬁle bei Kurvengetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.1 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.2 Rastgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3.3 Schrittgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Beeinﬂussung des Erregerspektrums mehrgliedriger Koppelgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimale St¨utzenabst¨ande angetriebener Balken . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Gekoppelte Biege- und Torsionsschwinger . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Balken auf mehreren St¨utzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Antriebe von Vibrationsmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Schubkurbelgetriebe als Schwingungserreger . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Unwuchterreger und Selbstsynchronisation . . . . . . . . . . . . . 5.7.3.1 Zur historischen Entwicklung dieser Antriebsart . . . . 5.7.3.2 Bedingungen f¨ur stabile Betriebszust¨ande von Unwuchtrotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3.3 Beispiele f¨ur Vibrationsantriebe mit Selbstsynchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Vibrationshammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.1 Minimale konstante Handkraft . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4.2 Dynamisch ausgeglichener pneumatischer Schlaghammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327 329 332 332 336 339 339 344 347 354 354 354 358 360 366 372 372 375 378 378 382 384

. . . . . . . . . .

391 393 393 394 397 404 404 405 410 410

. 412 . 416 . 421 . 421 . 423

H¨auﬁg benutzte Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

1 Einleitung

Antriebssysteme sind das Herzst¨uck aller Maschinen. Die technische Entwicklung (Steigerung der Drehzahlen, der Genauigkeit, der Produktivit¨at, des Wirkungsgrades oder die Senkung des L¨arm- und Schwingungspegels) verlangt bei vielen Antrieben vom Entwickler und Konstrukteur die L¨osung dynamischer Probleme. Schon im Stadium der Projektierung und Konstruktion (also vor dem Musterbau) sollen dynamisch g¨unstige L¨osungen gefunden werden. Vielfach muß der Ingenieur in seiner Firma ein konkretes Problem m¨oglichst schnell, kosteng¨unstig, umweltfreundlich und dauerhaft l¨osen. Was kann man einem Antriebstechniker dazu f¨ur Ratschl¨age geben, wo jedes Erzeugnis und jedes Problem seine Besonderheiten hat? Es kann n¨utzlich sein, die L¨osung vergleichbarer Fragestellungen aus Nachbargebieten zu beachten, um die Fehler, die andere gemacht haben, zu vermeiden. Es gibt erzeugnisunabh¨angige allgemeine Probleme in der Antriebsdynamik. Dazu z¨ahlen: • die Erf¨ullung der von der Technologie (vereinfacht gesagt: an der Kontaktstelle zwischen Werkzeug und Werkst¨uck) gestellten Anforderungen, • Probleme der Modellbildung (von der Problemformulierung bis zur Deutung der Meß- und Rechenergebnisse), • gemeinsame Grundlagen aus der Physik (dynamisches Verhalten, modale und spektrale Betrachtungsweise), • Realisierung von solchen Standardaufgaben“ wie Anfahren, Bremsen, eine Be” wegung erzeugen, Resonanzdurchlauf, • Bewertung von Parametereinﬂ¨ussen. Man k¨onnte die Probleme der Antriebsdynamik danach ordnen, welche Objekte wie in Bewegung versetzt, wie sie r¨aumlich und zeitabh¨angig bewegt werden, also z. B.: • bewegte Objekte: Punktmassen, starre K¨orper, Mechanismen, St¨abe, Biegebalken, Strukturen, Platten, Scheiben, Schalen, • Bewegung im Raum: rotierend, vibrierend, translatorisch, auf ebenen oder r¨aumlichen Bahnen, • Bewegungsablauf in der Zeit: stetig beschleunigend oder verz¨ogernd, unstetig (stoßartig, sprunghaft), harmonisch, periodisch. Aus der Kombination der verschiedenen F¨alle in diesen drei Punkten resultiert die ganze Vielfalt der praktischen Fragestellungen, wie sie z. B. bei solchen Bewegungen wie

2

1 Einleitung

• rotierenden Bewegungen von Schleifspindeln, Textilspindeln, Wicklern, Zentrifugen, Unwuchterregern, • vibrierenden Bewegungen von Schwingf¨orderern, Webladen und Nadelbarren in Textilmaschinen und R¨utteltischen, • gleichf¨ormigen Bewegungen von Zahnrad-, Planeten- und Riemengetrieben, • ungleichm¨aßigen Bewegungen von Kurven-, Koppel- und R¨aderkoppelgetrieben vorkommen, oder bei unerw¨unschten Schwingungen in Motoren, spielbehafteten Lagern und Gelenken und bei den Abtriebsbewegungen (Positioniergenauigkeit). Grundlagenkenntnisse sind zeitlos g¨ultig und auf verschiedene Erzeugnisse (auch auf noch nicht existierende!) u¨ bertragbar. Die theoretischen und experimentellen Methoden und Verfahren, die von den Bearbeitern konkreter Probleme in der Literatur erw¨ahnt werden, wiederholen sich. Der Autor hat sich bem¨uht, die unver¨anderlichen gemeinsamen Grundlagen so zu vermitteln, daß man die in der Praxis auftauchenden Probleme einordnen und l¨osen kann. Dazu geh¨ort die Deutung komplizierter Erscheinungen (auch von Rechen- oder Meßergebnissen) durch die Zur¨uckf¨uhrung auf Elementarvorg¨ange, wozu z. B. die Beachtung von Eigenbewegungen (und als Sonderfall davon die modale Betrachtungsweise) geh¨ort. Die Entwicklung der Software hat in den vergangenen Jahren große Fortschritte gemacht, so daß heutzutage Probleme l¨osbar sind, die noch vor einigen Jahren wegen der damit verbundenen numerischen Probleme unl¨osbar schienen. Es ist nicht mehr n¨otig, die Gleichungen aufzustellen und analytisch zu l¨osen, aber zum physikalischen Verst¨andnis tr¨agt die Rechnung von Hand“ wesentlich bei. Im vorliegenden Buch ” werden analytische L¨osungen vorgestellt: • wenn es um einfach l¨osbare Aufgaben geht, • wenn analytische Zusammenh¨ange die u¨ bersichtliche Darstellung von Parametereinﬂ¨ussen erm¨oglichen, • wenn analytische Zusammenh¨ange zur Vorbereitung numerischer Auswertungen interessieren und • wenn dimensionslose Kenngr¨oßen eingef¨uhrt werden. Mit der Einsatzm¨oglichkeit leistungsf¨ahiger Software sind allerdings einige neue Problemgruppen entstanden. Dazu geh¨oren: • h¨ohere Anforderungen an die Kunst der Modellbildung“ (die Problembearbei” ter m¨ussen die physikalischen Zusammenh¨ange verstehen, bevor Software eingesetzt wird), • neue Anforderungen an Eingabedaten (insbesondere f¨ur Erregungen, Steiﬁgkeiten und D¨ampfungen fehlen Parameterwerte), • neue Anforderungen bez¨uglich der Ergebniskontrolle (Computerergebnisse bewerten, Rechenergebnisse u¨ berpr¨ufen), • h¨ohere Anforderungen an die Ergebnisinterpretation und Phantasie bei der konstruktiven Umsetzung. Das zweite Kapitel befaßt sich deshalb ausf¨uhrlich mit Fragen der Modellbildung. Das dritte Kapitel geht auf die Besonderheiten von Torsionsschwingungen in Antriebsstr¨angen ein.

1 Einleitung

3

Das vierte Kapitel befaßt sich mit gekoppelten Biege-, L¨angs- und Torsionsschwingungen. Das f¨unfte Kapitel widmet sich Syntheseaspekten, darunter auch mit optimalen Bewegungsabl¨aufen und Fragen der Struktursynthese. Es werden viele Beispiele aus der Konstruktionspraxis dargestellt. Eine erzeugnisunabh¨angige und problemorientierte Betrachtungsweise erlaubt, Querverbindungen bez¨uglich der Formulierung und L¨osung dynamischer Probleme herzustellen. Es kommt dem Autor darauf an, die M¨oglichkeiten der gezielten konstruktiven Einﬂußnahme auf den verschiedenen Ebenen der Problembearbeitung zu zeigen. Es werden die Grundlagenkenntnisse der Mathematik und Mechanik vorausgesetzt, die ein Diplomingenieur des Maschinenbaues w¨ahrend seines Studiums normalerweise erworben hat, z. B. Methoden zur Aufstellung von Differentialgleichungen und Grundlagen der Matrizenrechnung. L¨osungsmethoden f¨ur Gleichungen, Differentialgleichungen und Eigenwertprobleme werden wie die handels¨ubliche Software als black box behandelt. Es wird auf dem im Lehrbuch der Maschinendynamik [150] vermittelten Stoff aufgebaut. Der Autor stellt eigene Forschungsergebnisse vor und ber¨ucksichtigt bei der Stoffauswahl den gegenw¨artigen internationalen Entwicklungsstand. Dazu wurde neben der Literatur des deutschen und englischen Sprachraums auch die sonst wenig beachtete osteurop¨aische Literatur ausgewertet. Am Ende vieler Kapitel erfolgt ein Ausblick auf den aktuellen Stand bei der Untersuchung des behandelten Objekts, wie er sich in Dissertationen und weiterf¨uhrenden Forschungsberichten darstellt, so daß der interessierte Leser auch Anregungen f¨ur eigene weitergehende Arbeiten ﬁndet.

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung 2.1.1 Ziele der Modellbildung Ein reales Antriebssystem l¨aßt sich durch kein Berechnungsmodell so abbilden, wie ” es wirklich ist“. Ein Berechnungsmodell ist stets das Ergebnis einer Abstraktion und soll f¨ur einen bestimmten Zweck verwendbar sein. F¨ur ein und dasselbe Antriebssystem k¨onnen durchaus unterschiedliche Berechnungsmodelle zweckm¨aßig sein, je nach den Fragen, die gestellt oder den Antworten, die gesucht werden. Man benutzt Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik aus drei Gr¨unden: 1. Zeit- und Kostenersparnis bei der Entwicklung neuer oder verbesserter Erzeugnisse dadurch, daß an Stelle teurer Versuchsst¨ande (oder Messungen an der realen Maschine, deren Betrieb man unterbrechen muß) die dynamische Simulation am Computer erfolgen kann. 2. Kl¨arung physikalischer Ursachen f¨ur st¨orende Erscheinungen (z. B. Resonanzschwingungen, Br¨uche, L¨arm). St¨or- und Schadensf¨alle haben, nachdem sie intensiv ausgewertet wurden, oft zur Verbesserung der Modellbildung und zum Modellverst¨andnis beigetragen. 3. Ermittlung optimaler Parameterwerte hinsichtlich der jeweiligen speziellen Kriterien (z. B. Materialaufwand, Energiebedarf, Steiﬁgkeit, Lage der kritischen Drehzahlen u. a.). In den vergangenen Jahren haben die M¨oglichkeiten zur modellgest¨utzten Analyse mechanischer Systeme an Bedeutung gewonnen, da sich durch die Leistungsf¨ahigkeit der Computer und der Software der zeitliche und ﬁnanzielle Aufwand f¨ur Simulationsrechnungen bedeutend vermindert hat. Demgegen¨uber sind Pr¨ufstandversuche zeit- und kostenaufwendig geblieben. Allgemein kann man sagen: Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik haben den Zweck, das dynamische Verhalten der Objekte (Maschinenelemente, Baugruppen oder das Gesamtsystem) qualitativ richtig darzustellen und die quantitative Berechnung von Kraftund Bewegungsgr¨oßen zu erm¨oglichen, so daß der Einﬂuß aller f¨ur die jeweilige Fragestellung wesentlichen konstruktiven Parameter auf das dynamische Verhalten erkennbar und interpretierbar wird.

6

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

In einer fr¨uhen Konstruktionsphase, die ohne gesicherte experimentelle Untersuchungen auskommen muß, kann man nur von wenigen Parameterwerten ausgehen. Es empﬁehlt sich, in diesem Stadium die Parameter zu variieren und zu analysieren, welchen Einﬂuß Parameter¨anderungen haben. Erst in einer sp¨ateren Konstruktionsphase, wenn schon ein Funktionsmuster gebaut wurde, kann man mit experimentellen Ergebnissen vergleichen. Da eine experimentelle Untersuchung nur mit zus¨atzlichem Aufwand mehrere Parameter¨anderungen zul¨aßt, ist es prinzipiell schwierig, daraus allgemeing¨ultige Aussagen f¨ur große Parameterbereiche zu gewinnen. Ein deutlicher Vorteil bei experimentellen Untersuchungen sind die unvereinfachten“ realen Verh¨altnisse des Ob” jekts. Der Prozeß der Modellbildung in der Antriebsdynamik ordnet sich in einen allgemeinen Prozeß der Systemdynamik ein, der in [42] beschrieben wird, vgl. Bild 2.1.

Bild 2.1 Simulation dynamischer Systeme [42]

Die Modellbildung in der Antriebsdynamik betrifft physikalische, mathematische und analytisch/numerische Gesichtspunkte. F¨ur dieselbe Fragestellung k¨onnen unterschiedliche Bearbeiter durchaus verschiedene physikalische Modelle zur Problembeschreibung benutzen, also z. B. kontinuierliche Modelle oder diskrete Modelle, vgl. die Abschnitte 2.3.5 und 2.4.4. Es ist durchaus m¨oglich, dasselbe reale Objekt sowohl mit der Methode der Finiten Elemente (FEM) als auch mit der Methode der Mehrk¨orper-Systeme (MKS) zu beschreiben und zu berechnen. Bereits bei der Modellbildung hat man sich auf die Nutzung des großen Angebots an kommerziel¨ ler Software f¨ur die Modellberechnung einzustellen. Tabelle 2.1 gibt eine Ubersicht u¨ ber einige in der Antriebsdynamik vielfach eingesetzte Programmsysteme. Es besteht die Gefahr, daß man bei der Beschr¨ankung auf vorhandene Software die analytischen Zusammenh¨ange vergißt“. Analytische Methoden behalten ihre ” ¨ Bedeutung f¨ur Absch¨atzungen, f¨ur Plausibilit¨atsbetrachtungen,f¨ur die Ahnlichkeits¨ mechanik und f¨ur alle Uberlegungen zur Normierung und Skalierung von Parameterwerten.

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

Tabelle 2.1 Programmsysteme f¨ur die Antriebsdynamik Nr. 1

Name ABAQUS

2

alaska

3

ANSYS

4

ARLA SIMUL

5

DRESP

6

ITI -SIM

7

LS-Dyna

8

mHSL

9

MSC

10

Pro/ Mechanica

Kurzbezeichnung Nichtlineares FEM-Berechnungsprogramm (explizite und implizite Zeitintegration), große Verformungen, Kontakt, nichtlineare Materialgesetze Simulation von Mehrk¨orpersystemen einschließlich elektromechanischer Systeme (nichtlinear/linear) zus¨atzliche Differentialgleichungen formulierbar, Modalanalyse Universelles FEM-Programmpaket f¨ur Statik, Dynamik, Temperaturfeld, elektromagnetische Felder, Str¨omung; Große Verformungen, Nichtlinearit¨aten, Kontakt, Station¨are und transiente Berechnungen Berechnung linearer/nichtlinearer Torsionsschwingungssysteme (instation¨ar/ station¨ar), insbesondere Antriebsstr¨ange; Frequenzanalyse, Modalanalyse Simulation des dynamischen Anlagenverhaltens, insbesondere des Drehschwingungsverhaltens von Antriebssystemen Simulationssoftware f¨ur mechanische, elektrische, hydraulische, pneumatische und thermische Komponenten- und Systemanalyse inklusive Regelung Nichtlineares FEM-Programm (explizite und implizite Zeitintegration), Statik und Dynamik, große Verformungen, Kontakt, nichtlineare Materialgesetze, crash und impact Simultane Generierung und Optimierung von bis zu 5 HS-Bewegungsgesetzen (Lagefunktionen) unter Vorgabe von bis zu 120 Forderungen; Ber¨ucksichtigung des Schwingungsverhaltens Mehrk¨orpersimulation, Modalanalyse, Gesamtsystemanalyse Produktfamilie f¨ur funktionelle Simulationsl¨osungen in Verbindung mit dem CAD-Modell f¨ur strukturelle, thermische und mechanische/dynamische Fragestellungen Lineare Statik und Dynamik, Parameteroptimierung, abgeschlossenes FEM-Programm

Internet-Adresse: http://. . . www.abaqus.de

www.tu-chemnitz.de/ifm

www.cadfem.de [10], [312]

www.arla.de [213], [301]

www.ime.rwth-aachen.de/ ˜dresp/

www.iti.de [302], [285]

www.dynamore.de

www.mb.tu-chemnitz.de/ MADYN/

www.mscsoftware.com www.rand.com

7

8

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.1 Programmsysteme f¨ur die Antriebsdynamik (Fortsetzung) Nr. 11

Name SAM

12

SAMCEFMECANO

13

SIMPACK

14

WinDAM

Kurzbezeichnung Getriebeentwurf Bewegungs- und Kraftanalyse von 2-DGetrieben (als Starrk¨orpermechanismus) Mehrk¨orpersimulation von Starrk¨orpern und/oder ﬂexiblen 2-D- oder 3-D-Strukturen Simulation beliebiger mechanischer Systeme FEM, CAD kinetostatische Analyse ebener Mechanismen mit mehreren Antrieben und beliebiger Struktur Integration der Bewegungsgleichung partielle Ableitungen berechenbar

Internet-Adresse: http://. . . www.artras.nl

software.de/sw/software/

www.cam-uksimpack.demon.co.uk/ siminfo.html www.mb.tu-chemnitz.de/ MADYN/

Ein Unterschied zwischen verschiedenen Berechnungsmodellen besteht oft im Aufwand, sowohl bei der physikalischen und mathematischen Beschreibung als auch bei der L¨osung der Modellgleichungen. Die konstruktiven Schlußfolgerungen k¨onnen unabh¨angig vom betriebenen mathematischen oder numerischen Aufwand sein, d. h., es ist im Idealfall m¨oglich, daß man mit Minimalmodellen die geforderten Aussagen zur Beeinﬂussung des realen Objekts ﬁnden kann. Jede Modellberechnung bezieht sich auf eine bei der Modellbildung festzulegende topologische Struktur. Eine charakteristische Gr¨oße f¨ur ein Berechnungsmodell ist der Parametervektor, der die Gesamtheit der Modellparameter erfaßt, mit denen das reale Objekt beschrieben wird. Das reale Objekt wird also stets auf eine endliche Anzahl von K Einﬂußgr¨oßen reduziert, vgl. Tabelle 2.2. Modellbildung beginnt mit der Deﬁnition eines Parametervektors, also der Einﬂußgr¨oßen, die u¨ berhaupt in Betracht gezogen werden. Konstruktive Maßnahmen“ ” beziehen sich lediglich auf die Umsetzung der am Berechnungsmodell gefundenen zweckm¨aßigen Parameterwerte. Konstruieren ist in diesem Sinne das Festlegen von Zahlenwerten f¨ur die Komponenten der Parametervektoren. Ein reales Objekt wird durch hunderte oder tausende von Parameterwerten deﬁniert, aber nicht alle werden in Berechnungsmodellen erfaßt. Jedes Berechnungsmodell beschr¨ankt sich auf eine endliche Anzahl von Parametern. Manchmal sind noch nicht einmal Minimalmodelle notwendig, um konstruktive Entscheidungen zu treffen. Oft legt ein Experte, der ein tiefes Verst¨andnis des physikalischen Hintergrundes besitzt, die wesentlichen Parameterwerte fest. Auf Grund umfangreicher Erfahrungen kann man auch zu Ergebnissen gelangen, die sich scheinbar nur mit komplizierten Berechnungsmodellen begr¨unden lassen. In einigen Industriezweigen, wo hochwertige Produkte produziert werden, sind oft komplizierte Berechnungsmodelle u¨ blich. Diese sind in jahrzehntelanger Wechselwirkung zwischen Rechnung und Messung entwickelt worden. Das trifft z. B. auf den Turbinenbau, Schiffbau, Fahrzeugbau und die Luft- und Raumfahrttechnik zu, wo hunderte von Mannjahren in die Entwicklung zutreffender Berechnungsmodelle

9

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

Tabelle 2.2 Anzahl der Parameter im Parametervektor p bei typischen Beispielen Gl.-Nr.

Tabelle 2.6

(2.38), (2.47)

2.7

2.2.3

2.8

2.20 2.26 2.29 2.33 2.37 2.39 2.47 2.60

2.2.4.1 2.2.4.2 2.2.4.3 2.3.3 2.3.4.2 2.3.4.3 2.3.5 2.4.2 2.4.3 2.4.4.4 2.5.3

2.57

(2.75) (2.81)

Objekt Ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Mechanismen Schubkurbelgetriebe

Anzahl K 2...5

3...9 8 8 15 6 11 7 11 23 15 (9) 4

2.5.1.2

Rotoren mit Unwucht Pumpenwelle Versuchsstand Wickler Hubwerk Hubwerk Elastisch gelagerter Balken Schleifspindel Fahrbewegung Br¨uckenkran Getriebewelle Torsionsschwinger mit zwei Freiheitsgraden Torsionsschwingerkette

3.13

3.4.2.2

Scheibenkupplung

5

4.3

3.4.3 4.2

Asynchronmotor Torsionsschwingung Fahrzeugantriebsstrang Schneckengetriebe Biege- und Torsionsschwingung Riemen L¨angs- und Torsionsschwingung Riemengetriebe Zahnriemen Planetengetriebe Regalbedienger¨at Koppelgetriebe Schrittgetriebe Kettenwirkmaschine

6 31

2.13

(2.162) (2.173) (2.217) 2.12 2.17 (2.397) (2.368), (2.372) (3.63), (3.64) (3.69) 4.1 (4.46) (4.47)

Bild

Abschnitt 2.1.2.3

4.21

4.5.3 4.6.2

(4.48)

4.25

4.6.2

(4.84)

4.30 4.31 4.36 5.36 5.43 5.49

4.6.5 4.7.2 4.8.4 5.5.1 5.5.3.3 5.6.2

(4.140) (5.217) (5.243)

4.4

6...9

7

15 8 17 6 9 13 15 7 6

und deren Umsetzung in erzeugnisorientierte Spezialprogramme investiert wurden. Dort ist es m¨oglich und u¨ blich, das dynamische Verhalten vieler Baugruppen bei allen denkbaren dynamischen Vorg¨ange mit Berechnungsmodellen zu simulieren. F¨ur viele solcher hochentwickelten Objekte existieren ausgereifte Berechnungsmodelle, die die realen Verh¨altnisse sehr gut wiedergeben. Von Modellbildung“ im engeren Sinne kann man eigentlich nur dann sprechen, ” wenn f¨ur einen realen Vorgang ein Berechnungsmodell u¨ berhaupt erst gebildet wer-

10

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

den soll. Existiert bereits ein Berechnungsmodell und werden bei der Erzeugnisentwicklung neue Parameterbereiche (z. B. h¨ohere Drehzahl, neuer Werkstoff, gr¨oßere Abmessungen) angestrebt, muß dabei eine Modellbildung“ den Geltungsbereich des ” bisherigen Berechnungsmodells erweitern. Im allgemeinen Maschinenbau sind f¨ur viele Objekte und Vorg¨ange noch keine ausreichenden Berechnungsmodelle vorhanden. Der Prozeß der Modellbildung ist bei vielen Baugruppen gegenw¨artig in vollem Gange, und es gibt bisher noch keine allgemeing¨ultige Modellbildungs-Strategie. Im Abschnitt 2.3 wird die induk” tive Modellbildung und im Abschnitt 2.4 die deduktive Modellbildung“ als Stra” ” tegie erl¨autert, aber in der Praxis werden meist gemischte“ heuristische Strategien ” benutzt. Abschließend seien noch einige Regeln genannt, die man bei der Modellbildung beachten sollte: 1.

Man beginne mit der Modellbildung erst dann, wenn man die dynamischen Vorg¨ange am realen Objekt kennt und in der Lage ist, physikalisch begr¨undete Hypothesen zu formulieren. 2. Ein Berechnungsmodell muß zweckm¨aßig und qualitativ richtig sein. Es soll so einfach wie m¨oglich und nur so kompliziert sein, daß es die gestellten Genauigkeitsanforderungen erf¨ullt. Ein Modell wird durch pr¨azise Eingabedaten nicht qualitativ besser. 3. Kein Modell bildet die Realit¨at absolut richtig ab, die Genauigkeit jedes Parameterwertes ist begrenzt, und die Modellstruktur ist ein endlicher Ausschnitt aus der unbegrenzten Realit¨at. 4. Außerhalb des Geltungsbereichs eines Berechnungsmodells kann die Berechnung große Abweichungen von der Realit¨at und sogar unsinnige Ergebnisse liefern. 5. Man erweitere Berechnungsmodelle bei Bedarf und ziehe aus Modellstufen niederer Ordnung keine Schlußfolgerungen h¨oherer Ordnung. 6. Man ber¨ucksichtige in einem Berechnungsmodell insbesondere solche Parameter des realen Objekts, deren Parameterwerte experimentell beeinﬂußbar sind. 7. Man u¨ berzeuge sich von den Parametereinﬂ¨ussen einer Modellberechnung durch davon m¨oglichst unabh¨angige Berechnungsmodelle und benutze zumindest Plausibilit¨atskontrollen. 8. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Berechnungsmodells ist nicht direkt abh¨angig von der Anzahl der Parameterwerte. Sie ist zwar ein Maß f¨ur den erforderli¨ chen Rechenaufwand, aber nicht f¨ur die erzielbare Ubereinstimmung zwischen Rechen- und Meßergebnissen. 9. Man erwarte von Eingabedaten f¨ur Parameterwerte keine h¨ohere Genauigkeit als zwei bis drei g¨ultige Ziffern und demzufolge auch nicht von den Ergebnissen der Modellberechnung. 10. Man kann von Computern in der Regel numerisch genaue Ergebnisse erwarten, aber man glaube nicht, daß im Vergleich zur Realit¨at stets unbedingt richtige L¨osungen gewonnen werden. Der Praxisabgleich“ ist entscheidend! ” 11. Man nutze alle Kontrollm¨oglichkeiten f¨ur die numerischen Ergebnisse. Jede Rechnung ohne Kontrolle geh¨ort in den Papierkorb! 12. Man pr¨ufe das Modell durch Abgleich der Parameterwerte und der Simulationsergebnisse mit experimentellen Ergebnissen.

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

11

2.1.2 Typen der Berechnungsmodelle 2.1.2.1 Allgemeines Bild 2.2 zeigt Gesichtspunkte, die mit der Modellbildung im Zusammenhang stehen. Die Anwendung von Berechnungsmodellen ist sinnvoll, wenn die Parameterwerte hinreichend genau zur Verf¨ugung stehen, das Berechnungsmodell das Realsystem qualitativ richtig abbildet, das Simulationsprogramm das Berechnungsmodell korrekt auswertet, die am realen Objekt vorhandenen Kraft- und Bewegungsgr¨oßen vorausberechnet werden k¨onnen, konstruktive Schlußfolgerungen m¨oglich sind und berechnete Gr¨oßen hinreichend genau mit experimentellen Ergebnissen u¨ bereinstimmen. Konstruktionsunterlagen (Vorkenntnisse, Erfahrungen)

Berechnungsmethoden für Parameterwerte

Berechnungsmodell (Struktur, Parameter)

Modellstruktur korrigieren

Parameterwerte (präzisieren)

Modellberechnung (Simulation) (Software, z. B. FEM, MKS)

Strukturbewertung (qualitativer Vergleich)

quantitativer Vergleich

Kraft- und Bewegungsgrößen

Messung von Parameterwerten

Messungen am realen Objekt

Schlußfolgerungen, Systemkonfiguration (z. B. Dimensionierung der Bauteile)

Meßstrategie

reales Objekt (z. B. Antriebssystem) Bild 2.2 Prinzipielle Wechselwirkungen und Aspekte bei der Modellbildung

Zur Modellbildung geh¨oren Daten zu den Parametern (Parameterwerte). Da man die Parameterwerte in der Fachliteratur nicht immer ﬁndet, ist ihre Ermittlung eine Teilaufgabe der Modellbildung. Es ist w¨unschenswert, daß die Firmen, welche die f¨ur Antriebssysteme typischen Baugruppen herstellen, in den Prospekten und Erzeugniskatalogen außer geometrischen auch Kennwerte und Kennlinien ver¨offentli-

12

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

chen, welche das mechanische (und/oder elektromagnetische) Verhalten ihrer Produkte quantitativ beschreiben. Jedes diskrete oder kontinuierliche Berechnungsmodell l¨aßt sich durch endlich viele (Anzahl K) Parameter beschreiben, die man einheitlich mit p1 , p2 , . . . , pk bezeichnen kann. Ein konkretes Objekt wird durch Parameterwerte (also Zahlenwerte mit Maßeinheiten) charakterisiert. Man kann sie zusammenfassend in einem Parametervektor pT = (p1 , p2 , . . . , pk )

(2.1)

erfassen. Auf die Auswahl eines Berechnungsmodells (Mitte oben in Bild 2.2) wird in den Abschnitten 2.3 und 2.4 eingegangen. Beim gegenw¨artigen Entwicklungsstand wird meist Software auf der Basis von FE-Modellen, MKS-Modellen oder der Kopplung von solchen Modellen mit CAD-Systemen eingesetzt. Bei großen Bewegungen sind MKS-Programme von Vorteil, da sie alle geometrischen Nichtlinearit¨aten automa” tisch“ ber¨ucksichtigen. In allen F¨allen spielt die modale Analyse eine zentrale Rolle, und das Denken mit Begriffen wie Eigenfrequenzen und Eigenformen ist bei der Modellbildung von großem Vorteil, da zu Anfang oft die Frage steht, ob ein Berechnungsmodell linear oder nichtlinear angesetzt werden kann. Die rechte Spalte in Bild 2.2 dr¨uckt aus, daß man Strategien zum Vergleich von Rechen- und Meßergebnissen und zur Modellanpassung ben¨otigt, wie sie in Abschn. 2.5 behandelt werden. Vor einer Messung sollte schon ein Konzept f¨ur die sp¨atere Auswertung im Hinblick auf die Modellbildung vorhanden sein. Die erw¨ahnte Meßstrategie soll die qualitativ zu erwartenden Systemantworten und deren Gr¨oßenordnung gedanklich vorwegnehmen. Dies ist nicht nur wegen der Auswahl der Meßbereiche der Geber von Interesse, sondern auch wegen des Ergebnisvergleichs mit traditionellen Modellvorstellungen. Mit den unter dem Punkt Modellberechnung erw¨ahnten Kraft- und Bewegungsgr¨oßen sind zeitlich ver¨anderliche Kr¨afte, Momente, Leistungen, Frequenzen, Schwingformen, Wege, Deformationen, Winkel und deren Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Winkelgeschwindigkeiten u. a. gemeint. Die Schlußfolgerungen beziehen sich letzten Endes auf die konstruktive Umsetzung der Parameterwerte, angefangen von den Motordaten, denen der Getriebe, Kupplungen und Antriebsstr¨ange bis zu denen der Abtriebsglieder. Zur Dimensionierung einzelner Baugruppen, auch zur Optimierung, werden in den Abschnitten 3 und 4 typische Beispiele behandelt. Die analytische und numerische Behandlung der Berechnungsmodelle erfolgt f¨ur Antriebssysteme in a¨ hnlicher Weise wie die der Tragsysteme in der Strukturdynamik. Gemeinsam wird auf viele Gebiete der angewandten Mathematik und speziell auf die Theorie der linearen Schwingungssysteme zur¨uckgegriffen. Wenn die Berechnungsmodelle linear sind, k¨onnen u. a. die Methoden der Modalanalyse, der Substrukturtechnik und der Freiheitsgradreduktion auch in der Antriebsdynamik angewendet werden. Worin bestehen die Besonderheiten der Berechnungsmodelle in der Antriebsdynamik? • Antriebssysteme dienen dazu, K¨orper zu bewegen, also werden infolge der Bewegungen stets Massenkr¨afte verursacht. Man hat es also mit Berechnungsmo-

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

•

•

•

•

•

•

13

dellen zu tun, bei denen die dynamischen Kr¨afte von den Parametern des Systems selbst abh¨angen, w¨ahrend in der Strukturdynamik die Erregungen meist von au” ßen“, entweder aus einer kinematischen Erregung (z. B. Erdbeben) oder aus den Massenkr¨aften eines Antriebssystems (z. B. Unwuchterregung) stammen. Die Massenkr¨afte kann man nach der Ursache der Beschleunigung zweckm¨aßig als Summe der kinetostatischen Massenkr¨afte und der Vibrationskr¨afte (vibrodynamische Kr¨afte) verstehen. Als kinetostatische Kr¨afte werden diejenigen Anteile bezeichnet, die sich aus der Beschleunigung der starren K¨orper ergeben ( star” re Maschine“, Modellstufe 1). Man kann dabei noch unterscheiden zwischen den kinetostatischen Kr¨aften der zwangl¨auﬁgen (erw¨unschten) Prim¨arbewegung und denen der unerw¨unschten Sekund¨arbewegung, die sich infolge des stets vorhandenen Spiels in F¨uhrungen, Lagern und Gelenken einstellt und zu Zusatzbeschleunigungen f¨uhrt. Kinetostatische Kraftverl¨aufe der Prim¨arbewegung stellen Mittelwerte dar, denen die kinetostatischen Kr¨afte der Sekund¨arbewegung und die Vibrationskr¨afte u¨ berlagert sind. Die im Abschnitt 2.2.3.3 behandelte tangentiale Bewegung des Bolzens in der Lagerschale, die Kolbensekund¨arbewegung (Abschn. 2.2.3.4) oder der Schr¨aglauf (Abschn. 4.9) sind Beispiele f¨ur Sekund¨arbewegungen, aber auch alle unerw¨unschten zus¨atzlichen Schwingungen kann man als Sekund¨arbewegungen auffassen, vgl. Bilder 2.7, 2.9b, 2.10, 2.12d, 2.17, 2.18, 2.19, 4.13 bis 4.16, 2.50 und 5.45. Als Vibrationskr¨afte werden die Anteile bezeichnet, die infolge der den Beschleunigungen der Starrk¨orper u¨ berlagerten Schwingungen der realen Systeme entstehen. Sie k¨onnen durch die Prim¨arbewegung (z. B. aus erzwungenen Schwingungen resultierenden Massenkr¨afte) oder die Sekund¨arbewegung (z. B. Stoßkr¨afte beim Kontakt von K¨orpern) verursacht werden. Vibrationskr¨afte sind mit Modellen berechenbar, bei denen das (lineare oder nichtlineare) elastische Verhalten (z. B. an den Kontaktstellen oder das Materialverhalten) ber¨ucksichtigt wird, vgl. die Modellstufe 2 oder Modellstufe 3 in Tabelle 2.3 und die Bilder 2.9a, 2.10 und 2.12. Nicht nur bei Verbrennungsmotoren (z. B. Kr¨opfungswinkel bei Kurbelwellen, Reihenfolge der Z¨undzeitpunkte), sondern auch bei allen anderen Antriebssystemen gibt es relativ viele M¨oglichkeiten, Strukturen und Parameter zu variieren, durch optimale Parameter die Schwingungserregung zu vermindern und das Schwingungsverhalten zu beeinﬂussen, vgl. die Beispiele in Kapitel 5. In Antriebssystemen treten h¨auﬁg nichtlineare Effekte auf. Diese k¨onnen infolge geometrischer Nichtlinearit¨aten bei großen Bewegungen“ oder infolge nichtli” nearen Materialverhaltens (wozu auch das Reibungsverhalten geh¨ort) auftreten, vgl. Abschn. 2.2.3, 2.2.4, 3.4.2, 4.4 und 4.6.3. Knicke und Unstetigkeiten sind auch eine typische Besonderheit in Berechnungsmodellen der Antriebssysteme. Dazu geh¨oren gestufte Federn, das Spiel in Kupplungen oder Zahnradpaarungen, das Lagerspiel, Reibkraftspr¨unge, die bei Richtungs¨anderung der Relativgeschwindigkeit in Lagern auftreten, und auch die Selbsthemmung (z. B. bei Schneckengetrieben) ist eine unstetige“ Nichtlinea” rit¨at, vgl. Abschn. 4.5. Manchmal spielt bei der Bestimmung der dynamischen Belastungen die Wechselwirkung des Antriebs mit seiner Energiequelle eine wesentliche Rolle. Es wird dann erforderlich, die Kennlinien der hydraulischen, pneumatischen

14

•

•

•

•

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

oder elektromechanischen Antriebe in die Modellgleichungen einzubeziehen, vgl. Abschn. 3.4.3 und 4.1. In der Antriebsdynamik werden von Seiten der Elektriker“ einfache Berechnungsmodelle f¨ur das dynamische Verhalten der ” mechanischen Komponenten gew¨unscht und andererseits m¨ussen von Seiten des Mechanikers“ Methoden der Steuer- und Regelungstechnik beachtet werden. ” Es gibt F¨alle, in denen die Gestellbewegungen einen Einﬂuß auf die Massenkr¨afte des Antriebssystems haben, d. h., die mechanischen Wechselwirkungen zwischen Antrieb und Gestell m¨ussen manchmal im Berechnungsmodell ber¨ucksichtigt werden, vgl. das Beispiel der Unwuchterregung in Abschn. 2.2.4, des Pressenantriebs in Abschn. 2.2.3.2 und der Selbstsynchronisation in Abschn. 5.7.3. Ein typisches Problem ist die Modellierung der Lagerstellen von Antriebssystemen. Je nach Fragestellung muß einer Kontaktstelle bei der Modellbildung besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden, vgl. das Beispiel in Bild 2.33 und die Kennwerte in Abschn. 3.3.3. Die mathematische Modellierung von Antriebssystemen hat vom Standpunkt der Mechanik noch die Besonderheit, daß es an Stelle der Absolutkoordinaten, welche die Lage des mechanischen Systems gegen¨uber einem raumfesten Bezugssystem beschreiben, oft zweckm¨aßig ist, Relativkoordinaten zu benutzen, vgl. die Beispiele in Abschn. 2.2.3 und 2.2.4. Die Eigenfrequenzen beim Fahren unterscheiden sich von den Eigenfrequenzen im Stillstand des (von der Bremse festgehaltenen) Systems, vgl. die Beispiele in Abschn. 2.3.4. und 4.8.3. Bei rotierenden K¨orpern in einem Antriebssystem unterscheiden sich die bez¨uglich des rotierenden Bezugssystems gemessenen Frequenzen von denen, die man am raumfesten Bezugssystem messen kann. Beim konstruktiven Entwurf eines Antriebssystems gibt es gewisse Freiheiten bei der Gestaltung der Zeitverl¨aufe, die maßgeblichen Einﬂuß auf das dynami¨ sche Verhalten haben. Dynamisch gunstige Bewegungsgesetze k¨onnen Schwingungen vermeiden und vermindern, vgl. das Beispiel des Schrittgetriebes in Abschn. 5.5.3.3 oder die Beispiele in Abschn. 5.4 und 5.5.4.

2.1.2.2 Einteilung der Berechnungsmodelle Im folgenden wird eine Systematik vorgeschlagen, um die verschiedenen Berechnungsmodelle zu ordnen. Dies soll das theoretische Verst¨andnis erleichtern sowie Hilfestellung bei der Modellbildung und bei der Suche nach den Schwingungsursachen geben, vgl. [81]. In der Technischen Schwingungslehre und Maschinendynamik werden die Schwingungen nach ihren Entstehungsursachen in freie“, erzwun” ” gene“, parametererregte“ und selbsterregte“ Schwingungen unterschieden [231]. ” ” Die internen Zusammenh¨ange, die dieser Einteilung zugrundeliegen, sollen etwas n¨aher betrachtet werden. Ausgehend von der aus der Physik und Systemdynamik bekannten grundlegenden Auffassung, daß Zustands¨anderungen realer dynamischer Systeme nur von ihrem Zustand selbst abh¨angen, folgt auch (weil es in der Realit¨at genau genommen keine mechanische Gr¨oße gibt, die explizit als Funktion der Zeit gegeben ist), daß ¨ aller Zustandsgr¨oßen das Ergebnis von Wechselwirkungen die zeitliche Anderung der Systemelemente ist. Von dieser Auffassung her sind alle Modellgleichungen als Sonderf¨alle selbsterregter Systeme zu betrachten.

15

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

Die Annahme einer von außen“ gegebenen Zeitfunktion f¨ur Kraft- oder Bewe” gungsgr¨oßen ist so gesehen h¨auﬁg eine sehr zweckm¨aßige Vereinfachung der Realit¨at. Bei der Modellbildung wird also genaugenommen ein urspr¨unglich selbsterregter Schwinger (der in Wechselwirkung mit seiner Umgebung steht) durch einen Schnitt zur Umgebung zum Berechnungsmodell der erzwungenen und parametererregten Schwingungen vereinfacht. Es ist aus diesem Grunde bei realen Schwingungsvorg¨angen auch nicht m¨oglich, scharfe Grenzen zwischen freien“, erzwungenen“ ” ” und selbsterregten“ Schwingungen zu ziehen und diese Unterschiede aus der Ana” lyse von Meßsignalen automatisch“ zu erkennen. ”

a)

m

mq&&+ kq = 0

k

t = 0: q(0) = 0, q& (0) = v0

q

b) m

F (t )

mq&&+ kq = F (t )

k

F(t)

t = 0: q(0) = 0, q& (0) = 0

q

0

ta

T

t

Bild 2.3 Minimalmodell f¨ur Stoßbelastung (Anregungszeit ta ) a) Freie Schwingung, b) Erzwungene Schwingung

¨ Um zu zeigen, wie ﬂießend der Ubergang bei der Modellbildung von freien zu erzwungenen Schwingungen erfolgt, wird ein Stoß betrachtet. Bild 2.3a zeigt das Modell des freien Schwingers, bei dem die Bewegung mit einer gegebenen Anfangsgeschwindigkeit v0 beginnt. Nach diesem Modell wird dem Schwinger anfangs kinetische Energie u¨ bertragen, die sich aus der Anfangsbedingung zu (1/2) · mv02 ergibt, aber danach wirkt keine Erregerkraft mehr. Es wird eine Schwingung angeregt, die gem¨aß √ v0 sin ω t; Fw = kq = v0 km · sin ω t (2.2) q= ω mit der Eigenkreisfrequenz ω = k/m verl¨auft (Wandkraft Fw ). Wird dagegen das Modell des erzwungenen Schwingers (Bild 2.3b) benutzt, erfolgt die Energie¨ubertragung durch die Erregerkraft w¨ahrend der Anregungszeit (0 t ta ), und die allgemeine L¨osung lautet f¨ur beliebige Erregerkraftverl¨aufe mit dem Duhamel-Integral q=

1 mω

t

F(t ) sin ω (t − t ) dt

(2.3)

0

1 1 sin ω t F(t ) cos ω t dt − cos ω t F(t ) sin ω t dt mω mω t

=

0

t

0

16

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Bei einer entsprechend Bild 2.3b kurzzeitig einwirkenden Kraft, d. h. unter der Bedingung t < ta T =

2π ω

;

cos ω t ≈ 1;

sin ω t ≈ 0

ist der zweite Summand in Gl. (2.3) null und es verbleibt als N¨aherung: ta 1 I v0 q= F(t ) dt sin ω t = sin ω t = sin ω t mω mω ω

(2.4)

(2.5)

0

Das Zeitintegral u¨ ber die Kraft ist bekanntlich gleich dem Impuls I = mv0 . Also wurde mit dem Modell von Bild 2.3b dasselbe Ergebnis erhalten wie mit dem Modell gem¨aß Bild 2.3a, vgl. Gl. (2.2) und Gl. (2.5). Damit ist gezeigt, daß es bei kurzzeitigen Belastungen f¨ur die angeregten Schwingungen nicht darauf ankommt, welchen Zeitverlauf die Erregerkraft F innerhalb ihrer Stoßzeit hat. Bei ta T kann man durch den Kraftverlauf (z. B. Rechteck- oder Halbsinusform) die Schwingungsamplitude nicht beeinﬂussen, vgl. dazu auch Abschn. 5.2, 5.4.3 und 5.4.4. Es ist bei kurzen St¨oßen also zul¨assig, aus dem Impulssatz die Anfangsgeschwindigkeit an der Stoßstelle zu ermitteln und damit die angestoßenen freien Schwingungen zu berechnen. Dieses kleine Beispiel zeigt auch, daß das Modell des erzwungenen Schwingers den freien Schwinger als Sonderfall enth¨alt. Andererseits f¨allt es leichter, von der Vorstellung auszugehen, daß ein Antriebssystem von außen“ mit gegebenen Zeitfunktionen in Bewegung versetzt wird. In ” der Getriebetechnik wurde traditionell so begonnen [336]. Bei dieser Auffassung kann man bei der Modellbildung mit einem Berechnungsmodell eines zwangl¨auﬁgen Systems beginnen, aber dies ist erfahrungsgem¨aß durch weitere dynamische“ ” Freiheitsgrade zu erweitern. Wesentliche Aspekte sind bei jeder Modellbildung die Anzahl der Freiheitsgrade, die Art der internen Wechselwirkungen und die Beziehung zu der Energiequelle, welche die Bewegungen verursacht. Die r¨aumlich-zeitlichen Schnittgrenzen legen fest, wo und wie eine Wechselwirkung mit der Umgebung ber¨ucksichtigt wird. Nichtlineare Schwingungssysteme besitzen gegen¨uber linearen Schwingungssystemen einige Besonderheiten. • Das Superpositionsprinzip gilt nicht, d. h., die Wirkung der Summe mehrerer Ursachen ist nicht gleich der Summe der Wirkungen der einzelnen Ursachen. • Eigenschwingungen nichtlinearer Systeme verlaufen nicht immer harmonisch. • Die Periodendauer nichtlinearer Systeme ist von den Anfangsbedingungen abh¨angig, sie a¨ ndert sich mit der Amplitude [231]. • Bei Erregung eines nichtlinearen Systems mit einer gegebenen Frequenz f kann es nicht nur mit dieser Frequenz, sondern auch mit ganzzahligen Vielfachen oder ganzzahligen Teilen davon (sogenannten Subharmonischen) antworten; also mit den Frequenzen fa = n · f /m (m, n sind kleine ganze Zahlen) [322]. • Bei Erregung eines nichtlinearen Systems mit zwei Frequenzen ( f1 , f2 ) kann es zu Kombinationsresonanzen bei folgenden Frequenzen kommen: fa = n · f1 ± m · f2 (m, n sind kleine ganze Zahlen) [101]. • Nichtlineare Systeme k¨onnen chaotische Bewegungen ausf¨uhren [17], [46], [231].

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

17

Es ist nicht sinnvoll, ein reales Objekt mit einem linearen Berechnungsmodell zu beschreiben, wenn es die oben genannten nichtlinearen Effekte zeigt, da damit Fehlaussagen zu erwarten sind. Wird ein Zeitverlauf f¨ur eine Kraft- oder Bewegungsgr¨oße angegeben, bedeutet ¨ dies, daß keine Ruckwirkung vom Systemverhalten auf die Erregung stattﬁndet. Es wird somit also eine von den Bewegungen des Systems unabh¨angige (unersch¨opﬂiche) Energiequelle in der Systemumwelt angenommen. Randbedingungen modellieren Systemgrenzen und Anfangsbedingungen deﬁnieren zu einem Anfangszeitpunkt die potentielle und kinetische Energie eines Antriebssystems. ¨ Die Ermittlung der Schwingungsursachen beginnt zweckm¨aßig mit Uberlegungen zur Suche nach der Energiequelle im realen System. Zu den Energiequellen z¨ahlen die hydraulischen, pneumatischen, elektrischen, piezoelektrischen oder elektromagnetischen Antriebe mit ihren Kennlinien, die meist nichtlineare Funktionen zwischen Kr¨aften oder Momenten und einer Geschwindigkeit oder Drehgeschwindigkeit sind. Auch reibende Oberﬂ¨achen, str¨omende Medien und thermodynamische Prozesse u. a. k¨onnen solche Energiequellen sein. Tabelle 2.3 Drei Stufen der Berechnungsmodelle Modellstufe 1 1a 1b 2 2a 2b 2c 3

Typ des Systems Starrk¨orpersystem ( starre Maschine“) ” Gegebene Antriebsbewegungen Gegebene Antriebskraftgr¨oßen Zwangserregte Schwingungssysteme Lineares Schwingungssystem mit konstanten Koefﬁzienten Lineares Schwingungssystem mit zeitvariablen Koefﬁzienten Nichtlineares Schwingungssystem mit zeitvariablen Koefﬁzienten Selbsterregte Systeme

Form der Modellgleichungen

q = q0 (t) Mq¨ + F(˙q) = f (t)

Mq¨ + D˙q + Kq = f (t)

(1)

M(t)¨q + D(t)˙q + K(t)q = f (t)

(2)

M(t, q)¨q + D(t, q, q˙ )˙q + K(t)q = f (t) (3) f (q, q˙ , q¨ ) = 0

(4)

Tabelle 2.3 zeigt eine Einteilung der Berechnungsmodelle in 3 Modellstufen. Es wird grunds¨atzlich unterschieden zwischen zwangl¨auﬁgen, zwangserregten und selbsterregten Systemen. Dasselbe reale Objekt kann mit allen drei Modellstufen abgebildet“ werden, es kommt jeweils auf den Modellzweck und seine konkreten ” Belastungs- und Bewegungsverh¨altnisse an! In Tabelle 2.3 sind die Modelle vom Einfachen (Modellstufe 1) zum Komplizierten (Modellstufe 3) hierarchisch geordnet. Man kann diese Ordnung physikalisch (nach der Herkunft der Energiequelle), mathematisch (nach der Komplexit¨at der Gleichungen) und mit der historischen Entwicklung begr¨unden. Zum ersten Aspekt ist zu erw¨ahnen, daß die Frage nach der Energiequelle von der niederen zur h¨oheren Stufe immer klarer formuliert wird: Auf Stufe 1 sind ki-

18

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

nematische Gr¨oßen vorgegeben, welche mechanische Energie in das zwangl¨auﬁge mechanische System u¨ bertragen. In Stufe 2 ist eine Kraft- oder Bewegungsgr¨oße als Funktion der Zeit gegeben, die unbeeinﬂußt von der Antwort des erregten Systems ist. In Stufe 3 ist schließlich die Energiequelle Bestandteil des autonomen Systems. Es ist dann erforderlich, auch eine Modellbildung des Motors (z. B. f¨ur elektrische Baugruppen) vorzunehmen, vgl. Abschn. 3.4.3. Vom mathematischen Standpunkt aus kann man Berechnungsmodelle nach der rechten Seite“ ihrer Gleichungen klassiﬁzieren. Dabei stellt Stufe 3 das autonome ” System dar, von dem die Modelle der anderen Stufen deduktiv ableitbar sind. Man kann rein formal mathematisch zeigen, daß unter vereinfachenden Annahmen die jeweils niedere Stufe eine N¨aherung der h¨oheren Stufe ist, d. h., mit dem Modell der h¨oheren Stufe lassen sich die Effekte prinzipiell realit¨atsnaher als mit den Modellen der tieferen Stufen beschreiben. Zum dritten Aspekt (dem historischen“) ist zu sagen, daß bei vielen Objekten ” eine Modellierung oft mit einem zwangl¨auﬁgen System begann, vgl. auch Abschn. 2.3.3. Dies h¨angt auch damit zusammen, daß die Entwicklung jedes Antriebssystems zun¨achst bei niederen Geschwindigkeiten beginnt, und wenn es sich bew¨ahrt, werden im Laufe der Jahre immer h¨ohere Geschwindigkeiten angestrebt. Beim Hochlaufen eines Antriebssystems von null auf die Maximaldrehzahl werden gewissermaßen auch die verschiedenen ( historischen“) Modellstufen vom Einfachen zum Kompli” zierten durchlaufen. Bei niederen Geschwindigkeiten verh¨alt sich das Objekt wie ein zwangl¨auﬁges System, w¨ahrend man das nichtlineare Verhalten sp¨atestens bei der Zerst¨orung des Objekts vorf¨uhren kann. Dieser Fall muß u¨ brigens bei der Rekonstruktion von Schadensf¨allen manchmal ernsthaft analysiert werden. Berechnungsmodelle der Stufe 1 sind zwangl¨auﬁge Starrk¨orpersysteme (Modell starre Maschine“) mit gegebenen Zeitfunktionen einer oder mehrerer An” triebsbewegungen oder Antriebskraftgr¨oßen. Die einfachsten Modelle sind die der Stufe 1a, wo an Stelle von Differentialgleichungen nur algebraische Gleichungen auftreten, weil der Bewegungszustand durch eine Prim¨arbewegung“ vorgegeben ” wird. In der Praxis sind dies Modelle f¨ur starre spielfreie gleichm¨aßig oder ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Getriebe, die genau so viele Freiheitsgrade ( Laufgrade“) ” wie Antriebe haben. Bei der Anwendung dieser Modellstufe wird vorausgesetzt, daß sich alle K¨orper gleichzeitig und ohne Zeitverz¨ogerung bewegen. Der Zeitverlauf der Antriebsbewegungen bestimmt dann den Bewegungszustand im Starrk¨orpersystem. Der gegebene Zeitverlauf bestimmt auch, wo und wie viel mechanische Energie dem System zugef¨uhrt (Beschleunigen) oder entzogen (Verz¨ogern) wird. Bei Stufe 1b sind die Bewegungsgleichungen zu integrieren, z. B. bei Starrk¨orpermechanismen mit einem oder mehreren Freiheitsgraden. Beispiele dazu sind Pendel und Kreisel, vgl. auch die Beispiele im Abschnitt 5.7.3. Ein Starrk¨orpersystem ist durch geometrische Abmessungen und Masseparameter beschreibbar, vgl. Tabelle 2.5. Zur Abgrenzung des Geltungsbereichs des Starrk¨orpermodells gegen¨uber dem des erzwungenen Schwingungssystems (Stufe 2 in Tabelle 2.3) gibt es zwei einfache grobe Kriterien: 1. Bei periodischen Erregungen ist das Starrk¨orpersystem (auch Modell der star” ren Maschine“ genannt) f¨ur den station¨aren Zustand als Modell anwendbar, wenn es langsam“ erregt wird. Dies bedeutet bei periodischen Erregungen, daß die ” h¨ochste Erregerfrequenz, die noch eine bedeutsame Amplitude im Fourier-

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

19

spektrum aufweist, wesentlich kleiner als die niedrigste Eigenfrequenz f1 des realen Objekts sein muß. Also lautet das Kriterium: kΩ ω 1 = 2π f1

(2.6)

mit der Grundkreisfrequenz Ω der Erregung und der Ordnung k der h¨ochsten relevanten Harmonischen. Kraftgr¨oßen a¨ ndern sich mit dem Quadrat der Drehzahl. 2. Bei instation¨aren Erregungen, also den typischen Anfahr-, Brems-, Beschleunigungs- oder Verz¨ogerungsvorg¨angen, ist das Modell des Starrk¨orpersystems anwendbar, so lange die einwirkende Kraft sich langsam“ a¨ ndert, d. h. wenn ” die gr¨oßte Schwingungsdauer T1 des realen Objekts bedeutend kleiner als die Anlaufzeit ta der einwirkenden Kraft- oder Bewegungsgr¨oße ist. Als Kriterium gilt: 1 = T1 ta f1

(2.7)

Die dynamischen Kr¨afte und Momente, die sich bei der Anwendung des Starrk¨orpermodells ergeben, werden als kinetostatische Kr¨afte bezeichnet. Ihre zeitlichen Verl¨aufe stellen Mittelwerte dar, denen sich die aus den Schwingungen eines Systems resultierenden vibrodynamische Kr¨afte“ u¨ berlagern. Meist stellen die ” kinetostatischen Kr¨afte eine untere Grenze f¨ur die dynamische Belastung dar, aber wenn der negative Wert einer Vibrationskraft mit dem Spitzenwert einer kinetostatischen Kraft zeitlich zusammenf¨allt, kann die Gesamtbelastung zu diesem Zeitpunkt auch kleiner werden als der kinetostatische Wert. Entscheidend f¨ur die Grenze zwischen dem Modell des erzwungenen Schwingers und dem Starrk¨orpermodell ist die Grundfrequenz des realen Objekts. Bei der Frage starr oder schwingungsf¨ahig“ ist also eine modale Anregbarkeit (vgl. Abschn. ” 5.2) und die Grundfrequenz abzusch¨atzen. Die Antwort richtet sich nicht nach der absoluten H¨ohe der Drehzahl oder der Grundfrequenz, sondern nach den durch die Kriterien (2.6) und (2.7) beschriebenen Proportionen. Tabelle 2.4 zeigt Bereiche der ersten Eigenfrequenz typischer Baugruppen und Objekte. Es sind dabei auch exemplarisch die im vorliegenden Buch behandelten Beispiele eingeordnet worden. Zur Modellstufe 2 werden lineare und nichtlineare Schwingungssysteme gez¨ahlt, die durch eine gegebene Zeitfunktion erregt werden. Es wird zwischen linearen (Stufe 2a), parametererregten (Stufe 2b) und nichtlinearen (Stufe 2c) Schwingungssystemen unterschieden, vgl. die in Tabelle 2.3 genannten Kennzeichen. In Tabelle 2.5 sind die wesentlichen Parameter aufgef¨uhrt, welche u¨ blicherweise zu den jeweiligen Modellstufen geh¨oren. Ein wesentliches Kennzeichen ist die Anzahl ihrer Freiheitsgrade. Sie richtet sich einerseits danach, welche physikalischen Effekte zu ber¨ucksichtigen sind, wie viele Eigenformen (Moden) bei einem linearen System tats¨achlich angeregt werden, aber auch danach, wie genau man die r¨aumliche Aufl¨osung des Belastungs- und Deformationsverhaltens bestimmen will. Es muß gew¨ahrleistet sein, daß der Erregerfrequenzbereich innerhalb des Eigenfrequenzbereichs des Modells liegt. Deshalb gilt das Kriterium: Das Modell soll Eigenfrequenzen bis oberhalb der h¨ochsten Erregerfrequenz besitzen.

20

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.4 Typische Bereiche von Grundfrequenzen f1 in Hz

Objekt/Baugruppe

Beispiel

<2

Lastpendel, Tragwerk von Turmkran, Tagebaugroßger¨ate

Gl. (2.168)

2...5

Br¨uckenkrane, Fahrzeugantriebsstrang, (Schiffsantrieb)

Gl. (2.158)

5 . . . 10

Blockfundamente, Waschmaschinen, Zentrifugen, Personenaufz¨uge, Textilspindeln

10 . . . 30

Antriebe mit weichen Kupplungen

20 . . . 50

Antriebswellen, mehrstuﬁge Zahnradgetriebe (Kesselspeisepumpe)

50 . . . 100

kurze steife Antriebswellen

100 . . . 300

Schleifspindeln, Kolbenmotoren

200 . . . 500

Motorradmotor, Zylinder in Druckmaschinen

500 . . . 1 000

Zahn eines Zahnrades

1 000 . . . 2 000

L¨angsschwingungen von Ventilen, Kolbenk¨orper in Verbrennungsmotoren

> 2 000

W¨alzk¨orper in W¨alzlagern

Gl. (2.217)

Gl. (2.211)

Abschn. 2.2.3

Tabelle 2.5 Typische Parameter der verschiedenen Modellstufen gegebene Parameter

berechenbare Gr¨oßen

1

geometrische Abmessungen (L¨angen, ¨ Winkel, Ubersetzungsverh¨ altnisse), Masseparameter (Massen, Schwerpunktabst¨ande, Hauptachsen, Tr¨agheitstensor), kinematische Bewegungsabl¨aufe und/oder Antriebskraftgr¨oßen

reduziertes Massentr¨agheitsmoment, Geschwindigkeit und Beschleunigung der Starrk¨orperbewegungen, Gelenkund Lagerkr¨afte, Fundamentbelastung, Antriebsmoment

L¨angs- und Drehfederkonstanten, L¨angs- und Biegesteiﬁgkeit, L¨angsund Drehd¨ampferkonstanten, Materialkennwerte, zeitliche Erregerkraftverl¨aufe, Fourierkoefﬁzienten bei periodischer Erregung, zeitliche Vera¨ nderung der Parameter

Eigenfrequenzen und Eigenformen, Zeitverl¨aufe der Kraft- und Bewegungsgr¨oßen bei erzwungenen Schwingungen, Resonanzstellen h¨oherer Ordnung (kritische Drehzahlen), Ortskurven, Instabilit¨atsbereiche parametererregter Schwingungen

geschwindigkeitsabh¨angige Lager¨ daten (Olﬁlm-Einﬂuß), Reibwerte, Kennlinien der Motor- und Bremsmomente, nichtelastisches Materialverhalten (viskos, plastisch), nichtlineare geometrische und stoffliche Kennwerte

nichtlineare Schwingungen, selbsterregte Schwingungen, Kombinationsresonanzen, Grenzzykel, Wechselwirkung zwischen Schwingungssystemen und Energiequelle, amplitudenabh¨angige Eigenfrequenzen, nichtlineare Wechselwirkungen

starr

Stufe

linear

2

nichtlinear

3

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

21

Bild 2.4 illustriert diese Zusammenh¨ange. Bei Fall a) ist Bedingung (2.6) erf¨ullt, und es ist keine Resonanz m¨oglich. Liegen viele h¨ohere Eigenfrequenzen des Berechnungsmodells weit u¨ ber dem Gebiet des Erregerfrequenzbereichs, so hat das Berechnungsmodell unn¨otig viele Freiheitsgrade, vgl. Bild 2.4b. Anscheinend hat das Modell zu wenige Freiheitsgrade, wenn die h¨ochste Eigenfrequenz des Berechnungsmodells innerhalb des Bereichs der Erregerfrequenzen liegt, vgl. Bild 2.4c.

a)

0

b) 0

c)

0

f1

f1

f1

fn

Erregerfrequenzbereich

fn

Frequenz f

fn

Frequenz f

Frequenz f Eigenfrequenzbereich

Bild 2.4 Frequenzrelationen bei der Modellbildung a) Starrk¨orpersystem, b) Modell mit zu vielen Freiheitsgraden, c) Modell mit Vernachl¨assigung hoher Eigenfrequenzen

Es kommt dann darauf an, wo fn+1 liegt. Hat fn+1 einen Wert weit oberhalb der h¨ochsten Erregerfrequenz, so ist die Wechselwirkung vernachl¨assigbar, vgl. auch die Mittelungsmethode in Abschn. 2.4.6. Ohne Beachtung der Eigenformen hat der Vergleich der Eigenfrequenzen mit den Erregerfrequenzen keine klare Aussagekraft hinsichtlich des Berechnungsmodells, vgl. auch Abschn. 2.3.5, 2.5.3 und [245]. Wenn die n-dimensionalen Vektoren der Erregerkr¨afte und Eigenformen zueinander orthogonal sind, entsteht z. B. keine ¨ Schwingungserregung, und es besteht trotz der Ubereinstimmung von Erreger- und Eigenfrequenz keine Resonanzgefahr [150]. Bei der Modellbildung in der Antriebsdynamik sollten stets die Kriterien beachtet werden, die in [245] formuliert wurden, vgl. Abschn. 2.3.5. Parametererregte Schwinger (Modellstufe 2b und 2c), die infolge der gegebenen Zeitfunktionen zu den zwangserregten Systemen zu z¨ahlen sind, k¨onnen ebenfalls in lineare und nichtlineare eingeteilt werden. Ihre Differentialgleichungen k¨onnen auf Grund eines sehr allgemeinen Satzes von L JAPUNOV [229] durch eine Transformation in Systeme mit konstanten Koefﬁzienten u¨ berf¨uhrt werden, weshalb sie sich physikalisch auch wie Modelle der Modellstufe 2a verhalten. Selbsterregte Schwinger (Modellstufe 3) werden meist als Systeme mit wenigen Freiheitsgraden behandelt. Es sind stets nichtlineare Systeme, wobei die Stabi-

22

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

lit¨atsgrenzen oft schon mit linearen Systemen ermittelt werden k¨onnen, z. B. Abschn. 4.5.3. Bei mehr als zwei Freiheitsgraden treten manchmal auch chaotische Bewegungen auf [17], [46], [231]. Es ist aus numerischen Gr¨unden ratsam, sog. steife“ Differentialgleichungen zu ” vermeiden. Das Verh¨altnis der h¨ochsten Eigenfrequenz zur niedrigsten soll m¨oglichst ¨ klein sein. Dahinter steckt die Uberlegung, daß • sich Schwingungen mit verschiedenen Frequenzen, die sich voneinander mehr als etwa um den Faktor 20 unterscheiden, gegenseitig kaum beeinﬂussen • die Zeitschrittweite bei numerischen Integrationsverfahren sich nach der h¨ochsten im System auftretenden Frequenz richtet und bei hohen Frequenzen unn¨otig lange Rechenzeiten entstehen. • numerische Ergebnisse mit zunehmender Rechenzeit ungenauer werden Dazu ist zu sagen, daß die expliziten Runge-Kutta-Verfahren (MATLAB-Funktionen ode23 bzw. ode45) ungeeignet sind, weil die Schrittweitensteuerung sehr kleine Schrittweiten w¨ahlt. Die Standard-Routine f¨ur steife Differentialgleichungen ist die Funktion ode15s [266]. Ist die Steifheit nicht zu hoch, so kann man auch ode23t verwenden, welche auf einem einfachen impliziten Verfahren beruht. 2.1.2.3 Zur Vermeidung steifer“ Systeme ” Bei der Modellbildung mechanischer Systeme werden manchmal vorsichtshalber“ ” die Federsteiﬁgkeiten aller elastischen Elemente ber¨ucksichtigt, auch wenn deren Gr¨oße sich voneinander stark unterscheidet. Man argumentiert, daß es korrekter sei, die harten Federn von Anfang an nicht zu vernachl¨assigen, denn man k¨onne sie sp¨ater mit mehreren Zehnerpotenzen auf nahezu unendlich erh¨ohen, dann erhalte man das Ergebnis auch f¨ur die starre Kopplung an der Stelle, wo eine harte Feder im Modell vorhanden ist. Dieses Argument ist aber nicht stichhaltig, denn man erh¨alt damit sehr steife Differentialgleichungen. Das folgende kleine Beispiel soll zeigen, daß und wie man steife Systeme schon bei der Modellbildung vermeiden kann.

m

F x1

a)

b)

x1

κk x3

x2

m F

m

k

k

x2

S

Bild 2.5 Zur zweckm¨aßigen Modellbildung a) Dreimassenmodell, b) Zweimassenmodell

m

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

23

Man betrachte die beiden in Bild 2.5 gezeigten Berechnungsmodelle, die dasselbe reale Objekt abbilden: im Fall a mit drei Freiheitsgraden (Bild 2.5a) und im Fall b (Bild 2.5b) mit zwei Freiheitsgraden. Es interessiert die dynamische Belastung in der Mitte der rechten Masse (Stelle S). Im Modell a wird diese Stelle durch eine harte Feder erfaßt, deren Federkonstante wesentlich gr¨oßer als die der anderen Feder ist (Faktor κ 1), w¨ahrend das Modell b an dieser Stelle keine Feder hat. Die Bewegungsgleichungen f¨ur das Dreimassensystem in Bild 2.5a lauten: mx¨1 + k(x1 − x2 )

=F

(2.8)

mx¨2 − k(x1 − x2 ) +κ k(x2 − x3 ) = 0

(2.9)

−κ k(x2 − x3 ) = 0

(2.10)

mx¨3

Seine drei Eigenkreisfrequenzen, bei denen die Null f¨ur die Starrk¨orperbewegung mit gez¨ahlt wird, ergeben sich aus ω 1 = 0;

√ 1 − κ + κ 2 )k/m; √ ω 32 = (1 + κ + 1 − κ + κ 2 )k/m ω 22 = (1 + κ −

(2.11)

Bei Werten von κ 1 gilt die N¨aherung ω 1 = 0; ω 22 = (1,5 − 0,375/κ )k/m;

(2.12)

ω 32 = (2κ + 0,5)k/m

Bei einer viel h¨arteren rechten Feder unterscheiden sich ω 2 und ω 3 um mehrere Zehnerpotenzen, d. h. es entstehen steife Differentialgleichungen. Die L¨osung wird weiter verfolgt f¨ur den Wert κ = 1 000. Damit ergibt sich aus (2.11) oder (2.12): ω 1 = 0; ω 22 = 1,499 37k/m;

(2.13)

ω 32 = 2 000,50k/m

und f¨ur die Kraft in den Federn erh¨alt man die L¨osung F12 = k(x1 − x2 ) = [0,6665(1 − cos ω 2t) + 0,0001(1 − cos ω 3t)]F

(2.14)

F23 = κ k(x2 − x3 ) = [0,3332(1 − cos ω 2t) + 0,0002(1 − cos ω 3t)]F

(2.15)

Aus den Zahlenwerten ist ablesbar, daß die Komponente mit der niedrigen Eigenfrequenz viel st¨arker als die mit der hohen Eigenkreisfrequenz ω 3 angeregt wird und die wesentliche dynamische Belastung durch die Schwingungen mit der niedrigen Eigenfrequenz bestimmt wird. Die Schwierigkeiten, die bei der numerischen L¨osung des exakten“ Dreimassenmodells entstehen, folgen daraus, daß die f¨ur die Maximal” belastung unbedeutende Komponente mit der hohen Eigenfrequenz den L¨osungsverlauf sehr aufraut“. ” Je gr¨oßer die κ -Werte sind, desto st¨orender macht sich die Rauheit“ bemerkbar. ” Es kann vor allem bei gr¨oßeren un¨uberschaubaren Systemen passieren, daß wegen

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2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

der hohen Steife der Differentialgleichungen die Simulationssoftware relativ lange rechnet und gar keine brauchbare L¨osung liefert. Nun wird ein einfaches Modell (Bild 2.5b) mit zwei Massen ohne die steife zweite Feder betrachtet, das den Bewegungsgleichungen mx¨1 + k(x1 − x2 ) = F;

2mx¨2 − k(x1 − x2 ) = 0

(2.16)

gehorcht. Die interessierende Kraft liegt an der an der Schnittstelle S innerhalb der rechten Masse und wird nicht durch eine steife Feder lokalisiert. Dieses Zweimassenmodell hat die Eigenfrequenzen ω 1 = 0,

ω 2∗2 = 1,5k/m

(2.17)

F¨ur die Kr¨afte in der Feder und an der Schnittstelle S (wo vorher die harte Feder angeordnet war) ergibt sich als L¨osung der Differentialgleichungen (2.16): F12 = k(x1 − x2 ) = 0,6667(1 − cos ω 2∗t)F F23 = −mx¨2 = 0,3333(1 −

cos ω 2∗t)F

(2.18) (2.19)

Diese L¨osung stimmt praktisch mit derjenigen in (2.14) und (2.15) u¨ berein. Bei der Modellbildung kann man meist aus ingenieurtechnischer Sicht unwesentliche Elemente ignorieren und auf diese Weise steife Differentialgleichungen vermeiden. Es ist deshalb vor allem bei Berechnungsmodellen mit vielen Freiheitsgraden zu empfehlen, relativ kleine Massen und relativ steife Federn zu vernachl¨assigen. Dann werden extrem hohe (und physikalisch sinnlose) Eigenfrequenzen von Anfang an vermieden. Es ist also zweckm¨aßig, vor der numerischen Simulation eine Modellvereinfachung vorzunehmen, evtl. auch mit Methoden der Freiheitsgradreduktion, vgl. Abschn. 2.6. 2.1.3 Beispiel: Antrieb eines Mechanismus Als Beispiel erl¨autert Tabelle 2.6 die 3 Stufen der Berechnungsmodelle f¨ur den Antrieb eines ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismus. Verfolgt man die Tabelle, kann man die mathematischen Vereinfachungen (bzw. bei umgekehrter Betrachtung die Verallgemeinerungen) erkennen, die von Stufe zu Stufe erfolgen. Wie ersichtlich, kommen bei h¨oheren Modellstufen nicht unbedingt mehr Freiheitsgrade, aber mehr Parameter im Parametervektor p vor, vgl. auch Tabelle 2.5. In der Modellstufe 1a wird der Antriebswinkel ϕ 0 als Funktion der Zeit vorgegeben. Damit kann man berechnen, welches Antriebsmoment bei einer zwangl¨auﬁgen kinematischen Bewegung erforderlich ist. Man k¨onnte analog auch Bewegungsabl¨aufe beim Anfahr- oder Bremsvorgang vorgeben und Antriebsmomente infolge instation¨arer Bewegungsabl¨aufe erhalten. Ein stellungsabh¨angiges Antriebsmoment ergibt sich aus dem Verlauf von J(ϕ ), vgl. Gl. (4) in Tabelle 2.6. Das reduzierte Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) charakterisiert die stellungsabh¨angige kinetische Energie eines zwangl¨auﬁgen Mechanismus, vgl. [81], [150]. Wird das Antriebsmoment Man (t) gegeben, so ist die Differentialgleichung (5) zu integrieren, vgl. Modellstufe 1b. Die Differentialgleichung (5) f¨ur die Absolutkoordinate des Antriebswinkels ist i. allg. nur numerisch integrierbar. Das Torsionsmoment T in der Antriebswelle unterscheidet sich vom Antriebsmoment, wenn das

2.1 Einfuhrung ¨ in die Modellbildung

25

Tabelle 2.6 Zur Stufung der Berechnungsmodelle f¨ur einen Antrieb mit einem ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismus Modellstufe 1a

Modell, Parameter

ϕ = ϕ (t)

M an

J (ϕ)

starr

ϕ

1b

Parameter: J(ϕ ), ϕ (t) M an

starr

J0

T

ϕ

q1 << 1, q2 << 1

M an

linear

J0

3

kT ϕ1

J( Ω t ) ϕ2

M an

kT ϕ1

(1) (2) ϕ¨ = ϕ¨ (t) (3) ............................................. 1 (4) Man = J(ϕ )ϕ¨ (t) + J (ϕ )ϕ˙ 2 (t) 2 ϕ˙ = ϕ˙ (t)

1 [J0 + J(ϕ )]ϕ¨ + J (ϕ )ϕ˙ 2 = Man (t) (5) 2 ............................................. (6) T = Man − J0 ϕ¨

J q¨2 + J Ω q˙2 +

1 2 J Ω q2 + kT (q2 − q1 ) = 2

1 − J Ω2 2 (7)

Parameter: Ω , J(Ω t), kT , J0

J0 nichtlinear

J (ϕ)

Parameter: J0 , J(ϕ ), Man (t)

2

Bewegungsgleichungen

J0 q¨1 − kT (q2 − q1 ) = Man (8) ............................................. T = kT (q1 − q2 ) (9) ϕ 1 = Ω t + q1 (10) ϕ 2 = Ω t + q2 (11) J (ϕ2 )

ϕ2

Parameter: Ω , J(ϕ 2 ), kT , J0 , M0

1 J(ϕ 2 )ϕ¨ 2 + J (ϕ 2 )ϕ˙ 22 + kT (ϕ 2 − ϕ 1 ) = 0 2

(12)

J0 ϕ¨ 1 − M0 (1 − ϕ˙ 1 /Ω ) − kT (ϕ 2 − ϕ 1 ) = 0 (13) ............................................. (14) Man = M0 (1 − ϕ˙ 1 /Ω ) T = kT (ϕ 1 − ϕ 2 ) (15)

Tr¨agheitsmoment J0 des Motors getrennt ber¨ucksichtigt wird, vgl. Gl. (6). Die Modellstufen 1a und 1b unterscheiden sich nur durch die Art der Erregung (kinematisch oder dynamisch infolge Kraftgr¨oßen). Wird die Elastizit¨at der Antriebswelle durch die Drehfederkonstante kT ber¨ucksichtigt und mit einem gegebenen Zeitverlauf des Antriebswinkels gerechnet, erh¨alt man auf Stufe 2 das Modell eines nichtlinearen erzwungenen Schwingers. Nichtlinearit¨aten entstehen durch das stellungsabh¨angige Tr¨agheitsmoment und das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit. Wird mit den Gln. (10) und (11) die Drehgeschwindigkeit Ω nur als ein Mittelwert deﬁniert, um den sowohl die Drehmasse J0 des Antriebsmotors vor der ”

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2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Antriebswelle“ als auch der Mechanismus hinter der Antriebswelle“ kleine Schwin” gungen mit den Relativwinkeln q1 und q2 ausf¨uhren, so entstehen die beiden Differentialgleichungen (7) und (8), welche die Modellstufe 2 kennzeichnen. Als weiterer Parameter tritt die Drehmasse J0 hinzu. Die Differentialgleichungen f¨ur die beiden Relativwinkel q1 und q2 sind vom Standpunkt der Schwingungstheorie diejenigen eines zwangserregten (d. h. parametererregten erzwungenen) Schwingers. Das urspr¨unglich vom Kurbelwinkel ϕ abh¨angige Tr¨agheitsmoment des Mechanismus wird nun durch das zeitabh¨angige J(Ω t) erfaßt. Ein Antriebsmoment von außen kommt nicht vor, weil die kinematische Erregung durch den Winkel Ω t gewissermaßen als Energiequelle gegeben ist. Das innere Moment T in der Antriebswelle ist aus Gl. (9) nach der L¨osung der Differentialgleichungen berechenbar. Das Modell der Stufe 2 kann man als eine N¨aherung f¨ur das Modell der Stufe 3 oder als eine Verallgemeinerung des Modells der Stufe 1b deuten. Als neuer Parameter der Modellstufe 3 erscheint M0 in Gl. (13). In dem autonomen System der Differentialgleichungen (12) und (13) f¨ur die Absolutkoordinaten ϕ 1 und ϕ 2 ist die linearisierte Drehzahl-Drehmomentenkennlinie die Energiequelle“, vgl. Gl. (14). Die ” Winkelgeschwindigkeiten ϕ˙ 1 und ϕ˙ 2 erh¨alt man als Ergebnis der Integration dieser beiden Differentialgleichungen. Man muß zwischen dem Antriebsmoment des Motors (Gl. (14)) und dem Moment in der Antriebswelle (Gl. (15)) unterscheiden. Da es keine vorgegebene Zeitfunktion gibt, beschreibt das Modell dieser dritten Stufe einen selbsterregten Schwinger.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen 2.2.1 Regeln zur Veriﬁkation von Modellgleichungen Im Anfangsstadium eines Modellbildungsprozesses kommt es darauf an, grobe Fehler zu vermeiden und ohne viele Umwege zu einem ad¨aquaten Modell zu gelangen. Ein mit der Software-Entwicklung neu entstandenes Problem besteht darin, daß man den Rechenergebnissen blind vertrauen muß, wenn man keine Kontrollm¨oglichkeiten hat. Da der Ingenieur (und nicht der Programmentwickler) nach wie vor f¨ur die Rechenergebnisse verantwortlich ist, hat er großes Interesse an M¨oglichkeiten der Ergebniskontrolle. Zur Kontrolle von Formeln und von mit Simulations-Software erhaltenen Rechenprogrammen k¨onnen die folgenden Regeln behilﬂich sein: 1. Man u¨ berzeuge sich von der Dimension und der physikalischen Bedeutung jedes Summanden! Vielfach sind die Modellgleichungen entweder die Summen von Kraftgr¨oßen (Kr¨afte oder Momente) oder von geometrischen Gr¨oßen (Wege, Verschiebungen oder Winkel), weil sie aus Gleichgewichts- oder Zwangsbedingungen folgen. Bekanntlich d¨urfen nur Gr¨oßen gleicher Dimension gleichgesetzt, addiert oder subtrahiert werden. Es ist also zu empfehlen, anfangs jeden Term bez¨uglich der Dimension zu u¨ berpr¨ufen. Beachtet man auch die Zahlenwerte, kann man die Bedeutung jedes Terms

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

27

(also z. B. die Komponenten der Massenkr¨afte, Feder-, D¨ampfer- und Erregerkr¨afte) innerhalb der Gesamtbilanz erkennen, seinen Einﬂuß besser verstehen und sich veranschaulichen. Man pr¨ufe die Herkunft der Erregungen (kinematische Erregungen oder Kraft¨ gr¨oßen) eines schwingungsf¨ahigen Systems. Ublicherweise bilden sie die rechten ” Seiten“ der Modellgleichungen, vgl. Tabelle 2.6 und 2.8. 2. Man pr¨ufe die Tendenzen, welche die Variation der Eingabeparameter auf die Ausgabegr¨oßen hat! Im allgemeinen gilt bei jedem linearen Schwingungssystem, daß sich keine der Eigenfrequenzen erh¨oht, wenn eine Masse vergr¨oßert oder eine Federkonstante vermindert wird. In einigen Sonderf¨allen, wenn die Masse u¨ ber den Schwerkrafteinﬂuß die potentielle Energie ver¨andert (z. B. Pendel oder bei Kreiseln), ist der Einﬂuß von Masseparametern auf Eigenfrequenzen komplizierter. Ebenso kann u¨ ber die inneren Zwangskr¨afte (Bindungskr¨afte, wie Zahnkr¨afte, Lager- und Gelenkkr¨afte), die infolge der Massenkr¨afte bei Starrk¨orpersystemen entstehen, vorausgesagt werden, daß sie sich mit dem Quadrat der Drehzahl vergr¨oßern m¨ussen. Weitere Aussagen sind auch bez¨uglich der Drehzahlabh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von Rotorsystemen (Aufspaltung infolge der Kreiselwirkung) u. a. m¨oglich. 3. Man kontrolliere die Modellgleichungen und die Ergebnisse f¨ur extreme Parameterwerte! Es kann sehr n¨utzlich sein zu pr¨ufen, wie sich die L¨osungen der Modellgleichungen verhalten, wenn einzelne Parameter sehr große oder sehr kleine Werte annehmen. Das Nullsetzen“ oder Unendlichwerden“ von Parameterwerten kann dazu f¨uhren, daß ” ” sich die Gleichungen entkoppeln und sich ihre L¨osungen vereinfachen. Man kann oft auch u¨ berlegen (indem man sich die physikalischen Konsequenzen der mathematischen Grenzf¨alle verdeutlicht), welche Tendenzen in den Ergebnissen infolge extremer Parameterwerte zu erwarten sind. So m¨ussen die Modellgleichungen unter bestimmten Bedingungen (z. B. durch das Nullsetzen einer Feder in einer Schwingerkette) in zwei getrennte Gleichungssysteme zerfallen, die sich nicht mehr gegenseitig beeinﬂussen. Ein unendlich großes Tr¨agheitsmoment muß so wirken, wie eine Einspannung. Es kann auch sein, daß f¨ur extreme Parameterwerte geschlossene analytische L¨osungen gefunden werden, die man zum Vergleich mit den weniger u¨ berschaubaren numerischen L¨osungen heranziehen kann. 4. Man nutze das Superpositionsprinzip zur Kontrolle! Bei linearen Systemen muß folgende Bedingung erf¨ullt sein: Die Wirkung (z. B. Deformation), die infolge der gleichzeitigen Einwirkung von zwei Ursachen (z. B. Kraftgr¨oßen) entsteht, muß ebenso groß sein wie die Summe der Wirkungen, die sich aus der Einwirkung jeder einzelnen Ursache ergibt. Daraus folgt auch, daß bei einem linearen Schwingungssystem beliebiger Struktur z. B. bei einer Verdopplung der Erregerkr¨afte auch eine Verdopplung der Schwingwege eintreten muß.

28

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Andererseits sollte sich bei einem nichtlinearen System zeigen, daß das Superpositionsprinzip verletzt ist, denn sonst h¨atte man einen Grund, seine Nichtlinearit¨aten als unwesentlich anzusehen und es zu linearisieren, vgl. dazu die Beispiele mit geometrisch bedingten nichtlinearen Tr¨agheitskr¨aften in Abschn. 2.2.4, mit nichtlinearen Antriebsmomenten in Abschn. 3.4.3, mit nichtlinearer Kupplung in Abschn. 3.4.2 oder mit nicht proportionaler D¨ampfung in Abschn. 3.5. 5. Man benutze Erhaltungss¨atze der Mechanik zur Kontrolle! Der Impulssatz, der Drallsatz, der Energie- und Arbeitssatz eignen sich dazu, die Ergebnisse der numerischen Integration zu kontrollieren. Die Bewegungsgleichungen haben oft die Form von Gleichgewichtsbedingungen, d. h., die genannten S¨atze k¨onnen zus¨atzlich formuliert und ihre Erf¨ullung nach dem Einsetzen der Ergebnisse der numerischen Integration gepr¨uft werden. Manchmal ist es vorteilhaft, diese Erhaltungss¨atze der Mechanik als weitere Gleichungen in den Integrationsprozeß einzubeziehen, vgl. [300], [346]. Die genannten S¨atze stellen ebenso wie die anderen genannten Kontrollm¨oglichkeiten notwendige Bedingungen dar, die erf¨ullt sein m¨ussen, d.h. man kann aus ihrer Nichterf¨ullung zwar auf Fehler, aber aus ihrer Erf¨ullung nicht auf die Richtigkeit der Ergebnisse schließen. 6. Man vergleiche die Ergebnisse mechanisch a¨ hnlicher Parametervektoren! Wie im Abschn. 2.2.2 n¨aher ausgef¨uhrt wird, kann man an Stelle von K dimensionsbehafteten Parameterwerten bei jedem antriebsdynamischen Problem K − 3 dimensionslose Kenngr¨oßen einf¨uhren und mit diesen dimensionslose Ergebnisse berechnen, welche sich schließlich wieder in dimensionsbehaftete Endergebnisse umrechnen lassen. Man kann die Resultate von Softwareprogrammen, deren Algorithmen im einzelnen unbekannt sind, pr¨ufen, indem man die Berechnung mit verschiedenen Parametervektoren wiederholt, denen dieselben dimensionslosen Kenngr¨oßen entsprechen, vgl. das Beispiel in den Gln. (2.47) bis (2.49). Die mit denselben Bezugsgr¨oßen erhaltenen dimensionslosen Resultate m¨ussen f¨ur mechanisch a¨ hnliche Parametervektoren numerisch v¨ollig u¨ bereinstimmen, d. h. durch diese Kontrolle kann man sich vergewissern, wie genau die numerische Berechnung war. 7. Man beachte die Symmetriebedingungen mechanischer Systeme! Viele Rechenprogramme sind so allgemeing¨ultig, daß die installierten Algorithmen die besonderen Beziehungen nicht ausnutzen, die in einer symmetrischen mechanischen Struktur zwischen den mechanischen Gr¨oßen bestehen m¨ussen. Wird ein symmetrisches mechanisches System mit einem Algorithmus f¨ur ein beliebiges System behandelt, kann man deshalb mehrere Proben machen: • Bei symmetrischen Belastungen m¨ussen alle antimetrischen Schnittgr¨oßen in der Symmetrieebene null sein, und alle mechanischen Gr¨oßen m¨ussen an allen symmetrischen Punkten u¨ bereinstimmen. • Bei antimetrischen Belastungen m¨ussen alle symmetrischen Schnittgr¨oßen in der Symmetrieebene null sein, und alle mechanischen Gr¨oßen m¨ussen an allen symmetrischen Punkten entgegengesetzte Vorzeichen haben. Eine beliebige Belastung kann stets als Summe aus einer symmetrischen und einer antimetrischen Belastung dargestellt werden. Deshalb ist diese Kontrolle

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

29

an symmetrischen mechanischen Systemen bei beliebigen Belastungen durchf¨uhrbar. In einem symmetrischen linearen Schwingungssystem existieren ausschließlich symmetrische und antimetrische Eigenformen. Man kann also Softwareprogramme auf ihre Rechengenauigkeit dadurch testen, daß man einerseits Daten f¨ur symmetrische Systeme unabh¨angig von den Symmetriebedingungen eingibt und andererseits die Symmetriebedingungen von Anfang an ausnutzt, d. h. das Gesamtsystem zerlegt und nur die H¨alfte“ berechnet. Bei mehrfacher Symmetrie gibt es noch mehr Kon” trollm¨oglichkeiten, z. B. bei ringf¨ormigen Strukturen. 8. Man verwende analytisch exakte L¨osungen zur Kontrolle! Geschlossene analytische L¨osungen lassen sich zwar oft nur f¨ur Spezialf¨alle ﬁnden, aber man kann damit v¨ollig unabh¨angige Werte zum Vergleich erhalten. Es kann damit zwar keine durchgreifende Kontrolle f¨ur beliebige Parameterwerte erfolgen, aber man kann evtl. unterschiedliche Parameterbereiche mit unterschiedlichen exakten L¨osungen u¨ berpr¨ufen, vgl. das Beispiel in Abschn. 2.2.4.3. F¨ur regul¨are mechanische Strukturen, die aus sich wiederholenden gleichen Elementen bestehen, existieren geschlossene analytische L¨osungen, vgl. z. B. in [99], [113], [344]. 2.2.2 Normierung der Parameter und der Variablen Die folgenden Empfehlungen stehen im Zusammenhang mit Gesetzm¨aßigkeiten der ¨ Ahnlichkeitsmechanik, die vor allem bei der Anwendung von Modellgesetzen in der experimentellen Mechanik eine zentrale Rolle spielen. Dazu gibt es eine umfangreiche Fachliteratur, vgl. [123], [143], [145], [193], [277], [297], [305]. ¨ Die Gesetze der Ahnlichkeitsmechanik werden in der Maschinendynamik und Antriebsdynamik viel seltener angewandt als z. B. in der Str¨omungsmechanik, wo selbstverst¨andlich mit der Reynoldszahl, der Froudezahl, der Machzahl u. a. gearbeitet wird. Es gibt nur wenige Beispiele aus dem Gebiet des Turbinenbaus und des ¨ Kranbaus, wo man Ahnlichkeitskennzahlen in Verbindung mit experimentellen Untersuchungen benutzte, z. B. [190], [305]. Nicht nur f¨ur experimentelle Untersuchungen, sondern auch f¨ur theoretische ¨ Betrachtungen, analytische und numerische Berechnungen haben die Ahnlichkeitskennzahlen Bedeutung in der Antriebsdynamik. Das Lehrsche D¨ampfungsmaß ϑ , dimensionslose Eigenwerte λ und das Abstimmungsverh¨altnis η sind als solche h¨auﬁg ¨ verwendeten Ahnlichkeitskennzahlen einzustufen. ¨ Die wesentlichen Schlußfolgerungen auf dem Gebiet der Ahnlichkeitsmechanik basieren auf dem Gesetz von Buckingham, welches aussagt, daß die Anzahl der Parameter in den Modellgleichungen um die Anzahl der Grundgr¨oßen des physikalischen Prozesses verringert werden kann, wenn man dimensionslose Kenngr¨oßen einf¨uhrt ([277], [193]). Bei den hier interessierenden dynamischen Vorg¨angen gibt es immer drei Grundgr¨oßen. Dies k¨onnen L¨ange, Masse und Zeit sein, aber es kommen auch andere in Frage. Sie werden als Bezugsgr¨oßen stets problemspeziﬁsch formuliert. Es k¨onnen zus¨atzlich eingef¨uhrte oder im Parametervektor schon enthaltene Gr¨oßen sein (z. B. Geschwindigkeit, Federkonstante, Tr¨agheitsmoment), die als Bezugs-

30

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

gr¨oßen deﬁniert werden. Die Bezugsgr¨oßen m¨ussen aber stets drei unabh¨angige Maßeinheiten haben. Wenn man drei Bezugsgr¨oßen deﬁniert, kann man alle urspr¨unglichen Parameter durch Multiplikation oder Division mit den Bezugsgr¨oßen in dimensionslose Kenngr¨oßen π i umformen. Die Modellgleichungen jedes Berechnungsmodells lassen sich mit dimensionslosen Kenngr¨oßen und dimensionslosen Variablen ausdr¨ucken. Beispiele daf¨ur werden in den Abschnitten 2.2.3, 2.2.4, 2.3.4 und 2.4.4 gezeigt, vgl. z. B. Gln. (2.39), (2.58), (2.74), (2.82), (2.163), (2.178) und (2.301). An Stelle der urspr¨unglichen Anzahl von K ( physikalischen“) realen Modell” ¨ parametern treten dann nur noch K − 3 dimensionslose Kenngr¨oßen (Ahnlichkeitskennzahlen) auf, die alle die Form von Potenzprodukten der urspr¨unglichen Parameter haben. Bezeichnet man die urspr¨unglichen Parameter im Parametervektor mit (2.20) pT = (p1 , p2 , . . . , pK ) ¨ dann haben die Ahnlichkeitskennzahlen die Form k k π i = p11i · p22i · . . . · pknni , i = 1, 2, . . . K − 3 (2.21) wobei die Exponenten k1i bis kni positive oder negative ganze Zahlen sind. Es gibt stets mehrere M¨oglichkeiten f¨ur die Zusammenfassung von mehreren Parametern zu dimensionslosen Kenngr¨oßen, d. h., es existiert keine eindeutige Zu¨ π i . Auch Produkte, Quoordnung der Parameter xk zu den Ahnlichkeitskennzahlen ¨ tienten und beliebige Potenzprodukte von Ahnlichkeitskennzahlen k¨onnen solche sein. Die Anzahl (K − 3) unabh¨angiger Kennzahlen ist problemspeziﬁsch und bleibt ¨ erhalten. Die in der Maschinendynamik und Antriebsdynamik benutzten Ahnlichkeitskennzahlen werden selten mit π i bezeichnet. Sie sind als D¨ampfungsgrad D, Abstimmungsverh¨altnis η , bezogene Zeit τ , Eigenwert λ , Schwingbeiwert ψ , bezogene Koordinate, Steiﬁgkeitsverh¨altnis, Sommerfeldzahl (in der Lagertheorie) u. a. bekannt. Jedem Bearbeiter wird empfohlen, die analytischen Rechnungen weitgehend mit dimensionbehafteten Parametern durchzuf¨uhren, um w¨ahrend der Rechnung mehr Kontrollm¨oglichkeiten zu haben. Erst zum Schluß einer Untersuchung, wenn es an die numerische Auswertung und die u¨ bersichtliche Darstellung der Ergebnisse geht, empﬁehlt es sich, dimensionslose Kenngr¨oßen einzuf¨uhren. ¨ Unterschiedliche Parametervektoren, die dieselben dimensionslosen Ahnlichkeitskennzahlen haben, werden als mechanisch a¨ hnliche Parametervektoren bezeichnet. Die Einf¨uhrung dimensionsloser Kenngr¨oßen ist bei der analytischen und numerischen Behandlung der Modellgleichungen aus mehreren Gr¨unden zu empfehlen. 1. Man kann damit den Rechenaufwand verringern, weil bei der Analyse von Parametereinﬂ¨ussen oder bei einer Optimierung an Stelle von K echten“ Parametern ” nur K − 3 dimensionslose Parameter zu variieren sind. 2. Werden dimensionslose Kenngr¨oßen benutzt, kann man den Einﬂuß von mindestens f¨unf dimensionsbehafteten realen Parametern in zweidimensionalen Diagrammen veranschaulichen. Das ist m¨oglich, weil in Abszisse und Ordinate mindestens zwei, innerhalb der Ergebnisgr¨oße eine Bezugsgr¨oße enthalten sind und der Parameter der Kurvenschar eine weitere Kenngr¨oße sein kann. 3. Dimensionslos dargestellte Ergebnisse sind unabh¨angig von den Maßeinheiten, so daß man sich nicht um SI-Einheiten oder das amerikanische Maßsystem k¨ummern muß.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

31

4. Von vielen Baugruppen von Antriebssystemen werden Serien hergestellt, d. h. abgestufte Baureihen mit unterschiedlichen Parameterwerten (vgl. Gl. (2.20)), die bestimmte Bereiche von Parametern u¨ berdecken. Benutzt man zu deren dy¨ namischer Analyse Ahnlichkeitskennzahlen gem¨aß Gl. (2.21), so ist erkennbar, wie diese sich innerhalb der Baureihe ver¨andern, und man kann die zu erwarten¨ den dynamischen Erscheinungen beurteilen. Aus einer solchen Ubersicht kann abgeleitet werden, ob innerhalb der Baureihe dieselben dynamischen Erscheinungen zu erwarten sind, vgl. die Beispiele in Abschn. 2.2. ¨ 5. Formt man die Modellgleichungen so um, daß in ihnen Ahnlichkeitskennzahlen auftreten, kann man bereits vor der Modellberechnung an Hand der Gr¨oße der ¨ π i die Parametereinﬂ¨usse bewerten und ModellvereinAhnlichkeitskennzahlen fachungen begr¨unden. Es lassen sich manchmal Schlußfolgerungen u¨ ber wesentliche und unwesentliche Einﬂußgr¨oßen ziehen, bevor die Differentialgleichungen des Problems gel¨ost werden. Dies ist vor allem bei nichtlinearen Problemen von Interesse, vgl. z. B. Abschn. 2.2.3 und 2.2.4. 6. Man kann den experimentellen Aufwand bei der Bestimmung von Materialpa¨ rametern vermindern, wenn man sich vor den Versuchen die Ahnlichkeitskennzahlen ermittelt, in welche die Versuchsdaten eingehen sollen. Es ist nicht n¨otig, Versuche mit solchen Parameterkombinationen mehrfach durchzuf¨uhren, wenn ¨ sie dieselben Ahnlichkeitskennzahlen haben [143], [277]. ¨ Es ist zweckm¨aßig, die Ahnlichkeitskennzahlen und die Variablen zu skalieren, d. h. in eine Form zu transformieren, daß die Variablen nicht nur dimensionslos werden, sondern auch in derselben Gr¨oßenordnung auftreten. Da man jede Modellgleichung mit einem beliebigen Faktor multiplizieren kann, ohne daß sich an deren phy” sikalischem Inhalt“ etwas a¨ ndert, kann man alle Modellgleichungen so umformen, daß ihre gr¨oßten Summanden die Gr¨oßenordnung von eins erhalten. Dies kann numerische Vorteile bringen und f¨ur weitere Absch¨atzungen genutzt werden. Diese Methode ist anwendbar, wenn man ungef¨ahr die Zahlenbereiche der Parameterwerte des Modells kennt, vgl. [48]. Da dies bei antriebstechnischen Aufgaben ¨ in der Regel der Fall ist, sind dann auch die Zahlenbereiche der Ahnlichkeitskennzahlen bekannt. 2.2.3 Berechnungsmodelle von Schubkurbelgetrieben 2.2.3.1 Modellgleichungen Das Schubkurbelgetriebe ist eine Baugruppe, die h¨auﬁg in Antriebssystemen zur Umwandlung von Dreh- in Schubbewegungen (und umgekehrt) eingesetzt wird. Es muß je nach Fragestellung mit unterschiedlichen Berechnungsmodellen behandelt werden. Dies soll hier zur Illustration der in den vorangestellten Abschnitten getroffenen allgemeinen Aussagen erl¨autert werden. Die f¨ur Schubkurbelgetriebe dargestellten Probleme treten sinngem¨aß bei allen ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismen (mehrgliedrige Koppelgetriebe, Kurven- und R¨aderkoppelgetriebe) in vielen Antrieben von Verarbeitungsmaschinen auf, vgl. [68]. Auf die Behandlung des Starrk¨orpermodells wird verzichtet. Es ist weithin in der Fachliteratur behandelt worden, vgl. z. B. [132], [336], [366].

32

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

¨ Tabelle 2.7 Ubersicht u¨ ber beim Schubkurbelgetriebe behandelte Effekte (Kurbell¨ange r, Koppell¨ange l; r/l 1) Fall Effekt, Modellbild, Parameter 1

Bewegungsgleichung 1 J(ϕ )ϕ¨ + J (ϕ )ϕ˙ 2 + kT (ϕ − ϕ 0 ) = 0 (1) 2 J Ω 2 q1 J(Ω t)q¨1 + J (Ω t)Ω q˙1 + kT + 2 1 = − J (Ω t)Ω 2 = Antriebsmoment (2) 2 2 J ≈ J0 + m4 r sin2 ϕ (3)

Elastische Antriebswelle kT J 0 ϕ= Ω t + q1 ϕ0 = Ω t

2

m4

elastisches Abtriebsglied mit Spiel k

Ωt

δ

m4

x x1

3

= −m4 x1 Ω 2 = Massenkraft am Abtrieb

x2

= −m4 x x,3 Ω 2 (6) = L¨angskraft in Koppel x = r cos Ω t + (l + q3 )2 − r2 sin2 Ω t (7)

l + q3 k3

4

m4

ym

ϕ3

Ωt

5

m3* q4 xm

m4

m1 α

= m∗3 (xm sin ϕ 3 + ym cos ϕ 3 )Ω 2 = kinetostatische Querkraft m∗3 = 0,493Al 48EI k4 = 3 l

Ωt

(9) (10)

kinetostatische m4 =

Lagerkraftkomponente 2, m m22 = m1 + m4 x,2 ϕ 2 = m4 x x,2 (12)

q2

1 Spiel im Drehgelenk ohne Kontaktver m66 q¨6 + m66 Ω q˙6 + m66,6 q˙26 lust 2 β+q6 ∆r = −mϕ 6 Ω 2 Ωt

(8)

1 m22 q¨2 + m22,2 q˙22 + m22 Ω q˙2 + k2 q2 2 2 = −mϕ 2 Ω (11)

elastisches Kurbellager

k2

6

m∗3 q¨4 + (k4 − m∗3 Ω 2 ϕ 32 )q4

biegeelastische Koppel EI

(5)

m4 (x,3 q¨3 + 2x,3 Ω q˙3 + x,33 q˙23 )x,3 + k3 q3

l¨angselastische Koppel

Ωt

q2 = x1 − x2 (4) m4 q¨2 δ δ k + q2 − sign(q2 ) 1+ sign(|q2 |)− 2 2 2

m4

= Tangentialkraft im Drehgelenk 2, m m66 = m4 x,6 ϕ 6 = m4 x x,6

(13) (14)

Anmerkung: Die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten qk der Zusatzbewegungen werden durch Komma und Index mit ∂x/∂qk = x,k abgek¨urzt.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

33

In Tabelle 2.7 sind einige Berechnungsmodelle mit einem einzigen Freiheitsgrad angegeben. Den F¨allen 1 bis 6 sind die mit dem entsprechenden Index versehenen Koordinaten qk zugeordnet. Auf die Einf¨uhrung von D¨ampfungsparametern wurde in Tabelle 2.7 aus Platzgr¨unden generell verzichtet, sie w¨aren den Federkr¨aften hinzuzuf¨ugen, vgl. Abschn. 4.4.3. Bemerkenswert ist die aus den angegebenen Gleichungen erkennbare Tatsache, daß in allen F¨allen die aus dem Modell des Starrk¨orperMechanismus berechenbaren kinetostatischen Kr¨afte als Erregung auf den rechten Seiten der Gleichungen erscheinen. Die Erregerfunktion f¨ur die betreffenden Schwinger mit einem Freiheitsgrad sind aus dem Starrk¨orpermodell berechenbar, also z. B. die Fourierkoefﬁzienten der jeweiligen periodischen Erregung. Man kann sich ohne Kenntnis der linken Seite“ der Gleichungen also mit ” Ver¨anderungen am Starrk¨orper-Mechanismus befassen, um die f¨ur die Resonanzen relevanten Erregerharmonischen zu vermindern. Dabei gibt es aber nicht nur die bekannten Resonanzstellen k-ter Ordnung. Es l¨aßt sich in Tabelle 2.7 feststellen, daß infolge des ver¨anderlichen Kurbelwinkels auf den linken Seiten zeitlich ver¨anderliche Koefﬁzienten zustande kommen (Fall 1, 2, 3, 6), also parametererregte Schwinger entstehen, die ein komplizierteres Schwingungsverhalten als solche mit konstanten Koefﬁzienten besitzen. Die elastische Koppel wurde entsprechend den in Abschn. 2.3.4 erl¨auterten Grunds¨atzen hier als Minimalmodell mit einem Freiheitsgrad behandelt, vgl. Tabelle 2.7, Fall 4. 2.2.3.2 Elastisches Abtriebsglied mit Spiel Das elastische Abtriebsglied mit Spiel (Fall 2 in Tabelle 2.7) ist ein Sonderfall des in Bild 2.6 dargestellten Systems mit zwei Freiheitsgraden, bei dem auch die Motorkennlinie ber¨ucksichtigt wird. Hier werden die Modellgleichungen des in Bild 2.6 skizzierten Antriebssystems in 3 Formen dargestellt: Mit Absolutkoordinaten, mit Relativkoordinaten und mit dimensionslosen Kenngr¨oßen, vgl. auch Bild 4.16a. Dabei sollen sowohl die Methoden zu ihrer Aufstellung als auch die Vor- und Nachteile der einzelnen Formen hinsichtlich ihrer L¨osung diskutiert werden. Das skizzierte Antriebssystem wird durch einen Motor angetrieben, dessen Drehzahl-Drehmomentenkennlinie im station¨aren Zustand eine Gerade ist, vgl. Gl. (2.22). Das Schubkurbelgetriebe soll eine durch seine kinematischen Abmessungen bestimmte Abtriebsbewegung realisieren. Infolge der (durch die Motorkennlinie und das ver¨anderliche Massentr¨agheitsmoment bedingten) ver¨anderlichen Antriebswinkelgeschwindigkeit und des elastischen spielbehafteten Abtriebsgliedes weicht die Abtriebsbewegung von der idealen kinematischen Bewegung x1 (ϕ ) ab, die sich beim starren spielfreien Mechanismus bei konstanter Antriebsgeschwindigkeit einstellen w¨urde. Das Berechnungsmodell soll dazu dienen, den ( dynamischen“) Abtriebsweg ” x2 (t), das Antriebsmoment Man und die Kraft F12 im Abtrieb zu berechnen, um zu kl¨aren, wie sich diese von den idealen“ Gr¨oßen des zwangl¨auﬁgen Starrk¨orpersy” stems unterscheiden. Die lineare Motorkennlinie wird (station¨arer Zustand) folgendermaßen angen¨ahert, vgl. Abschn. 3.4.3: ϕ˙ (2.22) Man = M0 1 − Ω

34

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

l0

Modell J0 M an r

δ

m1

l

k

m2

ϕ x1

l0 + x 2 +δ / 2

a)

Federkraft F12 −

k ( x1 − x 2 +δ / 2)

k ( x1 − x 2 −δ / 2)

δ 2

q2 = x1 − x 2

δ 2

Relativweg

b) F1

m1 && x1

F12

F12

m2 && x2

c) Bild 2.6 Schubkurbelgetriebe mit Spiel im Abtrieb (l0 L¨ange der ungespannten Feder) a) Berechnungsmodell, b) Federkennlinie mit Spiel, c) Erl¨auterung des Kr¨aftegleichgewichts

Der Abtriebsweg des Schubkurbelgetriebes ist eine nichtlineare Funktion des Antriebswinkels und der geometrischen Abmessungen, vgl. Bild 2.6a: U(ϕ ) (2.23) x1 = r cos ϕ + l 2 − r2 sin2 ϕ = Die f¨ur die Wegfunktion x1 (ϕ ) hier beschriebenen Gleichungen gelten auch f¨ur das Modell in Bild 4.16 mit der Lagefunktion U(ϕ ), vgl. Abschn. 4.4.2. Es wird folgende Abh¨angigkeit der inneren Kraft von Elastizit¨at und Spiel angenommen, vgl. Bild 2.6b: ⎧ ⎪ ⎨k(x1 − x2 − δ /2) f¨ur x1 − x2 δ /2 (2.24) F12 = 0 f¨ur |x1 − x2 | < δ /2 ⎪ ⎩k(x − x + δ /2) f¨ur x − x −δ /2 1 2 1 2 Derselbe Zusammenhang l¨aßt sich so ausdr¨ucken:

δ δ k F12 = x1 − x2 − sign(x1 − x2 ) 1 + sign |x1 − x2 | − 2 2 2

(2.25)

Eine andere, f¨ur numerische Berechnungen vorteilhafte, Formulierung stellt Gl. (4.158) dar, vgl. Abschn. 4.9.1 und Bild 4.39.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

35

Das Kr¨aftegleichgewicht zwischen Massenkraft und Federkraft liefert, vgl. Bild 2.6c: F12 = m2 x¨2

(2.26)

Das Antriebsmoment gem¨aß Gl. (2.22) muß die Massenkr¨afte u¨ berwinden. Man gewinnt es durch die Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit: Man = J0 ϕ¨ + m1 x¨1 x1, ϕ + m2 x¨2 x2, ϕ

(2.27)

Der darin vorkommenden Ausdruck f¨ur die Beschleunigung der Masse m1 des Schubgliedes folgt aus der Winkelgeschwindigkeit und der Winkelbeschleunigung der Antriebskurbel sowie aus den Lagefunktionen erster und zweiter Ordnung des Schubkurbelgetriebes: x˙1 = x1, ϕ ϕ˙ ;

x¨1 = x1, ϕ ϕ ϕ˙ 2 + x1, ϕ ϕ¨

(2.28)

Die Ableitungen des Schubweges x1 nach dem Kurbelwinkel ϕ kann man aus Gl. (2.23) berechnen. Sie werden durch die aus Gl. (2.29a) und Gl. (2.29b) ersichtlichen Index-Symbole abgek¨urzt. Es ergibt sich die Lagefunktion erster Ordnung: r2 sin ϕ cos ϕ dx1 = x1, ϕ = −r sin ϕ − = U (ϕ ) dϕ 2 2 2 l − r sin ϕ

(2.29a)

x1,ϕ ϕ ): und nach weiterer Differentiation die Lagefunktion zweiter Ordnung (U = r2 l 2 cos2 ϕ − sin2 ϕ + r4 sin4 ϕ d 2 x1 = x = −r cos ϕ − (2.29b) 1, ϕ ϕ 3 dϕ 2 l 2 − r2 sin2 ϕ 2 Aus dem Momentengleichgewicht am Antrieb und dem Kr¨aftegleichgewicht am Abtrieb folgt, vgl. Gl. (2.22), (2.27) und (2.28) bzw. Gl. (2.25) und (2.26): ϕ˙ 2 2 =0 (2.30) m2 x2, ϕ x¨2 + (J0 + m1 x1, ϕ )ϕ¨ + m1 x1, ϕ x1, ϕ ϕ ϕ˙ − M0 1 − Ω

δ δ k m2 x¨2 − x1 −x2 − sign(x1 −x2 ) 1+sign |x1 −x2 |− =0 (2.31) 2 2 2 Dies sind die Modellgleichungen der Modellstufe 3 bez¨uglich der Absolutkoordinaten (ϕ und x2 ), vgl. Tabelle 2.5. Nun sollen diese in Relativkoordinaten ausgedr¨uckt werden, was bei solchen Aufgaben oft zu empfehlen ist. Es wird der Relativwinkel zur kinematischen Prim¨arbewegung als Variable eingef¨uhrt, vgl. auch Abschn. 2.1.5. q1 = ϕ − ϕ 0 = ϕ − Ω t;

q˙1 = ϕ˙ − Ω ;

q¨1 = ϕ¨

(2.32)

Dieser Relativwinkel q1 bleibt bei den Schwingungen um die kinematische Prim¨arbewegung, die dem Mittelwert Ω t entspricht, in einem endlichen Bereich, wogegen der urspr¨ungliche Absolutwinkel ϕ infolge der Rotationsbewegung beliebig große Werte annehmen kann. Gl. (2.28) erh¨alt damit die Form x˙1 = x1, ϕ (Ω + q˙1 ) ;

x¨1 = x1, ϕ ϕ (Ω + q˙1 )2 + x1, ϕ q¨1

(2.28a)

36

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Außerdem wird der Relativweg q2 als neue Variable eingef¨uhrt, welcher die Sekund¨arbewegung (Zusatzbewegung am Schubglied) bezeichnet. Es gilt q2 = x1 − x2 ;

x2 = x1 − q2 ;

x2,ϕ ≈ x1,ϕ

(2.33)

Damit lauten die aus den Gln. (2.26) und (2.27) bekannten Gr¨oßen F12 = m2 (x¨1 − q¨2 ) Man = J0 q¨1 + (m1 + m2 )x¨1 − m2 q¨2 x1, ϕ

(2.34) (2.35)

Unter Ber¨ucksichtigung von Gl. (2.28a) erscheinen die Systemgleichungen, die bisher als Gl. (2.30) und (2.31) bekannt sind, mit den Relativkoordinaten also in der Form [J0 + (m1 + m2 )(x1, ϕ )2 ]q¨1 − m2 x1, ϕ q¨2 + (m1 + m2 )x1, ϕ x1, ϕ ϕ (q˙1 + Ω )2 + M0

q˙1 =0 Ω

m2 x1, ϕ q¨1 − m2 q¨2 + m2 x1, ϕ ϕ (q˙1 + Ω )2 δ δ k − 1 + sign |q2 | − q2 − sign(q2 ) =0 2 2 2

(2.36)

(2.37)

Die L¨osung der Systemgleichungen ergibt die Verl¨aufe der Variablen q1 (t) und q2 (t) bzw. ϕ (t) und x2 (t). Sie l¨aßt sich mit bekannten Verfahren der numerischen Integration ermitteln. Wird sie in die Gln. (2.29a) und (2.29b) und danach in die Gln. (2.33), (2.34) und (2.35) eingesetzt, erh¨alt man die in der Aufgabenstellung verlangten Gr¨oßen. Alle Ergebnisgr¨oßen sind dann eine Funktion von den insgesamt neun (dimensionsbehafteten) Parametern, die man im Parametervektor pT = (r, l, k, m1 , m2 , δ , Ω , M0 , J0 )

(2.38)

geordnet zusammenfassen kann. Es ist zweckm¨aßig, die Systemgleichungen (2.36) und (2.37) noch in anderer Form darzustellen. Bei der bisherigen Formulierung treten ein Winkel und ein Weg als Variable auf, also Koordinaten mit verschiedenen Dimensionen, die zudem bei der numerischen Rechnung in verschiedenen Zahlenbereichen erscheinen werden. Zur Einf¨uhrung dimensionsloser Gr¨oßen sind f¨ur das gegebene Beispiel als Bezugsgr¨oßen die L¨ange l, die Masse m1 und die Winkelgeschwindigkeit Ω geeignet. Dividiert man die Systemgleichungen (2.36) und (2.37) durch diese Bezugsgr¨oßen (und Potenzen von ihnen), so erhalten alle Koefﬁzienten und Variablen eine dimensionslose Form. Wie aus den allgemeinen Behauptungen im Abschn. 2.2.1 folgt, kann man ¨ dieses Beispiel mit (9 − 3 =) 6 dimensionslosen Kenngr¨oßen (Ahnlichkeitskenngr¨oßen) beschreiben: r l

π1 = ; π2 =

δ m2 k M0 J0 ; π3 = ; π4 = ; π5 = ; π6 = 2 2 2 m1 2l m1 Ω m1 l Ω m1 l 2

(2.39)

Aus den bisherigen Winkel- und Wegkoordinaten und der Zeit werden dimensionslose Koordinaten: q2 ξ 1 = q1 ; ξ2 = ϕ0 = Ω t (2.40) ; l

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

37

Die Lagefunktion gem¨aß Gl. (2.23) erh¨alt die Form x1 = π 1 cos τ + 1 − π 12 sin2 τ (2.41) y= l Die Ableitung nach der Zeit t wird durch die Ableitung nach dem Winkel ϕ 0 ersetzt, wof¨ur als neues Symbol ein Strich eingef¨uhrt wird. Somit gilt: d ξk d ϕ 0 d 2ξk d ξk = = ξ k Ω ; · = ξ k Ω 2 (2.42) dt d ϕ0 dt dt 2 Die Modellgleichungen (2.36) und (2.37) werden nun in die u¨ bliche Form gebracht, bei der die unbekannten Funktionen ξ 1 und ξ 2 auf der linken Seite und die bekannten Erregerfunktionen auf der rechten Seite stehen: [π 6 + (1 + π 2 )y2,ϕ ]ξ 1 + (1 + π 2 )y,ϕ y,ϕ ϕ (2ξ 1 + (ξ 1 )2 ) + π 5 ξ 1 − π 2 y,ϕ ξ 2 = −(1 + π 2 )y,ϕ y,ϕ ϕ

(2.43)

π 2 [y,ϕ ξ 1 + y,ϕ ϕ (2ξ 1 + (ξ 1 )2 ) − ξ 2 ]

1 − π 4 [ξ 2 − π 3 sign(ξ 2 )][1 + sign(|ξ 2 | − π 3 )] = −π 2 y,ϕ ϕ (2.44) 2 Diese Bewegungsgleichungen beschreiben parametererregte erzwungene Schwingungen eines nichtlinearen Systems, bei dem die Erregung im station¨aren Zustand durch die Lagefunktion U(ϕ ) bestimmt wird. Die Nichtlinearit¨at ist sowohl durch das Spiel auch durch die Lagefunktion und das Quadrat bedingt. In weiteren Schritten k¨onnte man diese Bewegungsgleichungen linearisieren, so daß die zeitabh¨angigen Erregerterme deutlicher erscheinen, z. B. mit der N¨aherung U(ϕ ) ≈ U(ϕ 0 ) + q1U (ϕ 0 ). Dies w¨are f¨ur die numerische Integration nicht erforderlich, aber es lassen sich dann bestimmte dynamische Effekte leichter interpretieren, vgl. die Ausf¨uhrungen in Abschn. 4.4. Zum Beispiel ist Gl. (4.6) mit Gl. (2.43) vergleichbar und das Berechnungsmodell in Bild 4.16 gehorcht auch der Gl. (2.44). Die beiden Kraftgr¨oßen folgen aus den Gln. (2.34) und (2.35) und lauten nun F12 = π 2 y, ϕ ϕ (1 + ξ 1 )2 + y, ϕ ξ 1 − ξ 2 (2.45) f1 = 2 m1 l Ω und Man f2 = = −π 5 ξ 1 (2.46) m1 l 2 Ω 2 Die beiden L¨angen, die die Abtriebsbewegung der Schubkurbel bestimmen, sind in ¨ der dimensionslosen Kenngr¨oße π 1 enthalten. Sie sichern die geometrische Ahnlich¨ ¨ keit. F¨ur die mechanische Ahnlichkeit sorgen die anderen f¨unf Ahnlichkeitskenngr¨oßen. Man k¨onnte die L¨osung der Differentialgleichungen (2.30) und (2.31) f¨ur die Absolutkoordinaten mit realen (dimensionsbehafteten) Parameterwerten mit derjenigen der Gln. (2.36) und (2.37) f¨ur die Relativkoordinaten vergleichen und beide auch mit der L¨osung der Differentialgleichungen (2.43) und (2.44). Zur Kontrolle kann man f¨ur dieselben dimensionslosen Kenngr¨oßen unterschiedliche dimensionsbehaftete Parameters¨atze ermitteln und pr¨ufen, ob sich f¨ur dieselbe Aufgabe u¨ bereinstimmende numerische Resultate ergeben.

38

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Beispielsweise ergeben die beiden mit den Gln. (2.47) und (2.48) deﬁnierten Parametervektoren pT1 = (0,044 m; 0,2 m; 2,028 · 105 N/m; 2 kg; 3 kg; 0,000 1 m; . . . 10,4 s−1 ; 4 N · m; 0,008 kg · m2 )

(2.47)

pT2 = (0,088 m; 0,4 m; 76 050 N/m; 3 kg; 4,5 kg; 0,000 2 m; . . . 5,2 s−1 ; 6 N · m; 0,048 kg · m2 )

(2.48)

mit der aus Gl. (2.38) bekannten Bedeutung der Komponenten gleichgroße (aus Gl. (2.39) berechenbare) dimensionslose Kenngr¨oßen: π 1 = 0,22; π 2 = 1,5; π 3 = 0,000 25; π 4 = 938; π 5 = 0,462; π 6 = 0,1 (2.49)

Die beiden Parameters¨atze x 1 und x 2 aus den Gln. (2.47) und (2.48) geh¨oren zu mechanisch a¨ hnlichen Systemen und m¨ussen also u¨ bereinstimmende a¨ hnliche“ ” L¨osungen ergeben. Diese werden sich praktisch voneinander zwar zahlenm¨aßig unterscheiden, aber sie sind durch Multiplikation mit den Bezugsgr¨oßen ineinander umrechenbar. Die genannten Vergleiche erm¨oglichen es also, die Berechnungsmethode (oder das Softwareprogramm) auf numerische Genauigkeit mit sich selbst“ zu ” pr¨ufen. In Bild 2.7 sind mit dem Rechenprogramm ITI -SIM [302] erhaltene Ergebnisse f¨ur die festen Parameterwerte r = 44 mm;

l = 200 mm;

m2 = 3 kg;

Ω = 10,4 s−1

k = 2,028 · 105 N/m;

(2.50)

f¨ur variable Werte des Spiels δ /r dargestellt. Es wurde ein D¨ampfungsmaß von ϑ = 0,05 ber¨ucksichtigt. Dem kinetostatischen Kraftverlauf sind Schwingungen u¨ berlagert, die als Stoßfolge erscheinen, welche zu Zeitpunkten beginnt, an denen ein Vorzeichenwechsel der Beschleunigung auftritt. Die ersten Kraftspitzen entstehen infolge des Spieldurchlaufs nach dem Aufprall des Schwingers auf die Masse m1 , sie werden infolge der D¨ampfung nach und nach kleiner. Wenn man sich nur f¨ur die Spitzenwerte der Vibrationskr¨afte interessiert, kann man diese mit einer N¨aherungsformel aus [84] (dort S. 159/160) berechnen, die mit den hier benutzten Bezeichnungen folgendermaßen lautet: 3 3 | = Ω m2 k 4,5δ 2 |x1∗ | (2.51) F12 max = m2 q¨2 max = m2 Ω ω 4,5δ 2 |x1∗ Demzufolge sind die durch den Spieldurchlauf bedingten Vibrationskr¨afte der Drehzahl proportional, und sie a¨ ndern sich mit der Quadratwurzel aus Masse und Steiﬁgkeit und der angegeben Kubikwurzel aus dem Quadrat des Spiels und der Lagefunktion dritter Ordnung. Diese dritte Ableitung ist an der Kurbelstellung ϕ ∗ zu berech (ϕ ∗ ) = 0 ist. Sie ergibt sich nach elementarer nen, an welcher die zweite Ableitung x1∗ aber umfangreicher Rechnung (π 1 = λ ) zu 5λ 3 = r 1 + λ + 4λ 2 + (2.52) x1∗ + O(λ 4 ) 16

39

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

20 10 0 −10 −20

δ/r = 0,001

N

δ/r = 0

N

20 10 0 −10 −20

0

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,002

20 10 0 −10 −20 −30

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,004

N

N

20 10 0 −10 −20 −30

0

0

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,006

30 20 10 0 −10 −20 −30

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,008

N

N

30 20 10 0 −10 −20 −30

0

0

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,012

π

2π

ϕ

3π

δ/r = 0,016

40 30 20 10 0 −10 −20 −30 −40 −50

N

N

40 30 20 10 0 −10 −20 −30 −40 −50

0

0

π

2π

ϕ

3π

0

π

2π

ϕ

3π

Bild 2.7 Kraft F12 in Abh¨angigkeit von relativem Spiel δ /r = 2π 3 /π 1 , vgl. Gl. (2.39) (Rechenergebnis von ITI -SIM) F¨ur die Werte aus Gl. (2.50) ist x1∗ = 62,3 mm und mit dem Spiel von δ = 0,352 mm folgt damit aus Gl. (2.51) F12 max = 26,5 N. Der aus Bild 2.7 f¨ur δ /r = 0,008 ablesbare Wert der Kraftspitze stimmt damit gut u¨ berein. Die Formel (2.51) gilt dann, wenn der Anlagewechsel in der Kurbelstellung erfolgt, bei der die Beschleunigung Null ist, d. h. ihr Vorzeichen wechselt. Die Stoßzeit“ jedes einzelnen der in Bild 2.7 ”

40

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

sichtbaren Einzelimpulse entspricht einer halben Periodendauer des aus m2 und k bestehenden Einmassenschwingers (vgl. Bild 2.6a) und betr¨agt m2 3 = 3,141 6 = 0,012 1 s (2.53) T /2 = π k 202 800 Dieser Wert ist auch bei der numerischen Integration von Interesse, denn man kann nur brauchbare Ergebnisse erwarten, wenn die Schrittweite wesentlich kleiner als der Zahlenwert gem¨aß Gl. (2.53) gew¨ahlt wird. Als Beispiel f¨ur den Einﬂuß elastischer Glieder wird das Schubkurbelgetriebe innerhalb einer Presse betrachtet. Die Wechselwirkung zwischen technologischer Belastung und St¨oßelbewegung eines Schubkurbelgetriebes interessiert bei solchen Umformvorg¨angen, wie Schneiden, Schmieden, Pr¨agen und Stauchen. In [296] wurden die wegabh¨angigen Umformkr¨afte, die elastische Lagerung des Schubkurbelgetriebes, die Gestellelastizit¨at und der schwingungsf¨ahige Antrieb mit relativ wenigen Modellelementen ber¨ucksichtigt. Bei langsamlaufenden Pressen, wenn die Massenkr¨afte des Schubkurbelgetriebes um etwa zwei Zehnerpotenzen unter den maximal m¨oglichen Preßkr¨aften liegen und die Hubfrequenz um etwa eine Zehnerpotenz niedriger als die erste Eigenfrequenz (der Schwingung der gesamten Presse auf der Fundamentaufstellung) liegt, kann das elastische Verhalten mit dem in Bild 2.8 gezeigten Berechnungsmodell erfaßt werden.

Antrieb

Stößel des Schubkurbelgetriebes Fu

Gestell Fundamentblock Fundamentfedern

Bild 2.8 Berechnungsmodell einer Presse nach [296]

Bild 2.9a und b zeigen Rechenergebnisse bei einem Schneidvorgang. Der Grundbelastung am St¨oßel ist eine Schwingung mit der Gestelleigenfrequenz u¨ berlagert. Der Unterschied zwischen dem idealen und dem realen St¨oßelweg zeigt, daß nach Beginn des Kontakts zwischen Werkzeug und Werkst¨uck der reale St¨oßelweg aufgrund der Pressenfederung und der Spiel¨uberbr¨uckung gegen¨uber dem Verlauf des idealen Abtriebswegs (vgl. Gl. (2.23)) zur¨uckbleibt. Die Schneidkraft nimmt auf Grund der elastischen Federung in einer relativ kurzen Zeit zu, bis das Durchschneiden ruckartig erfolgt. Man kann erkennen, daß die Ursache der

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

41

Kraft Q in kN

4000 Stößelkraft

3000

Fundament 2000 Gestell

1000 0 0,05

a)

0,10

Weg x1 in mm

8,0 6,0

0,15 t in s

0,20

ideale Stößelbewegung

4,0

reale Stößelbewegung

2,0 0

b)

0,05

0,10

0,15 t in s

0,20

Bild 2.9 Schneidvorgang an einer Presse nach [296]; a) Kraftverl¨aufe, b) Wegverl¨aufe

extremen dynamischen Belastung und der L¨armentwicklung nicht nur im steilen Schneidkraftanstieg nach dem Aufschlag des Schneidstempels auf das Blechteil liegt. Der pl¨otzliche Kraftabfall nach Bruch des Bleches, wodurch sogar eine Belastungsumkehr in Gestell und Mechanismus auftritt, ist unerw¨unscht, vgl. Bild 2.9a. Der St¨oßel dringt tiefer als in die mit Null bezeichnete Umkehrlage des idealen (starren und spielfreien) Schubkurbelgetriebes ein und verursacht mit zunehmender Eintauchtiefe des Schneidstempels erh¨ohten Werkzeugverschleiß, vgl. Bild 2.9b. Zur Interpretation: Interessant ist, daß auch eine niederfrequente Fundamentschwingung angeregt wird, obwohl die Schnittkraft eine innere Kraft der Presse ist und sich eigentlich (wie in der Statik gelehrt wird) nach außen“ nicht auswirkt. Das ” Fundament wird tats¨achlich nicht durch die Schnittkraft, sondern durch die Massenkr¨afte der vibrierenden Gestellmassen erregt, deren Bewegungen infolge des Schneidens entstehen. 2.2.3.3 Spiel im Kurbelgelenk Im zweiten Beispiel wird das Modell des Schubkurbelgetriebes mit Spiel im Kurbelgelenk betrachtet, vgl. Fall 6 in Tabelle 2.7. Normalerweise wird angenommen, daß sich infolge von Spiel die Stoßwirkungen in radialer Richtung negativ auswirken, vgl. auch Bild 2.7. Zur Interpretation: Durch eine vibrierende tangentiale Bewegung

42

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

¨ des Bolzens in der Lagerschale von Drehgelenken entsteht eine starke Anderung der Gr¨oße und der Richtung der dynamischen Gelenkkraft, obwohl der Kontakt gewahrt bleibt. Ersten Untersuchungen zu diesem spielfreien Stoßeffekt“ in den 70er Jahren ” [86], [298] folgten weiterf¨uhrende Arbeiten, vgl. [25], [80], [220], [338].

Bild 2.10 Radiale Gelenkkraft und Richtungswinkel am Kurbelgelenk des Schubkurbelgetriebes (Fall 6 in Tabelle 2.7), vgl. [80]

Das Berechnungsmodell enth¨alt hierbei ein masseloses Glied, welches die Kreisbahn des Lagerbolzens in der Lagerschale gew¨ahrleistet. Dieses Modell liefert die Aussage, daß bei schnellem Wechsel der Gelenkkraftrichtung hochfrequente tangentiale Schwingungen des Bolzens in der Lagerschale auftreten, vgl. Bild 2.10. F¨ur den Konstrukteur ist die Aussage von Interesse, daß f¨ur die Gelenkkraft die Bedingungen β˙ rad (2.54) >1 F N·s max

m¨oglichst erf¨ullt sein sollen, um solche Schwingungen zu vermeiden [86]. Dabei ist β der Kraftrichtungswinkel im Drehgelenk Kurbel–Koppel, vgl. Fall 6 in Tabelle 2.7.

Das in [25] angegebene Kriterium bewertet Drehgelenke mit der dimensionslosen Kennzahl m∗ |β¨ |δ = Minimum (2.55) |F| und ber¨ucksichtigt neben der Gelenkkraft F die Beschleunigung des Kraftrichtungswinkels β , die mittlere Masse m∗ der beteiligten Getriebeglieder und das radiale Gelenkspiel δ .

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

43

2.2.3.4 Zur Kolbensekund¨arbewegung F¨ur viele Antriebe besteht Interesse an den Gesetzm¨aßigkeiten der Sekund¨arbewegung von Schubgliedern in F¨uhrungsbahnen, da die Querbewegungen und Kippbewegungen viele unerw¨unschte Nebenwirkungen haben, die man m¨oglichst gut vorausberechnen will, z. B. bei Werkzeugmaschinen [167], [345] oder Kranen [284]. Besonders intensiv wurde die Kolbensekund¨arbewegung in Verbrennungsmotoren ¨ in jahrelangen Forschungsarbeiten untersucht, vgl. z. B. die Ubersicht in der Arbeit [192]. Hier soll nur ein Ergebnis aus [210] zitiert werden, welches den Stand und die modernen M¨oglichkeiten f¨ur die Detailuntersuchung an Antriebssystemen demonstriert. Die Modellgrenzen lagen einerseits am Grundlager und andererseits am Zylinderrohr der Kolbenf¨uhrung. Die Lager wurden dabei als ideale reibungsfreie, starre und spielfreie Gelenke und das Pleuel als starrer K¨orper modelliert. Die Kolben-, Bolzen- und Zylinderelastizit¨aten sowie das Verhalten des hydrodynamischen Lagers, die f¨ur die Kolbensekund¨arbewegung und die dabei interessierenden Kr¨afte auf die Zylinderwand von entscheidender Bedeutung sind, wurden ber¨ucksichtigt.

a)

b) FGas

FHyd

e BS

B

FReib

FReib

eB

FHyd

FHyd

S eS

FPleuel M Reib

l

x e

r ϕ

0

A0

A

z y

starres Gelenk

Ω

Bild 2.11 Berechnungsmodell f¨ur die Kolbensekund¨arbewegung a) Starrk¨orpersystem mit Desachsierung [327] (Minimalmodell) b) System mit mehreren tausend Elementen [210]

Masse Trägheitsmoment starres Gelenk

44

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Das FE-Modell besitzt mehrere tausend Freiheitsgrade, womit sowohl das elastische Verhalten als auch der Schmierspalt feinmaschig modelliert werden. Zur numerischen Auswertung werden Methoden der Freiheitsgradreduktion angewen¨ det, vgl. Abschn. 2.5. Die Kolbensekund¨arbewegung beeinﬂußt Verschleiß, Olverbrauch und den Aufschlagimpuls des Kolbens auf die Zylinderwand. Sie ist eine der Ursachen f¨ur den L¨arm. Durch ihre spezielle Modellierung k¨onnen tiefergehende Erkenntnisse u¨ ber die Kolben-Zylinder-Dynamik gewonnen werden, insbesondere auch dar¨uber, durch welche Parameterwerte der Aufschlagimpuls minimiert werden kann. Die Bewegung des Kolbens in der zylindrischen F¨uhrung wird von solchen Konstruktionsparametern wie Des-achsierung“ der Kolbenbolzen (Exzentrizit¨at der ” Drehachse des Kolbens), Kurbelverh¨altnis, Kolbengeometrie und Fertigungsspiel bestimmt, vgl. dazu das Minimalmodell in Bild 2.11a. Die Ber¨ucksichtigung des ¨ Schmierﬁlms zwischen Kolben und Zylinderwand, der wiederum von der Olvis¨ ullungsgrad kosit¨at, thermischen Ver¨anderungen der Oberﬂ¨achenformen, dem Olf¨ sowie Kolben- und Zylinderdeformationen abh¨angt, verlangt ein wesentlich komplizierteres Berechnungsmodell, das in Bild 2.11b aus der Arbeit [210] dargestellt ist.

Bild 2.12 Seitenkraftverlauf der Kolbensekund¨arbewegung aus [192] a) Schaftseitenkraft, b) Weg der Schaftoberkante, c) Kolben-Kippwinkel, d) Kolbenbewegung mit Anstoßen“ ”

Aus Bild 2.12 ist ersichtlich, daß es infolge der starken Verkippung des desachsierten Kolbens zu Sekund¨arbewegungen beim Anlagewechsel kommt.

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

45

2.2.4 Beispiele fur ¨ mehrere Modellstufen 2.2.4.1 Modellgleichungen von Rotoren mit Unwucht In Tabelle 2.8 sind f¨ur mehrere Modellstufen eines unwuchtbehafteten scheibenf¨ormigen Rotors die Bewegungsgleichungen angegeben, die auch Parameter des Antriebs und des Aufstellorts ber¨ucksichtigen. Die Berechnungsmodelle sind vom Einfachen zum Komplizierten geordnet, was man in der linken Spalte an der Anzahl der Parameter und in der rechten Spalte an den Differentialgleichungen erkennt. Diese Differentialgleichungen sind mit den dimensionsbehafteten Parametern angegeben. Die einzelnen Modellstufen sind zur L¨osung unterschiedlicher Aufgaben erforderlich. Dies sollen im folgenden auch die beiden Beispiele zeigen, bei denen Schadens- und St¨orf¨alle gekl¨art wurden. Die auch bei anderen Aufgaben in der Antriebsdynamik bestehende Frage, wie bedeutsam nichtlineare Einﬂ¨usse sind, soll exemplarisch mit diskutiert werden, vgl. dazu auch Abschn. 5.7.3.2. Dimensionslose Kenngr¨oßen werden genutzt, um schon auf der Ebene der Differentialgleichungen zu erkennen, wie einfach ein Berechnungsmodell sein darf oder wie kompliziert es sein muß. Die von der Unwucht eines scheibenf¨ormigen Rotors verursachte vertikale Massenkraftkomponente wird oft einfach als eine Projektion der Fliehkraft gem¨aß Gl. (3) in Schwingungsrichtung erfaßt. Es gibt nur selten F¨alle in der Maschinenbaupraxis, bei denen die Annahme berechtigt ist, daß die aus der Rotorunwucht entstehende Massenkraft einfach mit dem Quadrat der Drehzahl zunimmt, wie es der zwangl¨auﬁgen Bewegung mit konstanter Drehgeschwindigkeit (Modellstufe 1) entspricht. Schon zum Verst¨andnis der ersten Resonanz und dem v¨ollig anderen dynamischen Verhalten im unterkritischen und u¨ berkritischen Drehzahlbereich ist das Modell der Stufe 2a erforderlich. Das Modell mit f¨unf Parametern der Modellstufe 2a enth¨alt außer den bereits in Modellstufe 1 enthaltenen Parametern m1 , e und Ω noch die Federkonstante k und die Fundamentmasse m als weitere Parameter. Es wird hier zun¨achst auf die Ber¨ucksichtigung der D¨ampfung verzichtet. Mit diesem Modell a¨ ndert sich die vertikale Lagerkraft gem¨aß Gl. (6) aus Tabelle 2.8, also nicht mehr einfach mit dem Quadrat der Drehgeschwindigkeit. Bei vielen Aufgaben zur Fundamentierung und Schwingungsisolierung ist dieses Modell eine erste N¨aherung. Es kann z. B. zur Dimensionierung der Lagerfedern einfacher Fundamente dienen. Nun wird die dimensionslose Koordinate y (2.56) z= e und der Antriebswinkel als die dimensionslose Zeit ϕ 0 = Ω t eingef¨uhrt. An Stelle des Punktes f¨ur Ableitungen nach der Zeit wird im weiteren der Strich als Zeichen f¨ur die Ableitung nach ϕ 0 auftreten. Damit gilt analog zu Gl. (2.42) d( ) d( ) d ϕ 0 = = ( )Ω , dt d ϕ 0 dt

z˙ = Ω z ,

z¨ = Ω 2 z

(2.57)

46

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.8 Berechnungsmodelle eines ebenen unwuchtigen Rotors mit Parametern des Antriebs und des Fundaments, dessen Masse m sich nur vertikal bewegen kann Modell- Modell, Parametervektor p stufe Parameterzahl 1a y m1 K=3 e

Bewegungsgleichungen

ϕ0 = Ω t (1) y=0 (2) .......................................... Fy = m1 eΩ 2 sin Ω t (3)

ϕ= Ω t

pT = (m1 , e, Ω ) 2a K=5

ϕ0 = Ω t

(4) my¨ + ky = m1 (5) .......................................... Fy = ky (6) = [m1 eΩ 2 /(1 − Ω 2 m/k)] sin Ω t

m1eΩ 2 sin Ω t

eΩ 2 sin Ω t

m y

k

pT = (m1 , e, Ω , k, m) 2b K=5

e

(m1 + m)y¨ + ky + m1 e(q cos Ω t)¨ = m1 eΩ 2 sin Ω t (7) m1 ey¨ cos Ω t + m1 e2 q¨ = 0 (8) .......................................... (9) Fy = ky

m1 ϕ= Ω t + q

m y

pT

k

q <<1

= (m1 , e, Ω , k, m)

3 K=6

e

ϕ . M an (ϕ)

m

y

(m1 + m)y¨ + ky + m1 e(ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ 2 sin ϕ ) =0 (10) m1 ey¨ cos ϕ + m1 e2 ϕ¨ = Man (ϕ˙ ) (11)

m1

k

pT = (m1 , e, Ω , k, m, M) 2b K=8

2c K=8 2b K=9

(m1 + m)(y¨ + g) + ky + m1 e(q cos Ω t)¨ = m1 eΩ 2 sin Ω t (12) kT ϕ= Ω t + q Ωt m1 ey¨ cos Ω t + (J + m1 e2 )q¨ +(kT − m1 eg sin Ω t)q = −m1 eg cos Ω t (13) m (m1 + m)(y¨ + g) + ky + m1 e(sin ϕ )¨ = 0 (14) y k m1 e(y¨ + g) cos ϕ + (J + m1 e2 )y¨ + kT ϕ pT = (m1 , e, Ω , k, m, g, J, kT ) = kT Ω t (15) m1 (m1 + m)(y¨ + g) + d y˙ + ky + m1 e(q cos Ω t)¨ m1, J , e

e

J y

3 K=9

d

k

ϕ= Ω t + q . ϕ m M 0 1− Ω

FG H

IJ K

pT = (m1 , e, Ω , k, m, g, J, d, M0 )

= m1 eΩ 2 sin Ω t (16) m1 ey¨ cos Ω t + (J + m1 e2 )q¨ + (M0 /Ω )q˙ −m1 eg sin Ω tq = −m1 eg cos Ω t (17) (m1 + m)(y¨ + g) + d y˙ + ky + m1 e(sin ϕ )¨ =0 (18) 2 m1 e(y¨ + g) cos ϕ + (J + m1 e )ϕ¨ (19) = M0 1 − ϕ˙ /Ω (20) Fy = ky + d y˙

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

47

Das Systemverhalten wird nun nicht mehr mit f¨unf dimensionsbehafteten Parametern, sondern mit den beiden dimensionslosen Kenngr¨oßen mΩ 2 m1 π2 = , k m erfaßt. Die dimensionslos darstellbare vertikale Lagerkraft ist π1 =

f =

k m y 1 1 ky = z = m1 eΩ 2 mΩ 2 m1 e π1 π2

(2.58)

(2.59)

Die Kenngr¨oße π 1 entspricht dem Quadrat des Abstimmungsverh¨altnisses η . Um zu beurteilen, unter welcher Bedingung die Federkonstante k und die Fundamentmasse m eine wesentliche Rolle spielen, wird die Gl. (5) in Tabelle 2.8 in folgender Form geschrieben: 1 π2

z +

1 π1π2

z = sin ϕ 0

(2.60)

F¨ur die dimensionslose Lagerkraft gilt die Differentialgleichung π 1 f + f = sin ϕ 0

(2.61)

Sie folgt durch Einsetzen der Beziehung (2.59) in Gl. (2.60). Die station¨aren L¨osungen der Differentialgleichungen (2.60) und (2.61) sind z=

π1π2

1 − π1

sin ϕ 0 ,

f =

1 sin ϕ 0 1 − π1

(2.62)

Man kann sehen, daß bei π 1 = 0 (oder π 1 1) f¨ur die vertikale Lagerkraftkomponente einfach f = sin ϕ 0

(2.63)

gilt. Es ist z 1 (d. h. y e), wenn neben π 1 1 noch π 2 1 ist. Das Modell der Stufe 1 ergibt sich somit als Grenzfall des Modells der Stufe 2a. Aus dieser Betrachtung kann man also schließen, daß man Modellstufe 1 benutzen kann, solange die Bedingungen π1 1

und

π2 1

(2.64)

erf¨ullt sind, also bei relativ niedriger Drehzahl und bei relativ kleiner Unwuchtmasse. Das Modell der Stufe 2a gilt unter der Voraussetzung, daß die Massenkraft des Rotors nicht durch die Fundamentbewegung beeinﬂußt wird. Tats¨achlich wirken durch die Fundamentbeschleunigung zus¨atzliche Massenkr¨afte auf die Unwuchtmasse, und es entsteht ein sogenanntes R¨uttelrichtmoment [231], welches sich auf die Motordrehzahl auswirkt, vgl. auch Abschn. 5.7.3. ¨ Die Ruckwirkung der Fundamentbeschleunigung auf die Rotorbewegung wird in Stufe 2b (mit K = 5) ber¨ucksichtigt. Dabei kommen gegen¨uber Modellstufe 2a zwar keine neuen Parameter hinzu, aber die Realit¨at wird etwas genauer abgebildet. Die Differentialgleichungen (7) und (8) der kombinierten Parameter- und Zwangserregung entstehen bei der Annahme einer mittleren Prim¨arbewegung Ω t, um die eine kleine Sekund¨arbewegung q erfolgt. Die Beziehungen ϕ = Ω t + q = ϕ 0 + q,

ϕ˙ = Ω + q˙ = Ω (1 + q ),

ϕ¨ = q¨ = Ω 2 q

(2.65)

48

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

gelten noch exakt, aber bei den vielfach benutzten Linearisierungen ϕ˙ 2 = (Ω + q) ˙ 2 ≈ Ω 2 + 2Ω q˙

cos ϕ ≈ cos ϕ 0 − q sin ϕ 0 ,

(2.66) sin ϕ ≈ sin ϕ 0 + q cos ϕ 0

(2.67)

wird q 1 und q˙ Ω vorausgesetzt, und quadratische und Terme h¨oherer Ordnung werden vernachl¨assigt, so daß man nach den damit erhaltenen Ergebnissen pr¨ufen muß, ob die getroffenen Voraussetzungen vom erzielten Ergebnis auch erf¨ullt werden, vgl. z. B. die L¨osung aus Gl. (2.60). Die Prim¨arbewegung Ω t kann man als kinematische Erregung von Stufe 1a auffassen oder als Mittelung der exakten L¨osung des Modells von Stufe 3. Die Gln. (7) und (8) in Tabelle 2.8 nehmen unter Benutzung der dimensionslosen Kenngr¨oßen aus Gl. (2.58) folgende Form an: 1 1 z + z + (q cos ϕ 0 ) = sin ϕ 0 (2.68) 1+ π2

π1π2

z cos ϕ 0 + q = 0

(2.69)

Der Unterschied zu Modellstufe 2a besteht darin, daß zus¨atzlich Gl. (2.69) erscheint. Die Koordinaten z und q sind von gleicher Gr¨oßenordnung. Der Term (q cos ϕ 0 ) ist dann vernachl¨assigbar, wenn π 2 1 ist; er spielt aber eine wesentliche Rolle, wenn π 2 1 ist, d. h., Gl. (2.60) liefert dann gute N¨aherungen, wenn m1 m gilt. Auf Modellstufe 3 ist das Niveau der selbsterregten Schwingungen erreicht, wo beide Koordinaten aus dem System der autonomen Differentialgleichungen (10) und (11) in Tabelle 2.8 folgen. Dieses Modell hat f¨ur die Berechnung instation¨arer Vorg¨ange und des Resonanzdurchlaufs Bedeutung und wird z. B. in [31], [349], [253] ausf¨uhrlich analysiert. Die Bedingungen f¨ur das H¨angenbleiben“ des Rotors, was ” beim Hochlauf mit Man (ϕ˙ ) infolge zu starker R¨uckkopplung zu den Schwingungen des Fundamentblocks auftreten kann ( Sommerfeld-Effekt“ [304], [333]), sind aus ” diesen Differentialgleichungen berechenbar, vgl. Abschn. 5.4.6. Die Modelle in Tabelle 2.8 m¨ußten mindestens noch um die Bewegung des Rotors in zwei Koordinatenrichtungen, um die Reibungsd¨ampfer, um die axiale Ausdehnung des Rotors und um ein umfangreicheres Geh¨ausemodell erweitert werden, wenn man das dynamische Verhalten von W¨ascheschleudern oder Zentrifugen berechnen wollte, vgl. die weiterf¨uhrenden Arbeiten in [201]. Falls mehrere unwuchtige Rotoren in dem selben Gestell oder auf derselben Fundamentmasse aufgestellt sind, beeinﬂussen sich die Rotoren wechselseitig. Die dabei auftretenden Besonderheiten (z. B. Selbstsynchronisation) werden in Abschn. 5.7.3 behandelt. 2.2.4.2 Schadensfall an einer Pumpenwelle Eine Kreiselpumpe wurde von einem Asynchronmotor durch eine relativ lange Antriebswelle angetrieben und auf einem Fundament schwingungsisoliert aufgestellt, vgl. Bild 2.13. Die Maschinenanlage war als lineares Schwingungssystem berechnet worden: die Eigenfrequenz des Torsionsschwingers (Motor-Welle-Pumpe) lag bei 1,0 Hz, das Fundament hatte eine Eigenfrequenz von 15,8 Hz, und die Drehzahl

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

49

lag bei 390 min−1 (also 6,5 Hz), so daß man bei der Projektierung der Anlage keine Resonanz bef¨urchtete. Jedoch traten beim Umschalten des Asynchronmotors von einer Motorkennlinie auf die andere deutliche Schwebungen und Koppelschwingungen zwischen Rotor und Fundament auf, die so stark waren, daß sie die Antriebswelle zerst¨orten. Diese intensiven Schwingungen waren zun¨achst unerkl¨arlich. Man vermutete, daß diese irgendwie durch die Rotorunwucht bedingt waren. Die Rotorunwucht war aber so klein, daß einfache Berechnungsmodelle damit nichts Gef¨ahrliches ergaben. Motor

Kreiselpumpe Antriebswelle m, J kT q Ω

Kreiselpumpe e m1 S ϕ y

Fundament k Bild 2.13 Berechnungsmodell f¨ur Pumpenantrieb auf Fundament [76]

Es wurde schließlich das nichtlineare Schwingungsmodell aus Tabelle 2.8 der Stufe 2c gew¨ahlt, welches gegen¨uber den bisher erw¨ahnten Modellen die (relativ kleine) Torsionssteiﬁgkeit kT der langen Antriebswelle und das Tr¨agheitsmoment J des Pumpenrotors ber¨ucksichtigt. Das Fundament schwingt anfangs station¨ar mit der von der rotierenden Unwucht stammenden Erregerfrequenz, wie es Bild 2.14a im Bereich 0 < ϕ 0 < ϕ 1 = 20 zeigt. Zur Zeit ϕ 1 = 20 erfolgt bei der Winkelgeschwindigkeit Ω = 40,84 s−1 das Umschalten der Motorkennlinie von einer Schaltstufe auf die andere. Durch den dabei auftretenden Momentensprung erh¨oht sich die Winkelgeschwindigkeit pl¨otzlich um ∆ Ω = 1,05 s−1 und der Winkel um ∆ ϕ = π /2. Zu Beginn der zweiten Bewegungsetappe gilt also: ϕ 0 = ϕ 1: z(ϕ 1 + 0) = z(ϕ 1 − 0), z (ϕ 1 + 0) = z (ϕ 1 − 0), ϕ (ϕ 1 + 0) = ϕ (ϕ 1 − 0) + ∆ ϕ , ϕ (ϕ 1 + 0) = ϕ (ϕ 1 − 0) + ∆ Ω

(2.70)

¨ Dies sind die Ubergangsbedingungen von der ersten zur zweiten Etappe der erzwungenen Schwingungen eines nichtlinearen Schwingungssystems mit zwei Freiheitsgraden. Es wurde bei der Umformung der Zusammenhang (sin ϕ )¨ = (ϕ˙ cos ϕ )˙ = ϕ¨ cos ϕ − ϕ˙ 2 sin ϕ

(2.71)

benutzt. Aus Gl. (14) und (15) folgen f¨ur die Relativkoordinate q mit Hilfe der in Gl. (2.65) bis (2.67) angegebenen N¨aherungen die linearen Differentialgleichungen (12) und (13). Die folgenden dimensionslosen“ Bewegungsgleichungen entsprechen den ” dimensionsbehafteten Gln. (14) und (15) aus Tabelle 2.8, vgl. auch Gl. (2.56) bis (2.58): 1 1 z + (sin ϕ ) = 0 (2.72) z + 1+ π2

π1π2

50

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

(z + π 5 ) cos ϕ + (1 + π 3 )ϕ + π 4 ϕ = π 4 ϕ 0

(2.73)

Dabei sind als weitere Kennzahlen π3 =

J , m1 e2

π4 =

kT , m1 e2 Ω 2

π5 =

g eΩ 2

(2.74)

eingef¨uhrt worden. Aus den acht realen Parameterwerten (vgl. [149]) m1 = 10 kg, m = 1 000 kg, J = 0,025 kg · m2 , e = 1,0 · 10−5 m, g = 9,81 m/s2

(2.75)

k = 1,0 · 107 N/m, kT = 1,0 N · m, Ω = 40,84 s−1 folgen die Werte f¨ur die f¨unf dimensionslosen Kenngr¨oßen: π 1 = 0,166 8,

π 2 = 0,01,

π 4 = 5,996 · 105 ,

π 5 = 5,882 · 102

π 3 = 2,50 · 107 ,

(2.76)

Das Ergebnis der numerischen Integration der nichtlinearen Differentialgleichungen ¨ (2.72) und (2.73) unter Ber¨ucksichtigung der Ubergangsbedingungen (2.70) wurde in Bild 2.14 dargestellt. Man sieht, daß sich die Werte z, z und ϕ stetig a¨ ndern, aber im Verlauf von ϕ bei ϕ 01 ein Sprung auftritt. Der Zeitmaßstab ist entsprechend Gl. (2.57) so gew¨ahlt, daß f¨ur eine kinematische Periode (Drehfrequenz der Antriebswelle 6,5 Hz) ϕ 0∗ = 2π = 6,283 gilt, f¨ur die Periodendauer der Torsionsschwin∗ ≈ 39,1 und f¨ur die Periodendauer der Fundamentschwingung gung ( f1 = 1 Hz) ϕ 01 ( f2 = 15,8 Hz) ϕ 02 = 2,58. Die Drehschwingungen verlaufen nahezu harmonisch, wobei die Eigenfrequenz des Torsionsschwingers dominiert, w¨ahrend sich an Funda¨ mentweg und -beschleunigung eine Uberlagerung von Schwingungen zeigt, die einer Schwebung a¨ hnelt. Es ist darin die Drehfrequenz von 6,5 Hz und eine halbe Ordnung der Frequenz der Fundamentschwingung enthalten. Die beobachteten Fundament¨ schwingungen waren eine Folge dieser Uberlagerung, aber die eigentliche Ursache der Zerst¨orung der Antriebswelle waren die großen Amplituden der Drehschwingungen, die beim Umschalten angestoßen wurden. Die Sch¨aden ließen sich durch Einsatz einer anderen Motorsteuerung beheben. Man kann dieses Ergebnis n¨aherungsweise als analytische L¨osung erhalten. In Gl. (2.73) haben nur die Terme mit den Faktoren π 3 und π 4 Bedeutung, d. h., es bleibt folgende Gleichung zur Gewinnung einer N¨aherungsl¨osung u¨ brig, wenn man den Relativwinkel q = ϕ − ϕ 0 benutzt: π 3 q + π 4 q = 0

(2.77)

Physikalisch bedeutet das, daß die Torsionsschwingung der Antriebswelle in guter N¨aherung unabh¨angig von den Fundamentschwingungen ist. Sie wird durch einen Momentensprung beim Umschalten der Motorkennlinie zum Zeitpunkt t1 als freie Schwingung angestoßen und verl¨auft bei einer Anfangsauslenkung q gem¨aß π4 (ϕ 0 − ϕ 1 ) (2.78) q = q0 1 − cos π3

51

2.2 Bewertung von Modellgleichungen 0.01

z′′ 0.005

z, z′′

z 0

−0.005

−0.01

a)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

ϕ0 0.4

ϕ′−1

ϕ′−1

10⋅ ϕ′′ 0.2 0

−0.2

10⋅ ϕ′′

−0.4

b)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

ϕ0

Bild 2.14 Bewegungen von Fundament und Pumpenwelle des Schwingers von Bild 2.13 a) Weg und Beschleunigung der Fundamentmasse b) Drehgeschwindigkeit und -beschleunigung der Pumpe

Wird die L¨osung in die Differentialgleichung (2.72) eingesetzt, entsteht eine lineare Differentialgleichung mit bekannter rechter Seite: 1 π4 1 z = − sin ϕ 0 + q0 1 − cos (ϕ 0 − ϕ 1 ) (2.79) z + 1+ π2

π1π2

π3

Ihre L¨osung ist mit bekannten Methoden m¨oglich und soll hier nicht weiter ausgef¨uhrt werden. Man erkennt, daß der Sinus einer periodischen Funktion zu einer Fourierreihe f¨uhrt, die h¨ohere Harmonische (der Ordnung k = 1, 2, 3, . . .) enth¨alt und immer dann zu Resonanzen k-ter Ordnung f¨uhrt, wenn eine der Erregerfrequen-

52

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

zen mit der Eigenfrequenz u¨ bereinstimmt. Große Ausschl¨age sind aber zu erwarten, wenn eine der Bedingungen π4 1 =√ ; k = 1, 2, . . . (2.80) k π3 π1 + π1π2 erf¨ullt ist. Mit den Parameterwerten entsprechend Gl. (2.76) ergibt sich hier k ≈ 15. 2.2.4.3 Versuchsstand mit Unwuchterreger Ein anderes Problem warf ein Versuchsstand f¨ur Schwingungsisolatoren auf, an dem Gummifedern harmonisch belastet werden sollten, um deren dynamische Kennwerte zu messen. Die Gummifedern wurden mit einem Unwuchterreger in einem Frequenzbereich von 1,5 bis 30 Hz erregt. Am Antwortsignal der Messungen ﬁel auf, daß es nicht nur die Erregerfrequenz, sondern in verschiedenen Drehzahlbereichen ganzzahlige Vielfache oder ganzzahlige Teile der Erregerfrequenz mit beachtlich großen Amplituden enthielt. Diese Resultate widersprachen der Annahme, daß es sich um ein lineares Schwingungssystem handelt. Der Verdacht, daß sich die Gummifedern nicht linear verhielten, best¨atigte sich nicht. Die Aufgabe bestand darin, eine prinzipielle Kl¨arung f¨ur die erhaltenen Meßergebnisse und eine quantitative theoretische Deutung zu geben. Es wurde das Berechnungsmodell der Stufe 2b gew¨ahlt, welches in Tabelle 2.8 enthalten ist, vgl. Gln. (16) und (17). Das Modell enth¨alt K = 9 Parameter, von denen die folgenden Parameterwerte bekannt waren: m1 = 1,2 kg, m = 1 000 kg, J = 0,000 1 kg · m2 , e = 0,022 5 m, g = 9,81 m/s2

(2.81)

k = 4,35 · 105 N/m, M0 = 11,9 N · m, 12,57 Ω 125,7 s−1 ¨ Der Ubergang auf die dimensionslose Form reduziert wieder die Anzahl der Parameter um drei. Außer den bereits in Gl. (2.58) und (2.74) deﬁnierten Kenngr¨oßen (von denen hierbei π 4 = 0 ist) kommen noch folgende hinzu: d M0 π7 = , m1 e2 Ω 2 2 km Dabei entspricht π 6 dem D¨ampfungsgrad, f¨ur den als Erfahrungswert π6 = √

(2.82)

D = π 6 = 0,05

(2.83)

angenommen wurde, da die D¨ampferkonstante d unbekannt war. Die Modellgleichungen (16) und (17) aus Tabelle 2.8 lauten in dimensionsloser Form: 1 1 π6 z + (q cos ϕ 0 ) = sin ϕ 0 (2.84) 1+ z + 2 √ z + π2

π2 π1

π1π2

z cos ϕ 0 + (1 + π 3 )q + π 7 q − π 5 sin ϕ 0 · q = −π 5 cos ϕ 0

(2.85)

Aus den Parameterwerten aus Gl. (2.81) ergeben sich die festen Werte π 2 = 0,001 2,

π 3 = 1,165,

π 4 = 0,

π 6 = 0,05

(2.86)

2.2 Bewertung von Modellgleichungen

53

und folgende drehzahlabh¨angige Kenngr¨oßen, die f¨ur die beiden Grenzf¨alle von 1,5 Hz und 30 Hz Erregerfrequenz angegeben werden: π 1 = 0,204 . . . 81,5,

π 5 = 4,12 . . . 0,123,

π 7 = 220 . . . 0,551

(2.87)

Vergleicht man diese Zahlenwerte mit denen in Gl. (2.76), sieht man, daß bei diesem Beispiel ganz andere mechanische Proportionen vorliegen. Es sind somit auch andere Erscheinungen zu erwarten. Auf der Suche nach wesentlichen nichtlinearen Erscheinungen, die offenbar bei allen Frequenzen und allen Arten der untersuchten Schwingungsisolatoren auftraten, wurden zun¨achst mehrere M¨oglichkeiten in Betracht gezogen: • die R¨uckwirkung der Massenkr¨afte der schwingenden Blockmasse auf den Unwuchterreger • Die geometrische Nichtlinearit¨at infolge des Eigengewichts der Unwuchtmasse (mit dem Kosinus des Drehwinkels ver¨anderlicher Hebelarm, exzentrische Schwerpunktlage) • Die Ver¨anderlichkeit der Motorwinkelgeschwindigkeit infolge der Zusatzkr¨afte aus Massenkr¨aften und Eigengewicht. Alle diese Effekte sind in den vorliegenden nichtlinearen Differentialgleichungen enthalten. Man kann diese Differentialgleichungen jeweils f¨ur gegebene Zahlenwerte der Kenngr¨oßen numerisch integrieren. In Bild 2.15 sind f¨ur einen großen Erregerfrequenzbereich Ergebnisse dargestellt. Zur Interpretation: Man kann an den Ergebnissen als typische nichtlineare Effekte Subharmonische und superharmonische Resonanzen erkennen. Alle Diagramme in Bild 2.15 beschreiben etwa 7 volle Umdrehungen. Bei η = 0,5 ist zu erkennen, daß sich das Fundament mit der doppelten Erregerfrequenz bewegt. Dies liegt daran, daß in der Erregerkraft ein Term mit 2Ω existiert. Die ver¨anderliche Winkelgeschwindigkeit des Rotors ist durch den Schwerkrafteinﬂuß und die R¨uckwirkung der Fundamentbewegung verursacht. Bei ganzzahligen Verh¨altnissen zwischen der Umlaufzeit des Rotors und der Periodendauer der Fundamentschwingung nimmt das Fundament im Takte seiner Eigenfrequenz mit jeder Umdrehung Energieportionen auf, die es im station¨aren Zustand zu großen Amplituden aufschaukeln, d. h., bei den verschiedenen Resonanzdrehzahlen treten praktisch immer zus¨atzliche Schwingungen mit der Eigenfrequenz des Fundamentblocks auf. Die physikalischen Zusammenh¨ange werden verst¨andlicher, wenn man N¨aherungsl¨osungen gewinnen kann, z. B. f¨ur Gl. (2.84), wenn man annimmt, daß die Schwankung des Winkels q klein ist. Dann ergibt sich f¨ur den station¨aren Zustand die bekannte L¨osung f¨ur die erzwungenen Schwingungen eines ged¨ampften unwuchterregten Schwingers, vgl. z. B. [150]. Die Amplitude betr¨agt π π

1 2 zˆ = (1 − π 1 )2 + 4π 62 π 1

(2.88)

Setzt man die Kenngr¨oßen aus Gl. (2.86) und (2.87) ein, erkennt man, daß in Gl. (2.85) die Terme mit π 3 und π 7 dominieren, wogegen die mit π 5 q und z vernachl¨assigbar klein sind. Die Schwankung der Winkelgeschwindigkeit kann n¨ahe-

54

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

0,005

10

0

η=1

0,005

0

−0,005

z, z′′, q′ / 50

η= 0,5

z, z′′, q′ / 50

z, z′′, q′ / 50

0,005

20

30

η= 2

ϕ0

40

0

−0,005

0

10

20

30

z′′

Beschleunigung

z

Weg

ϕ0

40

0

−0,005

10

0

20

30

ϕ0

40

q′ / 50 Winkelgeschwindigkeit

Bild 2.15 Fundamentbewegung bei verschiedenen Drehzahlen √ (η = Ω m/k = π 1 , ϕ 0 = Ω t)

rungsweise aus der Differentialgleichung (2.89) ermittelt werden, die aus Gl. (2.85) entsteht, wenn man die kleinen Summanden dort vernachl¨assigt: (1 + π 3 )q + π 7 q = −π 5 cos ϕ 0

(2.89)

Ihre station¨are L¨osung lautet: q=

π 5 [−π 7 sin ϕ 0 + (1 + π 3 ) cos ϕ 0 ] π5 ≈ − sin ϕ 0 ≈ 0,022 sin ϕ 0 π7 π 72 + (1 + π 3 )2

(2.90)

Dies ist eine erste N¨aherung, vgl. Gl. (2.65). Setzt man diese L¨osung in Gl. (2.84) ein, ergibt sich wegen π5 π5 π5 sin 2ϕ 0 = 2 sin 2ϕ 0 (2.91) (q cos ϕ 0 ) ≈ − sin ϕ 0 cos ϕ 0 = − π7 2π 7 π7 die lineare Differentialgleichung π6 1 z + 2 √ z + 1+ π2

π2 π1

1 π1π2

z = sin ϕ 0 +

2π 5 π7

sin 2ϕ 0

(2.92)

2.3 Induktive Modellbildung

55

Es zeigt sich, daß die zweite Harmonische in der Erregung auf der rechten Seite enthalten ist, d. h., man kann schon nach dem ersten Iterationsschritt die Resonanzstelle bei π 1 = 0,25 (d. h. f = 1,66 Hz) ﬁnden. Die zweimal pro Periode schwankende Drehgeschwindigkeit kommt mit der Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems des Fundaments in Resonanz. H¨ohere Harmonische und die anderen Subharmonischen k¨onnten mit weiterf¨uhrenden N¨aherungsl¨osungen ebenfalls analytisch ermittelt und zur Deutung der anderen in Bild 2.15 dargestellten Ergebnisse dienen. Das Problem ließ sich durch Einbau eines st¨arkeren Antriebsmotors l¨osen.

2.3 Induktive Modellbildung 2.3.1 Allgemeines In der Logik spricht man von Induktion, wenn allgemeine Regeln aus Einzelf¨allen hergeleitet werden. Unter induktiver Modellbildung wird eine Strategie verstanden, die vom speziellen Modellfall ausgeht, um zum verallgemeinerten Berechnungsmodell zu gelangen, welches dem vorliegenden Anwendungsfall am besten angemessen ist. Die Suche nach diesem ad¨aquaten“ Berechnungsmodell wird bei der induktiven ” Modellbildung mit einer Hypothese u¨ ber die vermutete Schwingungsursache begonnen und daf¨ur als Startmodell“ ein Minimalmodell deﬁniert, dessen physikalisches ” Verhalten bekannt ist. Ein Minimalmodell ist dadurch charakterisiert, daß es • • • • • • •

nur eine kleine Anzahl von Freiheitsgraden besitzt, die wesentlichen physikalischen Vorg¨ange qualitativ richtig ausdr¨uckt, nur wenige Parameter ber¨ucksichtigt, keinen Anspruch auf hohe Genauigkeit erhebt, m¨oglichst analytisch oder mit wenig Aufwand numerisch zu behandeln ist, erlaubt, qualitativ richtige Schlußfolgerungen f¨ur das Realsystem zu ziehen, bez¨uglich des jeweiligen Zwecks sich nicht weiter vereinfachen l¨aßt.

Ein Minimalmodell wird nicht als endg¨ultig angesehen. Es wird damit gerechnet und in Abh¨angigkeit von den Ergebnissen die Hypothese verworfen und eine neue Hypothese verfolgt, oder es wird schrittweise, unter Ber¨ucksichtigung der jeweiligen Berechnungs- und Meßergebnisse erweitert. Nach jedem Schritt geben die Zwischenresultate die M¨oglichkeit zu entscheiden, ab wann der Prozeß der Modellerweiterung abgebrochen werden kann. Dieser Weg entspricht gewissermaßen auch dem historischen Entwicklungsweg. Sowohl die grundlegenden Theorien der Physik als auch die Berechnungsmodelle im Maschinenbau wurden von vielen Forschern schrittweise entwickelt, bevor sie ihren heutigen Stand erreichten. Interessante Bemerkungen zur Entwicklung von der Kreiselphysik zur Kreiseltechnik und die Entwicklung der Modelle zur Berechnung verschiedener Kreiselger¨ate enth¨alt [230]. Die historische Entwicklung der Berechnungsmodelle der Rotordynamik, bei der die Biegeschwingungen eine große Rolle

56

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

spielen, sind in [201] skizziert. In [132] wird bez¨uglich der Schwingungsprobleme des Motortriebwerks in der Einf¨uhrung auf die 60 Jahre dauernde Weiterentwick” lung der theoretischen und praktischen Kenntnisse“ eingegangen. Im Laufe der vergangenen Jahrzehnte sind Berechnungsmodelle f¨ur immer mehr Maschinenarten und Maschinenbaugruppen entworfen und weiterentwickelt worden. Dynamische Berechnungsmodelle f¨ur Krane und F¨orderanlagen werden erst etwa seit 1955 benutzt, mit Berechnungsmodellen f¨ur Textilmaschinen und anderen Verarbeitungsmaschinen (vgl. [68]) befaßt man sich erst etwa seit 1970. F¨ur viele Maschinen und Maschinenbaugruppen ist der Prozeß der Modellbildung noch voll im Gange, wie man z. B. den Berichten zu den VDI-Schwingungstagungen [68], [227], den VDI-Getriebetagungen, den SIRM-Tagungen [170], [322], [341] oder den Konferenzen der Software-Anbieter entnehmen kann, vgl. [10], [285]. Fr¨uher mußte man darauf achten, daß Berechnungsmodelle nicht zu kompliziert wurden, weil die M¨oglichkeiten der mathematischen und numerischen L¨osungsverfahren begrenzt waren. Wie m¨uhsam allein die Entwicklung der Verfahren zur Berechnung der Torsionsschwingungen von Maschinenwellen war, geht aus [191] hervor, wo aus der Zeit von 1902 bis 1955 etwa 40 Publikationen genannt sind, die sich mit diesen Problemen befaßt haben. In [61] wird auf die historische Entwicklung der Problemstellungen bei Torsionsschwingungen eingegangen. Heutzutage liegt f¨ur die L¨osung der meisten schwingungstechnischen Problemstellungen leistungsf¨ahige Simulations-Software bereit, vgl. Tabelle 2.1. Die Probleme der Schwingungsberechnung haben sich von der Mathematik in die Richtung des Maschinenbaus verlagert. Gegenw¨artig besteht f¨ur Ingenieure oft das Hauptproblem darin, die f¨ur ihre Untersuchungsobjekte zutreffenden Berechnungsmodelle einschließlich zugeh¨origer Eingabedaten bereitzustellen. Vielfach fehlt es an Eingabedaten. Dies ist auch einer der Gr¨unde daf¨ur, daß empfohlen wird, eine Modellberechnung zun¨achst mit einfachen Modellen zu beginnen (wobei man weniger Parameterwerte braucht) und erst nach und nach die erforderlichen komplexen Modelle zu entwickeln. Die wesentlichen Schritte bei diesem induktiven Herangehen kann man grob folgendermaßen ordnen: 1. Formulierung von Hypothesen zur physikalischen Erkl¨arung des interessierenden Vorganges und Entwicklung zugeh¨origer Modellvorstellungen Wenn es sich wirklich um ein ungel¨ostes Problem handelt, werden zu Beginn mehrere Hypothesen bestehen. Man sollte vor einer Rechnung die qualitativ zu erwartenden Ergebnisse und alle Konsequenzen durchdenken. Zum Herantasten“ an die ” zutreffenden Modelle sind Kenntnisse auf dem Gebiet der Maschinendynamik und Schwingungstechnik zu nutzen, d. h. Erfahrungen mit dem bekannten Modellvorrat. Wesentlich sind dabei • Hypothesen u¨ ber m¨ogliche Erregerursachen aufstellen (Pr¨ufung der Anregbarkeit, Kl¨arung der Energiequelle), • die Absch¨atzung einzelner Effekte mit Minimalmodellen (Trennung und Bewertung m¨oglicher Effekte), • die Pr¨ufung der Parameterabh¨angigkeit der Erscheinung (Abh¨angigkeit von Drehzahl, Massen, Steiﬁgkeiten, ...).

2.3 Induktive Modellbildung

57

2. Ermittlung der kinematischen oder dynamischen Eingabegr¨oßen Dazu geh¨oren Zeitverl¨aufe aller ver¨anderlichen Wege oder Winkel und deren h¨ohere Zeitableitungen. Oft sind diese durch ein Zyklogramm erfaßt, welches die geforderten Bewegungsabl¨aufe eines Antriebssystems (z. B. mehrere Antriebe innerhalb derselben Maschine) beschreibt. Ebenso sind Zeitverl¨aufe oder dynamische Kennlinien von Antriebsmomenten oder Antriebskr¨aften zu beschaffen, um eine dynamische Berechnung beginnen zu k¨onnen. 3. Ermittlung der massegeometrischen Parameterwerte Dazu geh¨ort die Bestimmung der Massen, der Schwerpunktkoordinaten und der Massentr¨agheitsmomente der Einzelk¨orper, die zum Antriebssystem geh¨oren. Manchmal muß der gesamte Tr¨agheitstensor bestimmt werden: entweder alle Deviations- und Massentr¨agheitsmomente oder die Lage der zentralen Haupttr¨agheitsachsen und die drei Haupttr¨agheitsmomente um die Schwerpunkthauptachsen. Dazu kommen noch alle kinematischen Abmessungen oder geometrische Gr¨oßen (z. B. Z¨ahnezahlen, La¨ gerabst¨ande, Ubersetzungsverh¨ altnisse). 4. Ermittlung der elastostatischen Parameterwerte Da man i. allg. mit dem Modell des Starrk¨orpersystems nicht auskommt, sind alle Steiﬁgkeiten (Federkonstanten) oder Nachgiebigkeiten (Einﬂußzahlen) zu bestimmen. Einfacher ausgedr¨uckt: alle Elemente der Steiﬁgkeitsmatrix des diskreten Systems sind zu ermitteln. Dazu sind Vorausberechnungen oder die Auswertung statischer Deformationsmessungen erforderlich. In Abschn. 2.7. wird auf die betreffenden Methoden eingegangen. Am Ende dieses Schrittes muß gekl¨art worden sein, ob sich die Material- oder Bauteileigenschaften mit linearen oder mit nichtlinearen Ans¨atzen erfassen lassen. 5. Ermittlung der modalen Eigenschaften (Eigenfrequenzen, Eigenformen) Bevor nichtlineare Effekte ber¨ucksichtigt werden, wird zun¨achst eine Modalanalyse durchgef¨uhrt. Die wesentlichen Eigenfrequenzen und Eigenschwingformen sollten m¨oglichst mit den Ergebnissen einer experimentellen Modalanalyse verglichen werden. Danach ist meist eine Modellanpassung f¨allig, z. B. entsprechend der in [245] beschriebenen Methode. 6. Aufstellung und L¨osung der Gleichungen Mit der Ber¨ucksichtigung der Erregungen beginnt die eigentliche Modellberechnung, aus welcher alle Verl¨aufe der interessierenden Bewegungs- und Kraftgr¨oßen und die r¨aumliche Verteilung der Beanspruchungen und Verformungen folgen. Aus dem Vergleich mit Meßergebnissen zeigt sich dabei, ob die getroffenen Annahmen richtig“ ” waren. Erst an dieser Stelle des Modellbildungsprozesses wird die Frage beantwortbar, ob die einwirkenden Kraft- und Bewegungsgr¨oßen einfach durch gegebene Zeitfunktionen (die zu erzwungenen oder parametererregten Schwingungen f¨uhren) erfaßbar sind, oder ob eine Wechselwirkung mit dem Schwingungssystem so bedeutend ist, daß sie in einem weiteren Schritt der Modellierung ber¨ucksichtigt werden muß.

58

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

7. Modellerweiterung Es wird empfohlen, daß schon bei der ersten Modellierung alle Fakten, die u¨ ber die beobachteten Ph¨anomene am realen Objekt bekannt sind, ber¨ucksichtigt werden. Wenn z. B. f¨ur ein Antriebssystem bekannt ist, wie viele Resonanzstellen im interessierenden Drehzahlbereich vorhanden sind, muß das Schwingungsmodell entsprechend viele Erreger- und/oder Eigenfrequenzen enthalten. Wenn außerdem die Resonanzamplituden interessieren, m¨ussen die Erreger- und D¨ampfungsans¨atze mit entsprechenden Parameterwerten konkretisiert werden. Im hier betrachteten Schritt werden die anfangs getroffenen Annahmen kritisch gepr¨uft und eventuell eine Modellerweiterung vorgenommen. Dies kann die Erh¨ohung der Anzahl der Freiheitsgrade betreffen, eine genauere Erfassung nichtlinearer Terme oder die pr¨azisere Formulierung der Erregung oder D¨ampfung. 8. Korrektur der Parameterwerte Nach der ersten Berechnung wird sich normalerweise herausstellen, daß die Rechenergebnisse noch betr¨achtlich von den gemessenen Ergebnissen abweichen. Dies gilt oft f¨ur die Amplituden, da in den meisten F¨allen Daten f¨ur D¨ampfungsparameter nur als N¨aherungswerte vorliegen. Wenn das Berechnungsmodell qualitativ hinsichtlich der Zeitverl¨aufe und des Frequenzverhaltens schon richtig war, ist lediglich eine Pr¨azisierung der wenigen Parameterwerte erforderlich. 2.3.2 Parametererregte Schwingungen einer Buchschneidemaschine Bild 2.16 zeigt das kinematische Schema des Messerantriebs einer Buchschneidemaschine. Das Messer zeigte Schwingungen, welche die Qualit¨at der Schnittkante beeintr¨achtigten. Ein Berechnungsmodell f¨ur diesen Antrieb gab es nicht. Es bestand die Frage, wodurch die Schwingungen vermindert werden k¨onnen. Man mußte unter den konkreten Betriebsbedingungen mit einfachem Versuchsaufwand auskommen und konnte nur die Beschleunigung auf dem Messer messen, um quantitative Aussagen zu den beobachteten st¨orenden Schwingungen zu erhalten. Die Messungen erfolgten sowohl im Leerlauf als auch w¨ahrend des Schneidvorganges bei einigen wenigen Drehzahlen. Bild 2.17a zeigt eine Periode des Meßsignals. Die gemessenen Schwingbeschleunigungen ab etwa t = 1,4 s waren wesentlich gr¨oßer als die kinematische Beschleunigung, die an diesem mehrgliedrigen Mechanismus zu erwarten war. Es wurden folgende Hypothesen u¨ ber die Schwingungsursachen gepr¨uft: • Zun¨achst wurde vermutet, daß diese st¨orenden Schwingungen durch technologische Belastungen (durch den Schnittschlag, der bei ca. 1,27 s stattﬁndet) angestoßen werden, vgl. Bild 2.17a. Es zeigte sich aber bei den Messungen, daß die Schwingungen auch dann auftraten, wenn gar kein Buch geschnitten wurde. • Es kam das Gelenkspiel in einem der vielen Drehgelenke des Antriebsmechanismus als Anregungsursache in Betracht. Ein Vergleich mit den in Abschn. 2.2.3 ¨ in Bild 2.7 dargestellten Verl¨aufen zeigt scheinbar eine gewisse Ahnlichkeit. Bei genauerem Hinsehen erkennt man aber, daß in Bild 2.17a keine solchen einseitigen St¨oße und keine Kraftrichtungswechsel auftreten, wie sie f¨ur Mechanismen mit Spiel typisch sind.

2.3 Induktive Modellbildung

59

Beschleunigungsaufnehmer

Frontmesser (obere Rast)

y

Frontmesser (beim Schneiden)

x

Buchblockstapel Schneidleiste

Kurbelwinkel

ϕ Kurvenscheibe

Schwingwinkel des Hebels Bild 2.16 Kinematisches Schema des Messerantriebs

a in m / s 2

50 0

−50 1,1

a)

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8 t in s

| a| in m / s 2

15 10

5 0

0

10

20

30

40

b)

50

60

70

80

90 f in Hz

100

Bild 2.17 Gemessene Beschleunigung am Messer der Buchschneidemaschine [69] a) Meßsignal, b) Fourierspektrum des Meßsignals

• Als weitere Hypothese wurde als Schwingungsursache ein relativ weiches Glied innerhalb des Antriebsmechanismus vermutet. Um diese Vermutung zu pr¨ufen, wurde in das Berechnungsmodell ein elastisches Getriebeglied im Abtrieb angenommen. Daf¨ur lautet die Bewegungsgleichung f¨ur die Relativkoordinate q2 , vgl. Tabelle 2.7 (Fall 2) m4 q¨2 + d q˙2 + k2 q2 = −m4 x Ω 2

(2.93)

60

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Die numerische Simulation lieferte das in Bild 2.18a dargestellte Ergebnis. Es zeigt nur geringe Schwingungen mit konstanter Frequenz, die der kinematischen Beschleunigung u¨ berlagert sind. Trotz der Variation der Parameterwerte in einem ¨ weiten Bereich ließ sich keine qualitative Ubereinstimmung mit dem gemessenen Schwingungsverlauf erzielen. • Als weitere Hypothese wurde in das Berechnungsmodell eine Elastizit¨at im Antrieb angenommen. Daf¨ur lautet die Bewegungsgleichung, vgl. auch Tabelle 2.6 (Fall 3) und Abschn. 4.4.3, Gl. (4.6): Ω2 1 (2.94) q1 = − J (Ω t)Ω 2 J(Ω t)q¨1 +(dT + Ω J (Ω t))q˙1 + kT +J (Ω t) 2 2 Diese Annahme eines weichen“ Getriebegliedes in der Antriebswelle vor dem ” Schneidemechanismus zeigte ein mit dem Meßergebnis qualitativ gut u¨ bereinstimmendes Rechenergebnis, vgl. Bild 2.18b.

Bild 2.18 Berechnungsergebnisse [69], [367] a) Elastizit¨at im Abtrieb, b) Elastizit¨at im Antrieb

Diese Schwingung entsteht durch eine zeitlich begrenzte Parametererregung, welche infolge der stark ver¨anderlichen stellungsabh¨angigen Eigenfrequenz des Mechanismus innerhalb eines begrenzten Bereichs der Kurbelstellung zustande kommt, vgl. auch Abschn. 4.4 in [150] und [81]. Man kann dies aus der Bewegungsgleichung schließen. In Gl. (2.94) sieht man am Faktor von q˙1 , also an dem Ausdruck, der u¨ blicherweise nur eine D¨ampfungskonstante ist, einen stellungsabh¨angigen Term, der auch negative Werte annehmen kann. Im Bereich der Kurbelstellungen, an denen dieser Term negativ ist, werden die Eigenschwingungen nicht ged¨ampft, sondern angefacht, vgl. Abschn. 4.4.3. Aus Bild 2.17a erkennt man auch, daß die Frequenz der in der Kurbelstellung von etwa 160◦ erkennbaren Schwingung nicht konstant ist, sondern nach der Anfachung langsam zunimmt. Dies ist mit einer in diesem Bereich mit der Kurbelstellung des Mechanismus abnehmenden Gr¨oße des reduzierten Tr¨agheitsmomentes J(Ω t) oder einer zunehmenden Gr¨oße der Steiﬁgkeit kT zu erkl¨aren. Zur Pr¨ufung der vierten Hypothese wurde zus¨atzlich mit Hilfe der Zeit-FrequenzAnalysemethoden das Schwingungssignal analysiert. Es best¨atigte sich die Vermutung, daß innerhalb eines endlichen Bereichs der Kurbelumdrehung die Frequenz von etwa 15 Hz auf etwa 25 Hz ansteigt. Bild 2.19 zeigt zum Vergleich die Zeit-FrequenzAnalyse der Meß- und Rechenergebnisse [367].

61

40

40

30

30

f in Hz

f in Hz

2.3 Induktive Modellbildung

20

20

10

10

a)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

t in s

a in m / s 2

a in m / s 2

0 40 20 0 −20 0

40 20 0

−20 0

b)

0,2

0,4

0,.6

0,8

t in s

Bild 2.19 Zeit-Frequenz-Analyse der Schwingungen der Buchschneidemaschine [69] a) Choi-Williams-Verteilung des Meßsignals, b) Analyse des Rechenergebnisses

Die Schwingungsursache war also nicht der Schneidvorgang oder der Schnittschlag, sondern die sich in einer Kurbelstellung schnell ver¨anderliche kinetische Energie, also ein mit der Kurbelstellung schnell abnehmendes reduziertes Tr¨agheitsmoment des mehrgliedrigen Schneidemechanismus. Die kinetische Energie des Starrk¨orpermodells wird in solchen Getriebestellungen frei und kann sich bei einem elastischen Glied im Antrieb als Schwingung austoben“. Die st¨orenden Schwingun” gen konnten dadurch beseitigt werden, daß eine ver¨anderte Kurvenscheibe eingebaut ¨ wurde, die eine langsamere Anderung des fallenden reduzierten Tr¨agheitsmomentes bewirkte, vgl. auch die in Abschn. 5.5 empfohlenen Gegenmaßnahmen.

2.3.3 Selbsterregte Schwingungen eines Wicklers In Spulmaschinen werden zum Aufwickeln von gesponnenen F¨aden gekoppelte Rotoren eingesetzt. Es gibt eine Bauform, bei der eine sogenannte Reibwalze mit konstanter Drehzahl rotiert und durch Reibkontakt eine Wickelwalze antreibt, auf welcher der textile Faden aufgewickelt und gespeichert wird, vgl. Bild 2.20. Eine im Bild 2.20 nicht dargestellte Changierwalze bewegt den Faden axial, so daß er gleichm¨aßig u¨ ber der Walzenbreite verteilt wird. W¨ahrend des Wickelns vergr¨oßert sich der Durchmesser DW (und damit das Tr¨agheitsmoment) der Wickelwalze, wobei deren Drehzahl umgekehrt proportional zum Durchmesser sinkt. Bei derartigen Wicklerkonstruktionen traten (auch ohne instrumentelle Hilfe leicht erkennbare) intensive Schwingungen an den Wickelwalzen auf, so daß Gefahren f¨ur die Wickelqualit¨at und einen stabilen Dauerbetrieb bestanden. Dazu muß erw¨ahnt werden, daß im Laufe der vergangenen 25 Jahre die Spulgeschwindigkeit

62

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

y

y

Reibwalze DR

k

k

kry k

DW

Ω

krz

x

kry

krz z

Wickelwalze Bild 2.20 Berechnungsmodell f¨ur die gekoppelte Wickel- und Reibwalze [341]

der F¨aden von 1 000 m/min auf u¨ ber 8 000 m/min erh¨oht und die Durchmesser und Drehzahlen der Rotoren infolgedessen immer gr¨oßer wurden. Im weiteren werden die Ergebnisse aus den Untersuchungen aus [341] wiedergegeben. Messungen, die mit optischen Wegsensoren in zueinander orthogonalen Richtungen durchgef¨uhrt wurden, brachten folgende qualitativen Erkenntnisse: • Unterhalb eines bestimmten Wickeldurchmessers sind die Schwingungen (auch meßtechnisch) nicht nachweisbar. • Wird ein bestimmter Mindestwert des Wickeldurchmessers erreicht, so treten die Schwingungen pl¨otzlich mit verh¨altnism¨aßig großen Amplituden auf. • Die Frequenz der Schwingungen liegt anfangs bei ca. 10 Hz und vermindert sich mit zunehmendem Wickeldurchmesser auf 8,8 Hz. Im Vergleich dazu liegt die Drehfrequenz der Reibwalze bei ca. 160 Hz, die der Wickelwalze zwischen 45 Hz und 42,5 Hz (mit zunehmendem Wickeldurchmesser abnehmend). • Die Bahnkurve des Wellenmittelpunktes der Wickelwalze ist eine Ellipse, deren großer Halbmesser etwa in der Tangentialebene der Ber¨uhrungslinie beider Rotoren liegt. Die Ellipsenhalbmesser werden mit zunehmendem Wickeldurchmesser allm¨ahlich gr¨oßer. • Der große Halbmesser der Ellipse ist 2- bis 4-mal so groß wie der kleine. Die Ellipsenbahn wird in Drehrichtung durchlaufen. Im Sinne der in Abschn. 2.3.1 dargelegten induktiven“ Strategie wurden meh” rere Hypothesen in Betracht gezogen, um die Erregungsursache dieser seltsamen Schwingungen zu ﬁnden. • Unwuchterregung, die bei einem derart bewickelten Rotor unvermeidlich ist, schied als Ursache aus, da keine Beziehungen zur Drehfrequenz einer der Walzen bestand. • Infolge der tiefen Frequenzen wurde auch an die Erkl¨arung durch nichtlineare Effekte gedacht (z. B. die nichtlineare Federkennlinie des Wickelmaterials an der Kontaktstelle oder nichtlineare Reibungseffekte), um vielleicht Subharmonische oder Kombinationsresonanzen verantwortlich machen zu k¨onnen. Die Resonanzstellen lagen aber in ganz anderen Bereichen.

2.3 Induktive Modellbildung

63

• Kinematische Erregungen infolge eventueller Abweichungen der Oberﬂ¨achenform der Walzen von der idealen Kreisform (elliptische, dreieckf¨ormig oder polygonal gest¨orte Formen), insbesondere des Wickelk¨orpers, konnten auch nicht zur Erkl¨arung dienen. Es waren keine solche Abweichungen erkennbar, und die ganzzahligen Vielfachen der Drehfrequenz, welche die Theorie f¨ur solche Schwingungen voraussagt, wurden bei den Schwingungsmessungen auch nicht festgestellt. • Resonanznahe erzwungene Schwingungen infolge von Schwingungen des Maschinengestells schieden aus den Betrachtungen aus, weil in der Maschine keine entsprechende Erregerfrequenz vorhanden war. Dies konnte auch durch zus¨atzliche Schwingungsmessungen mit piezoelektrischen Beschleunigungsaufnehmern best¨atigt werden. Schließlich wurde vermutet, daß die Frequenz der gemessenen Schwingungen in der N¨ahe einer Eigenfrequenz des Rotorsystems liegt. Es wurde eine Selbsterregung als m¨ogliche Schwingungsursache angenommen, da bekanntlich die Frequenz selbsterregter Schwingungen in der N¨ahe einer Eigenfrequenz des zugeh¨origen linearisierten Systems liegt [231]. Zur rechnerischen Modalanalyse des Rotorsystems (Schritt 5 in der beschriebenen Strategie) wurde das in Bild 2.20 dargestellte lineare Schwingungssystem benutzt. In ihm sind die beiden gekoppelten Walzen als elastisch gest¨utzte starre Rotoren (mit Kreiselwirkung) modelliert, deren elastische Kopplung durch das Wickelmaterial mit der Federkonstanten k erfaßt wird. Gem¨aß der in der allgemeinen Strategie unter Punkt 3 und 4 genannten Schritte wurden die Modellparameter zun¨achst n¨aherungsweise ermittelt. Die massegeometrischen Parameter der Walzen waren relativ genau bestimmbar, aber die Kopplungsfederzahlen k konnten nur grob abgesch¨atzt werden. Die beiden gekoppelten starren Rotoren bilden ein Schwingungssystem mit 8 Freiheitsgraden, da von den 2 × 6 = 12 Freiheitsgraden, welche die beiden Starrk¨orper im Raum besitzen, vier abgezogen werden m¨ussen (die beiden Rotations- und Axialbewegungen). Die Berechnung zeigte, daß bei großem Spulendurchmesser drei tiefe Eigenfrequenzen auftreten, deren Eigenformen als zwei Gegenlauf-Formen und eine (zwischen diesen beiden liegende) als Gleichlauf der Wickelwalze gedeutet werden k¨onnen, vgl. Bild 2.21a. Da die Meßergebnisse zeigten, daß der Wellenmittelpunkt der Wickelwalze seine Bahn in Drehrichtung der Walze durchl¨auft, wurde geschlußfolgert, daß die Gleichlauf-Eigenfrequenz mit der Erregerursache in Verbindung steht. Sie liegt beim Wickeldurchmesser Dw = 400 mm, bei dem die Schwingungen sehr deutlich ausgepr¨agt waren, etwa bei 8 Hz, also in der N¨ahe der gemessenen Frequenzen (10 Hz bis 8,8 Hz). Somit war mit hoher Wahrscheinlichkeit die Frequenz der Selbsterregung mit dem zur letztgenannten Hypothese geh¨orenden Berechnungsmodell erkl¨arbar. Solche Unterschiede zwischen den gemessenen Frequenzen und der berechneten Eigenfrequenz sind mit R¨ucksicht auf die grobe Modellierung zu erwarten. Ausgehend von den bisher beschriebenen Meß- und Rechenergebnissen wurde folgende physikalische Interpretation des Prozesses der Selbsterregung m¨oglich, vgl. Bild 2.21b. Bild 2.21b zeigt die von der Reibwalze angetriebene Wickelwalze. In einer Gleichlauf-Resonanz der Wickelwalze“ beschreibt nun der Walzenmittelpunkt und ” damit auch die wickelseitige Ber¨uhrungslinie der Walzen eine ellipsenf¨ormige Um-

64

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Frequenz in Hz

60

a)

50

b)

f8 Reibwalze DR

40 f7 30 f6 f5

20

f4 10

DW Wickelwalze

f3 f2 f1

0 0,28 0,40 0,52 0,64 0,76 0,88 1,00 1,12 1,24 Relativer Wickeldurchmesser DW / DR 10000 8000 6000 4000 3000 Drehzahl der Wickelwalze in 1/ min Bild 2.21 Rotorsystem Wickel- und Reibwalze [341] a) Eigenfrequenzen, b) Bahnkurven an der Wickelwalze

laufbahn, deren Durchlaufrichtung mit der Drehrichtung der Wickelwalze u¨ bereinstimmt. Die Wickelwalze besitzt Schlupf gegen¨uber der Reibwalze, also wird durch Reibung Energie u¨ bertragen. Im dynamischen Zusammenwirken der beiden Walzen k¨onnen grob zwei Phasen unterschieden werden: a) Bewegen sich die Walzen aufeinander zu, so w¨achst die Normalkraft zwischen den beiden Walzen. Gleichzeitig bewegt sich der wickelseitige Ber¨uhrungspunkt in Richtung der Umlaufbewegung der Wickelwalze, so daß die schlupfbedingte Relativgeschwindigkeit verringert wird. Diese Bewegung wird auch durch den Effekt der Kreiselwirkung verst¨arkt, weil ein Kreisel immer orthogonal zur radialen Kraftkomponente ausweicht. Setzt man voraus, daß die Reibarbeit zwischen Reib- und Wickelwalze mit abnehmender Relativgeschwindigkeit zunimmt, so wird der betrachteten Gleichlauf-Schwingung in dieser ersten halben Periode relativ viel Energie zugef¨uhrt. b) Bewegen sich die Walzen voneinander weg, so sinkt die Normalkraft an der Kontaktlinie. Da sie in dieser Phase gleichzeitig entgegengesetzt zur Umlaufrichtung schwingt, nimmt die Relativgeschwindigkeit u¨ ber das durch den Schlupf bedingte Maß zu. Auch hierbei wirkt sich die infolge der Kreiselbewegung entstehende Zusatzbewegung in tangentialer Richtung aus. In dieser zweiten Halbperi-

65

2.3 Induktive Modellbildung

ode wird der Schwingung zwar wieder Energie entzogen, aber die Energieabfuhr ist wegen der kleinen Normalkraft (eventuell auch wegen der großen Relativgeschwindigkeit) geringer als die Energiezufuhr in der ersten Halbperiode. Im betrachteten Fall bietet daher die Schwingungsform der Gleichlauf-Eigen” frequenz der Wickelwalze“ Bedingungen f¨ur die periodische Zufuhr mechanischer Energie aus der stetigen Energiequelle der vom Motor angetriebenen Reibwalze. Dies erfolgt im Takte einer Eigenfrequenz und ist typisch f¨ur eine selbsterregte Schwingung. Im weiteren wurde (entsprechend Punkt 6 der induktiven Strategie) auch mittels numerischer Rechnungen nachgewiesen, daß eine Selbsterregung wie beschrieben vorhanden ist. Daf¨ur wurde in [341] das in Bild 2.22b) dargestellte Modell benutzt.

y F0

y Kontaktfeder

ky FR

z

a)

k rz z + d rz z& Jxx mr &&z − Ω y& 2 k ry y + d ry y& (l + a) Jxx mr &&y + Ω z& (l + a) 2 b)

k kϕz

z

S

A G

x

ky l

a

m, Jxx, Jyy = Jzz

Bild 2.22 Minimalmodell zur Selbsterregung des Walzenpaares [341] a) Kr¨aftegleichgewicht am Rotorschwerpunkt der Wickelwalze b) Kennzeichnung der Masse- und Federparameter

Es werden gegen¨uber Bild 2.20 noch folgende Vereinfachungen benutzt: • Es wird nur die Wickelwalze ber¨ucksichtigt. Sie st¨utzt sich mit einer Feder (Federkonstante k) auf einer mit der Geschwindigkeit z˙ (das entspricht der schlupfbedingten Relativgeschwindigkeit zwischen Reib- und Wickelwalze) relativ zu ihr bewegten Ebene ab und ist durch L¨angs- und Drehfedern gefesselt. • Die Wickelwalze ist ein mit der Winkelgeschwindigkeit Ω um die x-Achse drehender Rotor, dessen Achse um y und z drehbar an einem ﬁktiven Gelenkpunkt G befestigt ist. Die Winkelgeschwindigkeit des Rotors dient in dem Modell der Ber¨ucksichtigung der Kreiselwirkung und der Berechnung der schlupfbedingten Relativgeschwindigkeit z˙rel . • Die Lage des ﬁktiven Gelenkes G wird so gew¨ahlt, daß die Gleichlauf-Eigenfrequenz des Rotors so groß ist wie die tiefste Gleichlauf-Eigenfrequenz des Modells aus Bild 2.21 (in beiden F¨allen ca. 8 Hz). • Im St¨utzpunkt der Feder wirkt eine statische Vorlast Fϕ /FR (Druckkraft), und an der St¨utzstelle greift tangential eine geschwindigkeitsabh¨angige Reibkraft an.

66

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Die zwei Bewegungsgleichungen erh¨alt man aus dem Drallsatz f¨ur den Rotor bez¨uglich des Gelenkpunktes G und mit den Zwangsbedingungen z = −ϕ y (l + a) y = ϕ z (l + a); nehmen sie folgende Form an: Jxx my¨ + dy y˙ + (ky + k)y + Ω z˙ + F0 = 0 (l + a)2 m¨z + dz z˙ + kz z −

Jxx Ω y˙ + FR = 0 (l + a)2

(2.95)

(2.96) (2.97)

Dabei werden folgende Parameter ber¨ucksichtigt: m, Jxx , Jyy = Jzz Masseparameter des Rotors, Dreh- bzw. translatorische Steiﬁgkeiten der Rotorfesselung, ky , kz , kϕ y , kϕ z D¨ampfungskoefﬁzienten, dy , dz , dϕ y , dϕ z k Steiﬁgkeit der Kopplungsfeder, Vorspannkraft (Druck). F0 Da die Umlaufbahn des Wellenmittelpunktes bestimmt werden soll, werden y und z als Variable gew¨ahlt. Damit ergibt sich f¨ur den Schwerpunkt S des Rotors das Kr¨aftegleichgewicht gem¨aß Bild 2.22a. Die auf die variablen Koordinaten gem¨aß Gl. (2.95) bezogenen Gr¨oßen sind Jyy (2.98) m =m+ (l + a)2 ky∗ =

ky · l 2 + kϕ z ; (l + a)2

kz∗ =

kz · l 2 + kϕ y (l + a)2

dr y =

dy · l 2 + dϕ z ; (l + a)2

dr z =

dz · l 2 + dϕ y (l + a)2

Die Reibkraft ist

FR = (F0 + k · y) · µ 0 sign(˙zrel ) − z˙rel = z˙s − z˙ = rw Ω

(2.99)

1 z˙r max

(2.100)

z˙rel

s − z˙ 1−s

(2.101) (2.102)

mit s Schlupf zwischen Reib- und Wickelwalze in Prozent, rw Radius des Wickels, µ 0 Haftreibungszahl. In der Arbeit [341] ist ausf¨uhrlicher dargelegt, welche Ergebnisse sich bei der numerischen Integration der Bewegungsgleichungen ergaben. Die Modellberechnungen erlaubten eine tiefergehende Bewertung aller Parametereinﬂ¨usse, auch des Schlupfes zwischen den beiden Walzen. Es konnte nachgewiesen werden, daß der Einﬂuß der Kreiselwirkung von wesentlicher Bedeutung ist und daß die Selbsterregung nicht nur infolge einer geschwindigkeitsabh¨angigen Reibkennlinie, sondern auch bei konstantem Reibwert auftritt. Die Vermeidung der st¨orenden Schwingungen wurde durch variable Drehgeschwindigkeit erreicht.

67

2.3 Induktive Modellbildung

Eine v¨ollig andere Hypothese f¨ur das Auftreten selbsterregter Schwingungen an gekoppelten Rotoren wurde in [78] beschrieben. Das dort vorgestellte Modell erkl¨art Resonanzstellen k-ter Ordnung, die eine Welligkeit der Zylinderoberﬂ¨ache hervorrufen. In [211] wird analysiert, wie sich die theoretisch und experimentell ermittelten Deformations- und Spannungsverteilungen, die beim Rollkontakt zweier Walzen in der Kontaktzone bedeutsam sind, auf den verarbeitungstechnischen Vorgang auswirken, der vor allem bei Druckmaschinen und Papiermaschinen interessiert.

2.3.4 Instation¨are Bewegungen bei Kranen 2.3.4.1 Anheben der Last vom Boden Bei allen Kranen entstehen dynamische Belastungen sowohl beim Fahren und Drehen des Krans als auch beim Heben und Senken der Last. Als ein Beispiel daf¨ur, wie Berechnungsmodelle vom Einfachen beginnend immer komplizierter werden k¨onnen – je nach Zweck des Modells – werden im folgenden die Lastf¨alle des Hebens und Senkens einer Last analysiert. Schon seit langem gibt es Berechnungsvorschriften f¨ur Krane, um die Bauteilsicherheit gegen Bruch und die Standsicherheit bei Auslegekranen nachzuweisen. In den Anf¨angen des Kranbaus, als Material geringer Festigkeit eingesetzt wurde und die Geschwindigkeiten klein waren, erfolgte der Festigkeitsnachweis f¨ur die Bauelemente unter der Annahme einer statischen Belastung. Zur historischen Entwicklung ist zu sagen, daß viele Normen zu Beginn des 20. Jahrhunderts die extremen Belastungen beim Heben (und Senken) dadurch bestimmten, daß die Last mit einem dynamischen Beiwert“ multipliziert wurde. Solche Bei” werte wurden in den Normen in Abh¨angigkeit von der Hubgeschwindigkeit und den Arbeitsbedingungen (leicht, mittel, schwer) vorgegeben. F¨ur Turmkrane empfahlen die Normen der UdSSR den Faktor ψ = 1,1, w¨ahrend die deutsche DIN 120 aus dem Jahre 1936 ψ = 1,2 bis 1,4 und die franz¨osischen Normen aus dem Jahre 1953 ψ = 1,2 bis 1,3 forderten [194]. Das Berechnungsmodell, das diesen ersten (kinetostatischen) Vorstellungen zu Grunde lag, ist in Bild 2.23 skizziert. F mL ( g + a)

mL a

mL g mL ( g + a)

0 a)

b)

ta

t

c)

Bild 2.23 Starrk¨orpermodell f¨ur die Erfassung der dynamischen Kr¨afte beim Lastheben a) Br¨uckenkran, b) Turmkran, c) Zeitverlauf

68

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Dabei wird zur Erdbeschleunigung g, welche die statische Belastung verursacht, noch die Beschleunigung a addiert. Diese wird als mittlere Beschleunigung der Last aufgefaßt, die bei der Zunahme der Hubgeschwindigkeit vom Wert Null (Ruhezustand) bis zur Geschwindigkeit v w¨ahrend der Anlaufzeit ta entsteht: v (2.103) s¨ = a = ta Die Seilkraft ergibt sich demzufolge aus F = mL g + mL a = mL (g + a) = mL gψ

(2.104)

Der dynamische Beiwert ψ ist dabei also a (2.105) ψ =1+ g Bei der Benutzung dieses dynamischen Beiwerts geht man von der Annahme aus, daß eine zwangl¨auﬁge Bewegung der Last die dynamischen Kr¨afte verursacht, vgl. Modellstufe 1 in Tabelle 2.3 und Tabelle 2.5. Mit den im Laufe der technischen Entwicklung zunehmenden Hubgeschwindigkeiten der Krane und dem sich immer mehr durchsetzenden Leichtbau stellte sich aber heraus, daß in den Kranen Schwingungen auftraten, die qualitativ andere Belastungsverl¨aufe verursachten als es dem in Bild 2.23c skizzierten entspricht. Es traten auch Schadensf¨alle auf, die mit falschen Annahmen f¨ur die Gr¨oße der dynamischer Belastungen zu erkl¨aren waren. Seit den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts wurden in vielen Industriel¨andern experimentelle Untersuchungen an Kranen vorgenommen, um die realen Vorg¨ange besser verstehen zu lernen. Es wurde dabei erkannt, daß Schwingungsmodelle zur richtigen Erfassung der realen dynamischen Belastungen erforderlich sind. Solche wurden nahezu zeitgleich von mehreren Forschern entwickelt. Sie sind in Monograﬁen beschrieben, z. B. [180], [196], [284], [357]. Zuerst suchte man nach einer Berechnungsm¨oglichkeit f¨ur die dynamischen Hubseilkr¨afte. Sowohl das Antriebssystem (Hubseil, Getriebe, Kupplung, Motor) als auch das Stahltragwerk sollten hinsichtlich der entstehenden dynamischen Belastungen mit dieser Seilkraft genauer ausgelegt werden. Es war aus den Experimenten bekannt, daß die gr¨oßten dynamischen Kr¨afte bei der Lastaufnahme auftreten, d. h. beim Anheben der Last vom Boden. Das einfachste Berechnungsmodell daf¨ur ber¨ucksichtigte nur ein elastisches Element zwischen der Masse mL der Last und dem Tragwerk. Es ist in Bild 2.24 dargestellt. FS

FS

FS

s = vt

s = vt

k k

mL g x2

mL

a)

b)

mL

mL && x2

c)

Bild 2.24 Minimalmodell f¨ur den Anhubvorgang; a) Etappe des Seilspannens (Last am Boden), b) Etappe der angehobenen Last, c) Kr¨aftegleichgewicht bei angehobener Last

2.3 Induktive Modellbildung

69

Im Hinblick auf die in Abschn. 2.1. gegebene Systematik ist dieses Berechnungsmodell als ein unged¨ampftes lineares Schwingungssystem mit kinematischer Erregung zu bezeichnen. Bei einer in ihrem Zeitablauf vorgegebenen Seilbewegung s(t) wird die R¨uckwirkung der Seilkraft auf die Motorbewegung vernachl¨assigt, d. h., die Motordrehzahl wird als zeitabh¨angig und unabh¨angig von der Belastung angenommen (Modellstufe 2a). Der Motor ist gewissermaßen bei diesem Modell eine unersch¨opﬂiche Energiequelle. Variable Gr¨oßen sind: s(t) Weg-Zeit-Verlauf des Hubseils an der Seiltrommel, x2 (t) Weg-Zeit-Verlauf der Last (am anderen Seilende). Nur zwei mechanische Parameter kennzeichnen dieses Minimalmodell: k mL

Steiﬁgkeit des Krans und aller Seile des Flaschenzuges, Masse der Hublast (darin sind auch die Masse von Haken und Unterﬂasche des Flaschenzuges bzw. Greifer enthalten, wogegen die Seilmasse selbst vernachl¨assigbar klein ist).

Es wird zwischen den Etappen des Anhebens (Last ruht auf dem Boden, Seil wird gespannt) und des eigentlichen Hebens (Last h¨angt frei am Seil und kann vertikal schwingen) unterschieden. Die Seilkraft ergibt sich aus der Federkonstante und der Seilverl¨angerung: FS = k · (s(t) − x2 )

(2.106)

W¨ahrend der ersten Etappe (0 t t1 ) liegt die Last am Boden (x2 ≡ 0) und das Hubseil wird gespannt, so daß f¨ur die Seilkraft gilt: FS = k · s(t)

(2.107)

Zun¨achst wird der Sonderfall behandelt, daß sich Hubweg und Hubgeschwindigkeit gem¨aß s(t) = vt;

s˙ = v = konst.

(2.108)

a¨ ndern. Die erste Etappe ist zur Zeit t1 beendet, wenn die Kraft des gespannten Seils die Gr¨oße der Hublast erreicht und die Bodenkraft Null wird: mL g FS = mL g = kvt1 ⇒ t1 = (2.109) kv W¨ahrend der zweiten Etappe besteht Gleichgewicht zwischen der Massenkraft, der Seilkraft und dem Eigengewicht, vgl. Bild 2.24c). Es gilt mL x¨2 − FS + mL g = mL x¨2 − k · (s(t) − x2 ) + mL g = 0

(2.110)

Diese Differentialgleichung wird mit der Eigenkreisfrequenz k ω = (2.111) mL und f¨ur den Fall konstanter Hubgeschwindigkeit s˙ = v folgendermaßen umgeschrieben: x¨2 + ω 2 x2 = ω 2 vt − g

(2.112)

70

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Zu Beginn des Abhebens gelten die Anfangsbedingungen t = t1 :

x2 = 0, x˙2 = 0

(2.113)

Als L¨osung erh¨alt man den Verlauf des Hubweges der Last x2 = −

v mL g + vt − sin ω (t − t1 ) k ω

(2.114)

die Hubgeschwindigkeit x˙2 = v [1 − cos ω (t − t1 )]

(2.115)

und die Beschleunigung der Last: x¨2 = v ω sin ω (t − t1 )

(2.116)

Die Seilkraft ist damit w¨ahrend der Hubbewegung, vgl. Gl. (2.106): FS = k · (s(t) − x2 ) = mL g + kmL · v sin ω (t − t1 )

(2.117)

2,5 2

x& 2 v

FS mL g

1,5 1

ψ = 1,4 0,5 0

0

5

10

15

20

25

30 τ = ωt

35

Bild 2.25 Verlauf von Seilkraft und Lastgeschwindigkeit beim Anheben

Bild 2.25 zeigt die sich aus diesem Schwingungsmodell ergebenden Verl¨aufe in dimensionsloser Darstellung. Man erkennt darin einen qualitativ ganz anderen Seilkraftverlauf im Vergleich zu dem in Bild 2.23c). Die vibrodynamische Kraft im Seil schwingt um den statischen Mittelwert, und die Hubgeschwindigkeit x˙2 der Last schwankt von Null bis zum doppelten Nennwert. Die Schwingungen erfolgen mit der Eigenfrequenz, die aus Gl. (2.111) bekannt ist. Der Spitzenwert der Seilkraft betr¨agt √ v kmL (2.118) = mL g · ψ FS max = mL g + v kmL = mL g 1 + gmL

2.3 Induktive Modellbildung

71

Dabei kann man wieder einen dynamischen Beiwert“ analog zu Gl. (2.105) deﬁnie” ren, der aber nun von der Hubgeschwindigkeit, einer Federsteiﬁgkeit und der Masse der Last abh¨angt. Dieser Schwingbeiwert ergibt sich hier zu k vω v ψ =1+ =1+ √ (2.119) =1+v g ggmL gxst Wie man aus Gl. (2.119) erkennt, kann man ihn auch mit der statischen Durchsenkung mL g (2.120) xst = k die an der Last infolge ihres Eigengewichts auftritt, ausdr¨ucken. Damit ist eine einfache Beziehung zu einem (auch experimentell) leicht ermittelbaren Wert vorhanden, die dem Konstrukteur entgegenkommt. In dieser Form ging der Schwingbeiwert in die DDR-Norm TGL 13 470 im Jahre 1968 ein. Im Gegensatz zu der kinetostatischen Betrachtung (Modellstufe 1), wonach die dynamische Seilkraft nur von der Beschleunigung a des Hubwerks abh¨angt, liefert das einfachste Schwingungsmodell (Modellstufe 2) schon die Aussage, daß bei einem weicheren“ Krantragwerk die dynamischen Kr¨afte (bei sonst gleichem Hub” werk) kleiner werden. Diese genauere“ Modellierung hat den Leichtbau und die ” Tendenz zur Materialeinsparung unterst¨utzt. Bemerkenswert war die in der TGL 13 470 enthaltene Anmerkung: Von den Grunds¨atzen der Berechnung und der baulichen Durchbildung darf ab” gewichen werden,wenn durch Theorie, Versuch oder Messung eine ausreichende Begr¨undung erbracht und von der zust¨andigen Pr¨ufdienststelle anerkannt wird“. Seit dem Jahre 1968 war es somit den Berechnungsingenieuren erlaubt, den Pr¨ufdienststellen die mit speziﬁschen Berechnungsmodellen ermittelten Rechenergebnisse vorzulegen. Gegenw¨artig werden Krane gem¨aß DIN 15 018 und der europ¨aischen Norm FEM 1.001 ausgelegt. Es werden von vielen Firmen aber wesentlich tiefer gehende dynamische Untersuchungen angestellt als es die Vorschriften verlangen. In der Arbeit [361] ist der Einﬂuß der dynamischen Motorkennlinie f¨ur die dynamische Beanspruchung der Hubwerksantriebswellen gezeigt worden. Der Einﬂuß des Spiels, des Mehrmotorenantriebs u. a. wurde in [359] behandelt. 2.3.4.2 Heben und Senken (Modell mit n = 2) Das Minimalmodell erlaubt auch, in erster N¨aherung den Einﬂuß der Hubwerksteuerung auf den Seilkraftverlauf genauer zu berechnen, denn die dynamischen Seilkr¨afte folgen bei beliebigen Zeitverl¨aufen s(t) f¨ur das Heben oder Senken der schwebenden Last aus Gl. (2.106), wenn man die L¨osung von Gl. (2.121) einsetzt. Diese entsteht als Verallgemeinerung von Gl. (2.112): x¨2 + ω 2 x2 = ω 2 s(t) − g

(2.121)

Mit der f¨ur die jeweiligen Anfangsbedingungen ermittelten L¨osung x2 (t) kann die dynamische Seilkraft z. B. f¨ur folgende vier typischen Vorg¨ange berechnet werden:

72

1. 2. 3. 4.

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Anfahren der Senkbewegung, Abbremsen der Hubbewegung, Abbremsen der Senkbewegung, Anfahren der Hubbewegung.

Die Anfangsbedingungen unterscheiden sich von Gl. (2.113), weil z. B. die Last schon mit ihrem Eigengewicht am Seil h¨angt. Es ist auch zu ber¨ucksichtigen, daß jeder dieser instation¨aren Vorg¨ange bei einem bestimmten Seilweg (oder einer Hubh¨ohe h) beginnt und eine andere Seilsteiﬁgkeit bei einem kurzen als bei einem langen Seil einzusetzen ist. Die zu den vier genannten instation¨aren Bewegungsvorg¨angen geh¨origen Anfangsbedingungen sind einheitlich formulierbar. Sie lauten g (2.122) t=0: x2 = h − mL , x˙2 = v k Zu Beginn des Hub- oder Senkvorganges der schwebenden Last ist in Gl. (2.122) v = 0 zu setzen. Ob es sich um eine Hub- oder Senkbewegung handelt, wird hierbei durch einen Weg-Zeit-Verlauf s(t) beschrieben. Beim Abbremsen einer bewegten Last entscheidet das Vorzeichen der Anfangsgeschwindigkeit v, ob es sich um eine Hub- oder Senkbewegung handelt. Der eigentliche Verlauf des Bremsvorgangs wird wiederum durch s(t) beschrieben, wobei s(0) = h ist. H¨auﬁg stellte sich heraus, daß die Gr¨oße der dynamischen Belastungen sich in der f¨ur diese vier Vorg¨ange oben angegebenen Reihenfolge vermindert [66], d. h. beim Anfahren der Senkbewegung entstehen (abgesehen vom Anheben der Last vom Boden) extreme dynamische Belastungen. Eine weitere Verfeinerung des Berechnungsmodells kann entsprechend der in Abschn. 2.1 vorgeschlagenen Systematik durch Erweiterungen in verschiedenen Richtungen erfolgen. Mit einer gr¨oßeren Anzahl von Freiheitsgraden l¨aßt sich auch zwischen der dynamischen Belastung im Hubseil und innerhalb des Krantragwerks unterscheiden. Je nach dem, was mehr interessiert, kann das Modell des Hubwerks oder des Tragwerks aufgeweitet“ werden. ” Das Hubwerk wird im bisherigen Modell mit einem gegebenem Verlauf s(t) modelliert, d. h. mit dem Weg des Hubseils an der Seiltrommel. Genauer w¨urde es durch seine Motorkennlinie und durch die Elastizit¨at innerhalb von Getriebe und Kupplung als Schwingungssystem mit vielen Freiheitsgraden beschrieben werden, vgl. auch die Modellierung eines Fahrwerks in Abschn. 2.4.3. Auch mehrere Seile im Flaschenzug, der Wirkungsgrad, die Hysterese der Seile u. a. w¨aren zu ber¨ucksichtigen. In das Tragwerk k¨onnte man tiefer hineinsehen“, wenn man die Masse der Kran” br¨ucke auf mehrere Massen aufteilt oder zwischen Kranbr¨ucke und Laufkatze unterscheidet, um genauere Aussagen zu der Belastungsverteilung im Inneren des Tragwerks zu erhalten. Das Modell der Last“, das bisher nur eine Punktmasse ist, k¨onnte dadurch erwei” tert werden, daß man die r¨aumliche Ausdehnung des realen Transportgutes ber¨ucksichtigt, also z. B. alle Kennwerte des starren K¨orpers ermittelt. Es k¨amen weitere sechs Differentialgleichungen hinzu, mit denen das Taumeln und Pendeln eines Containers, die Bewegungen eines Greifers (w¨ahrend seiner F¨ullung in Abh¨angigkeit von den Bewegungen der Schließ- und Halteseile und der Lage des Sch¨uttgutes) oder einen solcher Katastrophenfall, wie das H¨angenbleiben eines Teils der Last an einem Hindernis, simuliert werden kann, vgl. auch [150].

2.3 Induktive Modellbildung

73

Um den Unterschied zwischen der Belastung im Hubseil und im Tragwerk zu erl¨autern, wird als ein weiterer Freiheitsgrad die vom Seil unabh¨angige Bewegung des Tragwerks eingef¨uhrt. Damit kommen zwei weitere Parameter hinzu. Beim Zweimassenmodell des Br¨uckenkrans geh¨oren die Parameter, vgl. Bild 2.26: v k1 m1 k2

Hubgeschwindigkeit im Augenblick der Lastaufnahme die vertikale Steiﬁgkeit der Kranbr¨ucke an der Lastangriffsstelle (dieser Wert ist von der Stellung der Laufkatze auf der Kranbr¨ucke abh¨angig), die reduzierte Masse des Krans, bezogen auf die Lastangriffsstelle (darin wird die Masse der Laufkatze einbezogen), vgl. Tabelle 2.9 (Fall 6), die Gesamtsteiﬁgkeit der Hubseile.

k1 m1

s (t )

s (t )

x1

x1

k2

x2

mL

a)

b)

Bild 2.26 Berechnungsmodell mit 2 Freiheitsgraden f¨ur Br¨uckenkrane a) Etappe des Seilspannens, b) Etappe der frei schwebenden Last

Die Bewegungsgleichungen sind wieder f¨ur zwei Etappen zu formulieren. W¨ahrend der 1. Etappe wird das Hubseil mit gegebenem Weg-Zeit-Verlauf bewegt, die Last ruht auf dem Boden (x2 = 0), das Hubseil spannt sich und der Kran senkt sich. Die Kraft im Hubseil ist: FS = k2 · (s(t) + x1 )

(2.123)

Elastische R¨uckstellkraft der Kranbr¨ucke: F1 = −k1 x1

(2.124)

Dabei wird die statische Ruhelage der Kranbr¨ucke mit x1 = 0 als Bezugspunkt gew¨ahlt, also nur die der statischen Belastung mL g u¨ berlagerte dynamische Kraft berechnet. Das Kr¨aftegleichgewicht zwischen Massenkraft an der Kranbr¨ucke, elastischer R¨uckstellkraft und Seilkraft lautet: m1 x¨1 + k1 x1 + FS = 0

(2.125)

Aus Gl. (2.123) und (2.125) folgt die Bewegungs-Differentialgleichung: m1 x¨1 + (k1 + k2 )x1 = −k2 s(t)

(2.126)

aus der sich mit den Anfangsbedingungen t=0:

x1 = 0, x˙1 = 0

(2.127)

74

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

der weitere Ablauf berechnen l¨aßt. Wird der Sonderfall konstante Hubgeschwindig” keit“ angenommen, gilt s = vt,

s˙ = v

(2.128)

und die L¨osung der Differentialgleichung (2.126) unter Beachtung von Gl. (2.127) und (2.128) lautet x1 =

−k2 v (ω t − sin ω t) (k1 + k2 )ω

(2.129)

Die Kranbr¨ucke senkt sich also in dieser Weise durch. Die Kreisfrequenz w¨ahrend der ersten Etappe ist: k1 + k2 ω = (2.130) m1 Damit folgt die Seilkraft wegen Gl. (2.123) zu k1 k2 v k2 FS = k2 (vt + x1 ) = ωt + sin ω t (k1 + k2 )ω k1 und die sich davon unterscheidende Kraft auf die Kranbr¨ucke ist: k1 k2 v (ω t − sin ω t) F1 = −k1 x1 = (k1 + k2 )ω

(2.131)

(2.132)

Die Kr¨afte F1 und FS nehmen also w¨ahrend der ersten Etappe im Gegensatz zum einfachen Modell (Gl. (2.109)) trotz konstanter Hubgeschwindigkeit nicht linear mit der Zeit zu, weil sie von den Schwingungen der Kranbr¨ucke beeinﬂußt werden. Die erste Etappe endet zum Zeitpunkt t1 , der dann erreicht ist, wenn die Seilkraft so groß wie das Eigengewicht der Hublast ist, also die Bodenkraft Null wird. Aus dieser Bedingung entsteht die transzendente Gl. (2.133) f¨ur t1 , die man numerisch l¨osen kann: FS =

k1 k2 k22 v vt1 + sin ω t1 = mL g k1 + k2 k1 + k2 ω

(2.133)

Die zweite Etappe beginnt mit dem Abheben der Last vom Boden. Jetzt schwingen Last und Kranbr¨ucke wie ein Schwinger mit 2 Freiheitsgraden, vgl. Bild 2.26a. Im Unterschied zu Gl. (2.123) wird hier die Seilkraft auch durch die Vertikalbewegung der Kranbr¨ucke beeinﬂußt. F¨ur die Seilkraft gilt: FS = k2 (s(t) + x1 − x2 )

(2.134)

Aus den Gleichgewichtsbedingungen an den beiden Massen m1 x¨1 − F1 + FS = 0

und

mL x¨2 + mL g − FS = 0

(2.135)

folgen die beiden Bewegungsgleichungen des Zweimassenschwingers, die unter Beachtung der Gln. (2.134) und (2.124) f¨ur einen beliebigen Hubwegverlauf s(t) lauten: m1 x¨1

+ (k1 + k2 )x1 − k2 x2 = − k2 s(t) k2 x1 + k2 x2 = + k2 s(t) − mL g mL x¨2 −

(2.136) (2.137)

75

2.3 Induktive Modellbildung

W¨ahrend der zweiten Etappe hat das System zwei Eigenfrequenzen, die sich aus k (m + m ) + k m k m m 1 4k 2 1 L 1 L 1 2 1 L 2 1∓ 1− (2.138) ω 1,2 = 2 m1 mL [k2 (m1 + m) + k1 mL ]2 ergeben. Die Anfangsbedingungen f¨ur die zweite Etappe entsprechen dabei den Bedingungen am Ende der ersten Etappe: t = t1 :

x1 = x1 (t1 ), x2 = 0, x˙1 = x˙1 (t1 ), x˙2 = 0

(2.139)

Bevor auf die L¨osungen in der zweiten Etappe eingegangen wird, soll das Turmkranmodell behandelt werden, das in Bild 2.27 dargestellt ist. xT

xT

F1

mT && xT

F1

y

mT

y

y

mT

FS s (t )

xT

FS

H

FS

s (t )

mL

mL ( g + && xL )

xL

L a)

b)

c)

Bild 2.27 Berechnungsmodell mit 2 Freiheitsgraden f¨ur Turmkrane a) erste Etappe, b) zweite Etappe, c) Kr¨aftebild

Beim Turmkran treten infolge der horizontalen Bewegung der Turmspitze (und des Auslegers) auch Massenkr¨afte in horizontaler Richtung auf, die einen qualitativ anderen Momentenverlauf im Turm hervorrufen als vertikale Massenkr¨afte. Es ist anschaulich auch erkl¨arlich, daß sich infolge der horizontalen Schwingungen der Turmspitze und des mitschwingenden Auslegers im unteren Abschnitt des Turms ein großes Biegemoment ergibt, das nicht nur von vertikalen Massenkr¨aften der Hublast stammt. In das Berechnungsmodell gem¨aß Bild 2.27 gehen dieselben Parameter f¨ur die Hubseilbewegung, die Seilsteiﬁgkeit und die Hublast wie in Bild 2.26 ein, aber der Kran selbst wird durch andere Parameter erfaßt: n11 , n12 , n22 sind Einﬂußzahlen, welche die elastischen Eigenschaften des Tragwerks quantitativ beschreiben (n12 = n21 ). ist die auf die Turmspitze reduzierte Masse des Tragwerks und des mT Auslegers. Zwischen der in Bild 2.27 eingezeichneten Horizontalkraft F1 an der Turmspitze, der Seilkraft FS und den Verschiebungen bestehen folgende Beziehungen (f¨ur ein linear elastisches Tragwerk, das aus masselosen Balken besteht, vgl. Abschn. 2.3.5): xT = n11 F1 + n12 FS

(2.140)

y = n21 F1 + n22 FS

(2.141)

76

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Als Horizontalkraft wirkt die Massenkraft F1 = −mT x¨T

(2.142)

und die Seilkraft ist analog zu Gl. (2.134) von drei Koordinaten abh¨angig, da sich das Seil bei der Bewegung des Hubwerks (s), der Auslegerspitze (y) und dem Seilende am Lastangriffspunkt (xL ) dehnen kann: FS = kS (s(t) − y − xL )

(2.143)

W¨ahrend der ersten Etappe, solange die Last am Boden liegt, ist xL ≡ 0. Aus den Gln. (2.140) und (2.141) erh¨alt man xT − n12 FS y − n22 FS F1 = = (2.144) n11 n12 Damit und unter Benutzung von FS aus Gl. (2.143) ergibt sich eine Beziehung zwischen den Deformationswegen und der Seilbewegung. 1 (2.145) n12 xT + n11 n22 − n212 kS s(t) y= N Um die Schreibweise zu vereinfachen, wurde folgende Abk¨urzung eingef¨uhrt: N = n11 + kS n11 n22 − n212 (2.146) Gl. (2.145) dr¨uckt aus, wie die Vertikalverschiebung der Auslegerspitze mit der Horizontalverschiebung der Turmspitze und der Seilbewegung am Hubwerk w¨ahrend der ersten Etappe zusammenh¨angt. Werden y aus Gl. (2.145), F1 aus Gl. (2.144) und FS aus Gl. (2.143) in Gl. (2.142) eingesetzt, ergibt sich f¨ur die erste Etappe folgende Bewegungsgleichung: 1 + kS n22 kS n12 xT = s(t) (2.147) mT x¨T + N N Die Eigenkreisfrequenz w¨ahrend der ersten Etappe ist also 1 + kS n22 ω = (2.148) NmT Die L¨osung mit den zur Gl. (2.127) analogen Anfangsbedingungen t=0:

xT = 0, x˙T = 0

(2.149)

lautet analog zu Gl. (2.129) f¨ur den Sonderfall s(t) = vt kS n12 v xT = (ω t − sin ω t) (2.150) 1 + kS n22 ω Die vertikale Bewegung der Auslegerspitze kann daraus mit Hilfe von Gl. (2.145) berechnet werden: n2 kS n22 v ω t − 12 sin ω t (2.151) y= 1 + kS n22 ω Nn22 Wie sich die Seilkraft a¨ ndert, folgt nach dem Einsetzen von y in Gl. (2.143), wenn dort (f¨ur die erste Etappe) xL = 0 gesetzt wird, weil die Last liegenbleibt: v kS kS n212 FS = ωt + (2.152) sin ω t 1 + kS n22 ω N

2.3 Induktive Modellbildung

77

Die erste Etappe ist beendet, wenn die Seilkraft so groß wie die am Boden liegende Last ist. Daraus folgt die mit Gl. (2.133) vergleichbare transzendente Gleichung v kS kS n212 sin ω t1 = mL g ω t1 + (2.153) FS (t1 ) = 1 + kS n22 ω N aus der man den Zeitpunkt t1 (Beginn des Abhebens) berechnen kann. Die Bewegungsgleichungen f¨ur die zweite Etappe, die danach beginnt, ergeben sich aus den Gln. (2.140) bis (2.143) und der dynamischen Gleichgewichtsbedingung f¨ur die frei h¨angende Last: FS = mL (g + x¨L ) = kS (s(t) − y − xL )

(2.154)

Werden aus diesen Gln. y, F1 und FS eliminiert, kann man die folgenden beiden Differentialgleichungen f¨ur die zwei unbekannten Koordinaten ﬁnden: mT x¨T

1 + kS n22 kS n12 kS n12 xT + xL = s(t) N N N kS n12 kS n11 kS n11 xT + xL = s(t) − mL g mL x¨L + N N N +

(2.155) (2.156)

Das am Turmfuß auftretende Biegemoment kann aus den Massenkr¨aften und dem Eigengewicht der Last berechnet werden, vgl. Bild 2.27c): MA = mT x¨T H − mL (g + x¨L )L

(2.157)

An dieser Stelle wird die weitere gesonderte Behandlung des Turmkranmodells abgebrochen. Es zeigt sich n¨amlich, daß grunds¨atzlich die gleichen Formeln f¨ur die beiden in Bild 2.26 und Bild 2.27 dargestellten Schwingungssysteme mit zwei Freiheitsgraden entstehen, wie man z. B. am Vergleich von Gl. (2.134) mit Gl. (2.143), Gl. (2.126) mit Gl. (2.147) oder den Gln. (2.136) und (2.137) mit den Gln. (2.155) und Gl. (2.156) erkennt. Der L¨osungsweg zur Ermittlung der f¨ur den Turmkran interessierenden Kraftund Bewegungsgr¨oßen ist derselbe wie f¨ur den Br¨uckenkran. Die L¨osungen k¨onnen analytisch oder numerisch erfolgen. L¨ost man die Differentialgleichungen (2.136) und (2.137) unter Beachtung der Anfangsbedingungen (2.139), erh¨alt man die beiden Wegkoordinaten zu x1 = −

mL g + A1 cos ω 1t + B1 sin ω 1t + A2 cos ω 2t + B2 sin ω 2t k1

(2.158)

x2 = −

(k1 + k2 )mL g k2 + (A1 cos ω 1t + B1 sin ω 1t) k1 k2 k2 − mL ω 12

(2.159)

+

k2 (A2 cos ω 2t + B2 sin ω 2t) + vt k2 − mL ω 22

Daraus ergeben sich mit den Gln. (2.135) oder (2.124) und (2.134) die beiden Kr¨afte F1 = mL g − k1 (A1 cos ω 1t + B1 sin ω 1t + A2 cos ω 2t + B2 sin ω 2t)

(2.160)

78

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

FS = mL g −

k2 ω 12 (A1 cos ω 1t + B1 sin ω 1t) k2 − mL ω 12

−

k2 ω 22 (A2 cos ω 2t + B2 sin ω 2t) k2 − mL ω 22

(2.161)

Die Berechnung der Koefﬁzienten A1 , A2 , B1 und B2 aus den Anfangsbedingungen (2.139) ist zwar elementar, aber so umfangreich, daß sie hier unterbleiben soll. Aus den Formeln (2.160) und (2.161) l¨aßt sich schon erkennen, daß sich die dynamischen Kr¨afte in Hubseil und Kran voneinander unterscheiden. Vor der quantitativen Auswertung wird auf dimensionslose Gr¨oßen u¨ bergegangen, da auf diese Weise von den urspr¨unglich 6 Parametern (k1 , k2 , m1 , m2 , v, g) und der Zeit t nur noch drei dimensionslose Kenngr¨oßen π 1 bis π 3 und der dimensionslose Zeitmaßstab τ u¨ brigbleiben. Betragen die sechs Parameterwerte m1 = 18 500 kg, v = 12 m/min mL = 16 000 kg, k1 = 1,6 · 107 N/m, k2 = 107 N/m, g = 9,81 m/s2

(2.162)

dann kann man dimensionslose Kenngr¨oßen π 1 bis π 3 gem¨aß Gl. (2.163) deﬁnieren, die hier folgende Zahlenwerte haben: π1 =

k1 m1 v = 1,600, π 2 = = 1,156, π 3 = = 0,509 7 mL k2 mL g k2

2

2

F1 / mL g FS / mL g

1,5

1

0,5 a)

0

0,5 0

5

10

15

20

25

τ

30

0

35 c)

2

2

1,5

1,5

1

1

0,5

0,5

b)

0

F1 / mL g FS / mL g

1,5

1

(2.163)

0

5

10

15

20

25

τ

30

35

d)

0

0

5

10

15

20

25

τ

30

35

0

5

10

15

20

25

τ

30

35

Bild 2.28 Verl¨aufe von Seilkraft und Kraft auf die Kranbr¨ucke beim Anheben der Last bei verschiedenen Kenngr¨oßen (Modell gem¨aß Bild 2.26) a) π 1 = 1,60, π 2 = 1,156, π 3 = 0,509 7, b) π 1 = 2,08, π 2 = 1,156, π 3 = 0,509 7, c) π 1 = 1,60, π 2 = 1,503, π 3 = 0,509 7, d) π 1 = 1,60, π 2 = 1,156, π 3 = 0,662 6

79

2.3 Induktive Modellbildung

Die Kenngr¨oßen π 1 und π 2 liegen bei den meisten Br¨uckenkranen im Bereich von 0,5 bis 2 [67]. Rechenergebnisse der dimensionslosen Kraftverl¨aufe sind in Bild 2.28 dargestellt. Sie sind mit dem Kraftverlauf in Bild 2.25 vergleichbar. Die Kr¨afte, die im Seil und auf den Kran wirken, unterscheiden sich voneinander, und ihre Spitzenwerte sind gr¨oßer als bei der Berechnung mit dem Minimalmodell von Bild 2.24. Um die Parametereinﬂ¨usse zu zeigen, wurde jeweils eine der Kenngr¨oßen in Bild 2.28b, c und d gegen¨uber denen in Bild 2.28a um 30 % vergr¨oßert. Die Sensitivit¨atsanalyse zeigt, wie sich die Belastungsverl¨aufe bei Parameter¨anderungen unterscheiden. In allen Varianten steigt die Seilkraft anfangs linear an, und infolge der Tr¨agheit der Masse m1 nimmt die Kranbelastung zu Beginn etwa quadratisch zu. Der Grundschwingung ist die zweite Eigenschwingung u¨ berlagert, aber infolge des nicht ganzzahligen Verh¨altnisses der beiden Eigenfrequenzen stellt sich kein periodischer Belastungsverlauf ein. Trotz des ver¨anderten Steiﬁgkeitsverh¨altnisses (relativ gr¨oßere Kransteiﬁgkeit in Bild 2.28b) und des anderen Massenverh¨altnisses (relativ gr¨oßere Kranmasse in Bild 2.28c) bleiben die Spitzenwerte der Kr¨afte fast dieselben wie in Bild 2.28a. Mit gr¨oßerer Hubgeschwindigkeit werden intensivere Schwingungen angeregt, d. h., die Spitzenwerte der Seilkraft und der Kranbelastung nehmen zu, vgl. Bild 2.28d. Dieses System hat w¨ahrend der zweiten Etappe gem¨aß Gl. (2.138) zwei Eigenfrequenzen, die z. B. f¨ur den Parametersatz von Bild 2.28a f1 = 2,83 Hz

f2 = 6,59 Hz

und

(2.164)

betragen. Der Einﬂuß der zweiten Schwingform zeigt sich an der Schwingung mit der zweiten Eigenfrequenz, die derjenigen mit der ersten Eigenfrequenz u¨ berlagert ist. 2.3.4.3 Heben und Senken (Modell mit n = 4) Als weitere Modellerweiterung werden das Antriebsmoment, eine elastische Kupplung, das Getriebe und die Seiltrommel eingef¨uhrt, vgl. Bild 2.28. Seiltrommel JT

Getriebe Motor Kupplung u

kM

JM

Kranbrücke mL

Last

ϕM

r

ϕT x1

& M) M(ϕ

k2

m1

Seiltrommel

k1

k1

x2 Bild 2.29 Berechnungsmodell mit vier Freiheitsgraden f¨ur ein Hubwerk

k2 mL x2

80

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Die Bewegungsgleichungen f¨ur das Gesamtsystem folgen aus den Gln. (2.136) und (2.137), bei denen an Stelle der gegebenen Seilbewegung s(t) nun der Seilweg ¨ rϕ T /2 beim Ablaufen von der Seiltrommel einzusetzen ist. Dabei ist das Ubersetzungsverh¨altnis der Umlenkrolle gleich zwei, vgl. den Nenner bei rϕ T . Es gilt: rϕ T =0 (2.165) +k1 x1 +k2 x1 − x2 + m1 x¨1 2 rϕ T = −mL g mL x¨2 −k2 x1 − x2 + (2.166) 2 Dazu kommen noch zwei Gleichungen, welche bei schwebender Last das Momentengleichgewicht an der Seiltrommel und am Motor ausdr¨ucken: rϕ T −ukM (ϕ M − uϕ T ) = 0 (2.167) JT ϕ¨ T + k2 r x1 − x2 + 2 +kM (ϕ M − uϕ T ) = Man (t) (2.168) JM ϕ¨ M Diese 4 gekoppelten Differentialgleichungen deﬁnieren nunmehr ein Berechnungsmodell, das gegen¨uber den vorhergehenden erweitert ist, vgl. die Gln. (2.136) und (2.137) bzw. Gl. (2.112). Die Bewegungsabl¨aufe der Hub- und Senkbewegungen werden hier nicht durch den Verlauf s(t), sondern durch das Motormoment bestimmt, f¨ur das folgender Ansatz benutzt wird: π t − exp − (2.169) Man (t) = MK 2 tK Darin treten als neue Parameter das Moment MK und die Zeitkonstante tK auf. Die Seilkraft folgt aus der Gleichung rϕ T (2.170) FS = k2 x1 − x2 + 2 Die dynamische Kraft auf die Kranbr¨ucke kann aus F1 = −k1 x1 = mL (g + x¨2 ) + m1 x¨1

(2.171)

berechnet werden. Das auf die Antriebswelle zwischen dem Antriebsmotor und dem Hubwerksgetriebe wirkende Torsionsmoment, das sich vom Motormoment unterscheidet, ist T = kM (ϕ M − uϕ T )

(2.172)

Zu den geometrischen Parametern, den Parametern der Massen, der Steiﬁgkeiten und der Motorkennlinie kommt als ein weiterer Parameter noch die Anhubgeschwindigkeit v hinzu. Damit wird das vorliegende Problem durch K = 11 Parameter gekennzeichnet, die im Parametervektor pT = (k1 , k2 , m1 , mL , u, g, JT , JM , kM , MK , tK )

(2.173)

erfaßt werden. Darin sind die beiden Parameter des Antriebsmoments aus Gl. (2.169) enthalten. Es w¨are ohne weiteres m¨oglich, dieses Modell mit vier Freiheitsgraden mit weiteren Parametern zu vervollst¨andigen, z. B. mit D¨ampfungsparametern f¨ur das Seil, die Kupplung und die Kranbr¨ucke. Es k¨onnten Spiel und Nichtlinearit¨aten an allen elastischen Elementen (z. B. an der Kupplung oder am Seil), der Wirkungsgrad

2.3 Induktive Modellbildung

81

des Hubwerks u. a. Gr¨oßen einbezogen werden. Man k¨ame leicht auf die Gr¨oßenordnung von K = 20 . . . 30 im Parametervektor, vgl. Gl. (2.20). An Stelle der urspr¨unglichen Koordinaten x2 x1

ϕT ϕM

f¨ur den Weg der Last, f¨ur den Schwingweg der Kranbr¨uckenmitte, f¨ur den Drehwinkel der Seiltrommel, f¨ur den Drehwinkel des Hubmotors

wird ein Koordinatenvektor q mit dimensionslosen Koordinaten eingef¨uhrt, die einheitlich mit qk bezeichnet werden (k = 1, . . . ,4). Die Komponenten des Koordinatenvektors werden folgendermaßen deﬁniert: q1 =

k2 x1 , mL g

q2 =

k2 x2 , mL g

q3 =

k2 rϕ T , 2mL g

q4 =

k2 rϕ M 2umL g

(2.174)

¨ Die Ber¨ucksichtigung des Ubersetzungsverh¨ altnisses des Hubwerksgetriebes (es hat meist eine Gr¨oße im Bereich u = 50 . . . 100) und des Trommelradius in Gl. (2.174) sorgen daf¨ur, daß q3 und q4 in derselben Gr¨oßenordnung bleiben. Die Ableitung nach der dimensionslosen Zeit τ = ω 0t wird durch einen Strich gekennzeichnet (ω 0 = k2 /mL = 25 s−1 ). Die Bewegungsgleichungen (2.165) bis (2.168) lauten mit den dimensionslosen Gr¨oßen in Matrizenschreibweise M · q + K · q = f (τ )

(2.175)

Die Matrizenelemente ﬁndet man aus einem Koefﬁzientenvergleich aus den Gln. (2.165) bis (2.168), wenn man diese durch die Bezugsgr¨oßen dividiert, vgl. auch die Kenngr¨oßen in Gl. (2.178): ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 + π 1 −1 π2 0 0 0 1 0 ⎜ 0 1 0 0 ⎟ ⎜ −1 1 −1 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ (2.176) M=⎜ K=⎜ ⎟, ⎟ ⎝ 0 0 π4 0 ⎠ ⎝ 1 −1 1 + π 6 −π 6 ⎠ 0 0 0 π5 0 0 −π 6 π6 Der Erregerkraftvektor folgt aus den rechten Seiten der Gln. (2.165) bis (2.168): ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ (2.177) f (τ ) = ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 π 7 (1,57 − exp(−π 8 τ )) Zu den aus Gl. (2.163) bekannten drei Kenngr¨oßen kommen f¨unf neue hinzu: mL 2JT 2JM u2 2kM u2 MK u , π8 = π4 = , π5 = , π6 = , π7 = (2.178) mL r2 mL r2 k2 r2 mL gr k2tK Mit den zus¨atzlichen Parameterwerten JT = 6 kg · m2 , JM = 0,8 kg · m2 , r = 0,25 m, u = 75, kM = 30 N · m, MK = 366 N · m, tK = 0,2 s

(2.179)

82

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

erh¨alt man f¨ur die dimensionslosen Kenngr¨oßen folgende Zahlenwerte: π 4 = 0,012,

π 5 = 9,0,

π 6 = 0,54,

π 7 = 0,7,

π 8 = 0,2

(2.180)

Dieses Schwingungssystem hat in der ersten Etappe (wegen x2 = 0) drei und in der zweiten Etappe als ungefesseltes System vier Freiheitsgrade. Von den vier Eigenfrequenzen w¨ahrend der zweiten Etappe, die sich aus dem aus Gl. (2.175) folgenden Eigenwertproblem ergeben, ist die erste gleich null, weil (im Gegensatz zum Modell mit zwei Freiheitsgraden) eine freie Starrk¨orperbewegung des gesamten Antriebssystems m¨oglich ist: f1 = 0 Hz,

f2 = 2,29 Hz,

f3 = 5,30 Hz,

f4 = 45,3 Hz

(2.181)

f2 und f3 unterscheiden sich nur wenig von denjenigen Werten in Gl. (2.164). Die vierte Eigenfrequenz ist einer Eigenschwingform zuzuordnen, die vor allem die Antriebswelle im Hubwerk deformiert. Folgende Anfangsbedingungen f¨ur den Anhubvorgang dr¨ucken aus, daß sich anfangs nur Hubmotor und Seiltrommel mit der Anhubgeschwindigkeit v bewegen und die anderen Baugruppen sich in der statischen Ruhelage beﬁnden: τ = 0:

q1 = q2 = q3 = q4 = 0, q1 = q2 = 0, q3 = q4 = π 3

(2.182)

2 FS / mL g F1 / mL g

1,5 1 0,5 a)

0

0

5

10

15

20

25

30

τ

35

2 q′2 q′4

1,5 1 0,5 b)

0

0

5

10

15

20

25

30

τ

35

Bild 2.30 Ergebnisse der Berechnung f¨ur das Modell von Bild 2.29; a) Seilkraft, Kraft auf die Kranbr¨ucke, b) Moment uT /(mL gr) und bezogene Hubgeschwindigkeiten

2.3 Induktive Modellbildung

83

Es wird dann von drei auf vier Differentialgleichungen umgeschaltet“, wenn ” analog zu Gl. (2.109) oder Gl. (2.133) die Seilkraft gem¨aß Gl. (2.170) so groß wie ¨ die Hublast ist. Zu diesem Zeitpunkt m¨ussen die Ubergangsbedingungen f¨ur alle Koordinaten und deren Zeitableitungen erf¨ullt werden. Ergebnisse der numerischen Integration der Differentialgleichung (2.175) unter den Anfangsbedingungen (2.182) sind in Bild 2.30 dargestellt. Zur Interpretation ist ¨ zu sagen, daß sich die Verl¨aufe im Vergleich zu Bild 2.28 vor allem durch die Uberlagerung der hochfrequenten Schwingung (mit f4 ) unterscheiden, die durch Hinzunahme der Hubwerksparameter zustandekommt. Die Anwendung der Mittelungsmethode w¨urde zu einem gegl¨atteten Verlauf f¨uhren, vgl. Abschn. 2.4.6. Die Kranbr¨ucke bewegt sich infolge ihrer großen Masse nur niederfrequent. Der Verlauf im Großen“ ” a¨ ndert sich kaum, d. h., die Spitzenwerte der dynamischen Belastung bleiben beim komplizierteren Modell praktisch dieselben wie beim einfachen. F¨ur die Berechnung der Kr¨afte im Seil und im Kran h¨atte also das Modell mit zwei Freiheitsgraden ausgereicht, d. h., eine Modellzerlegung w¨are berechtigt. F¨ur die Dimensionierung der Hubwerkswelle sind die Vorg¨ange im Bereich der ersten drei Eigenfrequenzen als quasistatisch zu betrachten, w¨ahrend der Bereich der vierten Eigenfrequenz (um 45 Hz) dynamisch relevant ist. In diesem Frequenzbereich liegen weitere Eigenfrequenzen des Zahnradgetriebes. Diese im bisherigen ¨ Modell nur durch das Ubersetzungsverh¨ altnis u charakterisierte Baugruppe w¨urde bei n¨aherer Betrachtung (Modellierung des Zahnradgetriebes als Mehrmassensystem mit Zahnsteiﬁgkeiten, Lager- und Wellensteiﬁgkeiten, ...) weitere Eigenfrequenzen im h¨oheren Frequenzbereich zeigen, die deshalb von Interesse sind, weil sie in die Gr¨oßenordnung der Zahneingriffsfrequenzen (Resonanzgefahr, vgl. Abschn. 3.4.1) und der Wechselwirkung mit der dynamischen Motorkennlinie kommen k¨onnen, vgl. Abschn. 3.4.3 [359], [361]. 2.3.4.4 Antriebsmoment bei Wippkranen Das Auslegersystem des Wippkrans besteht aus einem Viergelenkgetriebe, das so bemessen ist, daß sich der Lastaufh¨angepunkt ann¨ahernd auf einer horizontalen Geraden bewegt. Der Wippwerksmotor treibt u¨ ber ein Zahnradgetriebe und eine Zahnstange den Drucklenker an, der sich um einen festen Drehpunkt dreht. Hier interessiert das dynamische Antriebsmoment, das beim Anfahr- und Bremsvorgang des Wippens entsteht und mit dem statischen Antriebsmoment, das aus der Belastung infolge Eigengewicht, Last und Wind resultiert, u¨ berlagert werden muß. Das dynamische Antriebsmoment wird beeinﬂußt durch • Pendelschwingungen der Last, • Biegeschwingungen des Drucklenkers mit dem Auslegersystem und • Torsionsschwingungen im Zahnradgetriebe. Es wird durch mehr als K = 50 Einﬂußgr¨oßen pK bestimmt, denn der Parametervektor enth¨alt folgende Teilkomponenten: • 2 Parameter des Lastpendels (Masse, L¨ange) • 6 kinematische Abmessungen des Auslegersystems (Gestellpunkte, Lenkerl¨angen)

84

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

• ca. 20 Masseparameter, d. h. von den massereichen K¨orpern (Zahnstange, Drucklenker, Ausleger, Zuglenker, Gegenmassehebel) jeweils drei bis vier Masseparameter (Masse, Schwerpunktkoordinaten, Tr¨agheitsmomente) • > 6 Federparameter des Auslegersystems (z. B. Biegesteiﬁgkeiten von Drucklenker, Kranportal und Ausleger) • > 10 Parameter des Zahnradgetriebes als Torsionsschwinger(Wellendurchmesser, Tr¨agheitsmomente, Z¨ahnezahlen, Spiel in der Verzahnung) • > 6 Parameter von Motor und Bremse (Kennlinien, Umschaltzeiten). Das Antriebsmoment k¨onnte nach einer Modellierung als Mehrk¨orpersystem (MKS) mit handels¨ublicher Software als Funktion all dieser Parameter berechnet werden, vgl. Tabelle 2.1. Die numerische Integration des dabei entstehenden Systems von nichtlinearen Differentialgleichungen w¨urde die Bewegungen und die dynamischen Beanspruchungen in allen interessierenden Bauteilen liefern. Einen Einblick in den Einﬂuß der beteiligten 50 Parameter auf das dynamische Antriebsmoment k¨onnte man durch wiederholte Anwendung so eines Rechenprogramms gewinnen. Man kann das dynamische Antriebsmoment aber einfacher beurteilen, wenn man eine Zerlegung in Teilsysteme vornimmt, die jeweils nur wenige Parameter enthalten. So eine Zerlegung, wie sie Bild 2.31 darstellt, kann sowohl zur Gewinnung analytischer Formeln, als auch bei der Modellierung als Mehrk¨orpersystem (MKS) empfohlen werden. Es wird die Tatsache ausgenutzt, daß die Eigenfrequenzen der drei dargestellten Teilsysteme sich jeweils etwa um den Faktor 10 unterscheiden. Aus diesem Grunde verlaufen die Pendelschwingungen der Last nahezu unabh¨angig von den Schwingungen des Auslegersystems, und Getriebeschwingungen beeinﬂussen nicht die des Lastpendels und des Auslegersystems. Umgekehrt gibt es jedoch eine R¨uckwirkung der jeweils niederfrequenten Schwinger durch eine quasistatische“ Anre” gung auf die h¨oherfrequenten, z. B. werden beim Vorzeichenwechsel der Zahnstangenkraft infolge des Lastpendelns Getriebeschwingungen angestoßen. Im Modell gem¨aß Bild 2.31a werden die Masse der Last, die Pendell¨ange und das Auslegersystem als Starrk¨orpersystem ber¨ucksichtigt. W¨ahrend nur 6 kinematische Abmessungen die Lagefunktion x = x(ϕ ) beeinﬂussen, wird das reduzierte Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) des Auslegersystems sowohl von diesen als auch von den Masseparametern des Auslegersystems und des Gegenmassehebels bestimmt [66]. Diese vielen Parameter lassen sich auf nur zwei nichtlineare Funktionen kondensie” ren“. Das erste Teilsystem erfaßt die Wechselwirkung zwischen der Pendelschwingung der Last und dem Antriebsmoment bei großen Bewegungen des Auslegersystems und l¨aßt sich durch folgende Bewegungsgleichungen beschreiben: 1 = uMan [J(ϕ ) + mL x 2 ]ϕ¨ + [J (ϕ ) + 2mL x x ]ϕ˙ 2 +mL x l q¨1 2 x ϕ¨ +x ϕ˙ 2 +l q¨1 +gq1 = 0

(2.183) (2.184)

¨ altnis zwischen dem Motor- und DruckDabei ist u = ϕ˙ M /ϕ˙ das Ubersetzungsverh¨ lenkerdrehwinkel und der Strich bedeutet die Ableitung nach ϕ . Beim zweiten Teilsystem in Bild 2.31b wird nur das nachgiebigste Bauteil (der biegsame Drucklenker) als Feder ber¨ucksichtigt. Das reduzierte Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) interessiert dann nur in der Stellung ϕ ∗ , in welcher der Anlauf beginnt, denn diese Schwingungen sind schnell gegen¨uber der langsamen Ausladungs¨anderung.

2.3 Induktive Modellbildung

Zuglenker

Ausleger

Gegenmasse

a)

Pendelschwingungen der Last f1 < 1 Hz

ϕ

Drucklenker

l

85

M, ϕM JM

q1

x

mL q2 m2 EI l2

m1

ϕ l1

b)

m1 ϕ+q3 c)

JM

kT

JM

M, ϕM

M, ϕM

Schwingungen des Auslegersystems 1 Hz < f < 10 Hz

Schwingungen des Getriebes 10 Hz < f < 100 Hz

l1

Bild 2.31 Modellzerlegung f¨ur das Berechnungsmodell eines Wippkrans a) Lastpendel, b) Auslegersystem, c) Getriebeschwingung

Deshalb darf man J(ϕ ∗ ) auf die beiden Einzelmassen m1 und m2 reduzieren, vgl. auch Gl. (2.187). Man kann mit diesem Minimalmodell die Schwingungen relativ zur mittleren kinematischen Prim¨arbewegung berechnen und erh¨alt damit sowohl eine N¨aherung f¨ur das dynamische Motormoment infolge der Schwingungen des Auslegersystems als auch eine Absch¨atzung f¨ur das dynamische Drucklenkermoment. Die entsprechenden Bewegungsgleichungen a¨ hneln denen in Abschn. 4.9 und sind in Aufgabe 23 in [76] ausf¨uhrlich angegeben. Das Modell in Bild 2.31c soll das Berechnungsmodell eines schwingungsf¨ahigen Zahnradgetriebes andeuten. Die tr¨age Masse des gesamten Auslegersystems wird dabei durch die Einzelmasse m1 repr¨asentiert, und das Minimalmodell f¨ur das Zahnradgetriebe kommt bei der Berechnung mit der reduzierten Torsionsfederkonstante kT aus. Die urspr¨unglich 16 Parameter reduzieren sich also auf drei. F¨ur die Berechnung der Getriebeschwingungen ist evtl. auch die dynamische Motorkennlinie und das Getriebespiel (beim Vorzeichenwechsel der Zahnstangenkraft infolge des Lastpendelns) von Bedeutung, also Parameter, die auf die Teilsysteme a und b keinen Einﬂuß haben.

86

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

2.3.5 Diskrete Schwinger statt Kontinua (Balken- und Stabmodelle) Als Berechnungsmodelle f¨ur Biegeschwinger wurden zu Beginn des 20. Jahrhunderts bei Ingenieurberechnungen meist diskrete Modelle benutzt. Das reale Objekt (z. B. eine abgesetzte Welle mit Zahnr¨adern) wurde in masselose Balkenabschnitte und Einzelmassen oder Scheiben aufgeteilt und dann als Schwinger mit wenigen Freiheitsgraden behandelt. In den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts kamen die Ver¨ fahren der Ubertragungsmatrizen auf, die es erlaubten, sowohl mit den Kontinua als auch mit diskreten Mehrmassenmodellen zu rechnen. Seit den 70er Jahren haben sich die FE-Modelle f¨ur die Berechnung der Biegeschwingungen durchgesetzt, d. h., sie sind in vielen Programmen implementiert. Einfache Modelle mit wenigen Freiheitsgraden sind f¨ur Absch¨atzungen oder ¨ Uberschlagsrechnungen weiterhin von Interesse, vgl. das Beispiel der Schleifspindel in Abschn. 2.4.2, des Auslegerarms in Abschn. 2.4.5 oder des Regalbedienger¨ats in Abschn. 4.8. F¨ur die Modellierung von Antrieben in Verbindung mit Reglern werden oft einfache diskrete Berechnungsmodelle (Minimalmodelle) gesucht. Man kann kontinuierliche Systeme durch diskrete Systeme mit wenigen Freiheitsgraden ersetzen, wenn man den Erregerfrequenzbereich ber¨ucksichtigt. Die Anzahl der Freiheitsgrade h¨angt von der jeweiligen Aufgabenstellung ab, insbesondere vom Erregerfrequenzbereich und der Anlaufzeit, vgl. Abschn. 2.1.2.2. W¨ahrend die in Abschn. 2.4.4 behandelten Kontinuum-Modelle im gesamten Frequenzbereich brauchbar sind, gelten die diskreten Modelle nur im unteren Frequenzbereich. Entsprechend den in Abschn. 2.1.2 dargelegten Grunds¨atzen zur Einteilung der Modelltypen muß ein Berechnungsmodell, das nur im tiefsten Erregerfrequenzbereich angewendet werden soll, außer den Parametern des Starrk¨orpersystems nur die tiefen Eigenfrequenzen und die niederen Eigenformen gut approximieren, vgl. Bild 2.4. Das einfachste Modell, ein Schwinger mit einem Freiheitsgrad, ist im Frequenzbereich unterhalb der ersten Eigenfrequenz als Minimalmodell dann geeignet, wenn die Grundfrequenz und die Grundschwingungsform eine N¨aherung f¨ur das Kontinuum darstellen. F¨ur einen h¨oheren Frequenzbereich, der zwischen die erste und zweite Eigenfrequenz reicht, ben¨otigt man ein Modell, das außer der ersten auch die zweite Eigenfrequenz und -form erfaßt. Analog kann man zu Modellen u¨ bergehen, die drei oder mehr Eigenfrequenzen approximieren. Beispiele f¨ur Balkenmodelle, die Biegeschwingungen im niederen Frequenzbereich modellieren, sind in Bild 2.32 und Tabelle 2.9 und Tabelle 2.10 angegeben. Zeitlich ver¨anderliche Erregerkr¨afte k¨onnen an den Einzelmassen angreifen, w¨ahrend kinematische Erregungen an den Lagerstellen eingeleitet werden k¨onnen, z. B. eine Vertikalbewegung an jedem gelenkigen Lager oder eine Drehbewegung an der Einspannstelle. Bei der Diskretisierung werden an den Stellen xk einzelne Punktmassen mk angeordnet. Es bestehen folgende drei Bedingungen f¨ur die Berechnung der Parameter des diskreten Systems (xk , mk ) aus denen des Kontinuums [245]: 1. Erhaltung der kinetischen Energie, also Erhalt von Masse:

m=

l 0

A(x) dx = ∑ mk k

(2.185)

87

2.3 Induktive Modellbildung

Statisches Moment: S =

l

A(x)x dx = ∑ mk xk

(2.186)

A(x)x2 dx = ∑ mk xk2

(2.187)

k

0

Tr¨agheitsmoment:

J=

l

k

0

• Erhalt der potentiellen Energie, also gleiche Biegesteiﬁgkeit EI und damit gleiche Deformation an den Stellen der Massenpunkte. Diese Bedingung wird bei den hier beschriebenen Diskretisierungsmethoden erf¨ullt. ¨ • Erhaltung der modalen Gr¨oßen, also die Ubereinstimmung von Eigenfrequenzen und Eigenformen. F¨ur die i-te Eigenfrequenz folgt aus dem Rayleigh-Quotient: l

ω i2 =

EI(x)wi2 (x) dx

0

l 0

(2.188)

A(x)w2i (x) dx

Durchbiegung an diskreten Stellen der i-ten Eigenschwingform: wi (xk ) = wki

k = 1, 2, . . .

(2.189)

Die Ordnung der N¨aherungen kann man nach der Anzahl der ber¨ucksichtigten Eigenfrequenzen und Eigenformen einteilen (i = 1, 2, . . . , I). Diskrete Modelle, die aus masselosen Balkenabschnitten und punktf¨ormigen Einzelmassen bestehen, k¨onnen auf verschiedene Weise aus dem Kontinuum gewonnen werden. Ein systematischer Weg besteht darin, daß man den Balken in endlich viele Abschnitte einteilt und jede Abschnittmasse auf die beiden Enden jedes Abschnittes so aufteilt, daß der Schwerpunkt des Abschnittes erhalten bleibt. Die Anzahl der Massen entscheidet u¨ ber die Anzahl der berechenbaren Eigenfrequenzen, vgl. die in Bild 2.32 gezeigten Modelle.

A(x), EI(x)

m = Al x

mk

a)

xk

m 8

EI(x)

b)

Bild 2.32 Diskrete Modellbildung bei Balken a) beliebiger Verlauf A(x), I(x), b) konstanter Querschnitt

m 4 l 4

m 4

l 4

m 8

m 4

l 4

l 4

88

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Die folgenden Ausf¨uhrungen beziehen sich auf einen Balken der L¨ange l mit konstanter Biegesteiﬁgkeit EI und gleichm¨aßiger Masseverteilung A = m/l. W¨ahlt man gleichgroße Abschnitte, so erh¨alt man das in Bild 2.32b dargestellte Modell. Die n Eigenfrequenzen eines beiderseits gelenkig gelagerten Balkens kann man aus Gl. (2.190) berechnen [99]: 2 iπ 12n4 EI cos − 1 n ; ω i2 = i = 1, 2 . . . , n (2.190) iπ 3 ml 2 + cos n F¨ur den nicht diskretisierten Balken (Kontinuum) kann man in diesem Falle auch eine geschlossene Formel angeben: i4 π 4 EI ω i2 = ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.191) ml 3 Bei großem n und kleinem i ergeben Gl. (2.190) und Gl. (2.191) angen¨ahert dieselben ω i . Die Eigenfrequenzen, die man mit dem diskreten Modell berechnet, sind bei gr¨oßerem i/n etwas tiefer als die des Kontinuums. Bei großen Ordnungen i wird der Unterschied immer gr¨oßer, d. h. die Diskretisierung ist nur f¨ur den unteren Bereich des Spektrums brauchbar. Die hier am Beispiel des beiderseits gelenkig gelagerten Balkens erl¨auterte Vorgehensweise zur Bildung von diskreten Modellen kann sinngem¨aß auf andere Randbedingungen und auf ver¨anderliche Querschnitte (Bild 2.32a) u¨ bertragen werden. Als Erfahrungsregel kann man sagen, daß etwa dreimal soviel Punktmassen (oder Abschnitte) gew¨ahlt werden m¨ussen, wie die Anzahl der interessierenden Eigenfrequenzen, wenn man eine Genauigkeit im einstelligen Prozentbereich erreichen will. Das Minimalmodell eines Balkens besteht aus der Mindestzahl von Massen, die zur Berechnung der interessierenden Eigenfrequenzen ben¨otigt wird. Solche Minimalmodelle f¨ur Balken mit konstantem Querschnitt sind in Tabelle 2.9 und Tabelle 2.10 angegeben. Sie erf¨ullen (außer Fall 3) die Bedingungen (2.185) und (2.186), aber nicht immer die Gln. (2.187) bis (2.188). Es ist in Tabelle 2.9 gekennzeichnet, welche der obengenannten Bedingungen von den betreffenden Modellen erf¨ullt werden ( +“ erf¨ullt, −“ nicht erf¨ullt). ” ” Exemplarisch soll gezeigt werden, wie die f¨ur Fall 4 in Tabelle 2.9 angegebenen Parameterwerte gewonnen wurden. Es folgen aus den Bedingungen (2.185) bis (2.188) folgende Forderungen an die drei unbekannten Massen und zwei unbekannten Abst¨ande: Masse: Statisches Moment: Tr¨agheitsmoment: erste Eigenfrequenz: zweite Eigenfrequenz:

m0 + m1 + m2 = m = Al ml m1 x1 + m2 x2 = 2 2 ml m1 x12 + m2 x22 = 3 ml 3 1 A + A2 − B = 0,080 9 = 2 EI ω1 ml 3 1 A − A2 − B = 0,002 06 = 2 EI ω2

(2.192) (2.193) (2.194) (2.195) (2.196)

89

2.3 Induktive Modellbildung

Die Formeln auf den linken Seiten entsprechen dem Dreimassensystem, die Werte auf den rechten Seiten denen des Kontinuums, vgl. (2.295) in Abschn. 2.4.4.2. Dabei folgen die Ausdr¨ucke A und B aus den Einﬂußzahlen, vgl. [150]: A=

m1 x13 + m2 x23 , 6EI

B=

m1 m2 x13 (4x23 − 9x1 x22 + 6x12 x2 − x13 ) (6EI)2

(2.197)

Tabelle 2.9 Diskrete Balkenmodelle als Einzelmassen und Biegefedern (Masse m = Al, Biegesteiﬁgkeit EI = konst.)

Fall Nr.

m0 m

Modell

1

l

m1 m

m2 m

x1 l

3

4

m0

m1

Bedingung J ω1 ω2 +

0,250 0,750

0,667

0,282 0,718

0,697

+

0,371 0,629

0,728

+ +

x1

2

x2 l

x2

x1 m0

m1

0,116 0,499 0,386 0,355 0,838 + +

+

0,212 0,684 0,104 0,580 1,000 + +

+

m2

x1

5 m0

m1

m2

m0

m1

m0

6 7 8

x1 m0

m1 x1

m1 x1

m0

0,254 0,493

0,500

+

0,090 0,410

0,284

+ +

0,175 0,325

0,340

+

+

Die L¨osung des Gleichungssystems (2.192) bis (2.196) f¨ur die f¨unf Unbekannten ergibt die in Tabelle 2.9 (Fall 4) angegebenen Parameterwerte. Einen wesentlichen Einﬂuß stellen die Randbedingungen dar. Kein Lager ist ideal starr, keine Einspannung kann eine Verdrehung v¨ollig verhindern. Die an den Lagerstellen eines Berechnungsmodells in Wirklichkeit vorhandenen Bauteile sind auch deformierbar. Die Einspannung in einem elastischen Halbraum w¨urde einen endlichen Biegewinkel an der Einspannstelle ergeben. Vielfach werden diese Kontaktstellen“ bei praktischen Berechnungen zu hart ” modelliert“, weil man an die aus der Grundlagen-Mechanik bekannten starren La” gerbedingungen gewohnt ist. Der Einﬂuß der Lagersteiﬁgkeiten (und D¨ampfungen) sollte m¨oglichst abgesch¨atzt werden, um entscheiden zu k¨onnen, ob er vernachl¨assigbar ist oder nicht. F¨ur die beiden oben behandelten Lagerbedingungen des Balkens wurde der Einﬂuß der Lagerfederkonstanten in Bild 2.33 dargestellt.

90

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

10 9 λ21

π1 =10

8 π1 =1

7 6 π1 =

5

k1 = 0,1 k2

4 a)

l

3

EI 2

k1

k2

A

1 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

3

b)

Kennwert π 2 =

k2l EI

Bild 2.33 Zum Einﬂuß der Lagersteiﬁgkeiten a) Balken mit zwei elastischen Lagern, b) Abh¨angigkeit der ersten Eigenkreisfrequenz (ω 1 = λ 12 EI/(Al 4 )) von den relativen Lagersteiﬁgkeiten

Man sieht, wie stark die erste Eigenfrequenz von den Lagersteiﬁgkeiten abh¨angt. Es reicht manchmal aus, einen Vergleich zwischen der Biegesteiﬁgkeit EI und der Federkonstanten vorzunehmen, indem man die dimensionslose Kenngr¨oße π 2 = k2 l 3 /(EI) berechnet. F¨ur den beiderseits gest¨utzten Balken wurde in [76] folgende N¨aherungsformel zur Bewertung der Lagersteiﬁgkeiten hergeleitet: EI Al 4 ω 12 > 4 π 1 1+ 1+ 3π 2 π1 π4

(2.198)

Die Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von Lagersteiﬁgkeiten und Endmassen zeigt Bild 2.33 und Bild 2.34, vgl. auch [197]. Ein Balken kann als Alternative dazu auch dadurch diskretisiert werden, daß an Stelle der Biegesteiﬁgkeit (wie in Tabelle 2.9) die Masseverteilung u¨ ber der L¨ange unver¨andert bleibt. An die Stelle diskreter Speicher der kinetischen Energie und masseloser Biegefedern treten dann diskrete Speicher der potentiellen Energie (Torsionsfedern) und unelastische Starrk¨orper. Der Kontinuum-Balken wird also durch Torsionsfedern und Starrk¨orper diskretisiert. W¨ahrend bei der Aufteilung in Einzelmassen die Biegesteiﬁgkeit (und damit die potentielle Energie) unver¨andert bleibt

2.3 Induktive Modellbildung

l

m

91

l

m

A, EI

A, EI

k

k

λ5

λi

4π λ4

11,0

3π λ3

7,85

2π 4,73

λ2

π

1

0,5

λ1

0 100

500

m Al

1000

1500 kl EI

2000

3

Bild 2.34 Abh¨angigkeit der ersten f¨unf Eigenwerte λ i und Eigenformen von den Randbedingungen am Balkenende (ω i = λ i2 EI/Al 4 )

und eine Approximation der kinetischen Energie des Kontinuums durch Einzelmassen erfolgt, wird bei der Aufteilung in Einzelfedern die Masseverteilung (und damit die kinetische Energie) nicht ver¨andert und die potentielle Energie durch die Einzelfedern ann¨ahernd erfaßt. Die Bedingungen (2.185) bis (2.187), die bei der Diskretisierung in Einzelmassen erf¨ullt werden sollen, sind bei der Aufteilung in Starrk¨orper automatisch erf¨ullt. Als Alternative dazu besteht hier die Forderung nach • Erhaltung der potentiellen Energie bei linearer Momentenverteilung, woraus das Mohrsche Integral f¨ur die am Ende des Kragtr¨agers oder in Balkenmitte auftretende Durchbiegung:

y=

l 0

Mx M ∆lk dx = ∑ EI k Tk k

(2.199)

folgt. Daneben gilt die Forderung nach Erhalt der niederen Eigenfrequenzen ebenfalls, vgl. Gl. (2.188).

92

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.10 stellt als Alternative zu Tabelle 2.9 die Aufteilung von einseitig eingespannten und beiderseits gelenkig gelagerten Balken in starre K¨orper und Torsionsfedern dar. Tabelle 2.10 Diskrete Balkenmodelle als Starrk¨orper und Torsionsfedern (Masse m = Al, Biegesteiﬁgkeit EI = konst.)

Fall Nr.

kT1l EI

Modell

kT2 l EI

x1 l

Bedingung y ω1 ω2

0

+

kT1

1

4,121

l kT1

2

1,590

x1 kT1

3

kT2

kT1

5

kT1 kT1

6

x1

7

+

+

10,76 1,750 0,351 + +

+

3,963 4,602 0,500

x1

4

0,272 + +

x1

+

2,029

0,500

3,473

0,380 + +

3,077

0,340

+

+

2,070 1,404 0,380 + +

+

kT2 kT1 kT1 kT2

8 x1

Analog zu Tabelle 2.9 sind in Tabelle 2.10 die Bedingungen markiert, welche diese Modelle erf¨ullen. Exemplarisch soll f¨ur Fall 2 gezeigt werden, wie man zu den Parameterwerten kommt. Es wird gefordert, daß die Durchbiegung bei einer Belastung am Balkenende infolge einer Einzelkraft dieselbe ist: y=

l 0

Fl 3 F(l − x1 )2 Fx2 dx = = EI 3EI kT1

(2.200)

und daß die tiefste Eigenkreisfrequenz des einseitig eingespannten Balkens derjenigen gleicht, die sich f¨ur einen prismatischen Starrk¨orper der L¨ange l − x1 ergibt: ω 12 =

12,362 · EI kT1 3 · kT1 = = Al 4 J A(l − x1 )3

(2.201)

2.3 Induktive Modellbildung

93

Aus diesen beiden Gln. ergibt sich der Abstand f¨ur die Lage der Torsionsfeder und deren Federkonstante zu EI x1 = 0,272 1, kT1 = 1,590 (2.202) l F¨ur die Berechnung von L¨angsschwingungen k¨onnen an Stelle des Kontinuums (vgl. Abschn. 2.4.4) zur Berechnung der tiefen Eigenfrequenzen auch diskrete Modelle benutzt werden. In Tabelle 2.11 sind die diskreten Parameterwerte f¨ur St¨abe mit konstanter Querschnittsﬂ¨ache A angegeben. Die hier vorgestellten Diskretisierungsmethoden liefern Modelle mit einer minimalen Anzahl von Freiheitsgraden (Minimalmodelle). Sie unterscheiden sich durch ihre geringe Anzahl von Koordinaten von den weitverbreiteten FE-Modellen. Die Berechnung der Biegelinien und der Momentenverl¨aufe kann mit diesen Minimalmodellen ebenfalls erfolgen. So liefern die diskreten Balkenmodelle mit Einzelmassen gute N¨aherungen f¨ur die Biegelinien, weil der Verlauf der Biegesteiﬁgkeit nicht ver¨andert wurde. Die Querkraft- und Momentenverl¨aufe werden infolge der diskreten Krafteinleitung an den Einzelmassen durch Geradenabschnitte nur grob angen¨ahert. Die diskreten Balkenmodelle mit den Einzelfedern liefern demgegen¨uber gute N¨aherungen f¨ur die Querkraft- und Momentenverl¨aufe, da die urspr¨ungliche Masseverteilung l¨angs des Balkens (aus denen die dynamische Belastung resultiert) erhalten bleibt. Derartige Minimalmodelle von Balken k¨onnen zweckm¨aßig angewendet werden, wenn • eine minimale Anzahl von Freiheitsgraden gew¨unscht wird, z. B. – bei der Echtzeitberechnung innerhalb eines geregelten Antriebssystems, – bei der Variantenberechnung, wenn Bewegungsgleichungen oft zu integrieren sind, – bei nichtlinearen Optimierungsrechnungen (m¨oglichst wenige Variable) • oder wenn ein Bauteil innerhalb eines Antriebssystems vereinfacht erfaßt werden kann, z. B. – das Pleuel in einem Schubkurbelgetriebe, vgl. Tabelle 2.7, Fall 4, – den Auslegerarm in Abschn. 2.4.5, – die F¨uhrungss¨aule eines Regalbedienger¨ats, vgl. Abschn. 4.8.1. Welcher Typ der Minimalmodelle benutzt wird, h¨angt davon ab, in welches Softwarepaket der Anwender es einbauen will. F¨ur MKS-Programme sind die Modelle vorteilhaft, die in Tabelle 2.10 angegeben sind. Werden die Schwingungen von massebelegten Zug-Druck- oder Torsionsst¨aben mit dem Kontinuum-Modell berechnet, ergeben sich bei allen Lagerbedingungen unendlich viele Eigenfrequenzen, vgl. die in Tabelle 2.13 angegebenen Gleichungen. Die meist interessierenden tiefen Eigenfrequenzen k¨onnen mit den in Tabelle 2.11 angegebenen Minimalmodellen, sowohl f¨ur L¨angsschwingungen als auch f¨ur Torsionsschwingungen berechnet werden. Es wurde zwar die Symbolik von diskreten L¨angsschwingern f¨ur diese Darstellung gew¨ahlt, aber diese ist denen der Torsionsschwinger a¨ quivalent, vgl. die Analogien in Bild 5.16 und Tabelle 5.6. Diese Formeln lassen sich aus den Gln. (2.351) bis (2.353) herleiten, die in Abschn. 2.5.1 angegeben sind.

94

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.11 Minimalmodelle f¨ur Zug-Druck-St¨abe (m = Al, k = EA/l) und GIT /l) Torsionsst¨abe (m = Ip l, k =

Fall Nr. 1

k1 m1

m1

2 3

m0 m

Modell

k1 m1

m1

4 5

k1 m1

k1 m2

m1

6 7

k1 m0

m1 k1

8 m0

9

k2 m1

k1

k2

m2 k1

m1 m

m2 m

k1 k

k1 m0

m0

Bedingung m ω1 ω2

1

+ + − −

0,5

2,467

− + + −

0,203

1

+

0,203 0,595

2

+ + + −

− + −

0,375 0,250 3,701

− + + +

0,203 0,135

2

+

1

+ + + −

0,595 0,405

− + +

0,356 0,488 0,156 1,660 2,516 + + + +

0,230 0,270

2,667

0,297 0,405

2

k1 m1

k

0,5

m0 m1 m1 m0

10

k2 k

4

+ + + +

+ + + −

2.4 Deduktive Modellbildung 2.4.1 Allgemeines In der Logik wird unter Deduktion die Herleitung des Besonderen aus dem Allgemeinen verstanden. Bei der deduktiven Modellbildung wird der Weg vom allgemeinen ( u¨ berdimensionalen“ und unzweckm¨aßigen) Modell zum speziellen (ein” fachen, u¨ bersichtlichen, ad¨aquaten“) Modell beschritten. Im Startmodell“ werden ” ” bei der deduktiven Modellbildung alle physikalischen Effekte ber¨ucksichtigt, von denen man meint, daß sie von Einﬂuß auf das Ergebnis sein k¨onnten. Damit enth¨alt das Modell aber auch unwesentliche Einﬂußgr¨oßen, und oft ist auch der numerische Aufwand zur L¨osung der dabei entstehenden umfangreichen Gleichungen unvertretbar hoch. Das komplizierte Modell l¨aßt sich oft wesentlich vereinfachen, ohne daß Nachteile hinsichtlich der Aussagekraft entstehen.

2.4 Deduktive Modellbildung

95

Die wesentlichen Schritte bei dieser Modellbildungsstrategie sind: 1. Formulierung der allgemeinsten Modellgleichungen In das Berechnungsmodell werden alle denkbaren problemspeziﬁschen Einﬂußgr¨oßen einbezogen, weil erst in den folgenden Schritten deren Bewertung und Auslese erfolgen soll. Es sind ebenfalls die Schritte 2 bis 4 zu durchlaufen, die bei der induktiven Methode (Abschn. 2.3.1) aufgef¨uhrt wurden. 2. Beurteilung der Parametereinﬂ¨usse in den Modellgleichungen Dies erfolgt durch das Einsetzen der Parameterwerte in die Modellgleichungen. In den Modellgleichungen, die i. allg. aus Summen von mehreren Termen bestehen, werden die Zahlenwerte der einzelnen Summanden ermittelt, die nat¨urlich alle mit gleichen Maßeinheiten auszudr¨ucken sind. Zweckm¨aßig ist die Einf¨uhrung dimensionsloser Kenngr¨oßen, welche stets Form von Potenzprodukten aus den Parametern haben [48], [145], [190], [297], [305]. Die Summanden bestehen aus Produkten dieser Kenngr¨oßen mit den Variablen und deren (auch h¨oheren oder auch partiellen) Ableitungen. Es wird gepr¨uft, ob und welche Summanden große oder kleine Zahlenwerte haben. Diejenigen Summanden, die nur kleine Beitr¨age unterhalb einer gewissen Grenze (ob 0,1 %, 1 % oder 3 % h¨angt von den jeweiligen Anforderungen ab) zum Endergebnis beisteuern, werden vernachl¨assigt, d. h., die Terme, deren Einﬂuß sich als unwesentlich herausgestellt hat, werden aus den Modellgleichungen gestrichen. 3. Auswertung der Empﬁndlichkeitsanalyse Zur Bewertung der Bedeutung einzelner Parameter kann eine als Sensitivit¨atsanalyse bekannte Methode benutzt werden [187]. Sie besteht darin, die partiellen Ableitungen der Ergebnisgr¨oßen nach den Parametern zu bilden und somit den Einﬂuß der Eingabeparameter auf das Ergebnis zu pr¨ufen. An die Stelle partieller Ableitungen k¨onnen auch Differenzenquotienten treten. Dies hat den Vorteil, daß dieselbe Analysemethode (z. B. ein Softwareprogramm) nur mit geringf¨ugig abgewandelten Parameterwerten wiederholt benutzt werden kann. Bei zweckm¨aßiger (in Relation zu den jeweiligen Fertigungstoleranzen) Gr¨oße der ¨ endlichen Parameter¨anderungen kann dabei der Einﬂuß kleiner Anderungen sichtbar werden. Aus der Sensitivit¨atsanalyse ist zu schlußfolgern, welche Bedeutung die Genauigkeit der einzelnen Parameterwerte f¨ur die Ergebnisgr¨oßen hat. Wenn ein Ergebnis nahezu unempﬁndlich gegen¨uber einem Parameter ist, kommt es also nicht darauf an, diesen m¨oglichst genau zu bestimmen. Andererseits sieht man, welche Parameter die Ergebnisgr¨oßen besonders stark beeinﬂussen. Es kann danach entschieden werden, auf welche Parameter es besonders ankommt, welche keinen wesentlichen Einﬂuß haben und welche der Haupteinﬂußgr¨oßen relativ genau bestimmt werden m¨ussen, wenn man die Genauigkeit der Ergebnisgr¨oßen verbessern will. 4. Vereinfachung des Startmodells Nach den Schritten 2 und 3 kann das Startmodell auf den zweckm¨aßigen Umfang eines ad¨aquaten Modells verkleinert werden. Zur Vereinfachung linearer Schwin-

96

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

gungssysteme sind die Methoden der Freiheitsgradreduktion anwendbar, die in Abschn. 2.6 behandelt werden. Mit den damit berechenbaren Ergebnissen ist es auch m¨oglich, das Startmodell zu beurteilen, indem man in die allgemeinsten Gleichungen die L¨osungen einsetzt. Die Zahlenwerte der Summanden, die man vernachl¨assigt hat, erh¨alt man zum Vergleich, d. h., man kann sich zum Schluß davon u¨ berzeugen, daß das Startmodell (aus Schritt 1) keine wesentlich anderen Ergebnisse liefert als das durch die beschriebenen Schritte gewonnene ad¨aquate Modell. Im Gegensatz zur induktiven Strategie, wo man mit wenigen Freiheitsgraden und mathematischen Mindestanforderungen beginnt, liegt der Ausgangspunkt des deduktiven Herangehens auf einem h¨oheren Niveau. Das k¨onnen von Anfang an eine gr¨oßere Anzahl von Freiheitsgraden (und damit gew¨ohnliche Differentialgleichungen) oder sogar partielle Differentialgleichungen sein, vgl. Abschn. 2.4.4. Die Diskretisierung der Kontinua, die bei der deduktiven Strategie erst kurz vor einer numerischen Auswertung erfolgt, beginnt bei der induktiven Strategie bereits zu Beginn durch die Einf¨uhrung von Einzelmassen und Einzelfedern. Theoretisch kann man, indem man von der anderen Seite“ kommt, durch das deduktive Herangehen das” selbe Berechnungsmodell ﬁnden wie auf induktivem Wege. Beide Strategien werden in der Praxis oft kombiniert. Man kann auch, nachdem man durch die deduktive Herangehensweise die wesentlichen physikalischen Zusammenh¨ange deutlicher erkannt hat, anschließend daf¨ur ein Minimalmodell“ aufstellen. In den Abschnitten 2.4.2 (Schleifspindel) und ” 2.4.3 (Br¨uckenkran) werden Beispiele erl¨autert, bei denen sich zum Schluß ganz einfache Gleichungen zur Berechnung der anfangs undurchschaubaren physikalischen Vorg¨ange ergeben. 2.4.2 Grundfrequenz von Schleifspindeln Schleifspindeln m¨ussen bei m¨oglichst hohen Drehzahlen arbeiten und d¨urfen (im Gegensatz z. B. zu Textilspindeln) unterhalb der Betriebsdrehzahl keine Resonanzstellen haben, da die Gefahr von Bearbeitungsungenauigkeiten entsteht. Ihre tiefste Eigenfrequenz (Grundfrequenz) soll m¨oglichst groß sein. Die historische Entwicklung der Berechnungsmodelle dieser wichtigen Baugruppe von Werkzeugmaschinen begann im Jahre 1939 und ist in der Arbeit [164] ausf¨uhrlich dargestellt, die auch den aktuellen Forschungsstand zur Modellierung und Optimierung von Spindeleinheiten enth¨alt. Schleifscheibe Schleifdorn

Kugellager

Riemenscheibe

Bild 2.35 Technische Zeichnung einer Schleifspindel

Die folgenden Ausf¨uhrungen beziehen sich auf eigene Untersuchungen, die zu Beginn der 70er Jahre in Zusammenarbeit mit dem W¨alzlagerwerk Fraureuth ent-

2.4 Deduktive Modellbildung

97

standen, vgl. [150]. Sie sollen lediglich der Erl¨auterung der in Abschn. 2.4.1 dargelegten Strategie dienen. Nach den ersten Vorstellungen besaßen die Parameter am Schleifdorn eine besondere Bedeutung, vgl. Bild 2.35. Man hatte von konstruktiver Seite alles unternommen, um dieses Teilst¨uck durch Verk¨urzung der Dornl¨ange und Vergr¨oßerung des Durchmessers m¨oglichst steif zu gestalten. Die Frage lautete, ob und mit welchen konstruktiven Maßnahmen (man dachte an eine Vergr¨oßerung des Durchmessers im Mittelteil der Welle oder an zus¨atzliche Kugellager im Mittelteil) die erste Eigenfrequenz der Schleifspindel weiter erh¨oht werden kann.

a)

b) Bild 2.36 Schleifspindel a) Startmodell, b) Berechnete Grundschwingungsform (erste Eigenform)

Als Berechnungsmodell wurde zun¨achst ein Startmodell“ benutzt, bei dem die ” Biegesteiﬁgkeiten aller Wellenabschnitte ber¨ucksichtigt wurden, insbesondere auch der vordere Schleifdorn, der die Schleifscheibe tr¨agt. Bild 2.36a zeigt das Maximalmodell, das zur Berechnung der Eigenfrequenzen (im Sinne von Schritt 1 der deduktiven Modellbildungsstrategie) benutzt wurde. Es ber¨ucksichtigte auch die anfangs nur u¨ berschl¨aglich bekannten Steiﬁgkeiten der vorgespannten spielfreien Kugellager. Die Rechnung ergab die in Bild 2.36b dargestellte Grundschwingungsform. Aus ihr ist erkennbar, daß die Deformation der Kugellager (also deren Steiﬁgkeit) einen wesentlichen Einﬂuß auf die Grundschwingungsform und damit auf die erste Eigenfrequenz (d. h. die erste kritische Drehzahl) der Schleifspindel besitzt. Man kann der Grundschwingungsform auch entnehmen, daß vor allem die Massen an den Wellenenden (Riemenscheibe, Schleifscheibe) große Amplituden haben. Demzufolge ist die Grundschwingungsform im wesentlichen durch die Starrk¨orperdrehung um den zwischen den Kugellagern beﬁndlichen Schwingungsknoten bestimmt. Die (unter Schritt 2 und 3 der deduktiven Strategie in Abschn. 2.4.1 genannte) Analyse der Parametereinﬂ¨usse und die Sensitivit¨atsanalyse f¨uhren also zu folgender Interpretation: • Je gr¨oßer die Masse der Riemenscheibe ist, desto tiefer liegt die erste Eigenfrequenz. Also muß man die Riemenscheibe m¨oglichst leicht bauen (z. B. Aluminium statt Stahl). • Eine St¨utzung in der Mitte durch ein oder mehrere zus¨atzliche Kugellager h¨atte praktisch keinen Einﬂuß auf die erste Eigenfrequenz, weil dort ein Schwingungsknoten liegt. • Die Erh¨ohung der Biegesteiﬁgkeit durch Vergr¨oßerung des mittleren Wellendurchmessers wird die Grundfrequenz nur unwesentlich anheben, weil die gesamte Spindel (mit nur geringem Biegeanteil) fast wie ein starrer K¨orper schwingt.

98

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

• Es ist nicht n¨otig, zwei Federkonstanten an jeder Lagerstelle in das Modell aufzunehmen, da deren Abstand sehr klein ist. • Das Berechnungsmodell l¨aßt sich so vereinfachen, wie es Bild 2.37 zeigt.

398

68

∅94

∅76

∅76

254

a)

Schleifscheibe

m1

I1

Kugellager

I2

m3

k l1

Riemenscheibe

I1

m4

m2

k l2

l3

b) ϕ11 ϕ31

−ϕ41

c)

−ϕ21

Bild 2.37 Schleifspindel a) Skizze, b) Berechnungsmodell mit vier Freiheitsgraden, c) Grundschwingungsform

Auf dieses (gem¨aß Schritt 4 der deduktiven Strategie) wesentlich einfachere Modell gegen¨uber dem von Bild 2.36a war man auf induktivem Wege nicht gekommen, weil man den Parametern in N¨ahe des Schleifdorns zu große Bedeutung beimaß. Man kann mit N¨aherungsformeln die untere und obere Grenze der Grundfrequenz berechnen. In [79] wird gezeigt, wie man solche N¨aherungsformeln herleiten kann. Man muß dazu die Einﬂußzahlen n jk und N¨aherungswerte f¨ur die Amplitudenverh¨altnis¨ se der ersten Eigenform kennen, die man aus Messungen oder aus einer Uberschlagsrechnung vorher ermitteln muß. Die Einﬂußzahlen f¨ur das in Bild 2.37 dargestellte Berechnungsmodell folgen aus der elementaren Balkentheorie. Es sind dahinter die Parameterwerte f¨ur ein Beispiel angegeben, vgl. Gln. (2.203) bis (2.210): n11 =

l13 l2 · l12 l 2 + (l1 + l2 )2 + + 1 = 12,000 0 · 10−2 µ m/N 3EI1 3EI2 kl22

(2.203)

2.4 Deduktive Modellbildung

n22 =

l33 l 2 · l2 l 2 + (l2 + l3 )2 + 3 + 3 = 4,321 7 · 10−2 µ m/N 3EI1 3EI2 kl22 1 = 3,009 1 · 10−2 µ m/N, n34 = n43 = 0 µ m/N k l1 l2 l3 2l1 l3 + l2 (l1 + l3 ) = − = −2,945 9 · 10−2 µ m/N 6EI2 kl22

99

(2.204)

n33 = n44 =

(2.205)

n12 = n21

(2.206)

l1 + l2 = 4,929 6 · 10−2 µ m/N kl2

(2.207)

n14 = n41 = −

l1 = −1,920 4 · 10−2 µ m/N kl2

(2.208)

n23 = n32 = −

l3 = −0,5141 · 10−2 µ m/N kl2

(2.209)

l2 + l3 = 3,523 3 · 10−2 µ m/N kl2

(2.210)

n13 = n31 =

n24 = n42 =

Die Grundfrequenz l¨aßt sich folgendermaßen eingrenzen Z2 1 1 = f1 max f1 min = √ < f1 2π N2 2π N1

(2.211)

Das Gleichheitszeichen gilt dann, wenn die Grundschwingungsform

ϕ T1 = (ϕ 11 , ϕ 21 , ϕ 31 , ϕ 41 ) genau bekannt ist. In Gl. (2.211) werden ben¨otigt:

1 N1 = S1 + 4

3 S12 S2 − 4 4

(2.212)

S1 = m1 n11 + m2 n22 + m3 n33 + m4 n44 S2 =

(2.213)

+ + + +2 m1 m2 n212 + m1 m3 n213 + m1 m4 n214 +2 m2 m3 n223 + m2 m4 n224 + m3 m4 n234 m21 n211

m22 n222

m23 n233

m24 n244

2 2 2 2 + m2 ϕ 21 + m3 ϕ 31 + m4 ϕ 41 Z2 = m1 ϕ 11

N2 =

2 m21 n11 ϕ 11

+

2 m22 n22 ϕ 21

+

2 m23 n33 ϕ 31

(2.214)

(2.215) +

2 m24 n44 ϕ 41

+2 (m1 m2 n12 ϕ 11 ϕ 21 + m1 m3 n13 ϕ 11 ϕ 31 + m1 m4 n14 ϕ 11 ϕ 41 )

(2.216)

+2 (m2 m3 n23 ϕ 21 ϕ 31 + m2 m4 n24 ϕ 21 ϕ 41 + m3 m4 n34 ϕ 31 ϕ 41 ) Die Formeln (2.211) in Verbindung mit Gl. (2.203) bis (2.210) und (2.212) bis (2.216) ¨ erlauben es, auf einfache Weise Parametereinﬂusse zu analysieren. Es sind immerhin K = 11 Parameterwerte (m1 , m2 , m3 , m4 , l1 , l2 , l3 , I1 , I2 , E, c) einer Schleifspindel dabei ber¨ucksichtigt. Sie eignen sich als Analysemodell f¨ur eine nichtlineare Optimierung.

100

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

F¨ur eine Schleifspindel mit den Parameterwerten ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2,06 · 1011 N/m2 E – Elastizit¨atsmodul von Stahl ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l1 ⎟ ⎜254 mm ⎟ – Abst¨ande zwischen den ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l2 ⎟ ⎜398 mm ⎟ Punktmassen und den ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ l3 ⎟ ⎜ 68 mm ⎟ Lagerstellen ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I ⎟ ⎜1,64 · 10−6 m4 ⎟ – Fl¨achentr¨agheitsmomente ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ I2 ⎟ = ⎜3,84 · 10−6 m4 ⎟ der Wellenabschnitte ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m1 ⎟ ⎜6,71 kg ⎟ – Masse der Schleifscheibe ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m2 ⎟ ⎜8,95 kg ⎟ – Masse der Riemenscheibe ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m ⎟ ⎜15,06 kg ⎟ – auf Lagerstellen reduzierte ⎜ 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝m4 ⎠ ⎝15,06 kg ⎠ Wellenmassen 3,323 · 107 N/m k – Lagersteiﬁgkeit

(2.217)

soll nun die Absch¨atzung erprobt werden. Es wurden damit die obengenannten Einﬂußzahlen in den Gln. (2.203) bis (2.210) berechnet. N¨aherungswerte f¨ur die Amplitudenverh¨altnisse der Grundschwingungsform sind, vgl. Bild 2.37c: ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 2,9 ϕ 11 ⎜ ϕ ⎟ ⎜ −1,4 ⎟ ⎟ ⎜ 21 ⎟ ⎜ (2.218) ϕ1 = ⎜ ⎟ ⎟=⎜ ⎝ ϕ 31 ⎠ ⎝ 1,2 ⎠ −1,0 ϕ 41 Setzt man die Zahlenwerte aus den Gln. (2.203) bis (2.210) in die Gln. (2.212) bis (2.216) und danach in Gl. (2.211) ein, erh¨alt man folgende Eingrenzung der ersten Eigenfrequenz: f1 min = 132,6 Hz,

f1 max = 139,7 Hz

Bild 2.38 FE-Modell einer konventionellen Spindeleinheit aus [164]

(2.219)

2.4 Deduktive Modellbildung

101

Die Grundfrequenz liegt also mit etwa 3,5 % Genauigkeit bei f1 = 135 Hz. Ein Vergleich mit experimentellen Ergebnissen zeigte, daß die Lagerung der Spindeleinheit im Maschinengestell einen weiteren wesentlichen Einﬂuß darstellt, d. h., f¨ur die Spindel selbst war das Minimalmodell gefunden, aber es mußte mit der Gestellstruktur gekoppelt werden. In [164] wurden mehrere komplizierte Berechnungsmodelle vorgeschlagen und mit einem FEM-Programm analysiert. Bild 2.38 zeigt ein Beispiel. 2.4.3 Von 23 zu 5 Parametern (Fahrbewegung eines Bruckenkrans) ¨ Das folgende Beispiel st¨utzt sich auf die Dissertation [57], in welcher einige Zwischenschritte der Modellbildung eines Br¨uckenkrans beschrieben sind. Der Br¨uckenkran hat eine Eigenmasse von 60 000 kg, eine Spannweite von 30 m und kann Massen von 20 000 kg heben und transportieren. Es geht um ein Berechnungsmodell zur Simulation der Fahrbewegung, wobei das Pendeln der Last ber¨ucksichtigt wird. Bild 2.39a zeigt eine Skizze des Realsystems und Bild 2.39b ein diskretes Berechnungsmodell, das K = 23 Parameter erfaßt. Die Last wird als mathematisches Pendel aufgefaßt und gem¨aß Gl. (2.221) in ein Feder-Masse-System umgerechnet. Aus der Gleichsetzung der Eigenkreisfrequenzen g k ω2 = = (2.220) l m und dem Vergleich des Pendelweges l ϕ mit dem Fahrweg x ergibt sich die gleiche Horizontalkraft bei der Federkonstante g (2.221) k = mL l Im folgenden wird die Modellbildungsstrategie in Anlehnung an die Darstellung in [57] beschrieben. Sie ist im wesentlichen deduktiv, da dabei aus einem komplizierten System mit vielen Einﬂußgr¨oßen ein einfaches Modell mit drei Freiheitsgraden gebildet wird. Die schrittweisen Vereinfachungen sind aber in [57] eher heuristisch als konsequent mechanisch-mathematisch begr¨undet worden. Das Startmodell besteht schon aus diskreten Masse- und Federparametern, welche das Tragwerk, das Triebwerk und die pendelnde Last beschreiben. Die Parameterwerte des Startmodells sind: Parameterwerte des Br¨uckenkrans: max. Traglast mL = 20 000 kg Eigenmasse: m33 + m34 = 60 000 kg Spannweite: l = 30 m Getriebe/Teilkreisradien: r14 = 0,150 m, r21 = 0,360 m, r22 = 0,110 m, r31 = 0,325 m Drehmassen und Massen J11 = 6,00 kg · m2 , J12 = 1,70 kg · m2 , J13 = 6,80 kg · m2 , J14 = 0,57 kg · m2 , nach Bild 2.39b: J21 = 6,32 kg · m2 , J22 = 0,80 kg · m2 , J31 = 66,21 kg · m2 , J32 = 44,14 kg · m2 , m33 = 25 000 kg, m34 = 35 000 kg, m35 = variabel ( 20 000 kg)

102

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Drehsteiﬁgkeiten der Getriebewellen Federsteiﬁgkeiten von Kranbr¨ucke und Lastpendel: Motormoment: Radradius:

MA = 1 217 N · m rA = 0,325 m

Bremse und Kupplung

Motor

r32

l

Laufkatze

kT 11 = 17,03·105 N · m, kT 12 = 0,37·105 N · m, kT 13 = 7,91·105 N · m, kT 21 = 0,21·105 N · m m35 g (variabel) k33 = 3,373 · 107 N/m, k34 = l

Getriebe 1

mL

a)

Getriebe 2

Last J 14

J 13 kT13

J 12 kT12

J 11 kT11

MA

r14 J 22

r21 kT21

kT21

J 32

r22 J 32

r31

ϕ32

J 22

Motor, Bremse Kupplung Getriebe 1

Getriebe 2

J 21 r32 J 31

J 31

m33 / 2 x33

k33 / 2

m33 / 2 m34 k34

b)

Kranbrücke

k33 / 2

m35

Bild 2.39 Br¨uckenkran a) Skizze des Tragwerks und Fahrwerks b) Berechnungsmodell mit 12 Freiheitsgraden (Startmodell)

pendelnde Last

2.4 Deduktive Modellbildung

103

Das in Bild 2.39b skizzierte Startmodell, das insgesamt 12 Freiheitsgrade hat, davon 8 rotatorische und 4 translatorische, wird in einem ersten Schritt zu einem Modell mit 8 Freiheitsgraden vereinfacht, welches nur noch aus translatorischen Freiheitsgraden besteht, vgl. Bild 2.40.

m22

m31 m33 / 2 m32

k 21

FA

m11 m12 m13

k33 / 2

m21 m14

m35 m34 k34

k11 k12 k13 k 21 m22

k33 / 2 m32 m31 m33 / 2

Bild 2.40 Berechnungsmodell eines Br¨uckenkrans mit 8 Freiheitsgraden

¨ Beim Ubergang vom Startmodell zum Modell gem¨aß Bild 2.40 wurden folgende Annahmen getroffen: • Der Kran wird als symmetrisch zur Mitte der Kranbr¨ucke behandelt. Es tritt zwischen den R¨adern und den Schienen kein Schlupf auf. Die Rollbewegung zwischen Rad und Schiene wird mit der Zwangsbedingung x33 = r32 ϕ 32

(2.222)

erfaßt. • Getriebespiel wird vernachl¨assigt. Die Transformation auf Wegkoordinaten erfolgt mit den bekannten Reduktionsbedingungen der starren Maschine“ [150]. Die große Anzahl der konstruktiven ” Parameter reduziert sich auf eine kleinere Anzahl von 17 mechanischen Parametern. Die Umrechnungsformeln lauten hierbei ( j = 1, 2, 3, 4). 2 r21 · r31 J1 j ; j = 1, 2, 3 4 (2.223) m1 j = r14 · r22 · r32 2 r31 J2 j ; j = 1, 2 (2.224) m2 j = r22 · r32 2 1 J3 j ; j = 1, 2 (2.225) m3 j = r32 2 r21 · r31 kT 1 j ; j = 1, 2, 3 (2.226) k1 j = r14 · r22 · r32

104

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

k21 =

r31 r22 · r32

2 kT 21

(2.227)

Die sich damit ergebenden Zahlenwerte sind in Tabelle 2.12 zusammengefaßt. Tabelle 2.12 Parameterwerte f¨ur das Berechnungsmodell von Bild 2.40 i

j

1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 3

1 2 3 4 1 2 1 2 3 4 5

mi j in kg 2 856 809 3 237 271 522 66 627 418 25 000 35 000 20 000

ki j in 106 N/m 810,6 17,6 376,5 − 1,735 − − − 33,73 0,02 −

1/ki j in 10−8 m/N 0,123 5,682 0,266 − 57,637 − − − 2,965 5 000 −

Man sieht, daß die lange Verbindungswelle, die das Antriebsmoment von Getriebe 1 auf das Getriebe 2 verteilt (Bild 2.39a), außer dem Lastpendel, das weichste Federelement (k12 ) darstellt. Es sind erfahrungsgem¨aß nur die tiefen Eigenfrequenzen f¨ur die Belastung der Kranbr¨ucke infolge der Fahrbewegung von Interesse. Somit werden nur zwei Eigenfrequenzen ber¨ucksichtigt und alle h¨oheren Eigenfrequenzen vernachl¨assigt. Bei der weiteren Vereinfachung zu einem System mit nur noch 3 Freiheitsgraden werden solche Absch¨atzungen vorgenommen, wie sie auch in Abschn. 2.3.4 n¨aher beschrieben sind. Die Absch¨atzung der Eigenfrequenzen der Teilsysteme ergeben f¨ur • das Lastpendel (in Abh¨angigkeit der Pendell¨ange, die zwischen 1 m und 10 m liegen kann): fA = (0,2 . . . 0,5) Hz • die Biegeschwingung der an den R¨adern festgehaltenen Kranbr¨ucke: k33 1 fB = ≈ 4,9 Hz 2π m34 • die Torsionsschwingung isoliert betrachteter Getriebeabschnitte: kT 12 + kT 13 2kT 21 1 1 fC = ≈ 55 Hz, fD = ≈ 40 Hz 2π J13 2π J21

(2.228)

(2.229)

105

2.4 Deduktive Modellbildung

Man kann daraus schließen, daß die Torsionswellen des Triebwerks sehr steif gegen¨uber den anderen Bauteilen sind. Sie werden somit als quasistarr behandelt. Die reduzierten Massen k¨onnen addiert werden: m1 = m11 + m12 + m13 + m14 + m21 = 7 695 kg m2 = m22 + m31 + m32 + m33 + m34 = 61 111 kg

(2.230)

m3 = m35 = 20 000 kg Die Gesamtsteiﬁgkeit der elastischen Torsionswellen wird mit der Formel f¨ur die Reihenschaltung in eine einzige Federkonstante umgerechnet, vgl. Tabelle 2.12: 1 1 1 1 1 1 = + + + + k1 k11 k12 k13 2k21 k33 ⇒

k1 = 1,5 · 106 N/m,

k2 = k34 = 20 000 N/m

(2.231)

bei l = 9,81 m m1

m2

m3

FA k1

k2

Bild 2.41 Minimalmodell f¨ur den Br¨uckenkran mit Lastpendel

Damit wurden die 5 Parameterwerte des Dreimassensystems ermittelt, das in Bild 2.41 dargestellt ist. Man erkennt an den Zahlenwerten, daß das Lastpendel weicher ist als der Kran. In der Arbeit [57] wurden mit diesem Modell Simulationsrechnungen durchgef¨uhrt. 2.4.4 ¨ Von raumlichen zu eindimensionalen Balken- und Stabmodellen 2.4.4.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Als Beispiel f¨ur die deduktive Modellbildung werden in diesem Abschnitt Balkenmodelle behandelt. Aus den Grundgleichungen f¨ur beliebige Bewegungen dreidimensionaler Kontinua, die auch große Verschiebungen und große Verzerrungen hervorrufen k¨onnen, vgl. z. B. [326], lassen sich deduktiv alle anderen Differentialgleichungen starrer und deformierbarer Kontinua herleiten. Es ist also nicht n¨otig, f¨ur die in der Antriebsdynamik auftretenden Fragen zur Dynamik von B¨andern, Riemen, Seilen, Dr¨ahten, F¨aden und (zum Teil auch) Ketten jeweils neue“ Differenti” algleichungen aufzustellen. Sind zwei der K¨orperabmessungen (die Querschnittsabmessungen) klein gegen¨uber der dritten (der Abmessung in L¨angsrichtung) – wie das bei fadenf¨ormigen K¨orpern der Fall ist –, dann ist es m¨oglich und zweckm¨aßig, aus den Bewegungsgleichungen die Abh¨angigkeit von zwei Ortskoordinaten zu eliminieren und vom

106

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

dreidimensionalen zum eindimensionalen Kontinuum als mechanischem Modell u¨ berzugehen. Je nachdem, welche Annahmen u¨ ber die Steiﬁgkeitsverh¨altnisse gemacht werden, kann es sich um Balkenmodelle (Timoshenko-Balken, RayleighBalken, Euler-Bernoulli-Balken) oder bei Vernachl¨assigung von Biege- und Torsionssteiﬁgkeit um Fadenmodelle (dehnbarer Faden, undehnbarer Faden) handeln. Aus den grundlegenden Beziehungen dreidimensionaler Kontinua lassen sich die kinematischen und kinetischen Grundgleichungen des geometrisch nichtlinearen Timoshenko-Balkens ableiten, wenn man davon ausgeht, daß die Querschnitte eben bleiben (Bernoulli-Hypothese), daß große Verschiebungen m¨oglich sind, die Verzerrungen aber klein bleiben und daß das Material homogen und isotrop ist und sich linear-elastisch verh¨alt, vgl. [346]. Im Timoshenko-Balken-Modell sind die translatorische und rotatorische Tr¨agheit der Querschnitte ebenso ber¨ucksichtigt wie auch Verschiebungs- und Verdrehungsverzerrungen. Relative Verschiebungen der Querschnitte in Richtung der Balkenachse f¨uhren zu L¨angsdehnungen, Verschiebungen quer zur Balkenachse zu Querschubdeformationen. Verdrehungen der Querschnitte gegeneinander resultieren in Torsions- (bei Verdrehungen um die Balkenachse) und Biegedeformationen (bei Verdrehungen um die Querachsen). Die Wirkung der Umgebung auf den Balken wird durch Linienlasten ber¨ucksichtigt. Punktf¨ormige Lasteinleitungen oder Lagerungen ¨ m¨ussen durch Rand- oder Ubergangsbedingungen in das Berechnungsmodell eingebracht werden. F¨ur den geometrisch nichtlinearen Timoshenko-Balken erh¨alt man das durch die Gln. (2.232) bis (2.238) deﬁnierte Berechnungsmodell, das auch große Bewegungen im Raum ber¨ucksichtigt, vgl. z. B. [300]. Zur Darstellung der ben¨otigten kinematischen und kinetischen Gr¨oßen wird ein raumfestes und kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren ex = (1, 0, 0)T ,

ey = (0, 1, 0)T ,

ez = (0, 0, 1)T

(2.232)

eingef¨uhrt. Unabh¨angige Variablen sind die Zeit t und die materielle Bogenkoordinate s. Punkt“ bedeutet im Weiteren die partielle Ableitung nach der Zeit t und Strich“ ” ” die partielle Ableitung nach der Bogenkoordinate s. Abh¨angige Variable sind der T Ortsvektor r = (x, y, z) , der die Lage der Balkenachse im Raum beschreibt und die Kardanwinkel φ = (φ x , φ y , φ z )T , die die Orientierung des Querschnitts im Raum bestimmen. Die geometrischen Verh¨altnisse werden durch die Rotationsmatrix R und die inkrementelle Rotationsmatrix Φ beschrieben: R = Rz Ry Rx , mit

⎛

Φ = ez eTz + Rz ey eTy + Rz Ry ex eTx

1 0 0 ⎜ Rx = ⎝ 0 cos ϕ x − sin ϕ x 0 sin ϕ x cos ϕ x ⎛ cos ϕ z − sin ϕ z 0 ⎜ Rz = ⎝ sin ϕ z cos ϕ z 0 0 0 1

⎞ ⎟ ⎠, ⎞ ⎟ ⎠

⎞ cos ϕ y 0 sin ϕ y ⎟ ⎜ Ry = ⎝ 0 1 0 ⎠, − sin ϕ y 0 cos ϕ y ⎛

(2.233)

2.4 Deduktive Modellbildung

107

Schnittkraft f und Schnittmoment m (Index 0 kennzeichnet Gr¨oßen der spannungsfreien Konﬁguration) h¨angen von den geometrischen Verh¨altnissen und den Federparametern ab: f = RΓ (RT r − RT0 r0 ),

m = RK(Φ Tφ − Φ T0φ 0 )

Federparameter sind enthalten in den Matrizen ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ GIT 0 EA 0 0 0 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ K = ⎝ 0 EI2 0 ⎠ Γ = ⎝ 0 GAS2 0 ⎠, 0 0 GAS3 0 0 EI3 EA GAS2 , GAS3 GIT EI2 , EI3

(2.234)

(2.235)

Dehnsteiﬁgkeit Schubsteiﬁgkeiten Drehsteiﬁgkeit Biegesteiﬁgkeiten

Zwischen den Massenkr¨aften und -momenten, den Schnittgr¨oßen und den eingepr¨agten Linienlasten q = (qx , qy , qz )T muß Gleichgewicht herrschen: RJΦ Tφ˙ ˙ = m + Sr f (2.236) (M˙r) ˙ = f + q, ⎞ ⎛ 0 −z +y ⎟ ⎜ (2.237) Sr = ⎝ +z 0 −x ⎠ −y +x 0 Masseparameter sind enthalten in den Matrizen ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ A 0 0 I1 0 0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ M = ⎝ 0 A 0 ⎠ , J = ⎝ 0 I2 0 ⎠ 0 0 A 0 0 I3

(2.238)

A Massebelegung I1 , I2 , I3 bezogene Tr¨agheitsmomente

Die Gln. (2.235) und (2.238) gelten f¨ur die Querschnittshauptachsen bei Verwendung der Verbindungslinie der Querschnittsschwerpunkte als Balkenachse. Im folgenden wird davon ausgegangen, daß die Querschnittskenngr¨oßen konstant sind. Nach Einsetzen der kinematischen Beziehungen (2.233) und der Schnittgr¨oßenVerformungs-Beziehungen (2.234) in die Gleichgewichtsbedingungen (2.236) erh¨alt man 6 nichtlineare partielle Differentialgleichungen f¨ur die 6 Variablen in r(t, s) und φ (t, s), die der Modellstufe 3 entsprechen. Diese Gleichungen sind in vielen F¨allen schwierig mathematisch zu handhaben. Deshalb ist es oft zweckm¨aßig, zu strukturell einfacheren Gleichungen u¨ berzugehen, wenn die Verschiebungen und Verdrehungen eine bestimmte Gr¨oße nicht u¨ berschreiten. Sollen z. B. die Querschwingungen von rotierenden Wellen untersucht werden, dann kann man davon ausgehen, daß die Verschiebungen in den Querrichtungen klein bleiben. Mit dem Ansatz: ⎞ ⎛ s ⎟ ⎜ ϕx = Ω t (2.239) r = ⎝ wy ⎠ , wz

108

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

erh¨alt man nach Linearisierung aus den Beziehungen (2.232) bis (2.238) f¨ur die linearen Querschwingungen des Timoshenko-Balkens mit rotationssymmetrischem Querschnitt folgende partielle Differentialgleichungen f¨ur die Verschiebungen (wy , wz ) und die Verdrehungen (ϕ y , ϕ z ), wenn Ω die als konstant angenommene Winkelgeschwindigkeit der Welle ist:

Aw¨ y

= GAS (wy − ϕ z ) + qy ,

I(ϕ¨ z − 2Ω ϕ˙ y ) = EI ϕ z + GAS (wy − ϕ z ) Aw¨ z

=

GAS (wz

+ ϕ y ) + qz ,

I(ϕ¨ y + 2Ω ϕ˙ z ) = EI ϕ y − GAS (wz + ϕ y )

(2.240) (2.241) (2.242) (2.243)

Dabei ist GAS = GAS2 = GAS3 und I = I2 = I3 = 1/2 · I1 . Die Gln. (2.240) und (2.241) beschreiben die Schwingungen in y-Richtung und die Gln. (2.242) und (2.243) die Schwingungen in z-Richtung. Die Bewegungen in y- und in z-Richtung sind durch die Kreiselwirkung des Querschnitts (repr¨asentiert durch die Terme −2I Ω ϕ˙ y und +2I Ω ϕ˙ z ) miteinander gekoppelt. Dreht sich die Welle nicht oder ist die Kreiselwirkung vernachl¨assigbar klein, dann entkoppeln sich die Gln. (2.240) bis (2.243). Die Schwingungen in den zwei Ebenen k¨onnen dann getrennt voneinander betrachtet werden. Eliminiert man aus den Differentialgleichungen (2.240) bis (2.243) die Winkel ϕ y und ϕ z und vernachl¨assigt die Rotation (Ω = 0), dann erh¨alt man die Bewegungsgleichungen f¨ur die Querschwingungen des Timoshenko-Balkens um seine Hauptachsen in der x, y-Ebene und der x, z-Ebene: .... Aw¨ y − Izz (1 + EA/GAS )w¨ y + Izz (A/GAS ) wy +EIzz wy = qy (2.244) .... Aw¨ z − Iyy (1 + EA/GAS )w¨ z + Iyy (A/GAS ) wz +EIyy wz = qz (2.245) Die Fl¨ache AS = kA folgt aus der Querschnittsﬂ¨ache A und einer von der Querschnittsform abh¨angigen Schubverteilungszahl k > 1, die z. B. beim Rechteck-Vollquerschnitt k = 1, 2 betr¨agt. Die Fl¨achentr¨agheitsmomente Iyy und Izz beziehen sich auf die Querschnittshauptachsen. Die bisher betrachteten Differentialgleichungen eindimensionaler Kontinua beziehen sich auf das in Gl. (2.232) eingef¨uhrte raumfeste kartesische Koordinatensystem. Sollen kleine Bewegungen relativ zu einer station¨aren Kontur (z. B. Ballonkurve in Bild 2.44a oder Bewegung u¨ ber Rolle) berechnet werden, so ist es oft zweckm¨aßig, die nat¨urlichen Richtungen (d. h. das begleitende Dreibein) der station¨aren Kontur zur Darstellung der Bewegungsgleichungen zu verwenden. Im folgenden wird am Beispiel der linearen Schwingungen von zylindrischen Schraubenfedern gezeigt, wie sich die betreffenden Differentialgleichungen aus Gln. (2.232) bis (2.238) ergeben. Die Schraubenfeder habe den Wickelradius R und die Steigung m, vgl. Bild 2.42. Die Raumkurve der Schraubenlinie entspricht der Balkenachse im spannungsfreien Zustand und ist gegeben durch: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ R cos ψ x0 s ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ mit ψ = (2.246) r0 (s) = ⎝ y0 ⎠ = ⎝ R sin ψ ⎠ , 2 R + m2 z0 mψ

2.4 Deduktive Modellbildung

109

z

2πm

ψ

(x0, y0, z0)

R

x

y

Bild 2.42 Geometrische Verh¨altnisse an der Schraubenfeder

Das begleitende Dreibein (Tangenteneinheitsvektor e1 , Normaleneinheitsvektor e2 und Binormaleneinheitsvektor e3 ) der Schraubenlinie ergibt sich aus Gl. (2.246) zu (vgl. z. B. [50]): ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ −R sin ψ − cos ψ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ e2 = ⎝ − sin ψ ⎠ , e1 = ⎝ R cos ψ ⎠ , 2 2 R +m m 0 ⎞ ⎛ m sin ψ 1 ⎟ ⎜ e3 = (2.247) ⎝ −m cos ψ ⎠ R2 + m2 R Nach Transformation in die durch Gln. (2.247) deﬁnierten nat¨urlichen Richtungen erh¨alt man nach Linearisierung aus den allgemeinen Timoshenko-Balkengleichungen (2.232) bis (2.238) folgenden Satz von Bewegungsgleichungen, vgl. z. B. [356]: Gleichgewichtsbedingungen:

Au¨1 = F1 − KF2 + q1

(2.248)

Au¨2 =

F2

+ KF1 − W F3 + q2

(2.249)

Au¨3 =

F3

+ W F2 + q3

(2.250)

I1 ϕ¨ 1 = M1 − KM2

(2.251)

I2 ϕ¨ 2 =

M2

+ KM1 − W M3 − F3

(2.252)

I3 ϕ¨ 3 =

M3

+ W M2 + F2

(2.253)

Schnittgr¨oßen-Verformungs-Beziehungen: F1 = EA(u1 − Ku2 )

(2.254)

F2 =

GAS2 (u2

+ Ku1 − Wu3 − ϕ 3 )

(2.255)

F3 =

GAS3 (u3

+ Wu2 + ϕ 2 )

(2.256)

M1 =

GIT (ϕ 1

− Kϕ 2)

(2.257)

110

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

M2 = EI2 (ϕ 2 + K ϕ 1 − W ϕ 3 ) M3 =

EI3 (ϕ 3

+ W ϕ 2)

(2.258) (2.259)

Dabei sind die uk die Verschiebungen und die ϕ k die Verdrehungen der Schraubenlinie, die Fk die Schnittkr¨afte und die Mk die Schnittmomente, jeweils gemessen in den nat¨urlichen Richtungen (k = 1, 2, 3). K und W sind Kr¨ummung bzw. Windung der Schraubenlinie: m R , W= 2 (2.260) K= 2 R + m2 R + m2 Gln. (2.248) bis (2.259) gelten f¨ur kleine Verschiebungen und Verdrehungen. Nach Einsetzen der Schnittgr¨oßen-Verformungs-Beziehungen (2.254) bis (2.259) in die Gleichgewichtsbedingungen (2.248) bis (2.253) erh¨alt man 6 lineare partielle Differentialgleichungen f¨ur die uk (t, s) und ϕ k (t, s). Die Differentialgleichungen (2.244) bis (2.255) enthalten als Spezialfall die Gleichungen f¨ur die linearen Querschwingungen des geraden Timoshenko-Balkens ohne Kreiselwirkung. Setzt man K = 0 und W = 0, dann erh¨alt man aus den Gln. (2.248) bis (2.259) die Gln. (2.240) bis (2.243), wenn dort Ω = 0 gesetzt wird. Weiterhin erh¨alt man f¨ur K = W = 0 aus den Schraubenfedergleichungen (2.248) und (2.254) die Differentialgleichungen f¨ur den Zug-Druck-Stab (L¨angsverschiebung u = u1 ):

Au¨ = (EAu ) + q1

(2.261)

und aus den Schraubenfedergleichungen (2.251) und (2.257) die Differentialgleichungen f¨ur den Torsionsstab (Drehwinkel ϕ = ϕ 1 ):

I1 ϕ¨ = (GIT ϕ )

(2.262)

Setzt man in den Schraubenfedergleichungen m = 0 (⇒ W = 0), dann folgen aus Gln. (2.248) bis (2.259) die Bewegungsgleichungen f¨ur einen Kreisbogentr¨ager, vgl. auch [333], Bd. 3. Das Timoshenko-Balkenmodell ber¨ucksichtigt die Querschubdeformation und die rotatorische Tr¨agheit des Querschnitts. Diese sind aber insbesondere f¨ur schlanke Balken sehr klein. Vernachl¨assigt man die Querschubdeformation, dann muß der Normalenvektor des Querschnitts parallel zum Tangentenvektor der Balkenachse sein: Sr RRT0 r0 = o

(2.263)

Geht man davon aus, daß der Querschnitt rotationssymmetrisch ist und daß der Balken im spannungsfreien Zustand gerade ist, dann erh¨alt man bei Vernachl¨assigung der Querschubdeformation (Gl. (2.263)) und der rotatorischen Tr¨agheit des Querschnitts (J = 0) aus den Timoshenko-Balkengleichungen (2.232) bis (2.238) nach Elimination der Querkr¨afte die Bewegungsgleichung des geometrisch nichtlinearen Euler-Bernoulli-Balkens in folgender Form (vgl. [346]): √ r A¨r = EA r T r − 1 √ (2.264) r T r r Sr r (r T r )r − 2 ϑ +q + GI + EISr Sr T (r T r )2 (r T r )3 (r T r )3/2

111

2.4 Deduktive Modellbildung

z in m

100 0 −100

−200 −300 −200 −100

0

100

200

300

400

500 600 x in m

700

0

100

200

300

400

500 600 x in m

700

y in m

200 100 0 −300 −200 −100

Bild 2.43 Anwendungsbeispiel f¨ur Gl. (2.264): Instation¨are Bewegung des Steuerkabels einer Unterwassersonde (Abb. aus [346])

Setzt man EI = 0 und GIT = 0, so geht Gl. (2.264) in die Bewegungsgleichung des geometrisch nichtlinearen dehnbaren, biege- und torsionsschlaffen Fadens u¨ ber: √ r T A¨r = EA r r −1 √ +q (2.265) r T r Aus ihr wurde z. B. der Fadenballon beim Ringspinnen und die Fadenbewegung beim Abzug von einer Spule berechnet, vgl. Bild 2.44b. In allen bisher betrachteten Berechnungsmodellen wurde als Ortskoordinate die materielle Bogenkoordinate verwendet. Die Verwendung der materiellen Bogenkoordinate als Ortskoordinate ist zweckm¨aßig, wenn kein Massetransport u¨ ber die Systemgrenzen auftritt. Zur Berechnung von l¨angsbewegten eindimensionalen Kontinua, wie sie bewegte Riemen, Kabel, B¨ander oder Ketten darstellen, empﬁehlt sich die Transformation auf ein nichtmaterielles Intervall. Ist v die Geschwindigkeit des Kontinuums in L¨angsrichtung, dann erh¨alt man nach Einf¨uhrung der neuen unabh¨angigen Variablen: τ = t,

σ = s + vt

(2.266)

folgende Ausdr¨ucke f¨ur Absolutgeschwindigkeit und -beschleunigung: ∂r ∂t

=

∂r ∂τ

+v

∂r ∂σ

,

∂2 r ∂t 2

=

∂2 r ∂τ 2

+ 2v

∂2 r ∂σ ∂τ

+ v2

∂2 r ∂σ 2

(2.267)

112

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Bild 2.44 Anwendungsbeispiele f¨ur Gl. (2.265): a) Fadenballon beim Ringspinnen (Abb. aus [274]), b) Fadenabzug von einer Spule (Abb. aus [28])

Die Gln. (2.264) und (2.265) gelten f¨ur beliebig große Verschiebungen, so lange die Verzerrungen klein bleiben. Ist der Bewegungsvorgang eben und sind die auftretenden Verschiebungen im Verh¨altnis zur Balkenl¨ange klein, dann folgt mit dem Ansatz (u – L¨angsverschiebung, w – Querverschiebung, F0 – konstante Vorspannkraft): ⎞ ⎛ s 1 + F0 /(EA) + u ⎟ ⎜ (2.268) r=⎝ w ⎠ 0 f¨ur die gekoppelten nichtlinearen L¨angs- und Querschwingungen des l¨angsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens aus Gl. (2.264), wenn man w bis zum kubischen Term und alle anderen Gr¨oßen jeweils bis zum linearen Term entwickelt und den Einﬂuß der L¨angsgeschwindigkeit v entsprechend Beziehungen (2.266) und (2.267) einarbeitet:

1 2 2 A(u+2v ¨ u˙ +v u ) = F0 +EA u + w (2.269) + EIw w +qx 2 1 2 2 w −EI(w −u w ) +qy A(w+2v ¨ w˙ +v w ) = F0 +EA u + w 2 (2.270) Das dynamische Verhalten von Riemen und langen Abspannseilen (z. B. bei Baggern) oder langer d¨unner St¨abe ist durch gekoppelte Biege-L¨angsschwingungen gekennzeichnet. Die Gln. (2.269) und (2.270) sind u¨ ber die nichtlinearen Terme in den rechten Seiten miteinander gekoppelt. Diese Kopplung ist st¨arker, wenn die Nichtlinearit¨aten gr¨oßer sind. Ist die Querbewegung w so klein, daß die nichtlinearen Terme in Gl. (2.269) vernachl¨assigbar klein sind, und lassen sich die aus der L¨angsbewegung resultierenden Tr¨agheitswirkungen ebenso vernachl¨assigen wie die Linienlast qx , so

2.4 Deduktive Modellbildung

113

erh¨alt man aus Gln. (2.269) und (2.270) die Differentialgleichung f¨ur die parametererregten Querschwingungen des l¨angsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens: (F0 + EAu ) = 0

⇒

EAu = F1 (t)

(2.271)

A(w¨ + 2vw˙ + v w ) = (F0 + F1 (t)) w − EIw 2

+ qy

(2.272)

Der zeitabh¨angige L¨angskraftanteil F1 (t) kann beispielsweise durch die Drehschwingungen angrenzender Riemenscheiben hervorgerufen werden. F¨ur v = 0 beschreibt Gl. (2.272) den pulsierend belasteten Knickstab (z. B. Pleuelstangen in Mechanismen). 2.4.4.2 Biegeschwingungen Ist die L¨angskraft konstant, dann erh¨alt man aus Gl. (2.272) f¨ur die entkoppelten linearen Querschwingungen des l¨angsbewegten Euler-Bernoulli-Balkens mit L¨angskrafteinﬂuß:

A(w¨ + 2vw˙ + v2 w ) = F0 w − EIw + qy

(2.273)

Gl. (2.273) schließt folgende wichtige Sonderf¨alle ein: • f¨ur F0 = 0 und v = 0 den ruhenden Euler-Bernoulli-Balken ohne L¨angskrafteinﬂuß:

Aw¨ = −EIw + qy

(2.274)

• f¨ur EI = 0 die l¨angsbewegte Saite (z. B. l¨angsbewegte Riemen oder B¨ander):

A(w¨ + 2vw˙ + v2 w ) = F0 w + qy

(2.275)

• und f¨ur EI = 0 und v = 0 die ruhende Saite:

Aw¨ = F0 w + qy

(2.276)

Die Basis f¨ur viele Schwingungsberechnungen des Biegeschwingers bildet die gew¨ohnliche Differentialgleichung EIr + Aω 2 r = 0

(2.277)

die aus Gl. (2.274) folgt, wenn keine Querbelastung auftritt (qy = 0) und harmonische Schwingungen mit der Kreisfrequenz angenommen werden: w(t, s) = r(s) exp( jω t)

(2.278)

Lineare Schwingungsprobleme f¨uhren auf Eigenwertprobleme gew¨ohnlicher Differentialgleichungen, aus denen sich die Eigenfrequenzen und Eigenformen bzw. Eigenbewegungen bestimmen lassen (Modellstufe 2a). In Tabelle 2.13 sind die Eigenfrequenzen einiger der in diesem Abschnitt dargestellten linearen Berechnungsmodelle dargestellt, die man aus den genannten Formeln gewinnen kann, vgl. [134], [150].

114

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.13 Eigenfrequenzen bei Querschwingungen (beidseitig gelenkig gelagert) Berechnungsmodell Folgerung aus Eigenfrequenzen fi (i = 1, 2, 3, . . .) Gln. (2.240), EA π i2 EI ε Timoshenko-Balken (2.242) mit 1− 1+ (1) fi = 2 A 2 GAS 2l Ω =0 ⎡ ⎤ 2 2 I I π i Ω Ω EI rotierender Gln. (2.244), f = ± (1+ ε ) ⎦ (2) (1− ε )⎣ + i Rayleigh-Balken (2.245) A A A 2l 2 Euler-BernoulliBalken mit L¨angskraft l¨angsbewegte Saite

π i2

Gl. (2.273) mit v = 0

fi =

Gl. (2.275)

i fi = 2l

Dabei bedeutet mit der Balkenl¨ange l: ε = π 2 i2

2l 2

EI A

F0 A

1+

F0 l 2 π 2 i2 EI

Av 2 1− F0

(3)

(4)

I 1 Al 2

F¨ur Schwingungen des Timoshenko-Balkens in einer Ebene ergibt sich mit dem Ansatz (2.278) aus (2.244) oder (2.245) die gew¨ohnliche lineare Differentialgleichung f¨ur r(s): EIr + I ω 2 (1 + EA/GAS )r + Aω 2 (I ω 2 /GAS − 1)r = 0

(2.279)

Diese Gleichung erweitert (2.277) um drei Terme, welche die Rotationstr¨agheit der Querschnitte (I ω 2 ) und die Schubverformung (GAS ) ber¨ucksichtigen. Wird in (2.279) f¨ur die dynamische Biegelinie der Ansatz r(s) = rˇ exp(κ ξ );

ξ = x/l

(2.280)

eingesetzt, erh¨alt man mit den Abk¨urzungen π1 =

I , AI 2

π2 =

EI , GAS I 2

π3 = λ 4 =

AI 4 ω 2 EI

(2.281)

die charakteristische Gleichung κ 4 + (π 1 + π 2 )λ 4 κ 2 + (π 1 π 2 λ 4 − 1)λ 4 = 0

(2.282)

¨ im Sinne von Abschn. 2.2.2. Die EigenfrequenDie π i sind Ahnlichkeitskennzahlen zen sind in der dimensionslosen Kennzahl π 3 versteckt“. Im Falle π 1 = π 2 = 0 ” verbleibt das Berechnungsmodell der elementaren Theorie, bei dem Schubverfor¨ mung und Rotationstr¨agheit vernachl¨assigt sind. An Hand der Ahnlichkeitskennzahlen kann man in (2.279) erkennen, daß der Einﬂuß der Rotationstr¨agheit (π 1 ) und der Schubverformung (π 2 ) auf die charakteristischen Werte κ mit h¨oheren Frequenzen (λ ) ansteigt. Von den vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung (2.282) sind κ 1 = −κ 2 reell und die anderen beiden imagin¨ar: # $ 1 −(π 1 + π 2 )λ 4 + λ 2 (π 1 − π 2 )2 λ 4 + 4 κ1 = (2.283) 2

2.4 Deduktive Modellbildung

Dabei ist κ 3 = −κ 4 = jκ 0 und es gilt # $ 1 κ0 = (π 1 + π 2 )λ 4 + λ 2 (π 1 − π 2 )2 λ 4 + 4 2

115

(2.284)

Die vier charakteristischen Werte w¨aren in (2.280) einzusetzen. Wenn man zur Umformung der Exponentialfunktionen die Eulerschen Relationen benutzt, kann man aber die L¨osung auch mit den trigonometrischen Funktionen und den Hyperbelfunktionen beschreiben, d. h. die Gleichung f¨ur die dynamische Biegelinie des Timoshenko-Balkens lautet allgemein r = a1 cosh(κ 1 ξ ) + a2 sinh(κ 1 ξ ) + a3 cos(κ 0 ξ ) + a4 sin(κ 0 ξ )

(2.285)

F¨ur die vier Koefﬁzienten a1 bis a4 erh¨alt man, wenn man die Erf¨ullung von der vier Randbedingungen eines Balkens fordert, ein homogenes Gleichungssystem. Das Nullsetzen der Koefﬁzientendeterminante liefert schließlich die Frequenzgleichung, aus welcher die Eigenfrequenzen berechnet werden k¨onnen, die nat¨urlich von den jeweiligen Randbedingungen abh¨angen. Am Beispiel des Kragtr¨agers sollen Ergebnisse verglichen werden. In Tabelle 2.14 sind die Werte λ i2 angegeben, die sich f¨ur den einseitig eingespannten Kragtr¨ager mit Rechteck-Vollquerschnitt ergeben [345, Bd. 3] und gem¨aß (2.281) den Eigenkreisfrequenzen ω i = 2π fi proportional sind. Tabelle 2.14 Eigenwerte λ i2 des Kragtr¨agers (L¨ange l) mit Rechteckquerschnitt (H¨ohe h) Ordnung i 1 2 3 4 5

elementare Theorie 3,52 22,03 61,70 121,0 200,0

Timoshenko-Balken h/l = 0,1 3,49 20,82 55,36 100,9 153,9

h/l = 0,2 3,41 18,42 44,46 74,14 106,4

h/l = 0,3 3,31 15,90 35,52 55,90 76,29

Die Zahlenwerte zeigen, daß die elementare Balkentheorie nur f¨ur h/l 1 akzeptable Werte f¨ur die unteren Eigenfrequenzen liefert. Wegen der Ber¨ucksichtigung der Schubverformung ist der Timoshenko-Balken nachgiebiger und infolge der Rotationstr¨agheit auch tr¨ager“. Dies hat zur Folge, daß alle Eigenfrequenzen, die nach ” der elementaren Balkentheorie berechnet werden, gr¨oßer sind als die des weicheren“ ” Timoshenko-Balkens, der die Realit¨at genauer erfaßt. Die Unterschiede nehmen mit der Ordnung i der h¨oheren Eigenfrequenzen zu. Einen weiteren Vergleich der Ergebnisse der elementaren Theorie mit der Timoshenko-Theorie bez¨uglich der Eigenschwingformen zeigt Bild 2.45. Dort sind f¨ur einen Balken mit Rechteckquerschnitt und dem Verh¨altnis h/l = 0,2 die ersten drei Eigenformen dargestellt. Deutliche Unterschiede sind an der Einspannstelle ersichtlich. Die Eigenformen unterscheiden sich mit zunehmender Ordnung bei den h¨oheren Eigenformen immer mehr voneinander.

116

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

u +1

i =1 i =3

0 0,1 0,2 0,3

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

0,9 1,0 x / l i =2

−1

Bild 2.45 Eigenschwingungsformen des einseitig eingespannten Timoshenko-Balkens Volle Linien: elementare Theorie, gestrichelt: Timoshenko-Theorie

Bei relativ kurzen Balken und insbesondere bei Hohlquerschnitten, bei denen große Schubverteilungszahlen k > 1 vorhanden sind, ist die elementare Theorie zur Berechnung von Balkenschwingungen ungeeignet, da sie zu ungenaue Werte ergibt. Auf die Theorie des Timoshenko- Balkens wird z. B. in [99] und [345, Bd. 3] n¨aher eingegangen. In vielen Rechenprogrammen der modernen Software sind auch Modellelemente des Timoshenko-Balkens enthalten. Zur Erfassung vieler Parameter dient das in Bild 2.46 dargestellte Modell eines ebenen Biegeschwingers. Es ber¨ucksichtigt zwei jeweils in ihrem Schwerpunkt isotrop federnd abgest¨utzte starre K¨orper an beiden R¨andern (k = 1,2). Dieses Modell wird beschrieben durch zwei Massen mk , zwei Tr¨agheitsmomente Jk , zwei L¨angsfedern mit den Federkonstanten kk , zwei Drehfedern mit den Drehfederkonstanten kTk und einem sie verbindenden massebelegten Balken. Der Balken hat die L¨ange l, eine konstante Querschnittsﬂ¨ache A und das Fl¨achentr¨agheitsmoment I. Sein Material besitzt den Elastizit¨atsmodul E und die Dichte . Die axialen Tr¨agheitsmomente Jk der K¨orper beziehen sich auf die jeweiligen Schwerpunktachsen senkrecht zur Bildebene. Es sind Haupttr¨agheitsmomente. l m1

m2

J1

J2

EI A

kT1 k1

kT2 k2

Bild 2.46 Mit L¨angs- und Drehfedern abgest¨utzter Kontinuum-Balken

Der Parametervektor dieses ebenen Modells enth¨alt insgesamt K =13 Parameter: pT = (m1 , m2 , J1 , J2 , k1 , k2 , kT1 , kT2 ,l, E, I, , A)

(2.286)

2.4 Deduktive Modellbildung

117

Daraus lassen sich mit den drei Bezugsgr¨oßen l, EI und Al folgende acht dimensi¨ onslosen Ahnlichkeitskennzahlen bilden (k = 1, 2) mk kk l 3 Jk kTk l ; ; (2.287) π 2k = π 3k = ; π 4k = Al EI Al 3 EI Aus den physikalischen und geometrischen (dimensionsbehafteten) Parametern folgen alle Eigenfrequenzen fi = ω i /(2π ), die mit den dimensionslosen Eigenwerten λ i im folgenden Zusammenhang stehen: π 1k =

Al 4 Al 4 = ω i2 (2.288) EI EI ¨ Das hier nicht n¨aher beschriebene Verfahren der Ubertragungsmatrizen [150] erlaubt, eine geschlossene Formel f¨ur die Frequenzgleichung zu gewinnen, aus der alle Eigenwerte – und mit (2.288) letztlich auch alle Eigenfrequenzen fi (i = 1, 2, . . ., ∞) – berechnet werden k¨onnen. Es ist m¨oglich, diese Frequenzgleichung mit den vier dimensionslosen Kennzahlen λ i4 = (2π fi )2

Kk = λ π 1k −

π 2k

λ3

;

Lk = λ 3 π 3k −

π 4k

λ

;

k = 1, 2

(2.289)

auszudr¨ucken. Dazu werden folgende nur vom Eigenwert λ abh¨angende Funktionen deﬁniert: g1 = cos λ cosh λ ;

g2 = sin λ sinh λ

g3 = sin λ cosh λ ;

g4 = cos λ sinh λ

(2.290)

Mit den vorgenannten Ausdr¨ucken lautet die Frequenzgleichung: F(λ , p) = (1 − g1 )(K1 L1 K2 L2 + 1) + (1 + g1 )(K1 L1 + K2 L2 ) +2g1 (K1 L2 + K2 L1 ) + 2g2 (K1 K2 − L1 L2 ) +(g3 − g4 )[(K1 + K2 − K1 K2 (L1 + L2 )]

(2.291)

+(g3 + g4 )[(L1 + L2 − L1 L2 (K1 + K2 )] = 0 Es ist eine nichtlineare transzendente Gleichung, aus der man alle Eigenwerte λ i (i = 1, 2, . . ., ∞) berechnen kann. Sie umfaßt die Frequenzgleichungen vieler technisch interessanter Biegeschwinger. Tabelle 2.15 zeigt als Spezialf¨alle von Bild 2.46 einige Beispiele von verschieden gelagerten Biegeschwingern und deren Frequenzgleichungen, die sich deduktiv aus (2.291) gewinnen lassen. Die drei Bezugsgr¨oßen (L¨ange l, Biegesteiﬁgkeit EI, Balkenmasse Al), die den Kontinuumbalken charakterisieren, sind in Tabelle 2.15 nicht mit eingetragen. Meist interessieren nur die niederen Eigenfrequenzen, d. h. die kleinsten λ Werte. Zweckm¨aßig wird zu deren Ermittlung ein Computerprogramm zur Nullstellensuche benutzt. Mit einer Frequenzgleichung ist die Sensitivit¨atsanalyse, also speziell die Analyse von Parametereinﬂ¨ussen (z. B. der Lagersteiﬁgkeiten) auf alle Eigenfrequenzen relativ schnell m¨oglich. Auch zur L¨osung von Aufgaben der Synthese kann man (2.291) und deren Spezialf¨alle verwenden. Man kann z. B. bis zu vier gew¨unschte Eigenfrequenzen vorgeben

118

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.15 Beispiele von Biegeschwingern (Spezialf¨alle von dem Modell in Bild 2.46) Fall Skizze 15 cT1

m2

16

Frequenzgleichung −π 41 (1 + g1 ) + (g3 − g4 )(1 + π 12 π 41 )λ + 2g2 π 12 λ 2 = 0

(1 − g1 )π 12 π 32 λ 4 + 1 + g1 − (g3 − g4 )π 12 λ − (g3 + g4 )π 32 λ 3 = 0

m2 J2

17

(1 + g1 )λ 3 − (g3 − g4 )(π 12 λ 4 − π 21 ) = 0

m2 c2

18

cT2

(1 + g1 )π 42 λ 3 − (g3 − g4 )(λ 4 − π 21 π 42 ) + 2g2 π 21 λ = 0

c1

und bei einer Syntheseaufgabe diejenigen Parameterwerte bestimmen, bei denen der Biegeschwinger (neben anderen) genau diese Eigenfrequenzen hat. Mit angenommenen Werten f¨ur die drei Bezugsgr¨oßen erh¨alt man anfangs die geforderten Zahlenwerte λ i und kann damit soviel Frequenzgleichungen aufstellen, wie man Unbekannte hat. Es sind zun¨achst die vier Unbekannten K1 , K2 , L1 und L2 in (2.291) oder z. B. die unbekannten π ik in Tabelle 2.15. Aus den berechneten dimensionslosen Kennzahlen folgen in Verbindung mit den Bezugsgr¨oßen die Parameterwerte pk aus (2.287), welche einen Schwinger deﬁnieren, der (neben anderen) die vorgegebenen Eigenfrequenzen hat. Zur Erl¨auterung der scheinbar komplizierten Verfahrensweise werden zwei Beispiele betrachtet. Das erste Beispiel behandelt die Frage nach der Frequenzgleichung f¨ur das Berechnungsmodell in Bild 2.33. Der Parametervektor enth¨alt in diesem Falle sieben Elemente (k1 , k2 , l, E, I, , A). Es gibt damit gem¨aß (2.287) nur zwei von Null ver¨ schiedene Ahnlichkeitskennzahlen: π 21 =

k1 l 3 , EI

π 22 =

k2 l 3 EI

(2.292)

Damit folgt aus (2.288) L1 = L2 = 0; K1 = −π 21 /λ ; K2 = −π 22 /λ und aus (2.291) die spezielle Frequenzgleichung F(λ , p) = 1 − g1 + 2g2 K1 K2 + (g3 − g4 )(K1 + K2 ) = 1 − cos λ cosh λ + 2 sin λ sinh λ π 21 π 22 /λ 2 −(sin λ cosh λ − cos λ sinh λ )(π 21 + π 22 )/λ = 0

(2.293)

2.4 Deduktive Modellbildung

119

Als zweites Beispiel soll die Frequenzgleichung f¨ur den einseitig eingespannten Balken (Kragtr¨ager, vgl. Bild 2.45) aufgestellt werden. F¨ur diesen Spezialfall ist am rechten freien Rand m2 = 0, J2 = 0, k2 = 0 und kT2 = 0. Die Einspannstelle am linken Rand l¨aßt sich durch den Grenz¨ubergang f¨ur m1 → ∞ (oder k1 → ∞) und J1 → ∞ ¨ (und/oder kT1 → ∞) mit dem Modell in Bild 2.46 auch erfassen. Die Ahnlichkeitskennzahlen sind daf¨ur π 11 = π 21 = π 31 = π 41 → ∞,

π 51 = 0;

(2.294)

π 12 = π 22 = π 32 = π 42 = π 52 = 0

Daraus folgt aus (2.288) K1 → ∞, K2 = 0, L1 → ∞ und L2 = 0. Die Frequenzgleichung (2.291) verk¨urzt sich nach einem Grenz¨ubergang zu F(λ , p) = 1 + g1 = 1 + cos λ cos hλ = 0 (2.295) lim K1 →∞, L1 →∞ K1 L1 Diese Gleichung ergibt sich aus Tabelle 2.15, sowohl f¨ur Fall 1 (mit π 12 = 0, π 41 → ∞), f¨ur Fall 2 (mit π 12 = π 32 = 0) als auch f¨ur Fall 3 (π 12 = π 21 = 0). Die erste und die zweite Nullstelle der Frequenzgleichung (2.295) sind λ 1 = 1,8751 und λ 2 = 4,6941. Diese beiden Werte wurden in (2.195) und (2.196) verwendet (1/λ 14 = 0,080 89; 1/λ 24 = 0,002 060), um die Eigenfrequenzen des diskreten Zweimassenmodells mit denen des Kontinuums zu vergleichen, vgl. Fall 4 in Tabelle 2.9. 2.4.4.3 ¨ Langsund Torsionsschwingungen Werden die L¨angs- oder Torsionsschwingungen von St¨aben mit dem KontinuumModell berechnet, ergeben sich bei allen Lagerbedingungen unendlich viele Eigenfrequenzen. Sie stehen in Verbindung mit der Schallgeschwindigkeit im Kontinuum, welche in Metallen f¨ur L¨angsschwingungen E ∼ (2.296) c= = 5 km/s

ist, da das Verh¨altnis von E-Modul zu Dichte bei den u¨ blicherweise verwendeten Metallen etwa in dem selben Verh¨altnis zueinander steht und f¨ur Torsionsschwingungen GIT ∼ (2.297) c= = 3,2 km/s Ip betr¨agt. Liegen keine Kreisquerschnitte vor, gilt IT = Ip , d. h., das sogenannte Torsionsﬂ¨achenmoment IT unterscheidet sich dann vom polaren Fl¨achentr¨agheitsmoment Ip . Die Eigenfrequenzen fi und zugeh¨origen Eigenformen ui ergeben sich f¨ur Zug-Druck-St¨abe und f¨ur Torsionsst¨abe aus denselben Formeln. Sie lauten f¨ur beiderseits freie St¨abe unter Beachtung der Ausdr¨ucke aus Gl. (2.296) oder Gl. (2.297): f1 = 0, (i − 1)c , fi = 2l

u1 = 1 (i − 1)π x ; ui = cos l

i = 2, 3, . . . , ∞

(2.298)

120

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

F¨ur einseitig befestigte/einseitig freie Zug-Druck- oder Torsionsst¨abe gilt (2i − 1)π x (2i − 1)c fi = , ui = sin ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.299) 4l 2l F¨ur beiderseits befestigte Zug-Druck- oder Torsionsst¨abe gilt iπ x i·c , ui = sin fi = ; i = 1, 2, . . . , ∞ (2.300) 2l l F¨ur den Kontinuum-Stab, der mit einem diskreten Schwinger verbunden ist, lassen sich zwei dimensionslose Kenngr¨oßen einf¨uhren, von denen (abgesehen von den Randbedingungen) die Eigenwerte λ i abh¨angen: ω il kl m kT l J π1 = ; π2 = λi = = = ; (2.301) EA GIT Al Ip l c Tabelle 2.16 Frequenzgleichungen f¨ur Kombinationen von Kontinuum und Einzelmasse (links: L¨angsschwinger, rechts: Torsionsschwinger)

Fall

Berechnungsmodell (Frequenzgleichung) l

l

1 A

IP

m

( π1 − π 2 λ ) tan λ + λ = 0 2

A

m

π1 − π 2 λ − π1 π 2 λ tan λ = 0 2

A

IP

J

IP

π1 − π 2 λ − λ tan λ = 0

kT J

(3)

k A

kT

GIT

m

2

4

GIT

(2)

k 3

J

(1)

k 2

kT

GIT

k

m

GIT

kT

IP

J

( π1 − π 2 λ ) tan λ + π1 π 2 λ = 0 (4) 2

F¨ur den Stab, der mit Masse m (bzw. Tr¨agheitsmoment J) verbunden und Feder k (bzw. Torsionsfederkonstante kT ) gekoppelt ist, ergeben sich die Eigenwerte aus den in Tabelle 2.16 angegebenen transzendenten Frequenzgleichungen. Die L¨osung kann f¨ur konkrete Werte der Kennzahlen (also f¨ur gegebene Parameterwerte) numerisch erfolgen. Aus Gl. (1) in Tabelle 2.16 kann man f¨ur π 2 = π 1 = 0 (also f¨ur m = 0, k = 0) aus tan λ = ∞ die in Gl. (2.299) angegebenen Frequenzen ﬁnden.

2.4 Deduktive Modellbildung

121

F¨ur mechanische Antriebe lassen sich die in Tabelle 2.16 dargestellten Berechnungsmodelle f¨ur lange Zug-Druck-St¨abe (z. B. Nadelbarren in Textilmaschinen) oder Torsionsst¨abe (z. B. lange Antriebswellen) empfehlen, da sie den Einﬂuß nachgiebiger Kopplungen an Kontaktstellen erfassen. Bei Torsionsschwingern k¨onnen das Kupplungen sein, bei L¨angsschwingern die Kontaktstellen zu Nachbark¨orpern. Den festen Lagern im Modell k¨onnen in der Realit¨at die Angriffspunkte der kinematischen Erregung zugeordnet werden, z. B. Kurvenscheiben oder Nocken von Ventiltrieben, w¨ahrend den freien R¨andern Krafterregungen zuzuordnen sind. In Abschn. 5.3.4 wird die Kopplung einer Endmasse mit einem Kontinuum ver¨anderlichen Querschnitts n¨aher analysiert. 2.4.4.4 Modellierung einer Getriebewelle Bild 2.47a zeigt eine Getriebewelle, die aus sechs zylindrischen Abschnitten besteht. Neben den darin angegebenen sechs Werten f¨ur die Durchmesser und sechs L¨angen sind folgende drei Materialparameter (also insgesamt 15 Parameter) gegeben: Dichte

= 7 800 kg/m3 ,

Elastizit¨atsmodul

E = 2,1 · 1011 N/m2 und

Querkontraktionszahl

ν = 0,3.

Es sollen die tiefsten drei Torsionseigenfrequenzen mit verschiedenen FE-Modellen berechnet und mit dem einfachen Modell mit 5 Freiheitsgraden (masselose Torsionsfedern, starre Scheiben) verglichen werden, vgl. Bild 2.47b. 40 80

40

80

20

kT1

kT3

∅ 24

∅ 38

∅ 100

∅ 38

∅ 50

∅ 24

20

kT5

J1

kT6

J5

J2

J6

J4

Bild 2.47 Getriebewelle; a) Abmessungen (12 geometrische Parameter), b) Berechnungsmodell mit 5 Freiheitsgraden (9 Parameter)

122

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Es gibt mehrere M¨oglichkeiten, diese Getriebewelle mit FE-Programmen zu berechnen [312]. Es soll die Vernetzung jeweils mit verschiedener Anzahl von Elementen mit 10-knotigen Tetraedern (Solid92), die jeweils drei translatorische Freiheitsgrade haben, mit Hexaedern (Solid45) und mit Balken (Beam4) erfolgen. Mit dem Programm ANSYS (vgl. Tabelle 2.1) wurden die Eigenfrequenzen und Eigenformen f¨ur eine unterschiedliche Anzahl solcher Elemente berechnet. Die in Tabelle 2.17 eingezeichnete Vernetzung entspricht dem dritten Modell. Die Biegeschwingungsformen wurden bloß in einer Ebene (obwohl sie auf Grund der r¨aumlichen Modellierung automatisch in zwei Ebenen berechnet wurden) dargestellt. F¨ur das siebente Berechnungsmodell (Bild 2.47b) wurden mit der in Abschn. 3.2.1 beschriebenen Methode die Kennwerte der Zylinderelemente bestimmt, vgl. Gl. (3.10) und Gl. (3.12). Danach wurde die in Tabelle 2.11 (Fall 1) angegebene Vorschrift zur Diskretisierung benutzt, indem f¨ur jeden der Abschnitte 1, 3, 5 und 6 das ¨ Tr¨agheitsmoment dieser Zylinderabschnitte je zur H¨alfte auf die Ubergangsstellen aufgeteilt wurde und die Drehsteiﬁgkeit erhalten blieb. Die Abschnitte 2 und 4 wurden als starre K¨orper modelliert. Die L¨angen der Abschnitte 1, 3, 5 und 6 wurden mit den Korrekturfaktoren jeweils verl¨angert, vgl. Bild 3.3 und Bild 3.5. Die Parameterwerte des siebenten Modells (vgl. Bild 2.47) ergaben sich also zu J1 = 2,54 kg · mm2 ;

kT1 = 114 383 N · m

J2 = 130,2 kg · mm ;

kT3 = 389 436 N · m

J4 = 3 158,8 kg · mm ;

kT5 = 187 888 N · m

J5 = 74,0 kg · mm2 ;

kT6 = 29 896 N · m

2

2

J6 = 10,2 kg · mm

2

Wie die Modellierung, die Anzahl und die Art der Modellelemente das Ergebnis beeinﬂussen, geht aus den folgenden Zahlenwerten hervor. Als tiefste Eigenfrequenz der Torsionsschwingung wurde bei allen Modellen f¨ur das ungefesselte System erwartungsgem¨aß f1 = 0 Hz erhalten (Eigenform dazu ist die freie Starrk¨orperdrehung). F¨ur die unteren beiden Torsionseigenfrequenzen ergab sich f¨ur die Modelle: 1:

f2 = 7 380 Hz;

f3 = 8 485 Hz ANSYS, 32 760 Solid92-Elemente

2:

f2 = 7 413 Hz;

f3 = 8 558 Hz ANSYS, 3 627 Solid92-Elemente

3:

f2 = 7 438 Hz;

f3 = 8 616 Hz ANSYS, 9 240 Solid45-Elemente

4:

f2 = 7 453 Hz;

f3 = 8 639 Hz ANSYS, 3 200 Solid45-Elemente

5:

f2 = 7 705 Hz;

f3 = 9 227 Hz ANSYS, 56 Beam4-Elemente

6:

f2 = 7 710 Hz;

f3 = 9 237 Hz ANSYS, 28 Beam4-Elemente

7:

f2 = 6 927 Hz;

f3 = 8 455 Hz Torsionsschwinger, 5-Scheiben

Zur Interpretation der Unterschiede zwischen den berechneten Eigenfrequenzen: Mit gr¨oßer werdender Elemente-Anzahl n¨ahern sich die berechneten Eigenfrequenzen asymptotisch den wahren Werten dieses Kontinuums. Das erste Modell liefert die genauesten Werte, da es die Deformationen im Innern der Welle am genauesten abbildet. Auch diese Ergebnisse best¨atigen die Erfahrungsregel: Je gr¨oßer

2.4 Deduktive Modellbildung

123

Tabelle 2.17 Mit dem Programm ANSYS [10], [312] berechnete Eigenfrequenzen und Eigenformen der Getriebewelle von Bild 2.47a 1

Biegeschwingung: 2 010 Hz

4

Torsionsschwingung: 7 438 Hz

2

Biegeschwingung: 4 526 Hz

5

Torsionsschwingung: 8 616 Hz

3

Biegeschwingung: 6 406 Hz

6

Torsionsschwingung: 10 358 Hz

die Anzahl der Elemente bei der FEM-Modellierung ist, desto kleiner sind die Eigenfrequenzen. Die Tetraeder-Elemente (Solid92) approximieren die Getriebewelle offenbar besser als die Hexaeder-Elemente (Solid45), denn sie liefern mit einer kleineren Elemente-Anzahl die genaueren Eigenfrequenzen. Dies l¨aßt sich aus mechanischer Sicht damit erkl¨aren, daß bei weniger Elementen ein gr¨oßerer Zwang im System herrscht, was zu h¨oheren Steiﬁgkeiten (also zu h¨oheren Frequenzen) f¨uhrt. Die Modellierung beim sechsten Modell mit den 28 Elementen Beam4 (kontinuierliche Torsionsstab-Modelle) ergibt bei f2 etwa 4,5 % und bei f3 etwa 8,9 % zu hohe Werte im Vergleich zu denen des ersten Modells. Das einfache klassische“ siebente Modell des diskreten Torsionsschwingers lie” fert bei f2 etwa 6,5 % bzw. bei f3 etwa 0,4 % zu tiefe Werte gegen¨uber dem genauesten FE-Modell. Die Abweichung zu tieferen Werten ist hier nicht gesetzm¨aßig, sondern zuf¨allig aufgetreten, d. h. der Anwender, der nur das siebente Ergebnis kennen w¨urde, k¨onnte nicht entscheiden, auf welcher Seite das richtige Ergebnis liegt. Vermutlich w¨are dieses Ergebnis aber hinreichend genau und brauchbar, d. h., die einfachen Modelle k¨onnen ausreichen, wenn es nur auf die tiefsten Eigenfrequenzen ankommt, vgl. Abschn. 3.2. In Anbetracht dieser Frequenzunterschiede, die allein durch die Modellierung (und nicht durch die Rechengenauigkeit der Programme) bedingt sind, lehrt schon dieses einfache Beispiel, daß normalerweise stets Unterschiede zwischen Rechenund Meßergebnissen bei Eigenfrequenzen bestehen. In der Praxis wirken sich die begrenzte Genauigkeit der Materialparameter (diese sind meist nur auf zwei Ziffern genau bekannt), der Meßwerte (jede Messung hat eine begrenzte Genauigkeit) und

124

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

¨ der Modellfehler so aus, daß im Normalfall keine genauere Ubereinstimmung als et¨ wa 5 % erwartet werden kann. Eine Ubereinstimmung von weniger als 10 % ist meist ¨ schon gut, aber eine genauere Ubereinstimmung als 2 % ist fragw¨urdig. 2.4.5 Schwenkbewegung eines Auslegerarms Auslegerarme, die als kleine Zeiger in Meßger¨aten (Millimeterbereich), Roboterarme (Meterbereich) oder Ausleger von Turmkranen oder Tagebaugroßger¨aten Schwenkbewegungen ausf¨uhren, lassen sich nicht immer als starre K¨orper behandeln. Ihre Elastizit¨at kann sich sowohl auf das Antriebsmoment als auch auf die Bewegung der Auslegerspitze infolge der angeregten Schwingungen auswirken. F¨ur eine dynamische Zustandsregelung der Bewegungen eines Auslegerarms m¨ussen die sogenannten Streckenparameter bekannt sein, um die R¨uckf¨uhrkoefﬁzienten des Reglers optimal an die Strecke anzupassen. Es soll an diesem Beispiel gezeigt werden, unter welchen Bedingungen f¨ur ein aus physikalischer Sicht kontinuierliches System (mit unendlich vielen Freiheitsgraden) eine Freiheitsgradreduktion auf ein System mit zwei Freiheitsgraden erfolgen kann. Diese Aufgabe wird hier aus der Sicht der Mechanik gel¨ost, wobei die urspr¨unglichen physikalischen Parameter bekannt sind. Es sei auf ein ganz anderes Konzept hingewiesen, bei dem ebenfalls das Ziel darin besteht, einen beliebigen Mehrmassenschwinger durch die Struktur eines Zwei” massenschwingers abzubilden, um dann die Regelung darauf abzustimmen“ [22]. Es wird dort auf Arbeiten aufgebaut, in denen ein genetischer Algorithmus zur Identiﬁkation der Streckenparameter“ eingesetzt wird. Die in [22] propagierte Art der au” tomatisierten Modellreduktion funktioniert offenbar erfolgreich und erm¨oglicht dem Anwender die Inbetriebnahme von PI-zustandsgeregelten Antrieben, ohne daß dieser die physikalischen Parameter der Regelstrecke kennen muß. Es wird im folgenden das Balkenmodell eines Auslegerarms betrachtet, dessen Einspannstelle zwangl¨auﬁg gem¨aß des Bewegungsgesetzes t t 1 ϕ = ϕˆ − sin 2π (2.302) ; 0 t ta ta 2π ta w¨ahrend der Anregungszeit ta um einen Schwenkwinkel ϕˆ in der horizontalen Ebene gedreht wird, vgl. Bild 2.48. Man vergleiche dazu die Ausf¨uhrungen in Abschn. 5.4.3. ϕ $ ϕ 0 a)

& ϕ

ta

t

0 b)

&& ϕ $ 2ϕ ta

ta

t

0 c)

Bild 2.48 Zwangl¨auﬁge Schwenkbewegung des Auslegerarms a) Winkel, b) Winkelgeschwindigkeit, c) Winkelbeschleunigung

ta 2

$ 2πϕ

ta

t a2

t

125

2.4 Deduktive Modellbildung

Der Balken mit der drehbaren Einspannung hat eine gleichm¨aßige Massebelegung A. Infolge der Biegesteiﬁgkeit EI ist er schwingungsf¨ahig, es betragen die ersten beiden Eigenfrequenzen im Stillstand [150] EI f2 = 3,507ω 0 ; ω0 = (2.303) f1 = 0,560ω 0 ; Al 4 mit der Bezugskreisfrequenz ω 0 . Zum Vergleich wird mit den beiden in Bild 2.49 dargestellten Modellen gerechnet.

l x2 M an

q2

q1

x1

M an

m2

m1

F2

q3

F1

x1

x2

ϕ(t) a)

b)

w(l)

x

A

&2 mk x k ϕ

xk

w(x)

qk

EI qk &2 m x ϕ xk k k

ϕ(t) d)

c)

Bild 2.49 Berechnungsmodelle eines Auslegerarms a) Diskretes Zweimassensystem, b) Kr¨afte am Zweimassensystem, c) Balken als Kontinuum, d) Zur Erkl¨arung der Fliehkraftkomponente

Als Parameter des Zweimassensystems folgen entsprechend Tabelle 2.9 (Fall 4) in Abschn. 2.3.5 die L¨angen und Einzelmassen (m = Al): m1 m2 µ1 = µ2 = = 0,499; = 0,386; m m x1 x2 = 0,355; = 0,838 ξ1 = ξ2 = (2.304) l l Es gelten folgende linearen Beziehungen zwischen Kr¨aften und Deformationen des Balkens, vgl. Bild 2.49b: q1 = n11 F1 + n12 F2 ,

q2 = n21 F1 + n22 F2

Die tangential wirkenden Kr¨afte sind F1 = m1 x1 ϕ¨ − q¨1 + q1 ϕ˙ 2 , F2 = m2 x2 ϕ¨ − q¨2 + q2 ϕ˙ 2

(2.305) (2.306)

126

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Sie setzen sich zusammen aus der Tr¨agheitskraft der Starrk¨orperbewegung (mk xk ϕ¨ ), derjenigen der elastischen Zusatzbewegung (mk q¨k ) und einer in tangentialer Richtung wirkenden Komponente der Fliehkraft. Kombiniert man die Gln. (2.305) und (2.306), erh¨alt man die Bewegungsgleichungen f¨ur die Relativkoordinaten q1 und q2 : n11 m1 q¨1 + n12 m2 q¨2 + (1 − n11 m1 ϕ˙ 2 )q1 − n12 m2 ϕ˙ 2 q2 = ϕ¨ (n11 m1 x1 + n12 m2 x2 )

(2.307)

n21 m1 q¨1 + n22 m2 q¨2 − n21 m1 ϕ˙ q1 + (1 − n22 m2 ϕ˙ )q2 2

2

= ϕ¨ (n21 m1 x1 + n22 m2 x2 )

(2.308)

Es sind zwei gekoppelte gew¨ohnliche Differentialgleichungen mit ver¨anderlichen Koefﬁzienten. Die Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung f¨ur die Schwenkbewegung des Antriebs folgen aus Gl. (2.302) zu ϕˆ t t 2π ϕˆ ϕ˙ = ϕ¨ = 2 sin 2π (2.309) 1 − cos 2π , ta ta ta ta Die Einﬂußzahlen ergeben sich f¨ur k = 1 und k = 2 zu xk3 x2 (3l − xk ) x2 (3x2 − x1 ) , n3k = k , n12 = 1 = n21 (2.310) 3EI 6EI 6EI Das Antriebsmoment folgt aus dem Momentengleichgewicht, vgl. Bild 2.49b und Gl. (2.306): nkk =

Man = x1 F1 + x2 F2 − m1 x1 ϕ˙ 2 q1 − m2 x2 ϕ˙ 2 q2 = x1 m1 (x1 ϕ¨ − q¨1 ) + x2 m2 (x2 ϕ¨ − q¨2 )

(2.311)

Es kann nach der Berechnung der L¨osungen der Bewegungsgleichungen bestimmt werden. F¨ur die Starrk¨orperbewegung w¨urde es einfach Man = (ml 2 /3)ϕ¨ betragen. Der Relativweg an der Armspitze kann mit den Koordinaten q1 und q2 ausgedr¨uckt werden: n31 n22 −n32 n21 n32 n11 −n31 n12 q1 + q2 = −0,667q1 + 1,445q2 (2.312) q3 = n11 n22 −n212 n11 n22 −n212 Die letztgenannten Zahlenwerte ergeben sich nach dem Einsetzen der aus Gl. (2.304) bekannten Gr¨oßen. Die L¨osung der Bewegungsgleichungen (2.307) und (2.308) unter den Anfangsbedingungen t = 0:

q1 = q2 = 0, q˙1 = q˙2 = 0

(2.313)

kann numerisch mit einem expliziten Runge-Kutta-Verfahren erfolgen. Die numerische Integration endet nicht zur Zeit ta , weil sich daran noch die freien Schwingungen anschließen. Die zugeh¨origen Bewegungsgleichungen der zweiten Etappe folgen aus den Gln. (2.307), (2.308) oder (2.317), wenn f¨ur die kinematische Erregung ϕ˙ 1 = 0 und ϕ¨ 1 = 0 gesetzt wird. Die numerische Integration wird bei t = 2ta abgebrochen. Wird f¨ur den Auslegerarm das Kontinuum-Modell benutzt, so ist von der aus Abschn. 2.4.4. folgenden partiellen Differentialgleichung (2.215) auszugehen. Da keine L¨angsgeschwindigkeit vorhanden ist, folgt daraus (v = 0):

Aw¨ − (F0 w ) + EIw − qy = 0

(2.314)

2.4 Deduktive Modellbildung

127

Aus der tangentialen und radialen Beschleunigung des sich drehenden Balkens kann man die tangentialen und radialen Streckenlasten qx = Axϕ˙ 2 ,

qy = Axϕ¨

(2.315)

berechnen. Querkraft- und L¨angskraftverlauf l¨angs des Balkens folgen daraus nach aus der Statik bekannten Zusammenh¨angen aus einer Integration, wobei hier f¨ur Gl. (2.314) allein der L¨angskraftverlauf interessiert: F0 =

l x

1 Aϕ˙ 2 x dx = Aϕ˙ 2 l 2 − x2 2

(2.316)

Setzt man die nunmehr ermittelten kinetostatischen Belastungen in die Differentialgleichung (2.314) ein, ergibt sich folgende partielle Differentialgleichung zur Berechnung der Biegeschwingungen des drehenden Balkens mit konstantem Querschnitt f¨ur beliebige Verl¨aufe ϕ (t): 1 (2.317) EIw + A(w¨ − xϕ¨ ) − Aϕ˙ 2 l 2 − x2 w = 0 2 Die einzelnen Terme in Gl. (2.317) haben (von links nach rechts gelesen) folgende physikalische Bedeutung: Einﬂuß der Biegesteiﬁgkeit, der Tr¨agheitskraft (kinematische Beschleunigung infolge der Drehung plus Beschleunigung des Balkens), des Fliehkrafteinﬂusses in tangentialer Richtung. Der letzte Term entspricht dem dritten Term der Kr¨afte in Gl. (2.306). Als Randbedingungen m¨ussen zur Integration dieser partiellen Differentialgleichung ber¨ucksichtigt werden: x = 0: w = 0, w = 0; x = l: M = EIw = 0, Q = −EIw = 0

(2.318)

Sie dr¨ucken aus, daß der Auslegerarm am Drehpunkt fest eingespannt ist und am ¨ Ende einen freien Rand hat. Zur besseren Ubersicht werden die relative Zeit τ , der relative Abstand ξ und die relative Auslenkung w eingef¨uhrt: t x w (2.319) τ = , ξ = , w= ta l l Mit einem Komma und dem entsprechenden Index wird im folgenden die Ableitung ¨ nach τ und nach ξ gekennzeichnet. Zwei dimensionslose Ahnlichkeitskennzahlen, der Schwenkwinkel und die relative Anregungszeit, charakterisieren diese Aufgabe: ta π 1 = ϕˆ , π 2 = ω 2ta = 1,786ta f1 = 1,786 (2.320) T1 Gl. (2.320) wurde mit einem FEM-Programm gel¨ost. Bei der Ber¨ucksichtigung von 10 kubischen Elementen erh¨alt man die exakte L¨osung“ f¨ur das Kontinuum, die in ” Bild 2.50b dargestellt ist. Der Rechenaufwand betrug beim Minimalmodell nur etwa 2 % desjenigen, der zur L¨osung der partiellen Differentialgleichung (2.317) ben¨otigt wurde. Als Ergebnisgr¨oßen sind der relative Schwingweg an der Auslegerspitze q3 = w(l)/l bzw. q3 /l und der Verlauf des Antriebsmoments angegeben.

128

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

1

q$3 / l π 22

Schwingweg q3 / l π 22

1,5

0,5

0 −0,5

−1

a)

−1,5

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

2

1

1,2 1,4 1,6 1,8 bezogene Zeit t/ta

Schwingweg w(l ) / l π 22

1,5

0,5

0 −0,5

1

−1,5 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

4

Antriebsmoment M an t a2 / ( Al 3ϕ$ )

2

1

−1

b)

3

2

3

1,2 1,4 1,6 1,8 bezogene Zeit t/ta

2

3 2 1

0 π 2 = 1,786ta f1

−1

−2 1 2 3

−3

c)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2 1,4 1,6 1,8 bezogene Zeit t/ta

2

Parameterwerte Kurve 1: π 2 = 18,74; Kurve 2: π 2 = 8,03; Kurve 3: π 2 = 4,46

Bild 2.50 Relativweg der Auslegerspitze und Antriebsmoment a) Balken als Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden, vgl. Tabelle 2.9 (Fall 4), b) Balken als Kontinuum, c) Antriebsmoment f¨ur das Kontinuum

2.4 Deduktive Modellbildung

129

Man vergleiche die mit dem Zweimassensystem erhaltenen Ergebnisse, die in Bild 2.50a dargestellt sind, mit denjenigen des Kontinuums in Bild 2.50b! Die Ergebnisse sind qualitativ sehr a¨ hnlich und unterscheiden sich quantitativ nur wenig voneinander. F¨ur das Antriebsmoment wurde auf die zweite Darstellung verzichtet, da der Unterschied sehr gering war. Zum Vergleich: Der Spitzenwert f¨ur das Antriebsmoment ergibt sich f¨ur die Starrk¨orperbewegung mit Beachtung von Gl. (2.309) zu |Man |max =

Al 3 ϕˆ ml 2 2π Al 3 ϕˆ · ϕ¨ max = = 2,099 3 3 ta2 ta2

(2.321)

d. h., aus Bild 2.50c geht der Unterschied hervor, den die Schwingungen verursachen. Der Auslegerarm schwingt im wesentlichen mit seiner ersten Eigenfrequenz, die sich infolge des Fliehkrafteinﬂusses gegen¨uber dem Ruhezustand unwesentlich erh¨oht. Die h¨oheren Eigenfrequenzen, die das Kontinuum-Modell enth¨alt“, werden ” praktisch nicht angeregt. Es best¨atigen sich an diesem Ergebnis einige allgemeine Aussagen zum dynamischen Verhalten und zur Anregbarkeit von Antriebssystemen bei instation¨aren Bewegungen: • Die Schwingungsamplitude am Ende der Bewegungsetappe ist stark von der Kenngr¨oße abh¨angig, die das Verh¨altnis von Anregungszeit ta zur Periodendauer T1 der Grundschwingung ausdr¨uckt. Die Abnahme dieser Kenngr¨oße kann man als kleiner werdende Anregungszeit (bei sonst gleicher Massebelegung und Biegesteiﬁgkeit) oder als kleiner werdende Steiﬁgkeit (bei unver¨anderter Massebelegung und Anregungszeit) oder als zunehmende Massebelegung (bei unver¨anderter Biegesteiﬁgkeit und Anregungszeit) interpretieren. • Wenn die Anregungszeit wesentlich l¨anger dauert als die Periodendauer der Grundschwingung, dann liegt quasi eine kinetostatische Belastung vor, und es werden nur sehr kleine Schwingungen angeregt. Dies geht aus Bild 2.50 hervor und wurde in Abschn. 2.1 durch Gl. (2.7) angek¨undigt. • Wesentlich ist das Verh¨altnis von Anregungszeit zur Periodendauer der ersten Eigenfrequenz. Bild 2.51 zeigt, wie die Amplitude der Restschwingung von der bezogenen Anregungszeit ta f1 = ta /T1 abh¨angt. Die dort eingetragenen Pfeile mit den Zahlen 1 bis 3 markieren die Zeitverh¨altnisse, die den Rechenergebnissen in Bild 2.50 entsprechen. In der N¨ahe ganzzahliger Verh¨altnisse treten gar keine Amplituden der Restschwingungen auf. Dieser ideale Fall gilt nur f¨ur das unged¨ampfte System. Beim ged¨ampften System gibt es keine exakten Nullstellen, lediglich Minima. Endet die Bewegung im Augenblick großer Ausschl¨age, so haben die Restschwingungen große Amplituden. Physikalisch l¨aßt sich dies mit der jeweiligen Phasenlage der Schwingung erkl¨aren, die der Auslegerarm in dem Augenblick besitzt, wenn der Bewegungsvorgang (durch eine Unstetigkeit h¨oherer Ordnung beendet wird. Auf den bemerkenswerten Effekt, daß Schwingungen durch deﬁnierte Unstetigkeiten der Erregung (Impulse, Sprungfunktionen, Knicke im Zeitverlauf, ...) abgefangen werden, wird am Beispiel einer Folge von Sprungfunktionen des Antriebsmoments in Abschn. 5.6 ausf¨uhrlicher eingegangen. • Man kann sagen, daß das Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden f¨ur den Be¨ mit den Erreich der Kenngr¨oße π 2 > 0,5 hinreichend gute Ubereinstimmung gebnissen des Kontinuum-Modells zeigt. Der Unterschied ist unwesentlich, vgl.

130

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

1 3

bezogene Schwingungsamplitude q$ 3 / l π 22

0,9 0,8 0,7

2

0,6

$ 90o ϕ=

0,5

$ 60o ϕ=

0,4

$ 30o ϕ=

1

0,3 0,2 0,1 0

0

2

4

6

8

10

12

bezogene Anregungszeit t a / f1

Bild 2.51 Schwingamplitude der Restschwingungen als Funktion der Anregungszeit ta und des Schwenkwinkels ϕˆ

die Spitzenwerte in Bild 2.50a und 2.50b, da im wesentlichen nur die erste Eigenfrequenz des Auslegerarms angestoßen wird. Deshalb ist Bild 2.51 mit Bild 5.18 vergleichbar. • Nur bei extrem schnellen Bewegungen (Kennzahl π 2 < 0,5) sind Schwingungen mit h¨oheren Eigenfrequenzen zu erwarten, da erst dann das Verh¨altnis von Anregungszeit zu Periodendauer der h¨oheren Eigenschwingungen in die Gr¨oßenordnung von Eins kommt. F¨ur die u¨ blichen Parameterverh¨altnisse von Auslegerarmen, die kleine Zeiger in Meßger¨aten (Millimeterbereich), Greifer in Montageeinrichtungen, Roboterarme (Meterbereich) oder Ausleger von Turmkranen oder Tagebaugroßger¨aten sein k¨onnen, erfolgen die Bewegungen (relativ zur jeweiligen Eigenschwingungsdauer!) kaum so schnell. Beispiel: Ein Auslegerarm mit Kreisquerschnitt aus Stahl, der einen Durchmesser von 20 mm und eine L¨ange von l = 2 m hat und dessen erste Eigenfrequenz etwa 15 Hz betr¨agt, m¨ußte innerhalb einer (praktisch unsinnig kurzen) Zeit ta = 0,01 s bewegt werden, damit h¨ohere Eigenformen sp¨urbar angeregt werden. Reale Auslegerarme werden zweckm¨aßigerweise so steif konstruiert, daß sie sich in dem Kenngr¨oßenbereich von π 2 > 1 bewegen. Sie lassen sich aber nicht immer so bauen, daß Schwingungen v¨ollig vermieden werden. Die aus Bild 2.51 ablesbaren g¨unstigen Anregungszeiten sind oft nur in groben Toleranzbereichen realisierbar. Man kann schlußfolgern, daß es zul¨assig ist, die Schwingungsberechnung solcher Auslegerarme mit dem Minimalmodell mit zwei Freiheitsgraden vorzunehmen. Dies gilt auch f¨ur Auslegerarme mit ver¨anderlichem Querschnitt, f¨ur welche zwar die partielle Differentialgleichung (2.215) gilt, aber daf¨ur w¨urde sich erst recht eine Vereinfachung zu entsprechenden gew¨ohnlichen Differentialgleichungen des diskreten Systems empfehlen, vgl. Abschn. 2.3.4.

2.4 Deduktive Modellbildung

131

2.4.6 Modellreduktion mit der Mittelungsmethode Zu den Methoden der Modellreduktion kann man die Mittelungsmethoden z¨ahlen, die sich bei der Untersuchung nichtlinearer Schwingungen bew¨ahrt haben. Mit ihnen ist es m¨oglich, von den urspr¨unglichen nichtlinearen Differentialgleichungen, die die tats¨achlichen komplizierten Bewegungen beschreiben, zu einfacheren Differentialgleichungen u¨ berzugehen. Die gemittelten Gleichungen“, die nur die wich” tigsten Parameter und Freiheitsgrade enthalten, erleichtern die Untersuchungen und erlauben oft auch, die physikalischen Ergebnisse leichter zu interpretieren. Zu den Mittelungsmethoden geh¨oren die asymptotischen Methoden von K RYLOW und B OGOLJUBOW ([37], [122], [183]), welche die urspr¨ unglichen Bewegungsgleichungen in solche f¨ur die Amplituden und Phasen umformen und aus der Sicht der Anwendung, z. B. zur Berechnung der Einh¨ullenden einer Schwingung, geeignet sind. Eine der Mittelungsmethoden erlaubt die direkte Trennung der schnel” len“ und langsamen“ Komponenten der Bewegungen [30]. Hier soll nur auf die letzt” genannte Mittelungsmethode eingegangen werden, die vor allem bei Schwingern mit Unstetigkeiten vorteilhaft einsetzbar ist, bei denen das Erfassen der Umschaltpunkte numerische Schwierigkeiten bereitet, vgl. z. B. [98], [206], [262], [290]. Sie eliminiert auf Grund heuristischer Vorstellungen im Berechnungsmodell die schnellen“ ” (hochfrequenten) Komponenten und beschr¨ankt sich auf die Aufstellung und L¨osung der Gleichungen f¨ur die langsamen“ (niederfrequenten) Komponenten. ” Urspr¨unglich seien folgende Differentialgleichungen des Systems bekannt: m¨q = F(q, q˙ , t) + F ∗ (q, q˙ , t, Ω t)

(2.322)

Dabei ist m eine Masse, q der n-dimensionale Vektor der verallgemeinerten Koordinaten, Ω ein positiver großer“ Parameter, F eine langsam“ ver¨anderliche Kraft, F ∗ ” ” eine schnell ver¨anderliche Kraft, speziell eine 2π -periodische Funktion von τ = Ω t. q

X (t )

Koordinate

q (t )

ψ(t )

q X

T = 2π / Ω

Zeit

t

Bild 2.52 Beispiel mit schnellen und langsamen Komponenten

Es wird angenommen, daß die L¨osung der Gl. (2.322) in folgender Form dargestellt werden kann, vgl. Bild 2.52: q(t, τ ) = X(t) + ψ (t, τ )

(2.323)

Dabei ist X die interessierende langsame“ und ψ eine schnelle“ Komponente. In ” ” den Differentialgleichungen (2.322) wird u¨ ber eine volle Periode der schnellen Kom-

132

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

ponente gemittelt. Wird als Abk¨urzung f¨ur diese Mittelung in Anlehnung an die Literatur [31], [32], [35], [333] eine spitze Klammer benutzt, dann gilt: 1 2π

2π

ψ (t, τ ) d τ = ψ (t, τ ) = 0;

0

1 X(t) = 2π

2π

(2.324) q(t, τ ) d τ = q(t, τ )

0

Analog gilt ˙ = ˙q(t, τ ); X(t) ¨ = ¨q(t, τ ) ψ˙ (t, τ ) = 0; ψ¨ (t, τ ) = 0; X(t)

(2.325)

Der Mittelwert der hochfrequenten Komponente ist also null, und der Mittelwert der Funktion q(t, τ ) ist dann die langsame“ Bewegung X(t). Unter bestimmten Bedin” gungen gelingt es, von der urspr¨unglichen Gl. (2.322) zur Gl. (2.326) u¨ berzugehen, die nur noch langsame Komponenten enth¨alt: ˙ t) ˙ t) + V(X, X, mX¨ = F(X, X,

(2.326)

Gl. (2.326) ist einfacher als die urspr¨ungliche Gl. (2.322). Sie enth¨alt nur solche Parameter, die f¨ur die Gewinnung der langsamen Bewegung n¨otig sind. Gl. (2.326) kann im Vergleich zu der des urspr¨unglichen Systems eine bedeutend niedrigere Ordnung haben, sie kann auch bei urspr¨unglich nichtautonomen Systemen autonom sein; sie kann glatt“ sein (auch bei unstetigen Systemen) und sie kann ein Potential auch ” bei urspr¨unglich nichtkonservativen Systemen haben. Die Gl. (2.326) ist auf zahlreiche praktische Beispiele angewandt worden, z. B. in [30], [31], [32], [35], [307] und [308], vgl. auch Abschn. 5.7.3. 2.4.7 Reibungseinﬂusse ¨ 2.4.7.1 Zur Modellierung der Reibung Antriebssysteme bewegen sich, und zwischen allen beweglichen Teilen wirken bei der Relativbewegung Reibungskr¨afte. Die Modellierung der Reibung ist deshalb vielfach eine wichtige Aufgabe. Bekanntlich wird die Kraft¨ubertragung durch Reibung (in Kupplungen, Bremsen, R¨adern, Keilriemen, Gleitf¨orderern u. a.) und auch zur Selbsthemmung (in Keilschub- und Schneckengetrieben) angewendet. Andererseits st¨ort die Reibung wegen des Verschleißes und der Energieverluste (in Lagern und Gelenken), die sie verursacht. Aus der Sicht der Dynamik ist sie f¨ur selbsterregte Schwingungen (stick-slip-Effekt) verantwortlich, die bei langsamen Gleitbewegungen, beim Bremsenquietschen oder beim Kontakt aufeinander abrollender Rotoren, z. B. bei Walzwerken, Papiermaschinen, Druckmaschinen und Wicklern (vgl. Abschn. 2.3.3) unangenehm sind. Es ist bekannt, daß sich die Haftreibung von der Gleittreibung unterscheidet, und i. allg. ist die Haftreibungszahl µ 0 gr¨oßer als die Gleitreibungszahl µ . Es ist auch vielfach festgestellt worden, daß die Gleitreibungszahl nicht konstant ist, sondern sich

2.4 Deduktive Modellbildung

133

im allg. mit der relativen Geschwindigkeit v a¨ ndert. Die Reibungskraft FR ist der Normalkraft FN weitgehend proportional. Es gilt FR = µ i (v)FN (2.327) Zur Erfassung der Reibungszahl werden folgende Ans¨atze angewendet, die hier willk¨urlich durchnummeriert werden, um sie von der Reibungszahl µ unterscheiden zu k¨onnen. µ 1 (v) = µ sign(v) (2.328) µ 2 (v) = µ [1 − exp(v/v0 )] sign(v) µv µ 3 (v) = √ 2 v + ε2

µ 4 (v) = µ 5 (v) =

µ0 +

2µ π

v v0

tanh(v/ε )

(2.331) (2.332)

µ0 − µ sign(v) 1 + |v/v0 | % 3 & 1 v v µ 7 (v) = 3µ 1 − + sign(v) v0 3 v0 µ 6 (v) =

(2.330)

arctan(v/ε )

(2.329)

µ+

(2.333) (2.334)

Bei der numerischen Integration von Bewegungsgleichungen m¨ussen die Zeitpunkte ¨ ermittelt werden, zu denen der Ubergang vom Haften zum Gleiten und umgekehrt auftritt. Bei hochfrequenten Bewegungen mit vielen Richtungswechseln f¨uhrt das zu großen Rechenzeiten, wenn man die Signumfunktion benutzt. Aus diesem Grunde werden f¨ur die Reibgesetze gern stetige N¨aherungen eingef¨uhrt, so daß die Suche ¨ der Ubergangszeitpunkte entfallen kann. Es gilt z. B. v = sign(v) (2.335) lim √ ε →0 v2 + ε 2 In den Ans¨atzen (2.330) bis (2.332) werden sehr kleine ε -Werte eingef¨uhrt, um die Signum-Funktion zu approximieren. Diese Funktionen a¨ ndern bei v = 0 ihr Vorzeichen, ohne daß Unstetigkeiten auftreten. Mit den Konstanten v0 hat man in den Ans¨atzen (2.329), (2.331), (2.333) und (2.334) eine weitere Variable, um experimentell ermittelte Verl¨aufe anzun¨ahern. Ganz andere Ans¨atze werden in [127], [128] zur Erfassung der Reibung in Gleitf¨uhrungen vorgeschlagen. Experimentell wurde festgestellt, daß der Haftreibungswert µ 0 mit der Dauer der Haftung zunimmt. Nach l¨angerer Haftzeit wird er gr¨oßer, was n¨aherungsweise beschrieben wird durch v = 0: µ 0 = µ max − (µ max − µ 0 ) exp(−t/t ∗ ) (2.336) Dabei wird eine weitere Konstante t ∗ eingef¨uhrt, die vom Zustand der Materialpaarung an der Kontaktstelle abh¨angt. W¨ahrend der Gleitphase werden folgende Ans¨atze vorgeschlagen: (2.337) 0 < v < v0 : µ = µ 0 + (µ 0max − µ 0 ) exp(−v/ε ) v > v0 :

µ = µ 0 + c(v − v0 )

(2.338)

134

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Mit diesen Funktionen gem¨aß (2.336) bis (2.338) wurden die Stick-Slip-Bewegungen berechnet, die in Baugruppen von Werkzeugmaschinen bei geringer Schmierung auftraten. 2.4.7.2 Einﬂuß der Schwingungen auf die Reibungszahl Selbsterregte Reibungsschwingungen (stick-slip-Bewegungen) treten in Gleitf¨uhrungen auf, wenn kleine Relativgeschwindigkeiten in der Gleitpaarung auftreten. Bei Werkzeugmaschinen k¨onnen solche Schwingungen bei Positionierbewegungen sehr ¨ st¨orend sein. In [128] und [146] wird ein Uberblick u¨ ber bislang bekannte Theorien zu dieser Problematik gegeben und in [127] werden die Parametereinﬂ¨usse auf den Charakter und den Verlauf der selbsterregten Reibungsscheingungen untersucht. Dabei wird ein Ansatz f¨ur die Reibkraft benutzt, der f¨ur die Ruhereibung eine Abh¨angigkeit von der Haftzeit und im Gleitbereich einen Einﬂuß der Gleitgeschwindigkeit ber¨ucksichtigt.Es gibt allerdings auch selbsterregte Reibungsschwingungen bei konstanter Reibungszahl, vgl. Abschn. 2.3.3 und Abschn. 4.5. In [146] wird mit einfachen Modellen (u. a. ein B¨urstenmodell) das dynamische Verhalten eines Reibschwingers mit simultaner Selbst- und Fremderregung berechnet und auch Meßergebnissen gegen¨ubergestellt. In Abh¨angigkeit von den Systemparametern stellt sich ein harmonisches, ein polyharmonisches oder ein chaotisches Systemverhalten f¨ur fallende Reibkennlinien ein. Die Bestimmung der Parameterwerte der Reibmodelle aus der Geometrie und den Oberﬂ¨achendaten der Kontaktﬂ¨achen ist derzeit noch nicht zuverl¨assig m¨oglich. Ans¨atze dazu ﬁnden sich in [299]. Bei der folgenden Betrachtung um eine Gesetzm¨aßigkeit bez¨uglich des Einﬂusses von hochfrequenten Schwingungen, die z. B. die Reibung an Kontaktstellen zwischen K¨orpern, die Materiald¨ampfung (vgl. Abschn. 3.4.2), den Vibrotransport bei Sieben und Schwingf¨orderern, den Widerstand bei Vibrationsrammen oder beim Vibrationsschneiden beeinﬂussen. Falls niederfrequente harmonische Belastungen von hochfrequenten Schwingungskomponenten u¨ berlagert werden, so ver¨andert sich das Verhalten der niederfrequenten Komponenten oft in u¨ berraschender Weise. Mit dem folgenden einfachen Modell soll die Frage beantwortet werden, wie hochfrequente Vibrationen die Reibung an Kontaktﬂ¨achen modiﬁzieren, vgl. Bild 2.53. a)

g

b)

q s (t )

m

F (t )

mq&&

F

µ µmg sign(q& − s&)

Bild 2.53 Masse auf horizontal vibrierender Unterlage a) Systemskizze, b) Kr¨afte in horizontaler Richtung

Eine Masse liegt auf einer ebenen horizontal hochfrequent vibrierenden Unterlage, wobei µ die Gleitreibungszahl an der Kontaktﬂ¨ache ist. Die Unterlage bewegt sich harmonisch gem¨aß s = sˆ sin Ω t;

s˙ = sˆΩ cos Ω t;

s¨ = −sˆΩ 2 sin Ω t

(2.339)

135

2.4 Deduktive Modellbildung

Die Masse m w¨urde auf der Unterlage liegen bleiben (q˙ = s), ˙ wenn ihre Beschleunigung kleiner ist als das Produkt von Erdbeschleunigung und Haftreibungszahl (und die Kraft F = 0 ist), wenn sˆΩ 2 < µ g ist. Bei |F| > µ mg wird die Masse in Kraftrichtung relativ zur Unterlage beschleunigt. Wenn sich infolge der Vibration die Richtung der Relativgeschwindigkeit zwischen der Masse und der Unterlage a¨ ndert, wechselt die Gleitreibungskraft ihr Vorzeichen. Bewegt sich die Unterlage langsamer als die Masse, wird die sich bewegende Masse durch die Reibkraft gebremst, bewegt sich die Unterlage schneller als die Masse, so beschleunigt die Reibkraft diese Masse. Die Richtung der Reibkraft µ mg h¨angt vom Vorzeichen der Relativgeschwindigkeit (q˙ − s) ˙ ab, welches etappenweise pl¨otzlich zu solchen Zeiten ti wechselt, wenn ˙ Ω ti ) ist. Die Reibkraft a¨ ndert ihr Vorzeichen in den Intervallen nicht, in deq(t ˙ i ) = s( nen q(t) ˙ > s(t) ˙ oder q(t) ˙ < −s(t) ˙ gilt, vgl. Kurven 1 und 3 in Bild 2.54. Es wird hier ausgeschlossen, daß die Masse an der Unterlage haftet und in endlichen Zeitabschnitten q(t) ˙ = s(t) ˙ gilt. Zusammenfassend kann man dann das dynamische Kr¨aftegleichgewicht f¨ur alle Etappen folgendermaßen angeben: ˙ mq¨ = F(t) − µ mgsign (q˙ − s)

(2.340)

Geschwindigkeit

q& (t ) s$Ω

1

X& = 〈 q& (t )〉

s$Ω cos Ω t

2 0

τ1

π

2π

3π

Ωt q& (t ) s$Ω

3

b)

sign (q& − s&)

a)

+1 0 −1

τ1

π

2π−τ1 2π

3π

Ωt

Bild 2.54 Zur Anwendung der Mittelungsmethode auf das System gem¨aß Bild 2.53 a) Geschwindigkeiten: Kurve 1: qmin > sΩ ; Kurve 2: −sˆΩ < q˙ < sˆΩ ; Kurve 3: q˙max < −sˆΩ ; b) Signumfunktion gem¨aß Gl. (2.340)

Der u¨ bliche Berechnungsweg w¨urde darin bestehen, diese Differentialgleichung (2.340) analytisch oder numerisch zu integrieren. Es w¨aren dabei Anfangsbedingun-

136

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

gen anzugeben und wegen der Signumfunktion viele Etappen zu unterscheiden, wo¨ bei f¨ur Weg und Geschwindigkeit jeweils die Ubergangsbedingungen (die jeweiligen Endwerte einer Etappe sind die Anfangswerte der n¨achsten Etappe) zu ber¨ucksich¨ tigen sind. Dabei entsteht durch die Suche nach den Zeitpunkten des Ubergangs ein gewisser Rechenaufwand und numerisch ein Genauigkeitsverlust. Man kann den Rechenaufwand vermindern, wenn man sich nur f¨ur die niederfrequente Bewegung u¨ ber viele Schwingungsperioden interessiert, indem man die in Abschn. 2.4.6 vorgestellte Mittelungsmethode anwendet. Nimmt man in Differentialgleichung (2.340) eine Trennung der Komponenten analog zu Gl. (2.322) vor, dann ist die langsame“ Kraft F(q, q˙ , t) = F(t) und die ” schnelle“ Kraft ” ˙ = −µ mg sign (q˙ − sˆΩ cos Ω t) (2.341) F ∗ (q, q˙ , t, Ω t) = −µ mg sign (q˙ − s) Den Mittelwert der niederfrequenten Komponente der Beschleunigung kann man berechnen, indem man die Differentialgleichung (2.340) u¨ ber eine volle Periode der schnellen“ Bewegung (0 Ω t = τ 2π ) integriert. Aus der Anwendung der Ope” ration gem¨aß Gl. (2.324) auf Gl. (2.340) gilt wegen F(t) = F(t) f¨ur den Geschwindigkeitsbereich, der durch Kurve 2 in Bild 2.54 charakterisiert wird: 1 X¨ = 2π

2π 0

2π

F(t) µ g q¨ d τ = sign (q˙ − sˆΩ cos τ ) d τ − m 2π

(2.342)

0

W¨ahrend der Etappe, in der q˙ > sˆΩ cos τ gilt, ist die Signumfunktion gleich plus Eins, und in dem Zeitbereich, in dem q˙ < sˆΩ cos τ gilt, ist die Signumfunktion gleich minus Eins, vgl. Bild 2.54. Die Grenze zwischen diesen Bereichen tritt auf, wenn ˙ sˆΩ ) X˙ − sˆΩ cos τ 1 = 0, d. h. bei τ 1 = arccos X/( (2.343) ˙ 1 ) = q(t ˙ 1 , τ 1 ) gilt. wobei angenommen wird, daß zu diesem Zeitpunkt ann¨ahernd X(t Es gilt also X˙ < sˆΩ : sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = −1 0 < τ < τ1: τ 1 < τ < 2π − τ 1 :

X˙ > sˆΩ :

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = +1

2π − τ 1 < τ < 2π :

X˙ < sˆΩ :

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) = −1

(2.344)

Den Wert des in Gl. (2.342) auftretenden Integrals kann man sich bei obiger Annahme aus den rechteckigen Fl¨achen berechnen, die in Bild 2.54 zu sehen sind. Es gilt f¨ur −sˆΩ < X˙ < sˆΩ : 2π 0

sign (X˙ − sˆΩ cos τ ) d τ =

τ 1

(−1) dt +

0

2π−τ 1 τ1

+1 dt +

2π

(−1) dt 2π −τ 1

= −τ 1 + (2π − τ 1 ) − τ 1 − 2π + (2π − τ 1 ) ˙ sˆΩ ) = 2π − 4τ 1 = 2π − 4 arccos X/(

(2.345)

Daraus folgt aus Gl. (2.342) die Beschleunigung aus einer Gleichung der Form von Gl. (2.326) f¨ur die gemittelte Bewegung:

˙ sˆΩ ) ¨ = F(t) − µ g 1 − 2 arccos X/( ˙ < sˆΩ : X(t) (2.346) |X| m π

2.4 Deduktive Modellbildung

137

Der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.346) ist kleiner als eins, d. h., bei vibrierender Unterlage wirkt im Mittel eine kleinere Reibkraft als bei ruhender Unterlage. Dies kommt dadurch zustande, daß die Reibkraft intervallweise ihr Vorzeichen ¨ a¨ ndert und die Masse nicht immer bremst, sondern zeitweise beschleunigt. Andert die Gleitgeschwindigkeit zwischen Masse und Unterlage ihr Vorzeichen nicht, so gilt ¨ = F(t) − µ g sign (X) ˙ ˙ sˆΩ : X(t) (2.347) |X| m Gl. (2.347) beschreibt eine durch Reibung gebremste Bewegung der auf einer ruhenden Unterlage gleitenden Masse. Wenn X˙ −sˆΩ oder X˙ sˆΩ ist (Betrag der Geschwindigkeit der Masse immer gr¨oßer als die maximale Schwinggeschwindigkeit), dann wirkt die Reibung immer entgegengesetzt zur Richtung der Antriebskraft F, sie a¨ ndert nicht ihre Richtung und hemmt die jeweilige Bewegung mit konstanter Reibkraft. Wirkt eine Kraft F auf eine Masse m, so ist deren mittlere Beschleunigung auf der vibrierenden Unterlage gr¨oßer als auf ruhender Unterlage. Bei relativ hohen Schwinggeschwindigkeiten (sˆΩ → ∞ oder X˙ → 0) entsteht der Grenzwert ˙ arccos X/(sˆΩ ) = π /2, und der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.346) geht gegen null. In diesem Grenzfall rutscht die Masse auf der Unterlage an derselben Stelle schnell“ hin und her. Die langsame“ Bewegung der Masse wird nicht ” ” beschleunigt, d. h., im Mittel“ bewegt sich die Masse bei hohen Frequenzen so, als ” ob gar keine Reibung vorhanden w¨are. Im Gebiet von relativ kleinen Geschwindigkeiten (etwa X˙ < 0,3sˆΩ ) wirkt die trockene Reibung wie eine viskose D¨ampfung, denn die gemittelte Reibkraft ist dann angen¨ahert der Geschwindigkeit proportional. Man kann diese Zusammenh¨ange auch so interpretieren, als ob eine von der Geschwindigkeit abh¨angige Reibungszahl zwischen Masse und vibrierender Unterlage wirksam w¨are. Deﬁniert man die effektive Reibungszahl mit ( ' ˙ sˆΩ ) ˙ > sˆΩ µ sign X/( f¨ur |X| (2.348) µ eff = ˙ sˆΩ ) ˙ < sˆΩ µ 1 − (2/π ) arccos X/( f¨ur |X|

F I OP GH JK PQ

LM MN

µeff

Reibungszahl µ

X& 2 µ 1− arccos π s$Ω

−1,5

−1

−0,5

0

−µ

0,5

1

X& s$Ω

1,5

Geschwindigkeit

Bild 2.55 Effektive Reibungszahl auf einer harmonisch vibrierenden Unterlage

138

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

6

1

Weg

5 4

2

3 2

3

1 0 −1

a)

π

0

2π

3π

4π

τ = ωt

0,4

2

Beschleunigung

0,2

1

0

−0,2 −0,4 0

b)

π

2π

3π

π

2π

3π

τ = ωt

4π

0,1

Kraft

1 0,05

3

0

2 −0,05 −0,1

c)

0

τ = ωt

4π

Bild 2.56 Masse auf vibrierender Unterlage unter der Wirkung einer harmonischen Kraft a) Wegverlauf: Kurve 1: X/s; ˆ Kurve 2: q/s; ˆ Kurve 3: s/sˆ b) Beschleunigungsverlauf: Kurve 1: F(t)/m; Kurve 2: q/g ¨ ¨ c) Kraftverlauf: Kurve 1: F(t)/mg; Kurve 2: µ eff ; Kurve 3: X/g

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

139

so lassen sich Gl. (2.346) und Gl. (2.347) zu einer einzigen Differentialgleichung zusammenfassen: ¨ = F(t) − µ eff g (2.349) X(t) m Diesen Zusammenhang illustriert Bild 2.55. Unter Benutzung der in den Gln. (2.322) bis (2.326) eingef¨uhrten Bezeichnungen hat man also mit Gl. (2.349) die mathematische Beschreibung f¨ur ein Minimalmodell f¨ur die Bewegung der Masse auf der vibrierenden Unterlage erhalten. Die L¨osung dieser Differentialgleichung (2.349) liefert die langsame“ Bewegung der Masse m. Sie ist einfacher m¨oglich als die L¨osung ” der Differentialgleichung (2.340), bei der infolge der Signumfunktion viele Bewegungsetappen zu unterscheiden sind [98]. Abschließend sei noch die L¨osung der urspr¨unglichen Gl. (2.340) derjenigen der gemittelten Gl. (2.349) gegen¨ubergestellt. F¨ur einen niederfrequenten Kraftverlauf (ω Ω ) F(t) = 0,2µ mg sin ω t

(2.350)

mit den Werten ω = 0,1Ω und sˆΩ /g = 1, bei dem im statischen Fall (Ω = 0) sich die Masse gar nicht in Bewegung setzen w¨urde, ergaben sich die in Bild 2.56 dargestellten L¨osungen. Im Bild 2.56a sieht man die hochfrequente sinusf¨ormige Bewegung der Unterlage (Kurve 3) im Vergleich zur Bewegung der Masse m. Die Masse m bewegt sich unter dem Einﬂuß der Reibung genaugenommen hochfrequent (Kurve 2), aber es stellt sich im Mittel ein sinusf¨ormiger Wegverlauf ein (Kurve 1). Da die Anfangsbedingungen nicht klar formuliert sind, liegt die L¨osung der gemittelten“ Gleichung (2.349) nicht ” u¨ berall in der Mitte“ der L¨osung der Gl. (2.340). ” Bild 2.56c zeigt die L¨osung der Differentialgleichung (2.349), also Ergebnisse f¨ur die gemittelte langsame Bewegung. Den Verlauf der Beschleunigung, die durch die Reibkraft mit beeinﬂußt wird, zeigt Kurve 3 im Vergleich zum Verlauf der eingepr¨agten Kraft (Kurve 1). Die auf die Masse wirkende mittlere Kraft ist die Summe aus der Erregerkraft (Kurve 1) und der gemittelten Reibkraft (Kurve 2). 2

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems 2.5.1 Sensitivit¨atsanalyse 2.5.1.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Im allgemeinen stimmen die berechneten und gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen eines Antriebssystems nicht u¨ berein. F¨ur die Modellanpassung ist es von Interesse, einfache Zusammenh¨ange zwischen den Parameterwerten und den modalen Kenngr¨oßen zu kennen. Die im Abschn. 2.6.2 behandelten Beispiele zeigen, daß lineare Zusammenh¨ange ausgenutzt werden k¨onnen, um die Modellanpassung vorzunehmen. In vielen F¨allen empﬁehlt es sich auch, die Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen und Eigenformen in der Umgebung“ konkreter Werte des Parametervektors ”

140

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

x 0 eines vorhandenen Antriebssystems zu untersuchen, da ein Antriebssystem nicht nur in einem engen Parameterbereich funktionieren“ soll. Die Anordnung der fol” ¨ genden Zusammenh¨ange ist auch zur gezielten und effektiven Anderung des Eigenschwingungsverhaltens m¨oglich. F¨ur den praktischen Einsatz ist es wichtig, daß ein Antriebssystem in einem m¨oglichst weiten Parameterbereich stabil betrieben werden ¨ kann, also auch unempﬁndlich gegen¨uber Fertigungstoleranzen und Anderungen des Betriebspunktes“ (Parameter¨anderungen) ist. ” Ein typisches Beispiel f¨ur einen sensiblen Betriebspunkt ist der Einsatz eines Schwingers in der Resonanzspitze“, z. B. mit dem Ziel, auf einfache Weise große ” Amplituden zu erreichen. Die Resonanzspitze ist aber in ihrer H¨ohe und Frequenzlage sehr empﬁndlich gegen¨uber Parameterschwankungen! Dies liegt daran, daß die Resonanzamplitude von der (meist schwer vorausberechenbaren) D¨ampfung abh¨angt, daß die Eigenfrequenz gegen¨uber Parameter¨anderungen infolge von Fertigungstoleranzen oder Alterungseffekten empﬁndlich ist und daß auch die Erregerfrequenz schwanken kann. Ein Ausweg kann in solchen F¨allen durch eine breite ” Resonanzspitze“ gesucht werden, die aber oft nur durch die Verwendung nichtlinearer Federn (und entsprechend kompliziertere Berechnungsmethoden) praktisch realisierbar ist. Typische Verl¨aufe der Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von einem Parameter zeigen die Bilder 2.21, 2.33, 2.34, 5.53 und 5.54. Es empﬁehlt sich in jedem Falle, solche Abh¨angigkeiten in der Umgebung des Parameters“ zu berechnen, um die Sensi” tivit¨at der Eigenfrequenzen gegen¨uber Parameter¨anderungen u¨ berblicken zu k¨onnen. Im folgenden wird lediglich auf die Beziehungen zwischen modalen Kenngr¨oßen und Parameter¨anderungen bei linearen unged¨ampften Schwingungssystemen eingegangen. Es gilt in erster N¨aherung ∂ω i2 ∆ω 2 1 2 2 2 ω i (p0 + ∆ p) = ω i0 1 + 2 ∑ · ∆ pk = ω i0 1 + 2i ω i0 k ∂ pk ω i0 (2.351) ∆ pk 2 2 2 = ω i0 + ∆ ω i = ω i0 1 + ∑ sik pk0 k Die partiellen Ableitungen kann man bez¨uglich der Masse- und Federparameter mit ¨ Hilfe der modalen Parameter ausdr¨ucken. Folgende Beziehung f¨ur die Anderung der Eigenkreisfrequenzen geht auf die Arbeit [104] zur¨uck und hat seitdem in viele Lehrb¨ucher Eingang gefunden, vgl. z. B. [112], [150], [201]: ∂ω i2 ∂K 1 2 ∂M = ϕ Ti0 − ω ϕ i0 (2.352) i0 ∂ pk µi ∂kk∗ ∂m∗k Dabei sind die Matrizen bekannte Funktionen des Parametervektors, d. h. M(p) und K(p) sind gegeben, wobei in der Massenmatrix meist andere Komponenten des Parametervektors (die Masseparameter m∗k ) als in der Steiﬁgkeitsmatrix (die Federparameter kk∗ ) enthalten sind. Die modalen Massen µ i und die modalen Steiﬁgkeiten γ i stehen mit den Eigenkreisfrequenzen in folgendem Zusammenhang [150]: 2 ω i0 =

γi , µi

γ i = ϕ Ti0 Kϕ i0 ,

µ i = ϕ Ti0 Mϕ i0 ;

i = 1, 2, . . . , n

(2.353)

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

141

Allgemein erh¨alt man die Sensitivit¨atsmatrizen aus ∂K ∂ pk

∂M

= K k (p),

∂ pk

= Mk (p);

k = 1, 2, . . . , K

(2.354)

H¨auﬁg besteht eine lineare Abh¨angigkeit der Matrizen von den Parametern: K = ∑ pk K k = ∑ kk∗ K k , k

M = ∑ pk Mk = ∑ m∗k Mk

k

k

(2.355)

k

so daß man die Sensitivit¨atsmatrizen K k und Mk f¨ur diesen Fall aus den urspr¨unglichen Matrizen K 0 und M0 einfach mit Hilfe eines Koefﬁzientenvergleichs ﬁndet, vgl. auch das Beispiel in Gl. (2.367). Aus den Beziehungen (2.352) folgt dann mit Gl. (2.355) und ∆ λi =

∆ ω i2 2 ω i0

=

1 γi

2 ϕ Ti0 ∑ K k − ω i0 Mk ϕ i0 ∆ pk

k

= ∑ γ ik k

∆kk∗ γi

− µ ik

∆m∗k µi

∆ pk = ∑ sik ∆ ξ k = ∑ sik pk0 k k

(2.356)

¨ Dabei sind die ∆m∗k und ∆kk∗ jeweils Anderungen der Massen- oder Federparameter. In die Gl. (2.356) wurden die Sensitivit¨atskoefﬁzienten sik sowie γ ik = ϕ Ti K kϕ i

und

µ ik = ϕ Ti Mkϕ i

(2.357)

eingef¨uhrt, von denen in den folgenden Abschnitten noch mehrfach Gebrauch gemacht wird, vgl. z. B. Bild 4.4. Es ist zweckm¨aßig, einen Parametervektor mit relativen Parameterwerten einzuf¨uhren, also p mit seinen eigenen Startwerten p0 dimensionslos zu machen. Es entsteht dabei der Vektor mit dimensionslosen Komponenten: p1 p2 pK T ξ = , , ..., (2.358) = (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ K ) p10 p20 pK0 Dr¨uckt man die Abh¨angigkeit in Gl. (2.356) mit den relativen Frequenz¨anderungen und relativen Parameter¨anderungen aus, dann gilt mit ∆ p1 ∆ p2 ∆ pK ∆ξ T = , , ..., (2.359) = (∆ ξ 1 , ∆ ξ 2 , . . . , ∆ ξ K ) p10 p20 pK0 und ∆λ =

∆ ω 12 ∆ ω 22 ∆ω 2 , 2 , ..., 2N 2 ω 10

ω 20

ω N0

T = (∆ λ 1 , ∆ λ 2 , . . . , ∆ λ N )T

(2.360)

folgende Beziehung ∆λ = S∆ξ

(2.361)

Die Sensitivit¨atsmatrix S = ((sik )) enth¨alt relative Sensitivit¨atskoefﬁzienten. Sie hat n Zeilen (entsprechend der Anzahl der Koordinaten bzw. Freiheitsgrade) und K Spalten (entsprechend der Anzahl der Parameter im Parametervektor p), vgl. das Beispiel in Gl. (2.378).

142

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

¨ Die Anderung der Eigenvektoren infolge von Parameter¨anderungen berechnet sich in erster N¨aherung zu ϕ i = ϕ i0 + ∑ k

∂ϕ i ∂ pk

· ∆ pk = ϕ i0 + ∆ϕ i

(2.362)

Sie k¨onnen ebenfalls durch die modalen Gr¨oßen ausgedr¨uckt werden [104]. Beachtet man die Beziehungen (2.355) bis (2.357), so ﬁndet man: ∆ϕ i = µ i

n

∑

j=1

2 γ ik ∆kk∗ − ω i0 µ ik ∆m∗k ϕ j, µ j γ i − µiγ j

j = i

(2.363)

Man kann diese Abh¨angigkeit auch mit den relativen Parameter¨anderungen ausdr¨ucken. Analog zu Gl. (2.361) ergibt sich das Matrizenprodukt ∆ϕ i = Ri · ∆ξ

(2.364)

Dabei sind die Ri Rechteckmatrizen mit n Zeilen und K Spalten, die sich aus dem Koefﬁzientenvergleich aus Gl. (2.363) ergeben, vgl. auch das Zahlenbeispiel von Gl. (2.379). 2.5.1.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette Der Parametervektor x jeder Torsionsschwingerkette enth¨alt lediglich n Tr¨agheitsmomente Jk und Torsionsfederkonstanten kTk . Bei Benutzung der absoluten Drehwinkel qk im Koordinatenvektor q stehen die Tr¨agheitsmomente in der Hauptdiagonalen der Massenmatrix und die Torsionsfederkonstanten ﬁndet man in der Steiﬁgkeitsmatrix, welche eine tridiagonale Bandstruktur besitzt, vgl. die Beispiele in den Gln. (2.367), (2.475), (2.476) und (2.447). Bei Torsionsschwingerketten ergeben sich f¨ur die modalen Massen und Steiﬁgkeiten folgende einfache Ausdr¨ucke: n

µ i = ϕ Ti Mϕ i =

∑ Jk ϕ ki2 ,

k=1

γ i = ϕ Ti Kϕ i =

n

∑ kTk (ϕ ki − ϕ k+1, i )2

(2.365)

k=2

Die modale Erregerkraft bez¨uglich der i-ten Eigenform betr¨agt hi = ϕ Ti F =

n

∑ ϕ ki Mk (t)

(2.366)

k=1

Als Beispiel wird das in Bild 2.57 dargestellte reduzierte Berechnungsmodell eines Antriebsstranges betrachtet. Die Matrizen dieses Systems lauten f¨ur die im Bild 2.57 angegeben Koordinaten: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ kT2 −kT2 0 0 J1 0 0 0 ⎜−k ⎜0 J 0 0 ⎟ −kT3 0 ⎟ ⎟ ⎜ T2 kT2 + kT3 ⎟ ⎜ 2 K=⎜ M=⎜ ⎟, ⎟ ⎝ 0 ⎝0 0 J3 0 ⎠ kT3 + kT4 −kT4 ⎠ −kT3 0 0 0 J4 0 0 −kT4 kT4 (2.367)

143

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

J4 J1 kT2

q1

J3

J2

kT3

kT4

q2

q3 q4

Bild 2.57 Berechnungsmodell eines Antriebsstranges: Torsionsschwingerkette

Die durch Gl. (2.354) deﬁnierten Sensitivit¨atsmatrizen ergeben sich aus Gl. (2.367) f¨ur den Parametervektor pT = (p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p7 ) = (kT2 , kT3 , kT4 , J1 , J2 , J3 , J4 ) dieses Torsionsschwingers zu ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 −1 0 0 0 0 0 0 ⎜−1 1 0 0⎟ ⎜0 1 −1 0⎟ ⎟ ⎟ K2 = ⎜ K1 = ⎜ ⎝ 0 0 0 0⎠ , ⎝0 −1 1 0⎠ , 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎟, ⎟ ⎜ M K3 = ⎜ = 4 ⎝ 0 0 1 −1⎠ ⎝0 0 0 0⎠ 0 0 −1 1 0 0 0 0 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜0 1 0 0⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎜0 ⎟ ⎟ M5 = ⎜ M6 = ⎜ M7 = ⎜ ⎝0 0 0 0⎠ , ⎝0 0 1 0⎠ , ⎝0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(2.368)

(2.369)

0 0 0 0

0 0 0 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎠ 1

Aus Gl. (2.357) folgen die Sensitivit¨atskoefﬁzienten unter Beachtung von Gl. (2.369) zu µ ik =

∂µ i ∂Jk

= ϕ ki2 ,

γ ik =

∂γ i ∂kTk

= (ϕ ki − ϕ k+1, i )2

(2.370)

Die Koefﬁzienten µ ik sind ein Maß daf¨ur, welchen Einﬂuß der k-te Masseparameter auf die i-te Eigenfrequenz hat. Man kann die Zahlenwerte der µ ik den einzelnen Tr¨agheitsmomenten zuordnen und analog zur Eigenform l¨angs der Schwingerkette auftragen. Die kinetische Energie der einzelnen Tr¨agheitsmomente ist bei der betreffenden Eigenschwingform den Zahlenwerten der µ ik proportional, vgl. die Rechnerausdrucke des Programms ARLA -SIMUL in Abschn. 4.2 und Bild 2.58. Die moda-

144

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

len Massen und modalen Steiﬁgkeiten ergeben sich aus den Sensitivit¨atskoefﬁzienten zu µi =

n

∑ µ ik Jk ,

γi =

k=1

n

∑ γ ik kTk

(2.371)

k=2

Die Koefﬁzienten γ ik sind ein Maß daf¨ur, welcher Energieanteil der potentiellen Energie (Form¨anderungsenergie) bei einer Eigenschwingung in der betreffenden Torsionsfeder gespeichert wird. An den Stellen, wo diese Werte besonders groß sind, a¨ ndert sich mit der Torsionsfederkonstante die potentielle Energie (und damit die Eigenfrequenz) besonders stark, vgl. Gl. (2.353). Der Parametervektor des in Bild 2.57 dargestellten Torsionsschwingers hat sieben Komponenten, und die Zahlenrechnung erfolgt mit den Parameterwerten f¨ur x 0 : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 146 N · m kT20 x1 ⎜x2 ⎟ ⎜ 262 N · m ⎟ ⎜kT30 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x3 ⎟ ⎜ 1 025 N · m ⎟ ⎜kT40 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ x 0 = ⎜ 0,221 kg · m ⎟ = ⎜J10 ⎟ = ⎜ (2.372) ⎜x4 ⎟ ⎜x5 ⎟ ⎜0,008 3 kg · m2 ⎟ ⎜J20 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x6 ⎠ ⎝0,012 6 kg · m2 ⎠ ⎝J30 ⎠ 2 J40 x7 2,000 kg · m Die L¨osung des Eigenwertproblems liefert f¨ur die Modalmatrix φ dieser Torsionsschwingerkette folgende Elemente, wenn bei der Normierung die erste Komponente aller Eigenvektoren gleich 1 gesetzt wird: φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 )

⎛

ϕ 11 ϕ 12 ϕ 13

⎜ϕ ⎜ 21 ϕ 22 ϕ 23 =⎜ ⎝ϕ 31 ϕ 32 ϕ 33 ϕ 41 ϕ 42 ϕ 43

⎞ ⎛ 1 1 1 1 ϕ 14 ⎟ ⎟ ⎜ ϕ 24 ⎟ ⎜1 0,833 −17,26 −34,09⎟ ⎟ ⎟=⎜ ϕ 34 ⎠ ⎝1 0,079 −45,36 8,908 ⎠ 1 −0,114 0,247 −0,025 ϕ 44 ⎞

(2.373)

Die modalen Steiﬁgkeiten und die modalen Massen ergeben sich aus Gl. (2.365): φ T Kφ = diag(γ i ) = diag(0

219,3 2,7721 · 106

φ T Mφ = diag(µ i ) = diag(2,242

1,977 · 106 ) N · m

0,253 28,74 10,87) kg · m2

(2.374)

Die erste modale Steiﬁgkeit ist deshalb null, weil es sich um ein ungefesseltes System handelt. Die Quadrate der Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfrequenzen betragen 2 2 2 2 λ T0 = (ω 10 , ω 20 , ω 30 , ω 40 ) = (0

f1 = 0 Hz,

f2 = 4,69 Hz,

866,6 9,467 · 104

f3 = 48,9 Hz,

1,819 · 105 ) s−2

f4 = 67,9 Hz

(2.375)

vgl. Bild 2.58. Gem¨aß Gl. (2.370) ergeben sich damit die Werte f¨ur die Sensitivit¨atskoefﬁzienten, mit denen es m¨oglich ist, die Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von ¨ kleinen Parameter¨anderungen auszudr¨ucken. Die Quadrate der relativen Anderungen der drei von Null verschiedenen Eigenkreisfrequenzen (i = 2, 3, 4) ergeben sich gem¨aß Gl. (2.356) wie folgt:

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

∆ ω i2 2 ω i0

= γ i1

∆kT2 γi

−µ i4

+ γ i2

∆J1 µi

∆kT3

− µ i5

γi

∆J2 µi

+ γ i3

145

∆kT4

− µ i6

γi

∆J3 µi

− µ i7

(2.376)

∆J4 µi

Setzt man die Zahlenwerte aus den Gln. (2.373), (2.374)und (2.375) ein, so ergeben ¨ sich die relativen Anderungen ∆λ = S∆ ξ gem¨aß Gl. (2.361) f¨ur ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ∆kT2 /kT20 ∆x1 /x10 ⎜∆kT3 /kT30 ⎟ ⎜∆x2 /x20 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎛ 2 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜∆x3 /x30 ⎟ ∆ ω 2 /ω 20 ∆kT4 /kT40 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎟ ⎜∆x4 /x40 ⎟ ∆λ = ⎝∆ ω 32 /ω 30 , ∆ξ = ⎜ (2.377) ⎜∆J1 /J10 ⎟ = ⎟ ⎜ 2 ⎜∆J2 /J20 ⎟ ⎜∆x5 /x50 ⎟ ∆ ω 42 /ω 40 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝∆J3 /J30 ⎠ ⎝∆x6 /x60 ⎠ ∆J4 /J40

∆x7 /x70

mit Hilfe der Sensitivit¨atsmatrix ⎞ ⎛ 0,146 0,679 0,175 −0,873 −0,023 −0,000 −0,104 S = ((sik )) = ⎝0,140 0,076 0,784 −0,008 −0,086 −0,902 −0,004⎠ 0,714 0,245 0,041 −0,020 −0,888 −0,092 −0,000 (2.378) Diese N¨aherungsformeln liefern f¨ur kleine relative Parameter¨anderungen bis zu 10 % die Eigenfrequenzen mit einer relativen Genauigkeit von etwa 1 %. Aus der unterschiedlichen Gr¨oße der Matrizenelemente sik ist abzulesen, daß die zweite Eigenfrequenz am st¨arksten durch kT3 und J1 , die dritte Eigenfrequenz durch kT4 und J3 und die vierte Eigenfrequenz durch kT2 und J2 beeinﬂußt wird. Diese unterschiedlichen Empﬁndlichkeiten lassen sich anschaulich erkl¨aren, wenn man die zugeh¨origen Eigenformen ansieht. Bild 2.58 zeigt die mit ARLA -SIMUL berechneten Eigenformen [213], [301]. Falls große Parameter¨anderungen analysiert werden sollen, ist die Anwendung der Methoden der Versuchsplanung zu empfehlen, weil mit den dabei entwickelten quadratischen Funktionen eine h¨ohere Genauigkeit in gr¨oßeren Parameterbereichen erreichbar ist. Der Rechenaufwand zur Bestimmung der Polynomkoefﬁzienten ist geringer und die N¨aherung ist in einem großen Parameterbereich genauer, wenn man Methoden der Korrelationsanalyse oder der optimalen Versuchsplanung anwendet,wie sie z. B. in [2] beschrieben sind und in [79] auf Biegeschwingungen einer Spindel angewendet wurden. Die Koefﬁzienten f¨ur die Abh¨angigkeit der Eigenformen von Parameter¨anderungen gem¨aß Gl. (2.364) ergeben sich mit den angegebenen Daten f¨ur dieses Beispiel folgendermaßen: ⎛ −0,005 2,257 · 10−3 2,455 · 10−3 ⎜ 0,139 −0,112 −0,027 ⎜ R2 = ⎜ ⎝ 0,028 0,132 −0,16 −2,343 · 10−4 −6,168 · 10−4 8,511 · 10−4

⎞ −0,098 −0,0032 −0,0005 0,102 −0,103 0,0012 −0,0003 0,102⎟ ⎟ ⎟ −0,101 −0,0023 0,0002 0,103⎠ −0,099 −0,0031 −0,0004 1,02

146

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

⎞ ⎛ −0,627 0,568 0,059 −0,958 1,027 −0,073 0,004 ⎜ 26,513 −11,184 −15,329 −1,585 −16,157 17,732 0,010⎟ ⎟ ⎜ R3 = ⎜ ⎟ ⎝−6,885 2,992 3,893 0,028 4,444 −4,259 −0,213⎠ 0,003 −0,035 0,033 0,002 −0,003 0,247 −0,246 ⎞ ⎛ 0,439 −0,312 −0,128 −0,992 0,708 0,284 0,000 ⎜ −4,93 2,024 2,906 −0,553 7,019 −6,454 −0,012⎟ ⎟ ⎜ R4 = ⎜ ⎟ ⎝−13,266 5,711 7,556 0,559 16,267 −16,806 −0,02 ⎠ 0,055 −0,010 −0,046 −0,002 −0,068 0,045 0,025

ARLA-SIMUL FE HZ

Rev. 6.85-X

PHI (NMAX=004)

(2.379)

File: E-PKW.PLT

EKIN (NMAX=004)

EPOT (NMAX=003)

γ 22 x 2

µ 24 x 4 (002) 4.7

µ36 x6

(003) 49.0

µ 45 x5

γ 33 x3

γ 41 x1 γ 42 x 2

(004) 67.9

Bild 2.58 Eigenformen und Sensitivit¨atskoefﬁzienten von Gl. (2.376) f¨ur das Beispiel in Bild 2.57 (Indizes beziehen sich auf Vektor x)

2.5.2 Parameterermittlung aus gemessenen Eigenfrequenzen und Eigenformen Bekanntlich ist es erst dann m¨oglich, Vorausberechnungen, Variantenvergleiche oder eine Optimierung des dynamischen Verhaltens eines Antriebssystems vorzunehmen, wenn das Berechnungsmodell die wesentlichen dynamischen Eigenschaften des Realsystems erfaßt. Zum Modellabgleich kann man experimentelle Ergebnisse nutzen, die sich auf das dynamische Verhalten des Gesamtsystems beziehen. Die Ergebnisse einer experimentellen Modalanalyse k¨onnen auch zur Kontrolle und Bewertung der lokalen Parameterwerte dienen. F¨ur die Modellstufe 2, das lineare Schwingungssystem, ist zwischen dem Berechnungsmodell (z. B. einem FEM-Programm) und dem

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

147

realen Objekt (z. B. einem Prototyp) vor allem ein Abgleich der Eigenfrequenzen und der Eigenschwingformen erforderlich. Erst danach hat es Sinn, sich n¨aher mit den D¨ampfungsparametern zu befassen, vgl. Abschn. 3.5. Im folgenden wird wie in Abschnitt 2.5.1 das unged¨ampfte System betrachtet, f¨ur welches aus den Bewegungsgleichungen das Eigenwertproblem (2.380) K(p) − ω i2 M(p) ϕ i = o folgt. Darin bestimmt der Parametervektor p die Gr¨oße der Elemente sowohl in der Massenmatrix M als auch in der Steiﬁgkeitsmatrix K. Es wird angenommen, daß von diesem Parametervektor Startwerte p0 bekannt sind, also z. B. diejenigen Zahlenwerte, mit denen beim Entwurf des Antriebssystems gerechnet wurde. Da die einzelnen Komponenten pk nicht ganz genau bekannt sind, wird der gesuchte Parametervektor als Summe p = p0 + ∆ p

(2.381)

aufgefaßt, wobei die Abweichungen ∆ p als Ursache daf¨ur angesehen werden, daß die Rechen- und Meßergebnisse von Eigenfrequenzen und Eigenformen nicht genau u¨ bereinstimmen, d. h., die Struktur des Modells wird als richtig vorausgesetzt. Da der Zusammenhang der Matrizenelemente mit den Elementen des Parametervektors bekannt ist, sind auch die Elemente sik der Sensitivit¨atsmatrix S = ((sik )) bekannt. ¨ Es gilt Gl. (2.351) f¨ur die durch Parameter¨anderungen erreichbaren Anderungen der Quadrate der Eigenkreisfrequenzen. Der Vektor der mit den Startwerten p0 berechneten Eigenkreisfrequenzquadrate wird mit 2 2 2 2 T λ 0 = (ω 10 , ω 20 , . . . , ω i0 , . . . , ω I0 ) ,

i = 1, 2, . . . , I

(2.382)

bezeichnet, und der Vektor der am realen Objekt gemessenen Werte ist 2 2 2 T λ e = (ω 1e , ω 2e , . . . , ω 2je , . . . , ω Je ) ,

j = 1, 2, . . . , J

(2.383)

Es ist im allgemeinen I < n, da nicht alle berechenbaren Eigenfrequenzen verglichen werden, und J < I, da die Anzahl der berechneten Eigenfrequenzen und Eigenformen meist gr¨oßer als die der gemessenen ist. Es kann oft von vornherein nicht gesagt werden, welche der berechneten Eigenfrequenzen welchen der gemessenen Eigenfrequenzen entsprechen, weil nicht nur deren Betr¨age angen¨ahert u¨ bereinstimmen m¨ussen, sondern auch die dazu geh¨orige Eigenschwingform benachbart sein muß. Wenn man zun¨achst deren gegenseitige Zuordnung pr¨uft, kann es sein, daß der Eigenvektor der i-ten berechneten Eigenfrequenz demjenigen einer j-ten gemessenen Eigenfrequenz a¨ hnelt. Die Auswahl und die Reihenfolge der zugeordneten Eigenfrequenzen wird deshalb mit einer Zuordnungsmatrix Z ausgedr¨uckt. Z ist eine Rechteck-Matrix, die Nullen und Einsen enth¨alt und mittels der Matrizenmultiplikation die Zuordnung der berechneten Frequenzen mit den dazu passenden gemessenen besorgt. Z kann man aus der MAC-Matrix erhalten, vgl. Gl. (2.389). Der Differenzvektor λ e − Zλ 0 , der die zueinander richtig zugeordneten Eigenfrequenzen vergleicht, kann analog zu Gl. (2.360) mit den Werten von λ 0 dimensionslos gemacht werden, so daß der aus Gl. (2.360) bekannte dimensionslose Vektor ∆λ entsteht. Die Rechnung mit dimensionslosen Frequenzverh¨altnissen hat den Vorteil, daß große und kleine Eigenfrequenzen numerisch mit gleicher Gewichtung behandelt

148

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

werden. Die Berechnung wird außerdem mit dem gem¨aß Gl. (2.359) deﬁnierten dimensionslosen Vektor der Parameter¨anderungen ∆ ξ empfohlen. Dann kann man den Zusammenhang zwischen den Parameter¨anderungen und den Eigenfrequenz¨anderungen wie in Gl. (2.361) ausdr¨ucken: S∆ξ = ∆λ

(2.384)

Dabei ist die (J × K)-Matrix S und der J-dimensionale Vektor ∆λ bekannt und der K-dimensionale Vektor der relativen Parameter¨anderungen ∆ξ gesucht. Wenn J = K = I w¨are, k¨onnte man aus einem linearen Gleichungssystem (2.384) die di¨ der bemensionslosen Komponenten in ∆ξ erhalten, welche die Ubereinstimmung rechneten und gemessenen Eigenfrequenzen garantieren. So w¨urden z. B. bei der Identiﬁkation von zwei Parametern an I = 2 Eigenfrequenzen aus Gl. (2.384) folgende zwei Gleichungen f¨ur die beiden Unbekannten ∆ p1 und ∆ p2 folgen, wenn die Zuordnung schon stimmte und Z eine Einheitsmatrix ist: s11

∆ p1 ∆ p2 ω2 − ω2 ω2 + s12 = 1e 2 10 = 1e −1 2 p10 p20 ω 10 ω 10

(2.385)

s21

∆ p1 ∆ p2 ω2 − ω2 ω2 + s22 = 2e 2 20 = 2e −1 2 p10 p20 ω 20 ω 20

(2.386)

Es muß meist aber noch ber¨ucksichtigt werden, daß sich die Anzahl K der Parameter pk von derjenigen der gemessenen Eigenfrequenzen (J) unterscheidet. Bei praktischen Aufgaben ist meist J > K und S eine (J × K)-Rechteckmatrix, z. B. wie in Gl. (2.378). Die Aufl¨osung des u¨ berbestimmten Gleichungssystems nach den Unbekannten ∆ξ ist dann mit der Pseudo-Inversen m¨oglich, die eine Minimierung der Fehlerquadratsumme des u¨ berbestimmten Gleichungssystems (2.384) erreicht, d. h., es ergibt sich aus Gl. (2.384) ∆ξ = (ST S)−1 ST ∆λ

(2.387)

Die daraus resultierenden dimensionslosen Parameterdifferenzen ∆ξ erlauben die Berechnung von verbesserten Parameterwerten, vgl. Gl. (2.381): pk = pk0 + ∆ pk = pk0 + ∆ ξ k pk0 ,

k = 1, 2, . . . , K

(2.388)

Die Ergebnisse sind jedoch kritisch zu bewerten, da bei jedem linearen Schwingungssystem f¨ur unterschiedliche Parametervektoren dieselben Eigenfrequenzen auf¨ treten k¨onnen, vgl. [282]. Man darf allein aus der Ubereinstimmung von berechneten und gemessenen Eigenfrequenzen nicht den Schluß ziehen, daß die Parameterwerte des Berechnungsmodells mit denen des realen Objekts u¨ bereinstimmen. Man muß sich auch davon u¨ berzeugen, daß auch die Eigenformen u¨ bereinstimmen. Nun soll noch ein anderer Weg gezeigt werden, der von den Eigenschwingformen ausgeht. Wird vorausgesetzt, daß die Rechen- und Meßgr¨oßen sich auf dieselben Punkte der Struktur beziehen, so k¨onnen die Vektorkomponenten ϕ ki der berechneten und gemessenen Eigenformen unmittelbar miteinander verglichen werden, obwohl sie sich im allgemeinen noch durch einen Maßstabsfaktor unterscheiden. Bei den rechnerisch bestimmten Eigenvektoren ϕ i0 ist es ebenfalls wie bei den Eigenfrequenzen zun¨achst unklar, welchen am realen Objekt gemessenen Eigenvektoren ϕ ie sie zuzuordnen sind.

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

149

Es gibt mehrere Methoden, um die richtige Zuordnung der Eigenvektoren zu ermitteln. Bei einfachen Aufgaben kann man sich manchmal auf die Anschauung verlassen. Ein einfacher Vergleich ist dadurch m¨oglich, daß man die Komponenten eines berechneten Eigenvektors ϕ i0 u¨ ber denen des gemessenen Eigenvektors ϕ ie auftr¨agt. ¨ Besteht zwischen beiden Vektoren eine v¨ollige Ubereinstimmung, dann liegen alle Punkte exakt auf einer Geraden. Wenn diese Darstellung eine Punktwolke um eine mittlere Gerade ergibt, so liegt eine gute Korrelation vor, vgl. Bild 2.59. Bei gleichen Normierungen verl¨auft die mittlere Gerade unter einem Winkel von 45◦ . ϕkie Messwerte

ϕki0 Rechenwerte

Bild 2.59 Zum Vergleich der Komponenten berechneter und gemessener Eigenvektoren

Eine in der Strukturdynamik u¨ bliche und bew¨ahrte Vergleichsmethode benutzt die sogenannte MAC-Matrix (MAC – Modal Assurance Criterion). Jedes Element dieser Matrix stellt den Wert eines normierten Skalarprodukts von einem gemessenen Vektor ϕ je und einem berechneten Eigenvektor ϕ i0 dar und bewertet die Korrelation zwischen diesen. Der Wert des Matrizenelements (ϕ Tjeϕ i0 )2 (2.389) = cos2 α i j MAC(i, j) = T (ϕ jeϕ je ) · (ϕ Ti0ϕ i0 ) ¨ ist ein Maß f¨ur die Ubereinstimmung zwischen ϕ je und ϕ i0 [362] und [94]. Eine ideale eindeutige Unterscheidbarkeit zwischen allen Eigenvektoren l¨age vor, wenn in der MAC-Matrix nur Nullen und Einsen stehen. Dann w¨urde die MAC-Matrix der Zuordnungsmatrix Z entsprechen. Praktisch haben die Matrizenelemente Werte zwischen null und eins, weil die betrachteten Vektoren keine idealen Voraussetzungen erf¨ullen. Erfahrungsgem¨aß besteht bei einem Matrizenelement MAC(i, j) < 0,3 zwischen den beiden Vektoren kaum eine Korrelation, aber bei MAC(i, j) > 0,8 ist eine gute Korrelation zwischen beiden Vektoren vorhanden. Die MAC-Matrix ist geeignet, um Eigenvektoren dicht benachbarter Eigenfrequenzen zu unterscheiden. Sie kann eine Rechteckmatrix sein, aber nach den zu Eins aufgerundeten oder zu null abgerundeten Resultaten kann man daraus die Zuordnungsmatrix Z gewinnen. Weitere Kriterien zum Vergleich berechneter und gemessener Eigenvektoren behandelt [272]. Falls derartige Kriterien zur Identiﬁkation von Parameterwerten benutzt werden, sollten auch die in [245] behandelten Aspekte beachtet werden, vgl. Abschn. 2.3.5.

150

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Nachdem die Zuordnung der berechneten Eigenformen ϕ i0 (p) an die experimentell ermittelten Eigenformen ϕ ie erfolgt ist, muß noch eine einheitliche Normierung der Eigenvektoren erfolgen, bevor ein quantitativer Vergleich (z. B. die Differenz zwischen den Komponenten) dieser Vektoren m¨oglich ist. Dies l¨aßt sich mit der Einf¨uhrung eines unbekannten Maßstabsfaktors wi (f¨ur jede Ordnung i) erreichen, der aus der Bedingung

∑(ϕ kie − wi ϕ ki0 )2 = Min!,

i = 1, 2, . . . , I

(2.390)

k

oder max |ϕ kie − wi ϕ ki0 | = Min!, k

i = 1, 2, . . . , I

(2.391)

bestimmbar ist. Ist dies erfolgt, kann von Gl. (2.364) ausgegangen werden. Die Vektoren ∆ϕ i = ϕ ie − wiϕ i0

(2.392)

sind dann die Differenzvektoren zwischen den gemessenen und berechneten (in gleicher Weise normierten) Eigenvektoren. Es entstehen somit die Vektorgleichungen R∆ξ = ∆ϕ

(2.393)

K Spalten und so viele Zeilen hat, wie ∆ξ wobei die Matrix R = Komponenten besitzt. Der Vektor ∆ϕ = (∆ ϕ 1 , ∆ ϕ 2 , . . . , ∆ ϕ I )T ber¨ucksichtigt alle vergleichbaren Eigenformen. Es entstehen auf diese Weise meist wesentlich mehr Gleichungen als Unbekannte, so daß entweder mit der Ausgleichsrechnung (Fehlerquadratminimum) oder mit der linearen Optimierung (minimale Maximalabweichung) eine Kompromißl¨osung gefunden werden muß. Analog zu Gl. (2.387) kann man die L¨osung auf der Grundlage der Ausgleichsrechnung mit der Pseudo-Inversen berechnen: T

(RT1 , RT2 ,

. . . , RTI )

∆ξ = (RT R)−1 RT ∆ϕ

(2.394)

2.5.3 Identiﬁkation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden Hier soll an einem einfachen System mit zwei Freiheitsgraden die Problematik der Identiﬁkation der Parameterwerte an Hand von gemessenen und berechneten Eigenfrequenzen und Eigenformen verdeutlicht werden. Gegeben sei die in Bild 2.60a gezeigte Struktur, an der zwei Eigenfrequenzen von f = 13 Hz und f = 27 Hz und zwei Eigenformen 1 1 ϕ 11 = = , ϕ 1e = κ1 1,7 ϕ 21 (2.395) 1 1 ϕ 21 = = ϕ 2e = κ2 −1,3 ϕ 22

2.5 Ermittlung von Parametern des Gesamtsystems

151

gemessen wurden. Aus den gemessenen Eigenfrequenzen ergibt sich wegen ω ie = 2π fi gem¨aß Gl. (2.383) 2 2 T λ e = (ω 1e , ω 2e ) = (6 672, 28 780)T s−2

(2.396)

J2 J1 kT2

a) q2

b)

ϕ21

kT1

q1 ϕ11

ϕ12

c)

ϕ22

Bild 2.60 Zur Identiﬁkation eines Systems mit zwei Freiheitsgraden a) Berechnungsmodell, b) erste Eigenschwingform, c) zweite Eigenschwingform

Der Parametervektor umfaßt zwei Drehfederkonstanten und zwei Tr¨agheitsmomente: p = (p1 , p2 , p3 , p4 )T = (kT1 , kT2 , J1 ,J2 )T

(2.397)

Das System wird durch folgende Matrizen beschrieben, wenn der Koordinatenvektor qT = (q1 , q2 ) gem¨aß Bild 2.60 deﬁniert ist: kT1 + kT2 −kT2 J1 0 , K= (2.398) M= −kT2 kT2 0 J2 Folgende Beziehung besteht zwischen den Eigenkreisfrequenzen ω i0 , den Eigenformen ϕ i0 und den Massen- und Steiﬁgkeitsmatrizen (Eigenwertproblem), vgl. Gl. (2.380): 2 (K − ω i0 M)ϕ i0 = o,

i = 1, 2

(2.399)

Setzt man alle aus den Gln. (2.395) bis (2.398) bekannten Gr¨oßen ein, so ergibt sich folgendes homogene lineare Gleichungssystem: (kT1 + kT2 )ϕ 11 − kT2 ϕ 21 − ω 12 J1 ϕ 11 = 0 −kT2 ϕ 11 + kT2 ϕ 21 − ω 12 J2 ϕ 21 = 0 (kT1 + kT2 )ϕ 12 − kT2 ϕ 22 − ω 22 J1 ϕ 12 = 0 −kT2 ϕ 12 + kT2 ϕ 22 − ω 22 J2 ϕ 22 = 0

(2.400)

152

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Benutzt man die in Gl. (2.395) schon eingef¨uhrten Amplitudenverh¨altnisse κi und ordnet man diese Gleichungen nach den Unbekannten des Parametervektors, so erh¨alt man folgende 4 Gln. f¨ur die 4 Unbekannten: =0 kT1 + (1 − κ1 )kT2 − ω 12 J1 (κ1 − 1)kT2 − κ1 ω 12 J1 = 0 =0 kT1 + (1 − κ2 )kT2 − ω 22 J1 2 (κ2 − 1)kT2 − κ2 ω 2 J2 = 0

(2.401)

In diesem Fall stimmt die Anzahl K der unbekannten Parameter mit der doppelten Anzahl der Freiheitsgrade (2n) u¨ berein. F¨ur den Fall, daß K < 2n ist, also mehr Gleichungen als Unbekannte vorliegen, kann die L¨osung mit der Ausgleichsrechnung (Pseudo-Inverse) gesucht werden. Falls K > 2n ist, k¨onnen entweder einige Parameterwerte gegeben oder weitere Nebenbedingungen erf¨ullt werden. Da auf der rechten Seite lauter Nullen stehen, k¨onnen prinzipiell keine absoluten Werte, sondern nur Quotienten der Parameterwerte berechnet werden. Bei dem durch die Gln. (2.401) gegebenen homogenen Gleichungssystem muß die Hauptdeterminante null sein, damit L¨osungen existieren. Die Berechnung dieser Determinante liefert: (2.402) det = (ω 22 − ω 12 ) κ2 ω 22 (κ1 − 1) − κ1 ω 12 (κ2 − 1) = 0 Sie stellt eine notwendige Bedingung dar, welche die in den Gln. (2.395) und (2.396) angegebenen Meßwerte erf¨ullen m¨ussen. Dies ist eine willkommene Kontrollm¨oglichkeit, die auch bei anderen Systemen beachtet werden sollte. Sollte diese Bedingung nicht erf¨ullt sein, ist die Frage berechtigt, ob das Modell in Bild 2.60a ¨ das reale Schwingungssystem richtig abbildet. Naturgem¨aß darf man die Ubereinstimmung nur auf soviel Ziffern erwarten, wie es der Meßgenauigkeit entspricht. Da beim vorliegenden System ω 1 = ω 2 ist, kann aus dem Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (2.402) die folgende Bedingung hergeleitet werden, die zwischen den modalen Parametern bestehen muß: ω 22 = ω 12

κ1 (κ2 − 1) κ2 (κ1 − 1)

(2.403)

Setzt man die entsprechenden Zahlenwerte f¨ur dieses Beispiel in der rechten Seite dieser Gl. ein, so ergibt sich 28 474, d. h., ein Zahlenwert, der im Rahmen der Genauigkeit der Eingabedaten mit ω 22 hinreichend genau u¨ bereinstimmt, vgl. Gl. (2.396). Die ermittelten Eigenfrequenzen und Eigenformen stehen also nicht im Widerspruch zu dem in Bild 274a angenommenen Berechnungsmodell. Aus den Gln. (2.399) erh¨alt man als L¨osungen folgende Quotienten: ω 2 κ1 ω 2 κ2 kT2 = 2 = 1 J2 κ1 − 1 κ2 − 1

≈ 1,62 · 104 s−2

(2.404)

−ω 12 (κ2 − 1) + ω 22 (κ1 − 1) kT1 = ≈ 1,605 kT2 ω 22 − ω 12

(2.405)

(κ1 − κ2 )ω 12 κ1 J1 = 2 J2 (ω 2 − ω 12 )(κ1 − 1)

(2.406)

≈ 2,207

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

153

Absolute Gr¨oßen von Masse- und Federparametern lassen sich allein aus Eigenfrequenzen und Eigenformen nicht berechnen! Dimensionsbehaftete Parameterwerte lassen sich erst dann berechnen, wenn die absolute Gr¨oße eines Parameters (oder einer Funktion von Parametern) vorgeben wird, z. B. ein Parameterwert von J2 .

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung 2.6.1 Grundlagen der Freiheitsgradreduktion Manche Berechnungsmodelle werden mit sehr vielen Freiheitsgraden (oder Knotenpunkten) behandelt, weil der Verlauf der Spannungen und Verformungen interessiert. H¨auﬁg werden FE-Modelle engmaschig vernetzt, um die Spannungen und Verformungen am Rande von L¨ochern, an Kerben, innerhalb von Kontaktstellen, an Querschnitts¨uberg¨angen und an Krafteinleitungsstellen zu berechnen. Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Berechnungsmodells erreicht bei solchen strukturdynamischen Aufgaben h¨auﬁg eine Gr¨oßenordnung von n = 105 bis 106 . Bei Systemen mit vielen Freiheitsgraden ist es schwieriger, verschiedene Varianten schnell zu analysieren und eine in dynamischer Hinsicht optimale Variante zu ermitteln als bei Schwingungssystemen mit wenigen Freiheitsgraden. Deshalb kann es zweckm¨aßig sein, ein mathematisches Optimierungsverfahren abwechselnd mit dem Analysemodell des reduzierten Berechnungsmodells und dem des urspr¨unglichen Modells zu koppeln. Die Optimierungsergebnisse, die nach der Analyse vieler Varianten des einfachen Modells erzielt wurden, k¨onnen an das urspr¨ungliche Modell u¨ bergeben werden, mit dem die Optimierungsrechnung fortgesetzt wird. Nach einer gewissen Rechenzeit kann wieder eine Modellreduktion erfolgen und nach mehreren solchen Iterationsschritten das Optimierungsziel mit relativ weniger Aufwand erreicht werden, als wenn man keine Reduktion vorgenommen h¨atte. H¨auﬁg ist der Erregerfrequenzbereich eines Realsystems eng begrenzt, so daß es nicht n¨otig ist, alle“ Eigenfrequenzen und Eigenformen im Berechnungsmodell ” zu erfassen, vgl. Bild 2.4. F¨ur Aufgaben, bei denen das globale dynamische Verhalten des Antriebssystems interessiert, kann die Anzahl der Freiheitsgrade wesentlich kleiner als f¨ur den Spannungsnachweis sein, also die Gr¨oßenordnung von 101 bis 104 haben. Nachdem die dynamische Analyse mit dem Startmodell die Verteilung der dynamischen Belastungen lieferte, kann danach die feinere Vernetzung f¨ur die Ermittlung der lokalen Zustandsgr¨oßen vorgenommen werden. Ausgehend von einem Berechnungsmodell mit vielen Freiheitsgraden ist es zweckm¨aßig, zur dynamischen Analyse die Anzahl der Freiheitsgrade wesentlich zu reduzieren. Ein Weg, zu solchen Modellen mit wenigen Freiheitsgraden zu gelangen, besteht darin, das große System“ mit einer der Methoden der Freiheitsgradreduktion systematisch ” zu verkleinern“. Solche Methoden sind in der Strukturdynamik entwickelt worden, ” und ihre Herleitung ist in der Literatur ausgiebig beschrieben, vgl. z. B. [112], [150], [202], [278], [365]. Hier sollen deshalb nur einige dieser Methoden erl¨autert und ihre Anwendung bei Antriebssystemen exemplarisch vorgef¨uhrt werden.

154

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Das urspr¨ungliche Schwingungssystem mit n Freiheitsgraden, das durch die Massenmatrix M, die Steiﬁgkeitsmatrix K, den Erregerkraftvektor f und den Koordinatenvektor q beschrieben wird, lautet Mq¨ + Kq = f

(2.407)

Es soll auf ein System mit n1 Freiheitsgraden reduziert und mit dem Koordinatenvektor qe beschrieben werden, wobei n1 < n ist. Das allgemeine Vorgehen kann man sich so vorstellen, daß die Koordinaten eingeteilt werden in solche, die erhalten bleiben (externe Koordinaten qe ) und solche, die nach außen nicht mehr in Erscheinung treten (interne Koordinaten qi ). Nach der Reduktion sollen die Bewegungsgleichungen die Form Mred q¨ e + K red qe = f red

(2.408)

haben. Die Reduktion erfolgt formal mit Hilfe einer Transformationsmatrix T, einer Rechteckmatrix mit n Zeilen und n1 Spalten. Diese Transformationsmatrix stellt eine lineare Beziehung zwischen den Koordinaten qe des reduzierten Systems und denen des urspr¨unglichen Systems her: q = Tqe

(2.409)

Sie liefert außerdem noch allgemeine Zusammenh¨ange, welche zwischen den Matrizen des urspr¨unglichen Systems (2.407) und denen des reduzierten Systems (2.408) bestehen. Wenn gefordert wird, daß die kinetische und die potentielle Energie des urspr¨unglichen Systems und des reduzierten Systems u¨ bereinstimmen sollen, erh¨alt man 1 1 1 T T q˙ e T M T q˙ e = q˙ Te Mred q˙ e (2.410) Wkin = q˙ T Mq˙ = 2 2 2 1 1 1 T T Wpot = qT Kq = (2.411) qe T K Tqe = qTe K red qe 2 2 2 durch einen Koefﬁzientenvergleich die Matrizen des reduzierten Systems: Mred = T T MT;

K red = T T KT

(2.412)

Aus den (n × n)-Matrizen des urspr¨unglichen Systems (2.407) werden somit diese (n1 × n1)-Matrizen. W¨ahrend das durch Gl. (2.407) beschriebene urspr¨ungliche System n Eigenkreisfrequenzen λ = (ω 12 , ω 22 , . . . , ω n2 )T

(2.413)

besitzt, zu denen in der Modalmatrix Φ die zugeh¨origen n Eigenvektoren ϕ i

Φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n )

(2.414)

stehen, hat das reduzierte System nur n1 < n Eigenkreisfrequenzen 2∗ T λ ∗ = (ω 12∗ , ω 22∗ , . . . , ω n1 )

(2.415)

und n1 Eigenvektoren, die in der reduzierten Modalmatrix

Φ ∗ = (ϕ ∗1 , ϕ ∗2 , . . . , ϕ ∗n1 ) zusammengefaßt sind.

(2.416)

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

155

Die Bewegungsgleichungen (2.407) enthalten also die Form (K red − ω i∗2 Mred )ϕ ∗i = f red

(2.417)

Verlangt man, daß die virtuelle Arbeit der Erregerkr¨afte am urspr¨unglichen System ebenso groß ist wie diejenige am reduzierten System, also mit Gl. (2.409) δ W = f T δ q = f T (T δ qe ) = f Tred δ qe

(2.418)

so erh¨alt man folgende Vorschrift f¨ur die Umrechnung der Erregerkr¨afte: f red = T T f

(2.419)

Mit der Festlegung einer Transformationsmatrix T ist eine formale Reduktion der Freiheitsgrade unter dem Aspekt der Energie¨aquivalenz m¨oglich. Das spektrale Verhalten der urspr¨unglichen und des reduzierten Systems stimmt allerdings nicht v¨ollig u¨ berein, weil n − n1 Eigenfrequenzen verlorengehen. Die Ber¨ucksichtigung von Forderungen an das spektrale und modale Verhalten ist bei der Wahl der Transformationsmatrix T m¨oglich. Von den verschiedenen Methoden, so eine Transformationsmatrix T zu deﬁnieren, werden im folgenden einige beschrieben, die auf die Besonderheiten von Antriebssystemen zugeschnitten sind. Bei Antriebssystemen kommt es meist darauf an, daß die tiefen Eigenfrequenzen und Eigenformen des urspr¨unglichen (vollst¨andigen) Systems mit denen des reduzierten (verk¨urzten) Systems u¨ bereinstimmen. Nach der L¨osung der Differentialgleichungen des reduzierten Systems (2.408) ist es m¨oglich, mit Hilfe von Gl. (2.409) die Ergebnisse auf die urspr¨unglichen Koordinaten q umzurechnen. 2.6.2 ¨ ) Statische und dynamische Kondensation (G UYAN , ROHRLE Zur Vorbereitung der Kondensation werden die Koordinaten des urspr¨unglichen Systems (2.407) in interne Koordinaten qi (die nur intern verbleiben) und externe Koordinaten qe (die extern weiter behandelt werden) eingeteilt qe K ee K ei Mee Mei fe ∗ ∗ ∗ ∗ q = ; K = ; M = ; f = (2.420) qi K ie K ii Mie Mii fi Da normalerweise diese Koordinaten urspr¨unglich noch nicht in einer derartigen Reihenfolge geordnet sind, muß vorher eine solche Umordnung erfolgen, daß im Koordinatenvektor die externen Koordinaten oben und die internen Koordinaten unten angegeben werden. Diese Einteilung (Partitionierung) muß auch bei den Matrizen erfolgen, was durch die entsprechenden Indizes in Gl. (2.420) angegeben ist. Aus dem urspr¨unglichen System der Bewegungsgleichungen (2.407) folgt nach dem Ansatz q∗ = qˆ exp( jω t) das Eigenwertproblem: o qˆ e K ee − ω 2 Mee K ei − ω 2 Mei = (2.421) o qˆ i K ie − ω 2 Mie K ii − ω 2 Mii Ausmultiplizieren liefert zwei Gleichungen f¨ur zwei unbekannte Vektoren K ee − ω 2 Mee qˆ e + K ei − ω 2 Mei qˆ i = o (2.422) 2 2 (2.423) K ie − ω Mie qˆ e + K ii − ω Mii qˆ i = o

156

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Aus Gl. (2.423) folgt die Abh¨angigkeit der internen Koordinaten von den externen: −1 qˆ i = − K ii − ω 2 Mii (2.424) K ie − ω 2 Mie qˆ e = −Sˆqe In Kurzfassung kann man dies mit der Matrix −1 S = K ii − ω 2 Mii K ie − ω 2 Mie

(2.425)

ausdr¨ucken, die man aus einem Koefﬁzientenvergleich erh¨alt. Der gesamte Koordinatenvektor q l¨aßt sich somit durch folgende Matrizenmultiplikation darstellen E qe (2.426) = q= qe = Tqe qi −S d. h., die Transformationsmatrix T = (E, − S)T

(2.427)

liefert eine exakte Reduktion, wenn die Kreisfrequenz ω eingesetzt wird. Man m¨ußte also mit einer frequenzabh¨angigen Transformationsmatrix operieren, wenn man eine im ganzen Frequenzbereich korrekte Reduktion vornehmen wollte. Hat die Transformationsmatrix konstante Elemente, ist also die Erhaltung aller Eigenfrequenzen bei der Freiheitsgradreduktion nicht m¨oglich. Von G UYAN [130] wurde vorgeschlagen, die Kondensation speziell f¨ur den statischen Fall vorzunehmen. Dabei werden gewissermaßen die Massenkr¨afte vernachl¨assigt, und alle statischen Beziehungen zwischen Kr¨aften und Koordinaten bleiben beim reduzierten System korrekt erhalten. Bei dieser Art der Freiheitsgradreduktion ergibt sich aus Gl. (2.425) als Sonderfall ω = 0 die Matrix S = K −1 ii K ie

(2.428)

und mit der daraus in Verbindung mit Gl. (2.427) folgenden Transformationsmatrix T (2.429) T = (E, − S)T = E, − K −1 ii K ie kann man gem¨aß Gl. (2.412) folgende Matrizen des reduzierten Systems berechnen: K red = K ee − K ei K −1 ii K ie

(2.430)

Mred = Mee − Mei S − ST Mie + ST Mii S

(2.431)

Der reduzierte Erregerkraftvektor ist dann gem¨aß Gl. (2.419) berechenbar und lautet f red = f e − S f i

(2.432)

Die verbleibenden Koordinaten qe werden in der angloamerikanischen Literatur master-degrees“ und die eliminierten Koordinaten qi slave-degrees“ genannt. Die ” ” Transformationsformeln (2.430) bis (2.432) kennzeichnen die sogenannte statische Kondensation. Das reduzierte System besitzt eine geringere Massentr¨agheit, aber dieselbe Steiﬁgkeit, und demzufolge werden alle seine n1 Eigenfrequenzen etwas gr¨oßer gegen¨uber den Werten vergleichbarer Ordnungen des urspr¨unglichen Systems, vgl. auch das Beispiel in Abschn. 2.6.5. ¨ [278] wurde vorgeschlagen, an Stelle einer statischen Reduktion Von R OHRLE bei ω = 0 eine Reduktion f¨ur einen Richtwert ω˜ vorzunehmen, der innerhalb des

157

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

Erregerfrequenzbereichs des Antriebssystems liegt, vgl. Bild 2.4. Dann k¨onnen die obengenannten Formeln benutzt werden, indem mit folgender Matrix S˜ gerechnet wird, vgl. Gl. (2.425): −1 K ie − ω˜ 2 Mie (2.433) S˜ = K ii − ω˜ 2 Mii Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix ˜ T T = (E, − S)

(2.434)

mit der die durch Gln. (2.409), (2.412) und (2.419) beschriebenen Operationen erfolgen k¨onnen, um die Vektoren und Matrizen des reduzierten Systems zu erhalten. 2.6.3 Reduktion nach R IVIN und D I Von R IVIN [275] wurde eine Methode zur Freiheitsgradreduktion bei Torsionsschwingerketten vorgeschlagen, die in der Dissertation von D I [58] aufgegriffen und (z. B. auch auf ged¨ampfte Schwinger) erweitert wurde. Es wird vorausgesetzt, daß bereits eine Diskretisierung erfolgte, z. B. gem¨aß Tabelle 2.11 und Abschn. 3.2.1. Steife Teilsysteme, die an relativ hohen Eigenfrequenzen gegen¨uber ihrer Umge” bung“ erkennbar sind, werden lokal als starre K¨orper behandelt. Das Verfahren beginnt damit, daß aus der Torsionsschwingerkette Teilsysteme mit einem Freiheitsgrad herausgeschnitten werden. Dabei wird zwischen zwei verschiedene Typen von Teilsystemen unterschieden, vgl. Bild 2.61a und b. Beim Teilsystem des Typs A beﬁndet sich die Drehmasse (Jk ) zwischen zwei Torsionsfedern und bei den Teilsystemen des Typs B liegt eine Torsionsfeder (kTk ) zwischen jeweils zwei Drehmassen, die am a¨ ußeren Rand frei schwingen k¨onnen. Bei einem Torsionsschwinger mit n Scheiben entstehen also n Teilsysteme des Typs A und n − 1 Teilsysteme des Typs B. Die freien oder eingespannten Enden der Torsionsschwingerkette k¨onnen auf diese Weise ebenfalls ber¨ucksichtigt werden. kT k−1

a)

kTk

Jk

kTk

b)

Jk

J k+1

Bild 2.61 Zur Illustration eines Reduktionsschrittes bei einer Torsionsschwingerkette a) Modelltyp A, b) Modelltyp B

Die Eigenkreisfrequenzen aller Teilsysteme werden f¨ur k = 1, 2, . . . , n − 1 (mit kT0 = kT n+1 = 0) berechnet aus kT k−1 + kTk kTk (Jk + Jk+1 ) 2 2 ω Ak = ; ω Bk = (2.435) Jk Jk Jk+1 Nach dieser Aufteilung erh¨alt man also aus Gl. (2.435) insgesamt 2n−1 verschiedene Kreisfrequenzen von Teilsystemen. Von allen diesen Kreisfrequenzen wird die gr¨oßte herausgesucht. 2 2 ω k2 max = Max [ω Ak , ω Bk ] (alle k)

(2.436)

158

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Sie markiert gewissermaßen das steifste Teilsystem innerhalb der Schwingerkette. Deshalb wird an dieser Stelle eine partielle Reduktion vorgenommen. Je nach dem, ob die h¨ochste Kreisfrequenz durch ein System vom Typ A oder B zustande kam, erfolgt im folgenden Reduktionsschritt die Aufteilung der in der Mitte liegenden Drehmasse auf die Nachbarscheiben (Bild 2.62a) oder die Aufteilung der mittleren Federkonstante auf die Nachbarfedern (Bild 2.62c), vgl. Tabelle 2.18. Die Erregermomente werden auch umgerechnet. M k−2

M k−1

kT k−2

J k−2

a) M k−2

kT k−1

J k−1

J k−2

M k+1

J k+1

Jk

Mk

M k+2 kT k−1

kT k+1

kTk

J k+2

M k+1 kT k+1

kTk Jk

J k+1

c)

* M k−1

M k*

kT* k−1

kT k−2

b)

Mk

kT* k

kT k+1 J k*

* J k−1

M k*

M k+2

J k+2

d)

kT* k+1

J k*

Bild 2.62 a) Modellabschnitt des Torsionsschwingers, b) Reduktion gem¨aß Modelltyp A, c) Modellabschnitt des Torsionsschwingers, d) Reduktion gem¨aß Modelltyp B

Zur Berechnung der durch einen Stern gekennzeichneten neuen“ Parameter wer” den die folgenden Formeln benutzt: Teilsystem Typ A: ∗ = Jk−1 + Jk−1

kT∗ k−1 =

kT k−1 Jk ; kT k−1 + kTk

Jk∗ = Jk+1 +

kTk Jk kT k−1 + kTk

kT k−1 kTk kT k−1 + kTk

∗ = Mk−1 + Mk−1

(2.437) (2.438)

kT k−1 Mk ; kT k−1 + kTk

Mk∗ = Mk+1 +

kTk Mk kT k−1 + kTk

(2.439)

Teilsystem Typ B: Jk∗ = Jk + Jk+1 ;

Mk∗ = Mk + Mk+1

1 1 1 Jk+1 = + ; ∗ kTk kTk−1 Jk + Jk+1 kTk

1 1 1 Jk = + kT∗ k−1 kT k−1 Jk + Jk+1 kTk

(2.440) (2.441)

Nach jedem Reduktionsschritt wird der Freiheitsgrad des Gesamtsystems um Eins vermindert. Es verschwindet“ jeweils die h¨ochste Eigenfrequenz des Ge” samtsystems, es a¨ ndern sich alle Eigenfrequenzen und Eigenformen ein wenig, erfahrungsgem¨aß die niederen Eigenfrequenzen am wenigsten. Es ist zweckdienlich (aber nicht erforderlich), wenn man w¨ahrend des Reduktionsverfahrens auch die Eigenfrequenzen und Eigenformen des zu vereinfachenden Systems vergleicht und

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

159

aus diesen Resultaten schlußfolgert, wann das Reduktionsverfahren abgebrochen wird. Die h¨ochste Eigenfrequenz des zu reduzierenden Schwingungssystems kann nach jedem Reduktionsschritt aus den Parametern des vorhergehenden und des folgenden Systems (mit Stern gekennzeichnet) berechnet werden: 2 ω n−1 =

∗ + kT∗ k+1 kTk + kT k+1 n−1 kTk −∑ Jk Jk∗ k=1 k=1 n

∑

(2.442)

Die Reduktion wird schrittweise solange vorgenommen, bis eine Reduktionsgrenze“ ” erreicht ist, die der Bearbeiter festlegen kann. Eine solche Grenze kann die minimale Anzahl von Scheiben sein, die man f¨ur die Deutung der Berechnungsergebnisse ¨ ben¨otigt, oder die h¨ochste Eigenfrequenz oder eine zul¨assige Toleranz zu den Anderungen der wichtigen niederen Eigenfrequenzen. Als Erfahrungsregel gilt [275], daß die Reduktion sp¨atestens dann abgebrochen werden sollte, wenn die h¨ochste Eigenfrequenz der Teilsysteme gem¨aß Gl. (2.435) wenigstens etwa viermal gr¨oßer ist als die h¨ochste Eigenfrequenz des reduzierten Gesamtsystems, vgl. Gl. (2.442). Die statische Gesamtsteiﬁgkeit (∑ 1/kTk ) und das summarische Tr¨agheitsmoment (∑ Jk ) bleiben bei allen Reduktionsschritten erhalten, d. h., die summarischen Kennwerte des Starrk¨orpersystems und des elastischen Systems werden entsprechend den bei der Balkendiskretisierung erl¨auterten Grunds¨atzen nicht ver¨andert, vgl. Abschn. 2.3.5. Wenn am freien Ende reduziert wird, entstehen freie Torsionsfedern als Wellenst¨umpfe, die man vernachl¨assigen kann, vgl. Tabelle 2.18. 2.6.4 Modale Reduktion und Eigenformapproximation Eine einfache M¨oglichkeit der Freiheitsgradreduktion besteht darin, nur wenige Eigenformen zu ber¨ucksichtigen, d. h. die Anzahl der Freiheitsgrade auf so viele zu beschr¨anken, wie f¨ur das jeweilige Problem wesentlich sind. Bei dieser modalen Reduktion wird das Eigenwertproblem f¨ur das urspr¨ungliche System einmal vollst¨andig gel¨ost, um alle n Eigenfrequenzen und Eigenformen (Moden) zu ermitteln. Danach wird eine Anzahl n1 < n der wesentlichen Eigenformen ϕ i ausgew¨ahlt, z. B. nach einem Kriterium f¨ur die zu ber¨ucksichtigenden Eigenkreisfrequenzen ω i , vgl. Abschn. 2.1.2 und Bild 2.4. Daraus gewinnt man eine reduzierte Modalmatrix, die dann eine Rechteckmatrix mit n Zeilen und n1 Spalten ist. Da in der Antriebsdynamik meist nur die niederen Eigenfrequenzen interessieren, sind praktisch die ausgew¨ahlten wesentlichen Eigenformen ϕ i oft mit den n1 niederen Eigenformen identisch, aber es k¨onnten auch beliebige andere h¨ohere Ordnungen einbezogen werden, wenn diese sich nach dem Kriterium der Anregbarkeit als wesentlich erweisen sollten, vgl. Abschn. 5.2. Die modale Reduktion erfolgt gem¨aß Gl. (2.409), (2.412) und (2.419), wobei die Transformationsmatrix die Eigenvektoren ϕ i enth¨alt: T = (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n1 )

(2.443)

Die im Koordinatenvektor qe verbleibenden n1 Koordinaten sind dann diejenigen modalen Koordinaten p, die zu den ausgew¨ahlten Freiheitsgraden geh¨oren. Eine modale Koordinate pi beschreibt keine reale physikalischen Koordinate einer einzelnen Masse, sondern die Gesamtheit solcher Koordinaten, die zu der i-ten Eigenform

160

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

geh¨oren. Sowohl die Massenmatrix als auch die Steiﬁgkeitsmatrix werden bei dieser Reduktionsmethode Diagonalmatrizen, deren jeweils n1 Elemente die modalen Massen und modalen Steiﬁgkeiten der ber¨ucksichtigten n1 Moden sind: Mred = diag(µ i );

K red = diag(γ i )

(2.444)

Der Erregerkraftvektor gem¨aß Gl. (2.419) bezieht sich dann nur auf die ber¨ucksichtigten n1 Eigenformen. Es bleiben die ausgew¨ahlten n1 Eigenfrequenzen (f¨ur die dann ω i2 = γ i /µ i gilt) und Eigenformen exakt erhalten, w¨ahrend alle anderen (n−n1) Eigenfrequenzen und Eigenformen nach der Reduktion nicht mehr existieren. Ausgehend von dem Grundgedanken dieser modalen Reduktion besteht eine weitere Reduktionsmethode darin, an Stelle der exakten Eigenformen ϕ i , welche die Transformationsmatrix in Gl. (2.443) deﬁnieren, eine Eigenformapproximation vorzunehmen. Es werden dabei Formfunktionen, d. h. N¨aherungsans¨atze ϕ˜ i , f¨ur die wesentlichen Eigenformen benutzt. Diese kann man (im Sinne des Ritzschen Verfahrens) sch¨atzen, indem man z. B. die Lage der Schwingungsknoten und eine Amplitudenverteilung bei den einzelnen Eigenformen annimmt oder indem man z. B. experimentelle Ergebnisse am Realsystem auswertet. Man geht also von einer Transformationsmatrix T = (ϕ˜ 1 , ϕ˜ 2 , . . . , ϕ˜ n1 )

(2.445)

aus, mit der man Beziehungen zwischen den urspr¨unglichen Koordinaten und den neuen Koordinaten des reduzierten Systems erh¨alt, vgl. Gl. (2.409). Man kann damit die anderen in Abschn. 2.6.1 begr¨undeten Transformationen vornehmen, vgl. Gl. (2.409), (2.412) und (2.419). Als Resultat werden dann keine Diagonalmatrizen f¨ur Mred und K red entstehen, wie das bei der exakten modalen Reduktion der Fall ist. Die Approximation mit der Transformationsmatrix gem¨aß Gl. (2.445) stellt gegen¨uber den exakten Eigenformen, die in Gl. (2.443) ber¨ucksichtigt wurden, einen Zwang dar, der zur Folge hat, daß die tiefsten Eigenfrequenz h¨oher als die des ur¨ spr¨unglichen Systems sein wird. Uber die Ver¨anderung der h¨oheren Eigenfrequenzen gegen¨uber denen des urspr¨unglichen Systems lassen sich keine einfachen allgemeinen Aussagen machen. Die Methode der Eigenformapproximation hat gegen¨uber der exakten modalen Reduktion den Vorteil, daß das Eigenwertproblem des urspr¨unglichen (großen) Systems nicht gel¨ost werden muß. Man kann damit auch ein Kontinuum auf wenige Freiheitsgrade reduzieren, vgl. das Beispiel in Abschn. 4.8.2. 2.6.5 Vergleich der Reduktionsmethoden an einem Beispiel Bild 2.63 zeigt einen Torsionsschwinger mit 6 Freiheitsgraden. Er ist in Form einer Bildwelle“ dargestellt, d. h., der Durchmesser charakterisiert die Gr¨oße der Dreh” massen und die L¨ange der Wellen ihre Nachgiebigkeit, vgl. [150]. Dieser Torsionsschwinger soll auf ein Berechnungsmodell mit drei Freiheitsgraden reduziert werden, und zwar nach vier Methoden der Freiheitsgradreduktion: • • • •

der Methode von R IVIN [275], der Methode von G UYAN [130], ¨ der Methode von R OHRLE [278], der Eigenformapproximation.

161

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

Es sollen die Matrizen der reduzierten Systeme ermittelt und deren ersten drei Eigenfrequenzen mit denen des urspr¨unglichen Berechnungsmodells verglichen werden. q1

q2 2kT

q3 kT

q4 3kT

J

2J

4J

q5 kT

q6 2kT

J

J

3J

Bild 2.63 Torsionsschwinger mit sechs Freiheitsgraden

Die Bewegungsgleichung dieses Torsionsschwingers nimmt mit der Massenmatrix M und der Steiﬁgkeitsmatrix K des Torsionsschwingers bez¨uglich der in Bild 2.63 angegebenen Koordinaten qT = (q1 , q2 , q3 , q4 , q5 , q6 ) die Form Mq¨ + Kq = 0

(2.446)

an, wobei die Matrizen lauten: ⎞ ⎛ ⎛ 4 0 0 2 −2 0 0 0 0 ⎜0 1 0 ⎜−2 3 −1 0 0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜0 0 2 ⎜ 0 −1 4 −3 0 0⎟ ⎟ ⎜ , M =J⎜ K = kT ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 ⎜ ⎜ 0 0 −3 4 −1 0⎟ ⎝0 0 0 ⎝ 0 0 0 −1 3 −2⎠ 0 0 0 0 0 0 0 −2 2

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 3 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠

(2.447)

1

Tabelle 2.18 Freiheitsgradreduktion nach der Methode von R IVIN Reduktionsschritt 0 (urspr¨ungliches System)

λ i = ω i2 J/kT

Freiheitsgradreduktion nach R IVIN

2

1 1

2

0,9 1 0,6207

4,6897 3

0,8182

1

λ2 λ3 λ4 λ5

2 1

3 0,8182

2 3

3,3103

1

3,3103

λ2 λ3 λ4

= 0,163 6 = 0,718 1 = 2,735 9 = 3,414 9 = 5,467 6 = 0,164 2 = 0,649 2 = 2,748 7 = 3,350 0 = 0,153 1 = 0,598 4 = 2,748 9

λ 2 = 0,154 9 λ 3 = 0,574 8

0,7423

0,6207 4,6897

λ2 λ3 λ4 λ5 λ6

2 3

3

4 2

1

2 1

4

1

3

4

J ω k2 max /kT Typ B 4,50

Typ A 2,90

Typ B 2,667

162

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Das Eigenwertproblem (K − ω 2 M)ϕ = 0 kann mit dimensionslosen Gr¨oßen formuliert werden, so daß an Stelle der Eigenkreisfrequenzquadrate der Eigenwert λ = ω 2 J/kT erscheint. Die L¨osung liefert λ 1 = 0, da es sich um ein ungefesseltes Schwingungssystem handelt. Die anderen 5 dimensionslosen Eigenwerte sind in Tabelle 2.18 oben (Reduktionsschritt 0) angegeben. W¨unscht man eine Reduktion auf ein System mit drei Freiheitsgraden, bedeutet dies, daß der Erregerfrequenzbereich f¨ur dieses System unterhalb von etwa λ = 2 liegt, vgl. Bild 2.4 in Abschn. 2.1. Wird nach der Methode von R IVIN reduziert, ergibt sich nach jedem Reduktionsschritt ein um einen Freiheitsgrad reduziertes Modell. In Tabelle 2.18 sind die nach den Zwischenschritten entstehenden Berechnungsmodelle mit ihren Eigenwerten dargestellt. Die Darstellung als Bildwelle“ zeigt, daß bei allen Reduktionsschritten die Sum” me aller Tr¨agheitsmomente (4 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 12)J ist. Die Gesamtnachgiebigkeit zwischen den a¨ ußeren Scheiben (1/2 + 1 + 1/3 + 1 + 1/2 = 4/3)/kT bleibt erhalten, was auch an der konstanten L¨ange der Bildwelle erkennbar ist. An den Ergebnissen sieht man, wie sich von Schritt zu Schritt der h¨ochste Eigenwert verab” schiedet“ und die niederen Eigenwerte durch N¨aherungswerte ersetzt“ werden. Die ” Reduktion auf das System mit drei Freiheitsgraden stellt offenbar schon eine zu grobe Vereinfachung dar, denn λ 2 unterscheidet sich nach dem dritten Reduktionsschritt schon um etwa 6 %. Bei der statischen Reduktion nach G UYAN [130] muß zun¨achst entschieden werden, auf welche Knoten reduziert wird. Dazu werden zweckm¨aßig diejenigen gew¨ahlt, an denen die gr¨oßten Drehmassen konzentriert sind. Dies sind die Koordinaten q1 , q3 und q5 . Entsprechend der in Abschn. 2.6.2 beschriebenen Methode erfolgt eine Umordnung der Elemente des Koordinatenvektors so, daß im oberen Teil die master“-Koordinaten und im unteren Teil die slave“-Koordinaten stehen. Die ” ” Bewegungsgleichung (2.446) beh¨alt ihre Form, aber der Koordinatenvektor und die Matrizenelemente aus Gl. (2.447) werden umsortiert“, vgl. Gl. (2.420): ” qT = (q1 , q3 , q5 , q2 , q4 , q6 ) = (qTe , qTi ) ⎛ ⎛ ⎞ 4 0 0 2 0 0 −2 0 0 ⎜0 2 0 ⎜ 0 4 0 −1 −3 0⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜0 0 3 ⎜ 0 0 3 0 −1 −2⎟ K ∗ = kT ⎜ ⎟, M∗ = J ⎜ ⎜0 0 0 ⎜−2 −1 0 3 0 0⎟ ⎝0 0 0 ⎝ 0 −3 −1 0 4 0⎠ 0 0 −2 0 0 2 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

⎞ 0 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎠ 1

(2.448)

(2.449)

Entsprechend der in Abschn. 2.6.2 begr¨undeten Rechenvorschrift ergeben sich die Matrizen des auf die master“-Koordinaten reduzierten Systems. Aus Gl. (2.430) ” folgt: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ 2 0 0 −2 0 0 1/3 0 0 −2 −1 0 K red /kT = ⎝0 4 0⎠ − ⎝−1 −3 0⎠⎝ 0 1/4 0 ⎠⎝ 0 −3 −1⎠ 0 0 3 0 −1 −2 0 0 1/2 0 0 −2 ⎛ ⎞ 1 ⎝ 8 −8 0⎠ −8 17 −9 (2.450) = 12 0 −9 9

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

163

F¨ur die reduzierte Massenmatrix ergibt sich mit der aus Gl. (2.428) bekannten Matrix ⎞ ⎞⎛ ⎛ ⎛ ⎞ −2 −1 0 1/3 0 0 0 1 ⎝−8 −4 ⎟ ⎟⎜ ⎜ 0 −9 −3 ⎠ S = ⎝ 0 1/4 0 ⎠⎝ 0 −3 −1⎠ = (2.451) 12 0 0 −12 0 0 −2 0 0 1/2 aus Gl. (2.431): ⎞ ⎛ 640 32 0 ⎟ J ⎜ Mred = ⎝ 32 385 27⎠ 144 0 27 585

(2.452)

Dabei f¨allt auf, daß diese Massenmatrix keine Diagonalmatrix mehr ist, im Gegensatz zu allen Massenmatrizen von Torsionsschwingerketten, bei denen die Absolutwinkel der Scheiben als Koordinaten gew¨ahlt werden. Dies ist eine Folge der GuyanReduktion, bei dem die anschauliche Vorstellung aufgegeben werden muß, daß jedem Diagonalelement eine Scheibe des Torsionsschwingers zugeordnet werden kann. Die Eigenwerte des statisch kondensierten Systems folgen gem¨aß Gl. (2.417) aus |K red − ω ∗2 Mred | = 0

(2.453)

und lauten (Reduktion nach G UYAN) mit λ i = ω i∗2 J/kT : λ 1 = 0,

λ 2 = 0,165 8,

λ 3 = 0,755 0

(2.454)

Vergleicht man sie mit denen in Tabelle 2.18 erkennt man, daß die beiden von null verschiedenen Eigenwerte etwas gr¨oßer sind als die des urspr¨unglichen Systems. Sie sind wesentlich genauer als diejenigen, die sich nach der Reduktionsmethode von R IVIN ergeben, vgl. Tabelle 2.18. Die Anwendung der dynamischen Kondensation empﬁehlt sich, wenn man den Erregerfrequenzbereich kennt, weil man dann auch weiß, auf welche Eigenfrequenzen es besonders ankommt. Interessiert das dynamische Verhalten der Schwingerkette z. B. im Bereich zwischen der ersten und zweiten Eigenfrequenz, also hier im Bereich 0,2 < λ < 0,6, so sollte ein Richtwert λ˜ = ω 2 (J/k) aus diesem Bereich gew¨ahlt werden. Setzt man diesen Richtwert in Gl. (2.433) und Gl. (2.434) ein, erh¨alt man eine Transformationsmatrix T, aus der sich mit Gl. (2.412) die reduzierte Massen- und Steiﬁgkeitsmatrix berechnen lassen. Hier soll auch gezeigt werden, wie sich die Gr¨oße des Richtwertes λ˜ auf die Eigenwerte auswirkt. Die L¨osung des ¨ ): Eigenwertproblems (2.418) liefert folgende Ergebnisse (Reduktion nach R OHRLE λ˜ λ˜ λ˜ λ˜

= 0,25: = 0,35: = 0,45: = 0,55:

λ1 λ1 λ1 λ1

= 0,006 5; = 0013 6; = 0,023 7; = 0,037 2;

λ2 λ2 λ2 λ2

= 0,164 3; = 0,167 5; = 0,173 8; = 0,184 1;

λ3 λ3 λ3 λ3

= 0,736 3 = 0,730 1 = 0,724 9 = 0,720 9

(2.455)

¨ Die Tendenz der Anderungen ist offensichtlich und auch verst¨andlich. H¨atte man den ersten oder zweiten Eigenwert als Richtwert gew¨ahlt, w¨are der betreffende jeweils exakt herausgekommen. So sieht man, daß eine Kompromißl¨osung zu suchen ist. Bei λ˜ = 0,35 unterscheiden sich der zweite und der dritte Eigenwert nur etwa um 2 % von den exakten Werten, vgl. erste Zeile in Tabelle 2.18. Interessant ist, daß der erste

164

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Eigenwert, der exakt Null ist, im Gegensatz zu den anderen Reduktionsmethoden einen endlichen Wert beh¨alt. Abschließend soll die Eigenformapproximation, die keine L¨osung des urspr¨unglichen Eigenwertproblems verlangt, zum Vergleich herangezogen werden. Da die erste Eigenfrequenz null ist, weil ihr bei der freien Schwingerkette eine Starrk¨orperrotation entspricht, sollen nur N¨aherungen f¨ur die zweite und dritte Eigenform ber¨ucksichtigt werden. Es ist bekannt, daß die zweite Eigenform der Schwingerkette einen Schwingungsknoten und die dritte Eigenform zwei Schwingungsknoten hat. Man kann also die Lage dieser Knoten sch¨atzen, und wenn man darauf achtet, daß bei keiner h¨oheren Eigenform eine Eigenrotation zustandekommt, kann man auch die Gr¨oße der Amplituden der einzelnen Scheiben so absch¨atzen, daß in der Summe kein Drehimpuls in einer Drehrichtung u¨ brigbleibt. Diesen Bedingungen ¨ die beiden Eigenformen, die laut Gl. (2.445) in die entsprechen die Ans¨atze fur Transformationsmatrix eingehen: ϕ˜ T1 −1,5 −1,0 0 0,3 1,5 2,2 = (2.456) T= ϕ˜ T2 −0,8 −0,3 1,5 1,5 −0,1 −0,7 Berechnet man damit unter Beachtung von Gl. (2.412) die reduzierte Massen- und Steiﬁgkeitsmatrix, so erh¨alt man 4,19 −0,46 21,68 6,60 (2.457) ; K red = kT Mred = J −0,46 7,02 6,60 9,92 Aus der Frequenzdeterminante von Gl. (2.453) folgt eine quadratische Gleichung, als deren Wurzeln sich folgende Eigenwerte ergeben: λ 2 = 0,171 3;

λ 3 = 0,993 8

(2.458)

Der erste Wert stellt eine relativ gute N¨aherung dar, der entsprechend der theoretischen Voraussage etwas oberhalb des richtigen Wertes liegt, vgl. Tabelle 2.18. Die h¨oheren Eigenwerte sind meist weniger genau, da es bei h¨oheren Ordnungen immer schwieriger wird, die Eigenform zu sch¨atzen. 2.6.6 Modale Synthese Bei Antriebssystemen, die aus mehreren Baugruppen zusammengesetzt sind, kann zur Freiheitsgradreduktion eine Substrukturtechnik empfohlen werden, die als modale Synthese in der Strukturdynamik bekannt ist [113]. Ziel dieser Substrukturtechnik ist ein Gleichungssystem, das weniger Koordinaten als das urspr¨ungliche System hat, aber welches das wesentliche dynamische Verhalten im interessierenden (unteren) Frequenzbereich hinreichend genau widerspiegelt. Es wird hierbei nur vorausgesetzt, daß die einzelnen Baugruppen linearen konservativen Systemen entsprechen, deren Eigenfrequenzen und Eigenformen schon ermittelt wurden. Es kann sich dabei z. B. um Teilmodelle f¨ur Wellenstr¨ange, mehrstuﬁge Getriebe oder Bauteile am Abtrieb handeln. In der Praxis kann es auch vorkommen, daß das urspr¨ungliche Antriebssystem durch Anbauteile erg¨anzt werden soll. Dann w¨aren außer den als bekannt vorausgesetzten modalen Parametern des urspr¨unglichen Systems noch diejenigen der Anbauteile zu beschaffen.

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

165

Das resultierende Schwingungsverhalten des aus bekannten Teilsystemen bestehenden Gesamtsystems kann dann unter Nutzung der von den Teilsystemen schon bekannten modalen Daten und den Parametern der Substruktur, welche die Teilsysteme koppelt, vorausberechnet werden. Da in der Praxis oft nur die niederen Eigenfrequenzen des Gesamtsystems interessieren, die wiederum nur von den unteren Bereichen der beiden Eigenfrequenzspektren der Teilsysteme abh¨angen, kann man eine Vereinfachung vornehmen. Man kann sich auf die Mitnahme einer kleinen Anzahl von Eigenfrequenzen und Eigenformen der Teilsysteme beschr¨anken. Bei der Entscheidung, bis zu welcher Ordnung die zugeh¨origen Eigenformen bei der modalen Synthese mitzunehmen“ sind, um ei” ne gewisse Genauigkeit bei den interessierenden Eigenfrequenzen zu erreichen, wird eine in [113] (auf Seite 251) zitierte Erfahrungsregel empfohlen: Ber¨ucksichtigt man bei der modalen Synthese alle Struktureigenformen, deren Eigenfrequenz unter dem Doppelten der gerade noch interessierenden h¨ochsten Eigenfrequenz des Gesamtsystems liegt, so bleibt der Fehler (von einigen Aus” reißern“ abgesehen) unter 1 %. Im folgenden wird die modale Synthese f¨ur den Fall von zwei Teilsystemen beschrieben, die durch eine als tr¨agheitslos angenommene Baugruppe verbunden sind, deren elastisches Verhalten durch die Steiﬁgkeitsmatrix K erfaßt wird. Dabei wird auf die Ber¨ucksichtigung der D¨ampfung verzichtet. Die beiden Teilsysteme werden mit den Buchstaben A und B gekennzeichnet. Die Anzahl der urspr¨unglichen Bewegungskoordinaten der Teilsysteme wird mit NA und NB bezeichnet. Die Bewegungsgleichungen f¨ur die erzwungenen Schwingungen der beiden unabh¨angigen Teilsysteme lauten: MA q¨ A + K A qA = f (0) A

(2.459)

MB q¨ B + K B qB =

(2.460)

f (0) B

Vorausgesetzt wird, daß folgende Gr¨oßen bekannt sind: Massen- oder Steiﬁgkeitsmatrizen MA oder K A und MA oder K B sowie die Eigenfrequenzspektren in Form der diagonalen Spektralmatrizen, die nA bzw. nB Diagonalelemente haben. 2 Ω A = diag (ω Ai ),

2 Ω B = diag (ω Bi )

(2.461)

Die beiden Modalmatrizen

Φ A = (ϕ A1 , ϕ A2 , . . . , ϕ AnA ),

Φ B = (ϕ B1 , ϕ B2 , . . . , ϕ BnB )

(2.462)

enthalten niedere Eigenformen der Teilsysteme, die rechnerisch oder experimentell gewonnen wurden. Die eingepr¨agten Kraftgr¨oßen sind in den Erregerkraftvektoren f (0) A (t),

f (0) B (t)

(2.463)

der Teilsysteme erfaßt. Die Vektoren pA bzw. pB der modalen Koordinaten haben nA bzw. nB Komponenten. Es gilt also: nA NA ,

nB NB

(2.464)

In den Modaltransformationen der beiden Teilsysteme qA = Φ A · pA ,

qB = Φ B · pB

(2.465)

166

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

sind deshalb die beiden Modalmatrizen Rechteckmatrizen, deren Zeilenzahl NA bzw. NB betr¨agt und deren Spaltenzahl (nA bzw. nB ) insgesamt kleiner ist als die Anzahl der urspr¨unglichen Koordinaten der Teilsysteme. Man beschr¨ankt sich auf diejenigen Freiheitsgrade, die zu den tiefen Eigenfrequenzen geh¨oren. Die Normierung soll so erfolgt sein, daß mit den Matrizen der Teilsysteme (vgl. Gl. (2.459) und (2.460)) gilt:

Φ TA MAΦ A = E,

Φ TA K AΦ A = Ω A

(2.466)

Φ TB MBΦ B

Φ TB K BΦ B

(2.467)

= E,

=ΩB

Bild 2.64 zeigt schematisch die beiden Teilsysteme mit der Koppelstruktur und den Bezeichnungen der dazu geh¨orenden Gr¨oßen. M A , K A , qA

Koppelstruktur

Struktur A

K

M B , K B , qB

Struktur B

Ω A , Φ A , pA

Ω B , Φ B , pB

Bild 2.64 Gesamtsystem als Kopplung der Strukturen A und B durch die Koppelstruktur K

Die Bewegungsgleichungen in modalen Koordinaten folgen aus den Gleichungen (2.459), (2.460) mit (2.465) bis (2.467) und lauten: p¨ A + Ω A pA = Φ TA · f A

(2.468)

p¨ B + Ω B pB = Φ TB · f B

(2.469)

Die Kopplungssteiﬁgkeiten sind in einer ((NA + NB ) × (NA + NB ))-Steiﬁgkeitsmatrix K erfaßt. Man formuliert, wie die Kraftgr¨oßen u¨ ber die eine tr¨agheitslose Koppelstruktur charakterisierende Steiﬁgkeitsmatrix K mit den urspr¨unglichen Bewegungskoordinaten an beiden Teilsystemen zusammenh¨angen: (k) f A = f (0) A + fA ,

(k) f B = f (0) B + fB

f (0) A

(2.470)

f (0) B

Dabei sind in den Vektoren bzw. die Komponenten der tats¨achlich von außen (k) auf die Teilsysteme wirkenden Kr¨afte und in den Vektoren f (k) A und f B die Koppelkraftkomponenten enthalten. (k) ΦA 0 qA pA fA = −K = −K (2.471) 0 ΦB qB pB f (k) B (0) Zu den aus Gl. (2.459) und (2.460) bekannten eingepr¨agten Kraftgr¨oßen f (0) A und f B (k) (k) kommen hier die inneren Kraftgr¨oßen f A und f B hinzu, die an den Koppelstellen auftreten. Durch Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (2.468) und (2.469) ergibt sich eine inhomogene Gleichung f¨ur das gekoppelte Gesamtsystem: pA ΩA 0 p¨ A + p¨ B pB 0 ΩB (0) T ΦA 0 ΦA 0 fA pA − K (2.472) = 0 Φ TB 0 ΦB pB f (0) B

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

167

die auch in folgender Form geschrieben werden kann: T p¨ A pA ΩA 0 ΦA 0 ΦA 0 + + ·K· p¨ B pB 0 ΩB 0 ΦB 0 Φ TB T (0) ΦA 0 fA = (2.473) 0 Φ TB f (0) B Diese Bewegungsgleichungen sind zur dynamischen Analyse des gekoppelten Systems geeignet. Daraus folgen z. B. f¨ur beliebige Erregerkraftgr¨oßen die modalen Koordinaten. Aus denen kann man wiederum gem¨aß Gl. (2.465) die Verl¨aufe der urspr¨unglichen Bewegungskoordinaten berechnen, d. h. damit auch alle interessierenden dynamischen Gr¨oßen an allen Stellen des Gesamtsystems. Aus dem homogenen Differentialgleichung-System von (2.473) folgt nach dem Einsetzen der u¨ blichen harmonischen Ans¨atze mit der noch unbekannten Eigenkreisfrequenz ω das Eigenwertproblem T Ω A − ω 2E 0 ΦA 0 ΦA 0 pA 0 ·K· = + 0 0 Φ TB 0 ΦB 0 Ω B − ω 2E pB (2.474) Daraus k¨onnen sowohl die Eigenfrequenzen als auch die Eigenformen des Gesamtsystems berechnet werden. Die Eigenformen in den urspr¨unglichen Koordinaten folgen aus der Transformation (2.465) Weitere F¨alle von Strukturkopplungen, z. B. mit Benutzung der Eigenformen der eingespannten Systeme oder mit Koppelstrukturen, die durch Masse- und Steiﬁgkeitsmatrix beschrieben werden, ﬁnden sich ausf¨uhrlich in [113]. 2.6.7 Kopplung von zwei Schwingerketten In Bild 2.65 ist ein Antriebssystem dargestellt, das aus zwei homogenen Schwingerketten und einem elastischen Kopplungsglied besteht. Die Spektralmatrizen gem¨aß Gl. (2.461) f¨ur die beiden Teilsysteme lauten: ⎞ ⎛ 0 0 0 0 ⎟ 4k ⎜ 0 0,049 52 0 0 2 ⎟ = diag(ω Ai Ω A = T1 ⎜ ) ⎠ 0 0,188 26 0 J1 ⎝ 0 0 0 0 0,388 74 ⎞ ⎛ 0 0 0 4kT2 ⎝ 2 ⎠ = diag(ω Bi 0 0,095 49 0 ΩB = ) (2.475) J2 0 0 0,345 49 Unter Beachtung der Massenmatrizen MA = J1 diag(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) = J1 · E MB = J2 diag(1, 1, 1, 1, 1) = J2 · E

(2.476)

168

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

J1 kT1

a)

q1

b)

Struktur A J1 J1 J1

J1 kT1

q2

kT1

q3

kT1

q4

J1 kT1

q5

Koppelfeder Struktur B J1 J2 J2 J2 J2

kT1

q6

kT

q7

J2

kT2 kT2 kT2 kT2

q8

q9

q10 q11

q12

c)

ϕ 1A

ϕ 1B

ϕ 2A

ϕ 2B

ϕ 3A

ϕ 3B

ϕ 4A

ϕ 4B

ϕ 5A

ϕ 5B

ϕ 6A

ϕ 7A

Bild 2.65 Zur Kopplung von zwei Schwingerketten; a) Strukturen A und B mit Koppelfeder, b) alle 7 Eigenformen der Struktur A, c) alle 5 Eigenformen der Struktur B

lauten die gem¨aß Gl. (2.466) und (2.467) normierten und entsprechend abgeschnit” tenen“ Modalmatrizen, die nur die ersten 4 Eigenformen der Struktur A bzw. die ersten 3 Eigenformen der Struktur B ber¨ucksichtigen, vgl. Bild 2.65: ⎛ ⎞ 1 1,379 −1,274 −1,106 ⎜ 1 1,106 −0,315 0,614 ⎟ ⎜ ⎟ 1 0,614 0,882 1,379 ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ A A A 0 1,414 0 ΦA = √ ⎜ 1 ⎟ = ϕA 1,ϕ2,ϕ3,ϕ4 7J1 ⎜ 1 −0,614 0,882 −1,379 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 −1,106 −0,315 −0,614 ⎠ 1 −1.379 −1,274 1,106

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

⎛ 1 ΦB = √ 5J2

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

1 1,345 −1,144 1 0,831 0,437 1 0 1,414 1 −0,831 0,437 1 −1,345 −1,144

169

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ = ϕ B1 , ϕ B2 , ϕ B3 ⎟ ⎠

(2.477)

Mit den Parameterwerten kT1 = 1 000 N · m,

kT2 = 2 000 N · m,

J1 = 0,03 kg · m ,

J2 = 0,05 kg · m2

2

lauten die Eigenfrequenzen der ungekoppelten Teilsysteme: f1A = 0 Hz,

f2A = 81,25 Hz,

f3A = 158,43 Hz,

f1B = 0 Hz,

f2B = 123,61 Hz, f3B = 235,11 Hz

f4A = 227,67 Hz,

Die Torsionsfederkonstante der Kupplung, die beide Teilsysteme miteinander verbindet, ist kT = 500 N · m Es interessiert nur der Frequenzbereich des Gesamtsystems bis zu 120 Hz. Entsprechend der in Abschn. 2.6.6 genannten Erfahrungsregel interessieren bei der modalen Synthese dann nur die Eigenfrequenzen der Teilsysteme bis zu 240 Hz. Dies wurde oben beachtet, d. h., vom Teilsystem A wurden nur die ersten nA = 4 und vom Teilsystem B nur die ersten nB = 3 Eigenfrequenzen und -formen ber¨ucksichtigt. Das Gesamtsystem mit urspr¨unglich 12 Freiheitsgraden kann damit auf ein Modell mit 7 Freiheitsgraden reduziert werden. Die Elemente der Kopplungsmatrix K ergeben sich aus den Bedingungen des Momentengleichgewichts an der Verbindung beider Teilsysteme an den Koordinaten 7 und 8, vgl. Bild 2.65. Es gilt: T78 = kT (q7 − q8 ),

T87 = −kT (q7 − q8 )

(2.478)

In Matrizenschreibweise folgt f¨ur die Kopplungsmatrix also aus einem Koefﬁzientenvergleich: ⎞ ⎛ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ (2.479) ⎟=K ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 kT −kT 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 −kT kT 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎠ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

170

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Tabelle 2.19 Elemente der Eigenvektoren (Modalmatrix Φ ) a) Eigenformen ϕ i des echten“ Gesamtsystems ” b) Eigenformen ϕ˜ i des Gesamtsystems, die durch die modale Synthese berechnet wurden a) k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ϕ1

ϕ2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0,9478 0,8463 0,7005 0,5183 0,3090 0,0835 −0,3760 −0,4745 −0,5524 −0,6064 −0,6339

ϕ3

−0,9790 −0,7013 −0,2247 0,3159 0,7667 1 0,9496 0,3099 0,0767 −0,1746 −0,3847 −0,5038

ϕ˜ 1

ϕ˜ 2

ϕ˜ 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0,9305 0,8299 0,7035 0,5134 0,2697 0,0855 −0,3743 −0,4524 −0,5477 −0,6046 −0,6205

ϕ4

−0,6426 −0,2885 0,2247 0,6140 0,6649 0,3494 −0,1588 −1 −0,7510 −0,1571 0,5090 0,9413

ϕ5

ϕ6

−0,7809 0,4672 0,9686 −0,0782 −1 −0,3235 0,8701 0,4758 −0,2565 −0,6472 −0,1758 0,5297

ϕ7

0,8936 0,0802 −0,8062 −0,9587 −0,2385 0,6988 1 −0,2183 −0,3573 −0,2252 0,0776 0,3216

ϕ˜ 5

ϕ˜ 6

ϕ˜ 7

−0,5870 0,4829 0,6726 −0,3637 −0,7371 0,2330 0,7784 −0,9683 0,0658 1 0,4153 −0,8002

b) k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−0,9980 −0,7368 −0,2380 0,3557 0,8088 0,9919 1 0,3230 0,1066 −0,1899 −0,4203 −0,5296

ϕ˜ 4

−0,6446 −0,3177 0,2195 0,6690 0,6981 0,2907 −0,1400 −1 −0,7148 −0,1687 0,4820 0,9364

0,8786 0,0234 −0,8043 −0,8405 −0,1717 0,5848 1 −0,2372 −0,3095 −0,2438 0,0469 0,3407

−0,7646 0,4441 0,9586 −0,0443 −1 −0,3793 0,9146 0,5016 −0,2523 −0,7032 −0,2037 0,5801

−0,4373 0,3072 0,5574 −0,1529 0,6911 −0,0544 1 −0,9707 0,1308 0,8698 0,3190 −0,6662

Damit kann die Eigenwertgleichung (2.474) aufgestellt werden. Sie ist eine (7 × 7)Matrix und liefert folgende N¨aherungswerte f¨ur die sieben Eigenfrequenzen: f˜1 = 0 Hz,

f˜2 = 6,69 Hz,

f˜3 = 15,54 Hz,

f˜5 = 27,92 Hz,

f˜6 = 36,76 Hz,

f˜7 = 39,67 Hz

f˜4 = 21,64 Hz,

Berechnet man unabh¨angig davon die ersten sieben damit vergleichbaren exakten Eigenfrequenzen des unverk¨urzten Gesamtsystems, so erh¨alt man die Vergleichswerte: f1 = 0 Hz,

f2 = 6,64 Hz,

f3 = 15,45 Hz,

f5 = 27,72 Hz,

f6 = 36,74 Hz,

f7 = 39,23 Hz

f4 = 21,57 Hz,

2.6 Freiheitsgradreduktion und Modellanpassung

171

Ein Vergleich zeigt, daß diese ersten sieben Eigenfrequenzen beim reduzierten System mit denen des urspr¨unglichen Systems tats¨achlich nur bis zu etwa 1 % abweichen. (Die maximale Abweichung von 1,12 % tritt bei f7 auf.) Allerdings gibt es die h¨oheren Eigenfrequenzen beim reduzierten System gar nicht mehr. Bez¨uglich der Eigenformen ist auch nur ein Vergleich mit den ersten sieben Ordnungen m¨oglich. Aus der Modalmatrix des reduzierten Gesamtsystems von Gl. (2.474) kann man mit der Transformation gem¨aß Gl. (2.465) die Elemente der Eigenvektoren (ϕ˜ i ) in den urspr¨unglichen Bewegungskoordinaten berechnen, die dann mit denen des vollst¨andigen Gesamtsystems (ϕ i ) vergleichbar sind. In Tabelle 2.19 sind die Elemente ϕ ki und ϕ˜ ki der beiden Modalmatrizen zum Vergleich angegeben. Gesamtsystem J1

J1

kT1

a)

q1

J1 kT1

q2

J1 kT1

q3

J1 kT1

q4

J1 kT1

q5

J1

kT1

q6

J2 kT

q7

J2

J2

J2

J2

kT2 kT2 kT2 kT2

q8

q9

q10 q11 q12

~ 1

~ 2

~

3

~ 4

~ 5

~ 6

~ b)

7

Bild 2.66 Ergebnisse der modalen Synthese zum Vergleich a) Skizze des Gesamtsystems, b) erste sieben Eigenformen des Gesamtsystems

172

2 Modellbildung mechanischer Antriebssysteme

Es zeigt sich, daß die Eigenformen, die hier alle mit dem Wert Eins f¨ur das gr¨oßte Element normiert wurden, zahlenm¨aßig nicht so genau u¨ bereinstimmen wie die Eigenfrequenzen. Das ist eine oft beobachtbare Tatsache. Man kann die (normalerweise zum Vergleich von berechneten und gemessenen Schwingungsformen benutzten und in Abschn. 2.5.2 n¨aher erl¨auterten) Elemente der MAC-Matrix gem¨aß 2 T ϕ i · ϕ˜ j (2.480) MAC(i, j) = T ϕ i · ϕ i ϕ˜ Tj · ϕ˜ j berechnen, um einen quantitativen Vergleich vornehmen zu k¨onnen [362]. Es ergibt sich mit den in Tabelle 2.19 enthaltenen Zahlenwerten aus Gl. (2.480): MAC(1,1) = 1, MAC(4,4) = 0,997 4,

MAC(2,2) = 0,999 6, MAC(5,5) = 0,993 1,

MAC(3,3) = 0,999 0, MAC(6,6) = 0,997 5,

MAC(7,7) = 0,945 2 Die Genauigkeit nimmt im Mittel auch hier mit der Ordnungszahl i ab, aber selbst bei der siebenten Eigenform, wo der MAC-Wert etwas abf¨allt, stimmten die Formen noch recht gut u¨ berein, vgl. dazu auch Bild 2.66. In Bild 2.66 sind die ersten sieben Eigenformen dargestellt, die das Gesamtsystem hat. Die exakten“ und die durch modale Synthese ermittelten Eigenformen un” terscheiden sich voneinander so wenig, daß man infolge der Zeichenungenauigkeit kaum Unterschiede erkennen kann. Beachtlich ist allerdings der große Unterschied zu den in Bild 2.65 dargestellten Eigenformen der Teilsysteme!

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

3.1 ¨ Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern Antriebssysteme, welche sich als Torsionsschwinger berechnen lassen, k¨onnen grob aufgeteilt werden in Baugruppen von • Erregerelementen (z. B. alle motorischen Antriebe wie Elektromotoren, Kolbenmaschinen, L¨ufter, Propeller, Bremsen, Bearbeitungsprozesse, die als Kr¨afte oder Momente von außen auf das Antriebssystem wirken) und ¨ • Ubertragungselementen (z. B. Wellen, Getriebe, Kupplungen), vgl. [215]. Die diskrete Struktur eines Drehschwingungsmodells mit allen zugeh¨origen physikalischen Gr¨oßen ist Bild 3.1 zu entnehmen.

Übersetzung M k−1

k −1

k

Mk

uk−1 J k−1 da k−1 ϕk−1

masselose Drehfeder Drehsteifigkeit Relativdämpfung M k+1

kT k−1

uk Jk da k ϕk

k +1

starre Drehmasse Absolutdämpfung

kT k

J k+1 da k+1 ϕk+1

Bild 3.1 Drehschwingungssystem als diskretes Masse-Feder-Modell

Um transiente Vorg¨ange nachbilden zu k¨onnen, sind a¨ ußere Erregungen zu ber¨ucksichtigen, die den Antriebs- bzw. Arbeitsmaschinen und den Arbeitsprozessen zuzuordnen sind. Eine Anregungsfunktion kann deshalb sowohl Antriebs- als auch reine Belastungsfunktion sein. Die zugeh¨origen Modellelemente werden hier als Erregerelemente bezeichnet, die in den zugrundezulegenden Schwingungsmodellen meistens auf eine einzige starre Drehmasse zu beziehen sind. Es ist jedoch zu beachten, daß aufgrund von R¨uckwirkungen zwischen Erreger¨ und Ubertragungselementen, motorische Antriebe auch als Teilsysteme mit diskreten

174

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Feder-Masse-Elementen abgebildet werden. In diesem Fall versteht man unter einem Erregerelement die eigentliche a¨ ußere Drehmomenteneinwirkung (z. B. der harmonische Tangentialdruckverlauf pro Zylinder eines Verbrennungsmotors, umgerechnet als auf die Kurbelwelle wirkendes Erregermoment). Entsprechend der Differentialgleichung Jk ϕ¨ k + da k ϕ˙ k + Tk = ∑ g j M jk = Mk

(3.1)

j

mit den Erregermomenten M jk = M jk (t, ϕ k , ϕ˙ k , x 1 , x 2 )

(3.2)

und g j als zeitunabh¨angige, reine zeitabh¨angige oder winkel- und winkelgeschwindigkeitsabh¨angige Gewichtung. Die a¨ ußere Drehmomentfunktion Mk , die sich wiederum aus j Einzelerregermomenten M jk zusammensetzen kann, wird auf die Drehmasse Jk bezogen und h¨angt entweder explizit oder aber u¨ ber Winkel ϕ k bzw. Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ k implizit von der Zeit t ab. Es ist ebenfalls m¨oglich, daß sich die Erregermomente aus mehrdimensionalen Kennfeldern ergeben, so daß sich noch weitere, parameterbezoge¨ ne Abh¨angigkeiten ergeben (z. B. Verbrennungsmotorkennfelder). Uber die in Gl. (3.2) beispielhaft genannten Parameter x 1 und x 2 ist wiederum eine implizite Zeit-, Winkel- bzw. Geschwindigkeitsabh¨angigkeit zu beachten. Das Erregermoment l¨aßt sich in vielen F¨allen durch Gewichtungsfunktionen g j den gemessenen Beanspruchungen besser anpassen [215]. So l¨aßt sich u¨ ber eine reine Zeitgewichtung ein sanfter Anlaufvorgang mit recht guter Qualit¨at abbilden und rechnerisch simulieren. Gewichtungen spielen vor allem auch dann eine Rolle, wenn pl¨otzliche Unstetigkeiten (wie z. B. Spiele, St¨oße und Anschl¨age) speziﬁsche Systemeigenschaften spontan a¨ ndern. Mit Tk werden die an der Drehmasse Jk angreifenden inneren Momente zusammengefaßt. Diese setzen sich aus den elastischen, d¨ampfenden (relativ d¨ampfenden) oder auch reibungsbehafteten Anteilen zusammen. Im Falle einer impliziten Zeitabh¨angigkeit beeinﬂussen die Systemantworten u¨ ber die Winkelkoordinaten ϕ k bzw. ϕ˙ k die Erregermomente M jk . Somit sind z. B. Berechnungen von geregelten und damit r¨uckwirkungsbehafteten Antrieben m¨oglich. Erregermomente werden mathematisch mit einem Antriebsmoment Man beschrieben, wenn das mittlere statische Moment Mst gr¨oßer Null ist (Beschleunigungsund somit Antriebsvorgang); bei einer negativen statischen Momentengr¨oße spricht man deﬁnitionsgem¨aß von einem Belastungsmoment. Nicht in allen F¨allen lassen sich Erregermomente als geschlossene Funktionen beschreiben. Oft liegen bei der L¨osung praktischer Aufgabenstellungen keine Details bez¨uglich der Erregerkennlinien vor. Selbst wenn der Erregermechanismus bekannt ist, k¨onnen die notwendigen Werte f¨ur die Eingabeparameter ungenau und somit bezogen auf den konkreten Praxisfall unbrauchbar sein. Sollten jedoch Meßwerte zur Verf¨ugung stehen, so kann beispielsweise ein Beschleunigungssignal an einer großen Drehmasse (z. B. an einem Schwungrad) sehr hilfreich sein f¨ur die punktweise Vorgabe des dynamischen Anteils einer Erregerfunktion. Zwischenwerte werden entweder linear oder auch u¨ ber Splines interpoliert.

¨ 3.1 Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern

175

Zur Beurteilung des Erregerverhaltens spielen die typischen Erregerfrequenzen eine wichtige Rolle, vgl. Bild 2.4. Die Erregerfrequenzen sind entweder im Falle von einigen elektrischen Maschinen netzabh¨angige Festfrequenzen oder im Regelfall einfach bzw. k-mal proportional zur Erregerdrehzahl (Motordrehzahl). Tabelle 3.1 faßt die wichtigsten Erregerfrequenzen zusammen, die externen Erregermomenten zugeordnet werden. Tabelle 3.1 Erregerfrequenzen typischer Erregerelemente [54], [319], [339] Erregerelemente 1

Pumpe, L¨ufter, Ventilator, Propeller zP Anzahl von Schaufeln, Bl¨attern

2

spezielle Impeller-Anregung zR Anzahl der Rotorbeschaufelung, zS Anzahl der station¨aren Schaufeln, q gr¨oßter gemeinsame Nenner aus zR und zS Kolben-Kompressor, Pumpe, 2-TaktVerbrennungsmotor 4-Takt-Verbrennungsmotor

3 4 5

6

7

AC-Motor (Generator) fN Netzfrequenz (50 oder 60 Hz) p Anzahl der Pole (z. B. 2, 4) frequenzgeregelter Antrieb (VFD) pV Anzahl der Pulse (VFD) (z. B. 6, 12) p Anzahl der Pole (AC-Motor) (2, 4) Ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Mechanismen, vgl. Abschn. 4.4

Erregerfrequenzen (bezogen auf die jeweilige Drehfrequenz f ) Blattpassierfrequenz (Schaufelfrequenz): zP · f (zR · zS /q) · f

1, 2, 3, . . . , k · f (ganze Ordnungen k) 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; . . .; k · f (halbe Ordnungen k) 1 · fN 2 · fN p· f 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; . . .; k · pV · p · f k · f ; k = 1, 2, . . . ,K (K = Ordnung der h¨ochsten Harmonischen)

¨ Ubertragungselemente lassen sich grob in die folgenden drei Hauptgruppen aufteilen: • Wellen (Torsionsstab, evtl. Ber¨ucksichtigung von Wellen-Naben-Verbindungen) • Getriebe (z. B.: Zahnradgetriebe, Umlaufr¨adergetriebe, Schneckengetriebe, Riemengetriebe, hydrodynamische Getriebe, Ber¨ucksichtigung aller winkel- und geschwindigkeitsabh¨angigen Eigenschaften) • Kupplungen (z. B.: elastische Kupplungen, mehrstuﬁge Fahrzeugkupplungen, Schalt- und Rutschkupplungen, Freil¨aufe, Gelenkwellen) ¨ Wesentlich sind manchmal nichtlineare Effekte, die sich Ubertragungselementen (Wellen, Getrieben, Kupplungen) zuordnen lassen wie z. B. Spiele und D¨ampfungen. Dadurch h¨angt die dynamische Beanspruchung von der a¨ ußeren Anregung nichtline¨ ar ab. Die Ubertragungselemente sorgen daf¨ur, daß sich die Drehmoment¨ubertra¨ gung zwischen zwei benachbarten Drehmassen vollzieht. Diese sogenannten Uber-

176

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

tragungsmomente h¨angen von der Steiﬁgkeit, der D¨ampfung, dem Verdrehwinkel, der Verdrehwinkelgeschwindigkeit oder manchmal explizit von der Zeit ab. F¨ur die an der Drehmasse Jk angekoppelten Drehsteiﬁgkeiten kT k lassen sich die ¨ inneren Ubertragungsmomente Tk wie folgt formulieren: Tk = Tel k + Td k + Tr k

(3.3)

wobei im allgemeinen gilt: Tel k =

kT k ∆ ϕ k uk

elastisches Moment

(3.4)

Td k =

dT k ∆ ϕ˙ k uk

D¨ampfungsmoment

(3.5)

Reibungsmoment

(3.6)

Tr k = Tr k (∆ ϕ k , ∆ ϕ˙ k )

In den Gln. (3.4) bis (3.6) wird mit ∆ ϕ k der Differenzwinkel bzw. mit ∆ ϕ˙ k die Differenzwinkelgeschwindigkeit zwischen zwei benachbarten Drehmassen unter Ber¨uck¨ sichtung der Ubersetzung uk bezeichnet. Es gilt: ∆ϕk =

ϕk

uk

− ϕ k+1 ;

∆ ϕ˙ k =

ϕ˙ k

uk

− ϕ˙ k+1

(3.7)

¨ Die Einf¨uhrung einer Ubersetzung uk hat den Vorteil, daß auf die sonst u¨ blichen Drehmassen- bzw. Drehsteiﬁgkeitsreduktionen verzichtet werden kann. Unter Re” duktion“ versteht man hier die Umrechnung einer Massentr¨agheit oder Drehsteiﬁgkeit (oder auch Relativd¨ampfung) in eine dynamisch ad¨aquate Gr¨oße, das heißt in eine Gr¨oße gleicher kinetischer oder potentieller Energie. Die Reduktion erfolgt auf eine Bildwelle“, die sich in den meisten praktischen Anwendungen mit der Motor” drehzahl dreht. Bei der Beurteilung der Massen- und Steiﬁgkeitsverteilung bez¨uglich des Energieinhalts in einem Schwingungssystem ist die zahlenm¨aßige Gegen¨uberstellung von reduzierten Massen und Steiﬁgkeiten vorteilhaft. Gesamtmassen und Gesamtnachgiebigkeiten lassen sich einfach aus einer Bildwelle ableiten. Allgemein l¨aßt sich folgender Zusammenhang formulieren: R = Jred

JW K

∏

(3.8)

u2k

k=1

wobei mit R die Bildwelle bezeichnet wird und mit W irgendeine Welle, die u¨ ber ¨ eine oder mehrere Ubersetzungen in Beziehung zur Welle R steht. Die Gesamt¨ubersetzung wird als Produkt der Einzel¨ubersetzungen gebildet. F¨ur die Reduktion von Drehsteiﬁgkeiten kT k und Relativd¨ampfungen dT k gilt die analoge Beziehung nach Gl. (3.8). ¨ Die Ubersetzung uk wird im Regelfall durch geometrische Beziehungen vorgegeben, so z. B. im Falle eines Stirnrad- bzw. Kegelradgetriebes u¨ ber das Verh¨altnis von Z¨ahnezahlen z bzw. u¨ ber das Verh¨altnis von Teilkreisdurchmessern d. Bei Riemenund Kettengetrieben gelten analoge Betrachtungsweisen u¨ ber die Rad- und Scheibendurchmessern. Bei Zahnrad- bzw. Zugmittelgetrieben k¨onnen auch die Drehzahl¨ verh¨altnisse zur Bestimmung des Ubersetzungsverh¨ altnisses in Beziehung gesetzt

¨ 3.1 Erreger- und Ubertragungselemente von Torsionsschwingern

¨ Tabelle 3.2 Kennlinien von Ubertragungselementen [215] 1

Baugruppe Spiel in Wellen, Getrieben und Kupplungen, vgl. auch Bilder 2.6 und 4.19

Kennlinien-Darstellung

M ∆ϕ

δ 2

Zahnradgetriebe, vgl. auch Bild 3.12

k km

0 3

elastische Kupplung, vgl. Abschn. 3.4.2.2

2π 4π

zϕ

M

∆ϕ 4

Kupplung mit mehrstuﬁger Elastizit¨at, vgl. Abschn. 3.4.2.2

M

∆ϕ 5

Reibungsbehaftetes Antriebselement, vgl. Tabelle 3.9

M

∆ϕ 6

Rutschkupplung, vgl. Abschn. 5.4.3

M M R1 M R2 & ∆ϕ, ∆ϕ & ∆ϕ

7

Freilauf, vgl. Abschn. 5.4.3

M

∆ϕ

177

178

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

¨ Tabelle 3.3 Erregerfrequenzen typischer Ubertragungselemente ¨ Ubertragungselemente 1

2 3 4

Kupplung (+ Spiel), Zentrifugalkompressor, Turbine (Anregung aufgrund von Unwuchten, Exzentrizit¨aten, Fluchtfehlern) Gelenkwelle, Kurbelgetriebe Zahnradgetriebe z Z¨ahnezahl W¨alzlager

Erregerfrequenzen (bezogen auf die jeweilige Drehfrequenz f ) 1· f 2· f 2· f Zahneingriffsfrequenz: 1, 2, 3 · z · f vgl. Tabelle 3.5

werden. Somit l¨aßt sich folgendes formulieren (Indizes beziehen sich auf die Bezeichnungen in Bild 3.1): uk =

ϕ˙ k zk+1 dk+1 = = zk dk ϕ˙ k+1

(3.9)

¨ Zu den Ubertragungselementen sollen hier auch Baugruppen mit ver¨anderlichen Parametern hinzugez¨ahlt werden. Derartige Baugruppen zeichnen sich dadurch aus, daß je nach Erregertyp das Tr¨agheitsmoment J bzw. die Drehsteiﬁgkeit k bzw. die ¨ Relativd¨ampfung d bzw. die Ubersetzung stellungsabh¨angige (z. B. periodische) Ei¨ genschaften haben. Die in den folgenden Abschnitten beschriebenen Ubertragungselemente stellen repr¨asentative Beispiele aus der Vielzahl der in der Antriebstechnik ¨ vorkommenden Elemente dar. Eine Ubersicht ist der Tabelle 3.2 zu entnehmen. Die typischen Erregerfrequenzen von Baugruppen mit ver¨anderbaren Parametern sind in der Tabelle 3.3 zusammengefaßt.

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente 3.2.1 Zylinder- und Kegelelemente F¨ur jedes Schwingungsmodell, das aus mehreren Masse- und Feder-Elementen besteht und als gerades, verzweigtes oder vermaschtes System abgebildet werden kann, ergibt sich die Frage nach der Ermittlung der entsprechenden Parameter. Die Parameterwerte sind entscheidend f¨ur die Abbildungsqualit¨at des Realsystems durch das Schwingungsmodell und somit f¨ur die darauf folgende Berechnung. Zu den Parametern, die f¨ur die Modellbildung eines Antriebssystems hinsichtlich der Drehschwingungsanalyse von Bedeutung sind, z¨ahlen Tr¨agheitsmomente J, Federsteiﬁgkeiten k, Absolutd¨ampfungen da und Relativd¨ampfungen d. Es ist die Aufgabe des Ingenieurs, diese Parameterwerte anhand von Konstruktionszeichnungen so weit wie m¨oglich zu ermitteln. Falls n¨otig, m¨ussen ggf. auch Absch¨atzungen vorgenommen werden. In manchen F¨allen werden auch Tr¨agheits-

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

179

momente und Drehsteiﬁgkeiten sowie Lagerdaten von Herstellern katalogm¨aßig zur Verf¨ugung gestellt. Im Regelfall wird bei der Berechnung der Tr¨agheitsmomente und Steiﬁgkeiten von Drehschwingungssystemen die abgesetzte Welle zugrunde gelegt, falls nicht schon durch die Zuordnung von diskreten Massen zu Erregerelementen bzw. diskre¨ ten Steiﬁgkeiten zu Ubertragungselementen die Parameter von vornherein durch Katalogwerte gegeben sind. Normalerweise m¨ussen den einzelnen Wellenabschnitten noch die Anteile aus den durch das Modell abgesetzte Welle nicht beschreibbaren Anteile von Massen und Steiﬁgkeiten zugeschlagen werden [189]. Bild 3.2 zeigt eine abgesetzte Welle und die vereinfachte Diskretisierung in Tr¨agheitsmomente und Federsteiﬁgkeiten. Prinzipiell wird hierbei der Schwerpunkt von jedem einzelnen Wellenelement (Zylinder- bzw. Kegelelement) als Bezugspunkt betrachtet. 1

2

kT1

J1

3

kT2

J2

4

kT3

J3

5

kT4

J4

6

kT5

J5

diskretes Masse-Feder-System J6

Bild 3.2 Diskretes Masse-Feder-System als Modell einer abgesetzten Welle

F¨ur die Berechnung des polaren Tr¨agheitsmomentes Jp k (im Folgenden kurz Jk genannt) eines zylindrischen K¨orpers gilt: Jk = Ip · l;

Ip =

πd4

32

(3.10)

mit der Dichte und dem polaren Fl¨achentr¨agheitsmoment Ip . Die Steiﬁgkeit kT zwischen zwei benachbarten Zylinderelementen k und k + 1 berechnet sich bei einer Reihenschaltung zu: −1 1 1 + (3.11) kT = kT k kT k+1 Die Teilsteiﬁgkeiten kTk lassen sich aus den halben Zylinderl¨angen des Zylinderelements kTk in erster N¨aherung wie folgt bestimmen: kTk =

GIp lk

(3.12)

In gleicher Weise l¨aßt sich die Relativd¨ampfung di aus zwei D¨ampfungsanteilen dk und dk+1 analog zur Gl. (3.11) bestimmen.

180

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

lk

lk+1 k +1

dk

d k+1

k

∆l lk+1/2

lk /2

Bild 3.3 Modell einer einfach abgesetzten Welle mit zwei Zylinderelementen k und k + 1

Falls ein Hohlzylinderelement zugrunde gelegt wird, berechnet man das polare Fl¨achentr¨agheitsmoment Ip aus π

Ip =

(3.13) (d 4 − d14 ) 32 2 mit Innendurchmesser d1 und Außendurchmesser d2 . Es kann sinnvoll sein, ein Einzelelement in mehrere Abschnitte aufzuteilen. F¨ur einen kegeligen Wellenabschnitt mit kleinen Keilwinkeln (entsprechend Bild 3.4) gilt f¨ur d1 < d2 folgende Beziehung f¨ur das gesamte Tr¨agheitsmoment: J=

π d25 − d15

160 d2 − d1

l

(3.14)

Falls das Kegelelement als eine einzige diskrete Drehmasse abgebildet wird, ergeben sich rechts und links vom Schwerpunkt S zwei Teilsteiﬁgkeiten k1 und k2 . Die Teilsteiﬁgkeiten ergeben sich bezogen auf die Teill¨angen l1 und l2 zu: kT1 = mit

GIp ; l1 γ 1

kT2 =

GIp l2 γ 2

% 2 3 & d1 d1 1 d1 ; γ1 = + + 3 dS dS dS

(3.15) % 2 3 & dS dS 1 dS γ2 = + + 3 d2 d2 d2

(3.16)

Die Teill¨angen l1 und l2 sind jeweils die Abst¨ande von der Kegelstirnﬂ¨ache zum Schwerpunkt S: l2 =

l 2d1 + d2 ; 3 d1 + d2

l1 = l − l2

(3.17)

F¨ur den Kegeldurchmesser im Schwerpunkt S gilt: dS = d1 +

l1 (d2 − d1 ) l

(3.18)

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

181

Kegelelement

d2

d1

dS

S

J1 l1

l2

J2

l Bild 3.4 Geometrie an einem kegeligen Wellenabschnitt

Die Teilsteiﬁgkeiten k1 bzw. k2 m¨ussen mit den benachbarten Teilsteiﬁgkeiten kk−1 bzw. kk+1 in Reihe zu der jeweiligen Gesamtsteiﬁgkeit geschaltet werden, vgl. Bild 3.2 und Gl. (3.11). Bei k¨urzeren Kegelabschnitten kann es jedoch auch sinnvoll sein, die Drehmasse des Kegelelementes nach rechts und links vom Schwerpunkt aufzuteilen.

3.2.2 Zusatzl¨angen und Nachgiebigkeitsfaktoren Da der Kraftﬂuß bei Wellenabs¨atzen – a¨ hnlich wie bei einer Str¨omung – den spontanen Durchmesserspr¨ungen nicht direkt folgen kann, bewirkt die Berechnung der Stei¨ ﬁgkeiten nach Gl. (3.11) die Abbildung einer zu harten“ Steiﬁgkeit. An den Uber” gangsstellen zu den gr¨oßeren Zylinderelementen existieren kraftﬂußfreie Bereiche, die mit den Totwassergebieten in der Hydrodynamik zu vergleichen sind. Dieser Effekt l¨aßt sich rechnerisch durch sogenannte Zusatzl¨angen ∆l n¨aherungsweise erfassen, wenn keine pr¨aziseren FEM-Ergebnisse vorliegen [133], [138], [281], vgl. auch Abschn. 2.4.4.4. Dies bedeutet, daß die Zylinderelemente mit dem kleineren Durchmesser um einen bestimmten Betrag ﬁktiv verl¨angert werden, um auf diese Art und Weise die zus¨atzliche Nachgiebigkeit aufgrund des Wellenabsatzes abzubilden (siehe Bild 3.3 mit eingetragener Zusatzl¨ange ∆l). F¨ur dk < dk+1 gelten f¨ur die Teilsteiﬁgkeiten kk bzw. kk+1 folgende neuen L¨angen: lk∗ = kk + ∆l;

∗ lk+1 = lk+1 − ∆l

(3.19)

Ausf¨uhrliche Untersuchungen u¨ ber Zusatzl¨angen verschiedener Typen von Wellenabs¨atzen und die Berechnung mit Hilfe von Bessel-Funktionen sind in der Arbeit [281] zu ﬁnden. In Bild 3.5 sind die Zusatzl¨angen f¨ur einfach abgesetzte Wellen ¨ ¨ mit Ubergangsradius r dargestellt. Bei großen Ubergangsradien und großen Durchmesserverh¨altnissen kann die Zusatzl¨ange negativ werden, was einer Verh¨artung des ¨ Wellen¨ubergangs entspricht. In diesem Fall w¨are jedoch die Modellierung des Ubergangs mit einem zwischengeschalteten Kegelelement sinnvoller.

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Zusatzlänge

182

bezogener Radius

Durchmesserverhältnis Bild 3.5 Bezogene Zusatzl¨angen f¨ur einfach abgesetzte Wellenabschnitte mit ¨ Ubergangsradius r in Abh¨angigkeit vom Durchmesserverh¨altnis und bezogenem Radius r [281]

F¨ur r = 0 l¨aßt sich die Zusatzl¨ange auch vereinfacht durch drei Bereiche wie folgt beschreiben: ⎧ ⎪ f¨ur 0 < δ 0,3 ⎨0,155 (3.20) λ = −0,115δ + 0,189 5 f¨ur 0,3 δ 0,5 ⎪ ⎩0,264 · (1 − δ ) f¨ur 0,5 δ 1 mit λ = ∆l/dk und δ = dk /dk+1 . Das in Bild 2.47 dargestellte Beispiel einer Getriebewelle wurde zun¨achst als 6Massen-System ohne Zusatzl¨angen hinsichtlich der Eigenfrequenzen und Eigenfor-

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

183

men berechnet. Eine Vergleichsrechnung mit Zusatzl¨angen nach Gl. (3.20) zeigte eine Absenkung der Eigenfrequenzen zwischen 4 und 12 %, w¨ahrend die Eigenformen unver¨andert blieben. Die Steiﬁgkeiten nahmen bis zu 22 % ab. Zusatzl¨angen haben nur einen geringen Einﬂuß auf das Ergebnis, wenn die L¨angen der Zylinderelemente relativ groß im Verh¨altnis zum Wellendurchmesser sind. Einen Einﬂuß auf die Steiﬁgkeit eines Zylinderelements haben Paßfederverbindungen. Nach [174] wird dieser Einﬂuß durch einen Nachgiebigkeitsfaktor ψ > 1 zum Ausdruck gebracht. Dieser gibt an, um wieviel eine Welle mit gegen¨uber einer glatten weicher wird. Als wirksamer Durchmesser d ∗ einer Welle mit Nut wird der Wellendurchmesser d abz¨uglich der Nuttiefe h zugrunde gelegt. Die Teilsteiﬁgkeit berechnet sich dann zu: kT =

GIp (d ∗ ) ψ l

mit d ∗ = d − h

(3.21)

1,2 h

ψ 1,1

d* d

1,0 0 a)

0,1 t = h /d *

0,2

1,8 ψ 1,6 180°

1,4 1,2 1,0 0 b)

0,1 t = h /d *

0,2

Bild 3.6 Ermittlung des Nachgiebigkeitsfaktors ψ f¨ur Wellen mit Nut [174]

Bild 3.6 zeigt die Zusammenh¨ange zwischen der Nuttiefe, dem wirksamen Wellendurchmesser und dem Nachgiebigkeitsfaktor ψ . Man kann den Faktor ψ auch in diesem Fall vereinfacht durch zwei Geradengleichungen f¨ur die betreffende WellenNaben-Verbindung berechnen. F¨ur die Welle mit einer einzigen Paßfeder gilt dann mit der Abk¨urzung t = h/d ∗ : ' 1 f¨ur t 0,05 ψ = (3.22) 0,96 + 0,8t f¨ur t 0,05

184

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

F¨ur die Welle mit zwei um 180◦ versetzten Paßfedern gilt: ' 1 + 2t f¨ur t 0,1 ψ = 0,76 + 4,4t f¨ur t 0,1

(3.23)

Korrekturen bei anderen Wellenausf¨uhrungen (z. B. bei exzentrisch gebohrten Wellen, konischen Wellen, konisch gebohrten zylindrischen Wellen) sind in [133], [247] anhand von Diagrammen bzw. Formeln zusammengestellt. 3.2.3 Drehsteiﬁgkeiten von Kurbelwellen Die Berechnung von Drehsteiﬁgkeiten von Kurbelwellen geschieht im Normalfall nicht mehr nach den in den vorherigen Abschnitten beschriebenen Regeln, sondern wird anhand einer detaillierten strukturmechanischen Modellierung auf der Basis von CAD-aufbereiteten Geometriedaten mit Hilfe der Finiten-Elemente-Methode (FEM) durchgef¨uhrt. In diesen Berechnungen werden nicht nur Steiﬁgkeiten sondern auch die Ermittlung von Massentr¨agheiten erfaßt. Umfangreiche Strukturberechnungen von Kurbelwellen sind zwar im Regelfall recht genau, stehen aber f¨ur erste rechnerische Untersuchungen nicht immer sofort zur Verf¨ugung. Gerade im Entwurfsstadium kommt der vereinfachten, aber dennoch praxisnahen Modellierung von Kurbelwellen eine besondere Bedeutung zu. Im folgenden wird lediglich auf die Berechnung von Kurbelwellen-Drehsteiﬁgkeiten n¨aher eingegangen. Fr¨uher konnten Steiﬁgkeitswerte nur anhand von Messungen (Verdrehversuchen) ermittelt und dann anhand von (semi-) empirischen Formeln dem Berechnungsingenieur zur Verf¨ugung gestellt werden [140], [247]. Grunds¨atzliche Berechnungsvorschriften f¨ur Kurbelwellen, die sich vor allem auch auf die festigkeitsm¨aßige Auslegung beziehen, werden in den einschl¨agigen Schiffsbau-Richtlinien [224] und [117] detailliert behandelt. Die wichtigsten Formeln, die man auch heute noch f¨ur Berechnungen anwendet, sind in [133], [138], [140] zusammengestellt. In der Triebwerksberechnung ist es u¨ blich, die Gesamtsteiﬁgkeit aus den sog. a¨ quivalenten L¨angen“ le (auch reduzierte L¨angen“ genannt) zu ermitteln [133], ” ” [247], [140]. Unter der a¨ quivalenten L¨ange versteht man die L¨ange einer virtuellen Vollwelle mit vorgegebenem Referenzdurchmesser de und dem gleichen Materialkennwert Ge sowie der gleichen Drehsteiﬁgkeit kT wie bei der gestuften, realen Kurbelwelle. F¨ur die Steiﬁgkeit gilt demnach: kT =

Ge Ip (de ) le

(3.24)

F¨ur eine abgesetzte Welle mit zylindrischen Abschnitten l¨aßt sich folgender Zusammenhang formulieren: le = Ge de4 ∑ j

lj G j (d24 j − d14 j )

(3.25)

mit Innendurchmesser d1 j und Außendurchmesser d2 j . Unter Zugrundelegung der a¨ quivalenten Gr¨oßen sowie des in Bild 3.7 angegebenen Ersatzmodells berechnet sich die Drehsteiﬁgkeit f¨ur einen Kurbelwellenab-

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

185

Bild 3.7 Geometrische Gr¨oßen eines Hubzapfens mit anteiliger Welle f¨ur die Berechnung der Drehsteiﬁgkeit eines Kurbelwellenabschnitts (nach [138])

schnitt nach verschiedenen in der Literatur vorgestellten Formeln. Der mathematische Zusammenhang wird urspr¨unglich in Form einer Nachgiebigkeitsgr¨oße ε = le /de4 dargestellt. Die Ausgangsgleichung f¨ur die a¨ quivalente Steiﬁgkeitsberechnung lautet: π Ge (3.26) kT = 32ε Als a¨ quivalenter Durchmesser de wird der Wellenaußendurchmesser ds festgelegt. Die nachfolgenden Formeln lassen sich je nach Anwendungsfall alternativ einsetzen: a) Formel nach W ILSON ε =

b + 0,4d1s a + 0,4d2c r − 0,2 · (d2s + d2c ) + 4 + 4 − d4 4 h · w3 d2s d − d 1s 2c 1c

b) Formel nach Z IAMANENKO [247] w d2s b + 0,6h d2s 0,8a + 0,2 r3/2 b + r √ ε = + 4 − d4 4 − d4 d2s d2c hw3 d2c 1s 1c c) Formel nach C ONSTANT [53] b 1 a 0,94 ε = · + 4 + 4 − d4 4 α 1α 2α 3α 4 hw3 d2s d2c − d1c 1s

(3.27)

(3.28)

(3.29)

In der Formel (3.29) werden noch Beiwerte α 1 , α 2 , α 3 , α 4 ben¨otigt, die sich gem¨aß den folgenden Gleichungen bestimmen lassen. Der Beiwert α 1 korrigiert den Einﬂuß der Wangenbreite im Verh¨altnis zum Wellendurchmesser: ⎧ −1/2 ⎪ ws −d1s wc −d1c ⎨ 1 − 0,082 5 · + − 0,32 f¨ur d1s > 0 α1 = (3.30) 2ws 2wc ⎪ ⎩0,9 f¨ur d1s = 0

186

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

¨ Mit α 2 wird die Anderung der Wangendicke ber¨ucksichtigt. Es gilt: ⎧ 4h 4h 3 ⎪ ⎪ f¨ur > ⎨1666 − l l 2 (3.31) α2 = ⎪ 4h 2 ⎪ ⎩1 f¨ur l 3 Die Gr¨oße sowie auch Anordnung der Wangenfasen (Wangenschr¨agen) gehen in den Beiwert α 3 ein: ⎧ 1,010 ohne Fase an den Wangen ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1,000 f¨ur Fase AB und A B ⎪ ⎪ ⎨0,965 f¨ur Fase CD α3 = (3.32) ⎪ 0,930 f¨ur Fase CD und CD ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0,950 f¨ur Fase EF ⎪ ⎪ ⎩ 0,900 f¨ur Fase EF und E F Der Lagereinﬂuß wird u¨ ber α 4 abgebildet: ' β f¨ur β 1 α4 = 1 f¨ur β < 1

(3.33)

mit β = pl 3 w/(d24 −d14 )+q. Dabei ist p = 0,002 9; q = 0,91 f¨ur Schiffsmotoren und große Station¨arantriebe und p = 0,01; q = 0,84 f¨ur Fahrzeug- und Flugmotoren. Die Formel (3.29) gilt f¨ur Kurbelwellen mit großen Bohrungen und Wangenfasen. Weitere Formeln zur Ermittlung der a¨ quivalenten L¨ange werden als Redukti” onsformeln“ in [140] ausf¨uhrlich vorgestellt, auf die hier nicht n¨aher eingegangen wird. Die Formeln von G EIGER, S EELMANN, C ARTER und T UPLIN sowie auch die B ICERA-Formel von der British Internal Combustion Engine Research Association werden in der genannten Literatur generell in folgender, anschaulicher Schreibweise pr¨asentiert, siehe auch [133]: le = qs

Ipe Ipe Ipe + qc + qw Ips Ipc Ipw

(3.34)

Der Koefﬁzient qs ber¨ucksichtigt die Elastizit¨at des Wellenzapfens einschließlich eines Wangenanteils. Mit dem Koefﬁzienten qc wird die Elastizit¨at des Hubzapfens erfaßt, w¨ahrend der dritte Koefﬁzient qw die Biegebeanspruchung der Wange infolge des am Hubzapfen wirkenden Torsionsmomentes widerspiegelt. 3.2.4 ¨ Dampfungswerte von Torsionsschwingern Die Ermittlung von praxisnahen D¨ampfungswerten unterliegt im Regelfall immer großen Unsicherheiten, da ein Zusammenhang zwischen D¨ampfung und geometrischen Angaben nicht generell hergestellt werden kann. Wenn versuchstechnisch gewonnene Werte entweder nicht vorliegen bzw. auf den betreffenden Anwendungsfall nicht u¨ bertragbar sind, kann nur mit N¨aherungswerten gearbeitet werden.

187

3.2 Parameterwerte einzelner Elemente

Die D¨ampfung eines Schwingungssystems stammt aus • a¨ ußerer D¨ampfung (Absolutd¨ampfung): D¨ampfung durch a¨ ußere Bewegungswiderst¨ande (F¨uhrungen, Lagerungen), • innere D¨ampfung (Relativd¨ampfung): D¨ampfung durch innere Verformungswiderst¨ande in den elastischen Bauteilen (material- bzw. werkstoffabh¨angig). Solange keine a¨ ußeren Drehmomente konkret als Belastungsgr¨oßen funktional beschreibbar sind, lassen sich Drehmomente, die von außen auf das Antriebssystem ¨ wirken, auch als Absolutd¨ampfungsmoment beschreiben. Ublich ist der Ansatz der viskosen D¨ampfung, vgl. Bild 3.1 und Gl. (3.1): Td k = dd k ϕ˙ k

(3.35)

In vielen F¨allen lassen sich die D¨ampfungskonstanten dd k nur experimentell ermitteln. F¨ur bestimmte Maschinen existieren zur Berechnung der absoluten D¨ampfungskoefﬁzienten da (in N · m · s/rad) auch analytische Ans¨atze [150]: a) Schubkurbelgetriebe in Kolbenmotoren: da = µ Ar2

(3.36)

mit Kolbenﬂ¨ache A in m2 , Kurbelradius r in m und D¨ampfungsbeiwert µ . F¨ur den D¨ampfungsbeiwert µ werden folgende Werte angenommen: µ = 1,5 · 104 . . . 2,0 · 104 N · s/m3

f¨ur Kraftfahrzeugmotoren

µ = 4,0 · 10 . . . 5,0 · 10 N · s/m

f¨ur (Groß-)Dieselmotoren

4

4

3

b) Kreiselverdichter, Ventilatoren, Gebl¨ase: da = 19,1

Mab n

(3.37)

mit Mab in N · m, n in min−1 . c) Schiffsschrauben: da = 38,2

Mab n

(3.38)

mit Mab in N · m, n in min−1 . In den letzten beiden Gleichungen wird mit Mab der Absolutwert des mittleren Abtriebsmoments bezeichnet. Es ist oft u¨ blich, daß anstelle der in Gln. (3.37) und (3.38) genannten Absolutd¨ampfungskoefﬁzienten der Hersteller Kennlinien in Form einer (meist quadratischen) drehzahlabh¨angigen Kurve vorgibt. Da die D¨ampfungskoefﬁzienten di im Regelfall nicht bekannt sind, l¨aßt sich u¨ ber den dimensionslosen D¨ampfungsgrad D (Lehrsches D¨ampfungsmaß) eine n¨aherungsweise, praxistaugliche Berechnung realisieren [215]. Hierzu wird in einem ersten Berechnungsgang das Eigenverhalten des unged¨ampften Schwingungssystems berechnet. F¨ur die Zuordnung gilt die Annahme, daß der gr¨oßte lokale Anteil der potentiellen Energie einer Eigenform die entsprechende Eigenfrequenz prim¨ar beeinﬂußt.

188

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Da f¨ur den D¨ampfungsgrad D Erfahrungswerte vorliegen, l¨aßt sich aus der Beziehung dT =

2DkT

(3.39)

ωi

der dimensionsbehaftete D¨ampfungskoefﬁzient dT f¨ur die Relativd¨ampfung ermitteln. Hierbei besteht eine Zuordnung zwischen dem Wellenabschnitt (kT ), in dem die potentielle Energie der zugewiesenen Eigenform maximal ist, und der zugeh¨origen Eigenkreisfrequenz ω i . Es sei an dieser Stelle angemerkt, daß eine derartige Zuordnung besonders bei mehrfach verzweigten oder gar vermaschten Systemen nicht immer eindeutig gegeben ist. Bei diesem Verfahren wird einem Steiﬁgkeitsort“ immer eindeutig eine Eigen” kreisfrequenz ω i zugeordnet. Es k¨onnen jedoch umgekehrt mehrere Steiﬁgkeitsorte einer einzigen Eigenkreisfrequenz zugewiesen werden. Zahlreiche rechnerische Untersuchungen haben gezeigt, daß die Zuordnung tieferer Eigenkreisfrequenzen generell bevorzugt werden muß, damit das D¨ampfungsverhalten des Schwingungssystems praxisgerecht abgeglichen werden kann (im Regelfall Eigenfrequenzen bis zu 100 Hz). Man kann hieraus auch den Schluß ziehen, daß in vielen Untersuchungen, in denen ohnehin das Grundverhalten des Schwingungssystems prim¨ar von Interesse ist, die Ungenauigkeit von D¨ampfungswerten bez¨uglich h¨oherer Eigenkreisfrequenzen ggf. nicht ins Gewicht f¨allt. Andererseits muß beispielsweise bei dynamischen Untersuchungen von Zahnradstufen gerade das h¨ohere Frequenzverhalten (meist 500 . . . 2 500 Hz) m¨oglichst exakt datenm¨aßig abgebildet werden, damit z. B. eine akustische St¨orschwingung rechnerisch gut nachgebildet werden kann. Erfahrungswerte f¨ur den D¨ampfungsgrad D sind der Tabelle 3.4 zu entnehmen [215]. Tabelle 3.4 Erfahrungswerte f¨ur den D¨ampfungsgrad D ¨ Ubertragungselement

Dimensionsbereiche

Richtwerte f¨ur den D¨ampfungsgrad D

Welle (St)

d 100 mm

0,005

Welle (St)

d > 100 mm

0,01

Zahnradstufe

P 100 kW

0,02

Zahnradstufe

P = 100 . . . 1 000 kW

0,04

Zahnradstufe

P > 1 000 kW

0,06

elastische Kupplung

siehe Herstellerkataloge

0,02 . . . 0,2

Im Einzelfall m¨ussen die in Tabelle 3.4 genannten Richtwerte vom jeweiligen Hersteller u¨ berpr¨uft werden und f¨ur vorgegebene Randbedingungen meßtechnisch eingehend veriﬁziert werden. Der D¨ampfungsgrad D kann auch f¨ur den Resonanzbereich aus Ans¨atzen umgerechnet werden, die in Abschn. 3.5 angegeben sind.

¨ 3.3 Walzlager und Fugen

189

3.3 ¨ Walzlager und Fugen 3.3.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Antriebssysteme bestehen aus relativ zueinander bewegten K¨orpern, die u¨ ber Lager, Gelenke, Kupplungen und andere Maschinenelemente untereinander und mit dem Tragsystem (Gestell) verbunden sind. Verbindungselemente (oder -stellen) besitzen im Vergleich mit den kompakten K¨orpern oft eine deutlich geringere Steiﬁgkeit, weshalb deren Ermittlung besondere Aufmerksamkeit gewidmet werden muß. Das Steiﬁgkeitsverhalten der Gelenke, Lager- und Kontaktstellen ist f¨ur das Deformationsund Schwingungsverhalten von großer Bedeutung und muß bei der Modellbildung entsprechend ber¨ucksichtigt werden. Es gibt eine weit entwickelte Gleitlagertheorie, die es erm¨oglicht, die Feder- und D¨ampfungskennwerte der Gleitlager auf Grund der hydrodynamischen Schmierﬁlmtheorie zu berechnen [201], [202], [333], Bd. 3, vgl. auch DIN 2204-3 (Auslegung von Gleitlagerungen, Berechnung). Die Steiﬁgkeit der Gleitlager spielt insbesondere in der Rotordynamik eine Rolle. Bez¨uglich der dynamisch bedeutungsvollen Kennwerte der W¨alzlager und Fugen liegen aus den vergangenen Jahrzehnten viele experimentelle Untersuchungsergebnisse vor, vgl. [43], [47], [173], [177], [182], [261], [333], [342], [343], [345], [351], [363].

radiale Lagersteifigkeit in N/mm

Gleitlager (ungeschmiert) 106

Wälzlager (einreihig)

105

10 4

103

10 2

Elastomergelenke (statisch belastet)

0

50

100

150

200

Außendurchmesser des Lagers in mm

Bild 3.8 Lagersteiﬁgkeiten als Funktion des Außendurchmessers [106]

190

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

W¨alzlager beeinﬂussen den Schwingungszustand eines Antriebssystems in verschiedener Hinsicht. Sie wirken sowohl als Schwingungserreger als auch als Federn und D¨ampfer [363]. Aus Sicht der Maschinendynamik interessieren die von ihnen ausgehenden Erregerfrequenzen (die nicht nur durch die Anzahl der W¨alzk¨orper und deren Abmessungen, sondern auch durch W¨alzlagersch¨aden bedingt sein k¨onnen) und die Lagersteiﬁgkeiten, die f¨ur die Berechnung der Eigenfrequenzen von Bedeutung sind, vgl. auch Abschn. 2.4.2. Der unruhige Lauf von Maschinen, eine mangelhafte Arbeitsgenauigkeit oder st¨orende Laufger¨ausche sind oft durch Lagersch¨aden bedingt. Mit dem Ziel der Fr¨uherkennung von W¨alzlagersch¨aden und Beziehungen zwischen den Schwingungssignalen und den Arten der Lagersch¨aden befassen sich ausf¨uhrlich [188], [195] und [316]. ¨ Einen Uberblick u¨ ber die Gr¨oßenordnung von radialen Lagersteiﬁgkeiten vermittelt Bild 3.8. Die dort angegebenen Zahlenbereiche k¨onnen zur groben Orientierung dienen und die Entscheidung erleichtern, ob im konkreten Fall die Lagersteiﬁgkeiten mit hoher Genauigkeit ermittelt werden m¨ussen oder ob N¨aherungswerte ausreichen. In vielen F¨allen, z. B. auch bei der in Abschn. 2.4.2 erw¨ahnten Berechnung der Eigenfrequenzen von Schleifspindeln, hat sich gezeigt, daß außer den Lagersteiﬁgkeiten selbst auch die Steiﬁgkeiten der Umbauteile eines W¨alzlagers von Bedeutung sind, da sie die Gesamtsteiﬁgkeit mitbestimmen. Die Steiﬁgkeiten des Maschinengestells – dabei vor allem der F¨uge- und Kontaktstellen – haben manchmal etwa dieselbe Gr¨oßenordnung wie die der W¨alzlager, d. h., man muß die Umbauteile auch im Berechnungsmodell ber¨ucksichtigen, vgl. Abschn. 3.3.3.

3.3.2 Kugel- und Rollenlager Auf die Erregerfrequenzen, die von W¨alzlagern ausgehen, und auf die verschiedenen M¨oglichkeiten der Eigenschwingungen und Eigenfrequenzen der W¨alzlager (Schwingungen der Kugeln, der W¨alzlagerringe in der Ringebene und senkrecht dazu) geht [316] ausf¨uhrlich ein. Diese sind f¨ur die W¨alzlagerdiagnostik wesentlich. So a¨ ußert sich z. B. die Besch¨adigung des Außen- oder Innenringes oder eines ¨ W¨alzk¨orpers in einem kurzen Stoßimpuls, der sich infolge der Uberrollvorg¨ ange der W¨alzk¨orper periodisch wiederholt und abh¨angig von der Schadensart ein charakteristisches Spektrum anzeigt, vgl. [195], [188]. Kugel- und Rollenlager k¨onnen nicht einfach mit allgemeinen FE- oder MKS-Programmen berechnet werden. Es empﬁehlt sich, zur Simulation speziﬁsche Programme einzusetzen [310]. Die in Tabelle 3.5 angegebenen Formeln zeigen m¨ogliche W¨alzlagerfrequenzen, die sich neben den von den Zahnradgetrieben stammenden Frequenzen (vgl. Abschn. 3.4.1), den Umlauffrequenzen von Riemen, Ketten und anderen Baugruppen innerhalb eines Antriebssystems dann besonders negativ auswirken, wenn an einer wichtigen Stelle eine Eigenfrequenz mit einer dieser Erregerfrequenzen u¨ bereinstimmt.

¨ 3.3 Walzlager und Fugen

191

Tabelle 3.5 Kinematische Erregerfrequenzen von W¨alzlagern [316], [188] Ursache ¨ Uberrollfrequenz Außenring (Außenringschaden) ¨ Uberrollfrequenz Innenring (Innenringschaden) Rotationsfrequenz K¨aﬁg (K¨aﬁgschaden) Rotationsfrequenz W¨alzk¨orper (W¨alzk¨orperschaden) ¨ Uberrollfrequenz eines W¨alzk¨orperbereichs

Erregerfrequenz 1 fa = fn z 1 − (Dw /DT ) cos α 2 1 fi = fn z 1 + (Dw /DT ) cos α 2 1 fk = fn 1 − (Dw /DT ) cos α 2 # $ 1 fw = fn (DT /Dw ) 1 − ((Dw /DT ) cos α )2 2 $ # fu¨ = fn (DT /Dw ) 1 − (Dw /DT cos α )2

(1) (2) (3) (4) (5)

Die in diesen Gleichungen vorkommenden Gr¨oßen sind in Bild 3.9 eingetragen und haben folgende Bedeutung: fn z Dw DT α

Wellendrehfrequenz (Drehfrequenz des Innenringes fn = n(min−1 )/60), Anzahl der W¨alzk¨orper, W¨alzk¨orperdurchmesser, Teilkreis- oder Rollkreisdurchmesser Druckwinkel, vgl. Bild 3.9.

∅Dw

α

α

∅DT

Bild 3.9 Bezeichnungen der geometrischen Parameter eines W¨alzlagers

Neben dem Eigenverhalten eines W¨alzlagers, das f¨ur h¨ohere Frequenzbereiche wesentlich ist, interessiert f¨ur niederfrequente Schwingungsvorg¨ange eines Antriebssystems vor allem seine Steiﬁgkeit. Die Steiﬁgkeit eines W¨alzlagers, also eines r¨aumlich ausgedehnten Bauelements, das in drei unabh¨angigen Richtungen durch Kr¨afte und Momente belastet ist, muß schon bei linearem Verhalten eigentlich durch eine (6 × 6)-Steiﬁgkeitsmatrix beschrieben werden. Die Koefﬁzienten solch einer Steiﬁgkeitsmatrix (die verallgemeinerten Federzahlen) h¨angen von vielen Parametern des W¨alzlagers ab. Die Ermittlung dieser Federzahlen kostet einen hohen Aufwand, den man treiben muß, wenn hohe Genauigkeitsanforderungen erf¨ullt werden sollen [47]. F¨ur viele Anwendungsf¨alle kann man sich allerdings auf die Ber¨ucksichtigung der radialen Steiﬁgkeit beschr¨anken, vgl. die in Tabelle 3.6 angegebenen Formeln.

192

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Tabelle 3.6 Beziehungen zwischen Radialkraft Fr , radialer Steiﬁgkeit k und radialer Verschiebung ur bei W¨alzlagern spielfreies Radial-Rillenkugellager

spielfreies Radial-Zylinderrollenlager

Fr = 21,9 . . . 25,2 kN/mm2 × × zD2W · (ur /DW )3/2

(1)

Fr = 7,3 . . . 8,9 kN/mm2 × 2 × zlW · (ur /lW )1,11

(2)

k = 32,9 . . . 37,8 kN/mm2 × × zDW · (ur /DW )1/2

(3)

k = 8,1 . . . 9,9 kN/mm2 × × zlW · (ur /lW )0,11

(4)

k = 1,2 . . . 1,3 kN/mm× $1/3 # × (Fr /N) · z2 · (DW /mm)

(5)

k = 3,3 . . . 4,0 kN/mm× # $0,1 × (Fr /N) · z9 · (lW /mm)8

(6)

Fr = 7,89 kN/mm2 × × zD2W · (ur /DW )3/2 /κ 0,35

(7)

Fr = 6,52 kN/mm2 × 2 × zlW · (ur /lW )1,08

(8)

k = 11,8 kN/mm2 × × zDW · (ur /DW )1/2 /κ 0,35

(9)

k = 7,04 kN/mm2 × × zlW · (ur /lW )0,08

(10)

k = 0,595 kN/mm× (11) × (Fr /N) · z2 · (DW /mm)1/3 /κ 0,35

k = 3,67 kN/mm× (12) × (Fr /N)0,074 · z0,926 · (lW /mm)0,852

k = 1,14 kN/mm× (13) $1/3 # 2 2 × (Fr /N) · z · (DW /mm) · cos α

Die Formeln in Tabelle 3.6 stammen aus verschiedenen Literaturquellen und wurden auf eine einheitliche Form gebracht. Sie differieren etwas untereinander, aber sie liefern etwa dieselben Endwerte. Vermutlich liegen die realen Werte innerhalb der dadurch gegebenen Grenzen. In den Formeln (1) bis (6) wurden die jeweils kleineren Werte der Koefﬁzienten aus [201] und die gr¨oßeren Werte aus [351] entnommen. Die Formeln (7) bis (12) gehen auf [92] zur¨uck, w¨ahrend Gl. (13) aus [333], Bd. 3, ermittelt wurde. Die Abk¨urzungen bedeuten: Fr Radialkraft auf den Innenring, vgl. Bild 3.11d ur Radialverschiebung des Innenringes gegen¨uber dem Außenring, vgl. Bild 3.11d k radiale Federsteiﬁgkeit (Abh¨angig von Radialverschiebung oder Radialkraft) DW Durchmesser eines W¨alzk¨orpers, vgl. Bild 3.9 und Bild 3.11a lW L¨ange einer Zylinderrolle, vgl. Bild 3.11a z W¨alzk¨orperanzahl κ = (DT /DW − 1) Schmiegung Zwischen den drei Formen von Abh¨angigkeiten bestehen folgende Relationen: dFr = k = k(ur ) = k(Fr ) (3.40) dur Es sind in allen F¨allen nichtlineare Beziehungen, so daß man genau genommen bei k nicht von einer Federkonstante“ sprechen kann. Um eine anschauliche Vorstellung ” von der Gr¨oßenordnung und dem Grad der Nichtlinearit¨at dieser Zusammenh¨ange zu vermitteln, wurde in Bild 3.10 f¨ur konkrete Parameterwerte sowohl die Radialkraft Fr = Fr (ur );

¨ 3.3 Walzlager und Fugen

193

als auch die radiale Lagersteiﬁgkeit f¨ur vier Beispiele berechnet. Die dargestellten Federkennlinien in Bild 3.10a ergeben sich aus den Gln. (1) und (2) in Tabelle 3.6, w¨ahrend die Abh¨angigkeit der Federsteiﬁgkeit in Bild 3.10b aus den Gln. (3) und (4) berechnet wurde. Man sieht, daß die Rollenlager immer steifer als die Kugellager sind, wenn man die Lager mit gleicher Rollenl¨ange, gleicher W¨alzk¨orperanzahl und gleichem Kugeldurchmesser vergleicht. Die nichtlineare Abh¨angigkeit ist augenscheinlich bei kleinen Belastungen erheblich, aber bei großen Belastungen ist die Abweichung von der Linearit¨at gering.

4

6⋅10 4

3

4⋅10 4

2

2⋅10 4

1

0 a)

8⋅10 5

0

20

40

60 80 u in µm

k in kN/mm

Fr in N

8⋅10 4

4 3 2 1

6⋅105 4⋅10 5 2⋅105

0

100 b)

0

20

40

60 80 u in µm

100

Bild 3.10 Vergleich der Kennlinien von Kugel- und Zylinderrollenlagern, vgl. Tabelle 3.6 a) Radialkraft gem¨aß Gl. (1), b) Lagersteiﬁgkeit gem¨aß Gl. (2) Kurve 1: z = 10, DW = 10 mm; Kurve 2: z = 15; DW = 8 mm; Kurve 3: z = 10, lW = 10 mm; Kurve 4: z = 15; lW = 8 mm

F¨ur Radial-Rillenkugellager mit Spiel (δ > 0) oder Vorspannung (δ < 0) besteht nach [92] bei radialer Belastung nachstehende Beziehung zwischen der Radialkraft Fr und den Parametern des W¨alzlagers: ⎧ ⎫ ⎡ ⎤3 ⎡ ⎤32⎪ ⎪ π δ 2 j 2 δ ⎪ ⎪ J−1 ⎪ ⎪ ⎨ ur − 2 2 jπ ⎢ ur cos z − 2 ⎥ ⎬ kN ⎥ −0,35 2 ⎢ 2 DW ⎣ + 2 cos Fr ≈ 34,3κ ⎦ ⎣ ⎦ · ∑ ⎪ ⎪ DW z DW mm2 ⎪ ⎪ j=1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (3.41) In einem W¨alzlager wird die Radialkraft auf die verschiedenen W¨alzk¨orper ungleichm¨aßig verteilt, vgl. Bild 3.11d. J < z ist die Anzahl der belasteten W¨alzk¨orper. Bei z W¨alzk¨orpern betr¨agt der Winkelabstand zwischen ihnen ∆ ϕ = 2π /z. Eine Kontaktkraft besteht an dem jeweiligen ( j-ten) W¨alzk¨orper nur dann, wenn die jeweilige Eindringtiefe [ur cos(2 jπ /z) − δ /2] positiv ist. Die von der Belastung abh¨angige Federsteiﬁgkeit k stellt lediglich einen mittleren Wert dar und ber¨ucksichtigt nicht die Ver¨anderung der Steiﬁgkeit infolge des ¨ Uberrollens der W¨alzk¨orper. Es gibt dabei Stellungen, wo die Last direkt u¨ ber einem W¨alzk¨orper und Stellungen, wo die Last zwischen zwei W¨alzk¨orpern eingeleitet wird. Die synchrone Bewegung aller z Kugeln f¨uhrt genau genommen zu einer drehwinkelabh¨angigen Steiﬁgkeit. Die periodische Steiﬁgkeits¨anderung mit der Kreisfrequenz zΩ kann zu erzwungenen und zu parametererregten Schwingungen

194 a)

δ 4 δ 4

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

lW

b) δ 2

c)

d)

δ 2

∅DT δ 4 δ 4

Fr

ur −

δ 2

δ 2

Bild 3.11 W¨alzlager mit Spiel δ a) Zylinderrollenlager, Radialschnitt; b) Rillenkugellager, Radialschnitt; c) Axialschnitt, Symmetrielage; d) Axialschnitt, Radialverschiebung ur des Innenringes unter Last

der w¨alzgelagerten Rotoren f¨uhren, wobei Ω die Drehgeschwindigkeit des Rotors ist. Es sind F¨alle aufgetreten, wo ein Rotor unerwartet intensive Schwingungen mit der z-fachen Drehfrequenz der Welle zeigte, weil seine (eigentlich sehr hohe) Eigenfrequenz damit u¨ bereinstimmte und zu Resonanz f¨uhrte. Um solche Vorg¨ange rechnerisch zu pr¨ufen, ben¨otigt man genaue Angaben zu entsprechenden Parameterwerten der W¨alzlager, die man von den W¨alzlagerherstellern erhalten kann. Die f¨uhrenden W¨alzlagerhersteller stellen f¨ur die W¨alzlagerauslegung auf CD-ROM oder onlineDaten und Berechnungsverfahren u¨ ber Internet zur Verf¨ugung, z. B. [154], [157], [159]. 3.3.3 Fugen, Kontaktstellen, Gleit- und W¨alzfuhrungen ¨ Die Steiﬁgkeit von Fugen, Schraubverbindungen und anderen Kontaktstellen ist bedeutend kleiner und die D¨ampfung ist erheblich gr¨oßer als diejenige des vollen Materials. Beide haben deshalb einen wesentlichen Einﬂuß auf das Deformationsund Schwingungsverhaltens eines Antriebssystems, vgl. [288] und die dort zitierte Literatur. Hier seien einige Werte zusammengestellt, die zur Orientierung dienen k¨onnen. ¨ Versuche mit verschraubten Fugestellen, die normal zur Kontaktﬂ¨ache dynamisch belastet wurden, zeigen eine starke Abh¨angigkeit der Steiﬁgkeit und D¨ampfung von der Fl¨achenpressung. Die Steiﬁgkeit nimmt mit der Oberﬂ¨achenrauheit zu, w¨ahrend die D¨ampfung vermindert wird. In [343] werden Werte f¨ur die speziﬁsche ¨ benetzter F¨ugestellen angegeben, die an eiFugensteiﬁgkeit trockener und mit Ol nem Versuchsstand im Bereich der genannten Fl¨achenpressung gemessen wurden. Die Federkonstante einer verschraubten F¨ugestelle l¨aßt sich angen¨ahert durch folgende Formeln beschreiben: p N A f¨ur p = 1 . . . 10 N/mm2 · k ≈ 1 060 mm2 N/mm2 mm (3.42) A N 2 f¨ur p > 10 N/mm k ≈ 3 000 · mm2 mm

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

195

¨ Die D¨ampfungskonstante ist auch von der Olviskosit¨ at abh¨angig, und sie betr¨agt etwa A N·s p d ≈ 0,045 (3.43) · mm2 N/mm2 mm ¨ Versuchsergebnisse u¨ ber die Steiﬁgkeit von Gleitfuhrungen f¨ur eine Gleitpaarung Kunststoff–Metall wurden in [261] ver¨offentlicht. Die Parameterwerte wurden in Abh¨angigkeit von der Fl¨achenpressung, der Benetzung, der dynamischen F¨ugestellenbelastung und der Gleitgeschwindigkeit ermittelt. Zur Orientierung sei davon hier nur die Kontaktsteiﬁgkeit im Bereich von Gleitgeschwindigkeiten im Bereich von 0 bis 3,5 m/min genannt: N A · (3.44) 2 mm mm ¨ Nach [342] liegt die Fugensteiﬁgkeit geklebter Fugestellen bei Fl¨achenpressungen im Bereich von p = 1 . . . 30 N/mm2 bei etwa k ≈ 100

N A (3.45) · 2 mm mm Sie hat also etwa dieselbe Gr¨oße wie die der verschraubten F¨ugestellen, aber sie ist im Gegensatz dazu nicht von der Fl¨achenpressung an der Kontaktstelle abh¨angig, vgl. Gl. (3.42). k ≈ 3 100

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren 3.4.1 Zahnradgetriebe Die Schwingungen in Zahnradgetrieben werden bestimmt durch • die stellungsabh¨angige Steiﬁgkeit der Verzahnung, • die begrenzte Fertigungsgenauigkeit (z. B. St¨oße beim Eingriff jedes Zahns), • a¨ ußere Anregungen, z. B. Torsionsschwingungen des gesamten Antriebsstranges. Die Zahnr¨ader innerhalb eines Getriebes f¨uhren gekoppelte Translations- und Torsionsschwingungen aus, die aufgrund der stellungsabh¨angigen Steiﬁgkeiten der Verzahnung gekoppelt sind, aber auch durch die Nachgiebigkeit der Wellen und deren Lager beeinﬂußt werden. Es treten gekoppelte erzwungene und parametererregte Schwingungen auf, so daß das ganze Antriebssystem zus¨atzlichen dynamischen Beanspruchungen unterworfen wird. Die Vorausberechnung der Schwingungen erfordert einen hohen Aufwand bei der Modellierung, die schon in den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts begann [6], [324] und zu immer komplizierteren Modellen f¨uhrte, auf die hier nicht eingegangen werden kann, vgl. dazu [156], [185], [206], [257], [290], [364] und Abschn. 4.7. Die Federkonstante eines Zahnrades ist in tangentialer Richtung ver¨anderlich, weil beim Abrollen zweier Z¨ahne sich der Kraftangriffspunkt vom Zahnfuß zum

196

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Zahnkopf (und umgekehrt) verschiebt, wobei sich die Steiﬁgkeit kontinuierlich a¨ ndert. Beim Eingriff jedes neuen Zahns tritt ein Steiﬁgkeitssprung ein. Beim Abw¨alzen sind meist zwei oder mehr Z¨ahne im Eingriff, so daß sich in Abh¨angig¨ ε ein Steiﬁgkeitsverlauf ergibt, wie er exemplarisch in keit vom Uberdeckungsgrad Bild 3.12 dargestellt ist. Zur Berechnung der Steiﬁgkeit bei jeder Eingriffsstellung, wozu die exakte Zahnform (vor allem auch im Fußbereich) ben¨otigt wird, gibt es Software, mit der aus dem zun¨achst berechneten Steiﬁgkeitsverlauf eines einzelnen Zahneingriffs durch Superposition der Steiﬁgkeitsverlauf des gesamten Eingriffs ergibt. Die Zahnradberechnungen mit vorhandener Software [155] beinhalten neben Stirnr¨adern auch Kegel-, Schnecken- und Schraubr¨ader, und es lassen sich u. a. Konﬁgurationen von Zahnradpaaren, Planetenstufen und Zahnstangengetriebe berechnen [184], [186]. Die stellungsabh¨angige Steiﬁgkeit der Verzahnung ist haupts¨achlich von folgenden Faktoren abh¨angig: • Verzahnungsart (Geradverzahnung, Schr¨agverzahnung), ¨ • Art der Zahnkorrekturen (Proﬁlverschiebung, Uberdeckungsgrad), • Form des Radk¨orpers (Verbindung Zahnkranz- Radk¨orper). Die begrenzte Fertigungsgenauigkeit bedingt Verzahnungsfehler [226], also • Montage- und Fertigungsfehler (z. B. Rundlauffehler, Flankenabweichungen) und • betriebsbedingte Sch¨aden (z. B. verschleißbedingte Flankensch¨aden an allen Z¨ahnen), die mit der Zahneingriffsfrequenz periodisch verlaufen und Sch¨aden an einzelnen Z¨ahnen (z. B. Zahnfußsch¨aden, Ausbr¨uche, Gr¨ubchen), die sich mit der Drehfrequenz periodisch wiederholen, vgl. die in DIN 3979 genannten insgesamt 27 verschiedenen Schadensarten. Der Verlauf der Zahnsteiﬁgkeit ist eine periodische Funktion des Winkels ϕ , der ¨ sich aus der Summe der Verl¨aufe der Einzelsteiﬁgkeiten in Abh¨angigkeit vom Uber¨ deckungsgrad ε ergibt, vgl. Bild 3.12. Dadurch, daß die Uberdeckungsgrade nicht ganzzahlig sind, treten bei jedem Zahneingriff Steiﬁgkeitsspr¨unge auf. Aus dynami¨ scher Sicht w¨are es g¨unstig, ganzzahlige Uberdeckungsgrade zu realisieren, was sich bei Schr¨agverzahnung auch durch die Breite des Zahnkranzes beeinﬂussen l¨aßt. Der periodische Verlauf der Zahnsteiﬁgkeit l¨aßt sich bei einem Zahnrad mit z Z¨ahnen als Funktion des Drehwinkels ϕ durch die Komponenten der statischen und dynamischen Federkonstante in folgender Weise beschreiben: k(ϕ ) = kst + kdyn F(zϕ )

(3.46)

Das Verh¨altnis der dynamischen zur statischen Steiﬁgkeit betr¨agt etwa kdyn = 0,05 . . . 0,15 (3.47) kst Die Verformung wird nicht allein durch die Werkstoffparameter der sich ber¨uhrenden Z¨ahne beeinﬂußt, welche f¨ur die Hertzsche Pressung (¨ortliche Abplattung an der Kontaktstelle), die Biege- und Schubdeformation des Zahns und die Deformation im elastischen Zahnradk¨orper verantwortlich sind, sondern auch durch die Oberﬂ¨achenqualit¨at der Z¨ahne. Man beachte dazu die neueste Software f¨ur die Berechnung der Zahnsteiﬁgkeit [40], [155], [186], vgl. auch DIN 3990.

197

a)

Gesamtsteifigkeit 10

Einzelsteifigkeit

5

0 t se ε⋅t se

Drehweg r⋅ϕ

N / mm µm

15

spezifische Steifigkeit k in

spezifische Steifigkeit k in

N / mm µm

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

15

Gesamtsteifigkeit

10 Einzelsteifigkeit 5

0

b)

t se ε⋅t se

Drehweg r⋅ϕ

Bild 3.12 Steiﬁgkeitsverlauf beim Zahneingriff [215] ¨ ε = 2,5 a) Verzahnung mit Uberdeckungsgrad ¨ ε = 4,1 b) Verzahnung mit Uberdeckungsgrad

Oft sind nur speziﬁsche Zahnsteiﬁgkeiten kspez gegeben, so daß mit den geometrischen Daten f¨ur die Radk¨orperbreite b, den Schr¨agungswinkel β und den Teilkreisdurchmesser do der statische Anteil der Drehsteiﬁgkeit berechnet werden muß: 2 do k b 2 kst = (3.48) cos β Die speziﬁsche Zahnsteiﬁgkeit, die in DIN 3990 mit cγ bezeichnet wird, liegt nach [215] im Bereich kN (3.49) cγ = k = 10 . . . 20 · mm2 Die Berechnung der Steiﬁgkeit der Verzahnung ist mit den Angaben in DIN 3990 m¨oglich, aber es gibt auch tiefergehende Analysen der Herstellerbetriebe. Die Arbeit [7] enth¨alt z. B. Formeln zur Bestimmung der Zahnsteiﬁgkeit von spiralverzahnten Kegelr¨adern unter Ber¨ucksichtigung der Biege- und Kontaktsteiﬁgkeit, welche auf der Basis von Berechnungs- und Meßergebnissen gewonnen wurden. Die berechneten Steiﬁgkeiten der Zahnr¨ader liegen fast immer u¨ ber den Werten, die als Federkonstanten in der Schwingungsberechnung Bedeutung haben, weil sekund¨are Einﬂ¨usse unbeachtet bleiben. In [352] wird berichtet, daß sich nach DIN 3990 Teil 1 aus der Verzahnung eine theoretische Torsionssteiﬁgkeit von kT = 11,0 · 107 N · m/rad ergab, die in Wirklichkeit aber kT = 1,4 · 107 N · m/rad betrug, weil Nachbarbauteile wesentlichen Einﬂuß hatten, vgl. Abschn. 4.3.3. Die periodische Funktion bez¨uglich des Winkels zϕ F(zϕ ) = ∑ ck cos zkϕ

(3.50)

¨ l¨aßt sich durch ihre Fourierkoefﬁzienten ck charakterisieren, die vom Uberdeckungsgrad ε und der Art der Verzahnung abh¨angig sind. Eine kleine Proﬁl¨uberdeckung

198

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

f¨uhrt zu großen Steiﬁgkeitsspr¨ungen und damit zu einer Fourierreihe mit einem breiten Erregerspektrum, d. h. großen Harmonischen k-ter Ordnung. Die Schwingungsanregung ist geringer, wenn die Fourierkoefﬁzienten ck mit zunehmender Ordnung k ¨ ε , einem gr¨oßeschnell abnehmen. Dies ist bei einem gr¨oßeren Uberdeckungsgrad ren Schr¨agungswinkel β und einem kleineren Modul m der Fall, was sich aber nicht immer verwirklichen l¨aßt. Eine Proﬁlverschiebung (Kopfr¨ucknahme) ergibt steifere Z¨ahne und relativ geringere Schwankungen der Zahnsteiﬁgkeit. Die zeitabh¨angige Erregerfunktion ergibt sich erst, wenn der Verlauf des Winkels ϕ (t) bekannt ist. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit der Antriebswelle ist ϕ = Ω t wird aus der periodischen Funktion bez¨uglich des Winkels zϕ eine periodische Zeitfunktion: F(zΩ t) = ∑ ck cos zkΩ t

(3.51)

Unter Ω wird hier die jeweilige Winkelgeschwindigkeit des betrachteten Zahnrades ¨ (Uberrollkreisfrequenz) verstanden, so daß bei Ω auf Indizes verzichtet wird. Gibt man den einzelnen Wellen innerhalb eines Zahnradgetriebes die Indizes 1 und 2, so besteht zwischen zwei miteinander k¨ammenden Zahnr¨adern, welche die Z¨ahnezahlen z1 und z2 haben, bekanntlich die Beziehung z1 Ω 1 = z2 Ω 2 . Bei Umlaufr¨aderge¨ trieben hat man deren Bauform zu beachten, da sich daraus die Uberrollfrequenzen von Glockenrad, Sonnenrad und Planetenr¨adern ergeben [188], [226]. Wesentliche ¨ Erregerfrequenzen sind die Uberrollfrequenzen der Zahnr¨ader f =

Ω 2π

(3.52)

deren ganzzahlige Vielfache, die sich z. B. infolge von Rundlauffehlern auswirken, und die Zahneingriffsfrequenz fz =

zΩ 2π

(3.53)

Es gibt infolge der periodischen Abl¨aufe also auch Erregerfrequenzen k-ter Ordnung fk =

kΩ ; 2π

fzk =

kzΩ ; 2π

k = 1, 2, . . .

(3.54)

wobei die Bedeutung der letztgenannten von der Gr¨oße der betreffenden Fourierkoefﬁzienten ck abh¨angt, vgl. auch Abschn. 5.5.3.1. Falls die Winkelgeschwindigkeit des Zahnrades nicht konstant ist, treten weitere Erregerfrequenzen auf, wie die folgende Betrachtung zeigt: Angenommen, der Drehwinkel des Zahnrades schwanke infolge der Torsionsschwingungen des Antriebsstranges harmonisch mit einer Eigenkreisfrequenz ω i gem¨aß ϕ (t) = Ω t + ϕˆ sin ω it

(3.55)

mit einer kleinen Winkelamplitude ϕˆ 1, dann entsteht daraus n¨aherungsweise wegen cos(zkϕˆ sin ω it) ≈ 1;

sin(zkϕˆ sin ω it) ≈ zkϕˆ sin ω it

(3.56)

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

199

nach Anwendung eines Additionstheorems auf den k-ten Summanden cos zkϕ = cos [zk (Ω t + ϕˆ sin ω it)]

(3.57)

= cos(zkΩ t) · cos(zkϕˆ sin ω it) − sin(zkΩ t) · sin(zkϕ sin ω it) ≈ cos(zkΩ t) − zkϕˆ sin(zkΩ t) · sin ω it 1 = cos(zkΩ t) − zkϕˆ [cos(zkΩ − ω i )t − cos(zkΩ + ω i )t] 2 Aus dem letzten Ausdruck erkennt man, daß außer den Erregerfrequenzen gem¨aß Gl. (3.54) auch noch die Erregerfrequenzen (zkΩ − ω i ) (zkΩ + ω i ) und fz k+i = (3.58) 2π 2π existieren. Diese Frequenzen liefern die sogenannten Seitenbandstrukturen eines Spektrums, d. h. unter- und oberhalb der eigentlichen Resonanzspitzen treten Nebenlinien im Abstand der Eigenfrequenzen fi = ω i /2π auf. In vielen F¨allen f¨uhren die ¨ h¨oheren Harmonischen zu dynamischen Uberh¨ ohungen in Form von Resonanzen kter Ordnung. Parametererregte Schwingungssysteme mit mehreren Freiheitsgraden haben die Besonderheit, daß bei einer periodischen Parametererregung Instabilit¨atsgebiete auftreten, wenn die Bedingungen kΩ = 2ω i (Parameterresonanzen) oder kΩ = ω k ± ω i (Kombinationsresonanzen) erf¨ullt sind [81], [113], [101], [231]. Es k¨onnen also Resonanzen bei den Frequenzen fz k−i =

fk ± fi ; k = 1, 2, . . . (3.59) k f¨ur verschiedene Kombinationen der Eigenfrequenzen fk und fi des ungest¨orten Systems auftreten. Im Spektrum mehrstuﬁger Zahnradgetriebe sind auch solche Summen- und Differenzfrequenzen aus den Eigenfrequenzspektren mehrerer Getriebestufen beobachtet worden [188]. Aus den Darlegungen geht hervor, daß in Zahnradgetrieben die in den Gln. (3.52), (3.53), (3.54), (3.58) und (3.59) angegebenen Frequenzen auftreten, die sich am Geh¨ause, in den Lagern und im Antriebsstrang auswirken k¨onnen. Methoden der Schwingungsdiagnose erm¨oglichen, Verzahnungsfehler im Zusammenhang mit ih¨ ren spektralen Kennzeichen zu identiﬁzieren. In [188] wird ein Uberblick u¨ ber verschiedene signalgest¨utzte Analyseverfahren gegeben und an Hand von Beispielen die Identiﬁkation von Verzahnungsfehlern illustriert. f =

3.4.2 Berechnungsmodelle fur ¨ nachgiebige Kupplungen 3.4.2.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Die Norm DIN 740-2 ( Nachgiebige Wellenkupplungen“) gilt f¨ur schlupffreie Kupp” lungen, deren Kraft¨ubertragungsglieder sowohl aus teilweise oder allseitig nachgie” bigen Elastomeren als auch aus metallelastischen Federelementen bestehen“. F¨ur die

200

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Berechnung wird dort das Berechnungsmodell des linearen Zweimassenschwingers benutzt, wobei die Steiﬁgkeit mit der Drehfederkonstante kT und das D¨ampfungsverhalten mit der relativen D¨ampfung ψ erfaßt wird. Es ist allerdings nur eingeschr¨ankt m¨oglich, das Verhalten von Elastomerkupplungen mit einem linearen Modell zu beschreiben; nicht nur, wenn die Drehfederkennlinien nichtlinear sind, sondern auch, weil die Parameter von der Winkelamplitude, der Frequenz, dem Torsionsmoment, der Temperatur, der Lastwechselzahl und anderen Einﬂußgr¨oßen abh¨angig sind [20], [107], [238]. Eine Linearisierung kann allein in der N¨ahe eines Betriebspunktes erfolgen (wenn dieser bekannt ist), aber schon ein linearer Ansatz f¨ur die D¨ampfung f¨uhrt zu ungenauen Ergebnissen, wenn von sinusf¨ormigen Zeitverl¨aufen der Belastung abgewichen wird, vgl. Abschn. 3.4.2.3. Experimentelle Untersuchungen mit harmonischer Erregung best¨atigten folgende Tendenzen bei Elastomerkupplungen: • Mit zunehmender Schwingwinkelamplitude fallen die Parameterwerte von kT und ψ ; bei großen Ausschl¨agen bis etwa auf den halben Wert im Vergleich zu kleinen Ausschl¨agen. • Mit der Frequenz steigen diese Parameterwerte. Die dynamische Steiﬁgkeit kann sich gegen¨uber der statischen Steiﬁgkeit um den Faktor 1,1 bis 4,5 erh¨ohen [107]. • Mit steigender Kupplungstemperatur fallen Steiﬁgkeit und D¨ampfung ab. • Mit zunehmender Lastwechselzahl nimmt die Steiﬁgkeit zu, die D¨ampfung bleibt etwa konstant. • Mit der mittleren Belastung nimmt die Steiﬁgkeit zu. Die DIN 740-2 empﬁehlt ausdr¨ucklich, auf kompliziertere Berechnungsmodelle u¨ berzugehen, wenn die Voraussetzungen nicht erf¨ullt sind, die f¨ur das Minimalmodell des Zweimassensystems gelten. Ein Problem besteht dabei darin, mit m¨oglichst wenigen (und experimentell leicht ermittelbaren) Parameterwerten solch ein komplizierteres Modell zu deﬁnieren. In [238] wurde eine Beschreibung der nichtlinearen Abh¨angigkeiten der Parameterwerte unter Verwendung von Masterkurven“ vorge” schlagen und erl¨autert. Dies l¨auft darauf hinaus, normierte Parameter einzuf¨uhren ¨ und die Werkstoffparameter mit Ahnlichkeitskennzahlen zu charakterisieren, vgl. Abschn. 2.2.2. Andere komplizierte Berechnungsmodelle werden Abschn. 3.4.2.2 beschrieben. Eine Modellierung von Antrieben, in denen hydrodynamische Kupplungen eingesetzt werden, bereitet auf Grund des nichtlinearen Verhaltens dieser Kupplungsbauart besondere Schwierigkeiten, da sich die komplexen Str¨omungsvorg¨ange im Innern der Kupplung schwierig modellieren lassen, wie die Arbeiten [103] und [165] zeigen. Einen anderen Zugang zur Modellierung zeigen die Arbeiten [23] und [311], in denen Berechnungsmodelle hydrodynamischer Kupplungen auf der Grundlage von systemtheoretischen Betrachtungen ( Black-Box-Modelle“) entwickelt werden. ” Die Brauchbarkeit der entwickelten Modelle wird durch den Vergleich von simulierten und an einem Versuchsstand gemessenen Verl¨aufen der Drehzahlen und Drehmomente an der Kupplung bewertet, und es wird in [311] gezeigt, daß sich die diskreten nichtlinearen Modelle in einem Antriebsstrangmodell f¨ur Simulationsrechnungen einsetzen lassen. Es ist zu empfehlen, die Dimensionierung der Kupplungen zun¨achst mit einem Minimalmodell vorzunehmen, auch unter Beachtung der in Abschn. 5.2, 5.4.3 und

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

201

5.4.4 beschriebenen Erregungen. Zur Simulation der nichtlinearen Berechnungsmodelle kann man handels¨ubliche Software einsetzen, wobei zur Kupplungsberechnung z. B. ARLA SIMUL [301], ITI -SIM [302] und DRESP geeignet sind, vgl. Tabelle 2.1. Zur Auslegung von Elastomerkupplungen reichen lineare Berechnungsmodelle nicht aus, wie die in den folgenden Abschnitten behandelten Beispiele zeigen. 3.4.2.2 Berechnungsmodell fur ¨ Elastomerkupplungen In der Arbeit [306] werden mehrere Berechnungsmodelle f¨ur elastische Kupplungen analysiert und davon dasjenige bevorzugt, welches auf den Arbeiten [209] und [121] aufbaut. Es wurde u. a. f¨ur das Programm ITI -SIM und das von der Forschungsvereinigung Antriebstechnik entwickelte Programm DRESP aufbereitet, vgl. Tabelle 2.1. Das im folgenden vorgestellte Kupplungsmodell basiert auf einem nichtli¨ technische Gummiwerkstoffe [209]. Es ber¨ucksichtigt nearen Materialmodell fur deformations- und zeitabh¨angige Eigenschaften und wurde experimentell an Gummifedern u¨ berpr¨uft. Dieses Modell verwendet an Stelle einer Federkennlinie folgenden Ansatz f¨ur das innere Kupplungsmoment [121]: T = kT ϕ + Mr K(t)

Bild 3.13 Hochelastische Scheibenkupplung (Kupplungswerk Dresden)

(3.60)

202

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Dabei ist kT die Torsionsfederkonstante und ϕ der Verdrehwinkel. Das Reib- oder D¨ampfungsmoment Mr = Rk ln(1 + k ϕ ∗ )

(3.61)

wird durch die Parameter Rk und k bestimmt, welche experimentell aus der Hysteresekurve zu ermitteln sind. ϕ ∗ = ϕ max − ϕ ist der relative Torsionswinkel, der vom Umkehrpunkt ϕ max jeder Periode aus gez¨ahlt wird. Die Relaxation wird durch die zeitabh¨angige Funktion K(t) erfaßt, die von den Parametern a und b abh¨angt, welche man aus der Sprungantwort bestimmen kann: K(t ∗ ) = (1 + at ∗ · s−1 )b

(3.62)

Die Zeit t ∗ wird ab jedem Umkehrpunkt gemessen und ist in Gl. (3.62) in Sekunden einzusetzen. Der Parametervektor dieses Modells besitzt also f¨unf Komponenten: pT = (kT , Rk , k , a, b)

(3.63)

In [121] und [306] wird beschrieben, wie diese Parameterwerte aus der Hysteresekurve und einer Sprungantwort bestimmt werden k¨onnen. F¨ur eine in Bild 3.13 dargestellte hochelastische Scheibenkupplung (Nennmoment Mn = 160 N · m) wurden folgende Parameterwerte ermittelt: kT = 1 115 N · m Rk = 105 . . . 85,38 N · m

k = 30 . . . 39,58

(3.64)

a = 25,78 b = 0,107 Bild 3.14 zeigt die Hysteresekurven, die sich als Kennlinien dieser Kupplung bei harmonischer Erregung rechnerisch ergeben (Programm ITI -SIM). Die geringe Abh¨angigkeit von der Frequenz geht aus den in Bild 3.14a dargestellten drei Kurven hervor. Die dynamische Steiﬁgkeit nimmt etwas mit der Frequenz zu. Bild 3.14b stellt die mit den Parameterwerten von Gl. (3.64) berechneten Hysteresekurven bei verschiedenen Winkelamplituden dar, die sich f¨ur eine harmonische Erregung mit der Frequenz von 5 Hz ergeben. Es ist deutlich zu sehen, daß die mittlere Steiﬁgkeit der Kupplung bei kleinen relativen Verdrehwinkeln gr¨oßer ist als bei großen Verdrehwinkeln: sie betr¨agt bei ϕ rel = 0,05 rad etwa 2,5 N · m/rad und bei ϕ rel = 0,2 rad nur etwa 1,8 N · m/rad. Bild 3.15 zeigt das Ergebnis eines Ausschwingversuchs f¨ur die Scheibenkupplung HE 16. Die Gegen¨uberstellung der berechneten und gemessenen Kurven¨ verl¨aufe zeigt eine gute Ubereinstimmung. Die berechneten Verl¨aufe sind an den Umkehrstellen etwas zu eckig“ im Vergleich zum realen Vorgang, was durch die ” Modellierung von harten“ Umschaltbedingungen an den Umkehrstellen bedingt ” ist, vgl. Gl. (3.61).

400

400

300

300

200

200 Drehmoment in N . m

Drehmoment in N . m

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

100 0

−100 3

−200

2 1

−300

100

1 2

0

3

−100

4

−200 −300

−400 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 Verdrehwinkel in rad a)

−400 −0,3 −0,2 −0,1 0 0,1 0,2 0,3 b) Verdrehwinkel in rad

Bild 3.14 Simulationsergebnis an einer Scheibenkupplung bei harmonischer Erregung a) Amplitude 0,1 rad mit verschiedenen Frequenzen (Kurve 1: 10 Hz; Kurve 2: 1 Hz; Kurve 3: 0,1 Hz) b) Erregung mit 5 Hz und verschiedenen Amplituden (Kurve 1: 0,01 rad; Kurve 2: 0,05 rad; Kurve 3: 0,1 rad; Kurve 4: 0,2 rad)

200

inneres Moment in N . m

150 100 50 0

2

−50 1

−100 −150 −3

−2

203

−1

0

1

2

3

4

relativer Verdrehwinkel in °

Bild 3.15 Ausschwingversuch der elastischen Kupplung Kurve 1: gemessen, Kurve 2: berechnet

204

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

3.4.2.3 Nichtlineare Effekte bei biharmonischer Erregung Bei den meisten experimentellen Untersuchungen werden dynamische Materialeigenschaften lediglich bei harmonischen Belastungen ermittelt. Es ist sehr gewagt, solche Ergebnisse auf beliebige zeitliche Verl¨aufe zu u¨ bertragen. Eine positive Ausnahme bildet die Arbeit [20], in welcher experimentelle Untersuchungen mit Scheibenkupplungen beschrieben werden, bei denen sowohl harmonische als auch biharmonische Erregungen und deren Antworten gemessen wurden. Bild 3.16 und Bild 3.17 zeigen exemplarisch Ergebnisse aus dieser Dissertation. Das in Bild 3.16 zeigt zwei Hysteresekurven als Folge einer periodischen Belastung, die zwei harmonische Komponenten besitzt, die sich um ganzzahlige Frequenzverh¨altnisse unterscheiden.

Bild 3.16 Gemessene Hysteresekurven bei periodischer Belastung (ϕ 1 = 1◦ ) [20] a) Winkelerregung ϕ = ϕ 1 [sin Ω t + sin(2Ω t + π /2)] b) Winkelerregung ϕ = ϕ 1 (sin Ω t + 1/2 sin 4Ω t)

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

205

Bei einer biharmonischen Belastung kommen in der Hysteresekurve zus¨atzliche Schleifen vor, vgl. Bild 3.16. Die Anzahl der Schleifen entspricht der Differenz der Ordnungszahlen der beiden Schwingungskomponenten. Die von der Hysteresekurve umschlossene Fl¨ache, die ein Maß f¨ur die mechanische Verlustarbeit ist, wird durch die Zusatzschwingung im Vergleich zur Grundschwingung durch diese Schleifen vermindert. Damit wird eine in [20] beobachtete Erscheinung erkl¨arlich: Bei allen Messungen mit Zusatzschwingung reagierten die Kupplungen weicher als bei der Erregung mit der harmonischen Grundschwingung. Eine gr¨oßere Erregeramplitude der hochfrequenten Zusatzschwingung f¨uhrte zu einer Verringerung der AntwortAmplitude der Grundschwingung. Die periodischen Zeitverl¨aufe f¨ur das gemessene station¨are Schwingungsverhalten sind f¨ur drei F¨alle dargestellt. Die Grundfrequenz der Schwingungserregung lag bei 10 Hz und die Schwingwinkelamplitude bei 1◦ . Bild 3.17a und Bild 3.17b zeigen (mono)harmonische Verl¨aufe des Drehwinkels, die in beiden F¨allen der Erregerfrequenz folgen. Ein genaueres Hinsehen zeigt, daß im Fall a die Amplituden gleichsinnig und im Fall b gegensinnig zum Moment verlaufen, d. h., im ersten Fall lag die Erregerfrequenz unterkritisch und im zweiten Fall u¨ ber der Eigenfrequenz dieses Versuchsstandes, die etwa 15 Hz betrug.

Bild 3.17 Meßergebnisse an Scheibenkupplungen [20] a) Harmonische Erregung mit der Frequenz f1 = 10 Hz b) Harmonische Erregung mit der Frequenz f2 = 30 Hz c) Biharmonische Erregung mit den Frequenzen f1 und f2 (Kurve links: Winkelerregung; Kurve rechts: Schwingwinkelantwort)

206

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Die Summe der beiden Erregungen (Fall c, Kurve 1) aus Fall a und Fall b ist als Kurve 1 in Bild c erkennbar. Sie bewirkt eine Antwort (Fall c, Kurve 2), die sich nicht(!) aus der Summe der beiden Antworten (Fall a und b, Kurve 2) ergibt. Offenbar ist das Superpositionsprinzip verletzt, vgl. Abschn. 2.1.2.2. Die Berechnung des in Bild 3.17 erkennbaren nichtlinearen Effekts kann also nicht durch ein lineares Kupplungsmodell erfolgen. Nun soll gepr¨uft werden, ob das in Abschn. 3.4.2.2 vorgestellte nichtlineare Materialmodell vergleichbare Rechenergebnisse liefert. Als ein Beispiel daf¨ur, wie sich die Nichtlinearit¨at des durch die Gln. (3.60) bis (3.62) beschriebenen Modells der Gummikupplung auswirkt, wird eine Kupplung periodisch als ein einseitig eingespannter Torsionsschwinger mit einem Moment M(t) = 150(sin Ω t + sin 3Ω t) N · m

(3.65)

berechnet (Ω = 2π f1 ), das zwei verschiedene Erregerfrequenzen ( f1 und f2 = 3 f1 ) enth¨alt, also eine biharmonische Erregung aus¨ubt. Folgende Parameter liegen dieser Simulation zu Grunde: J = 2 kg · m2 kT = 1 182 N · m Rk = 52,44 N · m k = 131,3 a = 44,36 b = −0,117

⎫ ⎪ ⎪ ⎬

Tr¨agheitsmoment Torsionsfederkonstante

Parameter des nichtlinearen Kupplungsmodells ⎪ ⎪ ⎭

(3.66)

In Bild 3.18 sind die Ergebnisse der Simulation mit dem Programm ITI -SIM f¨ur drei verschiedene Grundfrequenzen angegeben (man beachte die unterschiedlichen Zeitmaßst¨abe). Die Ergebnisse unterscheiden sich wesentlich voneinander. Bei der niedrigen Erregergrundfrequenz (Bild 3.18a) a¨ hneln sich die Zeitverl¨aufe von Erregermoment und Kupplungsmoment, d. h., die Kupplung deformiert sich etwa proportional zu dem eingeleiteten Moment. Bei f1 = 5 Hz sieht man in Bild 3.18b zwar denselben Zeitverlauf des Erregermoments, aber das Kupplungsmoment weicht davon betr¨achtlich ab. Das Kupplungsmoment besitzt dabei nur geringe Komponenten der dritten Harmonischen von 3 f1 = 15 Hz, obwohl diese mit der Eigenfrequenz nahezu u¨ bereinstimmt. Es wird erstaunlicherweise nicht die Amplitude der dritten Harmonischen, sondern die Amplitude der Grundfrequenz besonders groß, so daß Spitzenwerte von mehr als 300 N · m erreicht werden, vgl. dazu Bild 3.18a. Dies ist ein typischer nichtlinearer Effekt: Energieanteile der zweiten Erregerfrequenz haben zur Erh¨ohung der Amplitude der Grundfrequenz gef¨uhrt, d. h., es wandert Energie aus der Schwingform mit der h¨oheren Frequenz in die Schwingform mit der niederen Frequenz, vgl. auch Abschn. 2.1.2.2. Bei noch h¨oherer Erregerfrequenz, wenn die dritte Harmonische im u¨ berkritischen Bereich ist, (Bild 3.18c) werden die Amplituden wie beim linearen System ¨ mit zunehmender Erregerfrequenz immer kleiner. Erst bei der Ubereinstimmung der Grunderregerfrequenz mit der Eigenfrequenz treten dann wieder große Amplituden auf, allerdings mit der Grundfrequenz. Die in diesem Abschnitt beschriebenen Erscheinungen lassen sich nicht mit einem linearen Berechnungsmodell deuten. Die experimentell nachweisbaren nichtli-

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

207

nearen Effekte k¨onnen aber mit einem nichtlinearen Modell der Materiald¨ampfung qualitativ und quantitativ rechnerisch erkl¨art werden, vgl. Abschn. 3.5. Auch das in Abschn. 2.4.7.2 behandelte Beispiel der Reibungsschwingung, bei dem sich die effektive Reibungszahl mit der Zusatzschwingung a¨ ndert, beruht auf einem nichtlinearen Effekt.

Bild 3.18 Berechnete Verl¨aufe der Drehwinkel (d¨unne Linien) und Momente (dicke Linien) in dem Kupplungsmodell gem¨aß Gl. (3.65) und Gl. (3.66) mit f2 = 3 f1 a) f1 = 1 Hz; b) f1 = 5 Hz, c) f1 = 10 Hz

208

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

3.4.3 Asynchronmotor Jeder Schaltvorgang am Asynchronmotor, der zur Beschleunigung oder Verz¨ogerung eines Antriebssystems f¨uhrt, bedeutet eine vom elektrischen Netz vorgenommene Energie¨anderung und wird von elektromagnetischen Ausgleichsvorg¨angen innerhalb des Asynchronmotors begleitet. Die genauere Analyse dieser Vorg¨ange kann mit den in der Literatur der elektromotorischen Antriebe genannten Gleichungen [200] erfolgen, wenn die entsprechenden Parameter des Motors zur Verf¨ugung stehen. Der Asynchronmotor ist ein elektromagnetisches System, das eine charakteri¨ stische Ubertragungsfunktion besitzt, die sich aus solchen Parametern wie Polpaarzahl, St¨anderspannung, L¨auferinduktivit¨at, St¨anderinduktivit¨at, L¨auferwiderstand, synchrone Drehzahl u. a. berechnen l¨aßt. Damit ist es m¨oglich, Differentialgleichungen f¨ur die gekoppelten elektromechanischen Schwingungen aufzustellen und zu l¨osen. Ein Beispiel f¨ur eine solche detaillierte Modellierung der Asynchronmaschine wurde in [294] zur Berechnung der Anlaufvorg¨ange von Gurtf¨orderern, vgl. auch [360] und Abschn. 4.1, und in [120] f¨ur einen Straßenbahnantrieb in Verbindung mit dem Programm DRESP, vgl. Tabelle 2.1. Diese allgemeine Berechnung des gekoppelten Schwingungssystems ist mit spezieller Software m¨oglich, z. B. mit dem Programm TUTSIM [153]. H¨auﬁg fehlen allerdings die Eingabedaten f¨ur solche Berechnungen. Bei Vernachl¨assigung des St¨anderwiderstands und unter der Annahme, daß der Leerlaufschlupf Null ist, k¨onnen die Differentialgleichungen des Asynchronmotors durch die station¨aren Werte der Parameter Kippschlupf sK und Kippmoment MK ausgedr¨uckt werden. F¨ur den Fall, daß bei einem Antrieb nur kleine Schwingungen um ein mittleres Moment (und entsprechend um eine mittlere Winkelgeschwindigkeit) stattﬁnden, wurde in [348] eine Beziehung f¨ur die statische dynamische Motorkennlinie hergeleitet, die mit diesen beiden Parametern auskommt. Sie lautet in dimensionsloser Form ϕ¨ ϕ¨ sK 2 2 2 ˙ ¨ (3.67) M Ω + (sK + s )Ω + M = 2MK sK sΩ 2 M + 2sK + sΩ 2 s Dabei bedeuten ⎛ ⎞ M ⎜ Ω ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ϕ˙ ⎟ x=⎜ ⎟ ⎜ s ⎟ ⎝ s ⎠ K MK

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

Motormoment synchrone Winkelgeschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit des Motors Schlupf (s = 1 − ϕ˙ /Ω ) Kippschlupf Kippmoment des Motors

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.68)

Der Kippschlupf sK und das Kippmoment MK sind die beiden Parameter, die in diese nichtlineare Differentialgleichung eingehen und den Momentenverlauf bestimmen. Linearisiert man Gl. (3.67) bez¨uglich der Winkelgeschwindigkeit des Rotors, ergibt sich (3.69) M¨ + 2sK M˙ Ω + Ω 2 sK M = 2MK sK sΩ 2 F¨ur den statischen Fall“ (ϕ¨ = 0, M˙ = 0, M¨ = 0) folgt aus Gl. (3.67) ” sK s M = 2MK 2 sK + s2

(3.70)

3.4 Getriebe, Kupplungen, Motoren

209

Dies ist die bekannte Gleichung von K LOSS. Sie gilt bei ann¨ahernd konstanter Drehgeschwindigkeit ϕ˙ , also im station¨aren Betriebszustand, wenn die Winkelbeschleunigung ϕ¨ Ω 2 ist. Gl. (3.70) kann linearisiert werden, wenn s/sK 1 ist. Dann verbleibt folgende Gleichung f¨ur die Motorkennlinie: s ϕ˙ M = 2MK = M0 1 − (3.71) sK Ω Sie entsteht auch aus Gl. (3.69) f¨ur M˙ = 0 und M¨ = 0. Diese lineare Form wird h¨auﬁg benutzt, um kleine Schwingungen in Antriebssystemen unter Ber¨ucksichtigung der elektromagnetischen Vorg¨ange im Antriebsmotor zu berechnen. F¨ur die Schwingungsberechnung eines mit einem Asynchronmotor angetriebenen Antriebssystems kann auch die Differentialgleichung (3.67) angewendet werden, in der dieselben Parameter vorkommen. Mit dem in Bild 3.19 dargestellten Schema wird auf eine Modellierung u¨ bergegangen, welche die urspr¨unglichen elektrischen Motorparameter benutzt. Mit Hilfe dieses Modells f¨ur den Asynchronmotor lassen sich typische Effekte simulieren. In dem Modell gem¨aß Bild 3.19 sind die mit Gl. (3.69) beschriebenen Zusammenh¨ange als Sonderfall enthalten. Es zeigt sich, daß bei niederen Eigenfrequenzen des mechanischen Antriebssystems (bis etwa 10 Hz) der dynamische Einﬂuß des Asynchronmotors vernachl¨assigbar klein ist. Dar¨uber hinaus ist die Wechselwirkung des elektromagnetischen Systems des Asynchronmotors und des mechanischen Schwingungssystems des Antriebssystems von Bedeutung, z. B. auch f¨ur die Berechnung der Eigenfrequenzen des Gesamtsystems. Besonders groß ist der Einﬂuß des Asynchronmotors bei Netzspeisung im Bereich der Netzfrequenz (z. B. 50 Hz, 60 Hz (USA), 16 2/3 Hz (Bahn)). Bei Umrichter-Speisung gibt es ein breites Erregerfrequenz-Spektrum, da die Speisefrequenz variabel ist und hochfrequente Oberwellen vorhanden sind. Man sollte die mechanischen Teile des Antriebssystems m¨oglichst so gestalten, daß keine Eigenfrequenzen in diese Erregerfrequenzbereiche des Asynchronmotors fallen. US - Speisespannung RS

US

XSσ

XR´σ XH

R´R s

RS - Statorwiderstand R´R - Rotorwiderstand (auf Statorseite bezogen) XSσ - Streureaktanz Stator XR´σ - Streureaktanz Rotor (auf Statorseite bezogen) XH - Hauptreaktanz s

- Schlupf

Bild 3.19 Ersatzschaltbild f¨ur Asynchronmotoren mit Kurzschlußl¨aufer

Das Motormodell gem¨aß Bild 3.19 beruht auf dem T-Ersatzschaltbild f¨ur Asynchronmotoren mit Kurzschlußl¨aufer [239], [292]. Das entsprechende Differential-

210

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

b)

c) Bild 3.20 Zur Simulation eines Versuchslaufs a) Modellbild gem¨aß ITI -SIM [302], b) Drehmoment und Drehgeschwindigkeit als Funktion der Zeit, c) dynamische Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

211

gleichungssystem ist in netzsynchron umlaufenden Koordinaten aufgestellt und wird f¨ur jeden Zeitschritt numerisch gel¨ost. Die Ber¨ucksichtigung der Stromverdr¨angung erfolgt durch eine Nachf¨uhrung der Rotorparameter. Die Parameter des in Bild 3.19 gezeigten Ersatzschaltbildes k¨onnen direkt eingegeben werden. Wenn sie nicht gegeben sind, k¨onnen sie aus den Katalogparametern (MK , sK , Ω ) entsprechend der theoretischen Beziehungen ermittelt werden, die z. B. in [129] beschrieben sind, vgl. auch [172], [239]. Als Beispiel wird der Anlauf- und Bremsvorgang eines Asynchronmotors auf einem Pr¨ufstand berechnet. Bei der Anwendung des Programms ITI -SIM ist keine Kenntnis der Differentialgleichung erforderlich, und es werden lediglich folgende Parameterwerte eingegeben: Motor: P = 4 kW n = 2 910 min−1 MK /Mn = 3,2 MA /Mn = 2,7 J = 0,022 kg · m2

Nennleistung Nenndrehzahl relatives Kippmoment relatives Anlaufmoment Tr¨agheitsmoment des Rotors

Bremse: Bremsvorgang beginnt nach der Hochlaufzeit von ta = 1 s: t M= − 1 · 50 N · m Bremsmoment (1 s t 3 s) ta Aus dem Bild 3.20b geht hervor, daß sofort nach dem Einschalten ein Spitzenwert des dynamischen Antriebsmoments von etwa 100 N · m entsteht, der das Anfahrmoment von etwa 35 N · m also etwa um das Dreifache u¨ bersteigt. Die dabei auftretenden Schwingungen haben eine Frequenz der Speisespannung von 50 Hz und klingen bereits nach etwa 0,25 s ab. Der weitere Beschleunigungsvorgang, bei dem der Motor die Nenngeschwindigkeit etwa innerhalb von 0,7 s erreicht, verl¨auft ebenso wie der sich anschließende Bremsvorgang auf der statischen (Kloss’schen) Motorkennlinie. Bild 3.20b zeigt, wie wesentlich die Schwingungen sind, wenn sich das Antriebsmoment des Asynchronmotors beim Einschalten entwickelt.

3.5 ¨ Dampfungskennwerte Mechanische Energieverluste treten bei allen mechanischen Bewegungen auf, d. h., D¨ampfung ist zwar bei allen Schwingungen stets vorhanden, aber bei der dynamischen Analyse eines Antriebssystems muß entschieden werden, ob sie von Bedeutung ist und in welcher Form sie im Berechnungsmodell u¨ berhaupt erfaßt werden soll. Dazu kann man sich an folgende Regeln halten: 1. Auf die Ber¨ucksichtigung der D¨ampfung kann man meist verzichten, wenn bloß folgende Gr¨oßen interessieren:

212

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

• niedere Eigenfrequenzen (und Resonanzgebiete) eines Antriebssystems, • die Spitzenwerte nach Stoßvorg¨angen (Bilder 2.7, 2.9, 2.25, 4.15, 4.14, 4.16 und 2.50), • Schwingungszust¨ande außerhalb der Resonanzgebiete (Bilder 5.32, 5.33, 5.51 und 5.57). 2. D¨ampfungskr¨afte haben merklichen Einﬂuß und sollten zumindest durch die modale oder viskose D¨ampfung einbezogen werden, wenn folgende Gr¨oßen interessieren: • Resonanzamplituden linearer Systeme bei periodischer Belastung (Bilder 4.6, 5.46 und 5.57), • die Lastwechselzahl bei Ausschwingvorg¨angen (Bilder 2.7, 4.13 und 4.14), • h¨ohere Eigenfrequenzen und h¨ohere Eigenformen, • Aussagen zum Stabilit¨atsverhalten parametererregter Schwinger, vgl. Gln. (4.8) bis (4.11) in Abschn. 4.4.3 und Bild 4.3. 3. Genauere D¨ampfungsans¨atze sind dann zu empfehlen, wenn folgende Gr¨oßen interessieren • die Temperatur des Materials, z. B. von Gummifedern, • das Verhalten absichtlich eingebauter d¨ampfender Baugruppen, z. B. Viskosit¨ats- Drehschwingungsd¨ampfer [204] und ged¨ampfte Tilger, • das dynamische Verhalten nichtmetallischer Werkstoffe, z. B. bei Kupplungen, vgl. Abschn. 3.4.2.2. In Antriebssystemen entstehen D¨ampfungskr¨afte an der Oberﬂ¨ache der sich bewegenden Festk¨orper, wie z. B. Reibung in F¨uhrungen und Lagern oder bei Relativbewegungen im Innern der Festk¨orperwerkstoffe. Die D¨ampfungskr¨afte an den Fugen und Kontaktstellen werden f¨ur die jeweilige Baugruppe mit experimentell ermittelten D¨ampfungskoefﬁzienten berechnet, vgl. z. B. die in Abschn. 3.2.4 und 3.3.3 angegebenen Werte. Die inneren D¨ampfungskr¨afte infolge der Werkstoffdeformationen lassen sich theoretisch aus den Werkstoffparametern und dem Deformationsfeld im Innern des belasteten Bauteils berechnen. Infolge der nichtlinearen Stoffgesetze sind aber kontinuumsmechanische Berechnungsmodelle zu verwenden, deren Auswertung aufwendig ist, weil Systeme von partiellen Differentialgleichungen zu l¨osen sind. Meist muß auch die Wechselwirkung der mechanischen und thermodynamischen Prozesse ber¨ucksichtigt werden, weil sich das Material infolge der D¨ampfungsarbeit aufheizt und sich dabei die Werkstoffparameter a¨ ndern. Vielfach hat sich gezeigt, das man allein etwa f¨unf bis zehn Parameter braucht, um das Werkstoffverhalten zu erfassen. F¨ur viele Bauteile werden deshalb Parameterwerte zur Erfassung der D¨ampfung f¨ur das komplette Bauteil ermittelt, vgl. z. B. [204], [235], [252] und die Ausf¨uhrungen zu Kupplungen in Abschn. 3.4.2.2. Es besteht in der Berechnungspraxis der Wunsch, mit wenigen (und nach M¨oglichkeit experimentell einfach zu bestimmenden Parameterwerten) eine m¨oglichst gute Approximation der D¨ampfungskr¨afte bei beliebigen Zeitverl¨aufen der Belastungen zu erhalten. Jeder D¨ampfungsansatz muß mathematisch ausdr¨ucken, daß die D¨ampfungskraft entgegengesetzt zur momentanen Geschwindigkeitsrichtung wirkt, weil nur

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

213

dann dem mechanischen System bei der Bewegung mechanische Energie entzogen wird. Im allgemeinen sind D¨ampfungskr¨afte bei den verschiedenen Werkstoffen auf verschiedene Weise von den Kr¨aften, Deformationen und deren Zeitableitungen abh¨angig, so daß ein funktioneller Zusammenhang ˙ . . .) = 0 f (. . . , q, ¨ q, ˙ q, F, F,

(3.72)

besteht. Falls D¨ampfungskr¨afte nur von der Koordinate und deren Ableitungen abh¨angen, kann man sie in folgender Weise beschreiben: ˙ sign (q) ˙ FD = |F(q, q)|

(3.73)

Dabei ist q die Koordinate, an welcher infolge der Relativbewegung die D¨ampfungskraft FD wirkt. Der Betrag kann gem¨aß Gl. (3.73) eine nichtlineare Funktion der Koordinate und/oder der Geschwindigkeit sein. Der lineare Ansatz f¨ur die viskose D¨ampferkraft mit der D¨ampferkonstante d m¨ußte eigentlich in der Form ˙ sign (q) ˙ geschrieben werden, aber da sich die Kraftrichtung bereits mit q˙ FD = |d q| a¨ ndert, wird die Signumfunktion stets weggelassen und f¨ur die viskose D¨ampfung FD = d q˙

(3.74)

geschrieben, vgl. auch Tabelle 3.9, Gl. (1). Die Parameterwerte des Modells f¨ur eine ged¨ampfte Schwingung lassen sich auf verschiedene Weise ermitteln. In Tabelle 3.7 sind als die beiden gebr¨auchlichsten experimentellen Verfahren zur Bestimmung von D¨ampfungsparametern linearer Schwinger, der Ausschwingversuch und die erzwungene harmonische Bewegung, genannt. Mit den Gln. (1) bis (4) ist angegeben, welche Beziehung zwischen den jeweiligen Daten der Versuchsergebnisse und den Parametern des linearen Berechnungsmodells bestehen. Die Beziehungen zwischen diesen Parametern sind in Tabelle 3.8 angegeben. Bei komplizierteren D¨ampfungsans¨atzen werden oft ebenfalls diese Versuche benutzt, vgl. Abschn. 3.4.2.2. Das logarithmische D¨ampfungsdekrement Λ kann man aus dem Ausschwingvorgang ermitteln, wenn man mehrere Meßwerte zur Verf¨ugung hat, die sich um ganzzahlige (n) Vielfache der Eigenschwingungsdauer T unterscheiden. Es gen¨ugen zwei Werte, aber man kann auch mehr als zwei Amplituden auswerten und dann pr¨ufen, wie genau die Hypothese u¨ ber die viskose D¨ampfung erf¨ullt ist. Die relative D¨ampfung ψ gibt den relativen mechanischen Energieverlust pro Schwingungsperiode an. Sie ist proportional der von der Hysteresekurve w¨ahrend eines vollen Zyklus umschlossenen Fl¨ache und folgt direkt aus der Auswertung der Hysteresekurve, wenn diese bei harmonischer Wegerregung q = qˆ sin Ω t aufgenommen wird. Infolge eines nichtlinearen Material- oder Bauteilverhaltens f¨uhrt eine harmonische Bewegung bereits zu einer nichtharmonischen Belastung. Noch kompliziertere Zusammenh¨ange existieren bei nichtharmonischer (z. B. periodischer) Wegerregung, vgl. z. B. die Hysteresekurven in Abschn. 3.4.2.3. Die Messung des Verlustwinkels δ ist relativ schwierig und liefert meist ungenaue Werte, da dieser Winkel klein und nicht auf mehrere Ziffern genau bestimmbar ist. Die Auswertung erzwungener Schwingungen liefert in Resonanzn¨ahe relativ genaue Aussagen f¨ur den D¨ampfungsgrad D. Um m¨oglichst genaue Werte zu erhalten, wurde schon in [219] vorgeschlagen, nicht die H¨ohe der Resonanzspitze (die umgekehrt proportional zu 2D ist) auszumessen, sondern die Breite der Resonanzkurve bei den angegebenen Frequenzen.

214

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Ausschwingversuch

Tabelle 3.7 Elementare Methoden zur Ermittlung der D¨ampfungsparameter Kenngr¨oße

Herkunft, geometrische Gr¨oße

Logarithmisches D¨ampfungsdekrement 1 q(t0 ) Λ = ln n q(t0 + nT )

Abklingkurve

q (1)

t0 t 0 + 2T

t 0 +T

Zeit t Relative D¨ampfung ψ =

Erzwungene harmonische Schwingung

T = 2π / ω

T

q0

∆W W

Hysteresekurve

F F$ F sin δ

(2)

kq 1 W = kq$ 2 2

q$

∆W

Verlustwinkel d Ω qˆ ≈δ sin δ = Fˆ

Weg q

Zeitverlauf (3)

F$ sin Ω t q$ sin(Ω t −δ)

F, q

Zeit t δ/Ω

D¨ampfungsgrad aus Halbwertsbreite f − f1 D= 2 2 f0

(4)

Resonanzkurve q$ q$ max

q$ max 2

f1 f 2 Frequenz f f

Parameterwerte

0

D¨ampfungsgrad d D= √ 2 km

Berechnungsmodell

m

(5)

q

k d

215

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

Die beim Ansatz in Gl. (3.74) getroffenen Voraussetzungen und die in Tabelle 3.8 genannten Beziehungen sind selten genau erf¨ullt, weil die reale D¨ampfung kaum der Gl. (3.74) gehorcht. Die Linearit¨at der entstehenden Differentialgleichungen erlaubt eine bequeme mathematische Behandlung, so daß man diese N¨aherung oft bevorzugt, obwohl man seit langem weiß, daß sich viele Materialien anders verhalten. Tabelle 3.8 Beziehungen zwischen D¨ampfungskennwerten δ

kψ 2π Ω

kδ Ω

ωΛ 2π

kψ 4π mΩ

kδ 2mΩ

D

Λ 2π

4π η

2η

2π D

Λ

ψ

πδ

β

D

D¨ampfungskonstante d

d

2mβ

2mω D

Abklingkonstante β

d 2m

β

ωD

D¨ampfungsgrad D (Lehrsches D¨ampfungsmaß) Logarithmisches D¨ampfungsdekrement Λ

d √ 2 km

ω

πd

2π β

mω

ω

β

Λ

ψ

d

mω Λ π

ψ

2η

Relative D¨ampfung ψ

2π Ω d k

4π mΩ β k

4π η D

2η Λ

ψ

Verlustwinkel δ

Ωd k

2mΩ β k

2η D

ηΛ π

2π

ψ

δ

η

2π δ δ

F¨ur den Schwinger mit einem Freiheitsgrad ist in Lehrb¨uchern beschrieben, welcher Zusammenhang zwischen der Koordinate q und der Erregerkraft F bei harmonischer Belastung besteht, vgl. z. B. [101], [150], [191], [202], [231], [232], [344], [349]. Es haben sich mehrere Parameter zur Beschreibung der D¨ampfung eingeb¨urgert. Unter der Annahme, daß das Berechnungsmodell ein linearer Schwinger mit einem Freiheitsgrad ist, gelten die in Tabelle 3.8 angegebenen Zusammenh¨ange zwischen logarithmischem D¨ampfungsdekrement Λ , D¨ampfungsgrad D, relativer D¨ampfung ψ und D¨ampferkonstante d [315]. Einige h¨auﬁg benutzte Ans¨atze zur Erfassung der D¨ampfungskraft, die nur einen einzigen oder zwei Parameter ber¨ucksichtigen, sind in Tabelle 3.9 angegeben. Diese Ans¨atze sind f¨ur beliebige station¨are Bewegungen brauchbar, d. h. auch zur Berechnung der D¨ampfungskr¨afte, die bei periodischen (nichtharmonischen) Bewegungen auftreten. Die gezeigten Hysteresekurven ergeben sich bei der station¨aren Erregung gem¨aß q = qˆ sin Ω t, aber bei anderen Zeitverl¨aufen ergebe sich andere Hysteresekurven, andere Hystereseﬂ¨achen und ein anderes D¨ampfungsverm¨ogen. Innerhalb der vertikalen Geraden, die bei einigen Hysteresekurven auftreten, in denen q˙ = 0 ist, stellt die Kraft FD eine Reaktionskraft dar. Man beachte die unterschiedlichen Abh¨angigkeiten des relativen Energieverlustes pro Periode (der relativen D¨ampfung) von den Parametern – dies liefert einen Anhaltspunkt zur Auswahl des zweckm¨aßigen Berechnungsmodells.

216

3 Parameterwerte von Maschinenelementen und Baugruppen

Tabelle 3.9 Beispiele f¨ur ein- und zweiparametrige D¨ampfungsans¨atze

¨ 3.5 Dampfungskennwerte

217

Die relative D¨ampfung ψ ergibt sich bei harmonischer Wegerregung eines Bauteils im station¨aren Zustand aus der Hysteresekurve, vgl. die Gln. in Tabelle 3.9. Aus den angegebenen D¨ampfungsans¨atzen (1), (3), (5) bis (13) folgen die Formen der dazu gezeichneten Hysteresekurven und die Ausdr¨ucke in den Gln. (2), (4), (6) bis (14), die f¨ur die relative D¨ampfung gelten. Man kann unter Beachtung des a¨ quivalenten D¨ampfungsverm¨ogens die D¨ampfungsparameter aller Ans¨atze ineinander umrechnen, wenn man die relative D¨ampfung ψ gleichsetzt, also auch in die Parameter eines linearen Schwingers, vgl. Tabelle 3.8. In manchen Publikationen (z. B. [197], [238]) wird der Ansatz mit der komplexen D¨ampfung empfohlen, weil er gegen¨uber der viskosen D¨ampfung angeblich den Vorteil hat, daß er nicht nur bei harmonischen, sondern auch √ bei periodischen Schwingungen anwendbar ist. Man kann zeigen, daß (mit j = −1) der Ansatz F = (k + jk∗ )q

(3.75)

eine von der Geschwindigkeit unabh¨angige Hysteresekurve liefert, die dem Ansatz d∗ q˙ (3.76) Ω bei harmonischer Erregung mit der Kreisfrequenz Ω entspricht, wenn k∗ = d ∗ ist, vgl. auch Abschn. 6.6 in [150]. Damit entsteht eine elliptische Hysteresekurve, und man kann mit Gl. (2) in Tabelle 3.9 mit d = d ∗ /Ω die Umrechnung in die relative D¨ampfung vornehmen, die dann nicht mehr frequenzabh¨angig wird. Der Unterschied zum Ansatz von S OROKIN, der auch zu einer elliptischen Hysteresekurve f¨uhrt, vgl. Gl. (7) und Gl. (8) in Tabelle 3.9, besteht darin, daß bei dem linearen Ansatz von Gl. (3.75) oder (3.76) die Resonanzamplitude bei erzwungenen harmonischen Schwingungen der Erregerkraftamplitude proportional ist, w¨ahrend sie bei dem nichtlinearen Ansatz von Gl. (7) die Resonanzamplitude nur mit der Wurzel aus der Kraftamplitude zunimmt. Der Ansatz (3.75) ist ebenso wie der Ansatz (3.76) nur f¨ur harmonische Belastungen brauchbar. Von S. C RANDALL wurde bereits im Jahre 1962 bewiesen [241], daß der komplexen D¨ampfung gem¨aß Gl. (3.75) kein kausales Verhalten des Werkstoffs entspricht, also z. B. mit diesem Ansatz zwar mathematische L¨osungen gewonnen werden, die aber physikalisch uninteressant sind, weil die Wirkung (Schwingantwort) zeitlich vor(!) der Ursache (Schwingungserregung) auftritt. Berechnungsmodelle mit linearen und nichtlinearen Kraftgesetzen, die mehrere Parameter enthalten, sind z. B. in [16], [268] und f¨ur das Verhalten elastischer Kupplungen in [20], [235] ver¨offentlicht. Die Beachtung des nichtlinearen Verhaltens der realen D¨ampfung wird vor allem in den Arbeiten [84] und [252] betont, vgl. auch [246]. F = kq +

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.1 Anlaufvorgang eines Antriebs mit Asynchronmotor Bei der Auslegung von Antriebssystemen mit Asynchronmotoren ist die dynamische Analyse mit speziﬁschen Programmen f¨ur die Simulation zu empfehlen, vgl. Tabelle 2.1. Derartige Software st¨utzt sich u. a. auf mathematische Modelle, die das dynamische Verhalten der Asynchronmotoren beschreiben. Die Dimensionierung der Motoren, Getriebe, Wellen und Kupplungen kann damit unter Ber¨ucksichtigung sowohl der technologischen Belastungen als auch der aus den mechanisch-elektrischen Wechselwirkungen innerhalb des Asynchronmotors entstehenden Antriebsmomente ermittelt werden, zu denen die Lastf¨alle Anlassen, Bremsen, Fehlsynchronisation oder Kurzschluß (2- oder 3-polig) geh¨oren.

a)

b) Bild 4.1 Antriebsstrang eines L¨ufterantriebs a) Simulationsmodell von ITI -SIM [302] b) Kupplungsmoment beim ungesteuerten Hochlauf

220

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Im folgenden wird der Hochlauf eines L¨ufterantriebs analysiert, wobei f¨ur den Asynchronmotor auf das in Abschn. 3.4.3 behandelte Motormodell und die Ausf¨uhrungen in [292] zur¨uckgegriffen wird. Bild 4.1 zeigt den Antriebsstrang eines L¨ufterantriebs, dessen Minimalmodell f¨ur die Torsionsschwingung aus einer starren Drehmasse f¨ur Motor und L¨ufter, einer masselosen nichtlinearen Torsionsfeder f¨ur die Kupplung und der dynamischen Kennlinie des Asynchronmotors besteht. Als Parameterwerte sind bekannt: • Motor: P = 2 260 kW n = 1 480 U/min MA /Mn = 1,7 MK /Mn = 2,1 JR = 64,7 kg · m2

Nennleistung Nenndrehzahl relatives Anlaufmoment relatives Kippmoment Tr¨agheitsmoment des Rotors

• Kupplung: M = 39 kN · m Nennmoment kT = 20 . . . 35 MN · m/rad Drehfedersteiﬁgkeit (Nichtlinearit¨at gem¨aß internem Modell) ψ =1 relative D¨ampfung • L¨ufter: ML = 0,5(Ω /s−1 )2 N · m Lastmoment JL = 990 kg · m2 Tr¨agheitsmoment Aus den Katalogdaten des Motorherstellers werden aufgrund der in [129] beschriebenen Zusammenh¨ange die Parameterwerte des elektrischen Motormodells programmintern bestimmt [302]. Die Eigenfrequenz dieses Torsionsschwingers ist infolge der nichtlinearen Torsionsfeder belastungsabh¨angig und liegt im Bereich von f = 100 . . . 160 Hz, also weit oberhalb der Netzfrequenz von 50 Hz, so daß das Resonanzgebiet nicht durchlaufen wird und (bei dem aus rein mechanischer Sicht dynamisch unterkritischem Belastungsfall) nichts Gef¨ahrliches“ passieren d¨urfte. ” Es soll gepr¨uft werden, ob infolge der beim Anlauf auftretenden Wechselwirkung des elektromagnetischen Systems mit dem mechanischen Antriebssystem das zul¨assige Moment der Kupplung u¨ berschritten wird. Die Simulation des ungesteuerten Hochlaufs liefert den Verlauf des Kupplungsmoments entsprechend Bild 4.1b. Dabei treten gleich zu Beginn intensive Schwingungen mit der Netzfrequenz von 50 Hz auf, und die Spitzenwerte des Moments in der Kupplung betragen mehr als 120 kN · m. Die infolge der elektrischen Ausgleichsvorg¨ange nach dem Einschalten des Motors entstehenden Schwingungen klingen etwa nach zwei Sekunden ab. Man erkennt in diesem Bild, daß der weitere Hochlauf auf der statischen Motorkennlinie stattﬁndet. Die elektrische Hochlaufsteuerung ist in Bild 4.2a links im Bild angedeutet. Sie besteht aus einer U- f -Steuerung, bei der die elektrische Spannung U und die Frequenz f proportional ge¨andert werden, infolge dessen sich die Motorkennlinie proportional verschiebt. Bei diesem gesteuerten Hochlauf betr¨agt die Speisefrequenz des

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

221

¨ Motors beim Einschalten 5 Hz. Sie nimmt mit einer Anderungsgeschwindigkeit von 5 Hz/s bis auf 50 Hz zu. Die Speisespannung steigt bei dem Beispiel proportional zur Frequenz an, so daß die Nennspannung bei Nennfrequenz erreicht wird.

a)

b) Bild 4.2 Antriebsstrang des L¨ufterantriebs a) Simulationsmodell von ITI -SIM [302] b) Kupplungsmoment beim gesteuerten Hochlauf

An dem Momentenverlauf in Bild 4.2b sieht man, daß w¨ahrend des Hochlaufvorganges innerhalb der ersten zwei Sekunden das Spitzenmoment unter 25 kN · m verbleibt, also wesentlich unter demjenigen des ungesteuerten Hochlaufs und unter dem Nennmoment der Kupplung, das hier bei etwa 30 kN · m liegt, vgl. Bild 4.1b. Dieses Beispiel lehrt, daß man derartige Antriebe nicht ungesteuert anlaufen las¨ sen darf, wenn man Uberlastungen der mechanischen Baugruppen des Antriebsstranges vermeiden will.

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang Ein typisches Beispiel f¨ur ein komplexes Antriebssystem ist der FahrzeugAntriebsstrang mit Ber¨ucksichtigung des Motors als elastisches Teilsystem sowie des weiteren Strangs mit Kupplung, Getriebe, Gelenkwelle, Differentialgetriebe, Seitenwellen und Rad/Reifen. Die Entwicklung eines Simulationsmodells wird in

222

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

[290] beschrieben, wobei auch auf die vielf¨altige Literatur dazu eingegangen wird. Aus der Sicht der Regelungstechnik wird diese Problematik in Verbindung mit einem Motorenpr¨ufstand in [264] behandelt. Zur Minimierung von Schwingungen (und damit auch zur Reduzierung von L¨arm) werden in Fahrzeugen mit mechanischen Schaltgetrieben so genannte Zwei” Massen-Schwungr¨ader“ (ZMS) eingesetzt, die einen wesentlichen positiven Einﬂuß auf das Gesamt-Eigenverhalten des Antriebssystems haben, vgl. [288], [337].

Bild 4.3 Fahrzeug-Antriebsstrang, Simulationsmodell von ARLA -SIMUL [213], [301] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad (ZMS), b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

Bild 4.3a zeigt ein entsprechendes Schwingungsmodell mit allen Drehmassen und Drehsteiﬁgkeiten als unverzweigtes-unvermaschtes System (hinterachsgetriebenes Fahrzeug mit durchgeschaltetem 4. Gang). Mit den in Tabelle 4.1 angegebenen Parameterwerten erfolgte die modale Analyse [213], deren Ergebnisse in Bild 4.4 dargestellt sind. Anhand der ersten Eigenfrequenzen und Schwingungsformen lassen sich die typischen maschinendynamischen Eigenschaften erkennen. Durch Vergleich der Amplituden-Verteilung der Eigenformen (ϕ ki ) mit den Parameterwerten multiplizierten Sensitivit¨atskoefﬁzienten kann man die physikalischen Ursachen deuten.

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

223

Tabelle 4.1 Parameterwerte des Antriebsstranges von Bild 4.3 k

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Drehmasse Jk in 10−3 kg · m2 a) b) 4 1 10 10 10 10 215 115 0,28 115 4,25 2,5 6,5 2,4 32,5 2,37 1 700 124,1 65 000 4 748

Drehfederkonstante kTk in 104 N · m/rad a) b) 2 9 45 45 45 50 0,16 0,06 0,90 6 0,9 0,9 0,75 5,48 1 0,07 4 0,29 — —

Gesamt¨ubersetzung u a), b) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3,7 3,7 3,7

auf Hauptwelle reduzierte Werte

Es ist deutlich erkennbar, daß das Subsystem Motor“ vom restlichen Schwin” gungssystem zwischen Schwungrad und Fahrzeug-Ersatzmasse dynamisch entkoppelt ist. Hieraus l¨aßt sich beispielsweise auch die Reduktion der elastischen Substruktur Motor“ auf eine einzige Masse als starre“ Substruktur rechtfertigen, wenn das ” ” Antriebssystem selbst nicht analysiert werden soll, denn der Motor verh¨alt sich bei den niederen Formen wie ein rotierender starrer K¨orper. Weiterhin ist vom Standpunkt der Modellbildung interessant und aus Bild 4.4b ersichtlich, daß • die Fahrzeugmasse (J15 ) infolge ihrer großen Tr¨agheit nicht an den Schwingungen beteiligt ist und wie eine Einspannstelle wirkt, • vor allem die zweite Eigenform durch das Zwei-Massen-Schwungrad (ZMS) stark beeinﬂußt wird (Relativdrehung zwischen Scheibe 7 und 8), • sich alle Eigenfrequenzen infolge des ZMS (Zusatzmasse, kleinere Drehfeder) partiell abgesenkt haben, vgl. fi des Systems a mit fi+1 des Systems b • die h¨oheren Eigenformen durch das ZMS wenig beeinﬂußt werden, vgl. die Formen ϕ i des Systems a mit ϕ i+1 des Systems b, • die erste Eigenform durch die weichsten Federn (k7 , k13 ) und die große Schwungmasse (J7 ) bedingt ist, • daß erst ab etwa 290 Hz das Eigenverhalten des Vierzylindermotors von Bedeutung ist In Bild 4.4 wurde die (theoretisch erste Eigenform, die) Starrk¨orperdrehung nicht mit dargestellt. Das Bild zeigt auch, daß die graﬁsche Darstellung von der Normierungsbedingung abh¨angt, denn nur weil deren Vorzeichen vertauscht wurden, sieht z. B. ϕ k1 in Bild 4.4a und 4.4b anders aus.

224

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Bild 4.4 Eigenfrequenzen fi , Eigenformen ϕ ki und Produkte von Parameterwerten mit Sensitivit¨atskoefﬁzienten der kinetischen (µ ik ) und potentiellen Energie (γ ik ) zu Bild 4.3 a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad [213], [301]

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

225

Es interessiert das dynamische Verhalten eines verzweigten Fahrzeugantriebs mit Ber¨ucksichtigung einer spielbehafteten Getriebestufe (im unbelasteten Antriebszweig). Der im Bild 4.5 vorgestellte Torsionsschwinger l¨aßt sich aufgrund der Komplexit¨at (verzweigte Struktur, Spiele in den beiden Getriebestufen) bevorzugt mit Hilfe moderner Simulationsprogramme berechnen [215], [264], [337]. Das Berechnungsmodell von Bild 4.3 wurde um periodische Erregermomente an den vier Zylindern und um die spielbehaftete Vorgelegewelle erweitert.

Bild 4.5 Fahrzeug-Antriebsstrang mit Vorgelegewelle, belastet durch periodische Motormomente, vgl. Bild 4.3 [213], [301] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

In den beiden Versionen ohne bzw. mit ZMS wurde das dynamische Verhalten im Zeitbereich mit der Simulationssoftware ARLA -SIMUL [213] analysiert. Da die Drehzahl proportional mit der Zeit monoton ansteigt, ist die Zeitabh¨angigkeit auch gleichzeitig die Drehzahlabh¨angigkeit. Die Ergebnisse (Zeitverl¨aufe sowie Amplituden im Frequenzbereich) sind Bild 4.6 und Bild 4.7 zu entnehmen. Es erfolgte die Simulation eines Hochlaufs von der Drehzahl Null bis zu 1 200 min−1 innerhalb von 7 Sekunden. Bild 4.6 zeigt, daß der Fahrzeugantriebs-

226

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Bild 4.6 Mit ARLA -SIMUL berechnete Zeitverl¨aufe des Moments M16 (Vorgelegewelle) gem¨aß Bild 4.5 [213] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

strang im Drehzahlbereich unterhalb der Leerlaufdrehzahl resonanzf¨ahig ist (besonders das System mit ZMS). Erst oberhalb der Leerlaufdrehzahl wirkt das ZMS vorteilhaft (Minimierung und Quasi-Abkopplung“ der Motorzwangsanregung, ” ¨ keine Resonanzen). Das System ohne ZMS zeigt deutlich eine Uberh¨ ohung im Momentenverlauf aufgrund der Motorzwangsanregung bei der Grundfrequenz von etwa 6 Hz. Bei dem System mit ZMS zeigt sich auch bei der zweiten Eigenfrequenz von 16 Hz eine Resonanzspitze, vgl. Bild 4.4 und Bild 4.6b. Außerdem ist in den Plots ein anderes Ph¨anomen erkennbar: Im tiefen Drehzahlbereich (normalerweise immer unterhalb der Leerlaufdrehzahl) ist die ZMS-Version sogar st¨arker resonanzgef¨ahrdet als der konventionelle Strang; jedoch werden die Amplituden in h¨oheren Drehzahlregionen erheblich geringer (d. h. akustisch g¨unstig abgestimmtes System). Ein besonders u¨ bersichtliches Ergebnis, quasi eine Kombination der Ergebnisse im Zeit- und Frequenzbereich, ist in Bild 4.7 dargestellt. Die DrehmomentAmplituden werden vergleichbar mit der Darstellung von geographischen H¨ohen auf Landkarten in Abh¨angigkeit von der Zeit sowie der Frequenz aufgetragen. Die maximale Amplitude der ZMS-Antriebsstrang-Konﬁguration ist oberhalb der Leerlaufdrehzahl nur ca. 20 % von der Amplitude f¨ur die Konﬁguration ohne ZMS. Dar¨uber hinaus ist dieses Maximum“ bei erheblich kleineren Drehzahlen vorzuﬁn” den, was wiederum f¨ur die Praxis ein Vorteil bez¨uglich der Entwicklung des L¨arms bedeutet.

4.2 Fahrzeug-Antriebsstrang

227

Bild 4.7 Amplitudenkarte des Campbell-Diagramms f¨ur das Moment M16 im Fahrzeugmodell nach Bild 4.5; Rechenergebnisse mit ARLA -SIMUL [213] a) ohne Zwei-Massen-Schwungrad, b) mit Zwei-Massen-Schwungrad

Solche numerischen Simulationen k¨onnen erheblich zur rechnergest¨utzten, praxisrelevanten Optimierung von komplexen Antriebssystemen beitragen. Die Ordnungsgeraden des Campbell-Diagramms und die Resonanzkurve sind hierbei in einem Diagramm zusammengefaßt. Je tiefer die Schw¨arzung der Fl¨ache ist, desto gr¨oßer sind die Amplituden. Hier in Bild 4.7 dominiert die zweite ErregerHarmonische, aber auch die Ausl¨aufer der ersten und vierten Erregerharmonischen sind erkennbar. Weitergehende Systembetrachtungen von Fahrzeugantriebsstr¨angen – auch im Hinblick einer akustischen Optimierung des dynamischen Gesamtverhaltens – werden in der Literatur eingehend vorgestellt [217].

228

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang 4.3.1 Allgemeine Problemstellung Kupplungen sind oft die wesentlichen Teile eines Antriebsstranges, die dessen dynamisches Verhalten entscheidend bestimmen. Genau genommen m¨ußte man entsprechend der Vielfalt der Bauarten, die aus den verschiedenen Aufgabenstellungen (z. B. Ausgleich von radialem, axialem oder Winkelversatz, linear oder nichtlinear ¨ jede Kupplungsbauart ein speziﬁsches maschinendynaelastisch u. a.) folgt, fur misches Berechnungsmodell verwenden, vgl. z. B. [20], [216], [238], [240], [256], [306], [337]. Tabelle 3.2 charakterisiert einige Beispiele lediglich mit eindimensionalen“ ” Kennlinien, welche das Torsionsmoment betreffen. Es m¨ussen in Wirklichkeit aber oft ebene oder sogar r¨aumliche Modelle ber¨ucksichtigt werden, um das wesentliche Verhalten zu erfassen. Hier fehlt f¨ur so eine detailliertere Erl¨auterung der Raum, aber an einigen Beispielen soll auf die Modelltiefe“ hingewiesen werden, die ” gelegentlich erforderlich ist. Eine Kupplung ist oft nicht nur das weichste Element innerhalb eines Antriebsstranges, welches die tiefsten Torsionseigenfrequenzen bestimmt, sondern auch die Ursache einer Schwingungserregung. Ist die Kupplung das einzige weiche“ Element ” im Antriebsstrang, so ist f¨ur die Berechnung im niederen Frequenzbereich oft das Zweimassensystem als Minimalmodell geeignet. Dynamische Belastungen in einem Antriebssystem kann man durch den Einbau einer Kupplung vermindern, wenn eine Abkopplung der a¨ ußeren Erregung erreicht wird, vgl. auch Abschn. 4.3.3. Dies ist durch eine Ab¨anderung der Eigenformen m¨oglich, z. B. mit den Methoden der in Abschn. 2.5.1 beschriebenen Sensitivit¨atsanalyse oder im Hinblick auf die Erregungen mit der Analyse der Anregbarkeit gem¨aß Abschn. 5.2. Dazu ermittelt man die Sensitivit¨atskoefﬁzienten, vgl. auch Gl. (2.370): • µ ik – Einﬂuß der k-ten Drehmasse auf die i-te Eigenfrequenz, • γ ik – Einﬂuß der k-ten Drehfeder auf die i-te Eigenfrequenz und • die Matrix, die in Abschn. 2.5.1.2 f¨ur einen Torsionsschwinger erl¨autert wurde. Die µ ik deﬁnieren die speziﬁsche kinetische Energie der k-ten Drehmasse und geben durch ihre Gr¨oße zu erkennen, welche Drehmasse welche Eigenfrequenz wie beeinﬂußt, vgl. Bild 4.4. Analog kennzeichnen die γ ik die speziﬁsche potentielle Energie der Wellenabschnitte und weisen durch ihre Gr¨oßen darauf hin, wie sich die Modiﬁkation der Drehfedersteiﬁgkeiten auf die Verschiebung der Eigenfrequenzen auswirkt. Zur Bewertung der Eigenformen kann man die Matrizen R berechnen, deren Elemente den Einﬂuß des k-ten Parameters auf die i-te Eigenform erfassen, vgl. Gl. (2.364). Kennt man den Zeitverlauf der Erregermomente, so kann man auch die modalen Anregungsfaktoren wi berechnen, die den speziﬁschen Anteil der in die i-te Eigenform ﬂießende Erregerarbeit abh¨angig vom Zeitverlauf der Erregerkr¨afte quantitativ bewerten, vgl. Gl. (5.8) und Abschn. 5.2.1.

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

229

Praktische Probleml¨osungen in Verbindung mit der Auslegung von Kupplungen bei großen Anlagen behandeln z. B. die Arbeiten [56], [216], [352] und [360]. In [56] wird empfohlen, die Torsionsgrundschwingung von Mahlanlagen (Kugelm¨uhlen, Rollenpressen, Vertikalm¨uhlen) durch den Einsatz drehelastischer Wellen und Kupplungen in den Bereich zwischen 5 bis 10 Hz zu legen, da die Frequenzspektren ” des Mahlvorganges die st¨arksten Amplituden zwischen 10 und 30 Hz aufweisen“. Aus der modalen Anregbarkeitsanalyse w¨urde sich nach l¨angerer Rechnung dieselbe Schlußfolgerung ergeben, vgl. Abschn. 5.2. Die Beurteilung des dynamischen Verhaltens eines Antriebsstranges erfordert oft eine genaue Modellierung des Steiﬁgkeits- und D¨ampfungsverhaltens der nachgiebigen Kupplungen. In der DIN 740-2 (Nachgiebige Wellenkupplungen. Begriffe und Berechnungsgrundlagen, August 1986) werden am Betriebspunkt linearisierte Berechnungsmodelle empfohlen. F¨ur viele Kupplungen sind aber nichtlineare Berechnungsmodelle erforderlich, d. h., man erh¨alt qualitativ und quantitativ falsche Ergebnisse, wenn man bloß mit linearen Kupplungsmodellen rechnet. Dies gilt besonders f¨ur Einsatzf¨alle, wo eine Kupplung nach der ertragbaren Verlustleistung in der Resonanzstelle ausgelegt werden muß und die D¨ampfungsleistung das wesentliche Auslegungskriterium ist, vgl. [360]. 4.3.2 Lufterantrieb ¨ An einem L¨ufter, der durch einen frequenzgeregelten Asynchronmotor mit Umrichterbetrieb (VSD/AC-Motor, Leistung 2,2 MW) angetrieben wird, gab es Schadensf¨alle [216]. Urspr¨unglich war der Motor u¨ ber eine Ganzstahlkupplung (System ARPEX) mit dem Antrieb verbunden. Diese Kupplung ist drehsteif und kann den Axial-, Winkel- und Radialversatz ausgleichen. Bild 4.8 zeigt das Berechnungsmodell des L¨ufterantriebs, das zur Simulation dieses Antriebssystems verwendet wurde. Es besteht aus sechs Drehmassen und f¨unf Torsionsfedern. Die Kupplung wurde als Torsionsschwinger modelliert und der L¨ufter als starre Drehmasse, da die Eigenfrequenzen der Fl¨ugelbl¨atter im Vergleich zu denen des Torsionsschwingers sehr groß waren. Gem¨aß den Hinweisen in Tabelle 3.1 muß man bei diesem Antriebssystem mit periodischen Torsionsmomenten rechnen, deren Spektrum vor allem Harmonische mit einfacher, doppelter, 12- oder 24-facher Drehfrequenz (je nach Anzahl der Pole und Pulse des Elektromotors) enth¨alt. Hinzu kommen noch Einﬂ¨usse der Regelung und des L¨ufters, der in diesem Fall 10 Fl¨ugelbl¨atter hatte. Zur Problemgeschichte: 1. Bei der Inbetriebnahme dieses Antriebssystems brach die H¨ulse der urspr¨unglichen Kupplung ( K1“). Die Messung zeigte unzul¨assig große Torsionsschwin” gungen, in dem relativ breiten Drehzahlbereich von 300 bis 1 500 min−1 . 2. Nach dem Auswechseln der bisherigen Kupplung und dem Einbau einer steiferen Kupplung derselben Bauart ( K2“), die auch ein gr¨oßeres Nennmoment u¨ bertra” gen konnte, brach infolge starker Schwingungen die Motorwelle. 3. Aufgrund dieser Erfahrungen wurde eine RUPEX-ARPEX-Kupplungskombination ( K3“) eingesetzt, die eine geringere Torsionssteiﬁgkeit und eine wesentlich ” st¨arkere D¨ampfung besaß. Danach traten im Betrieb keine wesentlichen Schwingungen mehr auf.

230

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Motor

Lamelle kT1

M

kT2

J2 J1

a)

Hülse

Lamelle

Welle

kT4

kT5

kT3

J3

J4

Lüfter

J5 J6

Ganzstahl-Kupplung

b)

µik J k

γ ik kTk

c) Bild 4.8 L¨ufterantrieb a) Berechnungsmodell, b) ARPEX-Kupplung (Kupplung K1“ [14]), c) Eigenformen ” und Eigenfrequenzen des L¨ufterantriebs mit Kupplung K1“ [216] ”

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

231

Die modale Analyse des Antriebssystems mit der urspr¨unglich eingebauten Kupplung K1“ lieferte die in Bild 4.9 dargestellten Eigenformen. Nach dem ” Einbau der zweiten Kupplung zeigte sich, daß sich die Eigenfrequenzen und Eigenformen fast nicht von denen der urspr¨unglichen Variante unterschieden. Die gr¨oßere Kupplung K2“ a¨ nderte am ung¨unstigen Schwingungsverhalten wenig. ”

a)

b) Bild 4.9 Drehmoment in der H¨ulse beim Hochlaufvorgang [216] a) urspr¨unglicher Einbauzustand mit Kupplung K1“ ” b) ver¨andertes Antriebssystem mit Kupplung K3“ ”

Die Simulation des Hochlaufvorganges (Hochlaufzeit 10 s) im Drehzahlbereich von 500 bis 1 400 min−1 erfolgte unter Ber¨ucksichtigung der h¨oheren (2., 10., 12., 24.) Erregerharmonischen. Es zeigte sich im Drehzahlbereich von 200 min−1 bis ¨ der ersten 400 min−1 ein erstes Resonanzgebiet, welches durch die Ubereinstimmung Eigenfrequenz mit der 10. und 12. Erregerharmonischen erkl¨arlich war (ω 1 ≈ kΩ ), vgl. Bild 4.9a. Dem Mittelwert des Drehmoments von etwa 15 kN · m waren in diesem Resonanzgebiet Schwingungen mit ca. 30 Hz mit einer Amplitude von etwa

232

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

15 kN · m u¨ berlagert. Die vom L¨ufter stammende 10. Harmonische verursacht Erregerfrequenzen im Bereich von 83 Hz bis 233 Hz, aber die zugeh¨orige Eigenform besitzt eine geringe modale Anregbarkeit. Dies erkennt man daran, daß dieser Torsionsschwinger an der Stelle des L¨ufters nur eine geringe Amplitude hat (vgl. Bild 4.8c), d. h., die vom L¨ufter kommenden Erregermomente verrichten keine große Erregerarbeit, vgl. Abschn. 5.2. Vermutlich war die 12. Harmonische des Motormoments dominierend. Im Bereich von 600 min−1 bis 1 100 min−1 gab es ein zweites Resonanzgebiet mit intensiveren Schwingungen, vgl. Bild 4.9. Es traten Momentenamplituden von etwa 53 kN · m auf, die zu Spitzenwerten bis etwa 68 kN · m f¨uhrten. Diese zweite ¨ Resonanzstelle entsprach der Ubereinstimmung der zweiten Erregerharmonischen −1 (850 min = 2 · 14,2 Hz = 28,4 Hz) mit der unteren Eigenfrequenz des Torsionsschwingers, vgl. Bild 4.9a. Nach dem Durchfahren des Resonanzgebietes oberhalb von etwa 1 150 min−1 verschwanden die intensiven Schwingungen wieder. F¨ur die Festigkeit der Kupplung waren diese Schwingungen deshalb besonders sch¨adigend, da sie eine hochfrequente Wechselbelastung in der Kupplung hervorriefen. Die L¨osung des Schwingungsproblems gelang durch den Einsatz einer elastischen stark d¨ampfenden Kupplungskombination RAK (RUPEX-ARPEX), vgl. Bild 4.10. Die erste Eigenfrequenz verringerte sich nur unwesentlich, und die Eigenformen a¨ nderten sich auch nicht wesentlich. Die Schwingungsanalyse mit dem in Bild 4.8a dargestellten Berechnungsmodell lieferte die in Bild 4.9b dargestellten Drehmomente beim Hochlauf, deren Spitzenwert nur noch etwa 25 kN · m betr¨agt. Dabei traten nur noch schwellende Belastungen und keine Wechselbelastungen mehr auf.

Bild 4.10 RUPEX-ARPEX-Kupplung (Kupplung K3“ [280]) ”

Bei den erzwungenen Schwingungen waren die Resonanzspitzen kleiner. Dies lag einerseits an der starken D¨ampfung der Kupplung K3“, die einen modalen ” D¨ampfungsgrad bei der ersten Eigenfrequenz von D1 = 0,088 zeigte, w¨ahrend die Kupplungen K1 und K2 nur etwa den D¨ampfungsgrad D1 = 0,010 besaßen. Da die Resonanzamplituden umgekehrt proportional zum D¨ampfungsgrad sind, ist deren Verminderung damit erkl¨arlich.

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

233

Mit dem erw¨ahnten in [216] beschriebenen Berechnungsmodell wurden mehrere ¨ Varianten berechnet und eine Ubereinstimmung von Rechen- und Meßergebnissen erzielt. Die Autoren dieser Untersuchung vermuteten, daß bei den Kupplungsvarianten K1 und K2 der Regler und das mechanische System nicht gut aufeinander abgestimmt waren. Durch die Ber¨ucksichtigung der Wechselwirkung zwischen elektrischen und mechanischen Schwingungen konnte das Antriebssystem des L¨ufters umfassender beurteilt werden. Es kann aber auch sein, daß infolge der u¨ berlagerten hochfrequenten Schwingungen, die beim Hochlauf auftreten, der (selten beachtete) nichtlineare Effekt die Amplituden vergr¨oßerte, der in Abschn. 3.4.2.3 beschrieben ist [84]. 4.3.3 Druckmaschine Die Beherrschung des Schwingungsverhaltens der Antriebssysteme von Druckmaschinen hat mit den Anforderungen an Druckqualit¨at und Produktivit¨at in den vergangenen Jahren immer mehr an Bedeutung gewonnen. Die Ausf¨uhrungen in diesem Abschnitt st¨utzen sich auf die Darstellung und das Bildmaterial aus [352], bei der es um eine Druckmaschine geht, die bis etwa 18 000 Bogen pro Stunde (Grunderregerfrequenz ist 5 Hz) arbeitet. Bild 4.11 zeigt das Schema einer Bogenoffsetdruckmaschine. Der Druckbogen wird am Anlegetisch vom Vorgreifer erfaßt und aus der Ruhelage auf die Umfangsgeschwindigkeit der Druckwerkzylinder beschleunigt. Danach durchl¨auft der Bogen alle Druckwerke, wo der Aufdruck der verschiedenen Farben nacheinander erfolgt. ¨ Das mehrfarbige Druckbild entsteht also durch den m¨oglichst paßgenauen Ubereinanderdruck der einzelnen Farbdrucke bei hoher Maschinengeschwindigkeit.

Anleger

Vorgreifer

Druckwerke

Ausleger

Druckzylinder

Bild 4.11 Bogenoffsetdruckmaschine

Die verschiedenen Zylinder einer Bogendruckmaschine m¨ussen sehr genau synchron rotieren, da bereits Reproduzier-Ungenauigkeiten von etwa 0,01 mm zu wahrnehmbaren Beeintr¨achtigungen der Druckqualit¨at f¨uhren. Bedenkt man, daß eine Bogendruckmaschine eine L¨ange bis zu 20 m haben kann und der Druckbogen sich infolge der Zugspannung und der feuchten Farbe dehnt, so ahnt man, wie schwierig es ist, eine so hohe Paßgenauigkeit zu erreichen. Außerdem ist dieses Antriebssystem mit den vielen rotierenden Zylindern, die durch Zahnr¨ader zwangl¨auﬁg gekoppelt sind, ein Torsionsschwinger mit vielen Freiheitsgraden. Er wird durch mehrere Mechanismen, die technologisch bedingte ungleichm¨aßige Bewegungen ausf¨uhren

234

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

(z. B. durch das am Anfang beﬁndliche Vorgreifergetriebe) periodisch erregt, so daß auch infolge von Schwingungen Winkeldifferenzen zwischen den Druckzylindern entstehen. Es hat sich herausgestellt, daß die klassische Forderung, daß die Schwingungs” amplituden stets kleiner sein m¨ussen als der Grenzwert der Reproduziergenauigkeit“, nicht erf¨ullbar ist. Man muß sich auf die minimale verarbeitungstechnische Anforderung beschr¨anken: die Wiederholgenauigkeit des sogenannten Passers. Aus der Sicht der Dynamik bestehen folgende Anforderungen an das Antriebssystem: • Minimierung der Winkeldifferenzen in solchen Zylindern des Antriebssystems, die das Druckbild tragen, ¨ • Vermeidung von solchen Anderungen des Drehmoments, die an spielbehafteten Stellen im Antriebssystem einen Vorzeichenwechsel aufweisen. Als Berechnungsmodell wird ein diskretes verzweigtes System mit 11 Freiheitsgraden benutzt, vgl. Bild 4.12. Es besteht aus einem R¨aderzug, von dem aus die Druckwerke DW 1 bis DW 6 und der Ausleger synchron angetrieben werden, sowie aus einer L¨angswelle, die an der Stelle KRS (Keilriemenscheibe) des Antriebsstranges verzweigt und in die Druckwerke DW 1 und DW 4 ein Antriebsmoment einleitet, um die freie Torsionsl¨ange des Antriebsstranges zu verk¨urzen. Die Eigenfrequenzen des Systems mit L¨angswelle liegen oberhalb desjenigen ohne L¨angswelle. Der Antrieb am Wellenende beim Druckwerk DW 1 w¨urde die niedrigsten Eigenfrequenzen und die h¨ochste Anregbarkeit der Torsionsschwingungen bedeuten. In [352] wird auch ein Antrieb nur u¨ ber das Druckwerk DW 3 diskutiert. Es zeigt sich, daß die zus¨atzliche Einspeisung eines Drehmoments am Druckwerk DW 4 eine wesentliche Versteifung bedeutet. Wie problematisch die Bestimmung der Modellparameter ist, wird in [352] am Beispiel der Drehsteiﬁgkeit eines Stirnradpaares erl¨autert, vgl. auch Abschn. 3.4.1. Nach DIN 3990, Teil 1 ergibt sich eine theoretische Zahnsteiﬁgkeit von kT = 11,0 · 107 N · m/rad, aber der richtige Wert lag bei kT = 1,4 · 107 N · m/rad! Dies hat wesentliche Auswirkungen auf die Vorausberechnung der Eigenfrequenzen. Der Unterschied kommt dadurch zu Stande, daß in Wirklichkeit die Biegung der Zylinderzapfen und die Plattenbiegung der Stirnr¨ader eine nicht vernachl¨assigbare Nachgiebigkeit bedeutet. Bei der Simulation werden die Eigenfrequenzen (zu erwartende Resonanzdrehzahlen), die Eigenformen (Bewertung der Anregbarkeit und Sensitivit¨at) und auch die erzwungenen Schwingungen berechnet. Die Aufgabe bestand darin, zu pr¨ufen, wie eine elastische Kupplung zwischen dem Motor des Hauptantriebs und der Druckmaschine das Schwingungsverhalten beeinﬂußt. Es erfolgte eine rechnerische Modalanalyse f¨ur das ged¨ampfte Schwingungssystem. Die erste Eigenfrequenz ist Null, da sich das Antriebssystem dabei wie ein Starrk¨orpersystem dreht. Bild 4.12 zeigt Eigenschwingformen einer 6-FarbenBogenoffsetdruckmaschine, f¨ur welche die Eigenfrequenzen fi und die modalen D¨ampfungsgrade Di angegeben sind. Man sieht in Bild 4.12a, daß der Schwingungsknoten der zweiten Eigenform zwischen den Druckwerken DW 3 und DW 4 und bei der dritten Eigenform (Bild 4.12b) zwischen DW 4 und DW 5 liegt, d. h., die Druckwerke schwingen vor und hinter dem Knoten in verschiedenen Phasenlagen, also gegensinnig zueinander. F¨ur die Farb¨ubertragung ist das ung¨unstig, da die Relativwege dann groß sind. Mit dem

4.3 Kupplungen im Antriebsstrang

235

Räderzug DW_1

a) KRS

DW_2

DW_3

Getr_1

DW_4

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

DW_5

DW_6

Ausl

Getr_4

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

b) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

c) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Räderzug DW_1

d) KRS

DW_2

DW_3

DW_4

Getr_4

Getr_1

Längswelle Motor

Bild 4.12 Eigenformen der 6-Farben-Druckmaschine [352] a) mit starrer Kupplung, zweite Eigenschwingform ( f2 = 18,88 Hz; D2 = 0,041 6) b) mit starrer Kupplung, dritte Eigenschwingform ( f3 = 26,93 Hz; D3 = 0,035 7) c) mit elastischer Kupplung, zweite Eigenschwingform ( f2 = 11,76 Hz; D2 = 0,022 2) d) mit elastischer Kupplung, dritte Eigenschwingform ( f3 = 21,64 Hz; D3 = 0,052 9)

Einbau einer elastischen Kupplung zwischen Motor und Antriebsstrang ergeben sich die in Bild 4.12c und d dargestellten Eigenformen und Eigenfrequenzen. Die Eigenfrequenzen des Antriebssystems werden durch die elastische Kupplung abgesenkt, und die Eigenformen a¨ ndern sich ebenfalls. An der zweiten Eigenform kann man erkennen, daß an der Stelle KRS, wo die elastische Kupplung eingebaut wurde, ein Schwingungsknoten entsteht. Der Motor schwingt dabei in Gegenphase zum gesamten anderen Teil des Antriebssystems. Die zweite Eigenschwingungsform ist im Bereich jenseits der elastischen Kupplung quasi die Starrk¨orperform aller u¨ ber den R¨aderzug miteinander gekoppelten Druckwerke, d. h., es treten nur geringe Relativwege zwischen den Druckwerken auf. Die st¨orenden Relativwege der Druckwerke sind deutlich kleiner als bei den Eigenformen in Bild 4.12a. Durch eine g¨unstige Wahl der Drehsteiﬁgkeit der elastischen Kupplung l¨aßt sich dieses dynamisch

236

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

g¨unstige Verhalten erreichen. Die dritte Eigenform (Bild 4.12d) hat zwar auch wieder einen Schwingungsknoten in der N¨ahe des Druckwerkes DW 4, aber in diesem Falle sind die Amplituden an der Stelle des Motors sehr gering. Die Anregung dieser Eigenform ist durch die dynamischen Momentenkomponenten des Motors wesentlich kleiner als bei der dritten Eigenform mit starrer Kupplung, vgl. Bild 4.12b und 4.12d. Die in [352] dargestellten Berechnungsergebnisse f¨ur die erzwungenen Schwingungen zeigen, daß bei der Konstruktion mit L¨angswelle wesentlich kleinere Schwingungsamplituden auftraten als bei dem Antriebssystem ohne L¨angswelle. Mit Hilfe des L¨angswellenkonzepts gelang es unter Benutzung der elastischen Kupplung, den Spitze-Spitze-Wert des aus den erzwungenen Schwingungen resultierenden dynamischen Torsionsmomentes von 217 N · m auf 79 N · m bei der Betriebsdrehzahl von 13 000 Bogen/Stunde zu senken. Damit war die Gefahr des Abhebens der Zahnﬂanken gebannt und die geforderte Passergenauigkeit auch bei hohen Druckgeschwindigkeiten erreichbar, da die technologischen Momente, bedingt durch die rheologischen Eigenschaften der Druckfarben im Farbwerk, eine st¨andige Vorspannung sichern.

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen 4.4.1 Schwingungsursachen Typisch f¨ur viele Verarbeitungsmaschinen, Landmaschinen und Umformmaschinen ist die zyklische Arbeitsweise der in ihnen eingesetzten ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Getriebe (Mechanismen). Die Mechanismen erweisen sich oft als die Baugruppen, welche die Drehzahl einer Maschine begrenzen, weil sie zu L¨arm, erh¨ohtem Verschleiß, unzul¨assigen Antriebs- oder Gestellbelastungen oder St¨orungen des technologischen Prozesses (Schwingungen am Abtriebsglied) f¨uhren. Die Beschleunigungen der Mechanismenglieder, die sich mit handels¨ublicher Software f¨ur Starrk¨orper- Mechanismen beliebiger Struktur relativ schnell berechnen lassen, da sie nur von den kinematischen Abmessungen abh¨angen, erreichen oft ein Vielfaches der Erdbeschleunigung, vgl. Tabelle 4.2. Aus dem Verh¨altnis der in einem Getriebeglied auftretenden Maximalbeschleunigung amax zur Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 geht pauschal das Verh¨altnis kinetostatischer Massenkr¨afte zum Eigengewicht hervor und man erkennt die Bedeutung der dynamischen Belastungen. Um die Schwingungserregung beurteilen zu k¨onnen, ben¨otigt man Aussagen zum Fourierspektrum der Zeitverl¨aufe der ungleichf¨ormigen Abtriebsbewegungen. Entscheidend f¨ur die Beurteilung der Schwingungsanregung bei zyklisch arbeitenden Mechanismen sind • • • •

das Erregerspektrum, das Abstimmungsverh¨altnis η im Betriebsdrehzahlbereich, die Gr¨oße der Unstetigkeiten in den Lagefunktionen h¨oherer Ordnung, die Gr¨oße des Spiels in den Dreh- und Schubgelenken (F¨uhrungsbahnen),

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

237

Tabelle 4.2 Beschleunigungsverh¨altnisse bei typischen Mechanismen Maschinenart Schneidemaschinen, Pressen Webmaschinen Verpackungsmaschinen Wirkmaschinen Schiffsdieselmotoren Haushaltn¨ahmaschinen Industrien¨ahmaschinen

Drehzahlbereich in 1/min 30 . . . 150 200 . . . 1 000 100 . . . 300 1 500 . . . 3 000 400 . . . 500 1 000 . . . 2 000 5 000 . . . 10 000

Beschleunigungsverh¨altnis amax /g 0,3 . . . 10 1,0 . . . 15 5 . . . 50 15 . . . 40 70 . . . 80 50 . . . 100 300 . . . 800

• die Stellungsabh¨angigkeit der Eigenfrequenzen und • das Verh¨altnis der Anregungszeit zur Periodendauer der Eigenschwingungen der Mechanismen oder des Gestells. Mechanismen werden meist unter der Annahme entworfen, daß sie sich entsprechend den kinematischen Forderungen ideal zwangl¨auﬁg bewegen und sich die Getriebeglieder wie starre K¨orper verhalten. Die Maximalwerte der Massenkr¨afte bei zyklisch arbeitenden Mechanismen nehmen mit dem Quadrat der Drehzahl zu, solange das Starrk¨orpermodell gilt, vgl. Abschn. 2.1.2. Bei unterschiedlichen Drehzahlen treten dann geometrisch a¨ hnliche Verl¨aufe als Funktion des Antriebswinkels auf. Man kann diese Gesetzm¨aßigkeit bei der Berechnung der Massenkr¨afte ausnutzen, denn sie spart die wiederholte Berechnung bei unterschiedlichen Drehzahlen, aber auch f¨ur die Deutung der Oszillogramme gemessener Beschleunigungen oder Kraftgr¨oßen ist dieser Zusammenhang wesentlich, vgl. Bild 4.13 bis Bild 4.14 und Bild 2.7. Infolge der in Wirklichkeit vorhandenen Elastizit¨at der Getriebeglieder und des meist unvermeidlichen Gelenkspiels treten bei realen Mechanismen Abweichungen von den idealen kinematisch geforderten Bewegungen auf. Auch die Lager- und Gelenkkr¨afte weichen dann von den erwarteten kinetostatischen Kraftverl¨aufen ab und verletzen in h¨oheren Drehzahlbereichen ebenfalls die gestellten Anforderungen. Bis zu welcher Drehzahl man mit dem Modell der starren Maschine (Starrk¨orpersystem) rechnen darf, kann in erster N¨aherung durch die in Abschn. 2.1.2 genannten Kriterien entschieden werden, bei denen die erste Eigenfrequenz die wesentliche Rolle spielt, vgl. Gl. (2.6) und Gl. (2.7). Man hat bei Mechanismen, auch wenn sie nur eine einzige wesentliche Eigenfrequenz haben, infolge der periodischen Erregung stets viele kritische Drehzahlen zu erwarten, vgl. Gl. (5.209) und Bild 5.51b. Die kinetostatischen Massenkr¨afte wirken in jedem Falle als Erregerkr¨afte auf das reale elastische Antriebssystem, das in einem ebenfalls schwingungsf¨ahigen Gestell gelagert ist. Im konkreten Fall ist jeweils zu kl¨aren, welche wesentlichen h¨oheren Harmonischen das Erregerspektrum enth¨alt und welche Eigenschwingform angeregt wird, d. h. ob das Abtriebsglied, die Antriebswelle, ein elastisches Glied innerhalb des Mechanismus oder das Gestell die erste Eigenfrequenz und damit weitere kritischen Drehzahlen h¨oherer Ordnung bestimmen. Wirksame Maßnahmen zur Vermeidung der st¨orenden Schwingungen lassen sich meist erst dann treffen, wenn bekannt ist, welches die wesentlichen Eigenschwin-

238

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

gungen sind. Große Schwingungsamplituden treten stets mit Eigenfrequenzen auf, deren Eigenschwingform von irgendeiner Erregung (periodisch oder stoßartig) angeregt wird. Es ist schwierig, alle Erreger- und Eigenfrequenzen bei einem neuen Antrieb schon vor dem Musterbau (oder vor der Inbetriebnahme der Maschine) zu ermitteln. Als h¨auﬁge Ursachen von Mechanismenschwingungen haben sich herausgestellt: • Resonanzen k-ter Ordnung. Sie treten auf, wenn eine k-te Harmonische der periodisch ver¨anderlichen kinetostatischen Massenkr¨afte mit einer der Eigenfrequenzen des Gestells, des Antriebsstranges oder der elastischen Mechanismenglieder u¨ bereinstimmt, vgl. die Bilder 4.14, 4.15 und das Beispiel in Abschn. 5.5.4. • Parametererregte Schwingungen infolge der stellungsabh¨angigen Eigenfrequenzen des Mechanismus (kurzzeitige dynamische Instabilit¨at), vgl. Bild 2.17, Abschn. 2.3.2 und 4.4.2. • Knicke und Spr¨unge (Ruck und h¨ohere Zeitableitungen) in den Lagefunktionen U(ϕ ), vgl. Bild 4.15, Abschn. 4.6.4 und Abschn. 5.5.3.3. • Eigenschwingungen, die durch impulsartige St¨oße nach dem Durchlaufen des Gelenkspiels (vgl. Bild 2.7 und Bild 2.12) oder unstetige Reibkr¨afte (Wechsel vom Haften zum Gleiten, Reibkraftrichtungsumkehr) angeregt werden. • Wechselwirkungen zwischen mehreren Mechanismen, die innerhalb derselben Maschine miteinander u¨ ber das Gestell oder die Hauptwelle verbunden sind, vgl. den Einﬂuß des Polygoneffekts in Bild 4.13. • Hochfrequente Schwingungen der Lagerbolzen relativ zur Lagerschale (vgl. Bild 2.10) oder der Schubglieder relativ zur Gleitf¨uhrung [81], vgl. Bild 2.12. • Periodische ( kinetoelastische“) Verspannungen, die bei ebenen Mechanismen ” z. B. durch die Nichtparallelit¨at der Gelenkachsen entstehen, t¨auschen manchmal dynamische“ Belastungen vor. ” VDI-Richtlinie 2149, Bl. 2, enth¨alt Hinweise zur Interpretation von Mechanismenschwingungen und zur Bildung von Minimalmodellen, die mit wenigen Parametern auskommen. Wenn man das Berechnungsmodell und die Parameterwerte kennt, ist die dynamische Simulation der Mechanismenschwingungen zu empfehlen. Vielfach kann der zur Modellbildung und Parameterermittlung erforderliche hohe Aufwand aus Kostengr¨unden nicht getrieben werden, so daß konstruktive Entscheidungen nur auf Grund qualitativer Erkenntnisse der Schwingungsursachen getroffen werden m¨ussen. Es ist leichter, Schwingungsursachen zu identiﬁzieren, wenn man typische Erscheinungsbilder kennt, vgl. dazu die Bilder 2.7, 2.9, 2.10, 2.12, 2.17, 2.18, 4.13 bis 4.16, 2.50, 5.17, 5.22 bis 5.24 und 5.45. Beispiele zur Modellbildung f¨ur ein elastisches Antriebsglied sind in Abschn. 2.1.2 (Tabelle 2.6) und Abschn. 4.4.3 f¨ur Schubkurbelgetriebe mit elastischen Gliedern in Abschn. 2.2.3 (Tabelle 2.7) und f¨ur den Einﬂuß eines elastischen Gliedes auf das Antriebsmoment und die Gestellkraft in Abschn. 5.1 (Tabelle 5.1 und Tabelle 5.2) zu ﬁnden. Auf die Querbewegung eines Schubgliedes wird in Abschn. 4.9.1 eingegangen, vgl. auch Abschn. 2.2.3.4. Der gegenw¨artige Entwicklungsstand erlaubt es, die Kopplung von MKSProgrammen und FEM-Programmen vorzunehmen, um die Wechselwirkung zwi-

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

239

schen Antriebsmechanismus, F¨uhrungsbahn und Gestell genauer zu erfassen. Mit sehr großer Modelltiefe“ (Modellstufe 3 mit Freiheitsgrad 103 und etwa 102 Pa” rametern) erfolgte die Analyse von speziellen Mechanismenschwingungen bei der Analyse der Kolbensekund¨arbewegung von Verbrennungsmotoren [192], [210], [273], [327] und der St¨oßelbewegung bei Umformmaschinen [126], [167]. Die Analyse der Zeitverl¨aufe der Mechanismenschwingungen liefert Zeitpunkte und Getriebestellungen, bei denen instation¨are Schwingungen beginnen. Zur Identiﬁkation der im konkreten Fall interessierenden Schwingungsursache ist es vorteilhaft, auch gegl¨attete oder geﬁlterte Signale anzusehen. Die klassische Fourieranalyse kann zur Kontrolle der periodischen kinetostatischen Kr¨afte dienen, aber bei Unstetigkeiten in den Verl¨aufen liefert sie kein klares Bild, vgl. Bild 2.17. Die ZeitFrequenz-Analyse eines Beschleunigungssignals ist ein Schl¨ussel zur Bestimmung der Schwingungsursachen. In den Arbeiten [69] und [367] wurden die Merkmale gewisser Schwingungserscheinungen an Mechanismen nach typischen Signalkennzeichen im Zeit-Frequenz-Bereich geordnet dargestellt, vgl. den Auszug in Tabelle 4.3. Die dort angegebenen Zusammenh¨ange k¨onnen zur Merkmalssuche dienen. Um die Schwingungsursachen von Mechanismen zu ermitteln, sollte man die Schwingungen bei verschiedenen Drehzahlen messen, m¨oglichst auch in den kritischen Drehzahlbereichen, da sich dabei der Amplituden-Frequenzgang zu erkennen gibt. Auch die Registrierung des Auslaufvorgangs kann wertvolle Hinweise u¨ ber die Lage der kritischen Drehzahlen liefern. Die experimentellen Untersuchungen an Mechanismen in einer Maschine werden oft dadurch erschwert, daß bez¨uglich der Meßstellenanordnung viele Einschr¨ankungen bestehen. Man kann z. B. die Lagerstellen ¨ oft nur schwierig erreichen und die Ubertragung der Meßwerte von einem schnell bewegten Mechanismenglied ist nicht immer einfach. Die Methoden der experimentellen Modalanalyse sind nur f¨ur die Mechanismen im Stillstand anwendbar, da infolge der Bewegungen geometrische Nichtlinearit¨aten auftreten. H¨auﬁg muß man sich darauf beschr¨anken, die Erregerkr¨afte durch die technologische Belastung und die eigenen Massenkr¨afte der Mechanismen aufzubringen. Es empﬁehlt sich, bei Interpretation der Meßergebnisse folgendes zu beachten: • Die gemessenen Verl¨aufe kann man stets als Superposition der kinetostatischen Verl¨aufe mit denen der u¨ berlagerten Schwingungen interpretieren, vgl. Bild 4.15, Bild 4.16b. • Man kann pr¨ufen, ob die Mittelwerte der gemessenen Verl¨aufe eine quadratische Abh¨angigkeit (kinetostatische Kraftgr¨oßen!) von der Drehzahl zeigen, vgl. Bild 4.14, Bild 4.15. • Bei den vibrodynamischen Kr¨aften ist deren Abh¨angigkeit von Drehzahl und Stellung des Antriebsgliedes wesentlich. Man ermittle die drehzahlunabh¨angigen und die drehzahlabh¨angigen Frequenzen, z. B. aus dem Wasserfalldiagramm. • Man vergleiche die Zeitverl¨aufe mit denjenigen von Standardf¨allen“, die ” nach dem Gesichtspunkt Schwingungsursachen geordnet sind, vgl. [68], [84], [367]. • Man vergleiche die experimentell bei variierten Bedingungen ermittelten Amplituden und Frequenzen mit Tendenzen der Parametereinﬂ¨usse, die sich aus einem Berechnungsmodell ergeben. • Man entwerfe Minimalmodelle, vergleiche deren theoretische L¨osungen und passe die Parameterwerte des Berechnungsmodells an Meßwerte an. Zweck-

pl¨otzlich angeregte Eigenschwingform (ES) um den kinetostatischen Grundverlauf

Seitenbandstruktur um EF

dicht besetzt (viele Harmonische), bis in sehr hohe Frequenzbereiche, keine EF erkennbar

nur Basisharmonische, Anwachsen von Linien um EF Anwachsen von Linien um Kombinationsfrequenzen

pl¨otzlich angeregte ES mit abwechselnden EF-Niveaus, gleiche Stellung

impulsartige Kraft- oder Beschleunigungsspitzen, ¨ Ubergang zu abklingenden ES im kinematischen Zyklus m¨oglich, folgt kaum der Prim¨arbewegung

dominante Schwingungen u¨ ber gesamter Periode, Frequenz konstant

Anfachung bei immer gleicher Stellung innerhalb einer Periode abklingend

Spektrum

Seitenbandstruktur um Eigenfrequenzen (EF)

Zeitverlauf

Anregung nach Beschleunigungs-Nulldurchg¨angen, wie beim einfachen Spielstoß

viele Basisharmonische

konstante H¨ohenr¨ucken in Zeitrichtung (bei weiten Fenstern)

an Rastgrenzen oder an Intervallgrenzen kombinierte Bewegungsgesetze

scharfe H¨ohenr¨ucken in Frequenzrichtung, intervallweise k¨urzer werdende Abst¨ande bei Verringerung der Intensit¨at

konstante Frequenz

Kinetostatik nach Vorzeichenwechsel der Beschleunigung nach Vorzeichenwechsel der Relativgeschwindigkeit

Zeit-Frequenz-Diagramm H¨ohenr¨ucken in Zeitrichtung (kurz) abnehmende Intensit¨at entsprechend abklingender Schwingungen Keilform

erzwungene Schwingungen und Resonanzen k-ter Ordnung Kombinationsresonanz

Mehrfachst¨oße

Struktur¨anderungen, schnell ver¨anderliche Parameter

technologische Kr¨afte/St¨oße Unstetigkeiten in den Lagefunktionen

Reibung

Spieldurchlauf

Ursache

Tabelle 4.3 Merkmale von Schwingungsursachen bei Mechanismen [69], [367] (ES – Eigenschwingform, EF – Eigenfrequenz)

240 4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

241

m¨aßig ist es, mit einem Minimalmodell zu beginnen, welches nur wenige Parameter besitzt, vgl. Abschn. 2.3.1 • Man benutze die aus dem Minimalmodell folgenden Tendenzen von Parametereinﬂ¨ussen, um das Berechnungsmodell zu verfeinern. • Man begr¨unde Vorschl¨age f¨ur weiterf¨uhrende Messungen, falls die Schwingungsursache auf Grund der vorliegenden Meßergebnisse nicht identiﬁziert werden konnte. Eine Vorausberechnung der Schwingungen scheitert selten an der fehlenden Software (vgl. dazu Tabelle 2.1), sondern sie ist oft deshalb unsicher, weil f¨ur die ungleichf¨ormig u¨ bersetzende Mechanismen abgesicherte Berechnungsmodelle und genaue Eingabedaten f¨ur Steiﬁgkeiten und D¨ampfungen fehlen. F¨ur die Massen sind Parameterwerte eher zu ermitteln. Bei einem ersten Entwurf sollte man deshalb zun¨achst das Starrk¨orpersystem berechnen und mit einem Minimalmodell die Eigenfrequenzen und Eigenschwingformen absch¨atzen. Sp¨atere Messungen k¨onnen zur genaueren Identiﬁkation dienen, wenn daf¨ur ein Exemplar der Maschine zur Verf¨ugung steht. Zur Identiﬁkation von Schwingungsursachen sollte man m¨oglichst eine Modalanalyse durchf¨uhren und die Zeitverl¨aufe von Kraft- und Bewegungsgr¨oßen analysieren, da diese mehr Aussagen enthalten als die Fourierspektren. Die folgenden Beispiele bieten einen Einblick in typische Mechanismenschwingungen, wie sie in Maschinenantrieben auftreten. 4.4.2 Schwingungen am Abtriebsglied Das erste Beispiel (Bild 4.13) stammt von der dynamischen Untersuchung des mehrgliedrigen Antriebsmechanismus einer Wollk¨ammaschine. Die gemessene Beschleunigung in Bild 4.13a scheint nach dem ersten Eindruck regellos zu verlaufen. T0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2 t in s 1,4

0,8

1,0

1,2 t in s 1,4

5T1

0

0,2

0,4

0,6

Bild 4.13 Beschleunigungen an einer Wollk¨ammaschine [367]; a) Originalmessung, b) Geﬁltertes Signal (40 Hz Tiefpaß) und kinematischer Verlauf als Mittellinie

Die Spitzenbeschleunigungen gehen bis zu 50 m/s2 und werden durch hochfrequente Schwingungen bestimmt. Das geﬁlterte Signal in Bild 4.13b l¨aßt erkennen,

242

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

a in m/s

2

daß die kinematischen Beschleunigungen nur etwa die Gr¨oße von 5 m/s2 erreichen und daß Eigenschwingungen von etwa 10 Hz auftreten. Die kinematische Periodendauer T0 ist wesentlich gr¨oßer als die Periodendauer T1 der tiefsten angestoßenen Eigenfrequenz (T1 /T0 0,05). Man sieht, daß diese Eigenschwingungen bei jedem Vorzeichenwechsel der Beschleunigung angestoßen werden, aber mit ihnen sind nur Werte von etwa a = 10 m/s2 erkl¨arbar. Eine weiterf¨uhrende Analyse zeigte, daß sich die hochfrequenten Schwingungen, die in dem Schrieb im Bereich von etwa 0,2 s bis 0,4 s auftauchen und sich nach einer kinematischen Periode bei etwa 0,9 s bis 1,1 s wiederholen, durch den Polygoneffekt einer Proﬁlwalze erkl¨aren ließen, die von derselben Hauptwelle des Antriebsstranges angetrieben wurde [367]. Der Polygoneffekt ist eigentlich f¨ur Kettengetriebe charakteristisch, vgl. dazu auch Abschn. 4.6.4. Das zweite Beispiel in Bild 4.14 zeigt gemessene Beschleunigungsverl¨aufe am Abtriebsglied einer Verpackungsmaschine u¨ ber je zwei kinematische Perioden bei zwei verschiedenen Drehzahlen. Die kinematischen Beschleunigungsverl¨aufe, die sich f¨ur den starren spielfreien Mechanismus ergeben w¨urden, sind als Mittellinien

a)

a in m/s

2

t in s

b) t in s

Bild 4.14 Gemessene Beschleunigungen an einem Schrittgetriebe a) Drehzahl n = 250 min−1 , b) Drehzahl n = 400 min−1

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

243

angegeben. Sie sind mit denen in Bild 5.44b vergleichbar, bei denen ebenfalls ein Rastwinkel von 200◦ vorhanden ist, vgl. auch Bild 2.48c. Entsprechend der theoretischen Voraussage nehmen diese kinematischen Beschleunigungen mit dem Quadrat der Drehzahl zu (man beachte die unterschiedlichen Maßst¨abe), und sie verlaufen geometrisch a¨ hnlich. In der Getriebestellung, wo ein Knick im kinematischen Beschleunigungsverlauf ist, beginnt die vibrodynamische Beschleunigung, d. h. es wird eine ged¨ampfte Eigenschwingung von ca. f = 85 Hz angeregt, welche dem kinematischen Beschleunigungsverlauf u¨ berlagert ist. Deren Anfangsamplitude w¨achst auch etwa quadratisch mit der Drehzahl. Bei genauem Hinsehen nimmt man beim Nulldurchgang der kinematischen Beschleunigung eine kleine Unstetigkeit infolge des Spieldurchlaufs wahr, also eine kleine Stoßanregung. Die Amplituden der angestoßenen Eigenschwingung h¨angen von der momentanen Phasenlage nach dem Ausschwingen ab, vgl. Bild 4.14a und 4.14b. Am n¨achsten Knick im Verlauf der kinematischen Beschleunigung beginnt die Rast, und dort werden wieder Eigenschwingungen angestoßen, deren Intensit¨at mit h¨oherer Drehzahl deutlich zunimmt. Das Abstimmungsverh¨altnis liegt bei der Drehzahl von n = 400 min−1 etwa bei Ω n 400 η = = = = 0,078 (4.1) ω 60 f 60 · 85 Diese Schwingungen k¨onnen durch ein kleineres Spiel und durch Vermeidung der Unstetigkeiten vermindert werden, z. B. durch Anwendung eines HS-Kurvenproﬁls, vgl. Abschn. 5.5.3. Im vorliegenden Fall h¨atten etwa K = 3 Harmonische zur Erf¨ullung der kinematischen Forderungen gereicht und der Mechanismus k¨onnte mit einem HS-Bewegungsgesetz etwa bis zur doppelten Drehzahl im Vergleich zu einem traditionellen Kurvenproﬁl schwingungsfrei betrieben werden, vgl. Bild 5.42. Das dritte Beispiel in Bild 4.15 zeigt st¨orende Schwingungen an einem Mechanismus, dessen St¨oßelbewegung hin und zur¨uck, aber nicht sinusf¨ormig verl¨auft. Der gemessene Beschleunigungsverlauf enth¨alt Schwingungskomponenten mit einer Frequenz h¨oher als 200 Hz, die im Gegensatz zum Beispiel in Bild 4.13, wo diese hochfrequenten Komponenten den Maximalwert bestimmten, hier unwesentlich ist. Bild 4.15a, b zeigt den kinematischen Verlauf als Mittelwert. Innerhalb einer vollen kinematischen Periode sind in Bild 4.15a etwa K = 9 Schwingungsperioden zu erkennen, w¨ahrend in Bild 4.15b bei der niedrigeren Drehzahl von 138 min−1 dieselbe Eigenschwingung etwa 13 Perioden im kinematischen Zyklus zeigt. N¨aherungsweise kann man aus diesen beiden Meßwerten die Eigenfrequenz zu 9 · 212 = 1 908 min−1 = 31,8 Hz bzw. 13 · 138 = 1 794 min−1 = 29,9 Hz ermitteln, also rund fG ≈ 31 Hz. Die n¨ahere Analyse zeigte, daß es sich hierbei um eine Gestelleigenfrequenz handelte. Diese Eigenfrequenz von f1 ≈ 31 Hz wird also durch die 9. und 13. Harmonische der Gestellkr¨afte angeregt, die offenbar große Komponenten im Erregerspektrum besitzen. Kritische Drehzahlen, bei denen große Amplituden dieser Eigenschwingung auftreten, sind gem¨aß Gl. (5.209) auch bei 60 f1 = 186 min−1 ; 10 60 f1 = 155 min−1 ; = 12

n10 = n12

n11 =

60 f1 = 169 min−1 ; 11 (4.2)

244

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Bild 4.15 Gemessene Beschleunigungen einer St¨oßelbewegung a) Drehzahl n = 212 min−1 , b) Drehzahl n = 138 min−1

zu erwarten, wenn die 10. bis 12. Harmonische der Erregerkr¨afte hinreichend große Amplituden besitzt. Diese Resonanzstellen lassen sich durch die Kompensation der betreffenden Erregerharmonischen der auf das Gestell wirkenden Kr¨afte vermeiden, vgl. Abschn. 5.5.3 und 5.5.4. Das vierte Beispiel stammt von einem Berechnungsmodell mit Spiel im Abtrieb, das in [367] analysiert wurde. Das Modell ist durch die in Bild 4.16a angegebenen Parameter charakterisiert und entspricht etwa dem Bild 2.6, aber es ber¨ucksichtigt eine andere (aus Bild 4.16b erkennbare) periodische Weg-Erregerfunktion ˆ ϕ ) und viskose D¨ampfung (D¨ampfungskonstante d). Aus den angegebex(ϕ ) = xU( nen Parametern ergeben sich folgende dimensionslose Kenngr¨oßen: • periodische Lagefunktion: U(ϕ 0 ) = d , • D¨ampfungsgrad: D = 2mω 0

x(Ω t) , xˆ

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

• Abstimmungsverh¨altnis: η = • bezogenes Spiel: 2π 3 =

δ

l0 • Antriebswinkel: ϕ 0 = Ω t,

Ω ω0

δ

x(ϕ)

a)

x¨2 . Ω2

m

ϕ= Ω t x (ϕ) = x$ ⋅U (ϕ)

d l0

,

,

• bezogene Beschleunigung: ξ = k

245

l0 x2

δ / l0 = 2 π 3 = 2⋅10−5

δ / l0 = 2 π 3 = 6⋅10−5

b) Bild 4.16 Beschleunigungen ξ = x¨2 /(l0 Ω 2 ) bei Spiel im elastischen Abtrieb [367] a) Minimalmodell, b) Berechnete Beschleunigung bei der Variation von bezogenem Spiel und Abstimmungsverh¨altnis f¨ur den D¨ampfungsgrad D = 0,06; (dicke Vollinie: U (starr, spielfrei), d¨unne Vollinie: elastisch mit Spiel)

In allen sechs Bildern, die sich durch die Variation des Spiels und des Abstimmungsverh¨altnisses unterscheiden, ist der a¨ hnliche Verlauf der Lagefunktion zweiter Ordnung U zu erkennen. Die kinematischen Spitzenwerte nehmen zwar mit dem

246

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Quadrat der Drehzahl zu, aber durch die Einf¨uhrung der bezogenen Beschleunigung und mit dem Drehwinkel als Abszisse stimmen diese Verl¨aufe bei allen Parameterwerten u¨ berein. Die kinematische Beschleunigung des Abtriebsgliedes wird durch die vibrodynamische Beschleunigung u¨ berlagert, die mit der Eigenfrequenz dieses Schwingers auftritt. Aus der Anzahl der Schwingungen pro Periode kann man das angegebene Abstimmungsverh¨altnis berechnen. Die Eigenschwingungen werden offenbar jedesmal in derselben Getriebestellung angestoßen, wenn die kinematische Beschleunigung Null ist. Die erste Halbschwingung verl¨auft gleichsinnig wie die kinematische Beschleunigung, aber im n¨achsten Intervall verl¨auft sie entgegengesetzt, so daß es zum erneuten Abheben und zu anschließenden mehrfachen Nulldurchg¨angen kommen kann. F¨ur η = 0,05 und δ /l0 = 0,000 06 (rechts oben im Bild) tritt gerade dieser Fall ein, und das Bild w¨urde bei noch gr¨oßerem Spiel hochfrequente zweiseitige Mehrfachst¨oße zeigen, die eine wesentliche Ursache der Erregung von L¨arm darstellen. Mit dem Spiel nehmen erwartungsgem¨aß die Amplituden der vibrodynamischen Beschleunigungen zu, wie man in den Verl¨aufen sieht, wenn man sie in Bild 4.16b von links nach rechts verfolgt. Mit der Drehzahl (bzw. dem Abstimmungsverh¨altnis η ) scheinen sie abzunehmen. Die Intensit¨at der Stoßanregung ist der Aufprallgeschwindigkeit proportional, d. h., die Amplituden der Zusatzschwingungen wachsen nur linear mit der Drehzahl, vgl. auch Gl. (2.2). Sie nehmen also relativ zur kinematischen Beschleunigung ab, wie man beim Vergleich der Verl¨aufe in Bild 4.16b von oben nach unten sieht, d. h., bei demselben Spiel k¨onnen durch vibrodynamische Schwingungen bedingte mehrfache Nulldurchg¨ange vermieden (und die L¨armerregung reduziert) werden, wenn man in solchen Bereichen (wie in Bild 4.16b) rechts die Drehzahl steigert. 4.4.3 Schwingungen infolge elastischer Antriebsglieder F¨ur das in Bild 4.17 dargestellte Berechnungsmodell trifft die Bewegungsgleichung zu, die sich aus Gl. (2) in Tabelle 2.6 ergibt, wenn man noch eine viskose D¨ampfung im Antrieb durch eine D¨ampfungskonstante dT ber¨ucksichtigt. Die Bewegungsgleichung lautet: 2 Ω2 Ω J(Ω t)q¨ + dT + J (Ω t)Ω q˙ + kT + J (4.3) q = −J (Ω t) 2 2 Dabei bedeutet der Strich eine Ableitung nach dem Antriebswinkel ϕ 0 = Ω t. F¨ur das in Bild 4.17b dargestellte Modell gilt ebenfalls Gl. (4.3), aber es sind in den Glei¨ chungen weitere Parameter explizit enthalten: die beiden Ubersetzungsverh¨ altnisse u1 und u2 , das Tr¨agheitsmoment J3 und die Endmasse m. In Gl. (4.3) haben die Terme J und J wegen der anderen Bedeutung der Strich-Ableitung (hier nach dem Winkel u1 ϕ 0 ) eine andere Bedeutung: J = u22 (J3 + mU 2 );

J = 2mu1 u32U U

(4.4)

Bei den u¨ blichen Parameterwerten der meisten Mechanismen gilt kT J Ω 2 /2, d. h., in Gl. (4.3) ist der Einﬂuß des Terms J vernachl¨assigbar. Die Eigenkreisfrequenz des unged¨ampften Systems ist wegen

247

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

m a)

b)

ϕ0 = Ω t

ϕ= Ω t + q1

x = U (ϕ) U (ϕ)

ϕ0 = Ω t

kT , d T

u1 J (ϕ)

kT , d T

ϕ1 = u1ϕ0

u2

J3

ϕ2 = ϕ1 +q ϕ = u2 ϕ2

Bild 4.17 Mechanismus mit elastischer Antriebswelle a) Berechnungsmodell mit reduziertem Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) b) Berechnungsmodell mit Lagefunktion U(ϕ )

ω 2 (Ω t) =

kT kT = 2 J(Ω t) u2 (J3 + mU 2 )

(4.5)

von der Stellung des Antriebsgliedes (ϕ 0 = Ω t) und bei dem Antrieb gem¨aß Bild ¨ 4.17b auch von der Ubersetzung u2 abh¨angig. Interessant ist der dynamische Effekt, der beim Sonderfall u1 u2 = 1 auftritt. Er entspricht bei starrer Welle (kT → ∞) dem ¨ durch die synchronen Lauf der Drehwinkel ϕ 0 und ϕ , weil die erste Ubersetzung ¨ ¨ zweite Ubersetzung wieder kompensiert wird. Falls die erste Ubersetzung ins Schnelle erfolgt, ist u1 > 1 und demzufolge u2 < 1, d. h., durch den Einbau zus¨atzlicher Getriebe a¨ ndert sich kinematisch an der Abtriebsbewegung nichts. Es kommt aber eine resultierende Versteifung durch die Reduktion der Federkonstante auf die schnell laufende Zwischenwelle zustande, und sie erh¨oht die Eigenfrequenz und verbessert somit das Schwingungsverhalten. Wie Gl. (4.5) zeigt, a¨ ndert sich die Ei¨ genfrequenz umgekehrt proportional zum Ubersetzungsverh¨ altnis u2 . F¨ur den Sonderfall u1 = u2 = 1 kann man Gl. (4.3) auch in folgender Form schreiben, wenn man auf den kleinen Einﬂuß von J verzichtet: (J3 + mU 2 )q¨ + (dT + 2mΩ U U )q˙ + kT q = −mΩ 2U U

(4.6)

Da die Lagefunktion U(ϕ ) eine periodische Funktion ist, stellt Gl. (4.6) ebenso wie die Gln. (4.3) und (4.4) eine Hillsche Differentialgleichung dar, deren L¨osungstheorie bekannt ist [38], [81], [113], [231]. Ein Sonderfall der Hillschen Differentialgleichung ist die Mathieusche Differentialgleichung, die lediglich eine harmonische Erregerfunktion enth¨alt. Aus der in [38], [113], [137], [191], [231], [232] angegebenen Stabilit¨atskarte kann man die stabilen und instabilen Drehzahlbereiche entnehmen. Die Parameterhauptresonanz tritt in der N¨ahe derjenigen Winkelgeschwindigkeit auf, die der doppelten gemittelten Eigenkreisfrequenz ϖ des Schwingers entspricht, also bei η = Ω /ϖ = 2, vgl. auch Gl. (4.52). Die Abstimmungsverh¨altnisse, bei denen Nebenresonanzen k-ter Ordnung auftreten (k = 2, 3, . . .), liegen bei den Werten Ω 2 (4.7) η = = ϖ k vgl. auch Abschn. 4.6.3.

248

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Die Schwingungsamplituden wachsen bei Parameterresonanz exponentiell mit der Zeit an, und die Zerst¨orungsgefahr ist gr¨oßer als bei der bekannten Resonanz erzwungener Schwingungen [150]. Bei der Resonanz erzwungener Schwingungen steigen die Amplituden nur linear mit der Zeit an, so daß ein Durchfahren der Resonanzstelle leichter m¨oglich ist, vgl. Abschn. 5.4.6. Die meisten zyklischen Mechanismen arbeiten aber erfahrungsgem¨aß in Drehzahlbereichen (η < 0,1), die weit unterhalb der instabilen Gebiete der Parameterresonanz liegen [81]. Eine Besonderheit der parametererregten Schwingungen besteht darin, daß weit entfernt von den durch Gl. (4.7) bestimmbaren Drehzahlbereichen der Parameterresonanz auch dynamische Instabilit¨at in einem endlichen Zeitabschnitt m¨oglich ist. Man kann sich diesen Effekt an Hand von Gl. (4.3) oder (4.6) im Zusammenhang mit der Deﬁnition der Abklingkonstanten eines linearen Schwingers klar machen. Die Bewegung verl¨auft dynamisch stabil, solange δ (Ω t) =

dT + J (Ω t)Ω dT + 2mΩ U U >0 = 2 J(Ω t) u2 (J3 + mU 2 )

(4.8)

gilt. Das trifft dann zu, wenn die D¨ampfung groß genug ist, weil dann nach einer Auslenkung aus der Ruhelage die freien Schwingungen gem¨aß exp (−δ t) abklingen. Aus Gl. (4.8) geht hervor, daß der zweite Summand im Z¨ahler mit zunehmender ¨ Drehgeschwindigkeit Ω zunimmt. Dieser Term entspricht der periodischen Anderung der kinetischen Energie, und die Ableitung des reduzierten Tr¨agheitsmomentes hat stets auch negative Bereiche. Infolge des unvermeidlichen Vorzeichenwechsels kann es bei stark ver¨anderlichem reduzierten Tr¨agheitsmoment dazu kommen, daß δ (Ω t) in Gl. (4.8) negativ wird und damit ein exponentielles Anwachsen mit der Zeit gem¨aß exp (−δ t) erfolgt. 4

4 3

2

2

1

1

2 2

0 0 −0,5

−2 −4 a)

0

2

4 6 8 Antriebswinkel ϕ

−2 b)

0

2

4 6 8 Antriebswinkel ϕ

Bild 4.18 Zur Deutung des Instabilit¨atsgebiets aus dem Verlauf der Lagefunktionen (ϕ 1 = 2,244) a) Lagefunktionen p-ter Ordnung; Kurve 1: U/UR , Kurve 2: U ϕ 1 /UR , Kurve 3: U ϕ 12 /UR b) Produkte von Lagefunktionen; Kurve 1: U 2 ϕ 12 /UR2 , Kurve 2: U U ϕ 13 /UR2

Bild 4.18 illustriert am Beispiel der Lagefunktion U(ϕ ) eines Rastgetriebes, wo bei ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismen der Vorzeichenwechsel bei der Ableitung des reduzierten Tr¨agheitsmomentes auftritt. In Bild 4.18a erkennt man den Zusammenhang zwischen der Lagefunktion U eines Rastgetriebes und deren erster und zweiter Ableitung. Den Verlauf der in Bild 4.18b gezeigten Produkte der Lagefunktionen (U 2 und U U ) steht im Zusammenhang mit dem Verlauf des reduzierten

4.4 Ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Mechanismen

249

Tr¨agheitsmomentes und seiner Ableitung. Die Ableitung des reduzierten Tr¨agheitsmomentes ist negativ am Ende einer Beschleunigungsphase und zu Beginn einer Bremsphase. In den Bereichen, wo das reduzierte Tr¨agheitsmoment J(Ω t) abf¨allt und demzufolge seine Ableitung J = 2mU U negativ wird, kann die Summe im Z¨ahler von Gl. (4.8) negativ werden, also die Anfachung von Schwingungen bewirken. Aus Gl. (4.8) folgt, daß die Bewegung stabil ist, solange eine positive D¨ampfung vorhanden ist (solange der Z¨ahler positiv bleibt), also wenn die Ungleichungen dT + J (Ω t)Ω > 0

oder

dT + 2mΩ U U > 0

(4.9)

erf¨ullt sind. Bei kleinem Ω sind diese Ungleichungen immer erf¨ullt, d. h., bei niederen Drehzahlen ist ein solcher Mechanismus dynamisch stabil. Der zweite Summand in Gl. (4.9) kann in einem begrenzten Winkelbereich der Stellung des Antriebsgliedes negativ werden, vgl. das schrafﬁerte Gebiet unterhalb der horizontal eingezeichneten Linie in Bild 4.18b. Der negative Anteil w¨achst proportional zu m und Ω , so daß die Instabilit¨atsgrenze bei Mechanismen mit großer Masse am Abtrieb ab einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit erreicht wird. Die kritische Gr¨oße ist

Ω >

dT | |Jmin

oder

Ω >

dT |2m(U U )min |

(4.10)

Wenn die Ungleichung (4.10) erf¨ullt ist, werden Schwingungen angefacht. Die dynamische Instabilit¨at a¨ ußert sich als amplitudenmodulierte Schwingung mit der stellungsabh¨angigen Eigenfrequenz gem¨aß Gl. (4.5), die dem kinetostatischen Momentenverlauf u¨ berlagert ist. Da die Bedingung (4.9) nur in einem endlichen Winkelbereich (also kurzzeitig) erf¨ullt ist, entstehen in solchen Getriebestellungen st¨orende große Ausschl¨age in jedem kinematischen Zyklus. Die in den Bildern 2.17 bis 2.19 dargestellten Schwingungen sind durch derartige Effekte verursacht worden. H¨auﬁg k¨onnen Parameterwerte f¨ur die D¨ampferkonstante dT nicht angegeben werden, w¨ahrend der D¨ampfungsgrad D abgesch¨atzt werden kann. Formt man Gl. (4.10) mit D = dT /(2ϖ J) um, so ergeben sich daraus Ungleichungen mit bezogenen Gr¨oßen: 2JD D(J3 + mU 2 ) bzw. (4.11) η < η < |Jmin | |m(U U )min | Das Abstimmungsverh¨altnis η = Ω /ϖ bezieht sich auf die gemittelte Eigenkreisfrequenz ϖ . Das Antriebssystem ist stabil, solange Gl. (4.11) erf¨ullt ist. Der sich aus Gl. (4.11) ergebende η -Bereich liegt meist wesentlich unterhalb der Werte, die aus Gl. (4.7) folgen, d. h., f¨ur Mechanismen sind die kurzzeitigen Instabilit¨aten durch die zeitlich begrenzte Parametererregung eher zu erwarten als das Gebiet der Parameterhauptresonanz. Man kann folgende Gegenmaßnahmen gegen solche Instabilit¨aten treffen: • D¨ampfung vergr¨oßern, z. B. durch st¨arker d¨ampfendes Material, • Steiﬁgkeit der Antriebswelle (und damit die Eigenfrequenz) erh¨ohen, z. B. mit einem gr¨oßeren Wellendurchmesser, einer k¨urzeren Welle oder einer h¨arteren Kupplung, • f¨ur den fallenden Bereich des Tr¨agheitsmomentes (den negativen Wert seiner Ableitung) einen kleinen Betrag anstreben, d. h., es kommt darauf an, daß das Tr¨agheitsmoment u¨ ber einen m¨oglichst großen Winkelbereich langsam abf¨allt,

250

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

w¨ahrend es eher schnell ansteigen kann. Damit im Zusammenhang stehen folgende Maßnahmen: • unsymmetrische Gestaltung der Lagefunktion U(ϕ ) von Kurvengetrieben im ¨ Ubergangsbereich. Es ist dynamisch g¨unstig, wenn das erste Intervall der Beschleunigung oder Verz¨ogerung zeitlich k¨urzer ist als das zweite Intervall, denn es kommt auf einen m¨oglichst kleinen Betrag des Minimums von U U an. • Ausgleichsgetriebe anordnen, um die Schwankung des Tr¨agheitsmomentes auszugleichen, vgl. Bild 5.7 und Bild 5.37. Das reduzierte Tr¨agheitsmoment ist proportional der kinetischen Energie eines Mechanismus, und es schwankt stets bei ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismen. Die eigentliche physikalische Ursache der kurzzeitigen Instabilit¨at ist das Freiwerden kinetischer Energie in den Winkelstellungen, in denen das Tr¨agheitsmoment abzunehmen beginnt. Das ist der Fall am Ende einer Beschleunigungs- oder einer Verz¨ogerungsetappe, vgl. auch Bild 4.17. Die kinetische Energie des Starrk¨orpersystems wird in diesen Etappen kurzzeitig in Form¨anderungsenergie des elastischen Systems umgewandelt und erregt damit Schwingungen. Man kann diese Erscheinung mit dem aus dem Physikunterricht bekannten Versuch mit dem Drehstuhl vergleichen. Wenn unterhalb des Drehstuhls eine Torsionsfeder angeordnet w¨are, dann wird beim Einziehen durch das ver¨anderliche Tr¨agheitsmoment nicht nur der Drehstuhl schneller, sondern auch eine Schwingung mit ver¨anderlicher Eigenfrequenz angefacht.

4.5 Selbsthemmende Getriebe 4.5.1 Schwingungsursachen Die Richtlinie VDI 2158 ( Selbsthemmende und selbstbremsende Getriebe“) behan” delt, wie die Selbsthemmung bei Umlaufr¨adergetrieben, Schnecken-, Schraub- und Gelenkgetrieben zu bewerten und vom Konstrukteur zu beeinﬂussen ist. Ein Getriebe ist selbsthemmend, wenn die Antriebskr¨afte infolge der geometrischen Verh¨altnisse solche Reibungskr¨afte innerhalb des Getriebes hervorrufen, daß keine Bewegung m¨oglich ist. Selbsthemmung kann z. B. bei einer translatorischen Bewegung eines ausgedehnten K¨orpers beim Verkanten auftreten, vgl. Abschn. 4.9.1. Die Bedingungen f¨ur die Selbsthemmung k¨onnen in einem Antriebssystem bei wechselnden Kraftrichtungen w¨ahrend der Bewegung pl¨otzlich eintreten. Infolge der damit verbundenen Unstetigkeit in der Kennlinie der Widerstandskr¨afte kommt es pl¨otzlich zu einem Stillstand, d. h. zu einer Geschwindigkeits¨anderung, infolgedessen intensive Schwingungen angeregt werden, welche das System stark belasten. Ein Freilauf ist z. B. ein selbsthemmendes Getriebe, das bewußt dazu eingesetzt wird, um die Drehung in nur einer Richtung zuzulassen. ¨ Bei gleichm¨aßig u¨ bersetzenden Getrieben mit großen Ubersetzungsverh¨ altnissen kann Selbsthemmung beim Wechsel der Drehrichtung eintreten, da sie sich nur durch das Moment am Antriebsglied in Bewegung setzen lassen und bei einem Moment, das am Abtrieb wirkt, unbeweglich bleiben. Bei Schwingungsvorg¨angen, bei denen

4.5 Selbsthemmende Getriebe

251

Vorzeichenwechsel der dynamischen Momente am An- und Abtriebsglied auftreten, wirkt so ein Getriebe wie ein Bauelement mit einer geknickten Kennlinie, vgl. Tabelle 3.2. 4.5.2 Keilschubgetriebe Da am Keilschubgetriebe manches anschaulicher erkl¨arlich ist als am Schneckengetriebe, sollen zun¨achst daf¨ur die Bewegungsgleichungen aufgestellt werden, vgl. Bild 4.19a. Das Antriebsglied mit der Masse m1 wird durch die Antriebskraft F1 angetrieben und kann die um den Keilwinkel γ geneigte Kontaktﬂ¨ache ber¨uhren, eine elastische und reibungsbehaftete zweiseitige Gleitf¨uhrung. Dort schiebt sie das Abtriebsglied mit der Masse m2 in der um den Winkel β geneigten Richtung l¨angs einer reibungsfreien Schubgeraden. Die Gleitf¨uhrung hat in Normalenrichtung das Spiel δ . Die Masse m2 kann die geneigte gerade F¨uhrung oben oder unten ber¨uhren. Beim Kontakt tritt Reibung auf. In Bild 4.19 sind die Kraftkomponenten dargestellt, die zwischen beiden Massen wirken. Ihre Komponenten sind die Normalkraft FN und die senkrecht dazu wirkende Reibkraft FR . Wenn kein Kontakt besteht, ist die Normalkraft FN = 0, aber sonst ist FN eine Druckkraft, die sich als Produkt aus der Federkonstante k (der als linear elastisch angenommenen Kontaktstelle) und Eindringtiefe in Normalenrichtung ergibt, vgl. dazu auch Bild 2.6 und Gl. (2.24): ⎧ ⎨k q − sign(q) δ f¨ur |q| > δ /2 (4.12) FN = 2 ⎩ 0 f¨ur |q| δ /2 Dabei kann man aus Bild 4.19b entnehmen, daß zwischen beiden Massen die relative Verschiebung q in Normalenrichtung zur Kontaktﬂ¨ache und der Gleitweg r parallel zur Kontaktschicht r = q1 cos γ − q2 cos(β + γ ) (4.13) q = q1 sin γ − q2 sin(β + γ ); betr¨agt. Die Bewegung dieses nichtlinearen Zweimassenschwingers mit zwei Freiheitsgraden wird durch die Absolutwege q1 und q2 der Massen m1 und m2 beschrieben. In Bild 4.19c sind die an den beiden Massen angreifenden Kraftkomponenten dargestellt, wenn die Kontaktschicht eingedr¨uckt ist. Da zun¨achst die Normalkr¨afte FA und FB , die auf die als reibungsfrei angenommenen F¨uhrungen A und B der beiden Schubglieder wirken, nicht interessieren, werden nur die beiden dynamischen“ Gleichge” wichtsbedingungen benutzt: − FR cos γ

+ FN sin γ

+ m1 q¨1 = F1

FR cos(β + γ ) − FN sin(β + γ ) + m2 q¨2 = −F2

(4.14) (4.15)

In der Kontaktschicht wirkt die Normalkraft FN und die darauf senkrecht stehende Reibkraft FR , die an beiden Massen entgegengesetzt gerichtet angreifen. Die Reibkraft ist proportional zum Betrag der Normalkraft, und ihre Richtung wechselt mit dem Vorzeichen der Gleitgeschwindigkeit r˙ an der Kontaktstelle P: FR = −µ |FN | sign(˙r) = −µ FN sign(FN ) sign(˙r)

(4.16)

252

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

y Elastizität, Spiel, Reibung m2 q2 P β

F1

γ

0

F2

A

starr, spielfrei, reibungsfrei m1 x

B

q1

a) y

F2 m2

δ/2 δ/2

µ

A r

q2

q

P 0

m1

γ

β F1

B

b)

x q1

γ FA

F2

β

γ

F1

m2 q&&2

c)

FN m1q&&1 γ

FR

FR FN

FB

Bild 4.19 Berechnungsmodell eines Keilschubgetriebes a) Bezeichnungen am Berechnungsmodell b) geometrische Zusammenh¨ange an der Kontaktstelle c) Kraftkomponenten an beiden Massen

Die Reibungszahl µ wird hier als unabh¨angig von der Gleitgeschwindigkeit angenommen (f¨ur Haften und Gleiten gelte auch derselbe Wert). Aus den Gln. (4.12) bis (4.16) k¨onnen bei gegebenen Kr¨aften F1 und F2 die f¨unf unbekannten Gr¨oßen FR , FN , q1 , q2 und q berechnet werden. Zun¨achst lassen sich aus Gl. (4.14) und (4.15) zwei nichtlineare Differentialgleichungen f¨ur die Koordi-

4.5 Selbsthemmende Getriebe

253

naten q1 und q2 gewinnen, in welche die aus Gl. (4.12) in Verbindung mit Gl. (4.13) deﬁnierte Normalkraft eingeht: m1 q¨1 +

[µ sign(FN ) sign(˙r) cos γ + sin γ ]FN = F1

m2 q¨2 − [µ sign(FN ) sign(˙r) cos(β + γ ) + sin(β + γ )]FN = −F2

(4.17) (4.18)

Dabei ist die Normalkraft FN (q1 , q2 , δ ) von den Koordinaten und dem Spiel abh¨angig, vgl. Gl. (4.12) und Gl. (4.13). Bei gegebenen Kraftverl¨aufen F1 (q1 q˙1 , t) und F2 (q2 , q˙2 , t) und bei gegebenen Anfangsbedingungen k¨onnen die Zeitverl¨aufe der Koordinaten q1 und q2 durch numerische Integration der beiden gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen (4.17) und (4.18) gewonnen werden. Damit sind dann außer den schon in Gl. (4.12) und Gl. (4.16) angegebenen Komponenten der Kontaktkraft auch die Normalkr¨afte in den Lagern berechenbar, vgl. Bild 4.19c: FA = FR sin(β + γ ) + FN cos(β + γ );

FB = FR sin γ + FN cos γ

(4.19)

Es sei angemerkt, daß die in Abschn. 5.4.3 und Abschn. 5.4.4 aufgestellten und analytisch gel¨osten Differentialgleichungen der linearen Zweimassenschwinger einen Sonderfall der Gln. (4.17) und (4.18) darstellen, vgl. Gl. (5.78), Gl. (5.112) und Gl. (5.113). Analog zu der Differentialgleichung (5.79) f¨ur die L¨angskraft L oder Gl. (5.115) f¨ur das Torsionsmoment TT kann eine einzige Gleichung f¨ur den Relativweg q gewonnen werden, indem man aus den Gln. (4.13), (4.17) und (4.18) die Koordinaten q1 und q2 eliminiert. F¨uhrt man die Abk¨urzungen K1 = µ sign(FN ) sign(˙r) cos γ + sin γ

(4.20)

K2 = µ sign(FN ) sign(˙r) cos(β + γ ) + sin(β + γ )

(4.21)

ein, so entsteht schließlich folgende Differentialgleichung f¨ur die Relativkoordinate q: ¨ m1 m2 q+[m 1 K2 sin(β + γ )+m2 K1 sin γ ]FN = m1 F2 sin(β + γ )+m2 F1 sin γ (4.22) Die selbsterregten Schwingungen in der elastischen reibungs- und spielbehafteten Kontaktschicht werden damit berechenbar. Allerdings k¨onnen daraus bereits einige interessante Schl¨usse u¨ ber das Schwingungsverhalten gezogen werden, ohne die genauen Zeitverl¨aufe der Absolutweg dieses Antriebssystems zu bestimmen. Zun¨achst wird das spielfreie (δ = 0), elastische (k = ∞) und reibungsbehaftete (µ = 0) Keilschubgetriebe betrachtet. In diesem Falle ist die Normalkraft entsprechend Gl. (4.12) einfach FN = kq und der Faktor vor FN ist proportional dem Quadrat der Eigenkreisfrequenz dieses Schwingers. Es handelt sich allerdings nur dann um eine Eigenfrequenz“, solange der Ausdruck in der eckigen Klammer positiv ist. F¨ur ” den Fall, daß bei bestimmten Parameterwerten m1 K2 sin(β + γ ) + m2 K1 sin γ 0

(4.23)

ist, tritt eine Ratterschwingung (kurzzeitig exponentiell anwachsende Amplituden) auf, also wird bei Erf¨ullung von Gl. (4.23) das System instabil. Angenommen die Masse m2 bewege sich vertikal (β = π /2), dann folgt f¨ur die speziellen Werte von K1 und K2 aus Gl. (4.23) die Bedingung, unter welcher Instabilit¨at auftritt, je nachdem, in welcher Richtung der Antrieb bewegt wird: ±µ (m2 − m1 ) sin γ cos γ + m1 cos2 γ + m2 sin2 γ 0

(4.24)

254

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Bei einem spitzen Winkel γ ergibt sich aus Gl. (4.24) eine stabile Hubbewegung, weil bei positivem Vorzeichen vor der Reibungszahl die Bedingung (4.24) immer verletzt ist, w¨ahrend eine Senkbewegung instabil werden kann, weil bei dem (dann infolge der anderen Richtung der Relativgeschwindigkeit r˙) auftretendem negativem Vorzeichen f¨ur eine große Masse m2 eine große Reibungszahl µ und eine kleine Masse m1 die Ungleichung (4.24) erf¨ullt sein kann. Diese Betrachtung zeigt, daß auch schon bei konstanter Reibungszahl die gef¨urchteten Ratterschwingungen entstehen k¨onnen. Sie brauchen also nicht, wie die ebenfalls selbsterregten stick-slip-Schwingungen durch eine mit der Geschwindigkeit fallende Reibungszahl verursacht werden, vgl. auch [49] und [176]. F¨ur den Sonderfall des reibungsfreien (µ = 0), spielbehafteten (δ = 0) und elastischen (k = ∞) Keilschubgetriebes kann die Periodendauer T (Kehrwert der Eigenfrequenz) der freien Schwingungen abh¨angig von der Amplitude qmax exakt berechnet werden [231], [284]. Sie betr¨agt f¨ur qmax > δ /2: m1 m2 2δ 1 2π =2 π + T = = (4.25) f ω 2qmax − δ k[m1 sin2 (β + γ ) + m2 sin2 γ ] und enth¨alt die L¨osung f¨ur den Sonderfall des spielfreien Antriebs, vgl. Gl. (5.80) oder Gl. (5.116). F¨ur den Sonderfall des starren (k → ∞) und spielfreien (δ = 0), aber reibungsbehafteten (µ = 0) Keilschubgetriebes folgt aus Gl. (4.13) die Zwangsbedingung und der relative Gleitweg r: q = 0;

q2 sin(β + γ ) = q1 sin γ ;

r = q1

sin β sin β = q2 sin(β + γ ) sin γ

(4.26)

Je nach der Gr¨oße der Winkel β und γ , die beide alle Werte im Bereich von null bis 2π annehmen k¨onnen, haben die Koordinaten q1 und q2 gleiche oder entgegengesetzte Vorzeichen. Die Normalkraft folgt bei einer starren Kontaktschicht aus Gl. (4.22) mit q¨ = 0. F¨ur das zwangl¨auﬁge Keilschubgetriebe erh¨alt man nach kurzen Umformungen die Beschleunigung des Antriebsgliedes unter Ber¨ucksichtigung der Reibung zu q¨1 =

(K2 F1 − K1 F2 ) sin(β + γ ) m1 K2 sin(β + γ ) + m2 K1 sin γ

(4.27)

Aus einer Analyse dieses Ausdrucks kann man Bedingungen zwischen den Parametern herleiten, f¨ur die Selbsthemmung auftritt. Die Grenzf¨alle folgen aus der Bedingung q¨1 = 0. 4.5.3 Schneckengetriebe ¨ Schneckengetriebe werden bei großen Ubersetzungsverh¨ altnissen (5 < u < 70) eingesetzt. Sie sind einerseits bis zu Wirkungsgraden von η > 0,9 optimiert (StirnradGloboid-Schneckengetriebe) und andererseits als selbsthemmende und selbstbremsende Getriebe ausgelegt. Selbsthemmende Schneckengetriebe haben den Vorteil, daß eine R¨uckdrehung bez¨uglich der Antriebswinkelgeschwindigkeit verhindert wird und mit ihnen eine Positionierbewegung sowie eine Sperrung unter Belastung erfolgen kann.

255

4.5 Selbsthemmende Getriebe

Neben der Elastizit¨at der Zahnpaarung sind auch die Reibung und das Spiel f¨ur ihr dynamisches Verhalten wesentlich. Infolgedessen k¨onnen unter bestimmten Bedingungen selbsterregte Schwingungen auftreten, die sich durch lautes Rattern bemerkbar machen und zu einem hohen Verschleiß f¨uhren. Solche st¨orenden Schwingungen k¨onnen bei der Senkbewegung von Lasthebeeinrichtungen (z. B. Hebeb¨uhnen, Sitzverstellung im PKW) auftreten. Auch bei periodischer Erregung zeigen Schneckengetriebe infolge ihrer stark nichtlinearen Kennlinie einige Besonderheiten. Das dynamische Verhalten wurde von mehreren Autoren untersucht, zuerst in [84] f¨ur das kinetostatische Modell und in [204] und [284] f¨ur Schwingungsmodelle mit zwei Freiheitsgraden. In [204] wird erstmals u¨ ber dynamische Messungen am Versuchsstand f¨ur ein Schneckengetriebe berichtet, die mit theoretischen Untersuchungen verglichen werden. Dort ist z. B. auch die Abh¨angigkeit des Torsionsmomentes T1 von der Gr¨oße des Spiels δ dargestellt und die Bereiche ermittelt worden, wo einfacher oder doppelter Flankenwechsel auftritt. Eine a¨ hnliche umfangreiche theoretische und experimentelle Untersuchung stammt von [175], wobei auch Berechnungsmodelle mit sechs Freiheitsgraden ber¨ucksichtigt wurden. Das Berechnungsmodell eines Schneckengetriebes a¨ hnelt dem des Keilschubgetriebes, vgl. Bild 4.19a und Bild 4.20. An die Stelle der Wege x und y treten die beiden Drehwinkel ϕ 1 und ϕ 2 als Koordinaten. Dieses Modell wird durch Parameter gekennzeichnet, deren Bedeutung beim erweiterten Modell ausf¨uhrlich erkl¨art sind, ¨ vgl. Gl. (4.46). Das Ubersetzungsverh¨ altnis ist beim starren Getriebe u=

ϕ˙ 1 r2 = ϕ˙ 2 r1 tan γ

(4.28)

γ

M1

a)

Reibung und Spiel Dämpfung J1 µ, δ d

y

k Verzahnung

Antrieb

Getriebe

αn

z

J2 M2

u ϕ1

ϕ1

ϕ2

Kontakt bei B y r 1

Abtrieb und Schneckenrad

B

αn

FN cos α n

A B A

r2 δ

z &2 ϕ

b) Bild 4.20 Berechnungsmodell eines Schneckengetriebes; a) Berechnungsmodell mit gegebenem Antriebsmoment, b) Bezeichnungen an Schnecke und Schneckenrad

256

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Die Bewegungsgleichungen des Modells von Bild 4.20a folgen aus dem dynamischen Momentengleichgewicht an beiden Scheiben und lauten, vgl. auch [147]: J1 ϕ¨ 1 + dc1 (ϕ˙ 1 − uϕ˙ 2 ) + kc1 (ϕ 1 − uϕ 2 ) = M1 + sign(∆ ϕ )kc2 J2 ϕ¨ 2 − dc3 (ϕ˙ 1 − uϕ˙ 2 ) − kc3 (ϕ 1 − uϕ 2 ) = M2 − sign(∆ ϕ )kc4

δ

2 δ

2

(4.29) (4.30)

Hierbei ist zus¨atzlich viskose D¨ampfung (D¨ampfungskonstante d) ber¨ucksichtigt worden. Die ck -Koefﬁzienten sind vom Relativwinkel r2 ϕ 2 ∆ ϕ = ϕ 1 − uϕ 2 = ϕ 1 − (4.31) r1 tan γ bzw. von der relativen Verschiebung an der Kontaktstelle in Normalenrichtung ∆s = cos α (r1 ϕ 1 sin γ − r2 ϕ 2 cos γ ) = r1 cos α sin γ ∆ ϕ

(4.32)

und dem axialen Spiel δ abh¨angig, vgl. [176]. Wird das Spiel durchlaufen, dann haben Schnecke und Schneckenrad keinen Kontakt, beide Teilsysteme bewegen sich unabh¨angig voneinander, und es gilt, falls |∆s| δ /2: c1 = c2 = c3 = c4 = 0

(4.33)

Wenn Schnecke und Schneckenrad miteinander Kontakt haben, also bei linksseitiger oder bei rechtsseitiger Ber¨uhrung, tritt eine R¨uckstellkraft auf, und diese Konstanten lauten, falls |∆s| > δ /2: c1 =

r12 cos2 α sin γ sin[γ + sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 )] cos

(4.34)

c2 =

r1 cos α sin[γ + sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 )] cos

(4.35)

c3 =

r1 r2 cos2 α sin γ cos[γ + sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 )] cos

(4.36)

c4 =

r2 cos α cos[γ + sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 ] cos

(4.37)

Dabei wird die Reibungszahl µ durch den Reibungswinkel ausgedr¨uckt (µ = tan ). Bereichsweise besteht eine lineare (aber insgesamt nichtlineare) Beziehung zwischen dem Torsionsmoment in der Verzahnung und dem Relativwinkel ∆ ϕ . Durch die Funktion sign(∆ ϕ ) wird dabei bewertet, an welcher Seite in der Zahnpaarung Kontakt vorhanden ist, w¨ahrend sign(ϕ˙ 1 ) den Einﬂuß der Reibrichtung erfaßt. Es existieren f¨unf verschiedene Bewegungszust¨ande, von denen jeweils zwei der Vorspannung an der Kontaktstelle A und zwei der Vorspannung an der Kontaktstelle B entsprechen, w¨ahrend einer zum Durchlaufen des Spiels geh¨ort. Die Umschaltun” gen“ zwischen diesen Betriebszust¨anden erfolgen formal durch die Signumfunktionen. Bei der numerischen Integration sind als Umschaltbedingungen sowohl Bedingungen f¨ur die Normalkraft als auch f¨ur den Relativweg zu pr¨ufen.

257

4.5 Selbsthemmende Getriebe

Schneckenrad Abtrieb Motor a)

Schnecke Motor

Antriebs- Schnecke welle J 1 M1 (t ) kT

Verzahnung Schneckenrad und Abtriebsglied M 2 (t ) 2 k ⋅r2 u

b)

ϕ0 = Ω t

dT

d ⋅r22

ϕ1

J2

δ, µ ϕ2

Bild 4.21 Hubwerk mit Schneckengetriebe [176] a) Skizze des Antriebssystems, b) Berechnungsmodell mit gegebener Antriebsbewegung

Das Berechnungsmodell eines Hubwerks (Bild 4.21b) geht von dem gegebenen Verlauf des Antriebswinkels ϕ 0 (t) aus und ber¨ucksichtigt in Erg¨anzung zum Modell in Bild 4.20a noch eine linear elastische und d¨ampfende Antriebswelle (kT , dT ). Das Torsionsmoment in der Antriebswelle ist T1 = dT (ϕ˙ 1 − ϕ˙ 0 ) + kT (ϕ 1 − ϕ 0 )

(4.38)

Aus dem Momentengleichgewicht an den beiden Scheiben des in Bild 4.21b dargestellten Berechnungsmodells folgen die Bewegungsgleichungen: J1 ϕ¨ 1 + dT ϕ˙ 1 + kT ϕ 1 +dc1 (ϕ˙ 1 − uϕ˙ 2 ) + kc1 (ϕ 1 − uϕ 2 )

J2 ϕ¨ 2

δ

+ kT ϕ 0 + dT ϕ˙ 0 2 −dc3 (ϕ˙ 1 − uϕ˙ 2 ) − kc3 (ϕ 1 − uϕ 2 ) = M1 + sign(∆ ϕ )kc2

= M2 − sign(∆ ϕ )kc4

(4.39)

δ

(4.40) 2 Sie sind bereichsweise linear, so daß man f¨ur den Fall des Kontakts (ck = 0) die Eigenwerte in diesem Bereich mit dem Ansatz ϕ k = ϕˆ k exp(λ t) f¨ur das homogene System ermitteln kann, indem man die Nullstellen des Polynoms 4. Grades aus der Determinante J1 λ 2 + dT λ + kT + d λ c1 + kc1 −dc1 uλ − kc1 u (4.41) =0 2 J2 λ + dc3 uλ + kc3 u −dc3 λ − kc3 berechnet. Mit Hilfe des Routh-Hurwitz-Kriteriums kann man folgende Bedingung ﬁnden, die ausdr¨uckt, ob einer der vier Eigenwerte λ positiv ist, vgl. [50], [112], [175]:

258

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

dc1 dT

2 2 2 c1 c1 kT J1 dkT − + <0 u + 1+ J2 c3 kc3 c3 kdT

(4.42)

Wenn die Ungleichung (4.42) erf¨ullt ist, wird das Schneckengetriebe dynamisch instabil. An den quadratischen Ausdr¨ucken kann man erkennen, daß diese Ungleichung nur dann erf¨ullbar ist, wenn c1 < 0 ist, da es sonst keine negativen Terme in der Summe gibt. Weiterhin folgt aus Gl. (4.34), daß c1 nur dann negativ wird, falls > γ ist und sign(∆ ϕ ) sign(ϕ˙ 1 ) = −1 ist. Das ist nur der Fall bei der Senkbewegung (ϕ˙ 1 = Ω > 0; sign(ϕ˙ 1 ) = +1) eines selbsthemmenden Getriebes, wenn die Last eine Vorspannung in der Zahnradpaarung bewirkt, weil nur dann sign(∆ ϕ ) = −1 ist. F¨ur den Quotienten J1 /J2 erh¨alt man aus Gl. (4.42) zwei L¨osungen, welche eine obere und eine untere Grenze f¨ur das instabile Gebiet liefern. In [176] wird gezeigt, daß im unged¨ampften Fall das Schneckengetriebe instabil wird, wenn die Bedingung uc3

J1 kT < −c1 + J2 k

ist oder wenn folgende beiden Ungleichungen erf¨ullt sind: 2 2 kT √ J1 kT √ − −c1 + −c1 < uc3 < k J2 k

(4.43)

(4.44)

Innerhalb der Grenzen, welche aus den Ungleichungen (4.43) und (4.44) folgen, wird die Bewegung des Schneckengetriebes instabil. Solche Instabilit¨aten k¨onnen bei der Senkbewegung selbsthemmender Getriebe auftreten. Eine n¨ahere Analyse zeigt, daß der instabile Bereich, in dem Rattern auftritt, desto gr¨oßer ist, je gr¨oßer der Reibungswinkel ist. Bereits der einseitige Flankenwechsel an der Zahnﬂanke B f¨uhrt zu den st¨orenden Ratterschwingungen, aber beim Anstoßen an beide Seiten der F¨uhrung sind die Schwingungen noch intensiver. F¨ur den Konstrukteur sind die Bedingungen (4.43) und (4.44) deshalb von Interesse, da sie (ohne die sonst erforderliche numerische Integration der Differentialgleichungen (4.39) und (4.40) erlaubt, den Einﬂuß der Parameter auf das Instabilit¨atsgebiet zu bestimmen. Falls die beiden Ungleichungen (4.43) und (4.44) nicht erf¨ullt sind, besteht keine Gefahr daf¨ur, daß das gef¨urchtete Rattern auftritt, denn der Flankenkontakt bleibt erhalten. Man kann aus Gl. (4.43) und Gl. (4.44) erkennen, welchen Einﬂuß die beiden Federkonstanten kT und k auf das Stabilit¨atsgebiet haben. Der Konstrukteur kann bei gegebenen Tr¨agheitsmomenten die Grenzen des Stabilit¨atsgebietes verschieben, z. B. mit der Torsionsfederkonstante kT . F¨ur ein sehr kleines Verh¨altnis kT /kr22 , d. h. f¨ur den Sonderfall kT /kr22 → 0, ergibt sich aus Gl. (4.43) die in [84] erstmals hergeleitete in die VDI-Richtlinie 2158 (Selbsthemmende und selbstbremsende Getriebe) aufgenommene Formel f¨ur die Stabilit¨atsgrenze eines selbsthemmenden Schneckengetriebes: tan( − γ ) J1 < 2 J2 u tan γ

(4.45)

In diese Bedingung gehen keine Feder- und D¨ampfungskonstanten ein, d. h. ein star” res“ Schneckengetriebe rattert“, wenn Gl. (4.45) erf¨ullt ist. ”

4.5 Selbsthemmende Getriebe

259

Aus den Stabilit¨atsbedingungen geht allerdings nicht der Einﬂuß des Spiels δ hervor, denn die Ungleichungen (4.42) bis (4.45) wurden gewissermaßen aus den linken Seiten“ der Gln. (4.39) und (4.40) gewonnen. Das Spiel δ bestimmt eben” so wie auch die a¨ ußeren Momente M1 und M2 die Gr¨oße der Schwingungsamplituden. Die Verl¨aufe der Winkel, Winkelgeschwindigkeiten, Winkelbeschleunigungen und der Torsionsmomente in beiden Wellen, die bei den Ratterschwingungen entstehen, kann man durch numerische Integration der Differentialgleichungen (4.39) und (4.40) ermitteln. Einzelheiten soll das folgende Beispiel zeigen, das dem Modell gem¨aß Bild 4.21b entspricht und durch folgenden Parametervektor p charakterisiert wird: p = (Ω , α , γ , r1 , r2 , M1 , M2 , J1 , J2 , µ , kT , k, d, dT , δ )T (4.46) ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ Antriebswinkelgeschwindigkeit (Senkrichtung positiv) 15,7 rad/s ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ◦ ⎟ ⎟ ⎜Richtungswinkel der Zahnﬂanken-Normalen ⎜20 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ◦ ⎟ ⎟ ⎜Steigungswinkel der Schnecke im Teilkreis ⎜5,322 8 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Teilkreisradius der Schnecke ⎜3,235 mm ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Teilkreisradius des Schneckenrades ⎜18,98 mm ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Moment an der Schneckenwelle ⎜0 N · m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜Moment an der Abtriebswelle, z. B. infolge Hublast ⎟ ⎜1,0 N · m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎜Tr¨agheitsmoment, bezogen auf die Schneckenwelle ⎟ =⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜60 kg · mm ⎟ ⎟ ⎜Tr¨agheitsmoment, bezogen auf die Abtriebswelle ⎜0,1 kg · m2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Reibungszahl an der Zahnﬂanke ⎜0,141 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜Torsionssteiﬁgkeit der Antriebswelle ⎜0,318 N · m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 6 ⎟ ⎜1,772 8 · 10 N/m⎟ ⎜Zahnsteiﬁgkeit ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜D¨ampfungskonstante der Zahnradpaarung ⎜2 500 N · s/m ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎝0,004 N · m · s ⎠ ⎝D¨ampfungskonstante der Antriebswelle Flankenspiel in der Zahnpaarung 0,02 mm

Die Parameter xk (k = 1, 2, . . . , 15) wurden in der Reihenfolge geordnet, wie es der in Abschn. 2.1.2 beschriebenen Modellhierarchie entspricht, vgl. Tabelle 2.2 und Tabelle 2.4. Oben sind im Vektor p die Parameter der starren Maschine (kinetostatisches Modell, Modellstufe 1), dann die des linearen Systems (Modellstufe 2) und unten die des nichtlinearen selbsterregten Schwingungssystems aufgef¨uhrt. Die Parameterwerte wurden f¨ur die Berechnung des Beispiels in Anlehnung an [175] und ¨ [176] f¨ur ein relativ kleines Schneckengetriebe gew¨ahlt. Das Ubersetzungsverh¨ altnis ergibt sich gem¨aß Gl. (4.28) aus diesen Daten zu u = 62,973. Die station¨aren L¨osungen der Differentialgleichungen (4.39) und (4.40) wurden f¨ur die Parameterwerte von Gl. (4.46) durch numerische Integration mit einem MATHCAD-Programm berechnet. Es treten in dem genannten Parameterbereich erwartungsgem¨aß selbsterregte Ratterschwingungen auf, deren Verl¨aufe in Bild 4.22 exemplarisch dargestellt sind. Zum Vergleich wurden im linken Teil des Bildes Ergebnisse f¨ur das Abtriebsmoment M2 = 1 N · m denen des doppelten Momentes M2 = 2 N · m gegen¨ubergestellt. Außerdem wurde die Torsionsfederkonstante kT variiert, um auch deren Einﬂuß zu zeigen. In Bild 4.22c ist der Spielbereich eingezeichnet, woraus man erkennt, ob einseitige oder zweiseitige St¨oße stattﬁnden. Der Verlauf der Drehbeschleunigung ϕ¨ 2

260

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

50 && 2 in s−2 ϕ

&& 2 in s−2 ϕ

50

0

−50

3,1

3,2 t in s

−50

0,05

0,05

T1 in N⋅ m

3

T1 in N⋅ m

a)

0

0

−0,05 3 b)

3,1

3,2 t in s

0,1

3

3,1

3,2 t in s

3

3,1

3,2 t in s

3,1

3,2 t in s

0

−0,05

0,1

∆s in mm

∆s in mm

δ

0

−0,1 −0,2 c)

0

−0,1

3

3,1

M2 = 1 N·m

3,2 t in s

−0,2

3

M2 = 2 N·m

Bild 4.22 Zeitverl¨aufe der Ratterschwingungen eines Schneckengetriebes bei Senkbetrieb a) Drehbeschleunigung ϕ¨ 2 am Abtrieb (zwei verschiedene Werte des Abtriebsmoments M2 ) b) Torsionsmoment T1 in der Antriebswelle, vgl. Gl. (4.38) c) Relativweg ∆s an der Kontaktstelle, vgl. Gl. (4.32) (Vollinie: kT = 0,318 N · m, gestrichelte Linie: kT = 0,663 N · m)

4.5 Selbsthemmende Getriebe

261

(Bild 4.22a) und des Relativweges ∆s (Bild 4.22c) zeigt, wo das Spiel durchlaufen wird. Die Schwingungen verlaufen um den Mittelwert, der sich aus dem Abtriebsmoment und dem statischen Reibmoment ergibt. Die Amplituden nehmen mit der Gr¨oße des Abtriebsmoments M2 zu, d. h., das Abtriebsmoment ist f¨ur die Intensit¨at der Erregung verantwortlich. Das Torsionsmoment T1 erreicht infolge der Schwingungen Werte, die wesentlich gr¨oßer sind als das kinetostatische Antriebsmoment und sogar zu einem Vorzeichenwechsel f¨uhren.

&& 2|max in s−2 |ϕ

60

a)

40 20 0

0

0,5 0,6

1

1,5

2 103 ⋅( J 1 / J 2 )

2,5

0

0,5 0,6

1

1,5

2 10 ⋅( J 1 / J 2 )

2,5

T1 in N⋅ m

0,15

b)

0,1 0,05 0

3

Bild 4.23 Amplituden der Ratterschwingungen a) Drehbeschleunigung ϕ¨ 2 am Abtrieb, b) Torsionsmoment T1 in der Antriebswelle 1

Die maximalen Werte des Torsionsmomentes T1 und der Drehbeschleunigung

ϕ¨ 2 des Schneckenrades wurden in Bild 4.23 als Funktion des Verh¨altnisses der

Tr¨agheitsmomente dargestellt. Es ergeben sich in dem stabilen Bereich konstante Torsionsmomente, die durch die Reibung bedingt sind. Da in diesem Bereich keine Schwingungen auftreten, sind die Drehbeschleunigungen Null. Es zeigt sich, daß die Schwingungen innerhalb des Instabilit¨atsgebiets auftreten, dessen Grenzen sich aus Gl. (4.43) und Gl. (4.44) ergeben. F¨ur die in Gl. (4.46) angegebenen Parameterwerte betragen die Grenzen J1 /J2 = 0,000 1 bis 0,001 4 und f¨ur die h¨artere Federkonstante (kT = 0,663 N · m) legen sie bei J1 /J2 = 0,000 5 bis 0,002 0, vgl. Bild 4.23. Mit der h¨arteren Torsionsfeder wurde das Stabilit¨atsgebiet verschoben, aber nicht eingeengt. Innerhalb des Instabilit¨atsbereiches tritt Rattern mit den angegebenen Amplituden auf. Dabei gibt es einen schmalen Bereich, in dem besonders intensive Schwingungen auftreten, vgl. Bild 4.23. Bei 103 J1 /J2 = 0,6 liegen die Parameterwerte, die den Schwingungen in Bild 4.22 entsprechen, wo ein zweiseitiger Flankenwechsel stattﬁndet.

262

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Die Gr¨oße des Spiels δ hat auch einen großen Einﬂuß auf die Schwingungsamplituden im Instabilit¨atsgebiet. Dies kann aus den Gln. (4.39) und (4.40) ebenfalls berechnet werden und wurde z. B. in [250] f¨ur den Wertebereich eines gr¨oßeren Schneckengetriebes ausf¨uhrlich analysiert. Auch f¨ur eine ver¨anderliche Antriebswinkelgeschwindigkeit ϕ 0 (t), wie sie z. B. bei Anfahr- oder Bremsvorg¨angen oder bei periodischen Drehzahlschwankungen auftritt, und bei ver¨anderlichen Abtriebsmomenten M2 lassen sich aus dem Berechnungsmodell in Bild 4.21, das den Differentialgleichungen (4.39) und (4.40) entspricht, die interessierenden dynamischen Beanspruchungen und Bewegungen berechnen.

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben 4.6.1 Schwingungsursachen Zu den Zugmittelgetrieben geh¨oren die Riemengetriebe, Kettengetriebe, Zahn¨ riemengetriebe mit konstanter Ubersetzung, aber auch die CVT-Getriebe mit va¨ riabler Ubersetzung. Flach- und Keilriemengetriebe sollen eine kraftschl¨ussige Bewegungs¨ubertragung sichern, w¨ahrend Ketten- und Zahnriemengetriebe eine ¨ formschl¨ussigen schlupffreie Ubertragung herbeif¨uhren. F¨ur den Konstrukteur ist ein Riemen oder eine Kette im idealen Fall eine starre kinematische Bindung, aber bei hohen Geschwindigkeiten wird der kinematisch gew¨unschte Bewegungsablauf durch verschiedene Schwingungserscheinungen gest¨ort. Aus der Sicht der Modellbildung lassen sich Zugmittelgetriebe entweder als elastische, d¨ampfende und massebelegte Kontinua oder als Mehrk¨orpersysteme modellieren. Ketten und Zahnriemen sind in Verbindung mit ihren Kettenr¨adern bzw. Zahnscheiben Schwingungserreger von L¨angs- und Biegeschwingungen. In den folgenden Abschnitten wird auf einige speziﬁsche Schwingungsprobleme und Berechnungsmodelle der Zugmittelgetriebe eingegangen. Riemengetriebe geh¨oren zur Gruppe kraftschl¨ussiger Zugmittelgetriebe und werden in vielen Bereichen des Maschinen- und Anlagenbaues eingesetzt [90], [109], [264]. Beispielsweise ﬁndet man sie in den Antrieben von Werkzeugmaschinen meist in Form eines Keilriemengetriebes zwischen Motor und Hauptspindel zur Drehzahlund Drehmomentwandlung. Auch in Fahrzeugantrieben werden Riemengetriebe zur Verbindung zwischen dem Hauptantrieb und den Nebenantrieben, z. B. Lichtmaschine, Nockenwelle, L¨ufter, Kraftstoffpumpe, angewendet. Neben solchen Vorteilen wie einfache Anwendung, ger¨auscharmer Lauf, hoher Wirkungsgrad und vielseitige Einsetzbarkeit haben Riemengetriebe manchmal den Nachteil, daß die Riementrume bei hohen Geschwindigkeiten aus verschiedenen Ursachen zu Schwingungen neigen, die zu erh¨ohtem Verschleiß, st¨orendem L¨arm und zur Beeintr¨achtigung der Leistungs¨ubertragung f¨uhren. Riemenschwingungen sind schon lange ein Forschungsobjekt, vgl. [1], [90], [95], [100], [283] und die Forschung dazu ist weiterhin im Gange. Vergleiche von theoretischen und experimentellen Ergebnissen zeigen, daß es noch viele ungekl¨arte Probleme gibt. Die Ursache f¨ur die Abweichungen zwischen Rechen- und Meßergebnissen

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

263

sind oft in den noch unvollkommenen Berechnungsmodellen zu suchen. Es treten oft gekoppelte L¨angs-, Biege- und Torsionsschwingungen des Riemens auf, die mit linearen Theorien nicht erkl¨arlich sind. Man muß zu deren Berechnung Theorien zweiter Ordnung ber¨ucksichtigen, wie z. B. die quadratischen Terme in den Gln. (2.274) und (2.275). Damit wird die Ver¨anderung der L¨angskraft bei großen Biegeschwingungen oder die Anregung der Torsionsschwingungen durch L¨angskr¨afte erfaßt. Als Besonderheiten gibt es auch die nichtlineare Abh¨angigkeit des Schlupfs von der Vorspannung und Belastung [283], die durch die Scheibenradien bedingten nicht¨ linearen mechanischen Bedingungen an der Ubergangsstelle von der Riemenscheibe zum freien Trum und die Materialparameter der Riemenwerkstoffe [90]. Experimentelle Untersuchungen in [242] zeigten, daß auch stick-slip-Schwingungen an Keilriemen auftreten. Im folgenden werden zun¨achst einzelne Effekte, die am einzelnen Riementrum auftreten k¨onnen, vorgestellt und analysiert. Infolge der L¨angselastizit¨at des Riemens k¨onnen gekoppelte L¨angs- und Torsionsschwingungen auftreten, wenn z. B. eine Zwangserregung infolge der ungleichm¨aßigen Winkelgeschwindigkeit erfolgt. Solche Zwangserregungen haben nach [244] bei Serpentinantrieben in Fahrzeugmotoren einen gr¨oßeren Einﬂuß als die Parametererregung. Dagegen wurde von [237] festgestellt, daß die durch den Radialschlag der Riemenscheiben erregten Zwangsschwingungen wesentlich kleinere Amplituden der Biegeschwingungen hervorrufen als die durch die zeitlich ver¨anderlichen Riemenkr¨afte bedingten parametererregten Schwingungen. Infolge der Torsionselastizit¨at des Riemens k¨onnen aber auch Torsionsschwingungen um dessen L¨angsachse auftreten, wenn der Riemen sehr ﬂach ist. Das Schwingungsverhalten eines Riemengetriebes kann oft nur gekl¨art werden, wenn das schwingungsf¨ahige Spannsystem (z. B. Spannrolle) in die Betrachtungen einbezogen wird, vgl. Abschn. 4.6.3. H¨auﬁg lassen sich st¨orende Riemenschwingungen schon vermeiden, wenn man die aus der linearen Theorie stammenden einfachen Regeln beachtet, daß man die Nachbarschaft von Erreger- und Eigenfrequenzen vermeiden soll. Infolge des großen Einﬂusses der Riemenl¨ange kann man damit die Eigenfrequenz am leichtesten beeinﬂussen, was aber selten realisierbar ist. Bei ﬂachen Riemen kann man z. B. die Eigenfrequenz der Torsionsschwingungen dadurch erh¨ohen, indem man die Riemenbreite halbiert. Da auch die Parameterhauptresonanz bei Riemenschwingungen oft eine Rolle spielt, ist es ebenso wichtig darauf zu achten, daß keine Erregerfrequenz mit der doppelten Eigenfrequenz u¨ bereinstimmt, vgl. Gl. (4.52). Es gibt mehrere Erregerfrequenzen bei Riemen- und Kettengetrieben zu beachten, z. B. • • • • • • •

h¨ohere Harmonische der Drehfrequenz (z. B. Z¨undfolge des Motors), die Scheibendrehfrequenzen (geometrische Exzentrizit¨at) h¨ohere Harmonische der Nebenaggregate (deren periodische Bewegungen), die Riemenumlauffrequenz (Material- oder Fertigungsfehler), die Drehfrequenz der Spannrollen (Unwucht), die Frequenzen einer Trumkraft (periodisches Lastmoment), die Eigenfrequenz der Torsionsschwingung des Gesamtsystems (Parametererregung der Transversalschwingung), • die Frequenzen der St¨utzenerregung (Ersch¨utterungen des Aufstellorts).

264

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.6.2 Eigenfrequenzen des Zweischeiben-Riemengetriebes Tabelle 4.4 gibt f¨ur einige einfache Berechnungsmodelle des Zweischeiben-Riemengetriebes die Eigenfrequenzen an. Diese Eigenfrequenzen ergeben sich f¨ur das Modell des beiderseits gelenkig gelagerten Balkens (im Falle 3 beiderseits in Querrichtung eingespannter Rechteckquerschnitt), vgl. [28], [105], [283]. Bei diesen Berechnungsmodellen wird angenommen, daß sich der Riemen nur in einer Ebene (bzw. im Falle 3 nur um eine Achse) bewegt. Im Falle 1 sind die Riemenspannkraft F, die Biegesteiﬁgkeit EI und die Massebelegung A konstant. Die Riemenspannkraft F beeinﬂußt die Eigenfrequenzen wesentlich, aber der Einﬂuß der Riemengeschwindigkeit v und der Biegesteiﬁgkeit ist bei den u¨ blichen Antrieben praktisch sehr gering. Durch die bei der Umlenkung der Riemen entstehende Fliehkraft wird die Riemenspannkraft aber selbst geschwindigkeitsabh¨angig. Fall 2 entspricht einem nichtlinearen Schwinger, bei dem die Eigenfrequenz der Biegeschwingung von der Schwingungsamplitude w (in Riemenmitte) abh¨angt. Diese Abh¨angigkeit ergibt sich bei der Ber¨ucksichtigung der L¨angssteiﬁgkeit EA der Saite (und der Zunahme der Trumkraft bei den Schwingungen). Fall 3 bezieht sich auf die Torsionsschwingung des an beiden Enden eingespannten ﬂachen Riemens (hier mit Rechteckquerschnitt angenommen). Ein Rippenriemen kann durch ein mittleres ” Rechteck“ angen¨ahert werden. Der Unterschied zwischen dem f¨ur die Torsionsverformung verantwortlichen Torsionstr¨agheitsmoment It und dem f¨ur die Drehtr¨agheit maßgebenden polaren Tr¨agheitsmomentes IP ist wesentlich. Fall 4 bezieht sich auf die L¨angsschwingungen der Riementrume in Verbindung mit einer Torsionsschwingung des Abtriebs. Hierbei werden nicht Schwingungen der einzelnen Riemenabschnitte, sondern die Schwingungen des Gesamtsystems erfaßt. Es gehen dabei die Steiﬁgkeit kV der Vorspannfeder und die (durch die unterschiedliche Belastung bedingte) Federkonstanten des Zugtrums (kZ ) und des Leertrums (kL ) in die Berechnung ein. Die unterschiedlichen Scheibenradien der Antriebsscheibe (r) und der Abtriebsscheibe (R), die translatorisch bewegte Motormasse m und die Drehmasse J des Abtriebs werden auch erfaßt. Auf die Modellierung dieser wichtigen Einﬂußgr¨oße wird in [116] n¨aher eingegangen. Der Schlupf zwischen Riemen und Riemenscheibe, der sich als eine wesentliche D¨ampfung der Torsionsschwingungen auswirkt, wurde hier nicht erfaßt. Wegen der Annahme einer konstanten Motordrehgeschwindigkeit hat die Drehmasse des Motors auf die Eigenfrequenzen dieses Modells keinen Einﬂuß. Viele experimentelle Untersuchungen zeigten, daß die Parameterwerte der Riemen nicht nur vom Material, sondern auch von der Riemengeschwindigkeit, dem Schlupf (bzw. dem Drehmoment), der Belastungsfrequenz, der Riemenvorspannung und der Betriebstemperatur abh¨angen [237]. Die Federkonstante nimmt z. B. nach [237] mit dem Schlupf und der Riemengeschwindigkeit ab, w¨ahrend die D¨ampfung mit dem Schlupf und der Riemengeschwindigkeit zunimmt. Die Frequenz- und Temperaturabh¨angigkeit der Parameter von Gummi spielt hierbei auch eine Rolle. Der wesentliche Parameter ist die Vorspannung, denn von ihm h¨angen Schlupf, Temperatur, Federkonstante, D¨ampferkonstante und auch der Verschleiß ab. Bei genauerer Modellierung m¨ussen neben den hier behandelten Teilmodellen f¨ur die Trume auch Teilmodelle f¨ur den Kontakt der Riemen mit den Riemenschei-

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

265

Tabelle 4.4 Eigenfrequenzen des Zweischeiben-Riemengetriebes Fall-Nr. 1

Berechnungsmodell/tiefste Eigenfrequenzen bewegter Balken v EI F F A l 1 fB = 2l

2

⎛ ⎞ F ⎝ π 2 EI Av 2 ⎠ 1+ − A F Fl 2

nichtlineare Saite EA F A 1 fS = 2l

3

F l

w$

F A

1+

3 π 2 wˆ 2 EA 16 Fl 2

(2)

Torsionsstab (Rechteckquerschnitt)

F

b

GIT, IP, A

h

A fT =

1 2l

F

l

F A

A = bh, IT = 4

(1)

1+

GIT A F IP

(3)

A4 A 2 (b + h2 ) , IP = 40IP 12

L¨angs-Torsions-Schwingungssystem

kZ Zugtrum

Motor kV v Vorspannkraft

f1, 2

α

Abtrieb R

m α kL

Leertrum

J

l . ⎡ ⎤ / 2 / 2 R2 4k12 k11 k11 k22 R2 / 1 ⎣ k22 R2 ⎦ + ∓ − =0 + 4π J m J m mJ

k11 = kV + (kV + kZ ) cos2 α , k12 = (kZ − kL ) cos α R−r , k22 = kL + kZ sin α = l

(4)

266

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

ben ber¨ucksichtigt werden [237], [244]. Die richtige Erfassung der Riemenparameter ist mit erheblichen theoretischen und experimentellen Schwierigkeiten verbunden. Erfahrungsgem¨aß betr¨agt allein die Exemplarstreuung mindestens 5 %. Auf Grund der h¨auﬁg verwendeten Verbundwerkstoffe (z. B. Gummi und PolyestherKord bei Proﬁl-Keilriemen) liegt ein inhomogenes Material vor, bei welchem genaugenommen die Nichtlinearit¨at im Spannungs-Dehnungs-Diagramm und viskose Effekte (Kriechen, Relaxation) ber¨ucksichtigt werden m¨ussen. Da bei den u¨ blichen Schwingungen die Frequenzen so hoch sind, daß die Relaxationszeiten des Materials keine Rolle spielen, ist meist die Beschr¨ankung auf linear-elastisches Materialverhalten gerechtfertigt. Bei Verbundwerkstoffen muß man bei der experimentellen Ermittlung die L¨angs-, Biege- und Torsionssteiﬁgkeit (also EA, EI, GIT ) als voneinander unabh¨angige Parameter betrachten, die sich nicht aus geometrischen Abmessungen und Materialparametern einfach berechnen lassen. Um eine Vorstellung von den Parameterwerten und ihrem Einﬂuß auf die Eigenfrequenzen zu erhalten, wird ein Riemengetriebe mit folgenden Parametern, die in Tabelle 4.4 vorkommen, angenommen: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0,655 m L¨ange des Riemens l ⎟ L¨angssteiﬁgkeit des Riemens ⎜ EA ⎟ ⎜103 kN ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Biegesteiﬁgkeit des Riemens ⎜ EI ⎟ ⎜0,012 N · m2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Torsionssteiﬁgkeit des Riemens ⎜GIT ⎟ ⎜0,461 N · m2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ (4.47) p =⎜ ⎟=⎜ 3 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜1,22 · 10 kg/m ⎟ mittlere Dichte des Riemens ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ polares Tr¨agheitsmoment des Riemenquerschnitts ⎜ IP ⎟ ⎜9 654 mm4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ Torsionstr¨agheitsmoment des Riemenquerschnitts ⎝ IT ⎠ ⎝860 mm4 A 135 mm2 Fl¨ache des Riemenquerschnitts Bild 4.24 zeigt die Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen der Biege- und Querschwingungen, die sich gem¨aß der Gln. (1) und (3) in Tabelle 4.4 mit diesen Zahlenwerten ergeben. 40

Eigenfrequenz f in Hz

Torsionsschwingungen 30 Querschwingungen

20 10 0 0

100

200 300 Längskraft F in N

400

Bild 4.24 Abh¨angigkeit der Eigenfrequenzen von der Vorspannkraft f¨ur den Riemen mit den Parameterwerten von Gl. (4.47)

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

267

Außer den in Tabelle 4.4 behandelten Modellen soll noch ein Beispiel f¨ur einen Zweischeiben-Riemengetriebe mit Spannrolle behandelt werden. Durch eine Spannrolle wird einerseits die freie L¨ange l der Riemen verk¨urzt (was deren Eigenfrequenzen erh¨oht), aber andererseits entstehen weitere System-Eigenfrequenzen, deren Anregung dann ebenfalls vermieden werden muß. Bild 4.25 zeigt das Berechnungsmodell, das die folgenden 17 Parameter erfaßt: ⎛ ⎞ L¨angssteiﬁgkeit des Riemens EA ⎜ lk ⎟ L¨angen der Riemenabschnitte (k = 1, 2, 3) ⎜ ⎟ ⎜ lS ⎟ L¨ange des Spannhebels ⎜ ⎟ ⎜ Jk ⎟ Massentr¨agheitmomente aller Scheiben (k = 1, 2, 3) ⎜ ⎟ ⎜mR ⎟ Masse der Spannrolle ⎜ ⎟ ⎟ (4.48) p=⎜ ⎜ mS ⎟ Masse des Spannhebels ⎜ Rk ⎟ Scheibenradien (k = 1, 2) ⎜ ⎟ ⎜ R ⎟ Radius der Spannrolle ⎜ ⎟ ⎜ k ⎟ Torsionsfederkonstante am Spannerhebel ⎜ T⎟ ⎝ α ⎠ Winkel des Spannhebels in der statischen Ruhelage Winkel der beiden Riementrume in der Anfangslage (k = 2, 3)

βk

kT

α

ϕR

ϕS ϕ1

R1

β2

ϕ2

β3

l2 , k 2 J1

lS , mS

R

l3 , k 3

R2

mR , J 3 J2

k1 l1

Bild 4.25 Berechnungsmodell des Zweischeiben-Riemengetriebes mit Spannrolle

Im Koordinatenvektor qT = (ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ R , ϕ S ) werden vier Drehwinkel ber¨ucksichtigt, vgl. Bild 4.25. In den Bewegungsgleichungen (Mq¨ + Kq = o) dieses linearen Schwingungssystems ist die Massenmatrix M = diag (J1 , J2 , J3 , JS ) + ist ) und die Steiﬁgkeitsmatrix (worin JS = ⎞ ⎛ −k2 R1 R −k2 R1 a R(k1 + k2 ) −k1 R1 R2 ⎟ ⎜ −k R R −k3 R2 R k3 R2 b ⎟ ⎜ 1 1 2 R2 (k1 + k3 ) K=⎜ ⎟ 2 ⎝ −k2 R1 R −k3 R2 R R (k2 + k3 ) R(k2 a − k3 b) ⎠ −k3 R2 b R(k2 a − k3 b) k2 a2 + k3 b2 + kT −k2 R1 a mR lS2

(4.49)

mS lS2 /3

(4.50)

268

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Daran, daß die Federmatrix voll besetzt ist, erkennt man, daß hier tats¨achlich eine Wechselwirkung zwischen allen Koordinaten stattﬁndet. Dies liegt an dem Einﬂuß der Spannrolle, die bei ihrer Bewegung auch die beiden Riemenabschnitte spannt, die wiederum mit den Riemenscheiben verbunden sind. Die drei Federkonstanten der Riemenabschnitte folgen aus kk = EA/lk und die Konstanten a und b aus den geometrischen Verh¨altnissen des Gesamtsystems: a = lS sin(α + β 2 ) − R

lS cos(α + β 2 ); l2

b=R

lS cos(α − β 3 ) l3

(4.51)

Die vier Eigenfrequenzen fi = ω i /(2π ) und Eigenformen ϕ i dieses Systems kann man aus der Eigenwertgleichung (K − ω i2 M)ϕ i = 0 berechnen. Auch in diesem Falle ergibt sich die erste Eigenfrequenz zu Null, da die erste Eigenform eine Starrk¨orperbewegung des Riemengetriebes ist (die Steiﬁgkeitsmatrix K ist singul¨ar). 4.6.3 Erzwungene und parametererregte Schwingungen Infolge einer periodisch ver¨anderlichen L¨angskraft in einem Trum entsteht eine Parametererregung der Transversalschwingungen. Die Parameterhauptresonanz, bei der instabile Schwingungen auftreten, liegt vor, wenn die erregende Frequenz der L¨angskraft doppelt so groß ist wie die aus Gl. (1) in Tabelle 4.4 bekannte Eigenfrequenz der Biegeschwingung, d. h. bei ferr = 2 · feig

(4.52)

In der N¨ahe der Frequenzen, welche die Resonanzbedingung (4.52) erf¨ullen, treten große Schwingungsamplituden auf. Man kann eine N¨aherungsl¨osung f¨ur die Amplituden der parametererregten Schwingungen unter folgenden Voraussetzungen herleiten, vgl. [89], [254], [283]: • geometrisch nichtlinear gekoppelte L¨angs- und Biegeschwingung, vgl. Gl. (2.269) und Gl. (2.270), • viskose D¨ampfung (D¨ampfungsfaktor d), vgl. Tabelle 3.9, • Vorspannung des Riemens um den Weg u0 = F0 /(EA), • Exzentrizit¨at e einer der Riemenscheiben (die den Radius Rk besitzt), so daß der Riemen gem¨aß des Bewegungsgesetzes ∆u = u(L, t)−u(0, t) = u0 +e cos(vt/R) mit einer kinematischen Erregung zwangserregt wird, • die Riemendeformation f¨uhrt zu einer L¨angskraft F = EA · ∆u = F0 + F1 cos Ω t mit Ω = v/Rk . Aus der urspr¨unglichen partiellen Differentialgleichung (2.270) f¨ur den nichtlinear gekoppelten Biegeschwinger wird mit dem N¨aherungsansatz πx (4.53) w(x, t) = q(t) sin l eine gew¨ohnliche Differentialgleichung gewonnen, die eine kubische Nichtlinearit¨at und eine harmonische Parametererregung enth¨alt, vgl. [183]: vt π 2 q2 π 2 π 2 EI 2 EA + Aq+d ¨ q+ ˙ − Av + +e cos u q=0 (4.54) 0 L2 l2 l R 4l

269

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

F¨ur die praktisch interessanten Amplituden qˆ der Querschwingung der periodischen L¨osungen an der Grenze des Stabilit¨atsgebietes der Parameterhauptresonanz besteht demnach folgender Zusammenhang π 4 F12 8Ω l 2 L E 4l 2 Ω 2 16 π 2 EI F0 2 2 −R − + Ω −d 2 (4.55) ± qˆ = π 3π 2 3 Al 2 A 3π 2 A Ω 2 l 4 Die beiden Vorzeichen (±) beschreiben die obere und die untere Grenze des Stabilit¨atsgebietes. Aus den aktuellen Parameterwerten eines Riemenantriebs kann man daraus den Amplituden-Frequenzgang der Riemenschwingungen berechnen, wenn man in Erg¨anzung zu Gl. (4.47) f¨ur F0 = 500 N,

e = 1 mm,

R = 50 mm,

F1 =

EAe l

(4.56)

setzt und die Geschwindigkeit v = Ω R und die D¨ampfungskonstante d variiert, vgl. Bild 4.26. F¨ur den Konstrukteur kann die Ermittlung dieser Abh¨angigkeit von der Antriebswinkelgeschwindigkeit Ω , die in diesem Falle gleichzeitig der Erregerkreisfrequenz entspricht, eine große Hilfe sein. Bei der Auslegung von Riemengetrieben l¨aßt sich mit Gl. (4.55) der Einﬂuß aller beteiligten Parameter auf die Schwingungsamplituden der Biegeschwingungen des Riemens analysieren. q$ / l

q$ in mm 50

0,07

45

0,06

40

1

35 0,05

30

0,04

25

0,03

20

0,02

2 3

15 4

10 0,01 0

5 0 15 0,7

20 0,8

0,9

30 v in m /s

25 1

1,1

1,2

1,3

1,4

35

1,5 v/vkr

Bild 4.26 Abh¨angigkeit der Amplituden der Riemenschwingungen von der relativen Riemengeschwindigkeit bei Anregung durch eine exzentrische Riemenscheibe Kurve 1: d = 0; Kurve 2: d = 5,5 N · s/m; Kurve 3: d = 6,5 N · s/m; Kurve 4: d = 7,5 N · s/m

270

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Die kritische Geschwindigkeit vkr folgt wegen ferr =

Ω v = (2π ) (2π R)

(4.57)

aus Gl. (1) in Tabelle 4.4 aus der Resonanzbedingung (4.52) nach L¨osung einer quadratischen Gleichung zu ⎡ ⎤ 2 l EI 1 F ⎣ l ⎦ 4 1 + π2 2 + − vkr = (4.58) 2 A l FO 2π R 2π R Bild 4.26 gibt z. B. einen Einblick in den Einﬂuß der Vorspannkraft und der Riemengeschwindigkeit auf die Schwingungsamplitude. Man sieht aus Bild 4.26, daß die Amplituden der Riemenschwingungen unterhalb einer gewissen Geschwindigkeit (dies ist die sich aus Gl. (4.58) ergebende Stabilit¨atsgrenze) gar keine Rolle spielen. Von dieser Geschwindigkeit an steigen sie allerdings sehr stark an. Man kann die Amplituden wesentlich vermindern, indem man die D¨ampfung erh¨oht, denn im kritischen Gebiet der Parameterresonanz hat die D¨ampfung einen wesentlichen Einﬂuß. Interessant ist die Sensibilit¨at dieser Amplituden gegen¨uber Parameter¨anderungen. Sie kann dank dieser geschlossenen analytischen Formel einfach ermittelt werden. 4.6.4 Kettengetriebe Kettengetriebe haben bez¨uglich ihres Schwingungsverhaltens Gemeinsamkeiten mit den Riemengetrieben, da die Ketten transversal und longitudinal schwingen k¨onnen. Zu den in Abschn. 4.6.1 genannten Schwingungsursachen kommen solche hinzu, die durch die endliche L¨ange der Kettenglieder bedingt sind. Die Kette ist ein Mehrk¨orpersystem (MKS), das zudem laufend seine Struktur a¨ ndert. Kettengetriebe sind damit Objekte, die aus theoretischer Sicht ebenso wie die Zahnradgetriebe den mechanischen Systemen mit Unstetigkeiten zuzuordnen sind, deren Theorie z. B. in [24], [119], [262], [309] und [331] behandelt wird. Die unstetige Struktur¨anderung ﬁndet dann statt, wenn sich Kettenglieder, die Kontakt mit den Kettenr¨adern haben, mit denen der frei h¨angenden Trume abwechseln. In Bild 4.27a sind die Parameter angegeben, die f¨ur ein Kettengetriebe mit zwei Kettenr¨adern kennzeichnend sind: ϕ 1 (t), ϕ 2 (t) ϕ 1O , ϕ 2O

p z1 , z2 ∆ ϕ 1, ∆ ϕ 2 r1 , r2 l lT lK

Drehwinkel der Kettenr¨ader Einbauwinkel der Kettenr¨ader Gliedl¨ange eines Kettengliedes Z¨ahnezahlen der Kettenr¨ader Teilungswinkel der Kettenr¨ader Radien der Kettenr¨ader Abstand der Drehachsen der Kettenr¨ader Abstand der Ber¨uhrungspunkte der Tangente Truml¨ange

271

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

y Kettenrad 1

Kettenglied 1 ξ

Rolle

Kettenrad 2 2

∆ϕ1

r1

p

ϕ1 + ϕ10

∆ϕ2

ψ

r2

ψ

Tangente ϕ2 + ϕ20 x Polygon Tangente

4 3

Normale

l lT

a) vx ∆ϕ 2

vx

vy

v y

r cos π ∆ϕ x + 2 2

b)

v

∆ϕ 2

Tangente

vy

y

r ∆ϕ

ϕ + ϕ0

x

y y j+1 yj

w

p c)

ψ

L

lk

d)

xj

x j+1 x

Bild 4.27 Bezeichnungen an einem Kettengetriebe a) Zwei Kettenr¨ader mit Kette, b) Kettenrad mit aufliegendem Kettenglied c) Kettenrad in beliebiger Stellung, d) Kettentrum zwischen zwei F¨uhrungspunkten der Kette

In Bild 4.27a ist angedeutet, daß ein L¨angenunterschied zwischen der gekr¨ummten Kettenlinie und der geraden Strecke der L¨ange lT besteht, die den theoretischen Grenzfall einer straff gespannten Kette darstellt (lk > lT ). Bei unterschiedlichen Radien r1 und r2 wird der Schnittpunkt der Kette (Tangente) mit den beiden Teilkreisen durch den Winkel ψ beschrieben, der sich aus folgenden Gleichungen berechnen l¨aßt: r1 − r2 lT (4.59) ; sin ψ = ; lT = l 2 + (r1 − r2 )2 cos ψ = l l Die Teilungswinkel betragen ∆ϕ j =

2π zj

(4.60)

Mit der Gliedl¨ange p stehen die Radien, die Teilungswinkel und die Z¨ahnezahlen der Kettenr¨ader in folgendem Zusammenhang ( j = 1, 2): ∆ϕ j π (4.61) = 2r j sin p = 2r j sin 2 zj

272

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Die beiden oberen F¨uhrungspunkte der Kette liegen auf dem Kreisbogen jedes Kettenrades und haben folgende kartesische Koordinaten, vgl. Bild 4.27a. Es gilt f¨ur j = 1, 2: x j = ( j − 1)l + r j cos(ϕ j + ϕ j0 ) y j = r j sin(ϕ j + ϕ j0 )

(4.62)

Diese Formeln gelten in folgenden Winkelbereichen ( j = 1, 2): ∆ϕ j ∆ϕ j < ϕ j + ϕ j0 < π − ψ + (4.63) 2 2 An den Grenzen der durch die genannten Ungleichungen eingeschlossenen Winkelbereiche ﬁndet der Wechsel der Kettenglieder statt. Analoge Beziehungen erh¨alt man f¨ur alle F¨uhrungspunkte in den jeweiligen Winkelbereichen. Die Zeitableitung liefert die Geschwindigkeitskomponenten eines F¨uhrungspunktes, vgl. Bild 4.27b und 4.27c: π−ψ −

vx = x˙ j = −r j ϕ˙ j sin(ϕ j + ϕ j0 ) vy = y˙ j = r j ϕ˙ j cos(ϕ j + ϕ j0 )

(4.64)

Schon aus diesem Zusammenhang kann man schließen, daß die Kettengeschwindigkeit abh¨angig von den Umfangsgeschwindigkeiten der beiden Kettenr¨ader ist. Die Drehgeschwindigkeit ϕ˙ j (t) jedes Kettenrades kann zeitlich ver¨anderlich sein, z. B. beim Anlaufvorgang oder wenn das Kettenrad als Teil des Antriebssystems selbst schwingt, vgl. Abschn. 4.6.2 und [95]. Eine weitere Zeitableitung liefert die Komponenten der Horizontalbeschleunigung ax = x¨ j = −r j ϕ¨ j sin(ϕ j + ϕ j0 ) − r j ϕ˙ 2j cos(ϕ j + ϕ j0 )

(4.65)

und der Vertikalbeschleunigung ay = y¨ j = r j ϕ¨ j cos(ϕ j + ϕ j0 ) − r j ϕ˙ 2j sin(ϕ j + ϕ j0 )

(4.66)

Die Bewegung der vier F¨uhrungspunkte stellt die kinematische Erregung der beiden frei h¨angenden Kettentrume dar. Bei gleich großen Kettenr¨adern (r1 = r2 = r) ergibt sich aus Gl. (4.59) ψ = π /2, lT = l und wegen ϕ j = Ω t bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ 1 = ϕ˙ 2 = Ω = v/r. Der horizontale Abstand der F¨uhrungspunkte 1 und 2 (Spannweite) betr¨agt (4.67) L = x2 − x1 = l + r [cos(Ω t + ϕ 20 ) − cos(Ω t + ϕ 10 )] ϕ ϕ ϕ ϕ 20 10 10 20 sin Ω t + = l − 2r sin − + 2 2 2 2 Er ist ebenso wie der vertikale Abstand (H¨ohendifferenz) auch von den Einbauwinkeln (ϕ 10 , ϕ 20 ) und dem Drehwinkel abh¨angig: y2 − y1 = r [sin(Ω t + ϕ 20 ) − sin(Ω t + ϕ 10 )] ϕ ϕ 10 ϕ 10 ϕ 20 20 − cos Ω t + + = 2r sin 2 2 2 2

(4.68)

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

273

Man kann dem Bild 4.27b und c entnehmen, daß der vertikale Abstand bei horizontal gestraffter Kette zwischen r j und r j cos(∆ ϕ j /2) schwankt, d. h., es kommt eine Schwingungserregung der beiden Kettentrume durch die mit jedem Zahneingriff wechselnde Ver¨anderung der Absolutwege, der Spannweite und der H¨ohendifferenz zustande (Polygoneffekt). Aus den Gln. (4.67) und (4.68) geht hervor, daß diese relativen Abst¨ande von der Stellung ϕ und den Phasenwinkeln ϕ j0 abh¨angen. Mit den Phasenwinkeln kann die Intensit¨at der dynamischen Belastung der Kette beeinﬂußt werden [87]. x r

0

y r 1

sin(∆ϕ /2)

Ω t + ϕ0 − −sin(∆ϕ /2)

π 2

0 vy rΩ

vx rΩ 0

−1 ax rΩ 2

π ∆ϕ 3∆ϕ ∆ϕ 2∆ϕ Ω t + ϕ0 − 2 2 2

sin(∆ϕ /2)

0 −cos(∆ϕ /2)

−sin(∆ϕ /2)

sin(∆ϕ /2) ay

0

rΩ 2

−sin(∆ϕ /2)

a)

cos(∆ϕ /2)

b)

0

−1

−cos(∆ϕ /2)

Bild 4.28 Verl¨aufe von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines F¨uhrungspunktes; a) Horizontalkomponenten, b) Vertikalkomponenten

Die aus den Gln. (4.64) bis (4.66) berechenbaren Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der F¨uhrungspunkte der Kette zeigen an den Bereichsgrenzen Knicke oder Spr¨unge im Verlauf der Horizontal- und Vertikalkomponenten, d. h., bei vx und ay treten Knicke und bei ax und vy Spr¨unge auf. Die einzelnen Komponenten schwanken zwischen den in Bild 4.28 angegebenen Extremwerten. Wie bei allen Bewegungen von Starrk¨orpersystemen nehmen die Amplituden der Geschwindigkeiten linear und die der Beschleunigungen mit dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeit ¨ zu. Die unstetige Anderung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ist um so ausgepr¨agter, je kleiner die Z¨ahnezahl z eines Kettenrades ist. Kettenr¨ader sind ab z 10 Z¨ahnen handels¨ublich, aber in DIN 8195 wird (vor allem wegen dieses Polygoneffekts) empfohlen, Kettenr¨ader mit mindestens 17 Z¨ahnen zu w¨ahlen. Die Grunderregerkreifrequenz zΩ ergibt sich aus der Z¨ahnezahl des Kettenrades und der Drehgeschwindigkeit Ω . Die vertikale Verschiebung ist bez¨uglich des Winkels ϕ = Ω t eine ungerade periodische Funktion, so daß ihre Fourierreihe folgende

274

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Form hat, wenn man den Einbauwinkel Null setzt, vgl. Bild 4.27b und c sowie Gl. (4.62) und Gl. (4.63): ∞

y = p ∑ bk sin kzΩ t

(4.69)

k=1

Die Vertikalgeschwindigkeit vy und der Horizontalweg x sind ebenso wie die Horizontalgeschwindigkeit vx und der Vertikalweg y zueinander proportional, vgl. Gl. (4.62) mit Gl. (4.64) und Bild 4.28. Die Verl¨aufe der letztgenannten Gr¨oßen sind gerade Funktionen, d. h., ihre Fourierreihen besitzen nur Kosinusglieder: ∞ vy x = = ∑ kbk cos kzΩ t p pzΩ k=1

(4.70)

Horizontalgeschwindigkeit und die Vertikalbeschleunigung haben vergleichbare Verl¨aufe: ∞ ay vx = = − ∑ k2 bk sin kzΩ t (4.71) 2 pzΩ p(zΩ ) k=1 Die Fourierkoefﬁzienten ergeben sich aus dem Integral 1 bk = ∆ϕ

∆ϕ /2

sin ϕ sin kzϕ d ϕ =

0

kz cos kπ sin(∆ ϕ /2) · (kz)2 − 1 ∆ϕ

(4.72)

Die Fourierkoefﬁzienten f¨ur den periodisch ver¨anderlichen Abstand der ¨ Fuhrungspunkte, der f¨ur die Schwingungserregung wesentlich ist, kann man aus Gl. (4.62) und (4.63) berechnen, wenn man noch die Einbauwinkel ϕ 1O und ϕ 2O ber¨ucksichtigt, d. h., die Amplituden h¨angen auch von den Einbauwinkeln ϕ jO ab. Der Polygoneffekt hat zur Folge, daß • die Winkelgeschwindigkeit der Kettenr¨ader schwankt, • Erregerfrequenzen mit ganzzahligen Vielfachen der Gliedeingriffsfrequenz entstehen: ferr =

zkΩ 2π

(4.73)

• die L¨angskraft und die Geschwindigkeit der Kette periodisch ver¨anderlich ist, • parametererregte Schwingungen der Kette entstehen k¨onnen, • Torsionsschwingungen in der An- und Abtriebswelle des Kettengetriebes erregt werden. Erzwungene und parametererregte Schwingungen werden von [27], [87] und [258] n¨aher untersucht. Es kommt im Grunde genommen darauf an, zu vermeiden, daß erzwungenen Resonanzen bei den verschiedenen Ordnungen der Eigenfrequenzen (i = 1, 2, . . .) ferr = fi oder Parameterresonanzen bei 2 fi ferr = ; k = 1, 2, 3 k

(4.74)

(4.75)

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

275

zustandekommen, weil dann große Schwingungsausschl¨age entstehen. Am gef¨ahrlichsten ist die Parameterhauptresonanz (mit k = 1), vgl. auch Gl. (4.52). Es gibt mehrere Eigenfrequenzen der Kettengetriebe. F¨ur die Eigenfrequenzen der transversalen Schwingungen einer Kette (Modell der bewegten Saite) gelten zun¨achst dieselben Formeln wie f¨ur Riemen, vgl. Gl. (4) in Tabelle 2.13 und Tabelle 4.4. F¨ur Schwingungen der Kettenlinie gibt es noch weitere M¨oglichkeiten, da f¨ur sie, wie beim Pendel, noch der Schwerkrafteinﬂuß wesentlich ist (Erdbeschleunigung g). F¨ur die Kettenlinie besteht zwischen Spannweite l, der gestreckten Truml¨ange lK und der horizontalen Lagerkraft FH folgender Zusammenhang, vgl. Bild 4.27d: % & Agl Agl 2 2FH 1 sinh · (4.76) =l 1+ lK = Ag 2FH 24 FH Dabei ist die Massebelegung A die Kettenmasse pro Kettenl¨ange. Bei kleinem relativen Durchhang w/l unterscheidet sich die Horizontalkraft FH kaum von der L¨angskraft F in der Kette, vgl. Bild 4.27c. Der Maximalwert des Kettendurchhangs ist bei gleich hohen Aufh¨angepunkten (y j = y j+1 ) bei w/l 1:

Al 2 g (4.77) 8F Die Truml¨ange folgt mit Gl. (4.76) und Gl. (4.77) als Funktion des Durchhangs zu:

8 w 2 lK = l 1 + · (4.78) 3 l w=

In jedem Kettentrum entsteht infolge des Eigengewichts eine Horizontalkraft, die man aus Gl. (4.76) und Gl. (4.77) in folgender Form ﬁndet: Al 2 g 1 2l FH ≈ F = = Agl (4.79) 8w 4 3lK − 3l Das Kettengetriebe funktioniert nicht einwandfrei, wenn die Zugbelastung durch die¨ se Horizontalkraft einen Mindestwert unterschreitet, weil dann das Uberspringen der Kette u¨ ber einen Zahn m¨oglich ist. Die Kettenkraft F setzt sich aus der Vorspannkraft und einer zeitabh¨angigen Erregerkraft zusammen, die aus der a¨ ußeren Belastung und dem wechselnden Ein- und Auslaufen der Kettenglieder in die Kettenr¨ader entsteht. Eine Kette ist bereits schwingungsf¨ahig als Starrk¨orpersystem“, weil sie infol” ge ihres Eigengewichts wie ein Pendel zwischen den F¨uhrungspunkten h¨angt. F¨ur das Berechnungsmodell der dehnbaren Kette (bzw. der Saite mit Durchhang), bei dem außer der Massebelegung A die L¨angssteiﬁgkeit EA∗ und das Verh¨altnis von Durchhang zu Spannweite von Bedeutung ist, wurde erstmals in [171] eine Theorie entwickelt, vgl. auch [135], [323]. Demnach h¨angen die Eigenfrequenzen der symmetrischen Eigenformen von einer Kettenkennzahl“ ” EA∗ 2 ∗ 2 w Alg EA l F · · = · (4.80) κ 2 = 64 8 w 2 F l lK F 1+ · 3 l

276

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

ab. Mit ihm lassen sich die Eigenwerte λ i aus der transzendenten Frequenzgleichung tan λ = λ − 4

λ3

(4.81) κ2 berechnen, womit sich die Eigenfrequenzen der symmetrischen Eigenformen zu λi F fi = ; i = 1, 2, . . . (4.82) π l A ergeben, also f¨ur den ganzen Parameterbereich von der elastischen Saite (κ 2 = 0; λ i = π (i − 1/2) bis zur starren Kette (κ 2 → ∞; λ 1 = 1,430π ; λ 2 = 2,459π ; λ i = (i + 1/4)π ) f¨ur i 3. Reale Ketten unterscheiden sich von Riemen und Kabeln, f¨ur die diese Formeln auch gelten, dadurch, daß EA∗ in Gl. (4.78) ein Mittelwert der L¨angssteiﬁgkeit der Kette ist (Federkonstante k = EA∗ /l) und sich aus den Parametern der einzelnen Kettenglieder (Bolzen, Lasche, Kontaktsteiﬁgkeiten u. a.) ergibt, also eine andere Fl¨ache (EA∗ = kl) repr¨asentiert als die mittlere Massebelegung (A = m/l). 2. symmetrische

5 κ 2 = 16π 2

4 f f1 3 2

2. antimetrische 1. symmetrische

κ 2 = 4π 2

1. antimetrische

U| || V| || |W

Schwingform

1 0 10−2 10−1

1 101 10 2 103 10 4 Kettenkennzahl κ 2

Bild 4.29 Eigenfrequenzen der elastischen Kette bei Querschwingungen ( f1 =

1 2l

F ) A

Die Auswertung dieser Formeln liefert eine Abh¨angigkeit der ersten vier Eigenfrequenzen, die in Bild 4.29 im Vergleich zur ersten Eigenfrequenz f1 der Saite dargestellt ist, vgl. auch Tabelle 2.13. Man sieht aus den Verl¨aufen, daß im Bereich 10 < κ 2 < 103 sich die Eigenfrequenzen stark a¨ ndern, w¨ahrend sie außerhalb dieses Bereichs fast unabh¨angig von κ 2 sind. Mit zunehmendem Verh¨altnis w/l wachsen die Eigenfrequenzen der symmetrischen Eigenformen im Vergleich zu denen der an¨ timetrischen Eigenformen, so daß es zum Uberkreuzen der Kurven, also dem Wechsel der Ordnungen der Eigenfrequenzen kommt. Bei einem relativ großen Durchhang (w/l > 0,1) hat die L¨angssteiﬁgkeit EA∗ einer Kette auf die Eigenfrequenz nur geringen Einﬂuß. Da sich die L¨angskraft F im Leertrum und im Zugtrum sehr unterscheidet, ergibt sich f¨ur ein Kettengetriebe ein großer Bereich, in dem die Eigenfrequenzen liegen.

4.6 Schwingungen von Zugmittelgetrieben

277

In [3] werden einfache Formeln f¨ur die ersten vier Eigenfrequenzen der undehnbaren Kette als Funktion des relativen Durchhangs angegeben, von denen f1 und f3 zu antimetrischen und f2 und f4 zu symmetrischen Eigenformen der Kettenlinie geh¨oren: w 2 w 2 g g f1 = 0,353 6 ; f2 = 0,505 6 1 − 3,00 1 − 1,44 w L w L

g g w 2 w 2 f3 = 0,707 1 ; f4 = 0,866 2 1 − 1,30 1 − 0,90 w L w L (4.83) Die Eigenfrequenzen der Schwingformen innerhalb der Kettenebene stimmen bei w/l 1 nahezu mit denen derjenigen Eigenformen u¨ berein, welche bei Schwingungen quer zur Kettenebene auftreten [3]. Infolge der Nichtlinearit¨at kann es zu inneren Resonanzen des Systems und zum Energietransfer zwischen den ebenen und r¨aumlichen Schwingungsformen kommen [335], [258]. Eine vielseitige theoretische und experimentelle Untersuchung der Schwingungen eines Kettengetriebes erfolgte in [331]. Dabei wurden der Eingriffsstoß, die Kettenelastizit¨at und die Kopplung der transversalen und longitudinalen Kettenschwingungen mit den Bewegungen der Kettenr¨ader im Zusammenhang untersucht, und zwar mit dem Berechnungsmodell des Mehrk¨orpersystems. Es zeigte sich dabei, das manche Aussagen, die mit einfacheren Berechnungsmodellen gewonnen wurden, nicht zutreffen. So wurden z. B. die in Bild 4.28 dargestellten Unstetigkeiten, die sich rein kinematisch im Beschleunigungsverlauf ergeben, experimentell nicht best¨atigt. Die Tr¨agheit der Kettenr¨ader f¨uhrte auch dazu, daß sich die Kettengeschwindigkeit wesentlich weniger a¨ nderte, als es der Polygoneffekt erwarten ließ. Schwingungen ¨ der Kettenr¨ader f¨uhrten zu einer Anderung der Phasenwinkel an beiden Kettenr¨adern, so daß die maximale Beschleunigung neunmal kleiner war, als es die kinematische Theorie voraussagte. 4.6.5 Zahnriemengetriebe Ergebnisse u¨ ber grundlegende Untersuchungen zum Betriebsverhalten der Zahnriemengetriebe sind in einzelnen Publikationen (z. B. [95], [255], [329], [353] und die dort genannte Literatur) und in der Monograﬁe [203] zusammengefaßt. Zahnriemengetriebe haben bez¨uglich ihres Schwingungsverhaltens viele Gemeinsamkeiten mit Kettengetrieben, aber ihre endliche Breite kann zu speziﬁschen Schwingungsproblemen f¨uhren. Die Forschungsarbeiten der vergangenen Jahre konzentrierten sich auf die L¨armminderung, auf ihren Einsatz bei Linearantrieben zum Einsatz bei schnellen Positionierbewegungen, bei Antriebe von Kranen [160] und Steuerantrieben in Verbrennungsmotoren [95]. Das Schwingungsverhalten wird stark von der Zahneingriffsfrequenz bestimmt. In [41] wurde nachgewiesen, daß die Luftverdr¨angung beim Zahneingriff sowie die durch den Polygoneffekt bestimmten Trumschwingungen das Getriebeger¨ausch wesentlich bestimmen. Auch die Fertigungs- und Montagetoleranzen, z. B. die Parallelit¨at der Achsen der Zahnriemenscheiben haben einen großen Einﬂuß auf die Intensit¨at dieser Schwingungen. Allein ein Schr¨aglauf kann die Amplituden der vom

278

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Zahnriemengetriebe verursachten Schwingungen um das Zehnfache ver¨andern. Neben dem auch bei Ketten bekannten Polygoneffekt (vgl. Abschn. 4.6.4), der zu einem schwankenden Riemenradius f¨uhrt, berichtet [95] u¨ ber einen Polygoneffekt zweiter ” Art“, der darin besteht, daß die unterbrochene Riemenauflage ein Aufschlagen des Riemens auf den als n¨achstes eingreifenden Scheibenzahn bewirkt. Dieser Schlag erfolgt mit hoher Intensit¨at und hat einen gr¨oßeren negativen Einﬂuß als die eigentliche Wegerregung. In den Berechnungsmodellen werden die Steiﬁgkeiten der Zahnriemen, der Riemenz¨ahne, die L¨uckengeometrie der Scheiben, die Rundlaufabweichungen, sowie das belastungsabh¨angige Teilungsverh¨altnis zwischen Riemen und Scheibe ber¨ucksichtigt [152], [160]. Hier soll nur ein Berechnungsmodell vorgestellt werden, das zur Bestimmung der Zahnkraftverteilung in [255] vorgeschlagen wurde, vgl. Bild 4.30. Es geht von einem Starrk¨orpermodell der Zahnstange aus und ber¨ucksichtigt folgende Parameter des Zahnriemens, zu denen hier exemplarisch Parameterwerte f¨ur das in [160] behandelte Beispiel mit angegeben werden, um eine Vorstellung von den Proportionen zu vermitteln: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0,27 µ Reibungszahl zwischen Riemengrund und Zahnkopf ⎜kZ ⎟ ⎜115 000 N/m⎟ Federkonstante eines Riemenzahns ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Federkonstante einer Riementeilung ⎜k ⎟ ⎜920 N/m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (4.84) p=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜kG ⎟ ⎜11 000 N/m ⎟ Federkonstante des Riemengrundes ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ Kraft der Andruckrolle ⎝FA ⎠ ⎝250 N 2 140 N

Fan

Lasttrum

pn+1

k Fn+2

δn+2

FZn+2

Antriebskraft

kZ

k

kG FRn+1

k

δn+1

FAn+1 FZ n+1 pZ

Leertrum

pn

k δn

kG

Fn′−1

Zahnstange

FRn kZ

FAn FZn k Z n pZ

Bild 4.30 Berechnungsmodell eines elastischen Zahnriemens im Kontakt mit einer Zahnstange nach [255]

Der Riemen wird durch in Reihe geschaltete gleich steife Einzelfedern mit der Federkonstante k modelliert (pro Teilung also 2k). An den Verbindungspunkten der Federn greifen die Zahnkr¨afte FZ an. Der Zahnriemen hat im unbelasteten Zustand eine Riementeilung pN und im belasteten Zustand kann sich diese von Riemenzahn zu Riemenzahn a¨ ndern, so daß sie mit pn bezeichnet wird. n ist die Nummer des Riemenzahns. Die Riemenkraft, die erforderlich ist, um die Riementeilung pN auf die Scheibenteilung pS zu strecken, betr¨agt FN = k(pS − pN ).

4.7 Planetengetriebe

279

Im allgemeinen wird angestrebt, daß unter der Vorspannkraft Fv die Riemen- und Scheibenteilungen u¨ bereinstimmen, also FN = FV ist. Die durch Schub und Biegung verursachte Verformung eines Riemenzahns wird mit der Zahnsteiﬁgkeit kZ beschrieben. Zwischen den Z¨ahnen des Riemens und der Scheiben kann noch ein Spiel δ vorhanden sein und im Riemengrund kann noch eine Reibkraft FR wirken, die u¨ ber die Reibungszahl mit der Anpreßkraft FA gekoppelt ist. Es ist hier nicht der Raum vorhanden, dieses in [255] ausf¨uhrlich behandelte Modell weiter zu beschreiben, mit dem die Verl¨aufe folgender Kr¨afte in den Riemen und l¨angs des Scheibenumfangs berechenbar sind: • die Reibkraft am Riemengrund des n-ten Zahns, • die Kraft in den Riemenabschnitten zwischen den Z¨ahnen ( Teilungsausgleichs” kraft“), • die Andruckkraft am n-ten Riemenzahn, • die Flankenkraft an jedem Riemenzahn.

4.7 Planetengetriebe 4.7.1 Allgemeine Problemstellung F¨ur die Entwicklung betriebssicherer Planetengetriebe mit hoher Laufruhe ist es besonders wichtig, schon in fr¨uhen Entwicklungsphasen deren dynamische Eigenschaften zu beurteilen. ¨ Planetengetriebe sind dynamisch hoch belastete Getriebe, deren Ubersetzungsverh¨altnisse im Bereich von 100 bis 200 (in Extremf¨allen auch mehr als 10 000) pro Stufe liegen. Sie haben gegen¨uber anderen Zahnradgetrieben solche Vorteile wie h¨ohere Leistungsdichte, kleineres Gewicht, kleineren Bauraum, kleinere Tr¨agheitsmomente und geringere Kosten. Man wendet sie in Antriebssystemen bevorzugt zur Leistungsverzweigung an. Planetengetriebe werden sowohl f¨ur langsame (Drehmomente bis zu 107 N · m) als auch f¨ur schnelle Bewegungen (Planetenturbogetriebe mit Drehzahlen bis zu 80 000 min−1 ) eingesetzt, aber es gibt auch Mikrogetriebe, deren Durchmesser kleiner als 1 mm betr¨agt [269]. Berechnungsmodelle f¨ur Planetengetriebe als Schwingungssystem gibt es seit den siebziger Jahren des 20. Jahrhunderts, z. B. [114], [257], vgl. auch u¨ bersichtliche Darstellungen in [85], [333, Band 3], [206]. Hinsichtlich der vielf¨altigen Fachliteratur, die sich mit aktuellen Fragen der Schwingungen von Planetengetrieben befaßt, sei vor allem auf die Dissertationen an der Ruhr-Universit¨at Bochum [293] und der TU Dresden [156] hingewiesen. Die Berechnung von elastischen und schwingungsf¨ahigen Planetengetrieben erfolgt zu Beginn des 21. Jahrhunderts in der Industrie entweder mit allgemeinen FEM- und/oder MKS Programmen oder auch mit speziﬁschen Programmen, wie z. B. KISSsoft ([185], [186]), SIMPLEX [267] oder ITI -SIM [51]. Darin werden neben den geometrischen Abmessungen und Z¨ahnezahlen die Massen und Drehmassen der Zahnr¨ader, die relativen Einbauwinkel zwischen den Planetenr¨adern, die ver¨anderlicher Zahnsteiﬁgkeit, alle wesentlichen

280

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

¨ Verzahnungsparameter (Z¨ahnezahl, Spiel, Eingriffswinkel, Uberdeckungsgrad, Proﬁl¨uberdeckung, Teilungsfehler), Torsionssteiﬁgkeiten, Lagerelastizit¨at und -d¨ampfung u. a. ber¨ucksichtigt. Es ist f¨ur den Berechnungsingenieur nicht mehr n¨otig, f¨ur sein Berechnungsmodell selbst Gleichungen zu formulieren und zu programmieren. Manche Programme k¨onnen das Schwingungssystem des Planetengetriebes mit den Schwingungssystemen der angrenzenden Bauteile verbinden, also dem umgebenden Lagerungssystem sowie dem Antriebssystem davor (bis zum Motor) und danach bis zur Arbeitsmaschine. Sie erm¨oglichen damit, die Wechselwirkungen z. B. mit hydraulischen oder elektromechanischen Komponenten zu beurteilen. Manche Programme lassen sich mit CAD-Systemen koppeln, so daß z. B. Daten der Starrk¨orper und Kennwerte der Maschinenelemente u¨ bergeben werden. Aus den bisherigen Untersuchungen ist bekannt, daß die elastischen Stellen die Koppelstellen der Zahnr¨ader (Verzahnung und Lager) sind, so daß es also auf deren m¨oglichst genaue Modellierung ankommt. Als Hauptursache der Erregung von ” innen“ ist die Parametererregung durch die ver¨anderliche Zahnsteiﬁgkeit bekannt ([40], [59], [85], [124], [184], [221], [223], [257]). Bei benachbarten Planetenr¨adern ist auch die relative Phasenlage der Z¨ahne von Einﬂuß [124]. Die Parametererregung hat oft ein breites Erregerspektrum und verursacht vor allem mit ihren h¨oheren Harmonischen Schwingungen im akustischen Bereich. Von den Lagerstellen und den Zahneingriffsstellen ausgehend wird K¨orperschall innerhalb des Getriebes auf das Geh¨ause u¨ bertragen, dessen Schwingungen wiederum Ursache des st¨orenden L¨arms sind. Als Schwingungserreger wirken von außen“ die zeitlich ver¨anderlichen Mo” mente der Motoren und der angetriebenen Maschinen. Wesentliche innere Erregerursachen sind die ver¨anderliche Zahnsteiﬁgkeit, fertigungsbedingte Abweichungen von der idealen Zahnﬂankengeometrie, Rundlauffehler und Verzahnungssch¨aden (Flankensch¨aden, Verschleiß, Anrisse). Das Zahnspiel verursacht beim Anlagewechsel St¨oße beim Durchlaufen des Spiels, und auch die Unwuchten und die r¨aumliche Taumelbewegung der Zahnr¨ader k¨onnen Schwingungen erregen. 4.7.2 Bewegungsgleichungen eines einfachen Berechnungsmodells F¨ur die in Bild 4.31 abgebildeten Berechnungsmodelle sollen hier die Bewegungsgleichungen aufgestellt werden, um einige typische Zusammenh¨ange zu erl¨autern. Die Bauformen A und B sind Sonderf¨alle eines gemeinsamen Basismodells“, das ” als Substruktur daf¨ur geeignet ist, auch komplizierte Strukturen mehrstuﬁger Planetengetriebe zu erfassen [51]. Die Bauformen A und B enthalten beide folgende Parameter: Radien rZ , rT , rP Masse eines Planetenrades mP Tr¨agheitsmomente der Zahnr¨ader und des Stegs JZ , JT , JP Federkonstante des Planetenlagers kL Federkonstante der Verzahnung kZ Die Federkonstanten werden nur in tangentialer Richtung angenommen, vgl. Bild 4.31.

4.7 Planetengetriebe

281

Zur Beschreibung der Lage aller K¨orper des Schwingungssystems werden die Absolutkoordinaten ϕ Z , ϕ T , ϕ P und ϕ L eingef¨uhrt, welche die Winkellage von Zentralrad (Z), Steg (T) und Planetenrad (P) gegen¨uber dem raumfesten Bezugssystem beschreiben. Der Mittelpunkt des Planetenrades hat den radialen Abstand rT vom Ursprung, und der Winkel ϕ L kennzeichnet seine ausgelenkte Lage in tangentialer Richtung, vgl. Bild 4.31. Der Drehwinkel des Planetenrades relativ zum Steg wird durch die Relativkoordinate ψ P ausgedr¨uckt. Der Deformationsweg der Verzahnung entspricht dem Differenzweg sZ zwischen dem Zentralrad Z und dem Planetenrad P. a)

b)

Bild 4.31 Zwei Varianten von Planetengetrieben a) Bauform A, b) Bauform B

Dieses System hat vier Freiheitsgrade, so daß eine beliebige Lage mit den vier im Koordinatenvektor q = (ϕ Z , ϕ T , ϕ P , ϕ L )T angegebenen Absolutwinkeln erfaßt werden kann. Zwei Freiheitsgrade kennzeichnen die kinematische Beweglichkeit und zwei Freiheitsgrade das elastische System. Die relativen Winkel ψ P und ψ Z , die von den oben genannten Absolutwinkeln abh¨angen, werden zur Erfassung des Zahnfederwegs gebraucht. Falls mehrere Planetenr¨ader vorkommen, so m¨ussen pro Plane-

282

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

tenrad zwei weitere Koordinaten eingef¨uhrt werden. Der Weg, um den die Feder im Planetenlager (Federkonstante kL ) in tangentialer Richtung deformiert wird, betr¨agt bei beiden Bauformen A und B sL = rT (ϕ L − ϕ T )

(4.85)

Der Verformungsweg an der Verzahnung ist bei der Bauform A, vgl. Bild 4.31a sZ = rZ (ϕ Z − ϕ L ) + rP (ϕ P − ϕ L )

(4.86)

und bei der Bauform B, vgl. Bild 4.31b: sZ = −rZ (ϕ Z − ϕ L ) + rP (ϕ P − ϕ L )

(4.87)

Man kann diese beiden Formeln zu einer einzigen zusammenfassen, wenn man im Fall A beim außen verzahnten Zentralrad rZ positiv, aber im Fall B (Zentralrad innen verzahnt) den Radius rZ negativ ansetzt. Dann gilt f¨ur beide F¨alle dieselbe Formel, die man mit χ = rT /rZ − 1 auch so ausdr¨ucken kann: sZ = rZ [ϕ Z + χ ϕ P − (1 + χ )ϕ L ]

(4.88)

Man sagt, daß die Varianten A und B derselben Basisstruktur“ entsprechen, weil sie ” mit identischen Gleichungen beschrieben werden k¨onnen. Die kinetische Energie der beiden F¨alle A und B ist die Summe der Rotationsenergien der Zahnr¨ader und des Steges sowie der Translationsenergie des Planetenrades: 2Wkin = JZ ϕ˙ Z2 + JT ϕ˙ T2 + JP ϕ˙ P2 + mP rT2 ϕ˙ L2

(4.89)

In den Federn des Planetenlagers und der Verzahnung wird potentielle Energie gespeichert, die mit den Absolutkoordinaten des Koordinatenvektors q die Form 2Wpot = kL rT2 (ϕ L − ϕ T )2 + kZ rZ2 [ϕ Z + χ ϕ P − (1 + χ )ϕ L )]2

(4.90)

annimmt. Aus der kinetischen Energie folgt die Massenmatrix M = diag(JZ , JT , JP , mP rT2 ) und aus der potentiellen Energie die Steiﬁgkeitsmatrix mit c = ⎤ ⎡ 1 0 χ −(1 + χ ) ⎥ ⎢ 0 c 0 −c ⎥ ⎢ K = kZ rZ2 ⎢ ⎥ ⎣ χ 0 χ2 −(1 + χ )χ ⎦ −(1 + χ ) −c −(1 + χ )χ (1 + χ )2 + c

(4.91) kL rT2 /(kZ rZ2 )

(4.92)

Erfaßt der Erregervektor die a¨ ußeren Momente mit f (t) = (MZ (t), MT (t), 0, 0)T

(4.93)

dann lauten die Bewegungsgleichungen f¨ur beide F¨alle (identische Basisstruktur) Mq¨ + Kq = f (t)

(4.94)

Ausgangspunkt f¨ur die numerische Integration ist dann die Form q¨ = M−1 ( f (t) − Kq)

(4.95)

4.7 Planetengetriebe

283

Die Zahnsteiﬁgkeit kZ ist in Wirklichkeit eine ver¨anderliche Gr¨oße, da sich beim Abw¨alzen der Z¨ahne die Hebelarme und damit die Steiﬁgkeit in Richtung der Zahn¨ normalen sowie sich auch die Anzahl der tragenden Z¨ahne (Uberdeckungsgrad) a¨ ndern, vgl. Bild 3.12. Bei einer Schwingungsanalyse kann man zun¨achst mit dem Mittelwert der Eingriffsfedersteiﬁgkeit die mittleren Eigenfrequenzen und damit die Mittellagen der Resonanzdrehzahlen und Resonanzgebiete berechnet werden. Aus der Theorie folgt, daß der Hauptinstabilit¨atsbereich der Parametererregung in einem Gebiet um die Frequenzen f = 2 fi /n f¨ur kleine ganze Zahlen (n = 1, 2, 3) liegt und daß Kombinationsresonanzen erster Ordnung bei den Frequenzen ( fi + f j )/n (im vorliegenden Fall f¨ur i, j = 2, 3, 4, 5) m¨oglich sind, vgl. Abschn. 3.4.1. Meist werden p Planetenr¨ader mit dem Steg um gleiche Teilungswinkel γ = 2π /p gegeneinander versetzt. Unter der Bedingung, daß sowohl das Sonnenrad als auch das Hohlrad eine durch p teilbare Z¨ahnezahl haben, sind die Eingriffsbedingungen an allen Zahnpaarungen identisch. Das hat die negative Folge, daß die Schwankung der Zahnsteiﬁgkeit sich an allen Paarungen summiert. Den pulsierenden periodischen Anteil, der die Intensit¨at der Parametererregung bestimmt, kann man durch die Montagebedingungen (Einbauwinkel am Steg) der p Planetenr¨ader beeinﬂussen. Die Pulsationstiefe der modalen Steiﬁgkeitsverl¨aufe und deren Spektrum sind von den mitt” leren Eigenformen“ und der Phasenlage der im Eingriff beﬁndlichen Z¨ahne abh¨angig. Eine Ver¨anderung der relativen Lage der Eingriffszeitpunkte in den Zahnpaarungen kann z. B. mit der konstruktiv eingesetzten Asymmetrie der Einbauwinkel des Stegs erfolgen, vgl. (4.95). Das vorgestellte Basismodell diente nur als einf¨uhrendes Beispiel. In den modernen Berechnungsprogrammen werden kompliziertere Basismodelle“ als Sub” strukturen verwendet, die z. B. zwei Lagerelastizit¨aten in der Ebene, die ver¨anderliche Zahnsteiﬁgkeit, Zahnspiel u. a. enthalten. Die Gleichungen f¨ur die verschiedenen Bauformen erh¨alt man mit Verwendung vorzeichenbehafteter Achsabst¨ande z. B. nach [223] automatisch. Die Berechnungsmodelle der Planetengetriebe werden dann mit denen der Baugruppen davor (bis zum Motor) und danach (bis zum Modell der angetriebenen Maschine) baukastenartig f¨ur das jeweilige Antriebssystem zusammengestellt [51], [302].

4.7.3 Beispiel: Getriebe mit drei Planeten Das Berechnungsmodell eines Planetengetriebes zeigt Bild 4.32. Es besteht aus dem Sonnenrad, drei starr gelagerten Planetenr¨adern und ver¨anderlichen Zahnfederkonstanten an jeder Paarung Sonnenrad/Planetenrad. Es wurde mit dem Programm ITI SIM analysiert [302]. Es ist zu empfehlen, zun¨achst zur Orientierung eine modale Analyse des linearisierten unged¨ampften Berechnungsmodells vorzunehmen. In Bild 4.33 sind die Eigenschwingformen des Getriebes dargestellt, die sich f¨ur die mittleren Zahnsteiﬁgkeiten ergeben. Man erkennt diese Eigenformen, wenn man im Zentrum auf die Stellung der Planetenr¨ader in Bezug auf das Sonnenrad achtet.

284

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Bild 4.32 Aufbau des Berechnungsmodells und seine Modellstruktur in ITI -SIM

Die berechneten Eigenfrequenzen und -formen sind: f1 = 0 Hz: f2 = 1237 Hz: f3 = f4 = 1798 Hz: f5 = 2206 Hz:

Starrk¨orperdrehungen des Gesamtsystems, nicht dargestellt Planetentr¨ager schwingt mit allen Planeten gegen das Sonnenrad Sonnenrad steht, Planeten schwingen dagegen, zwei Varianten Planeten drehen sich gegen das Sonnenrad, Planetentr¨ager steht still

Wegen des symmetrischen Aufbaus sind zwei Eigenfrequenzen gleich groß.

2. Eigenform

3. und 4. Eigenform

5. Eigenform

Bild 4.33 Eigenschwingformen des Planetengetriebes von Bild 4.32

Die Schwingungsanalyse geschieht mit Ber¨ucksichtigung einer ver¨anderlichen Federsteiﬁgkeit der Verzahnung am Sonnenrad im Bereich kZ = (0,8 . . . 1,3)·108 N/m.

4.7 Planetengetriebe

285

Gibt man ein konstantes Moment am Sonnenrad vor und simuliert einen Hochlauf, zeigen sich f¨ur die Normalkraft an den Z¨ahnen des Planetenrades verschiedene Resonanzgebiete, an denen es zu Amplituden¨uberh¨ohungen kommt. Eine FFT u¨ ber den gesamten Bereich des Hochlaufs bringt Aufschluß u¨ ber die Frequenzanteile in den Signalen, vgl. Bild 4.34. Die in Bild 4.34 bemerkbaren Resonanzstellen entsprechen den theoretischen Voraussagen aus Abschn. 4.7.2 und sind in Tabelle 4.5 angegeben.

Bild 4.34 Frequenzspektrum der Zahnnormalkraft am Planetenrad beim Hochlauf

Tabelle 4.5 Kritische Drehzahlen beim Hochlauf des Planetengetriebes Frequenz in Hz 300 550 900 1320 1650 1880 2200 2640 3250 3450 3550

Deutung f2 /4 ≈ f2 /2 f3 /2 ≈ f2 ≈ ( f2 + f3 )/2 ≈ f3 f5 ≈ 2 f2 f2 + f3 f2 + f5 2 f3

Die beim Hochlauf ermittelten Gebiete maximaler Amplituden liegen etwas oberhalb von denen, die sich aus den Eigenfrequenzen ergeben, da kein station¨arer Zustand erreicht wird, vgl. Abschn. 5.4.6. Trotzdem lassen sich die Instabilit¨atsgebiete aber bereits vorhersagen, ohne daß durch eine numerische Simulation die Zeitverl¨aufe der parametererregten Schwingungen berechnet werden.

286

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.7.4 Vergleich von drei F¨allen unterschiedlicher Zahneingriffe Zu den Ergebnissen aus Abschn. 4.7.3 muß erg¨anzend gesagt werden, daß die Intensit¨at der Parametererregung stark vom Einbauwinkel der Planetenr¨ader abh¨angt, was in manchen PKW-Getrieben von Toyota und Ford beachtet wurde [124]. Um diese Tatsache zu illustrieren werden nun drei F¨alle miteinander verglichen: Fall 1: zS = 33, zH = 114, gleiche Teilungswinkel des Stegs 3 mal 20◦ Fall 2: zS = 34, zH = 116, gleiche Teilungswinkel des Stegs 3 mal 120◦ Fall 3: zS = 33, zH = 114, Teilungswinkel des Stegs δ 1 = 122,45◦ ,

δ 2 = 122,45◦ ,

δ 3 = 115,10◦

Im Fall 1 sind die Planetenr¨ader dreifach symmetrisch montiert. Damit greifen alle drei Planetenr¨ader gleichzeitig innen in das Sonnenrad und außen in das Hohlrad ein. Bei dieser einheitlichen Anordnung der Planetenr¨ader, bei der sich die Z¨ahnezahlen zS = 33 und zH = 114 beide durch drei teilen lassen, sind die liegen Zahneingriffe der drei Planetenr¨ader relativ zueinander so, daß ihre Eingriffstiefen in Phase liegen. Die minimalen und maximalen Steiﬁgkeitswerte werden dann an allen drei Stellen synchron durchlaufen. Im Fall 2 ist zwar die dreifache Symmetrie des Steges vorhanden, aber bei den Z¨ahnezahlen zS = 34 und zH = 116, die bei gleichen Teilungswinkeln von 120◦ auch die Montierbarkeitsbedingung (4.88) erf¨ullen, sind die Z¨ahne der Planetenr¨ader nicht in derselben Phase im Eingriff. Im Gegensatz zu Fall 1 haben die drei Planetenr¨ader keinen synchronen Steiﬁgkeitsverlauf ihrer Verzahnung gegen¨uber dem Sonnenrad und dem Hohlrad. Es ist wegen der ver¨anderten Parametererregung deshalb ein anderes Schwingungsverhalten als im Fall 1 zu erwarten. Im Fall 3 werden mit denselben Z¨ahnezahlen wie im Fall 1 die Stege nicht dreifach symmetrisch angeordnet. Man kann bei den Teilungswinkeln des Steges allerdings nur solche vorsehen, bei denen die Montage der Planetenr¨ader m¨oglich ist. Die Z¨ahne d¨urfen nicht miteinander kollidieren. Es sind dabei nur solche Teilungswinkel δ i m¨oglich, die ganzzahlige Vielfache Ni des minimalen Teilungswinkels [226] von δ min = 360◦ /(zS + zH )

(4.96)

sind. Jeder der p = 3 Teilungswinkel muß also, damit die Zahnr¨ader u¨ berhaupt eingebaut werden k¨onnen, die Bedingung δ i = Ni δ min erf¨ullen, sonst ist das Planetengetriebe nicht montierbar [184], [223], [226]. Bei zS = 33 Z¨ahnen am Sonnenrad und zH = 114 am Hohlrad ergibt sich ein minimaler Teilungswinkel von δ min = 360◦ /(33 + 114) = 2,449◦ . Wenn die Planetentr¨ager also nicht mit drei gleichen Winkeln (jeweils N = 49) von 120◦ , sondern mit den oben bei Fall 3 angegebenen Einbauwinkeln versetzt werden, bei denen N1 = N2 = 50 und N3 = 47 ist, kann man die tangentiale Steiﬁgkeit am Sonnenrad sp¨urbar ausgleichen, so daß eine geringere Schwingungserregung zu erwarten ist. F¨ur die drei genannten F¨alle wurden Hochl¨aufe mit dem Programm ITI -SIM simuliert. Um die Resonanz¨uberh¨ohungen besser den Drehzahlen zuordnen zu k¨onnen, wurden die Simulationsergebnisse per Ordnungsanalyse ausgewertet. Bild 4.35 zeigt die Ergebnisse.

4.7 Planetengetriebe

287

Bild 4.35 Ordnungsanalyse der Normalkr¨afte am Planetenrad f¨ur Fall 1 bis 3

Es besteht folgende Beziehung zwischen der Zahneingriffsfrequenz fEingriff (in Hz), der auf der Ordinate in Bild 4.35 angegebenen Drehzahl nS des Sonnenrades (in U/min) und den Z¨ahnezahlen: ⎞ ⎛ fEingriff =

nS nS ⎜ −zH ⎟ ·⎝ zH ⎠ = 25,6 60 60 1− zS

(4.97)

Die Z¨ahnezahl des Hohlrades erh¨alt wegen der Innenverzahnung ein negatives Vorzeichen, so daß sich f¨ur Fall 1 und Fall 3 die angegebene Zahneingriffsfrequenz ergibt. In Bild 4.35 sind die Ordnungsgeraden der periodischen Erregung angedeutet. Die hellen Gebiete sind Instabilit¨atsgebiete der parametererregten Schwingungen. Man kann erkennen, daß wegen des periodischen Zahneingriffs im Fall 1 die erste bis siebente Erregerordnung Resonanzen bewirken, w¨ahrend in den F¨allen 2 und 3 nur die zweite und dritte Ordnung stark hervortreten. F¨ur Fall 1 zeigen sich in Bild 4.35 Resonanzstellen in regelm¨aßigen Abst¨anden bei ganzzahligen Vielfachen der Frequenzen von etwa 640 Hz, 1130 Hz und 1450 Hz. Sie wurden zum Teil auch mit der FFT-Analyse ermittelt und sind in Tabelle 4.5 genannt und gedeutet. Die bei der Drehzahl des Sonnenrades von 1500 U/min ( fEingriff ≈ 640 Hz) erkennbaren Resonanzstellen entsprechen in den F¨allen 1 und 2 sowohl ganzen Vielfachen von f2 /2 ≈ 620 Hz als auch ganzen Vielfachen von f5 /3. Bei etwa 2600 U/min ( fEingriff ≈ 1100 Hz) sind es ganze Vielfache von f5 /2 ≈ 1100 Hz und bei 3200 U/min ( fEingriff ≈ 1400 Hz) solche von ( f2 + f3 )/2. Im Fall 2 gilt wegen der anderen Z¨ahnezahl fEingriff = 26,2nS /60, so daß sich bei derselben Drehzahl des Sonnenrades etwas h¨ohere Erregerfrequenzen ergeben, was auch im Bild 4.35 sichtbar ist, wo den 2100 U/min die Erregerfrequenz von f3 /2 entspricht. Hierbei sind die Planetenr¨ader relativ zueinander so angeordnet, daß die tangentialen Steiﬁgkeiten in Bezug auf das Sonnenrad nicht mehr in Phase liegen. In diesem Fall wird interessanterweise nicht die zweite sondern die dritte und vierte Eigenfrequenz st¨arker erregt. Die Ursache daf¨ur ist, daß wegen der gezielt ver¨anderten Z¨ahnezahl die ver¨anderliche Zahnsteiﬁgkeit in gewissem Maße ausgeglichen ist. Die

288

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Schwingformen, an denen zwei Planetenr¨ader beteiligt sind (also die Eigenformen Nummer 3, 4 und 5) werden intensiver erregt. Im Fall 3 schwankt wegen der durch die ver¨anderten Teilungswinkel verbesserten Eingriffsverh¨altnisse die tangentiale Steiﬁgkeit bez¨uglich des Sonnenrades auch wenig. Deshalb sind auch weniger Resonanzgebiete als im Fall 1 und Fall 2 sichtbar. Die dritte und vierte Eigenfrequenz werden st¨arker erregt. Das Beispiel zeigt, daß die Intensit¨at der Parametererregung (Pulsationstiefe und Spektrum) durch die Phasenlage der Z¨ahne beim Eingriff (also auch durch die Einbauwinkel des Steges) beeinﬂußbar ist.

4.8 Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates 4.8.1 Modellbildung Regalbedienger¨ate sind bez¨uglich ihrer Schwingungen schon in mehreren Arbeiten untersucht worden, vgl. [13], [60], [295] sowie DIN 15 350 und die Europanorm FEM 9.311. In diesem Abschnitt wird ein einfaches Berechnungsmodell behandelt, welches das dynamische Verhalten eines Regalbedienger¨ates (RBG) w¨ahrend der Anfahr- und Bremsvorg¨ange zu erfassen gestattet und auch die Fahrbahnunebenheiten als Schwingungserregung ber¨ucksichtigt. Das Berechnungsmodell soll erlauben, • das Antriebsmoment, • die Durchbiegung der S¨aulenspitze, • den Biegemomentenverlauf in der S¨aule als Funktion einer gegebenen Erregung zu berechnen, die von den • Antriebs- und Bremsmomenten oder • den Antriebs- und Bremsbewegungen • und den Schienenunebenheiten ausgeht. Das Berechnungsmodell dient vor allem dem Zweck, die dynamische Wechselwirkung des schwingf¨ahigen Tragwerks mit den Parametern der Antriebe, Bremsen und der Fahrwerke zu formulieren. Meßergebnisse hatten gezeigt, daß die wesentlichen Biegeschwingungen in der Grundfrequenz mit der Grundschwingungsform erfolgten und die zweite Eigenschwingung nur sehr kleine Amplituden hatte. Als Berechnungsmodell ist also ein Schwinger mit wenigen Freiheitsgraden ausreichend, vgl. Bild 4.36. Der Parametervektor des Regalbedienger¨ats umfaßt 14 Einﬂußgr¨oßen pT = (, A, H, h, E, I, MM, JM , u, r, mB , L, kT m1 )

(4.98)

wozu noch weitere Parameter der Fahrbahn kommen (l, y, ˆ v). Die zur Diskretisierung von Balkenmodellen durch Gl. (2.185) bis Gl. (2.189) genannten Bedingungen werden bei der Reduktion des RBG auf ein System mit wenigen Freiheitsgraden gestellt, vgl. Abschnitt 2.3.5.

289

4.8 Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates

Hier wird als Reduktionsmethode die Eigenformapproximation, die in Abschnitt 2.6.4 schon beschrieben wurde, in Kombination mit der Ber¨ucksichtigung von Einzelmassen gew¨ahlt.

A

x( H )

Hubwagen mH

A m1

x1

EI

H

Säule

q2 ⋅ f (ξ)

h

EI H

x( y)

Motor M M , J M Bodentraverse

ϕM

Getriebe u

mB

ϕR

Fahrbahn

ξ

h

Radabstand L

Fahrweg x0

Radradius r 2πx y = y$ sin l x y$

Q0 x0 x0 = q0

kT m0 ψ = q1

x

Schwellenabstand l

a)

b)

Bild 4.36 Regalbedienger¨at; a) Skizze des Objekts, b) Berechnungsmodell

Die kinetische Energie aller auf die Motorwelle bezogenen Massen und die Masse der Bodentraverse werden durch eine einzige Masse m0 erfaßt, vgl. Bild 4.36. Dahinter steckt die Erfahrung, daß die Eigenfrequenzen des Antriebsstranges (von Motor– Kupplung–Getriebe–Rad-Traverse) etwa eine Zehnerpotenz h¨oher sind als die der biegeweichen S¨aule, weshalb deren Schwingungen entkoppelt verlaufen. Der Vergleich der kinetischen Energie liefert Wkin =

1 1 1 2 + mB x˙02 = m0 x˙02 JM ϕ˙ M 2 2 2

(4.99)

¨ Wegen der Zwangsbedingung zwischen Motor- und Raddrehwinkel (Ubersetzungsverh¨altnis u) ϕM = u · ϕR

(4.100)

und der Bedingung des schlupffreien Fahrens x˙0 = r · ϕ˙ R = r ·

ϕ˙ M

u folgt aus Gl. (4.99) die auf den Fahrweg reduzierte Masse m0 = mB +

JM · u2 r2

(4.101)

(4.102)

290

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Zun¨achst wird die Erregerfunktion infolge der Fahrbahnunebenheit formuliert. Bei konstantem Schwellenabstand l wird die Fahrbahn ann¨ahernd kosinusf¨ormig durchgebogen, wenn das RBG mit steuerbarer Fahrbewegung x0 (t) dar¨uberf¨ahrt, vgl. Bild 4.36a ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ L L x0 − x0 + ⎜ ⎜ 2⎟ 2⎟ y2 = yˆ · sin ⎝2π (4.103) y1 = yˆ · sin ⎝2π ⎠; ⎠ l l da sie sich um den Radstand L voneinander unterscheiden. Der Kippwinkel der Bodentraverse ist dann yˆ π (2x0 + L) π (2x0 − L) y2 − y1 = − sin ψ = sin (4.104) L L l l Zur Vereinheitlichung der Koordinatenbezeichungen wird q0 = x0 und q1 = ψ eingef¨uhrt. Nach einer trigonometrischen Umformung gilt also q1 = 2

2π x0 πL yˆ 2π x0 · sin · cos = ψˆ · cos L l l l

(4.105)

Aus dem zeitlichen Verlauf des Fahrweges q0 = x0 (t) folgt (infolge Nachgiebigkeit der Schienen) auch eine Erregung der schwingungsf¨ahigen S¨aule des RBG infolge q1 (t). Der Kippwinkel q1 ist f¨ur L = k · l;

k = 1, 2, 3, . . .

(4.106)

gleich Null, also wenn der Radabstand L das ganzzahlige (k) Vielfache des Schwellenabstandes l ist. Die Fahrbahnunebenheit wirkt also f¨ur die Biegeschwingung der S¨aule dann nicht erregend, wenn die Bedingung (4.106) erf¨ullt ist, weil dann das ganze RBG nur vertikal auf und nieder bewegt wird und nicht kippt. 4.8.2 Herleitung der Bewegungsgleichungen Nun werden die Ausdr¨ucke f¨ur die potentielle und kinetische Energie ermittelt. Dazu wird eine Formfunktion ϕ˜ 1 = f (ξ ) als N¨aherung f¨ur die Grundschwingungsform ϕ 1 der S¨aule angenommen. Diese Formfunktion wird als Biegelinie infolge einer Streckenlast der kinetostatischen Beschleunigungsverteilung berechnet, die sich ergibt, wenn die S¨aule wie ein starrer K¨orper kippt, vgl. die Grunds¨atze in den Abschnitten 2.3.5 und 2.6.4. Aus der dabei auftretenden, linear vom S¨aulenfuß zur S¨aulenspitze ansteigenden Streckenlast gem¨aß Gl. (2.315) kann man nach bekannten Methoden der Festigkeitslehre die Biegelinie berechnen, auch unter Beachtung einer Einspannfeder mit der Drehfederkonstante kT . Der Ansatz f¨ur den Relativweg eines S¨aulenpunktes (im Abstand ξ vom S¨aulenfuß), also f¨ur die aus Biegung und Drehung an der Einspannstelle folgende Biegelinie lautet w(ξ , t) = f (ξ ) · q2 (t)

(4.107)

4.8 Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates

291

Es ist u(H) = q2 . Dabei ist q2 der Weg an der S¨aulenspitze und die dimensionslose Formfunktion, mit dem Abstand ξ ausgedr¨uckt, ist ϕ˜ 1 = f (ξ ) =

ξ 5 − 10H 2 ξ 3 + 20H 3 ξ 2 + 40κH 4 ξ

(11 + 40κ)H 5

Dabei wurde die dimensionslose Gr¨oße EI κ= HkT

(4.108)

(4.109)

eingef¨uhrt, welche das Verh¨altnis der Biegesteiﬁgkeit der S¨aule zur Torsionsfederkonstante kT ausdr¨uckt (die aus der Nachgiebigkeit der Bodentraverse folgt). Bei ideal starrer Bodentraverse ist kT unendlich und κ = 0. Der absolute Weg eines Punktes der S¨aule (im Abstand ξ ) ist x(ξ , t) = q0 (t) − ξ · q1 (t) + f (ξ )q2 (t)

(4.110)

Der relative Weg der S¨aulenspitze gegen¨uber dem S¨aulenfußpunkt ist w(H) = f (H)q2 = x(H) − q0 + H · q1 vgl. Bild 4.36b. Die potentielle Energie ergibt sich aus der Form¨anderung des Balkens und der Torsion der Feder zu 1 2 1 EI w d ξ + kT w 2 (0) 2 2 H

Wpot =

(4.111)

0

Dabei bedeutet der Strich die Ableitung nach der Koordinate ξ . Mit dem Einsetzen der aus Gl. (4.107) und (4.108) folgenden Ableitungen w (ξ ) = q2 · f (ξ ) = 5q2

ξ 4 − 6H 2 ξ 2 + 8H 3 ξ + 8κH 4

w (ξ ) = q2 · f (ξ ) = 20q2

(11 + 40κ)H 5 ξ 3 − 3H 2 ξ + 2H 3

(11 + 40κ)H 5

und dem Drehwinkel der Torsionsfeder am S¨aulenfuß 40q2 κ w (0) = q2 · f (0) = (11 + 40κ)H

(4.112) (4.113)

(4.114)

ergibt sich nach kurzer Rechnung Wpot =

1 EIq22 377,14 + 1600κ 1 · = k22 q22 2 H3 (11 + 40κ)2 2

(4.115)

Damit ist die aus S¨aulen- und Bodentraverse zusammengefaßte Steiﬁgkeit durch k22 deﬁniert. Die kinetische Energie muß aus den Absolutgeschwindigkeiten berechnet werden. Es gilt: 1 1 1 Ax˙2 d ξ + m1 x˙12 + m0 q˙20 2 2 2 H

Wkin =

0

(4.116)

292

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Wegen des aus Gl. (4.105) und Gl. (4.110) bekannten Zusammenhangs f¨ur die Wege folgt f¨ur die Geschwindigkeiten x˙ = q˙0 − ξ q˙1 + f (ξ )q˙2 = q˙0 (1 − ξ q1,0 ) + f (ξ )q˙2

(4.117)

Dabei wurde ber¨ucksichtigt, daß der Kippwinkel q1 von der Fahrbewegung abh¨angt, vgl. Gl. (4.105). Es gilt also q˙1 =

dq1 dq0 dq1 = = q1,0 · q˙0 dt dq0 dt

(4.118)

Nach dem Einsetzen von x˙ in Gl. (4.116) und anschließender Integration erh¨alt die kinetische Energie die Form 1 1 (m00 −2m01 q1,0 +m11 q21,0 )q˙20 +(m02 −m12 q1,0 )q˙0 q˙2 + m22 q˙22 (4.119) 2 2 Dabei ergeben sich aus einem Koefﬁzientenvergleich die verallgemeinerten Massen mik mit der S¨aulenmasse mS und den anderen angegebenen Bedeutungen, vgl. auch die Gleichungen (2.185) bis (2.187). Wkin =

• Gesamtmasse: m00 =

H

A d ξ + m1 + m0 = mS + m1 + m0

(4.120)

0

• Statisches Moment des Starrk¨orpersystems m01 =

H 0

1 Aξ d ξ + m1 h = mS H + m1 h 2

(4.121)

• Reduzierte Masse des elastischen Systems (mit relativer Hubwagenh¨ohe ζ = h/H) m02 =

H

A f (ξ ) d ξ + m1 f (h)

0

mS (4,333 3 + 20κ) + m1 ζ ζ 4 − 10ζ 2 + 20ζ + 40κ = 11 + 40κ • Tr¨agheitsmoment des Starrk¨orpersystems m11 =

H 0

1 Aξ 2 d ξ + m1 h2 = mS H 2 + m1 h2 3

(4.122)

(4.123)

• Statisches Moment des elastischen Systems m12 =

H

Aξ f (ξ ) d ξ + m1 h f (h)

0

=

mS H(3,143+13,333κ) + m1 hζ (ζ 4 −10ζ 2 +20ζ +40κ) 11+40κ

(4.124)

293

4.8 Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates

•

Drehmasse“ des elastischen Systems ” m22 =

H

A f 2 (ξ ) d ξ + m1 f 2 (h)

(4.125)

0

=

mS (30,49+251,43κ+533,33κ 2) + m1 ζ 2 (ζ 4 −10ζ 2 +20ζ +40κ)2 (11+40κ)2

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus den Lagrangeschen Gleichungen 2. Art mit der Lagrangefunktion: L = Wkin − Wpot entsprechend der Vorschrift d ∂L ∂L = Qk ; − dt ∂q˙k ∂qk

k = 0, 2

(4.126)

Dabei sind die Qk verallgemeinerte Kr¨afte, die auf die Koordinaten qk reduziert sind. Die Bewegungsgleichungen folgen mit M00 = m00 − 2m01 q1,0 + m11 q21,0 zu 1 M00 q¨0 + M00,0 q˙20 + (m02 − m12 q1,0 )q¨2 2

= Q0

(4.127)

(m02 − m12 q1,0 )q¨0 + m22 q¨2 − m12 q1,00 q˙20 + k22 q2 = Q2

(4.128)

Es wurde ber¨ucksichtigt, daß q1 = q1 (q0 ) und M00,2 = 0 sowie q1,2 = 0 gilt. 4.8.3 ¨ Losung der Bewegungsgleichungen Gl. (4.127) entspricht dem horizontalen Kr¨aftegleichgewicht an der Bodentraverse und Gl. (4.128) dem Momentengleichgewicht am S¨aulenfußpunkt. Q0 = MM ·

u r

(4.129)

ist das auf den Fahrweg bezogene Motor- bzw. Bremsmoment und das Biegemoment am S¨aulenfuß ist MB = k22 · q2 · H

(4.130)

Bemerkenswert an den obengenannten Bewegungsgleichungen ist, daß vom Fahrweg q0 abh¨angige Terme auftreten. Aus Gl. (4.105) folgt: dq1 2π ψˆ 2π q0 =− · sin dq0 l l d 2 q1 2π 2 2π q0 = − ψˆ · cos q1,00 = l l dq20

q1,0 =

(4.131)

294

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Die ver¨anderlichen Terme sind also durch die Fahrbahnunebenheit bedingt. Bei ebener Fahrbahn w¨are q1 = konst., q1,0 = 0 und die Gleichungen lauteten einfach m00 q¨0 +m02 q¨2

= Q0

(4.132)

m02 q¨0 +m22 q¨2 + k22 q2 = Q2

(4.133)

Man kann die Bewegungen (4.127) und (4.128) auf zweierlei Weise behandeln, je nachdem, ob man die Antriebskraft (oder Bremskraft) Q0 oder den Antriebsweg q0 (t) vorgibt. ˙ gegeben, w¨aren zwei Ist Q0 (t) als Zeitfunktion oder als Antriebskennlinie Q0 (q) gekoppelte, nichtlineare Differentialgleichungen unter vorzugebenden Anfangsbedingungen zu integrieren. Beim Start aus der Ruhelage w¨urden diese z. B. lauten: q0 (0) = 0, q˙0 (0) = 0, q2 (0) = 0, q˙2 (0) = 0

t = 0:

(4.134)

W¨urde man andererseits den Verlauf der Fahrbewegung q0 (t) vorgeben, w¨urde nur eine einzige lineare Differentialgleichung zu integrieren sein, n¨amlich m22 q¨2 + k22 q2 = F(t) = −(m02 − m12 q1,0 )q¨0 (t) + m12 q1,00 q˙20 (t)

(4.135)

Diese ist mit Gl. (5.79) a¨ hnlich, d. h., die in Abschn. 5.4.3 getroffenen Aussagen sind hier auch anwendbar. Aus Gl. (4.127) folgt dann der Kraftverlauf Q0 , der diese Antriebsbewegung erzwingt. Das RBG hat entsprechend dieses Modells nur eine einzige Eigenfrequenz. Diese unterscheidet sich allerdings, wie im Abschn. 2.1.2.1 f¨ur den allgemeinen Fall bereits erw¨ahnt, w¨ahrend des Stillstandes von derjenigen w¨ahrend des Fahrens. Im Stillstand ist das RGB festgebremst, so daß q0 ≡ 0. Es folgt wegen q˙0 = 0, q¨0 = 0 aus Gl. (4.133) die Eigenfrequenz im Stillstand: 2 ω 1S =

k22 ; m22

f1 =

ω 1S 2π

(4.136)

Beim freien Fahren auf horizontaler Ebene schwingen die Massen des Motors und der Bodentraverse mit, es ist Q0 = 0 und aus den Gleichungen (4.132) und (4.133) ergibt sich die Frequenzdeterminante −m ω 2 −m02 ω 2 00 (4.137) =0 −m02 ω 2 k22 − m22 ω 2 aus welcher neben ω 12 = 0 (Starrk¨orperbewegung) die mit ω 1S vergleichbare Gr¨oße ω 22 =

k22 m00 k22 = m22 m00 m22 − m202

1 2 > ω 1S m202 1− m00 m22

(4.138)

folgt. Die Eigenfrequenz beim Fahren ist also gr¨oßer als beim Stillstand. Theoretisch betrachtet, ist allerdings die erste Eigenfrequenz auf Null gesunken und die zweite Eigenfrequenz entspricht erst realen Schwingungen, vgl. auch Abschn. 2.3.3. Die Berechnung der Eigenschwingungen auf unebener Fahrbahn erfordert die L¨osung der beiden gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen (4.127) und (4.128), was praktisch nur mit numerischen Methoden m¨oglich ist.

4.8 Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates

Der Biegemomentverlauf in der S¨aule kann aus der Streckenlast q(ξ , t) = Ax( ¨ ξ , t) = A q¨0 (1 − ξ q1,0 ) − ξ q1,00 q˙20 + q¨2 f (ξ )

295

(4.139)

berechnet werden. Auch hier ergeben sich infolge der Fahrbahnunebenheit nichtlineare Terme. Der erste Summand folgt aus der Fahrbeschleunigung, der zweite aus der infolge der Fahrbahnunebenheit bedingten Kippschwingung der S¨aule und der letzte Term erfaßt die aus der Eigenschwingung der S¨aule stammenden Massenkr¨afte. 4.8.4 Zahlenbeispiel ¨ In Ubereinstimmung mit den Bezeichnungen in Bild 4.36 ist folgender Parametervektor gegeben: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 28,34 m H ⎟ ⎜h⎟ ⎜ 1 . . . 26 m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 8 ⎟ ⎜ EI ⎟ ⎜ 8,366 · 10 N · m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 8 −1 ⎜ kT ⎟ ⎜7,041 · 10 N · m · rad ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ mS ⎟ ⎜ 6 274 kg ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜m ⎟ ⎜ 3 818 kg ⎟ ⎜ B⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (4.140) p = ⎜ m1 ⎟ = ⎜ 2 600 kg ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ JM ⎟ ⎜ 0,14 kg · m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜u⎟ ⎜ 21,08 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ r ⎟ ⎜ 0,2 m ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3,5 m ⎟ ⎜L⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ yˆ ⎠ ⎝ 3 mm l 0,85 m Die Parameter der Fahrbahn (als Teil des Gesamtsystems) wurden mit einbezogen. Die momentane Hubwagenh¨ohe h wird f¨ur die Rechnung zwar als konstant vorausgesetzt (da nicht als zus¨atzlicher Antrieb modelliert), im Rahmen der folgenden Beispielrechnung soll aber der Einﬂuß der Hubwagenh¨ohe auf Frequenz- und Schwingungsverhalten untersucht werden. Tabelle 4.6 Eigenfrequenz in Abh¨angigkeit von der Hubwagenh¨ohe h Hubwagenh¨ohe h in m 1 9 14 26

Eigenfrequenz in Hz, im Stillstand 1,253 1,224 1,143 0,833

Eigenfrequenz in Hz, beim Fahren 1,481 1,544 1,518 1,125

Resonanzfahrgeschwindigkeit in m/s 1,259 1,312 1,291 0,956

296

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Die weiteren Untersuchungen betreffen den Hochlauf aus dem Stillstand auf eine vorgegebene Fahrgeschwindigkeit v = 160 m/min = 2,67 m/s. Als Vorgabe wurde eine Hochlaufzeit t0 von ca. 5 s und als Antrieb eine Motorkennlinie nach Gl. (3.70) gew¨ahlt. M = 2Mk

s · sk + s2

s2k

(4.141)

vgl. die in Abschn. 3.4.3 eingef¨uhrten Bezeichnungen. Dabei ist der Schlupf s=1−

ϕ˙ Ω

(4.142)

und die Leerlaufdrehzahl steht mit der Fahrgeschwindigkeit im Zusammenhang:

Ω =

v·u r

(4.143)

In der Bewegungsgleichung stellt der Antrieb Q0 eine Kraft dar. Diese ergibt sich aus dem Motormoment nach Q0 =

M ·u r

(4.144)

F¨ur einen angenommenen Kippschlupf sk = 0,12 ist ein Kippmoment Mk von ca. 180 N · m n¨otig, um die angestrebte Hochlaufzeit t0 zu erreichen. Zum Vergleich wird eine Motorkennlinie mit halbem Kippmoment Mk = 90 N · m gegen¨ubergestellt. F¨ur h werden die Varianten mit 9 und 26 m berechnet, d. h. mit Hubwagenposition praktisch an der S¨aulenspitze und andererseits bei etwa einem Drittel der maximalen H¨ohe. ¨ Bild 4.37 zeigt im Uberblick Schwingungserscheinungen bei unterschiedlichen Motorkennlinien (konkret: bei verschiedenen Kippmomenten Mk ) sowie bei verschiedenen Hubwagenh¨ohe h: • Schnelles Hochfahren (durch hohes Kippmoment) bewirkt st¨arkere Anregung. Die hervorgerufenen Schwingungen klingen schnell ab. • Im Beschleunigungsverlauf ist die Zunahme mit der Erregerfrequenz zu beachten (Wegerregung gleicher Amplitude durch Schienenunebenheit). Dadurch liegen die Beschleunigungsamplituden im station¨aren (¨uberkritischen) Zustand in der Gr¨oßenordnung derer bei instation¨arer Erregung. • Die Absenkung des Hubwagens erh¨oht die Eigenfrequenz. Im Falle des langsameren Hochfahrens ist das Durchlaufen der Resonanzfrequenz bei unterschiedlichen Fahrgeschwindigkeiten erkennbar. Eine ausgepr¨agte Resonanz bildet sich allerdings nicht aus. Dazu m¨ußte noch wesentlicher langsamer hochgefahren werden. Es kann festgestellt werden, daß eine Verringerung des Motormoments mit dem Ziel einer weniger starken instation¨aren Anregung des Schwingungssystems nur bedingt Erfolg hat. Da die Resonanzstelle im Erregerfrequenzbereich liegt und beim Hochfahren unbedingt durchfahren wird, f¨uhrt eine zu langsame Durchfahrt zu erh¨ohten Schwingungsamplituden.

3

3

2,5

2,5

Horizontalgeschw. in m/s

Horizontalgeschw. in m/s

4.8 Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates

2 1,5 1 0,5 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0,02 0 −0,02 −0,04 −0,06 −0,08

2 1,5 1 0,5 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

0,04

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

Relativweg Säulenspitze in m

Relativweg Säulenspitze in m

0,04

297

0,02 0 −0,02 −0,04 −0,06 −0,08

1 0 −1 −2 −3 0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

2 1 0 −1 −2 −3

200

200

150

150

100 50

0 −50 −100

a)

Beschl. Säulenspitze in m/s

2

Motormoment in Nm

Motormoment in Nm

Beschl. Säulenspitze in m/s

2

3

2

3

0

1

2

3

4

5

6

7

8 9 10 t in s

100 50

0 −50 −100

b)

Bild 4.37 Rechenergebnisse f¨ur die Fahrbewegung eines Regalbedienger¨ates a) Kippmoment 90 N · m, b) Kippmoment 180 N · m Vollinie: Hubwagenh¨ohe h = 26 m, gestrichelte Linie: h = 9 m

298

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

4.9 Irregul¨are Belastungen 4.9.1 Querstoß an Fuhrungsbahn ¨ Viele Maschinen oder Baugruppen sind ausgedehnte K¨orper, die translatorisch angetrieben werden, bei denen aber die Wirkungslinie der Antriebskraft nicht durch den K¨orperschwerpunkt geht, z. B. Verladebr¨ucken, Br¨uckenkrane, Preßwerkzeuge in Pressen, Schlitten in Werkzeugmaschinen, Kolben in Kolbenmaschinen u. a. Infolge des Abstands der Wirkungslinie der Resultierenden der Antriebskr¨afte zur Schwerpunktachse dreht ein Moment den K¨orper um die Schwerpunktachse, insbesondere w¨ahrend der Beschleunigungs- und Bremsetappen. Es treten extreme Belastungen quer zur eigentlichen Bewegungsrichtung auf. Die unerw¨unschten Bewegungen verursachen bei Kranen Horizontalkr¨afte auf das Fahrwerk [284], vermindern bei Schlitten in Werkzeugmaschinen die Bearbeitungsgenauigkeit [345] und verursachen bei Kolbenmaschinen die Kolbensekund¨arbewegung“ ([192], [210], [273]), die f¨ur ” den Verschleiß und die L¨armentwicklung verantwortlich ist, vgl. auch Bild 2.12. Es geht hier um ein Minimalmodell f¨ur eine Sekund¨arbewegung, die aus der Sicht der Mechanik durch große Starrk¨orperbewegungen und kleine dynamische Verformungen an der Kontaktstelle der Einzelk¨orper charakterisiert ist. Die senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkende Querkraft l¨aßt sich in erster N¨aherung mit einem in Bild 4.38 dargestellten Berechnungsmodell erfassen. Bei der Modellierung wird von der Annahme ausgegangen, daß das Moment den K¨orper in eine Drehung versetzt, die nach dem Durchlaufen des Spiels zum Anecken f¨uhrt. Wenn die diagonal gegen¨uber liegenden Ecken gleichzeitig anstoßen, entsteht an den Kontaktstellen eine R¨uckstellkraft, die proportional zur Eindringtiefe bzw. zum Drehwinkel des K¨orpers angenommen wird, d. h., die Verformungen an der Kontaktstelle werden, unabh¨angig davon, ob sie vom bewegten K¨orper oder der F¨uhrungsbahn stammen, als lineare Feder mit der Federkonstante k modelliert. a)

b)

l

δ 2

F m, J S

L

δ 2

e

ψ

c)

d)

ψ1

k

A M = Fe

ψ1 +∆ψ

A M

M

B

B

S

0=t

0 < t < t1

t = t1

t1 < t < t 2

Bild 4.38 Minimalmodell zur Erfassung dynamischer Querkr¨afte a) Starrer K¨orper in elastischer F¨uhrungsbahn mit Spiel b) Bewegung in der ersten Etappe vor dem Anecken c) Zeitpunkt des Aufpralls d)Bewegung w¨ahrend des Anstoßens

k

4.9 Irregul¨are Belastungen

299

JS ist das Tr¨agheitsmoment des K¨orpers um den Schwerpunkt und M = F · e das Moment, welches infolge der im senkrechten Abstand e vom Schwerpunkt S angreifenden Kraft F wirkt, vgl. Bild 4.38a. In der ersten Bewegungsetappe vor dem Anecken dreht sich der K¨orper entsprechend des Drallsatzes gem¨aß ψ =

1M 2 t ; 2 JS

ψ˙ =

M t JS

(4.145)

Der Drehwinkel ψ1 =

δ

l

1 L + δ2 3 1 2 l

(4.146)

welchen der K¨orper beim Anstoßen an die Ecken A und B erreicht, ist von der Gr¨oße des Spiels δ der F¨uhrungsbahn und den L¨angen l und L abh¨angig, vgl. Bild 4.38b. Bei kleinem Spiel (δ /l 1) wird dieser Winkel zur Zeit t1 mit der Drehgeschwindigkeit ψ 1 erreicht: JS M (4.147) t1 = 2ψ 1 : ψ˙ 1 = 2ψ 1 M JS Die Drehgeschwindigkeit beim Aufprall stellt eine Anfangsbedingung f¨ur die folgende Etappe dar, wobei der K¨orper in die F¨uhrung eindringt, vgl. Bild 4.38d. Die Bewegungsgleichung des K¨orpers nach dem Anecken lautet bez¨uglich des Differenzwinkels ∆ ψ : l2 t > t1 : JS ∆ ψ¨ + k ∆ ψ = M 2

(4.148)

Dieser Schwinger“ besitzt w¨ahrend der Schwingung, die er beim Anecken ausf¨uhrt, ” die Eigenkreisfrequenz k ω =l (4.149) 2JS Die Bewegungsgleichung (4.148) hat in der zweiten Etappe unter den Anfangsbedingungen t = 0: ∆ ψ = 0;

∆ ψ˙ (0) = ψ˙ 1

(4.150)

die L¨osung ∆ψ =

ψ1 2M sin[ω (t − t1 )] + 2 {1 − cos[ω (t − t1 )]} ω kl

∆ ψ˙ = ψ 1 cos[ω (t − t1 )] +

2M ω sin[ω (t − t1 )] kl 2

Der Maximalwert tritt dann auf, wenn ∆ ψ˙ = 0 ist und betr¨agt 2M kl 2 JS ψ 12 ∆ ψ max = 2 1 + 1 + kl 2M 2

(4.151) (4.152)

(4.153)

300

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

Setzt man noch den Ausdruck f¨ur ψ 1 aus Gl. (4.146) und f¨ur ψ 1 aus Gl. (4.147) ein, so erh¨alt man die maximale Kraft am Umkehrpunkt des Eindringens: % & 1 2L l 2M 2k δ + δ 3 (4.154) Fmax = k ∆ ψ max = 1+ 1+ 2 l M l 2 l als Funktion der beteiligten Parameter. Dies ist eine f¨ur Absch¨atzungen leicht einsetzbare Formel. Die Stoßkraft beim Kontakt wirkt w¨ahrend einer halben Periodendauer der Schwingung, die dann der Stoßzeit π 2JS =π (4.155) ∆t = ω kl 2 entspricht. Es ist bemerkenswert, daß die maximale Kraft nicht vom Tr¨agheitsmoment JS abh¨angt, sondern nur von geometrischen Parametern, dem Moment und der Federkonstante. Dies liegt daran, daß hier angenommen wurde, daß das Moment die Aufprallgeschwindigkeit verursacht. Dieses Minimalmodell hat nur eine begrenzte Aussagef¨ahigkeit, da es nur unter folgenden Annahmen behandelt wurde: • symmetrische Startposition und symmetrische Lage des Schwerpunktes im K¨orper, • symmetrische Lage des Spiels und gleichzeitiges Anecken an beiden Seiten, • Vernachl¨assigung der L¨angsbewegung (als Freiheitsgrad) und der Bewegungswiderst¨ande in der ersten Etappe, • konstantes Moment ohne Beziehung zu Exzentrizit¨at und Richtung der Antriebskraft, • Vernachl¨assigung der Reibung und D¨ampfung an der Kontaktstelle, • Vernachl¨assigung der elastischen Eigenschaften des K¨orpers, • Nichtbeachtung weiterer Etappen. Die genauere Modellierung der Kontaktvorg¨ange erfolgte in vielen speziellen Untersuchungen, wovon in [263] eine zusammenfassende Darstellung gegeben wird. In [24] werden Kontakst¨oße genauer modelliert, wobei Kennwerte aus experimentellen Untersuchungen an Einzelk¨orpern gewonnen wurden. Bei Kolbenmaschinen [192], [210], [273] und bei Pressen [167] wurden solche Vorg¨ange theoretisch und experimentell am genauesten modelliert. Bei der numerischen Analyse st¨ort die Unstetigkeit, die bei jedem Aufprallen und bei der L¨osung des Kontakts zu ber¨ucksichtigen ist. Angenommen, symmetrisch bei |x| = δ /2 sei ein Anschlag mit der Federkonstante k vorhanden, vgl. Bild 4.39. Dann gilt, vgl. Gl. (2.24), Gl. (2.25) und Bild 2.6b. ' 0 f¨ur |x| δ /2 F= (4.156) k[x − sign (x)δ /2] f¨ur |x| > δ /2 Oft ist die Eindringtiefe im Vergleich zum Spiel klein, so daß die Ungleichung 2x − 1 1 (4.157) δ

4.9 Irregul¨are Belastungen

301

erf¨ullt ist. Man kann n¨aherungsweise Gl. (4.156) unter der Bedingung (4.157) durch einen stetigen Ansatz f¨ur eine Federkennlinie ersetzen: x p (4.158) F = α kδ δ

Kraft F / kδ

Dabei ist p ein großer ungerader Exponent (z. B. p = 9), der daf¨ur sorgt, daß ein tieferes Eindringen in die Kontaktstelle nicht m¨oglich ist, weil die stark mit der Eindringtiefe anwachsende Gegenkraft wie eine harte Barriere wirkt, vgl. Bild 4.39.

1

0,06

2

0,04 −0,5

0,02

1 0

2 −0,02

0,2

0,5 Weg x / δ

−0,04 1

−0,06

Bild 4.39 Zur Approximation eines Spielbereichs durch den Ansatz von Gl. (4.158)

Der dimensionslose Zahlenwert von α kann aus der Bedingung bestimmt werden, daß der N¨aherungsansatz (4.158) bei einer bestimmten Eindringtiefe dieselbe Kraft liefert wie der Ansatz (4.156). Wenn z. B. nach dem Eindringen bei x/δ = 0,51 dieselbe Kraft wie bei dem linearen Ansatz entstehen soll, ergibt sich aus der Bedingung k(x − δ /2) = α δ k(x/δ ) p nach dem Einsetzen 0,02 = α (0,51) p und daraus bei p = 9 der Wert α = 8,568 37. Die Anwendung des Ansatzes (4.158) hat gegen¨uber Gl. (4.156) den Vorteil, daß keine Nullstellensuche und keine Fallunterscheidung n¨otig ist. 4.9.2 ¨ Nachlauf nach dem Abschalten (Uberlastsicherung) ¨ Durch Uberlastsicherungen oder Endschalter an Antrieben soll verhindert werden, daß beim unerwarteten Aufprall oder Anstoßen stark beanspruchte Konstruktionsteile besch¨adigt oder zerst¨ort werden. Je n¨aher Sollbruchstellen an der Krafteinlei¨ tungsstelle liegen, desto kleiner sind die Folgesch¨aden einer Uberlastung. Ideal w¨are ¨ die Unterbrechung der Kraft¨ubertragung an der Stelle, an der die Uberlast entsteht. ¨ Eine spezielle Form des Uberlastungsschutzes sind Kupplungen zwischen Motor und Getriebe, welche die rotierenden Massen des Motors nach einem Signal (Notstopp) von der Last trennen. Damit kann der Abtrieb schneller abgebremst werden, als wenn er mit dem Motor gekoppelt bliebe.

302

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

¨ Bei Uberlastsicherungen wird meist eine Kraftgr¨oße (Kraft, Moment, Dehnung) ¨ gemessen und mit einem Sollwert verglichen, bei dessen Uberschreitung der Motor abgeschaltet und gleichzeitig gebremst wird. Infolge der Tr¨agheit der bewegten ¨ Massen ist nach dem Abschalten durch die Uberlastsicherung aber kein sofortiger Stillstand zu erwarten, es gibt einen Nachlauf des Antriebs. Von der Erteilung des Schaltbefehls bis zum Stromloswerden des Antriebsmotors vergeht eine kurze Zeitspanne, und vor dem Einfallen der Bremse gibt der Motor noch sein volles Antriebsmoment ab. Der eigentliche Bremsvorgang beginnt erst eine gewisse Zeit ∆t nach dem Erreichen des eingestellten Grenzwertes der Signalkraft. Es soll die extreme Belastung berechnet werden, die bei diesem Vorgang auftritt. m t <0

v

k t = 0: q = 0

q1 t ≥ t1: q ≥ q1

q

FB

Bild 4.40 Minimalmodell zur Berechnung der Maximalkraft

Als Minimalmodell f¨ur solche Vorg¨ange wird das Feder-Masse-System in Bild 4.40 benutzt, das im Unterschied zu Bild 2.3 noch eine Bremskraft FB ber¨ucksichtigt. Angenommen, die Masse bewege sich mit der Geschwindigkeit v auf ein Hindernis, dem eine Federkonstante k entspricht. Die Kraft in der Feder nimmt linear mit dem ¨ Weg zu, und bei dem eingestellten Wert einer Signalkraft Fk spricht die Uberlastsicherung an. Sie veranlaßt eine Bremskraft, die nach der Totzeit ∆t mit der Gr¨oße FB zu wirken beginnt, nachdem der Weg q1 = q(t + t1 + ∆t) zur¨uckgelegt wurde. Die Federkraft nimmt folgendermaßen zu, vgl. Gl. (2.2): √ (4.159) F = v km · sin ω t d. h., die Signalkraft Fk wird zur Zeit Fk 1 √ t1 = · arcsin ω0 v km erreicht. Nach der Totzeit ∆t betr¨agt die Federkraft √ F = v km · sin[ω 0 (t1 + ∆t)]

(4.160)

(4.161)

Danach bewegt sich der (auf diese Weise entstandene) Schwinger unter der Wirkung der Bremskraft FB langsamer: q(t) =

v ω0

· sin ω t −

FB · {1 − cos[ω 0 (t − t1 )]} k

(4.162)

4.9 Irregul¨are Belastungen

303

Er kommt zum Stillstand, wenn die sich daraus ergebende Geschwindigkeit ω 0 FB

· sin[ω 0 (t2 − t1 )] = 0 (4.163) k ist. Aus dieser Bedingung kann man die Zeit t2 berechnen, die bis zum Stillstand vergeht. Die Maximalkraft beim Aufprall unter Ber¨ucksichtigung der mit der Zeitverz¨ogerung zugeschalteten Bremskraft folgt nach dem Einsetzen dieser Zeit t2 in Gl. (4.162): (4.164) Fmax = kq(t2 ) = v 2 km + 2v kmFB sin[ω 0 (t1 + ∆t)] + FB2 − FB q(t ˙ 2 ) = v cos ω 0t2 −

Wenn keine Bremskraft wirken w¨urde (FB = 0), w¨are die Maximalkraft infolge des Nachlaufs √ ∗ = v km (4.165) Fmax Wenn keine Totzeit nach dem Erreichen der Signalkraft Fk auftreten w¨urde (∆t = 0), ergibt sich aus Benutzung von Gl. (4.160) ein Wert, der (wegen √ Gl. (4.162) unter ∗ ist: 0 < Fk < v km) kleiner als Fmax ∗∗ Fmax = v 2 km + 2Fk FB + FB2 − FB (4.166) Aus den Gln. (4.164) bis (4.166) folgt ∗∗ ∗ Fk < Fmax < Fmax < Fmax

(4.167)

Aus ihnen geht hervor, daß infolge des Nachlaufs der tr¨agen Masse die Maximalkraft wesentlich gr¨oßer ist als die Signalkraft, die bei statischer Belastung ein Maß f¨ur die zul¨assige Belastung w¨are. Man stellt diese Signalkraft u¨ blicherweise kurz unterhalb der zul¨assigen Maximalkraft ein, um den dynamischen Einﬂuß (die abzubremsende die kinetische Energie des Antriebs) zu ber¨ucksichtigen. Wenn eine bestimmte Maximalkraft nicht erreicht werden darf, muß man gegebenenfalls verhindern, daß das Antriebssystem in der N¨ahe der Aufprallstelle eine bestimmte Geschwindigkeit erreicht oder zeitig genug abschalten. Als Beispiel soll hier beschrieben werden, wie mit einer dynamisch reagierenden ¨ Uberlastsicherung verhindert werden kann, daß unzul¨assig große Lasten angehoben, d. h. zul¨assige Werte der Tragkraft oder der Standsicherheit u¨ berschritten werden. Die Bedienweise eines Kranfahrers hat großen Einﬂuß auf die dynamischen Kr¨afte, vor allem bei Kranen mit großen Hubgeschwindigkeiten. Ein gef¨ahrlicher Lastfall ist der Anhubvorgang mit Schlaffseil, da der Motor schon eine bestimmte Drehzahl erreicht, bevor u¨ berhaupt ein Seil gespannt wird, vgl. auch Abschn. 2.3.4.1. Die kinetische Energie des rotierenden L¨aufers des Hubmotors ist meist so groß, daß sie der ¨ potentiellen Energie der Last von einer beachtlichen Hubh¨ohe ist. Die Uberlastsicherung soll bewirken, daß ein Kranfahrer eine Last erst dann schnell anheben kann, wenn das Seil eine gewisse Vorspannung besitzt, und er erst dann auf die Nenngeschwindigkeit beschleunigen k¨onnen, wenn die Gr¨oße der Hublast den zul¨assigen Wert nicht u¨ bersteigt [75]. In Bild 4.41 sind die Seilkraftverl¨aufe f¨ur einige typische Lastf¨alle dargestellt, ¨ vgl. auch Abschn. 2.3.4. Wenn die Uberlastsicherung bereits zum Zeitpunkt t0 reagiert und dort die reale Seilkraft mit der zu diesem Zeitpunkt zul¨assigen vergleicht,

304

4 Beispiele zur dynamischen Analyse von Antriebssystemen

¨ kann rechtzeitig reagiert werden. Eine dynamisch sensitive Uberlastsicherung mißt mittels einer elektrischen Kraftmeßdose die Seilkraft, wandelt diese in ein elektrisches Signal um, welches nach dem Erreichen der Signalkraft“ das Motormoment ” abschaltet und gleichzeitig ein Gegenmoment im Elektromotor (Bremskennlinie) veranlaßt. Wenn das Hubwerk bereits eine hohe Geschwindigkeit erreicht hat, muß ¨ die Uberlastsicherung bei kleinen Seilkr¨aften ansprechen, und eine große Seilkraft darf nur bei geringen Geschwindigkeiten zugelassen werden. In jedem Fall muß das ¨ rechtzeitige Stillsetzen des Hubwerks erreicht werden, um einer Uberlastung vorzubeugen. 2

1

3 ψ

1,5

FS Fn 1 0,5

2

4 t0

Zeit t

Bild 4.41 Zeitlicher Verlauf der Seilkraft FS bei verschiedenen Betriebszust¨anden ¨ Kurve 1: Uberlast; Kurve 2: zul¨assige Nutzlast Fn ; Kurve 3: Anheben mit zu hoher Geschwindigkeit (Schlaffseil); Kurve 4: Teillast

¨ Bei der Uberlastsicherung nach Patent DD 73 134 (Kl. 35b 3/16) wird das Lastsignal einem dynamischen Lastschalter zugef¨uhrt, der die Seilkraft nach der Zeit differenziert. Elektronisch wird der Seilkraftanstieg F˙S ≈ ∆FS /∆t, welcher der Hubgeschwindigkeit und der Last proportional ist, mit einem zul¨assigen Wert verglichen. ¨ sofort ausgel¨ost. Um zu erreichen, daß beiBei FS > FS zul wird die Uberlastsicherung ¨ bei großen Seilkr¨aften spielsweise FS < 1,25mg bleibt, muß die Uberlastsicherung bereits bei kleinem Seilkraftanstieg F˙S ansprechen, w¨ahrend sie bei kleinen Werten von FS erst bei großem Seilkraftanstieg F˙S zu reagieren braucht. In [286] werden die Belastungen von Antriebsstr¨angen der Seiltriebe und Bremssysteme bei Hubwerken berechnet, bei denen besonders hohe sicherheitstechnische Anforderungen bestehen.

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.1 Regeln zur dynamischen Synthese 5.1.1 Zur Struktursynthese Oft ist es wesentlich, bei der Konzeption eines Antriebssystems von Anfang an ein strukturell g¨unstiges Funktionsprinzip zu ﬁnden und die richtige Auswahl unter mehreren geeigneten Baugruppen zu treffen, vgl. dazu Abschn. 5.7. Es sei in diesem Zusammenhang auch erw¨ahnt, daß h¨auﬁg die wesentlichen konstruktiven Kennzeichen einer antriebstechnischen L¨osung durch Patente gesch¨utzt sind. So stecken z. B. in der konstruktiven L¨osung f¨ur schaltbare Kupplungen im Antriebsstrang eines PKW, eines Hybridantriebs oder eines stufenlos verstellbaren Getriebes jeweils hunderte von Patenten! Man kann eigentlich erﬁnderische Ideen, die deﬁnitionsgem¨aß jedes Patent enthalten muß, nicht ausrechnen“. Oft kann man aber durch die Modellbe” rechnungen die sinnvollen Parametergrenzen des jeweiligen Funktionsprinzips ermitteln und daraufhin sich zu neuen L¨osungen inspirieren lassen. Die dynamische Belastung eines Maschinenantriebs setzt sich u¨ blicherweise aus drei Anteilen zusammen: • den zeitlich ver¨anderlichen technologischen Belastungen, • den kinetostatischen Belastungen aus den Starrk¨orperbewegungen ( Prim¨arbe” wegung“) und den • vibrodynamischen Belastungen aus den Schwingungen der Struktur ( Se” kund¨arbewegung“). Die klassische Maschinendynamik liefert mit ihren traditionellen Methoden Antworten auf die Frage, wie sich eine gegebene mechanische Struktur bei gegebener Erregung verh¨alt. Bei der Neukonstruktion von Antrieben taucht aber auch die Frage auf, welche Struktur man nehmen soll, die neben den technologischen Anforderungen m¨oglichst lange hohen dynamischen Belastungen standh¨alt. Wird ein Antrieb nicht aus dem Nichts“ geschaffen, sondern eine bereits vorliegende Konstruk” tion vervollkommnet oder neuen Anforderungen angepaßt, dann steht auch die Frage nach einem dynamisch g¨unstigen Verhalten in dem neuen Parameterbereich. Die unersch¨opﬂiche Vielfalt der in der Praxis auftauchenden Aufgabenstellungen kann man auf eine endliche Anzahl von Grundproblemen reduzieren, die sich hinter den scheinbar verschiedenen Aufgaben verbergen. Es gibt vom physikalischen Standpunkt aus betrachtet bestimmte dynamische Effekte und Ph¨anomene, die gewissermaßen nur in verschiedenen konstruktiven Formen ausgenutzt werden.

Bewegliches Gestell m6

Feder-Masse- r Ausgleich

5

m3

Federausgleich

6

r

Ωt

r

r

Ωt

Ωt

Ωt

m3

m

k

m

m

r

α

k

Ωt

k6

k6 << k

m5

k

Massen- und Leistungsausgleich r r α

4

3

m2

r m

m

Man

Fx ≈

mrΩ 2 k6 cos Ω t k6 − (m + m6 )Ω 2 m(k6 − m6 Ω 2 )Ω 2 1 ≈ r2 Ω 2 − k sin 2Ω t 2 k6 − (m + m6 )Ω 2

m5 cos Ω t Fx ≈ mrΩ 2 m + 1 − m5 Ω 2 /k m5 1 Man ≈ r2 Ω 2 m + sin Ω t 2 1 − m5 Ω 2 /k

Fx ≈ mrΩ 2 cos Ω t Man ≈ (mΩ 2 − k)(r2 /2) sin 2Ω t

Fx ≈ rΩ 2 (m + 2m3 cos α ) cos Ω t 1 Man ≈ r2 Ω 2 (m + 2m3 cos 2α ) sin 2Ω t 2

Fx ≈ (m − m2 )rΩ 2 cos Ω t ≈ 0, bei m = m2 1 Man ≈ (m + m2 )r2 Ω 2 sin 2Ω t ≈ mr2 Ω 2 sin 2Ω t 2

Massenausgleich

m

2

ϕ= Ω t

l

Ursprünglicher Antrieb r << l

1

r

Resultierende Gestellkraft Fx und Antriebsmoment Man Fx ≈ mrΩ 2 cos Ω t 1 Man ≈ mr2 Ω 2 sin 2Ω t 2

Systemskizze

Fall

Tabelle 5.1 Formeln f¨ur Gestellkraft und Antriebsmoment eines Schubkurbelgetriebes, die durch die Massenkraft bestimmt werden

(12)

(11)

(10)

(9)

(7) (8)

(6)

(5)

(4)

(3)

(2)

(1)

306 5 Zur Synthese von Antriebssystemen

307

5.1 Regeln zur dynamischen Synthese

Tabelle 5.2 Gestellkraft und Antriebsmoment als Funktion von Zeit und Quadrat der Drehzahl bei der Grundstruktur eines Schubkurbelgetriebes gem¨aß Tabelle 5.1 horizontale resultierende Gestellkraft Fx Fall

Zeitverlauf

0

π

2π Ω t

2

0

π

2π Ω t

3

0

π

2π Ω t

0

π

2π Ω t

2 0

0

π

1

Ω2

Ω2

0 k m5 F$x

π

1

1 2π Ω t

Ωt

0

2π

π

π

Ωt

2

k6 m + m6

0 mrk 6 m + m6

2π Ω t

Ω

Ω2

0

2π

2

3 π

2π Ω t

0 k m5

M$

M an

3 π

3 2

2π Ω t

0

Ω2

k6 m + m6

1

2

Ω2

k k + m m5

1

2

3

1 M$

0

1 3 0 Ω2

0

k m

Ωt

π

1

1

Ω2

2

M an

2

0

M$

0

3

Ω2

M$

0

k k + m m5

0

M$

M an 3

1 2π Ω t

2π

π

M an

0

3 0

Ω2

0

3

Fx

6

0

M an

F$x

Fx

5

Ω2

F$x

Fx

4

0

F$x

Fx

M$

M an

F$x

Fx

Amplitude abhängig vom Drehzahlquadrat

Zeitverlauf

F$x

Fx

1

Antriebsmoment Man

Amplitude als Funkt. vom Drehzahlquadrat

3 2

Ω2

308

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Bei der Struktursynthese sind Konﬂikte zu l¨osen, zu deren Entscheidungen es keinen einfachen L¨osungsalgorithmus gibt. Heuristische Methoden, die in der Konstruktionslehre f¨ur Probleml¨osungsprozesse entwickelt wurden ([9], [243]), sind prinzipiell auch f¨ur die Struktursynthese von Antriebssystemen einsetzbar [63], [236], [178], [291]. Sie sind auch durch die modernen elektronischen Medien verf¨ugbar, vgl. [158]. An Hand des in Tabelle 5.1 dargestellten Beispiels werden typische Schritte der Strukturvariation erl¨autert, die bei der Entwicklung eines Antriebssystems gegangen werden. Diese Schritte vom zwangl¨auﬁgen Starrk¨orpersystem zum stabilen Schwingungssystem kann man bei der Entwicklung der Struktur an Erzeugnissen oder Baugruppen beobachten, bei denen eine Drehzahlerh¨ohung angestrebt wird. Bei niederen Drehzahlen wird bei den meisten Antrieben ein Starrk¨orpermechanismus eingesetzt, bei dem die auftretenden kinetostatischen Gelenk- und Lagerkr¨afte ertr¨aglich sind. Exemplarisch wird in Tabelle 5.1 und 5.2 diese Strukturvariation f¨ur ein Schubkurbelgetriebe beschrieben, um die bei Antrieben auftretenden Problemgruppen zu ordnen. Das Schubkurbelgetriebe l¨aßt sich mit wenigen Parametern deﬁnieren (hier wird die Masse der Pleuelstange vernachl¨assigt). Es wird u¨ blicherweise bei kleinen Kurbelverh¨altnissen (λ = r/l 1) eingesetzt, so daß die Abtriebsbewegung nahezu harmonisch verl¨auft, vgl. Fall 1 in Tabelle 5.1. Die in Gl. (1) und Gl. (2) dort angegebenen Zusammenh¨ange ber¨ucksichtigen nur die Gr¨oßenordnung O(λ ) und dienen zum Vergleich f¨ur die Formeln (3) bis (12), welche die Einﬂ¨usse weiterer Parameter enthalten. Bei niederen Drehzahlen wird ein Antrieb oft nach rein kinematischen Gesichtspunkten konzipiert, also z. B. nach der geforderten Abtriebsbewegung. Bei zunehmenden Drehzahlen, wenn die Beschleunigungen der Getriebeglieder die Gr¨oßenordnung der Erdbeschleunigung erreichen, sind die kinetostatischen Kr¨afte auf das Fundament meist so groß, daß man Maßnahmen zum Massenausgleich treffen muß, weil die Maschine sonst wandert oder abhebt“, vgl. Fall 2 in Tabelle 5.1 und Bild ” 5.4. Mit der dabei angeordneten Ausgleichsmasse m2 (m¨oglichst so groß wie m) wird der erste Schritt zur Verbesserung des dynamischen Verhaltens gegangen. Mit dieser Maßnahme wird aber bloß die Horizontalkraft Null, und es erh¨oht sich die Amplitude des Antriebsmoments, vgl. Tabelle 5.2. Analoge Nachteile sind beim Massenausgleich aller Koppelgetriebe zu erwarten. Nachdem die Probleme des Massenausgleichs bew¨altigt sind, sind bei h¨oheren Drehzahlen oft auch Maßnahmen zum Leistungsausgleich ratsam. Ein kombinierter Massen- und Leistungsausgleich ist durch mehrere versetzte Mechanismen m¨oglich, indem die anderen beiden Mechanismen zu den Zeitpunkten kinetische Energie speichern, wenn die des einen Mechanismus ein Minimum besitzt (Fall 3), vgl. auch Bild 5.7. Ein Ausgleich w¨are in diesem Falle m¨oglich, wenn der Winkel α so gew¨ahlt wird, daß die Ausdr¨ucke in den runden Klammern der Gln. (5) und (6) Null werden. Dies gilt f¨ur α = 120◦ und m = m3 . Eine andere strukturelle Variante entsteht durch eine Feder am Abtrieb, welche in der Umkehrlage potentielle Energie speichert (Fall 4). Damit wird die Grenze vom Starrk¨orpermechanismus zum Schwingungssystem erreicht. Das Antriebssystem ist weiterhin zwangl¨auﬁg, aber es tritt ein neuer Effekt auf: wenn es mit einer bestimmten Drehzahl betrieben wird (in der Resonanzfrequenz Ω 2 = ω 2 = k/m), ist im Idealfall die Antriebsleistung Null, vgl. Gl. (8) in

5.1 Regeln zur dynamischen Synthese

309

Tabelle 5.1 und das Diagramm in Tabelle 5.2, Fall 4. Unter realen Verh¨altnissen, wo Reibungs- und D¨ampfungseinﬂ¨usse eine Rolle spielen, ist sie minimal. Dieses g¨unstige Verhalten existiert aber nur in der N¨ahe einer bestimmten Drehzahl. Der Vorteil wird erkauft f¨ur das große Antriebsmoment bei niederen Drehzahlen, bei denen das statische Federmoment u¨ berwunden werden muß, welches so groß ist wie das kinetostatische Moment des urspr¨unglichen Mechanismus bei Betriebsdrehzahl. Man beachte, daß sich durch die Anordnung der Feder die resultierende Gestellkraft Fx nicht a¨ ndert! Die Kraft gem¨aß Gl. (7) in Tabelle 5.1 verteilt sich auf das Kurbellager und die rechts im Bild angeordnete Wand und bleibt dieselbe wie in Gl. (1). Die am Gestell befestigte Feder erlaubt also keine Entlastung des Gestells von Massenkr¨aften. Sowohl die Gestellkraft als auch das Antriebsmoment lassen sich vermindern, wenn man von der Struktur des zwangl¨auﬁgen Antriebssystems zu der eines Schwingungssystems u¨ bergeht, vgl. Fall 5 in Tabelle 5.1. Durch die elastisch angekoppelte zweite Masse entsteht ein Schwinger mit einem Freiheitsgrad, so daß dann, wenn die Betriebsdrehzahl mit der Eigenfrequenz des Zweimassenschwingers zusammenf¨allt (Ω 2 = k/m + k/m5 ), ein kleines Antriebsmoment erforderlich ist. Allerdings muß der Antrieb bei Ω 2 = k/m eine kritische Drehzahl durchlaufen, bevor der Betriebszustand erreicht wird. An Stelle des L¨angsschwingers, der bei Fall 5 in Tabelle 5.1 skizziert ist, k¨onnen ebenso andere Schwinger eingesetzt werden, vgl. z. B. die in Bild 5.16 angegebenen Varianten. Die Gestellkraft und das Antriebsmoment lassen sich weiter vermindern, wenn man auf einen raumfesten Aufstellort f¨ur das Antriebssystem verzichtet. Dies bedeu¨ tet strukturell den Ubergang zur weichen Maschinenaufstellung, eine h¨auﬁg getroffene Maßnahme zur Schwingungsisolierung in der Maschinendynamik. Fall 6 in Tabelle 5.1 und Tabelle 5.2 zeigen ein horizontal weich abgefedertes Gestell. Solche Antriebsstrukturen werden auch bei Sieben und anderen Vibrationsmaschinen angewendet, vgl. Bild 5.58. Da die Federkonstante k6 k ist, wird die Gestellkraft wesentlich kleiner als im Fall 1 oder im Fall 4. Sie verl¨auft zeitlich im u¨ berkritischen Drehzahlbereich gegenphasig zum kinetostatischen Kraftverlauf und n¨ahert sich bei hohen Drehzahlen einem Grenzwert, was einen großen Vorteil gegen¨uber den Verl¨aufen im Fall 1, 3, 4 und 5 darstellt, vgl. Tabelle 5.2. Da die Eigenfrequenz infolge der weichen Feder wesentlich kleiner als im Fall 5 ist, kann die Resonanzstelle einfacher durchfahren werden, um den Betriebszustand zu erreichen, der in der N¨ahe der Drehgeschwindigkeit Ω = k/m + k/m6 liegt (und aus der Nullstelle von Gl. (12) in Tabelle 5.1 berechnet werden kann). Oft wird die L¨osung einer Antriebsaufgabe zuerst mit einem zwangl¨auﬁgen Antriebssystem begonnen, weil es dazu traditionsreiche Synthesemethoden gibt [225], [74], [168]. Zuk¨unftig werden die Methoden und Programme f¨ur die Synthese von Antriebssystemen Bedeutung erlangen, die, ausgehend von den Methoden der Formoptimierung [26], auf Mechanismen mit elastischen Gliedern anwendbar sind. Die Verminderung der kinetostatischen Kr¨afte ist zwar das erste wesentliche Problem der dynamischen Struktursynthese, aber man kann die Suche nach einer L¨osung auch mit einer elastischen Struktur beginnen, also die gesuchte Struktur w¨ahrend des Syntheseprozesses aus dem Kontinuum herausschneiden“, vgl. [199]. ” F¨ur schnellaufende Schwingantriebe sind zwangl¨auﬁge Starrk¨orpermechanismen unvorteilhaft, vgl. Abschn. 5.7.2. Bei Starrk¨orpersystemen steigen Lagerkr¨afte

310

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

mit dem Quadrat der Antriebsdrehzahl, aber bei Schwingungssystemen k¨onnen die Lagerkr¨afte mit der Drehzahl sogar abnehmen, vgl. u¨ berkritisch laufende Schwingsiebe (Abschn. 5.7.2), elastische Mechanismen nach dem Durchlaufen einer Resonanzstelle k-ter Ordnung (vgl. Bild 5.46) oder u¨ berkritisch laufende Rotoren [150], [201], [202]. Bei der Nutzung von Schwingungssystemen f¨ur Antriebsaufgaben ist die Frage nach der Robustheit, also der Sensitivit¨at gegen¨uber Schwankungen der Parameterwerte wesentlich, vgl. Abschn. 5.7.3. Moderne Antriebsl¨osungen nutzen die Kombination mechanischer Antriebe, die f¨ur die Kraft¨ubertragung vorteilhaft sind, mit Steuer- und Regler-Anordnungen [102], [45]. Dabei k¨onnen z. B. in Verbindung mit Sensoren zur Meßwerterfassung die Massen-, Feder- oder D¨ampfungscharakteristik eines Systems w¨ahrend des Betriebes selbstanpassend ver¨andert und den momentanen Schwingungskr¨aften entgegen gerichtete Kr¨afte aufgebracht werden. Regler lassen sich als eine aktive Form des Massen- und Leistungsausgleichs, der Schwingungsisolierung oder der Grenzwert¨uberwachung und Diagnose einsetzen. Man beachte aber, daß man mit geregelten Systemen nur dann Massenkr¨afte kompensieren kann, wenn damit wiederum Massen bewegt, also Massenkr¨afte erzeugt werden. Die Fr¨uherkennung von Schwingungszust¨anden, bei denen Sensoren mit ihrer Auswerteelektronik auf abnorme Frequenzen, Amplituden oder kompliziertere Charakteristika reagieren, wird bereits vielfach eingesetzt, vgl. z. B. Schleudervorgang bei W¨ascheschleudern, Beispiele im Turbinenbau [170] und bei der Walzwerkantrieben [136]. Die Anwendung bei Maschinenantrieben ist abh¨angig vom Kosten-Nutzen-Verh¨altnis. Zu den modernen M¨oglichkeiten geh¨ort z. B., gemessene momentane Daten mit gespeicherten Daten f¨ur normale oder zul¨assige Schwingungs¨ zust¨ande zu vergleichen und beim Uberschreiten festgelegter Grenzwerte solche Signale abzugeben, die eine Zustands¨anderung mit elektrischen, mechanischen, hydraulischen u. a. Effekten durch Aktoren veranlassen. Im folgenden werden Regeln angegeben, die man bei der Synthese von dynamisch hoch beanspruchten Antriebssystemen beachten sollte, um von vornherein st¨orende dynamische Belastungen und Bewegungen zu vermindern. Falls man dynamische Kr¨afte oder Schwingungen erzeugen und nutzen will, z. B. bei R¨uttlern, M¨uhlen oder Brechern, muß manchmal gerade die gegenteilige Maßnahme empfohlen werden. Man kann die zu treffenden Maßnahmen zur Verbesserung des dynamischen Verhaltens grob in nachstehende Reihenfolge einteilen. Zuerst pr¨ufe man die anfangs genannten Schritte, denn jeder weitere bedeutet im allgemeinen auch h¨ohere Kosten bei der Realisierung: 1. Ausgleich der modalen Erregerkr¨afte (Massenausgleich, Auswuchten), 2. Vermeidung von Resonanzen und Instabilit¨atsgebieten (Ver¨anderung von Erreger- und/oder Eigenfrequenzen), ¨ 3. Verminderung oder Vermeidung von Unstetigkeiten (Ubergangsbedingungen, Spiel, St¨oße), 4. Vergr¨oßerung der Schwingungsd¨ampfung, 5. Anordnung eines Schwingungstilgers, 6. Aufbringen geregelter Gegenkr¨afte.

5.1 Regeln zur dynamischen Synthese

311

Im allgemeinen ist es ratsam, sich zuerst der Verminderung der Erregung zu widmen, bevor versucht wird, durch D¨ampfung die Amplituden zu verkleinern oder durch Tilgung die Schwingungen an eine andere Stelle zu verlagern. Die Regeln zur Verbesserung des dynamischen Verhaltens sind wesentlich von der Modellstufe abh¨angig, die f¨ur das betrachtete Antriebssystem zutrifft. Auf jeder der in Kapitel 2 erl¨auterten Modellstufen f¨ur ein Antriebssystem sind unterschiedliche Aspekte und Beurteilungskriterien wesentlich. 5.1.2 ¨ Modellstufe Starrkorpersystem“ ” 5.1.2.1 Bewegung eines einzelnen Starrk¨orpers Zun¨achst wird auf die Bewegung eines einzelnen starren K¨orpers eingegangen, da er gewissermaßen das Grundelement aller Antriebssysteme ist. Beim Antreiben oder Bremsen eines Starrk¨orpers kommt es auf die Lage des Krafteinleitungsstelle relativ zum Schwerpunkt an. Man kann folgende Regeln und qualitative Zusammenh¨ange beachten: • Antriebskraft m¨oglichst durch den Schwerpunkt leiten, um Kippung zu vermeiden, vgl. Bild 4.38. • Immer dann, wenn die resultierende Kraft nicht im Schwerpunkt angreift, u¨ berlagern sich Translation und Rotation. • Ein K¨orper versucht, aus der Kraftangriffsrichtung auszuweichen, wenn er außerhalb des Schwerpunktes durch eine Druckkraft angetrieben wird. Dieser Effekt wird bei Schubschiffen ausgenutzt, um leichter die Fahrtrichtung a¨ ndern zu k¨onnen. • Die Bewegung eines K¨orpers wird durch eine Zugkraft in Bewegungsrichtung stabilisiert, z. B. Vorderradantrieb eines PKW. • Bei Starrk¨orpern kann man die aus einer Erregerkraft entstehende Lagerkraft vermindern, wenn man das Lager in den Stoßmittelpunkt legt, vgl. Bild 5.1. • Man kann die Lage des Kraftangriffspunktes relativ zum Schwerpunkt so w¨ahlen, daß die gew¨unschte Bewegung unterst¨utzt wird, z. B. Desachsierung bei der Kolbenbewegung, vgl. Bild 2.11. • K¨orperkanten k¨onnen mit R¨ucksicht auf die zu erwartenden Seitenber¨uhrungen bei gef¨uhrten Bewegungen gekr¨ummt ausgebildet sein, z. B. Kolbenbewegung (Bild 2.11). • Einen Starrk¨orper kann man durch periodisch wechselnde Zug- und Druckkr¨afte in eine Rotationsbewegung versetzen, wenn die zentrale Haupttr¨agheitsachse von der Kraftwirkungslinie abweicht, vgl. auch Abschn. 5.7.3 • Bei mehreren Unwuchtrotoren kann man den Effekt der Selbstsynchronisation bei der Schwingungserregung ausnutzen, vgl. Abschn. 5.7.3. Im Bild 5.1a ist die Lage des Stoßmittelpunktes M skizziert, die von der Gr¨oße der Masse m, des zentralen Tr¨agheitsmomentes JS ,der Lage des Schwerpunktes S und des Stoßangriffspunktes P abh¨angt. Bild 5.1b erl¨autert den Zusammenhang mit der Prellbewegung am Hammerstiel. Durch die Kraft am Hammerkopf entsteht sowohl eine translatorische Bewegung des Schwerpunktes als auch eine Drehbewegung infolge

312

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

des Moments F · ξ 1 . Wenn die Hand am Stoßmittelpunkt im Abstand ξ 2 = JS /(mξ 2 ) angreift, bleibt die Lagerkraft“ an der Hand Null, da bei der u¨ berlagerten Bewegung ” an dieser Stelle der Momentanpol M entsteht und diese Stelle unbeweglich ist. Wird der Hammer zu weit vorn oder zu weit hinten angefaßt, sp¨urt man an der Hand das R¨uckprallen. Dieser Effekt wird z. B. auch im deutschen Patent 2 617 369 aus dem Jahre 1977 genutzt. S P F a)

S ξ1

M

M ξ2

b)

F

ξ1

ξ2

Bild 5.1 Zum Einﬂuß des Stoßmittelpunktes a) allgemeine Beziehungen, b) Hammerstiel

Bez¨uglich rotierender Starrk¨orper (Rotoren) kann man folgende Relationen beachten: • Kreiselwirkung tritt nur auf, wenn die Rotationsachse eine Winkel¨anderung erf¨ahrt, vgl. auch Abschn. 2.3.3. • Das Kreiselmoment (M = J Ω ω ) ist dem Tr¨agheitsmoment J bez¨uglich Rotationsachse, der Rotationsgeschwindigkeit Ω und der Drehgeschwindigkeit ω senkrecht zur Rotationsachse proportional. • Das Kreiselmoment wirkt um eine Achse, die senkrecht auf der Rotationsachse ¨ steht, und zwar in der Richtung, die eine Ubereinstimmung mit der Achse des Drehimpulsvektors anstrebt. • Rotation um gr¨oßte zentrale Haupttr¨agheitsachse (Scheiben- oder Tellerform) oder kleinste zentrale Haupttr¨agheitsachse (Walzen- oder Spindelform) bevorzugen, um instabile Bewegungen eines Rotors zu vermeiden. Bild 5.2 zeigt eine ﬂiegende Lagerung einer Wicklerwelle, welche daf¨ur sorgt, daß bei beliebigen Belastungen die Drehachse immer parallel verschoben wird und demzufolge keine Kreiselwirkung auftritt. EI

Ω

Bild 5.2 Lagerung der Welle eines Wicklers

5.1.2.2 ¨ Bewegung von Starrkorpersystemen Die topologische Struktur des Antriebssystems in Verbindung mit dem Tragsystem entscheidet wesentlich u¨ ber das dynamische Verhalten und die Gr¨oße der dynamischen Kr¨afte. Zur Struktursynthese ungleichm¨aßig u¨ bersetzender Mechanismen

5.1 Regeln zur dynamischen Synthese

313

kann man Methoden und Mittel der Getriebesystematik, der Konstruktionssystematik [243], der Antriebstechnik [291] empfehlen. Die Struktursynthese des Tragsystems steht in engem Zusammenhang mit den Fragen der Baudynamik, wo es um die Gestaltung zweckm¨aßiger Tragkonstruktionen geht, z. B. [197], [349] u. a. Allgemeine geometrische“ Regeln sind: ” • m¨oglichst klein und kompakt bauen, • Kraftﬂuß zwischen An- und Abtrieb soll auf m¨oglichst kurzem Weg erfolgen, • m¨oglichst nur Zug- und Druckkr¨afte u¨ bertragen, • m¨oglichst Biege- und Torsionsmomente vermeiden, • Mechanismen mit minimaler Anzahl der Glieder verwenden, z. B. sechsgliedrige statt achtgliedriger Koppelgetriebe einsetzen, • Kataloge und Software zur Strukturauswahl nutzen, z. B. bei Viergelenkgetrieben den Atlas [151], • Zwanglauf bei Kurvengetrieben durch Vorspannung sichern, • einstellbare Glieder zum Ausgleich von Montage- und Fertigungsabweichungen vorsehen, z. B. exzentrische Lagerungen von Drehachsen, • kraftschl¨ussige Verbindungen gegen¨uber formschl¨ussigen bevorzugen, also z. B. statt Kurve und Gegenkurve ein Kurvengetriebe mit Anpreßrolle einsetzen, • Periodische Bewegungen mit m¨oglichst wenigen Harmonischen ausf¨uhren (am besten eine einzige Sinusbewegung), • Fl¨achenkontakt gegen¨uber Linienkontakt (z. B. Gleitf¨uhrung gegen¨uber Rollen) bevorzugen, • Linienkontakt gegen¨uber Punktkontakt bevorzugen (z. B. Rollen- statt Kugellager). Bez¨uglich kinematischer Gr¨oßen sollte man folgende Regeln beachten: • Geschwindigkeiten und Beschleunigungen m¨oglichst wenig a¨ ndern, • Unstetigkeiten im Bewegungsablauf vermeiden, z. B. Struktur¨anderungen, die mit Schaltungs- oder Kupplungsvorg¨angen erfolgen, in solchen Antriebsstellungen vornehmen, in denen das Antriebssystem minimale kinetische Energie hat, • kinematische Forderungen m¨oglichst durch Relativbewegungen (nicht durch Absolutbewegungen) erf¨ullen, • von Mindestforderungen des Bewegungsablaufs an der Wirkstelle ausgehen und nur die technologischen Mindestanforderungen beachten, vgl. das Beispiel des Kurvenschrittgetriebes mit HS-Proﬁl in Abschn. 5.5.3, • Zwischenglieder m¨oglichst langsam bewegen, d. h. die erforderliche Maximalgeschwindigkeit nur vom Abtriebsglied verlangen, • f¨ur periodische Bewegungen m¨oglichst geschlossene Bahnen anwenden und geschlossene Bahnen m¨oglichst als Kreisbahn ausf¨uhren, vgl. Bild 5.3, In Bild 5.3 ist die Aufgabe skizziert, die Bewegung einer Masse von Punkt A nach Punkt B (und zur¨uck) durch irgendeinen Antrieb zu realisieren. In dem Antrieb entstehen bei der Bewegung auf gerader Bahn (Bild 5.3a) in beiden Umkehrstellungen große Beschleunigungen, also ein Kraftrichtungswechsel und demzufolge stoßartige Erregungen im Antrieb. Wird dieselbe Masse aber auf einer Kreisbahn gef¨uhrt, so tritt st¨andig eine Fliehkraft auf, es gibt keinen pl¨otzlichen Kraftrichtungswechsel, vgl. Bild 5.3c.

314

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

A

B

a)

A

B

b)

A

B

c)

Bild 5.3 Varianten f¨ur periodische Bewegung von A nach B a) dynamisch ung¨unstig, b) dynamisch g¨unstig, c) dynamisch ideal

• Wirkbewegung (Arbeitsraum) m¨oglichst nicht durch Absolutbewegung des Abtriebsgliedes, sondern durch Relativbewegung (bei Werkzeugmaschinen zwischen Werkst¨uck–Werkzeug) realisieren, vgl. Bild 5.4. 4r 2r

Werkstück

a)

4r r b)

r

Bild 5.4 Vergleich von zwei Antrieben zur Erzeugung eines Hubes a) Absolutbewegung, b) Relativbewegung

Bild 5.4 zeigt ein Beispiel daf¨ur, wie durch eine Relativbewegung von zwei gegenl¨auﬁgen Massen dieselbe Hubh¨ohe 4r f¨ur einen Arbeitsraum erreicht wird wie durch die Absolutbewegung einer einzelnen Masse. Der Vorteil der L¨osung b) besteht einerseits darin, daß infolge der Relativbewegung nur geringe Massenkr¨afte auf das Gestell wirken, da sie sich gegenseitig nahezu ausgleichen. Andererseits entstehen infolge der halben Hubgr¨oße im Fall b) gegen¨uber dem Fall a) nur halb so große Beschleunigungen an den Massen, und die Preßkraft wirkt sich nicht auf das Gestell aus, da sie auf k¨urzestem Wege innerhalb des Mechanismus nur zum Antrieb u¨ bertragen wird. Bez¨uglich der kinetostatischen Kr¨afte sollte man folgende Regeln beachten: • jeweils die kleinste Masse (von Werkst¨uck oder Werkzeug) bewegen, • m¨oglichst gegenl¨auﬁge Bewegungen von Massen vorsehen, vgl. die Struktur der Schwingsiebe in Abschn. 5.7.2, Tabelle 5.1 und Tabelle 5.2, • Massenkr¨afte durch Gegenbewegungen ausgleichen, vgl. VDI-Richtlinie 2149, • Erregerharmonische der Massenkr¨afte gegenseitig kompensieren, z. B. durch optimale Versatzwinkel bei Kurbelwellen [150], vgl. auch Abschn. 5.5, • Kraft m¨oglichst nahe an Wirkstelle durch Gegenkraft ausgleichen, z. B. Unwuchtmassen auf der Antriebswelle anordnen, vgl. Tabelle 5.4, • beim Auswuchten die Ausgleichsmassen m¨oglichst nahe an der verursachenden Unwucht anbringen,

5.1 Regeln zur dynamischen Synthese

315

• an rotierenden K¨orpern Stellen vorsehen, die zum Anbringen oder Beseitigen von Unwuchten geeignet sind (Auswuchten), vgl. Richtlinie ISO 1940, • statisch bestimmte Kraft¨ubertragung sichern, z. B. mehrfach gelagerte Maschinenwellen vermeiden, • Zwangskr¨afte in statisch unbestimmt gelagerten Wellen durch Einbau elastischer Glieder vermindern, z. B. elastische Kupplungen, • Grad der statischen Unbestimmtheit nicht von Fertigungstoleranzen abh¨angig machen, z. B. elastische Gelenke einbauen, • Kraftrichtungswechsel in Lagern und Gelenken m¨oglichst vermeiden, • unvermeidlichen Nulldurchlauf einer Kraft m¨oglichst langsam ausf¨uhren, • Spieldurchlauf durch Vorspannung vermeiden, • Massenausgleich bei Mechanismen m¨oglichst an Gliedern vornehmen, die im Gestell gelagert sind, vgl. VDI-Richtlinie 2149, • Kompensatoren als Speicher kinetischer Energie einsetzen, vgl. Bild 5.7. Zu den kinetostatisch begr¨undeten Maßnahmen muß bemerkt werden, daß sie h¨auﬁg einen komplexen Charakter haben, so daß widerspr¨uchliche Forderungen zu beachten sind. So k¨onnen zum Massenausgleich angeordnete Ausgleichsmassen zur Erniedrigung der Eigenfrequenzen und zur Erh¨ohung des ver¨anderlichen Anteils des reduzierten Tr¨agheitsmomentes und damit zur st¨arkeren Anregung von Torsionsschwingungen f¨uhren, vgl. Fall 2 in Tabelle 5.1 und Tabelle 5.2. Man soll also die Konsequenzen f¨ur die h¨oheren Modellstufen ber¨ucksichtigen. 5.1.3 Modellstufe Lineares Schwingungssystem“ ” Die Weiterentwicklung eines Antriebssystems ist meist mit einer Drehzahlerh¨ohung und (oft wegen Materialeinsparung) mit anderen Parameter¨anderungen verbunden, d. h., es ver¨andert sich das Erregerspektrum (kΩ ) und oft auch alle Eigenfrequenzen ¨ (ω i ). Bei einer periodischen Erregung gilt generell die Regel, die Ubereinstimmung der Erreger- und Eigenfrequenzen zu vermeiden (kΩ = ω i ). Die folgenden Regeln beziehen sich nicht nur auf die Eigenfrequenzen, sondern auch auf die wesentlichen Eigenformen: • große Stab- und Balkenl¨angen vermeiden, Antrieb besser in der Mitte als am Ende einer Welle, vgl. Bilder 4.12 und 5.48, • Schwingungsb¨auche“ relativ zur Lage der Kraftangriffspunkte verschieben“, ” ” • modale Anregbarkeit vermindern, vgl. Abschnitt. 5.2, • Kraftangriffspunkte m¨oglichst nahe an Schwingungsknoten der relevanten Eigenform legen, • Bei Schwingungsminderung die Erregerkraft in m¨oglichst großem (und bei beabsichtigter Schwingungserregung in m¨oglichst kleinem) Abstand zu großen Amplituden der Eigenformen einleiten, • Eigenformen durch optimale Masse- und Steiﬁgkeitsverteilung beeinﬂussen, vgl. Abschn. 5.7, • Eigenformen so ver¨andern, daß sich die Arbeit verschiedener Erregerkr¨afte gegenseitig vermindert oder aufhebt, z. B. modaler Ausgleich gem¨aß Bild 5.5, • ausnutzen, daß symmetrische Erregerkr¨afte keine antimetrischen Eigenformen erregen k¨onnen,

316

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

• beachten, daß antimetrische Erregerkr¨afte bei einem symmetrischen System keine symmetrischen Eigenformen anregen k¨onnen, • Gesamtsystem von dem Teilsystem entkoppeln, auf welches die Erregung wirkt, • Effekte der Kreiselwirkung (r¨aumliche Schwingformen) dadurch vermeiden, indem man Neigungen der Rotationsachsen verhindert (parallele Bewegung konstruktiv sichern), vgl. Bild 5.2, • Eigenfrequenzen und Erregerfrequenzen gegeneinander verstimmen, kΩ = ω i erreichen, • Eigenfrequenzen erh¨ohen/vermindern, um den Abstand“ zur relevanten Erre” gerfrequenz zu vergr¨oßern. Dazu kann man: – Steiﬁgkeiten an Stellen vergr¨oßern/verkleinern, die stark deformiert werden. Solche Stellen ﬁndet man z. B. bei Torsionsschwingern durch die Sensitivit¨atskoefﬁzienten γ ik , vgl. Bild 2.58 und Bild 4.4, – Massen an Stellen verkleinern/vergr¨oßern, wo sie sich stark bewegen, vgl. das Beispiel der Schleifspindel in Bild 2.36 und die Sensitivit¨atskoefﬁzienten µ ik des Torsionsschwingers in Bild 2.58 und Bild 4.4, – Masseminderungen sind z. B. mit Formleichtbau oder Leichtmetall-Legierungen erreichbar, – Lager oder St¨utzen an den Stellen großer Ausschl¨age anbringen/entfernen, vgl. Abschn. 5.6.3, – Eigenfrequenzen durch pl¨otzliche Struktur¨anderungen verstellen (z. B. umschaltbare Lagersteiﬁgkeiten), um langsames Durchfahren der Resonanzgebiete zu vermeiden, vgl. Bild 5.35, – einzelnen K¨orper in zwei relativ weich miteinander gekoppelte Massen aufteilen, wie z. B. beim Zweimassenschwungrad, vgl. Bild 4.5, – Schwingungstilger anordnen [150], so daß aus einer Eigenfrequenz zwei werden, von denen eine oberhalb und eine unterhalb der urspr¨unglichen liegt. • Erregerfrequenzen sind meist der Antriebsdrehzahl proportional, vgl. Tabelle 3.1. Sie lassen sich durch folgende Maßnahmen beeinﬂussen: – wesentliche Harmonische der periodischen Erregung ermitteln und diese verkleinern, – Erregungen mit konstanten Zeitabst¨anden vermeiden, z. B. Fr¨aser mit ungleichen Zahnabst¨anden, Propeller mit ungleichen Winkeldifferenzen zwischen den Fl¨ugeln oder CVT-Ketten mit ungleichen Gliedl¨angen versehen, vgl. Abschn. 5.4.6 – Kurvenproﬁle mit minimaler Anzahl von Harmonischen ausbilden, vgl. z. B. HS-Proﬁle in Abschn. 5.5.3, – Koppelgetriebe hinsichtlich des Erregerspektrums optimieren, vgl. Abschn. 5.5.4, ¨ – Zahneingriffsfrequenzen durch Wahl der Z¨ahnezahl und des Uberdeckungsgrades a¨ ndern, – Resonanzgebiet schnell durchfahren, vgl. Bild 4.37 in Abschn. 4.8.3 und Abschn. 5.4.6, – Stoßfolge im Takt der Eigenschwingungen vermeiden, – unvermeidliche Stoßfolge gegen¨uber Periodendauer der Eigenschwingungen verstimmen, vgl. Abschn. 5.4.4,

5.1 Regeln zur dynamischen Synthese

317

– Ketteneingriffs- und Kettenumlauffrequenzen beeinﬂussen, vgl. Abschn. 4.6.4, – Zusatzschwinger als Tilger anordnen und auf wesentliche Erregerfrequenz abstimmen, – Kreisel als Schwingungstilger einsetzen, vgl. Anwendung bei Schaufelradantrieb eines Baggers [358]. Bez¨uglich der Verminderung von Stoßbelastungen beachte man folgende Regeln: • Relativgeschwindigkeit der aufeinander stoßenden Massen an der Stoßstelle vermindern, • aufeinander stoßende Massen m¨oglichst verkleinern, • angestoßene Masse m¨oglichst weich mit dem Gesamtsystem koppeln, vgl. Beispiel in Bild 5.5, • Stoßmittelpunkt als Lagerpunkt eines starren K¨orpers w¨ahlen, • mechanische Arbeit an der Stoßstelle durch Beeinﬂussung der Stoßrichtung vermindern, • Steiﬁgkeit an der Stoßstelle m¨oglichst klein halten, vgl. den Einﬂuß der Federkonstante auf die Seilkraft in Abschn. 2.3.4, • unvermeidliche Stoßkraft nahe am Schwingungsknoten (m¨oglichst weit entfernt vom Schwingungsbauch) einwirken lassen, vgl. Bild 5.6b Fall C, • Spiel in Gelenken minimieren, vgl. den Spieleinﬂuß in Bild 2.6, • Spiel durch Vorspannung beseitigen, z. B. bei gegenseitig verspannten Kugellagern, • Wirkungsdauer der Erregung auf die Periodendauer der wesentlichen Eigenschwingungen abstimmen, vgl. Abschn. 5.4.4.

a)

b)

Bild 5.5 Konstruktive L¨osung zur Verminderung der Stoßbelastung beim Anstoßen eines Zangenkrans; a) urspr¨ungliche Konstruktion, b) neue konstruktive L¨osung

Bild 5.5 zeigt eine patentierte L¨osung, die einen Schutz f¨ur Zangenkrane bei Aufprallunf¨allen darstellt. Infolge der Abfederung der Zange werden im Fall b wesentlich geringere dynamische Kr¨afte in das Krantragwerk u¨ bertragen als bei der a¨ lteren Bauart.

318

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.1.4 Modellstufe Nichtlineares Schwingungssystem“ ” Nichtlineare Schwingungen k¨onnen auftreten, wenn im Antriebssystem geometrisch bedingte Nichtlinearit¨aten vorhanden sind oder nichtlineare Materialgesetze wesentlichen Einﬂuß haben. Geometrisch bedingte Nichtlinearit¨aten treten bei großen Bewegungen auf, z. B. bei Bewegungen von Mechanismen (Tabelle 2.6, Tabelle 2.7), Rotoren (Tabelle 2.8, Abschn. 5.7.3), Ketten und Riemen (Abschn. 4.6), bei denen nichtlineare Terme durch Massenkr¨afte, große Deformationen, Spiele oder Struktur¨anderungen auftreten. Zur zweiten Gruppe, dem nichtlinearen Materialverhalten, muß man nichtmetallische Werkstoffe (z. B. nichtlineare Kupplungen, vgl. Abschn. 3.4.2.2), Reibungsvorg¨ange (vgl. Abschn. 2.4.6 und 4.5) und D¨ampfer rechnen (Abschn. 3.5). Es k¨onnen zwei Hauptregeln dazu genannt werden: 1. Nichtlineare Effekte vermeiden und das Antriebssystem linear“ bauen, also z. B. ” • Vermeidung von großen Spielen, • Vermeidung stellungsabh¨angige Schwankungen der Steiﬁgkeit, • Vermeidung der stellungsabh¨angigen Schwankungen des reduzierten Tr¨agheitsmomentes, • Vermeidung nichtlinearen Materialverhaltens, • Vermeidung geometrischer Nichtlinearit¨aten. 2. Nichtlineare Effekte bewußt ausnutzen, z. B.: ¨ • Uberlagerung hochfrequenter Schwingungen, um das Reibungs- oder D¨ampfungsverhalten zu beeinﬂussen, vgl. Abschn. 2.4.6 und Bild 3.17, • Einsatz progressiver nichtlinearer Federn, um die Eigenfrequenz unabh¨angig von der mitschwingenden Masse zu machen, z. B. Beladungszustand von Sieben, Fahrzeugen, ..., vgl. [76] (dort Aufgabe 15), • Selbstsynchronisation von Rotoren, vgl. Abschn. 5.7.3, • Verbreiterung der Resonanzspitze durch nichtlineare Kennlinie, die gegen¨uber Parameterschwankungen unempﬁndlich ist, • Verlagerung der Energie aus einer Frequenz (und Schwingungsform) in eine andere, vgl. Abschn. 2.4.7.2 und Abschn. 3.4.2.3. • Einsatz progressiver Kupplungen, um Belastungsst¨oße besser abzufangen.

5.2 Modale Anregbarkeit 5.2.1 Allgemeine Zusammenh¨ange Die folgende Betrachtung beschr¨ankt sich auf lineare unged¨ampfte Systeme. In diesem Fall verlaufen die Schwingungen in den einzelnen Eigenformen unabh¨angig voneinander. Sobald Nichtlinearit¨aten auftreten, gilt nicht mehr das Superpositions-

5.2 Modale Anregbarkeit

319

prinzip, und es kann zur Wechselwirkung zwischen unterschiedlichen nichtlinearen Eigenformen kommen. Manchmal l¨aßt sich die unterschiedliche D¨ampfung der verschiedenen Eigenformen auszunutzen, z. B. eine konstruktiv stark ged¨ampfte Eigenschwingung bewußt anregen, um dadurch die Anregung einer nur schwach ged¨ampften anderen Eigenform zu vermeiden. Die Schwingungen einer Schiffsschraube, die sich im Wasser beﬁndet, sind sehr stark ged¨ampft. Dadurch sind die Schwingungsformen, die an der Schiffsschraube starke Ausschl¨age haben, viel st¨arker ged¨ampft als solche, bei denen dort die Ausschl¨age klein sind. Das gleiche gilt f¨ur die Eigenformen bei Fahrzeugantrieben, wo die Rad-Eigenformen“ stets stark ged¨ampft sind, weil der Schlupf ” zwischen Reifen und Fahrbahn die Torsionsschwingungen besonders stark d¨ampft, wenn die R¨ader mitschwingen wollen“. ” Die Bewegungsgleichungen unged¨ampfter modaler Schwinger mit n Freiheitsgraden, die mit Einzelkr¨aften Fk erregt werden, lauten in modalen Koordinaten: µ i p¨i + γ i pi = hi (t) = ∑ ϕ ki Fk (t);

i = 1, 2, . . . , n

(5.1)

k

Die modalen Massen µ i und die modalen Steiﬁgkeiten γ i sind aus Abschn. 2.5.1.1 bekannt, vgl. Gl. (2.353). Mit der Modalmatrix Φ = (ϕ 1 , ϕ 2 , . . . , ϕ n ), welche alle Eigenformen ϕ i enth¨alt, besteht folgender Zusammenhang zwischen modalen Koordinaten p, modalen Erregerkr¨aften h und urspr¨unglichen physikalischen Koordinaten: q(t) = Φ p(t);

h(t) = Φ T f (t)

(5.2)

Die in ein lineares System durch die Erregerkr¨afte f (t) eingeleitete gesamte mechanische Energie (die Fk (t) entsprechen einer Energiequelle“) betr¨agt ” 1 T (˙q Mq˙ + qT Kq) = f T q˙ (t) dt = f TΦ p˙ (t) dt 2 t

W=

t

0

= ∑ Wi = ∑ i

t

k 0

(5.3)

0

Fk dqk = ∑

t

i 0

hi d pi = ∑ ∑ k

t

ϕ ki Fk (t) p˙i dt

i 0

Sie verteilt sich auf die einzelnen Eigenformen, und diese werden im allgemeinen unterschiedlich intensiv angeregt. Jeden der Summanden in Gl. (5.3) kann man als eine Arbeit Wi interpretieren, welche an den Kraftangriffspunkten durch die a¨ ußeren Kr¨afte Fk (t) l¨angs der Wege ϕ ki in die i-te Eigenform eingeleitet wird. Die jeweiligen modalen Kr¨afte hi erregen die i-te Eigenform. In Gl. (5.2) sind sie abh¨angig von der Normierung der Eigenformen. Um diese Abh¨angigkeit von einer Normierung zu vermeiden, muß man den absoluten Betrag der jeweiligen modalen Arbeit Wi berechnen, der durch die Erregerkr¨afte in das System eingespeist wird. Er ergibt sich aus Gl. (5.3) unter Benutzung von Gl. (5.1) folgendermaßen: Wi =

t 0

hi (t) d pi =

t 0

hi (t) p˙i dt =

t 0

(µ i p¨i + γ i pi ) p˙i dt

(5.4)

320

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Dieser Energieausdruck ist wegen Gl. (5.1) unabh¨angig von der Normierung der Eigenvektoren. Die Integration liefert: Wi =

t

hi (t) p˙i dt =

0

1 (µ i p˙2i + γ i p2i ) 2

(5.5)

Somit kann die mechanische Energie, die in der i-ten Eigenschwingform steckt, entweder als Integral u¨ ber das Produkt aus den modalen Erregerkr¨aften und den modalen Geschwindigkeiten oder aus der Summe der kinetischen und potentiellen Energie berechnet werden. Die in Gl. (5.5) auftretenden Geschwindigkeiten der modalen Koordinaten lassen sich mit dem Duhamel-Integral berechnen, vgl. [150]. Falls zu Beginn keine Schwingungen vorhanden sind (t = 0: pi (0) = 0, p˙i (0) = 0), gilt p˙i (t) =

1 µi

t

hi (t ) cos ω i (t − t ) dt =

0

1 µi

ϕ iT Mq˙

Damit ergibt sich mit Gl. (5.5) f¨ur die Bewegung aus der Ruhelage heraus ⎡ ⎤ t t∗ 1 ⎣ ∗ Wi = hi (t ) hi (t ) cos ω i (t ∗ − t ) dt ⎦ dt ∗ µi

0

(5.6)

(5.7)

0

Den relativen Anteil der in der i-ten Eigenform gespeicherten Energie an der Gesamtenergie kann man aus dem Quotienten Wi (5.8) W = ∑ Wi wi = ; W berechnen. wi wird als modaler Anregungsfaktor der i-ten Eigenform bezeichnet. Diese Faktoren geben an, wie sich die Gesamtenergie eines Schwingers auf die einzelnen Eigenformen verteilt. Jeder modale Anregungsfaktor liegt im Bereich 0 wi 1, weil ∑i wi = 1 gilt. Mit dem modalen Anregungsfaktor wi kann man die Erregung eines Schwingungssystems bewerten, insbesondere den Einﬂuß der Lage der Krafteinleitungsstellen. Dies kann bei Antrieben schon beim Entwurf zur Beurteilung des dynamischen Verhaltens genutzt werden. Exemplarisch sollen zun¨achst f¨ur den Sonderfall, daß mehrere konstante Kr¨afte Fko auf ein System innerhalb der Zeit 0 t t1 wirken, Formeln f¨ur solche modalen Anregungsfaktoren hergeleitet werden. Falls die Erregerkr¨afte Fko konstant sind, sind die modalen Erregerkr¨afte w¨ahrend dieser Zeit auch konstant, vgl. Gl. (5.1) und (5.2): hio = ∑ ϕ ki Fko

(5.9)

k

Die in die i-te Eigenform eingeleitete modale Erregerarbeit folgt aus Gl. (5.7) nach Auswertung des Doppelintegrals zu 1 − cos ω it f¨ur 0 t t1 und alle ω i = 0 (5.10) Wi = h2io γi

F¨ur jeden frei beweglichen Antrieb, der bekanntlich Starrk¨orperfreiheitsgrade besitzt, f¨ur welche ω i = 0 gilt, wird die Starrk¨orperbewegung erregt, und es ergibt sich aus Gl. (5.10) nach einem Grenz¨ubergang Wi = h2io

t2 2µ i

f¨ur 0 t t1 und alle ω i = 0

(5.11)

5.2 Modale Anregbarkeit

321

Im Intervall 0 t t1 , innerhalb dessen die Erregerkr¨afte wirken, ist die zugef¨uhrte Energie demzufolge zeitabh¨angig. F¨ur t t1 erfolgt keine Energie¨anderung mehr, und es gelten f¨ur den anschließenden Zeitbereich dieselben Formeln, aber man muß an Stelle von t in den Gln. (5.10) und (5.11) die Anregungszeit t1 einsetzen. Die modale Erregerarbeit ist im allgemeinen vom Zeitverlauf der Erregerkr¨afte f (t) abh¨angig. Schon im einfachen Fall der konstanten modalen Erregerkr¨afte hio treten bei Wi zeitlich ver¨anderliche Terme auf, vgl. Gl. (5.10) und (5.11). 5.2.2 Beispiel: Torsionsschwingerkette Die allgemeinen Ausf¨uhrungen zur modalen Anregbarkeit sollen an folgendem Beispiel erl¨autert werden. Ein Antriebssystem soll aus dem Stillstand innerhalb der Anregungszeit t1 durch ein konstantes Moment M0 beschleunigt werden. Da es hier nur um die Illustration prinzipieller Zusammenh¨ange geht, wird als einfaches Berechnungsmodell eine homogene Torsionsschwingerkette mit f¨unf Scheiben betrachtet, vgl. Bild 5.6. Die Massenmatrix M =J·E

(5.12)

ist eine Diagonalmatrix mit gleich großen Elementen J auf der Hauptdiagonale, wenn man die Absolutwinkel der Scheiben als Koordinaten benutzt. Die Steiﬁgkeitsmatrix ist ⎞ ⎛ 1 −1 0 0 0 ⎜ −1 2 −1 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (5.13) K = k · ⎜ 0 −1 2 −1 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 −1 2 −1 ⎠ 0 0 0 −1 1 Die modalen Massen sind f¨ur i = 1 bis 5 gleich groß: µ i = 5J. In Abschn. 2.6.7 wurde dieses Berechnungsmodell bereits benutzt, vgl. auch die Eigenformen in Bild 2.65. Aus der modalen Analyse sind die Eigenformen bekannt:

Φ =

(ϕ 1 , ϕ 2 , ⎛ 1 +1,345 ⎜ 1 +0,831 ⎜ ⎜ =⎜ 1 0 ⎜ ⎝ 1 −0,831 1 −1,345

ϕ 3,

ϕ 4,

ϕ 5)

−1,144 +0,437 +1,414 +0,437 −1,144

−0,831 +1,345 0 −1,345 +0,831

+0,437 −1,144 +1,414 −1,144 +0,437

⎞

(5.14)

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Die Quadrate der Eigenkreisfrequenzen sind ω 12 = 0;

ω 22 = 0,382 · k/J;

ω 42 = 2,618 · k/J;

ω 32 = 1,382 · k/J;

ω 52 = 3,618 · k/J

(5.15)

woraus auch die modalen Steiﬁgkeiten aus γ i = µ i ω i2 folgen, da die µ i bekannt sind.

322

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

ϕ1 ϕ2

k J

ϕ3

k J

ϕ4

k J

ϕ5

A

B

C

k J

J

M0

a)

M0

M0

b)

Bild 5.6 Torsionsschwingerkette mit 5 Scheiben a) Bezeichnungen, b) Belastungsf¨alle A, B und C

Wie wirkt sich die Lage der Angriffspunkte auf die dynamischen Belastungen aus? Es soll im folgenden berechnet werden, wie groß die modalen Anregungsfaktoren wi sind, wenn das Antriebsmoment an jeweils einer anderen Scheibe angreift. Wegen der Symmetrie gen¨ugt es, die drei in Bild 5.6b skizzierten F¨alle A, B und C zu untersuchen. Um die Ergebnisse vergleichen zu k¨onnen, wird davon ausgegangen, daß das Antriebsmoment M0 so lange einwirkt wie die α -fache Periodendauer T3 = 2π /ω 3 der dritten Eigenschwingung und daß es w¨ahrend des Intervalls 0 t t1 konstant ist. Die relative Anregungszeit (Stoßzeitverh¨altnis) betr¨agt gem¨aß Gl. (2.7) t1 2πt1 α3 = = (5.16) T3 w3 Es interessiert das Schwingungsverhalten nach dem Beschleunigungsvorgang, also f¨ur t t1 . Die Erregerkraftvektoren, die diese drei F¨alle beschreiben, ergeben sich gem¨aß Bild 5.6b zu f A = (M0 , 0, 0, 0, 0)T ;

f B = (0, M0 , 0, 0, 0)T ;

f C = (0, 0, M0 , 0, 0)T

(5.17)

Die modalen Erregerkraftvektoren folgen daraus mit Gl. (5.9) unter Benutzung der Modalmatrix (5.14) f¨ur Fall A (Bild 5.6b) zu hA = M0 (1; +1,345; −1,144; −0,831; +0,437)T =

(h10 ; h20 ;

h30 ;

h40 ;

(5.18)

h50 )TA

f¨ur Fall B zu hB = M0 (1; +0,831; +0,437; +1,345; −1,144)T =

(h10 ; h20 ;

h30 ;

h40 ;

(5.19)

h50 )TB

f¨ur Fall C zu hC = M0 (1; =

0; +1,414; 0; +1,414)T

(h10 ; h20 ;

h30 ; h40 ;

(5.20)

h50 )TC

Tabelle 5.3 enth¨alt die wesentlichen Zahlenwerte, aus denen man die Herkunft der einzelnen Terme erkennen kann. Die Terme h2io /γ i bewerten die Lage des Angriffspunktes und die Faktoren (1 − cos ω it1 ) den Zeitverlauf der Erregung. Es ist aus den

323

5.2 Modale Anregbarkeit

Zahlenwerten erkennbar, daß beim Fall C, wenn das Moment im Schwingungsknoten der zweiten Eigenform angreift, diese Form gar nicht angeregt wird. Die dritte Eigenschwingung wird deshalb nicht angeregt, weil die Anregungszeit t1 so groß wie die Periodendauer dieser Eigenschwingung angenommen wurde, vgl. auch Bild 5.23d. Tabelle 5.3 Zur Berechnung der modalen Anregungsfaktoren, vgl. Bild 5.6 relative Anregungszeit α 3 i 1 2 3 4 5 Arbeit W in M02 /k

Fall A 2,5

1 wi 0,589 0,388 0 0,010 0,004 4,85

5

1

Fall B 2,5

5

1

Fall C 2,5

5

wi wi wi wi wi wi wi wi 0,908 0,978 0,725 0,956 0,991 0,937 0,968 0,9998 0,067 0,022 0,183 0,027 0,008 0 0 0 0,019 0 0 0,003 0 0 0,032 0 0,005 0 0,060 0,014 0,001 0 0 0 0 0 0,032 0 0 0,063 0 0,0002 19,66 73,03 3,93 18,68 72,08 3,05 18,44 71,43

Die jeweiligen modalen Energien folgen aus Gl. (5.8) zu Wi = W · wi . Es ist interessant, daß und wie stark sich die eingeleitete Gesamtenergie W bei den verschiedenen Angriffspunkten unterscheidet. Bei kurzen Anregungszeiten verhindert offenbar die Vibration des Angriffspunktes eine gleichm¨aßige Momenten¨ubertragung. Beim Starrk¨orpersystem w¨urde die eingeleitete Energie unabh¨angig vom Angriffspunkt des Antriebsmoments gleich W=

ϕ 1

M0 d ϕ =

0

t1 0

M0 ϕ˙ dt =

t1

M0 0

M0 t dt 5J

(5.21)

(M0t1 )2 (α M0 )2 = 2,856 J k betragen. Mit gr¨oßer werdender relativer Anregungszeit α wird ein h¨oherer Energiebetrag in das System gespeist. Bei kurzen Anregungszeiten sind die Unterschiede beachtlich groß! W¨ahrend beim Fall A die potentielle Energie W = 4,85(M0 )2 /k betr¨agt, ist dieser Wert beim Fall C nur W = 3,05(M0 )2 /k. Es werden also in Abh¨angigkeit vom Angriffspunkt des Moments unterschiedlich große Energien w¨ahrend derselben Anregungszeit t1 u¨ bertragen! Dies liegt an den w¨ahrend dieser Zeit bereits beginnenden Schwingungen. Die Unterschiede vermindern sich mit zunehmender Anregungszeit, vgl. die Zahlen in Tabelle 5.3. Im Idealfall w¨are w1 = 1 und die gesamte Antriebsenergie w¨urde in die Eigenform ϕ 1 (Starrk¨orperdrehung des ungefesselten Systems) gesteckt. Man sieht an den Summanden in Tabelle 5.3, welche Anteile der Antriebsenergie in die Sekund¨arbewegungen der einzelnen Schwingformen geht. Da im Falle B das Erregermoment im Schwingungsknoten der dritten Eigenform angreift, verrichtet es bez¨uglich dieser keine Arbeit. Analog kann man sich physikalisch erkl¨aren, daß w3 = 0 f¨ur ganzzahlige Stoßzeitverh¨altnisse α 3 = 1 und α 3 = 5 gelten muß, da bei cos ω 3t1 = 1 ebenfalls die Arbeit Null wird, vgl. Gl. (5.10). Das Beispiel zeigt, daß es bez¨uglich der vibrodynamischen Belastungen darauf ankommt, an welcher Stelle und mit welchem zeitlichen Bewegungsgesetz ein Antrieb angetrieben wird. = 0,1

324

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.3 Optimale Auslegung von Baugruppen 5.3.1 Konturen von Unwuchtmassen Rotierende Unwuchtmassen werden eingesetzt, um harmonische Erregerkr¨afte zu erzeugen oder um die erste Harmonische der Gestellkr¨afte von Schubkurbelgetrieben, Viergelenkgetrieben oder anderen ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Mechanismen zu kompensieren, vgl. Abschn. 5.5. Die Aufgabe besteht darin, aus der Gr¨oße einer geforderten Fliehkraft (F = m · e · Ω 2 ) oder Unwucht (U = m · e) die a¨ ußere Kontur der Unwuchtmasse zu bestimmen. Tabelle 5.4 Optimale Unwuchtmassen Fall 1

Form der Unwuchtmasse Kreisringsektor R S m

2

J0 =

Kreisabschnitt R S m

0

R=

e

R S

2γ

3U 2b sin γ

1 bγ (R4 − r4 ) 2

(1) (2) (3)

1 sin γ

3

3U 2 b

(4)

1 bR2 (2γ − sin 2γ ) (5) 2

1 1 J0 = bR4 γ − (4 · sin 2γ + sin 4γ ) (6) 2 12 Minimales Tr¨agheitsmoment r R= = 2r1 (7) cos γ

1 (8) m = b R2 (2γ + sin 2γ ) − r2 γ 4

1 1 1 4 4 R (6γ + 4 sin 2γ + sin 4γ ) − r γ (9) J0 = b 2 16 2 m=

Sichel

r1

r3 +

Minimale Masse

r

m

3

m = bγ (R2 − r2 )

r

2γ

3

R=

e

2γ 0

Parameterbeziehungen Minimale Masse

e

Der Winkel γ folgt dabei aus 0

r

12γ + 8 sin 2γ + sin 4γ 2 U − sin γ = 3 48 cos3 γ br3 mit 0 < γ <

π

2

(10)

5.3 Optimale Auslegung von Baugruppen

325

In Tabelle 5.4 sind f¨ur einige h¨auﬁg verwendete Formen von Unwuchtmassen die Beziehungen zwischen den beteiligten Parametern angegeben. Oft sind dabei der Radius r der Welle, auf der die Unwuchtmasse sitzt, und der Außenradius R, der den Bauraum begrenzt, vorgegeben. Die Formeln sind so geordnet, daß man von der Un¨ γ , der Breite b und dem Innenradius r wucht U, der Dichte , dem Offnungswinkel ausgehen und Außenradius R, Masse m und Tr¨agheitsmoment J ausrechnen kann. Je gr¨oßer die Dichte und die Breite b sind, desto kleiner kann der Außenradius R sein. Bei Bedarf kann man die in Tabelle 5.4 angegebenen Formeln nach anderen gesuchten Parametern aufl¨osen. Eine praktisch oft benutzte Konturform stellt das Kreissegment (Fall 1) dar. Die ¨ Masse w¨urde bei einem Offnungswinkel von γ = π /2 nicht effektiv genutzt, aber bei ¨ einem Offnungswinkel γ =

9UR(R2 − r2 ) 2(R3 − r3 ) 42 b2 (R3 − r3 )2 − 9U 2

(5.22)

w¨are bei dieser Kontur die geforderte Unwucht mit minimaler Masse erreichbar [71]. Mit der Konturform eines Kreisabschnitts liegt die Masse extrem weit außen, d. h. sie ist dann minimal (Fall 2). Wenn es darauf ankommt, daß das Moment beim Anfahren und Bremsen der Welle, auf der eine Unwuchtmasse sitzt, m¨oglichst klein ist, wird ein minimales Tr¨agheitsmoment gefordert. Dies wird durch eine Konturform erreicht, die aus einem Kreis besteht, der die Drehachse tangiert (Fall 3). Tabelle 5.5 Einﬂuß der Konturform auf die Parameter einer Unwuchtmasse 1

R/r

b/r

m/m∗

J/J ∗

Bedingung

2,962 3,708

2,667 1,333

1,000 0,820

1,000 1,237

ohne Optimierung ohne Optimierung

Kreissegment R r

5,000 4,090

1,333 1,333

0,408 0,538

1,084 0,975

mmin Jmin

Kreisabschnitt R r

5,000 5,000

2,667 1,333

0,308 0,338

1,352 1,336

mmin mmin

3,532 4,423

2,667 1,333

0,689 0,571

0,756 0,938

Jmin Jmin

Kontur Halbkreis

r

2

3

4

R

Sichel

r

R

326

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

An dem Zahlenbeispiel in Tabelle 5.5 kann man erkennen, wie die Konturform einer Unwuchtmasse die einzelnen Parameter beeinﬂußt. 5.3.2 Kompensatoren fur ¨ ungleichm¨aßig ubersetzende ¨ Getriebe Das kinetostatische Antriebsmoment eines ungleichm¨aßig u¨ bersetzenden Getriebes, z. B. eines Kurvengetriebes, Schubkurbelgetriebes, mehrgliedrigen Koppelgetriebes oder R¨aderkoppelgetriebes betr¨agt gem¨aß Gl. (4) in Tabelle 2.6. 1 Man = J(ϕ )ϕ¨ + J (ϕ )ϕ˙ 2 2

(5.23)

Das reduzierte Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) ist dabei eine vom Kurbelwinkel ϕ abh¨angige Gr¨oße, deren Verlauf mit bekannter Software ermittelt werden kann, z. B. mit dem Programm WINDAM [270]. Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ = Ω ist das Antriebsmoment der ersten Ableitung J (ϕ ) und dem Quadrat der Drehzahl proportional, d. h. es w¨are Null, wenn J (ϕ ) ≡ 0 oder J(ϕ ) = konst. w¨are. F¨ur beliebige ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Mechanismen kann ein vollst¨andiger Leistungsausgleich durch die Anwendung eines Tr¨agheitskompensators erfolgen. Das ver¨anderliche Tr¨agheitsmoment J(ϕ ) eines solchen Kompensators muß, auf die Antriebswelle bezogen, so ausgelegt werden, daß die Summe J(ϕ )+J(ϕ ) = Jges konstant wird. Der Wert des gesamten (konstanten) Tr¨agheitsmomentes Jges wird dabei zwar gr¨oßer als der Maximalwert des reduzierten Tr¨agheitsmomentes des urspr¨unglichen Mechanismus, aber es treten keine Schwankungen mehr auf. ψ′

J

J

ϕ

J red

J ψ′

J (ϕ)

0

π

0

a)

2π

ψ′ 1,5

ϕ

J ψ′

ψ′

ψ′m

1 0,5 0

b)

ϕ

c) J

ψ′

J ges

π

2π

ϕ

d)

Bild 5.7 Dynamische Kompensatoren; a) Unrundzahnr¨ader [139], b) Kurvengetriebe

Bild 5.7 zeigt zwei m¨ogliche Anordnungen von Kompensatoren, vgl. VDI-Richtlinie 2149 Bl. 1. In beiden F¨allen wird ein konstantes Tr¨agheitsmoment J mit einer

5.3 Optimale Auslegung von Baugruppen

327

ver¨anderlichen Winkelgeschwindigkeit so bewegt, daß die gesamte kinetische Energie der beiden gekoppelten Mechanismen konstant ist. Dieses Tr¨agheitsmoment muß die Gr¨oße 2π 2 1 J= 2 Jges − J(ϕ ) d ϕ (5.24) 4π 0

besitzen und die Unrundzahnr¨ader oder die Kurvenscheibe m¨ussen so ausgelegt wer¨ den, daß folgende ver¨anderliche Ubersetzung zustande kommt, vgl. Bild 5.7: Jges − J(ϕ ) (5.25) U (ϕ ) = ψ (ϕ ) = J Da die kinetische Energie des Kompensators in keiner Getriebestellung Null sein darf, kommt nur eine umlaufende Bewegung in Betracht. Je kleiner Jges gew¨ahlt wird, desto kleiner wird auch J, aber desto schwieriger l¨aßt sich dann die Lagefunktion ¨ gem¨aß Gl. (5.25) realisieren, die einem stellungsabh¨angigen Ubersetzungsverh¨ altnis entspricht. Außer solchen Kompensatoren mit einem einzelnen ungleichm¨aßig bewegten Tr¨agheitsmoment J lassen sich auch mehrgliedrige Mechanismen als Kompensatoren einsetzen. Beispiele daf¨ur enthalten die Arbeiten [148] und [208]. 5.3.3 ¨ Ubersetzungsverh¨ altnisse bei minimalem Tr¨agheitsmoment Bei einem mehrstuﬁgen Zahnradgetriebe ergibt sich die Gesamt¨ubersetzung u, das Verh¨altnis der Winkelgeschwindigkeiten des treibenden Gliedes zu der des getriebe¨ nen Gliedes, aus dem Produkt der einzelnen Ubersetzungen uk aller K Zahnradstufen (k = 1, 2, . . . , K): u = u1 · u2 · . . . · uK

(5.26)

¨ Die Ubersetzung der k-ten Stufe folgt aus den Z¨ahnezahlen oder den Radien: uk =

Rk rk

(5.27)

¨ Ubersetzungen u = 4, . . . , 7 werden mit einstuﬁgen, u = 8, . . . , 14 mit zweistuﬁgen (K = 2) und u = 15, . . . , 35 mit dreistuﬁgen Getrieben (K = 3) realisiert. Manchmal kommt es darauf an, das reduzierte Tr¨agheitsmoment eines Zahnradgetriebes zu ¨ minimieren [111]. Bei gleicher Aufteilung auf die einzelnen Stufen w¨urden die Ubersetzungen den Mittelwert √ k = 1, 2, . . . , K (5.28) uk = K u = um ; haben. F¨ur das Beispiel des in Bild 5.8 skizzierten Zahnradgetriebes betr¨agt das reduzierte Tr¨agheitsmoment bei K = 3 Stufen [150] Jred = Jr1 +

JR1 + Jr2 JR2 + Jr3 JR3 + + 2 2 2 (u1 u2 ) u u1

(5.29)

328

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

JR2

Jr1 T0 = Man

Jr3 R2

r1

r3

T2 R1 JR1

R3

r2

T1 b2

T3

JR2 b3

b1

Mab

JR3

Bild 5.8 Dreistuﬁges Zahnradgetriebe

¨ Werden die Ubersetzungen aller Stufen gem¨aß Gl. (5.28) gleich groß gew¨ahlt, wird das reduzierte Tr¨agheitsmoment nicht minimal. Es ist ein minimales reduziertes Tr¨agheitsmoment J berechenbar, wenn formuliert werden kann, wie J von den ¨ Ubersetzungen abh¨angt. Dazu werden hier folgende Annahmen u¨ ber die Abh¨angigkeit von Breiten b und Radien r in der jeweiligen Getriebestufe getroffen: 1. Die Tr¨agheitsmomente der einzelnen Zahnr¨ader sind der Breite und der p-ten Potenz der Radien proportional: Jrk ∼ bk rkp ;

JRk ∼ bk Rkp = bk ukp rkp

(5.30)

2. Der Exponent p h¨angt von der jeweiligen konstruktiven Form ab und ist eine Zahl aus dem Bereich zwischen 4 (bei Vollmaterial) und etwa 3, wenn die Masse des Zahnkranzes u¨ berwiegt (Leichtbauweise). 3. Die Zahnbreiten und die kleinen Radien sind proportional der dritten Wurzel aus den Torsionsmomenten der betreffenden Stufe: rk ∼ 3 Tk−1 (5.31) bk ∼ 3 Tk−1 ; Die Torsionsmomente in den einzelnen Stufen sind T0 = Man ; T1 = u1 Man ; T2 = u1 u2 Man ; T3 = u1 u2 u3 Man = uMan = Mab

(5.32)

Mit diesen Annahmen kann man aus den Gln. (5.30) bis (5.32) folgende Abh¨angig¨ keit der Tr¨agheitsmomente der Zahnr¨ader von den Ubersetzungen ﬁnden: p+1 p+1 ; JRk ∼ ukp 3 Tk−1 = ukp Jrk (5.33) Jrk ∼ 3 Tk−1 Es ergibt sich also p+1 T1 p+1 3 = Jr1 u 3 Jr2 = Jr1 T0

(5.34)

p+1

JR1 = Jr1 u1p ;

JR2 = Jr1 u1 3 u2p ;

JR3 = Jr1 u p (u1 u2 )

1−2p 3

(5.35)

Setzt man diese Ausdr¨ucke in Gl. (5.29) ein, erh¨alt man folgenden Ausdruck f¨ur das reduzierte Tr¨agheitsmoment, der von den beiden Optimierungsvariablen u1 und u2

329

5.3 Optimale Auslegung von Baugruppen

abh¨angt:

%

Jred = Jr1 1 +

u1p−2 +

p−5 u1 3

+

p−5 u1 3 u2p−2 +

p−5 (u1 u2 ) 3

+u

p−2

1−2p (u1 u2 ) 3

&

(5.36) Das reduzierte Tr¨agheitsmoment wird bei gegebenen Werten einer Gesamt¨ubersetzung u minimal, wenn der Ausdruck in der eckigen Klammer zum Minimum wird. ¨ Jedem der Summanden entspricht der Anteil eines Zahnrades. Wenn die Ubersetzungen alle gleich groß sind, vgl. Gl. (5.28), so ergibt sich folgender Ausdruck, den man zum Vergleich heranziehen kann: % & p−5

4p−11 3

Jred = Jr1 1 + ump−2 + um 3 + um

2p−10 3

+ um

5p−16 3

+ um

(5.37)

¨ Mit der Vollwandbauweise (p = 4) ist durch eine Optimierung der Ubersetzungen prozentual weniger zu gewinnen als mit der Leichtbauweise (p = 3). Bei einer op¨ timalen L¨osung nehmen die Ubersetzungen von der ersten bis zur dritten Stufe zu. Dies ist physikalisch darin begr¨undet, daß das Tr¨agheitsmoment der schnellaufenden ¨ Welle den gr¨oßten Einﬂuß hat. Man kann diese Tendenz der zunehmenden Ubersetzungen als Regel zur Auslegung von Zahnradgetrieben mit m¨oglichst kleinem reduzierten Tr¨agheitsmoment auffassen und nutzen. 5.3.4 Stabproﬁle fur ¨ extreme Eigenfrequenzen Bei der Verbesserung einer Konstruktionsvariante, bei der L¨angs- oder Torsionsschwingungen von St¨aben oder Biegeschwingungen von Balken eine wesentliche Rolle spielen, sucht man manchmal die minimale Masse f¨ur eine gegebene Eigenfrequenz oder die maximale tiefste Eigenfrequenz, die mit gegebener Masse erreichbar ist. Solche Aufgaben lassen sich manchmal mit Hilfe der Variationsrechnung oder durch Anwendung des Maximumprinzips von Pontrjagin l¨osen [102], [125], [251] oder sie f¨uhren auf Optimierungsprobleme [118], [248]. Im folgenden ist beispielhaft das Proﬁl des u¨ ber die L¨ange ver¨anderlichen Querschnitts zu bestimmen, wenn die erste Eigenfrequenz f1 = ω 1 /(2π ) des Stabes gegeben ist und die Masse M des Stabes minimal sein soll. Bild 5.9 erl¨autert die Bezeichnungen. x

x ,E

A(x)

,G

m

J

I P (x) I T ( x)

a)

l

b)

l

Bild 5.9 Bezeichnungen am Stab mit ver¨anderlichem Querschnitt a) L¨angsschwinger, b) Torsionsschwinger

330

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Der Stab ist am linken Rand befestigt und am rechten Rand mit der Einzelmasse m verbunden. Die Dichte des Stabes ist , d. h. seine Masse bzw. sein Tr¨agheitsmoment ist M=

l

A(x) dx;

J=

0

l

IP (x) dx

(5.38)

0

Die Bewegungsgleichung des L¨angsschwingers hat dieselbe mathematische Form wie die eines Torsionsschwingers: dem E-Modul entspricht der Gleitmodul G, der Fl¨ache A(x) das polare Fl¨achentr¨agheitsmoment IP (x) (Tr¨agheit) und das Torsionsﬂ¨achenmoment IT (x) (Steiﬁgkeit) und der Masse m das Tr¨agheitsmoment J. Aus Abschn. 2.4.4 folgt die Bewegungsgleichung aus Gl. (2.261) und Gl. (2.262) zu

Au¨ = (EAu ) ;

IP u¨ = (GIT ϕ )

(5.39)

und mit dem Ansatz f¨ur die L¨angsverschiebung u(x, t) = ϕ (x) exp( jω t) folgt: (Al 2 ϕ ) + λ 2 Aϕ = 0;

(IT l 2 ϕ ) + λ IP ϕ = 0

Dabei werden der Eigenwert (dimensionslose Eigenfrequenz) IP λ = ωl λ = ωl ; E GIT

(5.40)

(5.41)

und die Stabl¨ange l eingef¨uhrt, vgl. auch Gl. (2.301). Der Stab schwingt mit der Eigenschwingform ϕ (x). Am linken Rand ist ϕ (0) = 0 und am rechten Rand besteht ein Gleichgewicht zwischen der Massenkraft der schwingenden Einzelmasse und der Stabkraft, die wiederum von der Dehnung abh¨angt: F(l) = EA(l)ϕ (l) = mω 2 ϕ (l)

(5.42)

Die Eigenkreisfrequenz kann als Funktion der ver¨anderlichen Fl¨ache A(x) und der Eigenschwingform ϕ i (x) mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten ausgedr¨uckt werden: l

EAϕ i2 dx

0

ω i2 =

mϕ i2 (l) +

l

(5.43) Aϕ i2 dx

0

Mit dem Verlauf der Querschnittsﬂ¨ache A(x) kann man also das Eigenfrequenzspektrum beeinﬂussen. Hier interessiert nur die niedrigste Eigenfrequenz. In [125] wird gezeigt, daß die Masse M bei einer vorgegebenen Eigenfrequenz dann am kleinsten ist, wenn sich die Querschnittsﬂ¨ache folgendermaßen a¨ ndert, vgl. Gl. (5.41): mλ 1 sinh λ 1 cosh λ 1 x (5.44) l cosh2 λ 1 l Die Fl¨ache am linken Rand (x =0) ist also gr¨oßer als die am rechten Rand (x = l): A(x) =

mλ 1 sinh λ 1 mλ 1 l = A(l) A(0) = sinh λ 1 cosh λ 1 > A(x) > l cosh λ 1

(5.45)

5.3 Optimale Auslegung von Baugruppen

Die erste Eigenschwingform ist dabei x sinh λ 1 l ϕ 1 (x) = sinh λ 1

331

(5.46)

In Bild 5.10 sind f¨ur verschiedene Massenverh¨altnisse die Proﬁlformen angegeben. Solche Proﬁlformen werden z. B. bei Ultraschall-Schwingungserregern angewendet. 3

λ

A(x)l/m

1,1 2

1,0 0,9

1 0

0,8 0

0,2

0,4

0,6

0,8 ξ = x/l

1

Bild 5.10 Proﬁlformen von St¨aben mit maximaler Grundfrequenz

Die minimale Stabmasse ergibt sich aus Gl. (5.38) und (5.44) zu (5.47) M = m sinh2 λ 1 F¨ur einen Stab mit konstantem Querschnitt A0 besteht eine transzendente Frequenzgleichung zwischen den Massen und den Eigenwerten, die sich als Sonderfall der in Tabelle 2.16 angegebenen Gleichungen ergibt (Fall 1 f¨ur K = 0 oder Fall 2 f¨ur K → ∞: (5.48) M0 = A0 l = mλ tan λ Aus dieser transzendenten Frequenzgleichung kann man alle Eigenwerte λ i des L¨angsschwingers mit Endmasse berechnen. Bei gleichem Eigenwert λ 1 betr¨agt also das Verh¨altnis der Masse des Stabes mit ver¨anderlichem Querschnitt zu einem solchen mit konstantem Querschnitt (M0 ) M sinh2 λ 1 = M0 λ 1 tan λ 1

(5.49)

1,5

λ1

2 1

1

0,5 0

0

0,5

1

1,5

2

2,5 3 3,5 M/m, M0/m

4

Bild 5.11 Abh¨angigkeit der Grundfrequenz von der Stabmasse Kurve 1: ver¨anderlicher Querschnitt gem¨aß Gl. (5.47) Kurve 2: konstanter Querschnitt gem¨aß Gl. (5.48)

332

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Bild 5.11 zeigt die Beziehungen zwischen Grundfrequenz und relativer Stabmasse. Das Massenverh¨altnis ist desto kleiner (die Masseeinsparung desto gr¨oßer), je n¨aher λ am Wert π /2 liegt.

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe 5.4.1 ¨ Instation¨are Starrkorperbewegung Die Wahl der Bewegungsgesetze f¨ur die Antriebsbewegungen ist ein wichtiger Schritt beim Entwurf f¨ur mechanische Antriebe oder f¨ur elektronische Bewegungssteuerungen. Von ihnen h¨angen die dynamischen Beanspruchungen, die Genauigkeit der Abtriebsbewegung, die Antriebsleistung und andere physikalische Gr¨oßen ab. Zun¨achst sollen die optimalen Bewegungsgesetze f¨ur eindimensionale Starrk¨orperbewegungen behandelt werden, vgl. das Minimalmodell gem¨aß Bild 5.12, bei dem eine Masse m durch eine Kraft F in einer endlichen Zeit um eine endliche Strecke bewegt wird. Die Gleichungen, die im folgenden f¨ur die translatorische Bewegung einer Masse dargestellt werden, sind dieselben Gleichungen wie f¨ur die rotatorische Bewegung einer Drehmasse. Man kann m auch als das reduzierte Tr¨agheitsmoment eines gleichm¨aßig u¨ bersetzenden Getriebes auffassen, vgl. G. (3.8) in Abschn. 3.1 und oder Gl. (5.29) in Abschn. 5.3.3. F

m

x x0

x1

Bild 5.12 Minimalmodell zur Positionierbewegung einer Masse

Ein beliebiger Anfangs- und Endzustand wird durch die Anfangs- und Endbedingungen t = 0: x(0) = 0, x(0) ˙ = v0 ;

t = t1 : x(t1 ) = x1 , x(t ˙ 1 ) = v1

(5.50)

formuliert. Da verschiedene Abl¨aufe m¨oglich sind, besteht die Frage, welches der optimale Verlauf des Weges x(t) oder der Kraft F(t) ist, vgl. Bild 5.13. Als opti” mal“ werden Bewegungsgesetze bezeichnet, wenn sie ein Optimalit¨atskriterium erf¨ullen. Ein solches Kriterium f¨ur den Antriebskraftverlauf ist z. B. die Forderung minimale Maximalkraft“: ” ¨ max = Min. (5.51) |F|max = |mx| Dieses Kriterium ber¨ucksichtigt, daß die Antriebs- oder Bremskraft eine begrenzte Gr¨oße hat. Es kann auch f¨ur die maximale Beanspruchung der Antriebswelle maßgebend sein. Ein anderes Kriterium ist der minimale Quadratmittelwert der Kraft: t1 0

F 2 dt =

t1 0

(mx) ¨ 2 dt = Min.

(5.52)

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

333

Dieses Kriterium entspricht der in der Antriebsdynamik h¨auﬁg benutzten Bewertung der Motorerw¨armung. Weitere Kriterien sind die minimale Maximalleistung ˙ max = |mx˙x| ¨ max = Min. |P|max = |F x|

(5.53)

oder der minimale Quadratmittelwert der kinetischen Leistung t1

P2 dt =

0

t1

(F x) ˙ 2 dt =

0

F

b

(mx˙x) ¨ 2 dt = Min.

(5.54)

0

a

Fmax F (t )

0

t1

t*

t

t1

Zeit t

−Fmax

Bild 5.13 Bezeichnungen f¨ur den Antriebskraftverlauf a) Minimale Maximalkraft, b) beliebiger Kraftverlauf

Derartige Aufgaben lassen sich nicht mit den Methoden der Differentialrechnung oder der nichtlinearen Optimierung l¨osen, weil es nicht um die Bestimmung von Parameterwerten, sondern um die Berechnung von Funktionsverl¨aufen geht, d. h., zu ihrer L¨osung sind i. allg. die Methoden der Variationsrechnung [38], [50], [108] oder der optimalen Steuerung (Maximumprinzips von Pontrjagin) einzusetzen [102], [198]. F¨ur das Kriterium nach Gl. (5.51) ergibt sich ein abschnittsweise konstanter Antriebskraftverlauf: % & 2mx1 v0 + v1 v02 + v12 2 (v0 + v1 )t1 + 1− t1 + t 1− (5.55) Fmax = 2 2x1 x1 t1 2x12 1 Bild 5.13b enth¨alt die Bezeichnungen f¨ur den allgemeinen Verlauf. Den Zeitpunkt t ∗ und die Koordinate x∗ f¨ur den Kraftrichtungswechsel ﬁndet man aus

1 m 1 m (v1 − v0 ) ; x∗ = (v12 − v02 ) (5.56) t∗ = t1 + x1 + 2 Fmax 2 2Fmax In den beiden Bewegungsetappen existieren quadratische Weg- Zeit- Verl¨aufe: Fmax 2 t (5.57) 0 t t ∗ : x = v0t + 2m Fmax 2 Fmax · t ∗ t − t∗ − t − t∗ t ∗ t t1 : x = x∗ + v0 + (5.58) m 2m F¨ur das Optimierungskriterium gem¨aß Gl. (5.52) lautet die allgemeine L¨osung f¨ur den Kraft- und Wegverlauf als Alternative zu Gl. (5.55) bis (5.58), vgl. Bild 5.14: (v0 + v1 )t1 t 2v0 + v1 2mx1 t − 6−3 3− (5.59) F(t) = 2 x1 x1 t1 t1

334

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

x(t) = v0t + [3x1 −(v1 + 2v0 )t1 ]

2 3 t t + [−2x1 + (v0 + v1 )t1 ] t1 t1

(5.60)

F¨ur den Sonderfall der einmaligen Positionierbewegung, der den Bedingungen t = 0: x(0) = 0, x(0) ˙ = 0;

t = t1 : x(t1 ) = x1 , x(t ˙ 1) = 0

(5.61)

entspricht, folgt f¨ur das Kriterium minimale Maximalkraft aus Gl. (5.57) und Gl. (5.55) x(t) = 2x1

t2 ; t12

F(t) =

4mx1 t12

f¨ur 0 t < t1 /2

(5.62)

Sie wird nach der Halbzeit“ t ∗ = t1 /2 vom positiven auf den negativen Wert umge” schaltet, vgl. Bild 5.14. Fordert man den minimalen Quadratmittelwert der Kraft, so folgen aus Gl. (5.59) und (5.60) die Verl¨aufe (0 t < t1 ): % 3 & t 2 t 6mx1 2t ; F(t) = 2 −2 1− (5.63) x(t) = x1 3 t1 t1 t1 t1 Man vergleiche dazu die L¨osung f¨ur das schwingungsf¨ahige System, vgl. Gl. (5.108). Der Wegverlauf in Gl. (5.59) entspricht in diesem Falle dem in der VDI-Richtlinie 2143 Bl. 1 enthaltenen 2-3-Potenzgesetz“. Die L¨osung f¨ur das Kriterium gem¨aß Gl. ” (5.53) f¨ur die speziellen Anfangs- und Endbedingungen (5.61) lautet in der ersten Etappe 3 t 3x1 2t ; x(t) ˙ = (5.64) x(t) = x1 2 t1 2t1 t1 3x1 t1 F(t) = m 2 2 f¨ur 0 t t1 /2 t 4t1 und in der zweiten Etappe 3 t1 − t x(t) = x1 2 ; t1 2t1 3x1 F(t) = −m 2 4t1 t1 − t

3x1 x(t) ˙ = 2t1

2(t1 − t) t1

(5.65)

f¨ur t1 /2 t t1

Da diese Antriebskraft mit einem unbegrenzt großen Wert beginnt, ist dieses Ergebnis nur von theoretischem Interesse. Die minimale Maximalleistung ist dabei P = 2,25mx12 /t13 . Die Forderung nach minimalem Quadratmittelwert der Leistung liefert nach Anwendung der Eulerschen Differentialgleichung der Variationsrechnung auf das durch Gl. (5.54) deﬁnierte Funktional folgende Differentialgleichung als notwendige Bedingung: ˙ x˙x)˙) ¨ ˙=0 (x(

(5.66)

Deren L¨osung ist umfangreicher als die vorgenannten und wird hier nicht angegeben. Sie ist in Bild 5.14 gemeinsam mit den L¨osungen, die sich nach den vier genannten

335

2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

0

10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 0

a)

Kraft 0,2

0,4

0,6 0,8 Zeit t / t1

1

Geschwindigkeit

10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 0

0,2

0,4

0,6 0,8 Zeit t / t1

1

Leistung

Leistung

Geschwindigkeit

Kraft

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

0,2

0,4

0,6 0,8 Zeit t / t1

1

10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 0

0,2

0,4

0,6 0,8 Zeit t / t1

1

0

0,2

0,4

0,6 0,8 Zeit t / t1

1

10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 0

0,2

0,4

0,6 0,8 Zeit t / t1

1

2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

b)

Bild 5.14 Verl¨aufe von Antriebskraft Ft12 /(mx1 ), Geschwindigkeit xt ˙ 1 /x1 und Leistung Pt13 /(mx12 ) f¨ur eine Positionierbewegung; a) Minimaler Maximalwert, b) Minimaler Quadratmittelwert (volle Linie: Kraft als Kriterium; gestrichelt: Leistung als Kriterium)

Optimierungskriterien ergeben, dargestellt. Man beachte die Unterschiede, die sich bei den verschiedenen Kriterien ergeben! Der Maximalwert der Antriebskraft ist gem¨aß Gl. (5.63) um 50 % h¨oher als gem¨aß Gl. (5.62). Andererseits ist der Quadratmittelwert f¨ur den Fall, daß das erste Kriterium optimal erf¨ullt wird, um 33 % gr¨oßer als der minimale Quadratmittelwert. Die dynamische Antriebsleistung ist bei den Kriterien, welche die Antriebskraft minimieren, wesentlich gr¨oßer als ihr minimal erforderlicher Wert.

336

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

In der VDI-Richtlinie 2143 Bl. 1 und 2 werden Bewegungsgesetze f¨ur Kurven” getriebe“ f¨ur verschiedene Varianten von Bewegungsaufgaben klassiﬁziert und f¨ur ¨ viele in der Praxis auftretende F¨alle als normierte Ubertragungsfunktionen“ emp” fohlen. Sie haben nicht nur bei Kurvengetrieben Bedeutung,sondern auch f¨ur andere mechanische, elektrische, hydraulische oder pneumatische Antriebe. Allerdings beziehen sie sich im wesentlichen auf das Starrk¨orpermodell und ber¨ucksichtigen keine Daten von Eigenfrequenzen oder anderen Parametern elastischer Antriebe. Antriebssysteme bewegen sich in Wirklichkeit nur dann entsprechend dieser Bewegungsgesetze, wenn das Berechnungsmodell stimmt, vgl. die in Abschn. 2.1.2 in Gl. (2.6) und (2.7) angegebenen Kriterien. Sind diese Kriterien nicht erf¨ullt, muß von vornherein zur Bestimmung optimaler Bewegungsabl¨aufe ein Berechnungsmodell f¨ur das schwingungsf¨ahige Antriebssystem benutzt werden. 5.4.2 Eigenbewegung von Mechanismen Unter Mechanismen werden ungleichm¨aßig u¨ bersetzende Getriebe verstanden, die als Kurvengetriebe, Koppelgetriebe, R¨aderkoppelgetriebe und kombinierte Getriebe in vielen Maschinenantrieben zur Erzeugung periodischer Bewegungen (oder Kr¨afte) angewendet werden. Ihr dynamisches Verhalten wird wesentlich durch den Verlauf des reduzierten Tr¨agheitsmomentes J(ϕ ) bestimmt, vgl. Tabelle 2.6 und Gl. (5.23). W¨ahrend sich ein starrer K¨orper, der eine bestimmte kinetische Energie besitzt, ohne Bewegungswiderst¨ande translatorisch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, hat ein Mechanismus bei konstanter kinetischer Energie eine ver¨anderliche Geschwindigkeit. Bei sich selbst u¨ berlassenen Mechanismen stellt sich eine sogenannte Eigenbewegung mit stellungsabh¨angiger ver¨anderlicher Drehgeschwindigkeit ein. Aus der Bedingung, daß die Summe aus kinetischer und potentieller Energie zu Beginn der Eigenbewegung (Antriebswinkel ϕ 0 , Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ 0 ) ebenso groß bleibt wie bei einem beliebigen Antriebswinkel ϕ , folgt: W0 =

1 1 J(ϕ )ϕ˙ 2 + Wpot (ϕ ) = J(ϕ 0 )ϕ˙ 02 + Wpot (ϕ 0 ) 2 2

(5.67)

Außer der ver¨anderlichen potentiellen Energie aus dem Schwerefeld der Erde (Heben und Senken der Schwerpunkte der Getriebeglieder) kann bei Mechanismen auch die Form¨anderungsarbeit von Federn eine Rolle spielen, die w¨ahrend der Eigenbewegung gespannt und entspannt werden [81]. Man erh¨alt aus Gl. (5.67) den Verlauf der Winkelgeschwindigkeit bei der idealen verlustfreien Eigenbewegung: . / 1 / J(ϕ )ϕ˙ 2 + W (ϕ ) − W (ϕ ) 0 0 pot 0 pot 0 ϕ˙ (ϕ ) = 2 2 (5.68) J(ϕ ) Die Winkelbeschleunigung folgt durch die Ableitung nach der Zeit daraus zu 1 (ϕ )J(ϕ ) + J (ϕ ) Wpot J(ϕ 0 )ϕ˙ 02 + Wpot (ϕ 0 ) − Wpot (ϕ ) 2 ϕ¨ (ϕ ) = − (5.69) J 2 (ϕ )

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

337

¨ Ist die potentielle Energie und deren Anderung gegen¨uber der kinetischen Energie vernachl¨assigbar klein, so ergeben sich einfachere Formeln zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung der Eigenbewegung: J(ϕ 0 ) ϕ˙ (ϕ ) = ϕ˙ 0 (5.70) J(ϕ ) 1 2

ϕ¨ (ϕ ) = − ϕ˙ 02

J (ϕ )J(ϕ 0 ) J 2 (ϕ )

(5.71)

Der Verlauf der Funktion ϕ (t) l¨aßt sich als Umkehrfunktion aus der Funktion ϕ ϕ 1 dϕ ∗ J(ϕ ∗ ) = dϕ ∗ (5.72) t(ϕ ) − t(ϕ 0 ) = ∗ ϕ˙ (ϕ ) ϕ˙ 0 J(ϕ 0 ) ϕ0

ϕ0

gewinnen, z. B. durch numerische Integration aus dem bekannten Verlauf von J(ϕ ∗ ) und dem Anfangszustand (ϕ 0 , ϕ˙ 0 ). Zur Aufrechterhaltung einer konstanten Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ = Ω ist ein wechselndes Antriebsmoment 1 J (ϕ )Ω 2 + Wpot (Ω t) (5.73) 2 aufzubringen. F¨ur die Eigenbewegung gem¨aß der Gln. (5.68) und (5.69) ist das Antriebsmoment Null (Man = 0) und keine Antriebsleistung erforderlich, wovon man sich durch Einsetzen der Verl¨aufe aus Gl. (5.68) und (5.69) oder aus Gl. (5.70) und (5.71) in Gl. (5.23) u¨ berzeugen kann. Bei der Eigenbewegung bewegt sich ein Mechanismus mit umlaufendem Antriebsglied als nichtlinearer Schwinger mit einer Periodendauer T , die sich aus der in ihm enthaltenen kinetischen Energie ergibt. Aus Gl. (5.72) folgt diese zu 2π +ϕ 0 J(ϕ ∗ ) 1 (5.74) dϕ ∗ T = ϕ˙ 0 J(ϕ 0 ) Man =

ϕ0

Es k¨onnen, wie bei der Getriebesynthese u¨ blich, geometrische und kinematische Forderungen an die Abtriebsbewegung gestellt und bei ver¨anderlicher Antriebsdrehzahl erf¨ullt werden. Wenn in einem Maschinenantrieb mehrere Mechanismen zusammenwirken, dann ist das auf die Hauptwelle bezogene gesamte Tr¨agheitsmoment zu ber¨ucksichtigen. Die relativen Bewegungen, Abst¨ande, Wege und Winkel, die bez¨uglich der technologischen Forderungen und der Kollisionsvermeidung wesentlich sind, lassen sich nicht nur bei konstanter Drehzahl, sondern auch bei der ver¨anderlichen Drehzahl einer Eigenbewegung einhalten. Unter realen Bedingungen weicht die Eigenbewegung zwar von den oben angegebenen idealen Verl¨aufen ab, aber es kann auch unter Ber¨ucksichtigung der technologischen Kr¨afte und der Reibungsverluste eine Eigenbewegung ermittelt werden [81]. Sie ist dann dadurch charakterisiert, daß vom Antrieb nur die Nutz- und Verlustleistung aufzubringen ist, weil Blindleistung vermieden wird. Die Bestimmung des Verlaufs der Eigenbewegung ist sowohl rechnerisch m¨oglich, wenn man die Momente kennt (numerische Integration), als auch experimentell, indem man den Verlauf der Drehgeschwindigkeit w¨ahrend des Auslaufvorganges mißt.

338

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Winkelgeschwindigkeit

a)

J

2

1 0 0

ϕ

2π 1 2 3

0 0

π

ϕ

2π

M an

Antriebsmoment

π

Ω

b)

c)

JS

&E ϕ

Trägheitsmoment

Gibt man dem drehzahlgeregelten Antriebsmotor als Sollwert die Winkelgeschwindigkeit der Eigenbewegung (den stellungsabh¨angigen Verlauf der Drehzahl) vor – und nicht die konstante Drehzahl –, so kann man den Antrieb mit minimaler Antriebsleistung bewegen, also Antriebsenergie sparen. Angewendet wird die z. B. in Antrieben von Pilgerschrittwalzwerken (Patent DE 41 16 307 C1). Den in Abschn. 5.3.2 beschriebenen Einsatz von Kompensatoren kann man als Maßnahme auffassen, um durch zus¨atzliche Tr¨agheitsmomente einen konstanten Wert J(ϕ ) zu erreichen, dessen Eigenbewegung die Rotation mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ist.

3 0 0

π

1, 2 ϕ

2π

Kurbelwinkel

Bild 5.15 Zur Erl¨auterung der Eigenbewegung a) Verlauf des reduzierten Tr¨agheitsmomentes J(ϕ ), b) Verlauf der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ E (ϕ ) der Eigenbewegung, c) Verlauf des Antriebsmomentes Man Kurve 1: ohne Schwungrad; Kurve 2: mit Schwungrad; Kurve 3: Antrieb mit ϕ˙ = Ω

F¨ur einen Mechanismus zeigt Bild 5.15a den Verlauf des reduzierten Tr¨agheitsmomentes J(ϕ ). Kurve 1 gilt im urspr¨unglichen Zustand und Kurve 2 mit einem zus¨atzlichen Schwungrad, das das Tr¨agheitsmoment JS besitzt. Das stellungsabh¨angige Tr¨agheitsmoment zeigt den typischen Verlauf mit zwei Maxima und zwei Minima pro Periode, der charakteristisch f¨ur Mechanismen ist, deren Abtriebsglied pro Umdrehung zwei Umkehrstellungen hat, vgl. auch Bild 5.7c. Gem¨aß Gl. (5.70) verl¨auft die Winkelgeschwindigkeit der Eigenbewegung in Bild 5.15b gegensinnig zum Tr¨agheitsmoment. Sie schwankt bei dem um das Schwungrad

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

339

erg¨anzten Mechanismus weniger als beim urspr¨unglichen Mechanismus. Um eine konstante Winkelgeschwindigkeit Ω zu erzwingen, ist das in Bild 5.15c dargestellte Moment (Kurve 3) erforderlich, w¨ahrend bei der Eigenbewegung mit ver¨anderliche Winkelgeschwindigkeit das Antriebsmoment Null ist (Kurve 1 und 2). F¨ur einen Mechanismus, dessen reduziertes Tr¨agheitsmoment sich harmonisch gem¨aß J(ϕ ) = J0 + ∆J cos 2ϕ

(5.75)

mit der Kurbelstellung a¨ ndert, betr¨agt die Winkelgeschwindigkeit der Eigenbewegung (bei den Anfangsbedingungen t = 0: ϕ 0 = π /4; ϕ˙ 0 = Ω ) gem¨aß Gl. (5.70): J0 ϕ˙ E = Ω (5.76) J0 + ∆J cos 2ϕ Dann betr¨agt die Winkelbeschleunigung gem¨aß Gl. (5.71) ϕ¨ E = Ω 2

J0 ∆J sin 2ϕ (J0 + ∆J cos 2ϕ )2

(5.77)

und die kinematische Periodendauer folgt aus Gl. (5.74) zu T0 = 2π /Ω . Wenn so ein Mechanismus mit der Winkelgeschwindigkeit gem¨aß Gl. (5.76) mit einer Steuerung angetrieben wird, so ist unter idealen Bedingungen das Antriebsmoment und die mechanische Blindleistung (also die zur Aufrechterhaltung der Bewegung erforderliche Antriebsleistung) Null.

5.4.3 Anlaufen und Bremsen eines linearen Schwingers 5.4.3.1 Vergleich von Anlauffunktionen Die meisten Antriebssysteme verhalten sich bei instation¨aren Bewegungen in erster N¨aherung wie lineare Schwinger, bei denen eine einzige Eigenfrequenz das Schwingungsverhalten bestimmt. Bild 5.16 zeigt Zweimassensystem als das Minimalmodell f¨ur einige repr¨asentative Beispiele. Auch das in Abschn. 4.5.2 f¨ur das Keilschubgetriebe (Bild 4.19) und das in Abschn. 5.5.3.3 f¨ur das Kurvenschrittgetriebe eingef¨uhrte Berechnungsmodell l¨aßt sich hier zuordnen, vgl. Bild 5.43 und Gl. (5.220). Es handelt sich jeweils um ein ungefesseltes Schwingungssystem mit zwei Freiheitsgraden, welches neben der Starrk¨orperbewegung eine (meist unerw¨unschte) Zusatzbewegung ber¨ucksichtigt, die durch einen Schwinger mit einem Freiheitsgrad modelliert wird. Die D¨ampfung wird hier vernachl¨assigt, da sie die u¨ bersichtliche Darstellung erschwert und auf die Maximalwerte, die kurz nach Beginn der Bewegung auftreten, nur wenig Einﬂuß hat. Der angekoppelte Schwinger repr¨asentiert im Sinne der modalen Betrachtungsweise die Grundschwingungsform des realen Objektes, vgl. auch Abschn. 2.4.5 und 4.8. Manchmal wird vermutet, daß es auf den Funktionsverlauf zu Beginn ankommt. In der VDI-Richtlinie 2143 wird z. B. auch empfohlen, keine Spr¨unge in der ersten und zweiten Ableitung der Anlauffunktion zuzulassen.

340

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

J1

J2

M an

m1

kT

ϕ1

m2

k

F x1

ϕ2

a)

x2 l0

b) x1 F1

m1

c)

m2

ϕ2

M EI

ϕ<<1

x2

x2

r1

x 2 m2 MB x1

l

l

J1

J2

k

F

m y

m2 g

e)

d)

Bild 5.16 Minimalmodell f¨ur ein schwingungsf¨ahiges Antriebssystem a) Torsionsschwinger, b) L¨angsschwinger, c) Kran mit Lastpendel, d) Biegeschwinger, e) Hubwerk

Man kann mit diesen Berechnungsmodellen eine innere Kraftgr¨oße“ berechnen, ” die je nach Beispiel ein Torsionsmoment, eine L¨angskraft, einen Pendelwinkel, ein Biegemoment oder eine Seilkraft darstellt, vgl. Tabelle 5.6. Tabelle 5.6 Vergleichbare Gr¨oßen der mechanisch a¨ hnlichen Modelle von Bild 5.16 Fall berechenbare Gr¨oße a Torsionsmoment b L¨angskraft c Pendelwinkel d Biegemoment e L¨angskraft

Formel

Koordinaten

TT = kT (ϕ 1 − ϕ 2 ) L = k(x1 − x2 ) ϕ = (x1 − x2 )/l M = 3EI(x1 − x2 )/l 3 F = k(r2 ϕ 2 − y)

ϕ1

ϕ2

x1 x1 x1 r2 ϕ 2

x2 x2 x2 y

Parameter Man F F F M/r1

J1 m1 m1 m1 J1 /r12 + J2 /r22

J2 m2 m2 m2 m

kT k m2 g/l 3EI/l 3 k

Die Berechnungsmodelle in Bild 5.16 lassen sich mit derselben Form von Bewegungsgleichungen beschreiben, d. h., die im folgenden entwickelte L¨osung l¨aßt sich auf alle diese Antriebe u¨ bertragen. Die Bewegungsgleichungen f¨ur den L¨angsschwinger (Bild 5.16b) lauten m1 x¨1 + k(x1 − x2 ) = F(t);

m2 x¨2 − k(x1 − x2 ) = 0

(5.78)

Aus ihnen kann man eine Differentialgleichung f¨ur die L¨angskraft L = k(x1 − x2 ) gewinnen, die zwischen den beiden Massen wirkt. Bei den anderen Modellen hat die mit L vergleichbare Gr¨oße eine andere Bedeutung, vgl. Tabelle 5.6: k L¨ + ω 02 L = F(t) m1

=

q¨ + ω 02 q = a(t)

(5.79)

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

341

Die rechte Gleichung verallgemeinert die linke und ist ein Spezialfall von Gl. (5.137). Sie soll darauf hinweisen, daß die f¨ur den L¨angsschwinger ermittelten Ergebnisse allgemeiner gelten, und zwar f¨ur modale Schwinger gem¨aß Gl. (5.1), bei denen q die modale Koordinate pi betrifft, f¨ur die F¨alle in Tabelle 5.6, Gln. (5.115), (5.180), (5.199) u. a. Zur Abk¨urzung wird die von Null verschiedene Eigenkreisfrequenz und der Zeitmaßstab k k ω0 = + ; τ = ω 0t (5.80) m1 m2 eingef¨uhrt. F¨ur sehr steife Antriebe (k → ∞ oder ω 0 → ∞) ergibt sich aus Gl. (5.78) x1 = x2 , d. h., daß sich beide Massen gemeinsam wie ein einziger starrer K¨orper bewegen und die L¨angskraft entspricht dann der kinetostatischen Belastung. Im folgenden wird die Aufgabe betrachtet, ein schwingungsf¨ahiges Antriebssystem aus dem Ruhezustand, dem die Anfangsbedingungen t = 0: x1 (0) = x2 (0) = 0, x˙1 (0) = x˙2 (0) = 0

(5.81)

entsprechen, innerhalb der Anlaufzeit t1 auf den Mittelwert a = F1 /(m1 + m2 ) zu beschleunigen. Dieser Vorgang interessiert z. B. beim Kupplungsvorgang eines Torsionsschwingers oder beim Anlauf eines Krans mit Lastpendel. So eine Beschleunigung ist auf verschiedene Weise erreichbar, z. B. durch eine anfangs linear zunehmende Antriebskraft, die dann auf einem konstanten Wert verharrt, d. h. durch den Antriebskraftverlauf (Fall 1) F(t) =

F1t t1

f¨ur 0 t t1 ;

F(t) = F1

f¨ur t1 t

(5.82)

Die Wege der beiden Massen ergeben sich mit dem Duhamel-Integral aus Gl. (5.78): x1 =

I(t) L(t) + ; m1 + m2 m1 ω 02

x2 =

I(t) L(t) − m1 + m2 m2 ω 02

mit dem Wert des Doppelintegrals ⎧ 3 ⎞ ⎛ ∗ F1t ⎪ ⎪ f¨ur ⎨ t t 6t1 I(t) = ⎝ F(t) dt ⎠ dt ∗ = ⎪ ⎪ 0 0 ⎩ F1 3t(t − t ) + t 3 f¨ur 1 1 6 und der L¨angskraft als L¨osung der Gl. (5.79) gem¨aß ⎧ t sin ω 0t ⎪ ⎪ m a − ⎨ 2 t1 ω 0t1 L(t) = ⎪ ⎪ ⎩m2 a 1 − 2 sin ω 0t1 cos ω 0t − ω 0t1 ω 0t1 2 2

(5.83)

0 t t1 (5.84) t1 t

f¨ur 0 t t1 (5.85) f¨ur t1 t

Der erste Term in den Ausdr¨ucken von Gl. (5.85) stammt von der kinetostatischen Kraft (Beschleunigung des Starrk¨orpersystems, Prim¨arbewegung), w¨ahrend die

342

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

zweiten Terme vibrodynamische Kr¨afte sind (Schwingungen, Sekund¨arbewegung), was man an der Eigenkreisfrequenz ω 0 erkennt. Bild 5.17 zeigt, wie die L¨angskraft von der relativen Anlaufzeit abh¨angt. Es werden Schwingungen mit der Eigenfrequenz angeregt, die sich der kinetostatischen Belastung u¨ berlagern. Die Amplitude der Restschwingungen h¨angt vom Verh¨altnis der Anlaufzeit zur Periodendauer ab, d. h. von 2πt1 (5.86) τ 1 = ω 0t1 = T Der Maximalwert der L¨angskraft betr¨agt w¨ahrend der Restschwingungen (f¨ur t t1 ): 2 τ 1 (5.87) Lmax = m2 a 1 + sin τ1 2 Da der Sinus bei ganzzahligen Vielfachen von π Null ist, treten bei t1 = 1, 2, . . . (5.88) T gar keine Restschwingungen auf, vgl. Bild 5.18b. Die angeregte Schwingung m¨undet in diesen F¨allen tangential in die kinetostatische Kraft ein, vgl. Bild 5.17. Sie wird gewissermaßen im passenden Augenblick abgefangen, vgl. dazu auch Abschn. 5.4.4.

L(t ) / m2 a

2 1 1,5 1

4

2

3

2

1 F (t ) / F1

3 0,5 4 0 1 π 2π 8 10

15

20

25

30 35 40 45 Zeit τ = ωt = 2πt / T

Bild 5.17 L¨angskraft gem¨aß Gl. (5.85) im Vergleich zum Antriebskraftverlauf gem¨aß Gl. (5.82); Kurve 1: t1 /T = 0,5; Kurve 2: t1 /T = 1; Kurve 3: t1 /T = 1,8; Kurve 4: t1 /T = 3,2

N¨aherungsweise gilt bei relativ langer Anlaufzeit 2 t1 T : Lmax m2 a 1 + τ1

(5.89)

Wenn die Anlaufzeit l¨anger als etwa das F¨unffache der Periodendauer der Schwingung betr¨agt, sind die Restschwingungen vernachl¨assigbar klein und bei t → ∞ ergibt sich der Grenzfall der kinetostatischen Belastung. Bei relativ kurzer Anlaufzeit ergibt sich aus Gl. (5.87) die N¨aherung τ2 (5.90) t1 T : Lmax ≈ m2 a 2 − 1 24

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

343

Bild 5.18 Zum Vergleich von vier Antriebskraftverl¨aufen (Fall 1, 2, 3, 4) a) Antriebskraftverl¨aufe, b) Maximalwert der L¨angskraft w¨ahrend der Restschwingungen

Die L¨angskraft kann bei kurzen Anfahrvorg¨angen also fast doppelt so groß wie im kinetostatischen Fall sein, d. h. bei Anlaufzeiten, die kleiner als etwa ein F¨unftel der Periodendauer sind, ist der Maximalwert fast so groß wie beim pl¨otzlichen Kraftsprung, bei dem t1 → 0 gilt. Die bisherigen Aussagen bezogen sich auf den Antriebskraftverlauf gem¨aß Gl. (5.82). Zum Vergleich werden drei weitere Antriebskraftverl¨aufe herangezogen. Im Fall 2 verl¨auft die Antriebskraft gem¨aß ⎧ ⎨ 1 F 1 − cos πt f¨ur 0 t t1 1 (5.91) F(t) = 2 t1 ⎩ F1 f¨ur t1 t Dann ist der Maximalwert der Restschwingungen (t t1 ): ⎤ ⎡ 1 τ 1 ⎥ ⎢ Lmax = m2 a ⎣1 + 2 cos ⎦ τ1 2 −1

(5.92)

π

Beim Verlauf, welcher dem Abschnitt einer Sinuslinie entspricht (Fall 3), ist πt F(t) = F1 sin (5.93) f¨ur 0 t t1 ; F(t) = F1 f¨ur t1 t 2t1

344

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

und im Fall 4 gilt im ganzen Zeitbereich: 3t F(t) = F1 1 − exp − t1

(5.94)

Man kann die Resultate gem¨aß der Gln. (5.87), (5.92) und die L¨osungen f¨ur Fall 3 und Fall 4 miteinander vergleichen. Bild 5.18a zeigt die vier verschiedenen Antriebskraftverl¨aufe gem¨aß Gl. (5.82), (5.91), (5.93) und (5.94) und Bild 5.18b die Maximalkraft w¨ahrend der Restschwingungen. Ein Ausl¨oschen der Restschwingungen, das bei der linearen Anlauffunktion gem¨aß Gl. (5.82) unter der Bedingung (5.88) auftrat, gibt es bei den anderen beiden Verl¨aufen nicht. Man kann den Kurven in diesem Bild entnehmen, daß es beim Anlaufvorgang unm¨oglich ist, bei kurzen Anlaufzeiten im Bereich von τ 1 < 1 oder t1 < 0,2T

(5.95)

durch eine g¨unstige Funktion F(t) die Maximalkraft w¨ahrend der Restschwingungen wesentlich zu vermindern. Nur f¨ur Anlaufzeiten t1 > 0,2T kann man durch eine Steuerung des Antriebskraftverlaufs die dynamische Belastung merklich beeinﬂussen, vgl. Abschn. 5.4.3.2. Die hier f¨ur den L¨angsschwinger gewonnenen Aussagen lassen sich auf alle in Bild 5.16 dargestellten Berechnungsmodelle direkt u¨ bertragen, und sie gelten sinngem¨aß f¨ur beliebige lineare Systeme mit einem Freiheitsgrad. Bei linearen Schwingern mit vielen Freiheitsgraden kann man die hier erhaltenen Ergebnisse auf die ite modale Erregerkraft und die i-te Eigenfrequenz u¨ bertragen und die Superposition vornehmen. 5.4.3.2 Optimaler Antriebskraftverlauf F¨ur das in Abschn. 5.4.3.1 behandelte Berechnungsmodell (Bild 5.16 und Tabelle 5.6) soll ermittelt werden, welcher Antriebskraftverlauf im Sinne des Kriteriums von Gl. (5.52) optimal ist und dabei die Bedingung erf¨ullt, daß die Restschwingungen v¨ollig vermieden werden. Anfangs- und Endzustand beliebiger Anlauf-, Brems- oder ¨ Ubergangsvorg¨ ange sind durch folgende Bedingungen charakterisiert: t = 0:

x1 (0) = x10 ,

x˙1 (0) = v10 ,

x2 (0) = x20 ,

x˙2 (0) = v20

(5.96)

t = t1 :

x1 (t1 ) = x11 ,

x˙1 (t1 ) = v11 ,

x2 (t1 ) = x21 ,

x˙2 (t1 ) = v21

(5.97)

Es wird in diesen Bedingungen ber¨ucksichtigt, daß nicht nur die direkt angetriebene Masse m1 sondern auch die elastisch angekoppelte Masse m2 aus einem beliebigen Anfangszustand in einen beliebigen Endzustand versetzt werden soll. Gem¨aß Bild 5.16c kann man dies z. B. auf das Lastpendel eines Krans anwenden. Die Eulersche Gleichung der Variationsrechnung liefert f¨ur das durch die Gln. (5.52) deﬁnierte Funktional eine notwendige Bedingung f¨ur einen optimalen Kraftverlauf, vgl.[38], [102], [108]. Speziell ergibt sich hier F¨ + ω 02 F¨ = 0

(5.98)

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

345

Mit den Differentialgleichungen (5.78) und (5.98) liegen somit insgesamt acht lineare Differentialgleichungen erster Ordnung (f¨ur x1 (t), x2 (t) und F(t)) oder eine Differentialgleichung achter Ordnung vor. Die allgemeine L¨osung lautet mit der aus Gl. (5.80) bekannten Eigenkreisfrequenz und dem Massenverh¨altnis m1 + m2 µ = (5.99) m1 f¨ur die beiden Wegverl¨aufe und f¨ur den optimalen Antriebskraftverlauf x1 (τ ) = c0 + c1 τ + c2 (τ 2 + 2µ ) + c3 (τ 3 + 6µ τ ) + c4 (1 − µ ) sin τ +c5 (1 − µ ) cos τ + c6 [(1 − µ )τ sin τ + 2µ cos τ ]

(5.100)

+c7 [(1 − µ )τ cos τ − 2µ sin τ ] x2 (τ ) = c0 + c1 τ + c2 τ 2 + c3 τ 3 + c4 sin τ + c5 cos τ + c6 τ sin τ +c7 τ cos τ F(τ ) = (m1 +

m2 )ω 02 (2c2

(5.101) + 6c3 τ − 2c6 cos τ + 2c7 sin τ )

(5.102)

Dabei k¨onnen die Konstanten c0 bis c7 aus den Anfangs- und Endbedingungen (5.96) und (5.97) berechnet werden. Nun soll der Sonderfall n¨aher untersucht werden, f¨ur den folgende Anfangs- und Endbedingungen gelten (Positionierbewegung): (5.103) x10 = x20 = 0, x11 = x21 = x1 (t1 ), v10 = v20 = v11 = v21 = 0 Sie dr¨ucken aus, daß das Antriebssystem aus dem Ruhezustand um eine Strecke x11 transportiert werden soll, und zwar so, daß in der Endlage beide Massen den Ruhezustand (eine Rast“) erreichen. Die Bedingungen (5.103) verlangen ein v¨olliges Ver” schwinden der residuellen Schwingungen nach einer beliebigen Anlaufzeit t1 . Solche Restschwingungen machen sich nach Anfahr- und Bremsvorg¨angen oft st¨orend bemerkbar, vgl. Bild 5.18. Die analytische L¨osung liefert (mit den Abk¨urzungen S = sin τ 1 und C = cos τ 1 ) folgende Werte f¨ur die ci : 6(−τ 12 + 3τ 1 S − 4 − 4C)x11 12(τ 1C − S)x11 ; c1 = ; c0 = N N 3τ 1 (τ 1 − S)x11 2(τ 1 − S)x11 (5.104) c2 = ; c3 = − ; N N 3 1 1 c6 = − c0 − c2 ; c7 = c1 + 3c3 c4 = − c1 − 3c3 ; c5 = −c0 ; 2 2 2 mit dem Nenner N = τ 14 − τ 13 S − 12τ 12 (1 + C) + 48(τ 1 S + C − 1)

(5.105)

Man kann die Gl. (5.102) unter Benutzung einiger Additionstheoreme f¨ur die trigonometrischen Funktionen mit der Halbzeit“ τ ∗ = τ 1 /2 = ω 0t1 /2 nach dem Einsetzen ” der ci aus Gl. (5.104) in folgende Form bringen: f=

F(τ )t12 (m1 + m2 )x11

= 12τ 12

(τ ∗ − sin τ ∗ cos τ ∗ )(τ ∗ − τ ) + 2(τ ∗ cos τ ∗ − sin τ ∗ )sin(τ ∗ − τ ) 8τ ∗3 (τ ∗ − sin τ ∗ cos τ ∗ ) − 48(τ ∗ cos τ ∗ − sin τ ∗ )2

(5.106)

346

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

¨ Der Antriebskraftverlauf ist die Uberlagerung aus einem linearen Verlauf und einer Schwingung mit der Eigenfrequenz, deren Amplitude fˆ im weiteren interessiert: (5.107) f (τ ) = f0 (τ ∗ − τ ) + fˆ sin(τ ∗ − τ ) An den in Gl. (5.106) auftretenden analytischen Ausdr¨ucken erkennt man, daß der Kraftverlauf symmetrisch zur Zeit t1 /2 verl¨auft und durch den Wert von τ 1 bestimmt wird, vgl. Gl. (5.86). Da in Wirklichkeit alle Parameterwerte Toleranzen aufweisen, l¨aßt sich so ein idealer Verlauf praktisch nur realisieren, wenn die Sensitivit¨at gegen¨uber Parameter¨anderungen klein ist. Dies bedeutet, daß man nicht die exakte Erf¨ullung der Endbedingungen (5.97), sondern von Endwerten, die innerhalb eines vorgegebenen zul¨assigen Toleranzbereichs liegen, fordern sollte. Man kann dann einen Antriebskraftverlauf berechnen, der f¨ur einen gegebenen Bereich τ 1 min < τ 1 < τ 1 max die Endbedingungen erf¨ullt. F¨ur langsame Bewegungen“ gilt t1 T , τ 1 = ω 0t1 ω 0 T = 2π > 1 (also S ” τ 1 , C τ 1 ) und Gl. (5.106) vereinfacht sich zu ⎤ ⎡ ω t 0 1 4 cos t1 x11 ⎢ 2t ⎥ 2 (5.108) −t ⎦ sin ω 0 F(t) ≈ 6(m1 + m2 ) 2 ⎣1 − + t1 ω 0t1 2 t1 Man beachte die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zu Gl. (5.63)! Bei der starren Einzelmasse liegt der Grenzfall ω 0 → ∞ vor, der hier als Sonderfall enthalten ist, da m = m1 + m2 gesetzt werden kann. In Gl. (5.108) sieht man am dritten Term in der eckigen Klammer, wie die Eigenfrequenz des Antriebssystems den Antriebskraftverlauf beeinﬂußt. F¨ur die aus Gl. (5.78) und (5.79) bekannte L¨angskraft zwischen den beiden Massen gilt L = kξ x11 mit dem relativen bezogenen Federweg ξ . F¨ur die Darstellung ist die dimensionslose Form (x1 − x2 ) L ξ = = (5.109) x11 kx11 vorteilhaft. Der Maximalwert im Bereich 0 < τ < τ 1 wird mit ξ max bezeichnet. In Bild 5.19 sind die optimalen Kraftverl¨aufe dargestellt. Die Kraftverl¨aufe in Bild 5.19a schl¨angeln sich um den Mittelwert des linear abfallenden Verlaufs, der f¨ur das starre System aus Gl. (5.63) und Bild 5.13b bekannt ist. Interessant ist, welche unterschiedlichen Amplituden fˆ die Schwingungen dieses elastischen Systems haben, vgl. Gl. (5.106), (5.107) und (5.108). In Bild 5.20 sind die Amplituden fˆ der Zusatzschwingungen dargestellt. Es zeigt sich, daß bei bestimmten Anlaufzeiten gar keine Eigenschwingungen angeregt werden und der optimale Kraftverlauf des starren Systems mit dem des Schwingers u¨ bereinstimmt. Anlaufzeiten t1 , bei denen keine Schwingungen im Kraftverlauf auftreten, also die Nullstellen des Verlaufs in Bild 5.20a, ergeben sich aus der Bedingung fˆ = 0, vgl. Gl. (5.106) und Gl. (5.107), also als L¨osungen der transzendenten Gleichung ω 0t1 t1 πt1 bzw. tan = ω0 = (5.110) tan τ ∗ = τ ∗ 2 2 T Die ersten drei L¨osungen sind t1 = 1,430 3T ;

t1 = 2,459 0T ;

t1 = 3,470 9T

(5.111)

347

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

8

0,2

1 2

0

3

Längskraft ξ(t )

Antriebskraft f (t )

1 4

4

−4 −8

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Zeit t / t1 = τ / τ 1

a)

2

0,1 0

3

4

−0,1 −0,2 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Zeit t / t1 = τ / τ 1

b)

Bild 5.19 Optimale Verl¨aufe bei der Positionierbewegung a) Kraftverlauf gem¨aß Gl. (5.106), b) Wegverlauf gem¨aß Gl. (5.109) (Kurve 1: τ 1 = 3π ; Kurve 2: τ 1 = 4π ; Kurve 3: τ 1 = 5π ; Kurve 4: τ 1 = 6π )

a)

0,7 0,6

8 6 4 2 0

2

3

4

5

6 7 τ1 t1 Anlaufzeit =2 T π

8

Längskraft-Amplitude ξ$

Längskraft-Amplitude f$

10

0,5 0,4

µ =15 , µ= 2 µ=3

0,3 0,2 0,1 0 2

b)

3

4

5

6 7 τ1 t1 Anlaufzeit =2 T π

8

Bild 5.20 Extremwerte der Zusatzschwingungen der optimalen Kraftverl¨aufe a) Amplitude fˆ der Antriebskraft, b) Maximalwert ξ max der L¨angskraft bei verschiedenen Massenverh¨altnissen µ , vgl. Gln. (5.99) und (5.109)

Diese Anlaufzeiten sind auch f¨ur die Auslegung gesteuerter Antriebe von Interesse, da sie die bemerkenswerte Eigenschaft haben, daß w¨ahrend der Anlaufetappe (0 < τ < τ 1 ) keine Schwingungen entstehen, also nicht nur die Restschwingungen bei τ > τ 1 vermieden werden. 5.4.4 Rechtecksprunge ¨ und Restschwingungen Bei Anfahr- und Bremsvorg¨angen und manchen technologischen Belastungen kann eine Folge von Momentenspr¨ungen auftreten, deren Gr¨oße und zeitliche Reihenfolge vom Konstrukteur in gewissen Grenzen beeinﬂußt werden kann. Die dynamischen Beanspruchungen im Antriebssystem sind bei mehreren aufeinanderfolgen-

348

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

den Momentenspr¨ungen von dieser Schaltfolge abh¨angig. So hat z. B. die zeitliche Reihenfolge der Schaltstufen von Asynchronmotoren auf die Beanspruchungen im Antrieb einer Maschine einen wesentlichen Einﬂuß. Bei mehrstuﬁgen Bremsen besteht die Frage, wie Gr¨oße und Reihenfolge der Bremsmomente zu w¨ahlen sind, um trotz schnellen Verz¨ogerns nur geringe Schwingungsbeanspruchungen hervorzurufen. Es geht z. B. um solche Fragen wie: Ist es bei mehrstuﬁger Bremsung g¨unstig, erst ein großes und danach ein kleines Bremsmoment wirken zu lassen oder ist die umgekehrte Reihenfolge besser, um kleinere dynamische Belastungen zu verursachen? Wie viele Bremsstufen in welcher H¨ohe und und in welcher zeitlichen Folge rufen die kleinsten Beanspruchungen hervor? Derartige Fragestellungen wurden auch in [13], [284] und [295] behandelt. Im folgenden wird eine Methode beschrieben, die es erlaubt, f¨ur eine Folge von Kraft- oder Momentenspr¨ungen die dynamischen Beanspruchungen zu berechnen. Als Berechnungsmodell wird das Minimalmodell eines schwingungsf¨ahigen Antriebssystems gem¨aß Bild 5.16a gew¨ahlt, bei dem im Unterschied zu Abschn. 5.4.3.1 Drehwinkel als Koordinaten benutzt werden, aber entsprechend den Angaben in Tabelle 5.6 sind die Ergebnisse auf vergleichbare Modelle u¨ bertragbar. M

∆M 2 = M 2 − M1

M2 ∆M 3 = M 3 − M 2

M1 τ1 = 0

τ2

τ 3 Zeit τ = ωt

¨ Bild 5.21 Kennzeichnung der Schaltfolge mit Ahnlichkeitskenngr¨ oßen von Gl. (5.117)

Die Bewegungsgleichungen des in Bild 5.16a dargestellten Torsionsschwingers lauten f¨ur die beiden Drehwinkel ϕ 1 und ϕ 2 analog zu Gl. (5.78): J1 ϕ¨ 1 + kT (ϕ 1 − ϕ 2 ) = Man (t)

(5.112)

J2 ϕ¨ 2 − kT (ϕ 1 − ϕ 2 ) = 0

(5.113)

Aus ihnen folgt eine Differentialgleichung f¨ur das Torsionsmoment TT = kT (ϕ 1 − ϕ 2 )

(5.114)

das zwischen den beiden Scheiben wirkt und als Maß f¨ur die innere Beanspruchung angesehen wird, vgl. Gl. (5.102): kT T¨T + ω 02 TT = Man (t) J1 Dabei ist ω0 =

kT (J1 + J2 ) J1 J2

(5.115)

(5.116)

349

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

die Eigenkreisfrequenz. Im weiteren wird ein zeitlicher Antriebsmomentenverlauf Man (t) untersucht, der aus einer Folge von Sprungfunktionen ( Momentenspr¨ungen“) ” besteht, vgl. Bild 5.21. Die Schaltzeiten, zu denen sich das Erregermoment M(t) unstetig a¨ ndert, werden mit ti (i = 1, 2, . . . , n) bezeichnet. Es ist zweckm¨aßig, folgende dimensionslose Gr¨oßen zu benutzen: Man (τ i ) J2 Man (τ i ) TT = , τ = ω 0t, T = (5.117) Mi = (J1 + J2 )kT kT J1 ω 02 ¨ Dabei sind die Mi Ahnlichkeitskenngr¨ oßen der Momentenspr¨unge zum Zeitpunkt τ i + 0. Die Ableitungen nach der bezogenen Zeit τ werden durch einen Strich gekennzeichnet. Damit erh¨alt Gl. (5.115) die Form T + T = Mi = konst.,

f¨ur τ i < τ < τ i+1

(5.118)

Die hier betrachtete Momentenfolge besteht aus insgesamt n Sprungfunktionen des Erregermoments (Antriebsmoment oder Bremsmoment), die jeweils zu den bezogenen Schaltzeiten τ i = ω 0ti beginnen. Die nach der Endzeit τ n auftretenden Schwingungen werden als Restschwingungen bezeichnet. Die Schwingungen w¨ahrend der Zwischenzeiten τ i < τ < τ i+1 und die Restschwingungen sollen nun berechnet werden. Wirkt ab der Zeit τ 1 das bezogene Erregermoment M1 , wobei zu Beginn sich das System in der statischen Ruhelage beﬁndet, dann folgt der Zeitverlauf des bezogenen Torsionsmomentes zu T1 (τ ) = M (1 − cos(τ − τ 1 ))

f¨ur τ τ 1

(5.119)

Zur Zeit τ 2 wirkt der zweite Sprung. Das bezogene Torsionsmoment betr¨agt T2 (τ ) = M1 (1 − cos(τ − τ 1 )) + (M2 − M1 ) (1 − cos(τ − τ 2 )) , τ τ 2 (5.120) Diese Gleichung kann auch in folgender Form angegeben werden: T2 (τ ) = M2 − M1 cos(τ − τ 1 ) − (M2 − M1 ) · cos(τ − τ 2 )

(5.121)

Sie gilt w¨ahrend der zweiten Etappe, d. h. im Bereich τ 1 < τ < τ 2 . Auf die Darstellung der analog verlaufenden weiteren Rechenschritte bei weiteren Etappen wird verzichtet. Es entsteht schließlich folgendes Ergebnis f¨ur das Restmoment nach dem n-ten Momentensprung (Mn = konst): n

Tn (τ ) = Mn − ∑ ∆Mi · cos(τ − τ i ) i=1

= Mn −

n

∑ ∆Mi · cos τ i

(5.122)

cos τ −

i=1

n

∑ ∆Mi · sin τ i

sin τ , τ τ n

i=1

Dabei wurde zur Abk¨urzung die Differenz der bezogenen Erregermomente (M0 = 0) ∆Mi = Mi − Mi−1 ,

i = 1, 2, . . . , n

(5.123)

eingef¨uhrt. Nach kurzen Umformungen unter Benutzung von Additionstheoremen f¨ur die trigonometrischen Funktionen kann man die Summe in Gl. (5.122) auch mit dem Phasenwinkel β n und der Amplitude des Restmomentes Tˆn folgendermaßen ausdr¨ucken: f¨ur τ > τ n (5.124) Tn (τ ) = Mn − Tˆn cos(τ − β n )

350

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Dabei gilt f¨ur den Phasenwinkel

n

∑ ∆Mi · sin τ i

i=1

sin β n =

Tˆn

,

n

∑ ∆Mi · cos τ i

i=1

cos β n =

(5.125)

Tˆn

und f¨ur die Momentenamplitude . 2 2 / n / n 0 ˆ Tn = ∑ ∆Mi · cos τ i + ∑ ∆Mi · sin τ i i=1

(5.126)

i=1

Es ist zu beachten, daß Mn der letzte Wert des Erregermoments f¨ur τ > τ n ist. Dies ist ein statisches Endmoment, das auch den Wert Null haben kann. Das maximale Torsionsmoment der Restschwingung folgt aus Gl. (5.127) zu: Tmax = Mn + Tˆn

(5.127) M1 + ∆M 2 (1− cos(τ − τ 2 ))

M, T

T (τ )

∆M i sin τ i

T$2

∆M 2

M2

T$1 ∆M 2 τ 2 − 2π

T$2

M1

β 2 ∆M1 ∆M i cos τ i

a)

∆M1 (1− cos τ )

∆M1

0

4π

6π

τ

M, T T$2

3

∑ ∆M i cos τ i

i=1

∑ ∆Mi sin τ i $β 2 ∆M 1 T i=1

M2

3

−∆M 3 τ 3 − 2π

c)

τ2

b) ∆M i sin τ i

3

2π

τ2

∆M i cos τ i M1 M3 ∆M 2 ∆M1

T (τ )

∆M 2

T$1

0

∆M 3

τ 2 2π

τ 3 4π

d)

Bild 5.22 Beziehung zwischen Zeigerdiagramm und Momentenverlauf a) Zeigerdiagramm, b) Zeitverlauf

T$3

6π

τ

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

351

Von besonderem Interesse ist die Amplitude Tˆn der Restschwingung, da sie nach dem letzten Sprung die Gr¨oße der Schwingungsbelastung bestimmt. Die Gl. (5.126) besitzt eine besondere mathematische Form, die sich geometrisch interpretieren l¨aßt. F¨ur die Momentenverl¨aufe und den Maximalwert kann ein einfaches graﬁsches Verfahren zur Veranschaulichung angegeben werden. Die einzelnen Summanden in Gl. (5.126) werden maßstabsgerecht als Pfeile in einem Zeigerdiagramm eingetragen und vektoriell addiert, vgl. Bild 5.22. Dabei sind die Momentendifferenzen proportional den L¨angen der Pfeile, und die Zeitpunkte werden als Winkel τ i zur horizontalen Achse eingetragen. Bei den Momentendifferenzen ∆Mi sind die Vorzeichen zu beachten. Die Winkel sind beliebig, aber stets im Uhrzeigersinn positiv einzutragen. (Es gibt keine Spr¨unge zu negativen Zeiten.) Es kann bei τ 1 = 0 begonnen werden. Bei der Auslegung von Antrieben kann eine Aufgabe darin bestehen, f¨ur einen Anfahr-, Beschleunigungs-, Verz¨ogerungs- oder Bremsvorgang eine optimale Aufteilung in einzelne Schaltzeiten und Momente vorzunehmen. Als Kriterium f¨ur die Optimierung kann gefordert werden, daß die Amplitude des Restmomentes, die sich aus Gl. (5.126) bzw. Gl. (5.127) ergibt, zu Null wird: Tˆn = 0

(5.128)

Bei vorgegebenen Werten f¨ur die Anzahl der Schaltungen n sind also sowohl die ∆Mi als auch die τ i zu bestimmen. Fordert man, daß auch w¨ahrend des Anfahrvorganges in jeder Etappe die Amplitude des Torsionsmomentes minimal ist, so gilt noch die Bedingung f¨ur jedes i < n: Tˆi = Min!

(5.129) T$2 = 0

2 M1

∆M 2 = M1

T1 M1

τ2 = π

∆M1 = M1

∆M 2 ∆M1

a)

∆M i cos τ i

τ1 = 0

τ2 = π

3π τ

2π

b) T1 = M1 (1− cos τ)

−M1 ∆M1

c)

∆M i cos τ i

∆M 2 =−M1

M1

τ 2 = 2π

d)

τ1 = 0

∆M1 = M1

T$2 = 0

π

3π τ τ 2 = 2π dimensionslose Zeit

Bild 5.23 Zeigerdiagramm und Momentenverlauf f¨ur n = 2 a) Zeigerdiagramm mit zwei Vektoren, b) Interpretation als M2 = 2M1 , τ 2 = τ 1 + (2k − 1)π , c) Interpretation als M2 = 0, τ 2 = τ 1 + 2kπ

352

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Das Zeigerdiagramm gestattet, auf einfache und u¨ bersichtliche Weise die in Frage kommenden optimalen Werte zu ﬁnden. Es seien hier einige Sonderf¨alle vorgestellt, um die Handhabung der Zeigerdiagramme zu erl¨autern. F¨ur n = 2 gibt es nur eine optimale Variante im Zeigerdiagramm, die jedoch vier verschiedene Interpretationen zul¨aßt, vgl. Bild 5.23. Wirken beide Momente antreibend (∆Mi > 0), gilt Bild 5.23b. Ist der zweite Momentensprung negativ, so trifft Bild 5.23c zu, weil das negative ∆Mi f¨ur τ i auch im Zeigerdiagramm negativ eingetragen ist. Die Zeitverl¨aufe in Bild 5.23, die den Gln. (5.122) und (5.124) f¨ur n = 2 entsprechen, zeigen, daß nach Beendigung des Schaltvorganges f¨ur τ > τ 2 ein v¨olliges Ausl¨oschen der Restschwingung m¨oglich ist. Nun wird der Fall n = 3 betrachtet. Im Zeigerdiagramm schließen sich die Dreiecke, wenn Gl. (5.128) f¨ur n = 3 erf¨ullt ist. Dann folgen die Bedingungen f¨ur das Verschwinden der Restschwingung aus Gl. (5.126): ∆M1 cos τ 1 + ∆M2 cos τ 2 + ∆M3 cos τ 3 = 0

(5.130)

∆M1 sin τ 1 + ∆M2 sin τ 2 + ∆M3 sin τ 3 = 0

(5.131)

∆M i sin τ i

T$3 = 0

T M3

T2 ∆M 3 Restschwingung 4π ausgelöscht τ3 = ∆M 2 3 T 3 = M 3 = konst. ∆M 2 2π τ2 = ∆M1 T1 3 τ 2π 4π ∆M 3 ∆M1 ∆M i cos τ i 3 3 a)

Restschwingung T T$ = M 3 ∆M i sin τ i

T2 M3

∆M 3

T1 ∆M 2

T$3

∆M1 ∆M1 ∆M 2 ∆M 3 ∆M i cos τ i 0 τ1 b)

2π τ2

4π τ3

6π τ4

τ

Bild 5.24 Zeigerdiagramme und Momentenverl¨aufe bei unterschiedlichen Schaltfolgen bei drei Momentenspr¨ungen a) verschwindende Restschwingung, b) maximale Restschwingung

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

353

Diese beiden Bedingungen enthalten 5 konstruktiv beeinﬂußbare Parameter (∆M1 , ∆M2 , ∆M3 , τ 2 , τ 3 ), so daß es viele M¨oglichkeiten gibt, sie zu erf¨ullen. Wie groß die Unterschiede sein k¨onnen, wenn die Schaltzeiten g¨unstig oder ung¨unstig gew¨ahlt werden, illustriert Bild 5.24. Dort wird das selbe Endmoment M3 auf verschiedene Weise mit den selben gleich großen Momentenspr¨ungen ∆Mi = M3 /3 erreicht. Im Fall a treten keine Restschwingungen auf, obwohl der Endzeitpunkt schneller erreicht wird als im Fall b. Im Fall b treten extrem große Schwingungen auf, die so groß sind, als ob anfangs ein einziger großer Sprung erfolgt w¨are. Bei n Momentenspr¨ungen verschwindet die Restschwingung, wenn das Zeigerdiagramm ein geschlossenes Polygon (n-Eck) ist, dessen eine Spitze im Koordinatenursprung liegt. Analytisch entspricht dies den Kompensations“-Bedingungen, ” vgl. Gl. (5.126) n

n

∑ ∆Mi cos τ i = 0,

∑ ∆Mi sin τ i = 0

i=1

(5.132)

i=1

Sind die Momentenspr¨unge alle gleich groß, so stellt das Zeigerdiagramm ein regelm¨aßiges n-Eck dar. Dann vereinfacht sich Gl. (5.132) zu folgenden zwei Kompensationsbedingungen, in denen nur noch die bezogenen Schaltzeiten τ i vorkommen: n

∑ cos τ i = 0,

i=1

n

∑ sin τ i = 0

(5.133)

i=1

Die hergeleiteten Kompensationsbedingungen k¨onnen nicht nur zur Analyse, sondern auch zur Synthese von Momentenverl¨aufen genutzt werden, wenn die wesentliche Eigenfrequenz eines Antriebssystems bekannt ist. In [65] und [284] wurden analoge Bedingungen f¨ur eine Impulsfolge betrachtet. Zur Ermittlung einer dynamisch g¨unstigen Schaltfolge kann das vorgestellte Herangehen auch f¨ur beliebige Erregerfunktionen angegeben werden, vgl. auch [197]. Die hier f¨ur einen Torsionsschwinger dargestellten Formeln k¨onnen nicht nur auf die in Bild 5.16 dargestellten Schwinger mit einem Freiheitsgrad, sondern auf alle linearen Schwinger mit beliebig vielen Freiheitsgraden u¨ bertragen werden, indem diese in ihre modalen Schwinger zerlegt“ werden. Dann muß die Superposition der ” wesentlichen Eigenschwingungen beachtet und eine Kompromißl¨osung f¨ur die Kompensation der verschiedenen Eigenschwingungen gesucht werden. Im Grunde genommen wurde in diesem Abschnitt f¨ur einen Spezialfall das phasengerechte Abfangen von vorhandenen Schwingungen beschrieben, was dadurch m¨oglich ist, daß zus¨atzlich Schwingungen im richtigen Augenblick so angestoßen werden, daß sie die bisherigen Schwingungen kompensieren. Dies nutzen z. B. Kranfahrer aus, die den Motor und die Bremse gezielt so beschleunigen und verz¨ogern, daß sich das unvermeidliche Lastpendeln beruhigt, vgl. auch [13]. Die stets vorhandene D¨ampfung kann insbesondere bei großem Phasenwinkel von wesentlichem Einﬂuß sein, so daß er dann ber¨ucksichtigt werden muß. Der Grundgedanke des phasengerechten Abfangens l¨aßt sich auf viele andere Schwingungsvorg¨ange sinngem¨aß u¨ bertragen. So k¨onnte man z. B. mit Einsatz eines Sensors die momentane Phasenlage der st¨orenden Schwingung ermitteln und durch einen Aktor einen gezielten wohldosierten“ Sprung (oder Impuls) entgegensetzen. ”

354

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.4.5 ¨ Stoße und deren Kompensation 5.4.5.1 Einzelstoß In vielen Maschinenantrieben entstehen kurzzeitige Belastungen, sowohl von Seiten des Antriebs als auch am Abtriebsglied infolge technologisch bedingter Vorg¨ange (Hammerschlag, Preßstoß). Kurzzeitige Krafteinwirkungen, die als Stoß bezeichnet werden, kann man nicht einfach bez¨uglich ihrer Dauer in Sekunden oder Millisekunden deﬁnieren. Unter Stoß wird ein Kraftverlauf verstanden, dessen Wirkungsdauer klein im Verh¨altnis zur Periodendauer der angeregten Schwingungen ist (tS T ). Der Extremfall ist der Stoßimpuls des Dirac-Stoßes, der durch I = lim

+t S /2

tS →0 −tS /2

F(t) dt = mv0

(5.134)

beschrieben werden kann. Lineare Schwingungssysteme mit vielen Freiheitsgraden k¨onnen als eine Superposition vieler modaler Schwinger aufgefaßt werden [70], [150]. Hier wird nur ein einziger modaler Schwinger betrachtet, aus dessen Verhalten sich Schlußfolgerungen f¨ur Systeme mit vielen Freiheitsgraden ziehen lassen. Ausgangspunkt ist die Bewegungsgleichung (vgl. auch (5.199), (5.220) und deren L¨osung) mq¨ + d q˙ + kq = F(t)

(5.135)

Dabei sind m, d, k und F die auf eine Eigenform bezogene modale Masse, D¨ampferkonstante, Federkonstante und Erregerkraft. Mit der Eigenkreisfrequenz ω 0 des unged¨ampften Schwingers, dem D¨ampfungsgrad D und den anderen Abk¨urzungen wird weiter gerechnet: ω 02 = k/m;

2Dω 0 = d/m;

ω 2 = ω 02 (1−D2 );

a(t) = F(t)/m(5.136)

Damit lautet die Bewegungsgleichung des modalen Schwingers q¨ + 2Dω 0 q˙ + ω 02 q = a(t)

(5.137)

Wird der Schwinger bei den Anfangsbedingungen t = 0:

q(0) = 0, q(0) ˙ = I/m

(5.138)

durch einen Stoßimpuls (5.134) erregt, so verl¨auft der Schwingweg gem¨aß mω q(t) = I exp(−Dω 0t) sin ω t

(5.139)

Daraus k¨onnen Geschwindigkeit, Beschleunigung und weitere interessierende Gr¨oßen berechnet werden. 5.4.5.2 ¨ Mehrere Stoße Bei mehreren St¨oßen nacheinander, bei denen Schwingungen infolge des vorangegangenen Stoßes noch nicht abgeklungen sind, bevor der n¨achste Stoß auftritt, beeinﬂussen sich die Schwingungen gegenseitig. Solche Stoßfolgen entstehen z. B. als

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

355

Einschalt, Umschalt- oder Ausschaltst¨oße, wenn die Kennlinien eines Asynchronmotors nacheinander einfallen oder bei einem Umformvorgang, der durch mehrere Schl¨age erfolgt. Manchmal interessiert bei Antrieben, wie man in m¨oglichst kurzer Zeit große Amplituden erreicht, wie z. B. beim Aufschaukeln“ eines unwuchtigen ” Rotors [36]. Hier interessiert die Frage, welchen Einﬂuß die zeitliche Reihenfolge dieser St¨oße auf die entstehenden Schwingungen hat. Es wird deshalb analog zu den Untersuchungen bei der Folge von Kraftspr¨ungen, bei denen in Abschn. 5.4.4 von Gleichung (5.115) ausgegangen wurde, eine Folge von Stoßimpulsen Ii (i = 1, 2, . . ., n) untersucht, vgl. Bild 5.25.

Bild 5.25 Kennzeichnung einer Stoßfolge

Der erste Stoßimpuls wirkt auf den ruhenden Schwinger. Bei den Anfangsbedingungen (5.138) ist die L¨osung w¨ahrend der ersten Etappe (t1 = 0 t < t2 ) aus (5.139) bekannt, wenn man I = I1 setzt. Zum Zeitpunkt t2 wirkt der n¨achste Impuls I2 . W¨ahrend der zweiten Etappe (t2 < t < t3 ) gilt die L¨osung: mω q(t) = I1 exp(−Dω 0t) sin ω t + I2 exp[−Dω 0 (t − t2 )] sin ω (t − t2 )

(5.140)

Zu Beginn der dritten Etappe (t3 < t < t4 ) folgt der dritte Impuls, so daß (5.140) um einen weiteren Summanden erg¨anzt wird: mω q(t) = I1 exp(−Dω 0t) sin ω t + I2 exp[−Dω 0 (t − t2 )] sin ω (t − t2 ) +I3 exp[−Dω 0 (t − t3 )] sin ω (t − t3 )

(5.141)

Bei weiteren St¨oßen gilt nach dem letzten Stoß, also in der n-ten Etappe (tn t): n

mω q(t) = exp(−Dω 0t) ∑[Ii exp(Dω 0ti ) sin ω (t − ti )] i=1

= exp(−Dω 0t)(−an cos ω t + bn sin ω t) = cn exp(−Dω 0t) cos ω (t

(5.142)

− tn∗ )

Die in (5.142) eingef¨uhrten Gr¨oßen ﬁndet man aus einem Koefﬁzientenvergleich nach der Anwendung der Additionstheoreme sin ω (t − ti ) = sin ω t cos ω ti − cos ω t sin ω ti cn sin ω (t + tn∗ ) = cn cos ω tn∗ sin ω t − cn sin ω tn∗ cos ω t = bn sin ω t − an cos ω t

(5.143)

356

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Es sind die Koefﬁzienten n

∑[Ii exp(Dω 0ti ) sin ω ti ];

n

∑[Ii exp(Dω 0ti ) cos ω ti ]

(5.144)

oder Amplitude“ und Phasenwinkel“ ” ” 2 2 cn = an + bn ; ω tn∗ = π /2 + [π /2 − arcsin(an /cn )] sign(bn )

(5.145)

an =

i=1

bn =

i=1

Die Amplitude“ cn kann, abgesehen von den Parametern des Schwingers, wesentlich ” durch die Stoßzeiten ti beeinﬂußt werden. Analog zur Auswertung von (5.126) f¨ur Sprungfolgen kann man zur Ermittlung der Endamplituden aus (5.144) oder auch ein Zeigerdiagramm benutzen, vgl. Bild 5.22 bis Bild 5.24 in Abschn. 5.4.4. Je nach Zielstellung kann die Auswahl der Stoßzeiten ti so erfolgen, daß cn einen großen oder kleinen Wert annimmt. Man kann aus den Bedingungen (5.144) z. B. die Zeitpunkte ermitteln, die zu einer resonanzartige Anfachung der Schwingungen f¨uhren. Es l¨aßt sich auch erreichen, daß cn = 0 wird, so daß die sog. Restschwingung nach dem letzten Stoß verschwindet. Dies wurde auch bei der Folge von Rechteckst¨oßen in Abschn. 5.4.4 behandelt, vgl. die Bedingungen (5.132) und (5.133). Die Ausgleichsbedingungen an = 0;

bn = 0

(5.146)

liefern zwei transzendente Gleichungen zur Berechnung der Stoßzeiten ti bei gegebenen Werten f¨ur ω 0 und D. Bild 5.26 illustriert am Beispiel einer Stoßfolge, welch großen Einﬂuß die Stoßzeiten ti auf die Intensit¨at der entstehenden Schwingungen bei einem unged¨ampften Schwinger (D = 0) haben. Der u¨ bertragene Gesamtimpuls ist in allen vier F¨allen gleich, so daß sich das angetriebene System nach dem letzten Impuls mit derselben Geschwindigkeit bewegt, vgl. z. B. das Minimalmodell gem¨aß (5.79) und Bild 5.16. Wie man sieht, kann sowohl eine Anfachung als auch eine Tilgung der Schwingungen zustande kommen. Das h¨angt davon ab, in welcher Phasenlage der vorangehenden Schwingung der n¨achste Schlag auftrifft. Die dimensionslos dargestellten Wegverl¨aufe q(t) beginnen in allen vier dargestellten F¨allen mit der gleichen Sinusschwingung. Sie a¨ ndern sich nach dem zweiten Impuls, der zum Zeitpunkt t2 wirkt. Aus (5.144) folgen zwei Bedingungen daf¨ur, daß die Schwingungen nach vier gleichen Impulsen ausgel¨oscht sind (D = 0): a4 =

4

∑ sin ω ti = sin ω t1 + sin ω t2 + sin ω t3 + sin ω t4 = 0

(5.147)

i=1

b4 =

4

∑ cos ω ti = cos ω t1 + cos ω t2 + cos ω t3 + cos ω t4 = 0

(5.148)

i=1

Da t1 = 0 gesetzt werden kann, sind dies zwei gekoppelte nichtlineare Gleichungen, f¨ur die drei verbleibenden Unbekannten t2 , t3 und t4 . Es gibt mehrere L¨osungen, von denen einige in Bild 5.26 angegeben sind, vgl. die F¨alle 1, 3 und 4. Man kann nicht einfach sagen, daß es g¨unstig w¨are, die Stoßfolge zeitlich auszudehnen, um kleine Schwingungen zu erreichen. Das h¨atte nur Sinn, wenn man jeweils das Ausklingen der ged¨ampften Schwingungen abwarten k¨onnte, bevor der neue Stoß

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

357

erfolgt. Wie Fall 1 zeigt, kann man sogar bei kurzer Aufeinanderfolge der St¨oße, wenn sie in g¨unstigen Phasenlagen auftreffen, sehr schnell einen schwingungsfreien Zustand erreichen. Die Aufeinanderfolge von St¨oßen mit konstanten Zeitabst¨anden stellt eine Resonanzgefahr dar, deshalb ist generell zu empfehlen, die Zeitabst¨ande unregelm¨aßig zu gestalten, um Periodizit¨at zu vermeiden. In der Praxis kennt man w¨ahrend der Projektierung kaum die genauen Eigenfrequenzen, die angeregt werden. Nur manchmal, z. B. bei der pendelnden Last eines Krans oder bei einer schwappenden Fl¨ussigkeit in einem Beh¨alter ist die Grundfrequenz relativ genau bekannt. Es gibt aber auch die M¨oglichkeit, mit Sensoren die Schwingungen am realen Objekt zu messen, die Eigenfrequenzen daraus zu ermitteln, g¨unstige Schaltzeiten vor Ort zu berechnen und in der Steuerung zu realisieren. Ein weiteres Problem entsteht, wenn gleichzeitig auf mehrere Eignfrequenzen geachtet werden muß. Ausgehend von den gezeigten Zusammenh¨angen bei einer einzigen modalen Schwingung kann man aber auch daf¨ur optimale Stoßfolgen ermitteln.

Bild 5.26 Zum Einﬂuß der Stoßzeiten auf die Anfachung von Schwingungen

358

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.4.5.3 Endlose Stoßfolge Oft treten im Dauerbetrieb bei Antriebssystemen St¨oße im regelm¨aßigen Zeitabstand auf, z. B. beim Eingriff von Kettengliedern (CVT-Kette), von S¨agez¨ahnen oder Fr¨asern in den Werkstoff, beim periodischen Spieldurchlauf in Zahnradpaaren, bei ruckartig bewegten Transportb¨andern, bei Vibrationsh¨ammern, Vibrationsverdichtern, beim Abstand der L¨ufterﬂ¨ugel u. a. Wenn die Stoßzeit nicht klein im Vergleich zur Eigenschwingungsdauer T = 2π /ω ist, muß diese endliche Krafteinwirkungszeit tS in Betracht gezogen werden. Der einfachste Fall ist ein Rechteckstoß, der folgendermaßen deﬁniert ist: ( ' FS f¨ur −tS /2 t +tS /2 (5.149) F(t) = 0 f¨ur +tS /2 < t < (T0 − tS /2) Man kann die Berechnungen mit einer Folge von Rechteckst¨oßen vornehmen, bei denen immer dieselbe Kraft FS auf den Schwinger im zeitlichen Abstand der Zyklusdauer T0 = 2π /Ω wirkt. Eine endlose Folge solcher St¨oße mit aS = FS /m kann in (5.137) als Erregung mit folgender Fourierreihe eingef¨uhrt werden: ' ( ∞ aS a(t) = Ω tS + 4 ∑ [(1/k)sin(kΩ tS /2) cos kΩ t] (5.150) 2π k=1 Diese Art der Erregung wird hier nicht weiter verfolgt, vgl. dazu [70]. Es wird eine Folge von Dirac-St¨oßen (5.134) untersucht, deren Fourierreihe lautet: a(t) =

∞ I (1 + 2 ∑ cos kΩ t) mT0 k=1

(5.151)

Infolge dieser Erregung hat der mit (5.137) deﬁnierte Schwinger die station¨are L¨osung: & % ∞ (1 − k2 η 2 ) cos kΩ t + 2Dkη sin kΩ t cT0 q(t) = I 1 + 2 ∑ (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 k=1 & % ∞ cos(kΩ t − ϕ k ) (5.152) =I 1+2∑ (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 k=1 Dabei ist das Abstimmungsverh¨altnis η = Ω /ω 0 . Die untere Form dieser Darstellung gilt mit den Phasenwinkeln ' % &( 2Dkη π π − arcsin ϕk = + sign(1 − k2 η 2 ) (5.153) 2 2 (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 F¨ur den unged¨ampften Fall (D = 0) ergibt sich aus (5.152), vgl. [70]: ∞ cos kΩ t cT0 q(t) = I 1 + 2 ∑ 2 2 k=1 1 − k η

(5.154)

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

359

Eine andere Darstellung, die auch die Periodizit¨atsbedingung q(t) = q(t +T0 ) erf¨ullt, beschreibt die L¨osung von (5.137) in endlichen Intervallen (n − 1)T0 t nT0 innerhalb der n-ten Periode f¨ur n = 1, 2, . . . Mit dem Nenner [70] N = 1 − 2 exp(−Dω 0 T0 ) cos ω T0 + exp(−2Dω 0 T0 ) 2π 4π D 2π D 2 1 − D + exp − cos = 1 − 2 exp − η

η

(5.155)

η

gibt es dieselbe L¨osung in jedem Intervall (abgesehen von der Zeitverschiebung um ganzzahlige Vielfache von T0 ). Es gen¨ugt, sie hier f¨ur das erste Intervall anzugeben [81]: mω q(t) = (I/N) exp(−Dω 0t)[sin ω t + exp(−Dω 0 T0 ) sin ω (T0 − t)]

(5.156)

0 t T0 Es ist in anderer Form dieselbe Schwingungsantwort wie (5.152). F¨ur den unged¨ampften Fall (D = 0, ω = ω 0 ) ergibt sich daraus wegen 2π N = 2(1 − cos ω 0 T0 ) = 4 sin2 (ω 0 T0 /2) = 2 1 − cos ; (5.157) η sin ω 0 T0 = 2 sin(ω 0 T0 /2) cos(ω 0 T0 /2) die auch in [70] angegebene Formel 2mω 0 q(t) = I[cot(ω 0 T0 /2) cos ω 0t + sin ω 0t];

0 t T0

(5.158)

als Alternative zu (5.154). Die numerische Berechnung der Verl¨aufe der entstehenden Schwingungen mit Hilfe von (5.158) ist wesentlich k¨urzer und genauer als mit (5.154). Die Resonanzstellen, bei denen unbegrenzt große Ausschl¨age auftreten, ergeben sich aus (5.154) bei den Abstimmungsverh¨altnissen kη = 1, weil dann einer der Nenner in der Summe Null wird. Aus (5.158) ergeben sich dagegen dann unendlich große Werte, wenn 1/ cot(ω 0 T0 /2) = tan(ω 0 T0 /2) = 0 ist. Diese Bedingung ist f¨ur ω 0 T0 /2 = π k erf¨ullt. Da ω 0 T0 = 2π ω 0 /Ω ist, ergibt sich daraus also ω 0 T0 /2 = π /η = kπ , d. h. es sind auf anderem Wege dieselben Resonanzstellen gefunden worden wie aus (5.154). Bei endlosen Stoßfolgen treten Resonanzen unter den Bedingungen kη = 1

bzw.

Ω k = ω 0 /k;

k = 1, 2, . . .

(5.159)

auf. Ber¨ucksichtigt man die D¨ampfung, bleiben die Resonanzamplituden zwar endlich, aber sie werden oft so groß, daß sie zu Besch¨adigungen, Zerst¨orungen oder zu unertr¨aglichem L¨arm f¨uhren. Man muß z. B. vermeiden, daß die Eingriffsfrequenz der Z¨ahne oder der Kettenglieder mit ganzzahligen Bruchteilen einer Eigenfrequenz des angetriebenen Systems u¨ bereinstimmen, vgl. (5.159). Die bereits in Abschn. 5.4.5.2 erw¨ahnte M¨oglichkeit, die Zeitabst¨ande unregelm¨aßig zu gestalten um Periodizit¨at zu vermeiden, l¨aßt sich bei Antrieben, die durch eine Rotationsbewegung angetrieben werden, nicht ohne Weiteres anwenden. Man kann versuchen, die Drehgeschwindigkeit des Motors mit einer Zusatzbewegung zu modulieren, um den genauen periodischen Ablauf zu st¨oren. Manchmal

360

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

gelingt es, die Stoßreihenfolge zu variieren, z. B. durch den ungleichm¨aßigen Abstand der Z¨ahne eines Fr¨asers oder mit unterschiedlicher L¨ange von Kettenlaschen bei CVT-Getrieben. Bei CVT-Getrieben, die vielfach in PKW-Antrieben eingesetzt werden, wird das akustische Verhalten vor allem durch die Einlaufst¨oße der Kette in die Scheiben bestimmt. Wie in [96] gezeigt wird, kann man mit unterschiedlich langen Kettenlaschen verhindern, daß die Lascheneingriffsfrequenz als Erregerfrequenz dominiert. Es wurden sogen. Randomketten“ entwickelt und erprobt, bei denen kurze und lange La” schen stochastisch“ aneinander gereiht sind [169]. Damit gelang es, einzelne T¨one ” in dem als st¨orend empfundenen Getriebeger¨ausch weitgehend zu unterdr¨ucken, vgl. Abschn. 5.4.5.4. 5.4.5.4 Beispiel Nun werden die Varianten einer sich wiederholenden Stoßfolge mit zwei unterschiedlich langen Zeitabst¨anden ∆ti = ti −ti−1 betrachtet, die hier exemplarisch durch zwei Laschenl¨angen einer Kette (K = kurze Laschenl¨ange, L = lange Laschenl¨ange) charakterisiert werden. Bei einer Kettengeschwindigkeit v besteht folgender Zusammenhang zwischen den Laschenl¨angen und deren zeitlichem Abstand beim Durchlauf: K L , ∆tL = (5.160) v v Es sind bei f¨unf Kettengliedern folgende sechs Varianten m¨oglich, wenn man Varianten ausschließt, die k¨urzere Sequenzen (z. B. mit drei oder vier Laschen) haben: ∆tK =

1: KKKKL; 2: KKKLL; 3: KKLKL; 4: KKLLL; 5: KLKLL; 6: KLLLL Wegen der periodischen Wiederholung unterscheidet sich z. B. die zweite Variante KKKLL nicht von einer Variante, die man auch mit KLLKK bezeichnen k¨onnte, denn die endlose Laschenfolge ist in diesem Falle ... KKKLLKKKLLKKKLLKKKLLKKKLL... Das Verh¨altnis der Laschenl¨angen wird deﬁniert mit λ = K/L. Die Zyklusdauer T0 beschreibt bei mehreren Laschen unterschiedlicher L¨ange die Zeit beim Durchlauf derselben Laschenfolge. Es ist f¨ur eine f¨unfgliedrige Laschenfolge die Zyklusdauer, die vergeht, bis dieselbe Gliedsequenz der 5 Laschen sich genau wiederholt. Sie ist bei den oben angegebenen Laschenfolgen also wegen (5.160) Variante 1:

T0 = 4∆tK + ∆tL = L(4λ + 1)/v

Variante 2 und 3:

T0 = 3∆tK + 2∆tL = L(3λ + 2)/v

Variante 4 und 5:

T0 = 2∆tK + 3∆tL = L(2λ + 3)/v

Variante 6:

T0 = ∆tK + 4∆tL = L(λ + 4)/v

Die Stoßzeiten ti der Kettenlaschen, die sich mit Vielfachen von T0 wiederholen, ergeben sich aus der Laschenfolge. Gegen¨uber dem ersten Stoß bei t1 = 0 zu Beginn einer Periode, haben die weiteren vier St¨oße den Zeitabstand ti + nT0 (i = 2, 3, 4, 5). Die Erregung durch diese f¨unf sich endlos wiederholenden St¨oße ergibt sich aus (5.151),

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

361

wenn man die Summe von f¨unf Fourierreihen bildet, die jeweils um ti zeitlich verschoben sind: ' ( 5

∞

i=1

k=1

mT0 a(t) = 5I ∑ 1 + 2 ∑ cos[kΩ (t − ti )]

(5.161)

Die Antwort des Schwingers – also die L¨osung von (5.137) – folgt dann aus (5.152) mit den Phasenwinkeln aus (5.153) mit η = Ω /ω 0 = T /T0 zu ( ' 5 ∞ cos[kΩ (t − ti ) − ϕ k ] cT0 q(t) = 5I 1 + 2 ∑ ∑ (5.162) (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 i=1 k=1 ' ( = 5I

∞

1 + 2 ∑ (Ak cos kΩ t + Bk sin kΩ t) k=1

Sie l¨asst sich also auch mit den Fourierkoefﬁzienten % & 5

∑ cos(kΩ ti − ϕ k )

i=1

Ak = (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 % &

und (5.163)

5

∑ sin(kΩ ti − ϕ k )

i=1

Bk = (1 − k2 η 2 )2 + 4D2 k2 η 2 beschreiben. An Hand der Formeln (5.163) kann man Stoßzeiten bestimmen, bei denen gewisse Harmonische zu Null werden. Das ist f¨ur die L¨armerregung von Bedeutung, denn wenn man die Eigenfrequenz des angeregten Systems kennt, kann man theoretisch deren Anregung vermeiden. Analog zu den Ausgleichsbedingungen (5.146) ﬁndet man f¨ur jede Harmonische dann zwei transzendente Gleichungen f¨ur die Unbekannten ti . Man kann also vier Stoßzeiten ti (i = 2, 3, 4, 5) so bestimmen, dass zwei Harmonische v¨ollig aus dem Spektrum verschwinden. In der Arbeit [271] wurde ausgewertet, welche maximalen Ausschl¨age der Verlauf ξ (t) = mω q(t)/I hat, wenn bei einer Kette die Laschenl¨angen und die Laschenfolge ver¨andert werden. Bilder 5.27 bis 5.31 zeigen Ergebnisse aus dieser Arbeit. Aus Bild 5.27 erkennt man, wie sich die Maximalwerte in Abh¨angigkeit vom Laschenverh¨altnis λ und vom Abstimmungsverh¨altnis η a¨ ndern. Wie erwartet, treten an den Resonanzstellen mit den k-ten Harmonischen entsprechend (5.159) bei η = 1/2, 1/3, 1/4 und 1/5 Spitzenwerte auf, wobei dem zuletzt genannten Wert die Resonanzstelle entspricht, vgl. den Beginn des Verlaufs von Fall 2 in Bild 5.26 (bei λ = 1 sind die Zeitabst¨ande zwischen den St¨oßen gleich groß). Die ungleichm¨aßige Stoßfolge f¨uhrt aber zu einer Reduzierung der Maximalwerte in den kritischen Bereichen. Wenn der Erreger- und Eigenfrequenzbereich etwa bekannt sind, (und damit der interessierende η -Bereich), kann man sagen, welche Varianten der Laschenfolge zu kleinen Schwingungen f¨uhren. In einem Bereich 0,35 < η < 0,65 w¨are die Variante 2 den anderen vorzuziehen, da es dort im Gebiet um η = 0,5 keine großen Ausschl¨age gibt. Andererseits w¨are die Variante 4 im Gebiet 0,25 < η < 0,4 besser als

362

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Variante 1: KKKKL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 2 : KKKLL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 3 : KKLKL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 4: KKLLL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 5: KLKLL 0,75 0,7

λ

0,65 0,6

Variante 6:KLLLL 0,75 0,7

λ

0,65 0,001

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

η = Ω/ω0

0,6

0,7

ξmax-Werte:

0,8 0-1

0,9 1-2

1 2-3

0,6 1,1 3-4

Bild 5.27 Maximalausschl¨age ξ max = mω qmax /I als Funktion von Abstimmungsverh¨altnis η und Laschenverh¨altnis λ f¨ur D = 0,05 (Unten: Zahlenbereiche, die zu den Graut¨onen im Bild geh¨oren)

363

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

die anderen Varianten. Große Laschenverh¨altnisse λ sind außerhalb der Resonanzstelle η = 0,2 vorteilhaft. Nur mit Variante 2 erreicht man bei λ = 0,65 an der Resonanzstelle η = 0,2 beachtlich kleine Ausschl¨age. Um eine anschauliche Vorstellung von den zeitlichen Verl¨aufen zu gewinnen, die zu denen in Bild 5.27 angegebenen Maximalwerten f¨uhren, werden einige Parameterbereiche n¨aher betrachtet. Der D¨ampfungsgrad wird in allen F¨allen mit D = 0,05 angenommen. Der Maßstab auf der Ordinate entspricht dem von Bild 5.27. x1 x3

2

x2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Zeit t/T0 2

x1:Variante 1 (KKKKL); x2:Variante 2 (KKKLL); x3:Variante 3 (KKLKL)

2

x4

x6 x5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Zeit t/T0 2

x4: Variante 4 (KKLLL); x5: Variante 5 (KLKLL); x6: Variante 6 (KLLLL)

Bild 5.28 Wegverl¨aufe ξ (t) = mω q(t)/I bei η = 0,5; λ = 0,6 und allen sechs Laschenfolge-Varianten

In Bild 5.28 sind die Wegverl¨aufe bei demselben Abstimmungsverh¨altnis und demselben Laschenverh¨altnis dargestellt, so dass man an diesem Beispiel sehen kann, welchen Einﬂuß die Reihenfolge der kurzen und langen Laschenl¨angen auf die station¨aren Schwingungen hat. Die Wegverl¨aufe zeigen zu den Stoßzeitpunkten Knicke. Auf die Ausschl¨age hat die Phasenlage der Schwingung in dem Augenblick, in dem der Stoß wirkt, einen maßgeblichen Einﬂuß. Aus Bild 5.28 geht hervor, dass bei diesem Parameterbereich die Variante 2 die kleinsten und Variante 3 die gr¨oßten Maximalwerte ergibt, vgl. dazu auch Bild 5.27. In Bild 5.29 sind ebenfalls die sechs m¨oglichen Varianten der Reihenfolge von kurzen und langen Laschen verglichen, aber in bei einem anderen Abstimmungsverh¨altnis als in Bild 5.29. Die Maximalwerte sind alle kleiner als im Bild 5.28 (man beachte den anderen Maßstab auf der Ordinate), aber der gr¨oßte Ausschlag ist hier bei Variante 2 am gr¨oßten und bei Variante 3 am kleinsten. Man kann also nicht sagen, welche der Varianten im ganzen η -Bereich die Beste ist.

364

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

1.5

x1 1

x2

x3

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

x1: Variante 1 (KKKKL); x2: Variante 2 (KKKLL); x3: Variante 3 (KKLKL)

0.5

1.2

Zeit t/T0

1.5

x4

1

x6

x5 0.5

0

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x4: Variante 4 (KKLLL); x5: Variante 5 (KLLKL); x6: Variante 6 (KLLLL)

1.1

1.2

Zeit t/T0

Bild 5.29 Wegverl¨aufe ξ (t) = mω q(t)/I bei η = 0,8; λ = 0,7 und allen sechs Laschenfolge-Varianten

Im Bild 5.30 kann man vergleichen, wie sich das Verh¨altnis der Laschenl¨angen auswirkt. Es wird der ung¨unstige Resonanzfall (η = 0,2) betrachtet, der bei λ = 1 mit einer Kette mit gleich langen Laschen auftreten w¨urde. Es werden gewissermaßen vertikale Schnitte bei den Varianten 1 und 2 in Bild 5.27 betrachtet. Offensichtlich ist es hierbei vorteilhaft, große Laschenverh¨altnisse zu vermeiden. Im unteren Teil von Bild 5.30 sieht man, dass die Amplituden etwa auf die H¨alfte reduziert werden, wenn man die Variante 2 mit einem Laschenverh¨altnis λ = 0,6 w¨ahlt. An Hand der Verl¨aufe, die in Bild 5.31 gezeigt werden, ist ein Vergleich der station¨aren Schwingungen bei verschiedenen Abstimmungsverh¨altnissen η m¨oglich. Dies entspricht entweder einem gewissen Bereich unterschiedlicher Kettengeschwindigkeiten (wenn man die angeregte Eigenfrequenz kennt) oder einem Bereich, in dem man die Eigenfrequenz vermutet, wenn die Zyklusdauer T0 (also die Kettengeschwindigkeit) bekannt ist. Daraus wird ersichtlich, wie problematisch es ist, sich f¨ur eine g¨unstige Variante zu entscheiden, wenn man im gesamten Bereich eine L¨osung bestimmen muß. Im vorliegenden Bild 5.31 ist offenbar die Variante 3 etwas ung¨unstiger, da deren Maximalwerte bis etwa ξ max = mω qmax /I = 2,8 ansteigen, w¨ahrend Variante 4 nur einen Wert ξ max = 2,5 erreicht. Die Untersuchungen in [271] zeigten auch, dass der D¨ampfungsgrad D keinen großen Einﬂuss darauf hat, welche Gebiete in der λ -η -Ebene große oder kleine Werte haben. Naturgem¨aß senkt eine h¨ohere D¨ampfung die Absolutwerte in allen Gebieten.

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe 4

365

x1 x2

2

x3 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

2

Variante 1 (KKKKL): x1: λ = 0,8; x2: λ = 0,7; x3: λ = 0,6 4

Zeit t/T0

x4 x5

2

x6 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

2

Variante 2 (KKKLL): x4: λ = 1; x5: λ = 0,8; x6: λ = 0,6

Zeit t/T0

Bild 5.30 Wegverl¨aufe ξ (t) f¨ur Laschenfolge-Varianten 1 und 2 bei η = 0,2 und verschiedenen λ -Werten x2

x1

2

x3 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

2

Variante 3 (KKKKL): x1: η = 0,15; x2: η = 0,2; x3: λ = 0,25 x5

x4

2

Zeit t/T0

x6 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

2

Variante 4 (KKLLL): x4: η = 0,15; x5: η = 0,2; x6: η = 0,25

Bild 5.31 Wegverl¨aufe ξ (t) f¨ur Laschenfolge-Varianten 3 und 4 mit λ = 0,7 und verschiedenen η -Werten

Zeit t/T0

366

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.4.6 Resonanzdurchlauf Viele Antriebe werden u¨ berkritisch betrieben, d. h. die Rotoren m¨ussen beim Hochlaufen bis zum Erreichen ihrer Betriebsdrehzahl eine oder mehrere Resonanzstellen durchlaufen, und ebenso beim Auslaufen oder Bremsen. Dies trifft auf die Biegeschwingungen von Rotoren (z. B. Turbomaschinen, Textilspindeln, W¨ascheschleudern, Zentrifugen) zu, aber auch auf Maschinenfundamente, Torsionsschwinger (z. B. Fahrzeug-Antriebsstr¨ange, L¨ufter), und gekoppelte Schwinger (z. B. Siebe, Riemengetriebe). W¨ahrend dieses Resonanzdurchlaufs werden extreme Belastungen erreicht. Um die Funktion solcher Antriebe zu gew¨ahrleisten, muß das dynamische Verhalten w¨ahrend der Resonanzdurchfahrt bekannt sein. Es interessiert vor allem das Verhalten des Rotors in Resonanzn¨ahe, da dort die gr¨oßten dynamischen Ausschl¨age auftreten. Zum Resonanzdurchlauf gibt es viele Einzelpublikationen, wobei hier nur auf die zusammenfassenden Darstellungen in [31], [122], [191], [233], [253], [349] verwiesen sei. W¨ahrend in [122], [191] und [349] der Resonanzdurchlauf mit konstanter ¨ der Erregerfrequenz) berechnet wird, Winkelbeschleunigung α (lineare Anderung geht die Arbeit [233] auf den Fall der Beschleunigung durch ein konstantes Moment bzw. auf die Ber¨ucksichtigung einer Motorkennlinie ([31], [253]) ein. In [233] werden die Einﬂ¨usse verschiedener Rotorparameter, wie innere und a¨ ußere D¨ampfung, Eigengewicht des Rotors und Unrundheit der Welle bei der Resonanzdurchfahrt mit konstantem Motormoment untersucht. Maßnahmen zur Verminderung dynamischer Belastungen beim Resonanzdurchlauf von Rotoren mit großen Unwuchten werden in [36] behandelt. Das prinzipielle Verhalten bei einem solchen Resonanzdurchlauf soll zun¨achst an einen unwuchterregten Schwinger untersucht werden, der so gelagert ist, daß er nur mit einem Freiheitsgrad schwingen kann, vgl. Tabelle 2.8. Die Bewegungsgleichungen folgen aus den Gln. (10) und (11) in Tabelle 2.8, wenn die D¨ampfungskraft d y˙ und das Moment J ϕ¨ erg¨anzt wird (die in den Gln. (18) und (19) in dieser Tabelle auch enthalten sind) und das Antriebsmoment als konstant angenommen wird: (5.164) (m + m1 )y¨ + d y˙ + ky = m1 e(ϕ˙ 2 sin ϕ − ϕ¨ cos ϕ ) = −m1 e(sin ϕ ) ¨ m1 ey¨ cos ϕ + (J + m1 e2 )ϕ¨ = M

(5.165)

Die Koordinaten y und ϕ h¨angen hierbei von den K = 7 Parametern m, m1 , d, k, e, J und M ab. Um die L¨osungen u¨ bersichtlich darstellen zu k¨onnen, ist es zweckm¨aßig, dimensionslose Kenngr¨oßen einzuf¨uhren, vgl. Abschn. 2.2.2. Mit der Eigenkreisfrequenz des unged¨ampften Fundaments k ω 02 = (5.166) m + m1 und der relativen Exzentrizit¨at m1 e ε = (5.167) m + m1 k¨onnen folgende dimensionslose Kennzahlen deﬁniert werden: bezogene Zeit τ = ω 0t

(5.168)

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

367

bezogene Zeitableitungen ω 0 dy dy = = ω 0y; y¨ = ω 02 y ; ϕ¨ = ω 02 ϕ dt dτ bezogene Winkelbeschleunigung bei gegebenen konstanten α :

y˙ =

α 1∗ =

α ω 02

(5.169)

(5.170)

bezogenes Moment M: α 2∗ =

M (J + m1 e2 )ω 02

(5.171)

bezogene Massen γ =

m + m1 J + m1 e2 · m1 m1 e2

(5.172)

Lehrsches D¨ampfungsmaß 2D =

d (m + m1 )ω 0

(5.173)

bezogene Koordinate y ξ =

(5.174)

ε

Damit lassen sich die Differentialgleichungen (5.164) und (5.165) so umformen, daß die zeitvariablen Gr¨oßen ξ und ϕ nur noch von drei Kennzahlen abh¨angen, die man ¨ auch als Ahnlichkeitskennzahlen auffassen kann: ξ + 2Dξ + ξ = −(sin ϕ )

ξ cos ϕ + γ ϕ =

(5.175)

α 2∗ γ

(5.176)

Es sollen nun mit demselben Berechnungsmodell zwei Bewegungsvorg¨ange verglichen werden, die Bewegung mit konstanter Winkelbeschleunigung (Fall 1: ϕ = α 1∗ = konst.) und die Bewegung mit konstantem Antriebsmoment (Fall 2: α 2∗ = konst.): Die Anfangsbedingungen lauten im Fall 1: α 1∗ τ = −2:

ξ = 0,17;

ξ = 2,61;

ϕ = 0;

ϕ = −2

(5.177)

wobei die Anfangsbedingungen der Fundamentbewegung entsprechend dem station¨aren Zustand gew¨ahlt wurden. Bei Fall 1 wird angenommen, daß die positive konstante Winkelbeschleunigung ϕ¨ = α gegeben ist und der Rotor sich anfangs in negativer Richtung dreht. Er wird entgegengesetzt zu dieser anf¨anglichen Drehrichtung beschleunigt (also bis zum Stillstand verz¨ogert) und dann weiter beschleunigt, bis er wieder denselben Betrag der Drehgeschwindigkeit in positiver Richtung erreicht hat. Bei diesem Bewegungsablauf a¨ ndert sich der Winkel folgendermaßen: 2 1 2 2 ϕ = α 1∗ τ + ∗ −2 τ + ∗ (5.178) 2 α1 α1

368

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

In die Gl. (5.175) sind dann außer dem durch Gl. (5.178) gegebenen Winkel auch dessen erste und zweite Ableitung einzusetzen ϕ = α 1∗ τ ;

ϕ = α 1∗

(5.179)

so daß sie dann lautet: ξ + 2Dξ + ξ = −(sin ϕ ) = ϕ 2 sin ϕ − ϕ cos ϕ

=

(α 1∗ τ )2

sin ϕ −

α 1∗

(5.180)

cos ϕ

Durch numerische Integration von Gl. (5.180) wird die Fundamentbewegung erhalten. Bei diesem Fall 1 wird die R¨uckwirkung der Fundamentbewegung auf die Drehbeschleunigung nicht beachtet, d. h., es wird Gl. (5.176) ignoriert. Das Ergebnis dieser numerischen Integration ist in Bild 5.32 dargestellt. Bremsen

Hochlauf

ξ

10 5 0 −5 −10

−2 −1,5 −1 −0,5

0

0,5

1

1,5 α1∗ ⋅ τ

2

Bild 5.32 Wegverlauf des Fundaments beim Resonanzdurchlauf mit konstanter Drehbeschleunigung (α 1∗ = 0,008; D = 0,05)

Der lineare Drehzahlverlauf, der sich bei Fall 1 ergibt, ist in Bild 5.33b (Kurve 1) erkennbar. Wie in Bild 5.32 zu sehen, durchl¨auft der Rotor dabei die Resonanzstelle von der hohen Drehzahl kommend, erreicht dann die Drehzahl Null und wird in derselben Richtung weiter beschleunigt, so daß er nochmals die Resonanzstelle (aber von unten“) durchf¨ahrt. Der Maximalwert der Schwingwege ist in beiden Richtun” gen etwa gleich, aber stets kleiner als die Resonanzspitze, die sich bei station¨aren Schwingungen ergeben w¨urde. Der Maximalwert tritt nicht auf, wenn Erregerfrequenz und Eigenfrequenz u¨ bereinstimmen, denn er verschiebt sich bei der Drehzahlsenkung in Richtung niederer Drehzahlen und beim Hochlauf in Richtung h¨oherer Drehzahlen. Je gr¨oßer die Winkelbeschleunigung ist, desto kleiner sind die Maximalwerte ξ max . Nun soll der analoge Vorgang mit konstantem Antriebsmoment (Fall 2) analysiert werden. Dazu wurde mit den Anfangsbedingungen gem¨aß Gl. (5.177) gestartet, aber entgegengesetzt zur anf¨anglichen negativen Drehrichtung mit einem konstanten Moment entgegengewirkt. Es werden die beiden gekoppelten Differentialglei-

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

369

chungen (5.175) und (5.176) numerisch integriert. Ergebnisse sind in Bild 5.33 im gleichen Maßstab wie in Bild 5.32 dargestellt. Bremsen

Hochlauf

ξ

10 5 0 −5

a)

−10

−2 −1,5 −1 −0,5

0

0,5

1

1,5 α ∗2 ⋅ τ

2

ϕ′

2 2

1

1

0 −1

b)

−2

−2 −1,5 −1 −0,5

0

0,5

1

1,5 α ∗2 ⋅ τ

2

Bild 5.33 Resonanzdurchlauf a) Wegverlauf des Fundaments mit konstantem Moment (α 2∗ = 0,008; γ = 600; D = 0,05), b) Winkelgeschwindigkeit des Rotors (Kurve 1, konstante Winkelbeschleunigung: α 1∗ = 0,008; Kurve 2, konstantes Moment: α 2∗ = 0,008)

Die Ergebnisse unterscheiden sich wesentlich. Die Drehzahl¨anderung verl¨auft im zweiten Fall nicht linear, wie der Vergleich mit der Geraden zeigt. In der N¨ahe der Resonanzstelle (α 2∗ τ ≈ −1) kommt es bei fallender Drehzahl zu einer kurzzeitigen Winkelbeschleunigung. Danach a¨ ndert sich die Drehzahl linear bis sie sich nach der Vorzeichenumkehr wieder dem Resonanzgebiet n¨ahert. W¨ahrend des Durchlaufens der Resonanzstelle α 2∗ τ ≈ +1 beim Hochlauf kommt es zu einer Verz¨ogerung des Drehzahlanstiegs, und außerhalb des Resonanzgebietes setzt sich der lineare Anstieg weiter fort. Bei diesem Modell 2 tritt ein Effekt auf, der bereits im Jahre 1902 von A. S OM MERFELD bemerkt wurde [304]. Dieser Sommerfeld-Effekt“ ist auch in [29], [31] ” und [35] beschrieben. Die Drehzahl nimmt beim Hochlauf in Resonanzn¨ahe langsa-

370

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

mer zu, weil das Antriebsmoment dort Energie zur Bewegung des mitschwingenden Fundaments aufbringen muß. Der Rotor setzt dem Durchfahren der Resonanzstelle also einen gr¨oßeren Widerstand entgegen, als es nur seiner eigenen Drehtr¨agheit entspricht. Andererseits tritt beim Verz¨ogern, also bei sinkender Drehzahl in der N¨ahe der kritischen Drehzahl der umgekehrte Effekt auf: ein R¨uttelrichtmoment wirkt vom Fundament auf den Rotor so, daß sich dieser mehr beschleunigt als es dem Antriebsmoment entspricht [231]. Es wird dann u¨ bersch¨ussige Energie des schwingenden Fundaments auf den Rotor u¨ bertragen, vgl. Bild 5.33 im Bereich α 2∗ τ ≈ −1. Man kann diesen Effekt, daß das schwingende Fundament wie ein zus¨atzlicher Antrieb wirkt, praktisch ausnutzen, d. h. beim Abtouren l¨anger im Resonanzbereich bleiben, um als Schwingungserreger effektiv zu arbeiten. Es kann dann passieren, daß der Rotor beim Hochlaufen im Resonanzgebiet h¨angenbleibt“. Diesen Fall illustriert Bild 5.34. Es wurde dabei mit derselben Kenn” zahl α 2∗ wie in Bild 5.33, aber mit einem zehnfach kleinerem Wert f¨ur γ gerechnet, d. h., das Motormoment war relativ zum Tr¨agheitsmoment kleiner.

ξ

4 2 0 −2

a)

−4

0

0,5

1

1,5

2 α ∗2 ⋅ τ

2 ϕ′

α ∗2 ⋅ τ

1,5

ϕ′(τ )

1 0,5 0 b)

0

0,5

1

1,5

2 α ∗2 ⋅ τ

Bild 5.34 Beispiel f¨ur das H¨angenbleiben“ eines Rotors beim Hochlauf ” a) Wegverlauf des Fundaments, b) Winkelgeschwindigkeit des Rotors ∗ (α 2 = 0,008; γ = 60; D = 0,05)

5.4 Optimale Bewegungsabl¨aufe

371

In [253] wird zur L¨osung der gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen (5.164) unf (5.165) der Ansatz y = [A(t) sin ϕ ] ¨

(5.181)

gemacht, mit der langsam ver¨anderlichen Amplitude ε

A≈

1−

Ω2

ϕ¨ A˙ = −A 2ϕ˙

;

(5.182)

ω 02

F¨ur den ersten Term in Gl. (5.165), welcher das infolge der Vertikalbeschleunigung y¨ und der Unwucht m1 e auf die Antriebswelle wirkende Drehmoment beschreibt, wird damit in [253] folgende N¨aherungsformel hergeleitet: m1 ey¨ cos ϕ ≈

−2m21 e2 Ω 2 (m1 + m)(Ω 2 − ω 02 )

(5.183)

Setzt man diesen Ausdruck in Gl. (5.165) ein, ergibt sich f¨ur das Momentengleichgewicht

2(m1 eΩ )2 J+ ϕ¨ = M (5.184) k − (m1 + m)Ω 2 Der Ausdruck in der eckigen Klammer von Gl. (5.184) stellt ein ﬁktives reduziertes Tr¨agheitsmoment dar. Der Quotient ist im Vergleich zum Tr¨agheitsmoment im Resonanzgebiet (Ω 2 ≈ ω 02 ) relativ groß. Er w¨achst im hier analysierten unged¨ampften Fall sogar unbegrenzt an. Dieser Quotient dr¨uckt aus, wie die Federkraft und die Massenkraft des Fundaments sich auf das Antriebsmoment auswirken. Im unterkritischen Gebiet (Ω 2 < ω 02 ) stellen die Federkraft und die Tr¨agheitskraft der Fundamentmasse zus¨atzliche Belastungen f¨ur den Motor dar. Bemerkenswert ist aber, daß im u¨ berkritischen Gebiet (Ω 2 > ω 02 ) das ﬁktive Tr¨agheitsmoment verkleinert wird. Es kommt oberhalb der Drehgeschwindigkeit

Ω >

ω0

(5.185)

2(m1 e)2 1− Jm sogar zu negativen Werten des ﬁktiven Tr¨agheitsmomentes, d. h., deshalb treibt in diesem Drehzahlbereich gewissermaßen das schwingende Fundament den Motor an. Um die Schwierigkeiten des Resonanzdurchlaufs zu umgehen, k¨onnen mit entsprechendem konstruktiven Aufwand Lager so gestaltet werden, daß man ihre Steiﬁgkeit von steif“ auf weich“ pl¨otzlich umschalten kann. Dies kann rein ” ” mechanisch, elektromagnetisch oder durch elektrorheologisch gesteuerte Lagersteiﬁgkeiten erreicht werden. Durch die pl¨otzliche Ver¨anderung der Lagersteiﬁgkeit eines Rotors, die w¨ahrend des Hochlaufs vorgenommen wird, kann man diesen um seine kritischen Drehzahlen betr¨ugen“, d. h. Resonanzspitzen v¨ollig vermeiden. In ” Bild 5.35 ist dieser Zusammenhang f¨ur einen Schwinger mit drei Freiheitsgraden veranschaulicht.

372

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Frequenz f

f3

Hochlauf f2

f1

steif

weich Nachgiebigkeit 1 / k

Bild 5.35 Hochlauf eines Rotors mit umschaltbarer Lagernachgiebigkeit [222] Volle Linien: Eigenfrequenzen als Funktion der Lagernachgiebigkeit Gestrichelte Linie: Hochlaufen bei umschaltbarer Lagernachgiebigkeit

Man sieht in Bild 5.35, wie alle drei Eigenfrequenzen mit zunehmender Nachgiebigkeit (Kehrwert der Lagersteiﬁgkeit) einer Lagerfeder abnehmen, vgl. dazu auch die Bilder 2.21, 2.33 und 2.34. Der Hochlauf l¨angs der dick gezeichneten Pfeile erfolgt mit konstanter Drehbeschleunigung, aber vor dem Erreichen des Resonanzgebietes wird entsprechend der gestrichelt eingezeichneten Pfeile von steif“ zu ” weich“ und umgekehrt umgeschaltet. Die entsprechenden Resonanzkurven werden ” abschnittsweise nur in den Bereichen durchlaufen, in denen die Amplituden klein sind.

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen 5.5.1 Gestellschwingungen und Massenausgleich Der Massenausgleich wird bei Mechanismen mit dem Ziel durchgef¨uhrt, die auf das Gestell wirkenden Erregerkr¨afte zu minimieren. Massenkr¨afte k¨onnen reduziert werden, indem die Massen der bewegten Getriebeglieder verringert, die auftretenden Beschleunigungen herabgesetzt oder die Massen und Schwerpunktlagen der einzelnen Getriebeglieder durch Hinzuf¨ugen von Ausgleichsmassen oder Eliminieren von Massen (z. B. Ausbohrungen) ver¨andert werden. Bei der Synthese lautet die Frage: An welchen Gliedern sind welche Ver¨anderungen vorzunehmen? Eine weitere M¨oglichkeit des Massenausgleichs von Mechanismen besteht in der Anwendung selbstsynchronisierter Pendel und Rotoren. Die resultierenden Massenkr¨afte Fx und Fy eines beliebigen Mechanismus ergeben sich als Summe von Produkten aus verallgemeinerten Unwuchten und kinematischen Funktionen [81]. Die VDI-Richtlinie 2149, Bl. 1 gibt f¨ur sechsgliedrige Koppelgetriebe die verallgemeinerten Unwuchten Ui und Vi an. Sie gelten auch f¨ur die oft als Kurbelschwinge oder Doppelkurbel verwendeten viergliedrigen Getriebe [150], die darin als Sonderfall (m5 = m6 = 0) enthalten sind. Mit ihnen lassen sich

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

373

f¨ur das in Bild 5.36 dargestellte sechsgliedrige Koppelgetriebe die Komponenten der Massenkr¨afte, die vom Mechanismus auf das Gestell wirken, berechnen: Fx = ∑ −Ui (cos ϕ i ) ¨ + Vi (sin ϕ i ) ¨ i=2, 4, 6

Fy =

∑

−Vi (cos ϕ i ) ¨ − Ui (sin ϕ i ) ¨

(5.186)

i=2, 4, 6

Man kann mit bekannter Software (vgl. Tabelle 2.1) f¨ur beliebige n-gliedrige Mechanismen eine kinematische und kinetostatische Analyse vornehmen, ohne Gleichungen formulieren zu m¨ussen. Die Darstellung mit Gl. (5.186) ist insofern aufschlußreich, als sie eine Trennung aller Parameter in die 11 kinematischen Abmessungen (li ,li jk ), von denen die Winkel ϕ i abh¨angen, von den 3 × 5 = 15 Masseparametern (mi , si , α i ) erlaubt, welche die verallgemeinerten Unwuchten Ui und Vi beeinﬂussen. Damit kann man die insgesamt 26 Parameter aufteilen, was die L¨osung der bei Syntheseaufgaben entstehenden nichtlinearen Optimierungsprobleme wesentlich erleichtert. y

m3 ξS3

ηS2 m2

ηS4

m5

ηS5 ηS6

l5

m4

l3 l2

ξS2

ξS5

ηS3

l4

ξS4

l145

m6

β4

ξS6

ϕ4

ϕ2 l1

l6

ϕ6 l7

x

Bild 5.36 Sechsgliedriges Koppelgetriebe

F¨ur den in Bild 5.36 skizzierten Mechanismus lauten die verallgemeinerten Unwuchten: U2 = m2 ξ S2 + m3 l2 1 − V2 = m2 η S2 − m3 η S3

ξ S3

l3

l2 l3

(5.187) (5.188)

U4 = m3 ξ S3

l4 l145 + m4 ξ S4 + m5 (l5 cos β 4 − ξ S5 cos β 4 + η S5 sin β 4 ) l3 l5

(5.189)

V4 = m3 η S3

l4 l145 + m4 η S4 + m5 (l5 sin β 4 − ξ S5 sin β 4 − η S5 cos β 4 ) l3 l5

(5.190)

U6 = m5 ξ S5

l6 + m6 ξ S6 l5

(5.191)

V6 = m5 η S5

l6 + m6 η S6 l5

(5.192)

374

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Es ist zun¨achst erstaunlich, daß die Koordinaten des Gestellpunktes des Abtriebsgliedes (x16 , y16 ) in diesen Gleichungen nicht vorkommen. Die Ui und Vi sind außer von den Masseparametern nur von den L¨angenverh¨altnissen abh¨angig, weil die Winkelfunktionen ϕ 5 und ϕ 6 , abgesehen von einer Verschiebung des Nullpunktes, von der Lage dieses Gestellpunktes unabh¨angig sind. Aus den verallgemeinerten Unwuchten in den Gln. (5.187) bis (5.192) geht hervor, daß die Massen mi und die statischen Momente (Sξ = mi ξ Si und Sη = mi η Si ) linear in den Ausdr¨ucken enthalten sind und lediglich mit L¨angen multipliziert werden, die bekannt sind. Das erleichtert sowohl die Sensitivit¨atsanalyse als auch die L¨osung der entstehenden Gleichungen. Die Masseparameter, welche die Gestellkraft-Komponenten Fx und Fy minimieren, kann man aus Ausgleichbedingungen berechnen. Im Extremfall, wenn ein vollst¨andiger Massenausgleich gefordert wird, lauten die Ausgleichsbedingungen Ui = 0 und Vi = 0, [81]. Normalerweise wird aber eine Kompromißl¨osung gesucht, da konstruktive Nebenbedingungen (Bauraum, Kollision, Grenzen f¨ur Abmessungen und Masseparameter) zu ber¨ucksichtigen sind. Dann ﬁndet man die m¨oglichen Parameter¨anderungen dadurch, daß man sich die kinematischen Funktionen in Gl. (5.186) berechnet, die unver¨anderlichen Parameterwerte von den variablen Parametern unterscheidet und ermittelt, welche der variablen Parameter welche der verallgemeinerten Unwuchten stark beeinﬂussen. Nach dieser Analyse kann man zul¨assige Werte f¨ur die Ui und Vi in den Gln. (5.187) bis (5.192) vorgeben. Man erh¨alt damit sechs lineare Gleichungen. Sind darin weniger als sechs Unbekannte enthalten, ﬁndet man eine L¨osung mit Hilfe der Normalgleichungen der Ausgleichsrechnung, sind mehr als sechs Unbekannte enthalten, ergibt sich daraus ein lineares Optimierungsproblem [50]. Es kann zweckm¨aßig sein, die Sinus und Kosinus der Winkel in Fourierreihen cos ϕ i = sin ϕ i =

∞

∑ (ccki cos kΩ t + cski sin kΩ t)

k=1 ∞

(5.193)

∑ (scki cos kΩ t + sski sin kΩ t)

k=1

(i = 2, 4, 6) zu entwickeln. Wenn die kinematischen Abmessungen festliegen, sind die Fourierkoefﬁzienten (ccki , cski , scki , sski ) der kinematischen Gr¨oßen als Zahlenwerte bekannt, z. B. aus dem Programm WINDAM [270]. Aus ihnen ergeben sich nach zweifacher Differentiation nach der Zeit, wobei der Faktor (Ω k)2 zustande kommt, in Verbindung mit Gl. (5.186) die Fourierkoefﬁzienten der Gestellkr¨afte: Fx = Ω 2

∞

∑ ∑ k2 [(Ui ccki − Vi scki ) cos kΩ t + (Ui cski − Vi sski ) sin kΩ t]

(5.194)

k=1 i

Fy = Ω 2

∞

∑ ∑ k2 [(Vi ccki + Ui scki ) cos kΩ t + (Vi cski + Ui sski ) sin kΩ t]

(5.195)

k=1 i

Aus den Ausdr¨ucken in den runden Klammern in Gl. (5.194) und (5.195), den Fourierkoefﬁzienten der k-ten Erregerharmonischen, kann man Bedingungen gewinnen, aus denen die Masseparameter berechenbar sind. Um eine k-te Harmonische v¨ollig auszugleichen, w¨aren die betreffenden Klammerausdr¨ucke Null zu setzen. Analoge Aufgaben entstehen, wenn bestimmte Gestellkr¨afte erzeugt werden sollen, z. B. mit

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

375

einem Vibrationserreger f¨ur polyharmonische Erregerkr¨afte. Dann sind die Fourierkoefﬁzienten von Fx (ϕ ) und Fy (ϕ ) gegeben und aus den Klammerausdr¨ucken folgen Gleichungen zur Berechnung der gesuchten Parameterwerte. Die Schwingungserregung des Gestells, in dem sich die Glieder des Mechanismus abst¨utzen, ist von der r¨aumlichen Verteilung der Lagerkr¨afte abh¨angig. Die Kenntnis der Eigenformen des Maschinengestells erlaubt eine Bewertung der modalen Erregerkr¨afte und damit L¨osungsans¨atze zur Vermeidung st¨orender Resonanzen. In [73] und [314] wurde der modale Massenausgleich zur Verminderung Gestellschwingungen vorgeschlagen und detailliert ausgearbeitet. Die modalen Eigenschaften des schwingungsf¨ahigen Gestells lassen sich durch Masse- und/oder Steiﬁgkeits¨anderungen beeinﬂussen. Der Erfolg derartiger Parameter¨anderungen kann mit einem durch experimentelle Untersuchungen abgesichertem Modell oder durch eine FEM- oder MKS-Analyse gut abgesch¨atzt werden. Neben der Anwendung traditioneller Methoden der experimentellen Modalanalyse (Shaker, Impulshammer u. a.) ist bei vielen Maschinen, die im wesentlichen durch Massenkr¨afte der Mechanismen erregt werden, die Auswertung von Messungen der Betriebsschwingungen empfehlenswert. Man erkennt dabei, welche Eigenformen tats¨achlich angeregt werden und ob die (meist an den Abtriebsgliedern der Mechanismen) st¨orenden Schwingungen m¨oglicherweise durch Gestellschwingungen bedingt sind. Meist sind Messungen bei verschiedenen Maschinendrehzahlen notwendig, um aus Betrag und Phasenlage einzelner Frequenzanteile der Antwortsignale sowie aus Resonanz¨uberh¨ohungen in den Amplitudenfrequenzg¨angen auf Eigenfrequenzen und -formen schließen zu k¨onnen. In [73] und [367] sind Beispiele f¨ur den erfolgreich angewandten modalen Massenausgleich der Gestellschwingungen von Verarbeitungsmaschinen beschrieben.

5.5.2 Torsionsschwingungen und Leistungsausgleich Beim Leistungsausgleich wird u¨ blicherweise das ben¨otigte Antriebsmoment des Motors beeinﬂußt, jedoch spielt die Erregung von Torsionsschwingungen der Antriebswelle durch h¨ohere Harmonische des periodischen Antriebsmoments die wesentliche Rolle. Bekanntlich dominiert bei konstanter Antriebswinkelgeschwindigkeit Ω vielfach die zweite Harmonische des Antriebsmomentes, denn wenn das Abtriebsglied zwei Umkehrlagen hat, gibt es pro Periode zwei Minima in der kinetischen Energie, vgl. dazu die Gleichungen in Tabelle 5.1 und die Kurvenverl¨aufe in Tabelle 5.2. Bei umlaufenden Abtriebsgliedern, wie z. B. bei Doppelkurbeln oder einem Schrittgetriebe, ist meist die erste Harmonische die gr¨oßte, vgl. auch die Zahlenwerte in Gl. (5.236) und Gl. (5.238). M¨oglichkeiten des harmonischen Ausgleichs sind in [81] und VDI-Richtlinie 2149 beschrieben. Hier soll nur der einfachste Fall eines Ausgleichsgetriebes genannt werden, vgl. Bild 5.37. Die Harmonischen des Antriebsmomentes lassen sich in geschlossener analytischer Form angeben, vgl. die Ausdr¨ucke in den eckigen Klammern von Gl. (5.196). Der zweite Fourierkoefﬁzient ist unabh¨angig vom Kurbelverh¨altnis (λ 1, λ ∗ 1). Die erste und dritte Harmonische sind linear von λ und λ ∗ abh¨angig und die h¨oheren Fourierkoefﬁzienten werden wegen der h¨oheren λ -Potenzen immer kleiner. Die

376

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Reihenentwicklung beginnt folgendermaßen: 1 1# $ 2 Man = Ω 2 − m∗4 l2∗ λ ∗ sin(γ − δ ) cos ϕ 4 $ 1# 2 − m4 l22 λ + m∗4 l2∗ λ ∗ cos(γ − δ ) sin ϕ 4 $ 1# 2 + m∗4 l2∗ sin 2(γ − δ ) cos 2ϕ 2 $ 1# 2 + m4 l22 + m∗4 l2∗ cos 2(γ − δ ) sin 2ϕ 2 $ 3 # ∗ ∗2 ∗ + m4 l2 λ sin 3(γ − δ ) cos 3ϕ 4 $ 2 3# 2 2 + m4 l2 λ + m∗4 l2∗ λ ∗ cos 3(γ − δ ) sin 3ϕ + 0(λ 2 ) 4

(5.196)

y λ= m4*

l3*

l2*

γ

l2 ϕ

l2 l* ; λ* = 2* l3 l3

δ

l3

x m4

Bild 5.37 Schubkurbelgetriebe mit angekoppeltem Ausgleichsgetriebe (gestrichelt)

Man erh¨alt aus Gl. (5.196) durch Minimierung der Quadratsumme (Grenzfall gleich Null) der eckigen Klammerausdr¨ucke, die zu bestimmten Harmonischen geh¨oren, die Ausgleichsbedingungen, d. h. Gleichungen zur Bestimmung von Parameterwerten, welche diese Harmonischen minimieren. Diese analytische Methode zum Ausgleich einzelner Harmonischer l¨aßt sich allerdings nur f¨ur einfache Mechanismen effektiv anwenden, denn schon f¨ur exzentrische Schubkurbelgetriebe und Viergelenkgetriebe werden die analytischen Formeln sehr kompliziert [81], so daß man eine kombinierte analytisch- numerische Methode anwenden muß. Bei komplizierteren Mechanismen kann man analog zu der f¨ur Gestellkr¨afte in Abschn. 5.5.1 beschriebenen Methode vorgehen. In der Praxis werden zum Ausgleich der Torsionsmomente in manchen Maschinen auch zus¨atzliche Kurvenscheiben angebracht und so dimensioniert, daß die Momentensumme verschwindet [249]. Wenn man Freiheiten bei der Typauswahl eines Mechanismus hat, sollte man diese im Hinblick auf die zu erwartenden h¨oheren Erregerharmonischen nutzen. Um

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

377

diesen Gesichtspunkt zu erl¨autern, ist in Bild 5.38a eine geforderte Lagefunktion U(ϕ ) = ψ (ϕ )/ψ H skizziert, die eine Drehschwingbewegung mit einem großen Abtriebswinkel ψ H = 200◦ beschreibt. ψ ψH 1

a)

0

π

2π

ϕ

M kin M$

M kin M$ 2 1,0

2

ϕ

ψ

+1 0 0 −1

k 12345678

M kin M$ 2 1,0

M kin M$ 2

ϕ

J

c)

2π 0,5

1,44

J

b)

π ϕ

+1 ψ 0 0 −1

π ϕ

2π 0,5 12345678

Bild 5.38 Typ und Maßvarianten von zwei Mechanismen zur Erzeugung eines großen Schwingwinkels mit Erregerspektrum des kinetostatischen Antriebsmoments a) Verlauf des Abtriebswinkels, b) R¨aderkoppelgetriebe, c) Sechsgliedriges Koppelgetriebe (Quelle: VDI-Richtlinie 2149, Bl. 1)

Diese Bewegungsaufgabe l¨aßt sich mit verschiedenen Mechanismen l¨osen, wovon Bild 5.38 zwei der in der VDI-Richtlinie 2149 angegebenen Varianten zeigt. Zum Vergleich wurden bei allen Varianten die mittleren Getriebeglieder als masselos angenommen und dem Abtriebsglied ein Tr¨agheitsmoment J zugeordnet. In Bild 5.38b und 5.38c sind f¨ur jede Variante das maßst¨abliche Getriebeschema, das bezogene kinetische Antriebsmoment Mkin , sowie in linearer Skalierung die Amplituden der ersten acht Harmonischen dargestellt. Da sich die zweite Harmonische relativ leicht ausgleichen l¨aßt, vgl. Tabelle 5.1, sind die Amplituden der h¨oheren Harmonischen bei solchen Antrieben von Bedeutung. Variante b hat einen kleineren Spitzenwert des Antriebsmomentes und geringere Amplituden der h¨oheren Harmonischen als Variante c. Das Spektrum des Antriebsmomentes von Variante c zeigt ein deutliches Hervortreten der sechsten Harmonischen, aber eine kleinere dritte bis f¨unfte Harmonische als Variante b. Es h¨angt also vom η -Wert des Betriebsdrehzahlbereiches ab, welche Variante zu bevorzugen ist.

378

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.5.3 HS-Proﬁle bei Kurvengetrieben 5.5.3.1 Theoretische Grundlagen Es kommt insbesondere bei schnell laufenden Getrieben darauf an, Resonanzgebiete erzwungener Schwingungen durch die Wahl einer g¨unstigen kinematischen ¨ Ubertragungsfunktion (Lagefunktion) zu vermeiden. Ein wesentliches Kennzeichen zur Beurteilung eines konkreten Antriebs ist seine niedrigste Eigenfrequenz. Oft kann man das in Bild 5.39 abgebildete Minimalmodell benutzen, das diese Eigenfrequenz ber¨ucksichtigt. Der Weg y des Abtriebsgliedes unterscheidet sich von der auf dem Kurvenproﬁl vorgegebenen Lagefunktion U(ϕ ) um einen Relativweg. Aus dem Kr¨aftegleichgewicht folgt die Bewegungsgleichung: ˙ Ω t)) + k(y − U(Ω t)) = 0 my¨ + d(y˙ − U(

ϕ= Ω t

(5.197)

d m k

U (ϕ)

y = U (ϕ) + q

Bild 5.39 Minimalmodell eines Kurvengetriebes mit elastischem Abtrieb

Mit ω 02 = k/m l¨aßt sie sich mit den Kenngr¨oßen ϕ = Ω t;

η =

Ω ω0

;

2D =

d mω 0

(5.198)

in die Form η 2 y + 2Dη y + y = U(ϕ ) + 2Dη U (ϕ )

(5.199)

bringen. Dabei bedeutet der Strich die Ableitung nach dem Drehwinkel ϕ . In Gl. (5.199) kommen nur noch drei Einﬂußgr¨oßen vor, die Lagefunktion U(ϕ ), das Abstimmungsverh¨altnis η und der D¨ampfungsgrad D. Daraus folgt, daß das wesentliche dynamische Verhalten des Kurvengetriebes allein durch diese Gr¨oßen bestimmt wird, und es nicht auf die Bestimmung der einzelnen dimensionsbehafteten Parameterwerte von m, d und k ankommt. Man kann also die Synthese unter dynamischen Aspekten vornehmen, ohne z. B. die konkrete Gr¨oße der Eigenfrequenz zu kennen. Große Mechanismen arbeiten meist bei niedrigeren Drehzahlen als kleine, aber sie haben auch ¨ entsprechend niedrige Eigenfrequenzen, d. h. bezuglich des Abstimmungsverh¨alt¨ nisses η sind Antriebe miteinander vergleichbar, denn η ist eine Ahnlichkeitskennzahl, vgl. Abschn. 2.2.2.

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

379

Ein periodischer Verlauf der Lagefunktion, die durch ein beliebiges Proﬁl der Kurvenscheibe bestimmt wird, l¨aßt sich mit den Fourierkoefﬁzienten ak und bk der Lagefunktion beschreiben: U(ϕ ) =

∞

∑ (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) =

k=1

Es gilt

a2k + b2k ,

∞

∑ ck cos(kϕ − β k )

(5.200)

k=1

bk ak , cos β k = (5.201) ck ck Die Phasenwinkel ergeben sich aus π π − arcsin(bk /ck ) sign(ak ) βk = + (5.202) 2 2 Die Anzahl der Summanden kann endlich oder unbegrenzt groß sein, aber praktisch werden die Fourierkoefﬁzienten h¨oherer Ordnungen mit zunehmendem k meist immer kleiner, bis zu Ordnungen, welche durch die Fertigungstoleranz der Kurvenscheiben bestimmt werden [44]. Als Lagefunktionen p-ter Ordnung werden die p-ten Ableitungen bezeichnet: # ∞ π π $ + bk sin kϕ + p (5.203) U (p) (ϕ ) = ∑ k p ak cos kϕ + p 2 2 k=1 ck =

sin β k =

Die Abtriebsbewegung als Absolutweg erh¨alt man aus der L¨osung von Gl. (5.199) zu ∞ ∞ (5.204) y(ϕ ) = ∑ a∗k cos kϕ + b∗k sin kϕ = ∑ c∗k cos(kϕ − β k − γ k ) k=1

k=1

und die Relativbewegung beschreibt den Unterschied zum gew¨ahlten Kurvenproﬁl: q = y−U =

∞

∞

k=1

k=1

∑ (Ak cos kϕ + Bk sin kϕ ) = ∑ Ck cos(kϕ + δ k )

Die Betr¨age der Fourierkoefﬁzienten des Absolutweges sind c∗k = a∗k 2 + b∗k 2

(5.205)

(5.206)

w¨ahrend deren Komponenten berechenbar sind aus 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 ak − 2Dkη (kη )2 bk ∗ ak = = Ak + ak (5.207) (1 − k2 η 2 )2 + (2Dkη )2 2Dkη (kη )2 ak + 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 bk ∗ bk = = Bk + bk (5.208) (1 − k2 η 2 )2 + (2Dkη )2 Eine typische Drehzahlabh¨angigkeit der Schwingungsamplituden zeigt das Beispiel f¨ur das Schrittgetriebe in Abschn. 5.5.3.3, vgl. Bild 5.46. Es kann viele Resonanzen k-ter Ordnung geben, und zwar jeweils bei 60 f /Hz ; k = 1, 2, . . . (5.209) k also wenn eine der vielen Erregerfrequenzen (die in der periodischen Erregung stecken“) mit der Eigenfrequenz f u¨ bereinstimmt, vgl. dazu auch Gl. (4.2). Die ” kη = 1 bzw. kΩ = ω bzw. nk /min−1 =

380

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Amplituden an der k-ten Resonanzstelle (bei jedem Wert η = 1/k) betragen f¨ur die Absolut- und die Relativwege: bk ak bk ak , b∗k = + bk , Ak = − , Bk = (5.210) 2D 2D 2D 2D Sie h¨angen also von der Gr¨oße der Fourierkoefﬁzienten der betreffenden k-ten Ordnung und der D¨ampfung ab. Wenn die entsprechenden Fourierkoefﬁzienten sehr klein sind, treten keine großen Resonanzausschl¨age auf, obwohl die Bedingung (5.209) erf¨ullt ist. Infolge der meist kleinen D¨ampfung (D ≈ 0,03 . . . 0,05 bei Mechanismen) werden die Amplituden in der Resonanzstelle sehr vergr¨oßert. Bei der Synthese von Mechanismen sollte man darauf achten, daß im Betriebsdrehzahlbereich kein ganzzahliges Vielfaches der Winkelgeschwindigkeit Ω in der N¨ahe einer Eigenkreisfrequenz ω liegt, da ein Mechanismus bei einer kritischen Drehzahl Ω ≈ ω /k sich nicht mit dem gew¨unschten Bewegungsgesetz bewegt, vgl. auch Bild 5.51. In der Resonanz k-ter Ordnung wird die Relativbewegung haupts¨achlich durch die Schwingung mit der Kreisfrequenz kΩ bestimmt, d. h. die gew¨unschte Abtriebsbewegung wird durch st¨orende Schwingungen mit dieser Kreisfrequenz u¨ berlagert. Bei der Auswertung von Meßergebnissen kann man aus der Anzahl der Maxima oder Minima, die innerhalb eines kinematischen Zyklus abz¨ahlbar sind, die kritische Ordnungszahl K ∗ dieser Resonanz ermitteln. In Resonanzn¨ahe k¨onnen auch benachbarte Harmonische von Einﬂuß sein, aber die weiter entfernten sind oft vernachl¨assigbar, so daß aus Gl. (5.205) folgende N¨aherung folgt: a∗k = ak −

q ≈ Ak−1 cos[(k − 1)ϕ ] + Bk−1 sin[(k − 1)ϕ ] + Ak cos kϕ + Bk sin kϕ +Ak+1 cos[(k + 1)ϕ ] + Bk+1 sin[(k + 1)ϕ ]

(5.211)

wobei die Terme k-ter Ordnung dominieren, wenn nicht die benachbarten Fourierkoefﬁzienten außergew¨ohnlich groß sind. Die Resonanzamplitude wird im wesentlichen vom D¨ampfungsgrad D und dem Fourierkoefﬁzienten ck bestimmt. Sie besitzt gem¨aß Gl. (5.206) und (5.210) den Mindestwert ck (5.212) Ck > 2D Wenn sich ein Resonanzgebiet nicht vermeiden l¨aßt, sollte man daf¨ur sorgen, daß im Erregerspektrum diejenigen Fourierkoefﬁzienten ck m¨oglichst klein sind, die Resonanzen k-ter Ordnung im Betriebsdrehzahlbereich verursachen k¨onnen. Die kritische“ Ordnungszahl K ∗ ﬁndet man, wenn man die Eigenfrequenz f (in Hz) des ” Mechanismus und die Drehzahl n (in min−1 ) der Maschine kennt: 1 ω 60 · f = K∗ = = (5.213) Ω n η Die meisten Mechanismen arbeiten etwa im Bereich 0,03 < η < 0,3, also in einem Drehzahlbereich, der den Resonanzordnungen k = 3 . . . 30 entspricht. Da beim Hochlaufen auf die Betriebsdrehzahl alle h¨oheren Resonanzordnungen k > K ∗ durchfahren werden, sollten auch alle Fourierkoefﬁzienten ck f¨ur k > K ∗ m¨oglichst klein sein, da in diesem Gebiet keine großen Abweichungen von der geforderten Abtriebsbewegung zul¨assig sind, vgl. Bild 5.46. Die traditionelle Methode der Getriebetechnik setzt Lagefunktionen aus katalogisierten Abschnitten – sogenann¨ ten normierten Ubertragungsfunktionen – zusammen, vgl. VDI-Richtlinie 2143.

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

381

Dabei bedingen sowohl die Unstetigkeiten in den h¨oheren Ableitungen als auch die Forderung nach idealen Stillst¨anden in Rastbereichen h¨ohere Harmonische in den Lagefunktionen. Resonanzen h¨oherer Ordnung lassen sich mit HS-Lagefunktionen (HS-Proﬁlen) vermeiden, die nur eine endliche Anzahl K von relevanten Harmonischen besitzen. F¨ur sie gilt im Unterschied zu Gl. (5.200): K

K

k=1

k=1

U(ϕ ) = ∑ (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) + O(ε ) = ∑ ck cos(kϕ − β k ) + O(ε ) (5.214) d. h., die Anzahl der Harmonischen wird auf eine Zahl K < K ∗ begrenzt, und die Fourierkoefﬁzienten ak und bk der Lagefunktion U(ϕ ) oberhalb der Ordnung K sind Null (oder vernachl¨assigbar klein). Die Fourierkoefﬁzienten der HS-Lagefunktionen erh¨alt man aber nicht einfach dadurch, daß man die h¨oheren Harmonischen im Erregerspektrum der traditionellen Proﬁle abschneidet“. HS-Kurvenproﬁle werden nach ” einer besonderen Methode berechnet, die in [227] beschrieben ist, vgl. auch [77], [81] und [278]. Ein Grundgedanke bei der Synthese besteht darin, daß man im Bewegungsplan f¨ur die Lagefunktionen p-ter Ordnung (p = 0, 1, 2) Toleranzgrenzen f¨ur bestimmte Winkel ϕ i oder Winkelbereiche vorgibt, und zwar einzig an solchen Stellen, an denen es auf die Einhaltung der Abtriebsbewegung ankommt. F¨ur diskrete St¨utzstellen“ ϕ i ” werden die Forderungen dann mit Ungleichungen der Form U (p) (ϕ i )min U (p) (ϕ i ) U (p) (ϕ i )max

(5.215)

formuliert. Damit k¨onnen auch einseitige Schranken und genaue Punktforderungen ausgedr¨uckt werden. F¨ur die p-te Ableitung der Lagefunktion gilt, vgl. Gl. (5.203) # K π π $ + bk sin kϕ i + p (5.216) U (p) (ϕ i ) = ∑ k p ak cos kϕ i + p 2 2 k=1 Man erh¨alt auf diese Weise ein System von Ungleichungen zur Berechnung der Koefﬁzienten ak und bk . Die zur Synthese von HS-Proﬁlen urspr¨unglich benutzten Approximationsmethoden [81], die eine minimale Abweichung von den gegebenen Bewegungen forderten, wurden durch dieses Syntheseverfahren verbessert, welches zur L¨osung des Systems von Ungleichungen Algorithmen zur linearen Optimierung benutzt. Damit k¨onnen zul¨assige Toleranzen in den technologischen Forderungen ber¨ucksichtigt werden. Der Begriff HS-Proﬁl“ ( Harmonische Synthese“ oder high speed“) wurde im ” ” ” Jahre 1984 eingef¨uhrt, als Kurvenscheiben f¨ur Kettenwirkmaschinen (Patent DD 220 633) und ein Auswerfersystem f¨ur Kurbelpressen (Patent DD 222 798) nach dieser Methode ausgelegt wurden. Das Programm mHSL [270] wurde auf Grund von Anforderungen entwickelt, die von Konstrukteuren an schnell laufende Kurvengetriebe gestellt wurden, vgl. [64], [77]. Inzwischen wurde es zur L¨osung von Aufgaben aus der Industrie vielfach angewendet. Firmen, welche Kurvenscheiben f¨ur Antriebe in Verarbeitungsmaschinen herstellen, nutzen die dazu entwickelte Software. Der Einsatz von Kurvengetrieben mit HS-Proﬁlen hat sich in Verpackungsmaschinen, polygraﬁschen Maschinen und Textilmaschinen, bei denen st¨orende Schwingungen am Abtriebsglied infolge Resonanzen k-ter Ordnung entstanden, vielfach in der Praxis bew¨ahrt [44], [68], [227], [313].

382

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Typisch f¨ur viele Verarbeitungsmaschinen ist, daß mehrere Mechanismen syn¨ chron in zueinander genau koordinierten Bewegungen arbeiten m¨ussen. Ublicherweise sind j = 2 . . . 8 zyklische Abtriebsbewegungen zu koordinieren, die durch Lagefunktionen U j (ϕ ) beschrieben werden. Diese gegenseitige Abh¨angigkeit wird in Form von Zyklogrammen als Funktion des Drehwinkels ϕ 0 der Hauptwelle ( Ma” schinenwinkel“) beschrieben, vgl. z. B. Bild 5.40. Relative Forderungen zwischen den Lagefunktionen U j (ϕ ) sind zu ber¨ucksichtigen, um den korrekten technologischen Ablauf zu sichern und um Kollision zwischen den Gliedern unterschiedlicher Mechanismen zu vermeiden.

Bild 5.40 Typisches Zyklogramm einer Verarbeitungsmaschine (Schraubenstauchautomat)

Die simultane Optimierung der zu koordinierenden Bewegungsabl¨aufe im Hinblick auf die Resonanzen k-ter Ordnung bringt Vorteile. Bei der Optimierungsrechnung werden entsprechend der in [227] beschriebenen Methode die Forderungen an jedes einzelne Bewegungsgesetz ebenso wie die Relativforderungen ber¨ucksichtigt. Die simultane Optimierung koordinierter Bewegungsabl¨aufe liefert naturgem¨aß wesentlich bessere Ergebnisse, als wenn jede einzelne Lagefunktion f¨ur sich erfolgt. Mit der Implementierung dieses Verfahrens zur Synthese bis zu f¨unf HS-Proﬁlen im Programm mHSL [270] gelang es, dessen Anwendungsgebiet wesentlich zu erweitern [227], [313]. Bei herk¨ommlichen Lagefunktionen werden im Langsamlauf der Maschine die technologischen Forderungen im Rahmen der Fertigungstoleranz exakt eingehalten. Reale Antriebe weisen jedoch Elastizit¨aten und Spiel auf, so daß bei h¨oheren Drehzahlen die wirkliche Bewegung des Abtriebsgliedes infolge st¨orender Schwingungen von der geometrischen Lagefunktion abweicht. Bei der Anwendung von HS-Proﬁlen wird ein Toleranzbereich f¨ur die Einhaltung der idealen“ Bewegung vorgesehen. ” 5.5.3.2 Rastgetriebe Bild 5.41 zeigt das Beispiel eines Rastgetriebes, bei dem ein HS-Proﬁl mit einer ¨ traditionellen normierten Ubertragungsfunktion, der geneigten Sinoide nach VDIRichtlinie 2143 verglichen wird, vgl. auch [64], [72], [81]. HS-Proﬁle erf¨ullen eine

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

Bild 5.41 Verlauf der Lagefunktion U und Abtriebsweg y bei symmetrischer Rast-in-Rast-Bewegung im Rastbereich

Bild 5.42 Erreichbares Abstimmungsverh¨altnis in Abh¨angigkeit von Rastbreite und Toleranzgrenze [227]

383

384

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Rast nicht exakt, wohl aber die vorgebende Toleranzgrenze, die in Bild 5.41 und Bild 5.42 mit ∆R/H angegeben ist. Das Bewegungsgesetz der geneigten Sinoide regt bereits ab η 0,090 9 Eigenschwingungen an, die innerhalb des Rastbereiches den Toleranzbereich ausf¨ullen, w¨ahrend das HS-Proﬁl erst bei η 0,142 7 an die untere Grenzen st¨oßt, vgl. Bild 5.41. Die zul¨assige Toleranz im Rastbereich wurde bei der Synthese des HS-Proﬁls ausgenutzt, um die zul¨assige Betriebsdrehzahl (das Abstimmungsverh¨altnis η in Gl. (5.198)) zu maximieren. Bild 5.42 zeigt den Zusammenhang zwischen Rastbreite ϕ R , Anzahl K der Harmonischen und erreichbarem Abstimmungsverh¨altnis im Vergleich zur geneigten Sinoide. Das HS-Proﬁl erlaubt erfahrungsgem¨aß etwa das 1,3 bis 1,6-fache Abstimmungsverh¨altnis gegen¨uber traditionellen Kurvenproﬁlen zu erreichen. Dies bedeutet in der Praxis eine entsprechend h¨ohere Betriebsdrehzahl, ohne daß st¨orende Schwingungen am Abtriebsglied auftreten.

5.5.3.3 Schrittgetriebe F¨ur das Berechnungsmodell eines Schrittgetriebes nach Bild 5.43b ist das dynami¨ sche Verhalten zum einen f¨ur eine Lagefunktion in Form der normierten Ubertragungsfunktion Bestehorn-Sinoide“ nach VDI-Richtlinie 2143 und zum anderen f¨ur ” ein HS-Proﬁl mit drei Harmonischen zu untersuchen. Es soll ermittelt werden, bis zu welcher Drehzahl ein Betrieb m¨oglich ist, wenn der zul¨assige Toleranzbereich ausgenutzt wird.

Bild 5.43 Kurvenschrittgetriebe; a) Struktur, b) Minimalmodell

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

385

Gegeben sind die Parameterwerte ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ◦ US 30 Schwenkwinkel, vgl. Bild 5.44a ⎟ Antriebsdrehwinkel pro Schritt, vgl. Bild 5.44 ⎜ ϕ ∗ ⎟ ⎜ 200◦ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ n ⎟ ⎜ 300 min−1 ⎟ Betriebsdrehzahl ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ p = ⎜ J ⎟ = ⎜ 0,22 kg · m2 ⎟ Tr¨agheitmoment des Abtriebgsliedes (5.217) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ kT ⎟ ⎜ 5 400 N · m ⎟ Drehfederkonstante der Abtriebswelle ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ D¨ampfungsgrad des Torsionsschwingers ⎝ D ⎠ ⎝ 0,02 ◦ 0,3 ∆U zul¨assige Rastabweichung ( Toleranzbereich“) ”

US

ϕ 2π

Antriebswinkel

a) 8

U ′, U ′′

U ′′ U′ 0

b)

−8 −2

0

2 4 6 Antriebswinkel ϕ

8

Bild 5.44 Lagefunktionen des Schrittgetriebes a) nullte Ordnung, b) erste und zweite Ordnung

Die Bewegungsgleichung des kinematisch erregten Einfachschwingers nach Bild 5.43b ergibt sich aus dem Momentengleichgewicht an der Abtriebsdrehmasse J, an dem das elastische R¨uckstellmoment, das D¨ampfungsmoment und das Massenmo” ment“ infolge der Tr¨agheit der Drehmasse angreifen. Es gilt: (5.218) J ϕ¨ 1 + dT · ϕ˙ 1 − U˙ + kT · (ϕ 1 − U) = 0

386

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Benutzt man den Relativwinkel der Abtriebswelle als verallgemeinerte Koordinate q mit d( ) q¨ = ϕ¨ 1 − U¨ = ϕ¨ 1 − Ω 2U ; ( ) = (5.219) q = ϕ 1 − U; dϕ so erh¨alt man daf¨ur die Bewegungsgleichung: J q¨ + dT q˙ + kT q = −J Ω 2U (ϕ )

(5.220) ¨ Die Lagefunktion nullter Ordnung bei einem Schrittgetriebe kann als Uberlagerung einer gleichf¨ormigen mit einer periodischen Bewegung interpretiert werden. Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverlauf sind dann periodische Funktionen des Antriebswinkels ϕ , vgl. Bild 5.44. Es gilt f¨ur die Lagefunktionen: U (ϕ ) =

∞ US ϕ + ∑ bk sin kϕ 2π k=1

U (ϕ ) =

US 2π

(5.221)

∞

+ ∑ kbk cos kϕ

(5.222)

k=1 ∞

− ∑ k2 bk sin kϕ

U (ϕ ) =

(5.223)

k=1

vgl. auch Gl. (5.200) und Gl. (5.203). Der Kosinusanteil entf¨allt in Gl. (5.221), da der periodische Anteil eine antimetrische Funktion ist, vgl. Bild 5.44 und Gl. (1.78) in [77]. Die Bewegungsgleichung (5.218) erh¨alt damit die Form analog zu (5.137): q¨ + 2Dω 0 q˙ + ω 02 q = −Ω 2U = Ω 2 Dabei ist ω 0 =

∞

∑ k2 bk sin kΩ t

kT die Eigenkreisfrequenz des unged¨ampften Schwingers und J

dT D= √ 2 kT J dessen D¨ampfungsgrad. Setzt man den L¨osungsansatz q=

∞

(5.224)

k=1

(5.225)

∞

∑ (Ak cos kΩ t + Bk sin kΩ t) = ∑ Ck cos (kΩ t + δ k )

k=1

k=1

∞

∞

k=1

k=1

q˙ = Ω ∑ (−kAk sin kΩ t + kBk cos kΩ t) = −Ω ∑ kCk sin (kΩ t + δ k )

(5.226)

∞ ∞ q¨ = −Ω 2 ∑ k2 Ak cos kΩ t + k2 Bk sin kΩ t = −Ω 2 ∑ k2Ck cos (kΩ t + δ k ) k=1

k=1

in Gl. (5.220) ein, so f¨uhrt der Koefﬁzientenvergleich f¨ur jeden der in der Summe enthaltenen Kosinus- und Sinusanteile auf: 1 − k2 η 2 Ak + 2Dkη Bk = 0 cos kΩ t : (5.227) sin kΩ t : −2Dkη Ak + 1 − k2 η 2 Bk = +k2 η 2 bk

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

387

Die L¨osung dieser zwei Gleichungen mit den Unbekannten Ak und Bk f¨uhrt auf: k2 η 2 1 − k2 η 2 −k2 η 2 (2Dkη ) Ak = bk , Bk = bk (5.228) 2 2 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 vgl. auch Gl. (5.207) und Gl. (5.209). F¨ur die Amplitude der k-ten Harmonischen der Relativkoordinate gilt dann, vgl. Gl. (5.206): k2 η 2 · |bk | (5.229) Ck = A2k + B2k = 2 1 − k2 η 2 + (2Dkη )2 Es gibt mehrere Resonanzstellen, also Drehzahlen mit extremen Amplituden. Eine Resonanz k-ter Ordnung liegt vor, wenn die Erregerkreisfrequenz kΩ der k-ten Harmonischen mit der Eigenkreisfrequenz zusammenf¨allt. Dann gilt wegen Gl. (5.209) kΩ = ω 0

oder

kη = 1

(5.230)

und die Absch¨atzung f¨ur die Resonanzamplitude, vgl. Gl. (5.210) und Gl. (5.212): |q|max > Ckmax =

|bk | , 2D

k = 1, 2, . . .

(5.231)

Die Eigenkreisfrequenz ω = ω 0 · 1 − D2 weicht bei einem schwach ged¨ampften System nur wenig von der des unged¨ampften Systems ab. Die Eigenfrequenz als Kenngr¨oße eines schwingungsf¨ahigen Systems erh¨alt man aus den Parameterwerten: ω kT 5 400 1 1 = f = (5.232) 1−D2 = 1−0,022 = 24,93 Hz 2π 2π J 2π 0,22 Vergleicht man diese Eigenfrequenz mit der Grund-Erregerfrequenz ferr = Ω /(2π ) = n/60 = 5 Hz (Betriebsdrehzahl), so ergibt sich ein Abstimmungsverh¨altnis von η ≈ 0,2. Somit besteht die Gefahr der Resonanz mit der f¨unften Harmonischen (K ∗ = 5) der Lagefunktion, vgl. auch Bild 5.46. Da die Resonanzamplituden Ck nach Gl. (5.231) linear von den bk abh¨angen, ist ¨ bei Ubereinstimmung von kΩ mit ω die jeweilige Amplitude dem Fourierkoefﬁzienten |bk | proportional, d. h., im vorliegenden Fall sollte |b5 | m¨oglichst klein sein. F¨ur die Bestehorn-Sinoide“ gilt mit dem Schwenkwinkel US : ” ⎧ ϕ∗ ϕ∗ ϕ ϕ 1 ⎪ f¨ur − ϕ + ⎪ ⎨US · ϕ ∗ + 2π sin 2π ϕ ∗ 2 2 U (ϕ ) = ∗ ⎪ ϕ ϕ∗ ⎪ ⎩ US ϕ 2π − f¨ur 2 2 2 ⎧ ϕ∗ ϕ∗ 1 ϕ 1 ϕ + f¨ u r − ⎪ ⎨US · + ∗ cos 2π ∗ 2 2 ϕ∗ ϕ ϕ U (ϕ ) = (5.233) ⎪ ϕ∗ ϕ∗ ⎩ ϕ 2π − f¨ur 0 2 2

388

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

U (ϕ ) =

⎧ 2π ϕ ⎪ ⎨−US 2 sin 2π ∗ ϕ

ϕ∗

⎪ ⎩ 0

f¨ur − f¨ur

ϕ∗

2

ϕ +

ϕ∗

2 ϕ∗ ϕ∗ ϕ 2π − 2 2

vgl. VDI-Richtlinie 2143 und Bild 5.44. Im mittleren Bereich ist eine exakte Rast vorgesehen. F¨ur den Fourierreihenansatz nach Gl. (5.221) kann man dann unter Verwendung der Fourierschen Formel die Fourierkoefﬁzienten von U ermitteln, indem man das Integral u¨ ber die volle Periode aufteilt. Weil U (ϕ ) eine ungerade Funktion ist, gen¨ugt es, u¨ ber den Bereich 0 < ϕ < ϕ ∗ /2 zu integrieren. Es gilt 2π

1 π

( )dϕ =

0

ϕ∗ /2

1

( )dϕ +

π

0

1 π

∗ 2π − ϕ /2

0 · dϕ +

ϕ ∗ /2

2π

1 π

( )dϕ =

2π −ϕ ∗ /2

2 π

ϕ∗ /2

( )dϕ

(5.234)

0

und ausf¨uhrlich mit Benutzung von Additionstheoremen k bk = − 2

=

1 π

4US ϕ

2π

U (ϕ ) sin kϕ dϕ = −

0

2 π

ϕ∗ /2

U (ϕ ) sin kϕ dϕ

ϕ∗ /2

sin 2π ϕ /ϕ ∗ sin kϕ dϕ =

∗2

% ϕ∗

3

0

(5.235)

0

8πUS 2π 2 ϕ∗

& · sin − k2

kϕ ∗ 2

Es ergibt sich daraus f¨ur k = 1, . . . , 6 mit ϕ ∗ = 200◦ = 10π /9: b1 b2 b3 b4

= 0,259 789 · US ; = 0,066 481 · US ; = 0,009 872 · US ; = −0,001 860 · US

b5 b6 b7 b8

= −0,000 698 · US = 0,000 434 · US = 9,013 · 10−5US = −1,497 · 10−4US

(5.236)

Damit entstehen Resonanzspitzen f¨ur den Relativwinkel gem¨aß Gl. (5.231) von 1 : |q|max = 0,004 08US > C7 max = 0,002 25US ; 7 1 η = : |q|max = 0,012 76US > C6 max = 0,010 9US ; 6 1 η = : |q|max = 0,022 16US > C5 max = 0,017 5US 5 η =

(5.237)

Unter Benutzung von HS-Proﬁlen lassen sich diese Resonanzen 5. und 6. Ordnung vermeiden. Die Anwendung des Abschneide-Verfahrens“ ergibt ein Pseudo-HS-Proﬁl“ ” ” und f¨uhrt bei Verwendung von K = 4 Harmonischen auf die Verl¨aufe nach Bild 5.45 und Bild 5.46.

389

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

U, ϕ1

2π − ϕ∗

Schwenkwinkel

ϕ∗

US

Ausschnitt, vgl. Bild b

ϕ1

U

ϕ1

U

Bild 5.45 Verlauf der Schrittbewegung bei Benutzung verschiedener Lagefunktionen a) Gesamtbild, b) Ausschnitt (Vollinie: Bestehorn-Sinoide, gestrichelt: HS-Proﬁl)

Es f¨allt auf, daß mit einem HS-Proﬁl die Rast nicht exakt eingehalten wird. Dies ist durchaus zul¨assig, wenn die Abweichungen innerhalb des Toleranzbereichs bleiben (∆U = ±0,01 · US ). Die Fourierkoefﬁzienten, welche das echte“ HS-Proﬁl bestimmen, lauten im Ge” gensatz zu Gl. (5.236) b1 = 0,249 04 · US ; b3 = 0,006 88 · US

b2 = 0,054 63 · US bk = 0 f¨ur k 4

(5.238)

Bild 5.45 zeigt die Bewegungsverl¨aufe, die sich bei den zur Auswahl stehenden Lagefunktionen am Abtriebsglied einstellen, im Vergleich zu den Lagefunktionen selbst. Dabei wird sichtbar, daß bei der Bestehorn-Sinoide der Abtriebsbewegung starke Schwingungen u¨ berlagert sind, w¨ahrend beim HS-Proﬁl wesentlich geringere Abweichungen auftreten. Bild 5.46 zeigt die maximale relative Rastabweichung in

390

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Abh¨angigkeit vom Abstimmungsverh¨altnis, das der Maschinendrehzahl proportional ist. Die Resonanzstellen bei η =

1 , k

k = 4, 5, 6 7 8

(5.239)

sind f¨ur die Bestehorn-Sinoide und die ab k = 5 beschnittene“ Bestehorn-Sinoide ” deutlich zu erkennen.

1

3 2 0 0

Bild 5.46 Abh¨angigkeit der Maximalausschl¨age im Rastbereich Kurve 1: Bestehorn-Sinoide, vgl. Gl. (5.236), Kurve 2: beschnittene“ Bestehorn-Sinoide, vgl. Gl. (5.236) mit b5 = b6 = 0, ” Kurve 3: HS-Proﬁl, vgl. Gl. (5.238)

Die H¨ohe dieser Resonanzspitzen entspricht Gl. (5.237) und u¨ bersteigt schon f¨ur die 5. bis 6. Harmonische das zul¨assige Maß. Die Resonanz mit der vierten Harmonischen tritt bei beiden Lagefunktionen auf und ist bei der beschnittenen“ Bestehorn” Sinoide von gleicher Gr¨oße wie bei der echten“ Bestehorn-Sinoide. ” Durch ein echtes“ HS-Proﬁl mit K = 3 Harmonischen kann man das maximal ” erreichbare Abstimmungsverh¨altnis erh¨ohen, da es bei η = 1/4 gar keine Resonanzstelle hat, vgl. Kurve 3 in Bild 5.46. F¨ur das HS-Proﬁl entfallen im unteren Bereich der Betriebsdrehzahl die resonanzbedingten starken Schwingungen. Neben der positiven Wirkung hinsichtlich der Ger¨auschemission und des Verschleißverhaltens ist es damit m¨oglich, die gr¨oßte erreichbare Drehzahl um ca. 80 % zu erh¨ohen, ohne die Toleranzgrenzen f¨ur die Abtriebsbewegung zu verletzen.

5.5 Zum Entwurf schwingungsarmer Mechanismen

391

5.5.4 Beeinﬂussung des Erregerspektrums mehrgliedriger Koppelgetriebe Neben Kurvengetrieben werden in den Antrieben von Verarbeitungsmaschinen mehrgliedrige Koppelgetriebe eingesetzt. Die Synthese solcher Koppelrastgetriebe erfolgt gew¨ohnlich unter Ber¨ucksichtigung der kinematischen Anforderungen, w¨ahrend dynamische Kriterien oft erst nachtr¨aglich beachtet werden. Es gibt meist viele L¨osungen, welche die kinematischen Anforderungen und die zus¨atzlichen konstruktiven und technologischen Bedingungen erf¨ullen, z. B. begrenzte Baumaße, L¨angenbereiche der Gliedabmessungen u. a. In der Getriebetechnik wird oft ¨ als Bewertungskriterium zur Auswahl m¨oglicher Varianten der minimale Ubertragungswinkel benutzt, aber es ist aus schwingungstechnischer Sicht wichtiger, die Fourierkoefﬁzienten k-ter Ordnung der Abtriebskoordinate als Bewertungskriterium zu benutzen [74].

ψ

ϕR

∆ψ

l3

ψm

a) 0

360o ϕ

l 2 2ϕ

b)

3 l4 ϕ

l6 ψ β0 6 l5 5 Umkehrlage 4 l 145 θ 4 = 2π − β 4

1

Bild 5.47 Sechsgliedriges Koppelrastgetriebe a) Kenngr¨oßen der Rast-Umkehr-Bewegung, b) kinematisches Schema

Als Beispiel wird ein Koppelrastgetriebe betrachtet, bei dem die technologischen Forderungen f¨ur die Rastbewegung durch die in Bild 5.47a angegebenen drei Parameter beschrieben werden k¨onnen. Diese Aufgabe l¨aßt sich durch 16 verschiedene Getriebemodiﬁkationen l¨osen [74], von denen in Tabelle 5.7 f¨ur f¨unf davon Parameterwerte angegeben sind. Neben den in den ersten sieben Spalten angegebenen kinematischen Abmessungen, mit deren Hilfe man die betreffenden Koppelrastge¨ triebe zeichnen oder nachrechnen k¨onnte, sind die Extremwerte der Ubertragungswinkel der beiden Dyaden angegeben, vgl. auch Bild 5.47b. Die verschiedenen Modiﬁkationen,welchen unterschiedliche Montagevarianten [81] entsprechen, erf¨ullen alle die kinematischen Anforderungen an die Abtriebsbewegung, aber sie zeigen ein sehr unterschiedliches Erregerspektrum und damit ein unterschiedliches dynamisches Verhalten. F¨ur jedes der ermittelten Koppelrastgetriebe wurde eine kinematische Analyse und die harmonische Analyse des Abtriebswinkels ψ mit Hilfe des Programms WinDAM [270] vorgenommen. Es gilt gem¨aß Gl. (5.200) ψ (ϕ ) = U(ϕ ) =

∞

∑ ck cos(kϕ − β k )

(5.240)

k=1

Die Fourierkoefﬁzienten ck sind in Tabelle 5.8 f¨ur k = 1 bis 6 zusammengestellt. Die h¨oheren Fourierkoefﬁzienten ck (f¨ur k > 7) sind vernachl¨assigbar klein.

392

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

¨ Tabelle 5.7 Kinematische Abmessungen und minimale Ubertragungswinkel der Koppelrastgetriebe von MOD1 bis MOD5 f¨ur ∆ ψ = 0,4◦ (Maßeinheit der L¨angen ist beliebig) Variante

l2

l3

l4

θ 4 in ◦

a4

MOD1

22,32

213,8

53,79

−115,4

110

86,75

MOD2

20,07

218,0

31,30

−203,6

60

59,48

MOD3

48,17

212,0

73,96

23,32

110

MOD4

20,19

218,9

23,95

− 47,21

MOD5

20,76

217,1

37,23

−367,7

(µ 1 )ext in ◦

(µ 2 )ext in ◦

117,1

64,8

36,7

316,2

49,8

55,2

144,8

144,8

47,6

48,1

50

375,5

313,4

32,4

55,4

80

142,5

121,9

55,7

54,0

l5

α0

in ◦

Tabelle 5.8 Fourierkoefﬁzienten c1 bis c6 (in rad) der Mechanismen-Varianten von Bild 5.47b Variante

c1

c2

c3

c4

c5

c6

MOD1

0,119 46

0,037 01

0,001 17

0,001 63

0,000 142

0,000 103

MOD2

0,122 96

0,035 71

0,004 14

0,000 63

0,000 267

0,000 057

MOD3

0,118 38

0,037 99

0,002 46

0,002 41

0,000 153

0,000 204

MOD4

0,114 60

0,039 85

0,003 90

0,003 39

0,000 296

0,000 508

MOD5

0,122 43

0,035 61

0,003 78

0,000 58

0,000 092

0,000 028

Interessant sind die Unterschiede zwischen den k-ten Harmonischen der verschiedenen Getriebearten. W¨ahrend sich die ersten beiden Fourierkoefﬁzienten von ihren Mittelwerten c1 = 0,111 und c2 = 0,039 maximal nur um etwa 10 % unterscheiden, gibt es bei c3 bis c6 bedeutende Unterschiede. Der Fourierkoefﬁzient c3 ist bei der Modiﬁkation MOD1 besonders klein. Bei den h¨oheren Fourierkoefﬁzienten sind die Unterschiede noch gr¨oßer. Man kann voraussagen, daß jede der Modiﬁkationen in anderen Drehzahlbereichen besonders schwingungsarm laufen wird. Angenommen, es liegt ein Drehzahlbereich in der N¨ahe von η = 0,26, dann ist gem¨aß Gl. (5.213) die kritische Ordnung K ∗ ≈ 4. Deshalb wird diejenige Variante die niedrigsten Schwingungsamplituden haben, bei welcher c4 am kleinsten ist. Unter den gefundenen Mechanismen ist dies gem¨aß Tabelle 5.8 die Modiﬁkation MOD5, aber auch MOD2 w¨are g¨unstig. Dieses Beispiel zeigt, daß vor allem im Bereich der dritten bis sechsten Harmonischen große Unterschiede zwischen den verschiedenen Modiﬁkationen hinsichtlich des dynamischen Kriteriums Erregerharmonische“ bestehen, die alle dieselben ” kinematischen Anforderungen erf¨ullen. Bei der Synthese von Koppelgetrieben sollte man aus dynamischer Sicht auf die Fourierkoefﬁzienten derjenigen Ordnungen k achten, die in den Bereich der vorgesehenen Betriebdrehzahl fallen, vgl. Gl. (5.213). Oft gibt es mehrere alternative Mechanismen, welche alle die kinematischen Forderungen erf¨ullen. G¨unstige Modiﬁkationen der Koppelgetriebe haben im kritischen η Bereich kleine Fourierkoefﬁzienten, so daß bei deren Wahl minimale Schwingungen im Betriebsdrehzahlbereich zu erwarten sind.

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken

393

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken 5.6.1 Aufgabenstellung Gerade Balken konstanten Querschnitts, die quer zur Balkenachse periodisch bei hohen Arbeitsgeschwindigkeiten bewegt werden, kommen bei verschiedenen Maschinenarten vor. Die Grundfrequenz solcher Balken soll m¨oglichst groß sein, um sie m¨oglichst unterkritisch, also mit einer Erregerfrequenz weit unterhalb der Grundfrequenz, zu betreiben. Wenn die Anforderungen so hoch sind, daß eine unterkritische Betriebsdrehzahl nicht realisierbar ist, muß die Forderung erf¨ullt werden, daß die (oft durch Harmonische mit h¨oherer als 5. Ordnung) angeregten Schwingungsamplituden hinreichend klein bleiben. Derartige Antriebsaufgaben gibt es z. B. bei Webmaschinen, bei denen die Weblade anzutreiben ist oder bei Wirkmaschinen, wo sogenannte Barren tausende von Nadeln tragen und relativ zueinander bewegt werden m¨ussen. Bei Kettenwirkmaschinen, K¨ammaschinen und N¨ahwirkmaschinen kommen manchmal mehrere sol¨ cher Barren innerhalb einer Maschine vor. Ahnliche Aufgaben gibt es bei Sieben und Schwingf¨orderern, die quer zur Balkenachse vibrieren, um das Sch¨uttgut zu bewegen. Dabei d¨urfen innerhalb der Rinne keine Schwingungsknoten entstehen, weil das Sch¨uttgut sonst stehen bleibt ([35], [320]) oder das Sieb nicht siebt. Auch bei R¨uttelverdichtern muß der Antrieb so erfolgen, daß die Verdichtung l¨angs des Balkens m¨oglichst gleichm¨aßig ist. In einfachen F¨allen werden balkenf¨ormige Abtriebsglieder u¨ ber zwei St¨utzen angetrieben, aber oft werden viele (vier bis zehn) St¨utzen eingesetzt [279], um die Grundfrequenz zu erh¨ohen. Bei solchen Antriebssystemen kann oft nicht vermieden werden, daß eine der (durch die periodische Bewegung bedingten) vielen Erregerharmonischen mit einer der vielen Eigenfrequenzen im Betriebsdrehzahlbereich u¨ bereinstimmt. Gl¨ucklicherweise bedeutet allein die Tatsache, daß ein ganzzahliges Vielfaches der Drehfrequenz mit einer der Eigenfrequenzen zusammenf¨allt, nicht unbedingt eine große Gefahr. Hohe dynamische Belastungen oder st¨orende Schwingungsknoten l¨angs der Balkenachse treten nur dann auf, wenn außer der Resonanzbedingung kΩ = ω i

(5.241)

auch die Bedingung erf¨ullt wird, daß die angreifenden k-ten Harmonischen vorhanden und hinreichend groß sind. Außerdem m¨ussen sie r¨aumlich verteilt so angreifen, daß sie mechanische Arbeit in die betreffende i-te Eigenform einspeisen, vgl. Abschn. 5.2. Konstruktiv kann man die Resonanzgefahr hierbei durch folgende Maßnahmen vermindern: • • • • •

Erh¨ohung der Anzahl der St¨utzen, Verbesserung der Anordnung der St¨utzstellen, Versteifung jeder einzelnen St¨utze, Vermeidung von Spiel und Lagerelastizit¨aten an den Kontaktstellen, Verminderung der betreffenden Erregerharmonischen.

394

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.6.2 Gekoppelte Biege- und Torsionsschwinger In [276] wurde der Antrieb einer Weblade mit dem Ziel untersucht, eine m¨oglichst hohe Eigenfrequenz und damit m¨oglichst geringe Schwingungsamplituden bei Betriebsdrehzahl zu ermitteln. Es wurden dabei die Biegesteiﬁgkeit EI der Weblade, die Torsionssteiﬁgkeit GIT der Zwischenwellen und der Einﬂuß der L¨ange l1 (St¨utzweite des Balkens und der L¨ange der konstruktiv erforderlichen Zwischenwellen) ber¨ucksichtigt, vgl. Bild 5.48. Das Antriebssystem ließ sich im station¨aren Betrieb (RastUmkehr-Bewegung) mit zwei modalen Koordinaten hinreichend genau beschreiben, da die dritte Eigenfrequenz weit oberhalb der ersten beiden lag. Es wurde nachgewiesen, daß die Schwingungsamplituden der Weblade minimal sind, wenn das Antriebssystem mit folgenden Kenngr¨oßen ausgelegt wird: l1 EI · R2 = 0,03, = 0,15 (5.242) 2 GIT · l l Sie lagen in der N¨ahe des Parameterbereiches, in dem die erste Eigenfrequenz maximal ist. Die in [276] berechneten erzwungenen Schwingungsausschl¨age w¨ahrend der Rastphase blieben in der Balkenmitte bei diesen Parameterwerten bei der Betriebsdrehzahl von 80 bis 100 min−1 hinreichend klein.

l1

l

Weblade l1

l1

ψ(ϕ)

EI, A

k=

l EI, A

l1

GI T l1R 2 s = R⋅ψ(t )

ψ(ϕ)

a)

b)

GI T

R

ϕ0 = Ω t GI T

Bild 5.48 Webladenantrieb einer Webmaschine; a) Prinzipskizze, b) Berechnungsmodell

Kompliziertere Berechnungsmodelle gekoppelter Biege-Torsionsschwinger m¨ussen oft bei Verarbeitungsmaschinen angewendet werden, wenn von einer Hauptwelle aus mehrere Mechanismen angetrieben werden, die koordinierte Arbeitsbewegungen ausf¨uhren, vgl. auch Abschn. 4.4.2. Grunds¨atzlich sollte man solche Parameterwerte konstruktiv umsetzen, welche die Wechselwirkungen zwischen den Schwingungen der verschiedenen Mechanismen vermeiden und bei jedem einzelnen Antrieb die Torsions- und Biegeschwingungen entkoppeln. Hinreichend

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken

395

steife Hauptwellen, deren Grundfrequenz weit oberhalb der Biegeeigenfrequenzen des Balkens liegt, lassen sich oft durch einen entsprechend großen Durchmesser erreichen, denn die Torsionssteiﬁgkeit GIT a¨ ndert sich mit der vierten Potenz des Durchmessers.

l k q1 +U

EI k A

k

q2 +U

k l/3

ϕ0

l/3 l/3 l0 kT J kT ϕ1 = q3 + ϕ0

ϕ 0= Ω t

U

J

kT

J

kT

J

Bild 5.49 Antriebssystem der Nadelbarre einer Kettenwirkmaschine [81]

f1 = 187 Hz

f 3 = 258 Hz

f 2 = 217 Hz

q2

q1

f 4 = 342 Hz

q3 f 5 = 534 Hz

f 6 = 595 Hz

Bild 5.50 Eigenschwingformen des Antriebssystems von Bild 5.49

Das in Bild 5.49 gezeigte Antriebssystem hat die Aufgabe, die Nadelbarre bei m¨oglichst hoher Betriebsdrehzahl nach einem technologisch bedingten periodischen Bewegungsgesetz, das z. B. in [227] und [279] analysiert wird, zu bewegen. Das

396

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Ordnung k 14

Eigenfrquenz fi in Hz

400

13

12

11

10

9

8 7

f 4 = 339 Hz

300

6

200

f = 258 Hz 5 3 f 4 2 = 217 Hz f = 190 Hz 3 1

100

2 1

0

a)

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

Drehzal n in min

3000

−1

5

relative Verformung

4

1

3 2 2 1 3

0 b)

1600

1800

2000

2200

2400

2600

2800

Drehzal n in min

3000

−1

Bild 5.51 Rechenergebnisse von [279] a) Campbell-Diagramm, b) Maximalwerte der Koordinaten q1 , q2 und q3 Kurve 1: 100 · q1 in mm, Kurve 2: 10 · q2 in mm, Kurve 3: 1 000 · q3 in rad

Antriebssystem besteht aus vier Wellenabschnitten, die als Torsionsfedern wirken, von denen aus u¨ ber vier mehrgliedrige Koppelgetriebe die Nadelbarre angetrieben wird. Die Schwingungsamplituden der Nadelbarre m¨ussen nicht nur bei der Betriebsdrehzahl klein sein, die zwischen 2 500 und 3 000 min−1 liegt, sondern auch im ganzen Drehzahlbereich darunter, da beim Hochlauf und beim Bremsen ebenfalls Wirkware fehlerfrei hergestellt werden muß. Eine Schwingungsanalyse sollte zeigen, wo die kritischen Drehzahlen der vorhandenen Konstruktion liegen und durch welche Maßnahmen eine Verbesserung des dynamischen Verhaltens m¨oglich ist. Es sind folgende Parameterwerte bekannt:

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken

⎞ ⎛ 7,2 · 104 N · m kT ⎜ EI ⎟ ⎜ 2,75 · 104 N · m ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ k ⎟ ⎜ 3,0 · 107 N · m−1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ p = ⎜ J ⎟ = ⎜6,0 · 10−3 kg · m2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜A⎟ ⎜ 8,1 kg · m−1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ l0 ⎠ ⎝ 0,675 m 2,025 m l ⎛

⎞ Torsionsfederkonstante ⎟ Biegesteiﬁgkeit ⎟ ⎟ Federkonstante ⎟ ⎟ Tr¨agheitsmoment ⎟ ⎟ ⎟ Masse pro L¨ange ⎟ ⎠ Abschnittl¨ange

397

(5.243)

Balkenl¨ange

Die ver¨anderliche Lagefunktion U(ϕ ) der Mechanismen, mit welcher die Hauptwelle die Nadelbarre in der technologisch geforderten Bewegung steuert, wirkt sich nur wenig auf die Eigenfrequenzen aus. Bei den wichtigen niederen Eigenformen ist die Kopplung der Schwingungen der Antriebswelle und der Nadelbarre gering, vgl. Bild 5.50. Die erzwungenen Schwingungen werden also durch die periodische Lagefunktion U(ϕ ) bestimmt. Die Schwingungsanalyse in [279] ergab f¨ur die Extremwerte der Verformungen am Ende der Nadelbarre (q1 ), an der dritten St¨utze der Nadelbarre (q2 ) und am Anfang der Antriebswelle (q3 ) die in Bild 5.51b gezeigten Amplituden-Frequenzg¨ange. Man erkennt durch den Vergleich mit dem CampbellDiagramm, welche Erregerharmonischen mit welchen Eigenformen große Schwingungsausschl¨age hervorrufen. Im Bild 5.51a zeigen die Schnittpunkte der Ordnungsgeraden der vierten bis 13. Harmonischen mit den parallelen Geraden, bei welchen Drehzahlen die Resonanzbedingung Gl. (5.241) erf¨ullt ist. Nicht alle Schnittpunkte ergeben große Resonanzamplituden, denn bez¨uglich der modalen Erregung bestehen große Unterschiede, vgl. auch Abschn. 5.2. Verfolgt man die Spitzenwerte der Verl¨aufe von Bild 5.51b bis hinauf zu Bild 5.51a, so sieht man die kritischen“ ” Schnittpunkte. Im wesentlichen f¨uhrt nur die erste (eine Torsionsschwingung) und die vierte (eine Biegung) Eigenschwingform zu Resonanzen und mit den Erregerharmonischen. An den in Bild 5.50 sichtbaren relativen Verschiebungen zwischen Nadelbarre und St¨utzen wird verst¨andlich, warum die Anregung der vierten Eigenform so stark ist: die Erregerkr¨afte an den St¨utzen verrichten mechanische Arbeit besonders mit dieser Eigenform, w¨ahrend dies bei den anderen Eigenformen weniger der Fall ist. 5.6.3 Balken auf mehreren Stutzen ¨ Das bei vielen Maschinen auftretende Problem des Antriebs langer Balken soll mit dem in Bild 5.52 gezeigten Berechnungsmodell behandelt werden. Das einfachste Modell f¨ur solche Objekte ist der Kontinuum-Balken konstanten Querschnitts, der auf mehreren St¨utzen elastisch gelagert ist, vgl. auch Abschn. 2.4.4. Die Parameter, von denen die Eigenkreisfrequenzen ω i abh¨angen, sind die Balkenl¨ange l, die Lagerabst¨ande lk , die Anzahl K der Lager, die Biegesteiﬁgkeit EI, die Masse pro L¨angeneinheit m/l = A und die Federkonstante k, die hier bei allen St¨utzen als gleich groß angenommen wird, vgl. auch Bild 2.33 und Bild 2.34. Bevor der Einﬂuß der Federkonstante k der Lager ber¨ucksichtigt wird, soll zun¨achst auf die Eigenfrequenzen und Eigenformen von mehrfach starr gelagerten Balken (k → ∞) eingegangen werden.

398

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Im weiteren wird mit den dimensionslosen Eigenwerten λ i2 gerechnet, die mit den Eigenfrequenzen fi und den anderen Parametern in folgendem Zusammenhang stehen, vgl. auch Abschn. 2.3.5: EI 2 , i = 1, 2, . . . (5.244) 2π fi = ω 1 = λ i Al 4 Die Eigenwerte h¨angen im allgemeinen von den Randbedingungen eines Balkens und hier speziell von den relativen Lagerabst¨anden lk /l ab. Gl. (5.244) l¨aßt erkennen, ¨ f¨ur die Eigenfrequenzen sind. Es geht aus daß die λ i2 -Werte Ahnlichkeitskennzahlen Gl. (5.244) hervor, in welcher Kombination die beteiligten Parameter stets auftreten und wie sich deren Einﬂuß auf die Eigenfrequenzen unterscheidet. Bei gleichen Lagerbedingungen a¨ ndern sich alle Eigenfrequenzen umgekehrt zum Quadrat der Balkenl¨ange l, d. h., man kann mit der L¨ange eines Balkens seine Eigenfrequenzen stark beeinﬂussen. Da das Verh¨altnis I/A beim Kreisquerschnitt proportional dem Durchmesser ist, kann man auch sehen, daß die Eigenfrequenzen dem Durchmesser proportional ansteigen. Die anderen Parameter beeinﬂussen die Eigenfrequenzen proportional zur Wurzel und sind damit weniger sensitiv, also weniger geeignet, die Eigenfrequenzen zu beeinﬂussen. l l1 l1

EI, A k

k

lj

k

k

l2

l2

k

k

lj

Bild 5.52 Symmetrisch abgest¨utzter Balken auf K elastischen St¨utzen

Tabelle 5.9 zeigt die ersten drei Eigenwerte des an beiden R¨andern freien mehrfach starr abgest¨utzten Balkens in Abh¨angigkeit von der Anzahl K der Lager und den relativen Abst¨anden zwischen den Lagern. Aus der Strukturdynamik ist bekannt, daß symmetrische Strukturen entweder symmetrische oder antimetrische Eigenformen haben [113]. Im vorliegenden Beispiel entsprechen den Werten λ 1 und λ 3 symmetrische Eigenformen und den Werten λ 2 antimetrische Eigenformen, wenn sich in der Symmetrieachse keine St¨utze beﬁndet (Fall 2 bis 5, 10 bis 12 und 14 in Tabelle 5.9). Ist in der Mitte eine St¨utze, wie in den F¨allen 1, 6 bis 9, 13 und 15, dann ist jede erste und dritte Eigenform antimetrisch (im Fall 1 eine Starrk¨orperdrehung) und die zu λ 2 geh¨orende symmetrisch, vgl. auch Bild 5.53 und Bild 5.54. Man kann aus dieser Tabelle ablesen, wie sich die Eigenfrequenzen mit zunehmender Anzahl der St¨utzen erh¨ohen. Es zeigt sich, daß eine Aufteilung des Balkens in gleich große Abschnitte (F¨alle 3, 6, 7 und 10) nicht zweckm¨aßig ist, wenn man bei gleicher Anzahl der St¨utzen eine große Grundfrequenz anstrebt. So ist z. B. die erste Eigenfrequenz bei drei St¨utzen bei optimaler St¨utzenverteilung (Fall 9) gegen¨uber derjenigen bei drei a¨ quidistanten St¨utzen (Fall 6) um den Faktor (61,67/39,48) ≈ 1,6

399

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken

Tabelle 5.9 Eigenwerte des massebelegten Balkens mit als Funktion der Anzahl (K = 1, . . . , 7) und der relativen Abst¨ande der symmetrisch angeordneten starren St¨utzen Fall

K

relative Abst¨ande

Eigenwertquadrate λ 12

1

0,500

1

1,000

2 0,333

3 2

4 5

11

4

12

9,870

39,48

88,83

0,250

0,500

21,93

36,52

75,37

0,224

0,552

22,37

41,84

71,96

39,48

61,68

157,9

36,22

39,40

186,6

0,333

56,96

68,22

135,0

0,368

61,67

83,92

145,4

58,42

59,81

276,4

0,167

0,200

10

61,67

115,26

0,132

9

14,08

24,52

0,250

3

0

18,04

0,500

8

λ 32

0,333

6 7

λ 22

0,125

0,250

0,200

0,200

0,250

0,250

106,4

113,9

206,5

0,094 0,262

0,288

120,9

145,6

202,7

199,9

225,6

289,2

298,6

325,5

393,2

417,0

445,0

517,7

13

5

0,073 0,204

14

6

0,060 0,166 0,183

15

7

0,050 0,141 0,155 0,154

0,223 0,182

mal gr¨oßer. Mit optimalen St¨utzenabst¨anden kann man die Eigenfrequenz bei gleicher St¨utzenanzahl gegen¨uber anderen St¨utzstellenanordnungen wesentlich erh¨ohen, vgl. die F¨alle 5 (mit 2 bis 4), 9 (mit 6 bis 8), 12 (mit 10 und 11) und 13 bis 15. Ein an K Stellen gest¨utzter Balken hat dann die h¨ochste Grundfrequenz, wenn die St¨utzstellen die Schwingungsknoten der i-ten Eigenform des frei-freien Balkens sind. Dann gilt K = i − 1. Bei derart gest¨utzten Balken entstehen bei den Eigenschwingungen keine Lagerkr¨afte. Diese Abst¨ande sind die f¨ur die F¨alle 5, 9 und 12 bis 15 in Tabelle 5.9 angegebenen. Alle Eigenwerte eines beiderseits freien Balkens folgen aus der transzendenten Frequenzgleichung [113], [137], [150], [197], [232]: (cos λ · cos hλ − 1)λ 2 = 0

(5.245)

400

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Das Berechnungsmodell eines Balkens, der symmetrisch auf K elastischen Lagern abgest¨utzt ist, die alle dieselbe Federkonstante k haben, zeigt Bild 5.52. Bei ihm h¨angen alle Eigenwerte außer von den relativen Lagerabst¨anden lk /l auch von der re¨ lativen Biegesteiﬁgkeit ab, die bereits in Abschn. 2.3.5 durch die Ahnlichkeitskennzahl kl 3 (5.246) EI erfaßt wurde, vgl. Bild 2.33 und Bild 2.34. Ist dieser Balken sehr steif (EI → ∞),so verh¨alt er sich wie ein starrer K¨orper, und es existieren bei symmetrischer St¨utzung zwei Eigenfrequenzen. F¨ur die translatorische Schubschwingung ergibt sich aus dem Quotienten von Federkonstante und Masse bekanntlich √ Kk ω S2 = (5.247) , λ S2 = π 2 K Al π2 =

Dabei wurde der Eigenwert λ S2 unter Benutzung von Gl. (5.245) eingef¨uhrt, um die Werte vergleichen zu k¨onnen. F¨ur die Drehschwingung des starren K¨orpers ergibt sich analog aus dem Quotienten von Drehfederkonstante (kT = 2k ∑ lk2 ) und Tr¨agheitsmoment um die Symmetrieachse (JS = Al 3 /12) die Eigenkreisfrequenz ω D und der Eigenwert λ D2 aus kT 2 ωD = = JS

24k · ∑ lk2 k Al 3

,

λ D2

=

2 lk 24π 2 ∑ l k

(5.248)

Dabei sind die lk /l < 0,5 die Abst¨ande der Lagerfedern vom Zentrum. Die Summation erstreckt sich auf alle K Federn. Bei zwei St¨utzen (K = 2) ist λ S = λ D , wenn 24(l1 /l)2 = 2 bzw. l1 /l = 0,288 7 ist. Je nach dem, ob der relative St¨utzenabstand gr¨oßer oder kleiner als dieser Wert ist, ist λ S oder λ D der kleinste Eigenwert λ 1 . Bild 5.53 zeigt die Abh¨angigkeit der ersten sechs Eigenwerte von der relativen Steiﬁgkeit π 2 . Außerdem wurde die Abh¨angigkeit der Eigenwerte der beiden Starrk¨orperschwingformen gem¨aß Gl. (5.247) und (5.248) zum Vergleich mit eingezeichnet. Die St¨utzenabst¨ande haben die Werte, f¨ur welche sich bei starren Lagern die h¨ochste erste Eigenfrequenz ergibt, vgl. Tabelle 5.9, Fall 5 und Fall 9. Genau genommen ver¨andern sich diese noch in Abh¨angigkeit von der relativen Steiﬁgkeit π 2 . Da diese Abh¨angigkeit klein ist, wurde sie hier nicht ber¨ucksichtigt. Bei π 2 > π ∗2 (Lager sind steif gegen¨uber dem Balken) ist der erste Eigenwert genau so groß, als ob die Lager starr w¨aren, d. h., dann hat die Lagerfederkonstante gar keinen Einﬂuß. Die Eigenwerte n¨ahern sich denjenigen Werten von λ 12 , die in Tabelle 5.9 angegeben sind. F¨ur Werte von π 2 < π 2∗ ist der Balken steif gegen¨uber den Lagern, d. h., die Eigenfrequenzen konvergieren asymptotisch gegen diejenigen eines starren K¨orpers, der sich auf K elastische Lager st¨utzt, also wird die tiefste Eigenfrequenz dann durch die Gln. (5.247) oder (5.248) bestimmt. Wie aus Bild 5.53 hervorgeht, ist die Grenze zwischen weichen“ und steifen“ Balken bei einem Grenzwert ” ” π 2∗ erreicht. Dieser betr¨agt K = 2:

π 2∗ = 337;

lg π 2∗ = 2,528

K = 3:

π 2∗ = 2 049;

lg π 2∗ = 3,312

(5.249)

401

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken

λ2i

400 350

λ26

300

λ25

250

λD

200

λS

150

λ24

100

λ23

50

λ22

0 a)

λ21

π*2

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

λ2i

lg π 2

400

λ26

350

λ25

300 π2 =

250 200

λ24

150

λ23

λS , λ D

100

λ22 λ21

50 0 b)

kl 3 EI

π*2

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

lg π 2 Bild 5.53 Tiefste sechs Eigenwerte eines Balkens auf elastischen St¨utzen a) zwei St¨utzen mit l1 /l = 0,226, b) drei St¨utzen mit l1 /l = 0; l2 /l = 0,368

Wenn die Balken eine Mindeststeiﬁgkeit haben, die diesen Grenzwert π 2∗ u¨ bersteigt, dann wird die erste Eigenfrequenz von den St¨utzfedern mit der Federkonstante k bestimmt. Oder anders ausgedr¨uckt: Wenn die Federsteiﬁgkeiten der St¨utzen relativ klein sind (was klein ist, bestimmt π 2∗ ), dann werden die ersten beiden Eigenwerte durch die Starrk¨orperschwingformen bestimmt, vgl. Gl. (5.247) und Gl. (5.248). In dem Bereich π 2 < π 2∗ hat eine Versteifung des Balkens fast keine Sensitivit¨at ¨ bezuglich der ersten beiden Eigenwerte. Umgekehrt ergibt sich, daß in dem Bereich π 2 > π 2∗ eine Versteifung der St¨utzen am ersten Eigenwert nichts a¨ ndert. Diese

402

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Grenzwerte π 2∗ sind f¨ur die Konstruktion solcher Antriebe von Bedeutung. Sie sind in den Gln. (5.249) und (5.251) f¨ur einige F¨alle angegeben und lassen sich in erster N¨aherung aus der Bedingung ermitteln, daß der h¨ochste mit K St¨utzen erreichbare Eigenwert demjenigen aus Gl. (5.245) entspricht. Der Grenzwert ist ungef¨ahr π 2∗ ≈

(λ 12max )2 K

(5.250)

λ2i

600

λ26

500 400 λS , λ D

λ25

300

λ24

200

λ23 λ22

100

λ21

0 a)

π*2

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5 5,5 lg π 2

6

600 λ2i

λ26

500

λ25

400

λS , λ D

λ24 λ23

300

λ22

200

λ21

100 0 b)

1

1,5

2

2,5

3

3,5

π*2 4 4,5

5

5,5

6

lg π 2 Bild 5.54 Tiefste sechs Eigenwerte eines Balkens auf elastischen St¨utzen a) vier St¨utzen mit l1 /l = 0,144; l2 /l = 0,406 b) f¨unf St¨utzen mit l1 /l = 0; l2 /l = 0,223; l3 /l = 0,427

π2 =

kl 3 EI

5.6 Optimale Stutzenabst¨ ¨ ande angetriebener Balken

403

In Bild 5.53 und Bild 5.54 sind die Eigenformen, die zu den jeweiligen Eigenwerten geh¨oren, mit eingezeichnet. Am linken Rand der Diagramme ergeben sich Eigenwerte und Eigenformen des frei schwebenden Balkens, da in diesem Bereich keine Abh¨angigkeit von der Federkonstante der St¨utzen besteht, obwohl die St¨utzen vorhanden sind. Im rechten Bereich n¨ahern sich die ersten vier Eigenwerte bei zunehmender St¨utzensteiﬁgkeit (abnehmender Biegesteiﬁgkeit) asymptotisch an horizontale Geraden an, die zu den ersten vier Eigenfrequenzen des starr gelagerten Balkens konvergieren, w¨ahrend sich der f¨unfte und sechste Eigenwert asymptotisch den Verl¨aufen ann¨ahern, die sich aus den Gl. (5.247) und (5.248) ergeben. Bild 5.54 zeigt analog zu Bild 5.53 die Abh¨angigkeit der ersten sechs Eigenwerte von der relativen Biegesteiﬁgkeit bei einem festen relativen St¨utzenabstand, wenn vier oder f¨unf St¨utzen angewendet werden. Interessant ist, wie sich die Grenzwerte der relativen Biegesteiﬁgkeit ver¨andern. Es gilt K = 4:

π 2∗ = 5 805;

lg π 2∗ = 3,764

K = 5:

π 2∗ = 11 620;

lg π 2∗ = 4,065

(5.251)

Wird die Anzahl der St¨utzen von zwei auf f¨unf erh¨oht, dann kann bei gleicher Biegesteiﬁgkeit bei dem Wert π 2 > 10 000 bzw. lg π 2 > 4 die erste Eigenfrequenz auf fast das Neunfache erh¨oht werden, vgl. die Werte in den Bildern 5.53 und 5.54. Diese Erh¨ohung ist aber nur bei sehr großen π 2 -Werten, also bei sehr steifen St¨utzen m¨oglich. Es haben mehrere St¨utzen also nur dann Sinn, wenn sie auch entsprechend steif ausgebildet werden. Liegt die Kennzahl aus Gl. (5.246) bei π 2 < 1 000 bzw. lg π 2 < 3, dann a¨ ndert sich der erste Eigenwert nur wenig, wenn statt zwei St¨utzen drei oder mehr St¨utzen angewendet werden, d. h., die vielen St¨utzen sind dynamisch praktisch wirkungslos, wenn der Balken relativ weich ist (Sensitivit¨at!). Um eine anschauliche Vorstellung von der Gr¨oßenordnung der π 2 -Werte zu erhalten, sollen einige Zahlenwerte der realen Parameter zum Vergleich herangezogen werden. In Gl. (5.243) sind f¨ur eine Kettenwirkmaschine die Parameterwerte ange¨ π 2 = 9 059 geben. Aus ihnen ergibt sich aus Gl. (5.246) die Ahnlichkeitskennzahl und lg π 2 = 3,957. F¨ur die in Bild 5.49 gezeigte gleichm¨aßige St¨utzenverteilung ergibt sich daf¨ur λ 12 = 86,9, w¨ahrend bei ideal starren St¨utzen (π 2 → ∞) auch nur der Wert λ 12 = 88,83 erreichbar w¨urde. Eine konstruktiv schwierig realisierbare Versteifung der St¨utzung w¨urde keinen wesentlichen Effekt bringen, aber mit vier optimal verteilten St¨utzen w¨are λ 12 = 120,9 (vgl. Tabelle 5.9, Fall 12) zu erreichen, also eine wesentliche Verbesserung. Andererseits w¨aren drei St¨utzen in diesem Fall zu wenig, weil damit h¨ochstens λ 12 = 61,67 (Fall 9 in Tabelle 5.9) ist. Die Konstrukteure dieser Maschine, die keine derartigen Rechnungen ausf¨uhrten, hatten auf Grund ihrer Erfahrung die notwendige Anzahl der St¨utzen richtig erkannt.

404

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen 5.7.1 Aufgabenstellung Bei vielen Maschinen kommt es darauf an, periodische Schwingungen zu erregen. Zu solchen Maschinen, die hier unter dem Oberbegriff Vibrationsmaschinen“ zusam” mengefaßt werden, geh¨oren Siebe, R¨utteltische und -verdichter, Schwingm¨uhlen, Schwingf¨orderer, Pr¨ufmaschinen, Vibrationspumpen, Sch¨uttelrutschen, Schlagbohrmaschinen, Dosierf¨orderer u. a. Zur Erzeugung der Schwingbewegungen werden Schubkurbelgetriebe, Unwuchterreger, elektromagnetische Schwingungserreger, hydraulische oder pneumatische Antriebe eingesetzt. Am meisten werden harmonische Schwingungen angewendet, da sich diese relativ leicht erregen lassen. Bild 5.55 zeigt skizzenhaft einige solcher Vibrationsmaschinen. Ω

a)

b)

Ω

c)

Bild 5.55 Typische Maschinen, welche Schwingungen anwenden a) Schwingf¨orderer [320], b) Taumelbrecher [35], c) Betonverdichter [205]

¨ Tabelle 5.10 gibt einen Uberblick u¨ ber die Gr¨oßenbereiche von Amplituden und Frequenzen der gegenw¨artig u¨ blicherweise f¨ur die Generierung harmonischer Schwingungen eingesetzten Antriebe, vgl. [33], [219], [320] und Firmenprospekte. Von Seiten der Technologie besteht stets die Frage, welche Schwingungen zweckm¨aßig oder optimal f¨ur den jeweiligen Prozeß sind, w¨ahrend von der Maschinendynamik gezeigt werden muß, wie man die gew¨unschten Schwingungen am besten erregt. Es sind also Antriebssysteme zu entwerfen, welche die Schwingungen der Erreger verst¨arken und einen stabilen (robusten) Betrieb sichern. Die Tragsysteme m¨ussen so ausgelegt werden, daß die Umgebung vor den entstehenden Schwingungen gesch¨utzt (isoliert) wird. Weiterhin kommt es darauf an, das dynamische Verhalten der angetriebenen K¨orper zu ber¨ucksichtigen, also das der St¨abe,

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

405

Balken, T¨opfe, Rinnen, Beh¨alter, Platten u. a. Tiefergehende Untersuchungen zu Schwingf¨orderern ﬁndet man z. B. in [207] und [321]. Tabelle 5.10 Parameterbereiche von Schwingantrieben Anwendungsfall Siebe Sch¨uttelrutschen Schwingf¨orderer

Backenbrecher Schwingm¨uhlen Bohrh¨ammer

Amplituden in mm 0,3 . . . 10 100 . . . 300 0 . . . 2,5 3 . . . 15 0,5 . . . 6 10 . . . 70 1...5 1 . . . 10

Frequenzen in Hz 10 . . . 60 5 . . . 16 25 oder 50 5 . . . 15 10 . . . 25 5 . . . 30 20 . . . 60 25 . . . 120

Antriebsart Elektromagnet, Unwucht, Schubkurbel Druckluft, Schubkurbel Elektromagnet Schubkurbel Unwucht Unwucht, Schubkurbel Unwucht, Elektromagnet Unwucht, Schubkurbel

5.7.2 Schubkurbelgetriebe als Schwingungserreger Schubkurbelgetriebe mit einem kleinen Kurbelverh¨altnis r/l 1 erzeugen ann¨ahernd harmonische Bewegungen, vgl. die genauen Formeln in Abschn. 2.2.3. Sie werden bei vielen Maschinen als Antriebe eingesetzt und wurden schon in [219] behandelt. Eine kleine Fundamentbelastung wird bei entgegengesetzt gerichteten Bewegungen zweier Massen erreicht, und die Amplituden werden durch das Betreiben in Resonanzn¨ahe verst¨arkt. Bild 5.56 zeigt die Struktur eines zweckm¨aßigen und h¨auﬁg eingesetzten Schwingungssystems [18].

Man x m

r

Ωt

Fk

l k0, d0 k1, d1

x m

Bild 5.56 Berechnungsmodell von Vibrationsmaschinen (System Binder)

Das in Bild 5.56 gezeigte Schwingungssystem besteht zwar aus zwei Massen, die sich infolge der kinematischen Kopplung entgegengesetzt gerichtet (gegensinnig) bewegen, aber dieses Antriebssystem besitzt nur einen einzigen Freiheitsgrad. Man kann damit mit relativ kleinen Antriebsmomenten große Schwingungsamplituden der Massen m erzeugen. Die Bewegungsgleichung lautet mit k = 2(k0 + k1 ); d = 2(d0 + d1 ) f¨ur das in Bild 5.56 dargestellte Schwingungssystem: mx¨ + d x˙ + kx = r(−k0 cos Ω t + d0 Ω sin Ω t)

(5.252)

406

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Das zur Erzeugung der konstanten Antriebswinkelgeschwindigkeit Ω erforderliche Antriebsmoment ergibt sich aus dem Produkt der Koppelkraft und dem Hebelarm r sin Ω t: r rΩ (5.253) Man = −2 k0 x + cos Ω t + d0 x˙ − sin Ω t r sin Ω t 2 2 Die station¨are L¨osung der Gl. (5.252) lautet mit den Ausdr¨ucken d0 k Ω k d κ= η = ; 2D = √ ; ; ω0 = ω0 dk0 m km N = (1 − η 2 )2 + (2Dη )2 A1 = −

[1 − η 2 + κ(2Dη )2 ]k0 Nk

2Dη [κ(1 − η 2 ) − 1]k0 Nk f¨ur den Weg

(5.254) (5.255) (5.256)

B1 =

(5.257)

x = r(A1 cos Ω t + B1 sin Ω t) = xˆ sin(Ω t − ϕ ∗ )

(5.258)

mit der Amplitude xˆ = r A21 + B21

(5.259)

Auf die Angabe der Phasenwinkel ϕ ∗ und ϕ ∗∗ in den Gln. (5.258) und (5.260) wird verzichtet, da haupts¨achlich die Amplituden interessieren. Das Antriebsmoment ergibt sich nach dem Einsetzen der L¨osung (5.258) in Gl. (5.253) zu Man = Mm + Mˆ sin 2(Ω t − ϕ ∗∗ )

(5.260)

Es besitzt den Mittelwert Mm = −k0 r2 [B1 − 2Dη κ(A1 + 0,5)] und die Momentenamplitude Mˆ = k0 r2 [B1 − 2Dη κ(A1 + 0,5)]2 + [A1 + 0,5 + 2Dη κB1 ]2

(5.261)

(5.262)

Falls alle D¨ampferkonstanten proportional zu den jeweiligen Federkonstanten sind, ergibt sich aus Gl. (5.254) κ = 1. F¨ur diesen Fall wurden die Formeln (5.259), (5.261) und (5.262) ausgewertet, vgl. die Darstellung der Amplituden-Frequenzg¨ange in Bild 5.57. Man kann den Verl¨aufen in Bild 5.57 entnehmen, daß eine zweckm¨aßige Betriebsweise im Bereich des Abstimmungsverh¨altnisses η = 0,8 bis 0,9 m¨oglich ist, denn dort treten bei relativ kleinem Antriebsmoment große Schwingwege auf. Man beachte, daß bei der Darstellung der Amplituden der Faktor (k/k0 ) vorkommt, d. h., die Amplitude ist in diesem Bereich wesentlich gr¨oßer als der Kurbelradius r. Direkt im Resonanzgebiet (η ≈ 1) ist es nicht ratsam zu arbeiten, da dort kleine Parameterschwankungen zu großen Amplituden¨anderungen f¨uhren (zu große Sensitivit¨at). Das Antriebsmoment wird durch den technologischen Prozeß oft maßgeblich beeinﬂußt,

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

10 k x$ rk0

D = 0,05 D = 0,075

5

0

a)

407

D = 0,1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8 η

2

1,8 η

2

2

D = 0,1

k0 r 2

Mm

1,5

k0 = 0,3 k k0 = 0,2 k k0 = 0,1 k

1

0,5 0

b)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

D = 0,1

1,5

k0 = 0,3 k k0 = 0,2 k

k0 r

M$

2

2

1

k0 = 0,1 k

0,5

c)

0

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8 η

2

Bild 5.57 Amplituden-Frequenzg¨ange bezogener Gr¨oßen f¨ur das Schwingungssystem von Bild 5.56 a) Wegamplitude, b) Betrag des mittleren Antriebsmoments, c) Momentenamplitude

besonders bei Sieben und Brechern hat das Material den wesentlichen Einﬂuß. Die technologischen Kr¨afte kann man bei solch einfachen Modellen durch entsprechende Werte der Massen und D¨ampfungsparameter n¨aherungsweise erfassen. Das Zweimassensystem in Bild 5.58 entspricht ebenfalls einem Schwinger mit einem Freiheitsgrad und ist als zweckm¨aßige Struktur f¨ur Resonanzschwingsiebe bekannt geworden [18]. Seine Bewegungsgleichungen lauten mit der zun¨achst noch unbekannten Koppelkraft Fk :

408

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

m1 x¨1 + d1 (x˙1 − x˙2 ) + k1 (x1 − x2 ) = Fk

(5.263)

m2 x¨2 − d1 (x˙1 − x˙2 ) − k1 (x1 − x2 ) + d2 x˙2 + k2 x2 = −Fk

(5.264)

Durch das Schubkurbelgetriebe wird der Relativweg erzwungen, der bei r/l 1 ann¨ahernd harmonisch verl¨auft: x1 − x2 = r cos Ω t

(5.265)

Das Antriebsmoment ergibt sich aus der Koppelkraft Fk und dem stellungsabh¨angigen Hebelarm der Kurbel analog zu Gl. (5.253): Man = Fk r sin Ω t = [m1 x¨1 + d1 (x˙1 − x˙2 ) + k1 (x1 − x2 )]r sin Ω t

(5.266)

x1 Man x2

r

Ωt

l

Fk

k1

k2

d1

d2

m1

m2

Bild 5.58 Berechnungsmodell f¨ur Resonanzschwingsieb, vgl. Fall 6 in Tabelle 5.1

Die Amplituden der beiden Koordinaten ergeben sich im station¨aren Zustand aus der L¨osung der Gln. (5.263) bis (5.265) zu xk = xˆk cos(Ω t − ϕ k );

k = 1, 2

(5.267)

und das Antriebsmoment folgt daraus wegen Gl. (5.266) zu Man = Mm + Mˆ sin[2(Ω t − ϕ ∗ )] Dabei betragen die Amplituden der Schwingwege xˆ2 = r (A2 − 1)2 + B22 xˆ1 = r A22 + B22 ;

(5.268)

(5.269) Hierbei ist mit m = m1 + m2 ; 2D = d2 /(mω 0 ); ω 0 = k2 /m; η = Ω /ω 0 und N gem¨aß Gl. (5.255) $ # m2 m2 + (2Dη )2 (1− η 2 ) 1− η 2 2Dη 3 1− m m ; B2 = (5.270) A2 = N N und der Mittelwert sowie die Amplitude des Antriebsmomentes sind k1 r2 m1 k2 2 η B2 + 2Dη Mm = (5.271) 2 m k1 2 2 2 m1 k2 2 m1 k2 2 r k 1 η A2 − 1 + η B2 + 2Dη (5.272) Mˆ = 2 m k1 m k1

409

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

Man vergleiche dazu die f¨ur das unged¨ampfte System in Tabelle 5.1 und Tabelle 5.2 angegebenen Ergebnisse. Die Massen m1 und m2 (z. B. Sieb und Gegenmasse) werden zwangl¨auﬁg relativ zueinander gegensinnig bewegt, aber im raumfesten System schwingen sie bis zum Erreichen der Eigenfrequenz (Ω < ω 1 ) gleichsinnig. Der Mittelwert Mm ist der D¨ampfung proportional. Es gibt zwei Tilgungsfrequenzen der Momentenamplitude, die sich im unged¨ampften Fall aus 2 m1 k1 m m1 k1 m2 k1 m2 η T1, 2 = − (5.273) ∓ + + 2m1 m2 m k2 2m1 m2 m k2 k2 m1 m2 ¨ ergeben. Nach dem Uberschreiten der ersten Tilgungsfrequenz schwingen die beiden Massen im raumfesten System gegensinnig zueinander. Die Horizontalkraft Fx auf den Aufstellort l¨aßt sich aus der Beschleunigung der Massen oder aus der Summe der Massenkr¨afte berechnen, d. h., nach der Elimination von Fk folgt aus den Gln. (5.263) und (5.264): Fx = d2 x˙2 + k2 x2 = −m1 x¨1 − m2 x¨2

(5.274)

x$ 1 x$ 2 , r r

4 3 2 x$1

1

x$ 2

a)

0 0

1

2

FG H

2 2 M$ ⋅ 2 , M m ⋅ 2 k1r k1r

1,5

3 4 5 Abstimmungsverhältnis η

IJ K

k M$ 2 = 0,4 k1

FG H

6

IJ K

k M$ 2 = 0,2 k1

1

FG k = 0,4IJ Hk K Fk I M G = 0,2J Hk K 2

Mm

0,5

1

2

m

1

0 b)

0

1

2

3 4 5 Abstimmungsverhältnis η

6

Bild 5.59 Amplituden-Frequenzg¨ange bezogener Gr¨oßen f¨ur das Schwingungssystem von Bild 5.58; a) Wegamplituden, b) Mittelwert des Betrages des Antriebsmoments; Momentenamplitude

410

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Solche Zweimassenschwinger werden zweckm¨aßig im Bereich der gr¨oßeren Tilgungsfrequenz betrieben (η ≈ η T2 ). Die Federkonstante k2 ist meist wesentlich kleiner als k1 , damit m¨oglichst kleine Kr¨afte Fx entstehen, die in das Gestell eingeleitet werden und dann auf die Umgebung wirken. F¨ur Vibrationsmaschinen werden die Parameter meist in den Bereichen k2 /k1 < 0,25 (d. h. relativ harte Federkonstanten k1 ) und m2 /m1 ≈ 3 gew¨ahlt, so daß das Antriebsmoment klein ist. In Bild 5.59 sind als Beispiel f¨ur die Kennwerte k2 /k1 = 0,2 und k2 /k1 = 0,4 sowie m2 /m1 = 3; D = 0,02 die aus den Formeln (5.269) bis (5.272) berechenbaren Frequenzg¨ange des Schwingweges und des Antriebsmomentes ausgewertet worden. Sie sind als Funktion des Abstimmungsverh¨altnisses η = Ω /ω 0 und der weiteren Parameter dargestellt. Man sieht, daß der Mittelwert Mm , welcher der D¨ampfung proportional ist, langsam mit dem Abstimmungsverh¨altnis η ansteigt. Um den Betriebsbereich zu erreichen, muß ein relativ kleines Resonanzgebiet bei niederen Drehzahlen (schnell) durchfahren werden. Die station¨aren Amplituden der Wege stellen sich im u¨ berkritischen Gebiet auf ein Verh¨altnis ein, welches dem Kehrwert des Massenverh¨altnisses entspricht. Die Schwingungen erfolgen gewissermaßen um den in Ruhe bleibenden Schwerpunkt der beiden Massen. Diese Schwingsiebe werden zweckm¨aßig in einem Bereich des Abstimmungsverh¨altnisses η T2 = 3,5 bis 6 betrieben, da dort das Antriebsmoment ein Minimum hat, vgl. Bild 5.59b. Dort sind die Amplituden nicht mehr von der Erregerfrequenz abh¨angig, also ist wegen der geringen Sensitivit¨at ein robuster“ Betrieb m¨oglich, ” vgl. Bild 5.59a. Die D¨ampfung ist f¨ur den Minimalwert des Antriebsmomentes bestimmend. 5.7.3 Unwuchterreger und Selbstsynchronisation 5.7.3.1 Zur historischen Entwicklung dieser Antriebsart Schon H UYGENS war es am Ende des 17. Jahrhunderts bekannt, daß sich zwei oder mehr Pendel gegenseitig beeinﬂussen, wenn sie auf dem selben beweglichen Brett stehen. Am Ende der Vierziger Jahre des 20. Jahrhunderts wurde beobachtet, daß sich die Drehbewegungen unwuchtiger Rotoren, die gemeinsam in einem beweglichen Tragsystem angeordnet sind, wechselseitig beeinﬂussen. Unter bestimmten Bedingungen kann die sogenannte Selbstsynchronisation stattﬁnden, infolge dessen die Rotoren entweder die selbe mittlere Drehgeschwindigkeit Ω annehmen oder ganzzahlige Vielfache davon (und bestimmte Phasendifferenzen). Die Tendenz zur synchronen Rotation kann so stark sein, daß sie sogar nach dem Abschalten von einem oder mehreren Motoren erhalten bleibt. Die zur Aufrechterhaltung der Rotation erforderliche Energie wird von den Motoren u¨ ber die vibrierende Unterlage auf die anderen Rotoren u¨ bertragen. Es war von P LISS und A BRAMOVIC im Jahre 1948 zuf¨allig beobachtet worden, daß ein elektrischer Motor seine Rotation fortsetzte, obwohl sein Netzanschluß unterbrochen war, vgl. die Bemerkungen zur Geschichte dieses Problems in [35]. Dies gab den Anstoß daf¨ur, die Selbstsynchronisation unwuchtiger Rotoren theoretisch zu untersuchen und sich mit deren praktischer Anwendung zu befassen. Die erste theoretische Untersuchung stammt von B LEKHMAN [30], vgl.

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

411

auch sein Patent der UdSSR, Nr. 112 448 vom 13.03.1957. In den Publikationen [31], [33], [34], [35], [218], [307], [308] wurden weitergehende Probleme behandelt. Bei vielen Vibrationsmaschinen werden f¨ur die Schwingungserregung mehrere Unwuchterreger benutzt, welche mit derselben Winkelgeschwindigkeit und deﬁnierten Phasendifferenzen rotieren. Eine gerichtete Erregerkraft wird oft durch zwei Unwuchtrotoren erzeugt, deren gegensinnige gleichphasige synchrone Bewegung durch ein Zahnradpaar erzwungen wird, vgl. Bild 5.60a. Der Nachteil einer solchen Anordnung besteht darin, daß Verschleiß in der Verzahnung eintritt und L¨arm entsteht, weil die Belastungsrichtung wechselt. So eine Anordnung kann nicht angewendet werden, wenn die Schwingungserreger große Abst¨ande haben, was bei einigen Vibrationsmaschinen notwendig ist, speziell bei Sieben f¨ur heiße Materialien und bei Schwingf¨orderern. Mit Antrieben, die sich selbst synchronisieren, k¨onnen diese Unzul¨anglichkeiten vermieden werden, vgl. Bild 5.60b. Ω

a)

Ω

Ω

Ω

b)

Bild 5.60 Unwuchterreger auf einem Vibratork¨orper a) Erzwungene Synchronisation durch ein Zahnradpaar b) Selbstsynchronisation von zwei unabh¨angigen Rotoren

Eine wichtige Anwendung der Selbstsynchronisation besteht darin, gemeinsam mit motorgetriebenen Unwuchtrotoren zus¨atzlich frei umlaufende Rotoren an dem Vibratork¨orper anzuordnen, der bewegt werden soll. Die Theorie prophezeit, daß die nicht von Motoren direkt angetriebenen Rotoren, die als Rollen, Scheiben, Walzen oder Ringe gestaltet sind, im Betriebszustand synchron mit derselben Drehgeschwindigkeit wie der angetriebene Erreger rotieren. Meßergebnisse [19], [31], [308] haben die Voraussagen dieser Theorie best¨atigt. Gegenw¨artig gibt es f¨ur Maschinen und Anlagen mit Schwingungserregern, welche die Selbstsynchronisation ausnutzen, mehr als 300 Patente, davon die meisten in Rußland. Die Gesetzm¨aßigkeiten der Selbstsynchronisation k¨onnen nicht einfach auf Grund intuitiver Vorstellungen vorausgesagt oder nur durch experimentelles Probieren gekl¨art werden, d. h., sie m¨ussen durch gr¨undliche theoretische Untersuchungen an zweckm¨aßigen Berechnungsmodellen analysiert werden. Es sind viele Maschinen im Einsatz, die nach diesem Erregerprinzip arbeiten, und sie haben sich in der Industriepraxis bew¨ahrt, insbesondere bei solchen f¨ur das Brechen und Zerkleinern fester Materialien [19], [31], [35]. Vibrationsmaschinen mit selbstsynchronisierenden Schwingungserregern werden serienm¨aßig in Russland, Deutschland, Japan und in anderen L¨andern produziert. Man kann die Selbstsynchronisation auch f¨ur den gegenseitigen Massenausgleich mehrerer Maschinen nutzen, die auf demselben Fundament stehen. Bei einer regellosen Anordnung k¨onnen mehrere Maschinen sich so ung¨unstig mit gleichen Phasenwinkeln synchronisieren, daß sich die resultierenden Massenkr¨afte vervielfachen. So etwas trat in der Praxis auf und f¨uhrte zu Havarief¨allen, z. B. in Webereien, wo viele

412

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Maschinen auf derselben Geb¨audedecke stehen. Werden dagegen solche Maschinenanordnungen richtig projektiert, ist es m¨oglich, eine Kompensation der Massenkr¨afte zu bewirken. 5.7.3.2 Bedingungen fur ¨ stabile Betriebszust¨ande von Unwuchtrotoren Das allgemeine Berechnungsmodell f¨ur Maschinen mit selbstsynchronisierenden Schwingungserregern ist ein Mehrk¨orpersystem, das aus einem Tragsystem besteht, in dem mehrere mechanische Schwingungserreger gelagert sind. Das sind unwuchtige Rotoren oder Planeten“-Erreger (konstruktiv als exzentrische Massen, Rollen, ” Ringe oder andere Rotationsk¨orper gestaltet), die durch Motoren angetrieben werden und auf Achsen umlaufen, vgl. auch Abschn. 5.3.1. Auch ungleichf¨ormig u¨ bersetzende Mechanismen, deren Massen eine zwangl¨auﬁge Bewegung ausf¨uhren, kommen als Erreger in Betracht. Allgemeine Berechnungsmodelle, die auch Effekte der Kreiselwirkung ber¨ucksichtigen, wurden in [31], [35] und [308] behandelt. Sie f¨uhren auf ein kompliziertes System nichtlinearer Differentialgleichungen, die meist zwar keine genaue L¨osung in analytischer Form zulassen, aber n¨aherungsweise l¨osbar sind. Im einfachsten Fall, wenn auf einer elastisch abgest¨utzten Masse (Schwinger mit einem Freiheitsgrad) mehrere Unwuchterreger (s = 1, 2, . . . S) angeordnet sind, entsteht folgendes Differentialgleichungssystem, vgl. Bild 5.61: Js ϕ¨ s = Ms (ϕ˙ s ) − Rs (ϕ˙ s ) + ms es (x¨ sin ϕ s + g cos ϕ s ) ; S mx¨ + d x˙ + kx = ∑ ms es ϕ¨s sin ϕ s + ϕ˙ s2 cos ϕ s

s = 1, 2, . . . S (5.275) (5.276)

s=1

x Es entspricht den Gln. (10) und (11) in Tabelle 2.8, wenn ϕ s = π /2 − ϕ und y = gesetzt wird. Man vergleiche dazu auch Abschn. 2.2.4 und die Gleichungen (18) und (19) in Tabelle 2.8. Hier sind ϕs

Js ms es Ms Rs x m d k

Drehwinkel des s-ten Rotors Tr¨agheitsmomente statische Unwuchten Motorkennlinien Belastungsmomente horizontale Verschiebung Masse des Vibratork¨orpers D¨ampfungskonstante Federkonstante

Mathematisch betrachtet, besteht bei der Selbstsynchronisation die Aufgabe, Bedingungen f¨ur die Existenz und die Stabilit¨at der L¨osungen eines Differentialgleichungssystems zu ermitteln, welche die Form ϕ s = σ s · (Ω t + α s + ψ s (Ω t)) ;

q = q(t) = (q1 , q2 , . . . , qn )T

(5.277)

haben. An Stelle der linken Seite von Gl. (5.276) steht in allgemeinen Fall f¨ur das Tragsystem eine Matrizengleichung, vgl. Tabelle 2.3. Ω > 0 ist eine zun¨achst unbekannte synchrone Rotationsfrequenz, α s sind (¨uber T0 = 2π /Ω ) gemittelte Phasenwinkel, ψ s und qk (k = 1, 2, . . . , n) periodische Funktionen der Zeit. Die schnell

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

ϕ2 ϕ1

m1 e1

mS

m2

...

e2

x

413

ϕS

eS

k

m d

Bild 5.61 Mehrere Unwuchterreger auf einem Vibratork¨orper

ver¨anderlichen Winkel ψ s und die verallgemeinerten Koordinaten qk des Tragsystems sind im Sinne der linearen Schwingungstheorie hinreichend klein. Die Zahl σ s kann +1 oder −1 sein, je nach der Drehrichtung des betrachteten Rotors. Das gr¨oßte Interesse f¨ur die praktische Anwendung der Selbstsynchronisation besteht in der Ermittlung der Phasenwinkel α s der Rotoren bei stabilen synchronen Bewegungen. Genauer gesagt interessieren die Phasendifferenzen ∆ α sS = α s − α S , weil diese den Charakter der Schwingungen des Tragsystems bei diesen Bewegungen bestimmen. F¨ur eine große Anzahl praktisch interessierender Systeme sind bekanntgewordene L¨osungen in [31] und [334] zusammenfassend dargestellt. Einen Auszug daraus stellt Tabelle 5.11 dar. Tabelle 5.11 Beispiele f¨ur Systeme mit Unwuchterregern und deren Stabilit¨atsbedingungen Fall Modell

Koordinaten, Stabilit¨atsbedingung

1

y1 =

M2 y2

k2 m1

e

e

m1 M1

k1→ 0 ϕ1 = Ω t

2

y1

m1 ϕ1

e ϕ1 = Ω t

2m1 e ω T2 sin Ω t Ω 2 − ω 22 M1 ∆ α = 0 f¨ur k2 k k ω T2 = < Ω 2 < ω 22 ≈ 2 + 2 M2 M1 M2 y2 =

(1) (2)

(3)

ϕ2 = Ω t+∆α ζ z m1, J ξS , J ηS , J ζS

γ

2m1 e ω T2 − Ω 2 sin Ω t M1 Ω 2 − ω 22

ψz ξ, x η, y S ζ

ξ

ϕ2 γ

e m1 ξ ϕ2 = Ω t+∆α

2m1 e cos γ sin Ω t m 2m1 eξ sin γ ψz = sin Ω t JζS z=

∆ α = 0 f¨ur mξ 2 mζ 2 m(ζ 2 + ξ 2 cos2 γ ) < 2 + + Jξ2 JζS JηS sin2 γ

(4) (5)

(6)

414

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

In Tabelle 5.11 sind beim Fall 1 (im Unterschied zu dem in Bild 5.60 skizzierten Schwinger) die beiden Rotoren, die eine gerichtete Erregerkraft erzeugen k¨onnen, wenn sie synchron und gleichphasig umlaufen, nicht in einem eben beweglichen starren K¨orper, sondern in einer parallel gef¨uhrten Masse M1 angeordnet. Die zweite Masse M2 hat ebenfalls nur einen Freiheitsgrad. Beim Antrieb eines der Rotoren wird der andere unter der Bedingung (3) so synchronisiert, daß Schwingungen gem¨aß der angegebenen Gln. (1) und (2) erfolgen. Im Fall 2 sind zwei Unwuchtrotoren mit einem r¨aumlich beweglichen Starrk¨orper verbunden, der so weich gelagert ist, daß die unteren sechs Eigenfrequenzen, die zu den Starrk¨orperschwingformen geh¨oren, unterhalb der Erregerfrequenz liegen. Die Tr¨agheitsmomente JξS , JηS und JζS beziehen sich auf die zentralen Haupttr¨agheitsachsen, die in der Ruhelage mit dem eingezeichneten raumfesten x, y, z-System u¨ bereinstimmen. Die Rotorebenen stehen senkrecht auf der η , ζ -Ebene und schließen mit der ξ , ζ -Ebene jeweils den Winkel γ ein. Der K¨orper f¨uhrt dann, wenn die Bedingung (6) erf¨ullt ist, Drehschwingungen mit dem Winkel ψ z um die z-Achse und synchron dazu translatorische Schwingungen in zRichtung aus, vgl. die Gln. (4) und (5). Die entstehende r¨aumliche Bewegung wird bei Wendelschwingf¨orderern genutzt, wobei schraubenf¨ormige Rinnen am Umfang des zylindrischen vertikalen Rohres angeordnet sind, um das F¨ordergut zu transportieren. Zur L¨osung weiterer neuer“ Aufgaben kann man eine der folgenden drei Me” thoden anwenden, um die Gleichungen f¨ur die Bestimmung der Phasendifferenzen ∆ α sS = α s − α S m¨oglicher synchroner Bewegungen zu ﬁnden: 1. Unmittelbare Mittelung der Bewegungsgleichungen der Rotoren innerhalb der Periode T0 = 2π /Ω Dies bezieht sich auf Gl. (5.275) unter der Voraussetzung, daß sich die Rotoren gleichm¨aßig nach dem Gesetz ϕ s = ϕ s0 = σ s (Ω t + α s )

(5.278)

bewegen. Das Tragsystem f¨uhrt dabei infolge der Erregerkr¨afte aus der Rotorbewegung station¨are erzwungene Schwingungen aus, die sogenannte Prim¨arbewegung q = q0 (t). 2. Anwendung harmonischer Einﬂußkoefﬁzienten [307], [308] Nachdem man die L¨osungen der aufgestellten Gleichungen gefunden hat, muß man ermitteln, welche davon stabilen Synchronbewegungen entsprechen. 3. Anwendung des sogenannten Integralkriteriums der Stabilit¨at auf die Synchronbewegungen, vgl. [31] und [334] Diese Methode beruht auf folgenden Annahmen: Die stabile synchrone Bewegung entspricht solchen Werten der Phasendifferenzen ∆ α sS = α s − α S der Rotoren, f¨ur welche der Mittelwert L der Lagrange-Funktion L des Tragsystems in der Periode T0 = 2π /Ω ein Minimum besitzt. Die Lagrange-Funktion ist dabei die Differenz aus kinetischer Energie Wkin und potentieller Energie Wpot . Das Integralkriterium f¨ur

415

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

stabile Bewegungen besagt, daß eine Schwingbewegung stabil ist, wenn f¨ur nominal ” gleiche“ Rotoren 0 0 L = L0 = Wkin − Wpot = Min.

(5.279)

gilt. Dabei werden als Symbol f¨ur die Mittelung die angegebenen spitzen Klammern eingef¨uhrt, vgl. auch Abschn. 2.4.6: . . . =

1 T0

T0

(. . .) dt

(5.280)

0

0 = (1/2)˙qT0 Mq˙ 0 und der potentiellen Energie Die Werte der kinetischen Energie Wkin 0 = (1/2)qT0 Kq0 sind dabei diejenigen der Prim¨arbewegung q0 , vgl. auch TabelWpot le 2.1. In [19] wird f¨alschlicherweise behauptet, daß das Integralkriterium (5.279) aus den klassischen Variationsprinzipien der Mechanik folgt, aber das ist falsch. Es steht mit den Stabilit¨atsbedingungen von L AGRANGE -D IRICHLET im Zusammenhang, vgl. z. B. [31].

Man kann diese Methode in folgenden Schritten benutzen: 1. Aufstellung der Ausdr¨ucke f¨ur die kinetische und potentielle Energie des Tragsystems 2. Aufstellung der Differentialgleichungen f¨ur kleine Schwingungen des Tragsystems unter der Wirkung der Kr¨afte, welche die Rotoren bei ihrer Rotation gem¨aß Gl. (5.278) abgeben 3. L¨osung dieser Differentialgleichungen, d. h. Berechnung der station¨aren erzwungenen Schwingungen q0 (t) der Prim¨arbewegung 4. Einsetzen der gewonnenen L¨osungen in Gl. (5.279), woraus man Gleichungen f¨ur die Funktion L erh¨alt, die von den Phasendifferenzen ∆ α = α s − α k abh¨angen 5. Ermittlung der Werte dieser Phasendifferenzen, welche sich aus der Forderung nach dem Minimum der Funktion L ergeben 6. Ermittlung der Bewegungen aller Koordinaten q(t) des Tragsystems, die den ermittelten Werten der Phasendifferenzen entsprechen. Bei den weiteren Berechnungen sind die folgenden mathematischen Zusammenh¨ange zu beachten: σ s2 = 1;

sin σ s Ω t = σ s sin Ω t;

cos σ s Ω t = cos Ω t

(5.281)

Die Mittelung gem¨aß Gl. (5.280) f¨uhrt dabei zu folgenden Beziehungen: sin2 Ω t = cos2 Ω t =

1 2

1 1 sin(α 1 − α 2 ) = sin(∆ α ) 2 2 1 1 sin(Ω t + α 1 ) sin(Ω t + α 2 ) = cos(α 1 − α 2 ) = cos(∆ α ) 2 2 1 1 cos(Ω t + α 1 ) cos(Ω t + α 2 ) = cos(α 1 − α 2 ) = cos(∆ α ) 2 2 sin(Ω t + α 1 ) cos(Ω t + α 2 ) =

(5.282)

416

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

5.7.3.3 Beispiele fur ¨ Vibrationsantriebe mit Selbstsynchronisation An Stelle der Erregung durch zwangl¨auﬁg gekoppelte Zahnr¨ader ist eine gerichtete Schwingungserregung durch zwei und mehr Unwuchterreger m¨oglich, die nicht miteinander zwangl¨auﬁg verbunden sind. Die dynamische Kopplung erfolgt indirekt u¨ ber die Translationsbewegung des Vibratork¨orpers, in dem sich die Drehachsen abst¨utzen. Solche Erregersysteme wurden in den vergangenen Jahrzehnten immer mehr zur Schwingungserregung bei Siebmaschinen, Schwingf¨orderern, R¨uttelverdichtern und anderen Maschinen angewendet, da sie konstruktiv einfach zu realisieren sind und ohne mechanische oder elektrische Wellen auskommen. Die Bedingungen f¨ur stabile Betriebszust¨ande bei der Selbstsynchronisation sollen f¨ur zwei Beispiele (zur Illustration der dritten Methode) hergeleitet werden. Als erstes Beispiel wird als Tragsystem ein weich aufgestellter Vibratork¨orper betrachtet, der mit hohen Erregerfrequenzen (Ω ω i ) u¨ berkritisch erregt wird, so daß die Tr¨agheitskr¨afte dominieren und die R¨uckstellkr¨afte vernachl¨assigbar sind (k → 0). Die Rotoren m¨ussen also zur Erreichung des Betriebszustandes die tiefen kritischen Drehzahlen durchlaufen. Die Drehachsen der zwei gleichen Schwingungserreger liegen parallel zu einer zentralen Haupttr¨agheitsachse des Vibratork¨orpers und sind im Abstand ξ gleich weit vom Schwerpunkt S des K¨orpers entfernt, vgl. Bild 5.62a bis 5.62e. Es handelt sich um ein ebenes Problem, d. h., die Schwerpunkte der Unwuchtmassen bewegen sich in der gleichen Ebene. Bei dem Fall gem¨aß Bild 5.62e beﬁndet sich der Schwerpunkt S nicht auf der Verbindungsgeraden der beiden Drehachsen der Rotoren. Aus der Theorie folgt, daß sich in diesem Fall die Synchronisation schneller und stabiler einstellt, je gr¨oßer der Ausdruck mr2 /J ist, d. h., die Entfernung der Drehpunkte der Unwuchterreger vom Schwerpunkt S hat großen Einﬂuß. Bewegen sich die Rotoren in Bild 5.62a entsprechend Gl. (5.278), so lauten die Differentialgleichungen der Bewegung f¨ur die beiden translatorischen Koordinaten q1 = x, q2 = y und den Kippwinkel q3 = ψ : mx¨ = F [cos(Ω t + α 1 ) + cos(Ω t + α 2 )] my¨ = −F [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) + σ 2 sin(Ω t + α 2 )]

(5.283)

J ψ¨ = F ξ [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) − σ 2 sin(Ω t + α 2 )] Dabei sind m die Masse des Vibratork¨orpers und J sein Tr¨agheitsmoment um die Schwerpunktachse. Die Amplitude der Erregerkraft an jedem der beiden Rotoren ist F = m1 eΩ 2 . Die station¨aren erzwungenen Schwingungen verlaufen gem¨aß F q10 = x0 = − [cos(Ω t + α 1 ) + cos(Ω t + α 2 )] mΩ 2 F (5.284) q20 = y0 = + [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) + σ 2 sin(Ω t + α 2 )] mΩ 2 Fξ q30 = ψ 0 = − [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) − σ 2 sin(Ω t + α 2 )] JΩ 2 In den Gleichungen (5.283) und (5.284) haben entsprechend der getroffenen Voraussetzungen (Ω ω i ; ω i sind die tiefen Eigenkreisfrequenzen des Tragsystems) die

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

ξ

ξ

ϕ1 S

e

y e ϕ2 m1

m1

417

ψ x

k ≈0

a) ξ

ξ

ξ

ξ

S ϕ1 = Ω t

S ϕ1 = Ω t

ϕ2 = ϕ1 = Ω t

b)

ϕ2 = Ω t +π

c) ξ

ξ

Ωt r S

S ϕ1 = Ω t

r

m1 m1

ϕ2 =−(Ω t + π)

−Ω t d)

e)

Bild 5.62 Vibratork¨orper mit zwei Unwuchterregern a) b) c) d) e)

allgemeine Bezeichnungen σ 1 σ 2 = +1; mξ 2 /J > 2; ∆ α = α 1 − α 2 = 0; Kreisschiebung σ 1 σ 2 = +1; mξ 2 /J < 2; ∆ α = α 1 − α 2 = π ; Drehschwingung um S σ 1 σ 2 = −1; ∆ α = α 1 − α 2 = 0; parallele Schubschwingung σ 1 σ 2 = −1; ∆ α = α 1 − α 2 = 0; parallele Schubschwingung in Richtung des Schwerpunktes S

elastischen Eigenschaften des Tragsystems keinen Einﬂuß, d. h., man kann die potentielle Energie des Tragsystems vernachl¨assigen und auf Grund des Integralkriteriums von Gl. (5.279)schreiben: 1 1 0 L = Wkin = q˙ T0 Mq˙ 0 = m (x˙0 )2 + (y˙0 )2 + J(ψ˙0 )2 (5.285) 2 2 F2 mξ 2 = (5.286) 1 + σ1σ2 − σ1σ2 cos(∆ α ) + C = Min.! 2mΩ 2 J Hier ist C unabh¨angig von den Phasenwinkeln. Wird die Bedingung 1 + σ1σ2 − σ1σ2

mξ 2 <0 J

(5.287)

418

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

erf¨ullt, hat die Funktion L ein lokales Minimum bei ∆ α = α 1 − α 2 = 0, aber bei der entgegengesetzten Ungleichung ist das Minimum bei ∆ α = α 1 − α 2 = π . Deshalb folgt aus Gl. (5.286), daß im ersten Fall die Rotationen mit gleichphasigen Unwuchten und im zweiten Fall die Rotationen mit gegenphasigen Unwuchten stabil sind. Im Fall, daß die Rotoren sich mit gleichen Drehrichtungen bewegen, ist σ 1 σ 2 = +1 und bei Erf¨ullung der Bedingung mξ 2 >2 (5.288) J entsteht, wie aus Gl. (5.284) berechenbar ist, eine kreisf¨ormige translatorische Bewegung ( Kreisschiebung“) des Vibratork¨orpers, vgl. Bild 5.62b. Die Amplituden ” sind 2m1 e xˆ = yˆ = (5.289) m Wird die entgegengesetzte Ungleichung (mξ 2 /J < 2) erf¨ullt, dann ist diejenige Bewegung stabil, bei der die Phasendifferenz der Rotoren ∆ α = α 1 − α 2 = π betr¨agt. Dies f¨uhrt zu Drehschwingungen des Vibratork¨orpers (vgl. Bild 5.62c) mit der Winkelamplitude 2m1 eξ ψˆ = (5.290) J Rotieren die Rotoren in entgegengesetzter Richtung, gilt σ 1 σ 2 = −1, wenn die Bedingung (5.287) verletzt ist, ist die gegensinnige Rotation mit der Phasendifferenz ∆ α = α 1 − α 2 = π stabil. Entsprechend Gl. (5.284) werden geradlinige translatorische Schubschwingungen des Vibratork¨orpers verursacht, vgl. Bild 5.62d. Die Amplituden betragen 2m1 e (5.291) xˆ = 0; yˆ = m ψy

ψz

z

y e η

ϕ2

S

η

m1

e

ψx

x

ϕ1 m1

Bild 5.63 Vibratork¨orper mit zwei Unwuchterregern in parallelen Ebenen

Als zweites Beispiel wird wiederum ein Vibratork¨orper mit zwei gleichen Schwingungserregern betrachtet, deren Drehachsen mit einer der zentralen Haupttr¨agheitsachsen des Vibrationsk¨orpers zusammenfallen. Die Abst¨utzung dieses

419

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

¨ Vibrationsk¨orpers sei so weich, daß die Schwingungserreger uberkritisch arbeiten, d. h., die St¨utzkr¨afte der Federn und D¨ampfer sind vernachl¨assigbar klein gegen¨uber den Massenkr¨aften. Die Rotationsebenen der Unwuchten der Rotoren sind parallel und haben den gleichen Abstand η vom K¨orperschwerpunkt S, vgl. Bild 5.63. Aus den Bewegungsgleichungen, welche analog zu den Gln. (5.283) aufgebaut sind, folgen als L¨osungen analog zu Gl. (5.284) die station¨aren erzwungenen Schwingungen des K¨orpers: F [cos(Ω t + α 1 ) + cos(Ω t + α 2 )] = x∗ cos Ω t mΩ 2 F z0 = [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) + σ 2 sin(Ω t + α 2 )] = z∗ sin Ω t mΩ 2 Fη ψ x0 = − [σ 1 sin(Ω t + α 1 ) − σ 2 sin(Ω t + α 2 )] = ψ x∗ sin Ω t Jx Ω 2 x0 = −

ψ z0 = −

(5.292)

Fη [cos(Ω t + α 1 ) − cos(Ω t + α 2 )] = ψ z∗ sin Ω t Jz Ω 2

Hierbei sind ψ x0 und ψ z0 kleine Drehwinkel des Vibrationsk¨orpers, Jx und Jz seine Haupttr¨agheitsmomente bez¨uglich der betreffenden Achsen. Die u¨ brigen Bezeichnungen entsprechen denen des ersten Beispiels. Wie vorher, kann man auch hier Wpot vernachl¨assigen. Beachtet man Gl. (5.282), folgt aus dem Integralkriterium (5.279): 1 1 0 2 ∗2 ˙ x0 L = Wkin = q˙ T0 Mq˙ 0 = m x˙0∗2 + z˙∗2 + Jz ψ˙ z0 0 + Jx ψ 2 2 F2 2 Jx + σ 1 σ 2 Jz = σ σ − m η 1 + cos(∆ α ) + C = Min.! 1 2 2mΩ 2 Jx Jz

(5.293)

Aus dieser Forderung kann man nach dem Einsetzen der Ausdr¨ucke aus Gl. (5.292) die Amplituden und die Stabilit¨atsbedingungen gewinnen, die in Tabelle 5.12 zusammengestellt sind. Die Bewegungen der vier Koordinaten des Vektors q0 (t) verlaufen dabei harmonisch gem¨aß Gl. (5.292). F¨ur die Amplituden der Koordinaten wurde an Stelle des u¨ blichen Dach“ ein Stern“ angegeben, um auf das hier wichtige Vorzei” ” chen hinzuweisen, vgl. Tabelle 5.12. Tabelle 5.12 Stabile Betriebszust¨ande des Berechnungsmodells von Bild 5.63 mit J ∗ = Jx Jz /(Jx + Jz ) x∗ −2m1 e m

z∗ 2σ 1 m1 e m

π

0

−1

0

−1

π

σ1σ2

∆α

1

+1

0

2

+1

3 4

Fall

ψ x∗

ψ z∗

0

0

0

−2σ 1 m1 eη Jx

2m1 eη Jz

mη 2 <2 J∗

−2m1 e m

0

−2σ 1 m1 eη Jx

0

Jx > Jz

0

2σ 1 m1 e m

0

2m1 eη Jz

Jz > Jx

Bedingung mη 2 >2 J∗

420

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Den einzelnen F¨allen entsprechen folgende Bewegungsformen des Vibratork¨orpers: • • • •

Fall 1: Translatorische Kreisbewegung in der x, z-Ebene, Kreisschiebung“, ” Fall 2: Taumelschwingung um die x- und z-Achse, Fall 3: Ellipsenf¨ormige Schwingung um x-Achse, Fall 4: Ellipsenf¨ormige Schwingung um z-Achse.

F¨ur die normalen Betriebszust¨ande von Vibrationsmaschinen, die selbstsynchronisierende Erreger anwenden, ist die Aussage, daß die Phasenwinkel stabil sind, noch unzureichend. Es ist auch notwendig, daß diese Phasenwinkel (und diese bestimmen den Schwingungscharakter des Arbeitsorgans) auch eine geringe Sensitivit¨at gegen¨uber allen m¨oglichen Toleranzen besitzen. Dazu geh¨oren sowohl zuf¨allige Streuungen der Parameter der Erreger gegen¨uber ihren nominalen Werten, die durch Fertigungsungenauigkeiten bedingt sind, als auch die schwankenden Einﬂ¨usse technologischer Belastungen. Um die Eigenschaften der Vibrationsmaschinen innerhalb gewisser Grenzen von Phasenabweichungen der Rotoren unter realen Einﬂ¨ussen zu erhalten, m¨ussen die Phasenlagen gegen¨uber St¨orungen m¨oglichst stabil sein. Methoden zur Bewertung dieser Sensitivit¨at der Stabilit¨at sind z. B. in [31], [218] und [334] beschrieben. Eine N¨aherungsmethode f¨ur die Bewertung der Sensitivit¨at, die in [218] vorgeschlagen wurde, benutzt das Verh¨altnis des R¨uttelrichtmomentes V , welches die dynamische Kopplung der Rotoren bewirkt, zu dem Motormoment M, das proportional zu den destabilisierenden Faktoren ist: V (5.294) k= M Man kann k als Koefﬁzienten der Vibrationskopplung zwischen den Rotoren bezeichnen. Hierbei ist V der Maximalwert des Betrages des sogenannten R¨uttelrichtmomentes [231], welcher sich n¨aherungsweise zu V = meΩ 2 sˆ

(5.295)

ergibt, d. h. als das Produkt aus der Erregerkraft und der Wegamplitude sˆ des Erregers. M ist das Nennmoment des Motors, vgl. die ausf¨uhrlichen Darstellungen in [31] und [334]. F¨ur das erste Beispiel (Bild 5.62) ergibt sich als genaue Formel dL 1 (m1 e)2 Ω 2 ξ 2 = (5.296) V = d(∆ α ) 2 J und f¨ur das zweite Beispiel (Bild 5.63) mη 2 2 2 −2 dL 1 (m1 e) Ω · J∗ = V = d(∆ α ) 2 m

(5.297)

F¨ur die Robustheit ist es notwendig, daß k kzul ist. F¨ur die verschiedenen Klassen von Vibrationsmaschinen wird in [218] empfohlen, f¨ur diesen Koefﬁzienten etwa kzul = 0,5 bis 4 zu fordern, abh¨angig von der Bedeutung der Maschine. Bei den betrachteten Beispielen entspricht das etwa einer maximalen Abweichung der Phasenwinkel im Bereich |∆ α |max ≈ 3 . . . 16◦ . Dies ist eine vorsichtige Empfehlung, denn

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

421

es sind auch praktische F¨alle bei Vibrationssieben bekannt geworden, bei denen zwei Vibratoren erfolgreich arbeiteten, obwohl |∆ α |max ≈ 30◦ und k ≈ 0,3 betrug. Die f¨ur schwer belastete Maschinen wichtige Frage, wie sich die technologischen Belastungen auf die Stabilit¨at auswirken, wird in [330] behandelt. Mit Rechenprogrammen f¨ur r¨aumliche Mehrk¨orpersysteme (MKS) k¨onnen gegenw¨artig derartige Fragestellungen auch durch numerische Simulation behandelt werden. Es ist aus Experimenten und Publikationen bekannt, daß polyharmonische Bewegungen gegen¨uber einfachen harmonischen Bewegungen Vorteile besitzen, z. B. kann damit bei gleichen Beschleunigungsamplituden die F¨ordergeschwindigkeit bei Sch¨uttelrutschen und Schwingf¨orderern erh¨oht werden [320]. Optimale Bewegungsabl¨aufe f¨ur Sch¨uttelrutschen wurden in [325] berechnet. Es werden vielfach auch Stoßeffekte mit Schwingungen kombiniert, um bessere technologische Effekte, z. B. beim Zerkleinern oder Verdichten von Material, zu erreichen, wobei auch unregelm¨aßige und chaotische Bewegungen ausgenutzt werden [15], [17], [46].

5.7.4 Vibrationshammer 5.7.4.1 Minimale konstante Handkraft Handgef¨uhrte pneumatische Vibrationsh¨ammer werden millionenfach angewendet. Eine speziﬁsche Unzul¨anglichkeit vieler solcher Schlagmaschinen sind die intensiven Schwingungen, die der Bediener ertragen muß. Die Verminderung der Vibrationsbelastungen und die Vermeidung von Berufskrankheiten sind ein wichtiges aktuelles Problem. Die neuen europ¨aischen Normen stellen versch¨arfte Bedingungen an den Arbeitsschutz. Zur Verminderung der Vibrationsbelastungen von Vibrationsh¨ammern sind international viele Patente erteilt worden. Wesentliche Verminderungen der Vibrationen kann man durch elastische und d¨ampfende Elemente erreichen, die zwischen dem Geh¨ause des Hammers und dem Werkzeug angeordnet werden, wie es den 50er Jahren des 20. Jahrhunderts z. B. die deutschen Patentschriften N 801 565, N 805 268, N 805 749, N 860 630, N 894 530 vorschlagen. Am Handgriff k¨onnen auch Elemente zur Schwingungsisolierung angebracht werden (Patente N 1 027 600, N 1 000 750). Es w¨urde hier zu weit f¨uhren, den aktuellen internationalen Stand vollst¨andig zu beschreiben Im folgenden wird zun¨achst ein elementarer Zusammenhang an Hand von Bild 5.64 erl¨autert, der zwischen der Wirkungsdauer einer Kraft, einer Masse und deren Bewegungsgr¨oßen besteht, der f¨ur Vibrationsh¨ammer Bedeutung hat. Die beiden Kraftverl¨aufe in Bild 5.64 besitzen denselben Maximalwert Fmax und wirken w¨ahrend derselben Zeit t1 Sie beinhalten den gleichen Impuls, welcher der schrafﬁerten Fl¨ache entspricht: I=

t1 0

F(t) dt =

1 Fmaxt1 2

(5.298)

422

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Bild 5.64 Lineare Verl¨aufe einer Antriebskraft a) Modell, b) Fall a: steigende Kraft, c) Fall b: fallende Kraft

Die Weg-Zeit-Verl¨aufe einer durch diese Verl¨aufe angetriebenen Masse m sind, ausgehend von der Ruhelage (t = 0: s = 0; v = 0), unterschiedlich: Fmaxt 3 Fmaxt 2 (3t1 − t) ; Fall b: sb = (5.299) Fall a: sa = 6mt1 6mt1 Die Geschwindigkeiten sind Fmaxt 2 Fmaxt(2t1 − t) Fall a: va = ; Fall b: vb = (5.300) 2mt1 2mt1 Die Endgeschwindigkeit ist nur vom Impuls abh¨angig und betr¨agt nach der Zeit t1 in beiden F¨allen I 1 Fmaxt1 = (5.301) va (t1 ) = vb (t1 ) = v1 = m 2 m Der Weg, den eine Masse bis zum Zeitpunkt t1 zur¨ucklegt, ist verschieden groß und betr¨agt im 1 Fmaxt12 1 Fmaxt12 ; Fall b: sb (t1 ) = (5.302) Fall a: sa (t1 ) = 6 m 3 m Man beachte den Unterschied: Der Beschleunigungsweg ist im Fall b doppelt so groß wie im Fall a! Die Masse m steht hier stellvertretend f¨ur eine Kolbenmasse oder die Geh¨ausemasse eines Schlaghammers. Diese bewegt sich bei einem Kraftverlauf der Form a also halb so weit wie im Fall b, und die dynamische Belastung des Bedieners am Handgriff des Hammers ist – wenn man den Geh¨auseweg als Kriterium betrachtet – im Fall a halb so groß wie im Fall b. Was hier f¨ur den linearen Kraftverlauf gezeigt wurde, kann man f¨ur beliebige Verl¨aufe auch allgemeiner formulieren, z. B. f¨ur solche, die sich durch Druckluft erzeugen lassen. Der Endweg nach der Wirkungsdauer einer ver¨anderlichen Kraft F(t) auf eine Masse m ist allgemein: t1 τ t1 1 1 F(t) dt d τ = (t1 − t)F(t) dt (5.303) s(t1 ) = m m 0

0

0

Die zweite Form entsteht aus der Formel von C AUCHY zur Umformung eines mehrfachen Integrals in ein einfaches Integral.

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

423

F¨ur den realisierbaren Kraftverlauf F(t) sind die konkreten technologischen und physikalischen Nebenbedingungen zu ber¨ucksichtigen. Aber es gilt auch dann: Man kann schon durch einen verbesserten Kraft-Zeit-Verlauf beim Antrieb eines Schlagbolzens dessen Weg und damit den R¨uckw¨artsweg des Geh¨ausek¨orpers vermindern ohne dabei Impuls und kinetische Schlagenergie (Preßdruck und Leistung“ eines Vi” brationshammers) zu a¨ ndern. Dies ist eine effektive Methode, um die Schwingungen von pneumatischen Schlagmaschinen zu vermindern. Es gibt dazu mehrere Patente der UdSSR aus den 60er Jahren des 20. Jahrhunderts (Nr. 196 015, 169 474, 247 179, 247 180, 276 855, 246 442). Beim idealen Vibrationshammer w¨are die Schwingungsursache vollst¨andig beseitigt, wenn die Reaktionskraft am Geh¨ause konstant ist. Wie groß u¨ berhaupt diese Reaktionskraft am Geh¨ause sein muß, um einen Impuls der Intensit¨at I = mv vom Schlaghammer auf die Wirkstelle zu u¨ bertragen, ergibt sich aus dem Impulssatz. Er besagt, daß die Summe der n Impulse so groß sein muß, wie das Produkt aus einer konstanten Kraft (Minimalkraft Fmin ) und der Zyklusdauer T0 w¨ahrend der diese Einzelimpulse wirken: Iges = nI = Fmin T0 = mv (5.304) Die kinetische Energie einer Masse m, die mit der Kraft Fmin angetrieben wird, kann mit dem Impuls ausgedr¨uckt werden und betr¨agt nach der Zeit T0 1 1 W = mv 2 = m(Fmin T0 /m)2 (5.305) 2 2 Daraus folgt der Zusammenhang zwischen der theoretisch minimalen Anpreßkraft des Vibrationshammers und der u¨ bertragbaren Energie bei n Schl¨agen zu n√ 2W m (5.306) Fmin = T0 F¨ur die normale Arbeit eines Schlaghammers ist die durch (5.306) berechenbare kleinstm¨ogliche Anpreßkraft theoretisch (ohne Ber¨ucksichtigung der Stoßzahl) ausreichend. Dann treten keine Bewegungen des als starr angenommenen Geh¨ausek¨orpers bei unbeweglichem Werkzeug auf. Der Hammer schl¨agt auf die Wirkstelle, und der Handgriff kann mit der konstanten Kraft Fmin angedr¨uckt werden. Dieser ideale Fall des Vibrationsschutzes durch einen dynamisch ausgeglichenen Vibrationshammer mit der minimalen Kraft gem¨aß (5.306) wird in der Praxis nicht erreicht, weil auch die Stoßzahl k beim Abprall der Schlagbolzen von Einﬂuß ist. Die Bewertung ist realistischer, wenn man eine weniger harte Bedingung mit Ber¨ucksichtigung der Stoßzahl k formuliert, also z. B. [317] ∗ = (1 + k)Fmin = konst. (5.307) Fmin Diese Beziehungen k¨onnen dazu dienen, die Vollkommenheit“ realer Schlagh¨am” mer zu bewerten. 5.7.4.2 Dynamisch ausgeglichener pneumatischer Schlaghammer Einen dynamisch ausgeglichenen Vibrationshammer, dessen Arbeitszyklus die oben genannten Bedingungen erf¨ullt, kann man sich beispielsweise vorstellen in Form von zwei pneumatisch angetriebenen Schlagbolzen, die in einem gemeinsamen Geh¨ause 3 angeordnet sind, vgl. Bild 5.65. Die Zwischenwand 4 teilt das Geh¨ause 3 in zwei

424

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

Hohlr¨aume, in denen sich unter der Wirkung der Druckkraft der komprimierten Luft die Schlagbolzen 1 und 2 bewegen. Diese Schlagbolzen haben beide die gleiche Masse m und gleichgroße Kolbenﬂ¨achen. Sie bewegen sich gegenl¨auﬁg und u¨ bertragen abwechselnd die St¨oße auf das Werkzeug 5.

Bild 5.65 Schlagwerkzeug und Zeitverl¨aufe [317] a) Skizze des Schlagwerkzeugs, b) Kraftverl¨aufe bez¨uglich der beiden Massen, c) Verl¨aufe der Wege der Massen 1 und 2

F¨ur die Kraft F1 , die auf den beweglichen Schlagbolzen 1 wirkt und f¨ur die Kraft F2 die auf den Schlagbolzen 2 wirkt, werden der Einfachheit halber rechteckige Verl¨aufe angenommen, obwohl sie auch andere Formen haben k¨onnen. Die Verl¨aufe F1 (t) und F2 (t) sind gleich, aber gegenseitig auf der Zeitachse um die halbe Zyklusdauer T0 /2 verschoben. Die resultierende Kraft, die auf das Geh¨ause wirkt, ist die (im idealen Fall konstante) Summe F1 (t) + F2 (t) = F = ma = konst.

(5.308)

Obwohl der Hammer zweimal w¨ahrend der Zyklusdauer T0 auf die Wirkstelle schl¨agt, ist die summarische Kraft auf das Geh¨ause konstant. Die theoretische minimale Handkraft ergibt sich aus (5.306). Die Wege si , die Geschwindigkeiten vi und die Beschleunigungen ai der beiden Massen der Schlagbolzen (i = 1, 2) werden in zwei Etappen berechnet. Erste Etappe (0 < t < T0 /2): s1 (t) = (a/4)(3t 2 − T0t − T02 /4);

s2 (t) = −(a/4)t 2

v1 (t) = (a/4)(6t − T0 );

v2 (t) = −(a/2)t

a1 (t) = 3a/2;

a2 (t) = −a/2

(5.309)

5.7 Antriebe von Vibrationsmaschinen

425

Zweite Etappe (T0 /2 < t < T0 ): s1 (t) = −(a/4)(t − T0 /2)2 ;

s2 (t) = (a/4)[(t − T0 /2)2 − T0 (t − T0 /2) − T02 /4]

v1 (t) = −(a/2)(t − T0 /2);

v2 (t) = (a/4)[6(t − T0 /2) − T0 ]

a1 (t) = −a/2;

a2 (t) = 3a/2

(5.310)

Die Wege s1 (t) und s2 (t) der Schlagbolzen, die sich entsprechend (5.309) und (5.310) infolge der Kr¨afte ergeben, sind neben der Skizze des Schlaghammers eingezeichnet. Der Weg s(t) des gemeinsamen Schwerpunktes der Schlagbolzen 1 und 2 besteht in jeder Etappe aus einer Parabel. Bei einer geeigneten Wahl des Ursprungs kann man schreiben: 0 < t < T0 /2:

s = s1 (t) + s2 (t) = (a/2)[(t − T0 /4)2 − T02 /16]

T0 /2 < t < T0 :

s = s1 (t) + s2 (t) = (a/2)[(t − 3T0 /4)2 − T02 /16]

(5.311)

Der Schwerpunkt verschiebt sich also maximal um den Weg smax = −aT02 /32. Das ist nur 3/8 des Weges, den jede einzelne Masse zur¨ucklegt. Der Geschwindigkeitssprung beim Aufprall auf den St¨oßel betr¨agt zu den Zeiten t = 0 und t = T0 /2 bei jeder dieser Massen (0 < ε T0 /2) ∆v = v1 (T0 /2 − ε ) − v1 (T0 /2 + ε ) = v2 (0 + ε ) − v2 (T0 − ε ) = aT0 /2 (5.312) Hierbei soll ε den Zeitpunkt kurz davor und kurz danach beschreiben. Bei n = 2 St¨oßen pro Periode wird also der Impuls I = 2m ∆v = maT0 u¨ bertragen. ∗ auf das Geh¨ause (ebenfalls unter In diesem Falle wirkt die konstante Kraft Fmin der Annahme, daß keine Schwingungen am unbeweglichen Werkzeug auftreten). Die Bedingung (5.307) kann im Unterschied zu (5.308) bei einem realen Arbeitszyklus in der Praxis erf¨ullt werden [317]. Die Patente der UdSSR aus den 70er und 80er Jahren (560 979, 831 953, 907 230, 926 267) enthalten daf¨ur Vorschl¨age zur praktischen Steuerung der Luftdr¨ucke.

Bild 5.66 Dynamisch ausgeglichener pneumatischer Vibrationshammer [317] a) Beginn des Vorw¨artshubes, b) Stellung beim Schlag

Im folgenden wird die Wirkungsweise eines dynamisch ausgeglichenen pneumatischen Schlaghammers beschrieben, der eine andere Struktur als der in Bild 5.65

426

5 Zur Synthese von Antriebssystemen

dargestellte hat und nur einen Schlag pro Periode aus¨ubt. In ihm gibt es auch zwei relativ gegeneinander bewegte Massen. In Bild 5.66 ist dieser Schlagmechanismus dargestellt, der in [317] beschrieben ist. Der Schlagbolzen 2 bewegt sich innerhalb des Kolbens 3, welcher sich seinerseits im Geh¨ause 1 bewegt. Die a¨ ußere Oberﬂ¨ache des Kolbens 3 hat zwei verschiedene Durchmesser. Der gesamte Hammer hat vier Kammern. Die Kammer E ist immer mit der Lufthauptleitung verbunden, in welcher der Druck p0 herrscht. In den Kammern A und D, die miteinander durch einen L¨angskanal im Geh¨ause verbunden sind, wird die Luft in der Periode des Vorw¨artshubes des Schlagbolzens komprimiert und beim R¨uckhub dehnt sie sich aus. Im Bild 5.66a ist oben die Lage des Mechanismus zu Beginn des Vorw¨artshubes des Schlagbolzens gezeigt und darunter am Ende des Vorw¨artshubes, wenn der Schlagbolzen den Schlag auf das Werkzeug 4 u¨ bertr¨agt. Das Geh¨ause hat ein Auslaßfenster B. Der Einlaß der komprimierten Luft und der Auslaß aus der Kammer B wird bestimmt durch die Lage des Kolbens 3 relativ zum Geh¨ause. Die Hin- und Herbewegung des Schlagbolzens und des Kolbens erfolgt in umgekehrten Richtungen ohne gegenseitige St¨oße. Das beschriebene Antriebssystem des Zweimassen-Vibrationshammers wurde praktisch beim serienm¨aßig produzierten russischen Hammer GD1 mit folgenden Parametern realisiert [317]: Schlagenergie W = 93 N · m Schlagfrequenz n = 630 · min−1 = 10,5 Hz Luftverbrauch Q = 1,35 m3 /min Hammermasse m = 18,5 kg Bei bedeutend verbesserten Vibrationskennwerten ist die Produktivit¨at dieses Hammers etwa 40 bis 50 % gr¨oßer als die des serienm¨aßig produzierten russischen Hammers IP4604. In [317] ist u. a. auch die Konstruktion eines Bohrhammers dargestellt, bei dem außer dem Impuls auch der Drehimpuls dynamisch ausgeglichen ist.

¨ Hauﬁg benutzte Formelzeichen

Lateinische Buchstaben a A b c d

Beschleunigung Querschnittsﬂ¨ache Breite Schallgeschwindigkeit; mit Index k: k-ter Fourierkoefﬁzient Durchmesser; D¨ampfungskonstante, Element der D¨ampfungsmatrix (mit zwei Indizes) D D¨ampfungsgrad (Lehrsches D¨ampfungsmaß) D D¨ampfungsmatrix e Exzentrizit¨at e Einheitsvektor E Elastizit¨atsmodul E Einheitsmatrix f Frequenz; dimensionslose Kraft F, F Kraft, Kraftvektor g Erdbeschleunigung G Gleitmodul, Schubmodul H( jΩ ) Komplexer Frequenzgang I Fl¨achentr¨agheitsmoment; Anzahl der Getriebeglieder √ j imagin¨are Einheit −1 J Tr¨agheitsmoment, Drehmasse k Federkonstante, Element der Steiﬁgkeitsmatrix (mit zwei Indizes); Ordnung der Harmonischen; Stoßzahl K Kr¨ummung; Anzahl der Komponenten eines Parametervektors; h¨ochste Ordnung der Harmonischen K Steiﬁgkeitsmatrix l L¨ange m Masse; Element der Massenmatrix (mit zwei Indizes) M Moment (bei Antrieb oder Abtrieb oder Biegung) M Massenmatrix n Anzahl der Freiheitsgrade; Einﬂußzahl, Element der Nachgiebigkeitsmatrix (mit zwei Indizes) N Nachgiebigkeitsmatrix

428

p P q r r s t T T u U v w W x, y, z z

¨ Hauﬁg benutzte Formelzeichen

= (p1 , p2 , . . . , pK )T Parametervektor mit seinen K Komponenten Leistung = (q1 , q2 , . . . , qn )T Koordinatenvektor mit n verallgemeinerten Koordinaten Radius Ortsvektor Weg, Bogenkoordinate; Schlupf Zeit Periodendauer; Torsionsmoment; Zyklusdauer (T0 ) Transformationsmatrix ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis; Verschiebung ¨ Lagefunktion (kinematische Ubertragungsfunktion) Geschwindigkeit Durchbiegung Arbeit, Energie; Windung raumfeste Koordinaten Anzahl der Z¨ahne; Anzahl der W¨alzk¨orper

Griechische Buchstaben α β

δ

∆ γ

ε η

κ λ λ µ π ξ

τ ϕ ϕk ϕ ik ϕ

Richtungswinkel der Zahnﬂanken-Normalen; Winkelbeschleunigung; Phasenwinkel Schr¨agungswinkel des Zahns eines Zahnrades; Kontaktwinkel im Drehgelenk Abklingkonstante; Spiel Differenz Steiﬁgkeitsverh¨altnis; Keilwinkel; mit Index i: modale Steiﬁgkeit bez¨uglich der i-ten modalen Koordinate kleiner Parameter Wirkungsgrad; Abstimmungsverh¨altnis; k¨orperfeste Koordinate Amplitudenverh¨altnis Eigenwert; Kurbelverh¨altnis beim Schubkurbelgetriebe Vektor der Eigenwerte oder der Quadrate der Eigenkreisfrequenzen Reibungszahl; Massenverh¨altnis; mit Index i: modale Masse bez¨uglich der i-ten modalen Koordinate ¨ mit Index i: Ahnlichkeitskennzahl dimensionsloser Weg; k¨orperfeste Koordinate Dichte; Reibwinkel dimensionslose Zeit (τ = ω t) Antriebswinkel (ϕ 0 = Ω t) Drehwinkel um Achse mit dem jeweils angegebenen Index Element der Modalmatrix mit Index i: i-ter Eigenvektor (Eigenschwingform)

¨ Hauﬁg benutzte Formelzeichen

429

Φ

Modalmatrix Eigenkreisfrequenz (ω = 2π f ) Ψ Nennd¨ampfung, verh¨altnism¨aßige D¨ampfung; Winkel Ω Erregerkreisfrequenz; Antriebswinkelgeschwindigkeit Ω Matrix der Eigenkreisfrequenzen; Spektralmatrix ξ , η , ζ k¨orperfeste Koordinaten; dimensionslose Wege ω

Indizes a an ab dyn e eff exp i i j k

kin l L max min M N na ne n1 o p pot r R red rot S

Anlauf-, AnfahrAntriebsAbtriebsdynamisch extern Effektivexperimentell intern Z¨ahlindex f¨ur Nummer der Eigenfrequenz; Nummer des Getriebegliedes (i = 1, 2, . . . , I) bei mehrgliedrigen Mechanismen Nummer der Eigenfrequenz oder Koordinate ( j = 1, 2, . . . , n), falls weiterer Index außer k ben¨otigt wird Z¨ahlindex f¨ur Koordinaten (k = 1, 2, . . . , n); Harmonische (k = 1, 2, . . . , K); Nummer der Komponente des Parametervektors x kinetisch Z¨ahlindex f¨ur eine Koordinate, wenn außer k weiterer Index ben¨otigt wird Last maximal minimal Motornormal Z¨ahlindex f¨ur Koordinaten (na < n) Z¨ahlindex f¨ur externe Koordinaten (ne < n) Z¨ahlindex f¨ur Koordinaten (n1 < n) Anfangs-, UrsprungsZ¨ahlindex f¨ur Ordnung der Harmonischen, falls weiterer Index außer k ben¨otigt wird; Ordnung einer h¨oheren Ableitung potentiell radial Reibreduziert Rotation Schwerpunkt

430

st t th T x, y, z zul ξ ,η,ζ

¨ Hauﬁg benutzte Formelzeichen

statisch tangential theoretisch Torsions-; DrehRichtungen raumfester Koordinaten zul¨assig Richtungen k¨orperfester Koordinaten

Exponenten und Hochzeichen ˆ ∗ ˙

˜ T , ( ),k

Dach – Amplitude Stern – Besonderheit, z. B. nach einem Reduktionsschritt Punkt – Ableitung nach der Zeit Strich – Ableitung nach der Bogenl¨ange s, nach der dimensionslosen Zeit τ = ω 0t oder nach dem Kurbelwinkel ϕ 0 = Ω t Tilde – abgewandelte Gr¨oße, N¨aherung Querstrich – dimensionslose Gr¨oße; ver¨andertes Argument transponiert Komma-, partielle Ableitung ∂( )/∂qk partielle Ableitung nach der Koordinate qk

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Sachverzeichnis

A Abfangen 353 –, phasengerechtes 353 abgesetzte Welle 179 ff. abgestufte Welle 184 Abklingkonstante 215, 248 Abklingkurve 214 Abkopplung 228 Ableitung, partielle 95 Abmessung, kinematische 373, 391 Abschalten 301 f. Absch¨atzung 85, 300 Absolutbewegung 379 Absolutgeschwindigkeit 111 Absolutkoordinate 35, 281 Absolutweg 251, 253 Abspannseil 112 Abstimmungsverh¨altnis 30, 243, 378 Abtrieb, elastischer 378 –, Spiel 34 Abtriebsbewegung 308, 379 Abtriebsglied 241 –, elastisches 33 –, spielbehaftetes 33 Abtriebsmoment 261 Abtriebswinkel 391 ¨ Ahnlichkeit, geometrische 37 –, mechanische 37 ¨ Ahnlichkeitskenngr¨ oße 36 f., 348 f. ¨ Ahnlichkeitskennzahl 29 ff., 127, 200, 367, 398, 400, 403 ¨ Ahnlichkeitsmechanik 29 Aktor 310, 353 Amplituden-Frequenzgang 269, 397, 406 f., 409 Amplitudenverh¨altnis 100, 152 analytische L¨osung 2, 27, 29, 50 Anfachung 60, 249, 357

Anfahrvorgang 288 Anfahrzeit 346 Anfangsbedingung 17, 72 f., 75 f., 82, 136, 294 Anforderung, kinematische 391 Angriffspunkt 322 Anhubgeschwindigkeit 80 Anhubvorgang 68 Anlauffunktion 339 Anlaufvorgang 211 Anlaufzeit 19, 342, 345, 347 Anpreßkraft 423 Anregbarkeit 56, 129, 159, 234 –, modale 19, 318, 321 Anregbarkeitsanalyse 229 Anregung 296, 397 Anregungsfaktor 323 –, modaler 320, 322 Anregungszeit 15, 127, 129 f., 323 –, relative 322 f. Ansatz 215 Anstoßen 299 Anstoßvorgang 301 ANSYS 7, 122 antimetrische Eigenform 276, 398 antimetrische Erregerkraft 316 Antrieb, gesteuerter 347 Antriebsaufgabe 309 Antriebsbewegung 18, 257 Antriebsdynamik 1 Antriebsenergie 323, 338 Antriebsglied, elastisches 246 Antriebskraft 294, 298, 343, 422 Antriebskraftverlauf 341 f., 344, 346 Antriebsleistung 308, 337, 339 –, minimale 338 Antriebsmechanismus 58

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Sachverzeichnis

Antriebsmoment 35, 79, 83 f., 126, 128, 308 f., 322, 337, 339, 375, 377, 405–408 –, kinetostatisches 261 –, Maximalwert 129 –, Spitzenwert 211 Antriebsmotor 209 Antriebsstrang 143, 221, 228 f., 289 –, Fahrzeug- 222, 225 –, Parameterwerte 223 Antriebssystem 7, 33, 68, 189 f., 234, 253, 348, 395 –, schwingungsf¨ahiges 336, 348 Antriebswelle 48 f., 82, 121, 257 –, elastische 247 Approximation 301 Arbeit, virtuelle 155 Arbeitssatz 28 ARLA -SIMUL 7, 143, 145, 222, 225 ff. asymptotische Methode 131 Asynchronmotor 48, 208 f., 219, 229 Aufprall 298 f., 301, 317 Aufprallgeschwindigkeit 300 Aufprallstelle 303 Aufstellort 309 Außenringschaden 191 Ausgleich, modaler 375 Ausgleichsbedingung 361, 374, 376 Ausgleichsgetriebe 375 f. Ausgleichsmasse 308, 372 Ausgleichsrechnung 150, 152, 374 Auslaufvorgang 337 Auslegerarm 124, 127, 130 Ausl¨oschen der Restschwingung 352 Ausschwingversuch 202 f., 213 f.

B Bagger 317 Bahnkurve 62, 64 Balken 264, 397 –, Euler-Bernoulli- 110, 112 ff. –, massebelegter 399 –, Rayleigh- 114 –, Timoshenko- 106, 108, 110, 114 Balkenmodell 86, 105 f., 124 – als Starrk¨orper 92 – als Torsionsfeder 92 –, diskretes 89 – mit Einzelfedern 93 – mit Einzelmassen 93 Balkentheorie 115 Bandstruktur 142

Barre 393 Baugruppe 20 Belastung, biharmonische 205 –, dynamische 323, 344 –, extreme 366 –, kurzzeitige 16 –, schwellende 232 Berechnung, numerische 359 Berechnungsmodell 8, 11 f., 14, 17 f., 33, 46, 52, 68, 75, 85, 233, 265, 411 – des Zweischeiben-Riemengetriebes 267 – einer Getriebewelle 121 – einer Schleifspindel 98 – einer Wickel- und Reibwalze 62 – eines Br¨uckenkrans 73, 103 – eines Schneckengetriebes 255 – eines Turmkrans 75 –, Verfeinerung 72 –, zweckm¨aßiges 215 Berechnungsvorschrift 67 Bernoulli-Hypothese 106 Beschleunigung 241 –, gemessene 242 f. –, kinematische 243, 246 –, maximale 277 –, niederfrequente Komponente 136 –, vibrodynamische 243, 246 Beschleunigungsverh¨altnis 237 Beschleunigungsverlauf, gemessener 243 –, kinematischer 243 Bestehorn-Sinoide 389 f. Betonverdichter 404 Betriebsdrehzahl, zul¨assige 384 Betriebsdrehzahlbereich 394, 396 Betriebspunkt 200 Betriebsschwingung 375 Betriebszustand, stabiler 416, 419 Bewegung, chaotische 16, 22 –, gemittelte 136 –, instation¨are 339 –, langsame 132, 137, 139 –, stick-slip- 134 –, synchrone 414 Bewegungsablauf, optimaler 332 Bewegungsgesetz 14, 332, 336 –, optimales 332 Bewegungsgleichung 25, 46, 84, 105, 246, 256 f., 293, 330, 407 –, Mittelung 414 Bewertungskriterium 391 Bezugsgr¨oße 30, 117

Sachverzeichnis

Bezugssystem, raumfestes 14 –, rotierendes 14 Biegelinie 290 –, dynamische 115 Biegemoment 75, 77, 293 Biegemomentverlauf 295 Biegeschwinger 86, 113, 117 f., 268, 340 Biegeschwingung 55, 104, 113, 123, 127, 290 Biegeschwingungsform 122 Biegesteiﬁgkeit 88, 107, 125, 264, 403 – einer S¨aule 291 biharmonische Belastung 205 biharmonische Erregung 204 ff. Bildwelle 162, 176 Blindleistung 337, 339 Bogenkoordinate 106, 111 Bogenoffsetdruckmaschine 233 Brechen 411 Brecher 310, 407 Bremsen 368 Bremskraft 294, 302 f. Bremsstufe 348 Bremsung, mehrstuﬁge 348 Bremsvorgang 72, 211, 288, 302 Br¨uckenkran 67, 101 f., 298 –, Berechnungsmodell 73 –, Zweimassenmodell 73 Buchschneidemaschine 58 f., 61 B UCKINGHAM, Gesetz von 29

C Campbell-Diagramm 227, 396 f. C AUCHY 422 chaotische Bewegung 16, 22 Choi-Williams-Verteilung 61 Container 72 CVT-Getriebe 262, 360 CVT-Kette 316, 358

D D¨ampferkonstante 52, 215 D¨ampfung 187, 211, 215, 270 –, komplexe 217 –, relative 213 ff., 217 –, viskose 137, 213 D¨ampfungsansatz 212 D¨ampfungsarbeit 212 D¨ampfungsdekrement, logarithmisches 213 f.

451

D¨ampfungsgrad 30, 52, 187 f., 213 ff., 234, 244, 249, 354, 386 D¨ampfungskennwert 211, 215 D¨ampfungskonstante 187, 195, 215, 259 D¨ampfungskraft 212 f. D¨ampfungsparameter 214, 217 Deduktion 94 deduktive Modellbildung 94, 105 Dehnsteiﬁgkeit 107 Des-achsierung 44 Dieselmotor 187 Differentialgleichung, Hillsche 247 –, nichtlineare 294, 371 –, partielle 96, 107 f., 110, 127 –, steife 22 f. Dimensionierung 83 dimensionslose Kenngr¨oße 28, 30, 38, 47, 50, 82 dimensionslose Kennzahl 366 Dirac-Stoß 354, 358 diskretes Balkenmodell 89 Diskretisierung 88, 91 Doppelkurbel 375 Drallsatz 28, 66, 299 Drehgelenk 42 Drehschwingbewegung 377 Drehschwingung 400, 417 f. Drehsteiﬁgkeit 102, 107, 122, 184, 235 Drehstuhl 250 Drehzahl, kritische 243, 309 –, Quadrat 19, 27, 237, 326 Drehzahl-Drehmoment-Kennlinie 210 Drehzahlerh¨ohung 308 dreistuﬁges Getriebe 327 DRESP 7, 201, 208 Druckluft 422 Druckmaschine 233 ff. Druckwerk 234 Duhamel-Integral 15, 320 Durchbiegung 91 f. Durchhang 275 ff. dynamisch stabil 249 dynamische Belastung 72, 323, 344 dynamische Biegelinie 115 dynamische Instabilit¨at 248 f., 258 dynamische Kondensation 163 dynamische Kopplung 416, 420 dynamische Motorkennlinie 71 dynamische Steiﬁgkeit 200 dynamischer Beiwert 67 f., 71 dynamischer Effekt 305

452

Sachverzeichnis

dynamisches Kriterium 391 –, Erregerharmonische 392 dynamisches Ph¨anomen 305 dynamisches Verhalten 311

E Echtzeitberechnung 93 Effekt, nichtlinearer 206 f. Eigenbewegung 336–339 Eigenform 143, 147, 160, 168, 224, 235, 315, 403 –, antimetrische 276, 398 –, berechnete 148 –, gemessene 148 –, niedere 86 –, symmetrische 275 f., 398 Eigenformapproximation 159 f., 164, 289 Eigenfrequenz 75, 97, 114, 125, 144, 147, 190, 253, 277, 315 f., 396, 414 – beim Fahren 14, 294 –, berechnete 147 – des Berechnungsmodells 21 –, extreme 329 –, gemessene 147, 151 –, h¨ochste 159 –, h¨ohere 171 – im Stillstand 14 –, maximale 165, 329 –, niedere 93, 104, 155 –, stellungsabh¨angige 249 –, tiefe 86 –, tiefste 122 f. –, untere 166 Eigenfrequenz¨anderung 148 Eigenfrequenzbereich 19 Eigenfrequenzspektrum 165, 199, 330 Eigengewicht 275 Eigenkreisfrequenz 147, 253 Eigenschwingform, siehe Eigenform, 115 f., 147, 235, 284, 395 Eigenschwingung 144 Eigenvektor 142 Eigenwert 120, 162, 276, 403 Eigenwertproblem 147, 151, 155, 159 Einbauwinkel 270, 272 Eindringtiefe 300 f. Einﬂußzahl 75, 89, 98, 126 Eingabedaten 56, 241 eingepr¨agte Kraftgr¨oße 166 Einspannung 27, 89 elastische Kette 276

elastische Kopplung 63 elastische Kupplung 234 f., 315 elastische Saite 276 elastische St¨utze 398, 401 elastischer Abtrieb 378 elastisches Abtriebsglied 33 elastisches Getriebeglied 59 Elastizit¨at 34 Elastomerkupplung 200 f. elektrische Welle 416 elektromechanische Schwingung 208 Element, Hexaeder- 123 –, Tetraeder- 123 Elemente-Anzahl 122 Empﬁndlichkeitsanalyse 95 Endschalter 301 Energie, kinetische 86, 143, 228, 289, 292, 303, 308, 327 –, mechanische 319 f. –, potentielle 87, 91, 144, 188, 291, 303, 308 Energie¨aquivalenz 155 Energiequelle 13, 17, 26, 56, 65, 69 Energiesatz 28 Energieverlust, relativer 215 Entlastung 309 Entstehungsursache 14 Erdbeschleunigung 236 Erfahrungsregel 88, 122, 159, 165, 310 f., 313, 315 Erfahrungswert 188 Ergebniskontrolle 26 Erhaltungssatz der Mechanik 28 Erregerarbeit, modale 320 f. Erregerelement 175 Erregerfrequenz 175, 191, 198 f., 205, 263, 274, 296, 316 –, h¨ochste 18 Erregerfrequenzbereich 86, 153, 162 f. Erregerfunktion 33, 290 –, zeitabh¨angige 198 Erregerharmonische 374 Erregerkraft 237, 319 –, antimetrische 316 –, modale 320, 375 –, symmetrische 315 Erregerkraftvektor 81, 165 –, modaler 322 –, reduzierter 156 Erregermoment 174, 232, 349 Erregerspektrum 237, 243, 380, 391

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Erregung 57, 173 –, biharmonische 204, 206 –, kinematische 26, 48, 63, 86, 268, 272 –, Zwangs- 268 erzwungene Resonanz 274 erzwungene Schwingung 419 Etappe 73 f., 76, 135 f. Euler-Bernoulli-Balken 110, 112 ff. experimentelle Modalanalyse 146, 239 experimentelle Untersuchung 200, 204, 263 f., 300 exzentrische Riemenscheibe 269 Exzentrizit¨at 268 –, geometrische 263

F Faden 105, 111 Fadenballon 112 Fadenbewegung 111 Fahrbahn 289 f., 294, 319 Fahrbahnunebenheit 288, 290, 294 f. Fahrbewegung 101, 104, 290, 292, 294, 297 Fahrgeschwindigkeit 296 Fahrwerk 72, 288, 298 Fahrzeugantrieb 319 Fahrzeug-Antriebsstrang 222, 225 Fahrzeugmotor 263 Feder, nichtlineare 140 Federkennlinie 34 Federkonstante 196 Federmatrix 268 Federparameter 107 Federsteiﬁgkeit 102, 193 FEM 184 FE-Modell 12, 86, 93, 121, 123, 153 – einer Spindeleinheit 100 FEM-Programm 122, 127, 238 Fertigungsgenauigkeit 379 Fertigungstoleranz 140 FFT-Analyse 287 ﬁktives Tr¨agheitsmoment 371 Fl¨achentr¨agheitsmoment 119, 179 f. Flankenspiel 259 Flankenwechsel 255, 261 Fliehkraft 45, 125 f. Flugmotor 186 Formfunktion 160, 290 f. Formleichtbau 316 Formoptimierung 309

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Fourierkoefﬁzient 197, 274, 374, 379 f., 388, 391 f. Fourierreihe 51, 274, 374 Fr¨aser 316, 360 Freiheitsgrad, Anzahl 19 Freiheitsgradreduktion 24, 44, 96, 153, 156 f., 159 ff., 164 –, Methoden 153 Freilauf 250 Frequenz, drehzahlabh¨angige 239 –, drehzahlunabh¨angige 239 Frequenz¨anderung 141 Frequenzdeterminante 294 Frequenzgleichung 115, 117 f., 120 –, transzendente 120, 276, 331, 399 Fuge 194 F¨ugestelle, geklebte 195 –, verschraubte 195 F¨uhrungsbahn 298 f. F¨uhrungspunkt 271–275 Fundament 41, 48, 51 Fundamentbewegung 47, 53 f., 368 Fundamentblock 40 Fundamentierung 45 Fundamentschwingung 41, 50, 53

G Gegenbewegung 314 Gegenlauf 63 gekoppeltes System 167 Gelenkkraft 42 Gelenkkraftrichtung 42 Gelenkspiel 238 –, radiales 42 Geltungsbereich 10 gemittelte Bewegung 136 Genauigkeit 10 Genauigkeitsverlust 136 geneigte Sinoide 383 ¨ geometrische Ahnlichkeit 37 geometrische Exzentrizit¨at 263 geometrische Nichtlinearit¨at 53 Gesamtsystem 165 ff., 169, 264 geschichtliche Entwicklung 56 Geschwindigkeit, kritische 270 Gesetz von Buckingham 29 Gestell 373 Gestellbewegung 14 Gestelleigenfrequenz 243 Gestellkraft 309, 374 Gestellschwingung 372, 375

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gesteuerter Antrieb 347 Getriebe 79 –, dreistuﬁges 327 Getriebeger¨ausch 277 Getriebeglied, elastisches 59 Getriebeschwingung 84 Getriebewelle 102, 121, 123 Gewichtung 147 Gleichgewicht 107 Gleichgewichtsbedingung 109 Gleichlauf 63, 65 Gleichung, transzendente 346 Gleichungssystem, u¨ berbestimmtes 148 Gleiten 252 Gleitf¨uhrung 195 Gleitgeschwindigkeit 251 Gleitlager 189 Gleitreibungskraft 135 Gleitreibungszahl 134 Gliedl¨ange 316 graﬁsches Verfahren 351 Greifer 72, 130 Grenzwert 400–403 Grundfrequenz 19, 96, 99, 101, 357, 393 Grundschwingungsform 97–100 Gummifeder 52, 201, 212 Gummikupplung 206 Gurtf¨orderer 208 G UYAN 155 f., 162

H Haften 252 Haftreibungszahl 135 Halbraum 89 Hammer 312, 426 H¨angenbleiben, eines Rotors 370 Harmonische 324 –, dritte 206, 375 –, erste 375 –, h¨ohere 263 –, k-te 374 –, zweite 375 harmonische Parametererregung 268 Haupttr¨agheitsachse, zentrale 414, 416 Haupttr¨agheitsmoment 419 Hauptwelle 238, 337, 394 f., 397 Haushaltn¨ahmaschine 237 Hexaeder-Element 123 Hillsche Differentialgleichung 247 hochfrequente Komponente 132

Hochlauf 220, 225, 232, 285 f., 296, 366, 368 f., 371, 380 – eines Rotors 370, 372 Hochlaufsteuerung 220 Hochlaufzeit 211, 231, 296 h¨ohere Harmonische 263 Horizontalbeschleunigung 272 Horizontalkraft 298 HS-Bewegungsgesetz 243 HS-Lagefunktion 381 HS-Proﬁl 378, 381, 383 f., 388 ff. –, Synthese 381 Hubgeschwindigkeit 68–71, 79, 303 Hubmotor 303 Hubseil 73 Hubwagen 289, 295 Hubwerk 72, 76, 79, 257, 304 Hubzapfen 186 Hypothese 55 f., 58, 60, 62 –, Bernoulli- 106 Hysteresekurve 202, 204 f., 213 ff., 217 –, gemessene 204

I Identiﬁkation 148, 150 f. – der Parameterwerte 150 Impuls 421 Impulsfolge 353 Impulssatz 16, 28 induktive Strategie 65 Industrien¨ahmaschine 237 Innenringschaden 191 innere Kraftgr¨oße 340 innere Resonanz 277 Instabilit¨at 249 f., 253, 258 –, dynamische 248 f., 258 Instabilit¨atsgebiet 199, 248, 258, 261 f., 285 Instabilit¨atsgrenze 249 instation¨are Bewegung 67, 72, 111, 339 Integralkriterium 414 f., 419 Integration, numerische 133, 282 Intensit¨at, der dynamischen Belastung 273 Interpretation 41, 53, 63, 83, 97, 122 ITI -SIM 7, 219, 279, 283 f.

K Kabel 111, 276 K¨aﬁgschaden 191 Keilschubgetriebe 251 f.

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Kenngr¨oße 79 –, dimensionslose 28, 30, 38, 47, 50, 82 Kennlinie 177 Kennwert 394 Kennzahl, dimensionslose 366 Kette 105, 111, 271 ff., 360 –, elastische 276 –, starre 276 Kettengeschwindigkeit 272 Kettengetriebe 262, 270 f., 275 ff. Kettenglied 270, 275 f. Kettenkennzahl 276 Kettenlasche 360 Kettenlinie 271, 275, 277 Kettenrad 270–273 –, Einbauwinkel 270 Kettenschwingung 277 Kettentrum 271 ff., 275 Kettenwirkmaschine 381, 393, 395, 403 kinematische Abmessung 373, 391 f. kinematische Anforderung 391 kinematische Beschleunigung 243, 246 kinematische Erregung 26, 48, 63, 69, 86, 268, 272 kinematische Kopplung 405 kinematische Periode 50 kinematische Periodendauer 339 kinematischer Beschleunigungsverlauf 243 kinematischer Zyklus 380 kinematisches Schema 59 kinetische Energie 86, 143, 228, 289, 292, 303, 308, 327 kinetostatische Kraft 19, 314 kinetostatische Kraftgr¨oße 239 kinetostatische Massenkraft 237, 341 kinetostatisches Antriebsmoment 261 Kippmoment 208, 296 Kippschlupf 208, 296 Kippwinkel 290 KISSsoft 279 Knick 129, 243, 273, 363 Knickstab 113 Kolben 298 Kolbenbewegung 44 Kolbenmaschine 300 Kolbensekund¨arbewegung 43 f., 239, 298 Kollision 337, 382 Kombinationsresonanz 16, 199, 240, 283 Kompensation, der Massenkr¨afte 412 Kompensationsbedingung 353 Kompensator 326 f., 338

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komplexe D¨ampfung 217 Kompromißl¨osung 150 Kondensation 155 f. –, dynamische 163 –, statische 156 Konstruieren 8 konstruktive L¨osung 317 Kontakt 264, 270, 300 Kontaktﬂ¨ache, Reibung an 134 Kontaktschicht 251, 253 Kontaktsteiﬁgkeit 195, 276 Kontaktstelle 14, 62, 121, 189, 194, 212, 251, 256, 298, 301 –, Reibung an 134 Kontinuum 86, 88, 96, 105 f., 120, 126, 128, 160 –, eindimensionales 111 Kontinuum-Balken 90, 116, 397 Kontinuum-Modell 93, 119 Kontrolle 29 f., 37, 152 Konturform 325 Koordinate, externe 155 –, interne 155 –, master- 162 –, modale 159, 165, 319 Koordinatenvektor 81 Koppelfeder 168 Koppelgetriebe, mehrgliedriges 391, 396 –, sechsgliedriges 372 f., 377 –, Synthese 392 Koppelrastgetriebe 391 f. –, sechsgliedriges 391 Koppelstruktur 166 Kopplung 22, 121, 168 –, dynamische 416, 420 –, elastische 63 –, kinematische 405 Kopplungsmatrix 169 K¨orperschall 119, 280 Korrelation 149 Kraft 70 –, kinetostatische 19, 314 –, modale 319 –, vibrodynamische 13, 19 Kraftangriffspunkt 315 Kraftfahrzeugmotor 187 Kraftgr¨oße, eingepr¨agte 166 –, innere 340 –, kinetostatische 239 Kraftrichtungswechsel 313 Kraftrichtungswinkel 42 Kraftspitze 38 f.

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Kraftsprung 343, 355 Kraftverlauf 79 –, optimaler 345 f. Kragtr¨ager 115, 119 Kran 67, 277, 298 –, Berechnungsvorschriften 67 –, Drehen 67 –, Fahren 67 –, Heben 67, 71 – mit Lastpendel 340 –, Normen 67 –, Senken 67, 71 Kranbelastung 79 Kranbr¨ucke 73 f., 78, 80 Krantragwerk 317 Kreisbahn 313 Kreisel 18, 27, 317 Kreiselger¨at 55 Kreiselmoment 312 Kreiselpumpe 48 Kreiseltechnik 55 Kreiselverdichter 187 Kreiselwirkung 27, 63–66, 108, 412 Kreissegment 325 Kriterium 19 –, dynamisches 391 f. –, grobes 18 kritische Drehzahl 243, 309 kritische Geschwindigkeit 270 Kr¨ummung 110 Kugellager 96 f., 190, 193 Kupplung 79, 121, 169, 200, 202, 205, 220, 228 f., 231 f. –, elastische 177, 234 f., 315 –, Elastomer- 200 f. –, Gummi- 206 –, hydrodynamische 200 –, nachgiebige 199 –, Scheiben- 201, 203 ff. –, starre 236 –, Wellen- 229 Kupplungsberechnung 201 Kupplungsmodell 201, 207 –, nichtlineares 206 Kupplungsmoment 206, 220 Kupplungsvorgang 341 Kurbelgelenk 42 Kurbelpresse 381 Kurbelverh¨altnis 308 Kurbelwelle 184 Kurbelwinkel 59 Kurvengetriebe 378

Kurvenproﬁl, HS- 243 Kurzschlußl¨aufer 209 kurzzeitige Belastung 16

L Lagefunktion 7, 35, 84, 247 f., 250, 327, 377 f., 385 – erster Ordnung 35 –, HS- 381 – p-ter Ordnung 248, 379 – zweiter Ordnung 35 Lagerabstand 398 –, relativer 400 Lagerbedingung 89, 93 Lagerbolzen 238 Lagerfeder 372 Lagerfederkonstante 89, 400 Lagerkraft 45, 310 Lagernachgiebigkeit 372 Lagerschaden 190 Lagerschale 42 Lagersteiﬁgkeit 89 f., 193 –, elektrorheologisch gesteuerte 371 –, radiale 193 Lagrange-Funktion 414 Lagrangesche Gleichung, 2. Art 293 L¨ange, reduzierte 184 langsame Bewegung 132, 137, 139 L¨angskraft 127, 275, 340, 342 L¨angsschwinger 329 f. L¨angsschwingung 93, 112, 119 f. L¨angssteiﬁgkeit 276 L¨angswelle 234 ff. L¨arm 280, 359, 411 L¨armentwicklung 298 L¨armminderung 277 Laschenl¨ange 360, 364 Lastangriffspunkt 76 Lastpendel 84, 344, 353 Lastwechselzahl 200 Laufgrad 18 Laufkatze 73 Leertrum 276 Leichtmetall 316 Leistung 335 Leistungsausgleich 308, 375 lineare Optimierung 150, 374 lineares System 344 Linearisierung 48 L JAPUNOV 21 logarithmisches D¨ampfungsdekrement 213 f.

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L¨osung, analytische 2, 27, 29, 50 L¨ufterantrieb 219 f., 229 f.

M MAC-Matrix 147, 149, 172 Maschine, starre 237 Maschinenaufstellung 309 Masse, minimale 324, 329 –, modale 140, 142, 144, 160, 319 –, reduzierte 289, 292 –, verallgemeinerte 292 massebelegter Balken 399 Massebelegung 275 Massenausgleich 308, 372, 411 –, vollst¨andiger 374 Massenkraft 12, 310 –, kinetostatische 13, 237, 341 –, Kompensation 412 –, Maximalwert 237 Massenmatrix 140, 147, 163, 267, 321 Masseparameter 66, 107, 373 master-degree 156 master-Koordinate 162 Materiald¨ampfung 207 Materialkennwert 263 Materialparameter 31 MATLAB 22 Matrizenelement 81 Matrizenschreibweise 81 Maximalbeschleunigung 236 Maximaldrehzahl 18 maximale Beschleunigung 277 maximale Eigenfrequenz 329 Maximalkraft 302 f. –, minimale 332, 334 Maximalleistung, minimale 334 Maximalwert 70, 361 Maximumprinzip 329, 333 mechanisch a¨ hnliches System 38 ¨ mechanische Ahnlichkeit 37 mechanische Energie 319 f. Mechanismenschwingung 238 Mechanismus 58, 236 f., 240, 326, 336, 412 –, Typauswahl 376 –, ungleichm¨aßig u¨ bersetzender 25, 236 Mehrfachstoß 240, 246 mehrgliedriges Koppelgetriebe 391, 396 Mehrk¨orpersystem 84, 270, 277, 412 mehrstuﬁge Bremsung 348 Meßergebnis 123

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Meßgenauigkeit 152 Meßger¨at 130 Meßgr¨oße 148 Meßstrategie 12 Methode, asymptotische 131 minimale Masse 324, 329 minimale Maximalkraft 332, 334 minimale Maximalleistung 334 minimales Tr¨agheitsmoment 324 Minimalmodell 33, 43, 55, 65, 68 f., 85 f., 93, 127 f., 130, 139, 241 – einer Spindel 101 – eines Antriebssystems 348 – eines Balkens 88 – eines Br¨uckenkrans 105 – f¨ur ein schwingungsf¨ahiges Antriebssystem 340 – f¨ur Torsionsst¨abe 94 – f¨ur Zug-Druck-St¨abe 94 – von Balken 93 Mittelung 132, 415 – der Bewegungsgleichung 414 Mittelungsmethode 21, 131, 135 f. Mittelwert 132 MKS 12, 84, 421 MKS-Programm 93, 238 Modalanalyse 7, 57 –, experimentelle 146, 239 –, rechnerische 63 modale Anregbarkeit 19, 318, 321 modale Erregerarbeit 320 f. modale Erregerkraft 320, 375 modale Gr¨oße 87 modale Koordinate 159, 165, 319 modale Kraft 319 modale Masse 140, 142, 144, 160, 319 modale Reduktion 159 f. modale Steiﬁgkeit 140, 144, 160, 319 modale Synthese 164, 169 modaler Anregungsfaktor 320, 322 modaler Ausgleich 375 modaler Erregerkraftvektor 322 modaler Parameter 152 modaler Schwinger 319, 341, 354 Modalmatrix 154, 165 f., 171, 319 –, reduzierte 154 Modaltransformation 165 Mode 159 f. Modell, ad¨aquates 96 –, nichtlineares 207 Modellabgleich 146 Modellanpassung 139

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Modellberechnung 66 Modellbildung 6, 9 ff., 15, 21 f., 56, 87 –, deduktive 94, 105 –, induktive 55 Modellbildungsstrategie 101 Modellelement 122 Modellerweiterung 55, 58, 79 Modellgleichung 17, 26 f., 31, 95 Modellreduktion 124, 131, 153 Modellstruktur 284 Modellstufe 17–20, 24 ff., 45 f., 48, 68, 107 Modellzerlegung 85 Moment, statisches 87, 374 Momentanpol 312 Momentenamplitude 350, 407 Momentensprung 50, 348 f., 353 Momentenverlauf 93 Montagevariante 391 Motor 220, 265 Motordrehzahl 47 Motorkennlinie 50, 209, 211, 220, 296, 366 –, dynamische 71, 208 –, lineare 33 –, statische 220 Motormodell 209 Motormoment 80, 297 Motorwelle 229 M¨uhle 310

N Nachlauf 302 f. Nadelbarre 121, 396 f. N¨aherung 87, 142, 380 N¨aherungsansatz 268, 301 N¨aherungsformel 38, 90, 98, 371 N¨aherungsl¨osung 50, 53 N¨ahwirkmaschine 393 Nebenlinie 199 Nebenresonanz 247 nichtlineare Differentialgleichung 294, 371 nichtlineare Feder 140 nichtlineare Schwingung 318 nichtlinearer Effekt 206 f., 318 nichtlinearer Schwinger 264 nichtlinearer Term 112 nichtlineares Bauteilverhalten 213 nichtlineares Materialverhalten 213 nichtlineares Optimierungsproblem 373

nichtlineares Schwingungsmodell 49 nichtlineares Schwingungssystem 16, 318 nichtlineares Verhalten 18 Nichtlinearit¨at 28, 112, 192, 266 –, geometrische 53 –, kubische 268 Norm, siehe VDI-Richtlinie, 67, 421 Normalkraft 251, 253 Normierung 150, 166, 320 numerische Berechnung 359 numerische Integration 133, 282 numerische Simulation 60

O optimaler Bewegungsablauf 332 optimaler Kraftverlauf 345 f. Optimierung 30, 93, 99, 146, 329 –, lineare 150, 374 Optimierungskriterium 332 f., 335 Optimierungsproblem, nichtlineares 373 Optimierungsverfahren 153

P Parameter 20 –, modaler 152 –, optimaler 13 –, Werkstoff- 121 Parameter¨anderung 140 ff., 144 f., 148 –, relative 145, 148 Parameterbereich 405 Parameterdifferenz 148 Parametereinﬂuß 31, 79, 99 parametererregte Schwingung 58, 113, 193, 195, 238, 268, 274 parametererregter Schwinger 21, 199 Parametererregung 60, 249, 263, 268, 280, 283 –, harmonische 268 –, periodische 199 Parameterhauptresonanz 247, 249, 263, 268 f., 275 Parameterresonanz 199, 248, 270, 274 Parameterschwankung 140 Parametervektor 8, 12, 38, 46, 80, 83, 116, 139 ff., 144, 147 f., 152, 259, 288 –, mechanisch a¨ hnlicher 28 Parameterwert 11, 27, 38, 56, 58, 78, 81, 99, 104, 122, 144, 153, 178, 200, 202, 212, 223 – einer Schleifspindel 100 – eines Br¨uckenkrans 101

Sachverzeichnis

–, elastostatischer 57 –, Identiﬁkation 150 –, massegeometrischer 57 partielle Ableitung 95 partielle Differentialgleichung 96, 107 f., 110, 127 Partitionierung 155 Paßfeder 183 Paßgenauigkeit 233 Patent 304 f., 312, 338, 411, 421, 423, 425 Pendel 27, 275 –, selbstsynchronisiertes 372 Pendelschwingung 83 ff. Periode, kinematische 50 Periodendauer 129 –, kinematische, siehe Zyklusdauer, 339 Phasenwinkel 273, 277, 379, 413 Pilgerschrittwalzwerk 338 PKW 255, 305, 311 PKW-Antrieb 360 PKW-Getriebe 286 Planetengetriebe 279, 281, 283, 286 Planetenrad 286 Plausibilit¨atskontrolle 10 Pleuelstange 113 polares Tr¨agheitsmoment 264 Polygoneffekt 238, 242, 273 f., 277 – zweiter Art 278 Positionierbewegung 134, 277, 332, 334 f., 345, 347 potentielle Energie 87, 91, 144, 188, 291, 303, 308 Potenzprodukt 95 Prellbewegung 311 Presse 40, 237, 300 Prim¨arbewegung 13, 18, 35, 47 f., 85, 305, 341, 414 f. –, kinematische 35 Proﬁlform 331 – von St¨aben 331 Proﬁlverschiebung 198 Programmsystem 7 Propeller 316 Pr¨ufmaschine 404 Pseudo-Inverse 148, 150 Pumpenantrieb 49 Pumpenwelle 51

Q Quadrat der Drehzahl 237, 326 Querkraftverlauf 93, 127

Querschnittskenngr¨oße 107 Querschwingung 108, 112 ff., 269, 276

R Radabstand 290 R¨aderkoppelgetriebe 377 radiale Lagersteiﬁgkeit 193 radiale Steiﬁgkeit 192 radiales Gelenkspiel 42 Radial-Rillenkugellager 192 Radialverschiebung 194 Radial-Zylinderrollenlager 192 Randbedingung 17, 89, 91, 127 Rast 243 Rastbewegung 391 Rastgetriebe 248 Rast-Umkehr-Bewegung 391, 394 Rattern 255, 258, 261 Ratterschwingung 259 ff. raumfestes Bezugssystem 14 Rayleigh-Balken 114 Rayleigh-Quotient 87, 330 Rechenaufwand 10, 136 Rechenergebnis 60, 79, 123 Rechengenauigkeit 123 Rechengr¨oße 148 Rechteckstoß 358 Reduktion 153 f., 156, 158 f. –, modale 159 f. – nach G UYAN 162 f. – nach R IVIN 163 ¨ 163 – nach R OHRLE Reduktionsmethode 160, 163, 289 –, Vergleich 160 Reduktionsschritt 157 ff., 161 f. Reduktionsverfahren 158 reduzierte L¨ange 184 reduzierte Masse 289, 292 reduzierter Erregerkraftvektor 156 reduziertes System 154, 171 reduziertes Tr¨agheitsmoment 60 f., 84, 247–250, 326–329, 371 Regalbedienger¨at 288 f., 297 Regel 263, 310 f., 313, 315 Regelung 7, 124 Regler 86, 124, 233, 310 Reibkraft 66, 135, 137, 139 Reibung 132, 240 – an Kontaktstellen 134 –, trockene 137 Reibungsschwingung 134 Reibungswinkel 258

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Reibungszahl 133 f., 137, 252, 259 –, effektive 137 Reibwalze 61 Reifen 319 Relativbewegung 213, 313 f., 379 relative Anregungszeit 322 f. relative D¨ampfung 213 ff., 217 relativer Energieverlust 215 Relativgeschwindigkeit 64 f., 135 Relativkoordinate 36 Relativweg 36, 126, 128, 234 f., 297 Relaxation 202 Relaxationszeit 266 Resonanz 194, 199, 359 –, erzwungene 274 –, innere 277 –, Kombinations- 199, 240 – k-ter Ordnung 51, 199, 238, 240, 379 f., 387 –, Parameter- 199 –, subharmonische 53 –, superharmonische 53 Resonanzamplitude 58, 217, 380, 387 Resonanzbedingung 268, 393 Resonanzbereich 380 Resonanzdurchlauf 48, 366, 368, 371 Resonanzfrequenz 296, 308 Resonanzgebiet 231 f., 369, 372, 406 Resonanzgefahr 21, 357 Resonanzkurve 214, 372 Resonanzn¨ahe 380 Resonanzordnung 380 Resonanzschwingsieb 407 f. Resonanzspitze 140, 226, 318, 368, 371, 390 Resonanzstelle 55, 58, 232, 285, 296, 359, 366, 368 f., 380 Restmoment 349, 351 Restschwingung 129, 342–345, 349, 352 f. Richtlinie 184, 238 Riemen 105, 111 ff., 266 ff., 276 Riemengeschwindigkeit 264, 269 f. Riemengetriebe 262–266 –, Zweischeiben- 267 Riemenkraft 278 Riemenparameter 266 Riemenquerschnitt 266 Riemenscheibe 96 f., 113, 263 –, exzentrische 269 Riemenschwingung 262 f., 269 f. Riemenspannkraft 264 Riementeilung 278

Riemenumlauffrequenz 263 Riemenzahn 278 f. Ringspinnen 112 Ritzsches Verfahren 160 R IVIN 157 Roboterarm 130 Robustheit 420 Rollenlager 190, 193 Rotationsmatrix 106 Rotationstr¨agheit 114 rotierendes Bezugssystem 14 Rotor 62, 65 f., 312, 366 f., 370, 410, 413 –, gekoppelter starrer 63 –, scheibenf¨ormiger 45 –, unwuchtiger 46 Rotorbewegung 47 Rotorparameter 366 Rotorsystem 64 Rotorunwucht 45, 49 Routh-Hurwitz-Kriterium 257 Ruck 238 R¨uckwirkung 17, 47, 84, 368 Rundlaufabweichung 278 Runge-Kutta-Verfahren 22, 126 Rutschkupplung 177 R¨uttelmoment 420 R¨uttelrichtmoment 47 R¨utteltisch 404 R¨uttelverdichter 404, 416 R¨uttler 310

S Saite 113 f., 265, 275 f. Schadensart 196 Schadensfall 48, 68 Schallgeschwindigkeit 119 Schaltfolge 348 Schaltzeit 351, 353 Scheibenkupplung 201–205 Schiene 290 Schienenunebenheit 296 Schiffsdieselmotor 237 Schiffsmotor 186 Schiffsschraube 187, 319 Schlaffseil 303 Schlagbolzen 423–426 Schlagenergie 426 Schlaghammer 422 f., 425 Schlagwerkzeug 424 Schleifscheibe 97 Schleifspindel 96 ff. –, Parameterwerte 100

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Schlitten 298 Schlupf 64, 66, 263 f., 296, 319 Schmierﬁlm 44 Schnecke 255 Schneckengetriebe 254 f., 257, 259 f. –, Berechnungsmodell 255 –, Instabilit¨at 258 –, selbsthemmendes 254 Schneckenrad 255 ff., 261 Schneidemaschine 237 Schneidkraft 40 Schneidvorgang 40 f., 58 Schnittkraft 107 Schnittmoment 107 Schnittschlag 58 Schr¨aglauf 277 Schr¨agverzahnung 196 Schraubenfeder 108 f. Schraubenlinie 109 Schrittgetriebe 242, 375, 385 Schubkurbelgetriebe 31 f., 34, 40, 42, 187, 308, 376, 404 f. Schubschwingung 400, 417 f. Schubsteiﬁgkeit 107 Schubverformung 114 f. Schubverteilungszahl 108 Schwellenabstand 289 f. schwellende Belastung 232 Schwenkbewegung 124, 126 Schwenkwinkel 124, 127 Schwerkrafteinﬂuß 53 Schwerpunkt 425 Schwerpunktachse 298 Schwingantrieb 309, 405 Schwingbeiwert 71 Schwinger, modaler 319, 341, 354 –, nichtlinearer 264 –, parametererregter 21, 199 –, selbsterregter 15, 21 –, unwuchterregter 366 Schwingerkette 143, 167 f. Schwingf¨orderer 134, 393, 404, 411, 416 Schwingm¨uhle 404 Schwingsieb 310, 410 Schwingung, Anfachung 357 –, Biege- 113, 123 –, Dreh- 400, 417 f. –, elektromechanische 208 –, erzwungene 419 –, L¨angs- 112, 119 f. –, nichtlineare 318

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–, parametererregte 58, 113, 193, 195, 238, 268, 274 –, Quer- 112 f. –, Ratter- 259 ff. –, Riemen- 263 –, Schub- 400, 417 f. –, selbsterregte 48, 61, 65, 132, 255 –, station¨are erzwungene 416 –, st¨orende 378 –, Torsions- 119 f., 123, 274 –, transversale 275 –, Ursachen 17 Schwingungsamplitude 269 f. Schwingungsanregung 236 Schwingungsdiagnose 199 Schwingungserreger 370, 405, 412, 418 –, Ultraschall- 331 Schwingungserregung 205, 273 f., 288, 375, 411, 416 Schwingungsform, berechnete 172 –, gemessene 172 Schwingungsisolator 53 Schwingungsisolierung 45, 309, 421 Schwingungsknoten 97, 160, 164, 234 ff., 317, 323, 399 Schwingungsmessung 63 Schwingungsmodell 68 –, nichtlineares 49 Schwingungssystem, nichtlineares 16, 318 –, ungefesseltes 162 Schwingungsursache 238 f., 241, 250, 270 – von Mechanismen 239 f. Schwingungsverhalten 194, 247, 322 Schwingungszustand 310 Schwingwinkel 377 Schwungrad 223, 338 sechsgliedriges Koppelgetriebe 372 f., 377 sechsgliedriges Koppelrastgetriebe 391 Seil 105 Seilbewegung 69 Seilkraft 68 ff., 73 f., 76, 78 f., 304 –, dynamische 71 –, Verlauf 70 Seiltrommel 79 Seitenbandstruktur 199, 240 Sekund¨arbewegung 13, 36, 43, 47, 298, 305, 323, 342 selbsterregte Schwingung 48, 61, 65, 255 selbsterregter Schwinger 15, 21 selbsterregtes System 14, 17 Selbsterregung 63, 65 selbsthemmendes Getriebe 254

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Selbsthemmung 250 Selbstsynchronisation 410–413, 416 Senkbewegung 72, 255, 258 Sensitivit¨at 140, 346, 401, 403, 406, 420 – der Stabilit¨at 420 Sensitivit¨atsanalyse 79, 95, 117, 139, 228, 374 Sensitivit¨atskoefﬁzient 141, 143 f., 222, 224, 228, 316 Sensitivit¨atsmatrix 141, 143, 145, 147 Sensor 310, 353 Sieb 134, 309, 393, 404, 407, 409, 411 Siebmaschine 416 Signalkraft 302 ff. Signumfunktion 133, 135 f., 256 SIMPLEX 279 Simulation 6 f., 24, 101, 206, 210, 219 f., 225, 285 –, numerische 60 Simulationsrechnung 105 Simulationssoftware 24, 225 Sinoide, geneigte 383 slave-degree 156 slave-Koordinate 162 Sollbruchstelle 301 Sollwert 338 Sommerfeld-Effekt 48, 369 Spannrolle 263, 267 Spannweite 275 Spektralmatrix 165, 167 Spektrum 199, 361, 377 Sperrung 254 Spiel 34, 41, 256, 259, 261 f., 279, 298 f., 317 – im Abtrieb 34, 244 spielbehaftetes Abtriebsglied 33 Spieldurchlauf 243 Spitzenkraft 212 Spitzenwert 38, 79, 83, 129, 206, 211, 220, 232, 245, 397 Sprung 273, 349, 353 Sprungantwort 202 Sprungfunktion 129, 349 Spule 111 f. Spulgeschwindigkeit 61 Stab 329 f. stabil 249 stabiler Bereich 261 stabiler Betriebszustand 416, 419 Stabilit¨at 412, 414 Stabilit¨atsbedingung 413, 415, 419 Stabilit¨atsgebiet 258, 261, 269

Stabilit¨atsgrenze 258, 270 Stabilit¨atskarte 247 Stabkraft 330 Stabmodell 105 Stahltragwerk 68 Standsicherheit 303 starre Kette 276 starre Maschine 13, 17 f., 237, 259 –, Modell 18 starre St¨utze 399 Starrk¨orper 92, 311 Starrk¨orperbewegung 82, 126, 268 Starrk¨orpermechanismus 8, 33 Starrk¨orpermodell 237 Starrk¨orpersystem 18, 27, 84, 234 Startmodell 55, 94 f., 97, 101, 103, 153 – einer Schleifspindel 97 – eines Br¨uckenkrans 102 f. –, Vereinfachung 95 station¨are erzwungene Schwingung 416 statische Durchsenkung 71 statische Kondensation 156 statische Motorkennlinie 220 statisches Moment 87, 374 Steiﬁgkeit 191, 193 –, berechnete 197 –, dynamische 200, 202 –, modale 140, 144, 160, 319 –, radiale 192 –, stellungsabh¨angige 195 f. –, winkelabh¨angige 193 Steiﬁgkeits¨anderung, periodische 193 Steiﬁgkeitsmatrix 57, 140, 147, 191, 267, 282, 321 –, singul¨are 268 Steiﬁgkeitssprung 196 Steiﬁgkeitsverlauf 196 f. stellungsabh¨angige Eigenfrequenz 249 Steuerkabel 111 Steuerung 344 stick-slip-Bewegung 134 stick-slip-Effekt 132 stick-slip-Schwingung 254, 263 st¨orende Schwingung 378 Stoß 15, 238, 354 –, zweiseitiger 259 Stoßbelastung 15, 317 St¨oßel 40 St¨oßelbewegung 41, 239 St¨oßelkraft 41 Stoßfolge 38, 316, 354 f. Stoßimpuls 354

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Stoßmittelpunkt 311 f. Stoßrichtung 317 Stoßstelle 317 Stoßzahl 423 Stoßzeit 39, 300, 357 Stoßzeitverh¨altnis 322 Strategie 10 Streckenlast 127, 290, 295 Struktur, topologische 312 Struktur¨anderung 270 Struktursynthese 308 St¨utze 397 –, elastische 398, 401 –, starre 399 St¨utzenabstand 400, 403 –, optimaler 399 St¨utzenverteilung 398 Subharmonische 16 Substruktur 164 f., 283 Superposition 239, 344 Superpositionsprinzip 16, 27, 206 Symmetrieachse 398, 400 Symmetriebedingung 28 f. symmetrische Eigenform 275 f., 398 symmetrische Erregerkraft 315 synchrone Bewegung 414 Synchronisation 416 Synthese 118, 309, 353, 378 –, modale 164, 169 – von HS-Proﬁlen 381 – von Koppelgetrieben 392 Synthesemethode 309 System, gekoppeltes 167 –, lineares 344 –, mechanisch a¨ hnliches 38 –, reduziertes 154, 171 –, selbsterregtes 14, 17 –, ungefesseltes 82, 122, 144 –, zwangl¨auﬁges 16 ff. –, zwangserregtes 17 Systemanalyse 7 Systemgleichung 36

T Tagebaugroßger¨at 130 Taumelbrecher 404 technologische Forderung 337 Teilkreis 271 Teilmodell 164 Teilsystem 84, 157, 165 ff., 169 Teilungswinkel 286

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Temperatur 200, 212, 264 Term, nichtlinearer 112 Tetraeder-Element 123 Textilmaschine 121, 381 theoretische Untersuchung 411 Theorie zweiter Ordnung 263 Tilger 317 Tilgungsfrequenz 409 Timoshenko-Balken 106, 108, 110, 114 ff. –, Gleichungen 110 Toleranzbereich 384 Toleranzgrenze 381 topologische Struktur 312 Torsionseigenfrequenz 228 Torsionsfeder 92 Torsionsfederkonstante 142, 202 Torsionsmoment 80, 261 Torsionsschwinger 48, 50, 121, 157, 161, 173, 225, 329 f., 340 Torsionsschwingerkette 142 ff., 321 f. Torsionsschwingung 7, 50, 93, 104, 119 f., 123, 229, 274, 375 Torsionsstab 94, 120, 265 Torsionssteiﬁgkeit 197 Torsionstr¨agheitsmoment 264 Totzeit 302 f. Tr¨agheitsmoment 87, 122, 142, 249, 279, 325 –, ﬁktives 371 –, minimales 324 –, polares 179, 264 –, reduziertes 60 f., 84, 247–250, 326–329, 371 –, ver¨anderliches 326 Tr¨agheitstensor 57 Tragkraft 303 Tragsystem 416 f. Tragwerk 68, 72 f., 75, 288 Transformationsmatrix 154–157, 159 f. transversale Schwingung 275 transzendente Frequenzgleichung 120, 276, 331, 399 transzendente Gleichung 346 trockene Reibung 137 Truml¨ange 270, 275 Turmkran 67, 75, 77, 130 –, Berechnungsmodell 75

U u¨ berbestimmtes Gleichungssystem 148 ¨ Uberdeckungsgrad 196 f. ¨ Ubereinstimmung 124

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¨ Ubergangsbedingung 49 f., 136 ¨ Ubergangsstelle 181 ¨ Uberlagerung 83 ¨ Uberlastsicherung 301–304 ¨ Uberlastung 221, 301 ¨ Uberlastungsschutz 301 ¨ Ubersetzung 176, 247, 327 f. –, ver¨anderliche 327 ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis 84, 176, 246, 279 ¨ Ubertragungselement 175, 178, 188 –, Kennlinie 177 ¨ Ubertragungsmatrix 86, 117 ¨ Ubertragungsmoment 175 f. ¨ Ubertragungswinkel 391 f. Ultraschall-Schwingungserreger 331 Umformmaschine 239 Umformvorgang 40 Umkehrlage 41 ungefesseltes Schwingungssystem 162 ungefesseltes System 82, 122, 144 ungleichm¨aßig u¨ bersetzender Mechanismus 25 Ungleichung 381 Unrundzahnrad 326 f. Unstetigkeit 13, 129, 131, 240, 243, 270, 277 unterkritisch 393 unterkritisches Gebiet 371 Untersuchung, theoretische 411 Unterwassersonde 111 Unwucht 45, 325 –, verallgemeinerte 372, 374 Unwuchterreger 52, 404, 410–413, 416, 418 unwuchterregter Schwinger 366 Unwuchterregung 62 Unwuchtmasse 324 f. Unwuchtrotor 411 f., 414 Ursachen einer Schwingung 17

V Variantenberechnung 93 Variationsrechnung 329, 333 f., 344 VDI-Richtlinie 238, 250, 258, 314, 326, 372, 377, 388 Ventilator 187 verallgemeinerte Masse 292 verallgemeinerte Unwucht 372, 374 Verarbeitungsmaschine 31, 375, 381 f., 391 Verbrennungsmotor 43, 239, 277

Verbundwerkstoff 266 Vergleichswert 170 Verlustarbeit 205 Verlustwinkel 213 ff. Vernetzung 122 Verpackungsmaschine 237, 242, 381 Verschleiß 298, 411 Verspannung 238 Versteifung 247 Versuchsstand 52, 205, 255 Vertikalbeschleunigung 272 Verzahnung 197, 255 ff., 280 ff., 284, 286 Verzahnungsfehler 196, 199 Vibrationsantrieb 416 Vibrationsf¨orderer 404 Vibrationshammer 421, 423, 425 f. Vibrationskopplung 420 Vibrationskraft 13, 38 Vibrationsmaschine 309, 404 f., 411, 420 Vibrationspumpe 404 Vibrationsschutz 423 Vibrationssieb 421 Vibratork¨orper 411 ff., 416 ff., 420 vibrierende Unterlage 134, 137 f. vibrodynamische Beschleunigung 243, 246 vibrodynamische Kraft 13, 19 Vibrotransport 134 Viergelenkgetriebe 83 Vierzylindermotor 223 virtuelle Arbeit 155 viskose D¨ampfung 137, 213 vollst¨andiger Massenausgleich 374 Vorspannfeder 264 Vorspannkraft 112, 265, 270, 275, 279 Vorspannung 236, 256, 263 f., 268 Vorzeichenwechsel 234, 261

W W¨alzk¨orper 190, 193 W¨alzlager 190 f., 194 –, Außenringschaden 191 –, Innenringschaden 191 –, K¨aﬁgschaden 191 –, W¨alzk¨orperschaden 191 W¨alzlagerfrequenz 190 W¨alzlagerhersteller 194 Walzwerkantrieb 310 Wange 186 W¨ascheschleuder 48 Wasserfalldiagramm 239 Webmaschine 237, 393 f.

Sachverzeichnis

Wechselbelastung 232 Wechselwirkung V, 13 ff., 21, 57, 84, 212, 233, 238, 268, 280, 288, 394 Welle, abgesetzte 179 ff. –, abgestufte 184 –, elektrische 416 Wellenabsatz 181 Wellenabschnitt 180 f., 188 Wellenkupplung 229 Wellenmittelpunkt 62 f. Wellen-Naben-Verbindung 183 Wellenzapfen 186 Werkstoffparameter 121 Wickeldurchmesser 62 Wickelwalze 61, 63 ff. Wickler 61 Windung 110 Wippkran 83, 85 Wirkmaschine 237 Wirkstelle 313 Wirkungsgrad 254 Wirkungslinie 298 Wollk¨ammaschine 241

Z Zahneingriff 196 f., 273, 277 Zahneingriffsfrequenz 83, 178, 196, 198, 277, 287, 316 Z¨ahnezahl 176, 198, 271, 327 – eines Kettenrades 273 Zahnﬂanke 236 Zahnkraft 278 Zahnkranz 196 Zahnpaarung 256 Zahnrad 195 f., 198 Zahnradgetriebe 83, 85, 177 f., 195, 199, 327 –, dreistuﬁges 328 Zahnradpaar 258, 411

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Zahnradstufe 327 Zahnriemen 278 Zahnriemengetriebe 262, 277 f. Zahnstange 278 Zahnsteiﬁgkeit 196 ff., 234, 259, 280, 283, 287 Zangenkran 317 Zeiger 130 Zeigerdiagramm 350 ff. zeitabh¨angige Erregerfunktion 198 Zeit-Frequenz-Analyse 61, 239 Zeitfunktion 57 zentrale Haupttr¨agheitsachse 414, 416 Zentrifuge 48 Zerkleinern 411 Zerlegung in Teilsysteme 84 Zerst¨orung 50 ZMS 222, 226 Zug-Druck-Stab 94, 110, 120 Zugmittelgetriebe 262 Zugtrum 276 Z¨undzeitpunkt 13 Zuordnung 147–150 Zuordnungsmatrix 147, 149 Zusatzbewegung 126, 339 Zusatzl¨ange 181 Zustandsregelung 124 Zwang 123, 160 zwangl¨auﬁges System 16 ff. Zwangsbedingung 66 zwangserregtes System 17 Zwangserregung 263, 268 Zwangskraft 315 Zweimassenschwinger 74, 251, 309 Zwei-Massen-Schwungrad 222 ff., 227 Zweimassensystem 125, 129, 200, 339, 407 Zyklogramm 57, 382 Zyklus, kinematischer 380 Zyklusdauer 358, 364, 423 f.