Berechnung von Drehstromnetzen

Bernd R. Oswald Berechnung von Drehstromnetzen

Bernd R. Oswald

Berechnung von Drehstromnetzen Berechnung stationärer und nichtstationärer Vorgänge mit Symmetrischen Komponenten und Raumzeigern Mit100 Abbildungen STUDIUM

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1. Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Reinhard Dapper | Maren Mithöfer Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Krips b.v., Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in the Netherlands ISBN 978-3-8348-0617-8

Vorwort Die Netze der elektrischen Energieversorgung sind mit Ausnahme der Bahnstromversorgung und einiger weniger Hochspannungsgleichstrom-Übertragungen Drehstromnetze verschiedener Spannungsebenen. Drehstromnetze weisen die Besonderheit auf, dass ihre Leiter induktiv, kapazitiv und resistiv gekoppelt sind, wodurch das Rechnen in Leiterkoordinaten erschwert wird. Für symmetrisch aufgebaute Betriebsmittel kann durch eine parameterunabhängige Modaltransformation eine Entkopplung der so eingeführten modalen Größen oder Komponenten erzielt werden, die eine wesentliche Vereinfachung im Berechnungsablauf darstellt. Der mathematische Hintergrund für die modalen Komponenten wird im 1. Kapitel dargelegt und es wird gezeigt, dass sich sämtliche gebräuchliche modale Komponenten auf eine einzige Transformationsmatrix zurückführen lassen. Die am weitesten verbreitenden modalen Komponenten sind die Symmetrischen Komponenten. Sie stellen Zeigergrößen dar und werden in den Kapiteln 4, 5, 6 und 7 für die Berechnung stationärer und quasistationärer Vorgänge mit Grundschwingungsfrequenz verwendet. Das Pendant zu den Symmetrischen Komponenten im Frequenzbereich sind im Zeitbereich die Raumzeigerkomponenten. Sie werden in den Kapiteln 8, 9 und 10 über die bisher bevorzugte Anwendung auf die Modelle der rotierenden elektrischen Maschinen hinaus vorteilhaft für die Berechnung von transienten Vorgängen im Drehstromnetz angewendet. Während sich für die Berechnung stationärer und quasistationärer Vorgänge mit Zeigergrößen im Frequenzbereich das im Kapitel 3 beschriebene Knotenpunktverfahren (KPV) bestens bewährt hat, fehlte bisher ein ähnlich einfach zu handhabendes Rechenverfahren für die Berechnung von transienten Vorgängen im Zeitbereich. Mit dem im 9. Kapitel vorgestellten Erweiterten Knotenpunktverfahren (EKPV) wird diese Lücke geschlossen. Das EKPV ermöglicht die Aufstellung eines Netzgleichungssystems in Form eines Algebro-Differentialgleichungssystems ausschließlich unter Verwendung der Knotenpunktsätze analog zum gewöhnlichen KPV. Das Algebro-Differentialgleichungssystem kann in ein reines Differentialgleichungs-System überführt werden, anhand dessen auch die Berechnung der Netzeigenwerte möglich ist, ohne das mühselige Aufstellen des vollständigen Zustandsdifferential-Gleichungssystems mit Hilfe von Knotenpunkt- und Maschensätzen vornehmen zu müssen. Im Hinblick auf das KPV und das EKPV werden die mathematischen Modelle der Betriebsmittel (Generatoren, Transformatoren, Leitungen (Kabel und Freileitungen), Motoren und sonstige Abnehmer) in einheitlicher systematischer Darstellung durch Stromgleichungen für die Berechnung sowohl im Frequenz- als auch im Zeitbereich in den Kapiteln 2 und 8 hergeleitet. Für die Berechnung von Fehlern (Kurzschlüsse und Unterbrechungen) wird im Kapitel 6 mit dem Fehlermatrizenverfahren (FMV) ein äußerst einfacher einheitlicher Algorithmus für alle Fehlerkonstellationen (Einfach- und Mehrfachfehler in beliebiger Kombination) vorgestellt, der sowohl auf das Knotenspannungs-Gleichungssystem des KPV als auch das AlgebroDifferentialgleichungssystem des EKPV angewendet werden kann. Auf die Beschreibung der speziellen Verfahren zur Kurzschlussstromberechnung nach den Normen DIN VDE 0102 und

II

Vorwort

IEC 60909 wurde dagegen bewusst verzichtet, da diese im Buch Oeding/Oswald „Elektrische Kraftwerke und Netze“ /3/ ausführlich dargelegt sind. Das Buch ist entstanden aus Vorlesungen zur Netzberechnung, die ich an der TU Dresden, der TH Leipzig, der Universität Rostock und der Universität Hannover gehalten und im Laufe der Zeit inhaltlich immer stärker auf eine systematische knotenorientierte Betrachtungsweise ausgerichtet habe. Dabei sind fast selbstverständlich das EKPV und das FMV entstanden. Für das Studium des Buches werden die Grundlagen der Elektrotechnik, insbesondere die komplexe Rechnung und die Grundzüge der Matrizenrechnung, die sich in ihrer kompakten Form für die verkürzte Beschreibung von Drehstromnetzen besonders anbietet, vorausgesetzt. Um die Beispielrechnungen nachvollziehen zu können, sind Grundkenntnisse von MATLAB nützlich. Abschließend ist es mir ein Bedürfnis, an dieser Stelle allen meinen früheren Assistenten und Doktoranden, denen ich nicht nur Betreuer sein durfte, sondern von denen ich auch eine Vielzahl von Anregungen erhalten habe, herzlich für die Bereicherung meines Berufslebens, in dem ich mich glücklicherweise zum größten Teil der Forschung und Lehre widmen konnte, zu danken. Hannover 2008

B. R. Oswald

Inhalt 1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger ....................................................................... 1 1.1 Modaltransformation ........................................................................................................ 1 1.2 Symmetrische Komponenten............................................................................................ 6 1.3 Raumzeiger....................................................................................................................... 9 1.3.1 Raumzeigerkomponenten in ruhenden Koordinaten.............................................. 9 1.3.2 Raumzeigerkomponenten in rotierenden Koordinaten......................................... 12 1.4 Zusammenhang zwischen Raumzeiger und Zeiger ........................................................ 15 2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten................................................ 19 2.1 Leitungen........................................................................................................................ 19 2.2 Transformatoren ............................................................................................................. 27 2.2.1 Beziehungen zwischen den Wicklungsgrößen..................................................... 27 2.2.2 Beziehungen zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen ............................ 30 2.2.3 Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten.................................... 35 2.2.4 Stromgleichungen für die Symmetrischen Komponenten ohne Übertrager......... 43 2.2.5 Bestimmung der Ersatzschaltungsparameter ....................................................... 50 2.3 Generatoren, Motoren und Ersatznetze .......................................................................... 51 2.4 Nichtmotorische Lasten.................................................................................................. 54 3 Netzgleichungssysteme in Symmetrischen Komponenten .................................................... 57 3.1 Zusammengefasste Darstellung der Betriebsmittelgleichungen ..................................... 57 3.2 Knotenspannungs-Gleichungssysteme ........................................................................... 60 3.2.1 Gleichungssystem für die Berechnung von Fehlern und der Netzdynamik ......... 60 3.2.2 Gleichungssystem für die Leistungsflussberechnung .......................................... 64 4 Leistungsflussberechnung ..................................................................................................... 69 4.1 Knotenspezifikation........................................................................................................ 69 4.2 Knotenpunktverfahren.................................................................................................... 70 4.3 Newtonverfahren ............................................................................................................ 72 5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern ....................................................................... 79 5.1 Fehlerarten...................................................................................................................... 79 5.2 Fehlerbedingungen ......................................................................................................... 80 5.3 Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten .................................................... 83 5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern .............................................................................. 93 5.4.1 Dreipoliger Kurzschluss mit und ohne Erdberührung.......................................... 99 5.4.2 Einpoliger Erdkurzschluss oder Erdschluss ....................................................... 100

IV

Inhalt 5.4.3 Zweipoliger Kurzschluss mit Erdberührung ......................................................102 5.4.4 Zweipoliger Kurzschluss ohne Erdberührung ....................................................104

5.5 Berechnung von Einfachlängsfehlern...........................................................................106 5.5.1 Dreipolige Unterbrechung..................................................................................109 5.5.2 Zweipolige Unterbrechung.................................................................................110 5.5.3 Einpolige Unterbrechung ...................................................................................112 5.6 Berechnung von Doppelfehlern ....................................................................................115 6 Fehlermatrizenverfahren......................................................................................................123 6.1 Fehlermatrizen ..............................................................................................................123 6.2 Fehlermatrizen in Symmetrischen Komponenten.........................................................126 6.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenadmittanzmatrix .................................130 6.4 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenimpedanzmatrix .................................138 6.5 Nachbildung von Kurzschlüssen auf Leitungen ...........................................................140 6.6 Abschalten von Leitungen und Transformatoren..........................................................143 6.7 Abschalten von kurzschlussbehafteten Leitungen ........................................................149 6.8 Abschalten von Generatoren, Motoren und Lasten ......................................................149 6.9 Berücksichtigung von Unsymmetriezuständen.............................................................150 6.10 Zusammenfassung des Berechnungsablaufs...............................................................155 7 Berechnung quasistationärer Vorgänge ...............................................................................157 7.1 Algebro-Differentialgleichungssystem.........................................................................157 7.1.1 Netzgleichungen.................................................................................................158 7.1.2 Differentialgleichungen der Generatoren...........................................................159 7.1.3 Differentialgleichungen der Motoren.................................................................159 7.2 Berechnung der transienten Stabilität ...........................................................................161 8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten .....................................................175 8.1 Allgemeine Formen ......................................................................................................175 8.2 Leitungen......................................................................................................................181 8.2.1 Gleichungen der induktiven und kapazitiven Leitungsabschnitte ......................181 8.2.2 Leitungsmodell ohne Querglieder......................................................................183 8.2.3 Leitungsmodell als T-Glied................................................................................185 8.2.4 Leitungsmodell als T-Kettenschaltung...............................................................186 8.2.5 Leitungsmodell als 3-Glied ...............................................................................187 8.2.6 Leitungsmodell als 3-Kettenschaltung ..............................................................188 8.2.7 Anfangswerte für die Zustandsgrößen ...............................................................189

Inhalt

V

8.3 Transformatoren ........................................................................................................... 191 8.3.1 Zustandsgleichungen des Einphasentransformators........................................... 191 8.3.2 Zustandsgleichungen für die Wicklungsgrößen der Drehstromtransformatoren ........................................................................... 192 8.3.3 Beziehungen zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen .......................... 193 8.3.4 Zustandsgleichungen und modifizierte Stromgleichungen für die Schaltgruppen Yy0, Yd5 und Dy5.......................................................... 196 8.3.5 Anfangswerte für die Zustandsvariablen............................................................ 201 8.4 Synchrongeneratoren.................................................................................................... 202 8.4.1 Gleichungssystem in dq0-Koordinaten .............................................................. 202 8.4.2 Transientes Modell mit Raumzeigern für die Ständergrößen............................. 204 8.4.3 Anfangswerte für die Zustandsgrößen ............................................................... 209 8.4.4 Quasistationäres Modell mit subtransienter Spannung ...................................... 210 8.4.5 Quasistationäres Modell mit konstanter transienter Spannung .......................... 218 8.4.6 Stationäres Modell mit Polradspannung ............................................................ 219 8.4.7 Berechnung der Modellparameter aus den Maschinenparametern..................... 221 8.5 Asynchronmaschinen ................................................................................................... 223 8.5.1 Allgemeines Gleichungssystem mit Raumzeigern............................................. 223 8.5.2 Transientes Modell mit Raumzeigern in Ständerkoordinaten ............................ 224 8.5.3 Anfangswerte für die Raumzeiger ..................................................................... 225 8.5.4 Quasistationäres Modell mit transienter Spannung............................................ 226 8.5.5 Stationäres Modell ............................................................................................. 228 8.5.6 Berechnung der Modellparameter aus den Maschinendaten.............................. 231 8.6 Nichtmotorische Lasten................................................................................................ 233 9 Erweitertes Knotenpunktverfahren...................................................................................... 239 9.1 Klemmengleichungen der Betriebsmittel ..................................................................... 239 9.2 Knotenspezifikation und Knotenpunktsätze ................................................................. 240 9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV............................................................................... 241 9.3.1. Gleichungssystem für ein L-C-Netz ................................................................ 245 9.3.2. Gleichungssystem für ein L-Netz .................................................................... 250 9.3.3. Gleichungssystem für ein C-Netz .................................................................... 253 9.4 Berechnung der Netzeigenwerte nach dem EKPV ....................................................... 253

VI

Inhalt

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten......................................................257 10.1 Fehlerbedingungen und Fehlermatrizen .....................................................................257 10.2 Nachbildung von Kurzschlüssen an L- und R-Knoten ...............................................259 10.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an C-Knoten ...........................................................268 10.4 Nachbildung von Unterbrechungen an Betriebsmitteln..............................................273 A.1 MATLAB-Programm Leistungsflussberechnung............................................................279 A.2 MATLAB-Programm Fehlermatrizenverfahren ..............................................................283 Formelzeichen und Nebenzeichen...........................................................................................287 Literatur ...................................................................................................................................291

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger In Drehstromnetzen treten Kopplungen zwischen den einzelnen Leiter- und Stranggrößen auf. Ein Beispiel hierfür ist die induktive und kapazitive Verkettung von Leitungsgrößen. Durch die Einführung so genannter modaler Komponenten, von denen die Symmetrischen Komponenten und Raumzeigerkomponenten Sonderfälle darstellen, werden im Bereich der modalen Komponenten entkoppelte Gleichungssysteme erhalten. Innerhalb der Komponentensysteme ist dann eine einpolige Rechnung möglich, die mit weniger Aufwand und einem Gewinn an Übersichtlichkeit verbunden ist. Im Folgenden wird ausgehend von dem allgemeinen Ansatz zur Einführung modaler Größen näher auf die praktisch bedeutsamen Symmetrischen Komponenten und Raumzeiger eingegangen.

1.1 Modaltransformation Die Einführung der modalen Komponenten erfolgt durch eine Transformationsmatrix mit der die Drehstromgrößen (Spannungen Ströme, Flussverkettungen u. a.) durch drei neue, noch zu bestimmende, modale Größen ersetzt werden. Die allgemeine Form der Transformationsbeziehung ist: ª g L1 º «g » « L2 » «¬ g L3 »¼

ª t11 t12 «t « 21 t 22 «¬t 31 t 32

t13 º ª g m1 º « » t 23 »» « g m2 » « » t 33 »¼ « g » ¬ m3 ¼

(1.1a)

mit der Kurzform: gL

T m gm

(1.1b)

In Gl. (1) ist T m die Transformationsmatrix, gL der Vektor der Drehstromgrößen (Spannungen, Ströme u. a.) und g m der Vektor der modalen Größen. Die Elemente der Transformationsmatrix und die modalen Größen sind im allgemeinen Fall komplex, können in speziellen Fällen aber auch reell und zeitabhängig sein. Die Transformationsbeziehung, Gl. (1.1), muss auch umkehrbar sein: ªg º « m1 » «g » « m2 » «¬ g m3 »¼ gm

ª t11 t12 «t « 21 t 22 «¬t 31 t 32

T m1 gL

t13 º t 23 »» t 33 »¼

1

ª g L1 º «g » « L2 » ¬« g L3 ¼»

(1.2a)

(1.2b)

Im Folgenden soll die Modaltransformation am Beispiel des induktiv verketteten Leitungsabschnitts im Bild 1.1 dargestellt werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Leitung symmetrisch aufgebaut oder durch Verdrillung symmetriert wurde. Unter dieser Bedingung sind die Selbstinduktivitäten und die Widerstände der Leiter-Erde-Schleifen (Index s) und die Gegeninduktivitäten der Leiter-Erde-Schleifen (Index g) jeweils untereinander gleich, so dass die L-

2

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger

und R-Matrix in den folgenden Gln. (1.3) diagonal-zyklisch symmetrisch sind (s. auch Abschnitt 2.1).

Rs , Ls L1 L2

Rg , Lg Rg , Lg

Rg , Lg L3

iLi , ǻuLi E

Bild 1.1. Leitungsabschnitt mit resistiver und induktiver Verkettung (i = 1, 2, 3)

Mit den Bezeichnungen im Bild 1.1 ergibt sich folgendes Gleichungssystem für den Leitungsabschnitt: ª Ls « « Lg « Lg ¬

Lg Ls Lg

L iL  R iL

Lg º ª iL1 º ª Rs »« » « Lg » «iL2 »  « Rg Ls »¼ «¬iL3 »¼ «¬ Rg

Rg Rs Rg

Rg º ª iL1 º » Rg » ««iL2 »» Rs »¼ «¬iL3 »¼

ª ǻuL1 º « ǻu » « L2 » «¬ ǻuL3 »¼

(1.3a)

ǻuL

(1.3b)

Im ersten Schritt werden die Drehstromgrößen mit Hilfe der Gl. (1.1) durch die modalen Komponenten ersetzt, wobei hier zunächst vorausgesetzt werden soll, dass die Transformationsmatrix keine zeitabhängigen Elemente besitzt: ª Ls « « Lg « Lg ¬

Lg Ls Lg

ª t11 t12 «t « 21 t 22 ¬«t 31 t 32

Lg º ª t11 t12 » Lg » ««t 21 t 22 Ls »¼ «¬t 31 t 32

t13 º ª im1 º ª Rs « » « t 23 »» «im2 »  « Rg t 33 »¼ «¬im3 »¼ «¬ Rg

Rg Rs Rg

Rg º ª t11 t12 » Rg » ««t 21 t 22 Rs »¼ «¬t 31 t 32

t13 º ª i m1 º t 23 »» ««i m2 »» t 33 »¼ «¬i m3 »¼

(1.4a)

t13 º ª ǻu m1 º t 23 »» ««ǻu m2 »» t 33 ¼» ¬« ǻu m3 ¼»

LT m im  RT m i m

T m ǻ um

(1.4b) 1

Im zweiten Schritt wird die Gl. (1.4) von links mit der inversen Transformationsmatrix T m 1

multipliziert. Man erhält unter Beachtung von T m T m

E:

1.1 Modaltransformation ª t11 t12 «t « 21 t 22 «¬t 31 t 32

t13 º t 23 »» t 33 »¼

ª t11 t12  ««t 21 t 22 «¬t 31 t 32

1

t13 º t 23 »» t 33 »¼

ª Ls « « Lg « Lg ¬ 1

3

Lg Ls Lg

ª Rs « « Rg « Rg ¬

Rg Rs Rg

T m LT m im  T m RT m i m 1

1

Lg º ª t11 t12 » Lg » ««t 21 t 22 Ls »¼ «¬t 31 t 32 Rg º ª t11 t12 » Rg » ««t 21 t 22 Rs »¼ «¬t 31 t 32

t13 º ª im1 º « » t 23 »» «im2 »  t 33 »¼ «¬im3 »¼ t13 º ª i m1 º t 23 »» ««i m2 »» t 33 »¼ «¬i m3 »¼

(1.5a) ª ǻu m1 º « ǻu » « m2 » «¬ ǻu m3 »¼

ǻ um

(1.5b) 1

Die Transformationsmatrix T m soll nun so bestimmt werden, dass die Matrizen T m LT m und 1

T m RT m zu Diagonalmatrizen werden. Aufgrund des gleichen Aufbaus der L- und R-Matrix genügt es dabei nur eine der beiden zu betrachten. Am Beispiel der L-Matrix lautet also die Forderung: 1

T m LT m

Lm

diag( L1 L2 L3 )

(1.6)

in der die Diagonalmatrix Lm die so genannte modale Induktivitätsmatrix ist. Ihre Elemente sind die Eigenwerte oder Eigeninduktivitäten Li der Induktivitätsmatrix. Multipliziert man Gl. (1.6) wird von links mit T m LT m

T m Lm

und schreibt T m [t 1 t 2 t 3 ] spaltenweise, so erhält man drei Gleichungssysteme für die Bestimmung der drei Spaltenvektoren t i der Transformationsmatrix: ( L  Li E ) t i

(1.7)

o

Die homogene Gl. (1.7) hat nur nichttriviale Lösungen für det( L  Li E )

(1.8)

0

Aus der Gl. (1.8) erhält man für die Eigenwerte (Eigeninduktivitäten) Ls  Lg

L1

L2

L3

Ls  2 Lg

(1.9) (1.10)

Die Eigenwerte werden nun nacheinander in Gl. (1.7) eingesetzt. Mit L1

Ls  Lg ergibt sich

für t 1 : ª Lg « « Lg « Lg ¬

Lg Lg Lg

Lg º ª t11 º » Lg » ««t 21 »» Lg »¼ «¬t 31 »¼

ª0 º «0 » « » «¬0 »¼

(1.11)

Die Gl. (1.11) liefert in jeder Zeile lediglich die Bedingung t11  t 21  t 31

0

(1.12)

4

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger

Ebenso liefert die Gl. (1.11) mit L2 t12  t 22  t 32

L1

Ls  Lg für t 2 die Bedingung:

(1.13)

0

Für L3

Ls  2 Lg erhält man aus Gl. (1.7) für t 3 :

ª 2 Lg « « Lg « Lg ¬

Lg 2 Lg Lg

Lg º ª t13 º » Lg » ««t 23 »» 2 Lg »¼ «¬t 33 »¼

ª0º « » «0» ¬« 0 ¼»

(1.14)

Die Gl. (1.14) ist erfüllt für alle t13

t 23

t 33

(1.15)

Mit den Gln. (1.12), (1.13) und (1.15) kann für die Transformationsmatrix folgende allgemeine Form angegeben werden: ª t11 « t 21 « «¬ t11  t 21

Tm

t12

t13 º t13 »» t13 »¼

t 22 t12  t 22

(1.16)

Jede reguläre Transformationsmatrix, deren erste und zweite Spalte Null ergibt und deren letzte Spalte gleiche Elemente enthält, ist demzufolge geeignet, eine diagonal-zyklisch symmetrische 3×3-Matrix zu diagonalisieren (auf ihre Eigenwerte zu transformieren). Die Gl. (1.16) eröffnet prinzipiell die Möglichkeit eine Vielzahl von Transformationsmatrizen zu konstruieren. In der Berechnungspraxis haben jedoch nur wenige Formen Bedeutung erlangt. Sie beruhen alle auf der folgenden Form mit den Drehern a

e j2ʌ/3 und a

2

e j4ʌ/3 in

2

0 ) und unterscheiden sich lediglich durch die Wahl der ersten und zweiten Spalte ( 1  a  a der freien Faktoren k1, k2 und k3 an den Spalten: ª k1 « 2 «k1 a « ¬ k1 a

Tm

k2 k2a k2a

2

k3 º » k3 » » k3 ¼

ª1 « 2 «a « ¬a

1 a a

2

1º ª k 1 » 1» «« » 1¼ «¬

k2

º » » k 3 »¼

TM Km

(1.17)

Mit Gl. (1.17) nimmt die allgemeine Transformationsbeziehung, Gl. (1.1a) die folgende Form an: ª g L1 º «g » « L2 » «¬ g L3 »¼ gL

ª1 « 2 «a « ¬a

1 a a

2

T M K m gm

1º ª k » 1 1» «« » 1¼ «¬

k2

º ª« g m1 º» » «g » » « m2 » k 3 »¼ « g » ¬ m3 ¼

(1.18a)

(1.18b)

Die freien Faktoren können auch den modalen Komponenten zuordnet werden, womit man die Grundform aller Transformationen erhält:

1.1 Modaltransformation ª1 « 2 «a « ¬a

ª g L1 º « » « g L2 » ¬« g L3 ¼» gL

1º ª k 1 g m1 º » »« 1» « k 2 g m2 » » »« 1¼ « k 3 g m3 » ¬ ¼

1 a a

5

2

T M K m gm

ª1 « 2 «a « ¬a

1 a a

2

1º ª g M1 º » »« 1» « g M2 » » »« 1¼ « g M3 » ¬ ¼

T M gM

(1.19a)

(1.19b)

Die inverse Beziehung zu Gl. (1.19) ist: ªg º « M1 » « g M2 » « » «¬ g M3 »¼ gM

ª k1 g º m1 » « « k 2 g m2 » « » «¬ k 3 g m3 »¼

K m gm

a2 º ª g º » L1 a » «« g L2 »» » 1 » ¬« g L3 ¼» ¼

ª1 a 1« «1 a 2 3« «¬1 1

(1.20a)

T M1 gL

(1.20b)

wobei noch gilt: 1

TM

1 T* T 3 M

(1.21)

An der Gl. (1.19) wird deutlich, dass sich sämtliche Transformationsbeziehungen mit einer einzigen Transformationsmatrix T M darstellen lassen. Die Matrix K m ist eine Diagonalmatrix mit den freien Faktoren k1, k2 und k3. Für K m E (Einheitsmatrix) erhält man die Grundform g M der modalen Größen, aus dem sich alle weiteren Formen gemäß gm

K m1 g M

(1.22)

ableiten. Aus der Gl. (1.20) folgt noch, dass bei Anwendung auf die (reellen) Momentanwerte, die zweite modale Größe stets konjugiert komplex zur Ersten ist, da die zweite Zeile der inversen Transformationsmatrix konjugiert komplex zur ersten Zeile ist. Mit einer Transformationsmatrix vom Typ der Gl. (1.17) mit konstanten Faktoren k1, k2 und k3 erhält die Gl. (1.5) die angestrebte entkoppelte Form: ª L1 « « «¬

L2

º ª im1 º ª R1 » «i »  « » « m2 » « L3 »¼ «¬ im3 »¼ «¬

Lm im  Rm i m

º ª i m1 º » «i » » « m2 » R3 »¼ «¬i m3 »¼

R2

ǻ um

ª ǻu m1 º « » «ǻu m2 » «¬ ǻu m3 »¼

(1.23a)

(1.23b)

mit Lm

1

T m LT m

und Rm

1

T m RT m

Zur Gl. (1.23) können die drei entkoppelten Ersatzschaltungen im Bild 1.2 angegeben werden.

6

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger

R1 , L1

R2 , L2

m1

m2

m3

im2 , ǻum2

im1 , ǻum1 01

R3 , L3

02

im3 , ǻum3 03

Bild 1.2. Ersatzschaltungen für die modalen Komponenten der Gl. (1.23a)

1.2 Symmetrische Komponenten Die Symmetrischen Komponenten sind ein wichtiger Spezialfall der modalen Komponenten. Sie werden zur Entkopplung von Zeigergleichungen verwendet und stellen somit selbst Zeiger dar1. Ihre Komponenten werden, wie noch erläutert wird, als Mitkomponente (Index 1), Gegenkomponente (Index 2) und Nullkomponente (Index 0) bezeichnet. jM

Zwischen den Zeigern G G e g der Drehstromgrößen ( G U , I , < ) und den Symmetrischen Komponenten (Index S) bestehen die folgenden Transformationsbeziehungen: ª1 « 2 «a « ¬a

ª G L1 º « » «G L2 » «¬G L3 »¼ gL

1 a a

2

1º ª G º 1 » 1» ««G 2 »» » 1¼ «¬G 0 »¼

(1.24a)

T S gS

(1.24b)

und ª G1 º «G » « 2» «¬G 0 »¼ gS

ª1 a 1« «1 a 2 3« «¬1 1

a 2 º ªG º » L1 a » ««G L2 »» » 1 » «¬G L3 »¼ ¼

(1.25a)

T S1 g L

(1.25b)

Die Transformationsmatrix der Symmetrischen Komponenten: TS

ª1 « 2 «a « ¬a

1 a a

2

1º » 1» » 1¼

entspricht der Grundform T M der Transformationsmatrix (s. Gl. (1.17) mit K m

1 Mit Zeiger werden die ruhenden Effektivwertzeiger bezeichnet.

(1.26)

E ).

1.2 Symmetrische Komponenten

7

Um die Bezeichnung der Symmetrischen Komponenten als Mit-, Gegen- und Nullkomponente zu erklären, wird die Gl. (1.24) wie folgt geschrieben: ª G L1 º «G » « L2 » ¬«G L3 »¼ gL

ª G1 º ª G 2 º ªG 0 º » « » « 2 » « «a G1 »  « a G 2 »  «G 0 » « a G » « 2 » «G » 1 ¼ ¬a G 2 ¼ ¬ 0 ¼ ¬

ª G1L1 º ª G 2L1 º ª G 0L1 º «G »  «G »  «G » « 1L2 » « 2L2 » « 0L2 » «¬G1L3 »¼ «¬G 2L3 »¼ «¬G 0L3 »¼

g1L  g 2L  g 0L

(1.27a)

(1.27b)

In Gl. (1.27) ist jede Drehstromgröße auf der linken Seite durch die Überlagerung von drei Komponenten auf der rechten Seite dargestellt. Die jeweils in einem Vektor zusammengefassten Komponenten bilden die so genannten Symmetrischen Systeme und werden deshalb Symmetrische Komponenten genannt. Das erste Symmetrische System mit den Indizes 1Li (i = 1, 2, 3) heißt Mitsystem, weil es die gleiche Phasenfolge L1, L2, L3 wie ein symmetrisches Drehstromsystem aufweist (mit der Phasenfolge des normalen Drehstromsystems „mitgeht“, Bild 1.3a). Das zweite der Symmetrischen Systeme mit den Indizes 2Li hat eine zum Mitsystem gegenläufigen Phasenfolge L1, L3, L2 und wird deshalb Gegensystem genannt (Bild 1.3b). Das dritte Symmetrische System (Indizes 0Li) nennt man Nullsystem, weil die Phasenverschiebung seiner Komponenten Null ist (Bild 1.3c).

G1L3

G 2L2

G 2L1

G 0L1 G 0L2 G1L1

G1L2

G 0L3

G 2L3

Bild 1.3. Mit-, Gegen- und Nullsystem von Drehstromgrößen

Die jeweils erste Symmetrische Komponente in Gl. (1.27) ist mit der Komponente für den Leiter L1 identisch. Man nennt deshalb den Leiter L1 auch den Bezugsleiter der Symmetrischen Komponenten und die Transformationsmatrix nach Gl. (1.26) mit den Einsen in der ersten Zeile die bezugsleiter-invariante Transformationsmatrix der Symmetrischen Komponenten. Ein symmetrisches Drehstromsystem wird allein durch ein Mitsystem repräsentiert. Das Mitsystem wird deshalb auch Hauptsystem genannt, während das Gegen- und Nullsystem, die im symmetrischen Fall nicht auftreten, als Nebensysteme bezeichnet werden. Der anschaulichen Vorstellung, dass man jeden Zustand im Drehstromnetz durch die Überlagerung eines Mit-, Gegen- und Nullsystems wie mit Gl. (1.27) beschrieben, darstellen kann, verdanken die Symmetrischen Komponenten ihre praktische Bedeutung.

8

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger

Für jedes Betriebsmittel können aus dem gesonderten Verhalten gegenüber jedem der Symmetrischen Systeme einpolige Mit-, Gegen- und Nullsystemersatzschaltungen angegeben werden, die zu den kompletten Ersatzschaltungen für das Mit-, Gegen- und Nullsystem des Netzes zusammengefügt werden können, wobei die Ersatzschaltung für das Mitsystem mit der Strangoder Leiterersatzschaltung des symmetrischen Drehstromnetzes identisch ist. Solange keine Unsymmetriezustände auftreten, sind die Ersatzschaltungen der Symmetrischen Komponenten nicht gekoppelt, so dass die passiven Gegen- und Nullsysteme nicht zur Geltung kommen. Für die komplexe Drehstromscheinleistung gilt ausgedrückt durch die Drehstromgrößen: S





T

uL i L

U L1 I L1  U L2 I L2  U L3 I L3

(1.28)

Ersetzt man die Drehstromgrößen durch die Symmetrischen Komponenten mit Hilfe der Gl. T

(1.24), so erhält man unter Beachtung von T S S

T

T



uS T S T S i S

T

3uS i S



1

3T S :

3(U 1 I 1  U 2 I 2  U 0 I 0 )

3SS

(1.29)

Aus der Gl. (1.29) ist ersichtlich, dass der mit den Symmetrischen Komponenten analog zu Gl. (1.28) gebildete Klammerausdruck SS nicht mit der Leistung nach Gl. (1.28) übereinstimmt. Das liegt daran, dass für die freien Faktoren k 1 k 2 k 3 1 gewählt wurde. Transformationsmatrizen bei denen die Bedingung SS = S nicht erfüllt ist, werden leistungsvariant genannt. In der Literatur findet man auch die leistungsinvariante Form der Symmetrischen Komponenten mit k 1

k2

k3

1

1/ 3 , für die T S

T*

T S gilt /1, 2, 3/.

Zur Gl. (1.3) gehört im stationären Zustand die Zeigergleichung: ª Ls « jZ « Lg « Lg ¬

Lg Ls Lg

Lg º ª I L1 º ª Rs » « Lg » «« I L2 »»  « Rg Ls »¼ «¬ I L3 »¼ «¬ Rg

Rg Rs Rg

Rg º ª I L1 º » Rg » «« I L2 »» Rs »¼ «¬ I L3 »¼

ª ǻU L1 º « ǻU » L2 » « «¬ ǻU L3 »¼

(1.30)

Die Elemente der beiden Matrizen können zu Impedanzen zusammengefasst werden, womit Gl. (1.30) übergeht in: ªZs « «Z g « ¬« Z g

Zg

Z iL

ǻ uL

Zs Zg

Z g º ª I L1 º » Z g » «« I L2 »» » Z s ¼» «¬ I L3 »¼

ª ǻU L1 º « U » « ǻ L2 » «¬ ǻU L3 »¼

(1.31a)

(1.31b)

Die Diagonalelemente der Impedanzmatrix in Gl. (1.31) sind die Selbstimpedanzen der LeiterErde-Schleifen der Leitung und die Nichtdiagonalelemente die Gegenimpedanzen zwischen den Leiter-Erde-Schleifen (s. Abschnitt 2.1). Die Transformation der Gl. (1.31) in Symmetrische Komponenten führt auf die entkoppelte Form mit den Eigenwerten der Impedanzmatrix auf der Diagonalen der modalen Impedanzmatrix2:

2 Entsprechend der Zuordnung zu den Komponenten in Gl. (1.32) bezeichnet man die Eigenimpedanzen als Mit- Gegen- und Nullimpedanz und gibt ihnen die Indizes 1, 2 und 0 der Symmetrischen Komponenten. Durch die Bezeichnung des Mit- und Gegensystems mit

1.3 Raumzeiger ªZ1 «0 « «¬ 0

0

Z2 0

ǽ S iS

9 ª ǻU 1 º « U » «ǻ 2 » «¬ ǻU 0 »¼

0 º ª I1 º 0 »» «« I 2 »» Z 0 »¼ «¬ I 0 »¼

(1.32a)

ǻ uS

mit ǽ S

(1.32b)

1

T S ǽ ST S

diag( Z 1 Z 2 Z 0 )

Aufgrund der gleichen Struktur der Z-Matrix ergeben sich deren Eigenwerte (Eigenimpedanzen) analog zu denen der diagonal-zyklisch symmetrischen L-und R-Matrix in Abschnitt 1.1 (s. Gl. (1.9) und (1.10)): Z1

Z2

Z s  Z g sowie

Z s  2Z g

Z0

(1.33)

In der Literatur werden das Mit- und Gegensystem und die entsprechenden Eigenimpedanzen auch mit den Indizes + und – oder p und n, letztere abgeleitet von positive-sequence system und negative-sequence system, angegeben. Zur Gl. (1.32) können die drei entkoppelten Ersatzschaltungen im Bild 1.4 angegeben werden.

Z2

Z1 1

0

2 I 1 , ǻU 1

Z0

I 0 , ǻU 0

I 2 , ǻU 2

01

02

00

Bild 1.4. Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten der Gl. (1.32a)

1.3 Raumzeiger Raumzeiger sind komplexe modale Komponenten. Sie dienen zur Entkopplung von Momentanwertgrößen im Drehstromsystem und werden deshalb auch komplexe Momentanwerte genannt /4/. Ursprünglich wurden die Raumzeiger nur zur Untersuchung von Erscheinungen in elektrischen Maschinen herangezogen. Inzwischen werden sie aber mehr und mehr zur Untersuchung von Ausgleichsvorgängen in Drehstromnetzen herangezogen.

1.3.1 Raumzeigerkomponenten in ruhenden Koordinaten Die Raumzeigerkomponenten in ruhenden Koordinaten bestehen aus dem Raumzeiger g s (Index s von space phasor), dem konjugiert komplexen Raumzeiger g s und einem reellen doppelten Nullsystem g h

2 g0 .

dem Index 1 bzw. 2 ändert sich dadurch die Bezeichnung der ersten und zweiten Eigenimpedanz zwar nicht, die Indizes 1 und 2 bekommen aber eine andere Bedeutung.

10

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger

Die Transformationsbeziehungen zwischen den Momentanwerten des Drehstromsystems und den Raumzeigerkomponenten sind: ª1 1« 2 «a 2« ¬a

ª g L1 º «g » « L2 » «¬ g L3 »¼ gL

1º ª g s º »« » 1» « g s » »« » 1¼ « g h » ¬ ¼

1 a a

2

(1.34a)

T s gs

(1.34b

und ª gs º « » «g » « s» «¬ g h »¼ gs

ª1 a 2« «1 a 2 3« «¬1 1

a2 º ª g º » L1 a » «« g L2 »» » 1 » «¬ g L3 »¼ ¼

(1.35a)

1

T s gL

(1.35b)

Die als Beispiel dienende Gl. (1.3) lautet in Raumzeigerkomponenten:3 ª L1 « « ¬«

L2

 º ªi s º ª R1 « » i »  « »« s» « L0 ¼» ««ih »» ¬« ¬ ¼

Lm is  Rm i s

R2

º ªis º » «i » »« s» R0 ¼» «ih » ¬ ¼

ª ǻu s º « » « ǻu s » «ǻu » ¬ h¼

(1.36a)

ǻ us

(1.36b)

Die Ersatzschaltung der entkoppelten Raumzeigerkomponenten ist im Bild 1.5 dargestellt. Durch die Anwendung der komplexen Transformationsmatrix T s auf die reellen Drehstromgrößen ist die zweite Zeile auf der rechten Seite der Gl. (1.35a) konjugiert komplex zur ersten Zeile. Die zweite Raumzeigerkomponente muss deshalb zwangsläufig der konjugiert komplexe Raumzeiger sein. R1 , L1

s

s* i s , ǻu s

01

R0 , L0

R2 , L2 h

is ,

ih , ǻuh

ǻu s

02

00

Bild 1.5 Ersatzschaltungen der Raumzeigerkomponenten nach Gl. (1.36)

3 Die zum doppelten Nullsystem gehörenden Eigenwerte L3 und R3 werden im Folgenden in Anlehnung an die Bezeichnung von Z3 bei den Symmetrischen Komponenten mit dem Index 0 gekennzeichnet.

1.3 Raumzeiger

11

Die Transformationsmatrix T s in Gl. (1.34) entspricht der Gl. (1.17) für k 1 k 2 k 3 1/ 2 . Sie unterscheidet sich von der Transformationsmatrix T S der Symmetrischen Komponenten lediglich um den Faktor 1/2, was durch die Einführung der doppelten Nullsystemgrößen gh erzielt wurde. Die sonst gleiche Form der Raumzeigertransformationsmatrix mit der der Symmetrischen Komponenten hat den Vorteil, dass bei der Berechnung von Fehlervorgängen die Fehlerbedingungen und der Algorithmus von den Symmetrischen Komponenten übernommen werden können (s. Kapitel 10). Aus der Gl. (1.34) folgt: g L1

1 ( g  g s  g h ) 2 s

g L2

1 2 (a g s  a g s  g h ) 2

1 2 [a g s  (a 2 g s )  g h ] Re(a 2 g s )  g 0 2

(1.38)

g L2

1 (a g s  a 2 g s  g h ) 2

1 [a g s  (a g s )  g h ] Re(a g s )  g 0 2

(1.39)

Re( g s )  g 0

(1.37)

Die Gln. (1.37) bis (1.39) stellen anschaulich die Rücktransformation in die Leitergrößen durch 2

Realteilbildung des Raumzeigers und des um a und a vorgedrehten Raumzeigers dar. Anstelle der Raumzeigerdrehung kann man auch drei um jeweils 120° verdrehte Achsen 1, 2 und 3 für die Leiter L1, L2 und L3 in der komplexen Ebene einführen und die Projektion des Raumzeigers auf diese vornehmen (s. Bild 1.6). Die Zerlegung des Raumzeigers in seinen Real- und Imaginärteil ergibt die so genannten Įȕ oder Diagonalkomponenten /2, 4, 5/: gs

g Į  j gȕ

(1.40) 2

g L3  g 0

gs

gs

a gs g L2  g 0

g L1  g 0

g L3  g 0

Re

2

a gs Bild 1.6. Bildung der Leitergrößen aus dem Raumzeiger

g L2  g 0

1 g L1  g 0

3

12

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger

Drückt man die Raumzeigerkomponenten durch den Real- und Imaginärteil des Raumzeigers und ein Nullsystem wie in der folgenden Gl. (1.41) aus ª gs º « » «g » « s» «¬ g h »¼

ª1 j 0 º ª g Į º «1  j 0 » « g » « »« ȕ» «¬0 0 2 »¼ «¬ g 0 »¼

(1.41)

und setzt diese Beziehung in Gl. (1.34) ein, so erhält man den Zusammenhang zwischen den Drehstromgrößen und den Įȕ0 -Komponenten: ª g L1 º «g » « L2 » ¬« g L3 ¼»

ª1 1« 2 «a 2« ¬a

1 a a

2

1º ª1 j 0 º ª g º Į » 1» ««1  j 0 »» «« gȕ »» » 1¼ «¬0 0 2 »¼ «¬ g 0 »¼

ª 2 1« 2 «a  a 2« 2 ¬a  a

0

2º ª g º Į » j(a  a) 2 » «« gȕ »» » j(a  a 2 ) 2 ¼ ¬« g 0 ¼» 2

(1.42)

und ausmultipliziert: ª g L1 º «g » « L2 » «¬ g L3 »¼

ª1 « «  12 « 1 «¬  2

0 3 2 3 2



1º ª g º » Į 1» «« gȕ »» » 1»¼ «¬ g 0 »¼

(1.43)

Die Umkehrung der Gl. (1.43) liefert: ª2 1« «0 3« ¬1

ª gĮ º «g » « ȕ» «¬ g 0 »¼

1

1 º ª g L1 º » 3  3 » «« g L2 »» 1 1 »¼ «¬ g L3 »¼

(1.44)

1.3.2 Raumzeigerkomponenten in rotierenden Koordinaten Bei der Modellierung von elektrischen Maschinen verwendet man Raumzeiger g r in rotierenden Koordinaten (Index r). Die Transformation des Raumzeigers g s in rotierende Koordinaten erfolgt durch die Drehtransformation: gs

g r e j-

(1.45)

wobei der Winkel - der Drehwinkel zwischen der reellen Achse Į des ruhenden und der reellen Achse des rotierenden Koordinatensystems ist. Ersetzt man den Raumzeiger und den konjugiert komplexen Raumzeiger in Gl. (1.34) mit Hilfe der Gl. (1.45), so erhält man: ª g L1 º «g » « L2 » ¬« g L3 ¼»

ª1 1« 2 «a 2« ¬a

1 a a

2

j1º ª e g r º « » »

1» « e j- g r » » »« 1¼ « g h » ¬ ¼

(1.46)

und nach Heranziehen der Exponentialfunktionen an die erste und zweite Spalte der Matrix:

1.3 Raumzeiger ª e j« 1 2 j«a e 2« j«¬ a e

ª g L1 º «g » « L2 » ¬« g L3 ¼»

13 e  ja e  j2  j-

a e

1º ª g r º »« » 1» « g r » »« » 1»¼ « g h » ¬ ¼

(1.47)

oder ª e j1 « j(-  2ʌ / 3) «e 2 « j(-  2ʌ / 3) ¬«e

ª g L1 º « » « g L2 » «¬ g L3 »¼ gL

e  je  j(-  2ʌ / 3) e

 j(-  2ʌ / 3)

1º ª g r º »« » 1» « g r » »« » 1¼» « g h » ¬ ¼

(1.48a)

T r gr

(1.48b)

Die Umkehrbeziehung zu Gl. (1.47) bzw. (1.48) ist: ª e  j« 2 j«e 3« 1 ¬«

ªgr º « » «gr » « » g ¬« h »¼ gr

a e  ja e j1 2

a 2 e  j- º ª g º » L1 a e j- » «« g L2 »» » 1 » «¬ g L3 »¼ ¼

ª e  j2 « j«e 3« 1 ¬«

e  j(-  2ʌ / 3) e j(-  2ʌ / 3) 1

e  j(-  2ʌ / 3) º ª g L1 º » e j(-  2ʌ / 3) » «« g L2 »» » «g » 1 ¼» ¬ L3 ¼

1

T r gL

(1.49a)

(1.49b)

Die Transformationsmatrix in Gl. (1.47) entspricht der Gl. (1.17) mit k 1

1 je 2

, k2

k 1 und

k 3 = 12 . Im Gegensatz zu den bisher angegebenen Transformationsmatrizen ist die Transforma-

tionsmatrix in Gl. (1.47) bei zeitlich veränderlichem Winkel zeitabhängig. Die Transformation der Beispielgleichung, Gl. (1.3), in rotierende Raumzeigerkoordinaten ergibt deshalb: 1 Lm ir  ( Rm  T r LT r ) i r

ǻur

(1.50)

1 Lm T r T r

(1.51)

mit 1 T r LT r

1 1 T r LT r T r T r

und 1 T r T r

ª j- º « »  j- » « « 0 »¼ ¬

(1.52)

lautet die ausführliche Form der Gl. (1.50) ª L1 « « «¬

L2

 º ªi r º ª R1  j- L1 « »  » « » «i r »  « L0 »¼ ««ih »» «¬ ¬ ¼

R2  j- L2

º ªi r º »« » » «i r » R0 »¼ «ih » ¬ ¼

ª ǻu r º « » « ǻu r » «ǻu » ¬ h¼

(1.53)

Zum gleichen Ergebnis kommt man natürlich auch, wenn man in Gl. (1.36) die Raumzeigerkomponenten mit Hilfe der Gl. (1.45) ersetzt.

14

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger

In einem so genannten Synchron- oder Netzkoordinatensystem, das mit konstanter Winkelgeschwindigkeit Z0 2ʌf entsprechend der Netzfrequenz f rotiert, ist - Z0 , womit in Gl. (1.53) die Mit- und Gegensystemreaktanzen (hier X2 = X1) erscheinen. ª L1 « « «¬

L2

 º ªi r º ª R1  jX 1 « » i »  « »« r» « L0 »¼ ««ih »» «¬ ¬ ¼

R2  jX 2

º ªi r º » «i » »« r» R0 »¼ «ih » ¬ ¼

ª ǻu r º « » « ǻu r » «ǻu » ¬ h¼

(1.54)

In der so genannten Zweiachsentheorie der Synchronmaschine wird ein fest mit dem Läufer verbundenes Koordinatensystem verwendet (s. Abschnitt 8.4). Die mit d-Achse bezeichnete reelle Achse dieses Läuferkoordinatensystems fällt mit der Symmetrieachse (Längsachse) des unsymmetrisch aufgebauten Läufers zusammen. Die mit q-Achse (Querachse) bezeichnete imaginäre Achse des Läuferkoordinatensystems ist in Drehrichtung um ʌ / 2 gegenüber der dAchse gedreht.4

Zwischen den Raumzeigerkomponenten und den dq0-Komponenten besteht die zu Gl. (1.41) analoge Beziehung: ªgr º « » «g » « r» «¬ g h »¼

ª1 j 0 º ª g d º « »« » «1  j 0 » « g q » «¬0 0 2 »¼ «¬ g 0 »¼

(1.55)

eingesetzt in Gl. (1.48) ergibt sich mit dem Läuferdrehwinkel ª g L1 º « » « g L2 » ¬« g L3 ¼»

ª e j-L 1 « j(-L  2ʌ / 3) «e 2 « j(-  2ʌ / 3) L «¬e

e j-L e

 j(-L  2ʌ / 3)

e

 j(-L  2ʌ / 3)

1º ª1 j 0 º ª g d º » 1» ««1  j 0 »» «« g q »» » 1»¼ «¬0 0 2 »¼ ¬« g 0 ¼»

-L :

(1.56)

und ausmultipliziert: ª g L1 º «g » « L2 » ¬« g L3 ¼»

cos-L  sin -L 1º ª g d º ª « cos(-  2ʌ / 3)  sin (-  2ʌ / 3) 1» « g » L L « »« q» «¬cos(-L  2ʌ / 3)  sin (-L  2ʌ / 3) 1»¼ ¬« g 0 ¼»

(1.57)

Die Umkehrbeziehung lautet: ª gd º «g » « q» «¬ g 0 »¼

ª cos-L 2«  sin -L 3« «¬ 1/ 2

cos(-L  2ʌ / 3) cos(-L  2ʌ / 3) º ª g L1 º  sin (-L  2ʌ / 3)  sin (-L  2ʌ / 3) »» «« g L2 »» »¼ «¬ g L3 »¼ 1/ 2 1/ 2

(1.58)

Die Transformationsbeziehungen nach den Gln. (1.57) und (1.58) werden in der Maschinentheorie auch Park-Transformation genannt.

4 Die Lage der q-Achse wird in manchen Literaturstellen auch in entgegen gesetzter Richtung angenommen.

1.4 Zusammenhang zwischen Raumzeiger und Zeiger

15

1.4 Zusammenhang zwischen Raumzeiger und Zeiger Im stationären Zustand können die sinusförmigen Drehstromgrößen durch Zeiger dargestellt werden. Sie ergeben sich aus dem Realteil von rotierenden Amplitudenzeigern5: j(Z0t MgL1 )

g L1

gˆ L1 cos(Z0 t  MgL1 )

Re{gˆ L1} Re{gˆ L1e

g L2

gˆ L2 cos(Z0 t  MgL2 )

Re{gˆ L2 } Re{gˆ L2 e

g L3

gˆ L3 cos(Z0 t  MgL3 )

Re{gˆ L3 } Re{gˆ L3 e

}

j(Z0t MgL2 ) j(Z0t MgL3 )

(1.59)

}

(1.60)

}

(1.61)

oder ª g L1 º «g » « L2 » «¬ g L3 »¼

gL

ª gˆ º ª gˆ º L1 L1 » 1« » 1« « ˆ ˆ «g »  g » 2 « L2 » 2 « L2 » « gˆ » «¬ gˆ L3 »¼ ¬ L3 ¼

(1.62a)

1 1 gˆ  gˆ 2 L 2 L

(1.62b)

Die Amplitudenzeiger der Leitergrößen werden mit Hilfe der Gl. (1.24), die nach Erweiterung auf beiden Seiten mit 2 e jZ0t auch für die Amplitudenzeiger gilt, durch die Amplitudenzeiger der Symmetrischen Komponenten ersetzt: gL

1 1 T S gˆ S  T S gˆ S 2 2

(1.63)

Mit Gl. (1.35) folgt schließlich für den Zusammenhang zwischen den Raumzeigerkomponenten und den Amplitudenzeigern der Symmetrischen Komponenten (beachte die Indizes klein s und groß S): gs

T s1 g L

1 1 1 T s T S gˆ S  T s1T S gˆ S 2 2

1 gˆ S  T s1 T S gˆ S 2

(1.64a)

und ausführlich: ª gs º « » «g » « s» «¬ g h »¼

ª gˆ º ª gˆ 2 º 1 « » « »

« gˆ 2 »  « gˆ 1 » « » « » «¬ gˆ 0 »¼ « gˆ » ¬ 0¼

ª gˆ e j(Z0t Mg1 ) º ª gˆ e j(Z0t Mg2 ) º « 1 » « 2 » j(Z0t Mg2 ) « gˆ 2 e »  « gˆ1e  j(Z0t Mg1 ) » « » « » « gˆ 0 e j(Z0t Mg0 ) » « gˆ 0 e  j(Z0t Mg0 ) » ¬ ¼ ¬ ¼

(1.64b)

5 Zur Unterscheidung von den Raumzeigern sind die Amplitudenzeiger mit einen Dach auf dem Symbol versehen.

16

1 Symmetrische Komponenten und Raumzeiger

Aus Gl. (1.64b) ist ersichtlich: Für ein symmetrisches Drehstromsystem (Mitsystem) ist der Raumzeiger mit dem mit rotierenden Amplitudenzeiger des Mitsystems der Symmetrischen Komponenten identisch. Da dieser im symmetrischen Fall wiederum mit dem rotierenden Amplitudenzeiger für den Bezugsleiter L1 übereinstimmt, gilt im symmetrischen stationären Fall (und nur dann): gs

gˆ 1

gˆ L1

gˆ L1e

j(Z0t MgL1 )

2GL1e

jMgL1

˜ e jZ0t

2 G L1e jZ0t

(1.65)

Speziell für t = 0 gilt: g s (0)

(1.66)

2 G L1

Nach der Gl. (1.66) kann man sehr einfach die Anfangswerte der Raumzeiger zu Beginn eines Ausgleichsvorganges mit der gewohnten komplexen Rechnung ermitteln. Ein gegenläufiges Drehstromsystem (Gegensystem) bringt einen invers mit Z0 rotierenden Raumzeiger konstanter Amplitude hervor. Ein Nullsystem trägt nicht zum Raumzeiger bei. Die Transformation der Gl. (1.64) in mit beliebiger konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierende Koordinaten ergibt: ªgr º « » «g » « r» «¬ g h »¼

ª gˆ e j- º ª gˆ e j- º » « 1 » « 2 « gˆ e j- »  « gˆ e j- » » « 2 » « 1 « gˆ 0 » « gˆ » ¬ ¼ ¬ 0 ¼

ª gˆ e j(Z0t Mg1 ) e j- º ª gˆ e j(Z0t Mg2 ) e  j- º « 1 » « 2 » « gˆ 2 e j(Z0t Mg2 ) e j- »  « gˆ1e j(Z0t Mg1 ) e j- » « » « » gˆ 0 « » « » gˆ 0 ¬ ¼ ¬ ¼

(1.67)

Speziell im mit - Z0 t  -0 rotierenden Synchron- oder Netzkoordinatensystem nimmt Gl. (1.67) die folgende Form an: ªgn º « » «g » « n» «¬ g h »¼

ª gˆ e j(Mg1 -0 ) º ª gˆ e  j(2Z0t Mg2 -0 ) º 1 « » « 2 » « gˆ 2 e j(2Z0t Mg2 -0 ) »  « gˆ1e  j(Mg1 -0 ) » « » « » gˆ 0 « » « » gˆ 0 ¬ ¼ ¬ ¼

(1.68)

und nach Einführung von (ruhenden) Zeigern: ªgn º « » «gn » « » «¬ g h »¼

ªG 2 e  j(2Z0t -0 ) º ª G1e  j-0 º « » « »

» 2 «G 2 e j(2Z0t -0 ) »  2 « G1 e j-0 « » « » jZ0t

 jZ0t «¬ G 0 e »¼ ¬« G 0 e ¼»

(1.69)

Nach Gl. (1.69) ist der Raumzeiger eines Mitsystems im Netzkoordinatensystem konstant und gegenüber dem Zeiger des Mitsystems um den Anfangsdrehwinkel des Koordinatensystems gegenüber der reellen Achse des Zeigerkoordinatensystems verschoben. Der Raumzeiger eines Gegensystems rotiert in Netzkoordinaten mit doppelter Winkelgeschwindigkeit in negativer Richtung. Die Ortskurve des Raumzeigers, gebildet aus einem Mit- und Gegensystem, ist eine Ellipse (s. Bild 1.7).

1.4 Zusammenhang zwischen Raumzeiger und Zeiger

17

Für ir erhält man aus der ersten Zeile in der Gl. (1.54): ( R1  jX 1 ) i r

ǻu r

Z 1 ir

(1.70)

Für ein Mitsystem hat die Raumzeigergleichung in Netzkoordinaten die gleiche Form wie die Zeigergleichung für das Mitsystem (s. die erste Zeile von Gl. (1.32)).

Im

gˆ 1

gˆ L1 (0)

gˆ 2

Re

gˆ 1 (0)

gˆ 2 (0)

gˆ s

gˆ L2 (0)

Bild 1.7. Ortskurve des Raumzeigers für ein unsymmetrisches Drehstromsystem mit g L1

g L2

gˆ L1 cos(Zt  2ʌ/3) , g L3

0

gˆ L1 cos Zt ,

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten In diesem Kapitel werden die Gleichungen von Freileitungen, Kabel, Transformatoren, Generatoren, Motoren, Lasten, Drosselspulen und Kondensatoren in Symmetrischen Komponenten ausgehend von den Gleichungen für die Drehstromgrößen hergeleitet und Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten angegeben. Die folgenden ausführlichen Herleitungen sollen auf Einfachleitungen und Zweiwicklungstransformatoren beschränkt bleiben. Die Gleichungen von Doppel- oder Vierfachleitungen sowie Dreiwicklungstransformatoren können nach der gleichen Vorgehensweise erhalten werden. Um die angestrebte Entkopplung der Gleichungen für die Symmetrischen Komponenten zu erzielen, muss vorausgesetzt werden, dass die Betriebsmittel symmetrisch aufgebaut sind. Bis auf Freileitungen und Einleiterkabel ist diese Voraussetzung durch die konstruktive Ausführung der Betriebsmittel gegeben. Die Unsymmetrie von Freileitungen und Einleiterkabel kann durch Verdrillen und Auskreuzen weitgehend ausgeglichen werden. Im Folgenden wird von auf diese Weise symmetrierten Leitungen ausgegangen. Die Ersatzschaltungen der Symmetrischen Komponenten von Einfachleitungen, Zweiwicklungstransformatoren, Längsdrosselspulen und Reihenkondensatoren sind Vierpole, zu denen sich, abgesehen von Transformatoren mit phasendrehenden Schaltgruppen, T- oder Ȇ -Ersatzschaltbilder angeben lassen. Die Ersatzschaltungen der Symmetrischen Komponenten von Generatoren und Motoren sind aktive Zweipole mit Spannungs- oder Stromquelle, die der Lasten, Paralleldrosselspulen und -kondensatoren dagegen passive Zweipole in Form von Impedanzen oder Admittanzen. Im Hinblick auf die Verknüpfung der Betriebsmittel untereinander im Netz mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens ist es zweckmäßig, von den Vierpolersatzschaltungen die Ȇ -Ersatzschaltung und von den Zweipolersatzschaltungen die Stromquellenersatzschaltung und die Admittanzform den anderen Varianten vorzuziehen.

2.1 Leitungen Freileitungen und Kabel weisen über der gesamten Länge eine induktive und kapazitive Verkettung auf. Die exakten Leitungsgleichungen enthalten deshalb so genannte verteilte Parameter, von denen insbesondere der Widerstands- und Induktivitätsbelag frequenzabhängig sind. Für Berechnungen im Anwendungsgebiet der Symmetrischen Komponenten (stationäre und quasistationäre Vorgänge mit Grundfrequenz) kann man aber konstante Frequenz (Betriebsfrequenz) voraussetzen und vereinfachte Leitungsmodelle zu Grunde legen, bei denen die induktive und kapazitive Verkettung getrennt durch konstante konzentrierte Induktivitäten und Kapazitäten in Form von Kettenschaltungen berücksichtigt werden. Für die üblichen Leitungslängen genügt es sogar, die konzentrierten induktiven und kapazitiven Elemente in Form einer T- oder Ȇ -Ersatzschaltung anzuordnen. Beide Formen der Ersatzschaltung sind annähernd gleichwertig. In der knotenorientierten Berechnungspraxis bevorzugt man die jedoch die Ȇ Ersatzschaltung, weil sie keinen inneren Knoten hat.

20

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Die folgenden Gleichungen gelten sowohl für Freileitungen als auch Kabel. Beide Leitungsformen unterscheiden sich in der Ersatzschaltung lediglich durch die Größenordnung ihrer Parameter. Für die Spannungen und Ströme an einer beliebigen Stelle x der Leitung gilt im Frequenzbereich bei fester Betriebsfrequenz die folgende lineare Differentialgleichung: ªU L1x º «U » « L2x » d «U L3x » « » d x « I L1x » « I L2x » « » «¬ I L3x »¼ d ª u Lx º « » d x ¬ i Lx ¼

ª 0 « « 0 « « 0 « « ' ' ' Y L12 Y L13 «Y L11 « ' ' ' Y L22 Y L23 «Y L21 « ' ' ' Y L32 Y L33 ¬«Y L31 ª  « «Y ' ¬ LL

' Z L11

' Z L12

' Z L21

' Z L22

' Z L31

' Z L32

0 0

' º Z L13 » ªU º L1x ' »« Z L23 » «U L2x »» ' »» «U L3x » Z L33 » «« I L1x »» »« » « I L2x »» »«I » » ¬ L3x ¼ 0 ¼»

' º ª u Lx º Z LL »« »  »¼ ¬ i Lx ¼

(2.1a)

(2.1b)

Mit den Leiter-Erde-Schleifenimpedanzen1: Z L' ii

RL' i  RE'  jX L' ii

(2.2)

den gegenseitigen Leiter-Erde-Schleifenimpedanzen: Z L' ik

RE'  jX L' ik

k zi

(2.3)

den Leiter-Selbstadmittanzen: Y L' ii

GL' ii  jZ CL' ii

(2.4)

und den Leiter-Gegenadmittanzen: Y L' ik

GL' ik  jZCL' ik

k zi

(2.5)

Unter der Vorraussetzung gleicher Leiter-Erde-Schleifenimpedanzen, gleicher gegenseitiger Leiter-Erde-Schleifenimpedanzen, sowie gleicher Leiter-Selbstadmittanzen und gleicher Leiter-Gegenadmittanzen durch Verdrillung der Leitung wird: Z L' ii

' Z Ls

Z L' ik

' Z Lg

Y L' ii

' Y Ls

1 Bei den mit einem Strich versehenen Größen handelt es sich um längenbezogene Größen (Beläge)

2.1 Leitungen Y L' ik

21

' Y Lg

so dass die Impedanz- und Admittanzmatrizen in Gl. (2.1) diagonal-zyklisch symmetrisch werden. Die Transformation der Gl. (2.1) in Symmetrische Komponenten führt dann auf die gewünschte Entkopplung der Symmetrischen Komponenten (s. Abschnitt 1.2): d ª uSx º « » d x ¬ i Sx ¼

1 ª ' T S º ª uSx º T S Z LL  « »« » «T 1Y ' T » ¬ i Sx ¼  ¬ S LL S ¼

ª « «Y ' ¬ S

Z S' º ª uSx º »« »  »¼ ¬ i Sx ¼

(2.6a)

und ausführlich: ªU 1x º «U » « 2x » « d U 0x » « » d x « I 1x » «I » « 2x » ¬« I 0x ¼»

ª0 « « 0 « « « « «Y 1' « Y 2' « « ¬«

Z 1' Z 2' 0 0 0 Y 0'

º » U » «ª 1x »º » U 2x » »« Z 0' » «U 0x » » «« I 1x »» » » «« I 2x »» »«I » » ¬ 0x ¼ 0 ¼»

(2.6b)

mit den Impedanzbelägen des Mit-, Gegen- und Nullsystems: Z 1'

Z 2'

'  Z Lg ' Z Ls

Z 0'

'  2Z Lg ' Z Ls

R1'  jX 1'

R0'  jX 0'

(2.7) (2.8)

und den Admittanzbelägen des Mit-, Gegen- und Nullsystems: Y 1'

Y 2'

'  Y Lg ' Y Ls

Y 0'

Y L' ii  2Y L' ik

G1'  jZC1'

G0'  jZC0'

(2.9) (2.10)

Die Lösung der Gl. (2.6) liefert für die Symmetrischen Komponenten (i = 1, 2, 0) der Spannungen und Ströme an den Leitungsklemmen A und B: ªU iA º « » ¬U iB ¼

ª Z iw coth(J l ) Z iw sinh 1 (J l ) º ª I º i i « » « iA » « Z iw sinh 1 (J l ) Z iw coth(J l ) » ¬ I iB ¼ i i ¬ ¼

(2.11)

ª Y iw coth(J l ) Y iw sinh 1 (J i l ) º ªU iA º i « »« » 1 « Y iw coth(J i l ) ¼» ¬U iB ¼ ¬ Y iw sinh (J i l )

(2.12)

und ª I iA º «I » ¬ iB ¼

mit dem Wellenwiderstand bzw. Wellenleitwert für jede Komponente

22

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Z iw

Z i'

Ri'  jX i'

Y i'

Gi'  jZCi'

1 Y iw

(2.13)

und dem Fortpflanzungsmaß für jede Komponente:

Ji

Z i' Y i'

( Ri'  jX i')(Gi'  jZCi')

(2.14)

Zu den Gl. (2.11) und (2.12) können die T- und Ȇ -Ersatzschaltungen in den Bildern 2.1 und 2.2 angegeben werden. Z iA

A

Z iB

B

I iB

I iA U iA

Z iC

U iB

Bild 2.1. T-Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten der Einfachleitung mit verteilten Parametern (i = 1, 2, 0)

Y iC

A

B

I iA

I iB

U iA

Y iA

Y iB

U iB

Bild 2.2. Ȇ -Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten der Einfachleitung mit verteilten Parametern (i = 1, 2, 0)

Die Impedanzelemente der T-Ersatzschaltungen ergeben sich aus Gl. (2.11) zu: cosh(J i l )  1

Z iA

Z iB

Z iw

Z iC

Z iw

1 sinh(J i l )

sinh(J i l )

(2.15)

(2.16)

2.1 Leitungen

23

Die Admittanzen der Ȇ -Ersatzschaltungen ergeben sich aus Gl. (2.12) zu: cosh(J i l )  1

Y iA

Y iB

Y iw

Y iC

Y iw

1 sinh(J i l )

(2.17)

sinh(J i l )

(2.18)

Fasst man die Symmetrischen Komponenten aus den Gln. (2.11) und (2.12) wieder zu je einer Matrizengleichung zusammen und führt allgemeine Bezeichnungen für die Impedanz- und Admittanzelemente ein, so erhält man die Leitungsgleichungen in der folgenden allgemeinen Form als Spannungsgleichung: ªU 1A º «U » « 2A » «U 0A » « » « U 1B » «U » « 2B » ¬«U 0B ¼»

ª Z 1AA « « « « « Z 1BA « « ¬«

ª uSA º «u » ¬ SB ¼

ª Z SAA «Z ¬ SBA

Z 1AB Z 2AA

Z 2AB Z 0AA Z 1BB

Z 2BA

Z 2BB Z 0BA

º ª I 1A º » «I » » « 2A » Z 0AB » « I 0A » »« » » « I 1B » » «I » » « 2B » Z 0BB ¼» ¬« I 0B ¼»

Z SAB º ª i SA º Z SBB »¼ «¬ i SB »¼

(2.19a)

(2.19b)

oder als Stromgleichung: ª I 1A º «I » « 2A » « I 0A » « » « I 1B » « I 2B » « » «¬ I 0B »¼

ªY 1AA « « « « «Y 1BA « « «¬

ª i SA º « » ¬ i SB ¼

ªY SAA «Y ¬ SBA

Y 1AB Y 2AA

Y 2AB Y 0AA Y 1BB

Y 2BA

Y 2BB Y 0BA

º ªU 1A º » «U » » « 2A » Y 0AB » «U 0A » » »« » « U 1B » » «U 2B » » »« Y 0BB »¼ «¬U 0B »¼

Y SAB º ª uSA º Y SBB »¼ «¬ uSB »¼

(2.20a)

(2.20b)

Leitungen für die J i l  1 (i = 1, 2, 0) gilt, werden als kurze Leitungen bezeichnet. Für sie können die folgenden Näherungen eingeführt werden: sinh(J i l ) | J i l

(2.21)

1 cosh(J i l ) | 1  (J i l ) 2 2

(2.22)

Damit gehen die Elemente der Ersatzschaltungen in den Bildern 2.1 und 2.2 über in: Z iA

Z iB

1 Z iw J i l 2

1 Z i' l 2

1 Zi 2

1 ( Ri  jX i ) 2

(2.23)

24

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Z iC

Z iw

Y iA

Y iB

Y iC

Y iw

1 J il

1 Y i' l

1 Yi

1 Y iw J i l 2

1 J il

1 Z i' l

1 Gi  jZCi 1 Y i' l 2

1 Zi

1 Yi 2

(2.24) 1 (Gi  jZCi ) 2

1 Ri  jZ Li

(2.25) (2.26)

Mi den konzentrierten Schaltelementen nach den Gln. (2.23) bis (2.26) ergeben sich die in der Praxis üblichen Ersatzschaltungen in den Bildern 2.3 und 2.4.2

A

1 ( Ri 2

 jZ Li )

1 ( Ri 2

 jZ Li )

B

I iB

I iA

U iB

Gi  jZCi

U iA

Bild 2.3. T-Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten der Einfachleitung mit konzentrierten Parametern (i = 1, 2, 0)

Ri  jZ Li

A

B

I iB

I iA

U iB

U iA 1 (Gi 2

 jZCi )

Bild 2.4. Ȇ -Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten der Einfachleitung mit konzentrierten Parametern (i = 1, 2, 0)

Eine andere Möglichkeit zu den vereinfachten Ersatzschaltungen in den Bildern 2.3 und 2.4 zu kommen, besteht darin, den Differentialquotient in Gl. (2.6) durch den Differenzenquotienten anzunähern. Man erhält so für die Ströme und Spannungen über einem Leitungsabschnitt ǻx : 2 In der Praxis ist es üblich die Längsglieder als Impedanzen und die Querglieder als Admittanzen zu bezeichnen.

2.1 Leitungen

25

ª ǻU 1x º 1 « ǻU 2x »» ǻx « «¬ǻU 0x »¼

ªZ ' « 1 « « « «¬

º » ª I 1x º » «I » » « 2x » »« » Z 0' » ¬ I 0x ¼ ¼

(2.27)

ª ǻ I 1x º 1 « ǻ I 2x »» ǻx « ¬« ǻ I 0x ¼»

ªY ' º « 1 » ªU 1x º » « »« Y 2' « » «U 2x » » « »« Y 0' » ¬U 0x ¼ «¬ ¼

(2.28)

Z 2'

Die längenbezogenen Impedanzen und Admittanzen in den Gln. (2.27) und (2.28) sind dann auf die Länge ǻx des entsprechenden Leitungsabschnittes bezogen. Bei der T-Ersatzschaltung werden die quer zur Leitung abfließenden Ströme konzentriert am inneren Knoten C in der Mitte angenommen. Aus Gl. (2.28) folgt für diesen Fall: ª I 1C º «I » « 2C » «¬ I 0C »¼

ª I 1A º ª I 1B º «I »  «I » « 2A » « 2B » «¬ I 0A »¼ «¬ I 0B »¼

ªY ' « 1 l «« « «¬

Z 2'

º » ªU 1C º » «U » » « 2C » » »« Z 0' » ¬U 0C ¼ ¼

ªY 1C « « «¬

Y 1C

º ªU 1C º » «U » » « 2C » Y 1C »¼ «¬U 0C »¼

(2.29)

Der Spannungsabfall zwischen den Klemmen A und B wird je zur Hälfte auf die Abschnitte AC und C-B aufgeteilt, für die sich aus Gl. (2.27) ergibt: ªU 1A º ªU 1C º «U »  «U » « 2A » « 2C » «¬U 0A »¼ «¬U 0C »¼

ªZ ' « 1 l« 2« « «¬

Z 2'

º » ª I 1A º » «I » » « 2A » » »« Z 0' » ¬ I 0A ¼ ¼

ª Z 1A « « «¬

Z 2'

º » ª I 1B º » «I » » « 2B » »« » Z 0' » ¬ I 0B ¼ ¼

ª Z 1B « « «¬

Z 2A

º ª I 1A º » «I » » « 2A » Z 0A »¼ «¬ I 0A »¼

(2.30)

Z 2B

º ª I 1B º » «I » » « 2B » Z 0B »¼ «¬ I 0B »¼

(2.31)

und ªU 1B º ªU 1C º « » « » «U 2B »  «U 2C » «¬U 0B »¼ «¬U 0C »¼

ªZ ' « 1 l« 2« « «¬

Setzt man die aus Gl. (2.29) erhaltenen Spannungen UiC in die Gln. (2.30) und (2.31) ein, so erhält man Gl. (2.19) mit den Elementen: Z i AA

Z i BB

Z iA 

Z i AB

Z i BA

Z iC

1 Y iC

Z iA  Z iC

(2.32) (2.33)

26

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Bei der Ȇ -Ersatzschaltung wird dem Längszweig die gesamte induktive Verkettung zugewiesen. Aus Gl. (2.27) folgt mit ǻx l : ªU 1A º ªU 1B º «U »  «U » « 2A » « 2B » ¬«U 0A ¼» ¬«U 0B ¼»

ªZ ' « 1 l «« « «¬

Z 2'

º » ª I 1AB º » » «I » « 2AB » » »« Z 0' » ¬ I 0AB ¼ ¼

ª Z 1AB « « ¬«

Z 2'

º » ª I 1BA º » » «I » « 2BA » » »« Z 0' » ¬ I 0BA ¼ ¼

ª Z 1BA « « «¬

Z 2AB

º ª I 1AB º » «I » » « 2AB » Z 0AB ¼» ¬« I 0AB ¼»

(2.34)

Z 2BA

º ª I 1BA º » «I » » « 2BA » Z 0BA »¼ «¬ I 0BA »¼

(2.35)

und ªU 1B º ªU 1A º «U »  «U » « 2B » « 2A » «¬U 0B »¼ «¬U 0A »¼

ªZ ' « 1 l «« « ¬«

Die quer zur Leitung abfließenden Ströme werden je zur Hälfte auf die beiden Leitungsklemmen aufgeteilt. Aus Gl. (2.28) folgt mit ǻx l / 2 : ª I 1A º ª I 1AB º « » « » « I 2A »  « I 2AB » «¬ I 0A »¼ «¬ I 0AB »¼

ªY ' 0 « 1 l« 0 Y 2' 2« « 0 0 ¬«

0º U » ª 1A º 0 »» ««U 2A »» » »« Y 0' » ¬U 0A ¼ ¼

ªY 1A « « 0 «¬ 0

ª I 1B º ª I 1BA º « » « » « I 2B »  « I 2BA » «¬ I 0B »¼ «¬ I 0BA »¼

ªY ' 0 « 1 l« 0 Y 2' 2« « «¬ 0 0

0º U » ª 1B º 0 »» ««U 2B »» » »« Y 0' » ¬U 0B ¼ ¼

0 0 º ªU 1B º ªY 1B « 0 Y 0 »» ««U 2B »» 2B « «¬ 0 0 Y 0B »¼ «¬U 0B »¼

0 Y 2A 0

0 º ªU 1A º 0 »» ««U 2A »» Y 0A »¼ «¬U 0A »¼

(2.36)

(2.37)

mit ª I 1BA º «I » « 2BA » ¬« I 0BA ¼»

ª I 1AB º ªY 1A «I » und « 0 « 2AB » « «¬ 0 ¬« I 0AB ¼»

0 Y 2A 0

0 º 0 »» Y 0A ¼»

0 0 º ªY 1B « 0 Y 0 »» 2B « 0 Y 0B ¼» ¬« 0

(2.38)

Aus den Gln. (2.35) bis (2.38) folgt wieder Gl. (2.20) mit den Elementen: 1 Z iAB

Y iAB

Y iBB



Y iAA

Y iBB

Y iA 

Y iAB

1 Z iAB

Y iA 

(2.39) 1 Z iAB

(2.40)

In den vorstehenden Gleichungen ist die Wirkung von Erdseilen und geerdeten Kabelschirmen nicht berücksichtigt. Da Erdseile und geerdete Kabelschirme lediglich die Nullsystemparameter beeinflussen, behalten die angegeben Gleichungen und Ersatzschaltungen auch für Freileitungen mit Erdseilen und Kabel mit geerdeten Schirmen ihre Form mit entsprechend modifizierten Nullsystemparametern bei /2/.

2.2 Transformatoren

27

Die hier nochmals wiedergegebene Gl. (2.20) ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ªY SAA «Y ¬ SBA

Y SAB º ª uSA º Y SBB »¼ «¬ uSB »¼

ist die Grundform der Leitungsgleichungen für die Verknüpfung mit anderen Betriebsmitteln nach dem Knotenpunktverfahren.

2.2 Transformatoren Ausgehend von den Beziehungen zwischen den Wicklungsgrößen auf jedem Schenkel und den Beziehungen zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen für die verschiedenen Schaltungsmöglichkeiten werden für die wichtigsten Schaltgruppen der Zweiwicklungstransformatoren die Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten hergeleitet. Auf der Grundlage der Ersatzschaltungen wird für jedes System der Symmetrischen Komponenten eine in der Form einheitliche Vierpolgleichung für die Klemmenströme angegeben. Die Form der Vierpolgleichungen entspricht der Gl. (2.20) für die Einfachleitungen.

2.2.1 Beziehungen zwischen den Wicklungsgrößen Für jeden Wicklungsstrang i (i = 1, 2, 3) auf einem der drei Schenkel im Bild 2.5 gilt folgender von den Einphasentransformatoren bekannter Zusammenhang zwischen den Wicklungsgrößen der Primärseite3 (Index p) und der Sekundärseite (s), wenn die Größen der Sekundärseite mit dem Windungszahlverhältnis n

wp ws

(2.41)

auf die Primärseite umgerechnet werden: U pi

nU si

Z ıp I pi  U hpi

n 2 Z ıs

1 I si  nU hsi n

(2.42) (2.43)

mit: nU hsi

U hpi

(2.44)

Z ıp

Rp  jX ıp

(2.45)

Z ıs

Rs  jX ıs

(2.46)

Die Hauptfeldspannungen ergeben sich aus dem Produkt der Magnetisierungsimpedanz mit den Magnetisierungsströmen

3 Die Zuordnung der Begriffe Primär- und Sekundärseite zu Oberspannungs- und Unterspannungsseite ist nicht eindeutig. Hier sollen Primärseite und Oberspannungsseite identisch sein.

28

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

U hpi

Z mp ( I pi 

Z mp I mpi

1 I si ) n

(2.47)

Die primärseitige Magnetisierungsimpedanz Zmp besteht aus der Parallelschaltung des Eisenverlustwiderstandes RFep und der Hauptfeldreaktanz Xhp: Z mp

jX hp RFep RFep  jX hp

| jX hp

(2.48)

Die Gleichungen der drei Wicklungsstränge werden in einer Matrizengleichung zusammengefasst: ª U p1 º « » « U p2 » «U » « p3 » « nU » « s1 » « nU s2 » « nU » ¬ s3 ¼

ª Zp « « « « «Z « mp « « « ¬

Z mp Zp

Z mp Zp n2 Z s n2 Z s

Z mp Z mp

º I » ª p1 º » « I p2 » « » Z mp » « » I p3 » » »« » « I s1 / n » » « I / n» » « s2 » « » 2 n Z s ¼» ¬ I s3 / n ¼

(2.49)

mit Z ıp  Z mp

Zp

n2 Z s

(2.50)

n 2 Z ıs  n 2 Z ms

n 2 Z ıs  Z mp

(2.51)

Is1 s p Us1

Up1

Ip1

1

2

3

Bild 2.5. Anordnung der Primär- und Sekundärwicklungen beim Dreischenkeltransformator

2.2 Transformatoren

29

Aufgrund der Diagonalform der Untermatrizen behält die Gl. (2.49) auch nach Transformation in die Symmetrischen Komponenten ihre Form bei: ª Z 1p « « « « «Z « 1mp « « « ¬

ª U 1p º « » « U 2p » «U » « 0p » « nU » « 1s » « nU 2s » « nU » ¬ 0s ¼

Z 1mp Z 2p

Z 2mp Z 0p n 2 Z 1s n 2 Z 2s

Z 2mp Z 0mp

º I » ª 1p º » « I 2p » « » Z 0mp » « » I 0p » » »« » « I 1s / n » » «I / n» » « 2s » « » 2 n Z 0s ¼» ¬ I 0s / n ¼

(2.52)

Für die symmetrischen Impedanzen in Gl. (2.52) gilt: Z 1mp Z 1p

n 2 Z 1s Z 0p n 2 Z 0s

Z 2mp Z 2p

Z mp Z ıp  Z 1mp

n 2 Z 2s

n 2 Z ıs  Z 1mp

Z ıp  Z 0mp n 2 Z ıs  Z 0mp

(2.53) (2.54) (2.55) (2.56) (2.57)

Die Impedanzen des Nullsystems hängen von der Kernbauart des Transformators ab. Drehstrombänke und Fünfschenkeltransformatoren haben einen freien magnetischen Rückschluss, längs dessen der durch ein Stromnullsystem hervorgerufene Magnetfluss (Nullfluss) den gleichen magnetischen Widerstand wie der von einem Mit- oder Gegensystem verursachte Magnetfluss vorfindet, so dass für diese Transformatoren wie für das Mit- und Gegensystem Z 0mp Z 1mp gilt. Bei Dreischenkeltransformatoren muss sich der Nullfluss zwangsweise über Luft schließen, wobei er einem größeren magnetischen Widerstand ausgesetzt ist. Folglich ist die Hauptfeldreaktanz des Nullsystems bei Dreischenkeltransformatoren deutlich kleiner als die des Mitund Gegensystems. Man rechnet mit der Größenordnung: X 0hp

(3! 5) u ( X ıp  n 2 X ıs )

(2.58)

Dem entsprechend ist bei Dreischenkeltransformatoren mit einer anderen Magnetisierungsimpedanz im Nullsystem als im Mit- und Gegensystem zu rechnen: Z 0mp

jX 0hp RFep RFep  jX 0hp

(2.59)

Zu Gl. (2.52) können die entkoppelten Ersatzschaltungen der Symmetrischen Komponenten mit den reellen Übertragern für das Windungzahlverhältnis im Bild 2.6 angegeben werden:

30

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten n2 Z ıs

Z ıp

p

n :1

I is / n

I ip

Z i mp

U ip

s

I is

nU is

U is

Bild 2.6. T-Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten (i = 1, 2, 0) der Wicklungsgrößen

2.2.2 Beziehungen zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen Der Zusammenhang zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen hängt von der Schaltung der Wicklungen ab. Man unterscheidet zwischen Sternschaltung, Dreieckschaltung und Zickzackschaltung.

Sternschaltung Das Bild 2.7 zeigt die Sternschaltung einer Wicklungsseite (W = p, s) mit Erdung des Sternpunktes über eine Impedanz ZM. Die Wicklungsströme sind gleich den Klemmenströmen: ª I W1 º «I » « W2 » «¬ I W3 »¼

ª I L1 º «I » « L2 » «¬ I L3 »¼

(2.60)

U W1 , I W1 M

U W2 , I W2

U W3 , I W3

ZM

I L1 I L2

I L3 UM IM

U L3 U L2 U L1

Bild 2.7. Zusammenhang zwischen Wicklungs- und Klemmengrößen in Sternschaltung

Aus den Maschensätzen über die Wicklungen und Erde im Bild 2.7 folgt:

2.2 Transformatoren ªU W1 º «U » « W2 » «¬U W3 »¼

31

ªU L1 º ªU M º «U »  «U » « L2 » « M » «¬U L3 »¼ «¬U M »¼

(2.61)

Ist der Sternpunkt geerdet, so gilt: Z M ( I L1  I L2  I L3 )

UM

(2.62)

Die Transformation der Gln. (2.60) bis (2.62) in Symmetrische Komponenten ergibt: ª I 1W º «I » « 2W » «¬ I 0W »¼

ª I 1L º «I » « 2L » «¬ I 0L »¼

(2.63)

ªU 1W º « » «U 2W » «¬U 0W »¼

ªU 1L º ª 0 º «U »  « 0 » « 2L » « » «¬U 0L »¼ «¬U M »¼

(2.64)

UM

3Z M I 0L

(2.65)

Im Bild 2.8 ist der durch die Gln. (2.63) bis (2.65) beschriebene Zusammenhang zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen dargestellt.

I 1W

I 2W

I 1L

I 0W

I 2L

I 0L , U M 3Z M

U 1W

U 1L

U 2W

U 2L

U 0W

U 0L

Bild 2.8. Zusammenhang zwischen den der Symmetrischen Komponenten der Wicklungs- und Klemmengrößen bei der Sternschaltung der Wicklung

Dreieckschaltung Das Bild 2.9 zeigt zwei mögliche Dreieckschaltungen der Wicklungen. Aus den Maschenumläufen und Knotenpunktsätzen im Bild 2.9 links erhält man: ªU W1 º «U » « W2 » «¬U W3 »¼ ª I L1 º «I » « L2 » «¬ I L3 »¼

ª 1 0 1 º ªU L1 º « 1 1 0 » «U » « » « L2 » «¬ 0 1 1»¼ «¬U L3 »¼ ª 1 1 0 º ª I W1 º « 0 1 1 » « I » « » « W2 » «¬ 1 0 1»¼ «¬ I W3 »¼

(2.66)

(2.67)

32

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

U Wi , I Wi I L1

I L1

I L2

I L2

I L3

I L3

U L3 U L2 U L1

U Wi , I Wi

U L3 U L2 U L1

Bild 2.9. Zusammenhang zwischen Wicklungs- und Klemmengrößen bei der Dreieckschaltung der Wicklung (i = 1, 2, 3)

Die Symmetrischen Komponenten zu den Gln. (2.66) und (2.67) sind: ªU 1W º « » «U 2W » «¬U 0W »¼

0 0 º ªU º ªa  1 1L « » 2 a  1 0 » ««U 2L »» « 0 « 0 0 0 » «¬U 0L »¼ ¬ ¼ ª e j5˜ʌ / 6 « 3« 0 « 0 «¬

ª I 1L º «I » « 2L » «¬ I 0L »¼

0 º ªU 1L º » 0 » ««U 2L »» 0 »» «¬U 0L »¼ ¼

0 e  j5˜ʌ / 6 0

ª m5 « «0 «0 ¬

0 m 5

0

0 º ªU º 1L » 0 » ««U 2L »» 0 » «¬U 0L »¼ ¼

ªa 2  1 0 0 º ª I 1W º « » a  1 0 » «« I 2W »» « 0 « 0 0 0 » «¬ I 0W »¼ ¬ ¼ ª e j5˜ʌ / 6 « 3« 0 « 0 «¬

0 e j5˜ʌ / 6 0

0 º ª I 1W º » 0 » «« I 2W »» 0 »» «¬ I 0W »¼ ¼

ª m 5 « «0 «0 ¬

0 m5 0

0 º ª I 1W º » 0 » «« I 2W »» 0 » «¬ I 0W »¼ ¼

(2.68)

(2.69)

Der Index 5 an m5 zeigt an, dass die Mitsystemspannung UW1 in Gl. (2.68) um 5×30° = 150° gegenüber der Klemmenspannung U1L voreilt. Für die Schaltung im Bild 2.9 rechts gilt: ªU W1 º «U » « W2 » «¬U W3 »¼ ª I L1 º «I » « L2 » «¬ I L3 »¼

ª 1 1 0 º ªU L1 º « 0 1 1 » «U » « » « L2 » «¬ 1 0 1»¼ «¬U L3 »¼ ª 1 0 1 º ª I 1W º « 1 1 0 » « I » « » « 2W » «¬ 0 1 1»¼ «¬ I 0W »¼

(2.70)

(2.71)

2.2 Transformatoren

33

und für die Symmetrischen Komponenten: ªU 1W º «U » « 2W » «¬U 0W »¼

ªa 2  1 0 0 º ªU 1L º « » a  1 0 » ««U 2L »» « 0 « 0 0 0 » «¬U 0L »¼ ¬ ¼ ªe  j5˜ʌ / 6 « 3« 0 « «¬ 0

ª I 1L º « » « I 2L » «¬ I 0L »¼

0 º ªU 1L º » 0 » ««U 2L »» 0 »» «¬U 0L »¼ ¼

0 e j5˜ʌ / 6 0

ª m 5 « «0 «0 ¬

0 m5 0

(2.72)

0 º ªU 1L º » 0 » ««U 2L »» 0 » «¬U 0L »¼ ¼

0 0º ª I º ªa  1 1W « » 2 a  1 0 » «« I 2W »» « 0 « 0 0 0 » «¬ I 0W »¼ ¬ ¼ ª e j5˜ʌ / 6 « 3« 0 « 0 «¬

0 e j5˜ʌ / 6 0

0 º ª I 1W º » 0 » «« I 2W »» 0 »» «¬ I 0W »¼ ¼

ª m5 « «0 «0 ¬

0 m 5

0

(2.73)

0º ª I º 1W » 0 » «« I 2W »» 0 » «¬ I 0W »¼ ¼

Die Gln. (2.68) und (2.69) sowie (2.72) und (2.73) lassen sich mit den allgemeinen Bezeichnungen m1 und m2 für die Phasendrehung und Betragsänderung im Mit- und Gegensystem in den folgenden zwei Gleichungen zusammenfassen: ªU 1W º «U » « 2W » «¬U 0W »¼ ª I 1L º «I » « 2L » «¬ I 0L »¼

ª m1 «0 « «¬ 0 ª m1 « «0 « «¬ 0

0 m2 0 0

m2

0

0 º ªU 1L º 0 »» ««U 2L »» 0 »¼ «¬U 0L »¼

(2.74)

0º ª I º » 1W 0 » «« I 2W »» » 0 » «¬ I 0W »¼ ¼

(2.75)

Im Bild 2.10 sind die Beziehungen der Gln. (2.74) und (2.75) durch ideale Übertrager mit den komplexen Übersetzungsverhältnissen m1 und m2 im Mit- und Gegensystem dargestellt. Aus den letzten Zeilen der Gln. (2.74) und (2.75) folgt, dass die Dreieckwicklung im Nullsystem kurzgeschlossen und der Klemmenstrom Null ist.

m1 :1

m1 :1

I 1W U 1W

I 1L U 1L

I 2W U 2W

I 0W

I 2L U 2L

U 0W

I 0L 0

0 U 0L

Bild 2.10. Beziehungen zwischen den Symmetrischen Komponenten der Wicklungs- und Klemmengrößen bei Dreieckschaltung der Wicklung

34

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Zickzackschaltung Bei der Zickzackschaltung ist jeder Wicklungsstrang in zwei Hälften I und II geteilt und auf zwei Schenkel verteilt angeordnet. Das Bild 2.11 zeigt eine mögliche Form der Zickzackschaltung. II

II

U Wi , I Wi

I

I

U Wi , I Wi I L1 I L2

I L3

U L3 U L2 U L1

Bild 2.11. Zusammenhang zwischen Wicklungs- und Klemmengrößen bei Zickzackschaltung

Die Maschenumläufe und Knotenpunktsätze der Schaltung im Bild 2.11 liefern: ªU L1 º «U » « L2 » «¬U L3 »¼

ªU IW1 º 0 1 0 º ªU IIW1 º « I » «ª « II »  «U W2 »  «0 0 1 »» «U W2 » « I » « « II » «¬U W3 »¼ ¬1 0 0 »¼ «¬U W3 »¼

(2.76)

ª I L1 º «I » « L2 » «¬ I L3 »¼

ª I IW1 º « I » « I W2 » « I » «¬ I W3 »¼

(2.77)

ª I IW1 º « I » « I W2 » « I » «¬ I W3 »¼

ª0 0 1 º ª I L1 º «1 0 0 » « I » « » « L2 » ¬«0 1 0 ¼» «¬ I L3 ¼»

(2.78)

und für die Symmetrischen Komponenten: ªU 1L º «U » « 2L » «¬U 0L »¼

I º ªU 1W ªa 2 « I » «  «U 2W »  « 0 « I » « «¬U 0W »¼ ¬ 0

I º ª I 1W « I » « I 2W » « I » «¬ I 0W »¼

ª I 1L º  «« I 2L »» «¬ I 0L »¼

II 0 0 º ªU 1W º » « II » a 0 » «U 2W » « » 0 1 » «U II » ¼ ¬ 0W ¼

(2.79)

(2.80)

2.2 Transformatoren II º ª I 1W « II » « I 2W » « II » «¬ I 0W »¼

ªa 0 « 2 «0 a «0 0 ¬

35

0º ª I º 1L » 0 » «« I 2L »» 1 » ¬« I 0L ¼» ¼

(2.81)

Aus der Addition der Gln. (2.80) und (2.81) erhält man: I II º ª I 1W  I 1W « » II « I I2W  I 2W » « I II » I  I 0W ¬« 0W ¼»

0 0º ª I º ªa  1 1L « » 2 a  1 0 » «« I 2L »» « 0 « 0 0 0 » «¬ I 0L »¼ ¬ ¼

ª m5 « «0 «0 ¬

0

m5

0

0º ª I º 1L » 0 » «« I 2L »» 0 » «¬ I 0L »¼ ¼

(2.82)

Auf der Grundlage der Gln. (2.79) und (2.82) lassen sich die Schaltungen im Bild 2.12 angeben. a 2 :1 II II I 1W U 1W

I I 1W

I 1L U 1L

I U 1W

1:1

a :1 II

I 2W U II2W

I 2L

U 2L

I I I 2W U 2W

1:1

II

II I 0W U 0W

I 0L

U 0L

I I I 0W U 0W

1:1

1:1

Bild 2.12. Beziehungen zwischen den Symmetrischen Komponenten der Wicklungs- und Klemmengrößen bei Zickzackschaltung

2.2.3 Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten Durch die Möglichkeiten der Stern- Dreieck- oder Zickzackschaltung der Wicklungen entstehen die Schaltgruppen der Transformatoren. Die Bezeichnung der Schaltgruppen erfolgt durch Kennbuchstaben für die Art der Schaltung der Wicklungen und eine Kennzahl k, die angibt, um das wie vielfache von ʌ/6 30° die Mitsystemspannung der Oberspannungsseite der der Unterspannungsseite bei Leerlauf vorauseilt. Die Kennbuchstaben sind aus der Tabelle 2.1 ersichtlich. Tabelle 2.1. Kennbuchstaben der Schaltgruppe

Schaltung

Stern

Dreieck

Zickzack

Oberspannungsseite

Y

D

Z

Unterspannungsseite

y

d

z

36

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Von der Vielzahl der möglichen Schaltgruppen werden in Deutschland und im europäischen Ausland die vier Schaltgruppen Yy0, Yd5, Dy5 und Yz5 bevorzugt. Im Folgenden werden deren Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten hergeleitet. Die Klemmen der Oberspannungsseite (Primärseite) werden mit A und die der Unterspannungsseite (Sekundärseite) mit B bezeichnet.

Schaltgruppe Yy0 Beide Seiten sind im Stern geschaltet. Für das Mit- und Gegensystem sind die Klemmengrößen auf beiden Seiten mit den Wicklungsgrößen identisch (Bild 2.8). Folglich entsprechen die Klemmenersatzschaltungen für das Mit- und Gegensystem im Bild 2.13 der Ersatzschaltung für die Wicklungsgrößen im Bild 2.6. ü 2 Z ıs

Z ıp

A

I 1B / ü

I 1A Z 1mp

U 1A

ü :1

B

I 1B

üU 1B

U 1B

Bild 2.13. Mitsystemersatzschaltung für die Schaltgruppe Yy0 mit auf die Oberspannungsseite (A) umgerechneten Unterspannungsgrößen (B)

Das Spannungsübersetzungsverhältnis ist für alle drei Komponenten reell und dem Windungszahlverhältnis gleich. ü1Yy0

ü2Yy0

ü0Yy0

ü

n

wp ws

U rOS U rUS

(2.83)

Für das Nullsystem gilt auf beiden Seiten unter der Annahme endlicher Sternpunktimpedanzen: U 0A

U 0p  U MA

U 0p  3Z MA I 0A

(2.84)

U 0B

U 0s  U MB

U 0s  3Z MB I 0B

(2.85)

Durch Ergänzen der Wicklungsersatzschaltung (Bild 2.6) entsprechend den Gln. (2.84) und (2.85) oder nach Bild 2.8, ergibt sich die Nullsystemersatzschaltung in Bild 2.14a. Rechnet man die Sternpunkt-Erde-Impedanz auf der Seite B noch auf die Oberspannungsseite um, so erhält man die Ersatzschaltung in Bild 2.14b. Im Nullsystem liegen die Sternpunkt-Erde-Impedanzen im Längszweig in Reihe mit den Streuimpedanzen. Ist ein Sternpunkt nicht geerdet ( Z M o f ), so entsteht an der betreffenden Stelle in der Ersatzschaltung eine Unterbrechung, über der die Sternpunkt-Erde-Spannung liegt. Sobald ein Sternpunkt nicht geerdet ist, kann der Transformator kein Nullsystem mehr übertragen.

2.2 Transformatoren a)

3Z MA

A

37

ü 2 Z ıs

Z ıp

3Z MB

I 0B / ü

I 0A U 0A

Z 0mp

3Z MA

b) A

ü :1

I 0B U 0B

üU 0B

ü 2 Z ıs

Z ıp

ü 2 3Z MB

U 0A

Z 0mp

ü :1

B

I 0B

I 0B / ü

I 0A

B

üU 0B

U 0B

Bild 2.14. Nullsystemersatzschaltungen für die Schaltgruppe Yy0 mit auf die Oberspannungsseite umgerechneten Unterspannungsgrößen a) mit ZMB auf der Unterspannungsseite b) ZMB auf die Oberspannungsseite umgerechnet

Schaltgruppe Yd5 Die Oberspannungsseite ist im Stern geschaltet, die Unterspannungsseite im Dreieck. Im Mitund Gegensystem sind die Klemmengrößen auf der Seite A mit den Wicklungsgrößen identisch. Zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen auf der Unterspannungsseite vermitteln die Gln. (2.74) und (2.75) mit m1 = m5. U 1s I 1s

m5 U 1B

1 m 5

3 U 1B e j5ʌ / 6

(2.86)

I 1B e j5ʌ / 6

(2.87)

1

I 1B

3

Für das Mitsystem ist die Wicklungsersatzschaltung (Bild 2.6) ist auf der Seite B um einen komplexen Übertrager mit dem Übersetzungsverhältnis m5 zu ergänzen (Bild 2.15a). Durch Zusammenfassen der Übertrager wie im Bild 2.15b erhält man ein komplexes Übersetzungsverhältnis: wp

n ˜ m5

ü1Yd5

ws

3 e j5˜ʌ / 6

ü e j5˜ʌ / 6

(2.88)

mit dem Betrag ü

3

wp ws

U rOS U rUS

(2.89)

38

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Die Ersatzschaltung für das Gegensystem entspricht der des Mitsystems jedoch mit dazu konjugiert komplexem Übersetzungsverhältnis ü 2Yd5

ü1Yd5

a)

n ˜ m5

ü e  j5˜ʌ / 6

'

n2 Z ıs

Z ıp

A

Z 1mp

U 1A

Z ıp

A

I 1A

U 1A

m5 :1

n :1

B

I 1B

I 1s / n

I 1A

b)

(2.90)

U 1B

nU 1s

ü 2 Z ıs

I 1B / ü1Yd5

Z 1mp ü 1Yd5 U 1B

ü1Yd5 :1

B

I 1B

U 1B

Bild 2.15. Mitsystemersatzschaltung der Schaltgruppe Yd5 mit auf die Oberspannungsseite umgerechneten Impedanzen a) mit getrennten Übertragern n und m5 b) mit komplexem Übersetzungsverhältnis ü1Yd5 und äquivalenter Sternschaltungsimpedanz ZVs.

Die Nullsystemersatzschaltung im Bild 2.16 folgt aus der Wicklungsersatzschaltung (Bild 2.6) mit den Bedingungen für die Sternschaltung auf der Oberspannungsseite entsprechend Bild 2.8 und den der Dreieckschaltung auf der Unterspannungsseite im Bild 2.10. Die im Dreieck geschaltete Unterspannungswicklung ist kurzgeschlossen, so dass sie bei oberspannungsseitig eingeprägtem Nullsystem eine Gegendurchflutung aufbringen kann. Ein Nullsystem kann weder auf der Unterspannungsseite eingeprägt werden, noch zwischen Unter- und Oberspannungsseite übertragen werden.

2.2 Transformatoren

39 ü 2 Z ıs

Z ıp

3Z MA

A

B

I 0B

I 0s / n

I 0A U 0A

Z 0mp

nU 0s

0

0 U 0B

Bild 2.16. Nullsystemersatzschaltung der Schaltgruppe Yd5 mit auf die Oberspannungsseite umgerechneten Impedanzen

Schaltgruppe Dy5 Die Oberspannungsseite ist im Dreieck geschaltet, die Unterspannungsseite im Stern. Im Mitund Gegensystem sind die Klemmen- und Wicklungsgrößen auf der Unterspannungsseite B identisch. Auf der Oberspannungsseite gilt den Gln. (2.74) und (2.75) entsprechend U 1A I 1A

1 U 1p m1 m1 I 1p

1 m 5

U 1p

1 3

e j5ʌ / 6 U 1p

(2.91)

3e j5ʌ / 6 I 1p

m5 I 1p

(2.92)

Durch Anfügen eines komplexen Übertragers mit dem Übersetzungsverhältnis 1/ m5 :1 an die Oberspannungsseite der Wicklungsersatzschaltung nach Bild 2. 6 entsteht die Mitsystemersatzschaltung mit den Klemmengrößen im Bild 2.17a. Es ist zu beachten, dass die Wicklungsgrößen der Unterspannungsseite zunächst mit dem Windungszahlverhältnis n = wp/ws auf die im Dreieck geschaltete Oberspannungsseite umgerechnet sind. Demzufolge stellen die Impedanǻ

ǻ

zen Z ǻıp , Z ıs und Z 1m (und ebenso im Gegen- und Nullsystem) Dreieckschaltungsgrößen dar. Durch Umrechnung der Impedanzen in äquivalente Sternschaltungsimpedanzen (ohne oberen Index) und Zusammenfassen der Übertrager erhält man die Mitsystemersatzschaltung im Bild 2.17b mit dem komplexen Übersetzungsverhältnis ü1Dy5 ü

n˜ wp

3 ws

wp

1 m 5 U rOS U rUS

3 ws

e j5˜ʌ / 6

ü e j5˜ʌ / 6

(2.93)

(2.94)

Die Ersatzschaltung für das Gegensystem entspricht der des Mitsystems im Bild 2.17b jedoch mit ü 2Dy5

ü1Dy5

(2.95)

40

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten 1

a)

m5

A

:1

'

' Z ıp

n2 Z ıs

I 1A ' Z 1mp

U 1A

b)

I 1B

U 1B

nU 1B

ü1Dy5 :1

I 1B / ü1Dy5

I 1A

U 1A

B

I 1B / n

ü 2 Z ıs

Z ıp

A

n :1

Z 1mp

B

I 1B

U 1B

ü1Dy5 U 1B

Bild 2.17. Mitsystemersatzschaltung der Schaltgruppe Dy5 mit auf die Oberspannungsseite umgerechneten Impedanzen a) mit getrennten Übertragern n und 1/m5* b) mit komplexem Übersetzungsverhältnis ü1.

Die im Bild 2.18 angegebene Nullsystemersatzschaltung ergibt sich analog zu der der Schaltgruppe Yd5 im Bild 2.16 durch Vertauschen der Wicklungsseiten. Das Übersetzungsverhältnis ist ü0Dy5

(2.96)

ü

ü 2 Z ıs

Z ıp

A

I 0A

0

U 0A

ü 2 3Z MB ü 2 :1

I 0B / ü Z 0mp

üU 0B

B

I 0B U 0B

Bild 2.18. Nullsystemersatzschaltung der Schaltgruppe Dy5 mit auf die Oberspannungsseite umgerechneten Impedanzen

Schaltgruppe Yz5 Die Oberspannungswicklung ist im Stern geschaltet und die Unterspannungswicklung als Zickzackschaltung ausgeführt. Durch die Aufteilung der Unterspannungswicklungen in je zwei Teilwicklungen müssen die Gln. (2.42) und (2.43) für die Wicklungsgrößen entsprechend er-

2.2 Transformatoren

41

weitert werden. Für jede Symmetrische Komponente (i = 1, 2, 0) gilt dann bei Umrechnung der beiden Wicklungshälften I und II auf die Oberspannungsseite mit wp

n

2

ws / 2

wp

(2.97)

ws

Z ıp I ip  U ihp

U ip

nU iIs

I n 2 Z ıs

II

n 2 Z ıs

nU is

II

(2.98)

1 I I is  U ihp n

(2.99)

1 II I is  U ihp n

(2.100)

Der Gl. (2.79) entsprechend folgt für das Mitsystem:

nU 1B

 nU 1sI  a 2 nU 1sII

I  n 2 Z ıs

1 I II 2 1 II a I 1s  (a 2  1)U 1hp I 1s  n 2 Z ıs n n

(2.101)

nU 1sI  a 2 nU 1sII

I n 2 Z ıs

1 I II 1 I 1s  n 2 Z ıs I 1sII  (a 2  1)U 1hp an n

(2.102)

oder: nU 1B

Dieser Zusammenhang ist in der Ersatzschaltung im Bild 2.19a mit einem idealen Dreiwicklungsübertrager dargestellt. II

II n2 Z ıs I 1s / n

a)

1: a 2

n :1

B

Z ıp

A

I Z ıs

II nU 1s

I 1s / n

I nU 1s

n

2

I

I 1A

U 1A

U 1hp

Z 1mp

I 1B / n

nU 1B

I 1B

U 1B

1:1

b)

ü 2 Z ıs

Z ıp

A

I 1B / ü1Yz5

I 1A

U 1A

U 1hp

Z 1mp ü1Yz5 U 1B

ü1Yz5 :1

B

I 1B

U 1B

Bild 2.19. Mitsystemersatzschaltungen der Schaltgruppe Yz5 mit auf die Oberspannungsseite umgerechneten Impedanzen a) mit getrennten Übertragern b) mit komplexem Übersetzungsverhältnis

42

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten I

II

Weiter folgt aus der Gl. (2.102) mit den Gln. (2.80) und (2.81) sowie Z ıs  Z ıs a 1

m5

nU 1B

n 2 Z ıs

2

Z ıs und

: I 1B

 m5 U 1hp n

(2.103)

bzw.: n m 5

n2

U 1B

m5 m 5

Z ıs

m5 I 1B  U 1hp n

(2.104)

Nach Einführung des komplexen Übersetzungsverhältnisses für das Mitsystem: ü1Yz5

n˜

1

2 wp

m 5

3 ws

e j5˜ʌ / 6

ü e j5˜ʌ / 6

(2.105)

ergibt sich schließlich:

ü 2 Z ıs

ü1Yz5 U 1B

1

ü1Yz5

I 1B  U 1hp

(2.106)

und somit die Ersatzschaltung im Bild 2.19b. Die Ersatzschaltung für das Gegensystem entspricht wieder der des Mitsystems jedoch mit ü 2Yz5

ü1Yz5

ü e j5˜ʌ / 6

(2.107)

Für das Nullsystem erhält man nach den Gln. (2.79) bis (2.81):

nU 0B

I II nU 0s  nU 0s

1 I 1 II I 0s  I 0s n n

0

I n 2 Z ıs

1 I II 1 II I 0s  n 2 Z ıs I 0s n n

n 2 Z ıs

1 I 0B n

(2.108) (2.109)

Zu den Gln. (2.108) und (2.109) gehört die Ersatzschaltung im Bild 2.20a mit der Unterbrechung auf der Sekundärseite. Gemäß der Gl. (2.109) tragen die Sekundärströme in Summe nicht zur Magnetisierung bei.

2.2 Transformatoren

43

a)

II II n2 Z ıs I 0s / n 1:1

n :1

B

Z ıp

A

II nU 0s

I I 0s /n

nU 0s

n

I 0A U 0A

I Z ıs

U 0hp

2

I

Z 0mp

I 0B

I 0B / n nU 0B

U 0B

1:1

b) ü 2 Z ıs

Z ıp

A

I 0B / ü

I 0A U 0A

U 0hp

Z 0mp

üU 0B

ü :1

B

I 0B U 0B

Bild 2.20. Nullsystemersatzschaltung der Schaltgruppe Yz5 a) mit Wicklungsgrößen b) mit auf die Oberspannungsseite umgerechneten Impedanzen

Multipliziert man die Gl. (2.108) noch mit 1/ 3 und nimmt auf der rechten Seite noch eine Erweiterung um 3 im Zähler und Nenner vor, so erhält man: üU 0B

ü 2 Z ıs

1 I 0B ü

(2.110)

mit dem Übersetzungsverhältnis für das Nullsystem: ü0Yz5

ü

2 wp 3 ws

(2.111)

Zu der Gl. (2.110) lässt sich die Ersatzschaltung im Bild 2.20b angeben.

2.2.4 Stromgleichungen für die Symmetrischen Komponenten ohne Übertrager Die in den vorangegangenen Abschnitten angegebenen Ersatzschaltungen mit Übertragern für die Umrechnung der Größen der Seite B auf die Seite A (oder umgekehrt) sind für die Berechnung größerer Netze und damit als Grundlage für Computerprogramme ungeeignet, weil man sämtliche Netzgrößen der Seite B umrechnen und später bei der Ausgabe wieder zurückrechnen muss. Sind auf der Seite B weitere Transformatoren angeschlossen, so kann sich die Umrechnung ggf. über mehrere Spannungsebenen erstrecken.

44

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Um diese Prozedur zu vermeiden, werden im Folgenden Gleichungen mit Originalklemmenströmen und -spannungen für jede Seite hergeleitet. Ausgangspunkt sind die Ersatzschaltungen für die Symmetrischen Komponenten im Abschnitt 2.2.3.

Mit- und Gegensystem Die Mit- und Gegensystemersatzschaltungen haben für alle Schaltgruppen die im Bild 2.21 dargestellte Form. Die des Gegensystem unterscheidet sich von der des Mitsystem nur durch

das Übersetzungsverhältnis, für das ü 2

Y 1B

Y 1A

A

ü1 gilt.

ü1 :1

I 1B / ü1

I 1A

U 1A

U 1h

Y 1m

ü1U 1B

B

I 1B

U 1B

Bild 2.21. Allgemeine Form der Mitsystemersatzschaltungen der Zweiwicklungstransformatoren mit auf die Primärseite umgerechneten Sekundärgrößen

Aus Bild 2.21 erhält man für die Klemmenströme nach dem Knotenpunktverfahren, zunächst noch mit umgerechneten Größen der Seite B: ª I 1A º « 1 » «ü1 I 1B » « 0 » ¬ ¼

ª Y 1A « « 0 « Y ¬ 1A

º ª U 1A º Y 1A 0 »« » Y 1B Y 1B » «ü1U 1B » Y 1B Y 1A  Y 1B  Y 1m »¼ «¬ U 1h »¼

(2.112)

und nach Elimination der Hauptfeldspannung: ª I 1A º « 1 » ¬«ü1 I 1B ¼»

Y 1A

Y 1A Y 1B º ª U 1A º ªY 1A (Y 1B  Y 1m ) 1 « Y Y Y 1B (Y 1A  Y 1m ) »¼ «¬ü1U 1B »¼  Y 1B  Y 1m ¬ 1B 1A

(2.113)

mit den für die Seite A bereitgestellten Admittanzen Y 1A , Y 1B und Y 1m , deren Bedeutung aus der Tabelle 2.2 ersichtlich ist.

2.2 Transformatoren

45

Tabelle 2.2. Elemente der Mit-, Gegen- und Nullersatzschaltungen des Transformators

Y iA

Y iB

Y im

1/ Z ıp

' 1/ Z ıs

1/ Z 1m

Yy0

1/( Z ıp  3Z MA )

1/( Z ıs  3Z MA )

1/ Z 0m

Yd5

1/( Z ıp  3Z MA )

' 1/ Z ıs

1/ Z 0m

Yz5

1/( Z ıp  3Z MA )

' 1/ Z ıs

1/ Z 0m

Dy5

1/ Z ıp

' ) 1/( Z ıs  3Z MB

1/ Z 0m

Komponente

Schaltgruppe

Mit- und Gegensystem

alle

Nullsystem

' Z ıs

' ü 2 Z ıs , Z MB

ü 2 Z MB

Durch die Einführung von Admittanzen kann in einem Rechenprogramm auch leicht der Fall der Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes durch Nullsetzen der Admittanz Y1m berücksichtigt werden. Zieht man in Gl. (2.113) das Übersetzungsverhältnis und den dazu konjugiert komplexen Ausdruck in die Admittanzmatrix hinein, so erhält man die angestrebte Stromgleichung mit Originalgrößen: ª I 1A º «I » ¬ 1B ¼

Y 1A

ü1 Y 1A Y 1B ªY 1A (Y 1B  Y 1m ) º ªU 1A º « »« »

2 ü Y 1B (Y 1A  Y 1m ) »¼ ¬U 1B ¼ «¬ ü1 Y 1B Y 1A Y 1AB º ªU 1A º Y 1BB »¼ «¬U 1B »¼

1  Y 1B  Y 1m

ªY 1AA «Y ¬ 1BA

(2.114)

Bei Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes vereinfacht sich Gl. (2.114) mit Y 1m zu: ª I 1A º «I » ¬ 1B ¼

Y 1A Y 1B ª 1 « Y 1A  Y 1B ¬« ü1

ü1 º ªU 1A º »« » ü 2 ¼» ¬U 1B ¼

ª 1 Y 1AB « ¬« ü1

ü1 º ªU 1A º »« » ü 2 ¼» ¬U 1B ¼

(2.115)

mit: Y 1AB

' ) 1/( Z ıp  Z ıs

Die Admittanzmatrix in Gl. (2.115) ist singulär, da die für Ströme I 1B

0

ü1 I 1A gilt.

46

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Analog zu Gl. (2.114) erhält man für das Gegensystem mit ü 2 ª I 2A º « » ¬ I 2B ¼

Y 1A

ü1 :

ü 2 Y 1A Y 1B º ªU 2A º ªY 1A (Y 1B  Y 1m ) « »« »

2 ü Y 1B (Y 1A  Y 1m ) »¼ ¬U 2B ¼ «¬ ü 2 Y 1B Y 1A Y 2AB º ªU 2A º Y 2BB »¼ «¬U 2B »¼

1  Y 1B  Y 1m

ªY 2AA «Y ¬ 2BA

(2.116)

Nullsystem Für die Elemente der Ersatzschaltungen in Abschnitt 2.2.3 werden die Admittanzen Y 0A , Y 0B und Y 0m nach Tabelle 7.2 eingeführt. Sie hängen im Gegensatz zum Mit- und Gegensystem der Schaltgruppe, der Art der Sternpunkterdung und der Kernbauart ab. Ist der Sternpunkt einer Seite nicht geerdet, so wird die betreffende Impedanz Z M i (i = A, B) unendlich groß und die betreffende Admittanz Y 0i Null. Für Transformatoren mit freiem magnetischem Rückschluss (Drehstrombänke und Fünfschenkeltransformatoren) kann Y 0m Y 1m gesetzt werden. Mit den Y 0A , Y 0B und Y 0m lässt sich auf dem gleichen Weg wie für das Mit- und Gegensystems eine einheitliche Gleichung für die Klemmenströme des Nullsystems, jedoch mit von der Schaltgruppe abhängigen Admittanzelementen, formulieren: ª I 0A º «I » ¬ 0B ¼

ªY 0AA «Y ¬ 0BA

Y 0AB º ªU 0A º Y 0BB »¼ «¬U 0B »¼

(2.117)

Schließlich werden die Gln. (2.115) bis (2.117) noch zusammengefasst zu: ª I 1A º «I » « 2A » « I 0A » « » « I 1B » « I 2B » « » «¬ I 0B »¼

ªY 1AA « « « « «Y 1BA « « «¬

ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ªY SAA «Y ¬ SAA

Y 1AB Y 2AA

Y 2AB Y 0AA Y 1BB

Y 2BA

Y 2BB Y 0BA

Y SAA º ª uSA º Y SAA »¼ ¬« uSB ¼»

º ªU 1A º » «U » » « 2A » Y 0AB » «U 0A » » »« » «U 1B » » «U 2B » » »« Y 0BB »¼ «¬U 0B »¼

(2.118a)

(2.118b)

Die Admittanzelemente Y iAA , Y iAB , Y iBA und Y iBB sind in der Tabelle 2.3 zu entnehmen. Die Nullelemente in den Admittanzmatrizen der Schaltgruppen mit Dreieck- oder Zickzackschaltung einer Wicklungsseite weisen darauf hin, dass diese Schaltgruppen keinen Nullstrom übertragen können. Bei den Schaltgruppen mit Sternschaltung einer Wicklungsseite werden die Eingangsadmittanz und die Übertragungsadmittanzen Null, wenn der entsprechende Sternpunkt nicht geerdet ist. Bei der Schaltgruppe Yy0 werden alle Admittanzen in Tabelle 2.3 Null, wenn beide Sternpunkte nicht geerdet sind. Der Transformator hat dann auf beiden Seiten eine unendlich große Eingangsimpedanz. Sobald ein Sternpunkt nicht geerdet ist, kann ein Nullstrom nicht übertragen werden.

2.2 Transformatoren

47

Tabelle 2.3. Elemente der Mit-, Gegen- und Nullersatzschaltungen des Transformators KompoSG nente

Y i AA

Y i AB

Y i BA

Y i BB

Mitsystem

alle

Y 1A (Y 1B  Y 1m ) ü1 Y 1A Y 1B ü1 Y 1A Y 1B   Y 1A  Y 1B  Y 1m Y 1A  Y 1B  Y 1m Y 1A  Y 1B  Y 1m

ü 2 Y 1B (Y 1A  Y 1m ) Y 1A  Y 1B  Y 1m

Gegensystem

alle

Y 1A (Y 1B  Y 1m ) ü 2 Y 1A Y 1B ü 2 Y 1A Y 1B   Y 1A  Y 1B  Y 1m Y 1A  Y 1B  Y 1m Y 1A  Y 1B  Y 1m

ü 2 Y 1B (Y 1A  Y 1m ) Y 1A  Y 1B  Y 1m

Nullsystem

Yy0

ü Y 0A Y 0B Y 0A (Y 0B  Y 0m ) ü Y 0A Y 0B   Y 0A  Y 0B  Y 0m Y 0A  Y 0B  Y 0m Y 0A  Y 0B  Y 0m

ü 2 Y 0B (Y 0A  Y 0m ) Y 0A  Y 0B  Y 0m

Yd5

Y 0A (Y 0B  Y 0m ) Y 0A  Y 0B  Y 0m

0

0

0

1/( Z ıp  3Z MA )

0

0

ü 2 Y 0B

0

0

0

ü 2 Y 0B (Y 0A  Y 0m ) Y 0A  Y 0B  Y 0m

Yz5 Dy5

Die Gl. (2.118) ist die Grundform der Transformatoren für die Verknüpfung mit anderen Elementen nach dem Knotenpunktverfahren. Sie entspricht in ihrem Aufbau der Grundgleichung (2.20) für die Leitungen. Eine andere Möglichkeit der Herleitung der Transformatorgleichungen besteht in der Verwendung von Schaltungsmatrizen für die Verbindung der Wicklungsgrößen mit den Klemmengrößen. Diese Methode kann einheitlich für alle Schaltgruppen, die keine Zickzackschaltung aufweisen, angewendet werden. In Hinblick auf eine Sternschaltung der Wicklungen mit geerdetem Sternpunkt wird im Nullsystem jeder Wicklungsseite zunächst eine endliche dreifache Sternpunktimpedanz zugeordnet, die nur dann von Null verschieden ist, wenn die betreffende Wicklung in der speziellen Schaltgruppe auch tatsächlich im Stern geschaltet ist (Bild 2.22). Ist der Sternpunkt einer Seite nicht geerdet, so wird die betreffende Sternpunktimpedanz unendlich groß, wodurch im Nullsystemersatzschaltbild auf der entsprechenden Seite eine Unterbrechung entsteht.

3Z MA

p

n2 Z ıs

Z ıp

U 0p

Z 0mp

nU 0s

n :1

s

I 0s

I 0s / n

I 0p  U 0p

3n 2 Z MB

+ nU 0s

+ U 0s

Bild 2.22. Erweiterte Nullsystemersatzschaltung der Wicklungsgrößen mit Sternpunkt-Erde-Impedanzen

48

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Mit den zusätzlichen Sternpunktimpedanzen im Nullsystem nimmt die Gl. (2.52) folgende Form an. ª U 1p º « » « U 2p » «  » « U 0p » « nU » « 1s » « nU 2s » «  » «¬ nU 0s »¼

ª Z 1p « « « « « « Z 1mp « « « «¬

Z 1mp Z 2p

Z 2mp  Z 0p

n 2 Z 1s n 2 Z 2s

Z 2mp Z 0mp

º » ª I 1p º » »« I » « 2p » Z 0mp » « I » 0p » »« « » I 1s / n » » « I / n» » « 2s » « » 2  » ¬ I 0s / n ¼ n Z 0s »¼

(2.119)

mit den erweiterten Nullimpedanzen und -spannungen:  Z 0p

Z 0p  3Z MA

Z ıp  3Z MA  Z 0mp

 Z 0s

Z 0s  3Z MB

Z ıs  3Z MB  Z 0mp

 U 0p

U 0p  3Z MA I 0p

(2.122)

U 0s  3Z MB I 0s

(2.123)



U 0s

 Z ıp  Z 0mp  Z ıs  Z 0mp

(2.120) (2.121)

Die Umstellung der Gl. (2.119) nach den Wicklungsströmen ergibt: ª I 1p º « » « I 2p » « I » « 0p » « I 1s / n » « » « I 2s / n » « I / n» ¬ 0s ¼

ªY 1pp « « « « «Y 1sp « « « ¬«

Y 1ps Y 2pp

Y 2ps Y 0p Y 1ss

Y 2sp

Y 2ss Y 0sp

º ª U 1p º » »« » « U 2p » Y 0ps » «« U  »» » 0p » « nU » » « 1s » » « nU 2s » »«  » Y 0ss ¼» ¬« nU 0s ¼»

(2.124a)

mit der Kurzform: ª i Sp º « 1 » ¬« n i Ss ¼»

 ªY Spp Y Sps º ª uSp º « » « »  ¬«Y Ssp Y Sss ¼» ¬« n uSs ¼»

(2.124b)

und den in Tabelle 2.4 zusammengestellten Admittanzelementen. Dabei ist zu beachten, dass die Admittanzen der Wicklungen je nach Schaltung Stern- oder Dreiecksgrößen darstellen können. Die Admittanzen einer Wicklung in Dreieckschaltung sind um ein Drittel kleiner als die der äquivalenten Sternschaltung.

2.2 Transformatoren

49

Tabelle 2.4. Elemente der Mit- Gegen- und Nullersatzschaltungen des Transformators

Komponente

Y ipp

Y ips

Mit- und Gegensystem

Y ıp (Y ıs  Y 1m ) Y ıp  Y ıs  Y 1m

Y ıp Nullsystem

1/ Z ıp , Y ıs





Y isp

Y iss

Y ıp Y ıs

Y ıs (Y ıp  Y 1m )

Y ıp  Y ıs  Y 1m

Y ıp  Y ıs  Y 1m

1/(n 2 Z ıs ), Y 1m



Y ıp (Y ıs  Y 0m ) 



Y ıp  Y ıs  Y 0m  Y ıp





 1/( Z ıp  3Z MA ), Y ıs

1/ Z 1m 





Y ıp Y ıs

Y ıs (Y ıp  Y 0m )



Y ıp  Y ıs  Y 0m



Y ıp  Y ıs  Y 0m



1/(n 2 Z ıs  3n 2 Z MB ), Y 0m



1/ Z 0m

Die im Abschnitt 2.2.2 angegebenen Zusammenhänge zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen lassen sich mit Schaltungsmatrizen allgemein wie folgt formulieren. ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ª K SA «  ¬

 º ª i Sp º « » K SB »¼ ¬« i Ss ¼»

(2.125)

 º ª uSp « »  » «¬ uSs ¼

ª K SA « «¬ 

 º ª uSA º »« »

K SB ¼» ¬ uSB ¼

(2.126)

Die Schaltungsmatrizen sind in der Tabelle 2.5 für die Vorzugsschaltgruppen außer der Schaltgruppe Yz5 angegeben. Nach Einsetzen der Gln. (2.125) und (2.126) in die Gl. (2.124) erhält man wieder die allgemeine Form der Transformatorgleichung (Gl. (2.118)). ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ª K SA K SA Y Spp «

« n K SB K SA Y Ssp ¬

n K SA K SB Y Sps º ª uSA º »« »

n 2 K SB K SB Y Sss »¼ ¬ uSB ¼

ªY SAA «Y ¬ SBA

Y SAB º ª uSA º Y SBB »¼ «¬ uSB »¼

(2.127)

Die Elemente der Untermatrizen sind aus der Tabelle 2.6 ersichtlich. Tabelle 2.5. Schaltmatrizen für die Schaltgruppen Yy0, Yd5 und Dy5

Schaltgruppe

Yy0

Yd5

Dy5

K SA

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

ª m5 « « « ¬

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

ª m 5 « « « ¬

K SB

m5

º » » 0» ¼

m5

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

º » » 0» ¼

50

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Tabelle 2.6. Admittanzmatrizen für die Schaltgruppen Yy0, Yd5 und Dy5

SG

Y SAA

Y SAB

Y SBA

Y SBB

Yy0

ªY 1pp º « » Y 2pp « » « » Y 0pp ¼» ¬«

ªY 1ps º « » n« Y 2ps » « » Y 0ps ¼» ¬«

ªY 1sp º « » n« Y 2sp » « » Y 0sp ¼» ¬«

ªY 1ss º » n 2 «« Y 2ss » «¬ Y 0ss »¼

Yd51

ªY 1pp º « » Y 2pp « » « » Y » 0pp ¼ ¬«

ª m5 Y 1ps º « »

n« m5 Y 2ps » « » 0» «¬ ¼

ª m 5 Y 1sp º « » n« m5 Y 2sp » « » 0» «¬ ¼

ªY 1ss º » 3n 2 «« Y 2ss » «¬ Y 0ss »¼

Dy52

ǻ ª3Y 1pp º « » ǻ « 3Y 2pp » « » 0» « ¬ ¼

ǻ ǻ ǻ ª3Y 1ss º ª m5 3Y 1ps º ª m 5 3Y 1sp º 2 « » « » « » n ǻ n« n

ǻ ǻ « » 3Y 1ss m5 3Y 2ps » « m5 3Y 2sp » » » 3« » 3 « 3« ǻ 3Y 1ss » 0» « 0» «¬ « ¼ ¬ ¼ ¬ ¼

1 Die Sekundärwicklung ist im Dreieck geschaltet. Die Umrechnung ihrer Streuimpedanz auf die Primärwicklung erfolgt in Tabelle 2.4 mit n2. Geht man von der äquivalenten Sterngröße aus, so ist diese mit ü2 auf die Primärseite umzurechnen. Gewöhnlich wird n2Zıs, Dreieck = ü2Zıs, Stern = Zıp, Stern gesetzt. 2 Die Sekundärwicklung ist im Stern geschaltet und wird mit n2 auf die im Dreieck geschaltete Primärwicklung umgerechnet. Folglich stellen alle nach Tabelle 2.4 berechneten Admittanzen Dreiecksgrößen dar. Da üblicherweise mit Sterngrößen (dreifacher Admittanzwert) gerechnet wird, wurde überall der Faktor 3 an die Elemente herangezogen. Rechnet man von vornherein in Tabelle 2.4 mit Sterngrößen und dann mit ü2 anstelle n2, so entfällt der Faktor 3 an den Admittanzen.

2.2.5 Bestimmung der Ersatzschaltungsparameter Die Elemente der Ersatzschaltung für die Primärseite erhält man aus der Kurzschlussspannung uk, den Wicklungs- und Leerlaufverlusten PVkr und PVlr, sowie dem bezogenen Leerlaufstrom il und den Bemessungsgrößen (Index r) wie folgt: Z ıp  ü 2 Z ıs Rp  ü 2 Rs X ıp  ü 2 X ıs

Z Tp RTp

uk PVkr

2 3I rTp

X Tp

2 U rTOS SrT 2 PVk U rTOS ˜ SrT SrT

2 2 Z Tp  RTp

Z Tp 1  ( RTp / X Tp ) 2

2.3 Generatoren, Motoren und Ersatznetze

Z mp RFep X mp

2 2  X hp RFep

51

2 1 U rTOS ˜ il SrT

2 U rTOS PVlr 2 2 Z mp  RFep

RTp und XTp werden gewöhnlich je zur Hälfte auf die Primär- und Sekundärseite aufgeteilt: Rp X ıp

1 RTp 2

ü 2 Rs ü 2 X ıs

1 X Tp 2

2.3 Generatoren, Motoren und Ersatznetze Die Gleichungen der Symmetrischen Komponenten der Generatoren (Synchron- und Asynchrongeneratoren), Motoren (Synchron- und Asynchronmotoren) und Ersatznetze (über- oder unterlagerte Netzäquivalente) sind Zweipolgleichungen entweder in Form von Spannungsoder Stromgleichungen. Die Spannungsgleichungen unter stationären und quasistationären Bedingungen werden für die Synchronmaschinen in den Abschnitten 8.4.4 bis und 8.4.6 und für die Asynchronmaschinen in den Abschnitten 8.5.4 und 8.5.6 ausführlich hergeleitet. Sie haben die folgende, auch für die Ersatznetze gültige, allgemeine Form und bilden die Ersatzschaltungen im Bild 2.23. U1

( R1  j X 1 ) I 1  U 1q

Z 1 I 1  U 1q

U2

( R2  j X 2 ) I 2

Z2 I2

(2.129)

U0

( R0  j X 0 ) I 0

Z0 I0

(2.130)

(2.128)

Unter der Voraussetzung symmetrisch aufgebauter Maschinen kommen Spannungsquellen nur im Mitsystem vor. Z1

Z2 I1

U 1q

01

Z0 I2

I0

U2

U1 02

U0 00

Bild 2.23. Ersatzschaltungen für die Generatoren, Motoren und Ersatznetze in Symmetrischen Komponenten mit Impedanzen und Quellenspannung im Mitsystem

52

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

In der Tabelle 2.7 sind die im stationären und quasistationären Zustand wirksamen Quellenspannungen und die zugehörigen Impedanzen des Mitsystems nochmals zusammengestellt. Tabelle 2.7. Mitsystemimpedanzen und Quellenspannungen der Generatoren, Motoren und Netze

R1  jX 1

U 1q

Betriebsmittel

Zustand

Z1

Synchrongeneratoren und Synchronmotoren (Abschnitt 8.4)

quasistationär

Ra  jX d''

U 1''

Ra  jX d'

U 1'

U1' (0) e jG1

stationär

Ra  jX d

Up

Up e

quasistationär

RS  jX S'

U 1'

f ( zL )

stationär

Z1

quasistationär und stationär

R1N  jX 1N

Asynchrongeneratoren und Asynchronmotoren (Abschnitt 8.5) Ersatznetze

Bemerkungen zL Läuferzustandsvariable

f ( zL )

gültig im ersten Sekundenbereich

'

jG p

Up

f (If )

zL Läuferzustandsvariable

schlupfabhängig s. Gl. (8.273)

Z 1 (s) U 1N

konstante innere Netzspannung

const.

Innere Zustandsvariable sind bei der Synchronmaschine die d,q-Komponenten der Läuferflussverkettungen, die Läuferwinkelgeschwindigkeit und der Läuferpositionswinkel. Bei der Asynchronmaschine bilden der Raumzeiger der Läuferflussverkettung und die Läuferwinkelgeschwindigkeit den inneren Zustandsvektor. Die Quellenspannungen stellen die Schnittstelle zwischen den Zustandsgleichungen und dem Netzgleichungssystem (s. Kapitel 3) und dar. Sie müssen während der zeitschrittweisen Simulation quasistationärer Zustände in jedem Zeitschritt durch parallele Lösung der Zustandsgleichungen aktualisiert werden. Die Spannungsgleichungen der Ersatznetze enthält für jeden Zustand eine nach Betrag und Winkel konstante Quellenspannung. Eine Übersicht über die Gegen- und Nullimpedanzen gibt die Tabelle 2.8 Tabelle 2.8. Gegen- und Nullsystemimpedanzen der Generatoren, Motoren und Netze

R2  jX 2

Betriebsmittel

Z2

Synchrongeneratoren und Synchronmotoren

1 j Ra  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  ( X d''  X q'' ) 4 2

Asynchrongeneratoren und Asynchronmotoren

RS 

Ersatznetze

R1N  jX 1N

kL2 RL  jX S' 2s

Z0

R0  jX 0

Ra  3RM +j(X 0a  3 X M )

RS  3RM +j(X 0S  3 X M )

R0N  jX 0N

2.3 Generatoren, Motoren und Ersatznetze

53

Für die Verknüpfung zum Netzgleichungssystem mit Hilfe der Knotenpunktsätze sind Stromgleichungen besser geeignet. Man erhält sie aus den Gln. (2.128) bis (2.130) durch Auflösen nach den Strömen: I1



1 1 U 1  U 1q Z1 Z1

I2



1 U2 Z2

Y 2 U 2

(2.132)

I0



1 U0 Z0

Y 0 U 0

(2.133)

Y 1U 1  Y 1U 1q

Y 1U 1  I 1q

(2.131)

Zu den Stromgleichungen gehören die Ersatzschaltungen im Bild 2.24.

I2

I1 I 1q

U1

Y1

Y2 02

01

I0

U2

Y0

U0

00

Bild 2.24. Ersatzschaltungen für die Generatoren, Motoren und Ersatznetze in Symmetrischen Komponenten mit Admittanzen und Quellenstrom im Mitsystem

Das elektrische Drehmoment berechnet sich im quasistationären Zustand bei der Synchronmaschine aus (s. Gl. (8.192)): Me

3

1 Re{U 1'' I 1  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 22 } 4 :0

(2.134)

oder: Me

3

1 Re{U 1 I 1  Ra I12  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 22 } 4 :0

(2.135)

und bei der Asynchronmaschine aus (s. Gl. (8.269) ohne den Index S): Me

3

:0

Re{U 1' I 1  3

p kL2 RL 2 I2 } Z0 2  s

(2.136)

oder: Me

3

:0

Re{U 1 I 1  RS I12 

kL2 RL 2 I2 } 2s

(2.137)

Die in den Ersatzschaltungen vorkommenden Ankerwiderstände, synchrone, transiente und subtransiente Reaktanzen erfragt man beim Maschinenhersteller. Die Nullimpedanzen der Maschinen liegen in der Größenordnung noch unter der subtransienten bzw. transienten Reaktanz, spielen in der Regel keine Rolle, da die Sternpunkte der Generatoren und Motoren gewöhnlich nicht geerdet sind.

54

2 Betriebsmittelgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Für die Ersatznetze erhält man den Betrag der Mitsystemimpedanz aus der Kurzschlussleistung: Z1N

2 1,1U nN

(2.138)

'' Sk3

Um auch noch die Reaktanz und den Wirkwiderstand bestimmen zu können muss das R-zu-XVerhältnis bekannt sein. Es liegt in der Größenordnung von 0,1. X 1N

R1N

Z1N R 1  ( 1N ) 2 X 1N (

(2.139)

R1N ) ˜ X 1N X 1N

(2.140)

Mit und Gegensystemimpedanz der Ersatznetze können gleich groß angenommen werden. Das Verhältnis der Nullsystemimpedanz zur Mitsystemimpedanz hängt von der Art der Sternpunkterdung ab. Es lässt sich durch das oft besser bekannte Verhältnis des einpoligen zum dreipoligen Kurzschlussstrom wie folgt ausdrücken (s. Abschnitt 5.4): Z 0N Z1N

3

'' I k3 '' I k1

2

(2.141)

Für Netze mit freiem Sternpunkt oder Resonanzsternpunkterdung wird Z0N sehr viel größer als Z1N, während Z0N für Netze mit starrer Sternpunkterdung in die Nähe von Z1N kommt, aber dennoch größer bleibt.

2.4 Nichtmotorische Lasten Nichtmotorische Lasten lassen sich nicht im Detail nachbilden, da sie sich aus einer Vielzahl unterschiedlicher Geräte zusammensetzen. Sie werden als spannungsabhängige Admittanzen im Mitsystem und durch konstante Admittanzen im Gegen- und Nullsystem nachgebildet. Die entsprechenden Ersatzschaltungen sind im Bild 2. 25 angegeben.

I1

Y1

01

I2

U1

Y2 02

I0

U2

Y0

U0

00

Bild 2.25. Ersatzschaltungen für die nichtmotorischen Lasten in Symmetrischen Komponenten

Vielfach wird auch im Mitsystem mit konstanten Admittanzen gerechnet. Bei der Berechnung von quasistationären Vorgängen entfällt dadurch ein Iterationszyklus (s. Kapitel 7). Bei der praktischen Kurzschlussstromberechnung nach IEC 60909 (DIN VDE 0102) werden die

2.4 Nichtmotorische Lasten

55

nichtmotorischen Lasten generell vernachlässigt, weil sie außer einem sehr schnellen Entladestrom keinen Beitrag zu den charakteristischen Kurzschlussstromgrößen leisten. Im Bereich des üblichen Spannungsbandes wird die Spannungsabhängigkeit der Wirk- und Blindleistung durch Exponentialfunktionen beschrieben. Sind die Leistungen PL0 und QL0 bei der Spannung U10 bekannt, so ergibt sich für die Admittanz des Mitsystems die Beziehung: Y 1 (U1 )

PL (U1 )  jQL (U1 ) 3U12

q p § U1 · § U1 · º 1 ª « » P j Q  ¨ ¸ ¨ ¸ L0 L0 3U12 « © U10 ¹ © U10 ¹ »¼ ¬

(2.142)

Die Spannungsexponenten p und q variieren unabhängig voneinander zwischen 1 und 2. Für p = q = 2 wird die Admittanz unabhängig von der Spannung. Bei der Leistungsflussberechnung (Kapitel 4) stellt die Spannungsabhängigkeit der Lasten (Knotenleistungen) keinen zusätzlichen Aufwand dar, da die Jacobimatrix ohnehin spannungsabhängig ist. Bei der Berechnung quasistationärer Vorgänge, wie z.B. der transienten Stabiltät, führt die Spannungsabhängigkeit der Lastadmittanzen dazu, dass in jedem Zeitschritt die Knotenadmittanzmatrix durch einen Iterationsprozess aktualisiert werden muss (s. Kapitel 7). Um den ständigen Neuaufbau der Admittanzmatrix zu vermeiden, wird der Strom in zwei Anteile aufgespaltet: I1

PL0  jQL0 2 3U10

 ǻI1

Y 10 U 1  ǻ I 1

(2.143)

Die konstante Admittanz Y10 wird in die Admittanzmatrix eingebaut, während die Stromänderung: ǻI1

q p § U1 · § U1 · º 1 ª « » U 1  Y 10 U 1 P Q j  ¨ ¸ ¨ ¸ L0 L0 3U12 « © U10 ¹ © U10 ¹ »¼ ¬

(2.144)

auf der rechten Seite iterativ berücksichtigt wird. Angaben zu den Gegensystem und Nullsystemadmittanzen sind in der Regel kaum zu erhalten. Bestenfalls kann man Annahmen zum Verhältnis machen.

3 Netzgleichungssysteme in Symmetrischen Komponenten Im Kapitel 2 wurden die Betriebsmittelgleichungen in Form von Stromgleichungen hergeleitet. Die Orientierung auf Stromgleichungen hat den Vorteil, dass diese ausschließlich auf der Grundlage der Knotenpunktsätze zum Netzgleichungssystem in Form des KnotenspannungsGleichungssystems verknüpft werden können. Die Knotenspannungen beschreiben den stationären Netzzustand eindeutig und werden deshalb auch als (stationärer) Zustandsvektor bezeichnet. Sind die Knotenspannungen bekannt, so können über die Betriebsmittelgleichungen die Betriebsmittelströme, Leistungsflüsse, Verluste und die Blindleistungsbilanz berechnet werden. Das Knotenspannungs-Gleichungssystem kann auch noch für die Untersuchung quasistationärer Zustände (Zustände mit gegenüber der Grundfrequenz langsamen Änderungen) herangezogen werden. Für ein symmetrisch aufgebautes und betriebenes Drehstromsystem sind die Symmetrischen Komponenten vollständig entkoppelt, so dass das passive Gegen- und Nullsystem nicht in Erscheinung treten. Für die Berechnung symmetrischer Zustände genügt demnach das Gleichungssystem für das Mitsystem. Unsymmetriezustände und Fehler (Kurzschlüsse und Unterbrechungen) treten gewöhnlich nur an wenigen Stellen des Netzes auf. An den Unsymmetriestellen (allgemein als Fehlerstellen bezeichnet) sind die Symmetrischen Komponenten nicht mehr entkoppelt, so dass auch das Gegen- und Nullsystem einbezogen werden. Da die Netzgleichungen in Symmetrischen Komponenten aber bis auf die wenigen (meist nur eine) Fehlerstellen entkoppelt bleiben, ist die Berechnung von Unsymmetriezuständen und unsymmetrischen Fehlern in Symmetrischen Komponenten dennoch der ausführlichen Berechnung mit Leitergrößen vorzuziehen. Im Folgenden werden zunächst die Gleichungssysteme für das symmetrische fehlerfreie Netz hergeleitet. Die Einbeziehung von Unsymmetriestellen und Fehlern erfolgt in den Kapiteln 5, 6 und 7.

3.1 Zusammengefasste Darstellung der Betriebsmittelgleichungen Die Gleichungen der Betriebsmittel in Symmetrischen Komponenten können nach der Anzahl der Klemmenpaare in die folgenden drei prinzipiellen Typen A, AB, ABC und ABCD eingeordnet werden.

Typ A Vom Typ A sind die Gleichungen der Generatoren, Motoren Ersatznetze, nichtmotorischen Lasten, Kondensatorbänken und Querdrosselspulen. Die Stromgleichungen für die Symmetrischen Komponenten des Typs A sind unter der Voraussetzung eines symmetrischen Aufbaus entkoppelte Zweipolgleichungen, die in der folgenden Gleichung zusammengefasst werden. Quellenströme kommen nur im Mitsystem der aktiven Betriebsmittel Generatoren, Motoren und Ersatznetze vor.

58

3 Netzgleichungssysteme in Symmetrischen Komponenten

ª I 1A º «I » « 2A » «¬ I 0A »¼

ªY 1A « « «¬

Y 2A

º ªU 1A º ª I 1q º » «U »  « 0 » » « 2A » « » Y 0A »¼ «¬U 0A »¼ «¬ 0 »¼

(3.1a)

oder kürzer i SA

Y SA uSA  i Sq

(3.1b)

Die Zählpfeilzuordnung nach dem Verbraucherzählpfeilsystem geht aus Bild 3.1 hervor. A BM Typ A

IiA

i-te

UiA

Komponente 0i

Bild 3.1. Zweipoldarstellung der Symmetrischen Komponenten (i = 1, 2, 0) mit Zählpfeilen für die Klemmengrößen für die Betriebsmittel vom Typ A

Ein Sonderfall stellt die Leistungsflussberechnung (s. Kapitel 4) dar, bei der die Betriebsmittel vom Typ A lediglich durch spannungsabhängige Quellenströme ohne parallel geschaltete Admittanzen nachgebildet werden.

Typ AB Zum Typ AB gehören die Einfachleitungen und Zweiwicklungstransformatoren. Ihre Stromgleichungen sind unter der Voraussetzung eines symmetrischen Aufbaus bzw. der Verdrillung von Freileitungen entkoppelte Vierpolgleichungen, die in der folgenden Gleichung zusammengefasst werden: ª I 1A º «I » « 2A » « I 0A » « » « I 1B » «I » « 2B » ¬« I 0B ¼»

ªY 1AA « « « « «Y 1BA « « ¬«

ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ªY SAA «Y ¬ SBA

Y 1AB Y 2AA

Y 2AB Y 0AA Y 1BB

Y 2BA

Y 2BB Y 0BA

Y SAB º ª uSA º Y SBB »¼ «¬ uSB »¼

º ªU 1A º » «U » » « 2A » Y 0AB » «U 0A » » »« » « U 1B » » «U » » « 2B » Y 0BB ¼» ¬«U 0B ¼»

(3.2a)

(3.2b)

Es ist zu beachten, dass die Admittanzmatrix für Transformatoren im allgemeinen Fall nicht symmetrisch ist. Im Abschnitt 2.2 war deshalb vereinbart worden, dass die Klemme A mit der Oberspannungsseite übereinstimmt.

3.1 Zusammengefasste Darstellung der Betriebsmittelgleichungen

59

Die Zählpfeilzuordnung nach dem Verbraucherzählpfeilsystem ist aus Bild 3.2 ersichtlich. A

B

I iA

BM Typ AB

U iA

i-te Y iA

Y iB

I iB U iB

Komponente

Bild 3.2. Vierpoldarstellung der Symmetrischen Komponenten (i = 1, 2, 0) mit Zählpfeilen für die Klemmengrößen für die Betriebsmittel vom Typ AB

Typ ABC Der Typ ABC tritt bei Dreiwicklungstransformatoren auf. Die Ersatzschaltungen der Symmetrischen Komponenten sind Sechspole, deren Stromgleichungen sich wieder in einer Matrizengleichung zusammenfassen lassen, von der im Folgenden nur die Kurzform angegeben wird: ª i SA º « » « i SB » «¬ i SC »¼

ªY SAA « «Y SBA «¬Y SCA

Y SAB Y SAC º ª uSA º Y SBB Y SBC »» «« uSB »» Y SCB Y SCC »¼ «¬ uSC »¼

(3.3)

Typ ABCD Die Gleichungen der Symmetrischen Komponenten von Doppelleitungen haben die grundsätzliche Form: ª i SA º «i » « SB » « i SC » « » ¬ i SD ¼

ªY SAA «Y « SBA «Y SCA « ¬Y SDA

Y SAB Y SAC Y SBB

Y SBC

Y SCB

Y SCC

Y SDB Y SDC

Y SAD º ª uSA º Y SBD »» «« uSB »» Y SCD » « uSC » » »« Y SDD ¼ ¬ uSD ¼

(3.4)

Als Besonderheit tritt bei den Doppelleitungen auch bei Verdrillung eine Kopplung zwischen den gleichartigen Komponentensystemen beider Leitungen auf /2/.

60

3 Netzgleichungssysteme in Symmetrischen Komponenten

3.2 Knotenspannungs-Gleichungssysteme Es werden die Knotenspannungs-Gleichungssysteme für die Berechnung der Effektivwerte der Netzgrößen bei Quer- und Längsfehlern (Kurzschlüsse und Unterbrechungen), der Reaktion auf Quer- und Längsfehler (Stabilitätsverhalten, Netzdynamik) und der Leistungsflüsse im stationären Zustand bereitgestellt. Die Gleichungssysteme unterscheiden sich lediglich durch die Einbeziehung der Betriebsmittel vom Typ A, wie sie aus der Tabelle 3.1 ersichtlich ist. Unabhängig vom Berechnungsziel erscheinen die Ströme der Betriebsmittel vom Typ A als Knotenströme in Form von konstanten oder gesteuerten Quellenströmen im Knotenspannungsgleichungssystem.

Tabelle 3.1. Nachbildung der BM vom Typ A für verschiede Berechnungsziele

Berechnung

Typ A aktiv

Typ A passiv

Quer- und Längsfehler

konstante komplexe Mitsystemströme

konstante Admittanzen, meist vernachlässigt

Netzdynamik

gesteuerte komplexe Mitsystemströme

spannungsabhängige Admittanzen

Leistungsfluss

spannungsabhängige Mitsystemströme

3.2.1 Gleichungssystem für die Berechnung von Fehlern und der Netzdynamik Die Gleichungen der Betriebsmittel werden nach Typen geordnet in einer Matrizengleichung zusammengefasst1: i ST

Y ST uST  i Sq

(3.5)

Der Stromvektor i ST enthält die Klemmenströme der Betriebsmitteltypen in der Reihenfolge A, AB, ABC und ABCD. In der Gl. (3.6) sind der Kürze halber nur die Klemmenströme von je zwei Betriebsmitteln der Typen A und AB eingetragen. i ST

T ª i SA1 ¬

T T T T T i SA2 " [i SA1 i SB1 ] [i SA2 i SB2 ] "º ¼

T

(3.6)

Der Spannungsvektor setzt sich in gleicher Reihenfolge aus den Klemmenspannungen zusammen: uST

T ª uSA1 ¬

T T T T T uSA2 " [uSA1 uSB1 ] [uSA2 uSB2 ] "º ¼

T

(3.7)

Quellenströme kommen nur bei den aktiven Betriebsmitteln des Typs A vor, so dass der Quellenstromvektor in Gl. (3.5) folgenden prinzipiellen Aufbau hat und zudem nur an den Stellen einen Quellenstrom aufweist, an denen sich aktive Betriebsmittel vom Typ A befinden: i Sq

T ª i Sq1 ¬

T i Sq2 " [o o] [o o] "º ¼

T

(3.8)

1 Der Index T leitet sich von der englischen Klemmenbezeichnung Terminal ab. Er wurde eingeführt, weil der Index K für Knoten reserviert ist.

3.2 Knotenspannungs-Gleichungssysteme

61

In der Admittanzmatrix Y ST sind die Admittanzmatrizen der Betriebsmittel in der gleichen Reihenfolge wie in den vorstehenden Vektoren angeordnet, so dass diese die folgende Blockdiagonalform erhält:

Y ST

ªY SA1 º « » Y SA2 « » « » % « » Y Y SAA1 SAB1 « » « » Y SBA1 Y SBB1 « » Y SAA2 Y SAB2 « » « » Y SBA2 Y SBB2 « » %»¼ «¬

(3.9)

Die Verknüpfung der Betriebsmittelgleichungen zum Netzgleichungssystem erfolgt auf der Grundlage der Knotenpunktsätze, die mit Hilfe der Knoten-Klemmen-Inzidenzmatrix K SKT formuliert werden (s. das Beispiel 3.1)2: K SKT i ST

(3.10)

o

Nach Einsetzen der Betriebsmittelströme aus Gl. (3.5) erhält man umgeformt:  K SKT Y ST uST

K SKT i Sq

(3.11)

Die Klemmenspannungen der Betriebsmittel können mit Hilfe der transponierten KnotenKlemmen-Inzidenzmatrix durch die Knotenspannungen ersetzt werden: uST

T K SKT uSK

(3.12)

Damit erhält man schließlich folgendes Knotenspannungs-Gleichungssystem mit der Knotenadmittanzmatrix als Koeffizientenmatrix und den durch die Betriebsmittel vom Typ A vorgegebenen Knotenströmen auf der rechten Seite: T  K SKT Y ST K SKT uSK

K SKT i Sq

(3.13a)

oder nach Einführung der Abkürzungen Y SKK für die Knotenadmittanzmatrix und i SK für den Knotenstromvektor, der lediglich die Quellenströme der aktiven Betriebsmittel vom Typ A enthält: Y SKK uSK

i SK

(3.13b)

und ausführlicher mit Untermatrizen für die einzelnen Knoten:

2 Durch die einheitliche Festlegung der Zählpfeile für die Klemmenströme der Betriebsmittel nach dem Verbraucherzählpfeilsystem treten an den Knoten nur abfließende Ströme auf.

62 ªY S11 « «Y S21 « # « « Y Si1 « « # «Y ¬ Sn1

3 Netzgleichungssysteme in Symmetrischen Komponenten Y S12 " Y S1i Y S22 " Y S2 i

# Y Si 2

# Y Sn2

% # " Y Si i % # " Y Sni

" Y S1n º ª uSK1 º » " Y S2n » «« uSK2 »» % # »« # » »« » " Y Sin » « uSK i » »« » % # »« # » " Y Snn »¼ «¬ uSKn »¼

ª i SK1 º «i » « SK2 » « # » « » « i SK i » « # » « » «¬ i SK n »¼

(3.14)

Die Knotenadmittanzmatrix hat folgende Eigenschaften: 1.

Y SKK ist quadratisch und von der Ordnung 3×n, wenn n die Anzahl der Netzknoten (ohne Bezugsknoten) ist.

2.

Y SKK ist schwach besetzt.

3.

Y SKK ist symmetrisch, solange keine Transformatoren mit phasendrehender Schaltgruppe enthalten sind.

Y SKK ist ohne Berücksichtigung der Leitungs- und Transformatorquerglieder singulär, solange nicht mindestens ein Betriebsmittel vom Typ A mit geerdetem Sternpunkt enthalten ist. Die Bildung und der Aufbau des Knotenspannungs-Gleichungssystems werden durch das folgende Beispiel illustriert.

4.

Beispiel 3.1 Ein Generator (G) soll mit einem Transformator (T) über eine Leitung (L) mit einem Netz (N) verknüpft werden. Das Bild 3.3b zeigt die Betriebsmittelersatzschaltungen für jede Symmetrische Komponente mit den Zählpfeilen für die Betriebsmittelströme, deren Klemmenspannungen und die Knotenspannungen. Die Klemmenspannungen sind stets mit den Spannungen an den Knoten, an denen sie angeschlossen sind identisch. a)

G

1

T

2

3

L

~

N

b)

K1 A G

K2 B

A T

K3 A

B L

A N

Bild 3.3. Beispielnetz für die Formulierung des Knotenspannungs-Gleichungssystems. a) Netzplan b) Ersatzschaltungen der Symmetrischen Komponenten für die Betriebsmittel

3.2 Knotenspannungs-Gleichungssysteme

63

Die Knoten-Klemmen-Inzidenzmatrix hat folgenden Aufbau: G

N TA TB LA LB

K1 ª E

K SKT

« K2  « K3 ¬« 

 

 E

E 

 E

E







º  »» E ¼»

(3.15)

An den Verknüpfungsstellen (Schnittpunkte der entsprechenden drei Knotenzeilen mit den drei Klemmenspalten) der angeschlossenen Betriebsmittel steht die 3×3 Einheitsmatrix E. Alle anderen Elemente der Matrix K SKT sind Null. In jeder Spalte darf nur einmal die Einheitsmatrix auftreten, da ein Klemmentripel immer nur an einem Knotentripel angeschlossen kein kann. Bei Transformatoren ist zu beachten, dass die Oberspannungsseite mit der Seite A identisch ist (s. Abschnitt 2.2). Die geordnete Betriebsmitteladmittanzmatrix lautet:

Y ST

ªY SAG « « « « « « « ¬«

Y SAN Y SAAT Y SBAT

Y SABT Y SBBT Y SAAL Y SBAL

º » » » » » Y SABL » » Y SBBL ¼»

(3.16)

Nach der Gl. (3.13) ergibt sich folgende Knotenadmittanzmatrix: Y SKK

 K SKT Y ST K SKT T

ªY SAG  Y SBBT  «« Y SABT «¬ 

 Y SBAT º » Y SAAT  Y SAAL Y SABL » Y SBAL Y SAN  Y SBBL »¼

(3.17)

und folgender Knotenstromvektor: i SK

K SKT i Sq

T ª i SqG ¬

T

o i SqN º ¼

T

(3.18)

Damit lautet das vollständige Knotenspannungs-Gleichungssystem: ªY SAG  Y SBBT  «« Y SABT «¬ 

 Y SBAT º ª uSK1 º » «u » Y SAAT  Y SAAL Y SABL » « SK2 » Y SBAL Y SAN  Y SBBL »¼ ¬« uSK3 ¼»

ª i SqG º « » « o » «i » ¬ SqN ¼

ª i SK1 º «i » « SK2 » ¬« i SK3 ¼»

(3.19)

Die Admittanzmatrizen der Betriebsmittel vom Typ A gehen mit negativem Vorzeichen in die Diagonale der Knotenadmittanzmatrix ein, wodurch die Knotenadmittanzmatrix auch bei Vernachlässigung der Leitungs- und Transformatorquerglieder regulär ist, sobald ein Betriebsmittel vom Typ A mit geerdetem Sternpunkt enthalten ist. In den vorstehenden Matrizengleichungen sind die Elemente der Untermatrizen und Untervektoren in der Reihenfolge 1, 2, 0 der Symmetrischen Komponenten geordnet.

64

3 Netzgleichungssysteme in Symmetrischen Komponenten

Durch Sortieren nach den Symmetrischen Komponenten erhält man anstelle der Gl. (3.14) die folgenden separaten Gleichungssysteme für das Mit-, Gegen- und Nullsystem mit den Komponenten der Leiter-Erde-Spannungen an den Knoten. Y 1,12 " Y 1,1i Y 1,22 " Y 1,2i # % # Y 1,i 2 " Y 1,ii

ªY 1,11 «Y « 1,21 « # « « Y 1,i1 « # « «¬Y 1,n1

#

% # " Y 1,ni

Y 1,n2

Y 1KK u1K ªY 2,11 «Y « 2,21 « # « « Y 2,i1 « # « «¬Y 2,n1

ªY 0,11 «Y « 0,21 « # « « Y 0,i1 « # « ¬«Y 0,n1

# % # Y 2,n2 " Y 2,ni

(3.20a)

(3.20b) " Y 2,1n º ªU 2L1 º " Y 2,2n »» «U 2L2 » « » % # »« # » » " Y 2,in » «« U 2Li »» % # »« # » »« » " Y 2,nn »¼ ¬«U 2Ln ¼»

ª « « « « « « « ¬«

0 0 #

º » » » » 0 » # » » 0 ¼»

(3.21a)

(3.21b)

o

Y 0,12 " Y 0,1i " Y 0,1n º ªU 0L1 º Y 0,22 " Y 0,2i " Y 0,2n »» «U 0L2 » « » # % # % # »« # » » Y 0,i 2 " Y 0,i i " Y 0,in » «« U 0Li »» # % # % # »« # » »« » Y 0,n2 " Y 0,ni " Y 0,nn ¼» ¬«U 0Ln ¼»

Y 0KK u0K

ª I 1K1 º «I » « 1K2 » « # » « » « I 1Ki » « # » « » ¬« I 1Kn ¼»

i1K

Y 2,12 " Y 2,1i Y 2,22 " Y 2,2i # % # Y 2,i 2 " Y 2,i i

Y 2KK u2K

" Y 1,1n º ªU 1L1 º " Y 1,2n »» «U 1L2 » « » % # »« # » » " Y 1,in » «« U 1Li »» % # »« # » »« » " Y 1,nn ¼» ¬«U 1Ln ¼»

ª « « « « « « « «¬

0 º 0 »» # » » 0 » # » » 0 »¼

(3.22a)

(3.22b)

o

Die Gln. (3.20) bis (3.22) sind im fehlerfreien Fall entkoppelt. Da das Gegen- und Nullsystem passiv sind, treten sie im fehlerfreien Fall nicht in Erscheinung.

3.2.2 Gleichungssystem für die Leistungsflussberechnung Das Gleichungssystem für die Leistungsflussberechnung beschränkt sich auf das Mitsystem. Im Gegensatz zum Abschnitt 3.2.1 werden auch die passiven Betriebsmittel vom Typ A durch Ströme im Mitsystem nachgebildet. Die Ströme der Einspeisungen und Abnahmen werden in einem Knotenstromvektor in der Reihenfolge der Knoten angeordnet: i1K

> I 1A1

T

I 1A2 " I 1Ai " I 1Am @

(3.23)

Die Gleichungen der insgesamt l Leitungen und Transformatoren werden zusammengefasst zu: i1T

Y 1T u1T

(3.24)

3.2 Knotenspannungs-Gleichungssysteme

65

mit folgendem geordneten Aufbau des Klemmenstrom- und -spannungsvektors sowie der Admittanzmatrix (der Kürze halber sind nur Leitungen und Transformatoren vom Typ AB eingetragen): T

i1T

> I 1A1

uT

ª¬U A1 U B1 " U Ai U Bi " U Am U Bm º¼

Y 1T

I 1B1 " I 1Ai

I 1Bi " I 1Am

I 1Bm @

(3.25)

T

ªY 1AA1 Y 1AB1 «Y « 1BA1 Y 1BA1 « % « Y 1AAi « « Y 1BAi « « « « ¬«

Y 1ABi Y 1BAi % Y 1AAm Y 1BAm

(3.26) º » » » » » » » » Y 1ABm » » Y 1BBm ¼»

(3.27)

Die Knotenpunktsätze lauten mit Knoten-Klemmen-Inzidenzmatrix K1KT für die Leitungen und Transformatoren: K1KT i1T  i1K

(3.28)

o

Nach Einsetzen von Gl. (3.24) und Elimination der Klemmenspannungen mit der transponierten Knoten-Klemmen-Inzidenzmatrizen erhält man schließlich: T  K1KT Y 1T K1KT u1K

i1K

(3.29)

oder kürzer: Y 1KK u1K

i1K

(3.30a)

und ausführlich (ohne die Indizes 1 und K): ªY 11 Y 12 «Y « 21 Y 22 « # # « « Y i1 Y i 2 « # # « ¬«Y n1 Y n2

" Y 1i " Y 1n º ª U 1 º " Y 2i " Y 2n »» «U 2 » « » % # % # »« # » »« » " Y i i " Y in » « U i » % # % # »« # » »« » " Y ni " Y nn ¼» ¬«U n ¼»

ª I1 º «I » « 2» «#» « » « Ii » «#» « » ¬« I n ¼»

(3.30b)

Die Bildung der Aufbau des Knotenadmittanzmatrix kann auch direkt aus dem Netzplan vorgenommen werden. Eine Leitung oder ein Transformator, der mit seiner Klemme A am Knoten i und mit seiner Klemme B am Knoten k angeschlossen ist, nimmt mit seinen negativen Admittanzelementen die Plätze ii, ik, ki und kk in der Knotenadmittanzmatrix ein (s. auch das folgende Beispiel 3.2):

66

3 Netzgleichungssysteme in Symmetrischen Komponenten i

k

# # ª º « »  Y " " AB « » « » # # « » k «" Y BA " Y BB "» «¬ »¼ # # i " Y AA

Beispiel 3.2 Für das Netz aus Beispiel 3.1 (Bild 3.3) soll das Knotenspannungs-Gleichungssystem (Mitsystem) für die Leistungsflussberechnung aufgestellt werden. K1

G

K2 B

A T

K3 A

N

B L

Bild 3.4. Ersatzschaltung (schematisch) für die Formulierung des Knotenspannungs-Gleichungssystems für die Leistungsflussberechnung mit Zählpfeilen für die Spannungen und Ströme

Knotenstromvektor (der Knoten 2 ist ein Leerknoten): K1 K2 K3

iK

>I G

T

0 IN@

Knoten-Klemmen-Inzidenzmatrix: TA TB LA LB K1 ª 0

K KT

« K2 1 « K3 ¬« 0

1

0

0 0

1 0

0º 0 »» 1 ¼»

An den Verknüpfungsstellen (Schnittpunkt der entsprechenden Knotenzeile mit den Klemmenspalten der angeschlossenen Betriebsmittel) steht eine 1. Alle anderen Elemente der Matrix K1KT sind Null. In jeder Spalte darf nur einmal die 1 auftreten, da eine Klemme immer nur an einem Knoten angeschlossen sein kann. Die Transformatorklemme A ist an der Oberspannungsseite angeschlossen.

3.2 Knotenspannungs-Gleichungssysteme

67

Geordnete Betriebsmitteladmittanzmatrix:

YT

TA

TB

ªY AAT «Y « BAT « « ¬

Y ABT Y BBT

LA

LB

Y AAL Y BAL

º » » Y ABL » » Y BBL ¼

Knotenadmittanzmatrix: Y KK

T  K KT Y T K KT

ªY BBT  ««Y ABT «¬ 0

Y BAT Y AAT  Y AAL Y BAL

0 º Y ABL »» Y BBL »¼

Knotenspannungs-Gleichungssystem: ªY BBT  ««Y ABT «¬ 0

Y BAT Y AAT  Y AAL Y BAL

0 º ªU 1 º Y ABL »» ««U 2 »» Y BBL »¼ ¬«U 3 ¼»

ªI G º «0» « » «¬ I N ¼»

ª I1 º «I » « 2» «¬ I 2 »¼

4 Leistungsflussberechnung Die Leistungsflussberechnung dient zur Berechnung der Spannungen, Ströme und Leistungsflüsse im Netz und an den Einspeise- und Abnahmeknoten sowie der Netzverluste und des Blindleistungsbedarfs unter stationären Bedingungen. Sie ist einwichtiges Planungs- und Betriebsführungsinstrument zur Überwachung und Darstellung des Netzzustandes (Netzsicherheitsrechnung). Im Folgenden werden die für die Leistungsflussberechnung erforderlichen Gleichungen und der prinzipielle Rechenablauf beschrieben. Dabei wird, wie allgemein bei der Leistungsflussberechnung üblich, vorausgesetzt, dass die Betriebsmittel symmetrisch aufgebaut sind und auch die Einspeisungen und Abnahmen symmetrisch erfolgen und das Netz fehlerfrei ist, so dass sich die Gleichungen auf die des Mitsystems reduzieren. Der Index 1 für Mitsystem kann dann auch weggelassen werden. Man unterscheidet zwischen dem Knotenpunkt- und dem Newtonverfahren.

4.1 Knotenspezifikation Die Knoten werden je nach den Vorgaben in Last- oder P-Q-Knoten, Generator oder P-UKnoten und Bilanz- oder Slackknoten eingeteilt. Die Tabelle 4.1 gibt einen Überblick über die an den Knotentypen gegebenen und gesuchten Größen. Tabelle 4.1. Knotenspezifikation

Knotentyp

gegeben

gesucht

Lastknoten

P(U) und Q(U)

U und į

Generatorknoten

P und U

Q und į

Bilanzknoten

U und į

P und Q

Die Leistungen an den Lastknoten, die in der Regel in der Mehrzahl sind, können je nach der Zusammensetzung der Lasten und deren Charakteristik spannungsabhängig sein. Die Spannungsabhängigkeit wird pauschal durch folgende Exponentialfunktionen berücksichtigt (s. Abschnitt 2.4). §U · P0 ¨ ¸ © U0 ¹

p

P

q

Q

§U · Q0 ¨ ¸ © U0 ¹

(4.1)

(4.2)

wobei die Exponenten p und q erfahrungsgemäß zwischen 1 und 2 liegen. Im folgenden sind noch drei Sonderfälle angegeben. p

q

0: S

P0  jQ0 , d.h. konstante Abnehmerleistung

70

4 Leistungsflussberechnung

p

q 1: S

3U (

p

q

3(

0: S

P0 U 02

P0 U 02

j

j

Q0 U 02

Q0 U 02

)

3U ( I w0  jI b0 ) , d.h. konstanter Wirk- und Blindstrom

)U 2

3(G0  jB0 )U 2

3Y 0U 2 , d.h. konstante Admittanz

Netzknoten, z.B. Sammelschienen, an denen keine Einspeisungen oder Abnehmer angeschlossen sind, werden als leere Lastknoten (Leerknoten) mit P = Q = 0 behandelt. Die Vorgaben von P und U an den Generatorknoten beruhen darauf, dass die Generatoren normalerweise mit einer Spannungs- und Wirkleistungsregelung betrieben werden. Ist dagegen die Generatorleistung nach Wirk- und Blindanteil vorgegeben, so kann der Generator auch als Lastknoten mit negativen Leistungen nachgebildet werden. Mindestens ein Bilanzknoten ist aus zwei Gründen erforderlich. Er sorgt zum einen für den Ausgleich der Leistungsbilanz und ermöglicht zum anderen bei Vernachlässigung der Leitungs- und Transformatorquerglieder überhaupt erst eine Lösung, da in diesem Fall die Knotenadmittanzmatrix singulär ist. Bei der Vorgabe mehrerer Bilanzknoten muss man beachten, dass man damit dem Netz schon Leistungsflüsse aufzwingt.

4.2 Knotenpunktverfahren Das Knotenpunktverfahren beruht auf dem Knotenspannungs-Gleichungssystem, Gl. (3.30), das hier ohne den Index 1 für das Mitsystem nochmals angegeben wird: Y KK uK

iK

(4.3a)

mit den Knotenströmen der Betriebsmittel vom Typ A (s. Kapitel 3): iK

1 1 U K sK 3

1 1 U K ( pK  jqK ) 3

(4.4a)

und ausführlich (ohne den Index K): ªY 11 Y 12 «Y « 21 Y 22 « # # « Y Y i2 « i1 « # # « ¬«Y n1 Y n2 ª I1 º «I » « 2» «#» « » « Ii » «#» « » ¬« I n ¼»

" Y 1i " Y 2i % # " Y ii % # " Y ni

" Y 1n º ªU 1 º " Y 2n »» «U 2 » « » % # »« # » »« » " Y in » « U i » % # »« # » »« » " Y nn »¼ «¬U n »¼

ª I1 º «I » « 2» «#» « » « Ii » «#» « » ¬« I n ¼»

ªU 11 º ­ P (U ) ª 1 1 º ª Q1 (U1 ) º ½ « » °« ° 1 « » ° P2 (U 2 ) »» «« Q2 (U 2 ) »» ° U2 « » ° «« % # » « # » °° 1« »° j « ® » Pi (U i ) » « Qi (U i ) » ¾ 3« U i1 " « » « »° ° « » « » « »° ° # # « » % « » « » ° ° «  » U n 1 ¼» ¯° ¬« Pn (U n ) ¼» ¬«Qn (U n ) ¼» ¿° ¬«

(4.3b)

(4.4b)

4.2 Knotenpunktverfahren

71

mit der Spannungsabhängigkeit der Knotenleistungen nach den Gln. (4.1) und (4.2). Die Lösung der Gln. (4.3) und (4.4) erfolgt iterativ. Ausgehend von einer vorgegeben Spannung am Bilanzknoten und Anfangswerten für die Spannungen und Leistungen an den anderen Knoten1 werden Anfangswerte für die Knotenströme nach Gl. (4.4) berechnet. Mit diesen wird nach Gl. (4.3) ein erster Näherungswert für die Knotenspannungen erhalten, mit denen wiederum die Ströme nach Gl. (4.4) und die Spannungen nach Gl. (4.3) korrigiert werden. Diese Prozedur wiederholt sich so lange, bis keine merklichen Änderungen der Knotenspannungen mehr auftreten. Schließlich werden noch der Strom und die Leistung am Bilanzknoten berechnet. Der Bilanzknoten sorgt somit dafür, dass die Leistungsbilanz aufgeht. Als Bilanzknoten sollte deshalb ein leistungsstarker Knoten gewählt werden, der dazu auch in der Lage ist. Das kann beispielsweise eine Netzeinspeisung aus einer höheren Spannungsebene sein. Sind die Knotenspannungen des Netzes bekannt, so kann man mit Hilfe der Leitungs- und Transformatorgleichungen, Gl. (3.9), sämtliche Ströme und Leistungsflüsse berechnen. iT

Y T uT

T Y T K KT uK

(4.5)

Für Einbeziehung des Bilanzknotens in die Gl. (4.3) gibt es zwei Möglichkeiten. Eine Möglichkeit besteht darin, die Zeile für den Bilanzknoten zu streichen und die zum Bilanzknoten gehörende reduzierte Spalte der Admittanzmatrix zusammen mit der Spannung des Bilanzknotens auf die rechte Seite zu bringen. Angenommen der erste Knoten sei der Bilanzknoten, so nimmt das Gleichungssystem folgende Form an. ªY 22 « # « «Y i 2 « « # «Y ¬ n2

" Y 2i " Y 2n º ªU 2 º % # % # »» « # » « » " Y i i " Y in » « U i » »« » % # % # »« # » " Y ni " Y nn »¼ «¬U n »¼

ª I 2 º ªY 21 º «# » « # » « » « » « I i »  « Y i1 » U s « » « » «#» « # » «¬ I n »¼ «¬Y n1 »¼

(4.6)

Die andere Möglichkeit besteht darin, die zum Bilanzknoten gehörende Zeile (hier die erste Zeile) durch die Nebenbedingung U 1 U s ersetzen. Diese Methode hat den Vorteil, dass die Ordnung des Gleichungssystems erhalten bleibt und nach der Lösung gleich der komplette Zustandsvektor vorliegt. Allerdings geht dabei eine vorhandene Symmetrie der Knotenadmittanzmatrix verloren. 0 ª 1 «Y « 21 Y 22 « # # « Y Y i2 « i1 « # # « «¬Y n1 Y n2

" 0 " Y 2i % # " Y ii % # " Y ni

" 0 º ªU 1 º " Y 2n »» «U 2 » « » % # »« # » »« » " Y in » « U i » % # »« # » »« » " Y nn »¼ ¬«U n ¼»

ªU s º «I » « 2» « # » « » « Ii » « # » « » ¬« I n ¼»

(4.7)

Der Strom am Bilanzknoten ergibt sich aus der entsprechenden Zeile der Gl. (4.3), hier der ersten Zeile zu: I1

>Y 11

Y 12 " Y 1i " Y 1n @ ¬ªU 1 U 2 " U i " U n º¼

1 Es werden zunächst nur Lastknoten angenommen.

T

(4.8)

72

4 Leistungsflussberechnung

und damit die Leistung am Bilanzknoten: S1

3U 1 I 1

(4.9)

Die Leistungen an den anderen Knoten liegen nach Abschluss der Iteration ebenfalls vor. Aus der Summe aller Knotenleistungen nach Wirk- und Blindanteil erhält man die Verluste und den Blindleistungsbedarf des Netzes: n

PN

¦ Pi

(4.10)

i 1 n

QN

¦ Qi

(4.11)

i 1

Die Einbeziehung von Generatorknoten in das Knotenpunktverfahren ist umständlich. Es wird deshalb hier auch nicht weiter darauf eingegangen. Netze mit Generatorknoten lassen sich einfacher mit dem Newtonverfahren berechnen, das auch noch weitere Vorteile gegenüber dem Knotenpunktverfahren hat und deshalb heute meistens bevorzugt wird.

4.3 Newtonverfahren Das Newtonverfahren geht von der Leistungsbilanz an den Netzknoten aus. Durch Multiplikation der konjugiert komplexen Gl. (4.3) mit dem Faktor 3 und der Diagonalmatrix der Knotenspannungen U K von links erhält man folgende Leistungsgleichung: 3U K Y KK uK

3U K i K



(4.12)

Auf der linken Seite der Gl. (4.12) stehen die an den Knoten in das Netz abfließenden oder aus dem Netz zufließenden Leistungen (kurz Netzleistungen): sN

3U K Y KK uK



pN  j q N

(4.13)

während auf der rechten Seite die an den Knoten eingespeisten oder abgenommenen Leistungen (kurz Knotenleistungen) stehen: sK

3U K i K

pK  j qK

(4.14)

Mit diesen Bezeichnungen lässt sich Gl. (4.12) auch schreiben als: pN  j q N

pK  j qK

(4.15)

Die Netz- und Knotenleistungen sind spannungsabhängig. Die Spannungen stellen sich so ein, dass Netz- und Knotenleistungen nach Wirk- und Blindanteilen ausbilanziert sind: pN  pK = ǻp

o

(4.16)

qN  qK = ǻq

o

(4.17)

mit pN qN

^ Im ^3U

` `

Re 3U K Y KK uK

(4.18)

K Y KK u K

(4.19)





4.3 Newtonverfahren

73

Führt man für die Knotenspannungen und Admittanzen die Ausdrücke: Ui

U i e jG i ,

Y ik

Yik e jDik

(4.20)

ein, so nehmen die Gln. (4.18) und (4.19) mit den Differenzwinkeln G ik ausführliche Form an:

G i  G k folgende

ªU1Y11U1 cos D11  "  U1Y12U i cos(G1i  D1i )  "  U1Y1nU n cos(G1n  D1n ) º ª P1 (U1 ) º « » « » # « » « # » 3 « U iYi1U1 cos(G i1  D i1 )  "  U iYi iU i cos D ii  "  U iYinU n cos(G in  D in ) »  « Pi (U i ) » « » « » # « » « # » «U Y U cos(G  D )"  U Y U cos(G  D )  "  U Y U cos D » « P (U ) » n ¼ n1 n1 n ni i ni ni n nn n nn ¼ ¬ n ¬ n n1 1

o

(4.21) ª U1Y11U1sinD11  "  U1Y12U i sin(G1i  D1i )  "  U1Y1nU n sin(G1n  D1n ) º ª Q1 (U1 ) º « » « » # « » « # » 3 « U iYi1U1sin(G i1  D i1 )  "  U iYiiU i sinD ii  "  U iYinU n sin(G in  D in ) »  « Qi (U i ) » « » « » # « » « # » « U Y U sin(G  D )"  U Y U sin(G  D )  "  U Y U sinD » «Q (U ) » n ¼ n1 n1 n ni i ni ni n nn n nn ¼ ¬ n ¬ n n1 1

o

(4.22) Für die Spannungsabhängigkeit der Knotenleistungen gelten wieder die Gln. (4.1) und (4.2). Die Spannungswinkel und -beträge werden in Vektoren zusammengefasst: T

į

>G1

" Gi " G n @

u

>U1

" Ui " U n @

(4.23) T

(4.24)

Zur Lösung der beiden nichtlinearen Gln. (4.16) und (4.17) nach dem Newtonverfahren, von dem die Leistungsflussberechnung ihren Namen hat, werden diese in der Umgebung der Näherungswerte ǻįQ und ǻuQ durch eine Taylor-Entwicklung mit Abbruch nach dem ersten Glied linearisiert: wǻp wǻp ǻįQ +1  T ǻuQ +1 wįT Q wu Q

ǻpQ

(4.25)

wǻq wǻq ǻįQ +1  T ǻuQ +1 T wį Q wu Q

ǻqQ

(4.26)

ª ǻp º « » ¬ǻq ¼ Q

(4.27a)

und zusammengefasst zu: ª wǻp « wįT « « wǻq «¬ wįT

wǻp º wuT »» wǻq » wuT »¼Q

ª ǻį º « ǻu » ¬ ¼ Q +1

oder kürzer: J Ȟ ǻxQ +1

ǻyQ

(4.27b)

74

4 Leistungsflussberechnung

In Gl. (4.27) ist J die Jacobimatrix, x der Zustandsvektor nach Winkel und Betrag und y der Vektor der Wirk- und Blindleistungsdifferenzen. Die iterative Lösung der Gl. (4.27) startet mit Anfangswerten (Näherungswerten) für den Zustandsvektor ǻxQ ǻx0 , mit denen die Jacobimatrix JQ und die rechte Seite ǻyQ berechnet werden. Dann erfolgt durch Lösung der Gl. (4.27) eine Verbesserung des Zustandsvektors auf ǻxQ +1 . Im nächsten Iterationsschritt wiederholt sich dieser Ablauf, indem mit dem neuen Zustandsvektor die Jacobimatrix und die rechte Seite aktualisiert werden und durch erneute Lösung der Gl. (4.27) der Zustandsvektor weiter verbessert wird und zwar solange bis sich dieser nicht mehr merklich ändert. Da die Jacobimatrix und die rechte Seite in jedem Iterationsschritt neu berechnet werden müssen, ist Wert auf einen effizienten Berechnungsablauf zu legen. Das Gleichungssystem, Gl. (4.27), wird deshalb so erweitert, dass die Spannungsbeträge im Zustandsvektor auf die Spannungsbeträge des vorangegangenen Schrittes bezogen werden. uQ +1

ª¬U1,Q +1 / U1,Q

" U i ,Q +1 / U i ,Q

" U n,Q +1 / U n,Q º¼

T

(4.28)

Die Jacobimatrix und die Netzleistung auf der rechten Seite lassen sich dann gleichzeitig aus den Elementen der Matrix

SJ

3U K Y KK U K



ª U1Y11U1 e jD11 « # « « 3 « U iYi1U1 e j(Gi1 Di1 ) « # « «¬U n Yn1U1 e j(G n1 D n1 )

" U1Y12U i e j(G1i D1i ) %

#

"

U iYiiU i e jDii

%

#

" U n YniU i e j(G ni D ni )

" U1Y1nU n e j(G1n D1n ) º » % # » j(G in D in ) » " U iYinU n e » » % # » U nYnnU n e jD nn »¼ "

(4.29) wie folgt berechnen. n

¦ Re ^s J,i `

pN

(4.30)

i 1

qN

n

¦ Im ^s J,i `

(4.31)

i 1

J

ª Im ^ S `  Q N J « «  Re ^ S `  P N J ¬

Re ^ S J `  PN  PK' º » ' Im ^ S J `  QN  QK »¼

(4.32)

wobei s J,i die i-te Spalte von S J , PN und QN Diagonalmatrizen mit den Elementen von pN bzw. qN ,

PK' und QK' Diagonalmatrizen mit den Elementen pi Pi bzw. qi Qi ( Pi und Qi nach Gl. (4.1) und (4.2)) bedeuten.

4.3 Newtonverfahren

75

Am Bilanzknoten ist die Änderung der Spannung nach Betrag und Winkel Null, so dass der Bilanzknoten leicht durch Streichen der zugehörigen Zeile und Spalte im Gleichungssystem berücksichtigt werden kann. Will man die Ordnung des Gleichungssystems aufrecht erhalten, so kann man die zum Bilanzknoten gehörenden Zeilen und Spalten für den Winkel und Betrag der Spannung bis auf das Diagonalelement und die Elemente der rechten Seite Null setzen. Für die Generatorknoten sind die Winkeländerungen Null. Ihre Einbeziehung erfolgt entweder durch Streichen der zu den Winkeländerungen gehörenden Spalten und Zeilen oder Nullsetzen dieser Spalten und Zeilen bis auf die Diagonalelemente und Nullsetzen der zugehörigen rechten Seiten. In letzterem Fall bleibt die Ordnung des Gleichungssystems erhalten. Als Startwerte für die Spannungen nimmt man gewöhnlich an allen Knoten die Netznennspannung (geteilt durch Wurzel 3) an.2 Bei Netzen mit Transformatoren ermittelt man die Startwerte mit Hilfe des Knotenpunktverfahrens wie folgt. Das Netz wird unbelastet (im Leerlaufzustand) angenommen, d.h. die Knotenströme werden bis auf den am Bilanzknoten Null gesetzt. Am Bilanzknoten, hier der erste Knoten, wird die entsprechende Netznennspannung vorgegeben: 0 ª 1 «Y « 21 Y 22 « # # « Y Y i2 « i1 « # # « «¬Y n1 Y n2

" 0 " Y 2i % # " Y ii % # " Y ni

" 0 º ªU 1 º " Y 2n »» «U 2 » « » % # »« # » »« » " Y in » « U i » % # »« # » »« » " Y nn »¼ «¬U n »¼

ªU s º « » «0» « # » « » «0» « # » « » «¬ 0 »¼

(4.33)

Aus der Gl. (4.33) berechnet man dann in einem Schritt die Anfangswerte der Knotenspannungen nach Betrag und Winkel. Die Leistung am Bilanzknoten entspricht dann den Netzverlusten im Leerlaufzustand und der Summe der kapazitiven Ladeleistungen und Magnetisierungsblindleistungen der Transformatoren.

Beispiel 4.1 Für das 230-kV-Netz im Bild 4.1 mit den Transformator- und Leitungsdaten nach den Tabellen 4.2 und 4.3 soll der Leistungsfluss nach dem Newtonverfahren berechnet werden. Das benutzte MATLAB-Programm mit der function LoadFlow ist im Anhang A.1 angegeben und beschrieben.

2 In Berechnungsprogrammen rechnet man mit Wurzel-3-fachen Spannungs- und Strombeträgen, um die Multiplikation mit dem Faktor 3 in jedem Schritt zu vermeiden.

76

4 Leistungsflussberechnung T2

G2

K8

L78

G3

T3

L89

~

~ K2

K7

K 3

K9 L57

L69

K5

L45

K6

L46 K4

(125+j50) MVA

(90+j30) MVA

T1 K1

~

G1

Bild 4.1. IEEE-9-Knoten-Netz /6/

Tabelle 4.2. Transformatordaten (cell array)

Sr/MVA

UrOS/kV

UrUS/kV

'T1'

247,5

230

16,5

'T2'

192,0

230

18,0

'T3'

128,0

230

13,8

Name

uk/%

PVk/kW

il/%

SGruppe

Kern

14,3

0

0

'Yd5'

'3SK'

12,0

0

0

'Yd5'

'3SK'

7,5

0

0

'Yd5'

'3SK'

Tabelle 4.3. Leitungsdaten (cell array)

Name

R1/Ÿ

X1/Ÿ

G1/PS

'L45'

5,3

45,0

0

1,06

'L46'

9,0

48,7

0

0,95

'L57'

16,9

85,2

0

1,84

'L69'

20,6

89,9

0

2,15

'L78'

4,5

38,1

0

0,87

'L89'

6,3

53,3

0

1,26

C1/PF

4.3 Newtonverfahren

77

Die Berechnung der Knotenadmittanzmatrix in einem speziellen Programm ergibt:

Y KK

22,8033 ª º « » 19,3237 « » « 26,8851» « » 0, 6251 0, 2581 0,3669 « 22,8033 » « » u 102 S  0, 25810, 4821 0, 2240 « » 0,3669 0, 2422 » 0, 6091 « « » 19,3237 0, 2240 0,5297 0,3057 « » 0,30570,5244 0, 2187 » « « » 26.8851 0, 2422 0, 2187 0, 4609 ¼» ¬«

39, 4964 º ª 635, 7279 » « 493,8272 33, 4696 » « « 896,1703 46,5664 » » « 7, 41762,19181,9856 » « 39, 4964 » u 102 S 2,1918 3, 2755 1,1293  j« » « 2,9937 1,9856 1, 0569 » « » « 33, 4696 6, 69982,5886 1,1293 » « 2,5886 4, 40541,8503» « « » 46,5664 1, 0569 1,8503 6, 0798¼» ¬«

Die Knotenadmittanz und die folgenden Knotendaten werden an das im Anhang A.1 aufgelistete MATLAB-Programm übergeben. Tabelle 4.4. Knotendaten (cell array)

Name

U/kV

Typ

P/MW

Q/Mvar

p

q

0

0

'K1'

17,6

'S'

'K2'

18,45

'PU'

–163

0

0

'K3'

14,145

'PU'

–85

0

0

'K4'

230

'PQ'

0

0

0

0

'K5'

230

'PQ'

125

50

0

0

'K6'

230

'PQ'

90

30

0

0

'K7'

230

'PQ'

0

0

0

0

'K8'

230

'PQ'

100

35

0

0

'K9'

230

'PQ'

0

0

0

0

Der Knoten 1 wird als Bilanzknoten festgelegt. Die Knoten 2 und 3 werden als Generatorknoten behandelt. Die Generatorwirkleistungen müssen mit negativem Vorzeichen eingegeben werden. Die Blindleistung wird nicht vorgegeben. Die restlichen Knoten sind Lastknoten. An

78

4 Leistungsflussberechnung

den Knoten 4, 7 und 9 wird keine Last abgenommen. Es ist deshalb jeweils Null für die Wirkund Blindleistung einzugeben. Für die Spannungsexponenten der Wirk- und Blindleistung wird an allen Knoten Null festgelegt (konstante Wirk- und Blindleistung). In der Tabelle 4.5 sind die nach dem Knotenpunktverfahren gedrehten Startwerte und Ergebnisse der Iterationsschritte gegenübergestellt. Bei Vorgabe einer Genauigkeitsschranke von 0,0001 steht bereits nach 3 Iterationsschritten das Ergebnis fest (Tabelle 4.6). Tabelle 4.5. Startwerte und Zwischenergebnisse der Iterationsschritte

Startwerte

1. Iterationsschritt

G/Grad

U/kV

G/Grad

U/kV

2. Iterationsschritt

G/Grad

U/kV

3. Iterationsschritt

U/kV

G/Grad

17,1600

0

17,1600

0

17,1600

0

17,1600

0

18,4500

–1,2885

18,4500

10,0084

18,4500

9,2902

18,4500

9,2773

14,1450

–1,3948

14,1450

5,3239

14,1450

4,6690

14,1450

4,6571

230,0000

149,9203

237,7619

147,8909

235,9382

147,7781

235,9130

147,7763

230,0000

149,4774

232,1658

146,2232

229,0120

146,0070

228,9645

146,0025

230,0000

149,3117

235,3094

146,4665

232,9175

146,3088

232,8842

146,3052

230,0000

148,7115

238,6969

154,3138

235,9198

153,7282

235,8824

153,7159

230,0000

148,6164

236,2208

151,2177

233,6293

150,7318

233,5947

150,7215

230,0000

148,6052

239,3093

152,5399

237,4390

151,9705

237,4161

151,9590

Tabelle 4.6. Ergebnisse nach 4 Iterationsschritten bei H = 0,0001

U/kV

G/Grad

P/MW

Q/MVar

17,1600

0

–71,6383

–27,1146

18,4500

9,2773

–163,0000

–6,9732

14,1450

4,6571

–85,0000

10,6700

235,9130

147,7763

0,0000

–0,0000

228,9645

146,0025

125,0000

50,0000

232,8842

146,3052

90,0000

30,0000

235,8824

153,7159

–0,0000

–0,0000

233,5947

150,7215

100,0000

35,0000

237,4160

151,9590

–0,0000

–0,0000

Verluste Blindleistungsbedarf

4,6383 –91,5821

Der Spannungswinkel am Bilanzknoten wurde mit Null vorgegeben. Aufgrund der Schaltgruppe Yd5 für die drei Transformatoren sind alle Spannungszeiger der 230-kV-Ebene entsprechend gegenüber den Unterspannungen der Transformatoren verdreht.

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern Unter Fehlern in Energieversorgungssystemen versteht man Kurzschlüsse, Erdschlüsse und Unterbrechungen. Geöffnete Schaltstrecken stellen ebenfalls Unterbrechungen dar und werden wie eine störungsbedingte Unterbrechung behandelt. Der Begriff Fehler rührt wahrscheinlich daher, dass das normal strukturierte („gewebte“) Netz an einer Fehlerstelle durch Unterbrechungen in Längsrichtung oder Querverbindungen zwischen den Leitern und ggf. der Erde quasi einen „Webfehler“ aufweist. Aus Sicht der fehlerhaft veränderten Netztopologie bezeichnet man die Kurzschlüsse auch als Querfehler und die Unterbrechungen als Längsfehler.

5.1 Fehlerarten Die verschiedenen Fehlerarten und ihre Systematik sind aus Bild 5.1 ersichtlich. Quer- und Längsfehler können ein- oder mehrpolig auftreten. Sind gleichzeitig alle drei Leiter oder Stränge des Drehstromsystems betroffen, so spricht man von symmetrischen Fehlern. Für ihre Berechnung ist nur das Mitsystem der Symmetrischen Komponenten erforderlich. Alle anderen Fehlerarten sind unsymmetrische Fehler, für deren Berechnung auch das Gegensystem und bis auf den zweipoligen Kurzschluss ohne Erdberührung auch das Nullsystem hinzugezogen werden muss. Weiterhin unterscheidet man zwischen Einfach- und Mehrfachfehlern. Der häufigste Einfachfehler in Energieversorgungsnetzen ist der einpolige Erdkurzschluss, der in Netzen mit freiem Stenpunkt oder Resonanzsternpunkterdung aufgrund der geringen Fehlerströme als Erdschluss bezeichnet wird. Querfehler (Kurzschlüsse, Erdschlüsse)

Längsfehler (Unterbrechungen)

symmetrisch und unsymmetrisch

Einfachfehler

Mehrfachfehler

gleichartige

gleichpolige

Bild 5.1. Fehlerarten im Drehstromnetz

ungleichartige

ungleichpolige, z.B. Doppelerdkurzschluss

80

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Unter Mehrfachfehlern versteht man das gleichzeitige Auftreten von mehreren Quer- oder Längsfehlern (gleichartige Mehrfachfehler) oder das gleichzeitige Auftreten von Quer- und Längsfehlern (ungleichartige Mehrfachfehler). Typische Mehrfachfehler sind der Doppelerdkurzschluss und Leitungsabschaltungen infolge eines Kurzschlusses. Unsymmetrische gleichartige Mehrfachfehler können gleichpolig oder ungleichpolig sein. Der in Netzen mit freiem Sternpunkt oder Resonanzsternpunkterdung auftretende Doppelerdkurzschluss als Folge eines Erdschlusses ist ein unsymmetrischer ungleichpoliger Doppelfehler. Im Folgenden wird das klassische Verfahren zur Behandlung von Einfach- und Doppelfehlern, wie es in der Literatur weit verbreitet ist, beschrieben (s. z. B. /2/). Dabei wird auf eine systematische Behandlung, die auf der Dualität zwischen den Fehlerbedingungen beruht, Wert gelegt. Am Beispiel des Doppelerdkurzschlusses wird dabei auch deutlich, dass das klassische Verfahren für die Behandlung von Mehrfachfehlern zu schwerfällig ist. Für die maschinelle Berechnung von Mehrfachfehlern in beliebiger Konstellation und erst recht für die Einfachfehler ist das in Kapitel 6 vorgestellte Fehlermatrizenverfahren besser geeignet.

5.2 Fehlerbedingungen Die durch einen Fehler an der Fehlerstelle F erzwungenen Bedingungen für die Ströme und Spannungen werden als Fehlerbedingungen bezeichnet. Jeder Fehler ist durch drei Fehlerbedingungen charakterisiert. Mit den Bezeichnungen in Bild 5.2a und 5.2b gelten für die einzelnen Fehlerarten die in Tabelle 5.1 zusammengestellten Strom-Spannungsbeziehungen. Für die unsymmetrischen Fehler sind die zu den sog. Hauptfehlern gehörenden Fehlerbedingungen eingetragen. Als Hauptfehler bezeichnet man die zum Leiter L1 symmetrisch angeordneten unsymmetrischen Fehler. Da der Leiter L1 der Bezugsleiter für die Symmetrischen Komponenten ist, erhält man für die Hauptfehler den einfachsten Rechengang bei der Behandlung der Fehler in Symmetrischen Komponenten. Diesen Rechenvorteil kann man jedoch nur bei Einfach- und gleichpoligen Mehrfachfehlern, bei denen man die Fehlerlage bezüglich der Leiter noch frei wählen kann, nutzen.

I L1 , U F1 L1

L1 I L2 , U F2

L2

L2

I L3 , U F3 L3 E

U L3

L3

I F3 E

Bild 5.2. Ströme und Spannungen an einer Kurzschlussstelle (links) und an einer Unterbrechungsstelle (rechts)

5.2 Fehlerbedingungen

81

Aus Tabelle 5.1 ist ersichtlich, dass die Bedingungen für die in einer Zeile stehenden Erdkurzschlüsse (EKS) und Unterbrechungen (UB) dual zueinander sind (was für die Ströme/Spannungen der EKS gilt, gilt für die Spannungen/Ströme der UB und umgekehrt). Weiterhin sind auch die Fehlerbedingungen der einpoligen und zweipoligen EKS sowie die der einpoligen und zweipoligen UB in Tabelle 5.1 dual zueinander, so dass die Fehlerbedingungen für den einpoligen EKS und die zweipolige Unterbrechung und die des zweipoligen EKS und der einpoligen UB jeweils gleichartig sind. Von der Gleichartigkeit und Dualität der Fehlerbedingungen kann man später bei der Berechnung der einzelnen Fehlerarten profitieren, indem man lediglich einen Fehlerfall vollständig durchzurechnen braucht und die Ergebnisse für die anderen Fälle sinngemäß übernimmt. Tabelle 5.1. Fehlerbedingungen für die widerstandslosen Kurzschlüsse und Unterbrechungen (unsymmetrische Fehler als Hauptfehler)

Kurzschlüsse (EKS und KS)

Unterbrechungen (UB)

ohne

ohne

I F1

0

U F1

0

I F2

0

U F2

0

I F3

0

U F3

0

1-polig:

U L1

0

1-polig:

I L1

0

L1-E

I F2

0

L1

U F2

0

I F3

0

U F3

0

I F1

0

2-polig:

U F1

0

L2 und L3

I L2

0

I L3

0

3-polig

I L1

0

2-polig: L2-L3-E

U L2

0

U L3

0

3-polig:

U L1

0

L1-L2-L3-E

U L2

0

I L2

0

U L3

0

I L3

0

2-polig:

I F1

L2-L3

I F2  I F3

0

U L3  U L2

0 0

3-polig:

I F1  I F2  I F3

L1-L2-L3

U L2  U L1

0

U L3  U L1

0

0

Die Tabelle 5.2 enthält die um Impedanzen und Admittanzen an der Fehlerstelle erweiterten Fehlerbedingungen entsprechend Bild 5.3. Die Fehlerimpedanzen und Fehleradmittanzen ermöglichen eine genäherte Berücksichtigung von Lichtbögen oder die Behandlung von unsymmetrischen Belastungen oder Unsymmetrien von Leitungen. So kann beispielsweise eine einpolige Belastung wie ein einpoliger Kurzschluss mit einer Impedanz behandelt werden.

82

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Die Dualitätsbeziehungen zwischen den Fehlerbedingungen der gleichpoligen unsymmetrischen EKS und UB bleiben auch nach Einführung der Fehlerimpedanzen und Fehleradmittanzen bestehen.

I Li , U Fi L1

L1

YF L2

L2

YF L3

L3

U Li E

I Fi

ZF

YF

ZF

ZF

E

Bild 5.3. Ströme und Spannungen an einer Kurzschlussstelle und an einer Unterbrechungsstelle mit Berücksichtigung von (je gleichen) Fehlerimpedanzen und Fehleradmittanzen (i = 1, 2, 3)

Tabelle 5.2. Fehlerbedingungen für die Kurzschlüsse und Unterbrechungen mit Fehlerimpedanzen und Fehleradmittanzen (unsymmetrische Fehler als Hauptfehler)

Kurzschlüsse (EKS und KS)

Unterbrechungen (UB)

ohne

ohne

I F1

0

U F1

0

I F2

0

U F2

0

I F3

0

U F3

0

1-polig:

U L1  Z F I F1

L1-E

I F2

0

I F3

0

2-polig:

I F1

0

L2-L3-E

U L2  Z F I F2

0

U L3  Z F I F3

0

0

1-polig:

I L1  Y F U F1

L1

U F2

0

U F3

0

2-polig:

U F1

0

L2 und L3

I L2  Y F U F2

0

I L3  Y F U F3

0

I L1  Y F U F1

0

3-polig:

U L1  Z F I F1

0

L1-L2-L3-E

U L2  Z F I F2

0

I L2  Y F U F2

0

U L3  Z F I F3

0

I L3  Y F U F3

0

2-polig:

I F1

L2-L3

I F2  I F3

3-polig

0

0 0

(U L3  Z F I F3 )  (U L2  Z F I F2 )

0

3-polig:

I F1  I F2  I F3

L1-L2-L3

(U L2  Z F I F2 )  (U L1  Z F I F1 )

0

(U L3  Z F I F3 )  (U L1  Z F I F1 )

0

0

5.3 Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten

83

5.3 Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten Die Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten werden dadurch erhalten, dass man die natürlichen Größen mit Hilfe der Transformationsbeziehung (Gl. (1.26)) ersetzt.

Beispiel 5.1. Für den einpoligen Erdkurzschluss im Leiter L1 gilt nach Tabelle 5.1: U L1

0

I F2

0

I F3

0

Aus der ersten Zeile von T S folgt somit: U L1

U 1L  U 2L  U 0L

0

(5.1)

und aus der zweiten und dritten Zeile: 2

I F2

a I 1F  a I 2F  I 0F

0

I F3

a I 1F  a I 2F  I 0F

2

0

Aus den beiden letzten Gleichungen erhält man bei Vorgabe von I 0F : I 1F

I 0F

(5.2)

I 2F

I 0F

(5.3)

oder zusammengefasst: I 1F

I 2F

I 0F

(5.4)

Die Gln. (5.1) bis (5.3) bilden die drei Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten. Sinngemäß zum einpoligen Erdkurzschluss im Beispiel 5.1 erhält man auch die Fehlerbedingungen der restlichen Fehler in Symmetrischen Komponenten. Sie sind in der Tabelle 5.3 zusammengestellt. Wie aus der Tabelle 5.3 zu sehen ist, gelten die in Tabelle 5.1 aufgezeigten Dualitätsbeziehungen zwischen den unsymmetrischen Fehlern auch in Symmetrischen Komponenten. Die Fehlerbedingungen aus Tabelle 5.3 lassen sich als Schaltverbindungen der Komponentennetze an der Fehlerstelle interpretieren. Diese sind aus Tabelle 5.4 ersichtlich. Die Boxen 1, 2 und 0 enthalten die Komponentennetze, von denen für die Darstellung der Fehlerbedingungen zunächst nur das Klemmenpaar an der Fehlerstelle interessiert (s. Abschnitte 5.4 und 5.5). Während die Komponentennetze bei den symmetrischen Fehlern ungekoppelt bleiben, entsteht bei den unsymmetrischen Fehlern eine Kopplung der Komponentennetze in Form einer Reihen- oder der dazu dualen Parallelschaltung. Für die Fehler mit Impedanzen oder Admittanzen an der Fehlerstelle erhält man ausgehend von Tabelle 5.2 durch Ersetzen der natürlichen Größen durch ihre Symmetrischen Komponenten die in Tabelle 5.5 zusammengestellten Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten.

84

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Tabelle 5.3. Fehlerbedingungen für die widerstandslosen Kurzschlüsse und Unterbrechungen in Symmetrischen Komponenten (unsymmetrische Fehler als Hauptfehler)

Kurzschlüsse (EKS und KS)

Unterbrechungen (UB)

ohne

ohne

I 1F

0

I 2F I 0F

U 1F

0

0

U 2F

0

0

U 0F

0

1-polig:

U 1L  U 2L  U 0L

L1-E

I 1F

I 0F

I 2F

I 0F

2-polig: L2-L3-E

I 1F  I 2F  I 0F U 1L

0

0

U 0L

1-polig:

I 1L  I 2L  I 0L

L1

U 1F

U 0F

U 2F

U 0F

2-polig:

U 1F  U 2F  U 0F

L2 und L3

I 1L

I 0L

I 2L

I 0L

I 1L

0

U 2L

U 0L

3-polig:

U 1L

0

L1-L2-L3-E

U 2L

0

I 2L

0

U 0L

0

I 0L

0

2-polig:

I 1F  I 2F

L2-L3

I 0F

0

U 1L

U 2L

3-polig:

I 0F

0

L1-L2-L3

U 1L

0

U 2L

0

3-polig

0

0

0

Tabelle 5.4. Schaltverbindungen an der Fehlerstelle für die widerstandslosen Kurzschlüsse und Unterbrechungen in Symmetrischen Komponenten (unsymmetrische Fehler als Hauptfehler)

Kurzschlüsse (EKS und KS)

ohne

Unterbrechungen (UB)

I 1F 1 2 0

0

ohne

I 1L

U 1L I 2F

0

I 2L

U 0L

0

U 2F

0

U 0F

0

2

U 2L I 0F

U 1F 1

0

I 0L 0

5.3 Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten 1-polig: L1-E

1-polig: 1

I 2L

2

I 2F U 2L I 0F U 0L

I 0L

0

L1

2

3-polig: L1-L2-L3-E

2

U 0F

2-polig: L2 und L3

U 1L I 2F

U 1F

I 1L

1

U 2F

I 2L

U 2L

2

U 0F

I 0L

U 0L

0

3-polig

I 1F 1

U 2F

0

I 0F 0

1 2

I 1F 1

U 1F

I 1L

I 1F U 1L

2-polig: L2-L3-E

85

U 1F

U 1L I 2F

I 1L

U 2L

I 2L

0

1

U 2F

0

2

U 0F

I 0F 0 2-polig: L2-L3

I 1F 1

U 1L I 2F

2

U 2L I 0F

0 3-polig: L1-L2-L3

I 0L

U 0L

0

U 0L I 1F

1

U 1L I 2F

2

U 2L I 0F

0

U 0L

0

0

0

86

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Tabelle 5.5. Fehlerbedingungen für die Kurzschlüsse und Unterbrechungen mit Fehlerimpedanzen und -admittanzen in Symmetrischen Komponenten (unsymmetrische Fehler als Hauptfehler)

Kurzschlüsse (EKS und KS)

Unterbrechungen (UB)

ohne

ohne

I 1F

0

I 2F I 0F

U 1F

0

0

U 2F

0

0

U 0F

0

1-polig:

U 1L  Z F I 1F 

1-polig:

I 1L  Y F U 1F 

L1-E

U 2L  Z F I 2F 

L1

I 2L  Y F U 2F 

U 0L  Z F I 0F

I 0L  Y F U 0F

0

I 1F

I 0F

U 1F

U 0F

I 2F

I 0F

U 2F

U 0F

2-polig:

I 1F  I 2F  I 0F

L2-L3-E

U 1L  Z F I 1F

U 0L  Z F I 0F

U 2L  Z F I 2F

U 0L  Z F I 0F

3-polig:

U 1L  Z F I 1F

0

L1-L2-L3-E

U 2L  Z F I 2F U 0L  Z F I 0F

2-polig:

I 1F  I 2F

L2-L3

I 0F

0

2-polig:

U 1F  U 2F  U 0F

L2-L3

I 1L  Y F U 1F

I 0L  Y F U 0F

I 2L  Y F U 2F

I 0L  Y F U 0F

I 1L  Y F U 1F

0

0

I 2L  Y F U 2F

0

0

I 0L  Y F U 0F

0

0

3-polig

0

0

0

U 1L  Z F I 1F

U 2L  Z F I 2F

3-polig:

I 0F

L1-L2-L3

U 1L  Z F I 1F

0

U 2L  Z F I 2F

0

0

Durch die Einführung der Fehlerimpedanzen und Fehleradmittanzen sind die Fehlerbedingungen unübersichtlich geworden. Auch ist die Dualität zwischen denen des ein- und zweipoligen Erdkurzschlusses einerseits und denen der ein- und zweipoligen Unterbrechung andererseits verloren gegangen. Diese kann aber leicht wieder hergestellt werden, indem man die Fehlerimpedanzen und -admittanzen den Komponentennetzen zuordnet (gestrichelte Boxen in Bild 5.4). Im Bild 5.4 sind die U iF

U iL  Z F I iF

(5.5)

I i L  Y FU i F

(5.6)

und IiF

zu Klemmenspannungen und Klemmenströmen der gestrichelten Boxen geworden, für die die modifizierten Fehlerbedingungen in Tabelle 5.6 ganz analog zur Tabelle 5.3 gelten.

5.3 Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten

87

UiF IiF ZF

1

IiF

UiL

YF

IiL 1

UiF

Bild 5.4. Einführung von modifizierten Größen an der Fehlerstelle am Beispiel des Mitsystems. Links: Querfehler, rechts: Längsfehler (i = 1, 2, 0)

Tabelle 5.6. Modifizierte Fehlerbedingungen für die Kurzschlüsse und Unterbrechungen mit Fehlerimpedanzen und Fehleradmittanzen in Symmetrischen Komponenten (unsymmetrische Fehler als Hauptfehler)

Kurzschlüsse (EKS und KS)

Unterbrechungen (UB)

ohne

ohne

I 1F

0

U 1F

0

I 2F

0

U 2F

0

I 0F

0

U 0F

0

1-polig:

U 1F  U 2F  U 0F

L1-E

I 1F

I 0F

I 2F

I 0F

2-polig:

I 1F  I 2F  I 0F

L2-L3-E

U 1F

U 0F

U 2F

U 0F

3-polig: L1-L2-L3-E

U 1F

0

1-polig:

I 1F  I 2F  I 0F

L1

U 1F

U 0F

U 2F

U 0F

2-polig:

U 1F  U 2F  U 0F

L2 und L3

I 1F

I 0F

I 2F

I 0F

I 1F

0 0 0

3-polig

0

U 2F

0

I 2F

U 0F

0

I 0F

2-polig:

I 1F  I 2F

L2-L3

I 0F

0

U 1F

U 2F

3-polig:

I 0F

0

L1-L2-L3

U 1F

0

i = 1, 2, 0

0

0

U 2F

0

U iF

U iL  Z F I iF

IiF

I i L  Y FU i F

0

0

88

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Für die modifizierten Fehlerbedingungen nach Tabelle 5.6 gelten nun auch wieder die Schaltverbindungen aus Tabelle 5.4. Sie sind in Tabelle 5.7 zusammengestellt. Im Unterschied zu Tabelle 5.4 setzen die Schaltverbindungen in Tabelle 5.7 bei den Kurzschlüssen hinter den Fehlerimpedanzen und bei den Unterbrechungen am Stromabzweig durch die Fehleradmittanzen an. Nach der Art der Schaltung der Komponentennetze an der Fehlerstelle werden im englischsprachigen Schrifttum die unsymmetrischen Fehler auch als „series faults“ und „parallel faults“ bezeichnet. Die Übertragung der Begriffe ins Deutsche mit Serien- und Parallelfehler ist insofern irreführen, als man dahinter eine Serie von Fehlern (zeitlich aufeinander folgende Fehler) oder Mehrfachfehler (mehrere parallel auftretende Fehler) vermuten könnte. Andererseits macht die Einteilung der Fehler nach der Art der Zusammenschaltung der Komponentennetze in Tabelle 5.8 auf einen Blick deutlich, dass sich sämtliche unsymmetrische Fehler in lediglich zwei Klassen mit zueinander dualen Fehlerbedingungen einordnen lassen. Der zweipolige Kurzschluss ohne Erberührung ist ein Parallelfehler mit der Besonderheit, dass nur das Mitund Gegensystem parallel geschaltet sind. Tabelle 5.7. Schaltverbindungen an der Fehlerstelle für die Kurzschlüsse und Unterbrechungen mit Fehlerimpedanzen und Fehleradmittanzen in Symmetrischen Komponenten (unsymmetrische Fehler als Hauptfehler)

Kurzschlüsse (EKS und KS)

Unterbrechungen (UB)

1-polig: L1-E

1-polig: 1

I 2F

2

I 2F U 2F

0

I 0F U 0F

I 0F

2-polig: L2-L3-E

I 1F 1

U 1F I 2F

2

U 2F

L1

1

U 0F

U 2F 2

U 0F 0

2-polig: L2 und L3

I 1F

I 2F

I 0F 0

U 1F

I 1F

I 1F U 1F

U 1F 1

U 2F 2

U 0F

I 0F

0

5.3 Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten I 1F 3-polig:

L1-L2-L3-E

I 1F 1 2

89

3-polig

1

U 1F I 2F

U 2F

I 2F

U 2F

2

I 0F 0

U 1F

I 1F

U 0F

I 0F

U 0F

0

2-polig: L2-L3

1

U 1F I 2F

2

U 2F I 0F

0 3-polig: L1-L2-L3

U 0F I 1F

1

U 1F I 2F

2

U 2F I 0F

0

U 0F

Die Fehlerbedingungen für die von der Hauptfehleranordnung abweichenden unsymmetrischen 2

1

a a e j2ʌ/3 als Faktor an den Fehler enthalten zusätzlich die Dreher a e j2ʌ/3 und a Mitsystem- und Gegensystemgrößen. Sie sind in Tabelle 5.9 in modifizierter Form mit dem komplexen Faktor D für die Fehlerlage nach Tabelle 5.10 angegeben und in Tabelle 5.11 als Schaltverbindung der Komponentennetze interpretiert. Tabelle 5.8. Klassifizierung der unsymmetrischen Fehler nach der Art der Schaltung der Komponentennetze an der Fehlerstelle

Serienfehler (series faults)

Parallelfehler (parallel faults)

einpoliger Erdkurzschluss

einpolige Unterbrechung

zweipolige Unterbrechung

zweipoliger Erdkurzschluss (zweipoliger Kurzschluss)

90

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Tabelle 5.9. Modifizierte Fehlerbedingungen für die Kurzschlüsse und Unterbrechungen beliebiger Fehlerlage mit Fehlerimpedanzen und Fehleradmittanzen in Symmetrischen Komponenten

1-polig

Unsymmetrische Kurzschlüsse

Unsymmetrische Unterbrechungen

D U 1F  D U 2F  U 0F D I 1F I 0F

D I 1F  D I 2F  I 0F D U 1F U 0F

D I 2F 2-polig

D U 2F

I 0F

D I 1F  D I 2F  I 0F D U 1F U 0F D U 2F I 0F

ohne Erde

D I 1F  D I 2F

U 0F

D I 2L

0

I 0L

0 0

D U 1F

D U 2F

D U 1F

D (U 1L  Z F I 1F )

D U 2F U 0F

0

D U 1F  D U 2F  U 0F D I 1L I 0L

0

U 0F

2-polig

modifizierte Spannungen und Ströme

0

D I 1F

D ( I 1L  Y F U 1F )

D (U 2L  Z F I 2F )

D ( I 2L  Y F U 2F )

D I 2F

U 0L  Z F I 0F

I 0F

I 0L  Y F U 0F

Faktor Į nach Tabelle 5.10. Für die Hauptfehler ist Į = 1. Tabelle 5.10. Faktor Į für die verschiedenen Fehlerkonstellationen

Fehlerart

1-polig

2-polig

D

Betroffene Leiter

L1

L2 und L3

1

L2

L3 und L1

a2

L3

L1 und L2

a

Um auch für die Nicht-Hauptfehler die Fehlerbedingungen wieder durch Schaltverbindungen der Symmetrischen Komponentennetze der Fehlerstelle zu realisieren sind ideale Übertrager

mit dem komplexen Übersetzungsverhältnis D an den Klemmen des Mitsystems und D an den Klemmen des Gegensystems erforderlich (s. Tabelle 5.11). Für die Hauptfehler ist D 0 , so dass man für sie die einfachsten Ausdrücke für die Fehlerbedingungen erhält und damit den geringsten Rechenaufwand hat. Der Übertrager im Mitsystem hat das Spannungsübersetzungsverhältnis D :1 . Das Stromüber

setzungsverhältnis ist dann 1/ D :1 . Wegen 1/ D D werden die Ströme gleichermaßen wie die Spannungen übersetzt. Entsprechend werden die Spannungen und Ströme des Gegensys

tems mit D :1 übertragen.

5.3 Fehlerbedingungen in Symmetrischen Komponenten

91

Tabelle 5.11. Schaltverbindungen an der Fehlerstelle für die unsymmetrischen Kurzschlüsse und Unterbrechungen mit Fehlerimpedanzen und -admittanzen in Symmetrischen Komponenten bei beliebiger Fehlerlage (der Strich an den Boxen zeigt an, dass die ZF bzw. YF enthalten sind)

Kurzschlüsse (EKS und KS)

Unterbrechungen (UB)

1-polig

1-polig

1'

D I 1F D U 1F

2'

D I 2F D U 2F

0'

I 0F U 0F

D U 1F

D I 1F 1'

D U 2F

D I 2F 2'

U 0F

I 0F 0'

2-polig mit Erde

2-polig:

D I 1F 1' 2' 0'

D I 1F

D U 1F 1'

D U 1F D I 2F

D U 2F

D I 2F

D U 2F

2'

U 0F

U 0F

I 0F 0'

3-polig mit Erde

3-polig

D I 1F 1' 2'

D U 1F D I 2F D U 2F

D I 1F 1'

D I 2F

U 0F

D U 2F 2'

I 0F 0'

D U 1F

I 0F

U 0F 0'

92

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

2-polig ohne Erde

D I 1F 1'

3-polig ohne Erde

2'

D U 1F D I 2F D U 2F I 0L

0'

U 0F

D I 1F D U 1F D I 2F D U 2F

1' 2'

I 0F U 0F

0'

Der Aufbau von Ersatzschaltungen und deren Verknüpfung an der Fehlerstelle entsprechend der Fehlerbedingungen spielte früher eine große Rolle, als man noch nicht über Digitalprogramme verfügte und auf Untersuchungen an Netzmodellen angewiesen war. Mit Hilfe der Symmetrischen Komponenten war es möglich, unsymmetrische Fehler im Drehstromsystem am einphasigen Wechselstromnetzmodell nachzubilden. Heute dienen die Ersatzschaltungen lediglich noch zur Anschauung und Interpretation von Berechnungsergebnissen.

Beispiel 5.2. Für den einpoligen Erdkurzschluss im Leiter L2 mit der Fehlerimpedanz Z F gilt: 2

U L2  ZF I F2

2

a U 1L  a U 2L  U 0L  ZF (a I 1F  a I 2F  I 0F ) 2

a (U 1L  ZF I 1F )  a (U 2L  ZF I 2F )  (U 0L  ZF I 0F ) 2

a U 1F  a U 2F  U 0F I F1

I 1F  I 2F  I 0F

I F3

a I 1F  a I 2F  I 0F

(5.7)

0

0

2

0

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt: 2

a I 1F

I 0F

(5.8)

a I 2F

I 0F

(5.9)

oder zusammengefasst: 2

a I 1F

a I 2F

I 0F

Die Gln. (5.7) bis (5.9) kann man aus Tabelle 5.9 für D

2

a entnehmen.

5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern

93

5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern Der klassische Rechengang zur Berechnung der Einfachfehler (Quer- und Längsfehler) erfolgt in 4 Schritten. Im ersten Schritt werden im Mit-, Gegen- und Nullsystem die Fehlergrößen mit Zählpfeilen entsprechend zu denen der Originalgrößen in den Bildern 5.2a und b eingeführt (Beispiel 5.3). Im zweiten Schritt werden die Komponentennetze an der Fehlerstelle zu Zweipolersatzschaltungen zusammengefasst (Beispiel 5.3). Dafür gibt es nach der Zweipoltheorie zwei Möglichkeiten: die Form mit Innenimpedanzen und einer Spannungsquelle im Mitsystem (das Gegenund Nullsystem sind bei symmetrischer Speisung passiv) und die Form mit Innenadmittanzen und einer Stromquelle im Mitsystem. Beide Darstellungsformen sind dual zueinander und ineinander überführbar. Im dritten Schritt werden die 6 unbekannten Größen (3 Ströme und 3 Spannungen) an der Fehlerstelle berechnet. Dafür stehen 6 Gleichungen zur Verfügung. 3 Gleichungen bilden jeweils die Fehlerbedingungen, die restlichen 3 Gleichungen liefern die Zweipolersatzschaltungen der symmetrischen Komponentennetze. Schließlich werden im vierten Schritt die Originalgrößen durch Rücktransformation berechnet. Die an der Fehlerstelle zusammengefassten Komponentennetze werden symbolisch durch Boxen 1, 2 und 0 für das Mit-, Gegen- und Nullsystem wie im Bild 5.5 dargestellt. Die Bezugsknoten (auch als Nullschiene bezeichnet) 01 und 02 kann man sich als widerstandslose Verbindung aller Stenpunkte vorstellen. Dreieckschaltungen müssen vorher in äquivalente Sternschaltungen umgewandelt werden. Der Bezugsknoten 00 des Nullsystems entspricht der widerstandslosen Erde.

F I 1F

1

U 1L

I 2F

2

U 2L

I 0F

0

U 0L

Bild 5.5. Zu Zweipolen an der Fehlerstelle zusammengefasste Komponentennetze

94

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Das Innere der Boxen hängt nun davon ab, ob die Impedanz- oder Admittanzform der Zweipolgleichungen gewählt wird. In der Impedanzform lauten die Zweipolgleichungen: U 1L

 Z 1 I 1F  U 1q

(5.10)

U 2L

 Z 2 I 2F

(5.11)

U 0L

 Z 0 I 0F

(5.12)

Die Admittanzform ergibt sich durch Auflösen der Gln. (5.10) bis (5.12) nach den Strömen: I 1F

Y 1 U 1L  I 1q

(5.13)

I 2F

Y 2 U 2L

(5.14)

I 0F

Y 0 U 0L

(5.15)

mit den Innenadmittanzen: Yi

1 ; i 1, 2, 0 Zi

(5.16)

und dem Quellenstrom: I 1q

U 1q Z1

Y 1 U 1q

(5.17)

Der Zählpfeil für den Quellenstrom I 1q wurde so gewählt, dass der Quellenstrom mit dem Strom im Bezugsleiter L1 bei dreipoligem Kurzschluss am Fehlerort identisch ist (s. Gl. (5.13) für U 1L 0 ). Die den Gln. (5.10) bis (5.15) entsprechenden Ersatzschaltungen sind im Bild 5.6 dargestellt. Welche der beiden Formen für die Zweipolgleichungen man verwendet, ist lediglich eine Frage der Zweckmäßigkeit. Für Reihenfehler (s. Tabelle 5.8) hat man mit der Impedanzform und für Parallelfehler mit der Admittanzform den geringsten Rechenaufwand. Das Gegen- und Nullsystem sind passiv. Die Quellenspannung U 1q ist die Leerlaufspannung im Mitsystem. Sie ist identisch mit der Spannung des Bezugsleiters L1 am Fehlerort im symmetrischen Netzbetriebszustand vor dem Kurzschluss (s. Gl. (5.10) für I 1F 0 ). Für ihre Bestimmung muss man genau genommen eine Leistungsflussberechnung für den Belastungszustand des Netzes unmittelbar vor dem Kurzschluss durchführen. In der Praxis geht man jedoch von einem angenommenen Wert in der Nähe der Netznennspannung, geteilt durch 3 aus, da einerseits unklar ist, welchen Belastungsfall man zugrunde legen soll und andererseits die Spannung an der Kurzschlussstelle unter normalen Verhältnissen nur geringfügig von der Netznennspannung abweicht. Die Innenimpedanzen oder Innenadmittanzen in den Gln. (5.10) bis (5.15) für das Mit-, Gegenund Nullsystem kann man für kleinere Netze noch von Hand durch Zusammenfassen der Netzimpedanzen ermitteln. Dabei sind alle Spannungsquellen kurzzuschließen oder alle Stromquellen (je nach Darstellung der Generatoren) zu öffnen.

5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern

95 I 1F

I 1F Z1 U 1q

U 1L

I 1q

Y1

U 1L

01

01

I 2F

I 2F

Z2

U 2L

Y2

U 2L

02

02

I 0F

I 0F Z0

Y0

U 0L

U 0L

00

00

Bild 5.6. Impedanzform (links) und Admittanzform (rechts) der Zweipolgleichungen für die Komponentennetze

Für größere Netze stellt man das Knotenspannungs-Gleichungssystem für jede symmetrische Komponente auf, wobei Spannungsquellen im Mitsystem in Stromquellen umgerechnet und in einem Quellenstromvektor i1Q der Knotennummerierung entsprechend angeordnet werden. Die Gleichungssysteme haben nach Hinzufügen der Fehlerstromvektoren auf der rechten Seite die folgende Matrixform (s. Abschnitt 3.2.1): Y 1KK u1K

i1K

i1F  i1Q

(5.18)

Y 2KK u 2K

i 2K

i 2F

(5.19)

Y 0KK u0K

i 0K

i 0F

(5.20)

Die Spannungsvektoren enthalten die Symmetrischen Komponenten der Leiter-ErdeSpannungen U 1Li , U 2Li und U 0Li an den einzelnen Knoten (i = 1…n, n Anzahl der Knoten). Die Fehlerstromvektoren sind bei den hier betrachteten Einfachfehlern jeweils nur mit den Komponenten I 1F , I 2F und I 0F am Fehlerknoten k besetzt. Durch Auflösen der Gln. (5.18) bis (5.20) erhält man die Impedanzform: u1K

Z 1KK (i1F  i1Q )

(5.21)

u2K

Z 2KK i 2F

(5.22)

u0K

Z 0KK i 0F

(5.23)

96

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Von diesen Gleichungen interessieren nur die zum Fehlerknoten k gehörenden Zeilen: U 1Lk

z1kk I 1Fk  z1k i1Q

(5.24)

U 2Lk

z 2kk I 2Fk

(5.25)

U 0Lk

z 0kk I 0Fk

(5.26)

Der Vergleich mit den Gln. (5.10) bis (5.12) ergibt: Z1

 z1kk

(5.27)

Z2

 z 2kk

(5.28)

Z0

 z 0kk

(5.29)

und U 1q

z1k i1Q

(5.30)

Demnach sind die Netzinnenimpedanzen der Komponentennetze mit den negativen Diagonalelementen der Impedanzmatrizen für die Symmetrischen Komponenten identisch. Die Quellenspannung des Mitsystems ergibt sich aus dem Produkt der zum Fehlerknoten F gehörenden Zeile der Impedanzmatrix mit dem Quellenstromvektor.

Beispiel 5.3. Für das Netz im Bild 5.7 sind die Komponentenersatzschaltbilder sowie die Netzinnenimpedanzen und die Leerlaufspannung an der Fehlerstelle (Knoten 3) zu ermitteln. N1

2 1

L1

3 L2 L3

Bild 5.7. Beispielnetz mit Fehler an der Sammelschiene 3

N2 4

5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern

j2 Ÿ

1

j1 Ÿ

97

2

I 1F3

j2 Ÿ

j3 Ÿ

4

j2 Ÿ

U 1L3

100 kV

100 kV

01

I 2F3 j2 Ÿ

j1 Ÿ

j2 Ÿ

j3 Ÿ

j2 Ÿ

U 2L3 02

I 0F3 j2 Ÿ

j4 Ÿ

j5 Ÿ

j2 Ÿ

U 0L3 00 Bild 5.8. Komponentennetze für das Netz in Bild 5.7. mit Spannungen und Strömen an der Fehlerstelle. Die Impedanzen der Doppelleitung sind zusammengefasst.

Für die Innenimpedanzen erhält man von der Fehlerstelle aus gesehen: j(2+1+2) parallel (3+2) ȍ

Z1

Z2

Z0

j(5  2) ȍ

j2,5ȍ

j7 ȍ

Da die beiden Quellenspannungen der Netze gleich groß und gleichphasig sind, fließt vor dem Kurzschluss kein Strom über die Leitungen, so dass die Leerlaufspannung an der Kurzschlussstelle gleich der Netzspannung ist. U 1q

100 kV

Die Quellenströme der Netze an den Knoten 1 und 4 werden je: I 1q



100 kV j2 ȍ

j50 kA

Die Knotenspannungs-Gleichungen der Symmetrischen Komponenten lauten (Gln. (5.18) bis (5.20), Admittanzen in S, Ströme in kA):

98

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

0 0 º ªU 1L1 º ª1,5 1 « 1 1,5 0,5 0 »» «U 1L2 » « » j «« 0 0,5 0,83 0,3» «U 1L3 » « »« » 0,3 0,3 ¼» ¬U 1L4 ¼ 0 ¬« 0

ª 0 º ª j50 º « 0 » « 0 » « »« » « I 1F3 » « 0 » « » « » ¬ 0 ¼ ¬ j50 ¼

0 0 º ªU 2L1 º ª1,5 1 « 1 1,5 0,5 0 »» «U 2L2 » « » j «« 0 0,5 0,83 0,3» «U 2L3 » « »« » «¬ 0 0,3 0,3 »¼ ¬U 2L4 ¼ 0

ª 0 º « 0 » « » « I 2F3 » « » ¬ 0 ¼

0 0 º ªU 0L1 º ª 0,5 0,5 « » « 0,5 0,75 0,25 0 »» «U 0L2 » j« « 0 0,25 0,45 0,2 » «U 0L3 » » « »« 0,2 0,7 ¼ ¬U 0L4 ¼ 0 ¬ 0

ª 0 º « 0 » « » « I 0F3 » « » ¬ 0 ¼

und aufgelöst nach den Spannungen (Gln. (5.21) bis (5.23)): ªU 1L1 º «U » « 1L2 » «U 1L3 » « » ¬U 1L4 ¼

ª 1,6 1,4 1 0, 4 º ­ ª 0 º ª j50 º ½ « 1,4 2,1 1,5 0, 6 » ° « 0 » « 0 » ° » °® « »« » °¾ j « « 1 1,5 2,5 1 » ° « I 1F3 » « 0 » ° « » « » « » ¬0, 4 0, 6 1 1,6 ¼ °¯ ¬ 0 ¼ ¬ j50 ¼ ¿°

ªU 2L1 º «U » « 2L2 » «U 2L3 » « » ¬U 2L4 ¼

ª 1,6 1,4 1 0, 4 º ª 0 º « 1,4 2,1 1,5 0, 6 » « 0 » »« » j « « 1 1,5 2,5 1 » « I 2F3 » « »« » ¬0, 4 0, 6 1 1,6 ¼ ¬ 0 ¼

ªU 0L1 º «U » « 0L2 » «U 0L3 » « » ¬U 0L4 ¼

ª13 11 7 2 º ª 0 º «11 11 7 2 » « 0 » »« » j « « 7 7 7 2 » « I 0F3 » « »« » ¬ 2 2 2 2¼ ¬ 0 ¼

Aus der jeweils 3. Zeile folgt für die Fehlerstelle: U 1L3

 j2,5Ÿ ˜ I 1F3  100 kV

U 2L3

 j2,5Ÿ ˜ I 2F3

U 0L3

 j7, 0 Ÿ ˜ I 0F3

Aus dem Vergleich mit den Gln. (5.24) bis (5.26) erhält man wieder: Z1

Z2

j2,5Ÿ ,

Z0

j7, 0 Ÿ

und U 1q

100 kV

Bei der Berechnung der Kurzschlüsse mit Fehlerimpedanzen geht man von den modifizierten Fehlerbedingungen nach Tabelle 5.6 aus und ordnet die Fehlerimpedanzen den Komponenten-

5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern

99

ersatzschaltungen zu (Bild 5.4a). Die Gln. (5.10) bis (5.12) gehen dann über in die Gln. (5.31) bis (5.33) mit U i F anstelle U i L (i = 1, 2, 3) als Klemmenspannungen an den erweiterten Komponentenersatzschaltungen: U 1F

( Z 1  Z F ) I 1F  U 1q

 Z 1F I 1F  U 1q

U 2F

( Z 2  Z F ) I 2F

 Z 2F I 2F

(5.32)

U 0F

( Z 0  Z F ) I 0F

 Z 0F I 0F

(5.33)

(5.31)

Die Überführung dieser Gleichungen in die äquivalente Admittanzform zur zweckmäßigen Behandlung der drei- und zweipoligen Kurzschlüsse (Parallelfehler) ergibt: I 1F

' U 1F  I 1q' Y 1F

(5.34)

I 2F

' U 2F Y 2F

(5.35)

I 0F

' U 0F Y 0F

(5.36)

1 ZiF

(5.37)

mit:1 Y i'F

' I 1q

1 ; i 1, 2, 0 Zi  ZF

' U 1q Y 1F

(5.38)

Durch die Einführung der modifizierten Fehlerbedingungen in Tabelle 5.6 und die Erweiterung der Komponentenersatzschaltungen um die Fehlerimpedanzen, kann die Berechnung der Ströme bei den Querfehlern mit Fehlerimpedanzen nach dem gleichen Schema wie ohne Fehlerimpedanzen erfolgen. Um die Spannungen an der Kurzschlussstelle zu erhalten, muss man lediglich noch die U i L aus den U i F in Gl. (5.5) rückrechnen: U iL

U i F  Z F I i F , i = 1, 2, 0

(5.39)

In den meisten Fällen ist dieser Schritt jedoch nicht erforderlich, da man sich vorwiegend für die Ströme interessiert. Für die widerstandslosen Kurzschlüsse ist ohnehin U i L U i F . Im Folgenden werden die einzelnen Erdkurzschlüsse und Kurzschlüsse näher betrachtet. Die Berechnungen werden für den allgemeinen Fall mit endlichen Fehlerimpedanzen ZF vorgenommen. Durch Nullsetzen von ZF erhält man daraus die Gleichungen für die widerstandslosen Kurzschlüsse.

5.4.1 Dreipoliger Kurzschluss mit und ohne Erdberührung Mit den Fehlerbedingungen U 1F (5.34) bis (5.36):

U 2F

U 0F

0 in Tabelle 5.6 erhält man aus den Gln.

1 Der Strich an Y i' F wurde eingeführt, um eine Verwechselung mit YiF = Yi + YF zu vermeiden.

100

I 1F

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern U 1q

U 1q

Z 1F

Z1  Z F

I 2F

0 (5.41)

I 0F

0 (5.42)

(5.40)

Die Spannungen ergeben sich mit U 1F den Gln. (5.10) bis (5.12):

U 2F

U 0F

0 aus den Gln. (5.39) oder direkt aus

U 1L

U 1F  Z F I 1F

ZF U 1q Z1  Z F

(5.43)

U 2L

U 2F  Z F I 2F

0

(5.44)

U 0L

U 0F  Z F I 0F

0

(5.45)

Die Gl. (5.43) entspricht der Spannungsteilerregel. Man kann sie direkt an der Komponentenersatzschaltung in Tabelle 5.7 ablesen. Gl. (5.45) gilt nur unter der Vorraussetzung, dass Z 0 endlich ist. Für den dreipoligen Kurzschluss ohne Erdberührung erhält man zunächst das gleiche Ergebnis. Die Bedingung U 0L 0 ist auch im Fall einer endlichen Nullimpedanz nur erfüllt, so lange es sich um einen Einfachfehler handelt. Die Rücktransformation aus dem Bereich der Symmetrischen Komponenten ergibt: I F1

U 1q

U 1q

Z 1F

Z1  Z F

2

(5.46)

I F2

a I F1

(5.47)

I F3

a I F1

(5.48)

U L1

Z F I F1

ZF U 1q Z1  Z F

U L2

Z F I F2

a U L1

(5.50)

U L3

Z F I F3

a U L1

(5.51)

2

(5.49)

Die eingerahmten Gleichungen ergeben wieder die Fehlerbedingungen.

5.4.2 Einpoliger Erdkurzschluss oder Erdschluss Im der Berechnungsablauf gibt es keinen Unterschied zwischen einem Erdkurzschluss und einem Erdschluss. Für beide gelten die gleichen Fehlerbedingungen, nach denen sie als Reihenfehler zu behandeln sind. Ein Unterschied ergibt sich erst in der Größenordnung des Stromes an der Fehlerstelle, bedingt durch die unterschiedlichen Werte der Nullimpedanzen bei den verschiedenen Arten der Sternpunkterdung. In Netzen mit niederohmiger Sternpunkterdung spricht man vom Erdkurzschluss, weil dort bei einem einpoligen Kurzschluss auch ein großer Kurzschlussstrom entsteht. Netze mit freiem Sternpunkt oder Resonanzsternpunkterdung haben dagegen eine sehr große Nullimpedanz, so dass bei einpoligem Kurzschluss nur ein relativ kleiner Fehlerstrom auftritt, der nicht die Bezeichnung Kurzschlussstrom verdient.

5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern

101

Entsprechend den Fehlerbedingungen in Tabelle 5.6 U 1F  U 2F  U 0F ergibt die Addition der Gln. (5.27) bis (5.29): I 1F

I 2F

I 0F

U 1q

U 1q

Z 1F  Z 2F  Z 0F

Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

0 und I 1F

I 2F

I 0F

(5.52)

Zum gleichen Ergebnis kommt man auch sofort aus der Maschengleichung entlang der Reihenschaltung der Komponentennetze in Impedanzform (s. Tabelle 5.7). Mit Gl. (5.52) erhält man für die Spannungskomponenten aus den Gln. (5.27) bis (5.29): U 1F

Z 2F  Z 0F U 1q Z 1F  Z 2F  Z 0F

Z 2  Z 0  2Z F U 1q Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

U 2F



Z 2F U 1q Z 1F  Z 2F  Z 0F

(5.54)

U 0F



Z 0F U 1q Z 1F  Z 2F  Z 0F

(5.55)

(5.53)

und mit den Gln. (5.39) oder (5.10) bis (5.12): U 1L

U 1F  Z F I 1F

Z 2  Z 0  3Z F U 1q Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

U 2L

U 2F  Z F I 2F



Z2 U 1q Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

(5.57)

U 0L

U 0F  Z F I 0F



Z0 U 1q Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

(5.58)

(5.56)

Zur Kontrolle summiert man die 3 Spannungskomponenten, was wieder auf die Fehlerbedingung in Tabelle 5.5 führen muss: U 1L  U 2L  U 0L

3Z F I 1F

Die Rücktransformation ergibt: I F1

3U 1q Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

(5.59)

I F2

I F3

U L1

Z F I F1

3Z F U 1q Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

(5.61)

U L2

(a 2  a)( Z 2  Z F )  (a 2  1)( Z 0  Z F ) U 1q Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

(5.62)

U L3

(a  a 2 )( Z 2  Z F )  (a  1)( Z 0  Z F ) U 1q Z 1  Z 2  Z 0  3Z F

(5.63)

(5.60)

0

102

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Für Z 0 o f geht I F1 gegen Null und die Gleichungen für die Leiter-Erde-Spannungen gehen über in (s. Bild 5.9): U L1

0 (5.64)

U L2

(a 2  1) U 1q

(5.65)

U L3

(a  1) U 1q

(5.66)

Unter der Bedingung Z 2 Kurzschluss: I k1 I k3

Z 1 wird das Verhältnis der Strombeträge bei ein- und dreipoligem

3 Z0  ZF 2 Z1  Z F

U q3

U L3 U ME U q1 U 1q

U L2 U q2 Bild 5.9. Zeigerbild der Spannungen bei Erdschluss

5.4.3 Zweipoliger Kurzschluss mit Erdberührung Der zweipolige EKS ist ein Parallelfehler. Die Strom-Spannungsbeziehungen in Symmetrischen Komponenten sind dual zu denen des einpoligen Erdkurzschlusses (s. Tabelle 5.8). Damit könnte man sich die folgenden Rechenschritte bis einschließlich Gl. (5.70) eigentlich sparen und die Gln. (5.67) bis (5.70) von den dualen Gln. (5.52) bis (5.55) übernehmen. Entsprechend den Fehlerbedingungen I 1F  I 2F  I 0F 0 und U 1F Addition der Gln. (5.34) bis (5.36) die zu Gl. (5.52) duale Beziehung: U 1F

U 2F

U 0F

' I 1q

U 2F

U 0F ergibt die

(5.67)

'  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F

' nach Gl. (5.37) und (5.38). mit Y i'F und I 1q Zum gleichen Ergebnis kommt man auch sofort am Knotenpunktsatz der Parallelschaltung der Komponentennetze in Admittanzform (s. Tabelle 5.7).

5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern

103

Mit Gl. (5.67) erhält man für die Stromkomponenten aus den Gln. (5.34) bis (5.36) die zu den Gln. (5.53) bis (5.55) dualen Beziehungen: I 1F

'  Y 0F ' Y 2F

' I 1q

'  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F

I 2F



I 0F



' Y 2F '  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F ' Y 0F '  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F

(5.68)

' I 1q

(5.69)

' I 1q

(5.70)

Die Summe der drei Ströme ergibt Null, so wie es die Fehlerbedingung fordert. Die Spannungen an der Fehlerstelle erhält man wieder mit den vorstehenden Spannungen und Strömen aus der Gln. (5.39) oder direkt aus den Gln. (5.10) bis (5.12):

'  Y 0F ' ) 1  Z F (Y 2F

U 1L

U 1F  Z F I 1F

U 2L

U 2F  Z F I 2F

U 0L

U 0F  Z F I 0F

'  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F ' 1  Z F Y 2F '  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F ' 1  Z F Y 0F '  Y 2F '  Y 2F ' Y 1F

' I 1q

(5.71)

' I 1q

(5.72)

' I 1q

(5.73)

Schließlich ergibt die Rücktransformation: I F1 I F2

I F3

U L1

(5.74)

0

'  (a 2  1) Y 0F ' (a 2  a) Y 2F '  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F '  (a  1) Y 0F ' (a  a 2 ) Y 2F '  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F 3

'  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F

' I 1q

' I 1q

' I 1q

(a 2  a) Z 0F  (a 2  1) Z 2F U 1q Z 1F Z 2F  Z 2F Z 0F  Z 0F Z 1F (a  a 2 ) Z 0F  (a  1) Z 2F U 1q Z 1F Z 2F  Z 2F Z 0F  Z 0F Z 1F

3 Z 2F Z 0F U 1q Z 1F Z 2F  Z 2F Z 0F  Z 0F Z 1F

(5.75)

(5.76)

(5.77)

U L2

Z F I F2

ZF

(a 2  a) Z 0F  (a 2  1) Z 2F U 1q Z 1F Z 2F  Z 2F Z 0F  Z 0F Z 1F

(5.78)

U L3

Z F I F2

ZF

(a  a 2 ) Z 0F  (a  1) Z 2F U 1q Z 1F Z 2F  Z 2F Z 0F  Z 0F Z 1F

(5.79)

104

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Die Summe von I F2 und I F3 muss 3I 0F ergeben. Für Z F U L1

0 werden U L2 und U L3 Null und die Spannung im fehlerfreien Leiter wird: 3Z 2 Z 0 U 1q Z1 Z 2  Z 2 Z 0  Z 0 Z1

und für Z 2 U L1

(5.80)

Z1 :

3 U 1q Z 2 1 Z0

(5.81)

5.4.4 Zweipoliger Kurzschluss ohne Erdberührung Der zweipolige Kurzschluss ohne Erdberührung ist wie der zweipolige Kurzschluss mit Erdberührung ein Parallelfehler, wobei sich die Parallelschaltung auf das Mit- und Gegensystem beschränkt. Man kann die Ergebnisse von den vorstehenden Gleichungen für den Fall mit Erdberührung übernehmen, wenn man Y 0F Null setzt: I F1

(5.82)

0 2

I F2

I F3

U L1

' (a  a) Y 2F '  Y 2F ' Y 1F ' (a  a 2 ) Y 2F '  Y 2F ' Y 1F 3

'  Y 2F ' Y 1F

' I 1q

a2  a U 1q Z 1F  Z 2F

(5.83)

' I 1q

a  a2 U 1q Z 1F  Z 2F

(5.84)

' I 1q

3Z 2F U 1q Z 1F  Z 2F

(5.85)

U L2

Z F I F2

ZF

a2  a U 1q Z 1F  Z 2F

(5.86)

U L3

Z F I F2

ZF

a  a2 U 1q Z 1F  Z 2F

(5.87)

Die Beträge der Spannungen U L2 und U L3 werden gleich groß. Unter der Bedingung Z 2 Kurzschluss: I k2 I k3

a a 2

Z 1 wird das Verhältnis der Strombeträge bei zwei- und dreipoligem

2

3 2

(5.88)

5.4 Berechnung von Einfachquerfehlern

105

Beispiel 5.4. Für das Beispielnetz aus Bild 5.8 sollen sämtliche Kurzschlüsse am Knoten 3 berechnet für Z F 0 werden. Die Innenimpedanzen und die Leerlaufspannung wurden bereits im Beispiel 5.3 berechnet: Z1

Z2

j2,5Ÿ ,

j7, 0 Ÿ , U 1q

Z0

100 kV

Dreipoliger Kurzschlussstrom mit und ohne Erdberührung nach Gl. (5.46): I F1

U 1q

100 kV j2,5Ÿ

Z1

 j40 kA

Einpoliger Erdkurzschluss im Leiter L1 nach Gl. (5.59) sowie (5.62) und (5.63): I F1

3U 1q Z1  Z 2  Z 0

3 ˜100 kV j(2,5+2,5+7) Ÿ

U L2

(a 2  a) Z 2  (a 2  1) Z 0 U 1q Z1  Z 2  Z 0

U L3

(a  a 2 ) Z 2  (a  1) Z 0 U 1q Z1  Z 2  Z 0

 j25 kA (a 2  a) ˜ 2,5  (a 2  1) ˜ 7, 0 ˜100 kV 12

(a  a 2 ) ˜ 2,5  (a  1) ˜ 7, 0 ˜100 kV 12

(87,5  j50 ˜ 3) kV (87,5  j50 ˜ 3) kV

' Zweipoliger Erdkurzschluss in den Leitern L2 und L3 nach Gl. (5.75) bis (5.78) mit Y 1F I F2

(a 2  a) Y 2  (a 2  1) Y 0 Y 1 U 1q Y1  Y 2  Y 0 2

j I F3

2

(a  a) ˜ 2 / 5  (a  1) ˜1/ 7 2 ˜ ˜100 kA 2 / 5  2 / 5  1/ 7 5

(20 ˜ 3  j100/11) kA

(a  a 2 ) Y 2  (a  1) Y 0 Y 1 U 1q Y1  Y 2  Y 0 2

j U L1

(a  a ) ˜ 2 / 5  (a  1) ˜1/ 7 2 ˜ ˜100 kA 2 / 5  2 / 5  1/ 7 5

3Y 1 U 1q Y1  Y 2  Y 0

(20 ˜ 3  j100/11) kA

3˜ 2 / 5 100 kV 127,2727 kV 2 / 5  2 / 5  1/ 7

Zweipoliger Kurzschluss in den Leitern L2 und L3 nach den Gln. (5.83) bis (5.85): I F2

a2  a U 1q Z1  Z 2

20 ˜ 3 kA I F3

U L1

3Z2 U 1q Z1  Z 2

150 kV

(a  a 2 ) U 1q Z 1  Z 2  2Z F

I F2

20 ˜ 3 kA

Y 1F :

106

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

5.5 Berechnung von Einfachlängsfehlern Das Netz wird an der Unterbrechungsstelle F aufgetrennt. Dadurch entsteht ein zusätzlicher (Hilfs-) Knoten, der mit H bezeichnet wird. Erfolgt die Unterbrechung nicht in unmittelbarer Nähe eines Leitungsabzweiges, sondern auf der Leitung, so ist die Leitung in zwei Abschnitte, links und rechts von der Unterbrechungsstelle F aufzuteilen. In diesem Fall entstehen mit F und H zwei neue Knoten an der Unterbrechungsstelle. Die weitere Berechnung der Einfachlängsfehler erfolgt nach dem gleichen Schema wie für die Querfehler. Durch Zusammenfassen der Komponentennetze zwischen den Knoten F und H erhält man die Zweipolersatzschaltungen der Komponentennetze im Bild 5.10 mit den Boxen 1, 2 und 0 für das Mit-, Gegen- und Nullsystem (Beispiel 5.5). Im fehlerfreien Zustand sind die Spannungen U 1F , U 2F und U 0F sowie I 2F und I 0F Null. I 1L , U 1F

H1

F1 1

I 2L , U 2F

F2

H2 2

I 0L , U 0F

H0

F0 0

Bild 5.10. Zu Zweipolen an der Fehlerstelle zusammengefasste Komponentennetze

Das Innere der Boxen hängt nun wieder davon ab, ob die Impedanz- oder Admittanzform der Zweipolgleichungen gewählt wird. Bei den Längsfehlern ist es zweckmäßig von der Admittanzform auszugehen, weil sich in diese eine eventuell zu berücksichtigende Fehleradmittanz besser einbeziehen lässt, und erst dann die äquivalente Impedanzform zu bilden (s. Bild 5.4). Mit den Bezeichnungen im Bild 5.10 lauten die Gleichungen:

5.5 Berechnung von Einfachlängsfehlern

107

I 1L

Y 1 U 1F  I 1q

(5.89)

I 2L

Y 2 U 2F

(5.90)

I 0L

Y 0 U 1F

(5.91)

Die entsprechenden Ersatzschaltungen sind im Bild 5.11 dargestellt. Das Gegen- und Nullsystem sind passiv. Der Quellenstrom I 1q ist identisch mit dem Mitsystemstrom bei kurzgeschlossenen Unterbrechungsstellen (s. Gl. (5.89) für U 1F 0 ). Dieser entspricht dem Strom im Bezugsleiter L1, der unmittelbar vor der Unterbrechung durch die kurzgeschlossene Unterbrechungsstelle fließt.

U 1F

U 1F I 1L

I 1L

Z1

Y1

U 1q

I 1q

01

01

U 2F

U 2F I 2L

I 2L

Y2

Z2

02

02

U 0F

U 0F I 0L

I 0L

Y0

Z0

00

00

Bild 5.11. Admittanzform (links) und Impedanzform (rechts) der Zweipolgleichungen für die Komponentennetze an der Unterbrechungsstelle

Die für die Berechnung der zweipoligen Unterbrechung nützliche äquivalente Impedanzform ergibt sich durch Auflösen der Gln. (5.89) bis (5.91) nach den Spannungen: U 1F

 Z 1 I 1L  U 1q

(5.92)

U 2F

 Z 2 I 2L

(5.93)

108 U 0F

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern  Z 0 I 0L

(5.94)

mit: Zi

1 ; i 1, 2, 0 Yi

(5.95)

und: U 1q

(5.96)

Z 1 I 1q

Die Bestimmung der Innenimpedanzen (und damit der Innenadmittanzen) kann nur für kleinere Netze noch von Hand erfolgen (Beispiel 5.5). Für größere Netze geht man wieder von den Admittanzmatrizen der Symmetrischen Komponenten, Gln. (5.21) bis (5.23), aus, die um den neu entstandenen Hilfsknoten durch Anhängen einer Zeile und Spalte erweitert und nach den Knotenspannungen aufgelöst werden: u1K

Z 1KK (i1F  i1Q )

(5.97)

u2K

Z 2KK i 2F

(5.98)

u0K

Z 0KK i 0F

(5.99)

Die Fehlerstromvektoren in den Gln. (5.97) bis (5.99) sind nur an der Unterbrechungsstelle (Knoten u und Hilfsknoten v) mit den Symmetrischen Komponenten der Leitungsströme I 1Lu , I 2Lu , I 0Lu , I 1Lv , I 2Lv und I 0Lv besetzt. Folglich reduziert sich das Gleichungssystem auf die folgenden Vierpolgleichungen für die Symmetrischen Komponenten. ªU 1Lu º « » ¬U 1Lv ¼

ª z1uu «z ¬ 1vu

z1uv º ª I 1Lu º ª z1u i1Q º « » z1vv »¼ «¬ I 1Lv »¼ ¬« z1v i1Q ¼»

(5.100)

ªU 2Lu º «U » ¬ 2Lv ¼

ª z 2uu «z ¬ 2vu

z 2uv º ª I 2Lu º z 2vv »¼ «¬ I 2Lv »¼

(5.101)

ªU 0Lu º «U » ¬ 0Lv ¼

ª z 0uu «z ¬ 0vu

z 0uv º ª I 0Lu º z 0vv »¼ «¬ I 0Lv »¼

(5.102)

Die Spannungen über der Fehlerstelle ergeben sich aus den Differenzen der Knotenspannungen in den Gln. (5.100) bis (5.102) unter Beachtung von I 1Lv  I 1Lu , I 2Lv  I 2Lu und I 0Lv  I 0Lu : U 1Lu  U 1Lv

( z1uu  z1vv  z1uv  z1vu ) I 1Lu  z1u i1Q  z1v i1Q

(5.103)

U 2Lu  U 2Lv

( z 2uu  z 2vv  z 2uv  z 2vu ) I 2Lu

(5.104)

U 0Lu  U 0Lv

( z 0uu  z 0vv  z 0uv  z 0vu ) I 0Lu

(5.105)

Aus dem Vergleich mit den Gln. (5.92) bis (5.94) folgt: Z1

( z1uu  z1vv  z1uv  z1vu )

(5.106)

Z2

( z 2uu  z 2vv  z 2uv  z 2vu )

(5.107)

5.5 Berechnung von Einfachlängsfehlern Z0 U 1q

( z 0uu  z 0vv  z 0uv  z 0vu )

z1u i1Q  z1v i1Q

109 (5.108) (5.109)

Sollen Fehleradmittanzen berücksichtigt werden, so werden die Gln. (5.89) bis (5.91) wie folgt um diese erweitert (Bild 5.4b): I 1F

(Y 1  Y F ) U 1F  I 1q

Y 1F U 1F  I 1q

I 2F

(Y 2  Y F ) U 1F

Y 2F U 2F

(5.111)

I 0F

(Y 0  Y F ) U 0F

Y 0F U 0F

(5.112)

(5.110)

Die äquivalente Impedanzform lautet: U 1F

' I 1F  U 1q'  Z 1F

(5.113)

U 2F

' I 2F  Z 2F

(5.114)

U 0F

' I 0F  Z 0F

(5.115)

1 ; i 1, 2, 0 Y iF

(5.116)

mit: Z i'F

und:

' U 1q

' I 1q Z 1F

1 I 1q Y1  Y F

(5.117)

Auf die Gln. (5.110) bis (5.115) können die modifizierten Fehlerbedingungen in Tabelle 5.6 angewendet werden. Am Ende der Rechnung sind noch die Leiterströme aus der umgestellten Gl. (5.6) zu ermitteln: I iL

I iF  Y F U iF

(5.118)

Im Folgenden werden die einzelnen Längsfehler betrachtet. Dabei wird wieder der allgemeine Fall mit Fehleradmittanzen zu Grunde gelegt. Den Sonderfall der vollständigen Unterbrechung erhält man durch Nullsetzen von Y F .

5.5.1 Dreipolige Unterbrechung Mit der Fehlerbedingung I 1F I 2F I 0F 0 nach Tabelle 5.6 erhält man aus den Gln. (5.113) bis (5.115) die folgenden, zu denen des dreipoligen Erdkurzschlusses dualen, Beziehungen. Dabei ist aber zu beachten ist, dass Y 1 die Innenadmittanz des Mitsystems an der Unterbrechungsstelle ist, die nicht mit dem Kehrwert der Innenadmittanz Z 1 des Mitsystems an der Kurzschlussstelle im Zusammenhang steht. U 1F U 2F

I 1q

I 1q

Y 1F

Y1  Y F

0

' U 1q

(5.119) (5.120)

110 U 0F

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern (5.121)

0

Die Ströme an den Unterbrechungsstellen folgen aus Gl. (5.118): YF I 1q Y1  Y F

I 1L

I 1F  Y F U 1F

I 2L

0

(5.123)

I 0L

0

(5.124)

(5.122)

Die Rücktransformation ergibt: U F1

I 1q

(5.125)

Y1  Y F 2

U F2

a U F1

(5.126)

U F3

a U F1

(5.127)

I L1

Y F U F1

YF I 1q Y1  Y F

I L2

Y F U F2

a I L1

(5.129)

I L3

Y F U F3

a I L1

(5.130)

2

(5.128)

Für Y F 0 wird I L1 0 . Damit werden auch I L2 und I L3 Null. Die Spannung U F1 wird gleich der Leerlaufspannung des Mitsystems an der Unterbrechungsstelle. U F1

I 1q Y1

(5.131)

U 1q

5.5.2 Zweipolige Unterbrechung Die zweipolige Unterbrechung ist wie der einpolige Erdkurzschluss ein Serienfehler. Die Komponentennetze werden an der Fehlerstelle in Reihe geschaltet (s. Tabelle 5.6). Mit den Fehlerbedingungen U 1F  U 2F  U 0F 0 und I 1F I 2F I 0F erhält man durch Addition der Gln. (5.113) bis (5.115): I 1F

I 2F

I 0F

' U 1q

(5.132)

'  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

Damit folgt aus den Gln. (5.113) bis (5.115) für die Spannungen, die in der Summe Null ergeben müssen: U 1F

'  Z 0F ' Z 1F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

' U 1q

(5.133)

5.5 Berechnung von Einfachlängsfehlern

U 2F



U 0F



' Z 2F

111

' U 1q

(5.134)

' U 1q

(5.135)

' U 1q

(5.136)

'  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

' Z 0F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

und nach Gln. (5.118): I 1L

I 2L

I 0L

'  Z 0F ' ) 1  Y F ( Z 2F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F ' 1  Y F Z 2F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F ' 1  Y F Z 0F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

' U 1q

(5.137)

' U 1q

(5.138)

Durch Rücktransformation erhält man: U F1

'  (a 2  1) Z 0F ' (a 2  a) Z 2F

U F2

'  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F '  (a  1) Z 0F ' (a  a 2 ) Z 2F

U F3

I L1

(5.139)

0

'  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F 3

'  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

I L2

Y F U F2

YF

I L3

Y F U F3

YF

' U 1q

(5.140)

' U 1q

(5.141)

' U 1q

(5.142)

'  (a 2  1) Z 0F ' (a 2  a) Z 2F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F '  (a  1) Z 0F ' (a  a 2 ) Z 2F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

' U 1q

' U 1q

(5.143)

(5.144)

Die Gln. (5.139) bis (5.144) hätte man unter Beachtung der Dualität auch gleich von den Gln. (5.70) bis (5.75) für den zweipoligen Erdkurzschluss übernehmen können. Es ist aber darauf zu

' nach Gl. (5.116) und (5.117) zu berechnen sind. achten, dass die Z i'F und U 1q Für Y F

0 werden die Ströme I L2 und I L3 folgerichtig Null.

112

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

5.5.3 Einpolige Unterbrechung Die einpolige Unterbrechung wird als Parallelfehler behandelt. Die Fehlerbedingungen sind dual zu denen des einpoligen Erdkurzschlusses. Auf eine ausführliche Durchrechnung soll hier verzichtet werden, da sie nach dem gleichen Schema wie für die vorstehenden Fälle erfolgt. Die Endgleichungen werden sinngemäß von den Gln. (5.55) bis (5.59) für den einpoligen Erdkurzschluss übernommen: U F1

3 Y 1F  Y 2F  Y 0F

I 1q

3 I 1q Y 1  Y 2  Y 0  3Y F

(5.145) (5.146)

U F2

U F3

I L1

Y F U F1

I L2

(a 2  a)(Y 2  Y F )  (a 2  1)(Y 0  Y F ) I 1q Y 1  Y 2  Y 0  3Y F

(5.148)

I L3

(a  a 2 )(Y 2  Y F )  (a  1)(Y 0  Y F ) I 1q Y 1  Y 2  Y 0  3Y F

(5.149)

0 3Y F I 1q Y 1  Y 2  Y 0  3Y F

(5.147)

Beispiel 5.5. Für das Beispielnetz aus Bild 5.8 sollen sämtliche Unterbrechungen der Leitung 2 am Knoten 3 für Y F 0 berechnet werden. Die Quellenspannung des Netzes 2 soll auf 106 kV angehoben werden. Von Hand berechnet man die Innenimpedanzen nach: Z 1L2 

Z1

Z2

Z0

Z 0L2  Z 0L3

Z 1L3 ( Z 1N1  Z 1L1  Z 1L4  Z 1N2 ) Z 1L3  Z 1N1  Z 1L1  Z 1L4  Z 1N2

j(8  8) Ÿ

j(4 

4 ˜ (2  1  3  2) )Ÿ 4  2  1  3  2)

j6, 6667 Ÿ

j16 Ÿ

Die um den Hilfsknoten (Knoten 5) erweiterten Knotenspannungs-Gleichungssysteme sind: 1 0 0 0 º ªU 1L1 º ª1,5 « 1 1,5 0,25 0,25»» «U 1L2 » 0 « « » j « 0 0,25 0,583 0,3 0,3 » «U 1L3 » « »« » «0 0,3 0,3 0 0 » «U 1L4 » « » 0 0 0,25 »¼ «¬U 1L5 »¼ «¬ 0 0,25

ª 0 º ª j50 º « 0 » « 0 » « » « » « I 1L3 »  « 0 » « » « » « 0 » « j53» «  I 1L3 » « 0 » ¬ ¼ ¬ ¼

1 0 0 0 º ªU 2L1 º ª1,5 « 1 1,5 0,25 0,25»» «U 2L2 » 0 « « » j « 0 0,25 0,583 0,3 0,3 » «U 2L3 » « »« » «0 0,3 0,3 0 0 » «U 2L4 » « » 0 0 0,25 ¼» «¬U 2L5 »¼ ¬« 0 0,25

ª 0 º « 0 » « » « I 2L3 » « » « 0 » «  I 2L3 » ¬ ¼

5.5 Berechnung von Einfachlängsfehlern

113

0,5 0 0 0 º ªU 0L1 º ª 0,5 « 0,5 0,75 0,125 0,125»» ««U 0L2 »» 0 « 0,125 0,325 0,2 0 » «U 0L3 » j« 0 « »« » 0,2 0 0,7 0 » «U 0L4 » « 0 « 0 0,125 0 0 0,125 »¼ «¬U 0L5 »¼ ¬

ª 0 º « 0 » « » « I 0L3 » « » « 0 » «  I 0L3 » ¬ ¼

Den Gln. (5.97) bis (5.99) entsprechend gilt: ªU 1L1 º «U » « 1L2 » «U 1L3 » « » «U 1L4 » «U » ¬ 1L5 ¼

ª 1,6 1,5 0,83 0,3 1,5 º ­ ª 0 º ª j50 º ½ « » 0,5 2, 25» ° « 0 » « 0 » ° « 1,5 2,25 1,25 °« » « »° ° °  j ««0,83 1,25 2,9167 1,16 1, 25 »» ® « I 1L3 »  « 0 » ¾ » « »° °« « 0,3 0,5 1,16 1,16 0,5 » ° « 0 » « j53» ° « » « » » « 0,5 6, 25»¼ °¯ ¬  I 1L3 ¼ ¬ 0 ¼ °¿ «¬ 1,5 2, 25 1, 25

ªU 2L1 º «U » « 2L2 » «U 2L3 » « » «U 2L4 » «U » ¬ 2L5 ¼

ª 1,6 1,5 0,83 0,3 1,5 º ª 0 º « » 0,5 2, 25» « 0 » « 1,5 2,25 1,25 « »  j ««0,83 1,25 2,9167 1,16 1, 25 »» « I 2L3 » « » « 0,3 0,5 1,16 1,16 0,5 » « 0 » « »« » 0,5 6, 25¼» ¬  I 2L3 ¼ «¬ 1,5 2, 25 1, 25

ªU 0L1 º «U » « 0L2 » «U 0L3 » « » «U 0L4 » «U » ¬ 0L5 ¼

ª17 15 7 2 15 º ª 0 º «15 15 7 2 15 » « 0 » « »« »  j « 7 7 7 2 7 » « I 0L3 » « »« » « 2 2 2 2 2 »« 0 » «15 15 7 2 23» «  I 0L3 » ¬ ¼¬ ¼

Nach den Gln. (5.106) bis (5.109) folgt daraus in Übereinstimmung mit der Handrechnung: j(2,9167  6, 25  1, 25  1, 25) Ÿ

j6, 6667 Ÿ

Z1

Z2

Z0

j(7  23  7  7) Ÿ

U 1q

(0,83 ˜ 50  1,16 ˜ 53)  (1,5 ˜ 50  0,5 ˜ 53) kV

j16 Ÿ 2 kV

Dreipolige Unterbrechung nach Gl. (5.125): U F1

I 1q Y1

U 1q

2 kV

Zweipolige Unterbrechung L2 und L3 nach Gl. (5.140) bis (5.142): I L1

3U 1q

3˜ 2

Z1  Z 2  Z 0

j(6, 6  6, 6  16)

kA

 j0, 2045 kA

114

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

U F2

(a 2  a) Z 2  (a 2  1) Z 0 U 1q Z1  Z 2  Z 0

U F3

(a  a 2 ) Z 2  (a  1) Z 0 U 1q Z1  Z 2  Z 0

(1, 6364  j1, 7321) kV

(1, 6364  j1, 7321) kV

Einpolige Unterbrechung L1 nach Gl. (5.145) und (5.148) bis (5.149): U F1

3 I 1q

3 ˜ 0,15 ˜ 2 kV 0,15  0,15  0, 0625

Y1  Y 2  Y 0

I L2

(a 2  a) Y 2  (a 2  1) Y 0 I 1q Y1  Y 2  Y 0

I L3

(a  a 2 ) Y 2  (a  1) Y 0 I 1q Y1  Y 2  Y 0

2, 4828 kV

(5.150)

(0, 2598  j0, 0776) kA

(5.151)

(0, 2598  j0, 0776) kA

(5.152)

In der folgenden Tabelle 5.12 sind sämtliche Ströme und Spannungen an den Fehlerstellen für die Kurzschlüsse mit ZF und die Unterbrechungen mit YF noch einmal gegenübergestellt. Die Fehlerbedingungen sind eingerahmt. Die Gleichungen für den zweipoligen Kurzschluss ohne Erdberührung ergeben sich aus denen des zweipoligen Erdkurzschlusses durch Nullsetzen der Nulladmittanz. Für die widerstandslosen Kurzschlüsse und Unterbrechungen sind ZF und YF Null zu setzen. Tabelle 5.12. Zusammenstellung der Fehlergrößen für die Kurzschlüsse und Unterbrechungen mit Fehlerimpedanz/admittanz in Symmetrischen Komponenten (unsymmetrische Fehler als Hauptfehler)

Kurzschlüsse

1-polig: L1-E

Unterbrechungen

I F1

3 U 1q Z 1F  Z 2F  Z 0F

I F2 I F3 U L1

U F1

3 I 1q Y 1F  Y 2F  Y 0F

0

U F2

0

0

U F3

0

L1

Z F I F1 2

2-polig:

1-polig:

I L1

Y F U F1

2

2

2

U L2

(a  a) Z 2F  (a  1) Z 0F U 1q Z 1F  Z 2F  Z 0F

I L2

(a  a) Y 2F  (a  1) Y 0F I 1q Y 1F  Y 2F  Y 0F

U L3

(a  a 2 ) Z 2F  (a  1) Z 0F U 1q Z 1F  Z 2F  Z 0F

I L3

(a  a 2 ) Y 2F  (a  1) Y 0F I 1q Y 1F  Y 2F  Y 0F

I F1

0

L2-L3-E I F2

I F3

2-polig:

'  (a 2  1) Y 0F ' (a 2  a) Y 2F '  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F '  (a  1) Y 0F ' (a  a 2 ) Y 2F '  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F

U F1

L2 u. L3

' I 1q

' I 1q

U F2

U F3

0

'  (a 2  1) Z 0F ' (a 2  a) Z 2F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F '  (a  1) Z 0F ' (a  a 2 ) Z 2F '  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

' U 1q

' U 1q

5.6 Berechnung von Doppelfehlern 3

U L1

3-polig

'  Y 2F '  Y 0F ' Y 1F

U L2

Z F I F2

U L3

Z F I F3

115

' I 1q

I L1

3-polig

3

'  Z 2F '  Z 0F ' Z 1F

I L2

Y F U F2

I L3

Y F U F3

U F1

1 I 1q Y 1F

I F1

1 U 1q Z 1F

I F2

a I F1

U F2

a U F1

I F3

a I F1

U F3

a U F1

2

2

U L1

Z F I F1

I L1

Y F U F1

U L2

Z F I F2

I L2

Y F U F2

U L3

Z F I F3

I L3

Y F U F3

' Z 1F

1 Y 1F

' U 1q

' I 1q Z 1F

modifi1 1 ' Y 1F zierte Z 1F Z 1  Z F Zweipolgrößen ' Y 1F ' U 1q I 1q

' U 1q

1 Y1  Y F

5.6 Berechnung von Doppelfehlern Beispielhaft für die Berechnung von Doppelfehler soll der Doppelerdkurzschluss, der auch der häufigste Doppelfehler in Netzen mit freiem Sternpunkt und Netzen mit Erdschlusskompensation ist, behandelt werden. Der Doppelerdkurzschluss entsteht in der Folge eines Erdschlusses. Durch die Anhebung der Leiter-Erde-Spannungen in den beiden nicht vom Erdschluss betroffenen Leitern auf das 3 -fache kommt es zu einem Durchschlag gegen Erde in einem der beiden Leiter, und zwar an einer Schwachstelle der Isolation, die irgendwo im Netz liegen kann. Man hat es also mit zwei einpoligen Erdkurzschlüssen in zwei verschiedenen Leitern an zwei verschiedenen Stellen A und B im Netz zu tun (s. Bild 5.1). Aus Tabelle 5.9 entnimmt man für die Fehlerbedingungen an der Stelle A zunächst noch unabhängig von der Leiterlage, der Einfachheit halber jedoch ohne Fehlerimpedanz (deshalb mit dem Index L an den Spannungen):

D A U 1LA  D A U 2LA  U 0LA D A I 1FA

D A I 2FA

0

I 0FA

(5.153) (5.154)

und an der Stelle B ebenfalls ohne Fehlerimpedanz:

D B U 1LB  D B U 2LB  U 0LB D B I 1FB

D B I 2FB

I 0FB

0

(5.155) (5.156)

Für die komplexen Faktoren D A und D B gelten je nach Leiterlage der Fehler die Werte aus Tabelle 5.10.

116

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Die Gleichungen für die Symmetrischen Komponenten des Netzes an den Fehlerstellen A und B sind Vierpolgleichungen der folgenden allgemeinen Form. Auf die Bestimmung der Impedanzen und Quellenspannungen wird später eingegangen. ªU 1LA º « » ¬U 1LB ¼

ªZ  « 1AA ¬ Z 1BA

Z 1AB º ª I 1FA º ªU 1qA º « » Z 1BB »¼ «¬ I 1FB »¼ «¬U 1qB »¼

(5.157)

ªU 2LA º « » ¬U 2LB ¼

ªZ  « 2AA ¬ Z 2BA

Z 2AB º ª I 2FA º Z 2BB »¼ «¬ I 2FB »¼

(5.158)

ªU 0LA º «U » ¬ 0LB ¼

ªZ  « 0AA ¬ Z 0BA

Z 0AB º ª I 0FA º Z 0BB »¼ «¬ I 0FB »¼

(5.159)

Durch Anwendung der Fehlerbedingungen auf die Gln. (5.157) bis (5.159) gewinnt man die folgende Gleichung zur Berechnung der Mitsystemströme I 1FA und I 1FB : ª Z 1AA  Z 2AA  Z 0AA Z 1AB  D A D B Z 2AB  D A D B Z 0AB º ª I 1FA º « »« » «¬ Z 1BA  D B D A Z 2BA  D B D A Z 0BA »¼ ¬ I 1FB ¼ Z 1BB  Z 2BB  Z 0BB

ªU 1qA º « » (5.160) ¬«U 1qB ¼»

Die Gegen- und Nullsystemströme ergeben sich aus den Fehlerbedingungen (Gln. (5.154) und (5.156)): I 2FA

D A I 1FA

(5.161)

I 0FA

D A I 1FA

(5.162)

I 2FB

D B I 1FB

(5.163)

I 0FB

D B I 1FB

(5.164)

Anschließend kann die Rücktransformation vorgenommen werden. Unter Beachtung der Gln. (5.161) bis (5.164) erhält man:

I FA1

(1  D A  D A ) I 1FA

(5.165)

I FA2

(a  a D A  D A ) I 1FA

(5.166)

I FA3

(a  a D A  D A ) I 1FA

(5.167)

I FB1

(1  D B  D B ) I 1FB

(5.168)

I FB2

(a  a D B  D B ) I 1FB

(5.169)

I FB3

(a  a D B  D B ) I 1FB

(5.170)

2

2

2

2

Die Impedanzelemente der Gln. (5.157) bis (5.159) kann man wie folgt berechnen. Die Diagonalelemente Z iAA und Z iBB (i = 1, 2, 3) sind die Eingangsimpedanzen der Komponentennetze von der jeweiligen Fehlerstelle aus gesehen, wenn die Spannungsquellen des Netzes kurzgeschlossen sind. Um z. B. das Nichtdiagonalelement Z 1AA zu erhalten, nimmt man den Knoten A fehlerfrei an, und speist am Knoten B einen beliebigen Fehlerstrom I 1FB (z. B. 1 kA) ein.

5.6 Berechnung von Doppelfehlern

117

Mit diesem Strom berechnet man die Spannung U 1KA am Knoten A und dividiert diese durch den angenommenen Strom I 1FB (Beispiel 5.6). Sinngemäß verfährt man bei der Bestimmung der restlichen Nichtdiagonalelemente. Für Netze ohne Transformatoren mit phasendrehender Schaltgruppen gilt Z iBA Z iAB . In Netzen größerer Ausdehnung berechnet man die Impedanzen wie bei den Einfachfehlern aus der Knotenimpedanzmatrix (Gln. (5.21) bis (5.23)): u1K

Z 1KK (i1F  i1Q )

(5.171)

u2K

Z 2KK i 2F

(5.172)

u0K

Z 0KK i 0F

(5.173)

Die Fehlerstromvektoren sind nur an den Knoten A (Fehlerstelle A) und B (Fehlerstelle B) besetzt. Von den Knotenspannungen interessieren nur die der Knoten A und B. Damit reduzieren sich die vorstehenden Gleichungen auf: ªU 1LA º «U » ¬ 1LB ¼

ª z1AA «z ¬ 1BA

z1AB º ª I 1FA º ª z1A i1Q º « » z1BB »¼ «¬ I 1FB »¼ ¬« z1B i1Q ¼»

(5.174)

ªU 2LA º «U » ¬ 2LB ¼

ª z 2AA «z ¬ 2BA

z 2AB º ª I 2FA º z 2BB »¼ «¬ I 2FB »¼

(5.175)

ªU 0LA º «U » ¬ 0LB ¼

ª z 0AA «z ¬ 0BA

z 0AB º ª I 0FA º z 0BB »¼ «¬ I 0FB »¼

(5.176)

Der Vergleich mit den Gln. (5.154) bis (5.156) ergibt: ª Z iAA «Z ¬ iBA

Z iAB º Z iBB »¼

ªz  « iAA ¬ z iBA

z iAB º z iBB »¼

(5.177)

und ªU 1qA º « » «¬U 1qB »¼

ª z1A i1Q º « » «¬ z1B i1Q »¼

(5.178)

Für Netze mit freien Sternpunkten oder Erdschlusskompensation ist die Knotenadmittanzmatrix des Nullsystems singulär, weil keine Verbindung zum Bezugsknoten besteht. Die Impedanzen in Gl. (5.159) werden unendlich groß, so dass die Gl. (5.160) nicht mehr angewendet werden kann. Hier hilft man sich mit einem rechentechnischen Kniff, indem man die Verbindung zwischen den Knoten A und B im Nullsystem zunächst durch eine beliebige endliche Querimpedanz Z 0C zum Bezugsknoten ergänzt, die nach der Matrixinversion durch den Grenzübergang Z 0C o f wieder eliminiert wird (Bild 5.12).

118

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

Z 0A

Z 0B

A

B

I 0LA U 0LA

I 0LB

Z 0C

U 0LB

Bild 5.12. Nullersatzschaltbild mit fiktiver Querimpedanz Z 0C

Die Gl. (5.159) wird dann ersetzt durch: ªU 0LA º «U » ¬ 0LB ¼

ª Z  Z 0C  « 0A ¬ Z 0C

Z 0C º ª I 0FA º Z 0B  Z 0C »¼ «¬ I 0FB »¼

(5.179)

An die Stelle der Gl. (5.160) tritt: ª Z 1AA  Z 2AA  Z 0A  Z 0C «

¬« Z 1BA  D B D A Z 2BA  D B D A Z 0C

Z 1AB  D A D B Z 2AB  D A D B Z 0C º ª I 1FA º »« » »¼ ¬ I 1FB ¼ Z 1BB  Z 2BB  Z 0B  Z 0C

ªU 1qA º « » ¬«U 1qB ¼»

(5.180)

Die Auflösung nach den Strömen ergibt: ª I 1FA º « » ¬ I 1FB ¼

Z 1BB  Z 2BB  Z 0B  Z 0C 1ª « D ¬«  Z 1BA  D B D A Z 2BA  D B D A Z 0C

 Z 1AB  D A D B Z 2AB  D A D B Z 0C º ªU 1qA º »« » U Z 1AA  Z 2AA  Z 0A  Z 0C ¼» ¬« 1qB ¼» (5.181)

mit der Determinante: ( Z 1AA  Z 2AA  Z 0A )( Z 1BB  Z 2BB  Z 0B )  Z 0C ( Z 1AA  Z 2AA  Z 0A  Z 1BB  Z 2BB  Z 0B )

D

 Z 0C (D A D B Z 1AB  D A D B Z 2AB )  Z 0C (D B D A Z 1BA  D B D A Z 2BA )

Nimmt man nun in Gl. (5.175) den Grenzübergang Z 0C o f vor, so erhält man: ª I 1FA º «I » ¬ 1FB ¼

1ª 1 « D «¬ D B D A

D A D B º ªU 1qA º »« » 1 »¼ «¬U 1qB »¼

(5.182)

mit: D



Z 1AA  Z 2AA  Z 0A  Z 1BB  Z 2BB  Z 0B  D A D B ( Z 1AB  Z 2BA )  D A D B ( Z 1BA  Z 2AB )

Die Rücktransformation erfolgt wieder nach den Gln. (5.165) bis (5.169). Für Z 2AA Z 1AA , Z 2BB Z 1BB , Z 1AB Z 2AB , Z 1BA Z 1AB , Z 2BA Z 2AB und Z 0A  Z 0B Z 0AB und unter der Bedingung, dass die beiden Erdschlüsse nicht im gleichen



Leiter liegen (es gilt dann D A D B  D A D B

1 ) vereinfacht sich die Gln. (5.182) noch zu:

5.6 Berechnung von Doppelfehlern

I 1FA

I 1FB

119

U 1qA  D A D B U 1qB

(5.183)

2 Z 1AA  2 Z 1BB  2Z 1AB  Z 0AB U 1qB  D B D A U 1qA

(5.184)

2 Z 1AA  2 Z 1BB  2 Z 1AB  Z 0AB

Für die Berechnung wird man eine Fehlerstelle in den Leiter L1 legen, um die einfachen Fehlerbedingungen für die Hauptfehlerkonstellation wenigstens an einer Fehlerstelle auszunutzen. Die zweite Fehlerstelle muss man dann in den Leiter L2 oder L3 legen. Am Beispiel des Doppelerdkurzschlussströme zeigt sich schon, dass die Berechnung von Mehrfachfehlern (insbesondere ungleichartigen Mehrfachfehlern) nach der konventionellen Methode umständlich ist. Zudem können die erforderlichen Impedanzen bei singulärer Admittanzmatrix des Nullsystems nicht auf dem üblichen Weg berechnet werden. Mehrfachfehler lassen sich nach dem im Kapitel 6 beschriebenen Fehlermatrizenverfahren, dem ein einfacher einheitlicher Algorithmus für alle Fehlerarten zu Grunde liegt, auch bei Singularität des Nullsystems ohne Probleme oder rechentechnische Kniffe behandeln.

Beispiel 5.6. Für das Beispielnetz aus Bild 5.8 soll der Doppelerdkurzschluss mit den Kurzschlussstellen am Knoten 2 (A) im Leiter L1 und Knoten 3 (B) im Leiter L2 berechnet werden. Das Netz 2 soll zunächst mit geerdetem und dann mit freien Sternpunkten betrieben werden. Die Knotenspannungs-Gleichungen der Symmetrischen Komponenten können aus Beispiel 5.4 übernommen werden (Admittanzen in S, Ströme in kA): 0 0 º ªU 1L1 º ª1,5 1 « 1 1,5 0,5 »« » 0 « » «U 1L2 » j« 0 0,5 0,83 0,3» «U 1L3 » « »« » 0,3 0,3 ¼» ¬U 1K4 ¼ 0 ¬« 0

ª 0 º ª j50 º «I » « 0 » « 1F2 »  « » « I 1F3 » « 0 » « » « » ¬ 0 ¼ ¬ j50 ¼

0 0 º ªU 2L1 º ª1,5 1 « 1 1,5 0,5 »« » 0 « » «U 2L2 » j« 0 0,5 0,83 0,3» «U 2L3 » « »« » 0,3 0,3 ¼» ¬U 2L4 ¼ 0 ¬« 0

ª 0 º «I » « 2F2 » « I 2F3 » « » ¬ 0 ¼

0 0 º ªU 0L1 º ª 0,5 0,5 « 0,5 0,75 0,25 0 »» ««U 0L2 »» j« « 0 0,25 0,45 0,2» «U 0L3 » » « »« 0,2 0,7 ¼ ¬U 0L4 ¼ 0 ¬ 0 ªU 1L1 º «U » « 1L2 » «U 1L3 » « » ¬U 1L4 ¼

ª 0 º «I » « 0F2 » « I 0F3 » « » ¬ 0 ¼

ª 1,6 1,4 1 0, 4 º ­ ª 0 º ª j50 º ½ « 1,4 2,1 1,5 0, 6 » ° « I » « 0 » ° » °® « 1F2 »  « » °¾ j « « 1 1,5 2,5 1 » ° « I 1F3 » « 0 » ° « » « » « » ¬0, 4 0, 6 1 1,6 ¼ °¯ ¬ 0 ¼ ¬ j50 ¼ °¿

120

5 Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern

ªU 2L1 º «U » « 2L2 » «U 2L3 » « » ¬U 2L4 ¼

ª 1,6 1,4 1 0, 4 º ª 0 º « 1,4 2,1 1,5 0, 6 » « I » » « 2F2 » j « « 1 1,5 2,5 1 » « I 2F3 » « »« » ¬0, 4 0, 6 1 1,6 ¼ ¬ 0 ¼

ªU 0L1 º «U » « 0L2 » «U 0L3 » « » ¬U 0L4 ¼

ª13 11 7 2 º ª 0 º «11 11 7 2 » « I » » « 0F2 » j « « 7 7 7 2 » « I 0F3 » « »« » ¬ 2 2 2 2¼ ¬ 0 ¼

Den Gln. (5.157) bis (5.159) entsprechend gilt (K2 = A, K3 = B): Z 1AA

Z 2AA

j2,1Ÿ ; Z 1AB

Z 0AA

j11Ÿ ; Z 0AB

Z 0BA

Z 1BA

Z 2AB

Z 0BB

j7 Ÿ

Z 2BA

j1,5Ÿ ; Z 1BB

Z 2BB

j2,5Ÿ

oder aus: ( Z 1N1  Z 1L1 )( Z 1L2 / 2  Z 1L4  Z 1N2 ) Z 1N1  Z 1L1  Z 1L2 / 2  Z 1L4  Z 1N2

Z 1AA

Z 2AA

Z 1AB

( Z 1N1  Z 1L1 )( Z 1L4  Z 1N2 ) Z 1N1  Z 1L1  Z 1L2 / 2  Z 1L4  Z 1N2

Z 1BA

( Z 1L4  Z 1N2 )( Z 1N1  Z 1L1 ) Z 1N1  Z 1L1  Z 1L2 / 2  Z 1L4  Z 1N2

Z 0AA

Z 0L2 / 2  Z 0L4  Z 0N2

Z 0AB

Z 0BA

Z 0BB

Z 0L4  Z 0N2

Ströme nach Gl. (5.160) mit D A 1 und D B ª I 1FA º «I » ¬ 1FB ¼

2

a : 1

j15 4, 7631  j2, 7500 º ª100 º ª « 4, 7631  j2, 7500 » «100 » kA j12 ¬ ¼ ¬ ¼

ª 3,1306  j9, 6944 º « 3,1306  j11, 7976 » kA ¬ ¼

und nach Gl. (5.165) und (5.169): (9,3917  j29, 0831) kA

I FA1

3I 1F1

I FB2

3a I 1FB

2

(25,9551  j25,8298) kA

Ist auch der Sternpunkt im Netz 2 nicht geerdet, so wird die Admittanzmatrix des Nullsystems singulär:

Y 0KK

0 0 º ª 0,5 0,5 « 0,5 0,75 0,25 0 »» j« « 0 0,25 0,45 0,2 » « » 0,2 0,2 ¼ 0 0 ¬

5.6 Berechnung von Doppelfehlern

121

Folglich können die Impedanzen des Nullsystems nicht bestimmt werden. Sie sind unendlich groß. An Stelle der Gl. (5.160) müssen die Gln. (5.173) bzw. (5.183) und (5.184) verwendet werden: ª I 1FA º «I » ¬ 1FB ¼

1 ª 1 a 2 º ª100 º kA « » j16, 2 ¬ a 1 ¼ «¬100 »¼

I FA1

3I 1FA

I FB2

3a I 1FB

2

ª 5,3458  j9, 2593 º « 5,3458  j9, 2593» kA ¬ ¼

(16, 0375  j27, 7778) kA  I FA1

(16, 0375  j27, 7778) kA

Aufgrund der fehlenden Verbindung zum Bezugsknoten im Nullsystem müssen die Ströme an den Erdschlussstellen entgegengesetzt gleich groß sein.

6 Fehlermatrizenverfahren Das Fehlermatrizenverfahren beruht auf der systematischen Nachbildung der Quer- und Längsfehler mit Hilfe von Fehlermatrizen. Für jeden Fehler lässt sich eine charakteristische Fehlermatrix in Form einer 3u3-Inzidenzmatrix angeben. Die Nachbildung von Quer- und Längsfehlern als Einfach- oder Mehrfachfehler in beliebiger Konstellation erfolgt einheitlich durch einfache Matrixoperationen mit den entsprechenden Fehlermatrizen am Knotenspannungs-Gleichungssystem und an den Betriebsmittelgleichungen, wobei die Ordnung und die Form der Gleichungssysteme erhalten bleiben. Es entfallen also weder Knoten noch müssen Hilfsknoten, wie bei den klassischen Methoden der Fehlerberechnung (s. Kapitel 5) eingeführt werden. Die Querfehler können mit oder ohne Fehlerimpedanzen und die Längsfehler mit oder ohne Fehleradmittanzen nachgebildet werden. Die Nachbildung widerstandsloser Kurzschlüsse und vollständiger Unterbrechungen ist exakt ohne die bei manchen Rechenverfahren vorausgesetzten verschwindend klein angenommenen Fehlerimpedanzen oder Fehleradmittanzen möglich.

6.1 Fehlermatrizen Die Fehlerbedingungen für die Kurzschlüsse mit Fehlerimpedanzen und Unterbrechungen mit Fehleradmittanzen sind in der Tabelle 6.1 für die Hauptfehler (symmetrisch zum Bezugsleiter L1 angeordneten Fehler) nochmals zusammengestellt. Tabelle 6.1. Fehlerbedingungen für die Kurzschlüsse und Unterbrechungen (Hauptfehler)

Kurzschlüsse (Querfehler)

Unterbrechungen (Längsfehler)

ohne Kurzschluss

ohne Unterbrechung

I F1

0

I F2

0

I F3

0

1-pol. EKS

U L1  Z F1 I F1

L1-E

I F2

0

I F3

0

0

2-pol. EKS

I F1

L2-L3-E

U L2  Z F2 I F2

0

U L3  Z F3 I F3

0

3-pol. EKS

U L1  Z F1 I F1

0

L1-L2-L3E

U L2  Z F2 I F2 U L3  Z F3 I F3

0

1-pol. UB L1

2-pol. UB L2 und L3

U F1

0

U F2

0

U F3

0

I L1  Y F1U F1 U F2

0

U F3

0

U F1

0

0

I L2  Y F2 U F2

0

I L3  Y F3U F3

0

I L1  Y F1U F1

0

0

I L2  Y F2 U F2

0

0

I L3  Y F3U F3

0

3-pol. UB

124

6 Fehlermatrizenverfahren

2-pol. KS

I F1

L2-L3

I F2  I F3

0 0

(U L3  Z F3 I F3 )  (U L2  Z F2 I F2 )

0

3-pol. KS

I F1  I F2  I F3

L1-L2-L3

(U L2  Z F2 I F2 )  (U L1  Z F1 I F1 )

0

(U L3  Z F3 I F3 )  (U L1  Z F1 I F1 )

0

0

Im Gegensatz zu Tabelle 5.2 sind jetzt aber unterschiedliche Fehlerimpedanzen ZFi bzw. Fehleradmittanzen YFi (i = 1,2,3) in den einzelnen Leitern zugelassen. Sie können beliebig, so auch Null sein. Sämtliche Fehlerbedingungen werden einheitlich durch eine 3u3 Inzidenzmatrix, die Fehlermatrix F, deren transponierte Matrix FT und die 3u3 Einheitsmatrix E wie folgt formuliert.

Kurzschlüsse: ª I F1 º F «« I F2 »» «¬ I F3 »¼

F iF

(6.1)

o

­ ªU L1 º ª Z F1 ° ( E  F T ) ® ««U L2 »»  «« ° ¯ ¬«U L3 ¼» ¬«

Z F2

º ª I F1 º ½ » «I »° » « F2 » ¾ Z F3 ¼» ¬« I F3 ¼» ¿°

( E  F T )(uL  Z F i F )

o

(6.2)

Unterbrechungen: ªU F1 º F ««U F2 »» «¬U F3 »¼

F uF

­ ª I L1 º ªY F1 º ªU F1 º ½ °« » « » «U » ° ( E  F ) ® « I L2 »  « Y F2 » « F2 » ¾ ° «I » « »° »« Y F3 ¼ ¬U F3 ¼ ¿ ¯ ¬ L3 ¼ ¬ T

(6.3)

o

( E  F T )(i L  Y F uF )

o

(6.4)

Die entsprechenden Fehlermatrizen für die Hauptfehler sind aus der Tabelle 6.2 ersichtlich, wobei die Erdkurzschlüsse und Unterbrechungen mit gleicher Fehlermatrix in einer Zelle zusammengefasst sind. Die Fehlerbedingungen dieser Fehlerpaare sind dual zueinander. Das ist auch für die fehlerfreien Zustände der Fall. Für die dualen Fehlerpaare und die fehlerfreien Zustände gilt F T F .

6.1 Fehlermatrizen

125

Tabelle 6.2. Fehlermatrizen für die Hauptfehler

1-pol. EKS L1-E

2-pol. EKS L2-L3-E

3-pol. EKS L1-L2-L3-E

1-pol. UB

2-pol. UB L2 und L3

3-pol. Unterbrechung

ª0 0 0º «0 1 0» « » «¬ 0 0 1 »¼

ª1 0 0 º «0 0 0» « » «¬ 0 0 0 »¼

ª0 0 0º «0 0 0» « » «¬ 0 0 0 »¼

ohne Kurzschluss

2-pol. KS L2-L3

3-pol. KS L1-L2-L3

ª1 0 0 º «0 1 1 » « » «¬ 0 0 0 »¼

ª1 1 1 º «0 0 0» « » «¬ 0 0 0 »¼

L1

ohne Unterbrechung ª1 0 0 º «0 1 0» « » «¬ 0 0 1 »¼

Für die unsymmetrischen Fehler existieren neben den Hauptfehlern jeweils zwei weitere Fehlerkonstellationen, die unter vorläufiger Beibehaltung der Fehlermatrizen für die Hauptfehler dadurch berücksichtigt werden können, dass man die die Reihenfolge der Größen (Spannungen und Ströme) an der Fehlerstelle wie folgt tauscht: ªG 2 º «G » « 3» «¬ G1 »¼

ª0 1 0 º ª G1 º « 0 0 1 » «G » « »« 2» «¬1 0 0 »¼ «¬ G 3 »¼

(6.5)

ªG3 º «G » « 1» «¬G 2 »¼

ª 0 0 1 º ª G1 º «1 0 0 » «G » « »« 2» «¬ 0 1 0 »¼ «¬ G 3 »¼

(6.6)

Bezeichnet man im Folgenden die Fehlermatrizen der Hauptfehler mit F ' und die Inzidenzmatrizen in den Gln. (6.5) und (6.6) mit K, so ergeben sich die Fehlermatrizen für eine beliebige Lage der Fehler aus der Beziehung F

K TF ' K

(6.7)

Für die Hauptfehler ist K = E, womit F in F ' übergeht.

Beispiel 6.1. Für den einpoligen Kurzschluss im Leiter L2 über die Impedanz ZF2 gilt nach Gl. (6.1) mit Gl. (6.7) und der Fehlermatrix F ' aus der Tabelle 6.2 sowie der Matrix K aus Gl. (6.5): F iF

K TF ' K iF

ª0 0 1 º ª0 0 0 º ª0 1 0 º ª I F1 º «1 0 0 » « 0 1 0 » « 0 0 1 » « I » « »« »« » « F2 » «¬0 1 0 »¼ «¬0 0 1 »¼ «¬1 0 0 »¼ «¬ I F3 »¼

ª1 0 0 º ª I F1 º «0 0 0 » « I » « » « F2 » «¬ 0 0 1 »¼ «¬ I F3 »¼

o

(6.8)

126

6 Fehlermatrizenverfahren

und nach Gl. (6.2): ( E  F T )(uL  Z F i F )

( E  K T F ' T K )(uL  Z F i F )

­ ª1 0 0 º ª0 0 1 º ª0 0 0 º ª0 1 0 º ½ ­ ªU L1 º ª Z F1 °« » « » « »« »« » ° °« ® «0 1 0 »  «1 0 0 » «0 1 0 » «0 0 1 » ¾ u ® «U L2 »  « 0 ° «0 0 1 » «0 1 0 » «0 0 1 » «1 0 0 » ° ° «U » « 0 ¼ ¬ ¼¬ ¼¬ ¼ ¿ ¯ ¬ L3 ¼ ¬ ¯¬ ª0 0 0 º ­ ªU L1 º ª Z F1 «0 1 0 » ° «U »  « 0 « » ® « L2 » « «¬0 0 0 »¼ ¯° ¬«U L3 ¼» «¬ 0

0

Z F2 0

0

Z F2 0

0 º ª I F1 º ½ ° 0 »» «« I F2 »» ¾ o Z F3 »¼ «¬ I F3 »¼ ¿°

0 º ª I F1 º ½ ° 0 »» «« I F2 »» ¾ Z F3 »¼ «¬ I F3 »¼ °¿

(6.9)

Die Gln. (6.8) und (6.9) kann man natürlich auch sofort anschreiben, indem man Elemente der Fehlermatrix entsprechend der Fehlerkonstellation anordnet. Aus Gl. (6.9) ist ersichtlich, dass die Fehlerimpedanzen der nicht betroffenen Leiter (hier ZF1 und ZF3) keine Rolle spielen, also beliebig angenommen werden können. Man wird deshalb im Computerprogramm die nicht beteiligten Fehlerimpedanzen und ebenso bei den Unterbrechungen die nicht beteiligten Fehleradmittanzen gewöhnlich Null setzen.

6.2 Fehlermatrizen in Symmetrischen Komponenten Die Einführung der Symmetrischen Komponenten (Index S) für die Fehlerströme in Gl. (6.1) erfolgt nach der bekannten Beziehung: iF

ª I F1 º «I » « F2 » «¬ I F3 »¼

ª1 « 2 «a « ¬a

1 a a

2

1º ª I º 1F » 1» «« I 2F »» » 1¼ «¬ I 0F »¼

T S i SF

(6.10)

In gleicher Weise werden auch die Symmetrischen Komponenten der übrigen Größen an der Fehlerstelle in die Gln. (6.2) bis (6.4) eingeführt: uF

T S uSF

(6.11)

uL

T S uSL

(6.12)

iL

T S i SL

(6.13)

Nach anschließender Multiplikation der Gln. (6.1) bis (6.4) von links mit der inversen Transformationsmatrix

1

TS

ª1 a 1« «1 a 2 3« «¬1 1

a2 º » a» » 1» ¼

1 *T TS 3

erhält man in Symmetrischen Komponenten für die Kurzschlüsse:

(6.14)

6.2 Fehlermatrizen in Symmetrischen Komponenten

F S i SF

(E

ª I 1F º F S «« I 2F »» «¬ I 0F »¼

 F ST* )(uSL

127

(6.15)

o

 Z SF i SF )

(E

­ ªU 1L º ª Z 11F T* ° «  F S ) ® «U 2L »»  «« Z 21F ° ¯ ¬«U 0L ¼» ¬« Z 01F

Z 12F Z 22F Z 02F

Z 10F º ª I 1F º ½ ° Z 20F »» «« I 2F »» ¾ o Z 00F ¼» ¬« I 0F ¼» ¿°

(6.16)

und für die Unterbrechungen: ªU 1F º F S ««U 2F »» «¬U 0F »¼ (E

F S uSF

 F ST* )(i SL

(6.17)

o

 Y SF uSF )

(E

­ ª I 1L º ªY 11F T* ° «  F S ) ® « I 2L »»  ««Y 21F ° « i » «Y ¯ ¬ 0L ¼ ¬ 01F

Y 12F Y 10F º ªU 1F º ½ ° Y 22F Y 20F »» ««U 2F »» ¾ o Y 02F Y 00F »¼ «¬U 0F »¼ °¿

(6.18)

mit der Fehlermatrix und der konjugiert komplexen transponierten Fehlermatrix für die Symmetrischen Komponenten: FS *T

FS

1

TS F TS

(6.19)

1

1

(T S F T S )*T

TS F T TS

(6.20)

Die Elemente der Fehlerimpedanzmatrix (und sinngemäß die der Fehleradmittanzmatrix) ergeben sich aus:

Z SF

T S1 Z SF T S

Z F1  a 2 Z F2  a Z F3

ª Z F1  Z F2  Z F3 1« 2 « Z F1  a Z F2  a Z F3 3« 2 «¬ Z F1  a Z F2  a Z F3

Z F1  Z F2  Z F3 Z F1  a Z F2  a 2 Z F3

Z F1  a Z F2  a 2 Z F3 º » Z F1  a 2 Z F2  a Z F3 » » Z F1  Z F2  Z F3 » ¼ (6.21)

Im Fall gleicher Fehlerimpedanzen ZF in den drei Kurzschlussverbindungen bzw. gleicher Fehleradmittanzen YF in den Unterbrechungsstellen der drei Leiter, wie im Kapitel 5, werden die Matrizen Z SF und Y SF zu Diagonalmatrizen mit den jeweils gleichen Elementen ZF bzw. YF. Die Gl. (6.19) für die Fehlermatrizen kann man noch in eine Form bringen, die es leicht ermöglicht, ausgehend von den Fehlermatrizen der Hauptfehler auf die der Nicht-Hauptfehler überzugehen. Nach den Gln. (6.7) und (6.19) gilt: FS

1

TS F TS

1

T S (K T F ' K )T S

(6.22) 1

und nach erweitern mit T S und T S FS

1

1

1

(T S K T T S )(T S F ' T S )(T S K T S )

1

1

A (T S F ' T S ) A

1

A F S' A

(6.23)

128

6 Fehlermatrizenverfahren

Der Ausdruck F S'

1

T S F ' T S steht für die Fehlermatrizen der Hauptfehler in Symmetrischen 1

Komponenten. Folglich stellt die Matrix A T S K T S zusammen mit ihrer Inversen den Zusammenhang zwischen den Fehlermatrizen der Hauptfehler und den anderen Fehlerkonstellationen her. Dieser Zusammenhang ist besonders übersichtlich, da A eine Diagonalmatrix ist. Für die Hauptfehler ist A die Einheitsmatrix. Allgemein gilt mit D nach Tabelle 6.3 für alle Fehlerkonstellationen: ªD º « »

D « » « 1» ¬ ¼

A

(6.24)

und A

1

A

ªD « D « « ¬

º » » 1» ¼

(6.25)

Tabelle 6.3. Elemente der Matrix A für die verschiedenen Fehlerkonstellationen

Fehlerart

1-polig

2-polig

D

Betroffene Leiter

L1

L2 und L3

1

L2

L3 und L1

a2

L3

L1 und L2

a

Für die konjugiert komplex transponierte Fehlermatrix erhält man: *T

FS

A F S' A 1

*T

(6.26)

Für die Unterbrechungen und Kurzschlüsse mit Erdberührung ist F T für diese Fehler auch

*T FS

F . Demzufolge gilt

FS .

Mit Hilfe der Elemente von A lassen sich nun die Fehlermatrizen für jede Fehlerkonstellation allgemein angeben. Sie sind in der Tabelle 6.4 zusammengestellt. Wie man sieht, kommt man, wenn man noch die Nullmatrix für den dreipoligen Erdkurzschluss und die dreipolige Unterbrechung hinzunimmt, für alle möglichen Fehler mit nur 5 Formen der Fehlermatrizen aus.

6.2 Fehlermatrizen in Symmetrischen Komponenten

129

Tabelle 6.4. Fehlermatrizen in Symmetrischen Komponenten

Fehler

1-pol. EKS und 1-pol. UB

FS

ª 2 D D * º » 1« * « D 2 D » 3« » * 2 » «¬ D D ¼

ª 1 D D*º » 1« * «D 1 D » 3« » * «¬ D D 1 »¼

ª 1 D D*º » 1« * «D 1 D » 3« » * «¬ D D 1 »¼

ª 2 D D * º » 1« * « D 2 D » 3« » * 2 » «¬ D D ¼

*T

E  FS

2-pol. EKS und 2-pol. UB

2-pol. KS ohne Erde

3-pol. KS ohne Erde

ª 2  a 2 D (2  a 2 ) D * (1  2a) º » 1« * «D (2  a) 2  a D (1  2a 2 ) » 3« » 0 0 3 «¬ »¼

ª0 0 1º «0 0 1» « » «¬0 0 1»¼

2 ª 1 a D (2  a ) 1« * 2 « D (2  a) 1 a 3« 2 * «¬ D (1  2a ) D (1  2a)

0º » 0» » 0» ¼

ª 1 0 0º « 0 1 0» « » «¬ 1 1 0 »¼

Faktor Į nach Tabelle 6.3 In einem Computerprogramm wird man entweder die Fehlermatrizen nach Tabelle 6.4 ablegen und je nach Fehlerart mit dem entsprechenden Wert für D abrufen, oder einfach die ursprünglichen Fehlermatrizen in Leiterkoordinaten speichern und die Transformation in Symmetrische Komponenten nach der Gln. (6.22) und die Bildung der konjugiert komplex transponierten Fehlermatrix vom Computer ausführen lassen, da der Rechenaufwand hierfür unbedeutend ist (s. das MATLAB-Programm Fehlermatrizenverfahren im Anhang A.2).

Beispiel 6.2 Für die einpoligen Erdkurzschlüsse lauten die Fehlerbedingungen, Gl. (6.15) und (6.16), mit der allgemeinen Fehlermatrix nach Tabelle 6.4: ª 2 1« « D 3« «¬ D

D 2 D

D º ª I º » 1F D » «« I 2F »» » 2 » «¬ I 0F »¼ ¼

(6.27)

o

ª 1 D D º ­ ªU º ª Z 11F « » ° 1L 1 «D 1 D » ® ««U 2L »»  «« Z 21F 3« »°

1 » ¯ ¬«U 0L ¼» ¬« Z 01F «¬ D D ¼

Z 12F Z 22F Z 02F

Z 10F º ª I 1F º ½ ° Z 20F »» «« I 2F »» ¾ o Z 00F ¼» ¬« I 0F ¼» ¿°

(6.28)

Aus der homogenen Gl. (6.27) folgt bei Vorgabe von I 0F : I 1F

D I 0F

(6.29)

D I 0F

(6.30)

und I 2F

oder im Einklang mit Tabelle 6.9:

D I 1F

D I 2F

I 0F

In der Gl. (6.28) soll das Produkt

(6.31)

130 ª 1 D D º ªZ « » 11F «D 1 D » «« Z 21F « »

1 » «¬ Z 01F «¬ D D ¼

6 Fehlermatrizenverfahren

Z 12F Z 22F Z 02F

Z 10F º Z 20F »» Z 00F »¼

noch näher betrachtet werden. Mit den Elementen der Impedanzmatrix aus Gl. (6.21) erhält man: ª (1  D  D ) Z F1  « « (1  D a  D a 2 ) Z F2 « 2

« (1  D a  D a) Z F3 «

« (1  D  D ) Z F1  1«  (1  D a  D a 2 )a Z F2 3 «« 2 2

«  (1  D a  D a)a Z F3 « (1  D  D ) Z  F1 « « (1  D a  D a 2 )a 2 Z F2 « « (1  D a 2  D a)a Z F3 ¬

(1  D  D ) Z F1 

2

2

(1  D a  D a )a Z F2 (1  D a 2  D a)a Z F3 (1  D  D ) Z F1  (1  D a  D a 2 ) Z F2 (1  D a 2  D a) Z F3 (1  D  D ) Z F1 

2

 (1  D a  D a )a Z F2  (1  D a 2  D a)a 2 Z F3

(1  D  D ) Z F1 

º »

2 (1  D a  D a )a Z F2 » » (1  D a 2  D a)a 2 Z F3 » » (1  D  D ) Z F1  » »

2 2  (1  D a  D a )a Z F2 » »  (1  D a 2  D a)a Z F3 » (1  D  D ) Z F1  » »

2  (1  D a  D a ) Z F2 » »  (1  D a 2  D a) Z F3 » ¼

ª 1 D D º « » Z Fi «D 1 D » « »

«¬ D D 1 »¼

(6.32) wobei der Index i = 1, 2, 3 an der Fehlerimpedanz der Zahl des betroffenen Leiters L1, L2 oder L3 entspricht. Das Ergebnis war zu erwarten, nachdem im Abschnitt 6.1 bereits festgestellt wurde, dass die Fehlerimpedanzen der vom Kurzschluss nicht betroffenen Leiter keine Rolle spielen. Mit der Gl. (6.32) kann die Gl. (6.28) kürzer wie folgt geschrieben werden ª 1 D D º ­ ªU º ª Z Fi « » ° 1L 1 «D 1 D » ® ««U 2L »»  «« 0 3« »°

1 » ¯ ¬«U 0L ¼» «¬ 0 «¬ D D ¼

0 Z Fi 0

0 º ª I 1F º ½ ° 0 »» «« I 2F »» ¾ Z Fi »¼ «¬ I 0F »¼ ¿°

o

(6.33)

Jede Zeile in Gl. (6.33) enthält die schon aus Tabelle 6.9 bekannte Bedingung

D U 1L  D U 2L  U 0L  Z Fi D I 1F  Z Fi D I 2F  Z Fi I 0F

0

(6.34)

6.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenadmittanzmatrix Das Knotenspannungs-Gleichungssystem, Gl. (3.14), wird um die Gegen- und Nullsystemgrößen und auf der rechten Reite um einen Fehlerstromvektor erweitert und nimmt dann mit dem Index S für die symmetrischen Komponenten die folgende Form an.

6.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenadmittanzmatrix ªY S11 «Y « S21 « # « « Y Si1 « # « ¬«Y Sn1

Y S12 Y S22 # Y Si 2 # Y Sn2

Y S1i Y S2i # Y Sii # Y Sni

" " % " % "

" " % " % "

Y S1n º ª uSK1 º Y S2n »» «« uSK2 »» # »« # » » »« Y Sin » « uSKi » # »« # » » »« Y Snn ¼» ¬« uSKn ¼»

ª i SK1 º «i » « SK2 » « # » « » « i SKi » « # » « » ¬« i SKn ¼»

ª i SQ1 º ª i º « » « SF1 » « i SQ2 » « i SF2 » « # » « # » « »« » « i SQi » « i SFi » « » « » « # » « # » « i » ¬« i SFn ¼» ¬ SQn ¼

131

(6.35a)

oder in kompakter Schreibweise mit dem Index K für Knoten: Y SKK uSK

i SK

i SQ  i SF

(6.35b)

In den Vektoren uSKi sind die Symmetrischen Komponenten der Leiterspannungen am i-ten Knoten zusammengefasst: uSKi

T

¬ªU 1Li U 2Li U 0Li ¼º

(6.36)

Die Vektoren der Knoten-Quellenströme bestehen nur aus Mitsystemströmen. Am i-ten Knoten gilt:

i SQi

ª¬ I 1Qi

0 0 º¼

T

(6.37)

wobei I1Qi der Summenstrom aller am i-tenKnoten angreifenden Quellenströme I1qk ist. Der Fehlerstromvektor am i-ten Knoten besteht aus: i SFi

> I 1Fi

I 2Fi

T

I 0Fi @

(6.38)

Für die hier vorausgesetzten symmetrischen Betriebsmittel sind die Untermatrizen in Gl. (6.35a) Diagonalmatrizen mit den Admittanzen der symmetrischen Komponenten als Elemente: Y Si k

ªY 1ik « 0 « «¬ 0

0

Y 2ik 0

0 º 0 »» Y 0ik »¼

(6.39)

Die Fehlerbedingungen, Gln. (6.1) und (6.2), für die Kurzschlüsse an allen n Knoten werden zusammengefasst zu: ª F S1 º ª i SF1 º « »« # » % » « »« « » « i SFi » F Si » « »« % « »« # » «¬ F Sn »¼ «¬ i SFn »¼

und:

F SK i SF

o

(6.40)

132

6 Fehlermatrizenverfahren

T* ª E  F S1 ºªu Z i º SF1 SF1 « » « SK1 » % # « »« » « »« u Z i » T*  E F i SF i i SK SF Si « »« » « »« # % » « » » T* « u  Z i SFn SFn ¼ «¬ E  F Sn »¼ ¬ SKn

T* ( EK  F SK ) (uSK  Z SF i SF )

o

(6.41) mit der blockdiagonalen Fehlerimpedanzmatrix

Z SF

ª Z SF1 º « » % « » « » Z SFi « » % « » «¬ Z SFn »¼

(6.42)

Für die fehlerfreien Knoten bestehen die entsprechenden Fehlermatrizen FSFi aus der 3u3 Einheitsmatrix E. Ist das gesamte Netz fehlerfrei, so wird die resultierende Fehlermatrix FSK zur Einheitsmatrix EK . Aus der Gl. (6.35) erhält man für den Fehlerstromvektor: i SF

Y SKK uSK  i SQ

(6.43)

Nach Einsetzen des Fehlerstromvektors in die Gln. (6.40) und (6.41) gehen diese über in: F SK Y SKK uSK

F SK i SQ

T* ( EK  F SK )( EK  Z SF Y SKK ) uSK

(6.44) T* ( EK  F SK ) Z SF i SQ

(6.45)

Die Subtraktion der Gln. (6.44) und (6.45) liefert schließlich: T* [ F SK Y SKK  ( EK  F SK )( EK  Z SF Y SKK )] uSK

T* [ F SK  ( EK  F SK ) Z SF ] i SQ

(6.46)

Die Gl. (6.46) mutet auf den ersten Blick etwas seltsam an, da in den eckigen Klammern auf der linken und rechten Seite dimensionsbehaftete und dimensionslose Ausdrücke nebeneinander stehen. Man muss aber beachten, dass in der ausführlichen Schreibweise diese unterschiedlichen Größen niemals gemeinsam in einer Zeile vorkommen. Um diesen Schönheitsfehler in der Gl. (6.46) zu beseitigen und wieder eine Admittanzmatrix zu erhalten, kann man die Gl. (6.45) auch erst von links mit der Knotenadmittanzmatrix multiplizieren1 und dann von der Gl. (6.44) subtrahieren. Man erhält dann anstelle von Gl. (6.46): T* [ F SK Y SKK  Y SKK ( EK  F SK )( EK  Z SF Y SKK )] uSK

Für Z SF

T* [ F SK  Y SKK ( E K  F SK ) Z SF ] i SQ (6.47)

0 , d. h. widerstandslose Kurzschlüsse, vereinfacht sich Gl. (6.47) zu:

1 Die Gl. (6.45) kann von links mit einer beliebigen Nichtnullmatrix gleicher Ordnung multipliziert werden.

6.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenadmittanzmatrix T* ( F SK Y SKK  Y SKK  Y SKK F SK ) uSK

F SK i SQ

133 (6.48)

k

Führt man in den Gln. (6.47) und (6.48) die Bezeichnung Y SKK für die Koeffizientenmatrix k auf der linken Seite und i SQ für die rechte Seite ein, so nehmen beide Gleichungen folgende

Kurzform an2: k Y SKK uSK

k i SQ

(6.49)

Die Gl. (6.49) hat die gleiche Form wie die Knotenspannungs-Gleichung für den fehlerfreien Fall (s. Gl. (6.1) für i SF o ). Anstelle der ursprünglichen Knotenadmittanzmatrix Y SKK und des Quellenstromvektors i SQ auf der rechten Seite sind lediglich die modifizierte Knotenadk

k getreten. Die grundsätzliche mittanzmatrix Y SKK und der modifizierte Quellenstromvektor i SQ

Form und Ordnung des Knotenspannungs-Gleichungssystems hat sich durch die Einbeziehung von Kurzschlüssen nicht geändert. Aus der Gln. (6.49) berechnet man die Knotenspannungen unter Ausnutzung der Schwachbek

setztheit der Matrix Y SKK . Sind die Knotenspannungen bekannt, so ergeben sich die Fehlerströme aus der Gl. (6.35): i SF

Y SKK uSK  i SQ

(6.50)

Neben dem Vorteil, dass die Gleichungsform und Reihenfolge der Größen erhalten bleiben, hat das Fehlermatrizenverfahren den Vorteil, dass der Algorithmus für alle Kurzschlussarten, ob als Einfach- oder Mehrfachfehler gleich ist. Er besteht in einfachen Matrixoperationen an der Knotenadmittanzmatrix und dem Quellenstromvektor mit der spärlichen Fehlermatrix F SK und ihrer konjugiert komplexen transponierten Matrix. Von Fehler zu Fehler ändern sich in den Gln. (6.47) oder (6.48) lediglich die Elemente der Fehlermatrix.

Beispiel 6.3 Für das bereits im Kapitel 5, Bild 5.7 als Beispiel verwendete 4-Knoten-Netz ist das Knotenspannungs-Gleichungssystem nach Gl. (6.35) anzugeben und es sind sämtliche Kurzschlüsse am Knoten 3 nachzurechnen. Die Knotenadmittanzmatrix des fehlerfreien Netzes hat folgenden Aufbau:

2 Index k für Kurzschlusszustand.

134

Y SKK

6 Fehlermatrizenverfahren 1 ª1,5 º « » 1 1,5 « » « » 0,5 0,5 « » 1,5 0,5 « 1 » « » 1,5 1 0,5 « » 0, 75 0,5 0, 25 « » » S j« 0,83 0,5 0,3 « » « » 0,83 0,5 0,3 « » 0, 45 0, 25 0, 2 » « « » 0,83 0,3 « » « » 0,83 0,3 « » «¬ 0, 7 »¼ 0, 2

Der Quellenstromvektor ist wie folgt belegt: i SQ

T

j >50 0 0 0 0 0 0 0 0 50 0 0@ kA

Die Knotenfehlermatrix, Gl. (6.40), für einpoligen Erdkurzschluss im LeiterL1 hat folgende Struktur (s. Tabelle 6.4 für Į = 1):

F SK

ª1 º « 1 » « » « » 1 « » 1 « » « » 1 « » 1 « » « »   0, 6 0,3 0,3 « » « » 0,3 0, 6 0,3 « » « » 0,3 0,3 0, 6 « » 1 « » « 1 » « » 1¼» ¬«

Die mit der Fehlermatrix modifizierte Knotenadmittanzmatrix lautet (Werte in S):

6.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenadmittanzmatrix

135

1 ª1,5 º « 1,5 » 1 « » « » 0,5 0,5 « » 1,5 0,16 0,16 0,3 « 1 » « » 1,5 0,16 0,16 0,3 « 1 » « » 0, 75 0, 083 0, 083 0,16 0,5 » j« « 0,3 0,16 0, 083 0, 2778 0,5556 0, 4278 0, 2222 0,1111 0, 0667 » « » « 0,16 0,3 0, 083 0,5556 0, 2778 0, 4278 0,1111 0, 2222 0, 0667 » « » 0,16 0,16 0,16 0, 4278 0, 4278 0,1500 0,1111 0,1111 0,1333» « « » 0, 2222 0,1111 0,1111 0,83 « » « » 0,1111 0, 2222 0,1111 0,83 « » 0, 0667 0, 0667 0,1333 0, 7 ¼» ¬«

k

Y SKK

k Der modifizierte Quellenstromvektor i SQ ist mit dem ursprünglichen Knotenvektor identisch,

da am Fehlerknoten keine Einspeisung erfolgt. Aus der Gl. (6.49) erhält man die Symmetrischen Komponenten der Knotenspannungen: uSK

T

ª91, 6 8,3 58,3 87,5 12,5 58,3 79,16 20,83 58,3 91, 6 8,3 16, 6 º kV ¬ ¼

Die Summe der Spannungskomponenten am Knoten 3 ist Null, wie es die Fehlerbedingung fordert. Der Fehlerstromvektor i SF ist nur am Fehlerknoten mit gleich großen Strömen entsprechend der Fehlerbedingung besetzt: i SF

T

ª º ¬ 0 0 0 0 0 0  j8,3  j8,3  j8,3 0 0 0 ¼ kA

Die Fehlerströme für alle Kurzschlussarten sind in Tabelle 6.5 zusammengestellt. Tabelle 6.5. Fehlerströme bei 3- und 1-poligem Kurzschluss im Knoten 3

Kurzschlussströme

3-poliger Kurzschluss L1-L2-L3-E

2-poliger Erdkurzschluss L2-L3-E

2-poliger Kurzschluss L2-L3

1-poliger Kurzschluss L1-E

IF1/kA

– j 40,0

0

0

– j 25,0

IF2/kA

–34,6410 + j 20,0

–34,641+j 9,0909

–34,641

0

IF3/kA

–34,6410 + j 20,0

–34,641+j 9,0909

–34,641

0

Das Beispiel zeigt, dass durch die Operationen mit der schwach besetzten Fehlermatrix lediglich die Matrixelemente der zum Fehlerknoten 3 gehörenden Zeilen und Spalten modifiziert werden. Die Ordnung der Knotenadmittanzmatrix bleibt dabei erhalten.

136

6 Fehlermatrizenverfahren

Beispiel 6.4 Für 4-Knoten-Netz aus Beispiel 6.3 (Bild 5.7) ist der Doppelerdkurzschluss im Leiter L1 am Knoten 2 und in Leiter L2 am Knoten 3 nach dem Fehlermatrizenverfahren zu berechnen. Die Sternpunkte von Netz 1 und 2 sind jetzt nicht geerdet. Die Knotenadmittanzmatrix und der Knotenstromvektor des fehlerfreien Netzes können aus Beispiel 6.3 übernommen werden, wobei jedoch das letzte Element der Knotenadmittanz wegen des nicht geerdeten Sternpunktes von Netz 2 den Wert j0,2 S hat, womit die Knotenadmittanzmatrix des Nullsystem singulär wird:

Y SKK

i SQ

F SK

1 ª1,5 º « 1,5 » 1 « » « » 0,5 0,5 « » 0,5 1,5 « 1 » « » 1 0,5 1,5 « » 0,5 0, 25 0, 75 « » » S j« 0,5 0,3 0,83 « » « » 0,5 0,3 0,83 « » 0, 25 0, 2 » 0, 45 « « » 0,3 0,83 « » « » 0,3 0,83 « » 0, 2 0, 2 »¼ ¬« T

j >50 0 0 0 0 0 0 0 0 50 0 0@ kA

ª1 º « 1 » « » « » 1 « » 0, 6 0,3 0,3 « » « » 0,3 0, 6 0,3 « » « » 0,3 0,3 0, 6 « » « » 0, 6 0,16  j0, 2887 0,16  j0, 2887 « » « » 0,16  j0, 2887 0, 6 0,16  j0, 2887 « » 0,16  j0, 2887 0,16  j0, 2887 0, 6 « » « » 1 « » 1 » « « » 1¼ ¬

6.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenadmittanzmatrix

k Y SKK

ª « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬

137

º » » » » 0 0,1443 0,1443 » » 0,1443 0 0,1443 » 0, 0722 0, 0722 0 » S 0 0,1443 0, 0722 0 0, 4811 0,3705 0 0, 0962 0, 0577 » » 0,1443 0 0, 0722 0, 4811 0 0,3705 0, 0962 0 0, 0577 » » 0,1443 0,1443 0 0,375 0,3705 0 0, 0962 0, 0962 0 » » 0 0, 0962 0, 0962 » 0, 0962 0 0, 0962 » » 0, 0577 0, 0577 0 ¼

ª 1,5 º 0, 6 0,3 0,3 « » 1,5 0,3 0, 6 0,3 « » « » 0,5 0,16 0,16 0,3 « » « 0, 6 0,3 0,16 0,5 1 0, 75 0,16 0, 083 » 0 « » « 0,3 0, 6 0,16 1 0,5 0, 75 0, 083 0,16 » 0 « » « 0,3 0,3 0,3 0, 75 0, 75 0, 75 0,125 0,125 0, 083 » j « »S 0,16 0, 083 0,125 0, 27 0, 27 0, 2139 0, 2 0, 05 0, 03» « « » 0, 083 0,16 0,125 0, 2778 0, 27 0, 2139 0, 05 0, 2 0, 03» « « 0 0 0, 0830, 2139 0, 2139 0,1500 0, 05 0, 05 0,13 » « » « » 0, 2 0, 05 0, 05 0,83 « » « » 0, 05 0, 2 0, 05 0,83 « » 0, 03 0, 03 0,13 0, 2 ¼» ¬«

Mit der oben angegeben Knotenfehlermatrix und modifizierte Knotenadmittanzmatrix in Symmetrischen Komponenten sind werden folgende Knotenspannungen und Fehlerströme in Übereinstimmung mit der Berechnung nach dem klassischen Verfahren im Beispiel 5.6 erhalten.

138

uL

6 Fehlermatrizenverfahren ª 17,59  j10,16 º « 65,74  j37,96 » « » « 93,52  j119, 21» « » 0 « » « 50  j28,87 » « » « 91, 67  j120, 28» « 38,89  j22, 45 » kV « » 0 « » « » « 69, 44  j133,11» « 69, 44  j40, 09 » « » « 36,11  j20,85 » « 63,89  j136,32 » ¬ ¼

iF

0 ª º « » 0 « » « » 0 « » « 16,0375  j27, 7778 » « » 0 « » 0 « » « » kA 0 « » « 16,0375  j27, 7778» « » 0 « » « » 0 « » 0 « » « » 0 ¬ ¼

Das Beispiel bestätigt, dass das Fehlermatrizenverfahren auch auf Admittanzmatrizen mit singulärer Untermatrix für das Nullsystem angewendet werden kann. Nach der klassischen Berechnungsmethode musste in diesem Fall ein für Berechnungsprogramme ungeeigneter Sonderweg beschritten werden, weil die erforderlichen Torimpedanzen des Nullsystems nicht aus der singulären Nullsystemmatrix bestimmt werden können (s. Beispiel 5.6).

6.4 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenimpedanzmatrix Das Gleichungssystem mit der Knotenimpedanzmatrix ergibt sich aus der Gl. (6.35) durch 1

linksseitige Multiplikation mit der inversen Knotenadmittanzmatrix Z SKK Y SKK : uSK

Z SKK i SF  Z SKK i SQ

(6.51)

Für Z SKK i SQ können formal Quellenspannungen mit negativem Vorzeichen eingeführt werden, womit Gl. (6.51) die folgende mit Gl. (6.43) vergleichbare Form annimmt: uSK

Z SKK i SF  uSQ

(6.52)

Die Gl. (6.52) ist mit der Gl. (6.43) vergleichbar, wenn man die Fehlerströme gegen die Knotenspannungen, die Admittanzmatrix gegen die Impedanzmatrix und den Quellenstromvektor gegen den Quellenspannungsvektor austauscht. Die nächsten Schritte sind deshalb analog zur Fehlernachbildung an der Admittanzmatrix. Zuerst werden die Knotenpunktspannungen in den Fehlerbedingungen eliminiert, indem man die Gl. (6.52) in die Gl. (6.41) einsetzt: T* T* ( EK  F SK )[( Z SKK  Z SF ) i SF ] ( EK  F SK ) uSQ

(6.53)

Im zweiten Schritt wird die Gl. (6.40) wird von links mit Z SKK multipliziert und von Gl. (6.53) subtrahiert: T* T* [ F SK Z SKK  Z SKK  Z SKK F SK  ( EK  F SK ) Z SF ] i SF

T* ( EK  F SK ) uSQ

Für widerstandslose Kurzschlüsse vereinfacht sich Gl. (6.54) zu:

(6.54)

6.4 Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenimpedanzmatrix T* ( F SK Z SKK  Z SKK  Z SKK F SK ) i SF

T* ( EK  F SK ) uSQ

139 (6.55)

Aus den Gln. (6.54) oder (6.55) lassen sich nun die Fehlerströme berechnen. Auch hier ist der Algorithmus einheitlich für alle Kurzschlussarten. Die Impedanzmatrix und die rechte Seite werden durch einfache Matrixoperationen mit der Fehlermatrix modifiziert, ohne dass sich die Ordnung des Gleichungssystems ändert. Führt man wieder den Index k für die modifizierte Impedanzmatrix und die modifizierte rechte Seite ein, so lauten die Gln. (6.54) und (6.55) in abgekürzter Schreibweise: k Z SKK i SF

k uSQ

(6.56)

Mit den bekannten Fehlerströmen ergeben sich die Knotenspannungen aus der Gl. (6.52). Die Nachbildung von Kurzschlüssen an der Knotenimpedanzmatrix hat den Vorteil, dass man sofort die Kurzschlussströme erhält und damit Rechenaufwand spart, wenn die Knotenspannungen nicht interessieren. Außerdem kann das Gleichungssystem für die ausschließliche Berechnung der Fehlerströme, Gl. (6.55), auf die in der Regel kleine Anzahl der Fehlerknoten reduziert werden. T* ) uSQ in Gl. (6.54) bzw. Gl. (6.55) ist nur an den Fehlerknoten besetzt. Der Vektor ( EK  F SK

Folglich werden auch nur die entsprechenden Spalten der Matrix T*

T*

[ F SK Z SKK  Z SKK  Z SKK F SK  ( EK  F SK ) Z SF ]1

benötigt. Zu ihrer Berechnung müssen aber alle Elemente der Knotenimpedanzmatrix bekannt sein. Von der Reduzierung des Rechenaufwandes durch Beschränkung auf die zu den Quellen gehörenden Spalten kann auch bei der Nachbildung an der Knotenadmittanzmatrix Gebrauch gemacht werden Das Verfahren der Fehlernachbildung an der Impedanzmatrix ist die Verallgemeinerung des klassischen Verfahrens zur Berechnung von Einfach- und Doppelfehlern, bei dem die Netze der symmetrischen Komponenten an der Fehlerstelle durch Zweipole (Einfachfehler) oder Vierpole (Doppelfehler) mit Innenimpedanzen und Leerlaufspannungen dargestellt werden, aus denen dann zusammen mit den Fehlerbedingungen ein Gleichungssystem zur Berechnung der Fehlerströme gebildet wird (s. Kapitel 5). Der generelle Nachteil gegenüber der Nachbildung an der Admittanzmatrix besteht wie bei der klassischen Fehlerberechnung darin, dass zunächst die Impedanzmatrizen der symmetrischen Komponenten des fehlerfreien Netzes berechnet werden müssen, wobei Schwierigkeiten auftreten, wenn kein Sternpunkt der Betriebsmittel geerdet ist und die Querzweige vernachlässigt werden, so dass das Nullsystem singulär wird (bei der klassischen Berechnung des Doppelerdkurzschlusses in Netzen mit freiem Sternpunkt oder Resonanzsternpunkterdung muss man deshalb einen Grenzübergang an der Impedanzmatrix des Nullsystems vornehmen). Bei der Fehlernachbildung an der Admittanzmatrix tritt dieses Problem nicht auf, da die Einarbeitung der Fehlerbedingungen an der Admittanzmatrix erfolgt, bevor eine Matrixinversion durchzuführen ist. Da sowohl die Admittanzmatrix als auch die Fehlermatrizen schwach besetzte Matrizen darstellen, ist der Aufwand zur Lösung des Gleichungssystems kaum größer als der für die Lösung des reduzierten Gleichungssystems mit der Impedanzmatrix. Für die Beurteilung des Rechenaufwandes ist deshalb neben der Netzgröße entscheidend, ob man sich nur für die Grö-

140

6 Fehlermatrizenverfahren

ßen an der Fehlerstelle oder auch für weitere Größen im Netz interessiert und ob es sich um die einmalige Berechnung der Größen (Berechnung stationärer Fehlerzustände) oder um eine zeitschrittweise wiederholte Berechnung (Berechnung von Ausgleichsvorgängen, wie etwa bei Stabilitätsuntersuchungen) handelt.

6.5 Nachbildung von Kurzschlüssen auf Leitungen Die Berechnung von Kurzschlüssen auf Leitungen erfolgt an der Stromgleichung der Leitungen nach der gleichen Methode wie für Kurzschlüsse an Netzknotenpunkten in Abschnitt 6.3. Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf die symmetrische Einfachleitung. Unsymmetrische Leitungen und Doppelleitungen können analog behandelt werden. Ausgangspunkt sind die Leitungsgleichungen auf der Grundlage der Pi-Ersatzschaltung in Symmetrischen Komponenten für den fehlerfreien Zustand (s. Gl. (2.20): ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ªY SAA «Y ¬ SBA

Y SAB º ª uSA º Y SBB »¼ ¬« uSB ¼»

Y SC º ª uSA º ªY SA  Y SC « Y Y SB  Y SC »¼ ¬« uSB ¼» SC ¬

(6.57)

Für symmetrische Leitungen sind die Untermatrizen Diagonalmatrizen: Y SA

Y SB

Y SC

Y AB

0 ªG1  jZC1 1« G2  jZC2 0 2« «¬ 0 0

0 º » 0 » G0  jZC0 »¼

0 0 ª1/( R1  jX 1 ) º « » R X 0 1/(  j ) 0 2 2 « » «¬ 0 0 1/( R0  jX 0 ) »¼

Y BA

(6.58)

(6.59)

Die Gl. (6.57) wird an der Kurzschlussstelle F aufgetrennt und um einen Fehlerspannungsvektor3 uSF

T

¬ªU 1F U 2F U 0F ¼º

(6.60)

und Fehlerstromvektor i SF

T

ª¬I 1F U 2F U 0F º¼

(6.61)

erweitert (Bild 6.1).

3 Angepasst an die Bezeichnungen der Klemmenspannungen wird hier für die Komponenten der Leiter-Erde-Spannungen an der Kurzschlussstelle der Index F verwendet. Das darf nicht zu Verwechselungen mit den in Gl. (5.5) eingeführten Spannungen hinter der Fehlerimpedanz führen.

6.5 Nachbildung von Kurzschlüssen auf Leitungen

l Y iC a

A

I iF F

141

l Y iC b

B

I iB

I iA a 2Y iA l

U iA

U iF

b 2Y iB l

U iB

Bild 6.1. Ersatzschaltungen der Symmetrischen Komponenten für die Leitung mit Kurzschlussstelle

Mit den Abständen a und b der Kurzschlussstelle von den Klemmen A und B ergibt sich dann4:

ª i SA º « » « i SB » « i » ¬ SF ¼

ªa l « 2Y SA  Y SC l a « « 0 « « l «  Y SC « a ¬

0 b l 2Y SB  Y SC l b l  Y SC b

º l  Y SC » a » ª uSA º » l »«  Y SC » « uSB » b » « uSF » ¬ ¼ l l » (  )Y SC » a b ¼

(6.62a)

oder in abgekürzter Form: ª i SA º « » « i SB » « i » ¬ SF ¼

ª ' «Y SAA « « 0 «Y « SFA ¬

0 Y SBB ' Y SFB

º Y SAF » ª u º » « SA » Y SBF » « uSB » Y SFF » «¬ uSF »¼ » ¼

(6.62b)

Die Teilmatrizen Y SA Y SB und Y SC können aus der Admittanzmatrix der fehlerfreien Leitung wie folgt erhalten werden: Y SC

Y SAB

Y SA

Y SB

(6.63) Y SAA  Y SAB

(6.64)

Aus Gl. (6.62) ist ersichtlich, dass die Abstände a oder b der Fehlerstelle von den Leitungsklemmen nicht Null sein dürfen. Für a = 0 oder b = 0 Null, handelt es sich um Kurzschlüsse direkt am Leitungsanfang oder Leitungsende, die wie Kurzschlüsse an den Anschlussknoten der Leitung zu behandeln sind (s. Abschnitte 6.3 und 6.4).

4 Durch die Auftrennung der Pi-Ersatzschaltung an der Fehlerstelle entstehen links und rechts davon zwei Gammaglieder. Diese Aufteilung der Leitungsparameter ist für die Kurzschlussstromberechnung genügend genau.

142

6 Fehlermatrizenverfahren

Die Fehlerbedingungen sind die gleichen, wie für Kurzschlüsse an Netzknoten. Den Gln. (6.11) und (6.12) entsprechend gilt: F SF i SF

(6.65)

o T*

( E  F S )(uSF  Z SF i SF )

(6.66)

o

Die Impedanzmatrix Z SF berücksichtigt wieder mögliche Fehlerimpedanzen. Für widerstandslose Kurzschlüsse ist Z SF 0 . Aus der letzten Zeile von Gl. (6.62) folgt: i SF

Y SFA uSA  Y SFB uSB  Y SFF uSF

(6.67)

Einsetzen in die Gln. (6.65) und (6.66) ergibt geordnet: F S Y SFF uSF

 F S (Y SFA uSA  Y SFB uSB )

(6.68)

und T*

( E  F S )( E  Z SF Y SFF ) uSF

 Z SF (Y SFA uSA  Y SFB uSB )

(6.69)

Durch Addition der Gln. (6.68) und (6.69) erhält man: T*

[ F S Y SFF  ( E  F S )( E  Z SF Y SFF )] uSF

( F S  Z SF )(Y SFA uSA  Y SFB uSB )

(6.70)

und aufgelöst nach uSF : uSF

T*

[ F S Y SFF  ( E  F S )( E  Z SF Y SFF )]1 ( F S  Z SF )(Y SFA uSA  Y SFB uSB )

(6.71a)

und kürzer: uSF

K SFA uSA  K SFB uSB

(6.71b)

Für widerstandslose Kurzschlüsse vereinfacht sich die Gl. (6.71) mit Z SF uSF

0 zu:

T*

[ F S Y SFF  ( E  F S )]1 F S (Y SFA uSA  Y SFB uSB )

(6.72)

Nach Einsetzen der Gl. (6.72) in die Gl. (6.62) erhält man: ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ª '  Y SAF K SFA «Y SAA « Y SBF K SFA «¬

º » ª uSA º » »« Y SBB '  Y SBF K SFB »¼ ¬ uSB ¼ Y SAF K SFB

k ªY SAA « k ¬«Y SBA

k º ª uSA º Y SAB »« » k Y SBB ¼» ¬ uSB ¼

(6.73)

und i SF

(Y SFA  Y SFF K SFA ) uSA  (Y SFB  Y SFF K SFB ) uSB

(6.74)

Die Gl. (6.73) hat wieder die Form der ursprüngliche Gl. (6.57) für die kurzschlussfreie Leitung. Sie wird demzufolge auch in gleicher Weise wie eine kurzschlussfreie Leitung in die Knotenadmittanzmatrix eingebaut. Das hat den Vorteil, dass der Algorithmus für die Bildung der Knotenadmittanzmatrix auch bei Kurzschlüssen auf Leitungen nicht geändert werden muss, und dass die Ordnung des Knotenspannungs-Gleichungssystems erhalten bleibt. Es ändern sich lediglich einige Elemente der Knotenadmittanzmatrix. Hilfsknoten an den Kurzschlussstellen, wie sie bei anderen Verfahren eingeführt werden, sind nicht erforderlich.

6.6 Abschalten von Leitungen und Transformatoren

143

Nachdem das Knotenspannungs-Gleichungssystem gelöst ist, können aus der Gl. (6.74) die Kurzschlussströme auf den Leitungen berechnet werden.

6.6 Abschalten von Leitungen und Transformatoren Für die Abschaltung oder Unterbrechung von Leitungen werden am Leitungsmodell in Leitergrößen an beiden Enden A und B Unterbrechungsstellen mit Fehleradmittanzen Y FA i und Y FB i (i = 1, 2, 3) eingeführt. Die Spannungen über den Unterbrechungsstellen werden mit

ǻU A i und ǻU B i bezeichnet (Bild 6.2).

'U Ai

I Ai

A

'U Bi

I Bi

B

Leitung oder

Y iA Transformator

Y FAi

U Ai

Y iB

Y FBi U Bi

Bild 6.2. Leitung mit Unterbrechungsstellen an beiden Enden A und B (i = 1, 2, 3)

Die Gleichungen der Einfachleitung, Gl. (2.20); werden um die Spannungen über den Unterbrechungsstellen erweitert: ªi A º «i » ¬ B¼

ªY AA «Y ¬ BA

Y AB º ­° ª uA º ª ǻ uA º ½°  ® ¾ Y BB »¼ ¯° «¬ u B »¼ «¬ ǻ uB »¼ ¿°

(6.75)

mit T

iA

> I A1

uA

¬ªU A1 U A2 U A3 ¼º

ǻ uA

I A2

I A3 @

(6.76) T

ª¬ǻU A1 ǻU A2

(6.77) T

ǻU A3 º¼

(6.78)

und analogen Bezeichnungen für die Seite B. Die Fehlerbedingungen für die Leitergrößen an einer Unterbrechungsstelle sind bereits in Tabelle 6.1 angegeben. Sie sind in Tabelle 6.6 nochmals für die Seite A mit den speziellen Bezeichnungen ǻU A i anstelle U F i und I A i anstelle I L i wiedergegeben. Für die Seite B gelten aufgrund der gleichen Zählpfeilzuordnung analoge Beziehungen.

144

6 Fehlermatrizenverfahren

Tabelle 6.6. Fehlerbedingungen für die Unterbrechungsstellen A

Unterbrechung

Fehlermatrix FA

Fehlerbedingungen

ohne Unterbrechung

1-pol. Unterbrechung

ǻU A1

0

ǻU A2

0

ǻU A3

0

I A1  Y FA1ǻU A1

0

ǻU A2

0

ǻU A3

0

L1 2-pol. Unterbrechung L2 and L3 3-pol. Unterbrechung

ǻU A1

0

I A2  Y FA2 ǻU A2

0

I A3  Y FA3ǻU A3

0

I A1  Y FA1ǻU A1

0

I A2  Y FA2 ǻU A2

0

I A3  Y FA3ǻU A3

0

ª1 0 0 º «0 1 0 » « » «¬ 0 0 1 »¼ ª0 0 0 º «0 1 0 » « » «¬ 0 0 1 »¼ ª1 0 0 º «0 0 0 » « » «¬ 0 0 0 »¼ ª0 0 0 º «0 0 0 » « » ¬« 0 0 0 »¼

Für die Fehleradmittanzen YFAi und YFBi (i = 1, 2, 3) der nicht unterbrochenen Leiter können beliebige endliche Werte eingesetzt werden, da sie in den Fehlerbedingungen nicht zur Geltung kommen (für die nicht unterbrochenen Leiter sind die entsprechenden Zeilen in der Matrix ( E  F ) in Gl. (6.4) Null). Die Fehleradmittanzen der unterbrochenen Leiter werden entsprechend den Vorgaben an der Unterbrechungsstelle eingesetzt. An einer Stelle mit vollständiger Unterbrechung ist für die betreffende Fehleradmittanz Null einzusetzen. Die Gl. (6.75) behält auch in Symmetrischen Komponenten (Index S) ihre Form bei. Bei vollständiger Verdrillung werden die Teilmatrizen in der Admittanzmatrix zu Diagonalmatrizen. ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ªY SAA «Y ¬ SBA

Y SAB º °­ ª uSA º ªǻ uSA º °½  ® ¾ Y SBB »¼ ¯° «¬ uSB »¼ «¬ ǻ uSB »¼ ¿° T

i SA

> I 1A

uSA

ª¬U 1A U 2A U 0A º¼

ǻ uSA

I 2A

I 0A @

(6.80) T

ª¬ǻU 1A

(6.79)

(6.81) T

ǻU 2A

ǻU 0A º¼

(6.82)

i SB , uSB und ǻ uSB analog.

Die Fehlerbedingungen für jede Seite entsprechen den Gl. (6.17) und (6.18). Sie werden wie folgt zusammengefasst: ª F SA «  ¬

 º ª ǻ uSA º F SB »¼ «¬ ǻ uSB »¼

o

(6.83)

6.6 Abschalten von Leitungen und Transformatoren  º °­ ª i SA º ªY SFA  ® » E  F SB ¼ ¯° ¬« i SB ¼» «¬ 

ª E  F SA «  ¬

145

 º ªǻ uSA º °½ ¾ o Y SFB »¼ ¬« ǻ uSB »¼ ¿°

(6.84)

mit: 1

F SA

T S F A T S und F SB

Y SFA

T S Y FA T S und Y SFB

1

1

T S F BT S

(6.85)

1

(6.86)

T S Y FB T S

Die Gl. (6.79) wird in Gl. (6.84) eingesetzt: ª E  F SA «  ¬

Y SAB º ªY SAA  Y SFA º ª ǻ uSA º » « E  F SB ¼ ¬ Y SBA Y SBB  Y SFB »¼ ¬« ǻ uB ¼»  ª E  F SA º ªY SAA Y SAB º ª uSA º « »«  E  F Y SBB »¼ ¬« uSB ¼» SB ¼ ¬Y SBA ¬ 

(6.87)

Die Addition der Gln. (6.83) und (6.87) liefert eine Beziehung zur Berechnung der Spannungen über den Unterbrechungsstellen: ­° ª F SA ®« ¯° ¬ 

 º ª E  F SA  F SB »¼ «¬ 

 º ªY SAA  Y SFA E  F SB »¼ «¬ Y SBA ª E  F SA «  ¬

Y SAB º ½° ªǻ uSA º ¾ Y SBB  Y SFB »¼ ¿° «¬ ǻ uB »¼

 º ªY SAA E  F SB »¼ «¬Y SBA

Y SAB º ª uSA º Y SBB »¼ ¬« uSB ¼»

(6.88)

oder abgekürzt: ªǻ uSA º « ǻu » ¬ B ¼

K SAB º ª uSA º K SBB »¼ «¬ uSB »¼

ª K SAA «K ¬ SBA

(6.89)

Ohne Unterbrechungen sind die Fehlermatrizen Einheitsmatrizen, so dass Gl. (6.88) folgerichtig ǻ uSA ǻ uSB o liefert. Bei vollständiger Unterbrechung auf beiden Seiten sind die Fehlermatrizen Nullmatrizen und die Fehleradmittanzen Null, so dass die Spannungen über den Unterbrechungsstellen gleich den Knotenspannungen auf der jeweiligen Seite werden. Zur Berechnung der Ströme wird die Gl. (6.89) in die Leitungsgleichung, Gl. (6.79) eingesetzt. Man erhält: ª i SA º «i » ¬ SB ¼

ªY SAA «Y ¬ SBA

Y SAB º ª E  K SAA Y SBB »¼ «¬ K SBA

u ªY SAA « u «¬Y SBA

Y SAB º ª uSA º »« » u »¼ ¬ uSB ¼ Y SBB

K SAB º ª uSA º E  K SBB »¼ «¬ uSB »¼

(6.90a)

bzw.: ª i SA º «i » ¬ SB ¼

u

(6.90b)

Die Gl. (6.90) hat die gleiche Form wie die Gl. (6.79) der fehlerfreien Leitung. Das bedeutet, dass, wie schon bei der Nachbildung von Kurzschlüssen auf den Leitungen, auch Unterbrechungen an Leitungen nicht zu Änderungen bei der Bildung und im Aufbau der KnotenAdmittanzmatrix führen. Es werden lediglich die Elemente der Knoten, an denen die Leitung angeschlossen ist, modifiziert.

146

6 Fehlermatrizenverfahren

Die vorstehenden Ausführungen gelten gleichermaßen für Zweiwicklungstransformatoren, da deren Gleichungen vom gleichen Typ AB, wie die der Leitungen sind. Vereinfachte Leitungs- oder Transformatormodelle ohne Querglieder haben eine singuläre Admittanzmatrix. Das hat zur Folge, dass bei gleichzeitiger Abschaltung des gleichen oder mehrerer gleicher Leiter auf beiden Seiten die Spannungen über den Unterbrechungsstellen nicht mehr aus der Gl. (6.88) berechnet werden können, weil deren Koeffizientenmatrix singulär wird. Das ist dadurch begründet, dass durch das Fehlen der Querglieder das beidseitig abgeschaltete Leitungselement keine Verbindung mehr zum Bezugsknoten hat. Für den Sonderfall der Leitungen und Transformatoren mit singulärer Admittanzmatrix wird die Gl. (6.79) wie folgt umgeordnet: ª i SA º «i » ¬ SB ¼

1 ª Z SAB « «¬ 

 ºª E »« 1 »¼ ¬  E Z SAB

 E º °­ ª uSA º ªǻ uSA º °½  ® ¾ E »¼ °¯ «¬ uSB »¼ «¬ ǻ uSB »¼ °¿

(6.91)

wobei Z SAB eine Diagonalmatrix mit den Längsimpedanzen der Symmetrischen Komponenten ist. Da Z SAB regulär ist, kann die Gl. (6.91) umgestellt werden zu: ª Z SAB «  ¬

 º ª i SA º Z SAB ¼» ¬« i SB ¼»

ªE « E ¬

 E º ª uSA º ªǻ uSA  ǻ uSB º  E ¼» ¬« uSB ¼» ¬«ǻ uSB  ǻ uSA ¼»

(6.92)

Bei der Abschaltung von Leitungen oder Transformatoren ohne Querglieder ist es für die Ströme gleichgültig ob die Abschaltung eines oder mehrerer Leiter auf der Seite A oder B oder auf beiden Seiten gleichzeitig erfolgt. Das bedeutet, dass an die Stelle der Fehlermatrizen FA und FB nur eine resultierende die Fehlermatrix F , die sich aus dem Produkt F FA ˜ FB ergibt, tritt. Sie ist auf die Ströme i A und i B sowie auf die in Gl. (6.92) vorkommenden Differenzen der Spannungen über den Unterbrechungsstellen gleichzeitig anzuwenden. Die resultierende Fehlermatrix F für die Unterbrechungen ist in Tabelle 6.7 nochmals für alle Fehlerkonstellationen bei ein- und zweipoliger Unterbrechung zusammengestellt. Tabelle 6.7. Fehlermatrizen für die Unterbrechung

1-pol. Unterbrechung

2-pol. Unterbrechung

Leiter L1

Leiter L2

Leiter L3

ª0 0 0 º «0 1 0 » « » «¬ 0 0 1 »¼

ª1 0 0 º «0 0 0 » « » «¬0 0 1 »¼

ª1 0 0 º «0 1 0 » « » «¬0 0 0 »¼

Leiter L1 und L2

Leiter L2 und L3

Leiter L3 und L1

ª0 0 0 º «0 0 0 » « » ¬« 0 0 1 »¼

ª1 0 0 º «0 0 0 » « » ¬«0 0 0 »¼

ª0 0 0 º «0 1 0 » « » ¬«0 0 0 »¼

6.6 Abschalten von Leitungen und Transformatoren

147

Mit der transformierten Fehlermatrix lauten die Fehlerbedingungen für Y SFA ªF S «  ¬

 º ªǻ uSA  ǻ uSB º F S »¼ «¬ ǻ uSB  ǻ uSA »¼  º ª i SA º E  F S »¼ «¬ i SB »¼

ªE  FS «  ¬

Y SFB

:

(6.93)

o

(6.94)

o

Die Gl. (6.92) wird in jeder Zeile von links mit der Fehlermatrix multipliziert und damit die Fehlerbedingung nach G. (6.93) erfüllt: ªF S «  ¬

 º ª i SA º Z SAB »¼ «¬ i SB »¼

 º ª Z SAB F S »¼ «¬ 

ª FS «F ¬ S

 F S º ª uSA º F S »¼ «¬ uSB »¼

(6.95)

Die zweite Fehlerbedingung, Gl. (6.94) wird in jeder Zeile von links mit der Impedanzmatrix multipliziert und von der Gl. (6.95) subtrahiert:  º ª i SA º F S Z SAB  Z SAB  Z SAB F S ¼» ¬« i SB ¼»

ª F S Z SAB  Z SAB  Z SAB F S «  ¬

ª FS «F ¬ S

 F S º ª uSA º (6.96) F S ¼» ¬« uSB ¼»

Löst man die Gl. (6.96) nach den Strömen auf, so ergibt sich wieder die Gleichungsform: ª i SA º « » ¬ i SB ¼

u ªY SAA « u «¬Y SBA

u

Y SAB º ª uSA º »« » u »¼ ¬ uSB ¼ Y SBB

(6.97)

mit der Besonderheit: u

Y SAA

u

Y SBB

u

Y SAB

u

Y SBA

( F S Z SAB  Z SAB  Z SAB F S ) 1 F S

(6.98)

An der Gl. (6.96) ist schon ersichtlich, dass unter der Voraussetzung der vollständigen Abschaltung eines oder mehrere Leiter auf einer der beiden Seiten oder beiden Seiten gleichzeitig für die Ströme wie im fehlerfreien Fall i SB  i SA gilt. Aus der Gl. (6.92) kann bei bekannten Strömen und Knotenspannungen zunächst nur die Differenz der Spannungen über den Unterbrechungsstellen berechnet werden: ª ǻ uSA  ǻ uSB º «ǻ u  ǻu » SA ¼ ¬ SB

ªE « E ¬

 E º ª uSA º ª Z SAB  E ¼» ¬« uSB ¼» ¬« 

 º ª i SA º Z SAB ¼» ¬« i SB ¼»

(6.99)

Ist die Leitung oder der Transformator nur einseitig abgeschaltet, so ist die nach Gl. (6.99) berechnete Spannungsdifferenz eindeutig der Unterbrechungsstelle zugeordnet. Bei zweiseitiger Abschaltung kann keine Aufteilung der Spannungsdifferenzen auf die beiden Unterbrechungsstellen erfolgen, da der oder die abgeschalteten Leiter keine Verbindung mehr zum Bezugsknoten haben.

Beispiel 6.4 Berechnung der Spannungen und Ströme bei Abschaltung des Leiters L1 der Leitung 2 am Knoten 3 für das Beispiel 6.3. Admittanzmatrix der Leitung 2 ohne Unterbrechung:

148

Y SL2

6 Fehlermatrizenverfahren 0, 25 ª 0, 25 º « » 0, 25 0, 25 « » « 0,125 0,125» j« » 0, 25 « 0, 25 » « » 0, 25 0, 25 « » 0,125 ¼» 0,125 ¬«

Fehlermatrizen nach Tabelle 6.6 (A = Knoten 2, B = Knoten 3): FA

ª1 0 0 º «0 1 0» F B « » ¬«0 0 1 »¼

ª0 0 0 º «0 1 0 » « » ¬« 0 0 1 »¼

Admittanzmatrix der Leitung 2 nach Einarbeitung der Unterbrechung (Gl. (6.97):

u

Y SL2

0,1 0, 05 º 0,1 0, 05 0,15 ª 0,15 « 0,1 0,15 0, 05 0,1 0,15 0, 05 »»  « « 0, 05 0, 05 0,1 0, 05 0, 05 0,1 » j« » 0,1 0, 05 0,15 0,1 0, 05» « 0,15 « 0,1 0,15 0, 05 0,1 0,15 0, 05» « » 0,1 »¼ 0,1 0, 05 0, 05 «¬ 0, 05 0, 05

Spannungen an den Unterbrechungsstellen und Leitungsströme: ª ǻU A1 º «ǻU » A2 » « « ǻU A3 » « » « ǻU B1 » « ǻU B2 » « » ¬« ǻU B3 ¼» ª I A1 º «I » « A2 » « I A3 » « » « I B1 » «I » « B2 » «¬ I B3 »¼

ª 0 º « 0 » « » « 0 » « » kV « 2,4828» « 0 » « » ¬« 0 ¼» 0 ª º « 0, 2598  j0, 0776 » « » « 0, 2598  j0, 0776 » « » kA 0 « » « 0, 2598  j0, 0776 » « » «¬ 0, 2598  j0, 0776 »¼

Für beidseitiges Abschalten des Leiters L1 erhält man nach Gl. (6.96) die gleiche modifizierte Admittanzmatrix der Leitung und damit auch die gleichen Leitungsströme. Die Spannungen nach Gl. (6.99) werden:

6.8 Abschalten von Generatoren, Motoren und Lasten ª ǻU A1  ǻU B1 º «ǻU  ǻU » A2 B2 » « « ǻU A3  ǻU B3 » « » « ǻU B1  ǻU A1 » «ǻU B2  ǻU A2 » « » ¬« ǻU B3  ǻU A3 ¼»

149

ª 2,4828º « 0 » « » « 0 » « » kV « 2,4828 » « 0 » « » ¬« 0 ¼»

6.7 Abschalten von kurzschlussbehafteten Leitungen Die Nachbildung von Unterbrechungen an kurzschlussbehafteten Leitungen erfolgt nach der gleichen Methode wie an einer kurzschlussfreien Leitung, da sich die grundsätzliche Form der Leitungsgleichung durch die Berücksichtigung von Kurzschlüssen nicht geändert hat. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der in Abschnitt 6.6 beschriebene Algorithmus an der Gl. (6.73), die hier nochmals wiedergegeben wird, vollzogen wird. ª i SA º «i » ¬ SB ¼

k ªY SAA « k ¬«Y SBA

k

Y SAB º ª uSA º »« k u » Y SBB ¼» ¬ SB ¼

(6.100) k

k

k

k

Demzufolge gelten die Gln. (6.88) und (6.90) mit Y SAA , Y SAB , Y SBA und Y SBB anstelle der Y SAA , Y SAB , Y SBA und Y SBB auch hier. Im Ergebnis wird wieder eine Stromgleichung mit unveränderter Form erhalten: ª i SA º «i » ¬ SB ¼

k,u ªY SAA « k,u ¬«Y SBA

k,u

Y SAB º ª uSA º »« k,u u » Y SBB ¼» ¬ SB ¼

(6.101)

Der obere Index k,u steht für den gleichzeitigen Kurzschluss- und Unterbrechungszustand. Die Gl. (6.101) wird wieder wie üblich in das Knotenspannungs-Gleichungssystem eingefügt.

6.8 Abschalten von Generatoren, Motoren und Lasten Die Stromgleichung der aktiven Betriebsmittel vom Typ A mit ergänzten Spannungen an den Unterbrechungsstellen lautet: i SA

Y SA (uSA  ǻ uSA )  i Sq

(6.102)

Für die passiven Betriebsmittel entfällt der Quellenstromvektor. Die folgenden Schritte können unmittelbar aus Abschnitt 6.6 übernommen werden. Die Fehlerbedingungen: F Sǻ uSA

(6.103)

o

( E  F S )(i SA  Y SF ǻ uSA )

o

(6.104)

liefern zusammen mit der Gl. (6.102) die Gleichung für die Berechnung der Spannungen über den Unterbrechungsstellen:

150

6 Fehlermatrizenverfahren

[ F S  ( E  F S )(Y SA  Y SF )]ǻ uSA

( E  F S )(Y SA uSA  i Sq )

(6.105)

Einsetzen der Spannungen ǻuSA aus Gl. (6.105) in Gl. (6.102) ergibt wieder eine Stromgleichung in der Form des unterbrechungsfreien Betriebsmittels mit modifizierter Admittanzmatrix und modifiziertem Quellenstromvektor: i SA

u u Y SA uSA  i Sq

(6.106)

Die Gl. (6.106) für die Betriebsmittel mit Unterbrechungen wird wie eine Gleichung ohne Unterbrechung in die Diagonale der Knotenadmittanzmatrix eingefügt.

6.9 Berücksichtigung von Unsymmetriezuständen Unsymmetriezustände können neben unsymmetrischen Fehlern durch unsymmetrische Einspeisungen, unsymmetrische Belastungen und unsymmetrisch aufgebaute Betriebsmittel oder nicht verdrillte Leitungen auftreten. Die vorstehenden Gleichungen in Symmetrischen Komponenten sind grundsätzlich auch für alle genannten Unsymmetriefälle geeignet. Unsymmetrische Einspeisungen bedeuten Spannungs- oder Stromquellen im Gegen- und ggf. auch Nullsystem. Unsymmetrisch aufgebaute Betriebsmittel haben auch in Symmetrischen Komponenten eine voll besetzte Admittanzmatrix, wodurch in der Knotenadmittanzmatrix Kopplungen zwischen den Symmetrischen Komponenten entstehen. Die grundsätzliche Form des Knotenspannungs-Gleichungssystems ändert sich jedoch durch die Hinzunahme von Unsymmetriezuständen nicht. Unsymmetrische Lasten können entweder durch Einbau der folgenden Admittanzmatrix in die Knotenadmittanzmatrix oder universell durch das Fehlermatrizenverfahren berücksichtigt werden. Die Transformation der Admittanzmatrix einer unsymmetrischen Last YL

ªY L1 º « » Y L2 « » «¬ Y L0 »¼

(6.107)

in Symmetrische Komponenten ergibt eine voll besetzte Admittanzmatrix: Y SL

T S1Y L T S

ªY 11L «Y « 21L «¬Y 01L

Y 12L Y 22L Y 02L

Y 10L º Y 20L »» Y 00L »¼

ª Y L1  Y L2  Y L3 Y L1  a 2 Y L2  aY L3 Y L1  aY L2  a 2 Y L3 º « » 1 2 «Y L1  aY L2  a 2 Y L3 Y L1  Y L2  Y L3 Y L1  a Y L2  aY L3 » 3« » 2 2 Y L1  Y L2  Y L3 » «¬Y L1  a Y L2  aY L3 Y L1  aY L2  a Y L3 ¼

(6.108)

Mit dem Fehlermatrizenverfahren kann die Berücksichtigung von unsymmetrischen Lasten am bereits aufgebauten Knotenspannungs-Gleichungssystem erfolgen. Am entsprechenden Knoten wird ein Kurzschluss mit Fehlerimpedanzen, die in diesem Fall den Lastimpedanzen entspre-

6.9 Berücksichtigung von Unsymmetriezuständen

151

chen, wie in Abschnitt 6.3 simuliert. Sind alle Lastimpedanzen endlich, so erfolgt ihre Einbeziehung in das Knotenspannungs-Gleichungssystem durch die Annahme eines dreipoligen Kurzschlusses mit den entsprechenden Fehlerimpedanzen Z F1 Z L1 , Z F2 Z L2 und Z F3 Z L3 . Handelt es sich dagegen um eine einpolige oder zweipolige Belastung, so wird diese durch einen einpoligen bzw. zweipoligen Kurzschluss mit den entsprechenden Fehlerimpedanzen nachgebildet. Die Berücksichtigung unsymmetrischer Belastungen mit dem Fehlermatrizenverfahren hat gegenüber der Admittanzmethode nach Gl. (6.108) den Vorteil, dass auch Lasten mit ungeerdetem Sternpunkt nachgebildet werden können (s. Beispiel 6.5).

Beispiel 6.5 Das Netz im Bild 6.3 soll eine unsymmetrische Last mit den unterschiedlichen Leiteradmittanzen YL

ªY L1 º « » Y L2 « » «¬ Y L3 »¼

speisen.

Netz

U Li

Y iA Y L3

Y L2

Y L1

I Li

Bild 6.3. Netzeinspeisung mit unsymmetrischer Last

Die Gleichungen für das Netz und die Last sind vom Typ A (s. Gl. (3.1)): i SN

Y SN uSN  i Sq

i SL

Y SL uSL

1

T S Y L T S uSL

Das Knotenspannungs-Gleichungssystem ist in diesem Fall trivial und lautet mit uSN

uSL

uSK und i SQ

(Y SN  Y SL )uSK

i Sq :

Y SKK uSK

i SQ

(6.109)

152

6 Fehlermatrizenverfahren

Nach dem Fehlermatrizenverfahren wird das Knotenspannungs-Gleichungssystem zunächst ohne Berücksichtigung der Last formuliert (beachte die unterschiedliche Bedeutung von YSKK gegenüber Gl. (6.109)): Y SN uSN

Y SKK uSN

i SQ

Anschließend wird die Last durch einen dreipoligen Erdkurzschluss mit unterschiedlichen Fehlerimpedanzen: ZF

1

YL

ª Z F1 « « «¬

Z F2

º » » Z F3 »¼

einbezogen. Der Gl. (6.47) mit F SK ( EK  Z SF Y SKK ) uSK

FS

o entsprechend gilt:

 Z SF i SQ

(6.110)

Die Inverse Matrix zu Z SF ist: 1

1

(T S Z F T S ) 1

Z SF

1

1

TS ZF TS

Y SL 1

Die Multiplikation von Gl. (6.110) von links mit Z SF ergibt in Übereinstimmung mit Gl. (6.109): (Y SL  Y SKK ) uSK

k Y SKK uSK

i SQ

Beispiel 6.6 Für die Anordnung aus Beispiel 6.5 (Bild 6.3) sollen die Spannungen und Ströme bei einer zweipoligen Last mit den Leiter-Erde-Impedanzen Z L1 j20 ȍ und Z L2 j15ȍ berechnet werden. Die entsprechende Admittanzmatrix ist: YL

ª1/ 20 º 1/15 »» S  j «« 0 ¼» ¬«

und in Symmetrischen Komponenten: Y SL

ª 0, 0000  j0,03894 0,0192  j0, 0056 0, 0192  j0, 0056 º « 0, 0192  j0, 0056 0, 0000  j0,03894 0, 0192  j0, 0056» S « » «¬ 0, 0192  j0, 0056 0, 0192  j0, 0056 0, 0000  j0,03894 »¼

Netzgleichung mit U1N = 100 kV in Zahlenwerten (Admittanzen in S): ª I 1A º «I » « 2A » «¬ I 0A »¼

ª 0,5 º ªU 1A º ª j50 º « » «U »  « 0 » kA 0,5 j« » « 2A » « » «¬ 0, 25»¼ «¬U 0A »¼ «¬ 0 »¼

6.9 Berücksichtigung von Unsymmetriezuständen

153

Knotenspannungs-Gleichungssystem nach Gl. (6.109) in Zahlen (Admittanzen in S): ª 0, 0000  j0,53894 0,0192  j0, 0056 0, 0192  j0, 0056 º ªU 1K º « 0, 0192  j0, 0056 0, 0000  j0,53894 0, 0192  j0, 0056 » «U » « » « 2K » «¬ 0, 0192  j0, 0056 0, 0192  j0, 0056 0, 0000  j0,2889 »¼ «¬U 0K »¼

ª j50 º « 0 » kA « » «¬ 0 »¼

Knotenspannungen in Symmetrischen Komponenten und Leitergrößen: ªU 1K º «U » « 2K » «¬U 0K »¼

ª 93,1667  j0,0000 º « 1,1667  j3, 4641 » kV « » ¬« 2, 000  j6,35090 ¼»

ªU L1 º «U » « L2 » «¬U L3 »¼

ª 90,0000  j2,8868 º « 45, 0000  j73, 6122 » kV « » ¬« 51, 000  j89, 7780 ¼»

Lastströme in Symmetrischen Komponenten und Leitergrößen: ª I 1L º «I » « 2L » «¬ I 0L »¼

ª 0,0000  j3, 4167 º « 1, 7321  j0,5833 » kA « » «¬ 1,5877  j0,5000 »¼

ª I L1 º «I » « L2 » «¬ I L3 »¼

ª 0,1443  j4,5000 º « 4,9075  j3, 0000 » kA « » «¬ 0, 0000  j0, 0000 »¼

Mit dem Fehlermatrizenverfahren wird die Belastung als ein zweipoliger Erdkurzschluss in den Leitern 1 und 2 mit den Fehlerimpedanzen Z F1 Z L1 j20 ȍ und Z F2 Z L2 j15ȍ nachgebildet. Die Fehlerimpedanz des unbelasteten Leiters L3 kann beliebig endlich gewählt werden, es wird Z F3 0 gesetzt. Die Fehlermatrix F

ª0 º « 0 » « » «¬ 1»¼

und die Matrix der Fehlerimpedanzen ZF

ª j20 « « «¬

j15

º »ȍ » 0 »¼

lauten in Symmetrischen Komponenten: FS

Z SF

ª 0,3333  j0, 0000 0,1667  j0, 2887 0,1667  j0, 2887 º « 0,1667  j0, 2887 0,3333  j0, 0000 0,1667  j0, 2887 » « » «¬ 0,1667  j0, 28877 0,1667  j0, 2887 0,3333  j0, 0000 »¼ ª 0, 0000  j11, 6667 4,3301  j4,1667 4,3301  j4,1667 º « » « 4,3301  j4,1667 0, 0000  j11, 6667 4,3301  j4,1667 » ȍ ¬« 4,3301  j4,1667 4,3301  j4,1667 0, 0000  j11, 6667 ¼»

Für die modifizierte Admittanzmatrix und den modifizierte Quellenstromvektor nach Gl. (6.49) ergibt sich:

154

6 Fehlermatrizenverfahren ª 0, 0000  j3, 0833 1,3712  j1, 2083 0, 7578  j0, 6458 º « 1,3712  j1, 2083 0, 0000  j3, 0833 0, 7578  j0, 6458»» S « «¬ 0, 7578  j0, 6458 0, 7578  j0, 6458 0, 0000  j0,8125 »¼

k Y SKK

k

i SQ

ª 0,0000  j2, 7500 º « 1, 2269  j1,1250 » 102 kA « » «¬ 0, 6856  j0, 6042 »¼

Aus der Gl. (6.49) und (6.50) werden natürlich die gleichen Spannungen und Ströme wie bei der Nachbildung mit Admittanzen erhalten.

Beispiel 6.7 Für die Anordnung aus Beispiel 6.5 (Bild 6.3) sollen die Spannungen und Ströme bei einer zweipoligen Last mit Z L j20 ȍ zwischen den Leitern L1 und L2 berechnet werden. Dieser Fall kann nicht mehr durch eine diagonale Lastadmittanzmatrix wie im Beispiel 6.6 nachgebildet werden. Mit dem Fehlermatrizenverfahren erfolgt die Nachbildung durch einen zweipoligen Kurzschluss zwischen den Leitern L1 und L2 ohne Erdberührung mit den Fehlerimpedanzen Z F1 und Z F2 . Dabei ist die Zuordnung der Lastimpedanz zu den in Reihe liegenden Fehlerimpedanzen beliebig. Die Impedanz des nicht betroffenen Leiters kann bekanntlich frei gewählt werden. Für die Rechnung wurde Z F1 Z L j20 ȍ und Z F2 Z F3 0 gesetzt. Für die modifizierte Admittanzmatrix und den modifizierte Quellenstromvektor nach Gl. (6.49), sowie die Knotenspannungen und Lastströme (Fehlerströme) ergibt sich: ª 1,4434  j0,8333 2,0207  j0,8333 0,6495  j0,2917 º « 2,0207  j0,8333 1,4434  j0,8333 0,6495  j0,2917 »» S « ¬« 0,0722  j0,9583 0,0722  j0,9583 0, 0000  j0,6667 ¼»

k Y SKK

k i SQ

ª 1,2990  j0.5833º « 1.7321  j0.8333 » 102 kA « » «¬ 0.0000  j0.8333 »¼

ªU 1K º «U » « 2K » ¬«U 0K ¼» ª I 1L º «I » « 2L » «¬ I 0L »¼

ª 91,6667  j0,0000 º « 4,1667  j7,2169 » kV « » ¬« 0,0000  j0,0000 ¼» ª 0,0000  j4,1667 º « 3,6084  j2,0833 » kA « » «¬0,0000  j0, 0000 »¼

ªU L1 º « » «U L2 » ¬«U L3 ¼» ª I L1 º « » « I L2 » «¬ I L3 »¼

ª 87,5000  j7, 2169 º « » « 37,5000  j79,3857 » kV ¬« 50, 0000  j86, 6025 ¼»

ª 3,6084  j6, 2500 º « 3, 6084  j6, 2500 » kA « » «¬ 0, 0000  j0, 0000 »¼

6.10 Zusammenfassung des Berechnungsablaufs

155

6.10 Zusammenfassung des Berechnungsablaufs für Kurzschlüsse und Unterbrechungen sowie Unsymmetrien Fehler (Kurzschlüsse und Unterbrechungen) an Betriebsmitteln werden durch Modifikation der Elemente ihrer Admittanzmatrix und bei den aktiven Betriebsmitteln vom Typ A auch der Quellenströme berücksichtigt. Die ursprünglichen Gleichungsformen für die fehlerfreien Betriebsmittel bleiben dabei erhalten, so dass bei der Bildung des Knotenspannungs-Gleichungssystems kein Unterschied zwischen fehlerfreien und fehlerbehafteten Betriebsmitteln zu machen ist. Das Knotenspannungs-Gleichungssystem mit eingearbeiteten Kurzschlüssen (k) und Unterbrechungen (u) an den Betriebsmitteln hat die Form: k, u Y SKK uSK

i SQ

(6.111)

Kurzschlüsse an den Netzknoten (Sammelschienen) und unsymmetrische Lasten werden am Knotenspannungs-Gleichungssystem des Netzes nachgebildet, wobei dessen Ordnung und Form nicht verändert wird. Es werden lediglich einige Elemente der Knotenadmittanzmatrix und des Quellenstromvektors nach einem einheitliche Algorithmus, der aus einfachen Matrixoperationen mit den spärlich besetzten Fehlermatrizen und deren konjugiert komplexen transponierten Matrix besteht, geändert, womit die Gl. (6.111) übergeht in: k, u k, u T* k, u [ F SK Y SKK  Y SKK ( EK  F SK )( EK  Z SF Y SKK )] uSK

k,u T* [ F SK  Y SKK ( E K  F SK ) Z SF ] i SQ

(6.112a) oder kürzer: F Y SKK uSK

F i SQ

(6.112b)

Aus der Gl. (6.112) werden zunächst die Knotenspannungen berechnet uSK

F F (Y SKK ) 1 i SQ

F F Z SKK i SQ

(6.113)

und damit aus dem Gleichungssystem mit der Admittanzmatrix und dem Quellenstromvektor für den fehlerfreien Zustand die Fehlerströme: i SF

Y SKK uSK  i SQ

(6.114)

Bei der Berechnung quasistationärer Vorgänge ändert sich während des Berechnungsablaufes der Quellenstromvektor entsprechend dem dynamischen Verhalten der Generatoren. Für die wiederholte Berechnung der Knotenspannungen ist dann die folgende Gleichungsform, bei der Quellenstromvektor in seiner ursprünglichen Form erhalten bleibt, der Gl. (6.113) vorzuziehen: uSK

k, u T* k, u k, u T* [ F SK Y SKK  Y SKK ( EK  F SK )( EK  Z SF Y SKK )]1 [ F SK  Y SKK ( EK  F SK ) Z SF ] i SQ

(6.115a) und mit Z SKKF als Abkürzung: uSK

Z SKKF i SQ

(6.115b)

156

6 Fehlermatrizenverfahren

Die hier vorausgesetzte Symmetrie der Betriebsmittel ist für das Fehlermatrizenverfahren nicht zwingend erforderlich. Unsymmetrisch aufgebaute Betriebsmittel verursachen lediglich zusätzliche Koppelelemente in der Knotenadmittanzmatrix, beeinflussen aber nicht den grundsätzlichen Aufbau des Knotenspannungs-Gleichungssystems oder den Lösungsalgorithmus. Abschließend sei noch bemerkt, dass das Fehermatrizenverfahren eben so gut auf die Gleichungssysteme mit Leitergrößen angewendet werden kann. An die im Anhang A.2 aufgelistete function FehlerMatrizenVerfahren ist dann als Transformationsmatrix die 3u3 Einheitsmatrix zu übergeben.

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge Unter quasistationären Vorgängen versteht man Ausgleichsvorgänge bei denen die Änderung der Amplituden und Phasenwinkel der Drehstromgrößen so langsam erfolgen, dass man sie noch genügend genau durch Zeiger mit veränderlicher Amplitude und Phasenlage darstellen kann. Das hat den Vorteil, dass das gesamte Netz anstelle durch aufwändige Differentialgleichungen durch algebraische Zeigergleichungen und im Unsymmetriefall durch die Symmetrischen Komponenten, wie im Kapitel 3 beschrieben, modelliert werden kann. Quasistationäre Ausgleichsvorgänge werden vorwiegend durch Störung des Gleichgewichtes von Antriebs- und Netzleistung an den Generatoren hervorgerufen. Ursachen hierfür können plötzliche Lastzuschaltung oder Lastabwurf, Leitungsab- oder Zuschaltungen, sowie Kurzschlüsse oder sonstige Fehler sein. Je nach Vorzeichen der entstehenden Leistungsdifferenz werden die Generatorläufer beschleunigt oder verzögert und versuchen so, die Leistungsdifferenz auszugleichen. Gleichzeitig wirken die Turbinenregler und der Netzschutz sowie Netzführungsmaßnahmen der Störungsursache entgegen. Gelingt es rechtzeitig die Relativbewegung der Generatorläufer gegenüber dem Synchronlauf aufzuhalten, so schwingen die Generatorläufer wieder in einen stationären Zustand bei synchroner Drehzahl ein. Dieses Verhalten wird Gegensatz zur statischen Stabilität, die nur eine Aussage zur Existenz stationärer Arbeitpunkte trifft, als transiente Stabilität1 bezeichnet. Die Schwingungen der Generatorläufer übertragen sich zwangsläufig auf die Netzgrößen. Da die Generatorläufer zusammen mit den rotierenden Massen der Turbinen ein hohes Schwungmoment aufweisen, sind die Eigenfrequenzen der Läuferschwingungen klein (wenige Hertz) im Vergleich zur Grundschwingung des Drehstromsystems (50 Hz), wodurch die Betrachtung der Vorgänge als quasistationär gerechtfertigt ist.

7.1 Algebro-Differentialgleichungssystem Das Gleichungssystem für die Berechnung quasistationärer Zustandsänderungen setzt sich aus dem algebraischen Knotenspannungs-Gleichungssystem des Netzes in Symmetrischen Komponenten und einem Zustandsdifferentialgleichungssystem für die Läufergrößen der Generatoren und Motoren zusammen (Bild 7.1). Im Folgenden werden die Gleichungen in der Reihenfolge, in der sie auch in einem Berechnungsprogramm abgearbeitet werden dargelegt (s. Bild 7.3).

1 Der Begriff transiente Stabilität hat sich eingebürgert, obwohl er hier eigentlich nicht angebracht ist. Unter transienten Vorgängen versteht man allgemein Ausgleichsvorgänge und speziell schnelle Ausgleichsvorgänge.

158

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge

Fehlernachbildung

Quellenströme

Algebraische Netzgleichungen in Symmetrischen Komponenten

Fehlerströme Knotenspannungen

Differentialgleichungen für die Läufergrößen der Maschinen

Bild 7.1. Prinzipielle Struktur des Gleichungssystems für die Berechnung quasistationärer Vorgänge

7.1.1 Netzgleichungen Die Netzgleichungen wurden im Kapitel 3 bereitgestellt. Quer- und Längsfehler jeder Art und in jeder Kombination sowie Unsymmetriezustände werden mit dem im Kapitel 6 beschriebenen Fehlermatrizenverfahren in die Admittanzmatrix einbezogen. Das Knotenspannungs-Gleichungssystem hat nach den Gln. (6.115) und (6.114) mit und ohne Fehler die Form: uSK i SF

Z SKKF i SQ Y SKK uSK  i SQ

(7.1) (7.2)

Wird die Spannungsabhängigkeit der nichtmotorischen Lasten berücksichtigt, so ist die Admittanzmatrix und damit auch die Matrix Z SKKF in jedem Zeitschritt zu korrigieren oder die im Abschnitt 6.10 beschriebene Stromiteration durchzuführen. Der Quellenstromvektor wird in die Vektoren der veränderlichen Quellenströme der Generatoren (G) und Motoren (M) und in den Vektor der konstanten Quellenströme der Ersatznetze (N) zerlegt2: uSK

Z SKKF (i SQG  i SQM  i SQN )

(7.3)

Die Quellenströme müssen zu Beginn der Berechnung bekannt sein. Sie werden mit Hilfe einer Leistungsflussberechnung ermittelt (Kapitel 4). Aus den Quellenströmen und Knotenspannungen lassen sich die Netz- Generator- und Motorenströme berechnen (s. die Ersatzschaltungen im Bild 2.24): i SN

Y SN uSN  i SqN ; uSN  uSK ; i SqN  i SQN

(7.4)

2 Im Folgenden wird die Bezeichnung Generatoren für die Synchrongeneratoren und -motoren und die Bezeichnung Motoren für die Asynchronmotoren und -generatoren verwendet.

7.1 Algebro-Differentialgleichungssystem

159

i SG

Y "SG uSG  i SqG ;

uSG  uSK ;

i SqG  i SQG

(7.4)

i SM

' uSM  i SqM ; Y SM

uSM  uSK ;

i SqM  i SQM

(7.5)

7.1.2 Differentialgleichungen der Generatoren Die Klemmenspannungen und Strömen sind neben den mechanischen Drehmomenten und den Erregerspannungen die Eingangsgrößen für das aus den Bewegungsgleichungen (Gl. (2.135)) hier mit dem zusätzlichen Index G)) und Differentialgleichungen für die Läuferflussverkettungen (Gl. (8.154)) bestehende Zustandsdifferentialgleichungssystem. Für den einzelnen Generator gilt mit ǻ-L =ǻGL (s. Bild 7.4): 3

M eG

:0

ª ǻZ L º « ǻG » ¬ L¼

1

2 2 Re{U 1G I 1G }  Ra I1G  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 2G 4

(7.6)

ª0 0 º ªǻZL º ª km ( M mG  M eG ) º «1 0 » « ǻG »  « » 0 ¬ ¼¬ L ¼ ¬ ¼

Z0 : 0

(7.7)

J :02 S rG

km

p J

I d1

Re{I 1G e  jG L }

(7.8)

I q1

Im{I 1G e jG L }

(7.9)

˜

Tm SrG

ª kf< f1 º «  » « kD< D1 » « kQ< Q1 » ¬ ¼

U d"  jU q"

I 1qG

; Tm

ª 1 «  « Tff « « 1 kD « TDf kf « « 0 « ¬

1 kf TfD kD 

1 TDD

0

º 0 » » ªk » ª kf < f1 º « f « » 0 » « kD < D1 »  « 0 » « » « kQ < Q1 »¼ « 0 ¬ 1 »¬  TQ » ¼

jZ0 (kf < f1  kD < D1  j kQ < Q1 )

" U 1G " Y 1G

" (U d"  jU q") ˜ e jG L Y 1G

kf2 Rf kD2 RD

0

0 º ªU f º »« » 0 » « I d1 » » kQ2 RQ »¼ «¬ I q1 »¼

(7.10)

(7.11) (7.12)

Die mechanischen Drehmomente und die Erregerspannungen werden durch die Turbinen- und Spannungsregelung eingestellt. Im Folgenden wird auf die Regelung nicht näher eingegangen.

7.1.3 Differentialgleichungen der Motoren Analog zu den Generatoren (Gln. (2.137) bzw. (8.270) und (8.260) gilt mit dem Index M): M eM

3

:0

2 Re{U 1M I 1M  RS I1M 

kL2 RL 2 I 2M } 2s

(7.13)

160

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge

ǻZ L

km ( M mM  M eM )

' U 1M

[

I 1qM

' YM' U 1M

(7.14)

1 '  jZ0 kL2 RL I 1M  jZ0 kL U 1L  j(Z0  ZL )]U 1M TL

(7.15) (7.16)

Mit den aktualisierten Quellenströmen beginnt der nächste Zeitschritt mit der erneuten Berechnung der Knotenspannungen nach Gl. (7.1). Der Rechenablauf ist in den Bildern 7.2 und 7.3 dargestellt. Die Gl. (7.1) kann noch auf die Spalten der Quellenstromvektoren, und da die Quellenströme nur Mitsystemgrößen sind, noch weiter auf deren Spalten reduziert werden. Diese Maßnahme führt insbesondere in Netzen mit großer Knotenzahl zur Verringerung des Rechenaufwandes, zumal die Einspeiseknoten immer in der Minderzahl sind. uSK

Z SKGF i1QG  Z SKMF i1QM  Z SKNF i1QN

(7.17)

Y L ( u1K )

i1QN

FS

Netz

i SF u1K u2K u0K

Z SKKF Y SKK

i1QG

i1QM

i1M

³ dt

' Y 1M

Motoren

mm , u L

1m d,q

³ dt

d,q m1

i1G

'' Y 1G

Generatoren

mm , uf

Bild 7.2. Detaillierte Struktur des Gleichungssystems zur Berechnung quasistationärer Vorgänge

7.2 Berechnung der transienten Stabilität

161

Leistungsflussberechnung

Anfangswerte der Quelleströme

Einbau von Fehlern in das Knotenspannungs-Gleichungssystem (FMV)

Berechnung der Knotenspannungen und Ströme der Maschinen

Lösen der Differentialgleichungen der Maschinen

Berechnen der Quellenströme

Bild 7.3. Algorithmus zur zeitschrittweisen Berechnung quasistationärer Vorgänge

7.2 Berechnung der transienten Stabilität Unter transienter Stabilität versteht man die Fähigkeit des Elektroenergiesystems während einer vorübergehenden größeren Störung des Leistungsgleichgewichtes im Anziehungsbereich eines stabilen Arbeitspunktes zu bleiben und nach Beseitigung der Störung wieder in diesen zurückzukehren. Als Störung wird in der Regel der dreipolige Kurzschluss angenommen, weil er die größte Leistungsänderung hervorruft. Genau genommen müsste die Stabilitätsuntersuchung mit dem in Abschnitt 7.1 beschriebenen Gleichungssystem erfolgen, das noch um die Gleichungen der Regler zu ergänzen wäre. Da es sich bei der Untersuchung der transienten Stabilität aber um eine Routineuntersuchung handelt, ist man bemüht, den Rechenaufwand und den Datenumfang so gering wie möglich zu halten. Im Laufe der Zeit haben sich folgende Näherungen und Annahmen bewährt: 1.

Generatormodell mit betragskonstanter transienter Spannung (s. Abschnitt 8.4.6)

2.

Annahme konstanter Turbinenleistungen

162

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge

3.

Annahme konstanter Lastadmittanzen (Ausgleichsvorgänge der Motoren werden nicht berücksichtigt)

4.

Annahme dreipoliger Kurzschlüsse als Störungsursache (auf diese Annahme wird am Ende des Kapitels nochmals zurückgekommen).

Mit dem dreipoligen Kurzschluss erfasst man den „worst case“ der Störung und hat zugleich den Vorteil, dass für das Netz nur das Mitsystem mit seinen Daten zu Grunde zu legen ist. Über die transiente Stabilität wird gewöhnlich im Sekundenbereich entschieden. Während dieser Zeitspanne greifen die Frequenz- und Spannungsregelung noch nicht wesentlich ein. Mit der Annahme konstanter Turbinenleistung und betragskonstanter transienter Spannung erspart man sich den Aufwand für die Nachbildung der Regelungen. Da diese die transiente Stabilität gewöhnlich positiv beeinflussen, erhält man ohne Berücksichtigung der Regelungen Ergebnisse auf der sicheren Seite. Die Annahme einer im Betrag konstanten transienten Spannung beruht darauf, dass die störungsbedingten Ausgleichsvorgänge in der Dämpferlängsachsenwicklung, die von den Läuferwicklungen die kleinste Eigenzeitkonstante hat, bereits kurz nach Störungseintritt wieder abgeklungen sind und nicht in den Sekundenbereich hineinwirken. Die Flussverkettungen der Erregerwicklung und der Dämpferquerachsenwicklung werden dagegen aufgrund ihrer deutlich größeren Zeitkonstanten im Betrachtungszeitraum als konstant angesehen. Zur Aufrechterhaltung der Erregerflussverkettung trägt im Kurzschluss auch die Spannungsregelung bei, so dass deren Einfluss bei konstant angenommener transienter Spannung nicht völlig vernachlässigt ist. Die Annahme konstanter, durch den stationären Anfangszustand (Index 0) bestimmter, Läuferflussverkettungen bedeutet, dass auch die dq-Komponenten der transienten Spannung (s. Abschnitt 8.4.5) U d0'

Z0 kQ < Q0

(7.18)

U q0'

Z0 kf < f0

(7.19)

und damit auch deren Betrag und Winkellage im dq-Koordinatensystem konstant sind: U10'

E0

U d0'2  U q0'2

Arctan

(7.20)

U q0'

(7.21)

U d0'

Damit entfällt die Lösung der Differentialgleichung für die Läuferflussverkettungen und der Quellenstromvektor der Generatoren ist nur noch von den Läuferwinkeln abhängig (Bild 7.4): i1QG

' u1' Y 1G

'

' e jį1 u10 ' Y 1G

(7.22)

Von den Netzgleichungen interessieren nur die Beziehungen zwischen den Generatorgrößen. Ersatznetze werden jetzt zweckmäßigerweise wie Generatoren mit konstanten Winkeln behandelt, so dass nur noch Generatoren als aktive Betriebsmittel vorkommen. Durch die Beschränkung auf den dreipoligen Kurzschluss als Störung kann die Gl. (7.1) auf die Generatorknoten im Mitsystem reduziert werden und hat dann die Form:

7.2 Berechnung der transienten Stabilität u1G

163

Z 1GGF i1QG

(7.23)

Anstelle der Gl. (7.4) tritt: i1G

'

' u1G  Y 1G ' e jį1 u10 ' Y 1G

' u1G  i1QG Y 1G

(7.24)

Nach Einsetzen der Spannungen aus Gl. (7.23) ergibt sich: i1G

'

' Z 1GGF Y 1G '  Y 1G ' ) e jį1 u10 ' (Y 1G

'

' e jį1 u10 ' Y 1GGF

(7.25)

Mit den transienten Spannungen und den Strömen kann man die Drehmomente der einzelnen Generatoren berechnen und deren Bewegungsgleichungen lösen und so die Winkel der transienten Spannungen für den nächsten Zeitschritt nachführen. Me Mm

3

'

:0 p

Re{U10' e jG1 I 1G }

(7.26)

PT0

(7.27)

ZL

Da die Zeiger der transienten Spannungen fest mit den Läuferkoordinatensystemen verbunden sind, liegt es nahe, die Winkeländerungen der transienten Spannungen anstelle der Läuferwinkeländerungen gegenüber dem Zeigerkoordinatensystem in der Bewegungsgleichung zu verwenden (s. Bild 7.4). Außerdem ist es sinnvoll, die Läuferwinkelgeschwindigkeit anstelle deren Änderung in die Bewegungsgleichung einzuführen.

U 1' d-Achse

q-Achse

G1'

E0

GL

Z0 Zeigerkoordinatensystem

-L

Bild 7.4. Beziehungen zwischen den Koordinatensystemen. Für E 0

Z0t

const. gilt ǻ-L =ǻGL =ǻG1'

Man erhält dadurch eine Form, deren rechte Seite nur noch von den beiden Zustandsvariablen

ZL und G1' abhängt. Für den einzelnen Generator gilt dann:

164 ªZ L º « » «¬ G1' »¼

Km

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge

ª  º ªZL º ª K mZL1 PT0 º ª K e ˜ 3Re{U10 ' e jG 1' I 1G }) »º »« «1  » « »  « »¼ ¬ ¼ «¬ G1' »¼ ¬ Z ¼ «¬ 

Z02 Tm SrG

und K e

(7.28)

Km

Z0

und für alle m Generatoren: ªZ L º « »  ¬« G1' ¼»

ª   º ªZL º ª K m ȍL1 pT0 º ª3 K e ˜ Re{U10' e jį1' Y 1GG ' e jį1' u10 ' }º» »« « E » « »  « ¬ ¼ «¬ G1' ¼» ¬  ȍ0 ¼ ¬« o ¼»

(7.29)

'

Die Matrizen K m , K e , ȍL1 , ȍ0 , U10' und e jį1 sind Diagonalmatrizen mit den Elementen '

K m , K e , ZL1 , Z0 , U10' und e jG 1 für jeden Generator.

Das Zustandsdifferentialgleichungssystem, Gl. (7.29), ist nichtlinear. Die Lösung muss deshalb durch numerische Integration erfolgen. Aufgrund des nicht steifen Charakters können hierfür die weniger aufwändigen expliziten Integrationsverfahren, wie etwa das vierstufige Runge-Kutta-Verfahren eingesetzt werden. Anhand der zeitlichen Verläufe der gegenseitigen Läuferwinkel, der sog. Schwingkurven, ist dann das Stabilitätsverhalten zu bewerteten (Beispiel 7.2). Durchlaufen die gegenseitigen Läuferwinkel nach Klärung der Störung ein Maximum, so weist das bereits auf ein stabiles Verhalten hin. Laufen die Winkel auch nach der Störungsklärung weiter auseinander, so ist das System instabil. Entscheidend für das transiente Stabilitätsverhalten sind die Schwere und Dauer der Störung sowie der stationäre Ausgangszustand.

' in Gl. (7.25) werden als SpeisepunktadmitDie Diagonalelemente der Admittanzmatrix Y 1GG tanzen (driving point admittances) und die Nichtdiagonalelemente als Übertragungsadmittanzen (transfer admittances) bezeichnet /7/. Sie können für kleinere Netze noch von Hand aus der Ersatzschaltung für das Mitsystem ermittelt werden (Beispiel 7.1). '

'

' e jį1u10 ' } in Gl. (7.29) lautet ausführlich mit Y i'k* Der Ausdruck Re{U10' e jį1Y 1GG und G i '  G k' '

Yi k'*˜ e

 jD i k

G i 'k (ohne die Indizes 1 für Mitsystem und 0 für Anfangszustand):

'

' e jį1u10 '} Re{U10' e jį1Y 1GG ªU ' Y 'U ' cos D  "  U ' Y 'U ' cos (G '  D )  "  U ' Y ' U ' cos (G '  D ) º 11 1 1i i 1i 1i 1 1m m 1m 1m « 1 11 1 » « » # # # « » «U ' Y 'U ' cos (G '  D )  "  U ' Y 'U ' cos D  "  U ' Y ' U ' cos (G '  D ) » i1 i1 i ii i ii i im m im im « i i1 1 » « » # # # « » «U m' Ym' iU1' cos (G m1 » ' ' ' ' U "  )   Y U cos ( G D ) " U Y U cos D D    ' ' ' ' m mi i mi mi m mm m mm ¼ m1 ¬

(7.30)

Im Hochspannungsnetz sind die Wirkwiderstände deutlich kleiner als die Reaktanzen. Es gilt dann näherungsweise Y i'k*

X i 'k1 ˜ e jʌ/2

Bi 'k e jʌ/2 . Der Ausdruck (7.30) geht dann über in:

7.2 Berechnung der transienten Stabilität '

165

'

' e jį1u10 '} Re{U10' e jį1Y 1GG ª0  "  U 'U ' B ' sin G '  "  U 'U ' B ' sin G ' º 1 i 1i 1i 1 m 1m 1m « » «# » # # « » «U 'U ' B ' sin G '  "  0  "  U 'Y ' U ' B ' sin G ' » i1 i im m im im « i 1 i1 » « » # # # « » «U m' U1' Bm1 ' sin G m1 '  "  U m' U i'Bm' i sin G m' i  "  0 »¼ ¬

(7.31)

Der dreipolige Kurzschluss (in der Regel ohne Fehlerimpedanz) wird an der ursprünglichen Knotenadmittanzmatrix mit dem Fehlermatrizenverfahren (Kapitel 6) nachgebildet. Durch die Beschränkung auf das Mitsystem besteht die Fehlermatrix aus der Einheitsmatrix mit einer Null am (oder den) Fehlerknoten. Die Gl. (6.48) reduziert sich auf: ( F1K Y 1KK  Y 1KK  Y 1KK F1K ) u1K

F1K i1K

(7.32)

und aufgelöst nach den Knotenspannungen: u1K

( F1K Y 1KK  Y 1KK  Y 1KK F1K ) 1 F1K i1K

Z 1KKF i1K

(7.33)

Nach Reduktion auf die allein im Quellenstromvektor vorkommenden Generatorquellenströme ergibt sich dann die Gl. (7.23). Natürlich hätte man auch im Knotenspannungsgleichungssystem die Spannung am Kurzschlussknoten Null setzen können. Das hätte aber den Nachteil, dass sich dann die Ordnung des Gleichungssystems um Eins vermindert und das Gleichungssystem umsortiert werden müsste. In der klassischen Stabilitätsberechnung wird die Admittanzmatrix etwas umständlich gebildet (s. z.B. /8/). Man stellt zunächst ausgehend von der Mitsystemersatzschaltung mit Quellenspannungen (s. Bild 7.5b) die um die inneren Generatorknoten (im Bild 7.5 die Knoten 5 und 6) erweiterte Knotenadmittanzmatrix auf und transfiguriert anschließend das Gleichungssystem in folgenden Schritten auf die Generatorknoten. Die erweiterte Knotenadmittanzmatrix wird nach inneren Generator (G)- und Lastknoten (L) (alle anderen Knoten einschließlich der äußeren Generatorknoten) partitioniert, so dass das Knotenspannungs-Gleichungssystem ohne Fehler3 die folgende Form erhält: ªY 1LL Y 1LG º ª u1L º «Y »« » ¬ 1GL Y 1GG ¼ «¬ u1' »¼

ª o º «i » ¬ 1G ¼

(7.34)

Die erste Zeile der Gl. (7.34) wird nach den Spannungen an den Lastknoten aufgelöst und diese in die zweite Zeile eingesetzt: i1G

1 (Y 1GG  Y 1GL Y 1LL Y 1LG ) u1'

' u1' Y 1GG

(7.35)

Bei entsprechender Sortierung stimmen die Admittanzmatrizen nach den Gln. (7.25) und (7.35) überein (Beispiel 7.1).

3 Auf die Fehlernachbildung am klassischen Gleichungssystem wird hier nicht eingegangen.

166

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge

Die Anfangswerte für die transienten Spannungen ermittelt man im Anschluss an eine Leistungsflussberechnung. Die Knotenadmittanzmatrix des Netzes wird in der Diagonale der Generatorknoten um die negativen transienten Admittanzen der Generatoren ergänzt. Die Ströme an den Lastknoten werden in Lastadmittanzen umgerechnet und diese ebenfalls mit negativem Vorzeichen zu den Diagonalelementen der entsprechenden Lastknoten addiert. Mit den Knotenspannungen des Lastflusses werden dann die Quellenströme der Generatoren berechnet: i1Q

Y 1KK u1K

(7.36)

und aus diesen die einzelnen transienten Spannungen nach Betrag und Winkel:

' U 10



I 1q

' Y 1G

'

' e jG 10 U10

(7.37)

Das hier beschriebene Generatormodell 2. Ordnung hat nicht nur den Vorteil des reduzierten Rechenaufwandes. Es werden auch nur drei, bei Vernachlässigung des Ankerwiderstandes sogar nur zwei Parameter für jeden Generator benötigt und zwar die transiente Längsreaktanz X d' und die elektromechanische Zeitkonstante Tm .

Beispiel 7.1 ' für den fehlerfreien ZuFür das 2-Maschinensystem im Bild 7.5 sind die Admittanzen Y 1GG stand und für dreipoligen Kurzschluss am Knoten 2 sowohl nach der Gl. (7.25) als auch nach der Gl. (7.35) zu bestimmen. G1

a)

1

T1

2

T2

3

L

4

~

~ b)

5

j1 Ÿ

1

j1 Ÿ

2

j8 Ÿ

G2

3

j1 Ÿ

4

U 1'

j1,5 Ÿ

6 U '2

1

j1 Ÿ

2

j8 Ÿ

3

j1 Ÿ

4

c) I q1

j1 Ÿ

j1,5 Ÿ

I q2

Bild 7.5. Beispielnetz zur Berechnung der transienten Stabilität a) Netzplan b) Mitsystemersatzschaltung mit Quellenspannungen für die Generatoren c) Mitsystemersatzschaltung mit Quellenströmen für die Generatoren.

7.2 Berechnung der transienten Stabilität

167

Knotenadmittanzmatrix des ungestörten Netzes nach Ersatzschaltung im Bild 7.5c:

Y 1KK

1 0 0º ª2 « 1 1,125 0,125 0 » »S j« « 0 0,125 1,125 1 » « » 1 0 1,6 ¼» ¬« 0

Inverse der Knotenadmittanzmatrix ohne Kurzschluss:

Z 1KK

ª 0,92 0,84 0, 2 0,12 º «0,84 1,68 0, 4 0, 24 » »Ÿ j« « 0, 2 0, 4 2,0 1, 2 » « » ¬ 0,12 0,24 1, 2 1,32 ¼

Knotenimpedanzmatrix reduziert auf Knoten 1 und 4 (Generatorknoten): Z 1GG

ª0,92 0,12 º j« »Ÿ ¬0,12 1,32 ¼

' Matrix Y 1GG

' Y 1G

' Y 1GG

' Z 1GG Y 1G '  Y 1G ' ) ohne Kurzschluss nach Gl. (7.25): (Y 1G

ª1,0 0 º  j« » 0,6 ¼ ¬

ª1,0 0 º ª1,0 0 º °½ ª 0,92 0,12 º °­ ª1,0 0 º  ® j « u  j« » u j« »  j« »¾S » 0,6 ¼ 0,6 ¼ ¬ 0,6 ¼ °¿ ¬ 0,12 1,32 ¼ °¯ ¬ ¬ ª 0,08 0, 08º j« »S ¬ 0, 08 0,08 ¼

Erweiterte Knotenadmittanzmatrix (Index e) des ungestörten Netzes nach der Ersatzschaltung im Bild 7.5b:

Y 1KKe

ªY 1LL Y 1LG º «Y » ¬ 1GL Y 1GG ¼

' Matrix Y 1GG

0 0 0 º 1 1 ª2 « 1 1,125 0,125 » 0 0 0 « » « 0 0,125 1,125 0 0 » 1 »S j« 0 1,6 0 0, 6 » 1 «0 « 1 0 0 0 1 0 » « » «¬ 0 0 0 0, 6 0 0, 6 »¼

1 Y 1GG  Y 1GL Y 1LL Y 1LG ohne Kurzschluss nach Gl. (7.25):

168

' Y 1GG

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge 1

Y 1GG  Y 1GL Y 1LL Y 1LG

­ ª 1 ½ 0 º ª 0,92 0,84 0, 2 0,12 º ° « ° » « » 0 » 0 º° ª1 0 º ° « 0 0,84 1,68 0, 4 0, 24 » ª 1 0 0 u j« u j« j« ¾S »  ®j« 0 0 » « 0, 2 0, 4 2,0 1, 2 » ¬ 0 0 0 0, 6 »¼ ° ¬0 0, 6 ¼ ° « » « » ° « 0 0, 6 » ° ¬ 0,12 0,24 1, 2 1,32 ¼ ¼ ¯ ¬ ¿ ª 0,08 0, 08º j« »S ¬ 0, 08 0,08 ¼

' direkt aus der Ersatzschaltung im Bild 7.5b. Ermittlung der Elemente von Y 1GG Die Diagonalelemente sind die Kehrwerte der negativen (wegen der gewählten Zählpfeile für die Generatorströme und -spannungen) Eingangsimpedanzen der Knoten: Y 11'

' Y 22

I1 U 1'

1 S j12,5

j0,08S



1 S j12,5

j0,08S Y 11'

U 2' 0

I2 U '2



U 1' 0

Um das Nichtdiagonalelement 12 zu ermitteln berechnet man den Strom I1, der von der Spannung U '2 bei kurzgeschlossener Spannungsquelle 1 angetrieben wird: Y 12'

I1 U '2

U 1' 0

1 S j12,5

'  j0,08S Y 21

' Ermittlung der Matrix Y 1GGF schluss am Knoten 3:

' Z 1GGF Y 1G '  Y 1G ' ) nach Gl. (7.25) für dreipoligen Kurz(Y 1G

Fehlermatrix:

F1K

ª1 º « 1 » « » « 0 » « » 1¼ ¬

Modifizierte Knotenadmittanzmatrix nach dem Fehlermatrizenverfahren:

k

Y 1KK

F1K Y 1KK  Y 1KK  Y 1KK F1K

0 0º ª 2, 0 1, 0 « 1, 0 1,125 0 0 »» j« S « 0 0 1,125 0 » « » 0 0 1, 6 ¼» ¬« 0

7.2 Berechnung der transienten Stabilität

169

An dieser Gleichung ist die Wirkung der Fehlernachbildung mit dem FMV gut sichtbar. Die zum Fehlerknoten 3 gehörende Zeile und Spalte der Admittanzmatrix wird Null gesetzt und das Diagonalelement wieder durch das negative Diagonalelement aufgefüllt, so dass die Admittanzmatrix invertierbar wird. Da der Quellenstromvektor am Knoten 3 Null ist (oder durch die Multiplikation mit der Fehlermatrix Null wird) wird so erreicht, dass bei unveränderter Ordnung und Reihenfolge der Admittanzmatrix die Fehlerbedingung U1K3 = 0 erfüllt wird. Inverse der modifizierten Knotenadmittanzmatrix 0 0 º ª 0,9 0,8 « 0,8 1, 6 0 0 »» Ÿ  j« « 0 0 0,8 0 » « » 0 0 0, 6 ¼» ¬« 0

k

Z 1KK

rechtsseitig multipliziert mit der Fehlermatrix:

k

(Y 1KK )1 F1K

Z 1KKF

ª0,9 0,8 0 0 º « 0,8 1, 6 0 0 » »Ÿ j« « 0 0 0 0 » « » 0 0 0, 6 ¼ ¬ 0

Reduziert auf Generatorknoten: ª0,9 0 º j« »Ÿ ¬ 0 0, 6 ¼

Z 1GGF und:

' Y 1GGF

ª1,0 0 º ª1,0 0 º °½ ª 0,9 0 º °­ ª1,0 0 º  ® j « u  j« » u  j« »  j« »¾S » ¬ 0 0, 6 ¼ °¯ ¬ 0 0,6 ¼ ¬ 0 0,6 ¼ ¬ 0 0,6 ¼ °¿

ª 0,1 0 º j« »S ¬ 0 0,4 ¼

oder elementweise direkt aus der Mitsystemersatzschaltung im Bild 7.5b mit Kurzschlussverbindung: Y 11'

' Y 22 Y 12'

I1 U 1'

' Y 21

1 S j10



1 S j2,5

U 2' 0

I2 U '2



U 1' 0

j0,1S

j0,4

0

Die Beschränkung auf den dreipoligen Kurzschluss ist vordergründig dadurch motiviert, dass man mit dem dreipoligen Kurzschluss die schwerste Störung erfasst. Solange nur die Mitsystemgrößen wie bei der Stabilitätsuntersuchung interessieren4, können aber auch unsymmetri4 Es müssen dann allerdings die vom Gegensystem hervorgerufenen Drehmomentenanteile vernachlässigt werden, was aber durchaus gerechtfertigt erscheint.

170

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge

sche Kurzschlüsse leicht durch Einbeziehung der Gegen- und Nullsystemimpedanzen in das Mitsystem in Form einer Fehlerimpedanz ZF an der Kurzschlussstelle wie im Bild 7.6 nachgebildet werden. Man hat dann allerdings einen Mehraufwand bei der Datenbeschaffung, insbesondere wenn das Nullsystem beteiligt ist. 1

I q1

j1 Ÿ

j1 Ÿ

2

3

j8 Ÿ

4

j1 Ÿ

ZF

j1,5 Ÿ

I q2

Bild 7.6. Nachbildung der unsymmetrischen Kurzschlüsse bei der Stabilitätsberechnung durch eine Fehlerimpedanz ZF

Die Fehlerimpedanz besteht beim einpoligen Kurzschluss aus der Reihenschaltung der resultierenden Gegen- und Nullsystemimpedanzen (jeweils von der Kurzschlussstelle aus gesehen) und beim zweipoligen Erdkurzschluss aus der Parallelschaltung der resultierenden Gegen- und Nullsystemimpedanzen (Kapitel 5). Die Einbeziehung der Fehlerimpedanz erfolgt entweder mit dem Fehlermatrizenverfahren nach der auf das Mitsystem reduzierten Gl. (6.47) oder ganz einfach durch Hinzufügen des negativen Kehrwerts der Fehlerimpedanz (Fehleradmittanz) in das betreffende Diagonalelement der Knotenadmittanzmatrix. Durch die endliche Fehlerimpedanz bricht die Spannung am Kurzschlussknoten nicht wie beim dreipoligen Kurzschluss vollständig zusammen, so dass noch Leistung zwischen den Generatoren ausgetauscht werden kann. Deshalb stellen die unsymmetrischen Fehler nicht die schwerste Stabilitätsstörung dar.

Beispiel 7.2 Zustandsdifferentialgleichungssystem für das 2-Maschinensystem im Beispiel 7.1 mit Kurzschluss am Knoten 3 und dessen Lösung durch numerische Integration mit folgenden Daten und Anfangsbedingungen: K m1

0, 05 ; U 1'

0, 07 ; K m2

(90  j30) kV ; U '2

100 kV

Nach Gl. (7.31) gilt: ª Z1 º «Z » « 2» « » « G1' » « » ¬ G 2' ¼

ª «0 « «1 « ¬0

  0 1

0 0 0 0

0 º ª Z1 º ª K m1Z11 PT10 º ª K e1 ˜ 3U1'U 2' B12' sin G12' º « » « » » « 0 »» «Z2 » « K m2Z21 PT20 » « K ˜ 3U 'U ' B sin G » ' ' 2 1 21 21 » « » »  « e2 0 » « G1' » « Z « » 0 « » » « » 0 ¼ « G » ¬« » Z   ¼ ¬ 0 ¼ ¬ 2' ¼

7.2 Berechnung der transienten Stabilität

171

Der Kurzschluss am Knoten 3 wird nach 50 ms eingeleitet. Bis dahin sind die Spannungswinkel konstant (Bild 7.7). Nach 0,23 s wird der Kurzschluss wieder aufgehoben. Der Zeitpunkt der Kurzschlussaufhebung ist an den Wendepunkten in den Winkelverläufen zu erkennen. 100

Spannungswinkel in Grd

80 60 40 20 0 -20 -40 -60 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in s

Bild 7.7. Winkel der transienten Spannungen bei Stabilität

Die Winkelverläufe im Bild 7.7 zeigen stabiles Verhalten. Die Kurven verlaufen ungedämpft, weil die ohmschen Widerstände und die mechanische Dämpfung vernachlässigt wurden. Vor dem Kurzschluss befand sich der Generator 1 im Generatorbetrieb und hat seine Leistung an den Generator 2 abgegeben, der damit zum Motor wird. Im Kurzschluss wird deshalb der Generator 1 (obere Kurve im Bild 7.7) beschleunigt, während der Generator 2 verzögert wird. Entscheidend für die Beurteilung des Stabilitätsverhaltens ist die Winkeldifferenz zwischen den transienten Spannungen (Bild 7.8). Im stabilen Fall erreicht der Differenzwinkel ein Maximum und schwingt danach zurück. Bei Instabilität (hier bei Kurzschlussaufhebung nach 0,235 s) wächst der Differenzwinkel ständig an Bild 7.9. Die transienten Kurzschlussströme im Bild 7.9 sind wie die antreibende transiente Spannung konstant. Nach der Kurzschlussaufhebung schwingen die Stromeffektivwerte und die elektrischen Leistungen der Generatoren im Rhythmus der Spannungswinkel.

172

7 Berechnung quasistationärer Vorgänge

Gegenseitiger Spannungswinkel in Grd

200

150

100

50

0

-50

-100 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t in s

Bild 7.8. Differenz der Winkel zwischen den transienten Spannungen

50 45

Generatorströme in kA

40 35 30 25 20 15 10 5 0 0

0.2

0.4

0.6 t in s

Bild 7.9. Generatorströme

0.8

1

7.2 Berechnung der transienten Stabilität

173

2500

Generatorleistungen in MW

2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/s

Bild 7.10. elektrische Leistungen bei Kurzschlussaufhebung nach 0,230 s (nahe der Stabilitätsgrenze).

Gegenseitige Spannungswinkel in Grd

200 150 100 50 0 -50 -100 -150 -200 0

0.2

0.4

0.6

0.8

t in s

Bild 7.10. Differenz der Spannungswinkel bei Instabilität

1

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten In den folgenden Abschnitten wird eine spezielle Form der Betriebsmittelgleichungen angestrebt, die es ermöglicht, die Verknüpfung der einzelnen Betriebsmittel im Netz ausschließlich mit Hilfe der Knotenpunktsätze vorzunehmen, so wie man es von der Modellierung mit Zeigergrößen gewohnt ist (s. Kapitel 3). Diese als Erweitertes Knotenpunktverfahren (EKPV) bezeichnete Methode wird in Kapitel 9 ausführlich beschrieben.

8.1 Allgemeine Formen Beim Erweiterten Knotenpunktverfahren werden die Betriebsmittel nach ihrem Klemmenverhalten in resistive (R), kapazitive (C) und induktive Betriebsmittel (L) eingeteilt. Die Charakteristik der drei Betriebsmitteltypen geht aus der Tabelle 8.1 hervor. Tabelle 8.1. Charakteristik der Betriebsmitteltypen beim EKPV

Variable

L-BM

C-BM

R-BM

Zustandsgrößen

Klemmenströme

Klemmenspannungen

keine

Eingangsgrößen

Klemmenspannungen

Klemmenströme

Klemmenströme

Des Weiteren wird wie im Abschnitt 3.1 je nach Anzahl der Klemmenseiten noch zwischen den Typen A, AB und ABC unterschieden. Die allgemeinen Formen der Gleichungen für die Betriebsmitteltypen sind folgende:

L-Betriebsmittel vom Typ A ª LA11 «L « A21 «¬ LA31

LA12 LA22 LA32

LA13 º ª iA1 º ª RA11 « » LA23 »» «iA2 »  «« RA21 LA33 »¼ ¬«iA3 ¼» «¬ RA31

RA12 RA22 RA32

RA13 º ª iA1 º ª uqA1 º « » RA23 »» ««iA2 »»  «uqA2 » RA33 »¼ «¬iA3 »¼ ¬«uqA3 ¼»

ª uA1 º «u » « A2 » «¬uA3 »¼

(8.1a)

bzw. in Kurzform LA iA  RA iA  uqA

uA

(8.1b)

176

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

L-Betriebsmittel vom Typ AB ª LAA11 «L « AA21 « LAA31 « « LBA11 « LBA21 « «¬ LBA31

LAA12 LAA22 LAA32 LBA12 LBA22 LBA32

ª RAA11 «R « AA21 «R  « AA31 « RBA11 « RBA21 « «¬ RBA31 ª LAA «L ¬ BA

LAA13 LAA23 LAA33 LBA13 LBA23 LBA33

RAA12 RAA22 RAA32 RBA12 RBA22 RBA32

LAB11 LAB21 LAB31 LBB11 LBA21 LBA31

RAA13 RAA23 RAA33 RBA13 RBA23 RBA33

RAB11 RAB21 RAB31 RBB11 RBA21 RBA31

LAB13 º ª iA1 º « » LAB23 »» «iA2 » LAB33 » «iA3 » »« » LBB13 » « iB1 » LBB23 » «iB2 » »« » LBB33 »¼ «¬ iB3 »¼

LAB12 LAB22 LAB32 LBB12 LBB22 LBB32 RAB12 RAB22 RAB32 RBB12 RBB22 RBB32

RAB13 º ª iA1 º ª uqA1 º « » RAB23 »» ««iA2 »» «uqA2 » RAB33 » «iA3 » «uqA3 » » »« »« RBB13 » « iB1 » « uqB1 » RBB23 » «iB2 » «uqB2 » » »« » « RBB33 »¼ «¬ iB3 ¼» ¬« uqB3 ¼»

RAB º ª iA º ª uqA º « » RBB »¼ «¬ iB »¼ ¬ uqB ¼

LAB º ª iA º ª RAA « » LBB »¼ ¬ iB ¼ «¬ RBA

ª uA1 º «u » « A2 » «uA3 » « » « uB1 » «uB2 » « » ¬« uB3 ¼»

ª uA º «u » ¬ B¼

(8.2a)

(8.2b)

C-Betriebsmittel vom Typ A Die Gleichungen der C-und L-Betriebsmittel sind dual zueinander: ªCA11 CA12 «C « A21 CA22 «¬CA31 CA32

CA13 º ª uA1 º ªGA11 GA12 CA23 »» ««uA2 »»  ««GA21 GA22 CA33 »¼ «¬uA3 »¼ «¬GA31 GA32

C A u A iA  GA uA  iqA

GA13 º ª uA1 º ª iqA1 º « » GA23 »» ««uA2 »»  «iqA2 » GA33 »¼ «¬uA3 »¼ «¬iqA3 »¼

ª iA1 º «i » « A2 » «¬iA3 »¼

iA

(8.3a)

(8.3b)

C-Betriebsmittel vom Typ AB Aufgrund der Dualität zur Gl. (8.2) genügt die Angabe der Kurzform: ªC AA «C ¬ BA

C AB º ª u A º ªGAA  C BB »¼ «¬ u B »¼ «¬GBA

GAB º ª uA º ª iqA º « » GBB »¼ «¬ uB »¼ ¬ iqB ¼

ª iA º «i » ¬ B¼

(8.4)

R-Betriebsmittel vom Typ A ªGA11 GA12 «G « A21 GA22 «¬GA31 GA32 GA uA  iqA

GA13 º ª uA1 º ª iqA1 º « » GA23 »» ««uA2 »»  «iqA2 » GA33 »¼ «¬uA3 »¼ «¬iqA3 »¼ iA

ª iA1 º «i » « A2 » «¬iA3 »¼

(8.5a)

(8.5b)

8.1 Allgemeine Formen

177

Auf die Angabe der Gleichungen für den Typ AB sowie für alle Typen ABC wird verzichtet, da auf ihren Aufbau aus der Form der vorstehenden Gleichungen geschlossen werden kann. Die mit dem Index q gekennzeichneten Quellenströme und Quellenspannungen hängen von weitern „inneren“ Zustandsgrößen der Betriebsmittel ab. Die Einführung dieser Quellengrößen ist sinnvoll, weil für die Verknüpfung der Betriebsmittel untereinander die inneren Zustandsgrößen nicht interessieren. Die Abhängigkeit der Quellengrößen von den inneren Zustandsgrößen wird bei der detaillierten Beschreibung der Betriebsmittelgleichungen in den folgenden Abschnitten klar. Die Gleichungen der C- und R-Betriebsmittel stellen Stromgleichungen dar, die sich mit den Knotenpunktsätzen miteinander Verknüpfen lassen, wodurch die Eingangsgrößen (Ströme) eliminiert werden. In Netzen mit zusätzlichen L-BM müssen für die Elimination der Eingangsgrößen (Spannungen) normalerweise auch die Maschensätze hinzugezogen werden. Die Verwendung von Maschensätzen ist äußerst unbequem, zumal sich bei Änderungen der Netztopologie und bei der Berücksichtigung von Fehlern jeweils andere Maschen und damit andere Gleichungen ergeben. Von Nachteil ist auch, dass die Klemmenspannungen an den L-BM nachträglich durch numerische Differentiation berechnet werden müssen. Um die Verwendung von Maschensätzen zu vermeiden, werden die Gleichungen der L-BM wie folgt umgeformt, wobei es genügt die Form A zu betrachten. Die Zustandsdifferentialgleichung, Gl. (8.1a), wird nach den Stromänderungen aufgelöst und mit 1/ Z0 multipliziert: ª iA1 º 1 « » i Z0 « A2 » «¬iA3 »¼

ª LA11 1 « L Z0 « A21 «¬ LA31

LA12 LA22 LA32

LA13 º LA23 »» LA33 »¼

ª LA11 1 « L  Z0 « A21 «¬ LA31

LA12 LA22 LA32

LA13 º LA23 »» LA33 »¼

1

1

ª uA1 º «u »  « A2 » «¬uA3 »¼ ­ ª RA11 °« ® « RA21 °« R ¯ ¬ A31

RA12 RA22 RA32

RA13 º ª iA1 º ª uqA1 º ½ « »° RA23 »» ««iA2 »»  «uqA2 » ¾ RA33 »¼ «¬iA3 »¼ «¬uqA3 »¼ ¿°

(8.6)

Für die mit 1/ Z0 multiplizierte Inverse der Induktivitätsmatrix wird die Leitwertmatrix ª LA11 1 « L Z0 « A21 «¬ LA31

LA12 LA22 LA32

LA13 º LA23 »» LA33 »¼

1

ªGA11 GA12 «G « A21 GA22 «¬GA31 GA32

GA13 º GA23 »» GA33 »¼

(8.7)

eingeführt. Die mit 1/ Z0 multiplizierten Ableitungen der Ströme haben die Dimension von Strömen. Sie werden durch einen hochgestellten Strich gekennzeichnet: ª iA1 º 1 « » i Z0 « A2 » «¬iA3 »¼

ªi ' º « A1 » «i ' » « A2 » «i ' » ¬« A3 ¼»

(8.8)

178

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Damit geht die Gl. (8.6) formal über in eine Stromgleichung für die Verknüpfung mit anderen Betriebsmitteln: ªi ' º « A1 » «i ' » « A2 » «i ' » ¬« A3 ¼»

ªGA11 GA12 «G « A21 GA22 «¬GA31 GA32

GA13 º ª uA1 º ªGA11 GA12 GA23 »» ««uA2 »»  ««GA21 GA22 GA33 »¼ «¬uA3 »¼ «¬GA31 GA32

GA13 º ­ ª RA11 ° GA23 »» ® «« RA21 GA33 »¼ °¯ «¬ RA31

RA12 RA22 RA32

RA13 º ª iA1 º ª uqA1 º ½ « »° RA23 »» ««iA2 »»  «uqA2 » ¾ RA33 »¼ «¬iA3 »¼ «¬uqA3 »¼ °¿

(8.9) Der zweite Term in Gl. (8.9) hängt nur von den Strömen und den eventuell vorhandenen Quellenspannungen ab. Da die Ströme der BM-Betriebsmittel Zustandsgrößen sind, sind sie wie auch die Quellenspannungen für den nächsten Integrationsschritt bei der Lösung der Betriebsmittelgleichungen bekannt. Folglich hat der zweite Term in Gl. (8.9) die Eigenschaft einer Quelle. Durch Einführung von Abkürzungen für die Quellenströme: ª iqA1 º « » «iqA2 » «iqA3 » ¬ ¼

GA13 º ­ ª RA11 ° GA23 »» ® «« RA21 GA33 »¼ °¯ «¬ RA31

ªGA11 GA12  ««GA21 GA22 «¬GA31 GA32

RA12 RA22 RA32

RA13 º ª iA1 º ª uqA1 º ½ « »° RA23 »» ««iA2 »»  «uqA2 » ¾ RA33 »¼ «¬iA3 »¼ «¬uqA3 »¼ °¿

(8.10a)

erhält die Gl. (8.9) ihre endgültige Form: ªi ' º « A1 » «i ' » « A2 » «i ' » ¬« A3 ¼»

ªGA11 GA12 « «GA21 GA22 «¬GA31 GA32

GA13 º ª uA1 º ª iqA1 º « » GA23 »» ««uA2 »»  «iqA2 » GA33 »¼ ¬«uA3 »¼ ¬«iqA3 ¼»

(8.11a)

Die Stromgleichung, Gl. (8.11), geht in das Netzgleichungssystem ein (s. Kapitel 9). Nach der Neuberechnung der Spannungen erfolgt die Aktualisierung der Quellenströme mit der Zustandsdifferentialgleichung, Gl. (8.6), in der hier angegebenen Form: ª iA1 º « » «iA2 » «¬iA3 »¼

ªGA11 GA12 Z0 ««GA21 GA22 «¬GA31 GA32

ª iqA1 º GA13 º ª uA1 º « » » « » GA23 » «uA2 »  Z0 «iqA2 » « » GA33 »¼ «¬uA3 »¼ ¬iqA3 ¼

(8.12a)

Die Kurzformen der Gln. (8.10a) bis (8.12a) sind: iAq

GA ( RA iA  uqA )

(8.10b)

iA'

GA uA  iqA

(8.11b)

iA

Z0GA uA  Z0 iqA

(8.12b)

Analog dazu lauten die Gleichungsformen der L-Betriebsmittel vom Typ AB: ª iqA º «i » ¬ qB ¼

ªG  « AA ¬GBA

GAB º ­° ª RAA ® GBB »¼ ¯°¬« RBA

RAB º ª iA º ª uqA º ½° « »¾ RBB ¼» ¬« iB ¼» ¬ uqB ¼ ¿°

(8.13)

8.1 Allgemeine Formen ªi ' º « A» « » ¬ iB' ¼

ªGAA «G ¬ BA

ª iA º « » ¬ iB ¼

Z0 «

179

GAB º ª uA º ª iqA º « » GBB »¼ «¬ uB »¼ ¬ iqB ¼

(8.14)

GAB º ª uA º ª iqA º  Z0 « » » « » GBB ¼ ¬ uB ¼ ¬ iqB ¼

ªGAA ¬GBA

(8.15)

Die Transformation in Raumzeigerkomponenten mit den Gln. (1.34) und (1.35) führt unter der Voraussetzung symmetrisch aufgebauter Betriebsmittel und verdrillter Leitungen zur Diagonalisierung der R-, G-, L- und C-Matrizen mit ihren Eigenwerten als Diagonalelemente. Die Raumzeigerkomponenten werden entkoppelt (s. Abschnitt 1.3.1). Eine Ausnahme bildet die Synchronmaschine mit ihrer Läuferunsymmetrie. Hier führt die Raumzeigertransformation nur zu einer teilweisen Entkopplung, die sich aber dennoch lohnt. Im Übrigen ist die im Folgenden vorausgesetzte Symmetrie für die Aufstellung der Betriebsmittelgleichungen und deren Verknüpfung nicht zwingend erforderlich. Sie vereinfacht aber die Schreibweise der Gleichungen, indem die Leitungsmatrizen durch die Transformation in die Raumzeigerkomponenten zu Diagonalmatrizen werden.

L-Betriebsmittel in Raumzeigerkomponenten Typ A ªi sqA º « »

«i sqA » « » i ¬« hqA ¼»

ªG1A « « 0 «¬ 0

0 º ­ ª R1A °° 0 »» ® «« 0 G0A »¼ ° «¬ 0 ¯°

0 G2A 0

ªi ' º « sA » «i ' » « sA » « » ' » «¬ihA ¼

ªG1A « 0 « «¬ 0

ªisA º « » «isA » «i » ¬« hA ¼»

ªG1A Z0 «« 0 ¬« 0

0 R2 0

0 º ªi sA º ªu sqA º ½ « » « » °° 0 »» «i sA »  «u sqA » ¾ « » R0A »¼ «ihA » « 0 » ° ¬ ¼ ¬ ¼ ¿°

0 º ª u sA º ªi sqA º « » « » 0 »» « u sA »  «i sqA » « » « G0A »¼ uhA » «ihqA » ¬ ¼ ¬ ¼

0 G2A 0

0 G2A 0

ªi sqA º 0 º ªu sqA º « » « »

0 »» «u sqA »  Z0 «i sqA » « » « » G0A ¼» « 0 » «¬ihqA »¼ ¬ ¼

(8.16a)

(8.17a)

(8.18a)

bzw.: i sqA

GsA ( RsA i sA  usqA )

(8.16b)

' i sA

GsA usA  i sqA

(8.17b)

isA

Z0 (GsA usA  i sqA )

(8.18b)

180

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Die Elemente der diagonalen Leitwertmatrix sind: G1A

1 X 1A

1 Z0 L1A

(8.19)

G2A

1 X 2A

1 Z0 L2A

(8.20)

G0A

1 X 0A

Z0 L0A

1

(8.21)

wobei die X1A, X2A, X0A, R1A, R2A und R0A die von den Symmetrischen Komponenten her bekannten Reaktanzen und Widerstände sind.1 Typ AB (nur Kurzform) ª i sqA º « » ¬« i sqB ¼»

ªG  « sAA ¬GsBA

ªi ' º « sA » «i ' » ¬ sB ¼

ªGsAA «G ¬ sBA

ª isA º « » ¬ i sB ¼

Z0 «

GsAB º °­ ª RsAA ® GsBB »¼ ° «¬ RsBA ¯

RsAB º ª i sA º ª usqA º °½ « »¾ RsBB »¼ ¬« i sB ¼» ¬« usqB ¼» ° ¿

GsAB º ª usA º ª i sqA º « » GsBB »¼ «¬ usB »¼ «¬ i sqB »¼

ªGsAA ¬GsBA

(8.22)

(8.23)

ª i sqA º GsAB º ª usA º  Z0 « » « » » GsBB ¼ ¬ usB ¼ «¬ i sqB »¼

(8.24)

Alle G- und R-Matrizen sind im Falle symmetrischer Betriebsmittel Diagonalmatrizen.

C-Betriebsmittel in Raumzeigerkomponenten Typ A ªi sA º « » «i sA » «i » ¬ hA ¼ i sA

ªG1A « 0 « «¬ 0

0 G1A 0

0 º ªu sA º ªC1A « » « 0 »» « u sA »« 0 « » » G0A ¼ ¬uhA ¼ «¬ 0

GsA usA  CsA u sA  i sqA

0 C1A 0

0 º ª u sA º ªi sqA º « » « » 0 »» « u sA »  «i sqA » « » « » » C0A ¼ ¬uhA ¼ « 0 » ¬ ¼

(8.25a)

(8.25b)

1 Die Bezeichnungen für die Eigenwerte der Induktivitäts- und Widerstandsmatrix als Mit-, Gegen- und Nullsystemgrößen werden von den Symmetrischen Komponenten übernommen.

8.2 Leitungen

181

Typ AB (nur Kurzform) ª i sA º «i » ¬ sB ¼

ªGsAA «G ¬ sBA

GsAB º ª usA º ªCsAA  GsBB »¼ ¬« usB ¼» «¬ CsBA

CsAB º ª u sA º ª i sqA º « » CsBB »¼ ¬« u sB ¼» «¬ i sqB »¼

(8.26)

R-BM in Raumzeigerkomponenten Die Gleichungen entsprechen denen der C-BM mit verschwindenden C-Matrizen.

8.2 Leitungen Die Leitungsparameter, insbesondere die Nullsystemparameter sind frequenzabhängig, wodurch die Modellierung der Leitungen über das gesamte Eigenspektrum im Zeitbereich aufwändig ist. Man unterscheidet grundsätzlich zwischen Netzwerk- und Wellenmodellen der Leitungen. Die Wellenmodelle führen auf Leitwertersatzschaltungen mit Stromquellen, die im Takt der Wellenlaufzeiten gesteuert werden. Nach der Klassifikation der Betriebsmittel im Abschnitt 8.1 stellen die Wellenmodelle R-Betriebsmittel vom Typ A mit Quellenströmen dar. Eine zusammenfassende Beschreibung der Wellenmodelle findet man in /9/. Hier soll lediglich auf die Raumzeiger- und Nullgrößengleichungen für die bekannten Netzwerkmodelle in Form von Kettenschaltungen mit konstanten Elementen eingegangen werden. Die Anzahl der erforderlichen Glieder richtet sich nach dem interessierenden Frequenzbereich. Mit wachsender Anzahl der Glieder wächst die Anzahl der Zustandsvariablen und damit der Lösungsaufwand beträchtlich. Durch Korrekturglieder im Nullsystem kann eine verbesserte Nachbildung mit weniger Gliedern erreicht werden /10/. Nach der Beschaffenheit der ersten Glieder an den Leitungsklemmen weist das Kettenleitermodell die Eigenschaften eines L- oder C-Betriebsmittels auf. Die T-Kettenschaltung beginnt und endet mit Induktivitäten und verhält sich somit wie ein L-Betriebsmittel. Im Gegensatz dazu beginnt und endet die Ȇ -Kettenschaltung mit Kapazitäten und verhält sich demnach wie ein C-Betriebsmittel. Die folgenden Ausführungen beziehen sich auf Einfachleitungen. Die Gleichungen der Doppel- oder Vierfachleitungen können nach der gleichen Methode hergeleitet werden. Des Weiteren wird vorausgesetzt, dass die Leitung symmetrisch ist, was in der Praxis zwar nicht der Fall ist, durch Verdrillen aber näherungsweise erreicht wird. Die Gleichungen der Einfachleitung sind nach der Klassifikation im Abschnitt 8.1 alle vom Typ AB.

8.2.1 Gleichungen der induktiven und kapazitiven Leitungsabschnitte Die Netzwerkleitungsmodelle setzen sich aus induktiv und kapazitiv verketteten Abschnitten zusammen, wie sie im Bild 8.1 dargestellt sind.

182

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

'Rs , 'Ls

'iL1

'Rg , 'Lg

'GLL , 'CLL

'iL2

'iL3 uL i

uL i

'GLE

'uL i , iL i

u L i  'u L i

'CLE

Bild 8.1. Induktiv und kapazitiv verkettete Leitungsabschnitte

Symmetrie vorausgesetzt, lauten die Gleichungen für diese Abschnitte: ª ǻLs « « ǻLg « ǻLg ¬

ǻLg

ª ǻCs « «ǻCg «ǻCg ¬

ǻCg ǻCs

ǻLs ǻLg

ǻCg

ǻLg º ª iL1 º ª ǻRs »« » « ǻLg » «iL2 »  «ǻRg ǻLs ¼» «¬iL3 »¼ ¬«ǻRg

ǻRg º ª iL1 º » ǻRg » ««iL2 »» ǻRs »¼ ¬«iL3 ¼»

ǻRg ǻRs ǻRg

ǻCg º ª uL1 º ª ǻGs » « ǻCg » ««uL2 »»  «ǻGg ǻCs »¼ ¬«uL3 ¼» «¬ǻGg

ǻGg º ª uL1 º » ǻGg » ««uL2 »» ǻGs »¼ ¬«uL3 ¼»

ǻGg ǻGs ǻGg

ǻRs

ǻRL  ǻRE ; ǻRg

ǻCs

ǻCLE  2ǻCLL ; ǻCg

ǻCLL

ǻGs

ǻGLE  2ǻGLL ; ǻGg

ǻGLL

ª ǻuL1 º «ǻu » « L2 » ¬« ǻuL3 ¼» ª ǻiL1 º «ǻi » « L2 » ¬« ǻiL3 ¼»

(8.27)

(8.28)

ǻRE

wobei 'RL der Leiterwiderstand, 'RE der Erdwiderstand, 'CLL die Leiter-Leiter-Kapazität, 'CLE die Leiter-Erde-Kapazität, 'GLL der Leiter-Leiter-Leitwert und 'GLE der Leiter-ErdeLeitwert des Abschnittes bedeuten. Die Transformation in Raumzeigerkomponenten liefert: ª ǻL1 « « «¬ ª ǻC1 « « «¬

ǻL2

ǻC2

 º ªi sL º ª ǻR1 » «i »  « » « sL » « ǻL0 »¼ ««ihL »» «¬ ¬ ¼

ǻR2

º ª u sL º ª ǻG1 » « u »  « » « sL » « ǻC0 »¼ «uhL » «¬ ¬ ¼

ǻG2

º ªi sL º » «i » » « sL » ǻR0 »¼ «ihL » ¬ ¼

º ª u sL º » «u » » « sL » ǻG0 »¼ «uhL » ¬ ¼

mit den Eigenwerten der L-, R-, C- und G-Matrizen: ǻL1

ǻL2

ǻLs  ǻLg ; ǻL0

ª ǻu sL º « » « ǻu sL » « ǻu » ¬ hL ¼

ǻLs  2ǻLg

ª ǻi sL º « » « ǻi sL » « ǻi » ¬ hL ¼

(8.29)

(8.30)

8.2 Leitungen

183

ǻR1

ǻR2

ǻRL ; ǻR0

ǻRL  3ǻRE

ǻC1

ǻC2

ǻCLE  3ǻCLL ; ǻC0

ǻCLE

ǻG1

ǻG2

ǻGLE  3ǻGLL ; ǻG0

ǻGLE

Zu den Gln. (8.29) und (8.30) gehören die Ersatzschaltbilder in den Bildern 8.2 und 8.3.

ǻR1 , ǻL1

ǻR2 , ǻL2

ǻR0 , ǻL0

'u sL , i sL

'u sL , i sL

'uhL , ihL

u sL

u sL  'u sL

u sL

u sL  'u sL

uhL

uhL  'uhL

Bild 8.2. Raumzeiger- und Nullsystemersatzschaltungen des induktiven Leitungsabschnitts

i sL

i sL  'i sL

i sL

i sL  'i sL

ihL

ihL  'ihL

ǻG1

u sL

ǻG2

u sL

ǻG0

uhL

ǻC1

'isL

ǻC2

'i sL

ǻC0

'ihL

Bild 8.3. Raumzeiger- und Nullsystemersatzschaltungen des kapazitiven Leitungsabschnitts

8.2.2 Leitungsmodell ohne Querglieder Das einfachste Leitungsmodell besteht nur aus induktiv verketteten Längsgliedern. Es ist allerdings auch nur von geringer Genauigkeit und für die Untersuchung transienter Vorgänge nicht geeignet. Bestenfalls kann es für Kurzschlussstromberechnungen verwendet werden, wenn auch Wert auf die genaue Berechnung der Gleichglieder gelegt wird. Mit den Klemmenbezeichnungen A und B und dem Spannungsabfall über der gesamten Leitung (der Index L für Leiter wird im Folgenden weggelassen): ª ǻu s º « » « ǻu s » « ǻu » ¬ h¼

ª u sA º ª u sB º « » « » « u sA »  « u sB » «u » « u » ¬ hA ¼ ¬ hB ¼

(8.31)

184

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

folgt aus der Gl. (8.29) für die Seite A: ª L1 « « «¬

 º ªi sA º ª R1 « »  » « » «i sA »  « L0 »¼ ««ihA »» «¬ ¬ ¼

L2

Ls isA  Rs i sA

º ªi sA º »« » » «i sA » R0 »¼ «ihA » ¬ ¼

R2

ª u sA º ªu sB º « » « » « u sA »  «u sB » « u » «u » ¬ hA ¼ ¬ hB ¼

usA  usB

(8.32a)

(8.32b)

und für die Seite B (die Klemmenströme sind entgegengesetzt gleich groß): ª L1 « « «¬

 º ªi sB º ª R1 « » i »  « » « sB » « L0 »¼ ««ihB »» «¬ ¬ ¼

L2

Ls isB  Rs i sB

R2

º ªi sB º » «i » » « sB » R0 »¼ «ihB » ¬ ¼

ª u sB º ª u sA º « » « » « u sB »  « u sA » «u » «u » ¬ hB ¼ ¬ hA ¼

usB  usA

(8.33a)

(8.33b)

Die beiden Gleichungen werden zusammengefasst zu: ª Ls « ¬

º ª isA º ª Rs « » Ls »¼ ¬ isB ¼ «¬

º ª i sA º Rs »¼ «¬ i sB »¼

ªE « E ¬

 E º ª usA º E »¼ «¬ usB »¼

(8.34)

und nach den Ableitungen aufgelöst: ª isA º « » ¬ i sB ¼

ªL « s ¬

1

º ª i sA º ª Ls  Rs »¼ «¬ i sB »¼ «¬

º ª Rs Ls »¼ «¬

1

º ªE Ls »¼ «¬  E

 E º ª usA º E »¼ «¬ usB »¼

(8.35)

Nach der Einführung von Leitwerten und Quellenströmen ªGs « ¬

1 ª Ls Z0 «¬

º Gs »¼

ª i sqA º « » ¬« i sqB »¼

ªG « s ¬

º Ls »¼

 º ª Rs Gs »¼ «¬

1

(8.36) º ª i sA º Rs »¼ «¬ i sB »¼

(8.37)

nehmen die folgende Zustandsgleichung, Gl. (8.38), und Stromgleichung, Gl. (8.39), die für die L-Betriebsmittel vom Typ AB charakteristische Form der Gl. (8.23) und (8.24) an: ª isA º « » ¬ i sB ¼

Z0 «

ªi ' º « sA » «i ' » ¬ sB ¼

ª Gs « G ¬ s

mit

ª Gs ¬ Gs

ª i sqA º Gs º ª usA º  Z0 « » « » » Gs ¼ ¬ usB ¼ «¬ i sqB »¼

Gs º ª usA º ª i sqA º « » Gs »¼ «¬ usB »¼ ¬« i sqB ¼»

(8.38)

(8.39)

8.2 Leitungen

185 1

Gs

ª X1 « « «¬

X2

X1

X2

Xs  Xg ; X0

R1

R2

º » ; R s » X 0 »¼

ª R1 « « «¬

R2

º » » R0 »¼

(8.40)

Xs  2Xg

RL  3RE

RL ; R0

wobei Xs und Xg die Selbst- und Gegenreaktanzen der Leiter-Erde-Schleifen und RL und RE der Leiter- und Erdbodenwiderstand sind (s. auch Abschnitt 2.1). Innere Quellenspannungen kommen nicht vor.

8.2.3 Leitungsmodell als T-Glied Die Raumzeiger- und Nullgrößenersatzschaltungen in Form eines T-Gliedes sind im Bild 8.4 dargestellt. Die Spannungen über den Kapazitäten sind innere Zustandsgrößen. Für sie gilt der Gl. (8.30) entsprechend: ªC1 « C2 « «¬

º ªu sC º ªGC1 » « u »  « GC2 » « sC » « « » « C0 »¼ uhC ¬ ¼ ¬

Cs u sC  GsC usC

A

u sA

ªi sA º ªi sB º « » « » «i sA »  «i sB » «i » «i » ¬ hA ¼ ¬ hB ¼

(8.41a)

i sA  i sB

'R1 , 'L1 i sA

º ªu sC º » «u » » « sC » GC0 »¼ «uhC » ¬ ¼

G1 C1

(8.41b)

'R1 , 'L1

B

A

i sB u sC

'R0 , 'L0 ihA

u sB

uhA

G0 C0

'R0 , 'L0

B

ihB uhC

uhB

Bild 8.4. Raumzeiger- und Nullgrößenersatzschaltbild der Leitung als T-Glied

Die inneren Zustandsgrößen gehen in den Quellenstromvektor wie folgt ein: ª i sqA º « » «¬ i sqB »¼

ª ǻG « s ¬ 

 º °­ ªǻRs ® ǻGs »¼ ¯° «¬

º ª i sA º ª usC º °½  ¾ ǻRs »¼ ¬« i sB ¼» ¬« usC ¼» ¿°

(8.42)

Die Stromgleichung lautet: ªi ' º « sA » «i ' » ¬ sB ¼

ªǻGs «  ¬

 º ª usA º ª i sqA º « » ǻGs »¼ «¬ usB »¼ ¬« i sqB ¼»

(8.43)

186

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten ª X1 2 «« «¬

ǻGs

1

º » ; ǻR s » X 0 »¼

X1

ª R1 1« 2« «¬

R1

º » » R0 »¼

(8.44)

Die Zustandsgleichungen für die Klemmenströme sind um die explizite Form der Gl. (8.41) zu erweitern. ª isA º « » ¬ i sB ¼

ª ǻGs ¬ 

Z0 «

ª i sqA º  º ª usA º  Z0 « » « » » ǻGs ¼ ¬ usB ¼ «¬ i sqB »¼

(8.45)

Cs1GsC usC  Cs1 (i sA  i sB )

u sC

(8.46)

8.2.4 Leitungsmodell als T-Kettenschaltung Bei der Kettenschaltung aus mehreren T-Gliedern mit m kapazitiven und m+1 induktiven Abschnitten (Bild 8.5) gehen die erste und m-te Kapazitätsspannung in die Quellenströme ein: ª i sqA º « » «¬ i sqB »¼

ª ǻG « s ¬ 

'R1 , 'L1

A

i sA u sA

º ª i sA º ª usC1 º ½°  ¾ ǻRs »¼ «¬ i sB »¼ «¬ usCm »¼ °¿

 º ­° ªǻRs ® ǻGs »¼ °¯ «¬

'G1 'C1

'R1 , 'L1 isL1

u sC1

'G1 'C1

(8.47)

'R1 , 'L1 i sLm-1 u sC2

'G1 'C1

'R1 , 'L1

B

i sB

u sCm

u sB

Bild 8.5. Raumzeigerersatzschaltbild der Leitung als T-Kettenschaltung (Nullsystem analog)

Das Zustandsdifferentialgleichungssystem für die inneren Zustandsgrößen hat folgende implizite Form, die sich ohne Weiteres in die explizite Form auflösen lässt. Auf die Angabe der expliziten Form wird hier aber aus Platzgründen verzichtet.

8.2 Leitungen

187

ª ǻC s º ª u sC1 º « » « u » ǻC s « » « sC2 » « »« # » % » « »« C ǻ s « » « u sCm »  « » « isL1 » ǻLs « »«  » ǻLs « » « i sL2 » « »« # » % » « »« ǻLs »¼ «¬ isLm-1 »¼ «¬ E  !  º ª usC1 º ªǻGs « E !  »» «« usC2 »» E ǻGs « « % # # % # »« # » » « »« ǻGs   !  E » « usCm » « » « E »« i E "  ǻRs « » « sL1 » E "  ǻRs «  » « i sL2 » « # »« # » # % # % » « »« ǻRs »¼ «¬ i sLm-1 »¼  " E «¬ 

(8.48)

ª i sA º «o » « » « # » « » « i sB » «o » « » «o » « # » « » «¬ o »¼

Die Stromgleichung behält ihre Form bei: ª isA º « » ¬ i sB ¼

ª ǻGs ¬ 

Z0 «

ª i sqA º  º ª usA º  Z0 « » « » » ǻGs ¼ ¬ usB ¼ «¬ i sqB ¼»

(8.49)

Für die Matrizen der m+1 induktiven und m kapazitiven Leitungsabschnitte gilt: ǻGs

(m  1)Gs ; ǻLs

1 Ls ; ǻRs m 1

1 Rs ; ǻCs m 1

1 Cs ; ǻGsC m

1 GsC m

Für m = 1 gehen die Gleichungen in die des einfachen T-Gliedes über.

8.2.5 Leitungsmodell als 3-Glied Für die Klemmengrößen der 3-Ersatzschaltungen im Bild 8.6 ergibt sich folgendes Gleichungssystem mit den induktiven Strömen in der Funktion als Quellengrößen: ª i sA º «i » ¬ sB ¼ isL

ªǻGsC « ¬

º ª usA º ªǻCs  ǻGsC »¼ «¬ usB »¼ «¬

 Ls 1 Rs i sL  Ls 1 (usA  usB )

º ª u sA º ª i sL º  ǻCs »¼ «¬ usB »¼ «¬ i sL »¼

(8.50) (8.51)

188

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

R1 , L1

A

i sA u sA

'G1

i sL

'G1

B

ihA

i sB

u sB

'C1

'C1

R0 , L0

A

uhA

'G0

ihL

'G0

B

ihB uhB

'C0

'C0

Bild 8.6. Raumzeiger- und Nullgrößenersatzschaltbild der Leitung als 3-Glied

8.2.6 Leitungsmodell als 3-Kettenschaltung Bei der 3-Kettenschaltung mit m Induktivitäten und m+1 Kapazitäten nach Bild 8.7 gehen die Ströme durch die erste und m-te Induktivität als Quellenströme in die Klemmengleichung ein: ª i sA º « » ¬ i sB ¼

ªGs « ¬

'R1 , 'L1

A

i sA u sA

º ª usA º ªCs  Gs »¼ ¬« usB »¼ «¬

'G1 'C1

isL1

'G1 'C1

º ª u sA º ª i sL1 º  Cs »¼ «¬ usB »¼ «¬  i sLm »¼

(8.52)

'R1 , 'L1

'R1 , 'L1 isL2

u sC1

'G1 'C1

isLm

u sCm1

'G1 'C1

B

i sB

u sB

Bild 8.7. Raumzeigerersatzschaltbild der Leitung als 3-Kettenleiter (Nullsystem analog)

Die Klemmenspannungen sind Eingangsgrößen für die Differentialgleichung der inneren Ströme und Spannungen:

8.2 Leitungen

189

º ª isL1 º » »«  ǻLs » « i sL2 » »« # » % » »«  ǻLs » « i sLm »  » » « u ǻC s » « sC1 » ǻC s » « u sC2 » »« # » % » »« ǻCs »¼ «¬ u sCm-1 »¼ ! E   º ª i sL1 º ªǻRs « ! E E  »» «« i sL2 »» ǻRs « « % # # % # »« # » » « »« ! R E » « i sLm »    ǻ s « » « E »« u E "  ǻGsC « » « sC1 » E "  ǻGsC «  » « usC2 » « # »« # » # % # % » « »«  " E ǻGsC »¼ «¬ usCm-1 »¼ «¬  ªǻLs « « « « « « « « « « «¬

(8.53)

ª usA º « o » « » « # » « » «  usB » « o » « » « o » « # » « » «¬ o »¼

mit den Untermatrizen: ǻGs

(m  1)Gs ; ǻLs

1 Ls ; ǻRs m 1

1 Rs ; ǻCs m 1

1 Cs ; ǻGsC m

1 GsC m

8.2.7 Anfangswerte für die Zustandsgrößen Unter der vorausgesetzten Symmetrie sind die Anfangswerte der Nullsystemgrößen Null. Die Anfangswerte für die Raumzeiger der Klemmengrößen können aus einer Leistungsflussberechnung übernommen werden, indem man die dort erhaltenen Zeiger mit Wurzel 2 multipliziert (siehe Abschnitt 1.4). Für die Bestimmung der Anfangswerte für die Raumzeiger der inneren Zustandsvariablen bei den verschiedenen Leitungsmodellen ist folgendes zu beachten. Die Leistungsflussberechnung wird gewöhnlich mit einfachen 3-Ersatzschaltungen für die Leitungen durchgeführt. Wird die anschließende Berechnung im transienten Modell ebenfalls mit der einfachen 3-Ersatzschaltungen für die Leitungen durchgeführt, so kann der Anfangswert für den Strom durch das Längsglied einfach aus der Differenz der Klemmenspannungen und der Admittanz des Längsgliedes berechnet werden. Sollen die Leitungen im transienten Modell jedoch durch einfache T-Ersatzschaltungen nachgebildet werden, so muss ein Anpassungsschritt der Parameter an die der 3-Ersatzschaltung erfolgen, weil es sonst zur Anregung von unmotivierten Ausgleichsvorgängen kommt. Bei der Leitungsnachbildung mit Kettenschaltungen aus mehreren 3- oder TGliedern können die Anfangswerte der Raumzeiger für die inneren Zustandsgrößen über die Zustandsdifferentialgleichungen für den eingeschwungenen Zustand ausgehend von den Klemmengrößen ohne Anpassungsschritt berechnet werden.

190

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Die Anpassung der Parameter der T-Ersatzschaltung an die der 3-Ersatzschaltung erfolgt durch den Vergleich der Elemente beider Admittanzmatrizen. YA IB

IA 3

3

IA UB

YB

YA

UA

Y TB

T

Y 3C

UA

IB

Y TC

UB

Bild 8.8. Zur Anpassung der Parameter von 3- und T-Ersatzschaltung

Man erhält für die symmetrischen Vierpole im Bild 8.8: Y–

ªY –A  Y C– « – «¬ Y A

–

Y A º » – Y C »¼

(8.54)

und YT

ªY AT 2  Y CT Y AT 2 º « » 2Y AT  Y CT ¬« Y AT 2 Y AT 2  Y CT ¼» 1

(8.55)

Aus dem Vergleich der Elemente folgt: –

–

Y AT

Y A  2Y C

Y CT

YA(

(8.56)

–

–

YA –

YC

 2)

(8.57)

Beispiel 8.1. Für die 3-Ersatzschaltung mit Y C 1/(0,3  j0, 4 Ÿ) (1, 2  j1, 6)S und Y A j0,1 ˜103 S ergeben sich als äquivalente T-Ersatzschaltungsparameter nach den Gln. (8.86) und (8.87) –

Y AT

(2, 4000  j3,1999)S und Y CT

–

(3 ˜109 +j0,199996 ˜103 )S .

Diese Werte liegen noch dicht bei den Näherungsausdrücken: Y AT

–

2 ˜Y C

(2, 4  j3, 2)S und Y CT

–

2 ˜Y A

j0, 2 ˜103 S

Vergrößert man jedoch Y A z. B. um drei Zehnerpotenzen auf Y A j1 ˜101 S (unabhängig, ob diese Parameterkonstellation noch der Realität entspricht), so ergibt sich schon eine deutliche Abweichung von den Näherungsbeziehungen: –

Y AT

(2, 4  j3,19)S und Y CT

–

(0, 00003  j0, 01996)S .

8.3 Transformatoren

191

Der negative Realteil bei Y CT muss u. U. vernachlässigt werden, damit es nicht zur Schwingungsanfachung kommt. Er wird kleiner oder geht in einen positiven Wert über, wenn in der 3-Ersatzschaltung Leitwerte für die Ableitungen berücksichtigt sind, wie dies folgende Rechnung mit –

1/(0,3  j0, 4 Ÿ)

YC

–

(1, 2  j1, 6)S und Y A

(0,1 ˜106 +j0,1 ˜103 )S

zeigt: Y AT

(2, 4000  j3,1999)S und Y CT

(1,96992 ˜107 +j0,199996 ˜103 )S

8.3 Transformatoren Ausgangspunkt der folgenden systematischen Herleitung der Raumzeigergleichungen für alle Schaltgruppen (außer denen mit Zickzackschaltung, die einer gesonderten Behandlung bedürfen) sind die Differentialgleichungen der Momentanwerte für die Wicklungsströme wie sie allen Schaltgruppen gemeinsam zugrunde liegen. Das weitere Vorgehen ist analog zum Abschnitt 2.3. Zunächst werden die Differentialgleichungen des Einphasentransformators formuliert und zum Gleichungssystem für die Drehstrom-Zweiwicklungstransformatoren erweitert. Auf dieses wird dann die Raumzeigertransformation angewendet. Die für die Schaltgruppen maßgebenden Strom- Spannungsbeziehungen werden ebenfalls ausgehend von den Momentanwerten aufgestellt und in Raumzeigerkomponenten transformiert. Aus den Gleichungssystemen für die Wicklungsgrößen und den Schaltverbindungen zu den Klemmen werden dann schließlich die Zustandsdifferentialgleichung und die modifizierte Stromgleichung für das Erweiterte Knotenpunktverfahren in allgemeingültiger Form angegeben.

8.3.1 Zustandsgleichungen des Einphasentransformators Aus der Ersatzschaltung im Bild 8.9 liest man für die beiden Maschen über die Hauptfeldinduktivität folgende Zustandsdifferentialgleichungen mit dem Primärstrom und dem auf die Primärseite umgerechneten Sekundärstrom als Zustandsgrößen ab. Der Eisenverlustwiderstand wird vernachlässigt. Anderenfalls würde der Magnetisierungsstrom als dritte Zustandsgröße hinzukommen.

n2 Rıs , n2 Lıs

Rıp , Lıp

p

is / n

ip up

Lhp

n :1

s

is

n us

us

Bild 8.9. T-Ersatzschaltungen des Einphasentransformators mit auf die Primärseite umgerechneten Sekundärgrößen

192

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten Lhp º ª ip º ª Rp »« »« n 2 Ls ¼» ¬is / n ¼ ¬ 0

ª Lp « ¬« Lhp

0 º ª ip º »« » n Rs ¼ ¬is / n ¼ 2

ª up º «n u » ¬ s¼

(8.58)

Es bedeuten (s. auch Abschnitt 2.2.1): n

wp

(8.59)

ws

Lp

Lhp  LVp

(8.60)

Ls

Lhs  LVs

(8.61)

Die Klemmengrößen sind beim Einphasentransformator mit den Wicklungsgrößen identisch.

8.3.2 Zustandsgleichungen für die Wicklungsgrößen der Drehstromtransformatoren Die Gl. (8.58) des Einphasentransformators gilt auch für jeden Transformator einer Drehstrombank und jeden Schenkel der Zweiwicklungs-Drehstromtransformatoren, wenn man bei diesen die geringe magnetische Unsymmetrie des Drei- oder Fünfschenkelkerns vernachlässigt. Durch Zusammenfassung der drei Gleichungen für den Einphasentransformator entsteht das folgende implizites Zustandsdifferential-Gleichungssystem für die Zweiwicklungs-Drehstromtransformatoren mit den Wicklungsströmen der Primärseite und den umgerechneten Sekundärströmen als Zustandsgrößen. Es gilt für alle Schaltgruppen ohne Zickzackschaltung: Lhp ª Lp « Lp « « Lp « n 2 Ls « Lhp « Lhp « « Lhp ¬ 0 ª Rp « Rp « « Rp « n 2 Rs «0 « 0 « « 0 ¬

Lhp

n 2 Ls

0

n 2 Rs

º ª i º » « p1 » » « ip2 » Lhp » « i » » « p3 »  » « is1 / n » » « » » «is2 / n » n 2 Ls »¼ ¬«is3 / n ¼» º ª ip1 º »« » » « ip2 » 0 »« i » » « p3 » » « is1 / n » »« » » «is2 / n » n 2 Rs »¼ ¬«is3 / n ¼»

(8.62) ª up1 º «u » « p2 » « up3 » « » « n us1 » « n us2 » « » ¬« n us3 ¼»

Die Transformation der Gl. (8.62) in Raumzeigerkomponenten ergibt:

8.3 Transformatoren ª L1p « « « « « L1hp « « « ¬ ª R1p « « « « « 0 « « « ¬

193 º ª isp º »« » » « isp » L0hp » «  » » « ihp »  » «i / n » » « ss » » «iss / n » « » 2 n Ls »¼ «i / n » ¬ hs ¼

L1hp L2p

L2hp L0p n 2 Ls n 2 Ls

L2hp L0hp

0 R2p

0 R0p n 2 R1s n 2 R1s

0 0

º ª i sp º »« » » « i sp » 0 »« i » » « hp » » «i / n » » « ss » » « i ss / n » « » n 2 R0s »¼ «i / n » ¬ hs ¼

ª u sp º « » « u sp » « » « u hp » «nu » « ss » «nu » « ss » ¬« n u hs »¼

(8.63a)

mit der Kurzform: ª Lsp « ¬« Lshp

Lshp º ª isp º ª Rsp »« »« n 2 Lss ¼» ¬« iss / n ¼» ¬ 0

0 º ª i sp º » »« n Rss ¼ ¬« i ss / n ¼» 2

ª usp º « » ¬« n uss ¼»

(8.63b)

Die Induktivitäten und Widerstände des Gegen- und Mitsystems2 sind identisch. Die Hauptinduktivität des Nullsystems hängt von der Kernbauart ab (s. Abschnitt 2.2.1). Der Wirkwiderstand im Nullsystem wird normalerweise dem des Mitsystems gleichgesetzt. Er erhält hier lediglich aus formalen Gründen auch den Index 0. Die Induktivitäten und Widerstände werden nach Abschnitt 2.2.5 erhalten. Die Gl. (8.63) ist noch unvollständig, da die Schaltverbindungen zu den zu den Klemmen noch nicht berücksichtigt sind.

8.3.3 Beziehungen zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen Die Strom- Spannungsbeziehungen zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen können aus Abschnitt 2.2.2 übernommen werden. Die dort aus den Kirchhoffschen Sätzen hergeleiteten Gleichungen für die Zeigergrößen gelten in gleicher Weise auch für die Momentanwerte.

Sternschaltung ª uW1 º ªuM º «u »  «u » « W2 » « M » ¬«uW3 ¼» ¬«uM ¼»

ª uL1 º «u » « L2 » ¬«uL3 ¼»

(8.64)

Die Sternpunkt-Erde-Spannung über einer widerstandbehafteten Spule ergibt sich aus:

2 Die Bezeichnungen für die Parameter der Raumzeigerkomponenten werden von den Symmetrischen Komponenten übernommen.

194

uM

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

> RM

RM

ª iW1 º RM @ ««iW2 »»  > LM «¬iW3 »¼

LM

ª iW1 º « » LM @ «iW2 » «¬iW3 »¼

(8.65)

Durch Einsetzen von uM in die Gl. (8.64) geht diese über in: ª uW1 º ª RM «u »  « R « W2 » « M ¬«uW3 ¼» ¬« RM

RM RM RM

RM º ª iW1 º ª LM RM »» ««iW2 »»  «« LM RM ¼» ¬«iW3 ¼» ¬« LM

LM LM LM

LM º ª iW1 º « » LM »» «iW2 » LM ¼» ¬«iW3 ¼»

ª uL1 º «u » « L2 » ¬«uL3 ¼»

(8.66)

Für die Ströme gilt: ª iW1 º «i » « W2 » ¬«iW3 ¼»

ª iL1 º «i » « L2 » ¬«iL3 ¼»

(8.67)

und in Raumzeigerkomponenten:  ª u sW º ª0 0 0 º ª i sW º ª0 0 0 º ª i sW º « » « » « « » «

0 »» « i sW 0 »» « isW » « u sW »  «0 0 »  «0 0 «u » «0 0 3L » «i » «0 0 3L » «i » M ¼ ¬ hW ¼ ¬ M ¼ « hW » ¬ hW ¼ ¬ ¬ ¼

ª u sL º « » « u sL » «u » ¬ hL ¼

(8.68)

oder, wenn man aus systematischen Gründen die Spannungsabfälle über der Sternpunkt-ErdeVerbindung der Wicklungsspannung im Nullsystem zuschlägt (Index +): ª u sW º « » « u sW » «  » ¬u hW ¼

ª1 0 0 º ª u sL º «0 1 0» « u » « » « sL » «¬ 0 0 1 »¼ «u hL » ¬ ¼

(8.69)

ª i sW º « » « i sW » «i » ¬ hW ¼

ª1 0 0 º ª i sL º «0 1 0 » « i » « » « sL » «¬ 0 0 1 »¼ «i hL » ¬ ¼

(8.70)

Dreieckschaltung Für die Schaltung nach Bild 2.9a erhält man (die Matrizen der Schaltung im Bild 2.9b sind transponiert zu den hier angegebenen): ª uW1 º «u » « W2 » «¬uW3 »¼

ª 1 0 1 º ª uL1 º « 1 1 0 » «u » « » « L2 » «¬ 0 1 1»¼ «¬uL3 »¼

(8.71)

8.3 Transformatoren

195

ª 1 1 0 º ª iW1 º « 0 1 1 » « i » « » « W2 » «¬ 1 0 1»¼ ¬«iW3 ¼»

ª iL1 º «i » « L2 » ¬«iL3 ¼»

(8.72)

und in Raumzeigerkomponenten: ª u sW º « » « u sW » «u » ¬ hW ¼ ª i sL º « » « i sL » «i » ¬ hL ¼

0 0 º ª u sL º ªa  1 « »« » 2 a  1 0 » « u sL « 0 » « 0 0 0 » «u hL » ¬ ¼¬ ¼ ªa 2  1 0 0 º ª i sW º « »« » a  1 0 » « i sW « 0 » « 0 0 0 » «i hW » ¬ ¼¬ ¼

ª e j5˜ʌ / 6 « 3« 0 « 0 «¬ ª e  j5˜ʌ / 6 « 3« 0 « 0 «¬

0 º ª u sL º »« » 0 » « u sL » 0 »» «u hL » ¼ ¼¬

0 e

 j5˜ʌ / 6

0

0 º ª i sW º »« » 0 » « i sW » 0 »» «i hW » ¼ ¼¬

0 e

j5˜ʌ / 6

0

ª m5 « «0 «0 ¬ ª m 5 « «0 «0 ¬

0 m 5 0

0 º ª u sL º »« » 0 » « u sL » (8.73) » « 0 u hL » ¼¬ ¼ 0 º ª i sW º »« » 0 » « i sW » (8.74) » « 0 i hW » ¼¬ ¼

0 m5 0

Allgemein Die vorstehenden Beziehungen können mit Schaltungsmatrizen wie im Abschnitt 2.2 allgemein formuliert werden, wenn man die Nullsysteme beider Wicklungen formal um die Elemente 3RMA, 3LMA, 3RMB und 3LMB hinsichtlich möglicher Sternpunkt-Erde-Verbindungen bei Sternschaltung erweitert (Index +). Sollte eine oder beide Wicklungsseite nicht im Stern geschaltet sein, so entfallen die entsprechenden Elemente. i sL 

usW

K s i sW

(8.75)

K s usL

(8.76)

Die Schaltungsmatrizen K s sind in der Tabelle 8.2 zusammengestellt. Tabelle 8.2. Schaltungsmatrizen für die Verbindung der Klemmengrößen mit den Wicklungsgrößen in Stern- oder Dreieckschaltung

Schaltungsmatrix

Sternschaltung nach Bild 2.7

Dreieckschaltung nach Bild 2.9a

Dreieckschaltung nach Bild 2.9b

Ks

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

ª m 5 « «0 «0 ¬

ª m5 « «0 «0 ¬

0 m5 0

0º » 0» 0» ¼

m5 = 3 e j5˜ʌ / 6

0

m5

0

0º » 0» 0» ¼

196

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

8.3.4 Zustandsgleichungen und modifizierte Stromgleichungen für die Schaltgruppen Yy0, Yd5 und Dy5 Mit den erweiterten Nullsystemgrößen: L0p

L0hp  Lıp  3LMA

L0s

L0hs  Lıs  3LMB

 L0hp  Lıp ; R0p  L0hs  Lıs ; R0s

R0p  3RMA

(8.77)

R0s  3RMB

(8.78)

nimmt die Gl. (8.63) die folgende Form an: Lshp º ª isp º ª Rsp+ »« »« n 2 L+ss ¼» ¬« iss / n ¼» «¬ 0

ª L+sp « ¬« Lshp

0 º ª i sp º » » 2 + « n Rss »¼ ¬« i ss / n ¼»

ª usp º ª usMA º « »« » ¬« n uss ¼» ¬ n usMB ¼

 º ª usp « » «¬ n uss »¼

(8.79)

Die Auflösung der Gl. (8.79) nach den Stromänderungen ergibt unter zunächst vorausgesetzten endlichen Hauptfeldinduktivitäten und Sternpunkt-Erde Induktivitäten und nach Einführung von Leitwerten: ª isp º « » «¬ iss / n »¼ ªGspp «G ¬ ssp

ªGspp ¬ Gssp

Z0 « Gsps º Gsss »¼

 Gsps º ª usp º ªG « »  Z0 « spp » Gsss ¼ « n u » ¬ Gssp ¬ ss ¼

ª X sp+ « «¬ X shp

X shp º » n 2 X ss+ »¼

1

+ 1 ª Lsp « Z0 «¬ Lshp

Gsps º ª Rsp+ « Gsss »¼ « 0 ¬ Lshp º » n 2 L+ss »¼

0 º ª i sp º »« » n Rss+ »¼ «¬ i ss / n »¼ 2

(8.80)

1

(8.81)

Zieht man das Windungszahlverhältnis noch an die Matrizen heran, so erhält man die allgemeine Zustandsdifferentialgleichung aller Schaltgruppen ohne Zickzackschaltung mit den Wicklungsströmen als Zustandsvariable. ª isp º « »  ¬« i ss ¼»

ª Gspp

Z0 «

¬« nGssp

 º nGsps º ª usp ª Gspp « »  »  Z0 « 2 n Gsss ¼» « u » ¬« nGssp ¬ ss ¼

nGsps º ª Rsp+ »« n 2Gsss ¼» ¬« 0

0 º ª i sp º »« » Rss+ ¼» ¬« i ss ¼»

(8.82)

Durch Multiplikation der Gl. (8.82) mit 1/ Z0 erhält man folgende modifizierte Stromgleichung in der für ein L-Betriebsmittel vom Typ AB typischen Form (s. Gl. (8.23)), allerdings noch mit den Wicklungsgrößen: 1 ª isp º « » Z0 «¬ iss »¼

ªi ' º « sp » « » ¬ i ss' ¼

ª Gspp « «¬ nGssp

 º nGsps º ª usp ª Gspp « »« » 2  n Gsss »¼ « u » «¬ nGssp ¬ ss ¼

nGsps º ª Rsp+ »« n 2Gsss »¼ «¬ 0

0 º ª i sp º »« » Rss+ »¼ «¬ i ss »¼

(8.83)

Die Untermatrizen der Leitwertmatrix sind wieder Diagonalmatrizen mit den in Tabellen 8.3 angegebenen Elementen, so dass die ausführliche Form von Gl. (8.83) wie folgt aussieht.

8.3 Transformatoren ªi ' º « sp » « » «i sp' » « » «ihp' » « » « i ss' » « » « i ss' » « » «¬ ihs' »¼

ª G1pp « « « Z0 « « n G1sp « « « ¬

ª G1pp « « « Z0 « « n G1sp « « « ¬

197

º ª u sp º »« » » « u sp » n G0ps » «  » » «uhp »  » «u » » « ss » » « u ss » « » 2 n G0ss »¼ « u  » ¬ hs ¼

n G1ps G2pp

n G2ps G0p n 2 G1ss n 2 G2ss

n G2sp n G0sp n G1ps

G2pp

n G2ps G0p n 2 G1ss 2

n G2sp

n G2ss n G0sp

º ª R1p »« »« n G0ps » « »« »« 0 »« »« n 2 G0ss »¼ «¬

0 R2p

0  R0p

R1s R1s

0 0

º ªi sp º »« » » «i sp » « » 0 » «ihp » » » « i ss » »« » » « i ss » »  »« R0s ¼ ¬« ihs ¼» (8.83b)

Tabelle 8.3. Elemente der Leitwertmatrix in Gl. (8.83)

Komponente

Gipp

Gips

Mit- und Gegensystem

X 1hp  n 2 X ıs



X 12 X 12

Nullsystem

X 02

 X ıp

Giss

X 1hp

X 1hp  X ıp

X 12

X 12

X 1hp ( X ıp  n 2 X ıs )  X ıp n 2 X ıs

 X 0hp  n 2 X ıs

X 02

Gisp



X 0hp

 X 0hp  X ıp

X 02

X 02

    X 0hp ( X ıp  n 2 X ıs )  X ıp n 2 X ıs  X ıp  3 X MA , X ıs

X ıs  3 X MB

Bei Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes ist in den Ausdrücken in Tabelle 8.3 der Grenzübergang X i hp o f vorzunehmen. Es ergeben sich dann die in Tabelle 8.4 eingetragenen Leitwerte.

198

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Tabelle 8.4. Elemente der Leitwertmatrix in Gl. (8.83) für X i hp o f

Komponente

Gipp

Mit- und Gegensystem

1 X ıp  n 2 X ıs



1 X ıp  n 2 X ıs

Nullsystem

1   X ıp  n 2 X ıs



1    n 2 X ıs X ıp

 X ıp

Giss

Gips

 X ıp  3 X MA , X ıs

Gisp

X ıs  3 X MB

Sind die Sternpunkte nicht geerdet, so gelten die in Tabelle 8.5 angegebenen Ausdrücke für die Leitwerte des Nullsystems. Die Wirkwiderstände RMA oder RMB der nicht geerdeten Sternpunkte sind dann Null zusetzen. Tabelle 8.5. Nullsystemelemente in Abhängigkeit von der Sternpunkterdung

Schaltgruppe

Yy0

G0pp X MA o f X MB o f

0

X 0hp

1   n 2 X ıs

G0ps

G0sp

G0ss

0

1  X 0hp  X ıp

0

0

Yd5

X MA o f

0

0

0

Dy5

X MB o f

0

0

0

Für die Berücksichtigung der von den Schaltgruppen abhängigen Beziehungen zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen beider Seiten mit Hilfe der Schaltungsmatrizen aus Abschnitt 8.3.3 bieten sich zwei Varianten an.

Variante 1 Die Wicklungsgrößen werden mit Hilfe der Gln. (8.75) und (8.76) durch die Klemmengrößen ersetzt. Dabei ist vorausgesetzt, dass die Primärseite mit der Oberspannungsseite identisch ist und die Klemmengrößen der Oberspannungsseite mit dem Index A bezeichnet werden (s. auch Abschnitt 2.2.4). Diese Vereinbahrung ist insofern nötig, als die Transformatorparameter für die Oberspannungsseite bereitgestellt wurden. Mit ª i sA º «i » ¬ sB ¼

ª K sA «  ¬

 º ª i sp º « » K sB »¼ «¬ i ss »¼

(8.84)

8.3 Transformatoren  º ª usp « »  » «¬ uss ¼

ª K sA « «¬ 

199

 º ª usA º »« »

K sB »¼ ¬ usB ¼

(8.85)

folgt aus Gl. (8.83) ª' º « i sA » « » ' ¼» ¬« i sB

ª K sA «  ¬

 º ª Gspp « K sB »¼ «¬ nGssp

nGsps º ª K sA »« n 2Gsss »¼ «¬ 

ªK  « sA ¬ 

 º ª usA º »« » K sB »¼ ¬ usB ¼

 º ª Gspp « K sB »¼ «¬ nGssp

(8.86)

nGsps º ª Rsp+ »« n 2Gsss »¼ «¬ 0

0 º ª i sp º »« » Rss+ »¼ «¬ i ss »¼

Durch Einführung der üblichen Abkürzungen nimmt die Gl. (8.86) die aus Abschnitt 8.1 bekannte Grundform eines L-Betriebsmittels vom Typ AB an, jedoch mit der Besonderheit, dass bei Transformatoren mit phasendrehender Schaltgruppe Elemente der Leitwertmatrix komplex sind und dem Quellenstromvektor noch Schaltungsmatrizen beigeordnet sind: ª' º « i sA » « » ' ¼» ¬« i sB

ªG sAA «G ¬ sBA

G sAB º ª usA º ª i sqA º « » G sBB ¼» ¬« usB ¼» ¬« i sqB ¼»

(8.87)

mit: ªG sAA «G ¬ sBA

G sAB º G sBB »¼

ª K sA K sA Gspp « «¬ K sB K sA n Gssp

ªK  « sA ¬ 

 º ª Gspp « K sB ¼» ¬« nGssp

K sA K sB n Gsps º » K sB K sB n 2Gsss »¼

(8.88)

und ª i sqA º « » ¬« i sqB ¼»

nGsps º ª Rsp+ »« n 2Gsss ¼» ¬« 0

0 º ª i sp º »« » Rss+ ¼» ¬« i ss ¼»

(8.89)

Die Schaltungsmatrizen der Seiten A und B kann man der Tabelle 8.6 (wie Tabelle 2.5) entnehmen. Tabelle 8.6. Schaltmatrizen für die Schaltgruppen Yy0, Yd5 und Dy5

Schaltgruppe K sA

K sB

Yy0

Yd5

Dy5

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

ª m5 « « « ¬

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

ª m 5 « « « ¬

m5

º » » 0» ¼

m5

ª1 º « 1 » « » «¬ 1»¼

º » » 0» ¼

200

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Tabelle 8.7. Leitwertmatrizen der Gln. (8.87) und (8.89) für die Schaltgruppen Yy0, Yd5 und Dy5

G sAA

SG

G sAB

G sBA

G sBB

Yy0

ªG1pp º « » G 1pp « » « » G 0pp ¬ ¼

ªG1sp º « » n« G1sp » « » G 0sp ¬ ¼

ªG1sp º « » n« G1sp » « » G 0sp ¬ ¼

ªG1ss º » n 2 «« G1ss » «¬ G0ss »¼

Yd51

ªG1pp º « » G1pp « » « G0pp »¼ ¬

ª m5G1ps º « »

n« m5G1ps » « 0» ¬ ¼

ª m 5G1sp º « » n« m5G1sp » « 0» ¬ ¼

ªG1ss º « G1ss »» 3n « «¬ 0 »¼

ǻ ª3G1pp º « » ǻ 3G1pp « » « » 0 «¬ »¼

ǻ ª m5 3G1ps º » n«

ǻ m5 3G1ps » « 3« » 0» «¬ ¼

ǻ ª m 5 3G1sp º » n« ǻ m5 3G1sp » « 3« » 0» «¬ ¼

ǻ ª3G1ss º » n2 « ǻ 3G1ss « » 3 « ǻ » 3G0ss »¼ «¬

Dy52

2

1 Die Sekundärwicklung ist im Dreieck geschaltet. Die Umrechnung ihrer Streureaktanz auf die Primärwicklung erfolgt in Tabelle 8.3 mit n2. Geht man von der äquivalenten Sternschaltungsgröße aus, so ist diese mit ü2 auf die Primärseite umzurechnen. Gewöhnlich wird n2Xıs, Dreieck = ü2Xıs, Stern = Xıp, Stern gesetzt. 2 Die Sekundärwicklung ist im Stern geschaltet. Die Umrechnung ihrer Streureaktanz mit n2 auf die im Dreieck geschaltete Primärwicklung ergibt eine Dreieckschaltungsgröße. Folglich stellen alle Primärleitwerte Dreieckschaltungsgrößen dar. Da üblicherweise mit Sternschaltungsgrößen (dreifacher Leitwert) gerechnet wird, wurde überall der Faktor 3 an die Leitwerte der Dreieckswicklung herangezogen, wodurch diese zu äquivalenten Sternschaltungsgrößen werden. Geht man für alle Schaltgruppen von äquivalenten Sterngrößen für die Leitwerte aus (die Umrechnung der Sekundärgrößen auf die Primärwicklung erfolgt dann mit dem Übersetzungsverhältnis), so kann die Leitwertmatrix mit den Übersetzungsmatrizen und Übersetzungsverhältnissen aus Tabelle 8.8. wie folgt formuliert werden. Üs

ªü1 « ü1 « « ¬

º » » ü0 » ¼

ª e j k ˜ʌ / 6 « ü« « ¬«

e  j k ˜ʌ / 6

º » » 1»» ¼

(8.90)

Dabei ist k die Kennzahl der Schaltgruppe und ü das Verhältnis der oberspannungsseitigen zur unterspannungsseitigen Bemessungsspannung. ªG sAA «G ¬ sBA

G sAB º G sBB »¼

ª Gspp « «¬Ü sGssp

Ü sGsps º » Ü 2Gsss »¼

(8.91)

8.3 Transformatoren

201

Tabelle 8.8. Übersetzungsverhältnisse für die Schaltgruppen Yy0, Yd5 und Dy5

Übersetzungsverhältnis

Yy0

Yd5

ü1

n

n m5

ü0

n

n 3

Dy5 wp ws wp ws

3 e j5˜ʌ / 6

3

n m5 3 n 3

wp 1 j5˜ʌ / 6 e ws 3 wp 1 ws 3

Variante 2 Die Zusammenhänge zwischen den Wicklungs- und Klemmengrößen in Form der Schaltungsmatrizen werden nicht wie der Variante 1 in die Gl. (8.83) eingearbeitet, sondern erst bei der Zusammenschaltung der Transformatoren mit anderen Betriebsmitteln in der dafür zuständigen Knoten-Terminal-Matrix berücksichtigt (s. Kapitel 9), die dann allerdings bei Transformatoren mit phasendrehender Schaltgruppe anstelle von Einsen komplexe Elemente aufweist. Der Vorteil gegenüber der Variante 1 besteht darin, dass für alle Transformatoren, unabhängig von der Schaltgruppe mit Gl. (8.83) eine einheitliche Stromgleichung verwendet wird, bei der wie bei den anderen L-Betriebsmitteln in der Gleichung für den Quellenstromvektor die gleiche Leitwertmatrix wie in der Stromgleichung vorkommt. Es ist aber auch hier zu beachten, dass die Primärgrößen der Oberspannungsseite zugeordnet sind.

8.3.5 Anfangswerte für die Zustandsvariablen Die Anfangswerte für die Nullsystemgrößen sind bei symmetrischem Anfangszustand Null. Für die Raumzeiger der Wicklungsströme erhält man durch Umkehrung der ersten Zeile der Gl. (8.84) mit den Schaltmatrizen in Tabelle 8.6 die in Tabelle 8.9 zusammengestellten Beziehungen zu den Raumzeigern der Klemmenströme. Tabelle 8.9. Anfangswerte für die Raumzeiger der Wicklungsströme

Schaltgruppe

Yy0

Yd5

i sp

i sA

i sA

i ss

i sB

1 i sB m5

Dy5 1

m 5

i sA

i sB

mit: i sA

2 I 1A , i sB

2 I 1B

wobei die Mitsystemströme I1A und I1B von einer Leistungsflussberechnung übernommen werden.

202

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

8.4 Synchrongeneratoren Ausgehend vom Park’schen Zweiachsenmodell werden zunächst die ausführlichen Zustandsdifferentialgleichungen in der für das erweiterte Knotenpunktverfahren geeigneten Form mit Raumzeigern für die Ständergrößen hergeleitet. Für stationäre und auch quasistationäre Betriebszustände besteht ein Zusammenhang zwischen den Raumzeigern und den Symmetrischen Komponenten. Zur Beschreibung dieser Betriebszustände wird das ausführliche Gleichungssystem in Gleichungen für das Mit- Gegen- und Nullsystem überführt. Die entsprechenden Modelle werden auch als quasistationär und stationär bezeichnet. Die angegeben Gleichungen gelten sinngemäß auch für Synchronmotoren.

8.4.1 Gleichungssystem in dq0-Koordinaten Das allgemeine Gleichungssystem der Synchronmaschine enthält aufgrund der elektromagnetischen Unsymmetrie des Läufers in den Flussverkettungsgleichungen drehwinkelabhängige Induktivitäten. Durch Transformation der Ständergrößen3 in das dq-Läuferkoordinatensystem (s. Abschnitt 1.3.2) wird die Drehwinkelabhängigkeit der Induktivitäten eliminiert und eine Entkopplung der Ständerflussverkettungen erzielt. Die Verwendung der dq0-Ständergrößen geht auf die Arbeiten von Park zurück /11/, in denen jedoch der Begriff der modalen Komponenten noch nicht vorkommt. Die Einführung der dq-Komponenten als Ergebnis einer Modaltransformation ist in /12/ ausführlich beschrieben. In der Literatur (s. z. B. /13/) sind die Gleichungen der Synchronmaschinen mit unterschiedlichen Zählpfeilen, unterschiedlichen bezogenen Größen und unterschiedlicher Orientierung der d-q-Koordinaten angegeben. Im Folgenden wird das Gleichungssystem im Verbraucherzählpfeilsystem mit auf die dqStänderwicklungen umgerechneten Läufergrößen bei Anordnung der q-Achse um 90° gegenüber der d-Achse in Drehrichtung verwendet /10/. Spannungsgleichungen der Ständer- und Läuferwicklungen: ªud º «u » « q» «¬u0 »¼

ª R1 « « «¬

R1

ªuf º « » «0» «¬ 0 »¼

ª Rf « « « ¬

RD

º ªid º ª 0 » «i »  «Z »« q» « L R0 »¼ «¬i0 »¼ «¬ 0

ZL 0 0

0 º ª\ d º ª\ d º 0 »» ««\ q »»  ««\ q »» 0 »¼ «¬\ 0 »¼ «¬\ 0 »¼

º ª if º ª\ f º »« » « » » «iD »  «\ D » RQ »¼ «¬iQ »¼ «¬\ Q »¼

(8.92)

(8.93)

Flussverkettungsgleichungen der Ständer- und Läuferwicklungen:

3 Es wird eine Innenpolmaschine vorausgesetzt, bei der der Ständer die Drehstromwicklungen enthält.

8.4 Synchrongeneratoren ª\ d º « » «\ q » «¬\ 0 »¼

ª Ld « « «¬

ª\ f º « » «\ D » « » ¬\ Q ¼

ª Lf « « Lhd  LVL « 0 ¬

Lq

203

º ªid º ª Lhd »« » « » «iq »  « 0 L0 »¼ «¬i0 »¼ ¬« 0 Lhd  LVL LD 0

Lhd 0 0

0 º ª if º « » Lhq »» «iD » 0 ¼» «¬iQ »¼

0 º ª if º ª Lhd »« » « 0 » «iD »  « Lhd LQ ¼» ¬«iQ ¼» ¬« 0

(8.94)

0 0

Lhq

0 º ªid º » 0 » ««iq »» 0 ¼» «¬i0 »¼

(8.95)

mit den folgenden Ausdrücken für die Induktivitäten, getrennt nach Haupt- und Streuinduktivitäten: Ld

Lhd  LV ;

Lq

Lhq  LV

Lf

Lhd  LVL  LVf ;

LD

Lhd  LVL  LVD

LQ

Lhq  LVQ

Bewegungsgleichung: ª 'Z L º « '- » ¬ L¼

ª0 0 º ª 'ZL º ª km (mm  me ) º «1 0 » « '- »  « » 0 ¬ ¼¬ L¼ ¬ ¼

(8.96)

mit: p J

km

Z0 : 0

˜ Tm SrG

(8.97)

wobei Tm

J :02 SrG

(8.98)

die elektromechanische Zeitkonstante, p die Polpaarzahl, J das Massenträgheitsmoment und : 0 Z0 / p die räumliche synchrone Winkelgeschwindigkeit sind. Der Winkel -L beschreibt die Lage der d-Achse des Läuferkoordinatensystems gegenüber der reellen Achse des Ständerkoordinatensystems (Bild 8.10).

204

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

ZL

d-Achse

q-Achse

-L

Bild 8.10. Koordinatensysteme und Winkelbeziehungen

Das elektrische Luftspaltdrehmoment berechnet sich aus: me



3 p Im(\ r i r ) 2

3 p (\ d iq \ q id ) 2

(8.99)

Für das mechanische Drehmoment gilt im Generatorbetrieb: mm

PT

:L

(8.100)

wobei PT die Turbinenleistung ist.

8.4.2 Transientes Modell mit Raumzeigern für die Ständergrößen Das transiente Modell ist das vollständige Modell. Es besteht aus Zustandsdifferentialgleichungen für das Verhalten der Ständer- und Läuferwicklungen, sowie für die Drehbewegung. Für die Wahl der Zustandsgrößen gibt es bekanntlich mehrere Möglichkeiten. Im Hinblick auf die Verknüpfung mit anderen Betriebsmitteln werden für die Ständerwicklung die Raumzeiger der Ströme in Ständerkoordinaten als Zustandsgröße gewählt. Bei der Wahl der Zustandsgrößen für die Läuferwicklungen ist man völlig frei. Hier werden die trägen Läuferflussverkettungen gegenüber den Läuferströmen bevorzugt, was sich später bei der Herleitung vereinfachter Modelle als zweckmäßig erweist (s. Abschnitt 8.4.4). Zur Einführung der Läuferflussverkettungen als Zustandsgröße müssen die Läuferströme in den Spannungsgleichungen der Läuferwicklungen und in den Flussverkettungsgleichungen der Läufer- und Ständerwicklung eliminiert werden. Dazu erhält man aus der Gl. (8.95) zunächst:

8.4 Synchrongeneratoren ª LD « L2 « « Lhd  LVL « L2 « « 0 « ¬

ª if º « » «iD » «iQ » ¬ ¼



205

Lhd  LVL L2 Lf L2 0

ªL L º « hd 2 VD 0 » » ª \f º « L »« » «L L 0 » « \ D »  « hd 2 Vf »« \ » « L 1 »¬ Q¼ « « 0 LQ »¼ «¬

0 0

Lhq LQ

º 0» » ªi º » d 0 » ««iq »» »« » » ¬i0 ¼ 0» »¼

(8.101)

mit der Abkürzung L2

( Lhd  LVL )( LVD  LVf )  LVD LVf

(8.102)

Mit der Gl. (8.101) gehen die Flussverkettungsgleichungen der Ständerwicklungen und die Spannungsgleichungen der Läuferwicklungen über in: ª L'' « d « « « «¬

ª\ d º «\ » « q» ¬«\ 0 ¼»

º » ªid º ª kf » «i »  « 0 »« q» « L0 » «¬i0 »¼ «¬ 0 »¼

Lq''

kD 0 0

0 º ª \f º « » kQ »» « \ D » 0 »¼ «¬ \ Q »¼

(8.103)

und

ª\ f º « » «\ D » «\ Q » ¬ ¼

ª 1 « « Tff « 1 « « TDf « « 0 ¬«

1 TfD



1

TDD 0

º 0 » » ª\ º ª k R »« f » « f f 0 » «\ D »  « kD RD »« » « \Q 0 1 »¬ ¼ ¬ »  TQQ ¼»

0 0

kQ RQ

0 º ªid º ªuf º » 0 » ««iq »»  «« 0 »» 0 »¼ «¬i0 »¼ «¬ 0 »¼

(8.104)

In die Gln. (8.103) wurden die subtransienten Induktivitäten Ld'' und Lq'' der Längs- und Querachse, sowie die Koppelfaktoren kf, kD und kQ und eingeführt: Ld''

Ld 

L2hd ( LVf  LVD ) ( Lhd  LVL )( LVD  LVf )  LVD LVf

Ld  (kD  kf ) Lhd

L2hq

(8.105)

LV  (1  kD  kf ) Lhd

Lq''

Lq 

kD

Lhd LVf ( Lhd  LVL )( LVD  LVf )  LVD LVf

(8.107)

kf

Lhd LVD ( Lhd  LVL )( LVD  LVf )  LVD LVf

(8.108)

kQ

Lhd  LVQ

Lhq Lhq  LVQ

Lq  kQ Lhq

LV  (1  kQ ) Lhq

(8.106)

(8.109)

206

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Die Kehrwerte der Zeitkonstanten in Gl. (8.104) ergeben sich aus: Rf LD ( Lhd  LVL )( LVD  LVf )  LVD LVf

1 Tff

Rf kD LD LVf Lhd

kD LD TVf Lhd

(8.110)

kf Lf TVD Lhd

(8.111)

TDD

RD Lf ( Lhd  LVL )( LVD  LVf )  LVD LVf

RD kf Lf LVD Lhd

1 TfD

Rf ( Lhd  LVL ) ( Lhd  LVL )( LVD  LVf )  LVD LVf

Rf kD ( Lhd  LVL ) LVf Lhd

kD ( Lhd  LVL ) TVf Lhd

(8.112)

1 TDf

RD ( Lhd  LVL ) ( Lhd  LVL )( LVD  LVf )  LVD LVf

RD kf ( Lhd  LVL ) LVD Lhd

kf ( Lhd  LVL ) TVD Lhd

(8.113)

1 TQ

RQ

kQ RQ

LQ

Lhq

1

(8.114)

Die Berechnung der Koppelfaktoren und Zeitkonstanten aus den üblichen Generatorparametern ist im Abschnitt 8.4.7 angegeben. Unter der Annahme zeitlich konstanter Induktivitäten und Koppelfaktoren gilt Gl. (8.103) auch für die zeitlichen Ableitungen der enthaltenden Größen. Nach Einsetzen der Gl. (8.103) und ihrer Ableitung in die Spannungsgleichungen der Ständerwicklungen erhält man: ª L'' « d « « « «¬

Lq''

º ª R » ªid º « a » «i »  «Z L'' »« q» « L d L0 » ¬«i0 ¼» « 0 »¼ «¬

ZL Lq''

Ra 0

0 º ªi º ªud'' º » d « » 0 » ««iq »»  «uq'' » » « » R0 » «¬i0 »¼ « 0 » »¼ «¬ »¼

ª ud º «u » « q» «¬u0 »¼

(8.115)

mit den folgenden Ausdrücken für die in Gl. (8.115) eingeführten Komponenten der subtransienten Spannung: ud''

ZL kQ \ Q  (kf \ f  kD \ D )

(8.116)

uq''

ZL (kf \ f  kD \ D )  kQ \ Q

(8.117)

Mit Hilfe der Transformationsbeziehungen (s. Abschnitt 1.3.2): ª gd º «g » « q» «¬ g 0 »¼

ª1 1« j 2« «¬ 0

1 0º ª g r º « » j 0 »» « g r » « » 0 1 »¼ « g » ¬ h¼

(8.118)

und ªgr º « » «g » « r» «¬ g h »¼

ª1 j 0 º ª g d º «1  j 0 » « g » « »« q» «¬0 0 2 »¼ «¬ g 0 ¼»

(8.119)

8.4 Synchrongeneratoren

207

( g u, i,\ ) werden die dq0-Komponenten in Gl. (8.115) durch Raumzeiger in Läuferkoordinaten (Index r) und die dazu konjugiert komplexen Raumzeiger (zusätzlicher Index *) sowie doppelte Nullsystemgrößen (Index h) ersetzt: ª L''  L'' ǻ « d « L'' ǻ « « 0 «¬

Lǻ'' Ld''  Lǻ'' 0

0 º ªir º ª Ra +jZL ( Ld''  Lǻ'' ) jZL Lǻ'' 0 º ª i r º ª u ''r º « » »« » « » « »

R1  jZL ( Ld''  Lǻ'' ) 0 » «i r »  ««u ''r »»  jZL Lǻ'' 0 » «ir »  « » « » L0 » ««ih »» « R0 » «ih » « 0 » 0 0 »¼ ¬ ¼ «¬ »¼ ¬ ¼ «¬ »¼

ªu r º « » «u r » «u » ¬ h¼

(8.120) mit dem Raumzeiger der subtransienten Spannung in Läuferkoordinaten: u ''r

ud''  juq''

jZL (kf \ f  kD \ D  j kQ \ Q )  kf \ f  kD \ D  j kQ \ Q

(8.121)

und der Abkürzung Lǻ''

1 ( Ld''  Lq'' ) 2

Für den Sonderfall Ld'' ª L'' « d «0 « «0 ¬«

0 Lq'' 0

Lq'' vereinfacht sich Gl. (8.120) zu:

0 º ªir º ª Ra +jZL Ld'' »« » «

0 » «ir »  « 0 »« » «  L0 » «ih » « 0 ¼» ¬ ¼ ¬«

0 R1  jZL Ld'' 0

0 º ª i r º ª u ''r º « » » « » 0 » « i r »  ««u r'' »» » R0 » «ih » « 0 » ¬ ¼ « » ¼» ¬ ¼

ªu r º « » «u r » «u » ¬ h¼

(8.122)

In die Spannungsgleichung für das doppelte Nullsystem gehen die Induktivität und der Widerstand einer Sternpunkt-Erde-Verbindung mit ihrem dreifachen Wert ein: ( L0  3LM ) ih  ( R0  3RM ) ih

uh

(8.123)

Für das elektrische Drehmoment erhält man unter Verwendung der Gl. (8.103) den Ausdruck: me

3 p [(kD\ D  kf\ f ) iq  kQ\ Q id  Lǻ'' id iq ] 2

(8.124)

In den Gleichungen für die subtransiente Spannung und das elektrische Drehmoment kommen die Läuferflussverkettungen und ihre Ableitungen im Produkt mit den Koppelfaktoren vor. Es bietet sich deshalb an, die mit den Koppelfaktoren multiplizierten Flussverkettungen direkt als Zustandsgröße zu verwenden. Anstelle der Gln. (8.104) tritt dann folgendes Gleichungssystem:

ª kf\ f º « » « kD\ D » « » ¬ kQ\ Q ¼

ª 1 «  T ff « «k 1 « D « kf TDf « « 0 «¬

kf 1 kD TfD 

1 TDD 0

º 0 » » ª k \ º ª kf2 Rf »« f f » « 0 » « kD \ D »  « kD2 RD »« kQ \ Q ¼» «« 0 ¬ 1 »¬  » TQ »¼

0 0 kQ2 RQ

0 º ªid º ª kf uf º » 0 » ««iq »»  «« 0 »» » 0 ¼» «¬ih »¼ «¬ 0 »¼

(8.125)

208

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Mit den Beziehungen zwischen den Raumzeigern ( g u , i,\ ) und ihren Ableitungen in Läufer- und Ständerkoordinaten (Index s) (s. Abschnitt 1.3.2): gr

g s e j-L

g r

g s e j-L  j-L g s

(8.126) g s e j-L  jZL g s

(8.127)

kann die Gl. (8.120) in Ständerkoordinaten transformiert werden: ª L''  Lcc ǻ « d « L'' e j2-L « ǻǻ 0 « ¬«

Lǻ'' e j2-L

'' Ld''  Lǻǻ 0

0 º ªis º ª Ra »« » «

0 » «is »  «  jZL Lǻ'' e j2-L » « 0 L0 » ««ih »» « ¼» ¬ ¼ ¬«

jZL Lǻ'' e j2-L Ra 0

0 º ªi s º ª u s'' º « » » « » « » » 0 «i s »  «u s'' » » R0 » «ih » « 0 » ¬ ¼ « » ¼» ¬ ¼

ªus º « » «us » «u » ¬ h¼

(8.128) mit u s''

u ''r e j-L

(ud''  juq'' ) e j-L

[ jZL (kf \ f  kD \ D  j kQ \ Q )  kf \ f  kD \ D  j kQ \ Q ]e j-L

(8.129)

und Lǻ''

( Ld''  Lq'' ) / 2

Für Lqcc ª L'' « d «0 « «0 ¬«

Ldcc vereinfacht sich Gl. (8.128) zu: 0

Lq'' 0

0 º ªis º ª R »« » a

0 » «is »  «« 0 » L0 » ««ih »» ¬« 0 »¼ ¬ ¼

0 Ra 0

ª '' º 0 º ªis º « u s » « » 0 »» « i s »  ««u s'' »» R0 ¼» «ih » « 0 » ¬ ¼ « » ¬ ¼

ªus º « » «us » «u » ¬ h¼

(8.130)

Die Gln. (8.128), (8.125) und (8.96) mit (8.124) bilden ein vollständiges ZustandsdifferentialGleichungssystem der Synchronmaschine mit kf \ f , kD \ D , kQ \ Q , ǻZL , -L , i s , i s und ih als Zustandsgröße.

Die in den Gln. (8.124) und (8.125) noch vorkommenden dq-Komponenten der Ständerströme erhält man aus dem Real- und Imaginärteil des in Läuferkoordinaten zurück transformierten Raumzeigers: id

Re (i r )

Re (i s e  j-L )

(8.131)

iq

Im (i r )

Im (i s e j-L )

(8.132)

Für die Einbeziehung der Ständergleichung, Gl. (8.128) in das Netzgleichungssystem nach dem Erweiterten Knotenpunktverfahren (s. Kapitel 9) wird die Gl. (8.128) noch nach den Ableitungen der Zustandsgrößen aufgelöst und in jeder Zeile mit 1/ Z0 erweitert:

8.4 Synchrongeneratoren ªi ' º « s» «i ' » «s» «i » «¬ h' »¼

ª G11 «  j2« G21e L « 0 ¬«

209

G12 e j2-L

0 º ª u s º ªi sq º »« » « » 0 » « u s »  «i sq » « » » « » G0 » uh ¼ ¬ ¼ «¬ihq »¼

G11 0

(8.133)

mit dem Vektor der Quellenströme: ªi sq º « »

«i sq » « » «¬ihq »¼

ª G11 «  « G21e j2-L « 0 «¬

G12 e j2-L G11

0

­ª Ra 0 º °« »° 0 » ® «  jZL Lǻ'' e  j2-L « G0 »» ° « 0 ¼ ° «¬ ¯

jZL Lǻ'' e j2-L Ra

0

½ 0 º ª i s º ª u s'' º ° « » » « » ° 0 » « i s »  ««u s'' »» ¾ » R0 » «ih » « 0 » ° »¼ ¬ ¼ «¬ »¼ °¿

(8.134) und den Leitwerten: G11

X d''  X q''

2X d''X q''

; G12

G21

X d''  X q''

2X d'' X q''

; G0

1 X0

(8.135)

Im Fall gleicher subtransienter Induktivitäten vereinfachen sich die Gln. (8.133) und (8.134) 1 zu: mit G1 X d'' ªi ' º « s» « ' » «i s » «i » «¬ h' »¼

0 º ª u s º ªi sq º ªG1 0 «0 G » « u »  «i » 0 1 « » « s » « sq » «¬ 0 0 G0 »¼ «uh » «i » ¬ ¼ «¬ hq »¼

ªi sq º « »

«i sq » « » i ¬« hq ¼»

­ 0 º ° ª Ra ªG1 0 °  «« 0 G1 0 »» ® «« 0 «¬ 0 0 G0 »¼ ° «¬ 0 ° ¯

0 Ra 0

(8.136)

ª '' º ½ 0 º ªis º « u s » ° « »

° 0 »» « i s »  ««u s'' »» ¾ R0 »¼ «ih » « 0 » ° ¬ ¼ « »° ¬ ¼¿

(8.137)

Nach der Klassifikation in Abschnitt 8.1 entspricht die Gl. (8.136) den Raumzeigergleichungen eines L-Betriebsmittels vom Typ A (s. Gl. (8.17)).

8.4.3 Anfangswerte für die Zustandsgrößen Im vorausgesetzten stationären symmetrischen Anfangszustand bei synchroner Drehzahl sind die Läuferflussverkettungen und die dq-Komponenten der Ständergrößen konstant. Ein Nullsystem tritt nicht auf. Somit erhält man aus der Gl. (8.125) für die Anfangswerte der erweiterten Läuferflussverkettungen:

210

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

ª kf \ f º « » « kD \ D » « » ¬ kQ \ Q ¼

ª 1 «  « Tff «k 1 « D « kf TDf « « 0 ¬«

kf 1 kD TfD 

1 TDD 0

º 0 » » » 0 » » 1 »  » TQ ¼»

1

­ ª kf2 Rf °° « 2 ® « kD RD °« °¯ «¬ 0

0 0 kQ2 RQ

0 º ªid º ª kf uf º ½ °° » 0 » ««iq »»  «« 0 »» ¾ » ° 0 »¼ «¬ 0 »¼ «¬ 0 »¼ ° ¿

(8.138)

Um die in Gl. (8.138) benötigten Anfangswerte der dq-Komponenten für die Ströme und die Erregerspannung zu berechnen, geht man von der Generatorspannung U1 und der Leistung S aus. Beide Größen werden aus einer Leistungsflussberechnung übernommen. Für den Generatorstrom ergibt sich dann im Verbraucherzählpfeilsystem: I1

S 3U 1

Über die in der q-Achse liegende Hilfsspannung UX

U 1  ( Ra  jX q ) I 1

U X e jMuX

findet man den Anfangswert für den Läuferwinkel

-L

MuX  ʌ / 2

Die Drehzahldifferenz ǻZL ist im Synchronlauf Null. Im stationären symmetrischen Betrieb ist der Raumzeiger mit dem Amplitudenzeiger des Leiters L1 identisch. Bei t = 0 gilt dann: is

iˆ1

2 I1

Die Anfangswerte der dq-Komponenten der Ströme lassen sich mit jetzt mit den Gln. (8.131) und (8.132) berechnen. Den Anfangswert der Erregerspannung erhält man aus der Polradspannung für die gilt (s. Abschnitt 8.4.6): Up

U X  j( X d  X q ) I d

Schließlich ergeben sich die Erregerspannung und das mechanische Drehmoment aus: uf mm

Rf if  me

Rf 

2 Up X hd Pe

:0



3Re(U 1 I 1  Ra I12 )

:0

8.4.4 Quasistationäres Modell mit subtransienter Spannung Die quasistationären Modelle der Synchronmaschine sind vereinfachte (reduzierte) Modelle, bei denen nur noch Zustandsgrößen für die Läufergrößen (Flussverkettungen, Winkelgeschwindigkeit und Winkel) vorkommen. Die Ständergrößen werden durch Zeiger beschrieben,

8.4 Synchrongeneratoren

211

so dass die Modelle zur Zeigerdarstellung des gesamten Netzes in Symmetrischen Komponenten passen. Bei der Beschreibung des Netzzustandes durch Zeiger werden die zu Beginn eines Ausgleichsvorganges von den Netzinduktivitäten (einschließlich der Ständerinduktivitäten) und Netzkapazitäten hervorgebrachten freien Anteile vernachlässigt. Das Netz wird trägheitsfrei angenommen. Damit stellen sich bei Zustandsänderungen im Netz, hervorgerufen durch Fehler oder Schalthandlungen, sofort die neuen Wechselanteile ein. Die entsprechenden Zeiger springen in den neuen Zustand. Der Vernachlässigung der schnell abklingenden freien Anteile liegt die Überlegung zu Grunde, dass sie sowohl die trägen Läuferflussverkettungen als auch den trägen Läufer in ihrem Verhalten kaum beeinflussen. Wie im Folgenden gezeigt wird, hängt die zeitliche Änderung der subtransienten Spannung im Wesentlichen von den Mitsystemkomponenten der Ständerströme ab. Drehzahländerungen werden durch Änderungen der Luftspaltleistung, die sich hauptsächlich aus den Mitsystemgrößen ergibt, hervorgerufen. Aufgrund der Größenordnung der elektromechanischen Zeitkonstante und der Läuferzeitkonstanten führen auch sprungartige Änderungen der Mitsystemgrößen, wie sie etwa durch Fehler hervorgerufen werden, nur zu relativ langsamen Änderungen der Flussverkettungen und Läuferwinkel. Diese wiederum führen zu einer langsamen Änderung der subtransienten Spannung im Betrag und Winkel, die sich auf alle Netzgrößen überträgt. Es muss nur vorausgesetzt werden, dass die Änderungen der subtransienten Spannung so langsam (quasistationär) erfolgen, dass sie keine nennenswerten Ausgleichsvorgänge im Netz verursachen, das Netz sich also stets im angenommenen eingeschwungenen Zustand befindet, und somit die Verwendung von Zeigergrößen weiterhin gerechtfertigt ist. Aufgrund des großen Trägheitsmomentes der Generator- und Turbinenläufer ist die Vorraussetzung dafür in der Regel gegeben. Die Beschränkung auf die Wechselanteile der Netzgrößen hat nicht nur den Vorteil, dass das gesamte Netz einschließlich der Ständerwicklungen in gewohnter Weise durch die Symmetrischen Komponenten beschrieben werden kann, sondern führt auch dazu, dass das verbleibende Zustandsdifferentialgleichungssystem mit wesentlich größeren Schrittweiten integriert werden kann.

Gleichungen für das Mitsystem Nach Gl. (1.67) besteht folgender Zusammenhang zwischen den Raumzeigern in Läuferkoordinaten und den Zeigern des Mitsystems, wenn jetzt die Winkeländerung gegenüber dem Zeigerkoordinatensystem berücksichtigt wird (s. Bild 7.4): g r1

gˆ 1e j-L

2 G1e j(-0 +ǻ-L )

2 G1e  jG L

(8.139)

und für die Ableitung: g r1

2 G 1e jG L  jGL 2 G1e jG L

(8.140)

Unter den genannten quasistationären Voraussetzungen gilt für die Gl. (8.140) die Näherung: g r1

 jGL 2 G1e jG L

(8.141)

212

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Weiter folgt für die dq-Komponenten: g d1  j g q1

2 G1e jG L

(8.142)

und g d1e jG L  jg q1e jG L

2 G d1  2 G q1

(8.143)

2 G1

mit 2 G d1

g d1e jG L

(8.144)

2 G q1

j g q1e jG L

(8.145)

Umgekehrt gilt dann: g d1

2 G d1 e  jG L

(8.146)

g q1

 j 2 G q1 e jG L

(8.147)

und g d1 |  jGL 2 G d1 e  jG L

g q1

(8.148)

GL 2 G q1 e jG L

(8.149)

Mit den Gln. (8.146) bis (8.149) folgt aus den Gln. (8.115) bis (8.117) (oder direkt aus den

Gln. (8.120) und (8.121) unter Beachtung von i r1

id1  j iq1

2( I d1  I q1 ) e jG L ):

 jGL Ld'' I d1  Ra I d1  jZL Lq'' I q1  jZL kQ < Q1  jGL (kf < f1  kD < D1 ) U d1

(8.150)

GL Lq'' I q1  jRa I q1  ZL Ld'' I d1  GL kQ < Q1  ZL (kf < f1  kD < D1 )

(8.151)

 jU q1

Die Gl. (8.151) wird mit j multipliziert und zu Gl. (8.150) addiert. Man erhält mit ZL  GL Z0 : U d1  U q1

Ra ( I d1  I q1 )  jX d'' I d1  jX q'' I q1  jZ0 (kf < f1  kD < D1 )  jZ0 kQ < Q1

(8.152)

und nach erweitern mit r jX d'' I q1 U1

( Ra  jX d'' ) I 1  j( X q''  X d'' ) I q1  jZ0 (kf < f1  kD < D1 )  jZ0 kQ < Q1

(8.153)

Die zeitlichen Änderungen der Läuferflussverkettungen berechnen sich aus der Gl. (8.125), die hier mit den Großbuchstaben und dem Index 1 für das Mitsystem die folgende spezielle Form annimmt:

8.4 Synchrongeneratoren

ª kf< f1 º «  » « kD< D1 » « kQ< Q1 » ¬ ¼

ª 1 «  T ff « «k 1 « D « kf TDf « « 0 «¬

213

kf 1 kD TfD 

1 TDD 0

º 0 » » ª k < º ª kf » « f f1 » « 0 » « kD < D1 »  « 0 »« kQ < Q1 »¼ «« 0 ¬ 1 »¬  » TQ »¼

kf2 Rf kD2 RD 0

0 º ª kf U f º »« » 0 » « I d1 » » kQ2 RQ »¼ «¬ I q1 »¼

(8.154)

Übernimmt man die Komponenten der Läuferflussverkettungen direkt in die Gl. (8.153) anstelle deren Zeiger, so geht diese über in: U1

( Ra  jX d'' ) I 1  j( X q''  X d'' ) I q1  jZ0 [kf < f1  kD < D1  jZ0 kQ < Q1 ]e jG L

(8.155)

und kürzer: U1

Z 1'' I 1  j( X q''  X d'' ) I q1  U 1''

(8.156)

wobei mit Z 1''

Ra  jX d''

(8.157)

die subtransiente Mitsystemimpedanz und mit U 1''

jZ0 [kf < f1  kD < D1  jZ0 kQ < Q1 ]e jG L

(U d''  jU q'') e jG L

U d''  U q''

(8.158)

die subtransiente Spannung eingeführt wurden. Der Ausdruck j( X q''  X d'' ) I q1 in Gl. (8.156) ist die sog. subtransiente Schenkeligkeit. Er erschwert die Berechnung, da er nur iterativ berücksichtigt werden kann. Vernachlässigt man die subtransiente Schenkeligkeit, so vereinfacht sich Gl. (8.156) zu der gewöhnlich angegebenen Spannungsgleichung für das Mitsystem: U1

Z 1'' I 1  U 1''

(8.159)

Da die subtransiente Spannung nur von Zustandsgrößen abhängt, ist sie während des Überganges vom stationären zum subtransienten Zustand hinsichtlich ihres Betrages und Winkels konstant. Ihren Anfangswert berechnet man aus der umgestellten Gl. (8.159) mit den aus dem Leistungsfluss bekannten stationären Werten für U 1 und I 1 : U 1''

U 1  Z 1'' I 1

(8.160)

Die Konstanz der subtransienten Spannung bestimmt die Wechselanteile (Zeiger) der Ströme und Spannungen im Netz unmittelbar nach Eintritt einer Störung. So ergibt sich beispielsweise der Anfangs-Kurzschlusswechselstrom für den dreipoligen Kurzschluss unmittelbar aus Gl. (8.160) mit U 1 0 : I ''k3



U 1'' Z 1''

(8.161)

214

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Aus der Gl. (8.158) ist der eingangs geschilderte Einfluss der Änderung des Läuferwinkels und der Läuferflussverkettungen auf die subtransiente Spannung, die als langsam veränderliche Quellenspannung im Mitsystem (s. Gl. (8.159)) wirksam wird, ersichtlich.

Gleichungen für das Gegensystem Aus der Gl. (1.67) folgt für den Zusammenhang des Raumzeigers in dq-Koordinaten mit dem Zeiger eines Gegensystems der Symmetrischen Komponenten: g r2

gˆ 2 e j-L

2 G 2 e j(2Z0t -0  ǻ- ) | 2 G 2 e j(2Z0t -0 )

(8.162)

Die Änderung des Läuferwinkels kann jetzt gegenüber 2Z0 t vernachlässigt werden. Für die zeitliche Ableitung folgt dann:

2 G 2 e j(2Z0t -0 )  j2Z0 2 G 2 e j(2Z0t -0 ) |  j2Z0 2 G 2 e j(2Z0t -0 )

g r2

(8.163)

Der durch ein Gegensystem hervorgebrachte Raumzeiger rotiert mit 2Z0 im Uhrzeigersinn im dq-Läuferkoordinatensystem. Seine dq-Komponenten sind demzufolge Wechselgrößen mit der Kreisfrequenz 2Z0 : g d2  jg q2

2 G 2 e j(2Z0t -0 )

(8.164)

Für die weitere Rechnung ist es zweckmäßig die Änderung der Komponenten durch Amplitudenzeiger gˆ d2 und gˆ q2 , die mit der Frequenz 2Z0 rotieren, zu beschreiben: g d2

Re{ 2 G 2 e j(2Z0t -0 ) } Re{gˆ d2 }

1

) ( gˆ  gˆ d2 2 d2

(8.165)

g q2

Im{ 2 G 2 e  j(2Z0t -0 ) } Re{gˆ q2 }

1

) ( gˆ  gˆ q2 2 q2

(8.166)

Wegen



Im{ 2 G 2 e j(2Z0t -0 ) } Re{ 2 G 2 e j(2Z0t -0  ʌ / 2) } Re{j 2 G 2 e j(2Z0t -0 ) }

gilt noch: gˆ q2

j gˆ d2

(8.167)

und damit g r2

g d2  jg q2

gˆ d2

(8.168)

Die Änderungen der Läuferflussverkettungen gegenüber einem Gegensystem ergeben sich im eingeschwungenen Zustand aus der zu Gl. (8.125) gehörenden Zeigergleichung:

8.4 Synchrongeneratoren ª 1 « j2Z0  T ff « « k 1 « D « kf TDf « « 0 «¬



kf 1 kD TfD

j2Z0  0

1 TDD

215 º » » ª kf \ˆ º f2 » »« « ˆ 0 » kD \ D2 » » »« k \ˆ 1 » «¬ Q Q2 »¼ j2Z0  » TQ »¼ 0

ª kf2 Rf iˆd2 º « 2 » « kD RD iˆd2 » « 2 ˆ » «¬ kQ RQ i q2 »¼

(8.169)

Wegen der Dominanz der Diagonalelemente j2Z0 gilt näherungsweise: ª k \ˆ º « f f2 » « kD \ˆ » D2 « » « kQ \ˆ Q2 » ¬ ¼

ª kf2 Rf iˆd2 º j « 2 ˆ »  « kD RD i d2 » 2Z0 « 2 ˆ » ¬« kQ RQ i q2 ¼»

(8.170)

Aus der Gl. (8.170) folgt, dass sich auch die Komponenten der subtransienten Spannung (s. Gl. (8.116) und (8.117) durch Zeiger ausdrücken lassen, wobei ZL Z0 gesetzt wurde:

'' uˆ d2

j 2 ˆ kQ RQ i q2  (kf2 Rf  kD2 RD )iˆd2 2

(8.171)

'' uˆ q2

j  (kf2 Rf  kD2 RD )iˆd2  kQ2 RQ iˆq2 2

(8.172)

Die beiden ersten Zeilen der Gl. (8.115) können somit auch als Zeigergleichungen geschrieben werden. Ersetzt man darin die Zeiger der subtransienten Spannungskomponenten durch die Gleichungen (8.171) und (8.172), so erhält man unter Berücksichtigung von Gl. (8.167): 1 [ Ra  kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ  j(2 X d''  X q'' )] iˆd2 2 1 j[ Ra  kQ2 RQ  (kf2 Rf  kD2 RD )  j(2 X q''  X d'' )] iˆd2 2

uˆ d2 uˆ q2

(8.173) (8.174)

Aus den Gln. (8.173) und (8.174) ist ersichtlich, dass für die Ständerspannungskomponenten aufgrund der Läuferunsymmetrie offensichtlich nicht mehr die Gl. (8.167) gilt. Der Raumzeiger der Ständerspannung in Läuferkoordinaten ergibt sich dann allgemein mit den Gln. (8.165) und (8.166) aus: ur ur

ud2  j uq2

1 1

)  j (uˆ  uˆ ) (uˆ d2  uˆ d2 q2 q2 2 2

1 1

[ Ra  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j ( X d''  X q'' )] iˆd2  4 2 3 3  [ (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j ( X q''  X d'' )] iˆd2 4 2

(8.175)

(8.176)

Der erste Term in Gl. (8.176) gehört zu einem Gegensystem u r2

1 1

[ Ra  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j ( X d''  X q'' )] iˆd2 4 2

(8.177)

216

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Mit den Gl. (8.162) und (8.168) und (8.163) schreibt er sich: 2U 2 e  j(2Z0t -0 )

1 1 [ Ra  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j ( X d''  X q'' )] 2 I 2 e  j(2Z0t -0 ) 4 2

(8.178)

so dass schließlich folgt: U2

1 1 [ Ra  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j ( X d''  X q'' )] I 2 4 2

(8.179)

Der zweite Term in Gl. (8.176) 3 3 [ (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j ( X q''  X d'' )] 2 I 2 e j(2Z0t -0 ) 4 2

ruft einen Spannungsraumzeiger hervor, der mit 2Z0 gegenüber dem Läuferkoordinatensystem und mit 3Z0 gegenüber dem Ständerkoordinatensystem in Drehrichtung rotiert. Zu ihm gehört ein Mitsystem der Ständerspannungen dreifacher Grundfrequenz. Da das quasistationäre Modell nur die Grundschwingung der Wechselanteile berücksichtigt, muss der Anteil vernachlässigt werden. Die Gl. (8.179) bildet dann die Spannungsgleichung für das Gegensystem in der gewohnten Form: U2

Z2I2

(8.180)

mit der Gegensystemimpedanz: Z2

1 1 Ra  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j ( X d''  X q'' ) 4 2

R2  j X 2

(8.181)

Gleichungen für das Nullsystem Die letzte Zeile in Gl. (8.115) kann bei fester Frequenz unmittelbar in eine Zeigergleichung für das Nullsystem überführt werden: (R0 +jZ0 L0 ) I 0

U0

(8.182)

oder U0

Z0 I0

(8.183)

Gleichungen für die Läuferbewegung Für das elektrische Drehmoment gilt allgemein die Gl. (8.99). Mit den Anteilen der Raumzeiger und deren Komponenten herrührend von Mit- und Gegensystem folgt daraus: me



3 3 p Im{\ r i r }  p Im{(\ r1  \ r2 )(i r1  i r2 )} me11  me12  me22 2 2

3 p [(\ d1 iq1 \ q1 id1 )  (\ d1 iq2  \ d2 iq1 \ q1 id2 \ q2 id1 )  (\ d2 iq2 \ q2 id2 )] 2

(8.184)

Ersetzt man nun die zum Gegensystem gehörenden Raumzeigerkomponenten wieder durch rotierende Amplitudenzeiger und deren konjugiert komplexe Zeiger, so erkennt man schon, dass der zweite, vom Mit- und Gegensystem verursachte Term me12 in Gl. (8.184) einen mit

8.4 Synchrongeneratoren

217

2Z0 schwingenden Drehmomentenanteil und der dritte, nur vom Gegensystem verursachte

Term me22 einen mit 4Z0 schwingenden und einen konstanten Drehmomentenanteil hervorrufen. Die mit 2Z0 und 4Z0 schwingenden Anteile können aufgrund der Trägheit des Läufers in den meisten Fällen vernachlässigt werden. Um den konstanten Anteil im dritten Term zu bestimmen, wird dieser nach Einführung der Zeiger näher betrachtet. me22

3 p (\ d2 iq2 \ q2 id2 ) 2

3



p [(\ˆ d2  \ˆ d2 )(iˆq2  iˆq2 )  (\ˆ q2  \ˆ q2 )(iˆd2  iˆd2 )] 8

(8.185)

Die Zeiger für die Ständerflussverkettungen werden mit Hilfe der Gl. (8.170) ersetzt durch:

\ˆ d2

Ld'' iˆd2  kf \ˆ f2  kD\ˆ D2

\ˆ q2

Lq'' iˆq2  kQ\ˆ Q2

so dass sich mit iˆq2 me22

[ Lq'' 

[ Ld'' 

j (kf2 Rf  kD2 RD )] iˆd2 2Z0

j 2 kQ RQ ] iˆq2 2Z0

(8.186) (8.187)

j iˆd2 entsprechend Gl. (8.167) ergibt:

2 3 ­ 1 (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j(Ld''  Lq'' )] iˆd2  p ®[ 8 ¯ 2Z0

½ 1

2 (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ )  j(Ld''  Lq'' )] iˆd2  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) iˆ22 ¾ 2Z0 Z0 ¿ 2 3 p ­ 1 2 2½ 2 2 2 2 2 ®2 Re{[ (kf Rf  kD RD  kQ RQ )  j(X d''  X q'' )] iˆd2 }  (kf Rf  kD RD  kQ RQ ) iˆ2 ¾ (8.188) 8 Z0 ¯ 2 ¿ [

1

Der durch das Mitsystem entstehende Drehmomentenanteil me11

3 p [(\ d1 iq1 \ q1 id1 ) 2

3 p [(< d1 I q1 < q1 I d1 )

kann mit (s. Gln. (8.103) und (8.158)):

< d1

Ld'' I d1  kf< f1  kD< D1

< q1

Lq'' I q1  kQ< Q1

1

Z0

1

Z0

( X d'' I d1  U q'' )

( X q''I q1  U d'' )

noch umgeformt werden zu: me11

3

:0

[U d'' I d1  U q'' I q1  ( X d''  X q'' ) I d1 I q1 ]

(8.189)

Bei Vernachlässigung der schwingenden Anteile erhält man für das restliche Drehmoment, das durch einen Großbuchstaben bezeichnet wird: Me

3

1 [U d'' I d1  U q'' I q1  ( X d''  X q'' ) I d1 I q1  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 22 ] 4 :0

(8.190)

218

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

Das Gegensystem erzeugt durch die Verluste in den Läuferwicklungen einen konstanten negativen (bremsenden) Drehmomentenanteil. Für eine subtransient symmetrische Maschine kann man Gl. (8.190) noch wie folgt schreiben: Me

3

:0

1 Re{(U d''  jU q'')( I d1  jI q1 )  ( kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 22 } 4

(8.191)

1 Re{U 1'' I 1  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 22 } 4

(8.192)

1 Re{U 1 I 1  Ra I12  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 22 } 4

(8.193)

oder: Me

3

:0

oder:

Me

3

:0

wobei 3Re{U 1 I 1 } die Klemmenleistung im Mitsystem ist.

8.4.5 Quasistationäres Modell mit konstanter transienter Spannung Die im Mitsystem als Quellenspannung auftretende subtransiente Spannung kann nur für wenige Millisekunden nach Eintritt einer Störung noch als konstant angesehen werden. Danach setzt eine Änderung, die durch die Änderung der Läuferflussverkettungen und des Läuferwinkels gegenüber dem synchron rotierenden Koordinatensystem verursacht wird, ein. Die zuerst einsetzende Änderung wird durch die Änderung der Flussverkettung in der Dämpferlängsachsenwicklung, die die kleinste Zeitkonstante der Läuferwicklungen aufweist, hervorgerufen. Nimmt man nun an, dass die durch eine Störung veranlassten Ausgleichsvorgänge in der Dämpferlängsachsenwicklung abgeklungen sind, dann folgt aus der zweiten Zeile von Gl. (8.125) mit kD < D1 0 : kD < D1

kD TDD kf < f1  TDD kD2 I d1 kf TDf

und mit den Gln. (8.111) und (8.113) für die Zeitkonstanten und kD / kf kD < D1

L kD ( Lhd  LVL ) kf < f1  LVf hd kD I d1 kf Lf Lf

(8.194) LVf / LVD :

(8.195)

Während die d-Komponente der Ständerspannung unverändert bleibt, folgt für die q-Komponente mit Gl. (8.195): U q1

Ra I q1  Ld'' I d1  kf< f1  kD< D1

Ra I q1  Z0 (1 

L kD ( Lhd  LVL ) )kf < f1  Z0 ( Ld''  LVf hd kD ) I d1 kf Lf Lf

(8.196)

oder abgekürzt U q1

Ra I q1  Z0 kf' < f1  Z0 Ld' I d1

(8.197)

8.4 Synchrongeneratoren

219

mit kf'

kf  k D

Lhd  LVL Lf

(8.198)

und der transienten Längsinduktivität: Ld'

Ld''  LVf

Lhd kD Lf

Lı  [1  kf  kD (1 

LVf )]Lhd Lf

Lı  (1  kf' ) Lhd

(8.199)

Durch Zusammenfassen der Spannungskomponenten und Transformation in das Zeigerkoordinatensystem erhält man anstelle der Gl. (8.155): U1

( Ra  jX d' ) I 1  j( X q''  X d' ) I q1  jZ0 (kf' < f1  jZ0 kQ < Q1 ]e jG L

(8.200)

und kürzer: U1

Z 1' I 1  j( X q''  X d' ) I q1  U 1'

(8.201)

Ra  jX d'

(8.202)

mit Z 1'

der transienten Mitsystemimpedanz und der transienten Spannung: U 1'

jZ0 (kf' < f1  jZ0 kQ < Q1 ]e jG L

(U d'  jU q' ) e jG L

U d'  U q'

(8.203)

Für das Drehmoment ergibt sich analog zu Gl. (8.190) und (8.192): Me

3

1 [U d' I d1  U q' I q1  ( X d'  X q'' ) I d1 I q1  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 22 ] 4 :0

(8.204)

bzw.: Me

3

:0

1 Re{U 1' I 1 }  ( X d'  X q'' ) I d1 I q1  (kf2 Rf  kD2 RD  kQ2 RQ ) I 22 } 4

(8.205)

Da sich in der Folge einer Störung die Flussverkettungen der Erreger- und Dämpferquerachsenwicklung deutlich langsamer als die der Dämpferlängsachsenwicklung ändern, kann man sie in einem Zeitbereich bis etwa 1 Sekunde näherungsweise noch als konstant ansehen. Das bedeutet, dass die transiente Spannung in dieser Zeit konstant ist und fest im Läuferkoordinatensystem liegen bleibt. Ihre Winkeländerung im Zeigerkoordinatensystem beschreibt dann gleichzeitig die Winkeländerung des Läufers gegenüber dem Synchronlauf. Auf der Annahme einer betragskonstanten transienten Spannung beruht das klassische Modell zur Berechnung der transienten Stabilität, wobei zur weiteren Vereinfachung noch X q''

X d'

gesetzt wird (s. Abschnitt 7.2). Den Anfangswert der transienten Spannung berechnet man aus der Gl. (8.201).

220

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

8.4.6 Stationäres Modell mit Polradspannung Im symmetrischen stationären Zustand mit synchroner Winkelgeschwindigkeit sind die Ströme in den Dämpferwicklungen Null und die Läuferflussverkettungen sowie die dq-Komponenten der Ständergrößen konstant. Es gilt zwar die Gl. (8.156) U1

Z 1'' I 1  j( X q''  X d'' ) I q1  U 1''

(8.206)

mit der konstanten subtransienten Spannung nach Gl. (8.158): U 1''

jZ0 [(kf < f0  kD < D0 )  jZ0 kQ < Q0 ]

(8.207)

jedoch eignet sich die Gl. (8.156) nicht für die Berechnung weiterer stationärer Zustände, da zu jedem stationären Zustand andere Werte für die Läuferflussverkettungen gehören. Sie kann lediglich dazu dienen für den (einen) stationären Zustand unmittelbar vor einer Störung den Anfangswert der subtransienten Spannung zu bestimmen. Zur Berechnung symmetrischer stationärer Zustände geht man von den Gln. (8.92) und (8.94) für das Mitsystem aus: U d1

Ra I d1  Z0< q1

Ra I d1  X q I q1

U q1

Ra I q1  Z0< d1

Ra I q1  X d I d1  X hd

(8.208) 1

Mit den Gln. (8.146) und (8.147) für ǻ-L U d1

Ra I d1  X q I q1

U q1

Ra I q1  jX d I d1  jX hd

2

if

(8.209)

0 folgt weiter:

(8.210) 1 2

if e j-0

(8.211)

Die Addition der beiden Gleichungen ergibt: U1

Ra I 1  jX d I d1  X q I q1  jX hd

1 2

if e j-0

(8.212)

und nach Erweitern mit B X d I q1 und Einführung der nur vom Erregerstrom abhängigen Polradspannung: 1

if e j-0

(8.213)

Up

jX hd

U1

( Ra  jX d ) I 1  ( X d  X q ) I q1  U p

2

(8.214)

Erweitert man Gl. (8.212) dagegen mit B X d I q1 , so erhält man: U1

( Ra  jX q ) I 1  j(X d  X q ) I d1  U p

(8.215)

Diese Gleichung eignet sich zur Bestimmung der Lage des dq-Koordinatensystems, wovon in Abschnitt 8.4.3 bereits Gebrauch gemacht wurde. Da der Zeiger I d1 in der Längsachse und der der Polradspannung in der q-Achse liegt, muss die Hilfsspannung UX

U 1  ( Ra  jX q ) I 1

U X e j(-0  ʌ / 2)

(8.216)

8.4 Synchrongeneratoren

221

ebenfalls in der q-Achse liegen, deren Position man somit gefunden hat. Das elektrische Drehmoment berechnet sich mit der Polradspannung aus: p3(< d1 I q1 < q1 I d1 )

Me 3

:0

Re{jX hd

1 2

3

:0

[ X hd

1 2

if d I q1  ( X d  X q ) I d1 I q1 ]

if d ( I d1  jI q1 )  ( X d  X q ) I d1 I q1}

Für die Vollpolmaschine mit X q

3

:0

(8.217)

Re{U p I 1  ( X d  X q ) I d1 I q1}

X d vereinfachen sich die Gln. (8.214), (8.215) und (8.217)

zu: U1 Me

( R1  jX d ) I 1  U p 3

:0

(8.218)

Re{U p I 1 }

(8.219)

8.4.7 Berechnung der Modellparameter aus den Maschinenparametern Von den Maschinenparametern werden als bekannt vorausgesetzt: xd , xd' , xd'' , xq'' , xV , xVL , x0 , Td', T d'', Tq'' und Tg .

Es ergibt sich dann folgender Rechengang mit x1, x2, x3, T1, T2, a und b als Zwischengrößen. ra xhd x1

xd'' Z0Tg xd  xV ; xhq xhd  xVL ; x2

x2  x1 x3 1

xq  xV

x1 

2 xhd xd

xd'' xd

xd'' xd

T1

xd x x Td'  (1  d  d ) T d'' ; T2 xdc xd' xd''

a

x2T1  x1T2 ; b x1  x2

TVf

T d'  T d''

x3 Td' ˜ Tdcc x3  x2

a a2    b ; TVD 2 4

a a2   b 2 4

222

xVf

xVQ rf

rQ

kf

kQ

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten TVf  TVD ; xVD T1  T2 TVD  x1  x2 x3

TVD  TVf T1  T2 TVf  x1  x2 x3

xqcc  xV

xhq

xq  xqcc

xVf

Z0TVf

; rD

xVD

Z0TVD

xq''

xQ ˜ xq Z T '' 0 q

xhd xVD ; kD ( xhd  xVL )( xVD  xVf )  xVD xVf

xhd xVf ( xhd  xVL )( xVD  xVf )  xVD xVf

xhq xhq  xVQ

1 TDD

Z0

rD xf ( xhd  xVL )( xVD  xVf )  xVD xVf

xf kf xhd TVD

1 TDf

Z0

rD ( xhd  xVL ) ( xhd  xVL )( xVD  xVf )  xVD xVf

xhd  xVL kf ˜ xhd TVD

1 Tff

Z0

rf xD ( xhd  xVL )( xVD  xVf )  xVD xVf

xD kD ˜ xhd TVf

1 TfD

Z0

rf ( xhd  xVL ) ( xhd  xVL )( xVD  xVf )  xVD xVf

( xhd  xVL ) kD ˜ xhd TVf

1 TQ

xq'' 1 ˜ xq T '' q

Beispiel 8.2 Für den Turbogenerator mit den Systemparametern (Reaktanzen in p.u.): Sr/MW Ur/kV xd

xq

xd'

xd''

xq''

xı

xıL

Td' / s

Td'' / s

Tq'' / s

Tg/s

125

1,5

0,25

0,15

0,2

0,1

0

1,0

0,05

0,1

0,15

10,5

1,8

ergeben sich folgende Modellparameter (Reaktanzen in p.u.).

8.5 Asynchronmaschinen

223

xhd

xhq

xıf

xıD

xıQ

xı

xıL

Rf /mŸ

RD/mŸ

RQ/mŸ

Ra/mŸ

1,7

1,4

0,1772

0,0726

0,1077

0,1

0

0,7726

7,4391

5,6438

3,2086

Tf/s

TD/s

TQ/s

Tff/s

TDf/s

TDD/s

TQQ/s

0,669

0,75

0,8969 0,9352 0,09713 0,08796 0,75

und daraus abgeleitet: kf

kD

kQ

0,2822 0,6884 0,9286 6,821

TfD/s

8.5 Asynchronmaschinen Asynchronmaschinen werden überwiegend als Motoren eingesetzt. Asynchrongeneratoren kommen in Windenergieanlagen und Kleinwasserkraftwerken zum Einsatz. Moderne Windenergieanlagen sind mit doppeltgespeisten Asynchrongeneratoren ausgerüstet. Bei doppeltgespeisten Asynchrongeneratoren wird der Läuferwicklung über einen Frequenzumrichter Leistung aus dem Ständerkreis zugeführt oder in den Ständerkreis zurückgespeist, wodurch die Drehzahl der Windgeschwindigkeit angepasst werden kann. Mit der sog. feldorientierten Regelung wird die Phasenlage der Läuferspannung so ausgerichtet, dass über die Läuferspeisung das Drehmoment und die Blindleistung unabhängig voneinander eingestellt werden können. Damit die folgenden Gleichungen allgemein für jede der genannten Anwendungen gelten, wird nicht wie sonst üblich von einer kurzgeschlossenen Läuferwicklung ausgegangen, sondern die Läuferspannung als Eingangsgröße für die feldorientierte Regelung mitgenommen. Die Läufer- und Ständerwicklungen werden als symmetrisch ausgeführte Drehstromwicklungen vorausgesetzt. Es werden wie bei der Synchronmaschine die ausführlichen Raumzeigergleichungen für das erweiterte Knotenpunktverfahren angegeben sowie auf die Symmetrischen Komponenten zugeschnittene Modelle für die Berechnung quasistationärer und stationärer Zustände daraus hergeleitet.

8.5.1 Allgemeines Gleichungssystem mit Raumzeigern Es wird zunächst das Gleichungssystem mit Raumzeigern für die Ständer- und Läufergrößen in beliebigen mit ZK rotierenden Koordinaten angegeben.4 Die Spannungs- und Flussverkettungsgleichungen lauten mit auf den Ständer (S) umgerechneten Läufergrößen (L) /14/: uS

RS iS  jZK\ S  \ S

(8.220)

uL

RL i L  j(ZK  ZL )\ L  \ L

(8.221)

\S

LS iS  Lh i L

(8.222)

\L

LL i L  Lh iS

(8.223)

mit der Hauptfeldinduktivität Lh und den Eigeninduktivitäten LS und LL, die sich wie folgt aus der Hauptfeldinduktivität und den Streuinduktivitäten zusammensetzen.

4 Wegen der Beliebigkeit der Koordinaten erhalten die Raumzeiger zunächst keinen diesbezüglichen Index.

224

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

LS

Lh  LıS

(8.224)

LL

Lh  LıL

(8.225)

Die Läuferwinkelgeschwindigkeit ergibt sich aus: J

Z L p

me  mm

(8.226)

wobei J das Massenträgheitsmoment, p die Polpaarzahl, mm das mechanische Drehmoment und me das elektrische Drehmoment ist, für das gilt: me

3

 p Im{\ S iS } 2

3

p Im{\ L i L } 2

(8.227)

Im Motorbetrieb wird das mechanische Drehmoment durch die Arbeitsmaschinen und im Generatorbetrieb durch den Antrieb bestimmt.

8.5.2 Transientes Modell mit Raumzeigern in Ständerkoordinaten Die Vorgehensweise ist analog zur Herleitung des Transienten Modells der Synchronmaschine im Abschnitt 8.4.2. Aufgrund der Läufersymmetrie nehmen die Gleichungen jedoch deutlich einfachere Formen an und können gleich im Ständerkoordinatensystem formuliert werden. Für dieses gilt ZK 0 , womit die Spannungsgleichungen, Gln. (8.220) und (8.221), übergehen in: u sS

RS i sS  \ sS

(8.228)

u sL

RL i sL  jZL\ sL  \ sL

(8.229)

Die Flussverkettungsgleichungen, Gln. (8.222) und (8.223) haben in allen Koordinaten die gleiche Form und bekommen lediglich auch den Index s für die Raumzeiger in Ständerkoordinaten. Mit dem Läuferstrom aus der Gl. (8.223): i sL

L 1 \  h i sS LL sL LL

1 \  kL i sS LL sL

(8.230)

kann man diesen in den Gln. (8.221) und (8.222) eliminieren und erhält so: u sL

 kL RL i sS  (

\ sS

( LS 

1  jZL )\ sL  \ sL TL

L2h ) i sS  kL \ sL LL

LS' i sS  kL \ sL

(8.231)

(8.232)

Die Gl. (8.232) wird unter der Annahme, dass LS' und kL konstant sind, differenziert und in Gl. (8.228) eingesetzt: u sS

RS i sS  LS' isS  kL\ sL

' RS i sS  LS' isS  u sS

(8.233)

In den vorstehenden Gleichungen wurden der Koppelfaktor des Läufers, die Läuferzeitkonstante, die transiente Induktivität und die transiente Spannung des Ständers eingeführt:

8.5 Asynchronmaschinen

kL

Lh LL

TL

LL RL

LS'

(1 

' u sS

kL\ sL

225

Lh Lh  LVL

(8.234) (8.235)

L2h ) LS LR LS

ı LS

(1  kS kL ) LS

LVS 

Lh LVL | LVS  LVL Lh  LVL

(8.236) (8.237)

Aus der Gl. (8.233) folgt nach Erweiterung um die konjugiert komplexe Gleichung und Hinzufügen der Spannungsgleichung für das Nullsystem: ªL' « S «0 « «0 ¬«

0 º ªisS º ª R »« » S

0 » «isS »  «« 0 » L0 » ««ihS »» ¬« 0 »¼ ¬ ¼

0 LS' 0

0 RS 0

ª ' º 0 º ªi sS º «u sS » « » « » ' 0 »» «i sS »  «u sS » R0 ¼» «ihS » « 0 » ¬ ¼ « » ¬ ¼

ª u sS º « » « u sS » «u » ¬ hS ¼

(8.238)

Die Gl. (8.231) wird noch mit kL multipliziert und umgestellt und dient so zur Berechnung der transienten Spannung: kL\ sL

(

1  jZL ) kL\ sL  kL2 RL i sS  kL u sL TL

(8.239)

Die Gl. (8.227) für das elektrische Drehmoment geht mit Gl. (8.232) über in: me

3

}  p Im{kL\ sL i sS 2

(8.240)

Die Stromgleichung für das erweiterte Knotenpunktverfahren erhält man durch Multiplikation der Gl. (8.238) mit 1/ Z0 und Einführung der Leitwerte (ohne den Index S): G1

G0 ªi' º « s» « ' » «i s » « '» i ¬« h ¼»

1

1

Z0 LS'

X S'

1

1 X0

Z0 L0'

0 º ª u s º ªi sq º ªG1 0 « »« » « » « 0 G1 0 » « u s »  «i sq » «¬ 0 0 G0 »¼ «uh » «i » ¬ ¼ ¬« hq ¼»

(8.241)

(8.242)

(8.243)

226

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten ­ 0 º ° ª RS ªG1 0 °  «« 0 G1 0 »» ® «« 0 «¬ 0 0 G0 »¼ ° «¬ 0 ° ¯

ªi sq º « »

«i sq » « » «¬ihq »¼

0 RS

0

ª ' º½ 0 º ªis º « u s » ° « » ° 0 »» « i s »  ««u s' »» ¾ R0 »¼ «ih » « 0 » ° ¬ ¼ « »° ¬ ¼¿

(8.244)

Die Gl. (8.243) entspricht der eines L-Betriebsmittels vom Typ A (s. Gl. (8.17)).

8.5.3 Anfangswerte für die Raumzeiger Bei der Asynchronmaschine ohne Läuferspeisung können nicht wie bei der Synchronmaschine die Spannung und die Leistung nach Wirk- und Blindanteil vorgegeben werden, da bei vorgegebener Spannung die Blindleistung durch die Maschinenparameter und die Drehzahl bestimmt wird. Neben der Klemmenspannung wird deshalb lediglich das elektrische Drehmoment oder die Wirkleistung vorgegeben. Ist das elektrische Drehmoment Me oder das Verhältnis Me/Mr vorgegeben, so wird zunächst das Kippmoment an den aktuellen Spannungswert U (Leiter-Leiter-Spannung) angepasst (s. Gl. (8.284) bzw. (8.285)): Mk M kr

(

U 2 ) Ur

(8.245)

Dann wird mit Hilfe der Gl. (8.284) ein Anfangswert für den Schlupf berechnet: sQ

sk

M Mk [1  1  ( e ) 2 ] Me Mk

(8.246)

mit dem nach den Gln. (8.259) und (8.260) erste Werte für den Ständerstrom und die transiente Spannung erhalten werden: 1

ª R  jX ' º 1 S « S » ªU S,Q º 1 » « » « 2 « jZ0 kL RL  T  jsQ Z0 » ¬ 0 ¼ ¬ ¼ L

ª I S,Q º « » ' Q ¼» ¬«U S,

(8.247)

Mit diesen Werten wird das elektrische Drehmoment nach Gl. (8.240) auf den Vorgabewert hin kontrolliert: M e,Q

1

:0

' Q I S,Q } 3Re{U S,

(8.248)

Stimmen beide Drehmomente nicht überein, so wird der Schlupf an der linearisierten Drehmomentenkennlinie, Gl. (8.284), korrigiert sQ 1

sQ

M e,Q +1 M e,Q

(8.249)

und mit dem verbesserten Schlupfwert zurück in die Gl. (8.246) gegangen bis das nach Gl. (8.248) berechnete Drehmoment mit der Vorgabe übereinstimmt. Am Ende der Iteration ergeben sich die Anfangswerte für die Raumzeiger zu:

8.5 Asynchronmaschinen i sS (0)

227

2 I S,Q

(8.250)

'Q 2U S,

kL\ sL (0)

(8.251)

jZ0

8.5.4 Quasistationäres Modell mit transienter Spannung Quasistationäre Vorgänge können durch Zeigergleichungen beschrieben werden. Für die Behandlung von Fehlern und Unsymmetriezuständen werden die Symmetrischen Komponenten herangezogen. Die Symmetrischen Komponenten werden ausgehend von den folgenden Raumzeigergleichungen in mit Z0 rotierenden Netzkoordinaten (n) eingeführt. u nS

( RS  jZ0 LS' ) i nS  jZ0 kL\ nL  kL\ nL  LS' inS

kL\ nL

[

1  j(Z0  ZL )] kL\ nL  kL2 RL i nS  kL u nL TL

(8.252) (8.253)

Gleichungen für das Mitsystem Zwischen den Raumzeigern in Netzkoordinaten und den Zeigern des Mitsystems besteht der Zusammenhang: g n1

gˆ 1e  j-N

2 G1e  j-0

(8.254)

wobei -0 ein beliebiger konstanter Verdrehungswinkel zwischen den Netzkoordinaten und dem Koordinatensystem der Zeiger ist. Gl. (8.254) eingesetzt in die Gln. (8.252) und (8.253) ergibt: U 1S

( RS  jZ0 LS' ) I 1S  jZ0 kL< 1L  kL\ 1L  LS' i1S

kL< 1L

[

1  j(Z0  ZL )] kL< 1L  jZ0 kL2 RL I 1S  jZ0 kL U 1L TL

(8.255) (8.256)

Die Differentiale des Ständerstromes und der Läuferflussverkettung in Gl. (8.255) werden unter der Vorraussetzung quasistationärer Änderungen vernachlässigt, mit dem Ziel das Netz einschließlich der Ständergleichungen mit algebraischen Zeigergleichungen beschreiben zu können. Die Läufergleichung bleibt davon unberührt. Nach Einführung der transienten Motorspannung und des Schlupfes:

' U 1S s

jZ0 kL< 1L

(8.257)

Z0  ZL Z0

(8.258)

lautet dann das Gleichungssystem für das Mitsystem: U 1S

' ( RS  jX S') I 1S  U 1S

' ( R1  j X 1 ) I 1S  U 1S

(8.259)

228

' U 1S

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

(

1 '  jZ0 kL2 RL I 1S  jZ0 kL U 1L  jsZ0 ) U 1S TL

(8.260)

Gleichungen für das Gegensystem Zwischen den Raumzeigern in Netzkoordinaten und den Zeigern des Gegensystems besteht im stationären Zustand die Beziehung (s. Abschnitt 1.4):

2 G 2 e  j(2Z0t -0 )

g n2

(8.261)

und für die Ableitung:

2 G 2 e  j(2Z0t -0 )  j2Z0 2 G 2 e  j(2Z0t -0 )

g n2

(8.262)

Damit folgt aus den Gln. (8.252) und (8.253) mit U 2L U 2S [

0:

( RS  jZ0 LS' ) I 2S  jZ0 kL< 2L

1 +j(2  s )Z0 ] kL< 2L TL

(8.263)

kL2 RL I 2S

(8.264)

Setzt man nun noch die Läuferflussverkettung aus Gl. (8.264) unter Vernachlässigung von 1/TL in Gl. (8.263) ein, so erhält man für die Gegensystem-Spannungsgleichung des Ständers: U 2S

( RS 

kL2 RL  jZ0 LS' ) I 2S 2s

( R2  j X 2 ) I 2

(8.265)

Elektrisches Drehmoment Für das elektrische Drehmoment ergibt sich aus der Gl. (8.240) mit den Raumzeigeranteilen des Mit- und Gegensystems: me



3 3

}  p Im{kL (\ nL1  \ nL2 )(i nS1 )} p Im{kL\ nL i nS  i nS2 2 2

(8.266)

und nach Einführung der entsprechenden Zeigergrößen: me



3 p Im{kL (< 1L e j-0 < 2L e  j(2Z0t -0 ) )( I 1S e j-0  I 2S e j(2Z0t -0 ) )}





3 p Im{kL (< 1L I 1S < 1L I 2S e j2Z0t < 2L e j2Z0t I 1S < 2L I 2S } me11  me12  me22

(8.267)

Die mit 2Z0 schwingenden Anteile werden vernachlässigt. Die verbleibenden, vom Mit- und Gegensystem herrührenden Anteile werden mit der Gl. (8.264):

Me





3 p Im{kL (< 1L I 1S < 2L I 2S } 3 p Im{kL (< 1L I 1S  j

kL2 RL I 2S I 2S } (2  s )Z0

(8.268)

und mit Gl. (8.257): Me

3

p

Z0

' I 1S }  3 Re{U 1S

p kL2 RL 2 I 2S Z0 2  s

1

:0

' I 1S  3Re{U 1S

kL2 RL 2 I 2S } 2s

(8.269)

8.5 Asynchronmaschinen

229

oder mit Gl. (8.259): Me

1

:0

2 3Re{U 1S I 1S  RS I1S 

kL2 RL 2 I 2S } 2s

(8.270)

In der Nähe der Bemessungsdrehzahl ist der Schlupf so klein, dass er gegenüber der 2 im Nenner des vom Gegensystem verursachten Anteil im Drehmoment vernachlässigt werden kann. Die Gl. (8.270) ist dann mit der Gl. (8.193) der Synchronmaschine mit symmetrischem Läufer ( kf2 Rf  kD2 RD kQ2 RQ kL2 RL ) vergleichbar.

8.5.5 Stationäres Modell Im stationären Zustand ist die Änderung der Läuferflussverkettung in der Läufergleichung, Gl. (8.260) Null. Damit lässt sich diese nach der transienten Spannung auflösen:

' U 1S

jZ0 kL2 RL I 1S jZ0 kL U 1L  1 1  jsZ0  jsZ0 TL TL

jX L kL2 RL  jX L s

˜

RL jX L kL U 1L ˜ I 1S  R s s L  jX L s

(8.271)

und in der Ständergleichung die transiente Spannung eliminieren: U 1S

[ R1  j( X S' 

X L kL2 RL  jX L s

˜

RL jX L kL U 1L )] I 1S  ˜ RL s s  jX L s

(8.272)

Mit X S' nach Gl. (8.236) kann die Gl. (8.272) noch weiter umgeformt werden zu: RL  jX ıL ) U jX h s ˜ 1L ] I 1S  RL RL s  jX L  jX L s s

Xh ( U 1S

[ RS  jX ıS  j

Z 1 ( s ) I 1S  U 1Sl ( s )

(8.273)

Die Gl. (8.273) kann auch aus der allgemein bekannten Ersatzschaltung des Mitsystems im Bild 8.11 abgelesen werden, wobei Z 1 ( s ) die Innenimpedanz und U 1Sl ( s ) die Leerlaufspannung an den Ständerklemmen ist.

230

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

RS  jX ıS

RL / s  jX ıL I 1L

I 1S

U 1L s

jX h

U 1S

Bild 8.11. Mitsystemersatzschaltung der Asynchronmaschine im stationären Zustand.

Unter Vernachlässigung des Ständerwirkwiderstandes lässt sich die Ersatzschaltung im Bild 8.11 noch in eine Form bringen, die für die Gewinnung von geschlossenen Ausdrücken für das elektrische Drehmoment und die komplexe Leistung an den Ständerklemmen nützlich ist. Aus der linken Masche folgt mit RS = 0: I 1S

U 1S Xh  I 1L j(X ıS  X S ) X ıS  X S

j

U 1S  kS I 1L XS

(8.274)

Mit dieser Gleichung wird der Ständerstrom in der Gleichung für die rechte Masche eliminiert: U 1L s

[

RL  jX L (1  kS kL )] I 1L  kS U 1S s

[

RL  jX L' ] I 1L  kS U 1S s

(8.275)

und nach Divison mit kS: 1 U 1L kS s

1 RL [  jX L' ] kS I 1L  U 1S kS2 s

(8.276)

kS2 ( RL / s  jX L' )

I 1S

U 1S

kS I 1L

jX S

1 U 1L kS s

Bild 8.12. Modifizierte Mitsystemersatzschaltung der Asynchronmaschine im stationären Zustand.

Die Gln. (8.274) und (8.276) erfüllen die Ersatzschaltung im Bild 8.12. Für die komplexe Klemmenleistung folgt aus der modifizierten Ersatzschaltung:

8.5 Asynchronmaschinen

231

S1

3U 1S I 1S

3U 1S ( j

U 1S

 kS I 1L ) XS

3( j

2 U1S

 kS U 1S I 1L ) XS

(8.277)

und mit dem Läuferstrom aus Gl. (8.275)

I 1L

U 1L  kS U 1S s RL  jX L' s

U 1L  kS U 1S s(s  j s) s ˜ 2k 2 s  sk X L'

(8.278)

S 1S

3( j

2 U1S

XS

2  kS U 1S kS2U1S



X L'

U 1L s ˜ s ( sk  j s ) s 2  sk2

P1S  jQ1S

(8.279)

1

Re{U 1SU 1L ( sk  j s )} 2  s s ' XL k

(8.280)

und P1S

Re{S 1S }

Q1S

Im{S 1}

2 3kS2 U1S

X L'

˜

s sk 2

s 

sk2

3

kS

˜

2

2 3U1S 3k 2U 2 k s2 1

 S 1S ˜ 2 2  3 S ˜ 2 2 Im{U 1S U 1L ( sk  j s )} XS s  sk X L' X L' s  sk

(8.281)

wobei mit sk

RL

(8.282

X L'

und X L'

X L (1  kS

Xh ) XL

X L (1  kS kL )

(8.283)

der Kippschlupf und die transiente Reaktanz der Läuferwicklung definiert sind. Bei vernachlässigtem Ständerwirkwiderstand sind Klemmen- und Luftspaltleistung gleich, so dass man für den vom Mitsystem verursachten Drehmomentenanteil (Luftspaltdrehmoment) aus der Gl. (8.280) bei U 2L 0 erhält: M e1

2 3kS2 U1S

˜

2 s sk 2

2: 0 X L' s 

sk2

Mk

2 s sk s 2  sk2

(8.284)

Für X h o f vereinfacht sich Gl. (8.284) noch zu der bekannten Kloss’schen Beziehung: M e1

2 3U1S 2s s ˜ 2 k2 ' 2 : 0 X s  sk

Mk

2 s sk s 2  sk2

(8.285)

232

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

mit X'

X ıS  X ıL

(8.286)

sk

RL X'

(8.287)

8.5.6 Berechnung der Modellparameter aus den Maschinendaten Die in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Modelle enthalten folgende Parameter: Ständer- und Läuferwicklungswiderstand (umgerechnet auf die Ständerwicklung) RS und RL, Ständer- und Läuferstreureaktanz (umgerechnet auf die Ständerwicklung) X ıS und X ıL sowie die Hauptfeldreaktanz Xh für die Ständerseite. Normalerweise sind die Modellparameter dem Datenblatt oder Prüfprotokoll des Motorherstellers zu entnehmen. Damit lassen sich dann alle anderen Größen wie die Koppelfaktoren, Reaktanzen und der Kippschlupf berechnen. Sind die Modellparameter nicht bekannt, so können sie zumindest genähert wie folgt aus dem bezogenen Anlaufstrom iA, dem Kippschlupf sk, der Bemessungsdrehzahl nr und dem Kosinusphi cosijr bestimmt werden. X S'

Ur

X L'

X S'

3I r

X ıS

˜

1 iA

X ıL |

RL

sk X S'

RS

RL

1 X S' 2

1  cos 2 Mr

tan Mr

cos Mr

Q1Sr P1Sr

X L' 2 2 ( sr  sk )  kS2 sr2 XS

U 2L

0)

Xh

sr sk  sk sr  X S'  X ıS X L' s tan M r  r sk

sr

n0  nr n0

kS2 sr sk

(aus Gln. (8.281) und (8.280) für

8.6 Nichtmotorische Lasten

233

Ist auch noch das Kippmoment bekannt, so kann es zur Kontrolle dienen. Sollte das mit den vorstehenden Daten berechnete Kippmoment nicht mit dem bekannten Kippmoment übereinstimmen, so passt der Anlaufstrom nicht zum Kippmoment und ist ggf. für eine erneute Parameterberechnung zu korrigieren.5

Beispiel 8.3 Für einen Asynchronmotor mit den folgenden Daten: Ur = 6,3 kV, Pr = 5.6 MW, nr = 1493 min–1, Șr = 0,973, cosijr = 0,88, sk = 0,023, Ia/Ir = 5,8

erhält man folgende Modellparameter: RS = RL = 0,0241 Ÿ, XıS = XıL = 0,5232 Ÿ, Xh = 15,9633 Ÿ, X S'

1, 0463Ÿ , kS = kL = 0,9683

Die Iterationsschritte zur Ermittlung des Arbeitspunktes nach Abschnitt 8.5.3 bei U = 6 kV und Me/Mr = 0,9 liefern: Ȟ

s

Me/kNm

0

0,0034616

30,10943

1

0,0037061

32,12137

2

0,0037193

32,22967

3

0,0037201

32,23571

4

0,0037201

32,23605

5

0,0037201

32,23607

Mit dem Schlupf s = 0,0037201 erhält man für den Ständerstrom und die transiente Spannung im Arbeitspunkt bei Lage der Klemmenspannung in der reellen Achse:

IS = (489,5 íj 280,2) A U S'

(3,1637  j 0,4975) kV

8.6 Nichtmotorische Lasten Die Lasten an den Netzknoten des Hochspannungsnetzes setzen sich aus der Vielzahl der verschiedensten Abnehmer zusammen. Die Aufschlüsselung in einzelne Abnehmer mit unterschiedlichem Verhalten ist nicht möglich und wäre davon abgesehen vom Aufwand her auch nicht zu bewältigen. Man bildet deshalb die Summenlasten durch sog. aggregierte Modelle nach. Die einfachste Form derartiger Modelle beruht auf den im Bild 8.13 dargestellten Ersatzschaltungen. Durch Hinzunahme weiterer Schaltelemente könnten die Modelle zwar noch verfeinert werden, vorausgesetzt man kennt das Übertragungsverhalten der Lasten.

5 Die transiente Reaktanz ist sättigungsabhängig. Es kann deshalb beim Anlauf ein anderer Wert als in der Nähe des Bemessungsbetriebes auftreten.

234

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten

R1 , L1

i sA

i sA u sA

u sC

C1

u sA

L1

i sL

G1 C1

Bild 8.13. Ersatzschaltungen für die nichtmotorischen Lasten

Die Reihenschaltung im Bild 8.13 links ist ein L-Betriebsmittel vom Typ A mit folgendem Zustandsdifferentialgleichungssystem für die Raumzeiger- und Nullsystemgrößen: ª isA º « » ¬ u sC ¼

ª  Ls 1 Rs « 1 ¬« Cs

 Ls 1 º ª i sA º ª Ls 1  º ª usA º »« »« »« »  ¼» ¬ usC ¼ ¬   ¼ ¬ o ¼

(8.288)

und der Stromgleichung:

' i sA i sqA

GsA usC  isqA GsA ( Rs i sA  usC )

(8.289) (8.290)

Die Zustandsgleichung für die Ströme (1. Zeile in Gl. (8.288)) kann unter Verwendung der Leitwertmatrix und des Quellenstromvektors auch geschrieben werden als: isA

Z0 (GsA usA  i sqA )

(8.291)

mit den Leitwerten: G1A

1 X1

Z0 L1

1

G2A

1 X2

1 Z0 L2

G0A

1 X0

Z0 L0

1

(8.292) (8.293) (8.294)

Die Parallelschaltung im Bild 8.13 rechts ist ein C-Betriebsmittel vom Typ A, für das gilt: i sA

GsC usA  Cs u sA  i sL

(8.295)

isL

Ls 1 usA

(8.296)

Die Parameter der Raumzeigerersatzschaltung können aus der Leistungsflussberechnung ermittelt werden. Ist die von der Last im stationären Zustand aufgenommene Leistung: SA

3U A I A

PA  j QA

(8.297)

8.6 Nichtmotorische Lasten

235

bekannt, so folgt für die Reihenschaltung mit ihrer Impedanz: Z 1A SA R1 X1

X1

ZC1

R1  jZ L1  j 2 3Z 1A I1A

1 ZC1

R1  jZ L1 (1 

2 3R1 I1A  j3Z L1[1  (

1 2

Z L1C1

R1  jZ L1[1  (

)

Ze0 2 2 ) ]I1A Z

Ze0 2 ) ] Z

PA  j QA

(8.299)

PA

(8.300)

2 3I1A

QA 2 3I1A

QA 2 3I1A

(8.298)

˜

1

Z 1  ( e0 ) 2 Z 1

˜ (

Ze0 2 ) 1 Z

für QA ! 0 und (

Ze0 2 ) 1 Z

(8.301)

für QA  0 und (

Ze0 2 ) !1 Z

(8.302)

1 1 ˜ Z X1 ( e0 ) 2

(8.303)

Z

Während der Wirkwiderstand eindeutig durch die Wirkleistung bestimmt ist, hängt die Reaktanz vom Vorzeichen der Blindleistung und vom Verhältnis der ungedämpften Eigenkreisfrequenz Ze0 zur Kreisfrequenz des Netzes ab. Die Eigenkreisfrequenz ist der Imaginärteil der Eigenwerte. Diese ergeben für jede Komponente aus der Zustandsdifferentialgleichung, Gl. (8.288), zu:

O1,2



1 Ri 1 rj 2 Li Li Ci

1

Ri2 Ci 4 Li

G r jZe0 1  (

G 2 ) Ze0

G r jZe

(8.304)

Über die Festlegung der Eigenkreisfrequenz kann man der Lastnachbildung eine bestimmte Dynamik verleihen (s. Beispiel 8.4). Für die Parallelschaltung erhält man die zur Reihensschaltung dualen Beziehungen: Y 1A SA

G1

ZC1

G1  jZC1  j

2 3Y 1AU1A

1 Z L1

G1  jZC1 (1 

2 3G1U1A  j3ZC1[1  (

1 ) Z L1C1 2

Ze0 2 2 ) ]U1A Z

G1  jZC1[1  ( PA  j QA

PA

Ze0 2 ) ] Z

(8.305)

(8.306) (8.307)

2 3U1A

Z 1 ˜ für QA  0 und ( e0 ) 2  1 2 Ze0 2 Z 3U1A 1 ( ) QA

Z

(8.308)

236

ZC1

X1

8 Betriebsmittelgleichungen in Raumzeigerkomponenten QA 2 3U1A

1

˜ (

Ze0 2 ) 1 Z

für QA ! 0 und (

Ze0 2 ) !1 Z

(8.309)

1 1 ˜ Z ZC1 ( e0 ) 2

(8.310)

Z

O1,2



1 Gi 1 rj 2 Ci Li Ci

1

Gi2 Li 4 Ci

G r jZe0 1  (

G 2 ) Ze0

G r jZe

(8.311)

In der folgenden Tabelle sind die Anwendungsbereiche der Lastmodelle in Abhängigkeit von dem Vorzeichen der Blindleistung und dem Verhältnis der ungedämpften Eigenkreisfrequenz zur Eigenkreisfrequenz der Grundschwingung nochmals zusammengestellt. Tabelle 8.10. Anwendungsbereiche der Lastmodelle nach Bild 8.13

Eigenfrequenz

QA ! 0

QA  0

Ze0 1 Z

Reihenschaltung

Parallelschaltung

Ze0 !1 Z

Parallelschaltung

Reihenschaltung

Angaben zu den Parametern des Nullsystems sind bei den hier zu Grunde gelegten aggregierten Lastmodellen schwierig zu machen. Sie hängen auch davon ab, ob einzelne Sternpunkte der Lasten geerdet sind oder nicht.

Beispiel 8.4 Verhalten der Lastnachbildung als Reihenschaltung von R1, L1 und C1 bei sprungförmiger Spannungsabsenkung um 20 % bei t = 0,1 s mit dem Anfangszustand: P = 4 MW, Q = 3 Mvar, U = 10,5 kV.

8.6 Nichtmotorische Lasten

237

5 4.5

P/MW und Q/Mvar

4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t/s

Bild 8.14. Wirk- und Blindleistungsverlauf bei einer Spannungsabsenkung um 20 % bei Nachbildung der Last mit der Reihenschaltung mit Ze0 / Z 0,1 (gestrichelte Linie) und 0,9.

Im Fall Ze0 / Z 0,1 ist R1 = 16 Ÿ, X1 = 12,12 Ÿ und ȦC1 = 8,25 S. Die Eigenwerte sind negativ reell und betragen:

O1

412,30s 1 und O2

2,39s 1 .

Dementsprechend gehen die Kurven für PA und QA asymptotisch in den neuen stationären Zustand über. Für Ze0 / Z 0,9 ergibt sich R1 = 16 Ÿ, X1 = 63,16 Ÿ und ȦC1 = 0,0195 S. Die Eigenwerte sind konjugiert komplex:

O1,2

(39, 79 r j279,93) s 1 ,

so dass sich der neue stationäre Zustand schwingend einstellt. Der Sprung zu Beginn der Leistungsänderungen ist durch den Spannungssprung bei zunächst noch unveränderlichem Strom (der Strom ist Zustandsgröße) begründet. Der weitere Verlauf der Leistungen entspricht der zeitlichen Stromänderung, für den die Eigenwerte maßgebend sind.

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren Das Erweiterte Knotenpunktverfahren (EKPV) ermöglicht die Formulierung eines Netzgleichungssystems in natürlichen oder modalen Koordinaten (hier in Raumzeigerkoordinaten) ausschließlich auf der Grundlage der Knotenpunktsätze in Analogie zur Aufstellung des Knotenspannungs-Gleichungssystems in Symmetrischen Komponenten im Kapitel 3. Im Ergebnis wird ein Algebro-Differentialgleichungssystem erhalten, das wechselseitig durch numerische Integration mit einem geeigneten Verfahren gelöst werden kann. In den meisten Anwendungsfällen wurde mit dem expliziten Runge-Kutta-Gill-Verfahren gute Erfahrung gemacht. Neben der einfachen Formulierung des Gleichungssystems ohne Verwendung von Maschensätzen, hat das EKPV den Vorteil, dass die Knotenspannungen, für die sich der Netzberechner besonders interessiert, direkt bei der Lösung anfallen. Durch Einarbeiten der algebraischen Gleichung kann das Algebro-Differentialgleichungssystem in ein explizites Differentialgleichungssystem überführt werden, anhand dessen auch die Netzeigenwerte berechnet werden können. Ein weiterer Vorteil des EKPV besteht darin, dass das in Kapitel 6 vorgestellte Fehlermatrizenverfahren sinngemäß auf das Algebro-Differentialgleichungssystem übertragen werden kann, womit diese einfache, systematische Methode zur Berechnung beliebiger Einfach- und Mehrfachfehler auch im Zeitbereich zur Anwendung kommt. Die Formulierung des Algebro-Differentialgleichungssystems geht von der Unterteilung der Betriebsmittel nach ihrem Klemmenverhalten in L-, R- und C-Betriebsmittel, wie sie im Kapitel 8 vorgenommen wurde, aus. Für die Verknüpfung der Betriebsmittel an den Netzknoten mit Hilfe der Knotenpunktsätze werden die Knotenpunkte je nach Vorkommen der verschiedenen Betriebsmitteltypen in L-, R- und C-Knoten eingeteilt.

9.1 Klemmengleichungen der Betriebsmittel Die im Kapitel 8 bereitgestellten Gleichungen für die Klemmenströme der L-, R- und CBetriebsmittel werden in der folgenden Matrizengleichung geordnet zusammengefasst.1 ªi' º « sL » « i sR » « » «¬ i sC »¼

ªG sL « « « ¬

GsR

º ª usL º ª i sqL º ª o º » « »« » « » » « usR »  « i sqR »  « o » « » GsC »¼ «¬ usC »¼ « i sqC » «¬Cs u sC »¼ ¬ ¼

(9.1)

Die Leitwertmatrizen G sL , GsR , GsC haben blockdiagonale Form. Für die Quellenströme der LBetriebsmittel gilt2:

1 Bei Verwendung der Gl. (8.87) für die Transformatoren enthält die Leitwertmatrix GsL komplexe Elemente, sofern Transformatoren mit phasendrehender Schaltgruppe vorkommen. Sie wird deshalb allgemein als komplex gekennzeichnet.

240 i sqL

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren  K GsL ( RsL i sL  usqL )

(9.2)

9.2 Knotenspezifikation und Knotenpunktsätze Die Netzknotenpunkte werden wie die Betriebsmittel (BM) unterteilt in induktive oder LKnoten, kapazitive oder C-Knoten und resistive oder R-Knoten. Ihre Definition geht aus Tabelle 9.1 hervor. An einem L-Knoten sind ausschließlich L-BM angeschlossen. An einem R-Knoten ist mindestens ein R-BM vorhanden. Daneben können auch L-BM, aber keine C-BM vorkommen. An einem C-Knoten ist mindestens ein C-BM vorhanden. Zusätzlich können R- und L-BM angeschlossen sein. Tabelle 9.1. Knotenspezifikation

L-BM

R-BM

L-Knoten

…

R-Knoten

†

…

C-Knoten

†

†

C-BM

…

… am Knoten notwendiger Betriebsmitteltyp † zusätzlich möglicher Betriebsmitteltyp

Mit der nach Knoten- und Betriebsmittel-Typen geordneten Knoten-Klemmen-Matrix nehmen die Knotenpunktsätze folgende Form an3: L-BM

L-Knoten ª K LL

« R-Knoten « K RL C-Knoten « K CL ¬

R-BM



K RR K CR

C-BM

 º ª i sL º »« »  » « i sR » K CC »¼ «¬ i sC »¼

o

(9.3)

Die Nullmatrizen in der 1. und 2. Zeile ergeben sich daraus, dass per definitionem (s. die leeren Felder in Tabelle 9.1) an einem L-Knoten weder ein R- noch ein C-BM und an einem RKnoten kein C-BM angeschlossen sein kann. 2 Bei Verwendung der Gl. (8.87) für die Transformatoren unterscheidet sich, sofern Transformatoren mit phasendrehender Schaltgruppe vorkommen, die reelle Leitwertmatrix GsL in Gl. (9.2) von der komplexen Leitwertmatrix GsL in Gl. (9.1). Für die Schaltgruppe Yy0 oder bei Verwendung der Gl. (8.83) für die Transformatoren wird die K-Matrix wie für die anderen L-Betriebsmittel zur Einheitsmatrix und beide Leitwertmatrizen werden reell und gleich (s. Abschnitt 8.3.4). 3 Bei Verwendung der Gl. (8.83) für die Transformatoren werden Elemente der Matrix komplex, sobald Transformatoren mit phasendrehender Schaltgruppe vorkommen (s. das Beispiel 9.1). Die Matrizen werden deshalb allgemein als komplex gekennzeichnet.

9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV

241

Die Gl. (9.3) wird wie folgt umgestellt: ª K LL « «  «  ¬

 º ª i sL º »« »  » « i sR » K CC ¼» ¬« i sC ¼»



K RR K CR

ª o º « »  « K RL » i sL « » ¬ K CL ¼

(9.4)

Nun ist es möglich, die 1. Zeile von Gl. (9.4) zu differenzieren, ohne dass die beiden anderen Zeilen davon betroffen sind. Da die Ströme der L-BM stetig sind, sind sie auch differenzierbar. Nach anschließender Division der 1. Zeile mit Z0 treten so für die L-BM die in Gl. (9.1) enthaltenen modifizierten Ströme

' i sL

1  i sL

(9.5)

Z0

an die Stelle von i sL : ª K LL « «  «  ¬

' º  º ª i sL »« »  » « i sR » « » K CC »¼ « i sC » ¬ ¼



K RR K CR

ª o º « »  « K RL » i sL «K » ¬ CL ¼

(9.6)

Der Zusammenhang zwischen den Klemmenspannungen der BM und den Knotenspannungen ist durch die transponierte konjugiert komplexe Knoten-Klemmen-Matrix gegeben: ª usL º « » « usR » «u » ¬ sC ¼

ª K TLL « «  « «¬ 

K TRL T

K RR 

K TCL º ª u º » sLK » T « K CR » « usRK »

»« » K TCC » ¬ usCK ¼ ¼

(9.7)

9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV Die Bildung des Netzgleichungssystems, das die einzelnen Betriebsmittel miteinander verknüpft erfolgt analog zur Bildung des Knotenspannungs-Gleichungssystems in Kapitel 3. Zunächst werden die BM-Ströme aus Gl. (9.1) in Gl. (9.6) eingesetzt. Anschließend werden die Knotenspannungen mit Hilfe der Gl. (9.7) eingeführt. Man erhält so mit Gl. (9.2): ªG sLL « «  «  ¬

G sLR G sRR G sCR

G sLC º ª usLK º »« » G sRC » « usRK » G sCC »¼ «¬ usCK ¼» ª  K LL G sL «  « «  ¬



K RR K CR

ª º º ª  K LL G sL RsL º  º « usqL » ª o » « » « »  » « i sqR »  « o K RL »« » i sL « » » K CC ¼» « i sqC » ¬«C sKK u sCK ¼» ¬« K CL ¼ ¬ ¼

(9.8)

242

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren

mit der Knotenleitwertmatrix4 ªG sLL « «  «  ¬

G sLR G sRR G sCR

G sLC º » G sRC » G sCC »¼

ª K LL « «  «  ¬



K RR K CR

ª K LL G sL K TLL « «  «  «¬

T

 º ªG sL »«  »« K CC »¼ «¬

GsR

º ª K LL »« »«  « GsC »¼ «  ¬

K TRL

K TRR 

K LL G sL K TRL

T º K CL » T » K CR T » K CC ¼»

K LL G sL K TCL

º »

T » K RR GsR K CR T T » K CCGsC K CC  K CR GsR K CR » ¼

K RR GsR K TRR T

K CR GsR K RR

(9.9)

und der Knotenkapazitätsmatrix T

C sKK

 K CC Cs K CC

(9.10)

Die Gl. (9.9) kann in eine algebraische Gleichung für die Berechnung der Spannungen an den L- und R-Knoten und in eine Differentialgleichung für die Spannungen an den C-Knoten zerlegt werden: ªG sLL «  ¬

G sLR º ª usLK º G sRR »¼ «¬ usRK »¼

C sKK u sCK

ª  K LL G sL «  ¬

 º ª usqL º ª  K LL G sL RsL « » K RL K RR »¼ ¬« i sqR ¼» «¬

G sCC usCK  G sCR usRK  K CL i sL  K CR i sqR  K CC i sqC

G sLC º ª i sL º G sRC »¼ «¬ usCK »¼

(9.11) (9.12)

Das Gleichungssystem wird vervollständigt durch die Differentialgleichung für die Berechnung der Ströme der L-Betriebsmittel und die Differentialgleichung für die inneren Zustandsgrößen der Betriebsmittel:



isL

T T T Z0 G sL ( RsL i sL  usqL  K LL usLK  K RL usRK  K CL usCK )

(9.13)

z i

f i ( z i , xi , usLK , usRK , usCK , i sL )

(9.14)

Die in xi zusammengefassten Größen sind die Systemeingangsgrößen, wie beispielsweise die Erregerspannung oder die Turbinenleistung bei den Synchronmaschinen. Die Gln. (9.11), (9.12) und (9.13) sind über die „Quellengrößen“ mit den inneren Zustandsgrößen verknüpft: i sqC

f C (zi )

(9.15)

usqL

f L (zi )

(9.16)

Die Quellenströme der R-Betriebsmittel (Leitungen als Wellenmodell) hängen nicht von inneren Zustandsgrößen ab, sie sind lediglich Funktionen von den gegenüberliegenden Klemmengrößen: i sqR

f R (usRK , usCK , i sR , i sC )

(9.17)

4 Das Vorzeichen wird analog zur Definition der Knotenadmittanzmatrix in Gl. (3.12) gewählt.

9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV

243

In der folgenden Tabelle 9.2 sind die inneren Zustandsgrößen der Betriebsmittel nochmals zusammengestellt. Tabelle 9.2. Innere Zustandsgrößen der Betriebsmittel

Betriebsmittel

Modell

Innere Zustandsgrößen

Bezug

Synchronmaschine

8. Ordnung

kf\ f , kD\ D , kQ\ Q , ǻZL , ǻ-L

Gl. (8.134)

Asynchronmaschine

5. Ordnung

kL\ sL , ZL

Gl. (8.244)

nichtmotorische Last

R-L-C-Reihenschaltung

u sC , u sC , uhC

G-C-L-Parallelschaltung

i sL , i sL , ihL

Ȇ-Glied

Leitung

Gl. (8.290)



Gl. (8.295)

i sL , i sL , ihL

Bild 8.6

Ȇ-Kette

i sL1 } i sLm , usC1 } usCm-1

Gl. (8.53)

T-Glied

u sC , u sC , uhC

Bild 8.4

T-Kette

usC1 } usCm , i sL1 } i sLm-1

Gl. (8.48)

Aus den Gln. (9.11), (9.12) und (9.13) kann noch die Knotenspannungen an den R-Knoten eliminiert werden. Man erhält aus der zweiten Zeile von Gl. (9.11): usRK

1 G sRR ( K RR i sqR  K RL i sL  G sRC usCK )

(9.18)

und nach Einsetzen in die erste Zeile von Gl. (9.11): G sLL usLK

1

1

(G sLR G sRR G sRC  G sLC )usCK  ( K LL G sL RsL  G sLR G sRR K RL ) i sL  1  K LL G sL usqL  G sLR G sRR K RR i sqR

(9.19)

und in Gl. (9.12) und (9.13): C sKK u sCK

1

(G sCR G sRR G sRC  G sCC )usCK  K CC i sqC  1 1 K RR )i sqR  ( K CL  G sCR G sRR K RL )i sL  ( K CR  G sCR G sRR

isL

(9.20)

1 Z0GsL [( K TRL G sRR K RL  RsL )i sL  usqL 





1 1 G sRC )usCK  K TRL G sRR K RR i sqR ]  K TLL usLK  ( K TCL  K TRL G sRR

Die Gln. (9.19) bis (9.21) werden noch etwas geordnet:

(9.21)

244

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren 1 ª  K G R  G sLR G sRR K RL ¬ LL sL sL

G sLL usLK

 ª K LL G sL ¬ ª isL º « »  ¬C sKK usCK ¼

1 G sLR G sRR

K RR

ª i º 1 G sLR G sRR G sRC  G sLC º « sL »  ¼ u ¬ sCK ¼

ª usqL º « »  º « i sqR » ¼ « » «¬ i sqC »¼

(9.22)



1 1 ªZ0 G sL ( K TRL G sRR K RL  RsL ) Z0 G sL ( K TCL  K TRL G sRR G sRC ) º ª i sL º « »« » 1 1 »¼ ¬ usCK ¼ G sCR G sRR G sRC  G sCC ¬« K CL  G sCR G sRR K RL

ª Z0GsL « «¬ 

1 K RR Z0 G sL K TRL G sRR 1 K CR  G sCR G sRR K RR

ª usqL º

» ªZ0 G sL K TLL usLK º  º« » « i sqR »  « » o K CC »¼ « » ¬ ¼ «¬ i sqC »¼

(9.23)

usqL , i sqR

usRK algebraische KnotenspannungsGleichung

usLK L-BM

usqL , i sqR

i sL

³dt

C-Kn

usCK

³dt

usqL , i sqR

Bild 9.1. Struktur des Algebro-Differentialgleichungssystems nach dem EKPV

Das Bild 9.1 veranschaulicht die Struktur der Gln. (9.22) und (9.23). Die Spannungen an den R-Knoten sind Ausgabegröße. Mit ihnen können die Ströme der R-Betriebsmittel berechnet werden. Der Signalfluss im Bild 9.1 enthält keine algebraischen Schleifen, so dass die Lösung auch bei nichtlinearen L-BM ohne Iterationen auskommt, solange keine impliziten Integrationsverfahren angewendet werden. Eine weitere vorteilhafte Besonderheit des Gleichungssystems besteht darin, dass die Gleichungen aller L-Betriebsmittel und C-Knoten parallel (im Bild

9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV

245

9.1 jeweils nur durch einen Block vertreten) angeordnet sind. Dies ermöglicht einen objektorientierten Rechenprogrammaufbau und eine weitgehende parallele Verarbeitung.

9.3.1. Gleichungssystem für ein L-C-Netz Für den Fall, dass keine R-Betriebsmittel vorkommen, vereinfachen sich die Gln. (9.22) und (9.23) zu: G sLL usLK

ª i º G sLC º¼ « sL »  ª¬ K LL G sL ¬ usCK ¼

ª¬ K LL G sL RsL

ª isL º « »  C u ¬ sKK sCK ¼

ª Z0 G sL RsL « ¬« K CL ª Z G  « 0 sL ¬ 

ª usqL º  º¼ « » «¬ i sqC »¼

(9.24)

Z0 G sL K TCL º ª i sL º G sCC

»« » ¼» ¬ usCK ¼

(9.25)

 º ª usqL º ªZ0 G sL K TLL usLK º « »« » K CC »¼ ¬« i sqC ¼» ¬ o ¼

Dieser Fall liegt beispielsweise vor, wenn die Leitungen in der Ȇ-Ersatzschaltung oder ȆKettenschaltung modelliert werden.

Beispiel 9.1 Für die Anordnung im Bild 9.2 soll das Gleichungssystem nach dem EKPV aufgestellt werden. Der Transformator soll die Schaltgruppe Yd5 haben und auf der Oberspannungsseite starr geerdet sein. Der Magnetisierungsstrom soll vernachlässigt werden. Der Einfachheit halber (hier steht die Formulierung des Gleichungssystems im Vordergrund) wird der Generator durch eine Spannungsquelle mit der subtransienten Spannung hinter der subtransienten Induktivität nachgebildet. Die Leitung soll durch eine Ȇ-Ersatzschaltung nachgebildet werden. Diese Nachbildung reicht beispielsweise aus, wenn Kurzschlussstromverläufe berechnet werden sollen. Die Parameter der Betriebsmittel sind in der Tabelle 9.3 zusammengestellt. a)

G

1

T

2

3

L

~ b )

K1 A G

K2 B

A T

K3 A

B L

Bild 9.2. Beispielnetz für die Formulierung des Algebro-Differential-Gleichungssystems nach dem EKPV. a) Netzplan b) Ersatzschaltungen der Raumzeigerkomponenten für die Betriebsmittel

246

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren

Tabelle 9.3. Parameter der Netzelemente im Bild 9.2

Parameter

Generator

Transformator1

Leitung

100 MVA

100 MVA, ü = 10

110 kV, 20 km

R1/:

0,01

1

5

R0/:

0

1

10

X1/:

0,25

20

10

X0/:

0,02

20

25

G1/nS

––

––

0

G0/nS

––

––

0

C1/nF

––

––

200

C0/nF

––

––

150

1 Daten für die Oberspannungsseite

Durch die Nachbildung der Leitung als Ȇ-Ersatzschaltung wird die Leitung zum C-Betriebsmittel. Der Generator und Transformator sind L-Betriebsmittel. Demzufolge ist der Knoten 1 ein L-Knoten, während die Knoten 2 und 3 C-Knoten sind. Da keine R-Betriebsmittel vorkommen, handelt es sich um ein L-C-Netz. Für die Transformatornachbildung wird die Variante 2 gewählt. Die der Gl. (9.3) entsprechende Knoten-Klemmen-Matrix hat folgenden Aufbau: G TA TB K1 ª E

K sKT

« K2  « K3 «¬ 

LA LB



K sB



E 

 

E 

º  »» E »¼

ª K LL «K «¬ CL

 º K CC »»¼

mit der Schaltungsmatrix für die Dreieckswicklung nach Tabelle 8.6: K sB

ª m 5 « « « ¬

m5

º » » 0» ¼

ª 3 e  j5ʌ / 6 « « « «¬

3e

j5ʌ / 6

º » » » 0» ¼

ª 1,5  j0,866 º « »   1,5 j0,866 « » «¬ 0 »¼

Die nach L- und C-Betriebsmitteln geordnete Betriebsmittel-Leitwertmatrix der Gl. (9.1) lautet:

GsB

ªGsG « « « « « « ¬

Gspp

nGsps

nGssp

n 2Gsss GsLAA

º » » » » » GsLBB »¼

ªGsL « ¬«

º GsC »¼»

mit den Untermatrizen für den Transformator, Generator und die Leitung mit

9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV n

GsT

GsG

nYd5

247

ü/ 3:

ª Gspp « ¬« nGssp

nGsps º » n 2Gsss ¼»

ª4 º « 4 »S « » «¬ 50 »¼

n ˜ 0, 05 ª 0, 05 º « » 0, 05 n 0, 05  ˜ « » « 0, 05 n ˜ 0, 05» « »S n 2 ˜ 0, 05 « n ˜ 0, 05 » « » 2 n ˜ 0, 05  n ˜ 0, 05 « » 2 « » n n  ˜ ˜ 0, 05 0, 05 ¬ ¼

GsC

ªGsLAA « ¬

º GsLAA »¼

ª0 º « 0 » « » « » 0 « » 0 « » « 0 » « » 0 »¼ ¬«

Die Gl. (9.24) für die Berechnung der Spannungen am L-Knoten (hier Knoten 1)

 K LLGsL K TLL usLK

T  K LLGsL RsL i sL  K LLGsL K CL usCK  K LLGsL usqL

lautet ausführlich (Leitwerte in S):

ª9 º ªu sK1 º « » «u » « 9 » « sK1 » «¬ 50 »¼ «uhK1 » ¬ ¼ ª i sG º « » « i sG » «i » « hG » 21, 65  j12,50 3, 75  j2,17 ª 4 º «i sTA » « » 2 « 21, 65  j12,50 10 u « 4 3, 75  j2,17 »» «i sTA » « «¬ 0 0 0 »¼ ihTA » « » « i sTB » « » « i sTB » «i » ¬ hTB ¼

248

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren

ª u sK2 º « » « u sK2 » 0, 433 j0, 25 0  ª º« » » «uhK2 »  0, 433  j0, 25 0  «« » «u » 0 0 ¼» « sK3 » ¬«

« u sK3 » «u » ¬ hK3 ¼ ªu sqG º « »

«u sqG » « » « 0 » 2,5  j1, 4434 0, 433  j0, 25 ª 4 º« 0 » « » « « 4 2,5  j1, 4434 »» « 0 » 0, 433  j0, 25 «¬ 50 0 0 »¼ « 0 » « » « 0 » « » « 0 » «¬ 0 »¼

Die erste Zeile der Gl. (9.25) isL



Z0GsL RsL i sL  Z0GsL usqL  Z0GsL K TLL usLK  Z0GsL K TCL usCK

hat die ausführliche Form (Leitwerte in S): ª isG º « » « isG » « i » « hG » «isTA » « » «isTA » « » «ihTA » « isTB » « »

« isTB » « » ¬ ihTB ¼

ª0, 04 º ª i sG º « » « i » 0, 04 « » « sG » « » « ihG » 0 « » «i » 0, 0043 0, 025 « » « sTA » « » «i »  Z0 0, 0043 0, 025 « » « sTA »  0, 025 0, 0043 « » «ihTA » « » «i » 0,1443 0, 025 « » « sTB » 0,1443 0, 025 « » «i » « » « sTB » 0,1443 0, 025 ¼ « i » ¬ ¬ hTB ¼

9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV

249

ª 4 º ªu sqG º « 4 »« » « » « u sG » « »« 0 » 50 » « »« 0, 2887 0, 05 « »« 0 » »« 0 » Z0 « 0, 2887 0, 05 » « »« 0, 2887 » « 0 » 0, 05 « » « »« 0, 2887 1, 6667 « »« 0 » 0, 2887 1, 6667 « »« 0 » » « »« 0, 2887 1, 6667 ¼ ¬« 0 ¼» ¬ 4 0 ª º ª 0 º « » « » 4 0 0 « » « » ª u sK2 º « « 50 » 0 0 »« » « » ªu º « » « u sK2 » 0 « 0, 433  j0, 25 » « sK1 » « 0, 05 » «u »

» « hK2 » Z0 « 0, 433  j0, 25 » «u sK1 0, 05 0 »  Z0 « « »« « » «u » 0 » ¬uhK1 »¼ 0, 05 0 » « sK3 » « «

« 2,5  j1, 4434 » « 0, 2887 » « u sK3 » 0 « » « » «u » 0 2,5  j1, 4434 » 0, 2887 « « » ¬ hK3 ¼ « » « » 0¼ 0 ¼ 0, 2887 ¬ ¬

Schließlich lautet die zweite Zeile von

 K CC Cs K TCC u sCK

K CCGsC K TCC usCK  K CC i sqC  K CL i sL

ª1 º ªu sK2 º « 1 » «u » « » « sK2 » « » «uhK2 » 0, 75 » 107 u « »« 1 « » « u sK3 » « » « u » 1 « » « sK3 » 0, 75¼» «¬uhK3 »¼ ¬«

ª0 º ªu sK2 º « 0 » «u » « » « sK2 » « » «uhK2 » 0 » « »« 0 « » « u sK3 » « 0 » «« u »» « » sK3 0 »¼ «¬uhK3 »¼ ¬«

250

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren ª i sG º « » « i sG » ªi sqCA º 1 0 ª1 º« º« » » ª0

« 1 » «i sqCA » « ihG » » « 0 1 0 « »« » «i sTA » » « « » «ihqCA » « 1 0 1 0» « » « »« » «i sTA » »« 1 0 0 « » « i sqCB » «0 »« i » « 1 » «i » « 0 0 0 » « hTA » « » « sqCB » « » «i » 1»¼ « 0 0 0 »¼ « sTB » «¬ «¬ » i

¬ hqCB ¼ « i sTB » «i » ¬ hTB ¼

Innere Zustandsgröße sind die Längsströme der Leitung. Für sie gilt nach Gl. (9.14): ª u sK2 º « » « u sK2 » z ª º 1 ª0,5 º si ª0,1 º ª1 º« » » «z » Z « »« 1 » «uhK2 » 0,5 0,1 1 Z0 ««  « » 0 si » « »« » «u » «¬ «¬ 0, 4 »¼ « zhi » 0, 04 »¼ «¬ 1 1»¼ « sK3 » ¬ ¼

« u sK3 » «u » ¬ hK3 ¼

ª z si º « » « z si » « z » ¬ hi ¼

Der Gl. (9.15) entspricht die Gleichung: ªi sqCA º « »

«i sqCA » « » «ihqCA » «i » « sqCB » «i » « sqCB » « ihqCB » ¬ ¼

ª1 º « » 1 « » ª z si º « 1 »« » « » « z si » « 1 » «z » « » ¬ hi ¼ 1 « » 1»¼ «¬

9.3.2. Gleichungssystem für ein L-Netz Sind auch keine C-Betriebsmittel vorhanden, so vereinfachen sich die Gln. (9.24) und (9.25) weiter zu: G sLL usLK isL

 K LL G sL RsL i sL  K LL G sL usqL

 K LL G sL ( RsL i sL  usqL )

Z0 G sL ( RsL i sL  usqL )  Z0 G sL K TLL usLK

(9.26) (9.27)

Dieser Fall liegt dann vor, wenn die Leitungen durch T-Glieder oder T-Kettenschaltungen und die nichtmotorischen Lasten durch R-L-C-Reihenschaltungen nachgebildet werden.

9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV

251

Beispiel 9.2 Für die Anordnung im Bild 9.2 soll das Gleichungssystem nach dem EKPV aufgestellt werden. Im Unterschied zu Beispiel 9.1 soll die Leitung jedoch als T-Glied modelliert werden, wodurch nur noch L-Betriebsmittel vorkommen und das Netz zum L-Netz wird. Die Knoten-Terminal-Matrix ändert sich im Aufbau gegenüber Beispiel 9.1 nicht: G TA TB K1 ª E

K sKT

« K2  « K3 «¬ 

 E 

K sB  

LA LB

 E 

º  »» E »¼

K LL

Die Gl.(9.26) G sLL usLK

 K LL G sL RsL i sL  K LL G sL usqL

lautet ausführlich: 9 0, 433  j0, 25 ª º ª u sK1 º « » «u » 9 0, 433  j0, 25 « » « sK1 » « » « uhK1 » 50 0 » « »« 0, 25 «0, 433  j0, 25 » «u sK2 » » «u » « 0, 433  j0, 25 0, 25 « » « sK2 » 0 0,13 « » «uhK2 » » « »« 0, 2 « » « u sK3 » « » «u » 0, 2 « » « sK3 » 0,08¼ «u » ¬ ¬ hK3 ¼ ª i sG º « » « i sG » «i » « hG » 4 21,65 j12,5 3,75 j2,17    ª º «i sTA » « 4 » «i » 21,65  j12,5 3,75  j2,17 « » « sTA » « 0 » «ihTA » 0 0 » « »« 2,5 50 0, 43 « » « i sTB » » «i »  102 « 2,5 50 0, 43 « » « sTB » 2,5 40 0, 43 « » « ihTB » » « »« 50 « » « i sLA » « 50 » «« i »» « » sLA 40 ¼ «i » ¬ « hLA » « i sLB » « » « i sLB » «i » ¬ hLB ¼

252

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren

ªu sqG º « »

«u sqG » « » « 0 » 2,5  j1,4434 ª 4 0, 433  j0, 25 º« 0 » » « 4 »« 0,433  j0, 25 2,5  j1, 4434 « »« 0 » « 50 »« 0 » 0 0 » « »« 0,05 0, 2887 0,2  « »« 0 » » »« « 0,05 0,2 0,2887 « »« 0 » 0,05 0,08 0, 2887 « »« 0 » » « »« 0, 2 « »« 0 » « »« 0 » 0, 2 » « »« 0,08¼ « 0 » ¬ « » « 0 » « 0 » « » «¬ 0 »¼

Die Elemente der Gl. (9.27) isL

Z0 G sL RsL i sL  Z0 G sL usqL  Z0 G sL K TLL usLK

sind: ª isG º « » « isG » « i » « hG » «isTA » « »

«isTA » « » i « hTA » « i » « sTB »

« isTB » « » « ihTB » «i » « sLA » «i » « sLA » «ihLA » « i » « sLB » « i » « sLB » «¬ ihLB »¼

ªi º ª4 º « sG »

« 4 » « i sG » « »« » i hG « » 0 « » « » «i » sTA 2,5 0, 43  « »« »

« » «i sTA 2,5 0, 43 » « »« » i 2,5 0, 43 « » « hTA » « » «i » 2,5 14, 43 « » « sTB » 2 » «i »  10 u Z0 « 2,5 14, 43 « » « sTB » 14, 43 2,5  « » « ihTB » « » «i » 50 « » « sLA »

50 « » « i sLA » « »« » 40 i « » « hLA » « » «i » 50 « » « sLB » 50 « » «i » sLB «¬ 40 »¼ « » ¬ ihLB ¼

9.3 Netzgleichungssysteme des EKPV

253

ªu sqG º ª4 º« » « » «u sqG » » « 4 »« « »« 0 » 50 « »« 0 » 0,05 0, 2887 » « »« « »« 0 » 0,05 0, 2887 « »« 0 » » 0,05 0, 2887 « »« « 0 » « » 1,6667 0, 2887 « »« 0 » » »« Z0 « 1,6667 0, 2887 « »« 0 » 0, 2887 1,6667 » « »« « » « u sqL » 0, 2 « »« » 0, 2 « » « u sqL » » « »« 0,08 « » « uhqL » « » «u » 0, 2 « » « sqL » 0, 2 « » «u » 0,08¼» « sqL » ¬« «u » ¬ hqL ¼

4 ª º « » 4 « » « » 50 « » ªu º 0,05 « 0, 433  j0, 25 » « sK1 »

« » « u sK1 0, 433  j0, 25 0,05 » « »« » u 0 0,05 « » « hK1 » « 2,5  j1, 4434 » «u » 0, 2887 « » « sK2 »

» « u sK2 Z0 « 2,5  j1, 4434 0, 2887 » « »« » 0 0, 2887  « » «uhK2 » « » 0, 2 «u » « » « sK3 »

0, 2 « » « u sK3 » « »« » 0,08 « » ¬uhK3 ¼ « » 0, 2 « » 0, 2 « » «¬ 0,08»¼

Die Gl. (9.14) für die inneren Zustandsgrößen (Spannungen über dem Querglied der Leitung) und die Gl. (9.15) für die Quellenspannungen der Leitung haben die Form: ª z si º « » « z si » « z » ¬ hi ¼

ª0 º ª z si º ª5 º ­ ªi sLA º ªi sLB º ½ « 0 » « z »  106 u « 5 » °° « » « » °° « » « si » « » ® «i sLA »  «i sLB » ¾ «¬ «¬ 0 »¼ « zhi » 6, 6667 »¼ °° «ihLA » «ihLB » °° ¬ ¼ ¼ ¬ ¼¿ ¯¬

254

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren

ª u sqLA º « »

« u sqLA » « » «uhqLA » «u » « sqLB » «u » « sqLB » « uhqLB » ¬ ¼

ª1 º « 1 » « » ª z si º « 1» « » « » « z si » «1 » «z » « 1 » ¬ hi ¼ « » 1»¼ «¬

9.3.3. Gleichungssystem für ein C-Netz Im C-Netz sind alle Knotenspannungen Zustandsgröße. Dieser Sonderfall tritt dann auf, wenn die Leitungen als Pi-Glied oder Pi-Kettenschaltung und die nichtmotorischen Lasten als G-CL-Reihenschaltung modelliert werden. Einspeisungen können dann nur in Form von Stromquellen berücksichtigt werden. Die Gl. (9.23) vereinfacht sich zu: C sKK u sCK

G sCC usCK  K CC i sqC

(9.28)

9.4 Berechnung der Netzeigenwerte nach dem EKPV Das EKPV ermöglicht auch die Berechnung der Netzeigenwerte. Dazu wird das aus den Gln. (9.22) und (9.23) bestehende Algebro-Differentialgleichungssystem in eine reine Differentialgleichung überführt, indem auch die Spannungen der L-Knoten eliminiert werden. Man erhält nach Einsetzen der L-Knotenspannungen aus Gl. (9.22) in die Gl. (9.23) eine Differentialgleichung der Form (auf die ausführliche Schreibweise wird hier verzichtet, zumal man die Rechenschritte ohnehin dem Computer überlassen würde): ª isL º « » ¬ u sKC ¼

ª ALL «A ¬ CL

ALC º ª i sL º ª B LL  ACC »¼ «¬ usKC »¼ «¬ 

B LR B CR

ª usqL º »  º« «i » B CC »¼ « sqR » «¬ i sqC »¼

(9.29)

Von der Eigenwertberechnung muss das Wellenmodell der Leitungen ausgeschlossen werden. Es entfallen dann die Quellenströme der R-Betriebsmittel. Die Gl. (9.29) ist gewöhnlich linear, so dass unter Berücksichtigung von i sqR o auch gilt: ª ǻ isL º « » ¬ ǻ u sKC ¼

ª ALL «A ¬ CL

ALC º ª ǻ i sL º ª B LL  ACC »¼ «¬ǻ usKC »¼ «¬ 

 º ªǻ usqL º « » B CC »¼ ¬« ǻ i sqC ¼»

(9.30)

Die Gln. (9.14) bis (9.16) für die inneren Zustandsgrößen und Quellengrößen sind dagegen im Allgemeinen nichtlinear und müssen für die Eigenwertberechnung linearisiert werden. Sie nehmen dann nach Elimination der Knotenspannungen die folgende Form an: ǻ z i

A ii ǻ z i  B ii ǻxi  K iC ǻ usKC  K iL ǻ i sL

(9.31)

ǻ i sqC

F C ǻ zi

(9.32)

ǻ usqL

F L ǻ zi

(9.33)

9.4 Berechnung der Netzeigenwerte nach dem EKPV

255

In zusammengefasster Form lauten dann die Gln. (9.30) bis (9.33) ª ǻ isL º « » « ǻ u sKC » « ǻ z » i ¼ ¬

ªA « LL « ACL «K «¬ iL

ALC ACC K iC

B LL F L º ª ǻ i sL º ª o º »« » « » B CC F C » «ǻ usKC »  « o » A ii »» «¬ ǻ z i »¼ «¬ B ii ǻxi »¼ ¼

(9.34)

Die Systemmatrix der Gl. (9.34) weist beim Vorhandensein von L-Betriebsmitteln neben den eigentlichen Eigenwerten eine bestimmte Anzahl von Nulleigenwerten ohne Bedeutung auf. Das ist darauf zurückzuführen, dass an den L-Knoten eine algebraische Abhängigkeit zwischen den Strömen der L-Betriebsmittel besteht.

Beispiel 9.3 Für das L-C-Netz nach Bild 9.2 sollen die Eigenwerte für den ungestörten Zustand berechnet werden. Dazu wird das aus den Gln. (9.24) und (9.25) bestehende Algebro-Differentialgleichungssystem wie folgt in ein reines Differentialgleichungssystem überführt. Aus der Gl. (9.24) erhält man für die Spannungen der L-Knoten: 1 1 1 G sLL K LL G sL RsL i sL  G sLL G sLC usCK  G sLL K LL G sL usqL

usLK

und nach Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (9.25):

ª isL º « » ¬C sKK u sCK ¼

1 ª Z0 G sL ( E  K TLL G sLL G sL ) RsL « K CL «¬



T 1 G sLC ) º ª i sL º Z0 G sL ( K CL  K TLL G sLL

G sCC

»« » »¼ ¬ usCK ¼

1 ª Z G ( E  K TLL G sLL G sL )  º ª usqL º  « 0 sL » »« K CC ¼» ¬« i sqC ¼»  ¬«

Hinzu kommen noch die Gleichungen für die inneren Zustandsgröße (Längsströme) und die Quellenströme der Leitung: zsi

i sqC

 Ls 1 Rs z si  K siC usCK T K siC z si

mit der Matrix K iC

 E @ , in der E die Einheitsmatrix dritter Ordnung ist.

>E

Nach zusammenfassen der vorstehenden Gleichungen ergibt sich: ª isL º « » « u sCK » « » ¬ z si ¼





1 T T 1 ª Z0 G sL ( E  K TLL G sLL ºª i º G sL ) RsL Z0 G sL ( K CL  K LL G sLL G sLC )  « » « sL » 1 1 1 T « C sKK K CL C sKK G sCC C sKK K CC K siC » « usCK »  « »« z » Ls 1 K siC  Ls 1 Rs  ¬« ¼» ¬ si ¼

1 ª Z0 G sL ( E  K TLL G sLL G sL ) º « » «  » usqL « »  ¬ ¼

256

9 Erweitertes Knotenpunktverfahren

Die Systemmatrix dieser Gleichung hat folgende konjugiert komplexe Eigenwertpaare (Werte in s1) und 6 Nulleigenwerte. „Mitsystem“

„Gegensystem“

„Nullsystem“

74 ± j 25791

74 ± j 25791

44 ± j 21676

11 ± j 5742

11 ± j 5742

27 ± j 8642

Aufgrund der Entkopplung der Raumzeigergleichungen im ungestörten Zustand lassen sich die Eigenwerte dem „Mit-, Gegensystem“ und „Nullsystem“ zuordnen.5 Die Eigenwerte des Mitund Gegensystems sind aufgrund der symmetrisch aufgebauten Betriebsmittel jeweils gleich. Drei der 6 Nulleigenwerte sind durch den L-Knoten begründet. Die anderen drei entstehen dadurch, dass der Magnetisierungsstrom des Transformators vernachlässigt wurde, wodurch die primär- und umgerechneten Sekundärströme bis auf das Vorzeichen gleich sind.

Beispiel 9.4 Für das L-Netz im Beispiel 9.2 sollen die Eigenwerte berechnet werden. Aus Gl. (9.26) folgt für die Knotenpunktspannungen: usLK

1 1 G sLL K LL G sL RsL i sL  G sLL K LL G sL usqL

und nach Einsetzen in die Gl. (9.27): isL



1 1 Z0 G sL ( RsL  K TLL G sLL K LL G sL RsL )i sL  Z0 G sL ( E  K TLL G sLL K LL G sL )usqL

Für die inneren Zustandsgrößen und die Quellenströme der Leitung gilt: z si i sqC

Cs1Gs z si  Cs1 K siL i sL T K siL z si

Der Quellenspannungsvektor wird aufgespaltet in einen Vektor, der die eingeprägten Quellenspannungen des Generators enthält und in einen Vektor der aus den Spannungen über den Quergliedern der Leitung, die die inneren Zustandsgrößen bilden, besteht: usqL

>E

T

    @ usqG  >   

E

T

E @ z si

T T K sqG usqG  K siL z si

Zusammengefasst lautet das Differentialgleichungssystem: ª isL º « » ¬« z si ¼»



1 1 T º ª Z0 G sL ( RsL  K TLL G sLL K LL G sL RsL ) Z0 G sL ( E  K TLL G sLL K LL G sL ) K siL ª i sL º « »« » 1 1 z Cs K siL Cs Gs ¬« ¼» ¬ si ¼

1 T º ªZ G ( E  K TLL G sLL K LL G sL ) K sqG  « 0 sL » usqG  ¬ ¼

5 Die Bezeichnung der Eigenwerte wird von den Symmetrischen Komponenten übernommen.

9.4 Berechnung der Netzeigenwerte nach dem EKPV

257

Die Systemmatrix dieser Gleichung hat folgende konjugiert komplexe Eigenwertpaare (Werte in s1) und 12 Nulleigenwerte. „Mitsystem“

„Gegensystem“

„Nullsystem“

14,1 ± j 5605

14,1 ± j 5605

29,0 ± j 8028

Die 12 Nulleigenwerte entstehen durch die algebraischen Abhängigkeiten der Ströme an den Knoten 1 und 2, den Leerlaufzustand am Knoten 3 und die Vernachlässigung des Magnetisierungsstromes des Transformators. Im Vergleich zur Nachbildung der Leitung mit einem Pi-Glied in den Beispielen 9.1 und 9.3, treten die hohen Eigenwerte in der Größenordnung von 20 kHz bei der Nachbildung der Leitung mit einem T-Glied nicht auf. Diese sind offensichtlich den Maschen innerhalb der PiErsatzschaltung zuzuordnen. Die „kleinen“ Eigenwerte stimmen mit den hier berechneten Werten relativ gut überein. Andererseits zeigt der Vergleich der Eigenwerte in den Beispielen 9.3 und 9.4 auch, dass die Nachbildung der Leitung durch einfache Ȇ- oder T-Glieder lediglich die kleinen Eigenwerte annähernd richtig wiedergibt.

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten Das im Kapitel 6 vorgestellte Fehlermatrizenverfahren zur Berechnung beliebiger Einfach- und Mehrfachfehler lässt sich in analoger Weise vorteilhaft auch auf das Algebro-Differentialgleichungssystem des EKPV anwenden. Es ist lediglich zu beachten, dass im Zeitbereich der Zeitpunkt eines Fehlereintritts oder einer Fehleraufhebung so gewählt werden muss, dass die physikalischen Stetigkeitsbedingungen der Spannungen und Ströme an der Fehlerstelle nicht verletzt werden. Das bedeutet beispielsweise, dass Kurzschlüsse an L-Knoten zu jedem beliebigen Zeitpunkt, an C-Knoten aber nur im Spannungsnulldurchgang des betroffenen Leiters eingeleitet werden dürfen. Andererseits darf die Kurzschlussaufhebung am L-Knoten nur im Stromnulldurchgang, am C-Knoten dagegen zu jedem beliebigen Zeitpunkt erfolgen.

10.1 Fehlerbedingungen und Fehlermatrizen Für die Fehlermatrizen der Raumzeigerkomponenten und deren konjugiert komplexe transponierten Matrizen gilt analog zu den Gln. (6.23) und (6.26): Fs *T

Fs

1

1

A (T s F ' T s ) A A F 's A 1

*T

*T

FS

1

A F s' A

FS

(10.1) (10.2)

Aufgrund der bis auf einen Faktor gleichen Transformationsmatrizen zwischen den Leitergrößen und den Symmetrischen Komponenten sowie den Leitergrößen und den Raumzeigerkomponenten (s. Kapitel 1) sind die Fehlermatrizen für die Raumzeigerkomponenten und Symmetrischen Komponenten identisch.1 In Gl. (10.1) ist F s'

1

Ts F 'Ts

F S'

(10.3)

die Fehlermatrix für die Hauptfehler in Raumzeigerkoordinaten und F ' die Fehlermatrix für die Hauptfehler in Leiterkoordinaten nach Tabelle 6.2, die hier nochmals als Tabelle 10.1 wiedergegeben ist.

1 Obwohl die Fehlermatrizen für die Symmetrischen Komponenten (Index groß S) und die der Raumzeigerkomponenten identisch sind, wird hier der Index klein s für die der Raumzeigerkomponenten verwendet.

260

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten

Tabelle 10.1. Fehlermatrizen für die Hauptfehler in Leiterkoordinaten

1-pol. EKS L1-E 1-pol. UB L1

2-pol. EKS L2-L3-E 2-pol. UB L2 und L3

3-pol. EKS L1-L2-L3-E 3-pol. Unterbrechung

ª0 0 0 º «0 1 0 » « » «¬0 0 1 »¼

ª1 0 0 º «0 0 0 » « » «¬0 0 0 »¼

ª0 0 0 º «0 0 0 » « » «¬0 0 0 »¼

ohne Kurzschluss ohne Unterbrechung

2-pol. KS L2-L3

3-pol. KS L1-L2-L3

ª1 0 0 º «0 1 0 » « » «¬0 0 1 »¼

ª1 0 0 º «0 1 1 » « » «¬0 0 0 »¼

ª1 1 1 º «0 0 0 » « » «¬0 0 0 »¼

Die Diagonalmatrix A

ªD º « »

D « » « 1» ¬ ¼

(10.4)

in den Gln. (10.1) und (10.2) berücksichtigt die von den Hauptfehlern abweichende Fehlerlage. Ihre Elemente kann man der Tabelle 10.2, die der Tabelle 6.3 entspricht, entnehmen. Tabelle 10.2. Elemente der Matrix A für die verschiedenen Fehlerkonstellationen

Fehlerart

1-polig

2-polig

D

Betroffene Leiter

L1

L2 und L3

1

L2

L3 und L1

a2

L3

L1 und L2

a

Mit den vorstehenden (für Symmetrische Komponenten und Raumzeigerkomponenten gleichen) Fehlermatrizen lauten die Fehlerbedingungen für die Raumzeigerkomponenten analog zu den Gln. (6.15) bis (6.18).

Kurzschlüsse: ªi sF º « » F s «i sF » «i » ¬ hF ¼

F s i sF

o

(10.5)

10.2 Nachbildung von Kurzschlüssen an L- und R-Knoten

(E

ªu sL º T* « »  F s ) «u sL »

T*

( E  F s )usL

261

(10.6)

o

«u » ¬ hL ¼

Unterbrechungen: ªu sF º « » F s «u sF » «u » ¬ hF ¼ (E

F s usF

ªi sL º T* « »  F s ) «i sL »

(10.7)

o

T*

( E  F s )i sL

(10.8)

o

«i » ¬ hL ¼

Die allgemeinen Ausdrücke für die Fehlermatrizen bei beliebiger Fehlerlage sind in der folgenden Tabelle 10.3, die von der Tabelle 6.4 übernommen wurde, nochmals zusammengestellt. Tabelle 10.3. Fehlermatrizen in Raumzeigerkomponenten

Fehler

1-pol. EKS und 1-pol. UB

2-pol. EKS und 2-pol. UB

2-pol. KS ohne Erde

3-pol. KS ohne Erde

Fs

ª 2 D D * º » 1« * « D 2 D » 3« » * 2 » «¬ D D ¼

ª 1 D D*º » 1« * «D 1 D» 3« » * 1» «¬ D D ¼

ª 2  a 2 D (2  a 2 ) D * (1  2a) º » 1« * «D (2  a) 2  a D (1  2a 2 ) » 3« » 0 0 3 «¬ »¼

ª0 0 1º «0 0 1» « » «¬0 0 1»¼

ª 1 D D*º » 1« * «D 1 D » 3« » * «¬ D D 1 »¼

ª 2 D D * º » 1« * « D 2 D » 3« » * 2 » «¬ D D ¼

ª 1 a D (2  a 2 ) 1« * « D (2  a) 1  a2 3« 2 * «¬ D (1  2a ) D (1  2a)

ª 1 0 0º « 0 1 0» « » ¬« 1 1 0 »¼

*T

E  Fs

0º » 0» » 0» ¼

Faktor Į nach Tabelle 10.2

10.2 Nachbildung von Kurzschlüssen an L- und R-Knoten Das Fehlermatrizenverfahren wird auf die algebraische Gleichung, Gl. (9.11), in ähnlicher Weise wie auf das Knotenspannungs-Gleichungssystem in Abschnitt 6.3 angewendet. Zunächst wird die Gl. (9.11) um einen Fehlerstromvektor für alle Knoten erweitert, wobei zu beachten ist, dass dieser für die L-Knoten die modifizierten Fehlerströme

' i sFLK enthält.

1  i sFLK

Z0

(10.9)

262 ªG sLL «  ¬

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten G sLR º ª usLK º G sRR »¼ «¬ usRK »¼

ª  K LL G sL «  ¬

 º ª usqL º ª  K LL G sL RsL « » K RL K RR »¼ ¬« i sqR ¼» ¬«

º G sLC º ª i sL º ª i '  « sFLK » » « » G sRC ¼ ¬ usCK ¼ « i ¬ sFRK ¼»

(10.10)

Die Fehlerbedingungen nach Gl. (10.5) für die L-Knoten werden differenziert (die Ströme an den L-Knoten sind stetig) und zusammen mit den Fehlerbedingungen für die R-Knoten in der Matrix ª F sLK « ¬

º ª i sFLK ' º « » » F sRK ¼ « i ¬ sFRK ¼»

(10.11)

o

angeordnet, deren Untermatrizen F sLK und F sRK blockdiagonale Form mit den 3u3 Fehlermatrizen für die einzelnen L- und R-Knoten in Analogie zur Gl. (6.40) aufweisen. Ebenso wird die Gl. (10.6) auf alle L- und R-Knoten erweitert: T* ª ELK  F sLK « «¬

ERK

º ª usLK º »« » T* »¼ ¬ usRK ¼  F sRK

(10.12)

o

Im fehlerfreien Zustand ist die Matrix in Gl. (10.11) eine Einheitsmatrix und die Matrix in Gl. (10.12) eine Nullmatrix jeweils von der Ordnung, die der dreifachen Anzahl der L- und RKnoten entspricht. Tritt dagegen an einem oder mehreren Knoten ein Kurzschluss auf, so ist an diesen Stellen die entsprechende 3u3 Fehlermatrix und deren konjugiert komplex transponierte Matrix einzusetzen. Der weitere Rechengang ist für alle Fehler gleich und analog zum Fehlermatrizenverfahren in Abschnitt 6.3 ohne Fehlerimpedanzen. Die Gl. (10.10) wird von links mit der Fehlermatrix aus Gl. (10.11) multipliziert, wodurch der Fehlerstromvektor verschwindet. ª F sLK « ¬ ª F sLK « ¬

º ªG sLL G sLR º ª usLK º G sRR »¼ «¬ usRK »¼ F sRK »¼ «¬   º ª usqL º ª  K LL G sL RsL º ­° ª  K LL G sL « » ®« » K RL  F sRK ¼ ° ¬ K RR »¼ «¬ i sqR »¼ «¬ ¯

G sLC º ª i sL º ½° ¾ G sRC »¼ «¬ usCK »¼ ° ¿

(10.13)

Die Gl. (10.12) wird von links mit der Leitwertmatrix aus Gl. (10.10) multipliziert und von der Gl. (10.13) subtrahiert: k ªG sLL « ¬« 

ª F sLK « ¬

k º ª usLK º G sLR »« » k G sRR ¼» ¬ usRK ¼

º ­° ª  K LL G sL ® F sRK »¼ ° «¬  ¯

 º ª usqL º ª  K LL G sL RsL « » K RL K RR »¼ «¬ i sqR »¼ «¬

G sLC º ª i sL º ½° ¾ G sRC »¼ «¬ usCK »¼ ° ¿

(10.14)

mit der durch die Fehler modifizierten, in der Ordnung aber gleich gebliebenen Leitwertmatrix:

10.2 Nachbildung von Kurzschlüssen an L- und R-Knoten k ªG sLL « ¬« 

k º G sLR » k G sRR ¼»

ª F sLK « ¬

º ªG sLL » F sRK ¼ ¬« 

G sLR º ªG sLL  G sRR ¼» ¬« 

G sLR º ªG sLL  G sRR ¼» ¬« 

263 T* G sLR º ª F sLK « » G sRR ¼ « ¬

º » T* »¼ F sRK (10.15)

Die Auflösung der Gl. (10.14) nach den Knotenpunktspannungen ergibt: ª usLK º «u » ¬ sRK ¼ k ªG sLL « ¬« 

1

k º ª F sLK G sLR » « k G sRR ¼» ¬

º ­° ª  K LL G sL ® » F sRK ¼ ° ¬«  ¯

 º ª usqL º ª  K LL G sL RsL « » K RL K RR »¼ ¬« i sqR ¼» ¬«

G sLC º ª i sL º °½ ¾ G sRC ¼» «¬ usCK »¼ ° ¿ (10.16)

Die Einbeziehung von Kurzschlüssen an L- oder/und R-Knoten verändert die Form des Algebro-Differentilgleichungssystems offensichtlich nicht. Während der zeitschrittweisen Lösung sind bei Kurzschlusseintritt lediglich einmal die in Gl. (10.16) auf der rechten Seite stehenden Matrizen neu zu berechnen. Der Aufwand hierfür ist relativ gering, da die meisten Untermatrizen nur schwach besetzt sind. Die Kurzschlussströme ergeben sich aus: ª i sFLK º «i » ¬ sFRK ¼

ª K LL «K ¬ RL

 º ª i sL º K RR »¼ «¬ i sR »¼

(10.17)

Beispiel 10.1 Für das Netz aus Beispiel 9.1 sollen die Kurzschlussströme am Knoten 1 bei dreipoligem Kurzschluss mit Erdberührung und zweipoligem Kurzschluss in den Leitern L1 und L2 ohne Erdberührung berechnet werden. Die Leitung ist durch ein Ȇ-Glied nachgebildet. Demzufolge ist der Knoten 1 ein L- Knoten und die Knoten 2 und 3 werden zu C-Knoten. Die nach L- und C-Knoten partitionierte Fehlermatrix aus Gl. (10.11) lautet für den dreipoligen Kurzschluss im Knoten 1:

ª F sLK « ¬

º F sRK »¼

ª0 º « 0 » « » « » 0 « » 1 « » « » 1 « » 1 « » « » 1 « » 1 » « « » 1¼ ¬

264

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten

Die Anfangswerte der Raumzeiger zum Zeitpunkt 0 im Bild 10.1 sind: Größe

Maßzahl

Generatorquellenspannung

Einheit

2 ˜11/ 3

kV

 0  j 0,5660

kA

Transformatorstrom US-Seite

0 + j 0,0566

kA

Transformatorstrom OS-Seite

0,0028 + j 0,0049

kA

Transformatorwicklungsstrom Sekundärseite

 0,0163  j 0,0283

kA

Transformatorwicklungsstrom Primärseite

0,0028 + j 0,0049

kA

Längsstrom der Leitung

 0,0014  j 0,0025

kA

Spannung am Knoten 1

8,9956  j 0,0006

kV

Spannung am Knoten 2

 77,9966 + j 45,0445

kV

Spannung am Knoten 3

 78,0141 + j 45,0709

kV

Generatorstrom

80 L1

Kurzschlussströme in kA

60 40 20

L3

0 -20 -40 L2 -60 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.1. Verlauf der Kurzschlussströme bei dreipoligem Kurzschluss am Knoten 1 (L-Knoten) bei Kurzschlusseintritt im Spannungsnulldurchgang im Leiter L1 nach 5 ms

10.2 Nachbildung von Kurzschlüssen an L- und R-Knoten

265

70

Imaginärteil des Raumzeigers in kA

60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -40

-20 0 20 40 Realteil des Raumzeigers in kA

60

Bild 10.2. Ortskurve des Kurzschlussstrom-Raumzeigers bei dreipoligem Kurzschluss am Knoten 1 (LKnoten) bei Kurzschlusseintritt im Spannungsnulldurchgang im Leiter L1 während 20 ms

Der Kurzschlussstrom im Leiter L1, für den die Spannung im Moment des Kurzschlusseintritts gerade Null ist, weist folgerichtig das maximale Gleichglied auf. Die höherfrequenten Anteile in den beiden anderen Leitern entstehen durch die Entladung der Leitungskapazitäten auf die Kurzschlussstelle. Die Ortskurve des Raumzeigers des Kurzschlussstromes im Bild 10.2 beschreibt einen Kreis, um den sich eine abklingende Girlande schlingt. Der Durchmesser des Kreises entspricht der Amplitude des Wechselanteils, der hier durch die vereinfachte Generatornachbildung mit betragskonstanter subtransienter Spannung ebenfalls konstant ist. Die Girlande gehört zu den höherfrequenten Entladeströmen der Leitungskapazitäten. Durch die Gleichglieder in den Kurzschlussströmen ist der Kreis zunächst aus dem Nullpunkt verschoben und wandert im Laufe der Zeit mit dem Abklingen des Gleichanteils in den Koordinatenursprung. Im vorliegenden Beispiel ist der Kreis im Moment des Kurzschlusseintrittes auf der reellen Achse verschoben, so dass sich das maximale Gleichglied im Leiter L1 einstellt (der Strom im Leiter L1 ergibt sich aus der Projektion des Raumzeigers auf die reelle Achse, siehe Bild 1.6).

266

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten

Für den zweipoligen Kurzschluss ohne Erdberührung am Knoten 1 hat die Fehlermatrix nach Tabelle 10.3 mit D a folgende Form:

ª F sLK « ¬

ª (2  a 2 ) / 3 a (2  a 2 ) / 3 a 2 (1  2a) / 3 º « 2 » 2 « a (2  a) / 3 (2  a) / 3 a (1  2a ) / 3 » « » 0 0 0 « » « » 1 « » 1 « » « » 1 « » 1 « » « 1 »» « «¬ 1»¼

º » F sRK ¼

Die Bilder 10.3 und 10.4 zeigen die Kurzschlussstromverläufe und die Ortskurve des Raumzeigers während der ersten 50 ms. Die Ortskurve ist zu einer Geraden entartet, die durch die Gleichglieder zunächst aus dem Koordinatenursprung verschoben ist. Sie ist um –30° gegenüber der reellen Achse geneigt, so dass die Ströme in den Leitern L1 und L2 entgegengesetzt gleich werden, wie es die Fehlerbedingung fordert. 60 L1 Kurzschlussströme in kA

40

20

0

-20

-40

-60 0

L2

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.3. Verlauf der Kurzschlussströme bei zweipoligem Kurzschluss in den Leitern L1 und L2 am Knoten 1 (L-Knoten) bei Kurzschlusseintritt im Nulldurchgang der Spannung uL1L2 nach 20/6 ms

10.2 Nachbildung von Kurzschlüssen an L- und R-Knoten

267

70

Imaginärteil des Raumzeigers in kA

60 50 40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -40

-20 0 20 40 Realteil des Raumzeigers in kA

60

Bild 10.4. Ortskurve des Kurzschlussstrom-Raumzeigers während der ersten 50 ms bei zweipoligem Kurzschluss in den Leitern L1 und L2 am Knoten 1 (L-Knoten) bei Kurzschlusseintritt im Nulldurchgang der Spannung uL1L2 nach 20/6 ms

Beispiel 10.2 Berechnung des Erdschlussstromes am Knoten 2 bei Erdschlusseintritt im Spannungsmaximum von Leiter L1 für das Netz im Beispiel 9.2. Die Leitung muss für diesen Fall als T-Glied nachgebildet werden, da ein Ȇ-Glied keinen Spannungssprung zulässt. Durch die Nachbildung der Leitung als T-Glied wird das Netz zu einem L-Netz. Der Transformatorsternpunkt ist jetzt nicht geerdet Im Gleichungssystem wird dies durch Nullsetzen des entsprechenden Leitwert im Nullsystem der Stromgleichung berücksichtigt (s. Tabelle 8.5). Die Fehlermatrix für die drei L-Knoten besteht aus (s. Tabelle 10.3 mit D

F sLK

ª1 º « 1 » « » « » 1 « » 2 / 3 1/ 3 1/ 3   « » « » 1/ 3 2 / 3 1/ 3 « » 1/ 3 1/ 3 2 / 3 « » « » 1 « » 1 » « « » 1¼ ¬

1 ):

268

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten

Der Erdschlussstrom weist neben dem Grundschwingungsanteil zwei abklingende höherfrequente Anteile, die zur sog. Entlade- und Aufladeschwingung gehören, auf (Bild 10.5). 300

Erdschlussstrom in A

200

100

0

-100

-200

-300 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.5. Erdschlussstrom im Leiter L1 am Knoten 2 (Erdschlusseintritt im Spannungsnulldurchgang)

250 200

L2

Spannungen in kV

150 100

L1

50 0 -50 -100 -150

L3

-200 -250 0

0.01

0.02

0.03

0.04

t/s

Bild 10.6. Spannungen an der Erdschlussstelle (Knoten 2)

0.05

10.2 Nachbildung von Kurzschlüssen an L- und R-Knoten

269

Die Spannungen an den gesunden Leitern nehmen im eingeschwungenen Zustand den Wurzeldreifachen Wert gegenüber dem fehlerfreien Zustand an. Diesem Endwert ist die Aufladeschwingung überlagert (Bild 10.6). Die Leitungsströme am Fehlerknoten setzen sich im Leiter L1 aus der Entladeschwingung (die Leitungskapazitäten des fehlerhaften Leiters entladen sich über die Erdschlussverbindung) und in den gesunden Leitern L2 und L3 aus den Anteilen des grundfrequenten Erdschlussstromes sowie der Aufladeschwingung zusammen (Bild 10.7).2 250 200

L1

150

Ströme in A

100 50 L3 0 -50

L2

-100 -150 -200 -250 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.7. Leitungsströme am Knoten 2 (Fehlerknoten)

Die oberspannungsseitigen Transformatorströme (Bild 10.8) besteht in den Leitern L2 und L3 neben dem grundfrequenten Anteil des Erdschlussstromes aus den Anteilen der Aufladeschwingung, die sich im Transformatorsternpunkt zum Strom im Leiter L1 addieren.

2 Die Dämpfung der Entlade- und Aufladeschwingung hängt maßgebend vom Erdbodenwiderstand ab. Dieser ist frequenzabhängig. Um die zu geringe Dämpfung im vereinfachten Leitungsmodell mit konstanten Parametern zu erhöhen, wurde im Beispiel (empirisch) mit einer 10-fachen Nullresistanz der Leitung gerechnet.

270

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten

100

L1

80 60

Ströme in A

40 L2

20

L3

0 -20 -40 -60 -80 -100 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.8. Oberspannungsseitige Transformatorströme am Knoten 2 (Fehlerknoten)

10.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an C-Knoten Die Nachbildung von Kurzschlüssen erfolgt an der um einen Fehlerstromvektor erweiterten Gl. (9.12): C sKK u sCK

G sCC usCK  G sCR usRK  K CL i sL  K CR i sqR  K CC i sqC  i sFCK

(10.18)

Die auf alle C-Knoten erweiterten Fehlerbedingungen sind: F sCK i sFCK

(10.19)

o

T*

(ECK  F sCK ) usCK

(10.20)

o

Gl. (10.20) wird differenziert (die Spannungen an den C-Knoten sind stetig) und von links mit der Knotenkapazitätsmatrix multipliziert: T*

C sKK (ECK  F sCK ) u sCK

(10.21)

o

Schließlich wird die Gl. (10.18) linksseitig mit der Fehlermatrix multipliziert und davon die Gl. (10.21) abgezogen. Das Ergebnis ist: k C sKK u sCK

F sCK (G sCC usCK  G sCR usRK  K CL i sL  K CR i sqR  K CC i sqC )

(10.22)

und in expliziter Form: u sCK

k 1 C sKK F sCK (G sCC usCK  G sCR usRK  K CL i sL  K CR i sqR  K CC i sqC )

(10.23)

mit der modifizierten Knotenkapazitätsmatrix: k

C sKK

T*

F sCK C sKK  C sKK  C sKK F sCK

(10.24)

10.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an C-Knoten

271

k 1

Die Matrix C sKK F sCK in Gl. (10.23) ist nur einmal bei Kurzschlusseintritt neu zu berechnen. Vorteilhaft ist auch hier, dass die Form der ursprünglichen Gl. (10.18) durch die Kurzschlüsse nicht verändert wird. Die Kurzschlussströme werden aus den Knotenpunktsätzen erhalten (s. Gl. (9.3)): i sFCK

> K CL

K CR

ª i sL º K CC @ «« i sR »» «¬ i sC »¼

(10.25)

Die Ströme i sR und i sC der R- und C-Betriebsmittel fallen bei der Lösung des AlgebroDifferentialgleichungssystems allerdings nicht direkt an. Sie müssen aus den im Kapitel 8 bereitgestellten Betriebsmittelgleichungen berechnet werden: ª i sR º «i » ¬ sC ¼ ªGsR « ¬

ªGsR « ¬

º ª usR º ª o º ª i sqR º  « » » GsC ¼ «¬ usC »¼ «¬Cs u sC »¼ «¬ i sqC »¼ T

º ª K RR « » GsC ¼ «  ¬

T o º ª i sqR º K CR º ª usRK º ª  « » »

« » « »

T T u K CC ¼» ¬ sCK ¼ ¬«Cs K CC u sCK ¼» ¬« i sqC »¼

(10.26)

Der Differentialquotient der Spannungen an den C-Knoten ist durch Gl. (10.23) gegeben.

Beispiel 10.3 Für das bereits im Beispiel 10.1 betrachtete Netz aus dem Beispiel 9.1 soll der einpolige Kurzschluss im Leiter L1 am Knoten 2 bei starrer Transformatorsternpunkterdung berechnet werden. Da es sich beim Knoten 2 um einen C-Knoten handelt (die Leitung ist durch ein Ȇ-Glied nachgebildet), kann der Kurzschluss ohne Verletzung der Stetigkeitsbedingungen der Spannungen an Kapazitäten nur im Nulldurchgang der Spannung im Leiter L1 eingeleitet werden (s. Bild 10.9). Die Fehlermatrix für die beiden C-Knoten 2 und 3 besteht aus (s. Tabelle 10.3 mit D

F sCK

1 ):

ª 2 / 3 1/ 3 1/ 3 º « 1/ 3 2 / 3 1/ 3 » « » « 1/ 3 1/ 3 2 / 3 » « » 1 « » « 1 » « » 1»¼ «¬

Die folgenden Bilder 10.9 bis 10.13 zeigen die Verläufe der Spannungen und der Ströme an der Kurzschlussstelle sowie der Ströme auf der Oberspannungsseite des Transformators, in der Leitung an der Kurzschlussstelle und in den Generatorwicklungen.

272

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten 100 L3

80

L2

Spannungen in kV

60 40 20

L1

0 -20 -40 -60 -80 -100 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.9. Spannungen am Knoten 2 (C-Knoten) bei einpoligem Kurzschluss im Leiter L1 im Nulldurchgang der Spannung (Transformatorsternpunkt starr geerdet)

Der Erdkurzschlussstrom im Bild 10.10 zeigt den typischen Verlauf mit maximalem Gleichglied. Die aus Bild 10.11 ersichtlichen geringen Ströme der Entlade- und Aufladeschwingung kommen gegenüber dem sehr viel größeren 50-Hz-Anteil nicht zum Vorschein. Die Entladeund Aufladeschwingung sind zudem im Vergleich zum Erdschluss im Beispiel 10.2 deutlich schwächer ausgeprägt, da die Leitungskapazität in dem vom Erdkurzschluss betroffenen Leiter im Moment des Kurzschlusseintritts gerade nahezu entladen ist und sich die stationären Werte der Spannungen der vom Kurzschluss nicht betroffenen Leiter nur geringfügig ändern. Der Verlauf des Teilkurzschlussstromes auf der Oberspannungsseite des Transformators im Bild 10.12 entspricht demzufolge dem des Erdkurzschlussstromes. Durch die Dreieckschaltung des Transformators auf der Unterspannungsseite verteilt sich der Wicklungsstrom des Transformators auf die beiden Leiter L1 und L3 des Generators (Bild 10.13).

10.3 Nachbildung von Kurzschlüssen an C-Knoten

273

2

Erdkurzschlussstrom in kA

1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.10. Verlauf des Erdkurzschlussstromes bei einpoligem Kurzschluss im Leiter L1 am Knoten 2 (C-Knoten)

-3

8

x 10

L1

L2

L3

6

Leitungsströme in kA

4 2 0 -2 -4 -6 -8 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.11. Verlauf der Leitungsströme am Fehlerknoten bei einpoligem Kurzschluss im Leiter L1 am Knoten 2 (C-Knoten)

274

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten 2 1

Ströme in kA

0 -1 -2 -3 -4 -5 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.12. Verlauf des Transformatorstromes im Leiter L1 auf der Oberspannungsseite bei einpoligem Kurzschluss im Leiter L1 am Knoten 2 (C-Knoten)

30 L1

20

Ströme in kA

10

0

-10

-20

L3

-30 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

t/s

Bild 10.13. Verlauf der Generatorströme bei einpoligem Kurzschluss am Knoten 2 (C-Knoten) im Leiter L1 im Spannungsnulldurchgang

10.4 Nachbildung von Unterbrechungen an Betriebsmitteln

275

10.4 Nachbildung von Unterbrechungen an Betriebsmitteln Beim Abschalten (Unterbrechen) von Betriebsmitteln muss man zwischen den in Kapitel 8 definierten Typen der Betriebsmittel unterscheiden. An R- und C-Betriebsmitteln ist die Unterbrechung der Ströme zu jedem beliebigen Zeitpunkt möglich, während die Ströme an LBetriebsmitteln aufgrund der Stetigkeitsbedingung nur in ihrem Nulldurchgang unterbrochen werden dürfen. Mehrpolige Unterbrechung müssen deshalb sequentiell Leiter für Leiter vorgenommen werden. Ansonsten ist der Rechengang analog zum Abschnitt 6.6. Im Folgenden soll beispielhaft die Abschaltung eines L-Betriebsmittels vom Typ AB (Einfachleitung oder Zweiwicklungstransformator) behandelt werden.

A

i sA

ǻu sA

'u sB

i sB

B

Leitung

u sA

oder

u sB

Transformator

A

isA

ǻu sA

ǻu sB

isB

B

Leitung oder

u sA

u sB

Transformator

A

ihA

ǻuhA

'uhB

ihB

B

Leitung

uhA

oder

uhB

Transformator

Bild 10.14. Ersatzschaltbilder der Raumzeigerkomponenten für ein L-Betriebsmittel mit Unterbrechungsstellen

276

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten

Die Fehlerbedingungen in Raumzeigerkomponenten für die Seite A und B nach den Gln. (10.7) und (10.8) werden zusammengefasst zu: ª F sA «  ¬

 º ª ǻ usA º F sB »¼ «¬ ǻ usB »¼

(10.27)

o

 º ª i sA º E  F sB »¼ «¬ i sB »¼

ª E  F sA «  ¬

(10.28)

o

mit den Fehlermatrizen nach Tabelle 10.3. Für die dreipolige Unterbrechung besteht die entsprechende Fehlermatrix aus der 3u3-Nullmatrix. Die modifizierten Stromgleichungen für die Seite A und B, Gl. (8.43) wird um die Spannungen an den Unterbrechungen (s. Bild 10.14) erweitert und lautet dann: ªi ' º « sA » « ' » ¬ i sB ¼

 º °­ ª usA º ªǻ usA º °½ ª i sqA º  » ® ¾ « ǻGs »¼ ¯° ¬« usB ¼» ¬« ǻ usB ¼» ¿° «¬ i sqB »¼

ª ǻGs «  ¬

(10.29)

Nach Multiplikation der Gl. (10.29) mit der Fehlerbedingung, Gl. (10.28) ergibt sich nach Umordnen: ª E  F sA «  ¬

 º ªǻ usA º ǻGs »¼ «¬ ǻ usB »¼

 º ªǻGs E  F sB »¼ «¬ 

ª E  F sA «  ¬

 º ª ǻGs E  F sB »¼ «¬ 

 º ª usA º ª E  F sA  ǻGs »¼ ¬« usB ¼» «¬ 

 º ª i sqA º « » E  F sB »¼ ¬« i sqB ¼»

(10.30)

Indem zur Gl. (10.30) noch die Gl. (10.27) addiert wird, erhält man analog zur Gl. (6.89) eine Beziehung zur Berechnung der Spannungen an den Unterbrechungsstellen: ­° ª F sA ®« ¯° ¬ 

 º ª E  F sA  F sB »¼ «¬ 

ª E  F sA «  ¬

 º ªǻGs E  F sB »¼ «¬ 

 º ª ǻGs E  F sB »¼ «¬ 

 º ½° ª ǻ usA º ¾ ǻGs »¼ ¿° «¬ ǻ usB »¼

 º ª usA º ª E  F sA  ǻGs »¼ ¬« usB ¼» «¬ 

 º ª i sqA º « » E  F sB »¼ ¬« i sqB ¼»

(10.31)

und in abgekürzter expliziter Form: ª ǻ usA º « ǻu » ¬ sB ¼

ª K sA «  ¬

 º ª usA º ª RsA  K sB »¼ «¬ usB »¼ «¬ 

 º ª i sqA º « » RsB »¼ «¬ i sqB »¼

(10.32)

Aufgrund der blockdiagonalen Form der Matrizen in Gl. (10.31) haben die Matrizen in Gl. (10.32) und die folgenden Matrizen ebenfalls eine blockdiagonale Form. Nach Einsetzen der Gl. (10.32) in die Gl. (10.29) geht diese über in: ªi ' º « sA » « ' » ¬ i sB ¼

 ª ǻGs ( E  K sAA ) º ª usA º ª E  ǻGs RsAA « » «u »  « G E K  ǻ ( )   s sBB ¼ ¬ sB ¼ ¬ ¬

 º ª i sqA º « » » E  ǻGs RsBB ¼ ¬« i sqB ¼»

(10.33)

10.4 Nachbildung von Unterbrechungen an Betriebsmitteln

277

oder in abgekürzter Form mit dem oberen Index u für unterbrochen: ªi ' º « sA » «i ' » ¬ sB ¼

u ª ǻGsA « ¬« 

u  º ª usA º ª i sqA º « »  » u «u » « u » ǻGsB ¼» ¬ sB ¼ ¬ i sqB ¼

(10.34)

Die Gl. (10.34) hat wieder die Form der unterbrechungsfreien Leitungsgleichung, Gl. (8.43), jedoch mit dem Unterschied, dass die Untermatrizen für die Leitwerte der Seiten A und B jetzt unterschiedlich sein können. Der Einbau der Gl. (10.34) in das Netzgleichungssystem erfolgt wie für eine unterbrechungsfreie Leitung. Die Zustandsgleichungen für die Klemmenströme ergeben sich aus der Gl. (10.33) durch Multiplikation mit der Kreisfrequenz: ª isA º « » ¬ i sB ¼

ªi ' º sA » «i ' » ¬ sB ¼

Z0 «

(10.35)

Beispiel 10.4 Für die Leitung aus Beispiel 10.2 soll die Gl. (10.33) bei Unterbrechung im Leiter L1 an der Klemme A angegeben werden. Die Fehlerbedingungen, Gl. (10.27) lauten für diesen Fall:

F sAB

ª 2 / 3 1/ 3 1/ 3 º « 1/ 3 2 / 3 1/ 3 » « » « 1/ 3 1/ 3 2 / 3 » « » 1 « » « 1 » « » 1»¼ ¬«

Für die Spannungen an den Unterbrechungsstellen ergibt sich nach Gl. (10.32): ª ǻu sA º « » « ǻu sA » «ǻu » « hA » « ǻu sB » « » « ǻu sB » « ǻu » ¬ hB ¼

ª0, 4167 0, 4167 0,1667 0 º ª u sA º « » «0, 4167 0, 4167 0,1667 0 »» « u sA » « «0, 4167 0, 4167 0,1667 0 » «uhA » » « »« 0 « 0 » « u sB » « 0 0 » «« u »» « » sB 0 0 »¼ «¬ uhB »¼ «¬

278

10 Fehlermatrizenverfahren in Raumzeigerkomponenten ªi sqA º ª 2, 0833 2, 0833 2, 0833 0 º« »

« 2, 0833 2, 0833 2, 0833 » «i sqA » 0 « »« » « 2, 0833 2, 0833 2, 0833 0 » «ihqA » « »« » 0 « 0 » « i sqB » « 0 0 » «i » « » « sqB » 0 0 »¼ « «¬ » ¬ ihqB ¼

und nach Rücktransformation in Leitergrößen: ª ǻuA1 º «ǻu » « A2 » « ǻuA3 » « » « ǻuB1 » « ǻuB2 » « » ¬« ǻuB3 ¼»

0 ª1 0, 25 0, 25 0 º ª uA1 º ª6, 25 º ª iqA1 º « » « » «0 » « » 0 0 0 » «uA2 » « 0 0 » «iqA2 » « «0 0 0 0 » «uA3 » « 0 0 » «iqA3 » » « »« »« »« 0 0 «0 » « uB1 » « 0 » « iqB1 » « 0 0 » «uB2 » « 0 0 » «iqB2 » » « »« » « »« 0 0 ¼» ¬« uB3 ¼» ¬« 0 0 ¼» ¬« iqB3 »¼ ¬«

Die Stromgleichung, Gl. (10.33) hat die Form: ªi ' º « sA » «i ' » « sA » «i » ' » « hA «i » « sB' » « ' » « i sB » « » ' ¼ ¬ ihB

ª 0,1167 0, 0833 0, 0333 0 º ª u sA º « » « 0, 0833 0,1167 0, 0333 0 »» « u sA » « « 0, 0333 0, 0333 0, 0667 0 » «uhA » » « »« 0 « 0 » « u sB » « 0 0 » «« u »» « » sB 0 0 ¼» «¬ uhB »¼ ¬« ªi sqA º ª 0,5833 0, 4167 0, 4167 0 º« »

« 0, 4167 0,5833 0, 4167 » «i sqA » 0 « »« » « 0,1667 0,1677 0,8333 0 » «ihqA » « »« » 0 « 0 » « i sqB » « 0 0 » «i » « » « sqB » 0 0 »¼ « «¬ » ¬ ihqB ¼

10.4 Nachbildung von Unterbrechungen an Betriebsmitteln

279

und in Leitergrößen: ª iA1 º «i » « A2 » «iA3 » « » « iB1 » «i » « B2 » ¬« iB3 ¼»

0 0 0 ª0 º ª uA1 º ª 0 « » « « 0 0,15 0, 05 » 0 « » «uA2 » « 0, 25 « 0 0, 05 0,15 0 » «uA3 » « 0, 25 « »« »« 0,16 0, 04 0, 04 » « uB1 » « 0 «0 « 0 0, 04 0,16 0, 04 » « uB2 » « « »« » « 0 0, 04 0, 04 0,16 ¼» ¬« uB3 ¼» ¬« ¬«

º ª iqA1 º « » 1 0 0 »» «iqA2 » 0 1 0 » «iqA3 » » »« 1 » « iqB1 » 0 1 » « iqB2 » » »« 0 1 ¼» ¬« iqB3 ¼» 0 0 0

Für das Abschalten von R-Betriebsmitteln ergibt sich der gleiche Rechengang an der Stromgleichung, Gl. (8.5). Die Nachbildung von Abschaltungen (Unterbrechungen) an C-Betriebsmitteln, für die hier die Leitung als Ȇ-Glied oder Ȇ-Kettenschaltung steht, kann ebenfalls mit dem FMV erfolgen, ist aber weniger elegant als für die L- und R-Betriebsmittel. Das liegt daran, dass die Klemmenkapazitäten der unterbrochenen Leiter aus der Knotenkapazitätsmatrix CKK herausfallen und die Spannungen über diesen Klemmenkapazitäten neue Zustandsgrößen bilden. Zudem kann es zum Wechsel des Knotentyps kommen, wenn nämlich das letzte C-Betriebsmittel am CKnoten abgeschaltet wird. Da das Leitungsmodell mit konzentrierten Parametern ohnehin nur bedingt für die Simulation von Schaltvorgängen geeignet ist, wird hier nicht weiter auf die Nachbildung von Unterbrechungen an C-Betriebsmitteln eingegangen.

A.1 MATLAB-Programm Leistungsflussberechnung %Berechnung des Leistungsflusses nach dem Newton-Verfahren clear all clc format short %Laden der extern berechneten Knotenadmittanzmatrix YKK load d:\matlab\daten\YKK %Knotendaten 9-Knoten-Netz % KntNam Un Typ P0 Q0 p q DatKnt = {'K1' 17.16 'S' 0 0 0 0 'K2' 18.45 'PU' -163 0 0 0 'K3' 14.145 'PU' -85 0 0 0 'K4' 230 'PQ' 0 0 0 0 'K5' 230 'PQ' 125 50 0 0 'K6' 230 'PQ' 90 30 0 0 'K7' 230 'PQ' 0 0 0 0 'K8' 230 'PQ' 100 35 0 0 'K9' 230 'PQ' 0 0 0 0}; disp(' '); disp(' ') disp(' Berechnung des Leistungsflusses nach dem Newtonverfahren') disp(' ________________________________________________________') %Aufruf der function LoadFlow [uK,iK,sK,PV,QV,AnzIter,dxMax] = LoadFlow(Y1KK,0.0001) %Ergebnisausgabe A = full([abs(uK) angle(uK)*180/pi real(sK) imag(sK)]); disp(' U/kV Delta/Grad P/MW Q/Mvar') disp(' ________________________________________________') disp(sprintf(' %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f\n',A.')) disp(sprintf(' Verluste = %10.4f MW ',full(PV))) disp(sprintf(' Blindleistungsbedarf = %10.4f MVar',full(QV)))

282

A.1 MATLAB-Programm Leistungsflussberechnung

function[uK,iK,sK,PV,QV,AnzIter,dxMax] = LoadFlow(YKK,epsilon) %Lastfluß nach dem NEWTONverfahren in Polarkoordinaten %Rechnung mit und Wurzel3-fachen Spannungen und Strömen %Funktion gibt verkettete Spannungen auf uK zurück global DatKnt KntNam = DatKnt(:,1)'; uKn = [DatKnt{:,2}]'; %Nennspannungen der Knoten KntTyp = DatKnt(:,3)'; p0 = [DatKnt{:,4}]'; %Knotenwirkleistung q0 = [DatKnt{:,5}]'; %Knotenblindleistung p = [DatKnt{:,6}]'; %Wirkleistungsexponent q = [DatKnt{:,7}]'; %Blindleistungsexponent n = length(KntNam); %Anzahl Knoten %Ermitteln des Slack und der Generatorknoten s = find(strcmp(KntTyp,'S')); GenKnt = find(strcmp(KntTyp,'PU')); AnzGenKnt = length(GenKnt); %Anfangswerte (leerlaufendes Netz) Us = uKn(s); YKKr = YKK; yKs = YKK(:,s); YKKr(:,s) = 0; YKKr(s,:) = 0; YKKr(s,s) =-YKK(s,s); uK =-inv(YKKr)*yKs*Us; Delta = angle(uK); x(1:n) = Delta; %Spannungswinkel x(n+1:2*n) = 1; %bezogene Spannungsbeträge uK = uKn.*exp(j*Delta); %Iterationsschleife AnzIter = 0; dxMax = 2*epsilon; while dxMax > epsilon %Berechnung der Jacobi-Matrix und der Rechten Seite

A.1 MATLAB-Programm Leistungsflussberechnung UK SJ H M u pK qK pN qN H M J y

= sparse(diag(uK)); = UK*conj(YKK*UK); = imag(SJ); N = real(SJ); =-N; L = H; = abs(uK)./uKn; = p0.*u.^p; %Knotenwirkleistunq = q0.*u.^q; %Knotenblindleistung = sum(N,2); %Netzwirkleistung = sum(H,2); %Netzblindleistung = H - diag(qN); N = N + diag(pN) - diag(p.*pK); = M + diag(pN); L = L + diag(qN) - diag(q.*qK); = sparse([H N; M L]); =-[pN-pK; qN-qK]; %Rechte Seite

%Nullsetzen der Zeilen und Spalten für den Slack. Die Dia%gonalelemente werden 1 und die zugehörigen rechten Seiten %Null gesetzt.Die Ordnung von J bleibt so erhalten. J(s,:) = 0; J(n+s,:) = 0; J(:,s) = 0; J(:,n+s) = 0; J(s,s) = 1; J(n+s,n+s) = 1; y(s) = 0; y(n+s) = 0; %Nullsetzen der Zeilen und Spalten für die Generatorknoten. %Die Diagonalelemente werden 1 und die zugehörigen rechten %Seiten Null gesetzt. Die Ordnung von J bleibt so erhalten. for i=1:AnzGenKnt k = GenKnt(i); J(n+k, : ) = 0; J( : ,n+k) = 0; J(n+k,n+k) = 1; y(n+k) = 0; end %Lösung des Gleichungssystems dx = J\y; for i = 1:n x(i) = x(i) + dx(i); x(n+i) = 1 + dx(n+i);

283

284

A.1 MATLAB-Programm Leistungsflussberechnung

uK(i) = abs(uK(i))*x(i+n)*exp(j*x(i)); end %Abbruchkriterium dxMax = max(abs(dx)); AnzIter = AnzIter+1; end %of while %Knotenströme und Knotenleistungen iK = YKK*uK; sK = diag(uK)*conj(iK); pK = real(sK); qK = imag(sK); %Verluste und Blindleistungsbedarf PV =-sum(pK); QV =-sum(qK);

A.2 MATLAB-Programm Fehlermatrizenverfahren Mit dem Programm Fehlermatrizenverfahren können nach dem im Abschnitt 6.3 beschriebenen Algorithmus symmetrische und unsymmetrische Kurzschlüsse in beliebiger Kombination und Leiterlage mit Original-Drehstromgrößen oder in Symmetrischen oder anderen modalen Komponenten berechnet werden. Kernstück ist die function FehlerMatrizenVerfahren.m in der die entsprechenden Fehlermatrizen bereitgestellt werden und die Knotenadmittanzmatrix mit dieser modifiziert wird. An die function FehlerMatrizenVerfahren.m werden übergeben: o

die Knotenadmittanzmatrix des fehlerfreien Netzes in den gewählten Koordinaten1 (hier in Symmetrischen Komponenten in der Form der Gl. (3.14) mit den negativen Admittanzen der aktiven Betriebsmittel vom Typ A in der Diagonale (Beispiele 6.3 und 6.4)).

o

der Knotenstromvektor mit den Quellenströmen der Betriebsmittel vom Typ A in den gewählten Koordinaten (hier in Symmetrischen Komponenten)

o

die Transformationsmatrix der modalen Komponenten (hier der Symmetrischen Komponenten)

o

ein Vektor (cell array) mit den Knotennamen in alphanumerischer Form (global)

o

die Anzahl der Knoten (global)

o

der Fehlerstromvektor (cell array) mit den Angaben zu den Fehlerknoten, der Kurzschlussart und der Leiterlage.

Die Eingabeform der Kurzschlussarten und der Leiterlage geht aus Tabelle A.1 hervor. Die function FehlerMatrizenVerfahren.m gibt zurück: m

die modifizierte Knotenadmittanzmatrix in den gewählten Koordinaten (hier in Symmetrischen Komponenten)

m

den Vektor der Knotenspannungen in den gewählten Koordinaten (hier in Symmetrischen Komponenten)

m

den Vektor der Fehlerströme in den gewählten Koordinaten (hier in Symmetrischen Komponenten)

Anschließend erfolgt noch die Rücktransformation (hier aus den Symmetrischen Komponenten) mit der function Ruecktransformation.m. Auf eine besondere Ausgabefunktion wurde hier verzichtet.

1 Unter Koordinaten wird hier die Darstellung in Original- oder modalen Größen verstanden.

286

A.2 MATLAB-Programm Fehlermatrizenverfahren

Tabelle A.1. Eingabe der Kurzschlussarten und der betroffenen Leiter

Kurzschluss

KS-Art

Leiter

fehlerfrei

'ohne'

' '

1-polig

'k1'

'L1' oder 'L2' oder 'L3'

2-polig mit Erdberührung

'k2E'

2-polig ohne Erdberührung

'k2'

'L1L2' oder 'L2L3' oder 'L3L1' oder 'L2L1' oder 'L3L2' oder 'L1L3'

3-polig mit Erdberührung

'k3E'

' '

3-polig ohne Erdberührung

'k3'

' '

function[Y3KKF,u3KF,i3KF] = ... FehlerMatrizenVerfahren(Y3KK,i3Q,Tm,FehlerVektor) global AnzahlKnoten KnotenNamen Y3KKF = sparse(3*AnzahlKnoten,3*AnzahlKnoten); F3 = speye(3*AnzahlKnoten); AnzahlFehler = length(FehlerVektor(:,1)); FehlerKnoten = FehlerVektor(:,1); Fehlerart = FehlerVektor(:,2); L = FehlerVektor(:,3); TmInvers = inv(Tm); %Bereitstellen der Fehlermatrizen nach Fehlerart und Leiterlage for i=1:AnzahlFehler n = find(strcmpi(KnotenNamen,FehlerKnoten(i))); k = 3*n-2; if strcmpi(Fehlerart(i),'ohne'); F = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; end if strcmpi(Fehlerart(i),'k3E'); F = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; end if strcmpi(Fehlerart(i),'k3'); F = [0 0 0; 1 1 1; 0 0 0]; end if strcmpi(Fehlerart(i),'k2E') if strcmp(L(i),'L1L2')||strcmp(L(i),'L2L1'); F = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 1]; end if strcmp(L(i),'L2L3')||strcmp(L(i),'L3L2'); F = [1 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; end if strcmp(L(i),'L3L1')||strcmp(L(i),'L1L3'); F = [0 0 0; 1 0 0; 0 0 0]; end

A.2 MATLAB-Programm Fehlermatrizenverfahren

287

end if strcmpi(Fehlerart(i),'k2') if strcmp(L(i),'L1L2')||strcmp(L(i),'L2L1'); F = [0 0 0; 1 1 0; 0 0 1]; end if strcmp(L(i),'L2L3')||strcmp(L(i),'L3L2'); F = [1 0 0; 0 0 0; 0 1 1]; end if strcmp(L(i),'L3L1')||strcmp(L(i),'L1L3'); F = [1 0 1; 0 1 0; 0 0 0]; end end if strcmpi(Fehlerart(i),'k1') if strcmp(L(i),'L1'); F= [0 0 0; 0 1 0; 0 0 1]; end if strcmp(L(i),'L2'); F= [1 0 0; 0 0 0; 0 0 1]; end if strcmp(L(i),'L3'); F= [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0]; end end %Fehlermatrix in modalen Koordinaten Fm = TmInvers*F*Tm; F3(k:k+2,k:k+2) = Fm(1:3,1:3); end %Modifizierte Admittanzmatrix Y3KKF = F3*Y3KK -Y3KK +Y3KK*F3'; %Knotenspannungen und Fehlerströme u3KF = inv(Y3KKF)*F3*i3Q; i3KF = Y3KK*u3KF-i3Q; function[Vn] = Ruecktransformation(Vm,Tm) %Vm Vektor oder Matrix von Spaltenvektoren der modalen Größen %Vn Vektor oder Matrix von Spaltenvektoren der natürlichen Größen n = length(Vm(:,1))/3; TmM = sparse(3*n,3*n); for i=1:n k=3*i-2; TmM(k:k+2,k:k+2) = Tm(1:3,1:3); end Vn = TmM*Vm;

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A.2 MATLAB-Programm Fehlermatrizenverfahren

Das aufrufende Programm hat folgende Struktur

%Berechnung von Kurzschlüssen in modalen Koordinaten nach dem FMV clear clc format compact global AnzahlKnoten KnotenNamen %Dateneingabe AnzahlKnoten = 4 KnotenNamen = {'K1' 'K2' 'K3' 'K4'} . . %Transformationsmatrix Symmetrische Komponenten a = exp(j*2*pi/3); TS = [1 1 1;a^2 a 1;a a^2 1]; %Aufbau der Knotenadmittanzmatrix ohne Fehler YSKK = ... %Knotenstromvektor iSQ = ... %Fehlervektor (Kurzschlüsse an Knoten) % Knoten KS-Art Leiter FehlerVektor = {'K2' 'k1' 'L1' 'K3' 'k1' 'L2'}; %Aufruf der function Fehlermatrizenverfahren [Y3KKF,u3KF,i3KF]=FehlerMatrizenVerfahren(YSKK,iSQ,TS,FehlerVektor); %Aufruf der function Rücktransformation uK = Ruecktransformation(u3KF,TS) iF = Ruecktransformation(i3KF,TS)

Formelzeichen und Nebenzeichen Die Formelzeichen werden bei ihrer Einführung im Text erläutert. Grundsätzlich gilt folgende Systematik: g

Momentanwert (einer Größe)

gˆ

Amplitudenwert

G

Effektivwert

gˆ

rotierender Amplitudenzeiger

G

ruhender Effektivwertzeiger

gs

Raumzeiger in ruhenden Koordinaten

gr

Raumzeiger in rotierenden Koordinaten

Konjugiert komplexe Größen werden durch einen hochgestellten Stern gekennzeichnet:

gˆ , G , g s , g r Matrizen, Spalten- und Zeilenvektoren werden halbfett geschrieben:

A

ª a11 a12 «a « 21 a22 «¬ a31 a32

a

ª a1 º «a » « 2» ¬« a3 ¼»

b

> a1

a13 º a23 »» a33 »¼

Matrix

Spaltenvektor

a2

a3 @

Zeilenvektor

Komplexe Matrizen, Spalten- und Zeilenvektoren werden unterstrichen:

A, a, b Konjugiert komplexe Matrizen, Spalten- und Zeilenvektoren werden durch einen hochgestellten Stern gekennzeichnet:

A , a , b Transponierte Matrizen, Spalten- und Zeilenvektoren werden durch ein hochgestelltes T gekennzeichnet: T A , a T , bT

290

Formelzeichen und Nebenzeichen

Nebenzeichen, links unten a

Anker-

A

Klemmenbezeichnung, Kurzschlussort bei Doppelfehlern

B

Klemmenbezeichnung, Kurzschlussort bei Doppelfehlern

d

Reelle Komponente des Raumzeigers in Läuferkoordinaten

D

Dämpferlängs-

E

Erde

f

Feld-(Erreger-)

F

Fehler-

g

Gegen-

G

Generator-

h

homopolar, Haupt-

i

Laufindex

k

Laufindex

k

Kurzschluss-

K

Knoten-, Koordinate

L

Leiter, Läufer-

m

modale Komponenten, Magnetisierungs-

M

Mittelpunkt-

n

Knotenanzahl

N

Nenn-

N

Netz-

OS

Oberspannungs-

p

Primär-

q

Imaginäre Komponente des Raumzeigers in Läuferkoordinaten, Quellen-

Q

Dämpferquer-, Quellen-

r

Bemessungs-

s

Raumzeiger in ruhenden Koordinaten, Selbst-, Sekundär-

S

Symmetrische Komponenten, Ständer-

r

Raumzeiger in rotierenden Koordinaten

T

Terminal-(Klemmen-), Transformator-

US

Unterspannungs-

w

Wellen-

W

Wicklungs-

x

Ortskoordinate

Formelzeichen und Nebenzeichen D

Reelle Komponente der Diagonalkomponenten

E

Imaginäre Komponente der Diagonalkomponenten

V

Streu-

Q

Iterationsindex

1

Mitsystem

2

Gegensystem

0

Nullsystem, Arbeitspunkt

Nebenzeichen, rechts oben F

Fehlerzustand

k

Kurzschlusszustand

u

Unterbrechungszustand

' ''

transient, längenbezogen subtransient

291

Literatur 1.

DIN IEC 62428: Elektrische Energietechnik-Modale Komponenten in Drehstromsystemen-Größen und Formelzeichen. Entwurf 2008

2.

Koettnitz, H.; Pundt, H.: Berechnung elektrischer Energieversorgungsnetze. Band I Mathematische Grundlagen und Netzparameter. VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1973

3.

Oeding, D.; Oswald, B. R.: Elektrische Kraftwerke und Netze. 6. Auflage, Springer Verlag 2004

4.

Kovács, K. P.; Rácz, I.: Transiente Vorgänge in Wechselstrommaschinen. Verlag der Ungarischen Akademie der Wissenschaften. Budapest 1959

5.

Hochrainer, A.: Symmetrische Komponente in Drehstromsystemen. Springer Verlag 1957

6.

Anderson, P. M.; Fouad, a. a.: Power System Control and Stability. IEEE Press 1994

7.

Schultheiß, F.; Weßnigk, K-D.: Berechnung elektrischer Energieversorgungsnetze. Band II Übertragungsberechnung, Leipzig 1971

8.

Pai, M. A.: Power System Stability. North-Holland Publishing Company 1981

9.

Hofmann, L.: Effiziente Berechnung von Ausgleichsvorgängen in ausgedehnten Elektroenergiesystemen. Habilitationsschrift Universität Hannover. Shaker Verlag 2003

10. Oswald, B.; Siegmund, D.: Berechnung von Ausgleichsvorgängen in Elektroenergiesystemen. Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie 1991 11 Park, R. H.: Two-Reaction Theory of Synchronous Machines. Part I AIEE Trans. 48 (1929) 2, pp. 716–730. Part II AIEE Trans. 52 (1933) 2, pp. 352–355 12 Hoy, Ch.; Oswald, B.: Das Gleichungssystem der Synchronmaschine in dq0-Koordinaten als Ergebnis einer Modaltransformation. ELEKTRIE 35 (1961) 11, S. 548–549 13 Müller, G.: Beitrag zur Theorie der Synchronmaschine. Wiss. Zeitschrift der Technischen Hochschule Dresden 9 (1959/60) 4, S. 999–1023 14 Müller, G.: Elektrische Maschinen. Theorie rotierender elektrischer Maschinen. VEB Verlag Technik Berlin 1966