Elektrodynamik und Spezielle Relativitaetstheorie 001

Elektrodynamik und Spezielle Relativit¨atstheorie

Peter Marzlin Sommersemester 2001

gesetzt in LATEX 2 von Wolfram Quester ∋

ii

Inhaltsverzeichnis 1

2

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder 1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . 1.2 Wiederholung: Lineare Differentialgleichungen 1.3 Skalares Potential und Vektorpotential . . . . . 1.4 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Kopplung an geladene Teilchen . . . . . . . . . 1.6 Energie- und Impulsdichte . . . . . . . . . . .

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1 . 1 . 4 . 5 . 6 . 8 . 10

Elektrostatik 2.1 Coulomb-Potential, Poisson- und Laplace-Gleichung 2.2 Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Randbedingungen, Greenscher Satz . . . . . . . . . 2.4 Methode der Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . 2.5 Green-Funktion in sph¨arischen Koordinaten . . . . .

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13 13 14 17 18 20

3

Magnetostatik 23 3.1 Die Feldgleichungen und ihre L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Das Gesetz von Biot und Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Kreisstr¨ome und magnetische Quadrupolfalle . . . . . . . . . . . 26

4

Ver¨anderliche Felder 4.1 Ebene Wellen . . . . . . . . 4.2 Green-Funktionen . . . . . . 4.3 Li´enard-Wiechert-Potentiale 4.4 Multipolentwicklung . . . .

5

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Elektrodynamik in dielektrischen Medien 5.1 Makroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . 5.2 Randbedingungen an Grenzschichten . . . . . . . . 5.3 Elektrostatische Probleme in dielektrischen Medien 5.4 Clausius-Mosotti und Lorentz-Lorenz-Beziehungen iii

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31 . . 31 . . 34 . . 38 . . 40

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45 . . . 47 . . . 51 . . . 54 . . . 57

iv

INHALTSVERZEICHNIS 5.5

6

Magnetische Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineare und nichtlineare Optik 6.1 Reflexion und Refraktion . . . . . . . . . . 6.2 Doppelbrechung und Optische Aktivit¨at . . 6.3 Eikonal-N¨aherung, Geometrische Optik . . 6.4 Paraxialn¨aherung, fokussierte Lichtstrahlen 6.5 Nichtlineare Optik . . . . . . . . . . . . .

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7 Spezielle Relativit¨atstheorie 7.1 Forminvarianz, Galilei-Transformation und Elektrodynamik 7.2 Einsteinsche Postulate, Lorentz-Transformationen . . . . . . 7.3 L¨angenkontraktion und Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . 7.4 Lorentz-Gruppe und Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . 7.6 Eigenzeit, relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Paradoxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Maßstab-Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.3 Wie sieht ein bewegtes Objekt aus? . . . . . . . . .

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59

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65 66 69 73 76 78

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83 83 85 87 89 92 95 99 99 100 101

8

Ein kleiner Ausblick 105 8.1 Allgemeine Relativit¨atstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2 Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9

Formelsammlung 9.1 Rechenregeln f¨ur die δ-Distribution . . . . . 9.2 Nablakalk¨ul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Vektoridentit¨aten . . . . . . . . . . . 9.2.2 Laplaceoperator in Kugelkoordinaten 9.3 Integrals¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Greensche Integrals¨atze . . . . . . .

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111 111 112 112 112 112 112 112 112

Kapitel 1 Maxwell-Gleichungen und Eichfelder 1.1

Die Maxwell-Gleichungen

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben alle Ph¨anomene, die mit (klassischen) elektrischen und magnetischen Feldern zu tun haben. Im Vakuum lauten sie: ρ

div ~B = 0

∋

div ~E =

0

rot ~E = −~B˙


rot ~B = µ0 ~j + 0 ~E˙

(1.1)

∋

Darin bezeichnet ~E das elektrische und ~B das magnetische Feld; ρ(~x,t) ist die Ladungs- und ~j(~x) die Stromdichte. Die Divergenz und die Rotation einer Funktion ~R(~x) sind dabei definiert als ∂ Ri (~x) = ∂i Ri (~x) i=1 ∂xi 3

div ~R(~x) = ∑ 3


rot ~R(~x) i =

∑

εi jk

j,k=1

∂ Rk = εi jk ∂ j Rk (~x) ∂x j

F¨ur die jeweils nach dem zweiten Gleichheitszeichen angegebene Kurzschreibweise wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, nach der u¨ ber doppelt vorkommende Indizes zu summieren ist (hier von 1 bis 3). εi jk ist das antisymmetrische Levi-Civita-Symbol, das definiert ist als   (i jk) = (123), (231), (312) 1 εi jk = −1 (i jk) = (132), (321), (213)   0 sonst 1

2

KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER

Aus dieser Definition folgt εi jk = ε jki und εi jk = −ε jik . Aus Konsistenzgr¨unden muss die Kontinuit¨atsgleichung gelten: ρ˙ + div ~j = 0

(1.2)

Beweis:

∋

0 div

 1  ~ rot B − µ0~j

µ0

∋

=

˙ 

E 0 div ~

∋

ρ˙ =

0

1 = div rot ~B − div ~j µ0 div rot ~B = ∂i εi jk ∂ j Bk = εi jk ∂i ∂ j Bk = 0 |{z} |{z}

(1.3)

antisym. sym.

Die physikalische Bedeutung der Kontinuit¨atsgleichung liegt in der Ladungserhaltung: Z Q(t) = V

=⇒ Q˙ =

Z V

ρ(~x,t) d3 x

ρ˙ d x = − 3

Z

div ~j d 3 x

V

Verwendet man nun den Gaußschen Satz, div ~R d 3 x =

ZZ

V

0

Z

∂V

~R d~s

(1.4)

so sieht man, dass die Ladungs¨anderung im Volumen V gleich der Summe des Stroms ist, der aus V abfließt: ZZ

0

Q˙ = −

∂V

~j d~s

(1.5)

Darin ist ∂V die Oberfl¨ache (= der Rand) von V . Aus den Maxwell-Gleichungen sollen nun Differentialgleichungen zweiter Ordnung abgeleitet werden: (rot rot ~E)i = εi jk ∂ j (rot ~E)k = εi jk ∂ j εklm ∂l Em Benutzt man εi jk εklm = δil δ jm − δim δ jl , so ergibt sich: (rot rot ~E)i = δil δ jm ∂ j ∂l Em − δim δ jl ∂ j ∂l Em

3

1.1. DIE MAXWELL-GLEICHUNGEN =⇒ (rot rot ~E)i = ∂i ∂m Em − ∂l ∂l Ei = ∇i div ~E − ∆Ei rot rot ~E = ∇div ~E − ∆E   ⇒ ∇div ~E − ∆~E = −rot ~B˙ = −∂t µ0 ~j + 0 ~E˙ ∋

1

∇ρ − ∆~E = −µ0 ∂t ~j − 0 µ0 ~E¨ ∋

∋

⇒

0

Verwendet man ∋

0 µ0

=

1 c2

so folgt  1 ∂2 ∂ 1 − ∆ ~E = −µ0 ~j − ∇ρ (1.6) 2 2 c ∂t ∂t 0   2 Der darin vorkommende d’Alembert-Operator c12 ∂t∂ 2 − ∆ wird h¨aufig mit  abgek¨urzt. Analog ergibt sich: 

∋

  ~B¨ = −rot ~E˙ = −rot 1 rot ~B − µ0~j 0 µ0
1 ~¨ ~B −∆~B + µ0 rot ~j ⇒ 2 B = − ∇ div | {z } c ∋

=0

 =⇒

 1 ∂2 − ∆ ~B = µ0 rot ~j c2 ∂t 2

(1.7)

Diese Gleichungen sind Wellengleichungen! F¨ur sie kann man verschiedene Spezialf¨alle unterscheiden: 1. ~j, ~ρ = 0 ⇒ Freie Wellenausbreitung, die Differentialgleichungen sind homogen und linear. 2. ~j, ~ρ sind vorgegeben ⇒ Die Theorie der dazugeh¨origen elektromagnetischen Felder behandelt inhomogene Differentialgleichungen und beschreibt die von Ladungen und Str¨omen ausgehenden Felder. 3. ~j, ~ρ h¨angen (n¨aherungsweise) linear von ~E, ~B ab. ⇒ Lineare Dielektrika (polarisierbare Medien), f¨uhren zu linearen Differentialgleichungen.

4

KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER 4. ~j, ~ρ h¨angen nichtlinear von ~E, ~B ab. ⇒ Nichtlineare Differentialgleichungen, im allgemeinen schwer zu l¨osen. Nichtlineare Optik.

1.2

Wiederholung: Elementare Eigenschaften linearer Differentialgleichungen

Die Tatsache, dass die Maxwell-Gleichungen in vielen F¨allen linear sind macht, ihre Behandlung – im Prinzip – recht einfach. Sei L¯ ~E = J~ eine lineare Differentialgleichung. In unserem Fall haben wir drei Gleichungen (f¨ur jede Komponente des  2 1 ∂ ¯ elektrischen Feldes eine), so dass Li j = δi j c2 ∂t 2 − ∆ und J~ = µ0 ∂t∂ ~j − 10 ∇ρ. Die homogene Differentialgleichung L¯ ~E = 0 hat dann einen Satz unabh¨angiger L¨osungen, denen wir zur Unterscheidung einen Index α geben: ∋

L¯ ~Eα = 0

α = Index

2 ¯ = 0: zeitabh¨angige Schr¨odinger-Gleichung Beispiel: L¯ = i~∂t + ~2M∆ − V (x), LΨ (enth¨alt auch station¨are L¨osungen). Beim elektromagnetischen Feld sind die L¨osungen laufende Wellen:

~E~ = ~E cos(~k~x − c|~k|t) k

(oder sin(. . .))

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen:   2 1 ∂ Li j (~E~k ) j = δi j E j 2 2 − ∆ cos(~k~x − c|~k|t) c ∂t   = Ei −|~k|2 +~k2 cos(~k~x − c|~k|t)

(1.8) (1.9)

Es gilt das Superpositionsprinzip: Sind ~E~k1 und ~E~k2 L¨osungen von L¯ ~Eα = 0, so ist auch a~E~k1 + b~E~k2 (a, b ∈ C) L¨osung. Wichtiges Beispiel: ~E1 = E cos(~k~x − c|~k|t) ~E2 = E sin(~k~x − c|~k|t) ~E = ~E1 + i~E2 = E exp(i~k~x − c|~k|t) ist auch L¨osung, ebenso ~E ∗ = ~E1 − i~E2 (da der Operator L¯ keine komplexen Zahlen enth¨alt (L¯ = )). ⇒ Re ~E = ~E1 , Im ~E = ~E2 sind reelle L¨osungen. Wir k¨onnen also, obwohl die physikalischen ~E- und ~B-Felder reell sind, auch komplexe L¨osungen betrachten und dann Real- bzw. Imagin¨arteil davon nehmen. Das ist oft bequemer.

5

1.3. SKALARES POTENTIAL UND VEKTORPOTENTIAL

Durch Superposition (z. B. ebener Wellen) gibt es in der Elektrodynamik wie in der Quantenmechanik Interferenz: ~E1 =~e1 A1 ei~k1~x ,

~E2 =~e1 A2 ei~k2~x ~

~

=⇒ Intensit¨at ∼ |~E1 + ~E2 |2 = |A1 |2 + |A2 |2 + Re (A1 A∗2 ei(k1 −k2 )~x ) Darin ist der Term Re (. . . ) der sogenannte Interferenzterm. Die physikalische Erkl¨arung der Interferenz ist, dass elektromagnetische Felder ein Wellenph¨anomen sind, a¨ hnlich wie Wasserwellen. Allerdings fehlt ihnen die materielle Substanz, ¨ auf der sie schwingen (kein Ather“, s. a. Kapitel 7). Im Gegensatz zur Quanten” mechanik gibt es in der klassischen Elektrodynamik keine Quanten-Interferenz. Die Interferenzmuster sind rein klassisch, es gibt keinen Welle-Teilchen-Dualismus. Dieser taucht – bei anderen Interferenzph¨anomenen – erst in der Quantenelektrodynamik auf, die Photonen beschreibt.

1.3

Skalares Potential und Vektorpotential

Eine der Maxwell-Gleichungen (1.1) lautet: div ~B = 0 (= ∂i Bi ). Nach Gleichung (1.3) gilt allgemein: div rot ~A = 0. Daher l¨aßt sich das magnetische Feld auch schreiben als1 ~A = Vektorpotential ~B = rot ~A ~B ist ein reines Wirbelfeld, d. h. es existieren keine magnetischen Quellen (= magnetische Monopole). Setzt man das weiter in die Maxwell-Gleichungen (1.1) ein, so erh¨alt man ⇒rot ~E = −~B˙ = −rot ~A˙ ˙ =0 ⇒rot (~E + ~A) es gilt allgemein rot grad φ = εi jk ∂ j ∂k φ = 0 ⇒~E + ~A˙ = −∇φ ⇒ ~E = −∇φ − ~A˙ 1 Wir

φ = skalares Potential

sehen hier von Subtilit¨aten ab wie sie in mehrfach zusammenh¨angenden Raumgebieten auf Grund topologischer Ph¨anomene auftreten k¨onnen.

6

KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER

Die Potentiale ~A und φ sind nicht meßbar. Meßbar sind nur ~E und ~B. Allgemeine Bewegungsgleichungen f¨ur die Potentiale lauten: ρ ∋

div ~E =

= −div grad φ − div ~A˙

0

¨
rot ~B = rot rot ~A = µ0 ~j + 0 [−∇φ˙ − ~A] ∋

ρ ∆φ = − − div ~A˙ 0  =⇒  1 ~A¨ − ∆~A + ∇div ~A = µ0~j − 1 ∇φ˙ 2 c c2

(1.10)

∋

W¨are div ~A = 0, so h¨atten wir die Poisson-Gleichung f¨ur φ und eine Wellengleichung f¨ur ~A. φ spielt dann die Rolle des Coulomb-Potentials. Dies l¨aßt sich tats¨achlich erreichen.

1.4

Eichtransformationen

Durch ~B = rot ~A wird ~A nicht eindeutig festgelegt. Wegen rot grad χ = 0 f¨ur beliebiges χ f¨uhrt ~ 0 = ~A + ∇χ A zum selben ~B-Feld. Ebenso f¨uhren φ und φ0 = φ − ∂t χ zum gleichen ~E-Feld, denn ~ 0 = −∇φ0 − ~A˙ 0 = −∇φ + ∇χ˙ − ~A˙ − ∇χ˙ E = −∇φ − ~A˙ = ~E Dies nennt man Eichtransformationen. Die physikalischen Felder ~E, ~B bleiben dabei unver¨andert. Eichtransformationen k¨onnen dazu verwendet werden, bestimmte (bequeme) Bedingungen an die Potentiale zu stellen. Am gebr¨auchlichsten sind die folgenden: div ~A = 0 1 ∂ div ~A + 2 φ = 0 c ∂t

Coulomb-Eichung (1.11) Lorentz-Eichung

7

1.4. EICHTRANSFORMATIONEN

Beide sind voneinander unabh¨angig und nicht gleichzeitig zu erf¨ullen. Die erste f¨uhrt zur Coulomb-Eichung, diese ist aber nicht kovariant. Die Lorentz-Eichung ist dagegen Lorentz-invariant und deswegen f¨ur die Relativit¨atstheorie wichtig (s. Kapitel 7). Zur Herleitung der Coulomb-Eichung: Seien ~A0 , φ0 irgendwelche Potentiale. Gesucht ist ein χ, so dass div ~A = 0: ! ~A = ~A0 − ∇χ =⇒ div ~A = div ~A0 − ∆χ = 0

Das ist eine Differentialgleichung f¨ur χ: ∆χ = div ~A0

Poisson-Gleichung f¨ur χ

(1.12)

Mit der L¨osung χ(~x,t) = − Beweis: ∆x χ = −

1 4π

Z

1 4π

Z

div ~A0 (~x0 ) 3 0 d x |~x −~x0 |

div ~A0 (~x0 )∆x

1 d 3 x0 |~x −~x0 |

F¨ur die weitere Umformung benutzen wir folgenden wichtigen Satz, der sp¨ater (auf Seite 15) bewiesen wird: ∆x

1 = −4πδ(~x −~x0 ) |~x −~x0 |

1 ∆x χ = − div ~A0 (~x0 )(−4π)δ(~x −~x0 ) 4π = div ~A0 (~x) Z

=⇒

qed.

Setzt man die Coulomb-Eichung aus Gleichung (1.11) in Gleichung (1.10) ein, so erh¨alt man die Feldgleichungen f¨ur die Potentiale in Coulomb-Eichung: 

 1 ∂2 1 − ∆ ~A = µ0~j − 2 ∇φ˙ 2 2 c ∂t c ρ ∆φ = − ∋

0

Interpretation: φ = b Coulomb-Potential ~A = b elektromagnetische Wellen Achtung: Die Interpretation h¨angt von den Eichbedingungen ab!

(1.13)

8

1.5

KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER

Kopplung an geladene Teilchen

Die Bewegungsgleichung klassischer geladener Teilchen m~x¨ = q~E + q~x˙ × ~B

Elektrische + Lorentz-Kraft

kann aus der Lagrange-Funktion 1 L = m~x˙2 + q~x˙~A(~x,t) − qφ(~x,t) 2

(1.14)

wie folgt abgeleitet werden: Der kanonisch konjugierte Impuls ~p ist definiert als pi :=

∂L ⇒ pi = mx˙i + qAi (~x,t) ∂x˙i

(1.15)

In Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes ist der kanonisch konjugierte ˙ Die Euler-LagrangeImpuls also verschieden vom kinetischen Impuls ~Π = m~x. Gleichungen lauten: ∂L d pi = (1.16) dt ∂xi Gleichungen (1.14) und (1.15) einsetzen: ∂L = −q∂i φ + qx˙k ∂i Ak ∂xi d ∂ ∂ pi = mx¨i + q Ai (~x(t),t) + q Ai (~x(t),t) x˙k dt ∂t ∂xk =⇒ mx¨i = −q∂i φ − q∂t Ai + qx˙k (∂i Ak − ∂k Ai )

(1.17)

verwenden −∂i φ − ∂t Ai = Ei (gilt per definitionem) =⇒ mx¨i = qEi + qx˙k (∂i Ak − ∂k Ai )

(1.18)

nun ist aber B j = (rot A) j = ε jmn ∂m An =⇒ εik j B j = εik j ε jmn ∂m An = ε jik ε jmn ∂m An = (δim δkn − δin δkm )∂m An = ∂i Ak − ∂k Ai =⇒ mx¨i = qEi + qx˙k εik j B j = qEi + q(~x˙ × ~B)i

(1.19) qed.

1.5. KOPPLUNG AN GELADENE TEILCHEN

9

Mit Hilfe der Lagrange-Funktion kann man den Hamilton-Operator und die Form der Schr¨odinger-Gleichung herleiten: In der klassischen Mechanik lautet die Hamilton-Funktion H = pi x˙i − L Sie soll mit Hilfe von ~x˙ = m1 (~p − q~A) als Funktion von ~p und ~x ausgedr¨uckt werden. 1 1 1 1 =⇒ H = pi (pi − qAi ) − m 2 (~p − q~A)2 − q (~p − q~A)~A + qφ m 2 m m 1 H= (~p − q~A)2 + qφ 2m Um zur Quantenmechanik u¨ berzugehen verwendet man die kanonische Quantisierung: ~x → ~xˆ ; ~p → ~pˆ ; [xˆi , pˆ j ] = δi j In der Ortsdarstellung gilt: ~x → ~xˆ ;

~p → −i~∇

2 1  ˆ ˆ =⇒ Hˆ = −i~∇ − q~A(~x,t) + qφ(~x,t) 2m ˆ x,t) i~∂t Ψ(~x,t) = HΨ(~ Dies ist die Schr¨odinger-Gleichung f¨ur nichtrelativistische Teilchen in einem elektromagnetischen Feld. Die Form (~p − q~A) wird minimale Kopplung genannt. Sie spielt in der Hochenergiephysik eine zentrale Rolle. Von der Grundstruktur her haben alle Fundamentalkr¨afte außer der Gravitation (also elektromagnetische, starke und schwache Wechselwirkung) diese Form. Liegen elektrisch neutrale Teilchen vor, verwendet man gerne eine alternative Form: die Dipolkopplung. Zu deren Herleitung geht man von der Feststellung aus, dass sich die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht a¨ ndern, wenn man zur LagrangeFunktion eine totale Zeitableitung addiert: L0 (x, x,t) ˙ = L(x, x,t) ˙ +

d d ∂L0 ∂L0 d ∂L ∂L F(~x,t) =⇒ − = − dt dt ∂x˙ ∂x dt ∂x˙ ∂x

Der Einfachkeit halber betrachten wir konstante Felder ~E und ~B (der Beweis geht auch allgemein). ~E = ~E0 ; ~B = ~B0 ⇐⇒ φ = −~x~E0 ~A = − 1 (~x × ~B0 ) 2

10

KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER

W¨ahle F = −q~x~A =⇒

d q ˙ ~B0 F = −q~x˙~A + (~x ×~x) dt 2 1 q ˙ ~B0 L0 = m~x˙2 + q~x˙~A + q~x~E0 −q~x˙~A + (~x ×~x) 2 2 | {z }

(1.20) (1.21)

L

1 q = m~x˙2 + q~x~E0 + ~L~B0 2 2m Setzen d~ := q~x q~ ~µ := 2m L

˙ mit ~L = (~x × m~x)

(1.22)

elektrisches Dipolmoment des Teilchens magnetisches Moment des Teilchens 1 L0 = m~x˙2 + d~~E0 +~µ~B0 2

˙ Vorteil: Jetzt gilt f¨ur den kanonisch konjugierten Impuls ~p = m~x.

1.6

Energie- und Impulsdichte

In der Mechanik wird die Energie u¨ ber die Hamilton-Funktion berechnet. Kennt man die Lagrange-Funktion L(qi , q˙i ), so gilt (f¨ur Punktteilchen) pi =

∂L ; ∂q˙i

H(pi , qi ) = pi q˙i − L;

q˙i = q˙i (p j , q j )

Das l¨aßt sich auf Feldtheorien verallgemeinern. An Stelle von q und q˙ sind die ˙ x). Am einfachsten stellt man sich das dynamischen Variablen dann ~A(~x) und ~A(~ durch eine Diskretisierung des Raumes vor. Statt kontinuierlichem x betrachtet man diskrete Punkte xn ; (n = 1, 2, 3, . . . , N) (z. B. xn = x0 + n · ∆x mit x0 , ∆x fest). Das ist genau das, was oft bei der numerischen L¨osung von Differentialgleichungen gemacht wird. Man hat dann eine Theorie f¨ur die endlich vielen Variablen An = A(xn ), die genauso aussieht wie f¨ur N Punktteilchen. Anstatt der ˙ x)). In Lagrange-Funktion L(q, q) ˙ haben wir nun die Lagrange-Dichte L (~A(~x), ~A(~ der Punktteilchen-Mechanik werden die Euler-Lagrange-Gleichungen durch VaR riation der Wirkung S = dtL hergeleitet. In der Feldtheorie ist die Wirkung durch R R 3 S = dtd x L gegeben, so dass die Rolle von L durch dtd 3 x L u¨ bernommen wird. F¨ur das elektromagnetische Feld gilt:   0 ˙ ˙ 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ˙ (−A − ∇φ) − c (rot A) L (A, A, φ, φ) = 2 ∋

11

1.6. ENERGIE- UND IMPULSDICHTE

Die Euler-Lagrange-Gleichungen von L sind die Maxwell-Gleichungen f¨ur ~A und φ. Sie lauten f¨ur die ite Komponente des Vektorpotentials (analog f¨ur das skalare Potential) ∂L ∂L ∂ ∂L ∂  − + =0 ∂t ∂A˙ i ∂xk ∂ ∂Ai ∂Ai ∂xk

Zu L geh¨ort eine kanonische Impulsdichte ∂L = − 0 Ei (x) ∂A˙ i (x) ∂L Π(φ) (x) = =0 ˙ ∂φ(x) (A)

Πi (x) =

∋

Um die Energie auszurechnen, f¨uhrt man eine Hamiltondichte H (A, Π(A) , φ) ein: Z

Energie H =

H (A(x), Π(A) (x), φ(x)) d 3 x

In der Punktteilchen-Theorie ist H = pq˙ − L. In der Feldtheorie ist Z

H= =

H d3x

Z h

(A) ˙ −L Πi (x)A˙ i (x) + Π(φ) (x)φ(x)

i

d3x

(A) ˙ −L =⇒ H = Πi (x)A˙ i (x) + Π(φ) (x)φ(x)

Eigentlich ist H = H (A(x), Π(A) , φ(x), Π(φ) ), aber es ist physikalisch sinnvoller H = H (~E, ~B) zu schreiben:

∋

=⇒ H = − 0 Ei (x) [−Ei (x) − ∂i φ] −

0~ 2

2

E +

c2 0 ~ 2 B 2 ∋

∋

=⇒

∋

~E = −~A˙ − ∇φ

0

(~E 2 − c2~B2 ) 2 ~A˙ = −~E − ∇φ

=⇒ H = − 0 Ei (x)A˙ i (x) −

∋

∋

1 = E + ~B2 + 0 ~E · ∇φ 2 2µ

H d3x

Z 

=

∋

H=

 1 ~2 3 E + B d x+ 2 2µ 0~ 2

Z

∋

Z

∋

0~ 2

0

~E · ∇φ d 3 x

12

KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER

Partielle Integration im zweiten Term: ∋

0

~E · ∇φ d 3 x = −

Z

(div ~E)φ d 3 x = 0 wegen div ~E = 0 bei ρ = 0  Z  1 ~2 0~ 2 E + B d3x =⇒ H = 2 2µ0 | {z } ∋

Z

0

∋

Energiedichte

Dies ist die Energie elektromagnetischer Felder im freien Raum. Anmerkung: Man kann die allgemeine Form von H auch aus der Invarianz der Lagrange-Dichte gegen¨uber Verschiebungen des Zeitnullpunktes herleiten. Energieerhaltung h¨angt also damit zusammen, dass keine expliziten Zeitabh¨angigkeiten vorkommen. In der Literatur wird der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgr¨oßen als Noether-Theorem (siehe z. B. [4]) bezeichnet. Genauso ist die Impulserhaltung eine Folge r¨aumlicher Homogenit¨at (Es treten nur Abst¨ande auf, keine absoluten Koordinaten). F¨ur das elektromagnetische Feld folgt f¨ur den Gesamtimpuls (ohne Beweis): Z

∋

~P =

0

(~E × ~B) d 3 x

(

1 ~ ~ (E × B) =: ~S µ0

Poynting-Vektor)

Kapitel 2 Elektrostatik 2.1

Coulomb-Potential, Poisson- und Laplace-Gleichung

In der Elektrostatik behandelt man die Situation, dass nur ruhende Ladungen als Quellen auftreten, es fließen also keine Str¨ome, j = ρ˙ = 0. Die Maxwell-Gleichungen werden dann zu ρ

div ~B = 0

∋

div ~E =

0

1 ∂~E rot ~B = 2 c ∂t

rot ~E = −~B˙

(2.1)

~E kann als zeitunabh¨angig angesetzt werden, da es L¨osung einer zeitunabh¨angigen Differentialgleichung ist (ρ˙ = 0, keine Ausbreitung der Felder). Daher kann auch ~B = 0 gesetzt werden: rot ~B = 0 =⇒ ~B = 0 div ~E =

ρ

rot ~E = 0

∋

F¨ur das E-Feld folgt

0

Wegen rot grad φ = 0 und rot ~E = 0 (das E-Feld ist wirbelfrei) kann ~E geschrieben werden als ~E = −∇φ ρ =⇒ div ~E = = −div ∇φ = −∆φ ∋

∋

∆φ = −

ρ

0

Poisson-Gleichung

0

13

14

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

φ ist dann das Coulomb-Potential. In Raumbereichen ohne Ladungstr¨ager erf¨ullt φ die Laplace-Gleichung ∆φ = 0 Dort kann φ kein Maximum oder Minimum annehmen (Sattelpunkte sind m¨oglich). Zur Motivation dieses Theorems geht man von der Annahme aus, dass φ an x = 0 ein Maximum/Minimum hat. Taylor-Entwicklung von φ ergibt (in einem geeigneten Koordinatensystem) φ = φ0 + αx2 + βy2 + γz2 + O(x3 , y3 , z3 ) !

0 = ∆φ = 2α + 2β + 2γ H¨atte die Funktion dort ein Minimum, so m¨ußte dort gelten ∆φ > 0, bei einem Maximum ∆φ < 0. Die Aufgabe der Elektrostatik ist es, f¨ur ein gegebenes ρ(x) und Randbedingungen die Poisson-Gleichung zu l¨osen. Dabei sind die Randbedingungen, die z. B. durch Metallplatten vorgegeben werden, der schwierige Teil.

2.2

Green-Funktionen

Green-Funktionen sind eine a¨ ußerst wichtige Methode zur L¨osung inhomogener Differentialgleichungen. Diese treten typischerweise bei der St¨orungstheorie auf, z. B. bei der L¨osung der Schr¨odinger-Gleichung: Ψ00 + εV (x)Ψ = E(ε)Ψ Ψ = Ψ0 + εΨ1 + · · · 00 00 Ψ0 + εΨ1 + εV (x)(Ψ0 + εΨ1 ) = (E0 + εE1 )(Ψ0 + εΨ1 ) =⇒Ψ000 − E0 Ψ0 = 0 Ψ001 − E0 Ψ1 = (E1 −V (x))Ψ0

homogene DGL inhomogene DGL

Die Green-Funktion der Elektrostatik ist definiert als L¨osung der Gleichung ∂2 G(~x,~x0 ) = δ(~x −~x0 ) 2 ∂x i=1 i 3

∆x G(~x,~x0 ) = ∑

Die L¨osung von ∆φ = − ρ0 ist dann gegeben durch ∋

−

1 ∋

φ(~x) =

Z

0

ρ(~x0 )G(~x,~x0 ) d 3 x0

(2.2)

15

2.2. GREEN-FUNKTIONEN Beweis: ∋

∆x φ(~x) = −

1

∆x

Z

Z

ρ(~x0 )∆x G(~x,~x0 ) d 3 x0

Z

ρ(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0

ρ(~x0 )G(~x,~x0 ) d 3 x0

0

∋

=−

1 0

∋

=−

1 0

qed.

∋

=−

ρ(~x) 0

Um ∆x G = δ(x − x0 ) zu l¨osen verwenden wir ∆x

1 = −4πδ(~x −~x0 ) |~x −~x0 |

Beweis: 1. Annahme: |~x −~x0 | 6= 0 ∂i ∂i

1 1 = ∂i ∂i  1 0 |~x −~x | 2 0 2 ∑ j (x j − x j )   1 1 0 = ∂i −   3 · 2(xi − xi ) 2 2 ∑ j (x j − x0j )2 = −∂i 

xi − xi0

∑ j (x j − x0j )2

= − = −

3

(∂i xi ) ∑ j (x j − x0j )2

3 2

2

− (xi − xi0 )



3 − 2

2(xi − xi0 )



 5 2 ∑ j (x j − x0j )2

(xi − xi0 )2 + 3 · 3  5 2 2 ∑ j (x j − x0j )2 ∑ j (x j − x0j )2 3

=0 2. Um den Fall ~x = ~x0 zu berechnen, muss man ein Integral betrachten, denn Distributionen wie die δ-Distribution sind eigentlich nur unter einem Integral definiert. Z I=

F(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0 := F(~x)

16

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK F(~x) ist dabei eine sogenannte Testfunktion, d. h. eine gutartige“ Funktion R ” (alle Ableitungen existieren, F(~x) d 3 x endlich, . . . ) ∆x |~x −~x0 |−1 = −4πδ(~x −~x0 ) ist also a¨ quivalent zu Z Z 1 3 0 0 F(~x )∆x d x = −4π F(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0 = −4πF(~x) 0 |~x −~x | V V ist dabei ein beliebiges Volumen. Wir w¨ahlen V = Kε , eine Kugel mit Radius ε um |~x −~x0 | = 0. Wir setzen noch ~x00 = ~x −~x0 , ~x0 = ~x −~x00 , d 3 x0 = d 3 x00 . Dann ist Z Z 1 1 0 3 0 F(~x )∆x d x = F(~x −~x00 )∆x00 00 d 3 x00 0 |~x −~x | |~x | V Kε F(~x −~x00 ) ist differenzierbar, daher l¨aßt sich schreiben F(~x −~x00 ) = F(~x) − ∂i F(~x)xi00 + . . . Weil Kε klein ist (~x00 ≈ 0), k¨onnen wir F(~x −~x00 ) durch F(~x) ersetzen. Das Integral wird dann zu Z 1 F(~x) div grad 00 d 3 x00 (2.3) |~x | Kε Mit dem Gaußschen Satz (1.4) wird daraus I 1 F(~x) ~n~∇ 00 ds (2.4) |~x | ∂Kε wobei ∂Kε die Kugeloberfl¨ache ist und ~n =

~x00 |~x00 |

;

00 ~∇ 1 = − ~x |~x00 | |~x00 |3

(2.5)

verwendet man, dass auf ∂Kε gilt |~x00 | = ε, so wird das Integral zu  00  I ~x00 ~x I = F(~x) − 3 ds ε ∂K ε Auf der Kugeloberfl¨ache mit Radius ε gilt ds = ε2 sin ϑ dϑ dϕ I = −F(~x)

Z

sin ϑ dϑ dϕ = 4πF(~x)

qed.

1 1 + g(~x,~x0 ) (2.6) 4π |~x −~x0 | Wobei g(~x,~x0 ) eine L¨osung der homogenen Gleichung ist. g(~x,~x0 ) wird dazu verwendet, die Randbedingungen an G(~x,~x0 ) zu erf¨ullen. Einfachstes Beispiel: Unendlich ausgedehnter Raum mit G → 0 f¨ur |~x −~x0 | → ∞ 1 1 =⇒ G(0) (~x −~x0 ) = − 4π |~x −~x0 | =⇒ G(~x,~x0 ) = −

17

2.3. RANDBEDINGUNGEN, GREENSCHER SATZ Anmerkungen zur δ-Distribution

δ(~x) ist wie schon angemerkt keine Funktion, sondern eine Distribution. D. h. (per Definitionem), dass δ(~x) nur unter einem Integral sinnvoll ist: Streng genommen R ist F(~x)δ(~x −~x0 ) d 3 x definiert, nicht aber F(~x)δ(~x −~x0 ) als Funktion. F(~x) ist dabei eine gutartige“ Funktion, die unendlich oft differenzierbar ist. ” Wegen ∆G = δ(x) ist auch die Green-Funktion eigentlich eine Distribution. In der Tat wird sie singul¨ar f¨ur x = x0 und ist daher nicht u¨ berall als Funktion wohldefiniert.

2.3

Randbedingungen, Greenscher Satz

Um herauszufinden welche Randbedingungen gelten k¨onnen, kann man den Greenschen Satz verwenden: Z V

I

(φ∆Ψ − Ψ∆φ) d 3 x =

∂V

(φ~n∇Ψ − Ψ~n∇φ) ds

(2.7)

Der Greensche Satz ist eine einfache Folgerung des Gaußschen Satzes (1.4) mit ~R = φ∇Ψ − Ψ∇φ 1 1 Sind speziell φ eine L¨osung von ∆φ = −ρ/ 0 und Ψ = − 4π |~x−~x0 | , so ergibt sich:  Z Z  1 1 ρ(~x0 ) 3 0 (φ∆Ψ − Ψ∆φ) d x = φδ(~x −~x ) − d 3 x0 0 4π |~x −~x | 0 V V Z 1 ρ(~x0 ) 3 0 = φ(~x) − d x 4π 0 |~x −~x0 | ∋

∋

∋

Z V

ρ(~x) 1 d3x + 0 4π 0 |~x −~x | 4π ∋

=⇒ φ(~x ) = 0

I ∂V



~n∇φ 1 − φ(~x)~n∇ 0 |~x −~x | |~x −~x0 |

 ds (2.8)

Man sieht hier, wie Randterme wirken k¨onnen. Allerdings ist die Vorgabe von ¨ φ und~n∇φ nicht gleichzeitig m¨oglich (Uberbestimmung). Gleichung (2.8) hat den Charakter einer Integralgleichung f¨ur φ(~x0 ) und ~n∇φ (bzw. φ(~x0 ) und φ(∂V )) bei Vorgabe von φ(∂V )) (bzw. ~n∇φ). Um zu sehen, welche Randbedingungen an φ gestellt werden k¨onnen, kann man folgendes Argument verwenden: Angenommen, wir haben zwei verschiedene L¨osungen φ1 , φ2 zu ∆φi = −ρ/ 0 . Dann erf¨ullt U = φ1 − φ2 die Gleichung ∆U = 0. Benutze die erste Greensche Identit¨at : ∋

Z V

˜ + ∇φ˜ · ∇Ψ) ˜ d3x = ˜ Ψ (φ∆

I ∂V

˜ d~s ˜ Ψ φ∇

18

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

˜ ˜ Ψ). (folgt aus dem Gaußschen Satz mit ~R = φ∇ ˜ = U setzen, gilt Wenn wir φ˜ = Ψ Z

(U |{z} ∆U +∇U · ∇U) d x = 3

V

Z

2

3

|∇U| d x =

I ∂V

=0

V

U∇U d~s

Falls U = 0 auf ∂V oder ~n∇U = 0 auf ∂V , so folgt ∇U = 0, d. h. U = konstant (z. B. Faraday-K¨afig: kein Feld im Innern) =⇒ φ1 = φ2 falls U = 0 auf ∂V , wenn also φi auf ∂V vorgegeben ist (Dirichlet-Randbedingung) φ1 = φ2 + const. falls ~n∇U = 0 auf ∂V , wenn also ~n∇φi auf ∂V vorgegeben ist (Neumann-Randbedingung)

2.4

Methode der Spiegelladungen

In der Praxis ist es oft einfacher nicht die Green-Funktion, sondern φ direkt zu berechnen. Besonders wichtig ist die Methode der Spiegelladungen bei Metalloberfl¨achen. Idee: Auf einer Metalloberfl¨ache k¨onnen sich die Elektronen (nahezu) frei bewegen. Sie bewegen sich so lange bis auf sie keine elektrostatische Kraft mehr parallel zur Oberfl¨ache wirkt (Nur noch eine senkrecht zur Oberfl¨ache). 


































































































































































































































































































































































































































































































































 



 

.

.

.

.




 






 








 








 






.

 

.




 



Q






 



.






 








 



Q

. .






 








 






. . .

 



 


















.




 








 



 











































.

.

.

.




 




Kraft = q~E = −q∇φ =⇒∇φ = 0 auf der Oberfl¨ache ⇐⇒φ = const. auf der Oberfl¨ache Wie kann die Randbedingung ~E k~n auf der Oberfl¨ache erf¨ullt werden? Beispiel: Teilchen der Ladung Q in der N¨ahe einer unendlich ausgedehnten Metallplatte. Wir wollen das Feld als L¨osung von ∆φ = ρ/ 0 nur in dem Raumbereich finden, in dem sich das Teilchen befindet. Außerhalb k¨onnen wir beliebig ∋

19

2.4. METHODE DER SPIEGELLADUNGEN . .

.

.

−Q

Q

Spiegel− ladung

−x

Q.

x

. .

viele virtuelle“ Ladungen anbringen, sog. Spiegelladungen. F¨ur die Metallplatte ” ergibt sich: 1 Q 1 −Q + 4π 0 |~y −~x| 4π 0 |~y +~x| =⇒ φ(y1 = 0, y2 , y3 ) = 0 ∋

∋

φ(~y) =

=⇒ ~E = −∇φ ist senkrecht zur Metalloberfl¨ache, da sich das Potential in dieser Ebene nicht a¨ ndert 2. Beispiel: Punktladung außerhalb einer Metallkugel mit Radius a.

a Q’ r’

z

Q0 Q φ(~x) = + 4π 0 |~x −~r| 4π 0 |~x −~r0 | ∋

Ansatz:

Q r

∋

Symmetrie¨uberlegungen legen nahe, dass die Spiegelladung Q0 auf der gleichen Achse liegt wie Q, also~r = r~ez ,~r0 = r0~ez . F¨ur einen Vektor ~x mit |~x| = R in Kugelkoordinaten gilt:   R cos ϕ sin ϑ ~x = R sin ϕ cos ϑ R cos ϑ

20

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK − 1 Q  2 2 a sin ϑ + (a cos ϑ − r)2 2 4π 0 − 1 Q0  2 2 + a sin ϑ + (a cos ϑ − r0 )2 2 4π 0  
− 12
− 12 1 2 2 0 2 02 0 = Q a + r − 2ar cos ϑ + Q a + r − 2ar cos ϑ 4π 0 ∋

φ(|~x| = a) =

∋

∋

!

= 0 f¨ur alle ϑ L¨osung: a2 a ; Q0 = Q r r Generell ist die Methode der Spiegelladungen erfolgversprechend, wenn das Problem eine gewisse Symmetrie aufweist. Im Allgemeinen reicht auch nicht eine einzelne Spiegelladung, sondern man muss mehrere Ladungen einf¨uhren, um die Randbedingungen zu erf¨ullen. r0 =

2.5

Green-Funktion in sph¨arischen Koordinaten

Zu l¨osen ist die Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten.   r cos ϕ sin ϑ ρ ∆φ = ; ~x = r sin ϕ cos ϑ 0 r cos ϑ ∋

1 ∂2 1 ∆φ = rφ + 2 ∆Ω φ 2 r ∂r r   1 ∂ ∂φ 1 ∂2 ∆Ω φ = sin ϑ + 2 φ = −L2 φ sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ2 Aus der Quantenmechanik ist bekannt: ∆ΩYlm (ϑ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm (ϑ, ϕ) ;

−i∂φYlm (ϑ, ϕ) = mYlm (ϑ, ϕ)

Darin sind die Ylm die Kugelfl¨achenfunktionen: s (2l + 1) (l − m)! m Ylm (ϑ, ϕ) = P (cos ϑ)eimϕ 4π (l + m)! l Die Plm sind die assoziierten Legendre-Polynome: Plm (x) =

m (−1)m 2 l (1 − x2 ) 2 ∂l+m x (x − 1) l 2 l!

¨ 2.5. GREEN-FUNKTION IN SPHARISCHEN KOORDINATEN

21

Die Kugelfl¨achenfunktionen bilden ein Orthonormalsystem mit der Orthogonalit¨atsrelation Z 2π Z π 0

0

Yl∗0 m0 (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = δll 0 δmm0

(2.9)

und der Vollst¨andigkeitsrelation ∞

l

∑ ∑

∗ Ylm (ϑ0 , ϕ0 )Ylm (ϑ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 ) δ(cos ϑ − cos ϑ0 ) | {z } l=0 m=−l

(2.10)

=δ(Ω−Ω0 )

Man kann daher alle L¨osungen der sph¨arisch symmetrischen Poisson-Gleichung nach Kugelfl¨achenfunktionen entwickeln. Besonders interessant ist in unserem Falle die Green-Funktion: ∞ l l 1 1 r< = 4π ∑ ∑ 2l + 1 rl+1 Ylm∗ (ϑ0, ϕ0)Ylm(ϑ, ϕ) |~x −~x0 | > l=0 m=−l

mit r< := min(|~x|, |~x0 |) ;

(2.11)

r> := max(|~x|, |~x0 |)

(F¨ur Einzelheiten siehe [6], Kapitel 3.9.) Dies entspricht einer Entwicklung der Green-Funktion in Kugelkoordinaten um den Punkt ~x. Das Auftauchen von r< und r> ist typisch f¨ur Green-Funktionen in kugel- und zylindersymmetrischen Problemen. Der Sprung in r< und r> ist notwendig, um δ(~x −~x0 ) in der PoissonGleichung zu erzeugen. L¨osungen dieser Art treten z. B. auch in Gravitationstheorie, Akustik und Quantenmechanik auf.

22

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

Kapitel 3 Magnetostatik Hier betrachtet man den Fall, dass konstante Str¨ome fließen, d. h. Ladungstr¨ager werden zwar bewegt, aber nur so dass sich ihre Ladungsdichte nicht a¨ ndert: ρ = const. =⇒ ∂t ~j = ∂t ρ = 0 Mit der Kontinuit¨atsgleichung ρ˙ + div ~j = 0 folgt daraus ~j = const.

;

div ~j = 0 d. h. die Str¨ome sind quellenfrei. Streng genommen k¨onnen daher nur unendlich ausgedehnte Str¨ome oder geschlossene Stromkreise betrachtet werden.

3.1

Die Feldgleichungen und ihre L¨osung

Zur Herleitung der Feldgleichungen kann man von den Maxwell-Gleichungen ausgehen. Weil die Quellen zeitunabh¨angig sind nimmt man an, dass es die Felder ebenfalls sind: ρ div ~E = div ~B = 0 0 (3.1) rot ~E = 0 rot ~B = µ0~j ∋

Die Gleichungen f¨ur ~E sind die aus der Elektrostatik, aber die f¨ur ~B sind neu. Es ist m¨oglich sie direkt zu l¨osen, einfacher ist es jedoch u¨ ber die Potentiale zu gehen. In Coulomb-Eichung ergeben sich f¨ur die Potentiale folgende Differentialgleichungen: ρ ∆φ = − 0   2 1 ∂ 1 − ∆ ~A = µ0~j − 2 ∇φ˙ 2 2 c ∂t c ∋

23

24

KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK

Wieder ist die Gleichung f¨ur das elektrische Potential die aus der Elektrostatik. Weil die Felder zeitunabh¨angig sind, folgt f¨ur ~A: ∆~A = −µ0~j Die drei Komponenten dieser Gleichung sind a¨ quivalent zur Poisson-Gleichung und werden analog gel¨ost (vgl. Gleichung (1.12)). ~A(~x) = µ0 4π

Z

~j(~x0 ) 3 0 d x |~x −~x0 |

~B(~x) = rotx ~A(~x) ∂ Ak (~x) Bi (~x) = εi jk ∂x j Z µ0 ∂ 1 = εi jk jk (~x0 ) d3 x0 4π ∂x j |~x −~x0 | Z µ0 (−1) = εi jk (x j − x0j ) jk (~x0 ) d3 x0 4π |~x −~x0 |3 Z µ0 (~j(~x0 ) × (~x −~x0 )) 3 0 ~ =⇒ B(~x) = d x 4π |~x −~x0 |3

3.2

Das Gesetz von Biot und Savart

Das Gesetz von Biot und Savart ist historisch a¨ lter als die Maxwell-Gleichungen. Es besch¨aftigt sich mit idealisierten Fadenstr¨omen“. ” Zu seiner Herleitung bedient S2 n man sich der Modellvorstellung eines d¨unnen verlustfreien Leiters, der an Anfang und Ende jeweils die Querschnittsfl¨achen z S1 und S2 besitzt, die von einem Strom homogen durchflosS1 sen werden. div ~j = 0 =⇒ 0 =

Z

3

div ~j d x =

V

I Z∂V

= S1

~j d~S ~j d~S −

Z

~j d~S

S2

= j1 S1 − j2 S2 = I1 − I2

3.2. DAS GESETZ VON BIOT UND SAVART

25

Durch beide Fl¨achen S1 und S2 fließt also die gleiche Stromst¨arke. Die Integration erstreckt sich dabei u¨ ber das gesamte Volumen V des betrachteten Leiterst¨ucks bzw. u¨ ber dessen Oberfl¨ache. Wegen der Verlustfreiheit tragen nur Anfangs- und Endfl¨ache des Leiters bei, was die Aufteilung des Oberfl¨achenintegrals in der zweiten Zeile erm¨oglicht. Ist der Leiterquerschnitt S konstant, S = S1 = S2 , so ist j1 = j2 = SI . Parametrisieren wir einen Ort im Leiter durch die L¨ange l des Leiters bis zu diesem Punkt, so folgt daraus ~j(~z(l)) = I ·~n(l) S Wobei ~n(l) der Normalenvektor zur Querschnittsfl¨ache des Leiters am Ort~z(l) ist R ~z(l) (d. h. tangential zum Leiter). Da l der L¨angenparameter ist gilt l = ~z(l1 ) |d~z| und somit 1/|d~z/dl| = 1. Der Normalenvektor kann daher in der Form ~n(l) =

d~z(l) dl

ausgedr¨uckt werden. F¨ur Biot-Savart geht man von einem unendlich d¨unnen Draht aus (FadenR strom). Formal kann man dies dadurch beschreiben, indem man ~j(~x) = d 3 x0 δ(~x− ~x0 ) ~j(~x0 ) schreibt. Das Integral erstreckt sich dabei nur u¨ ber den Raumbereich des Leiters, da die Stromdichte sonst verschwindet. An jedem Punkt des Leiters kann man es zerlegen in der Form d 3 x0 = dl dS. Da die Stromdichte konstant u¨ ber den Leiterquerschnitt ist, ergibt das Integral u¨ ber dS einfach die Fl¨ache S. Man erh¨alt dadurch ~j(~x) =

Z l2 l1

=I

~j(~z(l)) δ(~x −~z(l)) dl dS

Z l2 d~z(l)

dl

l1

Z

=I C

δ(~x −~z(l)) dl

δ(~x −~z) dz

µ0 1 · ~j(~x0 ) × (~x −~x0 )d3 x0 4π |~x −~x0 |3 Z Z µ0 I 1 = d~z × (~x −~x0 ) δ(~x0 −~z) 4π |~x −~x0 |3 C Z µ0 I ~x −~z = d~z × 4π |~x −~z|3

=⇒ ~B(~x) =

Z

µ0 I d~z × (~x −~z) 4π |~x −~z|3 Dies ist das Gesetz von Biot und Savart. ⇐⇒ d~B(~x) =

26

3.3

KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK

Kreisstr¨ome und magnetische Quadrupolfalle

Das Gesetz von Biot und Savart kann direkt dazu verwendet werden um das Feld d¨unner Stromleiter auszurechnen. Manchmal ist es aber einfacher vom Vektorpotential auszugehen. Beispiel: Kreisstrom in x-y-Ebene Die Stromdichte in Kugelkoordinaten ist   − sin ϕ ~j(r, ϑ, ϕ) = jϕ~eϕ ; ~eϕ =  cos ϕ  0 a I jϕ (r, ϑ, ϕ) = δ(cos ϑ)δ(r − a) Z a I µ0 1 ~ 0 3 0 =⇒ ~A(~x) = j(~x ) d x 4π |~x −~x0 | Das Problem ist symmetrisch unter ϕ → ϕ + ϕ0 . F¨ur die Koordinate ~x k¨onnen wir also w¨ahlen     x1 sin ϑ ~x =  0  = r  0  x3 cos ϑ Damit ist 0 Z ∞ Z π Z 2π 0 )δ(r 0 − a) − sin ϕ µ I δ(cos ϑ 0 02 0 0 0 0 0 ~A(~x) =  cos ϕ  r dr sin ϑ dϑ dϕ 0



4π

0

µ0 Ia = 4π

0

Z 2π 0



− sin ϕ0

|~x −~x |

a

0



0



1 dϕ0  cos ϕ0  |~x −~x0 | 0



;

cos ϕ0



~x0 = a  sin ϕ0  0

|~x −~x0 |2 = (r sin ϑ − a cos ϕ0 )2 + a2 sin2 ϕ0 + r2 cos2 ϑ = r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0   Z 2π − sin ϕ0 1 ~A(~x) = µ0 Ia dϕ0  cos ϕ0  p 4π 0 r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0 0 Ax verschwindet, da der Integrand antisymmetrisch in ϕ0 ist. µ0 Ia =⇒ ~A(~x) = ~ey π

Z 2π 0

1

dϕ0 cosϕ0 p

r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0

Dies ist ein sog. elliptisches Integral. Das Auftreten solcher Integrale ist typisch f¨ur diese Art von Problem. Sie k¨onnen durch die vollst¨andigen elliptischen

¨ 3.3. KREISSTROME UND MAGNETISCHE QUADRUPOLFALLE

27

Integrale E(k) und K(k) (Siehe Ref. [1]) gel¨ost werden:   µ0 I 1 (2 − k2 )K(k) − 2E(k) √ Ay = π r2 + a2 − 2ar sin ϑ a2 mit k2 =

4ar sin ϑ r2 + a2 − 2ar sin ϑ

Weiteres Beispiel: Magnetische Quadrupolfalle:

a

a z_






_L

0

+L

z+

x3

   a cos ϕ a cos ϕ ~z+ =  a sin ϕ  ; ~z− = −a sin ϕ L −L     −a sin ϕ −a sin ϕ d~z d~z+ = dϕ = dϕ  a cos ϕ  ; d~z− = dϕ −a cos ϕ dϕ 0 0 

Verwenden Biot-Savart: ~B(~x) = µ0 I 4π

Z 

d~z+ × (~x −~z+ ) d~z− × (~x −~z− ) + |~x −~z+ |3 |~x −~z− |3



F¨ur die Falle ist nur das ~B-Feld in der Umgebung von ~x = 0 interessant. Daher entwickeln wir ~B um ~x = 0: ∂ Bi ≈ Bi (0) + xk Bi +··· ∂xk x=0

28

KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK Es gelten  d~z+ ×~z+ d~z− ×~z− − − |~z+ |3 |~z− |3 p |~z+ | = |~z− | = a2 + L2     L cos ϕ L cos ϕ d~z+ ×~z+ = dϕa ·  L sin ϕ  ; d~z− ×~z− = dϕa · −L sin ϕ −a a   Z 2π −2L cos ϕ µ I a 0  =0 0 =⇒ ~B(0) = dϕ √ 3 4π 0 a2 + L 2 0 ~B(0) = µ0 I 4π

Z 

Analog findet man     x1 x1 2 ∂ ~ µ0 I 6a Lπ  x2  = B0  x2  ≈ ~B(x) xl B =− ∂xl x=0 4π √a2 + L2 5 −2x3 −2x3 Aus der Quantenmechanik kennt man die Wechselwirkungsenergie zwischen einem ~B-Feld und einem Teilchen mit magnetischem Moment~µ Hint = −~µ~B

z. B. f¨ur Spin:~µ = µB g~s

F¨ur festes~µ entspricht~µ~B einer homogenen Kraft ~F = −∇Hint = B0 (µx , µy , −2µz )T , die keine Falle darstellt. Man kann trotzdem Teilchen fangen, weil der Spin und damit das magnetische Moment sehr schnell um die (lokale) Achse des Magnetfeldes pr¨azediert. Die zum Magnetfeld senkrechten Spinkomponenten mitteln sich deshalb weg und man kann den das zeitlich gemittelte magnetische Moment in der Form ~B ~µ = ±|~µ| =⇒ Hint = −|~µ||~B| |~B| darstellen. Falls also die Schwerpunktbewegung des Teilchens sehr viel langsamer als die Pr¨azession des Spins ist, ist die Wechselwirkungsenergie proportional zu |~B|. Falls der mittlere Spin antiparallel zum Magnetfeld ist (paramagnetisch), ergibt sich eine magnetische Falle f¨ur Teilchen:   x1 0   ~ ~ x2 |B| = |B | · −2x3

¨ 3.3. KREISSTROME UND MAGNETISCHE QUADRUPOLFALLE

29

Hint

x1

Das besondere an der magnetischen Quadrupolfalle ist, dass die Pr¨azession des Spin eine Falle mit einem statischen Magnetfeld erm¨oglicht. In Abschnitt 2 hatten wir gesehen, dass ein statisches elektrisches Feld im freien Raum kein Minimum oder Maximum annehmen kann. Dasselbe gilt auch f¨ur ein statisches Magnetfeld, da es auch die Laplace-Gleichung erf¨ullt. Erst die Pr¨azession des Spins und die damit verbundene Kopplung an |~B| erzeugt eine Wechselwirkungsenergie mit einem Minimum, die zum Fangen von Teilchen verwendet werden kann.

30

KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK

Kapitel 4 Ver¨anderliche Felder L¨aßt man zeitabh¨angige Felder und Quellen zu, so muss man mit den allgemeinen Maxwell-Gleichungen rechnen, am besten in Form der Wellengleichungen 1 ~E = −µ0 ∂t ~j − ∇ρ (4.1) ∋

0

~B = µ0 rot ~j

(4.2)

4.1 Ebene Wellen Im Vakuum (ρ = ~j = 0) gilt: ~E = ~B = 0

div ~E = div ~B = 0

;

Ansatz zur L¨osung: ~E = E~~ε~ exp(i~k~x − iωt)  k k2  1 ∂ ~E = E~k~ε~k 2 2 − ∆ exp(i~k~x − iωt) c ∂t Darin sind E~k ∈ C ~ε~k

die Amplitude und der Polarisationsvektor.

ω ! =⇒ ~E = E~k~ε~k (− 2 + k~2 ) exp(i~k~x − iωt) = 0 c Das ist eine L¨osung von ~E = 0 falls ω = c|~k|. Hierbei ist ω~k := c|~k| die Frequenz eines Photons1 mit Impuls ~~k. Die Energie des Photons ist gegeben durch die 2

1 Der

Begriff des Photons als elementares Quantum des Strahlungfeldes wird eigentlich erst in der Quantenelektrodynamik eingef¨uhrt. Die Eigenschaften eines Photons h¨angen aber so eng mit denen der klassischen Elektrodynamischen Felder zusammen, dass es sich lohnt, den Begriff schon hier zu verwenden

31

¨ KAPITEL 4. VERANDERLICHE FELDER

32

Plancksche Formel E = ~ω~k . Der Polarisationsvektor ~ε~k wird festgelegt durch die Bedingung div ~E = ∂i Ei = 0: ε k(2)

div ~E = E~k (~ε~k )i iki exp(i~k~x − iωkt) = iE~ (~ε~~k) exp(i~k~x − iωkt) k

k .

k

!

=0

.

ε(1) k

=⇒~ε~k muss senkrecht auf dem Wellenvektor ~k stehen!

Im R3 gibt es zwei linear unabh¨angige Vektoren senkrecht zu ~k =⇒ es gibt zwei (σ) unabh¨angige Polarisationsrichtungen. Die genauen Richtungen der ~ε~ sind willk k¨urlich. Eine M¨oglichkeit ist  cos ϕ sin ϑ ~k = k  sin ϕ sin ϑ  cos ϑ 

 cos ϕ cos ϑ (1) ; ~ε~ =  sin ϕ cos ϑ  k − sin ϑ 

  − sin ϕ ~ k (1) (2) ; ~ε~ = ×~ε~ =  cos ϕ  k k k 0

(1) (2) Die reellen Vektoren ~ε~ und ~ε~ entsprechen linear polarisiertem Licht. Der allk k gemeine Polarisationsvektor ist eine Superposition beider Vektoren:

~ε~k = α~ε~(1) + β~ε~(2) k

k

;

mit |α|2 + |β|2 = 1

,

α, β ∈ C

Ein Beispiel ist zirkular polarisiertes Licht: 1 ~ε~(±) = √ (~ε~(1) ± i~ε~(2) ) k k 2 k In der Literatur werden bez¨uglich der Bezeichnungen unterschiedliche Konventionen verwendet. Wir halten uns hier an die von [5, 2]: +“: links zirkular oder positive Helizit¨at, σ+ -Licht ” −“: rechts zirkular oder negative Helizit¨at, σ− -Licht ” σ+ - und σ− -Licht ist wichtig f¨ur die Auswahlregeln in der Atomphysik: σ± : ∆m = ±1, wobei m die magnetische Quantenzahl der Atome ist. Allgemeine Su(1) (2) perpositionen ~ε~k = α~ε~ + β~ε~ heißen elliptisch polarisiert. k k In der Quantenelektrodynamik beschreibt der Polarisationsvektor gleichzeitig den Spin eines Photons. Photonen haben Gesamtspin 1. Sie haben aber nur die z-Spin-Werte sz = ±1. Das entspricht σ+ - und σ− -Licht. Die Auswahlregel ∆m = ±1 folgt dann aus der Erhaltung des Gesamtspins (Atom + Photon). Der Wert sz = 0 ist wegen der verschwindenden Ruhemasse nicht realisiert (vgl. [7]). Im

33

4.1. EBENE WELLEN

Allgemeinen geh¨ort zu einem zeitabh¨angigen ~E-Feld auch ein zeitabh¨angiges ~BFeld. Dieses kann man aus der Maxwell-Gleichung rot ~E = −~B˙ herleiten: ~B˙ = −rot {E~~ε~ e(i~k~x−iωk t) + c. c.} k k ~

= −εi jk ∂ j (~ε~k )l E~k e(ik~x−iωk t) + c. c. ~

= −εi jk (~ε~k )l E~k lk j e(ik~x−iωk t) + c. c. ~

= −iE~k (~k ×~ε~k )i e(ik~x−iωk t) + c. c. Zur L¨osung dieser Differentialgleichung macht man den Ansatz Bi ∼ exp(−iωkt). Daraus ergibt sich: ~B =

E~k ~ ~ (k ×~ε~k )e(ik~x−iωk t) + c. c.

ωk 1 = (~k × ~E) ωk

Die allgemeine L¨osung im freien Raum ist eine Superposition ebener Wellen: ~E(~x,t) =

Z

d3k

∑

σ=1,2

~B(~x,t) =

Z

3

d k

∑

σ=1,2

E~k(σ)~ε~(σ) exp(i~k~x − iωt) + c. c. k E~k(σ) ωk

(σ) (~k ×~ε~ ) exp(i~k~x − iωt) + c. c. k

Besonders erw¨ahnenswert sind noch folgende Spezialf¨alle: 1. Der Polarisationsvektor setzt sich aus einem Realteil ~ε und einem Imagin¨arteil ~ε00 zusammen: ~E = E~~ε~ exp(i~k~x − iωkt) + c. c. k k = E~ (~ε0 + i~ε00 ) exp(i~k~x − iωkt) + c. c. k

Dabei gelte ~ε02 +~ε002 = 1, E ∈ R. =⇒ ~E = E~k~ε0 2 cos(~k~x − iωkt) − E~k~ε00 2 sin(~k~x − iωkt) Es handelt sich also um eine laufende Welle. ¨ 2. Man betrachtet die Uberlagerung zweier sich gegenl¨aufig ausbreitender Wellen mit E~k = E−~k und ~ε~k =~ε−~k : ~E = ~E~ + ~E ~ k −k = E~k~ε~k exp(i~k~x − iωkt) + E−~k~ε−~k exp(−i~k~x − iωkt) + c. c.

¨ KAPITEL 4. VERANDERLICHE FELDER

34

=⇒ ~E ∼ cos(~k~x)cos(ωkt) Es handelt sich also um eine stehende Welle.

4.2

Green-Funktionen

Im vorigen Abschnitt wurden Wellen im freien Raum betrachtet. Nun soll gelten ρ 6= 0 und ~j 6= 0. Die Gleichungen (4.1) und (4.2) f¨ur ~E und ~B sind inhomogen. Daher ist es n¨utzlich die Green-Funktion zu kennen. Zu l¨osen ist: G(~x,t;~x0 ,t 0 ) = δ(t − t 0 )δ(~x −~x0 ) Als L¨osungsansatz wird die Fourier-Transformation gew¨ahlt. Die Gleichungen sind invariant unter der Verschiebung des r¨aumlichen und zeitlichen Ursprungs. Deswegen h¨angt G nur von den Differenzen der Koordinaten ab, also G(~x,t;~x0 ,t 0 ) = G(t −t 0 ,~x −~x), und man kann die Fourier-Transformation nach nur vier Variablen ansetzen: 1 ~ ˜ ~k, ω) d3 k dω ei(k~x−ωt) G( (2π)2  Z  1 ω2 ~ 2 ˜ ~k, ω) d3 k dω x G(~x,t) = − 2 + k ei(k~x−ωt) G( 2 (2π) c = δ(t)δ(x) Z 1 ~ = ei(k~x−ωt) d3 k dω 4 (2π) Z

G(~x,t) =

(∗)

(∗∗)

F¨ur das letzte Gleichheitszeichen wurde eine der Darstellungen der δ-Funktion benutzt. Ein Vergleich der Gleichungen (∗) und (∗∗) liefert ˜ ~k, ω) = G(

1 2 (2π)2 (~k2 − ωc2 )

1 =⇒ G(~x,t) = (2π)4

Z

3

i~k~x

d ke

Z

e−iωt dω ~k2 − ω22 c

Das Integral u¨ ber ω hat Pole bei ω = ±ωk := ±c|~k|. Die Art und Weise, wie man bei der Integration mit den Polen umgeht, legt die an G zu stellenden Randbedingungen fest. Wir verschieben die Pole etwas:

35

4.2. GREEN-FUNKTIONEN 2 ~k2 − ω = 1 (ω2 − ω2 ) c2 c2 k 1 = 2 (ωk + ω)(ωk − ω) c 1 −→ (ωk + ω ∓ i )(ωk − ω ± i ) c2

ϕ ω2

R

ω1

Neue Pole: ω1 = ωk ± i ω2 = −ωk ± i

Cu

∋

∋

−R

∋

I

∋

Co

∋

Beide Pole liegen nun entweder um u¨ ber oder unter der reellen Achse. Jetzt kann die Green-Funktion mit Hilfe des Residuensatzes berechnet werden. Dazu setzen wir 3

i~k~x

Z

d ke

dω

e−iωt (ωk + ω ∓ i )(ωk − ω ± i ) ∋

Z

∋

c2 G(∓) (~x,t) = lim →0 (2π)4 ∋

Es ist leicht zu sehen, dass G− (t) = G+ (−t) gilt, indem man die Integrationsvariable gem¨aß ω0 = −ω wechselt. Wir werden uns deshalb im Folgenden auf G+ beschr¨anken. Zu berechnen ist dann das Integral ∋

I(+) :=

e−iωt dω := (ωk + ω + i )(ωk − ω − i )

Z

∋

Z

Z

i(+) (ω) dω :=

g(ω) dω h+ (ω)

Der Residuensatz besagt, dass das Integral u¨ ber eine meromorphe Funktion entlang eines geschlossenen Pfades in der komplexen Ebene gleich 2πi mal der Summe der Residuen der Funktion innerhalb des Pfades ist. Wir sind jedoch nur an dem Integral entlang der reellen Achse interessiert und m¨ussen daher den Beitrag u¨ ber die den Pfad schließenden Halbkreise absch¨atzen. Auf dem oberen/unteren Halbkreis hat die Frequenz den Wert ω = R exp(±iϕ) mit ϕ ∈ [0, π]. F¨ur R  ωk kann man ωk vernachl¨assigen und erh¨alt f¨ur das Integral u¨ ber den oberen/unteren Halbkreis Z π −iR exp(±iϕ)t e R exp(±iϕ)(±i)dϕ Io/u ≈ R2 0 Dieses Integral ist immer kleiner als das u¨ ber den Betrag des Integranden, |Io/u | ≤

Z π ±R sin(ϕ)t e dϕ 0

R

F¨ur R → ∞ geht dieses Integral gegen Null, sofern • t > 0 ist und man den unteren Halbkreis verwendet,

¨ KAPITEL 4. VERANDERLICHE FELDER

36

• t < 0 ist und man den oberen Halbkreis verwendet. Da G+ keine Pole in der oberen Halbebene hat, ist ihr Wert Null f¨ur t < 0. Um G+ f¨ur t > 0 zu berechnen benutzt man, dass alle Pole von erster Ordnung sind. Daher kann man zur Berechnung der Residuen folgende Formel anwenden: g(ω0 ) h0 (ω0 ) h0(+) (ω) = (ωk − ω − i ) − (ωk + ω + i ) = −2ω − 2i Resω0 (i(ω)) =

∋

∋

∋

Damit ergibt sich f¨ur die Residuen: ∋

∋

Wenn man nun Integral I(+) zu

e−it(ωk −i −2ωk

)

;

Resω2 (i(ω)) =

∋

Resω1 (i(ω)) =

e−it(−ωk −i 2ωk

)

gegen Null gehen l¨aßt, ergibt sich nach dem Residuensatz das

e−iωk t eiωk t I(+) = −2πi − + 2ωk 2ωk 

 =


2π πi −iωk t e − eiωk t = sin(ωkt) ωk ωk

Dabei ist zu beachten, dass der Integrationsweg u¨ ber die obere Halbebene entgegen dem Uhrzeigersinn, der u¨ ber die untere Halbebene jedoch im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Das Integral u¨ ber Letzteren erh¨alt daher einen zus¨atzlichen Faktor −1. Setzt man die bisherigen Rechnungen ein, so ergibt sich c2 ~ 2π G+ (t,~x) = Θ(t) eik~x sin(ckt) d3 k 4 (2π) ck Z ∞ Z π Z 2π c 1 2 = Θ(t) k dk sin ϑ dϑ sin(ckt)eik|~x| cos ϑ dϕ 3 (2π) k 0 0 0 Z

wobei wir im letzten Schritt zu Kugelkoordinaten f¨ur ~k u¨ bergegangen sind und ~k entlang o.B.d.A. angenommen haben, dass die z-Achse der Integrationsvariablen Rπ ~x liegt. Die Integration u¨ ber ϕ und ϑ ist elementar, wenn man 0 sin(ϑ)dϑ · · · = R1 alt −1 d cos ϑ · · · verwendet. Man erh¨ Z ∞  c 1  ik|~x| −ik|~x| G+ (t,~x) = Θ(t) k dk sin(ckt) e − e (2π)2 ik|~x| 0 Z ∞ 2c = Θ(t) dk sin(ckt) sin(k|~x|) (2π)2 |~x| 0 Z ∞ c = Θ(t) dk sin(ckt) sin(k|~x|) (2π)2 |~x| −∞

37

4.2. GREEN-FUNKTIONEN

wobei im letzten Schritt benutzt wurde, dass der Integrand symmetrisch in k ist. Schreibt man die trigonometrischen Funktionen mit Hilfe von Exponentialfunktionen, so ergibt das Integral eine Summe von vier δ-Distributionen, G+ (t,~x) =

c Θ(t) {−δ(ct + |~x|) − δ(−ct − |~x|) + δ(ct − |~x|) + δ(−ct + |~x|)} 8π|~x|

Da ct > 0 gilt verschwindet das Argument der ersten beiden Terme nie und sie k¨onnen zu Null gesetzt werden. Die Symmetrie der δ-Distribution erlaubt uns ausserdem, die beiden letzten Terme zusammenzufassen, so dass wir als Ergebnis die retardierte Green-Funktion c Gret (t,~x) ≡ G+ (t,~x) = Θ(t)δ(ct − |~x|) (4.3) 4π|~x| erhalten. Die Theta-Funktion kann hier eigentlich vernachl¨assigt werden, da t > 0 nun auch durch die δ-Distribution impliziert wird. t

|x _x’| = c ( t _ t’) t=t’

Eigenschaften von Gret : • Gret heißt retardierte Green-Funktion, weil • Gret = 0 ist f¨ur t < 0 (nichts propagiert in die Vergangenheit) • Gret 6= 0 ist nur auf dem Zukunftslichtkegel“ |~x| = ct ” 0 0 =⇒ Gret (~x −~x ,t − t ) propagiert eine in der Vergangenheit t 0 liegende Ursache (Ladung, Strom) mit Lichtgeschwindigkeit vom Ort ~x zum Ort ~x0 . • Die retardierte Green-Funktion beschreibt die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen. Die zweite Green-Funktion G− wird als avancierte Green-Funktion bezeichnet: c Θ(−(t − t 0 )) Gav(~x−~x0 ,t−t 0 ) = δ(c(t − t 0 ) + |~x −~x0 |) 4π |~x −~x0 |

¨ KAPITEL 4. VERANDERLICHE FELDER

38

• Gav beschreibt das Signal, das eine Antenne zur Zeit t am Ort ~x empf¨angt. =⇒ Man sieht: Jedes Signal wird mit Lichtgeschwindigkeit u¨ bertragen. Das ist der Hauptunterschied zu Teilchen mit nicht-verschwindender Ruhemasse. F¨ur diese sind Gret und Gav 6= 0 u¨ berall innerhalb des Lichtkegels.

4.3

Li´enard-Wiechert-Potentiale

Fragestellung: Welches Potential wird von einer sich bewegenden Punktladung erzeugt? Die Ladungsdichte und die Stromdichte einer Punktladung sind ρ(t 0 ,~x0 ) = qδ(~x0 −~z(t 0 ))

˙ 0 )δ(~x0 −~z(t 0 )) ~j(t 0 ,~x0 ) = q~z(t

;

Darin ist q die Ladung und~z(t) ist die (vorgegebene) Bahn des Teilchens Am besten ist es, in der Lorentz-Eichung zu arbeiten: div ~A +

1 ∂t φ = 0 c2

Die allgemeinen Gleichungen f¨ur die Potentiale lauten ρ ∋

∆φ = −

− div ~A˙

1 ~A = µ0~j − 2 ∇φ˙ − ∇div A˙ c

;

0

Mit (∗) folgen daraus die Potentialgleichungen in Lorentz-Eichung:

Z

;

0

Gret (t − t 0 ,~x −~x0 )

ρ(~x0 ) ∋

=⇒ φ(~x,t) =

ρ ∋

φ =

~A = µ0~j

dt 0 d3 x0

0

c Θ(t − t 0 ) = δ(c(t − t 0 ) − |~x −~x0 |) · qδ(~x0 −~z(t 0 )) dt 0 d3 x0 0| 4π |~ x −~ x 0 Z ∞ qc Θ(t − t 0 ) = δ(c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|) dt 0 4π 0 −∞ |~x −~z(t 0 )| Z t 1 qc = δ(c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|) dt 0 4π 0 −∞ |~x −~z(t 0 )| 1

Z

∋

∋ ∋

Wir setzen F(t 0 ) = c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|. Dann ist zu berechnen: Z

δ(F(t 0 )) 0 dt |~x −~z(t 0 )|

(∗)

´ 4.3. LIENARD-WIECHERT-POTENTIALE

39

Dazu benutzen wir die allgemeine Regel: δ(F(t 0 )) = ∑ n

1 δ(t 0 − tn ) ˙ |F(tn )|

˙ n ) 6= 0. Bei uns ist Die tn sind darin die Nullstellen von F(t 0 ), F(t  0) 1 ~ x −~ z(t 0 ˙ ˙ ) = c −1 + F(t ~z(t ) c |~x −~z(t 0 )| 

0

Wir setzen ~n :=

˙ 0 ~x −~z(t 0 ) ~β := ~z(t ) und |~x −~z(t 0 )| c

Es gilt ~n2 = 1 und ~β2 < 1, was nichts anderes heißt, als dass sich die Punktladung mit einer Geschwindigkeit kleiner als c bewegt. Damit ist ˙ 0 )| = c(1 −~n~β) |F(t qc 1 1 =⇒ φ(~x,t) = 0 ~ 4π 0 |~x −~z(t )| c(1 −~nβ) 0 t =t− 1 |~x−~z(t 0 )| ∋

c

q 1 φ(~x,t) = 4π 0 |~x −~z(t 0 )| · (1 −~n~β) 0

t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|

∋

V¨ollig analog findet man: ˙ 0) µ q ~ z(t 0 ~A(~x,t) = 4π |~x −~z(t 0 )| · (1 −~n~β) 0

t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|

Dies sind die Li´enard-Wiechert-Potentiale. An ihnen sieht man den Retardierungs-Effekt: eine Quelle (Ladung) am Ort ~z(t 0 ) braucht die Zeit t − t 0 = 1c |~x − ~z(t 0 )| um am Ort ~x ein Feld zu erzeugen. Ist β = 0, so erh¨alt man das retardierte Coulomb-Potential. Die dazugeh¨origen Felder sind am einfachsten aus den allgemeinen Gleichungen herzuleiten:

¨ KAPITEL 4. VERANDERLICHE FELDER

40

  (~n −~β)(1 −~β2 ) q ~E = 4π 0  (1 −~n~β)3 r2 0 t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|  ˙ ˙  ~ ~ ~ ~ (~n − β)(~n · β) − (1 −~nβ)β + 0  c(1 −~n~β)r t =t− 1 |~x−~z(t 0 )| ∋

c

~B = 1~n × ~E c Hier wurde r = |~x −~z(t 0 )| gesetzt. Der erste Term h¨angt nur von der Geschwindigkeit ab und ist (wie u¨ blich) ¨ 0 )) ab und ist ∼ 1 . ∼ r12 . Der zweite Term h¨angt von der Beschleunigung (~z(t r

4.4

Multipolentwicklung

Multipole sind ein sehr wichtiges Hilfsmittel der Elektrodynamik. Aus ihnen folgen z. B. die Auswahlregeln von Atomen und Molek¨ulen in der Quantenmechanik. In ihrem Kern ist die Multipolentwicklung eine Entwicklung nach DrehimpulsEigenzust¨anden wie in der Quantenmechanik.

Skalare Multipole Beispiel: Skalares Potential in Lorentz-Eichung. ρ(~x,t) ∋

φ(~x,t) =

0

Zeitliche Fourier-Transformation: Z

e−iωt φ(~x,t) dt

=⇒ (∆ + k2 )φ˜ ω (~x) = −

˜ x) ρ(~ ∋

φ˜ ω (~x) =

,

k=

0

ω c

Das ist die inhomogene Helmholtz-Gleichung. Die Green-Funktion f¨ur die Helmholtz-Gleichung erf¨ullt (∆ + k2 )G(~x,~x0 ) = −δ(~x −~x0 )

41

4.4. MULTIPOLENTWICKLUNG und ist (mit Randbedingung G → 0 f¨ur |~x −~x0 | → ∞) gegeben durch 0

1 eik|~x−~x | G(~x −~x ) = 4π |~x −~x0 | 0

∞

= ik ∑

(1) jl (kr< )hl (kr> )

l=0

m

∑

∗ Ylm (ϑ0 , φ0 ) Ylm (ϑ, φ) | {z } m=−l

Basisfunktion

Darin sind l 1 sin x jl =(−x) ∂x x x  l 1 cos x (1) hl = jl − (−x)l ∂x x x 

sph¨arische Besselfunktionen

(4.4)

sph¨arische Hankelfunktionen

(4.5)

Die L¨osung ist φ˜ ω (~x) = ik =⇒ φ˜ ω (~x) =

Z ∞

Z

l

∑ ∑

∋

0

G(~x,~x0 )

˜ x) ρ(~ ∋

l

0

(1)

jl (kr< )hl (kr> )Ylm (ϑ, ϕ) dr0

l=0 m=−l

·

Z

∗ Ylm (ϑ0 , ϕ0 )ρ˜ ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0

Von besonderem Interesse f¨ur praktische Anwendungen ist das Feld φ˜ ω (~x) an einem Ort ~x außerhalb der Ladungsverteilung. W¨ahlt man den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt der Ladungsverteilung, so gilt dann r = |~x| > |~x0 | = r0 und damit r< = r0 , r> = r. ∞

ik =⇒ φ˜ ω (~x) =

l

∑ ∑ 0

(1)

Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr) (4.6)

l=0 m=−l

∋

·

Z

∗ jl (kr0 )Ylm (ϑ0 , ϕ0 )ρ˜ ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0 dr0

In vielen wichtigen Anwendungen ist die Ausdehnung der Ladungsverteilung 2πc klein gegen¨uber der Wellenl¨ange λ = 2π ule: r0 = k = ω (z. B. Atome oder Molek¨ 0 ˚ λ = 1 µm). Das Argument kr von jl ist also klein. F¨ur x  1 gilt 1 A, jl (x) ≈ Z

=⇒

xl (2l + 1)!!

∗ ˜ jl (kr0 )Ylm ρω dΩ0 dr0 ≈

kl (2l + 1)!!

Z

∗ ˜ r0lYlm ρω dΩ0 dr0

(4.7)

¨ KAPITEL 4. VERANDERLICHE FELDER

42

Man definiert das sph¨arische Multipolmoment der Ordnung lm als Z

∗ ˜ r0lYlm ρω dΩ0 dr0

Qlm :=

(4.8)

so dass das skalare Potential von kleinen Ladungsverteilungen ausgedr¨uckt werden kann als ik φ˜ ω (~x) =

∞

l

∑ ∑

(1)

∋

0 l=0 m=−l

Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr)

Qlm kl (2l + 1)!!

(4.9)

Spezialf¨alle: 1 Q00 = √ 4π Q =√ 4π r

Z

ρ˜ ω (~x0 ) d 3 x0

Q = Gesamtladung des Ions/Molek¨uls bei ω r Z 3 3 0 0 0 3 0 Q11 = − ρ˜ ω (~x )(x − iy ) d x = − (px − ipy ) 8π 8π r Z r 3 3 Q10 = ρ˜ ω (~x0 )z0 d 3 x = pz 4π 4π Darin ist ~p = (px , py , pz ) das (cartesische) elektrische Dipolmoment: Z

~p =

~x0 ρ(~x0 ) d 3 x0

Das Potential, das durch einen reinen Punktdipol erzeugt wird, ist ~p~x 4π 0 |~x|3 ∋

φDip (~x) =

Anschauliche Bedeutung eines reinen Dipols: Zwei gegens¨atzliche Ladungen mit sehr kleinem Abstand L. Dipolmoment = q(L) · L~n = ~p L geht gegen 0, aber gleichzeitig geht q(L) → ∞, so dass q(L) · L endlich bleibt. Das entsprechende elektrische Feld eines Dipols, der sich im Ursprung befindet, ist gegeben durch ˆ p~x) ˆ −~p 1 3~x(~ 4π 0 |~x|3 ∋

~EDip (~x) =

mit ~xˆ =

~x |~x|

43

4.4. MULTIPOLENTWICKLUNG

Die allgemeine Taylor-Entwicklung des Potentials in der Elektrostatik lautet: " # x x 1 Q ~p~x 1 i j φ(~x) = + 3 + ∑ Q¯ i j 5 + · · · 4π 0 r r 2 ij r ∋

Darin ist Q¯ i j =

Z

ρ(~x)(3xi x j − δi j~x2 ) d 3 x

der (spurlose) cartesische Tensor des Quadrupolmoments. Gleichung (4.6) kann aber auch direkt durch Entwicklung nach Kugelfl¨achenfunktionen hergeleitet werden. Wegen Gleichung (2.10) gilt f¨ur eine beliebige skalare Funktion f (ϑ, ϕ): f (ϑ, ϕ) =

Z

=∑

f (ϑ0 , ϕ0 )δ(Ω − Ω0 ) dΩ0 Z

∗ Ylm (Ω0 )Ylm (Ω) f (Ω0 ) dΩ0

l,m

= ∑ Ylm (ϑ, ϕ) · Flm

Z

mit den Koeffizienten Flm :=

∗ Ylm (Ω0 ) f (Ω0 ) dΩ0

l,m

In unserem Fall gilt: φ˜ ω (~x) = ∑ Ylm (ϑ, ϕ)φ˜ ω,lm (~r) l,m

mit φ˜ ω,lm (~r) =

Z

∗ Ylm (Ω0 )φ˜ ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0

Dies setzt man nun in die Helmholtz-Gleichung ein: 1 ∋

(∆ + k2 )φ˜ ω (~x) = −

0

ρ˜ ω (~x)

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten: 1 ∂ 2∂ 1 r − 2~L ; ~L =~x × (−i∇) 2 r ∂r ∂r r ~L2Ylm = l(l + 1)Ylm   1 ∂ 2 ∂ l(l + 1) 1 2 ˜ =⇒ 2 r − + k φ (~ r) = − ρ˜ ω,lm (~r) ω,lm r ∂r ∂r r2 0 ∆=

∋

L¨osen dieser radialen Differentialgleichung mit geeigneten Randbedingungen (auslaufende Welle f¨ur r → ∞, d. h. ∼ cos(kr) 1r , sin(kr) 1r ) f¨uhrt zu obigem Ausdruck (4.6) f¨ur φ˜ ω (~x).

¨ KAPITEL 4. VERANDERLICHE FELDER

44

¨ Vektorfelder Multipolentwicklung fur Man kann auch eine Multipolentwicklung divergenzfreier Vektorfelder (z. B. div ~B = 0) durchf¨uhren. Im Wesentlichen werden dabei die Kugelfl¨achenfunktionen Ylm ersetzt durch ~Xlm := p 1 ~LYlm (ϑ, ϕ) Vector spherical harmonics“ ” l(l + 1) ~Xlm erf¨ullt Z

∗ ~ ~Xlm Xl 0 m0 dΩ = δll 0 δmm0

Z

∗ ~Xlm · (~x × ~Xlm )dΩ = 0

Ein vollst¨andiges System von Vektorfunktionen f¨ur divergenzfreie Felder ist dann gegeben durch Fl (kr)~Xlm und ∇ × (gl (kr)~Xlm wobei

(1) (1)

(2) (2)

Fl (kr) = Fl hl (kr) + Fl hl (kr) (1) (1)

(2) (2)

gl (kr) = gl hl (kr) + gl hl (kr) (i)

(2)

(1)∗

hl (kr) = sph¨arische Hankelfunktionen hl (kr) = hl (1)

(2)

(1)

(kr)

(2)

Hierbei sind Fl , Fl , gl und gl Entwicklungskoeffizienten, deren Wert von der Ladungsverteilung abh¨angt. Die elektromagnetischen Felder im freien Raum lassen sich dann entwickeln gem¨aß h i ~B = ∑ aE (l, m)Fl (kr)~Xlm + am (l, m)∇ × gl (kr)~Xlm l,m

~E = ∑ l,m



i aE (l, m)∇ × Fl (kr)~Xlm + am (l, m)gl (kr)~Xlm k



Felder, die proportional zu am sind heißen sph¨arische TM-Felder ( transverse ma” gnetic“) und Felder, die proportional zu aE sind heißen sph¨arische TE-Felder ( transverse electrical“). ” Die Felder lassen sich auf die jeweiligen Multipolmomente zur¨uckf¨uhren, wenn kr  1 innerhalb der Ladungsverteilung gilt. Es gilt dann aE (l, m) ∼ Qlm

am (l, m) ∼ Mlm ! Z ~ 1 ~ x × j(~ x) Mlm = − rlYlm ∇ d3 x (l + 1) c ;

Mlm heißt magnetisches Multipolmoment. Genaueres zur vektoriellen Multipolentwicklung findet man in [5], insbesondere Kapitel 16.2 und 16.6.

Kapitel 5 Elektrodynamik in dielektrischen Medien Bis jetzt wurden nur Felder im Vakuum in Anwesenheit vorgegebener Ladungen behandelt. Oft m¨ochte man aber elektromagnetische Felder im Inneren von Medien (z. B. Glas oder Kristallen) betrachten. Fast alle Medien sind aus Atomen und Molek¨ulen aufgebaut. In solchen Objekten sind die Ladungen gebunden, d. h. sie k¨onnen durch ein angelegtes a¨ ußeres Feld nicht frei verschoben werden. Sie sind jedoch polarisierbar oder haben gar ein permanentes Dipolmoment. Atome sind z. B. durch Anlegen eines elektrischen Feldes polarisierbar: 






























_

 

E=0  




E =/ 0 



 

H







 
























































_

+ _

 

_  

_ _ _






 

+  

 




+ 





_





 






 






_

 

_









8+

_

_ O _

 






 
















 




H

+ _

Molek¨ule (z. B. Wasser) k¨onnen auch ein permanentes Dipolmoment haben. Dies tritt oft bei ionischen Bindungen auf. Betrachtet man nicht den Effekt jedes einzelnen Molek¨uls, sondern nur makroskopische Felder, die u¨ ber einen Raumbereich, der viele Molek¨ule enth¨alt, gemittelt sind, kann man die makroskopischen Felder ~E, ~D, ~B und H ~ durch folgende Gleichungen gut beschreiben: div ~D = ρ div ~B = 0 (5.1) ~ = ~j + ~D˙ rot ~E = −~B˙ rot H makroskopische Maxwell-Gleichungen 45

46

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN Es gelten die materialabh¨angigen Beziehungen E + ~P 0~

∋

~D =

~B = µ0 (H ~ + M) ~

;

~ die magnetische Darin sind ~D die dielektrische Verschiebungsdichte und H ~ ~ Feldst¨arke, P ist die Polarisation und M die Magnetisierung des Mediums. Es gibt einige Spezialf¨alle: ~ = 0, so dass wir auf die bisherige Form der • Im Vakuum gilt ~P = 0 und M Maxwell-Gleichungen kommen. • Wenn die Molek¨ule ein permanentes Dipolmoment (el. oder magn.) haben, ~ = ~P = 0. Weraber im Medium ungeordnet sind, gilt trotzdem im Mittel M ~ ~ den die Molek¨ule ausgerichtet, so kann M oder P 6= 0 werden. Ein Beispiel f¨ur ein theoretisches Modell dazu ist das Ising-Modell.

m

m

M=0

M= / 0

• Sind die Atome/Molek¨ule polarisierbar, so gilt = ( + χ)~E

E 0 r~

∋ ∋

~D = ~E = ∋

;

∋

~P = χ~E

ist die Dielektrizit¨atskonstante des Mediums und χ seine Suszeptibilit¨at. Dieser Effekt kann (vor allem bei Kristallen) richtungsabh¨angig sein (Doppelbrechung):

∋ ∋

i j:

Di =

;

∋

Pi = χi j E j

i jE j

dielektrischer Tensor

• F¨ur optisch aktive Medien gilt nach dem Modell von Fedorow1

1 Es

;

~D = (~E + β rot ~E) ∋

~ =0 M

gibt verschiedene Modelle zur Beschreibung der optischen Aktivit¨at. Dieses Modell sei nur als Beispiel herausgegriffen.

47

5.1. MAKROSKOPISCHE MAXWELL-GLEICHUNGEN Optische Aktivit¨at heißt, dass die Polarisation eines Lichtstrahls beim Durchgang durch das Medium gedreht wird. Sie kommt daher, dass σ+ - und σ− -Licht bei unterschiedlichen Frequenzen resonant sind und daher einen unterschiedlichen Brechungsindex erfahren.

n= 3, m=0 , l=0 σ+

σ−

m = _1 n=2, l=0

m=0 m = +1

• In nichtlinearen Medien gilt z. B.: E + κ|~E|2 ~E 0~

∋

~D =

5.1 Herleitung der makroskopischen Maxwell-Gleichungen ~ ist, dass sie makroDer physikalische Hintergrund der Gr¨oßen ~E, ~D, ~B und H skopische Felder darstellen, die als Mittelung u¨ ber die mikroskopischen“ Felder ” ~Emik und ~Bmik auftreten. Letztere erf¨ullen die bisher behandelten Gleichungen ρmik ∋

div ~Emik =

div ~Bmik = 0

0


rot ~Bmik = µ0 ~jmik + 0 ~E˙mik ∋

rot ~Emik = −~B˙ mik

Wir spalten Ladungs- und Stromdichte wie folgt auf: ρmik = ρfrei + ρgebunden ~jmik = ~jfrei + ~jgebunden Die freien Gr¨oßen entsprechen dabei Teilchen, die nicht an Atome/Molek¨ule gebunden sind. Im Rahmen der klassischen Physik k¨onnen sie geschrieben werden als ρfrei (~x) = ∑ qi δ(~x −~xi ) i

~jfrei (~x) = ∑ qi~x˙i δ(~x −~xi ) i

Summen u¨ ber die freien Teilchen.

48

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

Die gebundenen Gr¨oßen korrespondieren zu den Atomen/Molek¨ulen des Mediums:

ρgebunden (~x) = ∑ ρn (~x) Summe u¨ ber die Molek¨ule n

ρn (~x) = ∑ qi δ(~x −~xi ) Summe u¨ ber die Teilchen (e− , Kerne) im Molek¨ul i

~jgebunden (~x) = ∑ ~jn (~x) ;

~jn (~x) = ∑ qi~x˙i δ(~x −~xi )

n

i

In den meisten Situationen k¨onnen die Meßger¨ate f¨ur elektromagnetische Fel˚ nicht aufl¨osen. Bei optischen Experimender einzelne Molek¨ule (Gr¨oße ∼ 1 A) ten ist die r¨aumliche Aufl¨osung beispielsweise in der Gr¨oßenordnung der Wel˚ Man kann daher eine r¨aumliche Mittelung u¨ ber ~Emik und lenl¨ange (∼ 6000A). ~Bmik durchf¨uhren ohne die Beschreibung der Experimente zu verschlechtern:

~E(~x) = h~Emik (~x)i =

Z

f (~x0 )~Emik (~x −~x0 ) d3 x0

~B(~x) = h~Bmik (~x)i

Darin soll f (~x) eine Funktion sein, die sich auf molekularer Skala langsam a¨ ndert, aber deren Tr¨ager klein gegen¨uber der Wellenl¨ange ist. Wegen der Mittelung soll R nat¨urlich gelten f (~x) d3 x = 1. f(x)

x 700 nm

5.1. MAKROSKOPISCHE MAXWELL-GLEICHUNGEN

49

F¨ur ~E und ~B folgen dann die Gleichungen ∂ Bi (~x) ∂xi Z ∂ = f (~x0 )Bmik,i (~x −~x0 ) d3 x0 ∂xi Z ∂ = f (~x0 ) Bmik,i (~x −~x0 ) d3 x0 ∂xi Z

div ~B(~x) =

f (~x0 ) div ~Bmik (~x −~x0 ) d3 x0 | {z }

=

=0

∋

und analog

= hdiv ~Bmik (~x)i = 0 hρmik i div ~E(~x) = 0

˙ x) rot ~E(~x) = −~B(~ 1 ˙ rot ~B(~x) = µ0 h~jmik (~x)i + 2 ~E(~ x) c Die Mittelwerte k¨onnen wie folgt verarbeitet werden: hρmik i = hρfrei i + hρgebunden i =: ρ(~x) + hρgebunden i

ρ(~x) : makroskopische Ladungsdichte

hρgebunden i =

∑

hρn (~x)i

(5.2)

n(Molek¨ule)

F¨ur jedes Molek¨ul ist die Ausdehnung sehr viel kleiner als der Mittelungsbereich, daher: ρn (~x) ≈ =

Z

f (~x0 )ρn (~x −~x0 ) d3 x0

Z

f (~x0 )

∑ −

qi δ(~x −~x0 −~xi ) d3 x0

i(e , Kerne)

=

∑ −

qi f (~x −~xi ) d3 x0

i(e , Kerne)

Ist ~xn der Schwerpunkt das Molek¨uls, so gilt |~xi −~xn |  Tr¨ager von f und man

50

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

kann f entwickeln: f (~x −~xi ) = f (~x −~xn − (~xi −~xn )) ≈ f (~x −~xn ) − (~xi −~xn )∇ f (~xi −~xn ) + · · · =⇒ hρn (~x)i ≈

∑

qi { f (~x −~xn ) − (~xi −~xn )∇ f (~xi −~xn ) + · · · }

i(e− , Kerne)

∑

=⇒ hρn (~x)i ≈ f (~x −~xn )

Kerne)

|

{z

i(e− ,

}

qn

∑

−∇ f (~x −~xn )

qi

i(e− ,

qi (~xi −~xn ) + · · ·

Kerne)

|

{z ~pn

}

qn ist die Ladung des Molek¨uls n. F¨ur nicht ionisierte Molek¨ule ist qn = 0. ~pn ist sein Dipolmoment.

∑

=⇒ hρgebunden i =

(−∇ f (~x −~xn )~pn

n(Molek¨ule)

Polarisation ~P(~x) = ∑ f (~x −~xn )~pn

;

qn = 0

n

=⇒ hρgebunden (~x)i = −div ~P(~x) Setzt man dies und Gleichung (5.2) in die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen ein, so erh¨alt man 1 ∋

div ~E =

hρmik i

0

1

∋

0

1

div ~P

0

E + ~P =⇒ div ~D = ρ 0~

∋

~D =

ρ−

∋

=

Eine entsprechende Behandlung f¨ur rot ~B = µ0 h~jmik i +

1 ~˙ E c2

f¨uhrt auf ~ + ~P˙ h~jmik i = ~j + rot M ~ = h∑ ~mn δ(~x −~xn )i M n

qi qi ~ ~mn = (~xi × mi~x˙i ) = Li ∑ ∑ 2mi 2mi i(e− , Kerne) i(e− , Kerne) Hier ist ~mn das magnetische Dipolmoment des Molek¨uls n. (Zu Details vgl. [5], Abschnitt 6.7). Daraus folgen dann die makroskopischen Maxwell-Gleichungen Gleichung (5.1).

51

5.2. RANDBEDINGUNGEN AN GRENZSCHICHTEN

5.2

Randbedingungen an Grenzschichten

Mit Hilfe der S¨atze von Gauß und Stokes l¨aßt sich das Verhalten der Felder an einer Grenzschicht zwischen zwei Dielektrika untersuchen. Man integriert dazu u¨ ber einen kleinen Bereich um die Grenzfl¨ache. Zuerst soll das Verhalten von D an der Grenzfl¨ache untersucht werden. Man betrachtet dazu ein kleines (Zylinder-)Volumen V , das jeweils zur H¨alfte in beiden Medien liegt (Abb. 5.2). Seine Grundfl¨ache sei ∆s, seine H¨ohe ε. Man integriert n n ε ∆s

Medium 1 Medium 2

nun die Gleichung div ~D = ρ: div ~D dV =

Z V ZZ

ρ dV =

ZZ

0

Z

∂V

~D~n da

~D~n da + = Zylinder | {z }

ZZ

~D~n da

Deckel

−→0 f¨ur ε−→0

=⇒

0

ZZ

∂V

~D~n da ≈~n(~D1 − ~D2 )∆s =

Z V

ρ dV = σ∆s

σ ist die Fl¨achenladungsdichte an der Grenzfl¨ache (falls sich dort Ladungen ansammeln). =⇒~n(~D1 − ~D2 ) = σ =⇒ Die Normalkomponente von ~D ist stetig f¨ur σ = 0. Analog zeigt man Z

0= V

div ~B dV =~n(~B1 − ~B2 )∆s

=⇒ Die Normalkomponente von ~B ist stetig. Um das Verhalten von E und H an der Grenzfl¨ache herauszufinden, betrachtet man die anderen Maxwell-Gleichungen und integriert u¨ ber eine Fl¨ache A, die von der Kurve C eingeschlossen wird. A liegt in einer Ebene senkrecht zur Grenzfl¨ache

52

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

53

5.2. RANDBEDINGUNGEN AN GRENZSCHICHTEN

und wird der Bequemlichkeit halber als Rechteck der H¨ohe ε und der L¨ange l angenommen (Abb. 5.1). ZZ

rot ~E d~a =

A

I

~E d~l

C ZZ

= A

≈ (~E1 − ~E2 ) · (~t ×~n)l

−~B˙ d~a ≈ −(~B˙ 1 − ~B˙ 2 ) ·~t |{z} lε A

Darin ist d~a ein Vektor senkrecht zu A, also tangential zur Grenzfl¨ache. Er hat die Richtung ~t (|~t| = 1) und den Betrag da. Die Kurve C wird durch den Vektor d~l = dl(~t ×~n) beschrieben, wobei ~n der Normalenvektor der Grenzfl¨ache ist. Der Beitrag der beiden Kurvenanteile, die (anti-)parallel zu ~n verlaufen, hebt sich gerade weg. F¨ur ε −→ 0 geht geht auch A −→ 0, sodass (mit (~B˙ 1 − ~B˙ 2 ) endlich) folgt (~t ×~n)(~E1 − ~E2 ) = 0

~n × (~E1 − ~E2 ) = 0 (~t beliebig) =⇒ Die Tangentialkomponente von ~E ist stetig. bzw.

Analog findet man ~1 −H ~ 2 )l = (~t ×~n)(H

ZZ

˙ d~a (~j + ~D)

A

Der Term mit ~D˙ verschwindet wieder f¨ur ε −→ 0. Der Term mit ~j verschwindet nicht, falls Oberfl¨achenstr¨ome vorliegen. ~j(~x) = K(~ ~ x)δ( ~x in der Oberfl¨ache“) ” δ( ~x in der Oberfl¨ache“) ist dabei eine eindimensionaleRDelta-Distribution, die RR ” ~ d~a gilt. daf¨ur sorgt, dass ~j = 0 außerhalb der Oberfl¨ache ist und ~j d3 x = A K Formal kann man eine Oberfl¨ache durch eine Bedingung der Form p f (x, y, z) = 0 beschreiben. F¨ur eine Kugeloberfl¨ache ist beispielsweise f (~x) = x2 + y2 + z2 − R = 0. =⇒ δ( ~x in der Oberfl¨ache“) ∼ δ( f (~x)) ” ZZ ~j d~a = K ~~tl =⇒ A

~1 −H ~ 2) = K ~~t =⇒ (~t ×~n)(H

bzw.

~1 −H ~ 2) = K ~ ~n × (H

~ ist stetig in Abwesenheit von Oberfl¨achen=⇒ Die Tangentialkomponente von H str¨omen.

54

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

5.3

Elektrostatische Probleme in dielektrischen Medien

Die Techniken der Elektrostatik in Dielektrika sind im wesentlichen die gleichen wie im freien Raum. Neu ist, dass Randbedingungen an Grenzfl¨achen ber¨ucksichtigt werden m¨ussen. Der Spezialfall linearer Polarisierbarkeit (~D = ~E; ~P = χ~E; = 0 + χ) tritt am h¨aufigsten auf. Beispiel 1: Punktladung an dielektrischer Grenzschicht ∋

∋

































































































































































































z

∋

2


∋




1

q x

d

∋

( ~D =

E 1~

∋ ∋

⇐⇒ ρ(~x) = qδ(~x − d~ex ) ;

x>0 x<0

E 2~

Wegen ~B = 0 = ρ˙ sind zu l¨osen div ~D = ρ

und

rot ~E = 0

An x = 0 sind Ey , Ez und Dx stetig. Einen Ansatz findet man mit Hilfe einer Spiegelladung q0 an der Stelle −d. Das Problem ist um die x-Achse zylindersymmetrisch. F¨ur x > 0 gilt wie gehabt: 1 φ= 4π 1

q q0 + R R0



∋

R=

q

r2 + (x − d)2

;

0

R =

q



r2 + (x + d)2

;

r2 = y2 + z2

Bis jetzt war das Vorgehen analog zum Fall einer Ladung vor einer Platte aus leitendem Material. Aber nun m¨ussen wir auch das Feld f¨ur x < 0 beschreiben.

5.3. ELEKTROSTATISCHE PROBLEME IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN55 Da ρ dort Null ist nimmt man an, dass an der Stelle d eine Ladung q00 sitzt: 1 q00 φ= 4π 2 R ∋

   −d    00    q 1   + 4π 2 r03  y    z      −∇φ|x=0 =  −d d     q   q0   1   + 4π 1  r3  y  + r3  y    0 0  z z

f¨ur x −→ 0−

∋

r0 =

p

r2 + d 2

f¨ur x −→ 0+

∋

Nun ist Dx stetig: =

1 ∇φ|x=0+

∋

2 ∇φ|x=0−

⇐⇒ q − q0 = q00

∋

Aus der Stetigkeit von Ey und Ez folgt: q00 =

;

∋

∋

Das Bild zeigt den qualitativen Verlauf der Feldlinien f¨ur 1 (rechts).

∋

2+ 1

q

2

>

∋

2− 1

1

2 2 q 2+ 1

(links) und

∋

q0 = −

∋

=⇒

∋

1

(q + q0 )

∋ ∋

1

∋ ∋

2

q00 =

∋

1

2

<

∋

56

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

Geht 2 −→ ∞, so wird q0 = −q. Dies entspricht einem metallischen Leiter. Eine anschauliche Erkl¨arung des Vorgangs ist, dass das Feld der Ladung Dipole in den Dielektrika induziert, die die Ladung abschirmen. ∋

Beispiel 2: Homogen polarisierte Kugel in einem homogenen elektrischen Feld. 1 ∋

div ~E = −

div ~P = −∆φ

0

1 1 (div ~P(~x0 )) d3 x 0 4π 0 |~x −~x0 | Z 1 ~P(~x0 )∇~x 1 d3 x0 =− 4π 0 |~x −~x0 | Z

φ=−

∋

∋

Innerhalb der Kugel ist ~P konstant, außerhalb ist es Null. Daher a 1 ~ 1 P∇x r02 √ d cos ϑ dr0 2 02 0 4π 0 0 r + r − 2rr cos ϑ Z 1 ~ 1 a =− P∇x (|r + r0 | − |r − r0 |)r0 dr0 2 0 r 0 ( 3 2a 1 ~ r>a =− P∇x 32r 1 2 2 0 a − 3r ra φ= P~x r3 3 0 1 r
Z

φ=−

∋

∋

∋

∋

~0 f¨ur |~x| → ∞. Wegen ∆(~xE ~0 ) = 0 φ erf¨ullt noch nicht die Randbedingung φ → −~xE kann man diesen Betrag jedoch einfach dazu addieren (homogene L¨osung).    −~x ~E0 − 1 ~P a33 r>a 3 0  r  =⇒ φ = −~x ~E0 − 1 ~P r
Im Inneren gilt ~Einnen = −∇φ = ~E0 − 1 ~P 3 0 Ist die Kugel polarisierbar, so gilt ~P = χ~Einnen   1 ~P =⇒ ~P χ χ ~E0 ; χ = − ~P = χ ~E0 − 3 0 1+ 3 0 ~P = 3 0 − 0 ~E0 =⇒ ~Einnen = 3 0 ~E0 +2 0 +2 0 ∋

∋

0

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋ ∋

∋ ∋ ∋

5.4. CLAUSIUS-MOSOTTI UND LORENTZ-LORENZ-BEZIEHUNGEN

5.4

57

Clausius-Mosotti und Lorentz-Lorenz-Beziehungen

Die makroskopische Suszeptibilit¨at χ eines polarisierbaren Mediums ist gegeben durch ~P = χ~E; ~D = ~E = ( + χ)~E. Wie ist sie verkn¨upft mit der Polarisierbarkeit α der einzelnen Molek¨ule (~pMolek¨ul = α~Emik )? Auf die Molek¨ule wirkt nicht das makroskopische Feld ~E, sondern das mikroskopische Feld ~Emik (lokales Feld). Aus der Herleitung der makroskopischen Maxwell-Gleichungen wissen wir (ρfrei = 0): ∋

1

ρgebunden

∋

∋

div ~Emik =

0

1

hρgebunden i = −

∋

0

1 ∋

div ~E =

div ~P

0

Um ~Emik am Ort eines bestimmten Molek¨uls zu bestimmen, zerlegen wir ρgebunden in einen Nah- und einen Fernteil: ρnah 6= 0 ρfern 6= 0

in einer Kugel um das Molek¨ul außerhalb der Kugel

Es ist klar, dass f¨ur das Molek¨ul ρfern ≈ hρfern i = −div ~P gesetzt werden kann. Außerdem kann gezeigt werden, dass das von ρnah erzeugte Feld f¨ur viele Medien (z. B. isotrope oder zuf¨allig verteilte) verschwindet oder vernachl¨assigt werden kann. =⇒ auf das einzelne Molek¨ul wirkt daher effektiv das Feld, das im Innern eines Hohlraums im Dielektrikum herrscht. Wir berechnen also das Feld φ˜ im Innern eines Hohlraums: Aus dem vorigen Ab˜ wobei φ˜ −→ −~x · ~E0 schnitt kennen wir φKugel . Nun betrachten wir U = φKugel + φ, und φKugel −→~x · ~E0 f¨ur |~x| −→ ∞. =⇒ U −→ 0 f¨ur |~x| −→ ∞. ∼ φ




















































φ



























































































1

∋

0



































 








































































































































































































































div ~P = 0 f¨ur ~P = const.

E0

U

 

=

 

E0

=⇒ ∆U =

 

 










 

+







 

 

 










 

 

0

58

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

=⇒ U = 0 ist L¨osung mit richtigen Randbedingungen. =⇒ φ˜ = −φKugel Innerhalb des Hohlraums gilt also    ˜φ = − −~x · −~E0 − 1 ~P 3 0 1 ~ =⇒ ~Einnen = −∇φ˜ = ~E0 + P 3 0 ∋

∋

Da der Hohlraum klein ist und wir ~Einnen nicht messen k¨onnen, definieren wir die (makroskopische) Suszeptibilit¨at diesmal u¨ ber ~P = χ~E0 (nicht ~P = χ~Einnen ). Dies wird manchmal als virtual cavity model“ bezeichnet. Damit ist ”   χ +2 0 ~Einnen = ~E0 1 + = ~E0 3 0 3 0 ∋

∋

∋

∋

Nun gilt ~P = ρhpMolek¨ul i = ρα~Einnen +2 0 = ρα~E0 = χ~E0 = ( − 0 )~E0 3 0 ∋

∋

∋

∋

∋

ρα − 0 = 3 0 +2 0 Clausius-Mosotti-Gleichung ∋ ∋

∋ ∋

=⇒

(5.3)

∋

Die Bedeutung dieser Gleichung liegt darin, dass ∋ ∋

∋ ∋

1 − 0 ρ +2 0 f¨ur die meisten Materialien konstant ist. Meist sieht man diese Gleichung ausgedr¨uckt durch r := / 0 : ρα r −1 = 3 0 r +2 wir werden sp¨ater sehen, dass der Brechungsindex n mit verbunden ist durch n2 = r ρα n2 − 1 =⇒ = 2 3 0 n +2 Diese Gleichung wird oft als Lorentz-Lorenz-Gleichung bezeichnet. ∋ ∋

∋ ∋

∋

∋

∋

∋

∋

59

5.5. MAGNETISCHE MEDIEN

5.5

Magnetische Medien

¨ Ahnlich wie bei Dielektrika gibt es auch Medien, die sich beim Anlegen eines magnetischen Feldes magnetisieren lassen. F¨ur isotrope diamagnetische und paramagnetische Substanzen gilt dabei ~B = µH ~ ; µ = magnetische Permeabilit¨at µ > 1: paramagnetisch, µ < 1: diamagnetisch Dabei unterscheidet sich µ in der Regel nur gering von µ0 (≈ 10−6 ). F¨ur Ferromagnetika gilt allgemeiner ein nicht linearer Zusammenhang ~B = ~f (H) ~ Insbesondere kann es sich sogar um einen nicht eindeutigen Zusammenhang handeln. Das Medium erinnert sich dabei gewissermaßen an seine Vorgeschichte: B .

. .

H Neukurve

Dieses Ph¨anomen nennt man Hysterese. Ferromagnetika lassen sich mit einem Spin-Modell verstehen. Jeder Spin hat ein magnetisches Moment. Durch ein an~ gelegtes H-Feld werden die Spins ausgerichtet. Je mehr umso st¨arker das a¨ ußere Feld ist. Irgendwann sind dann alle am Feld orientiert. ~ F¨ahrt man danach das H-Feld wieder runter, so sp¨uren die Spins ein lokales ~ und dem Feld des anderen Spins zusammengesetzt ist =⇒ Selbst Feld, das aus H ~ kleiner wird muß zum Umklappen das Feld der anderen noch ausgerichwenn H teten Spins u¨ berwunden werden. Je mehr Spins umgeklappt sind, desto einfacher ist es, einen weiteren umzuklappen. m

H= 0; B= 0

m

H> 0; B> 0

m

H= 0; aber B> 0

60

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

Durch erh¨ohen der Temperatur bei H = 0 kann man die Spinordnung zerst¨oren und so H = B = 0 erreichen. Die Beschreibung dieses Systems geh¨ort in die Statistische Physik. ~ ist schwierig. Oft Die Behandlung von Ph¨anomenen mit allgemeinem ~B(H) ~ x) als vorgegeben angenommen werden, da das zus¨atzliche H-Feld ~ kann aber M(~ ~ merklich zu a¨ ndern (harte Ferromagneten). zu klein ist, um M Allgemeine L¨osungsmethode f¨ur statische Probleme: ~ = 0 und somit H ~ = −∇φM mit dem Falls ~j = 0 (und ~D˙ = 0) so gilt rot H magnetischen Skalarpotential φM . Eine Gleichung f¨ur φM ergibt sich aus ~ + M) ~ div ~B = 0 = µ0 div (H ~ =⇒ ∆φM = div M F¨ur harte Ferromagneten ist die rechte Seite vorgegeben und mit den Mitteln der Elektrostatik folgt Z ~ 0 1 M(~x ) 3 0 φM = − div d x 4π |~x −~x0 | ~ x0 ) 6= 0 gilt In großer Entfernung von dem Gebiet mit M(~ 1 1 ≈ 0 |~x −~x | |~x|

=⇒

~m ·~x φM = 4πr3

Z

;

~m =

~ x0 ) d3 x0 M(~

Beispiel 1: Homogen magnetisierte Kugel ( ~ = const. innerhalb Kugel mit Radius a M 0 außerhalb ~ = −∇φM =⇒ ∆φM = div M: ~ Das Problem ist a¨ quivalent zur homogen polariH sierten dielektrischen Kugel. ( 3 a 1~ f¨ur r > a =⇒ φM = M~x · r3 3 1 f¨ur r < a Außen ist dies ein reines magnetisches Dipolfeld. Beispiel 2: Abschirmung durch hoch permeable Materialien ~ (Abbildung 5.2). Wir betrachten eine Kugelschale in einem a¨ ußeren Magnetfeld H

61

5.5. MAGNETISCHE MEDIEN

b

H a

~ Abbildung 5.2: Kugelschale im a¨ ußeren Magnetfeld H. ( ~ ~B = µH ~ µ0 H

f¨ur a < r < b sonst

In den Teilbereichen gilt ~ = −∆φM div ~B = 0 = div H Wegen der Kugelsymmetrie des Problems kann man folgenden Ansatz machen: φM = ∑ Yl,m (ϑ, ϕ) fl (r) l,m

Wegen der Zylindersymmetrie und Yl,m ∼ eimϕ folgt: φM = ∑ Yl,0 fl (r) l

2 l(l + 1) =⇒ ∂2r fl + ∂r fl − fl = 0 r r2 L¨osung: fl = arl + b−(l+1) Ans¨atze f¨ur φM in den einzelnen Teilbereichen: Außen: αl Pl (cos ϑ) rl+1 r→∞ −→ −B0 z

φM = −B0 · z + ∑

62

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN In der Kugelschale: 

φM = ∑ βl r +

γl

l

l



r(l+1)

Pl (cos ϑ) ;

a
Innerhalb der Kugel: φM = ∑ δl rl Pl (cos ϑ) l

Randbedingungen • Radialkomponente von ~B ist stetig. ~ ist stetig. • Tangentialkomponente von H ⇐⇒

∂φM ∂ϑ

stetig an r = a und r = b sowie µ0

∂φM ∂φM =µ ∂r ∂r

Auf der linken Seite dieser Gleichung steht das Feld f¨ur r −→ b + 0, r −→ a − 0, auf der rechten das Feld f¨ur r −→ b − 0, r −→ a + 0. Als Ergebnis findet man (µr = µµ0 ) α1 =

(2µr + 1)(µr − 1)

(b3 − a3 )B0 3 (2µr + 1)(µr + 2) − 2 ab3 (µr − 1)2 9µr δ1 = − B0 3 (2µr + 1)(µr + 2) − 2 ab3 (µr − 1)2

Interessant ist der Fall µr  1: α1 −→ b3 B0 −9 δ1 −→ 3 2µr (1 − ab3 ) =⇒ Das Feld im Innern der Kugel ist sehr klein f¨ur µr  1, auch f¨ur recht d¨unne Materialien.

63

5.5. MAGNETISCHE MEDIEN

H

64

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

Kapitel 6 Lineare und nichtlineare Optik In Kapitel 4 hatten wir ebene Wellen als L¨osungen der Wellengleichungen kennengelernt. Im Vakuum lauteten sie ~E = 0 = ~B und haben die L¨osungen ~E = E~ε exp(i~k~x − iωt) ~B = 1 (~k × ~E) ωk ¨ In Kapitel 5 und den Ubungen wurden die Wellengleichungen auf dielektrische Medien verallgemeinert: 

 1 2 ~E = 1 ∇(div ~P − ρ) − µ0 {rot M ~˙ + ~P¨ + ∂t ~j} ∂ − ∆ t 2 c 0   1 2 ~ ∂t − ∆ ~B = µ0 {rot ~j + rot ~P˙ + rot rot M} 2 c ∋

˙ F¨ur ρ = ~j = M ~ = 0 folgt (geht auch mit Nach wie vor gilt dabei rot ~E = −~B. ~ = χM · ~B): M 

 1 2 1 ∂t − ∆ ~E = ∇div ~P − µ0~P¨ 2 c 0   1 2 ∂t − ∆ ~B = µ0 rot ~P˙ 2 c ∋

65

66

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

6.1

Reflexion und Refraktion

Betrachten wir speziell isotrope dielektrische Medien mit ~P = χ~E, ~D = ~E = E, dann gilt r 0~ µ0 ~E¨ − ∆~E = 0 ∋

∋∋

∋

Die ebenen Wellen sehen genauso aus wie im Vakuum, nur dass ω = ck durch ω = √ck ersetzt wird. An der Grenzschicht zwischen zwei Dielektrika, die wir mit r der Ebene z = 0 identifizieren, kann man solche L¨osungen unter Ber¨ucksichtigung der Randbedingungen zusammensetzen: ∋

~E = ~E0 ei~k~x−iωt ~E 0 = ~E 0 ei~k0~x−iωt 0 ~E 00 = ~E 00 ei~k00~x−iωt 0

~ , ~B = ωk × ~E ~0 , ~B0 = kω × ~E 0 ~ 00 , ~B00 = kω × ~E 00

einfallender Strahl durchgehender Strahl reflektierter Strahl

Da die Randbedingungen zu jeder Zeit erf¨ullt sein m¨ussen, m¨ussen die Phasenbeziehungen zwischen ~E, ~E 0 , ~E 00 usw. erhalten bleiben =⇒ Alle Felder haben die gleiche Frequenz ω! n k’ Grenz− fläche

ϑ’ k

ε’ ε x

ϑ ϑ’’ k’’

√ ω =⇒|~k| = |~k00 | = r ≡ k c p ω 0 0 ≡ k0 |~k | = r c ∋

∋

Die Randbedingungen lauten: ~n · ∆~D = 0 ⇐⇒ ~n{ (~E + ~E 00 ) − 0 ~E 0 } = 0 z=0 ~n × ∆~E = 0 ⇐⇒ ~n × {~E + ~E 00 − ~E 0 } = 0 ∋

∋

z=0

~n · ∆~B = 0 ⇐⇒~n · {~k × ~E +~k00 × ~E 00 −~k0 × ~E 0 } = 0 ~ = 0 ⇐⇒~n × {~k × ~E +~k00 × ~E 00 −~k0 × ~E 0 } = 0 ~n × ∆H

67

6.1. REFLEXION UND REFRAKTION Betrachte z. B. die erste Randbedingung: ~ ~0 00 ei~k00~x + 0 E ~0 0 ei~k0~x } = 0 f¨urz = 0 und alle x, y ~n{ ~E0 eik~x + E

∋

∋

∋

Da die Phasenbeziehungen zwischen den drei Wellen mit x und y variieren, kann die algebraische Bedingung ~n · ∆~D = 0 nur dann f¨ur alle x erf¨ullt sein, wenn die Exponenten gleich sind. 00 0 ~ ~ ~ =⇒ k~x = k ~x = k ~x z=0

oder hier: ~kx =~kx0 =~kx00 und ~ky =~ky0 =~ky00 ⇐⇒k sin ϑ = k0 sin ϑ0 = k00 sin ϑ00 ⇐⇒ϑ = ϑ00 Einfallswinkel=Ausfallswinkel des reflektierten Strahls      cos ϕ sin ϑ cos ϕ0 sin ϑ0 cos ϕ00 sin ϑ00 mit ~k = k  sin ϕ sin ϑ  , ~k0 = k0  sin ϕ0 sin ϑ0 , ~k00 = k00  sin ϕ00 sin ϑ00 . cos ϑ cos ϑ0 − cos ϑ00 

∋ ∋

k = k·

0

sin ϑ =⇒ = sin ϑ00

r

0

∋ ∋

r 0

Dies ist das Snelliussche Gesetz f¨ur die Brechung eines Strahls an einer Grenzfl¨ache. Ist speziell = 0 , so sieht man, dass der Brechungsindex eines Mediums gegeben ist durch ∋

=

p

0 r

ω c c =p = 0 0 0 k n r ∋

=⇒

0

∋ ∋

n0 =

∋

∋

r

0 ˆ =⇒ Die Felder variieren wie exp{i ncω~k~x − iωt}

=⇒ Die Phasengeschwindigkeit ist nun Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

c n0 ,

also (im Normalfall) kleiner als die

Bemerkenswert ist, dass wir f¨ur all diese Ergebnisse die genaue Form der Randbedingungen noch nicht ben¨otigt haben. Um aber die relativen Intensit¨aten der drei Strahlen zu bestimmen, braucht man die komplette Form der Randbedingungen.

68

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

1. Fall: Die Polarisation von ~E liegt in der Ebene der Grenzschicht ~E0 = E0~ey

dito ~E00 , ~E000 ; ~n =~ez √ ~n · ∆~D = 0

~n × ∆~E =~ez ×~ey {E0 + E000 − E00 } = 0 =⇒ E00 = E0 + E000 ~k ×~ey = kx~ez − kz~ex = k(sin ϑ~ez − cos ϑ~ex ) (oBdA ϕ = 0) ~ = 0 =⇒ kz E0 + kz00 E000 − kz0 E00 = 0 ~n × ∆H =⇒ k cos ϑ(E000 − E0 ) + k0 E00 cos ϑ0 = 0 E00 2n cos ϑ p = E0 n cos ϑ + n02 − n2 sin2 ϑ p E000 n cos ϑ − n02 − n2 sin2 ϑ p = E0 n cos ϑ + n02 − n2 sin2 ϑ ¨ 2. Fall: ~B = B~ey , analoge Uberlegungen wie im 1. Fall ergeben die Gleichungen cos ϑ(E0 − E000 ) − cos ϑ0 E00 = 0 ; n(E0 + E000 ) − n0 E00 = 0 E00 2nn0 cos ϑ p = E0 n02 cos ϑ + n n02 − n2 sin2 ϑ p E000 n02 cos ϑ − n n02 − n2 sin2 ϑ p = E0 n02 cos ϑ + n n02 − n2 sin2 ϑ 0 =⇒ E000 = 0 f¨ur tan ϑB = nn (f¨ur ~B~n = 0) F¨ur diesen Winkel (Brewster-Winkel) ϑB gibt es keinen reflektierten Strahl.

Strahlt man unpolarisiertes Licht im Winkel ϑB ein, so wird es daher polarisiert. Selbst bei Winkeln ϑ 6= ϑB ist das reflektierte Licht teilweise polarisiert. Totalreflexion r

∋ ∋

sin ϑ = 0

0

sin ϑ =

n sin ϑ n0

=⇒ sin ϑ0 = 1 falls n > n0 und sin ϑ0 = =⇒ ϑ0 = 90◦

n0 n

¨ 6.2. DOPPELBRECHUNG UND OPTISCHE AKTIVITAT

69

Der gebrochene Strahl l¨auft also parallel zur xy-Ebene zwischen den Medien. F¨ur ϑ > ϑ0 gilt sin ϑ0 > 1 =⇒ ϑ0 = iϑ˜ 0 p p =⇒ cos ϑ0 = 1 − sin2 ϑ0 = i sin2 ϑ0 − 1 =⇒ cos ϑ0 ist rein imagin¨ar =⇒ ~E 0 ∼ eik ~x = ei sin ϑ k x+i cos ϑ n z √ 2 0 0 0 0 = ei sin ϑ k x e− sin ϑ −1k z ~0

0 0

0 0

=⇒ Das ~E-Feld f¨allt außerhalb des -Mediums“ exponentiell ab (kein Energie” transport). Es findet also keine Propagation statt, sondern das Maxwell-Feld tunnelt sozusagen ein wenig in das zweite Medium hinein. Man nennt das exponentiell abfallende Feld auch evaneszentes Feld. ∋

Anwendungen der Totalreflexion: 1. Atomspiegel: Der exponentiell abfallende Term erzeugt abstoßendes (reflektierendes) Potential f¨ur Atome. 2. Verlustfreie Spiegelung von Lichtstrahlen

6.2 Doppelbrechung und Optische Aktivit¨at Ein Medium, das zwar homogen, aber nicht mehr isotrop ist, wird durch ∋

i jE j

∋

Di =

∋

charakterisiert. In Abwesenheit eines (starken) Magnetfeldes kan i j = ji als symmetrisch angesetzt werden. Bei Vernachl¨assigung der Absorption ist i j außerdem reell. F¨ur eine solche Matrix gibt es immer drei Eigenvektoren (mit reellen Eigenwerten), die orthogonal zueinander stehen (Hauptachsen). Mit i j − 0 δi j )E j

∋

∋

folgen dann die Wellengleichungen i j − 0 δi j )E¨ j

∋

Ei = −∇i div ~E − µ0 (

∋

mit ∇div − ∆ = rot rot folgt: i j E¨ j

∋

(rot rot E)i + µ0

=0

∋

Pi = (

70

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

Als Ansatz w¨ahlt man eine ebene Welle: ~

Ei = ei eik~x−iωt ~

=⇒ rot rot ~E = −~k × (~k ×~e)eik~x−iωt =⇒ ei~k2 − ki (~k~e) − ω2 µ0 i j e j = 0 ∋

1

∋ ∋

∋

Setzt man ¯ i j =

0

ij

und ~k = ωc ~n, so folgt (~n2 δi j − ni n j − ¯ i j )e j = 0 ∋

Dieses lineare Gleichungssystem ist l¨osbar, falls die Determinante von (~n2 δi j − ni n j − ¯ i j ) verschwindet. Legt man die Koordinaten x, y, z entlang der Hauptachsen des Mediums (Kristalls), so folgt  (x)  0 0 r   (y) 0  ij =  0 r (z) 0 0 r ∋

∋

∋

∋

∋

und f¨ur die Determinante   (x) (y) (z) 0 =~n2 r n2x + r n2y + r n2z h (x) (y) (z) (y) − n2x r ( r + r ) + n2y r ( ∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

(x) (y) (z) r r r

∋ ∋ ∋

+

i

(x) (z) (y) 2 (z) (x) r + r ) + nz r ( r + r )

Diese Gleichung heißt Fresnelsche Gleichung und ist wesentlich f¨ur die Kristallphysik. Beispiel einachsige Kristalle: ;

(z) r

k

=:

k 2 nz + ⊥ (n2x + n2y ) − ⊥ k

∋ ∋

∋

∋

∋

)

⊥

∋

⊥

h

=:

∋

∋

∋

=⇒ (~n2 −

(y) r

=

∋

(x) r

i

=0

Diese Gleichung hat zwei L¨osungen: 1. n2 = ⊥ : Ordentliche Wellen Diese √ verhalten sich wie in einem isotropen Medium mit Brechungsindex n= ⊥ ∋

∋

2. Außerordentliche Wellen   sin ϑ cos ϕ F¨ur ~n = n  sin ϑ sin ϕ  gilt cos ϑ 1 sin2 ϑ cos2 ϑ + ⊥ = k n2 ∋

∋

¨ 6.2. DOPPELBRECHUNG UND OPTISCHE AKTIVITAT

71

=⇒ Der Brechungsindex h¨angt von der Richtung von ~k ab, also n = n(ϑ). Da die Herleitung des Snelliusschen Gesetzes nicht von den Einzelheiten der Randbedingungen abh¨angt, kann man es direkt u¨ bernehmen und findet, dass f¨ur ϑ 6= 0 zwei Strahlen mit unterschiedlichem Brechungsindex und damit unterschiedlichem Brechungswinkel existieren. Das nennt man Doppelbrechung. Optische Aktivit¨at In optisch aktiven Medien wird die Polarisationsrichtung von durchlaufendem Licht gedreht. Optische Aktivit¨at kann durch verschiedene Modelle beschrieben werden. Nach dem Modell von Fedorow gilt:   ~D = ~E + βrot ~E ∋

¨ Die Wellengleichung dazu lautet (s. Ubungen): µ0 ~E¨ − ∆~E = −µ0 βrot ~E¨ ∋

∋

~ Gel¨ost wird sie wieder durch ebene Wellen ~E = ~E0 eik~x−iωt :

(−ω2 µ0 + k2 )~E0 = iω2 µ0 β(~k × ~E0 ) ∋

~k ,~e1 ,~e2 |~k|

∋

ˆ Sei ~k :=

ein Dreibein (~ei = lineare Polarisationsvektoren):

~E (±) = E (±) (~e1 ± i~e2 ) zirkular polarisierte Wellen 0 0 =⇒ ω2± µ0 (1 ± βk) = k2 k 1 ck ω± = √ ·p = µ0 1 ± βk n± (k) ∋

∋

Der Brechungsindex h¨angt von der Polarisation und von k ab! Betrachte eine Superposition von ~E (+) und ~E (−) : ~E = E (+) (~e1 + i~e2 )ei~k~x−iω(+)t + E (−) (~e1 − i~e2 )ei~k~x−iω(−)t 0 0 (+)

(−)

Nehmen an E0 = E0 n    o −iω(+)t −iω(−)t −iω(+)t −iω(−)t i~k~x i~k~x ~ =⇒ E = E0 ~e1 e e +e + i~e2 e e −e + c. c. ~ F¨ur t = 0 ist ~E = 2E0~e1 eik~x + c. c. und ist linear in ~e1 -Richtung polarisiert. F¨ur ~ π t¯ := ω −ω gilt ~E = 2E0~e2 eik~x , d. h. ~E ist linear in ~e2 -Richtung polarisiert. (−)

(+)

72

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

_ t

_ 3t

_ 2t

_ 4t

t=0

In dielektrischen Medien breiten sich elektromagnetische Wellen im Allgemeinen ganz anders aus als im Vakuum. ~ Sei allgemein ~Ek = E(k)~ek eik~x−iω(k)t eine ebene Welle in irgendeinem Medium. Darin sei ω(~k) = c|~k| im Vakuum und ω(~k) = c|~k|/n in isotropen Medien. Die Phasengeschwindigkeit ~ω einer ebenen Welle ist die Geschwindigkeit, mit |k| der sich die Wellenfronten fortbewegen. Ein Wellenpaket ist gegeben durch (der Einfachkeit halber eindimensional) Z

E(x,t) =

E(k)eikx−iω(k)t dk

Annahme: Nur Frequenzen in der N¨ahe einer Frequenz ω0 tragen zum Wellenpaket bei (sehr gut erf¨ullt f¨ur Laserlicht). dω (k − k0 ) + · · · =⇒ ω(k) ≈ ω0 + dk k0  i k0

dω dk k0 −ω0

 t

 i k0

dω dk k0 −ω0

 t

=⇒E(x,t) = e =e

| |

·

Z

  ik x− dω dk |k t

E(k)e

· E(x − t ·

0

dk

| , 0)

dω dk k0

=⇒ Das Wellenpaket bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit vgr = Im Vakuum gilt dω dk = c = vgr = Phasengeschwindigkeit. c In isotropen Medien gilt dω dk = n = Phasengeschwindigkeit. In n(|~k|)-Medien (inhomogene Medien, optisch aktive Medien) gilt dω d ck c = 6= dk dk n(k) n(k) d. h. Gruppengeschwindigkeit 6= Phasengeschwindigkeit In anisotropen Medien gilt c|~k| n = n(|~k|, ϑ) =⇒ ∇~k =~vgr n(~k)

dω dk k0 .



¨ 6.3. EIKONAL-NAHERUNG, GEOMETRISCHE OPTIK

73

Hier hat die Gruppengeschwindigkeit sogar eine andere Richtung als die Phasengeschwindigkeit.

6.3

Eikonal-N¨aherung, Geometrische Optik und Fermats Prinzip

In isotropen, inhomogenen Dielektrika gilt ~D = (~x)~E(~x). F¨ur solche Medien (und auch Vakuum) wird oft die Eikonal-N¨aherung durchgef¨uhrt, die mit der WKB-N¨aherung der Quantenmechanik eng verwandt ist. Die Wellengleichung f¨ur diese Medien lautet ∋

µ0 (~x)~E¨ + rot rot ~E = 0 = µ0 (~x)~E¨ + ∇div ~E − ∆~E ∋

∋

aus div ~D = ρ = 0 folgt div ( ~E) = 0 = div ~E + (∇ )~E ∋

∋

∋

Man kann oft n¨aherungweise (∇ )~E = 0 annehmen (⇐⇒ (~x) a¨ ndert sich im wesentlichen nur in Ausbreitungsrichtung, da ~E ⊥~k). ∋

∋

µ0 (~x)~E¨ − ∆~E = 0 ∋

Ansatz zur L¨osung: monochromatische Welle, bei der sich in Analogie zu ebenen Wellen nur die Phase a¨ ndert und die Amplitude und damit die Intensit¨at im wesentlichen konstant bleibt. ~E = ~E0 e−iωt eik0 S(x) ; k0 := ω c   2 2 2 ~ −iωt ik0 S(x) =⇒ −µ0 ω − ik0 ∆S + k0 (∇S) E0 e e =0 ∋

¨ Andert sich der Lichtstrahl nur auf Skalen, die groß gegen¨uber der Wellenl¨ange λ = 2π sind, so ist k0 groß im Vergeich zur Variation von S. =⇒ vernachl¨assige k0 k0 ∆S gegen¨uber k02 (∇S)2 . ;

∋

2 r (x) = n (x)

r

=

∋ ∋

∋

=⇒ (∇S)2 ≈

(x) 0

Eikonalgleichung Interpretation der Phase S(x): ~ Man kann folgendermaßen eine Analogie zu ebenen Wellen E(~x) ∼ eik~x herstellen: Die Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten ist bei ebenen Wellen durch den Vektor ~k gegeben. Der Wellenvektor kann definiert werden als Gradient der Phase ~k = ∇(~k~x)

74

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

Diese Definition mutet umst¨andlich an, jedoch l¨aßt sie sich in der Eikonalgleichung einfach verwenden. Aus der Analogie folgt, dass S(x) = const. die Wellenfronten (Ebenen konstanter Phase) angibt und dass die Ausbreitungsrichtung dieser Wellenfronten durch ~k(x) = ∇(k0 S(x)) = k0 ∇S(x) gegeben ist. Die Feldlinien“ des Potentials“ ” ” S(x) lassen sich daher als Lichtstrahlen interpretieren (~k= b Ausbreitungsrichtung der Lichtstrahlen). Lichtstrahlen entsprechen also Kurven x(u) (u = Parameter), die immer senkrecht auf den Ebenen S(x) = const. stehen. =⇒

d~x(u) ∼ ∇S(~x(u)) du

x (u) S(x) = S0

S(x) = S1

S(x) = S 2

Die Eikonalgleichung stellt die Grundlage der geometrischen Optik dar. Um ~x(u) zu berechnen, w¨ahlen wir die spezielle Parametrisierung u = l = L¨ange der Kurve bis zum Punkt ~x(l), d. h. d~x(l) d~x(l) ∇S(x) 1 dl = 1 =⇒ dl = |∇S| = n(~x(l)) ∇S|~x=~x(l)   d d~x d n = ∇S(~x(l)) dl dl dl d = ∇ S(~x(l)) dl   d~x(l) =∇ · ∇S(~x(l)) dl   1 2 =∇ (∇S) n(~x(l))   d d~x =⇒ n = ∇n(~x(l)) (6.1) dl dl

¨ 6.3. EIKONAL-NAHERUNG, GEOMETRISCHE OPTIK

75

Speziell f¨ur n =const. folgt: d2~x(l) = 0 ⇐⇒~x(l) =~x0 + l dl 2 Dies ist ein gerader Lichtstrahl =⇒ Gleichung (6.1) ist sinnvoll. Die Gleichung f¨ur die Lichtstrahlen kann auch aus einem Extremalprinzip hergeleitet werden: Lichtstrahlen sind die Kurven, f¨ur die Z l1

S=

n(~x(l))dl l0

extremal wird (Fermatsches Prinzip). Um den Zusammenhang zu verstehen lassen wir zun¨ achst wieder eine belie d~x d~x bige Parametrisierung u zu, es gilt im Allgemeinen du 6= 1. Da du ∼ ∇S folgt d~x d~x 1 du = |∇S| ∇S du Z ~x

Z u

d~x ∇S · 0 du0 du ~x0 u0 Z u 1 d~x = ∇S · ∇S 0 du0 n du u0 Z u Z l d~x 0 = n 0 du (= n(~x(l 0 )dl 0 f¨ur obige spezielle Parametrisierung) du u0 0

=⇒ S(x) =

∇Sd~x =

Variation von S mit Hilfe der Funktionalableitung:
δS 1 = lim S[xi (u) + εδ(u − u0 )] − S[xi (u)] δxi (u) ε→0 ε δS δS = 0 ⇐⇒ =0 δxi (u) Z  d δS 1 0 0 0 0 = lim n(xi (u ) + εδ(u − u )) · 0 (xi (u ) + εδ(u − u )) δxi (u) ε→0 ε du  d −n(xi (u0 )) 0~x(u0 ) du0 du s 2  2  2 d dx dx d a b (xi + iεδ) = + + (xi (u0 ) + εδ(u − u0 )) du0 du du du0

76

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

Die Wurzel wird nun bis zur ersten Ordnung in ε entwickelt (a, b, i = 1, 2, 3): s

p

  2 dxb 2 dxi (· · · ) ≈ + + 0 du du0
d d 1 + r      · 2 0 xi (u0 ) + εδ(u − u0 ) δ(u − u0 )ε 0 2 2 2 du du dxi dxa b + dx + du 2 0 du0 du0 

dxa du0

2



+ O(ε2 ) d~x 1 dxi d = 0 + · 0 0 εδ(u − u0 ) 0 du |d~x/du | du du
dn n xa , xb , xi (u0 ) + εδ(u − u0 ) ≈ n(xa , xb , xi ) + εδ(u − u0 ) + O(ε2 ) dxi δS 1 =⇒ = lim δxi (u) ε→0 ε

Z 

=

Z 

dn n + εδ(u − u ) dxi  d~x −n 0 du0 du 0

   d~x 1 dxi 0 + dn0 |d~x/dn0 | du0 εδ(u − u )

 1 dxi d 0 0 dn d~x n δ(u − u ) + δ(u − u ) du0 0 0 0 |d~x/du | du du dxi du0

Das Integral u¨ ber die δ-Distribution wird wie im Anhang behandelt:   δS dn d~x d 1 dxi =⇒ = − n |d~x/du| du0 δxi (u) dxi (u) du du Speziell f¨ur u = l (L¨ange) als Parameter gilt

d~x dl

=1

  δS dn d dxi =⇒ 0 = = − n δxi (l) dxi (l) dl dl

6.4

qed.

Paraxialn¨aherung, fokussierte Lichtstrahlen

Wenn monochromatische Lichtstrahlen (insbesondere Laserstrahlen) so stark fokussiert werden, dass ihre Breite nicht mehr sehr viel gr¨oßer als ihre Wellenl¨ange ist, muss man im Gegensatz zur geometrischen Optik die Variation des transversalen Profils ber¨ucksichtigen.

¨ 6.4. PARAXIALNAHERUNG, FOKUSSIERTE LICHTSTRAHLEN

77

Ansatz: ω k= (Strahl in z-Richtung)  cω  ~E = 0 =⇒ − 2 − ∆ ~E(~x)eikz = 0 c 2    ∂ ~ ∂~ ikz ikz 2~ ~ ~ ∆E(~x)e = ∆⊥ E(~x) e + E(~x) + 2ik E − k E eikz ∂z2 ∂z ~E = ~E(~x)eiωt eikz

;

mit ∆⊥ = ∂2x + ∂2y =⇒ 0 = (∂2z + 2ik∂z + ∆⊥ )~E(~x) Wie bei der Eikonaln¨aherung geht man davon aus, dass ~E(~x) im Vergleich zu eikz langsam mit z variiert: k∂z ~E  ∂2z ~E

2ik∂z ~E = −∆⊥ ~E

=⇒

paraxiale Helmholtz-Gleichung Diese Gleichung hat dieselbe Struktur wie die freie Schr¨odinger-Gleichung in zwei Dimensionen (z=t), b deren L¨osungsmethoden aus der Quantenmechanik bekannt sind. Besonders interessant ist hier eine L¨osung, die f¨ur z = 0 ein transversales Gauß-Profil hat: E(z, ρ) =

ρ2 E0 ik 2q(z) e q(z)

mit q(z) = z − iz0 und ρ =

p

x2 + y2

Die Gr¨oße z0 heißt Rayleigh-L¨ange. Die Intensit¨at ist ∼ |~E|2 :  I = I0 r w0 =

2z0 π

w0 w(z)

2

−

e

2ρ2 w2 (z)

s ;

w(z) = w0



z 1+ z0

2

78

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

Die Rayleigh-L¨ange h¨angt mit der Fokussierung (Breite am Fokus) w0 zusammen und beschreibt den Bereich u¨ ber den sich die Breite nur wenig (Faktor √ 2) a¨ ndert. Je kleiner z0 , desto kleiner ist die minimale Breite w0 , aber auch der Bereich, u¨ ber den der Lichtstrahl fokussiert ist. Andere wichtige L¨osungen (Lasermoden) sind die Hermite-Gauß-Strahlen: √ ! √ !   w0 2x 2y El,m ∝ Gl Gm w(z) w(z) w(z)    ρ2 z −1 · exp ikz + ik + i(l + m + 1) tan z0 2w(z)z0 /w20 u2

Darin ist Gl (u) = Hl (u)e− 2 und Hl sind die Hermite-Polynome.

6.5

Nichtlineare Optik

In nichtlinearen Medien h¨angt die Polarisation ~P nichtlinear von ~E ab. Der physikalische Hintergrund ist die Wechselwirkung des Lichts mit den Elektronen im Medium. Dadurch wird die Elektronenverteilung und damit auch der Brechungsindex des Mediums ge¨andert. Ein einfaches Beispiel ist ein Elektron, das an das skalare Potential koppelt. Die Wellengleichung f¨ur φ lautet ρ ∋

0

=−

e ∋

φ =

|Ψ(~x,t)|2

0

F¨ur das Elektron gilt die Schr¨odinger-Gleichung i~∂t Ψ = −

~2 ∆Ψ − eφ(~x,t)Ψ(~x,t) 2µ

79

6.5. NICHTLINEARE OPTIK Sei Gs (~x −~x0 ,t − t 0 ) die Green-Funktion der freien Schr¨odinger-Gleichung, die   ~ i~∂t + ∆x Gs (~x −~x0 ,t − t 0 ) = δ(~x −~x0 )δ(t − t 0 ) 2µ erf¨ullt. =⇒ Ψ(~x,t) = Ψ0 (~x,t) − e

Z

d4 x0 ≡ d3 x0 dt 0

Gs (~x −~x0 )φ(~x0 )Ψ(~x0 ) d4 x0 ;

x0 = (~x,t)

Ψ(x) ist nur eine formale L¨osung, da die rechte Seite noch von der unbekannten Gr¨oße Ψ(x0 ) abh¨angt. Ist der Beitrag des Terms −eφΨ klein gegen¨uber Ψ0 , so kann man die Gleichung in sich selbst einsetzen (iterieren), um eine St¨orungsreihe zu erhalten: Ψ(x) = Ψ0 (x) − e

Z

d4 x0 Gs (x − x0 )φ(x0 )   Z 0 4 00 0 00 00 00 · Ψ0 (x ) − e d x Gs (x − x )φ(x ) Ψ(x ) | {z }R Ψ0 (x0 )−e ···

oder grob(!) vereinfacht: Ψ ≈ Ψ0 + αφ + βφ2 + · · · e =⇒ φ = − |Ψ0 |2 + 2αφ + α2 φ2 + · · · ∋

0

Dies ist eine nichtlineare Gleichung f¨ur φ, die die R¨uckwirkung der Elektronen auf das elektromagnetische Feld einschließt. Es muss aber betont werden, dass diese Rechnung nur das Prinzip widerspiegelt und nicht quantitativ korrekt ist. Normalerweise ist die Nichtlinearit¨at in dielektrischen Medien sehr klein und man kann ~P nach ~E entwickeln: Pi = εi j E j + 2di jk Ei Ek + 4χih jkl E j Ek El Im folgenden betrachten wir ein Kerr-Medium mit ~P = 4χ(3) (~E)2 ~E Darin ist χ(3) die sogenannte kubische Suszeptibilit¨at. Die allgemeine Wellengleichung f¨ur ~E lautet 1 ~E = ∇div ~P − µ0~P¨ ∋

0

E + div ~P 0 div ~

∋

div ~D = 0 =

80

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

Gel¨ost wird sie durch eine ebene Welle (~e = Polarisationsvektor):   i~k~x−iωt E = Re ~ee = 2~e cos(~k~x − ωt) =⇒ div ~E = −2~e~k sin(~k~x − ωt) ∼~e~k div ~P = 4χ(3) div ((~E)2 ~E) = 4χ(3) ∂i (E j E j Ei ) = 4χ(3) {(∂i Ei ) ~E 2 + Ei 2E j ∂i E j } | {z } 2~e~k

∂i E j ∼ ki e j =⇒ Ei E j ∂i E j ∼ ei e j ki e j =⇒ 0 div ~E + div ~P ∼~e~k ∋

=⇒~e~k = 0 =⇒ div ~E = div ~P = 0 =⇒ ~E = −4µ0 χ(3) ∂t2 ((~E)2 ~E) = −µ0~P¨

(6.2)

Diese Gleichung ist nichtlinear und f¨uhrt zu v¨ollig neuartigen Effekten: • kein Superpositionsprinzip mehr! • Der Brechungsindex h¨angt von der Lichtintensit¨at ab. • Licht wechselwirkt mit Licht und kann sich u¨ ber das Medium selbst beeinflussen. • Licht kann seine Frequenz a¨ ndern. Beispiel 1: Erzeugung harmonischer Oberschwingungen Wir nehmen an, dass eine laufende Welle der Form ~E0 =~ E0 sin(ωt − kz) auf den nichtlinearen Kristall trifft. Zur L¨osung von Gl. (6.5) setzen wir eine St¨orungsreihe in 1. Ordnung in χ(3) an: ∋

~E(t) = ~E0 + χ(3) ~E1 (t) + (χ(3) )2 · · · Einsetzen in die Wellengleichung liefert h i (3) ~ ~  E0 + χ E1 = −4µ0 χ(3) ∂t2 (~E0 )2 ~E0 + O((χ(3) )2 )

81

6.5. NICHTLINEARE OPTIK Gleichung 0. Ordnung: ω = ck

=⇒ ~E0 = 0

Gleichung 1. Ordnung: =⇒ ~E1 = −4∂t2 µ0 E03 =⇒ E1 = 3ω µ0 E0

3~



∋

2

 sin(ωt − kz) − 3 sin(3(ωt − kz))

=⇒ Das Medium (Kristall) erzeugt eine Oberschwingung der Frequenz 3ω. Die Erzeugung von 3ω-Frequenzen in Kerr-Medien ist nur sehr schwach. In P ∼ E 2 -Medien kann man effektiv die Frequenzen verdoppeln (2ω). Beispiel 2: Erzeugung von Solitonen In einigen Medien hat die Nichtlinearit¨at die Form ˜ 2 ~E˜ , 3µ0 χ(3) |~E|

(6.3)

wobei ~E˜ die komplexe Amplitude ist. In diesem Fall kann man wieder eine Gleichung f¨ur die komplexe Amplitude finden: ~E0 =~eei~k~x−iωt + c. c. = ~E˜ + c. c. ˜ 2 ~E˜ =⇒ ~E˜ ≈ 3µ χ(3) |~E| 0

Machen wir wieder eine Paraxialn¨aherung, so folgt mit ~E˜ = A~eei~k~x−iωt

;

~E˜ ≈~e(−2ik∂z A − ∆⊥ A)ei~k~x−iωt

die nichtlineare Schr¨odinger-Gleichung 2ik∂z A = −∆⊥ A + 3µ0 χ(3) |A|2 A F¨ur χ(3) = 0 laufen die L¨osungen der Schr¨odinger-Gleichung auseinander (Dispersion). In der Quantenmechanik kann ein Potential das Auseinanderlaufen verhindern. Hier kann die Nichtlinearit¨at diese Aufgabe u¨ bernehmen. Das Licht produziert sich sozusagen sein eigenes Potential. Im Allgemeinen k¨onnen sich f¨ur χ(3) < 0 Lichtstrahlen selbst fokussieren, sie werden zu Gebieten h¨oherer Intensit¨at hingebogen. Der Brechungsindex h¨angt von der Intensit¨at ab. Laserstrahlen k¨onnen bei einer bestimmten Intensit¨at sogar ihren eigenen Wellenleiter bilden: Soliton-L¨osungen ver¨andern ihre Form nicht. Nichtlinearit¨at und Dispersion (∆⊥ heben sich gegenseitig auf. Beispiel: Helles Soliton A(x, y) = a0

1 i zz 0 x e cosh( ω0 )

(χ(3) < 0)

82

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

Darin ist z0 = 12 kω2 wieder die Rayleigh-L¨ange und A0 =

1 w2 3µ0 |χ(3) |

Solitonen sind ein dehr aktives Forschungsgebiet in der nichtlinearen Optik, BoseEinstein-Kondensaten, Teilchenphysik, . . . .

Kapitel 7 Spezielle Relativit¨atstheorie Die Spezielle Relativit¨atstheorie (SRT) ist die Erkl¨arung eines ungew¨ohnlichen Verhaltens, das man in der Elektrodynamik beobachtet hatte. Dies h¨angt eng mit Symmetrie-Argumenten zusammen.

7.1

Forminvarianz, Galilei-Transformation und Elektrodynamik

Die Forminvarianz einer Bewegungsgleichung oder Lagrange-Funktion unter Symmetrie-Transformationen ist ein wichtiges allgemeines Konzept in der Physik: Man fordert, dass die Gleichungen ihre Form bewahren, wenn man eine Symmetrie-Operation auf sie anwendet. Als Beispiel seien die Newtonschen Bewegungsgleichungen von N wechselwirkenden Teilchen betrachtet: m~x¨n = −∇~xn ∑ V (|~xn −~xn0 |)

n = 1, 2, . . . , N

n0

Diese sind invariant unter Galilei-Transformationen ~xn0 =~xn +~vt

;

t0 = t

Galilei-Transformationen beschreiben den Wechsel in ein bewegtes Bezugssystem, wie man ihn sich vor Einstein vorstellte. Beweis der Invarianz1 : 0 ∂xn,i ∂t 0 ∂ ∂ ∂ = + ∑ 0 0 ∂t ∂t ∂t n,i ∂t ∂xn,i = 1 Zur

∂ ∂ ∂ + v = +~v · ∑ ∇~xn0 i ∑ 0 ∂t 0 n,i ∂xn,i ∂t 0 n

¨ Berechnung der Ableitungen siehe auch Ubung 9.3

83

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

84

∂xm, j ∂ ∂ ∂t 0 = +∑ 0 ∂xn,i ∂xn,i m, j ∂xn,i ∂xm, j 0

= ∑ δmn δi j m, j

∂ ∂ = 0 0 ∂xm, j ∂xn,i

=⇒ m∂t2~xn = m∂t2 (~xn0 −~vt) = m∂t2~xn0 = m(∂t 0 +~v ∑ ∇~xl0 )2~xn0 l 2 0 = m(∂t 0~xn + 2m∂t 0 (~v

∑ ∇~xl0 )~xn0 + m(~v ∑ ∇~xl0 )(~v ∑ ∇~xk0 )~xn0 l

((~v ∑ ∇~xl0 )~xn0 )i = v j ∑ l

=⇒ m∂t2~xn

l

∂ 0 x = vi ∂xl,0 j n,i

l 2 0 = m∂t 0~xn + 2m ∂t 0~v +m (~v |{z} =0

k

|

∑ ∇~xl0 )~v = m∂t20~xn0 l

{z

=0

}

∇~xn V (|~xn −~xn0 |) = ∇~xn0 V (|~xn0 −~vt −~xn0 0 +~vt|) = ∇~xn0 V (|~xn0 −~xn0 0 |)

qed.

Im Gegensatz zur Newtonschen Mechanik ist die Wellengleichung nicht invariant unter Galilei-Transformationen:       1 2 1 1 2 0 2 0 0 ∂ − ∆x φ(~x,t ) −→ 2 (∂t 0 +~v · ∇~x0 ) − ∆~x0 φ(~x ,t ) 6= ∂ 0 − ∆x0 φ(~x0 ,t 0 ) c2 t c c2 t Das ist an sich nicht weiter schlimm: Schallwellen erf¨ullen auch eine Wellengleichung (mit c = Schallgeschwindigkeit). Die Erkl¨arung f¨ur deren Nicht-Invarianz ist einfach: Es gibt ein bevorzugtes Bezugsystem, in dem das Medium, durch das sie sich ausbreiten (z. B. Luft), ruht. Schallwellen bewegen sich nur relativ zu diesem Medium mit Schallgeschwindigkeit. Die Annahme, dass f¨ur elektromagnetische Wellen ein solches Medium existiert, wurde durch das Michelson-Morley-Experiment widerlegt (bzw. man braucht ¨ zu¨atzliche Hypothesen, um diese sogenannte Athertheorie mit dem Experiment in Einklang zu bringen). Das Experiment beruht auf dem Gedanken, dass das Licht f¨ur einen Beobach¨ ter, der sich relativ zum Ather bewegt, mit einer Geschwindigkeit c0 = c ± v fliegt. F¨ur zwei unterschiedliche Bewegungen muss die Geschwindigkeit c0 daher unterschiedlich sein. Im Michelson-Morley-Experiment war v = ± Geschwindigkeit der Erde um die Sonne, mit dem Ergebnis, dass c unabh¨angig von v ist.

7.2. EINSTEINSCHE POSTULATE, LORENTZ-TRANSFORMATIONEN 85 ¨ Um die Athertheorie aufrecht zuerhalten, wurden folgende Hypothesen aufgestellt: p ¨ • Bewegte Objekte werden im Ather kontrahiert gem¨aß L(v) = L0 1 − v2 /c2 ¨ • Der Ather wird zum Teil von bewegten Objekten mitgezogen, wobei das Mitziehen vom Brechungindex des Objektes bestimmt wird. Es gibt daher folgende M¨oglichkeiten, um die Widerspr¨uche aufzul¨osen: 1. Die Mechanik und die Elektrodynamik sind galilei-invariant, wobei der ¨ Ather seltsame Eigenschaften hat. Diese Option ist m¨oglich, aber nicht sch¨on“ (ad-Hoc-Hypothese) ” 2. Die Elektrodynamik ist falsch und die Natur ist galilei-invariant. Das ist unwahrscheinlich, weil die Maxwell-Gleichungen sehr gut mit den Experimenten u¨ bereinstimmen. 3. Die Newtonsche Mechanik ist falsch. Es gibt eine andere Invarianz zwischen Bezugsystemen. Diese Option ist m¨oglich. Lorentz und Poincar´e fanden, dass die MaxwellGleichungen invariant unter den sogenannten Lorentz-Transformationen sind (siehe n¨achster Abschnitt). Dass diese Option auch sch¨on“ ist, demonstrierte Einstein 1905. ”

7.2 Einsteinsche Postulate, Herleitung der Lorentz-Transformationen Einstein verwendete 2 Axiome f¨ur die Herleitung der Lorentz-Transformationen: 1. In jedem Inertialsystem ist der Raum isotrop und homogen und die Zeit homogen. 2. Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem gleich. Ein Inertialsystem ist dabei ein Satz cartesischer (!) Koordinaten (t, x1 , x2 , x3 ), welche die Raumzeit (= Raum und Zeit) parametrisieren, also jedem Punkt in der Raumzeit eindeutige Koordinaten zuweisen. (Jedes Inertialsystem entspricht einem Beobachter, der in diesem Inertialsystem ruht, typischerweise an ~x = 0.) Aus Postulat 1 folgt, dass Transformationen zwischen Inertialsystemen linear sind. Sonst g¨abe es ausgezeichnete Punkte (⇔ Inhomogenit¨aten), die z. B. durch Minima oder Sattelpunkte der Transformation charakterisiert w¨aren. Wir betrachten eine Transformation zwischen einem System R(x0 , x1 , x2 , x3 ) und einem System R0 (x00 , x10 , x20 , x30 ), das sich gegen¨uber R mit ~v = cβ~e3 bewegt.

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

86

x0 = ct ist dabei eine bequeme Parametrisierung der Zeit. Die allgemeinste Transformation, die x1 und x2 gleich behandelt (Isotropie) ist x10 = αx1

;

x20 = αx2

x30 = γx3 + δx0

;

;

x00 = εx3 + ηx0

Die beiden Inertialsysteme seien so gew¨ahlt, dass ihre Nullpunkte zur Zeit x0 zusammenfallen, also xi0 = 0 und xi = 0, i = 1, 2, 3 f¨ur x0 = 0. zur Zeit t muss dann der Ursprung des Systems R0 vom System R aus gesehen am Ort x3 = vt = βx0 sein, also x30 = 0 = γx3 + δx0 = (βγ + δ)x0 =⇒ δ = −βγ

x30 = γ(β)(x3 − βx0 )

;

(7.1) (7.2)

Das Argument muss wegen der Isotropie auch dann gelten, wenn wir ein Koordinatensystem verwenden, in dem x3 durch −x3 ersetzt wird (und damit auch x30 → −x30 , β → −β). =⇒ −x30 = γ(−β)(−x3 + βx0 ) = −γ(−β)(x3 − βx0 ) Dies stimmt mit dem vorherigen u¨ berein, falls γ(−β) = γ(β) ¨ Ahnlich findet man ε(β) = −ε(−β) ;

η(β) = η(−β) ;

α(β) = α(−β)

Die R¨ucktransformation muss nat¨urlich dieselbe Form haben, mit β → −β. =⇒ x3 = γ(−β)(x30 + βx00 ) = γ2 (x3 − βx0 ) + βγ(εx3 + ηx0 ) x0 = ε(−β)x30 + η(−β)x00 = −εγ(x3 − βx0 ) + η(εx3 + ηx0 ) =⇒ 1 = γ2 + εγβ ; 0 =−εγ + εη ;

0 = −βγ2 + γβη 1 = εγβ + η2

1 (1 − γ2 ) γβ x1 = α(−β)x10 = α2 x1 =⇒ α = 1 1 =⇒ x30 = γ(x3 − βx0 ) ; x00 = γx0 + (1 − γ2 )x3 γβ =⇒ η = γ

;

ε=

¨ 7.3. LANGENKONTRAKTION UND ZEITDILATATION

87

Um γ zu bestimmen, brauchen wir das Postulat u¨ ber die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit2 . Aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit k¨onnen wir folgern, dass ein Lichtblitz, der zur Zeit t = 0 vom Ursprung xi = 0 = xi0 (i = 1, 2, 3) ausgeht, in beiden Systemen die gleiche Geschwindigkeit hat. x3 x30 x3 = = 1 ( = 1) x00 x0 ct x3 = x0 =⇒x30 = γ(1 − β)x0 =⇒

x00 = (γ +

1 − γ2 0 )x γβ

1

=⇒ γ(v) = p

1 − β2

Damit haben wir f¨ur die speziellen Lorentz-Transformationen, d. h. Geschwindigkeit in x3 -Richtung: x10 = x1

;

x20 = x2

;

x30 = γ(x3 − βx0 ) ;

x00 = γ(x0 − βx3 )

Das Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit f¨uhrt also dazu, dass die Zeit f¨ur Beobachter mit unterschiedlicher Geschwindigkeit unterschiedlich ist. Das ist der zentrale Punkt in der speziellen und einer der zentralen Punkte in der allgemeinen Relativit¨atstheorie: Die Zeit eines Beobachters h¨angt von seiner Geschwindigkeit im Raum ab.

7.3

L¨angenkontraktion und Zeitdilatation

Es ist zweckm¨aßig, die Lorentz-Transformationen in Matrix-Form zu schreiben: xµ0 = Λ ν xν mit xµ = {x0 , x1 , x2 , x3 }   γ 0 0 −βγ  0 1 0 0  µ  und Λ ν (β) =   0 0 1 0  f¨ur ~v = cβ~e3 −βγ 0 0 γ µ

Mit der neuen Schreibweise der Indizes lautet die Einsteinsche Summenkonvention, dass u¨ ber Indizes, die einmal oben und einmal unten stehen, summiert wird. 2 W¨ urden

wir jetzt γ = 1 postulieren, so k¨amen wir auf die Galilei-Transformationen.

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

88

Wir betrachten die Addition von Geschwindigkeiten (β1 , β2 seien Geschwindigkeiten in x3 -Richtung): xµ00 = Λ ν (β2 )xν0 µ

= Λ ν (β2 )Λνλ (β1 ) xλ | {z } µ

µ

Λ λ (β3 )

= Λ λ (β3 )xλ µ

β1 +β2 mit β3 = 1+β . Daraus folgt wegen β1 β2 < 1 =⇒ β3 < 1 1 β2 Die Geschwindigkeit v ist also immer kleiner als c!

L¨angenkontraktion Ein Maßstab ruhe im System R und habe die Endpunkte x3 (a) und x3 (b). Seine L¨ange gemessen zu Zeit x0 (a) = x0 (b) ist L = x3 (a) − x3 (b). Ein Beobachter in R0 definiert die L¨ange nat¨urlich zu L0 = x30 (a) − x30 (b), wobei er aber in seinem System gleichzeitig mißt, also x00 (a) = x00 (b). Im System R sind diese Meßereignisse nicht gleichzeitig! Nach einer Lorentz-Transformation gilt: L0 = γ(x3 (a) − βx0 (a)) − γ(x3 (b) − βx0 (b)) = γL − βγ(x0 (a)) − x0 (b)) und !

x00 (a) − x00 (b) = 0 = γ(x0 (a) − βx3 (a)) − γ(x0 (b) − βx3 (b)) = γ(x0 (a) − x0 (b)) − βγL =⇒ x0 (a) − x0 (b) = βL

(Messung nicht mehr gleichzeitig in R) 1 L0 = γL − β2 γL = L γ q ⇐⇒ L¨angenkontraktion: L0 = 1 − β2 L

Das bedeutet, dass gleichf¨ormig bewegte Maßst¨abe k¨urzer sind als ruhende. Zeitdilatation Eine Lampe ruht in R am Ort x3 (a) = x3 (b). Sie wird zu x0 (b) ein- und zu x0 (a) ausgeschaltet. Sie brennt also die Zeit T = x0 (a) − x0 (b). Im System R0 brennt sie

89

7.4. LORENTZ-GRUPPE UND TENSOREN f¨ur die Zeit T 0 = x00 (a) − x00 (b) = γ(x0 (a) − βx3 (a)) − γ(x0 (b) − βx3 (b)) = γT =⇒ T 0 = γT > T Bewegte Uhren messen also ein l¨angeres Zeitintervall!

7.4

Lorentz-Gruppe und Tensoren

Es stellt sich die Frage, welches die allgemeinste Transformation ist, die die Lichtgeschwindigkeit invariant l¨aßt. Bisher haben wir nur Geschwindigkeits¨anderungen in x3 -Richtung betrachtet, sogenannte Lorentz-Boosts. Invarianz der Lichtgeschwindigkeit bedeutet allgemein: (x0 )2 =~x2

(= (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 )

oder −~x2 + (x0 )2 = invariant = const. unter Lorentz-Transformationen Insbesondere im Hinblick auf die Allgemeine Relativit¨atstheorie ist es sinnvoll, diese Relation mit infinitesimalen Gr¨oßen auszudr¨ucken: ds2 = −d~x2 + (dx0 )2 = invariant ds2 ist das 4-dimensionale Linienelement. F¨uhrt man die Metrik 3   +1 0 0 0  0 −1 0 0  ηµν = ηµν =  0 0 −1 0  0 0 0 −1 ein, so folgt

ds2 = ηµν dxµ dxν

(7.3)

(7.4) µ

Welche Transformationen lassen ds2 nun invariant? Wir suchen Matrizen Λ ν , so µ dass dxµ0 = Λ ν dxν und ds2 = ds02 gilt, also ρ

ηµν = ηρσ Λ µ Λσν

;

¯ T η¯ Λ ¯ in Matrix-Schreibweise: η¯ = Λ

(7.5)

3 µν  Dabei handelt essich um eine Konvention. Auch h¨aufig verwendet wird ηµν = η = −1 0 0 0  0 +1 0  0   0 0 +1 0  0 0 0 +1

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

90

Matrizen, f¨ur welche dies gilt, bilden die Lorentz-Gruppe. Ein Lorentz-Boost kann nat¨urlich in eine beliebige Richtung durchgef¨uhrt werden. Man beschreibt dies, indem man das r¨aumliche Koordinatensystem in die Richtung des Boosts dreht, den Boost durchf¨uhrt und dann wieder zur¨uckdreht. Die Drehung kann durch eine orthogonale Matrix (d. h. M T = M −1 ) beschrieben werden. Z. B. dreht   1 0 0 0 0 cos ϑ sin ϑ 0  M= 0 − sin ϑ cos ϑ 0 0 0 0 1 das r¨aumliche System um die x3 -Achse, die Zeit bleibt unver¨andert. xν0 = M νλ xλ Da Drehungen r¨aumliche Entfernungen nicht ver¨andern, gilt (i, j = 1, 2, 3) d~x02 = dxi0 dxi0 = M i j dx j M ik dxk = (M T · M) jk dx j dxk = dxk dxk = d~x2 =⇒ R¨aumliche Drehungen geh¨oren also zur Lorentz-Gruppe (da ds02 = ds2 ). Ein Boost kann dann als M −1 Λ(β)M geschrieben werden. Auf die Koordinaten angewandt ergibt dies   γ−1 ~ 0 0 ~ ~x =~x + (~x · β) − γx β β2 h i ~β = 1~v; ~x = (x1 , x2 , x3 ) x00 = γ −(~x ·~β) + x0 ; c Die Lorentz-Gruppe der Transformationen, die ds2 invariant lassen, wird allgemein aus Boosts und Drehungen gebildet. 4 Das infinitesimale Linienelement ds2 ist außerdem invariant unter Raum-ZeitTranslationen xµ0 = xµ + aµ ; aµ = const. Verbindet man diese Translationen mit der Lorentz-Gruppe, so erh¨alt man die Poincar´e-Gruppe. 4 Genau

genommen geh¨oren die Boosts und Drehungen, die wir hier behandelt haben, zur eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe, die eine Untergruppe der vollen Lorentz-Gruppe ist. Letztere besteht aus allen Matrizen, die die Relation (7.5) erf¨ullen und kann aufgeteilt werden in vier Unterbereiche, die durch det Λ = ±1 und Λ00 ≥ 1 bzw. Λ00 ≤ −1 gekennzeichnet sind. Die eigentlich orthochrone Lorentz-Gruppe entspricht det Λ = 1 und Λ00 ≥ 1.

91

7.4. LORENTZ-GRUPPE UND TENSOREN

Um zu zeigen, dass die Elektrodynamik invariant unter Lorentz-Transformationen ist, ist es zweckm¨aßig zun¨achst den Begriff der Tensoren einzuf¨uhren. In ¨ der speziellen Relativit¨atstheorie wird der Ubergang zwischen zwei Inertialsystemen durch die Koordinatentransformation xµ0 Λ ν xν µ

µ

bzw. mit Λ

ν=

∂xµ0 ∂xν

xµ0 =

∂xµ0 ν x ∂xν

beschrieben5 . Besonders wichtig ist ein Tensor 0. Stufe, ein Skalar, der sich gem¨aß A0 (x0 ) = A(Λ−1 x) transformiert. Hier hat man keine Indextransformation, die Abh¨angigkeit von x0 wird (wie bei allen anderen Tensoren auch) durch x0 = Λ−1 x ausgedr¨uckt. Einen Satz aus vier Objekten Aµ , die sich unter Koordinatentransformationen gem¨aß Aµ0 =

∂xµ0 ν A ∂xν

transformieren, nennt man kontravarianten Tensor 1. Stufe (Index oben) oder kontravarianten Vierer-Vektor. Analog definiert man einen kovarianten Tensor 1. Stufe (Index unten) durch das Transformationsverhalten A0µ =

∂xν Aν ∂xµ0

ein wichtiges Beispiel f¨ur einen kovarianten Vierer-Vektor sind die Ableitungen nach den Koordinaten: ∂xν ∂ f (x) ∂ f (x0 ) = ∂xµ0 ∂xµ0 ∂xν

oder

∂0µ =

∂ ∂xν = ∂ν ∂xµ0 ∂xµ0

In der speziellen Relativit¨atstheorie ist der Unterschied zwischen kovarianten und ¨ kontravarianten Gr¨oßen nicht sehr groß. Der Ubergang zwischen ihnen wird durch Heben und Senken der Indizes mit der Metrik vollzogen: Aµ = ηµν Aν

;

Aν = ηνµ Aµ

Beispiel:   xµ = ηµν xν =   5 In

+1

  0  0 x +x  x1  −x1  −1   =    x2  −x2  −1 −1 x3 −x3

der speziellen Relativit¨atstheorie sieht diese Schreibweise umst¨andlich aus, in der allgemeinen Relativit¨atstheorie ist sie hingegen notwendig.

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

92





+1 −1

 ηµν = (η−1 )µν =  

   −1 −1

;

ηµν ηνλ = δµλ

In der Speziellen Relativit¨atstheorie dreht das Heben und Senken der Indizes (in der hier verwendeten Konvention) also nur die Vorzeichen der Ortskomponenten um. Tensoren h¨oherer Stufe werden analog zu Vierer-Vektoren definiert. Ein kontravarianter Tensor 2. Stufe transformiert sich gem¨aß T µν0 =

∂xµ0 ∂xν0 αβ T ∂xα ∂xβ

0 Tµν =

∂xα ∂xβ T ∂xµ0 ∂xν0 αβ

µ 0 ν

∂xµ0 ∂xβ α T ∂xα ∂xν0 β

ein kovarianter gem¨aß

und ein gemischter gem¨aß T

=

Tensoren h¨oherer Stufe k¨onnen also sowohl kovariante als auch kontravariante Anteile haben. Jeder Index transformiert sich dabei wie ein entsprechender ViererVektor. Ein Tensor n-ter Stufe transformiert sich gem¨aß T α1 ···αn 0 =

∂xαn 0 β1 ···βn ∂xα1 0 · · · T ∂xβ1 ∂xβn

Durch Kontraktion eines ko- und eines kontravarianten Index kann die Stufe eines Tensors verringert werden: T

αβ α

=T

0β 1β 2β 3β 0 +T 1 +T 2 +T 3

= T¯ β = Tensor 1. Stufe

Das Produkt zweier Tensoren ist ein Tensor h¨oherer Stufe, z. B. Aµ Bν = T µν = Tensor 2. Stufe

7.5

Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Um die Kovarianz der Maxwell-Gleichungen zu zeigen, startet man meistens von der Kontinuit¨atsgleichung ρ˙ + div ~j = 0 = c∂0 ρ + ∂i ji

7.5. RELATIVISTISCHE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK

93

da {∂µ } = (∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 ) ein kovarianter Vierer-Vektor ist, ist es naheliegend, dass der kontravariante Vierer-Vektor jµ = (cρ, ~j) die relativistische Stromdichte ist. Die Kontinuit¨atsgleichung wird dann zu ∂µ j µ = 0 was offensichtlich kovariant ist (transformiert wie ein Skalar). In der LorentzEichung waren die Gleichungen f¨ur die elektromagnetischen Potentiale gegeben durch ρ φ = ; ~A = µ0~j ∋

0

Der d’Alembert-Operator ist offensichtlich invariant:  1 ∂2 = − ∆ = ∂20 − ∂i ∂i c2 ∂t 2 = ηµν ∂µ ∂ν = ∂µ ∂µ 

Mit der Vierer-Stromdichte gilt: = µ0

∋

0

ρ = c2 µ0 ρ = cµ0 j0 µ 0 0

∋

ρ

Setzt man f¨ur das Vierer-Potential µ

A =



 φ ~ ,A c

so folgt in der Lorentz-Eichung ∂ν ∂ν Aµ = µ0 jµ Aµ ist also kontravariant. Auch die Lorentz-Eichung selbst ist kovariant: 0=

1 ∂t φ + div ~A = ∂0 A0 + ∂i Ai = ∂µ Aµ = 0 2 c

Eine Umeichung der Potentiale kann nun in der Form A0µ = Aµ + ∂µ χ geschrieben werden. W¨ahrend die Kovarianz der Potentiale von der Eichung abh¨angt, k¨onnen die Felder ~E und ~B immer kovariant geschrieben werden: Der Feldst¨arke-Tensor

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

94 ist definiert als

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ F0i = ∂0 Ai − ∂i A0 = −∂0 Ai − ∂i A0 1 1 = − ∂t Ai − ∂i φ c c  1  ~˙ = −A − ∇φ c i 1 F0i = Ei c Fi j = ∂i A j − ∂ j Ai = −∂i A j + ∂ j Ai Nun gilt (in nichtrelativistischer Notation: i, j = 1, 2, 3; ~A ⇔ Ai !) εi jk (rot ~A)k = εi jk εklm ∂l Am = (δil δ jm − δim δ jl )∂l Am = ∂i A j − ∂ j A i =⇒ Fi j = −εi jk Bk  0 + 1c E1 + 1c E2 + 1c E3 − 1 E 1 0 −B3 +B2  c  Fµν =  − 1 E2 +B3 0 −B1  c − 1c E3 −B2 +B1 0 

Inhomogene Maxwell-Gleichungen: ρ ∋

(div ~E =

˙ , rot ~B = µ0 (~j + 0 ~E))

0

∋

∂µ F µν = +µ0 jν

Homogene Maxwell-Gleichungen: ∂µ F˜ µν = 0

˙ (div ~B = 0, rot ~E = −~B)

mit

1 F˜ µν = εµνρσ Fρσ 2

und εµνρσ =

 +1      −1    0

; f¨ur µ = 0, ν = 1, ρ = 2, σ = 3 und jede gerade Permutation davon ; f¨ur ungerade Permutationen ; wenn zwei Indizes gleich sind

95

7.6. EIGENZEIT, RELATIVISTISCHE MECHANIK

7.6

Eigenzeit, relativistische Mechanik

Die Bewegung eines Teilchens in der vierdimensionalen flachen Raumzeit (MinkowskiRaum) der speziellen Relativit¨atstheorie wird durch eine Kurve (die sogenannte Weltlinie) xµ (u) beschrieben (u = Parameter). Da das Linienelement ds2 = ηµν dxµ dxν = (dx0 )2 − d~x2 R

invariant gegen¨uber Lorentz-Transformationen ist, hat das Integral cτ = ds in jedem Inertialsystem denselben Wert. Auf einer zeitartigen (ds2 > 0 ∀u) Kurve xµ (u) gilt r dxµ dxµ dxν µ dx = du =⇒ ds = ηµν du du du du w¨ahlt man speziell u = x0 (= Zeit im gew¨ahlten Inertialsystem), so gilt

τ=

Z

s 

Z q

= τ=

Z

dx0 dx0

2



d~x − dx0

1 −~β2 (x0 ) dx0

1 dx0 γ(x0 )

2

dx0

~v (~β = ) c 1 0 (dτ = dx ) γ

(7.6)

Die Bedeutung von τ wird klar, wenn wir ins Ruhesystem eines inertialen TeilR chens gehen. Dort ist ~β = 0 und somit τ = dx0 = x0 . τ wird als Eigenzeit6 des Teilchens bezeichnet. Sie stimmt mit der Zeit im Ruhesystem des Teilchens u¨ berein und beschreibt die Zeit, die f¨ur das Teilchen tats¨achlich abgelaufen ist. F¨ur bewegte Beobachter ist τ im Allgemeinen kleiner da 1γ < 1. Aus physikalischen Gr¨unden eignet sich die Eigenzeit nat¨urlich besonders, um Weltlinien zu parametrisieren. Mathematisch auch, denn τ ist Lorentz-invariant. Aus dieser Invarianz folgt: Leitet man einen Tensor nach τ ab, so ist das Resultat auch ein Tensor. Besonders wichtig ist die Vierer-Geschwindigkeit: uµ (τ) = 6 Eigentlich: τ0

=

τ c

= Eigenzeit

dxµ (τ) dτ

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

96 Bedeutung:

dx0 =γ dτ dxi dx0 dxi ui = = 0 = βi γ dτ dx dτ =⇒ uµ uµ = (u0 )2 − ∑(ui )2 = γ2 − γ2~β2 u0 =

i ~2

= γ2 (1 − β ) = 1 uµ ist Einheitsvektor im Vierer-Sinn. Dieser Begriff ist v¨ollig anders als im euklidischen Sinn (3D), da f¨ur einen Vierer-Vektor vµ vµ nicht positiv definit ist =⇒ Es gibt also Vierer-Vektoren cµ 6= (0, 0, 0, 0), deren Skalarprodukt cµ cµ = 0 ist. Im Vierer-Sinn bedeuten: cµ cµ = 0 Der Vektor ist lichtartig, d. h. er zeigt (in jedem Inertialsystem) entlang des Lichtkegels. Beispiel: cµ = (1, 0, 0, 1); cµ cµ > 0 Der Vektor ist zeitartig. Der Name kommt daher, dass es immer ein Inertialsystem gibt, in dem zeitartige Vektoren auf der Zeitachse liegen. Beispiel: cµ = (1, 0, 0, 0) cµ cµ < 0 Der Vektor ist raumartig. Der Name kommt daher, dass es immer ein Inertialsystem gibt, in dem der Vektor mit einer der Raumachsen zusammenf¨allt. Beispiel: cµ = (0, 0, 0, 1) Vierer-Beschleunigung: aµ :=

∂2 xµ duµ = =: u˙µ ∂τ2 dτ

wegen uµ uµ = 1 gilt d µ d u uµ = 0 = (ηµν uµ uν ) dτ dτ = ηµν (u˙µ uν + uµ u˙ν ) = aν uν + uµ aµ = 2aµ uµ = 0 =⇒ aµ uµ = 0: Vierer-Beschleunigung steht senkrecht (im Vierer-Sinn) auf uµ . Was bedeutet das? Im (momentanen) Ruhesystem des Beobachters stimmt uµ mit dem Richtungsvektor der Zeitachse u¨ berein: uµ (β = 0) = (1, 0, 0, 0). aµ ist dann ein rein r¨aumlicher Vektor, der mit der 3er-Beschleunigung u¨ bereinstimmt: i  dvi  dβ µ i a = (0,~b) ; b = 0 = dx dt

7.6. EIGENZEIT, RELATIVISTISCHE MECHANIK

97

Im Ruhesystem ist Vierer-Orthogonalit¨at also a¨ hnlich wie Dreier-Orthogonalit¨at. Annahme: aµ = (0, 0, 0, 1) im Ruhesystem (⇐⇒ x3 -Achse). Lorentz-Boost mit ~β = −β~e3 : uµ0 = Λ ν uν = (γ, 0, 0, +βγ) aµ0 = (+βγ, 0, 0, γ) µ

x0 γ 1 uµ βγ

uµ’

aµ’ βγ

aµ

1

γ

x3

=⇒ Vierer-orthogonale Vektoren liegen symmetrisch um den Lichtkegel und werden in der Grafik l¨anger mit β. Dies gilt insbesondere auch f¨ur die Koordinatenachsen des R0 -Systems vom R-System aus gesehen (aµ und uµ stimmen in unserem Beispiel mit den Koordinatenachsen u¨ berein). Oder andersrum ausgedr¨uckt: Die Koordinatenachsen eines Inertialsystems entsprechen vierer-orthogonalen Vektoren. Um die Dynamik eines relativistischen Teilchens zu beschreiben, muss das Newtonsche Gesetz d ~p = ~F (~p = m~v) dt verallgemeinert werden. Es liegt nahe, den Vierer-Impuls durch pµ (τ) = mcuµ (τ) zu definieren und als Bewegungsgleichungen dpµ = Kµ dτ anzusetzen. Dies kann auch durch die Energie- und Impulserhaltung bei St¨oßen begr¨undet werden (siehe z. B. [5]). Wegen dpi dx0 dpi dpi = = γ dτ dτ dx0 dx0

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

98

und dem nichtrelativistischen Newton-Gesetz dpi dpi = c 0 = Fi dt dx erscheint die Identifikation

γ Ki = F i c sinnvoll. Sie wird durch das Experiment best¨atigt. Die 0-Komponente erh¨alt man aus ~ 0 = muµ aµ = uµ Kµ = u0 K 0 −~u · K γ = γK 0 − γ~β · ~F c γ =⇒ K 0 = 2~v~F c =⇒

dp0 d d = mcγ = cγ 0 mγ dτ dτ dx γd γ = c· mγ = K 0 = 2~v~F c dt c d dE =⇒ (mc2 γ) =~v~F = P = dt dt

Darin sind P die Leistung und E die Energie, f¨ur die sich ergibt E = mc2 γ

bzw.

p0 =

E c

F¨uhrt man die nicht lorentz-invariante Masse mr (β) = mγ(β) ein, so ergibt sich E = mr c2 E entwickelt man nun f¨ur kleine v, d. h. v  c, β  1: 1 3 γ ≈ 1 + β2 + β4 + · · · 2 5

=⇒

1 2 3 v4 E = mc + mv + m 2 + · · · 2 8 c 2

Das heißt, jede Masse entspricht einer Ruheenergie von mc2 . Der Term 12 mv2 entspricht der nichtrelativistischen kinetischen Energie, die h¨oheren Terme sind die relativistischen Korrekturen dazu. Wegen uµ uµ = 1 gilt außerdem pµ pµ = m2 c2 uµ uµ = m2 c2 =

E2 −~p2 2 c

=⇒ E 2 = ~p2 c2 + m2 c4

99

7.7. PARADOXA

diese Gleichung kann verwendet werden, um eine relativistische Wellengleichung f¨ur quantenmechanische Teilchen herzuleiten. Setzt man E = i~∂t

;

~p = −i~∇

Quantisierung“, ”

so folgt −~2 ∂t2 φ = (−~2 ∆c2 + m2 c4 )φ   m2 c2 1 ∂2 − ∆ φ + φ=0 c2 ∂t 2 ~2 Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung. F¨ur m = 0 geht sie in die Wellengleichung der Elektrodynamik u¨ ber.

7.7

Paradoxa

Die Spezielle Relativit¨atstheorie wurde oft durch scheinbare Widerspr¨uche in Frage gestellt. Bei richtiger Interpretation der Ergebnisse l¨osen sich diese Paradoxa jedoch auf. Das bekannteste Paradoxon ist das Zwillingsparadoxon.

7.7.1 Zwillingsparadoxon Zwei Zwillinge stehen bei t0 = 0 am Ursprung. Der eine bleibt dort, der andere steigt in eine Rakete und fliegt mit v = βc f¨ur eine Zeit t los und kehrt dann p um. Der bewegte Zwilling II hat wegen der Zeitdilatation die Eigenzeit τII = t 1 − β2 < t. Er bleibt also j¨unger als der ruhende Zwilling (τI = t). Im Bezugssystem von II sieht die Sache genau umgekehrt aus. Demnach m¨ußte I j¨unger bleiben! t

BI

B II

I

t

II II

I x

x

Aufl¨osung: Zwilling II wird beschleunigt, so dass es kein Inertialsystem gibt in dem er ruht. Die paradoxe Situation entsteht daher gar nicht erst. In der Tat kann f¨ur einen beliebigen Beobachter in einem beliebigen Bezugssystem die Eigenzeit (=invariant) eindeutig berechnet werden (Gleichung (7.6))

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

100

7.7.2

Maßstab-Paradox

Eine Stange der (Ruhe-)L¨ange L n¨ahert sich mit β = ge¨offneten Garage der Ruhel¨ange L/2. β

√

3/2 (⇐⇒ γ = 2) einer

L/ 2

L Garage

Im Bezugssystem der Garage ist die Stange auf L/γ = L/2 verk¨urzt und sollte in die Garage passen. Man sollte also die Garagent¨ur in dem Moment schließen k¨onnen, in dem das vordere Ende der Stange die R¨uckwand der Garage ber¨uhrt. Im Bezugssystem der Stange erscheint die Garage jedoch auf L/2 · 1/γ = L/4 verk¨urzt. Die T¨ur sollte also nicht geschlossen werden k¨onnen. Aufl¨osung: Schließen“ und vorne Anstoßen“ sind nur im Bezugssystem der ” ” Garage gleichzeitig, weil sie in diesem System ausgef¨uhrt werden. Im System der Stange beginnt der Ablauf des Geschehens damit, dass die Stange vorne anst¨oßt. Die Information dar¨uber breitet sich (maximal) mit Lichtgeschwindigkeit aus. Bis zum Ende der Stange hat das Signal die Distanz L zur¨uckgelegt. Von der Garagent¨ur bis zum Ende der Stange hat das T¨ure schließt sich“-Signal aber nur ” 3/4L zur¨uckzulegen. In Gleichungen: Garage Stange u

L

v x

L/ 2

y

Seien R0 das Ruhesystem der Stange und R das der Garage. =⇒uµ0 = (u00 , 0, 0, 0) ; xµ = (x0 , 0, 0, x3 ) ; β=

√

0

vµ0 = (v0 , 0, 0, L) L yµ = (y0 , 0, 0, x3 + ) 2

3/2, γ = 2, Lorentz-Transformation: a0 = γa00 + βγa30 ; a3 = γa30 + βγa00 √ √ √ =⇒ uµ = (2u00 , 0, 0 3u00 ) ; vµ = (2v00 + 3L, 0, 0, 2L + 3v00 )

101

7.7. PARADOXA Event ①: Stange st¨oßt an ⇐⇒ v3 = y3 , v0 = y0 Event ②: T¨ure zu ⇐⇒ x0 = y0 am Ort x3 √ √ L ① =⇒ 2v00 + 3L = y0 ; 2L + 3v00 = x3 + 2 √ 2 3 1 ② L =⇒ y0 = √ x3 = x0 =⇒ v00 = √ x3 − 2 3 3 2 L 2 =⇒ yµ = ( √ x3 , 0, 0, x3 + ) = vµ ; xµ = ( √ x3 , 0, 0, x3 ) 2 3 3 R¨ucktransformation:

√ √ 3 √ 0 1 3 3 3 =⇒y = v = (2y − 3(x + L/2), 0, 0, 2x + L − 3y ) = ( √ x − L, 0, 0, L) 2 3 1 xµ0 = ( √ x3 , 0, 0, 0) 3 µ0

µ0

0

√

3 fr¨uher. Bis die T¨ure an xµ0 zuschl¨agt (Event ②) fliegt die Garage 2 L √ √ noch um y00 ·β = 23 L· 23 = 34 L weiter. Das ist genau die L¨ange, um die die Garage

=⇒ y00 ist um

bei Vernachl¨assigung der Zeitunterschiede zu kurz erscheint.

7.7.3

Wie sieht ein bewegtes Objekt aus?

Auf Grund der Lorentz-Kontraktion w¨urde man erwarten, dass ein bewegtes Objekt f¨ur einen ruhenden Beobachter in Bewegungsrichtung gestaucht aussieht.

⇓

⇓

⇓

⇓

Dies ist tats¨achlich nicht der Fall. Die Objekte wirken gedreht! Der Grund ist, dass Licht von weiter entfernten Punkten l¨anger braucht, um das Auge des Beobachters zu erreichen. Beispiel: Ein Rechteck bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = βc in zRichtung. Der Beobachter ist in x-Richtung so weit entfernt, dass die Lichtstrahlen als parallel angenommen werden k¨onnen:

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

102 z

a

d La

v b

Lc

c x

Im Ruhesystem R0 des Rechtecks gilt aµ0 = (a00 , 0, 0, La ) ;

bµ0 = (b00 , 0, 0, 0)

cµ0 = (c00 , Lc , 0, 0) ;

d µ0 = (d 00 , Lc , 0, La )

Lorentz-Transformation: γ  0 µ Λ ν (β) =  0 βγ 

0 1 0 0

 0 βγ 0 0  1 0 0 γ

aµ = (γa00 + βγLa , 0, 0, γLa + βγa00 ) bµ = (γb00 , 0, 0, βγb00 ) cµ = (γc00 , Lc , 0, βγc00 ) d µ = (γd 00 + βγLa , Lc , 0, γLa + βγd 00 ) Der Einfachkeit halber wurde hier b00 = 0 gesetzt. Die Punkte a und b haben denselben Abstand vom Auge, die von ihnen ausgehenden Lichtstrahlen kommen also gleichzeitig an, wenn sie gleichzeitig ausgesandt werden =⇒ a0 = b0 . Die Punkte c und d sind um Lc weiter weg. Das Licht muss entsprechend um ∆t = Lc /c fr¨uher ausgesandt werden, um gleichzeitig beim Auge anzukommen =⇒ c0 = d 0 = a0 − Lc . b0 = γb00 = 0 =⇒ b0 = a0 = 0 c0 = d 0 = −Lc =⇒ γc00 = −Lc γd 00 = −Lc − βγLa γa00 = −βγLa 1 =⇒ a3 = γLa − β2 γLa = La γ La d3 = − βLc γ

103

7.7. PARADOXA La ) γ bµ = (0, 0, 0, 0) cµ = (−Lc , Lc , 0, −βLc ) La d µ = (−Lc , Lc , 0, − βLc ) γ aµ = (0, 0, 0

Auf die Netzhaut des Beobachters werden die x3 -Koordinaten projiziert: x3 a d

La γ La γ

_βL

c

b 0 c _ β Lc

Das ist dasselbe Bild, das sich in der Euklidischen Geometrie von einem Rechteck ergibt, das um den Winkel α = arcsin(β) gedreht ist: a cos α La =

La

La γ

_ sin α L = _ β L c c

d α

b

Lc c

104

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

Kapitel 8 Ein kleiner Ausblick 8.1

Allgemeine Relativit¨atstheorie

Die Spezielle Relativit¨atstheorie behandelt die folgende Situation: • Inertiale Beobachter • Minkowski-Raum, d. h. keine Gravitation Die Allgemeine Relativit¨atstheorie erweitert beide Punkte. Die bedeutendsten Unterschiede zur Speziellen Relativit¨atstheorie sind: • Es gibt keine globalen Bezugssysteme mehr • Die Raumzeit ist gekr¨ummt Die mathematische Grundlage ist die Invarianz unter beliebigen Koordinatentransformationen (d. h. nicht nur Lorentz-Transformationen): der Natur ist es egal, mit welchen Koordinaten wir sie beschreiben. Der Begriff der Tensoren (Aµ0 = ∂xµ0 ν ¨ bernommen werden, ebenso ds2 und die Eigenzeit. ∂xν A ) kann direkt u Beispiel Zylinderkoordinaten: x0 = x00

,

x3 = x30

,

x1 = r cos ϕ 105

,

x2 = r sin ϕ

106

KAPITEL 8. EIN KLEINER AUSBLICK

Die Koordinaten sind keine kontravarianten Vektoren mehr! ∂xµ ∂xν ds2 = ηµν α0 β0 dxα0 dxβ0 ∂x  0 ∂x  ∂x ∂x0 ∂xi ∂xi = − α0 β0 dxα0 dxβ0 α0 β0 ∂x ∂x ∂x ∂x α0 00 x = (x , r, ϕ, x30 )   1 0 0 0 0 cos ϕ −r sin ϕ 0 ∂xµ  =⇒ α0 =  0 sin ϕ r cos ϕ 0 ∂x 0 0 0 1  1 2  2 2 ! ∂x ∂x =⇒ ds2 = (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2 + ∂r ∂r !  1 2  2 2  1 1  ∂x ∂x ∂x ∂x2 ∂x2 ∂x 2 − dϕ + − 2dr dϕ + ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂r
= (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2 cos2 ϕ + sin2 ϕ
− dϕ2 r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ − 2dr dϕ (−r sin ϕ cos ϕ + r cos ϕ sin ϕ) = (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2 − r2 dϕ2 = gαβ (xµ0 )dxµ0 dxν0  1 0 0  0 −1 0 gαβ (xµ0 ) =  0 0 −r2 0 0 0

 0 0  0 1

⇐⇒ ηµν wird im Allgemeinen durch einen koordinatenabh¨angigen Tensor gαβ (x) (= Metrik) ersetzt! ¨ Die Gravitation wird durch das Aquivalenzprinzip eingef¨uhrt: 2 SRT: E = mt c mt = tr¨age Masse, d. h. die Masse, die in mt~x¨ = ~F vorkommt. s ms = schwere Masse, d. h. der Faktor, der im NewNewton: FGrav = −G Mm r2 tonschen Gravitationsgesetz vorkommt In der Newtonschen Mechanik gilt zuf¨alligerweise“ ms = mt , in der Allge” ¨ meinen Relativit¨atstheorie wird dies gefordert. ⇐⇒ Aquivalenz von tr¨ager und schwerer Masse. Aus E = mc2 folgt, dass auch Energie Gravitation verursacht und somit Teil¨ chenbahnen a¨ ndert. Die Idee ist nun, diese Anderung durch eine gekr¨ummte Raumzeit zu beschreiben:

107

8.2. QUANTENELEKTRODYNAMIK Minkowski−Raum

gekrümmter Raum

Teilchenbahn

Die Kr¨ummung kann ebenfalls durch die Metrik gαβ (x) beschrieben werden. Beispiel: F¨ur x00 = r = const. beschreibt obiges ds2 den zweidimensionalen Raum einer Zylinderoberfl¨ache. Einstein fand eine Differentialgleichung (Rµν = κTµν ), die beschreibt, wie Energie bzw. Masse den Raum kr¨ummt (sehr kompliziert!). Die L¨osungen beschreiben schwarze L¨ocher, Big Bang, . . . ¨ Beispiel: gµν = diag(1, −a(t), −a(t), −a(t)) beschreibt die zeitliche Anderung der r¨aumlichen Maßst¨abe ⇐⇒ Big Bang (a → 0 f¨ur t → 0). Bezugssysteme k¨onnen nicht mehr global definiert werden, da im gekr¨ummten Raum im Allgemeinen keine geraden“ Linien mehr existieren. ”

8.2

Quantenelektrodynamik

Die Elektrodynamik war nicht nur die erste Lorentz-invariante Theorie, sie wurde auch als erste quantisiert: Planck stellte 1900 die Hypothese auf, dass die Strahlung in Quanten der Energie ~ω auftritt. Viel sp¨ater (Ende der 20er Jahre) wurde eine Vielteilchen“-Theorie f¨ur die” se Quanten aufgestellt, die Quantenelektrodynamik (QED). Man kann allgemein zeigen, dass eine quantenmechanische Vielteilchen-Theorie f¨ur Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) beschrieben werden kann durch Operatoren aˆl , die formal dieselben Kommutator-Relationen erf¨ullen wie der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik, [aˆl , aˆ†m ] = δlm (l, m = Satz von Quantenzahlen). In der Quantenelektrodynamik (QED) wird dann z. B. das elektrische Feld ersetzt durch den Feldoperator s ~ωk ~ ˆ x) = ~E(~ ∑ ∑ aˆ~k,σ~ε(~k, σ)eik~x 2 0V + h. c. ~ σ=1,2 ∋

k

(V = Quantisierungsvolumen). F¨ur die Feldenergie ergibt sich dann der Operator   Z   1 0 ˆ ˆ † 2 2 2 3 ~E (~x) + c ~B (~x) d x = ∑ ~ωk aˆ aˆ~ + H= ~k,σ k,σ 2 2 ~ ∋

k,σ

108

KAPITEL 8. EIN KLEINER AUSBLICK

wie bei einer Summe harmonischer Oszillatoren. H spielt die Rolle des HamiltonOperators f¨ur freie Photonen. Bedeutung der Operatoren: aˆ~† erzeugt ein Photon k,σ mit Wellenvektor ~k und Polarisation ~ε(~k, σ). Aus dem Feldoperator ~Eˆ kann man ablesen, dass das Photon die r¨aumliche Modenfunktion s ~ωk ~ ~ε(~k, σ)eik~x 2 0V ∋

hat. Darin ist die Wurzel ein Normierungsfaktor. aˆ~k,σ vernichtet ein solches Photon. Man rechnet damit wie beim harmonischen Oszillator: Grundzustand=Vakuum=|0i (kein Photon) (h0|0i = 1, d. h. |0i ist ein normierter Zustand, nicht die Zahl 0) 1-Photon-Zustand: aˆ~† |0i k,σ

2 Photonen in der selben Mode: aˆ~†2 |0i k,σ

2 Photonen in verschiedenen Moden: aˆ~†

aˆ† |0i k1 ,σ1 ~k2 ,σ2

Wie beim harmonischen Oszillator gilt: aˆ~k,σ |0i = 0 =⇒ Im Vakuum gibt es im Mittel kein E-Feld: s

~k,σ

~ωk + c. c. 2 0V ∋

~ ˆ x)|0i = ε h0|~E(~ ∑ (~k,σ)eik~x h0|aˆ~k,σ|0i

=0 Wohl aber gibt es Quantenfluktuationen:   ˆ † 2 ~ h0|E |0i = h0| ∑ aˆ~k,σ + · · · + aˆ~ + · · · ~k,σ

k,σ

∑



~k0 ,σ0

aˆ~k0 ,σ0 + · · · + aˆ~†0 0 + · · · k ,σ

=∑

∑ · · · h0|aˆ~k,σaˆ~†k0,σ0 |0i

=∑

∑ · · · h0|aˆ~†k0,σ0 aˆ~k,σ + [aˆ~k,σ, aˆ~†k0,σ0 ] |0i

~k,σ~k0 ,σ0

~k,σ~k0 ,σ0

= ∑ · · · 6= 0 ~k,σ

|

{z

δkk0 δσσ0

}



|0i

109

8.2. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Das Vakuum hat also nur im Mittel kein elektrisches Feld. Die Quantenmechanik l¨aßt aber auf Grund der Unsch¨arferelation ∆E∆t ≥ ~ die kurzfristige Erzeugung von Photonen ”aus dem Nichts” zu. Deshalb verschwindet der Mittelwert von ~Eˆ 2 nicht, das elektrische Feld zeigt Vakuumfluktuationen. Die Quantenelektrodynamik beschreibt viele verschiedene Prozesse: • Paarerzeugung von e− und e+ (E = ~ω = 2me c2 ) • Spontane Emission von Atomen (wg. Vakuumfluktuationen) • Absorption und Emission von Photonen • Casimir-Kr¨afte, die aus der Vakuum-Energie herr¨uhren: ˆ h0|H|0i = ∑ ~ωk ~k,σ

1 2

Ver¨andert man (durch Spiegel, Dielektrika, . . . ) die ωk , so a¨ ndert sich dieser Wert. Da diese Ver¨anderung vom Abstand der Spiegel abh¨angt, ergibt sich eine anziehende Kraft zwischen den Spiegeln (= Casimir-Kraft). • usw. usf.

110

KAPITEL 8. EIN KLEINER AUSBLICK

Kapitel 9 Formelsammlung ¨ die Einige Rechenregeln, insbesondere fur δ-Distribution

9.1

δii δi j εi jk εi jk εi jk εi jk εl jk εi jk εlmk Z

= = = = =

3 0 6 2δil δil δ jm − δim δ jl

f (x)δ(x − y) dx = f (y)

Z

f (x)

n dn nd f δ(x − y) dx = (−1) dxn dyn dΘ(x − y) = δ(x − y) dx δ(x − xn ) δ( f (x)) = ∑ 0 n | f (xn )|

Z ∞

mit f (xn ) = 0, f 0 (xn ) 6= 0

dkeikx = 2πδ(x)

−∞

1 P = ∓iπδ(x) + ε→0 x ± iε x lim

Z ∞ 0

dke±ikx = πδ(x) ± i

mit P = Hauptwert unter einem Integral u¨ ber x

P x

Man sollte allgemein nicht vergessen, dass die δ-Distribution eigentlich nur unter einem Integral definiert ist. Entsprechend sind alle Gleichungen zu lesen (insbesondere solche, in denen der Hauptwert auftaucht). 111

112

9.2 9.2.1

KAPITEL 9. FORMELSAMMLUNG

¨ Nablakalkul Vektoridentit¨aten rot rot ~R = ∇div ~R − ∆~R rot grad φ = 0 div rot ~B = 0

9.2.2

Gaußscher Satz Z

div ~R d 3 x =

ZZ

∂V

V

9.3.2

~Rd~s

(9.5)

Satz von Stokes Z

rot ~R d~s =

I

A

9.3.3

(9.4)

Integrals¨atze 0

9.3.1

(9.3)

Laplaceoperator in Kugelkoordinaten     1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 ∂ ∆= 2 r + 2 sin ϑ + 2 2 r ∂r ∂r r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2

9.3

(9.1) (9.2)

∂A

~Rd~x

(9.6)

Greensche Integrals¨atze

Erste Greensche Identit¨at Z V

˜ + ∇φ˜ · ∇Ψ) ˜ d3x = ˜ Ψ (φ∆

I ∂V

˜ d~s ˜ Ψ φ∇

(9.7)

Zweite Greensche Identit¨at Z V

(φ∆Ψ − Ψ∆φ) d x = 3

I ∂V

(φ~n∇Ψ − Ψ~n∇φ) ds

(9.8)

Literaturverzeichnis [1] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1968. Signatur: mat 3.90/ a17. [2] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg. Atomphoton interactions: basic processes and applications. John Wiley & Sons, Inc., 1998. Signatur: phy 214/ c64c. [3] Eugene Hecht. Optik. Addison Wesley Publishing Company, 1989, Nachdruck 1994. Signatur: phy 214/ c64c. [4] Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber. Quantum field theory. McGrawHill, New York, 1980. Signatur: phy 212/i98. [5] John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc., 2 edition, 1975. Signaturen: lbs 780/j12(2) und phy 182/ j12(2). [6] John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc., 3 edition, 1999. Signaturen: lbs 780/j12(3). [7] J.D. Bjorken und S.D. Drell. Relativistische Quantenfeldtheorie. B.I. Hochschultaschenb¨ucher Band 101, 1967. Abschnitt 14.5, Signatur: phy 212/ b76.

113

Index Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Symbole δ-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17 ¨ Aquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Optische Aktivit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

E Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe 94 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Eikonalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 76 Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Einsteinsche Summenkonvention . . . 1, 91 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 elliptisches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A ¨ Ather . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 88 ¨ Athertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Aktivit¨at optische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Allgemeine Relativit¨atstheorie . . . . . . . 109 Außerordentliche Wellen . . . . . . . . . . . . . 72 Außerordentlicher Stahl . . . . . . . . . . . . . . 72 Ausfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

F Fadenstr¨ome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Feldgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . 23 Feldst¨arke-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Fl¨achenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Forminvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Fresnelsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Fundamentalkr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Funktionalableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

B Besselfunktionen sph¨arische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Bezugsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Biot-Savart Gesetz von. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 69 Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 C Clausius-Mosotti-Gleichung . . . . . . . . . . 60 Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

G Galilei-Transformationen . . . . . . . . . . . . . 87 Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 116 geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 40 avancierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Entwicklung nach Kugelfl¨achenfunktionen 21 retardierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Greensche Identit¨at erste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 116 zweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 116 Greenscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

D d’Alembert-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 diamagnetisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 dielektrische Verschiebungsdichte . . . . . 46 Differentialgleichungen lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 nichtlineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Dipolkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Dirichlet-Randbedingung . . . . . . . . . . . . . 18 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

114

INDEX H Hamilton-Operator ¨ freie Photonen . . . . . . . . . . . . . . 112 fur Hamiltondichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Hankelfunktionen sph¨arische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 harte Ferromagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Helles Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Helmholtz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Hermite-Gauß-Strahlen . . . . . . . . . . . . . . 80 Hohlraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 I Impuls kanonisch konjugierter . . . . . . . . . . . . 8 kinetischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Impulsdichte kanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Indizes Heben und Senken der . . . . . . . . . . . 95 Inertialsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 K kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . . . 9 Kerr-Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . 103 Kontinuit¨atsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kontraktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 Kreisstr¨ome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kugelfl¨achenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 20 Orthogonalit¨atsrelation . . . . . . . . . . 21 Vollst¨andigkeitsrelation . . . . . . . . . . 21 L L¨angenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Laplaceoperator in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . 116 Lasermoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Laserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Legendre-Polynome assoziierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Levi-Civita-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 lichtartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lichtgeschwindigkeit

115 Invarianz der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Lichtstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Lorentz-Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Lorentz-Lorenz-Gleichung. . . . . . . . . . . .60 Lorentz-Transformationen . . . . . . . . 89, 91 M Maßstab-Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 magnetische Monopole . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Magnetische Quadrupolfalle . . . . . . . . . . 27 makroskopische Felder . . . . . . . . . . . . . . . 45 makroskopische Maxwell-Gleichungen 45 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kovarianz der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 110 minimale Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Modenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ¨ Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 fur Multipolmoment sph¨arisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 N Neumann-Randbedingung . . . . . . . . . . . . 18 Nichtlineare Optik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 O Optik geometrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ordentliche Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ordentlicher Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 P paramagnetisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 112 ¨ freie . . . . 112 Hamilton-Operator fur Poincar´e-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 positiv definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Potential skalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Vektor- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prinzip Fermatsches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

116

INDEX

Punktdipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Q Quadrupolfalle magnetische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . 5 Quantenfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . 112 R raumartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Rayleigh-L¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Relativit¨atstheorie allgemeine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 S Satz Greenscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Skalare Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Skalarpotential magnetisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Snelliussche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Soliton Helles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Stokes Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Strahl außerordentlicher . . . . . . . . . . . . . . . 72 ordentlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Stromdichte relativistische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Suszeptibilit¨at makroskopische . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 T TE-Felder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 kontravarianter . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 kovarianter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 TM-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 V Vector spherical harmonics . . . . . . . . . . . 44 Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Vierer-Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 100 Vierer-Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 99

Vierer-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Vierer-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Vierer-Sinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Vierer-Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Vierer-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 virtual cavity model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 W Wellen außerordentliche . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ordentliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Wellenfronten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Weltlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Wirbelfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Z zeitartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . 103