Experimentelle Untersuchungen zum Einfluss strömungsinduzierter Dehnfelder auf das Turbulenzverhalten viskoelastischer Flüssigkeiten
Von der Fakultät Ingenieurwissenschaften, Abteilung Maschinenwesen der Universität Duisburg – Essen, Campus Essen zur Erlangung des akademischen Grades
DOKTOR – INGENIEUR
genehmigte Dissertation
von
Torsten Dietmann aus Emmerich
Referent:
Prof. Dr.-Ing. habil. Bernhard Gampert
Korreferent:
Prof. Dr.-Ing. Ernst Schmachtenberg
Tag der mündlichen Prüfung: 27.03.2006
Berichte aus der Strömungstechnik
Torsten Dietmann
Experimentelle Untersuchungen zum Einfluss strömungsinduzierter Dehnfelder auf das Turbulenzverhalten viskoelastischer Flüssigkeiten
Shaker Verlag Aachen 2006
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Zugl.: Duisburg-Essen, Univ., Diss., 2006
Copyright Shaker Verlag 2006 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany.
ISBN-10: 3-8322-5100-6 ISBN-13: 978-3-8322-5100-0 ISSN 0945-2230 Shaker Verlag GmbH • Postfach 101818 • 52018 Aachen Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9 Internet: www.shaker.de • eMail:
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Inhaltsverzeichnis
1 2
3
Einleitung .......................................................................................................................... 1 Strömungsmechanische Grundlagen.............................................................................. 5 2.1 Turbulente Strömungen.............................................................................................. 5 2.2
Grundgleichungen zur Turbulenz............................................................................... 6
2.3
Reynoldssche Schubspannung ................................................................................... 8
2.4
Geschwindigkeitsverteilungsgesetz ........................................................................... 9
2.5
Bilanzgleichungen für die kinetische Energie.......................................................... 12
2.6
Turbulenzbeschreibung über die statistischen Momente ......................................... 13
2.7
Taylorsches Energiespektrum .................................................................................. 16
2.8
Wandnahe Strukturen der Turbulenz ....................................................................... 17
Grundlagen der Rheologie............................................................................................. 20 3.1 Normalspannungsverhalten widerstandsvermindernder Flüssigkeiten.................... 20 3.2
Rheologische Modelle.............................................................................................. 22
3.3
Grenzviskosität......................................................................................................... 23
3.4
Der Effekt der Widerstandsverminderung ............................................................... 24
3.5
Dehnviskositätsverhalten widerstandsvermindernder Flüssigkeiten ....................... 25
3.6
Der Konzentrationseinfluss auf die Widerstandsverminderung............................... 26
4
Eigenschaften von Polymeren ....................................................................................... 27 4.1 Lösungszustände von Polymeren und deren Eigenschaften .................................... 27
5
Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien ........................................................... 30 5.1 Das spannungsoptische Gesetz................................................................................. 30 5.2
6
7
8
Anwendungen zur optische Doppelbrechung .......................................................... 32
Verwendete Polymere .................................................................................................... 37 6.1 Charakterisierung von PRAESTOL 2300 ................................................................ 37 6.2
Herstellung der Polymerlösungen mit PRAESTOL 2300........................................ 37
6.3
Charakterisierung von Xanthan Gum....................................................................... 38
Rheooptik ........................................................................................................................ 39 7.1 Strömungsdoppelbrechung und Strömungsdichroismus .......................................... 39 7.2
Beschreibung der Polarisation.................................................................................. 43
7.3
Grundlagen zur Bestimmung der Doppelbrechung.................................................. 47
Messeinrichtung zur Bestimmung der Doppelbrechung............................................ 50 8.1 Entwurf des Versuchsaufbaus .................................................................................. 51
9 Ergebnisse der Dopppelbrechung................................................................................. 54 10 Laser- Doppler- Anemometry ....................................................................................... 61 10.1 Doppler-Effekt ......................................................................................................... 61
10.2
Interferenzstreifen-Modell ....................................................................................... 64
10.3
Messvolumen ........................................................................................................... 66
10.4
LDA- Signal ............................................................................................................. 68
10.5
LDA- Verfahren ....................................................................................................... 70
11 LDA – Zweikomponenten Messung ............................................................................. 72 11.1 Raten unabhängiger und abhängiger Ereignisse ...................................................... 74 12 Versuchsstand................................................................................................................. 78 12.1 Die bestehende Messstrecke..................................................................................... 78 13 Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung ....................................................... 81 13.1 Grundlagen der Messung ......................................................................................... 81 13.2
Messung ................................................................................................................... 84
13.3
Auswertung .............................................................................................................. 85
14 Zusammenfassung.......................................................................................................... 93 15 Literatur.......................................................................................................................... 95
Nomenklatur Die Maßeinheiten sind in eckigen Klammern hinzugefügt. Größen, bei denen diese Angabe fehlt, sind dimensionslos. Abkürzungen A A a AB AD Aj b BB BD c C c[K] c* d d dn/dc dh E E E1,E2 f I I0 IB ID IDC J k kB ki L l M M M
Amplitude Fläche Mark-Houwink-Exponent R2 bei Messung der Doppelbrechung R2 bei Messung des Dichroismus Amplitude Breite R1 bei Messung der Doppelbrechung R1 bei Messung des Dichroismus Konzentration Spannungs-optischer Koeffizient Überlappungsparameter kritische Konzentration Durchmesser Materialdicke Brechungsinkrement hydraulischer Durchmesser Energieniveau elektrische Feldstärke Entwicklungskoeffizienten Reibungsbeiwert Intensität Intensität des einfallenden Lichtes Intensität bei Doppelbrechung Intensität bei Dichroismus zeitunabhängiger Intensitätsanteil Jones-Matrix Wellenzahl Boltzmann-Konstante Relaxationskonstante Länge charakteristische Länge Müller-Matrix Moment Molmasse
Mw Mw/Mn N N n n’ n’’
Molmasse Molmasssenverteilung Anzahl Normalspannungsdifferenz Brechungsindextensor Realteil des Brechungsindextensor Imaginärteil des Brechungsindextensor
[%] [m2]
[Vm] [m]
>moll @ [Pa-1]
>moll @ [m] [m] [cm³g-1] [m] [eV] [Vm]
[V²m²]
[nm-1] [JK-1] [s-1] [m] [m] [Nm]
> @ > @ g mol g mol
[Pa]
n’ n’’ P p PEM RST S S(0) Si t T Tu t u V v w x y z Re iˆ, ˆj W kx,ky u´ v´ w´
Brechungsindex Abschwächungsindex Polymerisationsgrad Druck Photo-elastischer Modulator Reynoldscher Spannungstensor Stokes-Vektor Amplitudenfunktion Komponenten des Stokes-Vektors Zeit Turbulenzintensität Turbulenzgrad Zeit Geschwindigkeit in x-Richtung Volumen Geschwindigkeit in y-Richtung Geschwindigkeit in z-Richtung Ortskoordinate, Richtung der Referenzachse Ortskoordinate, orthogonal zur x-Richtung Ortskoordinate, Fortpflanzungsrichtung des Lichtes Reynoldszahl orthogonale Basisvektoren absorbierte Energie Extinktionskoeffizienten Geschwindigkeitsschwankungen in u Richtung Geschwindigkeitsschwankungen in x Richtung Geschwindigkeitsschwankungen in z Richtung
[Pa]
[s]
[s] [m/s] [m3] [m/s] [m/s] [m] [m] [m] [-] [-] [J] [-] [m/s] [m/s] [m/s]
Griechische Symbole D F G G G’ 'n’’ 'n’ ) I J J ' G H H K K0 KD KLM Ksp [K] O P Ĭ ĬB ȁ ȡ V V11 V12 V22 V33 W W \ Ȟ Z ȡ
Polarisierbarkeit Orientierungswinkel des Spannungsellipsoids Phasenbeziehung Phasenverschiebung Phasendifferenz Strömungsdichroismus Strömungsdoppelbrechung Partikelanteil Doppelbrechungsorientierungswinkel Scherung Scherrate Differenz Phasendifferenz Dehnung Dehnrate/Dehngeschwindigkeit Viskosität Ruhescherviskosität Dehnviskosität Viskosität des Lösungsmittel spezifische Viskosität Grenzviskosität Wellenlänge Reibkoeffizient Schnittwinkel Einfallswinkel Photomultiplayer Rohrwiderstandsbeiwert Dichte Normalspannung 1.Normalspannung Schubspannung 2.Normalspannung 3.Normalspannung Schubspannung Relaxationszeit Normalspannungskoefficient kinematische Viskositöt charakteristische Geschwindigkeit Dichte
[m³] [°]
[m]
[°] [°] [s-1] [-] [m] [-] [s-1] [Pa s] [Pa s] [Pa s] [Pa s] [Pa s] [nm] [-] [°] [°] [-] [Kg/m3] [Pa] [Pa] [Pa] [Pa] [Pa] [Pa] [s] [Pa s] [Pa s] [m/s] [Kg/m3]
Indizes
0 1 2 A BD c* D dyn ED I LM max min spez stat W wppm
Anfang erste zweite außerhalb Dehnung biaxial kritische Konzentration Dehnung uniaxial dynamisch Dehnung planar innerhalb Lösungsmittel Maximum Minimum spezifisch Statisch / in Ruhe Wand weight parts per million
Einleitung
1
1 Einleitung Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die Dehnraten in der turbulenten Kanalströmung von Polymerlösungen zu messen. Derartige Messungen sind nach dem Kenntnisstand des Verfassers bisher noch nie durchgeführt worden. Sie sind aber für das Verständnis des Turbulenzverhaltens von Polymerlösungen sehr wichtig, da in den Erklärungshypothesen für das besondere Strömungsverhalten von Polymerlösungen die Dehnviskosität eine Schlüsselrolle spielt und deren Größe von der Dehnrate abhängt. Bekannt ist, dass die Beigabe von sehr geringen Mengen (z.B. < 100ppm nicht-ionogenes Polymers) an Polymeren die Scherviskosität eines Newtonschen Fluids nur geringfügig ändert, während die Dehnviskosität um mehrere Größenordnungen vergrößert werden kann siehe u.a. [(Laun u. Münstedt 1978), (Gampert,Wagner 1982), (Eich 1999)]. Diese niedrig konzentrierte Polymerlösung die bei einer turbulenten Rohrströmung eine Reduzierung des Strömungswiderstandes von bis zu etwa 80% [Wagner 1984] ergibt, erfährt bei der laminaren Porenströmung nach [(Marschall u. Metzner 1967), (Kulicke 1984)], die durch eine schleichende Strömung in Kugelschüttungen realisiert werden kann, einen Widerstandsanstieg um etwa eine Größenordnung. Marschall und Metzner erkannten, dass die auftretenden viskoelastischen Effekte bei der laminaren Porenströmung und die durch die Polymere verursachte Widerstandserhöhung mit der speziellen Beanspruchungsart, d.h. Dehnströmungsstruktur dieser Geometrie, korreliert. Aufgrund der Größenordnung der Polymereffekte bei der Widerstandsreduzierung bzw. bei der Widerstandserhöhung kommt eine Erklärung dieser Phänomene durch das strukturviskose Verhalten, d.h. die Berücksichtigung der vom Schergradienten abhängigen Viskosität, bei derartigen Polymerlösungen nicht in Frage. Insbesondere der starke Widerstandsanstieg bei der laminaren Porenströmung kann nicht durch eine Abnahme der Viskosität bei Scherströmung erklärt werden, da die beobachteten Effekte hier viskositätserhöhenden Charakter zeigen. Ferner treten die Strömungsanomalien bei sehr niedrigen Konzentrationen auf, bei denen die Lösungsviskosität kaum verschieden von der Lösungsmittelviskosität ist. Bei der Betrachtung solcher hochverdünnten Polymerlösungen im turbulenten Rohrströmungen kann als wesentliches Ergebnis festgestellt werden, dass im Produktionsbereich der kinetischen Energie der Turbulenz lokale Dehnfelder mit z.T. hoher Intensität vorliegen müssen. Ein weiteres Ergebnis ist der Einfluss der Re-Zahl auf die wandnahen Instabilitäten. Bei vorgegebener Geometrie steigt mit zunehmender Re-Zahl die Zahl und die Intensität der Ejection-Erscheinungen an[Yong 1988]. Messungen des Geschwindigkeitsprofils [Wagner 1984]
Einleitung
2
erlauben den Schluss, dass sich die Wirkung der Polymeradditive im wesentlichen auf den wandnahen Bereich (ausgenommen bei maximaler WV, bei der der Übergangsbereich sich bis zur Rohrmitte ausdehnt [Virk 1974]) beschränkt, was mit den Ergebnissen von Wells [Wells 1967] u.a. in Einklang ist. Die Existenz von wandnahen kohärenten Strukturen, die beim Burstvorgang auftreten sind, liefert, wie gerade erläutert, einen Ansatz zur Erklärung des Widerstandverminderungseffektes u.a. [Gyr 1989][Hoyer, Gyr 1996][Durst, Haas, Intertahl 1982][Gamper, Wagner 1984] [Gampert, Yong 1990]. Beim Burstvorgang treten Wirbelstrukturen auf, die Dehn- und Stauvorgängen unterworfen sind. Die wahrscheinlich erhöhte Dehnviskosität der Polymerlösung behindert den Burstvorgang und führt unter anderem zu einer reduzierten Turbulenzproduktion [(Gampert, Delgado1985), (Wagner 1984), (Gampert, Yong 1991), (Gampert, Rensch 1996)]. Die Erhöhung der Dehnviskosität wird vermutlich durch die Ausrichtung und Streckung der Makromoleküle erreicht [Gampert, Eich 1998]. Experimente von Fuller und Leal [Fuller und Leal 1980] mit einer Vier-Rollen-Anordnung mit PS-Standardproben (8,42 * 106g/mol M w / M n 6
4,48 * 10 g/mol M w / M n
1,17 und
1,14 ), wie sie auch in der Arbeit von Wagner [Wagner 1984] be-
nutzt wurden, dokumentieren eindrucksvoll den Einfluss des Beanspruchungsfeldes auf die Wirkung der Moleküle. Fuller und Leal zeigten dass mit zunehmendem Dehn- und abnehmenden Scheranteil im Deformationsfeld die Dopplebrechung und damit die Ausrichtung und Streckung der Moleküle steigt. Durch diese Experimente wird die Notwendigkeit einer Dehnbeanspruchung bei verdünnten Polymerlösungen für eine Ausrichtung und Streckung der Moleküle bestätigt. Durch Spannungen, welche in einer Strömung bei der Bildung von Kinetischer Energie der Turbulenzen hervorgerufen werden, werden die kugelähnlichen Polymerknäule ausgerichtet und gestreckt. Laut der bisher bekannten Ergebnisse u.a. [(Fuller u. Leal 1980), (Gampert, Delgardo 1985), (Gampert, Wagner 1982) ,(Rensch 2001)], ist eine Mindestspannung zur Ausrichtung der Moleküle und damit zur Verringerung des Strömungswiderstandes notwendig. Die Moleküle reagieren nicht sofort auf jeden Versuch sie zu dehnen. Vielmehr muss eine ausreichend starke Dehnströmung vorliegen, um zu einer Dehnung des Polymermoleküls zu führen. Wichtige Ergebnisse in diesem Bereich lieferten u.a.[(Fuller u. Leal 1980), (Eich 1999), (Bialas 2005)], die nachfolgenden Ergebnisse der erhöhten Dehnviskosität wässriger Polymerlösungen, werden benutzt um Aufschlüsse über die Widerstandsverminderung zube-
Einleitung
3
kommen. In dieser Arbeit soll nun versucht werden, die drastische Veränderung der Strömungseigenschaften durch Dehnfelder ausreichender Intensität messtechnisch zu erfassen. Um überhaupt über Dehnviskositäten sprechen zu können, müssen wir uns fragen, wo in einer ausgebildeten turbulenten Kanalströmung Dehnung auftritt? Die wichtigsten Elemente in der turbulenten Grenzschicht sind paarweise gegensinnig rotierende Längswirbel[(Gyr 1976), (Durst, Haas, Intertahl 1982)]. Man vermutet gerade dass hier es zu einer für eine Streckung der Polymermoleküle ausreichenden Dehnrate kommen kann, eine weiter Vermutung betrifft den Burst-Vorgang, bei dem wandnahes Fluid in die turbulente Kernströmung transportiert wird. Diese Längswirbel der Burstvorgänge können also solche Dehnbereiche sein, in welchen die erhöhte Dehnviskosität wirksam sein kann. Von der Seite der Strömung kann der Effekt der Widerstandsverminderung durch eine Erhöhung der Reynoldszahl erreicht werden, die zu größeren Scher- und Dehngeschwindigkeiten führt. Tatsächlich ist für das Einsetzen der Widerstandsverminderung eine Überschreitung der kritischen Wandschubspannung nötig u.a.[Gampert, Delgado 1985]. Um nähere Informationen über das Verhalten von Makromolekülen in einer turbulenten Kanalströmung zu bekommen, sind zum einen rheooptische Messungen und zum anderen Zweipunktmessungen mit Hilfe der Laser – Doppler – Anemometrie in der vorliegenden Arbeit gemacht worden. Zur Realisierung der messtechnischen Erfassung einer „Dehnung“, wurde eine zweite Sonde in die bestehende Versuchsanlage implementiert und das Messsystem für die durchzuführenden Versuche konfiguriert. Die Versuchsanordnung soll anstelle von 2D-Messungen (u,v – Komponente) ausschließlich mit beiden Sonden gleichzeitig die Hauptströmungskomponente u messen. Dazu sind die resultierenden Messvolumina in verschiedenen Positionen, von annähernd identischer Überlagerung (zur Kalibrierung) bis zur Verschiebung um einen definierten Messvolumenabstand angeordnet. Damit sollen neben korrelativen Untersuchungen der Hauptgeschwindigkeitskomponente u auch Untersuchungen durchgeführt werden, um Aussagen treffen zu können, die auf eine mechanische Beanspruchung hindeuten. Es stellt sich die Frage, ob bei möglichem relaxierenden Verhalten der Makromoleküle eine Geschwindigkeitsänderung zu erfassen ist. Zusätzlich sollen rheooptische Messungen einen tieferen Einblick in das viskoelastische Verhalten der Polymerfluide geben. Die rheooptische Messmethode erlaubt eine Interpretation des Fließverhaltens eines Polymerfluides über das durchschnittliche Verhalten von einzelnen Segmenten oder Aggregaten im Beanspruchungsfeld. Aus der rheooptisch zu detektierenden
Einleitung
4
Doppelbrechung 'nc und deren Orientierung I zum Beanspruchungsfeld lassen sich Eigenschaften des Polymerfluides in der Strömung ableiten. Für die Messungen wurden zwei unterschiedliche Typen von wasserlöslichen Polymeren ausgewählt, die schon aus vorangegangenen Arbeiten [Eich 1999, Wilkes 2005, Bialas 2006] bekannt sind. Als synthetisches, technisches und wasserlösliches Polymer wurde ein reines nicht-ionogenes Polyacrylamid (PAAM) ausgesucht. Als zweites wurde ein Biopolymer Xanthan gewählt .
Strömungsmechanische Grundlagen
5
2 Strömungsmechanische Grundlagen 2.1 Turbulente Strömungen Turbulente Strömungen werden nach Rotta (1972) [Rotta 1972] durch folgende Merkmale beschrieben:
x Turbulente Strömungen verlaufen unregelmäßig, x Turbulente Strömungen sind Wirbelströmungen, x Turbulente Strömungen sind dreidimensional, x Turbulente Strömungen sind instationäre Strömungen
Um die Gesetzmäßigkeiten der ausgebildeten turbulenten Strömung beschreiben zu können, werden die zeitlichen Mittelwerte der turbulenten Bewegung erfasst, was eine quasi-stationäre Betrachtung der instationären Bewegung möglich macht. Bei näherer Betrachtung einer turbulenten Strömung ergibt sich, dass in einem festgehaltenen Raumpunkt die Geschwindigkeit und der Druck nicht zeitlich konstant sind, sondern sehr unregelmäßige Schwankungen von hoher Frequenz aufweisen. Die Flüssigkeitselemente, die Bewegungen mit SchwankungsGeschwindigkeiten in und quer zur Hauptströmung ausführen, sind nach Jischa [Jischa 1982] nicht etwa die einzelnen Moleküle wie in der kinetischen Gastheorie, sondern makroskopische mehr oder weniger kleine „Flüssigkeitsballen“. Bei der Kanalströmung betragen diese Flüssigkeitsschwankungen zwar nur wenige Prozent der mittleren Geschwindigkeit, sind aber trotzdem von ausschlaggebender Relevanz.
Eine Methode um eine turbulente Strömung mathematisch darstellen zu können, besteht darin die turbulente Bewegung in eine mittlere Bewegung und eine Schwankungsbewegung aufzuteilen. In den weiteren Kapiteln werden die zeitlichen Mittelwert der Geschwindigkeit u mit
u und die Schwankungsgeschwindigkeiten mit u' bezeichnet.
Strömungsmechanische Grundlagen
6
2.2 Grundgleichungen zur Turbulenz Die turbulente Strömung eines inkompressiblen, Newtonschen Fluides wird vollständig durch das folgende System aus Kontinuitätsgleichung und Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben: wu i wxi
0
wu wu i uj i wx j wt
Gl. 2-1
1 wp w ª wu i º Q » « wx j ¬« wx j ¼»
U wxi
Gl. 2-2
U, Q = const
Läge eine geschlossene anaylytische Lösung des Gleichungssystems vor, wäre man in der Lage, das Strömungsverhalten sowohl räumlich als auch zeitlich vorauszusagen. Einerseits können analytische Lösungen wegen des nichtlinearen Charakters der Navier-StokesGleichungen nur für Sonderfälle angegeben werden, und andererseits ist der Ingenieur in vielen Fällen weniger an dem augenblicklichen Verhalten des turbulenten Strömungsfelders interessiert als vielmehr an mittleren Werten der Strömungsgrößen. Es wird deshalb eine Vorstellung zugrundegelegt, wonach sich eine turbulente und im Mittel stationäre Strömung aus einer zeitlich konstanten Hauptströmung und einer überlagernden, zeitlich fluktuierenden Strömung zusammensetzt, [O.Reynolds 1895]. Danach besteht eine Strömungsgröße a aus einem zeitunabhängigen Mittelwert und einem zeitlich veränderlichen Schwankungswert
a(t )
a a c(t )
Gl. 2-3
Durch Einführung dieser Größen und durch zeitliche Mittelung über die gesamte Gleichung lässt sich das obige Gleichungssystem für statistisch stationäre Strömungen in die so genannte Reynoldssche Formulierung überführen:
Strömungsmechanische Grundlagen wu i wxi
uj
wu i wx j
0
7
Gl. 2-4
_______ 1 wp 1 w ª wu i c cº «K U ui u j » U wxi U wx j « wx j »¼ ¬
Gl. 2-5
U, P = const
Dieses Gleichungssystem enthält zusätzliche turbulente Spannungsterme, die im sogenannten Reynoldsschen Spannungstensor (RST) zusammengefasst werden
___
____
u c²
u cv c u cwc
____
RST
U u cv c _____
_____
___
_____
v c²
v cwc
_____
u cwc v cwc
Gl. 2-6
____
wc²
Hierin sind die üblichen Bezeichnungen für die axiale ( u – Hauptströmungsrichtung), die transversale (v – senkrecht zur Wand) und die laterale (w – senkrecht zur Hauptströmungsrichtung und parallel zur Wand) Geschwindigkeitskomponenten bereits verwendet. Ebenfalls berücksichtigt ist die symmetrische Natur des RST.
Im Gleichungssystem sind keine zeitabhängigen Terme vorhanden. Dieser Vorteil wird aber mit der Unterbestimmtheit des Gleichungssystems erkauft. Die Notwendigkeit der Formulierung von sechs zusätzlichen Bedingungen stellt das Schließungsproblem der Turbulenz dar, das auf halbempirischem Wege gelöst werden muss.
Strömungsmechanische Grundlagen
8
2.3 Reynoldssche Schubspannung Die Schubspannung W setzt sich aus einem molekularen Anteil der Schubspannung Kdu / dy _______
und einem turbulenten Anteil Uu cX c , entsprechend der nachfolgenden Gleichung, zusammen.
W
K
du _______ Uu cX c dy
Gl. 2-7
_______
Der turbulente Anteil der Schubspannung Uu cX c wird auch als Reynoldssche Schubspannung oder als Tangentialspannung bezeichnet und beschreibt den Impulstransport von der Wand zur Kernströmung hin. An der Wand (y = 0 ) wird die maximale Schubspannung erreicht, welche als Wandschubspannung Ww bezeichnet wird. An der Wand wird die gesamte Schubspannung nur vom molekularen Anteil der Schubspannung Wmol aufgebracht. _______
Mit zunehmendem Wandabstand y gewinnt der turbulente Anteil der Schubspannung Uu cX c immer mehr an Bedeutung. Im gleichen Maße nimmt die molekulare Schubspannung Wmol an Bedeutung ab. Nach Erreichen des Maximums nimmt die turbulente Schubspannung Wtur wieder ab. In der Kanalmitte ist die Schubspannung W null. Schümmer & Thielen [Schümmer & Thielen 1980], Gampert & Delgado [Gampert & Delgado 1985], Willmarth, Wie & Lee [Willmarth, Wie & Lee 1987] konnten zeigen, dass die Rey_______
noldssche Schubspannung Uu cX c bei widerstandsvermindernden Polymerlösungen deutlich gesenkt wurde. Es wir vermutet, dass die Polymer-Additive insbesondere durch eine Entkopplung der u’ – und v’ – Schwankungen einen verminderten Quertransport des Impulses verursachen, was u.a. durch die Arbeiten von [Gampert, Yong 1989] [Rensch 2001] bewiesen ist.
Strömungsmechanische Grundlagen
9
2.4 Geschwindigkeitsverteilungsgesetz Die dämpfende Wirkung der Viskosität auf die Geschwindigkeitsschwankungen führt dazu, dass in der direkten Wandnähe (y+ < 6) die so genannte viskose Unterschicht existiert. Diese Schicht ist im Verhältnis zum restlichen Turbulenzfeld sehr klein. Innerhalb der viskosen Unterschicht gilt für eine ausgebildete Kanalströmung:
wu wx
X
0 0
wp wx
Gl. 2-8
wW wy
mit W = Wmol + Wtur .
Die Reynoldsschen Gleichungen reduzieren sich somit zu:
______
1 wW U wy
w u cX c w ²u v wy wy ²
Gl. 2-9
Nach der Integration über y folgt aus Gl. 2-10:
W U
v
wu ______ u cX c wy
Gl. 2-10
______
Infolge der Haftbedingung der Flüssigkeit an der Wand ist u cX c = 0. Damit folgt aus Gl. 2-11 die Gl. 2-12 für die Wandschubspannung Ww.
Ww
K
wu wy
Gl. 2-11 y 0
Mit dem Ziel der Normierung von Geschwindigkeitsprofilen für verschiedene Strömungszustände wird die mittlere Strömungsgeschwindigkeit u entsprechend der Gl. 2-13 auf die
Strömungsmechanische Grundlagen
10
Wandschubspannungsgeschwindigkeit uW und der Wandabstand y auf die charakteristische Länge v/uW bezogen.
u
u uW
Gl. 2-12
y
y uW v
Gl. 2-13
Für die Wandschubspannungsgeschwindigkeit uW wird für unseren Rechteck-Kanal die folgende Gl. 2-14 aus den geometrischen Größen, Kanalhöhe H und –breite B, und dem experimentell ermittelten Druckverlust 'p pro Längeneinheit l berechnet.
uW
Ww U
uW
'p ( BH ) 2l ( B H ) U
2D – Kanal
Gl. 2-14
Die Integration der Gleichung (Gl. 2-11) führt bei Einführung der dimensionslosen Geschwindigkeit u+, und dem dimensionslosen Wandabstand y+, zu dem Geschwindigkeitsprofil innerhalb der viskosen Unterschicht:
u
y
Gl. 2-15
Strömungsmechanische Grundlagen
11
Dieser Zusammenhang ist bis zu Werten von y+ # 5 gültig. Mit zunehmendem Wandabstand y+ nehmen die Reynoldsschen Schubspannungen schnell an Bedeutung zu während die molekularen Schubspannungen ebenso so schnell abnehmen.
1
20
U+
W Ww
15
0.75
Pufferschicht log. Schicht 0.5
10
viskose Unterschicht maximale Turbulenzprodiktion 0.25
5
0
1
10
100
y+
0
ABBILDUNG 2-1: DATEN VON KIM ET AL., 1987
Das Geschwindigkeitsprofil im turbulenten Kernbereich y+ > 60 wird nach Prandtl und nach von Karman durch das so genannte „logarithmische Wandgesetz“ beschrieben [Jischa 1982]:
1 ln y C k
u
Gl. 2-16
Das mittlere Geschwindigkeitsprofil kann bei Newtonschen Fluiden in drei Bereiche aufgeteilt werden:
x
viskose Unterschicht 0 < y+ < 5
x
Übergangsschicht 5 < y+ < 60
x
Vollturbulente Schicht y+ > 60
Strömungsmechanische Grundlagen
12
2.5 Bilanzgleichungen für die kinetische Energie In isothermen Strömungen volumenbeständiger Flüssigkeiten sind Impuls- und Energiehaushalt entkoppelt und können daher gesondert betrachtet werden. Beim Fehlen thermischer Prozesse charakterisiert die mechanische Energie den Haushalt eines Turbulenzfeldes. Es lassen sich Transportgleichungen für die mittlere Strömung sowie für die turbulenten Zusatzterme formulieren.
_____
w² 1 ( u ²) wy ² 2
u wp wu u w u cv c ( )² K wx wy Q wy
Gl. 2-17
Nach einigen algebraischen Umformungen folgt die Beziehung
Q(
_____ wu wu )² u cv c wy wy
W wu U wy
Gl. 2-18
Die von der Strömung mitgeführte Energie > W / U wu / wy @ wird zum Teil direkt dissipiert _____
>Q wu / wy ²@ und zum Teil in Turbulenzenergie ª« u cvc wu / wy º» ¬
¼
umgewandelt.
______
Man gewinnt die Transportgleichung für die Korrelation a ica cj durch Multiplikation des Momentanimpulses einer jeweiligen Komponente mit der zweiten Korrelationsgröße, Addition der resultierenden Beziehungen und anschließende zeitliche Mittelung. ____ ____ ____
Die Beziehungen für u c² , v c² , wc²
_____
und u cv c lauten in dieser Reihenfolge
____ ________ ª ________2 ________2 ________2 º § · w u c² ¸ wu 2 wu c «§ wu c · § wu c · § wu c · » w ¨ _______ ¸ ¨ 2 u cv c 2Q «¨ pc ¸ » ¨ u c² v c Q ¸ ¨¨ ¸ wy ¨ wy ¸¸ wx ¹ © wy ¹ © wz ¹ wx wy U » «© © ¹ ¼ ¬ _____
____ ª ________2 ________2 ________2 º § · w v c² ¸ wv c «§ wv c · § wv c · § wv c · » w ¨ ____ 2 _____ ¸¸ ¨ p c 2Q «¨ ¸ » ¨ v c³ v cp c Q ¸ ¨¨ wy ¸¸ wy ¨ U wy U wx ¹ © wy ¹ © wz ¹ » «© © ¹ ¼ ¬
0
Gl. 2-19
________
2
0
Gl. 2-20
Strömungsmechanische Grundlagen
13
____ ª ________2 ________2 ________2 º · § w w c² ¸ wwc «§ wwc · § wwc · § wwc · » w ¨ _____ c c ¸ ¨ ² Q 2Q «¨ pc w v ¸ » ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ U wy ¨ wy ¸¸ wx ¹ © wy ¹ © wz ¹ wy » «© ¹ © ¼ ¬ ________
2
____
v c²
§ ___________ · ª _________ _________ _________ º wu c wv c wu c wv c wu c wv c » wu 1 ¨ wu c wv c ¸ c 2Q « p « wx wx wy wy wz wz » wy U ¨¨ wy wz ¸¸ ¹ © ¬ ¼ ______ _______ · § w ¨ ______ u cp c wu cv c ¸ c c u v ² Q ¨ U wy ¨ wy ¸¸ ¹ ©
0
Gl. 2-21
Gl. 2-22
0
Produkte von Reynoldsschen Korrelationen und Hauptströmungsgradienten stellen Produkti____
onsterme dar. Für die Erzeugung axialer Turbulenzenergie uc² sowie turbulenter Schubspan______
_____
____
nung u cv c sind demgemäß die Glieder u cv c wu / wy und v c² wu / wy verantwortlich. Ausdrücke, welche aus Produkten der räumlichen Ableitungen der Schwankungsgrößen bestehen, kennzeichnen die Turbulenzdissipation. Druckschwankungen, welche mit der räumlicher Ableitung der Geschwindigkeitsschwankungen korrelieren, haben eine Umverteilung der axialen Fluktuation auf die senkrecht zu ihr stehenden Komponenten des Geschwindigkeitsvektors zur Folge.
2.6 Turbulenzbeschreibung über die statistischen Momente Obgleich die turbulente Bewegung durch die Navier-Stokessche Gleichungen beschrieben werden, führen Wechselwirkungen zwischen den Fluidpartikeln zu komplexen, im einzelnen zumeist unüberschaubaren Abläufen. Dieser Sachverhalt legt nahe, die Turbulenzgrößen modellmäßig als statistische Variablen zu betrachten und deren Zusammenwirken mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie zu analysieren. Im Rahmen der statistischen Beurteilungsmethoden weist man dem turbulenten Geschwindigkeitsvektor ui(xj,t) eine Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung f(ui,xj,t) zu, welche aus dem Experiment zu ermitteln ist. Diese Dichtefunktion erklärt die Kinematik des Turbulenzfeldes im zeitlichen Mittel erschöpfend. Gleichwohl lassen sich messtechnisch zumeist nur die Verteilungsdichten f(ui,xj,t) der einzelnen Geschwindigkeitskomponenten ui erfassen. Die jeweilige Wahrscheinlichkeitsfunktion f(ui,xj,t) entspricht einer zweifachen Integration der gemein-
Strömungsmechanische Grundlagen
14
samen Dichte f(ui,xj,t) über die Richtung j z i . Bei einem stationären Prozess verschwindet des weiteren die zeitliche Abhängigkeit von fi. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung fi werden mathematische Erwartungswerte
E >Fx (u i )@
f
________
³ F (u ) f (u , x x
i
i
i
j
)du i
Fx (u i )
Gl. 2-23
f
für beliebige Funktionen Fx(ui) der Geschwindigkeit definiert, welche nach dem Ergodentheorem im Falle eines stationären Prozesses für genügend große Realisationsdauer mit den zeitlichen Mittelwerten übereinstimmt. Besondere Bedeutung kommt im Rahmen der Turbulenztheorie den Erwartungswerten von Potenzen ganzzahliger, positiver Exponenten einer Geschwindigkeitskomponente zu,
____ n i
u
f
³u
n i
( xi , t ) f i (u i , x j )du i
Gl. 2-24
f
die man als Momente n-ter Ordnung bezeichnet. Bei den so genannten zentralen Momenten handelt es sich um zeitlich gemittelte Potenzen der Schwankungsgrößen ui’. Momente gerader Ordnung beschreiben die Breite der Verteilungsdichte, während diejenigen mit ungeradem n Auskunft über die Symmetrieeigenschaften geben. Bei Kenntnis der Momente für beliebige Werte von n ist fi(ui,xj) eindeutig bestimmt. Die Fourier – Transformation von fi stellt eine charakteristische Funktion dar, welche nur von den Turbulenzmomenten abhängt. Mit Hilfe letzterer gelingt es demzufolge, fi durch eine entsprechende Transformation zu gewinnen [Rotta 1972]. Zur Beschreibung turbulenter Scherfelder finden neben der mittleren Geschwindigkeit u i ____
(Moment 1. Ordnung) und der Turbulenzvarianz u i' ² (zentrales Moment 2. Ordnung) häufig die Momente 3. und 4. Ordnung Verwendung. Um den Vergleich mit einer theoretischen Testverteilung zu erleichtern, werden die im Experiment gewonnenen Wahrscheinlichkeitsdichten mit der Prozessvarianz normiert. Demgemäß bezeichnet man
Strömungsmechanische Grundlagen
15
____
u i' ³
Si
§ ____ · ¨¨ u i' ² ¸¸ © ¹
3/ 2
Gl. 2-25
als Schiefe und
____ 4
Fi
u i'
§ ____ · ¨¨ u i' ² ¸¸ © ¹
2
Gl. 2-26
als Flachheitsgrad der Verteilung der Komponente ui. Die normierte Gaußsche Dichtefunktion besitzt die Werte S = 0 und F = 3. Die hypothetisch eingeführte Gauß – Verteilung setzt Isotropie voraus. Reale Turbulenzfelder erfüllen diese Prämisse nur in besonderen Fällen. Vielmehr treten Abweichungen auf, welche für das betrachtete Feld charakteristisch sind. Als Ursache dieser Abweichungen wird die Nichtlinearität der konvektiven Terme in den beschreibenden Grundgleichungen angesehen [Townsend 1976]. Das Auftreten Reynoldsscher Spannungen deutet auf eine Korrelation der Turbulenzgrößen hin, sodass die bei der Herleitung der Gaußschen Verteilung zugrunde gelegte statistische Unabhängigkeit verletzt wird. Die Schiefe S einer Verteilung bzw. die Existenz von Momenten höherer Ordnung kennzeichnet den Energietransport zwischen Zonen unterschiedlicher Turbulenzintensität [Fiedler 1995]. Diese Deutung kann z.B. aus einer Betrachtung des Turbulenzenergiehaushaltes gewonnen werden. Die turbulente Diffusion wird maßgeblich durch Dreifachprodukte der Geschwindigkeitskomponenten geprägt. Der Flachheitsgrad F einer Verteilung wie man in Gl. 226 sieht stellt ein Maß für die Gleichmäßigkeit der räumlichen Intensität der Geschwindigkeitsgrößen dar. Das intermittierende Erscheinen von Gebieten höherer und niedriger Intensität kann zu Abweichungen bezüglich der normalen Wahrscheinlichkeitsdichte führen. Insbesondere stark fluktuierende Schwankungen, wie sie etwa Wirbelfamilien verschiedener Ausdehnung erfahren, vermögen den Flachheitsgrad zu beeinflussen. Die Reduzierung der Wandreibung in verdünnten Polymerlösungen weist offensichtlich auf einen bezüglich dem des reinen Lösungsmittels abweichenden Energiehaushalt hin. Demzufolge ist zu erwarten, dass sich das Verhalten der Wirbel ändert. Um das Verhalten von Mak-
Strömungsmechanische Grundlagen
16
romolekülen im Strömungsfeld besser beschreiben zu können werden ggf. einige Ergebnisse der Schiefe und Flachheit mit einbezogen.
2.7 Taylorsches Energiespektrum Eine zur Beschreibung des Turbulenzfeldes mittels Orts- und Zeitfunktionen äquivalente Methode ist die Darstellung im Frequenz- und Wellenzahlraum. Hierbei wird die Gesamtvariation des stochastischen Prozesses durch zyklische Komponenten verschiedener Frequenzen oder Wellenlängen erklärt. Diese Darstellungsform erlaubt es, die häufig angegebenen phänomenologische Beschreibung, bei welcher der Turbulenzaufbau als Zusammensetzung miteinander in Wechselwirkung stehender Elemente verschiedener Dimensionen gedeutet wird, in eine mathematisch exakte Form zu bringen. Taylor definierte folgende spektrale Dichtefunktion
E( f )
4S ² A( f ) ² T
Gl. 2-27
Die Größe A(f) stellt die Fourier – Transformierte des Schwankungsparameters a’(t) dar:
f
A( f )
2S ³ a c(t )e i2Sft dt
Gl. 2-28
f
Die Rücktransformation ist gegeben durch die Beziehung
a c(t )
1 2S
³ A( f )e
i2Sft
dt
Gl. 2-29
Im allgemeinen Fall ist A(f) ein komplexer Koeffizient. Dessen Betrag _A(f)_ ist ein Maß für die Intensität des Anemometersignals. Die spektrale Dichte E(f) kann als der Anteil angesehen werden, welchen eine durch die Frequenz f charakterisierte Wirbelgruppe zur Gesamtvarianz und somit zur kinetischen Energie der Turbulenz beiträgt. Dieses kann mit Hilfe des erweiterten Parsevalschen Theorems gezeigt werden [Bendat 1971]
Strömungsmechanische Grundlagen
f
1 ' a1 (W )a 2' (W t )dW T ³0
17
f
4S ² A1 ( f ) A2* ( f )e i2Sft df T ³0
Gl. 2-30
Hierbei bedeutet A2* ( f ) die konjugiert Komplexe zu A2(f): Für a1' = a 2' und t = 0 folgt aus Gl. 2-29 und 2-30
____
a1' ²
f
4S ² A1 ²( f )df T ³0
f
³ E ( f )df
Gl. 2-31
0
2.8 Wandnahe Strukturen der Turbulenz Der wandnächste Bereich besitzt eine übergeordnete Bedeutung für die Turbulenz, denn nahezu die gesamte Turbulenzproduktion findet dort statt [Laufer 1954], es ist bekannt dass dort die Polymer – Additive in die Turbulenzprozesse eingreifen [Gyr 1985][Hussain 1983][Cantwell 1981].
Früher herrschte die Vorstellung, dass die viskose Unterschicht d.h. die Strömung in unmittelbarer Wandnähe laminar sei. Der damals als „laminare“ Unterschicht bekannte Bereich sei so von Zähigkeitskräften dominiert, dass der turbulente Zustand sich dort nicht auswirken könne. Dieser Sachverhalt wurde widerlegt von Corino&Brodkey [Eckelmann 1974, Corino,Brodkey 1969]. Sie beobachteten, dass sich die Fluidelemente um Winkel von bis zu 30° zur Wand geneigt waren. Kline, Reynolds, Schraub&Runstadler berichteten von den Ergebnissen einer Reihe systematischer Untersuchungen an der Stanford University. In einem offenen Wasserkanal mit rechteckigem Querschnitt wurde die Struktur turbulenter Grenzschichten bei unterschiedlichen Druckgradienten visualisiert. Die Strömung wurde durch feine Wasserstoffblasen sichtbar gemacht. Es wurde eine streifenartige Struktur der viskosen Unterschicht beobachtet. Eine Auswertung der photographischen Aufnahmen führte zu einem mittleren Streifenabstand von O+ # 100. Die „Streaks“, wie sie Kline et al. benannte, bewegten sich langsam stromabwärts und entfernten sich allmählich von der Wand. Bei einem Wandabstand von y+ # 8-12 begannen sie zu oszillieren. Die Oszillationen nahmen zu und endeten mit einem plötzlichen Zerfall
Strömungsmechanische Grundlagen
18
des „Streaks“, bei dem ein Teil des „Streaks“ nach außen geschleudert wurde. Diese Ereignisfolge, die einer zeitlichen und räumlichen Zufälligkeit unterworfen schien, nannte Kline et al. „bursting“. Eine unabhängige Visualisationsarbeit von Corino&Brodkey [Corino&Brodkey 1969] lieferte weitere Erkenntnisse über die dynamischen Vorgänge in der viskosen Unterschicht einer turbulenten Rohrströmung. Es wurden folgende Bewegungsabläufe beobachtet: Es trat zunächst eine örtliche Verzögerung des Fluides in der Wandnähe ein. Die Ankunft von Fluidmassen höherer Geschwindigkeiten führte über die Wechselwirkung zwischen den Fluidmassen unterschiedlicher Geschwindigkeiten zu einem Herausschleudern „ejection“ von Fluidpaketen niedrigerer Geschwindigkeiten in die Kernströmung hinein. Der „Ejection“-Vorgang wurde durch einen „Sweep“beendet. Demnach postulierte man, dass die Reynoldssche Schubspannung hauptsächlich während einer intensiven Phase des Burstvorgangs („Ejection“) erzeugt wird. Dieser Phase folgt ein weniger intensiver Erholungsprozeß („Sweep“). Ausgehend von einer Abschätzung der Reynoldsschen Spannung während des Ejectionsvorgangs kamen die Autoren zu der Ansicht (wie Kline et al.), dass der „Ejection“-Vorgang hauptsächlich für die Turbulenzproduktion verantwortlich sei.
Kim, Kline&Reynolds [Kim, Kline&Reynolds 1971] berichteten über weiterführende Experimente. Mittels der Hitzedrahtanemometrie und der Wasserstoffblasentechnik konnten sie zeigen, dass parktisch die gesamte Turbulenzproduktion im wandnächsten Bereich 0 d y+ d 100 vom Burstvorgang herrührt. Wallace, Eckelmann&Brodkey [Wallace, Eckelmann&Brodkey 1972] führten die Quadratenanalyse ein, um Aussagen über die kohärenten Strukturen aus ihren Hitzedarhtmessungen zu erhalten. Neue Ergebnisse für Polymerlösungen zeigt die Arbeit von Gampert&Yong [Gampert&Yong 1991]
Von der Vielzahl von Modellvorstellungen über den Bewegungsablauf im wandnahen Bereich turbulenter Strömungen ist das Konzept der Wirbellinien am verbreitesten. Kline et al.[1967] entwickelten die Vorstellung, dass sich aufgrund der Dehnung und Stauchung lateraler (senkrecht zur Strömungsrichtung und parallel zur Wand verlaufender) Wirbellinien axial gerichtete Wirbel bilden können, die während des Burstvorganges angehoben werden. Die langsamer bewegten Fluidpakete sind demzufolge Bereiche zwischen axial gerichteten Wirbeln. Einen indirekten Beweis für die Existenz axial gerichteter Wirbel erbrachten Bakewell & Lumley [1967], die aus einer Analyse ihrer Geschwindigkeitsdaten auf Wirbelpaare
Strömungsmechanische Grundlagen
19
schlossen, die in die Hauptströmungsrichtung gerichtet sind. Backwelder & Eckelmann [1979] stellten ein Modell von entgegengesetzt drehenden, axial gerichteten Wirbelpaaren vor, das mit ihren Heißfilm-Anemometermessungsergebnissen und mit den Arbeiten von Gupta, Laufer & Kaplan [1971] und Lee, Eckelmann & Hanratty [1974] konsistent ist. Vorherrschend ist die Vorstellung, dass die Erhöhung der Dehnviskosität ein wesentlicher Aspekt der Widerstandsverminderung ist. Kennzeichnend für ein widerstandsvermindernd wirksames Polymer-Additiv ist eine lineare Molekülstruktur und eine hohe Molmasse [Wagener 1984]. Bekanntlich liegen solche Moleküle in Lösung in Form von Knäulen vor, die in einem Strömungsfeld gestreckt werden. Diese Deformierbarkeit der Knäule verleiht der Polymerlösung elastische Eigenschaften, aufgrund derer sie bei hinreichender Konzentration und Beanspruchung eine stark erhöhte Dehnviskosität besitzen kann. In dieser Arbeit soll nun die Frage geklärt werden, ob die Dehnviskosität hinreichend erhöht sein kann für eine solche drastische Veränderung der Turbulenzeigenschaften. Für einen solchen Beweis der erhöhten Dehnviskosität ist es notwendig ausreichende Belastungen sprich Dehnraten mit angemessener Intensität nachzuweisen.
Grundlagen der Rheologie
20
3 Grundlagen der Rheologie 3.1 Normalspannungsverhalten widerstandsvermindernder Flüssigkeiten Messtechnisch einfach sind Untersuchungen im stationären Scherfeld. Das angelegte Drehmoment führt zu einer Deformation, welche eine Funktion der viskosen Eigenschaften ist. Elastische Eigenschaften treten in den Flächennormalen auf und können ebenfalls gemessen werden. Ein beliebiger Spannungstensor Vij in einem Scherfeld wird beschrieben durch:
V ij
§ 1 0 0· § 0 J 0 · § V 11 V 12 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ p o ¨ 0 1 0 ¸ K LM ¨ J 0 0 ¸ ¨ V 21 V 22 ¨ 0 0 1¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ 0 0 © ¹ © ¹ ©
0 · ¸ 0 ¸ V 33 ¸¹
Gl. 3-1
p0 ist der hydrostatische Druck, der für die betrachteten inkompressiblen Flüssigkeiten vernachlässigt werden kann. KLM ist die von der Schergeschwindigkeit unabhängige Viskosität des Lösungsmittels, sofern dieses ein Newtonsches Fluid ist. Der dritte Summand beinhaltet die Beiträge des Polymers zum viskoelastischen Verhalten. Da die Absolutwerte der Normalspannungen V11, V22 und V33 von dem hydrostatischen Druck po abhängen, bildet man Normalspannungsdifferenzen, so dass sich insgesamt ergibt:
V 12 V 21 f1 (J ) V 11 V 22 N 1 f 2 (J ) V 22 V 33 N 2 f 3 (J ) V 11 V 33 N 1 N 2 N 3
Gl. 3-2
f 4 (J )
Mit diesen vier Funktionen ist eine eindeutige Beschreibung der beim stationären Scherfließen auftretenden rheologischen Eigenschaften eines Polymerfluids möglich.
21 Y, 2
V,,
V
Gefälle-Richtung
Grundlagen der Rheologie
V,
V
F
V
V Z, 3
ich eR tral neu
g tun
Flie
ßric h
tu n g
X, 1
ABBILDUNG 3-1: KOORDINATENSYSTEM DER SPANNUNGSZUSTÄNDE
Unter der Annahme , dass der Spannungstensor symmetrisch ist, kann man ihn in ein beliebiges Koordinatensystem transformieren und durch ein Spannungsellipsoid darstellen. Die Hauptachsen dieses Ellipsoids müssen senkrecht zu Ebenen stehen, in denen keine Schubspannungen wirken, d.h. sie können nicht mit dem vorgenannten xyz- Koordinatensystem der Scherströmung übereinstimmen. Statt dessen liegt die Hauptachse VI dieses Ellipsoides in einer Ebene, die als Fließebene bezeichnet wird. Senkrecht dazu steht die 1. Nebenachse VII, also ebenfalls auf einer Ebene, in der keine Scherkräfte wirken. Die dritte Achse VIII ist identisch mit der neutralen Richtung der z- oder 3-Achse. Der so transformierte Spannungstensor besitzt nur noch Diagonalelemente, d.h. alle gemischten Koeffizienten des dritten Summanden in Gl.3-4 sind gleich Null. Die Ausrichtung der Hauptachse des Ellipsoids in der 1-2 Ebene des xyz- Koordinatensystems wird durch den Winkel F beschrieben. Wenn die Tensorkomponenten des Koordinatensystems der Scherströmung durch die des Spannungsellipsoids ausgedrückt werden, erhält man folgende Gleichungen:
Grundlagen der Rheologie 2V 12
'V sin 2 F
V 11 V 22
V 33
'V cos 2 F
V III
mit 'V
22 Gl. 3-3 Gl. 3-4 Gl. 3-5
V I V II .
Durch den Orientierungswinkel F des Spannungsellipsoids besteht also ein Zusammenhang zwischen der 1.Normalspannungsdifferenz und der Schubspannung:
tan 2 F
2V 12 V 11 V 22
Gl. 3-6
Hieraus folgt, dass für J o 0 der Winkel F maximal 45° betragen kann. Die Normalspannungsdifferenz N1 ist dann Null und die Schubspannung V12 gleich 'V/2. Für J o f , also
F o 0 , wird V12 Null, und gemäß Gl.3-4 wird die Viskosität der Lösung nur durch die Viskosität des Lösungsmittels bestimmt.
3.2 Rheologische Modelle Zur Approximation von empirischen Fließ- bzw. Viskositätsfunktionen werden rheologische Modelle, auch als Fließ- oder Stoffgesetze formuliert [Weipert 1993]. Zur mathematischen Beschreibung des Fließverhaltens, das maßgeblich durch die Materialstruktur festgelegt wird, werden verschiedene mechanische Grundelemente wie Federn, Dämpfer und Kombinationen aus beiden benutzt. Neben diesen vorgestellten analytisch hergeleiteten Modellen werden in der Literatur Modelle rein empirischer Natur, die auf Näherungsrechnungen und Mischformen basieren. Die meisten Modelle werden unter einschränkenden Voraussetzungen aufgestellt, so dass die Approximationen nur für begrenzte Anwendungen wie z.B. innerhalb bestimmter Schergeschwindigkeitsbereiche oder nur für bestimmte Flüssigkeiten verwendet werden können. Anzumerken ist, dass solche Modelle meist für laminare Strömungen gelten und bis zum heutigen Zeitpunkt kein Modell für turbulente Strömungen oder turbulente Mischungsvorgänge[Giesekus 1981] existiert, daher werden die Modelle nicht berücksichtigt.
Grundlagen der Rheologie
23
3.3 Grenzviskosität Das Fließverhalten und die viskositätsändernde Wirkung von Polymeren in Lösungen lässt sich mit der Grenzviskosität [K] beschreiben. Ausgehend von der relativen Viskosität Krel in Polymerlösungen, die definitionsgemäß
K rel
KL K LM
Gl. 3-7
lautet, erfolgt nun eine Herleitung der Grenzviskosität [K]. In dieser Gleichung stellen KL die Viskosität der Polymerlösung und KLM die Viskosität des Lösungsmittels dar.
Die relative Viskosität Krel ist eine Funktion der Konzentration c der Polymerlösung:
K rel (c) K rel (c
' 0) K rel (c
§c· '' 0) ¨ ¸ K rel (c © 1! ¹
§ c² · 0) ¨ ¸ © 2! ¹
Gl. 3-8
Man beschränkt sich auf das lineare Glied, d.h. auf kleine c-Werte und setzt:
' K rel
wK rel wc
Gl. 3-9 c 0
o K rel (c) 1 [K ] c
Gl. 3-10
Durch Umformung erhält man schließlich die Grenzviskosität zu:
[K ]
K rel 1 / c
Gl. 3-11
Bei vielen Polymerlösungen ist [K] schergeschwindigkeitsabhängig, wobei die Werte im allgemeinen bei höheren Schergeschwindigkeiten abnehmen, wie bereits besprochen. Dies bedeutet, dass die Grenzviskosität [K] nicht nur eine Extrapolation der Konzentration c Æ 0, sondern auch der Schergeschwindigkeit J Æ 0 erfordern:
Grundlagen der Rheologie
>K @
§ K K LM lim¨¨ L c o0 K LM c J o0 ©
· ¸¸ ¹
24
Gl. 3-12
Für Polymere ohne ionischen Randgruppen kann die Grenzviskosität [K] durch Messungen der Ruhescherviskosität K0 für verschiedene Konzentrationen und anschließender Extrapolation der Konzentration c Æ 0 bestimmt werden [Gampert, Wagner 1984].
3.4 Der Effekt der Widerstandsverminderung Im Jahre 1948 beobachtete B.A. Toms eine Reduzierung des Fliesswiderstandes von Chlorbenzol im turbulenten Bereich durch Zugabe von 0.25% Polymethylmethacrylat. Als TomsEffekt wird eine Widerstandsverminderung (WV) bei turbulenten Strömungen, die durch Zusatz von Additiven erzielt wird, bezeichnet. Das Phänomen tritt selbst für hoch verdünnte Polymerlösungen auf. Schon eine Beigabe von Polymeren im ppm (parts per million) Bereich kann den Widerstand einer Strömung um bis zu 80% sinken lassen. Der ”ökonomische Nutzen“ liegt auf der Hand, es lassen sich Energiekosten beim Pumpen von Fluiden einsparen. Diese Technik wird in der Feuerbekämpfung, der Medizin und bei der Förderung von Fluiden in Pipelines benutzt.
Experimentell kann die Widerstandsverminderung erfasst werden durch die Messung des Druckverlustes in einer turbulenten Rohr- bzw. Kanalströmung, der bei gleichem Durchfluss kleiner ist als der des reinen Lösungsmittels. Um die Wirksamkeit des zugesetzten Additivs quantitativ erfassen zu können, definiert man diese Widerstandsverminderung(WV) oder engl. Drag Reduction(DR) mit dem folgenden Gesetz:
WV V
1
OL 100% O LM
Gl. 3-13
const
Es kann davon ausgegangen werden, dass die Polymermoleküle durch die Strömung deformiert werden. Bei den neutralen Polymeren handelt es sich um Makromoleküle, die ohne äußere Krafteinwirkung eine kugelförmige Struktur in der Lösung einnehmen. Durch äußere Krafteinwirkung z.B. in Strömungen werden diese Kugeln gestreckt. Die gestreckten Polymermoleküle ermöglichen eine Fließverbesserung der Flüssigkeit. Das Phänomen der Wider-
Grundlagen der Rheologie
25
standsverminderung existiert jedoch nicht für den laminaren Bereich einer Rohr- oder Kanalströmung. In dem Bereich Re < Re(krit.) sind die Polymermoleküle nicht so stark deformiert. Sie behalten ihre Gestalt einer Kugel und spielen somit keine Rolle bei der Verbesserung des Fliessverhaltens. Aus diesem Grund wird die Widerstandsverminderung in den Nachfolgenden Kapiteln nur für den turbulenten Bereich dargestellt.
3.5 Dehnviskositätsverhalten widerstandsvermindernder Flüssigkeiten Die Dehnviskosität steigt mit zunehmender Dehngeschwindigkeit an, bis sie sich bei höheren Dehngeschwindigkeiten an einen asymptotischen Wert annähert, der von der Polymerkonzentration abhängt [(Eich 1999), (Bird, Armstrong, Hassager 1987)]. Es ist charakteristisch für viskoelastische Flüssigkeiten, dass das Fließverhalten von der Deformationsgeschichte abhängig ist. Aber was bedeutet die Dehnung überhaupt? Es sei hier nur kurz auf die charakteristischen Merkmale eingegangen, dafür aber am Ende des Abschnittes die Bedeutung der Dehnung in einer turbulenten Kanalströmung dargestellt. In der Rheologie wird üblicherweise die Dehnung H als natürlicher Logarithmus des Verstreckungsgrades definiert
H
ln
x x0
Gl. 3-14
dessen zeitliche Ableitung die Dehnrate H ergibt
H
wu wx
Gl. 3-15
Der viskose Widerstand den eine viskoelastische Flüssigkeit einer Dehnströmung entgegenbringt wird durch die Dehnviskosität K D definiert:
KD
V x V y H
Gl. 3-16
Bei der ebenen Dehnung wird das Fluidelement nur in zwei Richtungen deformiert, in einer Richtung wird es gedehnt (x), in der anderen (y) wird es gestaucht. Vorherrschend ist die Meinung, dass die Erhöhung der Dehnviskosität ein wesentlicher Aspekt der Widerstandsverminderung ist, z.B. [Durst, Haas, Interthal 1982], [Gampert, Wagner 1982]. Kennzeichnend für ein widerstandsvermindernd wirksames
Grundlagen der Rheologie
26
Polymer – Additiv ist eine lineare Molekülstruktur und eine hohe Molmasse. Bekanntlich liegen solche Moleküle in Lösung in Form von Knäulen vor, die in einem Strömungsfeld gestreckt werden. Diese Deformierbarkeit der Knäule verleiht der Polymerlösung elastische Eigenschaften, aufgrund derer sie bei hinreichend hoher Konzentration und Beanspruchung eine stark erhöhte Dehnviskosität besitzen kann, [Metzner, Metzner 1970], [Oliver, Bragg 1973]. Zur Widerstandsverminderung werden Polymere üblicherweise in hoher Verdünnung zugesetzt. Ungeklärt ist, ob die Dehnviskosität dann hinreichend erhöht ist, so dass sie für die bekannten drastischen Strömungsänderungen verantwortlich sein kann. Theoretische Analysen von Lumley [Lumley 1964], geben Veranlassung dieses zu behaupten. Die Erbringung experimenteller Beweise ist keine triviale Angelegenheit, sondern soll die Aufgabe dieser Arbeit sein. Die erhöhte Dehnviskosität erklärt beispielsweise den durch Polymerzusatz gesteigerten Druckverlust bei der laminaren Porenströmung [(Haas, Kulicke 1984), (Elias 1996)]. In turbulenten Strömungen kann dagegen die höhere Dehnviskosität den mit den wandnahen kohärenten Strukturen assoziierten Dehnbereich modifizieren und den Burstvorgang hemmen[Gampert, Yong 1991]. Die Sattel und Knoten der Haarnadel- oder Hufeisen-Wirbel sind beispielsweise solche Dehnbereiche[Gyr 1989], [Frisch 1985], in denen die erhöhte Dehnviskosität wirksam sein kann. Dagegen existieren bei ausgebildeter laminarer Schichtenströmung keine Dehnbereiche, und folglich kommt es zu keiner Widerstandsbeeinflussung, dies steht im Einklang mit dem physikalischen Bild, das man von der Widerstandsbeeinflussung durch Polymere hat.
3.6 Der Konzentrationseinfluss auf die Widerstandsverminderung Die Konzentration einer Polymerlösung beeinflusst entscheidend die Widerstandsverminderung in einer turbulenten Rohrströmung. Die maximal zu erzielende Widerstandsverminderung beträgt ca. 80 %. Höhere Konzentrationen bewirken keine Erhöhung der Widerstandsverminderung mehr, da eine Sättigung erreicht wurde.
Bei kleinen Konzentration besteht Proportionalität zwischen der Polymermenge und dem Widerstandsverminderungsverhalten. Bis zu einer bestimmten Konzentration entfalten die für den Toms-Effekt verantwortlichen Makromoleküle ihre Wirksamkeit ohne gegenseitige Wechselwirkungen. Liegt ein Überschuss an hochmolekularen Fraktionen vor, treten vermehrt Wechselwirkungsreaktionen zwischen den einzelnen Molekülketten auf, da
Eigenschaften von Polymeren
27
nicht genügend freier Raum für die Moleküle bereitsteht. Eine große Zahl an Molekülen verflechten sich, was zu einer Zunahme der Viskosität führt. Der Konzentrationsbereich des beschriebenen Effektes wird als Übergangsnetzwerk oder moderate Netzwerklösung bezeichnet.
Dieses Phänomen kann mit Hilfe der kritischen Konzentration c* erklärt werden. Die Polymermoleküle liegen in einer Lösung nicht stäbchenförmig vor, sondern je nach der Lösungsmittelgüte und der Beanspruchung des Fluids, als auf- oder abgewickelte ``Garnrollen''. In einer verdünnten Lösung können sich die Polymermoleküle nicht gegenseitig beeinflussen oder durchdringen. Sie schwimmen isoliert in der Lösung. In einer konzentrierten Lösung mit c > c* durchdringen sich die Polymerketten gegenseitig und üben Wechselwirkungen aufeinander aus. Eine solche Lösung wird auch Netzwerklösung genannt.
4 Eigenschaften von Polymeren 4.1 Lösungszustände von Polymeren und deren Eigenschaften Langkettige Polymere, wie z.B. das in dieser Arbeit verwendete Praestol oder auch Xanthan bewirken Änderungen der Fließeigenschaften der Lösungen gegenüber dem Lösungsmittel. Die Polymerlösung zeigt Nicht - Newtonsche Eigenschaften bei Fließversuchen. Die Polymermoleküle füllen in gelöster Form ein gewisses Fluidvolumen. Dies bedeutet, die Materialeigenschaften des Fluids ändern sich. Bei der Verformung dieses Fluidelements entstehen zusätzlich Spannungen, die sich von denjenigen bei Newtonschen Flüssigkeiten dadurch unterscheiden, dass zusätzliche Kräfte die aus der Verformung der Moleküle herrühren, auftreten.
Eigenschaften von Polymeren
28 unbelastet
belastet ABBILDUNG 4-1: GELÖSTES POLYMERMOLEKÜL, UNBELASTET UND BELASTET
Die Gleichgewichtsform eines gelösten Polymermoleküls ist im unbelasteten Zustand annähernd eine Kugel. Die kleinsten Bestandteile einer Polymerlösung sind die so genannten Gelpartikel. Diese bestehen aus einer geknäulten Polymermolekülkette als Gerüst mit eingelagertem Lösungsmittel als Füllmaterial. Man unterscheidet qualitativ zwischen verdünnten und konzentrierten Lösungen [Heckenbach 1987].
In verdünnten Lösungen (Partikelbereich) beeinflussen sich die gelösten Moleküle gegenseitig nicht und üben keine Kräfte aufeinander aus. Auch in ihrer Bewegung behindern sie sich nicht. Es ist nicht leicht hier ein Kriterium zu definieren, da sich die Abmessungen dieser vom Polymer beeinflussten Zonen je nach Belastung verändern. Eine verdünnte Polymerlösung kann sich je nach Belastung der enthaltenen Moleküle in ihren Wechselwirkungsmechanismen unterscheiden. Bei niedrigen Belastungen sind die Moleküle nach wie vor annähernd kugelförmig und treten nicht miteinander in Wechselwirkung, während die Moleküle bei einer hohen Belastung gedehnt werden und somit einen viel größeren Wirkungsradius besitzen können. Als Wirkungsradius gilt die große Halbachse des gedehnten Polymerellipsoids, die sich um zwei bis drei Größenordnungen von der im unbelasteten Zustand unterscheiden kann.
Eine moderat konzentrierte Lösung (Beginn der Bildung eines Netzwerkes) liegt dann vor, wenn die kritische Konzentration c* erreicht ist. Dies ist jene Konzentration, bei der das gesamte verfügbare Lösungsmittel von den Knäulen aufgenommen wird. Ist c > c*, können sich die Polymerknäuel gegenseitig durchdringen und üben Kräfte aufeinander aus. Bei konzentrierten Lösungen entstehen die zusätzlichen Kräfte aufgrund der Wechselwirkung zwischen einzelnen Molekülen.
Eigenschaften von Polymeren
29
Die kritische Konzentration einer Lösung ist für rheologische Experimente ein interessanter Punkt, denn sie beschreibt den Umschlagpunkt vom Partikelbereich zum Beginn der Netzwerkbildung und somit eine Änderung der Lösungsstruktur. Man kann Lösungszustände durch die Angabe des Überlappungsparameters c[K] beschreiben
1. Einsetzen gegenseitiger Durchdringung: c[K] | 1, 2. Vollständige Durchdringung: c[K] | 10, 3. Bereich moderater Konzentration: 1d c[K] d 10.
Der Überlappungsparameter kennzeichnet den Raumbedarf der insgesamt gelösten Polymermoleküle in der Lösung.
In konzentrierten Lösungen (Netzwerklösung) können sich zwischen den Makromolekülen Verschlaufungen ergeben. Es bildet sich ein Netzwerk aus, welches über elastische Rückstellkräfte verfügt. Im Ruhezustand herrscht durch den Einfluss der Molekularbewegung ein Gleichgewicht zwischen Bilden und Lösen der Verschlaufungen. Unter Beanspruchung im Scherfeld werden die Verschlaufungen gelöst, ohne dass genügend Zeit zur Ausbildung neuer Verbindungen zur Verfügung steht, wodurch sich eine Strukturänderung bzw. nach außen hin ein strukturviskoses Verhalten ergibt.
Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien
30
5 Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien Eine Substanz ist nur dann doppelbrechend, wenn sie eine innere anisotrope, also ausgerichtete Struktur besitzt. Bei kristallinen Stoffen wie Kalkspat ist diese Struktur durch das Kristallgitter gegeben. Flüssige Stoffe besitzen keine bevorzugte Orientierungsrichtung oder verankerte Nahordnung ihrer Moleküle.
Bei einigen Flüssigkeiten können aber äußere Kräfte eine Orientierung ihrer Moleküle hervorrufen. Ein Beispiel für diese Flüssigkeiten sind Polymerschmelzen und Polymerlösungen. Befinden sich solche Flüssigkeiten in einer Strömung, in der sie einer Dehn- und Scherbeanspruchung unterliegen, so orientieren sich die makromolekularen Polymerketten in Richtung der Scher- und Dehnbeanspruchung aus und die Flüssigkeit wird doppelbrechend siehe Kapitel 7.
Der Einfluss der Dehn- und Scherbeanspruchung auf die Ausrichtung der Moleküle wird durch zwei Theorien beschrieben.
x Janeschitz-Kriegel [Janeschitz, Kriegel 1983] beschreibt in seinem Buch das Verhalten der bei Beanspruchung auftretenden Normalspannungen in Polymerschmelzen und hochkonzentrierten Polymerlösungen durch das spannungsoptische Gesetz.
x Keller und Odell [Keller, Odell 1985] nutzen die optische Doppelbrechung zur Molmassenbestimmung von Polymeren in verdünnten Polymerlösungen.
5.1 Das spannungsoptische Gesetz Wird eine Polymerlösung gedehnt, so orientieren sich die Molekülketten in Dehnrichtung aus. Je stärker diese Ausrichtung erfolgt, desto stärker ist der Effekt der Doppelbrechung. Eine reine Dehnbeanspruchung bietet den Vorteil, dass die Richtungen der Zugspannungen bei dieser Beanspruchungsart eindeutig bekannt sind. Beim spannungsoptischen Gesetz wird angenommen, dass der richtungsabhängige Brechungsindex des Polymers der jeweilig in dieser Richtung wirkenden Spannung proportional ist,
Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien § nx · §V x · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ n y ¸ ~ ¨V y ¸ ¨ n ¸ ¨V ¸ © z¹ © z¹
31
Gl. 5-1
Wird diese Proportionalität auf die Normalspannungsdifferenz V I - V I I übertragen, so ergibt sich das spannungsoptische Gesetz
'n C V I V II .
Gl. 5-2
Das spannungsoptische Gesetz beschreibt somit den Zusammenhang zwischen Doppelbrechung und Dehnung bzw. Scherung. Durch das spannungsoptische Gesetz wird die Differenz der Hauptspannungen (V I - V I I ) in der gedehnten bzw. gescherten Flüssigkeit linear mit der Differenz des Brechungsindex 'n verknüpft. Die Konstante C wird spannungsoptische Konstante genannt, sie ist von den optischen Eigenschaften der jeweiligen Substanz und der Temperatur abhängig.
Mit Hilfe des spannungsoptischen Gesetzes ist es nun möglich, ein berührungsloses Messverfahren zur Messung der Normalspannungsdifferenzen aufzubauen. Die üblichen Messverfahren in Viskosimetern weisen den entscheidenden Nachteil auf, dass sie alle zur Messung der Zug - oder Druckspannungen mit dem zu untersuchenden Medium in direkten Kontakt kommen und die verwendeten Messaufnehmer oft sehr empfindlich auf Störeinflüsse reagieren.
Um aus dem spannungsoptischen Gesetz die lokale Hauptspannungsdifferenz zu berechnen, muss die lokale Brechungsindexdifferenz gemessen werden. Zwei weitere Messungen ergeben die Richtung der Hauptspannungen (Winkel E zur x-Achse). Sie dienen zum berechnen der Normal- und Schubspannungen.
Die mathematische Beschreibung des Polarisationszustandes erfolgt durch den Stokes-Vektor. Die Änderungen des Polarisationszustandes durch die optischen Komponenten und das Versuchsfluid wird durch Müller Matrizen beschrieben.
Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien
32
5.2 Anwendungen zur optische Doppelbrechung Keller und Odell [Keller, Odell 1985] untersuchten das optische Verhalten von verdünnten Polymerlösungen. Sie verwendeten dabei zwei unterschiedliche Typen von Polymeren:
x
Polymere deren Struktur einer flexiblen Kette gleicht.
x
Polymere deren Struktur einem starren Stäbchen gleicht.
Beide Typen weisen ein unterschiedliches optisches Verhalten auf.
Flexible Ketten
Die Intensität der optischen Doppelbrechung eines Polymer des Typs "Flexible Kette" verhält sich bei steigender Dehnbeanspruchung nicht linear (Abbildung 5-1). Bei kleiner Dehnbeanspruchung H H c wird keine Änderung der Doppelbrechung 'n beobachtet.
'n
H c
H
ABBILDUNG 5-1:SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DER OPTISCHEN DOPPELBRECHUNGSDIFFERENZ IN ABHÄNGIGKEIT DER DEHNRATE
Schematisches Darstellung der optischen Doppelbrechungsdifferenz in Abhängigkeit von der Dehnrate H eines Polymers des Typs "Flexible Kette"
Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien
33
Steigt nun die Dehnrate auf einen kritischen Wert H c so steigt die Brechungsindexdifferenz sprunghaft an und erreicht einen konstanten Wert der sich auch bei weiterer Steigerung der Dehnrate nicht ändert. Ein Beispiel für ein Polymer des Typs "Flexible Kette" ist Polyacrylamid PAA in wässriger Lösung. Die Polymerketten liegen in dem Lösungsmittel isotrop verteilt vor. Sie besitzen keine Vorzugsorientierung. Bei wachsender Beanspruchung H reagieren die zufällig orientierten Polymere mit einer plötzlichen Ausrichtung ab einer kritischen Dehnrate H c . Die zur Ausrichtung benötigte Kraft wird von der Flüssigkeit durch Reibung auf die Polymerkette übertragen. Der Reibungskoeffizient P zwischen Polymer und Lösungsmittel ist von den jeweiligen Fließeigenschaften der Kombination Polymer-Lösungsmittel abhängig. Dieser Kraft gegenüber steht eine Rückstellkraft K die das gestreckte Polymer wieder zusammenzieht um die energetisch günstigere unausgerichtete Form einzunehmen. Die Rückstellkraft K ist eine innere Eigenschaft der Polymerkette und ist ~ M-1. Diese Ausrichtung oder Rückstellung erfolgt nicht schlagartig, sondern benötigt einen gewissen Zeitraum. Die Zeit, welche das Polymer zur Ausrichtung oder Rückstellung benötigt, heißt Relaxaktionszeit W. Die Relaxaktionszeit ist gleich dem Verhältnis des Reibkoeffizienten zur Rückstellkraft
W
P K
Gl. 5-3
Da K antiproportional zur Molmasse des Polymers ist, ist die Relaxaktionszeit proportional zur Molmasse
W~M
Gl. 5-4
Die schlagartige Ausrichtung der Polymerketten erfolgt genau bei der kritischen Dehnrate H c . Eine Ausrichtung der Polymerketten kann erst dann erfolgen, wenn die durch die Dehngeschwindigkeit auf die Polymerkette übertragene Kraft F größer oder mindestens gleich der inneren Rückstellkraft K ist. Dieser Zusammenhang lässt den Schluss zu, dass die kritische Dehnrate H c gleich dem reziproken Wert der Relaxaktionszeit ist:
Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien
H c {
1
W
~
1 . M
34
Gl. 5-5
Mittels dieses empirisch überprüften Zusammenhanges besteht die Möglichkeit aus der gemessenen kritischen Dehnrate H c die Molmasse der untersuchten Polymermoleküle M zu bestimmen. Für die Relaxaktionszeit W werden von Keller[Keller, Odell 1985] maximale Grenzwerte angegeben. Der Grenzwert für eine "nicht – frei - abfließende Kette" nach Zimm[Zimm 1958] ist
§D · K 0 2Sb 3 cot ¨ ¸ 5 2
W nfaK
©2¹
kT
3
N2
Gl. 5-6
und für eine "frei abfliessende Kette" ist
§D · K 0Sb 3 cot 2 ¨ ¸
W faK
©2¹
2kT
N2,
Gl. 5-7
wobei K0 die Lösungsmittelviskosität, b die Bindungslänge, k die Boltzmannkonstante, T die Kelvintemperatur, D der Bindungswinkel und N die Anzahl der flexiblen Einheiten darstellt. Die Gültigkeit der Gleichungen 5-6 und 5-7 wurde von Keller und Odell für eine nahezu monodisperse PEO -Lösung und eine PS-Toluol-Lösung nachgewiesen (Abbildung 5-1).
Starre Stäbchen
Besitzen die Polymere eine starre, stäbchenförmige Struktur so ist ein zuerst starkes, dann mit steigender Dehnbeanspruchung schwächer werdendes Anwachsen der Doppelbrechung zu beobachten Abbildung 5-3. Ein Beispiel für Polymere des Typs "Starre Stäbchen" ist Xanthan in wässriger Lösung. Die steifen Polymere sind bei fehlender Beanspruchung in ihrer Richtung isotrop verteilt. Steigt die Beanspruchung, so erfolgt eine allmähliche Ausrichtung der Polymere und damit steigt
Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien
35
die gemessene Doppelbrechung. Der Verlauf der Doppelbrechungssignale in Abhängigkeit von der Dehnrate kann durch den Rotations-Diffusions-Koeffizienten Dr charakterisiert werden
'n 'n 0
2H 1 e 6 Dr t . 15Dr
Gl. 5-8
1 / Hc 10-3 8 6 4 2 10-4 8 6 4 2 10-5 5 106 2
4 6 8107 2
4
Mw
ABBILDUNG 5-2: DOPPELT-LOGARITHMISCHER ZUSAMMENHANG DER RELAXAKTIONSZEIT W
UND DER
MOLMASSENVERTEILUNG
Die Abbildung 5-3 zeigt die schematische Darstellung der optischen Doppelbrechungsdifferenz 'n in Abhängigkeit von der Dehnrate H eines Polymers des Typs "Starre Stäbchen".
Optische Doppelbrechung in flüssigen Medien
36
'n
H ABBILDUNG 5-3: SCHEMATISCHES DARSTELLUNG DER OPTISCHEN DOPPELBRECHUNGSDIFFERENZ 'N
Hierbei ist 'n die gemessene Brechungsindexdifferenz und 'n0 der maximal erreichbare Wert bei vollständiger Orientierung der Moleküle. Wenn die zur Orientierung benötigte Zeit im Verhältnis zur Dauer der Dehnbeanspruchung kurz ist, kann der zweite Term vernachlässigt werden
'n 'n 0
2H 15 Dr
Gl. 5-9
. Der Rotations-Diffusions-Koeffizient Dr kann hierbei aus Abbildung 5-3 durch die Anfangssteigung bei H o 0 bestimmt werden. Hiermit ist eine weitere Stoffkonstante zur Beschreibung des Stoffsystems Polymer-Lösungsmittel gefunden.
Verwendete Polymere
37
6 Verwendete Polymere 6.1 Charakterisierung von PRAESTOL 2300 Das technische Polymer Praestol 2300 gehört zu der Gruppe der nicht-ionogenen Polyacrylamiden (PAAm). Die mittlere Molmasse wird mit 4*106 bis 6*106 kg/kmol angegeben.
ABBILDUNG 6-1: STRUKTURFORMEL PRAESTOL 2300
Als Lösungsmittel wurde Leitungswasser mit einer Leitfähigkeit von ungefähr 550 uS/cm verwendet. Damit konnten die Fließeigenschaften der resultierenden Polymerlösungen in einem technisch gut zu handhabenden Konzentrationsbereich variiert werden, so dass hier verschiedene Fließbereiche einstellbar waren. Ein ionogenes Polymer, wie beispielsweise das PR2350 wäre in Bezug auf die Erhöhung der Ruhescherviskosität zwar effektiver, aber für unsere Zwecke nicht so geeignet, weil es in der Lösung schon gestreckt vorliegt.
6.2 Herstellung der Polymerlösungen mit PRAESTOL 2300 Die verwendeten Polymerlösungen setzen sich aus Polymersubstanz (feste Partikel in Form eines Granulats) und Leitungswasser als Lösungsmittel zusammen. Das Essener Leitungswasser besitzt eine nahezu gleichbleibende Leitfähigkeit von N = 450 - 600PS / cm. Die einzustellende massenbezogene Konzentration c wird nach der Beziehung:
c
mPolymer mLösungsmittel
[wppm]
Gl. 6-1
berechnet. Mit Hilfe einer Waage wird die benötigte Masse an Polymersubstanz abgewogen und dem bereitgestellten Lösungsmittel beigegeben. Diese wurde auf einem Rotationsteller 3
Verwendete Polymere
38
Tage homogenisiert. Die Verdünnung auf die gewünschte Konzentration erfolgte in der Versuchsanlage am Tag der Versuchsdurchführung. Zu diesem Zweck wurde die Mutterlösung langsam in den Ausgleichsbehälter eingefüllt und die endgültige Homogenisierung erfolgte durch den Kreislauf der LDA- Anlage. Da mit einer definierten Wassermenge gemessen wurde, musste die Befüllung der Anlage um den Wert der zugeführten Polymerlösungensmenge reduziert werden.
6.3 Charakterisierung von Xanthan Gum Xanthan ist ein Exopolysaccharid, welches von dem bakteriellen Pflanzenschädling Xanthomonas camestris ausgeschieden wird. Es wird seit 1964 industriell hergestellt, ist seit 1969 auf dem nordamerikanischen und seit 1980 auf dem europäischen Markt als Lebensmittelzusatzstoff zugelassen. Die Jahresproduktion beträgt 1,5 Gg(1500to) [Mergenthaler 1984]. Es besteht wie die Cellulose aus E-(1-4) verknüpften D-Glucoseeinheiten, besitzt aber an jedem zweiten Kohlenstoffatom C eine anionische Trisaccharidseitenkette [Jansson1977]. Wie in Abbildung 6-2 dargestellt, können sich bei der Trisaccharidgruppe an der internen Mannopyranosylgruppe ein 6-Acetylrest und an der terminalen Mannopyranosylgruppe ein 4,6-O-lCarboxyethylidenrest befinden. Der Gehalt an Pyruvat- und Acetylgruppen variiert je nach Bakterienstamm und Wahl der Fermentationsbedingungen. Durch diese Variationsbreite an Substituenten kann das Xanthan als Quartärpolymer beschrieben werden [Kulicke, Oertel 1990]. Im Vergleich zu einer vollständig gestreckten Kette weist die helikale Konformation beim Xanthan lediglich eine Verkürzung um maximal 10% auf. Das Xanthanmolekül ist demnach in dieser Konformation sehr stark gestreckt, da die Helixstruktur durch die Ausrichtung der großen Seitengruppen bedingt wird. OH
CH2OH O O
O
OH
O O OH
HO COOMt O CH2 MtOOC
O
O
O O
CH2OOCCH3
OH OH
C H3 C
OH
CH2OH
O
OH HO OH
ABBILDUNG 6-2: STRUKTUR VON XANTHAN
Rheooptik
39
7 Rheooptik Zusätzlich zu den rheomechanischen Messverfahren, die den Spannungszustand der zu untersuchenden Probe mit einer zeitabhängigen Deformation korrelieren, soll nun eine optische Methode herangezogen werden. Diese optische Methode beruht auf der Wechselwirkung von polarisiertem Licht mit den ausgedehnten Elektronensystemen von Polymerketten und deren Seitengruppen. Aus den resultierenden Phasenverzögerungen und Absorptionsphänomenen lassen sich Aussagen über die lokale Orientierung von Polymersegmenten und Polymeraggregaten in Spannungs- und Deformationsfeldern machen, wie sie in der turbulenten Strömung herrschen.
Nachfolgend werden, neben den allgemeinen Prinzipien der optischen Rheologie die verwendete Messtechnik vorgestellt und die daraus resultierenden Ergebnisse.
7.1 Strömungsdoppelbrechung und Strömungsdichroismus Die Strömungsdoppelbrechung und der Strömungsdichroismus sind die messtechnisch erfassbaren Auswirkungen der Wechselwirkung des Lichtes mit unterschiedlichen molekularen Strukturen. Allgemein ist die Strömungsdoppelbrechung eine Funktion der spannungsinduzierten Anisotropie in den Polarisierbarkeiten der Bindungen im untersuchten Molekül, welche zu einer anisotropen Verzögerung des Lichtes führt [Zimm 1958].Der Strömungsdichroismus hingegen resultiert aus einer Streufunktion, d.h. der ungleichen Streuung von Licht mit unterschiedlichen Polarisationsrichtungen an anisotropen Teilchen, welche zu einer anisotropen Abschwächung des Lichtes führen. Diese Teilchen können größere Moleküle, Aggregate oder Assoziate sein. Demzufolge kann die Strömungsdoppelbrechung hydrodynamische Eigenschaften kleiner, molekularer Strukturen, der Strömungsdichroismus Eigenschaften von größeren, partikulären Anteilen detektieren. Sowohl bei der Doppelbrechung als auch beim Dichroismus sind intrinsische Anteile und Formanteile zu unterscheiden. Die intrinsische Anteile werden durch die Polarisierbarkeit, beziehungsweise im Falle des Dichroismus durch die Absorptionsquerschnitte, die Formanteile durch die äußere Form der Teilchen bestimmt. Ein Formanteil kann daher nur auftreten, wenn eine Differenz im Brechungsindex zwischen Polymer und Lösungsmittel besteht.
Rheooptik
40
Diese Einteilung in einen intrinsischen Anteil und einen Formanteil ist für die weitere Interpretation der optischen Materialfunktionen von entscheidender Bedeutung. Allgemein lässt sich die Wechselwirkung des Lichtes mit der Materie durch einen Brechungsindextensor beschreiben [Fuller 1993]:
n
nc incc
Gl. 7-1
Der Realteil n’ bewirkt eine Phasenverzögerung und ist der Doppelbrechung zuzuordnen, während der Imaginärteil n’’ eine Abschwächung des Lichtes bewirkt und somit den Dichroismus darstellt. Die Doppelbrechung und der Dichroismus sind als Differenz der jeweiligen Eigenwerte von n’ und n’’, d.h. als 'n’ und 'n’’ definiert. Gleichung 7-1 ist sowohl bei den intrinsischen als auch bei den Formeffekten gültig. Doppelbrechung und Dichroismus treten also unabhängig davon auf, ob Wechselwirkungen mit Polymersegmenten oder mit aggregierten Anteilen untersucht werden. Da in der Praxis aber tatsächlich mit der Doppelbrechung das Verhalten von Polymersegmenten und mit dem Dichroismus das Verhalten von Aggregaten beobachtet werden kann, ist eine nähere Erläuterung dieser Effekte nötig. Die Unterscheidung von intrinsischem Dichroismus und Formdichroismus führt aufgrund des Energieerhaltungssatz für die Streuung zu folgender Gleichung [Hulst van de 1957]
Cext
C abs C sca
Gl. 7-2
Die Größen Cext,Cabs und Csca stellen die Partikelquerschnitte für Extinktion, Streuung und Absorption dar, d.h. die gesamte Auslöschung des Lichtes Cext ergibt sich als Summe von Absorption Cabs und Streuung Csca. Dementsprechend stellt der in einem Molekül absorbierte Anteil die Fläche Cabs, d.h. den intrinsischen Anteil des Dichroismus dar. Für Moleküle, die bei der eingesetzten Wellenlänge kein Licht absorbieren, gilt also:
Cext
C sca
und der intrinsische Anteil des Dichroismus fällt weg.
Gl. 7-3
Rheooptik
41
Die Wechselwirkungen von Licht mit Materie können mit zwei unterschiedlichen Theorien erklärt werden:
x
Die erste, die Lorentz-Lorenz-Gleichung, gilt unter der Bedingung, dass die gegenseitigen Abstände der streuenden Teilchen klein sind im Vergleich zur Wellenlänge O und dass die Partikel deutlich kleiner sind als O [Hulst van de 1957]. Die Streuung an diesen Partikeln ist dann gegeben durch die mittlere Polarisierbarkeit (D) dieser Teilchen:
(D )
3(n² 1) 4SN (n ² 2)
Gl. 7-4
Bei Molekülen ist die Polarisierbarkeit D gegeben durch die Polarisierbarkeit der Bindungen. Wenn n real ist, tritt gemäß Gleichung 7-1 keine Streuung auf, und die mittlere Ausrichtung der Polymersegmente führt zur Doppelbrechung. Eine Abschwächung des Lichtes kann dann nur durch Absorption erfolgen
x
Der zweite theoretische Ansatz ist unter der Annahme gültig, dass die Abstände zwischen den Teilchen groß sind im Vergleich zur Wellenlänge O [Hulst van de 1957]. Diese Abstände müssen ebenfalls groß sein im Vergleich zur Größe der Partikel. Unter diesen Bedingungen wird die Fortpflanzung der Welle durch die Vorwärtsstreuung bestimmt. Nach van de Hulst [Hulst van de 1957] ist der Brechungsindextensor n unter diesen Bedingungen gegeben durch:
n 1 iS (0) 2SNk 3
Gl. 7-5
wobei k die Wellenzahl 1/O und S(0) die durch die Streuung bedingte Amplitudenfunktion in Vorwärtsrichtung ist, also quasi den Streulichtanteil des Primärstrahls darstellt. Unter Berücksichtigung von Gleichung 7-1 sind die in Gleichung 7-5 Real- und Imaginärteil einzubeziehen, d.h.
nc 1 2SNk 3 Im^S (0)`
Gl. 7-6
Rheooptik
42
bestimmt die Phasenverzögerung für unterschiedliche Polarisationsrichtungen. Diese Gleichung beschreibt demnach die Formdoppelbrechung, während
ncc 2SNk 3 Re^S (0)`
Gl. 7-7
den Imaginärteil darstellt, also die Intensitätsabschwächung durch die Streuung, und somit den Formdichroismus beschreibt.
Die Abbildung 7-1 zeigt schematisch die Veränderung eines elektrischen Feldvektors bei doppelbrechenden Substanzen. Der Feldvektor des einfallenden Lichtes wird in zwei zueinander senkrechte Komponenten zerlegt.
E0
E1
Phasendifferenz n´x z n´y
ABBILDUNG 7-1: DARSTELLUNG DER WIRKUNGSWEISE EINES DOPPELBRECHENDEN MEDIUMS
Eine doppelbrechende Substanz zeigt anistrope optische Eigenschaften, d.h. unterschiedliche Brechungsindizes für unterschiedliche Polarisationsrichtungen. Dementsprechend ergeben sich für die unterschiedlichen Polarisationsrichtungen unterschiedliche Lichtgeschwindigkeiten. Wie in Abbildung 7-1 dargestellt, führt das dazu, dass die horizontale Komponente hinter der vertikalen Komponente zurückbleibt und eine Phasendifferenz zwischen den beiden Komponenten
des
einfallenden
Lichtes
entsteht.
Für
eine
Phasendifferenz
von
G c S / 2({ O / 4) führt die Vektoraddition der Komponenten nach der Probe zu zirkular polarisiertem Licht, für andere Phasendifferenzen zu elliptisch polarisiertem Licht. Durch die
Rheooptik
43
doppelbrechende Substanz wird also linear polarisiertes Licht in elliptisch polarisiertes umgewandelt. Eine Analyse des Polarisationszustandes gibt folglich Auskunft über die doppelbrechenden Eigenschaften der durchstrahlten Materie.
7.2 Beschreibung der Polarisation Nach dieser allgemeinen Erklärungen der in der Rheo – Optik auftretenden Phänomene muss zur Erklärung des Messprinzips noch auf die formale Beschreibung von Polarisationszuständen eingegangen werden. Die elektrische Feldstärke E, die elektrische Verschiebungsdichte D, die Magnetfeldstärke H und die magnetische Flussdichte B sind zur vollständigen Beschreibung einer elektromagnetischen Welle notwendig. Für den Polarisationsvektor ist hingegen nur die elektrische Feldstärke E relevant, da die Wechselwirkungen zwischen dem elektrischen Feld und den Elektronen des durch die Polarisation beeinflussten Objektes deutlich größer sind als diejenigen zwischen Objekt und magnetischem Feld. Darüber hinaus lassen sich aus E die Vektoren H,D und B mittels der Maxwellschen Feldgleichungen bestimmen. Im Experiment wird daher nur die elektrische Feldstärke beobachtet.
Strahlt das Licht durch eine Probe, kommt es zu einer Veränderung von E :
E0 o E1
Gl. 7-8
Wird das Licht reflektiert, kommt es zu einer Veränderung in der Intensität, die von der Partikelgröße d, der Wellenlänge O und dem Beobachtungswinkel [ abhängt:
I0
I 0 ([ , d / O ) o I1
Gl. 7-9
womit die beiden in der Rheo – Optik relevanten Messgrößen benannt wären. Der elektrische Feldvektor E kann aber nicht direkt bestimmt werden, sondern nur sein Quadrat, also die Intensität :
I
E
2
EE*
Gl. 7-10
Rheooptik
44
Dieser elektrische Feldvektor E kann in drei unabhängige, harmonische und lineare Schwingungen zerlegt werden:
E
Ex E y Ez
Gl. 7-11
mit
Ej
A j cos(G j Zt )
j
x, y , z
Gl. 7-12
wobei Ex, Ey und Ez die Produkte der Skalare mit den Einheitsvektoren xˆ , yˆ und zˆ eines entsprechenden Koordinatensystems sind , Aj die Amplitude, Gj die Phasendifferenz und Z die Kreisfrequenz ist.
Im
Z A y
M x
Re
ABBILDUNG 7-2: DIE GAUßSCHE ZAHLENEBENE
In der Gaußschen Zahlenebene wird ein Punkt Z als komplexe Zahl Z = x + iy dargestellt, dessen Abstand von der Achse der reellen Zahlen y und dessen Abstand von der Achse der imaginären Zahlen x ist. Bezeichnet A die Amplitude, d.h. seinen Abstand vom Nullpunkt, und M den Winkel, den A und x einschließen, so ist
x
A cos M
y
A sin M
Gl. 7-13
Rheooptik
45
und daher
Z
A cosM iA sin M
A(cosM i sin M )
Gl. 7-14
Mit der Eulerschen Formel folgt:
Z
A (cosM i sin M )
A exp(iM )
Gl. 7-15
Da durch komplexe Zahlen dargestellte physikalische Größen immer dem Realteil entsprechen, d.h. cosM
exp(iM ) , ergibt sich für Gleichung 7-12:
Frequenz
A j exp(iG j j )exp(iZt )
Amplitude
Ej
Phase
Frequenz 2Sn j A j exp(i j )exp(iZt ) O
Amplitude
Gl. 7-16
Phase
wobei Aj die Amplitude und der Term exp(iG j z ) die Phase beschreibt. Der Term exp(iZt ) beschreibt die zeitliche Abhängigkeit und ist zur Darstellung der Polarisation nicht erforderlich. Für die Beschreibung des Feldvektors unabhängig von der Richtung gilt eine zu Gleichung 7-16 analoge Gleichung:
E
§ Ax exp(iG x x) exp(iZt ) · ¸ ¨ ¨ Ay exp(iG y y ) exp(iZt ) ¸ ¨ A exp(iG z ) exp(iZt ) ¸ z ¹ © z
Gl. 7-17
Für einen einfachen Versuchsaufbau mit einem doppelbrechenden Element (n j
n 'j ) ergibt
sich folgende Matrixbeschreibung für das einfallende Licht E0 (die z-Komponente fällt weg, nur die x-Komponente wird dargestellt):
E0
§ A· ¨¨ ¸¸ © A¹
§1· A¨¨ ¸¸ ©1¹
Gl. 7-18
Rheooptik
46
mit A als Amplitude. Durch ein doppelbrechendes optisches Element der Dicke d, bei dem n x' z n 'y und ncxc ncyc
0 ist, wird E0 verändert, was eine Veränderung der Phasenbeziehung zur Folge hat.
Daher gilt [Fuller 1993]:
E1
0 §1 · § A· ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ c © 0 exp(iG ¹ © A ¹
J E0
1 § · ¸¸ A ¨¨ © exp(iG c ¹
Gl. 7-19
E0 und E1 sind die Feldvektoren vor bzw. hinter der Probe. Die Größe J ist die Jones-Matrix,
welche die charakteristische Veränderung des Feldvektors in dem optischen Element beschreibt [Azzam et al. 1977]. Für den Fall, dass die Phasenverzögerung in dem optischen Element gegeben ist durch
Gc
2S'nc
O
d
S
O
2
4
Gl. 7-20
wobei die Doppelbrechung 'nc n x n y und d die Dicke des optischen Elements ist, gilt unter Wiedereinführung der zeitlichen Abhängigkeit (dritter Term in Gleichung 7-16) und der Winkelfunktionen:
E1
§ exp(iZt ) · ¸ S A¨ ¨ exp(i iZt ) ¸ 2 © ¹
§ cos Zt · A¨¨ ¸¸ © sin Zt ¹
Gl. 7-21
Diese Gleichung beschreibt eine Kreisfunktion, d.h. zirkular polarisiertes Licht. Durch ein O/4 Plättchen wird folglich aus linear polarisiertem Licht zirkular polarisiertes.
Rheooptik
47
7.3 Grundlagen zur Bestimmung der Doppelbrechung Ein photoelastischer Modulator ist ein optisches Element mit schnell wechselnden optischen Eigenschaften, so dass in hinreichend kurzer Zeit sehr viele verschiedene Polarisationszustände realisiert werden können. Dazu wird ein doppelt brechender Quarzkristall z.B. mittels des piezoelektrischen Effekts über eine oszillierende Spannung in mechanische Schwingungen entlang der Durchgangsachse eines linear polarisierten Laserstrahls versetzt. Dadurch ändert der Kristall seine optische Weglänge um den Betrag 'dmax. Die so induzierte, mit der Kreisfrequenz Z oszillierende Phasenverzögerung des photoelastischen Modulators (PEM) GPEM berechnet sich nach:
G PEM
A sin(Z t )
Gl. 7-22
mit
A
2S 'd max 'nc
O0
Gl. 7-23
Durch die Kombination mit einem nachfolgenden O/4 – Plättchen werden die vom PEM erzeugten zirkularpolarisierten Polarisationszustände wieder in lineare umgewandelt, wobei diese jedoch rotieren. So lassen sich in kurzer Zeit viele verschiedene Polarisationszustände für den Probendurchgang erzeugen. Die gesuchten Variablen der Doppelbrechung können aus den zeitlich verschiedenen Intensitäten nach dem Durchgang durch die beanspruchte Probe berechnet werden. Der bei Doppelbrechungsmessungen verwendete Zirkularpolarisator dient dazu, das nach dem Probendurchgang entstandene elliptisch polarisierte Licht in linear polarisiertes Licht schwankender Intensität umzuwandeln, das dann mit dem Photodetektor detektiert werden kann. Die bei dieser Arbeit verwendete Anlage ist in Kapitel 8 dargestellt und näher erläutert. Eine ausführliche Beschreibung der STOKES-Vektoren und MÜLLER-Matrizen der rheooptischen Messstrecke findet sich ebenfalls in Kapitel 8 und bei Azzam [Azzam 1977]. & Für den Stokes-Vektor S O / 4 vor dem Durchgang durch die Probe gilt:
Rheooptik 1 § · ¨ ¸ ¨ cos G PEM ¸ I0 ¨ sin G PEM ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 © ¹
& SO / 4
48 1 § · ¨ ¸ ¨ cos( A sin(Z t )) ¸ I0 ¨ sin( A sin(Z t )) ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 © ¹
Gl. 7-24
Folgende Schreibweisen vereinfachen die weiteren Formeln, wobei B für Doppelbrechung steht:
AB
cos( 2 I ) sin G c
Gl. 7-25
BB
sin( 2 I ) sin G c
Gl. 7-26
Die Intensitätsschwankungen enthalten einen zeitunabhängigen Intensitätsanteil IDC (Idirect current):
I DC ,B
1 I 0 cos G c 2
Gl. 7-27
mit der Phasenverzögerung G c der Doppelbrechung
Gc
2S 'nc
O0
d
Gl. 7-28
I0 entspricht dabei der Intensität des Lichtes, für die Messgröße der Intensität des Signals IB der Doppelbrechungsmessung, bei der ein zusätzlicher Zirkularpolarisator nach der Probe in den Strahlengang gebracht wird, erhält man:
IB
I DC , B (1 J 1 ( A) AB sin(Z t ) J 2 ( A) BB cos(2 Z t ))
Gl. 7-29
An dem Photodetektor wird die Intensität in eine proportionale Stromstärke umgewandelt, so dass sich der zeitunabhängige Gleichstromanteil IDC mittels eines Low-Pass-Filters bestimmen lässt. Die Besselfunktionen J1(A) und J2(A) lassen sich im Vorwege experimentell
Rheooptik
49
bestimmen. Mittels Fourier-Transformationen der Intensitätssignale, die von zwei Lock-InVerstärkern vorgenommen werden, erhält man die Amplituden
I DC , X J 1 ( A) AX und
I DC , X J 1 ( A) B X (x=B) der Winkelfunktionen. Somit lassen sich die Größen Ax und Bx errechnen, aus denen sich die rheooptischen Materialfunktionen ergeben: Für die Doppelbrechung und deren Orientierung gilt:
'nc
I
O0 2S d
arcsin AB ² BB ²
B 1 arctan( B ) AB 2
Gl. 7-30
Gl. 7-31
Messeinrichtung zur Bestimmung der Doppelbrechung
50
8 Messeinrichtung zur Bestimmung der Doppelbrechung Bei der Entwicklung der Messeinrichtung mussten verschiedene Faktoren bzgl. des Messortes, des Messverfahrens, der Störeinflüsse und der geometrischen Gegebenheiten berücksichtigt werden. Zum einen darf die Messung nur in hydrodynamisch voll ausgebildeter Strömung erfolgen. Des weiteren ist eine exakte Orthogonalität der optischen Achse zum Kanal für die Messungen absolut erforderlich. Außerdem sind Störeinflüsse durch Erschütterungen und eventuell vorhandene starke elektromagnetische Felder im Laborbereich zu lokalisieren und deren möglicher Einfluss durch eine Anpassung der Konstruktion zu minimieren. Der konzipierte Versuchsstand lässt sich im Wesentlichen in drei Hauptkomponenten gliedern:
-
mechanischer Aufbau (Lagerung und Aufnahme der Messoptik)
-
optischer Aufbau (Laser und Optik, Photodetektor)
-
elektronischer Aufbau (Auswerteelektronik, Spannungsversorgung, PC-Interface)
Für die mechanische Auslegung der Messvorrichtung muss also auf eine der bestehenden Anlage angepasste Geometrie und eine ausreichende Schwingungs-Entkopplung zum Fundament hin, Wert gelegt werden. Bei der Auslegung der optischen Elemente des Versuchsaufbaus ist zu berücksichtigen, dass eine exakte Winkeljustage der zur hochfrequenten Verdrehung der Polarisationsebene notwendigen PEM, eine exakte Orthogonalität der optischen Achse bezüglich des Kanals, sowie eine optionale Höhenverstellung der gesamten Optik zum Abfahren eines Bereichs von der Kanalmitte zur Kanalwand hin möglich ist. Weiterhin müssen die optischen Eigenschaften der Bauteile analysiert werden und der Messeinrichtung angepasst werden. Die elektronische Komponente des Messstandes umfasst die Erfassung, Aufbereitung und Auswertung des Messsignals. Dazu muss über einen Photodetektor das einfallende Licht des Laserstrahls über eine A/D-Wandlerkarte in ein einlesbares, proportionales Spannungssignal umgesetzt werden.
Messeinrichtung zur Bestimmung der Doppelbrechung
51
8.1 Entwurf des Versuchsaufbaus Mechanischer Aufbau Dem Versuchsaufbau sind folgende mechanisch-geometrischen Gesichtspunkte zugrunde gelegt worden: 1.) Die gesamte Optik ist auf ein und demselben Profil montiert, um eine gemeinsame Bezugshöhe zu schaffen. Dieses Profil ist an die seitlich stehende Rollkonstruktion der Anlage mit Hilfe des Montagesystems der Firma SPINDLER&HOYER montiert. Damit gewährleistet die komplette Anlage ein Abfahren des Kanals in horizontaler Richtung, sowie in vertikaler Richtung. Somit kann die komplette Optik mit Hilfe einer Traversiereinheit gehoben und gesenkt werden, so dass es nicht mehr notwendig ist, die einzelnen Komponenten selbst zu verstellen. Eine Vereinfachung der Justage ist somit gewährleistet. 2.) Als Profilschiene wurde ein X-Profil der Länge L = 1500mm gewählt, um genügend Variationsmöglichkeiten insbesondere in Längsrichtung zu schaffen.
3.) Da für die angestrebten Untersuchungen kein Laser mit sehr hoher Leistung erforderlich ist, wird als Lichtquelle ein Stablaser mit einer Länge von 400mm und einer Leistung von 20mW, der direkt in die Optik einstrahlt, benutzt. Dieser Laser ist zusammen mit der Optik auf dem Profil montiert. 4.) Die Schiene ist seitlich unterhalb des Kanals angebracht, um leichten Zugriff auf das System für Justage und Montage/Demontage zu ermöglichen. Dabei ist die Begrenzung durch die den Kanal tragende Fachwerkstahlgitterkonstruktion berücksichtigt worden. 5.) Um eine aufwendige Sockelung der Profilschiene und Schwingungsentkopplung zum Fundament zu umgehen, wurde die Profilschiene seitlich hängend an die bestehende Rollkonstruktion montiert. Vor und hinter dem Kanal können so alle optischen Komponenten befestigt werden. Die Abstützung zum Boden kann somit eingespart werden. Die Schwingungsentkopplung wird über die Rollstruktur des Wagens realisiert. Mögliche Erschütterungen, die die Messungen beeinträchtigen könnten, sind damit auf das Maß an Schwingungen des Systems Messstrecke, die über den Boden übertragen werden könnten, reduziert und somit vernachlässigbar gering.
Messeinrichtung zur Bestimmung der Doppelbrechung
52
Photodetektor
Zirkular-polarisator
/4 - Plättchen
Photoelastischer Modulator
Glan-Thompson Polarisator
He-Ne-Laser
Optischer Aufbau
Arbeitsstation
ABBILDUNG 8-1: VERSUCHSANLAGE RHEOOPTISCHE MESS-STRECKE
Mit Hilfe der Modulationstechnik Kapitel 7-3, d.h. mit der schnellen Veränderung der optischen Eigenschaften des Versuchsaufbaus sind rheo-optische Untersuchungen möglich. Abbildung 8-1 zeigt den eingesetzten Versuchsaufbau mit einem photo-elastischen Modulator (PEM). Ein polarisierter He-Ne-Laser (O=632,8 nm), dessen Polarisationsrichtung senkrecht zur Fließrichtung steht, dient als Lichtquelle. In der Verbindung PEM mit einem O/4 Plättchen entstehen die unterschiedlichen Polarisationsrichtungen. Der rechte Teil des Messgerätes bestimmt somit den Polarisationszustand des Lichtes, dessen Orientierung mit einer Frequenz von 50 kHz variiert. Der modulierte Lichtstrahl durchläuft den Strömungskanal. Die untersuchte Anisotropie wird durch das Belastungsfeld der turbulenten Strömung induziert. Zur Bestimmung der Strömungsdoppelbrechung wird ein Zirkularpolarisator zwischen Strömungskanal (Probe) und Detektor eingefügt. Die Lichtintensität wird mit einem Photodetektor aufgenommen. Über einen Low-pass-Filter wird der Gleichstromanteil IDC in der durch die Modulation wechselnden Intensität bestimmt. IDC stellt somit ein Maß für die von der Polarisationrichtung unabhängige Durchlässigkeit dar. Die Signale aus den Verstärkern R1 und R2 und IDC werden über eine AD-Interface-Karte in einen Computer eingelesen und dort bearbeitet.
Messeinrichtung zur Bestimmung der Doppelbrechung
53
Die Auswertung der gemessenen Intensität erfolgt nach der Gleichung:
Sn
M 1 M 2 M n 1 M n S 0
Gl. 8-1
.
Ziel des Versuchsaufbaus ist es, nur die gesuchten Variablen 'nc und I bzw. 'n cc und T in der Matrix der Probe zu bestimmen. Um aus der gemessenen Intensität die Werte für 'nc und I bzw. 'n cc und T feststellen zu können, muss berücksichtigt werden, dass die Verstärker lediglich eine FourierTransformation der eingehenden Signale ermöglichen.
Ergebnisse der Dopppelbrechung
54
9 Ergebnisse der Dopppelbrechung Zuerst werden exemplarisch die strömungsmechanischen Ergebnisse, insbesondere das Turbulenzverhalten im wandnahen Bereich, für Praestol 2300 und Xanthan bei der Lösungsmittel-Reynoldszahl von 30.000 gezeigt. Dazu ist in Abbildung 9-1 und 9-2 die Reynoldssche Schubspannung U u 'v' normiert auf die Wandschubspannung W in Abhängigkeit des dimensionslosen Wandabstandes dargestellt. Aus physikalischer Sicht beschreibt diese Größe den turbulenten Impulstransport von der Wand in Richtung der Kanalachse.
ABBILDUNG 9-1:DIE REYNOLDSSCHE WANDSCHUBSPANNUNG FÜR WÄßRIGE LÖSUNGEN VON PRAESTOL 2300 [BRÄMER 2006]
Ergebnisse der Dopppelbrechung
55
ABBILDUNG 9-2: REYNOLDSSCHE WANDSCHUBSPANNUNG FÜR WÄßRIGE LÖSUNGEN VON XANTHAN [BRÄMER 2006]
In unmittelbarer Wandnähe führt die Zugabe von Polymeren schon für den Partikelbereich zu einer drastischen Abnahme des Impulstransportes. Mit zunehmender Konzentration ist vor allem in Wandnähe eine weitere Reduzierung des Impulstransportes zu beobachten [Rensch 2001]. Mit steigendem Wandabstand Richtung Kanalachse, nähern sich diese Werte wieder denen des Lösungsmittels an.
In Abbildung 9-3 ist die transversale Turbulenzintensität normiert auf die Wandschubspannungsgeschwindigkeit uW
W W / U als Funktion des dimensionslosen Wandabstandes für die
Reynoldszahl 30.000 und verschiedene Lösungszustände dargestellt. Während die Werte der axialen Turbulenzintensität im wandnahen Bereich bei Vorliegen einer Partikellösung im Vergleich zum Lösungsmittel Wasser stark ansteigen [Gampert, Rensch 1996] (Kapitel 13), ist bei der transversalen Komponente ein gänzlich anderes Verhalten zu beobachten. Für die transversale Turbulenzintensität ist ebenso wie für die Reynoldsche Schubspannung mit steigender Konzentration eine drastische Abnahme der Werte im wandnahen Bereich zu beobachten. Mit steigendem Wandabstand nähern sich diese Werte wieder denen des Lösungsmittels an.
Ergebnisse der Dopppelbrechung
56
ABBILDUNG 9-3: TRANSVERSALE TURBULENZINTENSITÄT FÜR WÄßRIGE LÖSUNGEN VON PRAESTOL 230 [BRÄMER 2006]
ABBILDUNG 9-4: TRANSVERSALE TURBULENZINTENSITÄT FÜR WÄßRIGE LÖSUNGEN VON XANTHAN [BRÄMER 2006]
Ergebnisse der Dopppelbrechung
57
Die Fragestellung, ob die drastische Veränderung der turbulenten Schwankungsgrößen(siehe auch Kapitel 13) im Vergleich zum Lösungsmittel Wasser mit einer Orientierung und Ausrichtung der Makromoleküle in Abhängigkeit vom Wandabstand erklärt werden kann, soll mit Hilfe der rheooptischen Ergebnisse näher untersucht werden. Zu dem würde man bei einer Orientierung und Streckung der Makromoleküle auf Dehnfelder schließen können. Dies würde die Hypothese unterstützen, dass das veränderte Turbulenzverhalten auf die Wirkung der Dehnviskosität zurück zuführen ist. Dazu sind in den folgenden Abbildungen die Intensitätsmaxima der Doppelbrechungssignale IDC in Abhängigkeit des dimensionslosen Wandabstandes für die verschiedenen Reynoldszahlen und der verschiedenen Lösungszustände dargestellt. Es lassen sich zwei charakteristische Bereiche feststellen. Im wandnahen Bereich kann mit zunehmender Konzentration ein Anstieg der Lichtintensitätsmaxima festgestellt werden. Ausgehend vom Lösungsmittel Wasser ist schon für den Partikelbereich ein deutlicher Anstieg der Doppelbrechungssignale in unmittelbarer Wandnähe zu beobachten. Mit steigender Konzentration werden diese Werte besonders im wandnahen Bereich zunehmend größer. Dieser Anstieg ist auf das wertemäßig größere Dehnfeld zurückzuführen, da hier mehr Polymersegmente in die gleiche Richtung ausgerichtet werden. Mit zunehmendem Wandabstand in Richtung der Kanalachse werden die Werte der Doppelbrechungssignale zunehmend kleiner und erreichen schließlich wieder Lösungsmittelniveau. Dichroismus konnte für keine der Lösungen detektiert werden.
Ergebnisse der Dopppelbrechung
2
4
6
8
10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Polymer : Xanthan Re = 15000 ________________
45 40 35 30 25 20 15 10
Orientierungswinkel [°]
IDC / I0 [ - ]
0
58
c = 30 ppm c = 60 ppm Winkel bei 30 ppm Winkel bei 60 ppm
5 0 0
2
4
6
8
10
8
10
y / 0.5 B [ - ]
0
2
4
6
30
35
20
30 25
15
20
10
15 10
5
Orientierungswinkel [°]
40
25 IDC / I0 [ - ]
Polymer : Xanthan Re = 15000 ________________
45
c = 90 ppm c = 120 ppm Winkel bei 90 ppm Winkel bei 120 ppm
5
0
0 0
2
4 6 y / 0.5 B [ - ]
8
10
ABBILDUNG 9-5: LICHTINTENSITÄT UND ORIENTIERUNGSWINKEL EINER WÄßRIGEN XANTHANLÖSUNG RE = 15000
In den Abbildungen 9-5 bis 9-7 sind die gemittelten Intensitätsmaxima der Doppelbrechungssignale in Abhängigkeit des dimensionslosen Wandabstandes mit dem zugehörigen Orientierungswinkel für verschiedene Reynoldszahlen und verschiedene Lösungszustände dargestellt.
Die Orientierung der Makromoleküle im Dehnfeld der turbulenten Strömung zeigen die Abbildungen 9-5 bis 9-7. Die Lösungen zeigen eine Ausrichtung der Polymersegmente in Abhängigkeit der Wandabstände, wobei kleine Wandabstände eine hohe Beanspruchung bedeuten. Bei einer niedrigen Beanspruchung liegen die Poymersegmente zunächst ungeordnet vor (Orientierungswinkel 45°). Mit zunehmender Beanspruchung werden sie im Dehnfeld ausge-
Ergebnisse der Dopppelbrechung
59
richtet (abnehmender Orientierungswinkel), erreichen jedoch keine vollständige Orientierung (0°) zum Beanspruchungsfeld. Die Erklärung dafür ist die nicht rotationsfreie Strömung. Durch die zunehmende Segmentdichte bei steigender Konzentration nehmen die Wechselwirkungen sprich Verschlaufungen zu. Diese bewirken den Eintrag höherer Kräfte auf die einzelnen Polymerkettenabschnitte, so dass bei gleicher Reynoldszahl eine stärkere Lichtintensität erzielt wird. 2
4
6
8
10
Polymer : Xanthan Re = 30000 ________________
45 40 35 30 25 20 15 10
Orientierungswinkel [°]
IDC / I0 [ - ]
0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
c = 30 ppm c = 60 ppm Winkel bei 30 ppm Winkel bei 60 ppm
5 0 0
2
4
6
8
10
8
10
y / 0.5 B [ - ]
0
2
4
6
30
35
20
30 25
15
20
10
15 10
5
Orientierungswinkel [°]
40
25 IDC / I0 [ - ]
Polymer : Xanthan Re = 30000 ________________
45
c = 90 ppm c = 120 ppm Winkel bei 90 ppm Winkel bei 120 ppm
5
0
0 0
2
4 6 y / 0.5 B [ - ]
8
10
ABBILDUNG 9-6: LICHTINTENSITÄT UND ORIENTIERUNGSWINKEL EINER WÄßRIGEN XANTHANLÖSUNG RE = 30000
Der Einfluss abnehmender Konzentration wird durch die zunehmend flacher verlaufenden Intensitätskurven offensichtlich. „Stäbchenartige Makromoleküle wie Xanthan orientieren sich in verdünnten Lösungen mit steigender Beanspruchung immer stärker in Fliessrichtung. Die Molekülachsen sind nicht mehr, wie bei der ruhenden Lösung statistisch im Raum verteilt, die Lösung wird wie schon gesagt anisotrop. Die so erzeugte optische Doppelbrechung steigt bei Zunahme der Beanspruchung. Bei zunehmend höheren Geschwindigkeiten strebt sie
Ergebnisse der Dopppelbrechung
60
einen asymptotischen Grenzwert zu, der durch eine völlige Orientierung aller Längsachsen in Fliessrichtung hervorgerufen wird, der aber bei unseren Experimenten nicht erreicht wurde, wie man anhand der Orientierungswinkel erkennen kann. 2
4
6
8
10
Polymer : Xanthan Re = 50000 ________________
45 40 35 30 25 20 15 10
Orientierungswinkel [°]
IDC / I0 [ - ]
0 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
c = 30 ppm c = 60 ppm Winkel bei 30 ppm Winkel bei 60 ppm
5 0 0
2
4
6
8
10
8
10
y / 0.5 B [ - ]
2
4
6
45 40 35
IDC / I0 [ - ]
25
30 25 20
20 15
15 10 5
10 5 0
Polymer : Xanthan Re = 50000 ________________ Orientierungswinkel [°]
0 30
c = 90 ppm c = 120 ppm Winkel bei 90 ppm Winkel bei 120 ppm
0 0
2
4 6 y / 0.5 B [ - ]
8
10
ABBILDUNG 9-7: LICHTINTENSITÄT UND ORIENTIERUNGSWINKEL EINER WÄßRIGEN XANTHANLÖSUNG RE = 50000
In dem Bereich der Doppelbrechung werden nur die Ergebnisse von dem Polymerlösungssystem Xanthan diskutiert, da die Signale von Praestol den gleichen charakteristischen Verlauf hatten, aber in der Lichtintensität deutlich schwächer waren. Die Ursache für die unterschiedliche Stärke der Lichtintensität liegt in der molekularen Struktur. Anders als bei Xanthan, besitzt Praestol flexible Ketten. Diese bilden Knäuelmoleküle, die bei der vorliegenden Dehngeschwindigkeit nur wenig deformiert und orientiert werden, da die elastischen (entropischen) Kräfte die Moleküle in die thermodynamisch günstigere Knäulform zurückbefördern. Dieser Unterschied zwischen „flexiblen Ketten(Praestol)“oder „starrer Stäbchenform(Xanthan)“
begründet
die
schwächeren
Signale
der
Lichtintensitäten.
Laser- Doppler- Anemometry
61
10 Laser- Doppler- Anemometry Es stehen der Forschung einige Methoden zur Bestimmung von Geschwindigkeiten in Strömungsvorgängen zur Verfügung. Eine dieser Methoden beruht auf der Verwendung des Laser- Doppler- Anemometers, kurz LDA,. welches zu den berührungslosen optischen Messsystemen gehört. Im Allgemeinen läst sich ein LDA- System in vier Baugruppen einteilen. Dazu zählen die Lichtquelle, die Sendeoptik, die Empfangsoptik und die Auswerteelektronik. Grundlegende Informationen zu diesem Messverfahren können der einschlägigen Literatur [(Durst et al. 1976), (Ruck 1987), (Wiedemann 1984), (Rückauer 1980), (Tropea 2002)] entnommen werden.
10.1 Doppler-Effekt Es gibt eine Vielzahl von Variationen der Laser- Doppler- Technik, die alle unter dem Begriff der Laser- Doppler- Anemometrie zusammengefasst werden. Die Laser erzeugen ein sehr intensives monochromatisches Licht, welches für die Messung einer turbulenten Kanalströmung Newtonscher und auch viskoelastischer Fluide sehr zweckmäßig ist. Je nach Relativbewegung zwischen einfallendem Licht und dem angestrahlten Objekt tritt eine Frequenzverschiebung ein, die Aussagen über die Geschwindigkeit des Objektes zulässt. Diese Verschiebungen werden nach C. Doppler, der als erster diese Phänomene untersuchte, grundsätzlich Doppler-Verschiebungen genannt. Bei der LDA sind Sender und Empfänger fixiert, so dass die Doppler-Verschiebung eine Funktion der Lichtstreuung an den Partikeln der Strömung darstellt.
Laser- Doppler- Anemometry
62
ABBILDUNG 10-1: SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DES OPTISCHEN DOPPLER-EFFEKTS[TROPEA2002]
Wird Licht mit einer Wellenlänge O auf ein festes Partikel eingestrahlt, so wird es pro Zeiteinheit von
vi
c
Gl. 10-1
Oi
Wellenfronten getroffen. Dabei stellen vi die Frequenz des eingestrahlten Lichtes und c die Lichtgeschwindigkeit dar. In Abbildung 6-1 wird das LDA- Messsystem schematisch aufgeführt. Bewegt sich ein Partikel P mit der Geschwindigkeit v p unter dem Richtungswinkel D wird es pro Zeiteinheit von
vp
c w p cos D
Oi
Gl. 10-2
Wellenfronten getroffen. Zwischen den Wellenfronten und dem Partikel besteht dabei die Relativgeschwindigkeit:
wrel
c w p cos D .
Gl. 10-3
Laser- Doppler- Anemometry
63
Da die Lichtgeschwindigkeit c als konstant angesehen werden kann, ändert sich für das Partikel die Wellenlänge zu:
Op
c . vp
Gl. 10-4
Dem bewegten Partikel erscheint das eingestrahlte Licht mit der Frequenz v p und der Wellenlänge O.
Das auf das Partikel eingestrahlte Licht wird gestreut. Demgemäß wirkt das Partikel wie eine Lichtquelle. Je nach Richtung wird eine mehr oder weniger große Intensität abgegeben. Ein fixierter Empfänger erhält das Streulicht mit der Frequenz v p unter dem Winkel D 4 B , wobei
sich
ws
wP cos D 4 B bewegt. Je nach dem, ob sich das Partikel auf den Empfänger zu- oder
das
Partikel
in
Richtung
des
Streulichts
mit
der
Geschwindigkeit
von ihm wegbewegt, werden die Wellenfronten von unterschiedlicher Stelle dem Empfänger zugesandt. Die Wellenlänge O s des gestreuten Lichts erscheint deswegen für den ruhenden Empfänger kürzer oder länger.
Da die Geschwindigkeit der Partikel wP sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c ist, lässt sich die Gleichung zur Bestimmung der Doppler-Frequenz v D vereinfacht folgendermaßen angeben:
vD
wP
>cos D 4 B cos D @ .
Oi
Gl. 10-5
Die Wellenlänge des einfallenden Lichts Oi kann auch mit dem Brechungsindex n des strömenden Fluids und der Wellenlänge O 0 im Vakuum ausgedrückt werden:
Oi
O0 n
.
Gl. 10-6
Laser- Doppler- Anemometry
64
Zusammenfassend lässt sich die Doppler-Frequenz v D nun als Funktion der Partikelgeschwindigkeit w p angeben:
. vD
wP
Oi
w p >cos D 4 B cos D @
Gl. 10-7
Durch die letztgenannte Gleichung kann mit der gemessenen Doppler- Frequenz v D , den apparativen Größen O0 , D, 4 B und der stofflichen Größe n die Geschwindigkeit der Partikel w p ermittelt werden.
10.2 Interferenzstreifen-Modell Zur Beschreibung des Doppler-Effektes wird in der Praxis ein weiteres Modell verwendet. Es handelt sich um das Interferenzstreifen-Modell. Es postuliert am Überlagerungsort zweier Laserstrahlen das Vorhandensein von Interferenzen, die in einer zweidimensionalen Darstellung als Interferenzebenen erscheinen. In Abbildung 10-2 wird das Entstehen der Interferenzstreifen schematisch dargestellt.
ABBILDUNG 10-2: DARSTELLUNG DER INTERFERENZSTREIFEN [RUCK1990]
Laser- Doppler- Anemometry
65
Unter der Voraussetzung, dass die Laserstrahlen eine Gaußsche Intensitätsverteilung quer zu ihrer Längsachse aufweisen und sich genau an ihrer engsten Stelle, der so genannten Strahlentaille, schneiden, entstehen parallele, gerade Interferenzstreifen. Es gilt:
I (r )
I 0 exp(
2r 2 ). s2
Gl. 10-8
In dieser Gleichung bedeuten I(r) die Intensität des Laserstrahles in Abhängigkeit des variablen Strahlenradius r, I 0 die maximale Intensität in Strahlmitte und s der Strahlradius. Der Abstand der Interferenzstreifen G f wird aus dem Halbwinkel T/2 zwischen den Strahlen und der Wellenlänge O des Laserlichtes bestimmt:
Gf
O 2 sin
4 2
.
Gl. 10-9
Das Schnittvolumen ist infolge der Gaußschen Intensitätsverteilung ein Rotationsellipsoid. Die Abmessungen dieses Körpers werden folgendermaßen berechnet:
'X S
2V S ,
Gl. 10-10
'YS
2V S , cos(4 / 2)
Gl. 10-11
'Z S
2V S . cos(4 / 2)
Gl. 10-12
Darin stellt V S den Radius des im Schnittvolumen fokussierten Strahles dar. Er ist an der Stelle definiert, an der die Intensität I(r) von ihrem Maximalwert I(0) = I(r = 0) in Strahlmitte auf I( V S ) = I 0 e 2 abgenommen hat.
Laser- Doppler- Anemometry
66
Die Anzahl der Interferenzstreifen wird durch den Quotient aus der Breite des Schnittvolumens senkrecht zur Strahlenachse 'YS und der Streifenbreite G f ermittelt:
Nf
'YS
Gf
2V S 2 sin(4 / 2) O cos(4 / 2)
Gl. 10-13
.
Gl. 10-14
bzw.
Nf
2V nD
O0 f1
In dieser Gleichung ist D der Strahlabstand der Laserstrahlen und f1 die Brennweite der Sendeoptik. Um eine optimale Qualität der Interferenzstreifen zu gewährleisten, muss folgende Abhängigkeit zwischen dem Strahltaillenradius V S des fokussierten Strahles im Schnittvolumen und dem Strahltaillenradius V L des nicht fokussierten, den Laser verlassenden Strahles gelten:
VS
f1O 0 S nV L
.
Gl. 10-15
Durch Kombination der Gleichungen 10-14 und 10-15 kann ein Zusammenhang zwischen der Streifenzahl N f und den Strahltaillenradius V L hergestellt werden:
Nf
2D
SV L
Gl. 10-16
10.3 Messvolumen Die Größe des Messvolumens ist vom Strahldurchmesser vor der Frontlinse bestimmt und lässt sich z.B. mit einer Strahlaufweitung verkleinern.
Laser- Doppler- Anemometry
67
ABBILDUNG 10-3: BAUTEILE DER LDA[TROPEA2002]
Für die Abbildung der Laserstrahltaille in das Messvolumenzentrum, muss diese im Brennpunkt der Sendelinse liegen.
ABBILDUNG 10-4: STRAHLENGANG ZUR ENTSTEHUNG DES MESSVOLUMENS[TROPEA2002]
Die Durchmesser x m, ym und die Länge zm des Messvolumens lassen sich dann wie folgt angeben:
xm
2 r1 cos 4
ym 2
2 r1
4 f O S w0
zm
2 r1 sin 4
Gl. 10-17
2
Laser- Doppler- Anemometry
68
Die Anzahl der Streifen berechnet sich zu
N fr
xm 'x
4 r1 tan 4
O
2
2 r1 D . f O
Gl. 10-18
ABBILDUNG 10-5: DARSTELLUNG DES MESSVOLUMENS[TROPEA2002]
10.4 LDA- Signal Anhand des Interferenzstreifen-Modells kann die Entstehung des Messsignals verdeutlicht werden. Bewegt sich ein Partikel quer durch das Interferenzstreifenmuster, so wird ein Signalwellenzug erzeugt (in dieser Arbeit werden sedimentierte Latex-Farbpartikel als Streupartikel verwendet). Dieser Signalwellenzug, der auch als Burst bezeichnet wird, gibt Auskunft über die Intensitätsverteilung des vom Partikel ausgesendeten Streulichtes während der Bewegung durch das Interferenzstreifenmuster. Dabei entspricht die Frequenz des Bursts der Frequenz der Doppler-verschobenen Lichtwellen.
Da es konsequenterweise ersichtlich ist, dass in der Dopplerverschiebung keine Information über die Richtung der gemessenen Strömungsgeschwindigkeit enthalten ist, kann nicht detektiert werden, von welcher Seite der Strömung die beigegebenen Streupartikel in das Interfe-
Laser- Doppler- Anemometry
69
renzstreifenmuster eintreten. Sie blinken zwar entsprechend der Streifenabstände in HellDunkel Takten auf, diese ``Blinkfrequenz'' gibt jedoch nur den Betrag der Partikelgeschwindigkeit wieder. Wird nun einer der beiden Teilstrahlen frequenzverschoben (40 MHz), so kann das Interferenzstreifenmuster als sich bewegendes Feld interpretiert werden. Ein sich darin in Ruhe befindendes Partikel erzeugt als Folge eine ``Blinkfrequenz'' in Höhe der Überlagerten Frequenz v 0 von 40 MHz, die der Strömungsgeschwindigkeit Null entspricht. Der Gesamtbetrag der Frequenz
vD
v0 r v D
Gl. 10-19
besteht also aus der Summe der konstanten Überlagerungsfrequenz v o = 40 MHZ (Shiftfrequenz) und der durch Bewegung des Partikels hervorgerufenen Dopplerfrequenz v D , wobei das Operationszeichen berücksichtigt wird. Es ist in diesem Fall positiv, da sich v D zu v 0 erhöht hat. Stimmen die Bewegungsrichtung der Streifen und des Partikels überein, so läuft das Partikel quasi den Interferenzstreifen hinterher. Der Betrag der Summenfrequenz v D liegt in diesem Fall unter dem der Shiftfrequenz v 0 = 40 Mhz, da das Operationszeichen für die Gl.10-19 negativ ist. Anhand dieser richtungsabhängigen Vorzeichenbestimmung wird die Richtungsaussage realisiert.
Das Produkt aus Interferenzstreifenabstand und Dopplerfrequenz ergibt die Strömungsgeschwindigkeit.
Wobei der Interferenzstreifenabstand
O0
Gf
2 sin
Gl. 10-20
4 2
ist. Die Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich aus:
>
V ms 1
@
> @
>
@
v D s 1 * G f m10 6 .
Gl. 10-21
Laser- Doppler- Anemometry
70
In Abbildung 10-6 wird ein LDA-Signal dargestellt, wie es von einem Oszilloskop bei Detektion durch einen Photoempfänger aufgezeichnet werden kann.
ABBILDUNG 10-6: DOPPLER-EFFEKT MIT OPTIMALER SIGNALGÜTE[DANTEC1995]
10.5 LDA- Verfahren Die Laser- Doppler- Anemometrie wird grundsätzlich in zwei verschiedene Messverfahren eingeteilt. Zum einen handelt es sich um das Referenzstrahl-Verfahren, dass in der heutigen Zeit seltener zur Anwendung kommt und zum anderen um das Differenzstrahl-Verfahren. Deswegen erfolgt an dieser Stelle nur ein Überblick über die Messmethode des Differenzstrahl-Verfahrens.
Beim Differenzstrahlverfahren sind grundsätzlich zwei Betriebsarten möglich: Vorwärtsstreubetriebsart und Rückstreubetriebsart. Unter dem Begriff Vorwärtsstreubetriebsart versteht man die Anordnung, bei welcher der Photodetektor der Sendeseite gegenüber liegend fixiert ist. Das nach vorne in Laserstrahlausbreitungsrichtung gestreute Licht wird von der Linse des Photodetektors gesammelt und seitens des Photomultipliers detektiert. In der Rückstreubetriebsart befinden sich der Sender- und Empfängerstrahlengang innerhalb eines integrierten optischen Systems. Hier wird das Streulicht mittels der Sende-Frontlinse erfasst, fokussiert und mit einer Multimodefaser dem Photomultiplier zur Detektierung zugeführt.
Die Intensität vorwärts gestreuten Lichtes ist nach Wiedemann [Wiedemann 1984] um den Faktor 100-1000 größer als die des rückwärts gestreuten Lichtes. Dagegen bietet die Rückwärtsstreuung den Vorteil einer leichteren Traversierung des Messsystems. Der wesentliche
Laser- Doppler- Anemometry
71
Vorteil des Differenzstrahlverfahrens besteht in der Richtungsunabhängigkeit des Signals für die Detektion. Hinzu kommt, dass insbesondere bei kleinen Kreuzungswinkeln wegen der annähernd gleichen Intensität beider Streustrahlen sich Signalzüge (Bursts) bester Modulationstiefe ergeben. Die Lichtsammlung über größere Apparaturen stellt bei dieser Anordnung kein Problem dar. Das Differenzstrahlverfahren ist die weitaus am häufigsten verwendete Anordnung in der LDA.
& eD
M
f0
& uA
& u
& eL 2
\
O
& eL1 Laser
Strahlteiler
Linse
Detektor
ABBILDUNG 10-7: SCHEMATISCHE DARSTELLUNG DES DIFFERENZSTRAHL - VERFAHRENS[RUCK1990]
LDA – Zweikomponenten Messung
72
11 LDA – Zweikomponenten Messung Bei simultaner Messung der Strömungsgeschwindigkeit mit mindestens zwei LDA - Meßsystemen ist es möglich, an verschiedenen Orten (Mehrpunktmessung) oder durch die Richtungselektivität des Meßverfahrens in verschiedenen Richtungen (Mehrkomponentenmessung) zu messen. Jedes System (Kanal) erzeugt einen LDA-Datensatz. Durch Korrelationsanalyse der Datensätze ist es möglich, bei der Mehrpunktmessung auf räumliche und zeitliche Korrelation einer Dimension und somit z.B. auf das Längenmaß turbulenter Strukturen und bei Mehrkomponentenmessung auf mehrdimensionale zeitliche Korrelation für die Bestimmung von Scher- und Dehnkomponenten zu schließen. Bei klassischen Mehrkomponentenmessungen werden die Datensätze vor der Korrelationsanalyse gefiltert, Abbildung 11-1a. Nur solche Messwerte werden verarbeitet, die innerhalb eines kurzen Intervalls (Koinzidenzintervall) in allen Messkanälen gemessen wurden. Durch die Gleichzeitigkeit der Messereignisse auf allen an der Messung beteiligten Kanälen, existiert zu jedem Abtastzeitpunkt des neuen Datensatzes ein mehrdimensionaler Messwert. Bei Messungen in nichtkartesischen oder aus der Normalenlage gedrehten Koordinatensystemen, Abbildung 11-1b, kann dann für jeden Messwert um ,vm des Messkoordinatensystems xm, ym durch eine lineare Koordinatentransformation auf den entsprechenden Messwert u;v im normalen (an den Hauptachsen der Messanordnung ausgerichteten) kartesischen Koordinatensystem (x;y) (Normalsystem) geschlossen werden. Die Korrelationsfunktionen können dann direkt oder durch Slotkorrelation zwischen den Koordinaten des mehrdimensionalen Messwertensembles bestimmt werden [Nobach 1998]. Bei diesem Vorgehen werden nicht koinzidente Messereignisse verworfen, was einen gewissen Informationsverlust bedeutet. Während bei mehrkomponentigen Messungen aufgrund der Überlappung der Messvolumina gemeinsame Ereignisse auftreten, sind z.B. bei der Mehrpunktmessung außerhalb der Hauptströmungsrichtung keine koinzidenten Ereignisse zu erwarten. Da in diesem Einsatzfall i. allg. gleich in der interessierenden Richtung gemessen wird, Abbildung 11-2b, müssen keine Koordinatentransformationen durchgeführt werden, wodurch die Koinzidenz nicht erforderlich ist. Mit Hilfe der Slotkorrelation kann dann die Korrelationsanalyse durchgeführt werden. Gleiches gilt für Mehrkomponentenmessungen, bei denen die Messrichtungen am Normalsystem ausgerichtet sind. Da hierfür die Messsysteme in rechten Winkeln angeordnet werden müssen, ist zumindest die Bemessung des Raumbedarfs einer solchen Anordnung großzügig auszulegen. In vielen Einsatzfällen ist dieses Vorgehen jedoch aufgrund optischer Unerreichbarkeit ausgeschlossen.
LDA – Zweikomponenten Messung
73
In unserem Einsatzfall der Mehrkomponentenmessung verhält es sich so, dass sich die Messvolumen von zwei LDA-Systemen unter einem Winkel (Größenordnung < 30°) kreuzen. Hierbei nimmt mit dem kleinen Winkel die Überlappung der Messvolumen und somit die Koinzidenzrate zu. Wird die Korrelationsanalyse mit Hilfe der Slotkorrelation berechnet, so ist es möglich, auf die Koinzidenz zu verzichten. Da dann wesentlich mehr Messwerte in die Berechnung eingehen als mit der Koinzidenzforderung, ist die Schätzunsicherheit bei der Korrelationsanalyse wesentlich kleiner [Nobach 1998]. Die Koordinatentransformation in das Normalsystem kann jedoch dann nicht für jeden Messwert getrennt erfolgen, sondern muss direkt mit der berechneten Autokorrelationsfunktion beider Messrichtungen und der Kreuzkorrelationsfunktion vorgenommen werden, Abbildung 11-1b.
ABBILDUNG 11-1: A) MIT KOINZIDENZBEDINGUNG B) OHNE KOINZIDENZBEDINGUNG [NOBACH 1998]
LDA – Zweikomponenten Messung
y
a)
b)
v v(m) u
u(m) Messvolumen A Kanal A
74
y
y(m) u1
x
u2 x
x(m)
Messvolumen B Kanal B
Messvolumen A Kanal A
Messvolumen B Kanal B
ABBILDUNG 11-2: A) ZWEIKOMPONENTENMESSUNG B) ZWEIPUNKTMESSUNG [NOBACH 1998]
11.1 Raten unabhängiger und abhängiger Ereignisse Bei der simultanen Geschwindigkeitsmessung mit zwei LDA-Systemen in unterschiedlichen Richtungen an einem Raumpunkt (Zweikomponentenmessung, Kalibriermessung) oder an unterschiedlichen Raumpunkten (Zweipunktmessung) kann es aufgrund nicht idealer Überdeckung beider Messvolumen zu unterschiedlichen Abtastungen auf beiden Kanälen kommen. Neben Streuteilchen, die beide Messvolumen passieren und somit in beiden Messsystemen zu einem Messwert führen, gibt es solche, die nur das Messvolumen eines LDA-Systems durchqueren Abbildung 11-3. Im Gegensatz zu der Forderung der Gleichzeitigkeit von Messereignissen auf zwei Messkanälen zur sofortigen Transformation von mehrdimensionalen Messwerten in das Normalensystem, wird hier die Wahrscheinlichkeitsdichte für Messereignisse untersucht, die nur in einem Kanal zu einem Messwert führen (unabhängig), und für solche, die in beiden Kanälen wirksam werden (abhängig) [Nobach 1998].
LDA – Zweikomponenten Messung
y
a)
75
b) (u) (u) x
(a)
(u)
(u) (a)
(u)
Kanal A Zeit (a)
Messvolumen B Kanal B
Messvolumen A Kanal A
(u)
Kanal A Kanal B
(u)
(u)
Messvolumen A Kanal A
(u)
(u)
(u)
Zeit
Kanal B (a)
(u)
ABBILDUNG 11-3: ABHÄNGIGE / UNABHÄNGIGE EREIGNISSE UND DIE ZEITLICHE ABTASTUNG [NOBACH 1998]
Dieser Sachverhalt stimmt nicht mit der üblichen Gleichzeitigkeit von Messereignissen in beiden Kanälen überein. Dies wird durch die Überlegung deutlich, dass bei Mehrkomponentenmessungen auch unabhängige Ereignisse gleichzeitig auftreten können, Abbildung 11-3a, während bei Mehrpunktmessungen in Hauptströmungsrichtung abhängige Messereignisse zeitlich versetzt in beiden Kanälen auftreten, Abbildung 11-3b.
Obwohl nach diesen Überlegungen bei Mehrkomponentenmessungen gleichzeitige Ereignisse nicht sicher als abhängige eingestuft werden können, treten Messungen in beiden Kanälen, die von ein und demselben Teilchen verursacht werden, innerhalb eines kleinen (Koinzidenz-) Intervalls auf. Bei Mehrpunktmessungen in Hauptströmungsrichtung liegt dieses Intervall auf den Messkanälen zeitlich versetzt. Wählt man das Koinzidenzintervall groß genug, so werden auch die zeitlich versetzten, abhängigen Ereignisse erfasst, was zu einer einheitlichen Betrachtung beider Einsatzfälle führt. Zunächst werden die Abstände jedes Messereignisses auf dem einen Kanal zu jedem Ereignis auf dem anderen Kanal berechnet und in K Klassen (jeweils für positive und für negative Zeitverschiebung) der Breite 'Wc eingeteilt [Nobach 1998]. Die Häufigkeit ist für jede Klasse
LDA – Zweikomponenten Messung
76
T k'W c
pA(t) 0
k'W c
k'W c T
pB(t) T
0
ABBILDUNG 11-4: WAHRSCHEINLICHKEITSDICHTE UNABHÄNGIGER EREIGNISSE IN DER KLASSE k'W c [NOBACH 1998]
LDA – Zweikomponenten Messung
77
NAB
A
NANB - NAB
K'W c
-T
K'W c
T
Koinzidenzintervall
ABBILDUNG 11-5: ZEITLICHER ZUSAMMENHANG UNABHÄNGIGER UND ABHÄNGIGER MESSEREIGNISSE [NOBACH 1998]
durch
NA NB
Nk
N (k'W c )
¦¦ b (t k
j
ti )
Gl.11-1
i 1 j 1
mit
bk (W )
1 ® ¯0
zu berechnen.
für
(k 1 / 2) d
W 'W c
(k 1 / 2)
Gl. 11-2
Versuchsstand
78
12 Versuchsstand 12.1 Die bestehende Messstrecke Abbildung 13-1 zeigt schematisch die bestehende Versuchsstrecke. Das Versuchsfluid wird in einem geschlossenen Strömungskanal durch eine Membranpumpe umgewälzt. Das Umlaufverfahren der Versuchsanlage beinhaltet einen Vorratsbehälter, der ein maximales Vorratsvolumen von 400 Litern speichert. Über eine geschlossene kreisrohrförmige Beruhigungsstrecke lb/d = 10 mit einer Nennweite DN =100mm strömt das Fluid vom Behälter in die Messstrecke. Zwischen der Beruhigungsstrecke und der Messstrecke ist infolge der unterschiedlichen Abmessungen ein Reduzierstück mit einem Längen-Seiten-Verhältnis von 4:1 angeordnet. Die Beruhigungsstrecke und das der Messstrecke vorgeschaltete Reduzierstück dienen der Stabilisierung der Strömung, respektive der Minderung von Einlaufeffekten (Schwingungseffekte). Die Art des Einlaufs der Strömung hat einen nicht unerheblichen Einfluss auf die Ausbildung einer Kanalströmung. Um Wirbelbildungen und Sekundärströmungen am Einlauf des Strömungskanals möglichst klein zu halten, dient das oben erwähnte Reduzierstück, welches den Strömungsquerschnitt der Beruhigungsstrecke auf den der Messstrecke reduziert. Außerdem hat das Reduzierstück bei der Untersuchung von Polymerlösungen die Aufgabe, die Makromolekülstruktur dieser Lösungen nicht zu zerstören die durch plötzliche Querschnittsänderungen auftreten würden.
Die waagerechte Messstrecke ist parallel zum Fundament ausgerichtet und wird in einer Fachwerkstahlgitterstruktur gelagert. Diese Stahlkonstruktion ist durch Gummielemente gegen Erschütterungen gepuffert. An die Messstrecke schließt sich ein Auffangbehälter an, der
Versuchsstand
79
ABBILDUNG 12-1: MESSSTRECKE
in Kombination mit einem Saugwind-Kessel als Pumpvorratsbehälter für die nachfolgende Doppelmembranpumpe des Typs DEPA DL 80 dient.
Die Messstrecke zur Untersuchung der turbulenten Strömung von Newtonschen und NichtNewtonschen Fluiden ist ein Kanal mit einer konstanten, quadratischen Querschnittsfläche von Aq = 316mm2. Daraus ergibt sich ein hydraulischer Querschnitt von dh = 19mm. Der Strömungskanal ist aus technischem Glas des Typs B270 gefertigt, welches sich für Messungen mit Laserlicht (z.B. He Ne, 450 – 1200nm) eignet. Der Messkanal besteht aus sechs Segmenten, die über Flansche miteinander verbunden sind. Die einzelnen Segmente weisen jeweils Abmessungen von L u B u H
555 u 19 u 19 mm auf. Daraus ergibt sich eine Gesamt-
länge der Messstrecke von ca. 3,33m. Für die Abdichtung ist im Flansch eine Nut für eine ORing-Dichtung vorgesehen. Zur Messung des Druckverlustes in der Strömung sind die Segmente mit Druckanschlussstutzen versehen. An den ersten zwei Segmenten sind fünf Druckanschlussstutzen angebracht, die den Druck im Bereich der Einlaufströmung messen. Die restlichen vier Segmente sind mit jeweils zwei Anschlussstutzen ausgerüstet. Zur Aufnahme des Druckverlustes zwischen zwei solcher Anschlussstutzen wird die Differenzdruck-Methode angewandt.
Damit die Übertragung von mechanischen Schwingungen des Vorratsbehälters auf den Strömungskanal ausgeschlossen wird, ist ein elastischer Kompensator in Form eines spiralverstärkten PVC-Schlauches zwischen Beruhigungsstrecke und Vorratsbehälter eingekoppelt.
Versuchsstand
80
Der Volumenstrom wird mit einem magnetisch-induktiv arbeitenden Volumenstromsensor vom Typ KROHNE K 380 aufgenommen. Infolge des berührungslosen Messprinzips kann eine Störung der Strömung durch den Volumenstromsensor ausgeschlossen werden.
Zur Messung der Temperatur wird ein Platin-Widerstandsthermometer PT 100 verwendet. Der Temperatursensor ist ebenfalls hinter dem Messstreckenende angebracht. Die Wandschubspannung Ww der ausgebildeten Kanalströmung wird über den Druckverlust entlang einer definierten Messlänge l bestimmt. Dafür wird ein Differenz-Drucksensor vom Typ KDG 4020 mit einem Messbereich von 0 - 50 mbar eingesetzt. Die Messung des Differenzdruckes beinhaltet die größten Ungenauigkeiten, da das Auftreten von Sekundärströmungen innerhalb der Druckmessbohrungen oder der Einfluss der Wandgrenzschicht zu einer Verfälschung der Messergebnisse führen kann.
Die Daten werden über einen Analog-Digital-Wandler des Typs DISYS PC14 zur weiteren Verarbeitung zu einem Rechner übertragen. Der Vorteil dieser Art der Datenverarbeitung ist die Automatisierung der Messung und die On-Line-Darstellung aller erfassten Daten auf dem Bildschirm, wodurch eine Änderung einer einzelnen Größe leichter festzustellen ist.
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
81
13 Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung 13.1 Grundlagen der Messung Wie bereits in der Einleitung erwähnt, werden durch die Zugabe einiger weniger ppm einer makromolekularen Substanz zu einem Newtonschen Lösungsmittel drastische Effekte im Bezug auf den Reibungswiderstand in einer turbulenten Kanalströmung erzielt. Ebenso wie der Reibungswiderstand werden auch die Turbulenzeigenschaften deutlich verändert siehe dazu z.B. die Arbeiten von [(Delgado 1986), (Yong 1988), (Rensch 2001)].
Erklärungsansätze für dieses Verhalten gehen u.a. von der Hypothese aus, dass im wandnahen Bereich aufgrund der mechanischen Beanspruchung in der Strömung, eine Orientierung und Streckung der Makromoleküle erfolgt, siehe Ergebnisse in Kapitel 9. Diese Beanspruchung ist ein wichtiger Aspekt für die Widerstandsverminderung.
Ziel ist es, mittels zweier LDA- Sonden, die axialen Geschwindigkeitskomponenten u1 und u2 in Hauptströmungsrichtung zu messen. Es stellt sich die Frage, inwieweit kann eine Geschwindigkeitsänderung bei definiertem Abstand der beiden Messvolumina, Hinweis auf eine „Dehnrate“ geben. Aus messtechnischer Sicht ist zuerst zu überprüfen, ob die Sonden mit separierten Kanälen die Signale aufnehmen und bei deckungsgleichen Messvolumen identische Werte für die Geschwindigkeiten u1 und u2 ausgeben (siehe Kapitel 11). Da eine absolute Deckungsgleichheit der beiden Messvolumen aus messtechnischen Gründen nicht realisierbar ist, gilt es für beide Positionen einen Messwert zu finden, an dem festgestellt werden kann, dass sich beide Messvolumen in einem Punkt, bei bestmöglicher Überlappung, schneiden. Die daraus aufgenommenen Geschwindigkeitsdaten ergeben als Referenz eine Fehlerabschätzung, welche die Qualität der Messung beurteilen soll.
Weiterhin gilt die Überlegung, dass eine zu detektierende Geschwindigkeitsänderung, bei auseinander liegenden Messvolumen voraussetzt, dass ein Partikel sich durch beide Messvolumen bewegen muss (siehe Kap. 11).
Es ergibt sich nun die Frage, wie weit die Messvolumen gegeneinander verschoben werden können, damit ein Durchgang eines Partikels durch beide Messvolumen wahrscheinlich ist. Mit Hilfe von statistischen Methoden soll diese Frage geklärt werden. Bei dieser Überlegung
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
82
muss in Betracht gezogen werden, dass bei einem idealen Molekül das charakteristische Längenmass eines Makromoleküls betrachtet werden muss. Nach Vollmert sind das für ein Polyacrylamid mit einem Molekulargewicht von Mw = 6*106 g/mol ungefähr 140000 – 200000 Å. Das heißt bei idealer Streckung entspräche das einer Länge von 0,014 – 0,02 mm. Diese Werte werden aber bei weitem nicht erreicht, da das Molekül sich aus der Knäulchenstruktur eher in den elliptischen Bereich deformiert.
Auf dieser Grundlage werden die Messvolumina so angeordnet, dass sich drei Messanordnungen ergeben.
Position x1: In dieser Position sind beide Messvolumen nahezu deckungsgleich angeordnet. Diese Position dient zur Kalibrierung und zur Fehlerabschätzung. Position x2: Hierbei überlappen sich die Messvolumen. Position x3: Hier wurden die Messvolumen um einen definierten Abstand versetzt.
Für jeden Messpunkt in x Richtung wurden 13 Messpunkte in y Richtung gemessen. Ausgehend von der Kanalmitte wurden die Messabstände in Wandnähe immer geringer gewählt, um im wandnahen Bereich eine deutlichere Aussage über das viskoelastische Verhalten der Polymerlösung zu treffen (Abbildung 13-1).
Kanalmitte
Kanalwand
19 mm
19 mm
ABBILDUNG 13-1: KANALQUERSCHNITT
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
83
Die Signalerfassung erfolgt über 2 separate Kanäle, welche die Werte in einem non coincidence Modus aufnehmen. Das bedeutet, dass beide Kanäle die Messwerte unabhängig voneinander erfassen, siehe hierzu Kapitel 11-1.
Wie zuvor erwähnt, benötigen wir eine statistische Wahrscheinlichkeitsdichte der Rohdaten, um sicher zustellen, dass es sich bei dem Partikel, welches den Burst in den beiden Messvolumen auslöst, um ein und dasselbe Partikel handelt. Für die Messungen an verschiedenen Positionen ist es nötig, das verwendete Auswerteprogramm mit den verschiedenen Abständen zu aktualisieren, denn für jeden veränderten Abstand ergeben sich andere Längenmasse und Zeiteinheiten.
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
84
13.2 Messung Es werden, wie in Abbildung 13-2 dargestellt, die Strömungsgeschwindigkeiten in Strömungsrichtung an zwei unterschiedlichen Punkten in der Kanalströmung gemessen. Dieses ist unabdingbar um eine eindeutige Aussage über eventuelle Fehler treffen zu können. Bei deckungsgleicher Position müssten die Geschwindigkeitsprofile beider Strömungsgeschwindigkeiten identisch sein. Mit Hilfe einer drei-dimensionalen Traversierung, welche eine Einstellgenauigkeit von 10μm aufweist, konnten die einzelnen Laser auf einen Punkt ausgerichtet werden. So war es möglich beide Messvolumen nahezu deckungsgleich aufeinander abzustimmen. Um einen Messfehler zu vermeiden, war es nötig eine Anordnung der beiden Laser zu bestimmen. Hierbei kam es darauf an, dass beide Messvolumen parallel zueinander stehen. Dazu wurden beide Laser, wie in Abbildung 13-2 zu sehen ist, oberhalb des Kanals angebracht, wobei darauf geachtet wurde, dass die Strahlengänge rechtwinkelig zum Kanal einfallen konnten.
3DTraversierung
Zwei-Sonden Anordnung
Strömungskanal
ABBILDUNG 13-2: VERSUCHSSTAND ZWEI-PUNKT-MESSUNG
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
85
13.3 Auswertung Wie bereits in der Einleitung angeklungen, handelt es sich bei verdünnten Polymerlösungen, die in turbulenten Strömungen Widerstandsverminderung zeigen, um viskoelastische Flüssigkeiten. Abgesehen von der geringen Änderung der Scherviskosität bei unseren Testfluiden können insbesondere die elastischen Eigenschaften dieser Flüssigkeiten, d.h. das Speichern und Freisetzen von Energie in sich zeitlich ändernden Geschwindigkeitsfeldern, sowie die erhöhte Dehnviskosität, welche das Strecken von Wirbeln erschwert, von Bedeutung sein.
Der wichtigste Mechanismus der Wechselwirkung zwischen der viskosen Wandströmung und der von der Turbulenz geprägten Kernströmung ist der Burst - Zyklus, durch den laufend langsam bewegte Flüssigkeiten in die Hauptströmung hinausgeschleudert und entsprechend schneller fließende Flüssigkeit von da in die Unterschicht eingesogen wird. Da der Burstingprozess wesentlich mit der Wirbelstreckung zusammenhängt, andererseits aber Streckbewegungen durch die gerade in verdünnten Lösungen extrem vergrößerte Dehnviskosität siehe Abbildungen 13-7[Bialas 2006] erheblich erschwert werden, erscheint die Abnahme der Produktion von kinetischer Energie der Turbulenz durch erhöhte KD – Werte höchst plausibel zu sein.
In den folgenden Abbildungen ist die Dehnrate in Abhängigkeit des dimensionslosen Wandabstandes dargestellt. Aus physikalischer Sicht beschreibt diese Größe die Geschwindigkeitsänderung über einen definierten Abstand, wobei man eigentlich richtiger über den Effekt der erhöhten Dehnviskosität sprechen muss. Im Experiment wurden alle Messungen bei den gleichen Wandabständen durchgeführt.
Es ist einsichtig, dass ein Knäulmolekül erst dann vom Strömungsfeld angesprochen werden kann, wenn die Strömungszeit kleiner als die charakteristische Polymerzeit wird, da aufgrund der inneren Kettenspannung (Entropieelastizität) eine Mindestbeanspruchung zur Streckung des Moleküls bzw. für eine makroskopische Wirkung notwendig ist z.B.[Gampert, Wagner 1982] Die Dehngeschwindigkeit die an dem strömenden Fluid anliegt, muss also so groß sein, dass die hochmolekularen Polymerknäule nicht mehr genug Zeit zur Relaxation haben. Dadurch werden die Knäule gedehnt. Diesem Dehnen wirkt das entropische Streben nach der Knäuelform entgegen. Gleichzeitig kommt es zum Auseinanderziehen an temporären Netzwerkpunk-
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
86
ten [Odell, Müller, Keller 1988]. Diese beiden rückstellenden Kräfte haben zur Folge, dass die Dehnviskosität steigt wie die folgenden Ergebnisse vermuten lassen.
0,001
0,01
0,1
1
Praestol 2300 Re = 15.000 ______________ 2500
2500
'u/'x [1/s]
Wasser c = 300 ppm c = 600 ppm c = 800 ppm 1500
500 0,001
1500
500 0,01
0,1
1
y / 0,5 B [ - ]
ABBILDUNG 13-3: DEHNRATEN FÜR PRAESTOL 2300 BEI RE = 15000
Die Abbildung 13-3 zeigt die Dehnrate für wässrige Lösungen von Praestol 2300, für unterschiedliche Konzentrationen. Als Lösungsmittel wurde Leitungswasser, mit einer Leitfähigkeit von N = 550 PS/cm verwendet. Die Reynoldszahl wurde konstant gehalten bei Re = 15000.
Für alle Polymerlösungen ist der Ort der maximalen „Dehnrate“ im Vergleich zur Wasserströmung zu höheren Wandabständen verschoben. Die Höhe der Profilmaxima wird mit steigender Polymerkonzentration kleiner. Bei Praestol 2300 handelt es sich, bei einer Konzentration von 800 ppm, um eine Netzwerklösung, bei c = 600 ppm um eine Übergangskonzentration und bei c = 300 ppm um eine Partikelkonzentration.
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
0,001
0,01
87
0,1
1
Xanthan Gum Re = 15.000 'u/'x [1/s]
2500
2500
Wasser c = 60 ppm c = 90 ppm c = 120 ppm 1500
500 0,001
1500
500 0,01
0,1
1
y / 0,5 B [ - ]
ABBILDUNG 13-4: DEHNRATEN FÜR XANTHAN GUM BEI RE = 15000
Die Abbildung 13-4 zeigt die Dehnrate für wässrige Lösungen von Xanthan Gum, für unterschiedliche Konzentrationen, bei Xanthan entspricht eine Konzentration von 120 ppm einer Netzwerklösung, c = 90 ppm einer Übergangskonzentration und c = 60 ppm liegt im Bereichder Partikelkonzentration. Als Lösungsmittel wurde ebenfalls Leitungswasser eingesetzt. Wie man an den Verläufen der Xanthankurven sehen kann, findet man hier keine so signifikanten Abweichungen zum Lösungsmittel wie bei den dargestellten Ergebnissen von Praestol. Dieser Unterschied beruht auf die Verschiedenheit der viskoelastischen Eigenschaften des Testfluides Xanthan zum Testfluid Praestol 2300. Das aus der Literatur als bekannt „starres“ geltende Makromolekül Xanthan ist nicht in der Lage Kräfte zu kompensieren sprich hohe Dehnviskositäten zu entwickeln. Diese Aussage wird verstärkt durch die Ergebnisse der Dehnviskosität für Xanthan siehe Abbildung (13-5) aus Bialas [Bialas 2006]. Dort sieht man nämlich dass die Dehnviskositäten bei gleichen Dehnraten im Gegensatz zu Preastol 2300 siehe Abbildung 13-7 deutlich niedriger sind.
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
0
500
1000
1500
2000
88
2500
3000
1000
3500 1000
Xanthan Gum
K D [mPas]
800
800
c = 60 ppm
600
600
c = 90 ppm c = 120 ppm 400
400
200
200
0 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 3500
Dehnrate [ 1/s ]
ABBILDUNG 13-5: DEHNVISKOSITÄT XANTHAN [BIALAS 2006]
0,001
0,01
0,1
Praestol 2300 Re = 30.000 ______________
2500
'u/'x [1/s]
1
2500
Wasser c = 300 ppm c = 600 ppm c = 800 ppm 1500
500 0,001
1500
500 0,01
0,1
y / 0,5 B [ - ]
ABBILDUNG 13-6: DEHNRATEN FÜR PRAESTOL 2300 BEI RE = 30000
1
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
89
In Abbildung 13-6 ist deutlich die Erweiterung der elastischen Pufferschicht, aufgrund der Verschiebung der Maxima zu wandferneren Gebieten, zusehen. Durch die Erhöhung der Reynoldszahl, zeigt die Abbildung ebenfalls einen Anstieg der Dehnrate für Wasser und somit ein verstärktes Auftreten der einwirkenden Dehnviskosität für die Polymerlösungen. Ebenso kann man deutlich erkennen, dass die Überlappungskonzentration c = 600ppm und die Netzwerkkonzentration c = 800ppm einen erhöhten Widerstand gegen Dehnbeanspruchung zeigen. Diese Vermutung einer erhöhten Dehnviskosität stimmt überein mit den Ergebnissen von Bialas [Bialas 2006] aus den Versuchen des Dehnrheometers Abbildung 13-7.
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2200 2000
2000
Praestol 2300
1800
KD [ mPas ]
3500 2200
1800
1600
c = 300 ppm
1600
1400
c = 600 ppm
1400
1200
c = 800 ppm
1200
1000
1000
800
800
600
600
400
400
200
200
0 0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 3500
Dehnrate[1/s]
ABBILDUNG 13-7: DEHNVISKOSITÄT PRAESTOL 2300 [BIALAS 2006]
In der Abbildung 13-7 [Bialas] sieht man die Dehnviskosität von Preastol 2300 aufgetragen über die Dehnrate. Der Dehnratenbereich wurde variiert von 250 – 3200 1/s. Man erkennt deutlich die sprunghafte Zunahme der Dehnviskosität bei einer Dehnrate von ungefähr 1000 1/s. Durch den Vergleich der gemessenen Dehnraten in der turbulenten Kanalströmung und den erhöhten Dehnviskositäten im Dehnrheometer bei gleichen Dehnraten, wird klar dass gerade die erhöhten Dehnviskositäten Auswirkungen haben müssen um eine Widerstandsverminderung zu erzielen.
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
0,001
0,01
0,1
1
Xanthan Gum Re = 30.000 ______________
2500
'u/'x [1/s]
90
2500
Wasser c = 60 ppm c = 90 ppm c = 120 ppm
1500
500 0,001
1500
500 0,01
0,1
1
y / 0,5 B [ - ]
ABBILDUNG 13-8: DEHNRATEN FÜR XANTHAN GUM BEI RE = 30000
Die Abbildung 13-8 zeigt nochmals ganz deutlich, dass das Polymerlösungssystem Xanthan mit der gegebenen Molekülstruktur und mit den vorgestellten Konzentrationen, keinen so deutlichen Widerstand gegen die auftretenden Dehnbeanspruchungen aufbauen kann. Zu dem zeigen vorangegangene Arbeiten, dass die Werte der Widerstandsverminderung von Xanthan deutlich unter denen einer Polayacrylamid - Lösung liegen. Was wiederum ein Indiz für eine niedrigere Viskoelastizität ist.
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
0,001
0,01
0,1
1
Praestol 2300 Re = 50.000 ______________
2500
'u/'x [1/s]
91
2500
Wasser c = 300 ppm c = 600 ppm c = 800 ppm 1500
1500
500 0,001
500 0,01
0,1
1
y / 0,5 B [ - ]
ABBILDUNG 13-9: DEHNRATEN FÜR PRAESTOL 2300 BEI RE = 50000
Das unterschiedliche Verhalten der Polymerlösungen wird in Abbildung 13-9 nochmals auf qualitative Art veranschaulicht. Wie man in der Abbildung erkennen kann ist die Überlappungskonzentration c = 600 ppm nicht mehr in der Lage den hohen Beanspruchungen entgegen zu wirken. Einen deutlich zu erkennbaren Widerstand gegen Dehnbeanspruchungen zeigt die Netzwerklösung. Dieser ist durch die hohen Wechselwirkungen der Makromoleküle in einer Netzwerklösung, aufgrund der Verschlaufungen und Verhakungen der einzelnen Moleküle zu erklären. Da das Polyacrylamid ein technisches Produkt ist, hat es wie alle technischen Polymere eine Molmassenverteilung. Dadurch wird mit zunehmender Beanspruchung, also höher werdender Reynoldszahl, eine immer stärkere Degradation eintreten und somit ein schwächerer Widerstand auftreten.
Ergebniskapitel der Zweikomponenten Messung
0,001
0,01
0,1
1
Xanthan Gum Re = 50.000 ______________
2500
'u/'x [1/s]
92
2500
Wasser c = 60 ppm c = 90 ppm c = 120 ppm
1500
500 0,001
1500
500 0,01
0,1
1
y / 0,5 B [ - ]
ABBILDUNG 13-10: DEHNRATEN FÜR XANTHAN GUM BEI RE = 50000
Die hier gezeigten Dehnströmungsstrukturen einer turbulenten Kanalströmung im Generationsbereich der Turbulenz wurden mit Hilfe einer Zweikomponenten Messung bestimmt. Die Experimente mit einem technischen Polyacrylamid und einem Biopolymer zeigen , dass sich die Molekülstruktur in Abhängigkeit der Beanspruchung und der Konzentration unterschiedlich stark auswirkt. Die in diesem Kapitel gefundenen experimentellen Ergebnisse, welche die Wirkung der Polymere in einem Beanspruchungsfeld untersuchen, sowie die Untersuchungen zur Turbulenzstruktur stützen die Hypothese, dass auch bei turbulenten Innenströmungen die Moleküle den Dehnbewegungen der Fluidelemente im wandnahen Bereich einen starken Widerstand entgegensetzen.
Zusammenfassung
93
14 Zusammenfassung In dieser Arbeit ist die Frage bearbeitet worden, ob im Produktionsbereich der kinetischen Energie der Turbulenz lokale Dehnströmungsfelder mit ausreichender Intensität vorliegen. Die Moleküle würden dann den Fluidelementen die Dehnbewegung erschweren, so dass durch diese lokale Widerstandserhöhung eine integrale Widerstandsverminderung im turbulenten Strömungsfeld resultiert. Die Hypothese, dass die Fadenmoleküle nur bei turbulenter Strömung dämpfend wirken und eine Veränderung des zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsprofils und der Turbulenzintensität im wesentlichen auf den Übergangsbereich zwischen viskoser Unterschicht und logarithmischen Wandbereich beschränkt ist, wurden durch die erzielten Ergebnisse bestärkt. Zudem kann gezeigt werden, dass im Produktionsbereich der kinetischen Energie der Turbulenz lokale Dehnfelder mit zum Teil hoher Intensität vorliegen. Gerade diese erhöhten Dehnströmungsbeanspruchungen werden von den Molekülen benötigt um eine deutlich erhöhte Dehnviskosität aufbauen zu können. Verstärkt wird diese Aussage mit den erzielten Ergebnissen des Dehnrheometers [Bialas 2006], sie zeigen deutlich die Zunahme der Dehnviskosität in Abhängigkeit der Dehnrate.
Mit den Ergebnissen der Dehnrate in einer turbulenten Kanalströmung konnte gezeigt werden, dass den wandnahen Fluidbewegungen eine entsprechend hohe Dehnrate H zuzuordnen ist. Allgemein gilt H
'u / 'x , wobei u die Momentangeschwindigkeit in Dehnrichtung ist und
'x die zugehörige Differenz der Messorte. Wie wir in Kapitel 13 sehen, finden wir die hohen Dehnraten nur im wandnahen Bereich. An der Wand selbst ist H = 0, und im Kernbereich der Strömung ist H aufgrund der Großmaßturbulenz relativ klein. Die verminderte Turbulenzproduktion wird deshalb mit einer Stabilisierung der wandnahen Strukturen gegenüber dem Burstvorgang gedeutet. Aufgrund des gegenüber einer Wasserströmung größeren Widerstandes gegen Dehnbeanspruchungen, muss die Stabilisierung durch eine erhöhte Dehnviskosität zustande kommen. So kann man feststellen, dass die hier erkannten intensiven Dehnfelder und somit die Erhöhung der Dehnviskosität, ausschlaggebend für den widerstandsvermindernden Effekt ist.
Zusammenfassung
94
Weiterhin wurden rheooptische Untersuchungen durchgeführt, welche die Ergebnisse der erhöhten Dehnviskosität unterstreichen. Auf der Ebene molekularer Modelle kann man sich entsprechend vorstellen, dass Entknäuelungs- und Orientierungseffekte in den molekularen Strukturen, die im Ruhezustand als isotrop verteilt vorliegen, eine Anistropie induzieren und somit, wie die Ergebnisse zeigen, doppelbrechend sind.
Wie man vermuten kann verursacht ein anliegendes Dehnfeld diese Orientierung und Entknäuelung der molekularen Strukturen, wie die Ergebnisse in den Kapiteln 13 und 9 zeigen. Wie die Ergebnisse der Doppelbrechung und der Orientierung verdeutlichen, steigt mit zunehmender Dehnbeanspruchung die Doppelbrechung und damit die Ausrichtung und Streckung der Moleküle. Verbindet man die Ergebnisse aus den Kapiteln 13 und 9, so kann man sagen dass die hohen Dehnraten zu einer Orientierung und Streckung der Polymermoleküle führen und aus dieser veränderten Geometrie eine starke Erhöhung der Dehnviskosität folgt.
Durch dieses Experiment wird die Notwendigkeit einer Ausrichtung und Streckung der Moleküle für eine Dehnbeanspruchung bestätigt. Was wiederum im Kontext steht mit der erhöhten Dehnviskosität und ihrer Bedeutung auf die Widerstandsverminderung.
Für die Wirtschaftlichkeit der Anwendungen ergeben sich daraus folgende Konsequenzen: Bei einer kurzzeitigen Beanspruchung werden sich einfach herzustellende und billige Substanzen mit breiter Molmassenverteilung bei höheren Konzentrationen besser zu WV eignen als teure und engverteilte Substanzen. Bei langzeitigen Beanspruchungen, wie z.B. in einem Kreislauf, sind engverteilte Proben wirksamer.
Literatur
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