Finite Elemente für Ingenieure 2: Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen, 2.Auflage

Finite Elemente für Ingenieure 2

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Josef Betten

Finite Elemente für Ingenieure 2 Variationsrechnung, Energiemethoden, Näherungsverfahren, Nichtlinearitäten, Numerische Integrationen

Zweite, neu bearbeitete und erweiterte Auflage

123

Univ.-Professor. Dr.-Ing. habil. Josef Betten RWTH Aachen Mathematische Modelle in der Werkstoffkunde und Kontinuumsmechanik Templergraben 55 52056 Aachen e-mail: [email protected]

isbn 3-540-20447-4 2. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York isbn 3-540-63240-9 1. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über aufrufbar Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media © Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1998 und 2004 Printed in Germany www.springer.de Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI,VDE) Bezug genommen oder aus ihnen zitiert werden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für Richtigkeit, Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen. Einbandgestaltung: Medio AG, Berlin Satz: Digitale Druckvorlage des Autors 7/3020 uw – Gedruckt auf säurefreiem Papier – 5 4 3 2 1 0

Vorwort zur zweiten Auflage

Die Neuauflage stellt eine wesentliche Erweiterung der ursprünglichen Fassung dar. Beispielsweise wird so die numerische Integration sehr ausführlich in einem neuen Abschnitt (Ziffer 7.5) auf etwa 86 Seiten behandelt. Zur Ermittlung von Steifigkeitsmatrizen, Massenmatrizen oder auch Fehlernormen sind ein- und mehrdimensionale Integralausdrücke auszuwerten. Häufig ist eine exakte Integration nur schwerfällig oder gar nicht durchführbar, so dass man in solchen Fällen auf eine numerische Integration (Quadratur) angewiesen ist. Hierzu wird im eindimensionalen Fall die NEWTON-COTES-Integration der GAUSS-LEGENDREQuadratur gegenübergestellt, die sich durch höhere Genauigkeit auszeichnet und daher im weiteren ausschließlich verwendet wird. Zu der Fülle von Beispielen zählen elliptische Integrale, BESSEL-Funktionen, (hyperbolischer) Integralkosinus, FRESNELsche Integrale, um nur einige zu nennen. Zur Lösung von ebenen Problemen nach der Finiten Elemente Methode werden zweidimensionale Integrale über Rechteck- und Dreieckselemente numerisch ausgewertet. Ebenfalls werden dreidimensionale Integrale über Hexaeder- und Tetraeder Elemente numerisch ausgewertet. Auch hierbei zeichnet sich die GAUSSLEGENDRE-Quadratur durch hohe Genauigkeit aus, wie an vielen (einigen?) Beispielen (exemplarisch) gezeigt wird. Alle bisherigen Kapitel wurden übernommen, allerdings mit teilweise umfangreichen Ergänzungen. Das gilt auch für die Lösungen der bisherigen und neu hinzu gekommenen Übungsaufgaben. Die vollständig ausgearbeiteten Lösungen findet man auf der CD-ROM. Hierbei wurde wieder großer Wert auf die Deutung der Ergebnisse gelegt, damit Studierende lernen, ihre Lösungen kritisch zu betrachten, was häufig in der Praxis nicht genug gepflegt wird. Meine Lehrveranstaltungen werden nicht nur von „ordentlich“ eingeschriebenen Studierenden der RWTH Aachen besucht, sondern auch von ERASMUSStipendiat(Inn)en (seit 1995) und seit WS 2000/2001 von Studierenden des Masterstudienganges Simulation Techniques in Mechanical Engineering. Für diese Studierenden sind Kontinuumsmechanik und FEM Pflichtprüfungsfächer. Aufgrund des umfangreichen Stoffangebotes in der vorliegenden Neuauflage werden den Studierenden Prüfungsschwerpunkte bekannt gegeben. Durch die Neuauflage werden nicht nur Hörer(innen) meiner Lehrveranstaltungen an der RWTH Aachen angesprochen, sondern auch Teilnehmer von Schulungsseminaren, z.B. in ANSYS oder ABAQUS, oder von Weiterbildungsmaßnahmen und Gastvorlesungen ( → Vorwort zur ersten Auflage), für die das vorliegende Buch grundlegend ist.

VI

Vorwort

Ergänzend zu den Vorlesungen und Übungen in FEM biete ich ein Praktikum zur Einführung in FEM-Programme (ANSYS) für Studierende und Doktoranden an, das mein Mitarbeiter, Herr Dipl.-Ing. U. NAVRATH, im CIP-Pool des Instituts für Werkstoffkunde der RWTH Aachen durchführt. Jedem Teilnehmer steht ein PC zur Verfügung, so dass ein intensives Einarbeiten in FEM-Programme möglich ist ( → Vorwort zur Erstauflage). Aufgrund der großen Nachfrage muss dieses Praktikum mehrmals wöchentlich durchgeführt werden. Zur Lösung einiger Übungsaufgaben und zur Herleitung einiger Formeln wird die Software MAPLE V in ihrer neuesten Version, Release 8, verwendet. MAPLE ist ein „mathematisches Formelmanipulations-Programm“, mit dem interaktiv gearbeitet werden kann ( → Vorwort zur ersten Auflage). Die im Textteil und in den Übungen entwickelten Computerprogramme sind auf der beigefügten CD-ROM als MAPLE Worksheet und als MAPLE Text gespeichert, die der Anwender für seine Belange mit entsprechenden Änderungen und speziellen Daten einsetzen kann. Programme, die nicht eindeutig über eine Übungsnummer zu identifizieren sind, wurden mit einem Hinweis auf den Dateinamen, z.B. 8 7.5-3.mws versehen. Die neueste MAPLE-Version, Release 8, ist lauffähig unter Windows, UNIX und Linux. Weitere Informationen zum MAPLE Programm sowie eine Demoversion sind im Internet unter http://www.maplesoft.com oder http://www.scientific.de zu finden. Allen Lesern und Rezensenten, die meine Erstauflage kritisch durchforstet haben, möchte ich für einige Anregungen und Verbesserungsvorschläge danken. Gedankt sei meinem langjährigen Mitarbeiter, Herrn Dipl.-Ing. U. NAVRATH, der mit unermüdlicher Sorgfalt und großem Geschick die reproduktionsreife Vorlage erstellte. In seinen Händen lag auch die gesamte redaktionelle Koordination, eine Aufgabe, die er wie schon bei der Erstellung meiner früheren Bücher über Finite-Elemente-Methoden, Kontinuumsmechanik und Creep Mechanics mit höchstem Einsatz übernahm. Seine Kompetenz war für mich unverzichtbar. Ihm gilt mein besonderer Dank. Dem Springer-Verlag, insbesondere Frau E. HESTERMANN-BEYERLE, Frau M. LEMPE, Herrn Dr. D. MERKLE und Herrn Dr. H. RIEDESEL, sei gedankt für die Aufnahme meines Manuskriptes und die verständnisvolle und vorbildliche Zusammenarbeit, die ich auch bei der Drucklegung der ersten Auflage und meiner bisher vom Springer-Verlag herausgegebenen Bücher als angenehm empfand. Aachen, im Sommer 2003

Josef Betten

VII

Vorwort zur ersten Auflage

Seit einigen Jahren halte ich an der RWTH Aachen im Winter- und Sommersemester Vorlesungen und Übungen zur Finite-Elemente-Methode (FEM) für Ingenieure. Der Umfang dieser Lehrveranstaltungen ist mit V2/Ü2 pro Semester durch Studienpläne festgelegt. Vorlesungsinhalte und vollständige Lösungen der Übungsaufgaben für beide Semester wurden bisher als „Umdruck“ herausgegeben. Nachdem eine vierte korrigierte Auflage vergriffen war, habe ich mich entschlossen, die Vorlesungen mit den vollständig gelösten Übungsaufgaben in zwei Bänden zu veröffentlichen. Der im September 1997 erschienene Band 1 bezieht sich auf das Wintersemester. Die Lehrveranstaltung des Sommersemesters ist im jetzt vorliegenden Band 2 veröffentlicht. Meine Lehrveranstaltung „Finite-Elemente-Methode für Ingenieure I,II“ soll Studierenden ingenieurswissenschaftlicher Fachrichtungen (ab 5. Semester) einen leichten Zugang zur FEM verschaffen und kann somit auch als intensive Vorbereitung auf Studien- und Diplomarbeiten dienen, in denen sehr häufig die FEM als unverzichtbares Hilfsmittel eingesetzt werden muß. Damit entfallen für viele Studien- und Diplomarbeiter(innen) lange Einarbeitungszeiten. Neben dem Zweck eines Vorlesungsmanuskriptes soll das vorliegende Buch und der erste Band auch Doktoranden und bereits in der Praxis tätigen Ingenieuren, die zur Behandlung von Problemen der Strukturmechanik oder der Kontinuumsmechanik (solids and fluids) auf Näherungsverfahren angewiesen sind, einen Einstieg in die FEM verschaffen. Nach meinen Erfahrungen bevorzugen Studierende ingenieurswissenschaftlicher Fachrichtungen die induktive Methode. Aus diesem Grund behandele ich Variationsrechnung, Energiemethoden, modifiziertes RITZ-Verfahren, Residuenverfahren und Nichtlinearitäten erst im jetzt vorliegenden zweiten Band. Der erste Band beginnt mit sehr einfachen finiten Elementen. In Kapitel 3 wird mit Hilfe der Matrix-Steifigkeitsmethode bereits eine Fülle von Aufgaben der Strukturmechanik gelöst, die sich mit dem mechanischen Verhalten diskreter Systeme befaßt. Dazu zählt auch die Berechnung von Eigenfrequenzen und Eigenformen diskreter Systeme (→Strukturdynamik). Die Anwendung der FEM auf kontinuierliche Systeme (→Kontinuumsmechanik) ist wesentlich anspruchsvoller. In Kapitel 4 des ersten Bandes wird als Möglichkeit, das Gleichgewicht eines Körpers (Kontinuums) auszudrücken, das Prinzip der virtuellen Verschiebungen benutzt und die Steifigkeitsmatrix für linearelastische finite Elemente ermittelt.

VIII

Vorwort

Neben Dreieckselementen höherer Ordnung werden auch Viereckselemente der LAGRANGE- und SERENDIPITY-Klasse und Übergangselemente ausführlich im ersten Band diskutiert. Darüber hinaus wird die konforme Abbildung zur Erzeugung krummliniger Elemente eingesetzt. Die meisten Übungsaufgaben können „von Hand“ ohne Hilfsmittel, d.h. unter Klausurbedingungen, gelöst werden. Sehr umfangreiche Übungen sind nur auszugsweise als Klausuraufgaben geeignet. Einige Aufgaben sind bewußt sehr einfach gestellt (und als Klausuraufgaben schon zu leicht), damit der „Neuling“ die prinzipielle Vorgehensweise schnell durchblicken kann und nicht hinter einer „black box“ steht und auf Ergebnisse wartet, denen er nur mißtrauisch gegenüberstehen kann. Einige Übungsaufgaben enthalten im Anschluß an die „zu Fuß-Rechnung“ einen Computerausdruck. Hierbei wurde die Software „MAPLE V, Release 4“, verwendet. MAPLE ist ein „mathematisches Formelmanipulations-Programm“, mit dem interaktiv gearbeitet werden kann. Mit Hilfe solcher „Formelmanipulations-Systeme“ (FMS) ist es möglich, Berechnungen mit unausgewerteten Ausdrücken (Symbolen) durchzuführen. Die sogenannte Computer-Algebra ist in den letzten Jahren verstärkt entwickelt worden − MAPLE etwa seit Anfang der 80-er Jahre. Weitere Programme sind MATHCAD (basierend auf MAPLE), MATHEMATICA, MACSYMA, REDUCE und AXIOM, die ebenfalls sehr leistungsstark und anwenderfreundlich sind. Je nach Einsatzgebiet bietet das eine oder andere System mehr oder weniger Vorteile. Die zusammengestellten Übungsaufgaben sollen den Vorlesungsstoff ergänzen und vertiefen. Es werden auch Übungen aus Aufgabengebieten angeboten, die aus Zeitgründen in den Vorlesungen nicht behandelt werden können. Aus Platzgründen konnten nicht zu jeder Ziffer Übungsaufgaben abgedruckt werden, so daß eine Vielzahl von bereits ausgearbeiteten Aufgaben noch in der Schublade liegen muß. Ergänzend zu den Vorlesungen und Übungen in FEM biete ich ein Praktikum „Praktische Einführung in FEM-Programme I, II“ für Studierende an, das mein Mitarbeiter, Herr Dipl.-Ing. U. NAVRATH, am Rechenzentrum der RWTH Aachen durchführt. Jedem Teilnehmer steht ein PC zur Verfügung, so daß ein intensives Einarbeiten in FEM-Programme möglich ist. Dem Rechenzentrum der RWTH Aachen sei an dieser Stelle für die Bereitstellung von Schulungsräumen und PCs gedankt. Ohne diese Unterstützung wäre die Durchführung eines solchen Praktikums nicht möglich. Allen, die mit bestimmten FEM-Programmen in ihrer Berufspraxis arbeiten müssen, wie beispielsweise mit ABAQUS / ADINA / ANSYS / COSMOS / MARC / NASTRAN etc., etc. werden Spezialkurse empfohlen, die man aber erst dann effektiv besuchen kann, wenn man bereits die Grundlagen der FEM beherrscht. Beispielsweise bietet die Firma CAD-FEM GmbH in Grafing bei München jährlich Schulungsseminare zum FEM-Programm ANSYS an. Als Referenten stehen Mitarbeiter der Firma CAD-FEM, Anwender aus der Industrie und Hochschullehrer zur Verfügung. So führe ich seit einigen Jahren ein Seminar über viskoelastisches und viskoplastisches Verhalten (Inelastizität) verschiedener

IX

Werkstoffe zusammen mit einem Mitarbeiter der Firma CAD-FEM und einem Anwender aus der Glasindustrie durch. Die Erfahrungen, die ich hierbei sammle, kommen auch meinen Lehrveranstaltungen zugute. Aus diesem Grunde bin ich der Firma CAD-FEM dankbar, daß sie mich als Referenten eingeladen hat. Die meisten Kursteilnehmer(innen) sind Anwender(innen) aus der Industrie. Es sind aber auch Studierende und Doktoranden eingeladen, die nur eine geringe Teilnahmegebühr entrichten müssen. Viele Anwender erwarten von FEM-Programmen Lösungen, die man kritiklos übernehmen kann. Eine Erhöhung der Anzahl der Elemente (h-Methode) erhöht den Rechenaufwand und muß nicht immer zu einer gewünschten Verbesserung der Ergebnisse führen, wie ausführlich in Übungsaufgaben diskutiert wird. Vielfach ist die Erhöhung des Polynomgrades der shape functions (p-Methode) erfolgreicher, wie an vielen Beispielen gezeigt wird. Schließlich ist auch die r-Methode (repositioning) ein wirksames Mittel zur Erhöhung der Genauigkeit von FEM-Lösungen. Hierbei bleibt die Anzahl der Elemente, der Knoten und auch der Freiheitsgrade pro Knoten erhalten, während die Knotenpunkte „optimal“ gegeneinander verschoben werden. Durch derartige Verschiebungen kann eine Netzverfeinerung an Stellen hoher Spannungskonzentration (Kerben, scharfe Übergänge etc.) erzeugt werden, während in weniger kritischen Bereichen das Netz aufgeweitet wird. Bevor man ein aufwendiges FE-Programm selbst entwickelt, weil kein geeignetes kommerzielles Programm zur Verfügung steht, sollte man gründlich überlegen, ob nicht andere Verfahren mit geringerem Aufwand zum Ziel führen, insbesondere bei einfachen Randkonturen. Daher werden im Textteil und in Übungsaufgaben des ersten Bandes die Finite-Differenzen-Methode (FDM) und die Methode der Übertragungsmatrizen mit der FEM verglichen. Aufgrund des reichhaltigen Angebotes von kommerziellen FE-Programmen halten viele Anwender grundlegende Kenntnisse in Mechanik, in Tensorrechnung und in numerischer Mathematik für weniger wichtig. Was nützt jedoch ein aufwendiges Rechenprogramm, wenn das mathematische Modell des Problems fraglich ist? Leistungsfähige Programme, wie z.B. ABAQUS etc., berücksichtigen neben physikalischen Nichtlinearitäten auch geometrische Nichtlinearitäten. Somit muß der Anwender solcher FEM-Programme u.a. mit der Theorie endlicher Verzerrungen vertraut sein und als mathematisches Hilfsmittel die Tensorrechnung einsetzen können. In beiden Bänden habe ich jedoch weitgehend die Tensornotation nicht verwendet, da Studierende im 5. Semester aufgrund ihres Studienplanes mit der Tensorrechnung noch nicht vertraut sind. An einigen Stellen im Textteil und auch in einigen Übungen habe ich mich jedoch der eleganten und bequemen Tensorrechnung bedient. Allen Studierenden, die insbesondere zur Prüfungsvorbereitung meine Vorlesungs- und Übungsskripte kritisch durchgearbeitet haben, möchte ich danken. Sie haben durch ihre Kritik und einige Anregungen dazu beigetragen, daß der zweite Band die jetzt vorliegende Form besitzt.

X

Vorwort

Gedankt sei an dieser Stelle Herrn Dr.-Ing. W. HELISCH, Herrn Dipl.-Ing. U. NAVRATH und Herrn cand.ing. M. WIEHN, die mit unermüdlicher Sorgfalt und großem Geschick die reproduktionsreife Vorlage auf einem PC-486 erstellt haben. Die vielen Skizzen hat Herr T. HÖFS, Auszubildender zum Technischen Zeichner, mit den Programmen AutoCAD und CorelDraw 5.0 angefertigt. Für seine Unterstützung möchte ich mich bedanken. Die gesamte redaktionelle Koordination lag in den Händen von Herrn Dipl.Ing. U. NAVRATH. Dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. D. MERKLE und Herrn Dr. H. RIEDESEL sei gedankt für die Aufnahme meiner Manuskripte und die verständnisvolle und vorbildliche Zusammenarbeit , die ich auch bei der Drucklegung meines Buches „Kontinuumsmechanik“ im Jahre 1993 als angenehm empfand. Herrn H. SCHOENEFELDT und Frau K. KLOSE, verantwortlich für die technische Produktion des Buches, danke ich für die reibungsfreie Koordination. Aachen, im Dezember 1997

Josef Betten

Inhaltsverzeichnis

Band 2 5 5.1

Variationsrechnung EULERsche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x, u, u ′,..., u ( n ) )

5.2 5.3 5.4

Isoperimetrische Probleme Funktionale mit mehreren Argumentfunktionen Erweiterung auf Mehrfachintegrale

6 6.1

Energiemethoden / Variationsprinzipe Anwendung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials auf diskrete Systeme Prinzip der virtuellen Arbeit Die Sätze von CASTIGILIANO Anwendung des ersten Satzes von CASTIGILIANO auf ein finites Balkenelement Anwendung des ersten Satzes von CASTIGILIANO auf ein elastisches Kontiniuum Allgemeinere Formulierung des Prinzips vom stationären Wert des Gesamtpotentials Das HAMILTONsche Prinzip

23

73

7.3 7.4 7.5 7.5.1 7.5.2

Näherungsverfahren Das klassische RAYLEIGH-RITZ-Verfahren und die FE-Methode Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere GALERKIN, und die FEM Existenz eines Variationsprinzips Näherungsfehler und Konvergenz Numerische Integration Einfachintegrale Mehrdimensionale Integration

8 8.1 8.2 8.3 8.4

Nichtlinearitäten Verschiedene Lösungsmethoden Fixpunktiteration Nichtlineare diskrete Systeme Geometrische Nichtlinearität

238 240 248 252 267

6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 7 7.1

7.2

1

1 13 17 18

24 32 41 44 55 56 66

73 112 137 144 150 151 189

XII

Inhaltsverzeichnis

8.5 8.6

Inelastisches Verhalten anisotroper Werkstoffe Zeitschrittverfahren

272 280

Lösungen der Übungsaufgaben

289

Literaturverzeichnis

291

Sachwortverzeichnis

297

Band 1 1

Einführung

1

2

Matrixmethoden

11

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Matrix-Steifigkeitsmethode Steifigkeitsmatrizen von Federn Steifigkeitsmatrizen für Stabelemente Steifigkeitsmatrizen für Fachwerke Steifigkeitsmatrizen für Biegebalken Vergleich zwischen Steifigkeits- und Übertragungsmatrix Inhomogene Randbedingungen

15 16 35 45 59 72 83

4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3

Elastisches Kontinuum Dreieckselement für ebene elastische Probleme Verschiebungsansätze höherer Ordnung Quadratischer Verschiebungsansatz Kubischer Verschiebungsansatz Natürliche Koordinaten im finiten Dreieckselement (Flächenkoordinaten) Rechteckelemente der LAGRANGE-Klasse Rechteckelemente der SERENDIPITY-Klasse Übergangselemente Isoparametrische finite Elemente Einsatz konformer Abbildungen in der FEM Tetraederelemente Hexaederelemente Pentaederelemente Isoparametrische räumliche Elemente

85 86 112 113 116

Lösungen der Übungsaufgaben

235

Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis

389 393

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12

116 126 139 146 153 163 170 183 209 217

5 Variationsrechnung

Die Finite-Elemente-Methode kann aufgefasst werden als eine stückweise (elementweise) Anwendung der Variationsmethode. Hierauf und auch auf verschiedene Verfahren des gewichteten Restes wurde in vorausgegangenen Kapiteln (Band 1) nicht eingegangen, um den ersten Zugang zur FEM mathematisch möglichst einfach zu gestalten. Dadurch wurden jedoch die Anwendungsmöglichkeiten stark eingeschränkt . In Kapitel 3 konnte mit Hilfe der Matrix-Steifigkeitsmethode bereits eine Fülle von Aufgaben der Strukturmechanik gelöst werden, die sich mit dem mechanischen Verhalten diskreter Systeme befasst. Dazu zählt auch die Berechnung von Eigenfrequenzen und Eigenformen diskreter Systeme (→ Strukturdynamik). Die Anwendung der FEM auf kontinuierliche Systeme (→ Kontinuumsmechanik) ist wesentlich schwieriger. In Kapitel 4 wurde als Möglichkeit, das Gleichgewicht eines Körpers (Kontinuums) auszudrücken, das Prinzip der virtuellen Verschiebung benutzt und die Steifigkeitsmatrix für linearelastische finite Elemente ermittelt. Das Prinzip der virtuellen Arbeit ist den Verfahren von RITZ und GALERKIN (gesprochen: "Galjorkin") oder auch der Methode der kleinsten Quadrate äquivalent. Diese genannten Verfahren sollen in den Kapiteln 6 und 7 ausführlich diskutiert werden. Zuvor ist aber eine kleine Einführung in die Variationsrechnung erforderlich.

5.1 EULERsche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...) Das Grundproblem der Variationsrechnung besteht allgemein in der Ermittlung der extremalen Werte von Funktionalen, die von Kurven oder Flächen abhängen und sich durch bestimmte Integrale ausdrücken lassen. Der Begriff des Funktionals ist folgendermaßen definiert: Ein Funktional ist ein auf einer Funktionenmenge definierter Operator, der jeder Funktion aus dieser Menge eine Zahl zuordnet. Beispielsweise ist die Bogenlänge L einer Kurve, die zwei Punkte einer Ebene miteinander verbindet und in dieser Ebene liegt, ein Funktional; denn jeder derartigen Kurve [Argumentfunktion u = u(x)] wird nach der Formel (Operator)

2

5 Variationsrechnung b

L [ u(x)] = ò 1 + u ′2 dx

(5.1)

a

eine Zahl zugeordnet, die ihre Länge L darstellt. In Bild 5.1 ist der Funktionalbegriff am Beispiel von Flächen unterhalb ebener Kurven anschaulich dargestellt.

y

u

y  f (x)

u n ( x)

u1 ( x )

F( x )

a

x

x

a

x

b

x

b

F(x) := ò f (ξ)dξ

F [ u(x) ] := ò u(x)dx

F(x) ist eine Funktion; es liegt nur eine Funktion y = f(x) vor !

F[u(x)] ist ein Funktional; jeder Funktion, die in [a,b] stetig ist, wird ein Wert F[u(x)] zugeordnet !

a

a

Bild 5.1 Gegenüberstellung der Begriffe Funktion und Funktional

Ein anderes Beispiel ist der Flächeninhalt einer Fläche z = z ( x, y ) , die über

einem Gebiet G der x-y-Ebene liegt: Φ [ z (x,y)] =

óó ôô ôô ôô ôô õõ

2

2

æ ∂z ö æ ∂zö 1+ ç ÷ +ç ÷ dx dy. è∂xø è∂yø

(5.2)

G

Das Grundproblem der Variationsrechnung ist analog zu der Aufgabe der Differentialrechnung, die Extremwerte einer Funktion zu bestimmen. Zur Bestimmung der Werte von x, für welche die Funktion f (x) einen Extremwert annimmt, ist die Gleichung f ′(x) = 0 aufzulösen. In der Variationsrechnung wird bewiesen, dass

die Kurve u = u(x) oder die Fläche z = z(x, y) , für die ein Funktional einen Extremwert besitzt, einer Differentialgleichung genügen muss. Sie stellt eine not-

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...)

3

wendige Bedingung für ein Extremum des Funktionals dar, genauso wie die Gleichung f ′(x) = 0 eine notwendige Bedingung dafür ist, dass die vorgegebene Funk-

tion f (x) an der Stelle x einen Extremwert besitzt. Die Herleitung der Differentialgleichung, die einem Funktional zugeordnet ist, soll an dem einfachen Beispiel J [u] =

b

ò F(x, u, u ′) dx

(5.3)

a

erläutert werden. Darin ist F eine vorgegebene Funktion von drei Veränderlichen. Diese Funktion sei zweimal stetig differenzierbar nach ihren drei Argumenten x, u, u ′ . Von der gesuchten Funktion u(x) wird Stetigkeit der zweiten Ableitung u ′′ vorausgesetzt. Die Werte der Funktion u(x) seien in den Endpunkten des Integrationsintervalls vorgegeben: u(a) = u a ,

u(b) = u b .

(5.4)

Diejenige zulässige Argumentfunktion u(x) , die dem Funktional (5.3) einen stationären Wert (Extremwert) verleiht, wird Extremale oder auch Lösungsfunktion genannt. Die Existenz der Lösung eines Variationsproblems wird im Folgenden immer stillschweigend vorausgesetzt; streng genommen muss sie jeweils nachgewiesen werden. Dazu sei auf Spezialliteratur verwiesen. In der unmittelbaren Nachbarschaft der gesuchten Lösungsfunktion u(x) werde eine einparametrige Nachbarfunktion

% u(x) = u(x) + ε η(x)

(5.5)

angenommen. Darin ist η (x) eine neu eingeführte Funktion, die wie die Lösungsfunktion eindeutig, stetig und zweimal stetig differenzierbar sein muss. Darüber hinaus soll sie die homogenen Randbedingungen η (a) = η (b) = 0

(5.6)

erfüllen. Sonst kann sie beliebig gewählt werden. Für einen genügend kleinen Parameter ε << 1 liegen alle variierten Funktionen u% in einer beliebig klein gewählten Nachbarschaft*) der Extremale u = u(x) . Also muss das Integral % ε) von ε auffassen kann, für ε = 0 eiJ [ u% ] = J [ u + εη] , das man als Funktion J(

*)

Eine Nachbarfunktion nullter Ordnung genügt der Ungleichung ~ u ( x ) − u( x ) < h , wobei h eine kleine positive Zahl ist. Für eine Nachbarfunktion erster Ordnung gilt zuu ′( x) − u ′(x) < h etc. sätzlich noch die Ungleichung ~

4

5 Variationsrechnung

nen Extremwert relativ zu allen absolut genommenen hinreichend kleinen Werten ! von ε besitzen. Mithin muss J% ′(0) = 0 gefordert werden.

Mit der Vergleichsfunktion (5.5) kann das Funktional (5.3) bei festgehaltenem η als eine stetig differenzierbare Funktion b

% ε) = F(x, u + εη, u ′ + εη′) dx J( ò

(5.7)

a

von ε aufgefasst werden, wie bereits oben erwähnt. Da J [ u ] ein Extremum des % ε) für ε=0 einen Extremwert, so Variationsintegrals (5.3) ist, hat die Funktion J( dass die notwendige Bedingung % ε) ö ! æ dJ( = 0 ç ÷ è dε øε=0

(5.8)

gilt. Die Ableitung der Funktion (5.7) führt mit (5.5) zunächst auf b

% ε) ó æ ∂ F du% ∂ F du% ′ ö dJ( = ôç + ÷ dx . dε õ è ∂ u% dε ∂ u% ′ dε ø

(5.9)

a

Daraus erhält man aufgrund der Zusammenhänge

æ ∂F ö ∂F = , ç ÷ ∂u è ∂ u% øε =0

æ ∂F ö ∂F = ç ÷ ∂ u′ è ∂ u% ′ øε=0

(5.10a,b)

und du% ′ = η′ dε

du% =η, dε

(5.11a,b)

wegen (5.8) die Forderung: b

% ε) ö ! æ dJ( ó æ ∂F ∂F ö = ôç η+ η′ ÷ dx = 0. ç ÷ ∂ u′ ø õ è ∂u è dε øε =0

(5.12)

a

Zur weiteren Umformung dieses Integrals wird der auf LAGRANGE zurückgehende Begriff der Variation δu eingeführt. Die Variation der Argumentfunktion u(x) kann aufgrund von (5.5) gemäß % δu ( x ) := u(x)-u(x) = εη(x)

(5.13)

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...)

5

ausgedrückt werden. Sie wird bei jeweils festem x-Wert gebildet, wie in Bild 5.2 veranschaulicht. ~ u u ~ u( x ) ub u( x )

δu( x )

du ua

a

x

b

dx

Bild 5.2 Variation δu und Differential du

Die Variation δu der Argumentfunktion u(x) ist eine virtuelle (gedachte, infitesimale) Funktion, die wegen (5.6) den homogenen Randbedingungen δu(a) = δu(b) = 0

(5.14)

genügen muss. Sie erzeugt aus der Funktion u(x) eine neue (abweichende) Funk% , d.h., sie bildet bei jeweils festem x den Übergang von u nach u% . Im tion u(x) du dx = u ′(x) dx die infinitesimale dx Änderung von u beim Fortschreiten in Richtung x um dx dar (Bild 5.2). Für ε = 0 verschwindet die Variation [ δu(x) = 0] , so dass wegen (5.13) die Nachbarfunkti-

Gegensatz dazu stellt das Differential du =

% in die Lösungsfunktion u(x) übergeht. on u(x) Für den Variationsoperator δ gelten offenbar die Rechenregeln δu ′ =

d ( δu ) dx

und

δu ′′ =

d2 dx

2

( δu ) =

d ( δu ′ ) , dx

(5.15a,b)

d.h., die Reihenfolge von Variation und Differentiation ist vertauschbar (Kommutativgesetz). Die Regel (5.15a) kann folgendermaßen nachgewiesen werden. Aus (5.13) folgt: u% = u+δu

Þ

andererseits gilt:

d ( δu )üï dx ý Þ ′ ′ ′ u% = u +δu ïþ

u% ′ = u ′+

Entsprechend weist man (5.15b) nach.

δu ′ =

d ( δu ) . dx

6

5 Variationsrechnung

Vergleicht man (5.3) mit (5.7), so stellt man wegen (5.5) fest: J% ( 0 ) = J [ u ]

und

J% ( ε ) = J [ u% ] .

(5.16a,b)

% ε) nach Potenzen von ε um ε = 0 führt auf die Die TAYLOR-Entwicklung von J( MACLAURIN-Reihe æ dJ% ö 1 æ d 2 J% ö J% ( ε ) = J% ( 0 ) +ε ç ÷ + ε2 ç + ... , (5.17a) ÷ 2 è dε øε=0 2! èç dε ø÷ε=0 woraus wegen (5.16a,b) auch J [ u% ] = J [ u ] +δ J [ u ] +

1 2 δ J [ u ] +... 2!

(5.17b)

gefolgert werden kann. Darin wird

æ dJ% ö δ J [u ] = ε ç ÷ è dε øε=0

(5.18)

als erste Variation des Funktionals J [ u ] bezeichnet, die wegen (5.12) notwendig verschwinden muss:

! δ J [u ] = 0 .

(5.19)

Somit erhält man nach Multiplikation von (5.12) mit dem Parameter ε die Forderung: b

δ J [u ]

! ó æ ∂F ö ∂F = ô ç εη+ εη′ ÷ dx = 0 ∂ u′ õ è ∂u ø

(5.20a)

a

bzw. wegen (5.13) auch: b

δ J [u ]

! ó æ ∂F ö ∂F = ô ç δu+ δu ′ ÷ dx = 0 . ∂ u′ õ è ∂u ø

(5.20b)

a

Darin kann unter Beachtung der Rechenregel (5.15a) das zweite Integral durch partielle Integration gemäß b

b

b

é ∂F ù ó d æ ∂F ö ó ∂F ′ δu dx = ê δu ú − ô δu ç ÷ dx ô ′ ′ õ ∂u ë ∂u û a õ dx è ∂ u ′ ø a

a

ausgedrückt werden, so dass (5.20b) in

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...) b

δ J [u ]

7

b

ó é ∂ F d æ ∂ F öù é ∂F ù ! =ôê − ç δu ú = 0 ÷ ú δu dx + ê ′ ∂ ∂ u dx u è øû ë ∂ u′ ûa õë

(5.20c)

a

übergeht. Diese Bedingung für das Auftreten eines Extremums von J [ u ] ist nur dann erfüllt, wenn jeder Summand für sich verschwindet, da die Werte der Variation δu im Inneren von (a,b) und die Werte von δu in den Randpunkten a,b voneinander unabhängig sind. Der "integralfreie" Term in (5.20 c) verschwindet identisch aufgrund der homogenen Randbedingungen (5.14). Sind diese Randbedingungen oder eine von ihnen nicht erfüllt, so muss als natürliche Randbedingung æ ∂F ö = 0 gefordert werden (z.B.: Ü7.3.6). ç ′÷ è ∂u øRand Natürliche (restliche) Randbedingungen fallen wie z.B. in (5.20c) neben den EULERschen Differentialgleichungen an. Im Gegensatz dazu werden geometrische (erzwungene) Randbedingungen als wesentliche Randbedingungen bezeichnet, z.B. (6.112). Das Integral in (5.20c) ist nur dann für beliebige Variationen δu = εη(x) und damit wegen (5.13) für alle zugelassenen Funktionen η(x) gleich null, wenn der Ausdruck in der eckigen Klammer identisch verschwindet; denn andernfalls könnte man ja die Funktion η(x) immer so wählen, dass die Variation δu an jeder Stelle x das gleiche Vorzeichen hat wie der Klammerausdruck. Dann wäre aber der Integrand, von einzelnen Nullstellen abgesehen, überall zwischen a und b positiv, und damit wäre auch das Integral größer null. Diese Argumentation entspricht dem sogenannten "Fundamentallemma der Variationsrechnung". Mithin muss die EULERsche Differentialgleichung ∂F d æ ∂F ö − ç ÷=0 ∂ u dx è ∂ u ′ ø

(5.21a)

erfüllt sein, die man nach Ausdifferenzieren auch in der Form u ′′

∂2F ∂u ′2

+u ′

∂2F ∂2F ∂F + − =0 ∂ u′ ∂ u ∂ u′ ∂ x ∂ u

(5.21b)

schreiben kann. Die EULERsche Differentialgleichung (5.21a,b) stellt eine notwendige Bedingung dafür dar, dass die Funktion u = u(x) das Variationsproblem J [ u ] = Extremum des Funktionals (5.3) löst; sie ist eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung für die unbekannte Funktion u = u(x) . Hinreichende Bedingungen sind nur für spezielle Variationsprobleme bekannt; so ist z.B. nach LEGENDRE für F = F(x,u,u ′) die Bedingung ∂ 2 F ∂ u ′2 > 0 [Faktor bei u ′′ in (5.21b)] hinreichend für eine schwaches Minimum. Die LEGENDREsche Bedingung

8

5 Variationsrechnung

∂ 2 F ∂ u ′2 ≠ 0 spielt eine zentrale Rolle bei der Untersuchung, ob eine Extremale wirklich ein Extremum liefert [COURANT/HILBERT, 1968]. Die EULERsche Differentialgleichung (5.21a) kann auch auf einem anderen Weg gefunden werden. Dazu wird der Integrand des Integrals (5.7) an einer festgehaltenen Stelle “x“ in eine TAYLORreihe entwickelt:

F ( x, u + εη, u ′ + εη′ ) = F(x, u, u ′) +

∂F 1 ∂2F εη + (εη)2 + ... ∂u 2! ∂ u 2

∂F 1 ∂2 F εη′ + + (εη′)2 + ... 2 ′ ∂u 2! ∂ u ′

(5.22)

Damit erhält man aus der notwendigen Bedingung (5.8), indem man unter dem Integralzeichen in (5.7) nach ε differenziert und anschließend ε =0 setzt, unmittelbar das Ergebnis: b

% ε) ö ! æ dJ( ó æ ∂F ∂F ö = ôç η+ η′ ÷ dx = 0 . ç ÷ ∂ u′ ø è dε øε =0 õ è ∂ u

(5.12)

a

Darin kann auf das zweite Integral die partielle Integration angewendet werden, b

b

b

é ∂F ù ó d æ ∂F ö ó ∂F ′ η dx = ê ηú − ô η ç ÷ dx ô õ ∂ u′ ë ∂ u ′ û a õ dx è ∂ u ′ ø a

a

so dass man unter Berücksichtigung der Randbedingung η(a)=η(b)=0 das Integral b

ó é ∂ F d æ ∂ F öù ô η ê − ç ′ ÷ ú dx=0 õ ë ∂ u dx è ∂ u ø û

(5.23)

a

erhält, das aufgrund des "Fundamentallemmas der Variationsrechnung" nur dann verschwindet, wenn die EULERsche Differentialgleichung ∂F d æ ∂F ö − ç ÷ =0 ∂ u dx è ∂ u ′ ø

(5.21a)

erfüllt ist. In Erweiterung von (5.3) sei im Folgenden die Variationsaufgabe b

J [ u ] = ò F(x,u,u ′,u ′′) dx = Extremum a

(5.24)

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...)

9

mit dem Funktional J [ u ] für die Argumentfunktion u(x) betrachtet. Analog (5.22) entwickelt man die Funktion F(x, u + εη, u ′ + εη′, u ′′ + εη′′) in eine TAYLORreihe, die gegenüber (5.22) zusätzliche Terme der Form ∂F 1 ∂2F εη′′ + (εη′′)2 + ... ∂ u ′′ 2! ∂ u ′′2 erhält, so dass (5.12) zu b

% ε) ö ! æ dJ( ö ó æ ∂F ∂F ∂F = ôç η+ η′ + η′′ ÷ dx = 0 ç ÷ ′ ′′ ε ∂ ∂ ∂ d u u u ø è øε=0 õ è

(5.25)

a

erweitert wird. Darin kann das zweite Integral wie oben durch einfache partielle Integration umgeformt werden, während für eine entsprechende Umformung des dritten Integrals eine wiederholte partielle Integration erforderlich ist. Somit geht (5.25) über in: b

ó é ∂ F d æ ∂ F ö d2 æ ∂ F öù dx η − + ô ô ê ∂ u dx çè ∂ u ′ ÷ø dx 2 çè ∂ u ′′ ÷ø ú úû õ êë

(5.26)

a

b

ìï é ∂ F d æ ∂ F ö ù üï é ∂ F ù b + íê − ç η′ú = 0. ÷ ú ηý + ê îï ë ∂ u ′ dx è ∂ u ′′ ø û þïa ë ∂ u ′′ û a Da η und η′ beliebig sind, muss in (5.26) jeder Term für sich verschwinden. Aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung erhält man in Erweiterung von (5.21a) die EULERsche Differentialgleichung ∂ F d æ ∂ F ö d2 æ ∂F ö − ç ÷+ ç ÷ =0 . ∂ u dx è ∂ u ′ ø dx 2 è ∂ u ′′ ø

(5.27)

Das Verschwinden der "integralfreien" Terme in (5.26) führt auf die natürlichen Randbedingungen b

ìï é ∂ F d æ ∂ F ö ù üï − ç íê ÷ ú ηý = 0 îï ë ∂ u ′ dx è ∂ u ′′ ø û þïa

b

und

é ∂F ù ê ′′ η′ú =0 , ë∂u ûa

(5.28a,b)

die a priori mit den Bedingungen η(a) = η(b) = 0

und

η′(a) = η′(b) = 0

(5.29a,b)

erfüllt sind. Falls die Bedingungen (5.29a,b) jedoch nicht erfüllt sind, müssen als natürliche Randbedingungen die Bedingungen

10

5 Variationsrechnung

é ∂ F d æ ∂ F öù − ç =0 ê ÷ú ë ∂ u ′ dx è ∂ u ′′ ø û Rand

und

é ∂F ù =0 ê ú ë ∂ u ′′ û Rand

(5.30a,b)

gefordert werden. Die oben ausführlich hergeleiteten EULERschen Differentialgleichungen (5.21) und (5.27) können nach der gleichen Vorgehensweise für die Variationsaufgabe J [u] =

b

ò F(x,u,u ′,u ′′,...,u

(n)

! ) dx = Extremum

(5.31)

a

% verallgemeinert werden. Wie oben wird die Nachbarfunktion u(x) = u(x)+εη(x) in das Integral (5.31) einsetzt; danach wird unter dem Integral nach ε differenziert und schließlich ε =0 gesetzt. Auf diese Weise erhält man analog (5.12) und (5.25): b

% ε) ö ó æ ∂F ! æ dJ( ∂F ∂ F (n) ö = ôç η+ η′ + . . . + η ÷ dx = 0 . ç ÷ (n) ô ç ÷ ∂ u′ ∂u è dε øε=0 ø õ è ∂u

(5.32)

a

Darin können alle mit einer k-ten Ableitung η(k) behafteten Terme durch mehrmalige partielle Integration gemäß b

∂F

ò ∂ u (k) a

b

η(k) (x) dx = (-1)k ò η(x) a

dk æ ∂ F ö ç ÷ dx dx k çè ∂ u (k) ÷ø b

é ∂ F (k −1) d æ ∂ F ö (k −2) d k −1 æ ∂ F ö ù + . . . +(-1)(k-1) +ê η − ç η ÷ ç ÷ ηú dx çè ∂ u (k) ÷ø dx k −1 çè ∂ u (k) ÷ø úû a êë ∂ u (k)

(5.33)

umgeformt werden. Setzt man noch voraus, dass die Funktion η(x) und ihre Ableitungen bis zur (n − 1) − ten Ordnung in den Endpunkten verschwinden, η(k −1) (a) = η(k −1) (b) = 0 , k=1,2,...,n ,

(5.34)

so verschwinden in (5.33) die "integralfreien" Terme, so dass man aus (5.32) das Integral b

n é ∂F d æ ∂F ö n d η (x) − + . . . +(-1) ê ò ê ∂ u dx çè ∂ u ′ ÷ø dx n ë a

æ ∂ F öù ç (n) ÷ ú dx = 0 ç ∂ u ÷ú è øû

(5.35)

erhält, aus dem man aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung schließlich die EULERsche Differentialgleichung

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...) n ∂F d æ ∂F ö n d æ ∂F ö − ç ç ÷ =0 ÷ + . . . +(-1) ∂ u dx è ∂ u ′ ø dx n èç ∂ u (n) ø÷

11

(5.36)

erhält. Sie ist eine Differentialgleichung der Ordnung 2n und enthält 2n Konstanten, die aus 2n Randbedingungen bestimmt werden können. Beispielsweise sind diese Randbedingungen durch die Werte der Funktion η(x) und ihre Ableitungen bis zur (n-1)-ten Ordnung in den Endpunkten (a,b) gegeben. Von der gesuchten Funktion u(x) wird gefordert, dass sie zur Funktionenklasse C2n gehört, d.h. zusammen mit ihren ersten 2n Ableitungen stetig ist. Übungsaufgaben 5.1.1 Unter den Kurven y = y(x), die zwei Punkte P und Q der x-y-Ebene verbinden, wird diejenige gesucht, die bei Rotation um die x-Achse eine Fläche mit dem kleinstmöglichen Flächeninhalt beschreibt [Rotationskörper kleinster Oberfläche (Skizze)].

5.1.2 Unter allen Kurven y = y(x), die zwei vorgegebene Punkte P und Q verbinden, soll diejenige gefunden werden, auf der ein reibungsfrei gleitender Massenpunkt unter der Wirkung der Schwerkraft den Weg von Q nach P in kürzester Zeit durchläuft (Skizze). Die Kurve der kürzesten Fallzeit wird Brachystochrone genannt (brachy ≡ kurz, chronos ≡ Zeit). Die Anfangsgeschwindigkeit v(b) sei null.

5.1.3 Das Prinzip von FERMAT besagt, dass in einem optisch inhomogenen Medium, d.h. in einem Raum, in dem sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit v(x, y, z) des Lichtes örtlich ändert, das Licht seinen Weg von einem Punkt P des Raumes

12

5 Variationsrechnung

zu einem anderen Punkt Q immer so wählt, dass die Zeit, die es längs des gewählten Weges benötigt, minimal wird (Skizze).

In einem optisch inhomogenen Medium sind die Lichtwege die Extremalen der Variationsaufgabe: Q

Q

P

P

ò dt = ò

ds v

! = Minimum .

(1)

Optisch inhomogen heißt: Die optischen Eigenschaften (z.B. Brechungsindex) sind Ortsfunktionen. In solchen Medien ist das optische Verhalten durch die Geschwindigkeit v(x, y, z) als Ortsfunktion vollständig gekennzeichnet. Im Gegensatz dazu bedeutet Anisotropie die Richtungsabhängigkeit optischer oder mechanischer Eigenschaften an einer bestimmten Stelle. In optisch homogenen Medien ist der Lichtweg geradlinig. Unter der Voraussetzung, dass v nur von y abhängt, ermittle man den Weg y = y(x). Speziell diskutiere man folgende Beispiele: a) v(y) = cy , b) v(y) = c y , c) v(y) = c y . Darin sei c eine Konstante. 5.1.4 Zur Variationsaufgabe b

! 1 é 2 2 J [ u(x)] = ó ô p(x)u ' (x) − λq(x) u (x) ûù dx = Extremum 2õë

(1)

a

stelle man die EULERsche Differentialgleichung auf und diskutiere das Beispiel mit p = x 2 und λq(x) = q 0 = const. . 5.1.5

Zur Variationsaufgabe b

! 2 2 2 J [ u(x)] = ó ô ëé u ′′ (x) − αu ′ (x) − β u (x) ûù dx = Extremum õ a

stelle man die EULERSCHE Differentialgleichung auf.

(1)

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...)

13

5.1.6 Die Durchbiegung eines an den Enden gelenkig gestützten Knickstabes (Skizze) l

P

x

w (x )

w

veränderlicher Biegesteifigkeit EI(x) kann aus der Differentialgleichung

w ′′(x) +

P w(x) = 0 EI(x)

(1)

ermittelt werden. Man formuliere die entsprechende Variationsaufgabe. 5.1.7 Ein beidseitig gelenkig gelagerter Knickstab mit veränderlichem Kreisquerschnitt vom Durchmesser d = d(x) soll bei gegebenem Materialvolumen V eine möglichst große Knicklast ertragen können (Skizze). l

P

x

w d(x)

Gesucht ist der optimale Querschnittsverlauf.

5.2 Isoperimetrische Probleme Häufig treten in den Anwendungen Variationsprobleme mit Nebenbedingungen auf. Man bezeichnet derartige Probleme auch als isoperimetrische Probleme*), zu deren Lösung man die LAGRANGEsche Multiplikatorenmethode benutzt. Es sei ϕ = ϕ(x,y,z)

(5.37)

eine stetige und stetig differenzierbare Funktion von mehreren Veränderlichen (z.B. drei: x,y,z). Gesucht ist das Maximum (Minimum) oder der stationäre Wert unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen *)

nicht zu verwechseln mit dem isoparametrischen Konzept gemäß Ziffer 4.7 und 7.5

14

5 Variationsrechnung

L = L(x,y,z) = 0

und

M = M(x,y,z) = 0 ,

(5.38a,b)

d.h., die Veränderlichen, von denen die Funktion abhängt, sind nicht voneinander unabhängig, sondern durch (5.38a,b) miteinander verknüpft (bedingte Extremwerte, constraint extremum). Man findet die Extremwerte, wenn man das vollständige Differential der Funktion (5.37) null setzt: dij = 0. Ebenso gilt wegen (5.38a,b) aber auch dL = dM = 0 und somit die Kombination

dϕ ± λ dL ± µ dM = 0

(bzw. : dΦ =0) .

(5.39)

Daraus folgt:

æ ∂ϕ æ ∂ϕ ∂L ∂M ö ∂L ∂M ö ±λ ±µ ±λ ±µ ç ÷ dx + . . . + ç ÷ dz = 0 . ∂x ∂x ø ∂z ∂z ø è ∂x è ∂z

(5.40)

Darin werden die LAGRANGEschen Multiplikatoren λ, µ so bestimmt, dass die Koeffizienten der Differentiale dx, dy und dz verschwinden:

∂Φ ∂Φ ∂Φ ! = = = 0 ∂x ∂y ∂z

mit

Φ := ϕ ± λL ± µM .

(5.41)

Mithin braucht man bekanntlich nur die partiellen Ableitungen von Φ nach allen Veränderlichen gleich null zu setzen, wobei man λ, µ als konstant ansieht. Ebenso gilt auch: ∂Φ / ∂λ = 0

und

∂Φ/∂µ = 0 ,

(5.42)

was den Bedingungen (5.38a,b) entspricht. Die LAGRANGEsche Multiplikatorenmethode kann bei vielen Problemen als hilfreiches Werkzeug eingesetzt werden, so beispielsweise bei der Hauptachsentransformation eines Tensors zweiter und vierter Stufe [BETTEN, 1987, 2001]. In den Übungen 5.2.1 bis 5.2.4 werden einige Beispiele aus der Tensorrechnung behandelt. Im Folgenden soll die LAGRANGEsche Multiplikatorenmethode zur Lösung isoperimetrischer Probleme benutzt werden, d.h., das Variationsproblem b

J [ u ] = ò F(x,u,u ′, . . . ,u (n) ) dx = Extremum

(5.43)

a

mit der Nebenbedingung b

ò G(x, u, u ′, . . . ,u a

(n)

) dx = l = const.

(5.44)

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...)

15

kann analog (5.39) bis (5.41) mit dem LAGRANGEschen Multiplikator λ als gewöhnliches Variationsproblem b

ò H(x, u, u ′, . . . ,u

(n)

) dx = Extremum

(5.45)

a

mit:

H := F + λG

(5.46)

behandelt werden (Ü 5.2.5). Darin ist λ ein von x unabhängiger konstanter Faktor. Nach (5.19) muss die erste Variation von (5.45) verschwinden: b

! δ ò (F+λG) dx = 0 ,

(5.47)

a

woraus analog (5.36) die EULERsche Differentialgleichung n ∂H d æ ∂H ö n d æ ∂H ö − ç + . . . +(-1) ç ÷ =0 ÷ ∂u dx è ∂u ′ ø dx n è ∂u (n) ø

(5.48)

gefolgert werden kann. Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (5.48) enthält neben 2n Konstanten, die aus den Randbedingungen bestimmt werden, auch den LAGRANGEschen Parameter λ , den man aus der Nebenbedingung (5.44) ermittelt. Übungsaufgaben 5.2.1 Als Beispiel zur LAGRANGEschen Multiplikatorenmethode bestimme man die kürzeste Entfernung des Punktes Pi von der Ebene

Ai x i + B ≡ A1 x1 + A 2 x 2 + A3 x 3 + B = 0.

(1)

Man beachte darin die EINSTEINsche Summationsvereinbarung, nach der über paarweise auftretende Indizes von 1 bis 3 summiert wird. 5.2.2 Analog Ü5.2.1 bestimme man die Halbachsen und deren Richtungen einer Mittelpunktsfläche 2-ter Ordnung (Tensorquadrik). 5.2.3 Man wende die LAGRANGEsche Multiplikatorenmethode auf die Hauptachsentransformation für einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe an. 5.2.4 Man wende die LAGRANGEsche Multiplikatorenmethode auf die Hauptachsentransformation für einen Tensor 4-ter Stufe an. 5.2.5 Zum isoperimetrischen Problem b

! J [ u(x)] = ò F(x, u, u ′)dx = Extremum a

(1)

16

5 Variationsrechnung

mit der Nebenbedingung b

K [ u(x)] = ò G(x, u, u ′)dx = l = const.

(2)

a

ermittle man die EULERsche Differentialgleichung. 5.2.6 Unter allen Kurven mit der konstanten Länge l , die zwei vorgegebene Punkte P und Q verbinden, soll diejenige ausgewählt werden, die zusammen mit der Strecke PQ die größte Fläche umschließt (Problem der Königin DIDO). DIDO war die Schwester von PYGMALION (König von Tyrus) und die Gattin des reichen Phöniziers SYCHÄUS. PYGMALION hasste seinen Schwager und erschlug ihn. Daraufhin floh DIDO aus ihrem Vaterland zur Küste Nordafrikas (→ Karthago). Sie bekam dort soviel Land, wie sie mit einer Tierhaut umspannen konnte. Sie zerschnitt die Tierhaut in so dünne Riemen, dass diese den ganzen Raum einschloss, den jetzt die Bucht von Karthago einnimmt. 5.2.7 Man ermittle die Form eines homogenen schweren Seiles mit konstantem Querschnitt, das zwischen zwei Punkten P und Q aufgehängt ist (Skizze).

5.2.8 Ein Kragbalken der Länge l mit kreisförmigem veränderlichem Querschnitt werde am freien Ende durch eine Einzellast P belastet (Skizze).

Die positive y-Achse zeigt aus der Zeichenebene heraus. Somit ist M y negativ: M y = −Px .

(1)

Gesucht ist der optimale Radius r(x), damit bei gegebenem Materialverbrauch (Bauvolumen) die Durchbiegung möglichst klein ist.

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...)

17

5.3 Funktionale mit mehreren Argumentfunktionen In den Funktionalen (5.3), (5.24), (5.31) und (5.45) wurde jeweils nur eine Lösungsfunktion u(x) betrachtet. Eine EULERsche Differentialgleichung kann analog den obigen Überlegungen auch leicht gefunden werden, wenn das Funktional von mehreren Funktionen abhängt. Beispielsweise sei die Variationsaufgabe J [ u,v ] =

b

ò F(x, u, u ′, v, v′) dx

= Extremum

(5.49)

a

zu lösen. Dazu werden in Erweiterung von (5.5) zwei Nachbarfunktionen gewählt: % = u(x) + α ξ(x) u(x)

und

% = v(x) + βη(x) . v(x)

(5.50a,b)

Darin sind ξ(x) und η(x) frei wählbare Funktionen, die zur Klasse C2 gehören und in den Endpunkten des Intervalls verschwinden sollen. Ersetzt man u und v in (5.49) durch die variierten Funktionen (5.50a,b), so erhält man eine Funktion % α, β) von den kleinen Werten α und β . Damit die Funktionen u(x) und v(x) J( das Funktional in (5.49) extremal machen, ist es notwendig, dass die partiellen % α, β) für α = β = 0 verschwinden: Ableitungen von J( % α , β) ö % α , β) ö ! æ ∂ J( æ ∂ J( =0 . = ç ç ÷ ÷ ∂α ∂β è øα=β=0 è øα=β=0

(5.51a,b)

Daraus erhält man unter Berücksichtigung der Randbedingungen ξ(a) = ξ(b) = 0

η(a) = η(b) = 0

und

(5.52a,b)

in Erweiterung von (5.23) die Integrale b

b

ó é ∂ F d æ ∂ F öù ô ξ(x) ê − ç ′ ÷ ú dx=0 õ ë ∂ u dx è ∂ u ø û

ó é ∂ F d æ ∂ F öù ô η(x) ê − ç ′ ÷ ú dx=0 , õ ë ∂ v dx è ∂ v ø û

a

(5.53a,b)

a

woraus notwendig die EULERschen Differentialgleichungen ∂F d æ ∂F ö − ç ÷ =0 ∂ u dx è ∂ u ′ ø

und

∂F d æ ∂F ö − ç ÷ =0 ∂ v dx è ∂ v′ ø

(5.54a,b)

gefolgert werden können, wenn man das erste Fundamentallemma der Variationsrechnung beachtet. Die Variationsaufgabe (5.49) kann allgemeiner

18

5 Variationsrechnung b

! J [ u1 , u 2 , ...,u n ] = ò F(x, u1 , u1′ ,..., u n , u ′n ) dx = Extremum

(5.55)

a

lauten. Dann sind n Funktionen u1 (x),..., u n (x) gesucht, die notwendig die n Differentialgleichungen ∂F d æ ∂F ö − ç ÷ =0 ; ∂ u k dx è ∂ u ′k ø

k=1,2,...,n;

(5.56)

erfüllen müssen.

5.4 Erweiterung auf Mehrfachintegrale. Wie bereits unter (5.2) angedeutet, sind Variationsaufgaben von Bedeutung, bei denen das zugrunde liegende Funktional ein Mehrfachintegral darstellt. Die LAPLACEsche ( ∆u = 0 ), die POISSONsche [ ∆u = f (x, y) ] oder auch die biharmonische Differentialgleichungen (∆∆u = 0) können als EULERsche Differentialgleichungen aufgefasst werden, die einem Funktional von einer Argumentfunktion mit mehreren Variablen zugeordnet sind (Ü5.4.1). Um das zu zeigen, gehe man von dem Funktional

J [ u(x, y)] =

óó ôô ôô ôô õõ

B

æ ∂u ∂u ö F ç x, y, u, , ÷ dxdy ∂x ∂y ø è

(5.57)

aus, worin eine Funktion u(x,y) gesucht ist, die dieses Funktional zu einem Extremum macht. Die Lösungsfunktion u(x,y) sei im Gebiet B stetig und bis zur zweiten Ordnung stetig differenzierbar, d.h., sie gehöre der Klasse C2 an. Auf der Berandung l des betrachteten Gebietes (z.B. tordierter Querschnitt eines linearelastischen Stabes) nehme sie vorgegebene Werte an. Analog (5.5) betrachte man eine Nachbarfunktion % y) = u(x,y) + ε η(x, y) u(x,

(5.58)

mit einer willkürlich angenommenen Funktion η(x, y) , die auf der Berandung l verschwinden möge. Damit erhält man analog (5.12), (5.18), (5.19), (5.20) aus (5.57) die Forderung: óó æ % ε) ö ! æ ∂ J( ∂F ∂F ∂F ö dx dy = 0 . δ J [ u(x, y) ] = ε ç = εôô η + η′ + η& ÷ ç ÷ ôô ôô ∂ u′ ∂ u& ø è ∂ε øε=0 õõ è ∂ u

B

(5.59)

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...)

19

Darin sind die Abkürzungen u ′ ≡ ∂u ∂x ,

u& ≡ ∂ u/∂ y , η′ ≡ ∂η / ∂ x und η& ≡ ∂η/∂ y

verwendet. Die letzten beiden Terme im Funktional (5.59) können folgendermaßen umgeformt werden. Zunächst schreibt man die Identität óó æ ∂F ôô η′ ç ôô ôô ∂ u′ õõ è

B

+ η&

∂F ö ÷ dxdy ≡ ∂ u& ø

óó é é ∂ æ ∂ F ö ∂ æ ∂ F öù ∂ æ ∂ F ö ∂ æ ∂ F öù ôô ≡ ê çη ηê ç ÷+ ç η ÷ ú dxdy − ôô ÷+ ç ÷ ú dxdy ôô ∂ x è ∂ u ′ ø ∂ y è ∂ u& ø û ë ∂ x è ∂ u ′ ø ∂ y è ∂ u& ø û õõ ë B B óó ôô ôô ôô õõ

(5.60)

hin. Darin kann das erste Gebietsintegral auf der rechten Seite mit Hilfe der GREENschen Formel*) óó æ ôô ç ôô ôô õõ è

B

∂Q ∂P ö − ÷ dxdy = ∂x ∂y ø

und den Substitutionen η óó ôô ôô ôô õõ

B

ò P dx

+ Q dy

(5.61a)

l

∂F ∂F ≡ −P , η ≡ Q gemäß ∂ u& ∂ u′

é ∂ æ ∂ F ö ∂ æ ∂ F öù ê çη ÷+ ç η ÷ ú dxdy = ë ∂ x è ∂ u ′ ø ∂ y è ∂ u& ø û

ó æ ô ηç ô ô õ è

l

∂F ∂F ö dy − dx ÷ ∂ u′ ∂ u& ø

(5.61b)

ausgedrückt werden. Mit den Teilergebnissen (5.60), (5.61a,b) und der Variation δ u(x,y) = ε η(x,y) geht die erste Variation (5.59) des Funktionals (5.57) über in: óó é ∂ F ∂ æ ∂ F ö ∂ æ ∂ F öù δ J [ u(x,y)] = ôô − ç ÷− ç ÷ ú dxdy ôô δu ê ôô ë ∂ u ∂ x è ∂ u ′ ø ∂ y è ∂ u& ø û õõ B (5.62) ó æ ∂F ∂F ö ! ô + ô δu ç dy − dx ÷ = 0 . ô ∂ u& ø è ∂ u′ õ l Ist auf dem gesamten Rand l die Feldgröße u(x,y) vorgeschrieben, so muss auch die Vergleichsfunktion η(x, y) diese Randbedingungen erfüllen. Mithin muss die Variation δ u(x,y) auf der Berandung verschwinden, so dass in (5.62) das Linienintegral (Hüllenintegral) a priori verschwindet. Es verbleibt: *)

Eine Herleitung der GREENschen Formel findet man z.B. bei BETTEN (1987, S.299, Übung 7.3.7).

20

5 Variationsrechnung

δ J [ u(x,y)] =

óó é ∂F ôô ôô δu ê ôô ë ∂u õõ

−

B

∂ æ ∂ F ö ∂ æ ∂ F öù ç ÷− ç ÷ ú dxdy = 0 , ∂ x è ∂ u ′ ø ∂ y è ∂ u& ø û

(5.63)

und da die Variation δ u(x,y) innerhalb des Gebietes B beliebig ist, muss aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung die eckige Klammer im Integranden von (5.63) verschwinden: ∂F ∂ æ ∂F ö ∂ æ ∂F ö − ç ÷− ç ÷=0 . ∂ u ∂ x è ∂ u ′ ø ∂ y è ∂ u& ø

(5.64)

Damit ist die EULERsche Differentialgleichung aufgestellt, die eine notwendige Bedingung dafür darstellt, dass (5.57) extremal wird. Ist die Feldgröße nur auf einem Teil l1 des Randes vorgeschrieben, so muss die Variation δu nur auf diesem Teilstück verschwinden, während auf dem Reststück l 2 = l − l1 die Variation beliebig sein kann. Aus dem Verschwinden des Linienintegrals in (5.62) kann dann als natürliche Randbedingung auf dem Reststück l 2 die Bedingung æ ∂F ∂F ö dy − dx ÷ = 0 ç ∂ u& øl è ∂ u′ 2

(5.65a)

gefolgert werden.

y ds α

dy α

−dx

ny

n nx l2

x Bild 5.3 Normaleneinsvektor n und Linienelementvektor ds

Dem Bild 5.3 entnimmt man folgende Zusammenhänge: | n |= 1 , n x = cos α , n y = sin α , dx = -ds sinα = −n y ds , dy=ds cos α =n x ds , so dass die natürliche Randbedingung (5.65a) auch gemäß

5.1 Eulersche Differentialgleichung für Funktionale der Form F(x,u,u',u'',...)

æ ∂F ö æ ∂F ∂F ∂F ö ! cos α + sin α ÷ ≡ ç nx + ny ÷ = 0 ç ′ ′ & u u u ∂ ∂ ∂ ∂ u& è øl 2 è øl 2

21

(5.65b)

ausgedrückt werden kann. Falls das Funktional (5.57) erweitert ist um die Ableitungen der Funktion u(x, y) bis zur n-ten Ordnung, so erhält man analog (5.64) die EULERsche Differentialgleichung

∂F ∂ æ ∂F ö ∂ æ ∂F ö ∂2 æ ∂ F ö ∂2 æ ∂ F ö − ç ÷− ç ÷+ 2 ç ÷+ ç ÷+ ∂ u ∂ x è ∂ u ′ ø ∂ y è ∂ u& ø ∂ x è ∂ u ′′ ø ∂ x∂ y è ∂ u& ′ ø n ∂2 æ ∂ F ö n ∂ + − . . . + ( −1) ç ÷ uø ∂ y 2 è ∂ && ∂ yn

æ ∂F ö ç (⋅n) ÷ = 0 ç ∂u ÷ è ø

.

(5.66)

Wenn das mehrfache Integral von mehreren Funktionen abhängt, erhält man ein System von EULERschen Differentialgleichungen. Tabelle 5.1 EULERsche Differentialgleichung für verschiedene Funktionale

Funktional J [u ] =

EULER-Differentialgleichung

b

ò F(x, u, u′) dx

∂F d æ ∂F ö − ç ÷ =0 ∂ u dx è ∂ u ′ ø

ò

∂ F d æ ∂ F ö d2 æ ∂ F ö − ç ÷+ ç ÷ =0 ∂ u dx è ∂ u′ ø dx 2 è ∂ u ′′ ø

a b

J [ u ] = F(x,u,u ′,u ′′) dx = Extr. a

J [u ] =

b

ò F(x,u,u ′,u ′′,...,u

(n)

) dx = Extr.

a

Für Isoperimetrische Probleme gilt: b

ò H(x,u,u ′,u′′,...,u

(n)

) dx = Extr.

∂F d æ ∂F ö dn − ç + . . . +(-1)n ÷ ∂ u dx è ∂ u ′ ø dx n

æ ∂F ö ç (n) ÷ = 0 ç ÷ è ∂u ø

a

mit H := F + λ G J [ u,v ] =

b

ò F(x, u, u′, v, v′) dx

= Extr.

a

J [ u(x, y) ] =

óó ôô ôô ôô õõ

B

æ ∂u ∂u ö F ç x, y, u, , ÷ dxdy ∂x ∂y ø è

∂F d æ ∂F ö ∂F d æ ∂F ö − − ç ÷ = 0 u. ç ÷ =0 ∂ u dx è ∂ u ′ ø ∂ v dx è ∂ v ′ ø ∂F ∂ æ ∂F ö ∂ æ ∂F ö − ç ÷− ç ÷=0 ∂ u ∂ x è ∂ u ′ ø ∂ y è ∂ u& ø

Die Lösungsfunktionen der Variationsaufgaben, bzw. ihre geometrischen Bilder, bezeichnet man als Extremale. Für einfache Integrale stellen sie Kurven dar, für Doppelintegrale Flächen. Da die EULERschen Differentialgleichungen nur notwendige Bedingungen für ein Extremum des zugehörigen Funktionals sind,

22

5 Variationsrechnung

kann man nicht erwarten, dass jede Extremale das Funktional im Vergleich zu allen hinreichend benachbarten Kurven oder Flächen zu einem Extremum macht. Übungsaufgaben 5.4.1 Man ermittle zu folgenden Funktionalen die EULERsche Differentialgleichung óó é 2 2 ôô æ ∂u ö æ ∂u ö ù a) J [ u(x, y) ] = ôô êç ÷ + ç ÷ ú dx dy , ôô êè ∂x ø ôô è ∂y ø úû õõ ë B

b)

J [ u(x, y) ] =

óó ôô ôô ôô ôô õõ

é ∂u 2 æ ∂u ö2 ù êçæ ÷ö + ç ÷ + 2u f ú dx dy , êè ∂x ø è ∂y ø ú ë û

J [ u(x, y) ] =

óó ôô ôô ôô ôô õõ

2 éæ 2 ö 2 æ 2 ö 2 æ 2 ö ù êç ∂ u ÷ + ç ∂ u ÷ + 2 ç ∂ u ÷ ú dx dy. ç ∂x ∂y ÷ ú êç ∂x 2 ÷ ç ∂y2 ÷ ø è ø è ø ûú êëè

B

c)

B

5.4.2 Man ermittle zum Funktional 2 ôô êé( ∆u ) − 2f ( x, y ) u úù dx dy J éë u ( x, y ) ùû = óó û õõ ë

(1)

B

die EULERsche Differentialgleichung. 5.4.3 In Erweiterung von Ü5.4.1b lege man das Funktional óó é 2 2 ôô 1 æ∂uö 1 æ ∂u ö 1 2ù J éë u ( x, y ) ùû = ôô ê k x ç k fu gu ú dx dy + − − ÷ ÷ yç ôô ê 2 ∂xø 2 è∂yø 2 ú ôô è û õõ ë

B

ó + ôô õ

S

1 é 2ù ê p ( s ) u + 2 q ( s ) u ú ds ë û

(1)

zugrunde. Darin sind k x , k y , f und g gegebene Funktionen von x und y, während p und q auf der Randkontur vorgegeben sind. Man leite die EULERSCHE Differentialgleichung her und diskutiere die Randbedingungen. Ferner zeige man, dass folgende Sonderfälle in (1) enthalten sind: Stationäre anisotrope Wärmeleitung (Ü7.2.11), HELMHOLTZ-Gleichung, POISSONGleichung und LAPLACE-Gleichung.

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

Die Aufgabe der Kontinuumsmechanik (Elasto-, Plasto-, Kriechmechanik / oder auch Strömungsmechanik) besteht im Wesentlichen darin, die Kinematik und die Statik eines Kontinuums unter dem Einfluss von kinematischen und / oder statischen Randbedingungen zu beschreiben. Diese Aufgabe ist gelöst, wenn die Koordinaten des Verschiebungsvektors, die Koordinaten eines Verzerrungstensors und die Koordinaten eines Spannungstensors in jedem Punkt des betrachteten Kontinuums unter Berücksichtigung der Randbedingungen ermittelt worden sind. Zur Lösung dieser Aufgabe steht punktweise ein Gleichungssystem zur Verfügung, das aus partiellen Differentialgleichungen und algebraischen Gleichungen besteht. Falls die Feldgrößen diese Gleichungen in jedem Punkt des Kontinuums (Randpunkte einbegriffen) erfüllen, liegt eine exakte Lösung vor. Exakte analytische Lösungen können jedoch selten aufgestellt werden. Insbesondere erschweren komplizierte Randkonturen den Zugang zu analytischen Lösungen. Man ist also auf Näherungslösungen angewiesen. Häufig sind Energieformulierungen die Grundlage für Näherungsverfahren (Kapitel 7) und numerische Methoden. Hervorzuheben seien das Prinzip der virtuellen Verschiebungen und das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials oder auch das HAMILTONsche Prinzip, das bei der Behandlung dynamischer Probleme als Grundlage dient. Bei derartigen Näherungsmethoden werden die in den Energieintegralen auftretenden unbekannten Feldgrößen (z.B. Verschiebungen) durch Ansatzfunktionen approximiert. Die Gleichgewichtsbedingungen werden nicht mehr exakt in jedem Punkt erfüllt, sondern nur noch im Mittel - integriert über das betrachtete Gebiet und seine Berandung (Mittelwertbetrachtung). Ein Integralausdruck (z.B. ein Funktional), der implizit die Differentialgleichungen (Gleichgewichtsbedingungen) des Problems enthält, nennt man schwache Form (weak form). Im Gegensatz dazu wird die oben erwähnte punktweise Aussage als strenge Form (strong form) bezeichnet. Die Ermittlung der Steifigkeitsmatrix eines finiten Elementes oder des Gesamtsystems stellt eine zentrale Aufgabe bei FE-Berechnungen dar. Einen systematischen und allgemeinen Weg bietet das RAYLEIGH-RITZ-Verfahren (Ziffer 7.1), dessen Anwendung die Existenz eines Funktionals voraussetzt. Falls zum behandelnden Problem kein Funktional existiert, können alternative Verfahren der gewichteten Residuen eingesetzt werden (Ziffer 7.2). Dem RAYLEIGH-RITZ-Verfahren liegen Energieprinzipien, wie z.B. das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials, zugrunde. In seiner klassischen Form verwendet das RAYLEIGH - RITZ - Verfahren Verschiebungsansätze, die sich über das

24

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

gesamte Bauteil (z.B. den gesamten Biegebalken) erstrecken, d.h. im gesamten Bereich gültig sind. In seiner modifizierten Form wird das RAYLEIGH-RITZVerfahren stückweise auf einzelne finite Elemente angewendet. Somit kann die FEM als modifiziertes RALEIGH -RITZ-Verfahren angesehen werden. Da für die späteren Anwendungen des RAYLEIGH-RITZ-Verfahrens das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials zugrunde gelegt werden soll, muss zunächst dieses Prinzip ausführlich behandelt werden.

6.1 Anwendung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials auf diskrete Systeme Im Kapitel 3 (Band 1) und entsprechenden Übungen werden diskrete Systeme (Federn, Stäbe, Balken, Fachwerke → Strukturmechanik) nach der direkten Methode [Regeln I und II, im Zusammenhang mit Gl. (3.19)] behandelt und die Gleichgewichtsbedingungen bzw. Bewegungsgleichungen aufgestellt. Alternativ kann man auch von einem Extremalprinzip oder Variationsprinzip ausgehen, bei dem ein Funktional bzw. eine Funktion einen maximalen oder minimalen Wert annimmt oder stationär (Sattelpunkt) wird. Beispielsweise ist das Gesamtpotential

Π = Π (ui ), i = 1, 2, ..., n

(6.1)

eine Funktion der Zustandsgrößen u i , z.B. der Verschiebungen der Knotenpunkte. Die Forderung !

!

δ Π = 0 bzw. ∂ Π/∂ u i = 0 ,

i = 1, 2, ..., n

(6.2)

führt somit auf die gesuchten Verschiebungen im Gleichgewichtszustand. Das Vorzeichen der zweiten Variation δ2 Π entscheidet, ob ein Maximum, Minimum oder für δ2 Π = 0 ein Sattelpunkt (stationärer Wert) vorliegt. Betrachtet man bei der Behandlung eines linearen diskreten Systems die Verschiebungen als Zustandsgrößen, so ist das Gesamtpotential oder die gesamte potentielle Energie durch

Π = U + Πa = U − W

(6.3)

gegeben, wobei U die Verzerrungsenergie (strain energy) des Systems und Π a das Potential aller äußeren Lasten ist, während W die Arbeit der äußeren Lasten darstellt. Zur näheren Erläuterung diene eine lineare Feder mit der Federkonstanten k unter einer Last P gemäß Bild 6.1. Darin sollen C0 und Cu die unverformte und verformte Konfiguration andeuten. Falls die Feder während der Verformung keine Energie dissipiert, hängt die Arbeit der inneren Kraft (Verzerrungsenergie in der

6.1 Anwendung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials auf diskrete Systeme 25

Feder) nur von der Verformung u ab, nicht jedoch vom Weg, der von C0 nach Cu beliebig verlaufen kann, z.B. gemäß A oder B. Falls die äußere Last P konstante Größe und konstante Richtung hat, verrichtet sie beim Übergang von C0 nach Cu unabhängig vom Weg (A oder B) die Arbeit W = P u = −Π a , d.h., die Last ist konservativ.

B A

k C0 l

P

Cu

u

Bild 6.1 Lineare Feder unter Last

Durch das negative Vorzeichen in (6.3) kommt zum Ausdruck, dass die Kraft P seine Fähigkeit verliert, Arbeit zu verrichten, wenn sie sich von C0 nach Cu verschiebt. Sind innere Kräfte und auch äußere Lasten konservativ, so ist das System konservativ. Ein konservatives mechanisches System besitzt ein Potential. Für das in Bild 6.1 skizzierte System ist die Verzerrungsenergie aufgrund der linearen Feder durch u

ò

U = kx dx = 1 ku 2

(6.4)

2

0

gegeben, während die äußere Last P das Potential Π a = −Pu = − W

(6.5)

besitzt. Hierbei ist zu beachten, dass die äußere Last P während der Verschiebung von C0 nach Cu in voller Größe wirksam ist und nicht erst mit der Verschiebung aufgebaut wird. Man vergleiche hiermit das Potential einer (wegunabhängigen) Gewichtskraft (–m g h). Mit den Einzelbeiträgen (6.4) und (6.5) ergibt sich die gesamte potentielle Energie (6.3) des Federelementes zu: Π=

1 2 ku − Pu . 2

(6.6)

Da u die einzige Variable (Zustandsgröße) ist, erhält man mit (6.6) aus (6.2) im Gleichgewichtszustand das Ergebnis: !

δ Π = (ku e − P) δu = 0

Þ

ue = P k .

(6.7)

26

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

Darin soll der Index e an u die Gleichgewichtslage (equilibrium configuration) kennzeichnen (Bild 6.2).

Potential U=

1 2 ku 2

Π = U + Πa

u

ue Π a = − Pu Bild 6.2 Gesamtpotential Π (Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials)

Mit der Gleichgewichtsbedingung P = k u e aus (6.7) nimmt das Potential der äußeren Last den Wert Π a = −k u e2 = −2 U an, während für das Gesamtpotential 1 1 in der Gleichgewichtslage Π a = − k u e2 = − P u e gilt. 2 2 Das Vorzeichen der zweiten Variation bzw. der zweiten Ableitung des Gesamtpotentials in der Gleichgewichtslage ist positiv, Π ′′ = k > 0 , so dass ein Minimum des Gesamtpotentials vorliegt. Dieses Ergebnis basiert auf der Annahme einer linear elastischen Feder und drückt das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials aus: Ein linear elastischer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die gesamte potentielle Energie Π ein Minimum annimmt.

Zu bemerken ist hierbei, dass die äußere Last P in (6.5) während der Verschiebung von C0 nach Cu in voller Größe wirksam ist. Anstelle des Prinzips vom stationären Wert des Gesamtpotentials kann die Arbeit einer mit der Verformung anwachsenden äußeren Last der gespeicherten Formänderungsenergie (6.4) gleichgesetzt werden (Arbeitssatz). Für die linear

6.1 Anwendung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials auf diskrete Systeme 27

elastische Feder ist die Kraft-Verschiebungs-Kurve eine Gerade, so dass damit der Arbeitssatz auf das Ergebnis

1 1 Pu e = ku e2 2 2

Þ

ue = P / k

(6.8)

führt, das mit (6.7) übereinstimmt. Gegenüber dem Arbeitssatz, der nur eine Gleichung (6.8) liefert, bietet das Prinzip vom stationären Wert des Gesamtpotentials bei Systemen mit mehreren Freiheitsgraden große Vorteile, da die unbekannten Zustandsgrößen aus (6.2) ermittelt werden können. Ein Beispiel mit mehreren Freiheitsgraden ist in Bild 6.3 skizziert. u1

k1

k2

u2

P1

u3

k3 P2

P3

Bild 6.3 Diskretes System mit drei Freiheitsgraden

In Erweiterung von (6.6) erhält man für das diskrete System in Bild 6.3 das Gesamtpotential (6.1) zu:

Π=

1 1 1 k1u12 + k 2 (u 2 − u1 )2 + k 3 (u 3 − u 2 )2 − 2 2 2

3

å Pi ui ,

(6.9)

i =1

woraus mit der Forderung (6.2) das lineare Gleichungssystem

∂Π = 0 Þ (k1 + k 2 )u1 − k 2u 2 ∂ u1 ∂Π =0Þ −k 2 u1 + (k 2 + k 3 ) u 2 ∂u2 ∂Π =0Þ − k 3u 2 ∂ u3

− k 3u 3 + k 3u 3

ü = P1 ï ï ï = P2 ý ï ï = P3 ï þ

(6.10a)

folgt, das man in der Matrixform

é k1 + k 2 ê −k 2 ê ë 0

−k 2 k 2 + k3 −k 3

0 ù ì u1 ü ì P1 ü ï ï ï ï −k 3 ú íu 2 ý = í P2 ý úï ï ï ï k 3 û î u3 þ î P3 þ

(6.10b)

schreiben kann, bzw. kürzer:

[ K ]{u} = {P}

.

(6.10c)

28

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

Darin kann die Steifigkeitsmatrix [ K ] nach der direkten Methode (Ziffer 3.1) überprüft werden. Die einzelnen Elemente kij dieser Steifigkeitsmatrix erhält man aus den zweiten Ableitungen

k ij =

∂ 2Π ∂ 2Π = = k ji , ∂ u i ∂ u j ∂ u j∂ u i

(6.11)

wie man leicht aus den Beziehungen (6.9) und (6.10a) erkennen kann. Aus dem linearen Gleichungssystem (6.10) können die Knotenvariablen ui ermittelt werden. Die Reaktionskraft ist durch P0 = −k1u1 gegeben. Aus den obigen Beispielen kann man folgende Schlussfolgerungen ziehen: 1) Ein diskretes System mit linearer Kraft-Verschiebungs-Charakteristik hat eine symmetrische Steifigkeitsmatrix, deren Elemente man gemäß (6.10a) bzw. (6.11) aus dem Gesamtpotential bestimmen kann. 2) Falls die Zustandsgrößen u i , i = 1, 2,..., n, Knotenverschiebungen sind, liefert die Forderung ∂Π / ∂ui = 0 die Gleichgewichtsbedingung für den i-ten Knotenpunkt. 3) Eine statische Unbestimmtheit des Systems ändert nicht die Vorgehensweise. Beispielsweise könnte der Knotenpunkt 3 noch zusätzlich durch eine Feder k 4 mit der festen Wand verknüpft werden. Dann müsste Π in (6.9) um den Term k 4 u 32 / 2 ergänzt und das Element

k 3 in der dritten Zeile und dritten Spalte der Steifigkeitsmatrix (6.10b) durch k 3 + k 4 ersetzt werden. 4) Man kann sich leicht davon überzeugen, dass man das Gesamtpotential (6.9) durch die Matrizenform

Π = U + Πa

U=

1 {u}t [ K ]{u} 2

t

Π a = − {u} {P}

(6.12)

t

ausdrücken kann. Darin ist {u} = {u1 u 2 u 3} eine Zeilenmatrix, in der alle Knotenverschiebungen (Freiheitsgrade) zusammengefasst sind. Die Steifigkeitsmatrix [ K ] in (6.12) ist positiv definit, da U als quadratische Form nur für {u} = {0} und bei reiner Starrkörperbe-

wegung verschwindet, sonst aber für alle nicht verschwindende {u} positiv ist.

6.1 Anwendung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials auf diskrete Systeme 29 !

Wendet man die Forderung δ Π = 0 auf (6.12) an, so erhält man (Ü6.1.1): !

∂ Π / ∂ {u} = [ K ]{u} − {P} = {0}

Þ

[ K ]{u} = {P}

(6.13)

in Übereinstimmung mit (6.10c). Setzt man die für den Gleichgewichtszustand geltende Beziehung (6.13) in (6.12) ein, so erkennt man, dass für den Gleichgewichtszustand das Gesamtpotential den minimalen Wert Π=−

1 {u}t {P} 2

(6.14)

annimmt (Bild 6.2 und Ü 6.1.1). Beide Möglichkeiten, die direkte Methode (Ziffer 3.1) und die Variationsmethode (6.13) liefern die Gleichgewichtsbedingungen in den einzelnen Knotenpunkten des Systems. Die Variationsmethode bietet häufig Vorteile, insbesondere bei komplizierten Systemen. Zur Ermittlung von Π des Gesamtsystems werden die Beiträge aller Einzelelemente und aller Knotenlasten aufsummiert. Anschließend wird die Bedingung (6.2) des stationären Wertes im Gleichgewichtszustand erfüllt. Bei dieser Vorgehensweise ist die erforderliche Verknüpfung der einzelnen Elemente a priori gesichert. Noch deutlicher sind die Vorteile von Variationsmethoden bei der Behandlung kontinuierlicher Systeme erkennbar, auf die in den nächsten Ziffern eingegangen wird. Zur Anwendung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials (Bild 6.2) auf kontinuierliche Systeme ist eine Verallgemeinerung von (6.7) auf der Basis des Prinzips der virtuellen Arbeit leicht möglich. Daher soll zunächst in Ziffer 6.2 dieses Prinzip behandelt werden. Übungsaufgaben 6.1.1 Für ein allgemeines Federsystem ermittle man aus dem Gesamtpotential die Steifigkeitsbeziehung: a) In Matrizenschreibweise, b) in Indexschreibweise. 6.1.2 Man wende das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials auf das in Ü3.1.5 nach der direkten Methode behandelte System an. Das Potential Π gebe man in Matrixform an. Weiterhin bestimme man die Matrixgleichung {R} = [ K ]{u} . u2 , R 2



k3

k1

‚

k2

u4, R4

k4 u3 , R3 k5

ƒ

„

30

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

6.1.3 Man wende das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials auf ein beliebig orientiertes Stabelement (Skizze) an. y, v Q2 x , u

‚

l

‚

P2

  d

b Q1 

y ,v

AE

a



 

P1



v1



u1

x, u

6.1.4 Man wende das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials auf das skizzierte Fachwerk an.

k = AE / l a = 3, b = 5, c = 4 sin α 2 = c / b = 0,8 cos α 2 = −a / b = −0, 6 P1 = ?, Q1 = ? P2 = 0, Q 2 ≡ −Q P3 = ?, Q3 = 0

6.1.5 Unter Berücksichtigung einer Temperaturänderung ∆T drücke man die Verzerrungsenergie U eines finiten Stabelementes durch die Knotenverschiebungen aus. Der Stab verhalte sich linear-elastisch und habe eine Dehnsteifigkeit AE, die nicht von der Temperaturänderung beeinflusst werden soll.

6.1 Anwendung des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials auf diskrete Systeme 31

6.1.6 Man wende das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials auf das skizzierte System an.

E = 2 ⋅105 N / mm 2 A a = A b = 103 mm 2

A c = 2 ⋅103 mm 2 l a = l b = l c ≡ l = 500mm P2 ≡ F2 = 2 ⋅104 N

P3 = −F3 = −104 N

1 ∆T = 10°C; α = 12 ⋅10−6 o C

Gesucht sind die Verschiebungen u 2 , u 3 und die Reaktionskräfte P1, P4 an den Einspannstellen. 6.1.7 Zwei linear-elastische Stäbe der (unbelasteten) Längen l1 und l 2 werden zwischen zwei starren Wänden verspannt (Skizze).

k i = E i A i / l i ; i = 1,2;

l1 + l 2 − ∆l1 − ∆l 2 = l ∆l1 + ∆l 2 = ∆l > 0

Gesucht sind die Längenänderungen ∆l i der einzelnen Stabelemente und die Presskraft λ zwischen den Stäben und die Reaktionskräfte von den Wänden auf die Stäbe.

32

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

6.2 Prinzip der virtuellen Arbeit Wie in den Vorbemerkungen zu Kapitel 5 erwähnt, wurde das Prinzip der virtuellen Verschiebungen bereits benutzt, um für linearelastische finite Elemente die Steifigkeitsmatrix zu ermitteln. Nach diesem Prinzip gilt für einen im Gleichgewicht befindlichen Körper folgender Satz: Für virtuelle Verschiebungen, die auf einen im Gleichgewicht befindlichen Körper einwirken, ist die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der gesamten äußeren virtuellen Arbeit.

Unter virtueller Verschiebung versteht man: 1. eine gedachte, 2. differentiell kleine und 3. mit der geometrischen Konfiguration vereinbare (mögliche) Verschiebung. Der letzte Punkt bedeutet, dass die Kompatibilität gewahrt sein muss und die wesentlichen Randbedingungen nicht verletzt sein dürfen, d.h. kinematisch zulässig sein müssen. An Stellen des Randes Su , wo Verschiebungen vorgegeben sind, können keine virtuellen Verschiebungen auftreten. Am Beispiel eines finiten Federelementes kann das Prinzip der virtuellen Verschiebungen sehr einfach erläutert werden (Bild 6.4). F1 , u1

F2 , u 2

k 1

2 δu1

δu 2

Bild 6.4 Virtuelle Verschiebungen am finiten Federelement

Die in Bild 6.4 angedeuteten virtuellen Verschiebungen δu1 und δu 2 erfolgen aus der Gleichgewichtslage heraus. Da sie differentiell klein sind, verursachen sie keine signifikanten Änderungen der Geometrie. Während der virtuellen Verschiebungen werden somit auch alle Kräfte und Spannungen als konstant angenommen (Ü3.1.4), wie in Bild 6.5 verdeutlicht.

Bild 6.5 Virtuelle Arbeit

6.2 Prinzip der virtuellen Arbeit

33

Die virtuelle Arbeit δWa = F0 δu unterscheidet sich von der Arbeit, die unter Berücksichtigung der Kraft-Verschiebungs-Kurve geleistet wird: u o +δ u

ò

F0δ u <

F(u)du.

(6.15)

uo

1 δu dF ) ist jedoch von höhere Ordnung klein. 2 Für das Federelement nach Bild 6.4 ist die "äußere" Arbeit infolge der virtuellen Verschiebungen δu1 und δu 2 durch

Der Unterschied ( ≈

δ Wa = F1δ u1 + F2 δ u 2

(6.16)

gegeben. Die Federkraft im (vorausgegangenen, aktuellen) Gleichgewichtszustand ist k(u 2 − u1 ). Diese Kraft leistet eine innere virtuelle Arbeit: δWi = (δu 2 − δu1 )k(u 2 − u1 ).

(6.17)

Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten (oder Verschiebungen) muss im Gleichgewichtszustand (notwendig und hinreichend) gelten: δ Wa = δ Wi

Þ F1δ u1 + F2 δ u 2 = (δ u1 − δ u 2 )k(u1 − u 2 ) .

(6.18)

Dieses Ergebnis kann man in Matrizenform gemäß

{δ u1

ìF ü é k −k ù ì u1 ü δ u 2 } í 1 ý = {δ u1 δ u 2 } ê k úû íî u 2 ýþ ë −k îF2 þ

(6.19)

ausdrücken. Hieraus kann man die Gleichgewichtsbedingungen ì F1 ü é 1 −1ù ì u1 ü í F ý = k ê −1 1ú íu ý ë ûî 2þ î 2þ

(6.20)

folgern. Wegen

{F} = [ K ]{u}

(6.21)

gilt für die Steifigkeitsmatrix 1

[ K ] = k éê −1 ë

−1ù . 1 úû

(6.22)

Betrachtet man ein Teilchen, das sich unter den Kräften F1 , F2 , F3 im Gleichgewicht befindet und eine virtuelle Verschiebung, ausgedrückt durch den virtuellen Verschiebungsvektor įu, erfährt, so ist die virtuelle Arbeit durch δ W = F1δ u1 + F2 δ u 2 + F3δ u 3

(6.23)

34

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

gegeben (Bild 6.6). F2

F3

F2 F2

F3 →

δu

F3

F1

F1 F1 Bild 6.6 Virtuelle Verschiebung eines Teilchens

In (6.23) sind δu1, δu 2 , δu 3 die drei Komponenten des Verschiebungsvektors → → → → δ u in Richtung der drei Kraftvektoren F1 , F2 , F3 . Aufgrund des Gleichgewichts verschwindet die vektorielle Summe der drei Kraftvektoren und somit auch die virtuelle Arbeit: δW = 0 .

(6.24)

Umgekehrt kann man aus (6.24) folgern, dass die vektorielle Summe der auf das Teilchen wirkenden Kräfte verschwindet. Damit gilt folgender Satz: Eine notwendige und hinreichende Bedingung für das Gleichgewicht eines Teilchens ist das Verschwinden der virtuellen Arbeit, die von den auf das Teilchen wirkenden Kräfte geleistet wird.

Obige Betrachtungen am Federelement (Bild 6.4) oder an einem Teilchen (Bild 6.6) können verallgemeinert werden auf ein System mit vielen Teilchen oder schließlich auf ein Kontinuum. Auf ein kontinuierliches System (z.B. elastischen Körper) wirken Oberflächenkräfte →

d P =→ p dS bzw. in Indexschreibweise dPi = pi dS

(6.25)

^ Oberflächenelement) und Volumenkräfte (Massenkräfte) ( dS= →

→

d F = f dV

bzw.

dFi = fi dV

(6.26)

→∧ ^ Volumenelement). ( f = Dichte der Volumenkraft, dV = Zu den Oberflächenkräften zählt man Kräfte, die auf Flächen der Körperbegrenzung und auf Schnittflächen (Schnittkräfte) wirken. Als Volumenkraft (volumenhafte Fernwirkung auf einen Körper durch Magnetfelder, Gravitationsfelder, Schwerefelder etc.) kann beispielsweise die Schwerkraft

6.2 Prinzip der virtuellen Arbeit →

→

→

d F = g dm = ρ g dV

bzw.

dFi = ρ gi dV

35

(6.27)

wirken. Dann wäre die Volumenkraftdichte fi = ρgi in (6.26) zu setzen. Durch diese Kräfte werden im Körper Spannungen (σij ) hervorgerufen, die den Gleichgewichtsbedingungen →

→

div σ+ f = 0 ~

bzw.

σ ji, j + fi = 0i

(6.28)

genügen*). Darin ist zur Abkürzung σ ji, j ≡ ∂ σ ji / ∂ x j gesetzt und die EINSTEINsche Summationsvereinbarung berücksichtigt [BETTEN, 2001]. Der CAUCHYsche Spannungstensor in (6.28) ist symmetrisch und vermittelt als linearer Operator eine lineare Vektorabbildung: →

→ p =σ ~ n

bzw.

pi = σ ji n j .

(6.29)

p der zum orientierten Flächenelement → n dS gehörende “SpannungsDarin ist → vektor” (traction vector). Insbesondere gilt (6.29) auch an einem Oberflächenelement dS in (6.25). Neben den Gleichgewichtsbedingungen (6.28) müssen im Kontinuum auch die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt werden, εij,kl + ε kl,ij − εik, jl − ε jl,ik = 0ijkl ,

(6.30)

die man aus dem Zusammenhang εij = (u i, j + u j,i ) / 2

(6.31)

zwischen dem klassischen Verzerrungstensor ( εij ) und dem Verschiebungsvektor ( u i ) herleiten kann**). Mithin unterscheidet man eine Gleichgewichtsgruppe und eine Verträglichkeitsgruppe, wie in Bild 6.7 verdeutlicht. Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten (virtuellen Verschiebungen) müssen die Arbeiten der inneren und äußeren Kräfte bei einer virtuellen Verschiebung übereinstimmen, wie dies (6.18) ausdrückt. Hierbei ist zu beachten, dass bei den äußeren Kräften nur die eingeprägten Kräfte auftreten. Die Reaktionskräfte (Auflagerkräfte) leisten keine virtuelle Arbeit, da an den Auflagerstellen und Einspan*) Bei "dynamischen" Problemen sind im Sinne von NEWTON oder D`ALEMBERT auch

Beschleunigungskräfte zu berücksichtigen, z.B. die Zentrifugalkraft bzw. Fliehkraft.

**) Bei endlichen Verzerrungen ( geometrischen Nichtlinearitäten) ist (6.31) beispielsweise

durch den LAGRANGEschen oder EULERschen Verzerrungstensor zu ersetzen (Theorie endlicher Verzerrungen).

36

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

nungen, d.h. an den Oberflächenbereichen Su keine virtuellen Verschiebungen auftreten können. Die Arbeit der Volumenkräfte muss mit in der äußeren Arbeit berücksichtigt werden. Infolge virtueller Verschiebungen δui ergeben sich aufgrund des Zusammenhangs (6.31) virtuelle Verzerrungen δεij , die mit den aktuellen Spannungen auf die innere virtuelle Arbeit führen. pi dS

Sp

Sp

ui

ni σ ji, j + f i = 0 i

ε ij =

dS

dV f i dV

1 ( u i, j + u j,i ) 2 ui

Su

Su

Bild 6.7 Gleichgewichts- und Verträglichkeitsgruppe

Somit kann das Prinzip der virtuellen Arbeiten folgendermaßen formuliert werden: Gleichgewichtsgruppe

ò σ ji δε ij dV = ò p i δu i dS + ò fi δu i dV

V

Sp

(6.32)

V

Verträglichkeitsgruppe

In (6.32) sind die beiden voneinander unabhängigen Gruppen (Bild 6.7) vereint. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten ist unabhängig vom speziellen Stoffverhalten des betrachteten Körpers und gilt auch bei großen Verformungen, wenn entsprechende Spannungs- und Verzerrungstensoren (konjugierte Variable) benutzt werden. Ähnlich (6.32) kann das Prinzip der virtuellen Ergänzungsarbeit (Prinzip der virtuellen Kräfte) formuliert werden, indem die Rollen der Gleichgewichts- und Verträglichkeitsgruppe vertauscht werden:

ò ε ji δσij dV = ò ui δpi dS + ò ui δfi dV

V

Su

.

V

Auch dieses Prinzip ist unabhängig vom Stoffverhalten.

(6.32*)

6.2 Prinzip der virtuellen Arbeit

37

Die virtuellen Spannungen und Kräfte müssen statisch zulässig sein, d.h., sie dürfen die statischen Grundgleichungen (6.28) und (6.29) nicht verletzen. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (6.32) beinhaltet die Gleichgewichtsbedingungen (6.28) und auch die Randbedingungen (6.29). Um das zu zeigen, ist es zweckmäßig, die Indexschreibweise zu benutzen. Der Integrand σ ji δ εij in (6.32) kann mit (6.31) folgendermaßen umgeformt werden: σ ji δ εij =

1 (σ ji δ u i, j + σ ji δ u j,i ). 2

Darin kann der zweite Term aufgrund der Symmetrie des CAUCHYschen Spannungstensors (σij = σ ji ) und unter Berücksichtigung der Vertauschbarkeit stummer Indizes (σij δu j,i ≡ σ ji δu i, j ) gemäß σ ji δ u j,i = σij δ u j,i ≡ σ ji δ u i, j ausgedrückt werden, so dass gilt: σ ji δ εij = σ ji δ u i, j ≡ (σ ji δ u i ), j −σ ji, j δ u i . Damit erhält man für die innere virtuelle Arbeit den Ausdruck δ Wi =

ò σ ji δ εijdV = ò (σ ji δui ), j dV − ò σ ji, j δuidV

V

V

,

(6.33)

V

den man aufgrund des GAUSSschen Satzes

ò (σ ji δui ), j dV = ò

σ ji δ u i n jdS

(6.34)

S=Sp

V

auch gemäß δ Wi =

ò σ ji n j δui dS − ò σ ji, j δui dV

Sp

(6.35)

V

ausdrücken kann. Die äußere virtuelle Arbeit ist die rechte Seite in (6.32) : δ Wa =

ò pi δui dS + ò fi δui dV .

Sp

(6.36)

V

Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten stimmen (6.35) und (6.36) überein, so dass man die Volumen- und Oberflächenintegrale gemäß !

ò (σ ji, j + fi )δui dV + ò (pi − σ ji n j )δui dS = 0

V

Sp

(6.37)

38

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

zusammenfassen kann. Darin muss jedes Integral für sich verschwinden, da die virtuellen Verschiebungen δui im Inneren des Volumens V und auf der Oberfläche Sp voneinander unabhängig sind. Aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung können aus (6.37) sowohl die Gleichgewichtsbedingungen (6.28) als auch die Randbedingungen (6.29) gefolgert werden. Somit kann das Prinzip der virtuellen Verschiebungen folgendermaßen ausgedrückt werden: Ein verformbarer Körper befindet sich nur dann im Gleichgewicht, wenn die innere virtuelle Arbeit (virtuelle Verzerrungsarbeit) mit der äußeren virtuellen Arbeit übereinstimmt.

Dieser Satz lässt sich umkehren: Für einen verformbaren Körper, der sich im Gleichgewicht befindet, stimmt die innere virtuelle Arbeit (virtuelle Verzerrungsarbeit) mit der äußeren virtuellen Arbeit bei einer virtuellen Verschiebung überein.

Um diese Umkehrung zu zeigen, geht man obigen Rechengang [ (6.32) → (6.37) ] rückwärts (Ü6.2.1). In (6.32) sind mit pi dS Oberflächenkräfte berücksichtigt, die über einen Teil der Oberfläche Sp vorgegeben sind und als flächenhaft verteilte Belastungen anzusehen sind (Bild 6.7). Darüber hinaus können in einzelnen Punkten der Oberfläche → →

→

Einzelkräfte F1 , F2 ,..., Fn angreifen. Dann treten in (6.32) deren virtuelle Energieanteile →

→

→

δWa = F1 ⋅ δ→ u1 + F2 ⋅ δ→ u 2 + ... + Fn ⋅ δ → un ≡

n

→

å Fk ⋅ δ →u k

(6.38)

k =1

→ hinzu. Ordnet man alle Einzelkräfte Fk und die entsprechenden virtuellen Verschiebungsvektoren δ → u k in Spaltenmatrizen ein,

ì→ → →ü {F} = ïí F1 , F2 ,..., Fn ïý îï þï

t

t

,

ì üï u1, δ→ u 2 ,..., δ→ un ý , {δ u} = ïíδ→ îï þï

(6.39a,b)

t

so kann das Skalarprodukt (6.38) durch {F} {δ u} ausgedrückt und (6.32) durch folgende Matrizenform dargestellt werden: t

t

t

t

ò {σ} {δε} dV = ò {f } {δu} dV + ò {p} {δu} dS + {F} {δu}

V

V

.

(6.40)

Sp

Die Beziehungen (6.32) und (6.40) gelten unabhängig vom Materialverhalten, da ein Stoffgesetz bei der Herleitung nicht berücksichtigt werden musste. Außerdem

6.2 Prinzip der virtuellen Arbeit

39

ist das Prinzip der virtuellen Arbeit auch bei großen Verformungen anwendbar, sofern man (6.31) durch einen entsprechenden Verzerrungstensor ersetzt. Bei elastischem Werkstoffverhalten entspricht die virtuelle Verzerrungsarbeit der virtuellen elastischen Verzerrungsenergie:

ò

δWi = δ U = δ UdV .

(6.41)

Darin ist U die elastische Formänderungsenergiedichte (strain energy function), die man auch als spezifisches elastisches Potential bezeichnet (Bild 6.8). σ δU

*

δσ U

*

σ U

ε Bild 6.8

δU

δε

ε

Spezifisches elastisches Potential U und dessen Variation δ U

Aus dem elastischen Potential erhält man durch Differentiation nach den Verzerrungen die Stoffgleichung: σij = ∂ U / ∂εij .

(6.42)

Die gesamte Arbeit (pro Volumeneinheit), die bei einer Deformation von einem verzerrungslosen Ausgangszustand bis zum aktuellen Verzerrungszustand εij verrichtet wird, ergibt sich zu εij

Wi =

ò σ ji dε*ij. 0

Dieser Ausdruck wird Formänderungsenergiedichte genannt. Ein elastischer Körper ist dadurch charakterisiert, dass Wi nur vom aktuellen Verzerrungszustand abhängt, nicht jedoch vom Wege, auf dem dieser Zustand erreicht wurde. Dieser Weg könnte eine monoton zunehmende Verformung sein oder auch eine Entlastung nach vorausgegangener größerer Verformung enthalten. Mithin muss unterm Arbeitsintegral ein vollständiges Differential stehen:

40

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

σ ji dεij ≡ dU = (∂ U / ∂ εij )d εij. Daraus liest man unmittelbar (6.42) ab. Aus diesem Grunde wird U bzw. U als elastisches Potential bzw. als spezifisches elastisches Potential bezeichnet. Beispielsweise ist das spezifische elastische Potential bei linearem Verhalten eine quadratische Form U=

1 Eijkl εij ε kl, 2

(6.43)

woraus nach (6.42) das HOOKEsche Gesetz σij = Eijkl ε kl

(6.44)

mit dem Elastizitätstensor (Eijkl ) vierter Stufe folgt. Übungsaufgaben 6.2.1 Man gehe von den Gleichgewichtsbedingungen

σ ji, j + fi = 0i

(6.28)

und den Randbedingungen σ ji n j = Pi

auf

Sp

(6.29)

aus und zeige, dass die innere virtuelle Arbeit δWi mit der äußeren δWa übereinstimmt. In (6.28) und (6.29) wird die EINSTEINsche Summationsvereinbarung benutzt. 6.2.2 Analog Ü 6.2.1 zeige man, dass die innere virtuelle Ergänzungsarbeit

δWi* mit der äußeren Ergänzungsarbeit δWa* übereinstimmt. 6.2.3 Man zeige, dass das Prinzip der virtuellen Ergänzungsarbeit (Prinzip der virtuellen Kräfte) die Verträglichkeitsbedingungen beinhaltet. Zur Vereinfachung beschränke man sich auf ebene Probleme und vernachlässige die Volumenkräfte.

6.3 Die Sätze von Castigliano

41

6.3 Die Sätze von CASTIGLIANO Aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit lassen sich die Sätze von CASTIGLIANO herleiten, die für die FEM grundlegend sind (Ü3.2.11 bis Ü3.2.13). Dazu seien äußere Kräfte (6.39a) und entsprechende virtuelle Verschiebungsvektoren (6.39b) betrachtet, die eine äußere virtuelle Arbeit (6.38) bewirken. In Matrizenform gilt: t

δ Wa = {F} {δ u} .

(6.45)

Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeit stimmt dieser Ausdruck mit der inneren virtuellen Arbeit δWi überein, die bei elastischem Werkstoffverhalten gemäß (6.41) als elastisches Potential interpretiert werden kann, so dass mit (6.45) gilt: t

δ U = {F} {δ u} .

(6.46)

Wählt man (willkürlich) nur an einer Stelle i der Berandung eine virtuelle Verschiebung δ u i in Richtung der dort angreifenden Kraft Fi, so erfährt das elastische Potential einen "virtuellen Zuwachs" δ U = Fi δ u i ,

(6.47)

aus dem man durch "Grenzübergang" unmittelbar den ersten Satz von CASTIGLIAfolgern kann:

NO

Fi = ∂ U / ∂ u i .

Da in den generalisierten Kräften bungen

{ δu}

(6.48a)

{ F} und generalisierten virtuellen Verschie-

auch Momente und virtuelle Verdrehungen enthalten sind, folgt

analog (6.47) für eine virtuelle Verdrehung δϕ i in Richtung eines Einzelmomentes Mi der Zuwachs δ U = M i δϕ i und damit durch Grenzübergang: M i = ∂ U/∂ϕi .

(6.48b)

Im Gegensatz zu (6.32) wird in (6.47) nicht über das Indexpaar „i“ summiert, da der Index „i“ in (6.47) eine Lastangriffsstelle markiert und keinen Vektorindex kennzeichnet. Der erste Satz von CASTIGLIANO gilt auch für nichtlineares elastisches Verhalten und auch bei großen Verformungen. Er kann zur Ermittlung der Steifigkeitsmatrix eines finiten Elementes herangezogen werden. Beispiele hierzu werden in Ü3.2.11 bis Ü3.2.13 diskutiert, wo die Steifigkeitsmatrix eines finiten Stabelementes unter Berücksichtigung linearer (Ü3.2.11), quadratischer (Ü3.2.12) und kubischer (Ü3.2.13) Verschiebungsansätze (shape functions) ermittelt wird.

42

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

Der zweite Satz von CASTIGLIANO basiert auf der spezifischen Ergänzungsarbeit U , die in Bild 6.8 oberhalb der Werkstoffcharakteristik eingetragen ist. Analog (6.47) gilt (mit vertauschten Rollen) das Prinzip der virtuellen Ergänzungsarbeit *

δ U* = u i δ Fi

(6.49)

mit der virtuellen Kraft δFi . Für linearelastisches Verhalten ist die Werkstoffcharakteristik in Bild 6.8 eine Gerade. Dann gilt U* = U bzw. U* = U und auch δ U * = δ U , so dass damit aus (6.49) beim “Grenzübergang“ analog (6.48 a,b) der zweite Satz von CASTIGLIANO gefolgert werden kann: u i = ∂ U / ∂ Fi ,

ϕi = ∂ U / ∂ M i .

(6.50a,b)

Dieser Satz ist als Sonderfall für U = U* in dem Satz von ENGESSER enthalten, der

(

auch für nichtlinearelastisches Verhalten U ≠ U * U*

) gilt. In (6.50a,b) ist dann U

zu ersetzen. Als Sonderfall des zweiten Satzes von CASTIGLIANO durch (6.50a,b) kann der Satz von MENABREA (Ü 2.1 und Ü 6.3.2), ∂ U / ∂ Xi = 0

,

(2.2)

angesehen werden, der zur Bestimmung statisch unbestimmter Auflagerreaktionen (Kräfte oder Momente) Xi bei linearelastischen Systemen herangezogen werden kann. Tabelle 6.1 Formänderungsenergie; Beispiele

Beispiel

Belastung

Formänderungsenergie

Zugstab

axial durch N

U=

l

ò 0 l

Torsionsstab

Torsionsmoment T

U=

ò 0

l

Balken

Biegemoment M

U=

ò 0

N2 dx 2 EA T2 dx 2GI p M2 dx 2 EI l

Balken

Querkraft Q

U=κ

Q2

ò 2GA dx 0

6.3 Die Sätze von Castigliano

43

Bei der Anwendung der Sätze von CASTIGLIANO sind folgende Punkte zu beachten: 1) Die Verschiebung ui (oder Verdrehung ϕ i ) ist die Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft Fi (oder des Momentes Mi) in Richtung der Kraft, d.h., die Lage und Richtung von u i sind auch Lage und Richtung von Fi. 2) Die Formänderungsenergie U muss für das gesamte System formuliert werden – basierend auf allen äußeren Belastungen.

In Tabelle 6.1 ist die elastische Formänderungsenergie U für einige Beispiele angegeben. Es wurden die üblichen Bezeichnungen gewählt, so dass sich eine weitere Erläuterung erübrigt. Beispielsweise ist der Formfaktor für einen Rechteckquerschnitt κ = 6 / 5 . Zum Abschluss dieser Ziffer sei vermerkt, dass man das Prinzip der virtuellen Arbeit auch erfolgreich in der Plastomechanik anwenden kann. Hierauf wird ausführlich in der Vorlesung Festigkeit der Werkstoffe und Bauteile eingegangen. Im Habilitationsvortrag von BETTEN (1971) wird die Traglasttheorie der Statik im Sinne der mathematischen Logik als mathematisches Modell gedeutet. Darin wird das Prinzip der virtuellen Verschiebung an der Versagensgrenze als Axiom der Traglasttheorie vorangestellt ( → axiomatische Theorie). Die daraus ableitbaren Lehrsätze bzw. Theoreme ( → Derivate) sind die Traglastsätze, die eine Eingabelung der Traglast nach der Schrankenmethode gestatten. Die Fließgelenkhypothese gehört zur Gruppe der Annahmen in der Traglasttheorie. Somit kann die Traglasttheorie der Statik als mathematisches Modell aufgefasst werden, das eine Beschreibung des funktionellen Versagens von Tragwerken gestattet. Im Rahmen dieses Modells sind alle nach dem Traglastverfahren ermittelten Ergebnisse strenge Lösungen. Übungsaufgaben 6.3.1 Man wende den ersten Satz von CASTIGLIANO auf ein beliebig orientiertes finites Stabelement (Skizze) an.

44

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

6.3.2 Ein einseitig fest eingespannter Balken unter konstanter Lastverteilung wird zusätzlich durch einen Gelenkstab abgestützt, so dass ein einfach statisch unbestimmtes System vorliegt (Skizze). Gesucht ist die Stabkraft.

6.3.3 Der skizzierte statisch bestimmt gelagerte Balken wird gleichmäßig belastet (q = konst.). Gesucht ist die Durchbiegung in Balkenmitte.

6.4 Anwendung des ersten Satzes von CASTIGLIANO auf ein finites Balkenelement Als Anwendungsbeispiel des in Ziffer 6.3 hergeleiteten ersten Satzes von CASTIGLIANO wird im Folgenden ein geradliniges finites Balkenelement der Länge l mit konstanter Biegesteifigkeit EI betrachtet (Bild 6.9), das bereits in Ziffer 3.4 nach einer anderen Methode behandelt wurde. y v M 1 , ϕ1



M2 , ϕ2

EI

Q2

Q1

l Bild 6.9 Finites Balkenelement mit zwei Knoten

‚

x, u

6.4 Anwendung des ersten Satzes von Castigliano auf ein finites Balkenelement

45

Das in Bild 6.9 dargestellte Balkenelement besitzt bei fehlender axialer Belastung in jedem Knotenpunkt zwei Freiheitsgrade ( v und ϕ = ∂v / ∂x ), so dass eine 4 × 4 Steifigkeitsmatrix aufzustellen ist. Da zwischen den Knotenpunkten  und ‚ keine kontinuierliche Querbelastung q(x) angenommen wird, muss die Biegelinie v(x) der Differentialgleichung (Gleichgewichtsbedingung) ∂4 v ∂ x 4 = 0

(6.51)

genügen. Diese kann durch einen kubischen Polynomansatz v(x) = a1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3

(6.52)

unter Einbeziehung der Randbedingungen (Bild 6.9) v = v1

und

∂ v / ∂ x = ϕ1

v = v2

und

∂ v/∂ x = ϕ2

für für

x=0 x =l

gelöst werden. Vom Standpunkt der FEM ist aufgrund der vorhandenen Freiheitsgrade (verallgemeinerte Knotenverschiebungen v, ϕ ) ein kubischer Verschiebungsansatz gemäß (6.52) erforderlich, damit die Ansatzfreiwerte a1 bis a4 durch die Freiheitsgrade v1 , ϕ1 , v 2 , ϕ 2 eindeutig ausgedrückt werden können. Dazu setzt man die Randbedingungen (Bild 6.9) in den Verschiebungsansatz (6.52) ein und erhält die Matrizengleichung é ì v1 ü ê ïϕ ï ê ï 1ï í ý= ê ï v2 ï ê ïîϕ2 ïþ ê êë

1

0

0

0

1

0

1

l l2

0

1 2l

0 ù ìa ü ú 1 0 ú ïïa 2 ïï úí ý , l3 ú ï a 3 ï ú ïa ï 3l 2 úû î 4 þ

(6.53)

deren Inversion (mit MAPLE-Software gebildet) auf die gesuchten Ansatzfreiwerte führt: é 0 0 0 ù ì v1 ü ì a1 ü ê 1 úï ï ï ï 1 0 0 ú ïï ϕ1 ïï ïa 2 ï ê 0 úí ý í ý= ê 2 2 ï a 3 ï ê −3 / l −2 / l 3 / l −1/ l ú ï v 2 ï ú ïîa 4 ïþ ê 3 2 3 2 ï ï êë 2 / l 1/ l −2 / l 1/ l úû îïϕ2 þï

(6.54a)

bzw. in symbolischer Schreibweise:

{ a} = [ A] { u} .

(6.54b)

46

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

> 8 6.4-1.mws Überprüfung der Matrix [A] in Gl.(6.54): >with(linalg): >A := inverse(matrix(4,4,[1,0,0,0,0,1,0,0,1,l,l^2,l^3,0,1,2*l,3*l^2])); 0 0 0 úù êéê 1 úú êêê 1 0 0 úúúú êê 0 êêê ú ê 1 1 1 1 úúú 3 2 - úúúú A := êêêêê-3 2 -2 l l úúú êê l l êêêê 1 úúúú 1 1 1 êêê 2 úúú -2 êêê l 3 l2 l 3 l 2 úúûúú ëêê úúú êê Damit ist das Ergebnis aus (6.54a, b) überprüft! > Setzt man (6.54a) in den Verschiebungsansatz (6.52) ein, so ergibt sich die Biegelinie zu v(x) = v1 + xϕ1 − + oder zu

2x

3

l3

3x 2

v1 +

l2 x3

l2

v1 − ϕ1 −

2x 2 3x 2 x2 ϕ1 + ϕ2 v2 − l l l2 2x 3

l3

v2 +

x3

l2

ϕ2

v( x) = N 1 (x) v 1 + N 2 (x ) ϕ 1 + N 3 (x) v 2 + N 4 (x ) ϕ 2

,

(6.55)

wenn man die Formfunktionen (shape functions) N1 (x): = 1 − 3( x / l) 2 + 2(x / l) 3 ,

(6.56a)

N 2 (x): = x − 2 x 2 / l + x 3 / l 2 ,

(6.56b)

N 3 ( x): = 3(x / l) 2 − 2(x / l) 3 ,

(6.56c)

N 4 (x): = − x 2 / l + x 3 / l 2

(6.56d)

benutzt. Diese Funktionen sind in Bild 6.10 dargestellt. Mathematisch können die in Bild 6.10 dargestellten Formfunktionen als HERMITEsche Interpolationsfunktionen gedeutet werden, die in Ü3.1.25 zur Ermittlung der äquivalenten Massenmatrix für ein eindimensionales finites Stabelement bereits benutzt wurden. Physikalisch gesehen, kann jede einzelne Formfunktion (6.56a-d) als Biegelinie des Balkens angesehen werden, wenn jeweils nur ein Freiheitsgrad zugelassen wird, während die anderen drei zu null angenommen werden, d.h.:

6.4 Anwendung des ersten Satzes von Castigliano auf ein finites Balkenelement

47

für

v(0) = v 1 ,

ϕ 1 = v 2 = ϕ 2 = 0 folgt:

v(x) = N 1 ( x ) v 1 ,

(6.57a)

für

v ′(0) ≡ ϕ 1 = 1 ,

v1 = v 2 = ϕ 2 = 0

folgt:

v(x) = N 2 (x ) ϕ 1 ,

(6.57b)

für

v(l) = v 2 ,

v1 = ϕ1 = ϕ 2 = 0

folgt:

v(x) = N 3 ( x ) v 2 ,

(6.57c)

für

v ′ ( l) ≡ ϕ 2 = 1 ,

v1 = ϕ 1 = v 2 = 0

folgt:

v(x) = N 4 (x ) ϕ 2 .

(6.57d)

1 N1 ( x )

0.8

N 3 (x )

0.6 v / v2

v / v1 0.4

0.2

N 2 (x) / l

0

N 4 (x) / l

ϕ1 = 1

0

0.2

0.4 0.6 ξ=x/l

ϕ 2 =1

0.8

1

Bild 6.10 Formfunktionen (shape functions) für ein finites Balkenelement; HERMITEsche Interpolationsfunktionen

Mithin kann die Biegelinie (6.55) aufgefasst werden als Linearkombination (Superposition) der Einzelbeiträge (6.57a .. d). Die gesuchte Steifigkeitsmatrix für das finite Balkenelement in Bild 6.9 kann man aus dem ersten Satz von Castigliano, Fi = ∂U / ∂u i ,

(6.48a)

gewinnen, worin Fi , i = 1,2,3,4, die generalisierten Knotenkräfte,

{F} = {

Q1

M1 Q 2 M 2

}t

,

(6.58)

und u i , i = 1,2,3,4, die entsprechenden generalisierten Knotenverschiebungen (Freiheitsgrade),

{u} = { v1

ϕ1 v2 ϕ2

}

t

,

(6.59)

48

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

bedeuten. Die elastische Formänderungsenergie U in (6.48a) kann unter Vernachlässigung des Querkrafteinflusses, der bei kleinen Werten h / l gegenüber dem Biegemomentenanteil vernachlässigbar ist (elementare Biegetheorie im Gegensatz zu Bild 4.6), aus Tabelle 6.1 entnommen werden: l

2

óM U=ô dx . õ 2EI

(6.60)

0

Über die Länge l des finiten Balkenelementes (Bild 6.9) ist die Biegesteifigkeit EI konstant, so dass man sie außerhalb des Integrals schreiben kann. Weiterhin kann das Biegemoment durch die Krümmung und somit durch v′′ gemäß M = EI

∂2v

(6.61)

∂ x2

ausgedrückt werden, so dass (6.60) durch l

EI ó U= ô 2

õ

2

æ ∂2v ö ç ÷ dx ç ∂ x2 ÷ è ø

(6.62)

0

ersetzt werden kann. Darin wird die zweite Ableitung von (6.55) benötigt: ∂2 v ∂ x2

= N1′′(x)v1 + N ′′2 (x)ϕ1 + N3′′ (x)v 2 + N′′4 (x)ϕ2 ,

(6.63)

wobei wegen (6.56a-d) gilt: N1′ (x) = −6 / l 2 + 12x / l3 ,

N ′′2 (x) = −4 / l + 6x / l 2 ,

(6.64a,b)

N3′′ (x) = 6 / l 2 − 12x / l3 ,

N ′′4 (x) = −2 / l + 6x / l 2 .

(6.64c,d)

Setzt man (6.62) in (6.48 a) ein, so erhält man die generalisierten Knotenkräfte (6.58) zu: l

ó ∂2 v ∂ æ ∂2v ö ∂U Fi = = EIô dx . ô ∂ x 2 ∂ u çç ∂ x 2 ÷÷ ∂ ui iè ø õ

(6.65)

0

Unter Berücksichtigung von (6.59), (6.63) und wegen

∂ ∂ ui

æ ∂2 v ö ç ÷ ≡ Ni′′ , 2÷ ç è∂ x ø

i=1,2,3,4,

(6.66)

6.4 Anwendung des ersten Satzes von Castigliano auf ein finites Balkenelement

49

kann (6.65) durch l

Fi = EI ò [ N1′′(x)v1 + N′′2 (x) ϕ1 + N′′3 (x) v 2 + N ′′4 (x) ϕ2 ] Ni′′ dx

(6.67a)

0

ausgedrückt werden oder auch verkürzt durch 4

Fi = k i1v1 + k i 2 ϕ1 + k i3 v 2 + k i 4 ϕ 2 ≡

å k ij u j

,

(6.67b)

j=1

wenn man die Größen k ij gemäß l

k ij := EI ò N′′i (x) N ′′j (x) dx

(6.68)

0

definiert. Diese Größen sind die Elemente der Steifigkeitsmatrix [ K ] . Wegen (6.58) und (6.59) kann die Steifigkeitsbeziehung (6.67b) in Matrizenform angegeben werden:

{ F} = [ K]{ u}

.

(6.69a)

Beispielsweise ermittelt man das Element k 11 in [ K ] nach (6.68) mit (6.64a) zu: l

k 11 = EI

ò (−6 / l

2

)

2

+ 12x / l 3 dx = 12 EI / l 3

0

entsprechend ergibt sich: l

k 23 = EI

2 2 3 2 ò (−4 / l + 6x / l )(6 / l − 12x / l ) dx = −6EI / l

etc.

0

Insgesamt ermittelt man: 3l ì Q1 ü é6 ïM ï ê 3l 2l 2 ï 1 ï 2 EI ê í ý= 3 ï Q 2 ï l ê −6 −3l ê 2 ïîM 2 ïþ ë 3l l

3l ù ì v1 ü −3l l 2 ú ïï ϕ1 ïï úí ý 6 −3l ú ï v 2 ï ú −3l 2l 2 û ïîϕ 2 ïþ −6

(6.69b)

in Übereinstimmung mit (3.95). Die Steifigkeitsmatrix in (6.69b) kann bequem mit Hilfe der Software MAPLE V, Release 8, ausgerechnet werden, wie der folgende Output zeigt.

50

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

> 8 6.4-2.mws Steifigkeitsmatrix eines finiten Balkenelements auf der Basis des ersten Satzes von CASTIGLIANO; die zweiten Ableitungen der HERMITEschen Interpolationsfunktionen sind im Folgenden durch a(x), b(x), c(x) und d(x) gekennzeichnet. >with(linalg): >a(x):=-6/l^2+12*x/l^3;b(x):=-4/l+6*x/l^2;c(x):=6/l^2-12*x/l^3;d(x):= >-2/l+6*x/l^2; 1 x a( x ) := -6 2 + 12 3 l l b( x ) := -4 c( x ) := 6

1 x +6 2 l l

1 x − 12 3 l2 l

d( x ) := -2

1 x +6 2 l l

>J:=matrix(4,4,[a(x)*a(x),a(x)*b(x),a(x)*c(x),a(x)*d(x),b(x)*a(x),b(x)*b(x), >b(x)*c(x),b(x)*d(x),c(x)*a(x),c(x)*b(x),c(x)*c(x),c(x)*d(x),d(x)*a(x),d(x)*b(x), >d(x)*c(>x),d(x)*d(x)]): >p:=map(int,J,x=0..l); 1 1 1ù êéêê 12 1 6 2 -12 3 6 2 úúúúú êêê 3 l l l l úúú êêê úú êêê 1 1 1 úúúú êêê 6 1 4 2 úúú -6 2 êêê l l úúú l êêê l 2 úúú p := êê êêêê-12 1 -6 1 12 1 -6 1 úúúúú êêê ú l3 l2 l3 l 2 úúúú êêê úú êêê 1 1 1 úúúú êêê 6 1 úú 2 4 -6 êêê 2 l l úúúûú l2 ëêêê l úúú êê >K:=(2*EI/l^3)*evalm(p*l^3/2); êéêê 6 3 l -6 3 l ùúúú êêê ú ê3 l 2 l 2 -3 l l 2 úúúúú EI êêêê úú êêêê -6 -3 l 6 -3 lúúúúú êêê3 l l 2 -3 l 2 l 2úúú ëêê ûúú K := 2 êêê úúú l3 Dieses Ergebnis stimmt mit der in Band 1 auf anderem Wege gefundenen Steifigkeitsmatrix gemäß Gl.(3.95) überein ! >

6.4 Anwendung des ersten Satzes von Castigliano auf ein finites Balkenelement

51

Die Ermittlung der Steifigkeitsmatrix nach der Rechenvorschrift (6.68) ist allgemein und kann grundsätzlich immer auf diese Weise durchgeführt werden. Bisweilen kann dieser Weg über die Formfunktion umständlich sein, wie z.B. bei Platten- und Schalenelementen. In solchen Fällen kann man alternativ den Verschiebungssatz (6.52) unmittelbar in (6.62) einsetzen und erhält wegen ∂ 2 v / ∂ x 2 = 2 a 3 + 6a 4 x

(6.70)

die Formänderungsenergie zu U=

l

EI (2a 3 + 6a 4 x)2 dx = 2 EIl(a 32 + 3a 3a 4 l + 3a 24 l 2 ) , 2 ò

(6.71a)

0

é ê 1 ê U = {a1 a 2 a 3 a 4 } ê 2 ê ê ë

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

ù ì a1 ü úï ï ú ïa 2 ï 2 úí ý . 4 EIl 6 EIl ï a 3 ï ú 6 EIl 2 12 EIl3 úû ïîa 4 ïþ

(6.71b)

Damit hat man eine zu (6.12) analoge Schreibweise gefunden:

U=

1 {a} t [K]{a} . 2

(6.71c)

[ ]

Die Elemente k ij der Matrix K können analog (6.11) gemäß k ij =

∂2U ∂ ai∂ a j

, i, j = 1,2,3,4,

(6.72)

bestimmt werden. Setzt man die Ansatzfreiwerte (6.54a,b) in (6.71c) ein, so folgt wegen

{ a} t = ([ A]{ u} ) t = { u} t [ A] t für die Formänderungsenergie die Darstellung U=

1 { u} t [ A] t K [ A]{ u} . 2

[ ]

(6.73)

Aufgrund der Linearität zwischen Kraft und entsprechender Verschiebung kann die Formänderungsenergie nach dem Arbeitssatz (6.8) auch in der Form

52

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

ì Q1 ü ïM ï 1 ï ï U = { v1 ϕ1 v 2 ϕ2 } í 1 ý , 2 ï Q2 ï ïîM 2 ïþ

U=

(6.74a)

1 { u} t { F} 2

(6.74b)

und nach Einsetzen der Steifigkeitsbeziehung (6.69a) gemäß

U=

1 {u}t [ K ]{u} 2

(6.74c)

wie in (6.12) angegeben werden. Aus dem Vergleich der beiden Ausdrücke (6.73) und (6.74c) liest man die Transformation

[ K ] = [ A] t [ K ] [ A]

(6.75)

ab, die formal an die Transformation (3.97) erinnert (nur rein formal !). Mit der Matrix [ A ] aus (6.54a,b) und der Matrix K aus (6.71b,c) ermittelt man durch

[ ]

Multiplikation gemäß (6.75) schließlich die Steifigkeitsmatrix [ K ] , die mit der Steifigkeitsmatrix in (6.69a,b) übereinstimmen muss. Diese Überprüfung übernimmt das Computerprogramm MAPLE V, Release 8. Der entsprechende Output ist im Folgenden abgedruckt. > 8 6.4-3.mws >with(linalg): >A := inverse(matrix(4,4,[1,0,0,0,0,1,0,0,1,l,l^2,l^3,0,1,2*l,3*l^2])); 0 0 0 úù êéê 1 úú êêê 1 0 0 úúúú êêê 0 ú êêê 1 1 1 1 úúú 3 2 - úúúú A := êêêêê-3 2 -2 l l úúú l êê l êêê ú êê 1 1 1 1 úúúúú êêê 2 -2 3 ú êëêê l 3 l2 l l 2 úúûúú êêê úúú Im Folgenden führt das Computerprogramm die Multiplikation gemäß der Transformation (6.75) aus. Die Matrix in (6.71b,c) ist im Rechenprogramm mit k gekennzeichnet. >k:=matrix(4,4,[0,0,0,0, 0,0,0,0, 0,0,4*l,6*l^2, 0,0,6*l^2,12*l^3]);

6.4 Anwendung des ersten Satzes von Castigliano auf ein finites Balkenelement

53

éêê0 0 0 0 ùúú êêê úú 0 úúúú êêêê0 0 0 úú k := êê êêêê0 0 4 l 6 l 2 úúúúú êêê ú êëêê0 0 6 l 2 12 l 3úúúûúú êêê úúú >p:=(EI)*(multiply(transpose(A),k,A)); >K:=(2*EI/l^3)*evalm(p*l^3/(2*EI)); éêê 1 1 1 êêê 12 3 6 2 -12 3 l l l êêêê êêê 1 1 êê 1 4 -6 2 êêê 6 2 l êê l l p := EI êêêê êêê 1 1 1 êêê-12 3 -6 2 12 3 l l l êêêê êêê 1 1 1 êêê 6 2 -6 2 êêê 2 l l êëêê l ê éêê 6 3 l -6 3 l ùúú úú êêê êêê3 l 2 l 2 -3 l l 2 úúúú EI êê êêê -6 -3 l 6 -3 lúúúúú êêê ú 2 -3 l 2 l 2úúûúú ëêêê3 l l úú K := 2 êê ú l3

1 ùúú úú l 2 úúúú úú 1 úúúú 2 úúú l úúú úú 1 úúúú -6 2 úúú l úúúú ú 1 úúú 4 úúúú l úûúúú úúú 6

Dieses Ergebnis stimmt mit der Steifigkeitsmatrix in (6.69a,b) überein ! > Eine weitere Überprüfung der Steifigkeitsbeziehung (6.69a,b) erfolgt über die Gleichgewichtsbedingungen am finiten Balkenelement, für das im Gleichgewichtszustand Q 2 = − Q1 gelten muss. Man erkennt in (6.69b), dass sich die erste und dritte Zeile in der Steifigkeitsmatrix [ K ] nur durch die Vorzeichen unterscheiden, so dass im Gleichgewichtszustand die Kräfte Q1 und Q 2 entgegen wirken müssen. Bildet man die Summe der Momente um den Knotenpunkt ‚ des im Bild 6.9 skizzierten finiten Balkenelementes,

å M‚

= M1 + M 2 − Q 1 l ,

(6.76)

so erhält man mit (6.69b), nachdem man die erste Zeile in (6.69b) mit − l multipliziert hat, durch spaltenweise Addition der Elemente der ersten, zweiten und vierten Zeile die Summe:

54

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

å M‚

=

(

)

2 EI é ( 3l + 3l − 6l ) v1 + 2l2 + l2 − 3l2 ϕ1 l3 êë

(

)

(6.77)

+ ( −3l − 3l + 6l ) v2 + l 2 + 2l 2 − 3l 2 ϕ2 ] ≡ 0. Entsprechend bestätigt man

å M

= 0 , d.h., unabhängig von den Knotenvari-

ablen ( v i , ϕ i ) sind die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt ! Die Steifigkeitsmatrix [ K ] in (6.69a,b) ist symmetrisch und wie bei allen finiten Elementen auch singulär, da sich die erste und dritte Zeile nur durch ein Vorzeichen unterscheiden. Mithin ist eine Auflösung der Matrizengleichung (6.69b) (wie gewöhnlich) nach den Knotenverschiebungen ( v i , ϕ i ) nicht möglich. Diese ist erst bei vorgegebenen Randbedingungen durchführbar. Beispielsweise sei das Balkenelement im Knotenpunkt  fest eingespannt (Kragbalken mit v1 = ϕ1 = 0 ) ; dann folgt aus (6.69b) das reduzierte Gleichungssystem

ì Q 2 ü 2 EI í ý= 3 îM 2 þ l

−3l ù ì v 2 ü é 6 ê−3l 2l 2 ú íϕ ý , ûî 2 þ ë

(6.78)

das mit (3.85) übereinstimmt. Seine Inversion ìv2 ü l3 í ý= îϕ 2 þ 2 EI

é2 / 3 1 / l ù ì Q 2 ü ê 1 / l 2 / l 2 ú íM ý ë ûî 2 þ

(6.79)

stimmt mit dem Gleichungssystem (3.84a,b) überein. Die Reaktionen an der Einspannstelle  ergeben sich wegen v1 = ϕ 1 = 0 aus (6.69b) in Übereinstimmung mit (3.88) zu: ì Q1 ü 2 EI é −6 3l ù ì v 2 ü ý í ý= 3 ê 2 úí l ë −3l l û îϕ 2 þ îM1 þ

(6.80)

und mit (6.79) in Übereinstimmung mit den Gleichgewichtsbedingungen (3.87) zu: ì Q 1 ü é −1 0 ù ì Q 2 ü ý . í ý=ê úí îM 1 þ ë− l −1û îM 2 þ

(6.81)

Die Anwendungsmöglichkeiten der Sätze von CASTIGLIANO sind sehr vielfältig, wie auch in den Übungen zum Ausdruck kommt. Als weiteres Beispiel wird in Ziffer 6.5 die Anwendung auf ein elastisches Kontinuum erläutert.

6.5 Anwendung des ersten Satzes von Castigliano auf ein elastisches Kontinuum

55

Übungsaufgaben 6.4.1 In dieser Übung soll ein finites Balkenelement unter axialer Last (Knickstab) behandelt werden (Skizze).

6.4.2 Gesucht ist die Knicklast des skizzierten Stabes.

Dabei soll aus Symmetriegründen nur die halbe Stablänge als finites Element betrachtet werden. Zur Verbesserung des Ergebnisses soll anschließend dieses Element nochmals unterteilt werden.

6.5 Anwendung des ersten Satzes von CASTIGLIANO auf ein elastisches Kontinuum Die elastische Formänderungsenergie (strain energy) eines finiten Elementes (z.B. Dreieckselement) aus linearelastischem Material kann gemäß

U=

1 2

t

ò {ε} {σ} dV ≡

V

1 ε ji σij dV 2

ò

(6.82)

V

formuliert werden. Integriert wird über das Volumen V des finiten Elementes. Die Verzerrungen innerhalb des Elementes lassen sich durch die Knotenverschiebungen { u} ausdrücken:

{ε(x, y)} = [ B]{ u}

.

(4.30b)

Bei einem Dreieckselement mit drei Knotenpunkten sind die sechs Knotenverschiebungen in

{u} = { u1

v1 u 2 v 2 u 3 v3 }

t

(6.83)

56

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

enthalten. Die Elemente der Matrix [ B] ermittelt man aus den Koordinaten der Knotenpunkte gemäß (4.36b). In (6.82) wird der Integrand mit der Transposition

{ ε} t = { u} t [ B] t

(6.84)

der Beziehung (4.30b) und dem HOOKEschen Gesetz

{ σ} = [ D]{ ε}

(4.47)

{ ε} t { σ} = { u} t [ B] t [ D][ B]{ u}

(6.85)

gemäß

umformuliert. Dabei wurde (4.30b) in (4.47) eingesetzt. Mithin ist die elastische Formänderungsenergie (6.82) durch U=

1 { u} t 2

t

ò [ B] [ D][ B]dV{ u}

(6.86)

V

gegeben. Darin können die Matrix { u} und ihre Transposition { u} t außerhalb des Integrals geschrieben werden, da sie die Knotenverschiebungen enthalten, über die nicht integriert wird. Nach dem ersten Satz von CASTIGLIANO erhält man aus (6.86) mit Hilfe von Ü6.1.1 die Beziehung

{ F} =

∂U = ∂{ u}

t

ò [ B] [ D][ B]dV{ u}.

(6.87)

V

Der Vergleich mit der Steifigkeitsbeziehung

[ ]

{ F} = K e { u}

(6.88)

führt schließlich auf die Steifigkeitsmatrix des finiten Elementes

[K ] = ò [ B] [ D][ B]dV t

e

(6.89)

V

in Übereinstimmung mit (4.61).

6.6 Allgemeinere Formulierung des Prinzips vom stationären Wert des Gesamtpotentials Das in Ziffer 6.1 an einfachen Beispielen erläuterte Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials (Bild 6.2) kann allgemeiner formuliert werden, indem man vom Prinzip der virtuellen Arbeiten (6.32) bzw. (6.40) ausgeht und die Existenz eines

6.6 Allgemeinere Formulierung des Prinzips vom stationären Wert des Gesamtpotentials 57

elastischen Potentials (strain energy density) voraussetzt (Bild 6.8). Mithin kann in (6.32) für ein elastisches Kontinuum (nicht notwendig linear-elastisch) der Spannungstensor gemäß

σ ij = ∂U / ∂ ε ij

(6.42)

in (6.32) eingesetzt werden:

∂U

ò ∂ε ij δε ij dV = ò p i δu i dS + ò fi δu i dV .

V

Sp

(6.90)

V

Darin kann die linke Seite folgendermaßen ausgedrückt werden: ∂U

ò ∂ ε ij δε ij dV = ò δU dV = δ ò U dV ≡ δU

V

V

,

(6.91)

V

wobei die Reihenfolge von Variation und Integration vertauscht wurde (6.41). In (6.91) ist U = U(ε ij ) das elastische Potential, während U = U(ε ij ) als spezifisches elastisches Potential oder auch als elastische Formänderungsenergiedichte (Bild 6.8) bezeichnet wird. Analog (6.5) definiert man das Potential der äußeren Kräfte (Belastungen) gemäß

ò

ò

Π a : = − p i u i dS − fi u i dV , Sp

(6.92)

V

dessen erste Variation bei vorgegebenen äußeren Belastungen, die nicht variiert werden, durch

ò

ò

δΠ a = − p i δu i dS − f i δu i dV Sp

(6.93)

V

gegeben ist und bis aufs Vorzeichen mit der rechten Seite von (6.32) übereinstimmt. Mithin kann aus (6.32) unter Berücksichtigung von δΠ i = δU gemäß (6.91) und (6.93) schließlich das Prinzip

! δ(Π i + Π a ) = δ(U + Π a ) : = δΠ = 0

(6.94)

gefolgert werden. Analog Π a bezeichnet man Π i auch als inneres Potential, dessen Existenz bei reversibler Verformung vorausgesetzt werden kann: Πi = U =

1 1 σ ji ε ij dV ≡ 2 2

ò

V

t

ò {σ} { ε} dV .

(6.82)

58

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

Die Summe der beiden Potentiale (6.82) und (6.92) in (6.94) ist das Gesamtpotential Π = Πi + Πa ≡ U + Πa

Π=

1 σ ji ε ij dV − 2

ò

V

Π=

1 2

ò { σ}

t

V

(6.95a)

ò p i u i dS − ò fi u i dV

Sp

(6.95b)

V

{ ε} dV − ò {p} t { u} dS − ò { f } t { u} dV Sp

(6.95c)

V

dessen erste Variation nach dem Prinzip vom stationären Wert des Gesamtpotentials (6.94) verschwinden muss. Dabei ist zu beachten, dass nur die Verzerrungen ε ij und Verschiebungen u i gemäß (6.90) variiert werden, während die Spannungen σ ij und Kräfte ( p i , fi ) konstant gehalten werden. Aufgrund des Zusammenhangs ε ij = ( u i, j + u j,i ) / 2

(6.31)

sind die zu variierenden Größen (ε ij , u i ) nicht voneinander unabhängig, so dass ein Variationsproblem (6.94) mit der Nebenbedingung (6.31) vorliegt. Nach der LAGRANGEschen Multiplikatorenmethode (Ziffer 5.2) wird ein modifiziertes Potential ~ 1 é ù (6.96) Π = Π − ò Λij êεij − (u i, j + u j,i ) ú dV 2 ë û V

eingeführt, das gegenüber Π um die Nebenbedingung (6.31) erweitert ist. Der LAGRANGEsche Multiplikator in (6.96) ist ein Tensor zweiter Stufe, der aufgrund der Indexsymmetrie in (6.31) als symmetrisch angenommen wird (Λ ij = Λ ji ). Somit gilt die Identität

1 Λ ij ( u i, j + u j,i ) ≡ Λ ji u i, j . 2

(6.97)

Man erhält: 1 1 1 ü Λij (u i, j + u j,i ) ≡ Λiju i, j + Λ iju j,i ï 2 2 2 123 ï ï stumme IndizesVertauschen Þ Λ ji u i, j ý Þ ï ↓ ï ï Symmetrie → Λ ij þ

Gl.(6.97) .

6.6 Allgemeinere Formulierung des Prinzips vom stationären Wert des Gesamtpotentials 59

Unter Berücksichtigung von (6.96) mit (6.97) ist (6.94) folgendermaßen zu erweitern: ! ~ δ Π = δ Π − ( Λ ji δε ij − Λ ji δu i, j ) dV = 0 .

ò

(6.98)

V

Darin kann das zweite Integral nach dem GAUSSschen Satz folgendermaßen umgeformt werden:

ò Λ ji δui, j dV ≡ ò éë(Λ ji δui ), j −Λ ji, j δui ùû dV =

V

V

=

ò Λ ji δui n j dS − ò Λ ji, j δui dV .

Sp

(6.99)

V

Man beachte, dass der Multiplikator nicht variiert wird. Er ist aber eine Feldgröße, so dass Λ ji, j ≡ ∂Λ ji / ∂x j nicht verschwindet. Setzt man die Summe von (6.91)

und (6.93) für δΠ und (6.99) in (6.98) ein, so folgt: % = δΠ

ò ( ∂ U ∂εij − Λ ji ) δεijdV − ò ( Λ ji, j + fi ) δuidV

V

V

+

ò ( Λ ji n j − p i )δu i dS = 0 . !

(6.100)

Sp

Darin muss jedes Integral für sich verschwinden, so dass man aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung folgende Ergebnisse erhält: 1) Der LAGRANGEsche Multiplikator kann als Spannungstensor (6.42) interpretiert werden:

Λ ji = ∂ U / ∂ ε ij = σ ji .

(6.101)

2) Die Gleichgewichtsbedingungen sind erfüllt:

σ ji, j + f i = 0 i

in V .

(6.28)

3) Die natürlichen Randbedingungen sind erfüllt:

p i = σ ji n j

auf S p .

(6.29)

Damit ist das Prinzip vom stationären Wert des Gesamtpotentials nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend für den Gleichgewichtszustand eines elastischen Systems.

60

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

Die Gleichgewichtsbedingungen (6.28) können als System von EUDifferentialgleichungen gedeutet werden, die zum Vari-

LERschen

[

]

ationsproblem Π ε ij , u i =Extremum des Funktionals (6.95) gehören

Im Folgenden soll gezeigt werden, dass dieses Extremum ein lokales Minimum im Gleichgewichtszustand unter den konstanten Belastungen p i und f i darstellt

[

] Π [ε ij + δε ij , u i + δu i ]

(Bild 6.2). Dazu vergleiche man das Gesamtpotential Π ε ij , u i

des Gleichge-

wichtszustandes mit dem Gesamtpotential

eines kinema-

tisch zulässigen Nachbarzustandes. Unter Berücksichtigung von (6.91), (6.92) und (6.95) kann diese Differenz folgendermaßen formuliert werden:

[

]

[

]

Π ε ij + δε ij , u i + δu i − Π ε ij , u i = =

ò [U(ε ij + δε ij ) − U(ε ij )] dV + δΠ a .

(6.102)

V

Der Integrand des Volumenintegrals kann in eine TAYLOR-Reihe entwickelt werden,

æ ∂U ö 1 æ ∂2 U ö ÷ δε ij + ç ÷ δε ij δε kl +..., (6.103) U(ε ij + δε ij ) = U(ε ij ) + çç ÷ 2 ! çè ∂ ε ij ∂ ε kl ÷ø è ∂ ε ij ø so dass (6.102) in Π éë εij + δεij , u i + δu i ùû − Π éë εij , u i ùû =

=

æ ∂U ö 1 ∂2 U δεij δε kl dV + ... ç ÷ δεij dV + δΠ a + ç δεij ÷ 2! ∂ εij ∂ ε kl ø V è V

ò

ò

(6.104)

übergeht. Darin stellen die beiden ersten Terme auf der rechten Seite die erste Variation δΠ des Gesamtpotentials (6.95) dar, die nach dem Prinzip (6.94) verschwindet, so dass sich die zweite Variation zu

[

] [ ]

Π ε ij + δε ij − Π ε ij =

1 2!

ò

V

∂2 U δε ij δε kl dV +... ≡ δ 2 Π ∂ ε ij ∂ ε kl

(6.105)

ergibt. Beispielsweise ist das elastische Potential bei linearem Verhalten eine quadratische Form

6.6 Allgemeinere Formulierung des Prinzips vom stationären Wert des Gesamtpotentials 61

U=

1 1 E ijkl ε ij ε kl ≡ { ε} t [ E ]{ ε} , 2 2

(6.43)

deren zweite Ableitung sich mit (6.44) zu ∂σ ij ∂2 U = = E ijkl ∂ ε ij ∂ ε kl ∂ ε kl

(6.106)

ergibt [BETTEN, 2001]. Mithin geht die zweite Variation (6.105) für linearelastisches Verhalten in die quadratische Form δ2Π =

1 E ijkl δε ij δε kl dV 2!

ò

(6.107)

V

über, die positiv definit ist. Folglich nimmt das Gesamtpotential Π im Gleichgewichtszustand (δΠ = 0 ) ein Minimum (δ 2 Π > 0) an (Bild 6.2). Daher spricht man vom Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials, das man auch als DIRICHLETsches Prinzip bezeichnet. In (6.92) sind mit p i dS Oberflächenkräfte berücksichtigt, die über einen Teil Sp der Oberfläche S vorgegeben sind und als flächenhaft verteilte Belastungen anzusehen sind (Bild 6.7). Darüber hinaus können in einzelnen Punkten der Oberfläche Einzelkräfte und Einzelmomente angreifen, die als "generalisierte" Kräfte in einer Spaltenmatrix { F} "aufgelistet" werden können. Die entsprechenden Verschiebungen und Verdrehungen werden in { u} zusammengefasst. Somit kann analog (6.40) das Gesamtpotential (6.95c) folgendermaßen in Matrizenform dargestellt werden: Π=

1 2

ò {σ} { ε} dV − ò { f} { u} dV − ò {p} { u} dS − { F} { u} t

V

t

t

V

t

. (6.108)

Sp

Für ein finites Stabelement mit zwei Knotenpunkten j und k gilt ε x = ∂u / ∂x ≡ u ′( x), so dass mit dem HOOKEschen Gesetz σ x = Eε x = Eu ′(x) folgt. Mithin wird:

{ σ} t { ε} = σ x ε x = Eu ′ 2 ( x) .

(6.109)

Für dieses einfache Beispiel verschwinden das zweite und dritte Integral in (6.108), während

{ F} t { u} = F1 u1 + F2 u 2 wird, so dass sich (6.108) für das finite Stabelement mit dV=Adx zu

(6.110)

62

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe l

Π=

1 EA( x)u ′ 2 ( x)dx − F1u1 − F2 u 2 2

ò

(6.111)

0

vereinfacht. Ein anderes Beispiel ist der in Bild 6.11 dargestellte Biegebalken mit der Biegesteifigkeit EI(x) unter kontinuierlicher Belastung q=q(x).

Bild 6.11 Biegebalken unter kontinuierlicher Belastung

Die geometrischen (erzwungenen) Randbedingungen sind durch v(0) = 0 ,

v( l ) = 0

v ′( 0) = 0 ,

(6.112)

gegeben. Mit l

U=

1 EI( x)v ′′ 2 ( x)dx 2

ò

(6.62)

0

lautet das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials für das in Bild 6.11 skizzierte Beispiel: l

l

1 EI(x)v′′2 dx − qv dx = Π [ v(x)] = 2 0 4244 0 14 3 123

ò

ò

Πi = U

l

æ EI

ö

!

v′′ − qv ÷ dx = Minimum ò çè14 2 4244 3ø 0

Πa

2

,

(6.113)

F(x,v,v′′)

woraus sich die EULERsche Differentialgleichung ∂F d æ ∂F ö d 2 æ ∂F ö − ç ÷+ ç ÷ =0 ∂v dx è ∂ v ′ ø dx 2 è ∂ v ′′ ø

(5.27)

wegen ∂F / ∂v = −q(x), ∂F / ∂v′ = 0 und ∂F / ∂v′′ = EI(x)v′′ zu (EIv′′)′′ − q(x) = 0

ergibt. Die natürlichen Randbedingungen

(6.114)

6.6 Allgemeinere Formulierung des Prinzips vom stationären Wert des Gesamtpotentials 63 l

ìï é ∂F d æ ∂F ö ù üï − ç íê ÷ ú ηý = 0, und îï ë ∂ v′ dx è ∂ v′′ ø û þï0

l

é ∂F ù ê ′′ η′ú = 0, ë∂ v û0

(5.28a,b)

die sich wie (5.27) ebenfalls aus der Variationsaufgabe δΠ = 0 ergeben, vereinfachen sich wegen (5.29a), d.h., η(0) = η(l) = 0, und η′(0) = 0, η′(l) ≠ 0 zu: é ∂F ù =0 ê ú ë ∂ v′′ û x =l

Þ

EIv′′(l) = 0 .

(6.115)

Diese natürliche Randbedingung entspricht der statischen Randbedingung M( l ) = − EIv ′′( l) = 0 . Die EULERsche Differentialgleichung (6.114) kann auch nach folgendem Schema aufgestellt werden:

q(x) M Q x

dx

ü ï dQ + q dx = 0 ï ï dM − Q dx = 0 ý Elast. Gesetz: ï ï M = − EIv ′′ ïþ

Statik:

M+dM

Q+dQ

v

Þ

(EIv ′′) ″

= q(x ) .

Vorzeichen erklärt in Ü3.5.4.

Weitere Beispiele sind in Tabelle 6.2 zusammengestellt oder werden in Übungen ausführlich behandelt. Tabelle 6.2 Gesamtpotential / EULERsche Differentialgleichung

EULERsche Differentialgleichung

Finites Element

Gesamtpotential Π

Zugstab unter Belastung p(x)

1 [ EAu ′ 2 − 2 p(x)u]dx 2

( EAu ′) ′ + p(x) = 0

1 ( EIv ′′ 2 − Pv ′ 2 )dx 2

( EIv ′′ ) ′′ + Pv ′′ = 0

1 [EIv ′′ 2 − 2 q( x)v]dx 2

( EIv ′′) ′′ − q( x) = 0

1 ( EIv ′′ 2 − ω 2 ρAv 2 )dx 2

( EIv ′′) ′′ − ω 2 ρAv = 0

l

ò 0 l

Knickstab

ò 0 l

Biegebalken

ò 0 l

Balkenschwingung

ò 0

64

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

Analog zum Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials (6.94) kann auf der Basis der virtuellen Ergänzungsarbeit (6.32*) das Prinzip vom Minimum der Ergänzungsarbeit formuliert werden: ! δ(Π *i + Π *a ) = δ( U * + Π *a ) : = δΠ * = 0

.

(6.94*)

Darin sind analog (6.91)

δU* =

ò

*

δ U dV =

V

ò

V

*

∂U δσ ij dV ∂σ ij

(6.91*)

die erste Variation der Ergänzungsarbeit (Bild 6.8) und analog (6.93)

ò

ò

δΠ *a = − u i δp i dS − u i δf i dV Su

(6.93*)

V

die erste Variation des komplementären äußeren Potentials. Wie aus (6.91*) und (6.93*) ersichtlich, werden in (6.94*) die Spannungen und Kräfte variiert, nicht jedoch die Verzerrungen und Verschiebungen wie in (6.94). Zu beachten ist auch, dass im Gegensatz zu (6.93) sich das Oberflächenintegral in (6.93*) über Su erstreckt , nicht jedoch über Sp, da auf Sp keine virtuellen Kräfte zulässig sind (Bild 6.7). Hierzu vergleiche man auch (6.32) mit (6.32*). Zu erwähnen sei auch das Prinzip von REISSNER, das häufig HELLINGERREISSNER-Prinzip genannt wird und ein gegenüber Π bzw. Π * erweitertes Funktional zugrunde legt. In seiner Originalarbeit schlägt REISSNER eine Erweiterung des komplementären Potentials Π * vor, das gleichzeitig die Gleichgewichtsbedingungen, die kinematischen Grundgleichungen, die Stoffgleichungen und die statischen und kinematischen Randbedingungen umfasst. Man kann das Funktional für das HELLINGER-REISSNER-Prinzip gemäß * Π R := ó éσ ji εij − U (εij ) ù dV − fi u i dV − úû õ êë

ò

V

V

ò pi ui dS

(6.116)

Sp

formulieren, dessen erste Variation sich zu * óæ ∂ U ö÷ δΠ R = ô ç εij − δσij dV − (σ ji, j + fi ) δu i dV ç ∂σij ÷ õè ø V

ò

V

−

!

ò (σ ji n j − p i ) δu i dS − ò (u i − u i ) δp i dS = 0

Sp

Su

ergibt. Daraus ergeben sich die EULERschen Gleichungen

(6.117)

6.6 Allgemeinere Formulierung des Prinzips vom stationären Wert des Gesamtpotentials 65 *

ε ij = ∂ U ∂σ ij

und

σ ji, j + f i = 0 i

(6.118a,b)

und die natürlichen Randbedingungen pi = σ ji n j

auf Sp

und

ui = ui

auf Su .

(6.119a,b)

Mithin umfasst das HELLINGER-REISSNER-Prinzip die Stoffgleichungen (6.118a), die Gleichgewichtsbedingungen (6.118b) und darüber hinaus die statischen (6.119a) und kinematischen (6.119b) Randbedingungen. Übungsaufgaben 6.6.1 Auf das skizzierte System wende man das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials an.

Dehnsteifigkeit: EA(x), Belastung: p = p(x), erzwungene, kinematische Randbedingungen: u (0) = u ( l ) = 0 6.6.2 Analog Ü 6.6.1 wende man das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials auf das skizzierte System an.

geometrische (erzwungene) Randbedingung : u(0) = 0

6.6.3 Man wende das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials auf einen schubstarren Kragbalken an, der durch Einzellast und Streckenlast beaufschlagt wird (Skizze).

66

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

6.6.4 Eine Saite (bzw. Faser) werde durch eine Spannkraft S vorgespannt und anschließend durch eine Streckenlast q(x) transversal belastet. Sie ist an den Enden einfach abgestützt (Skizze).

Man leite aus dem Prinzip vom Minimum des Gesamtpotentials die Differentialgleichung her. 6.6.5 Man zeige, wie man für einen Biegebalken die globale Steifigkeitsmatrix und den globalen Belastungsvektor aus den entsprechenden Größen der Einzelelemente zusammensetzen kann. Dabei benutze man das Gesamtpotential eines Balkenelementes, das mit einer Streckenlast q(x) beaufschlagt wird.

6.7 Das HAMILTONsche Prinzip In den vorausgegangenen Ziffern wurden Prinzipien für mechanische Systeme im statischen Gleichgewicht behandelt. Im Folgenden sollen dynamische Probleme nach der Energiemethode gelöst werden. Dazu muss eine entsprechende Variationsaufgabe formuliert und die sich daraus ergebenden EULERschen Differentialgleichungen bereitgestellt werden. Es seien q 1 (t ), q 2 ( t ), ..., q n ( t ) Funktionen von nur einer unabhängigen Variablen, nämlich der Zeit t. Beispielsweise könnten dies die generalisierten Koordinaten x k eines Mehrmassenschwingers sein. Bei derartigen Problemen kann man von einem Funktional t2

J=

ò F(q1 , q 2 , ..., q n ; q& 1 , q& 2 , ..., q& n ; t ) dt = Extremum

(6.120)

t1

ausgehen, das dem HAMILTONschen Prinzip zugrunde liegt. Diese Variationsaufgabe ist ähnlich der Aufgabe (5.55), so dass analog (5.56) die n Funktionen q k ( t ) in (6.120) den n EULERschen Differentialgleichungen ∂F d æ ∂F ö − ç ÷ = 0 , k = 1, 2, ..., n ∂ q k dt è ∂ q& k ø notwendig genügen müssen (Ü6.7.3).

(6.121)

6.7 Das Hamiltonsche Prinzip

67

In einem diskreten Mehrmassensystem, auf das konservative Kräfte einwirken, erfolgt die wirkliche Bewegung der einzelnen Massenpunkte in der Weise, dass das Zeitintegral t2

ò

t1

t2

Ldt ≡

ò

t2

!

ò

!

(T − Π )dt = Extremum bzw. δ L dt = 0

t1

(6.122)

t1

über die LAGRANGEsche Funktion L = T – Ȇ einen stationären Wert annimmt im Vergleich zu allen zulässigen "Nachbarbewegungen", die durch virtuelle Verschiebungen entstanden sein könnten. Man betrachte beispielsweise eine Punktmasse, die sich auf einer Bahnkurve vom Punkt P1 nach P2 bewegt. Die entsprechenden Zeitpunkte, wann P1 und P2 durchlaufen werden, seien t1 und t 2 . Im Vergleich dazu betrachte man virtuelle Nachbarkurven, die sämtlich durch P1 und P2 hindurchgehen und in gleicher Zeit durchlaufen werden. Das Zeitintegral (6.122) nimmt nach dem HAMILTONschen Prinzip beim Durchlaufen der aktuellen Bahn einen stationären Wert an. Entlang der aktuellen Bahn ist das NEWTONsche Gesetz in jedem Augenblick erfüllt. Zu den Zeitpunkten t 1 und t 2 sollen die virtuellen Verschiebungen verschwinden: δu i (x k , t 1 ) = δu i ( x k , t 2 ) = 0 .

(6.123)

Die Forderung (6.122) drückt das HAMILTONsche Prinzip aus, das man auch als Prinzip der stationären Wirkung bezeichnet. Das Integral in (6.122) nennt man Wirkungsintegral (Wirkung = Energie mal Zeit). Darin ist T die kinetische Energie und Π das Gesamtpotential des konservativen Systems. Die Herleitung des Prinzips (6.122) erfolgt auf der Basis des Prinzips der virtuellen Arbeit (6.32), (6.40) bzw. durch die Erweiterung von (6.95) unter Einbeziehung des D`ALEMBERTschen Prinzips (Ü6.7.4). Die Variation in (6.122) bezieht sich auf den Übergang von einem Bewegungsablauf zu einem infinitesimal benachbarten Bewegungsablauf. Da nur gleichzeitige Bewegungszustände miteinander verglichen werden, wird die Zeit von der Variation d nicht beeinflusst. Man vergleiche hiermit (in Analogie) Bild 5.2. Zu erwähnen sei auch, dass in (6.122) die Reihenfolge von Variation und Integration vertauschbar ist, wovon in Ü6.7.3 Gebrauch gemacht wird. Als Anwendungsbeispiel sei ein Zweimassenschwinger ("Punktschwinger") mit masselosen Federn betrachtet, bei dem die Massenpunkte reibungsfrei auf einer festen Unterlage gleiten können (Bild 6.12). x1 x2 ka

Bild 6.12 Zweimassenschwinger

m1

kb

m2

kc

68

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

Für das in Bild 6.12 skizzierte System sind die kinetische Energie durch

T=

1 1 m1x& 12 + m 2 x& 22 2 2

(6.124)

und die potentielle Energie (bei fehlenden Knotenkräften) durch Π=

1 1 1 k a x12 + k b (x 2 − x1 ) 2 + k c x 22 2 2 2

(6.125)

gegeben, so dass damit zur Lösung der Variationsaufgabe (6.122) zwei EULERsche Differentialgleichungen (6.121) erforderlich sind: ∂L d æ ∂L ö − ç ÷ =0 ∂ x 1 dt è ∂ x& 1 ø

,

∂L d æ ∂L ö − ç ÷ =0 . ∂ x 2 dt è ∂ x& 2 ø

(6.126a,b)

Setzt man darin die LAGRANGEsche Funktion L: = T − Π mit (6.124) und (6.125) ein, so erhält man die beiden Differentialgleichungen − k a x1 + k b (x 2 − x1 ) − m1&& x1 = 0 ,

(6.127a)

− k b (x 2 − x1 ) − k c x 2 − m 2 && x2 = 0 ,

(6.127b)

die man in der Matrixgleichung

[M]{&&x} + [ K]{x} = {0} é m1 ê0 ë

(6.128)

0 ù ì && x1 ü é k a + k b í&& ý + ê ú m 2 û îx 2 þ ë − k b

− k b ù ì x1 ü ì0 ü í ý=í ý k b + k c úû îx 2 þ î0 þ

(6.128*)

zusammenfassen kann (Ü3.1.15). Somit liefern die EULERschen Differentialgleichungen die Bewegungsgleichungen des Systems. Die Vorgehensweise in Ü3.1.15 führt bei diesem einfachen System schneller zum Ziel. Bei komplizierten Aufgaben, insbesondere bei kontinuierlichen Systemen, bietet die Variationsmethode wesentliche Vorteile. Im Folgenden soll gezeigt werden, dass das HAMILTONsche Prinzip (6.122), das auf diskrete Systeme (Punktmechanik, Starrkörpermechanik) angewendet werden kann (Bild 6.12), auch für kontinuierliche Systeme (Kontinuumsmechanik) gültig ist. Bei „dynamischen“ Problemen müssen neben den Volumenkräften f i dV in (6.95b) bzw. kräfte)

{ f } dV in (6.95c) noch Trägheitskräfte (D´ALEMBERTsche Zusatz-

ò

dB i = −&& u i dm Þ B i = − ρ && u i dV V

(6.129)

6.7 Das Hamiltonsche Prinzip

69

im Gesamtpotential (6.95) bzw. im Prinzip der virtuellen Verschiebungen (6.32) berücksichtigt werden:

ò

ò

− ρ && u i δu i dV + f i δ u i dV + V

V

ò p i δ u i dS = ò σ ji δε ij dV .

Sp

(6.130)

V

Unter Berücksichtigung von (6.91) und (6.93) kann analog (6.94) aus (6.130) gefolgert werden:

ò ρ&&u i δu i dV + δΠ a + δU = 0

.

(6.131)

V

Darin sind die Variablen u i , Π a, U als Funktionen der Zeit t anzusehen, so dass die Aussage (6.131) zu jedem Zeitpunkt t gelten muss. Eine Integration über einen Zeitraum von t1 (Beginn der Bewegung) bis zu einem Zeitpunkt t 2 führt auf: t2

t2 t2 óæ ö ô ç ρü i δu i dV÷ dt + δΠ a dt + δU dt = 0 . ÷ ô çè ø t1 tt õ V t1

ò

ò

ò

Darin kann im ersten Term die Reihenfolge der Integrationen und in den beiden anderen Termen die Reihenfolge von Variation und Integration vertauscht werden: t2 t2 ó æ t2 ö ÷ ô ρç && δ δ δ u u dt dV + Π dt + U dt = 0 . i i ÷ a ç ô ÷ ô çè t t1 t1 ø 1 õ V

ò

ò

ò

(6.132)

Dabei wurde die Dichte ρ als zeitlich konstant angenommen. Im nächsten Schritt wird das Zeitintegral im ersten Term durch partielle Integration umgeformt: t2

ò &&u iδu i dt = [

t1

]

t u& i δu i t 2 1

t2

ò

− u& i t1

d (δu i ) dt . dt

Darin verschwindet wegen (6.123) der "integralfreie" Term, so dass man mit d (δu i ) = δ( u& i ) erhält: dt t2

ò

t1

t2

ò

&& u i δu i dt = − u& i δ( u& i ) dt = − t1

t2

1 δ( u& i u& i ) dt . 2

ò

t1

Mit dieser Umformung geht (6.132) über in:

70

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe t2 t2 ó æ t2 ö ô ρ ç δ( u& u& ) dt÷ dV − δ Π dt − δ U dt = 0 . i i a ç ÷ ô ÷ ô 2 çè t t1 t1 ø 1 õ V

ò

ò

ò

(6.133)

Der erste Term in (6.133) kann folgendermaßen ausgedrückt werden bei zeitlich konstanter Dichte: t2

ó æ t2 ö óæ ö ô ρ ç δ( u& u& ) dt÷ dV = ô ç ρ δ( u& u& ) dV÷ dt = i i i i ç ÷ ÷ ô ô çè 2 ÷ ô 2 çè t ø ø õ V 1 õ t1 V

ò

ò

t2

t2 t2 ó æ ρ ö ç ÷ =ôδ u& i u& i dV dt ≡ δT dt = δ T dt. ÷ ô çè 2 ø t1 t1 õ V t1

ò

ò

ò

Damit geht (6.133) über in: æ t2 ö ç ÷ δ ç ( T − Π a − U ) dt÷ = 0 ç ÷ è t1 ø

ò

(6.134a)

bzw. wegen (6.95) in: æ t2 æ t2 ö ö ç ç ÷ ÷! δ ç ( T − Π) dt÷ ≡ δ ç L dt÷ = 0 . ç ç ÷ ÷ è t1 è t1 ø ø

ò

ò

(6.134b)

Mithin ist (6.122) bestätigt! Die LAGRANGEsche Funktion L := T – Π kann in der Form L = L ( u i , u& i ) dargestellt werden, so dass ein Variationsproblem analog (6.120) vorliegt. Setzt man L( u i , u& i ) in die EULERsche Differentialgleichung (6.121) ein, so erhält man in Erweiterung von (6.28) die Bewegungsgleichungen σ ji, j + f i = ρ&& u i ≡ ρ&& xi

,

(6.135)

die man auch aus (6.131) folgern kann (Ü 6.7.4). Für die Finite-Elemente-Methode ist eine diskretisierte Formulierung des HAMILTONschen Prinzips von grundlegender Bedeutung. Dazu wird die LAGRANGEsche Funktion L := T – Π in einem finiten Element mit dem Volumen V = V e dargestellt, wobei die Verschiebungen und deren Geschwindigkeiten innerhalb des Elementes durch Knotenverschiebungen ausgedrückt werden.

6.7 Das Hamiltonsche Prinzip

71

Die kinetische Energie für ein finites Element, Te =

1 2

ò ρ{ u& }

V

t

{ u& } dV

,

(6.136)

e

kann mit dem Verschiebungsansatz (Ü 3.1.22)

{u ( x )} = [ N ]{d}

bzw.

{u& ( x )} = [ N ]{d& }

(6.137a,b)

{}

durch die Knotenvariablen { d} bzw. d& ausgedrückt werden, die man außerhalb des Integrals setzen kann: e

T =

1 & d 2

{ } ò ρ[ N] t [ N] dV{ d& } ≡ 12 { d& } [ m]{ d& }.

(6.138)

ò ρ[ N] [ N] dV

(6.139)

t

t

V

e

Darin ist

[ m] :=

t

V

e

die äquivalente Massenmatrix eines finiten Elementes, die sich aus der Formfunktionsmatrix [ N ] ergibt (Ü 3.1.22 bis Ü 3.1.25). Die elastische Formänderungsenergie für ein finites Element kann ebenfalls durch die Knotenverschiebungen { u} ≡ { d} ausgedrückt werden gemäß (4.61), (6.86): e

U =

1 {d}t 2

1

t

t

òe [ B] [D][ B] dV {d} ≡ 2 {d} éëK

eù

d . û{ }

(6.140)

V

Das finite Element wird in den Knotenpunkten belastet. Diese äußeren Belastune gen werden im "Lastvektor" {F } zusammengefasst, so dass sich das "äußere Potential" gemäß e

{ } {d}

Π a = − Fe

t

(6.141)

ergibt. Schließlich erhält man die diskretisierte LAGRANGEsche Funktion aus (6.138), (6.140) und (6.141) zu: e

e

e

1 & d 2

e

e

L := T − Π = T − U e − Πa L =

{ } t [m]{d& } − 21 {d} t [ K e ]{d} + {F e} {d} t

Damit erhält man aus der EULERschen Differentialgleichung

(6.142)

72

6 Energiemethoden / Variationsprinzipe

∂ Le d æ ∂ Le − ç ∂{ d} dt çè ∂ d&

{}

ö ÷ = { 0} ÷ ø

(6.143)

der Variationsaufgabe (6.134b) die Bewegungsgleichung in Matrizenform:

[ m]{&&d} +

[K ]{d} = {F } e

e

.

(6.144)

Zur Durchführung der in (6.143) vorgeschriebenen Differentiationen sei auf die FEM-Übung 6.1.1 verwiesen, in der solche Differentiationen ausführlich behandelt werden. Obige Ergebnisse (6.142), (6.144) gelten für ein Einzelelement. Für das Gesamtsystem müssen die Einzelmatrizen [ m] analog den Einzelmatrizen [K e ] zu einer Gesamtmatrix [ M] zusammengesetzt werden. Dann erhält man die Bewegungsgleichung für das Gesamtsystem in der Form

[ M]{&&d} + [ K]{ d} = { F}

.

(6.145)

Falls die kontinuierlichen Massen auf diskrete Punkte (Knotenpunkte) konzentriert werden, hat die Massenmatrix Diagonalgestalt, so dass sich (6.145) wesentlich vereinfacht (Lumped-Mass-Methode / Ü3.2.8 bis Ü3.2.9 und Ü3.2.14 bis Ü3.2.15). Übungsaufgaben 6.7.1 Aus dem HAMILTONschen Prinzip ermittle man die Bewegungsgleichung eines axial schwingenden Stabelementes der Dichte ρ , der Länge l und der Dehnsteifigkeit EA. Den Belastungsvektor drücke man durch {F} aus. Man verwende den in Ü3.1.22 eingeführten Verschiebungsansatz. 6.7.2 Man leite die Differentialgleichung eines gemäß q = q(x,t) belasteten Biegestabes aus dem HAMILTONschen Prinzip her. Der Biegestab habe einen Länge l , eine Querschnittsfläche A, eine Dichte ρ und eine Biegesteifigkeit EI(x). 6.7.3 Aus dem HAMILTONschen Prinzip (6.134b) leite man die EULERsche Differentialgleichung (6.121) her, die der LAGRANGEschen Funktion L = L(q k , q& k ) gehorchen muss. 6.7.4 Unter Berücksichtigung der D'ALEMBERTschen Zusatzkräfte kann das Prinzip der virtuellen Verschiebungen (6.32) gemäß (6.130) verallgemeinert werden. Man folgere hieraus die Bewegungsgleichungen (6.135) in einem Kontinuum und die natürlichen Randbedingungen (6.29). 6.7.5 Aus dem HAMILTONschen Prinzip leite man die Bewegungsgleichung her a) für eine Saite kleiner Auslenkung, b) für eine Membran flacher Auslenkung.

7 Näherungsverfahren

In Kapitel 6 sind einige Variationsprinzipe und die damit verknüpften EULERschen Differentialgleichungen diskutiert worden, die für eine Vielzahl von Problemen der Strukturmechanik und der Kontinuumsmechanik grundlegend sind. Im Folgenden werden zur Lösung solcher Aufgaben Näherungsverfahren besprochen. Da wäre zuerst das RAYLEIGH-RITZ-Verfahren (1909) zu nennen, dessen Anwendung die Existenz eines Funktionals voraussetzt. Beispielsweise kann das Gesamtpotential diskreter oder kontinuierlicher Systeme (Kapitel 6) als Funktional zugrunde gelegt werden. Zur Lösung einer Vielzahl von gewöhnlichen oder auch partiellen Differentialgleichungen kann das RAYLEIGH-RITZ-Verfahren herangezogen werden (Ziffer 7.1), wenn man diese Differentialgleichungen als EULERsche Differentialgleichungen eines bekannten Funktionals interpretieren kann. Falls zum behandelnden Problem kein Funktional existiert, können alternativ Verfahren der gewichteten Residuen eingesetzt werden, z.B. das GALERKINVerfahren (Ziffer 7.2). Diese Verfahren gehen von der Differentialgleichung mit den zugehörigen Rand- und Anfangsbedingungen aus und sind auf die Existenz eines zugehörigen Extremalprinzips nicht angewiesen, so dass sie auf einen wesentlich größeren Problemkreis angewendet werden können.

7.1 Das klassische RAYLEIGH-RITZ-Verfahren und die FE-Methode Es seien u(x, y, z), v(x,y,z) , w(x,y,z) die Komponenten eines Verschiebungsfeldes gesucht, die ein Funktional, z.B. das Gesamtpotential, stationär machen, wobei bestimmte Randbedingungen zu erfüllen sind. Zur näherungsweisen Lösung dieser Aufgabe, d.h. zur näherungsweisen Darstellung des Funktionals Π ≈ Π n sind im Sinne von RITZ (1909) die Ansätze n

u n = α 0 ( x, y, z) +

å a iα i (x, y, z)

,

(7.1a)

,

(7.1b)

i =1 n

v n = β 0 (x,y,z) +

å b iβ i (x, y, z) i =1

74

7 Näherungsverfahren

n

w n = γ 0 (x, y, z) +

å ci γi (x, y, z)

(7.1c)

i =1

geeignet. Darin spielen die Funktionen α 0 ( x, y, z), . . . , γ 0 (x, y, z) eine Sonderrolle. Sie erfüllen die inhomogenen Randbedingungen, d.h. die Randbedingungen auf Su, während die übrigen 3n Funktionen α i ( x, y, z), . . . , γ i (x, y, z) auf Su verschwinden. Die Koeffizienten a i , b i , c i sind Ansatzfreiwerte, die im Sinne von RITZ so bestimmt werden, dass das genäherte Potential Π n minimal wird: ∂ Π n / ∂a i = 0, ..., ∂ Π n / ∂c i = 0, i = 1, 2, ..., n.

(7.2)

Diese Vorgehensweise führt auf ein System von 3n Gleichungen, deren Lösung die 3n RITZ-Koeffizienten a i , ..., c i liefert. Zur Untersuchung der Konvergenz des Verfahrens können verschiedene Kriterien herangezogen werden. Die Folge der Näherungen u n in (7.1a) geht gegen die gesuchte Lösungsfunktion u, falls max u n (x, y, z) − u(x, y, z) < ε

(7.3)

V

mit wachsendem n für einen beliebig kleinen Wert von ε > 0 gilt (gleichmäßige Konvergenz). Als weiteres Kriterium sei die Konvergenz im Mittel erwähnt, wobei

ò (u n − u)

2

dV < ε

(7.4)

V

mit wachsendem n wird. Wie in (7.3) kann ε > 0 beliebig klein vorgegeben werden. Betrachtet man beispielsweise als Variationsprinzip das Prinzip vom Minimum des Gesamtpotials Π, so soll ein Näherungsansatz u n das damit genäherte Potential Π n möglichst nahe an Π führen (Minimalfolge). Für den eindimensionalen Fall muss dann gelten: l

Π n − Π ≡ Π (u n ) − Π (u) = ò F(x, u n , u ′n ) − F(x, u, u ′) dx < ε ,

(7.5)

0

wobei ε eine beliebig kleine positive Zahl ist. Man kann zeigen, dass für n → ∞ die Ansätze (7.1a,b,c) gegen die exakte Lösung streben ( u n → u ), falls die Funk-

tionen α i , β i und γ i vollständig sind. Für zweidimensionale Fälle enthalten vollständige Polynome in x und y alle Terme, die man dem PASCALschen Dreieck entnehmen kann (Bild 7.1).

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

75

Für dreidimensionale Fälle kann ein analoges Schema entworfen werden, das zusätzlich noch die Veränderliche z enthält. Weitere Bemerkungen zur Konvergenzfrage findet man bei BRONSTEIN / SEMENDJAJEW (1987), bei TREFFTZ (1928) oder auch bei KANTOROWITSCH/KRYLOW (1956), um nur einige Autoren zu nennen. Ferner sei auf Ziffer 7.3 und entsprechende FEM-Übungen hingewiesen. 1 y

x x2

x 3y

x4

xy 2

x2y

x3

y2

xy

x2y2

y3 y4

xy 3

Bild 7.1 PASCALsches Dreieck für Polynomterme

Im Folgenden sei das RITZsche Verfahren auf die Balkenbiegung (Bild 6.11) angewendet. Dafür gilt das Gesamtpotential Π [ v(x)] =

l

1 é ! ΕΙv′′2 − 2qv(x) ù dx = Minimum . û 2ò ë

(6.113)

0

Darin wird im Sinne von RITZ die Lösungsfunktion v(x) durch einen vollständigen Ansatz n

vn (x) =

å ψi (x) ci

(7.6)

i =1

mit den unbekannten Koeffizienten ci angenähert. Die Funktionen ψ i ( x ) müssen die wesentlichen oder natürlichen Randbedingungen erfüllen. Mit (7.6) geht das Funktional (6.113) über in : l

2 é ö æ n öù 1 ê æ n Π [ v n (x) ] = ΕΙ ç å ψi′′ci ÷ − 2q ç å ψi ci ÷ ú dx . ÷ ç ÷ú 2 ê çè i =1 ø è i =1 ø úû êë ó ô ô ô ô õ

(7.7)

0

Dieses Funktional muss nach (6.113) minimiert werden : l

é æ n ù ö ∂Π ! = ê ΕΙ ç å ψ ′′i ci ÷ ψ ′′j − q(x)ψ j ú dx = 0 , ç ÷ ∂ cj êë è i =1 ø ûú 0 ó ô ô ô õ

j = 1, 2,..., n .

(7.8)

76

7 Näherungsverfahren

Hieraus gewinnt man ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der n unbekannten Koeffizienten ci in (7.6), das man in der Matrixform

[ K] { c} = { P}

(7.9)

darstellen kann, wenn man folgende Abkürzungen einführt :

{ c} = {c1, c 2 ,..., c n } t ,

(7.10)

{P} = {P1 , P2 ,..., Pj ,..., Pn }

t

l

ò

mit Pj := q(x)ψ j (x) dx

,

(7.11)

0

und l

[ K ] = éë kij ùû

ò

k ij := ΕΙψ i′′ψ ′′j dx.

mit

(7.12)

0

Zur Auflösung des Gleichungssystems (7.9) gemäß { c} = [ K ] −1 { P} muss die Inverse von [ K ] existieren, was immer der Fall ist, wenn die Ansatzfunktionen ψ i ( x ) linear unabhängig sind und einen vollständigen Ansatz bilden. Zu bemerken ist, dass die n × n Matrix (7.12) voll besetzt ist, während die Finite- ElementeMethode eine Bandmatrix (Bild 3.6) zur Folge hat, die beim Biegebalken mit HERMITEscher Interpolation (Bild 6.11) gemäß Ü6.4.2 eine Bandbreite B=7 unabhängig von der Anzahl der Elemente zur Folge hat (Bild 7.2).

éx êx êx êx êx êx êx êx êx êx êx êx ê êx êë x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

xù xú xú xú xú xú xú xú xú xú xú x úú xú x ûú

éx êx êx êx ê ê ê ê ê ê ê ê ê ê ëê

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

ù ú ú ú ú ú ú ú ú ú xú x úú xú x ûú

Bild 7.2 Steifigkeitsmatrizen; links: RITZsches Verfahren, rechts: Finite- Elemente- Methode

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

77

In Bild 7.2 sind die Steifigkeitsmatrizen nach dem RITZschen Verfahren (7.12) und der Finite-Elemente-Methode él ù é K e ù = é k ije ù := ê ΕΙ Ni′′ N ′′j dx ú ë û ë û ê ú ë0 û

ò

(6.68)

gegenübergestellt. Sie sind sehr ähnlich im Bildungsgesetz, unterscheiden sich aber wesentlich dadurch, dass in (7.12) Ansatzfunktionen ψ i ( x ) eingehen, die sich auf das gesamte System beziehen, während in (6.68) die N i (x ) Interpolationsfunktionen eines Einzelelementes der Länge l darstellen. Somit gilt (6.68) auch nur für ein Einzelelement. Für das Gesamtsystem müssen dann die Einzelmatrizen (6.68) elementweise ineinander verschachtelt werden, wie in Ü6.4.2 diskutiert oder in Bild 7.2 angedeutet. Die Größe der vollbesetzten Steifigkeitsmatrix des RITZschen Verfahrens (Bild 7.2, links) ergibt sich aus der Anzahl der gewählten Ansatzfunktionen ψ i ( x ) in (7.12) und damit aus der Anzahl der Ansatzfreiwerte c i in (7.6). Hingegen hängt die Größe der Steifigkeitsmatrix, die nach der FEM gewonnen wird, von der Diskretisierung, d.h. von der Anzahl der Elemente ab. Unabhängig von dieser Anzahl bleibt die Bandbreite B=7 jedoch konstant! Die Biegelinie wird beim RITZschen Verfahren direkt nach (7.6) ermittelt, während man bei der FEM elementweise vorgeht und den Ansatz (6.55) von Knoten zu Knoten stetig und stetig differenzierbar aneinander reiht. Das klassische RITZ-Verfahren ist nur anwendbar auf geometrisch einfache Systeme; denn bei komplizierter Geometrie, etwa einer Turbinenschaufel, ist es unmöglich Ansatzfunktionen zu finden, die den Randbedingungen genügen. Darüber hinaus kann die Auswertung der auftretenden Integralausdrücke bei mehrgliedrigen Ansätzen bisweilen recht unbequem werden. Erst im Zusammenhang mit der Finite-Elemente-Methode, bei der das RITZ-Verfahren elementweise angewendet wird, kann das RITZ-Verfahren auch bei kompliziertester Geometrie mehrdimensionaler Gebiete erfolgreich eingesetzt werden. Somit ist das RITZ-Verfahren in seiner modifizierten Form grundlegend für die Finite-Elemente-Methode. Neben den Anwendungen in der Mechanik auf der Basis des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials hat sich das klassische RITZ-Verfahren und insbesondere seine modifizierte Version zur Lösung von gewöhnlichen und auch partiellen Differentialgleichungen sehr bewährt. Dazu sei im Folgenden ein einfaches Beispiel diskutiert. Gesucht sei eine Näherungslösung der "eindimensionalen POISSONschen Differentialgleichung"

78

7 Näherungsverfahren

d2Φ dx 2

+ f (x) = 0

(7.13)

unter Berücksichtigung der Randbedingungen Φ (a ) = A

und

Φ ( b) = B .

(7.14a,b)

Die Funktion f(x) sei im abgeschlossenen Intervall [ a, b] stetig. Das Problem ist äquivalent mit der Variationsaufgabe b

é 1 æ dΦ ö 2 ù ! J [ Φ (x)] = ê ç ÷ − f (x) Φ (x) ú dx = Extremum , ê 2 è dx ø ú ë û a ó ô ô ô ô õ

(7.15)

da (7.13) als EULERsche Differentialgleichung

∂F d æ ∂F ö − ç ÷ =0 ∂ Φ dx è ∂ Φ ′ ø

(5.21a)

mit

F(x, Φ, Φ ′) ≡

1 2 Φ ′ − f ( x) Φ (x ) 2

(7.16)

gedeutet werden kann. Als Ansatz für eine Näherungslösung wird eine Linearkombination aus Vergleichsfunktionen (Testfunktionen, trial functions) der Form Φ ( x ) ≈ ψ 0 (x ) + C 1 ψ 1 ( x ) + C 2 ψ 2 ( x )+.. .+ C n ψ n ( x ) , a ≤ x ≤ b

(7.17)

mit n zu bestimmenden (anpassbaren) Parametern Ci , i=1,2,...,n, und n Testfunktionen ψ i , i=1,2,...,n, die in x=a und x=b verschwinden müssen. Zur Erfassung der Randbedingungen (7.14a,b) kann ψ 0 (x ) gemäß ψ 0 (x) = A

b−x x−a +B b−a b−a

(7.18)

angesetzt werden. Alternativ kann eine neue unbekannte Funktion ϕ = ϕ(x ) über die Substitution Φ(x ) = ψ 0 (x ) + ϕ( x ) eingeführt werden mit ϕ(a ) = ϕ( b) = 0 , wie beispielweise in Ü7.3.7 dargestellt.

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

79

Bei homogenen Randbedingungen A = B = 0 verschwindet der Term ψ 0 (x ) . Dann wird die Näherung allein durch die Testfunktionen ψ i bestimmt, und zwar bei Verwendung von Polynomen gemäß Φ ( x) ≈ (x − a )(x − b)(C1 + C 2 x + C3 x 2 +...+ C n x n −1 ) .

(7.19)

Damit geht das Funktional (7.15) nach Ausführung der Integration in die Funktion J = J(C1 , C 2 ,..., C n )

(7.20)

über, die zu minimieren ist: ∂ J / ∂ C1 = 0 , ∂ J / ∂ C 2 = 0 , . . . , ∂ J / ∂ C n = 0 .

(7.21)

Die Lösung dieser n Gleichungen liefert die n Parameter C i und damit die Näherungslösung (7.19) der Differentialgleichung (7.13). Die Güte der Näherung (7.19) hängt von der Anzahl der Parameter C i ab. Im Allgemeinen verbessert sich die Näherung mit wachsender Anzahl n. Um die Verbesserung zu verfolgen, können der Reihe nach die Näherungen Φ1 ( x ) = ( x − a )(x − b)C1 ,

(7.22a)

Φ 2 ( x ) = (x − a )( x − b)(C1 + C 2 x ) ,

(7.22b)

Φ 3 ( x) = ( x − a )(x − b)(C1 + C 2 x + C3 x 2 ) ,

(7.22c)

M

gewählt werden. Eine Näherung ist erst dann zufriedenstellend, wenn mit Φ n die rechte Seite in (7.13), d.h. das Residuum im gesamten abgeschlossenen Intervall [ a, b] möglichst klein ist. Teilt man das abgeschlossene Intervall [ a, b] in finite Elemente auf und greift ein Element mit den Knotenpunkten x1 und x2 heraus, so ist beispielsweise ein linearer Ansatz für das Element durch Φ e ( x) =

x2 − x x − x1 Φ1 + Φ2 x 2 − x1 x 2 − x1

(7.23a)

gegeben, den man auch in Matrizenform gemäß Φ e ( x) = [ N1

ì Φ1 ü N 2 ] í ý ≡ [ N ] {Φ e} îΦ 2 þ

(7.23b)

80

7 Näherungsverfahren

ausdrücken kann. Darin sind Φ1 , Φ 2 die Werte der Funktion in den Knotenpunkten (Knotenwerte) und N1 ( x ) =

x2 − x x 2 − x1

N 2 (x) =

,

x − x1 x 2 − x1

(7.24a,b)

die Interpolationsfunktionen (shape functions). Insgesamt setzt sich das Funktional in (7.15) elementweise zusammen: J[ Φ(x )] =

m

å J e [Φ e (x)]

(7.25)

e =1

bei einer Anzahl von m Elementen. Setzt man (7.23b) in (7.15) ein, so erhält man das Funktional für ein Einzelelement: x2

ó é1 æ J Φ (x) = ô ê ç [ N1′ ô ê2 è õë e

[

e

]

2

ì Φ1 üö N ′2 ] í ý÷ − f ( x )[ N1 îΦ 2 þø

x1

ì Φ1 üù N 2 ] í ýú dx . (7.26) îΦ 2 þúû

Die Minimierung erfolgt bezüglich der Knotenwerte: x2

∂ Je ó é = ô êN1′ [ N1′ ∂ Φ1 õ ë x1

x2

∂ Je ó é = ô êN ′2 [ N1′ ∂Φ 2 õ ë x1

ù ì Φ1 ü N ′2 ] í ý − f ( x )N1 ú dx = 0 , îΦ 2 þ û

(7.27a)

ù ì Φ1 ü N ′2 ] í ý − f ( x ) N 2 ú dx = 0 . îΦ 2 þ û

(7.27b)

Diese Beziehungen können in der Standardform

[K ]{Φ } = {F } e

e

e

(7.28)

zusammengefasst werden, wobei die Abkürzungen

[K ] = [k ] e

ij

éx2 ù : = ê ò N ′i N ′j dx ú , êx ú ë 1 û

(7.29)

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

{Φ e } : = {Φ1 x2

{ } ò {f N1 Fe :=

t

Φ2} ,

81

(7.30)

t

f N 2 } dx

(7.31)

x1

eingeführt werden. Mit diesen Definitionen kann das Funktional (7.26) des Einzelelementes auch durch die quadratische Form

[

] 12 {Φ } [K ] {Φ } − {F } {Φ }

J e Φ e ( x) =

e t

e

e

e t

e

(7.32)

ausgedrückt werden. Wie in anderen Beispielen bereits diskutiert, muss auch zur Lösung der Differentialgleichung (7.13) die Gesamtmatrix [ K ] aus den Elementmatrizen (7.29) zusammengesetzt werden, um so die gegenüber (7.28) erweiterte Standardform für das gesamte abgeschlossene Intervall [ a, b] zu erhalten. Erst darin können die vorgegebenen Randbedingungen (7.14a,b) berücksichtigt werden. In Bild 7.3 sind die Lösungen der Differentialgleichung (7.13) schematisch gegenübergestellt.

Bild 7.3 Exakte Lösung Φ( x ) der Differentialgleichung (7.13) und Näherungslösungen; e links: klassisches RITZ-Verfahren Φ n ( x ) ; rechts: Finite- Elemente- Methode Φ ( x )

Wie man in Bild 7.3 erkennt, kann die Lösung nach der Finite- Elemente- Methode durch eine feinere Unterteilung des abgeschlossenen Intervalls [ a, b] , d.h. durch Erhöhung der Anzahl der finiten Elementen verbessert werden. Zweckmäßigerwei-

82

7 Näherungsverfahren

se wählt man gleiche Elemente. Dann braucht man nur ein Element (als Prototyp) zu behandeln, den Rest (die Zusammensetzung) besorgt der Computer. Alternativ kann man auch den Elementtyp verbessern, d.h., statt linearer Elemente mit jeweils zwei Knotenpunkten kann man quadratische Elemente mit jeweils drei Knotenpunkten oder kubische Elemente mit jeweils vier Knotenpunkten verwenden (z.B. Tabellen in Ü3.2.15 oder Ziffer 4.2). Basierend auf der Variationsmethode kann man zeigen, dass bei Verwendung von mindestens zwei linearen Elementen die diskreten Knotenwerte von Φ auf der exakten Lösung der Differentialgleichung (7.13) mit den Randbedingungen (7.14a,b) liegen (Bild 7.3, rechts). Zur Verbesserung der Näherungslösung nach dem RITZ-Verfahren (Bild 7.3, links) ist die Anzahl n der RITZ-Parameter C i in (7.22) zu erhöhen, was aber einen wesentlich höheren Rechenaufwand mit sich bringt als eine Verbesserung nach der FE-Methode. Im Allgemeinen ist das klassische RITZ-Verfahren kein effektives Hilfsmittel zur Lösung komplizierter Probleme. Bei einfacher Geometrie liefert das klassische Ritz-Verfahren jedoch zufriedenstellende Lösungen, wie beispielweise in den Übungen 7.1.1 bis 7.1.3 gezeigt wird. Die als Beispiel gewählte Differentialgleichung (7.13) ist grundlegend für viele Anwendungen im Ingenieurbereich: axiale Verformung eines Stabes (Ü3.2.2), Durchbiegung eines vorgespannten Kabels (Ü6.6.4), Wärmeübertragungsprobleme, Probleme aus der Strömungsmechanik u.s.w. Das klassische RAYLEIGH-RITZ-Verfahren kann auch auf Eigenwertprobleme, wie beispielsweise Knickprobleme oder Schwingungsprobleme, angewendet werden. Bei der freien Balkenschwingung wird das Eigenwertproblem analog Ü3.2.9 gemäß

([ K] − ω 2 [ M]){c} = { 0}

(7.33)

beschrieben. Darin sind [ K ] die Steifigkeitsmatrix (7.12), [ M] die Massenmatrix, die analog (6.139) mit dV = Adx durch

[ M] = [M ij ]

él ù : = ê ρ A ψ i ψ j dx ú ê ú ë0 û

ò

(7.34)

ausgedrückt werden kann. Der Spaltenvektor {c} enthält die RITZ-Parameter (7.10). Im Gegensatz zur analytischen Lösung erhält man nicht unendlich viele sondern nur n Eigenwerte und entsprechende Eigenfunktionen, wobei n die Anzahl der RITZ-Parameter in {c} ist. Da (7.33) ein homogenes Gleichungssystem ist, muss die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwinden:

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

(

)

! 2 det [ K ] − ω [ M ] = 0 .

83

(7.35)

Die Auflösung von (7.35) kann bei großen Gleichungssystemen, d.h. bei einer Vielzahl von gewählten Testfunktionen ψ i ( x ) sehr aufwendig werden. Wählt man zur ersten Abschätzung jedoch nur einen eingliedrigen Näherungsansatz v( x ) = C1ψ 1 ( x ) ≡ c ψ (x ) , so kann der zugehörige Eigenwert unmittelbar angegeben werden: l

ω2 = k11 / M11 Þ

ω2 =

ò ΕΙ ψ ′′

2

ò ρA ψ

2

0 l

dx .

(7.36)

dx

0

Dieser Quotient wird RAYLEIGHscher Quotient genannt. Allgemein kann zu einem gegebenen Eigenwertproblem

[ K]{x} = ω 2 [ M]{x}

(7.37)

der RAYLEIGHsche Quotient folgendermaßen formuliert werden. Dazu multipliziert man (7.37) von links mit {x}t und erhält für einen Vektor { x} ≠ { 0} den zugehörigen RAYLEIGHschen Quotienten in der Form ω 2 = R[ { x} ] =

{ x} t [ K]{ x} . { x} t [ M]{ x}

(7.38a)

Der Quotient (7.36) ist in (7.38a) als Sonderfall enthalten. In nachstehender Tabelle sind die Matrizen aufgelistet, die man für die Balkenschwingung in (7.38a) einzusetzen hat. Tabelle 7.1 Vergleiche: RITZ/FEM

RITZ {c}

{ x}

l

L

[ K]

ò

0 L

[ M]

FEM {d}

ΕΙ ψi′′ψ ′′j dx

å ò ΕΙe N′′i N′′j dx e 0 l

ò ρA ψ i ψ j dx åe ò ρAe Ni N j dx 0

0

84

7 Näherungsverfahren

Im Folgenden soll der Extremwert des RAYLEIGHschen Quotienten (7.38a) gebildet werden, und zwar bezüglich der Koordinaten des Vektors { x} , d.h. im vorliegenden Fall bezüglich der RITZ-Parameter Ci in { c} bzw. der Knotenvariablen di in { d} . Dazu wird (7.38a) zweckmäßigerweise in der Indexschreibweise (Tensornotation) unter Berücksichtigung der EINSTEINschen Summationsvereinbarung dargestellt: ω 2 = R( x k ) =

K ij x i x j

.

M pq x p x q

(7.38b)

Damit erhält man nach der Quotientenregel: ∂R = 0k Þ ∂ xk

M pq x p x q

∂ ∂ K ij x i x j − K ij x i x j M pq x p x q ∂x k ∂xk

(

)

(

M pq x p x q

(

)

2

)

= 0k .

Darin ist der Nenner von null verschieden, so dass der Zähler verschwinden muss. In Verbindung mit (7.38b) folgt somit: ∂ ∂ K ij x i x j = R M pq x p x q , ∂x k ∂x k

(

)

(

)

∂x j ö ∂x q ö æ ∂x i æ ∂x p + xi K ij ç x j + xp ÷ = R M pq ç x q ÷. ∂x k ø ∂x k ø è ∂x k è ∂x k Wegen ∂ x i / ∂ x k = δ ik etc. und aufgrund der Austauschregel K ij x j δ ik ≡ K kj x j folgt weiter:

(

)

K kj x j + K ik x i = R M kq x q + M pk x p . Da die Matrizen [K] und [M] symmetrisch sind, ergibt sich unter Berücksichtigung der Austauschbarkeit stummer Indizes schließlich das Ergebnis: K kj x j = R M kj x j

Þ

(K ij − ω 2 M ij )x j = 0 i

.

(7.37*)

Damit ist gezeigt, dass die Extremwertbildung des RAYLEIGHschen Quotienten (7.38a,b) wieder auf das homogene Gleichungssystem (7.37) führt, das die exakten Eigenwerte enthält; diese stellen eine untere Schranke aller Näherungen dar. Analog zu Anwendungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen, wie beispielsweise die "eindimensionale" POISSONsche Differentialgleichung (7.13) kann

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

85

das RITZsche Verfahren auch zur Lösung partieller Differentialgleichungen herangezogen werden. Zur Erläuterung sei die "zweidimensionale" POISSONsche Differentialgleichung ∆Φ = −2

(7.39)

betrachtet, die für viele Anwendungen in der Kontinuumsmechanik grundlegend ist. Speziell sei das Torsionsproblem eines linear-elastischen Stabes erwähnt. Dann stellt Φ = Φ (x,y) in (7.39) die Torsionsfunktion dar, aus der man durch partielle Differentiation gemäß τ zx : = GD ∂ Φ / ∂ y

und

τ zy : = − GD ∂ Φ / ∂ x

(7.40a,b)

die Schubspannungen im tordierten Querschnitt ermitteln kann*). Darin sind der Schubmodul und D = ϑ / L die Drillung, die als Quotient aus G= E 2(1+ν ) Verdrehwinkel ϑ und Stablänge L definiert ist. Durch die Einführung der Torsionsfunktion Φ sind wegen (7.40a,b) die Gleichgewichtsbedingungen σ ji,i = 0 i

a priori erfüllt, wie aus der Literatur bekannt ist (z.B. [BETTEN, 2001]). Darüber hinaus gilt die Randbedingung

[ Φ(x, y)] Rand = 0 .

(7.41)

Damit ist in Verbindung mit der POISSONschen Differentialgleichung (7.39) das Randwertproblem der Torsion eines linear-elastischen Stabes beschrieben. Zur Lösung dieser Randwertaufgabe kann das Funktional

óó éæ ∂ Φ ö 2 æ ∂ Φ ö 2 ù J[ Φ( x, y)] = ôô êç ÷ +ç ÷ − 4Φú dx dy ôô êè ∂ x ø è ∂y ø úû õõ ë

(7.42)

A

herangezogen werden, aus dem sich die POISSONsche Differentialgleichung als EULERsche Differentialgleichung ergibt (Ü5.4.1). Das Funktional (7.42) ist proportional zur Ergänzungsarbeit Π* =

1 GD 2 J[ Φ(x, y)] . 2

(7.43)

In (7.42) ist A die Fläche des tordierten Querschnitts. Betrachtet man einen Torsionsstab mit Rechteckquerschnitt 2a × 2 b , so ist in erster Näherung der eingliedrige RITZ-Ansatz *)

In (7.39) ist Φ anders definiert als in Band 1 gemäß (1.1), da der Faktor GD mit in (7.40a,b) einbezogen wurde.

86

7 Näherungsverfahren

Φ1 = C1 (a 2 − x 2 )(b 2 − y2 )

(7.44)

möglich, der die homogene Randbedingung (7.41) erfüllt. Damit geht das Funktional (7.42) über in eine Funktion J(C1 ) . Durch Extremwertbildung erhält man den Ansatzfreiwert C1 : ∂ J(C1 ) =0 ∂ C1

Þ

C1 =

1 2

òò (a

2

− x 2 )(b2 − y 2 ) dx dy

A

òò A

é x 2 (b2 − y 2 )2 + y2 (a 2 − x 2 )2 ù dx dy ë û

. (7.45)

Führt man die Integrationen gemäß a

a éb ù ê (...)dy ú dx = 4 ê ú 0 ë−b û

ò ò

−a

éb ù ê (...)dy ú dx ê ú ë0 û

ò ò

durch, so erhält man für das Integral im Zähler den Wert 16a 3 b 3 / 9 , während das Nennerintegral auf 32(a 3 b 5 + a 5 b 3 ) / 45 führt, so dass schließlich C1 = 5 4(a 2 + b 2 )

(7.46)

folgt. Mit dieser Konstanten und dem Näherungsansatz (7.44) folgt aus (7.39) das Residuum é 5 æ x 2 + y2 öù R(x, y) = 2 ê1 − ç 1 − ÷ú , 2 2 ÷ ç ëê 4 è a + b ø ûú das auf einem Kreis mit dem Radius ro =

(a 2 + b 2 ) 5 verschwindet. Bei einem

quadratischen Torsionsstab der Kantenlänge 2a gilt: ro a = 2 5 ≈ 0.6325 . Im Koordinatenursprung ist R(0,0) = -1/2, während am Rande R(x = y = a ) = 2 wird. Mithin erhält man –1/2 ≤ R ≤ 2 als Eingabelung. Das Torsionsmoment kann durch die Torsionsfunktion gemäß M = 2GD

òò ΦdA

(7.47)

A

ausgedrückt werden [BETTEN, 2001] und entspricht somit dem doppelten Volumen des durch Φ = Φ (x,y) über dem tordierten Querschnitt aufgebauten Körpers (Membrangleichnis).

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

87

Das Torsionsmoment (7.47) kann je nach Querschnittsform infolge der Querschnittsverwölbung erheblich von der elementaren Theorie M = GDI p abweichen. Darin ist Ip: =

òò (x A

2

)

+ y 2 dxdy

das polare Flächenträgheitsmoment des Stabquerschnitts. Nur für den kreiszylindrischen Querschnitt mit der Torsionsfunktion Φ = ( R 2 − x 2 − y 2 ) / 2 gemäß Ü7.1.4 stimmt die elementare Theorie mit der exakten Lösung (7.47) überein, die man auch gemäß M = GDIp + 2GD

òò éêëΦ − ( x

2

+ y2

A

)

2 ùú dxdy û

aufspalten kann. Darin stellt das Integral ein Korrekturglied dar, das für den kreiszylindrischen Querschnitt verschwindet, bei dem keine Verwölbung auftritt, d.h. bei dem der Querschnitt eben bleibt (Ü7.1.16). Mit (7.44) und (7.46) ermittelt man aus (7.47) den Wert: M GDa 4

=

40 ( b / a ) 3 , 9 1 + (b / a) 2

(7.48)

der in Tabelle 7.2 für verschiedene geometrische Verhältnisse b/a im Vergleich mit einer Lösung von TIMOSHENKO und GOODIER (1951) aufgelistet ist. Man erkennt in Tabelle 7.2, dass der RITZ-Ansatz gegenüber TIMOSHENKO/GOODIER zu kleine Werte liefert. Tabelle 7.2 Bezogenes Torsionsmoment (7.48) im Vergleich mit TIMOSHENKO/GOODIER

4

M/GD a TIMOSHENKO/GOODIER

b/a

RITZ-Ansatz

1

20 / 9 ≈ 2,222

2,25

2

64 / 9 ≈ 7,11 1

7,32

3

12

12,60

4

2560 /153 ≈ 16, 73

18,60

5

2500 /117 ≈ 21,37

23,30

88

7 Näherungsverfahren

Das Spannungsfeld ergibt sich mit (7.44) und (7.46) aus (7.40a,b) zu

(

)

τzx 5 b/a =− 1 − ξ2 η , GDa 2 1 + (b / a)2

τzy GDa

=

5 (b / a) 2 1 − η2 ξ . (7.49a,b) 2 1 + (b / a)2

(

)

Darin sind die dimensionslosen Koordinaten ξ ≡ x / a und η ≡ y / b eingeführt. Die größten Absolutwerte treten an den Stellen (ξ = 0, η = 1) und (ξ = 1, η = 0) auf. Zur Verbesserung der Näherung kann der Ansatz (7.44) unter Berücksichtigung der geometrischen Symmetrie folgendermaßen erweitert werden: Φ n (x, y) = (a 2 − x 2 )(b 2 − y 2 )(C1 + C2 x 2 y2 + C3 x 4 y4 + C4 x 6 y6 + ...) .

(7.50)

Diesen Ansatz kann man zweckmäßigerweise durch n

Φ n (ξ, η) =

å Ciψi (ξ, η)

(7.51)

i =1

ausdrücken, wobei ψ1 (ξ, η) = a 2 b 2 (1 − ξ 2 )(1 − η2 ) ,

(7.52a)

ψ 2 (ξ, η) = a 4 b 4 (1 − ξ 2 )(1 − η2 )ξ 2 η2 ,

(7.52b)

ψ3 (ξ, η) = a 6 b6 (1 − ξ2 )(1 − η2 )ξ4 η4 ,

(7.52c)

M gilt mit −1 ≤ ξ ≤ 1 und −1 ≤ η ≤ 1 . Benutzt man die dimensionslosen Koordinaten

ξ ≡ x a und η ≡ y b im Funktional (7.42), so ist zu beachten: ∂ Φ n ∂ Φ n ∂ ξ ∂ Φ n ∂ η 1 ∂ Φ n (ξ, η) = + = , ∂x ∂ ξ ∂x ∂ η ∂ x a ∂ξ

(7.53a)

∂ Φ n ∂ Φ n ∂ ξ ∂ Φ n ∂ η 1 ∂ Φ n (ξ, η) = + = . ∂y ∂ ξ ∂ y ∂ η ∂y b ∂η

(7.53b)

Mithin kann unter zusätzlicher Beachtung der Symmetrien in ξ und η das Funktional (7.42) in einer für die numerische Auswertung vorteilhafteren Form geschrieben werden: 1

J éë Φ ( ξ, η ) ùû =

ó1 ôó ôô 4abôô ô ô ôô ôõ õ0

0

é 1 æ ∂Φ n ê ç ê a2 è ∂ ξ ë

2 2 ù ö 1 æ ∂ Φn ö ÷ + 2ç ÷ − 4Φ n ú d ξd η . (7.54) ú b è ∂η ø ø û

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

89

Nach dem Einsetzen des Ansatzes (7.51) ist dieses Funktional hinsichtlich der Parameter C i zu minimieren. Hierbei sind Differentiationen wie beispielsweise 2

æ ∂ Φn ö ∂ æ ∂ Φn ö ∂ æ ∂ Φn ö ÷ =2 ç ÷ =2ç ÷ ç ∂Cj è ∂ξ ø è ∂ ξ ø ∂C j è ∂ ξ ø

n

å Ci i =1

∂ψi ∂ψ j ∂ξ ∂ξ

(7.55)

durchzuführen, so dass man aus der Forderung ! ∂ J(C i ) / ∂ C j = 0

(7.56)

den Zusammenhang 1

ó1 ôó ôô ôô ôô ôô õ ô õ0

n é1 n ∂ ψi ∂ ψ j 1 ∂ ψi ∂ ψ j ù ê ú dξ dη = Ci Ci + ∂ ξ ∂ ξ b2 ∂η ∂η ú êë a 2 i =1 i =1 û

å

å

(7.57)

0

11

=2

òò ψ j dξ dη 00

erhält, der ein lineares Gleichungssystem mit j = n Gleichungen für die n unbekannten Parameter Ci , i = 1,2,...,n, darstellt. Dieses Gleichungssystem kann in der Matrixform

[ K]{c} = {P}

(7.58)

ausgedrückt werden. Darin sind die Parameter Ci in der Spaltenmatrix {c} aufgelistet. Die Elemente kij der symmetrischen n × n Matrix [ K ] ermittelt man aus (1 + n ) n 2 Doppelintegralen: 1 1

k ij : =

æ 1

ò ò çè a 2 0 0

∂ ψi ∂ ψ j 1 ∂ ψi ∂ ψ j ö + 2 ÷ dξ dη , ∂ξ ∂ξ ∂η ∂η ø b

(7.59)

während der "Belastungsvektor" { P} auf der rechten Seite in (7.58) aus n Doppelintegralen gebildet wird: 1 1

{ P} = { p j } mit p j : = 2 ò ò ψ j (ξ, η) d ξ d η . 0 0

(7.60)

90

7 Näherungsverfahren

Setzt man beispielsweise die Näherungen (7.52a,b,c) in (7.59) und (7.60) ein, so geht das Gleichungssystem (7.58) über in:

ì 2 2 ü 32 1575 32 11025 ù ï a b C1 ï é 32 45 2 2 ê 32 1575 352 33075 32 10395 ú ïa 4 b4 C ï = a b í ý 2 ê ú 2 2 êë 32 11025 32 10395 32 22869 úû ï a 6 b6 C ï a + b 3ï ïî þ ì 2 2 ü 1 35 1/ 245 ù ï a b C1 ï é 1 2 2 ê 1 35 11 735 1/ 231 ú ïa 4 b 4 C ï = a b 2ý ê úí 2 2 êë1/ 245 1/ 231 5 / 2541úû ï a 6 b6 C ï a + b 3ï ïî þ

ì 89 ü ï ï í 8 225 ý , ï8 1225 ï î þ

ì 5/ 4 ü ï ï í 1/ 20 ý . ï9 / 980ï î þ

(7.61a)

(7.61b)

Die Parameter Ci in den Näherungen (7.51) sind in Tabelle 7.3 für verschiedene Näherungen n aufgelistet. Tabelle 7.3 Parameter Ci in (7.51)

n

(a 2 + b 2 ) C1

1 2 3

5/4=1,25 1,2212 1,2201

(a 2 + b 2 )a 2 b 2 C 2 – 1,01 1,083

(a 2 + b 2 )a 4 b 4 C3 – – -0,2457

Mit den Konstanten Ci aus Tabelle 7.3 und den Näherungsansätzen (7.51), (7.52a,b,c) folgen aus (7.39) die Residuen R n (x, y) := 2 + ∆Φ n , die speziell für einen quadratischen Torsionsstab der Kantenlänge 2a entlang der Diagonalen η = ξ ≡ x a mit den entsprechenden Mittelwerten im folgenden MAPLE-Programm aufgelistet und in Bild 7.4 dargestellt sind. > >R[1]:=xi->-(1/2)*(1-5*xi^2);

8 7.1-1a.mws

1 5 R1 := ξ → - + ξ 2 2 2 >R[2]:=xi->2-(1-xi^2)*(2.44-2.02*xi^2+12.12*xi^4); R2 := ξ → 2 − æè 1 − ξ 2 öø æè 2.44 − 2.02 ξ 2 + 12.12 ξ 4 öø

>R[3]:=xi ->2-(1-xi^2)*(2.44-2.17*xi^2+13.01*xi^4+2.95*xi^6-7.37*xi^8); R3 := ξ → 2 − æè 1 − ξ 2 öø æè 2.44 − 2.17 ξ 2 + 13.01 ξ 4 + 2.95 ξ 6 − 7.37 ξ 8 öø

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

91

Die Mittelwerte ergeben sich zu: >int(R[1],xi=0..1):=int(R[1](xi),xi=0..1); 1

ó 1 ô ô R1 dξ := ô 3 õ ô0

>int(R[2],xi=0..1):=int(R[2](xi),xi=0..1); 1

ó ô ô R2 dξ := -.04990476190 ô õ ô0

>int(R[3],xi=0..1):=int(R[3](xi),xi=0..1); 1

ó ô ô R3 dξ := -.02552380952 ô õ ô0

Man erkennt, dass mit jeder verbesserten Näherung (R1-> R2-> R3) der Mittelwert des Residuums abnimmt. >plot({R[1](xi), R[2](xi), R[3](xi)},xi=0..1,xtickmarks=10,numpoints=100);

2 1.5 1

R1 R2

0.5

0

0.4 0.2

0.6 ξ

R3

0.8 1

Bild 7.4 Residuen entlang der Diagonalen η = ξ ≡ x a in einem quadratischen Torsionsstab der Kantenlänge 2a

L-zwei-Fehlernormen gemäß Definition (7.133) für die Residuen aus Bild 7.4: > > L_2:=sqrt(int(R(xi)^2,xi=0..1));

8 7.1-1b.mws

92

7 Näherungsverfahren

1

2 ó ô R( ξ ) dξ õ0

L_2 :=

Für die einzelnen Residuen aus Bild 7.4 erhält man folgende L 2 -Fehlernormen: > R[1](xi):=-(1/2)*(1-5*xi^2);

1 5 ξ2 R1( ξ ) := − + 2 2

> L_2[1]:=sqrt(Int(R[1]^2,xi=0..1))=sqrt(int(R[1](xi)^2,xi=0..1)); 1

2 6 ó ô R1 dξ = ô ô 3 õ

L_21 :=

0

> L_2[1]:=evalf(sqrt(6)/3);

L_21 := 0.8164965809

> R[2](xi):=2-(1-xi^2)*(2.44-2.02*xi^2+12.12*xi^4); R2( ξ ) := 2 − ( 1 − ξ 2 ) ( 2.44 − 2.02 ξ 2 + 12.12 ξ 4 )

> L_2[2]:=sqrt(Int(R[2]^2,xi=0..1))=sqrt(int(R[2](xi)^2,xi=0..1)); 1

L_22 :=

2 ó ô R2 dξ = 0.4220959810 ô ô õ 0

> R[3](xi):=2-(1-xi^2)*(2.44-2.17*xi^2+13.01*xi^4+2.95*xi^6-7.37*xi^8); R3( ξ ) := 2 − ( 1 − ξ 2 ) ( 2.44 − 2.17 ξ 2 + 13.01 ξ 4 + 2.95 ξ 6 − 7.37 ξ 8 )

> L_2[3]:=sqrt(Int(R[3]^2,xi=0..1))=sqrt(int(R[3](xi)^2,xi=0..1)); 1

L_23 :=

2 ó ô R3 dξ = 0.4666252637 ô ô õ 0

Das Torsionsmoment ermittelt man für die einzelnen Ansätze Φ n nach der Formel (7.47), die man zur numerischen Auswertung vorteilhafter in der Form 11

M n = 8abGD

ò ò Φ n (ξ, η) d ξd η 00

schreibt. In Tabelle 7.4 sind die Ergebnisse aufgelistet.

(7.62)

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

93

Tabelle7.4 Torsionsmoment M n

Näherung n 1 2 3 TIMOSHENKO/GOODIER

(a 2 + b 2 )

Mn a 3b3GD 40/9=4,444 4 4,48547 4,48559 4,5

Die Matrizen (7.59), (7.60) im Gleichungssystem (7.61a) und dessen Lösung (Tabelle 7.3), sowie die Torsionsmomente (Tabelle 7.4) sind mit Hilfe der Software MAPLE V, Release 8, erstellt worden. Ein Computerausdruck ist im Folgenden ausgedruckt. > >with(linalg):

8 7.1-2.mws

Dimensionslose RITZ-Ansätze: >p(xi,eta):=(1-xi^2)*(1-eta^2); p( ξ, η ) := æè 1 − ξ 2 öø æè 1 − η 2 öø >q(xi,eta):=(1-xi^2)*(1-eta^2)*xi^2*eta^2; q( ξ, η ) := æè 1 − ξ 2 öø æè 1 − η 2 öø ξ 2 η 2 >r(xi,eta):=(1-xi^2)*(1-eta^2)*xi^4*eta^4; r( ξ, η ) := æè 1 − ξ 2 öø æè 1 − η 2 öø ξ 4 η 4

Ihre partiellen Ableitungen ergeben sich zu: >a(xi,eta):=diff(p(xi,eta),xi); a( ξ, η ) := -2 ξ æè 1 − η 2 öø >b(xi,eta):=diff(q(xi,eta),xi); b( ξ, η ) := -2 ξ 3 æè 1 − η 2 öø η 2 + 2 æè 1 − ξ 2 öø æè 1 − η 2 öø ξ η 2 >c(xi,eta):=diff(r(xi,eta),xi); c( ξ, η ) := -2 ξ 5 æè 1 − η 2 öø η 4 + 4 æè 1 − ξ 2 öø æè 1 − η 2 öø ξ 3 η 4

Die Matrix [K] im Gleichungssystem [k] {C}={P} ermittelt man durch Integrationen: >J:=matrix(3,3,[a(xi,eta)*a(xi,eta),a(xi,eta)*b(xi,eta),a(xi,eta)*c(xi,eta), >b(xi,eta)*a(xi,eta),b(xi,eta)*b(xi,eta),b(xi,eta)*c(xi,eta), >c(xi,eta)*a(xi,eta),c(xi,eta)*b(xi,eta),c(xi,eta)*c(xi,eta)]): >K:=map(int,map(int,J,xi=0..1),eta=0..1);

94

7 Näherungsverfahren

éêê 32 32 32 ùúú êêê ú êêê 45 1575 11025úúúúú ú êêê 352 32 úúúúú ê 32 K := êêêêê ú êêê 1575 33075 10395úúúúú ú êêê 32 32 úúúú êê 32 úú êêê ëêêê11025 10395 22869úúûúúú êê úú Der "Belastungsvektor" {P} ergibt sich zu: >Q:=matrix(3,1,[p(xi,eta),q(xi,eta),r(xi,eta)]): >P:=evalm(2*map(int,map(int,Q,xi=0..1),eta=0..1)); êéê 8 úùú êêê úú êêê 9 úúúú êêê 8 úúú úú P := êêêê êê 225 úúúú êêê ú êêê 8 úúúúú ú êêê ëêêê 1225 úúûúúú êê úú Im Folgenden wird der Lösungsvektor {C} für drei verschiedene Näherungsansätze ermittelt.

1) Eingliedriger Näherungsansatz mit dem Parameter C11: >solve({(32/45)*C[11]=8/9},{C[11]});

ìïï 5ü ïïí C11 = ïïïïý 4 þï ïîïï ïï 2) Zweigliedriger Näherungsansatz mit dem Parametern C21 und C22: >solve({C[21]/45+C[22]/1575=8/9/32,C[21]/1575+(11/33075)*C[22]= >8/225/3>2},{C[21],C[22]}); ìïï 105 127 üïï ïïí C22 = ,C = ï 104 21 104 ïýþï îïï ïï ï >C[21]:=evalf(127/104); C[22]:=evalf(105/104);

C21 := 1.221153846 ≠ C11 = 1.25 C22 := 1.009615385 3) Dreigliedriger Näherungsansatz mit dem Parametern C31, C32 und C33: >solve({C[31]/45+C[32]/1575+C[33]/11025=8/9/32,C[31]/1575+(11/33075)* >C[32]+C[33]/10395=8/225/32,C[31]/11025+C[32]/10395+C[33]/22869=8/1 >225/32},{C[31],C[32],C[33]});

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

95

ìïï 10689 24089 -4851 üïï ïïí C32 = ,C = ,C = ï 9872 31 19744 33 19744 ïýþï îïï ïï ï >C[31]:=evalf(24089/19744);C[32]:=evalf(10689/9872);C[33]:= >evalf(-4851/19744);

C31 := 1.22006685 ≠ C21 = 1.22115 ≠ C11 = 1.25 C32 := 1.08275931 ≠ C22 = 1.0096 C33 := -.245694894 Das Torsionsmoment ermittelt man nach der Formel >M:=2*G*D*Int(Int(Phi(x,y),x=-a..a),y=-b..b); b

a

ó ó M := 2 G D ô ô ô ô Φ( x, y ) dx dy ô õ ô õ ô-b ô-a

Für die einzelnen Näherungsansätze erhält man die bezogenen Werte: >M[1]:=10*int(int(p(xi,eta),xi=0..1),eta=0..1);M[1]:=evalf(40/9); M1 :=

40 9

M1 := 4.444444444 >M[2]:=8*int(int(C[21]*p(xi,eta)+C[22]*q(xi,eta),xi=0..1),eta=0..1); M2 := 4.485470085 >M[3]:=8*int(int(C[31]*p(xi,eta)+C[32]*q(xi,eta)+C[33]*r(xi,eta),xi=0..1), >eta=0..1); M3 := 4.485589772 Der Vergleichswert nach TIMOSHENKO / GOODIER ist: M = 4.5 . > Mit den oben ermittelten Lösungsvektoren { C} in (7.58) für drei verschiedene Näherungsansätze, d.h. mit den in Tabelle 7.3 aufgelisteten Parametern Ci erhält man aus (7.51) folgende Torsionsfunktionen: Φ1 = Φ2 =

5 a2 b2 1 − ξ 2 1 − η2 , 4 a2 + b2

(

a 2 b2 a 2 + b2

)(

)

(7.63a)

(1 − ξ2 )(1 − η2 )(1, 2212 + 1, 01ξ2η2 ) ,

(7.63b)

96

7 Näherungsverfahren

a 2 b2 Φ3 = 2 1 − ξ 2 1 − η2 1,2201 + 1,083ξ 2 η2 − 0,2457ξ 4 η4 . (7.63c) a + b2

(

)(

)(

)

Exemplarisch ist in der folgenden MAPLE-3D-Grafik die Torsionfunktion für den eingliedrigen RITZ-Ansatz (7.63a), bezogen auf den Vorfaktor a2b2/(a2+b2), gezeigt. Die grafischen Darstellungen des zwei- und dreigliedrigen Ansatzes (7.63b,c) unterscheiden sich zum eingliedrigen Ansatz kaum, so dass aus Platzgründen auf sie verzichtet wurde. > Phi[1]:=(xi,eta)->5/4*(1-xi^2)*(1-eta^2); 5æ 1 − ξ 2 öø æè 1 − η 2 öø 4è >plot3d(Phi[1],-1..1,-1..1,grid=[20,20],axes=boxed, scaling=constrained, style >=patch, shading=none); Φ 1 := ( ξ, η ) →

1.2 0.8 0.4 0

-1

-1 -0.5

-0.5 0

0 0.5

0.5 1

1

Bild 7.5 Torsionsfunktion für Rechteckquerschnitt / eingliedriger RITZ-Ansatz

Zur Aufstellung der FEM-Matrizengleichung für das Torsionsproblem kann man vom Funktional der Ergänzungsarbeit (7.43) ausgehen, das für ein finites Dreieckselement extremal gemacht wird. Dieses finite Element habe drei Knotenpunkte mit je einer Knotenvariablen (Bild 7.6). Die lokalen Knotenpunkte werden mit i, j, k gekennzeichnet. Im globalen System müssen sie entsprechend umbenannt werden, hier z. B. mit i = 1, j = 2, k = 3 .

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

y

97

e ƒ Φ3

k

e



j

i

‚

Φ 2e

Φ1e

x

Bild 7.6 Finites Dreieckselement für das Torsionsproblem

Die Knotenvariablen entsprechen den Werten der Torsionsfunktion in den Knotenpunkten. Entgegen (4.1a,b) liegen nur drei Werte vor, die man in einer Spaltenmatrix zusammenfassen kann:

{Φ e } = {Φ1e

Φ 2e

}

t

Φ 3e .

(7.64)

Mithin kann die Torsionsfunktion im Innern des finiten Dreieckselementes gemäß

Φ(x, y) = N1 (x, y)Φ1e + N 2 ( x, y)Φ 2e + N 3 ( x, y)Φ 3e

(7.65a)

bzw. in Matrixform analog (4.6) durch

{ }

Φ( x, y) = [ N ] Φ e

(7.65b)

ausgedrückt werden. Damit kann die Ergänzungsarbeit (7.43) für das finite Dreieckselement der Fläche A ∆ folgendermaßen dargestellt werden: 2 2 óó éæ 3 ù 3 ö æ 3 ∂N ∂ N i e ö÷ 1 e÷ 2 ôô êç i ç − 4 N i Φ ei ú dx dy . (7.66) Π = GD Φi + Φi ÷ ÷ ç êç ú ô ∂x 2 ôô ô è ø ø è i =1 ∂ y i =1 úû õõ êë i =1

å

*

å

å

A∆

Die Extremwertbildung bezüglich der Knotenvariablen Φ ej , j=1,2,3, führt auf ein System von drei Gleichungen entsprechend dem freien Index j=1,2,3: óó ôô = = 0 2 ôô ∂Φ ej õõ ∂Π *

A∆

éæ 3 ∂N ù ö ∂N j æ 3 ∂N ö ∂N j i i êç +ç − 2 N j ú dx dy , (7.67a) Φ ei ÷ Φ ei ÷ ÷ ∂x ç ÷ ∂y ∂x êçè ú ø è i =1 ∂y ø ë i =1 û

å

å

das man auch analog zur Standardbeziehung (3.3) in der Matrixform

[K ]{Φ } = {F } e

e

e

ausdrücken kann. Darin ermittelt man die Steifigkeitsmatrix gemäß

(7.67b)

98

7 Näherungsverfahren

é K e ù = é k ije ù ë û ë û

óó æ ∂N ∂N j + ∂Ni ∂N j ö dx dy mit k ije := ôô ç i , ÷ õõ è ∂x ∂x ∂y ∂y ø

(7.68)

A∆

während der "Kraftvektor" durch

{Fe } = {f je }

mit f je := 2

òò N j dx dy

(7.69)

A∆

gegeben ist. Die Ermittlung der Formfunktionsmatrix [ N] = [ N1

N2

N3

]

in (7.65) er-

folgt ähnlich wie die Ermittlung von (4.22). Der Unterschied besteht darin, dass aufgrund der unterschiedlichen Freiheitsgrade die Matrix (4.22) eine 2 × 6 Rechteckmatrix ist, während [ N ] in (7.65) nur eine Zeilenmatrix darstellt. Analog (4.4a,b) wähle man einen in x und y linearen Ansatz

Φ(x, y) = α1 + α 2 x + α 3 y,

(7.70)

den man in Matrizenform gemäß ì ï α1 ü ï Φ (x, y) = [1 x y ] íα 2 ý ï α3 þ ï î

(7.71)

oder kürzer in Analogie zu (4.5*) gemäß

Φ( x, y) = [ f ( x, y)]{ α}

(7.71*)

darstellen kann. Setzt man darin der Reihe nach die Koordinaten (x1 , y1 ),...,( x 3 , y 3 ) der drei Knotenpunkte ein, so erhält man die Knotenpunktwerte Φ1e ,..., Φ 3e der Torsionsfunktion (7.64) in Matrixform: ìΦ1e ü é1 x1 ï eï ê íΦ 2 ý = ê1 x 2 ïΦ e ï ê1 x 3 î 3þ ë

y1 ù ì α1 ü ï ï y 2 úú íα 2 ý y 3 úû ïîα 3 ïþ

(7.72)

oder kürzer:

{Φ e } = [ A]{α}.

(7.72*)

Darin ist die Matrix [ A] bekannt. Sie enthält analog (4.8) die Koordinaten (x k , y k ) der drei Knotenpunkte (k=1,2,3) und stimmt mit der Matrix [ M] in (4.13) überein. Die Inversion von (7.72*) führt auf

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

{α} = [ A] −1 {Φ e },

99

(7.73)

so dass damit (7.71*) übergeht in die Beziehung

{ }

Φ(x, y) = [ f (x, y)][ A ] −1 Φ e .

(7.74)

Der Vergleich mit (7.65b) liefert das gesuchte Ergebnis:

[ N ] = [ f (x, y)][ A] −1 = [1

x y ][ A ] −1 .

(7.75)

Da die Matrix [ A] in (7.72) mit der Matrix [ M] in (4.13) übereinstimmt, führt die Matrizenmultiplikation in (7.75) auch auf das Ergebnis (4.18*): t

[ N ] = [ N1

ì a1 + b1x + c1y ü 1 ï ï N3 ] = ía 2 + b 2 x + c 2 yý . 2A ∆ ï ï î a 3 + b3x + c3y þ

N2

(7.76)

Darin sind die Formfunktionen (i=1,2,3)

N i = N i (x, y) =

1 ( a i + b i x + c i y) 2A ∆

(7.77)

identisch mit (4.24). Sie besitzen die Interpolationseigenschaft (4.25) und sind in Bild 4.4 anschaulich dargestellt. Das Bildungsgesetz für die a i , b i und c i in (7.77) ist durch (4.19a,b,c) gegeben, d.h., es gilt:

a1 = x 2 y 3 − x 3 y 2 , a 2 = x3 y1 − x1y3 , a 3 = x1y 2 − x 2 y1 ,

(7.78a)

b1 = y 2 − y 3 ,

b 2 = y 3 − y1 ,

b 3 = y1 − y 2 ,

(7.78b)

c1 = x 3 − x 2 ,

c 2 = x1 − x 3 ,

c 3 = x 2 − x1 .

(7.78c)

Aus (7.77) findet man ∂N i 1 bi = ∂x 2A ∆

∂N i 1 ci , = ∂y 2A ∆

und

und damit erhält man schließlich die Steifigkeitsmatrix (7.68) zu:

[K ] e

(

)

é b 2 + c2 1 1 1 êê = 4A ∆ ê êsymmetrisch ë

( b1b 2 + c1c 2 ) ( b1b 3 + c1c 3 ) ùú (b 22 + c22 ) (b 2 b3 + c2 c3 )úú

(

b 32

+ c 32

)

ú û

.

(7.79)

100

7 Näherungsverfahren

Der "Kraftvektor" (7.69) kann einfach ausgedrückt werden, wenn man gemäß Ziffer 4.3, Band 1, natürliche Dreieckskoordinaten (Flächenkoordinaten)

L 1 = A1 / A ∆ ,

L2 = A2 / A∆ ,

L3 = A3 / A ∆

(4.83)

mit

L1 + L 2 + L 3 = 1

(4.84)

einführt (Bild 4.11). Für das lineare Dreieck stimmen die Flächenkoordinaten (4.83) mit den Formfunktionen (7.77) überein:

N1 = L1,

N2 = L2 ,

N3 = L 3 .

(4.86)

Mit Hilfe der Formel

p!q ! r !

òò L1 L 2 L 3 dA = 2A ∆ (p + q + r + 2)! p

q

r

,

(7.80)

A∆

die in Ü3.1.31 bewiesen wurde, erhält man den "Kraftvektor" (7.69) unter Berücksichtigung von (4.86) zu:

{F } e

ì1ü ì1ü 1ïï 2 ïï = 2 ⋅ 2 A ∆ í1ý = A ∆ í1ý . 3! ï ï 3 ï1ï îþ î1þ

(7.81)

Darin kann der Flächeninhalt A ∆ des Dreieckselementes durch die Determinante 1 x1 1 A ∆ = 1 x2 2 1 x3

y1 y2

(4.16)

y3

ausgedrückt werden, so dass schließlich folgt:

{ }

Fe =

1 x1 1 1 x2 3 1 x3

y1 ì1ü ïï y 2 í1ý . ï y3 ï î1þ

(7.82)

Damit sind alle erforderlichen Matrizen aufgestellt, die zur Lösung des Torsionsproblems nach der Finite-Elemente-Methode erforderlich sind. Im Folgenden wird als Beispiel ein quadratischer Stabquerschnitt der Kantenlänge 2a gewählt. Aus Symmetriegründen genügt es, 1/8 des Querschnitts zu behandeln. Dieser Bereich kann zur Vereinfachung in vier lineare finite Elemente eingeteilt werden (Bild 7.7).

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

101

y

y

† IV

ƒ

x

2a

III I

2a



…

II

‚

„

x

Bild 7.7 Diskretisierung des Stabquerschnittes

Für die einzelnen finiten Elemente in Bild 7.7 erhält man bei entsprechender Indizierung der Größen b i und c i in (7.79) und mit A ∆ = a 2 / 8 für alle Elemente folgende Steifigkeitsmatrizen

[ ]

Element I : K

e

 ‚ ƒ

é 1 −1 0 ù  1ê = −1 2 −1ú ‚ ú 2ê êë 0 −1 1 úû ƒ

(7.83a)

‚ ƒ „

[ ]

Element II : K e =

é 2 −1 −1ù ‚ 1ê −1 1 0 ú ƒ ú 2ê êë−1 0 1 úû „

(7.83b)

ƒ „ …

[ ]

Element III : K e =

é 1 0 −1ù ƒ 1ê 0 1 −1ú „ ú 2ê êë−1 −1 2 úû …

(7.83c)

ƒ … †

[ ]

Element IV : K e =

é 1 −1 0 ù ƒ 1ê −1 2 −1ú … ú 2ê êë 0 −1 1 úû †

(7.83d)

Bemerkung: Die Elementmatrix (7.83d) stimmt mit der "Ausgangsmatrix" (7.83a) überein, da durch Translation in x-und y-Richtung das Dreieck IV mit I zur Deckung gebracht werden kann (Bild 7.7). Dann stimmt die Reihenfolge ƒ-…-†

102

7 Näherungsverfahren

mit -‚-ƒ überein. In dieser Reihenfolge sind die Zeilen und Spalten der Matrix (7.83d) auch angeordnet. Durch Translation in x-und y-Richtung ändern sich die Werte b i und c i in der Steifigkeitsmatrix (7.79) nicht, da diese Werte gemäß (7.78b,c) durch Differenzen aus den x-und y-Koordinaten gebildet werden. Für das finite Element II erhält man dieselbe Matrix wie für IV, wenn man Zeilen und Spalten in der Reihenfolge ƒ-‚-„ anordnet; denn durch Drehung des Dreiecks II um den Knotenpunkt ƒ kann das Dreieck II mit IV zur Deckung gebracht werden, wobei die Reihenfolge ƒ-‚-„ mit ƒ-…-† „deckungsgleich“ ist. Schließlich kann das finite Element III durch Drehung um den Knotenpunkt ƒ mit dem "Ausgangsdreieck" I zur Deckung gebracht werden, so dass die Reihenfolge „-…-ƒ der Reihenfolge -‚-ƒ entspricht. Man erhält also für alle vier finite Elemente dieselbe Matrix, nämlich (7.83a), wenn man die Knotenpunkte in folgender Reihenfolge den Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrix (7.83a) zuordnet:

 ‚ ƒ é ê ê êë

K eI

ƒ ‚ „

ù ú‚ ú úû ƒ

é ê Ke = Ke I ê II êë

ùƒ ú‚ ú úû „

„ … ƒ ù„ é êK e = K e ú … Iú ê III úû ƒ êë

ƒ … † ùƒ é êK e = K e ú … Iú ê IV úû † êë

In Bild 7.7 sind die globalen Knotenpunkte mit  bis † gekennzeichnet. Ein Einzelelement (Bild 7.6) besitzt die drei lokalen Knotenpunkte i, j, k, die in der Matrix (7.79) durch 1, 2, 3 gemäß Bild 7.6 gekennzeichnet sind. Betrachtet man die Elemente II bis IV in Bild 7.7, so ist die Indizierung in (7.79) entsprechend der lokalen Indizierung i, j, k zu ersetzen und auch in (7.78) zu berücksichtigen. Aufgrund der insgesamt 6 Freiheitsgrade (Knotenvariablen) ist die Gesamtsteifigkeitsmatrix eine 6 × 6 Matrix, die sich aus den Elementmatrizen (7.83a,b,c,d) bzw. nach dem oben angedeuteten Schema, für das nur die "Ausgangsmatrix" (7.83a) benötigt wird, zusammensetzt:

 ‚ ƒ „ … †

é 1 −1 0 0 0 0 ù  ê−1 4 −2 −1 0 0 ú ‚ ê ú 1 ê 0 −2 4 0 −2 0 ú ƒ [ K] = ê ú 2 ê 0 −1 0 2 −1 0 ú „ ê 0 0 −2 −1 4 −1ú … ê ú 0 0 −1 1 û † ë0 0

(7.84)

Den "Kraftvektor" { F} für das Gesamtsystem erhält man durch entsprechende Überlagerung der Einzelgrößen (7.81) an den jeweiligen Knotenpunkten des Gesamtsystems:

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

ì ( F1 ) I ï F ( ) ï 2 I ï ï (F ) { F} = í 3 I ï ( F4 ) II ï( F5 ) III ï F ( ) ï î 6 IV

+ + + +

( F2 ) II ( F3 ) II ( F4 ) III ( F5 ) IV

+

( F3 ) III

103

ü ì1 ü ï ï2 ï ï ï ï 2 + ( F3 ) IV ï ï a ï4 ï ý= í ý . (7.85) ï 12 ï2 ï ï2 ï ï ï ï ï ï î1 þ þ

Darin wurde der gleiche Flächeninhalt aller finiten Elemente von A ∆ = a 2 / 8 berücksichtigt. Aufgrund der Randbedingungen (7.41), d.h. im vorliegenden Beispiel Φ 4 = Φ 5 = Φ 6 = 0 , reduziert sich das Gleichungssystem

[ K]{ Φ} = { F}

(7.86)

des Gesamtsystems mit (7.84) und (7.85) zu: 1 é 1 −1 0 ù ì Φ 1 ü 2 ì ü ê−1 4 −2 ú ïΦ ï = a ï2 ï . úí 2 ý 6 í ý ê ï ï4 ï êë 0 −2 4 úû ï î þ îΦ 3 þ

(7.87)

Die Lösung entnimmt man folgendem MAPLE-Ausdruck: > >solve({Phi[1]-Phi[2]-a^2/6,-Phi[1]+4*Phi[2]-2*Phi[3]-a^2/3,>2*Phi[2]+4*Phi[3]-2*a^2/3}, >{Phi[1], Phi[2], Phi[3]});

8 7.1-3.mws

(7.88) ìïï 7 2 3 5 2 üïï a , Φ 3 = a 2, Φ 2 = a ïïý ïïí Φ 1 = 12 8 12 þïï ïîïï ï Mit (7.88) sind F4 , F5 und F6 verletzt! Φ 4 = Φ5 = Φ6 = 0 ist erfüllt! > In (7.88) ist Φ1 der Wert in Querschnittsmitte (x = 0, y = 0). Die Indizierung an Φ in (7.88) kennzeichnet die Knotenpunkte, während Φ1 ,..., Φ 3 in (7.63a,b,c) unterschiedliche Torsionsfunktionen darstellen. Vergleichbar ist beispielsweise aus dem eingliedrigen RITZ-Ansatz (7.63a) der Scheitelwert

Φ1 (0,0) =

5 a 2 b2 , 4 a 2 + b2

5 2 7 a annimmt, mit dem Wert Φ1 = a 2 aus 8 12 (7.88) im Knotenpunkt . Daraus ergibt sich ein Verhältnis von 15/14=1,07, d.h., der RITZsche Scheitelwert liegt um 7% höher als der FEM-Wert. der für a = b den Wert Φ1 (0,0) =

104

7 Näherungsverfahren

Wählt man eine gröbere Diskretisierung mit 2 gleichen Dreieckselementen, wobei jeweils die finiten Elemente I und II bzw. III und IV zusammen2 gefasst werden, so ergibt sich nach der FEM der Wert Φ1 = a 2 und damit das 3 obige Verhältnis RITZ/FEM zu 15/16 = 0,9375, d.h., der RITZsche Scheitelwert liegt um 6,25% niedriger als der FEM-Wert. Mit der Lösung (7.88) und den Randbedingungen Φ 4 = Φ 5 = Φ 6 = 0 ist die Torsionsfunktion in 6 diskreten Punkten (Knotenpunkten) über einem halben Quadranten näherungsweise bestimmt. Aufgrund des linearen Ansatzes (7.70) stellt die Torsionsfunktion eine reguläre Fläche dar. Definition: Man bezeichnet eine Punktmenge m S des dreidimensionalen Raumes als ein reguläres Flächenstück, wenn man ein rechtwinklig kartesisches Koordinatenkreuz so legen kann, dass m S in der Form z = m f (x, y) darstellbar ist. Darin ist m f (x, y) in einem endlichen Gebiet der x-y-Ebene stetig differenzierbar. Lassen sich endlich viele reguläre Flächenstücke 1 S, 2 S,..., n S stetig aneinander anschließen, so entsteht eine reguläre Fläche S. Mithin kann eine reguläre Fläche endlich viele Kanten besitzen. Ein Punkt P ∈ S , der nicht auf einer Kante liegt, wird als regulärer Flächenpunkt bezeichnet. Nachdem die Torsionsfunktion in diskreten Punkten ermittelt ist, können die Spannungen innerhalb der einzelnen finiten Elemente bestimmt werden. Dazu setze man (7.65b) in (7.40a,b) ein, ìτ zx ü

ì ∂ / ∂y ü

e { σ} e = íτ ý = GD í ý[ N]{Φ } , − ∂ / ∂ x zy î þ î þe

[

und berücksichtige in [ N ] = N i

Nj

Nk

(7.89)

] die Formfunktionen (7.77) und die

Knotenvariablen (7.64) der lokalen Knotenpunkte i=1, j=2, k=3:

ìτ zx ü GD íτ ý = î zy þ e 2 A ∆

é ci ê− b ë i

cj −b j

ìΦ ü c k ùï i ï Φ . − b k úû í j ý ïΦ ï î kþ

(7.90)

Nach dieser Rechenvorschrift erhält man folgende Spannungen in den einzelnen finiten Elemente des in Bild 7.7 diskretisierten Stabquerschnittes. Element I mit i=1, j=2, k=3:

ìτ zx ü GD é c1 íτ ý = ê î zy þ I 2 A ∆ ë− b1

c2 −b2

ìΦ ü c3 ùï 1 ï íΦ ý . − b 3 úû ï 2 ï îΦ 3 þ

(7.91a)

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

105

Darin sind die Knotenvariablen durch (7.88) gegeben. Weiterhin gilt 2 A ∆ = a 2 / 4. Aus (7.78b,c) erhält man:

a b1 = y2 − y3 = − , 2 c1 = x 3 − x 2 = 0,

a b2 = y3 − y1 = , 2 a c2 = x1 − x 3 = − , 2

b3 = y1 − y2 = 0, c3 = x 2 − x1 =

a 2

und damit aus (7.91a):

ì14 ü ìτzx ï ü é0 −11 ù ï ï 1 ì−1ü 1 ï = a G D í ý ê1 −10 ú í10 ý = 12 a G D í 4 ý . τ 12 ï zy þ ïI ë ûï ï î þ î î9 þ

(7.91b)

Element II mit i=3, j=2, k=4:

ìτ zx ü GD íτ ý = î zy þ II 2 A ∆

é c3 ê− b ë 3

c2 −b2

ìΦ ü c 4 ùï 3 ï íΦ ý . − b 4 úû ï 2 ï îΦ 4 þ

(7.92a)

Darin ist Φ 4 = 0 aufgrund der Randbedingung (7.41). Analog (7.78b,c) gilt: b3 = y 2 − y4 = 0, c3 = x 4 − x 2 =

a , 2

a b 2 = y 4 − y3 = − , 2 a c2 = x 3 − x 4 = − , 2

a b 4 = y3 − y 2 = , 2 c4 = x 2 − x3 = 0 .

Damit geht (7.92a) über in:

ì9ü ìτ zx ü 1 é1 −1 0 ù ï ï 1 ì−1ü = a GD íτ ý í10ý = a GDí ý . ê ú ë0 1 −1û ï ï 12 î10 þ î zy þ II 12 î0þ Element III mit i=4, j=5, k=3: ìΦ ü c5 c3 ùï 4 ï ìτ zx ü GD é c 4 íτ ý = ê ú íΦ 5 ý . î zy þ III 2 A ∆ ë− b 4 − b 5 − b 3 û ïΦ ï î 3þ

(7.92b)

(7.93a)

Darin sind Φ 4 = Φ 5 = 0 aufgrund der Randbedingung (7.41) und Φ 3 = 3a 2 / 8 gemäß (7.88). Weiterhin gilt analog (7.78b,c): b 4 = y 5 − y 3 = 0, a c4 = x3 − x5 = − , 2

a , 2 a c5 = x 4 − x3 = , 2 b5 = y3 − y 4 =

a b3 = y 4 − y5 = − , 2 c3 = x 5 − x 4 = 0 .

106

7 Näherungsverfahren

Damit geht (7.93a) über in:

ì0 ü ìτ zx ü 1 é −1 1 0 ù ï ï 1 ì0 ü í0 ý = a GDí ý . íτ ý = a GD ê ú ë 0 −1 1 û ï ï 4 î3þ î zy þ III 4 î3þ

(7.93b)

Element IV mit i=3, j=5, k=6:

ìτ zx ü GD é c 3 íτ ý = ê î zy þ 2 A ∆ ë− b 3

ìΦ ü c6 ùï 3 ï íΦ ý . − b 6 úû ï 5 ï îΦ 6 þ

c5 −b5

(7.94a)

Darin sind Φ 5 = Φ 6 = 0 aufgrund der Randbedingung (7.41) und Φ 3 = 3a 2 / 8 gemäß (7.88). Weiterhin gilt im Sinne von (7.78b,c): a b3 = y5 − y6 = − , 2 c 3 = x 6 − x 5 = 0,

a , 2 a c5 = x3 − x6 = − , 2 b5 = y 6 − y3 =

b 6 = y 3 − y 5 = 0, a c6 = x5 − x3 = . 2

Damit geht (7.94a) über in:

ì3ü ìτ zx ü 1 é 0 −1 1 ù ï ï 1 ì0 ü = a GD í0ý = a GDí ý . íτ ý ê ú ë 1 −1 0 û ï ï 4 î3þ î zy þ IV 4 î0þ

(7.94b)

Aufgrund der bilinearen Formfunktionen (7.77) in (7.65a,b) sind die Spannungen (7.40a,b) in den einzelnen finiten Elementen konstant und nehmen die Werte (7.91) bis (7.94) an. Das Torsionsmoment kann durch die Torsionsfunktion gemäß M = 2 GD

òò Φ(x, y) dA

(7.47)

A

ausgedrückt werden [BETTEN, 2001] und entspricht somit dem doppelten Volumen des durch Φ = Φ(x,y) über dem tordierten Querschnitt aufgebauten Körpers (Membrangleichnis). Für ein lineares Dreieckselement (Bild 7.6) mit den natürlichen Dreieckskoordinaten (Flächenkoordinaten) Ni = Li,

Nj = Lj

Nk = Lk

geht (7.47) nach Einsetzen von (7.65) über in ìΦi ü ï ï M = 2GD L i L j L k í Φ j ý dx dy. ïΦ ï A∆ î kþ

òò [

]

(4.86*)

(7.95)

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

107

{ } außerhalb des Integrals geschrieben werden,

Darin kann die Spaltenmatrix Φ e

so dass lediglich die Flächenintegrale

òò L i dx dy,..., òò L k dx dy

A∆

A∆

über die einzelnen Flächenkoordinaten auszuwerten sind. Diese Integrale stimmen trivialerweise mit dem dritten Teil des Flächeninhaltes A ∆ eines finiten Dreieckselementes überein, wie man anschaulich sofort erkennt bzw. auch mit der Formel (7.80) überprüfen kann. Mithin erhält man aus (7.95) die einfache Formel

(

2 GD A ∆ Φ i + Φ j + Φ k 3

M=

)

.

(7.96)

Für das Beispiel in Bild (7.7) mit A ∆ = a 2 / 8 gilt somit:

1 GD a 2 Φ i + Φ j + Φ k . 12

(

M=

)

(7.97)

Setzt man darin der Reihe nach die Knotenvariablen (7.88) und die Randbedingungen Φ 4 = Φ 5 = Φ 6 = 0 ein, so erhält man die Beiträge der vier finiten Elemente zum Gesamtmoment:

1 11 GD a 2 (Φ1 + Φ 2 + Φ 3 ) = GD a 4 , 12 96

(7.98a)

M II =

1 19 GDa 2 ( Φ 3 + Φ 2 + Φ 4 ) = GDa 4 , 12 288

(7.98b)

M III =

1 1 GDa 2 ( Φ 4 + Φ 5 + Φ 3 ) = GDa 4 , 12 32

(7.98c)

M IV =

1 1 GDa 2 ( Φ 3 + Φ 5 + Φ 6 ) = GDa 4 . 12 32

(7.98d)

MI =

Die Summe dieser Beiträge ergibt sich zu M I ÷ IV = 35 GD a 4 144 . Dieser Wert bezieht sich nur auf den achten Teil des tordierten Querschnittes (Bild7.7), so dass sich das gesamte Torsionsmoment des quadratischen Querschnittes zu

M=

35 GD a 4 18

(7.99)

ergibt. Dieser Wert wird in Tabelle 7.5 mit entsprechenden Werten aus einem eingliedrigen RITZ-Ansatz und einer Lösung von TIMOSHENKO/GOODIER verglichen.

108

7 Näherungsverfahren

Tabelle7.5 Torsionsmoment (7.99) im Vergleich mit entsprechenden Werten aus Tabelle 7.2

FEM 35 / 18 ≈ 1,9444

M / GD a 4 RITZ-Ansatz 20 / 9 ≈ 2,22 2

TIMOSHENKO/GOODIER 2.25

Man erkennt, dass die FEM gegenüber dem RITZ-Ansatz einen um 12,5% zu niedrigen Wert liefert. Im Vergleich zu TIMOSHENKO/GOODIER ist dieser Unterschied noch deutlicher und beträgt 13,58%. In Tabelle 7.5 ist nur der Wert 20/9 aus einem eingliedrigen RITZ-Ansatz eingetragen. Für einen zwei- oder dreigliedrigen RITZ-Ansatz erhält man aus Tabelle 7.4 für a = b die Werte 2.242735 und 2.242795, die sich vom exakten Wert 0.1406 ⋅ 16 = 2.2496 ≈ 2.25 kaum noch unterscheiden, d.h., aufgrund der einfachen Geometrie liefert das RITZ-Verfahren hervorragende Ergebnisse! Zur Verbesserung der FEM-Näherung können im vorliegenden Fall (quadratischer Querschnitt) Viereckselemente verwendet werden. Darüber hinaus kann eine feinere Diskretisierung des tordierten Querschnittes vorgenommen werden (Ü7.1.9). Es ist günstiger, biquadratische (Ü7.1.10) oder bikubische (Ü7.1.11) Formfunktionen vom LAGRANGE-TYP bei gröberer Netzgenerierung zu wählen. Dasselbe gilt für "höhere" Elemente vom SERENDIPITY-Typ (Ü7.1.14 / Ü7.1.15). Zur Abschätzung des Torsionsmomentes eines Stabes mit quadratischem Querschnitt (Bild 7.7) kann man zum Vergleich die exakte Lösung Φ=

1 2 ( R − x 2 − y 2 ) Þ M = 2GD 2

π

òò Φ (x, y) dA = 2 GDR

4

A

für den Kreisquerschnitt (Ü 7.1.4) heranziehen. Eine untere bzw. obere Schranke für das Torsionsmoment erhält man, indem man den quadratischen Querschnitt durch einen inneren ( R ≡ a ) bzw. äußeren Kreis ( R ≡ 2 a ) ersetzt: π 2 < M GDa 4 < 2 π . Diese Abschätzung ist zu grob, da die Schranken zu weit auseinander liegen. Eine Verbesserung kann erzielt werden, wenn man den quadratischen Querschnitt durch einen flächengleichen Kreisquerschnitt ( R ≡ 2a π ) ersetzt. Damit ergibt sich

ein Wert von M = 8 GDa 4 π ≈ 2,547 GDa 4 , der gegenüber dem exakten Wert von

M = 2,25 GDa 4 um 13,2% zu hoch liegt. Die FEM-Lösung mit 8 × 4 linearen Elementen (Bild 7.7) liefert laut Tabelle 7.5 einen Wert von M GDa 4 = 35 18 , der mit einem Fehler von 13,58% behaftet ist! Zur Abschätzung des Torsionsmomentes eines Stabes mit rechteckigem Querschnitt (2a × 2b) kann man zum Vergleich die exakte Lösung für den ellipsenförmigen Querschnitt (Ü 7.1.4) heranziehen und ähnlich vorgehen wie beim quadratischen Querschnitt.

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

109

Nach der elementaren Theorie gilt: M = GDI p , wobei Ip das polare Trägheitsmoment darstellt, das für den quadratischen Querschnitt durch I p = 8a 4 3 und für den Kreisquerschnitt durch I p = πR 4 2 gegeben ist. Wählt man als Näherung den Kreisquerschnitt mit gleichem Trägheitsmoment ( R 4 = 16a 4 3π) , so erhält man für das Torsionsmoment des Quadrates den Wert

M = 8GDa 4 3 , der mit einem Fehler von 18,5% behaftet ist. Mithin liefert die elementare Theorie zu ungenaue Werte und bedarf einer Korrektur (Ü 7.1.16). Die elementare Theorie gilt nur für den Kreisquerschnitt exakt (Ü 7.1.4). Bei der Torsion nichtkreisförmiger Querschnitte erfolgt eine Verwölbung der Querschnitte, so dass die Korrektur über die Verwölbungsfunktion zu formulieren ist, wie ausführlich in Ü 7.1.16 diskutiert wird. Übungsaufgaben 7.1.1 Man ermittle die Biegelinie des skizzierten Kragbalkens a) nach dem RITZ-Verfahren und b) nach der FEM.

7.1.2 Für den skizzierten Biegebalken ermittle man die Biegelinie

a) nach dem klassischen RITZ-Verfahren mit mehreren Ansätzen, b) nach der Finite-Elemente-Methode mit verschiedenen Diskretisierungen. 7.1.3 Für den skizzierten Biegebalken ermittle man die Biegelinie

a) nach dem klassischen RITZ-Verfahren, b) nach der Finite-Elemente-Methode.

110

7 Näherungsverfahren

7.1.4 Man zeige, dass mit einem eingliedrigen RITZ-Ansatz eine exakte Lösung für die Torsionsfunktion folgender Stabquerschnitte erzielt werden kann: a) Kreisquerschnitt, b) Ellipsenquerschnitt, c) Dreiecksquerschnitt. 7.1.5 Man ermittle die Torsionsfunktion und das Torsionsmoment eines dreieckigen Stabes aus linearelastischem Werkstoff nach der FEM. Die Ergebnisse vergleiche man mit der exakten Lösung. 7.1.6 Man benutze quadratische Formfunktionen zur Ermittlung der Torsionsfunktion und des Torsionsmomentes eines dreieckigen Stabes aus linearelastischem, isotropem Werkstoff. a) Zunächst teile man den Querschnitt in drei finite Elemente auf. b) Zur Verbesserung der Ergebnisse wähle man anschließend eine Diskretesierung in sechs finite Elemente. Die Ergebnisse vergleiche man mit der exakten Lösung, die in Ü7.1.5 hergeleitet wird. 7.1.7 Man benutze kubische Formfunktionen zur Ermittlung der Torsionsfunktion und des Torsionsmomentes eines dreieckigen Stabes aus linearelastischem Werkstoff. Die Ergebnisse vergleiche man mit der exakten Lösung, die in Ü7.1.5 hergeleitet wird. 7.1.8 Man ermittle die Torsionsfunktion eines dreieckigen Stabes aus linearelastischem Werkstoff nach dem klassischen RITZ-Verfahren und zeige , dass man bereits mit einem eingliedrigen Ansatz die exakte Lösung aus Ü7.1.5 erhält. 7.1.9 Man ermittle die Torsionsfunktion und das Torsionsmoment eines quadratischen Stabes (2a × 2a) aus linearelastischem Werkstoff nach der FEM. Dazu teile man den tordierten Querschnitt zunächst in vier finite Quadratelemente mit bilinearen Formfunktionen auf. Zur Erhöhung der Rechengenauigkeit wähle man anschließend eine Aufteilung in sechzehn finite Elemente. Die erzielten Ergebnisse vergleiche man mit den klassischen Lösungen nach RITZ UND TIMOSHENKO / GOODIER aus Tabelle 7.5. 7.1.10 Zur Verbesserung der in Ü7.1.9 erzielten Ergebnisse verwende man biquadratische Formfunktionen vom LAGRANGEschen Typ (Ziffer 4.4) bei gröberer Netzgenerierung. 7.1.11 Analog Ü7.1.10 ermittle man die Torsionsfunktion und das Torsionsmoment eines linearelastischen Stabes mit quadratischem Querschnitt (2a×2a). Man verwende in Erweiterung von Ü7.1.10 bikubische Formfunktionen und betrachte den gesamten Querschnitt als ein finites Element. 7.1.12 Man teile den tordierten Quadratquerschnitt (2a×2a) gemäß Skizze in zwei finite Dreieckselemente auf und ermittle die Torsionsfunktion und das Torsionsmoment. Der Werkstoff verhalte sich linear-elastisch und isotrop.

7.1 Das klassische Rayleigh-Ritz-Verfahren und die FE-Methode

111

7.1.13 Man teile den quadratischen Querschnitt eines linear-elastischen Torsionsstabes in zwei Quadratelemente und vier Dreieckselemente auf (Skizze) und ermittle das Torsionsmoment.

7.1.14 Man teile den quadratischen Querschnitt eines linear-elastischen Torsionsstabes in vier Quadratelemente auf und ermittle das Torsionsmoment. Im Gegensatz zu Ü7.1.10 verwende man quadratische Formfunktionen vom SERENDIPITYTyp (Skizze).

112

7 Näherungsverfahren

7.1.15 In Erweiterung von Ü7.1.14 verwende man kubische Formfunktionen vom SERENDIPITY-Typ (Skizze).

7.1.16 In der Aufspaltung 1 óó é ù M = GDI p + 2GDôô êΦ − ( x 2 + y 2 ) ú dxdy 2 õõ ë û

(1)

A

mit dem polaren Flächenträgheitsmoment Ip:=

òò ( x

2

+ y 2 ) dxdy

(2)

A

stellt der Integralterm ein Korrekturglied gegenüber der elementaren Theorie M = GDIp dar. Man ermittle diese Korrektur für folgende Querschnittsformen : a) Kreis, b) Ellipse, c) gleichseitiges Dreieck, d) quadratischer Querschnitt. Ferner zeige man, dass dieser Korrekturterm infolge der Querschnittsverwölbung entsteht.

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere GALERKIN, und die FE-Methode Das in Ziffer 7.1 diskutierte RAYLEIGH-RITZ-Verfahren setzt die Existenz eines Funktionals voraus. Falls zum behandelnden Problem kein Funktional bekannt ist oder auch nicht existiert, können alternative Verfahren der gewichteten Residuen eingesetzt werden. Beide Klassen, die Variationsmethode (auf der Basis eines Funktionals) und die Methoden der gewichteten Residuen, führen auf eine Integraldarstellung, d.h., sie sind integrale Formulierungen numerischer Lösungen. An dem sehr einfachen Beispiel des Biegebalkens auf zwei Stützen mit konstanter Momentenbelastung M0 soll dieser Sachverhalt im Folgenden erläutert werden (Bild 7.8a).

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 113

y

EI

M0

M0

x

L Bild 7.8a Balken auf zwei Stützen mit konstanter Momentenbelastung

Das Problem wird charakterisiert durch die Differentialgleichung EI

d2y dx 2

− M( x ) = 0

(7.100)

mit den Randbedingungen y( 0 ) = 0

und

y( L ) = 0.

(7.101a,b)

Die exakte Lösung für M(x) = M 0 ist bekanntlich durch y( x ) =

M0 M L2 (x − L )x ≡ − 0 (1 − ξ)ξ 2 EI 2 EI

(7.102)

gegeben mit dem Maximalwert y max = − M 0 L2 8EI . Zur Erläuterung der oben erwähnten Verfahren sei abweichend von (7.102) der Näherungsansatz

πx ~ y( x) = A sin L

(7.103)

gewählt, der plausibel ist, da er die Randbedingungen (7.101a,b) erfüllt und eine Durchbiegungsform liefert, die man gefühlsmäßig etwa erwartet. Variationsmethode Analog dem Gesamtpotential Π gemäß (6.113) gehört zur Differentialgleichung (7.100) der Integralausdruck (Funktional) L

J[y(x)] =

1 é EI y′2 + 2M 0 y(x) ù dx. û 2òë

(7.104)

0

Die EULERsche Differentialgleichung (5.21a) lautet hierbei

mit

∂F d æ ∂F ö − ç ÷=0 ∂y dx è ∂y′ ø

(7.105)

114

7 Näherungsverfahren

F : = EI y ′ 2 + 2 M 0 y(x),

(7.106)

so dass (7.100) mit M(x)= M 0 als EULERsche Differentialgleichung gedeutet werden kann. Setzt man den Näherungsansatz (7.103) in den Integralausdruck (7.104) ein, so ergibt sich das Funktional zu J(A) =

M L π2 EI A 2 + 2 0 A, 4L π

(7.107)

in dem der Ansatzfreiwert A so bestimmt werden muss, dass J(A) minimal wird: 4M 0 L2 ∂J(A) =! 0 Þ A=− . ∂A π3 EI

(7.108)

Mithin lautet die Näherungslösung

% y(x) =−

4M 0 L2 3

π EI

sin

πx L

.

(7.109)

Alternativ kann man die Durchbiegung eines Ersatzmodells (gemäß Bild 7.8b) mit der Neigung 2y′(L) am Ende x = L des Balkens betrachten.

M0

2 y ′( L) L Bild 7.8b Durchbiegung eines Ersatzmodells (eingespannter Balken) L

Π=

Gesamtpotential:

1 EI y′′2 dx − 2M 0 y′ (L) 2ò 0

πx L Damit geht das Gesamtpotential Π über in: y = A sin

Näherungsansatz:

Π=

1 EI A 2 2

π4 4

L

ò sin

L 0

2

πx π dx + 2M 0 A . L L

Minimum des Gesamtpotentials fordern:

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 115

2M 0 L3 æ ∂Π =! ç1 0Þ A=− ∂A π3 EI çè

L

2 ò sin

0

π x ö dx ÷ ÷ L ø

mit L

2 ò sin

0

L

L 2π x ü 1 π x ì1 dx = í x − sin ý = L . L 4π L þ0 2 î2

Mithin erhält man den gesuchten Ansatzfreiwert

A=−

4M 0 L2 π3 EI

in Übereinstimmung mit (7.108)! Verfahren der gewichteten Residuen % Setzt man einen Näherungsansatz y(x) in die Differentialgleichung des Problems, z.B. (7.100), ein, so erhält man einen Fehler, den man das Residuum R(x) nennt:

EI

d2~ y dx 2

− M( x ) : = R ( x ) ≠ 0 .

(7.110)

Die Verfahren der gewichteten Residuen fordern, dass der Integralausdruck L

!

ò Wi (x)R(x)dx = 0

(7.111)

0

d.h. das Residuum in einem gewichteten Mittel verschwindet. Darin sind Wi ( x ) Wichtungsfunktionen, deren Anzahl mindestens mit der Anzahl der zu bestimmenden Ansatzfreiwerte des Näherungsansatzes übereinstimmen muss (Ü7.2.1/ Ü7.2.6). Je nach Wahl der Wichtungsfunktion unterscheidet man folgende Verfahren. Verfahren der Kollokation in Teilbereichen (subdomain method) Der gesamte Integrationsbereich in (7.111) wird in i = 1, 2, ..., n Teilintervalle unterteilt, wobei sämtliche Wichtungsfunktionen zu Wi (x ) = 1 angenommen werden. Die Anzahl der erforderlichen Teilintervalle muss mindestens mit der Anzahl der zu bestimmenden Ansatzfreiwerte übereinstimmen (Ü7.2.1/Ü7.2.6). Die Länge der einzelnen Teilintervalle ist frei wählbar. Im obigen Beispiel (7.103) gibt es nur einen Ansatzfreiwert A, so dass man das gesamte Intervall [ 0, L ] wählen kann.

116

7 Näherungsverfahren

Das Residuum erhält man durch Einsetzen von (7.103) in die Differentialgleichung (7.100) mit M(x ) = M 0 zu: R(x) = − EI

π2 2

L

A sin

πx − M0 . L

(7.112)

Damit erhält man aus (7.111) wegen Wi (x ) = 1 die Forderung: L

L

óé ù π2 πx R(x) dx = − EI A sin − M 0 ú dx =! 0 , ê ô ò 2 ôê L L ûú õë 0

(7.113)

0

woraus A=−

M 0 L2 2π EI

(7.114)

folgt, so dass sich die Näherungslösung (7.103) zu 2

M0 L πx ~ y (x) = − sin L 2π EI

(7.115)

ergibt. Verfahren der punktweisen Kollokation (collocation method) Bei diesem Verfahren wird das Residuum in n einzelnen Punkten X i , i = 1, 2,..., n, des betrachteten Bereichs (z.B. Balkenlänge) gleich null gesetzt, um n Bestimmungsgleichungen für die n Ansatzfreiwerte zu gewinnen. Man kann auch eine größere Anzahl von Kollokationspunkten wählen als die Anzahl der zu bestimmenden Ansatzfreiwerte (Ü7.2.1/Ü7.2.6). Dann erhält man ein überbestimmtes Gleichungssystem („überbestimmte“ Kollokation), das man mit Hilfe des GAUSSschen Ausgleichsprinzips löst (Ü7.2.6). Im vorliegenden Beispiel mit einem Ansatzfreiwert A wird nur ein Kollokationspunkt gewählt. Sinnvoll wäre X1 = L / 2 zu wählen. Damit erhält man aus (7.112) die Forderung:

R( L / 2 ) = − EI

π2 2

L

A sin

π ! − M0 = 0 , 2

(7.116)

woraus A=−

M 0 L2 π 2 EI

folgt, so dass die Näherungslösung gemäß

(7.117)

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 117

M L2 πx ~ y(x) = − 20 sin L π EI

(7.118)

gegeben ist. Fordert man, dass die maximale Durchbiegung des Näherungsansatzes (7.103), die sich in Balkenmitte einstellt, mit dem exakten Wert aus (7.102) übereinstimmt, A ≡ − M 0 L2 / 8EI , so erhält man aus (7.112) mit R( X 0 ) = 0 den Kollokationspunkt zu: X 0 / L = (1 / π ) arc sin(8 / π 2 ) = 0,301 .

(7.119a)

Die Näherungslösung ist damit, abweichend von (7.118), durch M L2 πx ~ y(x) = − 0 sin L 8EI

(7.120)

gegeben. Schließlich kann man den Kollokationspunkt so wählen, dass der Ansatzfreiwert A in (7.112) mit dem Wert übereinstimmt, der sich nach der Variationsmethode ergibt: ! 4M 0 L2 A= − π 3 EI

(7.108)

. !

Damit folgt aus (7.112) mit der Forderung R(X 0 ) = 0 der optimale Kollokationspunkt zu:

X 0 / L = (1 / π) arc sin( π / 4) ≈ 0,288 .

(7.119b)

Mit diesem optimalen Wert liefert das Kollokationsverfahren dieselbe Lösung wie die Variationsmethode! Bemerkung: Das Verfahren der punktweisen Kollokation kann ebenfalls aus dem Integralausdruck (7.111) gefolgert werden und somit zu den Verfahren der gewichteten Residuen gezählt werden. Um das zu zeigen, wähle man in (7.111) als Wichtungsfunktion die DIRACsche Deltafunktion (Impulsfunktion) ì0 für x ≠ X i Wi (x) = δ( x − X i ) : = í î∞ für x = X i

(7.121)

mit X i als Kollokationspunkt. Sie stellt die Ableitung der HEAVISIDEschen Sprungfunktion ì1 für x > X i H( x − X i ) : = í î0 für x < X i

(7.122)

118

7 Näherungsverfahren

dar und besitzt folgende Eigenschaften: ∞

ò δ(x − X i )dx = 1 ,

(7.123a)

0

∞

ò δ( x − X i ) R( x) dx = R( X i )

für jede steige Funktion R(x).

(7.123b)

0

Die Eigenschaft (7.123a) kann geometrisch gezeigt werden (Bild 7.9). In Bild 7.9 ist die "modifizierte" Deltafunktion

{

δε (x − Xi ) = 1/ ε für Xi < x < Xi + ε 0 für x < Xi und x > Xi + ε

(7.124)

dargestellt, die für ε → 0 in die DIRACsche Deltafunktion (7.121) übergeht. Bei diesem Grenzübergang wird das schraffierte Rechteck in Bild 7.9 immer schmaler und höher, wobei seine Fläche den konstanten Wert von 1 beibehält, so dass die Eigenschaft (7.123a) gefolgert werden kann.

Bild 7.9 HEAVISIDE-und DIRAC-Funktion mit ε > 0

Mit (7.124) und unter Berücksichtigung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung erhält man:

ò

1 δ ε ( x − X i ) R( x) dx = ε

Xi +ε

ò R( x) dx = R( x p ) .

(7.125)

Xi

Darin ist x p ein Punkt im Intervall X i < x < X i + ε , der für ε → 0 mit dem Kollokationspunkt X i zusammenfällt. Somit geht (7.125) für ε → 0 in (7.123b) über, und aus (7.111) mit (7.121) kann man folgern, dass das Residuum in einem Kollokationspunkt X i verschwinden muss: L

!

ò δ (x − X i ) R(x) dx = R(X i ) = 0 0

.

(7.126)

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 119

Verfahren nach GALERKIN Beim GALERKIN-Verfahren wird die Wichtungsfunktion Wi ( x ) in (7.111) unmittelbar dem Näherungsansatz (7.103) entnommen:

Wi (x) = sin

πx , L

(7.127)

so dass man mit (7.112) die Forderung L

ó æ π2 ö ! πx πx + M 0 ÷ sin dx = 0 ô ç EI 2 A sin L L ø õè L

(7.128)

0

erhält. Daraus ermittelt man den Ansatzfreiwert A, der mit (7.108) übereinstimmt. Mithin erhält man nach dem GALERKIN-Verfahren für das vorliegende Beispiel dieselbe Näherungslösung wie nach der Variationsmethode. Verfahren der kleinsten Quadrate (least squares method) Bei diesem Verfahren wird als Wichtungsfunktion das Residuum selbst gewählt und der Integralausdruck in (7.111) hinsichtlich der Ansatzparameter A i minimiert:

∂ ∂A i

L

2

!

ò [ R (x) ] dx = 0 .

(7.129)

0

Im vorliegenden Beispiel mit R(x) nach (7.112) erhält man aus (7.129) die Forderung L

2

ó ö ! ∂ ôæ π2 πx ô ç − EI − M 0 ÷ dx = 0 . A sin 2 ç ÷ ô ∂A ô è L L ø

(7.130)

õ

0

Die Differentiation unterm Integralzeichen führt unmittelbar auf die Forderung in (7.128), d.h. auf eine Übereinstimmung mit dem GALERKIN-Verfahren. Zur Beurteilung der Güte von Näherungsfunktionen können verschiedene Kriterien herangezogen werden (Ziffer 7.3). Zunächst sei der wahre relative Fehler f (ξ ) : = ( ~ y − y) / y (7.131) betrachtet, der für die einzelnen Näherungen in Tabelle 7.6 aufgelistet ist.

120

7 Näherungsverfahren

Tabelle 7.6 Vergleiche bezüglich des relativen Fehlers

Verfahren

f (ξ) : = ~ y / y −1

Variation / GALERKIN least-squares L 2 − Norm "optimale Kollokation"

8 sin( πξ) −1 π 3 (1 − ξ )ξ ξ≡x L

subdomain

1 sin( πξ ) −1 π (1 − ξ )ξ

0

2 sin (πξ) −1 π2 (1 − ξ)ξ

2 − 1 ≈ −0,36 π

Kollokation ξi = 1 / 2

lim f (ξ)

f(1 2 )

ξ →0

8 π

2

− 1 ≈ −0,19

32 π3

− 1 ≈ 0,03

4 − 1 ≈ 0,27 π 8 π2

− 1 ≈ −0,19

1 sin ( πξ) −1 π / 4 − 1 ≈ −0,22 0 4 (1 − ξ)ξ Die in Tabelle 7.6 zusammengestellten Ergebnisse ( f1 bis f4 ) sind in Bild 7.10 grafisch dargestellt mit Hilfe der MAPLE-Grafik. ξ i = 0,301

f2

0.2

f1

0.1

ξ=x L 0

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

f4 f3

-0.2

-0.3

Bild 7.10 Vergleiche bezüglich des relativen Fehlers (Tabelle 7.6)

0.5

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 121

Neben den bisher besprochenen Verfahren wird in Tabelle 7.6 auch auf die L 2 -Norm hingewiesen, deren Minimierung gemäß (7.133) ebenfalls auf eine mit der Variationsmethode übereinstimmende Lösung führt. Obwohl alle Näherungen ~ y aufgrund der Randbedingung an der Stelle ξ = 0 mit der exakten Lösung übery (0) = y(0) = 0 , nimmt der relative Fehler von null verschiedene einstimmen, ~ Werte an (Tabelle 7.6). Somit ist es im vorliegenden Fall unzweckmäßig, den relativen Fehler zur Beurteilung der einzelnen Verfahren heranzuziehen. Daher soll im Folgenden der wahre Fehler F(ξ) : =

EI M 0 L2

[~y(ξ) − y(ξ)]

(7.132)

betrachtet werden, der für die einzelnen Näherungen in Tabelle 7.7 aufgelistet ist. Tabelle 7.7 Vergleiche bezüglich des wahren Fehlers

Verfahren

F(ξ ): =

EI 2

M0L

[~y(ξ) − y(ξ)]

F(1 2)

Variation / GALERKIN least-squares L 2 -Norm "optimale Kollokation"

1 4 (1 − ξ)ξ − 3 sin( πξ) 2 π

1 4 − ≈ −0,004 8 π3

sudomain

1 1 (1 − ξ)ξ − sin( πξ) 2 2π

1 1 − ≈ −0,034 8 2π

1 1 (1 − ξ)ξ − 2 sin( πξ) 2 π

1 1 − ≈ 0,024 8 π2

1 1 (1 − ξ)ξ − sin( πξ ) 2 8

0

Kollokation ξi = 1 / 2 ξ i = 0,301

Die in Tabelle 7.7 zusammengestellten Ergebnisse ( F1 bis F4 ) sind in Bild 7.11 grafisch dargestellt mit Hilfe der MAPLE-Grafik.

122

7 Näherungsverfahren

0.02

F3 F4

0.01

ξ 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

F1

-0.01

F2

-0.02

-0.03

Bild 7.11 Vergleiche bezüglich des wahren Fehlers (Tabelle 7.7)

Zu den Aufgaben der Approximationstheorie gehört es, eine durch einen analytischen Ausdruck definierte Funktion y(x), hier die exakte Lösung (7.102), in eiy( x), hier der Näherungsannem bestimmten Intervall durch eine Ersatzfunktion ~ satz (7.103), optimal zu approximieren. Zur Lösung dieser Aufgabe kann die L 2 Fehlernorm minimiert werden: ~ y ( ξ ) − y( ξ ) 2 : =

1

!

2 ò [~y(ξ) − y(ξ)] dξ = Minimum

.

(7.133)

0

Mit dieser Forderung kann der Ansatzfreiwert A in der Näherung (7.103) optimal bestimmt werden: 1

2

ù ! M L2 ∂ óé ô êA sin( πξ) + 0 (1 − ξ)ξ ú dξ = 0 . ∂A ô êë 2 EI úû õ 0 Daraus erhält man den optimalen Wert für A zu:

(7.134)

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 123

1

M L2 A=− 0 ⋅ 2 EI

ò (1 − ξ)ξ sin(πξ)dξ 0

1

ò sin

2

=−

( πξ)dξ

4 π3

⋅

M 0 L2 EI

.

(7.135)

0

Dieser Wert stimmt mit dem Wert (7.108) überein, den man nach der Variationsmethode und dem GALERKIN-Verfahren oder auch nach der least-squares-Methode und der optimalen Kollokation erhält! Diese Verfahren liefern die optimale Näherungsfunktion vom Typ (7.103) ohne Kenntnis der exakten Lösung, während die Approximationsmethode die optimale Ersatzfunktion – hier vom Typ (7.103) – erzeugt, die zur gegebenen exakten Lösung (7.102) den geringsten Abstand besitzt. Da man im obigen Beispiel (Bild 7.8) die exakte Lösung (7.102) kennt, kann die L2–Fehlernorm (7.133) zur Beurteilung und zum Vergleich der einzelnen y(ξ) herangezogen werden (Tabelle 7.8). Näherungsfunktionen ~ Tabelle 7.8 L 2 -Fehlernorm/Beispiel nach Bild 7.8

Verfahren

L 2 -Fehlernorm

Variation / GALERKIN least-squares "optimale Kollokation" Subdomain-Methode Kollokationsverfahren ξi = 1 / 2 ξ i = 0,301

0.00347 0.0216 0.0199 0.00448

Die in Tabelle 7.8 aufgelisteten L 2 -Fehlernormen sind mit Hilfe des MAPLEProgramms ermittelt worden, wie der folgende Computerausdruck zeigt.

8 7.2-1.mws > Ermittlung der L2 -Fehlernormen für die einzelnen Näherungsfunktionen >L_2:=sqrt(int(F(xi)^2,xi=0..1)); 1

L_2 :=

ó ô ô F( ξ ) 2 dξ ô õ ô0

Darin ist F die Differenz aus der Näherungsfunktion und der exakten Lösung d.h. der wahre Fehler. Für die einzelnen Methoden ist F der Tabelle 7.7 entnommen. 1) Variationsmethode / GALERKIN-Verfahren / least-squares-Methode / optimale Kollokation >F[1](xi):=-4*sin(Pi*xi)/Pi^3+(1-xi)*xi/2;

124

7 Näherungsverfahren

F1( ξ ) := -4

sin( π ξ ) 1 + (1 − ξ) ξ 2 π3

>L_2[1]:=evalf(sqrt(int(F[1](xi)^2,xi=0..1))); L_21 := .003470094861 2) Subdomain-Methode >F[2](xi):=-sin(Pi*xi)/2/Pi+(1-xi)*xi/2; 1 sin( π ξ ) 1 F2( ξ ) := + (1 − ξ) ξ 2 2 π

>L_2[2]:=evalf(sqrt(int(F[2](xi)^2,xi=0..1))); L_22 := .02159900004 3) Punktweise Kollokation mit dem Kollokationspunkt X=1/2 >F[3](xi):=-sin(Pi*xi)/Pi^2+(1-xi)*xi/2; sin( π ξ ) 1 F3( ξ ) := + (1 − ξ) ξ 2 π2

>L_2[3]:=evalf(sqrt(int(F[3](xi)^2,xi=0..1))); L_23 := .01988139575 4) Punktweise Kollokation mit dem Kollokationspunkt X=0.301 Bei der Wahl dieses Punktes stimmt die maximale Durchbiegung aus der Näherung mit dem exakten Wert überein. >F[4](xi):=-sin(Pi*xi)/8+(1-xi)*xi/2; 1 1 F4( ξ ) := - sin( π ξ ) + ( 1 − ξ ) ξ 8 2

>L_2[4]:=evalf(sqrt(int(F[4](xi)^2,xi=0..1))); L_24 := .004479523046 Die L2-Norm zeigt, dass die Variationsmethode, das GALERKIN-Verfahren, die least-squares-Methode oder auch die optimale Kollokation die besten Näherungen liefern. > Die Vergleiche in Tabelle 7.8 zeigen, dass erwartungsgemäß die Variationsmethode, das GALERKIN-Verfahren und auch die least-squares-Methode für das betrachtete Beispiel (Bild 7.8) die optimale Näherungsfunktion liefern, da ja auch die L 2 -Fehlernorm (7.133) für diese Verfahren minimal wird, wie aus der Übereinstimmung des optimalen Wertes (7.135) mit (7.108) folgt. Auch das Kollokationsverfahren kann sehr günstig liegen, wenn man einen optimalen Kollokationspunkt kennt. Der Kollokationspunkt ξ i = 0,301 in Tabelle 7.8 wurde gemäß (7.119a) so gewählt, dass die maximale Durchbiegung in Balkenmit-

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 125

te aus der Näherungsfunktion mit dem exakten Wert übereinstimmt. Somit liegt die L 2 -Fehlernorm von 0,00448 im Vergleich zu den anderen Werten nur geringfügig über dem Minimum von 0,00347. Mit dem optimalen Kollokationspunkt ξ i = 0,288 gemäß (7.119b) wird die L 2 -Fehlernorm minimal. Ergänzende Betrachtungen über Näherungsfehler werden in Ziffer 7.3 diskutiert. Analog zum RITZ-Verfahren kann auch das GALERKIN-Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen herangezogen werden. Dazu soll im Folgenden dasselbe Beispiel wie beim RITZ-Verfahren (Ziffer 7.1) diskutiert werden. Gesucht sei eine Näherungslösung der "eindimensionalen" POISSONschen Differentialgleichung d 2 Φ dx 2 + f ( x) = 0

(7.13)

unter den Randbedingungen Φ(a ) = A und Φ( b) = B .

(7.14a,b)

Für den linearen Ansatz (7.23a,b) mit den Interpolationsfunktionen (7.24a,b), die beim GALERKIN-Verfahren als Wichtungsfunktionen gewählt werden, ! Wi (x) = N i ( x) ,

(7.136)

geht der Integralausdruck (7.111) mit einem aus (7.13) folgenden Residuum R(x) in die Beziehung x2

ò [d

2

]

Φ dx 2 + f (x) N i (x) dx = 0, i = 1,2,

x1

(7.137)

über, wobei x1 und x 2 die Knotenpunkte des finiten Elementes sind. Wendet man auf den ersten Term in (7.137) die partielle Integration an, so erhält man: x2 x2 dΦ x 2 dΦ dN i dx + f (x) N i ( x) dx = 0, i = 1,2. Ni − dx x1 dx dx

ò

x1

ò

(7.138)

x1

Für den Näherungsansatz (7.23a,b), den man auch gemäß 2

Φ( x ) =

å N i (x) Φ i

(7.139)

i =1

ausdrücken kann und der ein Residuum R(x) ≠ 0 zur Folge hat, gilt folgende Ableitung:

126

7 Näherungsverfahren

dΦ = dx

2

å i =1

dN i Φ i ≡ [ N 1′ dx

{ }

N ′2 ] Φ e .

(7.140)

In (7.137) bis (7.140) sind Φ1 , Φ 2 die Werte der Funktion Φ(x) in den Knotenpunkten (Knotenwerte), die man in (7.138) außerhalb des Integrals schreiben kann. Somit erhält man mit (7.140) aus (7.138) den Zusammenhang x2

ò

[ N1′

N ′2 ]

x1

x2 x dNi dΦ 2 e dx Φ = Ni + f (x) Ni (x) dx, i = 1, 2. dx dx x1

{ }

ò

(7.141)

x1

Der erste Term auf der rechten Seite in (7.141) stellt die natürlichen Randbedingungen für das finite Element dar, die man folgendermaßen ausdrücken kann:

i = 1 Þ Ni

dΦ x 2 = N1 (x 2 ) Φ ′(x 2 ) − N1 (x1 )Φ ′(x1 ) = − Φ ′( x1 ), (7.142a) 4 4 3 123 dx x1 12 0

i = 2 Þ Ni

1

dΦ x 2 = N 2 ( x 2 ) Φ ′(x 2 ) − N 2 ( x1 ) Φ ′(x1 ) = Φ ′( x 2 ) . (7.142b) 424 3 12 4 4 3 dx x1 1 1

0

Darin sind die Interpolationseigenschaften der Formfunktionen N1 (x ), N 2 (x ) berücksichtigt (Bild 7.12). Die Elementgleichungen (7.141) in Verbindung mit den Randbedingungen (7.142a,b) können in Matrizenform dargestellt werden, wobei i = 1 der ersten und i = 2 der zweiten Zeile entspricht:

[K ]{Φ } = {F } e

e

e

ì − Φ ′ ( x1 )ü +í ý î Φ ′ (x 2 ) þ

e

.

(7.143)

Bild 7.12 Linearer Näherungsansatz im finiten Element mit den Formfunktionen N1 , N 2

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 127

In (7.143) sind folgende Abkürzungen verwendet worden: x2

[ ] [ ] ò[ K e = k ij : =

x1

{Φ e } : = {Φ1

]

ò

t

Φ2 } ,

x2

{F } : = ò {f N1 e

éx 2 ù N ′i N ′j dx = ê N ′i N ′j dx ú, ê ú êë x1 úû

f N2}

x1

(7.29)

(7.30) t

ìx 2 ü ï ï dx = í f N i dx ý, ïx ï î 1 þ

ò

(7.31)

die identisch sind mit den entsprechenden Größen in der Standardform (7.28) aus der Variationsmethode. In (7.143) sind im Gegensatz zu (7.28) die natürlichen Randbedingungen Φ ′( x i ) für ein einzelnes finites Element enthalten, die sich aber beim Zusammenfügen der einzelnen Elementgleichungen zur Gleichung des Gesamtbereichs an den inneren Knotenpunkten aufheben und nur noch an den Endpunkten a und b des Gesamtbereichs bestehen bleiben. Allgemein kann gezeigt werden, dass bei selbstadjungierten Operatoren, wie in (7.13), die Variationsmethode und das GALERKIN-Verfahren übereinstimmende Ergebnisse liefern. Anmerkung: In der Funktionalanalysis wird ein Skalarprodukt von Lu mit v in einem Gebiet 0 < x < 1 im HILBERT-Raum gemäß 1

ò

( v, Lu) : = v Lu dx

(7.144)

0

definiert (Ziffer 7.4). Darin sei L ein linearer (Differential-) Operator, während die Funktionen u = u(x) und v = v(x) dieselben Randbedingungen erfüllen. Der Operator L heißt selbstadjungiert bzw. symmetrisch, wenn er folgende Eigenschaft besitzt: ( v, Lu) = ( u, Lv)

(7.145a)

bzw. 1

ò 0

1

ò

v Lu dx = u Lv dx.

(7.145b)

0

Zur Erläuterung sei als Beispiel die "eindimensionale" POISSONsche Differentialgleichung (7.13) gewählt. Darin ist der Differentialoperator L = d 2 / dx 2 ein selbstadjungierter Operator. Für ihn gilt:

128

7 Näherungsverfahren

1

ò

( v, Lu) : = vu ′′ dx.

(7.146)

0

Durch zweimalige partielle Integration kann das Integral in (7.146) folgendermaßen ausgedrückt werden: 1

ò

1

ò

1

v u ′′ dx = u v ′′ dx + {v u ′ − u v ′} 0

0

(7.147a)

0

bzw. ( v, Lu) = ( u, Lv) + v(1) u ′(1) − v(0) u ′(0) + u(0) v ′(0) − u(1) v ′(1) . (7.147b) Damit ist gezeigt, dass der Operator L = d 2 / dx 2 in (7.13) gemäß (7.145a,b) selbstadjungiert ist, falls ! v(1) u ′(1) − v(0) u ′(0) = u(1) v ′(1) − u(0) v ′(0)

(7.148)

gefordert wird. Diese Forderung ist immer erfüllt, wenn die Funktionen u(x) und v(x) denselben Randbedingungen gehorchen. d2 ù d2 é Ein anderes Beispiel ist der Operator L = 2 êg(x) 2 ú, der für g(x) = EI(x) dx úû dx êë in der Differentialgleichung für die Balkenbiegung auftritt und bei entsprechenden Randbedingungen ebenfalls selbstadjungiert ist (Ü7.2.10). Hingegen ist der Differentialoperator L=d/dx nicht selbstadjungiert; denn mit ihm geht das Skalarprodukt (7.144), 1

ò

( v, Lu) = v u ′ dx, 0

nach partieller Integration in ( v, Lu ) = −( u, Lv) + u(1) v(1) − u(0) v(0 )

bzw. in ( v, Lu) = ( u, L* v) + u(1) v(1) − u(0) v(0) mit L* = – d/dx über. Mithin stimmen die Operatoren L und L* nicht überein, so dass (7.145) nicht erfüllt werden kann. Somit ist eine gewöhnliche Differentialgleichung im Allgemeinen nicht selbstadjungiert, falls sie eine erste Ableitung enthält, so dass ein Variationsprinzip nur bedingt existiert. Als Beispiel sei die Differentialgleichung Lu = a 0 u + a1u ′ + a 2 u ′′

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 129

erwähnt, die nur für a1 = da 2 / dx als EULERsche Differentialgleichung einer Variationsaufgabe aufgefasst werden kann (Ziffer 7.3). Falls a 2 eine Konstante ist, verschwindet der Term mit der ersten Ableitung. Das GALERKIN-Verfahren hat den Vorteil, dass für ein gegebenes Problem aus der beschreibenden Differentialgleichung und den zugehörigen Randbedingungen die Finite-Elemente-Gleichungen auch ohne Kenntnis oder Existenz eines Variationsprinzips formuliert werden können. Analog zu Anwendungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen, wie beispielsweise die "eindimensionale" POISSONsche Differentialgleichung (7.13), kann das GALERKIN-Verfahren auch zur Lösung partieller Differentialgleichungen herangezogen werden. Zur Erläuterung sei die "zweidimensionale" POISSONsche Differentialgleichung ∆Φ + 2 = 0

(7.39)

betrachtet, die auch mit dem RITZschen Verfahren in Ziffer 7.1 behandelt wurde. Mit dem Näherungsansatz 3

Φ( x, y ) =

å N j (x, y)Φ ej ≡ [ N]{Φ e }

(7.65a,b)

j=1

für ein lineares finites Dreieckselement und dem aus (7.39) folgenden Residuum R(x, y) = ∆Φ + 2 ≠ 0 erhält man in Erweiterung von (7.111) aus dem Gebietsintegral

òò Wi (x, y) R(x, y) dx dy = 0

(7.149)

A∆

das GALERKIN-Kriterium Wi (x, y) = N i ( x, y) zu:

òò

A∆

æ ∂2 Φ ∂2 Φ ö N i ( x, y)çç 2 + 2 + 2÷÷ dx dy = 0 , i = 1,2,3 . ∂y è ∂x ø

(7.150)

Darin wird die Integration über die Fläche A∆ des finiten Dreieckselementes erstreckt. Der Index i läuft von 1 bis 3, da in diesem Beispiel ein lineares finites Dreieckselement mit nur drei Knotenpunkten (Bild 7.6) betrachtet werden soll. Der erste Term in (7.150) kann durch partielle Integration folgendermaßen ausgedrückt werden:

òò

A∆

Ni

∂2Φ ∂x

2

ò

dx dy ≡ N i

Darin kann im Linienintegral

S

∂Φ dy − ∂x

òò

A∆

∂N i ∂Φ dx dy . ∂x ∂x

(7.151)

130

7 Näherungsverfahren

dy = ds cos α ≡ ds cos( n, x )

(7.152)

eingesetzt werden (Bild 5.3), wobei cos(n,x) der Richtungscosinus der äußeren Normalen bezüglich der x-Achse ist. Der zweite Term in (7.150) kann entsprechend ausgedrückt werden, so dass man (7.150) durch óó ôô ôô ôô õõ

A∆

æ ∂ Ni ∂ Φ ∂ Ni ∂ Φ ö + − 2Ni ÷ dx dy ç è ∂x ∂x ∂y ∂y ø

ó é ∂Φ ù ∂Φ −ôô Ni ê cos (n, x) + cos (n, y) ú ds = 0 , i=1,2,3 , ô ∂y ë ∂x û õ

(7.153)

S

ersetzen kann. Wendet man auf das Linienintegral in (7.153) die GREENsche Formel (5.61a) [BETTEN, 1987, S259/Ü7.3.7] in der alternativen Form óó æ ôô ç ôô ôô õõ è

B

∂P ∂Q ö + ÷ dx dy = ò [ P cos(n, x) + Q cos(n, y) ] ds ∂x ∂y ø

(5.61a*)

l

an [SMIRNOW, 1961], so geht (7.153) mit den Substitutionen P ≡ N i ∂Φ / ∂x und Q ≡ N i ∂Φ / ∂y unmittelbar in das Flächenintegral (7.150) über ! In (7.153) wird der Näherungsansatz (7.65a,b) eingesetzt. Dabei ist festzuhalten, dass der Index j in (7.65a,b) ein Summationsindex darstellt, während der Index i in (7.153) ein freier Index ist, so dass (7.153) drei Gleichungen beinhaltet und in Verbindung mit (7.65a,b) durch folgende Matrixform dargestellt werden kann: eù

{ } = {F }

éK Φ ë û

e

e

ì ü ù ï ∂Φ ïó é ∂Φ cos (n, x) + cos (n, y) ú ds ý . + íô N i ê ∂y û ï ïõ ë ∂ x îS þ

(7.154)

Darin stimmen die Steifigkeitsmatrix [Ke] und der Kraftvektor {Fe} mit den entsprechenden Matrizen (7.68) und (7.69) aus der Variationsmethode überein. Wie beim Beispiel der eindimensionalen POISSON-Gleichung (7.13) gilt auch für die zweidimensionale POISSONsche Differentialgleichung (7.39), dass bei selbstadjungierten Operatoren, wie in (7.39) der LAPLACE-Operator, die Variationsmethode und das GALERKIN-Verfahren übereinstimmende Ergebnisse liefern. Anmerkung: Um zu zeigen, dass der LAPLACE-Operator ∆ ≡ ∂ 2 / ∂ x 2 + ∂ 2 / ∂ y 2 selbstadjungiert ist (7.145a), bilde man analog (7.144) das Skalarprodukt

( v, Lu) : = ò ò v ∆u dx dy ≡ òò v(∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 ) dx dy, B

B

(7.155)

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 131

wobei u = u( x, y) und v = ( x, y) . Durch partielle Integration analog (7.151) kann der erste Term in (7.155) zunächst durch

óó ∂ 2 u ó v ∂u dy − óó ∂v ∂u dx dy ôô ôô v 2 dx dy = ô õ ∂x õõ ∂x ∂x õõ ∂x l

B

(7.156a)

B

ausgedrückt werden. Eine weitere partielle Integration des Gebietsintegrals auf der rechten Seite in (7.156a) führt auf:

óó ∂ 2 u óó ∂ 2 v ∂v ö ó æ ∂u ôô v 2 dx dy = ô ç v ∂x − u ∂x ÷ dy + ôô u 2 dx dy. õè ø õõ ∂x õõ ∂x l

B

(7.156b)

B

Entsprechend kann der zweite Term in (7.155) durch zweimalige partielle Integration behandelt werden, so dass aus (7.155) mit (7.152) und dx = ds cos ( n, y) schließlich analog (7.147b) der Zusammenhang

óé

ù æ ∂u ∂u ∂v ö ∂v ö − u ÷ cos ( n, x ) + ç v − u ÷ cos ( n, y ) ú ds (7.157) ∂x ø ∂y ø è ∂y û õ ëè ∂x

( v, Lu ) = ( u, Lv ) + ô êçæ v l

gefolgert werden kann. Darin verschwindet bei entsprechenden Randbedingungen das Randintegral entlang l , so dass dann der Operator L ≡ ∆ symmetrisch bzw. selbstadjungiert ist. Mithin existiert zur POISSONschen Differentialgleichung (7.39) ein Variationsprinzip (Ü 5.4.1). Ebenso kann gezeigt werden, dass der Bipotentialoperator ∆∆ selbstadjungiert ist (Ü5.4.1). Zur Kontrolle von (7.157) kann in (7.157) das Linienintegral mit Hilfe der GREENschen Formel (5.61a*) gemäß ( v, Lu) − ( u, Lv) ausgedrückt werden. Übungsaufgaben 7.2.1 Zur Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

dT + k( T − T∞ ) = 0 , dt

(1)

die nach NEWTON einen Abkühlvorgang beschreibt, benutze man die in Ziffer 7.2 behandelten Verfahren der gewichteten Residuen. In (1) sind T = T(t) der gesuchte zeitliche Temperaturverlauf, T∞ die Umgebungstemperatur und k eine Konstante. Die analytische Lösung ist durch T( t ) = T(0) exp ( − kt ) + T∞ [1 − exp ( − kt )] gegeben.

(2)

132

7 Näherungsverfahren

Zur numerischen Lösung sollen lineare Ansatzfunktionen (shape functions) und zwei finite Elemente I und II zur "Zeitdiskretisierung" des Bereichs 0 ≤ t ≤ 1 gewählt werden (Skizze). I

Ni (t)

II

1 N1

N2

N3

t 0

0,5



‚

1

ƒ

Aus der Skizze liest man die folgenden Ansatzfunktionen ab:

N1 ( t ) = 1 − 2 t ü ï N 2 ( t ) = 2 t ý 0 ≤ t ≤ 1 / 2, ï N 3 (t) = 0 þ

N1 ( t ) = 0 ü ï N 2 ( t ) = 2(1 − t )ý 1 / 2 ≤ t ≤ 1. (3a,b,c,d,e,f) N 3 ( t ) = −1 + 2 t ïþ

Die Anfangstemperatur im Knotenpunkt  sei T1 ≡ T(0 ) = 1 . Gesucht sind die dimensionslosen Temperaturen T2 und T3 in den Knotenpunkten ‚ und ƒ, d.h. zu den dimensionslosen Zeiten t = 1/2 und t = 1. Für die späteren numerischen Auswertungen soll k = 2 und T∞ = 1 / 2 angenommen werden. Mit diesen Werten vereinfacht sich (1) zu: dT + 2T − 1 = 0 dt

.

(4)

7.2.2 Analog Ü7.2.1 ist die gewöhnliche Differentialgleichung

dT / dt + k( T − T∞ ) = 0

(1)

mit Hilfe der Verfahren der gewichteten Residuen zu lösen. Im Gegensatz zu Ü7.2.1 soll der Bereich 0 ≤ t ≤ 1 als Einzelelement mit quadratischen Ansatzfunktionen (shape functions) betrachtet werden, so dass wie in Ü7.2.1 drei Knotenpunkte vorzusehen sind und drei Knotenwerte Ti bestimmt werden müssen. Als Beispiel sei das GALERKIN-Verfahren gewählt. Die anderen Verfahren möge der Leser zur Übung ergänzen. 7.2.3 Die gewöhnliche Differentialgleichung aus Ü7.2.1 und Ü7.2.2 ist analog Ü7.2.2 mit kubischen Ansatzfunktionen zu lösen.

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 133

7.2.4 Man betrachte die stationäre Wärmeleitung (∂T / ∂t = 0) in einer Schicht der Breite d ohne Wärmequellen (spezifische Ergiebigkeit der Wärmequellen q& E = 0 ). Die Temperaturen an den Schichtflächen x = 0 und x = d werden konstant auf T0 und T1 gehalten. Dabei sei T0 > T1 , so dass die Wärme in positive x-Richtung fließt. Es werde eine eindimensionale Wärmeleitung angenommen. Der Schichtwerkstoff sei isotrop, so dass die Wärmeleitfähigkeit durch eine skalare Größe beschrieben werden kann. Im anisotropen Fall, wie beispielsweise in einem Kochsalzkristall mit drei Vorzugsrichtungen, ist eine tensorielle Beschreibung der Wärmeleitfähigkeit erforderlich. Der Schichtwerkstoff sei homogen, so dass die Wärmeleitzahl λ explizit keine Ortsfunktion ist. Sie soll jedoch als Funktion der Temperatur angenommen werden, d.h., der Werkstoff besitzt eine temperaturabhängige Wärmeleitfähigkeit. Unter den aufgezählten Voraussetzungen vereinfacht sich die partielle Differentialgleichung der Wärmeleitung

{∇} t { λ ∇ T} + q& E = c ρ ∂T / ∂t

(1)

zu der gewöhnlichen Differentialgleichung dT ù d é λ( T ) =0 dx úû dx êë

(2)

mit den Randbedingungen T( 0) = T0

T( d ) = T1 .

und

(3a,b)

Der erste Term auf der linken Seite in (1) kann auch durch div (k grad T) ausgedrückt werden. In (1) bedeuten c die spezifische Wärme je Masseneinheit und ρ die Dichte. Die Wärmeleitzahl sei temperaturabhängig gemäß der linearen Beziehung λ( T ) = λ1 + µ ( T − T1 )

(4)

mit den Konstanten λ1 und µ . Man löse die durch (2), (3), (4) gestellte nichtlineare Randwertaufgabe a) nach dem klassischen GALERKIN-Verfahren, b) mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode und vergleiche die Ergebnisse mit der exakten Lösung. c) Neben der Temperaturverteilung ist auch der spezifische Wärmestrom zu diskutieren. 7.2.5 Man löse die Randwertaufgabe

(yy′)′ − 1 = 0

0 ≤ x ≤1

(1)

134

7 Näherungsverfahren

y( 0) = 1 , y(1) = 0

(2a,b)

nach dem GALERKIN-Verfahren, wobei der Bereich x < 0,1 > a) in zwei bzw. drei lineare finite Elemente, b) in ein quadratisches finites Element, c) in ein kubisches finites Element

aufgeteilt werden soll. Die Ergebnisse vergleiche man mit der exakten Lösung. Als Zwischenergebnis stelle man jeweils die nichtlineare Matrixgleichung

[K(y)]{y} = {F(y)}

(3)

auf. 7.2.6 Man löse die Randwertaufgabe

y ′′ + y + x = 0

0 ≤ x ≤1

y(0 ) = 0 , y(1) = 0

(1) (2a,b)

a) mit einem eingliedrigen, b) mit einem zweigliedrigen GALERKIN-Ansatz und vergleiche die Ergebnisse mit der exakten Lösung. c) Welche Kollokationspunkte muss man wählen, damit das Kollokationsverfahren dieselben Ergebnisse liefert wie das GALERKIN-Verfahren? 7.2.7 Man löse die Differentialgleichung

y ′′ + y + x = 0

0 ≤ x ≤1

(1)

unter Berücksichtigung der Randbedingungen y(0) = 0

und

y ′(1) = 0

(2a,b)

a) mit einem eingliedrigen, b) mit einem zweigliedrigen GALERKIN-Ansatz und vergleiche die Ergebnisse mit der exakten Lösung. c) Welche Kollokationspunkte muss man wählen, damit das Kollokationsverfahren dieselben Ergebnisse liefert wie das GALERKIN-Verfahren ? 7.2.8 Man löse die Differentialgleichung

y ′′ + y + x = 0

0 ≤ x ≤1

(1)

unter Berücksichtigung der Randbedingungen y(0) = 0 und y ′(1) = 0

(2a,b)

7.2 Verfahren der gewichteten Residuen, insbesondere Galerkin, und die FE-Methode 135

nach dem GALERKIN-Verfahren, wobei der Bereich 0 ≤ x ≤ 1 a) in zwei bzw. vier lineare finite Elemente, b) in ein bzw. zwei quadratische finite Elemente

aufgeteilt werden soll. Die Ergebnisse vergleiche man mit der exakten Lösung y ex = sin( x) cos(1) − x ,

(3)

die man ähnlich wie in Ü7.2.7 unter Berücksichtigung der Randbedingungen (2a,b) erhält. 7.2.9 Man löse die gewöhnliche Differentialgleichung

x 2 y ′′ + 2 xy ′ = 6x

(1)

im Bereich 1 ≤ x ≤ 2 unter Berücksichtigung der Randbedingungen y(1) = y( 2) = 0

(2)

näherungsweise mit eingliedrigen und zweigliedrigen Ansätzen a) nach der RITZ-Methode und b) nach dem GALERKIN-Verfahren. Die Ergebnisse vergleiche man mit der exakten Lösung. 7.2.10 Man zeige, dass folgende Operatoren selbstadjungiert sind: a) L =

d æ 2 dö çx ÷ dx è dx ø

und

b) L =

d2 é d2 ù ) g(x ê ú . dx 2 êë dx 2 úû

7.2.11 Das zweidimensionale Problem der stationären ( ∂ T ∂ t = 0) wird beschrieben durch die Differentialgleichung

∂Tö ∂ Tö ∂ æ ∂ æ ÷+ ÷ + q& E = 0 çλx çλy ∂yø ∂xø ∂y è ∂x è

,

Wärmeleitung

(1a)

wobei λ x und λ y die Wärmeleitzahlen in x- und y-Richtung sind (anisotrope

Wärmeleitung), während q& E die spezifische Ergiebigkeit der Wärmequellen ausdrückt. Im instationären Fall ist die rechte Seite in (1a) durch cρ ∂ T ∂ t gegeben (c = spezifische Wärme je Masseneinheit, ρ = Dichte). Analog Gl. (1) in Ü7.2.4 kann obige Gleichung (1a) in der Form

{∇} t [ λ ]{∇T} + q& E = 0

(1b)

dargestellt werden, wenn man aufgrund der Anisotropie den Tensor der Wärmeleitzahlen

136

7 Näherungsverfahren

éλ

[λ ij ] = êë 0x

0 ù ≡ [ λ] λ y úû

(2)

einführt, der Diagonalgestalt besitzt. In (1a) sind λ x , λ y und q& E gegebene Funktionen von x und y. Auf der Randkontur des betrachteten Gebietes G seien die allgemeinen Randbedingungen T = ϑ( x, y) λx

auf S1 ,

(3a)

∂T ∂T n y + q + h( T − T∞ ) = 0 nx + λy ∂y ∂x

auf S2

(3b)

gegeben (Skizze). y

→

n

ny nx

G

S = S1 +S 2

S2 S1 x

In (3a,b) sind ϑ( x, y) die Temperaturverteilung auf dem Rand, q der Wärme-

verlust am Rand infolge Wärmeleitung und h( T − T∞ ) der Wärmeverlust am Rand

infolge Konvektion mit h als Konvektionskoeffizient und T∞ als Umgebungstemperatur. Zur Lösung der Differentialgleichung (1a,b) unter Berücksichtigung der Randbedingungen (3a,b) sollen die Finite-Elemente-Gleichungen a) nach der Variationsmethode und b) nach dem GALERKIN-Verfahren entwickelt werden. 7.2.12 In Ergänzung zu Ü7.2.11 soll im Folgenden das zweidimensionale Problem der instationären Wärmeleitung behandelt werden, dem die Differentialgleichung

∂T ∂ Tö ∂Tö ∂ æ ∂ æ ÷+ ÷ + q& E = cρ çλx çλy ∂t ∂yø ∂xø ∂y è ∂x è

(1)

mit den Randbedingungen T = ϑ ( x, y; t ) auf S1 , t > 0 ,

(2a)

7.3 Existenz eines Variationsprinzips

λx

∂T ∂T n y + q + h( T − T∞ ) = 0 auf nx + λy ∂y ∂x

S2 , t > 0

137

(2b)

und der Anfangsbedingung T = T0 ( x, y) in G zum Zeitpunkt t = 0

(2c)

zugrunde liegt.

7.3 Existenz eines Variationsprinzips Die Frage, ob zu einer gegebenen linearen oder auch nichtlinearen Differentialgleichung ein Variationsprinzip existiert, d.h., kann diese Differentialgleichung als EULERsche Differentialgleichung eines noch zu bestimmenden Funktionals aufgefasst werden, ist von einigen Autoren intensiv untersucht worden. Zu erwähnen seien etwa die Autoren FINLAYSON(1972), MIKHLIN (1964), ODEN (1972, 1976), TONTI (1969), VEINBERG (1964). Im Zusammenhang mit der Überprüfung der selbstadjungierten Eigenschaft (7.145a,b) eines Operators L in (7.146) oder in (7.155) wurde die Existenzfrage kurz angeschnitten. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie man allgemein auch für Systeme von linearen Differentialgleichungen ein Variationsfunktional aufstellen kann. Das gegebene System von linearen Differentialgleichungen sei in der Matrizenform [ L]{u} + {c} = {0}

(7.158)

darstellbar. Darin sind [ L ] die Matrix des linearen Differentialoperators, { u} die

Spaltenmatrix der Unbekannten und { c} eine gegebene Spaltenmatrix. Dem System (7.158) kann ein Variationsprinzip zugeordnet werden, falls analog (7.145a;b) die Symmetriebedingung

ò { v} [ L]{ u} dB = ò { u} [ L]{ v} dB t

B

t

(7.159)

B

erfüllt ist, so dass ein selbstadjungierter Operator [ L ] in (7.158) vorliegt. Aufgrund der selbstadjungierten Eigenschaft (7.159) kann (7.158) als EULERsches Differentialgleichungssystem des Variationsfunktionals

óæ1 ö Π = ô ç { u} t [ L ]{ u} + { u} t { c} ÷ dB ø õè2 B

(7.160)

138

7 Näherungsverfahren

gedeutet werden. Um das zu zeigen, bilde man die erste Variation:

1 óæ1 ö δΠ = ô ç δ{ u} t [ L]{ u} + { u} t δ([ L ]{ u} ) + δ{ u} t { c} ÷ dB è ø 2 õ 2

.

(7.161)

B

In Verallgemeinerung der Vertauschbarkeit der Reihenfolge von Variation und Differentiation gemäß (5.15a,b) gilt für jeden linearen Operator das Kommutativgesetz

δ([ L]{ u} ) = [ L]δ{ u}

.

(7.162)

Damit kann das zweite Integral in (7.161) durch 1

1

ò 2 { u} δ([ L]{ u} )dB = ò 2 { u} [ L]δ{ u} dB t

B

t

(7.163)

B

ausgedrückt werden. Darin kann δ{ u} als beliebige unabhängige Funktion aufgefasst und mit { v} in (7.159) identifiziert werden, so dass aufgrund der selbstad-

jungierten Eigenschaft (7.159) des Operators [ L ] das Integral (7.163) mit dem ersten Integral in (7.161) übereinstimmt. Mithin kann die erste Variation (7.161) zu

δΠ =

ò δ{ u} ([ L]{ u} + { c} )dB t

(7.164)

B

vereinfacht werden. Aufgrund des Fundamentallemmas der Variationsrechnung muss wegen δΠ = 0 in (7.164) die in runden Klammern stehende Matrixgleichung verschwinden, so dass die Ausgangsgleichung (7.158) als EULERsche Differentialgleichung des Funktionals (7.160) erklärt werden kann. Als Beispiel zu (7.158) sei das Gleichungssystem

q−

dϕ =0 , dx

dq +Q = 0 dx

(7.165a,b)

betrachtet, das die eindimensionale Wärmeleitung beschreibt, wenn man die beiden Unbekannten ϕ und q als Temperatur und Wärmestrom ansieht. Stellt man dieses System in der Form (7.158) dar, so gilt: é ê1 [ L] ≡ ê d ê ë dx

−

dù dx ú ú 0 ú û

,

ìq ü

{ u} ≡ í ý ϕ î þ

,

ì0 ü

{ c} ≡ í ý . Q î þ

(7.166a,b,c)

Mit diesen Matrizen kann das Variationsfunktional (7.160) gebildet werden, da der Operator [ L ] selbstadjungiert ist, wie man leicht zeigen kann.

7.3 Existenz eines Variationsprinzips

139

Aus (7.165a,b) resultiert die eindimensionale POISSON-Gleichung d 2ϕ dx 2

+ Q( x ) = 0

(7.167)

mit dem Operator [ L ] = d 2 dx 2 , dessen selbstadjungierte Eigenschaft durch (7.147a,b) nachgewiesen ist, so dass ein Variationsfunktional (7.160) der Differentialgleichung (7.167) zugeordnet werden kann: b

ó æ 1 d2ϕ ö Π = ô çç ϕ 2 + ϕQ÷÷ dx . ø õ è 2 dx

(7.168)

a

Damit liegt eine Variationsaufgabe gemäß (5.24) vor. Ihre EULERsche Differentialgleichung (5.27) mit F( x, ϕ, ϕ ′′) ≡

1 ϕϕ ′′ + ϕQ 2

(7.169)

entspricht der POISSON-Gleichung (7.167). Durch partielle Integration kann der Grad ϕ ′′ in (7.168) auf ϕ ′ heruntergesetzt werden: b

2 ù 1 b ó é 1 dϕ Π = ϕϕ ′ a − ô ê æç ö÷ − ϕQ ú dx . ô è ø 2 úû õ êë 2 dx

(7.170)

a

Damit liegt eine Variationsaufgabe gemäß (5.3) vor. Ihre EULERsche Differentialgleichung (5.21a) mit

é1 ù F( x, ϕ, ϕ ′′) ≡ − ê ϕ ′ 2 − ϕ( x) Q( x) ú ë2 û

(7.171)

entspricht wiederum der POISSON-Gleichung (7.167). Man vergleiche (7.171) mit (7.16) im Zusammenhang mit (7.13) und (7.15). Als weiteres Beispiel sei die partielle Differentialgleichung ∆ϕ + qϕ + Q = 0

(7.172)

aufgeführt mit den Ortsfunktionen q = q ( x, y ) und Q = Q(x, y ) . Darin ist der Operator é ∂2

[ L] ≡ ê

êë ∂x

2

∂2 ∂y

2

ù q( x, y) ú úû

(7.173)

selbstadjungiert, wie durch (7.157) bestätigt worden ist. Weiterhin vereinfacht sich { c} in (7.158) zu Q, so dass man aus (7.160) das Variationsfunktional

140

7 Näherungsverfahren

ó æ 1 é ∂2ϕ ∂2ϕ ö ù Π = ô çç ϕ ê 2 + 2 + qϕ ú + ϕQ÷÷ dxdy ô è 2 êë ∂x ∂y úû ø õ

(7.174)

B

erhält. Ihre zugeordnete EULERsche Differentialgleichung ist in (5.66) enthalten: ∂F ∂ 2 æ ∂F ö ∂ 2 æ ∂F ö + ç ÷+ ç ÷ =0 && ø ∂ϕ ∂x 2 è ∂ϕ ′′ ø ∂y 2 è ∂ϕ

(7.175)

mit

&& ) ≡ F( x, y, ϕ, ϕ ′′, ϕ

1 && + qϕ ) + Qϕ . ϕ( ϕ ′′ + ϕ 2

(7.176)

&& ≡ ∂ 2 ϕ ∂y 2 eingeführt. Setzt man Darin ist zur Abkürzung ϕ ′′ ≡ ∂ 2 ϕ ∂x 2 und ϕ (7.176) in (7.175) ein, so erhält man unmittelbar die Ausgangsgleichung (7.172), die somit als EULERsche Differentialgleichung des Variationsfunktionals (7.174) gedeutet werden kann. Durch partielle Integration analog (7.151) der beiden ersten Integrale in (7.174) kann das Funktional Π auch gemäß ù ó é 1 æ ∂ϕ ö 2 1 æ ∂ϕ ö 2 1 Π = −ô ê ç ÷ + ç ÷ − qϕ 2 − Qϕ ú dxdy ô ê 2 è ∂x ø 2 è ∂y ø 2 úû õë

(7.177)

B

ausgedrückt werden. Darin sind Randterme nicht berücksichtigt. Mit dem Funktional (7.177) liegt die Variationsaufgabe (5.57) vor, deren EULERsche Differentialgleichung (5.64) wieder unmittelbar auf die Ausgangsgleichung (7.172) führt, wie man leicht kontrollieren kann. In obigen Beispielen traten nur selbstadjungierte Operatoren auf. Im Folgenden soll die gewöhnliche Differentialgleichung a2

d2u dx

2

+ a1

du + a0u = 0 dx

(7.178)

diskutiert werden, deren Operator L := a 2

d2 dx

2

+ a1

d + a0 dx

(7.179)

nicht selbstadjungiert ist, da er die erste Ableitung enthält. Die zweite Ableitung in (7.179) ist hingegen selbstadjungiert, wie durch (7.147a,b) nachgewiesen. Durch Einführen eines „integrierenden“ Faktors gemäß ~ L = g( x ) L (7.180)

7.3 Existenz eines Variationsprinzips

141

kann die Differentialgleichung (7.178) auf eine selbstadjungierte Form gebracht werden, so dass eine zugeordnete Variationsaufgabe formuliert werden kann. Um das zu zeigen, bilde man das Skalarprodukt

(

)

~ v, Lu = ( v, g L u) =

1

ò (va 2 gu ′′ + vga1u ′ + vga 0 u)dx

,

(7.181)

0

das nach partieller Integration des ersten Terms in

(

1

) ò [vga 0 u − u ′ga 2 v ′ + vu ′( ga1 − ga ′2 − a 2 g ′)]dx + R

~ v, Lu =

(7.182)

0

übergeht mit einem Randterm R, der für unsere Betrachtungen nicht näher untersucht werden muss. Selbstadjungiertheit ist dann gegeben, wenn (7.182) in u und v symmetrisch ist: ~ ~ v, Lu = u, Lv . (7.183)

(

) (

)

Die ersten zwei Terme in (7.182) sind symmetrisch in u und v, der letzte jedoch nicht. Mithin muss dg

( a1 − a ′2 ) g − a 2 dx = 0

(7.184)

gefordert werden, damit zur Differentialgleichung (7.178) eine Variationsaufgabe formuliert werden kann. Für g=1 stimmt der modifizierte Operator (7.180) mit dem aktuellen Operator überein. Dann folgt aus (7.184) die Bedingung a1 = a 2′ , unter der zur Differentialgleichung (7.178) ein Variationsfunktional existiert. Die Differentialgleichung (7.184) ist vom separablen Typ, so dass ihre Lösung für den integrierenden Faktor g( x) leicht angegeben werden kann: æ a − a′ ö g( x) = expç 1 2 dx÷ . a2 è ø

ò

(7.185)

Damit ist der modifizierte Operator (7.180) selbstadjungiert. In den Übungen Ü7.3.1 bis Ü7.3.7 werden verschiedene Differentialgleichungen gelöst, indem man sie zunächst auf eine selbstadjungierte Form bringt und dann von dem entsprechenden Funktional ausgeht und in die FEM einsetzt. In den erwähnten Übungen werden auf diese Weise die BESSELsche, LEGENDREsche, TSCHEBYSCHEFFsche und LAGUERREsche Differentailgleichungen gelöst, um nur einige Beispiele zu nennen.

142

7 Näherungsverfahren

Übungsaufgaben 7.3.1 a) Man zeige, dass der Differentialgleichung

x 2 y ′′ + axy ′ + q ( x) y = 0

(1)

für a = 2 ein Funktional zugeordnet werden kann. b) Für a ≠ 2 bringe man die Differentialgleichung durch eine geeignete Substitution auf eine selbstadjungierte Form und gebe das zugehörige Funktional an. 7.3.2

Jede gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung, y ′′ + a 1 ( x) y ′ + a 0 ( x) y = 0 ,

(1)

kann durch Multiplikation mit æ ö p(x): = expç a1 ( x) dx÷ ø è

ò

(2)

immer auf die selbstadjungierte Form ( py ′) ′ + a 0 ( x) p( x) y = 0

(3)

gebracht werden, die als EULER-LAGRANGEsche Differentialgleichung des Funktionals 1

ò

J = F ( x, y, y′ ) dx = 0

1

ò éëp(x) y′

2

0

− a 0 (x) p(x) y 2 ù dx û

(4)

gedeutet werden kann; denn aus ∂F d æ ∂F ö − ç ÷ =0 ∂y dx è ∂y ′ ø

(5.21a)

folgt unmittelbar (3). Man wende diesen Satz auf die Differentialgleichung (1) an und diskutiere anschließend den Sonderfall a = 2. 7.3.3 Analog Ü 7.3.2 stelle man die Funktionale zu folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf : a) BESSELsche Differentialgleichung

x 2 y ′′ + xy ′ + ( x 2 − a 2 ) y = 0 ,

(1)

b) LEGENDREsche Differentialgleichung

(x 2 − 1)y ′′ + 2 xy ′ − a (1 + a )y = 0 ,

(2)

7.3 Existenz eines Variationsprinzips

143

c) TSCHEBYSCHEFFsche Differentialgleichung

( x 2 − 1) y ′′ + xy ′ − a 2 y = 0 ,

(3)

d) LAGUERREsche Differentialgleichung

xy′′ + (1 − x)y′ + ay = 0 .

(4)

7.3.4 In Anlehnung an Ü 7.3.2 ermittle man zur Differentialgleichung

a 2 ( x) y ′′ + a 1 ( x) y ′ + a 0 ( x) y = f ( x)

(1)

ein Funktional. 7.3.5 Man löse die Differentialgleichung

x 2 y ′′ + 2 xy ′ = 6x

(1)

unter Berücksichtigung der Randbedingungen y(1) = y(2) = 0 nach der FEM, indem man den Bereich 1 ≤ x ≤ 2 folgendermaßen aufteile : a) als Einzelelement mit drei Knoten, b) als Einzelelement mit vier Knoten, c) in zwei quadratische Elemente. Die Ergebnisse vergleiche man mit der exakten Lösung und dem RITZ-Verfahren (Ü 7.2.9). 7.3.6

Man löse die Differentialgleichung y ′′ + y + x = 0

0≤x≤1

(1)

unter Berücksichtigung der Randbedingungen y( 0 ) = 0

und

y ′(1) = 0 ,

(2a,b)

indem man vom zugeordneten Funktional ausgeht und den gesamten Bereich 0 ≤ x ≤ 1 als Einzelelement mit quadratischen Formfunktionen betrachtet. Die Lösung vergleiche man mit einem eingliedrigen RITZ-Ansatz und den Ergebnissen aus Ü 7.2.8. 7.3.7 Man löse die BESSELsche Differentialgleichung

x 2 y ′′ + xy ′ + ( x 2 − n 2 ) y = 0

(1)

für n = 1 im Intervall [1, 2] unter den Randbedingungen y(1) = 1 und y(2) = 2,

(2a,b)

indem man vom zugeordneten Funktional ausgeht und den gesamten Bereich [1, 2] als Einzelelement mit quadratischen Formfunktionen betrachtet. Die Lösung vergleiche man mit einem eingliedrigen RITZ-Ansatz und mit der exakten Lösung.

144

7 Näherungsverfahren

7.4 Näherungsfehler und Konvergenz Die FEM liefert nur Näherungslösungen, deren Güte beispielsweise von der Diskretisierung oder der Wahl der Formfunktionen abhängt, wie in einigen Übungen (Ü3.2.2, Ü3.2.3, Ü3.2.9 bis Ü3.2.15) an einfachen Beispielen oder auch in den Ziffern 7.1 und 7.2 bei der Gegenüberstellung einzelner Näherungsverfahren bereits diskutiert. Im Folgenden sollen einige Grundbegriffe zusammengestellt werden, die für Fehlerbetrachtungen und zur Diskussion der Konvergenz bedeutend sind. Eine Funktion f ( x) nennt man quadratisch integrierbar in einem abgeschlossenen Intervall [ a, b] , falls die Integrale b

ò

b

f ( x) dx

a

und

ò f ( x)

2

dx

(7.186a,b)

a

existieren. Beispielweise ist die Funktion f ( x) = 1 x im Intervall [ 0,1] nicht quadratisch integrierbar, da das Integral (7.186b) divergiert. Hingegen ist die Funktion f ( x) = x −1 3 im Intervall [ 0,1] quadratisch integrierbar, da die Integrale (7.186a,b) die Werte 3 2 und 3 liefern. In (7.186b) sind Absolutstriche gesetzt, da allgemein auch komplexwertige Funktionen f ( x ) = ϕ( x) + iψ ( x ) berücksichtigt werden können, die wegen

f ( x)

2

= ϕ 2 ( x) + ψ 2 ( x)

quadratisch integierbar in [ a, b] sind, wenn Realteil ϕ( x) und Imaginärteil ψ ( x) quadratisch integrierbar sind. Falls nur reelle Funktionen betrachtet werden, sind die Absolutstriche in (7.186b) überflüssig. Die Menge der im LEBESGUEschen Sinn quadratisch integrierbaren Funktionen wird mit L 2 ( a, b) bzw. einfach mit L 2 bezeichnet. Der LEBESGUEsche Integralbegriff ist eine Verallgemeinerung des klassischen RIEMANNschen Integrals und spielt in der Funktionalanalysis eine fundamentale Rolle. Unter der L 2 -Norm einer Funktion f ( x) ∈ L 2 ( a, b) versteht man eine Zahl, die gemäß 12

æb ö 2 f := ç f (x) dx ÷ ç ÷ èa ø

ò

(7.187)

definiert ist. Beispielweise hat die Funktion f ( x ) = x −1 3 ∈ L 2 ( 0,1) nach (7.187) die Norm f = 3 . Funktionen mit der Norm f = 1 heißen normiert.

7.4 Näherungsfehler und Konvergenz

145

Unter Abstand zweier Funktionen f ( x) ∈ L 2 ( a, b) und g( x) ∈ L 2 ( a, b) versteht man die L 2 -Norm der Differenzfunktion: æb ö 2 f ( x) − g( x) : = ç f ( x) − g( x) dx÷ ç ÷ èa ø

ò

12

.

(7.188)

Man spricht auch von mittlerer quadratischer Abweichung. Falls f ( x) die exakte Lösung und g( x) eine Näherungsfunktion ist, kennzeichnet (7.188) die L2-Fehlernorm (7.133), die auch mit f ( x) − g( x) 2 wie in (7.133) oder mit f ( x) − g( x) L 2 bezeichnet wird. In Analogie zu (7.188) wird der Abstand zweier Punkte P( x i ) und Q( y i ) , die

durch rechtwinklige kartesische Koordinaten x i und y i im n-dimensionalen EUKLIDschen Raum festgelegt sind, durch 12

ù é n 2 PQ := ê ( x i − y i ) ú úû êë i =1

å

(7.189)

angegeben. Die Lage der Punkte P und Q ist durch Ortsvektoren bestimmt, so dass →

→ →

(7.189) die Länge bzw. die EUKLIDsche Norm des Differenzvektors A = P − Q ist. In der Approximationstheorie spielt die L 2 -Fehlernorm (7.133) eine grundlegende Rolle zur Ermittlung einer optimalen Ersatzfunktion. Eine Folge von Funktionen fn ∈ L 2 ( a, b) konvergiert im Mittel gegen eine Funktion f ∈ L 2 ( a, b) , falls der Grenzwert æb ö 2 lim f n − f : = lim ç fn ( x) − f ( x) dx÷ ÷ n →∞ n→∞ç èa ø

ò

12

=0

(7.190)

existiert. Damit strebt fn ( x) gegen f ( x) im Sinne der L 2 -Normkonvergenz. Ausführlichere Diskussionen über Konvergenzsätze findet man bei COURANT/ HILBERT (1968). Im Zusammenhang mit der Überprüfung der selbstadjungierten Eigenschaft eines Operators (Ziffer 7.2) und der damit verknüpften Existenz eines Variationsfunktionals (Ziffer 7.3) ist das Skalarprodukt b

(f , g) := ò f ( x) g( x) dx a

(7.191)

146

7 Näherungsverfahren

zweier komplexer Funktionen f ( x) ∈ L 2 ( a, b) und g( x) ∈ L 2 ( a, b) von grundlegender Bedeutung. Man beachte: f ( x )g( x) = f ( x) g( x) . Falls diese Funktionen reel sind, ist der Querstrich über g( x) zur Kennzeichnung der konjugierten komplexen Funktion überflüssig. Dann liefert das Skalarprodukt (7.191) eine reelle Zahl. Für den Betrag von (7.191) gilt die SCHWARZsche Ungleichung

(f , g)

≤

f ⋅ g

(7.192a)

bzw. 12

b

b æb ö 2 2 f ( x ) g ( x ) dx ≤ ç f ( x ) dx ⋅ g ( x ) dx ÷ ç ÷ a a èa ø

ò

ò

ò

.

(7.192b)

Ein Skalarprodukt in einem reellen bzw. komplexen linearen HILBERT-Raum besitzt folgende Eigenschaften: Linearität:

( λf + µg, h ) = λ ( f , h ) + µ ( g, h )

,

Symmetrie: ( f , g ) = ( g, f ) , Definitheit: ( f , f ) > 0

(7.193a) (7.193b)

f ≠0 .

für

(7.193c)

Aus der Eigenschaft (7.193b), die im komplexen Fall auch HERMITE-Eigenschaft genannt wird, folgt, dass (f, f) immer reell und dass das Skalarprodukt im zweiten Argument antilinear ist:

( f , λ g + µh ) = λ ( f , g ) + µ ( f , h )

.

(7.194)

Im reellen Fall sind alle Querstriche überflüssig. Dann ist das Skalarprodukt bilinear. Die beiden Funktionen f ( x) und g( x) sind orthogonal im Intervall [ a, b] , wenn das Skalarprodukt (7.191) verschwindet. Ein endliches System von Funktionen fn ∈ L 2 ( a, b) wird somit als orthogonales System im Intervall [ a, b] bezeichnet, falls für zwei beliebige Funktionen fi ≠ f k dieses Systems ihr Skalarprodukt verschwindet. Ist darüber hinaus jede Funktion fn ( x) normiert, so nennt man das System im betrachteten Intervall orthonormiert oder auch Orthonormalsystem. Aus einem orthogonalen System kann immer ein orthonormiertes System erzeugt werden. Dazu wird jede Funktion fn auf ihre L 2 -Norm (7.187) bezogen: ϕ n ( x) = fn ( x) fn ( x)

.

(7.195)

Für die so gebildeten Funktionen eines orthonormierten Systems gilt:

( ϕi , ϕk ) = δik .

(7.196)

7.4 Näherungsfehler und Konvergenz

147

Darin ist δ ik das KRONECKER-Symbol. Beispielweise ist das Funktionensystem fn ( x) = exp( i nx) = cos nx + i sin nx

(7.197)

mit ganzzahligen n im Intervall [ −π, π] orthogonal, da das Skalarprodukt (7.191) verschwindet:

( fn , fm ) =

π

ò exp éëi ( n − m ) x ùû dx = 0

, n≠m .

(7.198)

−π

Die L 2 -Norm (7.187) ergibt sich mit (7.198) für n = m zu: 12

æπ ö f n = ( f n , f n ) = ç dx ÷ ç ÷ è −π ø

ò

= 2π .

(7.198)

Mithin ist das Funktionensystem

ϕ n ( x) =

1 exp( i nx) 2π

(7.199)

mit ganzzahligem n im Intervall [ −π, π] gemäß (7.195) orthonormiert. Die oben diskutierten Begriffe sind für Fehlerbetrachtungen und zur Diskussion der Konvergenz von FEM-Lösungen unverzichtbar. In einem Kontinuum kann der Fehler im Verschiebungsfeld als Spaltenmatrix e = u−~ u (7.200a)

{ u} {

}

angegeben werden, wenn man die exakte Lösung { u} kennt. Entsprechend wäre der Fehler im Spannungsfeld gemäß

{e σ } = { σ − σ~}

(7.200b)

zu formulieren. Diese örtliche Fehlerbetrachtung hat Nachteile und kann bisweilen ein falsches Bild über eine Näherungslösung geben. So können die Fehler (7.200a,b) beispielsweise bei einer punktförmigen Belastung eines elastischen Kontinuums örtlich singulär werden, während die Lösung im Ganzen gesehen doch sehr brauchbar sein kann. Ein ähnlicher Fall liegt bei scharfen Kerben vor, wo die elastische Lösung singuläre Spannungen liefert. Daher ist es zweckmäßig, Fehlernormen einzuführen, die einer integralen Fehlerbetrachtung entsprechen. Anstelle von (7.200a,b) wird man auf die L 2 -Norm (7.187) zurückgreifen und für das Verschiebungsfeld, Verzerrungsfeld oder Spannungsfeld folgende L 2 -Fehlernormen betrachten:

148

7 Näherungsverfahren

eu

æ ö t ~ ç {u − ~ : = u u − u dB } { } ÷÷ L2 ç èB ø

12

ò

æ ö t e ε L : = ç { ε − ~ε } { ε − ~ε } dB÷ ç ÷ 2 èB ø

,

(7.201a)

12

ò

,

æ ö ~ t σ−σ ~ dB÷ e σ L : = ç {σ − σ } { } ç ÷ 2 èB ø

(7.201b)

12

ò

.

(7.201c)

Alternativ zu den L 2 -Fehlernormen kann auch als "Mischung" (Kombination) aus (7.201b,c) die Energienorm

æ ö t ~ dB÷ e : = ç { ε − ~ε} { σ − σ } ç ÷ èB ø

12

ò

æ ö ~ t ε − ~ε dB÷ = ç {σ − σ } { } ç ÷ èB ø

12

ò

(7.202)

verwendet werden. Setzt man in (7.202) das Stoffgesetz

{σ(x, y)} = [ D]{ε(x, y)}

,

{ε(x, y)} = [ D] −1{σ(x, y)}

(4.47a,b)

ein, so erhält man für die Energienorm die Darstellungen:

æ ö t e = ç { ε − ~ε } [ D]{ ε − ~ε } dB÷ ç ÷ èB ø

12

ò

æ ö ~ t D −1 σ − σ ~ dB÷ = ç {σ − σ [ ] } { } ç ÷ èB ø

ò

12

. (7.203)

Vergleicht man (7.203) mit (7.201b,c), so erkennt man folgenden Unterschied: In den L 2 -Normen (7.201b,c) treten nur Verzerrungen bzw. Spannungen auf, wäh-

rend die Energienorm (7.203) noch zusätzlich die Stoffmatrix [ D] bzw. ihre Inverse [ D] −1 enthält.

Analog zur Darstellung der inneren virtuellen Arbeit [ Gln. ( 4.57) bis ( 4.60 b) ]

kann das Quadrat der Energienorm (7.202) für ein finites Element eines elastischen Kontinuums gemäß e

2

{ } [Κ e ]{∆U e }

(7.204)

[ ]

die Steifigkeitsmatrix (4.61) für das finite

= ∆U e

t

ausgedrückt werden. Darin ist Κ e Element. Die Spaltenmatrix

7.4 Näherungsfehler und Konvergenz

{∆U e }

u1 ü ì u1 − ~ ïv − ~ ï ï 1 v1 ï ïïu 2 − ~ u 2 ïï ≡í ý ~ ïv 2 − v 2 ï ïu3 − ~ u3 ï ï ï ~ ïî v 3 − v 3 ïþ

149

(7.205)

ergibt sich aus den nach der FEM ermittelten Näherungen und den exakten Knotenvariablen. Zur Schreibweise beachte man: Eine Tilde in (7.200) bis (7.205) kennzeichnet einen nach der FEM ermittelten Näherungswert, während sie in (4.54a,b) bis (4.60a,b) zur Kennzeichnung virtueller Größen verwendet wird. Da man die exakten Knotenverschiebungen im Allgemeinen nicht kennt, ist man auf eine Referenzlösung angewiesen, die bereits brauchbare Lösungen liefert. Beispielsweise wählt SCHUMACHER (1996) Lösungen aus der Gleitlinientherorie als Referenzlösungen, die im Hinblick auf den Kraft- und Leistungsbedarf obere Schranken darstellen. Die Güte der FEM-Lösungen hängt u.a. von der Netzgenerierung ab. Man ist bemüht, adaptive Vernetzungsalgorithmen zu entwickeln, die ein FE-Netz automatisch erstellen und dabei den Diskretisierungsfehler in vorgegebenen Schranken halten. Man unterscheidet drei Strategien, die ein optimales FE-Netz erzeugen können: h-Methode Þ p-Methode Þ r-Methode Þ

Erhöhung der Anzahl der Elemente, Erhöhung des Polynomgrades der shape functions, Verschieben der Knotenpunkte.

In dieser Reihenfolge werden sie in heutigen käuflichen FE-Programmen am häufigsten benutzt. In der Bezeichnung h-Methode soll zum Ausdruck kommen, dass eine "charakteristische Länge", z.B. eine Kantenlänge des finiten Dreieckselementes, variiert wird. Durch die damit verbundene Netzverfeinerung entstehen mehr Elemente und Knoten, während die Anzahl der Freiheitsgrade pro Element unverändert bleibt. Weniger Programme verwenden die p-Methode, bei der für eine anfangs festgelegt Netzaufteilung die Ansatzfunktionen (shape functions) um Polynomterme höheren Grades erweitert werden. Die Anzahl der Elemente bleibt hierbei unverändert, während die Anzahl der Knoten pro Element oder auch die Anzahl der Freiheitsgrade pro Knoten zunimmt. Schließlich ist die r-Methode (repositioning) auch ein wirksames Mittel zu Erhöhung der Genauigkeit von FEM-Lösungen. Hierbei bleibt die Anzahl der Elemente, der Knoten und auch der Freiheitsgrade pro Knoten erhalten, während die Knotenpunkte "optimal" gegeneinander verschoben werden. Durch derartige Verschiebungen kann eine Netzverfeinerung an Stellen hoher Spannungskonzentration

150

7 Näherungsverfahren

(Kerbe, scharfe Übergänge etc.) erzeugt werden, während in weniger kritischen Bereichen das Netz aufgeweitet wird. In seiner Dissertation stellt SCHUMACHER (1996) die Wirkungsweisen der h-Methode und der r-Methode im Hinblick auf den Kraftbedarf bei Umformprozessen gegenüber. Die Kenntnis von Kraft- und Leistungsbedarf ist für Umformtechniker und Konstrukteure von Anlagen unverzichtbar.

7.5 Numerische Integration Zur Ermittlung von Steifigkeitsmatrizen, Massenmatrizen oder auch von Fehlernormen sind ein- und mehrdimensionale Integralausdrücke auszuwerten. Häufig ist eine exakte Integration nur schwerfällig oder gar nicht durchführbar, so dass man in solchen Fällen auf eine numerische Integration (Quadratur) angewiesen ist. Hierzu sind eine Vielzahl von Verfahren entwickelt worden, die sich durch hohe Genauigkeit bei geringem Rechen- und Programmieraufwand auszeichnen oder bereits in kommerziellen Programmen installiert sind. So bietet beispielsweise MAPLE zur numerischen Integration verschiedene klassische Verfahren an. Falls keine Angaben in den Optionen gemacht werden, benutzt MAPLE im Allgemeinen das CLENSHAW-CURTIS-Verfahren und weicht bei „Schwierigkeiten“ auf die NEWTON-COTES-Integration (_NCrule) oder das adaptive doppelt-exponentielle Verfahren (_Dexp) aus. Zur Umgehung der von MAPLE bevorzugten internen Integration (_CCquad) können die beiden anderen Optionen (_NCrule oder _Dexp) auch direkt im Programm angesteuert werden. Zur Ermittlung der L 2 -Norm nach (4.286a) in Band 1 unter Berücksichtigung quadratischer Formfunktionen haben jedoch die in MAPLE implementierten Verfahren (vermutlich aufgrund der auftretenden speziellen elliptischen Integrale) versagt. Daher wurde zunächst eine interaktive Aufsummierung über eine Vielzahl von 2

Stützwerten des Integranden (1 − ri ) in (4.286a) bei entsprechender Schrittweite benutzt (Band 1). Diese Vorgehensweise erfordert jedoch eine enorm große Rechenzeit. Daher wurde die klassische GAUSS-Quadratur eingesetzt, die bereits bei einer geringen Anzahl von Integrationsstützpunkten Ergebnisse mit hoher Genauigkeit liefert und im Allgemeinen der NEWTON-COTES-Integration überlegen ist. In der NC-Quadratur können bei hohen Polynomgraden negative Wichtungsfaktoren erscheinen, was eine Instabilität des Verfahrens zur Folge haben kann, d.h., durch „Stellenauslöschung“ bewirken kleine Änderungen im Integranden stärkere Änderungen im ermittelten Näherungswert als im Integralwert. Grundsätzlich gewinnt man eine Quadraturformel folgendermaßen. Man ersetzt den Integranden y = f (x) durch ein Interpolationspolynom (n -1) – ten Grades, das durch n Stützpunkte (x i , yi ) festgelegt ist und sich exakt integrieren lässt.

7.5 Numerische Integration

151

Zu den Hauptaufgaben der Approximationstheorie gehört es, den Integranden % f (x) in einem bestimmten Intervall durch eine Ersatzfunktion y(x) optimal zu approximieren. Zur Lösung dieser Aufgabe kann beispielsweise die L 2 – Fehlernorm (7.133) bzw. (7.188) oder (4.277) / (4.278) / (4.286 a,b) in Band 1 minimiert werden. Je nach Wahl leicht und exakt integrierbarer Ersatzfunktionen lassen sich eine Vielzahl von Quadraturformeln aufstellen. Beispielsweise seien im Folgenden die Quadraturformeln von NEWTON-COTES und GAUSS-LEGENDRE gegenübergestellt. 7.5.1 Einfachintegrale

Die NEWTON-COTES-Quadratur wählt als Ersatzfunktion ein Integrationspolynom n-ten Grades nach LAGRANGE: n

y = f (x) = å l i (x)yi + R n .

(7.206)

i=0

An den Stützstellen gilt f (x k ) = y k , k = 0,1, 2,..., n

(7.207)

und

l i (x k ) = δik =

{

1 für i = k = 0,1, 2,...n 0 für i ≠ k .

(7.208)

Die LAGRANGEschen Grundpolynome (Ü 3.1.27, Band 1) ergeben sich aufgrund der Interpolationseigenschaft (7.208) zu n

l i (x) = ∏ (x − x k ) (x i − x k ) .

(7.209)

k =0 i≠k

Das Restglied R n in (7.206) lautet: R n (x) =

1 (x − x 0 )(x − x1 )...(x − x n )f (n +1) (ξ) , (n + 1)!

(7.210)

wobei ξ eine im Allgemeinen unbekannte Stelle ist, die zwischen der kleinsten und größten Stützstelle liegt. Falls die zu integrierende Funktion y = f (x) selbst ein Polynom n-ten oder geringeren Grades ist, verschwindet die (n + 1) -te Ableitung f (n +1) und damit das Restglied (7.210). Die NEWTON-COTES-Quadratur setzt äquidistante Stützstellen voraus: x i = a + ih mit i = 0,1, 2,..., n

und nh = b − a.

152

7 Näherungsverfahren

Darin ist h eine konstante Schrittweite. Mit der Ersatzfunktion (7.206) und (7.207) erhält man folgende Quadraturformel nach NEWTON-COTES: b b n éb ù I = ò f (x)dx = å ê ò l i (x)dx ú f (x i ) + ò R n (x)dx úû i = 0 êë a a a

(7.211a)

bzw. in kompakter Schreibweise b

n

a

i =0

I = ò f (x)dx = å Cni f (x i ) + E n

(7.211b)

mit den NEWTON-COTES-Faktoren b

Cni = ò l i (x)dx, i = 0,1, 2,...n

(7.212)

a

und dem Fehlerterm b

E n = ò R n (x)dx .

(7.213)

a

Speziell für a = 0 , x i = i h und b = n h erhält man für n = 3 die Faktoren C3i gemäß (7.212) zu 3h

3 ó (x − h)(x − 2h)(x − 3h) C30 = ô dx = h , 8 õ (0 − h)(0 − 2h)(0 − 3h)

(7.214a)

0

C31 = C32 =

9 h, 8

(7.214b,c)

3h

3 ó (x − 0)(x − h)(x − 2h) C33 = ô dx = h 8 õ (3h − 0)(3h − h)(3h − 2h)

(7.214d)

0

und den Fehlerterm (7.213) mit (7.210) zu 3h

E3 =

1 IV 3 f (ξ) ò (x − 0)(x − h)(x − 2h)(x − 3h)dx = − h 5 f IV (ξ) . (7.215) 4! 80 0

Die Integrale (7.214) / (7.215) lassen sich bequem auswerten mit Hilfe der MAPLE – Software, wie folgender Output zeigt.

7.5 Numerische Integration

> > C[30]:=-(1/6/h^3)*Int((x-h)*(x-2*h)*(x-3*h),x=0..3*h)= -(1/6/h^3)*int((x-h)* (x-2*h)*(x-3*h),x=0..3*h); 1æ 1 C30 = – ç 6 è h3

3h

ò0

153

8 7.5-1.mws

ö 3h (x – h)(x – 2h)(x – 3h)dx ÷ = ø 8

> C[33]:=(1/6/h^3)*Int(x*(x-h)*(x-2*h),x=0..3*h)= (1/6/h^3)*int(x*(x-h)*(x-2*h),x=0..3*h); C33 :=

3h ö 3h 1 æç 1 ó x ( x − h ) ( x − 2 h ) dx ÷÷ = ô ç 6 ç h3 õ 8 ÷ø 0 è

> C[31]:=(1/2/h^3)*Int(x*(x-2*h)*(x-3*h),x=0..3*h)= (1/2/h^3)*int(x*(x-2*h)*(x-3*h),x=0..3*h); C31 :=

3h ö 9h 1 æç 1 ó x ( x − 2 h ) ( x − 3 h ) dx ÷÷ = ô ç 3 2çh õ 8 ÷ø 0 è

> C[32]:=-(1/2/h^3)*Int(x*(x-h)*(x-3*h),x=0..3*h)= -(1/2/h^3)*int(x*(x-h)*(x-3*h),x=0..3*h); 1æ 1 C32 = – ç 2 è h3

3h

ò0

ö 9h x(x – h)(x – 3h)dx ÷ = ø 8

> E[3]:=(1/(3+1)!)*Int(x*(x-h)*(x-2*h)*(x-3*h),x=0..3*h)= (1/(3+1)!)*int(x*(x-h)*(x-2*h)*(x-3*h),x=0..3*h); 3h

E3 :=

1 ó 3 h5 x ( x − h ) ( x − 2 h ) ( x − 3 h ) dx = − ô 24 õ 80 0

> Mit den Werten (7.214a-d) erhält man die Quadraturformel gemäß (7.211b) zu 3h

3

ò f (x)dx = 8 h [f (0) + 3f (h) + 3f (2h) + f (3h)]

,

(7.216)

0

die als Dreiachtelregel bekannt ist. Entsprechend erhält man für n = 1 die Trapezregel und für n = 2 die SIMPSON-Regel. Weitere Beispiele sind in Tabelle 7.9 eingetragen.

154

7 Näherungsverfahren

Tabelle 7.9 NEWTON-COTES-Faktoren und Fehlerterm-Koeffizienten

n

nh

n

0

i =0

ò f (x) dx ≈ h å cni f (ih)

Intervall

1 2 3

0…h 0…2h 0…3h

4

0…4h

5

0…5h

Fehler en

c no

cn1

c n2

c n3

c n4

c n5

1/2 1/3 3/8 14 45

1/2 4/3 9/8 64 45

1/3 9/8 8 15

3/8 64 45

14 45

-

95 288

125 96

125 144

125 144

125 96

95 288

-

-1/12 -1/90 -3/80 8 − 945 −

275 12096

Die in Tabelle 7.9 eingetragenen Werte en ermittelt man aus dem Integral nh

ù 1 ó é r −1 en = ô ê∏ (x − ih) ú dx , ô r! õ êë i =0 úû

(7.217a)

0

en =

1 r!

nh

ò (x − 0)(x − h)(x − 2h)...[ x − (r − 1)h ] dx .

(7.217b)

0

Damit gewinnt man schließlich den Fehlerterm (7.213) gemäß E n = e n h r +1f (r) (ξ) .

(7.218)

Zu beachten ist, dass in (7.217) und (7.218) der Wert r durch r = n + 1 für ungerade n und r = n + 2 für geradzahlige n zu ersetzen ist. Auffallend ist in Tabelle 7.9 die Symmetrie der Faktoren cn i zur Intervallmitte. Als Beispiel sei das Integral 5

Ι = ò x 3 dx = 156 1

durch die NEWTON-COTES-Quadratur ausgewertet. Wegen h = (b - a) / n = 4 / n und x = a + t mit a = 1 und b = 5 kann das Integral durch 4

I = ò (1 + t)3 dt ≈ 0

4 n æ 4ö c f i n å ni çè n ÷ø i =0

7.5 Numerische Integration

155

angenähert werden. Mit den Gewichtsfaktoren aus Tabelle 7.9 erhält man folgende Ergebnisse: 4 1 ö æ1 n = 2 Þ I = 2 ç ⋅1 + 33 + 53 ÷ = 156 (exakt) 3 3 3 ø è n=3 Þ I=

3 3 ù 4 é3 9æ 4ö 9æ 8ö 3 3 ê ⋅1 + ç 1 + ÷ + ç 1 + ÷ + (1 + 4 ) ú = 156 (exakt) 3 ê8 8 è 3 ø 8 è 3ø 8 úû ë

In beiden Fällen liefert die Quadratur den exakten Wert, da der Fehlerterm (7.218) wegen f IV (ξ) = 0 sowohl für n = 2 bzw. r = 4 als auch für n = 3 bzw. r = 4 verschwindet. Ein anderes Beispiel ist das Integral 5

dx I=ó = ln 5 = 1, 60944 (exakt), ô õ x 1

das gemäß 4

dt 4 n æ 4ö ≈ å cni f ç i ÷ ≡ In I=ó ô õ 1 + t n i =0 è nø 0

mit Hilfe von Tabelle 7.9 genähert werden kann. Die Ergebnisse sind in Tabelle 7.10 eingetragen. 5

Tabelle 7.10 NEWTON-COTES-Quadratur des Integrals I =

ò 1

Fehler n

Näherung

En = I − In

2 3 4 5

1,68889 1,65195 1,61778 1,61473

-0,079451 -0,0425 -0,00834 -0,00529

rel. Fehler ∆ ⋅100% ln 5 -4,94 % -2,64 % -0,518 % -0,329 %

dx = ln 5 = 1, 60944 x „Kollokationspunkt“ 1 < ξn < 5 2,548 2,455 2,5652 2,522

Die Stelle ξ im Restglied (7.210) bzw. im Fehlerterm (7.218) ist im Allgemeinen unbekannt und liegt zwischen der kleinsten und größten Stützstelle. Man kann zwei Werte, ξu und ξo , festlegen, so dass der Fehlerterm (7.218) durch eine untere und obere Schranke eingegabelt wird: r en h r +1f (r) ( ξ u ) ≤ E n ≤ e n h r +1f ( ) ( ξ0 ) .

(7.219)

156

7 Näherungsverfahren

Im Beispiel nach Tabelle 7.10 ist der exakte Integralwert und damit der Fehler E n = I − I n bekannt. Mithin kann die zugehörige Stelle als „Kollokationspunkt“ ξ n bezeichnet werden, der aus (7.218) bei bekanntem Wert E n bestimmt wird (Tabelle 7.10). Als nächstes Beispiel soll das Integral (6.68), l

k αβ := EI ò N ′′α (x)Nβ′′ (x)dx ,

(7.220)

0

zur Bestimmung der Steifigkeitsmatrix in (6.69) ausgewertet werden. Darin sind ′′ (x ) , α = 1 ,2 , 3 , 4 die zweiten Ableitungen der HERMITEschen InterpolatiNα onsfunktionen (shape functions) gemäß (6.64a-d): N1′′(x) ≡ a(x) = − 6 l 2 + 12 x l3 , N ′′2 (x) ≡ b(x) = − 4 l + 6x l 2 , (7.221a,b) N3′′(x) ≡ c(x) = 6 l 2 − 12x l3 ,

N ′′4 (x) ≡ d(x) = − 2 l + 6x l 2 . (7.221c,d)

Die Auswertung des Integrals in (7.220) erfolgt mit Hilfe der NEWTON-COTESQuadratur (Tabelle 7.9) für n = 2 mit 3 Stützstellen : k αβ =

2 1 æ lö æ lö EIl å c2i N ′′α ç i ÷ Nβ′′ ç i ÷ , 2 è 2ø è 2ø i =0

k αβ =

1 é ù ælö ælö EIl ê N′′α ( 0 ) Nβ′′ ( 0 ) + 4N ′′α ç ÷ Nβ′′ ç ÷ + N ′′α ( l ) Nβ′′ ( l ) ú . (7.222b) 6 è 2ø è 2ø ë û

(7.222a)

Zur weiteren Auswertung ist es zweckmäßig, die Beziehungen (7.221a-d) an den 3 Stützstellen x 0 = 0, x1 = l / 2 und x 2 = l mit a 0 = a (0 ) , a1 = a ( l / 2 ) und a 2 = a( l) etc. in Spaltenmatrizen zusammenzufassen:

{a 0

b0

{a1

b1 c1 d1}

{a 2

b2

c0

c2

d0 }

t

t

d2 }

t

=

{−6 l2

=

{0

=

{6 l2

−4 l 6 l 2

}

t

−2 l ,

t

−1 l 0 1 l} ,

2 l −6 l 2

(7.223a) (7.223b)

}

t

4l .

(7.223c)

Damit sind die einzelnen Matrizen in (7.222b) folgendermaßen gegeben: ìa 0 ü ï ï b é ù ′′ ′′ [ M0 ] ≡ ë Nα ( 0 ) Nβ ( 0 )û = ïí 0 ïý [ a 0 c ï 0ï ïîd 0 ïþ

b0

c0

d0 ] ,

(7.224a)

7.5 Numerische Integration

ìa1 ü ïb ï l l ù é [ M1 ] ≡ ê N′′α æç ö÷ Nβ′′ æç ö÷ ú = ïí 1 ïý [a1 è 2ø è 2 ø û ïc1 ï ë ïîd1 ïþ

b1 c1 d1 ] ,

ìa 2 ü ïb ï [ M 2 ] ≡ éë N′′α ( l ) Nβ′′ ( l ) ùû = ïí 2 ïý [ a 2 ïc 2 ï ïîd 2 ïþ

b2

d2 ] ,

c2

157

(7.224b)

(7.224c)

so dass sich die Steifigkeitsmatrix (7.222) wie folgt ergibt: 1 éë k αβ ùû ≡ EIl ( [ M 0 ] + 4 [ M1 ] + [ M 2 ]) . 6

(7.225)

Das Ergebnis unter Berücksichtigung von (7.223a-d) entnimmt man folgendem MAPLE-Output.

8 7.5-2.mws

> > with(linalg): > A[0]:=matrix(1,4,[-6/l^2,-4/l,6/l^2,-2/l]); 6 A0 := éêê − 2 ë l

−

4 l

−

1 l

6 l2

2ù ú l úû

−

> A[1]:=matrix(1,4,[0,-1/l,0,1/l]); A1 := éêê 0 ë

0

1 l

ùú úû

> A[2]:=matrix(1,4,[6/l^2,2/l,-6/l^2,4/l]); 6 A2 := éêê 2 l ë

2 l

−

6 l2

4 l

ùú úû

> M[0]:=multiply(transpose(A[0]),A[0]): > M[1]:=multiply(transpose(A[1]),A[1]): > M[2]:=multiply(transpose(A[2]),A[2]): > K:=(EI*l/6)*(M[0]+4*M[1]+M[2]); 1 K := EI l ( M0 + 4 M1 + M2 ) 6

> K:=(2*EI/l^3)*evalm((l^4/12)*(M[0]+4*M[1]+M[2]));

158

7 Näherungsverfahren

K :=

éê 6 êê3 l 2 EI êê êê -6 êê3 l ë

3l

-6

2

−3 l 6

2l −3 l

l 2 −3 l l3

3lù ú l 2 úú ú −3 lúú ú 2 l 2 úúû

Dieses Ergebnis stimmt mit der Steifigkeitsmatrix in (6.69b) und (3.95) in Band 1 überein. > Dasselbe Ergebnis erhält man für n = 3 mit den 4 Stützstellen x 0 = 0, x1 = l / 3, x 2 = 2l / 3 und x 3 = l , wie nachstehender MAPLE-Output zeigt.

8 7.5-3.mws

> > with(linalg): > A[0]:=matrix(1,4,[-6/l^2,-4/l,6/l^2,-2/l]); 6 A0 := éêê − 2 ë l

−

4 l

6 l2

−

2ù ú l úû

> A[1]:=matrix(1,4,[-2/l^2,-2/l,2/l^2,0]); 2 A1 := éêê − 2 l ë

−

2 l

2 l2

0ùú úû

> A[2]:=matrix(1,4,[2/l^2,0,-2/l^2,2/l]); 2 A2 := éêê 2 l ë

0

−

2 l2

2 l

ùú úû

−

6 l2

4 l

ùú úû

> A[3]:=matrix(1,4,[6/l^2,2/l,-6/l^2,4/l]); 6 A3 := éêê 2 ë l

2 l

> M[0]:=multiply(transpose(A[0]),A[0]): > M[1]:=multiply(transpose(A[1]),A[1]): > M[2]:=multiply(transpose(A[2]),A[2]): > M[3]:=multiply(transpose(A[3]),A[3]): > K:=(EI*l/8)*(M[0]+3*M[1]+3*M[2]+M[3]); 1 K := EI l ( M0 + 3 M1 + 3 M2 + M3 ) 8

> K:=(2*EI/l^3)*evalm((l^4/16)*(M[0]+3*M[1]+3*M[2]+M[3]));

7.5 Numerische Integration

K :=

éê 6 êê3 l 2 EI êê êê -6 êê3 l ë

3l

-6

2

3lù ú l 2 úú ú −3 lúú ú 2 l 2 úúû

−3 l 6

2l −3 l

159

l 2 −3 l l3

Dieses Ergebnis stimmt mit der Steifigkeitsmatrix in (6.69b) und (3.95) in Band 1 überein. > r In beiden Fällen ( n = 2 und n = 3 ) gilt f ( ) (ξ) = f IV (ξ) = 0 , so dass der Fehlerterm (7.218) verschwindet und als Lösung die Steifigkeitsmatrix anfällt. Das Ergebnis für n = 1 mit zwei Stützstellen x 0 = 0 und x1 = l gemäß nachstehendem MAPLE-Output ist, wie zu erwarten, unbrauchbar.

8 7.5-4.mws

> > with(linalg): > A[0]:=matrix(1,4,[-6/l^2,-4/l,6/l^2,-2/l]); 6 A0 := éêê − 2 ë l

−

4 l

6 l2

−

2ù ú l úû

> A[1]:=matrix(1,4,[6/l^2,2/l,-6/l^2,4/l]); 6 A1 := éêê 2 l ë

2 l

−

6 l2

4 l

ùú úû

> M[0]:=multiply(transpose(A[0]),A[0]): > M[1]:=multiply(transpose(A[1]),A[1]): > K:=EI*l*(M[0]+M[1])/2; 1 K := EI l ( M0 + M1 ) 2

> K:=(2*EI/l^3)*evalm((l^4/4)*(M[0]+M[1])); éê 18 9 l êê 9 l 5 l 2 2 EI êê êê-18 −9 l êêë 9 l 4 l 2 K := l3

-18 −9 l 18 −9 l

9lù ú 4 l 2 úú ú −9 lúú ú 5 l 2 úúû

160

7 Näherungsverfahren

Dieses Ergebnis weicht stark von der Steifigkeitsmatrix in (6.69b) und (3.95) in Band 1 ab und ist daher unbrauchbar. > Der Vergleich mit der Steifigkeitsmatrix in (6.69b) bzw. (3.95) in Band 1 führt auf folgende Fehlermatrix: é 4 2l −4 2l ù ê ú 2 −2l l 2 ú EI ê 2l l Fehlermatrix = −6 ê ú, l3 ê −4 −2l 4 −2l ú ê 2l l 2 −2l l 2 ú ë û

(7.226)

die sich auch aus dem Fehlerterm (7.218) unter Berücksichtigung von (7.220), (7.221) und Tabelle 7.9 ergibt, wie der nachstehende MAPLE-Output zeigt. > 8 7.5-5.mws > with(linalg): > a:=-6/l^2+12*x/l^3: b:=-4/l+6*x/l^2: c:=6/l^2-12*x/l^3: d:=-2/l+6*x/l^2: > f:=matrix(4,4,[[a*a,a*b,a*c,a*d],[b*a,b*b,b*c,b*d],[c*a,c*b,c*c,c*d], [d*a,d*b,d*c,d*d]]): > m:=map(diff,f,x$2): > Fehlermatrix:=-(1/12)*EI*l^3*m; Fehlermatrix := −

EI l 3 m 12

> Fehlermatrix:=-(2*EI/l^3)*evalm((l^6/24)*m); éê 12 6 l êê 6 l 3 l 2 2 EI êê êê-12 −6 l êêë 6 l 3 l 2 Fehlermatrix := − l3

-12 −6 l 12 −6 l

6lù ú 3 l 2 úú ú −6 lúú ú 3 l 2 úúû

> Bezieht man die Fehlermatrix (7.226) auf die Steifigkeitsmatrix in (6.69b) bzw. (3.95) in Band 1, so erhält man die relative Fehlermatrix zu: é2 2 ê2 3 / 2 relative Fehlermatrix = − ê ê2 2 ê ëê 2 3

2

2 ù 3 úú , 2 2 ú ú 2 3 / 2 ûú 2

(7.227)

7.5 Numerische Integration

161

die Abweichungen der schlechtesten Näherung von der Steifigkeitsmatrix (3.95) von 150 %, 200 % und 300 % enthält. Die oben diskutierte NEWTON-COTES-Quadratur geht von frei gewählten (meistens äquidistanten) Stützstellen aus. Die entsprechenden Stützwerte der zu approximierenden Funktion fallen mit den Funktionswerten eines LAGRANGEschen Interpolationspolynoms zusammen, so dass bei n vorgegebenen Stützstellen ein Polynom (n -1) -ten Grades exakt integriert wird. Im Gegensatz dazu wird bei der GAUSS-Quadratur die Lage von n Stützstellen optimal bestimmt. Mithin dienen 2n Unbekannte (n Stützstellen und n Funktionswerte) zum Aufstellen eines Polynoms vom Grade 2n -1 , das gemäß I=

1

n

−1

i =1

ò f ( x ) dx = å Hi f ( xi )

(7.228)

exakt integriert werden kann. Das Integral in (7.228) ist linear in f (x) . Daher ist es sinnvoll, die Näherung als Linearkombination in f (x i ), i = 1, 2,..., n , anzusetzen. Darin sind Hi Wichtungsfaktoren und x i Stützstellen, auch GAUSS-Punkte genannt, die im Folgenden optimal bestimmt werden sollen. Mit dem Datensatz x i , f (x i ), i = 1, 2,..., n , liegt ein LAGRANGEsches Interpolationspolynom ( n − 1) -ten Grades fest: n

g ( x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + K + a n −1x n −1 = å a i −1x i −1 ,

(7.229a)

i =1

n

g ( x ) = f ( x1 ) l1 ( x ) + f ( x 2 ) l 2 ( x ) + ... + f ( x n ) l n ( x ) = å f ( x i ) l i ( x ) i =1

(7.229b) mit li ( x ) =

( x − x1 )( x − x 2 ) ...( x − x i −1 )( x − x i +1 ) ...( x − x n ) , ( x i − x1 )( x i − x 2 ) ... ( x i − x i−1 )( x i − x i+1 ) ...( x i − x n )

(7.230a)

n

l i ( x ) = ∏ ( x − x k ) ( xi − x k ) .

(7.230b)

k =1 k ≠i

Soll f (x) ein Polynom (2n -1) -ten Grades sein, das durch n Stützpunkte [x i , f (x i )] verläuft, so muss das Polynom (7.229b) vom Grade n -1 um ein weiteres Polynom ergänzt werden, das Terme vom Grade n bis 2n -1 enthält und an den n Stützstellen verschwindet:

162

7 Näherungsverfahren n

h ( x ) = ( x − x1 )( x − x 2 ) ... ( x − x n ) å bi −1x i −1 ,

(7.231a)

i =1

n

n

h ( x ) = p n ( x ) å bi −1x i −1

mit

i =1

pn ( x ) = ∏ ( x − x k ) .

(7.231b)

k =1

Somit erhält man für den Integranden einer eindimensionalen Integration das folgende Ersatzpolynom ( 2n -1) -ten Grades: n

n

i =1

i =1

f ( x ) = g ( x ) + h ( x ) = å f ( x i ) l i ( x ) + p n ( x ) å bi −1x i −1 .

(7.232)

Darin erhält der erste Term g(x) Potenzen x 0 bis x n −1 , während die Erweiterung h(x) durch Potenzen x n bis x 2n −1 gekennzeichnet ist. Die Integration über das Ersatzpolynom (7.232) im Intervall -1 ≤ x ≤ 1 führt auf die Aufspaltung: 1 n é1 n ù ê ú f x dx = l x dx f x + b ( ) ( ) ( ) åê ò i å i−1 ò pn ( x ) xi−1dx . i ò ú i =1 ë −1 i =1 −1 −1 û 1

(7.233)

Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Quadraturformel (7.228), so erhält man die Bestimmungsgleichungen für die n Wichtungsfaktoren Hi und die n Stützstellen x i gemäß 1

Hi =

ò l i ( x ) dx ,

i = 1, 2,..., n

,

(7.234)

dx , i = 1, 2,..., n .

(7.235)

−1

1

0=

ò pn ( x ) x

i −1

−1

Vermöge der Transformation u=

1 1 1 ( a + b ) + ( b − a ) x mit du = ( b − a ) dx 2 2 2

(7.236)

b

können Integrale der Form

ò ...du

bei allgemeiner Lage des Integrationsintervalls

a 1

durch obige Integrale

ò ...dx

−1

ausgedrückt werden.

7.5 Numerische Integration

163

Als Beispiel zur Bestimmung der Wichtungsfaktoren Hi und Stützstellen x i sei eine Dreipunkte-Gauss-Quadratur gewählt. Für n = 3 erhält man aus (7.231b) das Polynom p3 ( x ) = ( x − x1 )( x − x 2 )( x − x 3 )

(7.237)

und damit aus (7.235) das nichtlineare Gleichungssystem zur Bestimmung der drei Stützstellen x1 , x 2 , x 3 : 1

ò p3 ( x ) dx

=−

−1

1

ò p3 ( x ) xdx

−1

1

ò p3 ( x ) x

2

=

2 ( x1 + x 2 + x 3 ) − 2x1x 2 x3 = 0, 3

2 2 + ( x1x 2 + x 2 x 3 + x 3 x1 ) 5 3

dx = −

−1

(7.238a)

= 0,

(7.238b)

2 2 ( x1 + x 2 + x 3 ) − x1x 2 x 3 = 0. 5 3

(7.238c)

Darin sind x1 + x 2 + x 3 ≡ J1 ,

(7.239a)

x1x 2 + x 2 x 3 + x 3 x1 ≡ J 2 ,

(7.239b)

x1x 2 x 3 ≡ J3 ,

(7.239c)

die elementaren symmetrischen Funktionen (BETTEN, 2001) in den drei Stützstellen x1 , x 2 , x 3 . Aufgrund dieser Symmetrien liefert MAPLE drei Sätze L1 , L 2 , L3 äquivalenter Lösungen L1 :

{

x 2 = − 3 5 , x1 = 0 , x 3 = 3 5

},

(7.240a)

L2 :

{

x1 = − 3 5 , x 2 = 0, x 3 = 3 5

},

(7.240b)

L3 :

{

x1 = − 3 5 , x 3 = 0 , x 2 = 3 5

},

(7.240c)

{

}

d. h., man erhält drei Stützstellen − 3 5 , 0 , 3 5 , die unterschiedlich gekennzeichnet sind: {x 2 , x1 , x 3 }, {x1 , x 2 , x 3}, {x1 , x 3 , x 2 },

164

7 Näherungsverfahren

wie man nachstehendem MAPLE-Output entnehmen kann. > 8 7.5-6.mws > J[1]:=x[1]+x[2]+x[3]; J[2]:=x[1]*x[2]+x[2]*x[3]+x[3]*x[1]; J[3]:=x[1]*x[2]*x[3]; J1 := x1 + x2 + x3 J2 := x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 J3 := x1 x2 x3

> Loesung:=solve({-2*J[1]/3-2*J[3]=0, 2/5+2*J[2]/3=0, -2*J[1]/5-2*J[3]/3=0},{x[1],x[2],x[3]}); Loesung := { x1 = 0, x3 = RootOf( −3 + 5 _Z2 ), x2 = −RootOf( −3 + 5 _Z2 ) } , { x3 = RootOf( −3 + 5 _Z2 ), x2 = 0, x1 = −RootOf( −3 + 5 _Z2 ) }, { x3 = 0, x2 = RootOf( −3 + 5 _Z2 ), x1 = −RootOf( −3 + 5 _Z2 ) }

> L[1]:=convert(Loesung[1],`radical`); L[2]:=convert(Loesung[2],`radical`); L[3]:=convert(Loesung[3],`radical`); L1 := { x1 = 0, x3 =

5 3 5 3 , x2 = − } 5 5

L2 := { x2 = 0, x3 =

5 3 5 3 , x1 = − } 5 5

L3 := { x3 = 0, x1 = −

5 3 5 3 , x2 = } 5 5

> Mit der Stützstellennummerierung L 2 gemäß (7.240b) erhält man die zugehörigen LAGRANGE-Polynome zu:

l1 ( x ) =

( x − x 2 )( x − x 3 ) 5 æ = çx − ( x1 − x 2 )( x1 − x 3 ) 6 çè

l2 (x) =

( x − x 3 )( x − x1 ) 5 = 1 − x2 , 3 ( x 2 − x 3 )( x 2 − x1 )

l3 ( x ) =

( x − x1 )( x − x 2 ) 5 æ = çx + ( x 3 − x1 )( x 3 − x 2 ) 6 çè

3ö ÷ x, 5 ÷ø

(7.241a)

(7.241b) 3ö ÷x 5 ÷ø

(7.241c)

7.5 Numerische Integration

165

und damit die Wichtungsfaktoren Hi aus (7.234) zu:

H1 = 5 9, H 2 = 8 9, H3 = 5 9.

(7.242)

Für eine Vierpunkte-GAUSS-Quadratur (n = 4) erhält man aus (7.231b) das Polynom

p 4 ( x ) = ( x − x1 )( x − x 2 )( x − x 3 )( x − x 4 ) ,

(7.243a)

p 4 ( x ) = x 4 + c1x 3 + c 2 x 2 + c3 x + c4

(7.243b)

und damit aus (7.235) analog (7.238) das nichtlineare Gleichungssystem zur Bestimmung der vier Stützstellen x1 ,..., x 4 :

1 5

1 7

+

1 c2 + 3

1 c1 + 5

+

+

+ 1 c3 3

1 + c2 + 5

+

1 c1 + 7

+

1 c3 5

c4

=

0

=

0

1 + c4 = 3

0

=

0

ü ï ï ï ï ý ï ï ï ï ïþ

(7.244)

Darin sind analog (7.239) x1 + x 2 + x 3 + x 4 ≡ −c1,

(7.245a)

x1x 2 + x1x 3 + x1x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 ≡ c2 ,

(7.245b)

x1x 2 x 3 + x1x 2 x 4 + x1x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 ≡ −c3 , x1x 2 x 3 x 4 ≡ c4 ,

(7.245c) (7.245d)

die elementaren symmetrischen Funktionen in den vier Stützstellen x1 ,..., x 4 . Die Zusammenhänge (7.245a-d) ergeben sich unmittelbar aus dem Vergleich der beiden Polynomdarstellungen (7.243a,b). Nach dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt jede Gleichung n-ten Grades x n + c1x n −1 + c2 x n −2 + ... + cn = 0,

(7.246a)

deren Koeffizienten (c1 , c2 , ... , cn ) reelle oder komplexe Zahlen sind, insgesamt n reelle oder komplexe Wurzeln, wobei die κ–fachen Wurzeln κ–mal gezählt werden. Vergleicht man (7.246a) mit der Zerlegung in Linearfaktoren,

166

7 Näherungsverfahren

( x − x1 )( x − x 2 ) ... ( x − x n ) = 0,

(7.246b)

so erhält man einen Zusammenhang zwischen den Wurzeln (x1 , x 2 ,..., x n ) und den Koeffizienten cn gemäß dem Wurzelsatz von VIETA:

ü ï ï i =1 ï n x1x 2 + x1x 3 + ... + x n −1x n = å xi x j = c2 , ïï i =1, j= 2 ï (i < j) ý (7.247) ï n x1x 2 x 3 + x1x 2 x 4 + ... + x n − 2 x n −1x n = å x i x jx k = −c3 , ïï i =1, j= 2,k =3 ï (i < j< k) ï x1x 2 ...x n = ( −1) n cn .ïþ x1 +

x2 +

... + x n =

n

å

xi

= −c1 ,

Darin sind J µ = ( −1)µ cµ , µ = 1, 2,..., n, die elementaren symmetrischen Funktionen in den Wurzeln x1 , x 2 ,..., x n . Sie bilden ein irreduzibles Invariantensystem bzw. eine Integritätsbasis (BETTEN, 1987, 2001). Das nichtlineare Gleichungssystem (7.245) kann analog (7.239) bequem mit MAPLE gelöst werden, wie folgender Output zeigt.

8 7.5-7.mws > > c[1]:=-(x[1]+x[2]+x[3]+x[4]); c[2]:=x[1]*x[2]+x[1]*x[3]+x[1]*x[4]+x[2]*x[3]+x[2]*x[4]+x[3]*x[4]; c[3]:=-(x[1]*x[2]*x[3]+x[1]*x[2]*x[4]+x[1]*x[3]*x[4]+x[2]*x[3]*x[4]); c[4]:=x[1]*x[2]*x[3]*x[4]; c1 := −x1 − x2 − x3 − x4 c2 := x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 c3 := −x1 x2 x3 − x1 x2 x4 − x1 x3 x4 − x2 x3 x4 c4 := x1 x2 x3 x4

> Loesung:=solve({1/5+c[2]/3+c[4]=0, c[1]/5+c[3]/3=0, 1/7+c[2]/5+c[4]/3=0, c[1]/7+c[3]/5=0}, {x[1],x[2],x[3],x[4]}): > Loesung:=evalf(convert(Loesung[1],'radical')); Loesung := { x 3 = 0.3399810437 , x1 = -0.8611363116 , x2 = -0.3399810437 , x4 = 0.8611363116 }

7.5 Numerische Integration

167

Diese Stützstellen stimmen überein mit den Nullstellen des LEGENDRE-Polynoms P(4,x): > with(orthopoly,P): > p[4]:=P(4,x); 3 35 15 p4 := + x 4 − x 2 8 8 4

> solve(p[4]=0): > Nullstellen:=evalf(%); Nullstellen := -0.8611363114, 0.8611363114, -0.3399810437, 0.3399810437

> plot(p[4],x=-1..1,scaling=constrained,color=black);

1

P(4,x)

0.8

0.6

0.4

0.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0 -0.2

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

x

-0.4

> Im MAPLE-Output sind auch die Nullstellen des LEGENDRE-Polynoms P ( 4, x ) ausgedruckt, die mit den Lösungen des nichtlinearen Gleichungssystems (7.245) übereinstimmen und symmetrisch zu x = 0 im Integrationsintervall [−1,1] liegen:

1 525 ± 70 30 , 35 bzw. a ≈ 0.861 136 311 594 052 und b ≈ 0.339 981 043 584 857.

x1;4 = m a und x 2;3 = m b mit

a; b ≡

(7.248)

168

7 Näherungsverfahren

Diesen Stützstellen sind analog (7.241) folgende LAGRANGE-Polynome zugeordnet: l1 ( x ) = −A ( x + b )( x − b )( x − a ) , l 2 ( x ) = + B ( x − b )( x − a )( x + a ) , (7.249a.b) l 3 ( x ) = −B ( x − a )( x + a )( x + b ) , l 4 ( x ) = + A ( x + a )( x + b )( x − b ) . (7.249c,d)

mit A ≡

7 30 7 30 ≈ 0.927 567 508 504 871 und B ≡ ≈ 2.34 943 117 594 438 48a 48b

Zur Kontrolle stellt man fest: l1 ( x1 ) = l 2 ( x 2 ) = l 3 ( x 3 ) = l 4 ( x 4 ) = 1,

(7.250)

so dass die LAGRANGE-Polynome (7.249a-d) die Interpolationsbedingungen ì1 für i = k = 1, 2,3, 4 l i ( x k ) = δik = í î0 für i ≠ k

(7.251)

erfüllen. Mit den LAGRANGE-Polynomen (7.249a-d) ergeben sich aus dem Integral (7.234) folgende Wichtungsfaktoren: 1 1 − 30 ≈ 0.347 854 845 137 454, 2 36 1 1 H 2 = H3 = + 30 ≈ 0.652 145 154 862 546. 2 36 H1 = H 4 =

(7.252)

Für die Drei- und Vierpunkte-GAUSS-Quadratur können die Stützpunkte x i aus den nichtlinearen Gleichungssystemen (7.239) und (7.245) bequem mit Hilfe der MAPLE-Software bestimmt werden, wie obige Programme zeigen. Für n = 5 liefert MAPLE keine Lösung. Gleichungen fünften und höheren Grades sind im Allgemeinen nicht algebraisch, d.h. durch Radikale auflösbar, so dass Näherungsmethoden eingesetzt werden müssen. Man ist jedoch auf derartige Methoden nicht angewiesen, da die gesuchten Stützstellen x i mit den Nullstellen der LEGENDREPolynome P ( n, x ) vom Grade n zusammenfallen, wie obige Beispiele für n = 3

und n = 4 zeigen und wie man allgemein zeigen kann. Man gewinnt diese Polynome, die man auch als Kugelfunktionen bezeichnet (SNEDDON, 1963) und die im Intervall [-1,1] insgesamt n Nullstellen (GAUSSPunkte) besitzen, aus der Formel von RODRIGUES P(n, x) =

1 n

dn

2 n! dx

mit P(0, x) := 1 zu:

n

( x 2 − 1)

n

(7.253a)

7.5 Numerische Integration

P (1, x ) = x,

ü ï ï 3x 2 − 1 / 2, ï ï 5x 3 − 3x / 2, ïï ý 4 2 35x − 30x + 3 / 8, ï ï ï 63x 5 − 70x 3 + 15x / 8, ï 6 4 2 231x − 315x + 105x − 5 /16.ïï þ

( P ( 3, x ) = ( P ( 4, x ) = ( P ( 5, x ) = ( P ( 6, x ) = ( P ( 2, x ) =

)

)

)

)

169

(7.253b)

)

Man erkennt, dass diese Polynome für gerade (ungerade) n nur gerade (ungerade) Potenzen in x besitzen, wobei die nullte Potenz gerade ist. Die LEGENDRE-Polynome gehören zur Familie der orthogonalen Polynome und sind in MAPLE im Paket orthopoly implementiert, wie der folgende Output zeigt. > with(orthopoly): > p[0]:=P(0,x): p[1]:=P(1,x): p[3]:=P(3,x): p[4]:=P(4,x): p[6]:=P(6,x): > plot({p[0],p[1],p[3],p[4],p[6]},x=-1..1, scaling=constrained, color=black); 1

n=0 n =1 0.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1

x

-0.5

n=3

n=4

n=6

-1

Bild 7.13 LEGENDRE-Polynome

Im MAPLE-Output (Bild 7.13) sind die LEGENDRE-Polynome (7.253b) aus Platzgründen nicht ausgedruckt. Man kann sie ausdrucken lassen, wenn man die Doppelpunkte durch Semikola ersetzt.

170

7 Näherungsverfahren

Das nächste Computer-Programm liefert die Nullstellen einiger LEGENDREPolynome (GAUSS-Punkte). > 8 7.5-8.mws > with(orthopoly): > for i from 1 by 1to 10 do Nullstellen[i]:=solve(P(i,x)=0) od: > for i in [1,2,3] do Nullstellen[i]:=solve(P(i,x)=0) od; Nullstellen[4]:=solve(P(4,x)=0): Nullstellen[4]:=vector([sqrt(525-70*sqrt(30))/35, sqrt(525+70*sqrt(30))/35]); Digits:=6: Nullstellen[4]:=fsolve(P(4,x)=0,x=0..1); Nullstellen[5]:=solve(P(5,x)=0): Nullstellen[5]:=vector([0,sqrt(245-14*sqrt(70))/21, sqrt(245+14*sqrt(70))/21]); Nullstellen[5]:=fsolve(P(5,x)=0,x=0..1); for k in [6,7,8,9,10] do Nullstellen[k]:=fsolve(P(k,x)=0,x=0..1) od; Nullstellen 1 := 0 Nullstellen 2 := Nullstellen 3 := 0,

3 3 ,− 3 3 15 15 ,− 5 5

é 525 − 70 30 , Nullstellen 4 := êê 35 ë

525 + 70 30 ùú ú 35 û

Nullstellen 4 := 0.339981, 0.861136 é Nullstellen 5 := êê 0, ë

245 − 14 70 , 21

245 + 14 70 ùú ú 21 û

Nullstellen 5 := 0., 0.538469, 0.906180 Nullstellen 6 := 0.238619, 0.661209, 0.932470 Nullstellen 7 := 0., 0.405845, 0.741531, 0.949108 Nullstellen 8 := 0.183435, 0.525532, 0.796666, 0.960290 Nullstellen 9 := 0., 0.324253, 0.613371, 0.836031, 0.968160 Nullstellen 10 := 0.148874, 0.433395, 0.679410, 0.865063, 0.973907

7.5 Numerische Integration

171

Die Nullstellen der LEGENDRE-Polynome liegen symmetrisch zu x = 0 , wie bereits oben erwähnt. Für n ≥ 4 sind im obigen MAPLE-Programm aus Platzgründen (Satzspiegel) nur positive Nullstellen ausgedruckt, was aufgrund der Symmetrie zu x = 0 keinen Informationsverlust bedeutet. Die Nullstellen gehen in die LAGRANGE-Polynome ein, wie für n = 3 gemäß (7.241) und für n = 4 gemäß (7.249) gezeigt. Damit gewinnt man durch Integration aus (7.234) die Wichtungsfaktoren (7.242) für n = 3 und (7.252) für n = 4 . Weitere Beispiele sind dem nachstehenden MAPLE-Output für n = 5 und n = 10 zu entnehmen.

8 7.5-9.mws

> Wichtungsfaktoren > H[i]:=Int(l[i](x),x=-1..1); 1

Hi := ó li( x ) dx ô ô õ-1

n=5 > a:=sqrt(245-14*sqrt(70))/21; b:=sqrt(245+14*sqrt(70))/21; 245 − 14 70 a := 21 b :=

245 + 14 70 21

> l[1]:=(x+a)*(x-0)*(x-a)*(x-b)/((-b+a)*(-b-0)*(-b-a)*(-b-b)): > L[1]:=subs(x=-b,%): > l[2]:=(x+b)*(x-0)*(x-a)*(x-b)/((-a+b)*(-a-0)*(-a-a)*(-a-b)): > L[2]:=subs(x=-a,%): > l[3]:=(x+b)*(x+a)*(x-a)*(x-b)/((0+b)*(0+a)*(0-a)*(0-b)): > L[3]:=subs(x=0,%): > l[4]:=(x+b)*(x+a)*(x-0)*(x-b)/((a+b)*(a+a)*(a-0)*(a-b)): > L[4]:=subs(x=a,%): > l[5]:=(x+b)*(x+a)*(x-0)*(x-a)/((b+b)*(b+a)*(b-0)*(b-a)): > L[5]:=subs(x=b,%): > Digits:=15: > H[1]:=evalf(int(l[1],x=-1..1)); H[2]:=evalf(int(l[2],x=-1..1)); H[3]:=evalf(int(l[3],x=-1..1)); H[4]:=evalf(int(l[4],x=-1..1)); H[5]:=evalf(int(l[5],x=-1..1)); H 1 := 0.236926885056187 H 2 := 0.47862867049938 H3 := 0.56888888888889

172

7 Näherungsverfahren

H 4 := 0.47862867049937 H 5 := 0.236926885056185

Aufgrund der Symmetrie zu x = 0 stimmen die Wichtungsfaktoren paarweise überein, so dass man beispielsweise für n = 10 nur 5 Wichtungsfaktoren ermitteln muss. Zu beachten ist, dass bei ungeraden n die Stützstelle x = 0 berücksichtigt werden muss. n = 10 > A:=0.148874338981631: B:=0.433395394129247: C:=0.679409568299024: d:=0.865063366688985: E:=0.973906528517172: > l[6]:=(x+A)*(x+B)*(x+C)*(x+d)*(x+E)*(x-B)*(x-C)*(x-d)*(x-E)/ ((A+A)*(A+B)*(A+C)*(A+d)*(A+E)*(A-B)*(A-C)*(A-d)*(A-E)): > L[6]:=subs(x=A,%): > l[7]:=(x^2-A^2)*(x^2-C^2)*(x^2-d^2)*(x^2-E^2)*(x+B)/ ((B+B)*(B^2-A^2)*(B^2-C^2)*(B^2-d^2)*(B^2-E^2)): > L[7]:=subs(x=B,%): > l[8]:=(x+C)*(x^2-A^2)*(x^2-B^2)*(x^2-d^2)*(x^2-E^2)/ ((C+C)*(C^2-A^2)*(C^2-B^2)*(C^2-d^2)*(C^2-E^2)): > L[8]:=subs(x=C,%): > l[9]:=(x+d)*(x^2-A^2)*(x^2-B^2)*(x^2-C^2)*(x^2-E^2)/ ((d+d)*(d^2-A^2)*(d^2-B^2)*(d^2-C^2)*(d^2-E^2)): > L[9]:=subs(x=d,%): > l[10]:=(x+E)*(x^2-A^2)*(x^2-B^2)*(x^2-C^2)*(x^2-d^2)/ ((E+E)*(E^2-A^2)*(E^2-B^2)*(E^2-C^2)*(E^2-d^2)): > L[10]:=subs(x=E,%): > H[6]:=int(l[6],x=-1..1); H[7]:=int(l[7],x=-1..1); H[8]:=int(l[8],x=-1..1);H[9]:=int(l[9],x=-1..1); H[10]:=int(l[10],x=-1..1); H6 := 0.295524224714752 H7 := 0.269266719309997 H8 := 0.219086362515982 H9 := 0.149451349150581 H 10 := 0.0666713443086875

> Die geschilderte Vorgehensweise ist umständlich. Bequemer ermittelt man die Wichtungsfunktionen Hi in Abhängigkeit von der Anzahl n der Stützstellen x i direkt nach der Formel

7.5 Numerische Integration

H ni =

(

2 1 − xi2

)

n 2 éë P ( n − 1, x i ) ùû

2

.

173

(7.254)

Darin ist P(n -1, x) das LEGENDRE-Polynom (7.253a,b) vom Grade n -1 . Die numerische Auswertung der Formel (7.254) erfolgt mit Hilfe der MAPLESoftware, Release 8, wie nachstehender Output zeigt. Darin sind aus Symmetriegründen nur die positiven Stützstellen [0,1] berücksichtigt. > Ermittlung der Wichtungsfunktionen nach der Formel (7.254): > with(orthopoly,P): > H[n][i]:=2*(1-x[i]^2)/n^2/(P(n-1,x[i]))^2; 2 2 ( 1 − xi ) Hn := 2 i n 2 P( n − 1, xi ) > n:=1;

n := 1

> Nullstellen[n]:=solve(P(n,x)=0); Nullstellen 1 := 0 > H[0]:=2/(P(0,0))^2;

H0 := 2

> n:=2;

n := 2

> Nullstellen[n]:=solve(P(n,x)=0); Nullstellen 2 :=

> for i in[%[1]] do H[i]:=2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2 od; H > n:=3;

3 3

3 3 ,− 3 3

:= 1

n := 3

> Nullstellen[n]:=solve(P(n,x)=0); Nullstellen 3 := 0,

> for i in[%[1],%[2]] do H[i]:=2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2 od;

15 ,− 5

15 5

8 7.5-10.mws

174

7 Näherungsverfahren

H0 := H

> n:=4;

15 5

8 9

:=

5 9

n := 4

> Nullstellen[n]:=solve(P(n,x)=0): Nullstellen[n]:=vector([sqrt(525-70*sqrt(30))/35, sqrt(525+70*sqrt(30))/35]); é 525 − 70 30 525 + 70 30 ùú Nullstellen4 := êê , ú 35 35 ë û > for i in[%[1],%[2]] do H[i]:=factor(2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2) od; 1 30 H := + 525 − 70 30 2 36 35

H

525 + 70 30 35

> n:=5;

1 30 := − 2 36

n := 5

> Nullstellen[n]:=solve(P(n,x)=0): > Nullstellen[n]:=vector([0,sqrt(245-14*sqrt(70))/21, sqrt(245+14*sqrt(70))/21]); é 245 + 14 70 ùú 245 − 14 70 Nullstellen 5 := êê 0, , ú 21 21 ë û > for i in[%[1],%[2],%[3]] do H[i]:=factor(2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2) od; 128 H0 := 225 H

H

> n:=6; > Digits:=15:

245 − 14 70 21

245 + 14 70 21

:=

161 13 70 + 900 450

:=

161 13 70 − 450 900

n := 6

7.5 Numerische Integration

175

> Nullstellen[n]:=fsolve(P(n,x)=0,x=0..1); Nullstellen 6 := 0.238619186083197 , 0.661209386466265 , 0.932469514203152 > for i in[%[1],%[2],%[3]] do H[i]:=2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2 od; H 0.238619186083197 := 0.467913934572690 H 0.661209386466265 := 0.360761573048132 H 0.932469514203152 := 0.171324492379175

> n:=7;

n := 7

> Nullstellen[n]:=fsolve(P(n,x)=0,x=0..1);

Nullstellen 7 := 0. , 0.405845151377397 , 0.741531185599394 , 0.949107912342759

> for i in[%[1],%[2],%[3],%[4]] do H[i]:=2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2 od; H 0. := 0.417959183673468 H 0.405845151377397 := 0.381830050505118 H 0.741531185599394 := 0.279705391489262 H 0.949107912342759 := 0.129484966168952

> n:=8;

n := 8

> Nullstellen[n]:=fsolve(P(n,x)=0,x=0..1); Nullstellen 8 := 0.183434642495650 , 0.525532409916329 , 0.796666477413627 , 0.960289856497536

> for i in[%[1],%[2],%[3],%[4]] do H[i]:=2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2 od; H 0.183434642495650 := 0.362683783378364 H 0.525532409916329 := 0.313706645877902 H 0.796666477413627 := 0.222381034453288 H 0.960289856497536 := 0.101228536290390

> n:=9;

n := 9

> Nullstellen[n]:=fsolve(P(n,x)=0,x=0..1);

176

7 Näherungsverfahren

Nullstellen 9 := 0. , 0.324253423403809 , 0.613371432700590 , 0.836031107326636 , 0.968160239507626

> for i in[%[1],%[2],%[3],%[4],%[5]] do H[i]:=2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2 od; H 0. := 0.330239355001260 H 0.324253423403809 := 0.312347077040016 H 0.613371432700590 := 0.260610696402912 H 0.836031107326636 := 0.180648160694868 H 0.968160239507626 := 0.0812743883616172

> n:=10;

n := 10 > Nullstellen[n]:=fsolve(P(n,x)=0,x=0..1); Nullstellen 10 := 0.148874338981631 , 0.433395394129247 , 0.679409568299024 ,

0.865063366688985 , 0.973906528517172

> for i in[%[1],%[2],%[3],%[4],%[5]] do H[i]:=2*(1-i^2)/n^2/(P(n-1,i))^2 od; H 0.148874338981631 := 0.295524224714754 H 0.433395394129247 := 0.269266719309992 H 0.679409568299024 := 0.219086362516218 H 0.865063366688985 := 0.149451349150630 H 0.973906528517172 := 0.0666713443093662

> Zur besseren Übersicht sind die Stützstellen x i und die Wichtungsfunktionen Hi in Tabelle 7.11 zusammengestellt. Die Nullstellen x i der LEGENDRE-Polynome liegen symmetrisch zu x = 0 , wie oben bereits erwähnt. Die Wichtungsfaktoren Hi zu symmetrischen Stützstellen stimmen überein (Tabelle 7.11). In Tabelle 7.11 sind auch die Quadraturfehler

En [f ] =

22n +1 ( n!)

4

( 2n + 1) éë( 2n )!ùû

3

2n f ( ) ( ξ ) mit ȟ in ( −1,1)

(7.255)

eingetragen, die dem MAPLE-Programm (7.5-11.mws) im Anschluss an Tabelle 7.11 entnommen sind.

7.5 Numerische Integration

177

Tabelle 7.11 Stützstellen x i und Wichtungsfaktoren Hi zur GAUSS-LEGENDRE-Quadratur

n

xi

Hi

E n [f]/f (2n) (ξ)

1 2

0 ± 1/ 3

2 1

1/3

7, 4 ⋅10−3

3

0, ± 3 / 5

8/9, 5/9

6,35 ⋅10−5

± 525 − 70 30 35

1/ 2 + 30 36

± 525 + 70 30 35 0

1/ 2 − 30 36

4

5

6

7

8

9

10

± 245 − 14 70 21

128/225 161/ 450 + 13 70 900

± 245 + 14 70 21

161/ 450 − 13 70 900

± 0,238 619 186 083 197

0,467 913 934 572 690

± 0,661 209 386 466 265

0,360 761 573 048 132

± 0,932 469 514 203 152

0,171 324 492 379 175

0

512/1225

± 0,405 845 151 377 397

0,381 830 050 505 118

± 0,741 531 185 599 394

0,279 705 391 489 262

± 0,949 107 912 342 759

0,129 484 966 168 952

± 0,183 434 642 495 650

0,362 683 783 378 364

± 0,525 532 409 916 329

0,313 706 645 877 902

± 0,796 666 477 413 627

0,222 381 034 453 288

± 0,960 289 856 497 536

0,101 228 536 290 390

0

32768/99225

± 0,324 253 423 403 809

0,312 347 077 040 016

± 0,613 371 432 700 590

0,260 610 696 402 912

± 0,836 031 107 326 636

0,180 648 160 694 868

± 0,968 160 239 507 626

0,081 274 388 361 6172

± 0,148 874 338 981 631

0,295 524 224 714 754

± 0,433 395 394 129 247

0,269 266 719 309 992

± 0,679 409 568 299 024

0,219 086 362 516 218

± 0,865 063 366 688 985

0,149 451 349 150 630

± 0,973 906 528 517 172

0,066 971 344 309 3662

2,88 ⋅10−7

8,08 ⋅10−10

1,54 ⋅10−12

2,13 ⋅10−15

2, 23 ⋅10−18

1,82 ⋅10−21

1, 2 ⋅10−24

178

7 Näherungsverfahren

> Quadraturfehler: > e[n]:=(2^(2*n+1))*(n!)^4/(2*n+1)/((2*n)!)^3;

8 7.5-11.mws

(2 n + 1)

en :=

2 ( n! ) 4 ( 2 n + 1 ) ( ( 2 n )! ) 3

> with(linalg): >Digits:=4: >e:=vector(10,n-> evalf((2^(2*n+1))*(n!)^ / (2*n+1)/((2*n)!)^3)); e := [ 0.3333, 0.007407, 0.00006349, 0.2879 10 -6 , 0.8079 10 -9 , 0.1541 10 -11 , 0.2127 10 -14 , 0.2225 10 -17 , 0.1823 10 -20 , 0.1203 10 -23 ]

>

Die Stelle ξ ∈ ( −1,1) im Fehlerterm (7.255) ist im Allgemeinen unbekannt.

Man kann jedoch zwei Werte, ξu und ξo , festlegen, für die 2n 2n 2n f ( ) ( ξu ) ≤ f ( ) ( ξ ) ≤ f ( ) ( ξo )

(7.256)

gilt, so dass analog (7.219) der Quadraturfehler (7.255) durch eine untere und obere Schranke eingegabelt wird. Für Polynome vom Grade 2n -1 verschwindet die 2n-fache Ableitung (f ( ) ≡ 0) , so dass n Stützstellen (GAUSS-Punkte) ausreichen, um Polynome vom Grade 2n -1 mit Hilfe der Quadraturformel (7.228) exakt integrieren zu können. Als Beispiel sei das Integral 2n

5

1

1

−1

3

I = ò u 3du ≡ 2 ò ( 3 + 2x ) dx = 156

(7.257)

mit Hilfe der Quadraturformel (7.228) ausgewertet. In (7.257) wurde die Transformation (7.236) berücksichtigt. Um den exakten Wert von 156 zu erhalten, sind

( ±1/ 3 )

n = 2 GAUSS-Punkte

und die entsprechenden Wichtungsfaktoren

H1 = H 2 = 1 gemäß Tabelle 7.11 erforderlich:

(

é I = 2ê 3− 2 ë

3

) + ( 3 + 2 3 ) ùúû = 156. 3

3

(7.257*)

Die NEWTON-COTES-Quadratur benötigt eine Aufteilung in zwei Teilintervalle mit drei Stützstellen gemäß Tabelle 7.9.

179

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

179

Ein anderes Beispiel ist das Integral 5

I=ò 1

1

du dx ≡ 2ò = l n 5 = 1, 60944, u 3 + 2x

(7.258)

−1

das mit Hilfe der Quadraturformel (7.228) unter Einbeziehung der GAUSS-Punkte x i und der entsprechenden Wichtungsfaktoren aus Tabelle 7.11 genähert werden kann. Die Ergebnisse sind in Tabelle 7.12 eingetragen. 5

Tabelle 7.12 GAUSS-LEGENDRE-Quadratur des Integrals I =

ò 1

du = ln 5 = 1, 60944 u „Kollokationspunkt“

Näherung

Fehler

rel. Fehler

In

En = I − In

∆ ⋅100% ln 5

1< u n <5

-1< ξn <1

1

4/3

0,27611

17,16%

1,342

-0,829

2

1,56522

0,04422

2,75%

1,321

-0,84

3

1,60269

0,00675

0,42%

1,314

-0,843

4

1,60842

0,00102

0,063%

1,3103

-0,845

5

1,60929

0,00015

0,0092%

1,3103

-0,845

6

1,60942

0,00002

0,0011%

1,32

-0,84

n

Im Beispiel nach Tabelle 7.12 ist der exakte Integralwert und damit der Fehler E n = I - I n bekannt. Mithin kann die zugehörige Stelle u n ∈ (1,5 ) bzw.

ξn ∈ ( −1,1) als „Kollokationspunkt“ bezeichnet werden, der aus (7.255) bzw. Tabelle 7.11 bestimmt werden kann. Der Vergleich der Tabellen 7.10 und 7.12 zeigt, dass die GAUSS-LEGENDREQuadratur wesentlich geringere Abbrechfehler aufweist als die NEWTON-COTESQuadratur. Zu beachten ist, dass n = ( b − a ) / h in den Tabellen 7.9 und 7.10 die Anzahl der Teilintervalle bei vorgegebener Schrittweite h angibt, während n in den Tabellen 7.11 und 7.12 die Anzahl der Stützpunkte (GAUSS-Punkte) bedeutet. Als nächstes Beispiel soll das Integral (7.220) zur Bestimmung der Steifigkeitsmatrix in (6.69) ausgewertet werden, das vermöge der Transformation

180

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

x=

1 (1 + ξ ) l 2

180

(7.259)

gemäß 1

k αβ =

1 ′′ ( ξ ) Nβ′′ ( ξ ) dξ EIl ò N α 2

(7.260)

−1

ausgedrückt wird. Darin erhält man N ′′α ( ξ ) , α = 1, 2,3, 4 , aus (7.221a-d) mit (7.259) zu: N1′′( ξ ) ≡ a ( ξ ) =

6ξ l

,

N ′′2 ( ξ ) ≡ b ( ξ ) =

3ξ − 1 , l

(7.261a,b)

6ξ

, N ′′4 ( ξ ) ≡ d ( ξ ) =

3ξ + 1 . l

(7.261c,d)

2

N3′′ ( ξ ) ≡ c ( ξ ) = −

l

2

Die Auswertung des Integrales (7.260) erfolgt mit Hilfe der GAUSS-LEGENDREQuadratur (Tabelle 7.11) für n = 2 mit nur 2 Stützstellen ξ1,2 = m1/ 3 und den entsprechenden Wichtigungsfaktoren H1,2 = 1 gemäß k αβ =

é 1 æ 1 ö æ 1 ö æ 1 ö æ 1 öù EIl ê N ′′α ç − ÷ Nβ′′ ç − ÷ + N′′α ç ÷ Nβ′′ ç ÷ú . 2 3ø 3ø è è è 3ø è 3 øû ë

(7.262)

Zur weiteren Auswertung ist es zweckmäßig, die Beziehungen (7.261a÷d) an den

(

)

(

)

2 Stützstellen ξ1,2 = m1/ 3 mit a1 = a −1/ 3 und a 2 = a 1/ 3 etc. in Spaltenmatrizen zusammenzufassen:

{a1 {a 2

ìï 2 3 t b1 c1 d1} = í− 2 îï l b2

c2

d2}

t

ïì 2 3 =í ïî l 2

−

1+ 3 l

2 3 l2

3 −1 2 3 − l l2

t

1 − 3 üï ý , l þï

(7.263a)

t

1 + 3 ïü ý . l ïþ

(7.263b)

Damit sind die einzelnen Matrizen in (7.262) folgendermaßen gegeben:

ì a1 ü ï ï é æ 1 ö æ 1 ö ù ï b1 ï ′′ ′′ ≡ − − = M N N [ 1] ê α ç ÷ βç ÷ ú í ý [ a1 3ø 3 ø û ï c1 ï è è ë ïîd1 ïþ

b1 c1 d1 ] ,

(7.264a)

181

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

ìa 2 ü ï ï é æ 1 ö æ 1 ö ù ïb2 ï ′′ ′′ ≡ = M N N [ 2 ] ê α ç ÷ β ç ÷ú í c ý[a 2 è 3ø è 3 øû ï 2 ï ë ïîd 2 ïþ

b2

c2

d2 ] ,

181

(7.264b)

so dass sich die Steifigkeitsmatrix (7.262) wie folgt ergibt: 1 éë k αβ ùû = EIl ([ M1 ] + [ M 2 ]) . 2

(7.265)

Das Ergebnis unter Berücksichtigung von (7.263a,b) entnimmt man folgendem MAPLE-Output.

8 7.5-12.mws > > with(linalg): > A[1]:=matrix(1,4,[-6/sqrt(3)/l^2,-(1+sqrt(3))/l,6/sqrt(3)/l^2,(1-sqrt(3))/l]); é 2 3 A1 := ê− 2 êë l

−

1+ 3 l

2 3 l2

1− 3ù ú l úû

> A[2]:=matrix(1,4,[6/sqrt(3)/l^2,(sqrt(3)-1)/l,-6/sqrt(3)/l^2,(1+sqrt(3))/l]); é2 3 A2 := ê 2 êë l

3 −1 l

−

2 3 l2

1+ 3ù ú l úû

> M[1]:=multiply(transpose(A[1]),A[1]): > M[2]:=multiply(transpose(A[2]),A[2]): > K:=(EI*l/2)*(M[1]+M[2]); 1 K := EI l ( M1 + M2 ) 2

> K:=(2*EI/l^3)*evalm((l^4/4)*(M[1]+M[2])): > K:=simplify(%);

K :=

éê 6 êê3 l 2 EI êê êê -6 êê3 l ë

3l 2

2l −3 l

-6 −3 l 6

l 2 −3 l l3

3lù ú l 2 úú ú −3 lúú ú 2 l 2 úúû

Dieses Ergebnis stimmt mit der Steifigkeitsmatrix in (6.69b) und (3.95) in Band 1 überein. Die GAUS-LEGENDRE-Quadratur führt mit nur zwei Stützpunkten (GAUSS-Punkten) zum Ziel, während die NEWTON-COTES-Quadratur mindestens drei Stützpunkte gemäß Tabelle 7.9 (SIMPSON-Regel) benötigt. >

182

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

182

Das Ergebnis für n = 1 mit ξ0 = 0 , H 0 = 2 gemäß Tabelle 7.11 ist unbrauchbar, wie nachstehender MAPEL-Output zeigt.

8 7.5-13.mws

> > with(linalg): > A[0]:=matrix(1,4,[0,-1/l,0,1/l]); A0 := éêê 0 ë

−

1 l

0

1 l

ùú úû

> M[0]:=multiply(transpose(A[0]),A[0]): > K[0]:=(EI*l)*M[0]; K0 := EI l M0

> K[0]:=(2*EI/l^3)*evalm((l^4/2)*M[0]): > K[1]:=(2*EI/l^3)*matrix(4,4,[[6,3*l,-6,3*l],[3*l,2*l^2,-3*l,l^2], [-6,-3*l,6,-3*l],[3*l,l^2,-3*l,2*l^2]]): > Fehlermatrix:=(2*EI/l^3)*evalm((l^3/2/EI)*(K[1]-K[0])); é6 êê êê ê3 l 2 EI êê êê -6 êê êê3 l êë Fehlermatrix :=

3l 2

3l 2 −3 l 2

-6 −3 l 6

3l −3 l 2 l3

3lù ú 3 l 2 úú ú 2 úú ú −3 l úú ú 3 l 2 úú ú 2 úû

> Bezieht man diese Fehlermatrix auf die Steifigkeitsmatrix in (6.69b) bzw. (3.95) in Band 1, so erhält man die relative Fehlermatrix zu: é1 1 1 1 ù ê1 3/4 1 3/2ú ú, relative Fehlermatrix= ê ê1 1 1 1 ú ê ú ëê1 3/2 1 3/4ûú

(7.266)

die sich von (7.227) um den Faktor 1/ 2 unterscheidet, obwohl (7.227) auf zwei Stützstellen basiert, während die Fehlermatrix (7.266) bei Verwendung von nur einer Stützstelle entsteht. Auch dieser Vergleich zeigt, dass die GAUSS-LEGENDREQuadratur vorteilhafter ist als die NEWTON-COTES-Quadratur.

183

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

183

Als weiteres Beispiel soll das GUASSsche Fehlerintegral erf ( ξ ) =

ξ

ò exp ( −t

2

2

π0

) dt ,

(7.267a)

das vermöge der Transformation (7.236) bzw. t = (1 + x)ξ / 2 gemäß 1

ξ ó 2 ô exp éê −ξ2 (1 + x ) 4 ùú dx erf ( ξ ) = ë û πõ

(7.267b)

−1

ausgedrückt werden kann, numerisch mit Hilfe der GAUSS-LEGENDRE-Quadratur (Tabelle 7.11) ausgewertet werden. Man erhält für n = 2,3, 4 GAUSS-Punkte folgende Näherungen: Quadratur2 =

ξ é exp(−a1ξ2 ) + exp(−a 2 ξ2 ) ù , ë û π

(7.268a)

2

1æ 1 ö mit den Abkürzungen a1;2 ≡ ç 1 m 3÷ , 4è 3 ø Quadratur3 =

(

mit den Abkürzungen b1;2 ≡ Quadratur4 =

)

ξ é8 5 2 2 2 ù ê 9 exp(−ξ / 4) + 9 exp(− b1 ξ ) + exp(− b2 ξ ) ú , (7.268b) πë û

1 1m 3/ 5 4

(

(

)

2

,

ξ é A1 exp(−c1 ξ2 ) + exp(−c 2 ξ2 ) ê ë π

(

) )

+ A 2 exp(−c3 ξ2 ) + exp(−c4 ξ 2 ) ùú , û

(7.268c)

mit den Abkürzungen A1;2 ≡

1æ 1 ö 5/ 6÷ ç1 ± 2è 3 ø, 2

c1;2 ≡

2 1æ 1 1æ 1 ö ö 1 525 − 70 30 m ç ÷ , c3;4 ≡ 4 ç1 m 35 525 + 70 30 ÷ . 4 è 35 è ø ø

Die Näherungen (7.268a,b,c) sind mit dem nachfolgenden MAPLE-Programm ermittelt und numerisch weiter ausgewertet worden. Man kann sie ausdrucken lassen, wenn man an den entsprechenden Stellen die Doppelpunkte durch Semikola ersetzt.

184

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

8 7.5-14.mws

> > INT:=(xi/sqrt(Pi))*Int(exp(-xi^2*(1+x)^2/4),x=-1..1)= (xi/sqrt(Pi))*int(exp(-xi^2*(1+x)^2/4),x=-1..1); ξ INT := π

1 æ

2 ( 1 + x )2 ö ÷÷ ÷ø 4

ó çççè − ξ ôe ô ô ô õ-1

dx = erf( ξ )

> n:=2: Quadratur[2]:=(xi/sqrt(Pi))*(exp(-xi^2*(1-1/sqrt(3))^2/4)+ exp(-xi^2*(1+1/sqrt(3))^2/4)): > n:=3: Quadratur[3]:=(xi/sqrt(Pi))*((8/9)*exp(-xi^2/4)+(5/9)* (exp(-xi^2*(1-sqrt(3/5))^2/4)+exp(-xi^2*(1+sqrt(3/5))^2/4))): > n:=4: g:=sqrt(525-70*sqrt(30))/35: G:=sqrt(525+70*sqrt(30))/35: H:=(490+49*sqrt(30))/(900+48*sqrt(30)): H:=factor(H): h:=(490-49*sqrt(30))/(900-48*sqrt(30)): h:=factor(h): Quadratur[4]:=(xi/sqrt(Pi))*(H*(exp(-xi^2*(1-g)^2/4)+ exp(-xi^2*(1+g)^2/4))+h*(exp(-xi^2*(1-G)^2/4)+exp(-xi^2*(1+G)^2/4))): > plot({1,Quadratur[2],Quadratur[3],Quadratur[4],erf(xi)}, xi=0..2,scaling=constrained,color=black);

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

xi

ξ

> L_zwei:=sqrt(Int((Fehlerintegral-Quadratur)^2,xi=0..2)/2); L_zwei :=

1 2 2

2

184

ó ( Fehlerintegral − Quadratur )2 dξ ô õ0

2

185

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

185

> for i in [2,3,4] do L_zwei[i]:= evalf(sqrt((1/2)*int((erf(xi)-Quadratur[i])^2,xi=0..2))) od; L_zwei

2

:= 0.01249157252

L_zwei 3 := 0.001040238454 L_zwei 4 := 0.00004785851804

> Die Grafik zeigt, dass nur für n = 2 etwa oberhalb von xi = 1.2 geringe Abweichungen zu erkennen sind, während die Abweichungen von der Fehlerfunktion für n = 3 und n = 4 im Rahmen der Strichstärke liegen. Die Güte der Näherungen geht deutlich aus den ermittelten L_zwei-Fehlernormen hervor. Analog zum GAUSSschen Fehlerintegral (7.267a) wird im Folgenden der Integralsinus ξ

sin(t) Si(ξ) = ó dt , ô õ t

(7.267*a)

0

der vermöge der Transformation (7.236) bzw. t = (1 + x) ξ / 2 gemäß 1

sin[ξ(1 + x) / 2] Si(ξ) = ó dx , ô õ 1+ x

(7.267*b)

−1

ausgedrückt werden kann, numerisch mit Hilfe der GAUSS-LEGENDRE-Quadratur (Tabelle 7.11) ausgewertet. Man erhält für n = 2,3, 4 GAUSS-Punkte folgende Näherungen: Quadratur2 = A1 sin ( a1ξ ) + A 2 sin ( a 2 ξ )

(

mit A1;2 ≡ 3 1 ± 1

3

)

(

2 und a1;2 ≡ 1 m 1

3

)

(7.268*a)

2,

8 Quadratur3 = sin ( ξ 2 ) + B1 sin ( b1ξ ) + B2 sin ( b 2 ξ ) 9

(

)

(

mit B1;2 ≡ 25 1 ± 3 5 18 und b1;2 ≡ 1 m 3 5

)

(7.268*b)

2,

4

Quadratur4 = å Ci sin ( ci ξ )

(7.268*c)

i =1

mit C1;2 ≡ h (1 m G ) , C3;4 ≡ H (1 m g ) , c1;2 ≡ (1 m G ) 2, c3;4 ≡ (1 m g ) 2,

186

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

186

wobei h; H ≡ 1 2 m 30 36 und g;G ≡ 525 m 70 30 35. Die Näherungen (7.268*a-c) sind mit dem nachfolgenden MAPLE-Programm ermittelt und weiter ausgewertet worden. Man kann sie ausdrucken lassen, wenn man an den entsprechenden Stellen die Doppelpunkte durch Semikola ersetzt.

> Integralsinus Si(xi): > Int((1/t)*sin(t),t=0..xi)=int((1/t)*sin(t),t=0..xi);

8 7.5-15.mws

ξ

ó sin ( t ) ô d t = Si ( ξ ) ô ô t ô õ0

Transformation: > t:=xi*(1+x)/2; t :=

ξ (1 + x) 2

> Int(sin(xi*(1+x)/2)/(1+x),x=-1..1)=int(sin(xi*(1+x)/2)/(1+x),x=-1..1); 1 ó sin æç ξ ( 1 + x ) ö÷ ô ÷ ç 2 ô ø d x = Si ( ξ ) è ô ô 1 + x ô ô õ-1

> Digits:=5: > n:=1: Quadratur[1]:= 2*sin(xi/2): > n:=2: Quadratur[2]:=sin(xi*(1-1/sqrt(3))/2)/(1-1/sqrt(3))+ sin(xi*(1+1/sqrt(3))/2)/(1+1/sqrt(3)): quadratur[2]:=evalf(%): > n:=3: > Quadratur[3]:=simplify((8/9)*sin(xi/2)+(5/9)*(sin(xi*(1-sqrt(3/5))/2)/ (1-sqrt(3/5))+sin(xi*(1+sqrt(3/5))/2)/(1+sqrt(3/5)))): quadratur[3]:=evalf(%): > n:=4: > g:=sqrt(525-70*sqrt(30))/35: G:=sqrt(525+70*sqrt(30))/35: H:=(490+49*sqrt(30))/(900+48*sqrt(30)): H:=factor(H): h:=(490-49*sqrt(30))/(900-48*sqrt(30)): h:=factor(h): Quadratur[4]:=h*(sin(xi*(1-G)/2)/(1-G)+sin(xi*(1+G)/2)/(1+G))+H* (sin(xi*(1-g)/2)/(1-g)+sin(xi*(1+g)/2)/(1+g)): quadratur[4]:=evalf(%):

187

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

187

> plot({2,Pi/2,Si(2*Pi),Si(xi),Quadratur[1],Quadratur[2],Quadratur[3], Quadratur[4]}, xi=0..2*Pi,0..2,scaling=constrained,color=black);

2 1.8 π/2 1.6 1.4 1.2 Si (2π) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

n=2

n=1

2π

π 1

2

3

ξ

4

5

6

> L_zwei:=sqrt((1/(2*Pi))*Int((Integralsinus-Quadratur)^2,xi=0..2*Pi)); L_zwei :=

1 2 2

1 π

2π

ó ( Integralsinus − Quadratur )2 dξ ô õ0

> Digits:=10: > for i in [1,2,3,4] do L_zwei[i]:=evalf(sqrt((1/(2*Pi))*int((Si(xi)-Quadratur[i])^2,xi=0..2*Pi))) od; L_zwei 1 := 0.4174539947 L_zwei 2 := 0.07079899745 L_zwei 3 := 0.004521402664 L_zwei 4 := 0.0001562619752

> Im betrachteten Bereich < 0K 2π > ist die Näherung mit einem Stützpunkt unbrauchbar, während die Näherung mit zwei Stützpunkten (n = 2) nur geringfügige Abweichungen zeigt. Die Näherung mit n = 3 und n = 4 GAUSS-Punkten fallen im Rahmen der Strichstärke mit dem Integralsinus zusammen. Der Integralsinus schwingt um den Grenzwert Si ( ∞ ) = π 2 und besitzt an den Stellen ξ = nπ, n = 1, 2,..., Extremwerte. Weitere Beispiele sind in folgender Tabelle erwähnt und unter der angegebenen Nummer auf der CD-ROM gespeichert.

188

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

188

Tabelle 7.13 Weitere Beispiele zur GAUSS-Quadratur

Bezeichnung

Definition

CD-ROM

1

BESSELFunktionen

1 ó exp(it x) dx = BesselJ(0, t) ô π õ 1 − x2

8 7.5-16.mws

−1

t π

1

ò

1 − x 2 exp(itx) dx = BesselJ(1, t)

8 7.5-17.mws

−1

1

ξ

Chi-QudratVerteilung

fν (ξ) =

DEBYEsche Funktion

d(ξ) =

Dilogarithmus nach EULER

ó ln(t) dt = dilog(ξ) õ 1− t

2 3

ξ3

ν/2

ξ

ò 0

òt

( ν / 2 −1)

Γ( ν2 ) 0

exp(− t / 2) dt

t3 dt exp(t) − 1

8 7.5-18.mws 8 7.5-19.mws

ξ

8 7.5-20.mws

1

Einhüllende des FRESNELschen Integrals C(ξ)

y(ξ) =

1 + a exp(− bξ) + c exp(−dξ) 2

8 7.5-21.mws

ξ

Elliptische Integrale

ó 1− k2 t2 dt = EllipticE(ξ, k) ô 2 õ 1− t

8 7.5-22.mws

0 ξ

1 ó dt = EllipticF(ξ, k) ô 2 õ (1 − t )(1 − k 2 t 2 )

8 7.5-23.mws

0

ξ

EULERsche Konstante

ò

− exp(− t) ln(t)dt = exp(−ξ) ln(ξ) + Ei(1, ξ) + γ 0

Grenzwert(ξ → ∞) Þ γ ≡ 0,577215665

8 7.5-24.mws

189

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

189

Tabelle 7.13 Weitere Beispiele zur GAUSS-Quadratur (Fortsetzung)

Bezeichnung

Definition

CD-ROM

ξ

FRESNELsche Integrale

ó cos æ π t 2 ö dt = FresnelC(ξ) ô ç ÷ õ è 2 ø

8 7.5-25.mws

0 ξ

ó sin æ π t 2 ö dt = FresnelS(ξ) ô ç ÷ õ è 2 ø

8 7.5-26.mws

0

Hyperbolischer Integralkosinus

ξ

γ + ln(ξ) + ó

õ 0

Hyperbolischer Integralsinus

cosh(t) − 1 dt = Chi(ξ) t

8 7.5-27.mws

ξ

ó sinh(t) dt = Shi(ξ) õ t

8 7.5-28.mws

0

ξ

Integralkosinus

cos(t) − 1 dt = Ci(ξ) γ + ln(ξ) + ó õ t

8 7.5-29.mws

0

ξ

Integralsinus

ó sin(t) dt = Si(ξ) õ t

8 7.5-15.mws

0 ξ

1 dt = −Ei(1, − ln(ξ)) = li(ξ) Integrallogarithmus ó ô õ ln(t)

8 7.5-30.mws

0

7.5.2 Mehrdimensionale Integration

Zur Lösung von ebenen Problemen nach der Methode der Finiten Elemente sind zweidimensionale Integrale über Rechteck- und Dreieckselemente numerisch auszuwerten, da analytisch geschlossene Lösungen nur selten existieren. Beispielsweise sind Gebietsintegrale der Form

190

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

190

1 1

I=

ò ò f ( ξ, η) dξdη

(7.269)

−1 1

auf dem Master-Quadrat (Ziffer 4.4) zu behandeln. Darin sind

( ξ, η) = [−1,1]

dimensionslose Koordinaten. Durch geeignete Transformationen lassen sich Rechtecke oder allgemeine Parallelogramme in beliebiger Lage auf die normierte Form (7.269) bringen . Die Integration erfolgt in zwei Schritten. Nach der inneren Integration bei festem η wird anschließend über η integriert, so dass man in Erweiterung der eindimensionalen GAUSS-Quadratur (7.228) folgende Näherung erhält: I≈

1 n

ò

1

å hi f ( ξi , η) dη ≡

ò g ( η) dη ,

−1 i =1 m

( )

−1

m n

(

)

I ≈ å H jg η j = åå H jHi f ξi , η j . j=1

j=1 i =1

(7.270a)

Darin ist m bzw. n die Anzahl der GAUSS-Punkte in η - bzw. ξ -Richtung, während H j und Hi die entsprechenden Wichtungsfaktoren darstellen. Die GAUSSQuadratur (7.270a) integriert das Produkt aus einem Polynom vom Grade (2n -1)

in ξ und einem Polynom vom Grade (2m -1) in η exakt. Dabei werden m × n GAUSS-Punkte benötigt. Monome der Form ξp ηq werden exakt für 0 ≤ p ≤ 2n − 1 und 0 ≤ q ≤ 2m − 1 integriert. Je nach Integrand f ( ξ, η ) in (7.269) bietet eine unterschiedliche Anzahl von

GAUSS-Punkten ( m ≠ n ) in ξ - und η -Richtung keine Vorteile, so dass dann die Doppelsumme in (7.270a) durch eine einfache Summation über n × n GAUSSPunkte ersetzt werden kann: I=

1 1

n ×n

−1 −1

i =1

ò

ò f ( ξ, η) dξdη ≈

å w i f ( ξi , ηi ) .

(7.270b)

Diese Quadratur liefert exakte Werte für Polynome vom Grade (2n -1) in ξ und η. Man gewinnt die Wichtungsfaktoren w i = ( Hi )ξ ( Hi )η und die GAUSS-Punkte

( ξi , ηi )

aus der eindimensionalen Quadratur aus Tabelle 7.11.

In den Tabellen 7.14a und 7.14b sind Wichtungsfaktoren und GAUSS-Punkte für zweidimensionale Quadraturen (7.270a,b) zusammengestellt.

191

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

191

Tabelle 7.14a GAUSS-LEGENDRE-Quadratur (7.270b) mit 3× 3 bzw. 4× 4 Stützstellen und entsprechenden Wichtungsfaktoren w i = ( Hi )ξ ( Hi )η auf der Basis von Tabelle 7.11

η

-a a

Master-Quadrat ( −1 ≤ (ξ, η) ≤ 1 )

a

4

7

3

8

9

6

3 5 25 w1÷4 = 81 40 w 5÷8 = 81 64 w9 = 81 a=

a

ξ 1

-a

5

2

-a

-a a

η a b

Master-Quadrat ( −1 ≤ (ξ, η) ≤ 1 )

16 15

3

12

8

7

11

9

5

6

10

1

13 14

2

-b -a -a

-b

b

1 525 ± 70 30 35 a ≈ 0,861136 311 594 052

a; b =

4

b ≈ 0,339 981 043 584 857

ξ

a

w1÷4 = 59 / 216 − 30 36 ≈ 0,121 002 993 285 602, w 5÷8 = 59 / 216 + 30 36 ≈ 0, 425 293 303 010 694, w 9 ÷16 = 49 / 216

≈ 0, 226 851 851 851 852

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

192

Tabelle 7.14b GAUSS-LEGENDRE-Quadratur

(7.270a,b)

mit

4× 3 Stützstellen

192 und

entsprechenden Wichtungsfaktoren w i = ( Hi )ξ ( Hi )η auf der Basis von Tabelle 7.11

η c

4

8

9

11

Master-Quadrat (−1 ≤ (ξ, η) ≤ 1)

a; b = 525 ± 70 30 35

3

7

a ≈ 0,861136 311 594 052 b ≈ 0,339 981 043 584 857

10

12

c = 3/5 ≈

ξ 1

-c

5

-a

-b

0, 774 596 669 241 484

2

6 b

a

w1÷4 = 5 /18 − 5 30 / 324 ≈ 0,193 252 691 743 030, w 5÷8 = 5 /18 + 5 30 / 324 ≈ 0,362 302 863 812 526 w 9 ÷10 = 4 / 9 − 2 30 / 81

≈ 0,309 204 306 788 847

w11÷12 = 4 / 9 + 2 30 / 81

≈ 0,579 684 582 100 041

Im Folgenden seien einige Beispiele zur zweidimensionalen GAUSSLEGENDRE-Quadratur erläutert. Zur numerischen Auswertung des Integrals 11

9 Fi = 8a 2 ò ò Ni ( ξ, η) dξdη = a 2 8

(7.271a)

00

gemäß ( 5) / ( 8 ) mit den Formfunktionen (2) aus Ü 7.1.11 ist zunächst die lineare Transformation ξ = (1 + x ) / 2,

η = (1 + y ) / 2

(7.272)

durchzuführen (Gl. (2) aus Ü 7.1.10), so dass damit der „Kraftvektor“ (7.271a) alternativ durch das Integral Fi = 2a 2

1 1

9

ò ò Ni ( x, y ) dxdy = 8 a

−1 −1

2

(7.271b)

193

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

193

ausgedrückt werden kann, auf das die GAUSS-LEGENDRE-Quadratur angewendet wird. Da der Integrand in (7.271a,b) bikubische Formfunktionen enthält, z.B.

N1 ( ξ, η ) =

81 ξ (1 − ξ )(1 − 3ξ ) η (1 − η )(1 − 3η) , 4

(7.273)

sind zur exakten Quadratur nur 2× 2 GAUSS-Punkte erforderlich, deren Lage im Master-Quadrat durch die Matrix æ P = ( −b, b ) P3 = ( b, b ) ö P1..4 = ç 4 ÷ P = − b, − b P2 = ( b, − b ) ø ( ) è 1

(7.274)

mit b ≡ 1/ 3 ersichtlich ist. Die entsprechenden Wichtungsfaktoren sind durch w1..4 = 1 gegeben. Der folgende MAPLE-Output zeigt die einzelnen Rechenschritte der GAUSS-Quadratur.

8 7.5-31.mws

>

> F[i]:=8*a^2*Int(Int(N[i],xi=0..1),eta=0..1)=8*a^2*int(int((81/4)* xi*(1-xi)*(1-3*xi)*eta*(1-eta)*(1-3*eta),xi=0..1),eta=0..1); 1

1

2 ó N dξ dη = 9 a Fi := 8 a 2 ó ô ô ôô i 8 õ0 õ0

> F[_i]:=2*a^2*Int(Int(N[_i],x=-1..1),y=-1..1)=2*a^2*(int(int((81/4)* ((1+x)/2)*(1-(1+x)/2)*(1-3*(1+x)/2)*((1+y)/2)*(1-(1+y)/2)*(1-3*(1+y)/2), x=-1..1),y=-1..1)); 1

1

2 ó N dx dy = 9 a F_i := 2 a 2 ó ô ô ô ô _i 8 õ-1 õ-1

Lage der 2 x 2 GAUSS-Punkte im Master-Quadrat: > p[1..4]:=Matrix(2,2,[[P[4]=(-b,b),P[3]=(b,b)],[P[1]=(-b,-b),P[2]=(b,-b)]]); é P4 = ( −b, b ) p1 .. 4 := êê êP1 = ( −b, −b ) ë

> b:=1/sqrt(3); b :=

Wichtungsfaktoren: > w[1..4]:=1;

3 3

w1 .. 4 := 1

P3 = ( b, b ) ù ú P2 = ( b, −b )úúû

194

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

194

Werte des Integranden in den Gauss-Punkten: > N(x,y):=(81/4/64)*(1+x)*(1-x)*(-1-3*x)*(1+y)*(1-y)*(-1-3*y); N( x, y ) :=

81 ( 1 + x ) ( 1 − x ) ( −1 − 3 x ) ( 1 + y ) ( 1 − y ) ( −1 − 3 y ) 256

> n[1]:=subs({x=-1/sqrt(3),y=-1/sqrt(3)},N(x,y)): > n[1]:=simplify(%): > n[1]:=expand(%); 9 9 3 n1 := − 16 32 > n[2]:=subs({x=1/sqrt(3),y=-1/sqrt(3)},N(x,y)): > n[2]:=simplify(%): > n[2]:=expand(%); -9 n2 := 32 > n[3]:=subs({x=1/sqrt(3),y=1/sqrt(3)},N(x,y)): > n[3]:=simplify(%): > n[3]:=expand(%); 9 9 3 n3 := + 16 32 > n[4]:=subs({x=-1/sqrt(3),y=1/sqrt(3)},N(x,y)): > n[4]:=simplify(%): > n[4]:=expand(%); -9 n4 := 32 > GAUSS_Quadratur:=2*a^2*sum(n[k],k=1..4); GAUSS_Quadratur :=

9 a2 8

Dieser Wert stimmt mit dem exakten Integralwert überein. > Im nächsten Beispiel wird das Integral in Gl. (8) aus Ü 7.1.10, 11

2

2

k 99 = 512 ò ò ξ2 (1 − ξ ) (1 − 2η) dξdη = 00

256 , 45

(7.275a)

numerisch ausgewertet, das vermöge der linearen Transformation (7.272) durch 1 1

k 99 = 8 ò

ò (1 − 2x

−1 −1

2

)

+ x 4 y 2 dxdy =

256 45

(7.275b)

195

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

195

ausgedrückt werden kann und somit einer GAUSS-Quadratur zugänglich ist. Da der Integrand in (7.275b) ein Polynom vom Grade 4 in x und vom Grade 2 in y darstellt, sind zur exakten Quadratur nur 3× 2 GAUSS-Punkte erforderlich, und zwar in x-Richtung 3 und in y-Richtung 2 Integrationspunkte, deren Lage im MasterQuadrat durch die Rechteckmatrix

æ P = ( −a, b ) P6 = ( 0, b ) P3 = ( a, b ) ö P1..6 = ç 4 ÷ è P1 = ( −a, −b ) P5 = ( 0, −b ) P2 = ( a, −b ) ø

(7.276)

mit a ≡ 3 / 5 und b ≡ 1/ 3 gemäß Tabelle 7.11 ersichtlich ist. Die zugehörigen Wichtungsfaktoren w1..4 = 5 / 9 und w 5..6 = 8 / 9 können ebenfalls aus Tabelle 7.11 kombiniert werden. Der folgende MAPLE-Output zeigt die einzelnen Rechenschritte der GAUSS-Quadratur.

8 7.5-32.mws

> > f(xi,eta):=xi^2*(1-xi)^2*(1-2*eta)^2; f( ξ, η ) := ξ 2 ( 1 − ξ )2 ( 1 − 2 η )2

> k[99]:=512*Int(Int(f,xi=0..1),eta=0..1)=512*int(int(f(xi,eta),xi=0..1),eta=0..1); 1 1 256 ó k99 := 512 ó ô ô f dξ dη = 45 õ0 õ0

> g(x,y):=subs({xi=(1+x)/2,eta=(1+y)/2},f(xi,eta)): > g(x,y):=expand(%): > g(x,y):=(1/16)*collect(16*%,y); g( x, y ) :=

( 1 − 2 x 2 + x4 ) y2 16

> K[99]:=(512/4)*Int(Int(g,x=-1..1),y=-1..1)= (512/4)*int(int(g(x,y),x=-1..1),y=-1..1); 1 1 256 ó K99 := 128 ó ô ô g dx dy = 45 õ-1 õ-1

Lage der 3 x 2 GAUSS-Punkte im Master-Quadrat: > p[1..6]:=Matrix(2,3,[[P[4]=(-a,b),P[6]=(0,b),P[3]=(a,b)], [P[1]=(-a,-b),P[5]=(0,-b),P[2]=(a,-b)]]); é P4 = ( −a, b ) p1 .. 6 := êê êP1 = ( −a, −b ) ë

> a:=sqrt(3/5); b:=1/sqrt(3);

P6 = ( 0, b ) P5 = ( 0, −b )

P3 = ( a, b ) ù ú P2 = ( a, −b )úúû

196

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

a :=

15 5

b :=

3 3

Wichtungsfaktoren: > w[1..4]:=5/9; w[5..6]:=8/9; w1 .. 4 :=

5 9

w5 .. 6 :=

8 9

196

Der Integrand g(x,y) ist eine gerade Funktion in x und in y. Somit besitzt er folgende übereinstimmende Werte in den GAUSS-Punkten: > G[1..4]:=subs({x=a,y=b},g(x,y)); 1 G1 .. 4 := 300 > G[5..6]:=subs({x=0,y=b},g(x,y)); G5 .. 6 :=

1 48

> GAUSS_Quadratur:=128*(w[1..4]*4*G[1..4]+w[5..6]*2*G[5..6]); GAUSS_Quadratur :=

256 45

Dieser Wert stimmt mit dem exakten Integralwert überein. > Als nächstes Beispiel soll die Steifigkeitsmatrix (2) aus Ü 7.1.11 durch Quadratur ermittelt werden, speziell der Wert K11 = 1458 /175 in (7): 11

K11 = ò ò f ( ξ, η) dξdη = 00

1458 175

(7.277a)

bzw. alternativ vermöge der linearen Transformation (7.272): K11 =

1 4

1 1

ò ò g ( x, y ) dxdy =

−1 −1

1458 . 175

(7.277b)

Den Integranden f ( ξ, η ) in (7.277a) ermittelt man aus 2

f ( ξ, η) = ( ∂N1 / ∂ξ ) + ( ∂N1 / ∂η )

2

(7.278)

197

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

197

mit der Formfunktion N1 ( ξ, η ) nach (7.273), während der Integrand g ( x, y ) aus (7.278) vermöge der linearen Transformation (7.272) hervorgeht. Da der Integrand g ( x, y ) in (7.277b) ein Polynom vom Grade 6 in x und ebenso vom Grade 6 in y darstellt, sind zur exakten Quadratur 4× 4 GAUSS-Punkte erforderlich. Zunächst seien jedoch nur 3× 3 Stützstellen mit entsprechenden Wichtungsfunktionen gemäß Tabelle 7.13 eingesetzt, wodurch ein relativer Fehler von 16,9% entsteht, wie folgender MAPLE-Output zeigt.

8 7.5-33.mws

>

> N[1](xi,eta):=(81/4)*xi*(1-xi)*(1-3*xi)*eta*(1-eta)*(1-3*eta); N1( ξ, η ) :=

81 ξ ( 1 − ξ ) ( 1 − 3 ξ ) η ( 1 − η ) ( 1 − 3 η ) 4

> Di:=diff(N[1](xi,eta),xi): > di:=diff(N[1](xi,eta),eta): > f(xi,eta):=Di^2+di^2: > K[11]:=Int(Int(f,xi=0..1),eta=0..1)=int(int(f(xi,eta),xi=0..1),eta=0..1); 1 1 1458 ó K11 := ó ô ô f dξ dη = 175 õ0 õ0

> g(x,y):=subs({xi=(1+x)/2,eta=(1+y)/2},f(xi,eta)): > k[11]:=(1/4)*Int(Int(g,x=-1..1),y=-1..1)=(1/4)*int(int(g(x,y),x=-1..1),y=-1..1); 1 1ó 1 1458 k11 := ó ô g dx dy = 175 4ô õ-1 õ-1

Werte des Integranden in den 3 x 3 GAUSS-Punkten: > a:=sqrt(3/5); 15 a := 5 > G[1]:=subs({x=-a,y=-a},g(x,y)): > G[1]:=expand(%); G1 :=

2224179 452709 15 − 200000 160000

> G[2]:=subs({x=a,y=-a},g(x,y)): > G[2]:=expand(%); G2 :=

452709 200000

198

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

> G[3]:=subs({x=a,y=a},g(x,y)): > G[3]:=expand(%); 2224179 452709 15 G3 := + 200000 160000 > G[4]:=subs({x=-a,y=a},g(x,y)): > G[4]:=expand(%); G4 :=

452709 200000

> G[5]:=subs({x=0,y=-a},g(x,y)): > G[5]:=expand(%); 3562623 373977 15 G5 := − 512000 256000 > G[6]:=subs({x=a,y=0},g(x,y)): > G[6]:=expand(%); 3562623 373977 15 G6 := + 512000 256000 > G[7]:=subs({x=0,y=a},g(x,y)): > G[7]:=expand(%); 3562623 373977 15 G7 := + 512000 256000 > G[8]:=subs({x=-a,y=0},g(x,y)): > G[8]:=expand(%); 3562623 373977 15 G8 := − 512000 256000 > G[9]:=subs({x=0,y=0},g(x,y)): > G[9]:=expand(%); G9 :=

59049 8192

Wichtungsfaktoren: > w[1..4]:=25/81; w[5..8]:=40/81; w[9]:=64/81; w1 .. 4 :=

25 81

w5 .. 8 :=

40 81

w9 :=

64 81

> GAUSS_Quadratur:=(1/4)*(w[1..4]*sum(G[i],i=1..4)+w[5..8]*sum(G[j], j=5..8)+w[9]*G[9]);

198

199

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

GAUSS_Quadratur :=

199

13851 2000

> rel_Fehler:=(1458/175-GAUSS_Quadratur)/(1458/175); rel_Fehler :=

> rel_Fehler:=evalf(%);

27 160

rel_Fehler := 0.1687500000

Der relative Fehler beträgt 16,9 % aufgrund der zu geringen Anzahl von 3 x 3 GAUSS-Punkten. Die GAUSS-LEGENDRE-Quadratur mit 4 x 4 Stützstellen liefert den exakten Integralwert, wie der folgende MAPLE-Output zeigt. > > N[1](xi,eta):=(81/4)*xi*(1-xi)*(1-3*xi)*eta*(1-eta)*(1-3*eta); N1( ξ, η ) :=

81 ξ ( 1 − ξ ) ( 1 − 3 ξ ) η ( 1 − η ) ( 1 − 3 η ) 4

> Di:=diff(N[1](xi,eta),xi): > Di:=simplify(%): > di:=diff(N[1](xi,eta),eta): > di:=simplify(%): > f(xi,eta):=Di^2+di^2: > f(xi,eta):=expand(%): > K[11]:=Int(Int(f,xi=0..1),eta=0..1)=int(int(f(xi,eta),xi=0..1),eta=0..1); 1 1 1458 ó K11 := ó ô ô f dξ dη = 175 õ0 õ0

> g(x,y):=subs({xi=(1+x)/2,eta=(1+y)/2},f(xi,eta)): > g(x,y):=expand(%): > g(x,y):=simplify(%): > k[11]:=(1/4)*Int(Int(g,x=-1..1),y=-1..1)=(1/4)*int(int(g(x,y),x=-1..1),y=-1..1); 1 1ó 1 1458 k11 := ó ô g dx dy = 175 4ô õ-1 õ-1

Werte des Integranden in den 4 x 4 GAUSS-Punkten: > a:=sqrt((3+2*sqrt(6/5))/7); b:=sqrt((3-2*sqrt(6/5))/7); a :=

525 + 70 30 35

b :=

525 − 70 30 35

200

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

> G[1]:=subs({x=-a,y=-a}, > G[2]:=subs({x=a,y=-a}, > G[3]:=subs({x=a,y=a}, > G[4]:=subs({x=-a,y=a}, > G[5]:=subs({x=-b,y=-b}, > G[6]:=subs({x=b,y=-b}, > G[7]:=subs({x=b,y=b}, > G[8]:=subs({x=-b,y=b}, > G[9]:=subs({x=-a,y=-b}, > G[10]:=subs({x=a,y=-b}, > G[11]:=subs({x=a,y=b}, > G[12]:=subs({x=-a,y=b}, > G[13]:=subs({x=-b,y=-a}, > G[14]:=subs({x=b,y=-a}, > G[15]:=subs({x=b,y=a}, > G[16]:=subs({x=-b,y=a},

g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)): g(x,y)):

200

G[1]:=simplify(%): G[2]:=simplify(%): G[3]:=simplify(%): G[4]:=simplify(%): G[5]:=simplify(%): G[6]:=simplify(%): G[7]:=simplify(%): G[8]:=simplify(%): G[9]:=simplify(%): G[10]:=simplify(%): G[11]:=simplify(%): G[12]:=simplify(%): G[13]:=simplify(%): G[14]:=simplify(%): G[15]:=simplify(%): G[16]:=simplify(%):

Wichtungsfaktoren: > w[1..4]:=59/216-(1/6)*sqrt(5/6); w1 .. 4 :=

59 30 − 216 36

> w[5..8]:=59/216+(1/6)*sqrt(5/6); w5 .. 8 :=

59 30 + 216 36

> w[9..16]:=49/216;

49 216 > GAUSS_Quadratur:=(w[1..4]/4)*sum(G[i],i=1..4)+ (w[5..8]/4)*sum(G[j], j=5..8)+(w[9..16]/4)*sum(G[k],k=9..16): > GAUSS_Quadratur:=expand(%); 1458 GAUSS_Quadratur := 175 w9 .. 16 :=

Dieser Wert stimmt mit dem exakten Integralwert (7) aus Ü 7.1.11 überein. > 1 1

Ein weiteres Beispiel, das Torsionsmoment M = 2GD ò

ò Φ ( ξ, η) dξdη

mit

−1 −1

Φ (ξ, η) = Φ3 (ξ, η) gemäß (7.63c), ist auf der CD-ROM unter  7.5-34.mws gespeichert. Zur numerischen Auswertung von Gebietsintegralen der Form 1 1−ξ

I=ò

ò f ( ξ, η) dξdη

0 0

(7.279)

201

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

201

auf dem Einheitsdreieck kann man auf obige Auswertungen auf dem MasterQuadrat zurückgreifen und entsprechende MAPLE-Programme benutzen, wenn man das Integral (7.279) auf die Form (7.269) bringt. Dazu ist analog (4.114a,b) eine bilineare Transformation ξ = a1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy

(7.280a)

η = b1 + b2 x + b3 y + b 4 xy

(7.280b)

geeignet, die das Master-Quadrat umkehrbar eindeutig auf das Einheitsdreieck abbildet, wobei der Knotenpunkt ƒ des Quadrates in den Kantenpunkt (1 2,1 2 ) des Dreiecks gelegt wird (Bild 7.13).

y

(-1,1) 4

5

(1,1) 3

(0,1)

x 1 (-1,-1)

2

4

7

(1/2,1/2) 3

1 (0,0)

2 (1,0)

6

(1,-1)

Bild 7.13 Abbildung des Master-Quadrates auf das Einheitsdreieck

Die Koeffizienten a i und bi in (7.280a,b) erhält man durch Einsetzen der Knotenkoordinaten: x = −1ü ì ξ = 0 ü ì 0 = a1 − a 2 − a 3 + a 4 ýÞ í ý Þ í y = −1þ îη = 0 þ î0 = b1 − b 2 − b3 + b 4

(7.281a)

x = 1 ü ì ξ = 1ü ì 1 = a1 + a 2 − a 3 − a 4 ýÞí ý Þ í y = −1þ îη = 0 þ î0 = b1 + b 2 − b3 + b 4

(7.281b)

x = 1 ü ì ξ = 1/ 2 ü ì1 2 = a1 + a 2 + a 3 + a 4 ýÞ í ýÞ í y = 1 þ îη = 1/ 2 þ î1 2 = b1 + b 2 + b3 + b 4

(7.281c)

x = −1ü ìξ = 0 ü ì0 = a1 − a 2 + a 3 − a 4 ýÞ í ý Þ í y = 1 þ î η = 1þ î1 = b1 − b 2 + b3 − b 4

(7.281d)

Diese Zusammenhänge lassen sich in Matrixform folgendermaßen zusammenfassen:

202

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

[ M ]{A} = {R a }

[ M ]{B} = {R b }

und

202

(7.282a,b)

mit den Abkürzungen

é ê [ M ] = êê ê ëê

1 −1 −1

1ù 1 1 −1 −1úú , 1 1 1 1ú ú 1 −1 1 −1ûú

(7.283)

t

{A} = {a1

a2

a4} ,

{R a } = {0

1 1 2 0} ,

a3

t

{B} = {b1 {R b } = {0

b2

b4}

b3

t

(7.284a,b)

t

0 1 2 1} .

(7.285a,b)

Damit ergeben sich die Lösungen der Gleichungssysteme (7.282a,b) zu: 3 {A} = ìí 8 î

3 8

−1 8

−1 ü ý 8þ

t

und

3 {B} = ìí 8 î

−1 3 8 8

t

−1 ü ý , 8þ

(7.286a,b)

so dass man nach Einsetzen in (7.280a,b) schließlich die Transformation η = (1 + y )( 3 − x ) 8

ξ = (1 + x )( 3 − y ) 8

(7.287a,b)

mit dem JACOBIschen Determinante J=

∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂y ∂η ∂y

=

1 (2 − x − y) 16

(7.288)

erhält. Die Herleitung der bilinearen Transformation (7.287a,b) ist mit nachstehendem MAPLE-Programm durchgeführt worden.

8 7.5-35.mws

>

Bilineare Abbildung des Master-Quadrates auf das Einheitsdreieck: > with(linalg): > M:=matrix(4,4,[[1,-1,-1,1],[1,1,-1,-1],[1,1,1,1],[1,-1,1,-1]]); é1 ê ê1 M := êê ê1 ê êê ë1

> Inverse:=(1/4)*inverse(M/4): > R[a]:=matrix(1,4,[0,1,1/2,0]);

-1 -1

1ù ú 1 -1 -1úú ú 1 1 1úú ú -1 1 -1úû

203

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

Ra := éêê ë

0

1 2

1

0ùúú û

> A:=matrix(1,4,[a[1],a[2],a[3],a[4]]); A := [a1

a2

a3

a4]

> Loesung[a]:=transpose(linsolve(M,transpose(R[a]))); 3 Loesunga := éêê ë 8

3 8

-1 8

-1 8

ù úú û

> xi:=a[1]+a[2]*x+a[3]*y+a[4]*x*y; ξ := a1 + a2 x + a3 y + a4 x y

> xi:=factor(subs({a[1]=3/8,a[2]=3/8,a[3]=-1/8,a[4]=-1/8},%)); ξ := −

( −3 + y ) ( 1 + x ) 8

> R[b]:=matrix(1,4,[0,0,1/2,1]); Rb := éêê ë

0

1 2

0

1ùúú û

> B:=matrix(1,4,[b[1],b[2],b[3],b[4]]); B := [b1

b2

b3

b4]

> Loesung[b]:=transpose(linsolve(M,transpose(R[b]))); 3 Loesungb := éêê ë 8

-1 8

3 8

-1 8

ù úú û

> eta:=b[1]+b[2]*x+b[3]*y+b[4]*x*y; η := b1 + b2 x + b3 y + b4 x y

> eta:=factor(subs({b[1]=3/8,b[2]=-1/8,b[3]=3/8,b[4]=-1/8},%)); η := −

( 1 + y ) ( −3 + x ) 8

> JACOBI_Matrix:=matrix(2,2,[[diff(xi,x),diff(eta,x)],[diff(xi,y),diff(eta,y)]]): > J:=JACOBI_Determinante=det(%); 1 x y J := JACOBI_Determinante = − − 8 16 16

203

204

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

204

> Als Beispiel sei das Integral (9b) aus Ü 7.1.7, 1 1−ξ

K1010 = ò

81 ò f ( ξ, η) dξdη = 20

3

(7.289a)

0 0

mit f ( ξ, η) =

(

729 é 3 ê η − 2ξη − η2 2 ë

)

2

+

(

)

2ù 1 2ξ − 2ξ 2 − η + η2 − 2ξη ú , 3 û

numerisch ausgewertet. Vermöge der Transformation (7.287a,b) mit der JACOBIschen Determinante (7.288) geht (7.289a) auf das Integral 1 1

k1010 =

81

ò ò g ( x, y ) dydx = 20

3

(7.289b)

−1 −1

über. Darin erhält man g ( x, y ) aus dem Integranden f ( ξ, η ) in (7.289a) durch Einsetzen der Transformation (7.287a,b) und anschließender Multiplikation mit der JACOBIschen Determinante (7.288): g ( x, y ) =

1 ( 2 − x − y ) f éëξ ( x, y ) , η ( x, y )ùû . 16

(7.290)

Das Integral (7.289b) kann nach der GAUSS-LEGENDRE-Quadratur auf der Basis von Tabelle 7.13 numerisch ausgewertet werden. Da g ( x, y ) in (7.290) ein Poly-

nom vom Grade p = 5 in x und p = 4 in y darstellt, sind n = ( p + 1) 2 = 3 Stützstellen in x- und auch in y-Richtung, d.h. 3× 3 GAUSS-Punkte erforderlich, deren Lage mit entsprechenden Wichtungsfaktoren in Tabelle 7.13 gekennzeichnet ist. Die einzelnen Rechenschritte der GAUSS-LEGENDRE-Quadratur (7.270b) gehen aus folgendem MAPLE-Output hervor. > 8 7.5-36.mws > f(xi,eta):=(729*sqrt(3)/2)*((eta-2*xi*eta-eta^2)^2+(1/3)* (2*xi-2*xi^2-eta+eta^2-2*xi*eta)^2): > K[1010]:=Int(Int(f,eta=0..1-xi),xi=0..1)=int(int(f(xi,eta),eta=0..1-xi),xi=0..1); 1

1−ξ

ó K1010 := ó ô õ0 ô õ0

f dη dξ =

81 3 20

> g(x,y):=(1/16)*(2-x-y)*subs({xi=(1+x)*(3-y)/8,eta=(1+y)*(3-x)/8},f(xi,eta)): > g(x,y):=simplify(%): > g(x,y):=collect(%,x): > g(x,y):=collect(%,y):

205

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

> k[1010]:=Int(Int(g,y=-1..1),x=-1..1)=int(int(g(x,y),y=-1..1),x=-1..1); 1

1

81 3 ó k1010 := ó g dy dx = ô ô 20 õ-1 õ-1

Werte des Integranden in den 3 x 3 GAUSS-Punkten: > a:=sqrt(3/5); a :=

15 5

> G[1]:=subs({x=-a,y=-a},g(x,y)): > G[1]:=factor(%); G1 := −

255879 5 427923 3 + 3200000 640000

> G[2]:=subs({x=a,y=-a},g(x,y)): > G[2]:=factor(%); G2 :=

177147 3 640000

> G[3]:=subs({x=a,y=a},g(x,y)): > G[3]:=factor(%); G3 :=

255879 5 427923 3 + 3200000 640000

> G[4]:=subs({x=-a,y=a},g(x,y)): > G[4]:=factor(%); G4 :=

177147 3 640000

> G[5]:=subs({x=0,y=-a},g(x,y)): > G[5]:=factor(%); G5 :=

597051 5 174231 3 + 1024000 102400

> G[6]:=subs({x=a,y=0},g(x,y)): > G[6]:=factor(%); G6 := −

597051 5 174231 3 + 1024000 102400

> G[7]:=subs({x=0,y=a},g(x,y)):

205

206

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

206

> G[7]:=factor(%); G7 := −

597051 5 174231 3 + 1024000 102400

> G[8]:=subs({x=-a,y=0},g(x,y)): > G[8]:=factor(%); G8 :=

597051 5 174231 3 + 1024000 102400

> G[9]:=subs({x=0,y=0},g(x,y)): > G[9]:=factor(%); G9 :=

2187 3 16384

Wichtungsfaktoren: > w[1..4]:=25/81; w[5..8]:=40/81; w[9]:=64/81; w1 .. 4 :=

25 81

w5 .. 8 :=

40 81

w9 :=

64 81

> GAUSS_Quadratur:=w[1..4]*sum(G[i],i=1..4)+w[5..8]*sum(G[j],j=5..8)+w[9]* G[9]; GAUSS_Quadratur :=

81 3 20

Dieser Wert stimmt mit dem exatkten Integralwert überein. > Alternativ zur numerischen Auswertung des Integrals (7.289b) kann auf das Ausgangsintegral (7.279) bzw. (7.289a) unmittelbar die GAUSS-Quadratur gemäß 1 1−η

n

0 0

i =1

ò ò f ( ξ, η) dξdη ≈ å w i f ( ξi , ηi )

(7.291)

angewendet werden, wenn man beispielweise die Tabellen 7.15a,b benutzt, die auch in Ziffer 4.12 des ersten Bandes (Tabellen 4.10a,b) zugrunde gelegt werden.

207

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

Tabelle 7.15a GAUSS-Quadratur auf dem Einheitsdreieck mit n = 7 Stützstellen

( ) 21 b;d = ( 9 m 2 15 ) 21

5

a;c = 6 ± 15

P3(0,1) 6

w S / A ∆ = 9 40

(

A∆ = 1 2

S 4

)

w1;4 / A ∆ = 155 ± 15 1200

1

2

3

L1 = 1 − ξ − η

5

L2 = ξ

P2(1,0) 6

P1(0,0)

L3 = η

GAUSS-Punkte

Koordinaten ( L1 , L2 , L3 )

Koordinaten ( ξ, η)

Wichtungsfaktoren ( w i )

S

(1/3, 1/3, 1/3)

(1/3, 1/3)

wS

1

(b, a, a)

(a, a)

w1

2

(a, b, a)

(b, a)

w 2 = w1

3

(a, a, b)

(a, b)

w 3 = w1

4

(d, c, c)

(c, c)

w4

5

(c, d, c)

(d, c)

w5 = w 4

6

(c, c, d)

(c, d)

w6 = w 4

207

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

208

208

Tabelle 7.15b GAUSS-Quadratur auf dem Einheitsdreieck mit n = 13 Stützstellen

10026259 31723247 , b= 38511290 66185506 2872201 34357532 c= , d= 44099439 39503231 6574983 18789041 e= , f= 10298446 60054692 13094163 g= 268927463 11880325 wS / A ∆ = − 79429842 21277533 w1 / A ∆ = 121159934 4638787 w 4 / A∆ = 86954590 6 8113102 w7 / A∆ = 105209523 A∆ = 1 2 a=

5 P3(0,1) 6 8

9

3 10 1

4

S

11

2

7

12

5

P1(0,0)

P2(1,0)

L1 = 1 − ξ − η , L 2 = ξ , L3 = η GAUSS-Punkte

Koordinaten ( L1, L2 , L3 )

Koordinaten ( ξ, η)

Wichtungs-faktoren ( wi )

S

(1/3, 1/3, 1/3)

(1/3, 1/3)

wS

1

(b, a, a)

(a, a)

w1

2

(a, b, a)

(b, a)

w 2 ≡ w1

3

(a, a, b)

(a, b)

w 3 ≡ w1

4

(d, c, c)

(c, c)

w4

5

(c, d, c)

(d, c)

w5 ≡ w 4

6

(c, c, d)

(c, d)

w6 ≡ w4

7

(g, e, f)

(e, f)

w7

8

(g, f, e)

(f, e)

w8 ≡ w 7

9

(f, g, e)

(g, e)

10

(e, g, f)

(g, f)

11

(e, f, g)

(f, g)

w11 ≡ w 7

12

(f, e, g)

(e, g)

w12 ≡ w 7

w9 ≡ w7 w10 ≡ w 7

209

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

209

Die GAUSS-Quadratur (7.291) liefert exakte Werte für Polynomterme ξp ηq mit p + q ≤ m , wobei m = 5 bei einer Quadratur mit n = 7 GAUSS-Punkten (Tablle 7.15a) und m = 7 bei n = 13 GAUSS-Punkten (Tablle 7.15b). Im Beispiel (7.289a) besitzt der Integrand Polynomterme mit m = 4 , so dass eine Quadratur mit n = 7 GAUSS-Punkten (Tablle 7.15a) den exakten Wert K1010 = 81 3 20 liefert, wie der nachfolgende MAPLE-Output zeigt.

> > f(xi,eta):=(729*sqrt(3)/2)*((eta-2*xi*eta-eta^2)^2+ (1/3)*(2*xi-2*xi^2-eta+eta^2-2*xi*eta)^2);

8 7.5-37.mws

2 æ 2 ( 2 ξ − 2 ξ 2 − η + η2 − 2 ξ η ) ö÷ 729 3 ççç ( η − 2 ξ η − η2 ) + ÷÷ 3 è ø f( ξ, η ) := 2

> K[1010]:=Int(Int(f,xi=0..1-eta),eta=0..1)= int(int(f(xi,eta),xi=0..1-eta),eta=0..1); 1

1−η

ó K1010 := ó ô õ0 ô õ0

f dξ dη =

81 3 20

Werte des Integranden in den n = 7 Stützstellen im Einheitsdreieck: > a:=(6+sqrt(15))/21; b:=(9-2*sqrt(15))/21; c:=(6-sqrt(15))/21; d:=(9+2*sqrt(15))/21; 2 15 a := + 7 21 3 2 15 b := − 7 21 2 15 c := − 7 21 3 2 15 d := + 7 21

> F[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3},f(xi,eta)); Fs := 0 > F[1]:=subs({xi=a,eta=a},f(xi,eta)): F[1]:=factor(%); F1 :=

24624 3 14580 5 + 2401 2401

> F[2]:=subs({xi=b,eta=a},f(xi,eta)): F[2]:=factor(%);

210

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

F2 :=

210

24624 3 14580 5 + 2401 2401

> F[3]:=subs({xi=a,eta=b},f(xi,eta)): F[3]:=factor(%); F3 :=

24624 3 14580 5 + 2401 2401

> F[4]:=subs({xi=c,eta=c},f(xi,eta)): F[4]:=factor(%); F4 :=

24624 3 14580 5 − 2401 2401

> F[5]:=subs({xi=d,eta=c},f(xi,eta)): F[5]:=factor(%); F5 :=

24624 3 14580 5 − 2401 2401

> F[6]:=subs({xi=c,eta=d},f(xi,eta)): F[6]:=factor(%); F6 :=

24624 3 14580 5 − 2401 2401

Wichtungsfaktoren: > w[S]:=9/80; w[1..3]:=(155+sqrt(15))/2400; w[4..6]:=(155-sqrt(15))/2400; 9 wS := 80 w1 .. 3 :=

31 15 + 480 2400

w4 .. 6 :=

31 15 − 480 2400

> GAUSS_Quadratur:=w[S]*F[S]+w[1..3]*sum(F[i], i=1..3)+w[4..6]*sum(F[k],k=4..6); 15 ö æ 73872 3 43740 5 ö æ 31 ÷÷ çç ÷ + + GAUSS_Quadratur := çç 480 2400 2401 ÷ø è ø è 2401 15 ö æ 73872 3 43740 5 ö æ 31 ÷÷ çç ÷ + çç − − 480 2400 2401 ÷ø è ø è 2401

> GAUSS_Quadratur:=factor(%); GAUSS_Quadratur :=

81 3 20

Dieses Ergebnis stimmt mit dem exakten Integralwert überein. >

211

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

211

Ein weiteres Beispiel ist die Ermittlung der L 2 -Fehlernorm in Ü 7.1.6 mit Hilfe der GAUSS-LEGENDRE-Quadratur. Hierzu sind 4× 4 GAUSS-Punkte erforderlich, wie der folgende MAPLE-Output zeigt.

8 7.5-38.mws

>

Ermittlung der Fehlernorm in Ü 7.1.6 mit Hilfe der GAUSS-LEGENDREQuadratur: > F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6; 2 æç æ ö η 2 çç 1 − ö÷÷ − ξ ÷÷ η ç 3ø ( 10 − 6 ξ − 5 η ) η è è ø F( ξ, η ) := − 63 6

> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,eta=0..1-xi),xi=0..1))=sqrt(int(int(F(xi,eta)^2, eta=0..1-xi),xi=0..1)); 1−ξ

1

ó ôó ô õ0 õ0

L_2 :=

F 2 dη dξ =

15 1890

> G(x,y):=(1/16)*(2-x-y)*subs({xi=(1+x)*(3-y)/8,eta=(1+y)* (3-x)/8},F(xi,eta)^2): > G(x,y):=simplify(%); G( x, y ) := − ( −2 + x + y ) ( 1 + y ) 2 ( −3 + x ) 2 2

( 9 y + 27 x − 60 x y + 70 x 2 − 49 x 2 y + 21 x y 2 + 7 x 2 y 2 − 33 ) /9364045824

> l_2:=sqrt(Int(Int(G,y=-1..1),x=-1..1))=sqrt(int(int(G(x,y),y=-1..1),x=-1..1)); 1

l_2 :=

1

ó ó G dy dx = 15 ô 1890 õ-1 ô õ-1

Werte des Integranden in den 4 x 4 GAUSS-Punkten: > a:=sqrt((3+2*sqrt(6/5))/7); b:=sqrt((3-2*sqrt(6/5))/7); a :=

525 + 70 30 35

b :=

525 − 70 30 35

> g[1]:=simplify(subs({x=-a,y=-a}, > g[2]:=simplify(subs({x=a,y=-a}, > g[3]:=simplify(subs({x=a,y=a}, > g[4]:=simplify(subs({x=-a,y=a},

G(x,y))): G(x,y))): G(x,y))): G(x,y))):

212

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

212

> g[5]:=simplify(subs({x=-b,y=-b}, G(x,y))): > g[6]:=simplify(subs({x=b,y=-b}, G(x,y))): > g[7]:=simplify(subs({x=b,y=b}, G(x,y))): > g[8]:=simplify(subs({x=-b,y=b}, G(x,y))): > g[9]:=simplify(subs({x=-a,y=-b}, G(x,y))): > g[10]:=simplify(subs({x=a,y=-b}, G(x,y))): > g[11]:=simplify(subs({x=a,y=b}, G(x,y))): > g[12]:=simplify(subs({x=-a,y=b}, G(x,y))): > g[13]:=simplify(subs({x=-b,y=-a},G(x,y))): > g[14]:=simplify(subs({x=b,y=-a}, G(x,y))): > g[15]:=simplify(subs({x=b,y=a}, G(x,y))): > g[16]:=simplify(subs({x=-b,y=a}, G(x,y))): Wichtungsfaktoren: > w[1..4]:=59/216-(1/6)*sqrt(5/6); w1 .. 4 :=

59 30 − 216 36

> w[5..8]:=59/216+(1/6)*sqrt(5/6); w5 .. 8 :=

59 30 + 216 36

> w[9..16]:=49/216; w9 .. 16 :=

49 216

> GAUSS_Quadratur:=sqrt(w[1..4]*sum(g[i],i=1..4)+w[5..8]* sum(g[j],j=5..8)+w[9..16]*sum(g[k],k=9..16)): > GAUSS_Quadratur:=expand(%); GAUSS_Quadratur :=

717233481216000000000 13069123200000

> GAUSS_Quadratur:=simplify(%); GAUSS_Quadratur :=

15 1890

Dieser Wert stimmt mit dem exakten Wert überein. > Die Ermittlung dieses Wertes ist in den nachfolgenden MAPLE-Programmen mit Hilfe der GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit n = 7 und n = 13 Stützstellen auf der Basis der Tabellen 7.15a,b durchgeführt. Die Anzahl von n = 7 GAUSS-Punkten ist zu gering und führt auf einen relativen Fehler von ca. 12,5%, während die Quadratur mit n = 13 Stützstellen den genauen Wert liefert, wie man den folgenden MAPLE-Outputs entnehmen kann.

213

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

213

8 7.5-39.mws

>

Numerische Ermittlung der L-zwei Fehlernorm aus Ü 7.1.6 mit Hilfe der GAUSSQuadratur im Einheitsdreieck mit n = 7 Stützstellen auf der Basis von Tabelle 7.15a: > F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6; 2 æç æ ö ηö 2 1 − çç ÷ − ξ ÷÷ η ç ÷ ( 10 − 6 ξ − 5 η ) η è è 3ø ø F( ξ, η ) := − 63 6

> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1))=sqrt(int(int(F(xi,eta)^2, xi=0..1-eta),eta=0..1)); 1−η

1

ó ôó ô õ0 õ0

L_2 :=

F 2 dξ dη =

15 1890

Werte des Integranden in den n = 7 Stützstellen im Einheitsdreieck: > a:=(6+sqrt(15))/21; b:=(9-2*sqrt(15))/21; c:=(6-sqrt(15))/21; d:=(9+2*sqrt(15))/21; a := b :=

2 15 + 7 21

3 2 15 − 7 21

2 15 c := − 7 21 d :=

3 2 15 + 7 21

> f[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3},F(xi,eta)^2); f S :=

1849 104162436

> f[1]:=expand(subs({xi=a,eta=a},F(xi,eta)^2)); f 1 :=

33857 391 15 + 9262741068 771895089

> f[2]:=expand(subs({xi=b,eta=a},F(xi,eta)^2)); f 2 :=

713 11 15 − 189035532 15752961

214

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

214

> f[3]:=expand(subs({xi=a,eta=b},F(xi,eta)^2)); f 3 :=

19295 275 15 − 9262741068 771895089

> f[4]:=expand(subs({xi=c,eta=c},F(xi,eta)^2)); f 4 :=

33857 391 15 − 9262741068 771895089

> f[5]:=expand(subs({xi=d,eta=c},F(xi,eta)^2)); f 5 :=

713 11 15 + 189035532 15752961

> f[6]:=expand(subs({xi=c,eta=d},F(xi,eta)^2)); f 6 :=

19295 275 15 + 9262741068 771895089

Wichtungsfaktoren: > w[S]:=9/80; w[1..3]:=(155+sqrt(15))/2400; w[4..6]:=(155-sqrt(15))/2400; wS :=

9 80

w1 .. 3 :=

31 15 + 480 2400

w4 .. 6 :=

31 15 − 480 2400

> GAUSS_Quadratur:=sqrt(w[S]*f[S]+w[1..3]*sum(f[i],i=1..3)+ w[4..6]*sum(f[k],k=4..6)): > GAUSS_Quadratur:=expand(%): > GAUSS_Quadratur:=simplify(%); GAUSS_Quadratur :=

149 6804

> rel_Fehler:=expand((sqrt(15)/1890-sqrt(149)/6804)/(sqrt(15)/1890)); rel_Fehler := 1 −

15 149 54

> rel_Fehler:=evalf(%); rel_Fehler := 0.1245224697

215

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

215

Der relative Fehler beträgt 12,5 % aufgrund der zu geringen Anzahl von n = 7 Stützstellen. Daher wird im folgenden MAPLE-Programm die GAUSS-Quadratur mit n = 13 Stützstellen gemäß Tabelle 7.15b durchgeführt.

8 7.5-40.mws > Numerische Ermittlung der L-zwei Fehlernorm aus Ü 7.1.6 mit Hilfe der GAUSSQuadratur im Einheitsdreieck mit n = 13 Stützstellen auf der Basis von Tabelle 7.15b: > F(xi,eta):=(10-6*xi-5*eta)*eta/63-((1-eta/3)^2-xi^2)*eta/6; 2 æç æ ö ηö 2 ç 1 − ÷÷ − ξ ÷÷ η ( 10 − 6 ξ − 5 η ) η çè çè 3ø ø F( ξ, η ) := − 63 6

> L_2:=sqrt(Int(Int(F^2,xi=0..1-eta),eta=0..1))=sqrt(int(int(F(xi,eta)^2,xi=0..1eta),eta=0..1)); 1 1−η 15 2 ó L_2 := ôó ô F dξ dη = 1890 õ0 õ0 Werte des Integranden in den n = 13 Stützstellen im Einheitsdreieck: > a:=10026259/38511290; b:=31723247/66185506; c:=2872201/44099439; a :=

10026259 38511290

b :=

31723247 66185506

c :=

2872201 44099439

> d:=34357532/39503231; e:=6574983/10298446; f:=18789041/60054692; d :=

34357532 39503231

e :=

6574983 10298446

f :=

18789041 60054692

g :=

13094163 268927463

> g:=13094163/268927463;

> Digits:=15: > K[S]:=subs({xi=1/3,eta=1/3}, F(xi,eta)^2):

216

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

> K[1]:=subs({xi=a,eta=a}, > K[2]:=subs({xi=b,eta=a}, > K[3]:=subs({xi=a,eta=b}, > K[4]:=subs({xi=c,eta=c}, > K[5]:=subs({xi=d,eta=c}, > K[6]:=subs({xi=c,eta=d}, > K[7]:=subs({xi=e,eta=f}, > K[8]:=subs({xi=f,eta=e}, > K[9]:=subs({xi=g,eta=e}, > K[10]:=subs({xi=g,eta=f}, > K[11]:=subs({xi=f,eta=g}, > K[12]:=subs({xi=e,eta=g},

216

F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2): F(xi,eta)^2):

Wichtungsfaktoren: > w[S]:=-11880325/79429842/2; w[1..3]:=21277533/121159934/2; w[4..6]:=4638787/86954590/2; w[7..12]:=8113102/105209523/2; -11880325 wS := 158859684 w1 .. 3 :=

21277533 242319868

w4 .. 6 :=

4638787 173909180

w7 .. 12 :=

4056551 105209523

> GAUSS_Quadratur:=evalf(sqrt(w[S]*K[S]+w[1..3]*sum(K[i],i=1..3)+ w[4..6]*sum(K[j],j=4..6)+w[7..12]*sum(K[k],k=7..12)),15); GAUSS_Quadratur := 0.00204919753767588

> GAUSS_Quadratur:=convert(%,rational,16)=evalf(%,15); GAUSS_Quadratur :=

238143 = 0.00204919753767588 116212808

Im Vergleich dazu ist der exakte Wert: > L_zwei:=sqrt(15)/1890=evalf(sqrt(15)/1890,15); L_zwei :=

15 = 0.00204919753767588 1890

Die GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck mit n = 13 Stützstellen liefert den exakten Wert. > relativer_Fehler:=(sqrt(15)/1890-238143/116212808)/(sqrt(15)/1890)= evalf((sqrt(15)/1890-238143/116212808)/(sqrt(15)/1890)); 238143 ö æ 15 ÷÷ 15 = 0. − relativer_Fehler := 126 çç 1890 116212808 ø è

217

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

217

Im nächsten MAPLE-Programm wird eine L 2 -Fehlernorm aus Ziffer 4.12, Band 1, mit Hilfe der GAUSS-LEGENDRE-Quadratur im Master-Quadrat ermittelt. Das Ergebnis wird mit der GAUSS-Quadratur im Einheitsdreieck (Tabelle 4.12) verglichen. > L-zwei-Fehlernorm in Ziffer 4.12 # CD-ROM 4.12-5.mws # > X:=xi*(2*xi-1)+2*sqrt(2)*(1-xi)*xi;

8 7.5-41.mws

X := ξ ( 2 ξ − 1 ) + 2 2 ( 1 − ξ ) ξ

> Y:=eta*(2*eta-1)+2*sqrt(2)*(1-eta)*eta; Y := η ( 2 η − 1 ) + 2 2 ( 1 − η ) η

> Z:=1-(3-2*sqrt(2))*(xi+eta)-2*(sqrt(2)-1)*(xi+eta)^2; Z := 1 − ( 3 − 2 2 ) ( ξ + η ) − 2 ( 2 − 1 ) ( ξ + η ) 2

> rr:=X^2+Y^2+Z^2: > rr:=expand(%): > rr:=simplify(%): > rr:=collect(%,xi): > r(xi,eta):=+sqrt(%): > L_2:=sqrt(Int(Int((1-r)^2,eta=0..1-xi),xi=0..1))= sqrt(int(int((1-r(xi,eta))^2,eta=0..1-xi),xi=0..1)); Warning, computation interrupted

Die Rechnung wird unterbrochen aufgrund der langen Rechenzeit. Daher wird in Band 1 eine GAUSS-Quadratur gemäß (4.288) mit n = 7 und n = 13 GAUSSPunkten im Einheitsdreieck (Tabelle 4.12) vorgeschlagen. Im Folgenden soll eine GAUSS-LEGENDRE-Quadratur im Master-Quadrat vorgenommen werden. Dazu ist eine bilineare Transformation des Einheitsdreiecks auf das Master-Quadrat erforderlich. > L_2:=sqrt(Int(Int((1-r)^2,eta=0..1-xi),xi=0..1)); 1

1−ξ

ó ôó ô õ0 õ0

L_2 :=

( 1 − r ) 2 dη dξ

> xi:=(1+x)*(3-y)/8; eta:=(1+y)*(3-x)/8; JACOBI_Determinante:=(2-x-y)/16; ξ :=

(1 + x) (3 − y) 8

η :=

(1 + y) (3 − x) 8

218

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

JACOBI_Determinante :=

218

1 x y − − 8 16 16

> L_zwei:=sqrt(Int(Int(R,y=-1..1),x=-1..1)); 1

L_zwei :=

1

ó ó R dy dx ô õ-1 ô õ-1

> r(xi,eta):=+sqrt(X^2+Y^2+Z^2): > R(x,y):=(1/16)*(2-x-y)*subs({xi=(1+x)*(3-y)/8,eta=(1+y)*(3-x)/8}, (1-r(xi,eta))^2): Werte des Integranden in den 3 x 3 GAUSS-Punkten: > a:=sqrt(3/5); 15 a := 5 > Q[1]:=simplify(subs({x=-a,y=-a},R(x,y))): > Q[2]:=simplify(subs({x=a,y=-a},R(x,y))): > Q[3]:=simplify(subs({x=a,y=a},R(x,y))): > Q[4]:=simplify(subs({x=-a,y=a},R(x,y))): > Q[5]:=simplify(subs({x=0,y=-a},R(x,y))): > Q[6]:=simplify(subs({x=a,y=0},R(x,y))): > Q[7]:=simplify(subs({x=0,y=a},R(x,y))): > Q[8]:=simplify(subs({x=-a,y=0},R(x,y))): > Q[9]:=simplify(subs({x=0,y=0},R(x,y))): Wichtungsfaktoren: > w[1..4]:=25/81; w[5..8]:=40/81; w[9]:=64/81; w1 .. 4 :=

25 81

w5 .. 8 :=

40 81

w9 :=

64 81

> GAUSS_Quadratur:=sqrt(w[1..4]*sum(Q[i],i=1..4)+w[5..8]*sum(Q[j], j=5..8)+w[9]*Q[9]): > GAUSS_Quadratur:=evalf(%); GAUSS_Quadratur := 0.04058481142

Der vergleichbare Wert in Tabelle 4.12 aus Band 1 ist L-zwei = 0.0416136, der mit n = 7 GAUSS-Punkten im Einheitsdreieck ermittelt wurde. Im Folgenden wird die GAUSS-Quadratur mit 4 x 4 GAUSS-Punkten durchgeführt. Die Werte des Integranden sind > A:=sqrt((3+2*sqrt(6/5))/7); B:=sqrt((3-2*sqrt(6/5))/7);

219

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

A :=

525 + 70 30 35

B :=

525 − 70 30 35

219

> q[1]:=simplify(subs({x=-A,y=-A},R(x,y))): > q[2]:=simplify(subs({x=A,y=-A},R(x,y))): > q[3]:=simplify(subs({x=A,y=A},R(x,y))): > q[4]:=simplify(subs({x=-A,y=A},R(x,y))): > q[5]:=simplify(subs({x=-B,y=-B},R(x,y))): > q[6]:=simplify(subs({x=B,y=-B},R(x,y))): > q[7]:=simplify(subs({x=B,y=B},R(x,y))): > q[8]:=simplify(subs({x=-B,y=B},R(x,y))): > q[9]:=simplify(subs({x=-A,y=-B},R(x,y))): > q[10]:=simplify(subs({x=A,y=-B},R(x,y))): > q[11]:=simplify(subs({x=A,y=B},R(x,y))): > q[12]:=simplify(subs({x=-A,y=B},R(x,y))): > q[13]:=simplify(subs({x=-B,y=-A},R(x,y))): > q[14]:=simplify(subs({x=B,y=-A},R(x,y))): > q[15]:=simplify(subs({x=B,y=A},R(x,y))): > q[16]:=simplify(subs({x=-B,y=A},R(x,y))): Wichtungsfaktoren: > w[1..4]:=59/216-(1/6)*sqrt(5/6); w1 .. 4 :=

59 30 − 216 36

> w[5..8]:=59/216+(1/6)*sqrt(5/6); w5 .. 8 :=

59 30 + 216 36

> w[9..16]:=49/216; w9 .. 16 :=

49 216

> gauss_quadratur:=sqrt(w[1..4]*sum(q[i],i=1..4)+w[5..8]*sum(q[j], j=5..8)+w[9..16]*sum(q[k],k=9..16)): > gauss_quadratur:=simplify(%): > gauss_quadratur:=evalf(%); gauss_quadratur := 0.04164896580

Die vergleichenden Werte in Tabelle 4.12 aus Band 1 sind L_zwei = 0.0416136 bzw. L_zwei = 0.0416464, die mit n = 7 bzw. n = 13 GAUSS-Punkten im Ein-

220

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

220

heitsdreieck ermittelt wurden. Der durch iterative Aufsummierung gewonnene Wert war L_zwei = 0.0415987, der ebenfalls in Tabelle 4.12 angegeben ist. > Neben den oben behandelten zweidimensionalen Integrationen sind auch dreidimensionale Integrale über Hexaeder- oder Tetraeder-Elemente numerisch auszuwerten. Als Erweiterung von (7.269) sind Integrale der Form 1 1 1

I=

ò ò ò f (ξ, η, ζ)dξ dη dζ

(7.292)

−1 −1 −1

auf dem Master-Würfel (Ziffer 4.10) zu behandeln. Darin sind ( ξ, η, ζ ) = [ −1,1] dimensionslose Koordinaten. Durch eine trilineare Transformation können finite Hexaederelemente in beliebiger Lage auf den Master-Würfel abgebildet werden (Bild 4.44), so dass für die Anwendungen Integrale der Form (7.292) grundlegend sind. Die Integration erfolgt in Erweiterung von (7.270a) in drei Schritten, so dass man folgende Näherung erhält: I≈

l m n

å åå H k H jHi f ( ξi , η j , ζ k ) .

(7.293a)

k =1 j=1 i =1

Darin sind l,m,n die Anzahl der GAUSS-Punkte in ζ -, η - und ξ -Richtung, während H k , H j und Hi die entsprechenden Wichtungsfaktoren darstellen. Die GAUSS-Quadratur (7.293a) integriert das Produkt aus einem Polynom vom Grade ( 2n − 1) in ξ , einem Polynom vom Grade ( 2m − 1) in η und einem Polynom

vom Grade ( 2l − 1) in ζ exakt. Dazu werden l × m × n GAUSS-Punkte benötigt.

Monome der Form ξp ηq ζ r werden exakt für

0 ≤ p ≤ 2n − 1,

0 ≤ q ≤ 2m − 1 und 0 ≤ r ≤ 2l − 1

integriert. Je nach Integrand f ( ξ, η, ζ ) in (7.292) bietet eine unterschiedliche Anzahl von

GAUSS-Punkten ( l ≠ m ≠ n ≠ l ) in ξ -, η - und ζ -Richtung keine Vorteile, so dass dann die Dreifachsumme in (7.293a) durch eine einfache Summation über n × n × n GAUSS-Punkte ersetzt werden kann: I=

1 1 1

n× n× n

−1 −1 −1

i =1

òò

ò f ( ξ, η, ζ ) dξdη dζ ≈

å

w i f ( ξi , ηi , ζ i ) .

(7.293b)

Diese Quadratur im GAUSSschen Sinne liefert exakte Werte für Polynome vom Grade ( 2n − 1) in ξ , η und ζ .

221

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

221

Man gewinnt die Wichtungsfaktoren w i = ( Hi )ξ ( Hi )η ( Hi )ζ und die GAUSSPunkte ( ξi , ηi , ζ i ) aus der eindimensionalen Quadratur aus Tabelle 7.11. In Tabelle 7.16a sind in Erweiterung von Tabelle 7.13 die Wichtungsfaktoren und die GAUSS-Punkte einer dreidimensionalen Quadratur (7.293b) mit 27 Integrationsstützstellen zusammengestellt. Tabelle 7.16a GAUSS-LEGENDRE-Quadratur (7.293b) mit 3 × 3 × 3 Stützstellen und entsprechenden Wichtungsfaktoren w i = ( Hi )ξ ( H i )η ( Hi )ζ auf der Basis von Tabelle 7.11 und Tabelle 7.13

9

15 5

17

a=

6

20 27

24 14

21 18

4

3/5

19

23

22

5

16

25 12

P7 (a, a, a)

11

8

10

6 P 3 (a, a, - a )

13

26 9

P2 (a, - a, - a)

GAUSS-Punkte Pi

Koordinaten (ξi , ηi , ζ i )

Wichtungsfaktoren wi

1 bis 8

(±a, ± a, ± a)

w1÷8 = 125 / 729

9 bis 12

(0, ± a, ± a)

13 bis 16

(±a, 0, ± a)

17 bis 20 21 und 22

(±a, ± a, 0)

23 und 24

(0, ± a, 0)

25 und 26 27

(0, 0, ± a)

P 1 ( - a, - a, - a)

w 9 ÷20 = 200 / 729

(±a, 0, 0)

(0, 0, 0)

w 21÷26 = 320 / 729 w 27 = 512 / 729

222

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

222

Das in Tabelle 7.16a skizzierte dreidimensionale Gitter mit 27 GAUSS-Punkten liegt innerhalb des Master-Würfels, geometrisch ähnlich verkleinert um den Faktor a = 3 5 . Die Nummerierung der GAUSS-Punkte ist so gewählt wie die Knotennummerierung des Master-Würfels gemäß Bild 4.48 in Band 1. Somit gewinnt man analog Tabelle 4.6 in Band 1 eine Einteilung in vier Gruppen mit vier unterschiedlichen Wichtungsfaktoren. Der folgende MAPLE-Ausdruck zeigt zwei Beispiele zur GAUSS-LEGENDREQuadratur auf der Basis von Tabelle 7.16a.

8 7.5-42.mws

> > f(xi,eta,zeta):=xi^4*eta^4*zeta^4; f( ξ, η, ζ ) := ξ 4 η4 ζ 4

> Int(Int(Int(f,xi=-1..1),eta=-1..1),zeta=-1..1)= int(int(int(f(xi,eta,zeta),xi=-1..1),eta=-1..1),zeta=-1..1); 1

1

1

8 ó ó ó f dξ dη dζ = ô ô ô 125 õ-1 õ-1 õ-1

Funktionswerte des Integranden: > a:=sqrt(3/5); a :=

15 5

> F[1]:=subs({xi=-a,eta=-a,zeta=-a},f(xi,eta,zeta)); F1 :=

729 15625

Aufgrund der speziellen Form des Integranden stimmen die Werte F[2] mit F[1] überein. > F[9]:=subs({xi=0,eta=-a,zeta=-a},f(xi,eta,zeta)); F9 := 0

Ebenso verschwinden alle weiteren Integranden. Mit dem Wichtungsfaktor w = 125/729 aus Tabelle 7.16 ergibt sich die Quadratur zu: > GAUSS_Quadratur:=8*(125/729)*F[1]; GAUSS_Quadratur :=

8 125

Dieses Ergebnis stimmt mit dem exakten Integralwert überein. Wählt man im Monom die Potenzen p = q = r = 5, so liefert die GAUSS-LEGENDRE -Quadratur ebenfalls den exakten Integralwert, der jedoch NULL ist.

223

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

223

Der folgende MAPLE-Ausdruck zeigt ein weiteres Beispiel: > g(xi,eta,zeta):=xi^2*(sin(eta))^2*cos(zeta); g( ξ, η, ζ ) := ξ 2 sin( η ) 2 cos( ζ )

> Int(Int(Int(g,xi=-1..1),eta=-1..1),zeta=-1..1)= int(int(int(g(xi,eta,zeta),xi=-1..1),eta=-1..1),zeta=-1..1); 1

1

1

ó ó ó g d ξ d η d ζ = − 4 ( cos ( 1 ) sin ( 1 ) − 1 ) sin ( 1 ) ô ô ô 3 õ-1 õ-1 õ-1

> Integralwert:=-evalf((4/3)*(cos(1)*sin(1)-1)*sin(1)); Integralwert := 0.6118630454

Funktionswerte des Integranden: > a:=sqrt(3/5); a :=

15 5

> G[1]:=subs({xi=-a,eta=-a,zeta=-a},g(xi,eta,zeta)); 2

3 æ 15 ö 15 ö ÷ cosæçç − ÷ G1 := sinçç − 5 è 5 ÷ø 5 ÷ø è

Aufgrund der speziellen Form des Integranden stimmen die Werte G[2] bis G[8] mit G[1] überein. > G[9]:=subs({xi=0,eta=-a,zeta=-a},g(xi,eta,zeta)); G[10]:=G[9]: G[11]:=0: G[12]:=0: G[13]:=0: G[14]:=0: G[15]:=0: G[16]:=0: G9 := 0

> G[17]:=subs({xi=-a,eta=-a,zeta=0},g(xi,eta,zeta)); 2

3 æ 15 ö ÷ cos( 0 ) G17 := sinçç − 5 è 5 ÷ø

> G[18]:=G[17]: G[19]:=G[17]: G[20]:=G[17]: Die restliche Integralwerte G[21] bis G[27] verschwinden, so dass man folgende Näherung erhält: > GAUSS_Quadratur:=8*(125/729)*G[1]+4*(200/729)*G[17]; 2

200 æ 15 ö 15 ö 160 æ 15 ö ÷ cosæçç ÷+ ÷ sinç sinç GAUSS_Quadratur := 243 çè 5 ÷ø è 5 ÷ø 243 çè 5 ÷ø

> GAUSS_Quadratur:=evalf(%);

2

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

224

224

GAUSS_Quadratur := 0.6098698035

> relativer_Fehler:=(Integralwert - GAUSS_Quadratur)/Integralwert; relativer_Fehler := 0.003257660215

> Zur Erhöhung der Genauigkeit von GAUSS-Quadraturen steht in Tabelle 7.16b ein 3D-Raster mit 64 Integrationsstützstellen und entsprechenden Wichtungsfaktoren zur Verfügung. Tabelle 7.16b GAUSS-LEGENDRE-Quadratur (7.293b) mit 4 × 4 × 4 Stützstellen und entsprechenden Wichtungsfaktoren w i = ( Hi )ξ ( Hi )η ( Hi )ζ auf der Basis von Tabelle 7.11 und Tabelle 7.13 9

23

24

19 5

12

P7 (a , a , a )

15

11

8

16

20

5

45

a = 0,861136 311 594 052 b = 0, 339 981 043 584 857

46 27

41

42

9

13

525 ± 70 30 35

31

6 30

29

25

a; b =

6

P 3 (a, a, - a )

26 17

P 21 (a, b, - c)

P 1 ( - a, - a, - a)

P 2 (a, - a, a )

GAUSS-Punkte Pi

Koordinaten ( ξi , ηi , ζi )

Wichtungsfaktoren wi

1 bis 8

( ±a, ±a, ±a ) ( ± b, ±a, ±a ) ( ±a, ± b, ± a ) ( ±a, ±a, ± b )

w1÷8 = 23 144 − 167 30 7776

9 bis 16 17 bis 24 25 bis 32

33 bis 40 41 bis 48 49 bis 56 57 bis 64

( ±a, ±b, ±b ) ( ±b, ±a, ±b ) ( ±b, ±b, ±a ) ( ± b, ± b, ±b )

w 9 ÷32 =

49 æ 1 ö 30 ÷ ç1 − 432 è 18 ø

w 33÷56 =

49 æ 1 ö 30 ÷ ç1 + 432 è 18 ø

w 57 ÷64 = 23 144 + 167 30 7776

225

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

225

Die Nummerierung der GAUSS-Punkte in Tabelle 7.16b bist so gewählt wie die Knotennummerierung des Master-Würfels gemäß Tabelle 4.7 in Band 1, so dass sich wie in Tabelle 7.16a eine Einteilung in vier Gruppen mit vier unterschiedlichen Wichtungsfaktoren ergibt. Die in Tabelle 7.16b eingetragenen Wichtungsfaktoren sind mit folgendem MAPLE-Programm ermittelt worden. > Wichtungsfaktoren zu 4 x 4 x 4 Stützstellen in Tabelle 7.16b: > with(orthopoly,P): > Nullstellen[4]:=solve(P(4,x)=0);

8 7.5-43.mws

Nullstellen 4 := −

525 + 70 30 , 35

525 + 70 30 ,− 35

525 − 70 30 , 35

525 − 70 30 35

> a:=(1/35)*sqrt(525+70*sqrt(30)); b:=(1/35)*sqrt(525-70*sqrt(30)); a :=

525 + 70 30 35

b :=

525 − 70 30 35

Die Nullstellen des LEGENDRE-Polynoms P(4,x) sind symmetrisch zu x = 0, so dass sich gemäß Formel (7.254) bzw. Tabelle 7.11 nur zwei unterschiedliche Wichtungsfaktoren ergeben: > for i in [a,b] do H[i]:=factor(2*(1-i^2)/4^2/(P(4-1,i))^2) od; H

H

525 + 70 30 35

525 − 70 30 35

1 30 := − 2 36 1 30 := + 2 36

> w[1..8]:=factor(H[a]*H[a]*H[a]); w1 .. 8 :=

23 167 30 − 144 7776

> Digits:=15: > w[1..8]:=evalf(%): > w[9..32]:=factor(H[a]*H[a]*H[b]); 49 49 30 w9 .. 32 := − 432 7776 > w[9..32]:=evalf(%):

226

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

226

> w[33..56]:=factor(H[a]*H[b]*H[b]); 49 49 30 w33 .. 56 := + 432 7776 > w[33..56]:=evalf(%): > w[57..64]:=factor(H[b]*H[b]*H[b]); 23 167 30 w57 .. 64 := + 144 7776 > w[57..64]:=evalf(%): > Zur numerischen Auswertung von Gebietsintegralen der Form 1 1−ξ 1−ξ−η

I=ò

ò ò

0 0

f ( ξ, η, ζ ) dζdηdξ

(7.294)

0

auf dem Einheitstetraeder kann man auf obige Auswertungen auf dem MasterWürfel zurückgreifen und entsprechende MAPLE-Programme benutzen, wenn man das Integral (7.294) auf die Form (7.292) bringt. Dazu ist analog (4.231) eine trilineare Transformation

ξ = a1 + a 2 x + a 3 y + a 4 z + a 5 xy + a 6 yz + a 7 zx + a8 xyz

(7.295a)

η = b1 + b 2 x + b3 y + b4 z + b5 xy + b6 yz + b7 zx + b8 xyz

(7.295b)

ζ = c1 + c 2 x + c3 y + c4 z + c5 xy + c6 yz + c7 zx + c8 xyz

(7.295c)

geeignet, die den Master-Würfel der Kantenlänge zwei umkehrbar eindeutig auf das Einheitstetraeder abbildet, wobei die Knotenpunkte ƒ,†,ˆ des MasterWürfels in die Kantenpunkte (1 2,1 2, 0 ) , (1 2, 0,1 2 ) , ( 0,1 2,1 2 ) des Einheitstetraeders und der Knotenpunkt

‡ in den Schwerpunkt (1 3,1 3,1 3) der Okta-

ederebene gelegt wird (Bild 7.14).

9

z

‡ (1, 1, 1)

ˆ †

… „

…

(0, 0,1)

ˆ

y

ƒ



‚

(-1,-1,-1)

(1,- 1,- 1)

x

† 

‡

5

„ ƒ

(0,0,0)

‚ (1,0,0)

Bild 7.14 Abbildung des Master-Würfels auf das Einheitstetraeder

6

227

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

227

Die Koeffizienten a i , bi und ci in (7.295a, b, c) erhält man durch Einsetzen der Knotenkoordinaten:

x = −1ü ìξ = 0 ü ì0 = a1 − a 2 − a 3 − a 4 + a 5 + a 6 + a 7 − a 8 ï ï ï ï y = −1ý Þ íη = 0ý Þ í0 = b1 − b2 − b3 − b 4 + b5 + b6 + b7 − b8 ï z = −1 ïþ ïîζ = 0 ïþ î0 = c1 − c2 − c3 − c4 + c5 + c6 + c7 − c8 M usw.

x = 1 ü ìξ = 1 2 ü ì1 2 = a1 + a 2 + a 3 − a 4 + a 5 − a 6 − a 7 − a 8 ï ï ï ï y = 1 ý Þ íη = 1 2 ý Þ í1 2 = b1 + b 2 + b3 − b 4 + b5 − b6 − b7 − b8 ï z = −1ïþ ïîζ = 0 ïþ î0 = c1 + c2 + c3 − c4 + c5 − c6 − c7 − c8 M usw.

x = 1ü ì1 3 = a1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7 + a 8 ìξ = 1 3 ü ï ï ï ï y = 1ý Þ íη = 1 3ý Þ í1 3 = b1 + b 2 + b3 + b4 + b5 + b6 + b7 + b8 ïζ = 1 3 ï ï z = 1 ïþ î þ î1 3 = c1 + c2 + c3 + c4 + c5 + c6 + c7 + c8 x = −1ü ìξ = 0 ü ì0 = a1 − a 2 + a 3 + a 4 − a 5 + a 6 − a 7 − a 8 ï ï ï ï y = 1 ý Þ íη = 1 2 ý Þ í1 2 = b1 − b2 + b3 + b 4 − b5 + b6 − b7 − b8 ï z = 1 ïþ ïîζ = 1 2 ïþ î1 2 = c1 − c2 + c3 + c 4 − c5 + c6 − c7 − c8 Diese Zusammenhänge lassen sich in Matrixform folgendermaßen zusammenfassen:

[ Q]{A} = {R a } , [ Q]{B} = {R b } , [ Q]{C} = {R c }

(7.296a,b,c)

mit den Abkürzungen é ê ê ê ê [ Q] = êê ê ê ê ê ëê

1 −1 −1 −1

1

1

1 −1 −1 −1

1

1

1 −1

1 −1

1

1 −1

1 −1 −1 −1

1 −1 −1

1

1 −1ù 1úú −1 −1ú ú 1 1ú , −1 1ú ú 1 −1ú 1 1ú ú −1 −1ûú

1 −1

1 −1

1

1 −1

1 −1 −1

1

1

1

1

1

1

1 −1

1

1 −1

1

(7.297)

t

(7.298a)

t

(7.298b)

{A} = {a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8 } ,

{B} = {b1

b2

b3

b4

b5

b6

b7

b8 } ,

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

228

{C} = {c1

c2

c3

c4

c5

c6

t

c8 } ,

c7

228

(7.298c)

t

(7.299a)

t

(7.299b)

t

(7.299c)

{R a } = {0

1 1 2 0 0 1 2 1 3 0} ,

{R b } = {0

0 1 2 1 0 0 1 3 1 2} ,

{R c } = {0

0 0 0 1 1 2 1 3 1 2} .

Damit ergeben sich die Lösungen der Gleichungssysteme (7.296a,b,c) zu: 7 î 24

7 24

−1 −1 −1 12 12 12

7 î 24

−1 12

7 24

7 24 î

−1 −1 12 12

{A} = ìí {B} = ìí {C} = ìí

t

1 24

−1 12

1ü ý , 24 þ

−1 −1 −1 12 12 12

1 24

1ü ý , 24 þ

−1 −1 12 12

1ü ý , 24 þ

7 24

1 24

(7.300a)

t

(7.300b)

t

(7.300c)

so dass man nach Einsetzen in (7.295a,b.c) schließlich die trilineare Transformation ξ = (1 + x )( 7 − 2y − 2z + yz ) 24

(7.301a)

η = (1 + y )( 7 − 2z − 2x + zx ) 24

(7.301b)

ς = (1 + z )( 7 − 2x − 2y + xy ) 24

(7.301c)

mit der JACOBIschen Determinante J=

(

)

1 é 27 − 24 ( x + y + z ) + 5 x 2 + y 2 + z 2 + 17 ( xy + yz + zx ) 1536 êë

(

2

2

− 3 xy + yz + zx

2

) (

)

− 3 x y + y z + z x + x yz + y zx + z xy − 6xyz ùú û 2

2

2

2

2

2

(7.302)

erhält. Man beachte die zyklische Vertauschung ( x → y → z → x ) in der trili-

nearen Transformation (7.301a,b,c) und in den einzelnen Termen der JACOBIschen Determinante (7.302). Die Herleitung der trilinearen Transformation (7.301a,b,c) und der zugehörigen JACOBIschen Determinante (7.302) ist mit nachstehendem MAPLE-Programm durchgeführt worden.

8 7.5-44.mws Trilineare Abbildung des Einheitstetraeders auf den Master-Würfel der Kantenlänge zwei:

>

229

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

229

> xi:=a[1]+a[2]*x+a[3]*y+a[4]*z+a[5]*x*y+a[6]*y*z+a[7]*z*x+a[8]*x*y*z;

ξ := a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x y + a6 y z + a7 z x + a8 x y z

> eta:=b[1]+b[2]*x+b[3]*y+b[4]*z+b[5]*x*y+b[6]*y*z+b[7]*z*x+b[8]*x*y*z; η := b1 + b2 x + b3 y + b4 z + b5 x y + b6 y z + b7 z x + b8 x y z

> zeta:=c[1]+c[2]*x+c[3]*y+c[4]*z+c[5]*x*y+c[6]*y*z+c[7]*z*x+c[8]*x*y*z; ζ := c1 + c2 x + c3 y + c4 z + c5 x y + c6 y z + c7 z x + c8 x y z

> with(linalg): > Q:=matrix(8,8,[[1,-1,-1,-1,1,1,1,-1],[1,1,-1,-1,-1,1,-1,1],[1,1,1,-1,1,-1,-1,-1], [1,-1,1,-1,-1,-1,1,1],[1,-1,-1,1,1,-1,-1,1],[1,1,-1,1,-1,-1,1,-1], [1,1,1,1,1,1,1,1],[1,-1,1,1,-1,1,-1,-1]]); éê1 êê1 êê êê1 ê1 Q := êê êê1 êê ê1 êê êê1 êë1

-1 1 1 -1 -1 1 1 -1

-1 -1 1 1 -1 -1 1 1

-1 -1 -1 -1 1 1 1 1

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

1 1 -1 -1 -1 -1 1 1

1 -1 -1 1 -1 1 1 -1

-1ù ú 1úú ú -1úú ú 1úú ú 1úú ú -1úú ú 1úú ú -1úû

> Inverse:=(1/8)*inverse(Q/8): > R[a]:=matrix(1,8,[0,1,1/2,0,0,1/2,1/3,0]); Ra := éêê 0 ë

1 2

1

0

1 2

0

1 3

0ùúú û

> A:=matrix(1,8,[a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8]]); A := [a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8]

> Loesung[a]:=transpose(linsolve(Q,transpose(R[a]))); 7 Loesunga := éêê ë 24

7 24

-1 12

-1 12

-1 12

1 24

-1 12

1 ù ú 24 úû

> xi:=factor(subs({a[1]=7/24, a[2]=7/24, a[3]=-1/12, a[4]=-1/12, a[5]=-1/12,a[6]=1/24,a[7]=-1/12,a[8]=1/24},xi)); (7 − 2 y − 2 z + y z) (1 + x) ξ := 24 > R[b]:=matrix(1,8,[0,0,1/2,1,0,0,1/3,1/2]);

230

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

Rb := éêê 0 ë

1 2

0

1

0

1 3

0

1 2

230

ùú úû

> B:=matrix(1,8,[b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7],b[8]]); B := [b1

b2

b3

b4

b5

b6

b7

b8]

> Loesung[b]:=transpose(linsolve(Q,transpose(R[b]))); 7 Loesungb := éêê 24 ë

-1 12

7 24

-1 12

-1 12

-1 12

1 24

1 ù ú 24 úû

> eta:=factor(subs({b[1]=7/24,b[2]=-1/12,b[3]=7/24,b[4]=-1/12,b[5]=-1/12, b[6]=-1/12,b[7]=1/24,b[8]=1/24},eta)); (1 + y) (7 − 2 x + z x − 2 z) η := 24 > R[c]:=matrix(1,8,[0,0,0,0,1,1/2,1/3,1/2]); Rc := éêê 0 0 0 0 ë

1 2

1

1 3

1 2

ùú úû

> C:=matrix(1,8,[c[1],c[2],c[3],c[4],c[5],c[6],c[7],c[8]]); C := [c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c 8]

> Loesung[c]:=transpose(linsolve(Q,transpose(R[c]))); 7 Loesungc := éêê 24 ë

-1 12

-1 12

7 24

1 24

-1 12

-1 12

1 ù ú 24 úû

> zeta:=factor(subs({c[1]=7/24,c[2]=-1/12,c[3]=-1/12,c[4]=7/24, c[5]=1/24,c[6]=-1/12,c[7]=-1/12,c[8]=1/24},zeta)); (1 + z) (7 − 2 x − 2 y + x y) ζ := 24 > JACOBI_Matrix:=jacobian([xi,eta,zeta],[x,y,z]): > J:=JACOBI_Determinante=det(JACOBI_Matrix); 1 1 1 1 1 2 5 2 J := JACOBI_Determinante = − x − y− z+ y2 z x − z x+ z 64 64 64 1536 512 1536 1 2 1 9 5 1 5 1 2 − + y z− y z2 + y2 − x y2 + x2 − x y 512 512 512 1536 512 1536 512 1 1 17 1 1 17 − z x2 − xyz+ xy+ z x2 y + y z2 x + zx 512 256 1536 1536 1536 1536 17 + yz 1536

In den folgenden MAPLE-Programmen sind Beispiele zur numerischen Auswertung von Gebietsintegralen der Form (7.294) auf dem Einheitstetraeder zu

231

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

231

finden, wobei die trilineare Transformation (7.301a,b,c) auf den Master-Würfel benutzt wird. Somit sind Integrale der Form (7.292) durch Quadratur mit GAUSSPunkten und Wichtungsfaktoren gemäß den Tabellen 7.16a,b numerisch auszuwerten.

8 7.5-45.mws

> > f(xi,eta,zeta):=xi^5*eta^5*zeta^5; f( ξ, η, ζ ) := ξ 5 η5 ζ 5

> Digits:=15: > Int(Int(Int(f,zeta=0..1-xi-eta),eta=0..1-xi),xi=0..1)=int(int(int(f(xi,eta,zeta), zeta=0..1-xi-eta),eta=0..1-xi),xi=0..1); 1

1−ξ

ó ó ô õ0 ô õ0

1−ξ −η

ó ô õ0

f dζ dη dξ =

1 3705077376

> Integration_Einheitstetraeder:=evalf(1/3705077376); Integration_Einheitstetraeder := 0.269899896417170 10 -9

Transformation: > xi(x,y,z):=(1+x)*(7-2*y-2*z+y*z)/24; ξ( x, y, z ) :=

(1 + x) (7 − 2 y − 2 z + y z) 24

> eta(x,y,z):=(1+y)*(7-2*z-2*x+z*x)/24; η( x, y, z ) :=

(1 + y) (7 − 2 z − 2 x + z x) 24

> zeta(x,y,z):=(1+z)*(7-2*x-2*y+x*y)/24; ζ ( x, y, z ) :=

(1 + z) (7 − 2 x − 2 y + x y) 24

>with(linalg): JACOBI_Matrix:=jacobian([xi(x,y,z),eta(x,y,z),zeta(x,y,z)],[x,y,z]): > J(x,y,z):=det(JACOBI_Matrix): > g(x,y,z):=J(x,y,z)*subs({xi=(1+x)*(7-2*y-2*z+y*z)/24, eta=(1+y)*(7-2*z-2*x+z*x)/24,zeta=(1+z)*(7-2*x-2*y+x*y)/24},f(xi,eta,zeta)): > Digits:=15: > Int(Int(Int(g,z=-1..1),y=-1..1),x=-1..1)= int(int(int(g(x,y,z),z=-1..1), y=-1..1),x=-1..1);

232

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren 1

1

1

1 ó óó g dz dy dx = ô 3705077376 õ-1 ô õ-1 ô õ-1

> Integration_Master_Wüerfel:=evalf(1/3705077376); Integration_Master_Wüerfel := 0.269899896417170 10 -9

Funktionswerte des Integranden: > a:=sqrt(3/5); a :=

> G[1]:=subs({x=-a,y=-a,z=-a},g(x,y,z)): > G[2]:=subs({x=a,y=-a,z=-a},g(x,y,z)): > G[3]:=subs({x=a,y=a,z=-a},g(x,y,z)): > G[4]:=subs({x=-a,y=a,z=-a},g(x,y,z)): > G[5]:=subs({x=-a,y=-a,z=a},g(x,y,z)): > G[6]:=subs({x=a,y=-a,z=a},g(x,y,z)): > G[7]:=subs({x=a,y=a,z=a},g(x,y,z)): > G[8]:=subs({x=-a,y=a,z=a},g(x,y,z)): > G[9]:=subs({x=0,y=-a,z=-a},g(x,y,z)): > G[10]:=subs({x=0,y=a,z=-a},g(x,y,z)): > G[11]:=subs({x=0,y=a,z=a},g(x,y,z)) : > G[12]:=subs({x=0,y=-a,z=a},g(x,y,z)): > G[13]:=subs({x=a,y=0,z=-a},g(x,y,z)): > G[14]:=subs({x=-a,y=0,z=-a},g(x,y,z)): > G[15]:=subs({x=-a,y=0,z=a},g(x,y,z)): > G[16]:=subs({x=a,y=0,z=a},g(x,y,z)): > G[17]:=subs({x=-a,y=-a,z=0},g(x,y,z)): > G[18]:=subs({x=a,y=-a,z=0},g(x,y,z)): > G[19]:=subs({x=a,y=a,z=0},g(x,y,z)): > G[20]:=subs({x=-a,y=a,z=0},g(x,y,z)): > G[21]:=subs({x=a,y=0,z=0},g(x,y,z)): > G[22]:=subs({x=-a,y=0,z=0},g(x,y,z)): > G[23]:=subs({x=0,y=a,z=0},g(x,y,z)): > G[24]:=subs({x=0,y=-a,z=0},g(x,y,z)): > G[25]:=subs({x=0,y=0,z=a},g(x,y,z)): > G[26]:=subs({x=0,y=0,z=-a},g(x,y,z)): > G[27]:=subs({x=0,y=0,z=0},g(x,y,z)):

15 5

G[1]:=expand(%): G[2]:=expand(%): G[3]:=expand(%): G[4]:=expand(%): G[5]:=expand(%): G[6]:=expand(%): G[7]:=expand(%): G[8]:=expand(%): G[9]:=expand(%): G[10]:=expand(%): G[11]:=expand(%): G[12]:=expand(%): G[13]:=expand(%): G[14]:=expand(%): G[15]:=expand(%): G[16]:=expand(%): G[17]:=expand(%): G[18]:=expand(%): G[19]:=expand(%): G[20]:=expand(%): G[21]:=expand(%): G[22]:=expand(%): G[23]:=expand(%): G[24]:=expand(%): G[25]:=expand(%): G[26]:=expand(%):

Wichtungsfaktoren: > w[1..8]:=125/729; w[9..20]:=200/729; w[21..26]:=320/729; w[27]:=512/729; w1 .. 8 :=

125 729

232

233

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

w9 .. 20 :=

200 729

w21 .. 26 :=

320 729

w27 :=

233

512 729

> GAUSS_Quadratur:=w[1..8]*sum(G[i],i=1..8)+w[9..20]*sum(G[j], j=9..20)+w[21..26]*sum(G[k],k=21..26)+w[27]*G[27]; GAUSS_Quadratur :=

72951273877288946218493033 240734712102912000000000000000000000

> GAUSS_Quadratur:=evalf(%); GAUSS_Quadratur := 0.303035957050111 10 -9

> rel_Fehler:=abs((Integration_EinheitstetraederGAUSS_Quadratur))/Integration_Einheitstetraeder; rel_Fehler := 0.122771668580874

Der relative Fehler beträgt 12,3% für das gewählte Beispiel. Wählt man Potenzen p = q = r = 2 in den Veränderlichen xi, eta, zeta, so führt die Quadratur nach obigem Program auf einen relativen Fehler von 1,5%. Zur Erhöhung der Genauigkeit ist eine Quadratur mit höherer Anzahl von GAUSS-Punkten, z.B. eine Anzahl von 64 mit entsprechenden Wichtungsfaktoren gemäß Tabelle 7.16b, zu wählen. Der folgende MAPLE-Ausdruck zeigt ein Beispiel mit 27 GAUSS-Punkten zur numerischen Integration eines trilinearen Monoms mit Potenzen p = q = r = 1 in xi, eta, zeta, wobei die Quadratur den exakten Integralwert liefert. >

8 7.5-46.mws

> > f(xi,eta,zeta):=xi*eta*zeta; f( ξ, η, ζ ) := ξ η ζ

> Digits:=15: > Int(Int(Int(f,zeta=0..1-xi-eta),eta=0..1-xi),xi=0..1)=int(int(int(f(xi,eta,zeta), zeta=0..1-xi-eta),eta=0..1-xi),xi=0..1); 1

1−ξ

ó ó ô õ0 ô õ0

1−ξ −η

ó ô õ0

Transformation: > xi(x,y,z):=(1+x)*(7-2*y-2*z+y*z)/24;

f dζ dη dξ =

1 720

234

7.5 Numerische Integration

7 Näherungsverfahren

ξ( x, y, z ) :=

234

(1 + x) (7 − 2 y − 2 z + y z) 24

> eta(x,y,z):=(1+y)*(7-2*z-2*x+z*x)/24; η( x, y, z ) :=

(1 + y) (7 − 2 z − 2 x + z x) 24

> zeta(x,y,z):=(1+z)*(7-2*x-2*y+x*y)/24; ζ ( x, y, z ) :=

(1 + z) (7 − 2 x − 2 y + x y) 24

> with(linalg): JACOBI_Matrix:=jacobian([xi(x,y,z),eta(x,y,z),zeta(x,y,z)],[x,y,z]): > J(x,y,z):=det(JACOBI_Matrix): > g(x,y,z):=J(x,y,z)*subs({xi=(1+x)*(7-2*y-2*z+y*z)/24, eta=(1+y)*(7-2*z-2*x+z*x)/24,zeta=(1+z)*(7-2*x-2*y+x*y)/24},f(xi,eta,zeta)): > Digits:=15: > Int(Int(Int(g,z=-1..1),y=-1..1),x=-1..1)=int(int(int(g(x,y,z),z=-1..1), y=-1..1),x=-1..1); 1 1 1 1 ó ó ó g dz dy dx = ô ô ô 720 õ-1 õ-1 õ-1 Funktionswerte des Integranden: > a:=sqrt(3/5); a :=

> G[1]:=subs({x=-a,y=-a,z=-a},g(x,y,z)): > G[2]:=subs({x=a,y=-a,z=-a},g(x,y,z)) : > G[3]:=subs({x=a,y=a,z=-a},g(x,y,z)): > G[4]:=subs({x=-a,y=a,z=-a},g(x,y,z)): > G[5]:=subs({x=-a,y=-a,z=a},g(x,y,z)): > G[6]:=subs({x=a,y=-a,z=a},g(x,y,z)): > G[7]:=subs({x=a,y=a,z=a},g(x,y,z)): > G[8]:=subs({x=-a,y=a,z=a},g(x,y,z)): > G[9]:=subs({x=0,y=-a,z=-a},g(x,y,z)): > G[10]:=subs({x=0,y=a,z=-a},g(x,y,z)): > G[11]:=subs({x=0,y=a,z=a},g(x,y,z)): > G[12]:=subs({x=0,y=-a,z=a},g(x,y,z)): > G[13]:=subs({x=a,y=0,z=-a},g(x,y,z)): > G[14]:=subs({x=-a,y=0,z=-a},g(x,y,z)): > G[15]:=subs({x=-a,y=0,z=a},g(x,y,z)): > G[16]:=subs({x=a,y=0,z=a},g(x,y,z)): > G[17]:=subs({x=-a,y=-a,z=0},g(x,y,z)):

15 5

G[1]:=expand(%): G[2]:=expand(%): G[3]:=expand(%): G[4]:=expand(%): G[5]:=expand(%): G[6]:=expand(%): G[7]:=expand(%): G[8]:=expand(%): G[9]:=expand(%): G[10]:=expand(%): G[11]:=expand(%): G[12]:=expand(%): G[13]:=expand(%): G[14]:=expand(%): G[15]:=expand(%): G[16]:=expand(%): G[17]:=expand(%):

235

7 Näherungsverfahren

7.5 Numerische Integration

> G[18]:=subs({x=a,y=-a,z=0},g(x,y,z)): > G[19]:=subs({x=a,y=a,z=0},g(x,y,z)): > G[20]:=subs({x=-a,y=a,z=0},g(x,y,z)): > G[21]:=subs({x=a,y=0,z=0},g(x,y,z)): > G[22]:=subs({x=-a,y=0,z=0},g(x,y,z)): > G[23]:=subs({x=0,y=a,z=0},g(x,y,z)): > G[24]:=subs({x=0,y=-a,z=0},g(x,y,z)): > G[25]:=subs({x=0,y=0,z=a},g(x,y,z)): > G[26]:=subs({x=0,y=0,z=-a},g(x,y,z)): > G[27]:=subs({x=0,y=0,z=0},g(x,y,z)): Wichtungsfaktoren: > w[1..8]:=125/729; w[9..20]:=200/729; w[27]:=512/729;

G[18]:=expand(%): G[19]:=expand(%): G[20]:=expand(%): G[21]:=expand(%): G[22]:=expand(%): G[23]:=expand(%): G[24]:=expand(%): G[25]:=expand(%): G[26]:=expand(%): w[21..26]:=320/729;

w1 .. 8 :=

125 729

w9 .. 20 :=

200 729

w21 .. 26 :=

320 729

w27 :=

235

512 729

> GAUSS_Quadratur:=w[1..8]*sum(G[i],i=1..8)+w[9..20]* sum(G[j],j=9..20)+w[21..26]*sum(G[k],k=21..26)+w[27]*G[27]; GAUSS_Quadratur :=

1 720

Dieses Ergebnis stimmt mit dem exakten Integralwert überein. > In obigen MAPLE-Programmen sind nicht alle Zwischenergebnisse ausgedruckt. Man kann sie jedoch ausdrucken lassen, wenn man an den entsprechenden Stellen die Doppelpunkte durch Semikola ersetzt.

8 Nichtlinearitäten

In den vorausgegangen Kapiteln sind mit wenigen Ausnahmen (z.B. Ü3.1.6 / Ü3.2.5 / Ü7.2.4 / Ü7.2.5) lineare Probleme behandelt worden. Zur Lösung der entsprechenden linearen Gleichungen dienen beispielsweise das GAUSSsche Eliminationsverfahren oder das CHOLESKY-Verfahren. Nichtlineare Probleme löst man näherungsweise mit Hilfe iterativer Verfahren, auf die in folgenden Ziffern näher eingegangen wird. Zeitunabhängige Probleme können durch eine Matrixgleichung

[ K]{ u} = { R}

bzw.

[ K({ u} )]{ u} = {R({ u} )}

(8.1a,b)

charakterisiert werden, wobei im nichtlinearen Fall (8.1b) die Steifigkeitsmatrix [K({u})] und / oder der Lastvektor {R({u})} vom Lösungsvektor {u} abhängen (Ü7.2.4 / Ü7.2.5). Im Allgemeinen unterscheidet man folgende Nichtlinearitäten: a) Materielle bzw. physikalische Nichtlinearitäten

Die Materialeigenschaften sind abhängig vom Lösungsvektor. Beim nichtlinearen Wärmeleitungsproblem (Ü7.2.4) ist die Wärmeleitzahl λ(T) temperaturabhängig. Bei nicht-NEWTONschen Fluiden hängt die dynamische Zähigkeit von der Schergeschwindigkeit ab, η = η( γ& ) . Physikalische Nichtlinearitäten können in Spannungs-Dehnungs-Diagrammen festgestellt werden (nichtlineare Elastizität oder Plastizität nach Überschreiten der Fließgrenze). Bei zyklischen Belastungen (z.B. Zug-Druck-Pulser) beobachtet man Hysteresischleifen, die bei realen Stoffen aufgrund der physikalischen Nichtlinearitäten von der Ellipsenform des KELVIN-Körpers stark abweichen können [BETTEN, 2001]. Der KELVIN-Körper verhält sich linear-viskoelastisch und kann als rhelogisches Modell durch Paralellelschaltung einer HOOKEschen Feder und eines NEWTONschen Dämpfungszylinder symbolisiert werden. Das zeitabhängige Verhalten eines Werkstoffs unter konstanter Last bezeichnet man als Kriechen. Bei metallischen Werkstoffen basiert die Kriechdehnung, d.h. die "viskose Komponente" der Gesamtdehnung auf thermisch aktivierten Vorgängen, z.B. Klettern von Stufenversetzungen. Die dadurch bedingte Temperaturabhängigkeit kann durch eine ARRHENIUS-Funktion (1898) berücksichtigt werden, so dass man das Kriechen metallischer Werkstoffe bei hohen Temperaturen durch den Ansatz

ε& = A f ( σ, T ) ⋅ exp( −Q k RT)

(8.2)

238

8 Nichtlinearitäten

beschreiben kann. Darin sind ε& die Kriechdehngeschwindigkeit, A eine „strukturabhängige“ Größe, Qk die Aktivierungsenergie des Kriechens und R die allgemeine Gaskonstante. Die Funktion f(σ,T) lässt sich durch [ σ E( T) ]

n

ausdrücken,

wobei der Exponent n für viele Werkstoffe zwischen 4 und 8 liegt. Bei den meisten Metallen hat sich eine gute Übereinstimmung zwischen der Aktivierungsenergie Qk des Kriechens und der Aktivierungsenergie QD der Selbstdiffusion D = D ⋅ exp( −Q D RT)

(8.3)

gezeigt. Hieraus kann gefolgert werden, dass Kriechen bei homologen Temperaturen von 0,4 bis 0,5 ein diffusionsgesteuerter Vorgang ist [BETTEN, 2001/2002]. Für Bauteile, wie beispielsweise Turbinenschaufeln, Hochdruckbehälter, Heißdampfleitungen, die mit solch hohen Temperaturen beaufschlagt werden, sind Untersuchungen zum Kriechverhalten von grundlegender Bedeutung. Für technische Anwendungen wird das Kriechgesetz (8.2) meistens in der "kompakten" Form ε& = Kσ n mit K = K(T) und n = n (T)

(8.4)

verwendet, die als NORTON-BAILEYsches Kriechgesetz bekannt ist und sich für den sekundären Kriechbereich gut bewährt hat. Der Kriechfaktor K und der Kriechexponent n können im einachsigen Kriechversuch bequem ermittelt werden und liegen für viele Werkstoffe vor. Obige Kriechgesetze lassen erkennen, dass Kriechprobleme hochgradig nichtlinear sind, so dass eine FE-Analyse erschwert wird. Physikalische Nichtlinearitäten lassen sich noch aufspalten in tensoriell linear und tensoriell nichtlinear. Dazu sei das folgende Beispiel aufgeführt. Das NORTON-BAILEYsche Kriechgesetz (8.4) kann für mehraxiale Zustände durch ein Tensorpolynom gemäß

( )

d ij = f ij σ ′pq = ϕ 0 δ ij + ϕ1σ ′ij + ϕ 2 σ ′ij ( 2 )

(8.5)

(

)

verallgemeinert werden [BETTEN, 1987/2001]. Darin sind d ij = v i, j + v j,i 2 die Koordinaten des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors. Das Geschwindigkeitsfeld v i = v i ( x j ) wird in raumbezogenen Koordinaten xj betrachtet. Zur Abkürzung wird die Schreibweise v i, j ≡ ∂v i ∂x j verwendet. Mit σ ′ij : = σ ij − σ kk δ ij 3 werden die Koordinaten des Spannungsdeviators bezeichnet, während σij die Koordinaten des CAUCHYschen Spannungstensors sind. Über paarweise auftretende Indizes wird von 1 bis 3 summiert aufgrund der EINSTEINschen Summationsvereinbarung, z.B.: σ kk ≡ σ 11 + σ 22 + σ 33 oder σ (ij2 ) ≡ σ ik σ kj ≡

3

å σ ik σ kj . Die tenk =1

sorwertige Funktion (8.5) ist ein Minimalpolynom. Höhere Potenzen als 2 müssen aufgrund des HAMILTON-CAYLEYschen Theorems nicht berücksichtigt werden. Der

239

Term ϕ 2 σ ′ij( 2 ) in (8.5) stellt die tensorielle Nichtlinearität dar [BETTEN, 1987]. In die skalarwertige Funktionen ϕ0, ϕ1, ϕ2 geht das einachsige Stoffgesetz (8.4) ein [BETTEN, 1987/2001]. Bei tensorieller Linearität (ϕ2 = 0) vereinfacht sich die Stoffgleichung (8.5) zu

d ij =

3 Kσ n −1σ ′ij , 2

(8.6)

die mit der von LECKIE und HAYHURST (1977) vorgeschlagenen Gleichung übereinstimmt. Setzt man in (8.6) die MISESsche Vergleichsspannung σ = 3J ′2 mit der quadratischen Invarianten J ′2 = σ ′ik σ ′ki 2 ein , so findet man die Stoffgleichung d ij =

n −1 3 K( 3J 2′ ) 2 σ ′ij , 2

(8.7)

die auf ODQUIST und HULT (1962) zurückgeht. b) Geometrische Nichtlinearitäten

Bei großen Verformungen einer Struktur (z.B. Balkenbiegung) sind die Gleichgewichtsbedingungen an der verformten Konfiguration anzusetzen (Theorie zweiter Ordnung). Bei endlichen Verzerrungen in einem Kontinuum kann der klassische (infinitesimale) Verzerrungstensor nicht mehr benutzt werden. Er ist zu ersetzen beispielsweise durch den LAGRANGEschen oder EULERschen Verzerrungstensor, d.h. durch Tensoren, die in den Koordinaten der Verschiebungsdyade nicht linear sind. In vielen FEM-Programmen, z.B. ABAQUS, ANSYS, COSMOS, MARC, NASTRAN etc., wird die geometrische Nichtlinearität berücksichtigt, so dass der Anwender solcher Rechenprogramme mit der Theorie endlicher Verzerrungen [BETTEN, 2001] vertraut sein sollte. c) Strukturnichtlinearitäten

Abhängig vom Verformungszustand können sich andere Lagerbedingungen ergeben. Als Beispiel sei ein Kragbalken erwähnt. Am Ende des Balkens befinde sich eine federnde Stütze, auf die sich der Balken jedoch erst nach einer gewissen Durchbiegung abstützt. Der zunächst statisch bestimmt gelagerte Balken wird durch den Kontakt mit der Stütze einfach statisch unbestimmt. Die Nichtlinearität ist eine Folge der Kontaktbedingung. Ein anderes Kontaktproblem liegt beim Walzvorgang vor. Aufgrund der Elastizität der Walzen ändert sich die Geometrie des Walzspaltes und die Randbedingungen, so dass die Berechnung der Walzkraft nur iterativ erfolgen kann. Nach jedem Iterationsschritt haben sich die Randbedingungen verändert [BETTEN,1970]. Stark ausgeprägt sind Nichtlinearitäten bei instationären Problemen der Elastohydrodynamik (EHD), wie ausführlich von RIENÄCKER (1995) in seiner

240

8 Nichtlinearitäten

Dissertation diskutiert wird. Durch die druckbedingte elastische Spaltänderung, z.B. in einem Gleitlager, wird die REYNOLDsche Differentialgleichung [Gl. (7) in Ü6.6.4] stark nichtlinear. Neben der Rückwirkung der elastischen Lagerverformung auf den hydrodynamischen Druckaufbau ist zu beachten, dass im Allgemeinen nur die äußeren, am Zapfen angreifenden Kräfte bekannt sind, d.h., es muss Gleichgewicht zwischen äußeren und hydrodynamisch erzeugten Kräften hergestellt werden [RIENÄCKER, 1995]. Netzwerkgleichungen von Rohrströmungen (Ü3.1.9 / Ü3.1.10) werden nichtlinear im turbulenten Fall und können somit nur iterativ gelöst werden. Ebenso treten bei elektrischen Netzwerken (Ü3.1.11 / Ü3.1.12) im Allgemeinen Nichtlinearitäten auf. Die Liste der nichtlinearen Probleme ließe sich beliebig erweitern. In den folgenden Ziffern werden verschiedene Iterationsverfahren auf konkrete Probleme angewendet.

8.1 Verschiedene Lösungsmethoden Zur Erläuterung einiger Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme sei zunächst eine Einzelfeder betrachtet, die im Gegensatz zu Bild 6.1 eine nichtlineare Kennlinie besitzen möge (Bild 8.1).

Bild 8.1 Nichtlineare Feder mit progressiver (kN > 0) bzw. degressiver (kN < 0) Kennlinie

Die Federzahl setze sich additiv aus einem linearen (k0) und nichtlinearen (kN) Anteil zusammen: k = k0 + kN

mit

k N = f ( u) .

(8.8)

Darin könnte kN beispielsweise gemäß

(

k N = α k 0 u u*

)

p

(

bzw. k N = −β k 0 u u *

)

q

(8.9a,b)

für die progressive bzw. degressive Feder angesetzt werden. Als Bezugswert wird aus Dimensionsgründen u* in (8.9) eingeführt. Durch die Parameter α, β und die Potenzen p, q können die Einflüsse der Nichtlinearitäten ausgedrückt werden.

8.1 Verschiedene Lösungsmethoden

241

Mit (8.8) kann die Federkraft gemäß (8.1b) in Abhängigkeit von der Auslenkung u ermittelt werden: k( u) ⋅ u = R

bzw.

[ k 0 + k N ( u)]u = R .

(8.10a,b)

Umgekehrt ist eine explizite Lösung für u bei vorgegebener Kraft R im Allgemeinen nicht möglich. Daher ist man auf iterative Lösungsmethoden angewiesen. Im Folgenden sollen einige Verfahren aufgelistet werden. Direkte Iteration: Eine degressive Feder (kN < 0) werde durch eine Last RB belastet. Im ersten Iterationsschritt nehme man kN = 0 an, so dass als erste Näherung u 1 = R B k 0 folgt. Mit diesem Wert ermittelt man eine neue Steifigkeit aus (8.8) zu k 0 + k N1 ≡ k 0 + f ( u1 ) und damit aus (8.10) die zweite Näherung zu

u 2 = R B [ k 0 + k N ( u1 )] ≡ R B ( k 0 + k N1 ) . Setzt man diese Iterationsschritte

fort, so erhält man schließlich eine Folge von Näherungen gemäß u1 = k 0−1 R B , u 2 = ( k 0 + k N1 ) −1 R B , K, u i +1 = ( k 0 + k N i ) −1 R B . (8.11) Diese Schritte sind in Bild 8.2 veranschaulicht. Darüber hinaus ist auch ein divergentes Verhalten gezeigt, das bei einer progressiven Feder auftreten kann.

Bild 8.2 Direkte Iteration; konvergentes bzw divergentes Verhalten

Zur Verallgemeinerung der Iteration (8.11) für Systeme mit mehren Freiheitsgraden, {u}, ist die Steifigkeitszahl k(u) in (8.10) durch eine Steifigkeitsmatrix in (8.1b) gemäß [K({u})] = [[K0]+[KN]] zu ersetzen. Startet man mit dem Lösungsvektor {u}0 des linearen Systems ([KN] ≡ [0]), so ergibt sich in erster Näherung der Lösungsvektor zu

{ u} 1 = [ K 0 ] −1 { R} B .

(8.12)

Damit wird eine neue Steifigkeitsmatrix [K 0 + K N1 ] berechnet. Schließlich erhält man analog (8.11) nach i+1 Iterationen den Lösungsvektor

242

8 Nichtlinearitäten

[

{ u} i +1 = K 0 + K N1

]

−1

{ R} B .

(8.13a)

Zweckmäßigerweise kann (8.13a) von links mit der Steifigkeitsmatrix überschoben werden,

[K 0 + K N ]{ u} i+1 = { R} B ,

(8.13b)

i

zur Vermeidung der Inversenbildung. NEWTON-RAPHSON-Verfahren: Es sei uA die Verschiebung, die sich aufgrund einer Anfangsbelastung RA eingestellt hat. Damit gilt nach (8.10) die Beziehung

( k 0 + k N )u A = R A A

mit

k N A = k N A ( u A ).

(8.14)

Die Last soll bis zum Endwert RB ansteigen; die zugehörige Verschiebung uB ist schließlich gesucht. Die Kraft-Verschiebungskurve (8.10a) bzw. R = f(u) kann in eine TAYLOR-Reihe um uA entwickelt und nach dem zweiten Glied abgebrochen werden, um R1 = f(u1) ≡ f(uA+ ∆u1) auszudrücken: æ dR ö f ( u A + ∆u1 ) = f ( u A ) + ç ÷ ⋅ ∆u1 . è du ø A

(8.15)

Wegen (8.10b) gilt: dR du = k 0 + d( k N ( u) ⋅ u) du ≡ k t .

(8.16)

Diese Größe wird Tangentensteifigkeit genannt. Gesucht wird ein ∆u1, für das f(uA+ ∆u1) = RB wird. Mit dieser Forderung und wegen f(uA) = RA erhält man aus (8.15) und (8.16) die Differenz ∆R A ≡ R B − R A = ( k t ) A ∆u1

(8.17)

zwischen der Belastung RB und der Federkraft (8.14), die eine Verschiebung uA hervorrufen würde. In (8.17) ist (kt )A die Anfangssteifigkeit. Mit ∆u1 ermittelt man in erster Näherung u1 = uA+ ∆u1. Für die nächste Iteration wird mit u = u1 aus (8.16) eine neue Tangentensteifigkeit (kt )1 und aus (8.10) eine Federkraft R1 ermittelt. Für das „Kräfteungleichgewicht“ folgt analog (8.17) die Differenz ∆R1 ≡ R B − R1 = ( k t )1 ∆u 2 ,

(8.18)

woraus sich ∆u2 und damit die zweite Näherung zu u2 = u1+ ∆u2 ergibt. Die geschilderten Iterationen sind in Bild 8.3 veranschaulicht.

8.1 Verschiedene Lösungsmethoden

243

Bild 8.3 NEWTON-RAPHSON-Näherung für uB, verursacht durch RB; Startwert uA

In Bild 8.3 wird deutlich, dass sich das „Kräfteungleichgewicht“ schrittweise gemäß (8.17), (8.18) etc. abbaut, bis schließlich nach einer genügenden Anzahl von Iterationen (n → ∞) der Gleichgewichtszustand ( ∆R ∞ ≡ R B − R ∞ = 0) erreicht ist und die Lösung u = uB gefunden wird. Zur Verallgemeinerung des NEWTON-RAPHSON-Verfahrens ist die Tangentensteifigkeitszahl (8.16) durch die Tangentensteifigkeitsmatrix [Kt] und die Differenzeinzelkräfte (8.17), (8.18) durch die Spaltenmatrix {∆R} zu ersetzen. Beide Matrizen sind nach jedem Iterationsschritt zu „aktualisieren“ (to update). In jedem Iterationsschritt ist die lineare Matrizengleichung

[K t ]i { ∆u} i +1 = { ∆R} i

(8.19)

zu lösen, so dass man {u}i+1 = {u}i + {∆u}i+1 zur „Aktualisierung“ für den nächsten Schritt erhält. Dieser Vorgang reduziert schrittweise das „Ungleichgewicht“ (load imbalance) {∆R} und konvergiert schließlich gegen die gesuchte Lösung

({ ∆u} i +1 → { 0} ) .

Modifiziertes NEWTON-RAPHSON-Verfahren: Bei diesem Verfahren wird zur Vereinfachung in jedem Iterationsschritt die Anfangstangentenmatrix [Kt]0 benutzt:

[K t ] i = [ K t ] 0

Þ

[K t ]0 { ∆u} i+1 = { ∆R } i

.

(8.20)

Dieser Vorgang wird in Bild 8.4 veranschaulicht. Vergleicht man die Bilder 8.3 und 8.4 miteinander, so erkennt man recht deutlich, dass der größere Rechenaufwand beim NEWTON-RAPHSON-Verfahren (8.19) zu einer höheren Konvergenzgeschwindigkeit (Bild 8.3) führt gegenüber dem ver-

244

8 Nichtlinearitäten

einfachten Verfahren (8.20), das eine geringere Konvergenzgeschwindigkeit (Bild 8.4) verursacht.

Bild 8.4 Modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren für uB, verursacht durch RB; Startwert uA

Zur Erhöhung der Konvergenzgeschwindigkeit beim Modifizierten NEWTONRAPHSON-Verfahren kann nach einigen (z.B. m) Iterationschritten die Tangentenmatrix in (8.20) neu formuliert („aktualisiert“) werden ([K]0 → [K]m) und damit der Iterationsprozess fortgesetzt werden. Inkrementelle Laststufen: Bei diesem Verfahren wird gegenüber der einstufigen Lastaufbringung (Bilder 8.2 bis 8.4) die Endlast RB des Systems in eine Vielzahl M Laststufen unterteilt: M

{ R} B = { R} 0 + å { ∆R} j .

(8.21a)

j=1

Darin darf {∆R}j nicht mit dem „Ungleichgewicht“ (load imbalance) ∆R : = { R} B − { R} i in (8.19) und (8.20) verwechselt werden!

{ }i

Gewöhnlich sind die Spaltenmatrix {R}0 in (8.21a) und die zugehörige Verschiebung {u}0 Nullmatrizen, da man vom unverformten und spannungsfreien Zustand des betrachteten Körpers ausgeht. Nach der i-ten Laststufe gilt: i

{ R} i = { R} 0 + å { ∆R} j .

(8.21b)

j=1

Entsprechend gilt für die Verschiebungen: i

{ u} i = { u} 0 + å { ∆u} j . j=1

(8.22)

8.1 Verschiedene Lösungsmethoden

245

Zur Ermittlung der Verschiebungsinkremente wird die Tangentensteifigkeitsmatrix am Ende der vorausgegangenen Stufe benötigt:

[K t ]i−1 { ∆u} i = { ∆R} i

für

i = 1,2, K, M

(8.23)

mit

[K t ]i−1 = [K t ({ u} i−1 , { R} i−1 )]i−1 .

(8.24)

Nach Aufbringen der ersten Laststufe (i=1) ist [Kt]0 mit den Daten des „Anfangszustandes“ d.h. mit den Materialparametern aus der gegebenen Werkstoffcharakteristik bei der „Anfangslast“, z.B. {u}0 = {0} und {R}0 ={0}, zu bestimmen. Das inkrementelle Verfahren (8.23) ist analog zum EULERschen Verfahren, das neben dem RUNGE-KUTTA-Verfahren mit Erfolg zur numerischen Lösung von Systemen linearer oder auch nichtlinearer Differentialgleichungen eingesetzt wird. Zur Veranschaulichung des inkrementellen Verfahrens (8.23) bzw. des EULERschen Polygonzugverfahrens soll die nichtlineare Einzelfeder in Bild 8.1 betrachtet werden, für die R = f(u) gemäß (8.10a) und kt = dR/du gemäß (8.16) gilt. Beginnend mit R = 0 für u = 0 wird die Last stufenweise (Lastinkremente ∆Ri ) hochgefahren und die sich einstellenden Verschiebungen jeweils in einem Schritt (Einschrittverfahren) berechnet: −1

u 1 = 0 + ( k t ) 0 ∆R 1

−1

u 2 = u1 + ( k t )1 ∆R 2

−1

u 3 = u 2 + ( k t ) 2 ∆R 3

mit

ì( k t ) = k t in ( u 0 = 0, R 0 = 0 )ü 0 í ý , (8.25a) î ∆R 1 = R 1 − R 0 þ

mit

ì( k t ) = k t in[ u1 , R( u1 )] ü 1 í ý , = R 2 − R1 ∆ R 2 î þ

(8.25b)

mit

ì( k t ) = k t in [ u 2 , R( u 2 )] ü 2 í ý . ∆ R î 3 = R3 − R2 þ

(8.25c)

Suksessiv fährt man in dieser Weise fort. Somit lautet die Rekursionsformel: −1

u i +1 = u i + ( k t ) i ∆R i +1

ì( k ) = k t in[ u i , R( u i )] ü mit í t i ý . î∆R i +1 = R i +1 − R i þ

Diese Vorgehensweise ist in Bild 8.5 veranschaulicht.

(8.26)

246

8 Nichtlinearitäten

Bild 8.5 Inkrementelle Laststufen

Bei zu großen Lastschritten kann sich der Fehler von Schritt zu Schritt aufschaukeln (Bild 8.5). Um dieser Fehlerfortpflanzung entgegenzuwirken, ist (8.26) gemäß −1

u i +1 = u i + ( k t ) i

{∆R i+1 + [R i − R( u i )]}

(8.27a)

zu modifizieren. Darin kann der zusätzliche Term R i − R ( u i ) = R i − [ k 0 + k N ( u i )] u i

(8.28)

als Lastkorrektur gedeutet werden, die analog (8.17) bzw. (8.18) einer „load imbalance“ (von Ri+1 aus betrachtet) entspricht. Nach (8.27) wird somit z.B. die Tangente (kt)2 parallel um R2 – R(u2) nach unten verschoben und liegt wie beim NEWTON-RAPHSON-Verfahren (Bild 8.3) im Kurvenpunkt [u2, R(u2)]. Mithin könnte man diese Vorgehensweise auch als „inkrementelles Verfahren mit NEWTONRAPHSON-Korrektur“ bezeichnen. Wegen ∆Ri+1 = Ri+1 – Ri in (8.26) und mit (8.28) kann (8.27a) auch in der Form −1

u i +1 = u i + ( k t ) i

[R i+1 − R( u i )]

(8.27b)

ausgedrückt werden. Das „korrigierte Lastschrittverfahren“ (8.27a,b) ist in Bild 8.6 veranschaulicht. Man erkennt sehr deutlich, dass die Fehler in Bild 8.6 wesentlich geringer sind als in Bild 8.5. Zu beachten ist, dass die Punkte 2 und 3 in den Bildern 8.5 und 8.6 unterschiedlich gelagert sind, da ja die Verschiebungen u2 und u3 etc. in beiden Bildern unterschiedlich sind. Ebenso haben die Tangenten (kt)2 in beiden Bildern unterschiedliche Neigungen.

8.1 Verschiedene Lösungsmethoden

247

Bild 8.6 Inkrementelle Laststufen mit NEWTON-RAPHSON-Korrektur

Anmerkung: Da man nach jedem Lastschritt (z.B von R1 nach R2) um einen Teilschritt z.B. ([R2 – R(u2)] im Bild 8.6) zurückgeht, könnte man in Analogie zum Rohrziehen nach dem MANNESMANN-Verfahren die Vorgehensweise in Bild 8.6 als „Pilgerschritt-Verfahren“ bezeichnen ( → Echternacher Pilgerschritt-Prozession). Aus Platzgründen sind in den Bildern 8.2 bis 8.6 nur einige Verfahren zur Lösung nichtlinearer Probleme dargestellt. Weitere Möglichkeiten findet man beispielsweise in den Werken von COLLATZ (1964/1968), von ENGELN-MÜLLGES und REUTTER (1993), von SCHWARZ (1986), von STUMMEL und HAINER (1982), um nur einige „Fundgruben“ zur Lösung nichtlinearer Probleme zu nennen. In den genannten Werken findet man auch ausführliche Konvergenzbetrachtungen und Abbruchkriterien. Bei der Vielzahl numerischer Lösungsmöglichkeiten für nichtlineare Gleichungssysteme ist es schwierig, das beste Verfahren zur Lösung der gestellten Aufgabe herauszufinden. Ein Verfahren soll wirtschaftlich sein, und darf nicht divergieren. Entscheidungshilfen für die Auswahl der Methode werden beispielsweise von ENGELN-MÜLLGES und REUTTER (1993) gegeben. Sie empfehlen in vielen Fällen das gedämpfte NEWTON-Verfahren bzw. die gedämpfte Primitivform des NEWTON-Verfahrens (modifiziertes NEWTON-Verfahren). Die Methode von NEWTON-RAPHSON (Bild 8.3) konvergiert sehr rasch für Startwerte, die bereits hinreichend nahe an der gesuchten Lösung liegen. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist dann mindestens quadratisch, während die Iterationsfolge beim modifizierten (vereinfachten bzw. primitiven) NEWTON-RAPHSONVerfahren (Bild 8.4) nur linear gegen die gesuchte Lösung konvergiert. Für schlechte Startwerte kann das NEWTON-RAPHSON-Verfahren jedoch völlig versagen (Bild 8.7).

248

8 Nichtlinearitäten

Bild 8.7 Divergenz beim NEWTON-RAPHSON-Verfahren

Zur Vermeidung der Divergenz empfiehlt ZIENKIEWICZ (1984) inkrementelle Verfahren (Bild 8.5), da für genügend kleine Lastschritte (allerdings auf Kosten des Aufwandes) stets Konvergenz gewährleistet ist. Darüber hinaus kann in einigen Fällen, z.B. bei Problemen der Plastomechanik, eine Tangentensteifigkeitsmatrix nur „inkrementell“ formuliert werden.

8.2 Fixpunktiteration Nichtlineare Gleichungssysteme (8.1b) können auch in der Form

{ψ({ u} )} ≡ [ K({ u} )]{ u} − {R({ u} )} = 0

(8.29)

ausgedrückt werden. Die Aufgabe, einen Lösungsvektor {u} für den „Gleichgewichtszustand“ {ψ({u})} = {0} zu finden, kann mit Hilfe einer Fixpunktiteration gelöst werden. Dazu wird das nichtlineare Gleichungssystem (8.29) auf die Fixpunktform

{ u} = {Φ({ u} )}

für {Φ} : = ¡ n → ¡ n

(8.30)

gebracht. Der gesuchte Lösungvektor {u}∈ D ist dann ein Fixpunkt der Abbildung {Φ}∈ D im gemeinsamen Definitionsbereich D ⊆ ¡ n . Mit einem gewählten Startvektor {u}0 erfolgt die Fixpunktiteration nach der Vorschrift

{ u} i +1 = {Φ({ u} i )}

(i = 0,1,2, ... ) .

(8.31)

8.2 Fixpunktiteration

249

Der BANACHsche Fixpunktsatz gibt Aufschluss über die Konvergenz der so gewonnenen Vektorfolge {u}i gegen den gesuchten Fixpunkt {u}: Fixpunktsatz für Systeme. Es sei A ⊂ D ⊆ ¡ n eine abgeschlossene Teilmenge des Definitionsbereichs D einer Abbildung {Φ}:A→A. Falls {Φ} eine kontrahierende Abbildung (L < 1) von A in A (oder Kontraktion der Menge A in sich) ist, d.h. die LIPSCHITZ-Bedingung

{Φ({ u} )} − {Φ({ v} )}

≤ L { u} − { v}

(8.32)

mit einer LIPSCHITZ-Konstanten 0 ≤ L < 1 für alle {u}, {v} ∈ A erfüllt, so gilt der Satz: a) Die Fixpunktgleichung (8.30) besitzt genau eine Lösung in A. b) Die Fixpunktiteration (8.31) konvergiert für jeden Startvektor {u}0 ∈ A gegen den Fixpunkt {u}. c) Für den Fehler gelten die a priori-Fehlerabschätzung

{ u} i − { u} ≤

Li 1− L

{ u} 1 − { u} 0 = α

(8.33)

und die a posteriori-Fehlerabschätzung

{ u} i − { u} ≤

L 1− L

{ u} i − { u} i −1 = β

(8.34)

mit α ≥ β. Die Vektornorm in (8.33) und (8.34) ist gemäß

{ u} 2 : =

n

å u 2k k =1

definiert (EUKLIDsche Norm). Die a priori Fehlerabschätzung (8.33) vermag den Fehler von {u}i gegenüber dem gesuchten Fixpunkt {u} bereits nach Ermittlung der ersten Näherung {u}1 mit einer absoluten Schranke vorauszusagen. Darüber hinaus zeigt (8.33), dass die Norm des Fehlers mindestens wie eine geometrische Folge mit dem Quotienten L abnimmt. Je kleiner die LIPSCHITZ-Konstante ist, desto besser ist die Konvergenz der Vektorfolge {u}i gegen den Fixpunkt {u}. Schließlich kann die a priori Feh-

250

8 Nichtlinearitäten

lerabschätzung (8.33) Aufschluss über die nötige Anzahl i von Iterationen geben, damit der Fehler einen vorgegebenen Wert ε nicht übersteigt:

æ i ≥ lnç ç è

(1 − L ) ε { u} 1 − { u} 0

ö ÷ ln( L ) . ÷ ø

(8.36)

Im Folgenden soll gezeigt werden, dass die NEWTON-RAPHSON-Methode (8.19) auch als Fixpunktiteration ausgedrückt werden kann. Dazu wird das zu lösende nichtlineare Gleichungssystem (8.29) mit Hilfe einer abgebrochenen TAYLORReihe linearisiert. Falls der Startvektor {u}0 hinreichend nahe am Fixpunkt liegt, kann die TAYLOR-Entwicklung gemäß

{ψ({ u} )} = {ψ({ u} 0 )} + çè d{{ u}} ÷ø ({ u} − { u} 0 ) æd ψ ö

(8.37)

0

linearisiert werden. Darin stellt

d { ψ} d{ u}

[

= K t ({ u} )

]

(8.38)

die Tangentenmatrix dar. Wegen (8.29) erhält man aus (8.37) die linearisierte Näherung des nichtlinearen Gleichungssystem (8.29) zu:

[K t ]0 {{ u} − { u} 0 } + {ψ({ u} 0 )} = { 0}

(8.39a)

für den „Korrekturvektor“ {w} = {u}–{u}0 . Das lineare Gleichungssystem (8.39a) besitzt eine eindeutige Lösung, wenn det ([Kt ] 0 ) ≠ 0 gilt. Zur iterativen Verbesserung der Startnäherung ist jeweils für i = 0,1,2,... das lineare Gleichungssystem

[K t ({ u} i )] {w i } + {ψ({ u} i )} = {0}

(8.39b)

nach dem „Korrekturvektor“ {w}i aufzulösen. Somit erhält man eine neue Näherung

{ u} i +1 = { u} i + { w} i .

(8.40)

Die Iteration wird abgebrochen, wenn die Bedingung ein kleiner Wert ε vorgegeben wird.

{ w} i ≤ ε erfüllt ist, wobei −1

Überschiebt man (8.39b) mit der inversen Tangentenmatrix [K t ]i , so erhält

man den Korrekturvektor {w}i , den man in (8.40) einsetzt. Somit kann das NEWTON-RAPHSON-Verfahren als Fixpunktiteration

{ u} i +1 = {Φ({ u} i )}

(i = 0,1,2,...)

(8.31)

8.2 Fixpunktiteration

251

mit

{Φ({ u} )} := { u} − [ K t ({ u} )] −1 {ψ({ u} )}

(8.41)

ausgedrückt werden. Wie bereits oben erwähnt, konvergiert das NEWTON-RAPHSON-Verfahren (8.31) sehr rasch für Startvektoren, die genügend nahe am Fixpunkt liegen. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist dann mindestens quadratisch. Bei schlechten Startvektoren kann das übliche Iterationsverfahren

{ u} i +1 = { u} i − {ψ({ u} i )}

(i = 0,1,2,...)

(8.42)

noch konvergieren, während das NEWTON-RAPHSON-Verfahren (8.31) mit (8.41) bereits völlig versagt. In Ziffer 8.3 wird ein Beispiel (Bild 8.8) diskutiert, bei dem umgekehrt der Algorithmus (8.42) versagt, während das NEWTON-RAPHSONVerfahren den gesuchten Fixpunkt liefert. Konvergieren beide Verfahren, so ist im Allgemeinen die Konvergenz von (8.42) im Vergleich zu (8.31) mit (8.41) wesentlich langsamer. Aufschluss über das Konvergenzverhalten der durch Fixpunktiteration erzeugten Vektorfolge {u}i gegen den Fixpunkt {u} gibt der BANACHsche Fixpunktsatz (8.32). Danach gilt in Verbindung mit (8.31) die Aussage

{u} − {u}i +1

=

{Φ ({u})} − {Φ ({u}i )}

≤L

{u} − {u}i

,

(i = 0,1,2,...) ,

(8.43)

so dass die Norm des Fehlers

{ ε} i = { u} i − { u} , (i = 1,2, K ) ,

(8.44)

in jedem Iterationsschritt mindestens um den Faktor L<1 verkleinert wird. Die Vektorfolge {u}i konvergiert von mindestens p-ter Ordnung gegen den Fixpunkt {u}, falls lim

i →∞

{ u} i +1 − { u} = K mit 0 ≤ K ≤ ∞ und p ≥ 1 { u} i − { u}

(8.45)

gilt. Das Iterationsverfahren (8.31) wird dann als Verfahren von mindestens p-ter Konvergenzordnung bezeichnet. Für K ≠ 0 besitzt es genau die Ordnung p. Eine hohe Konvergenzordnung p in Verbindung mit einer kleinen Fehlerkonstanten kennzeichnet eine rasche Konvergenz. Weitere Einzelheiten zum Konvergenzverhalten einzelner Iterationsverfahren kann man beispielsweise den Büchern von SCHWARZ (1986), von ENGELNMÜLLGES und REUTTER (1993) entnehmen.

252

8 Nichtlinearitäten

8.3 Nichtlineare diskrete Systeme Als Beispiel für ein nichtlineares Problem der Strukturmechanik soll im Folgenden eine Federkette mit drei nichtlinearen Federelementen (Bild 8.8) betrachtet werden.

Bild 8.8 Nichtlineares diskretes System

Die Federzahlen sollen sich gemäß (8.8) mit (8.9) aus einem linearen und nichtlinearen Anteil zusammensetzen: k10 = k a + α k a u1p ,

q

k 21 = k b + β k b ( u 2 − u1 ) ,

(8.46a,b)

r

k 32 = k c + γ k c ( u 3 − u 2 ) .

(8.46c)

Aufgrund der Randbedingung (u0 = 0) erhält man analog Ü3.1.3 oder Ü3.1.5 die reduzierte Matrizengleichung é k10 + k 21 ê ê − k 21 êë 0

− k 21 k 21 + k 32 − k 32

0 ù ì u1 ü ì R1 ü úï ï ï ï − k 32 ú íu 2 ý = íR 2 ý , k 32 úû ïî u 3 ïþ ïî R 3 ïþ

(8.47a)

aus der die drei nichtlinearen Gleichungen g1 : = ( k 10 + k 21 )u1 − k 21 u 2 − R1 ≡ 0

g 2 : = − k 21 u1 + ( k 21 + k 32 )u 2 − k 32 u 3 − R 2 ≡ 0 g 3 : = − k 32 u 2 + k 32 u 3 − R 3 ≡ 0

ü ïï ý ï ïþ

(8.47b)

folgen. Darin verschwinden die rechten Seiten nur für die exakte Lösung. Da die Steifigkeitsmatrix [K] wegen (8.46a,b,c) vom gesuchten Lösungsvektor

{ u} = {u1 u 2 u 3 } t abhängt, kann das System (8.47) nur iterativ gelöst wert

den. Dazu muss ein Startvektor { u} 0 ≡ { U} = {U 1

U2

Es ist sinnvoll, als Startvektor den Lösungsvektor

{ U} = {U 1 U 2 U 3 } t des

linearen Systems zu wählen:

U 3 } gewählt werden.

8.3 Nichtlineare diskrete Systeme

ék a + k b ê ê −k b êë 0

−k b kb + kc −k c

0 ù ì U1 ü ì R1 ü úï ï ï ï − k c ú íU 2 ý = íR 2 ý , k c úû ïî U 3 ïþ ïî R 3 ïþ

G1 : = ( k a + k b )U1 − k b U 2 − R1 ≡ 0

G 2 : = − k b U1 + ( k b + k c )U 2 − k c U 3 − R 2 ≡ 0 G3: = − k cU 2 + k c U3 − R3 ≡ 0 .

253

(8.48a)

ü ïï ý . ï ïþ

(8.48b)

Im Folgenden sollen einige Verfahren zur Lösung des nichtlinearen Systems (8.47a,b) mit dem Startvektor {u}0 ≡ {U} aus (8.48a,b) eingesetzt werden. Dazu wird die Software MAPLE V, Release 8, benutzt. Für die numerische Auswertung werden folgende Parameter zugrunde gelegt: Federzahlen (8.46 a,b,c):

k a = 20; k b = 10; k c = 20; α = 0.5; β = 0.7; γ = 0.2; p = 0.3;

q = 0.3;

r = 0.2;

ü ï ý ï þ

(8.49)

Äußere Belastungen: R 1 = 10; R 2 = 20; R 3 = 15.

(8.50)

a) Direkte Iteration bzw. Fixpunktiteration Mit dem Datensatz (8.49 / 8.50) ermittelt man aus dem linearen Gleichungssystem (8.48a,b) die Startwerte zu: U 1 = 9 4 , U 2 = 23 4 , U 3 = 13 2 ,

(8.51)

die man für u1, u2, u3 in (8.46a,b,c) einsetzt. Mit der so gewonnenen Steifigkeitsmatrix erhält man aus (8.47a) eine erste Näherung für den Lösungsvektor {u}, mit dem man wiederum aus (8.46a,b,c) eine neue Steifigkeitsmatrix erhält. In dieser Weise wird die Rechnung wiederholt (Methode der sukzessiven Approximation), bis ein Abbruchkriterium mit vorgegebenem Fehler erfüllt ist. Diese Iteration kann als Fixpunktiteration (8.31) gedeutet werden. Mit Hilfe der CRAMERschen Regel erhält man aus (8.47a,b) folgende Fixpunktgleichungen für die drei Verschiebungen: u 1 = Φ1 ( u1 , u 2 , u 3 ) = u 2 = Φ 2 ( u1 , u 2 , u 3 ) =

R1 + R 2 + R 3 , k 10

( R 2 + R 3 )k 10 + ( R1 + R 2 + R 3 )k 21 k 10 k 21

(8.52a)

,

(8.52b)

254

8 Nichtlinearitäten

u 3 = Φ 3 ( u1 , u 2 , u 3 ) = =

R 3 k 10 k 21 + ( R 2 + R 3 ) k 10 k 32 + ( R 1 + R 2 + R 3 ) k 21 k 32 k 10 k 21 k 32

, (8.52c)

die man auch in den Formen u1 = Φ1 ( u1 , u 2 , u 3 ) = ( R 1 + R 2 + R 3 ) k 10 ,

(8.53a)

u 2 = Φ 2 ( u1 , u 2 , u 3 ) = u1 + ( R 2 + R 3 ) k 21 ,

(8.53b)

u 3 = Φ 3 ( u1 , u 2 , u 3 ) = u 2 + R 3 k 32

(8.53c)

darstellen kann. Zu beachten ist, dass die Federsteifigkeiten k10, k21, k32 gemäß (8.46a,b,c) Funktionen der gesuchten Verschiebungen u1, u2, u3 sind. Aus den Fixpunktgleichungen (8.52a,b,c) bzw. (8.53a,b,c) ergibt sich unmittelbar die Fixpunktiteration (8.31) zu: u1; i +1 = ( R1 + R 2 + R 3 ) k 10 ; i

(8.54a)

u 2 ; i +1 = u1; i +1 + ( R 2 + R 3 ) k 21; i

(8.54b)

u 3 ; i +1 = u 2 ; i +1 + R 3 k 32 ; i

(8.54c)

i = 0,1,2,... die im folgenden MAPLE-Programm implementiert ist. Als Abbruchkriterium wird die in (8.34) verwendete Vektor-Fehlernorm (8.35) gewählt:

{ u} i − { u} i −1 ≡

3

å ( u k ;i − u k ;i−1 )

2

≤ε ,

(8.55)

k =1

z.B. mit ε = 10 −6 . MAPLE-Programm zur direkten Iteration bzw. Fixpunktiteration (8.54a,b,c)

> 8 8.3-1.mws >with(linalg): >u:=vector(3): u_alt:=vector(3): R:=vector(3): g:=vector(3): Die reduzierte Steifigkeitsmatrix in (8.47a) lautet: >K:=matrix([[k[10]+k[21], -k[21],0], [-k[21], k[21]+k[32], -k[32]],[0,

8.3 Nichtlineare diskrete Systeme

255

>-k[32], k[32]]]);

éêêk10 + k21 -k21 0 ùúú êêê úú ê k21 + k32 -k32úúúúú K := êê -k21 êêê úú êêê 0 -k32 k32 úúúûú ëêê úúú êê ú Nichtlineares Gleichungssystem (8.47b): >g:=evalm( K &* u ): >g[1]:=g[1]-R[1]; g[2]:=g[2]-R[2]; g[3]:=g[3]-R[3];

g1 := u1 k10 + u1 k21 − k21 u2 − R1 g2 := -u1 k21 + k21 u2 + u2 k32 − k32 u3 − R2 g3 := -u2 k32 + k32 u3 − R3 Die Federsteifigkeiten setzen sich additiv aus einem linearen und nichtlinearen Anteil gemäß (8.46 a,b,c) zusammen: >k[10]:=k[a]+alpha*k[a]*u[1]^p; k[21]:=k[b]+beta*k[b](u[2]-u[1])^q; >k[32]:=k[c]+theta*k[c]*(u[3]-u[2])^r; k10 := ka + α ka u1

p

k21 := kb + β kbæè u2 − u1 öø

q

k32 := kc + θ kc æè u3 − u2 öø

r

Für die numerische Auswertung werden folgende Parameter gewählt. Federsteifigkeiten (8.49): >k[a]:=20: k[b]:= 10: k[c]:=20: alpha:=0.5: >beta:=0.7: theta:=0.2: p:=0.3: q:=0.3: r:=0.2: Äussere Belastungen ( 8.50): >R[1]:= 10: R[2]:=20: R[3]:=15: Die Startwerte für u[i] erhält man aus dem linearen Gleichungssystem (8.48) mit den obigen Parametern zu: >u[1]:=2.25: u[2]:=5.75: u[3]:=6.5: u_alt[1]=u[1]: u_alt[2]=u[2]: >u_alt[3]=u[3]: Vorbesetzung der Variablen v_norm ( Vektornorm (8.55) als Abruchkriterium mit ε = 10 −6 ) >v_norm :=1 : epsilon:=1e-6: Beginn der Iterationsschleife zur Berechnung der aktuellen Verschiebungen:

Steifigkeiten und

256

8 Nichtlinearitäten

>for Ianz from 1 while v_norm > epsilon do; > u_alt[1]:=u[1]: u_alt[2]:=u[2]: u_alt[3]:=u[3]: Berechnung der aktuellen Steifigkeiten: > k[10]:=k[a]+alpha*k[a]*u[1]^p: > k[21]:=k[b]+beta*k[b]*(u[2]-u[1])^q: > k[32]:=k[c]+theta*k[c]*(u[3]-u[2])^r: Ermittlung der aktuellen Verschiebungen mit Hilfe der Fixpunktiteration (8.54a,b,c): > u[1]:=(R[1]+R[2]+R[3])/k[10]: > u[2]:=u[1]+(R[2]+R[3])/k[21]: > u[3]:=u[2]+R[3]/k[32]: Berechnung der aktuellen Vektor-Fehlernorm (8.55): > v_norm:=sqrt((u[1]-u_alt[1])^2. + (u[2]-u_alt[2])^2.+(u[3]-u_alt[3])^2.); > if (Ianz=1) then printf(`Ianz | u[1] | u[2] | u[3] | Fehler \n`) fi; Ausgabe der Verschiebungen nach jedem Iterationsschritt: > printf(` %d | %f |%f | %f | %10.8f%% \n`, Ianz, > u[1],u[2],u[3],v_norm*100.); >od: Ianz | u[1] | u[2] | u[3] | Fehler 1 | 1.373868 |3.107109 | 3.737988 | 392.18867830% 2 | 1.451624 |3.368830 | 4.003134 | 38.05871821% 3 | 1.443096 |3.334028 | 3.968227 | 5.00239180% 4 | 1.444011 |3.338541 | 3.972742 | 0.64493868% 5 | 1.443913 |3.337947 | 3.972148 | 0.08457711% 6 | 1.443923 |3.338026 | 3.972227 | 0.01119180% 7 | 1.443922 |3.338015 | 3.972217 | 0.00149293% 8 | 1.443922 |3.338017 | 3.972218 | 0.00020034% 9 | 1.443922 |3.338016 | 3.972218 | 0.00002690% Überprüfung der Ergebnisse durch Einsetzen in die Ausgangsgleichungen (8.47b): >g[1]:=subs(u[1]=u[1],u[2]=u[2],u[3]=u[3],g[1]); >g[2]:=subs(u[1]=u[1],u[2]=u[2],u[3]=u[3],g[2]); >g[3]:=subs(u[1]=u[1],u[2]=u[2],u[3]=u[3],g[3]); g1 := -0.1 10 -7 g2 := 0.7 10 -7 g3 := 0.

8.3 Nichtlineare diskrete Systeme

257

Steifigkeiten nach der letzten Iteration: >k[10]:=k[a]+alpha*k[a]*u[1]^p; >k[21]:=k[b]+beta*k[b]*(u[2]-u[1])^q; >k[32]:=k[c]+theta*k[c]*(u[3]-u[2])^r; k10 := 31.16511345 k21 := 18.47848992 k32 := 23.65178711 Darin sind jeweils die linearen Anteile von ka = 20, kb = 10 und kc = 20 enthalten. Die nichtlinearen Anteile sind demnach durch 11.165 in der ersten, 8.479 in der zweiten und 3.652 in der dritten Feder (Bild 8.3) gegeben. Ermittlung der LIPSCHITZ-Konstante L: Die Vektornorm (8.55) von {u}0 → {u}1 (nach dem zweiten Iterationsschritt) betrug: >N:=0.3805871821; N := .3805871821 Aus (8.36) mit epsilon = 1e-6 und i = 9 ergibt sich die LIPSCHITZ-Konstante zu: >eqn:=ln((1-L)*epsilon/N)=9*ln(L): L:=fsolve(eqn,L,0..1); L := .2328926467 > Die Ergebnisse im MAPLE-Audruck lassen erkennen, dass nach dem neunten Iterationsschritt (Ianz = 9) die genäherten Verschiebungen u1, u2, u3 die Ausgangsgleichungen (8.47b) „nahezu exakt“ erfüllen. Alternativ zu (8.54a,b,c) soll im Folgenden das „übliche“ Iterationsverfahren (8.42) diskutiert werden, das wegen (8.29) gemäß

{u}i +1 = {u}i − {[ K ]{u} − {R}}i

(i = 0,1,2,...)

(8.42*)

ausgedrückt werden kann und einer Fixpunktiteration entspricht. Die zugehörige Fixpunktgleichung lautet:

{ u} = { u} − { ψ}

mit

{ ψ}: = [ K]{ u} − { R} .

(8.56)

In (8.42*) bzw. (8.56) verschwindet das Residuum {ψ} gemäß (8.29), wenn der Fixpunkt erreicht ist. Wendet man die Fixpunktiteration (8.42*) auf das nichtlineare Problem in Bild 8.8 an, so erhält man aufgrund der Darstellung (8.47b) mit

{ ψ} ≡ {g} = {g1

g2

t

g 3 } die Iterationsvorschrift

258

8 Nichtlinearitäten

{ u} i +1 = { u} i − {g} i

(8.57)

bzw. alternativ zu (8.54a,b,c) den Algorithmus u1; i +1 = u1; i − g1; i

(8.57a)

u 2; i +1 = u 2; i − g 2; i

(i = 0,1,2,...) .

u 3; i +1 = u 3; i − g 3; i

(8.57b) (8.57c)

Dieser Algorithmus versagt im vorliegenden Beispiel (Bild 8.8), wenn man darin g1, g2, g3 gemäß (8.47b) einsetzt. Benutzt man jedoch die Fixpunktdarstellung (8.53a,b,c), die auch durch g1; i = u1; i − ( R1 + R 2 + R 3 ) k 10 ; i

(8.53a*)

g 2 ; i = u 2 ; i − u1; i − ( R 2 + R 3 ) k 21; i

(8.53b*)

g 3; i = u 3; i − u 2 ; i − R 3 k 32 ; i

(8.53c*)

ausgedrückt werden kann, und ergänzt (8.53b*) bzw. (8.53c*) jeweils auf der rechten Seite durch g1;i bzw. g2;i , so erhält man aus (8.57a,b,c) unmittelbar den Algorithmus (8.54a,b,c)! Schließlich führt auch folgender Weg zum Algorithmus (8.54a,b,c). Den Residuenvektor {ψ}≡{g} in (8.42*), (8.56) bzw. (8.57) überschiebe man von links mit der inversen Steifigkeitsmatrix [K]-1 :

{ u} i +1 = { u} i − [ K] i−1 {[ K]{ u} − { R}} i .

(8.58a)

Durch Ausmultiplizieren vereinfacht sich die Darstellung (8.58a) zu:

{ u} i +1 = [ K] i−1 { R} i

(i = 0,1,2, ...) .

(8.58b)

Zur Vermeidung der Inversenbildung [K]-1 wird (8.58b) mit [K] von links überschoben, woraus die Matrixgleichung

[ K] i { u} i +1 = { R} i

(i = 0,1,2, ...)

(8.59)

in Übereinstimmung mit (8.13b) bzw. (8.47a) entsteht. Im betrachteten Beispiel (Bild 8.8) kann die Inverse [K]-1 der Steifigkeitsmatrix [K] in (8.47a) , é k 10 + k 21 [ K] = êê − k 21 êë 0

− k 21

k 21 + k 32 − k 32

0 ù ú − k 32 ú , k 32 úû

(8.60)

leicht gebildet werden, so dass aus (8.58b) folgender Algorithmus gewonnen wird:

8.3 Nichtlineare diskrete Systeme

259

u1; i +1 = ( R1 + R 2 + R 3 ) k 10 ; i

{ u} i +1 = [ K] i−1 { R} i

Þ

u 2 ; i +1 = u1; i +1 + ( R 2 + R 3 ) k 21; i u 3 ; i +1 = u 2 ; i +1 + R 3 k 32 ; i

der mit (8.54a,b,c) übereinstimmt und im obigen MAPLE-Programm verwendet wurde. Zusammenfassende Bemerkungen: In der Fixpunktiteration (8.31) mit (8.41) stellt [Kt] die Tangentenmatrix (8.38) dar, die in der TAYLOR-Entwicklung (8.37) erscheint. Mithin kann (8.31) mit (8.41) als Fixpunktiteration des NEWTONRAPHSON-Verfahrens gedeutet werden. Im Gegensatz dazu ist die formal ähnliche Iteration (8.58a) eine Fixpunktiteration des direkten Verfahrens, dessen Algorithmus aus (8.42) bzw. (8.42*) oder aus (8.57) gewonnen wird, indem man das Residuum {ψ} in (8.56) bzw. in (8.42*) mit der inversen Steifigkeitsmatrix [K]-1 multipliziert. Zu beachten ist also folgender Unterschied: In (8.31) mit (8.41) ist [Kt]-1 die inverse Tangentenmatrix, während [K]-1 in (8.58a) die inverse Steifigkeitsmatrix darstellt! Zur Vermeidung der Inversenbildung wird (8.58b) mit [K] von links überschoben, woraus die Matrixgleichung (8.59) in Übereinstimmung mit (8.13b) bzw. (8.47a) entsteht. Falls die Inverse leicht ermittelt werden kann, führt auch (8.58b) zum Ziele, wie das Beispiel in Bild (8.8) mit dem Ergebnis (8.54a,b,c) gezeigt hat. b) NEWTON-RAPHSON-Verfahren

Das in Ziffer 8.1 allgemein diskutierte NEWTON-RAPHSON-Verfahren wird im Folgenden auf ein nichtlineares Federsystem (Bild 8.8) angewendet. Besitzt das System n Freiheitsgrade, so sind n nichtlineare Gleichungen (n ∈ ¥ , n ≥ 2) g1 ( u1 , u 2 ,..., u n ) = 0 ü ì g1 ü ï ïg ï g 2 ( u1 , u 2 ,..., u n ) = 0 ï ï 2ï g = ≡ { } ý í ý = { 0} M ïM ï ï ïîg n ïþ ï g n ( u1 , u 2 ,..., u n ) = 0 þ

(8.61a)

bzw. das nichtlineare System

{g} = [ K({ u} )]{ u} − { R} = { 0}

(8.61b)

zu lösen. Mit Hilfe einer TAYLOR-Entwicklung, die nach dem linearen Term abgebrochen wird, erhält man im Gegensatz zu (8.57) folgende Iterationsvorschrift:

260

8 Nichtlinearitäten

[

]

{ u} i +1 = { u} i − J({ u} i )

−1

{g} i

(i = 0,1,2,...) .

(8.62)

Darin ist

[ J] := [∂g j

∂u k

]

é ∂g1 ∂u1 L ∂g1 ∂u n ù ú ê ≡ê M M ú ê∂g n ∂u1 L ∂g n ∂u ú nû ë

(8.63)

die JACOBIsche Matrix. Das NEWTON-RAPHSON-Verfahren (8.62) kann als Fixpunktiteration (8.31) gedeutet werden. Die Iterationsvorschrift (8.62) kann auch gemäß

{u}i +1 = {u}i + {∆u}i +1

(i = 0,1,2,...)

(8.64)

mit −1

{∆u}i +1 = − éë J ({u}i )ùû {g}i

(8.65)

ausgedrückt werden. Damit man die Inverse der JACOBIschen Matrix nicht bilden muss, wird (8.65) mit [J] überschoben, so dass dann das lineare Gleichungssystem

[J({ u} i )]{ ∆u} i+1 = −{g} i

(i = 0,1,2,...)

(8.66)

zu lösen ist. Im nachstehenden MAPLE-Programm ist jedoch die Fixpunktiteration (8.62) implementiert mit {g} nach (8.47b) bzw. aus (8.53a,b,c). MAPLE-Programm zum NEWTON-RAPHSON-Verfahren (8.62)

8 8.3-2.mws

> >with(linalg): >Digits:=Digits+10; Digits := 20

>u:=vector(3): u_alt:=vector(3): R:=vector(3): g:=vector(3): >vars:=seq(u[i],i=1..3): Die reduzierte Steigkeitsmatrix in (8.47a) lautet: >K:=matrix([[k[10]+k[21], -k[21],0], [-k[21], k[21]+k[32], -k[32]], >[0,-k[32], k[32]]]); éêêk10 + k21 -k21 êêê ê k21 + k32 K := êê -k21 êêê êêê 0 -k32 ëêê êê Nichtlineares Gleichungssystem (8.47b): >g:=evalm( K &* u ):

0 ùúú úú -k32úúúúú úú k32 úúúûú úúú ú

8.3 Nichtlineare diskrete Systeme

261

>g[1]:=g[1]-R[1]; g[2]:=g[2]-R[2]; g[3]:=g[3]-R[3]; g1 := u1 k10 + u1 k21 − k21 u2 − R1 g2 := -u1 k21 + k21 u2 + u2 k32 − k32 u3 − R2 g3 := -u2 k32 + k32 u3 − R3 Die Federsteifigkeiten setzen sich additiv aus einem linearen und nichtlinearen Anteil gemäß (8.46 a,b,c) zusammen: >k[10]:=k[a]+alpha*k[a]*u[1]^p; k[21]:=k[b]+beta*k[b]*(u[2]-u[1])^q; >k[32]:=k[c]+theta*k[c]*(u[3]-u[2])^r;

k10 := ka + α ka u1

p

k21 := kb + β kb æè u2 − u1 öø

q

k32 := kc + θ kc æè u3 − u2 öø

r

Für die numerische Auswertung werden folgende Parameter gewählt. Federsteifigkeiten (8.49): >k[a]:=20: k[b]:= 10: k[c]:=20: alpha:=0.5: >beta:=0.7: theta:=0.2: p:=0.3: q:=0.3: r:=0.2: Äussere Belastungen (8.50): >R[1]:= 10: R[2]:=20: R[3]:=15: Vorbesetzung der Vektoren u_alt (Startwerte) und der Variablen v_norm (Vektornorm (8.55) als Abruchkriterium mit ε = 10 −6 ). Die Startwerte (8.51) erhält man aus dem linearen Gleichungssystem (8.48b). >u_alt:=vector(3, [9/4, 23/4, 13/2]);v_norm:=1; é 9 23 13 ùúú u_alt := êêêê ú êëêê 4 4 2 úúûúú úúú êê v_norm := 1 Besetzen der Kraft- Verschiebungsgleichungen (8.47b) mit numerischen Werten: >g:=evalm( K &* u ) : g[1]:=g[1]-R[1]: g[2]:=g[2]-R[2]: g[3]:=g[3]-R[3]: Berechnung der JACOBIschen Matrix (8.63): >J:=jacobian(g,[vars]): >epsilon:=1e-6: Iteration nach NEWTON-RAPHSON gemäß (8.62): >for Ianz from 1 while v_norm > epsilon do; > e_g:=z -> evalf(subs(u[1]=u_alt[1],u[2]=u_alt[2],u[3]=u_alt[3],z));

262

8 Nichtlinearitäten

> J_v:=map(e_g,J): g_v:=map(e_g,g): > u_new:=evalm(u_alt-inverse(J_v)&*g_v);u_new[1];u_alt[1]; > v_norm:=sqrt((u_new[1]-u_alt[1])^2. + (u_new[2]-u_alt[2])^2. > +(u_new[3]-u_alt[3])^2.); > if (Ianz=1) then printf(` Ianz | u[1] | u[2] | u[3] | Fehler \n`) fi; Ausgabe der Verschiebungen nach jedem Iterationsschritt: > printf(` %d | %f | %f | %f | %10.8f%%\n`, > Ianz,u_new[1],u_new[2],u_new[3],v_norm*100.); > u_alt[1]:=u_new[1];u_alt[2]:=u_new[2];u_alt[3]:=u_new[3]; >od: Ianz | u[1] | u[2] | u[3] | Fehler 1 | 1.465510 | 3.431114 | 4.065661 | 345.23416526% 2 | 1.443942 | 3.338244 | 3.972446 | 13.33383681% 3 | 1.443922 | 3.338016 | 3.972218 | 0.03225660% 4 | 1.443922 | 3.338016 | 3.972218 | 0.00000026% Zur Kontrolle werden die Ergebnisse in die Ausgangsgleichungen (8.47b) eingesetzt: >g[1]:=subs(u[1]=u_alt[1],u[2]=u_alt[2],u[3]=u_alt[3],g[1]); >g[2]:=subs(u[1]=u_alt[1],u[2]=u_alt[2],u[3]=u_alt[3],g[2]); >g[3]:=subs(u[1]=u_alt[1],u[2]=u_alt[2],u[3]=u_alt[3],g[3]); g1 := -0.3 10 -17 g2 := 0.4 10 -17 g3 := -0.3 10 -17

Steifigkeiten nach der letzten Iteration: >k[10]:=k[a]+alpha*k[a]*u_alt[1]^p; >k[21]:=k[b]+beta*k[b]*(u_alt[2]-u_alt[1])^q; >k[32]:=k[c]+theta*k[c]*(u_alt[3]-u_alt[2])^r;

k10 := 31.165113453022561762 k21 := 18.478489953168978854 k32 := 23.651787106438561317 Darin sind jeweils die linearen Anteile von ka = 20, kb = 10 und kc = 20 enthalten. Die nichtlinearen Anteile sind demnach durch 11.165 in der ersten, 8.479 in der zweiten und 3.652 in der dritten Feder (Bild 8.3) gegeben. Ermittlung der LIPSCHITZ-Konstante L:

8.3 Nichtlineare diskrete Systeme

263

Die Vektornorm (8.55) von {u}0 → {u}1 (nach dem zweiten Iterationsschritt) betrug: >N:=0.1333383693; N := .1333383693 Aus (8.36) mit epsilon = 1e-6 und i = 4 ergibt sich die LIPSCHITZ-Konstante zu: >eqn:=ln((1-L)*epsilon/N)=4*ln(L): L:=fsolve(eqn,L,0..1); L := .051642145445245005600 > Die Ergebnisse im MAPLE-Ausdruck zeigen, dass man bereits nach dem vierten Iterationsschritt (Ianz = 4) die gewünschte Genauigkeit erziehlt. Bei der direkten Iteration waren hingegen (Ianz = 9) Iterationsschritte erforderlich! c) Modifiziertes NEWTON-RAPHSON-Verfahren Beim modifizierten NEWTON-RAPHSON-Verfahren (8.20) wird in jedem Iterationsschritt mit der Anfangstangentenmatrix bzw. mit der konstanten JACOBI-Matrix [J({u}0)] gerechnet, so dass sich (8.66) zu

[J({ u} )]{ ∆u} 0

i +1

= −{g} i

(i = 0,1,2,...)

(8.67)

vereinfacht. Dadurch wird jedoch die Konvergenzgeschwindigkeit erniedrigt, wie in Ziffer 8.1 ausführlich eläutert. Die konstante Jacobi-Matrix erhält man aus (8.48b) bzw. aus der zu (8.53a,b,c) analogen Fixpunktdarstellung G1 : = U 1 − ( R 1 + R 2 + R 3 ) k a ≡ 0

(8.68a)

G 2 : = U 2 − U1 − ( R 2 + R 3 ) k b ≡ 0

(8.68b)

G 3 := U3 − U 2 − R 3 k c ≡ 0

(8.68c)

zu:

[J({ u} )] 0

é 1 0 0ù = êê−1 1 0 úú . êë 0 −1 1 úû

(8.69)

Ihre Determinante ist EINS! Zur numerischen Auswertung kann das MAPLE-Programm des NEWTONRAPHSON-Verfahrens benutzt werden, in dem lediglich die veränderliche JACOBIMatrix [J({u}i)] durch die konstante Matrix (8.69) ausgetauscht wird. MAPLE-Programm zum modifzierten NEWTON-RAPHSON-Verfahren (8.67)

> 8 8.3-3.mws >with(linalg): >m:=3: g:=vector(m): G:=vector(m): u_alt:=vector(m): u_new:=vector(m):

264

8 Nichtlinearitäten

>u:=vector(m):vars:=seq(u[i],i=1..m): U:=vector(m): uStart:=seq(U[i],i=1..m): Federsteifigkeiten gemäß (8.46a,b,c): >k[10]:=k[a]+alpha*k[a]*u[1]^p; >k[21]:=k[b]+beta*k[b]*(u[2]-u[1])^q; >k[32]:=k[c]+theta*k[c]*(u[3]-u[2])^r; k10 := ka + α ka u1

p

k21 := kb + β kb æè u2 − u1 öø

q

k32 := kc + θ kc æè u3 − u2 öø

r

Fixpunktdarstellung der Kraft-Verschiebungs-Gleichungen (8.53a,b,c): >g[1]:=u[1]-(R[1]+R[2]+R[3])/k[10]; g[2]:=u[2]-u[1]-(R[2]+R[3])/k[21]; >g[3]:=u[3]-u[2]-R[3]/k[32];

g1 := u1 −

g2 := u2 − u1 −

g3 := u3 − u2 −

R 1 + R2 + R 3 k a + α k a u1

p

R2 + R3 kb + β kb æè u2 − u1 öø

q

R3 kc + θ kc æè u3 − u2 öø

r

Federzahlen (8.49): >k[a]:=20: k[b]:= 10: k[c]:=20: Äußere Belastungen (8.50): >R[1]:= 10: R[2]:=20: R[3]:=15: Kraft-Verschiebungs-Gleichungen ohne nichtlinearen Anteil [ Startgleichungen (8.68a,b,c) mit den Parametern (8.49 / 8.50)]: >alpha:=0.0:beta:=0.0: theta:=0.0: p:=0.0: q:=0.0: r:=0.0: >G[1]:=U[1]-(R[1]+R[2]+R[3])/k[10]; G[2]:=U[2]-U[1]-(R[2]+R[3])/k[21]; >G[3]:=U[3]-U[2]-R[3]/k[32]; G1 := U 1 −

9 4

G2 := U2 − U1 −

7 2

8.3 Nichtlineare diskrete Systeme

G3 := U3 − U2 −

265

3 4

Die JACOBIsche Matrix (8.69) für die Startgleichungen (8.68a,b,c): >J:=jacobian(G,[uStart]); >J_inv:=inverse(J);

éêê 1 0 0ùúú ê ú J := êêêê-1 1 0úúúú úú êêê ëêêê 0 -1 1úûúúú úú êê éêê 1 0 0ùúú ê ú J_inv := êêêê 1 1 0úúúú êê ú êêëê 1 1 1úúúûú úúú êê ê Die Parameter für die nichtlinearen Anteile der Kraft-Verschiebungs-Gleichungen vorbesetzten: >alpha:=0.5:beta:=0.7: theta:=0.2: p:=0.3: q:=0.3: r:=0.2: Fixpunktgleichungen mit den Parametern aktualisieren: >g[1]:=u[1]-(R[1]+R[2]+R[3])/k[10]: g[2]:=u[2]-u[1]-(R[2]+R[3])/k[21]: >g[3]:=u[3]-u[2]-R[3]/k[32]: Die Startwerte für u: >u_alt:=vector(m, [9/4, 23/4, 13/2]);v_norm:=1:

é9 u_alt := êêêê êëêê 4 êê

23 13 ùúú ú 4 2 úúûúú úúú

>epsilon:=1e-6: Iteration nach dem modifizierten NEWTON-RAPHSON Verfahren (8.67): >for Ianz from 1 while v_norm > epsilon do; > e_g:=z -> evalf(subs(u[1]=u_alt[1],u[2]=u_alt[2],u[3]=u_alt[3],z)); > g_v:=map(e_g,g); > u_new:=evalm(u_alt-J_inv&*g_v); > v_norm:=sqrt((u_new[1]-u_alt[1])^2. + (u_new[2]-u_alt[2])^2.+(u_new[3]> u_alt[3])^2.); > if (Ianz=1) then printf(` Ianz | u[1] | u[2] | u[3] | Fehler\n `) fi; Ausgabe der Verschiebungen nach jedem Iterationsschritt: > printf(` %d | %f | %f | %f | %10.8f%%\n`, Ianz, > u_new[1],u_new[2],u_new[3],v_norm*100.); > u_alt[1]:=u_new[1];u_alt[2]:=u_new[2];u_alt[3]:=u_new[3]; >od:

266

8 Nichtlinearitäten

Ianz | u[1] | u[2] | u[3] | Fehler 1 | 1.373868 | 3.107109 | 3.737988 | 392.18867830% 2 | 1.451624 | 3.368830 | 4.003134 | 38.05871812% 3 | 1.443096 | 3.334028 | 3.968227 | 5.00239156% 4 | 1.444011 | 3.338541 | 3.972742 | 0.64493853% 5 | 1.443913 | 3.337947 | 3.972148 | 0.08457711% 6 | 1.443923 | 3.338026 | 3.972227 | 0.01119180% 7 | 1.443922 | 3.338015 | 3.972217 | 0.00149293% 8 | 1.443922 | 3.338017 | 3.972218 | 0.00020034% 9 | 1.443922 | 3.338016 | 3.972218 | 0.00002690% Zur Kontrolle werden die Ergebnisse in die Ausgangsgleichungen (8.47b) eingesetzt: >g[1]:=subs(u[1]=u_alt[1],u[2]=u_alt[2],u[3]=u_alt[3],g[1]); >g[2]:=subs(u[1]=u_alt[1],u[2]=u_alt[2],u[3]=u_alt[3],g[2]); >g[3]:=subs(u[1]=u_alt[1],u[2]=u_alt[2],u[3]=u_alt[3],g[3]);

g1 := -.2 10 -8 g2 := -.24 10 -7 g3 := -.2 10 -9 Steifigkeiten nach der letzten Iteration: >k[10]:=k[a]+alpha*k[a]*u_alt[1]^p; >k[21]:=k[b]+beta*k[b]*(u_alt[2]-u_alt[1])^q; >k[32]:=k[c]+theta*k[c]*(u_alt[3]-u_alt[2])^r; k10 := 31.16511345 k21 := 18.47848992 k32 := 23.65178711 Darin sind jeweils die linearen Anteile von ka = 20, kb = 10 und kc = 20 enthalten. Die nichtlinearen Anteile sind demnach durch 11.165 in der ersten, 8.479 in der zweiten und 3.652 in der dritten Feder (Bild 8.3) gegeben. Ermittlung der LIPSCHITZ-Konstante L : Die Vektornorm (8.55) von {u}0 → {u}1 (nach dem zweiten Iterationsschritt) betrug: >N:=0.3805871812; N := .3805871812 Aus (8.36) mit epsilon = 1e-6 und i = 9 ergibt sich die LIPSCHITZ-Konstante zu: >eqn:=ln((1-L)*epsilon/N)=9*ln(L): L:=fsolve(eqn,L,0..1); L := .2328926468

8.4 Geometrische Nichtlinearitäten

267

Wie zu erwarten, erfordert das modifizierte Verfahren wesentlich mehr Iterationsschritte als das klassische NEWTON-RAPHSON-Verfahren. Anmerkung: Aufgrund der JACOBIschen Matrix (8.69) geht der modifizierte Algorithmus (8.67) in den Algorithmus (8.54a,b,c) der direkten Iteration über!

8.4 Geometrische Nichtlinearitäten Zur Erfassung geometrischer Nichtlinearitäten ist der klassische Verzerrungstensor

(

εij = (u i, j + u j,i ) / 2 ≡ ∂u i ∂x j + ∂u j ∂x i

)

2

(6.31)

um einen nichtlinearen Term zu erweitern [BETTEN, 2001]. Beispielsweise kann man den LAGRANGEschen Verzerrungstensor

λ ij =

∂u j ∂u k ∂u k ö 1 æ ∂u i ÷ ç + + ç 2 è ∂X j ∂X i ∂X i ∂X j ÷ø

(8.70)

einführen, der auch in folgenden Beispielen verwendet werden soll. In (8.70) sind die Xi körperbezogene Koordinaten, d.h. Koordinaten, die sich auf eine Anfangsbzw. Referenzkonfiguration beziehen. Raumbezogene Koordinaten werden mit xi = (x,y,z) bezeichnet. Unter Beachtung der EINSTEINschen Summationsvereinbarung und mit X1 ≡ X, X2 ≡ Y, X3 ≡ Z; λ11 ≡ λX, ...,λ23 ≡ λYZ, u1 ≡ u, u2 ≡ v, u3 ≡ w lauten die Koordinaten des LAGRANGEschen Verzerrungstensors (8.70) folgendermaßen:

λX = M

2λ XZ =

2 2 2 ∂u 1 éæ ∂u ö æ ∂v ö æ ∂w ö ù + êç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ú ∂X 2 êè ∂X ø è ∂X ø è ∂X ø ú ë û

(8.70a)

∂w ∂u æ ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w ö + +ç + + ÷ . ∂X ∂Z è ∂X ∂Z ∂X ∂Z ∂X ∂Z ø

(8.70f)

(M)

Als einfaches Beispiel sei ein Stabelement mit zwei Knoten betrachtet (Bild 8.9), das im Knoten  gelenkig gelagert ist und im Knoten ‚ durch die Kraftkomponenten Rx und Ry belastet werde. Die Verschiebungen sind linear verteilt: u = u2 X L , v = v2 X L .

(8.71a,b)

Der Knotenpunkt ‚ erfährt die Verschiebungen (u2,v2), z.B. für α = π/2 die Verschiebungen (-L,L) bei reiner Rotation. Für α = 0 entspricht u2 ≠ 0 einer reinen Streckung des Stabelementes.

268

8 Nichtlinearitäten

Bild 8.9 Finites Stabelement im unbelasteten und belasteten Zustand

Bei linear-elastischem Verhalten des Stabelementes mit einer Dehnsteifigkeit AE ist das Gesamtpotential (6.3) gegeben durch L

1 Π = AE λ2X dX − R x u 2 − R y v 2 . 2

ò

(8.72)

0

Darin ist die axiale Dehnung λX nach (8.70a) mit (8.71a,b) gemäß

[

2

λ X = u 2 L + ( u 2 L) + ( v 2 L)

2

]2

(8.73)

einzusetzen. Die Forderung (6.3) für den Gleichgewichtszustand führt auf die Zwischenergebnisse:

∂Π ∂u 2 =! 0

Þ

L Rx , AE L v2λ X = Ry . AE

( L + u2 ) λX =

! ∂Π ∂ v 2 = 0 Þ

(8.74a) (8.74b)

Mit (8.73) erhält man schließlich das Ergebnis in Matrizenschreibweise:

é é1 0 ù 1 é3u 2 v2 ù 1 é u 22 u 2 v2 ù ù ìu 2 ü L ì R x ü úú í ý = í ý . (8.75) êê ê ú+ 2 ê ú+ ë ë0 0 û 2L ë v 2 u 2 û 2L êë u 2 v 2 v22 úû úû î v 2 þ AE î R y þ Anmerkungen: Betrachtet man eine Starrkörperbewegung (l = L ) , d.h. eine

reine Drehung des Stabelementes um den Knotenpunkt , so gilt: u 2 = − L(1 − cos α ),

v 2 = L sin α .

(8.76a,b)

Damit verschwinden die Dehnung (8.73) und die Kraftkomponenten (8.74a,b). Die Dehnung (8.73), die unter Berücksichtigung von (8.71a,b) aus der Koordinate (8.70a) des LAGRANGEschen Verzerrungstensors (8.70) gewonnen wurde, kann als relative Streckung

[

2

]

λ: = ( ds dS) − 1 2

(8.77a)

8.4 Geometrische Nichtlinearitäten

269

gedeutet werden [BETTEN, 2001] . Darin sind ds ein Linienelement in der aktuellen Konfiguration und dS ein Linienelement in der Referenzkonfiguration. Wendet man die Definition (8.77a) auf das in Bild 8.9 skizzierte Stabelement an, so findet man die Beziehung

[

]

2

λ = (l L) − 1 2 ,

(8.77b)

2 aus der man wegen l 2 = ( u 2 + L ) + v 22 unmittelbar die Dehnung (8.73) erhält.

Die relative Streckung (8.77a) wird in Ü3.2.5, Band 1, benutzt, um den Einfluss der geometrischen Nichtlinearität auf die Federsteifigkeit eines Zugstabes zu diskutieren. Im Gegensatz zu (8.77a,b) ist die lineare Dehnung (Nenndehnung) eines Linienelementes gemäß

ε: = ( ds − dS) dS

bzw.

ε = l L −1

(8.78a,b)

definiert. Der Vergleich von (8.77a,b) mit (8.78a,b) führt auf die Beziehungen

λ = (1 + ε 2)ε bzw.

ε = 1 + 2λ − 1 .

(8.79a,b)

Bei kleinen Verzerrungen stimmt die relative Streckung (8.77a,b) näherungsweise mit der Nenndehnung (8.78a,b) überein. Die relative Streckung (8.77a.b) entspricht einer LAGRANGEschen Betrachtungsweise, da die Bezugsgrößen (dS bzw. L) der Referenzkonfiguration (Bild 8.9, links) entnommen sind. Definiert man alternativ die relative Streckung in EULERscher Darstellung [BETTEN, 2001] gemäß

[

η: = 1 − (dS ds)

2

]2

,

(8.80a)

so erhält man analog (8.77b):

[

η = 1 − ( L l)

2

]2

.

(8.80b)

Darin sind im Gegensatz zu (8.77a,b) die Bezugsgrößen (ds bzw. l ) der aktuellen Konfiguration (Bild 8.9, rechts) entnommen. Die Vergleiche von (8.77a,b) und (8.78a,b) mit (8.80a,b) führen auf die Zusammenhänge

λ = η (1 − 2 η)

(8.81)

ε =1

(8.82)

und 1 + 2η − 1 ,

die bei kleinen Verzerrungen ineinander übergehen (λ ≈ η ≈ ε). Analog zur Matrizengleichung (8.75) kann eine inkrementelle Form folgendermaßen gefunden werden. Wegen Rx = Rx(u2,v2) und Ry = Ry(u2,v2) erhält man einen Zusammenhang zwischen den totalen Differentialen in Matrixform zu:

270

8 Nichtlinearitäten

é ∂R x ∂u 2 ê∂R ∂u 2 ë y

∂R x ∂v 2 ù ìdu 2 ü ìdR x ü = . ∂R y ∂v 2 úû íîdv 2 ýþ íîdR y ýþ

(8.83)

Darin ermittelt man die partiellen Ableitungen aus (8.74a,b) mit (8.73). Damit nimmt (8.83) die Form

ìdu ü

ìdR ü

î

î

[[ K] + [ P] + [Q]]ídv 2 ý = ídR xy ý 2þ

(8.84)

þ

an. Die Gesamtmatrix setzt sich additiv aus folgenden Matrizen zusammen: AE é3u 2 ê L2 ë v 2

[ K] ≡

AE é1 0 ù , L êë0 0 úû

[ P] ≡

[Q ] ≡

AE é3u 22 + v 22 ê 2 L3 êë 2 u 2 v 2

2u 2 v 2 ù ú . u 22 + 3v 22 úû

v2 ù , u 2 úû

(8.85a,b)

(8.85c)

Die Matrixgleichung (8.84) verknüpft die Inkremente der Knotenkräfte mit den Inkrementen der Knotenverschiebungen, die man auch als Knotenwerte einer Referenzkonfiguration (α ≠ 0) betrachten kann. Für genügend kleine Verschiebungen u2 und v2 kann die Matrix (8.85c) näherungsweise vernachlässigt werden. Für (α = 0) erhält man unter der Annahme u2 << L eine weitere Vereinfachung: é AE é1 0 ù F é3 0ù ù ìdu 2 ü ý= ê ê ú+ ê úú í ë L ë0 0 û L ë0 0û û îdv 2 þ

ìdR x ü ídR ý î yþ

(8.86)

mit F ≡ (AE/L)u2 zur Abkürzung. Anmerkung: Die inkrementelle Form (8.84) bzw. ihre genannten Vereinfachungen sind grundlegend zur Untersuchung von Stabilitätsproblemen (bifurcation buckling). Beim Knicken und Beulen verschwinden die rechten Seiten z.B. in (8.84) und (8.86), während die Inkremente der Verschiebungen von null verschieden sind. Auf Stabilitätsprobleme kann aus Platzgründen nicht näher eingegangen werden. In den Übungen 6.4.1 und 6.4.2 werden nur ein paar klassische Beispiele diskutiert. Die Stabilität elastischer Strukturen wird ausführlich von GROSS et al. (2002) behandelt. Probleme der „plastischen Instabilität“ (plastic buckling, collapse, limit analysis) diskutieren ZYCZKOWSKI (1981), LUBLINER (1990), BETTEN (1975) oder BETTEN/SHIN (1997). Auf Stabilitätsprobleme der Kriechmechanik (creep buckling) gehen ODQUIST (1966), ODQUIST/HULT (1962), ZYCZKOWKI (1990/1991), BETTEN/BUTTERS (1990) ein, um nur einige Autoren zu erwähnen. In den genannten Büchern und Aufsätzen findet man eine Vielzahl weiterer Literaturhinweise.

8.4 Geometrische Nichtlinearitäten

271

Löst man das finite Stabelement in Bild 8.9 von seiner Fessel im Knotenpunkt , so erhält man mit den Bezeichnungen nach Bild 8.10 folgende FEDarstellung der geometrischen Nichtlinearitäten.

Bild 8.10 Finites Stabelement ; Nomenklatur

Die Länge l des Stabes (aktuelle Konfiguration) erhält man aus der Beziehung 2

l 2 = ( L + u 2 − u1 ) + ( v 2 − v 1 )

2

.

(8.87)

Damit kann aus (8.77b) die Dehnung λ bestimmt werden: u − u1 1 λ= 2 + L 2 L2

[( u

2

2

− u1 ) + ( v 2 − v 1 )

2

],

(8.88)

die auch bereits in Ü3.2.6, Band 1, auf einem anderen Weg hergeleitet wurde. Das Gesamtpotential (8.72) ist um die Terme –R1xu1 und –R1yv1 zu erweitern. In Ergänzung zu (8.74a,b) sind die Forderungen ∂Π ∂u 1 = 0 und ∂Π ∂v 1 = 0 zu stellen. Somit erhält man vier nichtlineare Gleichungen, die man in der Matrixgleichung 0 −λ 0 ù ì u1 ü ì R1x ü éλ ï ï ê λ 0 −λ ú ïï v1 ïï ï R1y ï AE 0 ê úí (8.89) ý=í ý 0 ú ï L + u 2 ï ïR 2x ï λ L ê −λ 0 ê 0 −λ 0 λ úû îï v 2 þï ïî R 2y ïþ ë zusammenfassen kann. Zu beachten ist, dass λ in der Steifigkeitsmatrix gemäß (8.88) von den Koordinaten des Lösungsvektors abhängig ist. Die Steifigkeitsmatrix in (8.89) ist symmetrisch und darüber hinaus singulär. Legt man den Knotenpunkt  fest (u1 = v1 = 0) wie in Bild 8.9, so erhält man aus (8.89) die reduzierte Form AE éλ 0 ù ìL + u 2 ü ìR 2 x ü ý í ý=í L êë 0 λ úû î v 2 þ îR 2 y þ

,

(8.90)

die wegen λ = λX gemäß (8.73)/(8.88) auf die Form (8.75) gebracht werden kann.

272

8 Nichtlinearitäten

8.5 Inelastisches Verhalten anisotroper Werkstoffe Als inelastische Verformungen zeigen Metalle bei höheren Temperaturen die Phänomene des Kriechens und der Plastizität. Zur einheitlichen Beschreibung dieser beiden Phänomene führt man ein viskoplastisches Modell ein. In den Arbeiten von BETTEN/SHIN (1990/91/92) wird ein modifiziertes viskoplastisches Modell der bekannten Ansätze von PERZYNA (1966) vorgeschlagen, das hinreichend genau das reale Werkstoffverhalten bei höheren Temperaturen und unter mehraxialer Beanspruchung beschreiben kann. Mit diesem modifizierten Modell gelingt es, Anfangs-/Randwertaufgaben des viskoplastischen Fließens ohne große Schwierigkeiten zu lösen. Dabei werden u.a die tensorielle Nichtlinearität, die geometrische Nichtlinearität und die Anisotropie des Werkstoffs berücksichtigt, wodurch erst zufriedenstellende Ergebnisse erzielt werden [BETTEN, 2002]. Von BINGHAM (1922) stammt das erste viskoplastische Stoffgesetz für die einachsige Scherung. Danach wurde ein mehraxiales Stoffgesetz von HOHENEMSER und PRAGER (1932) angegeben, dessen spezielle Form sich aus dem experimentell ermittelten Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung. (bzw. Dehnungsgeschwindigkeit) bei einachsiger Scherung ergibt. Darauf aufbauend und unter Berücksichtigung der DRUCKERschen Kriterien für stabiles Werkstoffverhalten (1959) hat PERZYNA (1966) ein verallgemeinertes elasto-viskoplastisches Stoffgesetz für den isotropen Zustand formuliert. Zur Beschreibung des inelastischen Verhaltens anisotroper Werkstoffe wird im Folgenden die Finite-Elemente-Methode in LAGRANGEschen Koordinaten formuliert und das Prinzip der virtuellen Arbeit (Ziffer 6.2) zugrunde gelegt, das der schwachen Form der Gleichgewichtsbedingungen entspricht. Wie in Ziffer 6.2 wird auch im Folgenden der Vorteil der Indexschreibweise für Tensoren [BETTEN, 1987] ausgenutzt. Aufgrund der Zeitabhängigkeit erscheint in viskoplastischen Modellen anstelle eines Verzerrungstensors ein Verzerungsgeschwindigkeitstensor. Die materielle n Zeitableitung λ& n ≡ dλ dt des LAGRANGEschen Verzerrungstensors λn zur ij

(

ij

)

ij

Zeit t = tn besteht aus einem elastischen und viskoplastischen Anteil:

λ& nij = e λ& nij + vp λ& nij ,

(8.91)

wobei ein rechter oberer Index n den Zeitpunkt t = tn andeutet und zur sukzessiven Darstellung des Lösungsalgorithmus verwendet wird. Die Koordinaten λij des LAGRANGEschen Verzerrungstensors können gemäß (8.70) aus den Koordinaten ui des Verschiebungsvektors u gewonnen werden.

8.5 Inelastisches Verhalten anisotroper Werkstoffe

273

Durch den Deformationsgradienten Fij := ∂ x i ∂ X j erhält man den Zusam-

menhang zwischen der materiellen Zeitableitung (8.91) des LAGRANGEschen Verzerrungstensors (8.70) und dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor

(

d ij := ∂ v in ∂ x nj + ∂ v nj ∂ x in

)2

(8.92)

gemäß n n n λ& nij = Fpi Fqj d pq .

(8.93)

In (8.92) sind vi, i = 1,2,3, die Koordinaten des Geschwindigkeitsvektors v. Im Gegensatz zur materiellen Zeitableitung ε& ij des klassischen Verzerrungstensors (6.31) gelten die Beziehungen (8.92) und (8.93) uneingeschränkt auch bei großen Verzerrungen und berücksichtigen somit geometrische Nichtlinearitäten. Darüber hinaus wird das Prinzip der materiellen Objektivität erfüllt. So ist die materielle Zeitableitung des LAGRANGEschen Verzerrungstensors ein objektiver Tensor, d.h., sie bleibt unverändert gegenüber einer überlagerten Starrkörperbewegung, da sie körperbezogen ist. Hingegen drückt sich die materielle Objektivität bei raumbezogenen Größen dadurch aus, dass sich ihre Koordinaten gemäß dem Transformationsgesetz eines Tensors ändern [BETTEN, 2001]. Da die materielle Zeitableitung des LAGRANGEschen Verzerrungstensors und der zweite PIOLA-KIRCHHOFF-Spannungsgeschwindigkeitstensors T& ijn konjugierte Variable sind [BETTEN, 2001], lasen sich die Spannungsgeschwindigkeiten durch

T& ijn = D ijkl e λ& nkl

(8.94a)

bzw. die Spannungsinkremente für einen Zeitschritt durch ∆Tijn = D ijkl ∆ e λnkl

(8.94b)

ausdrücken, wobei D ijkl als linearer Operator (bzw. als Tensor vierter Stufe) zu deuten ist, der eine lineare Abbildung zwischen Spannungen und elastischen Verzerrungen vermittelt. Dabei stellt sich die Frage, welcher Zeitschritt zur numerischen Zeitintegration angemessen ist. Hierzu sind die Kriterien Stabilität und Genauigkeit maßgebend. Mit dem Rekursionsschema vp n +1 vp n λ ij = λ ij

[

+ (1 − θ)

vp & n λ ij

+θ

vp n +1 λ ij

] ∆t

n

(8.95)

stehen über dem Parameter θ = < 0,1 > unterschiedliche Differenzenschemata zur Zeitintegration zur Verfügung, wobei ∆tn = tn+1 – tn bedeutet. In der Beziehung (8.95) wird der Parameter θ so gewählt, dass Stabilität und Genauigkeit gewährleistet werden können.

274

8 Nichtlinearitäten

Für θ = 0 ergibt sich das explizites EULERsche Vorwärtsdifferenzenverfahren und für θ > 0 ein implizites Verfahren, weil die unbekannten viskoplastischen Verzerrungsgeschwindigkeiten vp λ& nij+1 in die Lösung eingehen. Durch die Wahl von θ = 1 erhält man das implizite EULERsche Rückwärtsdifferenzenverfahren und mit θ = 1/2 das implizite Zentraldiffernzenverfahren (HEUN, CRANC-NICOLSON). Die verschiedenen Zeitintegrationsverfahren werden beispielsweise von ZIENKIEWICZ (1984), BATHE(1986, 1990, 2001) oder SHIN (1990) ausführlich diskutiert. Die viskoplastischen Verzerrungsgeschwindigkeiten sind abhängig vom zweiten PIOLA-KIRCHHOFFschen-Spannungstensor Tij. Sie können zum Zeitpunkt t = tn+1 durch eine TAYLOR-Entwicklung unter Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung folgendermaßen ausgedrückt werden: vp & n +1 vp & n λ ij = λ ij

n n + H ijk l ∆Tkl .

(8.96)

Darin wird n vp & n n H ijk l ≡ ∂ λ ij ∂Tkl

(8.97)

als Pseudo-Viskoplastizitätstensor bezeichnet und von SHIN (1990) in einigen Beispielen bestimmt. Durch Einsetzen von (8.96) in (8.95) erhält man die viskoplastischen Verzerrungsinkremente zu: n n ∆vp λnij = ∆t n vp λ& nij + C ijk l Tkl .

(8.98)

n C nijkl ≡ ∆t n θ H ijk l

(8.99)

Darin ist

zur Abkürzung eingeführt. Unter Verwendung von

∆λnij = ∆e λnij + ∆ vp λnij

(8.100)

analog (8.91) lassen sich die Spannungsinkremente aus (8.94b) und (8.98) folgendermaßen ausdrücken:

(

)

$ n ∆λn − ∆t vp λ& n , ∆Tijn = D ijkl kl n kl

(8.101)

wobei als Abkürzung )n ( −1) n D ijk l ≡ D ijkl + C ijkl

[

]

( −1)

(8.102)

verwendet wird. Darin bedeutet (-1) die Inversion tensorieller Größen. Wenn für die Darstellung des Lösungsalgorithmus die Spannungen, Verzerrungen und Ver-

8.5 Inelastisches Verhalten anisotroper Werkstoffe

275

zerrungsgeschwindigkeiten in Spaltenmatrizen aufgelistet werden, kann (8.101) in Matrizenschreibweise wie die üblichen Finite-Elemente-Formulierungen gemäß nü ) nì n = D í{ ∆λ} − ∆t n vp λ& ý (8.103) þ î ) ausgedrückt werden, wobei [ D] n die elasto-viskoplastische Matrix darstellt. Für assoziiertes viskoplastisches Fließen ist diese Matrix symmetrisch. Andernfalls sind Gleichungssysteme mit nicht symmetrischer Koeffizientenmatrix zu lösen. Die Finite-Elemente-Gleichungen ergeben sich durch Anwendung des Prinzips der virtuellen Arbeit

{ }

[ ]

{ ∆T} n

ò Tji δλ ijdV = ò n

V

n

o

o

o n p i δu i dSo

o

S

+

ò

V

o n n fi δu i dV o

(8.104)

o

auf jede der Knotenverschiebungen. Darin sind u in Verschiebungen, S o und V o die Fläche bzw. das Volumen zum Zeitpunkt t = 0, o p in dSo bzw. o f in dV o die auf die Anfangskonfiguration bezogene Oberflächenkraft bzw. Volumenkraft. Die Verschiebungen u in zum Zeitpunkt t = tn im Innern eines finiten Elementes n $ } n gemäß werden durch die Knotenverschiebungen ( u α i ) bzw. { u

u in =

P

å N α ( u αi )

n

bzw.

α =1

{ u} n = [ N]{ u)} n

(8.105a,b)

ausgedrückt. Darin sind P die Anzahl der Elementknotenpunkte und Nα die Verschiebungsansatzfunktionen (Formfunktionen, shape functions) in der Matrix

[ N] ≡ [ N 1[1]

N 2 [1] K N P [1]] .

(8.106a)

Darin ist [1] die (3×3) -Einsmatrix, so dass (8.106a) auch in der Form 0 é N1 0 ê N 0 N 0 ≡ [ ] ê 1 0 N1 êë 0

N2 0 0

0 N2 0

0 0 N2

K K K

NP 0 0

0 NP 0

0 ù 0 ú ú N P úû

(8.106b)

ausgedrückt werden kann. Diese Matrix ist eine Verallgemeinerung der Matrix in (4.21**) auf den dreidimensionalen Fall mit den Verschiebungen ui = (u1 ≡ u, u 2 ≡ v, u3 ≡ w). Die Knotennummerierung wird in (8.105a) im Gegensatz zu (4.21**) durch einen oberen Index α = 1,2,...,P gemäß u αi angedeutet. Im Folgenden werden zu jedem Zeitpunkt t = tn dieselben Ansatzfunktionen für die Ortsfunktionen Xi = (X1 ≡ X, X2 = Y, X3 = Z) und die Verschiebungen

276

8 Nichtlinearitäten

(8.105a,b) benutzt, d.h., die isoparametrische Formulierung (Ü3.2.10) wird bevorzugt. In Verallgemeinerung von (4.30b) auf den dreidimensionalen und nichtlinearen Fall erhält man die Verzerrungen in Abhängigkeit von den Knotenverschiebungen, indem man den Näherungsansatz (8.105a) in (8.70) einsetzt: λnij =

P

å êë(Bαijk ) L + (Bαijk ) NL úû (u αk ) é

n

ù

n

(8.107a)

α =1

bzw. in Matrizenschreibweise:

{ λ} n

[

]

n n = [ B] L + [ B] NL { u$ } .

(8.107b)

Darin sind

(B ) α ijk

L

∂N α ö ∂Nα 1æ ç δ ik ÷ , + δ jk ç ∂ X i ÷ø ∂X j 2è

≡

(B )

α n ijk NL

≡

(8.108a)

1 ∂ u nk ∂ N α 2 ∂Xi ∂X j

(8.108b)

die Elemente der Matrizen [B]L und [B]NL, die den linearen (L) und nichtlinearen (NL) Anteil in der Matrix [B] darstellen. Für geometrisch lineare Berechnungen kann in (8.107a) der nichtlineare Anteil (8.108b) vernachlässigt werden. Das führt mit (6.31) auf den klassischen Verzerrungstensor ε ijn

P

=

å ( Bαijk ) L ( u αk )

n

bzw.

α =1

{ ε} n = [ B] L { u$ } n .

(8.109a,b)

Darin ist (4.39a,b,c) als Sonderfall enthalten. Durch Einsetzen von (8.105a) und (8.107a) in (8.104) erhält man die FiniteElemente-Gleichungen zum Zeitpunkt t = tn in Indexschreibweise zu

òo ( Bijk ) Tji dV − òo Nα α

n n

V

o

o n o p k dS

S

òo N α

−

o n f k dV o

= 0k

(8.110a)

V

bzw. in Matrizenschreibweise zu:

òo éëB

n ùt

û

{T}n dVo − {R}n = {0}

V

wobei die Abkürzungen

,

(8.110b)

8.5 Inelastisches Verhalten anisotroper Werkstoffe

277

(Bαijk ) ≡ (Bαijk ) L + (Bαijk ) NL

(8.111a)

[ B] n ≡ [ B] L + [ B] nNL

(8.111b)

n

n

bzw.

mit (8.108a,b) eingeführt sind. In (8.110b) stellt

{ R} n = ò [ N] t { o p} dSo + ò [ N] t { o f } dV o n

n

o

S

V

(8.112)

o

den äußeren Knotenpunktlastvektor dar. In (8.110b) bedeutet [Bn]t analog zu (4.59) die Transposition der Matrix n [B ] ≡ [B]n zum Zeitpunkt t = tn. Entsprechendes gilt für [N]t in (8.112). Durch eine TAYLOR-Entwicklung erhält man unter Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung aus (8.110b) die linearisierte Gleichung für das Gleichgewicht:

ò

t

é Bn ù {∆T}n dVo + [ K σ ]n {∆uˆ }n − {∆R}n = {0} . ë û

(8.113)

Die Matrix

[ K σ ] n ≡ ò [ G] t [ S] n [ G] dV o V

(8.114)

o

in (8.113) wird als geometrische Matrix bezeichnet, die vom Spannungszustand abhängt. In (8.114) ist die Matrix [G] abhängig von den Ableitungen der Formfunktionen (8.106 a,b) nach den LAGRANGEschen Koordinaten:

[ G ] ≡ [[ G 1 ]

K

[Gα ]

K

[G P ]]

(8.115)

mit

é ∂N [ G α ] ≡ ê ∂Xα [1] ë 1

∂N α [1] ∂X 2

t

∂N α ù [1]ú . ∂X 3 û

(8.116)

Die Größe [S]n in (8.114) stellt folgende „Spannungsmatrix“ dar:

[ S]

n

n é T11 [1] T12n [1] ê n =ê T22 [1] êsymm. ë

n T13 [1] ù ú n T23 [1] ú . n T33 [1] úû

(8.117)

278

8 Nichtlinearitäten

Da [1] die (3×3)-Einsmatrix kennzeichnet, ist (8.117) eine (9×9)-Matrix. Für geometrisch lineare Berechnungen wird der zweite Term in (8.111b) und der zweite Term auf der linken Seite von (8.113) vernachlässigt. Wenn mit (8.107b) und (8.111b) die Verzerrungsinkremente {∆λ}n in den ) Kotenpunktverschiebungsinkrementen {u}n gemäß

{ ∆λ} = [ B] n {∆u)} n

(8.118)

ausgedrückt und die Spannungsinkremente (8.103) in (8.113) eingesetzt werden, ergeben sich die inkrementellen Finite-Elemente-Gleichungen für das Gleichgewicht:

[K T ] n {u)} n = { ∆P} n

.

(8.119)

Darin sind

[ K T ]n ≡

òo éëB

) n é D ù é Bn ù dVo + [ K σ ]n û ë û ë û

n ùt

(8.120)

V

die Tangentensteifigkeitsmatrix und

{∆P}n ≡ {∆R}n + ∆t n

òo éëB

n ) n é D ù vp λ& dVo û ë û

n ùt

{ }

(8.121)

V

die inkrementelle Pseudolast. Für die elasto-plastische Lösung ist am Ende eines jeden Iterationsschrittes zu überprüfen, ob die Lösung die Konvergenzbedingung erfüllt. Zum Erreichen der Konvergenz gegen einen stationären Zustand werden die Iterationen so lange durchgeführt, bis die viskoplastischen Verzerrungsgeschwindigkeiten verschwinden. Zur Lösung des Gleichungssystems (8.119) benutzt SHIN (1990) die Frontlösungsmethode [IRONS, 1970], die effektiver arbeitet als die Bandlösungsmethode, da die Frontbreite kleiner als die Bandbreite ist, wenn Seitenmittenknoten vorhanden sind. Mit den aus (8.119) ermittelten Knotenpunktverschiebungsinkrementen erhält man die Verschiebungsinkremente innerhalb des finiten Elementes gemäß

{ ∆u} n = [ N]{ ∆u$ } n

(8.122)

und folglich die Verschiebungen zum Zeitpunkt t = tn+1 zu:

{ u} n +1 = { u} n + { ∆u} n .

(8.123)

In gleicher Weise ergeben sich die Spannungsinkremente aus (8.103), (8.118), (8.119) und schließlich die Spannungen zum Zeitpunkt t = tn+1 zu:

8.5 Inelastisches Verhalten anisotroper Werkstoffe

{ T} n +1 = { T} n + { ∆T} n .

279

(8.124)

Im Rahmen des inkrementellen Verfahrens wurden die Finiten-ElementeGleichungen (8.110a,b) linearisiert, und die Ermittlung der Spannungsinkremente gehen von dem linearisierten Gleichungssystem (8.113) aus. Dann akkumulieren sich die Fehler der Spannungsinkremente infolge der Linearisierung, und die Spannungen zum Zeitpunkt t = tn+1 werden nicht korrekt geliefert. Somit werden die Gleichungen (8.110a,b) nicht exakt erfüllt. Um die Fehler auf einen zulässigen Betrag zu reduzieren, werden die nicht ausbalancierten Kräfte {ψ}n+1 zum Zeitpunkt t = tn+1,

{ψ}n +1 = {R}n +1 −

òo

t

é Bn +1 ù {T}n +1 dVo , ë û

(8.125)

V

berechnet und zu den Lastinkrementen zum nächsten Zeitpunkt addiert:

{∆P}n +1 = {∆R}n +1 + ∆t n +1 ò

Vo

t ) n +1 é Bn +1 ù é D ù n +1 vp λ& dVo + {ψ}n +1 . (8.126) ë û ë û

{ }

Die in dieser Ziffer 8.5 diskutierten Finite-Elemente-Gleichungen sind grundlegend für die von SHIN (1990) und BETTEN/SHIN (1991/1992) behandelten Probleme aus der Ingenieurpraxis. Hierzu wurde von SHIN (1990) ein leistungsfähiges Finite-Elemente-Programm unter Berücksichtigung der werkstoffbedingten Anisotropie, der tensoriellen Nichtlinearität und der geometrischen Nichtlinearität entwickelt. Die Vorteile dieses Programms können in den folgenden Punkten zusammengefasst werden: q Tensorielle Nichtlinearitäten können erfasst werden. q Der Einfluss unterschiedlicher Druck- und Zugkriechgrenzen (creepstrength-differential-effect) kann berücksichtigt werden. q Das Programm arbeitet bei gleicher Genauigkeit wesentlich schneller als ABAQUS. q Explizite und implizite Zeitintegrationsverfahren können verwendet werden. q Es können die unterschiedlichsten Potentialansätze benutzt und somit verschiedene Werkstoffeigenschaften a priori berücksichtigt werden.

In den genannten Arbeiten von SHIN (1990) und BETTEN/SHIN (1991/1992) werdickwandige Behälter, dünnwandige den mit diesem Programm Kreiszylinderschalen und rotierende Scheiben als Anwendungsbeispiele aus dem Ingenieurbereich behandelt. Weitere Anwendungsbeispiele können anhand der Musterbeispiele routinemäßig mit dem entwickelten Programm untersucht werden.

280

8 Nichtlinearitäten

8.6 Zeitschrittverfahren Das in Ziffer 8.5 diskutierte inelastische Verhalten anisotroper Werkstoffe ist zeitabhängig. In viskoplastischen Modellen erscheint anstelle eines Verzerrungstensors ein Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, d.h. die erste Zeitableitung einer Feldgröße. Ebenso spielt die Zeitableitung der Temperatur bei der instationären Wärmeleitung (Ü7.2.12) eine wesentliche Rolle. Die zeitliche und räumliche Änderung einer Konzentration wird durch die Diffusionsgleichung beschrieben, in der neben den zweiten Ableitungen der Konzentration nach den Ortskoordinaten auch die erste Zeitableitung der Konzentration erscheint. Derartige zeitabhängige oder transiente Feldprobleme lassen sich durch ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form

[Q]{ϕ& } + [ K]{ ϕ} = { R(t )}

(8.126)

allgemein beschreiben. Darin ist {ϕ} der gesuchte Lösungsvektor der Feldgröße. Die physikalische Deutung der Matrizen [Q] und [K] hängt speziell vom betrachteten Problem ab. Zur Lösung von Matrizen-Differentialgleichungen erster Ordnung bieten sich mehrere Methoden an. Anstelle der Modalanalyse kann eine direkte Zeitintegration verwendet werden. Dazu werden wie in (8.95) Zeitschritte ∆tn = tn+1 – tn mit n = 0,1,2,...betrachtet. Ein Zeitpunkt innerhalb eines jeden Zeitschrittes kann durch t n +θ = t n + θ∆t n ≡ (1 − θ) t n + θ t n +1

(8.127)

angegeben werden, wobei der Parameter θ gemäß 0 ≤ θ ≤1 eingegabelt ist. Die Ausgangsdifferentialgleichung (8.126) kann zum Zwischenzeitpunkt (8.127) durch

[Q]{ ϕ& } n +θ + [ K]{ ϕ} n +θ

{

}

= R( t n +θ )

(8.128)

ausgedrückt werden. Mit den Näherungen ∆t n { ϕ& } n +θ = { ϕ} n +1 − { ϕ} n ,

(8.129a)

{ ϕ& } n +θ = (1 − θ){ϕ& } n + θ{ ϕ& } n +1

,

(8.129b)

{ ϕ} n +θ = (1 − θ){ϕ} n + θ{ ϕ} n +1

,

(8.130)

{R ( t n +θ )} = (1 − θ ){R}n + θ{R}n +1

(8.131)

geht die Differentialgleichung (8.128) in die Rekursionsformel éë[ Q ] + ∆t n θ [ K ]ùû {ϕ}n +1 = éë[ Q ] − ∆t n (1 − θ ) [ K ]ùû {ϕ}n

{

}

+ ∆t n (1 − θ ){R}n + {R}n +1

(8.132)

8.6 Zeitschrittverfahren

281

über. Anstelle des gekoppelten Differentialgleichungssystems (8.126) ist das algebraische Gleichungssystem

[ K]{ϕ} n +1 = {R} n+1

(8.133)

für die unbekannten Feldgrößen {ϕ}n+1 zu lösen. Darin kann

[ K] ≡ [Q] + ∆t n θ [ K]

(8.134)

als „effektive Steifigkeitsmatrix“ und die Spaltenmatrix {R}n +1 , die mit der rechten Seite von (8.132) übereinstimmt, als „effektive Belastung“ bezeichnet werden. Alle Terme auf der rechten Seite von (8.132) sind bekannt. Der Ansatz (8.130) entspricht einer linearen Näherung der Feldgröße {ϕ} innerhalb des „finiten Zeitelementes“ ∆tn. Die Faktoren (1 – θ) ≡ N1 und θ ≡ N2 in (8.130) können als lineare Formfunktionen (shape functions) gedeutet werden (Ü3.1.22b). Dieselben Faktoren treten auch in der Zeitkoordinate (8.127) auf, so dass man von einer isoparametrischen Formulierung sprechen kann (Ü3.2.10). Der Ansatz (8.129a) ist vereinbar mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung, wonach im Zeitintervall ∆tn für mindestens ein θ ∈ (0,1) die Kurventangente parallel zur Sehne ist. Die Näherung (8.129b) stellt wie (8.130) eine lineare Interpolation dar. Wie bereits oben im Anschluss an (8.95) erwähnt, steuert der Parameter θ die Lösungsmethode zur direkten Integration der Differentialgleichung (8.126) erster Ordnung. Das mit θ gewählte Verfahren muss garantieren, dass die Näherung {ϕ}n mit kleiner werdendem Zeitschritt ∆tn gegen die exakte Lösung {ϕ(tn)} konvergiert:

{

}

lim { ϕ} n = ϕ( t n ) .

∆t n → 0

(8.135)

Vom Rekursionsschema (θ) wird Stabilität gefordert, d.h., der Abbruchfehler darf mit zunehmenden Zeitschritten nicht progressiv wachsen. Um Rechenzeit zu sparen, muss man bemüht sein, mit möglichst großen Zeitschritten eine hinreichende Genauigkeit zu erzielen. Unter diesen Gesichtspunkten werden verschiedene Zeitschrittverfahren (θ = 0, θ = 1/2, θ = 2/3, θ = 1) beispielsweise von ALTENBACH/SACHAROV (1982) , ZIENKIEWICZ (1984), BATHE (1986, 1990, 2001) oder von SHIN (1990) ausführlich auch unter Einbeziehung numerischer Tests untersucht. Bei dynamischen Problemen muss in (8.126) zusätzlich ein „Trägheitsterm“ beücksichtigt werden, so dass zum Zeitpunkt t = tn gilt:

[ M ]{ϕ&&}n + [Q ]{ϕ& }n + [ K ]{ϕ}n = {R ( t n )}

.

(8.136)

282

8 Nichtlinearitäten

Zur direkten Integration dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung hat sich die Methode der zentralen Differenzen bewährt. Danach werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bzw. allgemein erste und zweite Zeitableitungen gemäß 2∆t n {ϕ& }n = {ϕ}n +1 − {ϕ}n −1 ,

( ∆t n )2 {ϕ&&}n = {ϕ}n +1 − 2 {ϕ}n + {ϕ}n −1

(8.137) (8.138)

angenähert. Man erhält diese Näherungen aus den TAYLOR-Reihen

1 2

(8.139a)

1 2

(8.139b)

{ ϕ} n+1 = { ϕ} n + ∆t n {ϕ& } n + ( ∆t n ) 2 { ϕ&&} n +K { ϕ} n−1 = {ϕ} n − ∆t n { ϕ& } n + ( ∆t n ) 2 {ϕ&&} n mK

und zwar folgt durch Subtraktion der beiden Reihen der zentrale Differenzenquotient (8.137), während sich durch Addition die Näherung (8.138) für die zweite Zeitableitung ergibt. Zu beachten ist, dass in (8.139b) das Vorzeichen wegen tn-1 = tn – ∆tn alterniert, während in (8.139a) wegen tn+1 = tn + ∆tn die Vorzeichen nicht wechseln. Durch Berücksichtigung von Gliedern höherer Ordnung in den Reihen (8.139a,b) kann die Fehlerordnung von (∆tn)2 verbessert werden. Weiterhin kann die Anzahl der „Stützstellen“ (n - 1, n, n + 1) erhöht werden, was zu einem Mehrstellenverfahren führt. Führt man die Näherungen (8.139a,b) in die Differentialgleichung (8.136) ein, so ergibt sich analog (8.132) folgendes Rekursionsschema: 1 é ù 2 ê[ M ] + 2 ∆t n [ Q ]ú {ϕ}n +1 = ( ∆t n ) {R ( t n )} ë û 1 é ù 2 + éê 2 [ M ] − ( ∆t n ) [ K ]ùú {ϕ}n − ê[ M ] − ∆t n [ Q ]ú {ϕ}n −1 ë û 2 ë û

(8.140a)

das in der kompakten Schreibweise

éë K ùû {ϕ}n +1 = {R } n

(8.140b)

ausgedrückt werden kann, wenn man analog (8.134) die effektive Steifigkeitsmatrix 1 éë K ùû ≡ [ M ] + ∆t n [ Q ] 2

(8.141)

zur Abkürzung einführt und {R} n als effektiven Lastvektor definiert, der mit der rechten Seite von (8.140a) übereinstimmt.

8.6 Zeitschrittverfahren

283

Zeitschrittverfahren können auch bei nichtlinearen Problemen erfolgreich eingesetzt werden, bei denen mindestens eine der Matrizen [M], [Q], [K] oder {R} von der gesuchten Feldgröße {ϕ} abhängig ist. Das Rekursionsschema (8.132) zur Lösung des gekoppelten Differentialgleichungssystems (8.128) erster Ordnung wurde hergleitet unter Benutzung der Näherungen (8.129a), (8.130) und (8.131). Rekursionsschemata lassen sich auch mit Hilfe des Verfahrens der gewichteten Residuen (Ziffer 7.2) gewinnen, wie im Folgenden erläutert wird. Dazu betrachtet man einen Zeitschritt ∆t n = t n +1 − t n als finites Zeitelement, innerhalb dessen die Zeit t durch die natürliche Koordinate

ξ = t ∆t n

0≤ξ≤1

mit

(8.142a)

bzw. durch L1 = ξ

und

L2 = 1 − ξ

mit

L1 + L 2 = 1

(8.142b)

ausgedrückt wird. Der gesuchte Lösungsvektor {ϕ} in (8.126) nimmt an den „Stützstellen“ tn und tn+1 die Knotenwerte {ϕ}n und {ϕ}n+1 an. Wie in der FEM üblich, wird der Näherungsansatz

{ ϕ} = N n { ϕ} n + N n+1 { ϕ} n +1

(8.143)

benutzt. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Formfunktionen jeweils für alle Koordinaten eines Vektors gleich sind, so dass Nn und Nn+1 skalare Größen darstellen. Da die Differentialgleichung (8.126) von erster Ordnung ist, genügen zwei Stützstellen, so dass die Formfunktionen in (8.143) linear sind: Nn = 1 − ξ

und

N n +1 = ξ .

(8.144a,b)

Ihre Zeitableitungen ergeben sich wegen ξ ≡ t ∆t n zu:

& = −1 ∆t N n n

und

& N n +1 = 1 ∆t n .

(8.145a,b)

Damit erhält man aus (8.143) die erste Zeitableitung des Lösungsvektors:

{ ϕ& } = N& n { ϕ} n + N& n+1 {ϕ} n+1 = {{ϕ} n+1 − {ϕ} n }

∆t n .

(8.146)

Der Ansatz (8.146) stimmt mit (8.129) überein und ist vereinbar mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung. Mit den Näherungsansätzen (8.143) und (8.146) wird die Diffrentialgleichung (8.126) nicht erfüllt. Es ensteht ein Residuum, das gemäß (7.111) in einem gewichteten Mittel verschwinden muss: 1

ò Wα ( ξ){ [Q]{ϕ& } + [ K]{ϕ} − { R}} dξ = { 0} 0

!

,

(8.147a)

284

8 Nichtlinearitäten 1

ò Wα ( ξ ) { [Q]( N& n {ϕ}n + N& n +1 {ϕ}n +1 ) 0

(

)

}

+ [ K ] N n {ϕ}n + N n +1 {ϕ}n +1 − {R} dξ =! {0} .

(8.147b)

Darin können die Knotenvektoren {ϕ}n und {ϕ}n+1 außerhalb des Integrals geschrieben werden. Das gilt auch für die zeit- bzw. ξ- unabhängigen Matrizen [Q] und [K]. Somit geht (8.147b) unter Berücksichtigung von (8.144a,b) und (8.145a,b) über in: 1 1 é ù ê[ Q ] Wα dξ ∆t n + [ K ] Wα ξdξ ú {ϕ} n +1 ê ú 0 0 ë û (8.148) 1 1 1 é ù + ê[ K ] Wα (1 − ξ ) dξ − [ Q ] Wα dξ ∆t n ú {ϕ}n − Wα {R} dξ =! {0} ê ú 0 0 0 ë û

ò

ò

ò

ò

ò

Darin ist analog (8.131) der Vektor {R} durch die Knotenlasten auszudrücken:

{R( ξ)} = (1 − ξ){ R} n + ξ{ R} n+1 .

(8.149)

Das Rekursionsschema (8.148) ist gültig für beliebige Wichtungsfunktionen Wα = Wα (ξ) . Führt man die Abkürzung 1

ò

θ ≡ Wα ξ dξ 0

1

ò Wα dξ

(8.150)

0

ein, so kann (8.148) auf die Form (8.132) gebracht werden. Nach dem Verfahren der gewichteten Residuen muss die notwendige Anzahl der Wichtungsfunktionen mit der Anzahl der zu bestimmenden Knotenvektoren übereinstimmen. Da in der Rekursionsformel (8.148) der Knotenvektor {ϕ}n an der Stützstelle ξ = 0 bereits im vorausgegangen Schritt ermittelt worden ist, muss nur noch der Knotenvektor {ϕ}n+1 bestimmt werden, so dass nur eine Wichtungsfunktion Wα = Wn+1 zu wählen ist. Als Beispiel sei das GALERKIN-Verfahren erwähnt, wonach Wα = N α

bzw. Wn +1 = N n +1 = ξ

(8.151)

gemäß (8.144b) gilt. Damit erhält man aus (8.150) den Wert θ = 2/3. Die oben skizzierte Vorgehensweise zur Ermittlung einer Rekursionsbeziehung (8.148) für die Differentialgleichung (8.126) erster Ordnung kann erweitert werden auf eine Diffrentialgleichung zweiter Ordnung

8.6 Zeitschrittverfahren

[ M]{ϕ&&} + [Q]{ ϕ& } + [ K]{ϕ} = {R( t )}

.

285

(8.152)

Allerdings sind lineare Formfunktionen (8.144a,b) jetzt nicht mehr brauchbar. Vielmehr müssen aufgrund der zweiten Zeitableitung in (8.152) die Formfunktionen zumindest quadratisch in t bzw. in ξ = t/∆tn sein, so dass mindestens drei Knotenpunkte (Stützstellen) erforderlich sind, z.B.: α = n – 1, n, n + 1. Damit erstreckt sich das finite Zeitelement über 2∆t. Für die natürliche Koordinate ξ = t/∆t gilt: –1 ≤ ξ ≤ 1, so dass die quadratischen Formfunktionen durch N n −1 = − ξ(1 − ξ) 2 , N n = (1 − ξ)(1 + ξ ) , N n +1 = ξ(1 + ξ) 2

(8.153a,b,c)

ausgedrückt werden (Bild 8.11). Man vergleiche hiermit die quadratischen Interpolationsfunktionen aus Ü3.2.12 im ersten Band. 1 0.8 0.6 0.4 0.2

-0.5 -1 n-1

0.5 1

0 ∆tn

n

∆tn

n+1

Bild 8.11 Quadratische Formfunktionen im finiten Zeitelement 2∆tn

Die zeitlichen Ableitungen der Formfunktionen (8.153a,b,c) ermittelt man wegen ξ = t/∆tn zu: & N n −1 = − (1 − 2 ξ) 2 ∆t n ,

& = − 2ξ ∆t , N & N n n n +1 = (1 + 2 ξ ) 2 ∆t n , (8.154a,b,c)

2 && N n −1 = 1 ∆t n ,

&& = −2 ∆t 2 , N n n

2 && N n +1 = 1 ∆t n .

(8.155a,b,c)

In Erweiterung von (8.143) und (8.146) auf drei Knotenpunkte gilt:

{ ϕ} = N n −1 { ϕ} n −1 + N n { ϕ} n + N n +1 {ϕ} n +1

,

(8.156a)

{ ϕ& } = N& n −1 { ϕ} n −1 + N& n { ϕ} n + N& n +1 {ϕ} n +1

,

(8.156b)

{ ϕ&&} = N&& n −1 { ϕ} n −1 + N&& n { ϕ} n + N&& n +1 {ϕ} n +1

.

(8.156c)

286

8 Nichtlinearitäten

Mit diesen Näherungsansätzen in Verbindung mit (8.154a,b,c) und (8.155a,b,c) wird die Differentialgleichung (8.152) nicht erfüllt. Es entsteht ein Residuum, das gemäß (7.111) in einem gewichteten Mittel verschwinden muss: 1

!

ò Wα ( ξ){[ M]{ϕ&&} + [Q]{ϕ& } + [ K]{ϕ} − { R}} dξ = 0

,

(8.157a)

−1 1

ìï && { ϕ} + [Q] N & { ϕ} + Wα ( ξ) í[ M] N α α α α α α îï −1

å

ò

å

+ [ K]

üï

å N α {ϕ} α − { R} ýï dξ =! 0 .

(8.157b)

þ

α

Summiert wird über α = n – 1, n, n + 1 entsprechend (8.156a,b,c). Der Spaltenvektor {R(ξ)} in (8.157b) wird in gleicher Weise interpoliert wie die Feldgröße {ϕ} gemäß (8.156a):

{R( ξ)} = N n−1 ( ξ){ R} n−1 + N n ( ξ){ R} n + N n +1 ( ξ){ R} n +1 .

(8.158)

Die Knotenvektoren {ϕ}α und {R}α, α = n – 1, n, n + 1, können in (8.157b) außerhalb des Integrals geschrieben werden. Das gilt auch für die zeit- bzw. ξ-unabhängigen Matrizen [M], [Q] und [K]. Somit geht (8.157b) unter Berücksichtigung von (8.153a,b,c), (8.154a,b,c) und (8.155a,b,c) in folgende Rekursionsformel über:

[[ M] + γ∆t [Q] + β∆t [ K]]{ϕ} = [2[ M] − (1 − 2γ ) ∆t [Q] − (1 2 − 2β + γ ) ∆t [ K]]{ϕ} − [[ M ] − (1 − γ ) ∆t [Q] + (1 2 + β − γ ) ∆t [ K ]]{ ϕ} 2 n

n

n +1

2 n

n

2 n

n

−

∆t 2n

n

. (8.159)

n −1

{( γ − β − 1 2){ R} n−1 + ( 2β − γ − 1 2){ R} n − β{ R} n+1}

Darin sind die Abkürzungen β=

γ=

1 2

1 2

1

ò

Wα (1 + ξ) ξ dξ

−1 1

ò

1

ò Wα dξ ,

(8.160a)

−1

Wα (1 + 2ξ) dξ

−1

1

ò Wα dξ

−1

(8.160b)

8.6 Zeitschrittverfahren

287

eingeführt. Die Rekursionformel (8.159) entspricht dem Algorithmus von NEWder ursprünglich auf anderem Wege gefunden wurde. Das Rekursionsschema (8.159) ist gültig für beliebige Wichtungsfunktionen Wα= Wα(ξ). Nach dem Verfahren der gewichteten Residuen (Ziffer 7.2) muss die erforderliche Anzahl der Wichtungsfunktion mit der Anzahl der zu bestimmenden Knotenvektoren übereinstimmen. Da in der Rekursionsformel (8.159) die Knotenvektoren {ϕ}n–1 und {ϕ}n an den Stützstellen ξ = –1 und ξ = 0 bereits im vorrausgegangenen Schritt ermittelt worden sind, muss nur noch der Knotenvektor {ϕ}n+1 bestimmt werden, so dass nur eine Wichtungsfunktion Wα = Wn+1 notwendig ist. Als Beispiel sei das GALERKIN -Verfahren erwähnt, wonach

MARK (1959),

Wα = N α

bzw. Wn +1 = N n +1 = (1 + ξ) ξ 2

(8.161)

gemäß (8.153c) gilt. Damit erhält man aus (8.160a,b) die Werte β = 4/5 und γ = 3/2. Weitere Bemerkungen zum NEWMARKschen und anderen Rekursionsschemata findet man bei ZIENKIEWICZ (1977, 1984). Zur Behandlung von zeitabhängigen Problemen kann neben den Verfahren der gewichteten Residuen (Ziffer 7.2) auch die Variationsrechnung erfolgreich eingesetzt werden, z.B. auf der Basis des HAMILTONschen Prinzips (Ziffer 6.7). Weitere Prinzipien werden beispielsweise von GURTIN (1964, 1969) und WASHIZU (1975) ausführlich diskutiert. Schließlich sei die Methode der kleinsten Fehlerquadrate erwähnt. Betrachtet man als Beispiel die Differentialgleichung (8.126) erster Ordnung und benutzt man lineare Formfunktionen (8.144a,b), so ist nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate (7.129) das Funktional 1

J=

!

ò { r} { r} dξ = Minimum t

(8.162)

0

mit dem Residuum

{r} ≡ [Q] ( N& n {ϕ}n + N& n +1 {ϕ}n +1 ) + [ K ] ( N n {ϕ}n + N n +1 {ϕ}n +1 ) − {R}

(8.163a)

nach dem unbekannten Vektor {ϕ}n+1 zu minimieren: ∂J/∂{ϕ}n+1 = {0} analog (7.129). Unter Berücksichtigung von (8.144a,b) und (8.145a,b) nimmt das Residuum (8.163a) folgende Form an:

{r} = ëé[Q]

∆t n + ξ [ K ]ûù {ϕ}n +1 + ëé(1 − ξ ) [ K ] − [ Q ] ∆t n ûù {ϕ}n − {R} .

(8.163b)

Damit folgt durch Minimierung des Funktionals (8.162) analog (7.129) die Forderung

288

8 Nichtlinearitäten 1

ò éëê[Q] 0

t

t ∆t n + ξ [ K ] ùú {r} dξ =! {0} . û

(8.164)

Zur Kontrolle möge man ähnlich wie in Ü6.1.1 die Minimierung in der Indexschreibweise vornehmen und das Ergebnis in die Matrizenschreibweise übersetzen. Setzt man das Residuum (8.163b) in (8.164) ein und beachtet, dass die zeitbzw. ξ- unabhängigen Matrizen [Q], [K] und {ϕ}n+1, {ϕ}n außerhalb des Integrals geschrieben werden können, so erhält man schließlich folgende Rekursionsformel:

[ V]{ϕ} n +1 = [ U]{ϕ} n + [Q]

1

t

1

ò {R( ξ)}dξ + ∆t n [ K] ò ξ{R( ξ)} dξ t

0

(8.165)

0

mit den Abkürzungen

(

)

(8.166)

(

)

(8.167)

[ U] ≡

∆t 1 1 [Q ] t [Q ] + [ K ] t [ Q ] − [Q ] t [ K ] − n [ K ] t [ K ] ∆t n 2 6

[ V] ≡

∆t 1 1 [ Q ] t [ Q ] + [ K ] t [Q ] + [Q ] t [ K ] + n [ K ] t [ K ] . ∆t n 2 3

und

Darin sind alle Matrizenprodukte, z.B. [Q]t [Q] oder [K]t [K] etc., symmetrisch, auch wenn die Matrizen [Q] und [K] selbst nicht symmetrisch sind. Das Residuum (8.163a) ist identisch mit dem Residuum in (8.147b). Nach Untersuchungen von ZIENKIEWICZ (1984) liefert die Methode der kleinsten Fehlerquadrate auf Kosten eines größeren Rechenaufwandes die besten Ergebnisse.

Lösungen der Übungsaufgaben

Auf der beigefügten CD-ROM sind ein paar Übungen als Auswahl zusammengestellt. Die Nummerierung bezieht sich auf die Ziffern des Textteiles. So kennzeichnet beispielsweise 7.1.16 die 16-te Übungsaufgabe zum Inhalt der Ziffer 7.1. Die Seitennummerierung ist gemäß A.x angegeben. Die meisten Aufgaben können "von Hand" ohne Hilfsmittel, d.h. unter Klausurbedingungen, gelöst werden. Sehr umfangreiche Übungen sind nur teilweise als Klausuraufgaben geeignet und werden zu diesem Zweck entsprechend modifiziert und gekürzt. Einige Übungsaufgaben enthalten im Anschluss an die "zu Fuß-Rechnung" einen Computerausdruck. Hierbei wurde die Software "MAPLE V, Release 8" verwendet. MAPLE ist ein "mathematisches Formelmanipulations-Programm", mit dem interaktiv gearbeitet werden kann. Mit Hilfe solcher "FormelmanipulationsSysteme" (FMS) ist es möglich, Berechnungen mit unausgewerteten Ausdrücken (Symbolen) durchzuführen. Die sogenannte Computer-Algebra ist in den letzten Jahren verstärkt entwickelt worden − MAPLE etwa seit Anfang der 80-er Jahre. Weitere Programme sind MATHCAD (basierend auf MAPLE), MATHEMATICA, MACSYMA, REDUCE und AXIOM, die ebenfalls sehr leistungsstark und anwenderfreundlich sind. Je nach Einsatzgebiet bietet das eine oder andere System mehr oder weniger Vorteile. Die zusammengestellten Übungsaufgaben sollen den Vorlesungsstoff ergänzen und vertiefen. Es werden auch Übungen aus Aufgabengebieten angeboten, die im Textteil aus Platzgründen nicht behandelt werden konnten. So werden beispielsweise im ersten Band Aufgaben aus der Wärmeübertragung, elektrische und hydraulische Netzwerke, Schwingungsaufgaben etc. ausführlich durchgerechnet. Weiterhin werden im ersten Band an Übungsbeispielen verschiedene Verfahren gegenübergestellt, z.B.: Finite-Elemente-Methode / Finite-Differenzen-Methode / Lumped-Mass-Methode / Übertragungsmatrizenverfahren. Die Übungen des vorliegenden zweiten Bandes stellen einen Katalog der für die FEM grundlegenden Variationsaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen zusammen. Anwendungen des Prinzips vom Minimum des Gesamtpotentials, des Prinzips der virtuellen Verschiebungen bzw. Kräfte, der Sätze von Castigliano werden ausführlich diskutiert. Näherungslösungen nach RITZ, GALERKIN (gewichtete Residuen) werden mit FE-Lösungen verglichen. Ausführlicher als im ersten Band werden numerische Integrationen (Quadraturen) vorgeschlagen und an zahlreichen Beispielen diskutiert. Behandelt werden u.a. stationäre und instationäre, isotrope und anisotrope Wärmeleitung, Torsion von Stäben. In diesem Zusammenhang werden gewöhnli-

290

Lösungen der Übungsaufgaben

che lineare und nichtlineare Differentialgleichungen sowie partielle Differentialgleichungen mit Hilfe der FEM behandelt. Selbstadjungierte Operatoren werden untersucht. Großer Wert wird auf Fehlerbetrachtungen gelegt. Zum Kapitel 8 konnten aus Platzgründen keine Übungen aufgenommen werden. Im Textteil sind jedoch genügend Beispiele durchgerechnet und diskutiert, die geometrische und/oder physikalische bzw. tensorielle Nichtlinearität beinhalten. Darüber hinaus werden in einigen Übungen der vorausgegangenen Kapitel nichtlineare Probleme behandelt, so dass zum Thema “Nichtlinearitäten“ als Einstieg für Studierende ein genügend umfangreicher Übungsstoff vorliegt.

Literaturverzeichnis

Hinsichtlich des Literaturverzeichnisses wird kein Anspruch auf Vollständigkeit erhoben. Im Folgenden werden lediglich einige Aufsätze und Bücher aufgeführt, denen der Verfasser Anregungen entnommen hat.

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Literaturverzeichnis

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Sachwortverzeichnis*)

A Abbruchfehler 179, 281 Abbruchkriterium 247, 253f. Abkühlungskurven A.172, A.174ff. Abkühlvorgang 131 adaptive Vernetzungsalgorithmen 149 AIRYsche Spannungsfunktion A.33f., A.53 Aktivierungsenergie des Kriechens 238 Algorithmus von NEWMARK 287 anisotrope Wärmeleitung 135, 289 Anisotropie 12, 133, 135, 272 Approximationsmethode 122f., 145, 151 äquidistante Stützstellen 151 äquivalente Massenmatrix 46, 71, A.237 Arbeitssatz 51 Argumentfunktion 1, 3, 5, 9 ARRHENIUS-Funktion 237 Austauschregel 84, A.18, A.40, A.51 axiomatische Theorie 43 assoziiertes viskoplastisches Fließen 275

B BANACHscher Fixpunktsatz 249, 251 Bandlösungsmethode 278 Bandmatrix 76 Bandstruktur A.203 bedingte Extremwerte 14 Belastungsvektor A.76, A.89, A.100, A.177, A.192, A.200f. BESSEL-Funktionen 188, A.278 BESSELsche Differentialgleichung 142f., 270, A.260f. Beulen (buckling) 270 *)

Bewegungsgleichungen 68, 70, 72, A.78, A.82 Biegelinie 109, A.88, A.93 biharmonische Differentialgleichung 18 bikubische Formfunktionen 110, 193, A.153, A.166 bilineare -Formfunktionen 106, 110, A.135 -Transformation 201f. Bipotential -gleichung A.33f. -operator 131 biquadratische Formfunktionen 110, A.143 BOOLEsche Matrix A.75f. Brachystochrone 11 Brechungsindex 12, A.10

C CAUCHYsche Randbedingung A.35 CAUCHYscher Spannungstensor 35, 238, A.51 Chi-Qudrat-Verteilung 188 CHOLESKY-Verfahren 237 CLENSHAW-CURTIS-Verfahren 150 collocation method 116, A.173 Computer-Algebra 289 constraint extremum 14 COURANT 8 creep-strength-differential-effect 279

D D´ALEMBERTsche Zusatzkräfte 68, 72 DEBYEsche Funktion 188 Deformationsgradient 273 Dehnsteifigkeit 268, A.54 Deltafunktion 118

Die Sachwörter auf der beigefügten CD-ROM sind mit einem A. vor der Seitenzahl gekennzeichnet.

298

Sachwortverzeichnis

dickwandige Behälter, dünnwandige Kreiszylinderschalen 279 Differentialoperator 127, A.250, A.257 diffusionsgesteuerter Vorgang 238 Diffusionsgleichung 280 Dilogarithmus nach EULER 188 DIRACsche Deltafunktion 117f. direkte -Methode 24, 28, 29, A.203 -Zeitintegration 280ff. -Verfahren 259 DIRICHLETsche Randbedingung A.35f. DIRICHLETsches Prinzip 61 diskrete Systeme 1, 27, 24, 68 diskretes Mehrmassensystem 67 diskretisierte Formulierung 70 diskretisiertes Funktional A.255 Diskretisierung 144, A.109, A.112, A.114, A.120, A.136, A.196 Diskretisierungsfehler 149 doppelt-exponentielles Verfahren 150 Drehträgheit A.81 Drei- und Vierpunkte-GAUSS-Quadratur 168 Dreiachtelregel 153 dreidimensionale Quadratur 220f. dreigliedriger RITZ-Ansatz 108, A.148, A.160 Dreipunkte-GAUSS-Quadratur 163 Durchbiegungsfläche A.33 dynamische Probleme 66, 281 dynamische Zähigkeit A.75

E ebener -Spannungszustand A.33 -Verzerrungstensor A.34 effektive -Belastung 281f. -Steifigkeitsmatrix 281f. Eigenwerte 82f. Eigenwertproblem 82f. eindimensionale -Interpolationsfunktionen A.143 -POISSON-Gleichung 139 -Wärmeleitung 138 eingliedriger RITZ -Ansatz 85, 108, 110, 143, A.133, A.141, A.145,A.151, A.153, A.274

Einheitsdreieck 201, 217, A.118, A.127, A.153f. Einheitselement A.155, A.270 Einheitsquadrat A.134f., A.142f., A.149, A.161 Einheitstetraeder 226, 230 Einhüllende des FRESNELschen Integrals 188 Einschrittverfahren 245 EINSTEINsche Summationsvereinbarung 15, 35, 40, 84, 238, 267, A.40 einstufige Lastaufbringung 244 Einzelelement 66,72, 132, A.76, A.153, A.192 elastische Formänderungsenergie 39f., 48, 55ff., A.57 elastisches Potential 39ff., 57, 60 elastisches Kontinuum 54, 57, A.258 Elastizitätstensor 40 Elastohydrodynamik 239 elasto-viskoplastische-Matrix 275 elasto-viskoplastisches -Stoffgesetz 272 elektrische Netzwerke 240 elementare Biegetheorie 48, A.169f. elementare symmetrische Funktionen 163, 165f. Elemente -vom LAGRANGE-Typ A.161 -vom SERENDIPITY-Typ A.161 Elementmatrizen 81, 102 Elementsteifigkeitsmatrix A.204, A.231 elliptische -Differentialgleichung A.257 -Integrale 188 endliche Verzerrungen 239 energie-äquivalente Knotenbelastung A.93 Energie -formulierungen 23 -integral 23 -methode 66 -norm 148 -prinzip 23 -satz A.3 equilibrium configuration 26 Ergänzungsarbeit 64, 85, 96f. Ersatzfunktion 122, 162 erste Variation 19, 57ff., 64, A.273 EUKLIDsche Norm 145, 249, A.220

299 EULER-LAGRANGEsche Differentialgleichung 142, A.262f., A.272, A.275 EULERsche -Darstellung 269 -Differentialgleichung 7f., 10, 12, 15ff., 20ff., 62, 64, 66, 68,70, 85, 113f., 129, 137, 139f., A.1, A.10ff., A.21f., A.24, A.31ff., A.36, A.63, A.74, A.78, A.82, A.244, A.252, A.258f. -Konstante 188 EULERscher -Satz A.20 -Verzerrungstensor 239 EULERsches -Differentialgleichungssystem 137 -Polygonzugverfahren 245 -Rückwärtsdifferenzenverfahren (implizites) 274 -Verfahren 245 -Vorwärtsdifferenzenverfahren (explizites) 274 Extremale 3, 8, A.20 Extremalprinzip 24, A.36

F Fehler -abschätzungen 249f. -betrachtungen 144 -matrix 160, 182 -norm 122ff., 147, 150, A.123, A.194 -relativer 120f., A.110f., A.116, A.120, A.123 -term 152, 154f., 159f. -wahrer 119, 122, A.192 finite Elemente höherer Ordnung A.234 Finite-Differenzen-Methode 289 finites -Balkenelement 53 -Dreieckselement 97, 110 -Stabelement 61, 271 -Zeitelement 281, 283, 285 Fixpunkt 248f., 251, 257 -darstellung 258, 263 -form 248 -gleichung 249, 253f., 257 -iteration 248ff., 257, 259, 260 Flächenkoordinaten 100, 106, 107

Fließgelenkhypothese 43 Fließgrenze 237 Formänderungsenergiedichte 39,42, 51, 71, A.54, A.74 Formel von RODRIGUES 168 Formfunktionen (shape funktions) 9, 46, 51, 100, 104, 108, 144, 275, 283, 285, A59, A.135, A.143, A.151, A.153, A.155, A.165, A.175, A.231, A.264 -bikubische 110, 193, A.153, A.166 -bilineare 106, 110, A.135 -biquadratische 110, A.143 -vom LAGRANGEschen Typ A.149 Formfunktionsmatrix 98, A.77 FOURIERsches Gesetz A.196 freie Balkenschwingung 82 FRESNELsches Integral 189 Frontlösungsmethode 278 Fundamentallemma der Variationsrechnung 7ff., 10, 17, 20, 38, 138, A.21, A.82 Funktional 1ff., 9, 17ff., 66, 75, 79, 81, 85, 88, 112ff., 137, 141ff., A.32, A.36, A.63, A.98, A.102f., A.133, A.245, A.252, A.2558, A.273 Funktionalanalysis 127, 144

G GALERKIN -Ansatz 134, A.275 -Kriterium 129 -Verfahren 73, 119, 123ff., 129ff., 284, 287, A.64, A173, A.176, A.188, A.190, A.249ff., A.256f., A.274 GAUSS-LEGENDRE-Quadratur 150, 161, 179, 182f., 185, 188ff., 192f., 204, 209, 220ff., 224, A.124 GAUSS-Punkte 161, 170, 178f., 190, 193, 195, 197, 204, 211, 220ff., 231 GAUSSsche Transformation A.220 GAUSSscher Integralsatz 37, 59, A.51f., A.82 GAUSSsches -Ausgleichsprinzip 116, A.171, A.220 -Eliminationsverfahren 237 -Fehlerintegral 183 gedämpftes NEWTON-Verfahren 247

300

Sachwortverzeichnis

generalisierte -Knotenkräfte 41, 47, 48 -virtuelle Verschiebung 41 geometrische -Nichtlinearität 239, 267, 269, 271ff., 279 -Randbedingungen (erzwungene) 62 -Steifigkeitsmatrix A.59 Gesamtpotential 24 29, 58, 60f., 67, 69, 73, 75, 113, 268, A.38, A.46, A.61, A.70f., A.75f., A.79, A.86 Gesamtpotential eines Balkenelementes 66 Gesamtsteifigkeitsmatrix 81, 102, A94, A.100, A.174 gewichtete Residuen 23, 112, 131f., 283, A.64, A.249 Gleichgewichts -bedingung 23, 33, 40, 45, 54, 65, A.28, A.43, A.52, A.170 -gruppe 35 -lage (equilibrium configuration) 26 -zustand 59 gleichmäßige Konvergenz 74 Gleitlinientherorie 149 globaler Belastungsvektor 66, A.75, A.77 globale Koordinaten A.204, A230ff., A.236, A.242 globaler Lastvektor A.94 GOODIER 87 GREENsche Formel 19, 130f., A.34, A.256 GULDINsche Regel A.24

H HAMILTON-CAYLEYsches Theorem 238 HAMILTONsches Prinzip 23,66ff., 70, 72, 287, 369 harmonische Schwingungen A.34, A.37, A.171 Hauptachsentransformation 14 HEAVISIDEsche Sprungfunktion 117 HELLINGER-REISSNER-Prinzip 64, 65 HELMHOLTZ-Gleichung 22, A.36f. HERMITE-Eigenschaft 146 HERMITEsche -Interpolation 46, 76, 156, A.59, A.63, A.76, A.93, A.102 -Formfunktionen A.88

HILBERT-Raum 8, 127, 146 h-Methode 149f., A.134 HOOKEsches Gesetz 40, 56, A.170 hydrodynamische Schmierungstheorie A.75 hyperbolischer -Integralkosinus 189 -Integralsinus 189 Hysteresischleifen, 237

I implizites Zentraldiffernzenverfahren 274 Impulsfunktion 117 Indexschreibweise 29, 37, 84, 272, A.40 inelastisches Verhalten anisotroper Werkstoffe 272 inkrementelle -Form 269 -Finite-Elemente-Gleichungen 278 -Methode A.192 -Pseudolast 278 -Steifigkeitsmatrix A.59 inkrementelles -Verfahren 245, 248, 279 -Verfahren mit NEWTON-RAPHSONKorrektur 246 innere virtuelle -Arbeit 37, 38, 40, 148 -Ergänzungsarbeit 40 innere Wärmequellen A.196 inneres Potential 57 Instabilität des Verfahrens 150 instationäre Wärmeleitung 280 integrale Formulierungen numerischer Lösungen 112 Integral -kosinus 189 -logarithmus 189 -sinus 185, 187, 189 Integritätsbasis 166, A.20 Interpolations -bedingungen 168 -eigenschaften 126, 151 -funktionen 77, 80, 125 inverse -Steifigkeitsmatrix 258f. -Tangentenmatrix 259

301 isoparametrische Formulierung 276, 281 isoperimetrische Probleme 14f., A.20, A.22 isotroper Tensor A.20 Iterationsvorschrift 257f., 260, iterative Lösungsmethoden 237, 241, 252, A.192

J JACOBIsche -Matrix 260, 263, 265 -Determinante 228, A.103, A.117, A.121, A.127, A.135, A.141, A.144, A.146, A.149, A.153, A.166

K KELVIN-Körper 237 Kettenlinie A.2, A.25ff. kinetische Energie 67, 68, 71, A.79f. KIRCHHOFFsche Plattentheorie A.33 klassischer (infinitesimaler) Verzerrungstensor 35, 239, 267, 276 klassisches -RITZ-Verfahren 77, 110, A.134 -GALERKIN-Verfahren A.187 Knicklast 55, A.61, A.64, A.66f. Knickprobleme 55, 82, 270, A.63 Knoten -kräfte 270 -punkte 103, 125, 132, A.112, A.117, A.200, A.230 -punkte (globale) 102, A139 -punkte (lokale) 96, 102, 104 -punktlastvektor 277 -variable 28, 104, 107, A.96, A.114, A.175 -verschiebungen 270, A.77 -werte 80, 126, 132, 283, A.96, A.101, A.107, A:110ff., A.118ff., A.128, A.188, A.200 Kollaps A.61 Kollokations -punkte 116ff., 134, 156, 179, A.64, A.173, A.194 -verfahren 117, 124, 134, A.195, A.252 Kompatibilitätsbedingung A57, A.75 komplementäres Potential. 64f.

konjugierte Variable 36 konservatives System. 67 konsistente Massenmatrix A.78 Kontaktproblem 239 kontinuierliche Systeme 1, 29, 68 Kontinuum 34, 147 Kontinuumsmechanik 1, 23, 68, 73 Konvektionskoeffizient 136 Konvergenz 74, 144, 147ff., 251, 278 -betrachtungen 247 -geschwindigkeit 243f., 247, 251, 263 -im Mittel 74, 145 -ordnung 251 -sätze 145 -verhalten 251, A.196 körperbezogene Koordinaten 273, 267 Korrektur -faktor A.167ff. -glied 170 -vektor 250 korrigierte Lastschrittverfahren 246 Kraftvektor 98, 100, 102, 130, A.108, A.135f., A.147, A.150, A.144, A.156 Kriechen. 237f., 272 Kriechgesetz 238 kubische -Elemente 82, 134 -Formfunktionen 45, 110, 112, 132, 406, A.153f., A.163ff. Kugelfunktionen 168

L L 2 -Fehlernorm 145ff., 151, 211, 217, A.196 LAGRANGEsche -Bedingung 7 -Betrachtungsweise 269 -Funktion 67f., 70ff., A.77 -Grundpolynome 151 -Klasse A.135 -Koordinaten 272 -Multiplikatorenmethode 13ff., 58, A.20f., A.23, A.25, A.50 -Polynome 161, 164, 168 LAGRANGEscher -Multiplikator 14f.,58, A.17, A.21, A.26, A.50, A.71 -Typ 108, 110, A.143, A.166 -Verzerrungstensor 267f., 272f.

302

Sachwortverzeichnis

LAGUERREsche Differentialgleichung 143, A.262 LAPLACE -Gleichung 18, 22, A.37 -Operator 130 LAPLACEsche Differentialgleichung A.32, A.37 Last -inkremente 245 -korrektur 246 -schritte 248 -stufe 244 -vektor 237, A.93, A.95, A.204, A.232 least squares method 119, 123f., A.175 LEBESGUEscher Integralbegriff 144 LEGENDRE 7 LEGENDRE-Polynome 167ff., 171, 173 LEGENDREsche Differentialgleichung 142, A.261 linear-elastisches Verhalten 268 lineare -Ansatzfunktionen 132 -Dehnung (Nenndehnung) 269 -Dreickselemente 100, 106, 129, A.108, A.142 -Elemente 82, 135, A116, A.234 -Formfunktionen 281, 285, 287, A.134, A.231, A.239 -Gleichungssysteme 260 -Matrizengleichung 243 -Transformation A.117, A.121, A.127, A.135, A.230f., A.237 -Vektorabbildung 35 linearisierte Näherung 250 linear-viskoelastisch 237 LIPPSCHITZ -Bedingung 249 -Konstante 249, 257, 262f., 266 load imbalance 243, 244, 246 Lösungsfunktion 3, 5, 18, 21, 75 Lösungsvektor 248, 252, 271, A.140, A.147, A.155, A.167 Lumped-Mass-Methode 72, 289

M Massen -belegung A.81 -kräfte 34 -matrix 82, 150, A.231

-trägheitsmoment A.80 master triangular element 408 Master-Quadrat 190, 193, 201, 217, A.135, A.142 Master-Würfel 220ff. 226, 231 materielle Zeitableitung des LAGRANGEschen Verzerrungstensors 273f. Matrixgleichung A.41 Matrix-Steifigkeitsmethode 1 Matrizenschreibweise 29, A38 mehraxiales Stoffgesetz 272 Mehrfachintegral 18 Mehrstellenverfahren 282 Membran A.37 Membrangleichnis 86, 106, A.74, A.109 Methode der -zentralen Differenzen 282 -gewichteten Residuen A.64 -kleinsten Fehlerquadrate 1, 287f., A.220 -sukzessiven Approximation 253 Methode von NEWTON-RAPHSON 247 Minimum des Gesamtpotentials 31 MISESsche Vergleichsspannung 239 Mittelwert -betrachtung 23 -satz 281, 283 mittlere quadratische Abweichung 145 Modalanalyse 280 modifiziertes -Funktional A.273f. -NEWTON-RAPHSON-Verfahren 244, 247 -Potential 58, A.70f. -RALEIGH -RITZ-Verfahren 24 Monome 220

N Nachbarfunktion 3, 5, 10, A.20 Näherungs -ansatz 125, 129f., A.134, A.188, A.200 -fehler 125 -kurve A.233, A.236, A.239, A.242 -lösung 125 natürliche -Dreieckskoordinaten 100, 106 -Koordinaten 283

303 -Randbedingung 7, 20, 62f., 72, 75, 126, A.35f., A.73, A.82, A.273 Nebenbedingung 13, 15f., 58, A.22, Netz -generierung 108, A.142 -verfeinerung 149 Netzwerkgleichungen 240 NEWMARK 287 NEWTON-COTES-Faktoren 152 NEWTON-COTES-Quadratur 150f., 154, 156, 161, 178f., 182 NEWTON-RAPHSON-Verfahren 243, 246f., 250f., 259f., 263, 267 NEWTONsche Fluide 237 nichtlineare -Einzelfeder 245 -Federelemente 252 -Federsysteme 259 -Gleichungen 247ff., 250, 252, 259, 271 -Kennlinie 240 -Matrixgleichung 134, A.202 -Probleme 237, 247, 252f., 257, 259, 283, A.192 -Randwertaufgabe 133 Nichtlinearität 237, 239f., 290, A.192 -geometrische 267, 269, 271, 279 -physikalische 237 -tensorielle 239, 272, 279, 290 -strukturelle 237 NORTON-BAILEYsches Kriechgesetz 238 numerische Zeitintegration 273

O Oberflächenkräfte 34 objektiver Tensor 273 Operatoren selbstadjungierte 135 optimale Kollokationspunkte 123ff., A.173, A.252 optisch inhomogenes Medium 11 orthogonale Polynome 169 orthonormierte Matrix A.19 orthonormiertes System 146f. Orthonomierungsbedingung A.19

P PASCALsches Dreieck 74 Pilgerschritt-Verfahren 247

plastic buckling 270 plastische Instabilität 270 Plastizität 272 Plastomechanik 43 Plattensteifigkeit A.33 p-Methode 149, A.134 POISSON-Gleichung 22, 130, 139, A.37 POISSONsche Differentialgleichung 18, 77, 84f., 125, 127, 129f., A.32, A.37, A.74, A.104f., A.133, A.136, A.169, A.171, A.274 polares Flächenträgheitsmoment 87, 109, 112, A.167f. post buckling A65 Potential der äußeren Kräfte 57 Potentialkräfte A.40 Prinzip der -materiellen Objektivität 273 -stationären Wirkung 67 -virtuellen Arbeit 1, 29, 33, 35ff., 41, 56, 272 -virtuellen Ergänzungsarbeit 36, 42 -virtuellen Kräfte 36, 40 -virtuellen Verschiebung 1, 23, 32, 37f., 43, 69, 72, 289, A.52 Prinzip des kürzesten Lichtweges A.10 Prinzip vom -Minimum der Ergänzungsarbeit 64 -Minimum des Gesamtpotentials 23f., 29f., 56, 61f., 64ff., 77, 289, A.47, A.86 -stationären Wert des Gesamtpotentials 26f., 58f. Prinzip von -FERMAT 11, A.10 -REISSNER 64 -TORRICELLI A.24 Pseudo-Viskoplastizitätstensor 274 Punktmechanik, Starrkörpermechanik 68

Q quadratisch integrierbare Funktionen 144 quadratische -Ansatzfunktionen 132, A.176f., A.188 -finite Elemente 82, 134f., A.234

304

Sachwortverzeichnis

-Formfunktionen 110f., 143, 285, A.118, A155ff., A.237, A.239, A.264, A.268, A.270, A.275 -Formfunktionen vom SERENDIPITYTyp A.162 Quadratur -fehler 176 -formel 150, 178 Quadraturformel nach NEWTON-COTES 152 Querkrafteinfluss 48 Querschnittsverwölbung 87 Quetschströmung A.75

R Randbedingungen 7, 40, 65, 136, A.22, A.25, A.52 -CAUCHYsche A.35 -DIRICHLETsche A.35f. -geometrische (erzwungene) 7, 62 -homogene 3, 79, A.134, A.155 -inhomogene 74, A.186 -natürliche 7, 20, 63, A.35f., A.73, A.273 -statische 63, A.73 -wesentliche 7 raumbezogene Koordinaten 267, 273 RAYLEIGH-RITZ-Verfahren 23, 73, 82, 112, A.12 RAYLEIGHscher Quotient 83f., A.62f Rechteckelemente A.134 reduzierte -Form 271 -Gesamtsteifigkeitsmatrix A.140 -Gleichungssysteme A.111, A.114, A.205 -Matrixgleichung 252, A.205, A.210 Referenz -element A.270 -konfiguration 267, 269f. -lösungen 149 Rekursionsbeziehung 284 Rekursionsformel 245, 280, 286, 288 Rekursionsschema 281ff.., 287 relative -Fehler 120f., A.110, A.112, A.116, A.120, A.123 -Fehlermatrix 160, 182 -Streckung 268f. relatives Minimum A.263, A.273

repositioning 149 Residuenvektor 258, A.220 Residuum 79, 86, 115f., 119, 125, 129, 257, 259, 287f., A.63f., A.171, A.173, A.175f., A.186, A.188, A.194, A.200, A.249, A.256 REYNOLDsche Differentialgleichung 240 REYNOLDS-POISSONDifferentialgleichung 365 Richtungskosinus 130 RIEMANNsches Integral 144 RITZ-Ansatz 1, 73ff., 82, 85, 87, 107ff., 125, 129, 143, A.86ff., A.97, A.99, A.134, A.137, A.142, A.153, A.186, A.229, A.250, A.263, A.265, A.275, A.277 -eingliedriger 85, 108, 110, 143, A133, A.141, A.145, A151, A.153, A.274 -zweigliedriger A.245, A.249, A.266, A.275 -dreigliedriger 108, A.148, A.160 RITZ-Koeffizienten 74, 82 r-Methode 149f., A.134 Rohrströmungen 240 rotatorische Trägheit A.81

S SATZ VON -ENGESSER 42 -EULER A.20 -MENABREA 42, A.57 Sätze von CASTIGLIANO 41ff., 54, 56, 289, A.55f., A.58 Schrankenmethode 43 SCHWARZsche Ungleichung 146 Schwingungsprobleme 82, 289 selbstadjungiert 127ff., 137, 141, A.254 selbstadjungierte -Differentialgleichung A.259 -Form 141f., 145, A.244, A.258, A.260, A.275 -Operatoren 127, 130, 137, 290, A.274 Selbstdiffusion 238 SERENDIPITY-Typ 108, 111f., A.134f. shape functions 41, 80, 132, 149, 281, A.59, A.134, A.188, A.192, A.200ff., A.206, A.208, A.239, A.255f.

305 SIMPSON-Regel 153 singuläre Spannungen 147 Spannungs -deviator 238 -feld 147 -geschwindigkeiten 273 -inkremente 273, 278 -tensor 23 spezifische -Ergänzungsarbeit 42 -Ergiebigkeit der Wärmequellen 133, 135 -Wärme 133, 135 spezifischer Wärmestrom 133, A.196 spezifisches elastisches Potential 39f., 57 Stabelement 85, 267, A.71, A.231 stabiles Werkstoffverhalten 272 Stabilitätsprobleme 270, 273, 281 -der Kriechmechanik (creep buckling) 270 Starrkörperbewegung 268 Startvektor / Startwert 248ff. stationäre anisotrope Wärmeleitung 22, A.36 stationäre Wärmeleitung 133, A.196 statisch äquivalente Knotenbelastung A.93 Steifigkeits -anforderungen A.229 -beziehung 29, 53, 56, A.66 -koeffizeint 241 -matrix 23, 28, 45, 47, 49, 51, 54, 56, 77, 82, 97, 99, 101, 130, 148, 150, 156f., 160, 179, 181f., 237, 241, 258, 271, A.76, A.78, A.89, A.93, A.108, A.114, A.119, A.121, A.135, A139, A.147, A.156, A.177, A.192, A.202, A.213 Stoff -gesetz 38, 148 -gleichungen 65 -matrix 148 Störfunktion A.215 strain energy 24, 39, 55, 57 Strukturdynamik 1 Strukturmechanik 1, 73 Stützstellen 161f., 176, 282, A.96 subdomain method 115, A.172, A.190, A.243

T Tangenten -matrix 243ff., 250, 259 -steifigkeit 242 -steifigkeitsmatrix 243, 245, 248, 278 -steifigkeitszahl 243 TAYLOR-Entwicklung 6, 250, 259, 274, 277 TAYLOR-Reihe 8, 9, 60, 242 Tensor -notation 84 -polynom 238 -quadrik 15, A.18 -rechnung 14 Tensor der Wärmeleitzahlen 135 tensorielle Linearität 239, tensorielle Nichtlinearität 238f., 272, 279, 290 Testfunktionen 78, 83, A.187 Theorie endlicher Verzerrungen 239 Theorie zweiter Ordnung 239 TIMOSHENKO 87 tordierter Querschnitt 18, A.149 Torsion von Stäben 289 Torsions -funktion 85ff., 95, 97f., 103f., 106, 110, A.37, A.106, A.113, A117, A120, A.122, A.128f., A.136, A.144f., A.151, A.154, A.159, A.162f., A.165, A.169 -moment 86f., 92, 106, 108, 110f., 200, A.109, A.113f., A.116, A.120, A.129, A.137, A.141, A.145, A.149, A.151, A.153, A.155, A.160, A.165, A.167, A.170 -problem 85, 96, 100, A.114 -stab 86, 90 -trägheitsmoment A.169 traction vector 35 Trägheits -kraft 68, A.37 -term 281 Traglasttheorie 43 Transformationsmatrix A.19 transiente Feldprobleme 280 TREFFTZ 75 trial functions A.187

306

Sachwortverzeichnis

trilineare Transformation 220, 226, 228, 231 TSCHEBYSCHEFFsche Differentialgleichung 143, A.261 turbulenter Fall 240

U überbestimmte Kollokation A.221 überbestimmtes Gleichungssystem 116, A.171 Übertragungsmatrix 289, A.81

V Variation 4f., 60f., A.251 Variations -aufgabe 7f., 10, 12f., 17, 58, 78, 129, 139, 141, 289, A.1, A.3, A.13, A.31 -formulierung A.12 -funktional 137ff., A.244 -methode 1, 29, 68, 112ff., 121, 123f., 127, 130, 136, A.252, A.274 -operator A.34 -parameter 5 -prinzip 24, 73, 128f., 131, 137 -rechnung 1, 2, 10, 287 Vektor-Fehlernorm 249, 254 Vektorfolge 249, 251 verallgemeinerte Knotenverschiebungen 45 verallgemeinerte Polarkoordinaten A.166 Verfahren der -gewichteten Residuen 73, 115, 117, 284, 287, A.171, A.186 -Kollokation in Teilbereichen A.190 -punktweisen Kollokation 117 Verfahren des gewichteten Restes 1 Vergleichsfunktion 4, 78 Verschiebungs -ansätze (linear,quadratisch,kubisch) 41, 71, 267, 275, 278 -feld 147 -funktion A.59 -inkremente 245, 278 -vektor 23, 272, A.95 Verträglichkeits -bedingungen 35, 40 -gruppe 35

Verwölbung 109 Verwölbungsfunktion 109, A.171 Verzerrungs -energie (strain energy) 24f., A.38, A.45 -feld 147 -geschwindigkeitstensor 238, 273 -tensor 23 Vierpunkte-GAUSS-Quadratur 165 virtuelle -Ergänzungsarbeit A.53 -Kräfte 42, A.52 -Nachbarkurven 67 -Spannungen A.52 -Verdrehungen 41 -Verschiebungen 32, 35, 67, A.51, A.82 -Verschiebungsvektoren 41, A.51 -Verzerrungen 36 -Verzerrungsarbeit 38 -Ergänzungsarbeit 64 viskoplastische Verzerrungsinkremente 274 viskoplastisches -Stoffgesetz 272 -Fließen 272 -Modell 272 vollständige Polynome 74ff. Volumenkräfte (Massenkräfte) 34f., 68, A.170

W wahrer Fehler 122, A.192 wahrer relativer Fehler 119 Wärme -leitfähigkeit 133 -leitung 136 -leitungsproblem 237 -leitzahl 133, 135, 237, A.36 -quelle A.36 -übertragung 289 WEBERsche Funktion A.278 werkstoffbedingte Anisotropie, 279 Wichtungs -faktoren 161f., 165, 168, 171, 190, 193, 220ff., 225, 231 -funktionen 115, 117ff., 125, 172, 176, 287, A.64, A.171ff., A.187f., A.190, A.222, A.229, A.249, A.256

307 Wirkungsintegral 67 Wurzelsatz von VIETA 166

Z zeitabhängige Probleme 237, 272, 280, 287 Zeitableitung 280, 282 Zeitdiskretisierung 132 Zeitintegrationsverfahren 273f., 279 zeitlicher Temperaturverlauf 131 Zeitschrittverfahren 281, 283 Zeitunabhängige Probleme 237 zentraler Differenzenquotient 282 Zwangsbedingung A.36 zweidimensionale Probleme der -instationären Wärmeleitung 136 -Quadraturen 190 -sationären Wärmeleitung 135 zweigliedriger RITZ-Ansatz A.245, A.249, A.266, A.275 zweite Variation 60f. zweiter PIOLA-KIRCHHOFFSpannungsgeschwindigkeitstensor 273f. Zykloide 298f.

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