Finite Elemente in der Baustatik

Horst Werkle Finite Elemente in der Baustatik Aus dem Programm Bauwesen Handkommentar zur VOB von W. Heiermann, R. R...

Author: Horst Werkle

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Horst Werkle

Finite Elemente in der Baustatik

Aus dem Programm Bauwesen

Handkommentar zur VOB von W. Heiermann, R. Riedl, M. Rusam und J. Kuffer Formeln und Tabellen Stahlbau von E. Piechatzek und E.-M. Kaufmann Massivbau von P. Bindseil Bauwerke und Erdbeben von K. Meskouris, K.-G. Hinzen, C. Butenweg und M. Mistler Statik und Stabilität von C. Petersen Finite Elemente in der Baustatik von H. Werkle Baubetriebslehre – Grundlagen von K. Stark Baubetriebslehre – Projektmanagement von P. Greiner, P.E. Mayer und K. Stark

vieweg

Horst Werkle

Finite Elemente in der Baustatik Statik und Dynamik der Stab- und Flächentragwerke 3., aktualisierte und erweiterte Auflage mit 305 Abbildungen und 43 Tabellen

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Kontakt zum Autor: www.Finite-Elemente-in-der-Baustatik.de

1. Auflage 1995 2. Auflage 2001 3. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008 Lektorat: Karina Danulat | Annette Prenzer Technische Redaktion: Annette Prenzer Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-528-28882-2

V Man kann gewiss nicht alles simpel sagen, aber man kann es einfach sagen. Und tut man es nicht, so ist das ein Zeichen, dass die Denkarbeit noch nicht beendet war. Tucholsky

Vorwort zur 1. Auflage Computerorientierte Berechnungsverfahren der Baustatik unterscheiden sich grundlegend von klassischen Berechnungsverfahren, die für die Handrechnung oder für die zeichnerische Lösung einer statischen Aufgabe entwickelt wurden. Zwar sind die mechanischen Grundlagen und deren mathematische Formulierung in der Regel bei beiden Verfahren gleich, jedoch ist die Lösung der mathematischen Aufgabe nach sehr unterschiedlichen Gesichtspunkten optimiert. Bei den klassischen Verfahren werden die zu lösenden Gleichungen so aufbereitet, dass ein Minimum an Rechenaufwand entsteht und ein größtmögliches Maß an Anschaulichkeit in den einzelnen Lösungsschritten gegeben ist. Damit sollen die Bearbeitungszeit für die Durchführung der Berechnung so kurz wie möglich gehalten und die Richtigkeit der Rechenergebnisse sichergestellt werden. Demgegenüber ist der Rechenaufwand bei den computerorientierten Berechnungsverfahren nahezu bedeutungslos. Erst bei Gleichungen mit mehreren tausend Unbekannten wird er hier von Interesse. Computerorientierte Berechnungsverfahren sind in Hinblick auf eine möglichst schematische Durchführung der Rechenaufgabe formuliert. Das gesamte Tragwerk wird hierzu in eine Vielzahl von Abschnitten zerlegt, deren statisches Verhalten verhältnismäßig einfach und leicht überschaubar ist. Erst durch das Zusammenfügen aller Abschnitte entsteht das gesamte Tragwerk mit seinem komplizierten statischen Tragverhalten. Durch diese Vorgehensweise sind die Verfahren sehr übersichtlich und verhältnismäßig leicht zu programmieren. Sie erlauben die Berechnung von komplizierten Tragwerken mit nahezu dem gleichen Aufwand wie bei einfachen statischen Systemen. Darüber hinaus ermöglichen es computerorientierte Verfahren auch, komplizierte Flächentragwerke in sehr guter Näherung statisch zu berechnen, während die klassischen statischen Verfahren sich in der Regel auf Stabtragwerke beschränken müssen. Computerorientierte Berechnungsverfahren wurden mit einer eher abstrakten, analysierenden Denkweise entwickelt, während die klassischen Verfahren einer eher ganzheitlichen Betrachtung des statischen Systems entsprechen. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die computerorientierten Berechnungsverfahren keiner ganzheitlichen Betrachtung bedürfen. Nach jeder Computerberechnung sind die Ergebnisse – wie im übrigen auch bei der Handrechnung – auf ihre Richtigkeit, zumindest aber auf ihre Plausibilität hin zu überprüfen. Dies erfordert das „ganze“ statische Wissen und die Erfahrung des konstruktiven Ingenieurs. Für Computerberechnungen in der Baustatik hat sich heute die Finite-Element-Methode in der Praxis durchgesetzt. Für topologisch eindimensionale Systeme wie Durchlaufträger ist noch

VI

Vorwort zur zweiten Auflage

das Übertragungsmatrizenverfahren von Bedeutung. Eine gewisse Sonderstellung nimmt auch die Randelementmethode für Flächentragwerke und Kontinua ein. In der vorliegenden Arbeit wird ausschließlich die Finite-Element-Methode behandelt. Eine statische Berechnung ist nur dann transparent, wenn das zugrunde liegende Verfahren einsichtig und verständlich ist. Dies gilt auch für die Finite-Element-Methode. Daher ist das Verständnis der Grundlagen der Finite-Element-Methode auch für den Anwender baustatischer Berechnungsprogramme unabdingbar. Hierzu werden zunächst als mathematisches Hilfsmittel die Grundzüge der Matrizenrechnung und weiterhin die Grundgleichungen des Stabes, der Scheibe und der Platte behandelt. Daran schließt sich eine Einführung in die Finite-Element-Methode für Stabwerke an. Danach werden die theoretischen Grundlagen der Finite-Element-Berechnung von Scheiben- und Plattentragwerken, für die die Finite-ElementMethode heute zum Standardwerkzeug geworden ist, behandelt. Die Eigenschaften von gängigen, in kommerzielle Finite-Element-Software implementierten Elementtypen werden in einem Überblick dargestellt. Abschließend werden die in der Praxis wichtigen Fragen der Modellbildung und der Qualitätssicherung von Finite-Element-Berechnungen erörtert. Das Buch richtet sich an praktisch tätige Ingenieure sowie an Studierende der Fachhochschulen und – soweit die Anwendung der Finite-Element-Methode im Vordergrund steht – auch der Technischen Hochschulen und Universitäten. Es hat zum Ziel, zu einem vertieften Verständnis der Finite-Element-Methode und der qualifizierten Interpretation der mit ihr erhaltenen Ergebnisse beizutragen. Die Arbeit entstand im Zusammenhang mit meiner Lehrtätigkeit an der Fachhochschule Konstanz. Mein Dank für die unermüdliche Unterstützung hierbei gilt vor allem Frau Outi Teirikangas-Lerssi sowie Herrn Petri Aitta. Dem Vieweg-Verlag danke ich für die hilfreiche Zusammenarbeit.

Konstanz, im August 1995

Horst Werkle

Vorwort zur zweiten Auflage Seit dem Erscheinen der ersten Auflage vor sechs Jahre hat das Bewusstsein für die Bedeutung der Modellbildung bei Finite-Element-Berechnungen deutlich zugenommen. Dies kommt in neueren Buchveröffentlichungen und Fachbeiträgen zum Ausdruck. Fragen der Modellbildung zu vermitteln, war neben der Darstellung der grundlegenden Zusammenhänge der FiniteElement-Methode ein wesentliches und damals neues Anliegen der ersten Auflage. In der vorliegenden zweiten Auflage wurden die Abschnitte über die Modellbildung und die Softwaretechnologie aktualisiert und durch ein neues Kapitel zur Dynamik der Tragwerke, die für spezielle Untersuchungen heute auch in der Praxis von Bedeutung ist, ergänzt. Für die sorgfältige Durchführung der Zeichenarbeiten danke ich Frau Angelika Appelt. Mein Dank gilt auch wieder dem Vieweg Verlag und hier insbesondere Frau Julia Ehl für die gute, verständnisvolle Zusammenarbeit.

Konstanz, im Mai 2001

Horst Werkle

Vorwort zur dritten Auflage

VII

Vorwort zur dritten Auflage Für die dritte Auflage wurde das Buch an einer Reihe von Stellen überarbeitet und ergänzt. Neu ist das Kapitel über die nichtlineare Finite-Element-Methode. Gerade in den letzten Jahren hat deren Bedeutung in der Praxis zugenommen. Dies kommt auch in neueren Normen wie der DIN 1045-1 (Ausgabe 2007-05) zum Ausdruck. Neu ist auch der Abschnitt über die Wölbkrafttorsion. Hier besteht im Bereich der praxisgerechten Modellierung von Verbindungen noch Forschungsbedarf. Für die Durchsicht des Kapitels zu den Materialgesetzen im Stahlbetonbau danke ich Herrn Kollege Prof. Franz Zahn, PhD, für Hinweise zu den numerischen Verfahren Herrn Prof. Dr. Jürgen Garloff, HTWG Konstanz. Frau Karina Danulat und dem Vieweg Verlag danke ich wieder für die konstruktive Zusammenarbeit.

Konstanz, im Oktober 2007

Horst Werkle

IX

Inhaltsverzeichnis

1 Matrizenrechnung ............................................................................................................... 1 1.1 Matrizen und Vektoren ................................................................................................... 1 1.2 Matrizenalgebra .............................................................................................................. 3 1.2.1 Addition und Subtraktion ..................................................................................... 3 1.2.2 Multiplikation ....................................................................................................... 4 1.2.3 Matrizeninversion ................................................................................................ 6 1.3 Gleichungssysteme ......................................................................................................... 7 1.3.1 Inhomogene und homogene Gleichungssysteme ................................................. 7 1.3.2 Existenz von Lösungen ........................................................................................ 8 1.3.3 Lösungsverfahren ................................................................................................. 9 1.3.4 Normen und Konditionszahl .............................................................................. 18 1.4 Eigenwertprobleme ....................................................................................................... 19 1.4.1 Allgemeines Eigenwertproblem ......................................................................... 19 1.4.2 Numerische Lösungsverfahren für Eigenwertprobleme ..................................... 25 1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme .................................................................................. 37 1.5.1 Einführung .......................................................................................................... 37 1.5.2 Sekantenverfahren .............................................................................................. 39 1.5.3 Newton-Raphson-Verfahren .............................................................................. 41 1.5.4 Quasi-Newton-Verfahren ................................................................................... 50 1.5.5 Kurvenverfolgungsverfahren .............................................................................. 54 1.5.6 Konvergenzkriterien ........................................................................................... 60 1.5.7 Steuerungsstrategien ........................................................................................... 62 2 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie ....................................................................... 65 2.1 Tragwerkstypen und Grundgleichungen ....................................................................... 65 2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe ...................................................... 66 2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte ............................................................ 75 2.4 Räumliche Tragwerke .................................................................................................. 83 3 Finite-Element-Methode für Stabwerke .......................................................................... 87 3.1 Überblick ...................................................................................................................... 87 3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren ................... 87 3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite Elemente ........................................... 87 3.1.3 Berechnungsverfahren ........................................................................................ 89

X

Inhaltsverzeichnis 3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke ........................................................................ 91 3.2.1 Statisches System ............................................................................................... 91 3.2.2 Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs .................................................... 92 3.2.3 Koordinatentransformation ................................................................................. 94 3.2.4 Systemsteifigkeitsmatrix .................................................................................. 100 3.2.5 Auflagerbedingungen ....................................................................................... 107 3.2.6 Lösung des Gleichungssystems ........................................................................ 110 3.2.7 Auflagerkräfte und Elementspannungen .......................................................... 111 3.3 Federn ......................................................................................................................... 114 3.4 Biegebalken ................................................................................................................ 115 3.4.1 Elementsteifigkeitsmatrix und Spannungsmatrix ............................................. 115 3.4.2 Elementlasten ................................................................................................... 118 3.4.3 Erweiterung der Steifigkeitsmatrix für Normalkräfte und zur Berücksichtigung der Schubsteifigkeit ................................................ 124 3.4.4 Koordinatentransformation ............................................................................... 125 3.4.5 Gelenke ............................................................................................................ 127 3.5 Zusammengesetzte Stabwerke .................................................................................... 130 3.6 Räumliche Stabwerke ................................................................................................. 133 3.6.1 Allgemeines ...................................................................................................... 133 3.6.2 Biegebalken ...................................................................................................... 134 3.6.3 Biegebalken mit Wölbkrafttorsion ................................................................... 137 3.7 Modellbildung bei Stabwerken ................................................................................... 143 3.7.1 Auflager ............................................................................................................ 143 3.7.2 Federn ............................................................................................................... 145 3.7.3 Biegebalken ...................................................................................................... 148 3.7.4 Symmetrische Systeme ..................................................................................... 154 3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen ....................... 157 3.8.1 Fehlermöglichkeiten bei Stabwerksberechnungen ........................................... 157 3.8.2 Kontrollen von Stabwerksberechnungen .......................................................... 161

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke ........................................................... 167 4.1 Historische Entwicklung ............................................................................................. 167 4.2 Überblick .................................................................................................................... 167 4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode ...................................................... 169 4.3.1 Eindimensionales Erläuterungsbeispiel ............................................................ 169 4.3.2 Analytische Lösung .......................................................................................... 170 4.3.3 FEM-Näherungslösung mit linearem Verschiebungsansatz ............................. 173 4.3.4 FEM-Näherungslösung mit quadratischem Verschiebungsansatz .................... 180

Inhaltsverzeichnis

XI

4.3.5 Eigenschaften der FEM-Näherungslösung ....................................................... 188 4.4 Rechteckelement für Scheiben ................................................................................... 189 4.4.1 Ansatzfunktionen ............................................................................................. 189 4.4.2 Verzerrungen und Spannungen ........................................................................ 192 4.4.3 Steifigkeitsmatrix ............................................................................................. 194 4.4.4 Elementlasten ................................................................................................... 197 4.4.5 Beispiele ........................................................................................................... 200 4.5 Finite Elemente für Scheiben ..................................................................................... 206 4.5.1 Eigenschaften von Finiten Elementen .............................................................. 206 4.5.2 Elemente mit stetigen Verschiebungsansätzen ................................................. 212 4.5.3 Nichtkonforme Elemente ................................................................................. 220 4.5.4 Hybride Elemente ............................................................................................. 221 4.6 Rechteckelement für Platten ....................................................................................... 229 4.6.1 Elementtyp ....................................................................................................... 229 4.6.2 Ansatzfunktionen ............................................................................................. 229 4.6.3 Verzerrungsgrößen und Schnittgrößen ............................................................. 231 4.6.4 Steifigkeitsmatrix ............................................................................................. 233 4.6.5 Elementlasten ................................................................................................... 235 4.7 Finite Elemente für Platten ......................................................................................... 237 4.7.1 Schubweiche Plattenelemente mit Verschiebungsansatz ................................. 237 4.7.2 Schubstarre Plattenelemente mit Verschiebungsansatz .................................... 238 4.7.3 Hybride Plattenelemente .................................................................................. 243 4.7.4 Beispiel ............................................................................................................. 244 4.8 Finite Elemente für Schalen ....................................................................................... 247 4.8.1 Ebene Schalenelemente .................................................................................... 247 4.8.2 Gekrümmte Schalenelemente als modifizierte Volumenelemente ................... 250 4.8.3 Rotationssymmetrische Schalenelemente ........................................................ 250 4.9 Volumenelemente ....................................................................................................... 254 4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten ............................................................ 255 4.10.1 Allgemeines .................................................................................................... 255 4.10.2 EST-Element zur Verbindung von Stäben und Stützen mit Scheiben ............ 257 4.10.3 EST-Element zur Verbindung von Stützen mit Plattentragwerken ................ 270 4.10.4 Weitere Elementübergänge ............................................................................ 278 4.11 Modellbildung von Bauteilen ................................................................................... 279 4.11.1 Tragwerksmodelle .......................................................................................... 279 4.11.2 Singularitäten von Zustandsgrößen ................................................................ 280 4.11.3 Elementwahl und Netzbildung ....................................................................... 283 4.11.4 Modellbildung bei Scheiben ........................................................................... 293

XII

Inhaltsverzeichnis 4.11.5 Modellbildung bei Platten .............................................................................. 313 4.11.6 Modellbildung bei Faltwerken, Schalen und allgemeinen 3D-Systemen ...... 345 4.11.7 Ergebnisinterpretation .................................................................................... 350

4.12 Qualitätssicherung und Dokumentation von Finite-Element Berechnungen ............ 354 4.12.1 Fehlerabschätzung und adaptive Netzverdichtung ......................................... 354 4.12.2 Kontrollen bei Flächentragwerken ................................................................. 357 4.12.3 Dokumentation der Finite-Element-Berechnung ............................................ 359 5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke ................................................................... 361 5.1 Einleitung ................................................................................................................... 361 5.2 Grundbegriffe der Dynamik ....................................................................................... 361 5.2.1 Kinematik ......................................................................................................... 361 5.2.2 Massenkräfte .................................................................................................... 362 5.2.3 Dämpfungskräfte .............................................................................................. 369 5.3 Bewegungsgleichungen .............................................................................................. 371 5.4 Freie Schwingungen ................................................................................................... 375 5.4.1 Ungedämpfte Schwingungen ............................................................................ 375 5.4.2 Gedämpfte Schwingungen ................................................................................ 382 5.5 Schwingungen infolge harmonischer Erregung .......................................................... 385 5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung ................................................................ 391 5.6.1 Direkte numerische Integration ........................................................................ 391 5.6.2 Modalanalyse ................................................................................................... 397 5.6.3 Fourier-Transformation .................................................................................... 404 5.7 Erdbebenberechnung .................................................................................................. 415 5.7.1 Allgemeines ...................................................................................................... 415 5.7.2 Zeitverlaufsberechnungen ................................................................................ 416 5.7.3 Antwortspektrenverfahren ................................................................................ 422 5.8 Modellbildung ............................................................................................................ 437 5.8.1 Tragwerks- und Finite-Element-Modell ........................................................... 437 5.8.2 Modellbildung von Gebäuden und Boden-Bauwerk-Wechselwirkung ............ 442 5.8.3 Modellierung der Dämpfung ............................................................................ 450 5.8.4 Modellierung der Massen ................................................................................. 454 5.8.5 Diskretisierung im Zeit- und Frequenzbereich ................................................. 456 5.8.6 Dynamisches Modell und physikalische Wirklichkeit ..................................... 461 6 Nichtlineare Finite-Element-Methode ........................................................................... 467 6.1 Einleitung ................................................................................................................... 467 6.2 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme .................................................................. 470

Inhaltsverzeichnis

XIII

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente .................................................................. 477 6.3.1 Einleitung ......................................................................................................... 477 6.3.2 Fachwerkstab nach Theorie III. Ordnung ......................................................... 477 6.3.3 Fachwerkstab nach Theorie II. Ordnung .......................................................... 483 6.3.4 Biegebalken nach Theorie II. Ordnung ............................................................ 489 6.3.5 Plattenelement nach Theorie II. Ordnung ........................................................ 503 6.3.6 Finite Elemente mit großen Verschiebungen ................................................... 508 6.4 Nichtlineare Materialgesetze ...................................................................................... 517 6.4.1 Allgemeines ...................................................................................................... 517 6.4.2 Eindimensionale Materialgesetze für Stahl, Beton und Stahlbeton .................. 519 6.4.3 Mehrdimensionale Materialgesetze nach der Plastizitätstheorie ...................... 523 6.4.4 Zweidimensionale Materialgesetze für Stahl, Beton und Stahlbeton ............... 527 6.4.5 Elemente mit materieller Nichtlinearität .......................................................... 535 6.5 Modellbildung ............................................................................................................ 540 6.5.1 Stabtragwerke ................................................................................................... 540 6.5.2 Flächentragwerke ............................................................................................. 540 6.6 Nichtlineare Berechnungen in der Baustatik .............................................................. 549 7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen ................................. 551 7.1 Programmaufbau und Benutzeroberflächen ............................................................... 551 7.2 Netzgenerierung ......................................................................................................... 556 7.3 Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen ............................................... 580 7.4 Integration in die computerunterstützte Tragwerksplanung ....................................... 567 Literatur ............................................................................................................................... 569 Internet-Adressen ................................................................................................................ 589 Finite-Element-Software ..................................................................................................... 590 Sachwortverzeichnis ............................................................................................................ 591

1

1 Matrizenrechnung

1.1 Matrizen und Vektoren Matrizen ermöglichen die übersichtliche Darstellung linearer Zusammenhänge von mehreren Veränderlichen. Sie werden hierzu auch bei den computerorientierten Berechnungsverfahren der Baustatik verwendet. Die Übersichtlichkeit der Matrizenschreibweise wird bereits am Beispiel eines linearen Gleichungssystems deutlich. Gegeben seien die vier Gleichungen 5 x1 -

3 x2

-

6 x3

=0

-3 x1 + 8 x2

+ 2 x3

+

9 x2

+ 5 x3

+ 7 x4

=1

3 x2

+ 4 x3

+ 5 x4

= -2

4 x1 -

x4

=2

mit den Unbekannten x1, x2, x3 und x4. In Matrizenschreibweise lautet das Gleichungssystem: ª 5 −3 −6 « 2 «− 3 8 « 4 −9 5 « 3 4 ¬ 0

ª 0 º 0 º ª x1 º » « » « » 1 » « x2 » 2 » ⋅ = « « 1 » 7 » « x3 » » « » « » 5 ¼ ¬ x4 ¼ ¬ − 2¼

wobei die Koeffizienten der Unbekannten auf der linken Seite zu einer Matrix zusammengefasst werden. Ebenso werden die Unbekannten der linken Seite und die bekannten Größen der rechten Seite zu jeweils einem Vektor zusammengefasst. Unter Verwendung von Matrizensymbolen für die Felder kann man die obige Gleichung auch schreiben: A.x=b

(1.0)

wobei A die Koeffizientenmatrix des linearen Gleichungssystems, x der Vektor der unbekannten und b der Vektor der bekannten Größen bedeuten. Es ist also: ª 5 −3 −6 « 2 −3 8 A= « « 4 −9 5 « 3 4 ¬ 0

0º » 1» 7» » 5¼

ª « x =« « « ¬

x1 º » x2 » x3 » » x4 ¼

ª 0 º « » 2 » « b = « 1 » « » ¬ − 2¼

2

1 Matrizenrechnung

Tabelle 1-1 Matrizen Bezeichnung

Eigenschaften

Rechteckmatrix

Anzahl der Spalten n

Quadratmatrix

≠

Anzahl der Reihen m

Anzahl der Spalten n = Anzahl der Reihen m Quadratmatrix, bei der die Elemente an der Diagonalen gespiegelt

Symmetrische Matrix

Diagonalmatrix

Einheitsmatrix

Nullmatrix

Transponierte Matrix

werden, so dass gilt: aik = aki und A = AT ªa11 « « « « « « « ¬ ª1 « « « « « « « « ¬

a22

0 %

0

%

1

º » » » » » » » » 1¼( n,n )

1 0

º » » » » » » ann »¼ (n,n )

0 1

Quadratmatrix, bei der nur die Diagonalterme besetzt sind: aik = 0 für i ≠ k

Diagonalmatrix, bei der alle Elemente 1 sind: aik = 1 für i = k aik = 0 für i ≠ k

= I

Alle Elemente sind Null: aik = 0 für alle i, k. T A entsteht durch Vertauschen der Spalten und Zeilen der Ausgangsmatrix A. Es gilt:

T

T

(A · B) = B · A

T

und

(A )

T T

= A.

n

Spur einer Matrix

Sp ( A) = a11 + a22 + ....+ ann =

¦a

kk

k= 1

Determinante zweiter Ordnung

§ª a11 a12 º· det¨¨« »¸¸ = a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12 ©¬ a21 a22 ¼¹ Determinante dritter Ordnung Determinante einer Matrix

§ª a a ¨« 11 12 det¨« a21 a22 ¨« ©¬ a31 a32

a13 º· »¸ a23 »¸ ¸ a33 »¼¹

= a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 − a31 ⋅ a22 ⋅ a13 − a32 ⋅ a23 ⋅ a11 − a33 ⋅ a21 ⋅ a12 Determinanten höherer Ordnung siehe [1.1]

1.2 Matrizenalgebra

3

Die Definition einer Matrix lautet somit: Definition Eine Matrix ist ein System von m*n Elementen, die in einem rechteckigen Schema von m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.

A

ª a11 « « a21 « . = « « . « . « ¬ am1

a12 a22

. .

. .

. .

aki

. .

aik

. am 2

.

.

.

a1n º » a2n » . » » . » . » » amn ¼

Die Matrix hat eine Ordnung n*m. Eine Matrix mit nur einer Spalte heißt auch Vektor. Der Begriff des Vektors wird also nicht geometrisch definiert, sondern ist ganz allgemein zu verstehen als ein System geordneter Elemente. Somit lassen sich auch Größen verschiedener Dimension, wie z. B. die Schnittgrößen M, N, V zu einem Vektor zusammenfassen. Weitere spezielle Formen von Matrizen sind in Tabelle 1-1 angegeben. Danach ist z. B. die Matrix A im obigen Beispiel eine unsymmetrische Quadratmatrix der Ordnung 4. Da Matrizen als Koeffizientenschema eines linearen Gleichungssystems aufgefasst werden können, ist die lineare Unabhängigkeit der Zeilen und Spalten für die Lösbarkeit des Gleichungssystems von Bedeutung. Besitzt eine quadratische Matrix linear abhängige Spalten oder Zeilen, so heißt sie singulär. Das entsprechende Gleichungssystem ist in diesem Fall nicht mehr eindeutig lösbar. Für Matrizen lassen sich, ähnlich wie für reelle Zahlen, bestimmte Rechenoperationen definieren.

1.2 Matrizenalgebra 1.2.1 Addition und Subtraktion Zur Addition oder Subtraktion zweier Matrizen werden die entsprechenden Elemente addiert bzw. subtrahiert. Die Matrizenaddition und -subtraktion sind also nur für Matrizen von gleicher Ordnung definiert. A+B=C

wobei

aij + bij = cij

Es gelten wie bei den reellen Zahlen die Rechenregeln: A+B=B+A

(Kommutativgesetz)

A + (B + C) = (A + B) + C

(Assoziativgesetz)

(1.1)

4

1 Matrizenrechnung

1.2.2 Multiplikation Zur Multiplikation einer Matrix mit einem Faktor muss jedes Element der Matrix mit dem Faktor multipliziert werden, d. h.: c.A=B

wobei

bij = c . aij

(1.2)

Das Produkt zweier Matrizen A und B kann nur dann gebildet werden, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. Man erhält das Element cij der Matrix C, wenn man die Elemente der i-ten Zeile der Matrix A mit den entsprechenden Elementen der jten Spalte der Matrix B multipliziert und die Produkte addiert:

A.B=C

wobei

n cij = ¦ (aik . bkj) k=1

(1.3)

Die neue Matrix C hat so viele Zeilen wie die erste Matrix A und so viele Spalten wie die zweite Matrix B. Die Matrizenmultiplikation kann anschaulich als das Einsetzen des "Lösungsvektors" eines Gleichungssystems in ein anderes Gleichungssystem gedeutet werden (Beispiel 1.3). Für die Handrechnung ist das sogenannte Falksche Schema nützlich (siehe [1]). Beispiel 1.1 Überprüfen Sie die Rechenregel ( A ⋅ B) T = B T ⋅ AT anhand der beiden angegebenen Matrizen.

ª 4 − 3 − 3 0º » « 2 1» A = «− 3 8 «¬ 4 − 9 0 7»¼

3º ª1 «0 2» » B= « « 4 − 1» « » ¬− 1 2 ¼

ª− 8 9 º « » A ⋅ B = « 4 7» «¬− 3 8»¼

ª1 0 4 − 1º BT = « » ¬3 2 − 1 2 ¼

ª 4 −3 4 º «− 3 8 − 9 » » AT = « «− 3 2 0» » « 1 7 ¼ ¬0

ª− 8 4 − 3º B T ⋅ AT = « » ¬9 7 8¼

Transponiert man das Produkt A ⋅ B der Matrizen A und B , erhält man das Produkt von B T und A T . Es gelten folgende Rechenregeln: A . (B . C)

= (A . B) . C

(Assoziativgesetz)

(1.4a)

A . (B + C)

=A.B+A.C

(Distributivgesetz)

(1.4b)

1.2 Matrizenalgebra

5

Hingegen gilt das Kommutativgesetz bei der Matrizenmultiplikation nicht, d. h. es ist A.B ≠ B.A. Beispiel 1.2 Es ist anhand der Matrizenprodukte (B . A) und (A . B) zu zeigen, dass das Kommutativgesetz nicht gilt. ª 1

1º » «¬− 1 − 1 »¼

ª1 1º B=« » «¬1 1»¼

A=« Man erhält:

ª 2

2 º » ¬«− 2 − 2 ¼»

ª0

0º » ¬« 0 0 ¼»

A⋅ B = «

B⋅ A = «

Das Beispiel zeigt auch, dass das Produkt zweier Matrizen auch dann eine Nullmatrix sein kann, wenn keine der beiden miteinander multiplizierten Matrizen eine Nullmatrix ist.

Beispiel 1.3 Gegeben sind die beiden Gleichungen A·x=f x=B·y mit den Unbekannten x und y. Durch Einsetzen von x = B · y in die Gleichung A · x = f erhält man: A·B·y=f Es ist zu zeigen, dass man mit dem Matrizenprodukt (A · B) dieselbe Koeffizientenmatrix für die Unbekannten y erhält wie mit dem Einsetzen der Gleichungen für x1 und x2 aus dem zweiten Gleichungssystem in das erste Gleichungssystem. Lösung in Matrizenschreibweise: A·x=f

x=B·y

ª3 « ¬«4

2º ª x1 º ª4º »⋅« » =« » 1¼» ¬« x2 ¼» ¬«7¼»

ª3 « «¬4

2º

»= A 1»¼

A·B·y=f ª x1 º ª2 « »=« ¬« x2 ¼» ¬«3

ª 2 4º » «¬3 2»¼

B=«

4º ª y1 º »⋅« » 2¼» «¬ y2 »¼

ª 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2º » «¬ 2 ⋅ 4 + 3 ⋅1 4 ⋅ 4 + 2 ⋅1»¼

A⋅B = «

6

1 Matrizenrechnung

Lösung durch Einsetzen von Gleichungen: 3 x1 + 2 x2

=4

x1 = 2 y1 + 4 y2

(2·3+3·2) y1 + (4·3+2·2) y2 = 4

4 x1 + x2

=7

x2 = 3 y1 + 2 y2

(2·4+3·1) y1 + (4·4+2·1) y2 = 7

1.2.3 Matrizeninversion Die Matrizeninversion entspricht in der Zahlenalgebra der Division. Überträgt man etwa den aus a / b = c erhaltenen Ausdruck a · b-1 = c formal in Matrizenschreibweise, erhält man A · B-1 = C Hierin bedeutet B-1 die Inverse der quadratischen Matrix B. Multipliziert man eine Matrix mit ihrer Inversen, so erhält man die Einheitsmatrix: A · A-1 = I

(1.5)

Diese Gleichung ist bereits die Ausgangsgleichung zur Berechnung einer inversen Matrix A-1 bei gegebener Matrix A. Dies sei an einem Beispiel erläutert. In dem Matrizenprodukt A·B=I ist B = A-1 die Inverse der Matrix A. Nimmt man an, dass A und B zwei 3x3-Matrizen darstellen, lässt sich die Gleichung schreiben: ª a11 a12 a13 º ª b11 b12 b13 º ª1 0 0º «a » « » « » « 21 a 22 a 23 » ⋅ «b21 b22 b23 » = «0 1 0» «¬ a31 a32 a33 »¼ «¬b31 b32 b33 »¼ «¬0 0 1»¼

Die Matrizengleichung lässt sich in folgende drei Matrizengleichungen aufspalten: ª a11 a12 a13 º ª b11 º ª1º «a » « » « » « 21 a22 a23 » ⋅ «b21 » = «0» «¬ a31 a32 a33 »¼ «¬b31 »¼ «¬0»¼ ª a11 a12 a13 º ª b12 º ª0º » « » « » «a « 21 a22 a23 » ⋅ «b22 » = «1» «¬ a31 a32 a33 »¼ «¬b32 »¼ «¬0»¼

1.3 Gleichungssysteme

7

ª a11 a12 a13 º ª b13 º ª0º » « » « » «a « 21 a 22 a23 » ⋅ «b23 » = «0» ¬« a31 a32 a33 »¼ «¬b33 ¼» ¬«1¼»

Hierbei handelt es sich um drei lineare Gleichungssysteme mit den drei Spalten der Matrix B als Unbekannten. Die Inversion einer n x n-Matrix erfordert allgemein die Lösung von n Gleichungssystemen. Man berechnet die einzelnen Spalten der Matrix A-1 mit einem Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme (Abschnitt 1.3.3), wobei man die Spalten der Einheitsmatrix I als rechte Seiten einsetzt. Eine Matrix ist nur invertierbar, wenn sie quadratisch und regulär ist. Für die Inversion eines Matrizenprodukts gilt die Rechenregel: (A · B)-1 = B-1 · A-1

(1.5a)

1.3 Gleichungssysteme 1.3.1 Inhomogene und homogene Gleichungssysteme Ein Gleichungssystem wird als inhomogen bezeichnet, wenn die rechte Seite Werte ungleich Null aufweist. Gegeben sei z. B. folgendes Gleichungssystem: ª a11 a12 ... a13 º ª x1 º ª b1 º « » « » « » « a21 a22 ... a23 » ⋅ « x2 » = « b2 » « # # # » « # » « # » « » « » « » ¬ an1 an 2 ... an3 ¼ ¬ xn3 ¼ ¬ bn ¼

A

·

x

(1.6)

=b

mit den Koeffizienten aik , den Unbekannten xi und den Werten der rechten Seite bi. A ist die Gleichungsmatrix oder Koeffizientenmatrix, x der Lösungsvektor, b der Vektor der rechten Seite und n die Anzahl der Gleichungen. Das Gleichungssystem ist inhomogen, wenn mindestens ein Wert bi ungleich Null ist. Gleichungssysteme, deren rechte Seiten Null sind, werden homogen genannt. Im folgenden Abschnitt werden ausschließlich inhomogene Gleichungssysteme betrachtet.

8

1 Matrizenrechnung

1.3.2 Existenz von Lösungen Lineare Gleichungssysteme besitzen nicht in jedem Fall eine Lösung. Betrachtet man beispielsweise das Gleichungssystem 1000 · x1 + 500 · x2 = 500 2000 · x1 + 1000 · x2 = 1000 so stellt man fest, dass die zweite Gleichung sich aus der ersten Gleichung durch Multiplikation mit dem Faktor 2 ergibt. Sie stellt also keine 'neue Aussage' dar, sondern ist vielmehr in der ersten Gleichung bereits enthalten. Man nennt die beiden Zeilen der Matrix des Gleichungssystems linear abhängig. Betrachtet man die Zeilen der Matrix eines Gleichungssystems als Vektoren, so gilt allgemein die Definition Ein System von Vektoren heißt linear abhängig, wenn es Konstanten ci gibt (mindestens ein ci ≠ 0), so dass ¦ci · ai = 0, d. h. ein Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen. Im obigen Beispiel gilt also mit a1 = [ 1000 500]

a2 = [ 2000 1000]

dass c1= -2 und c2= 1 c1 · a1 + c2 · a2 = 0 oder

-2 · [ 1000 500] + 1 · [ 2000 1000] = [ 0 0 ]

ergibt. Die Zeilen der Matrix des Gleichungssystems sind also linear abhängig. Die Matrix eines Gleichungssystems mit linear abhängigen Zeilen oder Spalten bezeichnet man als singulär, anderenfalls ist die Matrix regulär. Ob eine Matrix singulär oder regulär ist, kann man mit Hilfe ihrer Determinante prüfen. Ist die Determinante det(A) = 0 so ist die Matrix singulär, anderenfalls regulär. Die Determinante einer quadratischen Matrix ermittelt man für 2x2-Matrizen: det(A) = a11 · a22 - a12 · a21 für 3x3-Matrizen: det(A) = a11 · a22 · a33 + a12 · a23 · a31 + a13 · a21 · a32 - a13 · a22 · a31 - a11 · a23 · a32 - a12 · a21 · a33 und für n x n-Matrizen (n > 3) durch Zurückführen auf Determinanten niedriger Ordnung oder mit der Permutationsregel (siehe z. B. [1.1]). Im obigen Beispiel ergibt sich die Determinante zu: det(A) = 1000 · 1000 - 2000 · 500 = 0

1.3 Gleichungssysteme

9

Damit ist die Matrix des Gleichungssystems singulär. Lineare Gleichungssysteme von n Gleichungen mit n Unbekannten besitzen nur dann eine eindeutige Lösung, wenn ihre n Zeilen linear unabhängig sind bzw. wenn ihre Matrix regulär ist. Ist die Matrix eines inhomogenen Gleichungssystems singulär, dann existieren entweder unendlich viele Lösungen oder es existiert keine Lösung. Im obigen Beispiel sind alle Wertepaare x1, x2, die die Bedingung 1000 · x1 + 500 · x2 = 500 erfüllen, eine Lösung des Gleichungssystems. Es existieren also unendlich viele Lösungen. Hätte aber das Gleichungssystem die Form 1000 · x1 + 500 · x2 = 1000 2000 · x1 + 1000 · x2 = 1000 so bestünde zwischen der ersten Gleichung und der zweiten Gleichung ein Widerspruch und das Gleichungssystem hätte keine Lösung.

1.3.3 Lösungsverfahren In diesem Abschnitt wird ein Überblick über die praktische Behandlung sehr großer Gleichungssysteme, wie sie bei der Finite-Element-Methode auftreten, gegeben. Für ein vertiefendes Studium sei auf [1.2] hingewiesen. Inhomogene lineare Gleichungssysteme können grundsätzlich nach Eliminationsverfahren oder nach iterativen Verfahren gelöst werden. Zu den klassischen Eliminationsmethoden zählen der Gaußsche Algorithmus und seine Variante als Cholesky-Verfahren. Bei der praktischen Berechnung nutzt man hierbei die Eigenschaften des bei der Finiten-Element-Methode zu lösenden Gleichungssystems aus: die Matrix ist symmetrisch und schwach besetzt (d. h. viele Koeffizienten sind Null). Weiterhin ist sie positiv definit (Definition von positiv definit siehe z. B. [1.1]), was insbesondere bedeutet, dass die Diagonalterme positive Zahlen sind und gegenüber den übrigen Termen überwiegen. Die positive Definitheit vereinfacht den Lösungsprozess wesentlich, da hierdurch keine Pivotsuche erforderlich ist und somit die Symmetrie des Gleichungssystems beim Auflösungsprozess erhalten bleibt. Nach Gauß eliminiert man die Unbekannten des Gleichungssystems sukzessiv. Im ersten Eliminationsschritt wird aus allen Gleichungen die Unbekannte x1 eliminiert. Um x1 aus der i-ten Gleichung zu eliminieren multipliziert man die erste Zeile der Gleichungsmatrix und des Vektors der rechten Seite mit dem Faktor li1 =

ai1 (i = 2,3,...,n) a11

(1.7)

und subtrahiert das Ergebnis von der i-ten Zeile:

(

∆ x I = AT ( x( k− 1) ) (k )

−1

)

⋅b

bi(1) = bi − li1 ⋅ b1

(i = 2,3,...,n; k = 2,3,...,n)

(1.7a)

10

1 Matrizenrechnung

Die somit erhaltene i-te Zeile des ersten Eliminationsschrittes enthält die Unbekannte x1 nicht mehr. Die Koeffizienten der Gleichungsmatrix und der rechten Seite des ersten Eliminationsschrittes werden mit aik(1) bzw. bi(1) bezeichnet. Auf diese Weise wird x1 aus den Zeilen 2 bis n eliminiert. Zur Elimination aller weiteren Unbekannten xi verfährt man analog. So erhält man zur Elimination der nächsten Unbekannten x2 die Multiplikationsfaktoren der zweiten Zeile zu li 2 =

ai(21) (1) a 22

(i = 2,3,...,n)

(1.7b)

und die Koeffizienten des zweiten reduzierten Gleichungssystems zu (2)

(1)

(1)

(2)

aik = aik − li 2 ⋅ a2k

bi

(1)

(1)

= bi − li 2 ⋅ b2

(1.7c)

(i = 2,3...,n; k = 2,3...,n). Nach (n-1) Reduktionsschritten besteht das Gleichungssystem aus einer einzigen Gleichung für die Unbekannte xn. Die Symmetrie des Gleichungssystems bleibt bei diesem Eliminationsprozess erhalten.

Beispiel 1.4 Führen Sie die Reduktion des folgenden Gleichungssystems nach dem Gaußschen Verfahren durch: ª 1.35 − 0.35 − 1.00 0 − 0.35º « » 0.35 1.35 0 0 0.35 » − « « − 1.00 0 1.35 0.35 0 » « » 0 0.35 1.35 0 » « 0 «¬ − 0.35 0.35 0 0 1.35 »¼

A

ª « « ⋅« « « «¬

x1 º ª 0 º » « » x2 » « 0 » x3 » = « 10 » » « » x4 » « − 10 » x5 »¼ «¬ 0 »¼

·x

=

b

Zur Reduktion des Gleichungssystems mit 5 Unbekannten sind 4 Schritte erforderlich. Reduktionsschritt (1): ª « «− l1 = « − « « «¬ −

º 1 » 0.259 » 0.741 » » 0 » 0.259 »¼

ª0 « «0 « «0 « «0 « ¬0

0

0

0

0

º »

1.259 − 0.259 0 0.259 » » − 0.259 0.609 0.350 − 0.259 » ⋅ 0

0.350

1.350

0

0.259

− 0.259

0

1.259

» » » ¼

ª « « « « « « « ¬

0º » x2 » »

x3 » = » x4 » »

x5 ¼

ª 0 º « » « 0 » « » « 10 » « » « − 10 » « » ¬ 0 ¼

1.3 Gleichungssysteme

11

Reduktionsschritt (2): ª 0 º « » 1 « » l2 = « − 0.206 » « » 0 » « ¬« 0.206 ¼»

ª0 « «0 « «0 « «0 « ¬0

0

0

0

0 0

0 0.556

0 0.350

ª0 « «0 « «0 « «0 « ¬0

0

0

0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1.130 0.130

ª0 « «0 « «0 « «0 « ¬0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

0.350 1.350 − 0.206 0

ª 0º « » « 0» « » « x3 » « » « x4 » « » ¬ x5 ¼

º » 0 » » − 0.206 » » 0 » » 1.206 ¼

⋅

º » 0 » » 0 »⋅ » 0.130 » » 1.130 ¼

ª 0º « » « 0» « » « 0» « » « x4 » « » ¬ x5 ¼

0

=

ª 0 º « » « 0 » « » « 10 » « » « − 10 » « » ¬ 0 ¼

Reduktionsschritt (3): ª 0 º « » 0 » « 1 » l3 = « « » « 0.630 » «¬ − 0.370 »¼

0

=

ª º 0 « » « » 0 « » 0 « » « » − 16.296 « » « » ¬ 3.704 ¼

=

ª 0 º « » « 0 » « » « 0 » « » « 0 » « » ¬ 5.574 ¼

Reduktionsschritt (4): ª 0 º « » « 0 » l4 = « 0 » « » 1 » « «¬ 0.115 »¼

0 0 0 0 1.115

º » » » » » » » ¼

⋅

ª 0º « » « 0» « » « 0» « » « 0» « » ¬ x5 ¼

Aus dem reduzierten Gleichungssystem lassen sich die Unbekannten durch Rückwärtseinsetzen leicht ermitteln. So folgt aus dem letzten Eliminationsschritt unmittelbar die Unbekannte xn. Mit dem nunmehr bekannten xn erhält man aus der vorletzten Gleichung des vorletzten Eliminationsschrittes die Unbekannte xn-1 usw. Zuletzt erhält man aus der ersten Gleichung des ursprünglichen Gleichungssystems die Unbekannte x1. Beispiel 1.5 Ermitteln Sie die Unbekannten des Gleichungssystems in Beispiel 1.4 durch Rückwärtseinsetzen. x5 = 5.574 / 1.115 = 5.0 x4 = (-0.130 · 5.0 - 16.296) / 1.130 = -15.0 x3 = (-0.350 · (-15.0) + 0.206 · 5.0 + 10) / 0.556 = 29.3 x2 = (0.259 · 29.3 - 0.259 · 5.0) / 1.259 = 5.0 x1 = (0.35 · 5.0 + 29.3 + 0.35 · 5.0) /1.350 = 24.3

12

1 Matrizenrechnung

Weiterhin kann man zeigen, dass sich das Gleichungssystem (1.6) auch durch folgende Matrizenmultiplikation darstellen lässt (siehe [1.2]): L · D · LT · x = b

(1.8)

Die Koeffizienten der Matrizen L und D ergeben sich aus dem Gaußschen Lösungsprozess. Sie lauten beispielsweise für eine 5x5-Matrix:

ª « « L = « « « «¬

ª « « « D = « « « « «¬

1

0 1

l2 1 l3 1 l4 1 l5 1

0 0 1

l3 2 l4 2 l5 2

0 0 0 1

l4 3 l5 3

0 0 0 0 1

l5 4

a11

0

0

0

0

a22(1)

0

0

( 2)

0

0

a33

0

0

0

a44(3)

0

0

0

0

0

º » » » » » »¼

º » 0 » » 0 » » 0 » » a55( 4) »¼

(1.8a)

0

(1.8b)

Führt man die Hilfsvektoren y und c mit c = LT · x

(1.9a)

y = D · LT · x = D · c

(1.9b)

ein, ergibt sich folgendes Lösungsverfahren in drei Schritten: Gaußsches Verfahren:

1. Schritt:

Gauß-Zerlegung von A zur Ermittlung von L und D

2. Schritt:

L · y = b (Vorwärtseinsetzen) D·c=y

3. Schritt:

LT· x = c (Rückwärtseinsetzen)

Da die Matrix L Dreieckform besitzt und D eine Diagonalmatrix ist, sind die Rechenoperationen leicht durchführbar.

1.3 Gleichungssysteme

13

Beispiel 1.6 Ermitteln Sie die Matrizen L und D für das Gleichungssystem in Beispiel 1.4 und lösen Sie das Gleichungssystem durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen. ª 1 « « l21 L = « l31 « « l41 «¬ l 51

0 1 l32

0 0 1

0 0 0

l42 l52

l43 l53

1 l54

0º ª 1 0 0 0 » « 0» 1 0 0 « − 0.259 0 » = « − 0.741 − 0.206 1 0 » « 0» 0 0 0.630 1 « » « 1¼ ¬ − 0.259 0.206 − 0.370 0.115

ª a11 0 0 0 0 º ª 1.350 0 0 0 0 º « » « » 0 0 0 » « 0 a22(1) 1.259 0 0 0 » « 0 « » ( 2) a33 0 0 0 » = « 0 0 0.556 0 0 » D= « 0 « » « » 0 0 1.130 0 » « 0 0 0 a44(3) 0 » « 0 «¬ 0 « » 0 0 0 1.115»¼ 0 0 0 a55( 4) ¼ ¬ 0

A = L · D · LT Vorwärtseinsetzen: L

·

ª 1 0 0 0 « 1 0 0 « − 0.259 « − 0.741 − 0.206 1 0 « 0 0 0.630 1 « ¬« − 0.259 0.206 − 0.370 0.115

y1 = 0

y2 = 0

=

b

ª 0 º 0 º ª y1 º » « » « » 0 » « y2 » « 0 » 0 » ⋅ « y3 » = « 10 » » « » « » 0 » « y4 » « − 10 » 1 ¼» «¬ y5 »¼ ¬« 0 ¼»

y3 = 10.00

D

y

y4 = -16.30 ·

c =

y5 = 5.58

y

ª 1.35 ª 0 0 0 0 º ª c1 º 0 º « » « » « » 0 0 0 » « c2 » 0 » « 0 1.259 « « 0 0 0.556 0 0 » ⋅ « c3 » = « 10 » « » « » « » 0 0 1.130 0 » « c4 » « 0 « − 16.30 » «¬ 0 «¬ 5.58 »¼ 0 0 0 1.115 »¼ «¬ c5 »¼ c1 = 0

c2 = 0

c3 = 17.99

c4 = -14.43

c5 = 5.00

0º » 0» 0» » 0» 1 »¼

14

1 Matrizenrechnung

Rückwärtseinsetzen: L

·

x

=

c

ª 1 − 0.259 − 0.741 ª 0 0 º − 0.259 º ª x1 º « » « » « » 1 0 0.206 » « x2 » 0 » − 0.206 «0 « «0 0 1 0.630 − 0.370 » ⋅ « x3 » = « 17.99 » « » « » « » 0 0 1 0.115 » « x4 » «0 « − 14.43» «¬ 0 «¬ 5.00 »¼ 0 0 0 1 »¼ «¬ x5 »¼

x5 = 5.0 x4 = -14.43 - 0.115 · 5.00 = -15.0 x3 = 17.99 - 0.630 · (-15.0) + 0.370 · 5.00 = 29.3 x2 = 0.206 · 29.3 - 0.206 · 5.00 = 5.0 x1 = 0.259 · 5.00 + 0.741 · 29.3 + 0.259 · 5.0 = 24.3 Bei der Programmierung besitzt das Lösungsverfahren nach Gauß allerdings den Nachteil, dass die Zahlenwerte der Faktoren lik erst an der Stelle der entsprechenden Matrixelemente gespeichert werden dürfen, wenn der entsprechende Eliminationschritt beendet worden ist. Dieser Nachteil wird durch die vollständig symmetrische Zerlegung nach Cholesky beseitigt. Daher wird in den meisten Finite-Element-Programmen das Verfahren von Cholesky verwendet. Während das Gaußsche Verfahren grundsätzlich immer anwendbar ist, ist das Verfahren von Cholesky allerdings auf Gleichungssysteme mit symmetrischen, positiv definiten Matrizen beschränkt. Nach Cholesky stellt man das Matrizenprodukt L · D · LT durch A = L · D · LT = L · D1/2 · D1/2 · LT = L* · L*T

mit

L* = L · D1/2 dar. Damit ergibt sich folgende Variante des Gaußschen Verfahrens: Cholesky-Verfahren:

1. Schritt: Gauß-Zerlegung von A zur Ermittlung von L, D und L* 2. Schritt:

L* ·c = b

(Vorwärtseinsetzen)

3. Schritt:

L*T · x = c

(Rückwärtseinsetzen)

Ist das Gleichungssystem für mehrere rechte Seiten b zu lösen, so braucht die rechenintensive Zerlegung von A nur einmal durchgeführt zu werden. Dies ist z. B. der Fall, wenn der Vektor b die Lastterme enthält und das Gleichungssystem für mehrere Lastfälle zu lösen ist.

1.3 Gleichungssysteme

15

Beispiel 1.7 Ermitteln Sie die Cholesky-Matrix L* für das Gleichungssystem in Beispiel 1.4 bzw.Beispiel 1.6 und lösen Sie das Gleichungssystem nach Cholesky. L · D · LT

= L · D1/2 · D1/2 · LT = L* · L*T

ª 1 0 « l 1 « 21 L* = « l31 l32 « « l41 l42 «¬ l 51 l52

ª « « « * « L = « « « « ¬«

0 0

0 0

1

0 1

l43 l53 l54

0º » 0» 0» ⋅ » 0» 1 »¼

ª a11 « « 0 « « « 0 « « 0 « ¬« 0

0

0

0

a22(1)

0

0

0

a33( 2)

0

0

0

a44(3)

0

0

0

a11

0

0

0

a11 ⋅ l21

a22(1)

0

0

a11 ⋅ l31

a22(1) ⋅ l32

a33( 2)

0

a11 ⋅ l41

a22(1) ⋅ l42

a33( 2) ⋅ l43

a44(3)

a11 ⋅ l51

a22(1) ⋅ l52

a33( 2) ⋅ l53

a44(3) ⋅ l54

º » 0 » » » 0 » » 0 » » a55( 4) ¼» 0

º » 0 » » » 0 » » 0 » » a55( 4) ¼» 0

ª 1.162 0 0 0 0 º « » 0 0 0 » « − 0.301 1.122 0 0 » = « − 0.861 − 0.231 0.746 « » 0 0.470 1.063 0 » « 0 «¬ − 0.301 0.231 − 0.276 0.122 1.056 »¼

Vorwärtseinsetzen: L*

·

c =

b

ª 1.162 0 0 0 0 º « » 0 0 0 » « − 0.301 1.122 « − 0.861 − 0.231 0.746 0 0 » « » 0 0.470 1.063 0 » « 0 «¬ − 0.301 0.231 − 0.276 0.122 1.056 »¼

ª c1 º ª 0 º « » « » « c2 » « 0 » ⋅ « c3 » = « 10 » « » « » « c4 » « − 10 » «¬ c »¼ «¬ 0 »¼ 5

c1 = 0

c4 = -15.33

c2 = 0

c3 = 13.41

c5 = 5.28

16

1 Matrizenrechnung

Rückwärtseinsetzen: LT

x

=

c

ª 1.162 − 0.301 − 0.861 ª 0 º − 0.301º ª x1 º 0 « » « » « » 1.122 − 0.231 0 0.231 » « x2 » « 0 « 0 » « 0 0 0.746 0.470 − 0.276 » ⋅ « x3 » = « 13.41 » « » « » « » 0 0 1.063 0.122 » « x4 » « 0 « − 15.33» «¬ 0 «¬ 5.28 »¼ 0 0 0 1.056 »¼ «¬ x5 »¼ x5 = 5.28 / 1.056 = 5.0 x4 = (-15.33 - 0.122 ·5.0) / 1.063 = -15.0 x3 = (13.41 - 0.470 · (-15.0) + 0.276 · 5.0) / 0.746 = 29.3 x2 = (0.231 · 29.3 - 0.231 · 5.0) / 1.122 = 5.0 x1 = (-0.301 · 5.0 - 0.861 · 29.3 - 0.301 · 5.0) / 1.162 = 24.3

Neben den Eliminationsverfahren gibt es die iterativen Verfahren. Sie werden bei statischen Berechnungsprogrammen nur selten verwendet. Als Beispiel sei das Verfahren nach GaußSeidel (auch Einzelschrittverfahren genannt) erläutert. Iterationsverfahren nach Gauß-Seidel:

1. Iterationsvorschrift: Die Iterationsvorschrift erhält man, wenn man die erste Gleichung nach x1 , die zweite Gleichung nach x 2 , die dritte Gleichung nach x 3 bzw. allgemein die i-te Gleichung nach xi auflöst. 2. Iteration: Für die Unbekannten auf der rechten Seite der Gleichungen wird zunächst 0 oder ein Schätzwert eingesetzt und dann die jeweils zuletzt errechnete Zahl. Die Rechnung wird solange wiederholt bis sich die Unbekannten im Rahmen der gewünschten Genauigkeit nicht mehr ändern. Ist das Gleichungssystem für mehrere rechte Seiten zu lösen, so ist die Iteration für jede rechte Seite erneut durchzuführen. Der Rechenaufwand steigt damit linear mit der Anzahl der rechten Seiten an.

1.3 Gleichungssysteme

17

Beispiel 1.8 Lösen Sie das Gleichungssystem in Beispiel 1.4 mit dem Iterationsverfahren nach GaußSeidel. Gleichungssystem: 1.35.x1 .

-0.35 x1

- 0.35.x2 .

+ 1.35 x2 .

- x3

+ 0 . x4

.

+ 0 x4

.

.

+ 0 x3

.

- 0.35 . x5

=0

.

=0

.

+ 0.35 x5

- x1

+ 0 x2

+ 1.35 x3

+ 0.35 x4

+ 0 x5

= 10

0 . x1

+ 0 . x2

+ 0.35. x3

+ 1.35. x4

+ 0 . x5

= -10

.

-0.35 x1

.

+ 0.35 x2

.

+ 0 x3

.

+ 0 x4

.

+ 1.35 x5

=0

Iterationsvorschrift: x1(k+1)

= ( 0.35.x2(k) + x3(k) + 0.35.x5(k)) / 1.35

x2(k+1)

= ( 0.35.x1(k+1) - 0.35.x5(k))/1.35

x3(k+1)

= (10 + x1(k+1) - 0.35.x4(k))/1.35

x4(k+1)

= (-10 - 0.35 x3(k+1))/1.35

x5(k+1)

= ( 0.35.x1(k+1) - 0.35.x2(k+1))/1.35

Iteration: Iterationsschritt k 1

2

3

4

5

x1(k)

0

0

5.487

10.931

13.918

x2(k)

0

0

1.423

2.561

3.335

x3(k)

0

7.407

13.890

17.923

20.842

x4(k)

0

-9.328

-11.009

-12.054

-12.811

x5(k)

0

0

1.054

2.465

2.744

8

9

6

7

10

x1(k)

17.015

19.137

20.639

21.650

22.418

x2(k)

3.700

4.066

4.338

4.499

4.659

x3(k)

23.332

25.072

26.301

27.133

27.758

x4(k)

-13.456

-13.908

-14.226

-14.442

-14.604

x5(k)

3.452

3.907

4.297

4.447

4.604

11

12

13

14

15

x1(k)

22.963

23.349

23.622

23.815

23.941

x2(k)

4.760

4.830

4.880

4.915

4.947

18

1 Matrizenrechnung Iterationsschritt k x3(k)

28.203

28.519

28.742

28.900

29.004

x4(k)

-14.719

-14.801

-14.859

-14.900

-14.927

x5(k)

4.719

4.801

4.859

4.900

4.924

x1(k)

16

17

18

19

20

24.044

24.115

24.162

24.199

24.225

x2(k)

4.957

4.969

4.980

4.985

4.989

x3(k)

29.088

29.146

29.185

29.215

29.236

x4(k)

-14.949

-14.964

-14.974

-14.982

-14.987

x5(k)

4.948

4.964

4.973

4.981

4.987

21

22

23

24

25

x1(k)

24.043

24.255

24.264

24.270

24.275

x2(k)

4.992

4.994

4.996

4.997

4.998

x3(k)

29.250

29.261

29.268

29.273

29.277

x4(k)

-14.991

-14.994

-14.995

-14.997

-14.998

x5(k)

4.991

4.994

4.995

4.997

4.998

Ergebnis (gerundet auf 1 Nachkommastelle): x1 = 24.3

x2 = 5.0

x3 = 29.3

x4 = -15.0

x5 = 5.0

1.3.4 Normen und Konditionszahl Für manche Vorhaben ist es zweckmäßig, einem Vektor oder einer Matrix eine positive Zahl zuzuordnen, die in einem gewissen Sinne deren Größe angibt. So kann bei einem zweidimensionalen Vektor, der die Verschiebung eines Punktes beschreibt, dessen Länge eine solche Größe sein. Allgemein spricht man von Normen von Vektoren oder Matrizen. Es gibt verschiedene Definitionen von Normen, die aber alle bestimmte mathematische Bedingungen erfüllen [1.3]. Häufig verwendet man die sogenannte Euklidsche Norm. Sie lautet n

bei Vektoren

x =

¦ xi2

(1.10a)

i= 1 n

und bei Matrizen

A =

m

¦ ¦ aik2 . i= 1 k= 1

(1.10b)

1.4 Eigenwertprobleme

19

Bei zwei- und dreidimensionalen Vektoren in der Ebene beziehungsweise im Raum entspricht die Euklidsche Norm deren Länge. Eine weitere übliche Norm ist die Unendlichkeitsnorm, welche bei Vektoren zu

x ∞ = max xi

(1.10c)

i

n

und bei Matrizen zu

A ∞ = max i

¦ aij

(1.10d)

j= 1

definiert ist. Sie wird ebenfalls häufig verwendet, da sie leichter als die Euklidsche Norm zu berechnen ist. Die Konditionszahl einer Matrix A ergibt sich aus dem Produkt zweier Matrizennormen zu

κ ( A) = A ⋅ A −1

(1.11)

Sie kann für jede Norm definiert werden. Die Konditionszahl gibt die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems bei kleinen Änderungen der Koeffizientenmatrix A an, wie sie beispielsweise durch numerische Fehler entstehen können. Ist die Konditionszahl sehr groß, so können kleine relative Fehler in der Koeffizientenmatrix zu großen relativen Fehlern des Lösungsvektors führen. Derartige Gleichungssysteme müssen bei Finite-ElementBerechnungen vermieden werden (vergleiche Beispiel 3.20). Bei iterativen Verfahren hat eine große Konditionszahl ein schlechtes Konvergenzverhalten zur Folge.

1.4 Eigenwertprobleme 1.4.1 Allgemeines Eigenwertproblem Bei Stabilitätsuntersuchungen und dynamischen Berechnungen treten besondere Gleichungssysteme auf, die als Eigenwertprobleme bezeichnet werden. Gegeben seien zum Beispiel die beiden Gleichungen

(100 − λ⋅ 0.250)⋅ x1

− 40⋅ x2

= 0

−40 ⋅ x1

( 40 − λ⋅ 0.125)⋅ x1

= 0

oder § ª 100 − 40 º ª 0.250 ª 0º 0 º · ª x1 º ¨ « » − λ ⋅« » ¸ ⋅« » = « ». 0.125 ¼ ¹ ¬ x2 ¼ ¬ 0 ¬ 0¼ © ¬ − 40 40 ¼

Es handelt sich hierbei um ein homogenes lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten x1 und x2 und dem Parameter λ. Als homogenes Gleichungssystem besitzt es entweder keine

20

1 Matrizenrechnung

Lösung außer der trivialen Lösung x1 = x2= 0 oder unendlich viele Lösungen. Man kann nun den noch freien Parameter λ so wählen, dass das Gleichungssystem von x1 = x2 = 0 verschiedene Lösungen besitzt. Hierzu schreibt man die Bedingung für die Lösbarkeit des homogenen Gleichungssystems, nämlich, dass die Determinante Null ist, an: § ª 100 − 40 º ª 0.250 ª 100 − λ⋅ 0.250 º 0 º· − 40 det ¨ « » − λ ⋅« » ¸ = det « »= 0 0.125 ¼ ¹ 40 − λ⋅ 0.125 ¼ − 40 ¬ 0 ¬ © ¬ − 40 40 ¼ Diese Bedingung führt zum sogenannten ´charakteristischen Polynom´:

ª 100 − λ⋅ 0.250 º − 40 det « » = ((100 − λ⋅ 0.250)⋅ ( 40 − λ⋅ 0.125) − (− 40)⋅ (− 40)) 40 − λ⋅ 0.125¼ − 40 ¬ = 2400 + 22.5⋅ λ − 0.03125⋅ λ2 Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

λ 1 = 130.21

λ 2 = 589.78

heißen Eigenwerte des Eigenwertproblems. Für die beiden Eigenwerte λ1 und λ2 lassen sich zwei Lösungen des homogenen Gleichungssystems angeben. Setzt man den ersten Eigenwert ein, erhält man, z. B. mit der ersten Gleichung des homogenen Gleichungssystems:

(100 − 130.21⋅ 0.250)⋅ x1 − 40⋅ x2 = 0

bzw.

x1 = 0, 593⋅ x2 .

Für den ersten Eigenwert, λ1 =130.21 , sind alle Wertepaare (x1, x2) Lösungen des Gleichungssystems, die die obige Gleichung erfüllen, also beispielsweise der Vektor ª x1 º ª 0,593º « »= « ». ¬ 1, 000 ¼ ¬ x2 ¼ Aufgrund der Homogenität des Gleichungssystems sind aber auch alle Vektoren Lösungen, die sich durch Multiplikation des Eigenvektors mit einem konstanten Faktor ergeben. Mit dem zweiten Eigenwert λ 2= 589.78 erhält man entsprechend

(100 − 589.78⋅ 0.250)⋅ x1 − 40⋅ x2 = 0 bzw.

x1 = − 0,843⋅ x2 .

oder ª x1 º ª − 0,843º « »= « ». ¬ x2 ¼ ¬ 1, 000 ¼ Die beiden Vektoren bezeichnet man auch als die beiden Eigenvektoren des Eigenwertproblems. Sie sind nur bis auf einen Multiplikationsfaktor bestimmt. Zu jedem Eigenvektor gehört ein Eigenwert λ.

1.4 Eigenwertprobleme

21

Allgemein gilt die Definition Mathematische Aufgabenstellungen, die auf Gleichungen der Form

( A - λi .B) . xi = 0

(1.12)

führen, heißen allgemeine Eigenwertprobleme. A und B sind quadratische Matrizen. Die Werte λi heißen Eigenwerte des Matrizenpaares A, B. Die zu den Eigenwerten λi gehörigen Lösungsvektoren xi ≠ 0 heißen Eigenvektoren. Die Eigenwerte erhält man im Allgemeinen aus der Bedingung, dass die Koeffizientendeterminante gleich Null ist, also

D et ( A + λ⋅ B ) = 0

(1.13)

Die Lösung dieser Gleichung sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Im obigen Beispiel wurde eine 2x2-Matrix betrachtet, deren Determinante zu einem Polynom 2-ten Grades führte. Allgemein gilt für nxn-Matrizen A und B, dass das charakteristische Polynom n-ten Grades ist, und genau n Nullstellen besitzt. Ein Eigenwertproblem mit n Gleichungen besitzt also n Eigenwerte und n zugehörige Eigenvektoren. Die Eigenwerte werden der Größe nach geordnet, d. h. es ist

λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λi ≤ λ i +1 ... ≤ λ n .

(1.13a)

Häufig sind bei Aufgaben der Baudynamik und bei Stabilitätsuntersuchungen nur wenige, niedrige Eigenwerte und -formen von Interesse. Bei Matrizen A und B mit beliebigen Koeffizienten können die Eigenwerte und Eigenformen auch komplex sein. Die bei Finite-Element-Berechnungen auftretenden reellen, symmetrischen Matrizen haben folgende Eigenschaften [1.1]: Eigenschaften der Eigenwerte und Eigenvektoren symmetrischer Matrizen

• Bei reellen, symmetrischen Matrizen A und B sind die Eigenwerte und Eigenvektoren reell. • Bei symmetrischen, positiv definiten Matrizen A und B sind die Eigenwerte positiv. • Die zu verschiedenen Eigenwerten symmetrischer Matrizen A und B zugehörigen Eigenvektoren sind bezüglich A und B orthogonal, d. h. es gelten die Orthogonalitätsbedingungen

xTi ⋅ A⋅ x j = 0 ,

xTi ⋅ B⋅ x j = 0 für i ≠ j

xTi ⋅ A⋅ x j ≠ 0 ,

xTi ⋅ B⋅ x j ≠ 0 für i = j .

(1.14)

Die letzte Aussage soll wegen ihrer Bedeutung für die Dynamik hier bewiesen werden. Es seien λi und λj zwei verschiedene Eigenwerte und xi und xj die zugehörigen Eigenvektoren der symmetrischen Matrizen A und B. Zunächst werden die Eigenwertgleichungen für die beiden verschiedenen Eigenwerte von links mit x Tj bzw. mit x Ti multipliziert:

22

1 Matrizenrechnung

xTj ⋅ A⋅ xi − λ i ⋅ xTj ⋅ B⋅ xi = 0 xTi ⋅ A⋅ x j − λ j ⋅ xTi ⋅ B⋅ x j = 0 . Subtrahiert man die beiden (skalaren) Gleichungen voneinander und berücksichtigt man, dass für symmetrische Matrizen A und B nach den Regeln der Matrizenrechnung xTj ⋅ A⋅ xi = xTi ⋅ A⋅ x j

xTj ⋅ B⋅ xi = xTi ⋅ B⋅ x j

gilt, erhält man xTi ⋅ A⋅ x j − xTi ⋅ A⋅ x j − ( λi − λ j )⋅ xTi ⋅ B⋅ x j = 0

oder

( λ i − λ j )⋅ xTi ⋅ B⋅ x j = 0 .

Da voraussetzungsgemäß λ i ≠ λ j ist, muss der zweite Term des Produkts Null sein, d. h. es muss gelten: xTi ⋅ B⋅ x j = 0 . Aus der Gleichung xTi ⋅ A⋅ x j − λ j ⋅ xTi ⋅ B⋅ x j ! = 0 folgt damit xTi ⋅ A⋅ x j = 0 , womit die Orthogonalitätsbedingungen bewiesen sind. Eigenvektoren sind bis auf einen konstanten Maßstabsfaktor bestimmt, d. h. wenn xi ein Eigenvektor des Eigenwertes λi ist, ist auch α⋅ xi ein Eigenvektor. Man kann den Maßstabsfaktor so wählen, dass die Eigenvektoren eine bestimmte Normierungsbedingung erfüllen. Beispielsweise kann man den betragsmäßig größten Koeffizient zu 1 wählen, um eine bessere Vergleichbarkeit der Eigenvektoren zu erreichen. Eine andere häufig gewählte Darstellung der Eigenvektoren ist die Normierung auf die Matrix B. Es gilt dann xTi ⋅ B ⋅ xi = 1 ,

(1.14a)

woraus mit x Ti ⋅ A ⋅ x i −λi ⋅ x Ti ⋅ B ⋅ x i =0 für die Matrix A die Beziehung xTi ⋅ A⋅ x i = λi

(1.14b)

folgt. Beispiel 1.9 Die im Einführungsbeispiel auf den Maximalwert 1 normierten Eigenvektoren

ª 0.593º x1 = « » ¬ 1.000 ¼

und

ª − 0.843º x2 = « » ¬ 1.000 ¼

1.4 Eigenwertprobleme

23

sind auf die Matrix B zu normieren. Weiterhin ist die Orthogonalität der beiden Eigenvektoren zu überprüfen. Die bezüglich der Matrix B normierte Darstellung der Eigenvektoren erhält man mit

[ und

ª 0.250 0 º ª 0.593º 0.593 1.000]⋅« »⋅« » = 0.213 0.125 ¼ ¬ 1.000 ¼ ¬ 0

[− 0.843

ª 0.250 0 º ª − 0.843º 1.000] ⋅ « » ⋅« » = 0.302 0.125 ¼ ¬ 1.000 ¼ ¬ 0

nach Multiplikation mit 1

0.213 = 2.167 bzw. 1

0.302 = 1.819 zu:

ª − 1.532º x2 =« ». ¬ 1.818 ¼

ª1.285 º x1 = « » ¬2.167¼

Diese beiden Vektoren erfüllen (1.14a) und (1.14b), wie man durch Einsetzen leicht prüfen kann: x 1T ⋅ B ⋅ x1 = [1.285

2.167]

0 º ª 1.285 º ª0.250 ⋅ « ⋅ « » = 1.000 » 0.125¼ ¬ 2.167 ¼ ¬ 0

0 º ª0.250 ª − 1.532º « 0 » ⋅ « 1.818» = 1.000 0 . 125 ¬ ¼ ¬ ¼

x T2 ⋅ B ⋅ x 2 =[− 1.532 1.818] ⋅ x1T ⋅ A ⋅ x1 =[1.285

2.167]

x T2 ⋅ A ⋅ x 2 =[− 1.532 1.818]

ª 100 − 40º ª 1.285 º ⋅ « ⋅ « » » =130.19 ¬− 40 40 ¼ ¬ 2.167¼ ⋅

ª 100 − 40º ª − 1.532º «− 40 40 » ⋅ « 1.818 » = 589.72 ¬ ¼ ¬ ¼

Weiterhin erhält man mit (1.14):

0 º ª − 1.532º ª0.250 ⋅ x 1T ⋅ B ⋅ x 2 =[1.285 2.167] ⋅ « =0 0.125»¼ «¬ 1.818»¼ ¬ 0 x1T ⋅ A ⋅ x 2 =[1.285 2.167]

ª 100 − 40º ª − 1.532º ⋅ « ⋅ « » » =0 ¬− 40 40 ¼ ¬ 1.818¼

Damit ist nachgewiesen, dass die Orthogonalitätsbedingungen erfüllt sind. Eigenwerte können einfach oder auch mehrfach auftreten. Mehrfache Eigenwerte treten auf, wenn das charakteristische Polynom mehrfache Nullstellen besitzt. In diesem Fall sind die Eigenwerte nicht klar voneinander getrennt, d. h. mehrere aufeinanderfolgende λi-Werte in (1.13) sind gleich. Auch bei einem m-fachen Eigenwert existieren m verschiedene Eigenformen. Diese sind allerdings nicht eindeutig, was bei den Eigenvektoren einfacher Eigenwerte der Fall ist. Vielmehr sind beliebige Linearkombinationen der m Eigenvektoren, die die Orthogonalitätsbedingung (1.14) erfüllen, ebenfalls Eigenvektoren zum m-fachen Eigenwert λi.

24

1 Matrizenrechnung

Beispiel 1.10 Für das Eigenwertproblem § ¨ ¨ ¨ ©

· ª x1 º ª 0 º ¸« » « » ¸ ⋅« x2 » = « 0 » ¸ « x » «¬ 0 ¼» ¹ ¬ 3¼

ª 40 0 ª 0.2 0 0 º 0 º « » « » « 0 40 0 » − λ ⋅« 0 0.2 0 » «¬ 0 0 0.2 ¼» ¬« 0 0 100 ¼»

ist zu zeigen, dass mehrfache Eigenwerte auftreten und die Eigenvektoren nicht eindeutig sind. Das Eigenwerte lassen sich bei diesem Beispiel leicht ermitteln, da A und B Diagonalmatrizen sind. Schreibt man die drei Gleichungen des Gleichungssystems getrennt an, erhält man:

( 40 − λ⋅ 0.2)⋅ x1 = 0

und mit x1 ≠ 0 : λ 1= 200

( 40 − λ⋅ 0.2)⋅ x2 = 0

und mit x2 ≠ 0 : λ 2 = 200

(100 − λ ⋅ 0.2) ⋅ x3 = 0

und mit x3 ≠ 0 : λ3 = 500

Der erste Eigenwert tritt also doppelt auf. Zur Ermittlung der Eigenvektoren setzt man die Eigenwerte in das Gleichungssystem ein. Für den dritten Eigenwert, λ3 = 500 , erhält man: § ¨ ¨ ¨ ©

ª 40 0 ª 0.2 0 0 º 0 º « » « » « 0 40 0 » − 500⋅« 0 0.2 0 » «¬ 0 0 100 »¼ «¬ 0 0 0.2 »¼

· ª ¸ « ¸ ⋅« ¸ « ¹ ¬

x1 º ª 0 º ª x1 º ª0º » « » x2 » = « 0 » → x 3 = «« x 2 »» = ««0»» «¬ x3 »¼ «¬1»¼ x3 »¼ «¬ 0 »¼

Dieser Eigenvektor ist, abgesehen von einem konstanten Maßstabsfaktor, eindeutig. Setzt man den ersten bzw. zweiten Eigenvektor, λ1 = λ2 = 200 , ein, erhält man: § ¨ ¨ ¨ ©

ª 40 0 ª 0.2 0 0 º 0 º « » « » « 0 40 0 » − 200⋅« 0 0.2 0 » «¬ 0 0 100 »¼ «¬ 0 0 0.2 »¼

· ª ¸ « ¸ ⋅« ¸ « ¹ ¬

x1 º ª 0 º ª x1 º ª x1 º » « » x2 » = « 0 » → x 1, 2 = «« x 2 »» = «« x 2 »» «¬ x 3 »¼ «¬ 0 »¼ x3 »¼ «¬ 0 »¼

Die Werte x1 und x2 sind nicht eindeutig. Sie müssen allerdings so gewählt werden, dass die Orthogonalitätsbedingungen der Eigenvektoren x1 und x 2 erfüllt sind. Dies ist beispielsweise für die Vektoren ª 1º « » x1 = « 0 » und x 2 = «¬ 0 »¼

der Fall.

ª 0º « » « 1» «¬ 0 »¼

mit

x1T ⋅

ª 0.2 0 0 º ª 0º « »« » B⋅ x 2 = [1 0 0]⋅ « 0 0.2 0 » ⋅ « 1 » = 0 «¬ 0 0 0.2 »¼ «¬ 0 »¼

1.4 Eigenwertprobleme

25

Aber auch die Vektoren ª 1º « » x1 = « 1 » und x 2 = «¬ 0 »¼

ª 1º « » « − 1» , oder «¬ 0 »¼

ª 1º « » x1 = « 1 » und x 2 = «¬ 0 »¼

ª − 1º « » « 1 », «¬ 0 »¼

die sich durch Linearkombination aus den obigen Eigenvektoren bilden lassen und ebenfalls die Orthogonalitätsbedingungen (1.14) erfüllen, sind mögliche Lösungen des Eigenwertproblems.

1.4.2 Numerische Lösungsverfahren für Eigenwertprobleme Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren großer Matrizen, wie sie bei FiniteElement-Berechnungen auftreten, ist eine anspruchsvolle und rechenzeitintensive mathematische Aufgabe. Hierzu werden in der Praxis eine Reihe mathematischer Verfahren eingesetzt. Man unterscheidet grundsätzlich zwischen Transformationsverfahren und Iterationsverfahren. Darüber hinaus gibt es Verfahren zur Ermittlung der Eigenwerte, die auf der Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms beruhen, sowie aus den genannten Verfahren kombinierte Verfahren. Alle Verfahren zur Eigenwertberechnung sind ihrem Wesen nach iterativ, da sie im Grunde genommen die Ermittlung der Nullstellen eines Polynoms zum Ziel haben. Im folgenden wird ein Überblick über in der Praxis eingesetzte Verfahren gegeben und als ein einfaches aber grundlegendes Verfahren die Inverse Iteration dargestellt. Für eine ausführliche Darstellung wird auf [1.2]-[1.4] verwiesen. Die Transformationsverfahren gehen von den Orthogonalitätsbedingungen (1.14a) und (1.14b) aus, die sich zusammenfassend für alle Eigenformen schreiben lassen: X T ⋅ B⋅ X = E

(1.15a)

X T ⋅ A⋅ X = Λ

(1.15b)

mit

X = ª¬ x1

x 2 ..... x n º¼

ª « « Λ =« « «¬

λ1

0

0

λ2

..

..

0

0

0º ª1 » « .. 0 » 0 E=« « .. .. .. » » « .. λ n »¼ ¬0 ..

0 .. 0 º » 1 .. 0 » . .. .. .. » » 0 .. 1 ¼

(1.15c)

Nach (1.15b) kann man die Diagonalmatrix Λ der Eigenwerte auch auffassen als diejenige Matrix, die man durch Transformation der Matrix A mit der Matrix der Eigenvektoren X

26

1 Matrizenrechnung

unter Beachtung von (1.15a) erhält. Transformationsverfahren führen diese Transformation schrittweise durch. Man erhält damit immer sämtliche Eigenwerte und -vektoren. Transformationsverfahren sind z. B. das Jakobi-Verfahren, die Householder-Triangularisierung und der QR-Algorithmus. Die Vektoriterationsverfahren gehen von der Gleichung des Eigenwertproblems (1.12) aus, die geschrieben werden kann: A⋅ xi = λi ⋅ B⋅ xi

oder

(1.16)

F = λi ⋅ B⋅ xi

(1.16a)

A⋅ xi = F

(1.16b)

Die Gleichung (1.16b) lässt sich auffassen als lineares Gleichungssystem zur Bestimmung des Vektors xi mit dem Vektor F als rechte Seite. Zur Ermittlung von F mit (1.16a) wird x i zunächst geschätzt und Ȝi z. B. zu 1 angenommen. In den Vektoriterationsverfahren werden derartige Gleichungen angewandt, um den Eigenvektor x i durch Lösen eines linearen Glei-

chungssystems iterativ zu bestimmen. Vektoriterationsverfahren sind z. B. das Rayleigh-RitzVerfahren, die Inverse Iteration, die Vorwärtsiteration und das Lanczos-Verfahren. Sie sind dann sehr effizient, wenn wenige Eigenwerte und -vektoren gesucht sind. Sie sind auch bei schwach besetzten großen Matrizen geeignet, wie sie bei großen Finite-Element-Modellen auftreten. Als Beispiel für ein einfaches Vektoriterationsverfahren wird im folgenden die Inverse Iteration behandelt. Die Matrizen A und B seien symmetrisch und A sei regulär. Die Iterationsvorschrift lautet dann nach (1.16): ( k+ 1) (k ) A⋅ xˆ i = B⋅ xi

(1.17)

mit der anschließenden Normierung bezüglich B ( k+ 1)

xi

=

1 ( k+ 1) xˆ i ⋅

B⋅

( k+ 1) xˆ i

( k+ 1) ⋅ xˆ i

(1.17a)

(1) Der Anfangsvektor x i wird frei gewählt. Er darf aber nicht orthogonal im Sinne von (1.14)

zu dem zu ermittelnden Eigenvektor x i sein. Beispielsweise kann ein voll besetzter Einheitsvektor als Startvektor gewählt werden. Die Lösung des linearen Gleichungssystems (1.17) ( k +1) liefert den Vektor x i . Nach der Normierung mit (1.17a) erhält man den nächsten Nähe( k +1)

(k)

rungsvektor x i des Eigenvektors. Man kann zeigen, dass die Vektoren x i Eigenvektor hin konvergieren.

zum kleinsten

Da die Iteration die wiederholte Lösung des linearen Gleichungssystems (1.17) erfordert, ist vorab eine Zerlegung von A nach Gauß mit A = L ·D · LT sinnvoll. Mit der unteren Dreiecksmatrix L lässt sich ein Gleichungssystem A ·x = b sehr effizient in zwei Schritten durch Vorwärtseinsetzen mit L ·y = b , D ·c = y und anschließendes Rückwärtseinsetzen mit LT·x=c lösen (vgl. Abschnitt 1.3.3).

1.4 Eigenwertprobleme

27

Der Eigenwert wird in der Regel mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten bestimmt. Diesen erhält man durch Multiplikation der Eigenwertgleichung (1) von links mit x Ti xTi ⋅ A⋅ xi − λi ⋅ xTi ⋅ B ⋅ x i = 0

und anschließender Auflösung der Gleichung nach Ȝi zu

λi =

xTi ⋅ A⋅ xi xTi ⋅ B⋅ xi

(1.18)

(k ) bzw. mit dem Näherungsvektor xˆ i des k-ten Iterationsschrittes

(k ) xˆ i ) ( (k ) λ =

T

i

( xˆik )

T

(k ) ⋅ A⋅ xˆ i

(k ) ⋅ B⋅ xˆ i

.

(1.18a)

Der Grundalgorithmus der Inversen Iteration lässt sich in einer rechentechnisch günstigen Form nach [1.2] zusammenfassen: Inverse Iteration

Start: 1. Gauß-Zerlegung von A zur Ermittlung von L und D. (1) 2. Wahl des Startvektors von xˆ i ≠ 0 . (1)

3. Startwert des Vektors b ermitteln: b = A⋅ xˆi Iterationsschritte (k=1,2,,...): 1. Rayleighquotient:

f = B⋅ xˆ (k ) ,

(

)

x(k ) =

1

Z = xˆ ( k )

2. Normierung:

T

N

(

N = xˆ ( k )

)

T

⋅ f ,

λ( k ) = Z / N ;

⋅b,

⋅ xˆ ( k ) ;

3. Lösung des Gleichungssystems für xˆ ( k+ 1) nach Gauß b=

1

Vorwärtseinsetzen:

⋅ f N L·y=b→y

Rückwärtseinsetzen:

LT · xˆ ( k+ 1) = c → xˆ ( k+ 1) .

Rechte Seite bestimmen:

und D ·c = y → c

28

1 Matrizenrechnung

Beispiel 1.11 Für das Eigenwertproblem ª 3.540 − 0.213 − 1.681 0 0º « » 0.284 0 − 0.142 0.213» « − 0.213 0 4.639 − 0.213 − 1.681» ( 108 ⋅ « − 1.681 « » 0 − 0.142 − 0.213 0.142 − 0.213» « «¬ 0 + 0.213 − 1.681 − 0.213 2.312 »¼ ª 1464 0 0 0 0 º ª « » « 318 0 0 0 » « « 0 0 1606 0 0 » )⋅ « − λ ⋅« 0 « » « 0 0 276 0 » « « 0 «¬ 0 0 0 0 1464 »¼ «¬

x1 º ª 0 º » « » x2 » « 0 » x3 » = « 0 » » « » x4 » « 0 » x5 »¼ «¬ 0 »¼

sind der kleinste Eigenwert und der zugehörige Eigenvektor nach dem Verfahren der inversen Iteration zu ermitteln. Zunächst wird die Gauß-Zerlegung der Matrix A durchgeführt: ª 1 0 0 0 « 0.060 1 0 0 − « 1 0 L = « − 0.475 − 0.373 « 0 − 0.524 − 0.070 1 « «¬ 0 0.785 − 0.421 − 4.352

0º » 0» 0» » 0» 1¼»

ª 3.540 0 0 0 0 º « » 0.271 0 0 0 » « 0 0 3.804 0 0 » D = 108 ⋅ « 0 « » 0 0 0.049 0 » « 0 0 0 0 0.549 ¼» ¬« 0

Man wählt den Startvektor für die Iteration und bestimmt den Vektor b . ª 1º « » « 1» (1) x = « 1» « » « 1» «¬ 1»¼

ª 1.646 º « » « 0.142 » (1) b = A⋅ x = 108 ⋅« 1.065 » « » « − 0.426 » «¬ 0.639 »¼

1.4 Eigenwertprobleme

29

Für den ersten Iterationsschritt werden nun die Berechnungsschritte im Einzelnen dargestellt: Rayleighquotient: ª 1464 º « » « 318 » f = B⋅ x (1) = « 1606 » « » « 276 » «¬ 1464 »¼

(

N = x(k )

λ(1) =

)

T

⋅ f = 5128

( (1) )

Z= x

T

⋅ b = 3.066⋅ 108

Z = 59790 N

Normierung:

xˆ (1) =

ª 0.01396 º « » 0.01396 » « 1 ⋅ x (1) = « 0.01396 » « » N « 0.01396 » «¬ 0.01396 »¼

Lösung des Gleichungssystems: ª 20.444 º « » « 4.441» 1 b= f ⋅ = « 22.427 » . » N « « 3.854 » «¬ 20.444 »¼

Aus L ·y = b und D ·c = y →

ª 1.000 º « » « 1.060 » y = « 1.870 » « » « 1.686 » «¬ 8.291»¼

ª 0.028 º « » « 0.391» c = 10− 7 ⋅« 0.049 » « » « 3.437 » «¬ 1.509 »¼

Den (noch unnormierten) Näherungsvektor xˆ ( 2) erhält man aus LT · xˆ ( 2) = c zu : ª 0.818 º « » « 3.540 » xˆ (2) = 10− 6 ⋅ « 1.152 » . « » « 7.465 » «¬ 1.284 »¼

30

1 Matrizenrechnung

Entsprechend ergeben sich in den weiteren Iterationsschritten: Eigenwerte und normierte Eigenvektoren

Iterationsschritt k

2

(10 -fach) λ(k)

1

x1(k) x2(k) x3(k) x4(k) x5(k)

2

3

4

5

59790

4552

4343

4342

4342

1.396

0.518

0.467

0.465

0.465

1.396

2.244

2.323

2.330

2.331

1.396

0.730

0.669

0.666

0.666

1.396

4.732

4.834

4.837

4.837

1.396

0.814

0.738

0.733

0.733

Der kleinste Eigenwert und der zugehörige (auf zwei Nachkommastellen gerundete) Eigenvektor lauten damit:

λ1 = 4.342⋅ 103 ,

ª 0.47 º « » « 2.33» x1 = 10− 2 ⋅ « 0.67 » . « » « 4.84 » «¬ 0.73»¼

Man kann zeigen, dass der Eigenwert durch den Rayleigh-Quotienten mit einer Größenordnung höher als der Eigenvektor approximiert wird. Dies bedeutet qualitativ, dass der RayleighQuotient den Eigenwert etwa mit der doppelten Stellenzahl wiedergibt wie der Näherungsvektor den Eigenwert annähert [1.2]. Auch höhere Eigenwerte und -vektoren lassen sich mit dem Verfahren der inversen Iteration ermitteln. Hierzu ist allerdings dafür zu sorgen, dass die Konvergenz nicht gegen den kleinsten Eigenwert erfolgt. Eine Möglichkeit, um dies zu erreichen, ist, die Anteile der Eigenvektoren aller kleineren Eigenwerte aus den Iterationsvektoren zu extrahieren. Man wählt hierzu den Startvektor B-orthogonal nach (1.14) zu den Eigenvektoren aller kleineren Eigenwerte und führt mit diesem Startvektor die Iteration durch. Nach der Durchführung des ersten Iterationsschrittes sowie nach jedem weiteren Iterationsschritt ist der iterierte Vektor von den möglichen Anteilen kleinerer Eigenwerte zu „bereinigen“, die durch numerische Rundungsfehler entstehen können. Das Verfahren wird auch als Gram-Schmidt-Orthogonalisierung bezeichnet. Es seien bereits die Eigenvektoren der Eigenwerte 1 bis (m-1) bestimmt und die Iteration sei für den m-ten Eigenwert durchzuführen. Die Extraktion der Eigenvektoren x1, x2, ..., xm-1 vom x ( k ) des k-ten Iterationsschritts erhält man dann durch ([1.2]): Näherungsvektor ~ m− 1

ˆ (k )

x

(k )

= x

−

¦ ( xTi ⋅ B⋅ x(k ) )⋅ xi i= 1

(1.19)

1.4 Eigenwertprobleme

31

Da der Vektor xˆ ( k ) B-orthogonal zu den bisher bestimmten (m-1) Eigenvektoren ist, führt die Iteration zum nächst kleineren Eigenwert, dessen Eigenvektor die Eigenvektoren x1, x2, .., xm1 nicht enthält. Dies ist der Eigenwert m. Beispiel 1.12 Für das in Beispiel 1.11 angegebene Eigenwertproblem ist der zweitkleinste Eigenwert und der dazugehörige Eigenvektor durch Inverse Iteration mit Gram-Schmidt-Orthogonalisierung zu ermitteln. Man wählt man den Startvektor wieder wie in Beispiel 1.11 und extrahiert zunächst den Anteil des ersten Eigenvektors x 1: ª 1º « » « 1» (1) x = « 1» « » « 1» «¬ 1»¼

ª 0.772 º « » « − 0.142 » xˆ (1) = x (1) − x1T ⋅ B⋅ x (1) ⋅ x1 = « 0.674 » « » « − 1.370 » «¬ 0.641»¼

(

)

mit

ª 0.465 º « » « 2.331» x1 = 10− 2 ⋅ « 0.666 » . « » « 4.837 » «¬ 0.733 »¼

ª 1.631º « » « 0.126 » (1) b = A⋅ xˆ = 108 ⋅« 1.043» . « » « − 0.454 » «¬ 0.616 »¼

Mit diesem Startvektor erhält man

Der erste Iterationsschritt erfolgt mit diesem modifizierten Startvektor. Man berechnet den Rayleighquotienten mit ª 1130 º « » « − 45 » f = B⋅ xˆ (1) = « 1082 » , « » « − 378 » ¬« 938 ¼»

zu

( )

N = xˆ (1)

λ(1) =

T

⋅ f = 2727 ,

( )

(1) Z = xˆ

T

⋅ b = 2.961⋅ 108 ,

Z = 108569 . N

Weiterhin erhält man den normierten Eigenvektor und den Hilfsvektor b zu:

x (1) =

ª 1.479 º « » « − 0.272 » 1 ⋅ xˆ (1) = 10− 2 ⋅« 1.290 » , b = « » N « − 2.623» «¬ 1.227 »¼

ª 21.646 º « » « − 0.865 » 1 ⋅ f = « 20.717 » . « » N « − 7.240 » «¬ 17.965 »¼

32

1 Matrizenrechnung

Die Lösung des Gleichungssystems mit den in Beispiel 1.11 angegebenen Matrizen L und D ergibt die nächste Näherung für den Eigenvektor: ª 21.646 º « » « 0.438 » L ·y = b → y = «« 31.157 »» ; « − 4.832 » «¬ 9.710 »¼

LT · x

(2)

→

=c

D ·c = y →

ª 0.612 º « » « 0.161» c = 10− 9 ⋅« 0.819 » « » « − 9.851» «¬ 1.767 »¼

ª 0.117 º « » « − 0.183» xˆ (2) = 10− 6 ⋅ « 0.141» « » « − 0.216 » «¬ 0.177 »¼

Dieser Vektor ist nun für den nächsten Iterationsschritt bezüglich des Eigenvektors x 1 zu orthogonalisieren: ª 1.773º « » « − 0.182 » xˆ (1) = x (2) − x1T ⋅ B⋅ x (2) ⋅ x1 = 10− 7 ⋅ « 1.415 » . « » « − 2.142 » «¬ 1.770 »¼

(

)

Der zweite Eigenwert und der zugehörige (auf zwei Nachkommastellen gerundete) Eigenvektor sind damit:

λ 2= 6.399⋅ 10 4 ,

ª 0.27 º « » « − 3.80 » x 2 = 10− 2 ⋅ « 0.89 » . « » « − 0.07 » ¬« 1.66 ¼»

1.4 Eigenwertprobleme

33

Entsprechend ergeben sich in den weiteren Iterationsschritten: Eigenwerte und normierte Eigenvektoren

Iterationsschritt k

2

(10 -fach) λ(k)

1 108569

x1(k) x2(k) x3(k) x4(k) x5(k)

2

3

4

5

85332

71014

65908

64483

1.479

1.065

0.712

0.494

0.379

-0.272

-1.654

-2.716

-3.281

-3.551

1.290

1.284

1.158

1.042

0.970

-2.623

-1.944

-1.173

-0.652

-0.365

1.227

1.607

1.729

1.700

1.700

Eigenwerte und normierte Eigenvektoren 2

(10 -fach) λ(k) x1(k) x2(k) x3(k) x4(k) x5(k)

Iterationsschritt k 7

8

9

10

64115

6

64022

63998

63992

63991

0.321

0.292

0.278

0.270

0.267

-3.680

-3.743

-3.774

-3.790

-3.797

0.931

0.911

0.900

0.895

0.891

-0.217

-1.42

-0.105

-0.086

-0.071

1.681

1.670

1.664

1.661

1.658

Neben der Gram-Schmidt-Ortogonalisierung wird in der Praxis noch ein weiteres Verfahren zur Berechnung höherer Eigenwerte und Eigenvektoren bei der Inversen Iteration verwendet. Es ist dies das sogenannte Shifting, mit dem eine Verschiebung des Bezugspunktes auf der Eigenwertachse bezeichnet wird (Bild 1.1). Hierzu führt man mit

λ = λ 0+ λ

(1.20)

einen modifizierten Eigenwert λ ein, der sich vom Eigenwert λ durch den vorgegebenen Wert λ 0 unterscheidet. Damit erhält man aus (1) das modifizierte Eigenwertproblem

( A− ( λ0 + λ )⋅ B )⋅ x ( mit

A − λ ⋅ B )⋅ x = 0

A = A − λ0 ⋅ B .

= 0

oder (1.20a) (1.20b)

Dieses Eigenwertproblem besitzt dieselben Eigenvektoren wie (1.12), allerdings sind die Eigenwerte gegenüber dem zu lösenden Eigenwertproblem um den Betrag λ 0 vergrößert. Die

~

neue Matrix A ist, da sie durch Addition der regulären Matrix A und der Matrix B gebildet ~ wird, normalerweise regulär. Ist A positiv definit, gilt dies allerdings für A nicht mehr.

34

1 Matrizenrechnung

Wendet man das Verfahren der Inversen Iteration nun auf das modifizierte Eigenwertproblem an, so konvergiert es gegen den Eigenvektor, dessen Eigenwert dem Wert λ 0 am nächsten liegt. Die Konvergenzgeschwindigkeit ist umso höher je näher λ 0 am Eigenwert liegt. Die Lösung des modifizierten Eigenwertproblems liefert einen modifizierten Eigenwert λ , aus dem man den Eigenwert λ des ursprünglichen Problems durch Addition von λ 0 erhält. Damit ist neben der Gram-Schmidt-Orthogonalisierung ein weiteres Verfahren verfügbar, um höhere Eigenwerte und -vektoren zu ermitteln.

~ Det ( A − λ ⋅ B )

λ

λ

λ2

λ1

λ3

λ0

λ4

Bild 1-1 Verschiebung des Nullpunktes auf der Eigenwertachse (Shifting)

Beispiel 1.13 Für das in Beispiel 1.11 angegebene Eigenwertproblem sind alle höheren Eigenwerte und Eigenvektoren durch Inverse Iteration mit Shifting zu ermitteln. Der Betrag der ersten Verschiebung wird zu

λ 0 = 50000 ~

gewählt. Die modifierte Matrix A erhält man nach (8b) und den in Beispiel 1.11 angegebenen Matrizen A und B zu: ª 2.808 − 0.213 − 1.681 0 0º « » 0.125 0 − 0.142 0.213» « − 0.213 0 3.836 − 0.213 − 1.681» A = 108 ⋅ « − 1.681 « » 0 − 0.142 − 0.213 0.004 − 0.213» « «¬ 0 − 0.213 − 1.681 − 0.213 1.587 »¼

~

Die Gauß-Zerlegung von A führt zu:

1.4 Eigenwertprobleme

35

ª 1 0 0 0 « 1 0 0 « − 0.076 « 1 0 L = − 0.599 − 1.171 « 0 1.305 0.142 1 − − « «¬ 0 1.957 − 0.534 0.586

0º » 0» 0» » 0» 1»¼

ª 2.808 0 0 0 0 º « » 0.109 0 0 0 » « 0 0 2.681 0 0 » D = 108 ⋅« 0 « » 0 0 0 » − 0.235 « 0 «¬ 0 0 0 0 0.487 »¼

Ausgehend von einem mit Einsen besetzten Vektor als Startvektor erhält man damit nach neun Iterationsschritten, die analog wie in Beispiel 1.11 durchgeführt werden:

λ2 = 1.399⋅ 10 4 ,

λ2 = λ2 + λ0 = 6.399⋅ 104 ,

ª 0.26 º « » « − 3.80 » x 2 = 10− 2 ⋅ « 0.89 » . « » « − 0.07 » «¬ 1.66 »¼

Die Konvergenz erfolgt zum zweiten Eigenwert, da Ȝ0 = 50.000 näher am zweiten als am ersten Eigenwert liegt. Hätte man Ȝ0 = 30.000 gewählt, das näher an Ȝ1 = 4342 als an Ȝ2 = 63.990 liegt, wäre die Iteration auf den Eigenvektor des ersten Eigenwertes konvergiert. Die restlichen drei Eigenwerte werden durch Erhöhung von Ȝ0 ermittelt. Man erhält: mit Ȝ0 = 100.000 nach 30 Iterationsschritten

λ 3 = 2.7489⋅ 105 , λ 3 = λ 3+ λ 0 = 1.2749⋅ 105 ,

ª 1.29 º « » « 2.75 » x3 = 10− 2 ⋅ « 0.94 » « » « − 3.41» «¬ 0.59 »¼

mit Ȝ0 = 200.000 nach zehn Iterationsschritten

λ 4= 2.454⋅ 105 , λ 4 = λ 4+ λ 0= 2.245⋅ 105 ,

ª 1.74 º « » « − 1.99 » x 4 = 10− 2 ⋅ « 0.51» « » « 1.06 » «¬ − 1.56 »¼

36

1 Matrizenrechnung

und Ȝ0 = 400.000 nach vier Iterationsschritten

AT ( x ) , λ 5 = λ 5 + λ 0= 4.095⋅ 105 ,

ª 1.35º « » « − 0.14 » x5 = 10− 2 ⋅ « 1.96 » . « » « 0.25» «¬ 0.87 »¼

Da die Matrizen des Gleichungssystem fünfter Ordnung sind, sind damit alle Eigenwerte und Eigenvektoren bekannt. Der Eigenvektor, zu dem die Konvergenz bei der Inversen Vektoriteration mit Shifting erfolgt, hängt von der Wahl des Shiftparameters λ0 ab. Um zu Überprüfen, ob bei der Vektoriteration alle Eigenwerte in einem Intervall gefunden wurden, führt man einen sogenannten Sturmschen Test durch. Hierzu geht man von der Matrix D aus, die man bei der Gauß-Zerlegung mit (8a) aus A = A− λ 0 ⋅ B = LT ⋅ D⋅ L

erhält. Man kann zeigen, dass die Anzahl der negativen Diagonalelemente der Matrix D, der Anzahl der Eigenwerte unterhalb von Ȝ0 entspricht. Dieser Test, erlaubt es die Anzahl der Eigenwerte mit einem wenig aufwändigen Verfahren zu bestimmen oder auch bestimmte Eigenwerte durch wiederholte Anwendung des Tests zu lokalisieren. Ist die Anzahl der Eigenwerte in einem Intervall zu ermitteln, so wendet man den Sturmschen Test für die Intervallgrenzen an und bildet die Differenz der Anzahl der Eigenwerte an den Intervallgrenzen. Beispiel 1.14 Für das in Beispiel 1.11 angegebene Eigenwertproblem ist die Anzahl der Eigenwerte im Intervall 50.000 ≤ λ < 300.000

mit dem Sturmschen Test zu ermitteln. Für Ȝ0 = 50.000 ist die Gauß-Zerlegung der Matrix A = A − λ 0 ⋅ B in Beispiel 1.13 angegeben. Danach enthält die Diagonalmatrix D einen negativen Term. Dies bedeutet, dass das Eigen~ wertproblem einen einzigen Eigenwert unter 50.000 besitzt. Die Gauß-Zerlegung von A für Ȝ0 = 300.000 erhält man mit ª 0.853 « « − 0.213 A = 108 ⋅ « − 1.681 « 0 « «¬ 0

− 0.213 − 1.681 0 − 0.670 0 − 0.142

0º » 0.213» 0 − 0.179 − 0.213 − 1.681» » − 0.142 − 0.213 − 0.686 − 0.213» − 0.213 − 1.681 − 0.213 − 2.072 »¼

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

zu:

ª 1 0 0 0 « 1 0 0 « 0.250 « 1 0 L = 1.971 − 0.681 « 0 0.230 0.091 1 − « «¬ 0 − 0.345 − 0.449 0.589

37 0º » 0» 0» » 0» 1»¼

ª − 0.853 0 0 0 0 º « » 0 0 0 » − 0.617 « 0 0 3.420 0 0 » D = 108 ⋅« 0 « » 0 0 0 » − 0.681 « 0 «¬ 0 0 0 0 − 2.452 »¼

Die Matrix D hat vier negative Diagonalterme. Im Intervall zwischen 50.000 und 300.000 besitzt das Eigenwertproblem also (4 - 1) = 3 Eigenwerte. Wie man durch Vergleich mit der Lösung in Beispiel 1.5 erkennt, sind dies die Eigenwerte λ 2= 6.399⋅ 10 4 , λ 3 = 1.2749⋅ 105 und λ 4 = 2.245⋅ 105 . Die inverse Iteration bildet die Grundlage für andere numerische Verfahren, die zur sicheren und effizienten Eigenwertberechnung großer Matrizen unter Nutzung der speziellen ComputerSpeichertechnik entwickelt wurden. Dazu gehören die simultane Vektoriteration oder Unterraum-Iteration. Unter einem Unterraum wird hierbei eine Menge mehrerer Eigenvektoren verstanden, die gleichzeitig unter Einhaltung der Orthogonalitätsbeziehungen und der BNormierung iteriert werden. Das Verfahren ist in vielfach in kommerzielle Finite-ElementSoftware für dynamische Berechnungen implementiert.

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme 1.5.1 Einführung Während die Matrizenrechnung bisher unter vorwiegend mathematischen Gesichtspunkten behandelt wurde, sollen in diesem Abschnitt die Berechnungsverfahren speziell für solche Gleichungssysteme erläutert werden, wie sie bei nichtlinearen Finite-Element-Berechnungen auftreten. Auch die Terminologie orientiert sich hieran. Beim Gleichungssystem A.x=b

(1.21)

stellen also A die Steifigkeitsmatrix, b den Lastvektor und x den Verschiebungsvektor dar. Dennoch besitzen die meisten der behandelten Verfahren durchaus allgemeine Gültigkeit und werden nicht nur für Finite-Element-Berechnungen sondern beispielsweise auch im Bereich der mathematischen Optimierung angewandt. Jedoch ist die statische Bedeutung der ver-

38

1 Matrizenrechnung

wendeten Größen für das Verständnis der Zusammenhänge oftmals hilfreich. Auch sind spezielle Entwicklungen für Finite-Element-Berechnungen nur auf diese Weise erklärbar. Bei einer linearen statischen Berechnung besteht zwischen der Belastung und den Verschiebungen die durch (1.9) ausgedrückte lineare Beziehung. Wenn anstelle der Lasten b die α-fachen Lasten α b wirken, so rufen sie die α-fachen Verschiebungen α x hervor. Ist dies nicht der Fall, dann ist das System nichtlinear. Die Nichtlinearität der Systemgleichungen wird in der Regel durch eine nichtlineare Steifigkeitsmatrix hervorgerufen. Es gilt: A (x) . x = b

(1.21a)

Die Steifigkeitsmatrix A hängt somit vom Verschiebungszustand ab. Bei den Lösungsverfahren für nichtlineare Gleichungen unterscheidet man zwischen inkrementellen, iterativen und inkrementell-iterativen Verfahren. Inkrementelle Verfahren bringen die Last schrittweise auf und nehmen in jedem Lastschritt ein lineares Verhalten des Systems an. Der durch diese Näherung entstandene Fehler summiert sich jedoch mit zunehmender Anzahl von Schritten auf (Bild 1-2). Rein inkrementelle Verfahren sind daher zur Lösung nichtlinearer Finite-Element-Gleichungen nicht geeignet. Bei iterativen Verfahren wird die Last in einem einzigen Schritt aufgebracht und der Verschiebungsvektor durch Iteration bestimmt. Dieses Verfahren benötigt aber häufig viele Iterationsschritte und kann nicht eindeutige Lösungen, die von der Belastungsgeschichte abhängen, nicht wiedergeben. In der Praxis verwendet man daher inkrementell-iterative Verfahren. Diese gehen grundsätzlich inkrementell vor, führen aber in jedem Lastschritt eine Iteration nach einem numerischen Iterationsverfahren durch. Hierdurch kann einerseits die Belastungsgeschichte rechnerisch nachvollzogen werden, auf der anderen Seite treten aber die für rein inkrementelle Verfahren typischen, sich akkumulierenden Fehler nicht auf. Zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme gibt es unterschiedliche inkrementell-iterative Verfahren. Bewertungskriterien sind die Konvergenzgeschwindigkeit, der Aufwand zum Aufstellen der erforderlichen Systemmatrizen und der Einsatzbereich der Verfahren. Ein einfaches, grundlegendes Verfahren ist das Sekantenverfahren. Es zeichnet sich durch eine hohe Stabilität aus. In der Praxis wird allerdings meist das Newton-Raphson-Verfahren angewandt, das auf einem Tangentenverfahren beruht und eine deutlich höhere Konvergenzgeschwindigkeit als das Sekantenverfahren besitzt. Es stellt die Grundlage weiterer Verfahren dar. Die QuasiNewton-Verfahren sind effektive Verfahren, die vom Sekantenverfahren ausgehen. Die Bogenlägenverfahren sind insbesondere für Untersuchungen geeignet, die das Systemverhalten nach Überschreiten der maximal aufnehmbaren Last zum Ziel haben. Einen Überblick über nichtlineare Berechnungsverfahren bei Finite-Element-Berechnungen geben [1.3], [1.5] und [1.6]. Die Effektivität eines Verfahrens hängt in hohem Maße von den Systemeigenschaften und der Art der Nichtlinearität ab. Ziel der Entwicklung sind adaptive Verfahren, die die Größe der Lastschritte und die Steifigkeitsumformungen selbst steuern, um automatisch zu effektiven Lösungen zu gelangen.

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

(a) Inkrementelle Verfahren

39

(b) Iterative Verfahren

(c) Inkrementell-iterative Verfahren

Bild 1-2 Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme

1.5.2 Sekantenverfahren Bei dem Sekantenverfahren, das auch als direkte Iteration bezeichnet wird, geht man unmittelbar vom nichtlinearen Gleichungssystem (1.21a) aus, um die Iterationsvorschrift zu definieren. Diese lautet: A( x ( k− 1) )⋅ x( k ) = b

k = 1, 2, 3, ....

Beginnend mit einem Startvektor x (k ) ermittelt man iterativ die Lösungen x

(1.22) (k )

. In jedem

( k −1)

) neu zu berechnen und ein lineares Gleichungssystem Iterationsschritt ist die Matrix A( x zu lösen. Man bricht die Iteration ab, wenn die Differenz zweier aufeinander folgender Lösungsvektoren, gemessen in einer geeigneten Norm, ausreichend klein ist. Statisch bedeutet dies, dass man die nichtlineare Steifigkeitsmatrix für den zuletzt erhaltenen Verschiebungsvektor bestimmt und damit das Gleichungssystem löst. Als Ergebnis erhält man

40

1 Matrizenrechnung

den Verschiebungsvektor des nächsten Iterationsschrittes. Im eindimensionalen Fall entspricht das Verfahren der Ermittlung und iterativen Verbesserung einer Sekantensteifigkeit im KraftVerschiebungs-Diagramm, Bild 1-3. f( x)

x x(0)

x (1)

x( 2) x ( 3 ) x( 4 )

Bild 1-3 Sekantenverfahren

Zusammenfassend lässt sich das Verfahren wie folgt darstellen: Sekantenverfahren

Start: Aufstellen des Startvektors x

( 0)

(Verschiebungsvektor), z. B. x ( 0) = 0

Iterationsschritte (k=1,2,...): 1. Aufstellen der Koeffizientenmatrix (Steifigkeitsmatrix) A( x ( k −1) ) an der Stelle x ( k −1) 2. Lösung des Gleichungssystems A( x ( k −1) ) ⋅ x ( k ) = b zur Ermittlung von x ( k ) .

Beispiel 1.15 Für die (skalare) nichtlineare Gleichung A( x)⋅ x = b mit A( x) =

42.53− 2.571⋅ x ⋅ 104 1+ 0.0767⋅ x

und

b = 106

ist die Lösung nach dem Sekantenverfahren zu ermitteln, Bild 1-4.

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

41

1⋅ 10 6

5 ⋅ 105

Bild 1-4 Berechnungsbeispiel

Die Lösung nach (1.22) erhält man mit dem Startwert x(0) = 0 und der Abbruchbedingung ( x( k ) − x( k− 1) ) / x( k ) < 10− 3 zu: k

A( x( k− 1) ) /105

1

4.253

2.351

2

3.091

3.235

3

2.741

3.648

4

2.590

3.861

5

2.516

3.975

6

2.476

4.039

7

2.454

4.074

8

2.442

4.095

9

2.435

4.106

10

2.432

4.113

11

2.429

4.116

x (k )

Für das auf zwei Nachkommastellen genaue Ergebnis x = 4.12 (gerundet) wurden 11 Schritte benötigt. Das Verfahren lässt sich leicht für mehrere Lastschritte erweitern und kann damit auch im Rahmen eines inkrementell-iterativen Verfahrens angewandt werden. In der Praxis kommt es hierzu jedoch nicht in der erläuterten einfachen Form zum Einsatz. Vielmehr ist es die Grundlage der Quasi-Newton-Verfahren, die rechentechnisch effizienter als das Sekantenverfahren sind (vgl. Abschnitt 1.5.4).

1.5.3 Newton-Raphson-Verfahren Beim Newton-Raphson-Verfahren geht man nicht wie beim Sekantenverfahren von der Sekantenmatrix A( x) , sondern von der Tangentenmatrix AT ( x) aus. Das Verfahren lässt sich mit

42

1 Matrizenrechnung

Hilfe einer Entwicklung der zu lösenden Gleichung in eine Taylorreihe erläutern. Hierzu schreibt man (1.21a): F ( x) = A( x)⋅ x − b

mit

(1.23)

F ( x) = 0 .

(1.23a)

Entwickelt man (1.23) in eine Taylorreihe und vernachlässigt Terme höherer Ordnung, so erhält man mit dem Term erster Ordnung: § d F ·( k− 1) ⋅ ∆ x(k ) = 0 F ( x ( k ) ) = F ( x ( k− 1) ) + ¨ ¸ © dx ¹

(1.23b)

Hierin ist § d F ·( k− 1) § d ( A( x )⋅ x) ·( k− 1) =¨ AT ( x ( k− 1) ) = ¨ ¸ ¸ dx © dx ¹ © ¹

(1.23c)

die Tangentenmatrix. In (1.23c) ist in der ersten Zeile ist nach x1, in der zweiten Zeile nach x2 usw. zu differenzieren. Löst man (1.23b) nach ∆ x ( k ) auf, erhält man mit (1.23) und (1.23c): AT ( x ( k− 1) )⋅ ∆ x ( k ) = b − f ( x ( k− 1) )

(1.24)

mit f ( x ( k− 1) ) = A( x ( k− 1) )⋅ x ( k− 1)

(1.24a)

Mit (1.23d) lässt sich das Inkrement ∆ x ( k ) ermitteln. Den Lösungsvektor erhält man dann aus dem Vektor x ( k− 1) des vorangegangenen Schrittes und dem Inkrement ∆ x ( k ) zu: x ( k ) = x ( k− 1) + ∆ x ( k )

(1.24b)

b − f ( x (1) )

A T ( x (1) )

f ( x(1) )

∆x ( 2 ) x (0)

x (1)

x( 2)

x(3 )

Bild 1-5 Newton-Raphson-Verfahren

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

43

Statisch lassen sich (1.24), (1.24a) und (1.24b) wie folgt deuten: In (1.24) stellt AT ( x ( k− 1) )

die Tangenten-Steifigkeitsmatrix für den Verschiebungszustand x ( k− 1) dar. Der Vektor b enthält die äußeren Lasten und f ( x ( k− 1) ) diejenigen Knotenkräfte, mit denen das System im Verschiebungszustand x(k− 1) antwortet. Am Anfang der Iteration sind beide noch nicht ausge-

glichen, d. h. es besteht kein Gleichgewicht. Der Ausdruck b − f ( x( k− 1) ) gibt diejenigen Kräfte an, mit denen im (k-1)-ten Iterationsschritt das System vom Gleichgewichtszustand abweicht (Out-of-Balance Forces), Bild (1-5). Gleichung (1.14) stellt also die linearisierten Gleichgewichtsbedingungen für die noch nicht ausgeglichenen Kräfte dar. Für diese ergibt sich im k-ten Iterationsschritt das Verschiebungsinkrement ∆ x ( k ) , aus dem sich wiederum die Gesamtverschiebung x ( k ) ermitteln lässt. Damit ergibt sich folgendes Iterationsschema: Newton-Raphson-Verfahren

Start:

Aufstellen des Startvektors x (0) (Verschiebungsvektor): x (0) = 0 beziehungsweise Vektor am Ende des letzten Lastschrittes

Iterationsschritte (k=1,2,...):

1. Aufstellen der Tangentenmatrix (Tangenten-Steifigkeitsmatrix) AT ( x( k− 1) ) an der Stelle x ( k − 1)

2. Aufstellen des Vektors f ( x ( k− 1) ) (Vektor der Knotenkräfte, die den nichtlinearen Elementspannungen im Verschiebungszustand x ( k − 1) entsprechen.)

3. Lösung des Gleichungssystems AT ( x ( k− 1) )⋅ ∆ x ( k ) = b − f ( x ( k− 1) ) zur Ermittlung von ∆ x ( k ) . 4. Ermittlung der Lösung im aktuellen Iterationsschritt mit x ( k ) = x ( k− 1) + ∆ x ( k ) . Bei der Lösung von (1.24) wird vorausgesetzt, dass die Tangenten-Steifigkeitsmatrix nicht singulär ist. Bei Finite-Element-Berechnungen ist dies jedoch in der Nähe der Bruchlast nicht der Fall. Vielmehr besitzt dort die Spannungs-Dehnungs-Linie eine horizontale Tangente, was eine singuläre Tangenten-Steifigkeitsmatrix zur Folge hat (Bild 1-12). In derartigen Fällen müssen daher andere Berechnungsverfahren angewandt werden.

44

1 Matrizenrechnung

Beispiel 1.16

Die nichtlineare Gleichung A( x ) ⋅ x = b in Beispiel 1.15 mit A( x ) =

42.53 − 2.571⋅ x ⋅ 104 1+ 0.0767⋅ x

b = 10 6

und

ist nach dem Newton-Raphson-Verfahren zu lösen. Zunächst wird die Tangenten-Matrix zu ermittelt. Nach (1.13a) erhält man sie zu:

d ( A( x)⋅ x) = AT ( x) = dx

d(

42.53− 2.571⋅ x 4 ⋅ 10 ⋅ x) 42.53− 5.142⋅ x − 0.1972⋅ x 2 1+ 0.0767⋅ x = ⋅ 104 2 dx (1+ 0.0767⋅ x)

Die Iteration beginnt mit dem Startwert x(0) = 0 . Als Konvergenzkriterium wird wie in Beispiel 1.14 die Abbruchbedingung ( x( k ) − x( k− 1) ) / x( k ) < 10− 3 zugrunde gelegt. Man erhält: k

AT ( x( k− 1) ) /105

f ( x( k− 1) ) /105

1

4.253

0

2.351

2.351

2

2.107

7.268

1.297

3.648

3

1.291

9.450

0.426

4.074

4

1.063

9.951

0.046

4.121

5

1.039

9.999

0.0005

4.121

∆x (k )

x (k )

Der erste Iterationsschritt ist identisch mit dem Sekantenverfahren (Beispiel 1.15), da beide Verfahren mit der Lösung des Gleichungssystems für die Matrix an der Stelle x ( 0) = 0 beginnen.. Für das auf zwei Nachkommastellen genaue Ergebnis x = 4.12 (gerundet) wurden nur 5 Schritte benötigt, während beim Sekanten-Verfahren 11 Iterationsschritte erforderlich waren. Dies verdeutlicht die wesentlich höhere Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-RaphsonVerfahrens. Bei den inkrementell-iterativen-Verfahren wird das Newton-Raphson-Verfahren für inkrementelle Lasten angewandt. Die bisher angegebenen Gleichungen gelten dann sinngemäß für einen Lastschritt. Beispiel 1.17 Die nichtlineare Gleichung A( x)⋅ x = b (Beispiele 1.15 und 1.16) mit A( x ) =

42.53 − 2.571⋅ x ⋅ 104 1+ 0.0767⋅ x

und

b = 10 6

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

45

ist nach dem Newton-Raphson-Verfahren zu lösen. Die Tangenten-Matrix erhält man wie in Beispiel 1.16 zu: AT ( x) =

42.53− 5.142⋅ x − 0.1972⋅ x 2 (1+ 0.0767⋅ x)

2

⋅ 104

Als Konvergenzkriterium wieder die Abbruchbedingung ( x ( k ) − x ( k− 1) ) / x ( k ) < 10− 3

zu-

grunde gelegt. Im ersten Lastschritt wird die halbe Last aufgebracht. Es gilt damit b = 0.5 ⋅ 10 6 . Die Iteration beginnt mit dem Startwert x ( 0) = 0 . Man erhält: k

AT ( x( k− 1) ) /105

f ( x( k− 1) ) /105

1

3.047

4.260

1.176

2

2.834

4.974

0.243

1.418

3

2.826

5.000

0.009

1.4275

4

2.826

5.000

< 10

-3

1.4276

∆x (k )

x (k ) 1.176

Im nächsten Lastschritt wird die volle Last aufgebracht. Es gilt nun b = 0.5 ⋅ 10 6 und x (0) = 1.4276 . Man erhält: k

AT ( x( k− 1) ) /105

f ( x( k− 1) ) /105

1

1.553

8.809

1.770

3.197

2

1.120

9.830

0.767

3.964

3

1.041

9.994

0.152

4.116

4

1.039

10.000

0.006

4.121

5

1.039

10.000

< 10-3

4.121

∆x (k )

x (k )

Im ersten Lastschritt wurden 4 und im zweiten Lastschritt 5 Iterationsschritte benötigt. Dies sind insgesamt mehr Iterationsschritte als bei der Berechnung mit nur einem Lastschritt, bei der für die gleiche Genauigkeit des Ergebnisses nur 5 Schritte benötigt wurden. Dies ist ein Hinweis darauf, dass die Wahl des Lastinkrements bei nichtlinearen Finite-ElementBerechnungen für den Gesamtaufwand durchaus von großer Bedeutung ist. Das Newton-Raphson-Verfahren besitzt einerseits eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit, andererseits ist aber in jedem Iterationsschritt die Tangenten-Steifigkeitsmatrix neu zu berechnen. Um den damit verbundenen Rechenaufwand zu verringern, kann man die im ersten Iterationsschritt ermittelte Tangenten-Steifigkeitsmatrix bei allen weiteren Iterationsschritten unverändert beibehalten, Bild 1-6. Die Iterationsvorschrift lautet also: AT ( x(0) )⋅ ∆ x( k ) = b − f ( x( k− 1) )

(1.25)

46

1 Matrizenrechnung

Damit sind für die gleiche Rechengenauigkeit zwar einerseits mehr Iterationsschritte erforderlich, andererseits entfällt aber auch der Aufwand zum mehrmaligen Aufstellen der TangentenSteifigkeitsmatrix. Das Verfahren wird als Modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren bezeichnet. Während beim Newton-Raphson-Verfahren die Konvergenz von zweiter Ordnung ist, beträgt sie beim Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren nur eins. Die Vorgehensweise wird noch einmal zusammenfassend dargestellt: Modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren

Start: 1. Aufstellen des Startvektors x(0) (Verschiebungsvektor): x(0) = 0 beziehungsweise Vektor am Ende des letzten Lastschrittes

2. Aufstellen der Tangentenmatrix (Tangenten-Steifigkeitsmatrix) AT ( x (0) ) an der Stelle x(0) . Iterationsschritte (k = 1,2,...): 1. Aufstellen des Vektors f ( x( k− 1) ) (Vektor der Knotenkräfte, die den nichtlinearen Elementspannungen im Verschiebungszustand x( k− 1) entsprechen.) 2. Lösung des Gleichungssystems

AT ( x(0) )⋅ ∆ x( k ) = b − f ( x ( k− 1) )

zur Ermittlung von ∆ x( k ) . 3. Ermittlung der Lösung im aktuellen Iterationsschritt mit x( k ) = x( k− 1) + ∆ x( k ) .

f(x)

x x

(0)

x

(1)

x

(2)

Bild 1-6 Modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

47

Beispiel 1.18 Die nichtlineare Gleichung A( x) ⋅ x = b der Beispiele 1.15 bis 1.17 mit A( x ) =

42.53− 2.571⋅ x ⋅ 104 1+ 0.0767⋅ x

b = 10 6

und

ist nach dem Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren zu lösen. Die Tangenten-Matrix für den Startwert x(0) = 0 erhält man zu: AT =

42.53− 5.142⋅ x − 0.1972⋅ x 2 (1+ 0.767⋅ x)2

⋅ 104 = 4.253⋅ 105

Die Iteration nach (1.25) wird mit dem Startwert x(0) = 0 und der Abbruchbedingung ( x ( k ) − x ( k− 1) ) / x ( k ) < 10− 3 durchgeführt. Man erhält: k

f ( x ( k− 1) ) / 105

1

0

2.351

2.351

2

7.258

0.642

2.994

3

8.481

0.357

3.351

4

9.041

0.226

3.576

5

9.356

0.152

3.728

6

9.551

0.106

3.834

7

9.680

0.075

3.909

8

9.768

0.055

3.964

9

9.830

0.040

4.004

10

9.874

0.030

4.033

11

9.906

0.022

4.055

12

9.930

0.016

4.072

13

9.948

0.012

4.084

14

9.961

0.009

4.093

15

9.970

0.007

4.100

16

9.978

0.005

4.105

17

9.983

0.004

4.109

∆x (k )

x (k )

Der erste Iterationsschritt ist identisch mit dem Sekantenverfahren und dem Newton-RaphsonVerfahren. Für das Ergebnis x = 4.11 (gerundet) wurden 17 Schritte benötigt, während beim NewtonRaphson-Verfahren (Beispiel 1.16) 5 Schritte und beim Sekanten-Verfahren (Beispiel 1.15) 11 Iterationsschritte erforderlich waren. Im letzten Iterationsschritt ist der Abstand der Funktion f(x(17))=9.983⋅105 zur exakten Lösung von 106, der den nicht ausgeglichenen Knotenkräften entspricht, größer als in Beispiel 1.15 (9.999⋅105).

48

1 Matrizenrechnung

Um auch ohne Neuaufbau der Steifigkeitsmatrix in jedem Iterationschritt die Konvergenz zu beschleunigen, wurden Verfahren entwickelt, die als beschleunigte Modifizierte NewtonRaphson-Verfahren bezeichnet werden. Hier soll das Verfahren von rCisfield vorgestellt werden [1.7]. Bei diesem Verfahren wird zunächst das Lösungsinkrement ∆ x ( k ) nach dem Modi(k )

fizierten Newton-Raphson-Verfahren ermittelt. Das Lösungsinkrement ∆ xc ( k− 1)

setzt sich dann aus einem Anteil des Inkrements ∆ xc

nach rCisfield

des vorangegangenen Iterations-

schrittes und einem Anteil des aktuellen Iterationsschrittes ∆ x ( k ) (nach dem Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren) zusammen: ( k− 1)

(k )

∆ x c = ec ⋅ ∆ x c

+ fc ⋅ ∆ x( k )

(1.26)

Die Beiwerte ec und fc lassen sich mit F (k ) = b − f ( x(k ) )

(1.27)

ermitteln zu fc = −

∆ xc( k− 1) ⋅ F ( k− 1)

∆ xc( k− 1) ⋅ ( F ( k ) − F ( k− 1) )

,

(1.28a)

(k ) § ∆ x ⋅ ( F ( k ) − F ( k− 1) ) ·¸ ¨ − 1. ec = f c ⋅ 1− ¨ ∆ x (ck− 1) ⋅ ( F ( k ) − F ( k− 1) ) ¸¹ ©

(1.28b)

Die Lösung im k-ten Iterationsschritt erhält man durch Addition des Inkrements zu x ( k ) = x ( k− 1) + ∆ x (ck ) .

(1.29)

Damit ergibt sich für das beschleunigte Modifizierte Newton-Raphson-Verfahren nach rCisfield folgende Vorgehensweise: Beschleunigtes Modifiziertes Newton-Raphson-Verfahren nach Crisfield

Start: 1. Aufstellen des Startvektors x (0) (Verschiebungsvektor): x (0) = 0 beziehungsweise Vektor am Ende des letzten Lastschrittes

2. Aufstellen der Tangentenmatrix (Tangenten-Steifigkeitsmatrix) AT ( x (0) ) an der Stelle x (0 ) 3. Erster Iterationsschritt nach dem Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren –Aufstellen des Vektors –Aufstellen des Vektors

f ( x (0) ) F (1) = b − f ( x (0) )

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

49

–Lösung des Gleichungssystems

AT ( x (0) )⋅ ∆ x c(1) = F (1)

–Ermittlung der Lösung mit

x (1) = x (0) + ∆ x (1) c .

Iterationsschritte (k=2,3,...): 1. Aufstellen des Vektors f ( x ( k− 1) ) (Vektor der Knotenkräfte, die den nichtlinearen Elementspannungen im Verschiebungszustand x ( k − 1) entsprechen.)

2. Aufstellen des Vektors F ( k )

F ( k ) = b − f ( x ( k− 1) )

3. Lösung des Gleichungssystems

AT ( x (0) )⋅ ∆ x ( k ) = F ( k ) zur Ermittlung

von ∆ x ( k ) . 4. Ermittlung der Beiwerte fc and ec: fc = −

∆ x (ck− 1) ⋅ F ( k− 1)

∆ x (ck− 1) ⋅ ( F ( k ) − F ( k− 1) )

,

(k ) § ∆ x ⋅ ( F ( k ) − F ( k− 1) ) ·¸ ¨ −1 ec = f c ⋅ 1− ¨ ∆ x(ck− 1) ⋅ ( F ( k ) − F ( k− 1) ) ¸¹ ©

5. Ermittlung des Lösungsinkrementes:

(k )

( k− 1)

∆ x c = ec ⋅ ∆ x c

+ fc ⋅ ∆ x(k )

6. Ermittlung der Lösung im aktuellen Iterationsschritt mit x ( k ) = x ( k− 1) + ∆ x (ck ) . Beispiel 1.19 Die nichtlineare Gleichung A( x)⋅ x = b der Beispiele 1.15 bis 1.18 mit A( x) =

42.53− 2.571⋅ x ⋅ 104 1+ 0.0767⋅ x

und

b = 106

ist nach dem beschleunigten Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren nach C risfield zu lösen. Die Tangenten-Matrix für den Startwert x (0) = 0 erhält man wie in Beispiel 1.16 zu AT = 4.253⋅ 105 .

Die Iteration wird wie in den vorangegangenen Beispielen mit dem Startwert x(0) = 0 und der Abbruchbedingung ( x ( k ) − x ( k− 1) ) / x ( k ) < 10− 3 durchgeführt. Man erhält:

50

1 Matrizenrechnung

k

f ( x ( k −1) ) /105

∆x ( k )

ec

∆xc( k )

fc

x (k )

1

0

0

0

0

2.351

2.351

2

7.27

0.642

0.753

1.376

2.652

5.003

3

10.73

-0.171

-0.261

0.790

-0.827

4.176

4

10.06

-0.013

0.101

1.084

-0.098

4.078 4.134

5

9.96

0.011

-0.506

0.554

0.055

6

10.01

-0.003

-0.263

0.779

-0.017

4.117

7

9.95

0.001

-0.318

0.730

0.006

4.123

8

10.00

-0.0004

-0.312

0.736

-0.002

4.121

Der erste Iterationsschritt ist wieder mit dem Sekantenverfahren und dem Newton-RaphsonVerfahren identisch. Für das Ergebnis x = 4.12 wurden 8 Iterationsschritte benötigt. Dies sind mehr Schritte als beim Newton-Raphson-Verfahren mit 5 Schritten (Beispiel 1.16) aber deutlich weniger als beim Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren mit 17 Iterationsschritten (Beispiel 1.18). Anstelle des Aufstellens der Steifigkeitsmatrix waren hier die vergleichsweise wenig aufwändige Berechnung der beiden Beiwerte ec und fc durchzuführen, während für die Steifigkeitsmatrix wie beim Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren deren Anfangswert beibehalten wurde. Der Berechnungsaufwand ist somit demjenigen des Modifizierten Newton-RaphsonVerfahrens vergleichbar. Das Beispiel verdeutlicht die Verbesserung der Konvergenzgeschwindigkeit beim beschleunigten Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren. Die bisher erläuterten Verfahren, die ausschließlich von der Tangenten- beziehungsweise Sekanten-Matrix ausgehen, sind die Grundlage weiterer Verfahren, die die guten Konvergenzeigenschaften des Newton-Raphson-Verfahrens mit der hohen Stabilität des SekantenVerfahrens zu verbinden versuchen. Ein solches Verfahren ist das Adaptive-Descent(k )

Verfahren. Bei diesem setzt sich die für die Iteration verwendete Steifigkeitsmatrix A AD aus (k )

einem Anteil der Tangenten-Matrix AT

und einem Anteil der Sekanten-Matrix A( k ) zu-

sammen. Danach ist (k ) (k ) A AD = ξ ⋅ A( k ) + (1− ξ )⋅ AT

(1.30)

Die Gewichtungsfaktoren ξ beziehungsweise (1− ξ ) werden in Abhängigkeit vom Konvergenzverhalten der Lösung bei der Iteration bestimmt. Bei Konvergenzschwierigkeiten wird der Faktor ξ erhöht, um die Iteration mit einer „steiferen“ Matrix durchzuführen. Bei guter Konvergenz wird ξ wieder bis auf Null verringert, um die guten Konvergenzeigenschaften des Newton-Raphson-Verfahrens zu nutzen [1.8].

1.5.4 Quasi-Newton-Verfahren Eine weitere wichtige Gruppe sind die Quasi-Newton-Verfahren. Während man bei dem Newton-Rapson-Verfahren die Steifigkeitsmatrix in jedem Iterationsschritt neu berechnen muss, nimmt man bei den Quasi-Newton-Verfahren lediglich eine Umformung der vorab bereits

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

51

invertierten Steifigkeitsmatrix vor. Dies erfordert deutlich weniger Aufwand als die Neuberechnung, führt aber zu einer erheblichen Konvergenzbeschleunigung gegenüber dem Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren, bei dem auf eine Neuberechnung der Steifigkeitsmatrix verzichtet wird. Die umgeformte Steifigkeitsmatrix erfüllt bei den Quasi-Newton-Verfahren die Gleichung (k ) AQN ⋅ δ (k ) = γ (k ) ,

(1.31)

wobei

γ ( k ) = f ( x( k ) ) − f ( x( k− 1) )

(1.31a)

das Inkrement der Funktion f (x ) zweier aufeinanderfolgender Iterationsschritte und

δ ( k ) = x( k ) − x ( k− 1)

(1.31b) (k )

das Verschiebungsinkrement bedeuten. Die Matrix AQN stellt somit eine Sekanten-Matrix für den Iterationsschritt k dar. Diese kann ermittelt werden, nachdem im ersten Iterationsschritt die Tangenten-Matrix wie beim Newton-Raphson-Verfahren verwendet wird, Bild 1-7. Die Inver( k− 1)

(k )

se der Matrix AQN wird durch eine Umrechnung aus der Inversen der Matrix AQN

des

vorangegangenen Iterationsschrittes erhalten.

x

Bild 1-7 Quasi-Newton-Verfahren

Im Folgenden werden die Rechenschritte für das BFGS-Verfahren (Broyden-FletscherGoldfarb-Shannosch-Verfahren) erläutert, das im allgemeinen als sehr effizient gilt [1.9]. Häufig wird aus das darauf aufbauende Verfahren von rCisfield benutzt [1.10]. Beim BFGS-Verfahren berechnet man zunächst einen Zuwachs des Lösungsvektors mit

(

( k− 1) − 1

∆ x = AQN

) ⋅ (b − f ( x(k− 1) ))

(1.32)

Der Lösungsvektor wird nun noch vor der Anwendung der eigentlichen Quasi-NewtonIteration iterativ verbessert. Dies versucht man mit einem Lösungsvektor

52

1 Matrizenrechnung x ( k ) = x ( k− 1) + β ⋅ ∆ x

(1.33)

zu erreichen, wobei β ≤ 1 ein skalarer Faktor ist, der variiert wird. Man bezeichnet dies auch als „Linienhaftes Suchen“ („Line Search“) in Richtung des Vektors ∆ x . Die Fehler der Lösung beziehungsweise die nicht im Gleichgewicht befindlichen Kräfte sind F (k ) = b − f ( x(k ) )

(1.27)

Ziel der Suche ist es, die Komponente von F ( k ) in Richtung von ∆ x , welche durch das Skalarprodukt ∆ xT ⋅ F ( k ) ausgedrückt wird, zu Null werden zu lassen. Dies bedeutet, dass die Fehlerlasten mit den inkrementellen Verschiebungen keine Arbeit leisten und dadurch die Energie des Systems minimiert wird. Das Kriterium läßt sich mit der Konvergenztoleranz ε LS wie folgt formulieren: ∆ xT ⋅ F ( k ) ≤ ε LS ⋅ ∆ xT ⋅ F ( k− 1)

(1.34)

Hat man β bestimmt, werden mit (1.31a) und (1.31b) die Vektoren δ ( k ) und γ ( k ) berechnet. Mit diesen Vektoren und mit F ( k ) werden zunächst die beiden Vektoren

δ ( k )T ⋅ γ ( k ) ⋅ β ⋅ F ( k− 1) − γ ( k ) δ ( k )T ⋅ β ⋅ F ( k− 1)

v(k ) =

und

δ (k ) δ ( k )T ⋅ γ ( k )

w( k ) =

(1.35a)

(1.35b)

ermittelt. Die Umrechnung der Inversen der Matrix erfolgt nun mit −1

(k ) ( AQN )

(

( k− 1) − 1

= T TQW ⋅ AQN

)

⋅ T QW

(1.36)

wobei T QW = I + v ( k ) ⋅ w( k )T

(1.36a)

bedeutet. Danach kann der nächste Iterationsschritt nach (1.32) durchgeführt werden. Hinweise zur Vermeidung numerisch empfindlicher Rechenschritte werden in [1.3] gegeben. BFGS-Verfahren

Start:

1. Aufstellen des Startvektors x (0) (Verschiebungsvektor): x (0) = 0 beziehungsweise Vektor am Ende des letzten Lastschrittes

2. Aufstellen der Tangentenmatrix (Tangenten-Steifigkeitsmatrix) AT ( x (0) ) an der Stelle x (0 )

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

53 −1

(0) ( AQN )

3. Inversion der Matrix:

(

= AT ( x (0) )

−1

)

4. Erster Iterationsschritt nach dem Modifizierten Newton-Raphson-Verfahren f ( x (0) )

–Aufstellen des Vektors –Aufstellen des Vektors

F (1) = b − f ( x (0) )

–Lösung des Gleichungssystems

∆ x = AQW (0)

(

−1

)

⋅ F (1)

Iterationsschritte (k=1,2,...):

1. Verbesserung der Lösung durch Linienhaftes Suchen: Iterationsschritte zur Ermittlung von β : –Wahl von β ≤ 1 –Ermittlung einer neuen Lösung

x ( k ) = x ( k− 1) + β ⋅ ∆ x

–Ermittlung des zugehörigen Fehlers

F (k ) = b − f ( x(k ) )

–Ü berprüfung des Konvergenzkriteriums ∆ xT ⋅ F ( k ) ≤ ε LS ⋅ ∆ xT ⋅ F ( k− 1) (falls das Kriterium nicht erfüllt ist: Neue Wahl von β )

2. Ermittlung der Vektoren δ ( k ) und γ ( k ) : γ ( k ) = f ( x ( k ) ) − f ( x ( k− 1) )

δ ( k ) = x( k ) − x ( k− 1) 3. Ermittlung der Vektoren v( k ) =

w( k ) =

4

δ ( k )T ⋅ γ ( k ) ⋅ β ⋅ F ( k− 1) − γ ( k ) δ ( k )T ⋅ β ⋅ F ( k− 1) δ (k ) δ ( k )T ⋅ γ ( k )

Ermittlung der Transformationsmatrix

5. Umrechnung der Inversen der Matrix

T QW = I + v ( k ) ⋅ w( k )T −1

(k ) ( AQN )

(

( k− 1) − 1

= T TQW ⋅ AQN

)

⋅ T QW

6. Ermittlung des nächsten Lösungsinkrementes:

(

(k ) − 1

∆ x = AQN

) ⋅ (b −

f ( x(k ) )

)

Das Linienhafte Suchen (Line Search Verfahren) ist nicht auf das BFGS-Verfahren beschränkt. Es kann auch bei anderen Verfahren wie dem Newton-Raphson-Verfahren zur Beschleunigung der Konvergenz angewandt werden. Andererseits kann auch das BFGS-Verahren ohne Line Search formuliert werden, wenn auch mit niedriger Konvergenzgeschwindigkeit.

54

1 Matrizenrechnung

Beispiel 1.20

Das BFGS-Verfahren ist auf die nichtlineare Gleichung A( x)⋅ x = b der Beispiele 1.15 bis 1.19 mit A( x) =

42.53− 2.571⋅ x ⋅ 104 1+ 0.0767⋅ x

und

b = 106

anzuwenden. Da es sich um eine skalare Gleichung handelt, würde das linienhafte Suchen bereits zu einer Lösung führen. Daher soll hier auf das linienhafte Suchen verzichtet werden, um die für das BFGS-Verfahren wesentlichen Lösungsschritte, nämlich die Iteration mit Sekanten-Matrizen, darstellen zu können. Die Iteration beginnt mit dem Startwert x(0) = 0 . Der erste Iterationsschritt wird mit der Tangentenmatrix durchgeführt, die man wie im Beispiel 1.16 zu AT = 4.253⋅ 105 erhält. Als Konvergenzkriterium wird wie in den Beispielen 1.15 bis 1.19 die Abbruchbedingung ( x( k ) − x(k− 1) ) / x(k ) < 10− 3 zugrunde gelegt. Man erhält:

k

(A( x

( k −1)

)

)

−1

⋅ 10 6

f ( x( k− 1) ) /105

∆x ( k )

x (k )

1

2.351

0

2.351

2.351

2

3.235

7.268

0.884

3.235

3

5.524

8.868

0.626

3.861

4

7.413

9.712

0.214

4.074

5

8.941

9.951

0.441

4.119

6

9.512

9.997

0.003

4.121

Der erste Iterationsschritt ist identisch mit dem Newton-Raphson-Verfahren. (Beispiel 1.16 beziehungsweise 1.17), da beide Verfahren mit der Lösung des Gleichungssystems für die Tangenten-Matrix an der Stelle x(0) = 0 beginnen.. Für das auf zwei Nachkommastellen genaue Ergebnis x = 4.12 wurden 6 Schritte benötigt, also nur einen Schritt mehr als beim Newton-Raphson-Verfahren.

1.5.5 Kurvenverfolgungsverfahren Bei den bisher behandelten Verfahren wurde die Steuerung der Lösung durch die schrittweise Vergrößerung der Last vorgenommen. Daneben gibt es Verfahren, die nicht die Last sondern die Verschiebung schrittweise erhöhen. Beim Verfahren der konstanten Bogenlänge, dem klassischen Kurvenverfolgungsverfahren, werden sowohl die Last als auch die Verschiebung in jedem Schritt erhöht. Als konstanter Parameter wird die sogenannte Bogenlänge gewählt. Beim eindimensionalen Fall ist dies die Länge des Kurvenstücks im Last-Verschiebungs-Diagramm. Das Verfahren ist daher auch geeignet, Punkte der Last-Verschiebungs-Linie nach dem bÜerschreiten der maximalen Last zu ber echnen. Es handelt sich um ein sogenanntes Kurvenverfolgungsverfahren [1.5]. Das Verfahren geht vor allem auf die grundlegenden Ar-

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

55

beiten von Riks [1.11] und Wempner [1.12] zurück. Allgemein gelten Kurvenverfolgungsverfahren als besonders robust und effizient zur Behandlung nichtlinearer Gleichungssysteme bei Finite-Element-Berechnungen. Zur Herleitung des Verfahrens geht man von Gleichung (1.24) aus. Die Gleichung zur Bestimmung des Verschiebungsinkrements im k-ten Iterationsschritt lässt sich schreiben: AT ( x( k− 1) )⋅ ∆ x( k ) = λ ( k ) ⋅ b − f ( x( k− 1) )

(1.37)

Hierbei wird die Last durch den Bezugswert b und den dimensionslosen Lastfaktor λ( k ) ausgedrückt. Der Lastfaktor wird so gewählt, dass bei der Iteration eine konstante Bogenlänge eingehalten wird, Bild 1-8. Dazu schreibt man ihn als Summe aus drei Anteilen:

λ ( k ) = λ0 + λ (sk− 1)+ ∆ λ ( k )

λ( x )

(1.38)

x(k ) (k )

∆xII

(k )

⋅ ∆xI(k )

λ(k )

λ(sk −1)

∆λ(k )

∆λ

λ0

x (sk −1)

∆x ( k )

x

x0 Bild 1-8 Verfahren der konstanten Bogenlänge mit Newton-Raphson-Iteration

Dabei bedeuten:

λ0

Lastfaktor am Ende des letzten Last-Verschiebungs-Schrittes, (bleibt während der Iteration für den aktuellen Schritt unverändert),

λ s( k− 1)

Lastfaktor für die Iteration (k-1), bezogen auf den Beginn des aktuellen LastVerschiebungs-Schrittes

∆ λ (k )

Inkrement des Lastfaktors für die Iteration (k-1).

56

1 Matrizenrechnung

Das Verschiebungsinkrement ∆ x

(k )

lässt sich mit (1.38) schreiben

(

−1

) ⋅ (∆ λ (k )⋅ b + ( λ0 + λ (sk− 1) )⋅ b −

∆x

(k )

= AT ( x ( k− 1) )

∆x

(k )

= ∆ λ ( k ) ⋅ ∆ x I + ∆ x II ,

f ( x ( k− 1) )

)

(1.39)

oder (k )

(k )

(1.40)

wobei gilt (k )

)

(

) ⋅ (( λ0 + λ (sk− 1) )⋅ b −

∆ x II = AT ( x ( k− 1) ) (k )

(k )

Der Anteil ∆ x II

−1

(

∆ x I = AT ( x( k− 1) )

⋅b,

(1.41a)

−1

)

f ( x ( k− 1) ) .

(1.41b)

in (1.41b) entspricht dem Inkrement für eine Iteration nach dem Newton-

Raphson-Verfahren für die Last ( λ 0+ λ (sk− 1) )⋅ b . Die Anteile ∆ x I

(k )

(k )

und ∆ x II des Verschie-

bungsinkrements können mit den Werten der vorangegangenen Iteration (k-1) bestimmt werden. Zu Ermittlung von ∆ x( k ) nach (1.40) wird allerdings noch das Inkrement ∆ λ( k ) des Lastfaktors benötigt. Dessen Ermittlung erfolgt mit Hilfe der Bedingung, dass der Wert

(

s 2 = β ⋅ λ (sk− 1)

) + ( x(sk− 1) ) 2

T

⋅ x(sk− 1)

(1.42)

für das Quadrat der „Bogenlänge“ s (genauer der Radius um den Punkt ( x0 , λ 0 ) ) konstant bleiben soll, Bild 1-8. Der Wert

( x(sk− 1) )

T

( β ⋅ λ (sk− 1) )

2

stellt einen Skalar, das Vektorprodukt

⋅ x (sk− 1) den Betrag des Verschiebungsvektors dar. Der Beiwert β ist ein Skalie-

rungsfaktor mit der Einheit der Verschiebungen, mit dem die unterschiedlichen Größen des Lastfaktors und des Betrags des Verschiebungsvektors berücksichtigt werden. Durch entsprechende Wahl des Faktors β kann man die Kräfte oder die Verschiebungen stärker gewichten. Schreibt man (1.42) mit (1.46b) und (1.47b) für den Iterationsschritt k an und setzt ∆ x(sk ) nach (1.39) ein, erhält man eine Gleichung, aus der man für eine gegebene Bogenlänge s das Lastfaktoreninkrement ∆ λ ( k ) bestimmen kann. Einfacher ist es, den „Kreisbogen“ durch eine Folge aufeinander senkrecht stehender Vektoren oder durch eine feste Senkrechte anzunähern, Bild 1-9. Nach [1.13] erhält man das Inkrement des Lastfaktors zu: ∆λ

(k )

=

(

r ( k− 1) − x(sk− 1)

)

T

(k )

⋅ ∆ x II

β ⋅ λ (sk− 1)+ ( x(sk− 1) ) ⋅ ∆ x(Ik ) T

.

(1.43)

( k −1)

ein Beiwert, der von der Art der Approximation an die genauere sphärischen Hierin ist r Kurve im Lastbeiwert-Verschiebungs-Raum abhängt. Im einfachsten Fall, der sogenannten orthogonalen Iteration auf einer stückweise linearen Kurve, gilt r ( k− 1) = 0 , Bild 1-9(b). Die Bestimmungsgleichung für ∆ λ ( k ) vereinfacht sich dann zu:

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

57

( x(sk− 1) ) ⋅ ∆ x(IIk ) =− T (k ) β ⋅ λ (sk− 1)+ ( x(sk− 1) ) ⋅ ∆ x I T

∆λ

(k )

.

(1.44)

Weitere Verfahren zur Kurvenverfolgung werden in [1.14] und [1.15] dargestellt. Die Verschiebung setzt sich, ähnlich wie der Lastfaktor, aus drei Anteilen zusammen zu x ( k ) = x 0 + x (sk− 1) + ∆ x ( k ) .

(1.45)

Hierin bedeuten: x0

Verschiebung

am

Ende

des

letzten

Last-Verschiebungs-Schrittes,

(bleibt während der Iteration für den aktuellen Schritt unverändert), x (sk− 1) Verschiebung für die Iteration (k-1), bezogen auf den Beginn des aktuellen

Last-Verschiebungs-Schrittes, ∆x

(k )

Inkrement der Verschiebung für die Iteration k.

Nach der Ermittlung von ∆ x( k ) nach (1.40) lassen sich die Gesamtverschiebungen und die auf den Beginn des Schrittes bezogenen Verschiebungen ermitteln zu: x(k ) = x

( k− 1)

+ ∆ x( k ) ,

(1.46a)

x(sk ) = x(sk− 1) + ∆ x( k ) .

(1.46b)

Entsprechend werden auch die Lastfaktoren aktualisiert mit

λ ( k ) = λ (k− 1) + ∆ λ (k )

(1.47a)

λ (sk )= λ (sk− 1)+ ∆ λ ( k )

(1.47b)

λ

(a) Iteration auf einem Kreisbogen

λ

(b) Iteration auf einer mitgehenden Senkrechten

Bild 1-9 Verfahren der konstanten Bogenlänge

λ

(c) Iteration auf einer festen Senkrechten

58

1 Matrizenrechnung

Die Iteration beginnt mit einem gewählten Startwert des Lastfaktors λ(s0) und mit x (s0) = 0 . Als Iterationsverfahren für die Lösung nach (1.41a) und (1.41b) können sowohl die vollständige Newton-Raphson-Iteration als auch die modifizierte Newton-Raphson-Iteration oder das BFGS-Verfahren angewandt werden. Das Verfahren kann wie folgt zusammengefasst werden: Verfahren der konstanten Bogenlänge mit Newton-Raphson-Iteration

Start: (0)

1. Aufstellen des Startvektors x(0) und des Startwertes λ

des Lastfaktors

(Werte am Ende des letzten ausiterierten Last-Verschiebungs-Schrittes) 2. Wahl des Anfangs-Inkrements des Lastfaktors λs(0) 3. Setzen des Anfangswertes x(0) s = 0. Iterationsschritte (k=1,2,...):

1. Ermittlung des Lösungsinkrements (k )

)

(

) ⋅ ( λ(k− 1) ⋅ b −

∆ x II = AT ( x( k− 1) ) (k )

−1

(

∆ x I = AT ( x( k− 1) )

⋅b

−1

f ( x( k− 1) )

)

( x(sk− 1) ) ⋅ ∆ x(IIk ) =− T β ⋅ λs( k− 1) + ( x(sk− 1) ) ⋅ ∆ x (Ik ) T

(k )

∆λ

(k )

(k )

∆ x( k ) = ∆ λ( k ) ⋅ ∆ x I + ∆ x II

2. Ermittlung der Lösung im k-ten Iterationsschritt:. ( k− 1)

x(sk ) = x(sk− 1) + ∆ x( k )

x(k ) = x

λ (sk )= λ (sk− 1)+ ∆ λ ( k )

λ ( k ) = λ (sk )+ λ (0)

+ ∆ x( k )

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

59

Beispiel 1.21

Das Verfahren der konstanten Bogenlänge ist zur Lösung der nichtlinearen Gleichung A( x)⋅ x = b der Beispiele 1.15 bis 1.20 mit A( x) =

42.53− 2.571⋅ x ⋅ 104 1+ 0.0767⋅ x

anzuwenden. Als Bezugswert wird b = 106 gewählt. Es

werden

mehrere

Last-Verschiebungs-Inkremente

Verschiebungs-Schritt beginnt mit den Startwerten x

(0)

aufgebracht.

= 0 und

λs(0)

Der

erste

Last-

= 0.5 . Mit dem Konver-

genzkriterium ( x( k ) − x( k− 1) ) / x( k ) < 10− 3 erhält man:

k

∆x (Ik )

∆x (IIk )

∆λ( k )

x (k )

λ( k )

0

-

-

0

0

0

1

2.351

1.176

0

1.176

0.500

2

3.282

0.243

-0.066

1.204

0.435

−3

1.204

0.435

3

3.309

< 10

−3

< 10

Im zweiten Last-Verschiebungs-Schritt wird der Lastfaktor (durch Probieren) so gewählt, dass ich sich nach der Iteration der Lastfaktor 1 ergibt. Der zugehörige Anfangswert des Lastfaktors beträgt λ(s0) = 0.8553 , die beiden übrigen Anfangswerte sind x(0) = 1.204 und λ(0) = 0.435 . k

∆x (Ik )

∆x (IIk )

∆λ( k )

x (k )

λ( k )

0

-

-

-

1.204

0.435

1

3.309

2.830

0

4.033

1.290

2

9.227

2.759

-0.290

4.121

1.000

3

9.627

0.002

−3

4.121

1.000

< 10

Die mit nur drei Iterationen erhaltene Lösung x = 4.121 für den Lastfaktor λ = 1.000 entspricht dem bereits in den Beispielen 1.15 bis 1.20 erhaltenen Ergebnis. Im nächsten LastVerschiebungsschritt wird der Anfangswert des Lastfaktors zu λ (0) s = 0.5 gewählt. Die beiden übrigen Anfangswerte sind x ( 0) = 4.121 und λ (0) = 1.000 . k

∆x (Ik )

∆x (IIk )

∆λ( k )

x (k )

λ( k )

0

-

-

-

4.121

1.000

1

9.628

4.814

0

8.935

1.500

2

-14.826

-6.866

-0.4664

8.984

1.034

3

-14.572

< 10 −3

< 10 −3

8.984

1.034

60

1 Matrizenrechnung

Das Ergebnis zeigt, dass mit dem Verfahren auch Lösungen nach dem Ü berschreiten des Maximums ermittelt werden können (vgl. Bild 1-4). Dies ist beispielsweise mit dem „kraftgesteuerten“ Verfahren nach Newton-Raphson nicht möglich. Es ist jedoch darauf hinzuweisen, dass im Extrempunkt die Tangenten-Matrix singulär wird. Zur rechentechnischen Behandlung dieses Punktes sind besondere Methoden erforderlich, [1.15]. Bei der Anwendung des Verfahrens stellt sich die Frage nach der Wahl der Bogenlänge s beziehungsweise des damit nach (1.42) zusammenhängenden Startwertes des Lastfaktors λs(0) . Sinnvollerweise sollte die Bogenlänge in Bereichen großer Krümmungsänderungen der LastVerschiebungs-Kurve (beispielsweise in der Nähe der maximalen Last) klein und in den übrigen Bereichen möglichst groß gewählt werden. Eine einfache heuristische Methode zur automatischen Schrittgrößensteuerung geht von der Anzahl n( k− 1) der Newton-Iterationen im letzten ausiterierten Last-Verschiebungs-Schritt aus. Wenn die Anzahl der zur Konvergenz erforderlichen Schritte n(k− 1) < 5 ist, wird die Schrittweite verdoppelt, ist n(k− 1) > 9 , wird die Schrittweite halbiert [1.6]. In beiden Fällen wird die Berechnung mit des Startwertes am Ende des letzten ausiterierten Last-Verschiebungs-Schrittes wieder begonnen. Eine andere Möglichkeit ist die Abschätzung des Bogenlängeninkrements s auf der Grundlage der Anzahl n( k− 1) der Iterationen im letzten Schritt, der gewünschten Anzahl n der Iterationen im aktuel-

len Schritt und dem Bogenlängeninkrement s ( k− 1) im letzten Schritt etwa zu s=

n n

( k− 1)

⋅ s ( k− 1) .

(1.48)

Die angestrebte Anzahl n der Iterationen wird typischerweise zu 5 oder 6 gewählt.

1.5.6 Konvergenzkriterien Bei iterativen Verfahren wird mit Hilfe von Konvergenzkriterien entschieden, wann die Iteration abgebrochen wird. Zur Beurteilung der Konvergenz einer Finite-Element-Berechnung können im letzten Iterationsschritt folgende Größen betrachtet werden: • die Verschiebungen x ( k ) • die noch nicht im Gleichgewicht befindlichen Kräfte F (k ) = b − f ( x(k ) ) • die innere Arbeit der Restkräfte

(

)

E (k ) = x( k ) ⋅ b − f ( x(k ) ) .

Die entsprechenden Konvergenzkriterien bezeichnet man als Verschiebungs-, Kräfte- beziehungsweise Energiekriterien. Weiterhin unterscheidet man zwischen lokalen und globalen Konvergenzkriterien. Bei lokalen Konvergenzkriterien fordert man, dass die betrachtete Größe, z. B. die Einzelwerte des Verschiebungsvektors, mit einer vorgegebenen Genauigkeit ermittelt werden. Es soll also für jedes Element des Lösungsvektors gelten: (k )

xi

( k− 1)

− xi (k )

xi

< ε1x ,

(1.49)

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

61

wobei der Index i die Elemente des Vektors bezeichnet. Bei einer differenzierten Vorgehensweise unterscheidet man hier noch zwischen Verschiebungs- und Verdrehungsfreiheitsgraden. Die globalen Konvergenzkriterien gehen von der Norm des Lösungsvektors aus. Für den Lösungsvektor gilt dann die Bedingung ( k− 1)

(k )

xi − xi

2

(k ) xi

< εx ,

(1.50)

2

wobei x 2=

¦ xi2

(1.51a)

die Euklidsche Norm des Vektors x bezeichnet. Anstelle der Euklidschen Norm können auch andere Normen, wie z. B. x 1=

¦ xi

(1.51b)

verwendet werden. Entsprechend dem Verschiebungskriterium werden das Kräftekriterium zu ( k− 1)

(k )

Fi − Fi (k ) Fi

2

< εF ,

(1.52)

2

< εE ,

(1.53)

2

und das Energiekriterium zu (k )

( k− 1)

Ei − Ei (k ) Ei

2

definiert. Die Konvergenz ist erreicht, wenn ein bestimmter Grenzwert für ε eingehalten wird. Die Wahl der Grenzwerte erfordert eine gewisse Erfahrung. Werden die Grenzwerte zu groß gewählt, erhält man ungenaue Ergebnisse, werden sie zu klein angenommen, wird ein unnötig hoher Rechenaufwand betrieben. Typische Werte liegen bei ε x = ε F = 10− 3 . Es ist aber zu beachten, dass das Verschiebungs- und das Kräftekriterium durchaus unterschiedliche Aussagen enthalten. Bei weicher werdenden Systemen kann das Kräftekriterium im Bereich der Maximallast leicht erfüllt werden, während nach dem Verschiebungskriterium die Lösung noch vergleichsweise großen Fehler besitzt, d. h. ein kleiner Fehler in der Last kann großer Fehler in der Verschiebung bedeuten. Umgekehrt kann bei steifer werdenden Systemen ein kleiner Fehler in der Verschiebung auch bei einem großen Fehler in der Last auftreten, Bild 1-10. Es ist daher sinnvoll, die gleichzeitige Erfüllung beider Kriterien zu fordern.

62

1 Matrizenrechnung

Iteration k

F

Iteration k

F

Kraftinkrement Kraftinkrement

Iteration k-1 Iteration k-1 Verschiebungsinkrement Verschiebungsinkrement

x (a) Weicher werdendes System

x

(b) Steifer werdendes System

Bild 1-10 Unterschiedliche Aussagen von Verschiebungs- und Kräftekriterium

Neben der Festlegung des Konvergenzkriteriums und der Toleranzwerte legt man eine Obergrenze für die Anzahl der Iterationsschritte fest. Dies ist erforderlich, um auch im Falle einer nicht oder nur sehr langsam konvergierenden Lösung eine ordnungsgemäße Beendigung der Berechnung sicherzustellen.

1.5.7 Steuerungsstrategien Bei nichtlinearen Berechnungen bringt man im Sinne eines inkrementell-iterativen Vorgehens die Last in Schritten auf. Hierbei stellt sich bei den durch Erhöhung der Last gesteuerte Verfahren die Frage nach der Größe der Lastschritte. Zu Beginn der Belastung, wenn sich das System noch großenteils im elastischen Bereich befindet, sind relativ große Lastschritte sinnvoll. Bei starken Änderungen in der Last-Verformungs-Kurve, wie sie in der Nähe der maximal aufnehmbaren Last eines Systems auftreten, müssen die Lastschritte hingegen klein gewählt werden. Kritisch ist insbesondere der Punkt der maximalen Last (Traglast), da dort die Tangentensteifigkeitsmatrix singulär wird, Bild 1-12.

ǻF

Bild 1-11 Wahl der Größe der Lastschritte

1.5 Nichtlineare Gleichungssysteme

63

Bild 1-12 Singularität der Tangentensteifigkeitsmatrix beim Erreichen der Traglast

Adaptive Verfahren steuern die Größe der Lastschritte selbst, um automatisch zu effektiven Lösungen zu gelangen. Im einfachsten Fall kann man den Lastschritt automatisch verkleinern, z. B. halbieren, wenn die Anzahl der Gleichgewichtsiterationen eine vorgegebene maximal zulässige Anzahl überschreitet. Dies kann mehrfach wiederholt werden bis der Lastschritt ein vorgegebenes Minimum erreicht. Entsprechend kann der Lastschritt aber auch automatisch vergrößert werden, wenn die Anzahl der Iterationen sehr gering ist und einen vorgegebenen minimalen Wert unterschreitet. Unter den durch Erhöhung der Last gesteuerten Verfahren erscheint das Modifizierte NewtonRaphson-Verfahren am ehesten bei schwachen Nichtlinearitäten, das BFGS-Verfahren auch noch bei mittleren Nichtlinearitäten effizient. Das volle Newton-Raphson-Verfahren ist am leistungsstärksten, aber auch am aufwändigsten. Die Effizienz kann bei allen Verfahren durch Line Search erhöht werden. Wenn Konvergenzschwierigkeiten auftreten, sollte man das volle Newton-Raphson-Verfahren mit Line Search verwenden.

x (1)

x(2)

Bild 1-13: Konvergenzbereich des Newton-Rapson-Verfahrens

64

1 Matrizenrechnung

Kraftgesteuerte Verfahren führen nicht immer zu konvergierenden Lösungen. So kann der Punkt der maximalen Traglast, Bild 1-12, mit kraftgesteuerten Verfahren nicht überschritten werden. Kritisch sind auch Krümmungsänderungen im Last-Verschiebungsverlauf. Beispielsweise ist in dem in Bild 1-13 dargestellten Verlauf bei einem Start der Berechnung mit dem Newton-Raphson-Verfahren in dem dargestellten Bereich die Konvergenz zur richtigen Lösung gegeben, während bei einem Start außerhalb dieses Bereichs, z. B. mit x=0 oder x=x1 das Verfahren gegen eine andere Lösung konvergiert oder divergiert. In Fällen, in denen kraftgesteuerte Verfahren versagen, können verschiebungsgesteuerte Verfahren zur Lösung führen. Allerdings besteht hier häufig eine praktische Schwierigkeit darin, eine geeignete Konfiguration der eingeprägten Verschiebungen zu definieren, sofern nicht nur ein einzelner Punkt zwangsweise verschoben wird. Es gibt aber auch bei verschiebungsgesteuerten Verfahren Fälle, in denen das Verfahren nicht konvergiert. Bild 1-14 zeigt ein Beispiel, bei dem eine eindeutige Zuordnung einer Kraft zu einer vorgegebenen Verschiebung nicht in allen Bereichen möglich ist und eine Verschiebungssteuerung somit in diesem Bereich ausscheidet. In der Regel werden daher in Fällen, in denen kraftgesteuerte Verfahren versagen, Kurvenverfolgungsverfahren wie das Verfahren der konstanten Bogenlänge angewandt. Kurvenverfolgungsverfahren gelten bei starken Nichtlinearitäten als besonders robust und leistungsfähig.

Bild 1-14: Last-Verschiebungs-Kurve, bei der das verschiebungsgesteuerte Verfahren versagt

65

2 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

2.1 Tragwerkstypen und Grundgleichungen Zur Herleitung des Verfahrens der Finiten Elemente geht man von den Grundgleichungen der Elastizitätstheorie aus. Diese können für verschiedene Beanspruchungsarten oder Tragwerkstypen formuliert werden. Einfachster Fall ist der eindimensionale Spannungszustand, dem als Tragwerkselement der Fachwerkstab entspricht. Beim zweidimensionalen Spannungszustand treten als Spannungskomponenten zwei Normalspannungen und eine Schubspannung auf. Das zugehörige Flächentragwerk ist die Scheibe. Der allgemeine Fall ist das dreidimensionale Kontinuum mit sechs Spannungskomponenten (Bild 2-1).

Bild 2-1 Spannungszustände und Tragwerkstypen

66

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

Balken und Platten stellen Tragwerkselemente in einem speziellen zwei- bzw. dreidimensionalen Spannungszustand dar, der sich aufgrund der Bernoulli-Hypothese des Ebenbleibens der Querschnitte ergibt. Balken können damit als eindimensionale Systeme, Platten als zweidimensionale Systeme betrachtet werden. Das mechanische Verhalten der Tragwerke wird durch Zustandsgrößen beschrieben. Diese sind: • Verschiebungsgrößen und die daraus ableitbaren Verzerrungsgrößen wie Dehnungen und Krümmungen, • Kraftgrößen und die zugehörigen Spannungen. Mit diesen Zustandsgrößen lassen sich folgende Grundgleichungen formulieren: • die Gleichgewichtsbedingungen, • die kinematischen Bedingungen (Verträglichkeit der Verzerrungen mit den Verschiebungsgrößen), • das Materialgesetz (z. B. das Hookesche Gesetz). Diese Gleichungen gelten an jedem Punkt des Kontinuums. Hinzu kommen die Randbedingungen, bei denen es sich um Randbedingungen der Verschiebung (Auflager) oder um Randbedingungen der Kräfte (äußere Lasten) handeln kann. Im Folgenden werden nun die Grundgleichungen für die verschiedenen Tragwerkstypen zusammengestellt. Hinzu kommt die Formulierung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen, das für die Finite-Element-Methode von grundlegender Bedeutung ist.

2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe Der Fachwerkstab wird im eindimensionalen, die Scheibe im zweidimensionalen Spannungszustand beansprucht. Die Verformung des Stabes kann durch die Verschiebung u(x) und die sich daraus ergebende Dehnung εx = du/dx beschrieben werden (Bild 2-2). Als einzige Spannungskomponente tritt die Normalspannung σx auf. Bei der Scheibe wird der Verschiebungszustand durch die beiden Verschiebungskomponenten u(x,y) und v(x,y) beschrieben. Aus den Verschiebungen erhält man die drei Dehnungen εx, εy und γxy. Diesen entsprechen die drei Spannungskomponenten σx, σy bzw. τxy. Für die Vorzeichen der Spannungskomponenten in Fachwerkstab und Scheibe gilt folgende Definition (Bild 2-2): Vorzeichendefinition der Spannungen Positive Spannungen zeigen an einem positiven Schnittufer in die positive Koordinatenrichtung. Das Schnittufer, dessen Normalenvektor in die positive Koordinatenrichtung zeigt, heißt positives Schnittufer.

2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe

67

σy x

σx

τyx

τxy σx

y x

τyx = τxy

Bild 2-2 Vorzeichendefinition von Spannungen und Schnittgrößen

Die Spannungen werden häufig zu auf die Längeneinheit bezogenen Schnittgrößen zusammengefasst:

nx = σ x ⋅ t ,

ny = σ y ⋅ t ,

nxy = τ xy ⋅ t .

(2.1a)

Dabei bedeutet t die Scheibendicke. Die Verzerrungen lassen sich aus den Verschiebungen durch Differenzieren ermitteln (Bild 2-3). Beim Stab gilt

εx =

du dx

(2.2a)

und bei der Scheibe:

ª « « « ¬«

ª ∂ « ∂x ε x º» « « εy » = « 0 » « γ xy ¼» « ∂ « ¬∂y

ε=L·u

º 0 » » ∂ » ª uº » ⋅ « ». ∂ y » ¬ v¼ ∂ » » ∂ x¼

(2.2b)

(2.2c)

68

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

Fachwerkstab

Scheibe Spannungen

ªσ x º « » σ = «σ y » «τ » ¬ xy ¼

σx

Verzerrungen εx=

∂u ∂x

∂v ∂y ∂u ∂ v γ xy = + ∂ y ∂x

εy =

εx =

du dx ª « « « ¬«

ª « ε x º» « « εy » = « » « γ xy ¼» « « ¬

∂ ∂x 0

∂ ∂y

º 0 » » ∂ » ª uº »⋅« » ∂ y » ¬ v¼ ∂ » » ∂x¼

Hooke“sches Gesetz ª ª º «1 σ x « » E « « σy » = «µ « » 1− µ 2 « «¬ τ xy »¼ «0 ¬

σx = E · εx

E = Elastizitätsmodul

µ = Querdehnzahl

σ

=

D

µ 1 0

º 0 » ª εx º » « » 0 » ⋅ « εy » » « » 1− µ » ¬ γ x ¼ 2 ¼

·ε

Bild 2-3 Spannungen, Verzerrungen und Hooke“sches Gesetz bei Fachwerkstab und Scheibe

2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe

69

Das Materialgesetz gibt die Beziehung zwischen den Spannungen und den Verzerrungen an. Es erlaubt, aus einem gegebenen Verzerrungszustand die Spannungen zu ermitteln. Für das isotrope elastische Kontinuum gilt das Hooke“sche Gesetz:

σx = E · εx

(2.3a)

Beim zweidimensionalen Spannungszustand der Scheibe (Herleitung vgl. z. B. [2.3]) gilt: ª ªσ º «1 « x» E « « σy » = «µ « » 1− µ 2 « «¬ τ xy »¼ «0 ¬

σ

=

D

º 0 » ª« ε x º» » 1 0 » ⋅ « εy » « » 1− µ »» «¬ γ xy »¼ 0 2 ¼

(2.3b)

·ε

(2.3c)

µ

Bei der Scheibe sind aufgrund der Querdehnung die beiden Normalspannungen gekoppelt. Andere Materialgesetze des zweidimensional beanspruchten elastischen Materials sind in Tabelle 2.1 zusammengestellt [4.5]. Orthotrope Materialgesetze finden bei Holz sowie bei bestimmten Bodenarten Anwendung. Auch dreidimensionale Körper, die in einer Richtung als „unendlich lang“ betrachtet werden können, lassen sich als zweidimensionale Aufgabe beschreiben, wenn ihr Querschnitt und ihre Belastung sich in der „unendlich langen“ Richtung nicht ändern. Da dann die Dehnungen senkrecht zur betrachteten Ebene Null sind, bezeichnet man diesen Fall als ebenen Dehnungszustand, während der Fall der Scheibe auch als ebener Spannungszustand bezeichnet wird.

σz = 0 y x

εz = 0

Bild 2-4 Ebener Spannungsund ebener Dehnungszustand

70

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

Tabelle 2-1 Zweidimensionale Materialgesetze Isotropes Material

Orthotropes Material Ebener Spannungszustand

ªσ x º « » E «σ y » = 2 «τ xy » 1− µ ¬ ¼

ª «1 ⋅ «µ « «0 ¬«

º 0 » ªεx º « » 0 » ⋅ «ε y » » 1− µ » «γ » ¬ xy ¼ 2 ¼»

µ 1 0

ªσ x º E2 « » «σ y » = 2 «τ xy » 1 − nµ 2 ¬ ¼

(

)

ª n « nµ « 2 «¬ 0

nµ 2 1 0

º ªεx º » . «ε » 0 » « y» m 1 − nµ 22 »¼ «¬γ xy »¼ 0

(

)

Ebener Dehnungszustand

ªσ x º E (1 − µ ) » « « σ y » = (1 + µ )(1 − 2µ )⋅ «σ xy » ¼ ¬ ª « 1 « µ ⋅« «1 − µ « « 0 «¬

µ 1− µ 1 0

º » » ªεx º « » 0 » ⋅ «ε y » » « » 1 − 2 µ » ¬γ xy ¼ » 2(1 − µ ) »¼ 0

ªσ x º E2 « » ⋅ «σ y » = 2 ( ) + ⋅ − − 1 µ 1 µ 2 n µ 1 1 2 «τ xy » ¬ ¼

(

(

)

)

ª n 1 − nµ 22 nµ 2 (1 + µ1 ) 0º » « ⋅ «nµ 2 (1 + µ1 ) 1 − µ12 0» « A» 0 0 ¼ ¬ 2 A = m 1 + µ1 §¨1 − ȝ1 − 2nȝ 2 ·¸ © ¹

(

(

)

)

ªεx º « » ⋅ «ε y » «γ xy » ¬ ¼

Materialkonstanten

y z

Schichten parallel zur x-yEbene

x E = Elastitätsmodul

E1 = Ex =E⏐⏐

Elastizitätsmodul für Dehnungen

G = Schubmodul

E2 = Ey = E ⊥

Elastizitätsmodul für Dehnungen

E Es ist: G = 2 ⋅ (1 + µ )

µ2 = µxy

µ = Querdehnzahl

in der Schichtebene

senkrecht zur Schichtebene

µ1 = µxz

Querdehnzahl für die Dehnung in x-Richtung infolge von σy Querdehnzahl für die Dehnung in x-Richtung infolge von σz

G2 = Gxy

Schubmodul für Scherver-formungen in der x-y-Ebene

n = E1 / E2 m = G2 / E2

2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe

71

Die Gleichgewichtsbedingungen des Stabes und der Scheibe lassen sich am infinitesimal kleinen Element des Kontinuums formulieren. Alternativ zu den Gleichgewichtsbedingungen kann das Prinzip der virtuellen Verschiebungen verwendet werden. Dieses ist Grundlage der Formulierungen für Finite Elemente für Scheiben, Platten und Volumnia. Es lautet: Prinzip der virtuellen Verschiebungen Wenn sich ein Körper im Gleichgewicht befindet, ist für beliebige, infinitesimal kleine, virtuelle auf den Körper einwirkende Verschiebungen, die die Auflagerbedingungen erfüllen, die gesamte innere virtuelle Arbeit gleich der äußeren virtuellen Arbeit. Eine virtuelle Verschiebung ist eine kleine, fiktive Verschiebung, also eine reine Rechengröße, die man zusätzlich zu den tatsächlichen Verschiebungen annimmt. Die virtuelle äußere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen äußeren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand zusätzlich zu den wirklichen Lasten auf das System aufgebracht würde. Die virtuelle innere Arbeit ist diejenige Arbeit, die die wirklichen inneren Kräfte leisten würden, wenn der virtuelle Verschiebungszustand aufgebracht würde. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen sagt also etwas über die Arbeiten aus, die geleistet würden, wenn man auf einen im Gleichgewicht befindlichen Körper eine virtuelle Verschiebung zwangsweise aufbringen würde. In diesem Fall müsste die von den wirklichen äußeren Kräften mit den virtuellen Verschiebungen geleistete äußere Arbeit gleich der von den wirklichen inneren Kräften mit den virtuellen Formänderungen geleisteten inneren Arbeiten sein. Der Verlauf der Verschiebungsfunktion ist beliebig, sie muss jedoch stetig und hinreichend oft differenzierbar und mit den geometrischen Randbedingungen verträglich sein. Die äußere virtuelle Arbeit ist das Produkt der wirklichen Lasten und der virtuellen Verschiebungen in Richtung der betreffenden Lasten. Nach Bild 2-7 gilt für die Einzelkraft Wa = u⋅ F ,

(2.4a)

und bei mehreren Kräften W a = F1 ⋅ u1 + F2 ⋅ u2 + F3 ⋅ u3 + " bzw.

W a = ª¬ u1

u2

W a = uT ⋅ F .

ª « u3 " ¼º ⋅ « « « ¬

F1 º » F2 » F3 » » # ¼ (2.4b)

Um zu verdeutlichen, dass es sich bei den Verschiebungen und der äußeren Arbeit um virtuelle Größen handelt, werden sie mit einem Querstrich gekennzeichnet.

72

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

Fachwerkstab

Scheibe Infinitesimales Element:

A = Querschnittsfläche (Fachwerkstab)

σ x , σ y , τ xy = wirkliche Spannungen

t = Scheibendicke (konstant)

ε x , ε y , γ xy = virtuelle Verzerrungen

Kräfte und entsprechende virtuelle Verschiebungen am infinitesimalen Element Kraft

Verschiebung

Kraft

Verschiebung

σx · A

ε x dx

t · σx dy t · σy dx

εx ⋅ dx εy ⋅ dx

t · τxy dx

γ 2 ⋅ dy

t · τxy dy

γ1 ⋅ dx

Virtuelle innere Arbeit im infinitesimalen Element Virtuelle innere Arbeit = Σ (wirkliche innere Kraft ∗ entsprechende virtuelle Verschiebung)

dW i = t⋅ σ x ⋅ ε x ⋅ dx⋅ dy + t⋅ σ y ⋅ ε y ⋅ dx⋅ dy

dW i = A⋅ σ x ⋅ ε x ⋅ dx

+ t⋅ τ xy ⋅ ( γ 1 + γ 2 )⋅ dx⋅ dy

(

)

dW i = t⋅ σ x ε x + σ y ε y + τ xy γ xy dx dy Virtuelle innere Arbeit im gesamten System Die gesamte virtuelle innere Arbeit

W i = A⋅ ε x ⋅σ x dx

³

Wi

ergibt sich durch Integration über alle Elemente dx dy

W i = t⋅ ε T ⋅σ dx dy

³

³[

W i = t⋅ ε x

Bild 2-5 Innere virtuellen Arbeit bei Fachwerkstab und Scheibe

ªσ x º « » ε y γ xy ⋅ «σ y » dx dy «τ xy » ¬ ¼

]

2.2 Grundgleichungen von Fachwerkstab und Scheibe

73

Einzelkraft und -moment

W a = wirkliche Kraft

· virtuelle Verschiebung in Kraftrichtung bzw. wirkliches Moment · virtueller Drehwinkel im Momentendrehsinn

Wa = u ⋅ F

F = wirkliche Kraft

u

Wa = ϕ ⋅ M

= virtuelle Verschiebung

M = wirkliches Moment

ϕ

= virtueller Drehwinkel

Mehrere Kräfte bzw. -momente

W a = Σ (wirkliche äußere Kraft < entsprechende virtuelle Verschiebung bzw. wirkliches äußeres Moment < entsprechender virtueller Drehwinkel)

W a = F1 ⋅ u1 + F2 ⋅ u2 + F3 ⋅ u3 + "

W a = [u1

u2

ª F1 º «F » u3 " ] ⋅ « 2 » « F3 » « » ¬#¼

Wa = u ⋅ F T

Fi = wirkliche Kraft bzw. wirkliches Moment

ui

= virtuelle Verschiebung bzw. virtueller Drehwinkel

Bild 2-6 Äußere virtuelle Arbeit von Einzelkräften und -momenten

Die virtuelle innere Arbeit eines infinitesimal kleinen Stababschnitts der Länge dx ist das Produkt aus der wirklichen Normalkraft N und der virtuellen Verschiebung ε x ⋅dx (Bild 2-5). Die virtuelle Dehnung ε ermittelt man aus dem virtuellen Verschiebungszustand des Stabes. Für

74

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

einen Stababschnitt der Länge l erhält man die innere virtuelle Arbeit durch Integration über die Abschnittslänge zu Wi =

³

A⋅ σ x ⋅ ε x dx

Diese Beziehung ist formal identisch mit der bekannten Beziehung Wi =

³

NN dx EA

der Arbeitsgleichung zur Ermittlung der Verschiebungen bei Fachwerken, die sich aus dem mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen verwandten Prinzip der virtuellen Kräfte ergibt. Es gilt nämlich

A⋅ σ x = N

³

σx

εx =

A ⋅ σ x ⋅ ε x dx =

³

E

=

N EA

und damit

NN dx . EA

Bei der Scheibe wird von den Kräften σx · dy · t, σy · dx ·t und τxy · dx · t bzw. τxy · dy · t, die sich aus den drei Spannungskomponenten ergeben, mit den zugehörigen virtuellen Verschiebungskomponenten Arbeit geleistet (Bild 2-5). Die gesamte innere virtuelle Arbeit erhält man damit beim Stab zu

Wi =

³

A ⋅ σ x ⋅ ε x dx

(2.5a)

und bei der Scheibe zu

Wi = t ⋅

Wi = t ⋅

³ ª¬ ε x

εy

³ εT ⋅ σ

ª « γ xy º¼ ⋅ « « ¬«

dx dy

.

σ x º» σ y » dx dy »

γ xy ¼» (2.5b)

Nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen müssen innere und äußere virtuelle Arbeit gleich sein, so dass gilt Wi = Wa

(2.5c)

Die Gleichgewichtsbedingungen und das Prinzip der virtuellen Verschiebungen sind gleichwertig und führen zu identischen Ergebnissen, sofern auch die übrigen Grundgleichungen erfüllt werden. Bekannt ist beispielsweise die Lösung von Gleichgewichtsaufgaben der Stabstatik mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen für starre Körper [2.2]. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen besitzt jedoch eine Eigenschaft, die die Gleichgewichtsbedingungen nicht besitzen. Es lässt sich auch auf Näherungslösungen für die Span-

2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte

75

nungsverläufe anwenden, die die Gleichgewichtsbedingungen nicht exakt erfüllen. In diesem Fall werden die Gleichgewichtsbedingungen im Rahmen der getroffenen Näherung bei Einhaltung des Prinzips der virtuellen Verschiebungen „im Mittel“ erfüllt. Von dieser Eigenschaft des Prinzips der virtuellen Verschiebungen macht man bei der Formulierung der FiniteElement-Methode Gebrauch. Ein mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen verwandtes Arbeitsprinzip ist das Prinzip der virtuellen Kräfte. Bei diesem Prinzip bringt man kleine, virtuelle Kräfte als fiktive Belastung auf das statische System auf. Das Prinzip lautet: Prinzip der virtuellen Kräfte (Spannungen) Bringt man auf einen Körper infinitesimal kleine, virtuelle Kräfte (Spannungen) auf, so ist die äußere virtuelle Arbeit gleich der gesamten inneren virtuellen Arbeit. Die äußere virtuelle Arbeit ist diejenige Arbeit, die die virtuellen Kräfte mit den wirklichen Verschiebungen leisten würden. Die innere virtuelle Arbeit ist die gesamte Arbeit, die die von den virtuellen Kräften (Spannungen) hervorgerufenen virtuellen Schnittgrößen mit den wirklichen Verschiebungen leisten würden. Zur Herleitung des Prinzips müssten in den Bildern 2-5 und 2-6 die virtuellen Verschiebungsgrößen durch wirkliche Verschiebungsgrößen und die wirklichen Kraftgrößen durch virtuelle Kraftgrößen ersetzt werden. Das Prinzip der virtuellen Kräfte wird als Arbeitsgleichung in der Stabstatik zur Ermittlung von Verschiebungsgrößen verwendet.

2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte Biegebalken und Platte werden als ein- bzw. zweidimensionale Tragwerke behandelt. Die Vereinfachung des bei genauerer Betrachtung dreidimensionalen Kontinuums als zweidimensionales Plattentragwerk kann an bestimmten Stellen von Plattentragwerken (z. B. an Stützen) zu unrealistischen Schnittgrößen führen, die einer besonderen Interpretation bedürfen. Hierdurch entstehende Interpretationsprobleme werden in Abschnitt 4.11 (Modellbildung von Bauteilen) behandelt. Die im Balken und in der Platte auftretenden Spannungen werden zu Querkräften und Momenten zusammengefasst. Bei drillsteifen Platten treten neben den Biegemomenten mx und my auch Drillmomente mxy und myx auf. Die Biegemomente sind hier, abweichend von der bei Einzelmomenten üblichen Definition, im Hinblick auf die durch sie hervorgerufenen Spannungen definiert. Danach verursacht das Moment mx Normalspannungen σx in x-Richtung und das Moment my Normalspannung σy in y-Richtung. Bei den Drillmomenten mxy und myx bezeichnet der erste Index die Richtung der Flächennormalen und der zweite Index die Richtung der betreffenden Spannungskomponente (Bild 2-2). Die Drillmomente mxy und myx rufen Schubspannungen τxy und τyx hervor (Bild 2-7). Wegen τxy = τyx gilt daher auch mxy = myx. Für die Vorzeichendefinition der Balkenschnittgrößen und der Plattenquerkräfte gilt die gleiche Regel wie bei Scheibe und Fachwerkstab: Definition des Vorzeichens von Balkenschnittgrößen und Plattenquerkräften Balkenschnittgrößen und Plattenquerkräfte sind am positiven Schnittufer in Richtung der positiven Koordinaten positiv.

76

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie Balken

Platte M

System

x

mxy

x y z

z

V

σx

Momente

my myx

mx

vx

vy

M

mx

σx

σy my mxy

τxy

τyx myx

Querkräfte

τxz

τz V

vx

τyz

vy

Ermittlung der Plattenschnittgrößen durch Integration der Spannungen

mx =

h 2

³ −

my =

h 2

h 2

³ −

σ x ⋅ z ⋅ dz =

h 2

σ y ⋅ z ⋅ dz =

h

2

⋅σ xR 6

h 2 ⋅σ yR 6

m xy =

h 2

³ −

m yx =

6

h 2

h 2

³ −

τ xy ⋅ z ⋅ dz =

R h 2 ⋅τ xy

vx =

h 2

³ τ xz ⋅ dz = −

h 2

2h⋅τ xzM 3

h

τ yx ⋅ z ⋅ dz =

R h 2 ⋅τ yx

h 2

6

2

vy =

³ −

h

τ yz ⋅ dz =

2h⋅τ yzM 3

2

Indizes: ´R´ - Randspannung; ´M´ - Spannung in Plattenmitte

Bild 2-7 Schnittgrößen und Spannungen in Balken und Platten

2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte

77

Eine Sonderstellung nimmt die Definition von Plattenmomenten ein. Sie orientiert sich an der Definition der positiven Richtung der durch das Moment erzeugten Spannungen: Definition des Vorzeichens der Plattenbiegemomente Biegemomente mx (my) sind dann positiv, wenn sie auf der Unterseite der Platte positive Normalspannungen σx (σy) hervorrufen. Die Unterseite der Platte liegt am positiven Schnittufer in z-Richtung, d. h. auf der positiven z-Seite der Platte.

Ein Drillmoment mxy (myx) ist dann positiv, wenn es am positiven Schnittufer auf der Unterseite der Platte Schubspannungen τxy (τyx) in Richtung der positiven Koordinatenrichtung hervorruft. Die Grundgleichungen der Platte und des Balkens werden unter Berücksichtigung von Schubverformungen in Bild 2-8 angegeben [2.6, 2.7]. Die Gleichungen des schubstarren Balkens und der schubstarren Platte können hieraus durch Weglassen der Gleichungen, die den Scherwinkeln γxz, γyz entsprechen, d. h. für eine unendlich große Schubfläche As, erhalten werden. Während Biegebalken in der Regel unter Berücksichtigung der Schubverformungen in FiniteElement-Programme implementiert sind, gibt es bei Platten auch Berechnungsprogramme auf der Grundlage schubstarrer Elemente. Die Verwendung der Theorie der schubweichen Platte für Finite Plattenelemente ist aus praktischer Sicht in der Regel nicht erforderlich. Sie hat vielmehr Gründe, die sich aus der Theorie der Finite-Element-Methode ergeben. Die Theorie der schubweichen Platte wird auch als Mindlinsche oder Reissnersche Plattentheorie bezeichnet. Sie basiert auf der Annahme, dass Punkte, die sich ursprünglich auf einer Normalen zur unverformten Mittelfläche befinden, während der Deformation auf einer Geraden bleiben, die jedoch nicht notwendigerweise normal zur deformierten Mittelfläche ist, wie dies die Kirchhoffsche Plattentheorie einschränkend annimmt. Dies gilt für den schubweichen Balken entsprechend. Beim schubweichen Balken setzt sich die gesamte Durchbiegung dw eines infinitesimal kleinen Balkenabschnitts der Länge dx zusammen aus dem Anteil ϕ · dx, der sich aus der Biegung des Balkens ergibt, und der Schubverformung γ · dx (Bild 2-8):

dw = -ϕ · dx + γ · dx

(2.6)

Der Winkel γ ist die über den Querschnitt konstante Schubverzerrung, die infolge der Querkraftbeanspruchung auftritt. Der Biegewinkel ϕ entsteht durch die Verlängerung der unteren Faser und die Verkürzung der oberen Faser infolge einer (positiven) Momentenbeanspruchung. Die Änderung des Biegewinkels ϕ mit x, die man durch Differenzieren erhält, ist die Krümmung κ. Somit gilt

κ=

dϕ dx

(2.7a)

und mit (2.6)

γ = ϕ+

dw . dx

(2.7b)

78

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

Schubweicher Balken

Schubweiche Platte Schnittgrößen

y

x

V

y

yz

z

y

M

x y

h

mx

xz

z

my

myx

mxy

dy

vx

vy dx

Krümmungen und Scherwinkel Biegung

ϕ

κ=

ϕ + dϕ

∂ϕ x ∂x ∂ϕ y κy= ∂y ∂ϕ x ∂ϕ y κ xy = + ∂y ∂x

dϕ dx

κx=

γ

Schub

γ =ϕ +

Krümmungen

Verwindung

∂w ∂x ∂w γ yz =ϕ y + ∂y

dw dx

γ xz =ϕ x +

dx

Scherwinkel

Momenten-Krümmungs-Beziehung und Querkraft-Scherwinkel-Beziehung

M = EI · κ

ª º « mx » Eh3 « my » = « » 12 1− µ 2 ¬« mxy ¼»

(

m V = G · As · γ

=

)

ª «1 « «µ « «0 ¬

µ 1 0

º ª º 0 » « κx » » 0 »⋅ « κy » » » « 1− µ » ¬« κ xy ¼» 2 ¼

·κ

Db

ª vx º 5⋅ E ⋅ h ª 1 0 º ª γ xz º « »= » « »⋅ « v (1+ µ ) ¬ 0 1 ¼ ¬ γ yz ¼ 12 ¬ y¼

v

=

Ds ·

γ

Bild 2-8 Schnittgrößen, Verzerrungsgrößen und Materialgesetz bei Balken und Platte

2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte

79

Die Winkel ϕ und γ sind dabei so definiert, dass sie mit einer positiven Schnittgröße am positiven Schnittufer einen positiven Arbeitsausdruck bilden. Dies hat zur Folge, dass der Biegewinkel ϕ und der Winkel der Scherverformung γ in unterschiedlicher Richtung positiv definiert sind (Bild 2-8). Das Materialgesetz besteht aus der Momenten-Krümmungs-Beziehung und der QuerkraftScherwinkel-Beziehung. Es erlaubt, aus gegebenen Krümmungen und Scherwinkeln das Biegemoment bzw. die Querkraft zu ermitteln. Mit der Krümmung κ erhält man für eine konstante Biegesteifigkeit E · I das Biegemoment M zu

M=E·I·κ.

(2.8a)

Aus dem Scherwinkel γ ergibt sich die Querkraft V bzw. die zugehörige Schubspannung

τ = V/As (As = Schubfläche) mit dem Hooke“schen Gesetz für Schubverformungen τ = G · γ (G = Schubmodul) zu

V = τ ·As V = G ·As · γ .

(2.8b)

Für die Platte ergeben sich analoge Beziehungen für die Krümmungen κx in x-Richtung und κ y in y-Richtung sowie die Scherwinkel γxz und γyz. Hinzu kommt die Verwindung κxy. Nach Bild 2-8 gilt für die Verzerrungsgrößen der schubweichen Platte: ª ∂ «0 x ∂ ª º « « κx » « « κy » = « 0 0 « » « «¬ κ xy »¼ « ∂ «0 ∂y ¬

ª ∂ ª γ xz º « ∂ x « »= « ¬ γ yz ¼ « ∂ « ¬∂y

º 0 » » ∂ » » ∂ y» ∂ » » ∂x¼

º 1 0» » » 0 1» ¼

ª wº « » ⋅ « ϕx » «ϕ » ¬ y¼

(2.9a)

ª wº « » ⋅ « ϕx » «ϕ » ¬ y¼

(2.9b)

Die beiden Materialgesetze der schubweichen Platte, nämlich die Momenten-KrümmungsBeziehung und die Querkraft-Scherwinkel-Beziehung, lauten: ª m º « x» E h3 « my » = « » 12 1+ µ 2 ¬« mxy ¼»

(

m

=

)

ª «1 « «µ « «0 ¬

Db

º 0 » ª« κ x º» » 1 0 » ⋅ « κy » « » 1− µ »» ¬« κ xy ¼» 0 2 ¼

µ

·κ

(2.10a)

80

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie ª vx º 5 E⋅ h ª 1 0 º ª γ xz º « »= » « »⋅« 12 (1+ µ ) ¬ 0 1 ¼ ¬ γ yz ¼ ¬ vy ¼

v

Ds

=

(2.10b)

·γ

Für orthotrope Platten lassen sich die Materialgesetze verallgemeinern zu

ª m º ª D « x» « x « m y » = « Dxy « » « «¬ mxy »¼ ¬ 0 m

Dxy Dy 0

0 º » 0 » » DD ¼

ª vx º ª S x « »= « ¬ vy ¼ ¬ 0

0 º ª γ xz º »⋅« » S y ¼ ¬ γ yz ¼

=

·γ.

v

Ds

κ x º» κy »

(2.10c)

» κ xy »¼

·κ

Db

=

ª « ⋅« « «¬

(2.10d)

Hierin bedeuten Dx und Dy die Biegesteifigkeiten, Dxy die Koppelsteifigkeit, DD die Torsionssteifigkeit sowie Sx und Sy die Schubsteifigkeiten. Formeln zur Bestimmung der Steifigkeitswerte sind für Sandwichplatten und Platten mit Hohlquerschnitt in [2.8] angegeben. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen für die schubweiche Platte erhält man analog zur Herleitung für die Scheibe (Bild 2-9). Der aufgebrachten virtuellen Biegelinie entsprechen virtuelle Krümmungen und Scherverzerrungen. Diese leisten mit den wirklichen Biegemomenten und Querkräften virtuelle innere Arbeit. Die Anteile der Biegung und der Scherverzerrung werden in der Gleichung für die innere virtuelle Energie getrennt behandelt. Hierbei entsprechen dem Spannungsvektor σ bei der Scheibe die Schnittgrößenvektoren m bzw. q der Platte und dem Dehnungsvektor ε der Krümmungsvektor κ bzw. der Verzerrungsvektor γ. Somit lautet die virtuelle innere Energie beim Balken

³

Wi =

³

κ⋅ M dx +

γ ⋅ V dx

(2.11a)

und bei der Platte

³ ª¬ κ x

Wi =

Wi =

³

T

κy

ª m º « x» κ xy º¼ ⋅ « m y » dx dy + « » ¬« mxy »¼

κ ⋅ m dx dy +

³

³

ªγ ¬ xz

γ ⋅ q dx dy .

Die virtuelle innere Energie des Balkens nach (2.11a) entspricht mit

κ=

M E⋅ I

γ=

V G⋅ As

ª vx º » dx dy (2.11b) ¬ vy ¼

γ yz º¼⋅ «

(2.11c)

2.3 Grundgleichungen von Biegebalken und Platte

81

wiederum dem bekannten Ausdruck der Arbeitsgleichung der Stabstatik:

³

Wi =

M⋅ M dx + E⋅ I

³

V⋅V dx . G⋅ As

Schubweicher Balken Virtuelle innere Arbeits des Biegemomentes am infinitesimalen Element

d

d W i = M ⋅ dϕ

κ=

dϕ → dϕ =κ ⋅dx dx

M

d W i = M ⋅κ dx M

= Wirkliches Moment

κ

= Virtuelle Krümmung

dx

Virtuelle innere Arbeit der Querkaft am infinitesimalen Element

dx V

dW i = V ⋅ γ dx V

= Wirkliche Querkraft

γ

= Virtuelle Schubver-

dx

zerrung

Gesamte virtuelle innere Arbeit im Stab: Die gesamte Arbeit setzt sich aus den über die Stablänge integrierten Querkraft- und Momentenanteilen zusammen.

W i = κ ⋅ M dx + γ ⋅V dx

³

³

Schubweiche Platte Gesamte innere Arbeit in der Platte:

ª º « mx » κ xy º¼ ⋅ « m y » dx dy + « » «¬ mxy »¼

Wi =

³ ª¬ κ

Wi =

³ κ⋅ m dx dy + ³ γ ⋅ v dx dy

x

κy

³ ª¬ γ

xz

Bild 2-9 Prinzip der virtuellen Verschiebungen bei Balken und Platte

ª vx º » dx dy ¬ vy ¼

γ yz º¼⋅ «

82

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

Bei der schubstarren Platte (Kirchhoffsche Plattentheorie) sind wegen γ = 0 bzw. γxz = 0 und γyz = 0 die Querschnittsneigungen keine unabhängigen Zustandsgrößen mehr. Einzige Verzerrungsgrößen einer schubstarren Platte sind die Krümmungen κx und κy und die Verwindung κxy. Sie ergeben sich als zweite Ableitung der Verschiebungsfunktion. Die Querkräfte lassen sich nicht mehr aus dem Stoffgesetz ableiten, da die Schubsteifigkeit unendlich groß wird. Weiterhin ergeben sich bei Lösung der Differentialgleichung Inkonsistenzen an den Rändern der schubstarren Platte (vgl. [2.5, 2.9, 2.10]). Man bezeichnet dies als Randstreifeneffekt. Es können nur noch die Randbedingungen für zwei der insgesamt drei vorhandenen Schnittkräfte (Biegemoment, Drillmoment und Querkraft) erfüllt werden. Die Randdrillmomente mns müssen daher in Ersatzquerkräfte umgerechnet und mit den Querkräften vn zu Randkräften vn* = vn +

dmns ds

(2.12)

zusammengefasst werden. Weiterhin können an Plattenecken Einzelkräfte auftreten. An gelenkig gelagerten Plattenrändern ergeben sich nach (2.12) Auflagerkräfte vn* , die sich von den Querkräften vn am Plattenrand um den Betrag dmns / ds unterscheiden. An unbelasteten freien Plattenrändern können sowohl Drillmomente als auch Querkräfte auftreten. Die im Randbereich auftretenden Randquerkräfte erhält man wegen vn* = 0 zu vn = − dmns / ds , d. h. sie entsprechen der Änderung der Randdrillmomente mns. An einem vollständig eingespannten Plattenrand treten keine Drillmomente auf, und damit stimmen wegen dmns / ds = 0 die Querkräfte und die Auflagerkräfte überein. Die Theorie der schubweichen Platte ermöglicht die Erfüllung von drei Randbedingungen. An freien Rändern werden die Biegemomente, Drillmomente und Querkräfte zu Null gesetzt. An eingespannten Rändern sind die Durchbiegung sowie die beiden Biegewinkel ϕ n und ϕ s Null. An gelenkig gelagerten Rändern gibt es nun zwei Möglichkeiten zur Definiton von Randbedingungen. Einmal kann man die Durchbiegung, das Biegemoment mn und den Drehwinkel ϕ n zu Null setzen. Das Drillmoment mnt wird damit ungleich Null. Es gilt also für diese sogenannte „harte Lagerung“:

w= 0

vn ≠ 0 ,

ϕn = 0

mns ≠ 0 ,

ϕs ≠ 0

mn = 0 .

(2.13)

Bei der sogenannten „weichen Lagerung“ setzt man hingegen das Drillmomoment mnt am gelenkigen Lager zu Null. Damit wird die Verdrehung ϕ n ungleich Null. Die Randbedingungen lauten hierfür:

w= 0

vn ≠ 0 ,

ϕn ≠ 0

mns = 0 ,

ϕs ≠ 0

mn = 0 .

(2.14)

Bei der schubweichen Platte entsprechen die Auflagerkräfte den Querkräften am Plattenrand. Anstelle von Einzelkräften erhält man in Plattenecken entsprechende Spitzen in den Verläufen

2.4 Räumliche Tragwerke

83

der Quer- bzw. Auflagerkräfte. Bei den in der Praxis auftretenden dünnen Platten sind die Unterschiede beider Theorien, die sich nur in Randbereichen der Platte von der Größe der Plattendicke auswirken, in der Regel vernachlässigbar.

s

z

s

w

s

n

n

(a) Verschiebungsgrößen

n

n normal zum Rand s senkrecht zum Rand

mn vn

mns

z

(b) Schnittgrößen

Bild 2-10 Schnittkräfte am Plattenrand

2.4 Räumliche Tragwerke Die Grundgleichungen räumlicher Tragwerke lassen sich aus denjenigen ebener Tragwerke leicht entwickeln. Beim Fachwerkstab stimmen sie sogar mit denjenigen des ebenen Systems überein. Unterschiede ergeben sich lediglich bei der Transformation in das räumliche Koordinatensystem. Schalentragwerke lassen sich als Superposition der Tragwirkung von Scheibenund Plattentragwerken auffassen, wobei man vom Membranspannungszustand beziehungsweise vom Biegespannungszustand spricht. Die Grundgleichungen am infinitesimalen Element setzen sich aus denjenigen der Scheibe und der Platte zusammen. Auch hier muss eine Transformation in das räumliche Koordinatensystem erfolgen, was zu den Gleichungen der Schalentheorie führt. Beim Biegebalken treten bei räumlicher Beanspruchung neben der Biegung um zwei Achsen auch Torsionsbeanspruchungen auf. Bei nicht wölbfreien Querschnitten können hierbei Schnittgrößen infolge Wölbkrafttorsion hinzu kommen. Diese sollen hier näher betrachtet werden. Ein Torsionsmoment kann von einem Stabquerschnitt grundsätzlich auf zwei Arten aufgenommen werden: • durch St.-Venant“sche Torsion: im Querschnitt treten Schubspannungen und zugehörige Verzerrungen auf. Aus den Schubspannungen ergibt sich als resultierende Schnittgröße das Torsionsmoment. Der Querschnitt bleibt eben. • durch Wölbkrafttorsion: Teile des Querschnitte werden durch biegeartige Zustände beansprucht. Hierdurch entstehen Normalspannungen im Querschnitt. Als resultierende Schnittgröße ergibt sich ein Torsionsmoment. Infolge der Normalspannungen verwölbt sich der Querschnitt, d. h. er bleibt nicht mehr eben. Wölbfreie Querschnitte wie der Kreis oder Kreisring erlauben keine Wölbkrafttorsion, d. h. ein Torsionsmoment wird ausschließlich durch St. Venant“sche Torsion abgetragen. Auch nicht

84

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

wölbfreie Querschnitte können nur dann einen Anteil eines aufgebrachten Torsionsmoments durch Wölbkrafttorsion aufnehmen, wenn die Verwölbung durch entsprechende Auflagerbedingungen behindert wird. Nicht wölbfreie Querschnitte sind beispielsweise der Rechteckquerschnitt oder dünnwandige offene Querschnitte (sofern sie nicht aus zwei Rechtecken bestehen, die sich in einem Punkt schneiden). Bild 2-11 zeigt die Wirkung der Wölbkrafttorsion am Beispiel eines I-Trägers, der am anderen Ende des betrachteten Stababschnitts eingespannt sei. Der Querschnitt ist doppeltsymmetrisch, Schubmittelpunkt und Schwerpunkt sind identisch. Das Torsionsmoment teilt sich auf in einen Anteil M x, p aus primärer Torsion, der der St.-Venant“schen Torsion entspricht, und einen Anteil M x, s aus sekundärer Torsion infolge der Wölbkrafttorsion. Es ist M x = M x, p + M x, s .

(2.15)

Das primäre Torsionsmoment steht mit den Schubspannungen in dem allgemeinen Zusammenhang

τ p ,max =

M x, p Wt

,

(2.16)

beziehungsweise bei dünnwandigen offenen Querschnitten, wie dem I-Querschnitt,

τ p, Steg =

M x, p It

⋅s ,

τ p ,Gurt =

M x, p It

⋅t ,

(2.16a)

wobei Wt das Torsionswiderstandsmoment, It das Torsionsträgheitsmoment und s, t die Dicke des Steges beziehungsweise des Gurtes bedeuten. Das sekundäre Torsionsmoment ergibt sich beim I-Querschnitt aus der biegeartigen Beanspruchung des Ober- und Untergurtes. Dieser entspricht eine Kraft im Obergurt und eine im Untergurt, die ein Kräftepaar mit dem Hebelarm hm bilden. Dieses Kräftepaar bildet das Torsionsmoment M x, s . Die beiden Biegemomente im Obergurt und Untergurt werden zum Wölbbimoment M ω zusammengefasst. Beim I-Querschnitt lautet es

M ω = M Gurt ⋅ hm .

(2.17)

Die Normalspannungen infolge des Wölbbimomentes am Gurtrand ergeben sich zu

σ ω ( y, z ) =

Mω ⋅ ω ( y, z ) Iω

(2.18)

und der Maximalwert zu

σω,max =

Mω ⋅ wm . Iω

(2.18)

Die Einheitsverwölbung ω( y, z ) , der Wert wm und der Wölbwiderstand I ω sind Querschnittskennwerte. Die Schubspannungen τ s aus Wölbkrafttorsion sind beim I-Querschnitt parabelförmig über den Ober- beziehungsweise Untergurt verteilt. Der maximale Wert in Gurtmitte beträgt

2.4 Räumliche Tragwerke

τ s,max =

85

M x, s ⋅ wm b ⋅ , 4 Iω

(2.19)

wobei b die Breite des Gurtes bedeutet. Bei allgemeinen dünnwandigen offenen Querschnitten sich die Beziehungen deutlich komplexer und das Wölbbimoment lässt sich nicht mehr veranschaulichen [2.11, 2.12, 2.13].

MGurt τ P ,Gurt

z

τP,ST

M,S

-Mx,s

y

y

M,S

z

M,S

hm

y

τS

z

τS

τ P ,Gurt

MGurt Schubspannungen infolge eines primären Torsionsmoments

Schubspannungen infolge eines sekundären Torsionsmoments

Normalspannungen infolge eines sekundären Torsionsmoments

Bild 2-11 Wölbkrafttorsion beim I-Querschnitt

Dem primären Torsionsmoment entspricht als komplementäre Verschiebungsgröße die Verdrehung ϕ x des Querschnitts, dem sekundären Torsionsmoment entspricht als Verschiebungsgröße die Verwindung

ψ=

dϕx , dx

(2.20)

Die durch das primäre Torsionsmoment hervorgerufenen Schubspannungen verursachen in der Querschnittsfläche eine Verformung des Querschnitts, die durch sekundäre Torsionsmoment hervorgerufene Wölbbimoment verursacht eine Verwölbung des Querschnitts, d. h. der Querschnitt bleibt nicht mehr eben. Die Verwölbungsfläche wird beschrieben durch den Produktansatz u ( x, y, z ) = ω( y, z )⋅ ψ( x) ,

(2.21)

wobei ω ( y, z ) die sogenannte Einheitsverwölbung bezeichnet. Die Einheitsverwölbung ist eine Querschnittsgröße. Sie ist für den I-Querschnitt in Bild 2-12 dargestellt.

86

2 Die Grundgleichungen der Elastizitätstheorie

− b ⋅ hm / 4 b ⋅ hm / 4

− b ⋅ hm / 4 b ⋅ hm / 4

Bild 2-12 Einheitsverwölbung ω ( y, z ) des I-Querschnitts

Zwischen dem primären und sekundären Torsionsmoment und den Verschiebungsgrößen bestehen die Beziehungen M x , p = G ⋅ IT ⋅

dϕx , dx

M x, s = − E ⋅ I ω ⋅

d 3ϕ x dx3

(2.22a) .

(2.22b)

Für das Wölbbimoment gilt M ω = E ⋅ Iω ⋅

d 2ϕ x dx 2

.

(2.23)

Mit dem Strecken-Torsionsmoment mx = − dM x / dx und (2.15) sowie (2.22a,b) erhält man die Differentialgleichung für den durch Wölbkrafttorsion beanspruchten Stab. Es handelt sich um eine lineare Differentialgleichung vierter Ordnung. Ihre Lösung unter Berücksichtigung der entsprechenden Randbedingungen ist die Grundlage der Herleitung der Steifigkeitsmatrix des Stabes mit Wölbkrafttorsion. Mit der Definition des Wölbbimoments nach (2.23) und Bild 2-12 entspricht einem positiven sekundären Torsionsmoment M x, s nach (2.15) ein negatives Wölbbimoment M ω . Es sei noch darauf hingewiesen, dass in der Literatur zur Wölbkrafttorsion gelegentlich eine davon abweichende Vorzeichendefinition des Wölbbimomentes und der Einheitsverwölbung anzutreffen ist.

87

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

3.1 Überblick 3.1.1 Die Finite-Element-Methode als statisches Berechnungsverfahren Die Berechnung statisch unbestimmter Systeme in der Baustatik führt im Allgemeinen auf ein lineares algebraisches Gleichungssystem. Ausnahmen bilden Untersuchungen, bei denen geometrische oder materialbedingte Nichtlinearitäten von Bedeutung sind. Sind die Unbekannten dieses Gleichungssystems Kräfte und Momente, so spricht man vom Kraftgrößenverfahren, sind es Verschiebungen und Verdrehungen, vom Verschiebungsgrößenverfahren. Sowohl das Kraftgrößenverfahren als auch das Verschiebungsgrößenverfahren können in Matrizenschreibweise formuliert und somit in einer für die Computerberechnung geeigneten Form angeschrieben werden [3.1]-[3.6]. Jedoch ist das Verschiebungsgrößenverfahren übersichtlicher und leichter schematisierbar als das Kraftgrößenverfahren und damit besser zur Programmierung geeignet. Daher beruhen fast alle in der Praxis angewandten Programmsysteme für baustatische Berechnungen auf dem Verschiebungsgrößenverfahren. Dieses wird im Folgenden ausschließlich behandelt. In der Literatur wird das Verschiebungsgrößenverfahren auch als Weggrößenverfahren, Formänderungsgrößenverfahren oder Deformationsverfahren bezeichnet. Die Formulierung des Verschiebungsgrößenverfahrens in Matrizenschreibweise wird auch bei Stabwerken meist als „Finite-Element-Methode“ bezeichnet. Diese Bezeichnung wird im Folgenden übernommen, da Stabwerke lediglich einen Spezialfall der allgemeineren Anwendung auf Flächentragwerke und dreidimensionale Kontinua darstellen. Der Grundgedanke der Methode der Finiten Elemente besteht darin, das zu berechnende Tragwerk in eine größere Anzahl von Elementen mit leicht überschaubaren statischen Eigenschaften zu zerlegen und diese dann unter Wahrung der kinematischen Verträglichkeitsbedingungen und der statischen Gleichgewichtsbedingungen zu einem komplexen Gesamtsystem zusammenzufügen. Da hierbei auch unterschiedliche Tragwerkselemente, wie z. B. Elemente zur Abbildung von Stäben, Scheiben, Platten sowie dreidimensionalen Kontinuen, in demselben Berechnungsmodell verwendet werden können, ist die Methode äußerst vielseitig und leistungsfähig (Bilder 3-1, 3-3).

3.1.2 Knotenpunkte, Freiheitsgrade und Finite Elemente Zur Berechnung nach der Methode der Finiten Elemente diskretisiert man das Tragwerk in einzelne sogenannte Finite Elemente. Diese sind an Knotenpunkten miteinander verbunden. An den Knotenpunkten werden Verschiebungsgrößen (Verschiebungen und Verdrehungen) sowie - als äußere Belastung des Systems - Kraftgrößen (Kräfte und Momente) definiert. Diese sind auf das globale Koordinatensystem bezogen, für das in der Regel kartesische Koordinaten verwendet werden. Verschiebungen oder Verdrehungen eines Knotenpunkts in globalen Koordinaten werden ganz allgemein auch als globale Freiheitsgrade bezeichnet.

88

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Welche Freiheitsgrade einem Knotenpunkt zugeordnet werden, hängt von der Art des Tragwerks ab. Im allgemeinen räumlichen Fall sind sechs Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen in x-, y- und z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x-, y- und z-Achse möglich (Bild 3-2). Bei ebenen Systemen und speziellen Tragwerksformen verringert sich die Anzahl der zu berücksichtigenden Freiheitsgrade, beispielsweise bei einer Platte in der x-y-Ebene auf drei Freiheitsgrade je Knotenpunkt, nämlich die Verschiebung in z-Richtung sowie die Verdrehungen um die x- und y-Achse (Bild 3-3). Die Definition von auf den Knotenpunkt bezogenen Kräften und Momenten, z. B. für Einzellasten, entspricht der Vorzeichendefinition der zugehörigen Verschiebungsfreiheitsgrade.

Räumliches Stabwerk

Platte

Bild 3-1 Beispiele für Finite-Element-Modelle

Bild 3-2 Verschiebungs- und Kraftgrößen im globalen Koordinatensystem

Faltwerk

3.1 Überblick

89

Bild 3-3 Elementarten und Freiheitsgrade

3.1.3 Berechnungsverfahren Die statische Berechnung des in Finite Elemente diskretisierten Tragwerks nach dem Verschiebungsgrößenverfahren führt, wenn man lineares Tragverhalten voraussetzt, zu einem linearen Gleichungssystem mit den Knotenverschiebungen und -verdrehungen als Unbekannten. Fasst man die an den Knotenpunkten angreifenden äußeren Kräfte und Momente zum Lastvektor F und die Knotenverschiebungen zum Verschiebungsvektor u zusammen, so lässt sich dieser Zusammenhang schreiben: K.u=F

(3.1)

Beispielsweise ist das ebene Stabwerk in Bild 3-4 in zwei Stäbe und drei Knotenpunkte diskretisiert und besitzt, wenn man die Auflagerbedingungen berücksichtigt, die fünf Freiheitsgrade u1, ϕ1, u2, v2 und ϕ2.

90

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Bild 3-4 Verschiebungsfreiheitsgrade und Knotenlasten eines Stabwerks

Die zugehörigen äußeren Lasten sind Fx1, M1, Fx2, Fy2 und M2. Damit hat das Gleichungssystem (3.1) die Form:

ª k11 k12 « « k21 k22 « k31 k32 « « k41 k42 «¬ k 51 k52

k13

k14

k23 k33

k24 k34

k43

k44

k53

k54

k15 º ª u1 º ª » « » « k25 » « ϕ1 » « k35 » ⋅ « u2 » = « » « » « k45 » « v2 » « k55 »¼ «¬ ϕ 2 »¼ «¬

Fx1 º » M1 » Fx 2 » » Fy 2 » » M2 ¼

(3.1a)

Die Matrix K heißt Systemsteifigkeitsmatrix. Sie ist quadratisch, da u und F dieselbe Größe haben. Die Elemente der Vektoren u und F sind so geordnet, dass eine Kraftgröße Fi entlang des Verschiebungswegs ui (z. B. Fy2 entlang v2) Arbeit leistet, d. h. einer Kraft Fi entspricht eine Verschiebung ui in Kraftrichtung bzw. einem Moment Mi eine Verdrehung ϕi in der Drehrichtung des Moments. Man kann zeigen, dass die Steifigkeitsmatrix dann symmetrisch ist. Auch für jedes einzelne Element lässt sich der Zusammenhang zwischen den Kräften und Verschiebungen an den Elementknoten ähnlich wie in (3.1) als Steifigkeitsmatrix ausdrücken. Diese Matrix heißt Elementsteifigkeitsmatrix. Die Systemsteifigkeitsmatrix lässt sich nach einem einfachen Schema aus den Elementsteifigkeitsmatrizen zusammensetzen. Nach dem Aufstellen der Systemsteifigkeitsmatrix K und des Lastvektors F wird (3.1) nach einem Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme, z. B. dem Gaußschen Verfahren, gelöst. Dabei kann es sich, je nach Diskretisierung des Systems, um Gleichungssysteme mit mehreren hundert oder mehreren tausend Unbekannten handeln. Der größte Rechenaufwand bei einer Finite-Element-Berechnung besteht meistens in der Lösung dieses Gleichungssystems. Nach der Lösung des Gleichungssystems für die Verschiebungsgrößen werden aus den Verschiebungsgrößen die Schnittgrößen in den einzelnen Elementen ermittelt. Bei der Finite-Element-Methode sind also folgende Berechnungsschritte durchzuführen: Berechnungsschritte bei der Finite-Element-Methode

1. Ermittlung der Elementsteifigkeitsmatrizen und Knotenpunktslasten 2. Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix aus den Elementsteifigkeitsmatrizen und des Lastvektors 3. Lösung des Gleichungssystems für die Verschiebungsgrößen 4. Ermittlung der Auflagerkräfte aus den Verschiebungsgrößen 5. Ermittlung der Elementspannungen (-schnittgrößen) aus den Verschiebungsgrößen

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

91

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke 3.2.1 Statisches System Die einzelnen Berechnungsschritte werden zunächst am Beispiel eines ebenen Fachwerks erläutert. Anschließend werden als weitere Tragwerkselemente Federn und Biegebalken behandelt. Die Kombination unterschiedlicher Tragwerkselemente wird anhand eines Beispiels in Abschnitt 3.4 gezeigt. Ebene Fachwerke besitzen an jedem Knotenpunkt zwei Freiheitsgrade. Bei einem Fachwerk in der x-y-Ebene sind dies die Verschiebungen u und v. Verschiebungen in z-Richtung sowie Verdrehungsfreiheitsgrade sind nicht vorhanden.

Beispiel 3.1 Das in Bild 3-5 dargestellte Fachwerk wird in vier Knotenpunkte und sechs Stäbe diskretisiert. Die Stäbe 5 und 6 seien an ihrem Kreuzungspunkt nicht verbunden. Das Fachwerk wird durch die Kräfte Fx1 bis Fy4 belastet. Es ist die Form des Gleichungssystems zu ermitteln.

Bild 3-5 Einführungsbeispiel Fachwerk

92

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Da die Verschiebungen des Punkts 4 sowie die Vertikalverschiebung des Punkts 3 aufgrund der Auflagerbedingungen festgehalten sind, besitzt das System fünf Freiheitsgrade. Das Gleichungssystem zur Ermittlung der Verschiebungen hat die Form:

ª k11 k12 « « k21 k22 « k31 k32 « « k41 k42 «¬ k 51 k52

k13 k23

k14 k24

k33 k43

k34 k44

k53

k54

k15 º » k25 » k35 » » k45 » k55 »¼

ª u1 º ª Fx1 º « » «F » « v1 » « y1 » ⋅ « u2 » = « Fx 2 » » « » « « v2 » « Fy 2 » » «¬ u »¼ « 3 ¬ Fx3 ¼

Zur Ermittlung der Systemsteifigkeitsmatrix des Systems werden die Elementsteifigkeitsmatrizen der Stäbe benötigt. Daher wird zunächst die Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs hergeleitet.

3.2.2 Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs Der Fachwerkstab ist ein Stabelement, das ausschließlich Normalkräfte aufnehmen kann. Er besitzt eine vergleichsweise einfache Elementsteifigkeitsmatrix. Zur Beschreibung der Elementkräfte wird die lokale Koordinate x(lok) eingeführt (Bild 3-6). Die Elementgrößen im lokalen Koordinatensystem werden durch den hochgestellten Index (lok) gekennzeichnet.

Bild 3-6 Fachwerkstab in lokalen Koordinaten

Man betrachtet einen Stab mit der Querschnittsfläche A, dem Elastizitätsmodul E und der Länge l, in dem eine konstante Normalkraft N wirkt. Die durch die Normalkraft hervorgerufene Verlängerung δ des Stabs beträgt

δ=

N⋅ l E⋅ A

bzw. gilt, wenn man die Verlängerung des Stabs mit (lok )

δ = u2

(lok )

− u1

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke durch die Verschiebungen u1 ausdrückt: N =

(lok )

und u 2

(lok )

(

93 der Knotenpunkte im lokalen Koordinatensystem

E⋅A E⋅A ⋅δ = ⋅ − u1 (lok ) + u 2 (lok ) l l

)

oder in Matrizenschreibweise N=

ª u (lok ) º E⋅ A ⋅ [− 1 1] ⋅ « 1 (lok ) » l «¬u 2 ¼»

(3.2)

bzw. N = S e (lok ) ⋅ u e (lok )

(3.2a)

mit S e (lok ) =

E⋅ A ⋅ [− 1 1] l

(3.2b)

(lok )

Die Matrix S e heißt Spannungsmatrix. Gleichung (3.2) wird verwendet, um nach der Lösung des globalen Gleichungssystems aus den dann bekannten Knotenverschiebungen die Normalkräfte in den Stäben zu ermitteln. An den Stabenden greifen die Kräfte F1 (lok ) und F 2 (lok ) an. Diese sind beide in Richtung der (lok) Koordinate x positiv definiert. Aus Gleichgewichtsgründen gilt: F1 (lok ) = − N = F2 (lok ) = N =

(

E⋅ A ⋅ u1 (lok ) −u 2 (lok ) l

(

) )

E⋅ A ⋅ −u1 (lok ) +u 2 (lok ) . l

Die beiden Gleichungen geben die Beziehung zwischen den Knotenverschiebungen und den Stabendkräften an. Sie lauten in Matrizenschreibweise: E⋅ A l

ª 1 − 1º ª u1 (lok ) º ª F1 (lok ) º ⋅« » ⋅ « (lok ) » = « (lok ) » ¬− 1 1 ¼ «¬u 2 ¼» «¬ F2 ¼»

K e (lok ) ⋅ u e (lok ) = F e (lok )

(3.3)

(3.3a)

wobei die Matrix K e (lok ) =

E ⋅ A ª 1 − 1º ⋅« » l ¬− 1 1 ¼

(3.3b)

94

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

die Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs in lokalen Koordinaten darstellt. Sie ist wie die Steifigkeitsmatrizen aller Finiten Elemente symmetrisch. Die Elementsteifigkeitsmatrix ist aber auch singulär, da sich die zweite Zeile aus der ersten durch Multiplikation mit -1 ergibt. Statisch bedeutet dies, dass das ´statische System´ - hier ein einzelnes Stabelement - kinematisch ist.

Beispiel 3.2 Für alle Stäbe des in Bild 3-5 dargestellten Fachwerks sind die Elementsteifigkeitsmatrizen und die Spannungsmatrizen in lokalen Koordinaten zu ermitteln. 2

8

2

Die Steifigkeitsmatrizen erhält man mit A = 0.004 m , E = 2.1·10 kN/m nach (3.3) zu: Stäbe 1 bis 4 (mit l = 3.00 m): ª 1 − 1º K e(lok ) = 2.80⋅ 105 ⋅ « » 1¼ ¬− 1

Stäbe 5 und 6 (mit l = 4.24 m): ª 1 − 1º K e(lok ) = 1.98⋅ 105 ⋅ « » 1¼ ¬− 1

Die Spannungsmatrizen erhält man nach (3.2b) in lokalen Koordinaten zu: Stäbe 1 bis 4: S e(lok ) = 2.80⋅ 105 ⋅ ¬ª − 1 1º¼

Stäbe 5 und 6: S e(lok ) = 1.98⋅ 105 ⋅ ¬ª − 1 1º¼

3.2.3 Koordinatentransformation Zur Berechnung von Stabwerken mit Stäben, die beliebig im Raum orientiert sind, wird die auf lokale Koordinaten bezogene Elementsteifigkeitsmatrix in globale Koordinaten transformiert. Im Folgenden wird diese Transformation für das Fachwerkelement eines ebenen Fachwerks durchgeführt. Ein Knotenpunkt eines ebenen Fachwerks verschiebt sich infolge der Verformung des Systems in der x-y-Ebene. Diese Verschiebung kann entweder in globalen Koordinaten durch die beiden Verschiebungskomponenten u, v in der globalen x- bzw. y-Richtung oder in den lokalen (lok ) (lok ) , v ausgedrückt werden. Die Beziehung zwischen den VerschieKoordinaten durch u (lok ) (lok ) , v und den Verschiebungen u, v ergibt sich nach Bild 3-7 aus einfachen bungen u trigonometrischen Beziehungen zu:

ª u (lok ) º ª cos α sin α º ª u º « »= « »⋅« » «¬ v(lok ) »¼ ¬ − sin α cos α ¼ ¬ v ¼

(3.4)

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

95

u (lok ) = T u ⋅ u

(3.4a)

Mit dieser allgemeinen Vorschrift zur Koordinatentransformation lassen sich die Ver(e ) (lok ) (lok ) (e ) des Fachwerkstabs durch die Verschiebungen u1 , u 2 in der xschiebungen u1 , u 2 (e )

Richtung und v1 , v2

(e )

in der y-Richtung des globalen Koordinatensystems ausdrücken zu:

ª u (lok ) º ª cos α sin α 0 0 º « 1 »= « »⋅ «¬ u (lok ) »¼ ¬ 0 0 cos α sin α ¼ 2

ª u (e) º « 1 » « v (e) » « 1 » « u (e) » « 2 » «¬ v (e) »¼ 2

ue(lok) = T . ue

(3.5)

(3.5a)

Die Matrix T ist die Transformationsmatrix für die Verschiebungen des Fachwerkstabs. Die Kräfte lassen sich in ähnlicher Weise transformieren. Dazu zerlegt man die auf das lokale (lok ) (lok ) Koordinatensystem bezogenen Kräfte Fx und Fy in globale Koordinaten. Die auf das globale Koordinatensystem bezogenen Kräfte Fx und Fy erhält man nach Bild 3-8 zu ª Fx º ª cos α − sin α º « »= « » ¬ Fy ¼ ¬ sin α cos α ¼

ª F (lok ) º x » ⋅« « F (lok ) » ¬ y ¼

(3.6)

und, übertragen auf die Stabendkräfte, die an beiden Stabenden in Richtung der globalen Koordinaten positiv definiert sind, zu ª « « « « « « ¬

Fx1(e) º » ª cos α 0 º (e) » « » Fy1 0 » » = « sin α » « cos α » Fx 2(e) » « 0 » sin α ¼ » ¬ 0 Fy 2(e) ¼

Fe = TT . Fe(lok) .

ª F (lok ) º 1 » ⋅« «¬ F (lok ) »¼ 2

(3.7)

(3.7a)

Die Transformationsmatrix der Kräfte ist die Transponierte der Transformationsmatrix der Verschiebungen. Man kann zeigen, dass dies unter den in Abschnitt 3.1.3 genannten Voraussetzungen hinsichtlich der Vektoren ue und Fe immer der Fall ist. Mit Hilfe der Transformationsmatrizen der Verschiebungen und Kräfte lässt sich die Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs von lokalen in globale Koordinaten transformieren. Ersetzt man die Kräfte Fe(lok) in (3.7a) durch die Steifigkeitsbeziehung Fe(lok) = Ke(lok) . ue(lok)

96

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

nach (3.3a), so erhält man die Kräfte in globalen Koordinaten zu: Fe = TT . Ke(lok) . ue(lok) Ersetzt man nun noch die Verschiebungen ue(lok) mit Hilfe von.(3.5a) ue(lok) = T . ue durch die Verschiebungen ue in globalen Koordinaten, so erhält man die Steifigkeitsbeziehung in globalen Koordinaten zu: Fe = TT . Ke(lok) . T . ue

(3.8a)

Die Elementsteifigkeitsmatrix Ke des Fachwerkstabs in globalen Koordinaten erhält man somit durch Transformation der Steifigkeitsmatrix Ke(lok) in lokalen Koordinaten zu: Ke = TT . Ke(lok) . T

(3.8b)

(lo

k)

y

Koordinatensysteme

y

k) (lo

x

α

x

)

sα co

v

u

v

k)

in v ⋅s

v ( lok ) = − u ⋅ sin α + v ⋅ cos α

k) ( lo

k) ( lo

Fx

Fy

Fx

Fx( lok ) ⋅sin α

Koordinatentransformation der Kräfte

Fy

.

sα

u( lok ) = u ⋅ cos α + v ⋅ sin α

co

α

v

v⋅

u

α

Fx( lok ) ⋅cos α α k) ( lo

Fx

Fy(lok ) ⋅sin α

Fx = Fx(lok ) ⋅ cos α + Fy(lok ) ⋅ sin α Fy = Fx(lok ) ⋅ sin α

− Fy(lok ) ⋅ cos α

( lok

Fy Lokale Koordinaten

)

α

Fy(lok ) ⋅ cos α

(lo

u

.

α

α sin

k (lo

u⋅

u⋅

Koordiatentransformation der Verschiebungen

Globale Koordinaten

Bild 3-7 Koordinatentransformation von Knotenverschiebungen und -kräften

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

97

α

u1(lok) = u1(e) ⋅ cos α + v1(e) ⋅ sin α u(2lok) = u(2e) ⋅ cos α + v(2e) ⋅ sin α

α Fx(1e ) = F1(lok ) ⋅ cos α = F

(e) y1

( lok ) 1

F

⋅ sin α

Fx( e2 ) = F2(lok ) ⋅ cos α Fy( e2 ) = F2(lok ) ⋅ sin α

Bild 3-8 Koordinatentransformation beim Fachwerkstab

Damit lautet die Steifigkeitsbeziehung des Fachwerkstabs in globalen Koordinaten: (e) º ª (e) ª c2 s⋅ c − c 2 − s⋅ c º ª« u1 º» « Fx1 » « » (e) » « s2 − s⋅ c − s 2 » « v1(e) » « Fy1 » E⋅ A « s⋅ c »= »⋅« ⋅« l « − c 2 − s⋅ c c 2 s⋅ c » « u2(e) » « Fx 2(e) » » » « « » « s⋅ c s 2 »¼ «¬ v2(e) »¼ «¬ Fy 2(e) »¼ ¬« − s⋅ c − s 2

Ke

. ue

mit s = sinα

= Fe

(3.9)

(3.9a)

und c = cosα.

Ebenso lässt sich auch die Spannungsmatrix von lokalen auf globale Koordinaten transformieren. Setzt man (3.5a) ue(lok) = T . ue in (3.2a) N = Se(lok) . ue(lok) ein, erhält man:

98

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke N = Se . ue

(3.10)

mit Se = Se(lok) . T

Se =

E⋅ A [− cos α − sin α cos α sin α ] . l

(3.10a)

α

Bild 3-9 Fachwerkstab in globalen Koordinaten

Beispiel 3.3 Die Steifigkeitsmatrizen und -beziehungen sowie die Spannungsmatrizen der Stäbe des Fachwerks in Beispiel 3.1 sind im globalen Koordinatensystem anzugeben. Für die Stabendkräfte und die Knotenverschiebungen gelten die Bezeichnungen nach Bild 3-5. Sowohl die Stabendkräfte als auch die Knotenverschiebungen sind in Richtung der globalen Koordinaten positiv definiert. Die Stabendkräfte werden zusätzlich mit einem hochgestellten Index für die Elementnummer gekennzeichnet. Die Auflagerbedingungen werden bei den Verschiebungen zunächst noch nicht berücksichtigt. Stab 1 nach (3.9) mit α = 0°: ª « « « « « « ¬

Fx1(1) º ª 1 » (1) » « Fy1 » = 2.80 ⋅ 105 « 0 «− 1 » Fx 2(1) » « ¬ 0 Fy 2(1) »¼

oder nach (3.3):

0 − 1 0º » 0 0 0» 0 1 0» » 0 0 0¼

ª u1 º « » v1 ⋅« » « u2 » « » ¬ v2 ¼

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke ª F (1) º ª 1 − 1º ª u1 º « x1 » = 2.80 ⋅ 105 « »⋅« » «¬ F (1) »¼ ¬ − 1 1 ¼ ¬ u2 ¼ x2

Stab 2: ª F ( 2) º « y3 » = 2.80 ⋅ 105 ª 1 − 1º ⋅ ª v3 º « » « » « ( 2) » ¬ − 1 1 ¼ ¬ v2 ¼ ¬ Fy 2 ¼

Stab 3: ª F (3) º ª 1 − 1º ª u4 º « x 4 » = 2.80 ⋅ 105 « »⋅« » (3) ¬ − 1 1 ¼ ¬ u3 ¼ ¬« Fx3 ¼»

Stab 4:

ª F ( 4) º « y 4 » = 2.80 ⋅ 105 ª 1 − 1º ⋅ ª v4 º « » « » « ( 4) » ¬ − 1 1 ¼ ¬ v1 ¼ ¬ Fy1 ¼ Stab 5 mit α = 45°: ª « « « « « « ¬

Fx 4(5) º » ª 0.5 0.5 − 0.5 − 0.5 º ª u4 º ( 5) » « » « » Fy 4 0.5 − 0.5 − 0.5 » « v4 » » = 1.98 ⋅ 105 « 0.5 ⋅ » « − 0.5 − 0.5 0.5 0.5 » « u2 » Fx 2(5) » « » « » 0.5 ¼ ¬ v2 ¼ ¬ − 0.5 − 0.5 0.5 ( 5) » Fy 2 ¼

Stab 6 mit α = 135°: ª « « « « « « ¬

Fx3(6) º » ª 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 º ª u3 º « » « » Fy 3(6) » 0.5 − 0.5 » « v3 » » = 1.98 ⋅ 105 « − 0.5 0.5 ⋅ » « − 0.5 0.5 0.5 − 0.5 » « u1 » Fx1( 6) » « » « » ¬ 0.5 − 0.5 − 0.5 0.5 ¼ ¬ v1 ¼ » Fy1(6) ¼

Die Spannungsmatrizen lauten in globalen Koordinaten: Stäbe 1 und 3: S e = 2.80⋅ 105 ª¬ − 1 1º¼

99

100

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Stäbe 2 und 4: S e = 2.80⋅ 105 ¬ª − 1 1º¼

Stab 5 mit α = 45°: S e = 1.98⋅ 105 ª¬ − 0.71 − 0.71 0.71 0.71º¼

Stab 6 mit α = 135°: S e = 1.98⋅ 105 ª¬ 0.71 − 0.71 − 0.71 0.71º¼

Die Spannungsmatrizen sind auf dieselben Verschiebungsvektoren wie die entsprechenden Elementsteifigkeitsmatrizen bezogen.

3.2.4 Systemsteifigkeitsmatrix Aus den Steifigkeitsmatrizen aller Elemente kann leicht die Systemsteifigkeitsmatrix, die auf alle Freiheitsgrade des statischen Systems bezogen ist, gebildet werden. Die Vorgehensweise zum Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix ergibt sich aus den Verträglichkeitsbedingungen an den Knotenpunkten. In Bild 3-10 ist ein Knotenpunkt mit mehreren damit verbundenen Elementen dargestellt. Die statischen Bedingungen für die Verbindung der Elemente mit dem Knotenpunkt sind − die Kompatibilität der Verschiebungsgrößen der Elemente mit denjenigen des Knotenpunkts und − die Gleichgewichtsbedingungen am Knotenpunkt.

b

b

Die Kompatibilitätsbedingungen der Verschiebungen sind leicht zu erfüllen. Hierzu müssen lediglich anstelle der lokalen Verschiebungen der Endpunkte der Elemente die globalen Knotenverschiebungen eingeführt werden. Die Verschiebungen u2(a) , u1(b) und u1(c) der Elemente a, b und c in Bild 3-10 sind beispielsweise identisch mit der globalen Verschiebung ui des Knotenpunkts i und können somit durch ui ersetzt werden.

c

c

Bild 3-10 Verschiebungs- und Kraftgrößen am Knotenpunkt i mit den Fachwerkelementen a, b, c

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

101

In Beispiel 3.3 ist dies bei den Elementsteifigkeitsmatrizen bereits geschehen. Die Zuordnung von lokalen und globalen Freiheitsgraden lässt sich mit einer Tabelle, der sogenannten Koinzidenztabelle, systematisieren. Sie gibt an, welchem Knotenpunkt des Systems der jeweilige Elementpunkt entspricht. Zur Erfüllung des Gleichgewichts am Knotenpunkt ist die Gleichgewichtsbedingung der Stabendkräfte und der Knotenlasten anzuschreiben. Für den Knotenpunkt i in Bild 3-10 lautet sie: Fx2(a) + Fx1(b) + Fx1(c) = Fxi Fy1(b) + Fy1(c) = Fyi In diesen Gleichungen werden nun die Stabendkräfte Fx2(a), Fx1(b), Fy1(b), Fx1(c) und Fy1(c) mit Hilfe der Steifigkeitsmatrizen der Elemente a, b und c durch die globalen Knotenverschiebungen ausgedrückt. Es sei beispielsweise das Element a mit dem Knoten h (Stabanfang) und dem Knoten i (Stabende) verbunden. Die Stabendkraft Fx2(a) drückt man dann mit Hilfe der Steifigkeitsmatrix (z. B. (3.3b)) durch die Verschiebungen uh und ui aus: ª F (a) º ª k « x1 » = « 11 «¬ F ( a ) »¼ ¬ k21 x2

k12 º » k22 ¼

ª uh º ⋅« » ¬ ui ¼

oder Fx1(a) = k11 · uh + k12 ·ui Fx2(a) = k21 · uh + k22 ·ui Führt man diese Gleichung für Fx2(a) in die Gleichgewichtsbedingung für die x-Komponente der Kräfte am Knoten i ein, erhält man: k21 · uh + k22 · ui + Anteile der Elemente b und c = Fxi oder k21 · uh + (k22+ Anteile von b und c zum Freiheitsgrad ui) · ui + Anteile von b und c zu weiteren Freiheitsgraden = Fxi Der Anteil des Elements a am Kräftegleichgewicht im Knotenpunkt i in x-Richtung wird also dadurch berücksichtigt, dass die Terme der Elementsteifigkeitsmatrix in den entsprechenden Freiheitsgraden addiert werden. Stellt man die Gleichungen für die Kraftkomponenten in allen Freiheitsgraden des Systems auf, so erhält man die Steifigkeitsbeziehung für das gesamte System mit der Systemsteifigkeitsmatrix als Koeffizientenmatrix. Die Systemsteifigkeitsmatrix wird durch Addition der Terme der Elementsteifigkeitsmatrizen in den entsprechenden globalen Freiheitsgraden gebildet. Alternativ lässt sich der Vorgang der Addition der Elementsteifigkeitsmatrizen zur Systemsteifigkeitsmatrix auch mit Hilfe von sogenannten Zuordnungsmatrizen beschreiben. Eine Zuordnungsmatrix beschreibt für ein Element die Zuordnung der Elementfreiheitsgrade zu den globalen Freiheitsgraden. Man erhält sie anhand der Koinzidenztabelle für die Knotenpunkte. Mit ihr lässt sich, wie in Beispiel 3.4 erläutert, die Elementsteifigkeitsmatrix eines Elements auf die Systemfreiheitsgrade transformieren. Anschliessend addiert man die so transformierten Elementsteifigkeitsmatrizen zur Systemsteifigkeitsmatrix.

102

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Die Steifigkeitsbeziehung lautet dann allgemein: Kf . uf = Ff

(3.11)

wobei gilt: Kf : Systemsteifigkeitsmatrix (ohne Auflagerbedingungen) uf : Vektor der Knotenverschiebungen Ff : Vektor der Knotenpunktslasten Die Auflagerbedingungen wurden in den obigen Gleichungen noch nicht berücksichtigt. Das System ist also in der Ebene frei verschieblich, worauf der Index f hinweist. Die Matrix Kf ist daher ebenso wie bereits die Elementsteifigkeitsmatrix (3.2b bzw. 3.8) singulär. Beispiel 3.4 Für das in Bild 3-5 dargestellte Fachwerk soll die Systemsteifigkeitsmatrix (ohne Berücksichtigung der Auflagerbedingungen) aufgestellt werden. Für den Knotenpunkt 1 sind die Gleichungen, die zur Systemsteifigkeitsmatrix führen, ausführlich darzustellen. Zunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen der Stabendkräfte und der äußeren Knotenkräfte am Knotenpunkt 1 in x- und y Richtung angeschrieben: Fx1(1) + Fx1(6) = Fx1 Fy1(4) + Fy1(6) = Fy1 Die Stabendkräfte wirken dabei als Reaktionskräfte in der negativen globalen x- bzw. yRichtung auf den Knotenpunkt, die äußeren Kräfte sind immer in den globalen Koordinatenrichtungen positiv definiert. Die Stabendkräfte in den obigen Gleichungen werden nun mit Hilfe der Elementsteifigkeitsmatrizen durch die Knotenverschiebungen ausgedrückt. Die Auflagerbedingungen werden hierbei vorläufig noch nicht berücksichtigt. Beispielsweise erhält man die Stabendkraft des Stabs 1 aus der ersten Zeile der Elementsteifigkeitsmatrix

Bild 3-11 Gleichgewicht am Knoten 1

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

103

ª F (1) º ª 1 − 1º ª u1 º « x1 » = 2.80 ⋅ 105 « »⋅« » «¬ F (1) »¼ ¬ − 1 1 ¼ ¬ u2 ¼ x2

zu: ª u1 º Fx1(1) = 2.80 ⋅ 105 [1 − 1] ⋅ « » . ¬ u2 ¼

Entsprechend erhält man die Stabendkräfte des Stabs 6 am Knotenpunkt 1 (mit dem Vorfaktor 5 5 2.8 . 10 anstelle von 1.98 . 10 ) zu ª « « ¬

Fx1(6) º 0.35 − 0.35 º » = 2.8 ⋅ 105 ª« − 0.35 0.35 » ( 6) » − − 0.35 0.35 0.35 0.35 ¼ ¬ Fy1 ¼

ª u3 º « » v3 ⋅« » « u1 » « » ¬ v1 ¼

und die Stabendkraft des Elements 4:

ª v4 º Fy1( 4) = 2.80 ⋅ 105 [1 − 1] ⋅ « » ¬ v1 ¼ Führt man diese Beziehungen in die obigen Gleichgewichtsbedingungen am Knotenpunkt 1 ein, erhält man: ª u1 º « » « v1 » « u2 » « » − 0.35 − 1. 0 − 0.35 0.35 0 0 º « v2 » ª Fx1 º 5 ª 1.+ 0.35 2.8⋅ 10 ⋅ « = « » »⋅ ¬ − 0.35 1.+ 0.35 0 0 0.35 − 0.35 0 − 1.¼ « u3 » ¬ Fy1 ¼ « » « v3 » «u » « 4» ¬« v4 ¼» Dies sind bereits die erste und zweite Zeile der globalen Steifigkeitsmatrix. Die Ausdrücke mit den Beiwerten +/-0.35 ergeben sich aus der Elementsteifigkeitsmatrix des Stabs 6, die Ausdrücke mit +/-1 aus den Elementsteifigkeitsmatrizen der Elemente 1 und 4. Um die vollständige Systemsteifigkeitsmatrix zu erhalten, muss die obige Gleichung nun noch für das Gesamtsystem um die Gleichgewichtsbedingungen an den Knoten 2 bis 4 ergänzt werden. Die Systemsteifigkeitsmatrix wird demnach durch Summation der Terme der Elementsteifigkeitsmatrizen in den entsprechenden Freiheitsgraden gebildet. Im Folgenden wird der Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix durch Addition der Terme der Elementsteifigkeitsmatrizen dargestellt. Die Elementsteifigkeitsmatrizen wurden bereits in Beispiel 3.3 ermittelt. Sie werden nacheinander auf die Systemsteifigkeitsmatrix, die alle Freiheitsgrade des Systems enthält, addiert, bis alle Elemente erfasst sind.

104

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Berücksichtigung der Steifigkeit des Elements 1: ª 1.0 « « 0 « − 1.0 « 5 « 0 2.8⋅ 10 ⋅ « 0 « « 0 « 0 « ¬« 0

0 − 1.0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0º » 0» 0» » 0» 0» » 0» 0 »» 0 »¼

ª u1 º ª Fx1 º « » « Fy1 » » « v1 » « « u2 » « Fx 2 » » « » « F « » v y 2 « 2» » ⋅« » = « u3 Fx3 » « « » « v3 » « Fy 3 » » «u » « « F 4 x4 » « » « » ¬« v4 ¼» ¬ Fy 4 ¼

Zusätzliche Berücksichtigung des Elements 2: ª 1.0 « « 0 « − 1.0 « 5 « 0 2.8⋅ 10 ⋅ « 0 « « 0 « 0 « ¬« 0

0 − 1.0 0 0 0 0 0 1.0 0 1.0 0 0 0 0 0 − 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 − 1.0 0 0 0 1.0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0º » 0» 0» » 0» 0» » 0» 0 »» 0 »¼

ª u1 º ª Fx1 º « » « Fy1 » » « v1 » « « u2 » « Fx 2 » » « » « F « » v y 2 « 2» » ⋅« » = « u3 Fx3 » « « » « v3 » « Fy 3 » » «u » « « F 4 x4 » « » « » ¬« v4 ¼» ¬ Fy 4 ¼

Zusätzliche Berücksichtigung des Elements 3: ª 1.0 « « 0 « − 1.0 « 5 « 0 2.8⋅ 10 ⋅ « 0 « « 0 « 0 « ¬« 0

0 − 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.0 0 0 0 0 0

0º » 0» 0 0 0 0 0» » 1.0 0 0 0» − 1.0 0 0 1.0 − 1.0 0 » » 0 1.0 0 0» − 1.0 0 0 1.0 0 »» − 1.0 0 0 0 0 0 »¼ 0 0

0 0

0 0

0 0

ª u1 º ª Fx1 º « » « Fy1 » » « v1 » « « u2 » « Fx 2 » » « » « F « » v y 2 « 2» » ⋅« » = « u F « 3 » « x3 » « v3 » « Fy 3 » » «u » « « F 4 x4 » « » « » ¬« v4 ¼» ¬ Fy 4 ¼

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

105

Zusätzliche Berücksichtigung des Elements 4: ª 1.0 0 0 0 0 0 0 º ª u1 º ª Fx1 º − 1.0 « » « » « Fy1 » » 0 0 0 0 0 0 − 1.0 1.0 « » « v1 » « « » « − 1.0 0 1.0 0 0 0 0 0 » « u2 » « Fx 2 » « » « » 0 0 1.0 0 0 0 » « v2 » « Fy 2 » − 1.0 « 0 » 2.8⋅ 105 ⋅ « ⋅ = « 0 0 0 0 1.0 0 0 » « u3 » « Fx3 » − 1.0 « » « » 0 0 0 1.0 0 0 » « v3 » « Fy 3 » − 1.0 « 0 » « 0 » «u » « 0 0 0 1.0 0 1.0 0 − « F 4 x4 » « » « » 0 0 0 0 0 − 1.0 1.0 »¼ «¬ v4 »¼ «¬ Fy 4 »¼ ¬« 0

Zusätzliche Berücksichtigung des Elements 5: ª 1.0 − 1.0 0 0 0 0 0 0 º ª u1 º ª Fx1 º « » « » « Fy1 » » − 0 1.0 0 0 0 0 0 1.0 « » « v1 » « « » « − 1.0 1.35 0.35 − 0.35 − 0.35 » « u2 » « Fx 2 » 0 0 0 « » « » 0.35 1.35 − 1.0 − 0.35 − 0.35 » « v2 » « Fy 2 » 0 0 « 0 = « » ⋅ 2.8⋅ 105 ⋅ « − 1.0 0 0 0 0 1.0 0 0 » « u3 » « Fx3 » « » « » − 1.0 0 0 0 1.0 0 0 » « v3 » « Fy 3 » « 0 » « 0 » «u » « − 0.35 − 0.35 − 1.35 0.35 0 1.0 0 « F 4 x4 » « » « » «¬ 0 − 1.0 − 0.35 − 0.35 0.35 1.35 »¼ «¬ v4 »¼ «¬ Fy 4 »¼ 0 0 Zusätzliche Berücksichtigung des Elements 6: ª 1.35 − 0.35 − 1.0 − 0.35 0.35 0 0 0 º ª u1 º ª Fx1 º « » « » « Fy1 » » 0.35 1.35 0.35 0.35 − − − 0 0 0 1.0 « » « v1 » « « » « − 1.0 − 0.35 − 0.35 » « u2 » « Fx 2 » 0 1.35 0.35 0 0 « » « » − 1.0 − 0.35 − 0.35 » « v2 » « Fy 2 » 0 0.35 1.35 0 « 0 » ⋅ = « 2.8⋅ 105 ⋅ « 1.35 − 0.35 − 1.0 − 0.35 0.35 0 0 0 » « u3 » « Fx3 » « » « » − 1.0 − 0.35 1.35 0 0 0 » « v3 » « Fy 3 » « 0.35 − 0.35 « » « 0 − 0.35 − 0.35 − 1.0 0 0 1.35 0.35 »» «« u4 »» « Fx 4 » « − 1.0 − 0.35 − 0.35 0 0 0.35 1.35 »¼ «¬ v4 »¼ «¬ Fy 4 »¼ ¬« 0

Dies ist die vollständige Systemsteifigkeitsmatrix ohne Berücksichtigung der Auflagerbedingungen. Sie wird durch Summation der Terme der Elementsteifigkeitsmatrizen in den entsprechenden Freiheitsgraden gebildet. Dabei werden immer diejenigen Stellen der Systemsteifigkeitsmatrix mit Termen aus den Elementsteifigkeitsmatrizen belegt, die Freiheitsgraden ent-

106

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

sprechen, welche durch ein Element miteinander verbunden sind. Falls Freiheitsgrade nicht durch ein Element verbunden sind, sind die entsprechenden Terme in der globalen Steifigkeitsmatrix Null. Beispielsweise sind die Freiheitsgrade u1 und u4 nicht durch ein Element, das in diesen Freiheitsgraden eine Steifigkeit besitzt, verbunden. (Der Fachwerkstab 4 besitzt lediglich in seiner Längsrichtung eine Steifigkeit.) Daher sind in der ersten Zeile der Steifigkeitsmatrix der siebte Term und in der siebten Zeile der Steifigkeitsmatrix der erste Term gleich Null.

Beispiel 3.5 Für das Fachwerk in Beispiel 3.1 ist die Koinzidenztabelle der Knotenpunkte aufzustellen. Für einen Stab ist die Transformation der Elementsteifigkeitsmatrix auf die Systemfreiheitsgrade mit Hilfe der Zuordnungsmatrizen durchzuführen. In der Knoten-Koinzidenztabelle wird die Zuordnung der Stabknoten zu den globalen Knotennummern angegeben. Für das Beispiel 3.1 ist sie in Tabelle 3-1 angeben. Tabelle 3-1 Koinzidenztabelle des Fachwerks in Bild 3-5 Elementnummer

Anfangspunkt (1)

Endpunkt (2)

1 2 3 4 5 6

1 3 4 4 4 3

2 2 3 1 2 1

Die Zuordnung der globalen Freiheitsgrade zu den Elementfreiheitsgraden kann mit Hilfe der Koinzidenztabelle der Knoten ermittelt werden. Beispielsweise entsprechen beim Stab 5 die Verschiebungen u1(5), v1(5) des Anfangspunktes den globalen Verschiebungen u4 und v4 des Knotenpunktes 4 und die Verschiebungen des Endpunktes den globalen Verschiebungen u2 und v2 des Punktes 2 (vgl Bild 3-5 und Bild 3-8). Dieser Zusammenhang lässt sich durch folgende Zuordnungsmatrix, die mit Nullen und Einsen besetzt ist, beschreiben:

ª u (5) º « 1 » ª0 « v (5) » « 0 « 1 »= « « u (5) » « 0 « 2 » « «¬ v (5) »¼ ¬ 0 2 u5 = Z 5 ⋅ u f

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

ª u1 º « » « v1 » 0 º « u2 » »« » 1 » « v2 » ⋅ 0 » « u3 » »« » 0 ¼ « v3 » «u » « 4» ¬« v4 ¼»

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

107

Entsprechend erhält man für die Kräfte (5)

F f = Z T5 ⋅ F 5 . Die Steifigkeitsbeziehung (3.9) des Elements 5

F 5 = K 5 ⋅ u5 lässt sich damit durch Einsetzen der beiden oben angegebenen Gleichungen transformieren zu F 5f = Z T5 ⋅ F 5 = Z T5 ⋅ K 5 ⋅ u 5 .

und damit F 5f = Z T5 ⋅ K 5 ⋅ Z 5 ⋅ u f .

Mit der Steifigkeitsmatrix K 5 nach Beispiel 3.3 ergibt sich nach der Matrizenmultiplikation für das Element 5: ª « « « « « « « « « « « « « « «¬

(5) Fx1 º » (5) ª0 Fy1 » » « (5) » «0 Fx 2 » «0 (5) » « Fy 2 » 5 «0 = 2.8⋅ 10 ⋅ « (5) » 0 Fx3 » « » «0 (5) Fy 3 » «0 » « (5) Fx 4 » ¬« 0 » (5) Fy 4 »¼

0 0 º ª u1 º »« » 0 0 0 » « v1 » 0 − 0.35 − 0.35 » « u2 » »« » 0 − 0.35 − 0.35 » « v2 » . ⋅ 0 0 0 » « u3 » »« » 0 0 0 0 0 0 0 » « v3 » 0 − 0.35 − 0.35 0 0 0.35 0.35 »» «« u4 »» 0 − 0.35 − 0.35 0 0 0.35 0.35 ¼» ¬« v4 ¼» 0

0

0

0 0 0 0

0 0.35 0.35 0

0 0.35 0.35 0

0 0 0 0 0 0

Für die übrigen Elemente ergeben sich die auf die Systemfreiheitsgrade transformierten Steifigkeitsmatrizen auf die gleiche Weise. Deren Summe für alle Elemente ist die Systemsteifigkeitsmatrix K f .

3.2.5 Auflagerbedingungen Der Vektor uf der Knotenverschiebungen enthält noch alle Freiheitsgrade des Systems. Nicht alle Knotenverschiebungen im Gleichungssystem (3.11) stellen jedoch Unbekannte dar. Vielmehr besitzen bestimmte Freiheitsgrade einen bekannten Wert. Es sind dies die an den Auflagern des Systems festgehaltenen Freiheitsgrade. Ihr Wert ist 0 bei einer einfachen Festhaltung oder auch ≠ 0 im Lastfall Auflagersenkung. Zunächst wird der Fall einer einfachen Festhaltung weiter betrachtet.

108

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Die Matrizenmultiplikation in (3.11) bedeutet für die festgehaltenen Freiheitsgrade, dass die entsprechenden Spalten der Matrix Kf mit 0 multipliziert werden. Diese Spalten können daher auch in (3.11) weggelassen werden. Die Zeilen in Gleichung (3.11), die den festgehaltenen Freiheitsgraden entsprechen, können nicht zur Lösung des Gleichungssystems herangezogen werden, da sie auf der rechten Seite die Auflagerkräfte als noch unbekannte Knotenkräfte enthalten. Man teilt daher das nach der Streichung der Spalten entstandene Gleichungssystem in ein Gleichungssystem, das das Gleichgewicht der Kräfte in den verschieblichen Freiheitsgraden ausdrückt, und in ein zweites Gleichungssystem, das das Gleichgewicht an den festgehaltenen Freiheitsgraden beschreibt. Das erste Gleichungssystem ist quadratisch, da ebensoviele Zeilen des ursprünglichen Gleichungssystems wie Spalten weggelassen werden. Es handelt sich um das bereits angeschriebene Gleichungssystem (3.1):

K.u=F Aus diesem Gleichungssystem werden die Knotenverschiebungen ermittelt. Mit Hilfe des zweiten Gleichungssystems können nach der Berechnung der Knotenverschiebungen die Auflagerkräfte bestimmt werden. Eingeprägte Verschiebungen lassen sich auf ähnliche Weise behandeln. Man multipliziert die entsprechende Spalte der Steifigkeitsmatrix mit dem Verschiebungswert und subtrahiert sie von beiden Seiten des Gleichungssystems. Die zugehörige Spalte wird aus den Systemgleichungen gestrichen. Aus ihr kann die Auflagerreaktion am Knotenpunkt mit der erzwungenen Verschiebungen ermittelt werden (vgl. Beispiel 3.10).

Beispiel 3.6 Für das Fachwerk nach Bild 3-5 sind die Auflagerbedingungen in der bereits in Beispiel 3.4 ermittelten Systemsteifigkeitsmatrix zu berücksichtigen. Weiterhin sind die Gleichungen zur Bestimmung der Auflagerkräfte aus den globalen Verschiebungsgrößen aufzustellen. Die Auflagerbedingungen des Fachwerks in Bild 3-5 lauten:

v3 = 0 u4 = 0 v4 = 0 Führt man diese Beziehungen in das Gleichungssystem nach (3.11) in Beispiel 3.4 ein und ordnet man die Gleichungen nach den freien und den festgehaltenen Freiheitsgraden, dann erhält man die beiden folgenden Gleichungssysteme:

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

109

1. Gleichungen zur Ermittlung der Knotenverschiebungen: ª 1.35 − 0.35 − 1. 0 − 0.35 º « » − 0.35 1.35 0 0 0.35 » « 0 1.35 0.35 0 » 2.80 ⋅ 105 « − 1. « » 0 0.35 1.35 0 » « 0 «¬ − 0.35 0.35 0 0 1.35 »¼

ª u1 º ª Fx1 º « » « F » « v1 » « y1 » ⋅ « u2 » = « Fx 2 » » « » « « v2 » « Fy 2 » » «¬ u »¼ « ¬ Fx3 ¼ 3

2. Gleichungen zur Ermittlung der Auflagerkräfte aus den Knotenverschiebungen:

ª 0.35 − 0.35 0 − 1. − 0.35 º « » 2.80 ⋅ 10 ⋅ « 0 0 − 0.35 − 0.35 − 1. » ⋅ «¬ 0 0 »¼ − 1. − 0.35 − 0.35 5

ª u1 º « » ªF º « v1 » « y 3 » « u2 » = « Fx 4 » « » « » « v2 » ¬ Fy 4 ¼ ¬« u ¼» 3

Beispiel 3.7 Die Steifigkeitsmatrix ist mit Hilfe von Einheitsverschiebungen in den einzelnen Freiheitsgraden anschaulich zu deuten. Die Vorgehensweise wird anhand der Horizontalverschiebung des Knotenpunkts 2 erläutert. Bringt man am Knoten 2 beispielsweise eine horizontale Einheitsverschiebung an und hält alle übrigen Freiheitsgrade des Fachwerks fest, d. h. wählt man u2 = 1 u1 = v1 = v2 = u3 = 0, so erhält man durch Einsetzen der Verschiebungen in die beiden Gleichungsysteme oben die Festhaltekräfte in den Knotenpunkten zu:

ª « « « « « « ¬

Fx1 º ª − 1. º » « » Fy1 » « 0 » Fx 2 » = 2.80 ⋅ 105 ⋅ « 1.35 » » « » Fy 2 » « 0.35» » ¬« 0 ¼» Fx3 ¼

ª Fy 3 º ª 0 º « » » 5 « « Fx 4 » = 2.80 ⋅ 10 ⋅ « − 0.35 » «F » «¬ − 0.35 »¼ ¬ y4 ¼

110

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Die Vektoren auf der rechten Seite entsprechen der dritten Spalte der Systemsteifigkeitsmatrix. Die übrigen Spalten der Steifigkeitsmatrix lassen sich analog durch Einheitsverschiebungen der entsprechenden Freiheitsgrade (bei Festhaltung aller übrigen Freiheitsgrade) ermitteln. Die Spalten der Steifigkeitsmatrix stellen also die Festhaltekräfte infolge von Einheitsverschiebungen in den betreffenden Freiheitsgraden dar.

3.2.6 Lösung des Gleichungssystems Das Gleichungssystem (3.1) mit den Knotenverschiebungen als Unbekannten ist bei stabilen, d. h. nicht kinematischen statischen Systemen regulär, sodass zu jedem Lastvektor F eine eindeutige Lösung existiert. Nur bei kinematischen Systemen ist die Systemsteifigkeitsmatrix singulär. In diesem Fall muss das statische System überprüft und korrigiert werden. Das Gleichungssystem kann nach verschiedenen Verfahren, die in Abschnitt 1.3.3 erläutert werden, numerisch gelöst werden (vgl. auch Abschnitt 7.3). Beispiel 3.8 Für das in Bild 3-5 dargestellte Fachwerk und die dort angegebenen Knotenlasten sind die Knotenverschiebungen zu ermitteln. Die Systemsteifigkeitsmatrix wurde bereits in Beispiel 3.6 aufgestellt. Die Belastung besteht aus den beiden Lasten Fx = 10.0 Fy = -10.0 am Knotenpunkt 2. Damit lautet der Lastvektor: ª « « « « « « ¬

Fx1 º ª 0 º » Fy1 » « 0 » « » Fx 2 » = « 10. » » « » Fy 2 » « − 10.» » Fx3 ¼ «¬ 0 »¼

Die Lösung des Gleichungssystems wurde in den Beispielen 1.4, 1.5, 1.7 und 1.9 (ohne den 5 Vorfaktor 2.80.10 und mit einer Genauigkeit der Steifigkeitsmatrix von zwei Stellen) nach unterschiedlichen Verfahren ermittelt. Man erhält die Knotenverschiebungen zu: ª u1 º ª 0.86 º « » « » « v1 » « 0.18 » « u2 » = « 1.04 » ⋅ 10− 4 « » « » « v2 » « − 0.54 » «¬ u »¼ «¬ 0.18 »¼ 3

Die Dimension der Verschiebungen ist [m].

3.2 Einführungsbeispiel: Ebene Fachwerke

111

3.2.7 Auflagerkräfte und Elementspannungen Die Auflagerkräfte ermittelt man durch Einsetzen der errechneten Knotenverschiebungen in das Gleichungssystem, das man aus der Systemsteifigkeitsmatrix des frei verschieblichen Systems erhält, wenn man die Gleichungen abspaltet, die den festgehaltenen Freiheitsgraden entsprechen (vgl. Abschnitt 3.2.5). Zur Ermittlung der Elementkräfte bzw. -spannungen multipliziert man die Spannungsmatrizen der Elemente mit den entsprechenden Knotenverschiebungen. Beispiel 3.9 Mit Hilfe der in Beispiel 3.8 ermittelten Knotenverschiebungen sind die Auflagerkräfte und die Normalkräfte der Fachwerkstäbe (Bild 3-5) zu berechnen. Die Auflagerkräfte erhält man mit dem in Beispiel 3.6 angegebenen Gleichungssystem zu:

ª 0.35 − 0.35 − 1. − 0.35 º 0 » 5 « − 1.» 2.80⋅ 10 ⋅ « 0 0 − 0.35 − 0.35 «¬ − 1. − 0.35 − 0.35 0 0 »¼

ª 0.86 º « » « 0.18 » ⋅ « 1.04 » ⋅ 10− 4 = « » « − 0.54 » «¬ 0.18 »¼

ª Fy 3 º ª 20.0 º « » « » « − 10.0 » = « Fx 4 » «F » «¬ − 10.0 »¼ ¬ y4 ¼

Die hiermit ermittelten Auflagerkräfte stehen mit den Lasten im Gleichgewicht, d. h. die Gleichgewichtskontrollen n

n

¦ Fxi = 0

¦ Fyi = 0

i=1

sind erfüllt.

i=1

Die Elementkräfte erhält man mit den in Beispiel 3.3 ermittelten Spannungsmatrizen zu: Stab 1: ª 0.86 º −4 N1 = 2.80 ⋅ 105 ⋅ [− 1. 1.] ⋅ « = 5.0 » ⋅ 10 ¬ 1.04 ¼ Stab 2: ª 0.00 º −4 = − 15.0 N 2 = 2.80 ⋅ 105 ⋅ [− 1. 1.] ⋅ « » ⋅ 10 ¬ − 0.54 ¼

Stab 3: ª 0.00 º −4 N3 = 2.80 ⋅ 105 ⋅ [− 1. 1.] ⋅ « = 5.0 » ⋅ 10 ¬ 0.18 ¼ Stab 4: ª 0.00 º −4 N 4 = 2.80 ⋅ 105 ⋅ [− 1. 1.] ⋅ « » ⋅ 10 = 5.0 ¬ 0.18 ¼

112

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Stab 5:

ª 0.00 º « » 0.00 » N5 = 1.98 ⋅ 105 ⋅ [− 0.71 − 0.71 0.71 0.71] ⋅ « ⋅ 10− 4 = 7.0 « 1.04 » « » ¬ − 0.54 ¼ Stab 6: ª 0.18 º « » 0.00 » ⋅ 10− 4 = − 7.0 N 6 = 1.98 ⋅ 105 ⋅ [0.71 − 0.71 − 0.71 0.71] ⋅ « « 0.86 » « » ¬ 0.18 ¼

Die Stabkräfte N1 bis N6 haben die Dimension [kN]. Die vollständigen Ergebnisse des Berechnungsbeispiels sind in den nachfolgenden Tabellen zusammengestellt: Knotenpunkt

Verschiebungen X [mm]

1 2 3 4

0.086 0.104 0.018 -

Y [mm] 0.018 -0.054 -

Auflagerkräfte X [kN]

Y [kN]

-

20. -10. 10.

Stab

Normalkraft [kN]

1 2 3 4 5 6

5. -15. 5. 5. 7. -7.

Beispiel 3.10 Für das Fachwerk nach Bild 3-5 sind die Verschiebungen infolge einer eingeprägten Verschiebung u1 = 1.0 ⋅ 10 −3 m des Punktes 1 in x-Richtung zu ermitteln. Das Gleichungssystem wurde bereits in Beispiel 3.6 ermittelt. Ohne weiteren äußeren Kräfte lautet es ª 1.35 − 0.35 − 1. 0 − 0.35 º « » − 0.35 1.35 0 0 0.35 » « 0 1.35 0.35 0 » 2.80 ⋅ 105 « − 1. « » 0 0.35 1.35 0 » « 0 0 0 1.35 ¼» ¬« − 0.35 0.35 oder

ª u1 º ª Fx1 º « » « » « v1 » « 0 » ⋅ « u2 » = « 0 » « » « » « v2 » « 0 » ¬« u3 ¼» ¬« 0 ¼»

3.3 Federn

113

§ª 1.35 º · ª − 0.35 − 1 ª Fx1 º 0 − 0.35 º ¨« » « » ª v1 º¸ « » 0 0 0.35 » « »¸ ¨« − 0.35 » « 1.35 « 0 » u 2 1.35 0.35 0 »⋅« »¸ = « 0 » . 2.80 ⋅ 105 ⋅¨« − 1.00 »⋅ u1 + « 0 ¨« » « » « v2 »¸ « » 0.35 1.35 0 » « »¸ ¨« 0 » « 0 « 0 » u ¬ 3 ¼¸ ¨« 0 0 1.35 »¼ ¬« − 0.35 ¬« 0 »¼ ©¬ − 0.35 ¼» ¹

Nach dem Umordnen des Gleichungssystems und dem Weglassen der ersten Zeile erhält man ª 1.35 ª 0.35 º 0 0 0.35º ª v1 º « »« » « » u 0 1.35 0.35 0 »⋅« 2 » = 2.80⋅ 105 ⋅« 1.00 » ⋅ u 2.80 ⋅ 105 ⋅« « 0 « 0 » 1 0.35 1.35 0 » « v2 » « »« » « » 0 0 1.35 ¼ ¬ u3 ¼ ¬ − 0.35 ¬ 0.35¼

und mit u1 = 1.0 ⋅ 10 −3 m ª 1.35 ª 0.35 º 0 0 0.35º ª v1 º « »« » « » u 0 1.35 0.35 0 »⋅« 2 » = 2.80⋅ 102 ⋅« 1.00 » . 2.80 ⋅ 105 ⋅« « 0 « 0 » 0.35 1.35 0 » « v2 » « »« » « » 0 0 1.35 ¼ ¬ u3 ¼ ¬ − 0.35 ¬ 0.35 ¼

Die Lösung des Gleichungssystems lautet ª v1 º ª 2.07 º « » « » « u2 » = « 7.93 »⋅ 10− 4 m . « v2 » « -2.07 » « » « » ¬ u3 ¼ ¬ 2.07 ¼

Die Festhaltekraft des Knotens 1 in x-Richtung erhält man aus der ersten Zeile des ursprünglichen Gleichungssystems zu § ª v1 º· ¨ « »¸ u2 ¸ ¨ Fx1 = 2.80 ⋅ 105 ⋅¨ 1.35⋅ u1 + [− 0.35 − 1 0 − 0.35]⋅« »¸ = 116 kN « v2 » ¨¨ « »¸¸ ¬ u3 ¼¹ ©

Die Normalkräfte in den Elementen können mit Hilfe der Schnittgrößenmatrizen und der Knotenverschiebungen ermittelt werden.

114

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

3.3 Federn In Finite-Element-Modellen von Tragwerken werden Federn zur Abbildung punktförmiger elastischer Lagerungen sowie von elastischen Einspannungen verwendet. Elastische Federn beschreiben einen linearen Zusammenhang zwischen Kraft- und Verschiebungsgrößen. Für jeden Freiheitsgrad erhält man eine Federkonstante als Proportionalitätskonstante. Bei ebenen Systemen in der x-y-Ebene sind an einem Knotenpunkt im allgemeinen drei Verschiebungsgrößen möglich, nämlich die Verschiebungen in x- und y-Richtung sowie die Verdrehung um die z-Achse. Die Beziehungen zwischen den Kraft- und Verschiebungsgrößen des elastisch gelagerten Knotenpunkts i lautet (Bild 3-12):

Fx(e) = kx . ui

(3.12a)

Fy(e) = ky . vi

(3.12b)

Mz(e) = kzz. ϕzi

(3.12c)

mit den Federkonstanten:

kx

für die Verschiebung in x-Richtung (Dimension z. B. [kN/m]),

ky

für die Verschiebung in y-Richtung (Dimension z. B. [kN/m]) und

kzz

für die Drehung um die z-Achse (Dimension z. B. [kNm]).

Die elastische Lagerung des Punkts setzt sich also aus drei Einzelfedern, die nicht gekoppelt sind, zusammen. Diese Beziehungen lassen sich mit Hilfe einer Steifigkeitsmatrix für die elastische Lagerung zusammenfassen: ªk « x « 0 « ¬ 0

0 ky 0

0 º » 0 » » k zz ¼

ª (e) º ª ui º « Fx » « » ⋅ « vi » = « Fy(e) » « » «¬ ϕ »¼ « (e) » zi M ¬ z ¼ · ue

Ke

(3.13)

= Fe

(3.13a)

In der Steifigkeitsmatrix sind nur die Diagonalterme besetzt, da die Einzelfedern nicht gekoppelt sind. Bei Verschiebungsfedern, die nicht in Richtung der globalen x-y-Koordinaten angeordnet sind, ist die Steifigkeitsmatrix ähnlich wie beim Fachwerkstab zu transformieren. In der dann erhaltenen Steifigkeitsmatrix sind die Verschiebungsfreiheitsgrade in der x- und yRichtung gekoppelt. Nach der Lösung des Gleichungssystems erhält man die Kraftgrößen in den Federn durch Einsetzen der Verschiebungsgrößen in die Steifigkeitsbeziehungen (3.12 a-c). Sind die Federn unter einem Winkel α gegenüber der x-Achse geneigt (Bild 3-7), so können (lok )

die Federn k x _ lok , k y _ lok in den Verschiebungsfreiheitsgraden ui ª k x _ lok « ¬« 0

º ª ui(lok ) º ª Fx(lok ) º » »= « »⋅« k y _ lok ¼» «¬ v (lok ) »¼ «¬ F (lok ) »¼ y i

(lok )

, vi

0

(3.13b)

3.4 Biegebalken

115

K (elok ) ⋅ u e(lok ) = F (elok )

(3.13c)

K e = T Tu ⋅ K (elok ) ⋅ T u

(3.13d)

mit

und T nach (3.4a) leicht auf das globale x- y-Koordinatensystem transformiert werden. Die Feder im Verdrehungsfreiheitsgrad bleibt bei ebenen Systemen davon unbeeinflusst.

Bild 3-12 Elastische Lagerung eines Knotenpunkts

3.4 Biegebalken 3.4.1 Elementsteifigkeitsmatrix und Spannungsmatrix Balkenelemente dienen zur Modellierung von Durchlaufträgern, Rahmen und Trägerrosten. Bei der Biegebeanspruchung werden die auftretenden Belastungen durch Biegemomente und Querkräfte abgetragen. An den Stabenden eines Balkenelements greifen daher jeweils eine Kraft quer zur Stabachse sowie ein Biegemoment an (Bild 3-13). Dem entsprechen die Freiheitsgrade der Verschiebung quer zur Stabachse und der Verdrehung um eine zur Stabachse senkrechte Achse. Für die Biegetragwirkung ergeben sich damit im lokalen Koordinatensystem vier Freiheitsgrade am Stabelement. Die bei ebenen Rahmen zusätzlich auftretenden Normalkraftbeanspruchungen sind hiervon entkoppelt und werden später (Abschnitt 3.4.3) berücksichtigt. Grundlage zur Ermittlung der Verschiebungs- und Schnittgrößen des Biegebalkens ist die Differentialgleichung des ebenen Stabes d 4 v(lok) (lok)4

dx

=−

q . EI

(3.14)

116 Mit

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke den

(lok )

v (lok ) ( x (lok ) = 0) = v1

Randbedingungen (lok )

ϕ (lok ) ( x(lok ) = 0) = ϕ1

(lok )

, ϕ (lok ) ( x (lok ) = l ) = ϕ 2

,

(lok )

v (lok ) ( x (lok ) = l ) = v2

,

erhält man die Lösung für die Biegeli-

nie v (lok ) ( x (lok ) ) . Hieraus lassen sich durch Differenzieren der Biegewinkel und das Biegemoment sowie die Querkraft ermitteln. Der Zusammenhang zwischen den Kraftgrößen an den Stabenden und den entsprechenden Verschiebungsgrößen bildet die Steifigkeitsmatrix. Da die Lösungen für den Biegebalken allgemein bekannt sind, werden sie im Folgenden zur Herleitung der Steifigkeitsmatrix genutzt. Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass sich die Steifigkeitsmatrix mit Hilfe von Einheitsverschiebungen in den einzelnen Freiheitsgraden auf anschauliche Weise deuten lässt (vgl. Beispiel 3.7). Danach sind die Spalten der Steifigkeitsmatrix die Festhaltekräfte, die man erhält, wenn man im Freiheitsgrad mit der Nummer der zu ermittelnden Spalte eine Einheitsverschiebung aufbringt und alle übrigen Freiheitsgrade festhält. Diese Vorgehensweise wird im Folgenden zur Ermittlung der Steifigkeitsmatrix des Biegebalkens verwendet.

A

ϕ1

(lok)

Bild 3-13 Balkenelement in lokalen Koordinaten

ϕ 2 (lok)

3.4 Biegebalken

117

Fy1(lok ) = 12⋅ EI / l 3 ⋅ v1(lok ) M z1(lok ) = 6⋅ EI / l 2 ⋅ v1(lok ) Fy 2(lok ) = − 12⋅ EI / l 3 ⋅ v1(lok ) M z 2(lok ) = 6⋅ EI / l 2 ⋅ v1(lok )

Fy1(lok ) = 6⋅ EI / l 2 ⋅ ϕ1(lok ) M z1(lok ) = 4⋅ EI / l ⋅ ϕ1(lok ) Fy 2(lok ) = − 6⋅ EI / l 2 ⋅ ϕ1(lok ) M z 2(lok ) = 2⋅ EI / l ⋅ ϕ1(lok )

Fy1(lok ) = − 12⋅ EI / l 3 ⋅ v2(lok ) M z1(lok ) = − 6⋅ EI / l 2 ⋅ v2(lok ) Fy 2(lok ) = 12⋅ EI / l 3 ⋅ v2(lok ) M z 2(lok ) = − 6⋅ EI / l 2 ⋅ v2(lok )

Fy1(lok ) = 6⋅ EI / l 2 ⋅ ϕ 2(lok ) M z1(lok ) = 2⋅ EI / l ⋅ ϕ 2(lok ) Fy 2(lok ) = − 6⋅ EI / l 2 ⋅ ϕ 2(lok ) M z 2(lok ) = 4⋅ EI / l ⋅ ϕ 2(lok )

Bild 3-14 Einheitsverschiebungen am Balkenelement

In Bild 3-14 sind die anhand eines Tabellenbuchs (z. B. [3.7]) erhaltenen Festhaltekräfte des beidseitig eingespannten schubstarren Einfeldträgers angegeben, wenn in den vier Freiheitsgraden Einheitsverschiebungen und -verdrehungen einzeln aufgebracht werden. Geht man nun davon aus, dass „Auflagerverschiebungen und -verdrehungen“ in allen vier Freiheitsgraden gleichzeitig aufgebracht werden, so erhält man die resultierenden Kraftgrößen an den Stabenden durch Superposition zu:

118

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

ª 12 / l 2 6 / l − 12 / l 2 6 / l º « » − 6/l 4 2 » E⋅ I « 6 / l ⋅« » 2 2 l − 6/l» « − 12 / l − 6 / l 12 / l − 6/l 2 4 ¼» ¬« 6 / l

Kbe(lok)

ª v (lok ) º ª Fy1(lok ) º » « 1 » « « ϕ (lok ) » « M (lok ) » 1 » » = « z1 ⋅« « v (lok ) » « F (lok ) » » « 2 » « y2 «¬ ϕ (lok ) »¼ « (lok ) » 2 ¬ M z2 ¼

(3.15)

ube(lok) = Fbe(lok)

(3.15a)

·

wobei (E.I) die Biegesteifigkeit und l die Balkenlänge bedeuten. Die Matrix Kbe(lok) stellt die Steifigkeitsmatrix des Biegebalkens in lokalen Koordinaten dar. Die Gleichung enthält noch nicht den Einfluss der Elementlast q in Bild 3-13. Dieser wird später berücksichtigt. Die Schnittgrößen an den Stabenden lassen sich aus (3.15) ableiten. Hierzu sind anstelle der Kräfte Fbe(lok) die Stabendkräfte nach der Faserdefinition einzuführen (Bild 3-14). Man erhält mit V1 = Fy1(lok), V2 = -Fy2(lok), M1 = -Mz1(lok) und M2 = Mz2(lok): ª « « « « ¬

ª 12 / l 2 V1 º « » M1 » E⋅ I « − 6 / l = ⋅« 2 V2 » l « 12 / l » «¬ 6 / l M2 ¼

S

=

6 / l − 12 / l 2 −4 6/l 6 / l − 12 / l 2 − 6/l 2

Sbe(lok)

ª v (lok ) º « 1 » « ϕ (lok ) » 1 » ⋅« « v (lok ) » « 2 » «¬ ϕ (lok ) »¼ 2

6/lº » − 2» » 6/l» 4 »¼ .

ube(lok)

(3.16)

(3.16a)

Die Matrix Sbe(lok) ist die Spannungsmatrix in lokalen Koordinaten.

3.4.2 Elementlasten Äußere Lasten können beim Verfahren der Finiten Elemente im globalen Gleichungssystem ausschließlich durch Knotenkräfte berücksichtigt werden. Dennoch ist es auch möglich, Elementlasten, wie z. B. eine Streckenlast auf einem Biegebalken, exakt zu erfassen. Um eine beliebige Elementlast zu berücksichtigen, ermittelt man deren Starreinspannmomente und -kräfte am beidseitig eingespannten Stab. Bei der Superposition der von den „Auflagerverschiebungen und -verdrehungen“ hervorgerufenen Kräfte, die zu (3.15) führt, werden nun zusätzlich die Festhaltekräfte infolge der Elementlasten superponiert.

3.4 Biegebalken

119

Man erhält: ª 12 / l 2 6 / l − 12 / l 2 6 / l º « » 4 2 » − 6/l E⋅ I « 6 / l ⋅« » 2 2 l − 6/l» « − 12 / l − 6 / l 12 / l «¬ 6 / l 2 4 »¼ − 6/l

Kbe(lok)

ª v (lok ) º « 1 » « ϕ (lok ) » 1 »= ⋅« « v (lok ) » « 2 » «¬ ϕ (lok ) »¼ 2 .

ube(lok)

ª « « « « « « ¬

Fy1(lok ) º » ª FL1 º » « » M z1(lok ) » « M L1 » (3.17) − » « » Fy 2(lok ) » « FL 2 » » ¬ M L2 ¼ M z 2(lok ) ¼

= Fbe(lok)

– FbL(lok) (3.17a)

Der Vektor FbL(lok) enthält die Starreinspannkräfte und -momente eines beidseitig eingespannten Balkens mit der Vorzeichenkonvention der Kraftgrößen nach Bild 3-13, die sich aufgrund der äußeren Belastung des Stabelements ergeben. Auch diese Werte können aus Tabellenbüchern entnommen werden [3.7]. Für einige typische Fälle sind die Starreinspannmomente und -kräfte in den Tabellen 3-2 und 3-3 nach [3.1] zusammengestellt. Diese Kräfte stehen in (3.17) mit negativem Vorzeichen auf der rechten Seite, d. h. die Auflagerreaktionen des beidseitig eingespannten Balkens sind mit umgekehrtem Vorzeichen als Knotenlasten auf das Gesamtsystem aufzubringen. Tabelle 3-2 Starreinspannkräfte des Fachwerkstabs

FLx1

FLx2

α = a/l β = b/l

l FLx1

Belastung

n −n

l 2

FLx2 −n

l 2

H

a

b

-H · β

-H · α

EA · αT · T

-EA · αT · T

T

Erwärmung

120

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Tabelle 3-3 Starreinspannmomente und -kräfte am beidseitig eingespannten Balken

FL2

FL1 l

α = a/l

ML1

β = b/l

ML2 FL1 FL2

Belastung

ML1 ML2

l 2 l q 2

q

q

l2 (3q1 + 2q 2 ) 60

l (3q1 +7q 2 ) 20

q2 q

a

b

)

q

(

)

−q

l 3+3β +3β 2 −2 β 3 20

q

l 3+3α +3α 2 −2α 3 20

q

l 3 l q 3 q

l/2 l/2 Parabel 2. 0rdnung q

l/2 l/2 Sinus

P a

b

a

b

π

q

π

l

l2 § 2 3 3· ¨1+ β + β − β ¸ 2 30 © ¹ l2 § 2 3 3· ¨1+α +α − α ¸ 2 30 © ¹ l2 15

q

l2 15

−q

q

2l 2

π3

−q

2l 2

π3

Pa β 2

Pα 2 (3−2α )

− Pbα 2

6 αβ l

−M

∆T = Tu-To

l

q

l2 (2q1 +3q 2 ) 60

P β 2 (3−2 β )

M

M

−

(

q

l2 12

−q

l (7 q1 +3q 2 ) 20

q1

l2 12

q

6 αβ l

M β (3α −1)

M α (3β −1) EI α T

h

− EI α T

∆T h ∆T h

3.4 Biegebalken

121

Die Schnittgrößen an den Stabenden erhält man mit V1= Fy1(lok), V2= -Fy2(lok), M1 = -Mz1(lok) und M2 = Mz2(lok) aus (3.16) zu: ª « « « « ¬

ª 12 / l 2 V1 º « » M1 » E⋅ I « − 6 / l = ⋅« 2 V2 » l « 12 / l » «¬ 6 / l M2 ¼ S

=

6 / l − 12 / l 2 6/l −4 6 / l − 12 / l 2 2

Sbe(lok)

− 6/l

6/lº » − 2» » 6/l» 4 »¼

ª v (lok ) º « 1 » ª FL1 º « ϕ (lok ) » « − M » L1 » 1 »+ « ⋅« « v (lok ) » « − FL 2 » » « 2 » « «¬ ϕ (lok ) »¼ ¬ M L 2 ¼ 2 .

ube(lok)

+

FLS(lok)

(3.18)

(3.18a)

Bei der Bestimmung der Schnittgrößen sind die Elementlasten nach (3.18) zu berücksichtigen. Danach werden die Schnittgrößen Sbe(lok) . ube(lok), die sich aufgrund der Knotenverschiebungen und -verdrehungen einstellen, mit den Schnittgrößen FLS(lok) des beidseitig eingespannten Trägers überlagert. Diese Vorgehensweise zur Behandlung beliebiger Elementlasten kann auch verwendet werden, um Lastarten, die in ein Finite-Element-Programm nicht implementiert sind, zu berücksichtigen. Dies gilt auch für Fachwerkelemente und andere Finite Elemente.

Verfahren der Ersatzlasten zur Berücksichtigung beliebiger Elementlasten 1. Auflagerkräfte und Starreinspannmomente am beidseitig eingespannten Balkenelement bestimmen (Tabellen 3-2, 3-3). 2. Auflagerkräfte und Starreinspannmomente mit umgekehrten Vorzeichen als zusätzliche Knotenlasten (Ersatzlasten) am Gesamtsystem aufbringen und Gesamtsystem mit Stabwerksprogramm berechnen. 3. Nach der elektronischen Berechnung des Gesamtsystems Schnittgrößen des beidseitig eingespannten Einfeldträgers „von Hand“ mit den Schnittgrößen aus der elektronischen Berechnung überlagern. Beispiel 3.11 Es ist der Lastvektor des in Bild 3-5 dargestellten Fachwerks für den Fall zu ermitteln, dass das Fachwerkelement 1 um 30o C erwärmt wird. Die Knotenlasten sind die mit umgekehrtem Vorzeichen aufgebrachten Festhaltekräfte des beidseitig starr eingespannten Stabes. Nach Tabelle 3-2 ergibt sich unter gleichmäßiger Er5 wärmung mit αT = 1.2 ·10- folgende die Festhaltekraft (Bild 3-15) F = E · A · αT · ∆t bzw. F = 2.1 · 108 · 0.004 · 1.2 · 10-5 · 30 = 302.4 [kN]. Im beidseitig unverschieblich gelagerten Stab stellt sich durch die Erwärmung die Druckkraft N = -302.4 [kN]

122

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

ein. Diese ist mit der Stabkraft, die sich mit den Knotenkräften F aus der Finite-ElementLösung ergibt, zu überlagern. Für das Fachwerk erhält man das Gleichungssystem (vgl. Beispiel 3.6)

ª 1.35 − 0.35 − 1. 0 − 0.35 º « » 0 0 0.35 » « − 0.35 1.35 0 1.35 0.35 0 » 2.80 ⋅ 105 « − 1. « » 0 0.35 1.35 0 » « 0 «¬ − 0.35 0.35 0 0 1.35 »¼

ª u1 º ª − 302 º « » « » « v1 » « 0 » ⋅ « u2 » = « 302 » . « » « » « v2 » « 0 » «¬ u »¼ «¬ 0 »¼ 3

Hieraus ergeben sich die Verschiebungen ª u1 º ª − 0.540 º « » « » « v1 » « − 0.112 » « u2 » = « 0.428 »⋅ 10− 3 m « » « » « v2 » « − 0.112 » «¬ u »¼ «¬ 0.112 »¼ 3 und damit die Normalkräfte in den Stäben zu N1 = 271.1 kN N4 =

5.0 kN

N 2 = − 31.3 kN N5 =

44.3 kN

N 3 = − 31.3 kN N6 =

44.3 kN

Die Normalkraft im Stab 1 ist nun noch mit der Stabkraft des beidseitig eingespannten Elements von -302.4 kN zu überlagern. Damit erhält man die entgültige Stabkraft im Fachwerkstab 1 zu

N 1 = 271.1 − 302.4 = − 31.3 kN . Die übrigen Stabkräfte bleiben unverändert.

ǻ t = 30°

Bild 3-15 Ersatzlasten beim Fachwerk mit Temperaturbelastung

3.4 Biegebalken

123

Beispiel 3.12 Für das in Bild 3-16 angegebene System aus drei Balkenelementen sind die Schnittgrößen mit Hilfe des Verfahrens der Ersatzlasten zu ermitteln. 1. Bestimmung der Ersatzlasten am beidseitig eingespannten Träger: Me = -q · l2/12 A = B = q · l/2 2. Die Auflagerkräfte und Einspannmomente des beidseitig eingespannten Trägers werden mit umgekehrtem Vorzeichen auf das statische System aufgebracht. Man erhält (hier aus Tabellenbüchern, sonst mit einer Finite-Element-Berechnung) die in Bild 3-16 angegebenen Schnittkraftverläufe. Die Querkraft- und die Momentenlinie besitzen an der Stelle der Einzellasten bzw. des eingeprägten Moments einen Sprung. 3. Die aus 2. ermittelten Schnittgrößenverläufe sind im Bereich des durch die Elementlast belasteten Einzelstabs mit dessen Schnittgrößen (bei beidseitiger Einspannung) zu überlagern. Durch die Überlagerung entfallen die Sprünge in der Querkraft- und Momentenlinie für die Ersatzlasten, und man erhält die Schnittgrößen des durch eine Gleichlast belasteten Gesamtsystems.

Bild 3-16 Beispiel zur Behandlung von Elementlasten beim Balkenelement

124

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

3.4.3 Erweiterung der Steifigkeitsmatrix für Normalkräfte und zur Berücksichtigung der Schubsteifigkeit Beim Biegebalken treten aufgrund der Querkraftwirkung neben den bisher ausschließlich berücksichtigten Biegeverformungen auch Schubverformungen auf. Diese werden bereits bei den Grundgleichungen des Biegebalkens (Abschnitt 2.3) mit einbezogen. In der Regel werden sie auch beim Aufstellen der Steifigkeitsmatrix des Biegebalkens berücksichtigt. Bei rahmenartigen Tragwerken wird ein Balkenelement außer durch Biegung auch durch Normalkräfte beansprucht. In diesem Fall ist die angegebene Steifigkeitsmatrix, die ausschließlich die Freiheitsgrade der Biegebeanspruchung des Balkens enthält, um die beiden Freiheitsgrade für die Normalkraftbeanspruchung und die bereits bekannte Steifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs nach (3.3) zu erweitern. Man erhält sie nach [3.2] (ohne Elementlasten) zu: ª a0 « « 0 « « « 0 « « « − a0 « « 0 « « «¬ 0

0 12⋅ a1 l2 6⋅ a1 l 0 − 12⋅ a1 l2 6⋅ a1 l

0 6⋅ a1 l

− a0

4⋅ a2

0

0 − 6⋅ a1 l

a0

2⋅ a3

0

0

0

0 − 12⋅ a1 l2 − 6⋅ a1 l 0 12⋅ a1 l2 − 6⋅ a1 l

º » » » » » 2⋅ a3 » »⋅ 0 » − 6⋅ a1 » » l » » 4⋅ a2 » ¼ 0 6⋅ a1 l

ª (lok ) º « u1 » « (lok ) » « v1 » « (lok ) » « ϕ1 » « (lok ) » = « u2 » « (lok ) » « v2 » « (lok ) » ¬« ϕ 2 ¼»

ª « « « « « « « « « « ¬

Fx1(lok ) º » (lok ) » Fy1 » (lok ) » M z1 » (lok ) » Fx 2 » (lok ) » Fy 2 » » M z 2(lok ) ¼

(3.19)

oder Ke(lok) . ue(lok) = Fe(lok)

(3.19a)

mit a0 =

E⋅ A l

a1 =

a3 =

E ⋅ I ⋅ (2 − m) 2⋅ l ⋅ (1+ m)

m=

E⋅ I l ⋅ (1+ m)

a2 =

E ⋅ I ⋅ (4 + m) 4⋅ l ⋅ (1+ m)

12⋅ E ⋅ I G⋅ As ⋅ l 2

Hierin bedeuten G der Schubmodul und As die Schubfläche des Stabs. Für den schubstarren Biegebalken erhält man mit dem Grenzübergang A s → ∞ und damit m = 0 wieder die um die Normalkraftterme nach (3.3) erweiterte Steifigkeitsmatrix (3.15).

3.4 Biegebalken

125

3.4.4 Koordinatentransformation Die auf lokale Koordinaten bezogene Steifigkeitsmatrix des Biegebalkens kann ähnlich wie die Elementsteifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs auf globale Koordinaten transformiert werden. Die Transformation der Verschiebungsgrößen und der Kräfte an den Stabenden ist in Bild 3-17 dargestellt. Danach erhält man für die Koordinatentransformation der Knotenverschiebungen und der Stabendkräfte: ue(lok) = T · ue

(3.20a)

Fe = TT · Fe(lok)

(3.20b)

mit

ª cos α sin α « « − sin α cos α « 0 0 T = « 0 « 0 « 0 0 « 0 ¬ 0

0º » 0» 0» » 0 cos α sin α 0 » 0 − sin α cos α 0 » » 0 0 0 1¼

0 0 1

0 0 0

0 0 0

ª « « « ue = « « « « ¬«

ue1 º » ve1 » ϕ e1 » » ue 2 » ve 2 » » ϕ e 2 ¼»

ª « « « « Fe = « « « « « « ¬

Fx1(e) º » (e) » Fy1 » (e) » Fz1 » » Fx 2(e) » » Fy 2(e) » » Fz 2(e) ¼

(3.20c)

Die Knotenkräfte in globalen Koordinaten erhält man mit (3.20b), (3.19a) und (3.20a) zu:

Fe = TT · Fe(lok) = TT · Ke(lok)· ue(lok) = TT · Ke(lok) · T · ue Die transformierte Steifigkeitsbeziehung lautet damit

Ke . ue = Fe

(3.21)

wobei

Ke = TT . Ke(lok) . T die Elementsteifigkeitsmatrix in globalen Koordinaten ist.

(3.21a)

126

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

KNOTENVERSCHIEBUNGEN (lok

)

2

u2

(lok) 2 k) (lo v 1 y(lok) (lok) X

(lok) 1

(lok

1

)

v1(e)

y

) (lok u1

2

u1(e) Globale Koordinaten

Lokale Koordinaten

u (elok ) =

0 0 1 0 0 0

u2(e)

(e) 1

α 1

x

ª u (lok ) º « 1 » ª cos α sin α « v (lok ) » « 1 « » « − sin α cos α « ϕ (lok ) » « 0 0 « 1 »=« 0 « u (lok ) » « 0 « 2 » « 0 0 « v2(lok ) » « « » ¬« 0 0 (v ) ¬« ϕ 2 ¼»

(e) 2

v2(e)

v2

ª u (e) º 0º « 1 » » « (e) » 0 0 0 » « v1 » (e) 0 0 0 » « ϕ1 » » »⋅ « cos α sin α 0 » « u (e ) » 2 − sin α cos α 0 » «« (e) »» » v2 0 0 1 ¼» « (e ) » ¬« ϕ 2 ¼» 0

0

⋅ u (e)

T

STABENDKRÄFTE

(lo

k) k (lo

)

α

ª « « « « « « « « « « ¬

(e) Fx1 º » ª cos α − sin α (e) Fy1 » « » « sin α cos α (e) » M1 » « 0 0 =« (e) » 0 0 « Fx 2 » « 0 0 (e) Fy 2 » « » ¬« 0 0 (e) » M2 ¼

F

(e)

=

ª 0º « »« 0» « « 1 0 0 0» « »⋅ 0 cos α − sin α 0 » « « 0 sin α cos α 0 » « » 0 0 0 1 ¼» « « ¬ 0 0

TT

0 0

0 0

º » (lok ) Fy1 » » (lok ) » M1 » (lok ) Fx 2 »» (lok ) Fy 2 » » (lok ) » M2 ¼ (lok )

Fx1

⋅ F e(lok )

Bild 3-17 Koordinatentransformation der Knotenverschiebungen und Stabendkräfte des Balkenelements

3.4 Biegebalken

127

3.4.5 Gelenke Gelenke für Biegemomente treten in Stabwerken häufig auf. Prinzipiell kann sich die Gelenkwirkung jedoch auf jeden beliebigen Freiheitsgrad beziehen, d. h., es sind auch Querkraft- und Normalkraftgelenke möglich. Diese werden beispielsweise zur Berücksichtigung von Symmetriebedingungen oder für die Ermittlung von Einflusslinien benötigt. Ganz allgemein wird durch den Einbau eines Gelenks eine statische Bindung (Biegemoment, Normalkraft, Querkraft, Torsionsmoment) gelöst (Bild 3-18). Es sind auch Kombinationen mit mehreren gelösten Bindungen möglich. Wird eine Bindung gelöst, so besitzt der Balken in dem entsprechenden Freiheitsgrad keine Steifigkeit mehr. In der Steifigkeitsmatrix tritt somit der Freiheitsgrad, der der gelösten Bindung entspricht, nicht mehr auf. Zur Berücksichtigung der Gelenkwirkung muss die Steifigkeitsmatrix des Biegebalkens nach (3.14) bzw. (3.18) modifiziert werden. Da der Freiheitsgrad gelöst wurde, kann in diesem Freiheitsgrad auch keine Last vom Knotenpunkt auf das Element übertragen werden.

Bild 3-18 Gelenkformen

Die Modifikation der Elementsteifigkeitsmatrix zur Berücksichtigung von Gelenken wird ausführlich in [3.4] dargestellt. Als Beispiel wird hier ein Biegegelenk an einem schubstarren Balkenelement ohne Elementlasten betrachtet (Bild 3-19). Nach (3.14) lautet die Steifigkeitsbeziehung des Biegebalkens in globalen Koordinaten: ª 12 / l 2 6 / l − 12 / l 2 6 / l º « » − 6/l 4 2 » E⋅ I « 6 / l ⋅« » 2 2 l − 6/l» « − 12 / l − 6 / l 12 / l «¬ 6 / l 2 4 »¼ − 6/l

ª v (lok ) º ª Fy1(lok ) º » « 1 » « « ϕ (lok ) » « M (lok ) » 1 » » = « z1 ⋅« « v (lok ) » « F (lok ) » » « 2 » « y2 «¬ ϕ (lok ) »¼ « (lok ) » 2 ¬ M z2 ¼

128

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Bild 3-19 Balkenelement mit Gelenk

Die gelöste Bindung Mz2(lok)=0 entspricht der Eliminierung des Freiheitsgrads ϕ2(lok). Allgemein bezeichnet man das Eliminieren eines Freiheitsgrads auf Elementebene auch als statische Kondensation. Hierzu löst man die letzte Gleichung der Steifigkeitsbeziehung nach ϕ2(lok) auf und setzt Mz2(lok)=0 ein. Man erhält:

EI/l · (6/l · v1(lok) + 2 · ϕ1(lok) - 6/l · v2(lok) + 4 · ϕ2(lok) ) = Mz2(lok) = 0 und damit

ϕ2(lok) = -3/(2l) · v1(lok) -1/2 · ϕ1(lok) + 3/(2l) · v2(lok) Setzt man diese Gleichung für ϕ2(lok) in die erste, zweite und dritte Gleichung des Gleichungssystems nach (3.14) ein, so führt dies zur Eliminierung von ϕ2(lok) aus dem Gleichungssystem. Man erhält die Steifigkeitsmatrix des Balkens mit einem Biegegelenk am Knoten 2 zu:

ª (lok ) º ª F (lok ) º ª 3 / l2 » « y1 » 3 / l − 3 / l 2 º « v1 » « (lok ) » « E⋅ I « (lok ) » − 3 / l » ⋅ « ϕ1 3 « 3/l » = « M z1 » l « » « » « » 2 2 ( ) ( ) lok lok ¬ − 3 / l − 3 / l 3 / l ¼ « v2 F »¼ ¬ ¼» ¬« y 2

(3.22)

Der Freiheitsgrad ϕ2(lok) fehlt in der Steifigkeitsmatrix, d. h., das Stabelement setzt einem Moment M2(lok) in ϕ2(lok)-Richtung keinen Widerstand entgegen. Eine Lastaufbringung in Richtung von ϕ2(lok) ist daher nicht möglich. Dies ist auch beim Zusammenfügen von mehreren Stabelementen mit Gelenkdefinitionen zu beachten, um kinematische Systeme zu vermeiden. Beispielsweise muss bei Knotenpunkten, bei denen mehrere Stäbe mit einem Stabendgelenk zusammentreffen, die Gelenkdefinition an einem Stab entfallen (Bild 3-20). Wird an diesem Knotenpunkt ein eingeprägtes Moment angebracht, so wirkt dieses auf den Stab, an dessen Ende kein Gelenk definiert wurde. Alternativ kann auch an allen Stabenden ein Gelenk definiert und der Freiheitsgrad am Knoten festgehalten werden. Ohne eine solche Festhaltung würde ein kinematisches System entstehen.

Bild 3-20 Unterschiedliche Gelenkdefinitionen bei einem Knotenpunkt mit drei Balkenelementen

3.4 Biegebalken

129

Beispiel 3.13 Am Ende des Kragarms in Bild 3-21, dessen Horizontalverschiebung festgehalten ist, wird fälschlicherweise ein Biegegelenk vom Programmanwender eingegeben. Es sind die Auswirkungen dieser Fehleingabe darzustellen und Möglichkeiten zur Abhilfe zu diskutieren.

F 1

2

F1

v2

v1

M1

F2

M2

2

1

Kraftgrößen

Verschiebungsgrößen

Bild 3-21 Kragarm mit fälschlicherweise eingegebenem Gelenk

Das System besitzt vor der Berücksichtigung der Auflagerbedingungen die Freiheitgrade v1, ϕ1, v2, ϕ2. Auf die Systemsteifigkeitsmatrix mit diesen Freiheitsgraden wird die Elementsteifigkeitsmatrix des Balkens mit dem Biegegelenk am rechten Stabende nach (3.21) addiert. Man erhält: ª 3 / l2 3 / l − 3 / l2 « 3 3/ l E⋅ I « 3 / l ⋅« 2 2 l « − 3/ l − 3/ l 3/ l «¬ 0 0 0

0º » 0» » 0» 0 »¼

ª v1 º ª F1 º « » « » ϕ1 » « M1 » ⋅« = « v2 » « F2 » « » « » ¬ ϕ2 ¼ ¬ M 2 ¼

Die Berücksichtigung der Auflagerbedingungen v1=0 und ϕ1=0 führt zu: E I ª 3/ l2 « l ¬ 0

0 º ª v2 º ª F2 º »« »= « » 0¼ ¬ ϕ2 ¼ ¬ M 2 ¼

Die Matrix dieses Gleichungssystems ist wegen der zweiten Gleichung singulär und damit nicht lösbar. Das Programm bricht die Berechnung ab. Man erkennt auch, dass die Eingabe eines Moments M2 als Last nicht sinnvoll ist. Folgende Abhilfe ist möglich: a) Freiheitsgrad ϕ2 festhalten In diesem Fall wird auch die zweite Gleichung aufgrund der Auflagerbedingung aus dem Gleichungssystem eliminiert, und man erhält folgende Lösung: E I ª 3 / l2 « l ¬ 0

0 º ª v2 º ª F2 º »« »= « » 0¼ ¬ ϕ2 ¼ ¬ M 2 ¼

F2 = -F

130

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

3 EI / l³ · v2 = F2 = −F

v2 = −

F l3 3E I

b) Steife Drehfeder am Punkt 2 einführen In diesem Fall lautet das Gleichungssystem:

ª 3 E I / l2 « 0 ¬«

0 º ª v2 º ª − F º »« »= « » kϕ ¼» ¬ ϕ 2 ¼ ¬ M 2 ¼

Hierbei handelt es sich um zwei entkoppelte Gleichungen mit der Lösung: 3 EI / l³ · v2 = −F

→

v2 = −F l³ / 3 E I

kϕ · ϕ2 = M2

→

ϕ2 = M2 / kϕ

Ein am Knoten 2 als Belastung eingegebenes Moment M2 wird von der Feder aufgenommen, da eine Aufnahme durch den Biegebalken wegen des Gelenks nicht möglich ist. Der Winkel ϕ2 ist die Verdrehung der Drehfeder. c) Am freien Ende des Stabs wird kein Gelenk definiert Diese Lösung sollte normalerweise gewählt werden. In diesem Fall lautet das Gleichungssystem mit der Elementsteifigkeitsmatrix nach (3.14): ª 12 / l 2 6 / l − 12 / l 2 6 / l º « » − 6/l 4 2 » E⋅ I « 6 / l ⋅« » 2 2 l − 6/l» « − 12 / l − 6 / l 12 / l «¬ 6 / l − 6/l 2 4 »¼

ª ª v1 º « Fy1 « » « M ϕ1 z1 ⋅« »= « « v2 » « F « » « y2 ¬ ϕ2 ¼ « ¬ M z2

º » » » » » »¼

und nach Eliminierung der Spalten und Zeilen für v1 und ϕ1 zur Berücksichtigung der Auflagerbedingungen: E I ª 12 / l 2 − 6 / l º « » l ¬ − 6/l 4 ¼

ª v2 º ª Fy 2 º ⋅« »= « » ¬ ϕ2 ¼ ¬ M z 2 ¼

Die Systemsteifigkeitsmatrix ist regulär. Der Winkel ϕ2 ist hier der Drehwinkel am Kragarmende.

3.5 Zusammengesetzte Stabwerke Bei aus Fachwerkstäben und Balkenelementen zusammengesetzten ebenen Stabwerken besitzen diejenigen Knotenpunkte, die ausschließlich mit Fachwerkelementen oder Verschiebungsfedern verbunden sind, die beiden Freiheitsgrade u und v, während Knotenpunkte,

3.5 Zusammengesetzte Stabwerke

131

die mit Balkenelementen und Drehfedern verbunden sind, die drei Freiheitsgrade u, v und ϕ besitzen. Alle übrigen Freiheitsgrade sind festzuhalten, um singuläre Systemsteifigkeitsmatrizen zu vermeiden. Hierauf ist insbesondere auch bei der Definition von Gelenken zu achten. Beispiel 3.14 Für das in Bild 3-22 dargestellte Stabwerk ist die Systemsteifigkeitsmatrix aufzustellen.

System

M

q

Knotenpunkte und Elemente

F 4

kĳ

EIc

1

1

2

2

3

EIc 3 y 4

A1

x

A2

Freiheitsgrade

Elementtypen

v1 Elemente 1,2 : Biegebalken Element 3 :

Fachwerkstab

Element 4 :

Feder

ĳ1

v2 ĳ2

u1

u2

v4

v3

ĳ3

u3

u4

Bild 3-22 Stabwerk

Das System besitzt an den Knotenpunkten 1 bis 3, an denen Biegebalken angeschlossen sind, drei und am Knotenpunkt 4, an dem lediglich der Fachwerkstab angeschlossen ist, zwei Freiheitsgrade, wenn man die Auflagerbedingungen noch nicht berücksichtigt. Es wird angenommen, dass die Freiheitsgrade für die Horizontalverschiebung des Riegels festgehalten sind, was beim vorliegenden System ohne Einfluss auf das Ergebnis ist. Danach gelten die Auflagerbedingungen u1 = u2 = u3 = u4 = v1 = v4 = 0. Zunächst werden die Elementsteifigkeitsmatrizen aufgestellt. Zur besseren Übersichtlichkeit werden hierbei bereits die Auflagerbedingungen berücksichtigt. Element 1 ist ein Biegebalken, der durch die Streckenlast q belastet ist. Da sich die Horizontalverschiebungen u1 und u2 zu Null ergeben, werden sie ebenso wie die Vertikalverschiebung v1 beim Aufstellen der Elementsteifigkeitsmatrix nicht berücksichtigt, d. h., die entsprechenden Spalten und Zeilen der Elementsteifigkeitsmatrix entfallen.

132

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Unter Vernachlässigung von Schubverformungen erhält man nach (3.16): ª º 6 « 4 − 2 » l1 « » » E⋅ I c « 6 12 6 » ⋅«− − l1 « l1 l12 l1 » « » « 2 − 6 » 4 » «¬ l1 ¼

ª ª ϕ1 º « « » « ⋅ « v2 » = « «¬ ϕ »¼ « 2 ¬«

ª q⋅ l 2 º 1 » « (1) º M z1 » « 12 » « q⋅ l1 » (1) » Fy 2 » − « » 2 » « » (1) M z 2 ¼» « q⋅ l12 » «− » ¬ 12 ¼

Für das Balkenelement, Element 2, gilt unter Vernachlässigung von Schubverformungen die Steifigkeitsbeziehung nach (3.15): ª 12 « 2 « l2 « 6 « E⋅ I c « l2 ⋅ l2 « 12 «− « l22 « « 6 «¬ l2

−

6 l2

−

4

−

6 l2 2

12 l2

2

6 l2

12 l22 −

6 l2

6 º » l2 » » 2 » » 6» − » l2 » » 4 » »¼

ª ª v2 º « « » « ϕ2 » « « ⋅ = « v3 » « « » « ¬ ϕ3 ¼ « «¬

( 2) º Fy 2 » ( 2) » M z2 » ( 2) » Fy 3 » » ( 2) M z 3 »¼

Element 3 ist ein Fachwerkelement, bei dem sich die Steifigkeitsbeziehung nach (3.3) bei Berücksichtigung der Auflagerbedingung v4=0 reduziert auf E⋅ Ac (3) ⋅ v2 = Fy 2 . l3

Für das Federelement mit der Federkonstanten kϕ (Element 1) erhält man nach (3.12c) Mz1(4) = kϕ . ϕ1.

Die Systemsteifigkeitsmatrix setzt sich aus den Elementsteifigkeitsmatrizen „bausteinartig“ zusammen. Dabei werden die Terme der Elementsteifigkeitsmatrizen immer an denjenigen Stellen addiert, die in der Systemsteifigkeitsmatrix den Freiheitsgraden entsprechen, in denen das jeweilige Element mit dem Gesamttragwerk verbunden ist. Man erhält die Steifigkeitsbeziehung für das Gesamtsystem einschließlich der Lastterme zu:

3.6 Räumliche Stabwerke ª « kϕ + 4⋅ c1 « « c « − 6⋅ 1 l1 « « « 2⋅ c1 « « « 0 « « « 0 «¬

− 6⋅ 12⋅

c1 l12

− 6⋅

+ 12⋅

133

c1 l1

2⋅ c1

c2 l2 2

+

EAc l3

− 12⋅ 6⋅

c1 c + 6⋅ 2 l1 l2

− 12⋅

4⋅ c1 + 4⋅ c2

− 6⋅

− 6⋅

c1 c + 6⋅ 2 l1 l2 c2 c2 l2

c1 = EIc/l1

mit

º » ª » l12 º « » − ⋅ q » c 12 » 6⋅ 2 » ª ϕ1 º « l2 » « » « l » − q⋅ 1 » » « v2 » « 2 » 2⋅ c2 » ⋅ « ϕ 2 » = « » « » « l12 » » » « v3 » « M + q ⋅ c 12 » « − 6⋅ 2 » «¬ ϕ3 »¼ « − F » l2 » « » » 0 ¬ ¼ » 4⋅ c2 » ¼ 0

c2 l22 c2 l2

c2 l2

12⋅

2⋅ c2

− 6⋅

und

c2 = EIc/l2.

− 6⋅

l22

0

c2 l2 2 c2 l2

3.6 Räumliche Stabwerke 3.6.1 Allgemeines Die Knotenpunkte räumlicher Fachwerke besitzen drei Verschiebungsfreiheitsgrade. Bei biegebeanspruchten Stabwerken treten zusätzlich drei Verdrehungsfreiheitsgrade auf (Bild 3-2). Somit ist die Steifigkeitsmatrix des räumlichen Fachwerkstabs eine 6x6-Matrix, diejenige des Biegebalkens eine 12x12-Matrix (Bild 3-23).

w2

v2

2

z

u2

y

w1 1

v1 u1

x Räumliches Fachwerkelement

Räumliches Balkenelement

Bild 3-23 Freiheitsgrade räumlicher Stabelemente

Die Elementsteifigkeitsmatrizen lassen sich aus den entsprechenden Matrizen im lokalen Koordinatensystem durch eine räumliche Transformation entsprechend (3.8b) bzw. (3.21a) ermitteln. Dabei ist die Matrix T für den räumlichen Fall zu formulieren. Beim Biegebalken müssen jedoch zusätzlich zur Biege- und Normalkraftsteifigkeit noch die Querbiege- und Torsionssteifigkeit berücksichtigt werden.

134

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

3.6.2 Biegebalken Beim dreidimensionalen Biegebalken tritt als zusätzlicher Beanspruchungszustand die Torsion auf. Zunächst soll hier nur St. Venantsche Torsion betrachtet werden. Die Steifigkeitsmatrix eines ausschließlich auf Torsion beanspruchten Stabes lässt sich leicht ermitteln. Die Verschiebungsgrößen des auf Torsion beanspruchten Stabes sind die Drehwinkel um die Stabachse am Anfang und Ende des Stabes, die zugehörigen Kraftgrößen sind die Torsionsmomente (Bild 3-24). Bei einem Torsionsmoment T verdrillen sich die Stabenden um den Winkel

ϕ =

(ϕ x 2(lok ) − ϕ x1(lok ) ) =

l ⋅ T G IT

(3.22)

Hieraus ergibt sich: M x1(lok ) = − T =

G IT l

(ϕ x1(lok ) −

M x 2(lok ) = T =

G IT l

(− ϕ x1(lok ) +

ϕ x 2(lok )

)

ϕ x 2(lok )

)

(3.23a)

(3.23b)

oder (lok ) º ª ª M (lok ) º G IT ª 1 − 1º « ϕ x1 » = « x1 » « »⋅ l ¬ − 1 1 ¼ «¬ ϕ (lok ) »¼ «¬ M (lok ) »¼ x2 x2

(3.24)

Bild 3-24 Verschiebungs- und Kraftgrößen des Torsionsstabs

Diese Steifigkeitsmatrix kann analog, wie dies in Abschnitt 3.4.3 für den Normalkraftanteil erläutert ist, in die um die Freiheitsgrade ϕ x1 (lok ) und ϕ x 2 (lok ) erweiterte Elementsteifigkeitsmatrix (3.19) aufgenommen werden. Ergänzt man weiterhin noch die Verschiebungs- und Verdrehungsfreiheitsgrade für die Querbiegung, sowie die entsprechenden Steifigkeitsterme, so erhält man die Elementsteifigkeitsmatrix des dreidimensionalen Balkenelements. Auf das in Bild 3-25 bezogene Koordinatensystem lautet die Steifigkeitsmatrix:

(3-25)

ª E⋅ A 0 « l « 12⋅ E ⋅ I z « « 0 l3 « « 0 « 0 « « 0 « 0 « « 0 « 0 « « 6⋅ E ⋅ I z « 0 « l2 « E⋅ A «− 0 l « « 12⋅ E ⋅ I z − « 0 l3 « « « 0 0 « « « 0 0 « « « 0 0 « « 6⋅ E ⋅ I z « 0 «¬ l2

−

−

−

−

0

0

0

l2

6⋅ E ⋅ I y

0

l

3

0

0

G ⋅ IT l

0

0

0

12⋅ E ⋅ I y

0

0

G ⋅ IT l

0

l2

6⋅ E ⋅ I y

0

l

3

0

0

0

12⋅ E ⋅ I y

0

0

0

l

2⋅ E ⋅ I y

0

l

2

6⋅ E ⋅ I y

0

0

0

l

4⋅ E ⋅ I y

0

l

2

6⋅ E ⋅ I z

0

0

−

0 0

2⋅ E ⋅ I z l

0

0

0

E⋅ A l

0

0

0

l3

6⋅ E ⋅ I z

0

0

4⋅ E ⋅ I z l

0

0

0

E⋅ A l

0

−

0

0

0

l2

6⋅ E ⋅ I z

0

0

6⋅ E ⋅ I z l2

0

0

0

l3

12⋅ E ⋅ I z

−

6⋅ E ⋅ I z l2

0

0

0

l3

12⋅ E ⋅ I z

−

−

0

0

0

0

l

2

6⋅ E ⋅ I y

0

l

3

12⋅ E ⋅ I y

0

l

2

6⋅ E ⋅ I y

0

l

3

12⋅ E ⋅ I y

−

0

0

−

0

0

G ⋅ IT l

0

0

0

0

0

G⋅ IT l

0

0

0

0

l2

6⋅ E ⋅ I z

0

l

4⋅ E ⋅ I y

0

l2

6⋅ E ⋅ I y

0

0

0

l

2⋅ E ⋅ I y

−

0

0

−

4⋅ E ⋅ I z l

0

0

0

l3

6⋅ E ⋅ I z

0

2⋅ E ⋅ I z l

0

0

0

l2

6⋅ E ⋅ I z

0

º » » » » » » » » ª » ª u1 º « » « v1 » « » »« « » « w1 » « « » » ϕ « » « x1 » « » « ϕ y1 » « » »« « » « ϕ z1 » « »⋅« u » = « »« 2 » « » « v2 » « »« w » « »« 2 » « » « ϕ x2 » « » »« « » « ϕ y2 » « « » » ϕ « » ¬ z2 ¼ ¬ » » » » » » » »¼ z2

Fx1 º » Fy1 » Fz1 » » M x1 » » M y1 » M z1 » » Fx 2 » Fy 2 »» Fz 2 » » M x2 » M y 2 »» M »¼

3.6 Räumliche Stabwerke 135

136

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Die Terme für die Normalkraft, die Torsion, die Biegung um die y-Achse und für die Biegung um die z-Achse sind jeweils entkoppelt. Die Schnittgrößen lassen sich aus den Stabendkräften leicht ermitteln. Sie unterscheiden sich nach Bild 3-25 gegebenenfalls lediglich um das Vorzeichen von den Stabendkräften.

ϕ z1

ϕ x1

ϕ y1

ϕz2

ϕ y2

ϕx2

Verschiebungsgrößen

Kraftgrößen

Schnittgrößen

Bild 3-25 Verschiebungs- und Kraftgrößen des dreidimensionalen Stabelements

3.6 Räumliche Stabwerke

137

3.6.3 Biegebalken mit Wölbkrafttorsion Beim Biegebalken mit Wölbkrafttorsion tritt als zusätzlicher Freiheitsgrad die Verwindung ψ nach (2.20) hinzu. Die der Verwindung entsprechende Kraftgröße ist das Wölbbimoment, Bild 3-26. Nach [3.6] lautet die Steifigkeitsmatrix:

ψ ψ

Bild 3-26 Wölbbimoment und Verwindung

(3-26)

ª E⋅ A « « A « « 0 « « « 0 « « « 0 « « « 0 « « « 0 « « « 0 « « E⋅ A «− « A « « 0 « « « 0 « « « 0 « « « « 0 « « « 0 « « «¬ 0

0

0

0

A2

− 6⋅ E ⋅ I y

0

A3

− 12⋅ E ⋅ I y

0

0

− H ⋅ E ⋅ Iω A2

A

E⋅ I y

0

2⋅

0

A2

6⋅ E ⋅ I y

0

0

0

− F ⋅ E⋅ Iω A3

0

0

0

0

0

0

− H ⋅ E ⋅ Iω A2

0

E⋅ I y 4⋅ A

0

A2

− 6⋅ E ⋅ I y

0

0

0

0

A3

F ⋅ E⋅ Iω

0

0

0

0

0

A2

− 6⋅ E ⋅ I y

0

A3

6⋅ E ⋅ I z A2

0

0

0

A3

− 12⋅ E ⋅ I z

0

0

A2

6⋅ E ⋅ I z

0

0

0

0

12⋅ E ⋅ I z A3

12⋅ E ⋅ I y

0

0

0

0

E⋅ I z A

2⋅ 0

E⋅ I z A

0

0

0

A2

− 6⋅ E ⋅ I z

4⋅

0

0

0

6⋅ E ⋅ I z A2

0

B´⋅

E⋅ I ω A

0

0

A2

H ⋅ E⋅ Iω

0

0

0

A´⋅ I ω A

0

0

− H ⋅ E⋅ Iω A2

0

0

0

−

0

0

0

0

0

0

0

E⋅ A A

0

A2

− 6⋅ E ⋅ I z

0

0

0

A3

12⋅ E ⋅ I z

0

A2

− 6⋅ E ⋅ I z

0

0

0

A3

− 12⋅ E ⋅ I z

0

0

0

0

0

0

0

E⋅ A A

0

0

A2

6⋅ E ⋅ I y

0

A3

12⋅ E ⋅ I y

0

0

0

0

A2

6⋅ E ⋅ I y

0

A3

− 12⋅ E ⋅ I y

0

0

A2

H ⋅ E⋅ Iω

0

0

F ⋅ E⋅ Iω A3

0

0

0

A2

H ⋅ E⋅ Iω

0

0

A3

− F ⋅ E⋅ Iω

0

0

0

0

0

0

0

l

4⋅

0

0

A

EI y

0

A2

6⋅ E ⋅ I y

2⋅

E⋅ I y

0

A2

− 6⋅ E ⋅ I y

0

0

0

0

E⋅ I z A

4⋅

0

E⋅ I z A

0

0

0

A2

− 6⋅ E ⋅ I z

2⋅

0

0

0

A2

6⋅ E ⋅ I z

0

º » » » 0 » » » 0 » » − H ⋅ E⋅ Iω » » 2 A » » » 0 » » » 0 » E⋅ I ω » » B´⋅ » A » » 0 » » » 0 » » » 0 » » H ⋅ E ⋅ Iω » 2 » A » » 0 » » » 0 » » E⋅ I ω » A´⋅ »¼ A 0

ª Fx1 º ª u1 º « » « » « Fy1 » « v1 » « F » « w1 » « z1 » « » « M x1 » « ϕ x1 » « » «ϕ » « M y1 » « y1 » « M » « ϕ z1 » « z1 » « » « M ω1 » « ψ1 » ⋅« = « » u » « Fx 2 » « 2 » « Fy 2 » « v2 » « » « w » « Fz 2 » « 2 » «M » « ϕ x2 » « x2 » « » « M y2 » « ϕ y2 » « » «ϕ » « M z2 » « z2 » «¬ M »¼ «¬ ψ2 »¼ ω2

138 3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

3.6 Räumliche Stabwerke

139

mit

ε = A⋅ A´=

G ⋅ It E ⋅ Iω

ε ⋅ (sinh ε − ε ⋅ cosh ε ) , 2⋅ (cosh ε − 1) − ε ⋅ sinh ε

H = A′ + B′ ,

ϕ z1

B´=

G⋅ It ε ⋅ (ε − sinh ε ) , D´= A ²⋅ , E⋅ Iω 2⋅ (cosh ε − 1) − ε ⋅ sinh ε

F = 2⋅ H + D´

ϕ y1

(3.26a-f)

ϕz2

ϕ y2

ψ x1

ψ x2

ϕx1

ϕx 2

Verschiebungsgrößen

Kraftgrößen

Schnittgrößen

Bild 3-27 Verschiebungs- und Kraftgrößen des dreidimensionalen Stabelements mit Wölbkrafttorsion

Die Schnittgrößen können wieder aus der leicht nach Bild 3-27 aus den Stabendkraftgrößen ermittelt werden. Die Aufteilung des Torsionsmomentes in den Anteil aus primärer und sekundärer Torsion erhält man mit (2.22a) und (2.20) sowie (2.15) zu M x , p = − G ⋅ IT ⋅ ψ

(3.27)

140

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke M x, s = M x − M x, p

(3.27a)

Diese Matrix kann wie die Steifigkeitsmatrix ohne Wölbkrafttorsion zur Systemsteifigkeitsmatrix zusammengesetzt werden. Die Kompatibilität der Verwindung zwischen den Elementen ist allerdings nur bei auf einer Linie liegenden Elementen mit gleichem Querschnitt gegeben. In allen anderen Fällen kann nicht davon ausgegangen werden, dass der VerwindungsFreiheitsgrad mit dem entsprechenden Freiheitsgrad des Nachbarelementes identisch ist. Hinweise zur Modellbildung werden Abschnitt 3.7.3 gegeben. Die Steifigkeitsmatrix (3.26) enthält die exakte, analytische Lösung der Differentialgleichung der Verwölbung. Die Ergebnisse sind also von Diskretisierung unabhängig. Es gibt jedoch auch Lösungen, die auf Ansatzfunktionen, ähnlich denjenigen bei Finiten Elementen für Flächentragwerke, beruhen. In diesem Fall tritt ein Diskretisierungsfehler auf, der eine hinreichend feine Unterteilung des Stabes erfordert. Beispiel 3.15

Für den in Bild 3-28 dargestellten, durch ein Torsionsmoment belasteten Stab soll eine Berechnung unter Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion durchgeführt werden. Der Träger besitzt in den Punkten 1 und 3 eine Gabellagerung. Die Querschnittskennwerte für einen IPE200 sind: E = 21000 kN / cm2

G = 8100 kN / cm2

I ω = 12990 cm6

It = 6,98 cm4

Das Beispiel wird in [3.6] behandelt.

Bild 3-28 Auf Torsion beanspruchter Träger

Als Freiheitsgrade treten hier in jedem Knotenpunkt die Verdrehung ϕ x und die Verwindung ψ auf. In den Punkten 1 und 3 ist aufgrund der Gabellagerung der Verdrehungsfreiheitsgrad festgehalten, während der Verwindungsfreiheitsgrad frei ist. Alle übrigen Verschiebungs- und Verdrehungsfreiheitsgrade sind festgehalten. Die Elementsteifigkeitsmatrizen ergeben sich nach (3.26) unter Berücksichtigung der Festhaltungen zu:

3.6 Räumliche Stabwerke

141

ª 343 − 23214 − 343 − 23214 º « » − 23214 5498721 23214 1465523 » K (1) = K (2) = K (3) = « « − 343 23214 343 23214 » « » ¬ − 23214 1465524 23214 5498721¼ Nach der Überlagerung und der Berücksichtigung der Auflagerungsbedingungen erhält man das Gleichungssystem zu: ª 5498721 23214 1465524 º ª ψ1 º ª 0 º 0 0 0 » « « »« » 23214 686 0 -23214 0 0 « » « φ x 2 » « 100 » « 1465524 » « ψ2 » « 0 » 0 10997443 1465524 0 0 »= « » « »⋅« 0 -23214 1465524 10997443 23214 1465524 » « ψ3 » « 0 » « « 0 0 0 23214 343 23214 » « φ x 4 » « 0 » » « » « »« 0 0 0 1465524 23214 5498721¼ «¬ ψ4 »¼ ¬ 0 ¼ ¬ Die Lösung des Gleichungssystems lautet: ª ψ1 º ª − 0.808 º « » « » φ 188.460 « x2 » « » « ψ2 » « 0.047 » − 3 « »= « »⋅ 10 0.457 » « ψ3 » « « φ » « − 31.728 » « x4 » « » «¬ ψ4 »¼ ¬ 0.012 ¼ Die Elementkraftgrößen erhält man durch Multiplikation der Elementsteifigkeitsmatrix mit dem Vektor der Verschiebungsgrößen am Element. Die Schnittgrößen ergeben sich nach (3.27), (3.27a) sowie Bild 3-27 zu: M S ω1 = − M ω1 ,

T1 = − M x1 ,

M x, p,1 = − G ⋅ IT ⋅ ψ1 ,

M x, s,1 = − M x,1 − M x, p,1 ,

T2 = M x 2 ,

M x, p,2 = − G ⋅ IT ⋅ ψ2 ,

M x, s,2 = M x,1 − M x, p,2 , M S ω 2 =

Man erhält: Element 1

Element 2

Element 3

Primäres Torsionsmoment

M x, p ,1

45.69

-2.65

-25.83

M x, p ,2

-2.65

-25.83

-0.69

M x,s ,1

1.32

-50.34

25.83

M x,s , 2

49.66

-27.16

0.69

T1

47.01

-52.99

0

T2

47.01

-52.99

0

Sekundäres Torsionsmoment

Gesamtes Torsionsmoment

M ω2 .

142

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke Element 1

Element 2

Element 3

Wölbbimoment

M Sω1

0

3448

-1794

M Sω 2

3448

-1794

0

Ohne Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion würde sich das Torsionsmoment aufgrund der Symmetrie des Systems (Torsionseinspannung in en Punkten 1 und 3, Belastung in Stabmitte) zu T=50 kNcm nach links und T=-50 kNcm nach rechts verteilen. Die Wölbkrafttorsion hebt jedoch die Symmetrie auf, da am Punkt 3 die Verwindung durch die Einspannung in den Stab 3-4 behindert ist, während sie sich in Punkt 1 frei einstellen kann. Durch die Weiterleitung des Wölbbimomentes in den Stab 3-4 treten jetzt dort auch sekundäre und primäre Torsionsmomente auf, die sich aber in der Summe zu Null ergänzen. Die Schnittgrößenverläufe sind in Bild 3-29 dargestellt.

(a) Verdrehung

(b) Verwindung

(c) Primäres Torsionsmoment

(d) Sekundäres Torsionsmoment

(e) Gesamtes Torsionsmoment

Bild 3-29: Verformungs- und Schnittgrößen

(f) Wölbbimoment

3.7 Modellbildung bei Stabwerken

143

3.7 Modellbildung bei Stabwerken 3.7.1 Auflager Realitätsnahe Auflagerbedingungen sind häufig für eine zutreffende Erfassung des Tragverhaltens von statischen Systemen von entscheidender Bedeutung. Bei Finite-ElementProgrammen werden Auflagerbedingungen durch Angabe der Freiheitsgrade, die an einem Knoten festgehalten sind, definiert (Bild 3-30). Diese Freiheitsgrade werden dann nach dem in Abschnitt 3.2.5 erläuterten Verfahren aus dem Gleichungssystem eliminiert.

Bild 3-30 Definition von Auflagern bei Finite-Element-Programmen

Schiefe Auflager können durch eine Transformation der Verschiebungsfreiheitsgrade eines Knotenpunkts exakt berücksichtigt werden. Bei Finite-Element-Programmen, die dies nicht vorsehen, müssen schiefe Auflager durch extrem steife Federn oder Pendelstäbe abgebildet werden. Die Steifigkeit der Feder bzw. des Fachwerkstabs muss so hoch gewählt werden, dass deren Nachgiebigkeit im Gesamtsystem praktisch vernachlässigt werden kann (Bild 3-31). Numerische Schwierigkeiten sind hierdurch nicht zu erwarten.

Bild 3-31 Definition schiefer Auflager

Die Lastfälle „Auflagerverschiebung“ und „Auflagerverdrehung“ lassen sich, wie in Abschnitt 3.2.5 erwähnt, beim Verschiebungsgrößenverfahren direkt einführen und ergeben einen Lastvektor für die Auflagerverschiebung auf der rechten Seite. Ist diese Vorgehensweise nicht in das verwendete Rechenprogramm implementiert, so muss in demjenigen Freiheitsgrad, in dem eine eingeprägte Auflagerverschiebung definiert werden soll, eine Feder mit einer extrem

144

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke 15

hohen Federsteifigkeit ko (z. B. 10 kN/m) definiert werden. Der Knotenpunkt, an dem sich die Feder befindet, wird nun mit der Kraft bzw. dem Moment

Fo = ko · uo

(3.28)

in Richtung des betreffenden Freiheitsgrads belastet, wobei uo die eingeprägte Verschiebung bzw. Verdrehung bedeutet. Da die Feder gegenüber dem übrigen statischen System extrem steif ist, nimmt sie die Kraft Fo praktisch vollständig auf. Ist dies nicht der Fall, muss die Federkonstante ko erhöht werden. Bei schiefen Auflagern kann anstelle der Feder ein einseitig zweiwertig gelagerter Fachwerkstab verwendet werden, wobei die Federsteifigkeit sich nach (3.3) zu ko = E·A/l ergibt. Dieses Vorgehen wird in der Literatur auch als Penalty-Verfahren bezeichnet.

Bild 3-32 Berechnungsmodell für die Lastfälle Auflagerabsenkung und -verdrehung

Besondere Aufmerksamkeit ist der Modellierung dreidimensionaler Lager zu widmen. Hierbei ist immer der Modellcharakter des Berechnungsmodells zu sehen.

Beispiel 3.16 Der in Bild 3-33 dargestellte Zweifeldträger wird als dreidimensionales Stabwerk eingegeben. Die Geometrie und die Lagerbedingungen werden variiert. Das Beispiel ist [3.8] entnommen. Die vom Programm berechneten Momentenlinien sind in Bild 3-33 dargestellt. In Fall (a) liegen alle drei Auflagerpunkte des Trägers auf einer Linie und es stellt sich die für gelenkige Lagerung übliche Momentenlinie des Zweifeldträgers ein. Bei einer leichten Änderung der Geometrie, die sich durch Drehung des rechten Feldes in der Draufsicht um einen kleinen Winkel ergibt, erhält man eine völlig veränderte Momentenlinie (Bild 3-33b). Dieser Effekt erklärt sich, wenn man das Momentengleichgewicht am mittleren Auflager betrachtet. Dort steht das Biegemoment M li des linken Feldes im Gleichgewicht mit dem Biegemoment M re und dem Torsionsmoment T des rechten Feldes. Da im Fall (b) das rechte Lager aufgrund der gelenkigen Lagerung kein Torsionsmoment aufnehmen kann, ist T=0 und damit im vektoriel-

3.7 Modellbildung bei Stabwerken

145

len Gleichgewicht auch M re = 0 (Bild 3-33d). Bringt man am rechten Lager eine Torsionseinspannung an, so stellt sich eine Momentenline ein, die sich nur geringfügig von derjenigen des geraden Stabzuges unterscheidet. Der Effekt ist grundsätzlicher Art und daher unabhängig von der Größe des Winkels ϕ , d. h. er tritt auch bei beliebig kleinen Winkeln auf.

A

−

F⋅A 4.93

F⋅A 10.67

F⋅A 4

(a)

A

(b)

MT = −

F⋅A 10.71

ϕ ≈ 1D

A

A

F⋅A 308

ϕ

F⋅A 4.92

ϕ

Mli

Mre

T

(c)

(d)

Bild 3-33 Einfluss der Lagerbedingungen auf die Schnittgrößen eines Zweifeldträgers

3.7.2 Federn Federelemente werden verwendet, um elastische Nachgiebigkeiten im Berechnungsmodell abzubilden. Einige Beispiele für die Modellabbildung von anschließenden Stäben durch Federn sind in Tabelle 3-4 zusammengestellt. Auch Langzeitverformungen sind bei der Berechnung von Federkonstanten zu berücksichtigen. Dies kann z. B. durch eine Abminderung des Elastizitätsmoduls geschehen.

146

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Die Nachgiebigkeit starrer Fundamente auf dem Baugrund kann ebenfalls durch Federn dargestellt werden. Für ein Kreisfundament auf einem Baugrund, bei dem der Schubmodul mit der Tiefe linear zunimmt, sind die Federkonstanten in [3.9] angegeben. Rechteckfundamente und andere Fundamente können näherungsweise wie Kreisfundamente behandelt werden, wenn man einen geeigneten Ersatzradius wählt (vgl. Abschnitt 5.8.2). Tabelle 3-4 Modellabbildung von Anschlussstäben durch Federn System

Federkonstante

F = kv ⋅ δ

= Dehnsteifigkeit = Biegesteifigkeit

EA l

M = kϕ ⋅ ϕ

kϕ =

3 ⋅ EI l

M = kϕ ⋅ ϕ

kϕ =

4 ⋅ EI l

M = kϕ ⋅ ϕ EA EI

kv =

kϕ =

4 ⋅ l ⋅ k 0 + 12 ⋅ EI 4⋅l +

l 2 ⋅ k0 EI

l = Stablänge ko = Drehfederkonstante

Beispiel 3.17 Ein freiaufliegender Balken ist in der Mitte an ein tragendes statisches System angeschlossen. Der Balken soll in der Modellabbildung dieses Systems als Feder dargestellt werden. Die Federkonstante ist zu ermitteln.

Bild 3-34 Modellabbildung eines freiaufliegenden Balkens als Feder

Die Durchbiegung in Balkenmitte unter einer Einzellast beträgt:

v=

F l3 . 48 E I

3.7 Modellbildung bei Stabwerken

147

Hieraus ergibt sich der Zusammenhang zwischen Kraft und Durchbiegung und damit die Federkonstante zu: F=

48 E I l

3

⋅v

F=k·v

k=

48 E I l3

.

Mehrere Federn können durch eine Einzelfeder ersetzt werden. Hierbei ist zwischen parallel und hintereinander geschalteten Federn zu unterscheiden. Die Gleichungen sind in Bild 3-35 angegeben.

Parallel geschaltete Federn Kräfte in den Einzelfedern:

F1 =

k k1 ⋅ F F2 = 2 ⋅ F k k

F3 =

k3 ⋅F k

Federkonstante:

F = k ⋅δ

k = k1 + k 2 + k3

Hintereinander geschaltete Federn Kräfte in den Einzelfedern:

F1 = F F2 = F F3 = F

Federkonstante:

F = k ⋅δ

1 1 1 1 = + + k k1 k 2 k 3

Bild 3-35 Federkonstanten bei parallel und hintereinander geschalteten Federn

148

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Beispiel 3.17

Bild 3-36 Ersetzen von Stäben durch Federn

Für die in Bild 3-36 angegebenen Systeme sollen die Stäbe wie angegeben durch Federn ersetzt werden. Es sind die Federkonstanten zu ermitteln. Beim System (a) handelt es sich um die elastische Einspannung eines Riegels in zwei Stiele. Die beiden Stiele sind an den Riegel angeschlossen und können als parallel geschaltete Federn betrachtet werden. Die Gesamtfederkonstante erhält man zu: kϕ1 =

3 E I1 l1

kϕ 2 =

4 E I2 l2

kϕ =

3 E I1 4 E I 2 + l1 l2

Im System (b) sind die beiden Stabelemente hintereinander angeordnet. Betrachtet man beide Stababschnitte als Federn, so handelt es sich um hintereinander geschaltete Federn. Die Gesamtfederkonstante ergibt sich somit zu: k1 =

E A1 l1

k2 =

l1 l2 1 1 1 = + = + k k1 k2 E A1 E A2

E A2 l2

k =

1 l1 l + 2 E A1 E A2

=

E ⋅ A1 ⋅ A2 A2 ⋅ l1 + A1⋅ l2

3.7.3 Biegebalken Lage der Stabachse

Die Modellabbildung von Rahmen und anderen biegebeanspruchten Systemen erfolgt durch Balkenelemente. Hierbei ist darauf zu achten, dass die Stabachsen mit den Systemachsen übereinstimmen. Die Systemachse ist die Verbindungslinie der Schwerpunkte des Anfangs- und Endquerschnitts eines Stababschnitts. Abweichungen der Stabachse von der Bezugsachse können bei exzentrisch angeschlossenen Stäben auftreten (Bild 3-37). Zu deren Modellierung gibt es verschiedene Möglichkeiten.

3.7 Modellbildung bei Stabwerken

149

Modellierung exzentrischer Stabachsen

• Stabelemente mit exzentrischer Bezugsachse • Kinematische Kopplung (Multi Point Constraint – MPC) • Stäbe mit hoher Steifigkeit Bei manchen Programmen kann die exzentrische Lage eines Balkenelements, d. h. die Abweichung der Bezugsachse von der Stabachse unmittelbar eingegeben werden (Bild 3-38). Ist dies nicht möglich, sollten zur Abbildung starrer Kopplungen die in manchen Programmen verfügbaren starren kinematischen Kopplungsbedingungen verwendet werden. Man spricht auch von Multi Point Constraints (MPC). Bei richtiger Implementierung sind diese Formulierungen numerisch unproblematisch (vgl. Abschnitt 4.11.4, MPC-Modell). Starre Kopplungen können auch näherungsweise durch Stäbe mit hohen Querschnittswerten ersetzt werden. Dabei ist allerdings darauf zu achten, dass sich die eingegebenen Steifigkeiten nicht um viele Zehnerpotenzen von den übrigen Steifigkeiten unterscheiden, da sich sonst numerische Probleme ergeben können (vgl. Abschnitt 3.8.1).

(a) Stütze

(b) Balken

Bild 3-37 Systeme mit exzentrischen Stabachsen

Bei Balken mit verspringender Stabachse wie beispielsweise in Bild 3-37(b) ruft die horizontale Lagerung beider Stabenden Normalkräfte im Stab hervor. Die horizontale Lagerungsbedingungen (festgehalten oder frei verschieblich) haben daher wie bei der Scheibe einen wesentlichen Einfluss auf die Schnittgrößen und sind sorgfältig zu modellieren. Für das analoge Problem der Scheibe ist dies in Beispiel 4.14 erläutert.

150

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Bild 3-38 Stabement mit exzentrischem Anschluss

Vouten

Stäbe mit Vouten können mit geneigter oder auch vereinfachend mit gerader Stabachsee modelliert werden, Bild 3-39. Da in die meisten Programm lediglich Stabelemente mit konstantem Querschnitt implementiert sind, obwohl Formulierungen für Stäbe mit veränderlichem Querschnitt durchaus vorliegen [3.11], entsteht hier ein Diskretisierungsfehler. Die Vouten müssen daher genügend fein diskretisiert werden, um insbesondere bei statische unbestimmten Systemen die Steifigkeit zutreffend abzubilden. Bei Stäben mit geneigter Stabachse ist wie bei Stäben mit einem Versatz der Achse die realitätsnahe Modellierung der Horizontalverschieblichkeit von Bedeutung.

Bild 3-39 Balken mit Vouten

Rahmenecken

Die Steifigkeit von Rahmenecken lässt sich mit starren Endanschlüssen abbilden (Bild 3-40). Da hierbei die Steifigkeit der Ecke überschätzt wird, wird in [3.10] empfohlen, die Länge des elastischen Balkens auf den Wert

l* = l - (1 - η) (ri + rj)

(3.29)

mit η = 0.5 zu vergrößern. Die maßgebenden Schnittgrößen werden aber auch dann an den Stabanschnitten, d. h. im Abstand ri und rj von den Knoten i bzw. j ermittelt. Infolge der höheren Steifigkeit der Rahmenecke erhöhen sich die Absolutwerte der Einspannmomente in der

3.7 Modellbildung bei Stabwerken

151

Ecke. Bei üblichen Rahmenabmessungen beträgt der Einfluss jedoch nur wenige Prozent und kann in der Regel vernachlässigt werden. Biegeweiche Rahmenecken lassen sich im Stahlbau mit Federmodellen beschreiben. Ein Modell ist im EC 3 [3.18] angegeben.

Bild 3-40 Modellbildungen mit starren Endanschlüssen

Aussparungen

Größere Aussparungen in Balken können nach Bild 3-41 durch zwei Balkenelemente modelliert werden. Die Balkenelemente oberhalb und unterhalb der Aussparung werden entweder als Stäbe mit exzentrischer Bezugsachse modelliert oder mit Starrkörperkopplungen beziehungsweise mit Stäben mit hoher Steifigkeit angeschlossen. Bei Stahlbetonbalken kann für das Balkenelement im Zugbereich aufgrund der zu erwartenden Rissebildung eine Abminderung der Längs- und Biegesteifigkeit sinnvoll sein. Dies geschieht durch eine Abminderung des Elastizitätsmoduls für dieses Element.

(a) Balken mit Aussparung

(b) Modellierung mit Balkenelementen

Bild 3-41 Modellierung einer Aussparung in einem Balken

152

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Schub-, Normalkraft- und Torsionsverformungen

Bei der Berechnung von Stabwerken nach der Finite-Element-Methode werden immer Normalkraftverformungen berücksichtigt, sofern nicht entsprechende Lagerbedingungen, die dies verhindern, definiert werden. Sollen die Normalkraftverformungen in besonderen Fällen unterdrückt werden, kann dies durch Eingabe einer großen Querschnittsfläche (z. B. 10 m²) geschehen. Schubverformungen können entsprechend durch Eingabe einer großen Schubfläche unterdrückt werden. Bei manchen Programmen besteht auch die Möglichkeit, durch die statisch ´sinnlose´ Eingabe der Schubfläche zu Null Schubverformungen auszuschließen. Träger mit nachgiebigem Verbund, wie sie im Holzbau auftreten, können nach [3.12] durch ein Ersatzsystem beschrieben werden. Die Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel wird durch Fachwerkstäbe (Diagonalen und Pfosten) mit angepassten Steifigkeiten dargestellt. Bei räumlichen Balkenelementen ist auch das Torsionsträgheitsmoment einzugeben. Für gedrungene Vollquerschnitte kann das Torsionsträgheitsmoment, sofern nicht der genaue Wert eingegeben wird, nach St. Venant abgeschätzt werden zu IT =

A4

(

4π 2 I y + I z

)

(3.30)

wobei A die Querschnittsfläche und Iy bzw. Iz die Trägheitsmomente um die Hauptachsen des Querschnitts bedeuten [3.7]. Für Ellipsenquerschnitte ist (3.30) exakt.

Elastische Bettung Elastisch gebettete Balken können entweder durch spezielle elastisch gebettete Balkenelemente abgebildet oder, wenn das verwendete Programm dies nicht zulässt, vereinfachend als Stabzug mit Einzelfedern an den Knotenpunkten dargestellt werden (Bild 3-42) . Bezeichnet man den (konstanten) Abstand der Einzelfedern mit ∆x , die Balkenbreite mit b und den Bettungsmodul mit ks, so erhält man die Federkonstanten der Einzelfedern zu kv = ks ⋅ b ⋅ ∆x . Der Abstand der Einzelfedern darf nicht zu groß gewählt werden. Er sollte z. B. bei einem Balken mit der Biegesteifigkeit EI den Wert von

∆x=

1 4⋅ E ⋅ I ⋅4 4 ks ⋅ b

(3.31)

(ein Viertel der charakteristischen Länge) nicht überschreiten. Die mit diesem vereinfachten Modell erhaltenen Schnittgrößen sind natürlich ingenieurmäßig zu interpretieren. Insbesondere verläuft aufgrund der punktförmigen Krafteinleitung an den Einzelfedern die Momentenlinie zwischen den Knotenpunkten linear, und die Querkraftlinie weist an den Knotenpunkten Sprünge auf. Bei der Wahl des Bettungsmoduls ist zu beachten, dass in Bereichen hoher Spannungen, wie z. B. im Bereich von Einzellasten auf den Balken, das Verhältnis zwischen Bodenspannungen und Setzungen nach dem Steifemodulverfahren höher ist als im Normalbereich und somit dort ein höherer Bettungsmodul angesetzt werden kann.

3.7 Modellbildung bei Stabwerken

ǻx

ǻx

ǻx

ǻx

ǻx

153

ǻx

ǻx

ǻx

ǻx

ǻx

Bild 3-42 Diskretisierung eines elastisch gebetteten Balkens

Lasten Unter Einzellasten treten in elastisch gebetteten Balken hohe Biegemomente auf. Diese können unter Berücksichtigung der Aufstandsbreite der Last und einer Lastausbreitung im Balken unter 45° abgemindert werden. Häufig ist auch eine Abminderung der Steifigkeit des Stahlbetonbalkens im Bereich der Einzellast aufgrund der Rissebildung gerechtfertigt. Alle genannten Maßnahmen haben eine Abminderung des Moments zur Folge. Außergewöhnliche Lastarten, die in ein Stabwerksprogramm nicht implementiert sind, können mit dem in Abschnitt 3.4.2 angegebenen Verfahren als Ersatzlasten behandelt werden. So kann der Lastfall „Vorspannung“ mit jedem beliebigen Stabwerksprogramm erfasst werden, wobei die Starreinspannmomente des vorgespannten Einzelstabes beispielsweise nach [3.7] oder [3.13] ermittelt werden müssen. Eine andere Möglichkeit zur Berechnung des Lastfalls „Vorspannung“ ist die ersatzweise Darstellung durch Temperaturlasten. Die von der aufgebrachten Vorspannung hervorgerufenen Längenänderungen und Krümmungen des Stababschnitts müssen dann der Längenänderung beziehungsweise Krümmung infolge der Temperaturbeanspruchung entsprechen.

Wölbkrafttorsion Besondere Überlegungen erfordert die Modellierung der Verbindungen von Stabelementen mit einem Verwölbungsfreiheitsgrad. Das Wölbbimoment kann nur dann von einem Stabelement auf das nächste übertragen werden, wenn die konstruktiven Voraussetzungen dazu gegeben sind. Dazu muss die Verwindung an beiden Elementen kompatibel sein (Bild 2-11, Bild 2-12). Dies ist der Fall, wenn die Elemente gleichen Querschnitt besitzen und ihre Achse in einer Linie liegen. Auch bei Trägerrostknoten mit gleichen Querschnitten wie in Bild 3-43a kann die Verwölbung sich in den Gurten der I-Profile übertragen. In den meisten anderen Fällen wie beispielsweise der Rahmenecke in Bild 3-43b ist der Verwindungsfreiheitsgrad nicht mit dem entsprechenden Freiheitsgrad des Nachbarelementes identisch und muss folglich bei der Modellierung wie ein „Gelenk“ des Wölbbimoments behandelt werden. Insgesamt besteht hier noch Forschungsbedarf, inwieweit in nicht wölbkompatiblem Verbindungen wie beispielsweise in Rahmenecken von einer teilweisen Übertragung des Wölbbimoments ausgangen werden kann [3.14], [3.16].

154

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Die Modellierung komplexer Systeme wie Hohlkästen, gegliederter Wandscheiben und Aussteifungssystemen von Hochhäusern wird in [3.15] behandelt.

(a) Trägerrost

(b) Rahmenecke

Bild 3-43 Verbindung von Stäben mit Verwölbungsfreiheitsgrad

3.7.4 Symmetrische Systeme Die Verschiebungen eines symmetrischen Systems sind symmetrisch bei symmetrischer Belastung und antimetrisch bei antimetrischer Belastung. Die Symmetrieeigenschaften von Schnittgrößen und Spannungen symmetrischer Systeme sind in Tabelle 3-5 zusammengestellt. Besitzt ein System mehrere Symmetrieachsen, so gelten diese Bedingungen an jeder Symmetrieachse. Tabelle 3-5 Spannungen und Schnittgrößen in symmetrischen Systemen System

Stabwerke

Scheiben

Platten

Schnittgröße/

Belastung

Spannung

symmetrisch

antimetrisch

Biegemomente Normalkräfte Torsionsmomente

symmetrisch

antimetrisch

Querkräfte

antimetrisch

symmetrisch

Normalspannungen

symmetrisch

antimetrisch

Schubspannungen

antimetrisch

symmetrisch

Biegemomente

symmetrisch

antimetrisch

Querkräfte Drillmomente

antimetrisch

symmetrisch

3.7 Modellbildung bei Stabwerken

155

Aufgrund der Symmetrie der Verschiebungen und Spannungen genügt bei symmetrischen Systemen die Berechnung eines symmetrischen Teilsystems. An den Symmetrieachsen sind besondere Lagerbedingungen zu definieren, die sich aus den Symmetriebedingungen ergeben. Für ebene symmetrische Systeme mit einer Symmetrieachse in Richtung der x- oder y-Achse sind die festzuhaltenden und beweglichen Freiheitsgrade in Tabelle 3-6 zusammengestellt. Jede unsymmetrische Belastung eines symmetrischen Systems lässt sich in einen symmetrischen und einen antimetrischen Anteil zerlegen. Die Schnittgrößen und Verschiebungen sind dann mit zwei entsprechend den Symmetriebedingungen gelagerten Teilsystemen zu ermitteln und danach zu überlagern. Mit diesem in der Baustatik als Verfahren der Belastungsumordnung bekannten Vorgehen soll der Rechenaufwand verringert werden. Bei der Computerberechnung ist allerdings zu beachten, dass die Ergebnisse für die symmetrischen und antimetrischen Lastanteile meist nicht mehr automatisch überlagert werden können, da sie mit unterschiedlich gelagerten statischen Systemen berechnet werden. In der Regel ist daher bei beliebig belasteten symmetrischen Systemen die Modellabbildung des vollständigen Systems sinnvoller. Hingegen sollte bei großen Flächentragwerken mit einer symmetrischen (oder antimetrischen) Belastung die Möglichkeit zur Berechnung eines symmetrischen Teilsystems genutzt werden, da sich hierdurch die Eingabe vereinfacht und sich deutliche Rechenzeitverkürzungen ergeben können. Tabelle 3-6 Symmetriebedingungen ebener symmetrischer Systeme System

Belastung symmetrisch

antimetrisch

Rahmen/Scheibe

v y

ϕz x

u

u=0 ϕz= 0

v=0 ϕz= 0

ϕy = 0

ϕx = 0

v=0

u=0

Trägerrost/Platte

ϕy y x

ϕx

w=0 ϕx = 0

w=0 ϕy = 0

Beispiel 3.19 Für den in Bild 3-44 dargestellten symmetrischen Rahmen sind die Ersatzsysteme für symmetrische und antimetrische Belastung zu ermitteln.

156

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke Symmetrische Belastung

Antimetrische Belastung

F F

F/2 F

F

F F

F

q

q F

I

System

F

I/2

Ersatzsystem

I

System

F I/2

Ersatzsystem

Bild 3-44 Symmetrischer Rahmen

Das Ersatzsystem besteht aus dem halben Gesamtsystem. Seine Lagerbedingungen für symmetrische sowie für antimetrische Belastung erhält man aus Tabelle 3.6. Stäbe auf der Symmetrieachse sind mit dem halben Trägheitsmoment und der halben Fläche einzugeben. Einzellasten auf der Symmetrieachse werden im Ersatzsystem mit dem halben Wert berücksichtigt. Die beiden Ersatzsysteme sind in Bild 3-44 angegeben. Beispiel 3.20 Für die in Bild 3-45 dargestellte Deckenplatte mit mehreren Symmetrieachsen, die durch eine Gleichlast belastet wird, ist ein vereinfachtes Ersatzsystem, das die Symmetrieeigenschaften des Systems nutzt, anzugeben. Ein vereinfachtes System für ein Viertel der Platte ist in Bild 3-45 angegeben. Die Lagerbedingungen auf den Symmetrieachsen ergeben sich nach Tabelle 3-6. Das System ließe sich noch weiter auf ein Achtel des Gesamtsystems vereinfachen, wobei schiefe Lager definiert werden müssten.

Bild 3-45 Deckenplatte mit mehreren Symmetrieachsen

3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen

157

3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen 3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen

3.8.1 Fehlermöglichkeiten bei Stabwerksberechnungen Die mit Hilfe des Computers berechneten Ergebnisse erfordern, ebenso wie diejenigen einer Berechnung von Hand, eine kritische Überprüfung. Aufgrund der oftmals perfekten drucktechnischen Präsentation der Ergebnisse einer Computerberechnung unter Einbeziehung von Tabellen und Grafiken und der beeindruckenden Leistungsfähigkeit der verwendeten Software ist man aus psychologischen Gründen gern geneigt, den Ergebnissen zu vertrauen. Wie die langjährige Erfahrung zeigt, ist „Blauäugigkeit“ gegenüber Computerberechnungen immer unangebracht. Jeder Ingenieur sollte eine Strategie entwickeln, nach der er eine Computerberechnung überprüft, bevor er sie als korrekt akzeptiert. Als Hilfsmittel hierzu werden im Folgenden mögliche Fehlerquellen und Kontrollen dargestellt.

Fehlermöglichkeiten einer Computerberechnung von Stabwerken: – Fehler im Berechnungsmodell – Eingabefehler – numerische Fehler – Programmfehler Fehler im Berechnungsmodell Fehler im Berechnungsmodell von Stabwerken entstehen, wenn das statische System (das Berechnungsmodell) falsch gewählt ist. Sie sind auch bei einer Berechnung mit klassischen statischen Verfahren nicht auszuschließen. Allerdings ist die Gefahr, ein unzutreffendes statisches System zu wählen, bei Computerberechnungen eher gegeben, da es hierbei kaum Einschränkungen hinsichtlich der Berechenbarkeit statischer Systeme gibt. Um das Berechnungsmodell zutreffend wählen zu können, ist es für einen Ingenieur wichtig, das „statische Gefühl“ für das Tragverhalten eines Bauteils zu entwickeln. Mit Berufserfahrung und einer ausreichend selbstkritischen Berufsauffassung sollten sich Fehler bei der Wahl des Berechnungsmodells von Stabwerken vermeiden lassen. Eingabefehler Eingabefehler sind fehlerhafte Programmeingaben, die durch Unaufmerksamkeit oder durch fehlerhafte oder falsch verstandene Angaben im Handbuch entstehen können. Eingabefehler sind die bei weitem häufigste Fehlerart. Um sie zu vermeiden, sind sorgfältige Eingabekontrollen anhand der schriftlichen Dokumentation der Programmausgabe bei jeder Computerberechnung erforderlich. Bei Unklarheiten über die Programmeingabe oder -ausgabe sollte die Hotline des Softwarehauses weiterhelfen können. Numerische Fehler Numerische Fehler können durch die begrenzte Rechengenauigkeit des Computers entstehen. Zahlen werden rechnerintern durch Mantisse und Exponent dargestellt. Beide Werte sind aus Gründen der Speichertechnik begrenzt (Tabelle 3-7). Beispielsweise ist die rechnerinteme Darstellung der Zahl π = 3.1415927... mit einfacher Genauigkeit (6 Stellen der Mantisse):

158

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke π = 0.314159 · 101 ⏐

⏐

Mantisse

Exponent

Die übrigen Stellen entfallen bei der rechnerinternen Speicherung. Tabelle 3-7 Rechnerinterne Zahlendarstellung von Gleitpunktzahlen Programmiersprache

Zahlentyp

Stellenzahl der Mantisse

Maximaler Exponent

Fortran

real*4 real*8

∼7 ∼16

∼37 ∼307

C/C++ Java

float double

∼7 ∼16

∼37 ∼307

Bei arithmetischen Operationen werden die Ergebnisse aufgrund der begrenzten Länge der Mantisse gerundet. Dies kann bei einer kleinen Differenz zweier sehr großer Zahlen zum Verlust aller signifikanten Stellen führen. Bei der Superposition der Elementsteifigkeitsmatrizen zur Systemsteifigkeitsmatrix kann dies der Fall sein, wenn extrem große Steifigkeitsunterschiede benachbarter Elemente bestehen. Extrem große Steifigkeitsunterschiede sind daher zu vermeiden. Diese können sich durch extreme Sprünge der Biege- oder Normalkraftsteifigkeit EI bzw. EA oder durch extrem kurze Stablängen ergeben. Stäbe, die starre Kopplungen zwischen Knotenpunkten darstellen sollen, sind daher mit einer nur mäßig großen Stei2 figkeit (z. B. Fläche 10 m ) einzugeben. Allgemein lässt sich die bei der Lösung eines linearen Gleichungssystems zu erwartende Genauigkeit mit Hilfe der Konditionszahl abschätzen. Bezeichnet man mit t die Anzahl der im Rechner darstellbaren Stellen, so kann man die zu erwartende Anzahl s der genauen Stellen der numerischen Lösung nach [1.3] angeben zu

s ≥ t − log10 ( κ ( K )) .

(3.32)

Bei Finite-Element-Berechnungen bedeutet κ (K ) die Konditionszahl der Systemsteifigkeitsmatrix, wobei sich die Ergebnisse für die beiden Normen (1.10b) und (1.10d) kaum unterscheiden. Weitere numerische Fehler können durch den im Rechenprogramm verwendeten Algorithmus entstehen, z. B. durch das Abbruchkriterium bei der iterativen Lösung eines Gleichungssystems (vgl. Beispiel 1.8). Auf den Abbruchfehler hat der Anwender in der Regel keinen Einfluss. Beispiel 3.21 Es ist die numerische Genauigkeit eines Taschenrechners zu ermitteln. Die Rechengenauigkeit kann durch Bildung der Differenz zweier großer Zahlen geprüft werden, z. B.: 1000 + 1 - 1000 = 1 10

9

+ 1 - 10

9

=1

10

10

+ 1 - 10

10

=0

10

20

+ 1 - 10

20

=0

3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen

159

10

Bei der Berechnung von (10 + 1) wird die Speicherkapazität der Mantisse überschritten, d. h. ein Addieren von 1 in der 11-ten Stelle ist nicht mehr möglich und die 1 entfällt durch Run10 10 dung. Dadurch ist rechnerintern für (10 + 1) der Wert 10 gespeichert. Die Subtraktion von 10 10 führt folgerichtig zu 0. Somit hat der verwendete Rechner eine Rechengenauigkeit von etwa zehn Stellen.

Beispiel 3.22 Bei dem in Bild 3-46 dargestellten Stabwerk aus zwei Fachwerkstäben sind die Knotenpunkte 1 und 2 durch einen Stab mit extrem hoher Steifigkeit verbunden (Fall a). Es ist zu überprüfen, ob sich aufgrund des Rundungsfehlers numerische Fehler bei der rechnerinternen Lösung der Aufgabe ergeben, wenn das Programm in C oder Fortran mit einfach genauer Zahlendarstellung entwickelt wurde. Welche Änderungen ergeben sich bei doppelt genauer Zahlendarstellung im Programm? Die Elementsteifigkeitsmatrizen sind nach (3.3): Stab 1:

ª 1 − 1º 1020 ⋅ « » ¬ − 1 1¼

Stab 2:

Bild 3-46 Stabzug mit zwei Fachwerkelementen

Damit erhält man die Gesamtsteifigkeitsmatrix zu: ª 1020 « « − 1020 « « ¬ 0

− 1020

(1020 + 106 ) − 106

0 º ªu » « 1 − 106 » ⋅ « u2 » « 6 » ¬ u3 10 ¼

º ªF º » « » » =«0 » » « B» ¼ ¬ ¼

und nach Berücksichtigung der Auflagerbedingung u3=0: ª 1020 « « − 1020 ¬

º » 1020 + 106 »¼ − 1020

(

)

ª u1 º ª F º ⋅« »= « » ¬ u2 ¼ ¬ 0 ¼

ª 1 − 1º 106 ⋅« » ¬− 1 1 ¼

160

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke 20

6

Die Summe (10 + 10 ) wird im Rechner bei einer Genauigkeit der Zahlendarstellung von 20 weniger als 14 Stellen auf 10 gerundet. Falls das Programm die einfach genaue Zahlendarstellung (sechs Stellen Genauigkeit) verwendet, entfällt somit der Einfluss des Stabes 2, der 6 durch den Steifigkeitswert 10 in die Rechnung eingeht. Das durch die Rundung bei einfach genauer Zahlendarstellung erhaltene Gleichungssystem lautet:

ª 1020 − 1020 º ª u º ª F º « » ⋅ « 1» = « » 20 20 10 ¼» ¬ u2 ¼ ¬ 0 ¼ ¬« − 10 Die Systemsteifigkeitsmatrix ist singulär, da sich die zweite Zeile durch Multiplikation der ersten Zeile mit (-1) ergibt. Damit ist das Gleichungssystem nicht lösbar, und die Berechnung endet mit einer entsprechenden Fehlermeldung des Programms. Statisch bedeutet die Singularität der Steifigkeitsmatrix, dass Stab 2 in der Berechnung (aufgrund des Rundungsfehlers) nicht berücksichtigt wird. Die rechnerinterne Darstellung der Summe erfordert eine Genauigkeit von mindestens 15 Stellen. Die erreichbare Genauigkeit der Lösung soll mit Hilfe der Konditionszahl überprüft werden. Zum Vergleich soll die Konditionszahl des Gleichungssystems untersucht werden. Nach (1.11) erhält man

mit

ª 1020 K=« «¬ − 1020

º » (1020 + 106 ) »¼ − 1020

die Konditionszahl κ ( K ) = 4⋅ 1014 .

Die bei einer rechnerinternen Zahlendarstellung mit t = 16 Stellen zu erwartende Genauigkeit der Lösung ist nach (3.25)

s ≥ t − log10 ( κ ( K )) = 1.4 , d. h. zu 1-2 Stellen Genauigkeit. Sind die Steifigkeitsunterschiede geringer, nimmt auch die Größe der Konditionszahl stark ab. Im Fall, dass die Steifigkeiten beider Stäbe dieselbe Steifigkeit E ⋅ A = 10 20 besitzen, lautet hingegen

mit

ª 1020 K =« ¬« − 1020

− 1020 º » 2⋅ 1020 ¼»

die Konditionszahl

κ ( K ) = 7 und s = 15.1,

d. h. man erhält ca. 15 Stellen Genauigkeit. Die Größe der Konditionszahl bei extrem unterschiedlichen Stabsteifigkeiten verdeutlicht den Verlust an sicheren Stellen. Im (seltenen) Grenzbereich können bei schlecht konditionierten Gleichungssystemen stark fehlerbehaftete Lösungen ausgegeben werden oder die Systemsteifigkeitsmatrix wird singulär. Extrem große Unterschiede in den Elementsteifigkeiten sind daher in der Praxis zu vermeiden.

3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen

161

Zum Vergleich wird der Fall untersucht, dass die Steifigkeit des Stabes 2 extrem hoch im Vergleich zu Stab 1 ist (Fall b in Bild 3-46). Die Steifigkeitsmatrix ergibt sich in diesem Fall zu ª 106 K=« «¬ − 106

º » (106 + 1020 ) »¼ − 106

beziehungsweise nach Rundung mit 14 Stellen Genauigkeit zu ª 106 − 106 º ». K =« «¬ − 106 1020 »¼ In diesem Fall tritt kein Verlust sigifikanter Stellen auf. Dies zeigt, dass extrem hohe Steifigkeitswerte auf der Diagonalen der Steifigkeitsmatrix numerisch unbedenklich sind. Kritisch sind die Terme außerhalb der Diagonalen. Somit sind auch extrem hohe Federsteifigkeiten, wie sie zur Modellierung von Auflagern verwendet werden, aus numerischer Sicht unbedenklich. Programmfehler Programmfehler sind Fehler im Programmcode. Sie treten verhältnismäßig selten auf, sind aber auch bei den Programmen renommierter Softwarehäuser erfahrungsgemäß nie auszuschließen. Diese können sich beispielsweise bemerkbar machen, wenn eine ungewöhnliche Eingabekombination erfolgt und das Programm einen ungewohnten Programmpfad benutzt. Auch Programme, die bisher immer korrekte Ergebnisse lieferten, können dann einen Programmfehler offenbaren.

Bei neuen Programmversionen können aufgrund von Änderungen im Programmcode Fehler auch in Programmteilen auftreten, die bisher fehlerfrei liefen. Selbst in ausgetesteten Programmpfaden können theoretisch Fehler auftreten. Ein weitgehender Schutz vor Programmfehlern ist nur möglich durch sorgfältige Programmtests, die vom Softwarehaus durchgeführt werden sollten.

3.8.2 Kontrollen von Stabwerksberechnungen Kontrollmöglichkeiten Eine statische Berechnung auf dem Computer erfordert in jedem Fall eine Kontrolle auf ihre Richtigkeit. Hierbei kann es in der Praxis natürlich nicht darum gehen, die Ergebnisse im Detail nachzurechnen. Vielmehr besteht das Ziel darin, die genannten Fehlerquellen auszuschließen. Hierzu ist in der Regel eine kritische Überprüfung der Ein- und Ausgabe ausreichend.

Für die praktische Durchführung der Kontrolle einer umfangreichen Computerberechnung ist ein Vorgehen in zwei Schritten sinnvoll. In einer ersten überschlägigen Kontrolle, der Vorabkontrolle, erhält man einen raschen Überblick über die Richtigkeit wesentlicher Eingabewerte. Nach dem erfolgreichen Absolvieren der Vorabkontrolle erfolgt die zeitaufwändigere Endkontrolle mit einer detaillierten Überprüfung der Ein- und Ausgabe des Programms. Die Überprüfung des Berechnungsmodells und der Richtigkeit des Programms sind nur in Sonderfällen durchzuführen.

162

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Vorabkontrolle Die Kontrolle einer Computerberechnung führt man sinnvollerweise in zwei Schritten durch. Im ersten Schritt erfolgt eine Überprüfung auf grobe Fehler. Vorabkontrolle einer Computerberechnung:

1. Grafische Darstellung des statischen Systems 2. Kontrolle der Summe der Lasten jedes Lastfalls 3. grafische Darstellung der Verformungen 4. grafische Darstellung maßgebender Schnittgrößen Die grafische Darstellung des statischen Systems gibt Aufschluss über die richtige geometrische Anordnung der Elemente, die Vollständigkeit der Knotenpunkteingabe und die (in jedem Fall mit darzustellenden) Lagerbedingungen. Anschließend sind die Summen der Lasten, die vom Programm lastfallweise auszugeben sind, zumindest überschläglich zu überprüfen. Sind diese Kontrollen erfolgreich verlaufen, kann eine statische Berechnung durchgeführt werden. Ist der Rechenlauf erfolgreich, sollten zunächst die Verformungen lastfallweise grafisch angezeigt und kontrolliert werden. Die Plausibilität der Verformungsfigur ist leicht zu beurteilen. Sie gibt Aufschluss über die korrekte Berücksichtigung von Lagern und Gelenken und über grobe Fehler bei den Lasten sowie bei den Biege-, Dehn- und Schubsteifigkeiten. Die Krümmung von Stäben ist ein anschauliches Maß der Größe sowie des Vorzeichens von Biegemomenten. Anschließend sollten die maßgebenden Schnittgrößen lastfallweise grafisch dargestellt werden. Ihr Verlauf und ihr Vorzeichen geben Aufschluss über das Vorzeichen und über die Größe aufgebrachter Einzel- und Streckenlasten sowie über Auflager- und Gelenkbedingungen. Sind Zweifel an der Plausibilität der Schnittgrößen gegeben, können überschlägliche statische Berechnungen weiterhelfen. Falls der Rechenlauf vom Programm nicht zu Ende geführt wird, kann dies an einer unvollständigen Dateneingabe oder an der Eingabe eines kinematischen Systems liegen. Hierbei ist auf die Fehlermeldung des Programms zu achten. Bei unvollständigen Daten sind folgende Kontrollen vorzunehmen: Prüfung der Eingabedaten auf Vollständigkeit:

1. prüfen, ob für alle bei den Elementdaten angegebenen Knotenpunkte auch die zugehörigen Knotenpunktsdaten definiert wurden. 2. prüfen, ob für alle bei den Elementdaten definierten Querschnittsnummern auch die zugehörigen Querschnittswerte definiert wurden 3. prüfen, ob für alle bei den Element- oder Querschnittsdaten definierten Materialnummern auch Materialwerte definiert wurden 4. weitere Konsistenzprüfungen (problemabhängig) Falls ein kinematisches System eingegeben wurde, erfolgt beim Rechenlauf die Meldung „Steifigkeitsmatrix singulär“ (auch „Determinante Null“, „Rigid body modes“), oder es kommt gar zu einem Programmabsturz. In diesem Fall sind folgende Kontrollen durchzuführen:

3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen

163

Kontrollen bei singulärer Steifigkeitsmatrix

1. Überprüfung der Auflagerbedingungen 2. Überprüfung auf Kinematiken an einzelnen Gelenken bzw. durch Kombination mehrerer Gelenke 3. Überprüfung, ob freie Einzelknoten vorliegen 4. Überprüfung, ob Biege- und Dehnsteifigkeiten eines Stabes gleich Null Besondere Aufmerksamkeit erfordert die Überprüfung auf Kinematiken. Vergleichsweise einfach ist die Überprüfung der Auflagerbedingungen. Schwieriger kann die Kontrolle sein, ob sich aufgrund von Gelenkdefinitionen eine kinematische Kette einstellt. Die Festhaltung von Freiheitsgraden bei Gelenkdefinitionen wurde bereits in Abschnitt 3.4.5 behandelt. Allgemein gilt, dass jeder nicht festgehaltene Freiheitsgrad des Systems mit einem Element, das in diesem Freiheitsgrad eine Steifigkeit besitzt, verbunden sein muss. Ist dies nicht der Fall, so ist der Freiheitsgrad festzuhalten. Dies gilt beispielsweise auch für Knotenpunkte, die zur Festlegung des lokalen Koordinatensystems räumlicher Balken eingeführt wurden. Wenn diese Punkte nicht im System anderweitig verwendet werden, müssen sie in allen Freiheitsgraden festgehalten werden. Endkontrolle Wurde die Vorabkontrolle erfolgreich durchgeführt, muss eine ausführliche Endkontrolle erfolgen. Endkontrolle einer Computerberechnung: Überprüft werden sollten alle Eingabewerte sowie einzelne signifikante Ergebniswerte, sofern diese nicht aufgrund von Erfahrung beurteilt werden können. Detaillierte Überprüfung der Eingabewerte

– Knotenkoordinaten an signifikanten Stellen – Zuordnung von Querschnitts- und Material- und Bemessungskennwerten zu Stäben – Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerte – Auflager- und Gelenkdefinitionen – Ort, Größe, Dimension und Vorzeichen von Lasten – Vorschrift zur Lastfallüberlagerung Überprüfung signifikanter Ergebnisse

– Summe der Auflagerkräfte – Schnittgrößen (Überschlägliche Ermittlung nach den klassischen Verfahren der Baustatik) – Durchbiegungen (u.U. mit Reduktionssatz) Die überwiegende Anzahl von Fehlern bei Computerberechnungen entsteht durch falsche Eingaben. Bevor eine Computerberechnung als korrekt angesehen werden kann, sind daher alle Eingaben anhand der gedruckten Ausgabe sorgfältig zu überprüfen. Bei den Knotenkoordinaten kann man sich auf signifikante Werte beschränken, da durch die grafische Anzeige eine gewisse Überprüfung bereits stattgefunden hat.

164

3 Finite-Element-Methode für Stabwerke

Detailliert sind hingegen die Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerte sowie deren Zuordnung zu Stäben zu prüfen, da Fehleingaben dieser Werte sich anhand der Berechnungsergebnisse kaum erkennen lassen. Auch die Auflager- und Gelenkdefinitionen sollten nochmals überprüft werden. Wichtig ist weiterhin die detaillierte Überprüfung der eingegebenen Lasten und der Vorschrift zur Lastfallüberlagerung. Zur Endkontrolle gehört auch die stichprobenartige Überprüfung wichtiger Berechnungsergebnisse. Für Schnittgrößen kann die Kontrolle mit den klassischen Verfahren der Stabstatik an vereinfachten Systemen überschlägig erfolgen, zur Ermittlung von Durchbiegungen kann der Reduktionssatz herangezogen werden. Falls der für die Berechnung verantwortliche Ingenieur über ausreichende Erfahrung über das Tragverhalten verfügt, kann die explizite Überprüfung der Berechnungsergebnisse entfallen. Alle übrigen Kontrollen sind aber auch in diesem Fall durchzuführen. Besondere Kontrollen Die Überprüfung des Berechnungsmodells und der Richtigkeit des Programms sind besondere Kontrollen, die nur dann in Betracht kommen, wenn Zweifel an der Richtigkeit der Ergebnisse bestehen und sich diese durch die Vorab- und Endkontrolle nicht ausräumen lassen.

Eine vollständige Kontrolle der Berechnungsergebnisse erfordert nicht eine Neuberechnung des Systems. Vielmehr genügt es, die Einhaltung der Komptibilitätsbeziehungen und des Gleichgewichts an den Knoten und in den Stababschnitten zu verifizieren. Dazu prüft man, ob die Gleichgewichtsbedingungen an allen Knoten eingehalten sind. Dann ist für alle Stäbe zu überprüfen, ob die Kraftgrößen am Stabende denjenigen an den Knoten entsprechen, wenn die Knotenverschiebungen und -verdrehungen am Stab aufgebracht und die auf den Stab einwirkenden Lasten angebracht werden. Selbstverständlich müssen auch die Auflagerbedingungen dabei eingehalten werden. Der Aufwand für eine solche Prüfung ist bei größeren Systemen recht hoch und in der Praxis nur in Ausnahmefällen gerechtfertigt. Bei komplizierten Berechnungsmodellen entdeckt man Unzulänglichkeiten der Modellabbildung unter Umständen aber erst nach Durchführung und einer detaillierten Kontrolle des Rechenlaufs. Es kann sich nach Durchführung der Berechnung auch zeigen, dass die Anwendungsgrenzen von Näherungsannahmen überschritten wurden. In den genannten Fällen ist die Berechnung mit einem verbesserten Modell zu wiederholen. Falls alle Kontrollen nicht zur Diagnose des Fehlers führen, sollte auch die Möglichkeit eines Programmfehlers in Betracht gezogen werden. Dies gilt vor allem für wenig ausgetestete Programme, erfahrungsgemäß aber selbst für die bekannten Programme namhafter Softwarehäuser. Eine vorschnelle Diagnose ´Programmfehler´ ist aber immer unangebracht. Vielmehr sollte man versuchen, den vermuteten Programmfehler anhand einfacher Beispiele klar zu diagnostizieren und zu dokumentieren. Ein einfaches Beispiel lässt sich etwa durch schrittweise Vereinfachung des statischen Systems, in dem der Fehler auftritt, entwickeln. Die Dokumentation eines Programmfehlers sollte man in jedem Fall dem Softwarehaus oder einer Anwendergruppe zukommen lassen, damit der Fehler in der nächsten Programmversion verbessert werden kann. Meist enthalten die Lizenzverträge der Softwarehäuser auch eine Klausel, die dem Anwender den Anspruch auf eine unentgeltliche Korrektur von Softwarefehlern einräumt. In Ausnahmefällen ist es selbstverständlich möglich, eine völlig unabhängige Vergleichsrechnung mit einem anderen Programm durchzuführen.

3.8 Qualitätssicherung und Dokumentation von Stabwerksberechnungen

165

Dokumentation der Berechnung Die Programmausgaben sind in der Regel die einzigen verbleibenden schriftlichen Dokumente der durchgeführten Berechnung, die in den statischen Bericht aufgenommen werden. Wie bei den klassischen Berechnungsverfahren müssen die Angaben im statischen Bericht so vollständig sein, dass die Berechnung nachvollziehbar ist (vgl. [3.17]). Um ihre Lesbarkeit zu erhöhen, sollten sie ausführliche grafische Ausgaben enthalten. Dokumentation der statischen Berechnung von Stabwerken:

a) Vollständige Dokumentation aller relevanten Eingabewerte – grafische Darstellung des Systems mit Nummerierung der Knotenpunkte und Elemente – Knotenpunktkoordinaten – Zuordnung von Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerten zu Stäben – Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerte – Auflager- und Gelenkdefinitionen – Ort, Größe, Dimension und Vorzeichen von Lasten – grafische Darstellung der Lasten aller Lastfälle – Summe der Lasten (lastfallweise) – Vorschrift zur Lastfallüberlagerung b) Vollständige Angabe aller relevanten Ergebnisse – Auflagerkräfte (einzeln und Summen lastfallweise) – grafische und tabellarische Darstellung der Schnittgrößen – grafische und tabellarische Darstellung der Durchbiegungen – Bemessungskennwerte und Bemessung bzw. sonstige statische Nachweise

167

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

4.1 Historische Entwicklung Die hohe Leistungsfähigkeit der Finite-Element-Methode im Ingenieurbau zeigt sich vor allem bei Flächentragwerken. Die Bezeichnung „Finites Element“ wurde daher auch ursprünglich ausschließlich für Flächen- und Raumtragwerke, d. h. für Scheiben, Platten, Schalen und räumliche Kontinua verwendet. Im Unterschied zu den bisher betrachteten Stabwerken handelt es sich aber hierbei nicht mehr um eine mathematisch exakte Methode, sondern um ein Näherungsverfahren. Die Entwicklung der Finite-Element-Methode begann in den fünfziger Jahren in den USA, und zwar zunächst in der Luft- und Raumfahrtindustrie. Ausgehend von dem Verschiebungsgrößenverfahren für Stabwerke (vgl. [4.1]) entwickelten Turner, Clough, Martin, Topp 1956 ein Verfahren für allgemeine Flächentragwerke [4.2]. Clough führte 1960 den Begriff „finite element“ ein [4.3]. In den sechziger Jahren fand eine rasche Entwicklung der Methode statt. Maßgebliche Beiträge stammen u. a. von Clough in Berkeley (USA), Zienkiewicz in Swansea (Großbritannien) und Argyris in Stuttgart (vgl. [4.4-4.6]). Die raschen Fortschritte auf dem Gebiet der Finite-Element-Methode wurden durch die Entwicklung immer leistungsfähigerer Computer ermöglicht. In der Folgezeit wurde das Verfahren für Aufgabenstellungen der Strukturdynamik sowie für Systeme mit geometrisch und physikalisch nichtlinearem Verhalten erweitert (vgl. [4.7]). In den siebziger Jahren wurde die Finite-Element-Methode, die bis dahin ausschließlich in den Ingenieurwissenschaften entwickelt worden war, auch als mathematisches Forschungsgebiet begriffen. Hierbei geht es um Fragen der Konvergenz und der Genauigkeit des Verfahrens. Die heutige Forschung auf dem Gebiet der Finiten Elemente befasst sich hauptsächlich mit Fragen der Fehlerabschätzung und Netzadaption sowie mit nichtlinearen Systemen. Die ersten auf das Bauwesen spezialisierten Finite-Element-Programme wurden in den siebziger Jahren für die damaligen Großrechner entwickelt. Es handelt sich um Programme zur Berechnung von Stabwerken, Scheiben, Platten und Schalen mit speziellen normenspezifischen Bemessungsmodulen und statischen Nachweisen. Die Entwicklung von PCs und Workstations in den achtziger Jahren führte zu einer weiten Verbreitung von FEM-Software, so dass sich inzwischen die Finite-Element-Methode als Standardmethode für anspruchsvolle statische Berechnungen durchgesetzt hat.

4.2 Überblick Zur Berechnung eines Flächentragwerks mit der Finite-Element-Methode wird dieses in Finite Elemente, d. h. Elemente endlicher Größe diskretisiert (Bild 4-1). Die Elemente sind an den Knotenpunkten miteinander verbunden. Somit werden an den Knotenpunkten die Gleichgewichtsbedingungen der Knotenkräfte und die Kompatibilitätsbedingungen der Verschiebungsgrößen erfüllt (vgl. Abschnitt 3.2.4). Während man bei Stabtragwerken hiermit die exakte Lösung erhält, sind bei Flächentragwerken an die exakte Lösung weitergehende Forderungen zu stellen:

168

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke Forderungen an die exakte Lösung bei Flächentragwerken a) An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die Verschiebungsgrößen beider Elemente übereinstimmen. b) An der Grenzlinie benachbarter Elemente müssen die Kraftgrößen beider Elemente die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. c) An gelagerten Rändern sind die Auflagerbedingungen (d. h. die sogenannten geometrischen Randbedingungen) zu erfüllen. d) An freien Rändern ist das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrößen (den sogenannten statischen Randbedingungen) zu erfüllen.

Statische Randbedingungen

Statische und geometrische Übergangsbedingungen

Geometrische Randbedingungen Bild 4-1 Finite-Element-Diskretisierung einer Scheibe

Die Kompatibilitätsbedingungen der Verschiebungen und der Schnittgrößen sind also von der exakten Lösung nicht nur punktuell an den Knotenpunkten, sondern an allen Stellen des Flächentragwerks zu erfüllen. Während sich die entsprechenden Grundgleichungen für das infinitesimal kleine Element sowie die Rand- und Übergangsbedingungen durchaus formulieren lassen (vgl. Abschnitt 2), ist deren exakte analytische Lösung nur für einfache Lagerungs- und Belastungsarten möglich. Bei der Finite-Element-Methode erfüllt man die o. g. Bedingungen nicht exakt. Der Leistungsfähigkeit des Verfahrens steht somit dessen Näherungscharakter gegenüber. Dessen muss man sich bei einer Finite-Element-Berechnung stets bewusst bleiben, um u.U. schwerwiegende Fehler zu vermeiden. Finite Elemente lassen sich mit unterschiedlichen Näherungen herleiten. Im Folgenden werden ausschließlich Elemente mit Verschiebungsansätzen (auch kinematische Elemente oder Deformationsmodelle genannt) eingehender behandelt. Sie sind historisch gesehen die Grundlage aller Finiten Elemente und in einer Vielzahl von Programmen implementiert. Über die in der Praxis ebenfalls eingesetzten hybriden Elemente für Scheiben und Platten wird ein Überblick gegeben. Es gibt aber durchaus noch andere Näherungsansätze, die sich aber in der Praxis nicht durchgesetzt haben (vgl. hierzu Überblick in [4.8]).

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

169

Finite Elemente mit Verschiebungsansätzen beruhen auf der Annahme eines Verlaufs der Verschiebungsgrößen im Element. Beispielsweise kann man bei einem Dreieck-Scheibenelement einen geradlinigen Verlauf der Verschiebungen zwischen jeweils zwei Knotenpunkten annehmen. Die Verschiebungen im Elementinnern erhält man durch entsprechende Interpolation. Um mit einer derartig vereinfachenden Annahme komplizierte Verschiebungs- und Spannungsverläufe sinnvoll darstellen zu können, sind kleine Elemente, innerhalb derer der vereinfachte Verschiebungsverlauf in guter Näherung zutrifft, erforderlich. Die o. g. Forderungen an die exakte Lösung werden dann nur noch teilweise erfüllt: Eigenschaften der Finite-Element-Methode mit Verschiebungsansätzen a) Verschiebungsgrößen stimmen an den Grenzen benachbarter Elemente überein. b) Die Gleichgewichtsbedingungen für die Kraftgrößen werden an den Grenzlinien benachbarter Elemente nicht erfüllt, d. h., es tritt ein in Wirklichkeit nicht vorhandener Spannungs- bzw. Schnittgrößensprung auf. c) Die Auflagerbedingungen (geometrische Randbedingungen) werden an gelagerten Rändern erfüllt. d) An freien Rändern wird das Gleichgewicht zwischen Randlasten und Schnittgrößen (statische Randbedingungen) nicht erfüllt. Bei der Näherung mit Finiten Elementen werden also die Bedingungen für die Verschiebungen an den Auflagern und Elementgrenzen erfüllt, während die Gleichgewichtsbedingungen sowohl an den Elementgrenzen als auch an freien Rändern nicht bzw. nur näherungsweise erfüllt werden.

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode 4.3.1 Eindimensionales Erläuterungsbeispiel Die Annahme eines Verlaufs der Verschiebungsgrößen im Element ermöglicht die Herleitung der Steifigkeitsmatrix eines Finiten Elements. Hierbei sind bei zweidimensionalen Finiten Elementen immer mehrere Spannungs-, Verzerrungs- und Verschiebungsgrößen gleichzeitig zu betrachten. Im Sinne einer besseren Überschaubarkeit wird im Folgenden der Näherungscharakter der Finite-Element-Methode anhand eines einfachen eindimensionalen Beispiels erläutert. Es handelt sich hierbei um einen einfachen Fachwerkstab, dessen Querschnittsfläche sich jedoch linear ändert (Bild 4-2). Die Längsspannung σx ist somit ebenfalls veränderlich. Ziel ist es, die Güte der Näherung mit einem einfachen Verschiebungsansatz, wie er auch bei „echten“ Scheibenelementen verwendet wird, zu untersuchen.

170

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Verschiebungen

Kräfte

Schnittkraft

Bild 4-2 Fachwerkstab mit veränderlicher Querschnittsfläche

4.3.2 Analytische Lösung Für den Fachwerkstab mit linear veränderlicher Querschnittsfläche lässt sich die analytische Lösung angeben, was bei Scheiben und Platten im Allgemeinen natürlich nicht möglich ist. Die exakte Lösung soll zum Vergleich mit der FEM-Näherungslösung hergeleitet werden. Untersucht wird ein Stab der Länge l mit der mit x veränderlichen Querschnittsfläche A: A = A1 +

(

x ⋅ A2 − A1 l

)

(4.1)

Die Verschiebungen an den beiden Stabenden seien u1 und u2, die Stabendkräfte F1 und F2 (Bild 4-2). Der Stab wird durch die konstante Normalkraft N beansprucht. Gesucht sind die Normalspannungen, Dehnungen und Verschiebungen im Stab in Abhängigkeit von x. Die Ermittlung der Spannungen und Verschiebungen eines statischen Systems (z. B. einer Scheibe) für eine gegebene Belastung und gegebene Auflagerbedingungen erhält man allgemein durch Lösung der aus den Grundgleichungen erhaltenen Differentialgleichungen unter Berücksichtigung der Randbedingungen. Im vorliegenden Fall lässt sich die Lösung sehr viel einfacher abgeben. Die Normalspannung σx kann man nämlich an jeder Stelle x aus der Normalkraft bestimmen zu:

σx =

N N = A A1 + x / l ⋅ ( A2 − A1 )

σx =

N⋅ l . A1 ⋅ l + x ⋅ ( A2 − A1 )

oder (4.2)

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

171

Aus der Normalspannung erhält man mit dem Hooke“schen Gesetz (2.2a) σx=E · εx die Dehnung εx zu

σx

εx =

E

und mit (4.2) N⋅ l . E ⋅ ( A1⋅ l + x⋅ ( A2 − A1 ))

εx =

(4.3)

Aus den Dehnungen lässt sich der Verlauf der Verschiebungen bestimmen. Nach der Definition der Dehnung (2.1a) εx = du/dx gilt x

³ ε x d x + u1

u=

0

und mit (4.3) x

u =

³ 0

N⋅ l d x+ u1 E ⋅ ( A1 ⋅ l + x ⋅ ( A2 − A1 ))

Nach der Durchführung der Integration erhält man die Verschiebung u(x) zu

§ l⋅ A + x ( A − A ) · N⋅ l 1 2 1 ¸ ⋅ ln ¨¨ ¸ + u1 l A ⋅ E ( A2 − A1 ) 1 © ¹

u =

(4.4)

Beispiel 4.1 Für den in Bild 4-3 dargestellten Stab sind die Spannungen und Verschiebungen in den 1/5-tel Punkten und in der Stabmitte zu bestimmen. Die Verschiebungen erhält man nach (4.4) mit u1=0 zu:

u=

§ 500 ⋅ 500 + x ⋅ (100 − 500) · 100 ⋅ 500 ¸¸ + 0 ⋅ ln ¨¨ 500 ⋅ 500 1000 ⋅ (100− 500) © ¹

u = - 0.125 · ln(1 - 0.0016 · x)

mit u [cm] und x [cm]

und die Spannungen mit (4.2) zu:

σx =

100 ⋅ 500 500⋅ 500+ x ⋅ (100 − 500)

σx =

100 500− 0.8⋅ x

bzw. mit x [cm] und σx [kN/cm2].

172

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-3 Stab mit veränderlicher Fläche (Zahlenbeispiel)

Tabelle 4-1 Spannungs- und Verschiebungswerte (exakte Lösung) x [cm]

0

100

200

250

300

400

500

u [cm]

0

0.022

0.048

0.064

0.082

0.128

0.201

σx [kN/m²]

0.200

0.238

0.294

0.333

0.385

0.556

1.000

Die Ergebnisse in den 1/5-tel Punkten sind in Tabelle 4-1 angegeben und Bild 4-3 dargestellt. Mit der oben angegebenen Lösung lässt sich auch die Steifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs mit linear veränderlicher Fläche herleiten. Die Verschiebung u2 am Stabende erhält man für x = l mit (4.4) zu: u2 = u( x= 1) =

§ A · N⋅ l ⋅ ln ¨ 2 ¸ + u1 E ( A2 − A1 ) © A1 ¹

Löst man diese Gleichung nach N auf, erhält man: N=

E ( A2 − A1 )

l⋅ ln ( A2 / A1 )

(u2 − u1 )

(4.5)

Nach Einsetzen dieser Beziehung für N in (4.2) und (4.4) erhält man die Spannung σx und die Verschiebung u in Abhängigkeit von den Stabendverschiebungen u1 und u2 zu:

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

173

(

(4.6)

σx =

E ⋅ A2 − A1

(l ⋅ A1 +

)

)

x ( A2 − A1 ) ⋅ ln ( A2 / A1 )

⋅ (u2 − u1 )

§ l⋅ A + x ( A − A ) · 1 2 1 ¸ ln¨¨ ¸ l ⋅ A 1 © ¹ u= (u2 − u1 ) + u1 § A2 · ¸ ln¨ © A1 ¹

(4.7)

Die Stabendkräfte F1 und F2 erhält man aus den Gleichgewichtsbedingungen an den beiden Stabenden mit (4.5) zu: F1 = − N = −

F2 = N =

E ( A2 − A1 )

l ⋅ ln ( A2 / A1 ) E ( A2 − A1 )

l ⋅ ln ( A2 / A1 )

⋅ (u2 − u1 )

⋅ (u2 − u1 )

oder in Matrizenschreibweise: E ( A2 − A1 )

l⋅ ln ( A2 / A1 )

ª 1 − 1º ª u1 º ª F1 º ⋅« »⋅« »= « » 1¼ ¬ u2 ¼ ¬ F2 ¼ ¬− 1

Ke

· ue

= Fe

(4.8)

(4.8a)

Die Matrix Ke ist die exakte Steifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs mit linear veränderlicher Querschnittsfläche. Die Spannungs- und Verschiebungsverläufe im Element können mit (4.6) bzw. (4.7) bestimmt werden.

4.3.3 FEM-Näherungslösung mit linearem Verschiebungsansatz Da im Allgemeinen eine exakte Lösung nicht bekannt ist, geht man bei der Finite-ElementMethode von einer Annahme aus. Man nimmt an, dass die Verschiebungen zwischen den Knotenpunkten und innerhalb eines Elements einen vorgegebenen Verlauf haben. Wenn die Verschiebungen aller Knotenpunkte bekannt sind, lässt sich mit dieser Annahme die Verschiebung an jeder Stelle des Tragwerks ermitteln. Die Verschiebungen werden mittels der Ansatzfunktionen zwischen den Knotenpunkten interpoliert. Beim Fachwerkstab mit linear veränderlicher Fläche kann man zwischen den beiden Knotenpunkten einen linearen Verlauf annehmen:

174

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke x ⋅ (u2 − u1 ) l

u = u1 +

(4.9)

Es ist offensichtlich, dass es sich hierbei um eine Annahme handelt, da der exakte Verschiebungsverlauf bereits in (4.7) ermittelt wurde. Die Dehnungen, die dem linearen Verschiebungsansatz (4.9) entsprechen, erhält man durch Differenzieren der Verschiebungen (2.1a) zu:

εx =

du 1 = ⋅ (u2 − u1 ) dx l

(4.10)

Die Dehnungen im Element hängen demnach nicht von x ab, sie sind vielmehr innerhalb jedes Elements konstant. Die Spannungen erhält man mit Hilfe des Hooke“schen Gesetzes (2.2a) zu:

σx = E ⋅ εx =

E ⋅ (u2 − u1 ) l

bzw.

σx =

E ⋅ (− u1 + u2 ) l

(4.11)

Spannungen und Dehnungen ergeben sich somit aufgrund des Verschiebungsansatzes als elementweise konstante Größen. Es ist offensichtlich, dass damit der wirkliche Spannungsverlauf, der in (4.6) angegeben ist, nicht dargestellt werden kann. Die Gleichgewichtsbedingungen σ(x)·A(x) = N an einem beliebigen Schnitt innerhalb des Stabelements und an den Stabenden können mit einer konstanten Spannung σx nach (4.11) nicht erfüllt werden. Ziel ist es vielmehr, die Spannung σx so zu bestimmen, dass die Gleichgewichtsbedingungen ´im Mittel´ erfüllt werden, d. h., die Spannung σx nach (4.11) soll ein gemittelter Wert der in Wirklichkeit veränderlichen Spannung σx sein. Zu diesem Zweck wird das Prinzip der virtuellen Verschiebungen verwendet. Es kann nach dem Verfahren von Galerkin auch herangezogen werden, um mit angenäherten Verschiebungsansätzen die Gleichgewichtsbedingungen näherungsweise, d. h. ´im Mittel´, zu erfüllen [4.8]. Würden die Verschiebungsansätze die exakte Lösung enthalten, so würden die nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen erhaltenen Spannungen die Gleichgewichtsbedingungen exakt erfüllen. Für den Fachwerkstab lautet das Prinzip der virtuellen Verschiebungen nach (2.5) und (2.4a): Wi= Wa

(2.5)

mit l

Wi=

³

A⋅ σ x ⋅ ε x dx

(2.4a)

0

Diese Gleichung gilt für jeden virtuellen Verschiebungszustand, der die Randbedingungen, d. h. die Bedingungen u ( x =0) = u1 und u ( x =1) = u 2 erfüllt. Aus der Vielzahl der möglichen

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

175

virtuellen Verschiebungszustände werden nun diejenigen betrachtet, die denselben Verlauf wie die angesetzten wirklichen Verschiebungen besitzen (Bild 4-4).

Bild 4-4 Ansatzfunktionen der Verschiebungen und daraus abgeleitete Dehnungen und Spannungen

Im Fall des Fachwerkstabs sind dies die linearen Ansätze nach (4.9). Man kann zeigen, dass man aufgrund dieser Annahme eine symmetrische Steifigkeitsmatrix erhält. Die virtuellen Verschiebungen haben also analog zu den wirklichen Verschiebungen den Verlauf nach (4.9): u = u1 +

x ⋅ (u2 − u1 ) l

(4.12)

wobei die virtuellen Verschiebungen u 1 und u 2 der Knotenpunkte noch beliebige Werte annehmen können. Aus den virtuellen Verschiebungen ergeben sich die Dehnungen im virtuellen Verschiebungszustand zu du 1 = ⋅ dx l

εx =

(u2 −

u1 )

(4.13)

Die innere virtuelle Arbeit lautet damit: l

Wi=

³

Ax ⋅ σ x ⋅ ε x dx

0

l

Wi =

§

³ ¨© A1 + 0

· x ( A2 − A1 )¸ ⋅ ¹ l

E 1 ⋅ (u2 − u1 ) ⋅ ⋅ (u2 − u1 ) l l

dx

(4.14)

Die äußere virtuelle Arbeit wird von den wirklichen Stabendkräften F1 und F2 und den virtuellen Verschiebungen am Stabende u 1 und u 2 geleistet: W a = F1 ⋅ u1 + F2 ⋅ u2

(4.15)

176

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Nach Gleichsetzen der inneren und äußeren virtuellen Arbeit erhält man: l

§

· E x 1 ⋅ ( A2 − A1 )¸ ⋅ ⋅ (u2 − u1 ) ⋅ ⋅ (u2 − u1 ) dx = F1 ⋅ u1 + F2 ⋅ u2 ¹ l l l

³ ¨© A1 + 0

(4.16)

Da u1 und u2 beliebige virtuelle Verschiebungen darstellen, gilt (4.16) auch für die beiden Verschiebungszustände a) u1 = 1 ;

u2 = 0

b) u1 = 0 ;

u2 = 1

aus deren (gewichteter) Überlagerung sich alle anderen zulässigen Verschiebungszustände darstellen lassen. Setzt man den virtuellen Verschiebungszustand a) ein, erhält man: −

E l

2

l

⋅

§

³ ¨© A1 + 0

· x ( A2 − A1 )¸ dx ⋅ (u2 − u1 ) = F1 ¹ l

ºl E ª 1 x2 − 2 ⋅ « A1⋅ x + ( A2 − A1 )» ⋅ (u2 − u1 ) = F1 2 l »¼ l ¬« o −

º E ª 1 l2 « A1⋅ l + » ⋅ (u2 − u1 ) = F1 ⋅ − A A ( ) 2 1 2 l »¼ l 2 ¬«

bzw. E A1 + A2 ⋅ ⋅ (u1 − u2 ) = F1 2 l

(4.17a)

Entsprechend erhält man aus dem virtuellen Verschiebungszustand b): E A1 + A2 ⋅ ⋅ (− u1 + u2 ) = F2 2 l

(4.17b)

Die beiden Gleichungen (4.17a, b) stellen die Steifigkeitsbeziehung des Fachwerkstabs dar. Sie lautet in Matrizenschreibweise: E ⋅ l

( A1 + 2

A2 )

ª 1 − 1º ª u1 º ª F1 º ⋅« »⋅« »= « » 1¼ ¬ u2 ¼ ¬ F2 ¼ ¬− 1

(4.18)

· ue = Fe

(4.18a)

Ke

Die Matrix Ke ist die mit linearem Verschiebungsansatz erhaltene Steifigkeitsmatrix des Fachwerkstabs mit linear veränderlicher Querschnittsfläche. Für einen Fachwerkstab mit konstanter

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

177

Querschnittsfläche, d. h. mit A1 = A2, stimmt (4.18) mit der exakten Lösung nach (3.3) überein, da in diesem Fall der Verschiebungsansatz (4.9) die exakte Lösung darstellt. Die beiden Wege zur Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix mit linearem Verschiebungsansatz und mit dem exakten Verfahren sind in Bild 4-5 nochmals schematisch einander gegenübergestellt.

Bild 4-5 FEM-Lösung mit linearem Verschiebungsansatz und exakte Lösung

Beispiel 4.2 Für den Fachwerkstab in Beispiel 4.1 ist die Lösung mit Finiten Fachwerkelementen mit linearem Verschiebungsansatz gesucht. Hierzu ist der Stab zunächst in ein und danach in zwei Elemente zu diskretisieren. Bei Diskretisierung des Stabs durch nur ein einziges Element lautet die Steifigkeitsbeziehung nach (4.18): E ⋅ l

( A1 + A2 ) 2

ª 1 − 1º ª u1 º ª F1 º ⋅« »⋅« »= « » 1 ¼ ¬ u2 ¼ ¬ F ¼ ¬− 1

Nach Berücksichtigung der Auflagerbedingung u1=0 und mit A1=500 [cm2], A2=100 [cm2], E = 1000 [kN/cm2], l = 500 [cm] und F = 100 [kN] erhält man (Bild 4-6):

178

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-6 Diskretisierung des Stabs in ein bzw. zwei Elemente

E ⋅ l

( A1 +

A2 )

2

⋅ u2 = F

1000 500+ 100 ⋅ ⋅ u2 = 100 500 2

und damit u2 =

100 = 0.167 [cm ] 600

Die zugehörige Elementspannung erhält man aus (4.11) zu

σx =

E 1000 ⋅ (− u1 + u2 ) = ⋅ (0+ 0.167) = 0.333 ª¬ kN / cm 2 º¼ 500 l

Zur Diskretisierung des Stabs in zwei Finite Elemente ist zunächst die Querschnittsfläche bei x = 250 [cm] nach (4.1) zu ermitteln: A = A1 +

x 250 ⋅ ( A2 − A1 ) = 500 + ⋅ (100− 500) = 300 ª¬ cm 2 º¼ 500 l

Danach können die Elementsteifigkeitsmatrizen nach (4.18) aufgestellt werden. Die Auflagerbedingung u1 = 0 wird bereits bei der Elementsteifigkeitsmatrix des Elements 1 berücksichtigt, d. h. die Zeile und die Spalte für u1 werden eliminiert: Element 1:

E ⋅ l

( A1 + 2

A2 )

⋅ u2 = F2(1)

1000 500+ 300 ⋅ ⋅ u2 = F2(1) 250 2

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

179

1600⋅ u2 = F2(1)

Element 2:

E ⋅ l

( A1 + 2

A2 )

=

1000 300+ 100 ⋅ = 800 250 2

ª 1 − 1º ª u2 º ª F2( 2) º » 800 ⋅ « »⋅« »= « ¬ − 1 1 ¼ ¬ u3 ¼ «¬ F ( 2) »¼ 3

Die Systemsteifigkeitsmatrix erhält man damit zu: ª 1600+ 800 − 800 º » 800 ¼ ¬ − 800

ª u2 º ª 0 º ⋅« »= « » ¬ u3 ¼ ¬ 100 ¼

Die Lösung des Gleichungssystems ist u2 = 0.063 [cm]

u3 = 0.188 [cm]

Die Spannungen in den Elementen 1 und 2 erhält man nach (4.11) zu:

σ1 = 0.250 [kN/cm2]

σ2 = 0.500 [kN/cm2]

Diese Ergebnisse sowie die exakte Lösung (Beispiel 4.1) sind in Bild 4-7 dargestellt. Man erkennt, dass die Verschiebungen bereits mit wenigen Elementen gut angenähert werden, während dies bei den Spannungen nicht der Fall ist.

Bild 4-7 FEM-Näherungslösung mit einem und zwei Finiten Elementen mit linearem Verschiebungsansatz

180

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

4.3.4 FEM-Näherungslösung mit quadratischem Verschiebungsansatz Die Güte der Näherung lässt sich durch höhere Ansatzfunktionen des Finiten Elements verbessern. Im Folgenden wird die Steifigkeitsmatrix eines Fachwerkelements mit quadratischem Verschiebungsansatz hergeleitet. Es sind aber auch Parabeln dritter Ordnung und höhere Polynomansätze als Ansatzfunktionen möglich. Zur Beschreibung der Verschiebungen wird die dimensionslose Koordinate r eingeführt. Sie nimmt Werte zwischen -1 am linken Elementrand und +1 am rechten Elementrand an. In der Elementmitte ist r = 0. Eine Koordinate x nach Bild 4-8 lässt sich mit r=

2⋅ x −1 l

(4.19a)

in die r-Koordinate transformieren.

Stabelement

Verschiebungen Kräfte

Bild 4-8 Finites Element mit quadratischem Verschiebungsansatz (3-Knoten-Element)

Zur Beschreibung einer quadratischen Parabel sind drei Stützstellen erforderlich. Daher wird in Elementmitte ein dritter Knotenpunkt eingeführt. Das Element besitzt damit drei Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen u1, u2 und u3 (Bild 4-8). Die Querschnittsfläche des Stabs sei wiederum linear veränderlich und wird mit den Flächen A1 und A3 an den Stabenden beschrieben durch: A=

1 1 (1− r ) A1 + (1 + r ) A3 2 2

(4.19b)

Die Verschiebungsfunktion u(r) ist eine Parabel mit den drei ´Stützstellen´ u1, u2 und u3:

(

)

(

)

(

)

ª 1 º ª1 º 1 1 u = « (1− r ) − 1− r 2 » ⋅ u1 + 1− r 2 ⋅ u2 + « (1+ r ) − 1− r 2 » ⋅ u3 (4.20) ¬ 2 ¼ ¬ 2 ¼ 2 2

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

181

Die Richtigkeit der Gleichung, die offensichtlich eine quadratische Parabel in r beschreibt, lässt sich durch Einsetzen von r = -1, r = 0 und r = 1 leicht prüfen. Die Dehnungen erhält man durch Differenzieren der Verschiebungsfunktion nach x zu:

ε=

du du dr = ⋅ dx dr dx

ε =

1 4 1 (− 1 + 2r ) ⋅ u1 − r ⋅ u2 + (1+ 2r ) ⋅ u3 l l l

(4.21)

Die Dehnungen haben somit im Element einen linearen Verlauf. Die Spannungen erhält man mit dem Hooke“schen Gesetz aus den Dehnungen zu:

σ = E⋅ ε

σ =

E 4E E r ⋅ u2 + (− 1 + 2r ) ⋅ u1 − (1 + 2r ) ⋅ u3 l l l

(4.22)

Sie verlaufen wie die Dehnungen im Element linear. An den Knotenpunkten nehmen die Spannungen folgende Werte an:

σ1 = E · (-3 · u1 + 4 · u2 - u3) / l

(4.22a)

σ2 = E · ( - u1 + u3) / l

(4.22b)

σ3 = E · ( u1 - 4 · u2 + 3 · u3) / l

(4.22c)

Die virtuellen Verschiebungen werden wiederum mit denselben Ansatzfunktionen wie die wirklichen Verschiebungen nach (4.20) beschrieben:

(

)

(

)

(

)

ª1 º ª 1 º 1 1 u = « (1− r ) − 1− r 2 » ⋅ u1 + 1− r 2 ⋅ u2 + « (1+ r ) − 1− r 2 » ⋅ u3 (4.23) ¬ 2 ¼ ¬ 2 ¼ 2 2 Damit ergeben sich die virtuellen Dehnungen zu:

ε =

1 4 1 (− 1+ 2r ) ⋅ u1 − r ⋅ u2 + (1 + 2r ) ⋅ u3 l l l

(4.24)

Setzt man die wirklichen Spannungen nach (4.22) und die virtuellen Dehnungen nach (4.24) in das Prinzip der virtuellen Verschiebungen ein und berücksichtigt, dass die Kräfte F1, F2 und F3 mit den zugehörigen virtuellen Verschiebungen äußere virtuelle Arbeit leisten, erhält man: l

³ 0

ε σ A dx = F1 ⋅ u1 + F2 ⋅ u2 + F3 ⋅ u3

182

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke l

ª1

³ «¬ l (− 1+ 2r ) ⋅ u1 − 0

º 4 1 r ⋅ u2 + (1+ 2r ) ⋅ u3 » ⋅ ¼ l l

ª E º 4E E r ⋅ u2 + (− 1+ 2r ) ⋅ u1 − (1+ 2r ) ⋅ u3 » «¬ ¼ l l l

§ · x ⋅ ¨ A1 + ( A3 − A1 )¸ dx © ¹ l

= F1 ⋅ u1 + F2 ⋅ u2 + F3 ⋅ u3

§ 8 2 · § 1 α· º EA1 ª ª § 7 α · ⋅« « ¨ + ¸⋅ u1 + ¨ − − α ¸⋅ u2 + ¨ + ¸⋅ u3 »⋅ u1 © 3 3 ¹ © 3 6¹ ¼ l ¬¬© 3 2 ¹ ª§ 8 2 · º § 16 8 · § 8 · + « ¨ − − α ¸⋅ u1 + ¨ + α ¸⋅ u2 + ¨ − − 2α ¸⋅ u3 »⋅ u 2 © 3 3 ¹ © 3 ¹ ¬© 3 3 ¹ ¼ ª§ 1 α · º § 8 · § 7 11 · º + « ¨ + ¸⋅ u1 + ¨ − − 2α ¸⋅ u2 + ¨ + α ¸⋅ u3 »⋅ u 3 » = F1⋅ u1 + F2 ⋅ u2 + F3 ⋅ u3 © 3 ¹ ©3 6 ¹ ¼ ¼ ¬© 3 6 ¹

mit

α=

A3 − A1 A1

Da u 1, u 2 und u 3 beliebige Werte annehmen können, folgen aus dieser Gleichung drei Gleichungen für die Kräfte F1 (mit u 1 = 1, u 2 = u 3 = 0), F2 (mit u 2 = 1, u 1 = u 3 = 0) und für F3 (mit u 3 = 1, u 1= u 2 = 0). Sie stellen die Steifigkeitsbeziehungen des Elements dar und lauten in Matrizenschreibweise: ª « « EA1 « ⋅«− l « « «¬

7 + 3 8 − 3 1 + 3

α 2 2 α 3

α 6

8 2 1 α º − α + » 3 3 3 6 » 16 8 8 » + α − − 2α » 3 3 3 » 8 7 11 » − − 2α + α» 3 3 6 ¼ Ke

−

ª u1 º « » ⋅ « u2 » = «¬ u »¼ 3

ue =

ª « « «¬

F1 º » F2 » F3 »¼

(4.25)

Fe

(4.25a)

Beispiel 4.3

Der Fachwerkstab mit linear veränderlicher Fläche in Beispiel 4.1 ist zunächst mit einem und dann mit zwei Finiten Elementen mit quadratischem Verschiebungsansatz zu untersuchen.

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

(a) Ein Element

183

(b) Zwei Elemente

Bild 4-9 Diskretisierung des Stabs in Elemente mit quadratischem Verschiebungsansatz

Bei der Diskretisierung des Stabs durch ein einziges Element lautet die Steifigkeitsbeziehung mit (4.25) unter Berücksichtigung der Auflagerbedingung u1 = 0 und der Lasten: ª 16 8 º 8 + α − − 2α » « EA1 3 3 3 » ⋅« 7 11 » l « 8 α − − 2α + ¬« 3 3 6 »¼

ª u2 º ª 0 º ⋅« »= « » ¬ u3 ¼ ¬ F ¼

Mit A1 = 500 [cm2], A3 = 100 [cm2], E = 1000 [kN/cm2], l = 500 [cm] und F = 100 [kN] nach Bild 4-9 erhält man: ª 3.200 − 1.067 º ª u2 º ª 0 º 1000 ⋅ « »⋅« »= « » ¬ − 1.067 0.867 ¼ ¬ u3 ¼ ¬ 100 ¼

Die Lösung dieses Gleichungssystems lautet u2 = 0.065 [cm] u3 = 0.196 [cm].

Mit (4.22a,c) werden hieraus die Spannungen am Stabanfang und am Stabende bestimmt zu:

σ1 = E · (-3 · u1 + 4·u2 - u3) / l = 1000 · ( 4·0.065 - 0.196 )/ 500 = 0.130 [kN/cm2] σ2 = E · ( - u1 + u3) / l = 1000 · 0.196 / 500 = 0.391 [kN/cm2] σ3 = E · ( u1 - 4 · u2 +3 · u3) / l = 1000 · (-4·0.065 + 3·0.196)/ 500 = 0.652 [kN/cm2]

Bei der Diskretisierung des Stabs in zwei Finite Elemente werden zunächst die Elementsteifigkeitsmatrizen nach (4.25) aufgestellt. Die Auflagerbedingung u1 = 0 wird bereits bei der Elementsteifigkeitsmatrix des Elements 1 berücksichtigt, d. h., die Zeile und die Spalte für u1 werden eliminiert:

184

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Element 1: ª 16 8 º 8 + α − − 2α » ª º ª (1) º u F EA1 « 3 3 3 » ⋅ « 2» = « 2 » ⋅« 7 11 » ¬ u3 ¼ «¬ F (1) »¼ l « 8 3 α − − 2α + ¬« 3 3 6 »¼

und mit A1 = 500 [cm2], A3 = 300 [cm2], E = 1000 [kN/cm2], l = 250 [cm] : ª 4.267 − 1.867 º ª u2 º ª F2(1) º » 2000 ⋅ « »⋅« »= « ¬ − 1.867 1.600 ¼ ¬ u3 ¼ «¬ F (1) »¼ 3

Element 2: ª « « EA1 « ⋅«− l « « «¬

7 + 3 8 − 3 1 + 3

α 2 2 α 3

α 6

8 2 1 α º − α + » 3 3 3 6 » 16 8 8 » + α − − 2α » 3 3 3 » 8 7 11 » α» − − 2α + 3 3 6 ¼

−

ª ( 2) º ª u3 º « F3 » « » ⋅ « u4 » = « F4( 2) » « » «¬ u »¼ « ( 2) » 5 F ¬ 5 ¼

und mit A1 = 300 [cm2], A3 = 100 [cm2], E = 1000 [kN/cm2], l = 250 [cm] : ª 2.000 − 2.222 0.222 º « » 1200 ⋅ « − 2.222 3.556 − 1.333» ¬« 0.222 − 1.333 1.111 ¼»

ª ( 2) º ª u3 º « F3 » « » ⋅ « u4 » = « F4( 2) » « » ¬« u5 ¼» « F ( 2) » ¬ 5 ¼

Die Systemsteifigkeitsmatrix erhält man damit zu: ª 8533 − 3733 0 0 º « » 267 » « − 3733 5600 − 2667 « 0 − 2667 4267 − 1600 » « » 267 − 1600 1333 ¼ ¬ 0

ª u2 º ª 0 º « » « » u3 » « 0 » « ⋅ = « u4 » « 0 » « » « » ¬ u5 ¼ ¬ 100 ¼

Die Lösung dieses Gleichungssystems ist u2 = 0.028 [cm]

u3 = 0.064 [cm]

u4 = 0.115 [cm]

u5 = 0.200 [cm]

Die Spannungen erhält man nach (4.22a,c) im Element 1 zu:

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

σ1 = 0.191 [kN/cm2]

185

σ2 = 0.255 [kN/cm2]

σ3 = 0.319 [kN/cm2]

σ2 = 0.545 [kN/cm2]

σ3 = 0.818 [kN/cm2]

und im Element 2:

σ1 = 0.273 [kN/cm2]

Die Ergebnisse sind gemeinsam mit der exakten Lösung (vgl. Beispiel 4.1) in Bild 4-10 dargestellt. Im Stabelement verlaufen die Verschiebung quadratisch und die Spannung linear. Die Näherung für die Verschiebungen und Spannungen ist deutlich besser als bei den Elementen mit linearem Verschiebungsansatz in Beispiel 4.2.

Bild 4-10 FEM-Näherungslösung mit einem und zwei Finiten Elementen mit quadratischem Verschiebungsansatz

186

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Beispiel 4.4

Die Ergebnisse des Erläuterungsbeispiels sind für verschiedene Finite-Element-Diskretisierungen zusammenzustellen und die absoluten Fehler der Knotenverschiebungen und Elementspannungen sind zu ermitteln. Die Ergebnisse sind in den Tabellen 4-2 und 4-3 angegeben. In Bild 4-11 sind die Spannungen und Verschiebungen für eine Diskretisierung in vier Elemente mit linearem bzw. quadratischem Verschiebungsansatz dargestellt. Die absoluten Fehler in den Tabellen 4-4 und 4-5 ergeben sich aus der Differenz der exakten Werte zu den Näherungswerten.

GLEICHMÄSSIGE ELEMENTIERUNG MIT VIER ELEMENTEN Verschiebungen u [mm]

u [mm]

2,0

2,0

1,0

1,0 x 0

125

250

375

x

500

0

125

250

375

500

Spannungen

[kN/cm²]

[kN/cm²]

1,0

1,0

0,5

0,5

x 0

125

250

375

x

500

0

linearer Verschiebungsansatz

125

250

375

500

quadratischer Verschiebungsansatz

AN DEN SPANNUNGSGRADIENTEN ANGEPASSTE ELEMENTIERUNG [kN/cm²]

[kN/cm²]

1,0

1,0 0,714 0,455 0,333

0,5

0,868 0,653 0,476 0,339

0,5

0,217 0,263

0,236

x 0

100 200 300

400 500

x 0

192

Bild 4-11 Verschiebungen und Spannungen im Erläuterungsbeispiel

320 405 462 500

4.3 Näherungscharakter der Finite Element Methode

187

Tabelle 4-2 Knotenverschiebungen im Erläuterungsbeispiel [mm] x [cm]

Ansatzfunktion

Anzahl Elemente

0

125

linear

1

0

-

-

-

1.67

2

0

-

0.63

-

1.88

4

0

0.28

0.63

1.13

1.97

1

0

-

0.65

-

1.96

2

0

0.28

0.64

1.15

2.00

4

0

0.28

0.64

1.15

2.01

-

0

0.28

0.64

1.15

2.01

quadratisch

exakt

250

375

500

Tabelle 4-3 Elementspannungen im Erläuterungsbeispiel [kN/cm2] x [cm]

Ansatzfunktion

Anzahl Elemente

0

125

250

375

500

linear

1

0.333

-

0.333

-

0.333

2

0.250

0.250

0.250/0.500

0.500

0.500

4

0.222

0.222/0.286

0.286/0.400

0.400/0.667

0.667

1

0.130

-

0.391

-

0.652

2

0.191

0.255

0.319/0.273

0.545

0.818

4

0.198

0.248/0.247

0.329/0.324

0.486/0.462

0.923

-

0.200

0.250

0.333

0.500

1.000

quadratisch

exakt

Tabelle 4-4 Fehler der Knotenverschiebungen im Erläuterungsbeispiel [mm] x [cm]

Ansatzfunktion

Anzahl Elemente

0

125

250

375

500

linear

1

0

-

-

-

0.34

2

0

-

0.01

-

0.13

4

0

0

0.01

0.02

0.04

1

0

-

0.01

-

0.05

2

0

0

0

0

0.01

4

0

0

0

0

0

quadratisch

Tabelle 4-5 Fehler der Elementspannungen im Erläuterungsbeispiel [kN/cm2] x [cm]

Ansatzfunktion

Anzahl Elemente

0

125

250

375

500

linear

1

0.133

-

0

-

0.667

quadratisch

2

0.050

0

0.083/0.167

0

0.500

4

0.022

0.028/0.036

0.047/0.067

0.100/0.167

0.333

1

0.070

-

0.058

-

0.348

2

0.009

0.005

0.014/0.060

0.045

0.182

4

0.002

0.002/0.003

0.004/0.009

0.014/0.038

0.077

188

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

4.3.5 Eigenschaften der FEM-Näherungslösung Die für das Erläuterungsbeispiel erhaltenen Ergebnisse lassen deutlich den Näherungscharakter der Finite-Element-Methode erkennen. Abweichungen von der exakten Lösung treten sowohl bei den Verschiebungen als auch bei den Spannungen des Erläuterungsbeispiels auf (vgl. Bild 4-11 sowie Tabellen 4-2 und 4-3). Diese Abweichungen geben die absoluten Fehler der Finite-Element-Lösung an, Tabellen 4-4 und 4-5. Eine Reihe wichtiger Eigenschaften der Finite-Element-Methode wird bereits an diesem vergleichsweise einfachen Beispiel deutlich. Die Näherung der Finite-Element-Lösung ist um so genauer, je mehr Elemente verwendet werden bzw. je kleiner die Elementgröße ist. Elemente mit höheren Ansatzfunktionen besitzen bei gleicher Elementanzahl eine höhere Genauigkeit als Elemente mit einfacheren Ansatzfunktionen (vgl. Bild 4-11 und Tabelle 4-2 und 4-3). Die Genauigkeit der Finite-Element-Lösung kann also entweder durch eine Erhöhung der Elementanzahl oder durch Verwendung von Elementen mit höheren Ansatzfunktionen verbessert werden. Die Verschiebungen sind deutlich genauer als die Spannungen, Tabellen 4-2 und 4-3. Die Spannungen sind nach (2.2a) rechnerisch die mit dem Elastizitätsmodul multiplizierten Dehnungen, .welche nach (4.10) durch Differenzieren der Ansatzfunktionen gebildet werden. Allgemein gilt, dass der Fehler einer fehlerbehafteten Funktion beim Differenzieren vergrößert wird. Beim Integrieren hingegen wird der Fehler verringert. Da es sich bei den Spannungen um differenzierte Größen handelt, sind sie bei Finiten Elementen mit Verschiebungsansatz immer ungenauer als die Verschiebungen. Die Spannungen sind in Elementmitte erheblich genauer als am Elementrand. Zwischen zwei Elementen tritt aufgrund der getroffenen Näherung ein Spannungssprung auf. Je kleiner dieser Spannungssprung ist, desto genauer ist das Ergebnis der Finite-Element-Berechnung. Er ist somit ein Maß für die Genauigkeit einer Finite-Element-Berechnung. In Bereichen mit hohem Spannungsgradienten (z. B. im Erläuterungsbeispiel in der rechten Stabhälfte) nimmt die Größe des Spannungssprungs zu und damit die Genauigkeit der Berechnung ab. Um eine gleichmäßige Genauigkeit zu erhalten, sollten daher die Finiten Elemente in Bereichen mit hohen Spannungsgradienten verdichtet werden, wie dies für das Erläuterungsbeispiel in Bild 4-11 dargestellt ist. Man kann zeigen, dass bei Elementen mit Verschiebungsansätzen (kinematische Elemente) die errechneten Verschiebungen im Mittel zu klein sind. Dies wird auch in Bild 4-11 und Tabelle 4-2 deutlich. Das System verhält sich somit aufgrund des Verschiebungsansatzes zu steif. Um „künstliche Steifigkeitssprünge“ zu vermeiden, die (in statisch unbestimmten Systemen) zu fehlerhaften Spannungsumlagerungen führen können, dürfen benachbarte Finite Elemente nicht extrem unterschiedliche Abmessungen aufweisen. Die wesentlichen Ergebnisse werden noch einmal zusammengefasst: Eigenschaften der FEM-Näherungslösung:

a) Die FEM-Lösung nähert die exakte Lösung an. Ihre Genauigkeit wird durch eine Vergrößerung der Elementanzahl bzw. eine Verringerung der Elementgröße erhöht. b) Elemente mit höheren Ansatzfunktionen besitzen eine höhere Genauigkeitals Elemente mit niedrigeren Ansatzfunktionen.

4.4 Rechteckelement für Scheiben

189

c) Bei Finiten Elementen, die ausschließlich auf Verschiebungsansätzen beruhen, sind die angenäherten Knotenverschiebungen im Mittel zu klein, d. h. das System verhält sich aufgrund des Näherungsansatzes zu "steif". d) Die FEM-Näherung ist bei gleichmäßiger Elementgröße im Bereich geringerer Spannungsgradienten besser als im Bereich höherer Spannungsgradienten. e) Die Elementspannungen sind in Elementmitte deutlich genauer als am Elementrand. f) Der Spannungssprung zwischen zwei Elementen ist ein Maß für die Genauigkeit an der betreffenden Stelle.

Diese Eigenschaften der Finite-Element-Methode gelten allgemein für alle Flächentragwerke und Kontinua und sind bei der Finite-Element-Modellierung zu beachten.

4.4 Rechteckelement für Scheiben 4.4.1 Ansatzfunktionen Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix eines Scheibenelements erfolgt am Beispiel eines einfachen Rechteckelements. Die Vorgehensweise ist hier ähnlich wie beim Fachwerkstab im vorangegangen Abschnitt. Allerdings sind die Gleichungen komplizierter, da anstelle einer Verschiebung zwei Verschiebungskomponenten und anstelle einer Dehnung und einer Spannung drei Verzerrungs- und drei Spannungskomponenten zu berücksichtigen sind. Man beginnt wieder mit der Wahl des Verschiebungsansatzes. Das Element hat zwei Verschiebungsfreiheitsgrade an jedem Knotenpunkt (Bild 4-12). Interpoliert man die Verschiebungen u(x,y) und v(x,y) linear zwischen den Knotenpunkten, so ergibt sich eine bilineare Ansatzfunktion der Verschiebungen:

Bild 4-12 Rechteck-Scheibenelement

190

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke u = α1 + α2·x + α3·y + α4·x·y v = ß1 + ß2·x + ß3·y + ß4·x·y

(4.26)

bzw.

ª uº ª 1 x y « »= « ¬ v¼ ¬ 0 0 0

xy 0 0 0 0

1 x

y

ª α1 º « » « α2 » « α3 » « » 0 º « α4 » »⋅ xy ¼ « β1 » « » « β2 » «β » « 3» «¬ β 4 »¼

u = Na ⋅a

(4.26a)

(4.26b)

Trägt man diese Funktionen über dem Element auf, erhält man eine gekrümmte Fläche, die jedoch in Schnitten parallel zur x- oder y-Achse geradlinig verläuft (Bild 4-14). Die Werte α1-α4 und ß1-ß4 stellen noch freie Parameter dar, die durch die Knotenverschiebungen u1, v1 bis u4, v4 ausgedrückt werden. Hierzu setzt man die Punktkoordinaten der Knotenpunkte in (4.26) ein und erhält damit folgende Knotenverschiebungen: am Knotenpunkt 1: u1 = α1 + α2·(-a/2) + α3·(-b/2) + α4·(-a/2)·(-b/2), v1 = ß1 + ß2·(-a/2) + ß3·(-b/2) + ß4·(-a/2)·(-b/2),

am Knotenpunkt 2: u2 = α1 + α2·( a/2) + α3·(-b/2) +α4·( a/2)·(-b/2), v2 = ß1 + ß2·( a/2) + ß3·(-b/2) + ß4·( a/2)·(-b/2), am Knotenpunkt 3: u3 = α1 + α2·( a/2) + α3·( b/2) + α4·( a/2)·( b/2), v3 = ß1 + ß2·( a/2) + ß3·( b/2) + ß4·( a/2)·( b/2), und am Knotenpunkt 4: u4 = α1 + α2·(-a/2) + α3·( b/2) + α4·(-a/2)·( b/2) v4 = ß1 + ß2·(-a/2) + ß3·( b/2) + ß4·(-a/2)·( b/2).

4.4 Rechteckelement für Scheiben

191

Diese Gleichungen lassen sich geschlossen nach den acht Parametern α1-α4 und ß1-ß4 auflösen: ª « « « « « ª α1 º « « » « « α2 » « « α3 » « « » « α4 » 1 « « β »= 2 « « « 1» « « β2 » « «β » « « 3» « ¬« β 4 ¼» « « « « «¬

1 2 1 − a 1 − b 2 a⋅ b 0 0 0 0

0 0 0 0

1 2 1 a 1 − b 2 − a⋅ b

1 2 1 − a 1 − b 2 a⋅ b

0 0 0 0

1 2 1 a 1 b 2 a⋅ b

0 0 0 0 1 2 1 a 1 − b 2 − a⋅ b

a=

0 0 0 0

0 0 0 0

1 2 1 − a 1 b 2 − a⋅ b

1 2 1 a 1 b 2 a⋅ b

A

0 0 0 0

º » » » 0 » » ª u1 º 0 » « v1 » » « » » « u2 » 0 » « » » « v2 » ⋅ 1 » « u3 » » « » 2 » « v3 » 1 » «u » − » « 4» a » ¬« v ¼» 4 1 » » b » 2 » − a⋅ b ¼» 0

ue

Die Verschiebungsfunktionen u(x,y) und v(x,y) lassen sich damit durch die Knotenverschiebungen ausdrücken. Setzt man die Gleichungen für α1-α4 und β1-β4 in (4.26a) ein, erhält man: u = N a ⋅ A⋅ue

und nach Durchführung der Matrizenmultiplikation:

ª u º ª N1 « »= « ¬ v¼ ¬ 0

u = N ⋅u e

mit

0 N1

N2 0

0 N2

N3 0

0 N3

N4 0

ª u1 º « » « v1 » « u2 » « » 0 º « v2 » »⋅ N 4 ¼ « u3 » « » « v3 » «u » « 4» ¬« v4 ¼»

(4.27)

(4.27a)

192

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke N1 =

1 1 1 1 − x − y + x⋅ y ab 4 2a 2b

(4.27b)

N2 =

1 1 1 1 + x − y − x⋅ y ab 4 2a 2b

(4.27c)

N3 =

1 1 1 1 + x + y − x⋅ y ab 4 2a 2b

(4.27d)

N4 =

1 1 1 1 − x + y − x⋅ y ab 4 2a 2b

(4.27e)

Die Funktionen N1-N4 werden auch als Formfunktionen bezeichnet. Sie besitzen an einem Knotenpunkt den Wert 1 und an allen anderen Knotenpunkten den Wert 0 (Bild 4-13).

Bild 4-13 Formfunktionen N1-N2

4.4.2 Verzerrungen und Spannungen Aus den Ansatzfunktionen der Verschiebungen u(x,y) und v(x,y) werden nun die zugehörigen Dehnungen εx, εy und der Scherwinkel γxy bestimmt. Man erhält sie durch Differenzieren der Verschiebungsfunktionen (4.27) nach (2.1b) zu:

ª « « « «¬

mit

ª ∂u º ª « » « ∂x » « ε x º» « « ∂v » « εy » = « »= « » « ∂y » « γ xy »¼ « ∂u ∂v » « « » « + ¬ ∂ y ∂ x¼ ¬

∂ N1 ∂x 0

∂ N1 ∂y

0

∂ N1 ∂y ∂ N1 ∂x

∂ N2 ∂x 0

∂ N2 ∂y

0

∂ N2 ∂y ∂ N2 ∂x

∂ N3 ∂x 0

∂ N3 ∂y

0

∂ N3 ∂y ∂ N3 ∂x

∂ N4 ∂x 0

∂ N4 ∂y

ª u1 º « » º « v1 » 0 » «u » » « 2» ∂ N 4 » « v2 » (4.28) »⋅ ∂ y » « u3 » « » ∂ N 4 » « v3 » » ∂ x ¼ «« u4 »» ¬« v4 ¼»

4.4 Rechteckelement für Scheiben

193

∂ N1 1 1 = − + y ∂x ab 2a

∂ N1 1 1 = − + x ∂y ab 2b

∂ N2 = ∂x

1 1 − y ab 2a

∂ N2 1 1 = − − x ∂y ab 2b

∂ N3 = ∂x

1 1 + y ab 2a

∂ N3 = ∂y

1 1 + x ab 2b

∂ N4 = ∂y

1 1 − x ab 2b

∂ N4 1 1 = − − y ∂x ab 2a

(4.28a-h)

und damit

ª « « « «¬

ª u1 º « » « v1 » « u2 » ª 2y− b − 2 y+ b − 2y− b ε x »º 0 0 2 y+ b 0 0 º « » 1 « » « v2 » 0 2x− a 0 0 2x+ a 0 − 2x− a − 2x+ a » ⋅ « » εy » = « u3 » 2ab « ¬ 2 x − a 2 y − b − 2 x − a − 2 y + b 2 x + a 2 y + b − 2 x + a − 2 y − b »¼ « » γ xy »¼ « v3 » «u » « 4» «¬ v4 »¼

ε

=

B · ue

Bild 4-14 Verschiebungsansatz beim Rechteck-Scheibenelement und daraus abgeleitete Spannungen (µ=0)

(4.29)

194

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Die Dehnung εx ist nach (4.29) innerhalb eines Finiten Elements in x-Richtung konstant und in y-Richtung linear veränderlich. Die Dehnung εy ist in y-Richtung konstant und in x-Richtung linear veränderlich. Die Scherverzerrung γxy ist in x- und y-Richtung linear veränderlich. Die Elementspannungen erhält man aus den Verzerrungen mit Hilfe des Hooke“schen Gesetzes (2.2b) zu:

σ=D·ε und mit den Verzerrungen nach (4.29a) zu:

σ = D · B · ue

(4.30)

Da die Spannungen sich aus der Multiplikation der Verzerrungen mit konstanten Werten in der Matrix D ergeben, haben sie für µ = 0 innerhalb des Finiten Elements denselben Verlauf wie die Verzerrungen (Bild 4-14).

4.4.3 Steifigkeitsmatrix Die Knotenkräfte, die den aus dem Verschiebungsansatz erhaltenen Spannungen entsprechen, werden mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen bestimmt. Für den Verlauf der virtuellen Verschiebungen im Finiten Element werden dieselben Ansatzfunktionen gewählt wie für die wirklichen Verschiebungen, also analog zu (4.28):

u =N· ue

(4.31)

wobei u die virtuellen Verschiebungen im Element und u e die virtuellen Knotenverschiebungen beschreiben. Die dem virtuellen Verschiebungszustand entsprechenden virtuellen Verzerrungen ε erhält man mit (4.29a) zu:

ε =B· ue

(4.32)

bzw.

ε

T

= u eT · BT

(4.32a)

Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen sagt aus, dass die von wirklichen inneren Kräften mit den zugehörigen virtuellen Verschiebungen geleistete innere Arbeit gleich der äußeren Arbeit ist, die von den wirklichen äußeren Kräften mit den zugehörigen virtuellen Verschiebungen geleistet wird. Die virtuelle innere Arbeit ergibt sich nach (2.4b) zu:

W i = t⋅

³ε

T

⋅ σ dx dy

Die Integration ist über die Elementfläche durchzuführen. Die virtuellen Verzerrungen ε werden mit (4.32a) durch die virtuellen Verschiebungen der Knotenpunkte ausgedrückt. Für die wirklichen Spannungen σ wird Gleichung (4.30), die die wirklichen Knotenverschiebungen als Unbekannte enthält, eingesetzt. Damit lautet die innere virtuelle Arbeit:

4.4 Rechteckelement für Scheiben Wi = t ⋅

T

³ ue

195

⋅ BT ⋅ D ⋅ B ⋅ u e dx dy

bzw., da die wirklichen Knotenverschiebungen ue ebenso wie die virtuellen Knotenverschiebungen u e von x und y unabhängig sind:

W i = u eT ⋅

³

t ⋅ BT ⋅ D ⋅ B dx dy ⋅ u e

(4.33)

Die äußere virtuelle Arbeit ist die Arbeit, die die wirklichen äußeren Kräfte mit den virtuellen Verschiebungen leisten. Die Knotenkräfte Fx1, Fy1, Fx2 bis Fy4 leisten mit den entsprechenden virtuellen Knotenverschiebungen virtuelle äußere Arbeit. Falls Flächenlasten, die durch Massenkräfte entstehen können, oder Linienlasten am Elementrand vorhanden sind, leisten auch sie virtuelle äußere Arbeit. Nach (2.3a) und Bild 2-7 gilt für die Knotenkräfte:

W a = ª¬ u1 v1 u2

v2

u3

v3

u4

W a = u eT ⋅ F e

ª « « « « « v4 º¼ ⋅ « « « « « « ¬

Fx1 º » Fy1 » Fx 2 » » Fy 2 » » Fx3 » Fy 3 » » Fx 4 » » Fy 4 ¼

(4.34)

(4.34a)

Die Flächenlasten px und py bewirken am infinitesimalen Element die Kräfte px·dx·dy bzw. py·dx·dy und mit den virtuellen Verschiebungen u und v nach (4.31) die virtuelle äußere Arbeit

³ (u ⋅

Wa =

=

³ ª¬ u

p x + v ⋅ p y ) dx dy

ª px º v º¼ ⋅ « » dx dy ¬ py ¼

bzw. Wa =

³ uT ⋅

p dx dy

und mit u und v nach (4.31) W a = u eT ⋅

³

N T ⋅ p dx dy ⋅

196

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Linienlasten auf den Rändern, deren Beitrag zur virtuellen äußeren Arbeit hier ebenfalls berücksichtigt werden kann, werden später behandelt. Die gesamte äußere virtuelle Arbeit lautet damit: W a = u eT ⋅ F e + u eT ⋅ FL

(4.34b)

wobei der Vektor FL =

³

N T ⋅ p dx dy

(4.34c)

die den Elementlasten entsprechenden Knotenlasten enthält. Nach dem Gleichsetzen der inneren und äußeren virtuellen Arbeiten (4.33) und (4.34b) erhält man:

u eT ⋅ ³ t ⋅ BT ⋅ D ⋅ B dx dy ⋅ u e = u eT ⋅ F e + u eT ⋅ FL Da diese Gleichung für beliebige virtuelle Knotenverschiebungen u eT gültig ist, folgt hieraus:

³ t ⋅ ( BT ⋅ D ⋅ B ) dx dy ⋅ u e = F e + F L

(4.35)

oder ohne Elementlasten K (e ) ⋅ u e = F e

mit K (e) = ³ t ⋅ BT ⋅ D ⋅ B dx dy

(4.35a)

Die Matrix K(e) ist die Steifigkeitsmatrix des Rechteck-Scheibenelements mit bilinearem Verschiebungsansatz. Nach Durchführung der Matrizenmultiplikation und der Integration erhält man für eine konstante Scheibendicke t die Steifigkeitsbeziehung nach [4.9] zu: ª k11 « « k21 « k31 « E⋅ t « k41 ! « 12(1− µ 2 ) « k51 « k61 «k « 71 «¬ k81

k12

k13

k14

k15

k16

k17

k22 k32

k23 k33

k24 k34

k25 k35

k26 k36

k27 k37

k42 k52

k43 k53

k44 k54

k45 k55

k46 k56

k47 k57

k62 k72

k63 k73

k64 k74

k65 k75

k66 k76

k67 k77

k82

k83

k84

k85

k86

k87

K(e) mit

k18 º ª u1 º ª »« » « k28 » « v1 » « « k38 » « u2 » « »« » k48 » « v2 » « ⋅ =« k58 » « u3 » « »« » k68 » « v3 » « « k78 »» «« u4 »» « k88 »¼ «¬ v4 »¼ «¬

· ue =

Fx1 º » Fy1 » Fx 2 » » Fy 2 » » Fx3 » Fy 3 » » Fx 4 » » Fy 4 ¼

Fe

(4.36)

4.4 Rechteckelement für Scheiben k11 = k33 = k55 = k77

= 4 b/a + 2(1 - µ) a/b

k22 = k44 = k66 = k88

= 4 a/b + 2(1 - µ) b/a

k12 = k47 = k38 = k56

= 3/2 (1 + µ)

k13 = k57

= -4 b/a + (1 - µ) a/b

k14 = k27 = k58 = k36

= -3/2 (1 - 3µ)

k15= k37

= -2 b/a - (1 - µ) a/b

k16 = k25 = k78 = k34

= -3/2 (1 + µ)

k17 = k35

= 2 b/a - 2(1 - µ) a/b

k18 = k23 = k67 = k45

= 3/2 (1 - 3µ)

k24 = k68

= 2 a/b - 2(1 - µ) b/a

k26 = k48

= -2 a/b - (1 - µ) b/a

k28 = k46

= -4 a/b + (1 - µ) b/a

197

4.4.4 Elementlasten Das Element sei durch eine konstante Flächenlast und durch Linienlasten an den Rändern belastet (Bild 4-15). Diese Elementlasten sind in äquivalente Knotenkräfte umzurechnen. Nach (4.34c) gilt für die äquivalenten Knotenkräfte: Äquivalente Knotenkräfte für Elementlasten

Die zu einer Elementlast äquivalenten Knotenkräfte sind diejenigen Kräfte, die mit den virtuellen Knotenverschiebungen dieselbe (virtuelle äußere) Arbeit leisten wie die Elementlasten mit den ihnen entsprechenden virtuellen Verschiebungen. Die äquivalenten Knotenkräfte werden nun für die einzelnen Elementlasten ermittelt. In ähnlicher Weise können auch für andere Elementlasten, wie z. B. für im Element angreifende Einzellasten, äquivalente Knotenkräfte bestimmt werden.

Flächenlasten

Die Knotenkräfte für konstante Flächenlasten px und py erhält man nach (4.34c) zu: FL =

³

N T ⋅ p dx dy

Nach Durchführung der Integration ergeben sich die Knotenkräfte zu (Bild 4-15):

(4.34c)

198

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke ELEMENTLAST

ÄQUVALENTE KNOTENLASTEN

Bild 4-15 Elementlasten und äquivalente Knotenkräfte beim Scheibenelement

ª « « U aL = !ª¬ v3 v4 º¼ −a « 2 ¬« a

³

2

ª FL, y 3 º » U aK = ª¬ v3 v4 º¼ « ¬« FL, y 4 ¼»

1 + 2 1 − 2

xº » ª p y3 º x · § 1 x ·º a » ª§ 1 » ⋅ « ¨ + ¸ ¨ − ¸ » dx⋅ « x » ¬© 2 a ¹ © 2 a ¹¼ «¬ p y 4 ¼» a ¼»

(4.37a)

Linienlasten

Als Beispiel für linienförmige Elementlasten wird die Belastung des oberen Elementrandes durch linear veränderliche Lasten in x- und y-Richtung untersucht. Die äquivalenten Knoten-

4.4 Rechteckelement für Scheiben

199

lasten werden durch Gleichsetzen der virtuellen Arbeiten der Knotenlasten und der Randlasten bei einer virtuellen Verschiebung ermittelt. Die virtuelle Verschiebung zwischen den Knotenpunkten 3 und 4 ist in (4.27) enthalten. Der Verlauf der Verschiebung ist linear, so dass gilt

v3− 4 = ª¬ v3

ª « v4 º¼ ⋅ « « «¬

1 + 2 1 − 2

xº » a» x» a »¼

Die linear veränderliche Randlast py,3-4 lässt sich analog schreiben: ª§ 1 x· § 1 x ·º ª p y3 º » p y ,3− 4 = « ¨ + ¸ ¨ − ¸ » ⋅ « ¬ © 2 a ¹ © 2 a ¹ ¼ «¬ p y 4 ¼»

Die Randlast py,3-4 bewirkt am infinitesimalen Abschnitt der Länge dx die Kraft py,3-4 · dx und mit der virtuellen Verschiebung v 3-4 die virtuelle äußere Arbeit: ª « « v4 ¼º ⋅ « a − 2 « ¬ a

W aL = ¬ª v3

2

³

1 xº + »ª x· § 1 x a» § 1 2 ⋅« ¨ + ¸ ¨ − x » ¬© 2 a ¹ © 2 a 1 − » a¼ 2

ª p y3 º ·º » ¸ » dx ⋅ « ¹¼ «¬ p y 4 ¼»

Aus der Gleichheit dieser Arbeit mit der äußeren virtuellen Arbeit der äquivalenten Knotenkräfte W aK = ª¬ v3

ª FL, y 3 º » v4 º¼ « ¬« FL, y 4 ¼»

folgt:

¬ª v3

ª FL, y 3 º » = ª¬ v3 v4 º¼ « «¬ FL, y 4 »¼

ª « « v4 º¼ « − a2 « ¬ a

2

³

1 + 2 1 − 2

xº » a» x» a ¼»

ª1 x ⋅« + ¬2 a

ª p y3 º 1 xº » − » dx ⋅ « 2 a¼ «¬ p y 4 »¼

Da diese Gleichung für beliebige virtuelle Verschiebungen v 3 und v 4 gelten muss, erhält man hieraus die Knotenkräfte zu:

ª FL, y 3 º « » = «¬ FL, y 4 »¼

ª « « « − a2 « ¬ a

³

2

1 + 2 1 − 2

xº » a» x» a ¼»

ª1 x ⋅« + ¬2 a

ª p y3 º 1 xº » − » dx ⋅ « 2 a¼ «¬ p y 4 »¼

200

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

und nach Durchführung der Integration ª 1 « ⋅ p y3 + ª FL, y 3 º 3 « » = a« « F 1 ¬« L, y 4 ¼» «¬ ⋅ p y 3 + 6

º 1 ⋅ py4 » 6 » . » 1 ⋅ py4 » ¼ 3

(4.37b)

Die Ermittlung der äquivalenten Knotenkräfte für px,3-4 erfolgt mit den Knotenverschiebungen u3 und u4 ganz analog (Bild 4-15). In ähnlicher Weise lassen sich auch Randlasten auf die übrigen Ränder des Elements behandeln.

4.4.5 Beispiele Beispiel 4.5 Um zu überprüfen, ob das Reckteck-Scheibenelement mit bilinearem Verschiebungsansatz korrekt in ein Finite-Element-Programm implementiert ist, wird in einem Freiheitsgrad eine Last von 1000 [kN] aufgebracht, während alle übrigen Freiheitsgrade festgehalten werden (Bild 4-16). Die Verschiebung im belasteten Freiheitsgrad und die Festhaltekräfte in den übrigen Freiheitsgraden sind zu überprüfen.

Bild 4-16 Scheiben-Rechteckelement mit einem verschieblichen Freiheitsgrad

Da das System nur aus einem einzigen Finiten Element besteht, ist die Elementsteifigkeitsmatrix identisch mit der Systemsteifigkeitsmatrix. Alle Freiheitsgrade außer der Verschiebung u3 sind festgehalten. Daher sind zur Berücksichtigung der Auflagerbedingungen alle Zeilen und Spalten mit Ausnahme derjenigen, die dem Freiheitsgrad u3 entsprechen, aus der Systemsteifigkeitsmatrix zu eliminieren. Man erhält aus (4.36): k55 · u3 = Fx3 mit k55 =

§ b a· 3 ⋅ 107 ⋅ 0.2 § 0.5 1.0 · 4 ⋅ + 2 ⋅ (1− µ) ¸ = + 2 ⋅ (1− 0.2) ¨ ¨ 4⋅ ¸ 2 © 2 © ¹ a b 1.0 0.5 ¹ 12 ⋅ 1− µ 12 ⋅ 1− 0.2 E⋅ t

(

)

= 2.70 · 106 [kN/m]

(

)

4.4 Rechteckelement für Scheiben

201

Damit erhält man u3 zu: u3 = Fx3 / k55 = 1000 / 2.7 ·106 = 3.69 ·10-4 [m] Die Festhaltekräfte erhält man aus den bei der Berückichtigung der Auflagerbedingungen eliminierten Gleichungen. Da alle Verschiebungen außer u3 Null sind, brauchen nur die Steifigkeitswerte einer einzigen Spalte der Matrix ermittelt zu werden: § 0.5 1.0 · −4 Fx1 = k15 · u3 = 5.21 ⋅ 105 ¨ − 2⋅ − (1− 0.2) ⋅ = − 500 [kN] ¸ ⋅ 3.69⋅ 10 © 1.0 0.5 ¹ § 3 · Fy1 = k25 · u3 = 5.21 ⋅ 105 ¨ − ⋅ (1+ 0.2) ¸ ⋅ 3.69 ⋅ 10− 4 = − 346 [kN] © 2 ¹

§ 0.5 1.0 · −4 − 2⋅ (1− 0.2) ⋅ = − 423 [kN] Fx2 = k35 · u3 = 5.21 ⋅ 105 ¨ 2⋅ ¸ ⋅ 3.69⋅ 10 © 1.0 0.5 ¹ §3 · Fy2 = k45 · u3 = 5.21 ⋅ 105 ¨ ⋅ (1− 3⋅ 0.2) ¸ ⋅ 3.69 ⋅ 10− 4 = 115 [kN] ©2 ¹ §3 · Fy3 = k65 · u3 = 5.21 ⋅ 105 ¨ ⋅ (1+ 0.2) ¸ ⋅ 3.69 ⋅ 10− 4 = 346 [kN] ©2 ¹ § 0.5 1.0 · −4 + (1− 0.2) ⋅ = − 77 [kN] Fx4 = k75 · u3 = 5.21 ⋅ 105 ¨ − 4 ⋅ ¸ ⋅ 3.69 ⋅ 10 © 1.0 0.5 ¹ § 3 · Fy4 = k85 · u3 = 5.21 ⋅ 105 ¨ − ⋅ (1− 3 ⋅ 0.2) ¸ ⋅ 3.69 ⋅ 10− 4 = − 115 [kN] © 2 ¹ Die ermittelte Verschiebung und die Auflagerkräfte müssen mit den vom Programm ausgegebenen Werten übereinstimmen, wenn dasselbe Finite Element in das Finite-Element-Programm implementiert ist. Für eine vollständige Überprüfung der Korrektheit des FE-Programms muss die Rechnung selbstverständlich für eine Verschieblichkeit aller anderen Freiheitsgrade (bei Festhaltung der jeweils restlichen Freiheitsgrade) wiederholt werden.

Beispiel 4.6 Die in Bild 4-17 dargestellte Scheibe ist mit einem Finite-Element-Programm mit RechteckScheibenelementen mit bilinearem Verschiebungsansatz zu untersuchen. Die Berechnung ist mit drei unterschiedlichen Finite-Element-Diskretisierungen, nämlich 2x2, 4x4 und 8x8 Elemente, durchzuführen und die Ergebnisse sind zu interpretieren.

202

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-17 Wandscheibe 2 x 2 Elemente

B

B

A

A C Schnitt C - C:

Schnitt B - B: xy

-0,1

-0,2

x

y

-0,4

-0,4 -1.4

-2,6 -0,6

Schnitt A - A: 1,6

1,0

x

y

1,7 x

-5,0 xy

-2,8

Bild 4-18 Spannungen für die 2 x 2-Diskretisierung

-1,3

Dimension [MN/m²]

4.4 Rechteckelement für Scheiben

203 4 x 4 Elemente

C B

B

A

A C

Schnitt B - B

Schnitt C - C xy

-0,3

- 0,1 - 0,2

-1,7

-2,0

-0,2

-1,1 -0,8

-0,3

-1,1 x

-2,2

-0,9 0,2

y

4,3 x

Schnitt A - A x

2,5

y

4,3 1,0 -0,1

xy

-10,0

1,9 -0,8 -2,7 Bild 4-19 Spannungen für die 4 x 4 -Diskretisierung

204

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke 8 x 8 Elemente

C B

B

A

A C

Schnitt B - B

-0,2

-0,3 -0,2 -0,1 -0,1 - 0,2

x

-0,1 -0,4 -1,1

Schnitt C - C

xy

0,1

y

-1,6 -1,9 -1,9 -2,0 -2,0

-1,6 -1,2 -1,0 -1,0 -0,9 -0,4

Schnitt A - A x

y

4,7 7,3 4,8 4,2

2,0

0 0,1

x

0,8 2,4 4,2

-0,1

-20 xy

0,7 1,1 -0,5

-0,5

3,6

-0,9 -5,3 -8,8 Dimension [MN/m²]

Bild 4-20 Spannungen für die 8 x 8-Diskretisierung

4.4 Rechteckelement für Scheiben

205

Die Berechnung der Scheibe wurde mit dem Programmsystem [P1] mit einem konformen Scheibenelement durchgeführt. Das in das Programm implementierte allgemeine Viereckelement entspricht bei einer Verwendung als Rechteckelement dem in diesem Abschnitt hergeleiteten Finiten Element mit bilinearem Verschiebungsansatz. Die Spannungen in den Schnitten A-A, B-B und C-C sind für die drei untersuchten Diskretisierungen in den Bildern 4-18 bis 4-20 angegeben. Die Spannungen weisen an den Elementgrenzen Sprünge auf und haben innerhalb des Elements den bereits erläuterten und in Bild 4-14 dargestellten Verlauf. Im Schnitt C-C können aufgrund der Symmetrie des System keine Spannungssprünge auftreten. Für die Bemessung als Wandscheibe aus Stahlbeton ist die Längsspannung σx im Schnitt C-C maßgebend. Die Span2

nungen σx der 2x2-Einteilung am oberen und unteren Scheibenrand sind mit 1.662 [MN/m ] 2

2

2

gegenüber 4.216 [MN/m ] bzw. -0.432 [MN/m ] gegenüber -1.620 [MN/m ] grob falsch und für die praktische Anwendung unbrauchbar. Die Spannungen der 4x4- und der 8x8-Einteilung unterscheiden sich am oberen Scheibenrand mit − 1.610 − (− 1.080) = 0.33 − 1.610

=ˆ 33%

noch erheblich, während am unteren Rand mit 4.322 − 4.216 = 0.025 =ˆ 2.5% 4.216

eine zufriedenstellende Übereinstimmung besteht. Wenn für die Bemessung der Bewehrung in der Wandscheibe die Zugspannung am unteren Rand und deren Verteilung von wesentlichem Interesse sind und für den Nachweis der Druckspannungen am oberen Rand der Wert von 2 -1.61 [MN/m ] - ohne weitere Untersuchungen - akzeptiert wird, kann die 8x8-Diskretisierung in der Praxis als ausreichend angesehen werden. Selbstverständlich ließe sich der Wert der Druckspannung durch eine weitere Berechnung mit einer 16x16-Einteilung, durch Vergleich mit der analytischen Lösung (was hier möglich wäre) oder durch einen Vergleich der resultierenden Zug- und Druckkräfte im Schnitt C-C, die man durch Integration der Spannungen in Bild 4-20 erhält, ingenieurmäßig verifizieren. Eine genauere Betrachtung der errechneten Spannungsverläufe wirft allerdings auch bei der 8x8-Diskretisierung einige Fragen auf. Beispielsweise sollte die vertikale Druckspannung am oberen Rand in allen Elementen den Wert 10/0.5 = 2.000 [MN/m2] besitzen. Die Schwankung zwischen -1.916 und 2.090, d. h. um ca. 4%, vermittelt einen Eindruck von der Genauigkeit der errechneten Spannungen. Die Schubspannungen nehmen am unteren und am oberen Rand anstelle des erwarteten Wertes von 0 Spannungswerte von merklicher Größe an. Die Ergebnisse lassen sich durch geeignete Interpolationsstrategien, die z. B. von den genaueren Spannungswerten in Elementmitte ausgehen, merklich verbessern (vgl. Abschnitt 4.11.7). Bereits durch die in die meisten Programme implementierte Mittelung an den Knoten lassen sich die Spannungswerte deutlich verbessern, aber auf der Symmetrieachse verbleiben auch dann noch 2 Schubspannungen von -0.24 und -0.48 [MN/m ] am oberen bzw. unteren Scheibenrand. Nur durch eine noch feinere Diskretisierung lassen sich diese Diskretisierungsfehler verringern. Dies gilt auch für die teilweise beträchtlichen Spannungssprünge der Längsspannungen σx am oberen und unteren Scheibenrand.

206

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Besondere Beachtung verdient der Auflagerbereich. Die Auflager wurden als Punktlager definiert, an denen Einzelkräfte in die Scheibe eingeleitet werden. Eine auf eine Scheibe aufgebrachte Einzelkraft führt aber zu einer Singularität der Spannungen unter der aufgebrachten Last. Diese zeigt sich in extrem ansteigenden Spannungen bei einer Verfeinerung des Netzes. Beispielsweise erhält man am Auflagerpunkt folgende Spannungen σy : 2

2 x 2-Einteilung: -4.954 [MN/m ] 2

4 x 4-Einteilung: -9.992 [MN/m ] 2

8 x 8-Einteilung: -20.170 [MN/m ] Eine weitere Verfeinerung des Netzes im Auflagerbereich würde zu immer weiter anwachsenden Spannungen führen und wäre damit für die ingenieurmäßige Interpretation der Ergebnisse sinnlos. Auch die Verschiebungen besitzen am punktförmigen Auflager eine Singularität, so dass die Interpretation der Absolutverschiebungen dieses Modells nicht möglich ist. Hier führen Konzepte zur Modellbildung von Bauteilen und zur Ergebnisinterpretation weiter (vgl. Abschnitt 4.9).

4.5 Finite Elemente für Scheiben 4.5.1 Eigenschaften von Finiten Elementen Von den sechziger Jahren bis heute wurde eine Vielzahl unterschiedlicher Finiter Elemente entwickelt. Ziel hierbei ist es, mit möglichst „großen“ und einfachen Elementen (d. h. mit möglichst geringem Rechenaufwand) eine gute Näherung der Spannungen und Verschiebungen des Gesamtsystems zu erhalten. Auf Verschiebungsansätzen basierende Elemente unterscheiden sich vor allem durch die Wahl der Ansatzfunktionen. Die in der Praxis ebenfalls bedeutsamen hybriden Elemente besitzen neben den Verschiebungsansätzen auch Spannungsansätze. Grundsätzlich andersartige Finite Elemente, die an den Knotenpunkten nicht Verschiebungen, sondern andere, wenig anschauliche Parameter als Unbekannte einführen, haben sich in der Praxis bisher nicht durchgesetzt. An jedes Finite Element müssen bestimmte Anforderungen gestellt werden. Hierbei ist zu unterscheiden zwischen Anforderungen, deren Erfüllung zwingend, und Anforderungen, deren Erfüllung aus bestimmten Gründen wünschenswert ist. Immer zu erfüllende Anforderungen an Finite Elemente

a) Starrkörperverschiebungen dürfen keine Knotenkräfte hervorrufen. b) Konstante Verzerrungen (und damit auch konstante Spannungen) müssen exakt darstellbar sein. Bedingt zu erfüllende Anforderungen an Finite Elemente

c) Stetigkeit des Verschiebungsansatzes d) geometrische Isotropie e) Drehungsinvarianz

4.5 Finite Elemente für Scheiben

207

Bild 4-21 Starrkörperverschiebung von Finiten Elementen bei einem durch Scheibenelemente modellierten Kragarm

Starrkörperverschiebungen

Verschiebt sich ein Finites Element wie ein starrer Körper, so dürfen keine Knotenkräfte und keine Spannungen im Element auftreten. Bild 4-21 zeigt dies am Beispiel eines Kragarms. Für ein Scheibenelement ist demnach allgemein zu fordern, dass bei Starrkörperverschiebungen in x-Richtung und in y-Richtung sowie bei Starrkörperverdrehungen Knotenkräfte und Elementspannungen nicht vorkommen (Bild 4-22). Alle anderen Starrkörperverschiebungen des Scheibenelements lassen sich aus diesen zusammensetzen.

Verschiebung in x-Richtung

Verschiebung in y-Richtung

Verdrehung um die z-Achsse

Bild 4-22 Starrkörperverschiebungszustände bei einem Scheibenelement

Beispiel 4.7 Weisen Sie nach, dass bei der Starrkörperverschiebung in x-Richtung des Rechteck-Scheibenelements mit bilinearen Ansatzfunktionen keine Knotenkräfte auftreten. Der Verschiebungszustand bei einer Starrkörperverschiebung in x-Richtung um den Wert 1 wird nach Bild 4-22 beschrieben durch: u1 = u2 = u3 = u4 = 1 v1 = v2 = v3 = v4 = 0

208

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Die Festhaltekräfte erhält man durch Multiplikation des Verschiebungsvektors mit der Steifigkeitsmatrix nach (4.36): ª « « « « « « « « « « «¬

F1 º » F2 » F3 » » F4 » E⋅ t = F5 » 12 1− µ 2 » F6 » F7 »» F8 »¼

(

)

ª k11 « « k21 « k31 « « k41 «k « 51 « k61 «k « 71 «¬ k81

ª k11 + k13 + « « k21 + k23 + « k31 + k33 + « E⋅ t « k41 + k43 + = « 12 1− µ 2 « k51 + k53 + « k61 + k63 + «k +k + « 71 73 ¬« k81 + k83 +

(

)

k12

k13

k14

k15

k16

k17

k22

k23

k24

k25

k26

k27

k32

k33

k34

k35

k36

k37

k42

k43

k44

k45

k46

k47

k52

k53

k54

k55

k56

k57

k62

k63

k64

k65

k66

k67

k72

k73

k74

k75

k76

k77

k82

k83

k84

k85

k86

k87

k18 º » k28 » k38 » » k48 » k58 » » k68 » k78 »» k88 »¼

ª 1º « » « 0» « 1» « » « 0» ⋅« » 1 « » « 0» « 1» « » «¬ 0 »¼

k15 + k17 º ª 0 º » « » k25 + k27 » « 0 » k35 + k37 » « 0 » » « » k45 + k47 » « 0 » = k55 + k57 » « 0 » » « » k65 + k67 » « 0 » k75 + k77 »» «« 0 »» k85 + k87 ¼» ¬« 0 ¼»

mit den Termen kij nach (4.36). Damit ist nachgewiesen, dass bei einer Starrkörperverschiebung in x-Richtung am Element keine Festhaltekräfte auftreten. Entsprechende Nachweise wären auch für die Starrkörperverschiebung in y-Richtung und die Starrkörperdrehung zu führen. Konstante Verzerrungen

Ein Finites Element muss einen konstanten Verzerrungszustand exakt darstellen können. Beim Scheibenelement sind dies diejenigen Verzerrungszustände, in denen εx, εy und γxy konstante Werte annehmen (Bild 4-23). Da sich die Spannungen durch Multiplikation der Verzerrungen mit der Stoffmatrix ergeben (z. B. nach (2.2b)), ist dies gleichbedeutend mit der Forderung, dass das Element konstante Spannungszustände exakt darstellen können muss. Dies ist von Bedeutung, da sich bei feiner werdender Elementierung die Spannungen in jedem Element einem konstanten Spannungszustand annähern. Wenn jedes Finite Element einen konstanten Spannungszustand exakt darstellen kann, ist zu erwarten, dass die numerischen Ergebnisse gegen die exakte Lösung konvergieren.

4.5 Finite Elemente für Scheiben

209

Bild 4-23 Konstante Verzerrungszustände bei einem Scheibenelement

Beispiel 4.8 Weisen Sie nach, dass das Rechteck-Scheibenelement mit bilinearen Ansatzfunktionen konstante Spannungszustände exakt darstellen kann. Der Nachweis kann „von Hand“ mit der Steifigkeitsbeziehung (4.36) oder mit dem Computer anhand eines Zahlenbeispiels geführt werden, wobei dann auch die richtige Implementierung des Elements in das Programm überprüft wird. Dieser Weg wird im Folgenden beschritten. In Bild 4-24 ist ein einzelnes Finites Element dargestellt, das statisch bestimmt gelagert ist, so dass durch die Lagerung keine Behinderung der Verformung stattfindet. Die Belastung besteht aus Linienlasten an den Elementrändern zur Darstellung der Spannungszustände σx = 1, σy = 1 und τxy=1 in drei unterschiedlichen Lastfällen. Die Berechnung wird wie in Beispiel 4.6 mit dem Programm [P1] durchgeführt. Die Ergebnisse der Computerberechnung lauten in Elementmitte sowie in allen Knotenpunkten:

σx = 1,

σy = 1

bzw. τxy = 1

[kN/m2],

wobei alle übrigen Spannungskomponenten des betreffenden Lastfalls Null sind. Damit ist der Nachweis geführt, dass das Element konstante Spannungszustände exakt wiedergibt.

Bild 4-24 Scheibenelement mit konstanten Spannungszuständen

Stetigkeit des Verschiebungsansatzes

Die Forderung nach der Stetigkeit des Verschiebungsansatzes ergibt sich aus mathematischen Gründen. Sie besagt, dass die Verschiebungen benachbarter Scheibenelemente nicht nur an den Knotenpunkten, sondern auch zwischen den Knotenpunkten übereinstimmen müssen. Es

210

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

dürfen also keine „Klaffungen“ bei der Verschiebung entstehen (vgl. Bild 4-33). Beispielsweise erfüllt das in Abschnitt 4.4 entwickelte Finite Element die Stetigkeitsbedingung, da die Verschiebungen zwischen den Knotenpunkten linear verlaufen und somit keine „Klaffungen“ zwischen den Elementen auftreten. Wenn die Stetigkeitsbedingung und die o. g. Anforderungen a) und b) erfüllt sind, lässt sich die Finite-Element-Methode mathematisch als eine besondere Form des Ritz-Verfahrens der Variationsrechnung deuten [1.1, 4.8]. Dies bedeutet, dass alle Eigenschaften des Ritz-Verfahrens auch auf die Finite-ElementMethode zutreffen. So lassen sich die Konvergenz des Verfahrens und bei gegebenem Elementtyp auch die Konvergenzrate mathematisch nachweisen. Insbesondere lässt sich zeigen, dass die Konvergenz monoton erfolgt, d. h., unter allen geometrisch möglichen Verschiebungszuständen (z. B. Finite-Element-Ansätzen) macht die exakte Lösung die im System gespeicherte potentielle Energie zu einem Minimum. Dies bedeutet, dass das Finite-Element-Modell sich zu steif verhält. Bei zunehmender Netzverfeinerung wird das System „weicher“, die Verformungen nehmen zu und nähern sich der exakten Lösung an. Da die Verformungen immer unterschätzt werden, nähert man sich von einer Seite, nämlich „von unten“, an die exakte Lösung an, d. h., die Konvergenz ist monoton. Weiterhin sind stetige Verschiebungsansätze die Grundlage für mathematisch fundierte Fehlerabschätzungen der Finite-Element-Methode und der Weiterentwicklung zur automatischen, dem örtlichen Fehler angepassten Netzverfeinerung (vgl. Abschnitt 4.12.1). Da sich Elemente mit stetigen Verschiebungsansätzen zu steif verhalten, hat man versucht Elemente zu entwickeln, die diesen Nachteil nicht besitzen. Praktisch von Bedeutung sind Elemente mit sogenannten nichtkonformen Ansätzen und hybride Elemente. Deren Herleitung ist durch heuristische Überlegungen begründet. Um nachzuweisen, dass auch mit diesen Elementen die Lösung bei Netzverfeinerung konvergiert, führt man den sogenannten „Patch-Test“ durch. Dieser Test fordert, dass der Spannungszustand in jedem Element gleich und konstant sein muss, falls an den Knotenpunkten einer beliebigen Elementkonfiguration (englisch patch) ein entsprechender Verschiebungszustand eingeprägt wird (Bild 4-25). Allerdings erweist sich bei genauerer Betrachtung auch der PatchTest nicht als hinreichendes Kriterium für den Nachweis der Konvergenz der Finite-ElementLösung gegen die exakte Lösung [4.10]. Die Konvergenz der Lösung mit nichtkonformen und hybriden Elementen ist nicht monoton, d. h. die Verformungen können von der FiniteElement-Lösung sowohl über- als auch unterschätzt werden.

Bild 4-25 Elementkonfiguration für den Patch-Test

4.5 Finite Elemente für Scheiben

211

Geometrische Isotropie

Ein Verschiebungsansatz sollte in der Regel keine Richtung vor der anderen bevorzugen. Diese plausible Forderung erreicht man dadurch, dass man Ansatzfunktionen wählt, die alle Polynomterme eines Polynomgrades oder doch zumindest die zueinander symmetrischen Terme wie z. B. x2y und xy2 enthalten (Bild 4-26). Ist dies der Fall, bezeichnet man das Element als geometrisch isotrop. Beispielsweise ist das in Abschnitt 4.4 entwickelte Scheibenelement isotrop, da die Ansatzfunktionen sowohl in x- als auch in y-Richtung gleich (hier linear) verlaufen. Die in der Praxis verwendeten Elemente sind geometrisch isotrop.

Bild 4-26 Polynomterme für vollständige Polynome

Drehungsinvarianz

Einen Ansatz bezeichnet man als drehungsinvariant, wenn sich der Grad der im Ansatz enthaltenen Polynomterme bei einer Drehung des Koordinatensystems nicht ändert. Beispielsweise enthalten die Ansatzfunktionen des in Abschnitt 4.4 hergeleiteten Rechteckelements in x- und y-Richtung ausschließlich lineare Terme, während sich die Verschiebungsfunktionen in einer davon abweichenden Richtung infolge des xy-Terms quadratisch ändern (Bild 4-14). Das Element ist also nicht drehungsinvariant. Das Problem der Drehungsinvarianz tritt bei Elementen mit Verschiebungsansätzen, die alle Polynomterme eines Polynomgrades enthalten, nicht auf. Biegungsartige Beanspruchungen von Scheibenelementen

In den folgenden Abschnitten werden verschiedene Scheibenelemente und deren Eigenschaften diskutiert. Zunächst werden die klassischen Elemente mit Verschiebungsansatz behandelt. Diese Elemente überschätzen die Steifigkeit, was sich insbesondere im Biegezustand, wie er beispielsweise im Stegblech eines I-Trägers auftritt, nachteilig auswirkt (vgl. auch Bild 4-71). Zu Verbesserung des Verhaltens im Biegezustand gibt es verschiedene Möglichkeiten: Scheibenelemente zur besseren Modellierung für den Biegezustand: a) Finite Elemente mit quadratischen oder höheren Verschiebungsansätzen b) nichtkonformes Rechteckelement c) hybride Scheibenelemente mit höheren Verschiebungsansätzen auf den Elementrändern

Die Eigenschaften dieser Elemente werden im Folgenden diskutiert. Ein weiterer Weg, Elemente mit abgeminderter Steifigkeit herzuleiten, ist die sogenannte reduzierte Integration der Elementsteifigkeitsmatrix. Hierbei versucht man, mit einem rechentechnischen Kunstkniff genaue und effiziente Elemente zu entwickeln.

212

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

4.5.2 Elemente mit stetigen Verschiebungsansätzen Die „klassischen“ Finiten Elemente basieren ausschließlich auf stetigen Verschiebungsansätzen. Sie werden auch als konforme Elemente bezeichnet. Da die Verschiebungsansätze stetig sind, gelten für sie alle mathematischen Aussagen des Ritz-Verfahrens der Variationsrechnung. Die Elementsteifigkeitsmatrix dieser Elemente wird in folgenden Schritten hergeleitet: Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix für Elemente mit Verschiebungsansätzen:

a) Wahl der Ansatzfunktionen für die Verschiebungen; die Unbekannten („Stützstellen“) einer Verschiebungsfunktion sind die Knotenverschiebungen (die Ordnung der Verschiebungsfunktion muss hinreichend hoch sein, so dass die für die Ermittlung der Verzerrungen benötigten Ableitungen nicht zu Null werden). b) Ermittlung der Verzerrungen, die diesen Verschiebungsfunktionen entsprechen:

ε = B · ue

(4.29)

c) Formulierung des Stoffgesetzes

σ=D·ε

(2.2b)

d) Die Knotenkräfte, die den gewählten Ansatzfunktionen entsprechen, erhält man nach dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen zu: Ke · ue = Fe wobei Ke =

³t⋅

T

B ⋅ D ⋅ B dx dy

(4.35a)

die Elementsteifigkeitsmatrix darstellt. e) Ermittlung der den Elementlasten äquivalenten Knotenlasten FL Nach diesen Regeln lässt sich eine Vielzahl von Elementen herleiten, die sich nach ihrer Form und nach der Anzahl der Knotenpunkte unterscheiden. Durch entsprechende Wahl der Stoffmatrix D nach Tabelle 2-1 können alle ebenen Finite Elemente sowohl für den ebenen Dehnungszustand als auch für den ebenen Spannungszustand mit isotropem und orthotropem Stoffgesetz hergeleitet werden. Einfaches Dreieckelement

Das einfache Dreieckelement besitzt drei Knotenpunkte (Bild 4-27). Zwischen den Knotenpunkten und im Element verlaufen die Verschiebungen linear, d. h. es gilt: u(x,y) = α1 + α2 · x + α3 · y

(4.39a)

v(x,y) = ß1 + ß2 · x + ß3 · y

(4.39b)

Für die Verzerrungen, die man durch Differenzieren der Verschiebungsfunktionen nach (2.1b) erhält, ergeben sich damit konstante Werte, z. B. εx =∂ u/∂ x =α2. Die Verzerrungsgrößen ε x , ε y und γxy und damit auch die Spannungen σx, σy und τxy sind somit im Element konstant.

4.5 Finite Elemente für Scheiben

213

Das Element wird daher auch als CST-Element (Constant Strain Triangle) bezeichnet. Seine Steifigkeitsmatrix lässt sich mit (4.35a) explizit ermitteln und ist für den ebenen Spannungszustand und isotropes Material in [4.11] angegeben.

Bild 4-27 Dreieckelement mit linearem Verschiebungsansatz

Die Entwicklung der Finite-Element-Methode begann 1956 mit der Herleitung des CSTElementes [4.2]. Das Element ist in eine Vielzahl von Finite-Element-Programmen implementiert. Wenn es in Finite-Element-Netzen gemeinsam mit Rechteckelementen verwendet wird, sind allerdings Versteifungseffekte möglich. Isoparametrische Elemente

Als isoparametrische Elemente wird eine Gruppe von Elementen bezeichnet, die krummlinig berandet sein können (Bild 4-28). Zur Beschreibung der Geometrie der Elementränder werden Polynome (Geraden, Parabeln zweiter oder dritter Ordnung) verwendet. Beim isoparametrischen 8-Knoten-Element werden die Verschiebungen durch quadratische Parabeln mit drei Stützstellen, d. h. Knotenverschiebungen, je Elementseite dargestellt. Das 4-Knoten-Element ist ein allgemeines Viereckelement und besitzt lineare Ansatzfunktionen zwischen den Knotenpunkten. Wenn es die Form eines Rechtecks annimmt, ist es mit dem in Abschnitt 4.4 hergeleiteten Rechteckelement identisch. Das 3-Knoten-Element besitzt lineare Ansatzfunktionen zwischen den Knotenpunkten und ist gleich dem bereits betrachteten CST-Element.

8 Knotenpunkte

6 Knotenpunkte

Bild 4-28 Isoparametrische Elemente

4 Knotenpunkte

3 Knotenpunkte

214

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Die Ansatzfunktionen der isoparametrischen Elemente werden in krummlinigen lokalen Koordinaten beschrieben. Diese haben ganz allgemein die Form u = ¦ hi · ui v = ¦ hi · vi

(4.40a)

wobei ui und vi die Verschiebungen des Knotens i, und hi die Interpolationsfunktionen in den lokalen Koordinaten r, s nach Bild 4-29 bedeuten.

Bild 4-29 Isoparametrisches Element mit lokalen krummlinigen Koordinaten r,s

Die Funktionen hi lauten: *

*

*

*

*

i=5

i=6

i=7

i=8

i=9

-

-1/2 h8

-1/4 h9

h1

= 1/4(1 + r)(1 + s)

-1/2 h5

-

h2

= 1/4(1 - r)(1 + s)

-1/2 h5

-1/2 h6

-

-

-1/4 h9

-

-1/2 h6

-1/2 h7

-

-1/4 h9

-1/2 h8

-1/4 h9

h3

= 1/4(1 - r)(1 - s)

h4

= 1/4(1 + r)(1 - s)

-

-

-1/2 h7

h5

= 1/2(1 - r²)(1 + s)

-

-

-

-

-1/2 h9

h6

= 1/2(1 - s²)(1 - r)

-

-

-

-

-1/2 h9

h7

= 1/2(1 - r²)(1 - s)

-

-

-

-

-1/2 h9

h8

= 1/2(1 - s²)(1 + r)

-

-

-

-

-1/2 h9

h9

= (1 - r²)(1 - s²)

-

-

-

-

*

falls Knotenpunkt i vorhanden ist

(4.40b)

Die Anzahl der Seitenknoten ist variabel, d. h., dieselbe Formulierung kann für Elemente mit unterschiedlicher Anzahl von Knotenpunkten gewählt werden. Die Anteile h5, h6, h7, h8 oder h9 entfallen in (4.40b), wenn die entsprechenden Knotenpunkte nicht vorhanden sind. Die Funktionen hi können auch als Formfunktionen gedeutet werden. Formfunktionen besitzen im Freiheitsgrad i den Wert 1 und in allen übrigen Freiheitsgraden den Wert 0. Die Verschiebungsfunktion ist demnach die Summe der mit den jeweiligen Knotenverschiebungen multiplizierten Formfunktionen (Bild 4-30).

4.5 Finite Elemente für Scheiben

215

Bild 4-30 Ansatzfunktion als gewichtete Summe der Formfunktionen

Die Beziehung zwischen den globalen Koordinaten x, y und den Elementkoordinaten r, s wird ebenfalls mit Hilfe der Funktionen hi beschrieben zu: x = ¦ hi · xi y = ¦ hi · yi

(4.40c)

wobei xi und yi (mit i=1-9) die Koordinaten der Knotenpunkte bedeuten. Da zur Elementformulierung nicht die globalen Koordinaten x, y verwendet werden, muss zwischen den Elementkoordinaten r, s und den globalen Koordinaten x, y eine eineindeutige Beziehung bestehen. Insbesondere darf die sogenannte Jacobi-Matrix, die die ersten Ableitungen nach r, s mit den ersten Ableitungen nach x, y verknüpft, nicht singulär sein. Unzulässig sind daher stark verzerrte Elementformen sowie Innenwinkel an den Eckpunkten größer 180° (Bild 4-31). Die Seitenknoten müssen immer im mittleren Drittel der Seitenflächen liegen. Die höchste Genauigkeit besitzen die Elemente, wenn die Elementgeometrie „so rechtwinklig wie möglich“ ist und wenn die Seitenpunkte in der Mitte zwischen den Eckpunkten liegen. Die Steifigkeitsmatrix wird bei isoparametrischen Elementen durch numerische Integration ermittelt. Für das 4-Knoten-Viereckelement erhält man ausgehend von (4.35a) die Steifigkeitsmatrix zu:

K e = t⋅

¦ αij ⋅ BTij ⋅ D⋅ Bij ⋅ det J ij i, j

mit ª 1+ s j 0 − 1− s j 0 − 1+ s j 0 1− s j 0 º » 1« Bij = ⋅« 0 1+ ri 0 1− ri 0 0 − 1+ ri − 1− ri » 4« 1− ri − 1− s j − 1+ ri − 1+ s j − 1− ri 1− s j »¼ ¬ 1+ ri 1+ s j

ª j11 J ij = « ¬ j21

j12 º » j22 ¼

(Jacobi-Matrix für r = ri und s = sj ), wobei gilt:

(4.41)

216

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke j11 =

∂x 1 1 1 1 = ⋅ (1+ s j )⋅ x1 − ⋅ (1+ s j )⋅ x2 − ⋅ (1− s j )⋅ x3 + ⋅ (1− s j )⋅ x4 ∂ r r ,s 4 4 4 4 i

j21 =

∂x 1 1 1 1 = ⋅ (1+ ri )⋅ x1 + ⋅ (1− ri )⋅ x2 − ⋅ (1− ri )⋅ x3 − ⋅ (1+ ri )⋅ x4 ∂ s r ,s 4 4 4 4 i

j12 = j22 =

j

∂y ∂r ∂y ∂s

j

=

1 1 1 1 ⋅ (1+ s j )⋅ y1 − ⋅ (1+ s j )⋅ y2 − ⋅ (1− s j )⋅ y3 + ⋅ (1− s j )⋅ y4 4 4 4 4

=

1 1 1 1 ⋅ (1+ ri )⋅ y1 + ⋅ (1− ri )⋅ y2 − ⋅ (1− ri )⋅ y3 − ⋅ (1+ ri )⋅ y4 4 4 4 4

ri , s j

ri , s j

wobei ri, sj die Koordinaten r bzw. s der Integrationspunkte und αij die Beiwerte für die numerische Integration nach Tabelle 4-6 bedeuten.

Bild 4-31 Zulässige und unzulässige Formen von isoparametrischen Elementen

4.5 Finite Elemente für Scheiben

217

Tabelle 4-6 Gauß-Integration einer Funktion im Intervall ∆x INTEGRATIONSORDNUNG

GLEICHUNG UND GENAUIGKEITSGRAD x a + ∆x

LAGE DER INTEGRATIONSPUNKTE BEI FINITEN ELEMENTEN

³ f ( x ) dx = ¦ f ( xi )⋅α i ⋅∆x i

xa

1-Punkt-Integration

xa + ∆ x

³

s f ( x ) dx = f ( x1 ) ⋅ ∆ x

r

xa

Lineare Funktion wird exakt integriert

2-Punkte-Integration

xa + ∆ x

³

f ( x ) dx =

xa

( f ( x1) +

f ( x2 ))⋅ ∆ x / 2

s S = 0.577

r

a = 0.289 · ∆x 77 S = -0.5

Polynom 3. Grades wird exakt integriert

3-Punkte-Integration

xa + ∆ x

³

f ( x ) dx =

xa

(0.555⋅ f ( x1 ) + 0.888⋅ f ( x2 )

r=0

r=

Polynom 5. Grades wird exakt integriert

-0.7 74

a = 0.387 · ∆x

r = 0.774

+ 0.555⋅ f ( x3 )) ⋅ ∆ x / 2

Die vollständige Herleitung von (4.41) ist in [4.7] angegeben. Zur numerischen Integration hat sich die Gaußsche Integration als besonders effizient erwiesen. Die Stützstellen, an denen die zu integrierende Funktion bekannt sein muss, liegen nicht - wie beispielsweise bei der Trapezformel - am Rand des zu integrierenden Bereichs, sondern an bestimmten Stellen innerhalb des

218

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Integrationsintervalls, den sogenannten Gauß-Punkten, Tabelle 4-6. Die Lage der Gauß-Punkte ist dabei so festgelegt, dass eine optimale Genauigkeit bei der numerischen Integration erreicht wird. Beispielsweise wird mit der Gaußschen 2-Punkte-Integration ein Polynom dritter Ordnung exakt integriert, während die Trapezformel mit zwei Stützstellen lediglich eine lineare Funktion exakt integriert. Bei ebenen Elementen ist diese Integration über beide Elementkoordinaten durchzuführen. Man spricht dann von einer 2x2- bzw. 3x3-Gauß-Integration. Beispielsweise sind bei der 2x2-Integration folgende Punkte in (4.41) einzusetzen: ri

sj

αij

-0.577

0.577

1.0

0.577

0.577

1.0

-0.577

-0.577

1.0

0.577

-0.577

1.0

Die erforderliche Integrationsordnung hängt von der Ordnung der Ansatzfunktionen und der Geometrie des Elements ab. Bei der vollen Integrationsordnung wird die Steifigkeitsmatrix für rechteckige Elemente exakt ermittelt, Tabelle 4-7. Bei Elementen, deren Form vom Rechteck abweicht und für die eine exakte Integration nach Gauß nicht möglich ist, wird bei voller Integrationsordnung die Steifigkeitsmatrix mit hoher Genauigkeit berechnet. In bestimmten Fällen kann es aber durchaus sinnvoll sein, eine Ordnung niedriger als erforderlich zu integrieren, auch wenn dies mathematisch unzulässig erscheint. Man spricht dann von reduzierter Integration. Die Steifigkeitsmatrix isoparametrischer Elemente lässt sich numerisch effizient berechnen. Sie sind in eine Vielzahl von Programmen implementiert und werden in der Praxis häufig verwendet. Tabelle 4-7 Integrationsordnung bei isoparametrischen Scheibenelementen Elementtyp

Reduzierte Integration mit Stabilisierung

Reduzierte Integration ohne Stabilisierung

Volle Integration

1x1

–

2x2

–

2x2

3x3

2x2

–

3x3

4-Knoten-Rechteck

4-Knoten-Viereck

8-Knoten-Rechteck

4.5 Finite Elemente für Scheiben Elementtyp

219

Reduzierte Integration mit Stabilisierung

Reduzierte Integration ohne Stabilisierung

Volle Integration

–

3x3

4x4

8-Knoten-Element

Lagrange-Elemente

Bei der Gruppe der Lagrange-Elemente handelt es sich um Rechteckelemente, die auch Innenknoten besitzen, mit Polynomansätzen für die Verschiebungen (Bild 4-32), [4.5]. Sie unterscheiden sich von den isoparametrischen Elementen durch zusätzliche Polynomterme, die mit Hilfe der Innenknoten eingeführt werden (vgl. Bild 4-26). In der Praxis werden sie bisher selten eingesetzt.

Bild 4-32 Lagrange-Elemente

Um der Überschätzung der Elementsteifigkeit infolge des Verschiebungsansatzes entgegenzuwirken, wurde eine reduzierte Integration der Elementsteifigkeitsmatrix vorgeschlagen [4.7]. Dies bedeutet, dass bei der numerischen Integration die Integrationsordnung eine Stufe niedriger als die volle Integrationsordnung gewählt wird. Man verzichtet damit bewusst auf Steifigkeitsanteile bei der Addition der Terme der Steifigkeitsmatrix nach (4.40c) und erhält ein „weicheres“ Element. In vielen Fällen werden hiermit erheblich bessere, näher an der genauen Lösung liegende Ergebnisse erzielt. Die Bedingung für monotone Konvergenz ist wegen der fehlenden Steifigkeitsanteile allerdings nicht mehr eingehalten. Die Elemente besitzen damit nicht mehr die Eigenschaften konformer Elemente. Die reduzierte Integration ist nicht mathematisch begründet, und ihre Anwendung ist nicht immer unproblematisch. Bei bestimmten Elementtypen kann nämlich aufgrund der Vernachlässigung von Steifigkeitsanteilen durch die reduzierte Integration das Element kinematisch werden, d. h. gegenüber bestimmten Belastungen besitzt das Element keine Steifigkeit. Die bei Viereckelementen auftretenden Verschiebungen verlaufen typischerweise „zick-zack-förmig“ und werden auch als „hourglass modes“ oder „zero energy modes“ bezeichnet. Ob die Störung des Verschiebungsverlaufes nur leicht ist, oder das Ergebnis vollständig verfälscht, hängt vom zu berechnenden System und dessen Belastung ab. Um diesem Effekt zu begegnen, wurden sogenannte Stabilisatoren entwickelt. Dabei werden spezieller Steifigkeitsanteile in den „hourglass modes“ addiert (vgl. [4.12]). Empfehlungen zur Integrationsordnung bei isoparametrischen Elementen sind in Tabelle 4-7 zusammengestellt. Einige Elemente, wie z. B. das allgemeine 8-Knoten-Element, können auch

220

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

ohne Stabilisierung reduziert integriert werden, ohne dass dies zu Kinematiken führt. Auch die in Tabelle 4-7 nicht aufgeführten Lagrange-Elemente können reduziert integriert werden. Über den praktischen Nutzen der reduzierten Integration bei Scheibenelementen bestehen unterschiedliche Meinungen (vgl. z. B. [4.7] und [4.10]).

4.5.3 Nichtkonforme Elemente Das isoparametrische Viereckelement besitzt insbesondere bei Beanspruchung in einem Biegezustand ein sehr steifes Verhalten. Als Verbesserung wurde bereits Mitte der siebziger Jahre eine Erweiterung des bilinearen Verschiebungsansatzes um quadratische Terme vorgeschlagen [4.13]. Hierzu wird in der Mitte jeder Seite des Elements ein Verschiebungsfreiheitsgrad senkrecht zur Elementseite eingeführt, der nicht mit anderen Elementen verbunden ist. Bei einer Beanspruchung des Elements verschieben sich diese Freiheitsgrade relativ zu den Nachbarelementen, d. h. die Verschiebungsfunktionen an den Rändern zweier benachbarter Elemente sind zwischen den Knotenpunkten nicht kompatibel (Bild 4-33). Die Elemente werden auch als nichtkonforme Elemente bezeichnet, während die Elemente mit stetigen Verschiebungsfunktionen konforme Elemente heißen. Diese nur auf das Element bezogenen Freiheitsgrade können rechnerisch mit Hilfe einer statischen Kondensation vorab eliminiert werden, so dass man wieder ein 4-Knoten-Element mit einer 8x8-Steifigkeitsmatrix erhält [4.7, 4.10, 4.13, 4.14].

Bild 4-33 Eigenschaften konformer und nichtkonformer Elemente

Mit den gewählten quadratischen Ansatzfunktionen ist das nichtkonforme Element als Rechteck oder Parallelogramm in der Lage, reine Biegezustände exakt wiederzugeben (die Biegelinie eines Balkens bei reiner Biegung mit V=0 ist eine quadratische Parabel). Das nichtkonforme Element erfüllt nicht die Stetigkeitsbedingung, die Voraussetzung für eine monotone Konvergenz ist (vgl. Abschnitt 4.5.1). Den Patch-Test als Nachweis für nichtmono-

4.5 Finite Elemente für Scheiben

221

tone Konvergenz erfüllt das Element, wenn es als Rechteck oder Parallelogramm vorliegt. Ein Nachweis für die allgemeine Viereckform ist nicht möglich [4.10]. Das Element ist in die meisten Programme, die das isoparametrische 4-Knoten-Element verwenden, ebenfalls implementiert. In der Praxis hat sich das Hinzufügen inkompatibler Verschiebungsfunktionen als brauchbares Verfahren zur Erhöhung der Effektivität eines Elements erwiesen, das auch in der Formulierung von Elementen höherer Ordnung anwendbar ist (vgl. [4.12, 4.15]).

4.5.4 Hybride Elemente Bei der Entwicklung der Finite-Element-Methode suchte man schon früh nach Alternativen zu Elementen mit reinen Verschiebungsansätzen. Da Spannungen die eigentlich interessierenden Größen sind, lag es nahe, von Ansatzfunktionen für die Spannungen auszugehen. Die meisten dieser Verfahren haben sich allerdings praktisch nicht durchgesetzt, da hierbei als Knotenparameter Spannungsgrößen oder weitere, teilweise nicht physikalisch interpretierbare Parameter auftreten und die Kopplung von verschiedenartigen Tragwerksarten damit nicht mehr allgemein möglich ist. Eine Ausnahme bilden die hybriden Elemente. Sie werden auch als hybride Spannungsmodelle bezeichnet, während Finite Elemente mit Verschiebungsansatz auch Deformationsmodelle oder kinematische Modelle genannt werden. Bei den hybriden Elementen geht man ebenfalls von Spannungsansätzen aus. Jedoch enthalten die Elementmatrizen als Knotenparameter ebenso wie bei den Elementen mit Verschiebungsansätzen ausschließlich Verschiebungsgrößen. Es handelt sich also um Elementsteifigkeitsmatrizen. Damit lassen sich hybride Elemente im Rahmen einer Finite-Element-Berechnung wie Elemente mit reinem Verschiebungsansatz behandeln. Die grundlegenden Annahmen bei der Herleitung eines hybriden Elements sind ein Spannungsansatz innerhalb des Elements und ein Verschiebungsansatz auf dem Elementrand. Die Herleitung soll am Beispiel des einfachen Rechteckelements nach [4.16] erläutert werden (Bild 4-34). Die Ansatzfunktionen für die Spannungen lauten nach [4.16]:

σx = ß 1 + ß 4 · y σy = ß 2 + ß 5 · x τxy = ß3 oder

ª β1 º « » ª º ª º « σ x » « 1 0 0 y 0» « β2 » « σ y » = « 0 1 0 0 x » ⋅ « β3 » « » « » « » ¬« τ xy ¼» ¬ 0 0 1 0 0 ¼ « β 4 » «¬ β »¼ 5

σ=P·ß

(4.42)

(4.42a)

222

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Die Parameter ß1-ß5 sind zunächst noch frei. Die Spannungsansätze erfüllen die Gleichgewichtsbedingungen

∂ σ x ∂ τ xy + = 0 ∂x ∂y ∂ σy ∂y

+

∂ τ xy ∂x

= 0 ,

wie man durch Einsetzen leicht nachprüfen kann. Falls Elementlasten zu berücksichtigen sind, muss der Spannungansatz (4.42) so erweitert werden, dass die Gleichgewichtsbedingungen auch von diesen erfüllt werden. Aufgrund des Spannungsansatzes treten an jedem Rand des Finiten Elements Randspannungen σR auf, die man mit (4.42) ermitteln kann zu: Rand 1-2:

σy,1-2 = -ß2 - ß5 · x τxy,1-2 = -ß3

Rand 2-3:

σx,2-3 = ß1 + ß4 · y τxy,2-3 = ß3

Rand 3-4:

σy,3-4 = ß2 + ß5 · x τxy,3-4 = ß3

Rand 4-1:

σx,4-1 = -ß1 - ß4 · y τxy,4-1 = -ß3

oder ª σ y ,1− 2 º 0 − xº « » ª 0 −1 0 » « τ xy ,1− 2 » « 0 0 −1 0 0» ª β1 º « » « 0 0 y 0» « » « σ x,2− 3 » « 1 » « β2 » « τ xy ,2− 3 » « 0 0 1 0 0 » « « »= « ⋅ β3 » » « σ y ,3− 4 » « 0 1 0 0 x » « » « β4 » « » « 0 1 0 0» « » « τ xy ,3− 4 » « 0 » ¬ β5 ¼ « » «− 1 0 − 0 y 0 σ » « x,4− 1 » « 0 −1 0 0 ¼» «¬ τ xy ,4− 1 »¼ ¬« 0

σR =

PR

·

ß

(4.43)

(4.43a)

Die Vorzeichen sind so gewählt, dass die Randspannungen mit positiven Verschiebungen u und v positive Arbeit leisten.

4.5 Finite Elemente für Scheiben

223

Bild 4-34 Hybrides Scheibenelement

Neben den Spannungsansätzen werden bei hybriden Elementen auch Ansätze für die Verschiebungen auf dem Rand des Elements eingeführt. Beim 4-Knoten-Element verlaufen die Verschiebungen zwischen den Knotenpunkten linear. Für das Rechteckelement erhält man: ª « « « « ª u1− 2 º « « » « « v1− 2 » « « u2− 3 » « « » « « v2− 3 » « «u » = « « 3− 4 » « « v3− 4 » « «u » « « 4− 1 » « ¬« v4− 1 ¼» « « « « « «¬

x 1 − 2 a

0

x 1 + 2 a

0

0

0

0

0

0

x 1 − 2 a

0

x 1 + 2 a

0

0

0

0

0

0

y 1 − 2 b

0

y 1 + 2 b

0

0

0

0

0

0

y 1 − 2 b

0

y 1 + 2 b

0

0

0

0

0

0

x 1 + 2 a

0

x 1 − 2 a

0

0

0

0

0

0

1 x + 2 a

0

y 1 − 2 b

0

0

0

0

0

y 1 + 2 b

0

1 y − 2 b

0

0

0

0

0

uR =

HR· ue

1 − 2 0 1 + 2

º » » » » » » » » » » » » » x» » a» » » » y» b »¼

ª u1 º « » « v1 » « u2 » « » « v2 » ⋅« » u « 3» « v3 » «u » « 4» ¬« v4 ¼»

(4.44) (4.44a)

Die von den Spannungen σ hervorgerufenen Verzerrungen ε erhält man mit dem Hooke“schen Gesetz zu:

ε = D-1 · σ = D-1 · P · ß

(4.45)

Diese Verzerrungen müssen untereinander und mit den Randverschiebungen uR kinematisch verträglich sein. Da die Ansätze für die Randverschiebungen unabhängig von den Spannungsansätzen gewählt wurden, ist dies zunächst nicht der Fall. Eine angenäherte Verträglichkeit lässt sich durch eine geeignete Wahl der noch freien Parameter ß erreichen. Zu diesem Zweck

224

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

wendet man das Prinzip der virtuellen Spannungen an, das dem Prinzip der virtuellen Kräfte der Stabstatik entspricht. Im Element führt man virtuelle Spannungen σ ein, für die man nach (4.42a) dieselben Ansatzfunktionen wählt wie für die tatsächlichen Spannungen, d. h. im Element

σ =P· β

(4.46)

und auf dem Rand

σ R = PR · β .

(4.47)

Bild 4-35 Ansatzfunktionen eines hybriden Scheibenelements

Nach dem Prinzip der virtuellen Spannungen muss die innere Arbeit, die die virtuellen Spannungen mit den wirklichen Verzerrungen leisten würden, identisch sein mit der äußeren Arbeit, die die virtuellen Randspannungen mit den wirklichen Verschiebungen uR des Randes leisten würden. Es gilt:

³

t σ T ⋅ ε dx dy =

A

³

t σ RT⋅ u R ds

(4.48)

R

wobei A und R die Fläche bzw. den Rand des Elements und s die Koordinate entlang des Randes (Bild 2-10) darstellen. Mit den virtuellen Spannungen nach (4.46, 4.47), den wirklichen Verzerrungen nach (4.45) und den wirklichen Randverschiebungen nach (4.44a) erhält man:

βT

³ A

t P T ⋅ D− 1 ⋅ P dx dy ⋅ β = β T

³t R

P RT ⋅ H R ds ⋅ u e

4.5 Finite Elemente für Scheiben

225

Da diese Beziehung für beliebige Werte der Spannungsparameter β erfüllt sein muss, folgt hieraus: E · β = G · ue

(4.49)

mit E =

T

t P ⋅ D− 1 ⋅ P dx dy

³

(4.49a)

A

G =

³

t PR

T

⋅ H

R

⋅ ds

(4.49b)

R

Die Matrizen E und G können durch numerische Integration ermittelt werden. Löst man (4.49) nach ß auf, erhält man:

β = E− 1⋅ G ⋅ u e

(4.49c)

Den Randspannungen σR entsprechen Randlasten, die den Knotenkräften Fe ª « « « « « Fe = « « « « « « ¬«

Fx1 º » Fy1 » Fx 2 » » Fy 2 » » Fx3 » Fy 3 » » Fy 4 » » Fy 4 ¼»

statisch gleichwertig sein sollen. Um dies zu erreichen, wendet man wie bei Finiten Elementen mit reinem Verschiebungsansatz das Prinzip der virtuellen Verschiebungen an, wobei sich das Integrationsgebiet nur auf den Rand des Elements erstreckt. Für den virtuellen Verschiebungszustand des Randes werden dieselben Ansatzfunktionen gewählt wie für den tatsächlichen Verschiebungen:

u R = HR · u e

(4.50)

Die Arbeit, die die wirklichen Randlasten mit den virtuellen Randverschiebungen leisten, muss gleich sein der Arbeit, die die wirklichen Knotenkräfte mit den virtuellen Knotenverschiebungen leisten. Danach gilt:

³ R

T

t ⋅ u RT ⋅ σ R ds = u e ⋅ F e

(4.51)

226

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Setzt man die oben angegebenen Ausdrücke für die virtuellen Randverschiebungen uR (4.50) und die wirklichen Randspannungen σR (4.43a) ein, erhält man: ue T ⋅

³

t ⋅ HR

T

⋅ P R ds ⋅ β = u eT ⋅ F e

R

und mit G nach (4.49b) und den Spannungsparametern ß nach (4.49c): u e T ⋅ GT ⋅ E− 1⋅ G ⋅ u e = u eT ⋅ F e T

Da diese Gleichung für beliebige virtuelle Knotenverschiebungen u e erfüllt sein muss, folgt hieraus: GT E-1 G · ue = Fe

(4.52)

oder Ke · ue = Fe

(4.52a)

Ke = GT E-1 G

(4.52b)

mit

Die Matrix Ke stellt die Steifigkeitsmatrix des hybriden Elementes dar. Ihre Ermittlung ist aufwändiger als bei den Elementen mit Verschiebungsansatz, da die numerischen Integration für zwei Matrizen durchzuführen ist und zusätzlich eine Matrizeninversion erforderlich ist. Die Herleitung der Steifigkeitsmatrix wird im Folgenden noch einmal zusammenfassend dargestellt. Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix eines hybriden Elements

a) Wahl der Ansatzfunktionen der Randverschiebungen: Die Verschiebungsfunktionen sind Polynome mit den Knotenverschiebungen als Unbekannten: uR = HR · ue b) Wahl der Ansatzfunktionen für die Spannungen im Element: Die Spannungsansatzfunktionen müssen die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. Ihre Unbekannten sind die Spannungsparameter ßi. Es sind mindestens (m-r) Spannungsfunktionen erforderlich, wobei m die Anzahl der Verschiebungsfreiheitsgrade des Elementes und r die Zahl der Starrkörperverschiebungszustände (drei bei der Scheibe) bedeuten.

σ=P·ß Daraus ergeben sich die Spannungen am Rand zu:

σR = PR · ß

4.5 Finite Elemente für Scheiben

227

c) Ermittlung der Verzerrungen im Element aus den Spannungsansätzen mittels des Stoffgesetzes:

ε = D-1 · σ = D-1 · P · ß Durch entsprechende Wahl der Stoffmatrix D nach Tabelle 2-1 können alle ebenen Finiten Elemente sowohl für den ebenen Dehnungszustand als auch für den ebenen Spannungszustand mit isotropem und orthotropem Stoffgesetz hergeleitet werden. d) Ermittlung der Steifigkeitsmatrix mit Arbeitsprinzipien: Die den Verzerrungen im Element entsprechenden Verschiebungen werden den Verschiebungsansätzen uR näherungsweise mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Spannungen angepasst. Die Randspannungen σR werden mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen näherungsweise in Knotenkräfte überführt. Diese erhält man zu: Ke · ue = Fe wobei Ke = GT · E-1 · G die Elementsteifigkeitsmatrix darstellt mit E=

³

t · PT · D-1 · P dx dy

G

G=

³

t · PRT · HR ds

R

Wie bei den Elementen mit reinen Verschiebungsansätzen treten bei den hybriden Elementen auch Spannungssprünge an den Elementgrenzen auf, d. h., die Gleichgewichtsbedingungen sind an den Elementgrenzen verletzt. Hingegen sind die Gleichgewichtsbedingungen im Element erfüllt, was bei Elementen mit reinen Verschiebungsansätzen nicht der Fall ist. Hybride Elemente weisen aber noch eine weitere Näherung auf: Die von den Spannungen hervorgerufenen Verzerrungen sind nämlich in der Regel weder untereinander noch mit den Randverschiebungsansätzen verträglich. Die Güte dieser Näherung kann durch die Erhöhung der Ordnung der Polynome der Spannungsansätze und damit auch der Anzahl der Spannungsparameter ßi verbessert werden. Man kann allerdings zeigen, dass damit das Element steifer wird. Um zu steife Elemente zu vermeiden, wählt man daher bei den Spannungsansätzen bewusst keinen allzu hohen Polynomgrad. Die hybriden Elemente weisen hier eine Parallele zu den nicht konformen Elementen mit reinen Verschiebungsansätzen auf. In beiden Fällen macht man die Elemente durch eine Verletzung der Stetigkeitsbedingung der Verschiebungsfunktionen künstlich ‚weich“ und versucht damit den Diskretisierungsfehler, der durch die Veschiebungsansätze entsteht, teilweise wieder auszugleichen. Hybride Elemente erfüllen nicht die Voraussetzungen für monotone Konvergenz. Statt dessen verlangt man, dass sie den Patch-Test als Nachweis nichtmonotoner Konvergenz bestehen. Nach den o. g. Regeln lässt sich eine Vielzahl von Elementen mit unterschiedlichen Formen und Ansatzfunktionen herleiten. Von besonderem Interesse bei hybriden Elementen ist die Möglichkeit, bei Scheiben auch Verdrehungen um die z-Achse als Freiheitsgrade zuzulassen.

228

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Hybride Elemente mit Verschiebungsfreiheitsgraden

Die ursprünglich entwickelten Scheibenelemente besaßen ausschließlich Verschiebungsfreiheitsgrade in den Knotenpunkten. Ein Beispiel ist das oben hergeleitete Element. Weitere Elemente auf dieser Grundlage sind in [4.18] angegeben. Hybride Elemente mit Verschiebungs- und Verdrehungsfreiheitsgraden

Da bei hybriden Elementen Verschiebungsansätze nur auf dem Elementrand definiert sind, ist es ohne weiteres möglich, in die Verschiebungsansätze auch die Knotenverdrehungen mit einzubeziehen (Bild 4-36). Bei einem Rand ohne Zwischenknoten ist die Verschiebungsfunktion senkrecht zum Rand ähnlich wie beim Biegebalken eine Parabel dritter Ordnung. Auf dieser Grundlage lässt sich eine Reihe von Elementen herleiten [4.18].

Bild 4-36 Hybrides Scheibenelement mit Verdrehungsfreiheitsgraden

Beim Allgemeinen Viereckelement SV3KQ und dem entsprechenden Dreieckelement SD3KQ nach [4.18] wird beispielsweise folgender quadratischer Spannungsansatz mit 12 Spannungsparametern gewählt:

ª º ª1 0 0 y 0 −x 0 « σx » « « σ y »= « 0 1 0 0 x 0 − y « » « x ¬« τ xy ¼» «¬ 0 0 1 0 0 y

y2 0 0

ª « « « « « « 0 2 xy 0 − x2 º « »« x2 0 2 xy − y 2 »⋅« »« 0 − y 2 − x 2 2 xy »¼ « « « « « « «¬

β1 º » β2 » β3 » » β4 » β5 » » β6 » β 7 »» β8 » » β9 » β10 » » β11 » β12 »¼

(4.53)

Die Verschiebungsfunktionen zwischen zwei Knotenpunkten werden in Richtung des Randes linear und senkrecht dazu durch eine kubische Verschiebungsfunktion beschrieben. Hybride Scheibenelemente mit Verdrehungsfreiheitsgraden sind in einige Programme für den konstruktiven Ingenieurbau implementiert.

4.6 Rechteckelement für Platten

229

4.6 Rechteckelement für Platten 4.6.1 Elementtyp Bei der klassischen Kirchhoffschen Plattentheorie werden Schubverformungen vernachlässigt. Dies ist bei dünnen Platten zulässig und vereinfacht die analytische Lösung der Plattengleichungen. Die genauere Theorie der schubweichen Platte wird auch als Reissnersche oder Mindlinsche Plattentheorie bezeichnet. Sie wird bei der Herleitung von Finiten Plattenelementen häufig bevorzugt [4.19]. Ein Rechteckelement auf der Grundlage der Theorie der schubweichen Platte wird im folgenden Abschnitt hergeleitet. Über weitere Elementtypen, auch solche nach der Kirchhoffschen Theorie, gibt Abschnitt 4.7 einen Überblick.

4.6.2 Ansatzfunktionen Die Verformung einer Platte wird durch die Durchbiegung w und die Drehwinkel ϕx und ϕy an jeder Stelle der Platte beschrieben. Ein Plattenelement besitzt somit an jedem Knotenpunkt drei Freiheitsgrade, nämlich die Durchbiegung wi und die Drehwinkel ϕxi und ϕyi. Die entsprechenden Kraftgrößen sind die Kraft Fzi und die Biegemomente Mxi und Myi. Bild 4-37 zeigt ein 4-Knoten-Element mit den 12 Freiheitsgraden. Während sich die Drehwinkel bei der schubstarren Platte aus den Durchbiegungen durch Differenzieren ergeben, ist dies bei der schubweichen Platte nicht der Fall. Aufgrund der hinzukommenden Schubverzerrungen sind die Drehwinkel und die Durchbiegungen unabhängige Größen (vgl. Abschnitt 2.3). Bei der Herleitung eines schubweichen Plattenelements sind daher für die Durchbiegung und die Drehwinkel voneinander unabhängige Ansatzfunktionen zu wählen. Die Ansatzfunktionen eines 4-Knoten-Elements lassen sich durch bilineare Interpolation der jeweiligen Knotenwerte anschreiben. Die Formfunktionen N1-N4 für die bilineare Interpolation wurden bereits bei der Herleitung des Scheibenelements angegeben, (4.27b-e). Man erhält (Bild 4-38): ª w1 º « » « ϕ x1 » « ϕ y1 » « » « w2 » « » « ϕ x2 » ª wº ªN º 0 0 0 0 0 0 0 0 N N N 2 3 4 « » « 1 » « ϕ y 2 » (4.45) » 0 N2 0 0 N3 0 0 N4 0 » ⋅ « « ϕ x » = « 0 N1 0 w « » 3 «ϕ » « 0 0 N1 0 0 N2 0 0 N3 0 0 N 4 »¼ « » ¬ y¼ ¬ ϕ « x3 » « ϕ y3 » « » « w4 » «ϕ » « x4 » «¬ ϕ y 4 »¼ u=

N

·

ue

230

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-37 Rechteck-Plattenelement

Bild 4-38 Ansatzfunktionen eines schubweichen Plattenelements

4.6 Rechteckelement für Platten

231

4.6.3 Verzerrungsgrößen und Schnittgrößen Als Verzerrungsgrößen treten beim schubweichen Element sowohl Krümmungen als auch Scherwinkel auf. Man erhält sie nach (2.9a) und (2.9b) für die durch die Ansatzfunktionen (4.54) vorgegebenen Verschiebungsgrößen zu:

ª « « « ¬«

ª ∂ϕ x « ∂x « κ x º» « ∂ϕ y κy » = « ∂y » « κ xy ¼» « « ∂ϕ x + ∂ϕ y «¬ ∂ y ∂x

º » » » » » » » »¼

(4.55a)

oder

ª « « « ¬«

ª ∂ N1 «0 º « ∂x κx » « κy » = « 0 0 » « κ xy ¼» « ∂ N1 «0 ∂y ¬

κ

0

∂ N1 ∂y ∂ N1 ∂x

0

∂ N2 ∂x

0

0

0

∂ N2 ∂y

0

∂ N2 ∂y ∂ N2 ∂x

0

∂ N3 ∂x

0

0

0

∂ N3 ∂y

Bb · ue

=

0

∂ N3 ∂y ∂ N3 ∂x

0

∂ N4 ∂x

0

0

0

∂ N4 ∂y

ª w1 º « » « ϕ x1 » « ϕ y1 » « » º « w2 » 0 »«ϕ » » « x2 » » ∂ N4 « ϕ y 2 » » »⋅« ∂ y » « w3 » ∂ N 4 » «« ϕ x3 »» » ∂ x ¼ « ϕ y3 » » « « w4 » «ϕ » « x4 » «¬ ϕ y 4 ¼»

(4.55b)

und ª ª γ xz º « ϕ x + « »= « ¬ γ yz ¼ « ϕ + «¬ y

∂w º ∂ x »» ∂w » ∂ y »¼

(4.55c)

232

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

ª ª γ xz º « « »= « ¬ γ yz ¼ « «¬

∂ N1 ∂x ∂ N1 ∂y

N1

0

0

N1

∂ N2 ∂x ∂ N2 ∂y

N2

0

0

N2

γ =

∂ N3 ∂x ∂ N3 ∂y

N3

0

0

N3

Bs · ue

∂ N4 ∂x ∂ N4 ∂y

N4 0

ª w1 º « » « ϕ x1 » « ϕ y1 » « » « w2 » « » º « ϕ x2 » 0 »«ϕ » »⋅« y 2 » »« w » N4 » « 3 » ¼ ϕ x3 « » « ϕ y3 » « » « w4 » «ϕ » « x4 » «¬ ϕ y 4 »¼

(4.55d)

Die Ableitungen der bilinearen Formfunktionen N1-N4 wurden bereits beim Scheibenelement in (4.28a-h) angegeben. Das Element kann damit – bei voller Integration – konstante Krümmungen κ und konstante Momente darstellen. Aus den Verzerrungsgrößen lassen sich die zugehörigen Schnittgrößen mittels der MomentenKrümmungs-Beziehung und der Querkraft-Scherwinkel-Beziehung ª º « mx » E h3 « my » = « » 12 1+ µ 2 «¬ mxy »¼

(

m

=

)

ª «1 « «µ « «0 ¬

µ 1 0

º ª º 0 » « κx » » 0 » ⋅ « κy » « » 1− µ »» «¬ κ xy »¼ 2 ¼

Db

ª vx º 5 E ⋅ h ª 1 0 º ª γ xz º ⋅« « » = » »⋅« 12 (1+ µ ) ¬ 0 1 ¼ ¬ γ yz ¼ ¬ vy ¼

v

=

·

(2.10a)

κ (2.10b)

D · γ

ermitteln zu m = Db · Bb · ue

(4.56a)

v = Ds · Bs · ue

(4.56b)

Die beiden Gleichungen geben die Schnittgrößen im Element in Abhängigkeit von den Knotenverschiebungen und -verdrehungen an.

4.6 Rechteckelement für Platten

233

4.6.4 Steifigkeitsmatrix Die Steifigkeitsmatrix stellt die Beziehung zwischen den Knotenkräften und -momenten und den Knotenverschiebungen und -verdrehungen dar. Zu ihrer Herleitung sind die den Elementschnittgrößen (4.56a, b) äquivalenten Knotenkräfte und -momente zu bestimmen. Hierzu verwendet man wiederum das Prinzip der virtuellen Verschiebungen. Die virtuellen Verschiebungen erhält man mit den gleichen Ansätzen wie die wirklichen Verschiebungen analog zu (4.54) zu: u = N ⋅ ue

(4.57)

Die Krümmungen und Scherwinkel im virtuellen Verschiebungszustand ergeben sich zu:

κ = Bb ⋅ u e

bzw.

γ = Bs ⋅ u e

bzw.

κ T = u Te ⋅ BTb

(4.58a)

γ T = u Te ⋅ BTs

(4.58b)

Die innere virtuelle Arbeit wird von den wirklichen Momenten mit den virtuellen Krümmungen und von den wirklichen Querkräften mit den virtuellen Verschiebungen geleistet. Sie lautet nach (2.11c): Wi =

³

T

κ ⋅ m⋅ dx dy +

³

T

γ ⋅ v⋅ dx dy

Setzt man in diese Gleichung die virtuellen Krümmungen und Scherwinkel nach (4.58a,b) und die wirklichen Momente und Querkräfte nach (4.56a,b) ein, erhält man die virtuelle innere Arbeit zu: Wi =

³

u Te ⋅ BTe ⋅ Db ⋅ Bb ⋅ u e dx dy +

³

u Te ⋅ BTs ⋅ D s ⋅ B s ⋅ u e dx dy

oder, da ue und ueT unabhängig von x und y sind: W i = u Te ⋅

(³

BTb ⋅ D b ⋅ D b dx dy +

³

)

BTs ⋅ D s ⋅ B s dx dy ⋅ u e .

(4.59)

Die äußere virtuelle Arbeit wird von den wirklichen Knotenkräften mit den virtuellen Knotenverschiebungen und von den wirklichen Knotenmomenten mit den virtuellen Knotendrehwinkeln geleistet. Die äußere Arbeit von Flächenlasten wird später berücksichtigt. Somit lautet die äußere virtuelle Arbeit:

234

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

W a = ª¬ w1 ϕ x1 ϕ y1

W a = u Te ⋅ F

ϕ x2

w2

ϕ y2

w3

ϕ x3 ϕ y 3 w4

ϕ x4

ª « « « « « « « « ϕ y 4 º¼ ⋅ « « « « « « « « « «¬

Fz1 º » M x1 » M y1 » » Fz 2 » » M x2 » M y2 » » Fz 3 » M x3 »» M y3 » » Fz 4 » M x4 » » M y 4 »¼

(4.60)

e

Aus der Gleichheit der inneren und äußeren virtuellen Arbeiten folgt: T

ue ⋅

(³ BTb ⋅ Db ⋅ Bb dx dy + ³ BTS ⋅ D S ⋅ B S dx dy )⋅ ue = uTe ⋅ F e

Da diese Gleichung für beliebige virtuelle Knotenverschiebungen u Te gültig ist, folgt hieraus:

(³ B ⋅ D ⋅ B T b

b

b dx dy +

³ B ⋅ D ⋅ B dx dy) ⋅ u T s

s

s

e

= Fe

oder K e ⋅ ue = F e

(4.61)

wobei Ke =

³

BTb ⋅ Db ⋅ B dx dy + b

⏐ Biegung

³

BTs ⋅ D s ⋅ B s dx dy

(4.61a)

⏐ Schub

die Steifigkeitsmatrix des Plattenelements ist. Sie setzt sich aus einem Anteil infolge Biegung und einem Anteil infolge Schub zusammen. Führt man die Integration zur Ermittlung der Steifigkeitsmatrix nach (4.61a) exakt durch, was einer Gaußschen 2x2-Integration entspricht, so verhält sich das Element für dünne Platten extrem steif. Dieses Phänomen, das als „Schubblockieren“ („Shear Locking“) bezeichnet wird, wird dadurch verursacht, dass bei dünnen Platten aufgrund des Verschiebungsansatzes auch bei reiner Biegebeanspruchung die Schubverzerrungen nicht zu Null werden können. Wie bereits bei den Scheibenelementen erläutert, führt eine reduzierte numerische Integration nach

4.6 Rechteckelement für Platten

235

Gauß zu „weicheren“ Elementen. Da das Plattenelement bei einer reduzierten 1x1-Integration aufgrund von Kinematiken unbrauchbar wird, integriert man die Biegungs- und Schubanteile der Steifigkeitsmatrix mit unterschiedlicher Ordnung. Man bezeichnet dies als selektive Integration. Hierbei werden nur die Schubanteile mit der (reduzierten) Ordnung 1x1 integriert, während man bei den Biegeanteilen die volle Integrationsordnung 2x2 ansetzt [4.20]. Für sehr dicke Platten, bei denen die Schubsteifigkeit von praktischer Bedeutung ist, wird in [4.20] eine demgegenüber nochmals modifizierte Integration vorgeschlagen. Eine Reihe von exemplarischen Ergebnissen ist in [4.20] angegeben. Allerdings sind bei selektiver Integration Kinematiken beim oben beschriebenen Element nicht ausgeschlossen. Diese können bei bestimmten Lagerbedingungen und Belastungen auftreten und äußern sich als alternierende Verschiebungsverläufe, die dem korrekten Verschiebungsverlauf überlagert sind. Das Element ist daher in der beschriebenen einfachen Form nicht allgemein anwendbar. Es stellt aber den Ursprung für eine Reihe modifizierter 4-Knoten-Elemente dar, die kinematisch stabil sind.

4.6.5 Elementlasten Die Elementlasten sind durch äquivalente Knotenlasten darzustellen. Diese leisten mit den virtuellen Verschiebungen dieselbe äußere virtuelle Arbeit wie die Elementlasten. Im Folgenden wird der Fall einer konstanten Flächenlast pz(x,y) betrachtet. Auf das infinitesimale Flächenelement dx·dy wirkt somit die Kraft pz dx dy. Die virtuelle Verschiebung

w lautet nach (4.57) bzw. (4.54):

w = N1⋅ w1 + N 2 ⋅ w2 + N3 ⋅ w3 + N 4 ⋅ w4 = Σ Ni ⋅ wi

(4.63)

mit N1-N4 nach (4.27b-e). Damit erhält man die virtuelle Arbeit der Flächenlast durch Integration über die Fläche des Elements zu:

W a, p =

§ ¨ ¨ ©

·

4

³ ¦ Ni ⋅ wi ¸¸ ⋅

pz ⋅ dx dy

(4.64a)

¹

i= 1

Die virtuelle Arbeit der äquivalenten Knotenlasten mit den Knotenverschiebungen lautet: n

W a, F =

¦ FzL,i ⋅ wi

(4.64b)

i= 1

Durch das Gleichsetzen der virtuellen Arbeit der Knotenlasten und der virtuellen Arbeit der Flächenlast erhält man: 4

¦ FzL,i ⋅ wi i= 1

4

=

¦³ i= 1

N i ⋅ p z dx dy⋅ wi

236

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Da diese Gleichung für beliebige virtuelle Knotenverschiebungen gelten muss, folgt hieraus, dass die Summanden auf beiden Seiten der Gleichung gleich sind. Die äquivalenten Knotenlasten einer beliebigen Flächenlast erhält man somit zu: FzL,i =

³

Ni ⋅ pz dx dy

(4.65)

Konstante Flächenlast

Für eine konstante Flächenlast pz erhält man nach Durchführung der Integration (Bild 4-39): FzL,i =

1 a⋅ b⋅ pz 4

(4.65a)

Einzellast

Bei einer Einzellast Fz erhält man mit (4.65) die äquivalenten Knotenlasten zu (Bild 4-39): FzL,i = Ni ( x p , y p )⋅ Fz

(4.65b)

Die Formfunktionen Ni nach (4.27b-e) sind hierbei an der Stelle x=xp und y=yp einzusetzen.

Bild 4-39 Elementlasten und äquivalente Knotenlasten beim Plattenelement

4.7 Finite Elemente für Platten

237

4.7 Finite Elemente für Platten 4.7.1 Schubweiche Plattenelemente mit Verschiebungsansatz Schubweiche Plattenelemente wurden mit dem Ziel entwickelt, die Konsistenz mit der klassischen Theorie der stetigen Ansatzfunktionen auch bei Plattenelementen beizubehalten und bei dicken Platten Schubdeformationen zu berücksichtigen. Sie werden auch als Mindlinsche Elemente bezeichnet. Eine rege Entwicklung schubweicher Plattenelemente fand in den siebziger und achtziger Jahren statt. Im Vergleich zu den ebenfalls vielfach eingesetzten hybriden Plattenelementen ist ihre Formulierung einfacher, so dass ihre Elementsteifigkeitsmatrizen vom Computerprogramm schneller berechnet und einfacher in Finite-Element-Programme implementiert werden können. Ihre Herleitung erfordert jedoch die Berücksichtigung besonderer Eigenarten, die bei klassischen Finiten Elementen mit Verschiebungsansatz nicht auftreten. Schubweiches Viereck-Plattenelement

Ein einfaches Rechteckelement für schubweiche Platten wurde im vorigen Abschnitt hergeleitet. Dieses Element lässt sich leicht für allgemeine Vierecke sowie für Dreiecke erweitern [4.14, 4.20], (Bild 4-40). Das Elementverhalten dieses einfachen Elements ist aber nicht zufriedenstellend, da es Kinematiken aufweist. Zur Stabilisierung des Elements wurde eine Reihe von Verfahren entwickelt. Eine Möglichkeit ist die Einführung eines Korrekturfaktors für den Schubanteil der Steifigkeitsmatrix in Verbindung mit einer Zwangsbedingung für den Verlauf der Scherverzerrungen auf den Elementrändern [4.21]. Eine andere Möglichkeit besteht in der Wahl spezieller Ansatzfunktionen für Scherverzerrungen [4.22]. Es wurden auch schubweiche Elemente entwickelt, die bei dünnen Platten in das DKT-Element (s. u.) übergehen [4.23]. Die so stabilisierten Elemente werden in verschiedenen kommerziellen FiniteElement-Programmen eingesetzt [4.24].

Bild 4-40 Allgemeines Viereckelement für Platten

Isoparametrische und Lagrange-Elemente

Für Platten können wie für Scheiben auch isoparametrische Elemente und Lagrange-Elemente mit quadratischen und kubischen Ansatzfunktionen (vgl. Abschnitt 4.5.2) hergeleitet werden. Eine Parameterstudie in [4.10] zeigt, dass aufgrund des Schubblockierens bzw. des Auftretens

238

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

unerwünschter Kinematiken nur das 16-Knoten-Lagrange-Element mit voller Integration als allgemein einsetzbares Plattenelement geeignet ist. Kinematisch stabile Elemente lassen sich auch durch die Wahl unterschiedlicher Ansatzfunktionen für die Drehwinkel und die Verschiebungen entwickeln [4.25]. In der Praxis werden diese Elementformulierungen bisher kaum eingesetzt. DKT- und DKQ-Elemente

Bei der diskreten Kirchhoffschen Theorie geht man davon aus, dass Schubverzerrungen bei dünnen Platten sehr klein sind und damit vernachlässigt werden können. Man vernachlässigt somit in (4.61a) den Schubanteil und ermittelt die Steifigkeitsmatrix zu: Ke =

³ BTDKT ⋅ Db ⋅ B DKT dx dy .

(4.66)

Zur Formulierung der Matrix B DKT werden für die Drehwinkel ϕx und ϕy höhere Ansatzfunktionen als nach (4.54) gewählt. Für die dadurch zusätzlich erforderlichen Gleichungen wird die Bedingung eingeführt, dass die Schubverzerrungen an bestimmten (diskreten) Punkten im Element wie bei der Kirchhoffschen Plattentheorie Null werden. Es handelt es sich also hierbei um Elemente für schubstarre Platten. Finite Dreieckelemente mit einem quadratischen Ansatz und Viereckelemente mit einem unvollständigen kubischen Ansatz für die Drehwinkel sowie der Bedingung, dass die Schubverzerrungen entlang des Randes zu Null werden, sind in [4.26, 4.28] angegeben. Die Elemente werden auch als DKT bzw. DKQ- Elemente (´Discrete Kirchhoff Triangle´ bzw. ´Discrete Kirchhoff Quadrilateral´) bezeichnet. Sie sind in eine Reihe kommerzieller Finite-Element-Programme implementiert [4.24].

4.7.2 Schubstarre Plattenelemente mit Verschiebungsansatz Die ersten praktisch eingesetzten Plattenelemente beruhten auf der Kirchhoffschen Plattentheorie für schubstarre Platten. Für konforme Plattenelemente wird gefordert, dass sowohl die Durchbiegungen als auch die Drehwinkel an den Elementgrenzen benachbarter Elemente übereinstimmen. Die Drehwinkel ergeben sich aber nach der Kirchhoffschen Plattentheorie unmittelbar aus der Funktion der Durchbiegung w(x,y) durch Differenzieren. Dies bedeutet für die Ansatzfunktionen, dass nicht nur die Durchbiegung w(x,y), sondern auch deren erste Ableitung normal zur Elementgrenze zwischen benachbarten Elementen übereinstimmen muss. Bei der Herleitung von Finiten Elementen ist diese Forderung nur dann zu erfüllen, wenn man andere Nachteile in Kauf nimmt. Daher verwendet man bei dieser Elementgruppe häufig nichtkonforme Elemente, bei denen zwar die Durchbiegungen, nicht aber die Drehwinkel an der Grenze benachbarter Elemente übereinstimmen. Konformes Rechteckelement mit bikubischem Verschiebungsansatz

Beim konformen Rechteckelement mit bikubischem Verschiebungsansatz [4.5, 4.9] treten als Freiheitsgrade an den Knoten neben der Durchbiegung w und den beiden Drehwinkeln

4.7 Finite Elemente für Platten

239

ϕx=∂w/∂x und ϕy = ∂w/∂y auch der Freiheitsgrad ϕxy = ∂w²/∂x∂y auf. Das Element besitzt somit 16 Freiheitgrade (Bild 4-41). Die Ansatzfunktion lautet: w(x,y) = α1 + α2.x + α3.y + α4.x2 + α5.xy + α6.y2 + α7.x3 + α8.x2y + α9.xy2 + α10.y3 + α11.xy3 + α12.x3y + α13.x2y2 + α14.x2y3 + α15.x3y2 + α16.x3y3

y3

y4

w4 x4

w3 3

4

x3

y x

x1

1

x2

2

w2

w1 y1

y2

Bild 4-41 Konformes Rechteckelement mit bikubischem Verschiebungsansatz

Die Parameter α1-α16 lassen sich wiederum durch die 16 Knotenfreiheitsgrade ausdrücken. Die Steifigkeitsmatrix lässt sich explizit angeben [4.9]. Das Element wird jedoch nur selten verwendet, da es nur als reines Rechteck, nicht aber als allgemeines Viereck vorliegt und der zusätzliche Freiheitsgrad ϕxy = ∂w²/∂x∂y störend wirkt. Nichtkonformes Rechteckelement mit 12 Freiheitsgraden

Ein Rechteckelement mit einem Verschiebungs- und zwei Verdrehungsfreiheitsgraden je Knoten lässt sich mit folgendem Verschiebungsansatz herleiten: w(x,y) = α1 + α2.x + α3.y + α4.x2 + α5.xy + α6.y2 + α7.x3 + α8.x2y + α9.xy2 + α10.y3 + α11.xy3 + α12.x3y

Diese Ansatzfunktion ist ein unvollständiges Polynom (vgl. Bild 4-26). Sie erfüllt zwar die Stetigkeitsbedingung für die Verschiebungen an den Rändern benachbarter Elemente, die Gleichheit der Drehwinkel ist aber nicht mehr gegeben. Es handelt sich also bei dem Plattenelement um ein nichtkonformes Element. Die Ermittlung der Steifigkeitsmatrix ist in [4.5, 4.29, Premizeinki] angegeben. Eine Erweiterung auf allgemeine Viereckform ist nicht möglich. Die Steifigkeitsmatrix lässt sich mit den Bezeichnungen nach Bild 4-37 explizit angeben zu [4.11], [4.131]

240

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke E ⋅ h3

12⋅ (1− µ 2 )⋅ a⋅ b ª k1,1 k1,2 « « k2,1 k2,2 « k3,1 k3,2 « « k4,1 k4,2 « k k5,2 « 5,1 « k6,1 k6,2 « « k7,1 k7,2 « k k8,2 « 8,1 « k9,1 k9,2 «k k « 10,1 10,2 « k11,1 k11,2 « ¬ k12,1 k12,2

⋅ k1,3

k1,4

k1,5

k1,6

k1,7

k1,8

k1,9

k1,10

k1,11

k2,3

k2,4

k2,5

k2,6

k2,7

k2,8

k2,9

k2,10

k2,11

k3,3

k3,4

k3,5

k3,6

k3,7

k3,8

k3,9

k3,10

k3,11

k4,3

k4,4

k4,5

k4,6

k4,7

k4,8

k4,9

k4,10

k4,11

k5,3

k5,4

k5,5

k5,6

k5,7

k5,8

k5,9

k5,10

k5,11

k6,§

k6,$

k6,5

k6,6

k6,7

k6,8

k6,9

k6,10

k6,11

k7,3

k7,4

k7,5

k7,6

k7,7

k7,8

k7,9

k7,10

k7,11

k8,3

k8,4

k8,5

k8,6

k8,7

k8,8

k8,9

k8,10

k8,11

k9,3

k9,4

k9,5

k9,6

k9,7

k9,8

k9,9

k9,10

k9,11

k10,3

k10,4

k10,5

k10,6

k10,7

k10,8

k10,9

k10,10

k10,10

k11,3

k11,4

k11,5

k11,6

k11,7

k11,8

k11,9

k11,10

k11,11

k12,3

k12,4

k12,5

k12,6

k12,7

k12,8

k12,9

k12,10

k12,11

k1,12 º ª w1 º ª » « »« k2,12 » « ϕ x1 » « k3,12 » « ϕ y1 » « » « »« k4,12 » « w2 » « « » « k5,12 » « ϕ x 2 » « » k6,12 » « ϕ y 2 » « »= « » ⋅« k7,12 » « w3 » « « » « k8,12 » « ϕ x3 » « » k9,12 » « ϕ y 3 » « « » « k10,12 » « w4 » « » k11,12 » « ϕ x 4 » « » « »« k12,12 ¼ «¬ ϕ y 4 »¼ «¬

Fz1 º » M x1 » M y1 » » Fz 2 » » M x2 » M y1 » » Fz 3 » M x3 »» M y1 » » Fz 4 » M x4 » » M y1 »¼

(4.67) mit

β = b/a

(

)

k1,1 = k4,4 = k7,7 = k10,10 = 4⋅ β 2 + 1/ β 2 + (14 − 4⋅ µ ) / 5

(

)

k1,2 = k2,1 = k4,5 = k5,4 = − k7,8 = − k8,7 = − k10,11 = − k11,10 = 2 / β 2 + (1+ 4⋅ µ ) / 5 ⋅ b

( (

)

)

k2,2 = k5,5 = k8,8 = k11,11 = 4 / 3⋅ β 2 + 4⋅ (1− µ ) /15 ⋅ b 2

(

)

k1,3 = k3,1 = − k4,6 = − k6,4 = − k7,9 = − k9,7 = k10,12 = k12,10 = − 2⋅ β 2 + (1+ 4⋅ µ ) / 5 ⋅ a k2,3 = k3,2 = − k5,6 = − k6,5 = k8,9 = k9,8 = − k11,12 = − k12,11 = − µ ⋅ a ⋅ b

k3,3 = k6,6 = k9,9 = k12,12 = 4⋅ b2 / 3+ 4⋅ (1− µ )⋅ a 2 /15

(

)

k1,4 = k4,1 = k7,10 = k10,7 = − 2⋅ 2⋅ β 2 − 1/ β 2 − (14 − 4⋅ µ ) / 5

(

)

k2,4 = k4,2 = k1,5 = k5,1 = − k7,11 = − k11,7 = − k8,10 = − k10,8 = 1/ β 2 − (1+ 4⋅ µ )⋅ 1/ 5 ⋅ b

(

)

k3,4 = k4,3 = − k1,6 = − k6,1 = k7,12 = k12,7 = − k9,10 = − k10,9 = 2⋅ β 2 + (1− µ ) / 5 ⋅ a

( (

)

)

k5,2 = k2,5 = k8,11 = k11,8 = 2 / 3⋅ β 2 − 4⋅ (1− µ ) /15 ⋅ b 2 k5,3 = k3,5 = k5,9 = k9,5 = k5,12 = k12,5 = k6,2 = k2,6 = k6,8 = k8,6 = k6,11 = k11,6 = k8,3 = k3,8 = k8,12 = k12,8 = k9,2 = k2,9 = k9,11 = k11,9 = k11,3 = k3,11 = k12,2 = k2,12 = 0

(

)

k6,3 = k3,6 = k9,12 = k12,9 = 2⋅ β 2 / 3− (1− µ ) /15 ⋅ a 2

4.7 Finite Elemente für Platten

241

(

)

k7,1 = k1,7 = k4,10 = k10,4 = − 2⋅ β 2 + 1/ β 2 + (14 − 4⋅ µ ) / 5

(

)

k7,2 = k2,7 = − k4,11 = − k11,4 = − k8,1 = − k1,8 = k10,5 = k5,10 = − 1/ β 2 + (1− µ ) / 5 ⋅ b

(

)

k7,3 = k3,7 = − k9,1 = − k1,9 = − k10,6 = − k6,10 = k12,4 = k4,12 = β 2 − (1− µ ) / 5 ⋅ a

(

)

k7,4 = k4,7 = k10,1 = k1,10 = 2⋅ β 2 − 2 / β 2 − (14 − 4⋅ µ ) / 5

(

)

k7,5 = k5,7 = − k8,4 = − k4,8 = k10,2 = k2,10 = − k11,1 = − k1,11 = − 2 / β 2 − (1− µ ) / 5 ⋅ b

(

)

k7,6 = k6,7 = k9,4 = k4,9 = − k10,3 = − k3,10 = − k12,1 = − k1,12 = β 2 − (1+ 4⋅ µ ) / 5 ⋅ a

( ( ) ) k8,5 = k5,8 = k11,2 = k2,11 = ( 2 / (3⋅ β 2 ) − (1− µ ) /15)⋅ b 2 k8,2 = k2,8 = k11,5 = k5,11 = 1/ 3⋅ β 2 + (1− µ ) /15 ⋅ b 2

(

)

k9,3 = k3,9 = k12,6 = k6,12 = β 2 / 3+ (1− µ ) /15 ⋅ a 2

(

)

k9,6 = k6,9 = k12,3 = k3,12 = 2⋅ β 2 / 3− 4⋅ (1− µ ) / 5 ⋅ a 2

Beispiel 4.9 Die in Bild 4-42 dargestellte allseitig gelenkig gelagerte, quadratische Platte ist in Plattenmitte mit einer Einzellast F belastet (vgl. Beispiel 4.10). Die Durchbiegung wm in Plattenmitte ist mit einem regelmäßigen 2x2 und einem 4x4 Finite-Element-Netz zu berechnen.

Bild 4-42 Rechteckplatte und 2x2-Netz

242

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Die Platte lässt sich unter Nutzung der Symmetrie für das 2x2-Netz mit nur einem einzigen Finiten Element berechnen (Bild 4-42c). Die Systemgleichung ergibt sich mit der Elementsteifigkeitsmatrix nach (4.67) bei der Knotennummerierung nach Bild 4-42c zu ª 3.200 − 0.320 º ª ϕ x1 º 0 0.800 0 » « »« 0 3.200 0 0.800 0.320 » « ϕ y1 » « − 0.880 » ⋅« ϕ x 2 » 0 3.200 0 104 ⋅« 0.800 » « »« 0 0.800 0 3.200 0.880 » « ϕ y 3 » « « » «¬ − 0.320 0.320 − 0.880 0.880 0.864 »¼ ¬ w4 ¼

Sie hat die Lösung ª ϕ x1 º « » « ϕ y1 » « ϕ »= « x2 » « ϕ y3 » « » ¬ w4 ¼

ª « « « « « «¬

0.0893 º » -0.0893 » 0.7143 » ⋅ 10− 2 » -0.7143 » 2.6786 »¼

Bei Elementverfeinerung erhält man für die Durchbiegung in Plattenmitte FE-Netz

2x2

4x4

8x8

16x16

wm [cm]

2.68

2.43

2.35

2.33

Gemessen an der 16x16-Diskretisierung ist der Fehler bei der 4x4-Netz 4.2% und beim 8x8Netz 1.0%. Er ist etwas größer als bei den neueren schubweichen und hybriden Elementen in Beispiel 4.10. Aufgrund der Nicht-Konformität des Verschiebungsansatzes erfolgt die Konvergenz nicht „von unten“ an die genaue Lösung.

Dreieckelemente

Für schubstarre Platten wurde eine Reihe von Dreieckelementen entwickelt, die sich durch Art und Anzahl der Freiheitsgrade unterscheiden. Die grundsätzliche Problematik bei der Herleitung von schubstarren Dreieckelementen besteht darin, dass bei drei Freiheitsgraden (die Durchbiegung und zwei Verdrehungen) je Knoten nur ein 9-parametriger Verschiebungsansatz gewählt werden kann. Da der vollständige Ausdruck dritter Ordnung 10 Parameter enthält, muss entweder ein Term weggelassen werden, oder es müssen zusätzliche Freiheitsgrade eingeführt werden. Eine Übersicht über die in diesem Sinne entwickelten Elemente gibt [4.10]. Ein klassisches Dreieckelement ist das kompatible Element nach [4.30]. Es enthält mehrere zusätzliche innere Freiheitsgrade, die vorab aus der Steifigkeitsmatrix eliminiert werden. Das Element enthält damit wiederum nur neun Freiheitsgrade (Bild 4-43).

4.7 Finite Elemente für Platten

243

ϕy3 w3

ϕx3

3

ϕy1

2

ϕy2 w2

ϕx1

1

ϕx1 w1 Bild 4-43 Schubstarres Dreieckelement nach [4.30]

Schubstarre Viereckelemente

Da sich allgemeine Viereckelemente auf der Grundlage der Kirchhoffschen Plattentheorie nicht direkt herleiten lassen, setzt man sie häufig aus mehreren Dreiecken zusammen. Zwei Beispiele hierzu sind in Bild 4-44 dargestellt.

x 1/2

x 1/2 (a)

(b)

Bild 4-44 Schubstarre Viereckelemente durch Zusammensetzung von Dreieckelementen

Das Viereckelement nach Bild 4-44a besteht aus vier Dreieckelementen, [4.31]. Jedoch werden alle inneren Freiheitsgrade auf Elementebene eliminiert, so dass das Element vier Knoten mit jeweils drei Freiheitsgraden besitzt. Das Viereckelement nach Bild 4-44b wird ebenfalls aus Dreieckelementen zusammengesetzt, [4.32]. Um den Einfluss der Diagonalneigung zu eliminieren, wird das Viereck zunächst an der einen, dann an der anderen Diagonale in zwei Dreieckelemente geteilt und die Steifigkeit aus beiden Unterteilungen gemittelt.

4.7.3 Hybride Plattenelemente Aufgrund der Schwierigkeiten bei der Entwicklung konformer Kirchhoffscher Plattenelemente wurden in den sechziger Jahren für Platten hybride Elemente entwickelt [4.33]. Diese basieren meist auf der Kirchhoffschen Plattentheorie. Es existieren aber auch Formulierungen für schubweiche hybride Plattenelemente [4.33].

244

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bei den schubstarren Elementen werden die Biegemomente mx, my und das Drillmoment mxy im Elementinnern durch Ansatzfunktionen angenähert. Auf den Rändern des Elements wählt man Ansatzfunktionen für die Durchbiegung w und die Drehwinkel ϕx und ϕy. Hierbei sind grundsätzlich wiederum unterschiedliche Kombinationen von Randverschiebungsansätzen und Spannungsansätzen möglich. Schubstarres Viereck-Plattenelement

Das Element besitzt vier Knoten mit jeweils drei Freiheitsgraden (Bild 4-40). Bei diesem klassischen Finiten Plattenelement werden die Randverschiebungen als Parabeln dritter Ordnung angesetzt [4.33]. Die Drehwinkel mit einer Rotationsachse senkrecht zum Rand ergeben sich damit als Parabeln zweiter Ordnung. Dieser Verschiebungsansatz entspricht der Biegelinie eines Balkens (ohne Streckenlast). Drehwinkel mit einer Rotationsachse in Richtung des Randes werden als lineare Funktion angesetzt. Für die Biege- und Drillmomente werden quadratische Ansatzfunktionen mit 17 Spannungsparametern gewählt: ª β1 º « » « β2 » « β3 » « » « β4 » « β » « 5» « β6 » ª mx º ª 1 0 0 x y 0 0 0 0 x 2 xy y 2 0 0 0 0 0 º « β7 » » » « « » « « my » « 0 1 0 0 0 x y 0 0 0 0 0 x 2 xy y 2 0 0 » « β8 » » » « «m » « 0 0 − xy x 2 y 2 » ⋅ « β 9 » « xy » = « 0 0 1 0 0 0 0 x y − xy 0 0 » » « « qx » « 0 0 − x 0 2 y » « β10 » x y 0 « » «0 0 0 1 0 0 0 0 1 «¬ q y »¼ «¬ 0 0 0 0 0 0 1 1 0 − y 0 0 0 x 2 x 0 »¼ « β11 » y «β » « 12 » « β13 » « » « β14 » « β15 » « » « β16 » «¬ β »¼ 17 (4.70) Eine Erweiterung des Elements für elastisch gebettete Platten sowie eine Reihe von Parameterstudien sind in [4.18] enthalten.

4.7.4 Beispiel Die verfügbaren Plattenelemente wurden, wie die vorangegangenen Abschnitte zeigen, auf sehr unterschiedlichen Wegen hergeleitet. Die Anforderungen an ein Plattenelement sind Effi-

4.7 Finite Elemente für Platten

245

zienz und Genauigkeit auch bei verzerrten Elementformen. Im folgenden Beispiel werden mehrere Plattenelemente miteinander verglichen. Beispiel 4.10 Für die in Bild 4-45 dargestellte quadratische Platte sind die Durchbiegung wm und das Biegemoment mx in Plattenmitte sowie die Querkraft vrm in Randmitte mit folgenden Elementenarten berechnet: a) V_SW – Schubweiches Viereckelement mit Verschiebungsansatz nach [4.34], [4.39], [4.40], [P1] b) V_SS

– Schubstarres Rechteckelement mit Verschiebungsansatz nach [4.29], [P3]

c) HYB

– Schubstarres hybrides Viereckelement mit quadratischem Spannungs- und kubischem Verschiebungsansatz nach [4.18], [P2]

Die Untersuchungen werden für eine Gleichlast sowie eine in Plattenmitte wirkende Einzellast durchgeführt. Für die Gleichlast liegt zum Vergleich die analytische Lösung der schubstarren Platte nach [4.35] vor. Um den Einfluss der Regelmäßigkeit des Netzes zu überprüfen, werden auch zwei unregelmäßige Netzformen untersucht (Bild 4-45). Die Ergebnisse für die regelmäßige Netzeinteilung sind in Tabelle 4-8 zusammengestellt. Im Bereich praktisch sinnvoller Netzeinteilungen mit 4x4 und 8x8 Elementen ist die gute Übereinstimmung der Ergebnisse des schubweichen Elements V_SW, des schubstarren Rechteckelements V_SS und des hybriden Elements HYB erstaunlich, da die Elemente auf sehr unterschiedlichen theoretischen Grundlagen beruhen. Dies gilt für das Plattenmoment bei Gleichlast und die Durchbiegungen in beiden Lastfällen. Unter der Einzellast tritt in der Momentenline eine Singularität auf, so dass an dieser Stelle die mit der Finite-Element-Methode erhaltenen Werte nicht aussagekräftig sind. Man sieht, dass das Moment in Feldmitte unter der Einzellast mit zunehmender Netzverfeinerung kontinuierlich anwächst, während alle übrigen Werte konvergieren. Bemerkenswert sind der große Unterschied in den Querkräften beider Finite-Elementarten und die langsame Konvergenz der Querkräfte beim schubweichen Element mit Verschiebungsansatz. Die Ursache liegt darin, dass vom hybriden Element ein linearer Verlauf der Querkräfte in x- und y-Richtung wiedergegeben werden kann, während dies beim Element nach [4.21] nicht der Fall ist. Die Ergebnisse für die schubstarre und die schubweiche Platte unterscheiden sich erwartungsgemäß nur unwesentlich. Die Durchbiegungen sind bei der schubweichen Platte wegen des Schubanteils geringfügig höher. Das 32x32-Finite-Element-Netz führt zu einer sehr guten Übereinstimmung mit der analytischen Lösung. Bei unregelmäßigen Netzen sind die Fehler der Ergebnisse größer als bei regelmäßigen Netzen. Die Unterschiede zu der vergleichbaren regelmäßigen Elementierung sind aber bei Biegemomenten und Durchbiegungen gering. Es fällt allerdings auf, dass beim hybriden Element die Genauigkeit der Querkräfte gegenüber der regelmäßigen Elementierung deutlich abnimmt. Der Vergleich dreier Elemente mit sehr unterschiedlicher theoretischer Grundlage an einem einfachen Beispiel zeigt, dass bei den Momenten und Durchbiegungen eine durchaus vergleichbare Genauigkeit erwartet werden kann. In Problembereichen, wie bei der Querkraftermittlung, bei Singularitätenstellen der Schnittgrößen, zu grober Elementierung oder bei stark verzerrten Elementformen treten aber deutliche Unterschiede auf.

246

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke Allseitig gelenkig gelagerte quadratische Platte

q=10 kN/m²

F=400 kN

y

10

m

y x

10 Lf.Gleichlast

d = 0,20 m 7 E = 3⋅10 kN/m² µ=0

x

m

Lf. Einzellast

REGELMÄßIGE NETZFORMEN

2x2

4x4

8x8

16 x 16

UNREGELMÄßIGE NETZFORMEN

U1

U2

Bild 4-45 Quadratische Platte mit verschiedenen Finite-Element-Diskretisierungen

Tabelle 4-8 Schnittgrößen und Mittendurchbiegung bei gleichmäßigem Netz q = 10 kN/m²

Analytisch

FEM 2x2

FEM 4x4

F = 400 kN

wm [cm]

mxm [kNm/m]

vxrm [kN/m]

wm [cm]

mxm [kNm/m]

vxrm [kN/m]

Anzahl Gl.“en

[4.35]

2.03

36.76

33.78

-

V_SW

1.46

22.40

15.50

2.30

∞

-

-

35.80

24.80

V_SS

2.51

56.50

-

2.68

71.43

-

HYB

1.43

36.70

33.86

2.29

72.61

32.58

V_SW

1.88

34.00

49.0

2.15

42.60

50.90

V_SS

2.13

39.60

-

2.43

89.50

-

HYB

1.82

34.33

29.33

2.28

88.93

19.83

19

59

4.8 Finite Elemente für Schalen

247 q = 10 kN/m²

wm [cm]

FEM 8x8

FEM 16x16

FEM 32x32

F = 400 kN

mxm [kNm/m]

vxrm [kN/m]

wm [cm]

mxm [kNm/m]

vxrm [kN/m]

V_SW

2.02

36.80

49.7

2.29

63.90

42.80

V_SS

2.06

37.50

-

2.35

111.50

-

HYB

1.93

36.39

31.07

2.31

111.17

17.67

V_SW

2.05

37.10

43.70

2.33

85.90

31.30

V_SS

2.04

36.70

-

2.33

133.6

-

HYB

2.02

36.69

32.30

2.32

133.24

16.93

V_SW

2.06

37.30

37.60

2.35

108.20

22.60

V_SS

-

-

-

-

-

-

HYB

2.03

36.80

33.01

2.32

155.30

16.75

Anzahl Gl.“en

211

803

3139

Tabelle 4-9 Schnittgrößen und Mittendurchbiegung bei ungleichmäßigem Netz q = 10 kN/m²

Analytisch [4.35, 4.36]

F = 400 kN

wm [cm]

mxm / mym [kNm/m]

vxrm [kN/m]

wm [cm]

mxm / mym [kNm/m]

vxrm [kN/m]

2.03

36.76

33.78

2.32

-

FEM U1 V_SW

1.63

33.30

45.70

1.92

40.40

43.00

HYB

1.71

39.43

17.08

2.27

87.85

18.03

V_SW FEM_U2

2.04

39.60 37.20

42.00

2.30

91.1 64.2

22.10

HYB

2.00

38.60 36.70

25.70

2.34

127.12 102.64

22.10

4.8 Finite Elemente für Schalen 4.8.1 Ebene Schalenelemente Die Tragwirkung einer Schale besteht in der Membran- und der Biegewirkung. Ebene Finite Schalenelemente lassen sich daher aus Scheibenelementen für die Membranwirkung und Plattenelementen für die Biegung zusammensetzen. Die so erhaltenen Schalenelemente kann man zur Modellierung von Faltwerken einsetzen. Auch beliebig gekrümmte Schalen können durch ebene Elemente gut angenähert werden (Bild 4-46). Einfach gekrümmte Schalen können mit Dreieck- oder Rechteckelementen modelliert werden, während zweifach gekrümmte Schalen bei einer komplizierten Geometrie u. U. nur mit Dreieckelementen abgebildet werden können. Ein aus einem Platten- und Scheibenelement gebildetes Schalenelement besitzt in der Regel fünf lokale Freiheitsgrade (Bild 4-47). Der sechste lokale Freiheitsgrad, die Rotation um eine Achse senkrecht zum Element, besitzt damit keine Steifigkeit.

248

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Faltwerk

Einfach gekrümmte Schale

Zweifach gekrümmte Schale

Bild 4-46 Modellierung mit ebenen Schalenelementen

Bild 4-47 Zusammensetzen eines ebenen Schalenelements aus einem Platten- und einem Scheibenelement

4.8 Finite Elemente für Schalen

249

Eine Ausnahme hiervon bildet das in Abschnitt 4.5.4 erwähnte hybride Scheibenelement mit Verdrehungsfreiheitsgraden, das auch über eine Rotationssteifigkeit verfügt. Bei allen anderen Elementen sind besondere Maßnahmen erforderlich, um Kinematiken, die durch die fehlende Steifigkeit entstehen können, zu vermeiden. Besonders einfach ist der Fall eines orthogonalen Faltwerks, dessen Teilflächen parallel zur x-y-, y-z- oder x-z-Ebene liegen (Bild 4-48). Hier sind in den Teilflächen alle Drehungen um die Achse senkrecht zur jeweiligen Fläche festzuhalten, um Singularitäten in der Systemsteifigkeitsmatrix zu vermeiden. An den gemeinsamen Kanten von Teilflächen müssen die entsprechenden Freiheitsgrade frei beweglich belassen werden, damit die Biegebeanspruchung des Nachbarelements nicht durch eine Einspannung behindert wird. Bei allgemeinen Schalentragwerken sind sechs Freiheitsgrade je Knotenpunkt erforderlich. Die fehlende Steifigkeit von Schalenelementen bezügliche einer Rotation um die Achse senkrecht zum Element kann Kinematiken bzw. Singularitäten der Systemsteifigkeitsmatrix zur Folge haben. Um diese zu vermeiden, führt man eine künstliche Drehfeder für die Rotation um die Achse senkrecht zum Element an allen Knotenpunkten des Elements ein (Bild 4-49). Deren Federkonstante muss so klein gewählt werden, dass sie die Schnittgrößen und Verformungen des Tragwerks praktisch nicht beeinflusst. Beispielsweise kann man sie zu 1/10000 des kleinsten Diagonalterms der Steifigkeitsmatrix des Platten- und Scheibenelements wählen oder sie an die Rechengenauigkeit des Computers anpassen. Die Federkonstante muss aber auch so groß sein, dass mögliche Singularitäten der Systemsteifigkeitsmatrix verhindert werden und somit eine fehlerfreie Lösung des Gleichungssystems möglich ist. Als Elementarten werden in kommerziellen Programmen sowohl auf einem Verschiebungsansatz basierende Schalenelemente als auch hybride Schalenelemente eingesetzt.

Bild 4-48 Festhaltung von Freiheitsgraden bei Faltwerken mit orthogonalen Teilfächen und Finiten Schalenelementen mit fünf Freiheitsgraden je Knotenpunkt

250

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-49 Künstliche Drehfedern bei ebenen Schalenelementen mit fünf Freiheitsgraden je Knotenpunkt

4.8.2 Gekrümmte Schalenelemente als modifizierte Volumenelemente Schalenelemente können grundsätzlich auch aus Volumenelementen hergeleitet werden [4.7]. Hierzu führt man in die Bedingung ein, dass senkrecht zu Plattenebene liegende Schnittlinien gerade bleiben (Bernoulli-Hypothese) und keine Dehnung erfahren. Mit dieser Bedingung können die Freiheitsgrade der Knotenverschiebungen durch diejenigen der Verschiebungen und Verdrehungen der Schalenmittelfläche ausgedrückt werden. Die Elemente weisen dieselben Eigenschaften wie die Plattenelemente nach der Theorie der schubweichen Platte auf. Dies bedeutet, dass derartige Schalenelemente auch eine Strategie zur Behandlung des Schubblockierens enthalten müssen. Sie können im Rahmen der isoparametrischen Geometriebeschreibung auch gekrümmt sein. Man bezeichnet solche Elemente auch als (aus Volumenelementen) degenerierte Schalenelemente.

Bild 4-50 Degenerierte Schalenelemente als spezielle Volumenelemente

4.8.3 Rotationssymmetrische Schalenelemente Ein praktisch wichtiger Sonderfall sind rotationssymmetrische Schalen. Deren Berechnung kann unter Ausnutzung der Symmetrie mit erheblich weniger Rechenaufwand als bei einer vollen dreidimensionalen Finite-Element-Diskretisierung der Schale erfolgen [4.5, 4.6].

4.8 Finite Elemente für Schalen

251

Wenn die Belastung nicht rotationssymmetrisch ist, muss sie zunächst in eine Fourier-Reihe (vgl.[1.1]) entwickelt werden. Man erhält für die Radial-, Vertikal- und Tangentialanteile der Flächenlast: pr =

ant ¦ prsym , n ⋅ cos( n⋅ θ ) + ¦ pr , n ⋅ sin( n⋅ θ ) n

pz =

ant ¦ pzsym ,n ⋅ cos( n⋅ θ ) + ¦ p z ,n ⋅ sin(n⋅ θ ) n

pθ = −

(4.71a)

n

(4.71b)

n

¦ pθsym,n ⋅ sin(n⋅ θ )+ ¦ pθant,n ⋅ cos(n⋅ θ ) n

mit n = 0, 1, 2 usw.

(4.71c)

n

Die symmetrischen und antimetrischen Lastanteile erhält man mit Hilfe der Eulerschen Formeln [1.1], z. B. für die Lastkomponente pr zu: prsym ,o =

prsym ,n =

prant ,n =

2π

1 2π

1

π 1

π

³

pr ⋅ d θ

für n = 0

(4.72a)

pr ⋅ cos( n⋅ θ ) d θ

für n = 1,2,...

(4.72b)

pr ⋅ sin(n⋅ θ ) d θ

für n = 0,1,...

(4.72c)

0

2π

³

0 2π

³

0

Bild 4-51 zeigt die niedrigsten Fourier-Terme einer Radiallast. Im Sonderfall einer symmetrischen Belastung wird die Last vollständig durch die Terme für n=0 dargestellt, d. h., alle übrigen Fourier-Terme sind Null und die Summierung in (4.71) entfällt. Alle Zustandsgrößen werden in Zylinderkoordinaten durch eine Fourierreihe dargestellt. Die Verschiebungen eines rotationssymmetrischen Finiten Elements lauten also: ur =

ant ¦ ursym ,n ⋅ cos(n⋅ θ ) + ¦ ur ,n ⋅ sin(n⋅ θ ) n

uz =

ant ¦ uzsym ,n ⋅ cos(n⋅ θ ) + ¦ u z ,n ⋅ sin(n⋅ θ ) n

uθ = −

(4.73b)

n

¦ uθsym,n ⋅ sin(n⋅ θ )+ ¦ uθant,n ⋅ cos(n⋅ θ ) n

(4.73a)

n

(4.73c)

n

mit n = 0, 1, 2 u.s.w. Die Drehwinkel lassen sich ebenso in eine Fourier-Reihe zerlegen.

252

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-51 Rotationssymmetrische Schale unter nicht-rotationssymmetrischer Belastung sym

sym Die Fourier-Terme der Verschiebungen ursym ,n , u z ,n , uθ ,n

ant ant und urant ,n , uz ,n , uθ ,n

hängen

ebenso wie die entsprechenden Fourier-Terme der Lasten nur von den beiden Koordinaten r und z, d. h. nicht von θ ab. Die Verschiebungsansätze beziehen sich demnach bei rotationssymmetrischen Finiten Elementen ausschließlich auf die Koordinaten r und z, während die θ-Richtung durch die Fourier-Entwicklung entfällt. Auch alle übrigen Zustandsgrößen, wie Verzerrungsgrößen und Schnittgrößen, werden als Fourier-Reihe dargestellt. Man kann nun zeigen, dass sich aufgrund der Orthogonalitätsbedingungen der trigonometrischen Funktionen 2π

³

sin( n⋅ θ )⋅ sin(m⋅ θ ) d θ = 0

für

n≠ m

(4.73d)

0 2π

³

cos(n⋅ θ )⋅ cos(m⋅ θ ) d θ = 0

für

n≠ m

(4.73e)

sin( n⋅ θ )⋅ cos(m⋅ θ ) d θ = 0

für

alle n, m

(4.73f)

0 2π

³

0

4.8 Finite Elemente für Schalen

253

die Zustandsgrößen der einzelnen Fourier-Terme entkoppeln lassen. Leitet man hiermit die Steifigkeitsbeziehungen der Finiten Elemente her, so erhält man für jeden Fourier-Term n ein Gleichungssystem für den symmetrischen und ein Gleichungssystem für den antimetrischen Verschiebungszustand. Auf der rechten Seite der Gleichungen stehen die Fourier-Terme der Lasten. Nachdem die Lösungen dieser Gleichungssysteme ermittelt wurden, müssen sie mit einer Fourier-Syntese zusammengesetzt werden. Für die Verschiebungen geschieht dies z. B. mit Hilfe von (4.73a-c). Die Fourier-Terme der Verzerrungs- und Schnittgrößen werden aus den Fourier-Termen der Verschiebungsgrößen ermittelt und ebenfalls mit einer Fourier-Syntese zusammengesetzt. Berechnung mit rotationssymmetrischen Finiten Elementen bei unsymmetrischer Belastung

1. Zerlegung der Lasten in Fourier-Terme 2. Lösung der Gleichungssysteme und Ermittlung der Schnittgrößen für alle betrachteten Fourier-Terme 3. Zusammensetzung der Verschiebungs- und Schnittgrößen aus den entsprechenden Fourier-Termen Die verwendeten Finiten Elemente sind in der r-z-Ebene geradlinig. Grundsätzlich ist es aber auch möglich, gekrümmte Elemente zu entwickeln. Durch die Fourier-Zerlegung wird das ursprünglich dreidimensionale Problem auf mehrere zweidimensionale Probleme zurückgeführt. Die Anzahl der zu lösenden zweidimensionalen Probleme ist direkt proportional zur Anzahl der erforderlichen Fourier-Terme. Das Verfahren ist daher besonders bei rotationssymmetrischer Belastung effizient, da dann nur ein einziger Fourier-Term zu berücksichtigen ist und aufgrund der Symmetrie bestimmte Zustandsgrößen (z. B. uθ ) entfallen. Hierfür wurden auch spezielle Schalenelemente entwickelt (Bild 4-52). Das Verfahren ist auch noch effizient, wenn die Last durch wenige Fourier-Terme dargestellt werden kann, wie z. B. bei einer Windlast. Hingegen kann es ineffizient werden, wenn viele Fourier-Terme verwendet werden müssen, wie z. B. bei einer Einzellast. In der Praxis hat der Einsatz rotationssymmetrischer Elemente aufgrund der gestiegenen Computerleistung, die auch die Berechnung allgemeiner 3D-Schalenmodelle ermöglicht, und wegen ihres speziellen Einsatzbereichs an Bedeutung verloren.

2

s

θ r

1

3 FREIHEITSGRADE je Knotenpunkt

Bild 4-52 Rotationssymmetrisches Schalenelement für rotationssymmetrische Belastung

254

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

4.9 Volumenelemente Dreidimensionale Kontinua sind die allgemeinste Form einer mechanischen Struktur. Annahmen wie die Bernoulli-Hypothese bei Balken und Platten werden nicht getroffen. Die Steifigkeitsmatrix von Volumenelementen lässt sich auf der Grundlage der Elastizitätstheorie für das dreidimensionale Kontinuum herleiten. Jeder Knotenpunkt besitzt 3 Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen u, v, w, in x-, y- beziehungsweise z-Richtung. Bild 4-53 zeigt ein isoparametrisches Volumenelement. Wie bei den isoparametrischen Scheibenelementen ist die Anzahl der Knotenpunkte variabel (vgl. Abschnitt 4.5.2, Isoparametrisxche Elemente). Im einfachsten Fall erhält man ein 8-Knoten-Element. Die Ansatzfunktionen für die Verschiebungen

ª uº « » u=« v» «¬ w »¼

(4.74a)

werden analog zu (4.40a), (4.40b) als Polynome in den lokalen Koordinaten r, s, t formuliert. Hieraus erhält man durch Differenzieren mit dem Operator B

ε = B⋅ u

(4.74b)

die Verzerrungskomponenten

εT = ª¬ ε x

εy

εz

γ xy

γ yz

γ zx º¼

(4.74c)

und mit dem Hooke`schen Gesetz für das dreidimensionale Kontinuum

σ = D⋅ ε

(4.74d)

die Spannungskomponenten

σ T = ª¬ σ x

σy

σz

τ xy

τ yz

τ zx º¼ .

(4.74e)

Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen lässt sich hieraus die Steifigkeitsmatrix herleiten zu K=

³

BT ⋅ D⋅ B⋅ dV

.

(4.74f)

V

Die Integration ist über das Volumen des Elements durchzuführen, wobei das Volumenelement mit

dV = det J ⋅ dr ds dt

(4.74e)

mit Hilfe des Jacobischen Operators wieder auf die lokalen Elementkoordinaten bezogen wird. Für Einzelheiten der Formulierung wird auf [4.7] verwiesen. Finite-Element-Modelle mit Volumenelementen führen in der Regel zu Systemen mit einer sehr großen Anzahl von Freiheitsgraden. Die Generierung dreidimensionaler Netze erfordert bei unregelmäßigen Strukturen besondere Strategien. Die Interpretation der Ergebnisse ist aufwändiger als bei zweidimensionalen Strukturen. Aus diesem Grund werden Modelle mit Volumenelementen im konstruktiven Ingenieurbau nur in Sonderfällen eingesetzt.

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

255

Volumenelemente können grundsätzlich auch zur Modellierung von Schalen verwendet werden. Bei dünnen Schalen ist dies allerdings problematisch, da die Steifigkeitsunterschiede in Schalenebene und senkrecht dazu sehr groß werden und dies zu numerischen Schwierigkeiten führt. Allerdings kann man die Volumenelemente durch Einführen von Zwangsbedingungen für die Verschiebungen wie die Bernoulli-Hypothese und der Einführung von Drehfreiheitsgraden auf ein ebenes Schalenelement transformiert werden. Man spricht dann von degenerierten Schalenelementen (vgl. Abschnitt 4.8.2). t t

s

z x

z

r

y

r

s

x y

20-Knoten-Element

8-Knoten-Element

Bild 4-53 Isoparametrische Volumenelemente

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten 4.10.1 Allgemeines Bei der Berechnung von Tragwerken stellt sich häufig das Problem, Bereiche, die mit unterschiedlichen Elementarten modelliert sind, miteinander zu verbinden. Beispielsweise kann es sinnvoll sein, in einem einzigen Finite-Element-Modell sowohl Balkenelemente wie auch Scheiben- oder Plattenelementen zu verwenden. Die Modellierung des Übergangs zwischen Stab- und Flächenelementen ist aber nicht trivial, da beiden Formulierungen unterschiedliche Darstellungen der Spannungen zugrunde liegen. So werden bei Balkenelementen die Spannungen unter Vorraussetzung der Bernoulli-Hypothese zu Schnittgrößen zusammengefasst, während die Gleichungen der Scheibenelemente weiterhin mit Spannungen formuliert werden. Eine konsistente Modellierung des Übergangs zwischen Scheiben- und Balkenelementen muss die unterschiedlichen Spannungsdarstellungen sowie die unterschiedlichen Freiheitsgrade beider Elementarten berücksichtigen. Die Transformationsbeziehungen zwischen verschiedenen Elementarten lassen sich allgemein formulieren. Bezeichnet man die zu Knotenkräften zusammengefassten Schnittgrößen der Elementart A mit F A und der Elementart B mit F B , so lässt sich immer ein Zusammenhang der Form F B = TT ⋅ F A

(4.75a)

angeben, der die Kraftgrößen an den Elementknoten der Elementart A in dem Bereich, der beide Elementarten verbindet, in diejenigen der Elementart B überführt. Die entsprechenden

256

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Verschiebungsgrößen seien, auf die Elementart A bezogenen, u A , und auf die Elementart B bezogen, u B . Man kann nun zeigen, dass (4.75a) aus der Beziehung

u A = T ⋅ uB .

(4.75b)

zwischen den Verschiebungsgrößen folgt. Hierzu betrachtet man die die virtuellen äußeren Arbeiten infolge einer virtuellen Verschiebung u A am System A und einer entsprechenden virtuellen Verschiebung u B am System B. Für die virtuellen Verschiebungen gilt wie für die tatsächlichen Verschiebungen u A = T ⋅ uB .

Setzt man die virtuellen Arbeiten in beiden Systemen gleich, erhält man T

T

u A⋅ F A = uB ⋅ F B

und mit (4.75b) T

T

uB ⋅ TT ⋅ F A = uB ⋅ F B , T

woraus für beliebige virtuelle Verschiebungen u B die Beziehung (4.75a) folgt. Die Steifigkeitsmatrix K A , die im System A mit K A⋅ uA = F A

gegeben ist, lässt sich damit leicht auf das System B transformieren. Man erhält mit (4.75a) und (4.75b) die Transformationsgleichung der Steifigkeitsmatrix: TT ⋅ K A⋅ T ⋅ uB = F B

(4.76)

oder

K B ⋅ uB = F B

(4.76a)

mit

K B = TT ⋅ K A⋅ T .

(4.76b)

Die Steifigkeitsmatrix K B ist symmetrisch, wenn K A symmetrisch ist. Dies ergibt sich für

(

K TA = K A aus K TB = T T ⋅ K A ⋅ T

)

T

= T T ⋅ K TA ⋅ T = K B

mit den in Tabelle 1-1 angegebenen Beziehungen. Allgemein können die Beziehungen (4.75) bis (4.76b) als Gleichungen zur Koordinatentransformation von Elementmatrizen aufgefasst werden, wobei jeweils geeignete Transformationsmatrizen T gefunden werden müssen. Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten zur Verbindung verschiedener Elementarten. Einmal kann man spezielle Übergangselemente verwenden, die in den Verschiebungsansätzen die

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

257

unterschiedlichen Freiheitsgrade und Spannungsdefinitionen berücksichtigen (Abschnitt 5.4 in [4.7], [4.37], [4.38]). Diese haben aber immer eine endliche Länge und sind daher zur Bemessung, bei der in der Regel die Schnittgrößen am Anschnitt eines Elements benötigt werden, weniger gut geeignet. Da diese Elemente die Verschiebungsbeziehungen, wie z. B. beim Balkenelement die lineare Verschiebung über die Balkenhöhe aufgrund der Bernoulli-Hypothese auch im angeschlossenen Element exakt erfüllen, werden sie auch als Kinematische Starrkörperbedingung „Multipoint Constraint (MPC)“ bezeichnet. Die hiermit u. U. verbundenen Zwängungen können aber auch Störungen der Schnittgrößenverläufe hervorrufen und sind physikalisch nicht gerechtfertigt. Im Folgenden werden daher Transformationsbeziehungen entwickelt, die einen unmittelbaren Übergang zwischen zwei Elementarten ermöglichen. Diese erfüllen die Gleichgewichtsbedingungen zwischen beiden Elementarten exakt, während die Kompatibilität der Verschiebungen im Sinne des Arbeitsprinzips nur „im Mittel“ erfüllt wird. Dadurch werden unerwünschte Zwängungen im Übergangsbereich weitgehend vermieden. Da die Spannungen zwischen beiden Elementarten in konsistenter Weise transformiert werden, werden dieses Konzept auch als „AEquivalente Spannungs-Transformation“ oder EST bezeichnet. In der speziellen Form der Modellierung der Lagerung einer Scheibe oder einer Platte auf einer Stütz haben die Steifigkeitsmatrizen von EST-Elementen, im Unterschied zur hier häufig verwendeten elastischen Bettung, die Form einer gekoppelten Federmatrix. Bei Lagern wird das EST-Modell daher auch als Koppelfedermodell bezeichnet.

4.10.2 EST-Element zur Verbindung von Stäben und Stützen mit Scheiben Die EST-Technik kann zum Anschluss einer Stütze, die als Balkenelement dargestellt wird, an eine mit Finiten Scheibenelementen modellierte Wandscheibe angewandt werden (Bild 4-54). Hierzu werden im Folgenden die Transformationsgleichungen hergeleitet. Die von der Stütze in die Scheibe eingeleiteten Spannungen setzen sich aus Schubspannungen und Normalspannungen zusammen. Beide Anteile werden getrennt betrachtet. Die von der Stütze in die Scheibe eingeleiteten Normalspannungen sind in Bild 4-54a dargestellt. Sie sind aufgrund der Bernoulli-Hypothese linear über die Querschnittshöhe der Stütze verteilt. Die auf die Scheibe einwirkenden Spannungen werden nun elementweise als „Flächenlasten“ aufgebracht. Nach Abschnitt 4.4.4 gilt für ein viereckförmiges Scheibenelement der Wandstärke t mit linearen Verschiebungsansätzen auf den Rändern (Bild 4-55): ª « ¬«

Fy1 º » = t⋅ Fy 2 ¼»

F (yel ) = t ⋅

mit

N L1 =

³

ª N

º

³ «¬ N LL12 »¼⋅ p y ⋅ d x

(4.77)

N L ⋅ py ⋅ d x

(4.77a)

1 x 1 x − , N L2 = + 2 a 2 a

(4.77b)

258

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-54 Finite-Element-Modell einer Stütze an einer Scheibe

Bild 4-55 Finites Scheibenelement

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

259

Die „Flächenlasten“ p y verlaufen zwischen den Knotenwerten p1 und p2 linear mit p y = ¬ª N L1

ª p y1 º » N L 2 ¼º⋅« ¬« p y 2 »¼

(4.78)

p y = N TL ⋅ p (el ) .

(4.78a)

y

Die Knotenkräfte in y-Richtung erhält man damit zu: F (yel ) = t ⋅

³

N L ⋅ N TL ⋅ d x⋅ p(el ) y

(4.78b)

oder nach der Integration von x = − a / 2 bis x = a / 2 F (yel ) = A(yel ) ⋅ p (el )

(4.78c)

y

A(yel ) =

mit

a⋅ t ª 2 1 º ⋅« ». 6 ¬ 1 2¼

(4.78d)

Die „Flächenlasten“ p y entsprechen den Normalspannungen der Stütze. Diese ergeben sich aus der Normalkraft N S t und dem Biegemoment M S t mit der Querschnittsfläche AS t und dem Trägheitsmoment I S t zu: py =

oder

NS t AS t

+

MSt IS t

⋅ yS t

ª 1 « « AS t p y = ª¬ 1 yS t º¼⋅« « 0 ¬«

(4.79) º 0 » » ª« N S t º» . ⋅ 1 » «¬ M S t ¼» » I S t ¼»

(4.79a)

Die „Flächenlasten“ an den insgesamt nst Knotenpunkten, an denen die Stütze mit der Scheibe verbunden ist, ergeben sich damit zu: ª « « « « « « «¬

p y ,1 º ª 1 yS ts ,1 º »ª 1 » « p y ,2 » « 1 yS t ,2 » « » « AS t » « p y ,3 » = « 1 yS t ,3 »⋅« » «. . »« 0 » ¬« » « p y ,nst »¼ «¬ 1 yS t ,nst »¼

º 0 » » ª« N S t º» ⋅ 1 » ¬« M S t ¼» » I S t ¼»

(4.80)

260

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke p

y , FE

= X y ⋅ I y ⋅ F y,S t

(4.80a)

Die auf die Elementknoten eines einzelnen Elements bezogenen Flächenlasten p ( el ) erhält y

man aus den auf die Knotenpunkte des EST-Elements bezogenen Flächenlasten mit Hilfe einer Zuordnungsmatrix Z y . Diese ist mit Nullen und Einsen besetzt. Es gilt: (el )

. p(el ) = Z L ⋅ p y y , FE

(4.80b) (el )

F Entsprechend werden die auf ein einzelnes Element bezogenen Knotenkräfte y den Knotenpunkten des EST-Elements zugeordnet. Mit der Zuordnungsmatrix erhält man die Knotenkräfte eines einzelnen Elements, bezogen auf die Freiheitsgrade des EST-Elements, zu ( el ) ( el ) F y , FE = Z L T ⋅ F (yel ) .

(4.80c)

Die Knotenkräfte des EST-Elements erhält man nun aus der Summe der Anteile aller Elemente zu: F y , FE =

¦ F (yel,FE)

(4.81)

( el )

Setzt man (4.78c), (4.80b) und (4.80c) in (4.81) ein, ergibt sich F y , FE =

¦ F (yel,FE) = ¦ Z (Lel )T ⋅ A(yel ) ⋅ Z (Lel ) ⋅ p y, FE , ( el )

( el )

und mit (4.50a) F y , FE =

¦ (Z (Lel )T ⋅ A(yel ) ⋅ Z (Lel ) ) ⋅

X y ⋅ I y ⋅ F y , St

(el )

oder F y , FE = T Ty ⋅ F y , St T Ty =

¦ (Z (Lel )T ⋅ A(yel ) ⋅ Z (Lel ) ) ⋅

(4.82) X y⋅ I y .

(4.82a)

( el )

Mit der Matrix T Ty werden die Kraftgrößen N S t und M S t der Stütze in die Knotenkräfte des Finite-Element-Modells der Wandscheibe transformiert. Für die Verschiebungsgrößen gilt nach Abschnitt 4.10.1 dieselbe Transformationsmatrix. Es gilt also w y , S t = T y ⋅ w y , FE

mit den Verschiebungen der Knotenpunkten des Finite-Element-Modells

(4.83)

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten ª v1 º « » v2 v y , FE = « » « . » « » ¬ vn ¼

261

(4.83a)

und den Verschiebungsgrößen ª vS t º » w y, S t = « «¬ ϕ S t »¼

(4.83b)

am Stützenkopf. Als nächstes werden die Schubspannungen in der Stütze untersucht. Hierzu wird die Horizontalkraft VS t , die der Querkraft in der Stütze entspricht, auf die Knoten des Finite-ElementModells verteilt. Die Knotenkräfte eines einzelnen Elements in x-Richtung erhält man zu ª Fx1 º « » = t⋅ ¬ Fx 2 ¼ F (xel ) = t ⋅

ª N

º

³ «¬ N LL12 »¼⋅ px ⋅ d x

³

N L ⋅ px ⋅ d x

(4.84)

(4.84a)

Allerdings haben die Schubspannungen beim Biegebalken einen quadratischen Verlauf, so dass die Flächenlasten px stückweise durch Parabeln zweiter Ordnung ausgedrückt werden müssen. Diese lauten: px = ª¬ NV 1

NVm

ª px1 º « » º NV 2 ¼⋅« pxm » «¬ p »¼ x2

p x = N VT ⋅ p (el )

(4.85a)

ª § ·2 º « − x + 2⋅¨ x ¸ » ¨ a¸ » « a © ¹ « » « § x ·2 » N V = « 1− 4⋅¨¨ ¸¸ » « © a¹ » « » « § x ·2 » x « + 2⋅¨ ¸ » ¨ a¸ » « a © ¹ ¼ ¬

(4.85b)

x

mit

(4.85)

262

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Der zusätzlich eingefügte Punkt m auf der Seitenmitte des Elements dient zur Beschreibung des parabelförmigen Spannungsverlaufs. Die Knotenkräfte in x-Richtung lauten nun F (xel ) = t ⋅

³

N L ⋅ N VT ⋅ d x⋅ p (el ) x

(4.86)

oder nach der Integration von x = − a / 2 bis x = a / 2 F (xel ) = A(xel ) ⋅ p (el ) x

mit

A(xel ) =

a⋅ t ª 3 4 − 1º ⋅« ». 12 ¬ − 1 4 3 ¼

(4.86a)

(4.86b)

Die Flächenlasten in x-Richtung haben denselben Verlauf wie die Schubspannungen in der Stütze und werden beschrieben durch px =

oder

y2 · 3 1 §¨ ⋅ ⋅¨ 1− 4⋅ st2 ¸¸⋅ VSt 2 d⋅ t © d ¹

ª 3 º « » 2 º « 2⋅ d ⋅ t » p x = ª¬ 1 ySt ⋅V . ¼⋅« 4 » St − «¬ » d3⋅ t ¼

(4.87)

(4.87a)

Die Knotenwerte der Flächenlasten sind damit

ª « « « « « « « « « « « ¬

p

2 ª1 º ySt ,1 « » 1 « » 2 º px,1 ⋅ ( ySt ,1 + ySt ,2 ) 1 » » « 4 p x,1− 2 » « » 2 » ySt ,2 » «1 p x,2 » ª 3 º » « 1 2 » « » p x,2− 3 » « 1 ⋅ ( ySt ,2 + yst ,3 ) « » ⋅ « 2⋅ d ⋅ t »⋅ VSt 4 = » p x,3 4 » » « 2 » «1 − 3 » y « » « St ,3 . » ¬ d ⋅t¼ « » . p x,( nst − 1)− nst »» « . » 1 « 2» » p x,nst ¼ « 1 4 ⋅ ( ySt ,nst − 1 + ySt ,nst ) » « » «¬ 1 »¼ yst ,nst 2

x, FE

= X x ⋅ I x ⋅ VSt .

(4.88)

(4.88a)

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

263

Die geradzahligen Elemente des Vektors beziehen sich auf die Punkte in den Seitenmitten der Elemente. Mit Hilfe der Zuordnungsmatrix werden die Knotenkräfte und Spannungen auf alle FiniteElement-Knoten des EST-Elements bezogen. Man erhält für die x-Richtung: (el )

p (el ) = Z Q ⋅ p x x, FE

(4.89)

Weiterhin gilt für die Zuordnung der Knotenkräfte der Elemente zu den auf das System bezogenen Knotenkräften ( el ) ( el ) F x, FE = Z L T ⋅ F (xel ) .

(4.90)

Mit (4.86a) und (4.89) ist damit (el ) ( el ) ( el ) F x, FE = Z L T ⋅ A(xel ) ⋅ Z Q ⋅ p x , FE

und mit (4.88a) sind die Knotenkräfte eines einzelnen Elements ( el )

(el )T

F x, FE = Z Q

( el )

⋅ A(xel ) ⋅ Z Q ⋅ X x ⋅ I x ⋅ VSt .

Die Summe der Kräfte aller Elemente ergibt F x , FE = T Tx ⋅ VSt

(4.91)

mit T Tx =

¦ (Z (Lel )T ⋅ A(xel ) ⋅ Z Q(el ) )⋅ X x ⋅ I x .

(4.91a)

( el )

Für die Transformation der Verschiebungsgrößen gilt entsprechend uSt = T x ⋅ wx, FE .

(4.92)

mit ª u1 º « » u2 w x, FE = « » . « . » « » ¬ un ¼

(4.92a)

Im Vektor der Verschiebungsgrößen des Finite-Elemente-Systems sind die Freiheitsgrade in der Regel knotenweise in x- und y-Richtung angeordnet. Dies erfordert eine entsprechende Sortierung in der Transformationsmatrix T, die die Freiheitsgrade der Matrizen T x und T y zusammenfasst. Aus (4.83) und (4.92) erhält man

264

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke wS t = T ⋅ wFE

(4.93)

beziehungsweise aus (4.82) und (4.91)

F FE = T T ⋅ F St

mit

ª « wS t = « « «¬

vS t º » ϕS t » , » uS t »¼

(4.93a)

ª N º « St » F St = « MSt » , « » «¬ VS t »¼

ª u1 º « » « v1 » « u2 » « » w FE = « v2 » , « . » « » « . » «v » ¬ n¼

F FE

ª « « « « =« « « « « «¬

Fx1 º » Fy1 » Fx 2 » » Fy 2 » . » . » . » » Fyn »¼

(4.93b)

Die Beziehung zwischen den Kraftgrößen und Verschiebungsgrößen am Stützenkopf ist definiert durch ª N º ª « S t » « kv « MSt »= « 0 « » « «¬ VS t »¼ «¬ 0

oder

0 kϕϕ k ϕu

ºª º 0 » « vS t » kϕu »⋅« ϕ S t » »« » kuu »¼ «¬ uS t »¼

F S t = K S t ⋅ wS t .

(4.94)

(4.94a)

Die Federwerte ergeben sich aus der Steifigkeit der anschließenden Stütze. Beispielsweise erhält man nach (3.15) für eine unten eingespannte Stütze

kv =

E⋅ I E⋅ I E⋅ A E⋅ I , kϕu = 6⋅ 2 , kuu = 12⋅ 3 , kϕϕ = 4⋅ A A A A

(4.95)

und nach (3.22) für eine am unteren Ende gelenkig gelagerte Stütze kv =

E⋅ I E⋅ I E⋅ A E⋅ I , kϕϕ = 3⋅ , kϕu = 3⋅ 2 , kuu = 3⋅ 3 . A A A A

(4.95a)

Bei einer momentenfreien Lagerung setzt man kv =

E⋅ A , A

kϕϕ = kϕu = kuu = 0 .

(4.95b)

Dieses Modell wird auch als Flüssigkeitskissenmodell bezeichnet. Es ist allerdings zu beachten, dass das Flüssigkeitskissenmodell keine Horizontalsteifigkeit besitzt. Die Transformation der Steifigkeitsmatrix lautet damit F FE = K FE ⋅ w FE

(4.96)

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten mit

265

K FE = T T ⋅ K S t ⋅ T .

(4.96a)

Nach der Lösung der Systemgleichungen werden die Schnittgrößen am Stützenkopf mit Hilfe der dann bekannten Knotenverschiebungen w FE des EST-Elements bestimmt. Mit (4.94a) und (4.93) erhält man F S t = K S t ⋅ T ⋅ w FE

(4.96b)

Im Folgenden werden die Transformationsmatrizen für zwei Fälle exemplarisch hergeleitet. Im ersten Fall entspricht die Stützenbreite einem einzigen Finiten Element, im zweiten Fall zwei gleich großen Finiten Elementen. EST-Verbindung mit einem Scheibenelement

Die Abbildung der Stütze durch ein einziges Finites Element ist in Bild 4-56 (a) dargestellt. Die Transformationsbeziehung für die Normalkraft und das Biegemoment in der Stütze erhält man mit

(1) ª 1 0 º ZL =« » ¬ 0 1¼

a⋅ t ª 2 1 º A(1) y = 6 ⋅«¬ 1 2 »¼

ª 1 − d / 2º X y =« » ¬1 d /2 ¼

ª 1 « t⋅ d Iy =« « 0 ¬«

º 0 » ». 12 » » t⋅ d 3 ¼

(1) T (1) und a = d nach (4.82a) zu T Ty = Z (1) bzw. L ⋅ Ay ⋅ Z L ⋅ X y ⋅ I y

ª 1/ 2 1/ 2 º Ty =« » . ¬ − 1/ d 1/ d ¼

(4.97)

Die Transformationsbeziehungen der Kraft- und Verschiebungsgrößen lauten somit ª F1 º ª 1/ 2 − 1/ d º ª N St º ª vs º ª 1/ 2 1/ 2 º ª w1 º » « »= « »⋅« »⋅« » und « » = « ¬ F2 ¼ ¬ 1/ 2 1/ d ¼ ¬ M St ¼ ¬ ϕ s ¼ ¬ − 1/ d 1/ d ¼ ¬ w2 ¼

(4.97a)

Für die Horizontalkraft und die Verschiebungen in x-Richtung erhält man entsprechend mit

(1) ZQ

ª 1 0 0º « » = « 0 1 0» , «¬ 0 0 1 »¼

(1)

A(1) x =

(1)

a ⋅ t ª 3 4 − 1º ⋅« », 12 ¬ − 1 4 3 ¼

nach (4.91a) T Tx = Z L T ⋅ A(1) x ⋅ Z V ⋅ X x ⋅ I x oder

ª § d ·2 º «1 ¨− ¸ » ª 3 º « © 2¹ » « » « » 2⋅ d ⋅ t » . 0 », Ix =« Xx =«1 4 » « « » − 2 «¬ » « 1 §¨ d ·¸ » d3⋅ t ¼ «¬ © 2 ¹ »¼

266

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke ª1 Tx =« ¬2

1º » 2¼

(4.98)

Die Transformationsbeziehungen lauten damit ª1 uS t = « ¬2

1 º ª u1 º »⋅« » 2 ¼ ¬ u2 ¼

und

ª « ¬

ª Fx1 º « »= « Fx 2 ¼ « ¬«

1º » 2» ⋅H . 1 » St 2 ¼»

(4.98a)

Die beiden Transformationsmatrizen (4.97) und (4.98) werden zusammengefasst zu ª 0 0.5 « T = « 0 − 1/ d «¬ 0.5 0

0 0.5 º » 0 1/ d » 0.5 0 »¼

(4.99)

und man erhält ªv º ª 0.5 « St » « 0 « ϕ S t » = « 0 − 1/ d « » « 0 ¬« uS t ¼» ¬ 0.5

ª Fx1 º ª 0 ª u1 º 0 « » « 0.5 º « » » v1 « Fy1 » « 0.5 − 1/ d = 0 1/ d »⋅« » und « « u2 » Fx 2 » « 0 0 » « » « 0.5 0 ¼ « » ¬ v2 ¼ ¬« Fy 2 »¼ ¬ 0.5 1/ d 0

0.5 º ª º » NS t » 0 »« ⋅« M » 0.5 » « S t » » V 0 ¼ ¬« S t ¼»

(4.99a)

EST-Verbindung mit zwei Scheibenelementen

Bei zwei Scheibenelementen über der Stütze nach Bild 4-56 (b) erhält man mit

(1) ZL

ª 1 0 0º =« » ¬ 0 1 0¼

ª 1 « t⋅ d Iy =« « «¬ 0

(2) ZL

ª 0 1 0º =« » ¬ 0 0 1¼

A(1) y

=

A(2) y

ª 1 − d 2º a⋅ t ª 2 1 º « » = ⋅« 0 » » X y =«1 6 ¬ 1 2¼ «¬ 1 d 2 »¼

º 0 » » 12 » » t⋅ d 3 ¼

und a = d / 2 die Transformationsmatrix der Normalkraft und des Biegemoments zu (1)T

T Ty = ( Z L

(1)

(2)T

⋅ A(1) y ⋅ ZL + ZL

ª 1 4 1 2 1 4º Ty =« ». ¬−1 d 0 1 d¼

(2)

⋅ A(2) y ⋅ Z L )⋅ X y ⋅ I y .

(4.100)

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

(a) FE-Modell 1: a = d

267

(b) FE-Modell 2: a=d/2

Bild 4-56 EST-Element für zwei regelmäßige Finite-Element-Diskretisierungen einer Scheibe

Entsprechend gilt für die Horizontalkraft mit

(1) ZV

ª 1 0 0 0 0º « » = « 0 1 0 0 0» , «¬ 0 0 1 0 0 »¼

(2) A(1) x = Ax =

(2) ZV

a⋅ t ª 3 4 − 1º ⋅« », 12 ¬ − 1 4 3 ¼

ª 0 0 1 0 0º « » = « 0 0 0 1 0» «¬ 0 0 0 0 1 »¼

ª «1 « « « «1 « Xx =«1 « « «1 « « «1 ¬

§ d ·2 º ¨− ¸ » © 2¹ » » § d ·2 » ¨− ¸ » © 4¹ » 0 » » § d ·2 » ¨ ¸ » © 4¹ » § d ·2 » ¨ ¸ » © 2¹ ¼

ª 3 º « » 2⋅ d ⋅ t » Ix =« . 4 » « − «¬ » d3⋅ t ¼

die Transformationsmatrix (1)

(1)

(2)T

T Tx = ( Z L T ⋅ A(1) x ⋅ ZV + Z L

bzw.

(2)

⋅ A(2) x ⋅ Z V )⋅ X x ⋅ I x

T x = ¬ª 1 8 3 4 1 8 ¼º .

Fasst man beide Beziehungen zusammen, ist

(4.101)

268

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke ª 0 14 « T =« 0 −1 d «¬ 1 8 0

0

12

0

0

34

0

1 4º » 0 1 d» 1 8 0 »¼ 0

(4.102)

beziehungsweise gilt ª u1 º « » v1 ª v º ª 1 4 0 1 2 0 1 4º « » « St » « 0 « » u2 » « ϕS t » = « 0 − 1 d 0 0 0 1 d »⋅« » , « » « « v2 » 0 3 4 0 1 8 0 ¼» « » «¬ uS t »¼ ¬ 1 8 u « 3» ¬« v3 ¼»

ª « « « « « « « « ¬

Fx1 º ª 0 0 » Fy1 » « 1 4 − 1 d « Fx 2 » « 0 0 »= « Fy 2 » « 1 2 0 » « 0 0 Fx3 » « Fy 3 »¼ ¬ 1 4 1 d

1 8º » 0 »ª NS t º » 3 4» « »⋅« M S t » . 0 »« » 1 8 » «¬ VS t »¼ » 0 ¼

(4.102a)

Danach werden die Verschiebungsgrößen des Stabendpunktes der Stütze als gewichtete Mittel aus den Knotenverschiebungen des Finite-Element-Modells der Scheibe gebildet. Die Knotenkräfte des Finite-Element-Modells stehen im Gleichgewicht mit den Stabendkräften der Stütze. Die Anwendung des EST-Modells zur Modellierung einer Stütze an einer Scheibe wird in Beispiel 4.17 exemplarisch gezeigt. 4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

Lokale Effekte an der Anschlussstelle Das EST-Modell vernachlässigt die lokale Erhöhung der Steifigkeit der Scheibe durch die Steifigkeit des Balkens. Diesen Effekt kann man näherungsweise mit zusätzlichen Balkenelementen berücksichtigen. Beispielsweise kann man zwischen die Knoten 1-2-3-4 in Bild 4-54 einen Balken mit der Höhe d/2 und der Scheibendicke einfügen. Das EST-Modell mit örtlich erhöhter Steifigkeit wird als ESTS-Modell bezeichnet. Balkenartige Bauteile bei Scheiben Das EST-Modell lässt sich auch zur Formulierung des Elementübergangs zwischen Scheibenund Balkenelementen verwenden (Bild 4-57). Das Balkenelement besitzt die Knoten a und b. Die Steifigkeitsmatrix des Balkens wird in Untermatrizen, die sich auf die Knoten a und b beziehen, unterteilt: ª K aa « ¬ K ba

K ab º ª u a º ª F a º »⋅« » = « » K bb ¼ ¬ u b ¼ ¬ F b ¼

(4.103)

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

269

Knoten a sei an Scheibenelemente angeschlossen. Beim Anschluss an zwei Finite Elemente (entsprechend der Balkenbreite) erhält man mit der EST folgende Beziehungen: ª F º « x, B » F S = F a = « Fy , B » « » ¬« M z , B ¼»

ª uB º « » u S = u a = « vB » «¬ ϕ »¼ B

(4.104a)

Wenn zwei Finite Elemente mit linearer Ansatzfunktion der Verschiebungen an den Balken angeschlossen werden, erhält man die Transformationsbeziehung zu: ª u1 º « » « v1 » « u2 » u a, FE = « » « v2 » «u » « 3» «¬ v3 »¼

ª14 0 12 0 14 0º « » 0 1 8» Ta =« 0 1 8 0 3 4 «¬ 1 d 0 0 0 − 1 d 0 »¼

(4.104b)

und u a = u S = T a ⋅ u a , FE

(4.105a)

F a , FE = T Ta ⋅ F a .

(4.105b)

sowie

Die Transformationsgleichungen für den Knotens a erhält man durch Einsetzen von (4.105a), (4.105b) in (4.103). Die am Knoten a auf die Freiheitsgrade des FE-Modells bezogene Steifigkeitsmatrix des Balkens erhält man damit zu ª TT ⋅ K ⋅ T aa a « a «¬ K ba ⋅ T a

T Ta ⋅ K ab º ª u a, FE º ª F a, FE º »= « »⋅« » K bb »¼ «¬ u b »¼ «¬ F b »¼

(4.106)

Knoten b kann, falls erforderlich, ebenfalls transformiert werden.

v2 2

1

vB u2

ϕB

uB

v1 u1

y

3

v3

2

v2

1

v1

vB u3

ϕB

u2 u1

y x

(a) Verbindung mit einem Finiten Element

x

(b) Verbindung mit zwei Finiten Elementen

Bild 4-57 EST-Modell zur Verbindung eines Balkenelements mit Scheibenelementen

uB

270

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

4.10.3 EST-Element zur Verbindung von Stützen mit Plattentragwerken Bei der Berechnung von Flachdecken ist die Verbindung der Stützen mit der Deckenplatte im Finite-Element-Modell abzubilden. Die Deckenplatte wird durch Plattenelemente modelliert, für das Tragverhalten der Stützen gilt die Balkentheorie. Im Folgenden wird ein Element auf der Grundlage des EST-Konzepts für diesen Fall angegeben, [4.41], [4.42]. Die Steifigkeit der Stütze wird im Finite-Element-Modell der Platte durch ein EST-Element dargestellt (Bild 4-58). Um dessen Steifigkeitsmatrix herzuleiten, geht man von den äquivalenten Knotenkräften aus (vgl. Abschnitt 4.6.5, Bild 4-39). Sie lauten bei einem Finiten Plattenelement mit vier Knoten nach (4.65): ª « « « « ¬

Fz1 º » Fz 2 » = Fz 3 » » Fz 4 ¼

³

ª « « « « ¬

N1 º » N2 » ⋅ p ⋅ dA N3 » z » N4 ¼

(4.107)

oder F (el ) =

³

N ⋅ p z ⋅ dA

(4.107a)

Die Kräfte Fz1 bis Fz 4 stellen die Knotenkräfte an den vier Eckpunkten des Viereckelements dar und p z ist die über die Elementfläche veränderliche Flächenlast. Die Integration erfolgt über die Fläche des betrachteten Elements.

Bild 4-58 EST-Element für die Stütze einer Decke

Die Interpolationsfunktionen schreibt man beim allgemeinen Viereckelement in Abhängigkeit der dimensionslosen Variablen r und s (Bild 4-29) und erhält mit (4.40a, b)

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten ª (1+ « 1 (1− N (r , s ) = ⋅« 4 « (1− « ¬ (1+

271

r )⋅ (1+ s ) º » r )⋅ (1+ s ) » r )⋅ (1− s ) » » r )⋅ (1− s ) ¼

(4.108) .

Zur Integration über die Elementfläche setzt man dA = dx⋅ dy bzw. mit den dimensionslosen Koordinaten r und s

dA = Det ( J )⋅ dr ⋅ ds .

(4.109)

Hierin ist die Funktionaldeterminante Det(J ) die Determinante der Jacobi-Matrix ª « J =« « ¬«

∂x ∂r ∂x ∂s

∂y º » ∂r » ∂y » mit ∂s ¼»

ª « x(r , s ) = N (r , s )T ⋅« « « ¬

x1 º » x2 » x3 » » x4 ¼

ª « T « y r s = N r s ⋅ ( , ) ( , ) und « « ¬

y1 º » y2 » y3 » . » y4 ¼

(4.110)

Die Werte x1 , x2 , x3 , x4 und y1 , y2 , y3 , y4 bezeichnen die Koordinaten der Eckpunkte des betrachteten Finiten Elements. Die Flächenlast pz wird durch ihre Knotenwerte beschrieben und zwischen den Knoten ebenfalls mit den bilinearen Funktionen N (r , s) interpoliert, so dass gilt: ª « p z (r , s ) = N (r , s )T ⋅« « « ¬

oder

p1 º » p2 » p3 » » p4 ¼

(4.111)

pz (r , s) = N (r , s )T ⋅ p(el )

(4.111a)

Die Knotenkräfte erhält man mit (4.103a), (4.109) und (4.111a) zu: F ( el ) = A( el ) ⋅ p ( el )

mit

A(el ) =

³³

N ⋅ N T ⋅ Det ( J ) dr ds

(4.112)

Beim allgemeinen Viereckelement lassen sich die Integrale analytisch lösen. Die Koeffizienten der symmetrischen Matrix ª a1,1 « a ( el ) « 2,1 A =« a « 3,1 a ¬ 4,1

a1,2 a2,2 a3,2 a4,2

a1,3 a2,3 a3,3 a3,4

a1,4 º » a2,4 » a3,4 » » a4,4 ¼

(4.113)

272

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

erhält man zu:

(4.113a-j)

a1,1 =

1 ª 6⋅ x1 ⋅ ( y2 − y4 ) + 2⋅ x2 ⋅ (− 3⋅ y1 + y3 + 2⋅ y4 ) + 2⋅ x3 ⋅ (− y2 + y4 ) + 2⋅ x4 º ⋅« » 72 ¬ ⋅ (3⋅ y1 − 2⋅ y2 − y3 ) ¼

a1,2 =

1 ª x1 ⋅ (3⋅ y2 − y3 − 2⋅ y4 ) + x2 ⋅ (− 3⋅ y1 + 2⋅ y3 + y4 ) + x3 ⋅ ( y1 − 2⋅ y2 + y4 ) º ⋅« » 72 ¬ + x4 ⋅ (2⋅ y1 − y2 − y3 ) ¼

1 ⋅ª¬ x ⋅ ( y − y4 ) + x2 ⋅ (− y1 + y3 ) + x3 ⋅ (− y2 + y4 ) + x4 ⋅ ( y1 − y3 ) º¼ 72 1 2 1 ª x1 ⋅ (2⋅ y2 + y3 − 3⋅ y4 ) + x2 ⋅ (− 2⋅ y1 + y3 + y4 ) + x3 ⋅ (− y1 − y2 + 2⋅ y4 ) + x4 º a1,4 = ⋅« » 72 ¬ ⋅ (3⋅ y1 − y2 − 2⋅ y3 ) ¼ a1,3 =

a2,2 =

1 ª x1 ⋅ (6⋅ y2 − 4⋅ y3 − 2⋅ y4 ) + 6⋅ x2 ⋅ (− y1 + y3 ) + x3 ⋅ (4⋅ y1 − 6⋅ y2 + 2⋅ y4 ) º ⋅« » 72 ¬ + 2⋅ x4 ⋅ ( y1 − y3 ) ¼

a2,3 =

1 ª x1 ⋅ (2⋅ y2 − y3 − y4 ) + x2 ⋅ (− 2⋅ y1 + 3⋅ y3 − y4 ) + x3 ⋅ ( y1 − 3⋅ y2 + 2⋅ y4 ) º ⋅« » 72 ¬ + x4 ⋅ ( y1 + y2 − 2⋅ y3 ) ¼

a2,4 =

1 ⋅ª¬ x ⋅ ( y − y4 ) + x2 ⋅ (− y1 + y3 ) + x3 ⋅ (− y2 + y4 ) + x4 ⋅ ( y1 − y3 ) º¼ = a1,3 72 1 2

a3,3 =

1 ª 2⋅ x1 ⋅ ( y2 − y4 ) + x2 ⋅ (− 2⋅ y1 + 6⋅ y3 − 4⋅ y4 ) + 6⋅ x3 ⋅ (− y2 + y4 ) º ⋅« » 72 ¬ + x4 ⋅ (2⋅ y1 + 4⋅ y2 − 6⋅ y3 ) ¼

a3,4 =

1 ª x1 ⋅ ( y2 + y3 − 2⋅ y4 ) + x2 ⋅ (− y1 + 2⋅ y3 − y4 ) + x3 ⋅ (− y1 − 2⋅ y2 + 3⋅ y4 ) º ⋅« » 72 ¬ + x4 ⋅ (2⋅ y1 + y2 − 3⋅ y3 ) ¼

a4,4 =

1 ª x1 ⋅ (2⋅ y2 + 4⋅ y3 − 6⋅ y4 ) + 2⋅ x2 ⋅ (− y1 + y3 ) + x3 ⋅ (− 4⋅ y1 − 2⋅ y2 + 6⋅ y4 ) º ⋅« » 72 ¬ + 6⋅ x4 ⋅ ( y1 − y3 ) ¼

Alle übrigen Terme ergeben sich aus der Symmetrie von A(el ) . Für ein Rechteckelement mit den Seitenlängen a und b (Bild 4-37) erhält man A(el ) hieraus zu: ª4 « a⋅ b« 2 ( el ) A = 36 « 1 « ¬2

2 4 2 1

1 2 4 2

2º » 1» 2» » 4¼

(4.114)

Die Elementkräfte F (el ) werden nun den Knotenpunkten des Finite-Element-Modells der Platte im Stützenbereich zugeordnet. Man erhält die auf die Knotenpunkte bezogenen Kräfte (el )

F Pl mit Hilfe einer Zuordnungsmatrix zu: (el )

F Pl = Z (el )T ⋅ F (el )

(4.115)

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten Entsprechend gilt zwischen den Flächenlasten p

273

Pl

an den Knotenpunkten des Finite-Element-

Modells und den Flächenlasten p(el ) an den Elementknoten der Zusammenhang: p (el ) = Z (el ) ⋅ p

(4.116)

Pl

Die Knotenkräfte und Flächenlasten nach (4.82) können damit auf die Knoten des FiniteElement-Modells bezogen werden. Für ein einzelnes Element erhält man: ( el ) F Pl = Z (el )T ⋅ A(el ) ⋅ Z (el ) ⋅ p

(4.117)

pl

Die Knotenkräfte des ESTelements ergeben sich aus der Summe aller Elementkräfte zu: F pl = A⋅ p

mit

A=

(4.118)

Pl

¦ Z (el )T ⋅ A(el ) ⋅ Z (el )

(4.118a)

( el )

Als nächstes werden die Flächenlasten, die auf die Plattenelemente wirken, betrachtet. Sie entsprechen den Längsspannungen in der Stütze und ergeben sich aus der linearen Spannungsverteilung nach Bernoulli. Auf die Hauptachsen ξ , η der Stütze bezogen, lauten sie: p (ξ , η) =

Mη Fz M ξ + ⋅ η− ⋅ξ Az Iξ Iη

(4.119)

oder ª 1/ A 0 z « p (ξ , η) = ¬ª 1 η ξ ¼º⋅« 0 1/ I ξ « 0 0 ¬

0 º ª Fz º »« » 0 »⋅« M ξ » − 1/ I η »¼ «¬ M η »¼

p ( ξ , η) = X ξ ,η ⋅ I ⋅ F St

(4.120)

(4.120a)

Mx

x

α ξ

η y

M

ξ

Mη My

Bild 4-59 Koordinatentransformation von den Hauptachsen der Stütze zu den globalen Koordinaten des Finite-Element-Systems

274

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Mit der Koordinatentransformation (vgl. Bild 4-59)

¬ª 1 η ξ ¼º = ¬ª 1 y

ª1 0 0 º « » x ¼º⋅« 0 cos α sin α » «¬ 0 − sin α cos α »¼

(4.121)

X ξ ,η = X x, y ⋅ T α

(4.121a)

erhält man p ( x, y ) = X x, y ⋅ T α ⋅ I ⋅ F St

(4.122)

Setzt man nun die Koordinaten der Knotenpunkte der Einflussfläche ein, kann man die Gleichungen der Flächenlasten zusammenfassen zu: ª « « « « « « « ¬« p

p1 º ª 1 y1 » « p2 » « 1 y2 p3 » « 1 y3 »= « ⋅ » «⋅ ⋅ ⋅ » «⋅ ⋅ » « pn ¼» ¬« 1 yn Pl

x1 º » x2 » ª1 0 0 º ª 1/ Az 0 x3 » « »« »⋅« 0 cos α sin α »⋅« 0 1/ I ξ ⋅ » « 0 ¬« 0 − sin α cos α ¼» ¬ 0 ⋅ » » xn ¼»

= X ⋅ T α ⋅ I ⋅ F St

Mit FPl = A⋅ p

Pl

ºª F º »« z » 0 »⋅« M ξ » − 1/ I η »¼ «¬ M η »¼ 0

(4.123)

(4.123a)

nach (4.112) erhält man die zu den Stützenendgrößen F St äquivalenten

Knotenkräfte zu: F Pl = T T ⋅ F St

(4.124)

T T = A⋅ X ⋅ T α ⋅ I

(4.125)

mit

Außer der Transformation der Kraftgrößen müssen auch die Verschiebungsgrößen von den Stützenkoordinaten auf die Systemkoordinaten transformiert werden. Nach Abschnitt 4.9.1 gilt: w St = T ⋅ w Pl ,

(4.126)

wobei der Vektor ª « « « wPl = « « « « ¬«

w1 º » w2 » w3 » » ⋅ » ⋅ » » wn ¼»

(4.126a)

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

275

die Verschiebungen der Knotenpunkte des EST-Elements in der Platte und ªw º « z» wS t = « φ ξ » «φ » ¬ η¼

(4.126b)

die Verschiebungsgrößen der Stütze bedeuten. Die nach (4.126) berechneten Verschiebungsgrößen w St stellen ein gewichtetes Mittel der Knotenverschiebung wPl dar. Die Steifigkeit der Stütze wird durch die Beziehung ª F º ªk « z » « z « Mξ »= « 0 «M » « 0 ¬ η¼ ¬

0

kξξ 0

0 º ª wz º »« » 0 »⋅« φ ξ » kηη »¼ «¬ φ η »¼

(4.127)

F S t = K S t ⋅ wS t

(4.127a)

beschrieben. Hierin bedeuten kz die vertikale Verschiebungsfeder, k ξξ die Drehfeder um die ξ -Achse und kηη die Drehfeder um die η -Achse der Stütze. Sie sind auf die Hauptachsen

ξ und η des Stützenquerschnitts bezogen und lauten bei einer unten eingespannten Stütze kz =

E⋅ A , h

kηη = 4⋅

E⋅ Iη , h

kξξ = 4⋅

E⋅ Iξ h

(4.127b)

und bei einer unten gelenkig gelagerten Stütze

kz =

E⋅ A , h

kηη = 3⋅

E⋅ Iη h

,

kξξ = 3⋅

E⋅ Iξ h

,

(4.127c)

wobei E der Elastizitätsmodul I ξ und I η die Flächenmomente zweiter Ordnung um die ξ − beziehungsweise η − Achse und h die Stützenlänge bedeuten (vgl. (3.15) und (3.22)). Die Drehfedersteifigkeiten einer im Stockwerk über der Decke angeordneten Stütze können gegebenenfalls addiert werden. Die Steifigkeitsbeziehung (4.127a) der Stütze lässt sich nun mit den Beziehungen (4.124) für die Kraftgrößen und (4.126) für die Verschiebungsgrößen leicht auf die Knotenpunkte der Platte transformieren. Man erhält

F Pl = K Pl ⋅ w Pl ,

(4.128)

K Pl = T T ⋅ K St ⋅ T

(4.129)

wobei

die Steifigkeitsmatrix des EST-Elements darstellt.

276

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Nach der Lösung des Gleichungssystems des Gesamtsystems werden die Elementschnittgrößen berechnet. Für das EST-Element erhält man die Federkräfte und -momente in der Stütze zu:

F St = K St ⋅ w St = K St ⋅ T ⋅ w Pl

(4.130)

Die so berechnende Stützenkraft und die Momente am Stützenkopf können der Bemessung der Stütze zugrunde gelegt werden. EST-Verbindung einer Rechteckstütze mit einer Platte

Die Platte wird im Einflussbereich der Stütze in vier Elemente eingeteilt, um den Momentenverlauf über der Stütze ausreichend genau zu erfassen. Bei einer Rechteckstütze erhält man damit die in Bild 4-60 dargestellte Diskretisierung. Alle Koordinaten x und y der Platte sind auf den Schwerpunkt der Einflussfläche bezogen und parallel zu den Hauptachsen ξ und η des Stützenquerschnitts. Mit der Knotennummerierung nach Bild 4-60 und α = 0 erhält man aus (4.123):

ª « 1 « dx ⋅ d y « « I =« 0 « « « 0 «¬

0 12 d x ⋅ d y3 0

º » » » » 0 » » − 12 »» d x3 ⋅ d y »¼ 0

ª 1 0 0º « » T α = « 0 1 0» «¬ 0 0 1 »¼

dy/2

dy

dy/2

ª 1 d y / 2 − d x / 2º « » 0 » « 1 dy / 2 « » dx / 2 » « 1 dy / 2 «1 0 − d x / 2» « » 0 0 » X =«1 « » 0 dx / 2 » «1 « 1 − d y / 2 − d x / 2» « » 0 » « 1 − dy / 2 « » ¬ 1 − d y / 2 dx / 2 ¼

Bild 4-60 Finite-Element-Diskretisierung über einer Rechteckstütze

Die Zuordnung der lokalen Freiheitsgrade der 4 Elemente zu den 9 globalen Freiheitsgraden wird elementweise durch die Zuordnungsmatrizen:

4.10 Verbindung unterschiedlicher Elementarten

277

ª1 « 0 Z (1) = « «0 « ¬0

0 0 0 0 0 0 0 0º » 1 0 0 0 0 0 0 0» 0 0 0 1 0 0 0 0» » 0 0 1 0 0 0 0 0¼

ª0 « 0 Z (2) = « «0 « ¬0

1 0 0 0 0 0 0 0º » 0 1 0 0 0 0 0 0» 0 0 0 0 1 0 0 0» » 0 0 0 1 0 0 0 0¼

ª0 « 0 Z (3) = « «0 « ¬0

0 0 1 0 0 0 0 0º » 0 0 0 1 0 0 0 0» 0 0 0 0 0 0 1 0» » 0 0 0 0 0 1 0 0¼

ª0 « 0 Z (4) = « «0 « ¬0

0 0 0 1 0 0 0 0º » 0 0 0 0 1 0 0 0» 0 0 0 0 0 0 0 1» » 0 0 0 0 0 0 1 0¼

beschrieben. Mit ª4 d x ⋅ d y «« 2 (1) (2) (3) (4) A = A = A = A = 144 « 1 « ¬2

2 1 2º » 4 2 1» 2 4 2» » 1 2 4¼

nach (4.114) erhält man A nach (4.118a) zu: A = Z (1)T ⋅ A(1) ⋅ Z (1) + Z (2)T ⋅ A(2) ⋅ Z (2) + Z (3)T ⋅ A(3) ⋅ Z (3) + Z (4)T ⋅ A(4) ⋅ Z (4)

Die Transformationsmatrix T ermittelt man nach (4.125) zu T = ( A⋅ X ⋅ T α ⋅ I )T

und erhält ª « 1 « 16 « 1 T =« « 4⋅ d y « « 1 «¬ 4⋅ d x

1 8 1 2⋅ d y

1 16 1 4⋅ d y

1 8

1 4

1 8

0

0

0

0

−1 4⋅ d x

1 2⋅ d x

0

−1 2⋅ d x

1 16 −1 4⋅ d y

1 8 −1 2⋅ d y

1 4⋅ d x

0

º » » » ». » » −1 » 4⋅ d x »¼

1 16 −1 4⋅ d y

(4.131)

Die Transformationsmatrix T verdeutlicht die Mittelbildung für die Verschiebungsgrößen nach (4.126). Die erste Zeile der Matrix enthält die Gewichtungsfaktoren, mit denen die Knotenverschiebungen der Platte zur Verschiebung w z des Stützenkopfes zusammengefasst werden. Den höchsten Gewichtungsfaktor von ¼ erhält Knoten 5 im Schwerpunkt der Einflussfläche. Die Knoten auf den Seitenmitten haben den Gewichtungsfaktor 1/8, während die Eckknoten mit 1/16 gewichtet werden.

278

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Die Summe aller Gewichtungsfaktoren ist 1. Die Winkel φ ξ =ˆ φ x und φ η =ˆ φ y werden aus den Verschiebungsdifferenzen der Randverschiebungen gebildet, wobei aber auch hier die Knoten auf den Seitenmitten stärker gewichtet werden als die Eckknoten. Analog werden die Kraftgrößen der Stütze auf die Knotenkräfte der Platte nach (4.124) durch T T verteilt. So erhalten der Mittelknoten ¼, die Knoten auf den Seitenmitten 1/8 und die Eckknoten 1/16 der Normalkraft Fz der Stütze zugewiesen. Die Gleichgewichtsbedingungen zwischen den Stabendschnittgrößen der Stütze und den Knotenkräften des Finite-Element-Modells sind also exakt erfüllt. Die Verschiebungen und Verdrehungen des Stützenkopfes werden hingegen als gewichtetes Mittel aus den Knotenverschiebungen des Finite-Element-Modells der Platte ermittelt. Die Steifigkeitsmatrix K S t der Stütze in (4.127) wird mit den Federkonstanten k z , kξξ =ˆ kφ x sowie kηη =ˆ kφ y nach (4.127b) beziehungsweise (4.127c) bestimmt. Die Steifigkeitsmatrix des EST-Elements erhält man dann nach (4.129) zu K Pl = T T ⋅ K S t ⋅ T . Die Anwendung des EST-Modells für die Stütze einer Flachdecke wird in Beispiel 4.22 erläutert. Das Modell lässt sich auf die Verbindung von Stabelementen mit Platten erweitern. Hierbei sind die Querkraft- und die Torsionsanteile mit zu behandeln.

4.10.4 Weitere Elementübergänge Das Konzept zur Entwicklung der EST-Elemente kann auch auf den Übergang von Balkenelementen zu ebenen Finiten Elementen angewandt werden. Es lassen sich damit Transformationsbeziehungen zwischen Stabelementen und beliebigen Scheiben-, Platten- und Schalenmodellen entwickeln. Besondere Spannungsdarstellungen finden sich auch bei speziellen Finiten Elementen für rotationssymmetrische Systeme mit nicht-rotationssymmetrischer Belastung, wie zum Beispiel den in Abschnitt 4.8.3 erwähnten Schalenelementen. Diese Elemente lassen sich mit nichtrotationssymmetrischen Elementen in einem gemeinsamen Finite-Element-Modell verwenden, wenn geeignete Transformationsbeziehungen zugrunde gelegt werden. So wird beispielsweise in [4.43], [4.44] die Transformationsbeziehung für rotationssymmetrische semifinite Volumenelemente eines geschichteten Bodens entwickelt (Bild 4-61). Danach erhält man die auf die Freiheitsgrade des nicht-rotationssymmetrischen Systems transformierte Steifigkeitsmatrix zu K=

1

π

⋅

¦ (1− δn0 / 2)⋅ ( S Tn ⋅ K n ⋅ S n + ATn ⋅ K n ⋅ An )

(4.132)

wobei K n die Steifigkeitsmatrix des n-ten Fourierterms und S n und An die Transformationsmatrizen für die symmetrischen und antimetrischen Fourierterme bedeuten.

4.11 Modellbildung von Bauteilen

279

Bild 4-61 Übergang zwischen einem isoparametrischen Volumenelement mit 20 Knoten und einem semifiniten Element zur Darstellung eines „unendlichen“ geschichteten Bodens (1/4 des gesamten Modells) nach [4.43]

4.11 Modellbildung von Bauteilen 4.11.1 Tragwerksmodelle Die Idealisierung eines Tragwerks bei einer statischen Berechnung erfolgt in zwei Schritten. Im ersten Schritt wird das wirkliche Tragwerk in ein mit den Methoden der Statik berechenbares Tragwerksmodell überführt. Bei Stabwerken bezeichnet man das Tragwerksmodell auch als statisches System. Im zweiten Schritt wird für dieses Tragwerksmodell ein Berechnungsmodell festgelegt und mit einem geeigneten Berechnungsverfahren statisch untersucht. Dieser Vorgang sei am Beispiel einer Flachdecke erläutert (Bild 4-62). Die Idealisierung der Bauteile „Stütze“ und „Decke“ als ein der Berechnung zugängliches Tragwerksmodell ist nicht eindeutig. So sind etwa – unter Beschränkung auf lineare Modelle – folgende Tragwerksmodelle denkbar: • Modellierung von Decke und Stütze als dreidimensionales Kontinuum, • schubstarre oder schubweiche Platte mit elastischer, flächenhafter Stützung, • schubstarre oder schubweiche Platte mit elastischer oder starrer Punktstützung.

Für die Berechnung dieser Tragwerke kommen unterschiedliche Verfahren, die bestimmte Berechnungsmodelle erfordern in Frage, wie beispielsweise

280

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke • • • •

die Finite-Element-Methode, die Finite-Differenzen-Methode, die Randelementmethode und analytische Verfahren, die auf Reihenentwicklungen beruhen.

Eine Übereinstimmung der Ergebnisse unterschiedlicher Berechnungsverfahren kann natürlich nur dann erwartet werden, wenn die zugrunde liegenden Tragwerksmodelle übereinstimmen. Bei den klassischen Verfahren der Baustatik ist die Bildung des Tragwerksmodells meistens offenkundig und wird durch dessen „Berechenbarkeit“ eingeschränkt. Die statische Berechnung von Flächentragwerken erfolgt „von Hand“ mit Hilfe von Tafelwerken, denen bestimmte Tragwerksmodelle zugrunde liegen, die in der Praxis meistens weiter nicht hinterfragt werden. Bei der Modellbildung und der Ergebnisinterpretation auftretende Probleme, wie z. B. die Behandlung von Singularitäten der Schnittgrößen oder der Randstreifeneffekt, sind bereits vom Aufsteller eines Tafelwerks in einer speziellen Weise gelöst worden. Computerorientierte Berechnungsverfahren zeichnen sich hingegen dadurch aus, dass mit ihnen sehr unterschiedliche und komplizierte Tragwerksmodelle der Berechnung zugänglich sind. Damit geht aber auch die Verantwortung für die Bildung des Tragwerksmodells und der Ergebnisinterpretation auf den Anwender des Berechnungsprogramms über. Darüber hinaus ist das Berechnungsmodell, d. h. bei der Finite-Element-Methode das FiniteElement-Modell, so zu wählen, dass die erforderliche Rechengenauigkeit eingehalten wird. Ein spezielles Problem bei der Bildung von Tragwerksmodellen, die in den Ergebnissen u.U. auftretenden Singularitäten, werden im nächsten Abschnitt behandelt. Daran schließt sich ein Abschnitt über allgemeine Regeln für die Bildung von Finite-Element-Modellen an. Die nachfolgenden Abschnitte befassen sich mit speziellen Problemen, die bei der Bildung von Tragwerksmodellen bei Scheiben und Platten und deren Ergebnisinterpretation auftreten. Hinweise auf die Modellbildung im Massivbau finden sich in [4.46], allgemeine Hinweise in [4.47, 4.48] und [4.119].

4.11.2 Singularitäten von Zustandsgrößen Bei der Bildung des Tragwerksmodells und der Interpretation der Ergebnisse der Berechnung ist Stellen, an denen Singularitäten von Schnittgrößen oder Verschiebungen auftreten, besondere Beachtung zu schenken. An einer Singularität nimmt eine Schnittgröße oder eine Verschiebung einen unbeschränkten Wert an, d. h., im Grenzübergang erhält man ∞. Ein solches Ergebnis ist physikalisch sinnlos und bedarf einer ingenieurmäßigen Interpretation. Singularitäten treten an Stellen mit einer physikalisch unzureichenden Tragwerksmodellierung oder Lastdarstellung auf. Sie sind also ein Problem der Modellierung von Tragwerk und Lasten und nicht ein Problem des Berechnungsverfahrens. Ein einfaches Beispiel ist der Fall einer Einzellast auf einer Scheibe (Bild 4-63-a). Stellt man die Last F, die beispielsweise durch eine Stütze in die Scheibe eingeleitet wird, realitätsnah als Linienlast p = F/a dar, so erhält man die Spannung in Lastmitte zu σy = F/a. Beim Übergang zur Einzellast erhält man für a → 0 die Spannung unter der Last zu σy → ∞. Eine genauere Untersuchung zeigt, dass nicht nur die Spannung σy, sondern auch die Spannungen σx und τxy sowie die Verschiebungen unter der Einzellast eine Singularität besitzen [4.49, 4.50].

4.11 Modellbildung von Bauteilen Bauteil:

281

Tragwerksmodell

Berechnungsverfahre

Dreidimensionales Kontinuum

A

Ergebnis

σx (Schnitt A-A)

Numerische Verfahren (Finite-Element-Methode)

A

z

y x

Platte mit elastischer Lagerung

A

Analytische Verfahren

A y x

Numerische Verfahren

mx (Schnitt A-A)

(Finite-Element-Methode, Finite-Differenzen-Verfahren, Randelementmethode)

Platte mit Punktlagerung

Numerische Verfahren

mx (Schnitt A-A)

(Finite-Element-Methode, Finite-Differenzen-Verfahren, Randelelementmethode) A

A

y x

Bild 4-62 Modellbildung von Bauteilen am Beispiel einer Flachdecke mit Stütze

Auch bei Platten können Singularitäten auftreten. Dies zeigt das einfache Beispiel einer gelenkig gelagerten Kreisplatte, die im Mittelpunkt durch die Einzellast F belastet wird (Bild 464b). In einem beliebigen Schnitt im Radius r um den Mittelpunkt beträgt die Querkraft aus Gründen der Symmetrie offensichtlich qr = F/(2.π.r). Im Kreismittelpunkt strebt die Querkraft qr mit r→0 gegen ∞. Eine weitergehende Untersuchung der Kreisplatte zeigt, dass nicht nur die Querkraft, sondern auch die Biegemomente unter der Einzellast eine Singularität besitzen [4.36]. Die Durchbiegungen bleiben aber bei der schubsteifen Platte unter der Einzellast endlich. Bei der schubweichen Platte weisen aber auch die Durchbiegungen unter der Einzellast eine Singularität auf. Stellt man die Einzellast als kreisförmig verteilte Flächenlast dar, so erhält man auch bei der Kreisplatte endliche Werte für die Biegemomente und die Querkraft. Das in der Statik der starren Körper und der Stabtragwerke erfolgreich verwendete Konzept der Kräfte widerspricht dem Konzept der bezogenen Kräfte (Spannungen und Schnittgrößen pro Längeneinheit), mit dem Kraftgrößen bei Flächentragwerken und dreidimensionalen Körpern dargestellt werden.

282

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

σy = ? εy = ?

y x r

θ

σy = 0 εy = 0

σy ≠ 0

εy ≠ 0

mr uy

(a) Einzellast auf Scheibe

(b) Einzellast auf Kreisplatte

(c) Einspringende Ecke

Bild 4-63 Singularitäten im Tragwerksmodell

Die obigen Beispiele zeigen, dass dieser Widerspruch an einzelnen Stellen zu Problemen führen kann. Stellt man Lasten als Strecken- bzw. Flächenlast dar, so nehmen die Spannungen bzw. bezogenen Schnittgrößen endliche Werte an. In einem gewissen Abstand von der Lastfläche stimmen die Ergebnisse nach dem Prinzip von St. Venant mit denjenigen der Einzellast überein. Die Schnittgrößen im Lastmittelpunkt hängen hingegen von der Größe der Lastfläche ab und reagieren - anders als beim Biegebalken - empfindlich auf deren willkürliche Verkleinerung. Singularitäten von Spannungen und bezogenen Schnittgrößen können nicht nur bei Einzelkräften und -momenten, sondern auch an geometrisch ausgezeichneten Stellen im Tragwerk auftreten. Ein typisches Beispiel sind einspringende Ecken in Platten und Scheiben. Hier führen die Theorie des zweidimensionalen Spannungszustandes bzw. die Plattentheorie zu Singularitäten in den Spannungsverläufen, die wiederum bei einer realitätsnäheren Darstellung nicht auftreten würden. Die Problematik im Tragwerksmodell wird in Bild 4-63 verdeutlicht. Die Spannungen σ y am horizontalen Rand (parallel zur x-Achse) sind offensichtlich Null, während die Spannungen am vertikalen Rand ungleich Null sind. Am Punkt in der Ecke, der zu beiden Rändern „gehört“ ist die Spannung offensichtlich nicht definiert. Es ergibt sich auch hier eine Singularität der Spannungen, die durch eine Ausrundung der Ecke beseitigt werden kann. Im Rahmen der Finite-Element-Theorie ist es aufgrund des Verschiebungsansatzes und der daraus sich ergebenden endlichen Spannungswerte nicht möglich, „unendliche“ Spannungen an einer Singularitätenstelle zu erhalten. Vielmehr ergeben sich endliche Spannungswerte, die aber mit zunehmender Elementanzahl nicht zu einem Endwert konvergieren, sondern immer weiter anwachsen (vgl. Spannungen am Auflager in Beispiel 4.6 oder Plattenmoment unter der Einzellast in Beispiel 4.10). Singularitäten lassen sich aber durch entsprechende Tragwerksmodellierung und Lastdarstellung vermeiden.

4.11 Modellbildung von Bauteilen

283

Vermeidung von Singularitäten • Lasten als verteilte Lasten darstellen • Auflager als elastische Flächen- oder Linienlager abbilden • einspringende Ecken (physikalisch sinnvoll) ausrunden

Für eine genaue Erfassung des Spannungsverlaufs sind meistens aufwändige Netzverfeinerungen der entsprechenden Bereiche erforderlich, die nach neueren Verfahren auch adaptiv erfolgen können [4.51]. Es wurden auch spezielle Finite Elemente entwickelt, die Ansatzfunktionen zur Berücksichtigung von Singularitäten enthalten [4.52]. In der Praxis stellt sich aber oft die Frage, inwieweit eine detaillierte Erfassung des Spannungsverlaufs im Bereich von Singularitäten erforderlich ist. Außerhalb des St. Venantschen Bereichs ist ihr Einfluss auf die Spannungsverläufe vernachlässigbar. Die Genauigkeit, mit der Schnittgrößen oder Spannungen im Bereich der Singularität benötigt werden, ist aber von der Aufgabenstellung abhängig. Beispielsweise werden im Stahlbau oft genauere Ergebnisse gefordert als im Stahlbetonbau, wo man einen gewissen Spannungsausgleich durch Rissebildungen und die Duktilität des Materials voraussetzt. Im Stahlbetonbau verzichtet man daher in der Praxis meistens auf eine aufwändige Modellierung zur Vermeidung von Singularitäten. Vielmehr nimmt man Singularitäten bewusst in Kauf und versucht, im Bereich von Singularitäten durch ingenieurmäßige Abschätzungen zu praxisgerechten Ergebnissen zu gelangen. Vernachlässigt man das Vorhandensein einer Singularität bei einer Finite-Element-Berechnung völlig, so sind die Spannungen an der Singularität äußerst ungenau und unterliegen einem gewissen Zufall. Sie liegen jedoch, wenn man eine im Übrigen sinnvolle Netzaufteilung wählt, im Rahmen der im Stahlbetonbau geforderten Genauigkeit meistens „auf der sicheren Seite“. Einige praktisch verwendete Regeln zur Behandlung von Singularitäten sind in den Abschnitten 4.11.4 und 4.11.5 angegeben.

4.11.3 Elementwahl und Netzbildung Seit den Anfängen der Finite-Element-Methode in den sechziger Jahren wurde eine Vielzahl unterschiedlicher Elemente entwickelt. So finden sich in Softwareprodukten durchaus unterschiedliche Elementtypen [4.24]. Diese Entwicklung ist noch nicht abgeschlossen. Ziel der Forschung ist es, möglichst robuste und effiziente Elemente zu entwickeln. So ist es durchaus möglich, dass die Entwicklung zukünftig zu einigen wenigen Elementtypen führt, die sich als besonders leistungsfähig erweisen. Ein Vergleich verschiedener Elementtypen erfordert eine differenzierte Betrachtung, so dass eine allgemeine Beurteilung kaum möglich erscheint. Dennoch sollen im Folgenden einige Regeln für die Elementwahl zusammengestellt werden. Am Häufigsten werden für die Finite-Element-Modellierung 4-Knoten-Elemente verwendet. Diese erlauben einerseits eine gute Anpassung an die Bauteilgeometrie und besitzen andererseits eine vergleichsweise hohe Genauigkeit. Dreieckelemente sind Viereckelementen hinsichtlich der Anpassungsmöglichkeiten an die Bauteilgeometrie überlegen. Die Genauigkeit ist allerdings bei Viereckelementen höher, da sie bei gleicher Anzahl von Freiheitsgraden (zwei Dreiecke entsprechen einem Viereck) höhere Ansatzfunktionen enthalten. Von den in kommerzielle Software implementierten Typen von Viereckelementen für Platten darf man bezüglich der Biegemomente und Durchbiegungen eine vergleichbare Genauigkeit erwarten, sofern sie von der Rechteckform nicht oder nur unwesentlich abweichen. Bezüglich der Querkräfte,

284

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

des Verhaltens bei Singularitäten der Schnittgrößen und bei verzerrten Elementformen sind aber durchaus Unterschiede vorhanden. Bei den Viereckelementen für Scheiben ist zwischen dem klassischen konformen (isoparametrischen) Element und den Elementen, die die Konformitätsbedingung (- gleiche Verschiebungen an den Grenzen benachbarter Elemente -) nicht erfüllen, zu unterscheiden. Derartige Elemente sind z. B. die Elemente mit nicht konformen Verschiebungsansätzen sowie die hybriden Elemente. Konforme Elemente sind zwar einer theoretischen Behandlung für Fehlerabschätzungen und Konvergenzbeweise leichter zugänglich, erweisen sich allerdings in der Praxis als vergleichsweise „steif“. Wesentliche Unterschiede ergeben sich bei der Berechnung von Scheiben, die - ähnlich wie Balken - auf Biegung beansprucht werden. Bei konformen Elementen ist eine sehr feine Netzeinteilung vorzunehmen, während bei nichtkonformen und hybriden Elementen wesentlich weniger Elemente ausreichen. Bei scheibenähnlichen Beanspruchungszuständen sind die Unterschiede hingegen gering. Beispiel 4.11 Ein Kragarm nach Bild 4-64 ist als Scheibe für eine Belastung durch ein eingeprägtes Moment und eine Einzellast am Kragarmende sowie durch eine konstante Streckenlast in drei getrennten Lastfällen zu untersuchen. Die Diskretisierung soll mit nur zwei Finiten Elementen nach Bild 4-65 erfolgen. Das Beispiel wurde [4.53] entnommen, wobei jedoch auf die Kopplung der Knotenverschiebungen verzichtet wurde.

Bild 4-64 Modellierung eines Kragarms mit zwei Scheibenelementen

Die Untersuchungen werden zum Vergleich mit folgenden Elementtypen durchgeführt: a) V_KO - konforme Scheibenelemente nach Abschnitt 4.4 [4.7, 4.9] b) V_NKO - nichtkonforme Scheibenelemente nach [4.13] c) HYB - hybride Elemente mit Verdrehungsfreiheitsgraden nach [4.18] An der Einspannstelle ergibt sich für alle in Tabelle 4-11 dargestellten Lastfälle ein Biegemoment von 250 [kNm] und somit nach der Theorie des Biegebalkens eine Normalspannung von σx = 0.25/(13/6) = 1.50 [MN/m2]. Die Durchbiegung am Kragarmende erhält man zu: Lastfall 1 (Moment):

f=

M ⋅ l2 250⋅ 102 = = 5⋅ 10− 3 [m ] 2 EI 2⋅ 3⋅ 107 ⋅ 1 12

4.11 Modellbildung von Bauteilen

285

3 Lastfall 2 (Einzelkraft): f = F ⋅ l + F ⋅ l =

3 EI

GAs

4 2 Lastfall 3(Streckenlast): f = ql + ql =

8 EI

2GAs

25⋅ 103 25⋅ 10 + = 3.36⋅ 10− 3 [m ] 7 1 3⋅ 3⋅ 10 ⋅ 12 1.25⋅ 107 ⋅ 0.8⋅ 1

5⋅ 104 7

8⋅ 3⋅ 10 ⋅ 112

+

5⋅ 102 2⋅ 1.25⋅ 107 ⋅ 0.8⋅ 1

= 2.53⋅ 10− 3 [m ]

Die Finite-Element-Berechnungen wurden mit den Programmen [P1] und [P2] durchgeführt. Bei Verwendung konformer oder nichtkonformer Elemente besitzt das Modell acht Freiheitsgrade, bei Verwendung hybrider Elemente mit zusätzlichen Verdrehungsfreiheitsgraden nach [4.18] und [P2] 12 Freiheitsgrade. Die Spannungen an der Einspannstelle, Punkt 1, sowie die Durchbiegungen am Kragarmende sind in Tabelle 4-11 zusammengestellt. Grundsätzlich müssen die Spannungen der Scheibe nicht mit denjenigen eines Biegebalkens übereinstimmen, da die Bernoulli-Hypothese des Ebenbleibens der Querschnitte hier nicht gilt. Bei der gewählten Diskretisierung verlaufen aber beim konformen Element die Spannungen aufgrund der Verschiebungsansätze linear über die Höhe (vgl. Bild 4-14), so dass sich ein scheibenartiger Spannungsverlauf über die Querschnittshöhe mit einer Spannungsspitze in der Ecke nicht einstellen kann. Hierzu müsste der Kragarm über die Querschnittshöhe in erheblich mehr Elemente diskretisiert werden. Die Scheibenspannungen an der Einspannstelle sind daher in diesem Fall mit den Spannungen des Balkens vergleichbar. Wesentlich kritischer ist die Darstellbarkeit des Spannungsverlaufs in Richtung der Längsachse des Kragarms durch die Ansatzfunktionen der Finiten Elemente, wie die Ergebnisse der Spannung σx an der Einspannstelle und der Durchbiegungen f2 am Kragarmende zeigen. Bei der Momentenbelastung des Kragarms (Lastfall 1) sind die Normalspannungen σx am oberen bzw. unteren Rand in Richtung des Kragarms konstant, die Schubspannungen sind gleich Null, und die Biegelinie des Balkens ist eine Parabel zweiter Ordnung. Beim konformen Element kann aber aufgrund des Verschiebungsansatzes die „Biegelinie“ nur durch zwei lineare Funktionen dargestellt werden. Die fehlerhafte Spannung von 0.14 gegenüber 1.5 [MN/m2] und die fehlerhafte Durchbiegung von 0.44 gegenüber 5.0 [mm] zeigen, dass diese Näherung völlig unzureichend ist. Beim nichtkonformen Element sind die Ansatzfunktionen der Verschiebungen um quadratische Terme erweitert, so dass die Verschiebung durch eine Parabel zweiter Ordnung approximiert wird. Die Ansatzfunktionen enthalten damit die exakte Lösung für konstante Momentenbeanspruchung und führen hier somit zu den exakten Spannungen und der exakten Verschiebung des Balkens. Auch die Spannungs- und Verschiebungsansätze des hybriden Elements enthalten die exakte Lösungsfunktionen des Balkens. Mit dem hybriden Element erhält man daher ebenfalls die Werte der Balkentheorie. Bei Belastung durch eine Einzellast haben die Normalspannungen entlang des oberen bzw. unteren Trägerrandes eine linearen, die Schubspannungen über die Balkenhöhe einen quadratischen Verlauf. Die Biegelinie ist eine Parabel dritter Ordnung. Das nichtkonforme Element kann aufgrund seines Verschiebungsansatzes quadratische „Biegelinien“ darstellen und nähert damit die Lösung an.

286

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Tabelle 4-11 Biegebalkenberechnung mit Scheibenelementen Belastung

M = 250 kNm

F = 25 kN

q = 5 kN/m

Berechnung

σx

σy

τxy

f2

[MN/m²]

[MN/m²]

[MN/m²]

[MN/m²]

Balkentheorie

1.50

0

0

5.00

FEM V_KO

0.14

0.03

0.027

0.44

FEM V_NKO

1.50

0

0

5.00

FEM HYB

1.50

0

0

5.00

Balkentheorie

1.50

0

V/A=0.025

3.36

FEM V_KO

0.10

0.02

0.230

0.29

FEM V_NKO

1.13

0

0.025

3.25

FEM HYB

1.13

0.01

0.028

3.24

Balkentheorie

1.50

0

V/A=0.025

2.53

FEM V_KO

0.09

0.02

0.21

0.24

FEM V_NKO

0.94

0

0.04

2.52

FEM HYB

0.95

0.02

0.01

2.52

Während der Fehler bei den Verschiebungen mit (3.33-3.14)/3.33=5.7% noch mäßig ist, ist die Abweichung der Randspannung σx mit (1.50-1.13)/1.5=24.7% bereits deutlich höher. Das hybride Element besitzt quadratische Spannungsansätze und senkrecht zu den Rändern kubische Verschiebungsansätze. Daher überrascht zunächst, dass die Spannungen und Verschiebungen nicht besser als beim nichtkonformen Element angenähert werden. Die Ursache hierfür liegt im Verschiebungsansatz in Richtung des Randes. Dieser ist lediglich linear, was am unteren bzw. oberen Rand des Kragarms einer konstanten Normalspannung σx entspricht. Diese Restriktion ist die Ursache dafür, dass die Genauigkeit des Elements im betrachteten Beispiel trotz höherer Anzahl von Freiheitsgraden nicht höher ist als beim nichtkonformen Element. Der Fehler der Randspannung nimmt mit zunehmender Anzahl von Elementen ab und liegt z. B. bei einer Einteilung in zehn hybride Elemente in Längsrichtung (anstelle von zwei Elementen) bei (1.443-1.500)/1.500 = 3.8%. Die Schubspannungen nähern beim nichtkonformen und beim hybriden Element aufgrund der Ansatzfunktionen (Bild 4-14) den Mittelwert τ xy = V / A an. Um den parabelförmigen Schubspannungsverlauf über die Querschnittshöhe und das Maximum von τ xy = 1.5⋅ V / A darzustellen, müssten wieder erheblich mehr Elemente verwendet werden. Im Fall der Streckenlast ist die Biegelinie nach der Balkentheorie eine Parabel vierter Ordnung. Alle betrachteten Finiten Elemente können nur noch eine Näherungslösung liefern. Bei der vorgegebenen Diskretisierung mit zwei Elementen ist der Fehler in den Spannungen mit (0.95-1.50)/1.50 = 36.7% höher als bei Belastung mit einer Einzellast. Bei einer Elementierung in zehn Elemente in Längsrichtung (ein Element über die Höhe) erhält man mit den o. g. hybriden Elementen eine Normalspannung von 1.39 [MN/m2], d. h. immer noch einen Fehler von (1.39-1.50)/1.50 = 7.3%. Erst bei einer Einteilung des Kragarms in 18 hybride Elemente erhält man an der Einspannung eine Randspannung σx von 1.452 [MN/m2] und somit einen Fehler von (1.45-1.50)/1.50 = 3.3%.

4.11 Modellbildung von Bauteilen

287

Das Beispiel zeigt, dass konforme Scheibenelemente für biegebeanspruchte scheibenartige Tragwerke nur dann geeignet sind, wenn eine feine Netzeinteilung vorgenommen wird. Aber auch nichtkonforme und hybride Elemente erfordern, wenn Diskretisierungsfehler vermieden werden sollen, eine hinreichend hohe Anzahl von Elementen in Balkenlängsrichtung. Beispiel 4.12 Für die in Beispiel 4.6 mit konformen Elementen berechnete Scheibe ist zum Vergleich die Spannung am unteren Scheibenrand mit nichtkonformen Elementen zu ermitteln. Tabelle 4-12 Spannung am unteren Scheibenrand [MN/m2] Elementierung

Konforme Elemente

Nichtkonforme Elemente

2x2

1.64

2.28

4x4

4.32

4.72

8x8

4.22

4.22

Die Ergebnisse sind für verschiedene Diskretisierungen in Tabelle 4-12 zusammengestellt. Sie zeigen, dass bei typischen Scheibenproblemen, bei denen keine biegeähnliche Beanspruchung vorliegt, die Unterschiede zwischen konformen und nichtkonformen Elementen gering sind. Die Genauigkeit einer Berechnung wird von der Form der Finiten Elemente beeinflusst. Zu deren Beurteilung wurden Faktoren vorgeschlagen, die in Tabelle 4-13 erläutert sind [4.54]: Formfaktoren von Finiten Elementen • Seitenverhältnis a/b • Winkel α • Verjüngung t

Der Wert a/b gibt bei Rechteckelementen das Seitenverhältnis an. Er wurde nach der Definition in Tabelle 4-13 für die allgemeine Viereckform erweitert. Als optimaler Wert gilt 1. Lange, schmale Elemente, z. B. mit a/b > 2, sollen vermieden werden. Der Wert α gibt den Innenwinkel an. Als optimal gilt der rechte Winkel. Abweichungen von mehr als 45°, d. h. Innenwinkel mit α < 45° oder α > 135°, sind zu vermeiden. Die Verjüngung eines Vierecks ist ein Maß für seine Stellung zwischen der Rechteck- und Dreieckform. Der optimale Wert der Verjüngung t = 1 gilt für Rechteckelemente. Die Verjüngung t = 0 steht für Dreieckelemente. Allgemein gilt das Quadrat als beste Form eines Finiten Elements. Es folgen als zweitbeste Form das Rechteck, als drittbeste das Parallelogramm und anschließend das allgemeine Viereck. Extrem verzerrte Elementformen, wie Vierecke mit einspringenden Ecken, sind unzulässig (Bild 4-31). Inwieweit Abweichungen der Formfaktoren von denjenigen des Quadrats die Ergebnisse einer Finite-Element-Berechnung quantitativ beeinflussen, hängt vom Elementtyp und den betrachteten Ergebniswerten (Verschiebungsgrößen, Spannungen, Momente, Querkräfte) ab. Die Eigenschaften von Finiten Elementen können anhand von Musteraufgaben, wie sie z. B. in [4.55] angegeben sind, beurteilt und mit denjenigen anderer Elementtypen verglichen werden.

288

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Tabelle 4-13 Formfaktoren für Finite Elemente Geometriekennwerte

Formfaktor

Optimaler Wert

Rechteck durch die Mittelpunkte der Seiten Seitenverhältnis

b

a b

a Viereckelement

mit

a>b

a b

=1

Mittelpunkt der Seite

Parallelogramm

Winkel α

α

α = 90°

Viereckelement Verjüngung

A1 A4

A2 A3

t = 4⋅

Minimum ( A1, A2 , A3 , A4 ) ( A1 + A2 + A3 + A4 )

A1...A4: Teilflächen

Beispiel 4.13

Bild 4-65 Auskragende Platte mit regelmäßigem Finite-Element-Netz

t=1

4.11 Modellbildung von Bauteilen

289

Bei der in Bild 4-65 dargestellten auskragenden Platte mit einer gleichförmigen Randlast ist der Einfluss von Unregelmäßigkeiten des Netzes zu untersuchen. Die quadratische Platte wird mit einem regelmäßigen und zwei unregelmäßigen FiniteElement-Netzen abgebildet (Bilder 4-65 - 4-66). Das unregelmäßige Netz 1 hat eine aus Dreieck- und Viereckelementen gemischte Elementtopologie, während das unregelmäßige Netz 2 ausschließlich aus Viereckelementen besteht. Die unregelmäßigen Netze besitzen deutlich mehr Elemente und Freiheitsgrade als das regelmäßige Netz und sind für Aufweitungsbereiche von Finite-Element-Netzen typisch. Die Untersuchung erfolgt zum Vergleich mit folgenden Elementtypen: a) HYB - hybrides Plattenelement nach [P2], [4.18] b) V_SW - schubweiches Plattenelement mit Verschiebungsansatz nach [P1] Mit dem regelmäßigen 6x6-Raster erhält man bei beiden Elementtypen im Schnitt A-A in der Mitte der Kragplatte die exakten Schnittgrößen mit m x = q ⋅ a / 2 und vx= q (Bild 4-65). Die Ergebnisse für die beiden unregelmäßigen Netze unterscheiden sich hiervon deutlich (Bild 4-66). Beim Netz mit der aus Dreiecken und Vierecken gemischten Elementtopologie zeigt sich bei den Biegemomenten ein Fehler von ca. 3% (Bild 4-66-a). Sehr deutlich tritt der Fehler bei den Querkräften hervor. Er beträgt beim schubweichen Element 12% und beim hybriden Element 50%. Die Querkräfte werden damit trotz der großen Elementanzahl praktisch unbrauchbar. Beim unregelmäßigen Netz 2 nach Bild 4-66-b, in dem ausschließlich Viereckelemente zur Netzaufweitung verwendet werden, sind die Fehler bei den Querkräften in der Regel geringer. Sie betragen beim hybriden Element 33% und beim schubweichen Element 15%. Die Ergebnisse zeigen, dass die untersuchten Elemente in einer verzerrten Form, d. h. bei ungünstigen Formfaktoren, nicht in der Lage sind, die Querkraft hinreichend genau wiederzugeben. Da dies für einen konstanten Wert der Querkraft gilt, ist auch bei einer Netzverfeinerung keine Erhöhung der Genauigkeit der Querkräfte zu erwarten (vgl. Patch-Test). Beim schubweichen Element (V_SW) hängen die FE-Schnittgrößen von der Plattenstärke ab, was beim hybriden Element (HYB) nicht der Fall ist. Dies gilt insbesondere für die Querkräfte, die bei schubweichen Elementen direkt aus den Schubverzerrungen (Scherwinkeln) abgeleitet werden. Im Beispiel erhält man bei einer Variation der Plattenstärke t folgende Querkräfte mit den größten Abweichungen von q:

Elementtyp HYB V-SW

t = 0.02 a t = 0.05 a t = 0.10 a t = 0.30 a

vx/q - FE-Netz 1

vx /q - FE-Netz 2

1.52 (52%)

1.33 (33%)

2.15 (115%) 1.45 (45%) 1.14 (14%) 1.03 ( 3%)

1.52 (52%) 0.76 (24%) 0.85 (15%) 1.03 ( 3%)

Danach nimmt beim schubweichen Element die Genauigkeit mit der Plattenstärke deutlich zu.

290

Bild 4-66 Schnittgrößen einer Kragplatte

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

4.11 Modellbildung von Bauteilen

291

Zur Bildung von Finite-Element-Netzen sollen folgende allgemeine Regeln als Orientierung dienen: Regeln für die Bildung von Finite-Element-Netzen

a) Anzustreben sind regelmäßige Netze, möglichst mit quadratischen oder rechteckförmigen Elementen. b) Viereckelemente sind Dreieckelementen vorzuziehen. c) Eine Elementtopologie aus Viereckelementen ist einer gemischten Elementtopologie aus Dreieck- und Viereckelementen vorzuziehen. d) Elemente sind in Bereichen mit hohem Spannungsgradienten zu verdichten, wenn eine gleichbleibende Genauigkeit gewünscht wird. e) Die Elementverdichtung soll gleichmäßig erfolgen, um „künstliche Steifigkeitssprünge zu vermeiden. f) Steifigkeitssprünge, wie z. B. infolge von Dickenänderungen bei Platten, dürfen nicht willkürlich groß sein. Die Bedeutung der Regelmäßigkeit von Finite-Element-Netzen ist aus Beispiel 4.13 ersichtlich. Vor allem bei Platten und Schalen können Unregelmäßigkeiten des Netzes die Schnittgrößenverläufe beeinflussen, wobei jedoch Biegemomente und Normalspannungen weniger empfindlich sind, während Querkräfte leicht bis zur praktischen Unbrauchbarkeit verfälscht werden können. Zur Beurteilung der Regelmäßigkeit eines Netzes können die Formfaktoren dienen. Netze aus Viereckelementen sind im Allgemeinen Netzen aus Dreieckelementen vorzuziehen. Auch dreieck- und kreisförmige Bereiche lassen sich unter ausschließlicher Verwendung von Viereckelementen modellieren (Bild 4-67). Ausnahmen bilden Platten mit aus Dreieckelementen zusammengesetzten Finiten Viereckelementen (Bild 4-44) sowie komplizierte zweiachsig gekrümmte Schalentragwerke, die sich mit ebenen Viereckelementen nicht abbilden lassen. Bei regelmäßigen Netzen aus Dreieckelementen sollten die Diagonalen alternieren, um einen Richtungseinfluss der Diagonalneigung auf die Ergebnisse zu verhindern (Bild 4-68). Spitze nadelförmige Elemente sind unzulässig. Das Finite-Element-Netz sollte in Bereichen mit hohen Spannungsgradienten verdichtet werden, sofern dort nicht ein größerer Diskretisierungsfehler akzeptiert werden kann. Die Abmessungen benachbarter Elemente sollten sich aber nicht zu sprunghaft ändern. Da Finite Elemente sich aufgrund des Verschiebungsansatzes zu „steif“ verhalten, würde dies einer künstlichen Steifigkeitsänderung des Systems entsprechen. Als Regel kann gelten, dass das Größenverhältnis benachbarter Elemente den Wert von 1.5 nicht überschreiten sollte. Der Wert 1.5 ist als vom Elementtyp und vom untersuchten System und dessen Belastung abhängiger Richtwert zu verstehen. Steifigkeitssprünge dürfen nicht willkürlich groß gewählt werden, da sie zu numerischen Schwierigkeiten führen können (vgl. Abschnitt 3.8.1). Dies gilt insbesondere für Dickenänderungen von Platten. Als Richtwert kann das Verhältnis von 10:1 für die Dicken benachbarter Plattenelemente gelten, das nicht überschritten werden sollte.

292

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Die Regeln für die Bildung von Finite-Element-Netzen werden auch als A-Priori-Kriterien bezeichnet. Sie lassen zwar keine quantitative Beurteilung der Güte der Berechnungsergebnisse zu, sollen aber dennoch eingehalten werden, um Fehlerquellen zu vermeiden. Eine genauere Fehlerabschätzung liefern Verfahren, die von den Berechnungsergebnissen ausgehen.

Netzverfeinerung an einem Punkt

Netzverfeinerung in einer Richtung

Übergang zum Halbraum

Dreieck Bild 4-67 Beispiele für die Elementierung mit Viereckelementen

Kreis

4.11 Modellbildung von Bauteilen

293

ungünstige Diagonalneigung (alle Knotenpunkte des Elements in der Ecke sind festgehalten.)

Netze mit Einfluss der Diagonalneigung

Regelmäßiges Netz mit alternierender Diagonalneigung

Bild 4-68 Elementierung mit Dreieckelementen

4.11.4 Modellbildung bei Scheiben Eine typische Anwendung der Finite-Element-Methode im konstruktiven Ingenieurbau ist die Berechnung von Wandscheiben und wandartigen Trägern aus Stahlbeton. Im Stahl- und Holzbau wird die Finite-Element-Methode meist im Rahmen von Grundsatzstudien mit eher wissenschaftlichem Charakter, z. B. zur Untersuchung von scheibenartigen Beanspruchungen in Lasteinleitungsbereichen, eingesetzt (vgl. z. B. [4.56, 4.57]). Im Folgenden werden Regeln, die bei der Bildung des Tragwerksmodells und des Finite-Element-Modells zu beachten sind, angegeben. Sie beziehen sich im Wesentlichen auf Scheiben aus Stahlbeton. Scheibenfelder Unter Scheibenfeldern versteht man Viereckbereiche von Scheiben ohne größere Öffnungen. Scheibenfelder sind mit einem möglichst gleichmäßigen Raster gemäß den in Abschnitt 4.9.3 angegebenen Regeln zu diskretisieren. Die Anzahl der Elemente ist vom Elementtyp und der Belastung abhängig. Beim konformen Viereckelement mit vier Knoten sollten in der Regel zwischen zwei Auflagern mindestens acht bis zwölf Elemente liegen. Bei einfach gestützten Scheiben kann die Anzahl u. U. auf sechs Elemente reduziert werden (vgl. Beispiel 4.6). Beispiele für die mit unterschiedlichen Programmen erhaltene Genauigkeit eines regelmäßigen Scheibenfeldes sind in [4.58] gegeben.

Scheibenbereiche mit biegeähnlichen Beanspruchungen erfordern bei konformen 4-KnotenViereckelementen eine sehr feine Netzeinteilung in Richtung der „Längsachse“, um Spannungsänderungen in dieser Richtung darstellen zu können. Bei CST-Dreieckelementen ist zusätzlich eine sehr feine Diskretisierung mit ca. zehn Elementlagen über die „Höhe“ erforderlich. Bei einer weniger feinen Netzeinteilung besteht die Gefahr, dass die Spannungen grob unterschätzt werden. Bei hybriden Elementen oder konformen Elementen mit quadratischem Verschiebungsansatz genügen in Scheibenbereichen mit biegeähnlichen Beanspruchungen weniger Elemente, um die Spannungen mit gleicher Genauigkeit zu ermitteln (vgl. Beispiel 4.11).

294

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

An Eckpunkten des Tragwerksmodells können Singularitäten der Spannungen auftreten. Die Grenzwinkel, bei deren Überschreitung die Spannungen nach [4.59] singulär werden, sind für verschiedene Lagerungsarten in Tabelle 4-14 angegeben. Danach sind bei allen Lagerungsarten an einspringenden Ecken (α > 180°) Singularitäten zu erwarten. Ist eine Seite der Ecke festgehalten und die andere Seite frei, so treten bereits bei Winkel α > 63° Singularitäten auf. Werden die Grenzwinkel nur leicht überschritten, so sind die Singularitäten schwach, d. h., bei einer Finite-Element-Berechnung steigen die Spannungen am betreffenden Punkt mit zunehmender Netzverfeinerung nur langsam an. Bei größeren Winkeln, wie z. B. einer rechtwinkligen einspringenden Ecke mit α = 270°, steigen die Spannungen hingegen mit zunehmender Netzverfeinerung rasch an. Tabelle 4-14 Grenzwinkel für Singularitäten der Spannungen an Eckpunkten von Scheiben Lagerung

Spannungen singulär für

α

α > 180°

α

α > 180°

α

Lagerungsart:

α > 63°

frei unverschieblich

Bei Stahlbetonscheiben darf man in Bereich von Spannungsspitzen aufgrund der Duktilität des Materials Spannungsumlagerungen voraussetzen. Wesentlich ist allerdings, dass die auftretenden Zugkräfte durch Bewehrung abgedeckt werden. Die Zugkraft im Bereich einer Singularität erhält man durch Integration der Zugspannungen im Bereich der Spannungsspitze. Das Vorgehen wird in Beispiel 4.14 erläutert. Es zeigt sich, dass sich die Zugkraft wesentlich weniger als der Spitzenwert der Spannung ändert und, anders als die Eckspannung, zu einem konstanten Wert hin konvergiert. Als Integral einer fehlerbehafteten Funktion (der FE-Spannungswerte) besitzt sie eine höhere Genauigkeit als ein einzelner FE-Spannungswert. In der Praxis reicht es daher meistens, die Zugkraft zu ermitteln und durch Bewehrung abzudecken. Hierzu genügt in der Regel ein regelmäßiges Netz nach den o. g. Kriterien ohne Netzverfeinerung an der Stelle der Singularität. Beispiel 4.14 Die in Bild 4-69 dargestellte Stahlbetonscheibe besitzt in den Eckpunkten der Öffnung Spannungssingularitäten. Für unterschiedliche Finite-Element-Diskretisierungen sind im Schnitt AA die Größe und Lage der zur Ermittlung der Vertikalbewehrung maßgebenden Zugkraft zu ermitteln.

4.11 Modellbildung von Bauteilen

295

Bild 4-69 Stahlbetonscheibe und Finite-Element-Modell

Die Berechnungen werden zum Vergleich mit folgenden Modellen durchgeführt: a) Hybride Elemente, gemittelte Knotenpunktspannungen b) Isoparametrische Verschiebungselemente nach Abschnitt 4.4, gemittelte Knotenpunktspannungen c) Isoparametrische Verschiebungselemente nach Abschnitt 4.4, Elementspannungen an den Knotenpunkten In Bild 4-70 sind die mit hybriden Elementen (Modell a) mit [P2] ermittelten Knotenspannungen σy für die Elementgrößen 150, 75, 37.5 und 18.75 [cm] dargestellt.

σy

[kN/m²]

3,0

100 kN

σy 270,9

A

A

4,0

e = 18,75 cm y 212,0 200

d = 0,5 m

3,0

x 3,0

4,0

3,0

[m]

e = 37,50 cm 137,3

Spannungen σy im Schnitt A - A

100 e = 0,75 m 64,8

e = FE-Größe e = 1,50 m x0

Bild 4-70 Spannungen σy im Schnitt A-A

x [cm]

296

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Die Eckspannung nimmt erwartungsgemäß mit abnehmender Elementgröße zu. Bei einer Elementgröße von e = 75 [cm] erhält man die im Eckbereich durch Bewehrung abzudeckende Zugkraft Z mit der Wandstärke von 0.5 [m] zu: Randabstand des Nullpunkts der Spannungen: xo = 0.75 . 137.3/(137.3 + 18.51) = 0.66 [m] Resultierende Zugkraft:

Z = 137.3 . 0.661 . 0.50 . 0.5 = 22.6 [kN]

Die Eckspannungen σy sowie die resultierenden Zugkräfte der übrigen Finite-Element-Netze und Berechnungsmodelle sind in Tabelle 4-15 dargestellt. Die Zugspannungen wachsen mit zunehmender Netzverfeinerung rasch an und weisen auf das Vorhandensein einer Spannungssingularität hin (Tabelle 4-14, Bild 4-63c). Die Spannungsresultierenden, d. h. die Zugkräfte, nehmen hingegen nur langsam zu und nähern sich (augenscheinlich) einem Endwert an. Die resultierende Zugkraft für die Elementgröße von 18.75 [cm] unterscheidet sich beim Modell a) von der oben ermittelten Zugkraft für die Elementgröße von 75 [cm] nur um (25.624.9)/25.6 = 14%, während sich die Spannungsspitzen um den Faktor 2 unterscheiden. Ähnliche Ergebnisse erhält man mit den Knotenspannungen der isoparametrischen Elemente (Berechnungsmodell b) nach [P1]. Lediglich bei den groben Elementnetzen mit e=1.5 m und e=0.75 m unterscheiden sich die Ergebnisse deutlich, wobei die hybriden Elemente etwas rascher als die isoparametrischen Elementen konvergieren. Bei den meisten Finite-Element-Programmen werden ausschließlich die Knotenspannungen ausgegeben. Sinnvoller ist jedoch die Integration auf der Grundlage der Elementspannungen, da dann der durch die Mittelung des Spannungssprungs in der Ecke entstehende Fehler vermieden wird (vgl. Abschnitt 4.11.7). In Tabelle 4-15 sind die mit [P1] berechneten Elementspannungen an den Knotenpunkten der Elemente angegeben. Sie sind in der einspringenden Ecke deutlich höher als die gemittelten Knotenspannungen, während bereits nach einem Element bei x=e die Unterschiede gering sind. Links der einspringenden Ecke gilt wegen des freien Randes σ y = 0 . Die niedrigen Spannungswerte des linken Nachbarelements gehen nun in den Mittelwert der Spannungen σy im Eckpunkt ein und führen zu einem systematischen Fehler. Daher konvergieren beide Berechnungen auch zu einer unterschiedlichen resultierenden Zugkraft in der Ecke. Während diese mit gemittelten Knotenspannungen zu Z=25 kN konvergiert (Modelle a und b), erhält man mit Elementspannungen eine Wert von ca. Z=32 kN (Modell c). Spannungsresultierende sollten daher auf der Grundlage der Elementspannungen berechnet werden. Im untersuchten Lastfall ist es ausreichend, den Schnitt A-A nach den Regeln für Scheibenfelder mit acht Elementen zu diskretisieren und die Bewehrung für die aus den Elementspannungen ermittelte resultierende Zugkraft zu bemessen. Die Bewehrung wird im Abstand x0 von der Ecke entsprechend der Schwerpunktlage der Spannungen konstruktiv sinnvoll angeordnet. Alternativ kann auch die aus den Knotenspannungen der Elemente ermittelte Bewehrung - bezogen auf die Elementbreite beziehungsweise auf die halbe Elementbreite - angeordnet werden. Dies führt zu denselben Bewehrungsmengen. Bei einer Berechnung mit einem feineren Netz bleibt die Bewehrungsmenge praktisch konstant. Lediglich ihre Verteilung kann sich geringfügig ändern.

4.11 Modellbildung von Bauteilen Tabelle 4-15

297

Spitzenwerte der Spannung in der Ecke und bei x=e, Randabstände des Spannungsnullpunktes sowie resultierende Zugkraft Spannung σy [kN/m²]

Modell

FE-Größe e [cm]

Anzahl Elemente

x=0

x=e

Hybride Elemente Knotenspannungen

150.00

2

64.8

75.00

4

137.3

Isoparametr. Elemente Knotenspannungen

Isoparametr. Elemente Elementspannungen

Abstand x0 [cm]

Resultierende Z [kN]

-53.9

82

13.3

-18.5

66

22.6

37.50

8

212.0

31.5

64

24.9

18.75

16

270.9

94.6

64

25.6

150.00

2

27.4

-51.2

52

3.6

75.00

4

101.6

-22.2

62

15.6

37.50

8

180.6

27.2

62

21.2

18.75

16

277.7

87.4

62

25.0

150.00

2

78.1

-43.6

96

18.8

75.00

4

156.4

-13.3

69

27.0

37.50

8

252.5

34.5

69

29.6

18.75

16

379.5

93.1

67

31.5

Balkenartige Tragwerksteile von Scheiben

Bei der Modellierung von Scheibentragwerken ist es häufig sinnvoll, Scheibenteile als Balken zu modellieren, Bild 4-71. Dieses verringert nicht nur den Rechenaufwand, sondern führt auch zu den für die Bemessung erforderlichen Schnittgrößen, ohne dass eine aufwändige Integration von Spannungen in Scheibenelementen erforderlich wäre. Da Balkenelemente neben den beiden Verschiebungsfreiheitsgraden noch einen Rotationsfreiheitsgrad besitzen, was bei Scheibenelementen nicht der Fall ist, sind besondere Überlegungen zur Anbindung des Rotationsfreiheitsgrades erforderlich. Hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten. Modelle zur Verbindung von Balken- mit Scheibenelementen • Starrkörpermodell o Kinematische Kopplung (MPC) o Lagrange-Parameter-Verfahren o Straffunktionsverfahren • Äquivalente Spannungstransformation (EST) • Heuristische Ingenieurmodelle

298

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Balkenartige Tragwerksteile

Bild 4-71 Wandscheibe

Kinematische Kopplung (MPC-Modell)

Dieses Modell wird auch als Multi-Point-Constraint-Modell beziehungsweise MPC-Modell oder Transformationsmethode bezeichnet. Es handelt sich um ein Starrkörpermodell. Dabei nimmt man an, dass der Anschluss des Stabelements eben bleibt. Damit lassen sich Starrkörperbedingungen für die Verschiebungen der Knotenpunkte des Scheibenmodells in Abhängigkeit von den Verschiebungen und Verdrehungen des Stabendes formulieren. Beispielsweise gilt für die in Bild 4-72(a) dargestellte Verbindung eines Balkenelements mit Scheibenelementen für die Verschiebungen der Knoten 1, 2 und 3 in x-Richtung

u1 = u2 + ϕ 2 ⋅ d / 2 ,

u3 = u2 − ϕ 2 ⋅ d / 2 ,

v1 = v2 ,

v3 = v2 .

Die Freiheitsgrade der “Sklaven-Knoten“ 1 und 3 werden von den Verschiebungen und der Verdrehung des „Meister-Knotens“ 2, an den das Stabelement angeschlossen ist, vorgegeben. Diese Methode wird auch als Transformationsmethode bezeichnet. Andere Verfahren, um Starrkörperbedingungen zu formulieren sind das Lagrange-Parameter-Verfahren und das Straffunktionsverfahren (Penalty method). Die Formulierung kinematischer Starrkörperbedingungen erscheint zunächst aufgrund der Bernoulli-Hypothese vom Ebenbleiben des Querschnitts sinnvoll. Dennoch weist dieses Modell auch Unzulänglichkeiten auf. Starre Einschlüsse in elastischen Modellen führen häufig, so auch hier, zu Singularitäten der Spannungen. Sie stimmen auch nicht mit der physikalischen Wirklichkeit überein, da die Bernoulli-Hypothese nur für ungestörte Stabbereiche gilt, nicht aber für Anschlussbereiche von Stäben. Untersuchungen der Verschiebungsverläufe an Scheibenmodellen bestätigen dies. Dennoch handelt es sich hierbei um ein mit den Verschiebungsannahmen des Stabes konsistentes und in der Praxis auch häufig eingesetztes Modell. Eine Erweiterung dieses Modells für Schalenelemente findet sich in [4.120].

(a) Kinematische Kopplung

(b) Ingenieurmodell 1

Bild 4-72 Modelle zur Kopplung von Balken- und Scheibenelementen

(c) Ingenieurmodell 2

4.11 Modellbildung von Bauteilen

299

Äquivalente Spannungstransformation (EST-Modell)

Eine neuere und elegantere Vorgehensweise ist die Äquivalente Spannungstransformation (EST). Hierbei geht man davon aus, dass nicht die Verschiebungen an der Verbindung von Balken- und Scheibenelementen linear verlaufen, sondern, dass die vom Balken auf die Scheibenelemente übertragenen Spannungen einen linearen Verlauf besitzen. Hierbei handelt es sich also um eine im Vergleich zur kinematischen Kopplung weichen Anschluss, der Spannungssingularitäten vermeidet, wie sie bei starren Einschlüssen in elastische Tragwerke auftreten. Da der Anschluss „weicher“ ist als beim Starrkörpermodell, führt er in Verbindung mit den im Mittel zu „steifen“ Finiten Elementen bei üblichen Elementgrößen zu genaueren Ergebnissen als das Starrkörpermodell. Beim EST-Modell handelt es sich um ein mit den Spannungsannahmen des Stabes konsistentes und praxisgerechtes Modell. Ingenieurmodelle

Vielfach werden auch einfache Ingenieurmodelle vorgeschlagen, um die Einleitung des Balkenbiegemoments in die Scheibe zu ermöglichen. Beim „Ingenieurmodell I“ oder „Kopfplattenmodell“ werden Stabelemente kopfplattenartig an die Scheibenelemente angeschlossen, während beim „Ingenieurmodell II“ die Stabelemente in das Finite-Element-Netz der Scheibe weitergeführt werden (Bilder 4-76d, 4-76e). Mit derartigen Modellen sollte vorsichtig umgegangen werden, insbesondere dann, wenn die Steifigkeit des Anschlusses bei statisch unbestimmten Systemen von Bedeutung ist. Das „Kopfplattenmodell“ simuliert das Starrkörpermodell und ist diesem gleichwertig, sofern die Steifigkeit der künstlich eingeführten Stäbe ausreichend hoch ist. Andererseits darf die Steifigkeit aber auch nicht zu groß gewählt werden, um numerische Schwierigkeiten zu vermeiden. Das Ingenieurmodell II, bei dem die Balkenelemente eine oder zwei Elementreihen in das Finite-Element-Modell der Scheibe hinein fortgeführt werden, hat keine mechanische Rechtfertigung (Bild 4.73c). Die Schnittgrößenverläufe in der Scheibe werden im Anschlussbereich erheblich gestört und die Steifigkeit des Anschlusses ist nicht mehr mechanisch verständlich. Die Anschnittmomente im Stab hängen daher bei statisch unbestimmten Systemen von Zufallsparametern wie dem Stabquerschnitt und der Einbindelänge ab. Vom Ingenieurmodell II wird daher abgeraten. Als konsistente Modelle verbleiben das EST-Modell, das Starrkörpermodell und unter den Ingenieurmodellen das Kopfplattenmodell mit ausreichend steifen Stäben. Beispiel 4.15 Eine Wandscheibe mit einer großen Öffnung wird untersucht (Bild 4-73). Die Wandstärke beträgt 0.5m, der Elastizitätsmodul 30000 kN/m2 und die Querdehnzahl wird zu Null angenommen. Einmal wird die Scheibe mit Finiten Elementen unterschiedlicher Größe e (Modell 1) in einem weiteren Modell mit Finten Elementen der Größe e=1m in Verbindung mit Stabelementen (Modell 2) abgebildet. Die Stäbe wurde mit einem EST-Element mit den Finiten Scheibenelementen verbunden, [4.21]. Gesucht sind die Anschnittsmomente und die Normalkräfte im Schnitt A-A. Die praktische Ermittlung der Schnittgrößen aus den Elementspannungen ist nicht immer einfach. Zum einen werden bei vielen Programmen zwar die Elementspannungen in Elementmitte oder in den Gaußschen Integrationspunkten ausgegeben, nicht aber in den Knotenpunkten. Ein weiteres Problem stellt sich durch die Mittelung der Elementspannungen an den Knotenpunkten. Dies lässt zumindest die Spannungswerte in der einspringenden Ecke des Anschnitts pro-

300

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

blematisch erscheinen (vgl. Bild 4-63c). Im Folgenden wurden daher die Schnittgrößen aus den Knotenspannungen der ersten und zweiten Knotenreihe nach dem Anschnitt bestimmt und diese auf den Wert am Anschnitt extrapoliert. Das Vorgehen wird anhand der in Bild 4-74 angegebenen Spannungswerte erläutert.

1

10

1

q = 1 MN/m

7

5

7

(a) System

(b) FE-Modell 1: Scheibenelemente e= 1.0 m

(c) Hauptspannungen, FE-Modell 1

(d) FE-Modell 2: Scheiben- und Balkenelemente, e= 1.0 m

Bild 4-73 Wandscheibe mit großer Öffnung

Aus den Elementspannungen erhält man die resultierenden Normalkräfte zu

(− 10.29⋅ 0.5+ 4.84⋅ 0.5)⋅ 0.5 = − 1.34 MN , (− 8.58⋅ 0.5+ 3.13⋅ 0.5)⋅ 0.5 = − 1.34 MN , und die Momente − (10.29⋅ 0.5⋅ 0.25+ 4.84⋅ 0.5⋅ 0.25)⋅ 0.5 = − 0.473 MNm , − (8.58⋅ 0.5⋅ 0.25+ 3.13⋅ 0.5⋅ 0.25)⋅ 0.5 = − 0.366 MNm ,

und nach Extrapolation auf den Schnitt A-A − 0.473− ( 0.473− 0.366) = − 0.526 MNm .

4.11 Modellbildung von Bauteilen

301

Geht man von den Knotenwerten der ersten und zweiten Knotenreihe nach dem Anschnitt aus, erhält man die Normalkräfte

(− 15.60⋅ 0.25 − 3.31⋅ 0.5+ 11.3⋅ 0.25)⋅ 0.5 = − 1.36 MN , (− 12.80⋅ 0.25− 2.61⋅ 0.5+ 7.15⋅ 0.25)⋅ 0.5 = − 1.37 MN und die Momente − (15.60⋅ 0.5⋅ 0.25+ 11.3⋅ 0.5⋅ 0.25)⋅ 0.5 = − 1.261 MNm , − (12.80⋅ 0.5⋅ 0.25+ 7.15⋅ 0.5⋅ 0.25)⋅ 0.5 = − 0.935 MNm

und damit nach Extrapolation − 1.261− (1.261− 0.935) = − 1.587 MNm .

Gegen diesen Wert konvergieren auch die aus den Elementmittenspannungen bestimmten Momente, allerdings erst bei wesentlich feinerem Elementnetz. Wesentlich besser wäre die Verwendung der Elementspannungen in den Eckpunkten der Elemente, die für das isoparamterische Element aus (4.30) bestimmt werden können. Bei den aus den Knotenspannungen der ersten und zweiten Knotenreihe extrapolierten Werte bleiben auch bei Netzverfeinerung konstant (Tabelle 4-16).

(a) Spannungen in Elementmitte

(b) Knotenspannungen

Bild 4-74 FE-Spannungswerte σ x [MN/m²] beim Schnitt A-A, FE-Modell 1 mit e = 0.50 m

Rechnet man zum Vergleich mit den Knotenspannungen im Anschnitt erhält man die Normalkraft

(− 16.00⋅ 0.25− 3.96⋅ 0.5+ 8.3⋅ 0.25)⋅ 0.5 = − 1.95 MN , und das Moment − (16.00⋅ 0.5⋅ 0.25+ 8.3⋅ 0.5⋅ 0.25)⋅ 0.5 = − 1.519 MNm .

302

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Diese Schnittgrößen haben wegen der durch die Mittelung fehlerhaften Eckspannung von

σ x = 8.30 MN / m2 eine deutlich schlechtere Qualität als die aus den Knotenspannungen der ersten und zweiten Knotenreihe extrapolierten Werte. Beim FE-Modell 2, bei dem der biegebeanspruchte Bereich der Scheibe als Balken abgebildet und nach dem EST-Modell mit den Scheibenelementen verbunden wird, entfällt die aufwändige Bestimmung der Schnittgrößen aus Spannungswerten. Die Schnittgrößen werden für das Stabelement unmittelbar ausgegeben. Sie stimmen gut mit den aus dem Finite-Element-Modell des Balkens bestimmten Schnittgrößen überein. Tabelle 4-16

Schnittgrößen im Schnitt A-A

Modell

Schnittgröße

FE-Modell 1 (FE)

Normalkraft

FE-Modell 2 (FE+Stab)

Normalkraft

[MN]

Biegemoment [MNm] [MN]

Biegemoment [MNm]

e = 1.0 m

e = 0.5 m

-1.37

- 1.38

e = 0.25 m -1.37

- 1.576

- 1.587

-1.589

-1.362

-1.362

-1.363

-1.589

-1.589

-1.594

Lager

Lagerbedingungen sind im Tragwerksmodell realitätsnah wiederzugeben. Bei Wandscheiben ist hierbei auch den Horiontalverschiebungen besondere Beachtung zu schenken, da sie auf die Größe der „Gewölbewirkung“ wesentlichen Einfluss haben. Bei mehrfeldrigen Wandscheiben ist auch eine realitätsnahe Modellierung der elastischen Lagerung in vertikaler Richtung von Bedeutung. Wegen der hohen Steifigkeit von Wandscheiben reagieren diese bei statisch unbestimmter Lagerung auf die Nachgiebigkeit von Lagern oder auf Auflagerverschiebungen besonders empfindlich. Zahlenbeispiele hierzu sind in [4.46] und [4.58] gegeben. Beispiel 4.16 Bei der in Bild 4-75 dargestellten Scheibe (Beispiel 4.6) ist der Einfluss der Horizontalverschieblichkeit des rechten Auflagers auf die Spannungen zu untersuchen. Die Berechnung wird wie in Beispiel 4.6 mit einem Netz von 8x8 hybriden Elementen mit [P2] durchgeführt. In Bild 4-75 sind die Hauptspannungen sowie die Spannungen σx in Scheibenmitte zum einen für ein einwertiges, horizontal verschiebliches Lager (Beispiel 4.6), zum anderen für ein zweiwertiges, horizontal festgehaltenes Lager angegeben. Die Spannungsverläufe zeigen, dass Gewölbewirkung durch die horizontale Festhaltung des rechten Lagers erheblich zunimmt. Insbesondere reicht die Druckbeanspruchung wesentlich weiter in den unteren Scheibenbereich hinein, als dies bei einem horizontal verschieblichen Lager der Fall ist. Der große Unterschied in den Horizontalspannungen am unteren Rand von 4.2 [MN/m2] gegenüber 1.3 [MN/m2] macht die Bedeutung deutlich, die der realitätsnahen Abbildung der horizontalen Verschieblichkeit bei Scheiben zukommt.

4.11 Modellbildung von Bauteilen

303 SYSTEM

C

C

10,0

µ=0 d = 0,5 C 13,0

C SPANNUNGEN σx IM SCHNITT C - C 1,6

-

0,8 -

+

+

4,2

1,3 HAUPTSPANNUNGEN

Bild 4-75 Scheibe mit zwei unterschiedlichen Lagerbedingungen

Stützen bei Scheiben

Stützen bei Scheiben können als balkenartige Tragwerksteile von Scheibentragwerken betrachtet werden. Es gelten also die hierfür angegebenen Modelle. Darüber hinaus gibt es weitere Lagerungsmöglichkeiten. • Finite-Element-Modellierung der Stütze • Starrkörpermodell (MPC) der Stützenkopfverbindung • Äquivalente Spannungstransformation (EST) für die Stützenkopfverbindung • Elastische Bettung der Scheibe • Heuristische Ingenieurmodelle • Punktlagerung • Flüssigkeitskissenmodell

304

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

(a) Finite-Element-Modell der Stütze (b) MPC- und EST-Modell

(d) Ingenieurmodell 1

(e) Ingenieurmodell 2

(c) Elastische Bettung der Scheibe

(f) Punktlagerung der Scheibe

Bild 4-76 Modellierung von Stützen bei Scheiben

Finite-Element-Modellierung der Stütze

Bei Scheibenberechnungen können Stützen als scheibenartige Tragwerksteile mit Finiten Elementen abgebildet werden (Bild 7-77a). Da in der Praxis Wandscheiben vergleichsweise überschaubare Einzelbauteile bilden, ist diese Art der Modellbildung auch bei einer feinen Elementierung durchaus praktikabel. Die Schnittgrößen der Stütze, die zur Bemessung benötigt werden, müssen allerdings durch Integration der Spannungen gewonnen werden, was bei manchen Programmen noch eine Berechnung von Hand erfordert. In der einspringenden Ecke tritt eine Spannungssingularität auf. Zum Problem der Interpretation von gemittelten Knotenspannungen in der einspringenden Ecke wird auf Abschnitt 4.11.7 sowie auf die Beispiele 4.14, 4.15 und 4.17 verwiesen (vgl. auch [4.60]). MPC- und EST-Modelle

Beim MPC-Modell handelt es sich um ein Starrkörpermodell, bei dem man ein Ebenbleiben des Querschnitts im Stützenanschnitt durch entsprechende kinematische Bedingungen erreicht [4.119]. Demgegenüber geht man beim EST-Modell von einem linearen Spannungsverlauf in der Stütze im Anschnitt aus. Die Vor- und Nachteile beider Modellierungen wurden bereits im Abschnitt über „Balkenartige Tragwerksteile von Scheiben“ behandelt. Bezogen auf die Lagerung von Scheiben stellt das EST-Modell eine Weiterentwicklung der elastischen Linienlagerung dar und beseitigt den Widerspruch bei der Bestimmung des Bettungsmoduls durch Ein-

4.11 Modellbildung von Bauteilen

305

führung von Koppeltermen (d. h. Terme außerhalb der Diagonalen) in der Steifigkeitsmatrix des Lagerelements. Darüber hinaus berücksichtigt es die Horizontalsteifigkeit der Stütze. Für das EST-Modell wird auf Abschnitt 4.10.2 und für eine vergleichende Betrachtung auf Beispiel 4-17 verwiesen. Beim EST- wie auch beim MPC-Modell wird die Stütze widerspruchsfrei durch ihre Vertikal-, Horizontal- und Drehsteifigkeit als Balken abgebildet. Die Schnittgrößen am Stützenkopfwerden als Elementschnittgrößen ermittelt, ohne dass eine Integration der Spannungen erforderlich ist. Die Modelle sind mit dem Verschiebungs- beziehungsweise Spannungsverlauf in der Stütze konsistent und führen zu verlässlichen Ergebnissen. Das EST-Modell lässt in der Regel genauere Modelle erwarten, da sich die Überschätzung der Steifigkeit durch die FiniteElement-Ansatzfunktionen mit der Unterschätzung der Steifigkeit des Anschlusses durch die Spannungsannahme in gewissem Maße ausgleicht. Modell der elastischen Bettung

Beim Modell der elastischen Bettung wird die Stütze durch ein elastischen Linienlager beziehungsweise im Sinne der elastischen Bettung durch Federn im Finite-Element-Modell dargestellt (Bild 4-76c). Allerdings ist die Größe des Bettungsmoduls nicht unabhängig von der Beanspruchungsart. Man erhält den Bettungsmodul mit Hilfe der in Tabelle 3-4 angegebenen Federkonstanten k und der Querschnittsfläche ASt der Stütze zu k S t , Bett =

k AS t

(4.133a)

Bei Annahme einer Vertikalverschiebung des Stützenkopfes ist die Bettungszahl kS t , Bett =

ES t ASt

,

(4.133b)

bei Annahme einer Rotation des Stützenkopfes und gelenkiger Lagerung des unteren Stützenendes gilt k S t , Bett = 3⋅

ES t

(4.133c)

ASt

beziehungsweise bei einer Einspannung des unteren Stützenendes ist k S t , Bett = 4⋅

ES t ASt

.

(4.133d)

Hierin bedeuten E St der Elastizitätsmodul, I St das Trägheitsmoment und A St die Länge der Stütze. Die auf die Längeneinheit des Linienlagers bezogene Federkonstante erhält man durch Multiplikation mit der Scheibendicke t zu kS t , Lin = kS t , Bett ⋅ t .

(4.133e)

306

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Da sich für die Vertikalverschiebung und die Verdrehung des Stützenkopfes unterschiedliche Bettungsmodule ergeben, ist der Bettungsmodul nicht eindeutig definiert und kann nur sinnvoll abgeschätzt werden. Die Vertikalkraft und das Biegemoment am Stützenkopf lassen sich bei diesem Modell aus den Federkräften, in der Regel „von Hand“, ermitteln. Allerdings berücksichtigt dieses Modell nicht die Horizontalsteifigkeit der Stütze. Ingenieurmodelle

Bei den Ingenieurmodellen wird die Übertragung des Biegemoments der Stütze in das FiniteElement-Modell durch künstlich eingeführte, möglichst starre Stäbe erreicht. Auf die Vorund Nachteile dieser Modellbildung wurde bereits im Abschnitt „Balkenartige Tragwerksteile von Scheiben“ eingegangen. Das Ingenieurmodell 1 oder Kopfplattenmodell (Bild 4-76d) entspricht dem Starrkörpermodell (MPC_Modell), sofern die künstlich eingeführten Stäbe ausreichend steif gewählt werden. Vom Ingenieurmodell 2 (Bild 4-76e), bei dem die Stäbe der Stütze in das Finite-Element-Modell weitergeführt werden, wird abgeraten, da es mechanisch nicht begründet ist. Dies führt zu unklaren Steifigkeitsverhältnissen im Anschlussbereich der Stütze, die deutliche Störungen der Spannungsverläufe in der Scheibe und Fehler in den Schnittgrößen der Stütze zu Folge haben. Punktlager

Eine sehr einfache Modellierung der Stütze einer Scheibe ist das Punktlager (Bild 4-76f). Es lässt sich durch Festhalten eines Knotenpunktes des Finite-Element-Modells leicht modellieren und führt zu einer einspannungsfreien Lagerung der Scheibe. Gleichzeitig weist es aber auch entscheidende Nachteile auf. Zum einen werden die endliche Abmessungen der Stütze im Modell nicht berücksichtigt, was bei breiten Stützen von Wandscheiben zu Ungenauigkeiten führt. Weiterhin tritt am Punktlager eine Singularitätenstelle der Spannungen und Verschiebungen auf. Die Spitzenwerte der Spannungen am Lager sind, wie in Abschnitt 4.11.2 erläutert, physikalisch sinnlos und bedürfen einer ingenieurmäßigen Interpretation (vgl. Beispiel 4.14). Sinnvoll ist es dann bei Scheiben aus Stahlbeton den Nachweis im Auflagerbereich mit Hilfe von Stabwerksmodellen zu führen [4.61]. Die Auflagerkraft ist immer genauer als die Elementspannungen, da sie sich unmittelbar aus den Gleichgewichtsbedingungen des Gesamtsystems ergibt (vgl. Abschnitte 3.2.5 und 3.2.7) und von den Näherungen der Ansatzfunktionen nur indirekt beeinflusst wird. Sinnvolle Absolutwerte der Verschiebungen können bei punktförmig gestützten Scheiben aufgrund der Singularität der Verschiebungen nicht erhalten werden. Es sind daher Tragwerksmodelle vorzuziehen, die keine Stellen mit Spannungsoder Verschiebungssingularitäten aufweisen, [4.62]. Flüssigkeitskissenmodell

Eine Sonderstellung nimmt das Flüssigkeitskissenmodell ein. Bei diesem Modell wird eine konstante Pressung unter der Scheibe infolge der Stütze vorausgesetzt. Die Scheibe ist damit momentenfrei gelagert und die Stütze wird ausschließlich durch eine Normalkraft beansprucht. Im Unterschied zum Punktlager treten aber keine Spannungs- oder Verschiebungssingularitäten auf. Das Flüssigkeitskissenmodell wird bei klassischen Lösungen der Scheibentheorie nach analytischen Verfahren gewählt. Eine Formulierung für Finite-Element-Modelle erhält man, wenn man im EST-Modell die Drehfedersteifigkeiten zu Null setzt. In (4.97) ist damit kv = E ⋅ A / A und kϕϕ = kϕu = kuu = 0 . Mit diesem Modell können Vergleichsrechnun-

4.11 Modellbildung von Bauteilen

307

gen zu analytischen Lösungen durchgeführt werden. Für die Praxis ist das Flüssigkeitskissenmodell weniger geeignet, da es die Biegesteifigkeit der Stütze vernachlässigt. Modellwahl

Die Modellierung der Stütze mit Finiten Elementen, die starre Kopplung und das Koppelfedermodell sind diejenigen Modelle, die die Stütze konsistent als Biegebalken abbilden. Alternativ zum MPC-Modell kann das Ingenieurmodell I gewählt werden, wobei die Steifigkeit der künstlich eingeführten Stäbe sorgfältig zu wählen ist. Das Modell der elastischen Bettung ergibt von diesen Modellen abweichende Ergebnisse, da die Horizontalsteifigkeit der Stütze fehlt und die Vertikalsteifigkeit nicht widerspruchsfrei angegeben werden kann. Bei der Punktlagerung treten unerwünschte Singularitäten der Spannungen und Verschiebungen auf. Für die Praxis sind das MPC-Modell, das EST-Modell und das Ingenieurmodell I geeignet. Beispiel 4.17

Die in Bild 4-77 dargestellte Wandscheibe besitzt die Kennwerte E = 30000 MN / m 2 , µ = 0 und t = 0.5 m (vgl. Beispiel 4.6). Sie wird vergleichsweise mit folgenden Modellen der Stütze untersucht: a) Finite-Element-Modellierung der Stütze b) Elastische Bettung der Scheibe im Stützenbereich c) EST-Modell der Stützenkopfverbindung (Koppelfederelement) und ESTS-Modell d) MPC-Modell der Stützenkopfverbindung (Starrkörpermodell) Darüber hinaus wurden einzelne Berechnungen mit den Ingenieurmodellen I und II durchgeführt. Die Ergebnisse für die Punktlagerung der Scheibe können aus Beispiel 4.6 entnommen werden. Das Finite-Element-Modell mit Elementen der Größe e = 0.5 m ist in Bild 4-77 dargestellt. Darüber hinaus wurden Modelle mit unterschiedlichen Elementgrößen untersucht, um das Konvergenzverhalten der Lösung zu beurteilen. Die Berechnungen werden mit dem Rechteckelement mit bilinearem Verschiebungsansatz nach Abschnitt 4.4 durchgeführt. Im Modell mit der elastischen Bettung der Scheibe (Modell b) wird der Bettungsmodul aufgrund der Vertikalsteifigkeit der Stütze zu k Bett =

E 3.0⋅ 107 ⋅ kN / m2 = = 6⋅ 106 kN / m3 A 5m

angesetzt. Die Gesamtfeder für eine Stütze ergibt sich damit zu k Bett ⋅ t ⋅ d = 6⋅ 106 ⋅ 0.5⋅ 1.0 = 3⋅ 106 kN / m .

308

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-77 Modelle einer einfeldrigen Wandscheibe (FE-Größe e = 0.5 m)

Im EST-Modell wird ein Balkenelement mit der in Abschnitt 4.9.2 erläuterten Vorgehensweise mit den Scheibenelementen verbunden. Die Transformationsmatrix für das Modell mit e = 0.5m lautet beispielsweise ª 0 14 0 12 0 14º « » T = « 0 − 1.00 0 0 0 1.00 » 0 3 4 0 1 8 0 »¼ ¬« 1 8

und ist auf den Knotenverschiebungsvektor

4.11 Modellbildung von Bauteilen ª « « « u FE = « « « « ¬«

309

u1 º » w1 » u2 » » w2 » u3 » » w3 »¼

nach Bild 4-54b bezogen. Für die anderen FE-Modelle werden die Transformationsmatrizen und Steifigkeitsmatrizen entsprechend Abschnitt 4.10.2 gebildet. Beim Balkenelement wird nicht nur die Biegesteifigkeit, sondern auch dessen Schubsteifigkeit berücksichtigt. Das MPC-Modell wird durch kinematische Kopplungsbedingungen, die die starre Stützenkopfverschiebung definieren, wie in Beispiel 4-15 erläutert, gebildet.

Tabelle 4-17 Berechnungsergebnisse für verschiedene Modelle einer einfeldrigen Wandscheibe Scheibe Modellabbildung der Stütze

Stütze

σ x ,u

σ x ,o

wu

[MN/m²]

[MN/m²]

[mm]

N [MN]

V [MN]

M [MN m]

e = 1,000 m

3,512

-1,798

3,80

-7,000

0,298

0,604

e = 0,500 m

3,602

-1,908

3,99

-7,000

0,241

0,649

e = 0,250 m

3,636

-1,942

4,02

-7,000

0,217

0,629

e = 0,125 m

3,650

-1,953

4,03

-7,000

0,208

0,618

e = 1,000 m

3,844

-1,928

4,00

-7,000

-

0,459

e = 0,500 m

3,886

-2,027

4,09

-7,000

-

0,250

e = 1,000 m

3,614

-1,842

3,94

-7,000

0,222

0,682

e = 0,500 m

3,644

-1,927

4,01

-7,000

0,208

0,635

e = 1,000 m

3,612

-1,841

3,94

-7,000

0,222

0,685

e = 0,500 m

3,622

-1,916

3,99

-7,000

0,225

0,689

Finite Elemente

Elastische Bettung

EST-Modell

MPC-Modell

Ausgewählte Berechnungsergebnisse für die unterschiedlichen Modelle sind in Tabelle 4-17 zusammengestellt. Die Spannungen σ x am oberen und unteren Rand in Scheibenmitte und die Durchbiegung am unteren Rand besitzen bei allen Modellen eine gute Genauigkeit. Das Modell der elastischen Bettung mit einer Bettungszahl kBett = E / A unterschätzt die Einspannwirkung der Stützen und führt zu deutlich höheren Spannungen als die übrigen Modelle. Das EST-Modell und das MPC-Modell mit der Diskretisierung e=1.0m führen zu vergleichbaren Ergebnissen wie das FE-Modell mit e=0.5m, während das FE-Modell mit e=1.0m zu spürbar niedrigeren Spannungswerten führt. Dies deutet darauf hin, dass sich hier bei der Elementgröße e=1.0m Versteifungseffekte der isoparametrischen Elemente zeigen. Mit nichtkonformen Elementen nach Abschnitt 4.5.3 ließe sich dieser Effekt verringern. Verglichen mit der Punkt-

310

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

lagerung der Scheibe nach Beispiel 4.6 sind die Spannungen σ x am unteren Rand hier niedriger. Dies ist auf die flächenhafte Lagerung und die dadurch bedingte geringere lichte Stützweite zurückzuführen. Die Durchbiegungen in der Mitte des unteren Randes ergeben sich bei allen Modellen mit Ausnahme des zu steifen FE-Modells mit e=1.0m zu wu ≈ 4, 0 mm . Bei der Punktlagerung in Beispiel 4.6 weist die Durchbiegung wu hingegen keine Konvergenz auf. Die verformten Finite-Element-Netze mit e=0.5m sind für das FE-Modell sowie das EST-Modell in Bild 4-78 dargestellt. Bei genauerer Betrachtung zeigt es sich, dass der Schnitt I-I im Stützenanschnitt sowohl beim FE-Modell wie auch beim EST-Modell eine leichte Verwölbung nach oben aufweist, was beim MPC-Modell aufgrund der dort getroffenen kinematischen Annahmen nicht der Fall ist.

(a) FE-Modell

(b) EST-Modell

Bild 4-78 Verformte Finite-Element-Modelle (e=0.5m)

Bild 4-79 Normalspannungen der Stütze in Schnitt I-I, e = 1/15 m [4.121]

4.11 Modellbildung von Bauteilen

311

Bei der Stütze werden die zur Bemessung erforderlichen Schnittgrößen am Stützenkopf betrachtet. Dies sind die Normalkraft N, das Biegemoment M und die Querkraft V, Tabelle 4-17. Beim EST- und MPC-Modell werden diese direkt als Stabschnittgrößen erhalten, beim Modell der elastischen Bettung müssen sie aus den Federkräften bestimmt werden. Bei der FiniteElement-Modellierung der Stütze müssen die Schnittgrößen durch Integration der Elementspannungen berechnet werden. Um den Einfluss der Singularität in der einspringenden Ecke bei der Spannungsintegration zu eliminieren, werden die Spannungen im Schnitt I-I, wie in Beispiel 4-15 angegeben, aus den Spannungen der Stützenelemente extrapoliert. Bild 4-79 zeigt den Verlauf der Normalspannungen in der Stütze im Schnitt I-I. Deutlich ist die Spannungssingularität in der einspringenden Ecke zu erkennen. Ebenfalls dargestellt ist der beim EST-Modell angenommene, auf die Scheibe als „Linienlast“ wirkende, linearisierte Spannungsverlauf, der zu denselben Schnittgrößen M und N führt. Vergleicht man die mit den unterschiedlichen Modellen erhaltenen Schnittgrößen in Tabelle 4-17 so erkennt man, dass die Momentenwerte des Modells der elastischen Bettung von allen anderen Modellen deutlich abweichen. Dies ist auf die fehlende Horizontalsteifigkeit sowie auf die Unterschätzung der Biegesteifigkeit durch die Bettungszahl kBett = E / A zurückzuführen. Das Modell scheidet damit für weitere Untersuchungen aus. Um die übrigen Modelle genauer zu untersuchen, wird eine Konvergenzstudie des Moments durchgeführt. Als Referenzmodell wird das FE-Modell mit einer Diskretisierung der Stützenquerschnittshöhe in 15 Elemente, d. h. einer Elementgröße von e = 1/15 m = 0.067 m gewählt. Das Moment für dieses extrem feine Modell beträgt 0.607 MNm. Die mit dem FE-Modell der Stütze, dem EST-Modell und dem MPC-Modell erhaltenen Momente im Schnitt I-I sind über der Anzahl n der Elemente über der Stützenquerschnittshöhe in Bild 4-79 aufgetragen. Das FE-Modell konvergiert naturgemäß gegen den Referenzwert von 0.607 MNm. Das MPCModell konvergiert gegen einen höheren, das EST-Modell gegen einen niedigeren Wert. Dies bedeutet, dass das MPC-Modell die Steifigkeit des Stützenanschlusses überschätzt, während das EST-Modell sie unterschätzt. Das ESTS-Modell verbessert das EST-Modell durch Einführung eines zusätzlichen Stabzuges im Schnitt I-I mit der Höhe h/2 (h = Stützenquerschnittshöhe) und der Breite der Stütze, der die lokale Erhöhung der Scheibensteifigkeit im Stützenbereich berücksichtigt. Es zeigt sich, dass das ESTS-Modell gegen die Lösung des FEModells konvergiert, Bild 4-80. Die genaueren Werte erhält man allerdings nur bei der extrem feinen Elementeinteilung mit n=15, die für die Praxis ungeeignet ist. Bei einer für die Praxis geeigneten Diskretisierung in 2-4 Elemente über die Stützenquerschnittshöhe ergibt das ESTModell die besten Ergebnisse. Die Überschätzung der lokalen Steifigkeit durch die Ansatzfunktionen der isoparametrischen Finiten Elemente wird durch die leichte Unterschätzung der lokalen Steifigkeit beim EST-Modell kompensiert. Beim MPC-Modell wird hingegen die Steifigkeit des Anschlusses aufgrund der kinematischen Starrkörperkopplungsbedingungen grundsätzlich überschätzt. Daher erweist sich das EST-Modell bei praxisgerechten Elementgrößen als am besten geeignet, um Stützen mit Scheibenelementen zu verbinden. In Bild 4-80 sind auch die Ergebnisse der beiden Ingenieurmodelle für n=2 dargestellt. Das Ingenieurmodell 1 ergibt mit MI-I=560 kNm ein ähnlich gutes Ergebnis wie das EST- oder das MPC-Modell. Bei einer Erhöhung der hier mit der Steifigkeit der Stützenquerschnitts definieten „künstlichen Stäbe“ des „Kopfplattenanschlusses“ nähert sich der Wert demjenigen des MPC-Modells an. Beim Ingenieurmodell 2 wurden die „künstlichen“ Stäbe ebenfalls mit der Steifigkeit der Stütze definiert und über 2 Elementreihen in die Scheibe hineingeführt. Das Moment von MI-I = 370 kNm ist allerdings erheblich zu niedrig. Es hängt sehr stark von zufäl-

312

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

ligen Parametern wie der Anzahl der Elementreihen, über die das Stabelement in die Scheibe geführt wird und die Steifigkeit der „künstlichen“ Stäbe ab und sollte daher nicht verwendet werden.

Bild 4-80 Konvergenz des Biegemomentes der Stütze im Schnitt I-I

Lasten

Auf Scheiben können Einzel-, Linien- und Flächenlasten einwirken. Diese werden im FiniteElement-Modell durch Knotenlasten beschrieben. Die Darstellung von Linien- und Flächenlasten ist hierbei in der Regel problemlos. Lediglich bei parallel zum Plattenrand angreifenden Linienlasten können Singularitäten an den Rändern der Last auftreten [4.49] Tabelle 4-18. Bei Einzellasten treten hingegen immer Singularitäten auf, sofern sie nicht im Sinne einer realistischeren Abbildung als Linienlasten dargestellt werden. Die Situation ist hier ähnlich wie bei der Punktstützung. Entweder bildet man die Einzellast als Knotenlast ab und interpretiert die Ergebnisse ingenieurmäßig, oder man wählt die realitätsnähere Darstellung als Linienlast und kann dann, eine ausreichend genaue Finite-Element-Modellierung vorausgesetzt, die Spannungen im Lastbereich aus der Finite-Element-Berechnung übernehmen. Tabelle 4-18 Singularitäten an Auflagern und Lasten von Scheiben Auflager bzw. Last

Singularität Spannungen

Verschiebungen

ja

ja

ja

nein

ja

ja

4.11 Modellbildung von Bauteilen

313

Auflager bzw. Last

Singularität Spannungen

Verschiebungen

ja

ja

nein

nein

ja (σx)

nein

nein

nein

nein

nein

4.11.5 Modellbildung bei Platten Die häufigste Anwendung der Finite-Element-Methode im konstruktiven Ingenieurbau ist die Berechnung von Platten im Stahlbetonbau. Hierbei handelt es sich meist um Deckenplatten oder um elastisch gebettete Bodenplatten von Bauwerken. Die im Folgenden angegebenen Regeln für die Modellbildung beziehen sich hauptsächlich hierauf. Plattenfelder

Unter einem Plattenfeld versteht man einen Viereckbereich ohne größere Öffnungen. Plattenfelder sind gemäß den in Abschnitt 4.11.3 angegebenen Regeln in ein möglichst gleichmäßiges Elementnetz zu diskretisieren. Mit einem üblichen 4-Knoten-Viereckelement sollten zwischen zwei Stützungen mindestens sechs bis zehn Elemente angeordnet werden. Man kann dann ausreichend genaue Ergebnisse für die Biegemomente und die Durchbiegungen erwarten. Die Genauigkeit der Querkräfte hängt erheblich vom Elementtyp und der Form der Elemente (Rechteck, Parallelogramm, allgemeines Viereck, Dreieck) ab. Die mit der Finite-ElementMethode ermittelten Querkräfte in Platten können recht ungenau sein (vgl. Beispiele 4.10 und 4.13). Wenn die Querkräfte mit einer Finite-Element-Berechnung zutreffend ermittelt werden sollen, sind in der Regel erheblich feinere Elementnetze als zur Ermittlung von Biegemomenten und Durchbiegungen erforderlich. Sofern bei dem verwendeten Programm Unklarheit über die Genauigkeit der Querkräfte besteht, können die Untersuchung einfacher Beanspruchungszustände, z. B. mit konstanter Querkraft, und Konvergenzstudien mit Netzen unterschiedlicher Feinheit aufschlussreich sein. Bei Querkraftkontrollen, die man als Gleichgewichtskontrollen in Schnitten durch das Tragwerk durchführt, ist zu beachten, dass nach der Kirchhoffschen Plattentheorie der schubstarren Platte die Querkräfte nicht mit den Auflagerkräften übereinstimmen müssen. Bei gelenkig

314

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

gelagerten Plattenrändern setzen sich die Auflagerkräfte den Querkräften und einem Anteil aus der Änderung der Drillmomente am Rand nach (2.12) zusammen. Auch bei freien Rändern treten Ersatzquerkräfte auf, die nach (2.12) der Änderung der Drillmomente am Rand entsprechen. Da diese Effekte in einem Randstreifen in der Größenordnung der Plattendicke auftreten, können sie nur durch extrem feine Finite-Element-Netze, wie sie für die Praxis ungeeignet sind, eliminiert werden (Beispiel 4-19). Bei in der Praxis üblichen Elementgrößen ist der Randstreifeneffekt in den Finite-Element-Schnittgrößen immer enthalten (Beispiel 4-18). Da für die Bemessung von Stahlbetonplatten die Querkräfte ohnehin nicht unmittelbar am Rand benötigt werden, sind aus dem Randsteifeneffekt erhaltenen Querkräfte für die Bemessung durchaus geeignet. Tabelle 4-19 Singularitäten von Schnittgrößen an den Eckpunkten von schubstarren Platten Lagerung

Momente

Querkräfte

α >180°

α >78°

α

α >90°

α >51°

α

α >90°

α >60°

α

α >95°

α >52°

α

α >129°

α >90°

α >180°

α >126°

α

α

freier Rand Lagerungsart:

gelenkige Lagerung Einspannung

An Eckpunkten des Tragwerksmodells können auch bei Platten Singularitäten der Schnittgrößen auftreten. Typisch ist, wie bei der Scheibe, der Fall der „einspringende Ecke“. Eine genauere Betrachtung zeigt, dass die Grenzwinkel, bei deren Überschreitung Singularitäten in Erscheinung treten, für Biegemomente und Querkräfte unterschiedlich sind. Diese sind in Tabelle 4-19 für die schubstarre Platte [4.64, 4.65] und in Tabelle 4-20 für die schubweiche Platte [4.122] bei verschiedenen Lagerungsarten angegeben.

4.11 Modellbildung von Bauteilen

315

Tabelle 4-20 Singularitäten von Schnittgrößen an den Eckpunkten von schubweichen Platten Lagerung

α α

Momente

Querkräfte

α >180°

α >180°

α >180°

α >90°

α >129°

α >90°

α >180°

α >180°

α >129°

α >180°

α >90°

α >180°

α >61.7° (µ=0.29)

α >90°

α >90°

α >90°

α >61.7° (µ=0.29)

α >180°

α >90°

α >180°

α >90°

α >180°

α >45°

α >90°

s

α h

s

s

α s

h

α h

h

α h

α s α

h

s α

s

s α

h

h α

s

h

Lagerung

α

α >180°

α >90°

α >180°

α >90°

α >180°

h

h

α s

h

α s

α >180°

s

freier Rand gelenkige Lagerung s = soft support h = hard support Einspannung s = sliding edge h = volle Einspannung

316

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bei der schubweichen Platte muss zwischen der bezüglich des Drillmomentes harten und weichen Lagerung unterschieden werden. Da es sich bei den Schnittgrößensingularitäten um lokale Effekte handelt, können in der Praxis die auf die Längeneinheit bezogenen Schnittgrößen im Eckbereich integriert und als integrale Größen in die Bemessung eingeführt werden, wie dies für Scheiben bereits erläutert wurde. Beispiel 4.18

Für die in Beispiel 4.10 untersuchte Platte ist das Gleichgewicht zwischen der Auflagerkraft und den Elementquerkräften in Randmitte im Lastfall Gleichlast zu überprüfen. Die an den Knoten gemittelten Elementquerkräfte und Elementdrillmomente am oberen Plattenrand (y = 5m) sind für die sehr feine Diskretisierung der Platte in 32x32 Elemente in Bild 4-81 dargestellt. Sie wurden mit den hybriden Plattenelement für die schubstarre Platte mit [P2] ermittelt. Die Auflagerkraft in Randmitte setzt sich nach (2.12) aus der Elementquerkraft v = -33.0 [kN/m] und einem Anteil infolge der Änderung des Drillmomentes zusammen. Mit diesem Anteil, den man aus der Elementgröße von 10/32 = 0.3125 [m] und den beiden Drillmomentenwerten von 0 bei x=0 und -3.69 [kNm/m] am benachbarten Knotenpunkt erhält, ergibt sich die Auflagerkraft zu: 3.69 − 0.0 = 44.8 [kN/m ] v = − vn* = 33.0+ 0.3125

Sie stimmt gut mit der aus der Knotenkraft am Auflagerpunkt von 14.26 [kN] ermittelten verteilten Auflagerkraft von v=

14.26 = 45.6 [kN/m ] 0.3125

sowie mit der analytischen Lösung nach [4.35] von v=

10.10 = 45.7 [kN/m ] überein. 2.19

Querkräfte vvvv[kN/m]

Drillmomente mxxxyyy[kNm/m]

Bild 4-81 Querkräfte und Drillmomente am Plattenrand (an den Knoten gemittelte Elementkräfte)

4.11 Modellbildung von Bauteilen

317

Beispiel 4.19

E = 30000 MN / m 2

A / 16 A /8 A/4

µ=0 A = 5.00 m h = 0.20 m h / A = 1 / 25

A

A / 32

Für die in Bild 4-82 dargestellte, allseitig gelenkig gelagerte, quadratische Platte mit einer Gleichlast ist der Randstreifeneffekt bei den Querkräften an verschiedenen Stellen der Platte durch eine Konvergenzstudie nachzuweisen.

A

Bild 4-82 Allseitig gelenkig gelagerte quadratische Platte mit Gleichlast

Die Platte wird mit [P1] für unterschiedliche Elementgrößen e untersucht. Es wird das in [P1] implementierte schubweiche Element mit nichtkonformen Ansätzen nach [4.34], [4.39], [4.40] verwendet. Die Platte wird bezüglich des Drillmomentes weich gelagert. Tabelle 4-21 Konvergenz statischer Werte einer quadratischen Platte

4x4

8x8

16x16

32x32

Schubstarre Platte nach Czerny [4.35]

0.0405

0.0396

0.0385

0.0382

0.0368

0.1291

0.2741

0.3254

0.3637

0.3378

0.4378

0.4557

0.4582

0.4582

0.4566

0.0508

0.0515

0.0512

0.0513

0.0487

FEM-Diskretisierung Statische Größe Feldmoment

(

m x ,m / q ⋅ A 2

)

Querkraft in Rand-Mitte

vx, R /(q⋅ A) Auflagerkraft in Rand-Mitte

a x, R / ( q⋅ A ) Durchbiegung

(

f m ⋅ E ⋅ h3 / q ⋅ A 4

)

Die Biegemomente, die Durchbiegung in Plattenmitte und die Auflagerkraft in Randmittekonvergieren rasch, Tabelle 4-21. Die Endwerte unterscheiden sich allerdings aufgrund der Schubweichheit der Platte geringfügig von den Werten der schubstarren Platte nach [4.35]. Es werden nun die Querkräfte am Rand (x=0) und an den Stellen x = A / 32, A /16, A / 8, A / 4 untersucht, Bild 4-83. Dabei zeigt es sich, dass die Querkräfte bei x = A / 32, A /16, A / 8, A / 4 vergleichsweise rasch konvergieren, wobei die Konvergenz umso besser ist, je weiter die Stelle

318

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

vom Rand entfernt ist. Die Querkraft am Rand konvergiert hingegen extrem langsam gegen die Auflagerkraft, mit der sie aus Gleichgewichtsgründen gleich sein muss. Erst bei einem extrem feinen FE-Netz von 512x512 Elementen ist eine annähernde Gleichheit erreicht. Ähnliches gilt für die Drillmomente am Rand, Bild 4-84. Sie nehmen erst bei extrem kleinen Elementgrößen zu annähernd Null ab [4.130]]. Die Ergebnisse verdeutlichen den Randstreifeneffekt: Am Rand ist die Auflagerkraft gleich der Rand-Querkraft. Diese Rand-Querkraft „verwandelt“ sich innerhalb eines sehr schmalen Streifens entlang des Randes in eine deutlich niedrigere Querkraft und in ein Drillmoment (vgl. Gl. (2.12)). Diese Querkraft ist dann letztlich für die Querkraftbemessung maßgebend. Bei üblichen Elementabmessungen, etwa der 8x8- oder der 16x16-Elementierung, erhält man diesen Querkraftwert unmittelbar am Rand des FE-Modells als Rand-Querkraft (Bild 4-83). Zum Vergleich sind auch die analytisch ermittelte Auflagerkraft und die Querkraft am Rand nach [4.35] angegeben.

A / 32 A / 16

A/8 A/ 4

Bild 4-83 Konvergenz der Querkräfte und der Auflagerkraft im Schnitt y = 2.5 m

mxy,R/mx,m 80,0% 70,0% 60,0%

FE-Drillmoment am Rand

50,0% 40,0% 30,0% 20,0% 10,0% 0,0%

4x4

8x8

16x16

32x32

64x64

128x128

256x256

512x512

Bild 4-84 Konvergenz des Drillmoments bei x=0, y=3.75m, bezogen auf das Biegemoment in Plattenmitte

4.11 Modellbildung von Bauteilen

319

Linienlager (Wände)

Platten können punkt-, linien- oder flächenhaft gelagert sein. Der Fall der flächenhaften elastischen Lagerung, d. h. der elastischen Bettung von Platten, stellt keine besondere Schwierigkeit dar. Die Modellbildung kann entweder mit speziellen Finiten Plattenelementen erfolgen, die die elastische Bettung bereits bei der Elementformulierung berücksichtigen, oder durch Einzelfedern an den Knotenpunkten. Die Einzelfedern haben die Größe

kv = ks ⋅ Ak

(4.134a)

wobei ks der Bettungsmodul und Ak die Bezugsfläche des Knotens, z. B. bei einem regelmäßigen Raster die Elementgröße, bedeuten. Die Wahl des Bettungsmoduls erfolgt nach den in Abschnitt 3.7.3 genannten Kriterien. Bei linienartigen Lagern können Singularitäten der Schnittgrößen auftreten. Dies ist vor allen in gelagerten Plattenecken mit einem stumpfen Öffnungswinkel der Fall, Tabelle 4-19, Tabelle 4-20. Eine besonders starke Singularität stellt sich bei unterbrochenen Stützungen am Ende der Unterstützung ein. Zur Behandlung dieser Singularitäten gibt es die in Abschnitt 4.11.2 genannten Möglichkeiten. Entweder akzeptiert man die Singularitätenstelle im Tragwerksmodell und interpretiert die integralen Schnittgrößen ingenieurmäßig oder man modifiziert das Tragwerksmodell und führt eine elastische Lagerung ein. Die Federkonstante einer Wand (pro [m]) lässt sich leicht aus deren Normalkraftsteifigkeit ermitteln zu: kv =

E⋅ b ª kN/m 2 º¼ h ¬

(4.134b)

mit h = Wandhöhe unter der Decke [m], b = Wandbreite [m] und E = Elastizitätsmodul der Wand [kN/m2]. In der Regel sollte diese Lösung gewählt werden, da durch die starre Lagerung, z. B. bei einer unterbrochenen Stützung, auch die Auflagerkräfte stark gestört werden können. Linienlager werden durch Festhalten der Vertikalverschiebung definiert. Nach der Theorie der schubweichen Platte sind zwei Lagerdefinitionen, nämlich die „harte“ Lagerung, bei der die Verdrehung um eine Achse senkrecht zum Rand Null wird und die „weiche“ Lagerung, bei der das Drillmoment am Rand Null ist, möglich (vgl. Abschnitt 2.3). Die Ergebnisse unterscheiden sich in der Praxis nur geringfügig [4.66]. Bei der „harten“ Lagerung muss das am Rand auftretende Drillmoment konstruktiv aufgenommen werden. Um dies in der Praxis zu vermeiden, wird man in der Regel die „weiche Lagerung“ wählen, bei der nur die Vertikalverschiebung festgehalten und die Drehwinkel frei gelassen werden. Bei gelenkigen Randlagern von Kreisplatten oder Lagerabschnitten mit kreisförmigem Rand ist darauf zu achten, dass die Lagerpunkte exakt auf dem Kreisbogen liegen. Ist dies nicht der Fall, - beispielsweise wenn der kreisförmige Rand durch Rechteckelemente angenähert wird und diese teilweise über den Rand hinausragen -, kann leicht eine ungewollte Einspannwirkung entstehen. Dies ist auch bei Linienlagern der Fall, deren Achse streckenweise einen kleinen Versatz besitzen. In diesem Fall ist zu prüfen, ob ein einspannungsfreier, geradliniger Verlauf der Lagerachse – ohne Versatz – dem gewünschten Tragverhalten nicht eher entspricht.

320

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

(a) Knoten mit Überständen

(b) Knoten exakt auf Kreisbogen

Bild 4-85 Gelenkige Lagerung von kreisförmigen Platten

Beispiel 4.20 Schiefwinklige, vierseitig gelagerte Platten werden in der Literatur häufig als Testbeispiele für parallelogrammförmige Elementformen aufgeführt. Die durch eine Gleichlast belastete, allseitig gelenkig gelagerte schiefwinklige Platte nach Bild 4-86 ist mit hybriden Elementen mit quadratischem Spannungs- und kubischem Verformungsansatz zu untersuchen; die Ergebnisse sind mit der analytischen Lösung in [4.67] zu vergleichen. Die Singularität lässt sich durch die Annahme einer elastischen Lagerung der Platte vermeiden, die der Wirklichkeit auch eher entspricht. Für eine Federkonstante von 1.106 [kN/m2] erhält man die in Tabelle 4-22 angegebenen Werte. Die geringe Zunahme der Feldmomente ist auf die elastische Lagerung und den dadurch geringeren „Einspanneffekt“ der Ecken zurückzuführen.

10,0 30°

mI,m , mII,m m fm mI,e e mII,e

10,0

q = 10KN/m

2

[m]

System

FE-Netz 8 x 8 Bild 4-86 Schiefwinklige Platte

Hauptmomente

E= 3 ⋅ 10 kN/m µ = 0,3 d = 0,5 m 7

2

4.11 Modellbildung von Bauteilen

321

Tabelle 4-22 Durchbiegungen und Hauptmomente der schiefwinkligen Platte BerechnungsModell

fm [mm]

mI,m [kNm/m]

mII,m [kNm/m]

mI,e [kNm/m]

mII,e [kNm/m]

Analytisch

0.12

19.1

10.8

∞

-

Starre Lager 2x2 4x4 8x8 16 x 16 32 x 32

0.13 0.13 0.12 0.12 -

18.4 20.9 18.5 19.9 -

12.0 13.3 10.8 11.5 -

3.4 7.7 14.6 25.9 44.8

2.3 0.3 1.1 1.6 1.8

Elastische Lagerung 4x4 8x8 16 x 16

-

21.2 20.0 20.3

12.9 11.8 12.0

6.1 6.6 5.6

0.4 0.1 -0.3

Die gleiche Platte wurde in [4.18] mit verschiedenen Elementen untersucht. In [4.68] wird darauf hingewiesen, dass bei bestimmten Elementtypen die Elementform (Rechteck oder Parallelogramm) einen deutlichen Einfluss auf die Schnittgrößen schiefwinkliger Platten haben kann. Berechnungsergebnisse einer ähnlichen Platte mit einem 4x4-FE-Netz, die mit verschiedenen kommerziellen Finite-Element-Programmen erhalten wurden, sind in [4.58] angegeben.

Beispiel 4.21 Unterbrochene Stützungen und Wandvorlagen sind in der Praxis häufig gegeben. Bei starrer Lagerung treten hierbei an den freien Wandenden starke Singularitäten in den Plattenschnittgrößen auf. Die in Bild 4-87 dargestellte Platte ist mit starrer und mit elastischer Lagerung im Lastfall Gleichlast zu untersuchen; die für die Bemessung maßgebenden Schnittgrößen im Punkt m sind zu ermitteln. Die Berechnungen wurden mit hybriden Elementen mit quadratischen Spannungs- und kubischen Verformungsansätzen mit [P2] durchgeführt. Die Hauptspannungen und Durchbiegungen in Bild 4-87 vermitteln einen Eindruck von der Beanspruchung der Platte. Am freien Wandende treten hohe Stützmomente in x- und y-Richtung auf. Die in Tabelle 4-23 für verschiedene Elementgrößen angegebenen Momentenwerte mx und my am freien Wandende zeigen bei starrer Lagerung die erwartete Singularität. Die von x = 3.5 [m] bis x = 4.5 [m] integrierten Stützmomente my am freien Wandende (y = 4.0 [m]) unterscheiden sich hingegen für die Elementgröße von 0.5 [m] und 0.25 [m] nur geringfügig. Noch geringer sind die Unterschiede des abzudeckenden negativen Gesamtmomentes My (bei y = 4.0 [m]) zwischen den Momentennullpunkten. Das Gesamtmoment My und damit die hieraus sich ergebende Bewehrung ändern sich somit kaum. Lediglich die Verteilung der Bewehrung kann sich mit zunehmender Netzverfeinerung in geringem Umfang ändern. Bei elastischer Lagerung der Wand weisen die Plattenmomente keine Singularitätenstelle auf. Das Gesamtmoment My ist deutlich niedriger als bei starrer Lagerung, während die Feld-

322

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

momente my geringfügig höher sind. Die extremen Spitzenwerte der Auflagerkraft am freien Wandende werden durch die elastische Lagerung deutlich abgemindert.

Bild 4-87 Platte mit unterbrochener Stützung

Tabelle 4-23 Durchbiegungen und Hauptmomente der Platte Moment in Streifen der Breite 1 m My [kNm]

Gesamtmoment bis o-Pkt My [kNm]

max Feldmoment my [kNm/m]

min Stützmoment my [kNm/m]

Auflagerkraft Punkt ´m´ vm [kN/m]

Stützmoment Punkt ´m´ mx [kNm/m]

e = 1.0

-26.8

-47.2

13.6

-33.6

947

-37.3

e = 0.5

-34.3

-52.2

13.3

-51.7

823

-52.4

e = 0.25

-38.6

-54.6

13.5

-75.5

2088

-71.7

e = 1.0

-19.2

-32.8

14.6

-24.0

268

-30.8

e = 0.5

-16.6

-35.8

15.1

-23.7

360

-33.6

Lagerung und Elementgröße Starre Lagerung

Elastische Lagerung

4.11 Modellbildung von Bauteilen

323

Bild 4-88 Biegemomente in den Schnitten A-A und B-B (e=0.5[m])

a) Punktlager

c) MPC-Modell/Starrer Stützenkopf

b) Elastische Bettung

d) EST-Modell/ Koppelfedermodell

e) Flüssigkeitskissenmodell

Bild 4-89 Tragwerks- und Finite-Element-Modelle für Einzelstützen von Flachdecken

324

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Punktförmige Lager (Stützen)

Für Einzelstützen von Flachdecken wurde eine Reihe unterschiedlicher Tragwerks- und FiniteElement-Modelle entwickelt (Bild 4-89). Modellbildung für Stützen:

• Punktlager • Elastische Bettung der Platte am Stützenkopf • MPC-Modell/Starrkörpermodell des Stützenkopfes • EST-Modell/Koppelfedermodell • Flüssigkeitskissen-Modell

mx 2 ql

q l

0,4

x d

0,3 d/l = 0,05 Anschnittmomente nach [4.46]

0,2

l

l µ = 0,2

d/l = 0,10

0,1

d/l = 0,15 d/l = 0,20

FE: Hybrides Plattenelement [P2]

l/2 2x2

6x6

4x4

10 x 10

x

d = 0,05 l

d = 0,10 l

FE - Diskretisierung von ¼ Deckenfeld

d = 0,15 l Bild 4-90 Finite-Element-Berechnung des Innenfeldes einer Flachdecke mit Punktlagerung der Stütze

4.11 Modellbildung von Bauteilen

325

Punktlager

Bei der Punktlagerung wird ein Knotenpunkt des Finite-Element-Modells in vertikaler Richtung festgehalten, Bild 4-89a. Da die Auflagerkraft als Punktlast auf die Platte wirkt, werden die Schnittgrößen sowohl bei der schubstarren wie auch bei der schubweichen Platte an der Stütze singulär. Die Berücksichtigung der Einspannwirkung der Stütze durch eine Drehfeder am Knotenpunkt ist nicht zulässig, da die Verdrehung infolge eines Einzelmoments eine singuläre Größe ist (vgl. Tabelle 4-25). Trotz der genannten Unzulänglichkeiten kann das Modell der Punktlagerung in der Praxis eingesetzt werden, wenn bestimmte Einschränkungen beachtet werden. Bild 4-90 zeigt das Biegemoment mx ist für eine Flachdecke mit einem unendlich großen quadratischen Stützenraster (Innenfeld) für mehrere regelmäßige Finite-Element-Netze mit einer Punktlagerung. Die Zunahme des Stützmoments bei einer Verfeinerung des FiniteElement-Netzes ist deutlich zu erkennen. Sinnvoller als eine Bemessung für das Stützmoment, das von der gewählten Größe der Finiten Elemente abhängt, ist die Bemessung für das Anschnittsmoment. In [4.69] wird darauf hingewiesen, dass für schlanke Stützen mit d / A Feld ≤ 0.1 (Stützenabmessung d / Stützweite A Feld ) das Anschnittsmoment mit der analytischen Lösung nach [4.70, 4.71] in zufriedenstellender Näherung übereinstimmt. Um Interpolationen der Berechnungsergebnisse zu vermeiden, kann man die Finiten Elemente an der Stütze so wählen, dass die Elementmitten am Stützenrand liegen. Vorgeschlagen wurde auch, die Elemente so einzuteilen, dass die Integrationspunkte am Stützenanschnitt liegen, da die Schnittgrößen der Finiten Elemente in den Integrationspunkten am genauesten sind [4.72]. Die punktförmige Lagerung stellt in jedem Fall eine grobe Vereinfachung des wirklichen Tragverhaltens dar. Bei breiten Stützen wird durch die Punktlagerung das Anschnittsmoment unterschätzt. Bei Stützen mit von der Quadratform abweichendem Querschnitt oder bei Rand- und Eckstützen sind fehlerhafte Ergebnisse zu erwarten [4.73].

Bild 4-91 Bemessung für integrale Momente

Eine weitere Möglichkeit ist die Bemessung für ein integrales Moment [4.74]. Hierzu wird das Moment in Anlehnung an die klassische Aufteilung in Gurt- und Feldstreifen in [4.75] senkrecht zur betrachteten Momenten- beziehungsweise Bewehrungsrichtung integriert (Bild 4-91). In [4.60] wird darauf hingewiesen, dass die Integration der Elementschnittgrößen genauere resultierende Schnittgrößen ergibt als die Integration der gemittelten Knotenschnittgrößen.

326

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

(a) Modell A

(b) Modell B

(c) Modell C

Bild 4-92 Finite-Element-Diskretisierungen der Platte im Stützenbereich

Eine andere Möglichkeit zur Korrektur der Annahme der punktförmigen Einleitung der Auflagerkraft ist in [4.76] angegeben. Dort wird die Überlagerung mit einer Gleichgewichtsgruppe von Flächenlasten an der Stütze vorgeschlagen. Die punktförmige Lagerung kann starr sein, wenn dies bei den übrigen Lagerungen auch der Fall ist. Sind die Wände elastisch gelagert, sollten die Stützen im Sinne eines konsistenten Tragwerkmodells durch Vertikalfedern mit der Federkonstanten

kz = E⋅ A A

(4.134c)

nach (4.127b) dargestellt werden. Elastische Bettung der Platte am Stützenkopf

Mit der Modellierung der Stütze als elastisch gebetteter Plattenbereich vermeidet man Singularitäten an der Stütze, Bild 4-89c [4.77, 4.78]. Das Finite-Element-Netz wird in der unmittelbaren Umgebung der Stütze verfeinert, Bild 4-92. In der Praxis sind die Diskretisierungen nach Bild 4.93b und Bild 4.93c empfehlenswert [4.79]. Die Bettung bezieht man im Sinne des Stahlbetonbaus häufig auf die Einwirkungsfläche der Stütze, um die Lastausbreitung in der Platte zu berücksichtigen. Die Einwirkungsfläche ist die Fläche in der Plattenmittelebene, die man durch Vergrößerung des Stützenquerschnitts mit einem Ausbreitungswinkel der Spannungen von 45° erhält, Bild 4-93. Der Bettungsmodul wird in der Regel aus der Vertikalsteifigkeit der Stütze ermittelt. Mit der Stützenfläche A und der Stützenlänge A erhält man aus der Vertikalfeder k z = E ⋅ A A der Stütze nach (127b) den Bettungsmodul zu ks _ z =

σz wz

=

Fz k E A = z = ⋅ Az ⋅ wz Az A Az

(4.135)

wobei σ z die Spannung, die auf die Platte einwirkt, wz die Verschiebung des Stützenkopfes und Az die Einwirkungsfläche der Stütze bedeutet. Setzt man vereinfachend die Einwirkungsfläche gleich der Stützenfläche, gilt: ks _ z =

E h

(4.135a)

4.11 Modellbildung von Bauteilen

327

Eine andere Bettungszahl erhält man hingegen, wenn man davon ausgeht, dass der Stützenkopf eine Drehung anstelle einer Vertikalverschiebung durchführt. Für eine am Fußpunkt gelenkig gelagerte Einzelstütze ergibt sich mit der Drehfeder kφ y = M y φ y = 3⋅ E ⋅ I η h nach (4.127b) der Bettungsmodul zu ks _ z =

σz wz

My⋅ z

=

Iy⋅ φy⋅ z

=

kφ z I yz

= 3⋅

E ⋅ h

Iη I yz

Setzt man wieder vereinfachend die Einwirkungsfläche gleich der Stützenfläche, erhält man k s _ z = 3⋅

E h

.

(4.135b)

Entsprechend erhält man bei einer unten eingespannten Stütze mit der Drehfeder kφ y = M y φ y = 4⋅ E ⋅ I η h nach (4.127b) die Bettungszahl zu

k s _ z = 4⋅

E . h

(4.135c)

Bei einer Einspannung in eine Stütze im oberen und eine Stütze im unteren Stockwerk addieren sich die beiden entsprechenden Bettungsmoduli. Die elastische Lagerung und Einspannung einer Stütze lässt sich also durch einen Bettungsmodul nicht eindeutig beschreiben. Zu beachten ist auch, dass auch ein Modell mit einem Bettungsmodul E h , der sich aus einer konstanten Spannungsverteilung ergibt, eine Einspannung der Platte in die Stütze definiert. Das Moment, das am Stützenkopf eingeleitet wird, ist der Bemessung der Stütze zu berücksichtigen.

Bild 4-93 Einwirkungsfläche der Stütze

328

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

MPC-Modell (Starrkörpermodell des Stützenkopfes)

Ein weiteres Modell zur Abbildung einer Stütze bei einer Plattenberechnung besteht in der Darstellung des Stützenkopfes als starrer Körper, der in seinem Schwerpunkt gelenkig an ein Punktlager oder mit Federn, die Stützensteifigkeit darstellen, verbunden ist (Bild 4-89e). Der starre Körper lässt sich mit Hilfe von kinematischen Kopplungsbedingungen im Rechenmodell beschreiben. Numerische Schwierigkeiten im Gleichungssystem wie bei der näherungsweise Abbildung des starren Stützenkopfes mit Plattenelementen hoher Steifigkeit treten damit nicht auf. Allerdings können bei bestimmten Elementtypen die Plattenschnittgrößen in der Nähe des Stützenkopfes durch den Steifigkeitssprung empfindlich gestört werden. Dies ist, wie sich praktisch zeigt, auch der Fall, wenn außer den Verschiebungsfreiheitsgraden der Platte auch deren Drehfreiheitsgrade gekoppelt werden. Die Biegemomente über der Stütze werden nicht wie bei der elastischen Bettung ausgerundet, sondern bleiben konstant. EST-Modell (Koppelfedermodell)

Das Koppelfedermodell stellt eine Erweiterung des Modells der elastischen Bettung dar, bei dem aber dessen Inkonsistenzen nicht auftreten. Das Modell bildet sowohl die Dehn- als auch die Biegesteifigkeit der Stütze ab. Die elastische Lagerung erfolgt nicht auf Einzelfedern wie bei einer elastischen Bettung, vielmehr sind die „Federn“ untereinander gekoppelt. Man erhält damit eine Steifigkeitsmatrix für die elastische Lagerung. Die Herleitung wird in Abschnitt 4.10.3 dargestellt. Die Stützen können eine allgemeine Querschnittsform sowie eine beliebige Ausrichtung der Hauptachsen besitzen. Flüssigkeitskissen-Modell

Beim Modell des Flüssigkeitskissens geht man davon aus, dass von der Stütze auf die Platte nur Normalkräfte übertragen werden, d. h. durch die Modellierung werden Einspannmomente rechnerisch vermieden (Bild 4-89c). Dieses Modell wurde bereits bei der klassischen analytischen Lösung des Problems der regelmäßigen Flachdecke in [4.70] verwendet. Die mathematische Formulierung für Finite-Element-Modelle ist etwas aufwändiger. In [4.18] wird mit Hilfe eines für die elastische Bettung erweiterten Hellinger-Reißner-Prinzips ein hybrides Plattenelement entwickelt, bei dem als Nebenbedingung ein konstanter Stützendruck angesetzt wird. Die Modellierung von Stützen im Rahmen eines neueren Verfahren, das auf großflächigen Finiten Plattenelementen und Ansatzfunktionen mit hohen Polynomgraden basiert, wird in [4.66] behandelt. Die von der Stütze in die Platte eingeleiteten Druckspannungen sollen eine konstante Pressung darstellen. Daher werden die im elastisch gebetteten Bereich des großflächigen Finiten Elements ermittelten Druckspannungen iterativ verbessert, und zwar so lange bis eine konstante Spannungsverteilung erreicht ist. Wesentlich einfacher ist es das ESTElement ausschließlich mit einer Vertikalfeder k z zu formulieren, so dass in (4.127) kξξ = kηη = 0 ist. Da dann ausschließlich konstante vertikale Pressungen auf die Platte wirken, erhält man damit auch das Flüssigkeitskissenmodell.

4.11 Modellbildung von Bauteilen

(a) Stabelemente mit EST- / MPC-Anschluss

329

(b) Volumenelemente

Bild 4-94 Stützenmodellierung in einem Gebäudemodell [4.127]

Volumenmodell der Stütze

In [4.81, 4.82] wird eine dreidimensionale Modellierung des Stützenbereichs in einem Volumenmodell behandelt. Diese naturgemäß sehr aufwändige Modellierung ermöglicht es, die genaue Spannungsverteilung im Bereich des Stützenkopfes zu berechnen. Dies ist für grundlegende Untersuchungen wertvoll, in der Praxis derzeit aber sicherlich sehr aufwändig. Weiterhin ist auch die Frage noch offen, wie die ermittelten dreidimensionalen Spannungskomponenten in ein geeignetes Bemessungsmodell im Sinne des Stahlbetonbaus umgesetzt werden können. Ein einfacheres dreidimensionales Volumenmodell wird in [4.126] mit Plattenelementen verglichen. Ein weiteres Modell besteht darin, die Stütze mit Volumenelementen zu modellieren, während man die Platte weiter mit Plattenelementen darstellt (Bild 4-94b). Die Ergebnisse dieses Modells stimmen in der Regel gut mit dem MPC- und dem EST-Modell überein [4.126], [4.127]. Darüber hinaus enthalten sie auch die lokale Steifigkeitserhöhung der Platte am Stützenkopf. Um die Biegung der Stütze darzustellen, ist eine ausreichend feine vertikale Unterteilung der Stütze erforderlich. Die Stützenschnittgrößen erhält man durch numerische Integration der Spannungen in den Volumenelementen. Das Modell ist insbesondere für Stützenmodellierungen in dreidimensionalen Gebäudemodellen geeignet [4.126]. Modellwahl

In der Praxis wird heute im Allgemeinen das Modell der elastischen Bettung zur Modellierung der Stützen von Flachdecken vorgezogen. Hierbei werden Singularitäten vermieden und die Reduzierung der Stützweite sowie die Einspannwirkung bei großen Stützenquerschnitten berücksichtigt. Die Wahl des Bettungsmoduls ist allerdings nicht problemlos. Seine Größe ist vor allem bei Rand- und Eckstützen von Bedeutung, während er bei Innenstützen die Ergebnisse kaum beeinflusst. Konsistenter ist die Anwendung des EST-Modells (Koppelfedermodells). Dieses sollte wegen seiner Konsistenz im Allgemeinen vorgezogen werden. Sofern das ESTElement in das verwendete Programm nicht implementiert ist, liefert das Modell der elastischen Bettung die besten Ergebnisse (vgl. Beispiel 4.22). Hierbei müssen dann aber der Bettungsmodul aufgrund der Biegesteifigkeit der Stützen bestimmt und die sich in der elastischen Bettung ergebenden Momente bei der Bemessung der Stütze berücksichtigt werden.

330

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Beispiel 4.22

Bild 4-95 Ausschnitt aus einer Flachdecke mit freiem Rand

Die in Bild 4-95 dargestellte Flachdecke ist zum Vergleich mit folgenden Modellen der Stütze zu untersuchen: E a) Elastische Bettung der Platte im Stützenbereich mit k s _ z = h E b) Elastische Bettung der Platte im Stützenbereich mit k s _ z = 3⋅ h c) Modellierung der Stütze mit einem EST-Element. Die Stützen sind am Fußpunkt gelenkig gelagert. Der Bettungsmodul im Modell a) entspricht der Normalkraftsteifigkeit, derjenige des Modells b) der Biegesteifigkeit der Stütze. Die Decke ist mit einer konstanten Flächenlast p z belastet, ihre Dicke beträgt d Pl = A / 30 , die Querdehnzahl ist µ = 0.2 . Die quadratischen Stützen besitzen die Seitenabmessungen a = b = A / 20 und die Höhe h = A / 2 . Die Berechnungen werden mit dem in [P1] implementierten schubweichen Plattenelement durchgeführt.

Bild 4-96 zeigt die Momente in den beiden Schnitten A-A und B-B. Die Größe der Bettungszahl beeinflusst danach die Biegemomente in der Platte an der Randstütze wesentlich, ihr Einfluss an der Innenstütze ist hingegen unbedeutend. Bild 4-97 zeigt die Momente für das EST-Modell. An der Innenstütze stimmen die Ergebnisse mit denjenigen der elastischen Bettung gut überein. An der Randstütze gilt dies nur, wenn die Bettungszahl aufgrund der Biegesteifigkeit der Stütze, also für eine gelenkig gelagerte Einzelstütze mit 3⋅ E / h , nicht aber mit E / h bestimmt wurde. Grundsätzlich ist das EST-Modell vorzuziehen, da es die Steifigkeitsanteile aus der Normalkraft- und der Biegebeanspruchung konsistent erfasst. Die Stabendgrößen der Stütze erhält man mit (4.130) an der Innenstütze zu Fz /( p⋅ A 2 ) = 1.08 M ξ = 0 und M η /( p⋅ l 3 ) = 0.004 und an der Randstütze zu Fz /( p⋅ A 2 ) = 0.45 , M ξ = 0 und M η /( p⋅ l 3 ) = − 0.021 .

4.11 Modellbildung von Bauteilen

331

-0,30

E/H

3E/H

-0,20

-0,10

0,00 -0,10

(a) Stützmomente 0,10

0,30

0,50

0,70

0,90

1,10

1,30

1,50 x/l

m y /( p ⋅ A 2 )

im Stützen-

streifen, Schnitt A-A

-0,30 E/H

3E/H

-0,20 -0,10 aa

0,00 0,10 0,20 -0,10

(b) Stützmomente 0,10

0,30

0,50

0,70

0,90

1,10

1,30

1,50 x/l

m x /( p ⋅ A 2 )

im Stützen-

streifen, Schnitt A-A y/l -0,10 E/I

3E/I

-0,05

0,00

0,05 0,00

(c) Stützmomente 0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

m x /( p ⋅ A 2 ) im Stützenstreifen, Schnitt B-B

Bild 4-96 Momente mit den beiden Modell mit elastischer Bettung (Modelle a) und b))

332

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

-0,35

EST-Element

Elastisch

-0,25

-0,15

-0,05

0,05 -0,10

0,40

0,90

1,40 x/l

(a) Stützmomente

m y /( p⋅ A 2 ) im Stützenstreifen, Schnitt A-A

-0,30

EST-Element

Elastisch

-0,20

-0,10

0,00 -0,10

0,40

0,90

1,40 x/l

EST-Element

Elastisch

(b) Stützmomente

mx /( p⋅ A 2 ) im Stützenstreifen, Schnitt A-A

-0,15

-0,10

-0,05

0,00 y/l 0,05 0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

(c) Stützmomente

mx /( p⋅ A 2 ) im Stützenstreifen, Schnitt B-B

Bild 4-97 Momente mit EST-Element und dem Modell der elastischen Bettung (Modelle b) und c))

4.11 Modellbildung von Bauteilen

333

Stützenkopfverstärkungen

Stützenkopfverstärkungen werden als Plattenbereich mit erhöhter Dicke abgebildet. Der Bereich der Stützenkopfverstärkung erfordert im Allgemeinen eine feinere Elementierung als dies ohne Stützenkopfverstärkung der Fall wäre. Bild 4-98 zeigt einen Ausschnitt aus einer regelmäßigen Flachdecke mit Pilzkopfverstärkungen. An der Stützenkopfverstärkung findet für Momente, die Spannungen parallel zur Stützenkopfverstärkung hervorrufen, ein Momentensprung statt. Dieser kann aus der Momenten-Krümmungs-Beziehung hergeleitet werden. Links und rechts des Randes parallel zur y-Achse sind nämlich die Krümmungen κ y,v und

κ y , p sowie die Momente mx,v und mx, p jeweils gleich. Man erhält hieraus das Verhältnis der Momente m y ,v und m y , p im verstärkten und im unverstärkten Bereich zu: § = ¨¨ m y, p © m y ,v

3 hv · ¸ h p ¸¹

§ §§ ·3 · m ·¸ ¨ ¨¨ hv ¸ ¸ x ,v ¨ 1+ µ⋅¨¨¨ h ¸ − 1¸¸⋅ m ¸ ¨ ¸ ©© p ¹ ¹ y ,v ¹ ©

(4.136)

Für die Querdehnzahl µ = 0 ist das Verhältnis zwischen den Momenten in der Verstärkung und in der Platte § h ·3 = ¨ v¸ m y , p ¨© h p ¸¹ m y ,v

(4.136a)

Für µ ≠ 0 hängt der Momentensprung darüber hinaus vom Verhältnis der Momente mx,v und m y ,v in x- und y-Richtung im verstärkten Bereich ab.

Bild 4-98 Regelmäßige Flachdecke mit Stützenkopfverstärkungen

334

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Beispiel 4.23

2

(a) m y /( p⋅ A ) Stützenstreifen (A-A)

2

(b) mx /( p⋅ A ) Stützenstreifen (A-A)

(c)

m y /( p⋅ A 2 ) Feldstreifen (B-B)

Bild 4-99 Momente einer regelmäßige Flachdecke mit Stützenkopfverstärkungen [4.79]

4.11 Modellbildung von Bauteilen

335

Für eine regelmäßige Flachdecke mit Stützenkopfverstärkungen soll der Einfluss der Diskretisierung untersucht.werden (Bild 4-98). Das Stützenraster beträgt l x = l y = 6 m , die Plattenstärke ist h = 20 cm, der quadratische Stützenquerschnitt hat eine Seitenlänge von d = 30 cm. Der Stützenkopf besitzt in einem quadratischen Bereich von lv = 0.3⋅ l x eine Verstärkung auf die Plattenstärke hv = 2, 0⋅ h p . Die Stütze wird durch 4 elastisch gebettete Elemente mit einem Bettungsmodul von 3⋅ E l dargestellt. Die Momente in einem Viertel der Platte sind für verschiedene regelmäßige Diskretisierungen des Plattenfeldes in Bild 4-99a-c dargestellt. Bei einer Elementierung mit 10 Elementen zwischen den Auflagern, die einer Unterteilung des Abstandes zwischen dem Rand des verstärkten Bereichs und dem Stützenrand in 2 Elemente entspricht, sind die Ergebnisse ungenauer als bei einer Unterteilung in 20 bzw. 40 Elemente [4.79]. Für praktische Zwecke, bei denen eher das Integral der Schnittgrößen maßgebend ist, ist die Genauigkeit aber durchaus ausreichend. Unterzüge

Balkenartige Aussteifungen von Platten können als Unterzüge, aber auch in anderen Formen auftreten (Bild 4-100) und stellen eine besondere Form einer nachgiebigen Lagerung einer Platte dar. Im Hochbau ist die häufigste Form der Unterzug. Da die Nulllinie des Unterzugs nicht in der Plattenmittelebene liegt, treten in der Platte Normalkraftbeanspruchungen auf. Deren explizite Berücksichtigung erfordert die Berechnung des Systems als Faltwerk mit Finiten Schalenelementen anstelle von Plattenelementen.

Bild 4-100 Balkenartige Bauteile bei Platten

Bei der ´Handrechnung´ berücksichtigt man die Normalkraftbeanspruchung der Platte, indem man den Unterzug als T-Querschnitt mit einer mitwirkenden Plattenbreite betrachtet. Für die Finite-Element-Berechnung werden in [4.72, 4.83-4.88] verschiedene Tragwerksmodelle vorgeschlagen (Bild 4-101). Tragwerksmodelle für Unterzüge

a) Faltwerkmodelle: Modellierung der Platte mit Schalenelementen – Modellierung des Stegs mit Standard-Schalenelementen – Modellierung des Stegs mit Schalenelementen mit exzentrischer Bezugsachse – Modellierung des Stegs mit Balkenelementen mit exzentrischer Bezugsachse

336

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke b) Plattenmodelle: Modellierung der Platte mit Plattenelementen – Modellierung des Stegs mit Balkenelementen mit exzentrischer Bezugsachse – Modellierung des Stegs mit zentrischen Balkenelementen – starre Lagerung der Platte

Bild 4-101 Abbildung von Unterzügen durch Stabelemente

Die Faltwerkmodelle berücksichtigen die Normalkraftbeanspruchung der Platte explizit und bestimmen somit die mitwirkende Plattenbreite automatisch. Modelliert man den Steg mit Standard-Schalenelementen, kommt es im Bereich des Übergangs vom Steg zur Platte zu Überschneidungen der Elemente, die insbesondere bei gedrungenen Querschnitten zu einer Überschätzung der Steifigkeit führen. Geometrisch richtig ist die Modellierung des Stegs durch Schalenelemente mit exzentrischer Bezugsachse (Bild 4-101b). Aufgrund der theoretischen Annahmen beim Schalenelement wird hierbei ein Ebenbleiben des Querschnitts vorausgesetzt. Beim Faltwerk mit exzentrischem Balken (Bild 4-101c) sind Inkonsistenzen zwischen Balken und Plattenelementen vorhanden, die zu einem zusätzlichen Diskretisierungsfehler und zu Sprüngen in den Zustandslinien führen. Sie haben die gleiche Ursache wie beim Modell der Platte mit exzentrisch angeschlossenem Balken und werden in diesem Zusammenhang erläutert (s. u.). Wenn ein Unterzug mit einem Faltwerksmodell abgebildet wird, sollte das Modell mit exzentrisch angeordneten Schalenelementen gewählt werden [4.86]. Faltwerkmodelle erfordern allerdings einen deutlich höheren Rechenaufwand als Plattenmodelle, da sie je Knotenpunkt zwei zusätzliche Freiheitsgrade für die Scheibenwirkung besitzen. Schwierigkeiten können bei

4.11 Modellbildung von Bauteilen

337

Faltwerkmodellen die Modellierung der Auflager des Unterzugs sowie die Beeinflussung der Schnittgrößen der Deckenplatte quer zum Unterzug durch die Schalenelemente des Stegs bereiten. In der Praxis werden Faltwerkmodelle nur dann eingesetzt, wenn eine genaue Erfassung der mitwirkenden Plattenbreite sinnvoll ist. Dies ist beispielsweise bei vorgespannten Platten der Fall [4.88]. Aufgrund der einfacheren Modellierung und des geringeren Rechenaufwandes werden in der Praxis meist Plattenmodelle gegenüber Faltwerkmodellen bevorzugt. Zunächst wird die Modellierung des Unterzugs mit zentrischen Balkenelementen nach Bild 4-101e behandelt. Hierbei bildet man den Unterzug als Biegebalken mit einem Plattenbalkenquerschnitt ab und kann damit auf die explizite Berücksichtigung der Normalkraftbeanspruchung der Deckenplatte verzichten. Für den Plattenbalkenquerschnitt muss eine mitwirkenden Plattenbreite, z. B. nach [4.71], bestimmt werden. Die hierin enthaltene Näherung ist in der Regel gerechtfertigt, da die Berechnungsergebnisse bei einer sinnvollen Wahl der mitwirkenden Breite meist nur geringfügig von deren Größe abhängen. In Einzelfällen kann auch eine abschnittsweise konstante, aber über die Balkenlänge veränderliche mitwirkende Breite vorgegeben werden, um Einschnürungen an Einzellasten und Auflagern zu berücksichtigen [4.87]. Besondere Bedeutung kommt der Wahl der Biegesteifigkeit des Balkens zu, da die Nachgiebigkeit eines Unterzugs zu merklichen Schnittgrößenumlagerungen in einer Deckenplatte führen kann. Das Trägheitsmoment und die Schwerpunktkoordinaten eines Plattenbalkens lauten mit den Bezeichnungen nach Bild 4-102: e0 =

b0 ( d 0 − d ) d0 d ⋅ + 2 b ⋅ d + b0 ( d 0 − d ) 2

Iges = IPl + IBa + ISt

(4.137a)

(4.137b)

mit

I Pl =

b⋅ d 3 12

(4.137c)

b0 ⋅ ( d 0 − d )

3

I Ba =

IS t =

12

b⋅ d ⋅ b0 ⋅ ( d 0 − d ) d 0 2 ⋅ b⋅ d + b0 ⋅ ( d 0 − d ) 4

(4.137d)

(4.137e)

Das Trägheitsmoment des Gesamtquerschnitts setzt sich also aus den Anteilen IPl, IBa und ISt, die den Trägheitsmomenten der Platte und des Balkens sowie dem Steiner-Anteil entsprechen, zusammen. Dieses Trägheitsmoment muss um den Anteil der Platte reduziert werden, da dieses im Finite-Element-Modell bereits enthalten ist. Somit erhält man das Trägheitsmoment des zentrischen Balkens zur Modellierung des Unterzugs zu: I FE = I ges − I Pl

oder I FE = I Ba + I S t

(4.137f)

338

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bild 4-102 Plattenbalken

Dieses Modell beinhaltet als einzige Näherung die Annahme der mitwirkenden Plattenbreite, die z. B. nach [4.75] bestimmt werden kann. Setzt man die mitwirkende Plattenbreite b mit dem Grenzwert ∞ an, erhält man das Trägheitsmoment und die Schwerpunktlage durch den Grenzübergang von (4.78a) und (4.79) mit b→∞ zu: e0,∞ = d 2

(4.138a)

I FE ,∞ = I Ba + I St ,∞

(4.138b)

mit

I St ,∞ = b0 ⋅ ( d 0 − d ) ⋅

d02 4

(4.138c)

In der Praxis wird auch die Modellierung des Stegs mit Balkenelementen mit exzentrischer Bezugsachse angewandt. Die Balken besitzen die Querschnittswerte des Stegs

ABa = b0 ⋅ (d0 − d )

(4.139a)

b0 ⋅ (d0 − d )3 12

(4.139b)

I Ba =

und sind mit der Exzentrizität e = d0/2 starr an die Platte gekoppelt. Bezieht man das Trägheitsmoment auf die Plattenmittellinie, so erhält man mit dem Steiner-Anteil d2 ABa ⋅ e2 = b0 ⋅ (d0 − d )⋅ 0 4

das Trägheitsmoment nach (4.138c). Die Abbildung des Stegs durch einen Balken mit exzentrischer Bezugsachse ist also identisch mit dem Modell eines zentrisch angeordneten Balkens mit ´∞´ großer mitwirkender Plattenbreite. Es ist offensichtlich, dass vor allem bei großen Steghöhen durch die Annahme einer „∞ großen“ mitwirkenden Plattenbreite die Biegesteifigkeit des Plattenbalkens überschätzt wird. Bei exzentrisch angeschlossenen Stäben tritt darüber hinaus zusätzlich ein Diskretisierungsfehler auf, da die Längssteifigkeit des Stabes nur

4.11 Modellbildung von Bauteilen

339

einen elementweise konstanten Verlauf des Biegemomentenanteils N ⋅ e0,∞ beschreiben kann [4.89]. In [4.85] wird daher das Modell des zentrischen Balkens mit „∞ großer“ mitwirkender Plattenbreite bzw. des an eine dehnstarre Platte exzentrisch angeschlossenen Stabes nur bis zu einem Verhältnis von d0/d = 3 empfohlen. Grundsätzlich sollte das Modell mit einer endlichen mitwirkenden Breite vorgezogen werden. Nach der Durchführung der Finite-Element-Berechnung sind die für Bemessung relevanten Schnittgrößen für den Unterzug zu bestimmen. Das Gesamtmoment im Unterzug, das bei der ´Handrechnung´ der Bemessung von Plattenbalken zugrunde gelegt wird, setzt sich nach Bild 4-102 aus drei Anteilen zusammen: M ges = M Pl + M Ba + N ⋅ e

(4.140)

Das Moment lässt sich auch durch Multiplikation der Krümmung mit der Biegesteifigkeit nach (4.137b) bzw. (2.8a) anschreiben zu:

κ EI ges = κ EI Pl + κ EI Ba + κ EI S t Da der Plattenbalken als einheitlicher Stabquerschnitt wirkt, ist die Krümmung κ in Platte und Balken gleich, so dass gilt:

κ=

M ges EI ges

=

M Pl M Ba N ⋅ e = = EI Pl EI Ba EI S t

(4.140a)

Die Momentenanteile lassen sich somit den entsprechenden Steifigkeitsanteilen zuordnen. Der Momentenanteil MPl ist bereits in den Schnittgrößen der Platte - überlagert mit Plattenmomenten aus anderen Ursachen - enthalten und lässt sich daher im Allgemeinen nur schwer explizit angeben. Während man also bei den klassischen Verfahren die Bemessung des Plattenbalkens als einheitlichen Querschnitt mit dem Moment Mges = M Ba ⋅ I ges / I Ba

(4.140b)

durchführen kann, ist dies beim Finite-Element-Modell kaum noch sinnvoll. In [4.84] wird daher empfohlen, die Bemessung der Platte mit den vom Finite-Element-Programm berechneten Momenten durchzuführen und die Zugbewehrung im Plattenbalkenquerschnitt mit dem verbleibenden Momentenanteil M PlBa = M Ba + N ⋅ e

(4.141)

zu bemessen. Dieses Moment ist das Stabmoment des zentrisch angeordneten Stabes mit der Steifigkeit nach (4.137). Bei exzentrisch angeschlossenen Stäben nach Bild 4-101d ist das Bemessungsmoment aus der vom Programm ausgegebenen Normalkraft N und dem Balkenmoment MBa zu ermitteln. Nachteilig gegenüber der Bemessung des Gesamtquerschnitts ist hierbei, dass bei der Bemessung für das Plattenmoment MPl die Druckkraft, die über die mitwirkende Plattenbreite des

340

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Plattenbalkenquerschnitts wirkt, nicht berücksichtigt wird und dass lediglich der innere Hebelarm in der Platte anstelle des größeren inneren Hebelarms des Gesamtquerschnitts angesetzt wird. In [4.84] wird empfohlen, die Normalkraft nach N = κ⋅

EI S t e

=

M Pl I S t M Ba I S t ⋅ = ⋅ e I Pl e I Ba

(4.142)

die sich aus (4.140a) ergibt, in einer Nachbemessung „von Hand“ anzusetzen sowie die in der Platte erhaltene Bewehrung, zumindest bei kleineren Steghöhen, konstruktiv umzuordnen. Die Querkraft des Plattenbalkenquerschnitts setzt sich aus einem Plattenanteil und einem Balkenanteil zusammen. Während man bei der Bemessung des Gesamtquerschnittes die gesamte Querkraft

Vges = VBa ⋅ I ges / I Ba

(4.142a)

dem Steg zuweist, ist dies hier, ähnlich wie beim Gesamtmoment, kaum sinnvoll. Dies kann zusätzliche konstruktive Überlegungen erforderlich machen. Die Abbildung des Unterzugs als zentrischen Stab kann natürlich auch durch ein Plattenelement mit der Breite b0 des Unterzugs und einer Ersatzhöhe, die sich aus dem Trägheitsmoment IFE zu

hers =

3

12⋅ I FE bo

(4.142b)

ergibt, erfolgen, sofern das verwendete Finite-Element-Programm nicht über Stabelemente verfügt. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass im „Ersatzbalken“ die Querdehnzahl mit µ = 0 anzusetzen ist, um Störungen der Querbiegemomente in der Platte durch den „Unterzug“ zu vermeiden. Unterzüge können auch als starre Lager der Deckenplatte abgebildet werden (Bild 4-101e), wenn ihre Steifigkeit wesentlich höher als diejenige der Platte ist. Dieses vereinfachte Vorgehen sollte allerdings auf im Vergleich zur Deckenstärke sehr hohe Unterzüge beschränkt werden. Beispiel 4.24 Die in Bild 4-103 dargestellte, allseitig gelenkig gelagerte Deckenplatte mit einem Unterzug ist für den Lastfall Gleichlast zu untersuchen. Für den Unterzug erhält man nach [4.75] eine mitwirkende Plattenbreite von 3.7 [m] und damit folgende Trägheitsmomente: Iges = 0.061 [m4]

IFE = 0.058 [m4]

IFE∞ = 0.073 [m4]

Die Berechnung erfolgt für folgende Varianten: A - Unterzug als zentrischer Stab für b = 3.7 [m] B - Unterzug als zentrischer Stab für b → ∞ C - Unterzug als exzentrischer Stab D - Platte auf Unterzug, unverschieblich gelagert

4.11 Modellbildung von Bauteilen

341 Schnitt A-A 20

m

A

A

8

80

q = 10 kN/m²

y

30

x 6

E = 3 ⋅ 107 kN/m²

6

µ=0

Bild 4-103 Deckenplatte mit Unterzug

Tabelle 4-24 Biegemomente und Durchbiegung in Plattenmitte (Punkt m) Modell

MPlBa [kNm]

my [kNm/m]

mx [kNm/m]

f [mm]

A B C D

481 493 490 -

4.7 4.5 4.3 0

-30.0 -31.2 -30.9 -36.4

1.8 1.5 1.6 0

Die mit [P2] ermittelten Biegemomente mx und my in der Platte, das Biegemoment MPlBa im Plattenbalken sowie die Durchbiegung f sind für die Plattenmitte in Tabelle 4-24 angegeben. Die geringsten Balkendurchbiegungen ergeben sich erwartungsgemäß für die Variante B, bei der die Biegesteifigkeit des Stabes um den Faktor IFE∞/ IFE = 1.26 höher als bei Variante A ist. Der Steifigkeitsunterschied wirkt sich hingegen hier nicht sehr wesentlich auf die Biegemomente in der Platte und im Balken aus. Die Unterschiede zwischen den Varianten B und C sind auf den erwähnten Diskretisierungsfehler zurückzuführen. Berechnungsergebnisse, die mit verschiedenen Programmen erhalten wurden, sind in [4.58] angegeben. Lasten

Platten können durch Einzel-, Linien- oder Flächenlasten belastet werden. Singularitäten der Schnittgrößen treten insbesondere bei Einzelkräften und eingeprägten Momenten am Lastangriffspunkt auf, Tabelle 4-25 [4.51]. Bemerkenswert ist, dass die Verdrehung unter einem eingeprägten Moment singulär ist. Dies bedeutet u.a., dass die punktförmige Einspannung eines Biegebalkens in eine Platte oder Schale in einem Finite-Element-Modell unzulässig ist. Bei einer Finite-Element-Berechnung hängt die Größe des Biegemoments unter einer Punktlast von der Größe der Finiten Elemente ab. Näherungsweise lässt sich die Größe der Finiten Elemente nun so wählen, dass man unter der Punktlast dasselbe Biegemoment wie unter einer statisch äquivalenten Teilflächenlast erhält (Bild 4-104).

342

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Tabelle 4-25 Singularitäten bei schubstarren Platten am Lasteinleitungspunkt A Last

Verschiebungsgrößen

Schnittgrößen

nein

ja (mx, my, vx, vy)

F

A

M

ja (ϕ y =

A y

ja (mxy, vy)

dw ) dx

x

P

ja (vx)

nein y

A

A

x

In [4.90] wird hierzu vorgeschlagen, die Größe der Finiten Elemente gleich der αp-fachen Abmessung der Flächenlast, d. h. h = αp.c k = αp.d

(4.143)

zu wählen. Für das hybride Plattenelement mit quadratischem Spannungs- und kubischem Verschiebungsansatz wurde in [4.90] durch Vergleich mit der exakten Lösung für die Teilflächenlast der Wert

αp = 2.5 ermittelt. Dieses Verfahren wurde bereits in [4.91] in Verbindung mit dem Finite-DifferenzenVerfahren angewandt. Es ist jedoch nur für Teilflächenlasten mit kleinen Abmessungen c und d praktikabel, da sich anderenfalls für das Gesamtsystem zu große Finite-ElementAbmessungen ergeben.

F

p k d

h

Bild 4-104 Punktlast und Teilflächenlast

c

4.11 Modellbildung von Bauteilen

343

Bodenplatten

Bei Bodenplatten ist die Tragwirkung des Bodens zu modellieren. Hierzu bestehen verschiedene Möglichkeiten. Baugrundmodelle

• Bettungsziffermodell • Steifeziffermodell • Bodenmodell mit Finiten Elementen Bettungsmodulmodell

Das Bettungsmodulverfahren ist ein einfaches, in der Praxis sehr häufig angewandtes Verfahren. Der Bettungsmodul ist definiert als k S ,m =

σm

(4.144)

wm

wobei σ m die mittlere Pressung unter der Bodenplatte und wm die mittlere Setzung bedeuten. Es handelt sich also um eine auf die Flächeneinheit verteilte Federkonstante. Wenn nicht spezielle Plattenelemente, bei denen die elastische Bettung im Elementansatz berücksichtigt wird, verwendet werden, wird diese in der Regel durch Einzelfedern in den Knoten dargestellt. Die in diesem Fall auch gültige maximale Elementgröße nach (3.31) ist aufgrund der allgemeinen Anforderungen an die maximale Elementgröße in der Regel immer eingehalten. Die Darstellung des Baugrundes als elastische Bettung ist eine praxisgerechte, wenn auch grobe Näherung. Einmal nimmt die mittlere Setzung bei einer gegebenen Pressung mit zunehmender Fundamentgröße ab. Die Größe des Bettungsmoduls sollte daher in jedem Fall unter Beachtung der Fundamentfläche festgelegt werden. Weiterhin sind Einzelfedern nicht in der Lage, die gegenseitige Wechselwirkung benachbarter Bodenbereiche zu beschreiben. Dies ist insbesondere dann von Bedeutung, wenn sich in benachbarten Bereichen die Bodenpressungen stark ändern. Daher sollte unter hohen Einzellasten der Bettungsmodul lokal erhöht werden. Steifemodulmodell

Das Steifemodulverfahren beruht auf dem Modell des elastischen Halbraums und berücksichtigt damit die gegenseitige Wechselwirkung benachbarter Bodenbereiche. Grundlage des Verfahrens ist die Theorie des homogenen, elastischen Halbraums. Danach ergeben sich die Verschiebungen eines Punktes (x, y) auf der Oberfläche des Halbraums aufgrund einer Flächenlast p(x,y), die auf der Teilfläche A an der Oberfläche des Halbraumes wirkt, zu w( x, y ) =

1− µ 2 ⋅ π⋅ E

³³ A

p ( ς, η)

( x − ς) 2 + ( y − η) 2

dς dη

(4.145)

Hierin bedeuten E der Elastizitätsmodul und µ die Querdehnzahl des Bodens. Die an den Knotenpunkten der Plattenelemente von der Bodenplatte auf den Boden übertragenen Kräfte lassen sich nun entsprechend dem EST-Konzept als Flächenlasten darstellen. Für diese können mit (4.145) die Verschiebungen an allen Knotenpunkten ermittelt werden, an denen die Finiten Elemente der Bodenplatte mit den Finiten Elementen des Baugrundes verbunden sind. Dies

344

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

ergibt eine Nachgiebigkeitsmatrix. Die Inverse der Nachgiebigkeitsmatrix ist dann die Steifigkeitsmatrix des Bodens. Das Modell lässt sich erfolgreich zur Berechnung von Bodenplatten anwenden [4.125]. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Gleichung von Boussinesq zur Berechnung der vertikalen Spannung in einem homogenen, elastischen Halbraum unter einer auf eine kleine Rechteckfläche verteilten Einzellast als Grundlage zu nehmen. Hiermit können die vertikalen Dehnungen und daraus die Setzungen des Bodens berechnet werden. Die Beziehung zwischen den Setzungen des Bodens und den Kräften führt zu einer Steifigkeitsmatrix. Näherungsweise kann dies auch für geschichtete Böden erfolgen, wenn man den Einfluss der Schichtung auf die Spannungsverteilung im Boden vernachlässigt. Darüber hinaus existieren aber auch exakte und numerische Lösungen für den geschichteten Halbraum [4.123]. Beim modifizierten Steifemodulverfahren wendet man die Gleichung des geschichteten Halbraums auch auf Fälle an, in denen sich die Bodenkennwerte unter der Bodenplatte auch in horizontaler Richtung ändern. Man erhält man allerdings eine – mechanisch unzulässige – unsymmetrische Steifigkeitsmatrix. Das Verfahren wird in [4.124] erläutert. Näherungsweise werden dann die sich entsprechenden Außer-Diagonalterme gemittelt, um doch wieder eine symmetrische Steifigkeitsmatrix für die weitere Berechnung im Rahmen der Finite-ElementMethode zu erhalten. Bodenmodell mit Finiten Elementen

Bei diesem Verfahren wird der Boden in Volumenelemente diskretisiert. Hierbei kann ein beliebiger Bodenaufbau berücksichtigt werden. Die horizontalen Ränder werden näherungsweise in horizontaler Richtung fest und in vertikaler Richtung verschieblich gelagert. Das Bodenmodell muss so groß gewählt werden, dass der Einfluss des Randes des Finite-ElementModell auf die Spannungen und Verschiebungen unter der Bodenplatte vernachlässigbar ist. Dies führt zu sehr großen Modellen und damit zu einem sehr hohen Rechenaufwand. Mit speziellen Finiten Elementen, die man am Rand anordnet und die Steifigkeit des weiter nicht diskretisierten Bodens wiedergeben, lässt sich die Größe des Bodenmodells auf den unregelmäßigen Bodenbereich begrenzen [4.43], [4.44]. Nur mit einem dreidimensionalen Finite-Element-Modell des Bodens ist es möglich, beliebige räumliche Schichtungen unter der Gründung sowie Unregelmäßigkeiten im Boden wie beispielsweise Tunnelröhren unter Gebäuden zu berücksichtigen. Modellierung der Bodenplatte

Die Steifigkeit aufgehender Stahlbetonwände beeinflusst die Schnittgrößen in Bodenplatten erheblich und darf daher in keinem Fall in der Modellbildung vernachlässigt werden. Dies ist beispielsweise dann von Bedeutung, wenn zwei unterschiedlich schwere Gebäudeteile sich auf einer gemeinsamen Bodenplatte befinden. Ohne Modellierung der aussteifenden Wände würde unter dem schweren Gebäudeteil große Setzungen auftreten und damit im Übergangsbereich zur gering belasteten Bodenplatte zu großen Krümmungen führen. Sind beide Bereiche durch aussteifende Wände verbunden, treten diese Krümmungen die dazugehörige Momentenbeanspruchung in der Bodenplatte nicht auf [4.109]. In der Regel werden Wände als Überzüge, die durch Stabelemente modelliert werden, dargestellt. Aufwändiger, aber häufig realitätsnäher, ist die dreidimensionale Modellierung der unteren Geschosse als Faltwerk mit Schalenelementen.

4.11 Modellbildung von Bauteilen

(a) Halbkugelförmiges Modell

345

(b) Zylinderförmiges Modell

Bild 4-105 Bodenmodelle mit Finiten Elementen [P6]

Klaffende Bodenfuge

Zwischen der Bodenplatte und dem Fundament können naturgemäß keine Zugspannungen übertragen werden. Daher muss nach der Finite-Element-Berechnung einer Bodenplatte anhand der Ergebnisse geprüft werden, ob dies in allen maßgebenden Lastfallkombinationen der Fall ist. Treten im Berechnungsergebnis Zugspannungen auf, ist die Berechnung mit einer klaffenden Bodenfuge erneut durchzuführen. Dabei handelt es sich grundsätzlich um ein nichtlineares Problem (vgl. Kapitel 6).

4.11.6 Modellbildung bei Faltwerken, Schalen und allgemeinen 3D-Systemen Faltwerke und Schalen sind klassische Flächentragwerke des Konstruktiven Ingenieurbaus. Zunehmend werden aber die Möglichkeiten der Finite-Element-Methode in der Tragwerksplanung auch genutzt, um dreidimensionale Tragwerke realitätsnah abzubilden, die man bisher vereinfachend mit zweidimensionalen Modellen untersucht hat. Im Gegensatz zu vereinfachenden Modellen wird damit die Wechselwirkung der einzelnen Tragwerksteile erfasst. In einer Reihe von Arbeiten wird darauf hingewiesen, dass bei bestimmten Tragwerken mit dreidimensionalen Modellen wesentlich realitätsnähere Ergebnisse erreicht werden als mit der vereinfachten, zweidimensionalen Teilsystemen [4.45], [4.58], [4.92-4.95]. Die Modellierung von Faltwerken und Schalen unterscheidet sich naturgemäß nicht wesentlich von derjenigen von Platten und Scheiben. Auf einige Besonderheiten wird im Folgenden eingegangen. Feldbereiche

Zur Diskretisierung in Feldbereichen gelten die für Scheiben und Platten angegebenen Regeln. Darüber hinaus müssen bei manchen ebenen Elementtypen die Verdrehungsfreiheitsgrade um eine zur Elementfläche senkrechte Achse durch Einführen künstlicher Drehfedern festgehalten werden (vgl. Abschnitt 4.8.1 und [4.45]).

346

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Bei Schalen besitzen die Biegemomente an Einspannstellen Spitzenwerte. Bereits in geringer Entfernung nehmen vom Lager sie aber rasch ab, da dort die Membrantragwirkung überwiegt. Ein Beispiel hierfür sind die Einspannmomente einer am oberen Rand freien und am unteren Rand eingespannten Kreiszylinderschale unter Innendruck. Diese weisen einen charakteristischen Verlauf auf, der sich ähnlich wie die Amplitude einer gedämpften Schwingung verhält [4.96]. Die „Periode“ der Lösung, d. h. der Abstand zweier (positiver) Maxima beträgt: L = 2⋅ π ⋅ 4

t2 ⋅ r2

(

3⋅ 1− µ 2

(4.146)

)

Hierin bedeuten r der Radius der Zylinderschale, t die Wandstärke und µ die Querdehnzahl. Für µ = 0.2 ist L = 4.82⋅ t ⋅ r .

Hohe Zylinderschalen werden durch die Bedingung h > L definiert, wobei h die Höhe der Schale ist. In einem kleinen Abstand x vom eingespannten Rand werden die analytischen Lösungen für die Biegemomente, Querkräfte, Membrankräfte und Durchbiegungen von dem Term e− κ⋅ x / r ⋅ cos(

κ⋅ x r

κ=

mit

)

4 3⋅

r2 t2

(

⋅ 1− µ 2

)

dominiert [4.97]. Das Verhältnis der Lösung in einem Abstand x = kann abgeschätzt werden zu e− κ⋅

t⋅ r / r

⋅ cos(

µ = 0.2 . Dieser Randbereich der Länge l0 =

κ⋅ r ⋅ t r

t ⋅ r zur Lösung bei x=0

) /1 = 4 3⋅ (1− µ 2 ) . Es beträgt 7.2% für

t⋅ r ,

(4.146a)

in dem die Momentenspitze auftritt, muss ausreichend fein diskretisiert werden [4.98]. Aufgrund einer Studie mit DKQ-Elementen wird eine Einteilung in mindestens zwei Elemente empfohlen, sofern nur die Biegemomente bestimmt werden sollen. Die zuverlässige Ermittlung der Querkräfte erfordert eine noch feinere Diskretisierung mit mindestens 6 DKQ-Elementen. Nach dem Randstreifen klingt die Lösung sehr rasch ab. Das Verhältnis zweier aufeinander folgender Extremwerte einer Schwingung im Abstand L/2 ist e− κ⋅ ( x+ L / 2) / r ⋅ cos( − κ⋅ x / r

e

κ ⋅ ( x + L / 2)

⋅ cos(

κ⋅ x r

r

)

= − e− κ⋅ L /(2⋅ r ) = − e− π = 0.043 = 4.3% ,

)

der Abstand zweier aufeinander folgender Maxima

4.11 Modellbildung von Bauteilen e− κ⋅ ( x+ L ) / r ⋅ cos(

κ ⋅ ( x + L)

r κ ⋅ x e− κ⋅ x / r ⋅ cos( ) r

)

347

= e− κ⋅ L / r = e− 2⋅ π = 0.0019 = 0.19% .

Die Lösungen für die Biegebeanspruchung der Schale klingen also außerordentlich rasch ab und sind für x>L/2 praktisch vernachlässigbar. Außerhalb des Randbereichs der Länge l0 = t ⋅ r nimmt der an der Einspannstelle sehr hohe Gradient des Biegemoments und der Querkraft rasch ab. Daher können in diesem Bereich gegebenenfalls größere Elementabmessungen gewählt werden. Diese Ergebnisse gelten für starr eingespannte Ränder. Bei elastischer Einspannung, beispielsweise in eine Bodenplatte, ist der Gradient der Schnittgrößen im Randbereich geringer als bei starrer Einspannung. Das oben geschilderte Lösungsverhalten im Bereich eingespannter Ränder gilt auch bei anderen rotationssymmetrischen Schalenformen wie beispielsweise bei Kugelschalen [4.97]. Näherungsweise kann man auch hier den Randbereich zu l0 = t ⋅ r annehmen. Die Diskretisierung eines typischen Schalentragwerks wird beispielhaft in [4.99] diskutiert. Beispiele für den Einfluss des Berechnungsprogramms auf die Schalenschnittgrößen sind in [4.58], weitere Parameterstudien mit rotationssymmetrischen Finiten Elementen in [4.100] angegeben.

Beispiel 4.25

Die in Bild 4-106 dargestellte Kreiszylinderschale ist durch Flüssigkeitsdruck belastet. Die Schnittgrößen sind für verschiedene Finite-Element-Diskretisierungen zu ermitteln und mit der analytischen Lösung nach [4.97] zu vergleichen.

Bild 4-106 Kreiszylinderschale – System und analytisch ermittelte Schnittgrößenverläufe [4.97]

348

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Mit h = 5.5 m , r = 3.0 m , t = 0.28 m und µ = 0.2 erhält man L = 2⋅ π ⋅

4

0.282 ⋅ 3.02

(

3⋅ 1− 0.22

)

= 4.420 m < h = 5.5 m

Wegen h > L handelt es sich um eine hohe Zylinderschale. Die Finite-Element-Berechnung erfolgt mit rechteckförmigen DKQ-Elementen und dem Programmsystem [P4]. In Umfangsrichtung ist der Zylinder in 36 Finite Elemente der Länge 2⋅ π ⋅ r / 36 = 0.524 m diskretisiert. In vertikaler Richtung wird die Elementgröße so gewählt, dass der Randbereichs der Länge l0 in 1, 1.66, 2 und 4 Elemente unterteilt ist.

Bild 4-107 Kreiszylinderschale - Ausschnitt aus dem Finite-Element-Modell ( e = l0 /8 )

Ein Beispiel für die Diskretisierung und einen typischen Momentenverlauf ist in Bild 4-107 dargestellt. Das Biegemoment und die Querkraft an der Einspannstelle sowie die maximale Membrankraft in Umfangsrichtung sind in Tabelle 4-26 angegeben. Danach werden die Membrankräfte auch bei der groben Elementierung mit einem Element noch gut wiedergegeben. Der Fehler bei der Durchbiegung besitzt dieselbe Größe, da bei der Kreiszylinderschale zwischen mit rotationssymmetrischer Belastung der Durchbiegung w und der Membrankraft nt der Zusammenhang

4.11 Modellbildung von Bauteilen

349

t nϕ = E ⋅ ⋅ w r

(4.146b)

gilt. Demgegenüber besitzen die Momente eine deutlich höhere Ungenauigkeit. Bei einer Elementgröße von e = l0 / 2 beträgt der Diskretisierungsfehler (11.80 − 10.95) /11.80 = 7.2% . Die größte Ungenauigkeit tritt bei der Querkraft auf. Hier ist der Fehler bei einer Elementgröße von e = l0 / 2 immerhin (36.2 − 23.8) / 36.2 = 34.3% und bei der Elementgröße von e = l0 / 4 noch (36.2 − 29.8) / 36.2 = 17.7% . Tabelle 4-26 Schnittgrößen der Kreiszylinderschale Elementgröße [m]

A0 e

my [kNm/m] (%Fehler)

vy [kN/m]

nx [kN/m]

Analytisch

-

-

11.8 ( 0% )

36.2

116.7

FEM

0.917 0.550 0.458 0.229

1 1.67 2 4

8.71 (26%) 10.58 (10%) 10.95 ( 7%) 11.60 ( 2%)

13.9 21.5 23.8 29.8

123.0 119.9 116.9 117.0

Lager und Lasten

Bei Schalentragwerken haben die Lagerbedingungen erheblichen Einfluss auf die Schnittgrößen, insbesondere auf die Biegemomente im Bereich des Lagers. Da die Größe dieser Biegemomente auf Änderungen der Lagerbedingungen sehr sensibel reagiert, sind Parameterstudien in der Praxis oftmals sinnvoll. Als Beispiel wird in [4.48] eine kugelkalottenförmige Schale mit einem Verstärkungsring am Außenrand untersucht. Die Schnittgrößen zwischen der Schale und dem Verstärkungsring werden für drei Lagerbedingungen angegeben. Als Lagerbedingung des Außenrings werden ein Flüssigkeitskissenlager (vertikale konstante Druckspannungen), eine horizontal verschiebliche, torsionssteife Lagerung (vertikale Verschiebungen und Torsionsverdrehung des Randträgers fest, horizontale Verschiebungen frei) und eine Einspannung (vertikale und horizontale Verschiebungen sowie Torsionsverdrehung des Randträgers fest) modelliert. Insbesondere beim Biegemoment treten erhebliche Unterschiede in den drei Modellen auf. Die größten Biegemomente treten bei der horizontal verschieblichen Lagerung auf. Wesentlich niedriger sind die Biegemomente bei der Einspannung. Beim Flüssigkeitskissenlager sind die Momente sehr gering. Ursache dieses Tragverhaltens ist ähnlich wie bei der Scheibe in Beispiel 4.16 die Bogentragwirkung, die sich bei horizontaler Festhaltung stärker ausbilden kann. Für die Modellierung von Einzellasten beziehungsweise von Flächenlasten, die auf Teilflächen wirken, gilt ähnliches wir bei Platten. Ein Beispiel für die Berechnung einer Zylinderschale, die durch eine kleine, quadratische Teilflächenlast belastet ist, mit unterschiedlichen FiniteElement-Netzen ist [4.46] angegeben. Danach empfiehlt sich für eine baupraktisch ausreichende Genauigkeit eine Unterteilung der belasteten quadratischen Fläche in mindestens vier Elemente. Die exemplarische Berechnung einer Vorspannkraft auf einen zylinderförmigen Behälter findet sich in [4.99].

350

4 iFnite-Element-Met hode für lFächentragwerke

3D-Gebäudemodelle

Konventionell werden Gebäude aus Stahlbeton durch eZrlegung in Einzelpositionen und bÜertragung der Lasten zwischen den Positionen statisch berechnet. Bei der heute möglichen Untersuchung von Gebäuden als Gesamtmodell werden in allen Lastfällen alle vorhandenen Tragelemente berücksichtigt (Bild 4-108 ). In solche n Modellen kann beispielsweise der Einfluss der Nachgiebigkeit des Bodens auf die Schnittgrößen im Gebäude, auch in den oberen Stockwerken, untersucht werden [4.126], [4.127]. Auch der Einflu ss der mit dem Baufortschritt veränderten Sy steme kann berüc ksichtigt werden [4.128 ]. Bei der Modellierung entfällt die Definition der Lastübertragung zwischen den Einzelpositionen. Weiterhin brauchen keine der Lagerungsbedingungen angegeben zu werden, da diese durch das Auseinanderschneiden des Sy stems entstehen. Dies Verringert den Modellierungsaufwand gegenüber einer konventionellen Berechnung mit Einzelpositionen und hierdurch bedingte eFhlerquellen entfallen. Nachteilig is t hingegen, dass das System unübersichtlicher wird und die Ergebnisse nicht mehr leicht abgeschätzt werden können. nÄderungen an einer Stelle des Sy stems können eine Neuberechnung und erneute Kontrolle des Gesamtsy stems erfordern.

Bild 4-108 Dreidimensionales Gebäudemodell –mit Verformungen [4.126 ]

4.11.7 Ergebnisinterpretation Nach der Lösung des globalen Gleichungssy stem s eines iFnite-Element-Modells stehen die Knotenverschiebungen und -verdrehungen zur Verfügung. Aus diesen lassen sich alle Schnittund Verschiebungsgrößen an jeder Stelle eines Elements und somit auch prinzipiell an jeder Stelle des iFnite-Element-Modells ermitteln. Es wurde bereits festgestellt, dass die Schnittgrößen in Elementmitte am genauesten sind. Bei Elementen mit höheren Ansatzfunktionen, deren Steifigkeitsmatrizen durch numerische Integration gebildet werden, sind die Schnittgrö-

4.11 Modellbildung von Bauteilen

351

ßen an den Integrationspunkten am Genauesten. iHngegen sind die Schnittgrößen an den Elementrändern und Knotenpunkten verhältnismäßig ungenau und in benachbarten Elementen unterschiedlich. uZr Ausgabe und Weiterverarbeit ung der Schnittgrößenverläufe gibt es daher mehrere Möglichkeiten: Ausgabemöglichkeiten von Finite-Element-Schnittgrößen:

a) in den Elementmitten bzw. Integrationspunkten, b) in den Knotenpunkten durch Mittelung der Elementspannungen an den Knotenpunkten für alle angrenzenden Elemente, c) an beliebiger Stelle des Finite-Element-Netzes durch Interpolation der Elementmitten- oder Knotenwerte.

Alle Ausgabemöglichkeiten haben Vor-, aber auch Nachteile. Die Ausgabe in Elementmitte bzw. an den Integrationspunkten ist sehr robust, d. h., sie ergibt auch in problematischen Situationen die besten Ergebnisse. Sie ermöglicht allerdings nicht an jeder Stelle des F initeElement-Netzes die Ermittlung der Schnittgrößen. Dies kann insbesondere an eingespannten Rändern, an Lagern und unter Lasten, wo häufig die maximalen Schnittgrößen auftreten, störend wirken. In der Praxis begegnet man dem, indem man die Elemente möglichst so angeordnet, dass an allen für die Auswertung relevanten Stellen Elementmittelpunkte vorhanden sind. So genügt es z. B. bei linienförmig gelagerten Platten oft, anstelle von Stützmomenten nur Anschnittsmomente an Wänden zu bestimmen. Man ordnet die Elemente dann so an, dass die Elementmittelpunkte am Wandanschnitt liegen, und verzichtet auf die Ausgabe des Stützmomentes (Bild 4-109 ).

Bild 4-109 Elementierung einer auf einer Wand gelagerten Platte

In den meisten iFnite-Element -Programmen werden geglättete Spannungen bzw. Schnittkräfte an den Knotenpunkten ausgegeben. iHerzu ermittelt das Programm die Elementspannungen aller mit dem betreffenden Knotenpunkt verbundenen Elemente und gibt deren Mittelwert aus. Die Genauigkeit der im einzelnen Element verhältnismäßig ungenauen Knotenspannungen nimmt dadurch zu. Dies gilt allerdings nicht für Knotenpunkte am Rand oder in Ecken des iFnite-Element-Netzes, die nur ein einziges bzw. kein Nachbarelement besitzen. Die Knotenwerte der Spannungen sind daher dort ungenauer als an Innenknoten des iFnite-ElementNetzes (Bild 4-110). Sprünge der Schnittgrößen können aber auch statische Ursachen haben, wie z. B. der uQerkraftsprung in einer Platte unter einer Linienlast (Bild 4-111a). Es ist zu beachten, dass in den meisten kommerziellen iFnite-Element-Programmen solche Sprünge durch die Mittelung verloren gehen. Ein ähnliches Problem tritt in einspringenden Ecken von

352

4 iFnite-Element-Met hode für lFächentragwerke

Scheiben- und Plattentragwerken auf. Auch hier verlaufen die Spannungen beziehungsweise Schnittgrößen unstetig. Mittelt man die Spannungen aller im Eckpunkt angrenzenden Elemente, so geht auch hier der phy sikalisch ri chtige Spannungssprung verloren (Bild 4-111b). Es ist hier sinnvoll auf die richtigeren Elementspannungen zurückzugreifen (vgl. Beispiele 4.15 und 4.17). Schwierigkeiten mit der Mittelung können sich auch an Kanten von F altwerken bzw. beim bÜergang ebener Elemente von Schalen e rgeben. In diesen äFllen muss auf die Mittelung der Schnittgrößen an den Knoten verzichtet werden.

Bild 4-110 Ermittlung von Knotenspannungen aus Elementspannungen

(a) Platte mit Linienlast

(b) Einspringende Ecke einer Scheibe / Platte

Bild 4-111 Schnittgrößen- und Spannungssprünge bei lFächentragwerken

Spannungswerte werden häufig auch an beliebigen Stellen im F inite-Element-Modell und somit an beliebigen Punkten innerhalb eines iF niten Elements benötigt. Dies gilt beispielsweise für Schnittgrößenausgaben entlang eines beliebigen Schnittes durch das iFnite-ElementModell sowie für Isoliniendarstellung von Schnittgrößenverläufen. Liegen geglättete Knoten-

4.11 Modellbildung von Bauteilen

353

spannungen vor, so können konsistente Spannungswerte innerhalb von Viereckelementen durch bilineare Interpolation nach (4.40a, b) gewonnen werden. Sinnvoller erscheint die Extrabzw. Interpolation der genaueren Elementmittenspannungen. Bei einem regelmäßigen Rechteckraster mit vier gemeinsamen Elementen je Knotenpunkt ist dies ebenfalls durch bilineare Interpolation möglich. Die Extrapolation der Elementmittenspannungen auf den Rand führt häufig zu genaueren Werten [4.10]. Sie lässt sich allerdings nur schwer auf beliebige Elementraster erweitern.

Beispiel 4.26 Die geglätteten Knotenspannungen sowie die Elementmittenspannungen sind für das Erläuterungsbeispiel mit linearem Verschiebungsansatz (Abschnitt 4.3) zu berechnen und mit der exakten Lösung zu vergleichen. Untersucht werden die Diskretisierungen in ein, zwei und vier Elemente, für die die Spannungen in Tabelle 4-3 angegeben sind. Die Spannungen in den Elementmitten stimmen beim Element mit linearem Verschiebungsansatz mit der exakten Lösung praktisch überein. Mit exakten Knotenverschiebungen würde man nach (4.17b) für dieses Element auch theoretisch die exakte Normalkraft in Elementmitte erhalten. Die geglätteten Knotenspannungen, die man durch Mittelung der Randspannungen aller am Knoten angeordneten Elemente erhält, sind in Tabelle 4-27 angegeben. Sie sind erheblich genauer als die Elementspannungen an den Knoten, nähern die exakte Lösung aber dennoch weniger gut als die Elementmittenspannungen an. Weiterhin besitzt der Endwert bei x = 500 [cm] eine wesentlich geringere Genauigkeit als die übrigen Knotenwerte. Eine lineare Extrapolation aus den Spannungswerten in der Mitte der beiden vorhergehenden Elemente würde hingegen den Endwert mit deutlich höherer Genauigkeit annähern. Beim Element mit quadratischem Verschiebungsansatz werden die Knotenspannungen durch die Mittelung ebenfalls verbessert. Jedoch lassen hier die Spannungen in Elementmitte keine höhere Genauigkeit als die geglätteten Knotenspannungen erkennen. Eine höhere Genauigkeit weisen diese Elemente in den Gaußpunkten für die 2-Punkte-Integration auf. Tabelle 4-27 Geglättete Knotenspannungen im Erläuterungsbeispiel [kN/m2] Ansatzfunktion Linear

Quadratisch

Exakt

Anzahl Elemente

0

125

x [cm] 250

375

500

1

0.333

-

-

-

0.333

2

0.250

-

0.375

-

0.500

4

0.222

0.254

0.343

0.534

0.667

1

0.130

-

-

-

0.652

2

0.191

-

0.296

-

0.818

4

0.198

0.248

0.327

0.474

0.923

-

0.200

0.250

0.333

0.500

1.000

354

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

4.12 Qualitätssicherung und Dokumentation von Finite-Element Berechnungen 4.12.1 Fehlerabschätzung und adaptive Netzverdichtung Bei der Finite-Element-Berechnung von Flächentragwerken tritt zu den in Abschnitt 3.8.1 genannten allgemeinen Fehlerq uellen (Fehle r im Berechnungsmodell, Eingabefehler, numerische Fehler, Programmfehler) noch der Diskretisierungsfehler hinzu. nUter dem Diskretisierungsfehler versteht man denjenigen Fehler, der durch die Annäherung der exakten Verschiebungen bzw. Spannungen durch Ansatzfunktionen entsteht. Der Diskretisierungsfehler einer Finite-Element-Berechnung lässt sich für das Gesamtsy stem als Fehlernorm angeben. bÜlich ist die Angabe der sogenannten E „ ne rgienorm“. Man geht vom Fehler e der Verschiebungen aus, d. h. von der Abweichung der mit der Finite-ElementMethode erhaltenen Verschiebungen u(FE) von der exakten Lösung u(exakt): e = u(FE) - u(exakt)

(4.145)

wobei die Verschiebungen u(FE) und u(exakt) als Funktionen der Koordinaten x und yzu verstehen sind. Der Fehler e ist somit ebenfalls eine Funktion der Koordinaten x und .yDie Energienorm lautet damit e =

³ ( L ⋅ e)T ⋅ D ⋅ ( L ⋅ e) dV

(4.146)

Für die Scheibe ist L der Differentialoperator nach (2.2c), D die Stoffmatrix nach (2.3c), und die Vektoren u(FE) und u(exakt) enthalten die Verschiebungskomponenten u und v wie in (2.2c). Die Integration erfolgt über das Volumen des Finite-Element-Modells. Die Energienorm gibt die Wurzel aus der zweifachen Formänderungsenergie des Fehlers e der Verschiebungen an. Zum Beweis der Konvergenz ist nachzuweisen, dass die Energienorm mit zunehmender Anzahl gleich großer Finiter Elemente gegen Null konvergiert. Fehlernormen können auch zu Fehlerabschätzungen von Finite-Element-Berechnungen verwendet werden. Von einer Fehlerabschätzung spricht man, wenn ein oberer Grenzwert eines Fehlers, z. B. des Fehlers ||e||, mit Hilfe der Ergebnisse einer Finite-Element-Berechnung angegeben wird. Fehlerabschätzungen wurden für Finite Elemente mit Verschiebungsansatz angegeben. Für hybride Elemente sind Fehlerabschätzungen nicht bekannt. In mathematischer Hinsicht sind Fehlernormen für den Nachweis der Konvergenz und die Beurteilung der Konvergenzgeschwindigkeit einer Finite-Element-Lösung von Bedeutung. Aus der Sicht der Praxis sind sie ej doch weniger hilfreich, da hier der globale Fehler einer Finite-Element-Berechnung weniger interessiert. Von großem Interesse sind hingegen Angaben über den maximal möglichen lokalen Fehler von Spannungen und Schnittgrößen. Hierzu gibt es Fehlerindikatoren auf mathematischer Grundlage, die von der Energienorm ausgehen und obere und untere Schranken des Fehlers liefern (vgl. z. B. [4.101] sowie bÜersicht in [4.102]). Die Berechnung des so abgeschätzten Fehlers ist allerdings rechenintensiv. Daneben gibt es verhältnismäßig einfache heuristische Fehlerschätzer auf der Grundlage von [4.103]. Diese gehen von der Differenz des Spannungsverlaufs, der sich aufgrund des Verschiebungsansatzes im Element ergibt, und einem verbesserten Spannungsverlauf aus. Der verbesserte

4.12 uQalitätssicherung und Dokumentati on von Finite-Element Berechnungen

355

Spannungsverlauf ergibt sich entweder aus einem Mittelungsprozess nach [4.103] oder, vereinfacht, durch Interpolation der an den Knotenpunkten gemittelten Spannungen im Element. Der geschätzte Fehler der Spannung im Element sei eσ = σ* - σ(FE)

wobei und

σ*

(4.147)

die verbesserten Spannungen sind, die sich ergeben, wenn man die an den Knoten gemittelten Elementspannungen im Element interpoliert,

σ(FE) die Spannungen im Finiten Element sind, die den Ansatzfunktionen der Verschiebungen entsprechen.

Zur Interpolation der Spannungen im Element werden dieselben Funktionen verwendet wie zur Interpolation der Verschiebungen, d. h. die Ansatzfunktionen. Diese sind z. B. bei den isoparametrischen Elementen nach (4.40a)

σ* = ¦ hi · σi*

(4.148)

wobei σi* die Knotenwerte der betreffenden Spannungskomponente bedeuten. Der geschätzte Fehler nach [4.103] ist:

³ (σ * − σ FE )

2

eσ = α⋅

A

A

dA

(4.149)

Die Integration erstreckt sich über die Elementfläche. Der Faktor α ist vom Elementty p abhängig. Für Viereck-Scheibenelemente mit bilinearer Ansatzfunktion wird in [4.103] ein Faktor von α = 1.1 angegeben. Das Konzept kann auch auf Platten erweitert werden [4.104]. Diese einfache heuristische Fehlerabschätzung ist auch in einem kommerziellen FE-Programm verfügbar [4.105], [P1]. Das Fehlermaß ||e|| dient zur Abschätzung eines mittleren Fehlers im Element und darf als solches, z. B. als Fehler der Spannung im Elementmittelpunkt, interpretiert werden. Es beinhaltet aber keine Aussage über den punktweisen Fehler wie etwa an einem Knotenpunkt. Der punktweise auftretende Fehler kann z. B. an der Stelle einer Spannungssingularität unendlich werden, während der Fehler im betreffenden Element zwar vergleichsweise hoch sein kann, immer aber endlich bleibt. Diskretisierungsfehler einer Finite-Element-Berechnung können auch als Fehler der aufgebrachten Lasten interpretiert werden [4.106]. Die Finite-Element-Lösung stellt danach die exakte Lösung für ein Sy stem mit einer modifi zierten Belastung dar, die sich aus der wirklichen Belastung und den Fehlerlasten zusammensetzt. Die Größe der Fehlerlasten gegenüber den wirklichen Lasten ist dann ein Maß für die Güte der Finite-Element-Berechnung. Die FEM lässt sich auch als bÜerlagerung von Einflussfunktionen statischer Größen deuten, die aber aufgrund des Näherungscharakters der FEM nicht exakt, sondern näherungsweise dargestellt werden. Verfeinert man das FE-Netz an denjenigen Stellen, an denen die F „ ehlerlasten“der Einflussfunktion der untersuchten statischen Größe groß sind, erhält man ein adaptives Verfahren, um einzelne statische Größen mit hoher Genauigkeit zu ermitteln [4.131], [4.132].

356

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

Beispiel 4.23 Der Fehler der Spannungen aller Elemente des Einführungsbeispiels 4.2 ist für die Diskretisierung mit vier Elementen zu ermitteln. Die Elementspannungen nach Tabelle 4-3 sowie die daraus gemittelten Knotenspannungen sind in Tabelle 4-28 zusammengestellt. Die Berechnung des Fehlermaßes nach (4.149) wird beispielhaft für das Element 3 (von x = 250 bis x = 375 cm) gezeigt. Die Spannung σ* besitzt an den Knotenpunkten die Werte 0.343 und 0.534 und dazwischen gemäß den Ansatzfunktionen nach (4.9) einen linearen Verlauf. Die rechnerisch ermittelte FE-Elementspannung σFE hat den Wert 0.400 und ist im Element konstant. Die Integration erfolgt numerisch nach Gauß mit einem 2-Punkte-Schema, das die hier gegebene Parabel dritter Ordnung exakt integriert. Mit

dA = h ( x ) dx = (300 − 0.8⋅ x ) dx mit x [cm] und

A=

³ h ( x) dx =

3125 ª¬ cm2 º¼

ermittelt man die Spannung σ*(x) und die Höhe h(x) an den Integrationspunkten (2-PunkteIntegration) zu: x = 26.38 [cm]:

h = 278.9 σ* = 0.383

x = 98.63 [cm]:

h = 221.1 σ* = 0.494

Damit erhält man das Fehlermaß ||eσ|| zu ª (0.383− 0.400)2 ⋅ 278.9 + (0.494 − 0.400)2 ⋅ 221.1º⋅ 1.25 ⋅ 0.5 ¬ ¼ ||eσ|| = 1.1 ⋅ = 0.070 312.5

Die Fehlermaße aller Elemente sind in Tabelle 4-28 angegeben. Sie zeigen, dass die Güte der Finite-Element-Näherung vom Fehlermaß ||eσ|| durchaus richtig wiedergegeben wird. Tabelle 4-28 Knoten- und Elementspannungen im Erläuterungsbeispiel Spannungsausgabe

0

Element Knoten ||eσ||

x [cm] 250

125 0.222

0.222

0.286 0.254

0.014

0.025

0.400 0.343 0.070

375

500

0.667 0.534

0.667

0.114

Lokale Fehlermaße erlauben es, die Größe und Verteilung des Fehlers der Spannungen abzuschätzen. Diese Kenntnis kann zur Steuerung einer automatischen Netzverfeinerung verwendet werden. Zu diesem als adaptive Netzverdichtung bezeichneten Prozess benötigt man ein geeignetes lokales Fehlermaß, einen Grenzwert des Fehlermaßes, von dem an das Netz lokal verfeinert wird, sowie eine Strategie zur Verfeinerung des Netzes (Bild 4-112). Alternativ zur lokalen Verfeinerung des Netzes (h-Adaption) können auch lokal Elemente mit höheren Ansatzfunktionen verwendet werden (p-Adaption). Bei der hp-Adaption werden beide Verfahren

4.12 Qualitätssicherung und Dokumentation von Finite-Element Berechnungen

357

kombiniert. In einer neueren Entwicklung werden Elemente mit Polynomen höheren Grades als Ansatzfunktionen und zusätzlichen abstrakten Freiheitsgraden verwendet und der Polynomgrad aufgrund einer Fehlerschätzung adaptiv bestimmt [4.107]. Entwickelt werden auch Verfahren, bei dem lokal, d. h. an einer definierten Stelle, der Fehler abgeschätzt und das Ergebnis adaptiv verbessert wird [4.120]. Darüber hinaus wurden Verfahren vorgeschlagen, die in kritischen Tragwerksbereichen von zwei- zu dreidimensionalen Modellen übergehen, d. h. das Tragwerksmodell adaptieren [4.108].

Bild 4-112 Beispiel einer adaptiven Netzverdichtung [4.103]

4.12.2 Kontrollen bei Flächentragwerken Der Kontrolle der Programmeingabe und der Ergebnisausgabe sind in der Praxis von höchster Bedeutung. Die häufigsten Fehler bei der Anwendung der Finite-Element-Methode geschehen bei der Modellbildung und Ergebnisinterpretation [4.109]. Hierbei geht es nicht nur um die mechanisch und mathematisch richtige Berechnung sondern auch um die Konsistenz mit dem Bemessungsmodell, d. h. die im Sinne des Stahlbetonbaus richtige Modellbildung und konstruktive Umsetzung der Ergebnisse. Beispiele hierfür werden vielfach in der Literatur geschildert, wie z. B. in [4.61], [4.110-4.112]. Ein besonders spektakulärer Fall war der Kollaps der Bohrplattform Sleipner aufgrund eines Konstruktionsfehlers [4.113], [4.46]. Ursache hierfür war eine unzureichende Finite-Element-Diskretisierung und die damit zusammenhängende falsche Bewehrungsführung. Eine Checkliste für den üblichen Hochbau, die auch konstruktiven Fragen beinhaltet, findet sich in [4.114]. Zur Überprüfung der Ergebnisse kann bei Flächentragwerken generell dieselbe Strategie angewandt werden wie bei Stabtragwerken (vgl. Abschnitt 3.8.2). Besonderheiten ergeben sich allerdings durch die in der Regel höhere Komplexität der zu untersuchenden Systeme sowie durch die zusätzlich erforderliche Abschätzung des Diskretisierungsfehlers [4.115, 4.116]. Vorabkontrolle

Die Vorabkontrolle beinhaltet, wie bei den Stabtragwerken, die grafische Darstellung des Finite-Element-Modells, die lastfallweise erfolgende Kontrolle der aufgebrachten Belastung, die grafische Darstellung der Verformungen und maßgebender Schnittgrößen. Die Knotennummern sind, sofern die verwendete Software über eine geeignete grafische Benutzeroberfläche verfügt, bei Flächentragwerken im Allgemeinen weniger von Bedeutung. Allerdings kann, da bei der Darstellung eines Finite-Element-Rasters das Fehlen eines einzelnen Finiten Elements nicht ohne weiteres erkannt wird, die Ausgabe der Elementnummern, der

358

4 Finite-Element-Methode für Flächentragwerke

„geschrumpften“ Elementkonturen oder eine farbliche Darstellung der Elemente sinnvoll sein. Die grafische Darstellung der Verformungen lässt grobe Fehler bei der Auflagerdefinition in der Regel leicht erkennen. Die grafische Darstellung der Schnittgrößen in einzelnen Schnitten sowie als Hauptspannungen bzw. Hauptmomente („Spannungssterne“) erlaubt eine erste ingenieurmäßige Abschätzung der Richtigkeit der Berechnung. Sind Zweifel an deren Richtigkeit gegeben, so können überschlägliche Berechnungen an einem vereinfachten statischen System weiterhelfen. Endkontrolle

Nach erfolgreicher Durchführung der Vorabkontrolle müssen alle relevanten Eingabewerte nochmals durchgängig geprüft werden. Hierbei sind grafische Darstellungen wichtiger Parameter (Deckenstärken, Lastanordnungen usw.) hilfreich. Wenn nicht hinreichende Erfahrungen vorliegen, sollte man sich über die Größe des Diskretisierungsfehlers Rechenschaft ablegen. Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten: Kontrollen zur Abschätzung des Diskretisierungsfehlers

a) Gleichgewichtskontrollen an freigeschnittenen Teilbereichen des Tragwerksmodells b) Ausgabe von elementbezogenen Fehlerindikatoren c) Neuberechnung mit einem (in Teilbereichen) verfeinerten Netz im Sinne einer Konvergenzstudie

In Zweifelsfällen sind Gleichgewichtskontrollen zwischen den Schnittgrößen an freigeschnittenen Tragwerksteilen und den äußeren Lasten und Auflagerreaktionen recht aussagekräftig, um zumindest die Richtigkeit der integrierten Schnittgrößen (allerdings nicht deren Verteilung) feststellen zu können. Dies gilt insbesondere für die Querkräfte von Platten, die leicht mit deutlichen Fehlern behaftet sein können. Da die bemessungsrelevanten Querkräfte häufig an den Auflagern bzw. unter Einzellasten auftreten, sollten in kritischen Fällen die Querkräfte aus den (in der Summe exakten) Auflagerkräften bzw. den Lasten ermittelt werden. Als grobe Näherung, die aber die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt, kann auch die Berechnung mit Lasteinzugsflächen nach [4.117] erfolgen. Hinweise zur Durchführung von Gleichgewichtskontrollen an Flachdecken gibt [4.118]. Durchbiegungen und Verdrehungen können auch bei Flächentragwerken mit Hilfe des Reduktionssatzes überprüft werden. Die Ausgabe von elementbezogenen Fehlerindikatoren erlaubt eine Abschätzung des Fehlers der Elementspannungen. Hierbei ist natürlich der absolute Fehler entscheidend; der relative Fehler in [%] darf bei kleinen Werten örtlich durchaus höher als die üblichen 3-5% der exakten Schnittgröße sein. Auch das Konvergenzverhalten von Schnittgrößen bei einer lokalen Netzverfeinerung kann Auskunft darüber geben, wie genau die Schnittgrößen sind. Wenn man die Fehlerordnung kennt, kann man aus der Kenntnis der Schnittgrößen zweier Finite-Element-Netze einen genaueren Wert der Schnittgröße extrapolieren (Richardson-Extrapolation, vgl. [4.10]). Bei der Beurteilung der Schnittgrößen einer Finite-Element-Berechnung sollte bekannt sein, an welchen Stellen des Tragwerksmodells Singularitäten auftreten. An diesen Stellen sind die vom Finite-Element-Programm ermittelten Schnittgrößen für die Bemessung nicht unbedingt maßgebend. Zwar sollte die Summe der ermittelten Bewehrung eingebaut werden, jedoch ist der Spitzenwert der Bewehrung „willkürlich“.

4.12 Qualitätssicherung und Dokumentation von Finite-Element Berechnungen

359

Wenn es aus konstruktiven Gründen sinnvoll erscheint, sollte daher an Singularitätenstellen die vom Programm ermittelte Bewehrung im Sinne einer integralen Betrachtung (Abschnitt 4.11.3, Beispiel 4.14) „von Hand“ konstruktiv umverteilt werden. Im Übrigen gelten die in Abschnitt 3.8.2 für Stabwerke angegebenen Maßnahmen zur Kontrolle und Qualitätssicherung einer Finite-Element-Berechnung auch hier.

4.12.3 Dokumentation der Finite-Element-Berechnung Die Finite-Element-Berechnung von Flächentragwerken ist nach den gleichen Gesichtspunkten wie bei Stabtragwerken durchzuführen. Auf die Angabe von Knoten- und Elementnummern, nicht jedoch auf die Darstellung des Finite-Element-Netzes, kann verzichtet werden, wenn die Eingabedaten vollständig in grafischer Form vorliegen. Weiterhin sollte immer der Typ des Finiten Elements sowie das verwendete Programm in der Dokumentation der Berechnung genannt werden. Zusammenfassend finden sich wichtige Hinweise in [4.129]. Dokumentation der statischen Berechnung von Flächentragwerken

Vollständige Dokumentation aller relevanten Eingabewerte: – verwendetes Finite-Element-Programm bzw. verwendeter Elementtyp – grafische Darstellung des statischen Systems mit Kennzeichnung der Auflagerbedingungen sowie der Bereiche mit gleichen Material- bzw. Querschnittswerten – grafische Darstellung des Finite-Element-Netzes, gegebenenfalls einschließlich der Numerierung der Knotenpunkte und Elemente (Die Numerierung der Knotenpunkte und Elemente kann entfallen, sofern hierauf nicht bei der weiteren Systembeschreibung, z. B. bei den Lastangaben, Bezug genommen wird.) – Knotenpunktkoordinaten nur sofern erforderlich (s. o.) – Zuordnung von Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerten zu den Elementen, sofern diese nicht durch Bereiche grafisch dargestellt werden – Querschnitts-, Material- und Bemessungskennwerte – Ort, Größe, Dimension und Vorzeichen von Lasten – grafische Darstellung der Lasten aller Lastfälle – Vorschrift zur Lastfallüberlagerung Ausgabe der Ergebnisse: – grafische Darstellung der relevanten Schnittgrößen als Zahlenwerte und Höhenlinien (Minima/Maxima aus der Überlagerung aller Lastfälle; gegebenenfalls zusätzlich auch Lastfall ´ständige Last´ bzw. alle Lastfälle getrennt) – Schnittgrößendarstellung in relevanten Schnitten durch das Tragwerk – Darstellung der Hauptspannungen (´Spannungssterne´) im Lastfall ´ständige Last´ – Auflagerkräfte in der Summe (lastfallweise) bzw. vollständige Darstellung – grafische Darstellung der Verformungen (i. d. R. nur Lastfall Gesamtlast) – Bemessung bzw. sonstige statische Nachweise (grafische Darstellung in Form von Zahlenwerten und Höhenlinien)

361

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

5.1 Einleitung Nicht alle Einwirkungen auf ein Tragwerk können als statisch wirkend angesehen werden. Vielmehr gibt es auch Einwirkungen, bei denen die zeitliche Veränderung für die Beanspruchung des Tragwerks eine wesentliche Rolle spielt. Diese bezeichnet man als dynamische Einwirkungen. Sie haben ein zeitabhängiges Tragwerksverhalten mit zeitabhängigen Verschiebungs- und Schnittgrößenverläufen zufolge. Beispiele für zeitabhängige Einwirkungen sind die Erdbebenerregung von Bauwerken, dynamische Belastungen durch Wind oder Maschinen sowie Unfalllasten. Aus der Sicht der Mechanik ist das Auftreten von Trägheitskräften für dynamische Probleme wesentlich. Trägheitskräfte werden durch die Beschleunigung von Massen hervorgerufen. Sie sind dann von Bedeutung, wenn die zeitliche Änderung der Einwirkungen genügend schnell erfolgt. Anderenfalls sind die Trägheitskräfte vernachlässigbar und man erhält ein statisches Problem. Weiterhin wirken bei dynamischen Vorgängen praktisch immer auch Dämpfungskräfte. Diese entziehen dem System Energie und bewirken bei freien Schwingungen das Abklingen der Bewegung. Im Folgenden werden zunächst einige wesentliche Grundbegriffe der Dynamik erläutert und auf deren Darstellung bei der Finite-Element-Methode eingegangen. Danach werden die bei dynamischen Systemen zu lösenden Gleichgewichtsbedingungen, die sogenannten Bewegungsgleichungen, aufgestellt und anschließend verschiedene Verfahren zu deren Lösung behandelt.

5.2 Grundbegriffe der Dynamik 5.2.1 Kinematik Die Verschiebungen werden bei dynamischen Problemen nicht mehr durch feste Werte sondern vielmehr durch Funktionen in Abhängigkeit von der Zeit, sogenannte Verschiebungszeitverläufe, beschrieben. Neben den Zeitverläufen der Verschiebungen sind auch die zeitlichen Änderungen der Verschiebungen, nämlich die Geschwindigkeiten, von Bedeutung. Für einen Verschiebungszeitverlauf u(t) erhält man den Zeitverlauf der Geschwindigkeit durch Differenzieren allgemein zu v (t ) = u (t ) =

du dt

(5.1a)

Als Beschleunigung bezeichnet man die Änderung der Geschwindigkeit. Man erhält sie durch Differenzieren der Geschwindigkeit nach der Zeit oder als zweite Ableitung des Verschiebungszeitverlaufs zu

362

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke dv d 2 u = dt dt 2

b(t ) = u(t ) =

(5.1b)

Die Dimension der Geschwindigkeit ist üblicherweise m/s, diejenige der Beschleunigung m/s2. Verdrehungen von Knoten eines Finite-Element-Modells sind Winkel und damit dimensionslos. Die zugehörige Winkelgeschwindigkeit hat die Dimension 1/s, die Winkelbeschleunigung 1/s2. Die Gleichungen sind die Grundlage analytischer Lösungen. Beispielsweise folgt für eine konstante Beschleunigung b0 aus (5.1a) die Geschwindigkeit zu t

v (t ) = v0 +

³ b0 dt = v0 + b0 ⋅ t

(5.2a)

0

und mit (5.1b) die Verschiebung zu t

u ( t ) = u0 +

1

³ v ( t ) dt = u0 + v0 ⋅ t + 2 b0 ⋅ t 2 ,

(5.2b)

0

wobei u0 die Verschiebung und v0 die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 bedeuten. Diese Beziehungen sind Grundlage einer Reihe numerischer Integrationsverfahren, bei denen die Beschleunigung in einem Zeitschritt konstant angenommen wird (vgl. Abschnitt 5.6.1). Verschiebungszeitverläufe lassen sich nur in einfachen Fällen durch analytische Funktionen, wie beispielsweise durch eine Sinusfunktion, beschreiben. In der Regel werden sie numerisch in Zeitschritten angegeben. Bei Finite-Element-Systemen besitzt jeder Freiheitsgrad einen Verschiebungszeitverlauf. Im Allgemeinen dreidimensionalen Fall erhält man für die drei Verschiebungen und die drei Verdrehungen insgesamt sechs Zeitverläufe an jedem Knoten. Die Datenmenge ist also bei Zeitverlaufsberechnungen im Allgemeinen erheblich größer als bei statischen Problemstellungen. Die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in den Knotenfreiheitsgraden werden wie in der Statik die Knotenverschiebungen zu Vektoren zusammengefasst.

5.2.2 Massenkräfte beschleunigt wird, greife An einer punktförmigen Masse m, die in Richtung der x-Achse mit u die Kraft F an (Bild 5-1). Nach dem Newtonschen Gesetz gilt: F = m⋅ u

(5.3)

Führt man die Trägheitskraft FT mit FT = − m⋅ u

(5.3a)

ein, so kann (5.3) wie die Gleichgewichtsbedingungen der Statik geschrieben werden: F + FT = 0

(5.3b)

5.2 Grundbegriffe der Dynamik

363

Die Trägheitskraft besitzt die Größe m ⋅ u und ist somit proportional zur Masse und zur Beschleunigung. Ihre Richtung ist der Beschleunigung entgegen gerichtet. Sie wird auch als d´Alembertsche Kraft oder Massenkraft bezeichnet.

Bild 5-1 Trägheitskraft bei einer Punktmasse

Da bei dynamischen Berechnungen gleichzeitig Kräfte und Massen auftreten, muss dem Einheitensystem große Aufmerksamkeit geschenkt werden. In heute gebräuchlichen SI-Systemen ist die Masse die Grundeinheit, während die Kraft eine abgeleitete Größe ist. Beispielsweise besitzt 1 m3 Beton die Masse 2500 kg = 2.5 t (Tonnen). Die dieser Masse entsprechende Kraft erhält man mit der Erdbeschleunigung von näherungsweise g = 10 m s 2 zu m m m⋅ g = 2.5⋅ 10 t 2 = 25 t 2 = 25 kN . s s

Die gebräuchliche Krafteinheit kN kann auch geschrieben werden: 1 kN = 1 t ⋅ m s 2 . Bei baustatischen Berechnungen wählt man aus praktischen Gründen die Krafteinheit als Grundeinheit und drückt die Masse in dieser Einheit aus. Man drückt also die Masseneinheit t (Tonne) als kN ⋅ s 2 m aus. Wird im Berechnungsmodell ein starrer Körper als Punktmasse dargestellt, so wirken die Massenkräfte im Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) des Körpers. Im allgemeinen dreidimensionalen Fall besitzt ein Massenpunkt drei Verschiebungs- und drei Verdrehungsfreiheitsgrade. Die Trägheitskräfte in den drei Verschiebungsfreiheitsgraden im kartesischen Koordinatensystem entstehen durch die Beschleunigung der Masse m in x-, y- und z-Richtung. Man erhält: Fx = − mx ⋅ u

mit

mx = m

(5.4a)

Fy = − m y ⋅ v

mit

my = m

(5.4b)

Fz = − mz ⋅ w

mit

mz = m

(5.4c)

In den Verdrehungsfreiheitsgraden entsprechen den Trägheitskräften Momente, die durch die Winkelbeschleunigung hervorgerufen werden. Die zugehörigen Massen werden auch als Drehmassen bezeichnet. Dem Massenpunkt werden also drei Verschiebungsmassen und drei Drehmassen zugeordnet. Während die Verschiebungsmassen in der Regel gleich sind, erhält man für die Drehmassen unterschiedliche Werte. Die Ermittlung der Drehmasse eines dreidimensionalen Körpers wird im Folgenden am Beispiel der Drehmasse θ x um die x-Achse dargestellt. Man betrachtet einen starren Körper mit einem kartesischen Koordinatensystem im Schwerpunkt in Richtung der Hauptachsen (Bild 5-2). Der Körper werde mit der Winkel-

364

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

beschleunigung ϕ x = d 2 ϕ x dt 2 beschleunigt. Ein infinitesimales Massenelement dm erfährt x ⋅ y und in y-Richtung v = − ϕ x ⋅ z . = ϕ dadurch in z-Richtung die Beschleunigung w

Bild 5-2 Idealisierung eines starren Körpers als Punktmasse - infinitesimales Massenelement dm des Körpers

x ⋅ z ⋅ dm und die x ⋅ y ⋅ dm und − v⋅ dm = ϕ ⋅ dm = − ϕ Dem entsprechen die Trägheitskräfte − w

x ⋅ y 2 ⋅ dm und v⋅ z ⋅ dm = − ϕ x ⋅ z 2 ⋅ dm um die x-Achse. Das Ge⋅ y ⋅ dm = − ϕ Momente − w samtmoment Mx erhält man durch Integration über das Volumen V der Masse zu Mx =

³ (− ϕx ⋅ y 2 − ϕ x ⋅ z 2 )⋅ dm = − ϕ x ⋅ ³ ( y 2 + z 2 )⋅ dm = − Θ x ⋅ ϕ x .

Diese Beziehung zwischen dem Moment und der Winkelbeschleunigung bei der Drehung um die x-Achse entspricht (5.3a) für die Verschiebung. Resultierende Trägheitskräfte ergeben sich bei der Winkelbeschleunigung um die x-Achse nicht, da das Achsenkreuz im Schwerpunkt angenommen wurde. Allgemein gilt für die Winkelbeschleunigungen um die Hauptachsen: x Mx = −Θx⋅ ϕ

mit

Θx =

³ ( y 2 + z 2 )⋅ dm

(5.5a)

y M y = −Θ y⋅ ϕ

mit

Θy =

³ ( x2 + z 2 )⋅ dm

(5.5b)

z Mz = −Θz⋅ ϕ

mit

Θz =

³ ( x2 + y 2 )⋅ dm

(5.5c)

Die Drehmassen sind danach die Trägheitsmomente des Körpers um die Hauptachsen.

5.2 Grundbegriffe der Dynamik

365

Die Gleichungen (5.4a-c) und (5.5a-c) für die Trägheitskräfte eines Massenpunktes werden bei Finite-Element-Berechnungen zusammenfassend geschrieben: ª « « « « « « « «¬

Fx º » Fy » Fz » »= Mx » » My» M z »¼

ª mx « « 0 « 0 −« « 0 « « 0 «¬ 0

FT

=

0

0

0

0

my

0

0

0

0 0

mz 0

0

Θx

0 0

0

0

0

Θy

0

0

0

0

0 º ª u º » 0 » «« v »» » 0 »« w »⋅« » x » 0 »«ϕ » » 0 »«ϕ « y» » Θ z ¼ ¬« ϕ z ¼»

(5.6)

− M ⋅ u

(5.6a)

Die Matrix M heißt Massenmatrix des Punktes. Beispiel 5.1 Eine Rechteckplatte aus Stahlbeton mit den Abmessungen lx=3.0 m, ly=2.0 m und d=0.20 m wird in einer Finite-Element-Berechnung als Punktmasse dargestellt (Bild 5-3). Es ist die Massenmatrix des Punktes zu ermitteln.

Bild 5-3 Stahlbetonplatte

Stahlbeton besitzt eine Dichte von ρ = 2.5 t / m3 . Die Masse der Platte erhält man damit zu: m = 2.5⋅ 2.0⋅ 3.0⋅ 0.20 t = 3.0 t = 3.0 kN s 2 m

Für die Drehmassen gilt nach (5.5a-c) mit dm = ρ⋅ dx dy dz : d /2

Θx =

³

( y 2 + z 2 )⋅ dm = ρ⋅ d ⋅

³³

V

y 2 dx dy + ρ⋅ A⋅

³

z 2 dz = ρ⋅ d ⋅ I x + ρ⋅ A⋅

d3 ≈ ρ⋅ d ⋅ I x 12

z 2 dz = ρ⋅ d ⋅ I y + ρ⋅ A⋅

d3 ≈ ρ⋅ d ⋅ I y 12

− d /2

A

d /2

Θy =

³

( x 2 + z 2 )⋅ dm = ρ⋅ d ⋅

³³

V

Θz =

³ V

x 2 dx dy + ρ⋅ A⋅

− d /2

A

§ ( x 2 + y 2 )⋅ dm = ρ⋅ d ⋅¨ ¨ ©

³ A

³

x 2 dA+

³ A

· y 2 dA¸ = ρ⋅ d ⋅ I x + I y = ρ⋅ d ⋅ I p ¸ ¹

(

)

366

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

wobei A die Fläche der Platte, Ix und Iy die Flächenmomente zweiten Grades um die x- bzw. yAchse und Ip das polare Flächenträgheitsmoment bedeuten. Bei den gegebenen Abmessungen erhält man mit Ix =

lx ⋅ l 3y

Iy =

12

l y ⋅ l x3

I p = Ix + I y

12

die Drehmassen unter Vernachlässigung des Terms

ρ⋅ A⋅

zu

d3 0.23 ≈ 2.5⋅ 2.0⋅ 3.0⋅ = 0.01 kN m s 2 12 12

Θ x ≈ ρ⋅ d ⋅ I x = 2.5⋅ 0.20⋅

3⋅ 23 kN m s 2 = 1.00 kN m s 2 12

Θ y ≈ ρ⋅ d ⋅ I y = 2.5⋅ 0.20⋅

2⋅ 33 kN m s 2 = 2.25 kN m s 2 12

Θ z ≈ ρ⋅ d ⋅ ( I x + I y ) = (1+ 2.25) kN m s 2 = 3.25 kN m s 2 . Die Massenmatrix des Punktes ist somit in den Dimensionen kN, m und s: ª « « « « « « « «¬

Fx º » Fy » Fz » »= Mx » » My» M »¼ z

ª3 « «0 «0 −« «0 «0 « ¬0

0 3 0 0 0 0

0 0 3 0 0 0

0 0 0 ºª »« 0 0 0 »« 0 0 0 »« »⋅« 1 0 0 »« 0 2.25 0 » «« » 0 0 3.25 ¼ ¬«

u º » v » » w » ϕ x » ϕ y » » ϕ z ¼»

Bei Finite-Element-Berechnungen werden die Massenkräfte elementweise ermittelt und als Elementmassenmatrizen dargestellt. Nach dem gleichen Verfahren wie Elementsteifigkeitsmatrizen zu Systemsteifigkeitsmatrizen addiert werden, wird aus den Elementmassenmatrizen die Systemmassenmatrix gebildet. Man erhält dann die Trägheits- oder Massenkräfte zu

F T = − M ⋅ u

(5.7)

wobei M die Massenmatrix und u der Beschleunigungsvektor des Systems darstellen.

Massenkräfte stellen Volumenkräfte dar, deren Größe von der Beschleunigung an der betreffenden Stelle des Elements abhängt. Für die Verteilung der Beschleunigung innerhalb eines Finiten Elements wählt man dieselben Ansatzfunktionen, die zur Bildung der Elementsteifigkeitsmatrix verwendet werden. Die so erhaltene Elementmassenmatrix wird auch als konsistente Massenmatrix bezeichnet. Die Herleitung konsistenter Massenmatrizen wird im Folgenden am Beispiel des Fachwerkstabes mit linear veränderlicher Fläche gezeigt.

5.2 Grundbegriffe der Dynamik

367

Bild 5-4 Fachwerkstab mit veränderlicher Querschnittsfläche

Für das Fachwerkelement mit linear veränderlicher Querschnittsfläche wird in Abschnitt 4.3.3 die Steifigkeitsmatrix mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen hergeleitet. Im Folgenden wird die zugehörige konsistente Massenmatrix ermittelt (Bild 5-4). Die Beschleunigungen werden ebenso wie die virtuellen Verschiebungen und die wirklichen Verschiebungen linear veränderlich angesetzt. Danach lauten die virtuellen Verschiebungen u ( x ) = u1 +

x ⋅ (u2 − u1 ) l

(5.8a)

und die Beschleunigungen u( x) = u1 +

x ⋅ (u2 − u1 ) . l

(5.8b)

Die Massenkraft am infinitesimalen Stabelement der Länge dx beträgt damit − ρ⋅ u( x)⋅ A( x)⋅ dx

wobei ρ die Dichte und A( x) = A1 +

x ⋅ ( A2 − A1 ) l

die linear veränderliche Querschnittsfläche bedeuten. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen lautet damit: l

F1 ⋅ u1 + F2 ⋅ u2 = −

³

ρ⋅ u( x)⋅ A( x)⋅ u ( x)⋅ dx

0

Führt man die Integration durch und löst die Gleichungen für u1 = 0 nach F2 und für u2 = 0 nach F1 auf, erhält man: ª F1 º ρ⋅ l ª 3⋅ A1 + A2 « »= − « 12 ¬ A1 + A2 ¬ F2 ¼ F me = − M ( e ) ⋅ ue

A1 + A2 º ª u1 º »⋅« » A1 + 3⋅ A2 ¼ ¬ u2 ¼

(5.9) (5.9a)

368

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Die Matrix M (e) ist die Elementmassenmatrix des Stabelements. Für einen Stab mit konstanter Fläche A = A1 = A2 vereinfacht sich (5.8) zu ª « ¬

F1 º ρ⋅ A⋅ l ª 2 1 º ª u1 º »= − « »⋅« » F2 ¼ 6 ¬ 1 2 ¼ ¬ u2 ¼

(5.10)

Allgemein erhält man die Elementmassenmatrix von Flächen- und Volumenelementen mit den Ansatzfunktionen N durch Integration über das Volumen des Elements zu M ( e ) = ρ⋅

³

N T ⋅ N ⋅ dV .

(5.11)

Beispielsweise kann auf diese Weise die Elementmassenmatrix des in Abschnitt 4.4 beschriebenen Rechteckelements für Scheiben bestimmt werden (Bild 4-12). Mit N nach (4.27) und dV = t ⋅ dx⋅ dy (t = Wandstärke) erhält man ª4 « «0 «2 « t ⋅ a⋅ b « 0 (e ) ⋅ M = ρ⋅ 36 « 1 « «0 «2 « «¬ 0

0 2 0 1 0 2 0º » 4 0 2 0 1 0 2» 0 4 0 2 0 1 0» » 2 0 4 0 2 0 1» 0 2 0 4 0 2 0» » 1 0 2 0 4 0 2» 0 1 0 2 0 4 0 »» 2 0 1 0 2 0 4 ¼»

(5.12a)

Die konsistente Massenmatrix eines Biegebalkens mit den Freiheitsgraden nach Bild 3-13 ist nach [5.6]: ª 156 22⋅ A 54 − 13⋅ A º « » 2 4⋅ A 13⋅ A − 3⋅ A 2 » m⋅ A « 22⋅ A (e) M = ⋅« 13⋅ A 156 − 22⋅ A »» 420 « 54 «¬ − 13⋅ A − 3⋅ A 2 − 22⋅ A 4⋅ A 2 »¼

(5.12b)

Hierin bedeuten A die Stablänge und m die Masse pro Längeneinheit. Konsistente Massenmatrizen anderer Elemente sind beispielhaft in [5.1] und [5.2] angegeben. Aus dem Bildungsgesetz (5.11) geht hervor, dass es sich bei konsistenten Massenmatrizen um symmetrische Matrizen handelt. Anstelle konsistenter Massenmatrizen werden häufig näherungsweise Elementmassenmatrizen aus gleichmäßig verteilten Einzelmassen in den Knoten gebildet, deren Summe der Gesamtmasse des Elements entspricht. Die Massenmatrix ist dann eine Diagonalmatrix. Beispielsweise kann beim Fachwerkstab die Gesamtmasse ρ⋅ A⋅ l gleichmäßig auf die beiden Knoten verteilt werden. Man erhält dann für die Elementmassenmatrix anstelle von (5.10):

5.2 Grundbegriffe der Dynamik ª F1 º ρ⋅ A⋅ l ª 1 0 º ª u1 º « »= − « »⋅« » 2 ¬ 0 1 ¼ ¬ u2 ¼ ¬ F2 ¼

369

(5.13)

Beim Rechteck-Scheibenelement erhält man entsprechend als Massenmatrix eine Diagonalmatrix, bei der alle Diagonalelemente den Wert 0.25⋅ ρ⋅ t ⋅ a ⋅ b besitzen. Werden alle Knoten mit demselben Wert beschleunigt, ergeben sich dieselben Trägheitskräfte wie mit konsistenter Massenmatrix. Meist werden Massenmatrizen mit Knotenmassen verwendet, da sich die Anzahl der Rechenoperationen bei der dynamischen Berechnung mit diagonalen Massenmatrizen deutlich vermindern kann. Verfahren zur Bestimmung von Knotenmassenmatrizen aus konsistenten Massenmatrizen werden in [5.1] erläutert.

5.2.3 Dämpfungskräfte Während Federkräfte proportional zur Verschiebung und Massenkräfte proportional zur Beschleunigung sind, werden die zur Geschwindigkeit proportionalen Kräfte als Dämpfungskräfte bezeichnet. Für die Dämpfungskraft FD gilt:

FD = − c⋅ u ,

(5.14)

wobei c die Dämpfungskonstante bezeichnet. Ihre Größe hängt von Material- und Systemparametern ab. Bei einer genaueren Betrachtung wird die zur Geschwindigkeit proportionale Dämpfung als viskose Dämpfung bezeichnet. Man unterscheidet weiterhin zwischen der Coulombschen Dämpfung, die durch Reibungskräfte entsteht, und der hysteretischen Dämpfung, die sich aus der Hysteresisschleife im Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Materials bei harmonischer Schwingung ergibt [5.4]. In der Praxis sind Dämpfungsvorgänge sehr komplex und lassen sich nur näherungsweise mathematisch beschreiben. Am rechnerisch einfachsten lässt sich die geschwindigkeitsproportionale Dämpfung behandeln. Daher fasst man meist alle Dämpfungseinflüsse in einem äquivalenten viskosen Dämpfungsmaß zusammen. Zunächst wird die Dämpfung beim sogenannten Einmassenschwinger, einem System mit einem Freiheitsgrad, das aus einer Feder, einer Masse und einem Dämpfer besteht, betrachtet. Sie wird meistens durch das Dämpfungsmaß ξ definiert. Dieses ist eine bezogene Größe. Es wird mit der Federkonstanten k, der Masse m und der Dämpferkonstante c definiert zu

ξ=

c c . = ccr 2 k⋅ m

(5.15)

Die Dämpferkonstante ccr wird auch als kritische Dämpfung bezeichnet. Man kann zeigen, dass die Schwingung eines Einmassenschwingers bei dieser Dämpferkonstanten in eine Kriechbewegung übergeht. Das Dämpfungsmaß ξ gibt also das Verhältnis der Dämpferkonstanten zur kritischen Dämpfung an. Es wird meist in Prozent angegeben. Bei Finite-Element-Berechnungen werden die Dämpfungskräfte durch eine Dämpfungsmatrix C und einen Geschwindigkeitsvektor u ausgedrückt zu F D = − C⋅ u

(5.16)

In einfachen Fällen lässt sich die Dämpfungsmatrix explizit bestimmen. Beispielsweise gilt für einen viskosen Dämpfer nach Bild 5-5:

370

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke ª F1 º ª 1 − 1º ª u1 º « » = − c« »⋅« » ¬ − 1 1 ¼ ¬ u2 ¼ ¬ F2 ¼

(5.17)

Die Beziehung ist ähnlich der Steifigkeitsbeziehung des Fachwerkstabes (vgl. (3.3)) und kann mit der Transformationsmatrix T nach (3.5) auf beliebige Koordinaten transformiert werden.

Bild 5-5 Viskoser Dämpfer

In der Praxis lässt sich die Dämpfungsmatrix C allerdings nur in Ausnahmefällen explizit bestimmen. Häufig wird sie als Linearkombination zwischen Steifigkeitsmatrix und Massenmatrix, nämlich als sogenannte Rayleigh-Dämpfung, definiert zu C = α⋅ M + β ⋅ K .

(5.18)

Das Dämpfungsmaß ξ lässt sich in Abhängigkeit von der betrachteten Eigenkreisfrequenz ω angeben zu

ξ=

· 1§α ⋅¨ + β ⋅ ω ¸ ¹ 2©ω

(5.18a)

In der Praxis wählt man die Gewichtungsfaktoren α und β so, dass die Dämpfungsmaße für zwei Eigenkreisfrequenzen ω1 und ω2 die vorgegebenen Werte ξ1 beziehungsweise ξ2 annehmen. Setzt man ω1 und ξ1 beziehungsweise ω2 und ξ2 in (5.17a) ein und löst die beiden erhaltenen Gleichungen nach α und β auf erhält man ([5.1])

α = 2⋅ ω1 ⋅ ω2

β = 2⋅

ξ1 ⋅ ω2 − ξ 2 ⋅ ω1 ω22 − ω12

ξ 2 ⋅ ω2 − ξ1 ⋅ ω1 ω22 − ω12

(5.18b)

(5.18c)

Die Bestimmung der Eigenkreisfrequenzen und deren Bedeutung wird nachfolgend in Abschnitt 5.3 erläutert. Es lassen sich auch Dämpfungsmatrizen konstruieren, die in einer beliebigen Anzahl von Eigenfrequenzen ein jeweils vorgegebenes Dämpfungsmaß besitzen (vgl. z. B. [5.3]).

5.3 Bewegungsgleichungen

371

5.3 Bewegungsgleichungen Als Bewegungsgleichungen werden die Gleichgewichtsbedingungen bei dynamischen Untersuchungen bezeichnet. Zunächst wird ein Einmassenschwinger betrachtet. Ein Einmassenschwinger ist ein System mit einem Freiheitsgrad aus einer Masse, einer Feder und einem Dämpfer, Bild 5-6. Bei einer ungedämpften Schwingung entfällt der Dämpfer. An der Masse greifen die äußere Kraft F, die Massenkraft FT, die Federkraft Fk sowie die Dämpferkraft FD an und man erhält die Gleichgewichtsbedingung zu:

Fk + FD + FT + F = 0 Mit Fk = − k ⋅ u , FT nach (5.3a) und FD nach (5.14) erhält man:

k ⋅ u + c⋅ u + m⋅ u = F

(5.19)

Bild 5-6 Einmassenschwinger mit Kraftanregung

Bei Finite-Element-Systemen erhält man die Bewegungsgleichungen entsprechend mit

F k + F D + FT + F = 0 und mit F k = − K ⋅ u ,

FT nach (5.7) sowie FD

K ⋅ u + C ⋅ u + M ⋅ u = F

nach (5.16) zu: (5.20)

Hierin stellen K die Steifigkeitsmatrix, C die Dämpfungsmatrix und M die Massenmatrix des Systems dar. Die äußeren Kräfte F sowie die Vektoren u , u und u der Knotenverschiebungen, -geschwindigkeiten und -beschleunigungen sind mit der Zeit t veränderlich. Die Lösung dieser Gleichungen wird in den nachfolgenden Abschnitten behandelt.

Eine besondere Form der Bewegungsgleichungen erhält man für den Fall der Bodenbewegung. Hierbei wird ein vorgegebener Verschiebungs-Zeitverlauf an allen Lagern des Finite-ElementModells aufgebracht. Bei einer rein statischen Verschiebung würden hierbei keine Kräfte auftreten, da die Verschiebung aller Lager gleich ist. Bei einer dynamischen Erregung des FiniteElement-Modells entstehen jedoch infolge der Massen- und Dämpfungskräfte Schwingungen. Zunächst wird wieder der Einmassenschwinger betrachtet. Der Zeitverlauf der Lagerverschiebung sei ub (t ) . Die Verschiebung des Massenpunktes uges setzt sich dann aus der Bodenverschiebung ub und der Relativverschiebung u des Punktes zusammen, Bild 5-7. Für die Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen gilt

372

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke u ges = u + ub

(5.21a)

u ges = u + ub

(5.21b)

uges = u+ ub

(5.21c)

In den Gleichgewichtsbedingungen hängen die Feder- und Dämpferkraft von der Relativverschiebung u = u ges − ub ab, während sich die Trägheitskraft aus der Gesamtbeschleunigung uges ergibt. Somit erhält man k ⋅ u + c⋅ u + m⋅ (u+ ub ) = 0

oder

k ⋅ u + c⋅ u + m⋅ u = − m⋅ ub .

(5.22)

Ein Vergleich mit der Bewegungsgleichung für Kraftanregung, (5.19), zeigt, dass die Erregung durch eine Bodenbewegung einer Erregerkraft − m⋅ ub entspricht. Die Lösung ergibt die Relativverschiebungen u(t), aus der man mit (5.21a) die Gesamtverschiebungen erhält.

Bild 5-7 Einmassenschwinger mit Erregung durch eine Bodenbewegung

Finite-Element-Systeme können im Allgemeinen durch Bodenbewegungen in den drei Koordinatenrichtungen angeregt werden. Die Bodenbewegungen sind in der x-, y- und z-Richtung unterschiedlich und in den Verdrehungsfreiheitsgraden Null. Um dies zu berücksichtigen, werden die Topologievektoren Ix, Iy und Iz eingeführt. Der Vektor Ix besitzt in allen Freiheitsgraden, die einer Verschiebung in x-Richtung entsprechen, eine Eins und in den übrigen Freiheitsgraden eine Null. Entsprechend sind Iy und Iz für die y- beziehungsweise z-Richtung definiert. Für die Bodenbewegungen ubx in x-Richtung, uby in y-Richtung und ubz in z-Richtung erhält man (Bild 5-8)

(

)

u ges = u + I x ⋅ u bx + I y ⋅ u by + I z ⋅ u bz ,

(5.23a)

5.3 Bewegungsgleichungen

373

(

)

(5.23b)

(

)

(5.23c)

u ges = u + I x ⋅ u bx + I y ⋅ u by + I z ⋅ u bz ,

uges = u+ I x ⋅ ubx + I y ⋅ uby + I z ⋅ ubz .

Die Steifigkeitskräfte Fk und die Dämpfungskräfte FD werden wie beim Einmassenschwinger aus den Relativverschiebungen u ermittelt. Die Massenkräfte FT hängen hingegen von den Gesamtbeschleunigungen uges ab. Damit erhält man die Bewegungsgleichungen zu:

(

K ⋅ u + C ⋅ u + M ⋅ u = − M ⋅ I x ⋅ ubx + I y ⋅ uby + I z ⋅ ubz

)

(5.24)

Sie entsprechen den Bewegungsgleichung bei Anregung durch den Kraftvektor

(

)

− M ⋅ I x ⋅ ubx + I y ⋅ uby + I z ⋅ ubz .

Bild 5-8 Finite-Element-Modell (Fachwerk) bei Anregung durch eine Bodenbewegung in x-Richtung.

Beispiel 5.2

Für das in Bild 5-10 dargestellte Fachwerk sind die Bewegungsgleichungen für freie Schwingungen aufzustellen. Dabei ist die Dämpfung mit Null anzunehmen. Die Masse der Stäbe ist zu vernachlässigen. Weiterhin sind die Bewegungsgleichungen für eine Bodenbewegung ugx(t) in x-Richtung anzugeben. Die Steifigkeitsmatrix des Systems wurde bereits in Beispiel 3.6 hergeleitet. Die Massen der Freiheitsgrade u1 und v1 betragen 20 t, diejenigen der Freiheitsgrade u2 und v2 40 t und die Masse im Freiheitsgrad u3 beträgt 10 t. Damit erhält man für freie, ungedämpfte Schwingungen mit C = 0 und F = 0 die Bewegungsgleichungen nach (5.20) zu:

374

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

ª 1.35 − 0.35 − 1. 0 − 0.35 º ª u1 º ª 20 0 0 0 0 º ª u1 º ª 0 º « »« » « »« » « » 1.35 0 0 0.35 » « v1 » « 0 20 0 0 0 » « v1 » « 0 » « − 0.35 0 1.35 0.35 0 »⋅« u2 » + « 0 0 40 0 0 »⋅« u2 » = « 0 » 2.80⋅ 105 ⋅ « − 1. « »« » « »« » « » 0 0.35 1.35 0 » « v2 » « 0 0 0 40 0 » « v2 » « 0 » « 0 «¬ − 0.35 0.35 0 0 1.35 »¼ «¬ u3 »¼ «¬ 0 0 0 0 10 »¼ «¬ u3 »¼ «¬ 0 »¼

oder

K ⋅ u + M ⋅ u = 0 .

Bild 5-9 Fachwerk mit Knotenmassen

Für eine Erdbebenanregung sind zunächst die Topologievektoren aufzustellen. Da die Beschleunigungen in y- und z-Richtung Null sind, gilt Iy=Iz=0. Im Vektor Ix sind die den Freiheitsgraden u1, u2 und u3 entsprechenden Zeilen mit Eins besetzt, während die übrigen Zeilen den Wert Null enthalten. Die rechte Seite der Bewegungsgleichungen lautet damit ª 20 0 0 0 0 º ª 1 º « »« » « 0 20 0 0 0 » « 0 » − M ⋅ I x ⋅ ubx (t ) = − « 0 0 40 0 0 »⋅« 1 »⋅ ubx (t ) = « »« » « 0 0 0 40 0 » « 0 » «¬ 0 0 0 0 10 ¼» ¬« 1 ¼»

ª 20 º « » « 0» − « 40 »⋅ ubx (t ) « » « 0» ¬« 10 ¼»

Die skalare Funktion ubx (t ) ist der Zeitverlauf der Bodenbewegung in x-Richtung. Die vollständige Bewegungsgleichung ist nach (5.24): ª 1.35 − 0.35 − 1. 0 − 0.35 º ª u1 º ª 20 0 0 0 0 º ª u1 º « »« » « »« » 1.35 0 0 0.35 » « v1 » « 0 20 0 0 0 » « v1 » « − 0.35 0 1.35 0.35 0 »⋅« u2 » + « 0 0 40 0 0 »⋅« u2 » = 2.80⋅ 105 ⋅ « − 1. « »« » « »« » 0 0 0.35 1.35 0 « » « v2 » « 0 0 0 40 0 » « v2 » «¬ − 0.35 0.35 0 0 1.35 »¼ «¬ u3 »¼ «¬ 0 0 0 0 10 »¼ «¬ u3 »¼

ª 20 º « » « 0» − « 40 »⋅ ubx (t ) « » « 0» «¬ 10 »¼

5.4 Freie Schwingungen

375

5.4 Freie Schwingungen 5.4.1 Ungedämpfte Schwingungen Unter freien Schwingungen versteht man Schwingungen ohne die Einwirkung äußerer Kräfte nach einer anfänglichen Anregung. Für den ungedämpften, linearen Einmassenschwinger erhält man die Bewegungsgleichung nach (5.19) mit c = 0 und F = 0 zu

k ⋅ u + m⋅ u = 0

(5.25)

Bei statischem Systemverhalten, lautet die Gleichgewichtsbedingung, wenn die äußere Last Null ist, k ⋅ u = 0 und die Verschiebung u ist Null. Bei dynamischem Systemverhalten tritt aber die Massenkraft m⋅ u auf. Sie steht zu jedem Zeitpunkt mit der Federkraft k ⋅ u im Gleichgewicht. Es können also auch (zeitabhängige) Verschiebungen u auftreten, ohne dass äußere Kräfte auf das System einwirken. Bei (5.25) handelt es sich um eine homogene, lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Ihre Lösung lautet: u = ua ⋅ sin ( ω⋅ t )+ us ⋅ cos ( ω⋅ t )

Sie kann mit der Amplitude u0 =

(5.26)

ua2 + us2 und dem Phasenwinkel ϕ0 = − arctan (us ua ) auch

geschrieben werden (vgl. Bild 5-10): u = u0 ⋅ sin ( ω⋅ t − ϕ0 )

(5.27a)

Hieraus erhält man die Geschwindigkeit und Beschleunigung zu u =

ω⋅ u0 ⋅ cos ( ω⋅ t − ϕ 0 )

u = − ω 2 ⋅ u0 ⋅ sin ( ω ⋅ t − ϕ 0 )

(5.27b) (5.27c)

Die Richtigkeit dieser Lösung kann man durch Einsetzen in (5.25) leicht prüfen. Man erhält:

(k − ω 2 ⋅ m)⋅ u0 ⋅ sin (ω⋅ t − ϕ0 ) = 0 und mit sin ( ω⋅ t − ϕ 0 ) ≠ 0 und u0 ≠ 0

k − ω2 ⋅ m = 0 . Die Lösung dieser Gleichung lautet

ω=

k . m

(5.28)

376

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Freie Schwingungen nach (5.27a-c) sind nur mit dieser Frequenz möglich. Sie wird auch als Eigenkreisfrequenz bezeichnet. Der Phasenwinkel ϕ0 lässt sich aus der Verschiebung oder der Geschwindigkeit bei t = 0 bestimmen.

Verschiebung

u = uo sin (ω t -

o

)

T

u

uo 0 t

ϕ /ω o

Geschwindigkeit

u = u ω cos (ω t o

o

)

u uo ω 0 t

Beschleunigung

2

u = -uo ω sin (ω t -

o

)

ü 2

0

uo ω

t

Bild 5-10 Freie ungedämpfte Schwingungen

Häufiger als die Eigenkreisfrequenz werden zur Beschreibung der Schwingung die Frequenz f f=

ω 2⋅ π

und deren Kehrwert, die Schwingzeit T,

(5.29a)

5.4 Freie Schwingungen

T=

377

1 2⋅ π = f ω

(5.29b)

verwendet. Die Dimension der Kreisfrequenz und der Frequenz ist ¬ª 1 s ¼º = [ Hz ] (Hertz), diejenige der Schwingzeit [s]. Mit (5.28) gilt für den Einmassenschwinger:

f=

1 ⋅ 2⋅ π

T = 2⋅ π ⋅

k m

(5.30a)

m k

(5.30b)

Zusammenfassend lässt sich feststellen: Der Einmassenschwinger besitzt eine einzige Eigenfrequenz, nämlich die Frequenz

1 ⋅ 2⋅ π

f=

k . m

Freie ungedämpfte Schwingungen sind Schwingungen mit einem sinusartigen Zeitverlauf in dieser Frequenz. Die Amplitude und der Phasenwinkel der Schwingung ergeben sich aus den Anfangsbedingungen. Beispiel 5.3 Der in Bild 5-11 dargestellte Balken ist in der Mitte mit einem Körper belastet, der das Gewicht von 50 kN besitzt. Es sind die Eigenfrequenz und Eigenschwingzeit des Systems zu ermitteln. Hierbei soll angenommen werden, dass die Balkenmasse vernachlässigt werden kann.

E = 2,1·108 kN/m2 I = 2·104 cm4

Bild 5-11 Balken mit Masse

Die Federkonstante des Systems erhält man für einen beidseitig gelenkig gelagerten Balken unter mittiger Belastung zu

Die Masse beträgt

k= m=

48⋅ E ⋅ I l

3

50⋅ kN

=

48⋅ 2.1⋅ 108 ⋅ 2⋅ 10− 4 6

3

= 5 kN ⋅ s 2 m . 10⋅ m s 2

= 9.33⋅ 103 kN / m .

378

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke 9.33⋅ 103 kN m 1 = 6.9 = 6.9 Hz 2 5 s kN ⋅ s m

Die Eigenfrequenz ist somit

f=

1 ⋅ 2⋅ π

und die Eigenschwingzeit

T=

1 1 = = 0.15 s . f 6.9

Bei Finite-Element-Modellen handelt es sich um Systeme mit mehreren Freiheitsgraden und Massen. Ihre Bewegungsgleichung für ungedämpfte, freie Schwingungen erhält man unter Voraussetzung linearen Systemverhaltens aus (5.19) zu

K⋅ u

+ M ⋅ u = 0

(5.31)

Charakteristisch für das dynamische Systemverhalten sind die Massenkräfte M ⋅ u , die zu jedem Zeitpunkt mit den sich aus der Steifigkeit ergebenden Kräften K ⋅ u im Gleichgewicht stehen. Zur Lösung des Gleichungssystems macht man wie beim Einmassenschwinger einen sinusförmigen Ansatz des Zeitverlaufs u = φ ⋅ sin ( ω⋅ t )

(5.32)

Da für die nachfolgenden Überlegungen Amplitude und Phasenwinkel nicht von Bedeutung sind, werden sie Eins beziehungsweise Null gesetzt. Der Vektor φ enthält die Schwingungsamplituden in den einzelnen Freiheitsgraden, die Funktion sin ( ω ⋅ t ) beschreibt die Abhängigkeit von der Zeit. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung sind damit

ω⋅ φ ⋅ cos ( ω⋅ t ) ,

(5.32a)

u = − ω 2 ⋅ φ ⋅ sin ( ω ⋅ t ) .

(5.32b)

u =

Diese setzt man in die Bewegungsgleichung (5.31) ein und erhält

(K

)

− ω2 ⋅ M ⋅ φ = 0 .

(5.33)

Die Gleichung stellt ein allgemeines Eigenwertproblem für die Eigenwerte ω 2 und die Eigenvektoren φ dar. Da sowohl die Steifigkeitsmatrix als auch die Dämpfungsmatrix reell, symmetrisch und positiv definit sind, sind die Eigenwerte reell und positiv. Lösungsverfahren für Eigenwertprobleme werden in Abschnitt 1.4 behandelt. Die Eigenvektoren φ werden bei freien Schwingungen auch als Eigenformen oder Schwingungsformen und die Wurzeln ω der Eigenwerte als Eigenkreisfrequenzen der Schwingung bezeichnet. Für sie gilt (vgl. Abschnitt 1.4):

5.4 Freie Schwingungen

379

Ein Finite-Element-Modell besitzt so viele Eigenfrequenzen ωi wie mit Masse belegte Freiheitsgrade. Zu jeder Eigenfrequenz ωi gehört eine Eigenform φ i . Die Eigenformen erfüllen die Orthogonalitätsbedingungen

φT ⋅ K⋅ φ = 0

φT ⋅ M ⋅ φ = 0

für i ≠ j ,

(5.34a)

φT ⋅ K⋅ φ ≠ 0

φT ⋅ M ⋅ φ ≠ 0

für i = j .

(5.34b)

i

i

j

j

i

i

j

j

Die Eigenfrequenzen werden in der Regel der Größe nach geordnet, so dass gilt:

ω1 < ω2 < ω3 ... < ω j < .... ωn .

(5.34c)

Die Eigenvektoren sind als Lösung eines homogenen Gleichungssystems nur bis auf einen konstanten Multiplikationsfaktor bestimmt. Daher beschreiben Eigenformen nur die Form einer Schwingung, geben aber nicht deren absolute Größe an. Sie können auf unterschiedliche Weise normiert werden. Eine Möglichkeit besteht darin, den betragsmäßig maximalen Verschiebungswert einer Eigenform zu Eins zu wählen. Häufig werden Eigenformen aber auch unter Verwendung der Orthogonalitätsbeziehungen so normiert, dass gilt:

φT ⋅ M ⋅ φ = 1 ,

(5.35a)

φ T ⋅ K ⋅ φ = ω2 .

(5.35b)

i

i

i

i

Diese Normierung hat bei der Verwendung der Eigenformen zur Berechnung angeregter Schwingungen rechentechnische Vorteile. Die mechanische Bedeutung der Eigenfrequenzen und zugehörigen Eigenformen ist ähnlich wie beim Einmassenschwinger. Lenkt man ein Finite-Element-Modell in einer Eigenform aus und löst die Bindung, so schwingt das System in der betreffenden Eigenform mit der zugehörigen Eigenfrequenz. Das Verhältnis der Verschiebungsgrößen unterschiedlicher Freiheitsgrade bleibt dabei während des Schwingungsvorganges zu jeder Zeit erhalten.

Beispiel 5.4 Es sind die Eigenfrequenzen und -formen des in Bild 5-9 dargestellten Fachwerks zu ermitteln. Die Steifigkeits- und Massenmatrix des Systems wurden bereits im Beispiel 5.2 aufgestellt. Damit lautet das Eigenwertproblem § ª 1.35 − 0.35 − 1. ª 20 0 0 0 0 º· ª uˆ1 º ª 0 º 0 − 0.35 º ¨ « » « »¸ « » « » 1.35 0 0 0.35 » ¨ « − 0.35 « 0 20 0 0 0 »¸ « vˆ1 » « 0 » ¨ 2.80⋅ 105 ⋅« − 1. 0 1.35 0.35 0 » − ω 2 ⋅« 0 0 40 0 0 »¸⋅« uˆ2 » = « 0 » ¨ « » « »¸ « » « » 0 0.35 1.35 0 » ¨ « 0 « 0 0 0 40 0 »¸ « vˆ2 » « 0 » ¨ «¬ − 0.35 0.35 «¬ 0 0 0 0 10 »¼¸ «¬ uˆ »¼ «¬ 0 »¼ 0 0 1.35 »¼ © ¹ 3

Es wird mit einem der in Abschnitt 1.4 angegebenen Verfahren gelöst.

380

5 Dynamik der Stab-und Flächentragwerke

Da fünf Freiheitsgrade mit Massen belegt sind, erhält man bei der vollständigen öL sung fünf Eigenfrequenzen und Eigenformen. Sie lauten, der rGöße nach geordnet: f1 = 7.1 Hz

ª 0.119 º « » « 0.027 » φ1 = « 0.125 » « » « − 0.041» «¬ 0.025 »¼

f 2 = 15.7 Hz

f3 = 20.3 Hz

ª 0.052 º ª 0.032 º « » « » 0.022 « » « 0.206 » φ 2 = « 0.022 » φ 3 = « − 0.038 » « » « » « 0.151» « − 0.014 » «¬ 0.010 »¼ «¬ − 0.079 »¼

f5 = 33.1 Hz

f 4 = 24.3 Hz

ª − 0.161 º « » « 0.033 » φ 4 = « 0.084 » « » « 0.015 » «¬ − 0.131 »¼

ª 0.080 º « » « − 0.072 » φ 5 = « − 0.017 » « » « − 0.001 » «¬ − 0.276 »¼

Die Eigenformen sind bezü glich der Masse nmatrix normiert, so dass (5.35a)gilt. Die erste und zweite Eigenform sind in Bild 5.12 dargestellt. 0,022 0,119

0,052

0,125

0,151 0,027

0,022 0,041

0,01

0,025 Eigenform 1:

f1 = 7.1Hz

Eigenform 2:

f 2 = 15.7Hz

Bild 5-12 Eigenformen

Beispiel 5.5

Ein Abluftkamin wird zur nUte rsuchung der H orizontalschwi ngungen als eingesp annter Biegebalken abgebildet, Bild 5-13. Es sind di e Eigenfreq uenzen und f-ormen zu ermitteln. uZnächst werden wie bei einer statischen Be rechnung die Steifigkeitsmatrizen aller Finiten Elemente aufgestellt. Man erhält die Elementsteifigkeitsmatrizen K1 = K 2 = K 3 = K 4 = K el der Biegebalken 1 bis 4 nach Abschnitt 3.4 zu: ª 12 / l 2 6 / l − 12 / l 2 6 / l º ª 0.079 0.792 − 0.079 0.792 º « » « » − 6/l 4 2 » « 0.792 10.56 − 0.792 5.28 » 7 E⋅ I « 6 / l ⋅« ⋅ 10 K el = »= l « − 12 / l 2 − 6 / l 12 / l 2 − 6 / l » « − 0.079 − 0.792 0.079 − 0.792 » « » «¬ 6 / l 5.28 − 0.792 10.56 ¼ − 6/l 2 4 »¼ ¬ 0.792

5.4 Freie Schwingungen

381

Querschnitt

A = 5,0m 2 I = 17,6m 4 E = 3 ⋅10 7 kN / m 2

Massenbelegung 25 µ = ⋅ 5 = 12,5 kN s 2 / m 2 10

[

]

Bild 5-13 Modellierung eines Abluftkamins als Biegebalken

Durch Überlagerung der Elementsteifigkeitsmatrizen erhält man die Systemsteifigkeitsmatrix zu: 0.158 0.000 0.079 0.792 0.000 0.000 0.000 0.000

K=

0.000 21.120 0.792 5.280

0.000 0.000

0.000 0.000

0.079 0.792

0.158 0.000

0.079 0.792

0.000 0.000

0.792 5.280

0.000 21.120 0.792 5.280

0.000 0.000

0.000 0.000

0.079 0.792

0.158 0.000

0.079 0.792

0.000 0.000

0.792 5.280

0.000 21.120 0.792 5.280

0.000 0.000

0.000 0.000

0.079 0.792

0.079 0.792

0.000 0.000

0.000 0.000

0.792 5.280

0.792 10.560

7

10

Die Massenmatrix ist nur in den Verschiebungsfreiheitsgraden besetzt, während sie in allen Verdrehungsfreiheitsgraden Null ist. Sie lautet

M=

250 0 0

0 0

0 0

0

0

0 0

0 0

0 0

0

0

0 250 0 0

0 0

0

0

0 0

0 0

0 0

0

0

0 0

0 250 0 0

0

0

0 0

0 0

0 0

0

0

0 0

0 0

0 125 0

0

0 0

0 0

0 0

0

382

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Die vollständige Lösung des Eigenwertproblems

(K

)

− ω 2 ⋅ M ⋅ φ = 0 besteht aus vier

Eigenfrequenzen und Eigenformen, da vier Freiheitsgrade mit Masse belegt sind, Bild 5-14:

f1 = 0.552 Hz

f 2 = 3.25 Hz

f3 = 8.60 Hz

f 4 = 14.99 Hz

T1 = 1.81 s

T2 = 0.31 s

T3 = 0.12 s

T4 = 0.07 s

ª 0.592 º « » « 0.055 » « 2.074 » « » « 0.089 » − 2 ⋅ 10 φ =« 1 4.037 » « » « 0.104 » « 6.172 » « » «¬ 0.108 »¼

ª − 2.373º « » « − 0.165 » « − 4.325 » « » « 0.011 » − 2 φ =« ⋅ 10 2 − 1.423» « » « 0.264 » « 5.222 » « » «¬ 0.367 »¼

ª 4.210 º « » « 0.127 » « 1.084 » « » « − 0.346 » − 2 ⋅ 10 φ =« 3 − 3.862 » « » « 0.045 » « 3.517 » « » «¬ 0.531 »¼

ª − 4.037 º « » « 0.1300 » « 3.977 » « » « 0.075 » − 2 ⋅ 10 φ =« 4 − 2.598 » « » « − 0.215 » « 1.502 » « » «¬ 0.415 »¼

Bild 5-14 Eigenformen 1-3

5.4.2 Gedämpfte Schwingungen Die Bewegungsgleichung für freie Schwingungen eines linearen Einmassenschwingers unter Einschluss der Dämpfung lautet nach (5.19):

k ⋅ u + c⋅ u + m⋅ u = 0

(5.36)

Die Lösung dieser Differentialgleichung kann für schwach gedämpfte Schwingungen mit ξ < 1 geschrieben werden

5.4 Freie Schwingungen

383

u = u0 ⋅ e− ξ⋅ ω⋅ t ⋅ sin ( ω D ⋅ t − ϕ 0 ) .

(5.37a)

Die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung

ω D = 1− ξ 2 ⋅ ω

(5.37b)

unterscheidet sich bei den typischen Dämpfungsmaßen von ξ = 1− 5% nur unwesentlich von der Eigenkreisfrequenz ω der ungedämpften Schwingung. Dies gilt auch für die Schwingdauer TD =

2⋅ π

(5.37c)

ωD

Der Lösungsanteil e −ξ ⋅ω⋅t beschreibt das Abklingen der Schwingung, Bild 5-15. Den theoretische Grenzwert ξ = 1(= 100%) wird als kritische Dämpfung bezeichnet. Bei Werten von ξ > 1 liefert die Lösung von (5.36) einen abklingenden Verschiebungsverlauf (Kriechbewegung).

Bild 5-15 Gedämpfte Schwingung

Beispiel 5.6

Für den Biegebalken nach Beispiel 5.3 ist die Abklingfunktion der Schwingung für eine Anfangsauslenkung von 1 cm aus der statischen Ruhelage zu ermitteln. Die Berechnung ist für die Dämpfungsmaße 1%, 2% (Stahl) und 5% (Beton) durchzuführen. Die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung wurde in Beispiel 5.3 mit ω = 2⋅ π ⋅ f = 43.20 Hz ermittelt. Zunächst sind der Phasenwinkel φ 0 und die Amplitude u 0 zu bestimmen. Man kann allgemein zeigen, dass für die Anfangsgeschwindigkeit Null der Phasenwinkel ϕ 0 = − arctan (1 ξ ) ist. Danach gilt für das Dämpfungsmaß ξ = 5% :

ϕ 0 = − 1.52

zum Vergleich für ξ = 0 : − π / 2 = − 1.57

ωD = 1− 0.052 ⋅ ω = 43.15 Hz

zum Vergleich für ξ = 0 : ω = 43.20 Hz

384

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Der Unterschied zur Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung ist praktisch vernachlässigbar. Aus der Anfangsbedingung für die Verschiebung bei t = 0 erhält man mit (5.37a)

u0 = 0.01 m sin(− ϕ 0 ) = 0.01 m . Den Verschiebungszeitverlauf erhält man mit (5.37a) zu u (t ) = 0.01⋅ e− 0.05⋅ 43.20 ⋅ sin ( 43.15⋅ t + 1.52) mit t in [s] und u in [m]

Entsprechend erhält man für die anderen Dämpfungsmaße u (t ) = 0.01⋅ e− 0.02⋅ 43.20 ⋅ sin ( 43.20⋅ t + 1.55) bei ξ = 2% und

u (t ) = 0.01⋅ e− 0.01⋅ 43.20 ⋅ sin ( 43.20⋅ t + 1.56) bei ξ = 1% .

Die Zeitverläufe sind in Bild 5-16 dargestellt.

0.01

0.01

0.01

0

0

0

0.01

0

0.5

1

1.5

0.01

0

t

0.5

1 t

ξ = 1%

ξ = 2%

1.5

0.01

0

0.5

1

1.5

t

ξ = 5%

Bild 5-16 Gedämpfte freie Schwingungen eines Balkens für unterschiedliche Dämpfungsmaße

Die Bewegungsgleichungen der freien, gedämpften Schwingungen eines Finite-ElementModells lauten nach (5.20) K ⋅ u + C ⋅ u + M ⋅ u = 0

(5.38)

Man kann zeigen, dass sich nur dann reelle Eigenwerte und Eigenformen ergeben, wenn die Dämpfungsmatrix C bestimmte Bedingungen erfüllt. Dies ist der Fall bei proportionaler Dämpfung. Von proportionaler Dämpfung spricht man, wenn C sich als Linearkombination der Steifigkeits- und Massenmatrix darstellen lässt, wie dies bei der Rayleigh-Dämpfung nach (5.18) der Fall ist. Die Dämpfungsmatrix erfüllt dann die zu (5.34a) und (5.34b) analogen Orthogonalitätbedingungen

φ T ⋅ C⋅ φ = 0

für i ≠ j ,

(5.39a)

φ T ⋅ C⋅ φ ≠ 0

für i = j .

(5.39b)

i

i

j

j

5.5 Schwingungen infolge harmonischer Erregung

385

Bei proportionaler Dämpfung erhält man ähnlich wie beim Einmassenschwinger gedämpfte Eigenfrequenzen analog (5.37b) und abklingende Schwingungen in jeder Eigenform. Die Eigenformen sind mit denjenigen des ungedämpften Systems identisch. In der Praxis nimmt man an, dass die Dämpfungsmatrix die Orthogonalitätsbedingungen erfüllt und dass gilt

φ T ⋅ C ⋅ φ = 2⋅ ξ i ⋅ ωi ⋅ φ T ⋅ M ⋅ φ . i

i

i

i

(5.40)

Bei diesem, als modale Dämpfung bezeichneten Konzept, lässt sich jeder Eigenform i ein Dämpfungsmaß ξi zuordnen. Es lässt sich auch eine zugehörige Dämpfungsmatrix C ermitteln (vgl. [5.5]). Auch wenn die Dämpfungsmatrix die Orthogonalitätsbedingungen nicht erfüllt, lässt sich ein Eigenwertproblem aufstellen. Die Eigenwerte und Eigenformen sind dann allerdings komplex. Mechanisch bedeutet dies, dass bei Anregung einer Eigenform die einzelnen Freiheitsgrade zwar mit derselben Frequenz schwingen, aber nicht mehr in Phase. Jeder Freiheitsgrad einer Eigenform besitzt dann einen Phasenwinkel gegenüber den übrigen Freiheitsgraden (vgl. [5.4]). Allgemeine Dämpfungsmatrizen sind allerdings in der Praxis nicht von Bedeutung, da die einfacheren Dämpfungsansätze ausreichen.

5.5 Schwingungen infolge harmonischer Erregung Unter harmonischer Anregung versteht man eine Anregung durch Lasten oder Bodenbewegungen, deren Zeitverlauf einer Sinus- oder Kosinusfunktion entspricht. Solche Anregungen können durch Maschinenschwingungen erfolgen. Es wird hier nur der Fall der Lastanregung betrachtet. Die Anregung durch Bodenbewegungen kann analog behandelt werden. Bei einer harmonischen Anregung stellt sich nach dem sogenannten Einschwingvorgang eine periodische Schwingung in der Frequenz der Anregung ein. Diesen Zustand bezeichnet man als eingeschwungenen Zustand. Zunächst wird wieder der Einmassenschwinger betrachtet. Es wird lineares Systemverhalten vorausgesetzt. Die Erregung erfolgt in der Kreisfrequenz Ω durch die Last F0 ⋅ sin( Ω ⋅ t ) . Im eingeschwungenen Zustand ist dann die Verschiebung: u = u0 ⋅ sin (Ω ⋅ t − ϕ0 )

(5.41)

Hierin sind u0 die Amplitude der Schwingung und ϕ 0 der Phasenwinkel, um den die Antwortschwingung gegenüber der Erregung zeitlich versetzt ist. Setzt man diese Gleichungen in die Bewegungsgleichungen k ⋅ u + c⋅ u + m⋅ u = F0 ⋅ sin (Ω ⋅ t )

(5.42)

ein, erhält man zwei Gleichungen, aus denen sich die Amplitude u0 und der Phasenwinkel ϕ 0 bestimmen lassen. Sie lauten z. B. nach [5.6]:

386

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke u0 = ust ⋅

1

(1− η )

2 2

(5.43a) 2

2

+ 4⋅ ξ ⋅ η

§ 2⋅ ξ ⋅ η · ¸ 2 ¸ © 1− η ¹

ϕ 0 = arctan¨¨

(5.43b)

Hierin bedeuten ξ das Dämpfungsmaß nach (5.15), u st =

F0 k

(5.43c)

die statische Verschiebung bei einer Belastung mit der Kraft F0 und

η=

Ω ω

(5.43d)

das Verhältnis zwischen Erregerfrequenz und Eigenfrequenz. Das Verhältnis zwischen dynamischer und statischer Verschiebung bezeichnet man auch als Vergrößerungsfaktor. Wenn die Erregerfrequenz und die Eigenfrequenz übereinstimmen, tritt Resonanz auf. Es ist dann η = 1 und der Vergrößerungsfaktor u0 1 = ust 2⋅ ξ

(5.44)

hängt ausschließlich vom Dämpfungsmaß ξ ab. Außerhalb des Resonanzbereichs ist die Dämpfung hingegen nur von geringem Einfluss auf die Amplituden. Der Phasenwinkel nach (5.43b) ist für η < 1 positiv und für η > 1 negativ. Das bedeutet, dass Verschiebung und Kraft bei einer Erregung unterhalb der Resonanz zu derselben Zeit gleichgerichtet und oberhalb der Resonanz entgegengerichtet sind. Beispiel 5.7 Für den Biegebalken nach Beispiel 5.3 sind die Vergrößerungsfunktionen bei einer Anregung durch eine Vertikalkraft in Balkenmitte für die Dämpfungsmaße 1%, 2% (Stahl) und 5% (Beton) zu ermitteln, Bild 5-17.

Bild 5-17 Balkens mit harmonischer Erregung

5.5 Schwingungen infolge harmonischer Erregung

387

Das System stellt einen Einmassenschwinger mit harmonischer Erregung dar, dessen Vergrößerungsfunktion durch (5.43a) gegeben ist. Bezeichnet man die Erregerfrequenz mit f F = Ω ( 2⋅ π ) und setzt man die Eigenfrequenz wie in Beispiel 5.3 mit 1 2⋅ π

f=

9.33⋅ 103 kN m = 6.876 Hz 5 kN ⋅ s 2 m

ein, erhält man u0 = ust § § ¨ 1− ¨ 2⋅ π ⋅ f F ¨ © 2⋅ π ⋅ f ©

1

1

=

2 ·2

· § 2⋅ π ⋅ f F · ¸ ¸ + 4⋅ ξ 2 ⋅¨ ¸ ¸ ¹ ¹ © 2⋅ π ⋅ f ¹

2 ·2

§ § · § ·2 ¨ 1− ¨ f F ¸ ¸ + 4⋅ ξ 2 ⋅¨ f F ¸ ¨ © 6.876 ¹ ¸ © 6.876 ¹ © ¹

2

Die Vergrößerungsfunktionen sind in Bild 5-18 dargestellt. Die Spitzenwerte bei Resonanz sind demnach bei

ξ = 1% :

u0 = 50 ⋅ u st

ξ = 2% :

u0 = 25 ⋅ ust

ξ = 5% :

u0 = 10 ⋅ u st

60

30

40

20

20

10

10

5

0

0

5

10

15 f F [ Hz ]

0

0

0

ξ = 1%

5

10

ξ = 2%

15

0

5

10

15 f F [ Hz ]

f F [ Hz ]

ξ = 5%

Bild 5-18 Vergrößerungsfunktionen u0 ust

Bei Finite-Element-Modellen kann die Last-Zeit-Funktion für harmonische Schwingungen geschrieben werden F=

F 0 ⋅ sin (Ω ⋅ t ) .

(5.45)

Hierin stellt F 0 der Vektor der Lasten, die mit der Kreisfrequenz Ω auf das System einwirken, dar. Es gelten somit die Bewegungsgleichungen K ⋅ u + C ⋅ u + M ⋅ u = F 0 ⋅ sin (Ω ⋅ t )

(5.46)

Zunächst werden ungedämpfte Schwingungen behandelt. Für die Verschiebungen im eingeschwungenen Zustand macht man den Verschiebungsansatz

388

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke u=

u 0 ⋅ sin (Ω ⋅ t )

(5.47)

mit dem Vektor u 0 der Schwingungsamplituden der einzelnen Freiheitsgrade. Die Verschiebungen sind danach in Phase oder – bei negativen Werten – in Gegenphase zur Kraft. Für die Beschleunigung folgt aus (5.47) u = − Ω 2 ⋅ u . Die Bewegungsgleichungen lauten damit

( K − Ω 2 ⋅ M )⋅ u0 ⋅ sin (Ω ⋅ t ) =

F 0 ⋅ sin (Ω ⋅ t )

oder

( K − Ω 2 ⋅ M )⋅ u0

= F0 .

(5.48)

Man erhält also die Verschiebungsamplituden u 0 aus der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit reellen Koeffizienten. Im Resonanzfall stimmt die Erregerfrequenz Ω mit einer der Eigenfrequenzen ω des Systems überein und die linke Seite von (5.48) geht mit Ω = ω in die linke Seite des Eigenwertproblems (5.33) über. Gleichung (5.33) ist ein homogenes Gleichungssystem, das nur dann eine Lösung besitzt, wenn die Koeffizientenmatrix singulär ist.

(

)

Die Matrix K − Ω 2 ⋅ M ist somit für Ω = ω singulär und (5.48) hat im Resonanzfall keine Lösung. Bei harmonischen Schwingungen gedämpfter Systeme besitzt jede zeitlich veränderliche Größe nicht nur eine Amplitude, sondern auch eine Phasenverschiebung. Es sind also zwei Größen, Amplitude und Phasenwinkel, anstelle von einer, der Amplitude, zu ermitteln. In der Regel benutzt man hierzu bei harmonischen Schwingungen die komplexe Schreibweise. Sie soll hier kurz vorgestellt, aber nicht im Einzelnen begründet werden (siehe hierzu z. B. [5.4], [5.6]). Mit Hilfe der Eulerschen Formel ei⋅ Ω⋅ t = cos (Ω ⋅ t )+ i⋅ sin (Ω ⋅ t )

(5.49)

lassen sich alle zeitabhängigen Größen bei harmonischen Schwingungen als komplexe Größen schreiben. Beispielsweise lässt sich die Verschiebung des Einmassenschwingers (5.41) u = u0 ⋅ sin (Ω ⋅ t − ϕ0 )

als komplexe Größe schreiben zu i⋅ (Ω⋅ t− ϕ 0 ) uˆ = u0 ⋅ e = u0 ⋅ cos (Ω ⋅ t − ϕ0 )+ i⋅ u0 ⋅ sin (Ω ⋅ t − ϕ 0 )

(5.50)

Komplexe Größen sind hierbei mit ^ gekennzeichnet. Der Imaginärteil der Verschiebung u entspricht dem Momentanwert des Verschiebungs-Zeitverlaufs (5.41) der harmonischen Schwingung. Zur Berechnung der Amplitude und des Phasenwinkels wird die Gleichung umgeformt. Man erhält i⋅ (Ω⋅ t− ϕ 0 ) uˆ = u0 ⋅ e = u0 ⋅ e− i⋅ ϕ 0 ⋅ ei⋅ Ω⋅ t

5.5 Schwingungen infolge harmonischer Erregung

389

oder uˆ = uˆ0 ⋅ ei⋅ Ω⋅ t

(5.51)

mit uˆ0 = u0 ⋅ e− i⋅ ϕ 0 = u0 ⋅ cos (− ϕ 0 )+ i⋅ u0 ⋅ sin (− ϕ 0 ) = Re (uˆ0 )+ i⋅ Im (uˆ0 ) .

Aus Real- und Imaginärteil der komplexen Amplitude erhält man

(

) ( 2

Re (uˆ0 ) + Im (uˆ0 ) = u0 ⋅ cos (− ϕ 0 ) + u0 ⋅ sin (− ϕ 0 ) 2

2

)

2

2 2· § = u02 ⋅¨ ( cos (− ϕ 0 )) + (sin (− ϕ 0 )) ¸ = u02 © ¹

.

Die Amplitude der Schwingung u0 =

Re (uˆ0 ) + Im (uˆ0 ) 2

2

(5.51a)

ist somit der Betrag der komplexen Amplitude u0 . Mit dem Tangens des Phasenwinkels tan ( ϕ 0 ) =

sin ( ϕ 0 )

cos ( ϕ 0 )

=−

u0 ⋅ sin (− ϕ 0 )

u0 ⋅ cos (− ϕ 0 )

=−

Im (uˆ0 )

Re (uˆ0 )

erhält man den Phasenwinkel zu

§ Im (uˆ ) · 0 ¸ ¸. © Re (uˆ0 ) ¹

ϕ 0 = − arctan ¨¨

(5.51b)

Ist uˆ0 real und damit der Imaginärteil von uˆ0 Null, so bedeutet dies, dass der Phasenwinkel Null ist. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung lassen sich durch Differenzieren von (5.51) leicht ermitteln zu uˆ = i⋅ Ω ⋅ uˆ und uˆ = − Ω 2 ⋅ uˆ . Die Last wird ebenfalls in komplexer Schreibweise geschrieben zu

Fˆ =

F 0 ⋅ ei⋅ Ω⋅ t = F 0 ⋅ cos (Ω ⋅ t )+ i⋅ F 0 ⋅ sin (Ω ⋅ t ) .

(5.52)

Der Imaginärteil von Fˆ entspricht der Last F nach (5.45). Setzt man die Ausdrücke für die Kraft, die Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung in die Bewegungsgleichungen ein, erhält man

(K +

)

i⋅ Ω ⋅ C − Ω 2 ⋅ M ⋅ uˆ 0 = F 0

(5.53)

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit komplexen Koeffizienten. Als Lösung erhält man die komplexen Verschiebungen uˆ 0 . Die Steifigkeits- und Dämpfungsmatrix lassen sich zur komplexen Steifigkeitsmatrix

390

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke Kˆ = ( K + i ⋅ Ω ⋅ C

)

(5.53a)

zusammenfassen, so dass die Bewegungsgleichungen lauten

( Kˆ −

)

Ω 2 ⋅ M ⋅ uˆ 0 = F 0 .

(5.53b)

Die komplexe Steifigkeitsmatrix lässt sich auch elementweise aus komplexen Elementsteifigkeitsmatrizen aufstellen. Dabei kann jedem Element ein unterschiedliches Dämpfungsmaß zugeordnet werden. Die Elementmatrizen werden dann mit dem komplexen Elastizitätsmodul Eˆ = E ⋅ (1+ 2⋅ i ⋅ ξ h )

(5.54)

bestimmt. Das Dämpfungsmaß ξ h ist das sogenannte hysteretische Dämpfungsmaß. Es wird praktisch dem viskosen Dämpfungsmaß nach (5.15) gleichgesetzt. Bei Resonanz sind die Antwortschwingungen für das hysteretische und viskose Dämpfungsmaß gleich. Geringfügige Unterschiede in der Schwingungsantwort ergeben sich in der Nähe der Resonanzspitze. Diese sind aber in der Praxis ohne Belang.

Beispiel 5.8

Für das Fachwerk nach Beispiel 5.2 ist die Horizontalverschiebung des Knotens 2 bei einer harmonisch wirkenden Horizontalkraft von 10 kN im eingeschwungenen Zustand zu ermitteln. Die Kraft wirkt in horizontaler Richtung am Knoten 2 mit einer Frequenz von f E = 8Hz und hat den Verlauf einer Sinusfunktion. Das Dämpfungsmaß ist für alle Stäbe 2% (hysteretische Dämpfung). Die Steifigkeits- und Massenmatrix wurden bereits in Beispiel 5.2 ermittelt. Da das Dämpfungsmaß in allen Stäben gleich ist, erhält man die komplexe Steifigkeitsmatrix durch Multiplikation der reellen Steifigkeitsmatrix mit dem Faktor (1+ 2⋅ i⋅ ξ h ) = (1+ i⋅ 0.04) . Der Lastvektor besitzt den Wert 10 kN im angeregten Freiheitsgrad. Somit lautet die Bewegungsgleichung mit dem Vorfaktor kˆ = 2.80⋅ 105 ⋅ (1+ i⋅ 0.04) § ª 1.35 − 0.35 − 1. ª 20 0 0 0 0 º· ª uˆ1 º ª 0 º 0 − 0.35 º ¨ « » « »¸ « » « » 1.35 0 0 0.35 » ¨ « − 0.35 « 0 20 0 0 0 »¸ « vˆ1 » « 0 » ¨ kˆ⋅« − 1. 0 1.35 0.35 0 » − Ω 2 ⋅« 0 0 40 0 0 »¸⋅« uˆ2 » = « 10 » ¨ « » « »¸ « » « » 0 0.35 1.35 0 » ¨ « 0 « 0 0 0 40 0 »¸ « vˆ2 » « 0 » ¨ « «¬ 0 0 0 0 10 »¼¸ «¬ uˆ »¼ ¬« 0 »¼ 0 0 1.35 »¼ © ¬ − 0.35 0.35 ¹ 3

Die Lösung des Gleichungssystems für Ω = 2 ⋅ π ⋅ 8 Hz = 50.3 Hz lautet

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung ª − 2.821 « « − 0.665 uˆ = « − 2.855 « « 1.012 «¬ − 0.599

391

− 0.415i º » − 0.094i » − 0.443i » ⋅ 10− 4 » + 0.142i » − 0.088i »¼

Die Horizontalverschiebung des Knotens 2 entspricht dem dritten Freiheitsgrad. Hierfür erhält man die Amplitude und den Phasenwinkel der Schwingung zu u0 =

(− 2.855)2 + (− 0.443)2 ⋅ 10− 4 = 2.889⋅ 10− 4 [m ] § − 0.443⋅ 10− 4 ·

¸ = − 0.155 =ˆ − 8.88D ϕ 0 = − arctan ¨¨ −4¸ © − 0.2855⋅ 10 ¹ Der Phasenwinkel ist negativ, da die Erregerfrequenz von 8 Hz über der ersten Eigenfrequenz von 7.1 Hz liegt (vgl. Beispiel 5.4). Kraft und Verschiebung zu derselben Zeit sind entgegengesetzt gerichtet.

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung 5.6.1 Direkte numerische Integration Unter Verfahren zur direkten numerischen Integration versteht man solche Berechnungsverfahren, bei denen die Bewegungsgleichungen (5.20) K ⋅ u (t ) + C ⋅ u (t ) + M ⋅ u(t ) = F (t )

schrittweise integriert werden. Man spricht von direkter Integration, wenn die Bewegungsgleichungen eines Finite-Element-Modells vor der Integration nicht transformiert werden. Bei den numerischen Integrationsverfahren handelt es sich um Näherungsverfahren. Die Größe des Zeitschrittes ∆t der Integration bestimmt die Genauigkeit der Lösung. Bei einigen Verfahren hängt auch die Stabilität von der Größe des Zeitschritts ab. Als unbedingt stabile Verfahren bezeichnet man Verfahren, bei denen die Lösung u(t) für beliebige Anfangsbedingungen und bei beliebig großen Zeitschritten nicht über alle Grenzen anwachsen kann. Bei einem bedingt stabilen Verfahren bleibt die Lösung nur dann beschränkt, wenn der Zeitschritt einen bestimmten Wert nicht übersteigt. Im Folgenden wird das bei dynamischen Berechnungen häufig verwendete NewmarkVerfahren behandelt [5.3], [5.7], [5.8]. Die Gleichungen werden für Finite-Element-Modelle, d. h. für Systeme mit mehreren Freiheitsgraden, angegeben. Sie gelten in der Formulierung für einen einzigen Freiheitsgrad mit skalaren Größen selbstverständlich auch für den Einmassenschwinger.

392

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Alle zeitabhängigen Größen werden schrittweise mit dem Zeitschritt

∆ t = tn+ 1 − tn näherungsweise berechnet. Die Beschleunigungen seien un+1 zur Zeit t n +1 und un zur

Zeit tn . Sie werden in jedem Zeitschritt konstant angenommen, und zwar als gewichtetes Mittel aus un und un+1 . Die Gewichtungsfaktoren sind beim Newmark-Verfahren der Integrationsparameter δ beziehungsweise (1− δ ) , Bild 5-19. Danach erhält man mit (5.2a) für die

Geschwindigkeit u n+1 zur Zeit t n +1 den Finite-Differenzen-Ausdruck u n+ 1 = u n + ((1− δ )⋅ un + δ ⋅ un+ 1 )⋅ ∆ t .

(5.55a)

Er setzt sich aus der Summe der Geschwindigkeit u n zur Zeit t n und der mit dem Zeitschritt ∆t multiplizierten, aus un und un+1 gemittelten Beschleunigung zusammen. Für die Verschiebung wird ebenfalls eine gemittelte Beschleunigung angesetzt. Mit (5.2b) erhält man die Verschiebung zur Zeit t n +1 zu u n+ 1 = u n + u n ⋅ ∆ t + (( 0.5 − α )⋅ un + α⋅ un+ 1 )⋅ ∆ t 2 .

(5.55b)

Bild 5-19 Newmark-Verfahren

Hierin bedeuten u n die Verschiebung zur Zeit t n und α wieder ein Integrationsparameter zur Gewichtung der Beschleunigungen un und un+1 . Die Gleichungen (5.55a) und (5.55b) lassen sich auch schreiben un+ 1 = a0 ⋅ (u n+ 1 − u n )− a2 ⋅ u n − a 3⋅ un .

(5.56a)

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

393

u n+ 1 = u n + a6 ⋅ un + a7 ⋅ un+ 1

mit

a0 =

a4 =

1

α⋅ ∆ t

2

δ −1 α

(5.56b)

a1 =

δ α⋅ ∆ t

a2 =

a5 =

· ∆t § δ ⋅ ¨ − 2¸ ¹ 2 ©α

a6 = (1− δ )⋅ ∆ t

1 α⋅ ∆ t

a3 =

1 −1 2⋅ α

a7 = δ ⋅ ∆ t

(5.56c)

Setzt man die beiden Ausdrücke für die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in die Bewegungsgleichungen ein, erhält man:

(K

+ a1 ⋅ C + a0 ⋅ M )⋅ u n+ 1 = F n+ 1 + M ⋅ ( a0 ⋅ u n + a2 ⋅ u n + a3 ⋅ un )

(5.57)

+ C ⋅ ( a1 ⋅ u n + a4 ⋅ u n + a5 ⋅ un )

Die Gleichung stellt die Gleichgewichtsbedingungen zur Zeit t n +1 dar. Die rechte Seite der Gleichung wird mit den äußeren Kräften zur Zeit t n+1 und den aus dem vorangegangenen Zeitschritt bekannten Verschiebungen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen zur Zeit t n gebildet. Die Stabilität der Lösung hängt von der Wahl der Integrationsparameter α und δ ab. Das Verfahren ist nach [5.3] unbedingt stabil, wenn folgende Bedingungen eingehalten sind:

δ≥

1 , 2

1§ 1 4© 2

·2

α ≥ ¨ + δ¸ .

(5.58)

¹

Wählt man δ = 1 2 und α = 1 4 , so wird sowohl bei den Verschiebungen (5.55b) als auch bei den Geschwindigkeiten (5.55a) für die im Zeitschritt konstante Beschleunigung der Mittelwert (un + un+1 ) 2 eingesetzt. Dieses Verfahren wird auch als Newmarksches Verfahren der konstanten mittleren Beschleunigung oder als Trapezregel bezeichnet. In [5.3] werden δ = 1 2 und α = 1 4 aus Gründen der Genauigkeit empfohlen. Das Verfahren wird im Folgenden nochmals zusammengefasst: Newmark-Verfahren

Start 1. Bestimmung der Anfangswerte u 0 , u 0 , u0 2. Wahl des Zeitschrittes ∆t und der Integrationsparameter α und δ mit δ ≥ 0.5 ,

α ≥ 0.25 ⋅ (0.5 + δ ) 2 .

3. Berechnung der Konstanten a0 bis a7 δ 1 a1 = a0 = 2 α⋅ ∆ t α⋅ ∆ t

a2 =

1 α⋅ ∆ t

a3 =

1 −1 2⋅ α

394

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

a4 =

δ −1 α

a5 =

· ∆t § δ ⋅ ¨ − 2¸ ¹ 2 ©α

a6 = (1− δ )⋅ ∆ t

a7 = δ ⋅ ∆ t

4. Berechnung der Ersatzsteifigkeitsmatrix K = K + a1 ⋅ C + a0 ⋅ M ~ 5. Dreieckszerlegung von K K = L ⋅ D⋅ LT Berechnung für jeden Zeitschritt 1. Ersatzlasten zur Zeit t n+1

F n+ 1 = F n+ 1 + M ⋅ ( a0 ⋅ u n + a2 ⋅ u n + a3 ⋅ un )+ C ⋅ ( a1 ⋅ u n + a4 ⋅ u n + a5 ⋅ un )

2. Verschiebungen zur Zeit tn+ 1 berechnen L ⋅ D ⋅ LT ⋅ u = F n+ 1

n+ 1

3. Beschleunigungen und Geschwindigkeiten zur Zeit tn+ 1 berechnen un+ 1 = a0 ⋅ (u n+ 1 − u n )− a2 ⋅ u n − a 3⋅ un

u n+ 1 = u n + a6 ⋅ un + a7 ⋅ un+ 1

Bei dem Newmark-Verfahren werden zur Berechnung der Bewegungsgrößen zur Zeit t n+1 nur die Bewegungsgrößen des vorangegangenen Zeitschritts benötigt. Man bezeichnet solche Verfahren auch als Einschrittverfahren. Bei Mehrschrittverfahren werden die Bewegungsgrößen mehrerer zurückliegender Schritte zur Lösung herangezogen. Im Zusammenhang mit FiniteElement-Berechnungen kommen meistens Einschrittverfahren zur Anwendung. Neben dem Newmark-Verfahren wird vielfach auch das Wilson- θ -Verfahren verwendet [5.3]. Es geht von einem linearen Beschleunigungsverlauf innerhalb eines Zeitschrittes aus. Die Gleichgewichtsbedingungen werden jedoch nicht zur Zeit t = tn+ 1 = tn + ∆ t aufgestellt, sondern zur Zeit t = tn + θ ⋅ ∆ t . Dies kann bei nichtlinearen Berechnungen zu unerwünschten Effekten führen. Das Verfahren ist unbedingt stabil für θ > 1.37 . In der Regel wird θ = 1.4 gewählt. Das Newmark-Verfahren und ebenso das Wilson- θ -Verfahren gehören zu den sogenannten impliziten Verfahren, bei denen die Verschiebungen durch die Lösung eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Daneben gibt es die expliziten Verfahren, die keine Lösung eines linearen Gleichungssystems erfordern. Diese Verfahren können damit schneller und effizienter sein als implizite Verfahren, haben aber Nachteile bezüglich der Stabilität. Beispielsweise muss beim zentralen Differenzenverfahren [5.3] der Zeitschritt so gewählt werden, dass gilt

∆ t ≤ ∆ tkr =

Tmin

π

.

(5.59)

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

395

Der kritische Zeitschritt ∆t kr hängt von der kleinsten Schwingzeit Tmin des Finite-ElementModells und somit von der Feinheit der Finite-Element-Diskretisierung ab. Dies kann bei kleinen Elementabmessungen Zeitschritte von außerordentlich geringer Größe erfordern. Explizite Verfahren werden daher nur in Sonderfällen angewandt. Der numerische Fehler, der durch die zeitliche Diskretisierung entsteht, kann sich im Berechnungsergebnis durch ein Abfallen der Amplitude und eine Verlängerung der Schwingzeit äußern. Da das Abfallen der Amplitude sich ähnlich wie eine künstliche Dämpfung äußert, spricht man auch von numerischer Dämpfung. Beispiele für Wilson- θ -Verfahren und andere Verfahren sind in [5.3] angegeben. Beim Newmark-Verfahren tritt für δ = 1 2 und α = 1 4 keine künstliche Dämpfung auf. Wählt man allerdings δ > 1 2 , ist auch beim NewmarkVerfahren ein künstlicher Amplitudenabfall vorhanden. Der Einfluss der künstlichen Dämpfung hängt von Verhältnis des Zeitschritts zur betrachteten Schwingzeit ab. Kurze Schwingzeiten beziehungsweise hohe Frequenzen werden stärker gedämpft als niedrige Frequenzen. Diese Wirkung kann durchaus erwünscht sein, um höhere Eigenfrequenzen aus der Schwingungsantwort herauszufiltern.

Beispiel 5.9 Der Biegebalken in Beispiel 5.3 wird durch eine Vertikalkraft von 100 kN in Balkenmitte plötzlich belastet. Die Antwortschwingung ist nach dem Newmark-Verfahren für ein Dämpfungsmaß von ξ = 2% zu ermitteln. Die Eigenschwingzeit ist nach Beispiel 5.3 T =

9333 5 ( 2⋅ π ) = 0.145 s .

Der Zeitschritt wird zu ∆ t = T 10 = 0.0145 s , die Integrationsparameter werden zu δ = 1 2 und α = 1 4 gewählt. Damit erhält man die Integrationskonstanten nach (5.56c) zu

a0 = 18910 ,

a1 = 137.5 ,

a2 = 275.0 ,

a3 = a4 = 1 ,

a5 = 0 ,

a6 = a7 = 0.007

~ und die Ersatzsteifigkeit k

c = 2⋅ ξ ⋅ k ⋅ m = 2⋅ 0.02⋅ 9.33⋅ 103 ⋅ 5 = 8.64 kN ⋅ s / m , m = 5 kN ⋅ s 2 / m und k = 9.33⋅ 103 kN / m zu k = k + a1 ⋅ c + a0 ⋅ m = 1.051⋅ 105 kN / m .

mit

Die Last ist F0 = F1 = F2 = ..... = Fn max = 100 kN und damit in diesem Beispiel von der Zeit unabhängig. Die Rechenvorschrift für die schrittweise Integration lautet Fn+ 1 = Fn+ 1 + m⋅ ( a0 ⋅ un + a2 ⋅ un + a3 ⋅ un )+ c⋅ ( a1 ⋅ un + a4 ⋅ un + a5 ⋅ un ) un+ 1 =

Fn+ 1 , un+ 1 = a0 ⋅ (un+ 1 − un ) − a2 ⋅ un − a 3⋅ un , un+ 1 = un + a6 ⋅ un + a7 ⋅ un+ 1 k

mit den Anfangswerten u 0 = 0 , u0 = 0 , u0 = 0 . Die Ergebnisse für die ersten 10 Zeitschritte sind in der nachfolgenden Tabelle angegeben.

396

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke n

~ Fn [ kN ]

t [ s]

[ ]

un [ mm]

un m s

[

un m s 2

0

0

-

0

0

0

1

0.015

100

0.95

0.131

18.00

2

0.029

462

4.40

0.343

11.20

3

0.044

1052

10.01

0.429

0.57

4

0.058

1655

15.75

0.360

-10.02

5

0.073

2118

19.57

0.165

-16.80

6

0.087

1826

20.16

-0.084

-17.47

7

0.102

1292

17.38

-0.298

-11.92

8

0.116

711

12.30

-0.401

-2.25

9

0.131

291

6.77

-0.359

7.99

10

0.145

177

2.77

-0.191

15.17

]

Die in Bild 5-20 dargestellten Zeitverläufe der Bewegungsgrößen zeigen eine abklingende Schwingung. Die Verschiebungen streben dem statischen Grenzwert ustat = F0 k = 0.107 [m] zu, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung dem Wert Null. Die maximale Verschiebung ist mit 20.16[mm] geringfügig niedriger als die exakte Lösung für ξ = 0 , die

2⋅ ustat = 21.44 [mm] beträgt. Der geringe Unterschied ist vor allem auf die Dämpfung und in geringerem Maße auf den numerischen Integrationsfehler zurückzuführen. Die rechnerisch genaue Lösung ist 20.78 [mm] . Der geringe Unterschied von ( 21.44− 20.78) 21.44 = 3% zeigt, dass die Dämpfung bei Stoßproblemen nur von geringem Einfluss ist.

Um den Einfluss der numerischen Dämpfung zu untersuchen, wird die Berechnung mit dem Dämpfungsmaß ξ = 0 wiederholt, wobei die Größe des Zeitschritts mit ∆t = T 10 = 0.0145s beibehalten wird. Die Verschiebungszeitverläufe sind für zwei Parameterkombinationen von α und δ in Bild 5-21 angegeben. Bei δ = 0.5 und α = 0.25 bleiben die Amplituden konstant, d. h. es tritt keine numerische Dämpfung auf. Wählt man allerdings δ = 0.55 und entsprechend α = 0.25 ( 0.5+ δ ) = 0.276 , so fallen aufgrund der numerischen Dämpfung die Amplituden ab, obwohl ξ = 0 ist. 2

0.02

0.01

0.5

20

0

0

t 0

0

0.2

0.4

Verschiebung

u( t )

Bild 5-20 Bewegungsgrößen

t 0.6

0.5

0

0.2

0.4

Geschwindigkeit

u( t )

t

0.6

20

0

0.2

0.4

Beschleunigung

u( t )

0.6

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

0.02

0.02

0.01

0.01

397

t 0

0

0.2

δ = 0.5

0.4

α = 0.25

t 0.6

0

0

0.2

δ = 0.55

Bild 5-21 Verschiebungs-Zeitverläufe für

0.4

0.6

α = 0.276

ξ = 0.

5.6.2 Modalanalyse In der Modalanalyse verwendet man die Eigenfrequenzen und -formen einer Struktur, um die Antwortschwingung bei einer zeitabhängigen Belastung darzustellen. Während die direkte numerische Integration auch bei nichtlinearen Systemen anwendbar ist, setzt die Modalanalyse lineares Systemverhalten voraus. Die Massen- und Steifigkeitsmatrix müssen somit konstant sein. Für die Dämpfungsmatrix gelten Einschränkungen, die später erläutert werden. Die Vorgehensweise wird anhand eines Beispiels erläutert. Bild 5-22 zeigt ein System mit drei Massen. Das System soll ausschließlich Horizontalverschiebungen als Freiheitsgrade besitzen.

Bild 5-22 Eigenformen eines 3-Massen-Schwingers (Rahmen mit starren Riegeln)

Das System besitzt somit drei Eigenfrequenzen und -formen. Ein beliebiger Verschiebungszustand wird durch die drei Verschiebungswerte u1, u2 und u3 oder ¬ª u1 u2 u3 º¼ T beschrieben. Grundsätzlich lässt sich der Verschiebungszustand aber auch durch die Überlagerung der drei Eigenformen φ 1 , φ 2 und φ 3 angeben. Man erhält:

398

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke ª u1 º « » « u2 » = α1 ⋅ φ 1 + α2 ⋅ φ 2 + α3 ⋅ φ 3 = «¬ u »¼ 3

¦ αi ⋅ φ i

Anstelle der drei Verschiebungen u1, u2 und u3 treten die Werte α1 , α 2 und α 3 zur Beschreibung des Verschiebungszustandes. Man kann dies mathematisch als Wechsel der Basis auffassen. Von der Basis der geometrischen Koordinaten des Finite-Element-Modells geht man auf die Basis der Eigenformen über. Allgemein lässt sich die Überlagerung der Eigenformen auch schreiben u = u (t ) =

¦ αi ⋅ φ i und, da die Verschiebungen von der Zeit abhängen, ¦ αi (t )⋅ φ i .

(5.60)

Die Funktionen α i (t ) bezeichnet man als generalisierte Koordinaten, Normalkoordinaten oder modale Koordinaten. Berücksichtigt man m Eigenformen eines Systems von n>m mit Masse belegten Freiheitsgraden, gilt m

u (t ) =

¦ αi (t )⋅ φ i = Φ ⋅ Α

(5.61)

i= 1

mit der Modalmatrix

Φ = ª¬ φ

1

φ

2

φ

3

... φ º¼ m

(5.61a)

und dem Vektor der generalisierten Koordinaten ª α1 º « » « α2 » Α=« . ». « » « . » «¬ α »¼ m

(5.61b)

Wenn die Modalmatrix alle n Eigenformen des Systems enthält, ist sie quadratisch und regulär, da die Eigenvektoren linear unabhängig sind. Sie kann dann invertiert werden, um mit

Α = Φ − 1 ⋅ u die generalisierten Koordinaten zu bestimmen. In der Regel verwendet man allerdings weniger Eigenformen als die Anzahl der mit Masse belegten Freiheitsgrade des Systems beträgt. In diesem Fall ist die Modalmatrix rechteckig und es existiert keine inverse Beziehung. Damit lässt sich u(t ) durch die generalisierten Koordinaten nicht mehr exakt darstellen. Vielmehr erhält man eine Approximation der Verschiebungen u(t ) , bei welcher aber die Genauigkeit im Bereich der berücksichtigten Eigenformen erhalten bleibt. In den meisten praktischen Fällen lassen sich die Verschiebungen durch wenige Eigenformen beschreiben und der Anteil der höheren Eigenformen ist gering. Allgemein gilt, dass die Approximation umso bes-

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

399

ser wird, je weniger die nicht berücksichtigten Eigenschwingungen an der Bewegung teilnehmen. Zur Ermittlung der generalisierten Koordinaten geht man von den Bewegungsgleichungen aus. Setzt man (5.61) in die Bewegungsgleichungen (5.20) ein, erhält man für eine einzelne Eigenform φ : i

i (t ) = F (t ) K ⋅ φ ⋅ αi (t ) + C ⋅ φ ⋅ α i (t ) + M ⋅ φ ⋅ α i i i T Man multipliziert die Gleichung mit der transponierten j-ten Eigenform φ j und erhält

i (t ) = φ T ⋅ F (t ) . φ T ⋅ K ⋅ φ ⋅ αi (t ) + φ T ⋅ C ⋅ φ ⋅ α i (t ) + φ T ⋅ M ⋅ φ ⋅ α j

i

j

i

j

i

j

Aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen (5.34a, b) der Eigenformen und unter Voraussetzung proportionaler Dämpfung nach (5.40) führt der Ausdruck nur dann zu generalisierten Koordinaten α i (t ) ≠ 0 , wenn i = j ist. Die Gleichung geht damit über in die skalare Gleichung, die man auch als modale Bewegungsgleichung bezeichnet, i (t ) = fi* . ki* ⋅ αi (t ) + ci* ⋅ α i (t ) + mi* ⋅ α

(5.62)

Hierin bedeuten: ki* = φ T ⋅ K ⋅ φ i

i

ci* = φ T ⋅ C ⋅ φ

i

i

mi* = φ T ⋅ M ⋅ φ i

i

fi* (t ) = φ T ⋅ F (t ) i

die generalisierte Steifigkeit,

(5.62a)

die generalisierte Dämpfung,

(5.62b)

die generalisierte Masse und

(5.62c)

die generalisierte Last.

(5.62d)

Die Lösung der Bewegungsgleichung (5.20) des Finite-Element-Modells wird mit (5.62) auf die Lösung vom m skalaren Bewegungsgleichungen, die denjenigen eines Einmassenschwingers entsprechen, zurückgeführt. Die Dämpfung kann in jeder Eigenform ci* = 2⋅ ξ i ⋅ ki* ⋅ mi* = 2⋅ ξ i ⋅ ωi ⋅ mi*

(5.63)

geschrieben werden. Bei diesem als modale Dämpfung bezeichneten Konzept wird jeder Eigenform ein eigenes Dämpfungsmaß ξ i zugeordnet. Mit der Eigenkreisfrequenz ωi =

ki* mi* kann (5.62) für modale Dämpfung auch geschrie-

ben werden i (t ) = fi* (t ) mi* . ωi2 ⋅ αi (t ) + 2⋅ ξ i ⋅ ωi ⋅ α i (t ) + α

(5.64)

400

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Falls die Eigenformen bereits nach (5.35a) bezüglich der generalisierten Masse normiert sind, vereinfacht sich mit mi* = 1 die praktische Berechnung. Die Bewegungsgleichungen (5.19) eines Einmassenschwingers können allgemein mit dem sogenannten Duhamel-Integral oder Faltungsintegral u (t ) =

t

1 m⋅ ω D

F (τ )⋅ e− ξ⋅ ω⋅ (t− τ ) ⋅ sin ( ω D ⋅ (t − τ )) d τ

³

(5.65)

0

analytisch oder auch numerisch gelöst werden [5.6]. Hierin bedeuten ω =

k m die Kreisfre-

quenz des ungedämpften Einmassenschwingers, ω D die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Einmassenschwingers nach (5.37b) und ξ das Dämpfungsmaß nach (5.15). Das DuhamelIntegral kann zur Lösung von (5.62) herangezogen werden, wobei

αi (t ) ≡ u (t ) , mi* ≡ m

und

ki* ≡ k ,

ci* = 2⋅ ξ i ⋅ ki* ⋅ mi* ≡ c ,

fi* (t ) ≡ F (t )

gilt.

Gleichung (5.64) kann für vorgegebene Zeitfunktionen analytisch ausgewertet werden. Bei einer allgemeinen Last-Zeit-Funktion werden allerdings die modalen Bewegungsgleichungen (5.62) meistens durch direkte numerische Integration, beispielweise mit dem NewmarkVerfahren, gelöst (vgl. Abschnitt 5.6.1). Hierbei muss der Zeitschritt für alle modalen Gleichungen gleich gewählt werden. Die Überlagerung zur Gesamtlösung erfolgt dann mit (5.61). Es ist auch möglich die modalen Bewegungsgleichungen durch Fourier-Transformation zu lösen (siehe Abschnitt 5.6.3). Das Verfahren wird im Folgenden zusammengefasst: Modalanalyse

Start 1. Wahl der Anzahl m der zu berücksichtigenden Eigenfrequenzen und des Zeitschritts ∆t . 2. Aufstellung und Lösung des Eigenwertproblems der ungedämpften Schwingung für m Eigenschwingungen K −ωi2 ⋅M ⋅ φ = 0

(

)

i

Als Ergebnis erhält man die Eigenkreisfrequenzen formen φ für i=1..m.

ωi

und die zugehörigen Eigen-

i

Berechnung für jede Eigenschwingung 1. Berechnung der generalisierten Masse und der generalisierten Last-Zeit-Funktion mi* = φ Ti ⋅ M ⋅ φ i f i* (t ) =φ Ti ⋅ F (t )

2. Wahl des modalen Dämpfungsmaßes

ξi

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

401

3. Schrittweise Integration der modalen Bewegungsgleichung mit dem Zeitschritt ∆t ωi2 ⋅ α i (t )+ 2 ⋅ ξ i ⋅ ωi ⋅ α i (t )+αi (t )= f i* (t ) mi* Berechnung der Zeitverläufe 1. Verschiebungs-Zeitverläufe durch Überlagerung der Eigenschwingungen u (t ) = α i (t ) ⋅ φ i

¦

2. Schnittgrößen-Zeitverläufe mit Hilfe der Spannungsmatrizen Der besondere Vorteil der Modalanalyse besteht darin, dass häufig bereits eine geringe Anzahl von Eigenschwingungen zur Darstellung des Bewegungsverlaufes genügt. Die Anzahl der zu berücksichtigenden Eigenformen ergibt sich einmal aus dem Frequenzgehalt der zeitlichen Anregung und zum anderen aus der räumliche Verteilung der Lastgrößen. Weiterhin ist zu beachten, dass zur genauen Ermittlung von Schnittgrößen mehr Eigenformen erforderlich sind als für die Verschiebungen, da es sich hierbei um abgeleitete Größen handelt. Höhere Eigenschwingungen sind daher für die Schnittgrößen von größerer Bedeutung als für die Verschiebungen.

Beispiel 5.10 Das Fachwerk nach Beispiel 5.2 wird im Knoten 2 durch eine stoßartige Horizontalkraft mit der in Bild 5.23 dargestellten Last-Zeit-Funktion belastet. Die Antwortschwingung ist mit Hilfe der Modalanalyse für das ungedämpfte System mit ξ = 0 zu ermitteln. Der Zeitverlauf der Normalkraft im Stab 1 ist ebenfalls zu bestimmen. Die Eigenformen des Fachwerks wurden bereits in Beispiel 5.4 bestimmt. Sie wurden bereits bezüglich der Masse normiert, so dass für jede Eigenform mi* = 1 gilt.

Bild 5-23 Last-Zeitverlauf

Die Eigenformen des Fachwerks wurden bereits in Beispiel 5.4 bestimmt. Sie wurden bereits bezüglich der Masse normiert, so dass für jede Eigenform mi* = 1 gilt. Da sich im Beispiel die Belastung F (t )

durch einen einzigen Zeitverlauf f (t )

beschreiben lässt, kann sie

T F (t ) = I ⋅ f (t ) geschrieben werden. Der Vektor I = ¬ª 0 0 1 0 0 ¼º gibt die räumliche Ver-

402

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

teilung der Last an und enthält im angeregten Freiheitsgrad 3 eine Eins während er im Übrigen Null ist. Die generalisierte Last nach (5.64) ist damit fi* (t ) mi*

=

1 mi*

⋅ φ T ⋅ F (t ) = i

Γi mi*

⋅ f (t )

mit Γ i = φ T ⋅ I . i

Die Beteiligungsfaktoren aller fünf Eigenschwingungen erhält man mit den Eigenformen nach Beispiel 5.4 zu

Γ1 = 0.125 ,

Γ 2 = 0.022 ,

Γ 3 = − 0.038 ,

Γ 4 = 0.084 ,

Γ 5 = − 0.017 .

Aufgrund der räumlichen Verteilung der Last (Horizontalkraft an Knoten 2) werden insbesondere die erste und vierte Eigenschwingung angeregt. Die Integration der Bewegungsgleichung (5.64) ist hier analytisch möglich, da der LastZeitverlauf eine einfache Funktion darstellt. Mit fi* (t ) = Γ i ⋅ f (t ) = Γ i ⋅ F0 wenn t ≤ t F = 0

wenn t > t F

erhält man die Lösung von (5.64) für das ungedämpfte System mit ξ i = 0 zu

αi (t ) = =

fi* (t )

ωi2 ⋅ mi fi* (t )

ωi2 ⋅ mi

⋅ (1− cos ( ωi ⋅ t ))

wenn t ≤ t F

(

)

⋅ cos ( ωi ⋅ (t F − t )) − cos (ωi ⋅ t )

. wenn t > t F

Die Funktionen werden mit dem Zeitschritt ∆t = 0.005s ausgewertet. Nachfolgend werden die auf den jeweiligen Lastfaktor (Γi ⋅ F0 ) bezogenen generalisierten Koordinaten α i (t ) für die ersten 20 Zeitschritte angegeben. Die Funktionen sind für die Zeit bis 0.3 s in Bild 5-24 dargestellt. t [s]

α1 (t ) (Γ1 ⋅ F0 )

α 2 (t ) (Γ2 ⋅ F0 )

α 3 (t ) (Γ3 ⋅ F0 )

α 4 (t ) (Γ4 ⋅ F0 )

α 5 (t ) (Γ5 ⋅ F0 )

0

0

0

0

0

0

0.005

0.124

0.122

0.121

0.119

0.114

0.010

0.492

0.460

0.436

0.410

0.344

0.015

1.083

0.933

0.821

0.712

0.463

0.020

1.870

1.426

1.126

0.858

0.354

0.025

2.813

1.821

1.230

0.767

0.124

0.030

3.865

2.024

1.093

0.489

0.000

0.035

4.973

1.985

0.768

0.178

0.104

0.040

6.083

1.715

0.383

0.007

0.334

0.045

7.139

1.277

0.090

0.070

0.463

0.050

8.089

0.777

0.003

0.333

0.363

0.055

8.761

0.213

0.035

0.530

0.020

0.060

8.997

-0.402

0.054

0.434

-0.343

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

403

t [s]

α1 (t ) (Γ1 ⋅ F0 )

α 2 (t ) (Γ2 ⋅ F0 )

α 3 (t ) (Γ3 ⋅ F0 )

α 5 (t ) (Γ5 ⋅ F0 )

0.065

8.785

-0.921

0.052

0.097

-0368

0.070

8.136

-1.218

0.029

-0.293

-0.030

0.075

7.082

-1.223

-0.005

-0.521

0.337

0.080

5.676

-0.934

-0.037

-0.460

0.372

0.085

3.988

-0.421

-0.055

-0.145

0.040

0.090

2.101

0.194

-0.051

0.251

-0.331

0.095

0.109

0.762

-0.027

0.508

-0.376

0.100

-0.189

1.147

0.008

0.483

-0.05

α 4 (t ) (Γ4 ⋅ F0 )

Die Werte sind exakt, da sie auf einer analytischen Lösung beruhen. In der Regel sind die Last-Zeitfunktionen jedoch nicht so einfach, dass sie analytisch integriert werden können. Die modalen Bewegungsgleichungen werden dann numerisch gelöst, wobei der Zeitschritt für jede Eigenschwingung gleich gewählt wird. Seine Größe hängt also von der Größe der höchsten Eigenfrequenz ab, die in der Berechnung berücksichtigt wird. Da es sich hierbei um ein Näherungsverfahren handelt, entsteht dabei ein numerischer Fehler. 10

10

10

5

5

0

0

0

10

0

0.1

0.2

0.3

5

0

0.1

α1 (t ) (Γ1⋅ F0 ) 10

5

5

0

0

0.1

0.2

0.3

5

t

α 4 (t ) (Γ4 ⋅ F0 )

0

0.1

5

0

0.1

0.2

0.3

t

α 3 (t ) (Γ3 ⋅ F0 )

α2 (t ) ( Γ 2 ⋅ F0 )

10

0

0.3

t

t

5

0.2

0.2

0.3

t

α 5 (t ) (Γ5 ⋅ F0 )

Bild 5-24 Generalisierte Koordinaten

Die Zeitverläufe der generalisierten Koordinaten zeigen, dass durch den Frequenzgehalt der Last-Zeitfunktion vor allem die beiden niedrigsten Eigenschwingungen angeregt werden.

404

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Die Verschiebungs-Zeitverläufe ergeben sich durch Überlagerung der Eigenschwingungen zu m

u (t ) =

¦

m

αi (t )⋅ φ =

i= 1

i

α (t )

¦ Γ ii⋅ F0 ⋅ (Γ i ⋅ F0 )⋅ φ i . i= 1

Sie sind in Bild 5-25 unter Berücksichtigung aller Eigenschwingungen, d. h. mit m=5 angegeben. Hieraus erhält man mit den Spannungsmatrizen der Elemente die zugehörigen Elementspannungen und Schnittgrößen. Als Beispiel wird der Zeitverlauf der Normalkraft im Stab 1 ermittelt. Die Spannungsmatrix ist in Beispiel 3.3 angeben. Danach gilt: ª u1 º N1 = 2.80⋅ 105 ⋅ª¬ − 1 1º¼⋅« » mit ¬ u2 ¼

u1 und u2 in [m] und N1 in [kN].

Da die Verschiebungen u1 und u2 zeitabhängige Größen sind, erhält man auch für die Normalkraft einen Zeitverlauf. Die Verschiebungen der Knoten 1 und 2 sowie die Normalkraft im Stab 1 sind in der nachfolgenden Tabelle bis zu t=0.1 [s] zusammengestellt. t [s]

u1 [mm]

v1 [mm]

u 2 [mm]

v2 [mm]

N1 [kN ]

0

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.005

0.001

0.000

0.031

0.000

8.331

0.010

0.013

0.000

0.116

-0.002

28.707

0.015

0.060

0.002

0.238

-0.011

50.001

0.020

0.161

0.010

0.379

-0.032

61.053

0.025

0.320

0.031

0.523

-0.068

56.923

0.030

0.520

0.069

0.667

-0.120

41.301

0.035

0.729

0.125

0.815

-0.184

23.971

0.040

0.916

0.190

0.970

-0.254

15.197

0.045

1.062

0.250

1.135

-0.324

20.323

0.050

1.165

0.293

1.298

-0.387

37.338

0.055

1.236

0.312

1.414

-0.438

49.927

0.060

1.282

0.309

1.441

-0.472

44.568

0.065

1.290

0.289

1.381

-0.483

25.575

0.070

1.238

0.260

1.251

-0.464

3.575

0.075

1.107

0.225

1.070

-0.413

-10.486

0.080

0.893

0.183

0.855

-0.330

-10.752

0.085

0.609

0.135

0.613

-0.222

1.075

0.090

0.287

0.080

0.347

-0.099

16.875

0.095

-0.038

0.019

0.055

0.026

26.153

0.100

-0.333

-0.046

-0.257

0.142

21.324

Bisher wurden alle Eigenformen zur Überlagerung herangezogen. Die Lösung ist somit exakt. Es soll nun untersucht werden, wie sich das Ergebnis ändert, wenn nicht alle Eigenformen verwendet werden. In der folgenden Tabelle sind für alle Eigenschwingungen die Eigenschwingzeiten, Beteiligungsfaktoren und die Maximalwerte der generalisierten Koordinaten

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

405

α i (t ) im Bereich t<0.3 [s] angegeben. Weiterhin sind auch die Maxima der Verschiebungen und der Normalkraft N1 zusammengestellt, die man im Bereich t<0.3 [s] erhält, wenn die Überlagerung nur bis zur jeweiligen Eigenform durchgeführt wird und höhere Eigenformen vernachlässigt werden.

2

2

0.5

1 u ( t) k, 1 10

−3

1 u ( t) k, 1

u( t) k, 1

0

10

0

−3

10

1 2

0

0.1

0.2

0.5

0.3

2 0

0.1

0.3

0

0.1

0.2

0.3

t

u 2 [mm]

v1 [mm]

0.5

100

0.5

50

0

u ( t) k, 1

−3

10

0.5

1

0.2

t

u1 [mm ]

10

0 1

t

u ( t) k, 1

−3

0

0.1

0.2

0.3

−3

N 1 ( t)

0

0

0.5

0

0.1

0.2

50

0

0

0.1

t

t

v2 [mm]

0.2

0

t

u3 [mm]

N1[kN ]

Bild 5-25 Zeitverläufe der Verschiebungen und der Normalkraft N1 bei Berücksichtigung aller Eigenformen

i

Ti

Γi

1

0.141

0.125

2

0.063

0.022

3

0.049

4 5

αi

max u 1

max v1

max u 2

max v 2

maxN 1

minN 1

6.22

1.341

0.307

1.412

0.464

20.01

-20.01

2.03

1.353

0.312

1.417

0.484

21.24

-18.36

0.038

1.16

1.352

0.309

1.418

0.484

21.63

-18.44

0.041

0.084

0.86

1.390

0.313

1.442

0.483

59.47

0.030

0.017

0.46

1.394

0.312

1.441

0.483

61.05

max

Γi ⋅ F0

-46.62 -48.05

Die Tabelle zeigt, dass bereits ein bis zwei der insgesamt fünf Eigenformen genügen, um das Schwingungsverhalten des Fachwerks bei der gegebenen Belastung ausreichend genau zu beschreiben. Diese Eigenformen werden durch den Frequenzgehalt der Belastung besonders stark angeregt, was sich in den hohen Werten von max α i Γ i ⋅ F0 äußert. Die vierte Eigenform, die den zweitgrößten Partizipationsfaktor besitzt, trägt letztlich wegen des deutlich niedrigeren Wertes max α 4 Γ 4 ⋅ F0 doch nur wenig zur gesamten Schwingungsantwort bei. Bild 5-26 zeigt einige Zeitverläufe die man erhält, wenn man ausschließlich die erste Eigenform berücksichtigt. Die Verschiebungs-Zeitverläufe des Knotens 2 machen deutlich, dass die

406

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

zweite Eigenform vor allem die vertikale Verschiebung des Knotens beeinflusst (vgl. Bild 5-25). Für die horizontale Verschiebungen sind die Abweichungen der Maximalwerte von (1.341− 1.394) 1.394 = 3.8% am Knoten 1 und von (1.353− 1.394) 1.394 = 2.9% am Knoten 2 bei Berücksichtigung von nur einer Eigenform weniger groß. Betrachtet man jedoch die mit Hilfe dieser Verschiebungen berechnete Normalkraft im Stab 1, so erhält man entsprechend einen Fehler von ( 20.01− 61.05) 61.05 = − 67% . Der relative Fehler der Normalkraft bei unzureichenden Anzahl von Eigenformen ist größer als derjenige der zugehörigen Verschiebungen, da der Wert der Normalkraft aus der Differenz fehlerbehafteter Größen gebildet wird. Die Ergebnisse der Verschiebungen und Schnittgrößen wurden nur auszugsweise wiedergegeben. Obwohl es sich nur um ein vergleichsweise kleines Beispiel handelt, ist die Datenmenge des Ergebnisses recht umfangreich. Vor allem bei großen Finite-Element-Modellen sind besondere Überlegungen erforderlich, um die Datenmenge auf die für die Auswertung wesentlichen Ergebnisse zu beschränken. 2

40

0.5

20

1 u( t) k, 1 10

−3

u( t) k, 1

0

10

−3

N1( t)

0

1 2

0 20

0

0.1

0.2

0.5

0.3

0

0.1

t

u2 [ mm]

0.2

0

40

0

t

v2 [ mm]

0.1

0.2

0.3

t

N1 [ kN ]

Bild 5-26 Zeitverläufe bei ausschließlicher Berücksichtigung der ersten Eigenform

5.6.3 Fourier-Transformation Die Bewegungsgleichungen linearer Systeme lassen sich durch eine Fourier-Transformation aller Verschiebungs- und Kraftgrößen lösen. Die Belastungen und die dadurch angeregten Schwingungen können sowohl periodisch wie auch nicht periodisch sein. Unter gewissen Voraussetzungen kann eine periodische Funktion durch eine sogenannte Fourier-Reihe dargestellt werden. Bezeichnet man mit f (t ) die Funktion und mit T0 die Periode, mit der sich der Funktionsverlauf wiederholt, so lautet die Fourier-Reihe ∞

f (t ) = a0 + 2⋅

¦ (ak ⋅ cos (Ω k ⋅ t )+ bk ⋅ sin (Ω k ⋅ t ))

(5.66)

k= 1

mit

Ωk =

und

a0 =

2⋅ π ⋅k T0 1 ⋅ T0

T0

³

t= 0

f (t ) dt ,

(5.66a)

ak =

1 ⋅ T0

T0

³

t= 0

f (t )⋅ cos (Ω k ⋅ t ) dt ,

(5.66b)

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

bk =

1 ⋅ T0

T0

³

407

f (t )⋅ sin (Ω k ⋅ t ) dt .

(5.66c)

t= 0

Die Fourier-Reihe ist eine unendliche Reihe mit Sinus- und Kosinustermen und stellt die Funktion f ( t ) außer an Sprungstellen exakt dar. Beispielsweise kann eine beliebige, aber periodische Last-Zeitfunktion mit (5.66) beschrieben werden. Die für die Konvergenz der Reihe erforderliche Dirichlet-Bedingung (stückweise Stetigkeit und stückweise Monotonie von f ( t ) ) ist bei Zeitfunktionen von Schwingungsvorgängen praktisch immer erfüllt [5.9]. Bei Schwingungsvorgängen beschreibt f ( t ) den Zeitverlauf einer statischen Größe, beispielsweise einer Verschiebung oder einer Schnittgröße. Der Zeitverlauf f ( t ) setzt sich also nach (5.66) aus der Überlagerung von Sinus- und Kosinusschwingungen zusammen. Entsprechend (5.26) steht jedes Fourierglied für eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz Ω k . Die in Abschnitt 5.5 zur Darstellung harmonischer Schwingungen eingeführte komplexe Schreibweise kann auch zur Darstellung der Fourier-Reihe angewandt werden. Es gilt: ∞

f (t ) =

¦

cˆk ⋅ ei ⋅ Ω k⋅ t

(5.67)

k= − ∞

mit ak − i⋅ bk ° cˆk = ® a0 ° ¯ ak + i⋅ bk

für k > 0½ ° für k = 0 ¾ . ° für k < 0 ¿

(5.67a)

Die Summation erfolgt hier von − ∞ bis ∞ . Mit der Eulerschen Formel (5.49) lässt sich nachweisen, dass (5.66) und (5.67) identisch sind. Da in (5.66) die Summation bei 1 beginnt, muss man in (5.67) nach dem Einsetzen von (5.67a) die Terme für k und -k zusammenfassen sin (Ω− k ⋅ t ) = − sin (Ω k ⋅ t ) und und dabei berücksichtigen, dass mit cos (Ω− k ⋅ t ) = cos (Ω k ⋅ t ) a− k = ak beziehungsweise b− k = − bk folgt.

Für nicht periodische Funktionen erhält man durch den Grenzübergang T0 → ∞ aus (5.66) oder (5.67) die sogenannte Fourier-Transformation. Die Summe in (5.66) beziehungsweise (5.67) geht dann in ein Integral über und anstelle diskreter Werte Ω k erhält man eine Funktion Ω(t ) . Diese Form der Fourier-Transformation ist für analytische Lösungen von Bedeutung und soll hier nicht weiter verfolgt werden. Für numerische Berechnungen lassen sich aber auch nicht periodische Funktionen näherungsweise in Form einer Reihe darstellen. Allerdings muss die Periode T0 dann hinreichend groß gewählt werden. Bei der sogenannten Diskreten FourierTransformation oder DKT wird auch die Periode T0 in N Zeitschritte diskretisiert. Den Zeitschritt erhält man zu

∆t =

T0 N

(5.68)

408

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

und die Funktion f (t ) steht an den Punkten t = t j = j ⋅ ∆ t mit j=0,1,..(N-1) zur Verfügung.

2⋅ π k⋅ j Wegen T0 = N ⋅ ∆t gilt weiterhin: Ω k ⋅ t j = ⋅ k ⋅ j ⋅ ∆ t = 2⋅ π . N ⋅ ∆t N Die Koeffizienten a k und bk lassen sich damit entsprechend (5.66b, c) numerisch ermitteln zu: ak =

bk =

N− 1

¦ f (t j )⋅ cos¨© 2⋅ π ⋅ kN⋅ j ¸¹ ,

1 ⋅ N

§

·

(5.69a)

j= 0

N− 1

¦ f (t j )⋅ sin¨© 2⋅ π ⋅ kN⋅ j ¸¹ .

1 ⋅ N

§

·

(5.69b)

j= 0

In komplexer Schreibweise erhält man mit (5.67a) und der Eulerschen Formel − 2⋅ π⋅ i

e

k⋅ j N

§ § k⋅ j · k⋅ j · = cos¨ 2⋅ π ¸ − i ⋅ sin¨ 2⋅ π ¸ die komplexen Fourierkoeffizienten zu © © N ¹ N ¹

cˆk =

1 ⋅ N

N− 1

¦ ( )

− 2⋅ π⋅ i

f tj ⋅ e

k⋅ j N

j= 0

(5.70a) Für das Wertepaar k=m und k=N-m gilt mit e− 2⋅ π⋅ i = cos ( 2⋅ π ) − i⋅ sin ( 2⋅ π ) = 1 : e− 2⋅ π⋅ i⋅ ( N− m)⋅ j N = e− 2⋅ π⋅ i ⋅ e2⋅ π⋅ i⋅ m⋅ j N = e2⋅ π⋅ i⋅ m⋅ j N .

Mit der Eulerschen Formel kann man zeigen, dass sich die Koeffizienten cˆ k für k > N 2 in dem Sinne wiederholen, dass die Realteile gleich sind, während die Imaginärteile gleichen Betrag, aber umgekehrtes Vorzeichen besitzen, das heißt konjugiert komplexe Werte sind [5.6]. In diesem Sinne entsprechen sich beispielsweise die Werte für j=1 und j=N-1. Die Funktion f (t ) erhält man an den Diskretisierungspunkten mit (5.67) zu N− 1

( ) ¦

f tj =

cˆk ⋅ e

2⋅ π⋅ i

k⋅ j N

.

(5.70b)

k= 0

Die Summation über k erfolgt hier von 0 bis (N-1), was aufgrund der o. g. Eigenschaft der Fourierkoeffizienten der Summation von -N/2 bis N/2 entspricht [5.6]. Mit (5.70a) werden die Fourierkoeffizienten einer Funktion f (t ) in Abhängigkeit von der Frequenz Ω k = 2⋅ π ⋅ k T0 bestimmt. Man bezeichnet dies auch als Transformation von f (t ) in den Frequenzbereich. Bei der sogenannten Rücktransformation oder Inversen Fourier-Transformation mit (5.70b) wird die Funktion vom Frequenzbereich in den Zeitbereich transformiert. Sowohl der Frequenzbereich wie auch der Zeitbereich sind bei der DFT diskretisiert,

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

409

der Frequenzbereich in die Kreisfrequenzen Ω k = 2⋅ π ⋅ k ( N ⋅ ∆ t ) oder die Frequenzen f k = Ω k ( 2⋅ π ) = k ( N ⋅ ∆ t ) mit k=0,1,...(N-1) und der Zeitbereich in die Punkte t j = j ⋅ ∆ t mit j=0,1,..(N-1).

In der Praxis verwendet man eine besonders effiziente numerische Technik zur Berechnung der Diskreten Fourier-Transformation, die sogenannte Schnelle Fourier-Transformation oder “Fast Fourier Transform” (FFT) von Cooley-Tukey [5.10]. Die Anzahl N der Punkte muss bei der FFT eine ganzzahlige Potenz von 2 beispielsweise 210 = 1024 sein [5.6]. Dies kann durch Hinzufügen einer entsprechenden Anzahl von Nullen leicht erreicht werden. Die Auflösung im Frequenzbereich ist durch die Diskretisierung beschränkt. Da sich die Fourierkoeffizienten für k>N/2 in dem o. g. Sinne wiederholen, ist maximal die Frequenz bei k=N/2 darstellbar. Bei einer Diskretisierung im Zeitbereich mit dem konstanten Zeitschritt ∆t beträgt sie f Ny =

1 . 2⋅ ∆ t

(5.71)

Diese Frequenz wird als Nyquist-Frequenz bezeichnet. Die Nyquist-Frequenz ist die höchste Frequenz, welche im Frequenzbereich dargestellt werden kann. Daher können beispielsweise in Last-Zeit-Funktionen Frequenzen oberhalb der NyquistFrequenz nicht berücksichtigt werden. Gegebenenfalls ist die Anzahl N der Punkte zu erhöhen beziehungsweise die Schrittweite ∆t im Zeitbereich zu verringern. Sollen Frequenzen bis zu f max in einer Berechnung berücksichtigt werden, ergibt sich der maximal zulässige Zeitschritt mit (5.71) zu ∆ t = 1 ( 2⋅ f max ) . Beispiel 5.11

Die in Bild 5-27 dargestellte Last-Zeit-Funktion mit einer Periode von 1 [s] ist als FourierReihe darzustellen, wobei die Summation näherungsweise auf 4, 8 und 16 Terme zu begrenzen ist. Die analytische Darstellung nach (5.66) soll mit der Diskreten Fourier-Transformation verglichen werden.

Bild 5-27 Last-Zeitverlauf

410

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Die Koeffizienten der Fourier-Reihe erhält man mit T0 = 1 nach (5.66a) und (5.66b) durch Integration. In der nachfolgenden Tabelle sind die ersten 8 Koeffizienten, die mit einem numerischen Integrationsverfahren ermittelt wurden, angegeben. Sie können auch als über der Frequenz f = f k = k T0 als diskretes Frequenzspektrum aufgetragen werden, Bild 5-28.

Bild 5-28 Fourier-Koeffizienten

k

ak

bk

0

0.300

0

1

0.152

0.208

2

-0.047

0.144

3

-0.031

0.010

4

0.038

0.027

5

0

0.064

6

-0.025

0.018

7

0.013

0.004

Die unendliche Reihe nach (5.66) wird näherungsweise als endliche Reihe mit N Koeffizienten dargestellt zu: N− 1

f (t ) = a0 + 2⋅

¦ (ak ⋅ cos (Ω k ⋅ t )+ bk ⋅ sin (Ω k ⋅ t )) k= 1

Für N=4, N=8 und N=16 erhält man die in Bild 5-29 dargestellten Funktionen. Mit zunehmender Zahl von Koeffizienten nimmt die Genauigkeit der Näherung zu. An den Sprungstellen der Funktion bei t = 0 und t = 0.3 verläuft die Fourier-Reihe, die überall einen stetigen Verlauf hat, durch den Mittelwert 0.5. Die Funktion ist über eine Periode dargestellt. Danach wiederholt sich der Verlauf. Die Diskrete Fourier-Transformation wird mit (5.69a) und (5.69b) durchgeführt. Die Rechenzeit zur Ermittlung der Koeffizienten ist im Allgemeinen deutlich geringer als bei der obigen Integration, da lediglich Summen gebildet werden. Die Koeffizienten für N=8 erhält man beispielsweise zu:

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung k

ak

0

0.375

0

1

0.213

0.213

411

bk

2

0

0.125

3

0.037

-0.037

4

0.125

0

5

0.037

0.037

6

0

-0.125

7

0.213

-0.213

Fourier-Reihe mit N Koeffizienten

Bild 5-29 Inverse Fourier-Transformation

Die Werte sind bei N/2=4 gespiegelt, wobei die bj- Koeffizienten das Vorzeichen ändern, während bei den aj- Koeffizienten das Vorzeichen beibehalten bleibt. Die Inverse Diskrete FourierTransformation wird mit (5.70a) durchgeführt, wobei die komplexen Koeffizeinen mit (5.67a) gebildet werden. Die Ergebnisse sind für N=4, N=8 und N=16 in Bild 5-30 dargestellt. An den Diskretisierungspunkten stimmen die Näherungswerte mit der exakten Funktion überein. Es wird aber auch deutlich, dass eine ausreichende Anzahl von Koeffizienten berücksichtigt werden muss, um die Funktion genügend genau darzustellen.

412

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Bild 5-30 Verschiebungs-Zeitverläufe

Zur Lösung der Bewegungsgleichung werden alle zeitabhängigen Größen vom Zeit- in den Frequenzbereich transformiert. Für ein Finite-Element-Modell erhält man die Transformation der Verschiebungen mit (5.67) zu ∞

¦

u (t ) =

uˆ k ⋅ ei ⋅ Ω k⋅ t

(5.72a)

k= − ∞

und die Transformation der Last zu ∞

F (t ) =

¦

Fˆ k ⋅ ei ⋅ Ω k⋅ t .

(5.72b)

k= − ∞

Die Geschwindigkeit und Beschleunigung erhält man durch Differenzieren von (5.72a) zu uˆ k = i⋅ Ω k ⋅ uˆ k und uˆ k = − Ω k2 ⋅ uˆ k . Setzt man diese Gleichungen in die Bewegungsgleichungen (5.20) ein, erhält man für jede Frequenz

(K +

)

i⋅ Ω k ⋅ C − Ω k2 ⋅ M ⋅ uˆ k = Fˆ k .

(5.73)

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit komplexen Koeffizienten. Die Gleichung entspricht der Bewegungsgleichung (5.53) bei harmonischer Anregung. Die Dämpfungsterme können somit wieder nach (5.53a) als komplexe Steifigkeitsmatrix K ausgedrückt werden. Die komplexen Verschiebungsgrößen sind die Unbekannten des Gleichungssystems. Nach der Lösung von (5.73) erhält man die Verschiebungsgrößen und mit Hilfe der komplexen

5.6 Schwingungen infolge beliebiger Erregung

413

Spannungsmatrizen auch alle Schnittgrößen im Frequenzbereich. Ihre Rücktransformation in den Zeitbereich erfolgt mit (5.67) beziehungsweise bei der DFT mit (5.70b). Das Verfahren kann wie folgt zusammengefasst werden: Fourier-Transformation

Start Wahl der Periode T0 und der Anzahl N der Diskretisierungspunkte T 1 unter Berücksichtigung des Zeitschrittes ∆t = 0 = N 2 ⋅ f max Berechnung im Frequenzbereich 1. Transformation der Belastung in den Frequenzbereich 1 Fˆ k = ⋅ N

N −1

¦ ( )

F t j ⋅e

− 2⋅π ⋅i

k⋅ j N

für k=1...(N-1)

j =0

2. Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung im Frequenzbereich K +i ⋅ Ω k ⋅ C − Ω k2 ⋅ M ⋅ uˆ k = Fˆ k für k=1...(N-1)

(

)

mit Ω k = 2 ⋅ π ⋅ k (N ⋅ ∆t ) . 3. Berechnung der Schnittgrößen im Frequenzbereich mit Hilfe der Spannungsmatrizen Rücktransformation in den Zeitbereich 1. Rücktransformation der Verschiebungs-Zeitverläufe N −1

( ) ¦ uˆ k ⋅ e

u tj =

2⋅π ⋅i

k⋅ j N

k =0

2. Rücktransformation der Schnittgrößen-Zeitverläufe Beispiel 5.12

Eine periodische Last mit dem in Bild 5-27 dargestellten Zeitverlauf und einem Maximalwert von F0 = 100 kN wirkt auf den Balken des Beispiels 5-3 (Bild 5-11). Die Antwortschwingung ist mit der Verfahren der Diskreten Fourier-Transformation zu ermitteln. Zunächst sind der erforderliche Zeitschritt und die Periode zu wählen. Da die Belastung eine mit einer Periode von 1 [s] besitzt, gilt T0 = 1 [ s] . Der Zeitschritt muss so gewählt werden, dass sowohl die Last wie auch das Schwingungsverhalten des Systems ausreichend genau dargestellt werden können. Zur Darstellung der Last soll mit den Ergebnissen in Beispiel 5-11 N = 8"16 beziehungsweise ∆t = T0 N = 0.125 " 0.0625[ s ] als ausreichend angesehen werden. Das Schwingungsverhalten des Systems ist durch die bereits in Beispiel 5.3 ermittelte Eigenschwingzeit von T=0.15 [s] oder die Eigenfrequenz von f = 6.9[ Hz ] gekennzeichnet. Diese Frequenz kann in der Berechnung nur dargestellt werden, wenn der Zeitschritt mindestens ∆t = 1 (2 ⋅ f max ) = 1 (2 ⋅ 6.9 ) = 0.07[ s ] beträgt. Dies entspricht N = T0 ∆t = 1 0.07 ≈ 14 Zeitschritten. Die Genauigkeit bei dieser Grenzfrequenz ist allerdings gering. Um den Einfluss der Größe des Zeitschrittes zu untersuchen, werden daher im Folgenden die Anzahl der Zeit-

414

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

schritte auf den zwei-, vier- und achtfachen Wert der Anzahl, die sich aufgrund der NyquistFrequenz ergibt, gewählt. Die Bewegungsgleichung lautet mit der Federkonstanten k = 9333 kN / m , der Masse m = 5kN ⋅ s 2 / m und dem hysteretischen Dämpfungsmaß ξ = 2% :

(k ⋅ (1+ 2⋅ i⋅ ξ )− Ω k2 ⋅ m)⋅ uˆk =

fˆk ⋅ F0

(9333⋅ (1+ 0.04⋅ i )− Ω k2 ⋅ 5)⋅ uˆk =

fˆk ⋅ 100

Hierin stellt Ω k = k ⋅ 2⋅ π T0 die Kreisfrequenz der harmonischen Schwingung für die k-ten Koeffizienten der Fourier-Reihe dar. Auf der rechten Seite stehen die komplexen FourierKoeffizienten fˆ = a − i⋅ b der Last, die sich aus den in Beispiel 5.12 bereits ermittelten k

k

k

Koeffizienten a k und bk ergeben. Die Lösung −1 uˆk = fˆk ⋅ 100⋅ 9333⋅ (1+ 0.04⋅ i ) − Ω k2 ⋅ 5

(

)

liefert die Antwortschwingung im Frequenzbereich. Aus den Verschiebungsgrößen können weitere Größen wie Auflager- und Schnittgrößen im Frequenzbereich ermittelt werden. Beispielsweise erhält man die Beschleunigung in Balkenmitte zu bˆk = − Ω k2 ⋅ uˆk .

Die Rücktransformation mit N− 1

( ) ¦ uˆ k ⋅ e

u tj =

2⋅ π⋅ i

k⋅ j N

k= 0

N− 1

und

( ) ¦ bˆk ⋅ e

b tj =

2⋅ π⋅ i

k⋅ j N

k= 0

ergibt die Verschiebungen beziehungsweise die Beschleunigungen im Zeitbereich. Die Zeitverläufe der Verschiebungen sind für N=14 (Nyquist-Frequenz), N=28, N=56 und N=112 in

(

)

Bild 5-30 dargestellt. Ein Zeitschritt ∆ t Ny = 1 2⋅ f Ny , der der Nyquist-Frequenz entspricht, kann zwar die Frequenz f Ny wiedergeben, die Auflösung ist jedoch unbefriedigend, insbesondere, wenn weitere Größen wie Schnittgrößen aus den Verschiebungen abgeleitet werden sollen. Eine befriedigende Auflösung erhält man mit einem Zeitschritt, von etwa 1 6"1 8 nNy , also im Beispiel mit N = 84"112 . Das Beispiel zeigt, dass unter Umständen bei dem Verfahren der Fourier-Transformation eine große Anzahl von Frequenzen zu untersuchen ist. Die Anzahl ist umso größer, je größer die Periode T0 ist und je größer die höchste in der Berechnung zu berücksichtigende Frequenz ist.

5.7 Erdbebenberechnung

415

5.7 Erdbebenberechnung 5.7.1 Allgemeines Erdbeben entstehen aus einem plötzlichen Bruchvorgang in der Erdkruste. Der Bruch tritt ein, wenn in einer Verwerfung nach langsam vor sich gegangenen Verschiebungen und Spannungsumlagerungen die Festigkeitsgrenzen des Gesteins an bestimmten Stellen überschritten werden. Von der Bruchstelle breiten sich im Boden Wellen aus, die sich an der Erdoberfläche als Erschütterungen äußern. Diese werden als Beschleunigungsverläufe gemessen und besitzen eine vertikale und zwei horizontale Komponenten. Man bezeichnet sie auch als Freifeldbeschleunigung und setzt sie bei Schwingungsberechnungen als Bodenbewegung am Fundament eines Gebäudes an. Bei größeren Gebäuden kann die Freifeldbeschleunigung an verschiedenen Stellen der Fundamentfläche durchaus unterschiedlich sein (vgl. [5.4]). In der Praxis vernachlässigt man allerdings diesen Effekt fast immer. Bei starren Fundamentkörpern ist dies gerechtfertigt, da diese örtlich unterschiedliche Bodenbewegungen ausgleichen und kurzwellige Anteile der Bodenwellen, die höheren Anregungsfrequenzen entsprechen, herausfiltern [5.11], [5.12], [5.13]. Bei der Erdbebenauslegung von Bauwerken ist die vertikale Erdbebenbeschleunigung in der Regel von geringer Bedeutung. Zum einen ist sie meistens niedriger als die horizontale Beschleunigung und zum anderen wird durch die Auslegung des Bauwerks für die vertikalen Eigengewichtslasten bereits ein gewisser Grad an Erdbebensicherheit gegenüber vertikalen Kräften erreicht. Für die Erdbebensicherung von Bauwerken ist daher vor allem die horizontale Beschleunigung von Wichtigkeit. Lastannahmen über die an einem Standort zu erwartende Erdbebenbelastung besitzen im Vergleich zu anderen Lastannahmen eine große Unsicherheit. Dies betrifft die Häufigkeit, Dauer, Stärke und den charakteristischen Verlauf eines Bebens. Auch das Tragwerksverhalten bei einem Erdbeben kann nur mit einer gewissen Unsicherheit beschrieben werden. Dies gilt beispielsweise für die Mitwirkung nichttragender Bauteile oder das Verhalten im nichtlinearen Bereich. Eine Abdeckung aller nur möglichen Erdbebenrisiken ist kaum möglich und wirtschaftlich nicht vertretbar. Ziel der Bemessung ist daher in der Regel eine Erdbebenauslegung, bei der zwar durchaus Schäden auftreten können, aber ein Kollaps des Tragsystems vermieden wird. Die Berechnung der im Lastfall Erdbeben zugrunde zu legenden Schnitt- und Verschiebungsgrößen kann nach unterschiedlichen Verfahren erfolgen. Beim Zeitverlaufsverfahren wird ein Beschleunigungszeitverlauf als Bodenbewegung angenommen. Daraus ergeben sich Zeitverläufe der Schnittgrößen und Verschiebungen, deren Maxima für die Bemessung maßgebend sind. Das Zeitverlaufsverfahren ist das allgemeinste aller Verfahren und auch für nichtlineare Berechnungen geeignet. Beim Antwortspektrenverfahren geht man von einem sogenannten Antwortspektrum aus, das die charakteristischen Eigenschaften einer Vielzahl unterschiedlicher Erdbeben zusammenfasst. Mit der Modalanalyse erhält man Maxima der Erdbebenschnittgrößen und -verschiebungen, die dann nach probabilistisch begründeten Näherungsmethoden überlagert werden. Der Zeitverlauf und die zeitliche Zuordnung der Schnittgrößen zueinander gehen dabei verloren. Andererseits ist der Rechenaufwand gering und die Ungenauigkeit des Verfahrens kann wegen der ohnehin vorhandenen Unsicherheit bei den Lastannahmen in Kauf genommen werden.

416

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Einen anderen Weg beschreitet man bei den probabilistischen Verfahren. Hierbei versucht man die Unsicherheiten bei der Berechnung der Schwingungsantwort durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu erfassen. Diese Unsicherheiten bestehen in den geometrischen und materialbedingten Unsicherheiten des statischen Systems sowie in den Unsicherheiten der seismischen Belastung. Da die Unsicherheiten des statischen Systems um Größenordnungen kleiner sind als diejenigen der seismischen Erregung, vernachlässigt man sie meistens und rechnet mit deterministischen Systemkennwerten. Die Unsicherheit der seismischen Kennwerte (Grundwert der Bodenbeschleunigung, Bebendauer, Frequenzinhalt u.a.) wird hingegen durch Eintretenswahrscheinlichkeiten und Verteilungsfunktionen erfasst. Als Ergebnis der dynamischen Berechnung erhält man wiederum Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Schnittgrößen und Verschiebungen. In der Praxis werden derzeit probabilistische Verfahren kaum angewandt, da der Berechnungsaufwand hoch ist und die erforderlichen Angaben zu den seismischen Parametern Schwierigkeiten machen.

5.7.2 Zeitverlaufsberechnungen Bei Zeitverlaufsberechnungen werden die Antwortschwingungen des Bauwerks für ein bestimmtes Erdbeben berechnet, Bild 5-31. Man verwendet hierzu natürliche Erdbebenzeitverläufe, die man aus Messungen erhält, oder auch künstliche Erdbebenzeitverläufe, die aufgrund vorgegebener Erdbebenkennwerte generiert werden. Bei der künstlichen Generierung von Zeitverläufen geht man von Zufallsschwingungen aus. Deren als stationärer Zufallsprozess generierter Zeitverlauf (von unbegrenzter Länge) wird mit einer zeitabhängigen Hüllkurve multipliziert, um einen Zeitverlauf von endlicher Dauer zu erhalten. Durch einen Filterungsprozess wird der Frequenzgehalt an die bodendynamischen Verhältnisse am Standort angepasst. Mit verschiedenen Verfahren ist es möglich Zeitverläufe zu generieren, die einem vorgegebenen Antwortspektrum für ein gegebenes Dämpfungmaß entsprechen [5.14].

Bild 5-31 Zeitverlaufsberechnung

5.7 Erdbebenberechnung

417

Bei Zeitverlaufsberechnungen geht man von den Bewegungsgleichungen (5.24)

(

K ⋅ u + C ⋅ u + M ⋅ u = − M ⋅ I x ⋅ ubx + I y ⋅ uby + I z ⋅ ubz

)

aus. Diese lassen sich bei linearen wie auch bei nichtlinearen Sytemen mit direkten numerischen Integrationsverfahren lösen. Bei linearen Systemen wird allerdings meistens die Modalanalyse vorgezogen, da deren Rechenaufwand wesentlich geringer ist, sofern sich die dynamische Antwort mit wenigen Eigenformen beschreiben lässt. Bei der Modalanalyse werden zunächst die Eigenfrequenzen und Eigenformen ermittelt. Man erhält damit die modalen Bewegungsgleichungen (5.62) zu i (t ) = fi* ki* ⋅ αi (t ) + ci* ⋅ α i (t ) + mi* ⋅ α

(5.74)

mit

(

)

fi* (t ) = φ T ⋅ F (t ) = − φ T ⋅ M ⋅ I x ⋅ ubx + I y ⋅ uby + I z ⋅ ubz . i

i

(5.74a)

Für eine einzige Anregungsrichtung vereinfacht sich (5.74) zu fi* (t ) = φ T ⋅ F (t ) = − φ T ⋅ M ⋅ I ⋅ ub (t ) = − Γ i ⋅ ub (t ) , i

i

(5.75)

wobei I den Topologievektor und ub (t ) die Bodenbeschleunigung in der Anregungsrichtung darstellen. Der Wert

Γi = φT ⋅ M ⋅ I

(5.75a)

i

wird als Beteiligungsfaktor der i-ten Eigenform bezeichnet. Die Lösung der modalen Bewegungsgleichungen (5.74) berechnet man in der Regel mit mit numerischen Integrationsverfahren. Die analytische Lösung wird durch das Duhamel-Integral (5.65) beschrieben zu:

α (t ) = −

Γi mi* ⋅

ωD

t

³ ub (τ )⋅ e− ξ⋅ ω⋅ (t− τ ) ⋅ sin (ωD ⋅ (t − τ )) d τ

(5.76)

0

Mit (5.60) erhält man dann durch Überlagerung der Eigenformen die Zeitverläufe der Verschiebungen. Die zugehörigen Schnittgrößen-Zeitverläufe lassen sich hieraus mit Hilfe der Spannungsmatrizen der Finite-Element-Methode ermitteln.

Beispiel 5.13

Für den Abluftkamin in Beispiel 5.5 ist eine Zeitverlaufsberechnung durchzuführen. Hierzu wird ein während des Albstadtbebens vom 16.01.1978 gemessener BeschleunigungsZeitverlauf verwendet, Bild 5-32. Es handelt sich um die Nord-Süd-Komponente der Aufzeichnung an der Station Jungingen in ca. 11 km Entfernung vom Epizentrum des Bebens [5.15, 5.16]. Das Beben besitzt die Magnitude ML=4,6.

418

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

0.6

0.4

0.2 bg

0

[m/s2] 0.2

0.4

0.6 0

1

2

3 t [s]

4

5

6

Bild 5-32 Erdbeben-Beschleunigungszeitverlauf (Albstadt-Beben 16. 1. 1978, Jungingen, NS-Komponente)

Die Antwortschwingung wird mit dem Verfahren der Modalanalyse berechnet. Der Abluftkamin wird hierzu wieder vereinfachend als Stabwerk mit 4 Massen abgebildet (Bild 5-14). Dessen untersten drei Eigenfrequenzen und die bezüglich der Massenmatrix normierten Eigenformen wurden in Beispiel 5.5 bestimmt zu

ω1 = 3.471 Hz ,

ω2 = 20.40 Hz ,

ω3 = 54.03 Hz

f1 = 0.552 Hz ,

f 2 = 3.25 Hz ,

f3 = 8.60 Hz ,

T1 = 1.81 s

T2 = 0.31 s

T3 = 0.12 s

bzw.

und ª 0.592 º « » « 0.055 » « 2.074 » « » « 0.089 » − 2 φ =« ⋅ 10 1 4.037 » « » « 0.104 » « 6.172 » « » ¬« 0.108 ¼»

ª − 2.373º « » « − 0.165 » « − 4.325 » « » « 0.011 » − 2 φ =« ⋅ 10 2 − 1.423» « » « 0.264 » « 5.222 » « » ¬« 0.367 ¼»

ª 4.210 º « » « 0.127 » « 01.084 » « » « − 0.346 » − 2 φ =« ⋅ 10 3 − 3.862 » « » « 0.045 » « 3.517 » « » ¬« 0.531 ¼»

Der Topologievektor I enthält in allen Freiheitsgraden in Richtung der Bodenbewegung ug eine Eins. Dies sind die Zeilen 1, 3, 5 und 7, die den Verschiebungsfreiheitsgraden v2, v3, v4 und v5 nach Bild 5-13 entsprechen. Alle übrigen Werte in I sind Null.

5.7 Erdbebenberechnung

419

ª 1º « » « 0» « 1» « » « 0» I=« » 1 « » « 0» « 1» « » «¬ 0 »¼

Zunächst

Γi =

− φT ⋅ i

werden

die

modalen

Gleichungen

aufgestellt.

Die

Beteiligungsfaktoren

M ⋅ I der Eigenformen nach (5.75a) sind:

Γ 2 = 13.78 ,

Γ1 = − 24.47 ,

Γ 3 = − 7.98 .

Die generalisierte Last der i-ten Eigenform für Erdbebenerregung erhält man mit (5.75) zu: fi* (t ) = φ T ⋅ F (t ) = − φ T ⋅ M ⋅ I ⋅ ub (t ) = − Γ i ⋅ ub (t ) , i

i

wobei ub (t ) den Beschleunigungszeitverlauf nach Bild 5-32 darstellt. Damit können die modalen Gleichungen nach (5.74) bzw. (5.64) i (t ) = fi* (t ) mi* ωi2 ⋅ αi (t ) + 2⋅ ξ i ⋅ ωi ⋅ α i (t ) + α

für die einzelnen Eigenschwingungen durch numerische Integration gelöst werden. In allen Eigenformen gilt mi* = 1 und ξi = 0.05 . Die Lösungen α i (t ) sind in Bild 5-33 dargestellt. Die Verschiebungszeitverläufe aller Freiheitsgrade erhält man mit (5.61) zu: u (t ) = α1 (t )⋅ φ + α 2 (t )⋅ φ + α3 (t )⋅ φ 1 2 3

Exemplarisch sind die Zeitverläufe der Verschiebungen der Punkte 2 und 5 sowie der Verdrehung des Punktes 2 in Bild 5-34 dargestellt. Während an der Spitze des Modells (Punkt 5) die erste Eigenfrequenz in der Schwingungsantwort dominiert, ist am untersten Punkt des Modells auch die zweite Eigenfrequenz in der Schwingungsantwort deutlich vertreten. Aus den Verschiebungszeitverläufen erhält man die Schnittgrößen bzw. Spannungen mit Hilfe der Spannungsmatrizen. Nach (3.15) gilt: ª « « « « ¬

ª 12 / l 2 V1 º « » M1 » E ⋅ I « − 6 / l = ⋅« V2 » l « 12 / l 2 » «¬ 6 / l M2 ¼

6 / l − 12 / l 2 −4

6/l

6 / l − 12 / l 2 2

− 6/l

6 / l º ª v1 º »« » − 2 » « ϕ1 » »⋅« » 6 / l » « v2 » 4 »¼ ¬ ϕ 2 ¼

420

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Bild 5-33 Generalisierte Koordinaten α 1 (t ) , α 2 (t ) und α 3 (t )

Exemplarisch werden die Schnittgrößen des Stabelements 1 an der Einspannstelle ermittelt. Aufgrund der Einspannung gilt v1 = ϕ1 = 0 . Setzt man weiterhin für v2 und ϕ2 die Zeitverläufe u2(t) und ϕ 2 (t ) nach Bild 5-34 ein, erhält man (E, I, l siehe Beispiel 5.5): ª « « « « ¬

ª − 12 / l 2 V1 º « » M1 » E ⋅ I « 6 / l = ⋅« V2 » l « − 12 / l 2 » «¬ − 6 / l M2 ¼

ª − 0.079 0.792 º 6/lº » « » − 2 » ª u2 (t ) º « 0.792 − 5.28 » 7 ª u2 (t ) º ⋅ 10 ⋅« »= » »⋅ « ¬ ϕ 2 (t ) ¼ 6 / l » ¬ ϕ 2 (t ) ¼ «« − 0.079 0.792 »» ¬ − 0.792 10.56 ¼ 4 »¼

5.7 Erdbebenberechnung

421

Bild 5-34 Zeitverläufe von Verschiebungsgrößen

Die so ermittelten Zeitverläufe der Querkraft V1(t) und des Biegemoments M1(t) sind in Bild 5-35 dargestellt. Bei beiden Schnittgrößen zeigt sich deutlich der wesentliche Einfluss der zweiten Eigenfrequenz. Die maximalen Werte der Beträge der Schnittgrößen sind V1,max = 179 [kN ] ,

M1,max = 3307 [kNm] .

422

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Bild 5-35 Zeitverläufe der Querkraft und des Biegemoments an der Einspannstelle

5.7.3 Antwortspektrenverfahren Zur Erdbebenauslegung von Gebäuden verwendet man in der Praxis heute meistens das Antwortspektrenverfahren. Es beruht auf der Modalanalyse. Die Schwingungsantwort wird also in modalen Koordinaten, d. h. durch die Eigenformen des Systems dargestellt. Allerdings wird nicht, wie beim Zeitverlaufsverfahren, jede modale Bewegungsgleichung für einen bestimmten Zeitverlauf gelöst. Vielmehr wird lediglich das Maximum der Schwingungsantwort in der betreffenden Eigenschwingung anhand des sogenannten Antwortspektrums bestimmt. Die Maxima der Eigenformen werden dann nach probabilistischen Gesichtspunkten überlagert. Ein wesentlicher Vorteil des Antwortspektrenverfahrens gegenüber dem Zeitverlaufsverfahren ist, dass in einem Antwortspektrum eine große Anzahl von Erdbebenzeitverläufen erfasst werden. Die Berücksichtigung vieler Beben erfordert damit einen vergleichsweise geringen Aufwand. Allerdings erhält man aufgrund der Überlagerungsvorschrift der Maxima nur eine Näherungslösung und das Verfahren ist auf lineare Systeme beschränkt. Man betrachtet zunächst einen Einmassenschwinger, der durch eine Bodenbewegung zu Schwingungen angeregt wird. Als Bodenbewegung wird der Beschleunigungs-Zeitverlauf ub (t ) eines natürlichen Erdbebens angesetzt. Die Bewegungsgleichung des Systems lautet dann nach (5.22)

k ⋅ u + c ⋅ u + m ⋅ u = − m ⋅ ub , wobei u die Relativverschiebung der Masse zum Boden bezeichnet. Dividiert man die Gleichung durch die Masse m erhält man

5.7 Erdbebenberechnung

423

k c ⋅u + ⋅ u + u = − ub m m

und mit der Eigenkreisfrequenz ω =

k m und dem Dämpfungsmaß

ξ = c ( 2⋅ k ⋅ m ) = c ( 2⋅ m⋅ ω ) nach (5.15)

ω 2 ⋅ u + 2⋅ ω⋅ ξ ⋅ u + u = − ub .

(5.77)

Die Lösung hängt danach nur von der Eigenfrequenz des Systems, dem Dämpfungsmaß ξ und dem vorgegebenen Zeitverlauf ub (t ) ab. Sie lässt sich numerisch durch direkte Integration ermitteln oder mit dem Duhamel-Integral nach (5.65) zu u (t ) = −

1

ωD

t

³ ub (τ )⋅ e− ξ⋅ ω⋅ (t− τ ) ⋅ sin (ωD ⋅ (t − τ )) d τ

(5.78)

0

berechnen. Aus den Relativverschiebungen u (t ) erhält man durch zweimaliges Differenzieren nach der Zeit die Relativbeschleunigungen und durch Addition der Bodenbeschleunigungen die Absolutbeschleunigungen. Das Maximum der Absolutbeschleunigungen ist Sa ( ω, ξ ) = max u( ω, ξ , t )+ ub (t ) .

(5.79a)

Führt man die Berechnung für unterschiedliche Eigenkreisfrequenzen ω durch und trägt man die so ermittelten Maxima der Antwortbeschleunigung über der Eigenfrequenz f = ω ( 2⋅ π ) beziehungsweise der Schwingzeit T = 1 f = 2⋅ π ω auf, erhält man ein sogenanntes Beschleunigungs-Antwortspektrum für ein vorgegebenes Erdbeben und ein bestimmtes Dämpfungsmaß. Ein Beschleunigungs-Antwortspektrum gibt also die maximale Antwortbeschleunigung eines Einmassenschwingers in Abhängigkeit von dessen Eigenschwingzeit wieder (vgl. Bild 5-36). Antwortspektren lassen sich auch für die Relativgeschwindigkeit und die Relativverschiebung aus den Maximalwerten Sv ( ω , ξ ) = max u ( ω , ξ , t )

(5.79b)

Sd ( ω, ξ ) = max u ( ω, ξ , t )

(5.79c)

ermitteln. Zwischen den Verschiebungs-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsantwortspektren eines Bebens definiert man den Zusammenhang (vgl. [5.6], [5.4]) Sa = ω 2 ⋅ S d ,

(5.80a)

Sv = ω ⋅ S d .

(5.80b)

Beim ungedämpften Einmassenschwinger gilt (5.80a) exakt, wie man sich mit ξ = 0 in (5.77) leicht überzeugen kann. Aus (5.77) folgt dann nämlich u − ub = ω 2 ⋅ u

bzw.

424

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

S a = max u+ ub = max ω 2 ⋅ u = ω 2 ⋅ max u = ω 2 ⋅ S d . Beim gedämpften Einmassenschwinger gelten (5.80a) und (5.80b) nur noch näherungsweise. Man bezeichnet die spektrale Geschwindigkeit Sv daher als Pseudogeschwindigkeit [5.6], [5.11], [5.12].

Für ein starres System ergibt sich mit k →∞ die Kreisfrequenz zu ω =

k m →∞ bezie-

hungsweise die Schwingzeit zu T → 0 . Die Bewegung der Masse stimmt mit derjenigen des Bodens überein, so dass für T = 0 die Antwortbeschleunigung gleich der maximalen Freifeldbeschleunigung des Bodens ist, d. h. es gilt der vom Dämpfungsmaß unabhängige Grenzwert Sa (∞, ξ ) = Sa (∞ ) = max ub (t ) .

Bild 5-36 Ermittlung eines Antwortspektrums für Erdbebenlasten [5.11]

Beispiel 5.14

Für den Beschleunigungs-Zeitverlauf in Bild 5-32, der beim Albstadtbeben am 16. 1. 1978 an der Station Jungingen gemessenen wurde, ist das Beschleunigungsantwortspektrum für ein Dämpfungsmaß von 5% zu ermitteln. Das Antwortspektrum soll im Bereich der Eigenschwingzeiten T zwischen 0 und 1 [s] aufgestellt werden. Als Schrittweite auf der Ordinate wird 1/40=0.025 [s] gewählt. Damit sind die Berechnungen für 40 Eigenschwingzeiten durchzuführen. Für jede Eigenschwingzeit ist die Bewegungsgleichung (5.77) mit dem vorgegebenen Zeitverlauf ub (t ) zu lösen. Eine einfache, hier angewandte Lösung stellt die numerische Integration des Duhamel-Integrals (5.78) mit Hilfe der Trapezregel dar. Effizientere Algorithmen zur Berechnung des Duhamel-Integrals sind in [5.6, 5.19] angegeben. Als Beispiel sind die Zeitverläufe u(t) für T=0.2 [s] und T=0.5 [s] in Bild 5-38 dargestellt.

5.7 Erdbebenberechnung

425

Die Maximalwerte der Verschiebungszeitverläufe sind 142 . ⋅ 10 −3 für T = 0.2 [s] und 1.96 ⋅ 10 −3 für T=0.5 [s]. Damit ergeben sich die Spektralwerte der Antwortbeschleunigung nach (5.80a) zu 1.42 ⋅ 10 −3 ⋅ (2 ⋅ π / 0.2) 2 = 1.401 für T = 0.2 [s] und zu 1.96 ⋅ 10 −3 ⋅ (2 ⋅ π / 0.5) 2 = 0.310 für T=0.5 [s]. Das Antwortspektrum, bei dem man die Antwortbeschleunigungen über allen untersuchten Schwingzeiten T aufträgt, ist in Bild 5-38 dargestellt. Für einige Schwingzeiten T sind die Antwortbeschleunigungen im Folgenden tabellarisch für 5% Dämpfung angegeben: T [s] 2

Sa [m/s ]

0

0.1

0.175

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

1.0

1.5

1.8

2

0.482

1.001

1.467

1.398

0.863

0.535

0.31

0.183

0.059

0.038

0.027

0.023

Bild 5-37 Schwingungsantwort für zwei Einmassenschwinger mit T=0.2 [s] und T=0.5 [s] für

Bild 5-38 Beschleunigungsantwortspektrum eines gemessenen Bebens für 2%, 5%, 10% und 15% Dämpfung (Albstadt-Beben 16. 1. 1978, Jungingen, NS-Komponente)

ξ = 5%

426

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Antwortspektren einzelner Erdbeben werden wesentlich von den Zufälligkeiten des jeweiligen Zeitverlaufs geprägt und haben ausgeprägte Spitzen und Täler. Um diese Zufälligkeiten auszugleichen, ermittelt man die Antwortspektren für eine größere Anzahl von Zeitverläufen und bildet deren geglättete Einhüllende nach probabilistischen Gesichtspunkten. Je nach Glättung erhält man Antwortspektren mit verschieden großem Überschreitungsrisiko [5.11], [5.12]. Das Vorgehen ist im Folgenden zusammengefasst: Ermittlung eines Antwortspektrums

1. Auswahl einer Reihe für das betrachtete Erdbebengebiet charakteristischer, gemessener Beschleunigungszeitverläufe von Erdbeben als Erregerfunktionen. 2. Wahl des Dämpfungsmaßes, für das das Antwortspektrum ermittelt werden soll, z. B. ξ=5%. 3. Berechnung des absoluten Beschleunigungszeitverlaufs u( t ) für die Bewegung der Masse des Einmassenschwingers infolge nach (5.78). 4. Wiederholung des Schrittes 3 für andere Eigenschwingzeiten (z. B.: T ≈ 0.01-10 s). 5. Die Auftragung der Maximalwerte Sa = max( u( t ) ) über der Eigenschwingzeit T. ergibt das Beschleunigungsantwortspektrum für ein bestimmtes Erdbeben und Dämpfungsmaß ξ. Alternativ kann auch unter 3 der Verschiebungszeitverlauf berechnet und mit (5.80a) auf Pseudowerte der Antwortbeschleunigung umgerechnet werden. 6. Wiederholung der Schritte 1-5 für andere relevante Erdbeben. 7. Glättung der Spektren für eine bestimmte Überschreitungswahrscheinlichkeit. Das Ergebnis ist ein geglättetes Beschleunigungsantwortspektrum für mehrere Erdbeben und für ein bestimmtes Dämpfungsmaß ξ. Wenn die Antwortspektren für weitere Dämpfungsmaße gesucht werden, sind die Schritte 1-7 hierfür zu wiederholen.

In Normen zur Erdbebenauslegung von Gebäuden werden Antwortspektren angegeben, die auf bestimmte Kennwerte normiert sind. Als Beispiel ist in Bild 5-39 das elastische Antwortspektrum nach DIN 4149 angegeben [5.20]. Die Eckwerte TB, TC und TD und damit seine Form werden vom geologischen Untergrund und dem Baugrund am Standort beeinflusst, Tabelle 5-1. Der Bemessungswert ag der Bodenbeschleunigung beträgt in der Erdbebenzone 1 0.4m/s², in der Erdbebenzone 2 0.6m/s² und in der Erdbebenzone 3 0.8m/s². Der Beiwert γ 1 berücksichtigt mit Werten zwischen 0.8 und 1.4 die Bedeutung eines Bauwerks für den Schutz der Allgemeinheit. Das elastische Antwortspektrum gilt für eine Dämpfung von 5% und kann mit dem Beiwert η = 10 /(5+ ξ ) ≥ 0.55 an andere Dämpfungswerte ξ angepasst werden. Im Übrigen wird wegen der Bedeutung der Faktoren im Einzelnen auf DIN 4149 [5.20] verwiesen. Das duktile Verhalten von Tragwerken wird in Normen z. B. in DIN 4149 und Eurocode 8 [5.17] durch Veränderung des elastischen Antwortspektrums näherungsweise berücksichtigt. Hierzu wird in den Gleichungen in Bild 5-39 der Dämpfungs-Korrekturbeiwert η durch 1/ q ersetzt. Der Verhaltensbeiwert q hängt von der Duktilität des Tragwerks ab. Man bezeichnet solche Spektren als inelastische Spektren.

5.7 Erdbebenberechnung

427

Die Erdbebenlast lässt sich beim Einmassenschwinger mit Hilfe des Beschleunigungsantwortspektrums leicht ermitteln zu H = m⋅ max u( ω , ξ , t )+ ub (t ) = m⋅ S a ( ω , ξ )

(5.81)

Bei Finite-Element-Systemen mit mehreren Freiheitsgraden, die mit Masse belegt sind, werden zur Berechnung nach dem Antwortspektrenverfahren zunächst die Eigenfrequenzen und Eigenformen ermittelt. Man erhält damit die modalen Bewegungsgleichungen (5.62) zu i (t ) = fi* ki* ⋅ αi (t ) + ci* ⋅ α i (t ) + mi* ⋅ α

(5.82) 0 ≤ T ≤ TB : ª º T S e ( T ) = a g ⋅ γ 1 ⋅ S ⋅ «1 + ( η ⋅ β 0 − 1 )» ¬ TB ¼

TB ≤ T ≤ TC : S e ( T ) = a g ⋅ γ1 ⋅ S ⋅ η ⋅ β o

TC ≤ T ≤ TD : S e ( T ) = a g ⋅ γ1 ⋅ S ⋅ η ⋅ β o ⋅

Tc T

TD ≤ T : S e ( T ) = a g ⋅ γ1 ⋅ S ⋅ η ⋅ β0

γ 1 : Bedeutungsbeiwert S : Untergrundparameter

ag : Bemessungswert der Bodenbeschleunigung

η : Dämpfungs-Korrekturbeiwert ( η = 1 für 5% Dämpfung)

β0 :

TC ⋅ TD T2

Verstärkungsbeiwert der Spektralbeschleunigung =2.5

Bild 5-39 Elastisches Antwortspektrum nach DIN 4149 [5.20]

Tabelle 5-1 Parameter des elastischen horizontalen Antwortspektrums Untergrundverhältnisse

S [s]

TB [s]

TC [s]

TD [s]

A-R

1.00

0.05

0.20

2.00

B-R

1.25

0.05

0.25

2.00

C-R

1.50

0.05

0.30

2.00

B-T

1.00

0.10

0.30

2.00

C-T

1.25

0.10

0.40

2.00

C-S

0.75

0.10

0.50

2.00

Geologische Untergrundklassen: R, T, S

Baugrundklassen: A, B, C

428

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

wobei für eine einzige Anregungsrichtung gilt fi* (t ) = φ T ⋅ F (t ) = − φ T ⋅ M ⋅ I ⋅ ub (t ) = − Γ i ⋅ ub (t ) . i

i

(5.82a)

Der Faktor Γ i = φ T ⋅ M ⋅ I stellt den Beteiligungsfaktor der i-ten Eigenform dar. Sollen mehrere i

Anregungsrichtungen gleichzeitig betrachtet werden, ermittelt man nach dem Antwortspektrenverfahren die Schnittgrößen in den einzelnen Richtungen getrennt und überlagert die Ergebnisse näherungsweise mit geeigneten Überlagerungsformeln, wie sie beispielsweise in DIN 4149 und im Eurocode 8 angegeben sind. Die Lösungen αi (t ) der modalen Bewegungsgleichung erhält beim Zeitverlaufsverfahren durch Integration für einen gegebenen Zeitverlauf der Bodenbeschleunigung ub (t ) , z. B. nach (5.76). Beim Antwortspektrenverfahren bestimmt man lediglich deren Maximalwerte, d. h.

αi,max = max α (t ) =

Γi mi*

⋅ Sd ( ωi , ξ ) =

Γi mi* ⋅

ωi2

⋅ Sa ( ωi , ξ i )

(5.82b)

Die Werte Sd bzw. Sa stellen die Antwortspektren der Verschiebungen bzw. der Beschleunigungen nach (5.79a-c) bzw. (5.80a-b) dar, wie man durch Koeffizientenvergleich von (5.77) und (5.82) leicht überprüfen kann. In der Regel geht man vom Beschleunigungsantwortspektrum aus. Dessen Werte Sa hängen von der Eigenschwingzeit Ti der i-ten Eigenform und dem Dämpfungsmaß ξi ab. Das Dämpfungsmaß wählt man meistens für alle Eigenformen gleich groß. Es ist aber auch möglich, bei jeder Eigenschwingung i ein anderes Dämpfungsmaß ξi zu berücksichtigen. Man bezeichnet diese Art der Dämpfung als modale Dämpfung. Die maximalen Verschiebungen in der i-ten Eigenschwingung werden damit u i ,max = αi ,max ⋅ φ T . i

(5.83)

Hieraus lassen sich mit Hilfe der Spannungsmatrizen die maximalen Schnittgrößen ermitteln. Weiterhin erhält man die maximalen Beschleunigungen zu bi ,max = ωi2 ⋅ u i ,max

(5.84)

Das Antwortspektrenverfahren liefert damit die Maxima der Schnitt- und Verschiebungsgrößen in jeder Eigenform. Allerdings sind die Zeitpunkte, zu denen in jeder Eigenform die Maxima auftreten, nicht bekannt. Es stellt sich damit die Frage, wie die berechnenten Maxima überlagert werden können. Die Summation der Anteile der einzelnen Eigenformen nach (5.60) scheidet aus, da die Maxima zu unterschiedlichen Zeiten auftreten, Bild 5-40 (vgl. auch Bild 533). Vielmehr müssen hierzu Überlagerungsvorschriften herangezogen werden, die auf probabilistischen Gesetzmäßigkeiten beruhen. Eine klassische Überlagerungsformel ist die Wurzel der Quadratsumme oder SRSSÜberlagerung (Square Root of Sum of Squares). Bezeichnet man den Maximalwert einer Schnitt- oder Verschiebungsgröße in der i-ten Eigenform mit N i , erhält man den überlagerten Wert N zu

5.7 Erdbebenberechnung

429

m

N=

¦ Ni2

(5.85)

i= 1

wobei m die Anzahl der berücksichtigten Eigenformen ist. Man setzt bei dieser Formel voraus, dass die einzelnen Eigenformen unabhängig voneinander angeregt werden. Dann ist die Wahrscheinlichkeit der Überschreitung der Gesamtgröße N gleich der Wahrscheinlichkeit der Überschreitung einer Teilgröße N i . Man kann dann davon ausgehen, dass die einzelnen Eigenformen unabhängig voneinander angeregt werden, wenn der Abstand der einzelnen Eigenfrequenzen genügend groß ist. Liegen hingegen die Eigenfrequenzen hingegen dicht beisammen, sind die Voraussetzungen zur Anwendung der SRSS-Überlagerung nicht mehr gegeben. Für diesen Fall wurden auf probabilistischer Grundlage verschiedene Überlagerungsvorschriften entwickelt, die die modale Wechselwirkung zwischen den Eigenformen berücksichtigen. Bei dem Verfahren der vollständigen quadratischen Kombination oder CQC-Verfahren (Complete Quadratic Combination) wird die Gesamtgröße N ermittelt zu m

N=

m

¦ ¦ Ni ⋅ ρij ⋅ N j

(5.86)

i= 1 j= 1

mit dem Wechselwirkungsfaktor

ρij =

(

)

8⋅ ξ i ⋅ ξ j ⋅ ξ i + rij ⋅ ξ j ⋅ rij3 / 2

(1− rij2 )

2

(

)

(

)

+ 4⋅ ξ i ⋅ ξ j ⋅ rij ⋅ 1+ rij2 + 4⋅ ξ i2 + ξ 2j ⋅ rij2

Bild 5-40 Überlagerung von Zeitverläufen [5.11]

.

(5.86a)

430

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Hierin bedeuten rij = ω j ωi = f j fi

(5.86b)

das Verhältnis der Eigenfrequenzen sowie ξi und ξ j die Dämpfungsmaße der beiden Eigenschwingungen i und j [5.18]. Sind die Dämpfungsmaße in allen Eigenschwingungen gleich dem Dämpfungsmaß ξ , vereinfacht sich (5.84a) zu:

ρij =

(

)

8⋅ ξ 2 ⋅ 1+ rij ⋅ rij3 / 2

(

1−

)

2 rij2 +

(

4⋅ ξ 2 ⋅ rij ⋅ 1+ rij2

)

.

(5.86c)

Der Wechselwirkungsfaktor ρij ist in Abhängigkeit vom Verhältnis der Eigenfrequenzen rij = ω j ω i für verschiedene Dämpfungsmaße in Bild 5-42 aufgetragen. Für weit auseinander liegende Eigenfrequenzen ist ρij = 0 und der Einfluss der Kopplung vernachlässigbar. Ein Einfluss besteht bei üblichen Dämpfungsmaßen lediglich im Bereich 0.5< f i f j <2.0 und insbesondere für dicht zusammen liegende Eigenfrequenzen mit rij = f j f i ≈ 1 . Die Voraussetzungen von (5.86a), nämlich dass die Erdbebendauer wesentlich größer als die Grundschwingzeit ist und dass das Antwortspektrum genügend glatt ist, sind praktisch immer erfüllt.

1

( ) ρ ( r , 0.05) ρ ( r , 0.02) ρ ( r , 0.01) ρ r , 0.1

0.5

0

0

0.5

1

1.5

2

r

Bild 5-41 Wechselwirkungsfaktoren nach [5.18]

Beispiel 5.15 Der Abluftkamin in Beispiel 5.5 wird durch ein Erdbeben mit dem in Bild 5-38 dargestellten Antwortspektrum beansprucht. Für das Stabwerk sind die Gesamtschnittgrößen zu ermitteln. Zum Vergleich ist eine Berechnung mit dem Antwortspektrum nach DIN 4149 durchzuführen.

5.7 Erdbebenberechnung

431

Die Modalanalyse wird mit drei Eigenformen durchgeführt. Die Eigenfrequenzen und Eigenformen des in vier Stäbe mit Knotenmassen diskretisierten Systems wurden bereits in Beispiel 5.5 und die Beteiligungsfaktoren Γi in Beispiel 5.13 bestimmt. Danach erhält man für die drei niedrigsten Eigenformen:

ω1 = 3.471 Hz ,

ω 2 = 20.40 Hz ,

ω3 = 54.03 Hz

bzw.

T1 = 1.81 s

T2 = 0.31 s

T3 = 0.12 s

und

ª 0.592 º « » « 0.055 » « 2.074 » « » « 0.089 » − 2 φ =« ⋅ 10 1 4.037 » « » « 0.104 » « 6.172 » « » «¬ 0.108 »¼

ª − 2.373º « » « − 0.165 » « − 4.325 » « » « 0.011 » − 2 φ =« ⋅ 10 2 − 1.423» « » « 0.264 » « 5.222 » « » «¬ 0.367 »¼

ª 4.210 º « » « 0.127 » « 01.084 » « » « − 0.346 » − 2 φ =« ⋅ 10 . 3 − 3.862 » « » « 0.045 » « 3.517 » « » «¬ 0.531 »¼

Γ1 = − 24.47 ,

Γ 2 = 13.78 ,

Γ 3 = − 7.98 .

Die Eigenformen sind so normiert, dass in allen Eigenformen mi* = 1 gilt. Aus dem Antwortspektrum in Bild 5-38 beziehungsweise Beispiel 5.14 erhält man die Antwortbeschleunigungen in den drei Eigenschwingzeiten zu: Sa(1.81) = 0.027 m/s2

Sa(0.31) = 0.873 m/s2

Sa(0.12) = 1.040 m/s2

Damit sind alle Werte bekannt, um mit (5.82b) die Maxima αi ,max =

Γi mi* ⋅

ωi2

⋅ Sa (Ti ) der

generalisierten Koordinaten zu ermitteln. Es ist:

α1,max = − 0.055

α 2,max = 0.029

α3,max = − 0.0028

Die maximalen Verschiebungen in den Eigenformen erhält man mit (5.83) zu ª − 0.325 º « » « − 0.030 » « − 1.137 » « » « − 0.049 » − 3 u1,max = α1,max ⋅ φ = « ⋅ 10 1 − 2.214 » « » « − 0.057 » « − 3.385 » « » ¬« − 0.059 ¼»

ª − 0.686 º « » « − 0.0348 » « − 1.250 » « » « 0.003 » − 3 ⋅ 10 u 2,max = α2,max ⋅ φ = « 2 − 0.411 » « » « − 0.076 » « 1.509 » « » ¬« 0.106 ¼»

432

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke ª − 0.120 º « » « − 0.004 » « − 0.031 » « » « 0.010 » − 3 ⋅ 10 u 3,max = α3,max ⋅ φ = « 3 0.110 » « » « − 0.001 » « − 0.100 » « » «¬ − 0.015 »¼

Die überlagerten Verschiebungen ermittelt man mit (5.85). Beispielsweise erhält man die Verschiebung des Punktes 5 am oberen Stabende zu: u5 =

(− 3.385) 2 + (1.509)2 + (− 0.100)2 ⋅ 10− 3 = 3.708⋅ 10− 3 [m ]

Es wird deutlich, dass die erste Eigenform in der Schwingungsantwort des obersten Punktes dominierend ist, während die dritte Eigenform praktisch vernachlässigt werden kann. Der Wert stimmt in guter Näherung mit dem in der Zeitverlaufsberechnung ermittelten Wert von 3.8 ⋅ 10 −3 überein (vgl. Bild 5-34). Für die übrigen Freiheitsgrade ergeben sich folgende Maxima: ª 0.768 º « » « 0.057 » « 1.690 » « » « 0.050 » − 3 ⋅ 10 u max = « 2.255 » « » « 0.095 » « 3.708 » « » «¬ 0.122 »¼

Die maximalen Schnittgrößen werden wie die Verschiebungen zunächst in den Eigenformen ermittelt und dann überlagert. Man erhält die auf die Eigenformen bezogenen Schnittgrößen mit Hilfe der Spannungsmatrizen und den maximalen Verschiebungen ui,max . Als Beispiel werden die Querkraft und das Moment an der Einspannstelle ermittelt. Zwischen die Verschiebungen und den Schnittgrößen des Stabes 1 gilt nach (3.15) der Zusammenhang (E, I, l siehe Beispiel 5.5): ª « « « « ¬

ª 12 / l 2 V1 º « » M1 » E ⋅ I « − 6 / l = ⋅« V2 » l « 12 / l 2 » «¬ 6 / l M2 ¼

6 / l − 12 / l 2 6/l −4 6 / l − 12 / l 2 2 − 6/l

6 / l º ª v1 º »« » − 2 » « ϕ1 » ⋅ » 6 / l » «« v2 »» 4 »¼ ¬ ϕ 2 ¼

5.7 Erdbebenberechnung

433

Aufgrund der Einspannung des Punktes 1 ist v1 = ϕ1 = 0 . Setzt man weiterhin für v2 und ϕ 2 die oben ermittelten Maxima aus u i ,max ein, erhält man ª « « « « ¬

ª − 12 / l 2 Vi,1,max º « » M i,1,max » E ⋅ I « 6 / l = ⋅« Vi,2,max » l « − 12 / l 2 » M i,2,max ¼ ¬« − 6 / l

ª − 0.079 0.792 º 6/lº » « » ª º u 0.792 − 5.28 » 7 ª ui,2,max1 º − 2» i ,2,max1 « ⋅ 10 ⋅« »= » »⋅ « ¬ ϕi,2,max ¼ 6 / l » ¬ ϕi,2,max ¼ «« − 0.079 0.792 »» ¬ − 0.792 10.56 ¼ 4 ¼»

und damit V1 und M1 in den drei untersuchten Eigenformen: Eigenform 1:

Eigenform 2:

Eigenform 3:

u1,2,max = − 0.325⋅ 10− 3

ϕ1,2,max = − 0.03⋅ 10− 3

V1,1,max= 16

M1,1,max= -965

u2,2,max = − 0.686⋅ 10− 3

ϕ 2,2,max = − 0.048⋅ 10− 3

V2,1,max= 166

M2,1,max= -2914

u3,2,max = − 0.120⋅ 10− 3

ϕ3,2,max = − 0.004⋅ 10− 3

V3,1,max= 66

M3,1,max= -756

Die größten Anteile der Querkraft und des Moments ergeben sich aus der zweiten Eigenform. Die Überlagerung der Eigenformen ergibt folgende Maximalwerte der Schnittgrößen: V1,max =

M1,max =

162 + 1662 + 662 = 179 [kN ]

9652 + 29142 + 7562 = 3162 [kNm]

Diese Werte stimmen mit den in Beispiel 5.13 mit dem Zeitverlaufsverfahren berechneten Werten von V1,max = 179 [kN ] und M1,max = 3307 [kNm] gut überein. Alle modalen Verschiebungen und Schnittgrößen des Systems sowie deren Überlagerung sind in Bild 5-42 zusammengestellt. Zum Vergleich wird der Abluftkamin mit dem in DIN 4149 angegebenen elastischen Antwortspektrum berechnet. Im Berechnungsbeispiel wird gewählt: ag = 0.8 m/s² (Erdbebenzone 3, z. B. Standort Jungingen), γ 1 = 1 (Bedeutungskategorie II) und Untergrund nach Kategorie BR (dicht gelagertes Lockergestein / felsartiger Gesteinsuntergrund). Die Dämpfung beträgt 5%. Nach Tabellle 5-1 erhält man: S = 1.25

TB=0.05 s

TC=0.05 s

TD=2.00 s

Das entsprechende Antwortspektrum ist in Bild 5-43 dargestellt. Es weist deutlich höhere Beschleunigungen als das Antwortspektrum nach Bild 5-38 auf. Aus dem Spektrum ergeben sich folgende Werte für β(T) und Sa(T)= Se(T): Sa(1.81) = 0.345 m/s2

Sa(0.31) = 2.03 m/s2

Sa(0.12) = 2.50 m/s2

434

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Die mit diesen Spektralwerten erhaltenen modalen Verschiebungen und Schnittgrößen sind in Bild 5-44 zusammengestellt. Am Fußpunkt ergeben sich folgende Schnittgrößen: Eigenform 1:

V1,1,max= 207

M1,1,max= 12327

Eigenform 2:

V2,1,max= 385

M2,1,max= 6771

Eigenform 3:

V3,1,max= 159

M3,1,max= 1817

Überlagerung:

V1,max =

207 2 + 3852 + 1592 = 465 [kN ]

M1,max = 12327 2 + 67712 + 18172 = 14181 [kNm]

T1 = 1.81 s

Erste Eigenform:

h

80

80

80

60

60

60

h

40

20

3000

h

40

20

0

3000

100

20

0

M1

100

200

0.004 0.002

0

0.002 0.004

u1

V1

T2 = 0.31 s

Zweite Eigenform:

h

80

80

80

60

60

60

h

40

1000

h

40

20

3000

40

20

1000

3000

100

20

0

M2

Momente

40

100

V2

Querkräfte

200

0.004 0.002

0

0.002 0.004

u2

Verschiebungen

5.7 Erdbebenberechnung

435

T3 = 0.12 s

Dritte Eigenform:

h

80

80

80

60

60

60

h

40

20

2000

h

40

40

20

0

2000

100

20

0

M3

100

200

0.004 0.002

0

0.002 0.004

u3

V3

Superposition aller Eigenformen

h

80

80

80

60

60

60

h

40

h

40

20

20

0

2000

4000

20

0

100 Vmax

M max

Momente

40

Querkräfte

200

0

0.002 0.004 umax

Verschiebungen

Bild 5-42 Modale Verschiebungen und Schnittgrößen und deren Überlagerung, Antwortspektrum nach Bild 5-38

Bild 5-43 Antwortspektrum nach DIN 4149

436

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Erste Eigenform:

T1 = 1.81 s

Zweite Eigenform:

T2 = 0.31 s

Dritte Eigenform:

T3 = 0.12 s

Superposition aller Eigenformen

Momente

Querkräfte

Bild 5-44 Modale Verschiebungen und Schnittgrößen und deren Überlagerung, Antwortspektrum nach DIN 4149

Verschiebungen

5.8 Modellbildung

437

Die Schnittgrößen nach DIN 4149 sind um eine Größenordnung höher als diejenigen, die sich aufgrund des gemessenen Zeitverlaufs ergeben. Ursache hierfür sind die wesentlich niedrigeren Spektralwerte des gemessenen Bebens gegenüber dem nach DIN 4149 anzusetzenden Beben. Hierbei ist zu beachten, dass es sich bei dem gemessenen Beben nicht um ein maximales Erdbebenereignis handelt. Weiterhin wurde das elastische Antwortspektrum nach DIN 4149 zugrunde gelegt. Die zusätzliche Berücksichtigung der Tragwerksduktilität ermöglicht eine deutliche Reduktion der Spektralwerte nach DIN 4149.

5.8 Modellbildung 5.8.1 Tragwerks- und Finite-Element-Modell Bei dynamischen Berechnungen sind nicht nur die Steifigkeiten sondern auch die Massen und Dämpfungsparameter zutreffend zu modellieren. Hierzu werden im Folgenden Empfehlungen gegeben, die die in Abschnitt 4.11 für statische Berechnungen gegebenen Modellierungshinweise für das Tragwerks- und das Finite-Element-Modell ergänzen. Die Finite-Elemente-Modellierung erfolgt zunächst wie bei statischen Berechnungen aufgrund der Anforderungen des Tragwerksmodells sowie der Eigenschaften der Finiten Elemente. Darüber hinaus muss aber auch die Diskretisierung der kontinuierlichen Massenverteilung berücksichtigt werden. Bei Schwingungen verformt sich das Tragwerk meist „wellenförmig“. Für die halbe (Sinus-) Wellenlänge sollten zur Darstellung der Massendiskretisierung mindestens drei bis vier Elemente beziehungsweise für die ganze Wellenlänge mindestens sechs bis acht Elemente vorgesehen werden. Dies gilt für Biegeschwingungen von Stäben und Platten aber auch für Wellenausbreitungsvorgänge in zwei- und dreidimensionalen Kontinua (Böden). Da die „Wellenlänge“ mit der Schwingungsfrequenz abnimmt, müssen zur Modellierung hochfrequenter Schwingungen feinere Finite-Element-Netze gewählt werden als bei niederfrequenten Schwingungen. Dies gilt sowohl bei Berechnungen im Frequenzbereich und bei der Bestimmung von Eigenfrequenzen und Eigenformen wie auch bei der Anwendung direkter numerischen Integrationsverfahren. Beispiel 5.16 Der eingespannte Stab in Bild 4-13 wurde in Beispiel 5.5 in vier Stäbe diskretisiert. Die Ergebnisse werden mit der exakten analytischen Lösung und einer verbesserten Abbildung mit acht Stäben verglichen. Für das vorliegende einfache System eines Kragarms mit konstanter Massenbelegung lautet die exakte, analytisch ermittelte Lösung [5.21]: Eigenfrequenzen: fi =

αi2 2⋅ π ⋅ A

Eigenformen:

2

⋅

E⋅ I

µ

i = 1,2,3.....

(5.88)

438

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

ªª º ª º sinh( αi ) + sin(αi ) º α α α α 1 wi = « « sin( i ⋅ x) − sinh( i ⋅ x) » + « cosh( i ⋅ x) − cos( i ⋅ x) »⋅ »⋅ ¬ ¼ ¬ ¼ cosh( α ) cos( α ) A A A A + w ¬ i i ¼ i ,max

(5.88a) mit wi,max als dem für die Normierung auf den Maximalwert 1 benötigten betragsmäßig größten Wert von wi und α1

α2

α3

α4

1.88

4.69

7.85

11.00

[

]

Die durch Einsetzen von E = 30000 [kN/m2], I = 17.6 [m4], l = 80 [m] und µ = 12.5 t / m 3 in die obigen Formeln erhält man die exakten Werte der Eigenfrequenzen und Eigenformen für einen Stab mit verteilter Masse (Bild 5-45). Die Eigenfrequenzen und –formen des in vier Stäbe und Knotenmassen diskretisierten Systems wurden numerisch in Beispiel 5.5 ermittelt. Diese sowie die des in acht Stäbe und Knotenmassen diskretisierten Systems werden im Folgenden einander gegenüber gestellt. Die Eigenformen sind auf den Maximalwert Eins normiert und werden an den Stellen x=20, 40, 60 und 80 [m] angegeben (vgl. Bild 5-13). 1. Eigenform Diskr

3. Eigenform

4. Eigenform

8

∞

4

8

∞

4

8

∞

f[Hz] 0.552 0.560 0.563

3.247

3.480

3.501

8.599

9.579

9.808

14.99

18.47

19.26

T [s] 1.811 1.772 1.778

0.308

0.288

0.290

0.116

0.104

0.102

0.067

0.054

0.052

8

∞

2. Eigenform 4

4

φi ,k x=20 0.096 0.097 0.097 -0.454 -0.416 -0.419

1.000

0.707

0.728 -1.000 -0.882 -0.682

40 0.336 0.339 0.340 -0.828 -0.725 -0.717

0.257

0.082

0.021

0.995

0.876

0.704

60 0.654 0.657 0.658 -0.272 -0.164 -0.138 -0.917 -0.670 -0.585 -0.644 -0.690 -0.619 80 1.000 1.000 1.000

1.000

1.000

1.000

0.835

1.000

1.000

0.372

1.000

1.000

Die Ergebnisse machen folgendes deutlich: Die Eigenfrequenz f und die Eigenschwingzeit T sind relativ unempfindlich bezüglich der Diskretisierung des Systems. Beim Einmassenschwinger werden sie nach (5.28) aus der Wurzel der Federsteifigkeit bestimmt, so dass Fehler in der Steifigkeit sich nur relativ schwach auf die Eigenfrequenz auswirken. Der Fehler der Eigenschwingzeit des einfachen Modells mit vier Stäben beträgt in der ersten Eigenform 1,8%, in der zweiten Eigenform 6,2%, in der dritten Eigenform 13,7% und in der vierten Eigenform 28,8%. U nter Voraussetzung praxisüblicher Genauigkeit bei Erdbebenberechnungen ist das Modell mit vier Stäben zur Bestimmung der ersten beiden Eigenfrequenzen und selbst noch zur groben Abschätzung der dritten Eigenfrequenz geeignet. eJ höher die Eigenform, desto mehr Elemente sind zu ihrer Darstellung erforderlich. Beim System mit vier Stäben entspricht die erste Eigenform einer Viertelwelle, d. h.man hat 16 Elemente pro Wellenlänge, die zweite Eigenform entspricht ca. einer ¾Wellenlänge, d. h. man hat 16/3≅5 Elemente/Wellenlänge. Entsprechend ist in der dritten Eigenform 5/4 Wellenlänge oder 16/5≅3 Elemente/Wellenlänge und in der vierten Eigenform mit 7/4 Wellenlänge 16/7≅2 Elemente/Wellenlänge. Gemäß der Empfehlung, eine Wellenlänge in mindestens sechs bis acht Elemente zu diskretisieren, ist das Modell mit vier Stabelementen zur Darstellung der ersten und zweiten Eigenform geeignet. Für die höheren Eigenformen ist es ungeeignet. Der Vergleich der Finite-Element-Ergebnisse mit den genauen Lösungen bestätigt dies.

5.8 Modellbildung

439

Bild 5-45 Analytisch ermittelte Eigenformen

Beispiel 5.17: Die ersten beiden Eigenfrequenzen einer allseitig gelenkig gelagerten quadratischen Platte werden mit einer Finite-Element-Diskretisierungen von 4x4 Elementen berechnet und mit der exakten analytischen Lösung verglichen. Die Platte hat eine Dicke von d=0,20 [m], eine Seitenlänge von a=6 [m], einen Elastizitätsmodul von E=30000 [MN/m2] und eine Q uerdehnzahl von µ = 0.2. Die Massenbelegung beträgt m=1 [t/m2]. Sie setzt sich aus der Eigenmasse und einer mitschwingenden Masse zusammen. Die Eigenfrequenzen einer schubstarren, allseitig gelenkig gelagerten Rechteckplatte mit den Seitenlängen a und b Systems lassen sich analytisch bestimmen zu fi , j =

π §¨ i 2

j2 · E⋅ d 3 ¸⋅ + 2 ¨© a 2 b 2 ¸¹ 12⋅ 1− µ 2 ⋅ m

(

)

mit i = 1, 2 , 3... und j = 1, 2, 3... .

(5.89)

Die erste Eigenfrequenz erhält man für i=j=1, die zweite Eigenfrequenz für i=1, j=2 beziehungsweise j=1, i=2. Die zugehörigen Eigenformen werden durch Sinusfunktionen beschrieben [5.21].

440

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Die Finite-Element-Berechnung wird mit einem schubstarren Plattenelement mit [P2] durchgeführt. Aufgrund des Verhältnisses d/a=0.2/6=1/30 sind die Schubdeformationen praktisch ohne Bedeutung. Man erhält folgende Eigenfrequenzen: 1. Eigenform

2. Eigenform

4x4 Elemente

Analytisch

4x4 Elemente

f [Hz]

12.59

12.60

31.12

Analytisch 31.49

T [s]

0.0794

0.0794

0.0321

0.0317

Die mit der Finite-Element-Diskretisierung in 4x4 Elemente erhaltenen Eigenformen sind in Bild 5-46 dargestellt. hÄnlich wie im vora ngegangenen Beispiel erweist sich die 4x4Diskretisierung praktisch ausreichend zur Beschreibung der ersten Eigenform, bei der vier Elemente pro ½Wellenlänge oder 8 Elemente pro Wellenlänge vorhanden sind. Bei der zweiten Eigenform ist zwar die Beschreibung der Eigenform gröber, die Eigenfrequenz wird aber dennoch mit großer Genauigkeit wiedergegeben.

1. Eigenform f1 = 12.59 Hz

2. Eigenform f2 = 31.12 Hz

Bild 5-46 Finite-Element-Berechnung der Eigenformen einer quadratischen Platte

Bei Biegebalken hat die Modellierung der Schubsteifigkeit und Drehmasse des Q uerschnitts eine Abminderung der Eigenfrequenzen zur Folge. Der Einfluss ist bei gedrungenen Stäben merklich, während er bei schlanken Stäben gering ist und vernachlässigt werden kann. Er soll am Beispiel des beidseitig gelenkig gelagerten Balkens verdeutlicht werden. Dessen Eigenfrequenz beträgt für den schubstarren Balken fi =

π i2 ⋅

2 A

2

⋅

E⋅ I m

mit i = 1,2,3....

(5.90)

mit der Stablänge A , dem Elastiztätsmodul E, dem Flächenmoment zweiter Ordnung I und der Massenbelegung m (Masse pro Längeneinheit). Seine Eigenfrequenz sei unter Berücksichtigung der Drehmasse f i ,Θ , unter Berücksichtigung der Schubsteifigkeit f i ,S und unter gleichzeitiger Berücksichtigung von Drehmasse und Schubsteifigkeit f i, S +Θ . Der letztere Fall wird auch als Timoshenko Balken bezeichnet. Nach [5.22, 5.23] erhält man f i,S , f i ,Θ und f i, S +Θ in Abhängigkeit von der Stabschlankheit λs =

A I A

aus:

5.8 Modellbildung fi,Θ fi

1

= 1+

fi , S fi

1+

fi

π2 2 ⋅i λs2 1

=

f i , S+ Θ

441

=

2⋅ π 2 1+ µ 2 i ⋅ 2

λs

κ

1 1+ µ · 2 π2 § 1+ 2 ⋅¨ 1+ 2⋅ ¸⋅ i © κ ¹ λs

(5.91)

Hierin bedeuten µ die uQerdehnzahl und κ = As / A das Verhältnis der Schubfläche As zur uQerschnittsfläche A. Für die Q uerdehnzahl µ = 0.2 und das beim Rechteckquerschnitt gültige Verhältnis κ = 5 / 6 sind die Verhältniswerte der Eigenfrequenzen in Abhängigkeit von der Stabschlankheit in Bild 5-47 aufgetragen. Die Stabschlankheit lässt sich beim Rechteckquerschnitt auch λs = 3.46⋅

A mit h als uQerschnittshöhe schreiben. Danach ist der Einfluss der h

Schubsteifigkeit und Drehmasse des Q uerschn itts nur bei gedrungenen uQerschnitten von Bedeutung und nimmt mit der Höhe der Eigenform zu.

Bild 5-47 Einfluss der Schubsteifigkeit und Drehmasse auf die Eigenfrequenzen des beidseitig gelenkig gelagerten Balkens

442

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

5.8.2 Modellbildung von Gebäuden und Boden-Bauwerk-Wechselwirkung Zur Berechnung der Antwortschwingungen bei Erdbeben werden Gebäude häufig als biegeund schubsteife Balken betrachtet, die im Baugrund starr oder elastisch eingespannt sind und horizontal schwingen. Aufgrund des unterschiedlichen horizontalen Deformationsverhaltens unterscheidet man verschiedene Modelle (Bild 5-48). Modelle für Horizontalschwingungen von Gebäuden:

• turmartige Bauwerke, die auf Biegung beansprucht werden, • Stockwerksrahmen, bei denen nur eine Schubverformung anzusetzen ist, • Wandscheibenbauten, bei deren Modellierung sowohl eine Schub- wie auch eine Biegeverformung zu berücksichtigen ist, und • Kombinationen der o.g. Typen, wie z. B. Stockwerksrahmen mit Kern. Im einfachsten Fall werden bei doppelt symmetrischen turmartigen Bauwerken und Wandscheibenbauten die Biege- und Schubsteifigkeiten der einzelnen aussteifenden Bauteile (Wände) in der Belastungsrichtung addiert.

Wandscheibenbau

Stockwerksrahmen

Turmartiges Bauwerk

Bild 5-48 Modelle für Horizontalschwingungen von Gebäuden

Man erhält damit das Flächenmoment zweiter Ordnung und die Schubfläche des Balkens zu I ges =

¦ Ik ,

AS , ges =

¦ AS ,k ,

(5.92)

wobei Ik das Flächenmoment und AS,k die Schubfläche der k-ten Wandscheibe in Belastungsrichtung bedeuten. Die Massen werden in Höhe der Geschossdecken zu Einzelmassen und gegebenenfalls auch Drehmassen im Massenschwerpunkt zusammengefasst. Bei unsymmetrischen Grundrissen stimmen der Massenschwerpunkt und der Steifigkeitsschwerpunkt des Ersatzquerschnittes nicht überein. Daher ist dann auch die Torsionsbeanspruchung des Gesamtquerschnittes zu berücksichtigen. Alternativ kann anstelle des Gesamtquerschnitts ein

5.8 Modellbildung

443

aufgelöstes Stabmodell untersucht werden, bei dem die einzelnen Wandscheiben als Stäbe betrachtet werden, deren Horizontalverschiebungen in Höhe der Geschossdecken starr gekoppelt sind. Die Kopplung kann entweder durch Kopplungsbedingungen oder durch sehr steife Stäbe, deren Steifigkeit allerdings aus numerischen Gründen nicht zu hoch gewählt werden darf, modelliert werden. In diesem Fall erhält man direkt die Beanspruchungen der einzelnen Wandscheiben, so dass die beim Modell des Gesamtstabes erforderliche Aufteilung der Schnittgrößen entfällt (Bild 5-49). Für eine detaillierte Behandlung der Modellierung von Gebäuden wird auf [5.11] und [5.12] verwiesen. Neuerdings werden allerdings auch Gesamtmodelle von Bauwerken –etwa für ein einfach es Gebäude nach Bild 4-108 –für Erdbebenuntersuchungen verwendet.

Grundriss

Schnittgrößenverläufe infolge Erdbebenbeanspruchung im Aussteifungselement 6

Bild 5-49 Aufgelöstes Gebäudemodell mit mehreren aussteifenden Elementen

444

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Tabelle 5-2 Federkonstanten starrer Fundamente auf inhomogenem Boden Freiheitsgrad

Federkonstanten

Vertikalverschiebung Horizontalverschiebung Drehung um die x-Achse Drehung um die y-Achse

kz =

Ersatzradien

4 ⋅ rz ⋅ (G0 + rz ⋅ g 0 ) 1− µ

8 ⋅ rϕ3x

kϕx =

kϕy =

Drehung um die z-Achse

8 ⋅ rϕ3y

)

rϕx = 4

(

)

rϕy = 4

3 ⋅ (1 − µ )

⋅ G0 + 0.4 ⋅ rϕy ⋅ g 0

16 ⋅ rϕ3z

(

kϕz =

Allgemeine Fundamente:

(

⋅ G0 + 0.4 ⋅ rϕx ⋅ g 0

3 ⋅ (1 − µ )

3

⋅ G0 + 0.2 ⋅ rϕz ⋅ g 0

A

rx = ry = rz =

8 ⋅ rx kx = ky = ⋅ (G0 + 0.5 ⋅ rx ⋅ g 0 ) 2−µ

)

rϕz = 4

Rechteckfundamente: Kreisfundament:

Fläche A und Flächenmomente zweiter Ordnung: Ix, Iy, Ip=Ix+Iy Seitenlängen a, b rx = ry = rz = rϕx = rϕy = rϕz = r

Schubmodul des Bodens:

G ( z ) = G0 + g 0 ⋅ z

4⋅ Ix

π 4⋅ Iy

2⋅ I p

π

π =4

a ⋅b

=

π

π

=4

a ⋅ b3 3⋅π

=4

a3 ⋅ b 3⋅π

(

a ⋅ b ⋅ a2 + b2 6 ⋅π

y x

b

a

Querdehnzahl des Bodens: µ Tabelle 5-3 Dämpferwerte starrer Fundamente auf inhomogenem Boden Freiheitsgrad

Beiwert c

Vertikalverschiebung

c z = 0.85

Horizontalverschiebung

c x = c y = 0.57

Drehung um die x-Achse

cϕx = 0.3 ⋅

Drehung um die y-Achse

cϕy = 0.3 ⋅

Drehung um die z-Achse

cϕ z = 0.3⋅

Scherwellenlänge bei z=0: λ s =

G0 1 ⋅ f ρ

a02,ϕx 1 + a02,ϕx

a02,ϕy 1+

a02,ϕy

2 a0, ϕz 2 2 + a0, ϕz

Dimensionslose Bezugsfrequenz a0

ρ

a0, z = ω ⋅ rz ⋅

a0, x = ω ⋅ rx ⋅

)

G0 + 1.5 ⋅ λ s ⋅ g 0

ρ G0 + 0.75 ⋅ λ s ⋅ g 0

a0,ϕx = ω ⋅ rϕx ⋅ a0,ϕy = ω ⋅ rϕy ⋅

a0,ϕz = ω ⋅ rϕz ⋅ Dichte des Bodens:

ρ G0 + 0.75 ⋅ λ s ⋅ g 0

ρ G0 + 0.75 ⋅ λ s ⋅ g 0

ρ G0 + 0.25 ⋅ λ s ⋅ g 0

ρ

5.8 Modellbildung

445

Bild 5-50 Bodenmodell eines inhomogenen Bodens mit linear zunehmendem Schubmodul

Bei der Modellierung von Gebäuden als Balken wird die Nachgiebigkeit des Baugrunds häufig als elastische Einspannung des Fundamentbereichs abgebildet, wenn das Kellergeschoss als starr angenommen werden kann. Man verwendet hierzu in der Regel Bodenfedern und -dämpfer, die für eine starre Platte auf einem homogenen oder inhomogenen elastischen Halbraum ermittelt wurden. In Tabelle 5-2 sind die Federkonstanten eines starren Kreisfundaments auf einem elastischen Boden zusammengestellt, dessen Steifigkeit nach Bild 5-50 linear mit der Tiefe zunimmt. Für einen homogenen Boden mit g 0 = 0 stellen die Formeln die analytische Lösung für einen homogenen, elastischen Halbraum dar. Die Gleichungen des inhomogenen Bodens beruhen auf einer numerischen Berechnung mit einem semifiniten Verfahren und der anschließenden Anpassung der Parameter [5.24, 5.25]. Die Berechnungen wurden mit den Zunahmeparametern g 0 ⋅ r / G0 = 1 und g 0 ⋅ r / G0 = 2 durchgeführt, so dass das Verfahren für g 0 ⋅ r / G0 ≤ 2 oder G (r ) ≤ 3⋅ G0 gilt.

Die Steifigkeiten des inhomogenen Halbraums entsprechen näherungsweise den Steifigkeiten des homogenen Halbraums, wenn man den Schubmodul in einer repräsentativen Tiefe des inhomogenen Bodens einsetzt. Diese ist in den einzelnen Freiheitsgraden unterschiedlich, da sich die Spannungsverteilung im Boden bei Anregung in den verschiedenen Freiheitsgraden ebenfalls unterscheidet. Die repräsentativen Tiefen ergeben sich zu z = r für Vertikalverschiebung, z = 0.5 ⋅ r für Horizontalverschiebung, z = 0.4 ⋅ r für Verdrehung um eine horizontale Achse (Kippen) und z = 0.2 ⋅ r für Drehung um die z-Achse (Torsion). Die Gleichungen wurden für Kreisfundamente entwickelt. Davon abweichende Fundamentformen ersetzt man in der Praxis durch äquivalente Kreisfundamente. Hierzu setzt man bei den Verschiebungsfreiheitsgraden die Flächen und bei den Verdrehungsfreiheitsgraden die Flächenmomente zweiter Ordnung um die betreffenden Achsen gleich. So erhält man die in Tabelle 5-2 angegebenen Ersatzradien.

446

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Die zugehörigen Dämpfungsmaße des Fundaments sind

ξ frg =

a0, frg c frg ⋅ + ξ Mat k frg 2

(5.93)

wobei für den Index „frg“ jeweils der betreffende Freiheitsgrad nach Tabelle 5-3 einzusetzen ist. Die Beiwerte kfrg werden hier für alle Freiheitsgrade vereinfachend zu kfrg=1 gesetzt. Genauere Werte können bei Bedarf aus [5.24, 5.25] entnommen werden. Das Dämpfungsmaß ξ Mat bedeutet die Materialdämpfung des Bodens, während der erste Teil des Ausdrucks in (5.93) für die Abstrahlungsdämpfung steht. Diese entsteht durch die Ausbreitung elastischer Wellen von Fundament in den Boden und der damit verbundenen Energieabstrahlung. Die Dämpfung nach (5.93) und Tabelle 5-3 ist abhängig von der Schwingungsfrequenz ω = 2⋅ π ⋅ f . Die Beiwerte c in der Tabelle gelten mit g0 = 0 für den elastischen Halbraum und können nach [5.44] durch die angegebenen Funktionen angenähert werden. Bei Berechnungen im Frequenzbereich geht die frequenzabhängige Dämpfung nach (5.93) unmittelbar in die Berechnung ein. Bei der modalen Analyse setzt man die entsprechenden Eigenfrequenzen ein. Weitere Formeln für Federn und Dämpfer starrer Fundamente wie z. B. für eingebettete Fundamente und Fundamente auf einer elastischen Bodenschicht sind in [5.12, 5.22, 5.26] angegeben. Es ist allerdings zu beachten, dass auch nichtlineare Einflüsse die Feder- und Dämpferwerte spürbar beeinflussen können [5.27, 5.28]. Beispiel 5.18

Bild 5-51 Fundament und Baugrundmodell

5.8 Modellbildung

447

Für das in Bild 5-51 dargestellte Fundament sind die Feder- und Dämpferwerte zu ermitteln. Der Fundamentkörper ist durch Kellerwände ausgesteift und kann als starr angenommen werden. Die Schwingungsfrequenz beträgt 3,2 Hz. Zunächst ermittelt man den Schwerpunkt, die Fläche und die Flächenmomente zweiter Ordnung der Fundamentfläche zu: I x = 7500 m 4

A = 400 m 2

I y = 28690 m 4

I p = 36190 m 4

Hieraus erhält man mit den in Tabelle 5-2 angegeben Formeln die Ersatzradien zu

rx = ry = rz = rϕ y =

4

400

4⋅ 28690

π

π

= 11, 28 m

= 13.83 m

4⋅ 7500 = 9.89 m rϕ x = 4

π

rϕ z =

4

2⋅ 36190

π

= 12.32 m

Die Bodenfedern erhält man nach Tabelle 5-2 mit den in Bild 5-51 angegebenen Bodenkennwerten zu: Vertikale Verschiebung:

kz =

4⋅ 11, 28 MN ⋅ (100 + 11.28⋅ 4) = 9358 1− 0.3 m

8⋅ 11, 28 MN ⋅ (100 + 0,5⋅ 11.28⋅ 4) = 6508 Horizontale Verschiebung: k x = 2 − 0.3 m Kippen um die x-Achse:

kϕ x =

8⋅ 9.893 ⋅ (100 + 0, 4⋅ 9.89⋅ 4) = 4.262⋅ 105 MNm 3⋅ (1− 0.3)

Kippen um die y-Achse:

kϕ y =

8⋅ 13.833 ⋅ (100 + 0, 4⋅ 13.83⋅ 4) = 1.229⋅ 106 MNm 3⋅ (1− 0.3)

Drehung um die z-Achse:

kϕ z =

16⋅ 12.323 ⋅ (100 + 0, 2⋅ 12,32⋅ 4) = 1.096⋅ 106 MNm 3

Zur Ermittlung der Dämpfung werden zunächst die bezogenen Frequenzen ao,frg bestimmt. Mit der Scherwellenlänge

λs =

1 100 ⋅ = 73,89 m 3, 2 1,8

erhält man nach Tabelle 5-3 in den einzelnen Freiheitsgraden: Vertikale Verschiebung:

aoz = 2⋅ π ⋅ 3, 2⋅ 11, 28⋅

1,8 = 0, 412 100 + 1,5⋅ 73,89⋅ 4

448

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Horizontale Verschiebung: aoz = 2⋅ π ⋅ 3, 2⋅ 11, 28⋅

1,8 = 0,535 100 + 0, 75⋅ 73,89⋅ 4

Kippen um die x-Achse:

aoϕ x = 2⋅ π ⋅ 3, 2⋅ 9.89⋅

1,8 = 0, 469 100 + 0, 75⋅ 73,89⋅ 4

Kippen um die y-Achse:

aoϕ y = 2⋅ π ⋅ 3, 2⋅ 13,825⋅

Drehung um die z-Achse:

aoϕ z = 2⋅ π ⋅ 3, 2⋅ 12,32⋅

1,8 = 0, 656 100 + 0, 75⋅ 73,89⋅ 4 1,8 = 0, 795 100 + 0, 25⋅ 73,89⋅ 4

Die Dämpferbeiwerte cfrg und die Dämpfungsmaße ξfrg sind somit nach (5.93) und Tabelle 5-3, wenn die Materialdämpfung des Bodens 5% beträgt: c z = 0.85

ξz =

0.412 0.85 ⋅ + 0.05 = 22, 5% 2 1

Horizontale Verschiebung: cx = 0.57

ξx =

0.535 0.57 ⋅ + 0.05 = 20, 2% 2 1

Vertikale Verschiebung:

Kippen um die x-Achse:

cϕ x = 0,3⋅

Kippen um die y-Achse:

cϕ x = 0,3⋅

Drehung um die z-Achse: cϕ z = 0,3⋅

0.4692 1+ 0.469

2

= 0.054

ξ ϕx =

0.469 0.054 ⋅ + 0.05 = 6,3% 2 1

2

= 0.090

ξϕ y =

0.656 0.090 ⋅ + 0.05 = 8, 0% 2 1

2

= 0.072 ξ ϕ x =

0.6562 1+ 0.656

0.7952 2 + 0.795

0.795 0.072 ⋅ + 0.05 = 7, 9% 2 1

Die Dämpfungsmaße sind in den Verschiebungsfreiheitsgraden wesentlich größer als in den Verdrehungsfreiheitsgraden. Sie sind weiterhin frequenzabhängig. Für eine Frequenz von f=5 [Hz] erhält man entsprechend:

ξ z = 37, 7%

ξ x = 32, 6%

ξ ϕ x = 10,3%

ξ ϕ y = 15, 4%

ξ ϕ z = 14, 7%

Mit zunehmender Frequenz steigt die Abstrahlungsdämpfung rasch an. Die Abbildung des Fundaments als starrer Körper ist die einfachste Möglichkeit zur Berücksichtigung der Boden-Bauwerk-Wechselwirkung und wird in der Praxis fast ausschließlich angewandt. Grundsätzlich ist es aber auch möglich, Boden und Bauwerk in einem gemeinsamen Finite-Element-Modell abzubilden. Die Größe des Bodenmodells ist dann so zu wählen, dass elastische Wellen, die vom Fundament ausgehen und sich im Boden ausbreiten, am will-

5.8 Modellbildung

449

kürlich eingeführten Rand des Finite-Element-Modells nicht reflektiert werden und die Fundamentschwingungen beeinflussen. Bei kurzen, stoßartigen Vorgängen lässt sich dies durch ein ausreichend großes Bodenmodell erreichen. Bei langandauernden Vorgängen, wie sie z. B. Erdbeben darstellen, ist dies nicht mehr praktikabel. In diesem Fall ordnet man am Rand des in Finite Elemente diskretisierten Bodenbereichs spezielle Elemente an, die die statischen und dynamischen Eigenschaften eines sich „ins Unendliche“ erstreckenden elastischen Bodenbereichs mechanisch exakt wiedergeben. Hierzu wurden Elemente mit speziellen Ansatzfunktionen entwickelt. Man unterscheidet zwischen den sogenannten semifiniten Elementen („Transmitting Boundaries“) und Elementen, die auf der Randelementmethode beruhen. Die semifiniten Elementen werden ähnlich wie die Finite Elemente mit Ansatzfunktionen abgeleitet [5.34– 5.39, 5.43]. Allerdings diskretisiert man den Boden lediglich in vertikaler Richtung durch stückweise lineare oder quadratische Ansatzfunktionen. In horizontaler Richtung wählt man als Ansatzfunktion die exakte analytische Lösung, so dass in dieser Richtung keine Diskretisierung erforderlich ist. Man erhält eine dynamische Steifigkeitsmatrix des abgeschnittenen Bodenteils. Diese Berechnungen werden im Frequenzbereich durchgeführt. Bei neueren Lösungen auf der Grundlage der Randelementmethode geht man direkt von einer Lösung für das elastischen Kontinuum aus und entwickelt hieraus eine dynamische Steifigkeitsmatrix des Bodens, die beim das Finite-Element-Modell berücksichtigt wird. Die Berechnungen erfordern auch hier meistens eine Berechnung im Frequenzbereich. Einen Überblick über diese Entwicklung gibt [5.40, 5.41]. Diese Modelle ermöglichen eine sehr detaillierte Modellierung des Bodens mit als geschichtetes elastisches Kontinuum. Modellierungshinweise für Bodenmodelle werden auch in [4.42] gegeben.

Bild 5-52 Finite-Element-Modell eines kastenförmigen Bauwerks im Baugrund mit einem semifiniten Element [5.37] (¼ des Gesamtmodells)

450

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

5.8.3 Modellierung der Dämpfung Die Dämpfung wird aus rechentechnischen Gründen wie in (5.14) und (5.16) praktisch immer geschwindigkeitsproportional angenommen. Ihre tatsächliche physikalische Wirkungsweise ist hingegen wesentlich komplizierter. Einen Überblick über die unterschiedlichen Einflüsse geben [5.29] und [5.12]. Der Begriff Dämpfung umfasst so unterschiedliche Einflüsse wie die Materialdämpfung in Bauteilen, Reibungseffekte in Anschluss- und Verbindungsstellen, Rissbildung in Bauteilen, lokale plastische Deformationen, die Energieabstrahlung im Boden und anderes. Die Dämpfung ist in starkem Maße beanspruchungsabhängig und nimmt in der Regel mit wachsender Beanspruchung zu. Die gemessenen Dämpfungswerte sind demnach naturgemäß großen Streuungen unterworfen. Rechenwerte der Dämpfung werden in Abhängigkeit vom Baustoff und der Konstruktionsweise festgelegt [5.12]. In einzelnen Elementen des Berechnungsmodells können unterschiedlich hohe Dämpfungmaße auftreten. Von besonderer Bedeutung ist dies bei Modellen steifer Hochbauten, bei denen die Baugrunddämpfung häufig erheblich höher ist als die Materialdämpfung des Bauwerks. Es stellt sich die Frage, wie diese unterschiedlichen Dämpfungmaße rechnerisch berücksichtigt werden sollen. Eine beliebige Dämpfungsmatrix lässt sich leicht bei Zeitverlaufsberechnungen, die mit numerischen Integrationsverfahren erfolgt, behandeln. Bei der Lösung von Eigenwertproblemen würde eine beliebige, nicht orthogonale Dämpfungmatrix zu komplexen Eigenwerten und Eigenformen führen, die ebenfalls zu Zeitverlaufsberechnungen weiterverwendet werden können. Bei Erdbebenberechnungen bevorzugt man in der Praxis allerdings das einfachere Antwortspektrenverfahren. Aus diesem Grund und aufgrund der natürlichen Schwankungsbreite der Dämpfung wurden vereinfachte, heuristische Verfahren entwickelt, um bei der Modalanalyse unterschiedliche Dämpfungmaße einzelner Elemente einzubeziehen. Die modalen Dämpfungsmaße ermittelt man durch gewichtete Überlagerung der Dämpfungmaße der einzelnen Elemente. Als Gewichtungsfaktor verwendet man im einfachsten Fall das Verhältnis der im jeweiligen Element gespeicherten Formänderungsenergie zur Formänderungsenergie des Gesamtsystems. Die Formänderungsenergie des Gesamtsystems mit der Systemsteifigkeitsmatrix K lautet bei Verschiebung mit dem Vektor u: 1 T ⋅ u ⋅ K⋅ u 2

E ges =

(5.94)

Bei Verschiebung mit der i-ten Eigenform φ i erhält man: E ges ,i =

1 T ⋅ φ ⋅ K⋅ φ i 2 i

(5.95)

Falls die Eigenformen so normiert sind, dass die generalisierte Masse zu Eins wird, gilt nach (5.35b)

φ T ⋅ K ⋅ φ = ωi2 . i

i

Die Energie im k-ten Element lautet entsprechend: E k ,i =

1 T ⋅ φ ⋅ Ke⋅ φ k ,i 2 k ,i

(5.96)

5.8 Modellbildung

451

Hierin bedeuten Ke die Elementsteifigkeitsmatrix und φ

die dem Element k in der i-ten Eik ,i

genform zugeordneten Verschiebungen. Die Gewichtungsfaktoren in der i-ten Eigenform sind somit E k ,i / E ges ,i . Bezeichnet man die Dämpfung im Element k mit ξe , k so erhält man das Dämpfungsmaß der i-ten Eigenform damit zu:

ξi=

Ek ,i

¦ Eges,i ⋅ ξe,k

T Ek ,i ⋅ ξ e,k ¦ φ k ,i ⋅ K e ⋅ φ k ,i ¦ = =

Eges,i

φT ⋅ K⋅ φ i

(5.97)

i

Die Summation ist über alle Finiten Elemente durchzuführen. In der Praxis begrenzt man die so erhaltenen modalen Dämpfungsmaße auf Werte von z. B. ξ i ≤ 15% , um die Eigenformen und -frequenzen des ungedämpften Systems näherungsweise beibehalten zu können. Weitere Verfahren zur Ermittlung eines gewichteten Dämpfungsmaßes sind in [5.30]-[5.33] angegeben. Beispiel 5.19 Das in Bild 5-53 dargestellte Gebäude ist für ein Erdbeben mit dem Antwortspektrum nach Bild 5-38 zu berechnen. Das Fundament und der Baugrund haben die in Beispiel 5-18 angegebenen Kennwerte.

Bild 5-53 Finite-Element-Modell eines Gebäudes mit Bodenfedern

Das Bauwerk wird als Stabmodell, der Baugrund durch die in Beispiel 5-18 ermittelten Bodenfedern abgebildet. Zunächst bestimmt man in einer Modalanalyse die beiden untersten Eigenfrequenzen und Eigenformen. Man erhält bezogen auf die Knotennummerierung in Bild 5-53 (vgl. Bild 5-54):

452

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

1. Eigenform, f1=3.2 Hz

2. Eigenform, f2=11.2 Hz

Bild 5-54 Eigenformen

f1 = 3.2 Hz

ª 0.267 º « » « 0.048 » « 0.625 » « » « 0.104 » « 1.119 » « » « 0.145 » « 1.700 » »⋅ 10− 2 φ =« 1 « 0.171» « » « 2.323 » « 0.186 » « » « 2.949 » « 0.192 » « » « 3.550 » « » ¬ 0.194 ¼

f 2 = 11.2 Hz

ª 1.957 º « » « 0.007 » « 2.534 » « » « 0.058 » « 2.487 » « » « 0.167 » « 1.719 » »⋅ 10− 2 φ =« 2 « 0.288 » « » « 0.366 » « 0.383 » « » « − 1.259 » « 0.433 » « » « − 2.788 » « » ¬ 0.446 ¼

Die Eigenformen sind auf die Massenmatrix normiert, so dass nach (5.35a, b) gilt: mi* = φ T ⋅ M ⋅ φ = 1 i

φ T ⋅ K ⋅ φ = ωi2

i

i

i

für i = 1, 2

Damit lautet der Ausdruck für die Formänderungsenergie in der i-ten Eigenform nach (5.95):

E ges ,i =

1 T 1 ⋅ φ ⋅ K ⋅ φ = ⋅ ωi2 i 2 i 2

für i = 1, 2

Die Formänderungsenergie in der Horizontal- und Drehfeder erhält man aus (5.96) zu

E x ,i =

1 ⋅φ ⋅k ⋅φ 2 kx,i x kx ,i

und

Eϕ x , i =

1 ⋅φ ⋅k ⋅φ . 2 k ϕ x ,i ϕ k ϕ x ,i

5.8 Modellbildung

453

Hierin bedeuten φ kx,i und φ kϕx,i die der Feder zugeordneten Verschiebungsgrößen in der i-ten Eigenform. Für die erste Eigenform erhält man mit den Dimensionen [kN], [s] und [m] folgende Zahlenwerte:

E ges ,1 = E x,1 = Eϕ x ,1 =

1 2 1 2 ⋅ ω = ⋅ ( 2⋅ π ⋅ 3.2 ) = 200.9 2 1 2

1 ⋅ 0.00267⋅ 6.5⋅ 106 ⋅ 0.00267 = 23.2 2 1 ⋅ 0.00048⋅ 4.26⋅ 108 ⋅ 0.00048 = 49.1 2

Für die Formänderungsenergie des Bauwerks verbleiben somit Ebau ,1 = 200.9 − 23.2 − 49.1 = 128.6

Die Dämpfungsmaße für f1=3.2 [Hz] wurden bereits in Beispiel 5.18 ermittelt zu ξ y = ξ x = 20, 2% im Freiheitsgrad „Horizontalverschiebung“ und ξ ϕ x = 6.3% im Freiheitsgrad „Kippen um die x-Achse“. Nach (5.97) erhält man die gewichtete modale Dämpfung in der ersten Eigenform zu

ξ1 =

128.6 49.1 23.2 ⋅ 0.05+ ⋅ 0.063+ ⋅ 0.202 = 0.072 = 7.2% 200.9 200.9 200.9

In der zweiten Eigenform sind die Dämpfungsmaße aufgrund der höheren Frequenz erheblich höher. Sie ergeben sich für f2=11.2 [Hz] zu ξ y = ξ x = 84 .2% im Freiheitsgrad „Horizontalverschiebung“ und ξ ϕ x = 34.2% im Freiheitsgrad „Kippen um die x-Achse“. Damit ergibt sich die modale Dämpfung der zweiten Eigenform rechnerisch zu ξ 2 = 45% . Aufgrund der Begrenzung der modalen Dämpfung wird der Wert für die weitere Rechnung auf ξ 2 = 15% abgemindert. Die hohen Werte der Abstrahlungsdämpfung in der zweiten Eigenform deuten auf merkliche Abweichungen der ungedämpften zweiten Eigenform von der physikalischen Wirklichkeit hin. Durch die Begrenzung der Dämpfung wird die Konsistenz des Modells verbessert, wenn auch dabei auf die Mitnahme von Teilen der Abstrahlungsdämpfung verzichtet wird. Die Spektralwerte Sa erhält man für die ermittelten Eigenfrequenzen und Dämpfungsmaße nach Bild 5-38 zu: Eigenfrequenz/ -schwingzeit

f1 = 3.2 Hz

T1 = 0.31s

f 2 = 11.2 Hz

T2 = 0.09s

ξ 1 = 7.2%

ξ = 5% 2

0.79 [m/s ]

-

2

-

0.69 [m/s ]

0.87 [m/s ] 0.96 [m/s ]

2

ξ 2 = 15% 2

454

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Damit ergeben sich mit den Beteiligungsfaktoren Γ1 = 43.03 und Γ2 = −25.6 die Maxima der generalisierten Koordinaten für ξ1 = 7.2% und ξ 2 = 15% zu α1 = 0.084 und α 2 = −0.00356 . Die Querkraft und das Moment an der elastischen Einspannung sind danach Modale Dämpfung:

Konstante Dämpfung:

ξ1 = 7.2% ξ 2 = 15%

ξ 1 = ξ 2 = 5% 1. Eigenform

2. Eigenform

¦X

1458

1579

438

1639

17370

19260

157

19260

1. Eigenform

2. Eigenform

¦X

Querkraft

1424

314

Moment

17340

112

2 i

2 i

Zum Vergleich sind auch die Werte für eine konstante modale Dämpfung von 5% angegeben. Die Ergebnisse machen deutlich, dass die Schwingungsantwort fast ausschließlich von der ersten Eigenform bestimmt wird. Die Unterschiede zwischen einer Berechnung mit konstanter Dämpfung von 5% und einer gewichteten modalen Dämpfung betragen hier nur ≈11% (Bild 5-55). Sie nehmen bei stärker gedrungenen Bauwerken auf weichem Baugrund zu.

Bild 5-55 Momenten- und Querkraftlinien

5.8.4 Modellierung der Massen Die Modellbildung der Massen ist meistens problemlos. In der Praxis setzt man die ständigen Lasten und einen wirksamen Anteil der Verkehrslasten bei der Ermittlung der Massen an. Rechentechnisch werden fast immer Knotenmassenmatrizen verwendet. Grundsätzlich besteht aber auch die Möglichkeit konsistenter Massenmatrizen, die dann allerdings voll besetzte Massenmatrizen zur Folge haben. Während Knotenmassen zu einer Überschätzung der Eigenschwingzeiten führen, werden diese mit konsistenten Massenmatrizen leicht unterschätzt. In

5.8 Modellbildung

455

[5.43] wird daher eine Mittelung der Knotenmassenmatrix Mknot und der konsistenten Massenmatrix Mkons zu

M = α M ⋅ M kons + (1− α M )⋅ M knot

(5.98)

mit α M = 0,5 vorgeschlagen. Wird die Berechnung im Frequenzbereich durchgeführt, ist der rechnerische Mehraufwand zur Bildung der konsistenten oder der gemittelten Massenmatrix vernachlässigbar.

Beispiel 5.20 Die Eigenfrequenzen des in Beispiel 5.5 untersuchten Abluftkamins sollen mit konsistenten Massenmatrizen berechnet und mit der analytischen Lösung, die in Beispiel 5.16 angegeben ist, verglichen werden. Es wird ein Modell mit vier Balkenelementen verwendet. Die Berechnung unterscheidet sich von derjenigen in Beispiel 5.5 somit lediglich durch die Massenmatrix. Zu deren Ermittlung geht man von der Elementmatrix (5.12b) aus. Die Massenbelegung beträgt m=12,5 [t/m], die Elementlänge l=20 [m]. Mit diesen Werten werden die Matrizen elementweise aufgestellt und analog den Elementsteifigkeitsmatrizen zur Systemmassenmatrix überlagert. Man erhält die konsistente Massenmatrix des Systems zu: ª 186 0 32 « 1905 155 « 0 « 32 155 186 « 0 « − 155 − 714 M =« 0 0 32 « − 155 0 « 0 « 0 0 0 « «¬ 0 0 0

− 155 − 714

0 0

0 1905

32 − 155 155 − 714

155 − 714

186 0

0 0

0 0

0 1905

32 155 − 155 − 714

0 º » 0 » 0 0 » » 0 0 » 32 − 155 » » 155 − 714 » 93 − 262 »» − 262 952 »¼ 0 0

Die hiermit erhaltenen Eigenschwingzeiten bzw. Eigenfrequenzen werden mit denjenigen der des entsprechenden Modells mit Knotenmassen sowie mit der analytischen Lösung verglichen: 1. Eigenform Diskr Knoten- Kon∞ massen sistent

2. Eigenform Knoten- Konmassen sistent

3. Eigenform

∞

Knoten- Konmassen sistent

4. Eigenform

∞

Knoten- Konmassen sistent

∞

f[Hz]

0.552

0.568 0.563

3.247

3.563 3.501

8.599

10.05 9.808

14.99

19.82 19.26

T [s]

1.811

1.760 1.778

0.308

0.280 0.290

0.116

0.100 0.102

0.067

0.050 0.052

Die mit einer konsistenter Massenmatrix erhaltenen Ergebnisse bestätigen das oben geschilderte Verhalten. Sie weichen insbesondere bei den höheren Eigenfrequenzen weniger von der exakten Lösung ab als die mit Knotenmassen ermittelten Eigenfrequenzen. Insgesamt sind die Unterschiede aus praktischer Sicht jedoch in beiden Fällen gering.

456

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

5.8.5 Diskretisierung im Zeit- und Frequenzbereich Dynamische Berechnungen erfordern neben der räumlichen Diskretisierung des Tragwerks im Finite-Element-Modell auch eine zeitliche Diskretisierung. Hierbei muss ein Zeitschritt gewählt werden, mit dem alle zeitabhängigen Größen dargestellt werden. Entscheidend für die Wahl des Zeitschrittes sind der Frequenzgehalt der Last und des Berechnungsmodells, d. h. mit dem gewählten Zeitschritt muss es möglich sein, sowohl den Zeitverlauf der Last wie auch das Eigenschwingungsverhalten des Finite-Element-Modells darzustellen. Der erforderliche Frequenzgehalt einer Antwortschwingung und die Modellierung des Bauwerks im Tragwerks- und Finite-Element-Modell müssen gegenseitig aufeinander abgestimmt sein. Meistens setzt die realitätsnahe Ermittlung hoher Frequenzen eines komplexen Tragwerks auch ein recht detailliertes Tragwerks- und Finite-Element-Modell voraus. Einfache Modelle, die für das globale Schwingungsverhalten durchaus zutreffend sind, reichen hierzu meistens nicht. Vielmehr ist ein Tragwerksmodell nur geeignet, Schwingungen bis zu einer bestimmten Frequenz darzustellen. Die realitätsnahe Erfassung höherer Eigenfrequenzen erfordert auch eine detailliertere Modellierung des Bauwerks oder Bauteils. Auch aus diesem Grund ist es bei einer Modalanalyse sinnvoll, die Anzahl der berücksichtigten Eigenformen zu begrenzen. Bezüglich der Genauigkeit der Verschiebungen und Spannungen gilt das gleiche wie bei statischen Finite-Element-Berechnungen. Spannungen und Schnittgrößen reagieren als differenzierte Größen sensibel auf Fehler in den Verschiebungen. Kleine Fehler in den Verschiebungen können somit zu deutlich größeren Fehlern in den Schnittgrößen und Spannungen führen. Beispielsweise hat bei Stabmodellen für Gebäude (vgl. Beispiel 5.19) die zusätzliche Berücksichtigung höherer Eigenformen einen größeren Einfluss auf die Querkräfte als auf die Biegemomente oder Verschiebungen. Zeitverlaufsberechnungen können mit verschiedenen Verfahren durchgeführt werden. Möglich sind eine Modalanalyse mit anschließender Überlagerung der Eigenformen, die direkte numerische Integration und die Berechnung mittels Fourieranalyse. Bei Systemen, deren Schwingungsverhalten sich durch wenige Eigenformen beschreiben lässt, wählt man sinnvollerweise die Modalanalyse. Bei stoßartigen Vorgängen, bei denen die maßgebende maximale Antwort des Systems kurz nach der Lastaufbringung auftritt, ist die direkte numerische Integration effektiv. Eine Fourieranalyse ist sinnvoll bei periodischen Vorgängen wie Maschinenschwingungen und bei Berechnungsmodellen mit frequenzabhängigen Finiten Elementen wie Bodenfedern und -dämpfern oder Randelementen. Die Berechnung im Frequenzbereich ist auch die Grundlage für die Untersuchung von Zufallsschwingungen mit probabilistischen Verfahren. Vielfach wird zur Schwingungsberechnung von Tragwerken die Modalanalyse eingesetzt. Sie ist allerdings nur dann rechentechnisch effizient, wenn zur Ermittlung der dynamischen Antwort nur wenige Eigenformen erforderlich sind. Dies ist bei Stabwerken meistens der Fall. Die dynamische Antwort von Finite-Element-Modellen für Scheiben, Platten oder dreidimensionale Kontinua lassen sich hingegen meist nur mit einer großen Anzahl von Eigenschwingungsformen beschreiben. Bei diesen Modellen sollte man daher prüfen, ob nicht andere Verfahren effizienter sind. Die Modalanalyse ist nur dann mathematisch exakt, wenn alle Eigenformen des Berechnungsmodells bei der Überlagerung berücksichtigt werden. Bei einem Finite-Element-Modell mit n mit Masse belegten Freiheitsgraden sind dies n Eigenformen. In der Praxis genügen aber zur Beschreibung der Schwingungsantwort meistens wenige Eigenformen. Bei jeder Modalanalyse stellt sich somit die Frage, wie viele Eigenformen erforderlich sind, um Ergebnisse mit einer

5.8 Modellbildung

457

ausreichenden Genauigkeit zu erhalten. Die erforderliche Anzahl der Eigenformen muss zwei Einflüssen Rechnung tragen: Einmal muss sie den Frequenzgehalt der Anregung und zum zweiten die örtliche Verteilung der Last wiedergeben können. Beide Einflüsse sollen nun getrennt beurteilt werden. Hierzu wird der Fall betrachtet, dass alle Lasten mit demselben Zeitverlauf aber unterschiedlicher Größe an den Knotenpunkten des Finite-Element-Modells wirken. Es soll also gelten: F (t ) = Λ ⋅ f (t )

(5.99)

Hierin stellen Λ einen Vektor, der die Verteilung der Kräfte an den Knoten angibt, und f(t) eine skalare Funktion, die den Zeitverlauf beschreibt, dar. Bei einer Erdbebenerregung gilt nach (5.24) bzw. (5.75):

Λ = M⋅ I

(5.100)

Im Hinblick auf die zeitabhängige Funktion f(t) müssen die Eigenfrequenzen und Eigenformen so gewählt werden, dass sie deren wesentliche Anregungsfrequenzen enthalten. Beim Antwortspektrenverfahren gehen diese beispielsweise aus dem Antwortspektrum hervor. Um die Anforderungen hinsichtlich der Verteilung Λ zu untersuchen, betrachtet man das statische Gleichgewicht des Finite-Element-Systems

K⋅ u = F für die Last

F = Λ ⋅ f stat

(5.101)

in der fstat einen frei wählbaren Bezugswert der statischen Belastung darstellt. Die Verschiebungen in (5.100) werden nun durch die Eigenformen des Systems zu

¦ αi ⋅ φ i

u=

(5.60)

ausgedrückt und man erhält

¦ ( K ⋅ φ i ⋅ αi ) = Λ ⋅ fstat

(5.102)

Wird hierbei über alle n Eigenformen summiert, handelt es sich um einen mathematisch vollständigen Satz von Eigenvektoren, die jeden Verschiebungsvektor u beschreiben können. Werden weniger Eigenformen berücksichtigt, erhält man auf der linken Seite der Gleichung eine Näherungslösung für die Lasten auf der rechte Seite. Der Fehler, d. h. die Abweichung der Näherungslösung von der exakten Lösung beträgt E = Λ ⋅ f stat −

¦ (αi ⋅ K ⋅ φ i )

Dieser Ausdruck wird nun umgeformt. Aus dem Eigenwertproblem (5.33) folgt K ⋅ φ = ωi2 ⋅ M ⋅ φ i

und damit

i

(5.103)

458

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

¦ (αi ⋅ M ⋅ φ i ⋅ ωi2 )

E = Λ ⋅ f stat −

Die Faktoren α i erhält man aus (5.64), wobei im statischen Fall α = 0 und α = 0 ist. Es gilt 1

αi =

mi* ⋅

ωi2

⋅ φT ⋅ F = i

1 mi* ⋅

ωi2

⋅ φ T ⋅ Λ ⋅ f stat . i

Damit lautet (5.103):

E = Λ ⋅ f stat − f stat ⋅

§

·

¦¨¨© m1* ⋅ φ Ti ⋅ Λ ⋅ M ⋅ φ i ¸¸¹

(5.104)

i

und im Fall der Erdbebenerregung

E= M⋅ I−

§

·

¦¨¨© m1* ⋅ φ Ti ⋅ M ⋅ I ⋅ M ⋅ φ i ¸¸¹

(5.105)

i

Der Fehler gibt an, inwieweit sich bei einer vorgegebenen Lastanordnung Λ die rechnerisch wirksame Belastung von der aufgebrachten Belastung Λ ⋅ f stat unterscheidet. Bei Erdbebenerregung besteht die aufgebrachte Belastung aus den Massen, die in den Freiheitsgraden in Richtung der Erdbebenbeschleunigung wirken. Der Fehler gibt dann an, inwieweit sich die rechnerisch wirksamen Massen von den tatsächlichen Massen unterscheiden. Die Größe des Fehlers, der durch die Begrenzung der Anzahl der Eigenformen entsteht, lässt sich einfacher mit Hilfe einer Norm des Vektors E als mit dem Vektor E selbst beurteilen. Besser als die Euklidsche Vektornorm ist hier eine Norm geeignet, die man durch Addieren aller Vektorterme erhält, d. h. es gilt E =

¦ Ej ,

(5.106)

wobei über alle Vektorelemente Ej zu summieren ist. Den Fehler E vollerweise auf die Größe der Belastung, d. h. auf Λ ⋅ f stat

bezieht man sinn-

beziehungsweise auf M ⋅ I .

Damit erhält man den relativen Fehler zu

e=

E

Λ ⋅ f stat

Λ− =

§

·

¦¨¨© m1* ⋅ φ Ti ⋅ Λ ⋅ M ⋅ φ i ¸¸¹ i

Λ

(5.107)

beziehungsweise bei Erdbebenerregung zu

M⋅ I− e=

E M⋅ I

=

¦

§ 1 · T ¨ ¸ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ φ M I M φ ¨ m* i i¸ © i ¹ M⋅ I

(5.108)

5.8 Modellbildung

459

Bei Erdbebenerregung gibt der relative Fehler e den (prozentualen) Anteil an, um den sich die rechnerisch wirksamen Massen von den tatsächlichen Massen in den Freiheitsgraden der Erdbebenerregung unterscheiden. Der Ausdruck 1

εi =

mi*

⋅ φT ⋅ M ⋅ I⋅ M ⋅ φ i

i

M⋅ I

(5.109)

wird auch als Ersatzmassenfaktor bezeichnet. Er gibt das Verhältnis zwischen der wirksamen Masse, die auch als Ersatzmasse bezeichnet wird, und der durch die Erdbeben direkt angeregten Gesamtmasse des Systems an. Man kann zeigen, dass gilt

ε1 > ε 2 > .... > εi > ...... > ε n

(5.110)

und n

¦ εi = 1

(5.111)

i= 1

Die Gleichungen ermöglichen es abzuschätzen, wieviel Eigenformen für die Darstellung der örtlichen Verteilung der Belastung erforderlich sind. Ist der Fehler e nach (5.108) ausreichend klein oder die Summe der Ersatzmassenfaktoren nach (5.111) nahe 1, so kann auf den Beitrag der höheren Eigenformen verzichtet werden, sofern diese nicht wegen des Frequenzgehalts der Anregung berücksichtigt werden müssen. Dies ist etwa dann der Fall, wenn sie im Antwortspektrum deutlich höhere Werte besitzen. Beispiel 5.21

Für das in den Beispielen 5.5 und 5.15 untersuchte Modell eines Abluftkamins sind die Fehler der wirksamen Massen für Erdbebenerregung bei der Berücksichtigung von 1, 2, 3 und 4 Eigenformen zu bestimmen. Mit der Massenmatrix M, dem Vektor I und den Eigenformen φ i nach den Beispielen 5.5 und 5.15 erhält man 250 0 250 0 M.I = 250 0 125 0

Die Norm M ⋅ I = 875 gibt die Gesamtmasse des Systems in den Freiheitsgraden in Richtung der Erdbebenanregung wieder. Die Berechnung der Fehler ergibt:

460

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke Höchste berücksichtigte Eigenform

1

¦m

* i

⋅ φ Ti ⋅ M ⋅ I ⋅ M ⋅ φ i

εi

¦ε

i

Fehler e nach (5.108)

imax=1

599

0,684

0,684

31,6 %

imax=2

789

0,216

0,900

9,9 %

imax=3

852

0,074

0,974

2,6 %

imax=4

875

0,006

1,000

0

Im Beispiel sind alle Massen horizontalen Freiheitsgraden zugeordnet und liegen damit in Richtung der Erdbebenanregung. Daher ist hier die Gesamtmasse des Systems gleich der tatsächlich angeregten Masse M ⋅ I = 875 [t]. Bei Berücksichtigung von nur einer Eigenform beträgt die wirksame Masse (Ersatzmasse) 599 [t] gegenüber 875 [t] Gesamtmasse. Der Fehler e, der die Abweichung der wirksamen Masse gegenüber deren exaktem Wert angibt, beträgt 31.6% (=(875-599)/875). Damit wird deutlich, dass allein aufgrund der örtlichen Lastanordnung weitere Eigenformen betrachtet werden müssen. In der Regel sollte der Fehler e nicht über 10% liegen. Dies ist bei Einschluss der zweiten Eigenform erreicht. Im Beispiel 5.15, in dem das System mit dem Antwortspektrenverfahren berechnet wird, sind die Querkräfte an der Einspannstelle in der zweiten und selbst in der dritten Eigenform noch deutlich größer als in der ersten Eigenform. Die Ursache hierfür liegt in dem zweiten zu beachtenden Kriterium, nämlich dem Frequenzgehalt der Belastung. Die Werte des Antwortspektrums sind nämlich in der ersten Eigenform aufgrund der langen Eigenschwingzeit erheblich niedriger als in den übrigen Eigenformen. Bei einem Vergleich mit der Antwortspektrenberechnung in Beispiel 5.15 ist zu beachten, dass die Fehler e nur für eine in allen Eigenformen gleiche Antwortbeschleunigung Sa gelten und eine Summation der Anteile aller Eigenformen wie beim Zeitverlaufsverfahren enthalten. Die SRSS-Überlagerung der Summe aller Querkräfte in den einzelnen Eigenformen liefert demnach andere Werte. Die numerischen Integrationsverfahren erfordern die Wahl eines Zeitschrittes. Seine Größe hängt vom Frequenzgehalt der Last und dem Eigenschwingungsverhalten des Tragwerks ab. Darüber hinaus ist aber auch das gewählte numerische Integrationsverfahren von Bedeutung. Aus mathematischer Sicht sind die Genauigkeit und die Stabilität für ein Verfahren kennzeichnend. Bei numerisch instabilen Verfahren existiert ein kritischer Zeitschritt ∆t kr , bei dessen Überschreitung die Lösung aus mathematischen Gründen unbegrenzt anwächst. Numerisch stabile Verfahren führen bei vergleichsweise großen Zeitschritten zwar zu ungenaueren Lösungen, die aber beschränkt bleiben. Finite-Element-Modelle mit vielen, mit Masse belegten Freiheitsgraden besitzen eine hohe Anzahl von Eigenfrequenzen. Die der höchsten Eigenfrequenz zugeordnete Schwingzeit wird damit außerordentlich klein und würden bei numerisch instabilen Verfahren einen noch kleineren Zeitschritt erfordern, um die Beschränktheit der Lösung sicher zu stellen. Für Finite-Element-Modelle kommen daher fast ausschließlich numerisch stabile Integrationsverfahren zur Anwendung. Bei der Lösung der Bewegungsgleichungen mit der diskreten Fourier-Transformation werden Schwingungen grundsätzlich als Fourier-Reihe dargestellt. Es handelt sich also um einen Vorgang, der sich mit der Periode To wiederholt. Dies hat allerdings keine Beschränkung der Allgemeinheit zur Folge. Zur Behandlung nichtperiodischer Vorgänge von begrenzter Dauer

5.8 Modellbildung

461

wählt man To so groß, dass die Schwingung innerhalt von To ausgeklungen ist und Überlappungseffekte damit vermieden werden. Den kleinsten noch zu darzustellenden Zeitschritt erhält man aufgrund des Frequenzgehaltes der Belastung und der Schwingungsantwort des Systems. Hieraus ergibt sich mit (5.68) die mindestens erforderliche Anzahl N der Schritte im Zeitbereich. Die hiermit zusammenhängenden Fragen wurden bereits in Abschnitt 5.6.3 diskutiert.

5.8.6 Dynamisches Modell und physikalische Wirklichkeit In der Baudynamik sind Aufgabenstellungen meistens mit einer größeren Unsicherheit behaftet als in der Baustatik. Bereits die Lastannahmen weisen vielfach eine größere Streuung als bei statischen Untersuchungen auf. Dies gilt beispielsweise bei den Lastannahmen für Erdbeben und den angenommenen Verteilungen und Zeitverläufen von Winddrücken. Schwankungen der Steifigkeitskennwerte (Elastizitätsmoduli) der Bauteile und die Steifigkeit nichttragender Bauteile, die in der statischen Berechnung vernachlässigt werden dürfen, können das dynamische Verhalten im Resonanzbereich entscheidend beeinflussen. Die realitätsnahe Modellierung komplexer Tragwerke für dynamische Lasten ist schwieriger als für statische Lasten und erfordert umfangreiche und unter Umständen auch recht detaillierte Modelle. So können bei einer statischen Berechung des horizontalen Lastabtrags eines Bauwerks die Schnittgrößen stockwerkweise ermittelt werden. Die Berechnung der Horizontalschwingungen des Bauwerks erfordert hingegen auch im einfachsten Fall eine Modellbildung für das gesamte Bauwerk, die alle Stockwerke und gegebenenfalls auch die Boden-BauwerkWechselwirkung umfasst. Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Stockwerken, die im statischen Fall unbedeutend sind, sind nämlich die Grundlage der auftretenden Schwingungsvorgänge. Generell gilt bei dynamischen Vorgängen, dass sich die Massen- und Steifigkeitskräfte unterschiedlicher Bauteile zeitabhängig gegenseitig beeinflussen und sich damit nicht die Bauteile rechnerisch getrennt behandeln lassen, wie dies in der Statik der Fall ist. Die Ursache hierfür liegt in einer wichtigen Eigenschaft von Schwingungs- und Wellenausbreitungsvorgängen, nämlich ihrer Eignung zur Erhaltung beziehungsweise dem Transport von Energie. Auch in der Natur werden Wellenvorgänge genutzt, um kleinste Energiemengen über große Entfernungen zu transportieren, wie dies etwa bei Schallwellen in der Akustik geschieht. Ähnliches findet sich in der Bodendynamik wieder. Belastet man den Boden statisch mit einem starren Fundamentkörper, so klingen die Verschiebungen an der Oberfläche mit der Entfernung vom Fundament rasch ab. Bei dynamischer Belastung breiten sich aber Wellen aus, die trotz der durch die Abstrahlungs- und Materialdämpfung bedingten Amplitudenabnahme eine erheblich größere Reichweite als die statischen Verformungen besitzen. Bei der Berechnung des Bodens mit Finite-Element-Modellen bedeutet dies zunächst einmal, dass die Modelle immer ausreichend groß sein müssen, um ungewollte Wellenreflexionen an den Rändern zu vermeiden. Bei Bauwerksberechnungen hat es zur folge, dass eine realitätsnahe Berechnung im Bereich hoher Frequenzen zusätzlich eine detaillierte Modellierung der Baustruktur erfordert. Die Antwortschwingungen baudynamischer Modelle können im Resonanzbereich empfindlich auf geringfügig erscheinende Änderungen der Materialparameter oder des Systems reagieren. Dem kann man durch Parametervariation der betroffenen Eingabewerte Rechnung tragen. Bei einfachen Modellen ist dies leicht durchführbar. Bei komplexen Modellen können aber durch die Variation von Parametern Resonanzerscheinungen von Teilsystemen hervorgerufen werden. Die Interpretation der Ergebnisse ist daher häufig aufwendig und schwierig.

462

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Der erforderliche Grad an Diskretisierung eines Bauwerks oder Bauteils wird von vielen Faktoren beeinflusst. Die Größe des zu übertragenden Frequenzbereichs sowie Art und Ort der Belastung und der gewünschten Ergebnisse spielen dabei eine entscheidende Rolle. Aufgrund der geschilderten Schwierigkeiten bei komplexen Schwingungsmodellen sind einfache Modelle immer vorzuziehen, sofern die Aufgabenstellung dies erlaubt. Sie bieten wegen der geringen Anzahl der Parameter den Vorteil, überschaubarer und in ihrem Verhalten leichter interpretierbar zu sein. Die bei einer Gebäudemodellierung erzielbare Genauigkeit soll am Beispiel einer Berechnung, die im Rahmen eines Versuchs durchgeführt wurde, erläutert werden. Es handelt sich um einen Großversuch an einem 64 m hohen Kraftwerksgebäude mit einem Durchmesser von 22 m [5.45]. Das Bauwerk besteht aus einer Außenstruktur, die sich aus einer Halbkugelschale mit einer anschließenden Zylinderschale zusammensetzt, und einer Innenstruktur aus Wänden und Decken in mehreren Geschossen. Außen- und Innenstruktur befinden sich auf einer gemeinsamen Bodenplatte (Bild 5.56). Bei dem Versuch wurde die Stahlbetonschale der Außenstruktur durch eine Stoßlast belastet. Diese wurde durch eine Pendelvorrichtung mit einer Masse von 20 t und einer Fallhöhe von 5 m realisiert (Bild 5.57). Vor den Versuchen wurden Berechnungen durchgeführt, bei der für die Versuche verantwortlichen Institution hinterlegt und nach Versuchsdurchführung mit den Versuchsergebnissen verglichen. Spätere Anpassungen von Rechenparametern waren damit ausgeschlossen. Zum Vergleich wurden zwei Tragwerksmodelle, nämlich ein Stabmodell und ein Schalenmodell, untersucht. Beim Stabmodell wurden Innen- und Außenstruktur als Stäbe und der Boden durch Federn dargestellt. Es soll in der Lage sein, das globale Schwingungsverhalten des Bauwerks rechnerisch darzustellen. Beim Schalenmodell werden die Außenstruktur, d. h. die Kuppel und der anschließende Zylinder als Schale abgebildet.

Bild 5-56 Großversuch an einem Bauwerk

5.8 Modellbildung

463

Bild 5-57 Belastungszeitverlauf

Dieses Modell soll sowohl die hochfrequenten Schalenschwingungen mit deren kurzen Wellenlängen wie auch das Gesamtschwingungsverhalten des Bauwerks wiedergeben können, was kleine Elementabmessungen voraussetzt. Um die somit erforderliche feine Diskretisierung auf eine Dimension beschränken zu können, wurden für das Finite-Element-Modell rotationssymmetrische Schalenelemente mit nicht-rotationssymmetrischen Verschiebungsfeldern verwendet (vgl. Abschnitt 4.8.3). Die Ansatzfunktionen sind linear für die Normalkraftbeanspruchung und kubisch für die Biegung. In Richtung des Umfangs werden alle ortsabhängigen Größen durch eine Fourierreihe beschrieben. Die dynamische Berechnung wurde mit Hilfe einer Modalanalyse durchgeführt. Hierbei wurden alle Eigenfrequenzen unter 80 Hz berücksichtigt. Die Eigenfrequenzen für die FourierTerme n=1 bis n=9 sind in Bild 5-58a grafisch dargestellt. Für n9> ergeben sich keine Eigenfrequenzen unter 80 Hz. Bild 5-58b zeigt einige typische Eigenformen.

Eigenfrequenzen

Bild 5-58 Modalanalyse des Schalenmodells

2.6 Hz 2. Eigenform für n=1

49.5Hz 9. Eigenform für n=2

464

5 Dynamik der Stab- und Flächentragwerke

Die Zeitverläufe der horizontalen Beschleunigungen an ausgewählten Punkten sind in Bild 5-59 dargestellt. Zunächst werden die Ergebnisse an Punkt A, der auf der Außenschale unmittelbar an der Stoßstelle liegt, betrachtet. Bei den Schwingungen des Schalenmodells zu Beginn des Zeitverlaufs mit großen Amplituden und hohen Frequenzen handelt es sich um lokale Schalenschwingungen. Bei den nachfolgenden Schwingungen mit niederen Amplituden handelt es sich um die globale Schwingung des Bauwerks.

(a) Punkt A – Schalenmodell

(d) Punkt A – Balkenmodell

(b) Punkt B – Schalenmodell

(e) Punkt B – Balkenmodell

(c) Punkt C – Schalenmodell

(f) Punkt C – Balkenmodell

Bild 5-59 Gemessene und berechnete Beschleunigungszeitverläufe in horizontaler Richtung

5.8 Modellbildung

465

Das Schalenmodell ist in der Lage sowohl die lokalen Schalenschwingungen wie auch die globale Bauwerkschwingung mit hoher Genauigkeit wiederzugeben. Die globale, niederfrequente Gebäudeantwort, die durch die untersten Eigenformen bestimmt wird, kann auch vom Balkenmodell zuverlässig wiedergegeben werden, während dies bei den lokalen Schalenschwingungen naturgemäß nicht der Fall ist. Die Beschleunigungen der Punkte B und C werden im Wesentlichen von der globalen Gebäudeschwingung bestimmt. Daher stimmen hier die Ergebnisse des Balkenmodells mit denjenigen des Schalenmodells weitgehend überein. Die Beanspruchung des Tragwerks blieb, wie in der Rechnung angenommen, im Bereich linearen Materialverhaltens. Der Vergleich der Versuchs- und Berechnungsergebnisse zeigt, dass auch für komplexe Tragwerke die Berechnung das dynamische Verhalten im Rahmen der Modellannahmen zutreffend wiedergeben kann.

467

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

6.1 Einleitung Ein Tragwerksmodell wird beschrieben durch seine Geometrie, die Topologie und die mechanischen Eigenschaften der Tragwerkselemente, die Auflagerbedingungen und die Lasten. Bei linearen Systemen sind die Geometrie, die Elementtopologie, die Auflagerbedingungen und die Lasten fest vorgegeben, während zwischen den an den Tragwerkselementen wirkenden Kräften und den Verformungen ein linearer Zusammenhang besteht. Bei einer genaueren Betrachtung können aber alle in der Regel als fest vorgegeben Größen durchaus auch veränderlich sein und die Kraft-Verformungs-Beziehungen der Tragwerkselemente nichtlinear werden. Berücksichtigt man beispielsweise die Änderung der Geometrie infolge der Verformung eines Tragwerks bei den Gleichgewichtsbedingungen spricht man von geometrischer Nichtlinearität, Bild 6-1. Auch die Topologie eines System kann sich, etwa durch Ausfallen eines Zugstabes bei Druckbelastung, ändern. Man spricht in diesem Fall von veränderlichen Systemen, Bild 6-2a. Die Lagerbedingungen können ebenfalls von der Beanspruchung abhängen, etwa bei Kontaktproblemen wie Fundamenten mit klaffender Bodenfuge, Bild 6-2b. Bei materieller Nichtlinearität ist der Zusammenhang zwischen den Kräften und den Verformungen der Elemente nichtlinear und somit das Hooke’sche Gesetz nicht mehr gültig, Bild 6-3. Selbst Lasten können ihre Größe und Richtung in Abhängigkeit von den Systemverformungen ändern. All diese Effekte können gleichzeitig und zwar bei statischen wie auch bei dynamischen Beanspruchungen auftreten. Ein Überblick über die Behandlung nichtlinearer Finite-ElementProbleme ist in [6.1] und [6.2] enthalten.

Bild 6-1 Beispiel für geometrische Nichtlinearität

468

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

(a) System mit nur auf Zug beanspruchbaren Seilen

(b) Fundament mit klaffender Fuge

Bild 6-2 Beispiele für veränderliche Systeme

ı

İ Bild 6-3 Beispiel für materielle Nichtlinearität

Im Allgemeinen unterscheidet man drei Arten von Nichtlinearitäten. Arten von Nichtlinearitäten •

Geometrische Nichtlinearität

•

Materielle Nichtlinearität

•

Veränderliche Systeme

Die geometrisch nichtlinearen Theorien kann man weiter systematisieren, Tabelle 6-1. Ausgangspunkt ist die lineare Theorie I. Ordnung. Bei der Theorie II. Ordnung werden die Verschiebungsgrößen auf derselben Grundlage wie bei der Theorie I. Ordnung bestimmt, d. h. unter der Annahme infinitesimal kleiner Verschiebungen und Verdrehungen. Allerdings werden die Gleichgewichtsbedingungen bei der Theorie II. Ordnung am verformten System aufgestellt. Hierbei sind die Normalkräfte in den Tragwerkselementen von entscheidender Bedeutung. Sind beispielsweise keine Normalkräfte vorhanden, unterscheiden sich die Theorien I. und II. Ordnung nicht. Die Theorie II-ter Ordnung ist die Grundlage für Stabilitätsberechungen im Bauwesen. Die Theorie III. Ordnung berücksichtigt, über die Theorie II. Ordnung hinausgehend, auch endlich große Verschiebungen. Dies bedeutet bei Stäben, dass bei Verschiebungen senkrecht zur Stabachse die Längenänderung ∆x der projezierten Stabachse gegenüber der unverformten Stabachse berücksichtigt wird, Bild 6-4. Der Stab hat also in dieser Theorie auch ohne ursächliche Wirkung von Normalkräften nach der Verformung eine andere, auf die Ausgangslage projezierte Länge als im unverformten Zustand. Dies ist in der Praxis bei Seiltragwerken wegen der dort auftretenden großen Verformungen von Bedeutung. Bei einem beidseitig in Längsrichtung gehaltenen Stab ergeben sich bei Verschiebung senkrecht zur

6.1 Einleitung

469

Stabachse zwangsweise Normalkräfte (Hängematteneffekt). Dieser Effekt ist nach Theorie I. und II. Ordnung nicht gegeben. Allerdings werden die Drehwinkel ϕ auch bei der Theorie III. Ordnung als klein vorausgesetzt, so dass angenommen werden kann: sin ϕ = ϕ , tan ϕ = ϕ und cos ϕ = 1 . Erst bei den hier als Theorie IV. und V. Ordnung bezeichneten Theorien wird diese Einschränkung aufgegeben. Die Verschiebungen und Verdrehungen können beliebig groß werden. Bei Theorie V. Ordnung werden darüber hinaus große Verzerrungen zugelassen. Dies ist beispielsweise bei Gummimaterialien erforderlich. Bei den im Bauwesen verwendeten Materialien haben die Theorien IV. und V. Ordnung keine Bedeutung.

Theorie I. Ordnung

Theorie II. Ordnung

Theorie III. Ordnung

Bild 6-4 Gleichgewichtsbildung nach Theorie I., II. und III. Ordnung

Die materielle Nichtlinearität ist unabdingbar mit den Eigenschaften des betrachteten Materials verbunden. Während die lineare Baustatik weitgehend materialunabhängig ist, müssen hier ausdrücklich bestimmte Materialien betrachtet werden. Im folgenden werden die Materialgesetze für die Baustoffe Stahl und Beton behandelt. Eine Sonderrolle nehmen Lasten ein, die mit der Verformung des Systems ihre Richtung ändern. Man spricht von nicht richtungstreuen Lasten, Bild 6-5. Die meisten Lasten, wie beispielsweise Eigengewichtslasten, behalten aber ihre Richtung auch bei der Verformung des Systems bei. Beispiele für nicht richtungstreue Lasten sind z. B. die Innendrucklasten in einem Behälter oder Kräfte aus Vorspannung.

Unverformtes System

Richtungstreue Lasten

Bild 6-5 Richtungstreue von Lasten

Nicht richtungstreue Lasten

470

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Tabelle 6-1 Geometrische Theorien Theorie

Verschiebungsgrößen Infinitesimal kleine Verschiebungen und Verdrehungen

I. Ordnung

II-ter Ordnung

Infinitesimal kleine Verschiebungen und Verdrehungen

III. Ordnung

Endliche Verschiebungen und infinitesimal kleine Verdrehungen

Verzerrungen

Gleichgewicht

kleine Verzerrungen

Gleichgewicht am unverformten System

kleine Verzerrungen

kleine Verzerrungen

IV. Ordnung

Große Verschiebungen, große Verdrehungen

kleine Verzerrungen

V. Ordnung

Große Verschiebungen, große Verdrehungen

große Verzerrungen

Gleichgewicht am verformten System

6.2 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme Ein lineares System K⋅ u = F

(6.1)

liegt vor, wenn die α -fachen Lasten F auch die α -fachen Verschiebungsgrößen u hervorrufen. Ist dies nicht der Fall, d. h. wenn gilt K (u )⋅ u = F

(6.2)

spricht man von einem nichtlinearen Problem. Am häufigsten wird in der Baustatik die Theorie II-ter Ordnung verwendet. Die Gleichgewichtsbedingungen werden dabei am verformten System aufgestellt. Man erhält: K II ⋅ u = F

(6.3)

wobei K II die Steifgkeitsmatrix nach Theorie II. Ordnung bedeutet. Alternativ kann man (6.3) auch schreiben ( K 0 + K G )⋅ u = F

(6.4)

Hierin sind K 0 die Steifigkeitsmatrix nach Theorie I. Ordnung und K G die sogenannte geometrische Steifigkeitsmatrix. Die geometrische Steifigkeitsmatrix gibt den Einfluss der Verformungen auf das Gleichgewicht wieder. Die verformungsabhängigen Terme in den Gleichgewichtsbedingungen hängen aber neben den Elementabmessungen ausschließlich von den Normalkräften in den Elementen ab. Näherungsweise setzt man in die Matrix K G die leicht zu ermittelnden Normalkräfte nach Theorie I. Ordnung ein. Damit ist die Matrix K G bekannt und (6.4) stellt ein lineares Gleichungssystem zur Ermittlung der Verschiebungsgrößen u dar. Die Theorie II. Ordnung stellt somit eine linearisierte, ursprünglich nichtlineare Theorie dar. Die

6.2 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme

471

Lösungsschritte bei einem sogenannten Spannungsproblem nach Theorie II. Ordnung sind damit: Spannungsprobleme nach Theorie II-ter Ordnung a) b) c)

Ermittlung der Normalkräfte nach Theorie I-ter Ordnung Bilden der geometrischen Steifigkeitsmatix mit den Normalkräften aus a) Lösung des linearen Gleichungssystems nach Theorie II-ter Ordnung

Der Aufwand zur Implementierung der Berechnung nach Theorie II. Ordnung für Stabwerke in Berechnungsprogramme beschränkt sich auf die Addition der geometrischen Steifigkeitsmatrix ist damit vergleichsweise gering. Die geometrische Steifigkeitsmatrix bei Theorie II. Ordnung kann als eine Veränderung der Gesamtsteifigkeit des Systems angesehen werden. Sie wirkt sich ähnlich aus wie eine Steifigkeitsänderung. Bei Zugkräften sind die Diagonalterme von K G positiv, bei Druckkräften negativ. Damit gilt: Steifigkeitsänderungen infolge Theorie II-ter Ordnung •

Abnahme der Steifigkeit infolge der Nichtlinearität: Druckbeanspruchte Bauglieder wie Stützen und Schalen.

•

Zunahme der Steifigkeit infolge der Nichtlinearität: Zugbeanspruchte Bauglieder wie Seilnetze.

Neben den Spannungsproblemen können auch sogenannte Stabilitätsprobleme nach Theorie II. Ordnung behandelt werden. In diesem Fall sind die Tragwerke ausschließlich durch Normalkräfte beansprucht und man sucht diejenigen Lasten, bei denen das System auf Stabilität versagt. Hierzu bringt man eine Lastkonfiguration auf das System auf, die ausschließlich Normalkräfte hervorruft. Für die so erhaltenen Normalkräften in den Elementen ermittelt man die geometrische Steifigkeitsmatrix. Stabilitätsversagen tritt bei den λ -fachen Lasten der betrachteten Lastkonfiguration ein. Da keine äußeren Lasten mit Ausnahme der bei der geometrischen Steifigkeitsmatrix enthaltenen Normalkräfte wirken, ist der Lastvektor gleich Null. Das Gleichungssystem des Stabilitätsproblems lautet damit:

( K 0 + λ⋅ K G )⋅ u = 0

(6.5)

Hierbei handelt es sich um ein lineares Eigenwertproblem. Die mit λ multiplizierten Lasten ergeben die Stabilitätslasten des Systems, der Vektor u die zugehörigen Knickbiegelinien beziehungsweise Beulfiguren. In der Regel sind nur der unterste Eigenwert und die zugehörige Eigenform von Interesse. Nicht algebraische Eigenwertprobleme ergeben sich, wenn die Eigenwerte in Argumenten von Funktionen enthalten sind, wie dies bei der analytischen Lösung oder der Lösung mit Reihenentwicklungen der Fall ist. In diesem Fall lautet das Gleichungssystem K II ⋅ u = 0

(6.6)

472

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Die Terme der Matrix K II hängen von den Normalkräften ab. Die numerische Lösung des nicht algebraischen Eigenwertproblems ist erheblich aufwändiger als diejenige des algebraischen Eigenwertproblems. Sie ist dann gegeben, wenn die Determinante der Matrix Null ist. Ein einfaches, aber aufwändiges Verfahren besteht im systematischen Einsetzen von Normalkräften in die Matrix K II bis die Determinante der Matrix zu Null wird. Es gibt verschiedene Verfahren wie das der Schrittweitenhalbierung, um den Rechenaufwand zu minimieren. Beispiel 6.1 Für den in Bild 6-6 dargestellten gelenkig gelagerten, starren Stab mit einer Drehfeder am Fußpunkt sind die Kraft-Verdrehungs-Beziehungen k (ϕ )⋅ ϕ = H

(6.7)

nach Theorie I., II., III., und IV. Ordnung aufzustellen. Weiterhin ist die Last V zu ermitteln, bei der Stabilitätsversagen eintritt, wenn H = 0 ist.

Bild 6-6 Starrer Stab mit Drehfeder

Die geometrischen Theorien unterscheiden sich in der Berücksichtigung des Systems, an dem die Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden. Theorie I. Ordnung: Die Gleichgewichtsbedingungen werden am unverformten System aufgestellt, Bild 6-7(a). Man erhält das Momentengleichgewicht um den Fußpunkt zu kϕ ⋅ ϕ = H ⋅ A

oder kϕ A

⋅ϕ = H

(6.8)

Die Theorie I.Ordnung ist eine lineare Theorie. Somit erhält man eine lineare Beziehung zwischen dem Verdrehungswinkel ϕ und der Horizontalkraft H. Theorie II. Ordnung: Nach der Theorie II. Ordnung wird das Gleichgewicht am verformten System aufgestellt. Die Drehwinkel sind klein, so dass gilt: v / A = tan ϕ ≈ ϕ und damit v = ϕ ⋅ A . Das Momentengleichgewicht lautet jetzt:

6.2 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme

473

kϕ ⋅ ϕ = H ⋅ A + V ⋅ v = H ⋅ A + V ⋅ ϕ ⋅ A

Daraus ergibt sich (

kϕ A

− V )⋅ ϕ = H

(6.9)

Eine Druckkraft V wirkt sich abmindernd auf die Steifigkeit aus. Die Kraft-VerdrehungsBeziehung ist aber bei einer vorgegebenen Längskraft V linear. Für ein ausschließlich durch eine Druckkraft belastetes System geht (6.9) in das Stabilitätsproblem über. Es lautet (

kϕ A

− V )⋅ ϕ = 0

und hat die Lösung Vkrit =

kϕ

(6.10)

A

Bei der Last Vkrit tritt Stabilitätsversagen des ausschließlich mit der Kraft V belasteten Systems auf. Theorie III. Ordnung: In der Kinematik des Systems werden endlich große Verschiebungen berücksichtigt. Dadurch wird auch beim starren Stab die auf die unverformte Stabachse projezierte Stablänge im verschobenen Zustand verkürzt. Man erhält aus der Geometrie des verschobenen Zustands nach dem Satz des Phytagoras, Bild 6-7(c): (A − u )2 + v 2 = A 2 → A 2 − 2⋅ u ⋅ A + u 2 + v 2 = A 2 .

Berücksichtigt man nun, dass u 2 klein ist gegenüber u und setzt u 2 ≈ 0 , so erhält man u=

v2 . Die Drehwinkel sind auch bei Theorie III. Ordnung klein, so dass gilt: 2⋅ A

v / A = sin ϕ ≈ ϕ . Damit ergibt sich v = ϕ ⋅ A und damit u =

v2 ϕ2⋅ A . Die Gleichge= 2⋅ A 2

wichtsbedingung lautet: k ϕ ⋅ ϕ = H ⋅ (A − u ) + V ⋅ v = H ⋅ (A −

ϕ2 ⋅ A 2

)+ V ⋅ ϕ⋅ A

Daraus erhält man (2⋅ kϕ − 2⋅ V ⋅ A) A⋅ (2 − ϕ 2 )

⋅ϕ = H.

(6.11)

Die Feder k nach (6.7) hängt vom Winkel ϕ ab. Gleichung (6.11) beschreibt eine nichtlineare Kraft-Verdrehungs-Beziehung.

474

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Theorie IV. Ordnung: In der Theorie IV. Ordnung werden bei der Kinematik keine Näherungen eingeführt. Nach Bild 6-7(d) gilt dann u = A⋅ (1− cos ϕ ) und v = A⋅ sin ϕ . Somit lautet die Gleichgewichtsbedingung kϕ ⋅ ϕ = H ⋅ A⋅ cos ϕ + V ⋅ A⋅ sin ϕ

und man erhält kϕ ⋅ ϕ − V ⋅ A⋅ sin ϕ

ϕ 2 ⋅ A⋅ cos ϕ

⋅ϕ = H.

(6.12)

Gleichung (6.12) beschreibt die nichtlineare Kraft-Verdrehungs-Beziehung unter Berücksichtigung der exakten kinematischen Bedingungen.

a) Theorie I. Ordnung

(b) Theorie II. Ordnung

(c) Theorie III. Ordnung

(d) Theorie IV. Ordnung

Bild 6-7 Systeme zur Bildung des Gleichgewichts nach verschiedenen geometrischen Theorien

Die Gleichungen (6.8) bis (6.12) lassen sich mit den Parametern

ν=

V V⋅ A = Vkrit kϕ

und η =

H H⋅ A = Vkrit kϕ

(6.13)

in dimensionsloser Form darstellen: Theorie I. Ordnung:

ϕ= η

(6.14a)

Theorie II. Ordnung:

(1− ν)⋅ ϕ = η

(6.14b)

Theorie III. Ordnung:

Theorie IV. Ordnung:

2⋅ (1− ν) 2− ϕ 2

⋅ ϕ= η

ϕ − ν⋅ sin ϕ ⋅ ϕ= η ϕ ⋅ cos ϕ

Die Gleichungen (6.14a-d) sind für ν = 0.2 und ν = 0.8 in Bild 6-8 aufgetragen.

(6.14c)

(6.14d)

6.2 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme

η

475

η

ϕ [ 0]

ϕ [ 0]

(a) ν = V / Vkrit = 0.2

η

η

ϕ [ 0]

ϕ [ 0]

(b) ν = V / Vkrit = 0.8

Bild 6-8 Normierte Kraft-Drehwinkel-Beziehungen

Die Abweichungen der Theorie I. Ordnung von den höheren geometrischen Theorien ist bei kleinen Vertikalkräften gering, Bild 6-8(a). Für kleine Drehwinkel führt die Theorie II. Ordnung zu einer deutlichen Verbesserung der Genauigkeit. Erst bei sehr großen Winkeln, wie sie für die Baustatik nicht relevant sind, treten Abweichungen auf. In der Nähe der Stabilitätslast sind die Unterschiede zwischen Theorie I. Ordnung und den höheren Theorien groß und dürfen nicht mehr vernachlässigt werden, Bild 6-8(b). Auch bei den höheren Theorien ist die Größe der Normalkraft von Bedeutung. Während bei kleinen Normalkräften die Abweichungen zwischen Theorie III. und IV. Ordnung selbst bei einem Winkel von 450 noch nicht signifikant sind (Bild 6-8a), treten in der Nähe der Stabilitätslast deutliche Unterschiede zutage (Bild 6-8b). Bei materieller Nichtlinearität, veränderlichen Systemen und allgemeiner geometrischer Nichtlinearität (Theorie III. Ordnung und höher) sind die einfachen Verfahren der Theorie II. Ordnung nicht mehr anwendbar. Vielmehr muss dann das nichtlineare Gleichungssystem (6.2) vollständig gelöst werden. Hierzu sind die in Abschnitt 1.5 behandelten Verfahren geeignet. Die Last wird dabei schrittweise aufgebracht. In jedem Lastschritt werden die Verschie-

476

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

bungs- und Schnittgrößen iterativ, beispielsweise mit dem Newton-Raphson-Verfahren, berechnet. Man kann dies auch als einen Zeitverlauf der Belastung und der sich daraus ergebenden Verschiebung des Systems auffassen. Ein Lastschritt entspricht dann einem Zeitschritt ∆ t . Man ermittelt somit einen Zeitverlauf aller kinematischen und statischen Größen. Diese Betrachtungsweise wird auch als Lagrange’sche Betrachtungsweise bezeichnet (- im Unterschied zur Euler’schen Betrachtungsweise der Fluidmechanik, in der sich der Betrachter mit einem Partikel des Systems mitbewegt und die Zeitverläufe, bezogen auf die Bewegung des Partikel, ermittelt werden). Die statischen und kinematischen Variablen bezieht man häufig auf die Ausgangslage des Systems, Bild 6-9. Man kann aber auch eine der bereits berechneten Konfigurationen des Systems als Bezugskonfiguration verwenden. Üblich ist der Bezug auf die Ausgangskonfiguration oder die Konfiguration im letzten berechneten Belastungsschritt. Man unterscheidet damit zwei Formulierungen: •

Total Lagrange: Bezugskonfiguration ist die Anfangskonfiguration

•

Updated Lagrange: Bezugskonfiguration ist die Konfiguration im letzten Belastungsschritt (Schritt t).

Bei der Updated Lagrange Vorgehensweise formuliert man also die statischen und kinematischen Gleichungen für ein verändertes System, das die Geometrie des verformten Systems im letzten ausiterierten Lastschritt besitzt. Beide mathematischen Formulierungen führen zu den gleichen Ergebnissen und unterscheiden sich lediglich durch ihre numerische Effizienz.

Bild 6-9 Konfigurationen eines Tragwerks

Die nichtlinearen Gleichungen erhält man etwa für Berechungen mit der Newton-RaphsonIteration im k-ten Iterationsschritt in der Total Lagrange Formulierung zu 0 K T (u

( k− 1)

)⋅ ∆ u ( k ) = F − 0 R(u ( k− 1) )

(6.15)

Hierbei bedeuten 0 K T (u ( k− 1) ) , die Tangenten-Steifigkeitsmatrix und 0 R(u ( k− 1) ) , die Widerstandskräfte der Elemente im Verschiebungszustand u ( k− 1) . Der linke untere Index weist auf

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

477

die Bezugskonfiguration zur Zeit 0 hin. In der Updated-Lagrange-Formulierung ist der Index 0 durch t zu ersetzen. F ist der Lastvektor am Ende des betrachteten Lastschrittes. Dabei wurde angenommen, dass die äußeren Kräfte richtungstreu sind. Nicht richtungstreue Lasten erfordern eine Iteration des Lastvektors. Die Gleichungen können leicht für dynamische Berechnungen erweitert werden. Dazu werden die Massenkräfte in den Gleichgewichtsbedingungen mit angeschrieben (vgl. Abschnitt 5.3) und man erhält in der Total-Lagrange-Formulierung: M ⋅ u+ 0 K T (u ( k− 1) )⋅ ∆ u ( k ) = F − 0 R(u ( k− 1) )

(6.16)

In (6.16) wurde vorausgesetzt, dass Dämpfungskräfte vernachlässigt werden können oder in den nichtlinearen Materialgesetzen berücksichtigt werden.

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente 6.3.1 Einleitung Die Steifigkeitsmatrizen nichtlinearer Elemente werden auf der Grundlage einer geometrisch nichtlinearen Theorie hergeleitet. Bei Fachwerk- und Biegebalkenelementen ist in der Praxis meist die Theorie II. Ordnung ausreichend. Lediglich bei Seiltragwerken, die mit Fachwerkelementen unter Ausschluß von Zugbeanspruchungen modelliert werden, ist aufgrund der hier auftretenden großen Verformungen die Theorie III. Ordnung erforderlich. Plattenelemente lassen sich ebenfalls auf der Grundlage der Theorie II. Ordnung formulieren. Modelle mit Plattenelementen nach Theorie II. Ordnung können etwa für Beuluntersuchungen herangezogen werden. Im Folgenden werden für zweidimensionale Systeme das Fachwerkelement nach Theorie III. Ordnung sowie nach Theorie II. Ordnung das Fachwerkelement, mehrere Formulierungen des Biegebalkenelements und ein Plattenelement behandelt. Für geometrisch nichtlineare Scheiben- und Schalenelemente werden die Grundlagen der Formulierung dargestellt. Für ein vertiefendes Studium wird hier auf die Literatur verwiesen, [6.3], [6.4].

6.3.2 Fachwerkstab nach Theorie III. Ordnung Nach Theorie III. Ordnung werden die Gleichgewichtsbedingungen wie nach Theorie II. Ordnung am verformten System aufgestellt. Die Verformungen werden allerdings unter der Annahme großer Verschiebungen ermittelt. Hieraus ergibt sich, dass die Verschiebungen in Stablängsrichtung bei dem System, an dem das Gleichgewicht gebildet wird, erfasst werden. Dies ist bei Theorie II. Ordnung nicht der Fall. Allerdings werden die Drehwinkel des Elements als klein vorausgesetzt. Aus diesem Grund dürfen die Verschiebungen letztlich doch nicht beliebig groß werden, da dann die Annahme für die Winkel verletzt werden kann. Die Theorie setzt weiterhin kleine Dehnungen voraus. Im Folgenden wird die Tangentensteifigkeitsmatrix des Stabes hergeleitet, [6.5], [6.6].

478

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

(a) Verschiebungs- und Kraftgrößen am Element

(b) Kräftegleichgewicht an Punkt 2

Bild 6-10 Fachwerkelement

Zunächst wird die Kinematik des Stabelements betrachtet. In der Ausgangslage hat das Element die Länge A , in der verschobenen Lage A + e . Aus dem Dreieck mit A + e als Hypothenuse und den Projektionen auf die x(lok ) - beziehungsweise y (lok ) -Achse ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras

( A + e )2 = (A + u2 − u1 ) + (v2 − v1 ) 2

2

(6.17)

und daraus e=

(A + u2 − u1 )2 + (v2 − v1 )2 − A

(6.17a)

Die Verlängerung des Elements e = f (u ) ist eine Funktion des Verschiebungsvektors u = ª¬ u1 v1 u2

T v2 º¼

(6.18)

Gleichung (6.17) lässt sich auch schreiben 2 2 2 u −u e 1 § e· 1 ª§ u − u · § v − v · º + ⋅¨ ¸ = 2 1 + ⋅« ¨ 2 1 ¸ + ¨ 2 1 ¸ » A 2 © A¹ A A ¹ © A ¹ »¼ 2 «¬ ©

(6.19)

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

479

Es werden nun kleine Dehnungen vorausgesetzt. Dann kann (e A) gegenüber (e A) vernach2

lässigt werden und man erhält 2 2 e u2 − u1 1 ª § u2 − u1 · § v2 − v1 · º = + ⋅« ¨ ¸ +¨ ¸ » A A 2 «¬ © A ¹ © A ¹ »¼

(6.19a)

§ u − u ·2 §u −u · Weiterhin kann ¨ 2 1 ¸ gegenüber ¨ 2 1 ¸ vernachlässigt werden, wenn gleichzeitig die A ¹ A ¹ © © Drehwinkel klein sind. Man erhält damit aus (6.19) 1 2 e = (u2 − u1 )+ ⋅ (v − v ) 2⋅ A 2 1

(6.20)

Um die Tangentensteifigkeitsmatrix zu formulieren, werden die Gleichungen für kleine Inkremente de und d u angeschrieben. Da die Stabverlängerung e von u1 , v1 , u2 und v2 abhängt, muss das vollständige Differential gebildet werden und man erhält

ª ∂e de = « ¬ ∂u1

∂e ∂v1

∂e ∂u 2

ª du1 º « » ∂e º « dv1 » »⋅ ∂v2 ¼ « du2 » « » ¬ dv2 ¼

und mit (6.20) ª du1 º « » dv1 » de = ¬ª − 1 − ϕ 1 ϕ ¼º⋅« « du2 » « » ¬ dv2 ¼

(6.21)

mit dem Drehwinkel des Elements

ϕ=

v2 − v1 . A

(6.21a)

Hierbei wird vorausgesetzt, dass die Drehwinkel klein sind, so dass tan ϕ ≈ ϕ gilt. Gleichung (6.21) kann auch geschrieben werden de = A⋅ du

(6.22)

A = ¬ª − 1 − ϕ 1 ϕ ¼º

(6.23)

mit

Es wird nun das Gleichgewicht am Stabelement betrachtet. Die Kräftezerlegung der Stabkraft S am Knotenpunkt 2 ergibt (Bild 6.10b):

480

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode Px 2 = S ⋅ cos ϕ

Fy 2 = S ⋅ sin ϕ .

(6.24)

Setzt man unter der Voraussetzung kleiner Drehwinkel näherungsweise cos ϕ = 1 und

sin ϕ = ϕ , erhält man: Fx 2 = S

Fy 2 = S ⋅ ϕ .

(6.24a)

Die Ordnung der Näherung entspricht derjenigen der Kinematik. Mit Fx1 = − Fx 2 und Fy1 = − Fy 2 ist ª « « « « «¬

Fx1 º ª − 1 º » Fy1 » « − ϕ » »⋅ S = « Fx 2 » « 1 » » « » Fy 2 »¼ ¬ ϕ ¼

(6.25)

oder F e = AT ⋅ S .

(6.25a)

Nach der Kinematik und dem Gleichgewicht soll nun der Zusammenhang zwischen den Kräften und den Verschiebungen betrachtet werden. Die Beziehung zwischen der Stabkraft S und der Stabverlängerung e lautet mit der Querschnittsfläche A und mit dem Elastizitätsmodul E S=

E⋅ A ⋅e A

(6.26)

oder S = k0 ⋅ e

(6.26a)

mit k0 =

E⋅ A A

(6.26b)

Setzt man für e die Stabverlängerung nach (6.20) ein, erhält man S=

E⋅ A § 1 2· ⋅¨ (u2 − u1 )+ ⋅ ( v2 − v1 ) ¸ ¹ A © 2⋅ A

(6.27)

beziehungsweise § 1 2· S = k0 ⋅¨ (u2 − u1 )+ ⋅ (v − v ) ¸ © 2⋅ A 2 1 ¹

(6.27a)

Diese Gleichung dient zur Bestimmung der Normalkraft N = S aus bekannten Knotenverschiebungen. Die entsprechenden Knotenkräfte ergeben sich nach (6.25a) und (6.21a) zu

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente ª −1 º « » « − v2 − v1 » § 1 2· « A » ⋅ ( v2 − v1 ) ¸⋅« F e = AT ⋅ S = k0 ⋅¨ (u2 − u1 )+ » © ¹« 1 2⋅ A » « v2 − v1 » «¬ »¼ A

481

(6.28)

Diese Gleichung wird zur Ermittlung der Elementkräfte bei einem gegebenen Verformungszustand nach dem Newton-Raphson-Verfahren verwendet. Zur Formulierung der Tangenten-Steifigkeitsmatrix werden wieder inkrementelle Verschiebungen betrachtet. Für kleine Inkremente de und du gilt nach (6.26a) dS = k0 ⋅ de

(6.29)

und mit (6.22) dS = k0 ⋅ A⋅ du .

(6.30)

Die inkrementellen Knotenkräfte d F e lassen sich, da sowohl A wie auch S von den Knotenverschiebungen abhängen, schreiben AT ⋅ dS + d AT ⋅ S = d F e

(6.31)

Der erste Ausdruck wird mit (6.30)

AT ⋅ dS = AT ⋅ k0 ⋅ A⋅ du = K A ⋅ du .

(6.32)

K A = K L + K III ,

(6.33)

Hierin ist

und ª 1 « 0 K L = k0 ⋅ « «− 1 « ¬ 0

K III

0 − 1 0º » 0 0 0» , 0 1 0» » 0 0 0¼

ª 0 ϕ 0 −ϕ º « » ϕ2 − ϕ − ϕ2 » « ϕ = k0 ⋅ « 0 −ϕ ϕ »» « 0 «¬ − ϕ − ϕ 2 ϕ ϕ 2 »¼

mit ϕ nach (6.21a).

(6.33a)

(6.33b)

482

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Die Matrix K 0 entspricht der Steifigkeitsmatrix (3.3) des Fachwerkstabes nach der geometrisch linearen Theorie I. Ordnung. Der zweite Ausdruck wird mit A nach (6.23) mit (6.21a) ª º 0 « » ª0 0 « − dv2 − dv1 » « 0 S /A « » A d AT ⋅ S = « ⋅ S=« » « 0 0 0 « » « « dv2 − dv1 » S − 0 /A ¬ «¬ »¼ A

0 º ª du1 º » »« 0 − S / A » « dv1 » ⋅ = K G ⋅ du . 0 0 » « du2 » » »« 0 S / A ¼ ¬ dv2 ¼ 0

(6.34)

mit ª0 0 « S 0 /A KG = « «0 0 « ¬ 0 − S /A

ª0 0 0 º » « 0 − S / A» 1 S 0 = ⋅« 0 0 » A «0 0 » « 0 S /A ¼ ¬0 −1 0

0º » 0 − 1» 0 0» » 0 1¼ 0

(6.34a)

mit S nach (6.27). Die Matrix K G wird auch als geometrische Steifigkeitsmatrix bezeichnet und ist, wie in Abschnitt 6.3.3 gezeigt wird, die Matrix, die nach Theorie II. Ordnung berücksichtigt wird. Die Steifigkeitsbeziehung für das Element erhält man mit (6.31-6.33) und (6.34) zu

K T ⋅ du = d F e

(6.35)

Die Tangenten-Steifigkeitsmatrix K T = K L + K G + K III

(6.35a)

setzt sich aus dem linearen Anteil K 0 , der geometrischen Steifigkeitsmatrix K G nach Theorie II. Ordnung sowie dem Anteilen K AN nach Theorie III. Ordnung zusammen. Fasst man die nichtlinearen Terme der Tangentensteifigkeitsmatrix K T zur Matrix K NL zusammen, erhält man: K T = K L + K NL

(6.36)

Hierin ist ª 1 « E⋅ A « 0 ⋅ KL = A «− 1 « ¬ 0

0 − 1 0º » 0 0 0» , 0 1 0» » 0 0 0¼

Und mit K NL = K G + K III

und (6.34a), (6.27) und (6.33b) und (6.21)

(6.33a)

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

483

ª º v2 − v1 v −v 0 0 − 2 1 « » A A « » 2 § § v − v ·2 u − u · » « v −v § · v v u u v v − − − 3 3 « 2 1 ⋅¨ 2 1 ¸ + 2 1 − 2 1 − ¨¨ ⋅¨ 2 1 ¸ + 2 1 ¸¸ » A A A A ¹» 2© A ¹ « ©2© A ¹ ». K NL = ko ⋅« v2 − v1 v2 − v1 « » − 0 0 « » A A « » § § v − v ·2 u − u · v − v « v −v § v2 − v1 ·2 u2 − u1 » 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 ¸ «− » − ¨¨ ⋅¨ ⋅¨ ¸ + ¸ + A A ¸¹ A A 2© A ¹ ©2© A ¹ ¬« ¼»

(6.37) Mit der Tangenten-Steifigkeitsmatrix (6.36), der Beziehung (6.28) zur Ermittlung der Elementkräfte aus den Elementverschiebungen und der Schnittgrößenbeziehung (6.27) stehen alle Beziehungen zur Verfügung, um eine iterative nichtlineare Berechnung beispielsweise nach Newton-Raphson durchzuführen und die Normalkräfte im Element zu bestimmen.

6.3.3 Fachwerkstab nach Theorie II. Ordnung Bei der Theorie II-ter Ordnung werden kleine Verschiebungen vorausgesetzt. Die Gleichgewichtsbedingungen werden aber am verformten System aufgestellt. Nach Bild 6-11(c) gilt unter Berücksichtigung der Verschiebungen für das Momentengleichgewicht am Stab V ⋅ A = S x ⋅ (v2 − v1 )

beziehungsweise V=

Sx ⋅ (v2 − v1 ) A

(6.38)

Hieraus ergeben sich mit Fy1 = − Fy 2 = − V die Stabendkräfte zu ª « « « « ¬«

Fx1 º ª0 0 » « Fy1 » Sx « 0 1 = Fx 2 » A«0 0 » « Fy 2 ¼» ¬0 −1

0 º ª u1 º »« » 0 − 1» « v1 » . ⋅ 0 0 » « u2 » »« » 0 1 ¼ ¬ v2 ¼ 0

(6.39)

Die Matrix beschreibt den Zusammenhang zwischen den Stabendkräften und den Verschiebungen infolge des Gleichgewichts am verschobenen Stabelement und wird als geometrische Steifigkeitsmatrix bezeichnet. Addiert man dazu die Steifigkeitsmatrix nach Theorie I. Ordnung (3.3), die sich aus der Steifigkeit des Stabes ergibt, erhält man

484

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

§ ª 1 ¨ « ¨ E⋅ A « 0 ¨ A ⋅« − 1 ¨ « ¨ ¬ 0 © oder

ª0 0 0 − 1 0º » « 0 0 0» Sx « 0 1 + 0 1 0» A «0 0 » « 0 0 0¼ ¬0 −1

( K e + K G )⋅ ue = F

.

0º » 0 − 1» 0 0» » 0 1¼ 0

· ª u1 º ª ¸« » « ¸ « v1 » « ¸⋅ « u » = « ¸ « 2» « ¸¬v ¼ « ¹ ¬ 2

Fx1 º » Fy1 » Fx 2 » » Fy 2 »¼

(6.40)

(6.40a)

Die Steifigkeitsbeziehungen setzen sich also aus der Steifigkeitsmatrix nach Theorie I. Ordnung und der geometrischen Steifigkeitsmatrix zusammen. Die Matrix K G gibt die Kräfte quer zur Stabrichtung infolge des Versatzmomentes der Längskräfte aus Theorie II-ter Ordnung wieder. Bei Stützen wird dies auch als P-∆-Effekt bezeichnet, wobei mit P eine Stabdruckkraft und mit ∆ = v2 − v1 der Versatz der Normalkräfte gemeint ist. Dieselbe Steifigkeitsbeziehung erhält man auch nach der Vorgehensweise nach Abschnitt 6.3.2, wenn man in (6.20) kleine Verschiebungen voraussetzt und schreibt e = (u2 − u1 ) . Die Stabkraft wird damit entsprechend (6.27) wie beim Stab nach Theorie I.Ordnung (vgl. (3.2)) S=

E⋅ A ⋅ (u2 − u1 ) A

und mit (6.25a) erhält man die Stabendkräfte zu F e = AT ⋅ S =

E⋅ A ⋅ (u2 − u1 )⋅ AT A

Setzt man nun in den Termen, die der geometrischen Steifigkeitsmatrix entsprechen E⋅ A Sx ≈ S = ⋅ (u2 − u1 ) ein, erhält man die Steifigkeitsbeziehung (6.40). A

Bild 6-11 Fachwerkelement nach Theorie II. Ordnung

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

485

Beispiel 6.2: Von-Mises-Fachwerk

Für das in Bild 6.12 dargestellt Fachwerk sind die nichtlinearen Gleichungen nach Theorie III. Ordnung aufzustellen und für folgende Zahlenwerte zu lösen: A= 6 m ,

h = 0.4 m ,

E = 210000 MN / m2 ,

A = 0.03 m 2

Der Neigungswinkel ergibt sich damit zu α = arcsin ( h / A ) = 3.8D . Aufgrund der Symmetrie des Systems genügt die Betrachtung eines einzigen Stabes. Weiterhin gelten folgende Auflagerbedingungen: u1 = 0 , v1 = 0 , u2 = 0

Für die iterative Berechung nach Newton-Raphson werden die Tangenten-Steifigkeitsmatrix sowie der Vektor der Elementkräfte bei einem vorgegebenen Verschiebungszustand benötigt. Beide Elementgrößen sind nach (6.36) beziehungsweise (6.28) in lokalen Koordinaten gegeben und müssen in globale Koordinaten transformiert werden. Um den Schreibaufwand zu (lok )

verringern werden die Auflagerbedingungen u1

(lok )

= v1

= 0 , die sich aus u1 = v1 = 0 er-

geben, bereits beim Aufstellen der Systemgleichungen berücksichtigt.

Bild 6-12 Von Mises Fachwerk

Die Tangentensteifigkeitsmatrix des Elements erhält man damit gemäß (6.36), 6.33a) und (6.37) in lokalen Koordinaten zu

486

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode ª « 1 E⋅ A « (lok ) KT = ⋅« A « v(lok ) 2 « ¬« A

º » » A » 2 (lok ) · (lok ) » v2 u ¸ + 2 » ¸ A ¹ A ¼» (lok )

v2

§ 3¨ ⋅ 2 ¨©

(6.41)

Die Verschiebungen lassen sich mit (3.4) transformieren: ª u (lok ) º ª cos(α ) sin(α ) º ª u º « »= « »⋅« » «¬ v (lok ) »¼ ¬ − sin(α ) cos(α ) ¼ ¬ v ¼

(6.42)

wobei die Transformationsmatrix ª cos( α ) sin(α ) º T = « » ¬ − sin(α ) cos(α ) ¼

(6.42a)

auf einen Punkt mit 2 Freiheitsgraden bezogen ist. Die Transformation der Tangentensteifigkeitsmatrix (6.42) in globale Koordinaten erfolgt entsprechend (3.4) für die 2x2-Matrix zu T (lok ) K T = T ⋅ K T ⋅ T .

(6.43)

Die Terme der Matrix K T ergeben sich zu § · § § (lok ) ·2 (lok ) (lok ) · ¸ v2 u ¨ 3 ¨ v2 ¸ E⋅ A ¨ 2 2 2 2 ¸ + k T ,11 = ⋅¨ cos ( α ) − ⋅ cos ( α )+ sin ( α )⋅ cos ( α ) + ¨ ⋅ ⋅ sin ( α )¸ A ¨ A A ¸¸ ¨ 2 ¨© A ¸¹ ¸ © ¹ © ¹ § (lok ) · § § (lok ) ·2 u (lok ) · ¸ ¨ ¸ 3 ¨ v2 E ⋅ A ¨ v2 2 2 2 ¸ ⋅¨ ⋅ cos ( α ) − sin ( α ) + ¨ 1+ ⋅ + ⋅ sin ( α )⋅ cos ( α )¸ k T ,12 = k T ,21 = ¸ ¨ ¸ A ¨ A A ¸ 2© A ¹ ¨ ¸ © ¹ © ¹ § · § § (lok ) ·2 (lok ) (lok ) · ¸ v2 u2 ¸ ¨ 3 ¨ v2 ¸ E⋅ A ¨ 2 2 k T ,22 = ⋅¨ sin ( α )+ 2⋅ ⋅ sin ( α )⋅ cos ( α )+ ¨ ⋅ + ⋅ cos ( α )¸ (6.43a) ¸ ¨ ¸ A ¨ A A ¸ ¨2© A ¹ ¸ © ¹ © ¹

(

(

)

)

In der entsprechenden Steifigkeitsbeziehung nach (6.35) ª kT ,11 kT ,12 º ª du2 º ª dFx 2 º » « »⋅« »= « ¬ kT ,21 kT ,22 ¼ ¬ dv2 ¼ ¬ dFy 2 ¼

(6.44)

ist aufgrund der Symmetrie die Verschiebung du1 = 0 . Damit verbleibt als einzige Gleichung kT ,22 ⋅ dv2 = dFy 2 .

(6.44a)

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

487

Ersetzt man nun mit Hilfe der Transformationsbeziehungen (6.42) die lokalen Verschiebungen u (lok ) , v (lok ) durch die globalen Verschiebungen u, v , erhält man KT 2,2 =

§ § v E⋅ A ¨ 2 ⋅¨ sin (α ) + 3⋅ 2 ⋅ sin(α )⋅ cos 2 (α ) + ¨ © A © A

2 · 3 · § v2 · 4 ¸ ⋅ ⋅ cos ( ) α ¸¨ ¸ ¸ 2¹ © A ¹ ¹

(6.45)

Setzt man die Zahlenwerte ein, ist KT 2,2 = 4.67 + 34.84⋅ v2 + 43.36⋅ v22

Weiterhin benötigt man die nichtlinearen Elementkräfte bei einem vorgegebenen Verschiebungszustand. Man erhält sie aus (6.28) in lokalen Koordinaten zu Unter Berücksichtigung der Auflagerbedingungen ist ª º −1 « » (lok ) (lok ) « v2 − v1 » − « » 2 § · 1 E⋅ A A (lok ) (lok ) (lok ) (lok ) » F= ⋅¨ u2 − u1 + ⋅ v2 − v1 ¸⋅« 1 2⋅ A A © ¹« » « (lok ) (lok ) » « v2 − v1 » ¬« ¼» A

(

ª « « ¬

)

(

)

ª 1 º » = E ⋅ A ⋅§¨ u (lok ) + 1 ⋅ (v(lok ) )2 ·¸⋅« (lok ) » » (lok ) ¹ «« v2 2⋅ A 2 A © 2 Fy 2 »¼ ¬ A »¼ (lok ) º

Fx 2

T und in globalen Koordinaten nach Multiplikation mit T

ª « ¬

ª º 1 Fx º ª cos(α ) − sin(α ) º E ⋅ A § ·« 1 » 2 2 ⋅ ⋅¨ v ⋅ sin(α ) + ⋅ v ⋅ cos (α ) ¸⋅« v ⋅ cos(α ) » »= Fy ¼ «¬ sin(α ) cos(α ) »¼ A © 2 ¹ 2 2⋅ A 2 ¬« ¼» A

und damit Fy =

· E⋅ A § 3 1 ⋅¨ v2 ⋅ sin 2 (α ) + v22 ⋅ ⋅ sin(α )⋅ cos 2 (α ) + v23 ⋅ ⋅ cos 4 (α ) ¸ 2 2⋅ A A © ¹ 2⋅ A

(6.46)

Diese Kraft stellt die Antwort des Elements R y ( v2 ) = Fy ( v2 ) bei einer gegebenen Verschiebung dar. Mit Zahlenwerten erhält man Fy = R y = 4.67⋅ v2 + 17.42⋅ v22 + 14.45⋅ v23

Die Iterationsgleichungen für das Newton-Raphson-Verfahren nach (6.15) ist damit

488

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

( (k− 1) )⋅ ∆ v2(k ) = Fy 2 − Ry (v2(k− 1) )

kT ,22 v2 (k )

v2

( k− 1)

= v2

(k )

+ ∆ v2

(6.47) (6.47a)

In Zahlenwerten erhält man für eine Last von Fy 2 = − 0.35 MN in 4 Iterationsschritten die Verschiebung v2 zu: Iterationsschritt

v2

[m]

1

-0.075

2

-0.115

3

-0.133

4

-0.137

5

-0.138

6

-0.138

Nach Theorie II. Ordnung lautet die Steifigkeitsbeziehung für das Stabelement nach (6.40)

ª E⋅ A « « A « «¬ 0

º 0 » ª º ªF º u » ⋅ « 2 » = « x2 » S x » ¬ v2 ¼ ¬ Fy 2 ¼ A »¼

(6.48)

und mit S x = − P / sin ( α ) nach der Koordinatentransformation § E⋅ A · P ¨ ⋅ sin 2 ( α ) − ⋅ cos 2 ( α ) ¸⋅ v2 = − P . sin ( α )⋅ A © A ¹

(6.48a)

Entsprechend erhält man nach Theorie I. Ordnung mit S x = 0 § E⋅ A · ⋅ sin 2 (α ) ¸⋅ v2 = − P ¨ © A ¹

(6.48b)

Die Beziehungen zwischen der Verschiebung − v2 und der Kraft − P lassen sich für eine Wegsteuerung mit Hilfe von (6.46), (6.48a) und (6.48b) ermitteln, Bild 6-13. Die Theorie I. Ordnung gibt die Anfangssteifigkeit wider. Die Theorie II. Ordnung entspricht einer verbesserten Anfangssteifigkeit. Sie bleibt aber wegen der Annahme, dass die Normalkräfte in der geometrischen Steifigkeitsmatrix denjenigen nach Theorie I-Ordnung entsprechen, eine lineare Theorie. Erst die Theorie III. Ordnung gibt bei großen Verformungen das Verhalten des Tragwerks zutreffend wider. Bis zu einer Verschiebung v2 = 0.17 m ist eine Laststeigerung möglich. Danach kommt es zum „Durchschlagen“ und das Stabwerk findet sich in einer neuen Gleichgewichtslage bei v2 = 0.8 m bei einer Last von P = 0 wieder. In den Zwischenlagen sind die aus Bild 6-13 ablesbaren Kräfte zur Stablisierung der jeweiligen Lage erforderlich. Bei einer weiteren Erhöhung der Verschiebungen steigen die Kräfte wieder an.

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

489

Bild 6-13 Kraft-Verschiebungsverlauf beim Von-Mises Fachwerk

6.3.4 Biegebalken nach Theorie II. Ordnung Der Biegebalken nach Theorie II. Ordnung lässt sich mit Näherungsverfahren aber auch analytisch behandeln. Man kann zwischen folgenden Ansätzen unterscheiden: Biegebalkenelemente nach Theorie II. Ordnung

•

Biegebalken mit P-∆-Effekt

•

Biegebalken als Finites Element mit kubischen Verschiebungsansätzen

•

Biegebalken nach der exakten Lösung der Differentialgleichung o

Lösung mit transzendenten Funktionen

o

Lösung mit Reihenentwicklungen

Während bei den ersten beiden Ansätzen ein Diskretisierungsfehler auftritt, ist die letztere Lösung exakt, d. h. die Ergebnisse sind von der Elementgröße unabhängig. Im Folgenden werden die Steifigkeitsmatrizen für den Fall des unbelasteten Stabes angegeben. Die entsprechenden Elemente des Elementlastvektors für Elementlasten wie Streckenlasten und auf das Element wirkende Einzellasten können der Literatur entnommen werden. Es können auch Imperfektionen, also ungewollten Abweichungen des Tragwerkes von der geplanten Geometrie (z. B. Schiefstellung von Stützen) und die Vorverformungen von Bauteilen (z. B. Krümmung von Druckstäben) berücksichtigt werden.

490

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

A

Bild 6-14 Biegebalkenelement

Element mit P-∆-Effekt Das Biegebalkenelement mit P-∆-Effekt enthält eine äußerst vereinfachte Beschreibung des Einflusses der Theorie II. Ordnung. Wie beim Fachwerkelement nach Theorie II.Ordnung wird hier lediglich das Versatzmoment nach (6.38) angesetzt, Bild 6-11. Die Steifigkeitsmatrix setzt sich aus der Steifigkeitsmatrix (3.14) nach Theorie I. Ordnung und der geometrischen Steifigkeitsmatrix entsprechend (6.39) zusammen: § ª A/ I 0 0 0 − A/ I ¨ « 2 ¨ 12 / A 6/A 0 − 12 / A 2 « 0 ¨ « 6/A 4 0 − 6/A ¨ E⋅ I « 0 ¨ A « − A/ I A/ I 0 0 0 ¨ « ¨ − 12 / A 2 − 6 / A 0 12 / A 2 « 0 ¨ « − 6/A 6/A 2 0 ¬ 0 ¨ ¨ ª0 0 0 ¨ « ¨ «0 1 0 ¨ S «0 0 0 ¨ + x« ¨ A «0 0 0 ¨ «0 −1 0 ¨ « ¨ ¬0 0 0 ©

( K 0 + K G )⋅ u e =

Fe

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ª u º ª Fx1 º ¸ « 1» « » ¸ « v1 » « Fy1 » ¸ « » » « ¸ ⋅ « ϕ1 » = « M z1 » ¸ 0 0 º¸ « u2 » « Fx 2 » » » « » « − 1 0 »¸ « v2 » « Fy 2 » ¸ « » 0 0 »¸ ¬« ϕ 2 ¼» ¬ M z 2 ¼ »¸ 0 0» ¸ 1 0 »¸ » 0 0 ¼¹¸

0 º » 6/A » 2 »» 0 » » − 6 / A» » 4 ¼ 0 0 0 0 0 0

(6.49)

(6.49a)

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

491

Die Stablängskraft S x ist die Normalkraft nach Theorie I. Ordnung, die vorab bestimmt werden muss.

Finites Element mit kubischen Verschiebungsansätzen Eine wesentlich genauere Näherungslösung erhält man mit einem Finite-Element-Ansatz ähnlich wie bei Flächentragwerken [6.7]. Hierzu wählt man als Ansatzfunktion der Verschiebungen ein Polynom dritten Grades. Dieses entspricht der Biegelinie des Biegebalkens (ohne Streckenlasten) nach Theorie I. Ordnung. Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen erhält man die Steifigkeitsmatrix nach [6.8], [6.9] zu § · ª A/ I 0 0 − A/ I 0 0 º ¨ ¸ « » ¨ ¸ 12 / A 2 6/A 0 − 12 / A 2 6 / A » « 0 ¨ ¸ « 0 » 6/A 4 0 2 » − 6/A ¨ E⋅ I « ¸ ¨ A « − A/ I ¸ 0 0 A/ I 0 0 » ª º ¨ ¸ ª u1 º « Fx1 » « » « » 2 2 ¨ ¸ 0 12 / A − 12 / A − 6 / A − 6 / A» « 0 v « Fy1 » ¨ ¸ « 1» « « » » 6/A 2 0 4 ¼ − 6/A ¬ 0 ¨ ¸ « ϕ1 » « M z1 » (6.50) « » ⋅ = ¨ ¸ ª0 º¸ « u2 » « Fx 2 » 0 0 0 0 0 ¨ « » « » ¨ 0 6/5 0 − 6/5 A /10 A /10 »¸ «« v2 »» « Fy 2 » « ¨ ¸ » « » « » « 2 2 ¨ S x « 0 A /10 2⋅ A /15 0 − A /10 − A / 30 »¸ ¬ ϕ 2 ¼ ¬ M z 2 ¼ + ¨ ¸ »¸ 0 0 0 0 0 A «0 ¨ « » ¨ − A /10 »¸ « 0 − 6 / 5 − A /10 0 6 / 5 ¨ ¸ « » ¨ ¬ 0 A /10 − A 2 / 30 0 − A /10 2⋅ A 2 /15 ¼¸¹ ©

( K 0 + K G )⋅ u e =

Fe

(6.50a)

Auch hier lässt sich die Steifigkeitsmatrix in einen Anteil aus Theorie I. Ordnung und eine geometrische Steifigkeitsmatrix aufspalten. Diese enthält die Stablängskraft S x als Vorfaktor. Bei Stabilitätsuntersuchungen wird S x vorab für eine vorgegebene Lastkomination, die ausschließlich Normalkräfte hervorruft, bestimmt. Danach wird die λ -fache Lastkombination betrachtet und es werden die Eigenwerte λ nach (6.5) bestimmt. Da die Einflüsse nach Theorie II. Ordnung sich als geometrische Steifigkeitsmatrix mit dem Vorfaktor λ ausdrücken lassen, erhält man ein algebraisches Eigenwertproblem, das mit den in Abschnitt 1.4 angegebenen Verfahren gelöst werden kann. Die Matrix für die Elementschnittgrößen erhält man analog wie bei Theorie I. Ordnung (vgl. Abschnitt 3.4) aus der Steifigkeitsmatrix, wobei hier jedoch zwischen den Querkräften, die senkrecht zur verformten Stabachse stehen, und den Transversalkräften, die senkrecht zur unverformten Stabachse stehen, zu unterscheiden ist.

492

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Element mit der analytischen Lösung der Differentialgleichung Grundlage der exakten Steifigkeitsmatrix nach Theorie II. Ordnung ist die Lösung der Differentialgleichung. Hierzu wird das Gleichgewicht am infinitesimalen Element des verformten Systems gebildet. Sie lautet für den ebenen, schubstarren Biegebalken, Bild 6-15 d 4v

Sx d 2v q . − ⋅ 2=− 4 EI dx EI dx

(6.51)

Bild 6-15 Infinitesimales Element eines Biegebalkenelements

Mit den entsprechenden Randbedingungen erhält man die Schnitt- und Verschiebungsgrößen. Aus diesen lässt sich ähnlich wie beim Balken nach Theorie erster Ordnung die Steifigkeitsmatrix des Balkens herleiten. Man erhält [6.10]: ª A/I 0 « 2⋅ ( A + B ) P « − « 0 EI A2 « « ( A+ B ) « 0 E⋅ I « A 0 L « − A/I « 2⋅ ( A + B ) P « − + « 0 EI A2 « « ( A+ B ) «¬ 0 A

0

− A/I

( A+ B ) A

0

A

0

0

A/I

−

( A+ B ) A B

0 0

0 −

2⋅ ( A + B ) A2 −

A2 −

+

P EI

( A+ B ) A 0

2⋅ ( A+ B )

º » ( A+ B ) » » A » » B » »⋅ » 0 » ( A+ B ) » − » A » » A »¼ 0

−

( A+ B ) A

P EI

ª Fx1 º ª u1 º « » « » « Fy1 » « v1 » «M » « ĳ1 » « » = « z1 » « Fx2 » « u2 » « » «v » « Fy2 » « 2» «¬ M »¼ «¬ ĳ2 »¼ z2

(6.52) Die Funktionen A, B hängen von der Stabkennzahl İ = A⋅

Sx

(6.53)

E⋅ I

ab. Sie lauten im Fall einer Druckkraft, d. h. für S x < 0

A=

İ ⋅ sin İ − İ 2 ⋅ cos İ , 2⋅ (1− cos İ)− İ ⋅ sin İ

B=

İ 2 − ε ⋅ sin İ , 2⋅ (1− cos İ)− İ ⋅ sin İ

(6.54a)

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

493

und im Fall der Zugkraft, d. h. für S x > 0 A=

İ ⋅ sinh ( İ ) − İ 2 ⋅ cosh ( İ )

2⋅ ( cosh ( İ ) − 1 ) − İ ⋅ sinh ( İ )

B=

,

İ 2 − İ ⋅ sinh ( İ )

2⋅ ( cosh ( İ ) − 1) − İ ⋅ sinh ( İ )

.

(6.54b)

und ohne Stablängskräfte mit S x = 0

A= 4 , B = 2 .

(6.55)

Die Stablängskraft ist hier in der Stabkennzahl enthalten. Die explizite Formulierung einer geometrischen Steifigkeitsmatrix ist daher nicht möglich. Bei Stabilitätsuntersuchungen erhält man kein algebraisches sondern ein transzendentes Eigenwertproblem. Dessen Lösung ist erheblich aufwendiger als beim algebraischen Eigenwertproblem. Daher wird bei Stabilitätsuntersuchungen meistens die Näherungslösung (6.50) verwendet.

Element mit Reihenentwicklungen nach Rubin Die analytische Lösung lässt sich auch als Reihenentwicklung angeben. Dies hat den Vorteil, dass die Lösung auch bei kleinen Normalkräften stabil ist und zwischen Zug- und Druckkräften nicht unterschieden werden muss. In der Darstellung nach Rubin werden die Funktionen xj j!

a j ( x) =

(6.56)

und b j ( x) nach Tabelle 6-2 definiert, [6.11]. Die Funktion b j ( x) hängt vom Parameter K und vom Beiwert f=

K

(6.56a)

ab. Bei Theorie I. Ordnung ist der Parameter K=0, bei Theorie II. Ordnung ist K > 0 für Zugbeanspruchung und K < 0 für Druckbeanspruchung. Die Funktion b j ( x) lässt sich als Reihenentwicklung angeben zu ∞

b j ( x) = a j ( x) +

¦ K k ⋅ a j+ 2⋅ k

(6.57)

k= 1

Tabelle 6-2 Funktionen b j ( x) K K>0

K<0 K=0

bo=

cosh( f ⋅ x)

cos( f ⋅ x)

b1=

b2, b3…

sinh( f ⋅ x) f sin( f ⋅ x) f

bj = a j

bj =

b j− 2 − a j− 2 K

494

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Ein Struktogramm zur numerischen Berechnung von b j ( x) ist in Tabelle 6-3 angegeben. Bei numerischen Berechnungen wird die Darstellung als Reihenentwicklung bevorzugt, da sie numerische Schwierigkeiten, wie sie in der analytischen Lösung bei kleinen Normalkräften auftreten können, vermeidet. Die Genauigkeit wird durch den Wert ε gesteuert. In der Regel sollte ε = 10− 9 bis ε = 10− 15 gewählt werden. Tabelle 6-3 Struktogramm zur Berechnung der Funktionen b j (x) Eingabewerte bj = β = a j ,

K , x, j s= j

s = s+ 2 β = β⋅

K ⋅ x2 s ⋅ ( s − 1)

bj = bj + β

wiederhole bis

β ≤ bj ⋅ ε

b j ausgeben

Die Steifigkeitsmatrix des schubweichen, zweidimensionalen Stabes nach Theorie II. Ordnung lautet damit nach [6.11]

ª k0 0 0 − k0 0 0 º « » k3 k2 0 − k3 k2 » « 0 « 0 k2 k1 0 − k2 k4 » « »⋅ k0 0 0 0 0 » « − k0 « 0 −k −k k3 − k2 » 0 3 2 « » k2 k4 0 − k2 k1 ¼» ¬« 0

mit

und

ª u1 º ª Fx1 º « » « F » « v1 » « y1 » « ϕ1 » « M z1 » » « » = « « u2 » « Fx 2 » « v » « F » « 2 » « y2 » ¬« ϕ 2 ¼» «¬ M z 2 »¼

k0 =

E⋅ A , A

k1 =

§ ·· E⋅ I § E⋅ I ⋅¨¨ A⋅ b2 − ¨ b3 − ⋅ b1 ¸¸¸ , C © G ⋅ As © ¹¹

k3 =

E ⋅ I b1 ⋅ , C γ

k4 =

· E⋅ I § E⋅ I ⋅¨ b3 − ⋅ b1 ¸ C © G ⋅ As ¹

γ=

§ · E⋅ I 1 , C = γ ⋅ b22 − b1 ⋅¨ b3 − ⋅ b1 ¸ , Sx G ⋅ As © ¹ 1+ G⋅ As

(6.58)

k2 =

E⋅ I ⋅ b2 , C

(6.58a)

K = γ⋅

Sx . E⋅ I

(6.58b)

Hierin bedeuten As die Schubfläche und G der Schubmodul des Stabes. In [6.11] werden auch die entsprechenden Steifigkeitsmatrizen für Stäbe mit einem Gelenk am Stabende angegeben.

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

495

Beispiel 6.3: Stab nach Theorie II. Ordnung

Für den in Bild 6-16 dargestellten Stab ist nach Theorie I. und II. Ordnung die Durchbiegung in Stabmitte zu ermitteln. Der Stab ist in zwei Elemente zu diskretisieren. Die Stabkennwerte sind in beiden Elementen gleich.

Bild 6-16 Stab mit Längskraft

Für Element 1 erhält man nach Theorie II. Ordnung, wenn man die Auflagerbeziehung v1 = 0 bereits bei der Elementsteifigkeitsmatrix berücksichtigt, nach (6.50) die Elementbeziehung § ª A/ I 0 0 0 º − A/ I ¨ « » 4 0 2 » − 6/A ¨ « 0 ¨ E⋅ I « − A / I 0 A/ I 0 0 » ¨ A « » ¨ « 0 0 12 / A 2 − 6 / A » − 6/A ¨ « » 2 0 4 ¼ − 6/A ¬ 0 ¨ ¨ ª0 º 0 0 0 0 ¨ « » ¨ 2 2 « 0 2⋅ A /15 0 − A /10 − A / 30 » ¨ P« » ¨ 0 0 0 0 − «0 » A ¨ « 0 − A /10 0 6 / 5 − A /10 » ¨ « » ¨ ¬« 0 − A 2 / 30 0 − A /10 2⋅ A 2 /15 ¼» ©

· ¸ ¸ ¸ ª F (1) º ¸ « x1 » ª º u ¸ 1 « M (1) » « » ¸ z1 ϕ ¸ « 1 » « (1) » « « » ¸ ⋅ u2 = Fx 2 » ¸ « v » « (1) » ¸ « 2 » « Fy 2 » » ¸ «¬ ϕ 2 »¼ « « (1) » ¸ ¬ M z2 ¼ ¸ ¸ ¸ ¹

Entsprechend erhält man für Element 2 mit u3 = v3 = ϕ 3 = 0 § ª A/ I 0 ¨ E⋅ I « ¨ ⋅« 0 12 / A 2 ¨ A « ¨ 6/A ¬ 0 ©

ª0 º 0 º 0 0 » » P« A /10 » 6 / A » − ⋅« 0 6 / 5 A « » 4 »¼ ¬ 0 A /10 2⋅ A 2 /15 ¼

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

ª (2) º ª u2 º « Fx 2 » « » (2) ⋅ « v2 » = « Fy 2 » . « » ¬« ϕ 2 ¼» « (2) » ¬ M z2 ¼

496

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Hierbei wurde eine Berechnung nach Theorie I. Ordnung, die in der Regel vorab durchzuführen ist, bereits vorweggenommen und deren Ergebnis, nämlich dass die Normalkraft hier in beiden Stäben S x = − P beträgt, bei der geometrischen Steifigkeitsmatrix eingesetzt. Überlagert man die beiden Elementmatrizen zur Systemsteifigkeitsmatrix, erhält man das Gleichungssystem § ª A/ I 0 0 − A/ I ¨ « − 0 4 0 6 /A ¨ « ¨ E⋅ I « − A / I 0 2⋅ A / I 0 ¨ A « ¨ « 0 − 6/A 0 24 / A 2 ¨ « 2 0 0 ¬ 0 ¨ ¨ ª0 0 0 ¨ « ¨ 2 « 0 2⋅ A /15 0 ¨ P« ¨ 0 0 − «0 A ¨ « 0 − A /10 0 ¨ « ¨ ¬« 0 − A 2 / 30 0 ©

0º » 2» 0» » 0» » 8¼ º » − A /10 − A / 30 » » 0 0 » » 12 / 5 0 » 0 4⋅ A 2 /15 ¼» 0

0

2

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ª u1 º ª P º ¸ «ϕ » « 0 » » ¸ « 1» « ¸ ⋅ « u2 » = « 0 » . (6.59) » « » ¸ « ¸ « v2 » « − F » ¸ «¬ ϕ 2 »¼ «¬ 0 »¼ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

Aufgrund der Geometrie des Systems sind die Gleichungen für die Längsverschiebungen des Stabes u1 und u2 von den übrigen Freiheitsgraden entkoppelt. Mit den Werten E = 2,1⋅ 108 kN / m2 , I = 5700 cm4 , A = 78 cm2 , l = 3m , P = 2500 kN , F = 20 kN erhält man §ª 546.7 0 0 0 º − 546.7 ¨« » 0 15.96 0 − 7.98 7.98 » ¨« ¨« − 546.7 0 1093.4 0 0 » ⋅ 103 ¨« » 0 0 10.64 0 » ¨« − 7.98 ¨« 0 7.98 0 0 31.92 »¼ ¨¬ ¨ ª0 0 0 0 0 º ¨ « » 1 0 − 0.25 − 0.25 » ¨ «0 ¨ 0 0 0 0 »⋅ 103 − «0 ¨ « » ¨ 2 0 » « 0 − 0.25 0 ¨ «¬ 0 − 0.25 0 0 2 »¼ ©

und hieraus die Lösung zu ª u1 º ª 9.146 º « » « » « ϕ1 » « − 3.096 » « u2 » = « 4.573 »⋅ 10− 3 « » « » « v2 » « − 5.084 » «¬ ϕ »¼ «¬ 0.851 »¼ 2

(Verschiebungen in [m]).

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

ª u1 º ª 2500 º « » « » « ϕ1 » « 0 » ⋅ « u2 » = « 0 » « » « » « v2 » « − 20 » «¬ ϕ »¼ «¬ 0 »¼ 2

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

497

Als Schnittgrößen sollen hier exemplarisch die Biegemomente in den Punkten 2 und 3 betrachtet werden. Man erhält sie am Element 2 aus der Elementsteifigkeitsmatrix nach (6.50) und Bild 6-14 zu:

§ E⋅ I · ⋅¬ª 0 6 / A 4 0 − 6 / A 2 ¼º ¨ ¸ A ¸⋅ −¨ Pª ¨ ¸ 2 2 º ¨ − ⋅¬ 0 A /10 2⋅ A /15 0 − A /10 − A / 30 ¼¸ © ¹ A

§ E⋅ I · ¬ª 0 6 / A 2 0 − 6 / A 4 ¼º ¨ ¸ ¨ A ¸⋅ Pª ¨ ¸ 2 2 º ¨ − ¬ 0 A /10 − A / 30 0 − A /10 2⋅ A /15 ¼¸ © ¹ A

ª u2 º « » « v2 » « ϕ2 » « » = M2 « u3 » « v » « 3» ¬« ϕ3 ¼» ª u2 º « » « v2 » « ϕ2 » « » = M3 « u3 » « v » « 3» ¬« ϕ3 ¼»

Mit den angegebenen Zahlenwerte erhält man M 2 = 26.56 kNm und M3 = − 32.29 kNm . Die Ergebnisse nach Theorie I. Ordnung erhält man, wenn man im Gleichungssystem für das P = 0 setzt, d. h. die geometrische Steifigkeitsmatrix nicht berücksichtigt. Anstelle der Steifigkeitsmatrix mit dem Näherungsansatz nach (6.50) können auch der vereinfachte Ansatz nach (6.49) oder die analytischen Lösungen nach (6.52) beziehungsweise (6.58) verwendet werden. Die Ergebnisse nach den unterschiedlichen Ansätzen sind in Tabelle 6-4 zusammengestellt. Tabelle 6-4 Ergebnisse des Berechnungsbeispiels Theorie II. Ordnung Theorie I. Ordnung

Näherung mit Näherung mit Pkubischen Ansatz∆ -Effekt funktionen

Analytische Lösung mit trigonometrischen Funktionen

Analytische Lösung mit Reihen ( ε = 10− 15 )

ϕ1

-0.001880

-0.002590

-0.003096

-0.003115

-0.003117

v2

-0.003290

-0.004532

-0.005084

-0.005103

-0.005110

ϕ2

0.000470

0.000647

0.000851

0.000860

0.000860

M2

18.75

25.83

26.56

26.59

26.60

M3

-22.50

-31.00

-32.29

-32.34

-32.35

Die Unterschiede zwischen Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung sind beträchtlich. Dies ist auf die im Vergleich zur Knicklast hohe Normalkraft zurückzuführen. Bei den Berechnungsansätzen nach Theorie II. Ordnung erweist sich die Näherung mit P- ∆ -Effekt, die die Krümmungsanteile der Biegelinie in der geometrischen Steifigkeitsmatix venachlässigt, als vergleichsweise ungenau. Hier wäre durch eine feinere Diskretisierung eine Verbesserung

498

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

der Genauigkeit zu erreichen. Demgegenüber sind die Unterschiede zwischen den übrigen Berechnungsansätzen nach Theorie II. Ordnung gering. Insbesondere ist die hohe Genauigkeit des Elements mit kubischen Ansatzfunktionen bemerkenswert, da der Stab in nur zwei Elemente diskretisiert wurde. Beipiel 6.4: Rahmen nach Theorie II. Ordnung

Der in Bild 6-17 dargestellte Rahmen ist nach Theorie II. Ordnung zu berechnen. Es ist das Element mit kubischen Verschiebungsansätzen zugrunde zu legen. Der Rahmen wird, wie im Bild 6-17 dargestellt in drei Stabelemente diskretisiert. Deren Kennwerte sind: 4

Stab

A [cm²]

I [cm ]

1

149

25170

2

171

36660

3

149

25170

E [MN/m²]

210000 MN/m²

ϕ2

ϕ3

ϕ4 ϕ1

Bild 6-17 Rahmen

Zunächst werden die Elementmatrizen aufgestellt. Hierbei werden, um den Schreibaufwand zu reduzieren, die Auflagerbedingungen bereits berücksichtigt. Man erhält die auf das globale Koordinatensystem transformierten Steifigkeitsmatrizen K 0 mit den oben angegebenen Zah-

lenwerten nach (6.50, 6.50a) und (3.20a): Element 1:

ª F (1) º « x1 » ª 0.294 0 -0.881 -0.294 0 -0.881º ª u1 º « (1) » F » « » « 52.15 0 0 0 » « v1 » « y1 » − 52.15 « 0 « (1) » « 0 3.524 0.881 0 1.762 » « ϕ1 » « M z1 » 4 -0.881 » = »⋅ « 10 ⋅« 0 0.881 0.294 0 0.881 » « u2 » « F (1) » « -0.294 « x2 » « 0 -52.15 0 0 52.15 0 » « v2 » « (1) » » « » « F 0 1.762 0.881 0 3.524 ¼ «¬ ϕ 2 »¼ « y 2 » ¬ -0.881 « (1) » ¬ M z2 ¼

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

499

Element 2: ª « ª 29.925 0 0 -29.925 0 0 º ª u2 º « » « » « 0 0.053 0.321 0 -0.053 0.321 » « v2 » « « « « 0 0.321 2.566 0 -0.321 1.283 » « ϕ 2 » « » = »⋅ « 104 ⋅« 0 0 29.925 0 0 » « u3 » « « -29.925 « « 0 -0.053 -0.321 0 0.053 -0.321» « v3 » « » « » « 0 0.321 1.283 0 -0.321 2.566 ¼ «¬ ϕ3 »¼ « ¬ « ¬

(2) Fx 2 º » (2) » Fy 2 » ( 2) » M z1 » (2) » Fx3 » (2) » Fy 3 » (2) » M z3 ¼

Element 3: ª « ª 0.991 0 1.982 -0.991 0 1.982 º ª u3 º « » « » « 78.225 0 0 -78.225 0 » « v3 » « « 0 « « 1.982 0 5.286 -1.982 0 2.643 » « ϕ3 » « » = »⋅« 104 ⋅« 0 -1.982 0.991 0 -1.982 » « u4 » « « -0.991 « « 0 -78.225 0 0 78.225 0 » « v4 » « » « » « 0 2.643 -1.982 0 5.286 ¼ «¬ ϕ 4 »¼ « ¬ 1.982 « ¬

(3) Fx3 º » (3) » Fy 3 » (3) » M z3 » (3) » Fx 4 » (3) » Fy 4 » (3) » M z4 ¼

Zunächst wird das Gleichungssystem nach Theorie I. Ordnung betrachtet. Hierzu überlagert man die Elementsteifigkeitsmatrizen, berücksichtigt die festgehaltenen Freiheitsgrade und erhält die Systemsteifigkeitsbeziehung ª 3.524 0.881 0 1.762 0 0 0 0 º ª ϕ1 º ª 0 º » « « »« » 0 0.881 -29.925 0 0 0 » « u2 » « 100 » « 0.881 30.219 « 0 0 52.203 0.321 0 -0.053 0.321 0 » « v2 » « − 1000 » » « « »« » 0.881 0.321 6.09 0 -0.321 1.283 0 » « ϕ2 » « 0 » 4 « 1.762 10 ⋅« ⋅ = 0 -29.925 0 0 30.916 0 1.982 1.982 » « u3 » « 0 » » « « »« » 0 -0.053 -0.321 0 78.278 -0.321 0 » « v3 » « − 500 » « 0 « » « 0 0 0.321 1.283 1.982 -0.321 7.852 2.643»» « ϕ3 » «« 0 »» « 0 0 0 1.982 0 2.643 5.286 »¼ «¬ ϕ 4 »¼ «¬ 0 ¼» ¬« 0

Deren Lösung ist

500

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode ª ϕ1 º ª -0.0142 º « » « » « u2 » « 0.0628 » « v2 » « -0.0018 » « » « » « ϕ 2 » « -0.0031 » = « u » « 0.0625 » « 3» « » « v3 » « -0.0007 » «ϕ » « » « 3 » « -0.0088 » «¬ ϕ 4 »¼ «¬ -0.0190 »¼

(Verschiebungen in [m])

Hieraus ergeben sich die Normalkräfte in den Stäben 1-3 zu

S x1 = N1 = − 962 kN ,

S x 2 = N 2 = − 67 kN ,

S x3 = N3 = − 539 kN .

Mit den Normalkräfte nach Theorie I. Ordnung werden nun die geometrischen Steifigkeitsmatrizen K G der Elemente nach (6.50, 6.50a) bestimmt und mit (3.20a) auf das globale Koordinatensystem transformiert. Man erhält Element 1:

ª -0.019 0.010 0 0.019 0 « 0 0 0 0 0 « « 0.010 0 -0.077 -0.010 0 104 ⋅« 0 0.010 -0.019 0 « 0.019 « 0 0 0 0 0 « 0.010 0 0.019 0.010 0 ¬

ª « 0.010 º ª u1 º « » « » « 0 » « v1 » « 0.019 » « ϕ1 » « » = « »⋅« 0.010 » « u2 » « 0 » « v2 » « » « » « -0.077 ¼ «¬ ϕ 2 »¼ « « ¬

(1) Fx1_ G º » » (1) Fy1_ G » » (1) M z1_ G » » (1) Fx 2 _ G » » (1) Fy 2 _ G » » » (1) M z2 _ G ¼

Element 2: ª0 « «0 «0 104 ⋅« «0 «0 « ¬0

0

0

0

-0.001 -0.001 0 -0.001 -0.011 0 0 0 0 0.001 0.001 0 -0.001

0.003

0

ª « 0 0 º ª u2 º « » « »« 0.001 -0.001 » « v2 » « 0.001 0.003» « ϕ 2 » « » = « »⋅ « 0 0 » « u3 » « -0.001 0.001 » « v3 » « » « »« 0.001 -0.001 ¼ ¬« ϕ3 ¼» « « ¬

(2) Fx 2 _ G º » » (2) Fy 2 _ G » (2) » M z1_ G » » ( 2) Fx3 _ G » » (2) Fy 3 _ G » » (2) » M z3 _ G ¼

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

501

Element 3:

ª « « « 4 10 ⋅« « « « ¬

-0.016 0 -0.005

0 -0.005 0

0 -0.029

0.016 0 0 0 -0.005

0

0

0.016 0 0

0

0.005

0

0.005 0

-0.016 0

0 0

0.007

0.005

0

ª « -0.005 º ª u3 º « » « »« 0 » « v3 » « 0.007 » « ϕ3 » « » = « »« 0.005 » « u4 » « 0 » « v4 » « » « »« -0.029 ¼ ¬« ϕ 4 ¼» « « ¬

(3) Fx3 _ G º » » (3) Fy 3 _ G » » (3) M z3 _ G » » (3) Fx 4 _ G » » (3) Fy 4 _ G » » » (3) M z4 _ G ¼

Man addiert die geometrischen Elementsteifigkeitsmatrizen nach Theorie I. Ordnung und überlagert diese zur Systemsteifigkeitsmatrix. Unter Berücksichtigung der Lagerbedingungen erhält man ª 3.447 0.871 0 1.781 0 0 0 0 º ª ϕ1 º ª 0 º » « « »« » 0.871 30.199 0 0.871 -29.925 0 0 0 » « u2 » « 100 » « « 0 0 52.203 0.320 0 -0.053 0.320 0 » « v2 » « − 1000 » » « « »« » 0.871 0.320 6.002 0 -0.320 1.286 0 » « ϕ2 » « 0 » 4 « 1.781 ⋅ = 10 ⋅« 0 -29.925 0 0 30.900 0 1.977 1.977 » « u3 » « 0 » » « « »« » 0 -0.053 -0.320 0 78.278 -0.320 0 » « v3 » « − 500 » « 0 « » « 0 0 0.320 1.286 1.977 -0.320 7.812 2.650 »» « ϕ3 » «« 0 »» « «¬ 0 0 0 0 1.977 0 2.650 5.257 ¼» «¬ ϕ 4 ¼» ¬« 0 ¼»

Die Verschiebungsgrößen nach Theorie II. Ordnung erhält man hieraus zu ª « « « « « « « « « « ¬«

ϕ1 º ª -0.0180 º

» « u2 » « v2 » « » « ϕ2 » « = u3 » « » « v3 » « ϕ3 »» «« ϕ 4 ¼» ¬«

» 0.0785 » -0.0018 » » -0.0036 » 0.0783 » » -0.0007 » -0.0111 »» -0.0239 ¼»

(Verschiebungen in [m]).

Sie unterscheiden sich deutlich von den Verschiebungsgrößen nach Theorie I. Ordnung. Aus den Verschiebungsgrößen werden die Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung der einzelnen Elemente ermittelt. Ausgewählte Ergebnisse sind in Tabelle 6-5 angegeben. Die Horizontalverschiebung des Rahmens sowie die Biegemomente in den Rahmenecken nach Theorie II. Ordnung unterscheiden sich deutlich von denjenigen nach Theorie I. Ordnung. Demgegenüber sind die Unterschiede bei den Normalkräften gering (< 2%). Dies bestätigt die der Linearisierung in der

502

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Theorie II. Ordnung zugrunde liegende Annahme, dass in der geometrischen Steifigkeitsmatrix die Normalkräfte nach Theorie I. Ordnung verwendet werden können. Tabelle 6-5 Ergebnisse des Berechnungsbeispiels Theorie I. Ordnung

Theorie II. Ordnung

6.3

7.9

ϕ1

-0.0142

-0.0180

ϕ4

-0.0190

-0.0239

M 2 [kNm]

196

238

M 3 [kNm]

-270

-333

N1 [kN]

-961

-952

N 2 [kN]

-67

-73

N3 [kN]

-539

-548

u2 [cm]

Beipiel 6.5: Knicklast eines Stabes Für den Stab in Bild 6-16 mit F=0 ist die Knicklast für Knicken in der x-y-Ebene zu ermitteln. Der Stab wird wieder in zwei Elemente diskretisiert. Man schreibt nun (6.59) ohne die entkoppelten Längsverschiebungsfreiheitsgrade an und erhält mit F=0 § ¨ E⋅ I ¨ ¨ A ¨ ©

ª 4 − 6/A « 2 « − 6 / A 24 / A « 2 0 ¬

ª 2⋅ A 2 /15 − A /10 − A 2 / 30 º 2º » » P« 0 » − « − A /10 12 / 5 0 » A « » » 8¼ 0 4⋅ A 2 /15 ¼ ¬ − A 2 / 30

· ¸ «ª ϕ1 »º ª 0 º ¸ ⋅ « v2 » = « 0 » . « » ¸ ¸ «¬ ϕ 2 »¼ ¬« 0 ¼» ¹

Dies ist ein algebraisches Eigenwertproblem mit der Längskraft P als Eigenwert. In der Regel wird das Eigenwertproblem mit einem der ein Abschnitt 1.4 erläuterten Verfahren gelöst. Die obige Gleichung ist aber so einfach, dass sie unmittelbar lösbar ist. Damit das homogene Gleichungssystem Lösungen besitzt, muss gelten § ¨ E⋅ I Det ¨ ¨ A ¨ ©

ª 4 − 6/A « 2 « − 6 / A 24 / A « 2 0 ¬

ª 2⋅ A 2 /15 − A /10 − A 2 / 30 º 2º » » P « 0» − 12 / 5 0 « − A /10 » A « » » 2 2 8¼ 0 4⋅ A /15 ¼ ¬ − A / 30

· ¸ ¸= 0 ¸ ¸ ¹

oder §ª 4⋅ E ⋅ I − P⋅ 2⋅ A 2 /15 − 6⋅ E ⋅ I / A + P⋅ A /10 2⋅ E ⋅ I + P⋅ A 2 / 30 º ¨« » » Det ¨« − 6⋅ E ⋅ I / A + P⋅ A /10 24⋅ E ⋅ I / A 2 − P⋅ 12 / 5 0 ¨« » 2 ¨« 2⋅ E ⋅ I + P⋅ A 2 / 30 »¼ 0 8 ⋅ E ⋅ I − P ⋅ 4 ⋅ A /15 ©¬

Die Determinante erhält man mit der Tabelle 1-1 angegebenen Regel zu

· ¸ ¸= 0 ¸ ¸ ¹

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

503

(4⋅ E ⋅ I − P⋅ 2⋅ A2 /15)⋅ (24⋅ E ⋅ I / A2 − P⋅ 12 / 5)⋅ (8⋅ E⋅ I − P⋅ 4⋅ A2 /15) 2 − ( 2⋅ E ⋅ I + P⋅ A 2 / 30) ⋅ ( 24⋅ E ⋅ I / A 2 − P⋅ 12 / 5) 2 − (− 6⋅ E ⋅ I / A + P⋅ A /10) ⋅ (8⋅ E ⋅ I − P⋅ 4⋅ A 2 /15) = 0 Dieses Polynom hat drei Nullstellen, von denen der kleinste Wert

P1 = 5.18⋅

E⋅ I A2

ist. Der exakte Wert ergibt sich aus dem 3. Eulerfall mit der Knicklänge sk = 0.6991⋅ (2⋅ A) zu

P1 =

E⋅ I sk

2

⋅ π 2 = 5.05⋅

E⋅ I A2

.

Die Abweichung der Näherungslösung von der exakten Lösung beträgt nur 2.6%. Auch hier ist die vergleichsweise hohe Genauigkeit bei nur zwei Elementen bemerkenswert.

6.3.5 Plattenelement nach Theorie II. Ordnung Da bei Plattenproblemen, bei denen nach Theorie II. Ordnung die Wirkung der Normalkräfte in den Gleichgewichtsbedingungen berücksichtigt werden, naturgemäß Membranspannungen auftreten, handelt es sich hier grundsätzlich um ein Schalentragwerk. Dennoch lassen sich ebene Platten als Plattenprobleme behandeln, wenn man wie bei Stabwerken nach Theorie II. Ordnung die Normalkräfte vorgibt beziehungsweise aus einem Eigenwertproblem bestimmt. Hierzu lässt sich eine geometrische Steifigkeitsmatrix angeben. Während die geometrische Steifigkeitsmatrix bei Stäben von der Stablängskraft S x abhängt, hängt sie bei Platten von den Membranspannungskomponenten σ x , σ y , τ xy ab. So lässt sich für das in Abschnitt 4.7.2 angegebene rechteckige Plattenelement mit kompatiblen Verschiebungen und inkompatiblen Biegewinkeln die geometrische Steifigkeitsmatrx explizit angeben [6.12], [6.9], [6.13]. Die Steifigkeitsbeziehung nach Theorie II. Ordnung ist K = k f + k gx + k gy + k gxy .

Hierin bedeuten die k f

(6.60)

die Steifigkeitsmatrix nach Theorie I. Ordnung (4.67) und

k gx , k gy , k gxy die den Membranspannungskomponenten σ x , σ y , τ xy entsprechenden Terme

der geometrischen Steifigkeitsmatrix. Man erhält nach [6.12]:

h⋅ b ⋅ 1260⋅ a 66⋅ b

(6-60a)

ª 552 39⋅ b − 42⋅ a − 552 − 66⋅ b − 42⋅ a − 204 − 21⋅ a « 12⋅ b 2 0 0 9⋅ b2 0 − 66⋅ b − 12⋅ b 2 − 39⋅ b « 66⋅ b « 2 2 0 56⋅ a 42⋅ a 0 21⋅ a 0 − 14⋅ a − 7⋅ a 2 « − 42⋅ a « − 552 − 66⋅ b 42⋅ a 552 66⋅ b 42⋅ a 204 21⋅ a − 39⋅ b « « − 66⋅ b − 12⋅ b 2 0 66⋅ b 12⋅ b 2 0 39⋅ b − 9⋅ b 2 0 « 2 2 « − 42⋅ a − 14⋅ a 0 42⋅ a 0 56⋅ a 21⋅ a 0 28⋅ a 2 « − 66⋅ b 21⋅ a 204 39⋅ b 21⋅ a 552 42⋅ a « − 204 − 39⋅ b « 2 2 2 − 39⋅ b − 9⋅ b − 66⋅ b 12⋅ b 9⋅ b 0 0 0 « 39⋅ b « 2 2 − 7⋅ a 0 21⋅ a 0 28⋅ a 42⋅ a 0 56⋅ a 2 « − 21⋅ a « 204 − 21⋅ a − 204 − 39⋅ b − 21⋅ a − 552 − 42⋅ a 39⋅ b 66⋅ b « 2 2 2 « − 39⋅ b − 9⋅ b 0 39⋅ b 9⋅ b 0 66⋅ b − 12⋅ b 0 « − 7⋅ a 2 − 14⋅ a 2 0 28⋅ a 2 21⋅ a 0 42⋅ a 0 ¬ − 21⋅ a

k gx = σ x ⋅ − 39⋅ b − 9⋅ b2 0 39⋅ b 9⋅ b 2 0 66⋅ b − 12⋅ b 2 0 − 66⋅ b 12⋅ b 2 0

204 39⋅ b − 21⋅ a − 204 − 39⋅ b − 21⋅ a − 552 66⋅ b − 42⋅ a 552 − 66⋅ b − 42⋅ a

− 21⋅ a º » 0 » » 28⋅ a 2 » 21⋅ a » » 0 » » − 7⋅ a 2 » » 42⋅ a » » 0 » » − 14⋅ a 2 » − 42⋅ a » » 0 » » 56⋅ a 2 ¼

504 6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

h⋅ b ⋅ 1260⋅ a 42⋅ b

(6-60b)

ª 552 − 66⋅ a 204 21⋅ b 39⋅ a « 2 2 56⋅ b 0 21⋅ b 28⋅ b 0 « 42⋅ b « − 9⋅ a 2 0 12⋅ a 2 − 39⋅ a 0 « − 66⋅ a « 204 − 39⋅ a 21⋅ b 552 42⋅ b 66⋅ a « 2 2 « 21⋅ b 28⋅ b 0 42⋅ b 56⋅ b 0 « 2 « 39⋅ a 0 − 9⋅ a 66⋅ a 0 12⋅ a 2 « 39⋅ a − 552 − 42⋅ b − 66⋅ a « − 204 − 21⋅ b « − 7⋅ b 2 0 42⋅ b − 14⋅ b 2 0 « 21⋅ b « 2 0 9⋅ a − 66⋅ a 0 − 12⋅ a 2 « − 39⋅ a « − 552 − 42⋅ b − 204 − 21⋅ b − 39⋅ a 66⋅ a « 2 « 42⋅ b − 14⋅ b − 21⋅ b − 7⋅ b 2 0 0 « 2 − 12⋅ a 0 39⋅ a 0 9⋅ a 2 ¬ 66⋅ a

k gy = σ y ⋅ 2

− 7⋅ b 0 42⋅ b

− 21⋅ b 39⋅ a − 552

28⋅ b 0

− 39⋅ a

− 21⋅ b

204 − 21⋅ b

39⋅ a

12⋅ a 2 39⋅ a

0

66⋅ a

− 42⋅ b − 66⋅ a

0 − 9⋅ a 2

552

− 21⋅ b

0

56⋅ b 2

0

56⋅ b 2

− 42⋅ b

0

28⋅ b 2

0 − 21⋅ b

− 42⋅ b

− 7⋅ b 2

0 21⋅ b

2

− 21⋅ b

66⋅ a − 204

− 12⋅ a 2 − 39⋅ a 66⋅ a 204

2

42⋅ b

− 42⋅ b − 14⋅ b

− 552

0 − 42⋅ b

0

9⋅ a 2 − 66⋅ a

0

− 39⋅ a

− 66⋅ a 552

− 42⋅ b − 14⋅ b 2

21⋅ b

− 204

66⋅ a º » 0 » » − 12⋅ a 2 » 39⋅ a » » 0 » » 9⋅ a 2 » » − 39⋅ a » » 0 » » − 9⋅ a 2 » − 66⋅ a » » 0 » » 12⋅ a 2 ¼

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente 505

(6-60c)

h⋅ b k gxy = τ xy ⋅ ⋅ 1260⋅ a ª 180 0 0 0 0 36⋅ b 0 0 36⋅ a º − 36⋅ b − 180 − 36⋅ a « » 0 0 5⋅ a⋅ b − 36⋅ b 6⋅ b 2 0 0 5⋅ a⋅ b » − 5⋅ a⋅ b 36⋅ b − 5⋅ a⋅ b « 0 « » 0 0 5⋅ a⋅ b 0 36⋅ a − 5⋅ a⋅ b 6⋅ a 2 0 » − 5⋅ a⋅ b − 36⋅ a 5⋅ a⋅ b « 0 « 0 36⋅ b 0 0 0 0 0 36⋅ a 180 − 180 − 36⋅ b − 36⋅ a » « » « − 36⋅ b 0 5⋅ a⋅ b 0 0 0 0 5⋅ a⋅ b 36⋅ b − 6⋅ b 2 − 5⋅ a⋅ b » − 5⋅ a⋅ b « » « 0 − 5⋅ a⋅ b − 36⋅ a 5⋅ a⋅ b 5⋅ a⋅ b 0 0 0 0 36⋅ a − 5⋅ a⋅ b − 6⋅ a 2 » « » − 36⋅ a 36⋅ a 0 0 180 0 0 0 36⋅ b 0 » « − 180 − 36⋅ b « » − 5⋅ a⋅ b − 5⋅ a⋅ b − 36⋅ b 6⋅ b 2 0 0 5⋅ a⋅ b 0 0 0 5⋅ a⋅ b » « 36⋅ b « » − 5⋅ a⋅ b 6⋅ a 2 36⋅ a 5⋅ a⋅ b 0 0 0 0 5⋅ a⋅ b 0 » « − 36⋅ a − 5⋅ a⋅ b « 0 − 36⋅ a − 36⋅ b − 180 0 180 36⋅ b 36⋅ a 0 0 0 0 » « » « 0 0 5⋅ a⋅ b − 36⋅ b − 6⋅ b 2 − 5⋅ a⋅ b 36⋅ b 0 5⋅ a⋅ b 0 0 − 5⋅ a⋅ b » « » 5⋅ a⋅ b 0 0 5⋅ a⋅ b 0 0 0 ¼ − 36⋅ a − 5⋅ a⋅ b − 6⋅ a 2 − 5⋅ a⋅ b ¬ 36⋅ a

506 6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

507

Das Element lässt sich insbesondere für Beuluntersuchungen von Platten anwenden. Im Allgemeinen verwendet man jedoch Schalenelemente, die sich etwa nach Abschnitt 6.3.6 als degenerierte Volumenelemente herleiten lassen. Beispiel 6.6: Beulen einer Platte Für die in Bild 6-17 dargestellte Platte ist die Stabilitätslast für eine Membranspannung σ x zu ermitteln.

E = 210000000 kN/m µ = 0.3 Į = 2.00 m h = 0.02 m

2

Bild 6-18 Beuluntersuchung einer Platte

Bildet man die Platte mit 4 quadratischen Elementen der Seitenlänge a ab, erhält man aufgrund der Symmetrie des Systems eine Gleichung mit der Verschiebung wm in Plattenmitte als einziger Unbekannten. Mit (4.67) und (6.60a) ist diese § E ⋅ h3 552⋅ h⋅ b · 2 2 ¨ ¸⋅ w = 0 (6.61) ( ) β β µ σ 4 1/ 14 4 / 5 ⋅ ⋅ + + − ⋅ + ⋅ x ¨ 2 1260⋅ a ¸¹ m © 12⋅ (1− µ )⋅ a⋅ b

( (

)

)

und mit b = a, β = a / b = 1 und den Zahlenkennwerten der Platte

( 406.15+ σ x ⋅ 0.008762)⋅ wm =

0 → σ krit = σ x = 46.35 MN / m 2

Bei Netzverfeinerung ergeben sich folgende Werte: Finite-Element-Netz

2x2

4x4

8x8

16x16

σ krit [ MN / m ]

46.35

43.84

46.36

47.40

σ krit − σ krit _ exakt / σ krit _ exakt

3.0 %

8.3 %

3.0 %

2

0.8 %

Die analytische Lösung nach [6.14] ist:

σ krit _ exakt =

10.07⋅ π 2 D ⋅ = 47.8 MN / m2 ( 2⋅ a )2 t

(6.62)

508

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Die Stabilitätslasten sind bei einer geeigneten Finite-Element-Diskretisierung mit 8x8 Elementen für die gesame Platte recht genau. Selbst mit einer 2x2-Diskretisierung beziehungsweise mit nur einem einzigen Element für das Plattenviertel erhält man in diesem Beispiel eine brauchbare Lösung.

6.3.6 Finite Elemente mit großen Verschiebungen Steifigkeitsmatrizen finiter Flächen- und Volumenelemente lassen sich auf der Grundlage der Kontinuumsmechanik für große Verschiebungen herleiten. In diesem Zusammenhang werden Spannungen und Verzerrungen neu definiert. Eine Spannung wird als Kraft pro Flächeneinheit verstanden. Bei geometrisch nichtlinearen Theorien mit großen Verschiebungen stellt sich die Frage, auf welche Konfiguration des Systems die Spannungen bezogen werden. Führt beispielsweise ein infinitesimales Element, an dem die Spannungen betrachtet werden, bei einem Lastschritt eine Rotation durch, so ändern sich dadurch in einem festen Koordinatensystem die Spannungskomponenten beziehungsweise die Richtung und Größe der Hauptspannungen, ohne dass eine Verzerrung stattgefunden hat. In der geometrisch linearen Theorie, bei der der Einfluss der Verformungen auf die Spannungen vernachlässigt wird, tritt dieser Effekt nicht auf. Um die Tatsache, dass sich die Lage eines System bei großen Verschiebungen fortwährend ändert, zu berücksichtigen, führt man geeignete Spannungs- und Verzerrungsmaße ein [6.3], [6.4], [6.5], [6.15]. Die Verzerrungsdefinitionen der linearen Theorie werden erweitert und man unterscheidet folgende Verzerrungstensoren: Verzerrungstensoren •

Ingenieurverzerrungungen: in Arbeitsprinzipien zum Cauchyschen Spannungstensor passend

•

Green-Lagrangescher Verzerrungstensor: in Arbeitsprinzipien zum 2. PiolaKirchhoffscher Spannungstensor passend

•

weitere Verzerrungstensoren (linker/rechter Cauchy-Greenscher Verzerrungstensor, Henckyscher Verzerrungstensor, Almansischer Verzerrungstensor, Verzerrungsratentensor)

Der auch in der geometrisch linearen Theorie verwendete ingenieurgemäße Verzerrungstensor ergibt sich gemäß (2.1.b), als Matrix geschrieben, in zweidimensionalen Fall zu

(

ε L =

1 ⋅ H + HT 2

ª « H =« « « ¬

∂u ∂x ∂v ∂x

),

(6.63)

mit ∂u º » ∂y » ∂v » » ∂y ¼

(6.64)

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

509

Er lautet somit ª « « ε = « § « 1 ⋅¨ «¬ 2 ©

1 § ∂u ∂v · º ⋅¨ + ¸» 2 © ∂y ∂x ¹ » ». ∂v » »¼ ∂y

∂u ∂x ∂u ∂v · + ¸ ∂y ∂x ¹

(6.65)

Demgegenüber lautet der bei großen Verschiebungen verwendete Green-Lagrangescher Verzerrungstensor

(

)

1 E = ⋅ F T ⋅ F − I . 2

(6.66)

Hierin ist die Matrix

F = I+ H

(6.67)

der so genannte Deformationsgradient. Der Deformationsgradient beschreibt den Übergang

(

von der Lage (x, y) eines Punktes P in der Bezugskonfiguration zur Lage x( neu ) , y ( neu )

) in

der aktuellen Konfiguration im zweidimensionalen Fall zu (Bild 6-19) ª ∂x ( neu ) « « ∂x F=« ( neu ) « ∂y «¬ ∂x

∂x ( neu ) º » ∂y » » ∂y ( neu ) » ∂y »¼

(6.68)

Der Übergang von der Bezugskonfiguration zur aktuellen Konfiguration lässt sich mit den Verschiebungen (u, v) auch schreiben x ( neu ) = x + u ( x, y ) y ( neu ) = y + v( x, y )

Setzt man diese Beziehung in (6.68) ein, erhält man den Deformationsgradienten zu ª ∂u ∂u º « 1+ » ∂ x ∂y » . F=« « ∂v ∂v » 1+ « » ∂y ¼ ¬ ∂x

(6.68a)

510

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Bild 6-19 Definition des Deformationsgradienten

Der Deformationsgradient F kann aus einer Rotation und einer Verzerrung zusammengesetzt werden. Den Green-Lagrangescher Verzerrungstensor erhält man mit (6.66) und (6.68) zu ª « « E = « § « 1 ⋅¨ ¬« 2 ©

∂u ∂x ∂ u ∂v · + ¸ ∂y ∂x ¹

ª § ∂u ·2 § ∂v · 2 1 § ∂ u ∂v · º « ¨ ¸ +¨ ¸ ⋅¨ + ¸» 2 © ∂y ∂x ¹ » 1 « © ∂x ¹ © ∂x ¹ » + 2 ⋅« ∂v « ∂u ∂ u ∂ v ∂v » « ∂x ⋅ ∂y + ∂y ⋅ ∂x »¼ ∂y ¬

∂u ∂u ∂ v ∂v º ⋅ + ⋅ » ∂x ∂y ∂y ∂x » » (6.69) § ∂v · 2 § ∂u · 2 » ¨ ¸ +¨ ¸ » © ∂ y ¹ © ∂y ¹ ¼

oder E = ε L + ε NL

(6.69a)

mit ª « 1« ε NL = ⋅« 2« « ¬

§ ∂u · 2 § ∂v · 2 ¨ ¸ +¨ ¸ © ∂ x ¹ © ∂x ¹ ∂u ∂u ∂v ∂v ⋅ + ⋅ ∂x ∂ y ∂ y ∂ x

∂ u ∂u ∂ v ∂v º ⋅ + ⋅ » ∂x ∂y ∂y ∂x » » § ∂v · 2 § ∂u · 2 » ¨ ¸ +¨ ¸ » © ∂y ¹ © ∂y ¹ ¼

(6.69b)

Der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor läßt sich nicht so leicht geometrisch interpretieren, wie dies beim ingenieurmäßigen Verzerrungstensor der Fall ist. Eine Vorstellung von der Bedeutung des Terms 2 2 ∂u 1 §¨§ ∂u · § ∂v · ·¸ E11 = + ⋅ ¨¨ ¸ + ¨ ¸ ¸ ∂x 2 © © ∂x ¹ © ∂ x ¹ ¹

(6.69c)

vermittelt Gleichung (6.19a), die für den Fachwerkstab mit großen Verschiebungen hergeleitet wurde (Bild 6-10):

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

511

2 2 e u2 − u1 1 ª § u2 − u1 · § v2 − v1 · º = + ⋅« ¨ ¸ +¨ ¸ » 2 «¬ © A A A ¹ © A ¹ »¼

oder bezogen auf ein kleines Element der Länge ∆ A 2 2 e ∆ u 1 ª§ ∆ u · § ∆ v · º = + ⋅« ¨ ¸ +¨ ¸ ». ∆ A ∆ A 2 ¬« © ∆ A ¹ © ∆ A ¹ »¼

Diese Gleichung hat einen ähnlichen Aufbau wie (6.69c). Die Differentialquotienten sind beim Green-Lagrangschen Verzerrungstensor jedoch nicht auf ∆ A beziehungsweise im Grenzübergang zum infinitesimalen Element auf d A bezogen sondern auf die Koordinate dx . Der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor besitzt die wichtige Eigenschaft, dass er gegenüber Rotationen invariant ist. Bei geometrisch linearen Theorien, d. h. wenn die Verschiebungsableitungen verglichen mit 1 klein sind, verschwindet der zweite Term in (6.69) und man erhält Gleichung (6.65). Der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor geht dann in den ingenieurmäßigen Verzerrungstensor über.

Beispiel 6.7 Ein quadratisches 4-Knoten-Element wird zunächst in x-Richtung gedehnt und fürt dann eine Rotation um den Punkt P durch. Es ist der Green-Lagrangsche Verzerrungstensor zu ermitteln und zu zeigen, dass er bei der Rotation unverändert bleibt. Bei der Dehnung in x-Richtung verschieben sich die Punkte 1 und 4 in die Lage 1’ beziehungsweise 4’. Der ingenieurmäßige Verzerrungstensor lautet nach (6.65) ª « « ε = « § « 1 ⋅¨ ¬« 2 ©

1 § ∂u ∂v · º ⋅¨ + ¸» ª 1 2 © ∂y ∂x ¹ » « »= « 2 ∂v » ¬0 ∂y ¼»

∂u ∂x ∂ u ∂v · + ¸ ∂ y ∂x ¹

º 0» ». 0¼

Den Green-Lagrangesche Verzerrungstensor ermittelt man mit Hilfe des Deformationsgradienten (6.68a)

ª ∂u ∂u º 1 « 1+ » ª ∂x ∂y » « 1+ « F= = 2 « ∂v ∂v » « 0 ¬ 1 + « » ∂y ¼ ¬ ∂x

º ª3 0» « »= « 2 1¼ ¬ 0

º 0» » 1¼

und mit (6.66) zu §ª 3 ¨ 1 1 E = ⋅ F T ⋅ F − I = ⋅¨«« 2 2 2¨ ©¬ 0

(

)

ºT ª 3 0» « » ⋅« 2 1¼ ¬ 0

· ª5 º 0 » ª 1 0 º¸ « » − ¬« 0 1 ¼»¸¸ = « 8 1¼ ¹ ¬0

º 0» » 0¼

512

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

oder nach (6.69) ª§ º 0» 1 «¨ » + 2 ⋅« © « 0¼ ¬

ª1 E = «« 2 ¬0

y

1· ¸ 2¹ 0

º ª5 0» « » = «8 » 0¼ ¬ 0

2

º 0» » . 0¼

1"

2"

2

4,0

y

1

1 4" x

3"

2,0

θ

3

4

4 x

0 0

2,0

4,0

Bild 6-20 Element mit großen Verschiebungen

5,0

Es wird nun die um den Winkel θ gedrehte Lage des verzerrten Elements betrachtet. Mit der Koordinatentransformation x ( neu ) = x⋅ cos θ − y⋅ sin θ y ( neu ) = x⋅ sin θ + y⋅ cos θ

erhält man die in Tabelle 6-6 angegebenen Koordinaten der Knotenpunkte.

Tabelle 6-6 Knotenpunktskoordinaten ( neu )

( neu )

Punkt

x

y

1

5

4

5⋅ cos θ − 4⋅ sin θ

5⋅ sin θ + 2⋅ cos θ

2

2

4

2⋅ cos θ − 4⋅ sin θ

2⋅ sin θ + 4⋅ cos θ

3

2

2

2⋅ cos θ − 2⋅ sin θ

2⋅ sin θ + 2⋅ cos θ

4

5

2

5⋅ cos θ − 2⋅ sin θ

5⋅ sin θ + 2⋅ cos θ

x

y

Zunächst soll der Deformationstensor nach (6.68) berechnet werden. Hierzu wird der Zusammenhang zwischen der verschobenen Lage und der Ausgangslage benötigt. Dieser Zusammenhang lässt sich mit den Interpolationsfunktionen der isoparametrischen Elemente beschreiben. Es gilt analog zu (4.40c)

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente

513

4

x

( neu )

=

¦ hi ⋅ xi(neu ) i= 1 4

y

( neu )

=

¦ hi ⋅ yi(neu) . i= 1

Die Interpolationsfunktionen hi ( x, y ) h1 =

1 ⋅ (1+ x )⋅ (1+ y ) 4

h2 =

1 ⋅ (1− x )⋅ (1+ y ) 4

h3 =

1 ⋅ (1− x )⋅ (1− y ) 4

h4 =

1 ⋅ (1+ x )⋅ (1− y ) 4

entsprechen für das quadratische Element der Seitenlänge 2 ( − 1 ≤ x ≤ 1 , − 1 ≤ y ≤ 1 ) den Funktionen nach (4.40b) mit r =ˆ x und s =ˆ y . Die Ableitungen der Interpolationsfunktionen lauten ∂h1 1 = ⋅ (1+ y ) ∂x 4

∂h2 1 = − ⋅ (1+ y ) ∂x 4

∂h3 1 h3 = − ⋅ (1− y ) ∂x 4

∂h4 1 = ⋅ (1− y ) ∂x 4

∂h1 1 = ⋅ (1+ x ) ∂y 4

∂h2 1 = ⋅ (1− x ) ∂y 4

∂h3 1 = − ⋅ (1− x ) ∂y 4

∂h4 1 = − ⋅ (1+ x ) 4 ∂y

Bezieht man nun (6.68) auf das Koordinatensystem x = x + 3 , y = y + 3 , so sind zunächst die Ableitungen zu bestimmen. Für den Term F1,1 erhält man ∂x

( neu )

x

=

∂x

4

( neu )

=

x

¦

i= 1

=

=

und für die übrigen Terme

∂hi ( neu ) ⋅ xi x

1 ⋅ [(1+ y )⋅ (5⋅ cos θ − 4⋅ sin θ ) − (1+ y )⋅ ( 2⋅ cos θ − 4⋅ sin θ ) , 4 − (1− y )⋅ ( 2⋅ cos θ − 2⋅ sin θ )+ (1− y )⋅ (5⋅ cos θ − 2⋅ sin θ )]

3 ⋅ cos θ 2

514

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode ∂x

( neu )

y ∂y

( neu )

x ∂y

=

=

( neu )

y

=

∂x

4

( neu )

=

y ∂y

i= 1

=

¦

i= 1 4

( neu )

y

∂hi ( neu ) ⋅ xi = − sin θ y

4

( neu )

x ∂y

¦

=

¦

i= 1

∂hi ( neu ) 3 ⋅ yi = ⋅ sin θ , 2 x ∂hi ( neu ) ⋅ yi = cos θ . y

Damit ist der Deformationsgradient ª ∂x( neu ) « « ∂x F=« ( neu ) « ∂y «¬ ∂x

∂x ( neu ) º ª » ∂y » « »= « ∂y ( neu ) » « « ∂y »¼ ¬

º 3 ⋅ cos θ − sin θ » 2 ». 3 » ⋅ sin θ cos θ » ¼ 2

Er hängt vom Rotationswinkel θ ab. Den Green-Lagrangeschen Verzerrungstensor erhält man damit nach (6.66) zu ª5 1 E = ⋅ F T ⋅ F − I = «« 8 2 ¬0

(

)

º 0» » . 1¼

Der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor hat sich also bei der Rotation nicht verändert. Bei den Spannungstensoren für große Verschiebungen unterscheidet man:

Spannungstensoren •

Cauchyscher Spannungstensor: Kraft pro infinitesimales Element am verformten Körper.

•

2. Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor: Kraft pro infinitesimales Element am unverformten Körper.

•

weitere Spannungstensoren (Kirchhoffscher Spannungstensor, 1. PiolaKirchhoffscher Spannungstensor) und Spannungsgeschwindigkeitstensoren (Jaumann’sche Spannungsrate, Green-Nagdi-Spannungsrate)

Der Cauchysche Spannungstensor lautet, als Matrix geschrieben, im zweidimensionalen Spannungszustand nach Bild 2-3

6.3 Geometrisch nichtlineare Finite Elemente ª σx

τ xy º

¬« τ xy

σ y ¼»

σ = «

515

»

(6.70)

Er wird auch als ingenieurmäßiger Spannungstensor bezeichnet. Er ist ein Maß, um maximal mögliche Spannungen in Körpern zu beurteilen. Der 2. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor hat hingegen keine physikalische Bedeutung, da er auf eine Konfiguration bezogen ist, die zum Zeitpunkt, an dem die Spannung wirkt, so nicht mehr existiert. Die mathematische Schwierigkeit bei Formulierungen mit dem Cauchyschen Spannungstensor allerdings besteht darin, dass seine Berechnung die Kenntnis der aktuellen, unbekannten Konfiguration erfordert. Aus diesem Grund verwendet man in Berechnungen am häufigsten den 2. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor S . Er muss dann anschließend in den physikalisch aussagefähigen Cauchy’schen Spannungstensor transformiert werden. Es gilt

σ = Det ( F )⋅ F ⋅ S ⋅ F T .

(6.71)

Sowohl der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor wie auch der 2. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor sind gegenüber Rotationen invariant. Der Cauchysche Spannungstensor ist hingegen nicht invariant bei Rotationen. Die Materialgesetze müssen nun auf die Spannungs- und Verzerrungstensoren bezogen werden. Den Zusammenhang zwischen dem 2. Piola-Kirchhoffschen Spannungstensor S und dem Cauchy-Greenschen Verzerrungstensor E lautet für das linear elastische Kontinuum: S = λ⋅ I ⋅ Sp( E ) + 2⋅ G⋅ E

(6.72)

mit dem Schubmodul G und der Lame-Konstante λ . G=

E , 2⋅ (1+ µ)

λ=

µ⋅ E (1+ µ)⋅ (1− 2⋅ µ)

(6.73)

E und µ sind der Elastizitätsmodul beziehungsweise die Querdehnzahl. Im zweidimensionalen Fall erhält man ª S xx « «¬ S xy

ª E xx S xy º » = 2⋅ G ⋅« S yy »¼ «¬ E xy

E xy º ª 1 0º » + λ⋅« »⋅ E xx + E yy E yy »¼ ¬ 0 1¼

ª ( λ+ 2⋅ G )⋅ E xx + λ⋅ E yy =« 2⋅ G ⋅ E xy «¬

(

)

º 2⋅ G ⋅ E xy » E xx + ( λ+ 2⋅ G )⋅ E yy »¼

.

(6.74)

Beim Übergang auf den linearen Fall kleiner Verschiebungen erhält man mit λ nach (6.73) und E ⋅ (1− µ ) (6.74a) ( λ+ 2⋅ G ) = 2⋅ (1+ µ )⋅ (1− 2⋅ µ ) das lineare Materialgesetz für den ebenen Dehnungszustand nach Tabelle 2-1. Ein entsprechendes Materialgesetz lässt sich auch für den ebenen Spannungszustand angeben.

516

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Das Vorgehen zur Formulierung der Gleichungen für Finite Elemente entspricht demjenigen der linearen Berechnung. Zur Herleitung isoparametrischer Elemente wählt man geeignete Ansatzfunktionen und interpoliert damit die Geometrie und die Verschiebungen des Elements. Setzt man diese in (6.69) ein, erhält man den Zusammenhang zwischen dem GreenLagrangeschen Verzerrungstensor und den Knotenverschiebungen. Diese lassen sich, wie dies bereits aus der Formulierung (6.69a) beim Verzerrungstensor ersichtlich wird, aus einem linearen Anteil 0 B L und einem nichtlinearen Anteil 0 B NL zusammensetzen. Diese lassen sich auch inkrementell, d. h. für einen Verschiebungszuwachs ∆ u und einen Zuwachs des Verzerrungstensors ∆ E formulieren. Das Prinzip der virtuellen Verschiebungen muss nun mit dem Green-Lagrangesche Verzerrungstensor wie dem 2. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor formuliert werden. Es entspricht den Gleichgewichtsbedingungen am Ende des betrachteten Lastschrittes und berücksichtigt, dass sich während der Bewegung des Körpers sein Volumen, seine Oberfläche, seinen Massendichte und seine Verzerrungen kontinuierlich ändern. Mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen erhält man die Tangentensteifigkeitsmatrix 0 K T , die sich wie der Verzerrungstensor in einen linearen und einen nichtlinearen Teil aufspalten lässt, zu (6.75) 0 K T = 0 K L + 0 K NL mit

=

0KL

³

T 0 BL ⋅ 0C ⋅ 0 BL ⋅

d 0V ,

(6.75a)

0

V

0 K NL

=

³

T 0 B NL ⋅ 0 S ⋅ 0 B NL ⋅

d 0V

(6.75b)

0

V

und den Vektor der Elementspannungen zu 0 RL

=

³

T ˆ 0 BL ⋅ 0 S⋅

d 0V .

(6.75c)

0

V

Die Matrix 0 S und der Vektor 0 Sˆ werden aus den 2. Piola-Kirchhoffschen Spannungen der Elemente gebildet. Die tangentiale Steifigkeitsmatrix hängt vom aktuellen Verschiebungszustand ab, der sich in jedem Iterationsschritt ändert, und darüber hinaus bei materieller Nichtlinearität auch von den aktuaktuellen Materialparametern. Die Steifigkeitsmatrix und Elementkräftevektor lassen sich im Sinne von (6.15) sowohl nach der Total-Lagrange (hier mit linkem Index 0) wie auch nach der Updated-Lagrange-Betrachtung formulieren. Mit der gleichen Vorgehensweise wie bei den zweidimensionalen Elementen lassen sich auch Volumenelemente herleiten. Finite Elemente für Platten und Schalen mit großen Verschiebungen haben dieselben mechanischen Grundlagen. Betrachtet man nämlich eine Platte mit großen Durchbiegungen, so wird deutlich, dass, dass sowohl Biege- wie auch die Membranspannungen auftreten. Sie unterscheidet sich also nicht mehr vom Tragverhalten einer Schale. Aus diesem Grund wird bei großen Verschiebungen nicht mehr zwischen Platten- und Schalenelementen unterschieden. Meist leitet man diese Elemente aus Volumenelementen her, indem man die Bernoullische bedingung vom Ebenbleiben der Querschnitte einführt und die Verschiebungsfreiheitsgrade an der Ober- und Unterseite des Volumenelements durch Drehfreiheitsgrade und auf die Schalenmittelfläche bezogenen Verschiebungsfreiheitsgrade ausdrückt (vgl. Abschnitt 4.8.2).

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

517

6.4 Nichtlineare Materialgesetze 6.4.1 Allgemeines Als Material-Nichtlinearität bezeichnet man eine nichtlineare Beziehung zwischen Spannungen und Dehnungen. Die Spannungen sind somit eine nichtlineare Funktion der Dehnungen. Bei nichtlinear-elastischen Materialgesetzen erfolgt die Entlastung auf demselben Pfad, der bei der Belastung durchlaufen wurde (Bild 6-21a). Die Zuordnung von Spannungen zu Dehnungen ist somit eindeutig. Mit Ausnahme von Gummimaterial entspricht dies aber nicht dem tatsächlichen Verhalten von Werkstoffen. Vielmehr tritt in der Regel nach dem Überschreiten der Elastizitätsgrenze ein plastisches Verhalten ein. Dies bedeutet, dass bei einer Entlastung ein anderer Spannungs-Dehnungs-Pfad durchlaufen wird als bei der vorangegangenen Belastung und dass bei vollständiger Entlastung (σ = 0) bleibende Dehnungen zurückbleiben (Bild 6-21b). Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung ist damit vom Pfad abhängig, d. h. die zu einer Dehnung gehörende Spannung ist nicht mehr eindeutig. Sie hängt ebenso von der Dehnungs-Geschichte wie von der Dehnung selbst ab. Materialverhalten

Bild 6-21 Nichtlinear-elastisches und plastisches Materialverhalten

Nichtlinear-elastische Materialgesetze können nur für statische Untersuchungen verwendet werden, bei denen Entlastungsvorgänge nicht von Bedeutung sind. Dies ist allerdings selten der Fall, da selbst bei monoton zunehmender Belastung Teile des Tragwerks infolge von Spannungsumlagerungen entlastet werden können. Die verwendeten Materialgesetze sollten daher auch Entlastungsvorgänge realitätsnah beschreiben können. Bei zyklischer Beanspruchung ist dies ohnehin zwingend erforderlich. Ein einfaches eindimensionales Materialgesetz, das die Plastizität berücksichtigt, ist das ideal elastisch-plastische Materialgesetz (Bild 6.22a). Nach Erreichen der Elastizitätsgrenze tritt Fließen ein. Die Entlastung erfolgt auf einem Pfad, der parallel zum Belastungspfad verläuft. Viele Materialien besitzen nach Erreichen der Elastizitätsgrenze eine Verfestigungswirkung. Sie sind in der Lage, auch im plastischen Bereich zusätzlich Spannungen aufzunehmen, wobei allerdings der Anstieg im Spannungs-Dehnungs-Diagramm wesentlich flacher verläuft als im elastischen Bereich. Zur Beschreibung der Verfestigung gibt es zwei Möglichkeiten: die isotrope und die kinematische Verfestigung. Die beiden Modelle unterscheiden sich im Entlastungsbereich. Während bei isotroper Verfestigung die untere Fließgrenze denselben Wert annimmt wie die obere, zuletzt erreichte maximale Spannung, ist bei kinematischer Verfestigung die Differenz zwischen oberer und unterer Fließspannung immer konstant (Bild 2-22b,c). Neben einfachen bilinearen Funktionen sind auch allgemeine, stückweise lineare Funktionen möglich (Bild 6.23).

518

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

ı

ı max ıF1

ıF

ı

ı ıF1 İ

İ

İ 2 ⋅ ıF1

2 ⋅ ımax

− ı max

− ıF1

Bild 6-22 Bilineare Materialgesetze

Die eindimensionalen Materialmodelle lassen sich mit der Plastizitätstheorie auf zweidimensionale Spannungs- und Verzerrungszustände erweitern. Auch bei den mehrdimensionalen Materialgesetzen lässt sich eine isotrope und eine kinematische Verfestigungswirkung berücksichtigen.

ı

ı2 ı1

2 ⋅ ımax

İ

İ

2σ2

ı max

ı2 ı1

2 σ1

ı max ı

Bild 6-23 Stückweise lineare Materialgesetze

Die Entwicklung von Materialgesetzen erfordert eine eingehende Kenntnis der Eigenschaften des jeweiligen Materials. Das Verhalten von Stahl läßt sich bei eindimensionaler Beanspruchung durch ein bilineares Materialgesetz mit kinematischer Verfestigung zutreffend beschreiben. Für zweidimensionale Spannungs- und Verzerrungszustände haben sich für Stahl Materialmodelle, die auf der Plastizitätstheorie beruhen, als geeignet erwiesen. Für das Verbundmaterial Stahlbeton sind die auf der Plastizitätstheorie beruhenden zweidimensionalen Materialmodelle allerdings weniger geeignet. Sie lassen eine detaillierte Darstellung der komplizierten Wechselwirkung zwischen Stahl und Beton nicht zu. Hier haben sich Materialmodelle, die auf heuristischen Ansätzen beruhen, als vorteilhafter erwiesen. Die Entwicklung von Materialgesetzen ist, vor allem im Bereich des Stahlbetons, durchaus noch Gegenstand der Forschung. Im Folgenden werden einige grundlegende ein- und zweidimensionale Materialgesetze für Stahl und Beton dargestellt, die aus praktischer Sicht von besonderem Interesse sind [6.5], [6.15]. Im Übrigen finden sich für das Material Stahlbeton zu-

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

519

sammenfassende Darstellungen in [6.16], [6.17], [6.18] und [6. 19 ]. Für nichtlineare Materialgesetze von Mauerwerk sei auf den zusammenfassenden Beitrag [6.44] verwiesen.

6.4.2 Eindimensionale Materialgesetze für Stahl, Beton und Stahlbeton Stahl Das Verhalten von Stahl läßt sich in guter Näherung durch ein linear-elastisch/plastisches Materialgesetz beschreiben. Soll die Verfestigung im Materialgesetz berücksichtigt werden, ist die kinematische Verfestigung zu wählen, Bild 6.22c. Sie entspricht dem aus der Materialkunde bekannten Bauschinger-Effekt. Eine detailliertere Darstellung der Spannungs-DehnungsLinie ist mit stückweise linearen Funktionen oder mit oPly nomansätzen möglich, in der Regel aber nicht erforderlich.

Beton Beton kann bei nur geringer Beanspruchung als linear elastisches Material betrachtet werden. Bei höherer Beanspruchung auf Druck verhält sich Beton stark nichtlinear, bei Zugbeanspruchung kommt es rasch zum Versagen. Zur Beschreibung des Verhaltens des Betons bei Druckbeanspruchung wurden verschiedene Materialgesetze entwickelt. Im folgenden wird da s Materialgesetz von Sargin [6.20] erläutert, das in einer speziellen Form in den EC 2 [6.21] sowie in DIN 1045-1 [6.22] aufgenommen wurde. Häufig wird auch das Materialgesetz von Saenz [6.23 ] verwendet, bei dem der abfallende Bereich des σ-ε-Diagramms als eGrade idealisiert wird. Vereinfachende SpannungsDehnungs-Linien, wie das P arabel-Rechteck-D iagramm der DIN 1045-1 [6.22] oder entsprechende σ-ε-Diagramme im EC 2 sind für die uQ erschnittsbemessung und weniger für nichtlineare Tragwerksberechnungen geeignet. Nach Sargin kann die Spannungs-Dehnungs-Linie von Beton wie folgt dargestellt werden:

σ=

k ⋅ η+ ( D − 1)⋅ η2

1+ ( k − 2)⋅ η+ D⋅ η2

⋅ fc

(6.76)

mit η = εc / εc1 und k = Ec,0 ⋅ ε1c / f c > 4 /3 § § k ·2 · ¨ 1− ¨ ¸ ¸ < D ≤ 1 + k ⋅ (k − 2) ¨ © 2¹ ¸ © ¹ 0 ≤ D <1

Im EC 2 und in DIN 1045 wird

σ=

k ⋅ η− η2 ⋅ f 1+ ( k − 2)⋅ η c

(Bild 6-24). Der P arameter

für k <2

D ist nach Sargin

(6.76a)

für k ≥2

D=0 gesetzt, so dass gilt (6.77)

mit k = 1.1⋅ Ec,nom ⋅ εc1 / f c

(6.77a)

520

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Bei nichtlinearen Finite-Element-Berechnungen wird in der Regel der tangentiale Elastizitätsmodul Ec,t benötigt, der ein Spannungsinkrement ∆σ mit einem Dehnungsinkrement ∆ε in Beziehung setzt. Es ist also Ec,T =

d σ ∆σ ≈ dε ∆ε

mit σ =

k ⋅ η+ ( D − 1)⋅ η2

1+ ( k − 2)⋅ η+ D⋅ η2

⋅ fc .

Der tangentiale Elastizitätsmodul ergibt sich durch Differenzieren von (6.76)zu

Ec,T

(

)

§ · k ⋅ η+ ( D − 1)⋅ η2 ⋅ (k − 2 + 2⋅ D⋅ η) ¸ f ¨ k + 2⋅ ( D − 1)⋅ η c =¨ − ¸⋅ 2 ε 2 2 c 1 ¨ 1+ ( k − 2)⋅ η+ D⋅ η ¸ 1+ ( k − 2)⋅ η+ D⋅ η © ¹

(

)

(6.78)

beziehungsweise mit D=0 zu § · η⋅ (k − η)⋅ ( k − 2) ¸ k − 2⋅ η Ec,T = ¨¨ − ⋅ 1+ ( k − 2)⋅ η (1+ ( k − 2)⋅ η)2 ¸ © ¹

fc

εc1

(6.78a)

Bild 6-24 Eindimensionales Materialgesetz für Beton von Sargin [6.20 ]

Beispiel 6.8 Die eindimensionalen Spannungs-Dehnungs-Linien für die beiden Betongüten C20 /25 und C50/60nach EC 2 [6.21] si nd für eine nichtlineare Verformungsberechnung zu ermitteln. Nach EC 2 wird bei Verformungsberechnungen für den Elastizitätsmodul Ec,0 der 1.1-fache Mittelwert 1.1⋅ Ecm im Bruchzustand und für die Spannung fc der Mittelwert fcm der Druckfestigkeit eingesetzt. Die eindimensionale Dehnung beim Höchstwert der Druckspannung beträgt nach EC 2 für alle Betongüten εc1=-0.0022, die Bruchdehnungen sind εc1u=-0.0034 für C20/25 und εc1=-0.0028 für C50/60.Mit den Werten fcm=28 MN/m2, Ec,nom=29000 MN/m2 für C20/25 2 beziehungsweise fcm=58 MN/m , Ec,nom=37000 MN/m2 für C50/60erhält man den Beiwert k zu k=2.506 für C20/25 und k=1.544 für C50/60. Die Spannungs-Dehnungs-Linien nach (6.77) sind in Bild 6-25 dargestellt. Nach DIN 1045 er geben sich geringfügig andere Ergebnisse.

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

521

− σ c [ MN / m 2 ]

− ε c [10 −3 ]

Bild 6-25 Spannungs-Dehnungs-Linien für die Betone C20 /25 und C50/60nach EC 2

Im Zugbereich wird für den Beton meistens linea r-elastisches Verhalten bis zum Erreichen der Zugfestigkeit und anschließender Sprödbruch angenommen. Es gibt aber auch Ansätze, die den Zugbruchvorgang des Betons detaillierter erfassen. Nach dem Erreichen der Zugfestigkeit kommt es noch vor dem vollständigen Reißen des Betons durch Kornverzahnung und fortschreitende Mikrorissbildung zur Entfestigung des Betons. Dieses lässt sich beim Modell der ( ild verschmierten Risse als abfallende Kurve im Zugbereich des σ-ε-Diagramms darstellen B 6-26). Man bezeichnet dies auch als Tension Softening. Bei einer Abnahme der Spannungen kann ein linearer Verlauf der Spannungs-Dehnungs-Linie mit der Anfangssteifigkeit Ec,0 angenommen werden (Bild 6-24).

σc

ε c1 εt

εc

Bild 6-26: Modellierung des Tension Softening

Stahlbeton Das Verhalten von Stahlbeton ist nicht nur durch dasjenige der Baustoffe Stahl und Beton sondern auch durch deren Wechselwirkung gekennzeichnet. rGundlage hierfür ist die Verbundwirkung zwischen Bewehrungstahl und Beton. Sie ist vor allem von Bedeutung, wenn sich aufgrund des Ü berschreitens der Zugfes tigkeit Risse im Beton einstellen und der Beton zwischen den Rissen auf Zug mitträgt. Die Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen bezeichnet man auch als Zugversteifung oder Tension Stiffening.

522

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Risse im Beton werden in der Regel nicht als Einzelrisse im Finite-Element-Modell erfasst. Vielmehr werden die Dehnungen, die durch die Rissebildung im Beton zusätzlich entstehen, und die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen als gleichmäßig verteilt angenommen. Man bezeichnet dies auch als das Konzept der verschmierten Risse. Die Stahldehnung, die sich im wesentlichen auf die Risse konzentriert, wird als gleichmäßig verteilt angenommen. Hierzu dividiert man die Rißweite durch einen näherungweise ermittelten Abstand der Risse und erhält so eine mittlere Dehnung. Zur rechnerischen Modellierung des Tension Stiffenings gibt es zwei Möglichkeiten: Einmal kann man die Spannungs-Dehnungs-Linie des Stahls modifizieren, zum anderen ist es aber auch möglich, das Materialgesetz des Betons im Zugbereich ersatzweise zu verändern. Zur Berücksichtigung der Zugversteifung beim Stahl trägt man die Stahlspannung über der mittleren Dehnung eines Bewehrungsstabes auf und erhält eine modifizierte SpannungsDehnungs-Beziehung. Aus dieser ergeben sich wesentlich niedrigere Dehnungen als bei ausschließlicher Berücksichtigung des Stahlanteils. Der Spannungsverlauf ist wesentlich abhängig von der Betonzugfestigkeit, dem Stabdurchmesser und dem Bewehrungsgrad. Dieser kann vereinfachend durch die in Bild 6-27a und Bild 6-27b dargestellte Spannungs-DehnungsBeziehungen, nach EC2 beziehungsweise [6.22] beschrieben werden. Bis zum Auftreten des ersten Risses setzt sich die Steifigkeit aus derjenigen des ungerissenen Betons und des Stahls zusammen. Danach nimmt die Steifigkeit ab. Sie nähert sich dabei bis zum Eintreten des endgültigen Rissbildes immer mehr der reinen Stahlsteifigkeit an. Die Berücksichtigung der Zugversteifung im Materialgesetz des Betons führt zu dessen Erweiterung im Zugbereich. Es treten dann nach dem Reißen des Betons rechnerisch Zugspannungen im Beton auf. Häufig wird die Modifizierung der Spannungs-Dehnungs-Linie des Stahls vorgezogen. Bei zweidimensionalen Spannungszuständen entspricht nämlich die Richtung der Stahlspannung auch der Richtung, in der die Betonzugspannungen auftreten. Weiterhin wird ausgeschlossen, dass sich die ersatzweise eingeführten Betonzugfestigkeiten auch in Bereichen einstellen, wo dies aufgrund geringer Bewehrung nicht möglich ist. Zur rechnerischen Beschreibung der Zugversteifung sei auf die Literatur verwiesen [6.16], [6.17], [6.24].

σs

σs

εs

εs İ su

(a) nach EC 2 [6.21]

(b) nach [6.24]

Bild 6-27: Modellierung der Zugversteifung im Materialgesetz des Stahls

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

523

6.4.3 Mehrdimensionale Materialgesetze nach der Plastizitätstheorie Einleitung Grenzzustände isotroper Materialien bei mehrdimensionaler Beanspruchung lassen sich mit Hilfe der Plastizitätstheorie beschreiben. Man nimmt an, dass sich ein Material bis zum Erreichen des Grenzzustandes des Fließens elastisch verhält. Die möglichen Spannungszustände, bei denen dieser Grenzzustand erreicht wird, werden durch sogenannte Fließbedingungen beschrieben. Werden die Dehnungen weiter gesteigert, verhält sich das Material plastisch. Bild 6.28 zeigt dies am Beispiel der zweidimensionalen von-Mises Fließbedingung. Auf den Achsen sind die Hauptspannungen σ1 und σ 2 aufgetragen. Möglich sind Hauptspannungskombinationen, die innerhalb der von der Fließbedingung umschlossenen Fläche liegen. Das Material verhält sich dann elastisch. Nach dem Erreichen der Fließbedingung geht es in den plastischen Zustand über. Spannungszustände außerhalb der von der Fließbedingung umschlossenen Fläche sind ohne Berücksichtigung der Verfestigungswirkung nicht möglich, auch wenn die Dehnungen im platischen Bereich weiter zunehmen.

ı2

dε p

ı1

Bild 6-28: Zweidimensionale von-Mises Fließbedingung

Die Fließbedingung läßt sich so erweitern, dass die Verfestigungswirkung berücksichtigt wird. Nach dem Überschreiten der Fließgrenze stellen sich dann neue Grenzlinien ein. Bei isotroper Verfestigung entsprechen die neuen Grenzlinien einer Aufweitung, bei der kinematischen Verfestigung einer Verschiebung der ursprünglichen Grenzlinie, Bild 6-29.

ı2

ı2

ı1

Bild 6-29 Fließbedingungen mit Verfestigungswirkung

ı1

524

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Von-Mises Fließbedingung Die von-Mises Fließ bedingung lautet im ebenen Spannungszustand

(

)

1 2 ⋅ σ12 + ( σ1 − σ 2 ) + σ 22 − f y , 2

F=

(6.79)

grenze des Ma terials bezeichnet, Bild 6-28. Bei F < 0 wobei f y die eindimensionale Fließ verhält sich das Material elastisch. Fließ en tritt ein bei F= 0 ,

(6.79a)

d. h. wenn gilt

(

)

1 2 ⋅ σ12 + ( σ1 − σ 2 ) + σ 22 = f y . 2

(6.79b)

m I allgemeinen dreidimensi onalen Spannungszustand lautet die von-Mises Fließbedingung mit den Hauptspannungen σ1 , σ 2 und σ3 F=

1 ⋅ 2

((σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ ) ) − f 2

2

1

2

2

2

3

1

3

y

= 0.

(6.80)

Aus der Gleichung wird deutlich, dass für das Erreichen des Fließ ens di e Differenz der Hauptspannungen, nicht aber deren absolute Größe ents cheidend ist. Auch bei sehr großen Zug- oder en ein, solange nur die DifferenDruckspannungen σ1 , σ 2 und σ 3 tritt nach (6.80) kein Fließ zen der Hauptpannungen die Bedingung F < 0 erfüllen, Bild 6-31a.

Drucker-Prager Fließbedingung Die von-Mises Fließbedingung gilt für Materialien, deren Zug- und Druckfestigkeit gleich ist. Dies ist bei vielen Materialien wie beispielsweise bei Fels oder Böden nicht der Fall. Für Materialien mit geringer Zugfestigkeit wurden andere Fließbedingungen entwickelt. Die Fließ bedingung von Drucker-P rager, Bild 6-31a, lautet F = k ⋅ ( ı1 + ı 2 + ı 3 )+

1 ⋅ 6

(( ı − ı ) + ( ı 2

1

2

2−

ı 3 ) + ( ı1 − ı 3 ) 2

2

)− Į= 0

(6.81)

mit Į=

6 ⋅ c⋅ cosĳ 3 ⋅ ( 3 − sinĳ)

,

k=

2⋅ sinĳ 3 ⋅ ( 3 − sinĳ)

.

(6.81a)

Hierin bedeuten c die Kohäsion und ϕ der eRibungswinkel des Materials. Im Grenzübergang bedingung (6.80) über. mit ϕ = 0 und f y = 2⋅ c geht (6.81) in die von-Mises Fließ

Mohr-Coulomb Fließbedingung Alternativ zur Drucker-P rager-Fließbedingung wi rd in der Geotechnik häufig die MohrCoulomb Fließ bedingung verwendet, Bild 6-31b. Sie wird durch drei Gleichungen beschrieben:

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

1 ⋅ 2 1 F2 = ⋅ 2 1 F3 = ⋅ 2 F1 =

525

1 ⋅ ( ı 2 + ı 3 )⋅ sin ϕ − c⋅ cos ϕ = 0 2 1 ı 3 − ı1 + ⋅ ( ı 3 + ı1 )⋅ sin ϕ − c⋅ cos ϕ = 0 2 1 ı1 − ı 2 + ⋅ ( ı1 + ı 2 )⋅ sin ϕ − c⋅ cos ϕ = 0 2

ı 2 − ı3 +

(6.82)

Die Spannungen σ1 , σ 2 und σ 3 sind Druckspannungen und gehen mit negativem Vorzeichen in die Gleichungen ein. Für den Fall σ3 < σ 2 < σ1 ist (6.82) in Form des Mohr’schen

Schubspannung

Spannungskreises in Bild 6-30 dargestellt. Fließ en tritt demnach ein, wenn einer der drei Hauptspannungskreise die durch die Kohäsion c und den eRibungswinkel ϕ definierte Gerade berührt.

−ı

3

−ı

− ı2

1

Bild 6-30 Mohr-Coulomb Fließ bedingung

Die dreidimensionalen Fließ bedingungen sind mit der hier nicht weiter behandelten Treska Fließbedingung zusammenfassend in Bild 6-31 dargestellt.

− ı3

Drucker− Pr ager ĳ>0 ı1 = ı 2 = ı3

− ı3

vonMises

c⋅c

o tϕ

ĳ=0 − ı2

− ı1

c

tϕ ⋅ co

Mohr − Coulomb ĳ>0 ı1 = ı 2 = ı3

Tresca ĳ=0

− ı2

− ı1 (a) Von Mises und Drucker-Prager

Bild 6-31 Dreidimensionale Fließ bedingungen [6.15]

(b) Mohr-Coulomb und Treska

526

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Nach dem Ü berschreiten der Fließgrenze, die dur ch die Fließ bedingung definiert ist, wird das nichtlineare Materialverhalten durch das Fließ ge setz und gegebenenfalls durch ein Verfestigungsgesetz beschrieben. Die Verzerrungen setzen sich dann aus einem elastischen und einem plastsichen Anteil zusammen. Das Fließ gesetz gi bt die plastischen Verzerrungsinkremente an, die sich mit den augenblicklichen Spannungen und den Spannungsinkrementen infolge des Fließ ens einstellen. Bei assoziierten Fließ gese tzen steht der Verzerrungsvektor senkrecht auf der Fließ fläche, Bild 6-28, und es gilt für die plastischen Dehnungsinkremente d ε p = λ⋅

dF dσ

(6.82)

beziehungsweise für die Dehnungen in den drei Hauptrichtungen d ε p,1 = λ⋅

dF , d σ1

d ε p,2 = λ⋅

dF , d σ2

d ε p,3 = λ⋅

dF . d σ3

(6.82a)

grenze bestimmt werden. Der Faktor λ kann mit Hilfe der Spannungsbedingung an der Fließ Bei eRibungsmaterialien wie beispielsweise bei Böden trifft die Anna hme der assoziierten Fließ gesetze nicht mehr zu. Man spricht von nich tassoziierten Fließ gesetzen. Die plastischen Dehnungsinkremente sind nicht mehr senkrecht zur Fließ fläche. Vielmehr gilt d ε p,1 = λ⋅

dG , d σ1

d ε p,2 = λ⋅

dG , d σ2

d ε p,3 = λ⋅

dG . d σ3

(6.82b)

wobei G ≠ F die plastische oPtentialfunktion ist. Al s zusätzlicher aPrameter tritt der Dilatationswinkel auf. Auf der Grundlage der Fließbedi ngung läßt sich für Materialie n mit Verfestigung eine inkrementelle Tangenten-Steifigkeitsmatrix ermitteln. Man erhält den Zusammenhang zwischen der Spannungsänderung und der Dehnungsänderung zu d σ = D ep ⋅ d ε

(6.83)

mit T ∂G § ∂ F · ¸ ⋅D⋅ ⋅¨ D ep = D − D⋅ ∂σ © ∂σ ¹

1 § ∂F ·T ∂G A+ ¨ ¸ ⋅ D⋅ ∂σ © ∂σ ¹

(6.83a)

Hierin ist D die elastische Stoffmatrix, z. B. für den ebenen Spannungszustand nach (2.2b), und § ∂F ·T T ∂G A = −¨ ¸ ⋅σ ⋅ © ∂κ ¹ ∂σ

(6.83b)

wobei κ ein aPrameter ist, der die Verfestigung beschreibt. Die Herleitung von (6.83) kann der einschlägigen Literatur entnommen werden [6.5], [6.15]. Bei assoziativem Fließgesetz ist G= F .

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

527

6.4.4 Zweidimensionale Materialgesetze für Stahl, Beton und Stahlbeton Stahl Für Stahl verwendet man bei mehrdimensionaler Beanspruchung die von-Mises Fließ bedingung. Der Bauschingereffekt kann als kinematische Verfestigung nach Bild 6-29(b) berücksichtigt werden.

Beispiel 6.9 Eine Scheibe aus Stahl wird in den Hauptrichtungen mit den Spannungen

σ1 = 100 MN / m2 ,

σ 2 = − 80 MN / m2

beansprucht. Um welchen Faktor λ können diese Spannungen erhöht Materials eintritt, wenn die Fließ grenze f y = 240 MN / m2 beträgt?

werden bis Fließ en des

Mit der Fließ bedingung nach von_Mises (6.79) erhält man

λ⋅

(

)

1 2 ⋅ 1002 + (100 + 80) + 802 − 240 = 0 2

und daraus den Lastfaktor λ = + 1.54 beziehungsweise als weitere Lösung eßn tritt demnach ein bei

σ1u = 154 MN / m 2 ,

λ = − 1.54 . Flie-

σ 2u = − 123 MN / m 2

beziehungsweise bei

σ1u = − 154 MN / m 2 ,

σ 2u = 123 MN / m 2 .

Beton Die Druckfestigkeit von Beton wird durch Spannungen, die orthogonal zur betrachteten Spannungsrichtung wirken, beeinflußt. W ährend Querdruckspannunge n die Druckfestigkeit erhöhen, wirken Querzugspannungen abmindernd auf die Druckfestigkeit. Dieses Verhalten kann analy tisch mit den von Kupfer/Gerstle angege benen Gleichungen beschrieben werden, [6.23]. Sie geben die Betonfestigkeiten f1 und f2 in den beiden Hauptspannungsrichtungen in Abhängigkeit vom Verhältnis α=σ1/σ2 der Hauptspannungen an, Bild 6-32. Für die Beanspruchungsarten Druck/Druck, Zug/Druck und Zug/Zug erhält man nach [6.24] die in Tabelle 6-7 angegebenen Gleichungen für die Betonfestigkeiten:

Stahlbeton Das Verhalten von Beton und Stahlbeton unter zweidimensionaler Beanspruchung kann durch phänomenologische Materialgesetze, die aufgrund von Versuchsergebnissen formuliert werden, verhältnismäß ig detailliert beschrieben we rden. Eine solche Materialbeschreibung ist das Gesetz von Darwin/P ecknold [6.24]. Es handelt si ch um ein nichtlineares, inelastisches Materialgesetz in inkrementeller Form. Das Materialgesetz geht von den Hauptspannungs- bzw. Hauptdehnungsrichtungen im ebenen Spannungszustand aus. Für ej de Hauptri chtung wird eine nichtlineare Spannungs-Dehnungs-Beziehung formuliert. Es handelt sich also um ein

528

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

orthotropes Materialgesetz. Die Spannungs-Dehnungs-Linien in den beiden Hauptrichtungen werden zunächst weitgehend unabhängig voneinander betrachtet. Als gegenseitige Einflüsse werden der Einflußder Querdehnung auf die St eifigkeit und der Einfluß des Querdrucks beziehungsweise Querzugs auf die Betonfestigkeit berücksichtigt.

Bild 6-32 Betonfestigkeit im zweidimensionalen Spannungszustand

Tabelle 6-7 Betonfestigkeit im zweidimensionalen Spannungszustand Bereich

σ1

σ2

Druck/Druck

≤ 0

≤ 0

Zug/Druck

> 0

≤ 0

f2

f 2c =

f 2c =

wenn

1+ 3.65⋅ α (1+ α )2 1+ 3.28⋅ α (1+ α )2 1+ 3.28⋅ α (1+ α )2

⋅ fc

⋅ fc

Zug/Zug

> 0

> 0

f 2t = f ct

Spannungen σ1, σ 2 : Zug positiv Es gilt: σ1 > σ 2

f1t = α ⋅ f 2c

f1t = f ct

1+ 3.28⋅ α (1+ α )2

f1c = α ⋅ f 2c

⋅ fc ≤ 0.65⋅ f c

f 2c = f ct / α wenn

f1

⋅ fc > 0.65⋅ f c

f1t = f ct

α = σ1 / σ 2 Betonfestigkeit: f c < 0

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

ε 2,c

σ 1,c

ε 1,c

σ 1,c

σ 2,

c

c

σ 2,

529

Bild 6-33 Äquivalente Spannungs-Dehnungsbeziehungen des Betons

Als Spannungs-Dehnungs-Linien in den beiden Hauptrichtungen werden die eindimensionalen Materialgesetze des Betons angesetzt, wobei diese aber zur Berücksichtigung der Querspannung modifiziert werden. Man bezeichnet die modifizierten Beziehungen auch als „äquivalente einachsige Spannungs-Dehnungs-Beziehungen“ oder „Equivalent Uniaxial Stress-Strain Curve“. Dazu werden in den beiden eindimensionalen Materialgesetzen für die Betonfestigkeit fc die Festigkeiten f1c beziehungsweise f2c nach Tabelle 6-7 eingesetzt. Die Dehnung εc1 bei der maximalen Druckspannung wird ebenfalls vom zweidimensionalen Spannungszustand beeinflusst. Sie ist nach [6.26] anzusetzen zu:

§

εic = εc1 ⋅¨ 3⋅ ©

· fic − 2¸ fc ¹

§ · § fic ·3 § fic ·2 fic ¸ ¨ ¨ ¸ ¨ ¸ + 2.25⋅ + 0.35⋅ εic = εc1 ⋅ − 1.6⋅ ¨ fc ¸ © fc ¹ © fc ¹ © ¹

für fic > f c

(6.84)

für fic ≤ f c

(6.84a)

Bei sehr kleinen Dehnungen εic kann es vorkommen, dass sich das Vorzeichen der Krümmung nach (6.76) beziehungsweise (6.77) umdreht. Um dies zu vermeiden wird, falls das Verhältnis Ec0/EcS < 2 ist, die Dehnung εic so gesetzt, dass man Ec0/EcS= 2 erhält (Bild 6-24) . Für die beiden Hauptrichtungen lassen sich mit den Gleichungen für das eindimensionale Materialgesetz des Betons die Tangenten-Elastizitätsmodule E1 und E2 in Abhängigkeit der Dehnungen in den beiden Hauptrichtungen bestimmen. Die inkrementelle Steifigkeit des Betons lässt sich damit durch ein orthotropes Materialgesetz beschreiben, wobei die Hauptachsen die Orthotropieachsen sind. Die Querdehnzahlen µ1 und µ2 werden nach [6.26] vereinfachend durch µ =

µ1 ⋅ µ2 ersetzt.

Für die Querdehnzahl µ werden folgende Beziehungen angegeben:

µ = µ0 im Druck-/Druck- und Zug-/Zug-Bereich § σ 2 ·4 § σ ·4 ¸ + (1.2 − µ0 )⋅ 0.4⋅¨ 1 ¸ ≤ 0.99 © fc ¹ © fc ¹

µ = µ0 + (1.2 − µ0 )⋅ 0.6⋅¨

im Druck-/Zug-Bereich und bei einachsigem Druck.

(6.85)

530

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Dabei ist σ1 > σ 2 und µ0 = 0.2 . Die Gleichung berücksichtigt die bei hoher Druckbeanspruchung in Versuchen beobachtete Volumenzunahme, die zu Werten µ > 0.5 führen kann. Der Schubmodul G wird nach [6.26] so gewählt, dass er nicht von der betrachteten Spannungsrichtung abhängt. Man erhält mit dieser Annahme: G=

1 4⋅ (1− µ )

2

⋅ ( E1 + E2 − 2⋅ µ⋅ E1 ⋅ E2 )

(6.86)

Damit lautet das inkrementelle, orthotrope Materialgesetz:

ª E1 ª d σ1 º « 1 « « » ⋅ µ ⋅ E1 ⋅ E2 « d σ2 » = 2 « «¬ d τ »¼ 1− µ « 12 0 ¬

µ⋅ E1 ⋅ E2 E2 0

º » ª d ε1 º »⋅« d ε » 0 2 » »« «¬ d γ »¼ 2 » 12 1− µ ⋅ G ¼ 0

(

(6.87)

)

d σ12 = Dt ,12 ⋅ d ε12

(6.87a)

Da das Stoffgesetz für die Berechnung der inkrementellen Steifigkeitsmatrix eines Finiten Elements in den jeweiligen Elementkoordinaten benötigt wird, ist das Materialgesetz auf die Elementkoordinaten zu transformieren. Man erhält für die Transformation der Spannungen ª º ª σ1 º « σx » « » T « σ y » = T ⋅« σ 2 » « » «¬ τ »¼ 12 «¬ τ xy »¼

die Transformationsmatrix zu ª cos(ϕ )2 sin(ϕ )2 sin(ϕ )⋅ cos(ϕ ) º « » T =« sin( ϕ ) 2 cos(ϕ ) 2 − sin(ϕ )⋅ cos(ϕ ) » « » «¬ − 2⋅ sin(ϕ )⋅ cos( ϕ ) 2⋅ sin( ϕ )⋅ cos( ϕ ) cos(ϕ )2 − sin(ϕ )2 »¼

(6.88)

Damit lautet die Transformation des Materialgesetzes auf Elementkoordinaten D t = T T ⋅ D t ,12 ⋅ T .

ı2

(6.89)

ı1 ĳ Bild 6-34: Elementkoordinaten und Hauptspannungsrichtungen

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

531

Durch Aufsummieren der inkrementellen Verzerrungen erhält man den gesamten Verzerrungszustand zu

εi,u =

¦ d εi,u

(6.90)

k

Bei Finite-Element-Berechnungen werden die Dehnungen der Elemente (beispielsweise an den Integrationspunkten) abgespeichert und in jedem Schritt aktualisiert. Da sich die Hauptspannungsrichtungen während der Belastungsgeschichte drehen, werden dabei Dehnungen unterschiedlicher Richtungen aufsummiert. Die äquivalenten Dehungen sind also ebenso wie die äquivalenten Spannungen fiktive Werte, die die Belastungsgeschichte in unterschiedlichen Richtungen enthalten. Die Gleichungen gelten daher genau genommen nur für proportional ansteigende Spannungen, d. h. wenn alle Komponenten des Spannungsvektors im gleichen Verhältnis ansteigen. Das Verfahren lässt sich folgendermaßen zusammenfassen: Verfahren der äquivalenten Spannungen nach Darwin/Pecknold

1.

Ermittlung der Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen

2.

Ermittlung der Druckfestigkeiten und zugehörigen Stauchungen für den zweiachsialen Spannungszustand nach Tabelle 6-7 und (6.84, 6.84a)

3.

Ermittlung der Tangenten-E-Moduli E1 und E2 nach dem Konzept der einachsigen äquivalenten Dehnungen und (6.78, 6.78a)

4.

Ermittlung der Querdehnzahl und des Schubmoduls nach (6.85), (6.86)

5.

Matrix des inkrementellen Materialgesetzes in den Hauptrichtungen(6.87)

6.

Transformation von den Hauptrichtungen auf die Elementkoordinaten (6.88, 6.89)

Die bisher betrachtete klassische Materialbeschreibung nach Darwin/Pecknold gilt für proportional ansteigende Spannungen. Übersteigt eine der beiden Hauptspannungen die Zugfestigkeit des Betons, entsteht ein Riss senkrecht zur betrachteten Richtung. Ein zweiter Riss kann sich dann bei Zugbeanspruchung in der zweiten Hauptspannungsrichtung, d. h. senkrecht zum ersten Riss einstellen. Die Spannungen können aber während des Belastungprozesses ihre Richtung durchaus auch ändern [6.27]. Man unterscheidet mehrere Konzepte, um rotierende Hauptspannungsrichtungen im Modell zu behandeln. Beim Konzept der festen Rissrichtung nach Darwin/Pecknold wird nach dem Auftreten der ersten Risse die Rissrichtung beibehalten. Dies führt bei einer Rotation der Hauptspannungsrichtungen zu Schubspannungen im Riss. Aufgrund der Schubübertragung im Riss können sich aber dann andere Hauptzugspannungen als parallel zum ersten Riss einstellen. Beim Konzept der rotierende Rissrichtungen werden hingegen die Rissrichtungen mit den Hauptspannungsrichtungen mitgedreht und es treten keine Schubspannungen in den Rissen auf [6.28], [6.29]. Alle Konzepte haben Vor- aber auch Nachteile [6.30]. Bei allen Modellen muss auch untersucht werden, ob sich einmal aufgetretene Risse während der Belastungsgeschichte wieder schließen, da dann der Querschnitt wieder als homogener Querschnitt angesehen werden kann. Die Modelle können auch für hochfeste Betone erweitert werden [6.31]. Dynamische nichtlineare Berechnungen erfordern die Berücksichtigung weiterer Einflüsse. Insbesondere muss das Materialgesetz zyklische Belastungen beschreiben können [6.32]. Bei stoßartigen Belastungen ist auch die Belastungsgeschwindigkeit von Bedeutung [6.33].

532

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Beispiel 6.10 Es ist die Tangenten-Steifigkeitsmatrix für Beton mit den Spannungen

σx = -20 MN/m2

σy = -10 MN/m2

τxy = -5 MN/m2

nach Darwin/Pecknold zu ermitteln. Der Beton besitzt eine Druckfestigkeit von fc = -28 MN/m2 und eine Zugfestigkeit von fct = 2.2 MN/m2. Im eindimensionalen Spannungszustand beträgt die Dehnung εc1=-0.0022, der Elastizitätsmodul bei Belastungsbeginn ist Ec,0 = 31.9 104 MN/m2 und die Querdehnzahl µ0=0.2 Zunächst werden die Hauptspannungsrichtungen und die Hauptspannungen für den gegebenen Spannungszustand ermittelt. Man erhält:

ϕ=

2⋅ τ xy 1 ⋅ arctan = 22.50 2 σx − σ y

und damit die Hauptspannungen ª cos(ϕ )2 sin(ϕ )2 2⋅ sin(ϕ )⋅ cos(ϕ ) º ª σ º ª − 22.07 º ª σ2 º « »« x» « » « 2 2 »⋅« σ y » = « − 7.93 » . σ ϕ ϕ ϕ ϕ = − ⋅ ⋅ sin( ) cos( ) 2 sin( ) cos( ) « 1» « « » »« » « «¬ τ »¼ « »¼ 2 2» τ 0 ¬ 12 « » ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − 2 sin( ) cos( ) 2 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) ¬ ¼ ¬ xy ¼

Die Bezeichnung der Hauptspannungsrichtungen wurde so gewählt, dass σ1 > σ 2 gilt, Bild 6-35.

Bild 6-35: Spannungen und Hauptspannungsrichtungen

Die Betonfestigkeiten in den beiden Hauptrichtungen erhält man nach Tabelle 6-7 mit α = σ1 / σ2 = − 7.93/− 22.07 = 0.359 zu f 2c =

1+ 3.65⋅ α (1+ α )

2

⋅ f c = 1.25⋅ fc = 35.03

f1c = α ⋅ f 2c = 0.359⋅ f 2c = 12.58

MN m2

MN m2

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

533

Die zugehörigen Dehnungen sind nach (6.84) beziehungsweise (6.84a) § f · ε2c = − εc1 ⋅¨ 3⋅ 2c − 2¸ fc © ¹

§ 35.03 · = − 2.2⋅ 10− 3 ⋅¨ 3⋅ − 2¸ © ¹ 28

§

= − 3.86⋅ 10− 3 ,

§ 12.58 ·3 § 12.58 ·2 12.58 ·¸ 2.25 0.35 + ⋅ + ⋅ = − 1.03⋅ 10− 3 . ¸ ¨ ¸ © 28 ¹ © 28 ¹ 28 ¸¹

ε1c = − 2.2⋅ 10− 3 ⋅¨¨ − 1.6⋅¨ ©

Für den äquivalenten eindimensionalen Spannungszustand wird das Materialgesetz von Sargin verwendet. Mit den Betonfestigkeiten f1c und f2c und den dazugehörigen Dehnungen ε1c und ε2c erhält man die Spannungs-Dehnungs-Linien nach (6.77), (6.77a) zu

mit

σ c1 = −

2.86⋅ η1 − η12 ⋅ 12.58ª¬ MN / m 2 º¼ , 1+ 0.86⋅ η1

σc2 = −

3.86⋅ η2 − η22 ⋅ 35.03ª¬ MN / m 2 º¼ 1+ 1.86⋅ η2

η1 =

εc − 0, 00103

,

εc

η2 =

− 0, 00386

.

Die Tangenten-Elastizitätsmodule lauten nach (6.78a)

(

)

§ 2.86⋅ η1 − η12 ⋅ 0.86 ¸· 12.58 ª MN º ¨ 2.86 − 2⋅ η1 EcT ,1 = ¨ − ¸¸⋅ 0.00103 «¬ 2 »¼ 2 ¨ 1+ 0.86⋅ η1 m + ⋅ 1 0.86 η ( ) 1 © ¹

(

)

§ 3.86⋅ η2 − η22 ⋅ 1.51 ¸· 35.03 ª MN º ¨ 3.86 − 2⋅ η2 EcT ,2 = ¨ − ¸¸⋅ 0.00386 «¬ 2 »¼ 2 ¨ 1+ 1.86⋅ η2 m 1 1.86 η + ⋅ ( ) 2 © ¹

Die Spannungs-Dehnungs-Linien sowie die Verläufe der Tangentenelastizitätsmoduli sind in normierter Form in Bild 6-36 dargestellt. Die aktuellen Dehnungen, die dem gegebenen Spannungszustand entsprechen, betragen in den beiden Hauptrichtungen ε1=-0.000323 und ε2=-0.00100 (Bild 6-36). Sie ergeben sich durch Summieren der Dehnungen in den vorangegangenen Schritten. Bei Finite-ElementBerechnungen werden die Dehnungen der Elemente an den Integrationspunkten abgespeichert und in jedem Lastschritt aktualisiert. Die Tangenten-Elastizitätsmodule für die Dehnungen erhält man aus den obigen Beziehungen für ε1=-0.000323 und ε2=-0.00100 zu E1=16300 MN/m2 beziehungsweise E2=13290 MN/m2. Die Querdehnzahl beträgt nach (6.85) µ = µ0 = 0.2. Damit erhält man den Schubmodul nach (6.86) zu G = 6174 MN/m².

534

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode σ c1 σ c 2 fc

,

σ c2

fc

fc

σ c1 fc

− ε c ⋅ 10 −3

ε 2 ε1

EcT ,1 EcT , 2 , Ec 0 Ec 0 EcT , 2 Ec 0

− ε c ⋅ 10 −3

EcT ,1 Ec 0

Bild 6-36 Spannungen und Tangenten-Elastizitätsmoduli

Die inkrementelle Steifigkeitsmatrix in den Hauptrichtungen lautet damit nach (6.87), (6.87a): ª E1 « 1 « D t ,e = ⋅ µ⋅ E1 ⋅ E2 1− µ 2 « « 0 ¬

µ⋅ E1 ⋅ E2 E2 0

º 0 º » ª 16984 3067 « » MN » = « 3067 13846 0 0 » 2 » m « 0 6174 »¼ 1− µ 2 ⋅ G ¼» ¬ 0 0

(

)

Diese Matrix ist auf die Elementkoordinaten zu transformieren. Mit θ = -22.5° erhält man die Transformationsmatrix nach (6.88) zu ª 0.854 0.146 -0.354 º « » T = « 0.146 0.854 0.354 » «¬ 0.707 -0.707 0.707 »¼

Nach der Transformation der Steifigkeitsmatrix mit Dt = T T ⋅ Dt ,12 ⋅ T

lautet die inkrementelle Materialbeziehung in Elementkoordinaten

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

535

ª º ª º ºª « d σ x » « 16525 3067 -555 » « d ε x » « d σ y » = « 3067 14306 -555 »⋅« d ε y » , « » « « » -555 6174 »¼ «¬ d γ xy ¼» ¬« d τ xy ¼» ¬ -555

d σ = Dt ⋅ d ε .

Die Matrix ist in [MN/m²] angegeben.

6.4.5 Elemente mit materieller Nichtlinearität Bei Scheibenelementen mit materieller Nichtlinearität handelt es sich aus der Sicht der Elementformulierung um Elemente, deren Materialeigenschaften sich über die Elementfläche ändern. Die Steifigkeitsmatrix wird beispielsweise nach (4.41) durch numerische Integration ermittelt. An den Integrationspunkten wird die jeweilige Tangentensteifigkeit Dt etwa beim Beton nach (6.89) angesetzt. Die Bewehrung wird durch Stabelemente oder auch als verschmierte Bewehrung mit orthotropen Scheibenelementen ohne Schubsteifigkeit modelliert. Diese werden in der Elementsteifigkeitsmatrix superponiert [6.34]. Bei nichtlinearen Plattenberechnungen treten häufig große Verformungen auf. Zu deren Berücksichtigung eignen sich insbesondere degenerierte Schalenelemente mit endlich großen Verschiebungen. Weiterhin enthalten diese Elemente auch den Anteil der Normalkräfte, die bei nichtlinearen Berechnungen mit großen Verformungen bedeutend sein können. Bei diesen Elementen, die aus Volumenelementen hergeleitet sind, ist die Integration über das Elementvolumen durchzuführen. Während man für die Integration über die Elementfläche die klassische Gauß’sche Integration verwendet, sind für die Integration über die Elementdicke an den Gaußpunkten wegen des stark variierenden Materialverhaltens genauere Verfahren erforderlich. Hierzu teilt man das Element über die Dicke h in n Schichten ein. In jeder Schicht nimmt man ein über die Schichtdicke konstantes Materialverhalten an. Integriert wird die Steifigkeitsmatrix nach Simpson oder einem anderen geeigneten Verfahren (Bild 6-37). Bei Schalenelementen aus Stahlbeton sind in der Regel 6-10 Schichten erforderlich. Die Schnittgrößen ergeben sich ebenfalls durch numerische Integration über die Schalendicke (vgl. Bild 2-8). Bei Annahme einer konstanten Spannung in jeder Schicht erhält man h/2

³

nx =

σ x dz =

− h/2

h ⋅ 2

h/2

mxy =

³

τ xy ⋅ dz =

− h/2 h/2

mx =

³

− h/2

n

h/2

¦

σ x,i ⋅ ∆ςi ,

³

σ y dz =

− h/2

i= 1

h ⋅ 2

ny =

h ⋅ 2

n

¦ σ y,i ⋅ ∆ςi , i= 1

n

¦ τ xy,i ⋅ ∆ςi , i= 1

h2 σ x ⋅ z dz = ⋅ 4

n

¦

i= 1

h/2

σ x,i ⋅ ςi ⋅ ∆ςi , m y =

³

− h/2

σ y ⋅ z dz =

h2 ⋅ 4

n

¦ σ y,i ⋅ ςi ⋅ ∆ςi i= 1

536

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode h/2

³

mxy =

τ xy ⋅ z dz =

− h/2

h/2

vx =

³

− h/2

τ xz dz =

h ⋅ 2

h2 ⋅ 4

n

¦ τ xy,i ⋅ ςi ⋅ ∆ςi , i= 1

n

¦

h/2

τ xz ,i ⋅ ∆ςi ,

vy =

³

− h/2

i= 1

τ yz dz =

h ⋅ 2

n

¦ τ yz,i ⋅ ∆ςi . (6.90) i= 1

Zusätzlich sind die Spannungsanteile der Bewehrung zu berücksichtigen. Beim Konzept der verschmierten Bewehrung betrachtet man diese als eine dünne „Schicht“ mit orthotropem Materialverhalten, d. h. bei Verlegung in x-, y-Richtung treten ausschließlich Längsspannungen σ x und σ y aber keine Schubspannungen auf. ς = −1

ς

ςi ∆ς i

σi

ς =1

Bild 6-37 Integration über die Schalendicke

Auch bei reiner Biegebeanspruchung können infolge des Reißens des Betons in der Plattenmittelfläche Dehnungen und somit auch Verschiebungen auftreten. Daher sind bei ebenen Plattenelementen die Verschiebungen in der Plattenebene mit den Verdrehungen und den Verschiebungen quer zur Plattenebene gekoppelt, sobald das Material sich nichtlinear verhält. Bei einer gerissenen Platte können somit auch bei Biegebeanspruchung Verformungen in der Plattenebene sowie Membrankräfte auftreten. Bei geschichteten Schalenelementen wird ausschließlich die Materialnichtlinearität aufgrund des Biege- und Membranzustandes beschrieben. Nichtlinearitäten, die infolge von Querkräften auftreten oder in Kombination von Normalkraft- und Querkraftbeanspruchungen werden mit dem Modell nicht erfasst. Daher kann auch die Schubtragfähigkeit vom Platten, etwa zur Beschreibung des Durchstanzverhaltens von diesen Modellen nicht wiedergegeben werden. Gegebenenfalls führen hier dreidimensionale Volumenmodelle weiter. Das Verfahren der geschichteten Elemente kann auch bei Stabelementen angewandt werden [6.35]. Eine weitere Vereinfachung erhält man, wenn man alle Krümmungsanteile in einem Bereich zu Gelenken zusammengefasst. Man spricht dann von der Fließgelenktheorie [6.36], [6.37]. Die nichtlineare Momenten-Drehwinkel-Beziehungen, die auch die Interaktion von Momenten und Normalkräften darstellen müssen, lassen sich in der Steifigkeitsmatrix berücksichtigen. Aufgrund des bei Laststeigerung zunehmenden Auftretens von Fließgelenken ist eine fortlaufende Veränderung des statischen Systems erforderlich [6.7], [6.38]. Wie bei geschichteten Plattenelementen ist auch bei diesen Stabmodellierungen der Einfluss der Querkraft nicht im Modell enthalten und besonders zu betrachten.

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

537

Beispiel 6.11 Beton:

h = 20 cm µ = 0.2 f c = −33 MN / m 2 f ct =

λ⋅ p

0

Stahl:

E = 210000 MN / m 2 f y = 500 MN / m 2 Gleichlast

p = 1.0 kN / m 2 (a) System

(b) Bewehrung

15x10

30x20

(c) FE-Modelle Bild 6-38 Stahlbetonplatte

Die Tragfähigkeit einer mit einer Gleichlast p belasteten Stahlbetonplatte ist zu ermitteln, Bild 6-38. Die Platte wird mit einem geschichteten Schalenelement mit [P1] berechnet. In jeder Schicht wird der Beton mit dem Modell der äquivalenten Spannungen und dem Spannungs-Dehnungsdiagramm nach Bild 6-39 abgebildet. Die Zugfestigkeit des Betons sowie die Mitwirkung des Betons auf Zug zwischen den Rissen (Zugversteifung) werden vernachlässigt. Die Platte ist an der Unterseite in zwei orthogonale Richtungen mit asx,u = asy,u = 3.0 cm2 / m ' 2 bewehrt. An der Plattenoberseite ist eine Einspannbewehrung mit asy ,o = 3.0 cm / m von der Einspannstelle bis zum Abstand y = 1.20 m (ohne Verankerungslänge und Versatzmaß) einge-

538

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

baut. Für den Stahl wird ein ideal elastisch-plastisches Verhalten mit einer Fließgrenze von f y = 500 MN / m2 angenommen, Bild 6-39b. Die Berechnung wird vergleichsweise mit zwei unterschiedlich feinen Finite-Element-Modellen durchgeführt, Bild 6-38c. Die Platte ist horizontal zwängungsfrei gelagert, d. h. alle Punkte sind horizontal in x- und y-Richtung frei verschieblich mit Ausnahme von zwei Punkten für eine statisch bestimmte Festhaltung. Die Berechnung erfolgt lastgesteuert mit einer Gleichgewichtsiteration nach Newton-Raphson.

σ c [ MN / m2 ]

ε c ⋅10 −3

σ s [MN / m 2 ]

ε s ⋅10 −3

Bild 6-39 Spannungs-Dehnungs-Kurven

Die Gleichlast λ⋅ p wird von 0 bis zum Erreichen der Tragfähigkeit gesteigert. Bild 6-40 zeigt den Verlauf der Durchbiegung im Feld (Punkt m) sowie der Biegemomente in der Mitte des eingepannten Randes (Punkt e) und im Feld (Punkt m). Bei einer elastischen Platte mit l y / lx = 4.50 / 3.00 = 1.5 beträgt das Verhältnis von Einspannmoment zu maximalem Feldmo-

ment me, y / mm, y = 19.8 / 9.00 = 2.2 , [6.39]. Das Fließmoment von ca. 25 kNm/m wird daher zunächst am eingespannten Rand erreicht, und zwar bei einem Lastfaktor λ = 25 . Da keine Verfestigung des Betonstahls berücksichtigt wird, bleibt das Einspannmoment bei weiterer Laststeigerung annähernd konstant. Bei einem Lastfaktor von λ = 38 bildet sich auch im Feld ein Fließgelenk aus. Die Iteration findet bei einem Lastfaktor von λ = 45 (FE-Modell 15x10) beziehungweise λ = 38 (FE-Modell 30x20) kein Gleichgewicht mehr. Die Bewehrung fließt an der Einspannstelle wie auch großflächig im Feld in y-Richtung, Bild 6-41. In x-Richtung befinden sich die Spannungen im letzten Lastschritt mit 252 MN/m² noch deutlich im linearen Bereich. Die Berechnung ließe sich mit dem Bogenlängenverfahren oder mit einem verformungsgesteuerten Vorgehen weiter fortführen. Mit der stark vereinfachenden Bruchlinientheorie erhält man sogar einen Lastfaktor von λ = 58 . In der Praxis wird der Grenzzustand der Tragfähigkeit durch das Erreichen von Grenzdehnungen im Stahl und Beton definiert (vgl. Abschnitt 6.6). Die maximalen Stahldehnungen betragen im letzten Lastschritt 12 ⋅ 10− 3 (FEModell 15x10) beziehungsweise 14 ⋅ 10− 3 (FE-Modell 30x20) und sind damit bereits recht hoch. Darüber hinaus sind bei praktischen Anwendungen die Sicherheiten nach der Norm und bei der Bestimmung der Durchbiegungen realistische Zugfestigkeiten des Betons und die Zugversteifung anzusetzen und das Querkrafttragverhalten zu überprüfen.

6.4 Nichtlineare Materialgesetze

539

λ

λ

(a) Durchbiegung im Punkt m

(b) Biegemomente my in der Mitte des eingespannten Randes und im Feld

Bild 6-40 Biegemomente und Durchbiegungen der Platte

(a) Bewehrung unten Maximum aus x- und y-Richtung

(b) Bewehrung oben

Bild 6-41 Maximale Stahlspannungen [MN/m²] im Lastschritt λ = 38 (30x20-Elemente)

540

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

6.5 Modellbildung 6.5.1 Stabtragwerke Die Modellierung von Stabtragwerken bei Berechnungen nach Theorie II. Ordnung hängt vom verwendeten Elementtyp ab. Bei Steifigkeitsmatrizen auf der Grundlage der analytischen Lösung nach (6.52) oder (6.58) sind die Ergebnisse von der Diskretisierung unabhängig. Es können also beliebig große Elemente verwendet werden, ohne dass dies die Genauigkeit der Ergebnisse beeinflusst. Werden jedoch Steifigkeitsmatrizen aufgrund von Näherungsansätzen für den Einfluss der Theorie II. Ordnung verwendet, hängt die Genauigkeit von der Elementdiskretisierung ab. Es tritt also wie bei Finiten Elementen für Flächentragwerken ein Diskretisierungsfehler auf. In der Regel wird die Formulierung nach (6.50) verwendet. In diesem Fall sollte die Elementgröße A auf Werte A < 1.5⋅

Sx E⋅ I

(6.91)

beschränkt werden, wobei Sx die Stablängskraft bedeutet.. In der Regel ergeben sich dann Fehler der Verschiebungs- und Schnittgrößen < 3%. Beim Element mit P-∆-Effekt nach (6.49) wird der Krümmungsanteil bei der Theorie II. Ordnung vernachlässigt. Dieses Element erfordert daher eine deutlich feinere Diskretisierung als das Element mit kubischen Verschiebungsansätzen nach (6.50), Bild 6-42.

Bild 6-42 Krümmungsanteil bei Elementen nach Theorie II. Ordnung

6.5.2 Flächentragwerke Für die Modellierung von Flächentragwerken gelten dieselben Grundsätze wie bei linearen Berechnungen. Allerdings müssen Singularitäten an Lagern und Lasteinleitungsbereichen vermieden werden. Hierzu werden Lager als Flächenlagerung und Einzellasten als verteilte Lasten modelliert. Die erforderliche Größe der Elemente hängt grundsätzlich vom Spannungsgradienten ab. Dieser kann aber gerade bei nichtlinearen Berechungen in der Nähe von Spannungsspitzen, die bei Laststeigerung etwa zu Rissen führen, lokal sehr hoch sein. Eine zu grobe Elementierung, die einen solchen Spannungsgradienten nicht darstellen kann, ergibt ein falsches Spannungs- und

6.5 Modellbildung

541

Rißbild. Daher muss der Elementgröße in Bereichen mit materieller Nichtlinearität besondere Aufmerksamkeit geschenkt werden. Nichtlineare Berechnungen erfordern meist ein deutlich feineres Finite-Element-Netz als lineare Berechnungen, wenn eine vergleichbare Genauigkeit erreicht werden soll (vgl. Beispiele 6.11 und 6.12). Auch die Wahl des Elementtyps sowie der Elementform beeinflussen das Ergebnis [6.40]. Beispiel 6.12 Eine Scheibe aus Stahlbeton mit einer einspringenden Ecke wird durch zwei momentenförmige Spannungsverläufe belastet. Dies könnte ein Ausschnitt aus der bereits in Beispiel 4.15 behandelten Scheibe darstellen, Bild 3-39. Die Scheibe ist mit einem unverschieblichen Lager in der rechten unteren Ecke und einem unter 45° verschieblichen Lager in der einspringenden Ecke statisch bestimmt gelagert. Anhand dieses Modells soll das Konvergenzverhalten und die Ausbildung der Singularität in der einspringenden Ecke untersucht werden. Die Scheibe hat eine Dicke von t = 20 cm und ist mit Stäben mit einer Querschnittsfläche As = 2 cm2 in einem Abstand von e = 20 cm in x- und y-Richtung bewehrt. Für den Stahl wurde ein einfaches, bilineares Materialverhalten ohne Verfestigung angenommen und die Bewehrungsstäbe mit einzelnen Stabelementen modelliert. Die Berechnung erfolgt nichtlinear mit [P5] und dem dort implementierten Materialgesetz für Beton, das in seinen Grundzügen demjenigen von Darwin/Pecknold entspricht. Das Materialgesetz enthält auch eine Beschreibung des Tension Softening des Betons (Bild 6-26).

γ⋅p

Beton:

γ⋅p

E = 30000 MN / m 2

γ⋅p

µ = 0.2 f c = −25.5 MN / m

2

2.3 MN / m 2

3.0 m

ft =

2.0 m

t = 20 cm

Stahl:

As = 2 cm 2 e = 20 cm E = 210000 MN / m 2

γ⋅p

f y = 210 MN / m 2 Bild 6-43: Scheibe aus Stahlbeton mit einspringender Ecke

Die Scheibe wird in isoparametrische 4-Knoten-Elemente diskretisiert. Es wird ausschließlich die Materialnichtlinearität berücksichtigt, d. h. die Berechnung ist geometrisch linear. Zum Vergleich werden zwei Finite-Element-Modellierungen mit einer Elementgröße von e = 50 cm beziehungsweise e = 10 cm untersucht. Die Last wird schrittweise mit einem ansteigenden Lastfaktor von γ = 0.1, 0.2, ....1.0 aufgebracht. In jedem Lastschritt wird eine Gleichgewichtsiteration nach Newton-Raphson durchgeführt.

542

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

γ = 0.4

γ = 0.6

γ = 0.8

γ = 1.0 Elementgröße e=50 c

Elementgröße e=10 cm

Bild 6-44 Entwicklung des Rissbildes bei unterschiedlichen Finite-Element-Modellen

6.5 Modellbildung

543

Die Scheibe kann bis zum Reißen des Betons eine Zugkraft von n = 0.25⋅ 2.3 = 0.58 MN / m aufnehmen. Bei ansteigenden Dehnungen nimmt die vom Beton aufgenommene Zugkraft bis auf den Wert 0 ab. Die von der Bewehrung an der Fließgrenze aufnehmbare Normalkraft beträgt n = 6⋅ 10− 4 ⋅ 210 ⋅ 100 / 0.20 = 0.63 MN / m . Die Entwicklung des Rissbildes ist für zwei Finite-Element-Modelle in Bild 6-44 dargestellt. Beim Modell mit einer Elementgröße von e = 10 cm stellen sich erste Risse in der Ecke bereits bei γ = 0.2 ein. Beim Modell mit den größeren Elementen mit e = 50 cm ist dies erst bei γ = 0.4 der Fall. Bei weiterer Laststeigerung zeigen sich bei einem Lastfaktor γ = 0.6 deutliche Unterschiede in den Rissverläufen beider Modelle. Während beim Modell mit e = 50 cm sich zwei Risse in vertikaler beziehungsweise horizontaler Richtung ausbilden, tritt beim Modell mit der feinen Elementierung ein Riss auf, der unter 45° von der Ecke verläuft. In einem gewissen Abstand von der Ecke bildet sich aufgrund von Querzugspannungen eine zweite Risseschar senkrecht zur erstgenannen Rissrichtung aus. Dieser Effekt wird vom Modell mit der gröberen Elementierung bei γ = 0.6 nicht wiedergegeben. Bei weiterer Laststeigerung bilden sich die Unterschiede in den beiden Finite-Element-Modellen weiter aus. Erst bei der Laststufe γ = 1.0 treten auch im Modell mit der gröberen Elementierung Risse auf, die die Querzugspannungen in der Ecke wiedergeben. Deutliche Unterschiede im Rissbild bleiben aber auch hier zwischen beiden Finite-Element-Modellen bestehen. Die mittleren Rissbreiten in der Ecke und im Bereich der Querzugspannungen sind beim Modell mit der groben Elementierung etwa 2-3 mal größer als beim Modell mit der feinen Elementierung. Dies erscheint unrealistisch und hängt mit der in [P5] für die Berechnung der Rißweiten zugrunde gelegten „Crack Band theory“ zusammen, die die Rissabstände auf die Elementgröße bezieht. Die Spannungen σ y im Beton sind für drei Schnitte bei verschiedenen Laststufen in Bild 6-45 aufgetragen. Bei γ = 0.1 ist der Beton noch ungerissen. Die Spannungen entsprechen im Wesentlichen der aufgebrachten Belastung, wobei ein Teil der Belastung auch von der Bewehrung aufgenommen wird. Beim Modell der feinen Elementierung zeigt sich im Spannungsverlauf die Ausbildung der Singularität in der einspringenden Ecke. Mit zunehmendem Lastfaktor reißt der Betonquerschnitt, von der einspringenden Ecke ausgehend, auf. Bei vollständig aufgebrachter Last, d. h. bei γ = 1.0 sind die Unterschiede in den Betondruckspannungen deutlich. So beträgt der Unterschied in den Betondruckspannungen am rechten Rand in Schnitt AA ( 6.87 − 5.15) / 6.87 = 25% . Die Stahlspannungen sind exemplarisch für den Stab an der einspringenden Ecke in Schnitt A-A in Bild 6-46 dargestellt. Sie lassen deutlich das Reißen des Betons, das in beiden Modellen in unterschiedlichen Laststufen auftritt, erkennen. Danach steigt die Spannung bis zur Fließgrenze f y = 210 MN / m 2 an. Das Beispiel macht deutlich, dass bei materiell nichtlinearen Finite-Element-Berechnungen eine feinere Netzeinteilung als bei linearen Berechnungen erforderlich ist, um relitätsnahe Ergebnisse zu erhalten. Dies gilt insbesondere bei Materialien mit Rissbildungen, da diese in Rissnähe einen hohen Spannungsgradienten aufweisen. Weiterhin ist auf eine gleichmäßige Elementgröße in denjenigen Bereichen, in denen Risse zu erwarten sind, zu achten. Damit soll verhindert werden, dass durch künstliche Steifigkeitsunterschiede - große Elemente sind steifer als kleine – Spannungsumlagerungen entstehen, die das Rissverhalten deutlich beeinflussen können.

544

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

γ = 0.1

γ = 0.6

γ = 1.0 Elementgröße e=50 cm

Elementgröße e=10 cm

Bild 6-45 Betonspannungen σ y in den Schnitten A-A, B-B, C-C

σ s [MN / m²]

γ

Bild 6-46 Stahlspannungen σ s in Abhängigkeit vom Lastfaktor

γ

(Schnitt A-A, Ecke)

6.5 Modellbildung

545

Beispiel 6.13 Die Berechnung einer Wandscheibe aus Stahlbeton wird anhand der Nachrechnung eines klassischen Versuchs von Leonhard und Walter 1964 gezeigt. Die Abmessungen und Bewehrung im Versuch WT2 nach [6.41] sind in Bild 6-47 dargestellt.

Bild 6-47 Versuchskörper einer Wandscheibe nach [6.41]

Für den Beton wurden im Rahmen der Versuchsreihe die Würfeldruckfestigkeit zu − 35.2 MN / m2 MPa, die Zylinderdruckfestigkeit zu − 29.9 MN / m2 , die Biegezugfestigkeit zu 4.7 MN / m2 sowie der Elastizitätsmodul Ecm = 32000 MN / m 2 bestimmt. Die Hauptbeweh-

rung bestand aus Stahl III mit dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm nach Bild 6-48, die Bügelbewehrung aus Stahl I mit f y = 220 MN / m2 .

Bild 6-48 Materialkennlinien des verwendeten Betonstahls (Rippentorstahl IIIb) [6.41]

Die Finite-Element-Berechnung erfolgt mit dem in Bild 6-49 dargestellten FE-Modell. DieBewehrung wird durch Einzelstäbe abgebildet. Die Spannungs-Dehnungs-Linie des Stahls wird als polygonartiger Linienzug abgebildet. Für den Beton wird das in [P5] implementierte Materialgesetz in Anlehnung an die oben angegebenen Kennwerte angesetzt. Die Lager wurden als Stahlplatten modelliert, die auf vertikal beziehungsweise verikal und horizontal unverschieblichen Lagern punktförmig gelagert sind. Dies entspricht der Lagerung im Versuch. Für den

546

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Stahl der Lagerplatten wurde ein linear elastisches Verhalten angenommen. Hierdurch werden insbesondere auch Spannungssingularitäten im Auflagerbereich vermieden. Die Berechnung erfolgt lastgesteuert mit insgesamt 13 Lastschritten bis zum Versagen und einer Gleichgewichtsiteration nach Newton-Raphson in jedem Schritt. Bild 6-50 zeigt die Hauptspannungsrichtungen und Risse in zwei Lastschritten. Im ersten Lastschritt treten noch keine Risse auf und das System bleibt im elastischen Zustand. Im letzten Lastschritt verlaufen die Risse ähnlich wie im Versuch beim Bruchzustand. Sie laufen bei der Finite-Element-Berechnung allerdings nicht an der Oberseite der Scheibe zusammen, wie dies im Versuch der Fall ist (Bild 6-51). Bemerkenswert ist der unterschiedliche Verlauf der Hauptspannungen im elastischen Zustand (Lastschritt 1) und in der Nähe des Bruchzustands (Lastschritt 13). Im Bruchzustand verlaufen die Druckspannungen mit ca. 60° steiler als im elastischen Zustand mit ca. 45° . Damit vergrößert sich der innere Hebelarm der Scheibe im Bruchzustand und damit das aufnehmbare Moment gegenüber einer elastischen Berechnung deutlich.

Bild 6-49: Finite-Element-Modell mit Bewehrungsstäben [P5]

Bild 6-50: Hauptspannungen und Rissbildung

6.5 Modellbildung

547

Die maximalen Stahlspannungen im Lastschritt 13 betragen 439,1 MN / m 2 die Betonspannungen an der Außenseite der Auflager 33, 7 MN / m2 (Bild 6-52). Das Versagen tritt in der Berechnung durch Bruch des Betons am Auflager ein. Dies deckt sich allerdings nicht mit dem Versuch, bei dem der Bruch durch Überschreiten der Stahlfestigkeit erfolgte. Die Druckspannungen am Auflager betragen im Lastschritt 13 σ = 1.03 /(2⋅ 0.16⋅ 0.10) = 32.2 MN / m2 und

im Versuch σ = 1.195 /(2⋅ 0.16⋅ 0.10) = 37.3 MN / m2 . Die höhere Druckfestigkeit des Betons im Versuch lässt sich durch die Umschnürungswirkung der bügelartig eingebauten Bewehrung am Auflager sowie durch die Behinderung der Querdehnung durch die Auflagerplatte (ähnlich wie bei der Würfeldruckprüfung) erklären.

Bild 6-51: Versagen der Scheibe im Versuch bei F= 1,195 MN

Stahlspannungen

Betonddruckspannungen (Hauptspannungen)

Bild 6-52: Versagen der Scheibe im Versuch bei F= 1,195 MN

548

6 Nichtlineare Finite-Element-Methode

Bild 6-53: Last-Verschiebungs-Diagramme (Gesamtlast/vertikale Verschiebung Mitte unterer Rand)

Durch die Umschnürungswirkung lassen sich im Versuch Festigkeiten erreichen, die deutlich über denjenigen des in der Berechnung angesetzten zweidimensionalen Materialgesetzes liegen. Erhöht man, um diesen dreidimensionalen Effekt zu simulieren, die Druckfestigkeit im Rechenmodell von 29,9 MN/m² auf 37,3 MN/m², tritt auch bei der Berechung das Versagen durch Bruch der Bewehrung ein. Die Bruchlast stimmt mit F=1,197 MN praktisch mit dem Versuchswert von 1,195 MN überein. Die Last-Verschiebungsverläufe für den unteren Rand in Scheibenmitte sind für beide angesetzten Betonfestigkeiten in Bild 6-53 dargestellt. Das Beispiel zeigt, dass das Tragverhalten von Stahlbetonscheiben mit der nichtlinearen Finite-Element-Methode realitätsnah simuliert werden kann. Man unterliegt jedoch immer den Modellannahmen. In diesem Beispiel musste die im zweidimensionalen Scheibenmodell nicht enthaltene dreidimensionale Umschnürungswirkung der Bewehrung und die Behinderung der Querdehnung am Auflager gesondert modelliert werden.

6.6 Nichtlineare Berechnungen in der Baustatik Nichtlineare Berechnungen weisen einige grundlegende Unterschiede zu den in der Regel üblichen linearen Berechnungen der Baustatik auf. Das Superpositionsprinzip für Lastfälle ist hier nicht mehr gültig. Statt dessen müssen Lastkombinationen untersucht und statisch nachgewiesen werden. Die Reihenfolge der Lastaufbringung kann das Ergebnis beeinflussen. Bei linearen Berechnungen ist die Reihenfolge der Lastaufbringung aufgrund des dort gültigen Superpositionsprinzips ohne Einfluss auf das Ergebnis.

6.6 Nichtlineare Berechnungen in der Baustatik

549

Der Rechenablauf der nichtlinearen Berechnung eines Stahlbetontragwerks ähnelt der Durchführung eines Versuchs. Nach der Definition des Tragwerks einschließlich der Bewehrung wird die Belastung schrittweise aufgebracht. In jedem Lastschritt werden die Steifigkeitsänderungen infolge von Rissbildung und Plastifizierungen von Stahl und Beton erfasst. Auch geometrische Nichtlinearitäten wie das Gleichgewicht am verformten System und große Verschiebungen können berücksichtigt werden. Als Ergebnis erhält man die Schnittgrößen, Spannungen, Dehnungen und Verschiebungen des Tragwerks in jedem Lastschritt. Der Nachweis des rechnerischen Grenzzustandes der Tragfähigkeit erfolgt nach DIN 1045-1 [6.22] über die Begrenzung der auftretenden Dehnungen von Beton und Stahl, sofern nicht vorab schon Stabilitätsversagen eintritt. Auch Rissbreiten können in jedem Lastschritt ermittelt werden. Das Verfahren ist also auch zum Nachweis des Gebrauchszustands geeignet. Die Bemessung von Stahlbetontragwerken ist mit nichtlinearen Verfahren nur für Lastkombinationen und auch dort nicht in einem einzigen Schritt möglich. Da die Schnittgrößen bei nichtlinearen Verfahren von der Bewehrung abhängen und diese sich wiederum aus den Schnittgrößen ergibt, ist ein iteratives Vorgehen erforderlich. Man führt zunächst eine lineare Berechnung durch und bestimmt aufgrund der erhaltenen Schnittgrößen die erforderliche Bewehrung. Mit dieser Bewehrung führt man eine nichtlineare Berechnung durch und bemisst anschließend mit den damit erhaltenen Schnittgrößen. Dieser Prozess kann mehrfach durchlaufen werden, wobei Einhaltung der Grenzwerte nach DIN 1045-1 für den Grenzzustand der Tragfähigkeit wie auch für den Grenzzustand der Gebrauchsfähigkeit (Durchbiegungen, Rißweiten) geprüft werden müssen [6.42], [6.43]. Für nichtlineare Finite-Element-Berechnungen von Stahlbetontragwerken in der Praxis gibt es eine Reihe sinnvoller Anwendungen. Anwendung nichtlinearer Finite-Element-Berechnungen

• Wirtschaftliche Bemessung durch Ausnutzung von Schnittgrößenumlagerungen • Nachweis von vorhandenen Tragwerken für neue Lasten unter Nutzung von Tragreserven • Rechnerische Simulation von experimentellen Untersuchungen

Die Bemessung im Stahlbetonbau auf der Grundlage nichtlinearer Berechnungsverfahren ist eine sinnvolle Option für die Zukunft, und zwar nicht nur aus wirtschaftlichen sondern auch aus konzeptionellen Gründen. Nur die nichtlinearen Berechnungsverfahren weisen den Grenzzustand der Tragfähigkeit eines Tragwerks in konsistenter Weise nach.

551

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

7.1 Programmaufbau und Benutzeroberflächen Die Programmierung der Finite-Element-Methode umfasst verschiedene Schritte, die bei allen Programmen ähnlich sind: Aufbau von Finite-Element-Programmen a) Dateneingabe b) Aufbau der Elementsteifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren c) Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix und des Lastvektors d) Lösung des Gleichungssystems e) Ermittlung der Elementspannungen bzw. -schnittgrößen f) Ergebnisausgabe Der Rechenteil eines Finite-Element-Programms (Schritte b-e) ist somit frei von interaktiven Ein- und Ausgaben. Die klassische Eingabe besteht aus einer ASCII-Textdatei, die alle für die Berechnung notwendigen Daten enthält. Daten einer Finite-Element-Berechnung a) Knotendaten (Koordinaten) b) Festhaltungen einzelner Freiheitsgrade (Auflagerbedingungen) c) Elementdaten (Elementtyp und -topologie) d) Material- und Querschnittskennwerte e) Lastbeschreibung f) Lastfallüberlagerungsvorschrift g) Bemessungskennwerte h) weitere Daten, z. B. zur Definition starrer Kopplungen zwischen Elementen u. a. Die Eingabedatei kann mit einem Texteditor erstellt werden. Sie besteht aus Kennworten und Zahlen und kann auch Generierungsfunktionen u.ä. enthalten. Beispiele hierfür finden sich in den meisten Programmhandbüchern sowie in [7.1, 7.2]. Heute erfolgt die Dateneingabe fast ausschließlich über Programme mit grafischen Benutzeroberflächen [7.3], [7.4]. Bei klassischen Finite-Element-Programmen, die eine Eingabedatei erfordern, dienen spezielle Programmmodule dazu, die Eingabedatei für das Berechnungsprogramm zu erstellen. Man bezeichnet dies auch als ‚Preprocessing’. Andere Programmmodule stehen für das ‚Postprocessing’, d. h. für die interaktive Ausgabe und grafische Darstellung der Ergebnisse zur Verfügung. Bei neuerer Software werden die über eine grafische Benutzerober-

552

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

fläche eingegebenen Daten hingegen unmittelbar in eine programmpezifische binäre Datenbasis geschrieben. Aber auch diese Programme sollten über eine, wenn auch weniger komfortable, ASCII-Schnittstelle verfügen, um den Datenaustausch mit anderen Programmen zu ermöglichen. Nach der Dateneingabe wird der Berechnungsteil des Finite-Element-Programms gestartet. Bei prozeduralen Programmiersprachen werden zunächst die Elementsteifigkeitsmatrizen, die Elementlasten und die Spannungsmatrizen (sowie bei dynamischen Berechnungen auch die Elementmassenmatrizen) berechnet und temporär zwischengespeichert. Tritt in einem FiniteElement-Modell eine große Anzahl von Elementen mit gleichen Abmessungen auf, so braucht die Ermittlung der Elementsteifigkeitsmatrix hierfür nur einmal durchgeführt zu werden. Dies kann insbesondere bei hybriden Elementen, bei denen die Ermittlung der Elementsteifigkeitsmatrix verhältnismäßig rechenaufwendig ist, spürbare Einsparungen der Rechenzeit bewirken. Die in die Programme implementierten Elementtypen sollten effizient und robust sein. Dies bedeutet, dass sie mit möglichst geringem Rechenaufwand (z. B. mit großen Elementen) und auch bei unregelmäßigen Elementnetzen zu genügend genauen Ergebnissen führen. Einen Überblick über die in kommerzielle Finite-Element-Software implementierten Elementtypen gibt [7.5]. Die Wahl des Elementtyps hängt auch vom Anwendungsbereich des Programms ab. So sind hybride Elemente für nichtlineare Berechnungen und adaptive Netzanpassungen nicht geeignet und erfordern auch bei der Ermittlung der Massenmatrix für dynamische Berechnungen gewisse Näherungen. Nach der Ermittlung der Elementmatrizen erfolgt der Zusammenbau der Systemsteifigkeitsmatrix sowie der Lastvektoren bzw. bei dynamischen Berechnungen der Massenmatrix. Hierbei werden die Auflagerbedingungen berücksichtigt. Der rechenintensivste Teil einer Finite-Element-Berechnung ist die Lösung des Gleichungssystems. Da es sich hierbei um sehr große Gleichungssysteme handeln kann, sind zur Speicherung und Lösung geeignete Strategien erforderlich, die in Abschnitt 7.3 behandelt werden. Ein spezielles Berechnungsverfahren stellt das sogenannte „Frontlösungsverfahren“ dar. Hierbei werden die Elementmatrizen aus speicherungstechnischen Gründen simultan mit der Lösung des Gleichungssystems aufgestellt, so dass die vorherige Ermittlung der Elementmatrizen und der Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix entfallen. Nach der Lösung des Gleichungssystems stehen die Knotenverschiebungen und -verdrehungen zur Verfügung. Hieraus können nun die Auflagerreaktionen berechnet werden. Letzter Schritt einer Finite-Element-Berechnung ist die Ermittlung der Elementspannungen bzw. -schnittgrößen mittels der Spannungsmatrizen. Häufig werden anschließend die Elementspannungen auf Knotenspannungen umgerechnet. Bei der Ergebnisausgabe werden weitere Berechnungen wie z. B. Lastfallüberlagerungen, Bemessungen oder Spannungsnachweise erforderlich. Aus ergonomischer Sicht ist die Benutzeroberfläche eines Finite-Element-Programms von großer Bedeutung. Wichtig ist eine leicht verständliche interaktive Ein- und Ausgabe, die durch grafische Darstellungen unterstützt wird. Die meisten klassischen kommerziellen Finite-Elementprogramme wurden in den 70-er und 80-er Jahren in der Programmiersprache FORTRAN entwickelt. Diese Programme stellen eine erheblichen Entwicklungswert dar und werden auch noch heute, ergänzt durch neuere Benutzeroberflächen, eingesetzt. Kleinere Anwendungen wurden auch in BASIC und PASCAL geschrieben.

7.1 Programmaufbau und Benutzeroberflächen

553

Neuere Finite-Element-Software wurde in den 90-er Jahren in C und in der objektorientierten Sprache C++ entwickelt. Einen guten Überblick über den Aufbau einer Finite-ElementSoftware in C gibt [7.21]. Programmquellen finden sich auch in einer Reihe von Publikationen, Tabelle 7-1. Auch in der vor allem für Internetapplikationen eingesetzten objektorientierten Sprache JAVA gibt es erste Ansätze für die Finite-Element-Methode. Quellcodes in C++ und JAVA finden sich auch im Internet [I1]-[I7]. Tabelle 7-1 Publikationen mit Finite-Element-Programmquellen

PUBLIKATION

JAHR

PROGRAMM

ELEMENTTYPEN

VERFAHREN

Bathe [7.6]

1976

STAP

3D-Fachwerk statisch Eigenwertlöser dynamisch Unterprogramm für 2D-Element (Ebener Spannungs-/ Dehnungszustand, rotationssymmetrisch 3D)

Schwarz [7.7]

1981

FACHEN

3D-Fachwerk

RAHMBD

3D-Balken

SCHQEN

Scheibe (Dreieck, Parallelogramm)

PLAKBD

Platten (Rechteck)

PLANKO

Platten (Dreieck, Parallelogramm)

Adam [7.8]

1986

Krishna moorthy [7.9]

1987

Oldenburg [7.10]

1989

Hinton u.a. [7.11]

1990

ERWQBD

Potentialprobleme

EEWQEN

Potentialprobleme

SEWKKO

Scheiben (Dreieck, Parallelogramm)

-

3D-Fachwerk

-

2D-Balken

-

Scheiben (Dreiecke)

PASSFEM

3D-Fachwerk, 3DBalken, Federn, 2DElemente, 3D-Kontinuum, Platten, Schalen

statisch

statisch

statisch

2D-Fachwerk

EbRa

2D-Balken

RaFa

3D-Fachwerk

MINDLIN

Platten (schubweich) Statisch, linear

QUAD9

Schalen (9 Knoten) Schalen (isotropes und anisotropes Material)

FORTRAN

FORTRAN

dynamisch Eigenfreq.

EbFa

PLASTOSHELL

SPRACHE

statisch

statisch, geometrisch

BASIC

FORTRAN

PASCAL FORTRAN

554

PUBLIKATION

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

JAHR

Baker, Pepper [7.12] Clemens [7.13]

Falter [7.14]

Reddy J. N. [7.15]

1992

PROGRAMM

Schalen mit nichtlinearem Materialgesetz für Stahlbeton

und materiell nichtlinear

LEARN.FE

2D-Modelle

statisch

STBWK

2D-Balken (mit Gelenken)

FwkE

2D-Fachwerk

FwkR

3D-Fachwerk

TgRost

2D-Balken (Trägerrost)

1993

Breitschuh, Jurisch [7.17]

1993

Dankert [7.18], [I1]

1994

Fenner [7.19]

1996 (1975)

Chandrupatla u.a. [7.20]

1997

SPRACHE

FORTRAN

statisch PASCAL

2D-Balken

statisch

BASIC

FEM3/ FEM3D

2D-Balken

statisch, Theorie II. Ordnung.

BASIC/ PASCAL

FEM4

2D-Fachwerk

FEM5

3D-Fachwerk

FEM6

Balken (Trägerrost)

FEM8

Scheiben (Dreieck)

FEM9

Platten (Rechteck)

FEM1DV2

Eindimensionale Probleme (Wärmeleitung, Balken, statisch / dyKreisplatte) namisch Zweidimensionale Probleme (Wärmeleitung, Scheibe, Platte)

FORTRAN

2D-Elemente

FORTRAN

FEM2DV2

Kanchi [7.16]

VERFAHREN

CONSHELL

1978/92 FEM1/2

1993

ELEMENTTYPEN

Fem1_1

Eindimensionale FEM (Sturm-LiouvilleAufgabe)

statisch

statisch

BASIC

statisch TURBOPASCAL

Fem2_1

Zweidimensionale FEM (Elliptisches Randwertproblem)

FEMSET

2D-/3D-Fachwerk, Stabwerke, Torsionsproblem

statisch

BASIC

Zweidimensionale FEM (Ebener Spannungsund dehnungszustand)

statisch

FORTRAN

statisch / dynamisch

BASIC (C und FORTRAN)

-

-

Stabwerke 2D/3D, Scheiben, 3DVolumenelemente

7.1 Programmaufbau und Benutzeroberflächen

PUBLIKATION Rieg, Hackenschmidt [7.21]

JAHR

PROGRAMM

2000

ELEMENTTYPEN

555

VERFAHREN

SPRACHE

2D-Fachwerk 3D-Fachwerk 2D-Balken 3D-Balken Z88

Scheiben (Dreieck und Viereck)

statisch

C

Axialsymmetrische Volumenelemente Volumenelemente (Tetraeder, Hexaeder)

Heutige Finite-Element-Programme bauen auf der Softwaretechnologie der objektorientierten Programmierung, insbesondere mit C++, auf. Deren Ziel ist die bessere Strukturierung und Wartbarkeit komplexer Softwareprodukte. Die objektorientierte Programmierung der FiniteElement-Methode erfordert eine völlig andere Vorgehensweise als die klassische prozedurale Programmierung. Die Finite-Element-Methode muss als Klassenmodell abgebildet werden. Eine Klasse stellt dabei eine Zusammenfassung von Daten und Operationen mit diesen Daten, die sogenannten Methoden, dar. Wird eine Klasse mit konkreten Werten versehen, spricht man von einem Objekt dieser Klasse. Klassen können auch Objekte anderer Klassen enthalten und deren Methoden aufrufen. Die Programmausführung besteht in der Erzeugung und Interaktion von in sich „autarken“ Objekten, wie sie durch ein Programm oder auch durch Aktionen des Benutzers gesteuert werden [7.22]-[7.27], [I8], [I9]. Die Speicherung der erzeugten Objekte erfordert besondere Überlegungen [7.28]. Ein sehr einfaches objektorientiertes Finite-Element-Programm könnte beispielsweise die Klassen Element und Gesamtsystem enthalten. Die Klasse Element besitzt alle das Element beschreibenden Daten sowie die Methoden Erzeuge_Element, Ermittle_Steifigkeitsmatrix und Ermittle_Spannungsmatrix. Die Klasse Gesamtsystem enthält u. a. die Systemsteifigkeitsmatrix, den Lastvektor, die Knotenverschiebungsgrößen sowie die Methoden Erzeuge_Sytemsteifigkeitsmatrix, Erzeuge_Systemlastvektor, Addiere_Elementsteifigkeitsmatrix, Addiere_Last, Berücksichtige_Lagerbedingungen, Löse_Gleichungssystem und Gib_Knotenverschiebungen_aus. Bei der Programmausführung würde nun zunächst ein Objekt der Klasse Gesamtsystem erzeugt. Objekte der Klasse Element könnten – bei sehr einfachen Elementen wie Fachwerkstäben – direkt von der Benutzeroberfläche, die ebenfalls ein Objekt im Programm dargestellt, angelegt und mit der Methode Erzeuge_Element mit Daten versehen werden. Fordert der Benutzer das Programm per Mausklick zum Rechnen auf, so werden für das Objekt der Klasse Gesamtsystem die oben genannten Methoden zur Erzeugung der Systemgleichungen und zu deren Lösung nacheinander aufgerufen. Hierbei wird die Methode Ermittle_Steifigkeitsmatrix für jedes der erzeugten Element-Objekte genutzt. Werden vom Benutzer per Mausklick die Knotenverschiebungen angefordert, so wird für das Objekt der Klasse Gesamtsystem die entsprechende Methode aufgerufen. Das Beispiel kann natürlich nicht mehr als einen Eindruck von den in der Praxis meist sehr komplexen Abläufen beim Aufruf eines objektorientierten Programmes vermitteln. Es wird aber bereits hier deutlich, dass die objektorientierten Programmierung bei Software mit starker Interaktion mit dem Benutzer über wesentliche Vorteile verfügt. Nur durch eine objektorien-

556

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

tierte Programmierung der Finite-Element-Methode ist die Durchgängigkeit der Softwaretechnologie zwischen den Berechnungsmodulen und der grafischen Benutzeroberfläche zu erreichen. Darüber hinaus ist die Objektorientierung aber auch zur Darstellung komplexer Zusammenhänge, wie z. B. zur Darstellung des Übergangs vom Tragwerks- zum Berechnungsmodell geeignet [7.29]. Klassen, die eine umfangreichere Funktionalität zusammenfassen, lassen sich beim Betriebssystem so registrieren, dass sie allen Programmen zur Verfügung stehen. Dies ist unabhängig von der verwendeten objektorientierten Programmiersprache möglich und kann auch in Computer-Netzwerken erfolgen. Man spricht dann von der Komponenten-Technologie. Es ist durchaus möglich, Komponenten für die Finite-Element-Methode zu entwickeln und von verschiedenen Anwendungen zu nutzen [7.62], [7.63].

7.2 Netzgenerierung Die Netzgenerierung stellt einen wesentlichen Bestandteil einer Finite-Element-Berechnung dar. Letztlich ist die Güte des Netzes für die Genauigkeit der Berechnung entscheidend. Zur automatischen Generierung zweidimensionaler Finite-Element-Netze gibt es eine Vielzahl unterschiedlicher Verfahren (vgl. [7.30], [7.31], [7.32]): Verfahren zur Generierung zweidimensionaler Finite-Element-Netze • • • • •

Interpolation in drei- oder viereckigen Makroelementen Gitternetzmethoden und Modifizierte Quadtree-Technik Triangulierung eines polygonartig berandeten Gebiets Sukzessive Unterteilung eines polygonartig berandeten Gebiets Advancing Front Methode

Darüber hinaus gibt es noch spezielle Verfahren, deren praktische Bedeutung jedoch gering ist. Zu unterscheiden ist weiterhin zwischen Generierungsverfahren, die reine Dreiecknetze, gemischte Netze mit Dreieck- und Viereckelementen und reine Vierecknetze erzeugen. Vorzuziehen sind Netze aus reinen Viereckelementen, da diese über eine höhere numerische Genauigkeit verfügen. Mehrere der genannten Verfahren sind in kommerzielle Softwareprodukte implementiert. Bei den Interpolationsmethoden wird das zu berechnende System in drei- oder viereckförmige Makroelemente unterteilt. Die Generierung der Finiten Elemente erfolgt durch Interpolation innerhalb der Makroelemente. Ein gleichmäßiges Rechteckraster wird hierbei in lokalen r-sKoordinaten, die analog einem isoparametrischen viereckseitigen Element definiert sind, beschrieben und mit Hilfe von (4.40c) in x-y-Koordinaten transformiert [7.33] (Bild 7-1). Auch Netzaufweitungen in einer oder zwei Richtungen und kontinuierlich zunehmende Elementgrößen sind möglich [7.34]. Die Verfahren liefern bei Flächen, die sich durch Rechtecke zusammensetzen lassen, auch rechteckige Finite Elemente, was numerisch günstig ist. Nachteilig ist allerdings die erforderliche Aufteilung in Makroelemente. Das Verfahren wird daher nur noch selten angewandt. Bei den Gitternetzmethoden wird ein polygonartiges Gebiet in ein Rechteckraster aufgeteilt. Hierbei werden Zwangspunkte berücksichtigt, die von der Geometrie vorgegeben werden, wie Aussparungen und Lager. Die durch die Gebietsränder geschnittenen Rasterelemente werden durch geeignete Strategien angepasst [7.35]. Das Verfahren liefert bei Flächen, die sich durch

7.2 Netzgenerierung

557

Rechtecke zusammensetzen lassen, ebenfalls rechteckige Finite Elemente. Bei unregelmäßig berandeten Gebieten ist die Qualität der Elemente am Rand allerdings häufig weniger gut als im Innern des Gebiets.

Bild 7-1 Netzgenerierung innerhalb eines Makroelements

Bei der „modifizierten Quadtree-Technik„ wird das Gebiet als baumartige logische Struktur von Quadraten mit unterschiedlicher Kantenlänge dargestellt, die sich jeweils um den Faktor Zwei unterscheiden und das Gebiet möglichst gut ausfüllen. Diese Quadrate werden dann unter Berücksichtigung des Randpolygons in Dreiecke diskretisiert [7.36]. Finite-Element-Netze in polygonal umrandeten Gebieten können auch mit Verfahren generiert werden, die auf einer Triangularisierung des Gebiets, d. h. einer direkten Zerlegung in Dreiecke, beruhen. Hierzu werden innerhalb des Gebiets in einer vorgegebenen Verteilungsdichte Punkte erzeugt, die dann zu Dreiecken verbunden werden [7.37]. Durch Zusammenfügen von jeweils zwei Dreiecken können auch gemischte Elementnetze mit Dreieck- und Viereckelementen erzeugt werden. Mit erweiteren Strategien ist es auch möglich, Netze zu generieren, die ausschließlich Viereckelemente enthalten [7.38]. Eine weiteres Konzept zur Netzgenerierung ist die sukzessive Unterteilung eines polygonartig umrandeten Gebietes. Das Gebiet wird zunächst in konvexe Teilgebiete zerlegt. Diese werden durch immer neue Teilungslinien, die nach einer bestimmten Strategie gewählt werden, sukzessive unterteilt, bis nur noch viereck- oder dreieckförmige Teilgebiete einer vorgebenen Größe übrig sind, die dann Finite Elemente darstellen [7.39]. Nach diesem Konzept wurde beispielsweise das Elementnetz in Bild 4-93 generiert. Auch diese Strategie lässt sich so formulieren, dass ausschließlich Viereckelemente erzeugt werden [7.40]. Auch bei der „Advancing Front Methode“ wird ein polygonartig umrandetes Gebiet mit Finiten Elementen gefüllt. Dabei wird das Netz schrittweise, vom Gebietsrand nach Innen fortschreitend, quasi „Ring für Ring“ generiert. Knoten und Elemente werden hierbei simultan

558

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

gebildet [7.41], [7.32], [7.42]. Das Verfahren kann bei Flächen, die sich durch Rechtecke zusammensetzen lassen, auch von der Rechteckform abweichende Elemente erzeugen. Bei unregelmäßig berandeten Gebieten ist aber die Qualität der Elemente sowohl am Rand wie im Innern des Gebiets gleichermaßen gut. Bei adaptiven Netzanpassungen müssen die Netze an Stellen, an denen der Diskretisierungsfehler einen vorgegebenen Grenzwert überschreitet, verfeinert werden. Dies kann bei der Netzgenerierung durch sukzessive erfolgende Unterteilung des Gebietes sowie bei den Triangularisierungsverfahren und der „Advancing Front Methode“ durch Einführung einer Dichtefunktion geschehen, die die lokale Elementgröße steuert ([7.32 ], [7.41], [7.42], [7.44]). Bei regelmäßigen Rechtecknetzen, die z. B. durch Interpolation innerhalb von Makroelementen erzeugt wurden, kann durch Einführung einer Knotenkennzeichnung sichergestellt werden, dass bei der lokalen Netzverfeinerung wiederum ausschließlich Rechteckelemente entstehen [7.43, 7.45]. Besondere Überlegungen sind auch erforderlich, wenn mehrere Lastfälle zu untersuchen sind [7.46], [7.47]. Finite-Element-Netze für Schalentragwerke können mit den gleichen Verfahren wie für ebene Flächentragwerke generiert werden, wenn eine Projektion des ebenen Netzes auf die gekrümmte Fläche erfolgt [7.32], [7.43]. Dies erfordert eine von der Finite-ElementModellierung unabhängige Geometriebeschreibung des Tragwerks (Bild 7-2).

Grobes Netz

Feines Netz

Bild 7-2 Schalentragwerk: Verschneidung eines Zylinders mit einer parabelförmig gekrümmten Fläche [7.43]

Beispiel 7.1 Für die in Bild 7-3a dargestellte Deckenplatte mit einer kreisförmigen Öffnung und zwei Einzelstützen werden verschiedene Finite-Element-Netze mit unterschiedlichen Verfahren generiert. Bild 7-3b zeigt die vom Programmbenutzer vorgegebene Einteilung in viereckförmige Makroelemente. Die automatische Netzgenerierung in den Makroelementen kann mit einer gemischten Elementtopologie (Bild 7-3c) oder ausschließlich mit Viereckelementen erfolgen (Bild 7-3d), [7.34]. Zwei weitere Netze sind in den Bildern 7-3e und 7-3f dargestellt. Sie wurden mit dem Programm FE-MESH [7.42] nach der „Advancing Front Methode“ mit Viereckelementen generiert [7.41].

7.2 Netzgenerierung

Bild 7-3 Generierung unterschiedlicher Finite-Element-Netze für eine Deckenplatte; Darstellung mit Wänden

559

560

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

Das Netz T1 (Bild 7-3e) hat eine gleichmäßige Elementdichte, während das Netz T2 (Bild 7.3f) an einspringenden Ecken lokal verdichtet ist. An diesen Stellen tritt nach Tabelle 4-17 bei unverschieblicher Lagerung eine Singularität der Schnittgrößen auf, und auch bei der hier gewählten elastischen Lagerung ist ein lokaler Anstieg der Schnittgrößen zu erwarten. Die Elementgröße ist bei allen Netzen so gewählt, dass eine ausreichende Genauigkeit der Momente zu erwarten ist, wobei diese im einzelnen noch vom Elementtyp abhängt. Die Netze in den Bildern 7-3d-f, die ausschließlich Viereckelemente enthalten, sind aus numerischen Gründen im Allgemeinen vorzuziehen. Die mit Hilfe der viereckförmigen Makroelemente generierten Netze M1 und M2 sind regelmäßiger als die auf der Advancing Front Methode Netze T1 und T2 (Bilder 7-3e-f). Triangularisierungsverfahren, das Verfahren der sukzessiven Unterteilung sowie die Advancing Front Methode tendieren dazu, selbst in Rechteckbereichen unregelmäßige Netze zu erzeugen. Andererseits zeichnen sich diese Verfahren aber durch einen niedrigen Eingabeaufwand aus.

7.3 Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen Bei Finite-Element-Berechnungen komplexer Flächentragwerke treten häufig Gleichungssysteme mit mehreren tausend Unbekannten auf. Da deren Lösung bei einer Finite-ElementBerechnung den überwiegenden Anteil der Rechenzeit in Anspruch nimmt, ist die Effizienz des Lösungsverfahrens für die Rechengeschwindigkeit des Finite-Element-Programms von wesentlicher Bedeutung. Meistens wird bei Finite-Element-Berechnungen der Gaußsche Algorithmus bzw. seine Variante als Cholesky-Verfahren verwendet. Iterative Verfahren sind bei mehreren Lastfällen, wie sie in der Praxis üblich sind, weniger effizient, da für jeden Lastfall ein neuer Iterationsprozess erforderlich wird. Sie werden lediglich bei Verfahren mit adaptiver Netzverfeinerung eingesetzt, da dann die bereits ermittelten Knotenverschiebungen als Startvektor für das neue Netz verwendet werden können und sich damit eine völlige Neuberechnung des Finite-Element-Modells erübrigt. Entscheidenden Einfluss auf den Speicherbedarf im Kernspeicher u.U. auch auf der Festplatte des Computers, sowie auf die Rechengeschwindigkeit haben die für die Steifigkeitsmatrix verwendeten Speicherungstechniken. Es ist nicht erforderlich, alle Terme einer Steifigkeitsmatrix abzuspeichern, da diese symmetrisch ist und in der Regel viele Terme den Wert Null besitzen. Diese Eigenschaften nutzt man, um den für die Steifigkeitsmatrix benötigten Speicherplatz möglichst gering zu halten. In Verbindung mit dem Lösungsverfahren gibt es hierzu folgende Techniken: Speicherungstechniken für die Systemsteifigkeitsmatrix 1. Bandbreitenorientierte Speicherung 2. Hüllenorientierte Speicherung (Skyline-Speicherung) 3. Blockorientierte Speicherung 4. Speicherung der Nicht-Null-Elemente schwach besetzter Matrizen (Sparse Matrices) 5. Frontlöser für simultane Lösung der Gleichungen mit der Bildung der Elementsteifigkeitsmatrizen

7.3 Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen

561

Bei vielen Finite-Element-Modellen sind die von Null verschiedenen Terme entlang der Diagonalen der Steifigkeitsmatrix gruppiert, während die übrigen Terme den Wert Null haben. Man bezeichnet die Anzahl der Nebendiagonalen, die von Null verschiedene Werte aufweisen, als halbe Bandbreite m (Bild 7-5). Ist die Bandbreite einer Matrix bekannt, so genügen die Abspeicherung der Werte oberhalb der Diagonalen sowie der Diagonalwerte. Bei der Lösung des Gleichungssystems nach Gauß oder Cholesky bleibt die Bandstruktur und damit der Speicherbedarf erhalten. Allerdings kann bei sehr großen Gleichungssystemen eine Aufteilung in Blöcke erforderlich werden, die dann jeweils einzeln in den Kernspeicher des Computers geladen und im Rahmen der Lösung des Gleichungssystems rechnerisch bearbeitet werden. Die Bandbreite einer Matrix hängt unmittelbar mit der Knotennumerierung zusammen. Es sind nämlich in der Steifigkeitsmatrix alle diejenigen Terme Null, die eine Kopplung von Freiheitsgraden beschreiben, die nicht durch ein Element miteinander verbunden sind. So ist beispielsweise in der Matrix nach Beispiel 3.5 der Term a17 gleich Null, da die Freiheitsgrade u1 und u4 nicht durch ein Element verbunden sind. Letztlich ist damit dasjenige Element eines Finite-Element-Modells für die Bandbreite der Systemsteifigkeitsmatrix maßgebend, das den größten Unterschied der Knotennummern besitzt. Um die Bandbreite gering zu halten sind die Knotenpunkte so zu numerieren, dass der maximale Unterschied der an einem Element vorhandenen Knotennummern möglichst niedrig ist. Maßgebend ist hier immer das Element mit dem größten Unterschied. Zwei Beispiele sind in Bild 7-4 dargestellt. ungünstig

6

mk = maximale Knotennummerndifferenz an einem Element

5

7

4

8

3 1

2

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

mk = 8 - 1 = 7

mk = 12 - 11 = 1

günstig

7

8

5

6

3

4 1

2

3 2 1

6 5 4

9

12

15

18

21

24

27

30

8

11

14

17

20

23

26

29

10

13

16

19

22

25

28

7

mk = 3 - 1 = 2 (a) STABWERK

mk = 5 - 1 = 4 (b) PLATTE (DRAUFSICHT)

Bild 7-4 Einfluss der Knotennumerierung auf die Bandbreite

562

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

Da bei der Lösung des Gleichungssystems nur die von Null verschiedenen Terme innerhalb der Bandbreite der Systemsteifigkeitsmatrix betrachtet werden, besitzt die Bandbreite auch erheblichen Einfluss auf die zur Lösung des Gleichungssytems erforderliche Rechenzeit. Maßgebend für die Rechenzeit des Computers ist die Anzahl nmul der multiplikativen Operationen (Multiplikationen und Divisionen). Nach [7.48] beträgt sie beim Cholesky-Verfahren und bei bandbreitenorientierter Speicherung: nmul = 0.5 · n · m · (m+3)

(7.1)

wobei n die Anzahl der Gleichungen und m die halbe Bandbreite bedeuten. Der Rechenaufwand ist somit direkt proportional zur Gleichungsanzahl n und zum Quadrat der Bandbreite m. Zur Minimierung des Rechenaufwandes ist daher die Bandbreite m möglichst klein zu halten. Kann man beispielsweise die Bandbreite durch Umnumerieren um 25% verkleinern, erzielt man damit fast eine Halbierung der Rechenzeit, sofern nur die Bandbreite betrachtet wird. Zusätzliche Rechenzeiteinsparungen können sich durch das Entfallen der Notwendigkeit einer blockweise erfolgenden Bearbeitung und der damit verbundenen Festplattenzugriffe ergeben. m=2

⏐←⎯⎯→⏐

ª a11 « «a21 « a31 « «0 «0 « «0 «0 « «¬ 0

a12 a22 a32 a42 0 0 0 0

a13 a23 a33 a43 a53 0 0 0

0 0 0 a24 0 0 a34 a35 0 a44 a45 a46 a54 . . a64 . . 0 . . 0 0 .

0 0º » 0 0» 0 0» » 0 0» . 0» » . . » . . »» . ann »¼

Alle Werte innerhalb des Bandes werden gespeichert.

Bild 7-5 Bandbreitenorientierte Speicherung der Systemsteifigkeitsmatrix

Bei bandbreitenorientierter Speicherung ist es sinnvoll, die Bandbreite der Systemsteifigkeitsmatrix so gering wie möglich zu halten. Zu diesem Zweck wurden Verfahren zur automatischen Bandbreitenoptimierung entwickelt. Hierbei werden die Knotennummern intern so umnumeriert, dass die Bandbreite möglichst gering wird. Bei der Ergebnisausgabe werden die Knoten natürlich wieder mit ihren ursprünglichen Nummern bezeichnet. Die einfachste Methode besteht in dem systematischen Vertauschen der Knoten und der anschließenden Überprüfung, ob die Bandbreite hierdurch verringert wurde oder nicht. Bei diesem und anderen Verfahren handelt es sich um heuristische Vorgehensweisen, die nicht mit Sicherheit die optimale Numerierung mit der kleinstmöglichen Bandbreite der Systemsteifigkeitsmatrix liefern. Sie sind allerdings in der Praxis außerordentlich hilfreich. Da die Bandbreitenoptimierung selbst u. U. erhebliche Rechenzeit des Computers benötigt, ist sie bei manchen Programmen „abschaltbar“.

7.3 Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen

563

Eine günstige Bandstruktur kann durch Hinzufügen eines einzigen Elements (z. B. eines Stabes, der den Knoten mit der höchsten Nummer mit demjenigen mit der niedrigsten Nummer verbindet) „zerstört“ werden. Damit steigt der Speicherbedarf erheblich an, sofern keine automatische Bandbreitenoptimierung erfolgt. Dies ist bei der hüllenorientierten Speicherung nicht der Fall. Sie wird auch als profilorientierte oder Skyline-Speicherung bezeichnet. Hierbei werden ausschließlich diejenigen Terme der Systemsteifigkeitsmatrix gespeichert, die sich unterhalb der sogenannten Hülle (die auch als Profil, Kontur oder „Skyline“ bezeichnet wird) befinden (Bild 7-6). Weiterhin muss die Anzahl (mi+1) der von Null ungleichen Terme für jede Spalte i mit abgespeichert werden. Die Anzahl der nach dem Cholesky-Verfahren erforderlichen multiplikativen Rechenoperationen beträgt bei hüllenorientierter Speicherung nach [7.48]: nmul =

1 2

n− 1

¦ mi (mi + 3)

(7.2)

i= 1

Bei hüllenorientierter Speicherung ist die optimale Knotennumerierung von geringerer Bedeutung als bei der bandbreitenorienierter Speicherung. Dennoch gibt es Verfahren, die auch die „Hülle“ optimieren.

Alle Werte unterhalb der „Hülle“ werden gespeichert

Bild 7-6 Hüllenorientierte Speicherung der Systemsteifigkeitsmatrix

Beispiel 7.2 Für das in Bild 7-7a dargestellten Stabwerk ist die Anzahl der abzuspeichernden Werte der Steifigkeitsmatrix bei bandbreiten- und bei hüllenorientierter Speicherung zu ermitteln. Es ist weiterhin zu untersuchen, welche Änderungen sich ergeben, wenn zusätzlich ein Fachwerkstab von Knoten 3 nach Knoten 6 angeordnet wird (Bild 7-7b). Bei dem in Bild 7-7a dargestellten ebenen Stabwerk mit sechs Balkenelementen besitzt jeder Knotenpunkt drei Freiheitsgrade. Die Freiheitsgrade der Knotenpunkte 1, 2 und 7 entfallen aufgrund der Einspannung. Somit ergibt sich folgender Aufbau der Systemsteifigkeitsmatrix:

564 ª « « « « « « « « « « « « « « « « « ¬

a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 0 a6,1 0 0 0 0 0 0

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen a1,2 a2,2 a3,2 0 a5,2 0 0 0 0 0 0 0

a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 0 a6,3 0 0 0 0 0 0

a1,4 0 a3,4 a4,4 0 0 a7,4 0 0 0 0 0

0 a2,5 0 0 a5,5 a6,5 0 a8,5 a9,5 0 0 0

a1,6 0 a3,6 0 a5,6 a6,6 0 a8,6 a9,6 0 0 0

0 0 0 a4,7 0 0 a7,7 0 a9,7 a10,7 0 a12,7

0 0 0 0

0 0 0 0

a5,8 a6,8 0 a8,8 a9,8 0 a11,8 0

a5,9 a16,9 a7,9 a8,9 a9,9 a10,9 0 a12,9

0 0 0 0 0 0

º » » » » » » » » ⋅ a7,12 »» 0 » » a9,12 » a10,12 » » 0 » a12,12 »¼

0 0 0 0 0 0 0

a7,10 0 a9,10 a10,10 0 a12,10

0 0 0 0 0 0

a8,11 0 0 a11,11 0

ª « « « « « « « « « « « « « « « « ¬«

u3 º » v3 » ϕ3 » » u4 » v4 » » ϕ4 » = F u5 »» v5 » » ϕ5 » u6 » » v6 » ϕ »¼ 6

Die Matrix hat infolge der gewählten Knotennumerierung eine Bandstruktur mit einer halben Bandbreite von m = 5. Bei der bandorientierten Speicherung sind 57 Matrizenwerte zu speichern. Bei der hüllenorientierten Speicherung wird Speicherplatz für 47 Matrizenwerte und 12 ganzzahlige Werte benötigt, die die „Spaltenhöhe“ angeben. v

4

5

3

6

2

7

4

5

ϕ y

u

6 3

x 1

2

7 l

(a)

(b)

Bild 7-7 Zwei ebene Stabwerke

Ein zusätzlicher Fachwerkstab nach Bild 7-7b verbindet die Freiheitsgrade u3 und u6, so dass sich in der Systemsteifigkeitsmatrix folgende Werte ändern: a1,1* = a11 + EA/l a1,10* = - EA/l a10,1* = - EA/l a10,10* = a10,10 + EA/l

7.3 Rechnerinterne Behandlung von Gleichungssystemen ª a∗ a1,2 « 1,1 « a2,1 a2,2 « a « 3,1 a3,2 « a4,1 0 « a5,2 « 0 « a6,1 0 « 0 0 « « 0 0 « 0 « 0 « ∗ 0 « a 10,1 « 0 0 « 0 ¬« 0 =

565

a1,3

a1,4

0

a1,6

0

0

0

a∗1,10

a2,3 a3,3

0 a3,4

a2,5 0

0 a3,6

0 0

0 0

0 0

0 0

a4,3

a4,4

0

0

a4,7

0

0

0

0 0

a5,5

a5,6

a5,8

a5,9

a6,5

a6,6

0 0

a6,8

0 0

a7,4

0

0

a7,7

0

a16,9 a7,9

0 0 0 a7,10

0

a8,5

a8,6

0

a8,8

a8,9

0

0

0

a9,5

a9,6

a9,7

a9,8

a9,9

a9,10

0

0

0

0

a10,7

0

a10,9

a∗10,10

0

0

0

0

0

a11,8

0

0

0

0

0

0

a12,7

0

a12,9

a12,10

a6,3

0 º ª u3 º » « » 0 0 » « v3 » 0 0 »» « ϕ3 » « » 0 0 » « u4 » » « 0 0 » v » « 4» 0 0 » « ϕ4 » » ⋅ a7,12 » « u5 » 0 « » a8,11 0 » « v5 » » « » a9,12 » « ϕ5 » 0 » « a10,12 » « u6 »» 0 a11,11 0 » « v6 » » « » a12,12 »¼ ¬ ϕ 6 ¼ 0 0

F Bandbreitenorientierte Speicherung: Hüllenorientierte Speicherung:

75 Werte 51 Werte

Bild 7-8 Anzahl der Werte für bandbreiten- und hüllenorientierte Speicherung

Bei bandbreitenorientierter Speicherung erhöht sich die halbe Bandbreite auf m=9. Es sind somit fast alle Werte der halben Matrix abzuspeichern, während bei der hüllenorientierten Speicherung lediglich sechs Werte hinzukommen, Bild 7-8. Selbstverständlich wäre bei dem hier vorliegenden kleinen System selbst das Speichern der vollen Matrix unproblematisch. Hingegen führt bei großen Finite-Element-Modellen der Verlust der Bandstruktur zu einem deutlich spürbaren Anstieg der Rechenzeit und des Speicherbedarfs, sofern nicht anschließend eine Bandbreitenoptimierung durchgeführt wird. Bei sehr großen Gleichungssystemen, wie sie bei der Finite-Element-Methode häufig auftreten, ist auch bei bandbreiten- oder hüllenorientierter Speicherung der Kernspeicher zu klein, um alle Terme des Gleichungssystems zu speichern. Man teilt dann das Gleichungssystem in Blöcke auf, wobei die Blockgröße entsprechend dem zur Verfügung stehenden Kernspeicherplatz gewählt wird und speichert die nicht benötigten Blöcke temporär auf Festplatte. Dadurch wird die Lösung großer Gleichungssysteme möglich. Allerdings wird die Rechengeschwindigkeit durch die zusätzlich erforderlichen Lese- und Schreibzugriffe auf die Festplatte reduziert und es wird Speicherplatz auf der Festplatte benötigt. Eine blockweise erfolgende Bearbeitung der Steifigkeitsmatrix ist sowohl bei bandbreiten- als auch bei hüllenorientierter Speicherung möglich. Es gibt aber auch Verfahren, die von einer beliebigen Blockaufteilung ausgehen (Bild 7-9), sowie mathematische Methoden zur effizienten Speicherung und mathematischen Behandlung schwach besetzter Matrizen [7.48].

566

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

Bild 7-9 Allgemeine blockorientierte Speicherung der Systemsteifigkeitsmatrix

Ein spezielles Verfahren, das die Auflösung des Gleichungssystems mit der Berechnung der Elementsteifigkeitsmatrizen verbindet, ist das „Frontlösungsverfahren„. Bei diesem Verfahren werden zur Eliminierung eines einzelnen Freiheitsgrades aus dem Gleichungssystem ausschließlich die hierzu benötigten Elementsteifigkeitsmatrizen unter gleichzeitiger Berücksichtigung der Auflagerbedingungen aufgestellt und im Kernspeicher abgespeichert. Gleichzeitig benötigt werden danach nur die Steifigkeitsmatrizen aller Elemente, die mit dem betreffenden Freiheitgrad verbunden sind. Nacheinander werden auf diese Weise alle Freiheitsgrade einzeln aus dem Gleichungssystem eliminiert. Die Steifigkeitsmatrizen aller Elemente, die beim Eliminierungsprozess bereits benötigt wurden und für die noch nicht alle Freiheitsgrade eliminiert wurden, werden hierbei im Kernspeicher vorgehalten. Da die rechnerische Bearbeitung in der Reihenfolge der Elementnummern erfolgt, wird der benötigte Kernspeicherplatz somit von der Elementnumerierung bestimmt. Beim „Frontlösungsverfahren“ sollten daher die Unterschiede der Nummern benachbarter Elemente klein sein. Bei ungünstiger Numerierung kann die erforderliche Kernspeicherkapazität überschritten werden, so dass auch hier temporäres Zwischenspeichern auf der Festplatte erforderlich wird. Für extrem aufwändige Finite-Element-Berechnungen, wie sie beispielsweise bei der nichtlinearen Dynamik auftreten können, besteht die Möglichkeit parallel auf mehreren Computern in einem Rechnernetz zu rechnen. Das Parallele Rechnen wird besonders effizient, wenn die verwendeten mathematischen Verfahren, etwa zurm Lösen eines lineraen Gleichungssystems, für die Parallelrechnung aufbereitet sind, um die Rechenabläufe auf den einzelnen Computern sinnvoll zu koordinieren. Heute kann man derartige Berechnungen auf einer großen Anzahl von Computern auch im Internet durchführen. Man spricht dann vom Grid Computing.

7.4 Integration in die computerunterstützte Tragwerksplanung

567

7.4 Integration in die computerunterstützte Tragwerksplanung Bei einer computerunterstützten Gebäudeplanung entstehen verschiedenartige Datenmodelle des Bauwerks. Im Rahmen der Tragwerksplanung sind dies vor allem CAD-Daten unterschiedlicher Planarten sowie Berechnungsdaten von statischen Untersuchungen, zu denen auch Finite-Element-Berechnungen zählen. Ziel einer integrierten computerunterstützten Tragwerksplanung ist ein einheitliches konsistentes Datenmodell, das diese Daten möglichst redundanzfrei zu speichern und allen Anwendungsprogrammen zugänglich zu machen erlaubt. Für eine durchgängige Nutzung von Daten bei Finite-Element-Berechnungen gibt es folgende Ansätze [7.49]: Konzepte zur Integration der FEM in die computerunterstützte Tragwerksplanung • Datenschnittstelle zu CAD-Programmen • Integration in ein CAD-Programm • Ingenieur-Datenbank • Integration über Objektdefinitionen des Bauwerks Die einfachste Möglichkeit, eine Durchgängigkeit von CAD- und Finite-Element-Software zu erreichen, ist der Datenaustausch über Schnittstellen [7.50]. Hierbei werden entweder Daten der Strukturgeometrie oder auch vollständiger Finite-Element-Netze im CAD-Programm erstellt und über Textdateien an das Finite-Element-Programm übergeben. Nach der FiniteElement-Berechnung, die unabhängig vom CAD-System erfolgt, können Bewehrungsergebnisse an das CAD-System zurück übertragen werden. Die Datenübertragung erfolgt wieder mit Dateien. Für die Übertragung von Geometriedaten können neutrale CAD-Datenformate wie DXF und STEP-2DBS verwendet werden [7.51]. Selbstverständlich muss außer dem CADSystem auch das Finite-Element-Programm in der Lage sein diese Daten zu interpretieren oder es muss ein geeignetes Konvertierungsprogramm zur vorhanden sein [7.52]. Als neutrales Datenformat für Finite-Element-Daten steht zur Zeit FEDIS [7.1] zur Verfügung, das im Bauwesen jedoch nicht gebräuchlich ist. Finite-Element-Datensätze, die mit einem CAD-Preprozessor erstellt wurden, werden daher im speziellen Datenformat des FiniteElement-Programms übergeben [7.53]. Nach neueren Softwarekonzepten erfolgt der Datenaustausch auf der Grundlage von Bauteil-Objekten im Sinne der Objektorientierten Programmierung (OOP). Um deren Standardisierung bemüht sich die „International Alliance for Interoperabiltiy“ [I10]. Für Finite-Element-Modelle stehen derzeit noch keine Standards auf der Grundlage der OOP zur Verfügung. Eine praktische Möglichkeit zur Integration von Finite-Element-Software in die computerunterstützte Planung stellen Softwaresysteme dar, bei denen das Finite-Element-Programm unter einer CAD-Benutzeroberfläche als CAD-Modul implementiert ist. Im Maschinenbau werden derartige Systeme bereits seit längerem eingesetzt. Im Bauwesen ermöglicht dieses Konzept die unmittelbare Nutzung von bereits vorhandener Gebäudegeometrie für das FiniteElement-Modell und die Verwendung von CAD-Grundoperationen und -benutzeroberfläche zur Erstellung und Visualisierung der Finite-Element-Daten. Nach der Durchführung der Finite-Element-Berechnung steht die ermittelte Bewehrung im CAD-Programm für die Erstellung des Bewehrungsplanes unmittelbar zur Verfügung [7.54]-[7.58].

568

7 Softwaretechnische Aspekte von Finite-Element-Programmen

Die Entwicklung der Softwareintegration im Bauwesen ist noch in der Entwicklung begriffen. Das Internet ist im Begriff die Softwaretechnologie der Finite-Element-Methode zu beeinflussen. Derzeit dient es vor allem zur Information über Finite-Element-Software, aktuelle Forschungsergebnisse und der Kommunikation zwischen den an der Finite-Element-Methode Interessierten [7.60]. Es ermöglicht auch das Downloaden von Finite-Element-Software und bietet Möglichkeiten der Fernwartung von Computern. Es besteht auch die Möglichkeit, umfangreiche und besonders leistungsfähige Finite-Element-Software auf einem Server im Netz zu installieren und über das Internet von jeden beliebigen Rechner der Welt darauf zuzugreifen, um Berechnungen durchzuführen [7.61]. Hinzu kommen für extrem aufwändige FiniteElement-Berechnungen die Möglichkeiten des Grid Computing. Es ist zu erwarten, dass diese Möglichkeiten mit steigender Kapazität und Leistungsfähigkeit des Internets auch weiterhin zunehmen.

569

Literatur [1.1]

Bronstein, I.N., K.A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig, Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 1993

[1.2]

Schwarz, H.R., Methode der finiten Elemente, B.G. Teubner, Stuttgart 1984

[1.3]

Bathe K.-J., Finite-Element-Methoden, Springer-Verlag, Berlin 1995

[1.4]

Pfaffinger D., Tragwerksdynamik, Springer-Verlag, Wien, 1989

[1.5]

Kmiecik M., H. Pfau, E. Wiebeck, M. Wizmur, Nichtlineare Berechnung ebener Flächentragwerke, Verlag für Bauwesen, Berlin, 1993

[1.6]

Wriggers P., Nichtlineare Finite-Element-Methoden, Springer, Berlin, 2001

[1.7]

Crisfield M.A., A Faster Modified Newton-Raphson Iteration, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, North-Holland Publishing Company, 20, 1979, 267-278

[1.8]

Eggert, G.M., Dawson, P.R., Mathur, K.K., An Adaptive Descent Method for Nonlinear Viscoplasticity, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 31, 1991, 1031-1054

[1.9]

Matthies H., G. Strang, The Solution of Nonlinear Finite Element Equations, International Journal for Numerical Methods in Engineering, John Wiley&Sons, New York, 1979, 1613-1626

[1.10]

Crisfield M.A., Solution Procedures for Nonlinear Structural Problems, Recent Advances in Computational Mechanics, (Eds.: D.R.J. Owen, E. Hinton, C. Taylor), Pineridge Press, Swansea, 1982, 1-39

[1.11]

Riks E., An Incremental Approach to the Solution of Snapping and Buckling Problems, International Journal Solids Structures, Pergamon Press, Vol. 15, 1979, 529551

[1.12]

Wempner G.A., Discrete Approximations Related to Nonlinear Theories of Solids, International Journal Solids Structures, Pergamon Press, Vol. 7, 1971, 1581-1599

[1.13]

Forde B., S. Stiemer, Improved Arc Length Orthogonality Methods for Nonlinear Finite Element Analysis, Computers & Structures, Vol 27, No. 5, Pergamon Press, 1987, 625-630

[1.14]

Schweizerhof K., P. Wriggers, Consistent Linearisation for Path Following Methods in Nonlinear FE Analysis, Comput. Meth. aPpl. Mech. Engng 59, 1986, 261-279

[1.15]

Ramm E., Strategies for Tracing the Nonlinear Response near Limit Points, In Europe-US-Workshop, Nonlinear Finite Element Analysis in Structural Mechanics, Ruhr-Universität Bochum, Germany (Herausgeber: W. Wunderlich, E. Stein und K.J. Bathe) 1980, 63-89

570

Literatur

[2.1]

Filonenko-Boroditsch, M.M., Elastizitätstheorie, Fachbuchverlag Leipzig 1967

[2.2]

Schneider/Schweda, Statisch bestimmte ebene Stabwerke, Werner-Verlag, Düsseldorf 1985

[2.3]

Schweda, Baustatik - Fertigkeitslehre, Werner-Verlag, Düsseldorf 1987

[2.4]

Lekhnitskii, S. G., Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body, Holden Day,San Francisco 1963

[2.5]

Girkmann, K. G., Flächenwerke, Springer, Berlin 1986

[2.6]

Mindlin R. D., Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates, ASME Journal of Applied Mechanics 18, 1951, 31-38

[2.7]

Reissner E., On Bending of Elastic Plates, Quart. Applied Math. 5, 1947, 55-68

[2.8]

Hinton E., D.R.J. Owen, G. Krause, Finite Element Programme für Platten und Schalen, Springer-Verlag, Berlin 1990

[2.9]

Beyer M., D. Scharpf, Zur Frage der Drillmomente an freien Rändern dünner Platten,Finite Elemente - Anwendungen in der Baupraxis (München 1984), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1985

[2.10]

Altenbach H., J. Altenbach, K. Naumenko, Ebene Flächentragwerke, Springer, Berlin, 1998

[2.11]

Petersen C., Stahlbau, Vieweg, Wiesbaden, 2001

[2.12]

Francke W., H. Friemann, Schub und Torsion in geraden Stäben, Vieweg, 2005

[2.13]

Wunderlich W., Kiener G., Statik der Stabtragwerke, Teuber Verlag / GWV Fachverlage, Wiesbaden, 2004

[3.1]

Krätzig W. B., Tragwerke 2, Springer, Berlin 1990

[3.2]

Przemieniecki J. S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill, New York 1968

[3.3]

Oldenburg W., Die Finite-Element-Methode auf dem PC, Vieweg, Braunschweig 1989

[3.4]

Ahlert H., Finite Elemente in der Stabstatik, Werner-Verlag, Düsseldorf 1992

[3.5]

Meißner U., A. Menzel, Die Methode der finiten Elemente, Springer, Berlin, 1989

[3.6]

Wunderlich W., G. Kiener, Statik der Stabtragwerke, Teubner/GWV Fachverlage, Wiesbaden, 2004

[3.7]

Hirschfeld K., Baustatik, Springer-Verlag, Berlin 1969

[3.8]

Waas G., H. Werkle, Maschinenfundamente auf inhomogenem Boden, VDISchwingungstagung, Bad Soden 1984

Literatur

571

[3.9]

Katz C., Warum Finite Elemente “falsch” rechnen, Fides Fachgespräch “Finite Elemente”, Mainz, Oktober 2003, Fides DV-Partner Systemhaus Rhein-Main GmbH, Mainz, 2003

[3.10]

Wilson, E. L., A. Habibullah, SAP90 Users Manual, CSI, Computers & Structures, Berkeley, California, 1989

[3.11]

Rubin H., Baustatik ebener Stabwerke, Stahlbau Handbuch, Band 1 Teil A, Stahlbau Verlagsgesellschaft, Köln. 1993

[3.12]

Kneidl R., Träger mit nachgiebigem Verbund - eine Diskretisierung mit STAR2, Sofistik, 7. Anwender-Seminar, Nürnberg 1994

[3.13]

Duddeck H., H. Ahrens, Statik der Stabtragwerke, Betonkalender 1988, Ernst&Sohn, Berlin 1988

[3.14]

Bröse K., Zur Erfassung faltwerksartiger Strukturteile bei der baumechanischen Analyse räumlicher Stabtragwerke, Dissertation, Technische Universität Dresden, 1983

[3.15]

Rombach G., Anwendung der Finite-Element-Methode im Betonbau – Fehlerquellen und ihre Vermeidung, Ernst&Sohn, Berlin, 2007

[3.16]

Leihkauf S., Geometrisch und physikalisch nichtlineare Statik räumlicher Stabtragwerke aus Stahl unter Berücksichtigung realer Anschluss- und Aussteifungsbedingungen, dissertation, TU Dresden, 2001

[3.17]

Ri-EDV-AP-2001, Richtlinie für das Aufstellen und Prüfen EDV-unterstützter Standsicherheitsnachweise, Ausgabe April 2001, Bundesvereinigung der Prüfingenieure für Bautechnik e.V., 2001, Hamburg

[3.18]

Eurocode 3, Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten, Beuth Verlag, Berlin

[4.1]

Argyris J.H., Die Matrizentheorie der Statik, Ingenieurarchiv 25, Springer, Berlin 1957, 174-194

[4.2]

Turner, M.J., R.W. Clough, H.C. Martin, L.J. Topp, Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures, Journal of Aeronautic Science, 23, 1956, 803-823, 853

[4.3]

Clough R.W., The Finite Element in Plane Stress Analysis, Proceedings 2nd A.S.C.E. Conference on Electronic Computation, Pittsburgh, Pa., 1960

[4.4]

Clough R.W., Areas of Application of the Finite Element Method, Computers & structures 4, Pergamon Press, Oxford 1970

[4.5]

Zienkiewicz O. C., Methode der Finiten Elemente, Carl Hanser Verlag, München 1984

[4.6]

Argyris J., H.-P. Mlejnek, Die Methode der Finiten Elemente, Vieweg, Braunschweig 1986

[4.7]

Bathe K.-J., Finite-Element-Methoden, Springer-Verlag, Berlin 1995

[4.8]

Meißner U., A. Menzel, Die Methode der finiten Elemente, Springer, Berlin, 1989

572

Literatur

[4.9]

Thieme, D., Einführung in die Finite-Element-Methode für Bauingenieure, Verlag für Bauwesen, Berlin 1990

[4.10]

Knothe K., H. Wessels, Finite Elemente, Springer, Berlin 1992

[4.11]

Gallagher, R.H., Finite-Element-Analysis, Springer-Verlag, Berlin 1976

[4.12]

Schweizerhof K., S. Andrussow, M. Baumann, Moderne Elementkonzepte für ebene und achsensymmetrische Probleme, Finite Elemente, Anwendungen in der Baupraxis (Karlsruhe 1991), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1992

[4.13]

Taylor, R.L., Beresford, P.J., Wilson, E.L.: A Non-Conforming Element for Stress Analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering Vol. 10, 1976, 1211-1219

[4.14]

Krishnamoorthy C.S., Finite Element Analysis, Mc. Graw Hill, New Delhi, 1987

[4.15]

Ibrahimbegovic A., E.L. Wilson, A Modified Method of Incompatible Modes, Comm. Appl. Num. Meth., Vol. 7, 1991, 187-194

[4.16]

Pian, T.H.H., Derivation of Element Stiffness Matrices by Assumed Stress Distribution, AIAA Journal, July 1964

[4.17]

Pian, T.H.H., K. Sumihara, Rational Approach for Assumed Stress Finite Elements, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 20, 1984, 1685-1695

[4.18]

Walder, U., Beitrag zur Berechnung von Flächentragwerken nach der Methode der Finiten Elemente, Dissertation, Institut für Baustatik und Konstruktion, ETH Zürich, 1977

[4.19]

Hauptmann R., K. Schweizerhof, Aktuelle Finite Elemente für lineare Plattenberechnungen mit Interpolationsfunktionen niederer Ansatzordnung, Finite Elemente in der Baupraxis (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[4.20]

Hughes, T.J.R., Taylor, R.L., Kanoknukulchai W., A Simple and Efficient Finite Element for Plate Bending, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 11, 1977, 1529-1543

[4.21]

Tessler, A., Hughes T.J.R., An Improved Trestment of Transverse Shear in the Mindlin-Type Four-Node Quadrilateral Element, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 39, 1983, 311-335

[4.22]

Bathe K.-J., Dvorkin, E., A Four-Node Plate Bending Element Based on Mindlin/ Reissner Plate Theory and a Mixed Interpolation, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 21, 1985, 367-383

[4.23]

Batoz J.-L., P. Lardeur, A Discrete Shear Triangular Nine D.O.F. Element for the Analysis of Thick to very Thin Plates, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, 28, 1989, 533-560

[4.24]

Heil W., R. Sauer, K. Schweitzerhof, U. Vogel, Berechnungssoftware für den Konstruktiven Ingenieurbau, Bauingenieur 70, Springer, Berlin 1995, 55-64

[4.25]

Hinton, E., Owen D.R.J., Krause G., Finite Element Programme für Platten und Schalen, Springer-Verlag, Berlin 1990

Literatur

573

[4.26]

Batoz J.-L., K.-J. Bathe, L.-W. Ho, A Study of Three-Node Triangular Plate Bending Elements, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, 15, 1980, 1771-1812

[4.27]

Batoz J.-L., An Explicit Formulation for an Efficient Triangular Plate-Bending Element, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, 18, 1982, 1077-1089

[4.28]

Batoz J.-L., M. B. Tahar, Evaluation of a New Quadrilateral thin Plate Bending Element, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, 18, 1982, 16551677

[4.29]

Falter, B., Statikprogramme für Personalcomputer, Werner-Verlag, Düsseldorf, 1992

[4.30]

Clough R.W., Tochter, J., Finite Element Stiffness Matrices for the Analysis of Plate Bending, Proceedings First Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, AFFDL TR 66-80, 1965, 515-546

[4.31]

Clough, R.W., Felippa, C.A., A Refined Quadrilateral Element for Analysis of Plate Bending, Proceedings second Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, Air Force Inst. of Techn., Wright Patterson A.F. Base, Ohio, 1968

[4.32]

Kohnke, P.C., ANSYS Theoretical Manual, Swanson Analysis Systems, Inc., Houston, P.A. DN-R244;44

[4.33]

Pian T.H.H., Element Stiffness Matrices for Boundary Compatibility and for Prescribed Boundary Stresses, Proceedings First Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, AFFDL TR 66-80, 1965

[4.34]

Hughes, T.J.R., Tezduyar T.E., Finite Elements based upon Mindlin Plate Theory with Particular Reference to the Four-Node Bilinear Isoparametric Element, Jounal of Applied Mechanics, 48/3, 1981, 587-596

[4.35]

Czerny, F., Tafeln für Rechteckplatten, Betonkalender 1990, Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1990

[4.36]

Girkmann, K., Flächentragwerke, Springer-Verlag, Wien 1986

[4.37]

Gmür T.C., R.H. Kauten, Three-Dimensional Solid-to-Beam Transition Elements for Structural Dynamics Analysis, Intern. Journal for numerical Methods in Engineering, Vol. 36, 1993, (1429-1444)

[4.38]

Gmür Th., Schorderet A., A Set of Three-Dimensional Solid to Shell Transition Elements for Structural Dynamics, Computers & Structures, 46, 1993, (583-591)

[4.39]

Tessler T.J.R., Hughes J.R., An improved Treatment of Transverse Shear in the Mindlin-type Four-Node Quadrilateral Element, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 39, 1983, 311-335

[4.40]

Crisfield M.A., A Quadratic Mindlin Element Using Shear Constraints, Computers&Structures, 18, 1984, 833-852

[4.41]

Werkle H., Konsistente Modellierung von Stützen bei der Finite-ElementBerechnung von Flachdecken, Bautechnik, Ernst&Sohn, Berlin, 2000

574

Literatur

[4.42]

Werkle H., T. Friedrich, J. Sutter, Modellierung von Stützen mit Pilzkopfverstärkung bei Flachdecken, 5. FEM/CAD-Tagung, Technische Universität Darmstadt, 2000, Festschrift Bauinformatik, Werner-Verlag, Düsseldorf, 2000

[4.43]

Werkle H., Ein Randelement zur dynamischen Finite-Element-Berechnung dreidimensionaler Baugrundmodelle, Dissertation, Universität Karlsruhe, 1981

[4.44]

Werkle, H. Dynamic Finite Element Analysis of Three-Dimensional Soil Models with a Transmitting Element, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, John Wiley, New York, Vol. 14, pp. 41-60, 1986

[4.45]

Ramm E., N. Fleischmann, A. Burmeister, Modellierung mit Faltwerkselementen, Baustatik-Baupraxis, Tagung Universtät München, 1993

[4.46]

Rombach G., Anwendung der Finite-Element-Methode im Betonbau – Fehlerquellen und ihre Vermeidung, Ernst&Sohn, Berlin, 2007

[4.47]

Cook R.D., D.S. Malkus, M.E. Plesha, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley&Sons, New York, 1989

[4.48]

Szabo B., I. Babuschka, Finite Element Analysis, John Wiley&Sons, New York, 1991

[4.49]

Johnson, K.L., Contact Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge 1985

[4.50]

Timoshenko S.P., Goodier J.N., Theory of Elasticity, McGraw-Hill, Cambridge 1985

[4.51]

Rank E., R. Krause, M. Schweinegruber, Netzadaption durch intelligentes Pre- und Postprocessing, Finite Elemente, Anwendungen in der Baupraxis (Karlsruhe 1991), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1992

[4.52]

Hughes T.J., Akin J.E., Techniques for Developing Special Finite Element Shape Functions with Particular Reference to Singularities, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 15, 1980, 733-751

[4.53]

Katz, C., T. Fink, Benutzerhandbuch ASS, Statik allgemeiner Scheibensysteme, Sofistik GmbH, Oberschleißheim, 1988

[4.54]

Robinson, J., The Cre Method of Testing and the Jakobian Shape Parameters, Reliability of Methods for Engineering Analysis, Proc. Int. Conf., Swansea 1986, Pineridge Press, 1986, 407-424

[4.55]

Macneal R., R.L. Harder, A Proposed Standard Set of Problems to test Finite Element Accuracy, Finite Elements in Analysis and Design, Elsevier (North-Holland), Amsterdam 1985

[4.56]

Hauser, M.,Spannungen im Auflagerbereich von ausgeklinkten Brettschichtholzträgern, Diplomarbeit, FH Konstanz, (Referent Prof. Dr.-Ing. H. Werkle), 1992

[4.57]

Werkle, H., Die FEM in der Lehre an Fachhochschulen, FEM-CAD, Darmstadt 1994

[4.58]

Schaper G., G. Spiess, Nachvollziehbare Beispiele aus der Baupraxis – Berechnungen mit verschiedenen FE-Programmen –, Festschrift Bauinformatik zu Ehren von

Literatur

575 Univ.-Prof. Dr-Ing. habil. Udo F. Meißner zum 60. Geburtstag, Hrsg.: U. Rüppel, K. Wassermann, Werner-Verlag, Düsseldorf, 2000

[4.59]

Williams, M.L., Stress Singularities resulting from various Boundary Conditions in Angular Corners of Plates in Extension, Journal of Applied Mechanics, 1952, 526-528

[4.60]

Tompert K., Einige Problemfälle bei FE-Berechnungen aus der Sicht eines Prüfingenieurs, Finite Elemente in der Baupraxis, (Stuttgart 1995), Ernst&Sohn, Berlin 1995

[4.61]

Schäfer K., FE-Berechnung oder Stabwerkmodelle?, Finite Elemente in der Baupraxis, (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[4.62]

Thieme D., Erfahrungen aus 100 Scheibenberechnungen, Finite Elemente, Anwendungen in der Baupraxis (Karlsruhe 1991), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1992

[4.63]

Werkle H, Finite-Element-Modellierung von Stützen bei Scheibentragwerken, Bautechnik, Ernst&Sohn, in Vorbereitung

[4.64]

Melzer H., R. Rannacher, Spannungskonzentrationen in Eckpunkten der Kirchhoffschen Platte, Bauingenieur 55, Springer, Berlin 1980, 181-184

[4.65]

Williams M.L., Surface Stress Singularities resulting from Various Boundary Conditions in Angular Corners of Plates under Bending, First US Congress of Applied Mechanics, Illinois Institute of Technology, New York/Chicago 1951, 325-329

[4.66]

Holzer S., Was kann ein Finite-Element-Programm für Platten in der Praxis leisten?, Finite Elemente in der Baupraxis (Darmstadt 1998), Ernst&Sohn, Berlin 1998

[4.67]

Morley, L.S.D., Skew Plates and Structures, Pergamon Press, Oxford 1963

[4.68]

Ramm E., N. Stander, H. Stegmüller, Gegenwärtiger Stand der Methode der Finiten Elemente, Finite Elemente, Anwendungen in der Baupraxis (Bochum 1988), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1988

[4.69]

Ramm E., J. Müller, Flachdecken und Finite Elemente - Einfluß des Rechenmodells im Stützenbereich, Finite Elemente - Anwendungen in der Baupraxis(München 1984), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1985

[4.70]

Glahn H., Ein Kraftgrößenverfahren zur Behandlung von Pilz- und Flachdecken über rechteckigem Grundriß, Diss., TH Aachen, 1973

[4.71]

Glahn H., H. Trost, Zur Berechnung von Pilzdecken, Der Bauingenieur, Springer, Berlin 1974

[4.72]

Rothe H., Anwendungen von FE-Programmen und ihre Grenzen, Seminar Tragwerksplanung der Vereinigung der Prüfingenieure für Baustatik in Hessen, 1994

[4.73]

Konrad A., W. Wunderlich, Erfahrungen bei der baupraktischen Anwendung der FE-Methode bei Platten- und Scheibentragwerken, Finite Elemente in der Baupraxis (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[4.74]

Tompert K., Beispiele aus der Praxis, Landesvereinigung der Prüfingenieure für Baustatik Baden-Württemberg, Tagungsbericht 10, Freudenstadt 1985

576

Literatur

[4.75]

Grasser E., G. Thielen, Hilfsmittel zur Berechnung der Schnittgrößen und Formänderungen von Stahlbetontragwerken nach DIN 1045, Deutscher Ausschuß für Stahlbetonbau, Heft 240, Verlag Ernst & Sohn, Berlin 1988

[4.76]

Scharpf, D., Anwendungsorientierte Grundlagen Finiter Elemente , Landesvereinigung der Prüfingenieure für Baustatik, Baden-Württemberg, Tagungsbericht 10, Freudenstadt 1980

[4.77]

Dietrich R., Finite Elemente im Alltagsgeschäft, Finite Elemente, Anwendungen in der Baupraxis, Ruhr-Universität Bochum, 1988, Ernst & Sohn, Berlin, 1988

[4.78]

Dietrich R., Die Rolle der Finiten Elemente bei der Modellbildung in der Tragwerksplanung, Finite Elemente in der Baupraxis, Universität Stuttgart, 1995, Ernst & Sohn, Berlin, 1995

[4.79]

Sutter, J., Finite-Element-Berechnung von Flachdecken mit Pilzkopfverstärkung, Diplomarbeit, Fachhochschule Konstanz, Referent: Prof. Dr.-Ing. H. Werkle, 2000

[4.80]

Cramer, H., Anwendungsorientierte Finite-Element-Modelle für die Kopplung verschiedenartiger Tragwerksteile, 7. Fachtagung Baustatik-Baupraxis RWTH Aachen, 1999, A.A. Balkema, Rotterdam, 1999

[4.81]

Stein E., Niekamp R., Ein objekt-orientiertes Programm für adaptive parallele Berechnungen von zwei- und dreidimensionalen Problemen der Strukturmechanik, Finite Elemente in der Baupraxis, Technische Universität Darmstadt, 1998, Ernst & Sohn, Berlin, 1998

[4.82]

Berger H., U. Gabbert, K. Graeff-Weinberg, J. Grochla, H. Köppe, Über eine Technik zur lokalen Netzverdichtung in der FEM und ihre Anwendung im Bauwesen, 4. FEM/CAD-Tagung, TH Darmstadt, VDI-Verlag, Düsseldorf, 1996

[4.83]

Zimmermann S., Parameterstudie an Platte mit Unterzug, 1. FEM-Tagung Kaiserslautern, Tagungsband, 1989

[4.84]

Katz C., J. Stieda, Praktische FE-Berechnung mit Plattenbalken, Bauinformatik 1/1992

[4.85]

Wunderlich W., G. Kiener, W. Ostermann, Modellierung und Berechnung von Deckenplatten mit Unterzügen, Bauingenieur 89, Springer, Berlin 1994

[4.86]

Katz C., Neues zu Plattenbalken, Sofistik-Seminar, Nürnberg 1994, Sofistik GmbH

[4.87]

Bachmaier T., Verfahren zur Bemessung von Unter- und Überzügen in FEMPlatten, 3. FEM/CAD-Tagung, TH Darmstadt, 1994

[4.88]

Bechert H., A. Bechert, Kopplung von Platten-, Scheiben- und Balkenelementen – das Problem der voll mittragenden Breite, Finite Elemente in der Baupraxis (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[4.89]

Ma Gupta, Error in Eccentric Beam Formulation, Intern. Journal of Numerical Methods in Engineering, 11, 1977, 1473-1477

[4.90]

Toutounji S., J. Quade, Die wirksame Aufstandsbreite einer Knotenlast beim hybriden Spannungsmodell der Finite-Element-Methode für dünne Platten, Beton- und Stahlbeton 86, Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1991

Literatur

577

[4.91]

Stiglat K., Beitrag zur numerischen Berechnung der Schnittkräfte von rechteckigen und schiefen Platten mit Randbalken, Dissertation, TH Karlsruhe, 1962

[4.92]

Tompert K., Anwendungen der FE-Methode bei der Berechnung ebener und räumlicher Tragwerke im Hochbau, Probleme beim Aufstellen und Prüfen, Landesvereinigung der Prüfingenieure für Baustatik Baden-Württemberg, Tagungsbericht 24, Freudenstadt 1997

[4.93]

Tompert K., Probleme beim Aufstellen und Prüfen von FE-Berechnungen, 2. Dresdener Baustatik-Seminar, Technische Universität Dresden, Oktober 1998

[4.94]

Dressel B., Zuverlässigkeit von Standsicherheitsnachweisen aus der Sicht des Prüfingenieurs, 2. Dresdener Baustatik-Seminar, Technische Universität Dresden, Oktober 1998

[4.95]

Krebs A., A. Pellar, Th. Runte, Einsatz der Methode der Finiten Elemente am Beispiel eines schiefwinkligen Rahmenbauwerks, Finite Elemente in der Baupraxis, (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[4.96]

Pflüger A., Elementare Schalenstatik, Springer, Berlin, 1960

[4.97]

Flügge W., Statik und Dynamik der Schalen, Springer, Berlin, 1981

[4.98]

Cook R.D., Finite Element Modeling for Stress Analysis, John Wiley&Sons, New York, 1995

[4.99]

Schaper G., E. Helter, Erfahrungen mit verschiedenen FEM-Programmen bei der Berechnung eines teilweise vorgespannten Faulbehälters, Finite Elemente in der Baupraxis (Darmstadt 1998), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1998

[4.100]

Kämmel G., H. Franeck, H.-G. Recke, Einführung in die Methode der Finiten Elemente, Carl Hanser Verlag, München, 1990

[4.101]

Rank E., A. Roßmann, Fehlerschätzung und automatische Netzanpassung bei FiniteElement-Berechnungen, Bauingenieur 62, Springer, Berlin, 1987, 449-454

[4.102]

Stein E., S. Ohnimus, B. Seifert, R. Mahnken, Adaptive Finite-Element-Methoden im konstruktiven Ingenieurbau, Baustatik-Baupraxis, Tagung Universtät München, 1993

[4.103]

Zienkiewicz O.C., Z. Zhu, A Simple Error Estimator and Adaptive Procedure for Practical Engineering Analysis, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 24, 1987, 337-357

[4.104]

Zienkiewicz O.C., Z. Zhu, Error Estimates and Adaptive Refinement for Plate Bending Problems, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 28, 1989, 2893-2853

[4.105]

Katz C., Fehlerabschätzungen Finiter Element Berechnungen, 1. FEM-Tagung Kaiserslautern, Tagungsband, 1989

[4.106]

Hartmann F., S. Pickardt, Der Fehler bei finiten Elementen, Bauingenieur 60, Springer, Berlin 1985, 463-468

578

Literatur

[4.107]

Holzer S., E. Rank, H. Werner, An Implementation of the hp-Version of the Finite Element Method for Reissner-Mindlin Plate Problems, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 30, 1990, 459-471

[4.108]

Stein E., S. Ohnimus, Zuverlässigkeit und Effizienz von Finite-ElementBerechnungen durch adaptive Methoden, Finite Elemente in der Baupraxis (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[4.109]

Werkle, H., P. Bock, Zur Anwendung der Finite-Elemente-Methode in der Praxis, – Fehlerquellen bei der Modellbildung und Ergebnisinterpretation, 4.FEM/CADTagung, TH Darmstadt, Darmstadt 1996

[4.110]

Duda, H., FEM – ein verführerisches Hilfsmittel, Finite Elemente in der Baupraxis (Darmstadt 1998), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1998

[4.111]

Göttlicher M., Anwendung der FEM in der Baupraxis, Festschrift Bauinformatik zu Ehren von Univ.-Prof. Dr-Ing. habil. Udo F. Meißner zum 60. Geburtstag, Hrsg.: U. Rüppel, K. Wassermann, Werner-Verlag, Düsseldorf, 2000

[4.112]

Wörner J.-D., Informatik und Ingenieurwesen, Festschrift Bauinformatik zu Ehren von Univ.-Prof. Dr-Ing. habil. Udo F. Meißner zum 60. Geburtstag, Hrsg.: U. Rüppel, K. Wassermann, Werner-Verlag, Düsseldorf, 2000

[4.113]

Reineck K.-H., Der Schadensfall Sleipner und die Folgerungen für den computerunterstützten Entwurf von Tragwerken aus Konstruktionsbeton, Finite Elemente in der Baupraxis (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[4.114]

Werkle H., Finite-Element-Methode, in: Schneider K.J., Bautabellen für Ingenieure, Werner-Verlag, Düsseldorf, 13. Auflage, 1998, S. 2.55-2.66

[4.115]

Polónyi S., E. Reyer, Zuverlässigkeitsbetrachtungen und Kontrollmöglichkeiten (Prüfung) zu praktischen Berechnung mit der Finite-Element-Methode, Bautechnik 11, Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1977

[4.116]

Meißner U., M. Heller, Zur Beurteilung von Finite-Element-Ergebnissen, 1. FEMTagung, Universität Kaiserslautern, 1989

[4.117]

DIN 1045, Beton und Stahlbeton, Bemessung und Ausführung, Ausgabe Juli 1988

[4.118]

Eisenbiegler G., Gleichgewichtskontrollen bei punktgestützten Platten, Beton- und Stahlbetonbau 83, Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1988

[4.119]

Kemmler R., E. Ramm, Modellierung mit der Methode der Finiten Elemente, BetonKalender 2001, Ernst&Sohn, Berlin, 143-208

[4.120]

Kugler J., Finite-Elment-Modellierung von Starrkörper- und Übergangsbedingungen in der Statik, Dissertation, Universität Karlsruhe, Institut für Baustatik, Bericht 5, 1999

[4.121]

Schneider M., Finite-Element-Berechnungen von Scheibentragwerken, Diplomarbeit, HTWG Konstanz, Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Horst Werkle, Konstanz, 1999

[4.122]

Rössle A., Corner Singularities and Regularity of Weak Solutuions for the twodimensional Lamé Equations on Domains with Angular Corners, Journal of Elastictiy, 60, 2000, 57-77

Literatur

579

[4.123]

Waas G., R. Riggs, H. Werkle, Displacement Solutions for Dynamic Loads in Transversly-Isotropic Stratified Media, Earthquake Engineering and Design, Vol 13, John Wiley & Sons, 1985, 173-193

[4.124]

Hartmann F., C. Katz, Statik mit Finiten Elementen, Springer, Berlin, 2002

[4.125]

Nerz G., M. Herr, Vergleichende Untersuchungen zur Boden-Bauwerk-Wechselwirkung mit der Methode der Finiten Elemente, Diplomarbeit Fachhochschule Konstanz, Fachbereich Bauingenieurwesen, Betreuer: Prof. Dr.-Ing. H. Werkle, Konstanz, 2001

[4.126]

Gerold F., 3D-Modellierung von Gebäuden mit der Methode der Finiten Elemente, Diplomarbeit, Fachhochschule Konstanz, Fachbereich Bauingenieurwesen, Betreuer: Prof. Dr.-Ing. H. Werkle, Konstanz, 2004

[4.127]

Werkle H., Gerold F., Modellierung stabartiger Bauteile bei Flächentragwerken, Sofistik Seminar 2005, Nürnberg, Sofistik GmbH Oberschleißheim

[4.128]

Enseleit J., Strukturmechanische Analyse des Entstehens von Bauwerken, WernerVerlag, Düsseldorf, 1999

[4.129]

Ri-EDV-AP-2001, Richtlinie für das Aufstellen und Prüfen EDV-unterstützter Standsicherheitsnachweise, Ausgabe April 2001, Bundesvereinigung der Prüfingenieure für Bautechnik e.V., 2001, Hamburg

[4.130]

Werkle H., Vojc O., FEMBAU, Bericht, Hochschule Konstanz, Konstanz, 2007

[4.131]

Grätsch, T., Hartmann, F., Goal-oriented error estimation with fundamental solutions, ADAPT’ 03: Adaptive Methods for Partial Differential Equations and LargeScale Computations, NY, USA 2003

[4.132]

Grätsch, T., Hartmann, F., Katz, C., Einflussfunktionen und finite Elemente, Bauingenieur 78, Springer, Berlin, 2003, 489-497

[5.1]

Cook R.D., Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley and Sons, New York, 1989

[5.2]

T. R. Chandrupatla, A.D. Belegundu, Introduction into Finite Elements in Engineering, Prentice Hall of India, New Delhi, 1997

[5.3]

K.-J. Bathe, Finite-Element-Methoden, Springer, Berlin, 1995

[5.4]

Pfaffinger D., Tragwerksdynamik, Springer-Verlag, Wien, 1989

[5.5]

Weaver W., Timoshenko S.P., Young D., Vibration Problems in Engineering, Wiley&Sons, Singapore, 1990

[5.6]

M. Paz, Structural Dynamics, Chapman&Hall, New York, 1991

[5.7]

N.M. Newmark, A Method of Computation for Structural Dynamics, A.S.C.E., Journal of Engingeering Mechanics Division, Vol. 85, 1959, 67-94

[5.8]

Zienkiewicz O.C., Methode der Finiten Elemente, Carl Hanser Verlag, München, 1984

580

Literatur

[5.9]

Bronstein, I.N., K.A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig, Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harry Deutsch, Frankfurt am Main 1993

[5.10]

Cooley, P.M., Tukey, J.W., An Algorithm for the Machine Computation of Complex Fourier Series, Mathmatics of Computations 19, 1965, 297-301

[5.11]

Müller F.P., E. Keintzel, Erdbebensicherung von Hochbauten, Ernst&Sohn, Berlin, 1984

[5.12]

Flesch R., Baudynamik praxisgerecht, Band 1, Berechnungsgrundlagen, Bauverlag, Wiesbaden, 1993

[5.13]

Werkle H., Kinematic Interaction of Rigid Circular Foundations on Layered Soil under Surface Wave Excitation, Proc. 8WCEE, San Francisco, 1984, 3, 945-952

[5.14]

Meskouris K., W. B. Krätzig, A. Elenas, L. Heiny, I. F. Meyer, Microcomputerunterstützte Erdbebenuntersuchung von Tragwerken, Ruhr-Universität Bochum, Sonderforschungsbereich Tragwerksdynamik, SFB 151, Bericht 8, Februar 1988

[5.15]

Schneider G., J. Wiek, Herdnahe Messungen der seismischen Bodenbeschleunigung in Südwestdeutschland, Mitteilungen des Instituts für Bautechnik, 2/1979, Berlin, 1979

[5.16]

Hosser D., Realistische seismische Lastannahmen für Bauwerke, Bauingenieur 62, Springer, Berlin 1987, 567-574

[5.17]

Eurocode 8 Structures in Seismic Regions, Design, Part 1, General and Building, Commission of the European Communities, Luxemburg, 1988

[5.18]

Wilson E.L., A. Der Kiuregian, E.P. Bayo, A Replacement for the SRSS Method in Seismic Analysis, Earthquake Engineering and Structural Dynamics 9, 1981, 187194

[5.19]

Clough R.W., J. Penzien, Dynamics of Structures, Mc Graw Hill, 1975

[5.20]

DIN 4149, Bauten in deutschen Erdbebengebieten, Deutsches Institut für Normung, Berlin, April 2005

[5.21]

Müller F.P. Baudynamik, Betonkalender 1978, Ernst&Sohn, Berlin, 1978

[5.22]

Petersen Ch., Dynamik der Baukonstruktionen, Vieweg Verlag, Wiesbaden, 1996

[5.23]

Chopra A.K., Dynamics of Structures, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1995

[5.24]

Waas G., H. Werkle, Schwingungen von Fundamenten auf inhomogenem Baugrund, VDI-Schwingungstagung, Bad Soden, 1984, VDI-Berichte

[5.25]

Werkle H., Steifigkeit und Dämpfung von Fundamenten auf inhomogenem Baugrund, 3. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Erdbeben-Ingenieurwesen und Baudynamik, Trans Tech Publications, Clausthal, 1988

[5.26]

Studer, J., Ziegler, A., Bodendynamik, Springer-Verlag, Berlin, 1986

[5.27]

Werkle H., Realistic Assessment of Dynamic Soil Springs and Dampers, Proceedings of the International Conference on Earthquake Resistant Construction and Design, Ed.: S.A. Savidis, Berlin, 1989, A.A. Balkema, Rotterdam, 1991

Literatur

581

[5.28]

Beucke K., H. Werkle, G. Waas, Nonlinear Soil-Structure Interaction with Base Uplift, SMIRT 7, K9/2, Chicago, 1983

[5.29]

Waas G., Dämpfung von Bauwerksschwingungen, 4. Jahrestagung der Deutschen Gesellschaft für Erdbeben-Ingenieurwesen und Baudynamik, Hrsg: H.-J. Dolling, Berlin 1987, DGEB-Publikation Nr. 2

[5.30]

Roesset J.M, R.V. Whitman, R. Dobry, Modal Analysis for Structures with Foundation Interaction, ASCE, Journal of the Structural Division, 99, 1973, 339-416

[5.31]

Novak M, Effect of Soil on Structural Response to Wind and Earthquake, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 3, 1974, 79-96

[5.32]

Bielak, J., Modal Analysis for Building-Soil-Interaction, ASCE, Journal of the Engineering Mechanics Division, 102, 1976, 771-786

[5.33]

Tsai N.C., Modal Damping for Soil-Structure-Interaction, ASCE, , Journal of the Engineering Mechanics Division, 105, 1974, 323-341

[5.34]

Waas G., Berechnung dynamischer Boden-Bauwerk-Wechselwirkungen, Finite Elemente – Anwendungen in der Bautechnik, Ernst&Sohn, 1984

[5.35]

Waas G., Linear Two-dimensional Analysis of Soil Dynamics Problems in Semiinfinite Media, Dissertation, University of Californiy, Berkeley, 1972

[5.36]

Kausel E., Forced Vibrations of Circular Foundations on Layered Media, MIT Research Report R74-11, MIT, Cambridge Mass., 1974

[5.37]

Werkle H., Dynamic Finite Element Analysis of Three-Dimensional Soil Models with a Transmitting Element, Earthquake Engineering and Design, Vol 14, John Wiley & Sons, 1986, 41-60

[5.38]

Werkle H., A Transmitting Boundary for the Dynamic Finite Element Analysis of Cross Anisotropic Soils, Earthquake Engineering and Design, Vol 15, John Wiley & Sons, 1987, 831-838

[5.39]

Waas G., R. Riggs, H. Werkle, Displacement Solutions for Dynamic Loads in Transversly-Isotropic Stratified Media, Earthquake Engineering and Design, Vol 13, John Wiley & Sons, 1985, 173-193

[5.40]

Wolf J.P., Dynamic Soil-Structure-Interaction, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1985

[5.41]

Wolf J.P., Soil-Structure-Interaction Analysis in Time Domain, Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1988

[5.42]

Flesch R., Baudynamik praxisgerecht, Band 2, Anwendungen und Beispiele, Bauverlag, Wiesbaden, 1997

[5.43]

Lysmer u.a., LUSH – a computer program for complex response analysis of soilstructure-systems, Earthquake Engineering Research Center, Report EERC 74-4, University of California, Berkeley, 1974

[5.44]

Richardt F.E., J.R. Hall, J.D. Woods, Vibrations of Soils and Foundations, PrenticeHall, Englewood Cliffs N.J., 1970

582

Literatur

[5.45]

Werkle H., G. Waas, Computed versus measured response of HDR Reactor building in Impact Test, SMIRT 9, Lausanne, 1987

[6.1]

Cook R.D., D.S. Malkus, M.E. Plesha, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley&Sons, New York, 1989

[6.2]

Wunderlich W., W. Redanz, Die Methode der Finiten Elemente, Der Ingenieurbau – Rechnerorientierte Baumechanik, Ernst&Sohn, Berlin 1996

[6.3]

Bathe K.-J., Finite-Element-Methoden, Springer-Verlag, Berlin 1995

[6.4]

Wriggers P., Nichtlineare Finite-Element-Methoden, Springer-Verlag, Berlin 2001

[6.5]

De Borst, René, Meyer Ch., Numerische Probleme bei nichtlinearem Tragwerksverhalten, Der Ingenieurbau - Rechnerorientierte Baumechanik, Ernst&Sohn, Berlin 1996

[6.6]

Kanchi M.B., Matrix Methods of Structural Engineering, Wiley Eastern, New Delhi, 1993

[6.7]

Ramm E., Hofmann T., Stabtragwerke, Der Ingenieurbau – Baustatik Baudynamik, Ernst&Sohn, Berlin 1996

[6.8]

Przemieniecki J. S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill, New York 1968

[6.9]

Gallagher, R.H., Finite-Element-Analysis, Springer-Verlag, Berlin 1976

[6.10]

Petersen Ch., Statik und Stabilität der Baukonstruktionen, Vieweg, Wiesbaden, 1982

[6.11]

Rubin H., Baustatik ebener Stabwerke, Stahlbau Handbuch, Band 1 Teil A, Stahlbau Verlagsgesellschaft, Köln. 1993

[6.12]

Przemieniecki J. S., Discrete element methods for stability analysis of complex structures, Aeronautical Journal 72, AIAA, 1968

[6.13]

Szilard R., Finite Berechnungsmethoden in der Strukturmechanik, Band 2 Flächentragwerke im Bauwesen, Ernst&Sohn, Berlin, 1990

[6.14]

Timoshenko S., J. Gere, Theory of elastic stability, McGraw Hill, New York, 1961

[6.15]

Zienkiewicz O. C., R. L. Taylor, The Finite Element Method, Mc Graw Hill London, 1991

[6.16]

Stempniewski L., J. Eibl, Finite Elemente im Stahlbeton, Betonkalender 1993, Teil 1, Ernst&Sohn, Berlin, 1993

[6.17]

Mehlhorn G., J. Kollegger, Anwendung der Finite-Element-Methode im Stahlbetonbau, Der Ingenieurbau - Rechnerorientierte Baumechanik, Ernst&Sohn, Berlin 1996

[6.18]

Mehlhorn G., Grundlagen zur physikalisch nichtlinearen FEM-Berechnung von Tragwerken aus Konstruktionsbeton – Materialmodelle für Bewehrung und Beton, Bauingeneieur 70, Springer, Berlin, 1995, 313-320

Literatur

583

[6.19]

Mehlhorn G., Grundlagen zur physikalisch nichtlinearen FEM-Berechnung von Tragwerken aus bewehrtem Konstruktionsbeton – Verbund zwischen Beton und Bewehrung und Modellierung von bewehrtem Konstruktionsbeton, Bauingenieur 71, Springer, Berlin, 1996, 187-193

[6.20]

Sargin, M., Stress-Strain-Relationship for Concrete and Analysis of Concrete Sections, Study No.4, Solid Mechanics Division, University of Waterloo, Waterloo, Canada, Ontario, 1971

[6.21]

Eurocode 2, Planung von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken, Teil 1, Deutsche Fassung, ENV 1992-1-1: 1992

[6.22]

DIN 1045-1, Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton - Teil 1: Bemessung und Konstruktion, Ausgabe Juli 2001, Beuth-Verlag, Berlin, 2001

[6.23]

Saenz, L.P., Equation for the Stress-Strain of Concrete, ACI, Vol. 61, 1994, 12241239

[6.24]

DAfSt, Heft 525, Erläuterungen zu DIN 1045-1, Beuth Verlag, Berlin, 2003

[6.25]

Kupfer, H.B., K.H. Gerstle, Behaviour of Concrete under Biaxial Stresses, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, EM4, August 1973, 853-866

[6.26]

Darwin D., Pecknold D.A., Nonlinear Biaxial Stress-Strain-Law For Concrete, Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE, EM2, April 1977, 229-241

[6.27]

Kompfner T.A., Ein finites Elementmodell für die geometrisch und physikalisch nichtlineare Berechnung von Stahlbetonschalen, Dissertation, Universität Stuttgart, 1983

[6.28]

Veccio F. J., M. P. Collins, Modified Compression-Field Theory for Reinforced Concrete Beams Subjected to Shear, ACI Journal, Proc. V. 83 No. 2 , 1986, 219-231

[6.29]

Crisfield M.A., J. Wills, The Analysis of Reinforced Concrete Panels using Different Concrete Models, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, Vol. 115 No 3, 1989, 578-597

[6.30]

Rots J.G., J. Blaauwendraad, Crack Models for Concrete: discrete or smeared? Fixed, multi-directional or rotating, HERON, 1989

[6.31]

Andres M., Zum Stabilitätsversagen von Schalentragwerken aus Hochleistungsbeton, Dissertation, Universität Wuppertal, 2004

[6.32]

Neujahr M., Modellierung ebener Stahlbetonbauteile unter zyklisch-plastischer dynamischer Beanspruchung, Dissertation, Institut für Baustatik, ETH Zürich, 1999

[6.33]

Stempniewski L., Flüssigkeitsgefüllte Stahlbetonbehälter unter Erdbebeneinwirkung, Schriftenreihe des Instituts für Massivbau und Baustofftechnologie, Dissertation, Universität Karlsruhe, 1990

[6.34]

Hinton E., D. R. J. Owen, G. Krause, Finite Element Programme für Platten und Schalen, Springer, Berlin, 1990

584

Literatur

[6.35]

Fink T., J. Kreutz, Berechnungsverfahren nach der Fließzonentheorie II. Ordnung für räumliche Rahmensysteme nach Theorie II.Ordnung, Bauingenieur 57, 1982, 297-302.

[6.36]

Petersen Ch., Stahlbau, Vieweg, Wiesbaden, 1993

[6.37]

Rothert H., V. Gensichen, Nichtlineare Stabstatik, Springer, Berlin, 1987

[6.38]

Graf W., T. Vassilev, Einführung in die computerorientierte Baustatik, Ernst&Sohn, Berlin, 2006

[6.39]

Czerny F., Tafeln für Rechteckplatten, Betonkalender, Ernst&Sohn, Berlin, 1990

[6.40]

Schenk G., Einfluss der Netzgeometrie auf die Berechnung von gerissenem Beton, 17. Sofistik Seminar, Stuttgart, Sofistik AG, Oberschleißheim, 2004

[6.41]

Leonhard F., R. Walter, Wandartige Träger, DAfST Heft 178, ErnstSohn, Berlin, 1966

[6.42]

Meiswinkel R., Nichtlineare Nachweisverfahren von Stahlbeton-Flächentragwerken, Beton- und Stahlbetonbau 96, Heft 1, Ernst&Sohn, Berlin, 2001, 27-34

[6.43]

Keuser M, R. Purainer, Zur wirklichkeitsnahen Berechnung von Tragwerken aus Stahlbeton, Bauingenieur 78, Springer, Berlin, Mai 2003, 255-265

[6.44]

Schlegel R., K. Rautenstrauch, Numerische Modellierung von Mauerwerk, Mauerwerk-Kalender 2005, Ernst&Sohn, Berlin, 2005

[7.1]

Groth P., Hilber H.M., Katz C., Werner H., FEDIS - Finite Element Data Interface Standard, Kernforschungszentrum Karlsruhe, KfK-PFT 114, November 1985

[7.2]

Müller G., Finite Elemente, Hüthig-Verlag, Heidelberg, 1989

[7.3]

Szilard R., Anforderungen an Software für die Tragwerksanalyse, Bautechnik 70, Verlag Ernst & Sohn, Berlin 1993

[7.4]

Kim Han-Soo, Kyu-Duk Lee, An Interactive Structural Analysis and Design System of Building Frames for MS-Windows, Computing in Civil and Building Engineering, Proceedings of the Sixth International Conference on Computing in Civil and Building Engineering, Berlin Germany, 1995, Editors: P. J. Pahl, H. Werner, Balkema, Rotterdam 1995

[7.5]

Heil W., R. Sauer, K. Schweitzerhof, U. Vogel, Berechnungssoftware für den Konstruktiven Ingenieurbau, Bauingenieur 70, Springer, Berlin 1995, 55-64

[7.6]

Bathe K.-J., E. L. Wilson, Numerical Methods in Finite Element Analysis, PrenticeHall, Englewood Cliffs (New Jersey) 1976

[7.7]

Schwarz H.R., FORTRAN-Programme zur Methode der finiten Elemente, Teubner Studienbücher Mathematik, B.G. Teubner, Stuttgart 1981

[7.8]

Adam J., Basic-Programme zur Methode der finiten Elemente, Teubner, Stuttgart 1986

Literatur

585

[7.9]

Krishnamoorthy C.S., Finite Element Analysis, Tata McGraw-Hill, New Delhi, 1987

[7.10]

Oldenburg W., Die Finite-Element-Methode auf dem PC, Vieweg Verlag, Braunschweig, 1989

[7.11]

Hinton E., D.R.J. Owen, G. Krause, Finite Element Programme für Platten und Schalen, Springer, Berlin 1990

[7.12]

Baker, Pepper, Finite Elements one-two-three, Mc Graw Hill, Singapore, 1991

[7.13]

Clemens G., Technische Mechanik in Pascal, Werner-Verlag, Düsseldorf 1992

[7.14]

Falter B., Statikprogramme für Personalcomputer, Werner-Verlag, Düsseldorf 1992

[7.15]

Reddy J. N., Finite Element Method, Mc. Graw Hill, 1993

[7.16]

Kanchi M.B., Matrix Methods of Structural Engineering, Wiley Eastern, New Delhi, 1993

[7.17]

Breitschuh U., R. Jurisch, Die Finite-Element-Methode, Akademie-Verlag, Berlin, 1993

[7.18]

Dankert H., Dankert J., Technische Mechanik, Teubner, Stuttgart, 1994

[7.19]

Fenner R.T., Finite Element Method for Engineers, Imperial College Press, 1996

[7.20]

Chandrupatla T.R., Belegundu A.D., Introduction to Finite Elements in engineering, Prentice Hall of India, New Delhi, 1997

[7.21]

Rieg F., R. Hackenschmidt, Finite Element Analyse für Ingenieure, Carl Hanser Verlag München, 2000 (mit CD)

[7.22]

Mackie RI, Object Oriented Programming of the Finite Element Method, International Journal for Numerical Methods in Engineering 35, 1992, 425-436

[7.23]

Mackie R. I., Object-oriented Methods – Finite-Element Programming and Engineering Software Design, Computing in Civil and Building Engineering, Proceedings of the Sixth International Conference on Computing in Civil and Building Engineering, Berlin Germany, 1995, Editors: P. J. Pahl, H. Werner, Balkema, Rotterdam 1995

[7.24]

Mackie, R.I., “Object Oriented Methods and Finite Element Analysis”, SaxeCoburg, Edinburgh, ISBN 1-874-672-08-3, 2001

[7.25]

Archer G. C., Object-Oriented Finite Element Analysis, Dissertation, University of California at Berkeley, USA, 1996

[7.26]

Mc Kenna F., Object-Oriented Finite Element Programming: Frameworks for Analysis, Algorithms and Parallel Computing, Dissertation, University of California at Berkeley, USA, 1997

[7.27]

Peng J., F. McKenna, G. Fenves, K. Law, An Open Collaborative Model for Development of Finite Element Program, Proceedings of the eighth International Conference on computing in civil and building engineering, Stanford University, USA, 2000

586

Literatur

[7.28]

Werkle, H., Hansen, R., Röder, J. , Object-Oriented Databases in Software Development for Structural Analysis. International Conference on the Applications of Computer Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering. Weimar: Bauhaus-Universität, Weimar 1997

[7.29]

Hartmann D., Objektorientierte Modellierung im Konstruktiven Ingenieurbau – neue Möglichkeiten für durchgängige Softwaresysteme, Finite Elemente in der Baupraxis, TU Darmstadt, 1998, Ernst&Sohn, Berlin 1998

[7.30]

Bremer C., Algorithmen zum effizienten Einsatz der Finite-Element-Methode, Dissertation, Universität Braunschweig, 1986

[7.31]

Jüdt B., Geometrische und topologische Modellierung für Finite-Element-Analysen, Dissertation. FB Bauwesen, Universität – Gesamthochschule – Essen, 1992

[7.32]

Rehle N., E. Ramm, Generieren von FE-Netzen für ebene und gekrümmte Flächentragwerke, Bauingenieur 70, Springer, Berlin, 1995, 357-364

[7.33]

Zienkiewicz O.C., D.V. Phillips, An Automatic Mesh Generation Scheme for Plane and Curved Surfaces by Isoparametric Coordinates, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 3, 1971, 519-528

[7.34]

Werkle H., D. Gong, CAD-unterstützte Generierung ebener Finite-Element-Netze auf der Grundlage von Makroelementen, Bauingenieur 68, Springer, Berlin 1993, 351-358

[7.35]

Takacz G., Softwareentwicklung für die CAD-unterstützte automatische Generierung von Finite-Element-Netzen für Decken, Diplomarbeit, Fachhochschule Konstanz, Betreuer: Prof. Dr.-Ing. H. Werkle, 1991

[7.36]

Baehmann P. L., S.L. Wittchen, M.S. Shephard, K.R. Grice, M.A. Yerry, Robust, Geometrically Based Mesh Generation, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 24, 1987, 1043-1078

[7.37]

Lo S.H., A New Mesh Generator Scheme for Arbitrary Planar Domains, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 21, 1985, 1403-1426

[7.38]

Rank E., M. Rücker, M Schweingruber, Automatische Generierung von FiniteElement-Netzen, Bauingenieur 69, Springer, Berlin 1994

[7.39]

Arendt P., Generierung von vollständigen FEM-Datensätzen, 1. FEM-Tagung Kaiserslautern, 2./3. März 1989, Universität Kaiserslautern

[7.40]

Talbert J.A., A.R. Parkinson, Development of an Automatic Two-Dimensional Finite Element Mesh Generator Using Quadrilateral Elements and Bézier Curve Boundary Definition, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 29, 1990, 1551-1567

[7.41]

Zhu J. Z., O. Zienkiewicz, E. Hinton, J. Wu, A New Approach to the Development of Automatic Quadrilateral Mesh Generation, Intern. Journal of Numerical Methods in Engineering, 32, 1991, 849-866

[7.42]

Tilander, S., A Finite Element Mesh Generation Program, Interner Bericht, Fachhochschule Konstanz, Betreuer: Prof. Dr.-Ing. H. Werkle, 1994

Literatur

587

[7.43]

Rust W., E. Stein, 2D-Finite-Element Mesh Adaption in Structural Mechanics Including Shell Analysis and Non-Linear Calculations, in: P. Ladeveze, O.C. Zienkiewicz, Proc. Conf. europ. sur les nouvelles advancées en calcul des structures, 1992

[7.44]

Rank E., R. Krause, M. Schweingruber, Netzadaption durch intelligentes Pre- und Postprocessing, Finite Elemente – Anwendungen in der Bautechnik (Karlsruhe 1991), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1992

[7.45]

Cheng F., J.W. Jaromczyk, J.-R. Lin, S.-S. Chang, J.-Y. Lu, A Parallel Mesh Generation Algorithm Based on the Vertex Label Assignment Scheme, Intern. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 28, 1989, 1429-1448

[7.46]

Rehle N., E. Ramm, Adaptive Vernetzung bei mehreren Lastfällen, Finite Elemente in der Baupraxis (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[7.47]

Ramm E., N. Rehle, Qualitätssicherung durch angepasste FE-Netze – Möglichkeiten und Grenzen, Baustatik-Baupraxis 6, Weimar 1996

[7.48]

Schwarz H.R., Methode der finiten Elemente, Teubner Studienbücher Mathematik, Teubner, Stuttgart 1981

[7.49]

Beucke K., Stand der Integration von Statik und Bemessung im Entwurfs- und Konstruktionsprozess, Baustatik-Baupraxis, Tagung Universität München, 1993

[7.50]

Wassermann K., Voraussetzungen und Lösungsmöglichkeiten für eine praxisgerechte CAD/FEM-Kopplung, 2. FEM/CAD-Tagung an der Universität Kaiserslautern, März 1992

[7.51]

Haas W., CAD-Datenaustausch-Knigge, Springer, Berlin 1993

[7.52]

Rüppel, U., Objektorientiertes Modellmanagement von Produktmodellen der Tragwerksplanung, Bericht 1/94 des Instituts für Numerische Methoden im Bauwesen, TH Darmstadt, 1993

[7.53]

Werkle H., A. Vellasco, Zum Einsatz von CAD bei Finite-Element-Berechnungen, Bauingenieur 65, Springer 1990, 109-114

[7.54]

Nemetschek G., G. Gold, Computerunterstützter Entwurf (CAD) und Kopplung mit FE-Berechnungen, Finite Elemente – Anwendungen in der Baupraxis (Bochum 1988), Ernst & Sohn, Berlin, 1988

[7.55]

Wibbeler H., Effektive Anwendung von 3D-Finite-Element-Modellen durch Integration der Rechenprogramme in ein CAD-System, 4. FEM/CAD-Tagung, TU Darmstadt, 1996, VDI Fortschrittsbericht 214, VDI-Verlag, Düsseldorf 1996

[7.56]

Schweingruber-Straten, FEM/CAD-Kopplung unter Berücksichtigung der Erstellung prüffähiger statischer Berechnungen, Festschrift Bauinformatik zu Ehren von Univ.-Prof. Dr-Ing. habil. Udo F. Meißner zum 60. Geburtstag, Hrsg.: U. Rüppel, K. Wassermann, Werner-Verlag, Düsseldorf, 2000

[7.57]

Pfeiffer T., CAD für Bauingenieure, Vieweg, Braunschweig 1989

588

Literatur

[7.58]

Rank E., A. Halfmann, M. Rücker, C. Katz, S. Gebhard, Integrierte Modellierungsund Berechnungssoftware für den Konstruktiven Ingenieurbau: Systemarchitektur und Netzgenerierung, Bauingenieur, 2000, 60-66

[7.59]

Beucke K., B. Firmenich, S. Holzer, D. Ranglack, Methodik zur Unterstützung heterogener Teilprozesse in der Bauplanung, Finite Elemente in der Baupraxis, (Stuttgart 1995), Verlag Ernst&Sohn, Berlin 1995

[7.60]

Werkle, H., R. Klenk, Das Internet im Konstruktiven Ingenieurbau, Bautechnik, Ernst&Sohn, Berlin, 1999

[7.61]

Hartmann D., Die Zukunft der Bauinformatik, Festschrift Bauinformatik zu Ehren von Univ.-Prof. Dr-Ing. habil. Udo F. Meißner zum 60. Geburtstag, Hrsg.: U. Rüppel, K. Wassermann, Werner-Verlag, Düsseldorf, 2000

[7.62]

Werkle, H., H. Pleßke, EDATRA – Engineering Deskrtop Anwednugnen in der Tragwerksplanung, Forschungsbericht, Fachhochschule Konstanz, Konstanz, 2002

[7.63]

Werkle H., H. Pleßke, Engineering Desktop Anwendungen in der Tragwerksplanung auf der Grundlage der COM-Technologie, International Conference on the Application of Computer Science and Mathmatics in Architecture and Civil Engineering (IKM), Bauhaus-Universität Weimar, Weimar, 2003

Internet-Adressen

589

Internet-Adressen Stand Juni 2007

[I1]

FEMSET-Homepage http://www.fh-hamburg.de/rzbt/dnksoft/cammpus/femset.html/

[I2]

Programm FEM_Object in C++: http://www.zace.com/femobj.htm

[I3]

Kai Gerd Schwebke Programm Jbeam in JAVA: http://www.uni-stuttgart.de/ivkib/frames/deutsch/forschung/fprogrammentwicklung.html

[I4]

Dennis Roddeman: FE-Programm TOCHNOG http://tochnog.sourceforge.net/tnhome.html

[I5]

Universität Heidelberg: Finite-Element-Programm deal.II in C++ http://gaia.iwr.uni-heidelberg.de/~deal/

[I6]

Internet Finite Element Resources: http://www.engr.usask.ca/~macphed/finite/fe_resources/fe_resources.html

[I7]

Finite-Element-URL-Sammlung http://www.yourtechnologylink.com/softwareforengineering/finiteelementanalysis/

[I8]

Archer C. G., Dissertation http://ce.ecn.purdue.edu/~archer/PhD/PhD.html

[I9]

Mc Kenna F., Dissertation http://www.ce.berkeley.edu/~fmckenna/dissertation.html

[I10]

International Alliance for Interoperability http://iaiweb.lbl.gov/

590

Die Homepage zum Buch

Die Homepage zum Buch www.Finite-Elemente-in-der-Baustatik.de Dort finden Sie: •

Neueste Infos und Aktualisierungen zum Buch

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Bestellmöglichkeit der CD mit vielen der abgedruckten Berechnungsbeispiele und -verfahren auf der Grundlage von Mathcad

Finite-Element-Software [P1]

ARS-Programmsystem, Version V2.0-93, SOFiSTiK GmbH, Oberschleißheim

[P2]

MicroFe, Version 5.12, mb-Programme, Software im Bauwesen GmbH, Hameln (aktuelle Programmversion enthält eine anderes Plattenelement)

[P3]

Software nach [5.12], 1992

[P4]

FEM-Programmsystem - Ausbaustufe 3D, Infograph GmbH, Aachen, 1997

[P5]

ATENA, Cervenka Consulting, Prag, Tschechien

[P6]

TRIMAS, RIB Software AG, Stuttgart

Warenzeichen SOFiSTiK ist Warenzeichen der SOFiSTiK GmbH, Oberschleißheim MicroFe ist Warenzeichen der mb-Programme, Software im Bauwesen GmbH, Hameln

591

Sachwortverzeichnis A Abstrahlungsdämpfung ............................446

Belastung

Advancing Front Methode........................557

– nicht-rotationssymmetrische .............252

Aequivalente Spannungs-Transformation 257

Berechnungsmodell..................157, 279, 280

Anregung

Beschleunigung ........................................361

– harmonische ......................................385

Beteiligungsfaktor ....................................428

Ansatzfunktion .................................189, 214

Beton ................................................519, 527

– bilineare.............................................189

Betrachtungsweise

– höhere........................................180, 188

– Euler'sche ..........................................476

Antwortspektrenverfahren................415, 422 Antwortspektrum......................................423

– Lagrange'sche....................................476 Bettung

– Ermittlung .........................................426

– elastische........... 152, 305, 319, 324, 327

A-Priori-Kriterium....................................292

Bettungsmodulmodell ..............................343

Arbeit

Beulen

– äußere virtuelle................................... 73 Auflager

– einer Platte ........................................507 Bewegungsgleichung ...............371, 378, 384

– schiefes..............................................143

BFGS-Verfahren ........................................52

Auflagerbedingung...........................107, 143

Biegebalken........................ 75, 115, 148, 489

Auflagerkraft ............................................111

Boden

Auflagerverdrehung..................................143

– inhomogener .....................................445

Auflagerverschiebung ..............................143

Boden-Bauwerk-Wechselwirkung ...........442

Aussparung...............................................151

Bodenbewegung.......................................371 Bodendämpfer..........................................443 Bodenfeder ...............................................443

B Balken – elastisch gebetteter ............................152 – schubweicher...................................... 81 Balkenelement..................118, 128, 135, 138 Bandbreite ................................................561 Bandbreitenoptimierung ...........................562 Baugrund ..................................................443 Baugrundmodell .......................................343 Bauschinger-Effekt...................................519 Bauteil – balkenartiges .....................................335

Bodenfuge – klaffende ...........................................345 Bodenmodell ............................345, 445, 449 Bodenplatte ..............................................343

C CAD .................................................550, 567 Cholesky-Verfahren .......................9, 14, 560 Constant Strain Triangle (CST)................213 CQC-Verfahren ........................................429 CST-Element............................................213

592

Sachwortverzeichnis – Anzahl ...............................................458

D D´Alembertsche Kraft ............................. 363 Dämpferwert............................................ 445 Dämpfung – generalisierte .................................... 399 – kritische ............................................ 369 – modale .......................385, 399, 428, 453 – proportionale .................................... 384 Dämpfungskonstante ............................... 369 Dämpfungskraft....................................... 369 Dämpfungsmaß................................ 369, 446 – hysteretisches ................................... 390 – modales ............................................ 450 Dämpfungsmatrix ............................ 369, 384 – allgemeine ........................................ 385 Darwin/Pecknold ..................................... 531 Datenformat............................................. 567 Datenmodell ............................................ 567 Deckensprung .......................................... 335 Dehnungszustand – ebener ................................................. 69 Determinante ............................................... 2 Diagonalmatrix ............................................ 2 DIN 4149................................................. 426 Diskrete Fourier-Transformation............. 407 Diskretisierungsfehler.............................. 354 DKQ-Element.......................................... 238 DKT-Element .......................................... 238 Dokumentation ........................................ 157 Drehmasse ....................................... 363, 440 Drehungsinvarianz........................... 206, 211 Dreieckelement........................................ 242 Duhamel-Integral..................................... 400 Durchschlagen ......................................... 488

– komplexe...........................................385 Eigenfrequenz ..................................377, 379 Eigenkreisfrequenz...........................376, 383 Eigenschwingung – höhere................................................401 Eigenvektor ................................................21 Eigenwert ...................................................21 – komplexer .........................................385 – mehrfacher ..........................................23 Eigenwertproblem ......................19, 378, 471 Eingabedaten – Prüfung..............................................162 Eingabefehler ...........................................157 Einheitsmatrix ..............................................2 Einheitsverwölbung....................................84 Einmassenschwinger ................................371 Einschrittverfahren ...................................394 Einwirkungsfläche............................326, 329 Einzelkraft ................................................341 Einzellast ..................................236, 312, 341 Elastizitätsmodul – komplexes .........................................390 Elastizitätsmodul Ec,t ................................520 – tangentiales........................................520 Element – Größenverhältnis ...............................291 – hybrides.....................................221, 284 – isoparametrisches ......................213, 237 – kinematisches ....................................188 – konformes .................................212, 284 – nichtkonformes..................220, 284, 287 – semifinites .................................279, 449 Elementart ................................................255 Elementlast ...............................118, 121, 197 – äquivalenter Knotenkräfte .................197

E Ecke – einspringende ................... 294, 314, 351 Eigenform................................................ 379

Elementmassenmatrix ..............................366 Elementspannung .....................................194 Elementsteifigkeitsmatrix.....................90, 92

Sachwortverzeichnis Elementsteifigkeitsmatrix Ke – des Fachwerkstabs.............................. 96

593 FEM-Näherungslösung ............................188 Finite Elemente

Elementtyp .......................................229, 283

– Anforderung......................................206

Elementverdichtung..................................291

– für Schalen ........................................247

Elementwahl.............................................283

– geometrisch nichtlineare ...................477

Entwicklung – historische .........................................167 Erdbeben ..................................................415

Finite-Element-Berechnung – Dokumentation..................................359 Finite-Element-Methode

Erdbebenbeschleunigung..........................415

– Berechnungsschritte ............................90

Ergebnisinterpretation ..............................350

– Eigenschaften....................................169

ergonomisch .............................................552

Finite-Element-Schnittgröße ....................351

Erregung

Flachdecke ...............................................358

– beliebige ............................................391 Ersatzlast ..................................................121 Ersatzmassenfaktor...................................459 Ersatzquerkraft .......................................... 82

Flächenlast ....................... 195, 197, 236, 341 Flächentragwerk – Kontrolle ...........................................357 Fließbedingung

EST...........................................257, 297, 303

– Drucker-Prager..................................524

EST-Element ....................................257, 270

– Mohr-Coulomb .................................524

EST-Modell..............................304, 324, 328

– Treska ...............................................525

Eurocode 8 ...............................................426

– Von-Mises.........................................524 Fließgelenktheorie....................................536

F

Fließgesetz

Fachwerk ................................................... 91

– assoziiertes ........................................526

– räumliches .........................................133

– nichtassoziiertes ................................526

Fachwerkstab..............................92, 477, 483

Flüssigkeitskissenmodell................................ .............................. 264, 303, 324,328, 329

Falksches Schema ....................................... 4 Faltungsintegral........................................400 Faltwerkmodell.........................................335 Fast Fourier Transformation.....................409 Feder.................................................114, 147 Federkonstante .........................................444 Fehler – numerischer .......................................157

Formfaktor ...............................................287 Formfunktion ...................................192, 214 Fourieranalyse..........................................456 Fourier-Reihe ...........................251, 252, 406 Fourier-Transformation....................406, 413 Freiheitsgrad...............................................87 – Eliminierung .....................................128 Frequenz...................................................376

Fehlerabschätzung ....................................354 Fehlerlast ..................................................355 Fehlermaß.................................................356 Fehlermöglichkeit.....................................157 Fehlernorm ...............................................354

Frequenzbereich – Diskretisierung..................................456 Frequenzspektrum ....................................410 Frontlöser .................................................560 Frontlösungsverfahren..............................566

594

Sachwortverzeichnis – numerisches.......................................460

G Gauß-Integration...................................... 217 Gaußscher Algorithmus....................... 9, 560 Gaußsches Verfahren................................. 12 Gebäude................................................... 442

Interpolationsmethode ..............................556 Inverse der Matrix ........................................6 Inverse Iteration..........................................27 Isotropie – geometrische .............................206, 211

Gebäudemodell – dreidimensionales............................. 350

Iteration – inverse .................................................25

Gelenk ..................................................... 127 Generierung

Iterationsverfahren – nach Gauß-Seidel ................................16

– künstliche ......................................... 416 Geschwindigkeit ...................................... 361 Gewölbewirkung ..................................... 302

K

Gitternetzmethode ................................... 556

Kirchhoffsche Plattentheorie ......................77

Gleichungssystem................................ 7, 560

Knicklast ..................................................502

– homogenes............................................ 7

Koinzidenztabelle.....................................101

– inhomogenes......................................... 7

Komponenten-Technologie ......................556

Gram-Schmidt-Orthogonalisierung ........... 30 Grundgleichung

Kondensation – statische.............................................128

– Biegebalken .................................. 75, 83

Konditionszahl ...........................................18

– Fachwerkstab...................................... 66

Kontinuum

– Platte............................................. 75, 83

– isotrop elastisches................................69

– Scheibe ............................................... 66

Kontrolle ..................................................161 Konvergenz – monotone...........................................210

H h-Adaption............................................... 356 Halbraum ................................................. 292 Hooksches Gesetz...................................... 68 hp-Adaption............................................. 356

Konvergenzkriterium .................................60 Konvergenzverhalten ...............................358 Koordinate – generalisierte .....................................399 Koordinatentransformation ................94, 125 Koppelfedermodell...........................257, 328

I Imperfektion ............................................ 489 Ingenieurmodell............................... 297, 303 Integration – direkte numerische ........................... 391 – numerische ....................................... 456 – reduzierte.......................... 211, 218, 219 – selektive............................................ 235 Integrationsverfahren

Kopplung – kinematische......................................149 – starre..................................................149 Kraft – virtuelle ...............................................75 Kreisfundament ........................................443 Kreiszylinderschale ..........................346, 347 Kurvenverfolgungsverfahren......................54

Sachwortverzeichnis

595 – singuläre................................................8

L

– symmetrische ........................................2

Lager

– transponierte..........................................2

– linienartiges .......................................319 – punktförmiges ...................................324 Lagerung – harte.............................................82, 319 – weiche .........................................82, 319 Lagrange-Element ............................219, 237 Last – generalisierte .....................................399 Linienlager ...............................................319 Linienlast..................................196, 198, 341

Matrizenalgebra ...........................................3 Matrizeninversion ........................................6 Mehrschrittverfahren................................394 Membrantragwirkung...............................346 Membranwirkung.....................................247 Mindlinsche Plattentheorie.........................77 Modalanalyse ...........................397, 400, 456 Modalmatrix.............................................398 Modellbildung..................................345, 437 – von Bauteilen ....................................279

Lösungsverfahren – für Eigenwertprobleme....................... 25

Modellierung – der Dämpfung ...................................450

– für Gleichungssysteme ......................... 9

– der Massen ........................................454

M

Moment – eingeprägtes ......................................341

Masse .......................................................363 – generalisierte .....................................399 Massendiskretisierung ..............................437 Massenkraft ..............................................362 Massenmatrix ...........................................365 – konsistente.........................................366 Massenschwerpunkt .................................442 Materialdämpfung ....................................446 Materialgesetz – zweidimensionales ............................. 70 – orthotropes ......................................... 69 – Platte .................................................. 78 – Balken ................................................ 78 – für Beton ...........................................520 – nach Darwin/Pecknold ......................527 Material-Nichtlinearität ............................517 Materialverhalten – nichtlinear-elastisches .......................517 – plastisches .........................................517 Matrix.......................................................... 1 – Inverse.................................................. 6 – reguläre................................................. 8

– integrales...........................................324 Momenten-Krümmungs-Beziehung...........79 MPC .................................................297, 303 MPC-Modell ............................304, 324, 328 Multi Point Constraint......................149, 257

N Netz – Unregelmäßigkeit..............................289 Netzbildung..............................................283 Netzgenerierung .......................................556 Netzverdichtung – adaptive..................... 354, 356, 558, 560 Newmark-Verfahren ........................391, 393 Newton-Raphson......................................485 Newton-Raphson-Iteration .........................58 – modifizierte .........................................58 – vollständige .........................................58 Newton-Raphson-Verfahren ......................41 – beschleunigtes modifiziertes nach Crisfield .............................................48

596 Newton-Raphson-Verfahren...................... 41 – modifiziertes....................................... 46

Sachwortverzeichnis Programmiersprache.................................552 Programmierung

Nichtlinearität

– objektorientierte ........................555, 567

– geometrische............................. 467, 468

Punktlager ........................................306, 324

– materielle.................................. 467, 468

Punktlagerung ..........................................324

Norm.......................................................... 18 Nullmatrix ................................................... 2

Q

Nyquist-Frequenz .................................... 409

Quadratmatrix ..............................................2 Quadtree-Technik

O

– modifizierte .......................................557

Orthogonalitätsbedingung ............................. ..................................21, 25, 252, 379, 384

Qualitätssicherung....................................157 Quasi-Newton-Verfahren ...........................50 Querkraft ..................................................289

P

Querkraft-Scherwinkel-Beziehung.............79

P-∆-Effekt........................................ 489, 490

Querkraftsprung .......................................351

p-Adaption............................................... 356 Parametervariation................................... 461

R

Patch-Test ................................................ 210

Rahmenecke .............................................150

Phasenwinkel........................................... 376

Randelementmethode ...............................449

Plastizitätstheorie..................................... 523

Randstreifeneffekt ..............................82, 318

Platte................................................ 320, 327

Randverstärkung.......................................335

– orthotrope ........................................... 80

Rayleigh-Dämpfung .........................370, 384

– schubweiche ................................. 77, 81

Rayleigh-Quotient ......................................27

– Dickenänderung................................ 291

Rechteckelement

– kreisförmige ..................................... 320

– für Platten..........................................229

– schiefwinklige .................................. 320

– nichtkonformes..................................211

– vorgespannte..................................... 337

Rechteckmatrix.............................................2

Plattenbalkenquerschnitt.......................... 340 Plattenbreite – mitwirkende.............................. 336, 337

Rechteck-Scheibenelement – Steifigkeitsmatrix ..............................196 Reihenentwicklung

Plattenelement ......................................... 503

– nach Rubin ........................................493

– hybrides ............................................ 243

Reissnersche Plattentheorie ........................77

– Steifigkeitsmatrix ............................. 234

Resonanzbereich.......................................386

Plattenmodell........................................... 336

Resonanzfall .............................................388

Plattentragwerk........................................ 270

Richardson-Extrapolation.........................358

Polynom

Riss

– charakteristisches................................ 20 Polynomansatz......................................... 357 Programmfehler....................................... 161

– im Beton............................................522 Rissrichtung – rotierende ..........................................531

Sachwortverzeichnis Ritz-Verfahren..........................................210

597 – an Lasten von Scheiben.....................312 – Scheibe..............................................312

S

– Schnittgröße

Sandwichplatte .......................................... 80 Schale – rotationssymmetrische.......................252

– Vermeidung ......................................283 Skyline-Speicherung ........................560, 563 Spannung

Schalenelement.........................................247

– geglättete...........................................351

– gekrümmtes .......................................250

– in Balken .............................................76

– geschichtetes .....................................536

– in Platten .............................................76

– rotationssymmetrisches .....................250

– Singularität................................206, 294

Schalenform

– Vorzeichendefinition...........................66

– rotationssymmetrische.......................347

Spannungsgradient ...........................189, 291

Scheibe .............................................201, 303

Spannungsgrößensprung ..........................169

Scheibenelement...............................189, 297

Spannungsmatrix..................................93, 97

– biegungsartige Beanspruchung..........211

Spannungsproblem...................................471

– hybrides.............................................211

Spannungssprung .............................189, 352

Schnelle Fourier-Transformation .............409

Spannungstensor ......................................514

Schnittgröße – in Balken ............................................ 76 – in Platten ............................................ 76

– 2. Piola-Kirchhoff'scher ............508, 514 – Cauchyscher..............................508, 514 Spannungszustand

– Sprung ...............................................351

– ebener..................................................69

Schnittgrößensprung.................................169

– eindimensionaler .................................66

Schreibweise – komplexe...........................................388 Schubsteifigkeit................................124, 440

– zweidimensionaler ..............................66 Sparse Matrices ........................................560 Speicherung

Schubverformung ...............................77, 152

– bandbreitenorientierte .......................560

Schwingung

– blockorientierte .................................560

– freie ...........................................373, 375

– hüllenorientierte ........................560, 563

– freie, gedämpfte.................................384

– profilorientierte .................................563

– gedämpfte..................................382, 383

Speicherungstechnik ................................560

– harmonische ......................................387

SRSS-Überlagerung .................................428

– ungedämpfte, freie.............................378

Stabachse

Schwingzeit ..............................................376

– verspringende....................................149

Seiltragwerk .............................................477

Stabilitätsproblem ....................................471

Seitenverhältnis ........................................287

Stabkennzahl ............................................492

Sekantenverfahren ..................................... 39

Stabwerk

Shifting...................................................... 33

– statische Berechnung.........................165

Singularität ...............................245, 342, 540

Stahl .........................................................519

– an Auflagern......................................312

Stahlbeton ................................................527

598 Starrkörperbedingung – kinematische..................................... 257

Sachwortverzeichnis Theorie III. Ordnung ........................468, 473 Torsionsmoment – primäres...............................................84

Starrkörpermodell.................................... 328 Starrkörperverschiebung.................. 206, 207

– sekundäres...........................................84

Steifemodulmodell .................................. 343

Torsionsträgheitsmoment .........................152

Steifemodulverfahren

Total Lagrange .........................................476

– modifiziertes..................................... 344

Träger – wandartiger........................................293

Steifigkeit – generalisierte .................................... 399

Trägheitskraft ...........................................362

Steifigkeitsänderung ................................ 471

Tragwerksmodell..............................279, 335

Steifigkeitsmatrix .................................... 124

Tragwerksplanung

– geometrische............................. 471, 483

– computerunterstützte .........................567

– komplexe .......................................... 390

Transmitting Boundaries ..........................449

– singuläre ........................................... 163

Triangularisierung ....................................557

– Transformation ................................... 96 Steifigkeitsschwerpunkt........................... 442

U

Steifigkeitssprung .................................... 291

Unterteilung

– künstlicher ........................................ 291

– sukzessive .........................................557

Stockwerksrahmen .................................. 442

Unterzug...........................................335, 340

Stoßkraft .................................................. 401

Updated Lagrange ....................................476

Stütze ....................................... 270, 303, 324 – Modellbildung .................................. 324

V

Stützenkopf.............................................. 327

Variationsrechnung ..................................210

Stützenkopfverstärkung ........................... 333

Vektor...........................................................1

Stützung

Vektorensystem

– unterbrochene ........................... 319, 321 Superpositionsprinzip .............................. 549 System – kinematisches ........................... 110, 163

– linear abhängiges...................................8 Verbund – nachgiebiger ......................................152 Verfahren

– symmetrisches .................................. 154

– adaptives .............................................63

– veränderliches........................... 467, 468

– iteratives ............................................560

Systemmassenmatrix ............................... 366

– probabilistisches................................416

Systemsteifigkeitsmatrix ........... 90, 100, 110

– semifinites .........................................443 Verfestigungswirkung

T

– ideal elastisch-plastisch .....................518

Tangentensteifigkeitsmatrix ............ 477, 482

– isotrope..............................................518

Tension Stiffening ................................... 522

– kinematische......................................518

Theorie I. Ordnung .................................. 468

Vergrößerungsfaktor ................................386

Theorie II. Ordnung................. 468, 470, 492

Verjüngung t.............................................287

Sachwortverzeichnis

599

Verschiebung

– Plattenquerkraft...................................75

– virtuelle .............................................. 71 Verschiebungsansatz

– von Bauteilen ....................................489 Voute........................................................150

– bikubischer ........................................238 – höherer ..............................................211

W

– linearer ..............................................173

Wandscheibe ............................202, 293, 545

– quadratischer .....................................180

Wandscheibenbau ....................................442

– stetiger...............................................212

Wandvorlage ............................................321

– Stetigkeit ...................................206, 209

Wilson- θ -Verfahren................................394

Verschiebungsgrößenverfahren ................. 87

Winkel......................................................287

Verwindung..............................................137

Wölbbimoment.........................................137

Verzerrung................................................. 67

Wölbkrafttorsion ........................83, 137, 153

– konstante ...................................206, 208 Verzerrungstensor ....................................508 – Green-Lagrangescher ........508, 509, 510 Viereckelement – schubstarres .......................................243 Viereck-Plattenelement – schubweiches ....................................237 Volumenelement ......................................250 Von-Mises-Fachwerk ...............................485 Vorspannung ............................................153 Vorverformung Vorzeichen – Balkenschnittgröße............................. 75 – Plattenbiegemoment ........................... 77

Z Zahlendarstellung.....................................158 Zeit- Frequenzbereich ..............................412 Zeitbereich – Diskretisierung..................................456 Zeitschritt .................................................460 Zeitverlauf – Überlagerung ....................................429 Zeitverlaufsberechnung............................416 Zeitverlaufsverfahren ...............................415 Zugversteifung .........................................522 Zustandsgröße – Singularität........................................280