Grundkurs Theoretische Physik 7: Viel-Teilchen-Theorie

Springer-Lehrbuch

Grundkurs Theoretische Physik Band 1 Klassische Mechanik 8. Auflage ISBN: 978-3-540-34832-0 Band 2 Analytische Mechanik 7. Auflage ISBN: 978-3-540-30660-3 Band 3 Elektrodynamik 8. Auflage ISBN: 978-3-540-71251-0 Band 4 Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik 6., aktualisierte Auflage ISBN: 978-3-540-24119-5

Band 5/1 Quantenmechanik – Grundlagen 7. Auflage ISBN: 978-3-540-68868-6 Band 5/2 Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen 6., überarbeitete Auflage ISBN: 978-3-540-26035-6 Band 6 Statistische Physik 6. Auflage ISBN: 978-3-540-68870-9 Band 7 Viel-Teilchen-Theorie 7., aktualisierte Auflage ISBN: 978-3-642-01605-9

Wolfgang Nolting

Grundkurs Theoretische Physik 7 Viel-Teilchen-Theorie 7., aktualisierte Auflage Mit 163 Abbildungen und 113 Aufgaben mit vollständigen Lösungen

123

Professor Wolfgang Nolting Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Physik Newtonstraße 15 12489 Berlin Deutschland [email protected]

Umschlagabbildung: siehe Seite 341

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-01605-9 e-ISBN 978-3-642-01606-6 DOI 10.1007/978-3-642-01606-6 Springer Dordrecht Heidelberg London New York ISBN 978-3-540-24117-5 6. Auflage Springer Berlin Heidelberg New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2002, 2005, 2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandgestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Satz und Herstellung: le-tex publishing services GmbH, Leipzig Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.de)

Allgemeines Vorwort Die sieben Bände der Reihe „Grundkurs Theoretische Physik“ sind als direkte Begleiter zum Hochschulstudium Physik gedacht. Sie sollen in kompakter Form das wichtigste theoretisch-physikalische Rüstzeug vermitteln, auf dem aufgebaut werden kann, um anspruchsvollere Themen und Probleme im fortgeschrittenen Studium und in der physikalischen Forschung bewältigen zu können. Die Konzeption ist so angelegt, dass der erste Teil des Kurses, Klassische Mechanik (Band 1) Analytische Mechanik (Band 2) Elektrodynamik (Band 3) Spezielle Relativitätstheorie, Thermodynamik (Band 4), als Theorieteil eines „Integrierten Kurses“ aus Experimentalphysik und Theoretischer Physik, wie er inzwischen an zahlreichen deutschen Universitäten vom ersten Semester an angeboten wird, zu verstehen ist. Die Darstellung ist deshalb bewusst ausführlich, manchmal sicher auf Kosten einer gewissen Eleganz, und in sich abgeschlossen gehalten, sodass der Kurs auch zum Selbststudium ohne Sekundärliteratur geeignet ist. Es wird nichts vorausgesetzt, was nicht an früherer Stelle der Reihe behandelt worden ist. Dies gilt inbesondere auch für die benötigte Mathematik, die vollständig so weit entwickelt wird, dass mit ihr theoretisch-physikalische Probleme bereits vom Studienbeginn an gelöst werden können. Dabei werden die mathematischen Einschübe immer dann eingefügt, wenn sie für das weitere Vorgehen im Programm der Theoretischen Physik unverzichtbar werden. Es versteht sich von selbst, dass in einem solchen Konzept nicht alle mathematischen Theorien mit absoluter Strenge bewiesen und abgeleitet werden können. Da muss bisweilen ein Verweis auf entsprechende mathematische Vorlesungen und vertiefende Lehrbuchliteratur erlaubt sein. Ich habe mich aber trotzdem um eine halbwegs abgerundete Darstellung bemüht, sodass die mathematischen Techniken nicht nur angewendet werden können, sondern dem Leser zumindest auch plausibel erscheinen. Die mathematischen Einschübe werden natürlich vor allem in den ersten Bänden der Reihe notwendig, die den Stoff bis zum Physik-Vordiplom beinhalten. Im zweiten Teil des Kurses, der sich mit den modernen Disziplinen der Theoretischen Physik befasst, Quantenmechanik: Grundlagen (Band 5/1) Quantenmechanik: Methoden und Anwendungen (Band 5/2) Statistische Physik (Band 6) Viel-Teilchen-Theorie (Band 7), sind sie weitgehend überflüssig geworden, insbesondere auch deswegen, weil im Physik-Studium inzwischen die Mathematik-Ausbildung Anschluss gefunden hat. Der frühe Beginn der Theorie-Ausbildung bereits im ersten Semester gestattet es,

die Grundlagen der Quantenmechanik schon vor dem Vordiplom zu behandeln. Der Stoff der letzten drei Bände kann natürlich nicht mehr Bestandteil eines „Integrierten Kurses“ sein, sondern wird wohl überall in reinen Theorie-Vorlesungen vermittelt. Das gilt insbesondere für die „Viel-Teilchen-Theorie“, die bisweilen auch unter anderen Bezeichnungen wie „Höhere Quantenmechanik“ etwa im achten Fachsemester angeboten wird. Hier werden neue, über den Stoff des Grundstudiums hinausgehende Methoden und Konzepte diskutiert, die insbesondere für korrelierte Systeme aus vielen Teilchen entwickelt wurden und für den erfolgreichen Übergang zu wissenschaftlichem Arbeiten (Diplom, Promotion) und für das Lesen von Forschungsliteratur inzwischen unentbehrlich geworden sind. In allen Bänden der Reihe „Grundkurs Theoretische Physik“ sollen zahlreiche Übungsaufgaben dazu dienen, den erlernten Stoff durch konkrete Anwendungen zu vertiefen und richtig einzusetzen. Eigenständige Versuche, abstrakte Konzepte der Theoretischen Physik zur Lösung realer Probleme aufzubereiten, sind absolut unverzichtbar für den Lernenden. Ausführliche Lösungsanleitungen helfen bei größeren Schwierigkeiten und testen eigene Versuche, sollten aber nicht dazu verleiten, „aus Bequemlichkeit“ eigene Anstrengungen zu unterlassen. Nach jedem größeren Kapitel sind Kontrollfragen angefügt, die dem Selbsttest dienen und für Prüfungsvorbereitungen nützlich sein können. Ich möchte nicht vergessen, an dieser Stelle allen denen zu danken, die in irgendeiner Weise zum Gelingen dieser Buchreihe beigetragen haben. Die einzelnen Bände sind letztlich auf der Grundlage von Vorlesungen entstanden, die ich an den Universitäten in Münster, Würzburg, Osnabrück, Valladolid (Spanien), Warangal (Indien) sowie in Berlin gehalten habe. Das Interesse und die konstruktive Kritik der Studenten bedeuteten für mich entscheidende Motivation, die Mühe der Erstellung eines doch recht umfangreichen Manuskripts als sinnvoll anzusehen. In der Folgezeit habe ich von zahlreichen Kollegen wertvolle Verbesserungsvorschläge erhalten, die dazu geführt haben, das Konzept und die Ausführung der Reihe weiter auszubauen und aufzuwerten. Die ersten Auflagen dieser Buchreihe sind im Verlag Zimmermann-Neufang entstanden. Ich kann mich an eine sehr faire und stets erfreuliche Zusammenarbeit erinnern. Danach erschien die Reihe bei Vieweg. Die Übernahme der Reihe durch den Springer-Verlag im Januar 2001 hat dann zu weiteren professionellen Verbesserungen im Erscheinungsbild des „Grundkurs Theoretische Physik“ geführt. Herrn Dr. Schneider und seinem Team bin ich für viele Vorschläge und Anregungen sehr dankbar. Meine Manuskripte scheinen in guten Händen zu liegen. Berlin, im April 2001

Wolfgang Nolting

Vorwort zur 7. Auflage von Band 7 Am eigentlichen Konzept des „Grundkurs Theoretische Physik“ und damit auch an dem siebten Band der Reihe („Viel-Teilchen-Theorie“) hat sich natürlich mit der vorliegenden neuen Auflage nichts geändert. Er ist nach wie vor auf ein PhysikStudienprogramm zugeschnitten, das bereits im ersten Semester mit der Theoretischen Physik (Mechanik) beginnt, so wie es die meisten neuen Bachelor/MasterStudienordnungen an deutschen Hochschulen vorsehen. Techniken und Konzepte werden weiterhin so detailliert vermittelt, dass ein Selbststudium ohne aufwändige Zusatzliteratur möglich sein sollte. In diesem Zusammenhang spielen natürlich die Übungsaufgaben, die nach jedem wichtigen Teilabschnitt angeboten werden, eine für den Lerneffekt unverzichtbare Rolle. Die recht anspruchsvolle „Viel-TeilchenTheorie“, die möglicherweise unter anderer Bezeichnung („Höhere Quantenmechanik“, „Ausgewählte Kapitel der Theoretischen Physik“, . . . ) einem späten Modul des Masterprogramms zuzurechnen ist oder zur Vorbereitung einer Masterarbeit benötigt wird, macht das übende Anwenden von Konzepten und Methoden sogar besonders notwendig. Dabei sollten die ausführlichen Musterlösungen nicht von der selbständigen Bearbeitung der Aufgaben abhalten, sondern nur als Kontrolle der eigenen Bemühungen dienen. Die jetzt vorliegende 7. Auflage besitzt ein erweitertes Aufgabenangebot, kleinere Korrekturen im Text, einen Einschub zur Hochenergieentwicklung Green’scher Funktionen und ein zusätzliches Kapitel „Spektroskopien, Spektraldichte“, das einen Bezug der vielteilchentheoretischen Basis-Funktionen zu experimentellen Spektroskopien herstellen soll. Wie auch schon bei den früheren Auflagen haben ich sehr von Kommentaren, Druckfehlermeldungen und diversen Verbesserungsvorschlägen zahlreicher Kollegen und insbesondere Studierender profitiert. Dafür möchte ich mich an dieser Stelle ganz herzlich bedanken. Die Zusammenarbeit mit dem Springer-Verlag, insbesondere mit Herrn Dr. T. Schneider, verlief, wie auch früher schon, absolut reibungslos und produktiv. Berlin, im August 2009

Wolfgang Nolting

Inhaltsverzeichnis 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.5 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7

Die Zweite Quantisierung Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Kontinuierliche“ Fock-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Diskrete“ Fock-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 9 21 28 34

Viel-Teilchen-Modellsysteme Kristallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Jellium-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Hubbard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Gitterschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Harmonische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Phononengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Elektron-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . 81 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Klassifikation der magnetischen Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Spinwellennäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Green-Funktionen Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linear-Response-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dielektrizitätsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektroskopien, Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 109 115 119 121 123 125 130

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.5 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3

Zweizeitige Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraltheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exakte Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kramers-Kronig-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erste Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Freie Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Zwei-Spin-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Quasiteilchenkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Elektronen-Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronische Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasiteilchenzustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wechselwirkende Teilchensysteme Festkörperelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Grenzfall des unendlich schmalen Bandes . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronenkorrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das exakt halbgefüllte Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kollektive elektronische Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ladungsabschirmung (Thomas-Fermi-Näherung) . . . . . . . Ladungsdichtewellen, Plasmonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spindichtewellen, Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen . . . . . Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode des effektiven Mediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coherent Potential Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133 133 137 141 143 147 149 152 152 157 159 170 173 173 176 180 185 187 190 192

199 199 202 207 211 212 221 225 229 230 234 243 246 249 249 253 255

4.3.4 4.3.5 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.6 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3

Diagrammatische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spinsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tyablikow-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Renormierte“ Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektron-Magnon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische 4f -Systeme (s-f -Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das unendlich schmale Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legierungsanalogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das magnetische Polaron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie (T = 0) Kausale Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Konventionelle“ zeitunabhängige Störungstheorie . . . „Adiabatisches Einschalten“ der Wechselwirkung . . . . . . . Kausale Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wick’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Normalprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Wick’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feynman-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungsentwicklung für die Vakuumamplitude . . . . . . . . . Linked-Cluster-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Störreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dyson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrelationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259 269 270 270 277 282 283 284 286 292 294 302 304

311 311 315 321 324 326 326 329 335 335 336 345 349 352 353 353 359 362 363 363 366 371

5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.4 5.7 6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.3

Diagrammatische Partialsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarisationspropagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effektive Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertexfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

382 382 388 393 396 398

Störungstheorie bei endlichen Temperaturen Matsubara-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matsubara-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Großkanonische Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wick’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammanalyse der großkanonischen Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ringdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

434

Lösungen der Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

437

403 403 409 411 415 415 419 426 429

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

Kapitel 1 Die Zweite Quantisierung

1

1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Die Zweite Quantisierung Identische Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Kontinuierliche“ Fock-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Diskrete“ Fock-Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 9 21 28 34

1. Die Zweite Quantisierung

3

1 Die Zweite Quantisierung Die physikalische Welt besteht aus wechselwirkenden Viel-Teilchen-Systemen. Deren exakte Beschreibung erfordert die Lösung von entsprechenden Viel-TeilchenSchrödinger-Gleichungen, was allerdings in der Regel unmöglich ist. Die Aufgabe der Theoretischen Physik besteht deshalb darin, Konzepte zu entwickeln, mit deren Hilfe ein Viel-Teilchen-Problem physikalisch vernünftig approximativ gelöst werden kann. Der Formalismus der zweiten Quantisierung führt zu einer starken Vereinfachung in der Beschreibung von Viel-Teilchen-Systemen, bedeutet letztlich aber nur eine Umformulierung der ursprünglichen Schrödinger-Gleichung, stellt also noch kein Lösungskonzept dar. Typisch für die zweite Quantisierung ist die Einführung von so genannten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die das mühsame Konstruieren von N-Teilchen-Wellenfunktionen als symmetrisierte bzw. antisymmetrisierte Produkte von Ein-Teilchen-Wellenfunktionen überflüssig machen. Die gesamte Statistik steckt dann in fundamentalen Vertauschungsrelationen dieser Konstruktionsoperatoren. Die in den Viel-Teilchen-Systemen ablaufenden Wechselwirkungsprozesse werden durch Erzeugung und Vernichtung gewisser Teilchen ausgedrückt. Sind die Teilchen eines N-Teilchen-Systems durch irgendeine physikalische Eigenschaft unterscheidbar, so ergibt sich die Beschreibung unmittelbar aus den allgemeinen Postulaten der Quantenmechanik. Bei nichtunterscheidbaren Teilchen tritt ein Prinzip in Kraft, das spezielle Symmetrieforderungen an die Hilbert-Raum-Vektoren der N-Teilchen-Systeme stellt. Wenn die Teilchen unterscheidbar sind, dann sind sie in irgendeiner Form numerierbar: H1(i) : Hilbert-Raum des i-ten Teilchens.

 (i)  Observabler in H1(i) , dann bilden Sei  ϕ ein vollständiger Satz kommutierender  (i)   die (gemeinsamen) Eigenzustände ϕα eine Basis des H1(i) , die wir als orthonormiert annehmen können:  (i)  (i)  ϕα  ϕβ = δαβ (oder δ(α − β)) . HN : Hilbert-Raum des N-Teilchen-Systems HN = H1(1) ⊗ H1(2) ⊗ · · · ⊗ H1(N) . W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

4

1. Die Zweite Quantisierung

Als Basis des HN verwenden wir die direkten Produkte der entsprechenden EinTeilchen-Basiszustände:    (1) (2)   ϕN =  ϕ ϕ · · · ϕ(N) = α1 α2 αN      =  ϕα(1)1  ϕα(2)2 · · ·  ϕα(N) . (1.1) N   Ein allgemeiner N-Teilchen-Zustand | ψN  lässt sich dann nach den  ϕN entwickeln:   

   ψN = . (1.2) C α1 , . . . , αN  ϕα(1)1 ϕα(2)2 · · · ϕα(N) N α1 , ... , αN

Die statistische Interpretation eines solchen ist identisch mit  N-Teilchen-Zustandes  der für die Ein-Teilchen-Zustände. So ist C(α1 , . . ., αN ) 2 die Wahrscheinlichkeit,  ϕ am Zustand  ψN den Eigenwert zu mit der eine Messung der Observablen   (1)   ϕα · · · ϕα(N) liefert. – Die Dynamik des N-Teilchen-Systems resultiert aus einer 1 N formal unveränderten Schrödinger-Gleichung:       ψN . ˙N =H (1.3) i¯ h ψ  ist der Hamilton-Operator des N-Teilchen-Systems. H Die Behandlung der Viel-Teilchen-Systeme bringt in der Quantenmechanik bei unterscheidbaren Teilchen genau dieselben Schwierigkeiten mit sich wie in der Klassischen Physik, ganz einfach aufgrund der größeren Komplexität gegenüber dem Ein-Teilchen-Problem. Es gibt jedoch keine zusätzlichen, typisch quantenmechanischen Komplikationen. Das wird anders, wenn wir zu Systemen nichtunterscheidbarer Teilchen übergehen.

1.1

1.1 Identische Teilchen

1.1.1

Definition 1.1.1: Identische Teilchen Teilchen, die sich unter gleichen physikalischen Bedingungen vollkommen gleich verhalten und damit durch keine objektive Messung voneinander unterschieden werden können.

In der Klassischen Mechanik ist bei bekannten Anfangsbedingungen der Zustand eines Teilchens für alle Zeiten durch die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen festgelegt. Das Teilchen ist stets identifizierbar, da seine Bahn berechenbar ist. In diesem Sinn sind in der Klassischen Mechanik auch identische Teilchen (gleiche Masse, Ladung, Raumerfüllung u. a. m.) unterscheidbar. Im Gültigkeitsbereich der Quantenmechanik gilt dagegen das fundamentale Prinzip der Ununterscheidbarkeit.

1.1

Identische Teilchen

5

Dies besagt, dass miteinander wechselwirkende, identische Teilchen prinzipiell nichtunterscheidbar sind. Die Ursache liegt darin, dass als Folge der Unschärferelation keine scharfen Teilchenbahnen existieren. Das Teilchen wird vielmehr als zerfließendes Wellenpaket aufzufassen sein. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der miteinander wechselwirkenden, identischen Teilchen überlappen, was eine Identifikation unmöglich macht. Jede Fragestellung, deren Beantwortung die Beobachtung eines Einzelteilchens erfordert, ist für Systeme identischer Teilchen physikalisch sinnlos! Ein Problem besteht nun darin, dass aus rechentechnischen Gründen eine Teilchen-Nummerierung unvermeidbar ist. Diese muss aber so gehalten sein, dass physikalisch relevante Aussagen gegenüber Änderungen der Markierung invariant sind. Physikalisch relevant sind ausschließlich die messbaren Größen eines physikalischen Systems. Das sind nicht die nackten Operatoren oder Zustände, sondern vielmehr Erwartungswerte von Observablen oder Skalarprodukte von Zuständen. Diese dürfen sich nicht ändern, wenn man in den N-Teilchen-Zuständen die Nummerierung zweier Teilchen miteinander vertauscht. Ansonsten gäbe es ja eine Messung, durch die man die beiden Teilchen unterscheiden könnte. Man kann deshalb die folgende Beziehung als Definitionsgleichung für Systeme identischer Teilchen auffassen: 







(j)  A  ϕα(1)1 · · · ϕα(i)i · · · ϕαj · · · ϕα(N) ϕα(1)1 · · · ϕα(i)i · · · ϕα(j)j · · · ϕα(N) = N N !

  (1)  !  (j) (j)  . A  ϕα1 · · · ϕαi · · · ϕα(i)j · · · ϕα(N) = ϕα(1)1 · · · ϕαi · · · ϕα(i)j · · · ϕα(N) N N

(1.4)

Das soll für eine beliebige Observable  A und beliebige N-Teilchen-Zustände gelten. Aus (1.4) folgen eine Reihe von charakteristischen Eigenschaften sowohl für die Operatoren als auch für die Zustände. Gleichung (1.4) gilt natürlich für alle Paare (i, j) und natürlich auch nicht nur für die Vertauschung von zwei Teilchen, sondern für beliebige Permutationen der Teilchenindizes. Jede Permutation lässt sich aber als Produkt von Transpositionen der Art (1.4) schreiben. Definition 1.1.2:

Permutationsoperator P    (i ) (i )  P  ϕα(1)1 ϕα(2)2 · · · ϕα(N) =  ϕα11 ϕα22 · · · ϕα(iNN ) . N

1.1.2

(1.5)

P soll hier auf die Teilchenindizes wirken, natürlich können auch Zustandsindizes αi

in Frage kommen. i1 , i2 , · · · , iN ist das permutierte N-Tupel (1, 2, . . . , N).

Definition 1.1.3:

Transpositionsoperator Pij     (j) (j) Pij  · · · ϕα(i)i · · · ϕαj · · · =  · · · ϕαi · · · ϕα(i)j · · · .

1.1.3

(1.6)

6

1. Die Zweite Quantisierung

Wir wollen einige Eigenschaften des Transpositionsoperators diskutieren. Zweimalige Anwendung von Pij auf einen N-Teilchen-Zustand führt offensichtlich auf den Ausgangszustand zurück. Dies bedeutet: Pij2 = 1 ⇐⇒ Pij = Pij−1 .

(1.7)

Gleichung (1.4) lässt sich nun wie folgt schreiben: 

 





 











A  ϕN = Pij ϕN   A  Pij ϕN = ϕN  Pij+  ϕN   APij  ϕN . !

Dies gilt für beliebige N-Teilchen-Zustände des HN ; im Übrigen auch für beliebige     A  ψN , da diese durch die Zerlegung Matrixelemente der Form ϕN            1        A  ϕN + ψN − ϕN − ψN   A  ϕN − ψN + ϕN A ψN = ϕN + ψN   4             A ϕN − iψN − i ϕN + iψN  A ϕN + iψN + i ϕN − iψN  auf Ausdrücke der obigen Gestalt gebracht werden können. Es ergibt sich damit die Operatoridentität:  A = Pij+  APij

∀(i, j) .

(1.8)

Eine notwendige, fast triviale Voraussetzung für die Observablen eines Systems identischer Teilchen ist deshalb, dass sie explizit von den Koordinaten aller N Teilchen abhängen. Setzt man in (1.8) speziell  A = 1, so folgt: 1 = Pij+ Pij ⇒ Pij = Pij+ Pij2 = Pij+ . Der Transpositionsoperator Pij ist also hermitesch und unitär im HN identischer Teilchen: Pij = Pij+ = Pij−1 .

(1.9)

Aus (1.8) folgt weiter: Pij APij . A = Pij Pij+  APij =  Alle Observablen des N-Teilchen-Systems vertauschen mit Pij :

 Pij ,  A − = Pij A − APij ≡ 0 .

(1.10)

 des Systems: Dies gilt speziell für den Hamilton-Operator H 

 =0. Pij , H −

(1.11)

1.1

Identische Teilchen

7

Nach dem Prinzip Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen darf sich der N-Teil der  Pij nur um einen unwesentlichen Phasenchen-Zustand  ϕN nach Anwendung  von  faktor ändern, insbesondere muss  ϕN Eigenzustand zu Pij sein:     ! (j) (j) Pij  · · · ϕα(i)i · · · ϕαj · · · =  · · · ϕαi · · · ϕα(i)j · · · =  !  (j) = λ  · · · ϕα(i)i · · · ϕαj · · · .

(1.12)

Wegen (1.7) kommen nur die reellen Eigenwerte

λ = ±1

(1.13)

in Frage, die insbesondere von dem speziellen Paar (i, j) unabhängig sind. Dies bedeutet: Zustände eines Systems identischer Teilchen sind gegenüber Vertauschung eines Teilchenpaares entweder symmetrisch oder antisymmetrisch!   HN(+) : Hilbert-Raum der symmetrischen Zustände  ψ(+) N :    (+)  Pij  ψ(+) =  ψN N

∀(i, j) .

(1.14)

  HN(−) : Hilbert-Raum der antisymmetrischen Zustände  ψ(−) N :     Pij  ψ(−) = −  ψ(−) N N

∀(i, j) .

Für den Zeitentwicklungsoperator  

i U(t, t0 ) = exp − H t − t0 , h¯

H =/ H(t)

(1.15)

(1.16)

gilt wegen (1.11):

[Pij , U ]− = 0 .

(1.17)

Die Zustände eines Systems aus N identischen Teilchen behalten also für alle Zeiten ihren Symmetriecharakter bei. Wie konstruiert man solche (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zustände? Als Ausgangspunkt kann ein nicht symmetrisierter N-Teilchen-Zustand vom Typ (1.1) dienen. Auf diesen wendet man den folgenden Symmetrisierungsoperator an:   εp P , (1.18) Sε = P

ε = ±; p = Zahl der Transpositionen, die P aufbauen. Summiert wird über alle für das N-Tupel (1, 2, . . . , N) denkbaren Permutationsoperatoren P . Multipliziert man

8

1. Die Zweite Quantisierung

ein P aus der Summe mit einer Transposition Pij , so ergibt sich natürlich eine andere, ebenfalls in der Summe vorkommende Permutation P  mit p = p ± 1. Die folgende Umformung ist deshalb einsichtig:     εp Pij P = εp P  = ε εp P  . Sε = Pij P

P

P

Dies bedeutet: Pij Sε = ε Sε .

(1.19)

 (ε)    (N) ψ   (1) (2) N = Sε ψα1 ψα2 · · · ψαN

(1.20)

Die Vorschrift

führt also auf einen symmetrisierten (ε=+) bzw. antisymmetrisierten (ε=−) N-Teilchen-Zustand, für den (1.14) bzw.(1.15) gültig ist. Für eine allgemeine Permutation P gilt dann offenbar:  (ε)   (ε)  = εp  ψN . Sε ⇐⇒ P  ψN P Sε = εp 

(1.21)

Wir haben bisher gezeigt, dass die N-Teilchen-Zustände identischer Teilchen nur  sein können und ihren jeweiligen Symmetriecharakter für alle vom Typ  ψ(±) N Zeiten beibehalten. Dies lässt sich noch etwas genauer formulieren: Die Zustände eines Systems aus N identischen Teilchen gehören sämtlich zum HN(+) oder sämtlich zum HN(−) .  (ε )   (ε)  und  ψN zwei mögliche Dies kann man wie folgt plausibel machen: Wenn  ϕN Zustände des N-Teilchen-Systems sind, dann sollte sich das System durch eine geeignete Maßnahme, d. h. durch Anwenden eines bestimmten Operators xˆ (oder eines Satzes von Operatoren), von dem einen in den jeweils anderen Zustand transformieren lassen. Formal heißt dies, dass das Skalarprodukt  (ε)   (ε )  ϕN  xˆ  ψN =/ 0 ist. Dann folgt weiter: 

 





 











ε ϕN(ε)  xˆ  ψN(ε ) = Pij ϕN(ε)  xˆ  ψN(ε ) = ϕN(ε)  Pij+ xˆ  ψN(ε ) = 





         (ε)   Pij xˆ  ψ(ε ) = ϕ(ε)  xˆ Pij  ψ(ε ) = = ϕN N N N  (ε)   (ε )   xˆ  ψ . = ε ϕN N Also gilt die Behauptung ε = ε .

1.2

„Kontinuierliche“ Fock-Darstellung

9

Welcher Raum, HN(+) oder HN(−) , für welchen Teilchentyp in Frage kommt, wird in der relativistischen Quantenfeldtheorie beantwortet. Wir übernehmen hier ohne Beweis den Spin-Statistik-Zusammenhang. HN(+) : Raum der symmetrischen Zustände von N identischen Teilchen mit ganzzahligem Spin. Die Teilchen heißen Bosonen. Beispiele π-Mesonen (S = 0), Photonen (S = 1), Phononen (S = 0), Magnonen (S = 1), α-Teilchen, 4 He, . . .

HN(−) : Raum der antisymmetrischen Zustände von N identischen Teilchen mit halbzahligem Spin. Die Teilchen heißen Fermionen. Beispiele Elektronen, Positronen, Protonen, Neutronen, 3 He, . . .

1.2

1.2 „Kontinuierliche“ Fock-Darstellung Wir wollen in diesem Abschnitt die für die zweite Quantisierung typischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren einführen. Dazu sind noch ein paar Vorbemerkungen notwendig.   Die erste Aufgabe besteht darin, mithilfe passender Ein-Teilchen-Zustände  ϕα

eine Basis des HN(ε) zu konstruieren. Dabei haben wir zu unterscheiden, ob die zugehörige Ein-Teilchen-Observable ϕˆ ein diskretes oder ein kontinuierliches Spektrum besitzt. Wir diskutieren in diesem Abschnitt zunächst den Fall des kontinuierlichen Ein-Teilchen-Spektrums. Wir setzen also voraus: ϕ : Ein-Teilchen-Observable mit kontinuierlichem Spektrum      ϕ  ϕα = ϕα  ϕα ,  







(1.22)

ϕα  ϕβ = δ ϕα − ϕβ ≡ δ(α − β) .

Die Eigenzustände sollen eine Basis des H1 bilden:     dϕα  ϕα ϕα  = 1 in H1 .

(1.23)

(1.24)

10

1. Die Zweite Quantisierung

Ein nicht symmetrisierter N-Teilchen-Zustand ergibt sich wie in (1.1) einfach als Produktzustand:         ϕα · · · ϕα =  ϕ(1)  ϕ(2) · · ·  ϕ(N) . (1.25) 1 N α1 α2 αN Der obere Index bezieht sich auf das Teilchen, die αi ’s sind vollständige Sätze von Quantenzahlen. Das N-Tupel der Zustandsindizes αi sei nach irgendwelchen Gesichtspunkten beliebig, aber fest angeordnet. Das Zustandssymbol auf der linken Seite von (1.25) enthalte eben diese Standardanordnung. Durch Anwendung des Operators  Sε aus (1.18) machen wir aus (1.25) einen (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zustand       ϕα · · · ϕα (ε) = 1 εp P  ϕα1 · · · ϕαN . 1 N N!

(1.26)

P

Dabei haben wir noch einen passenden Normierungsfaktor 1 | N! eingeführt. Wenn keine Missdeutungen möglich sind, werden wir den Zustand (1.26) auch einfach  (ε)  symbolisieren. durch  ϕN Man macht sich leicht klar, dass im Raum HN(ε) jeder Permutationsoperator P ein hermitescher Operator ist:    (ε)  +  (ε)    (ε)   (ε)  ∗ (ε)  (ε)  ∗ ψN  P  ϕN = ϕN  P  ψN = εp ϕN ψN =  (ε)  (ε)   (ε)   (ε)  ϕ   = εp ψN N = ψN P ϕN . Daraus folgt: P = P+

in HN(ε) .

(1.27)

Damit können wir für die Zustände (1.26) eine nützliche Beziehung ableiten. Sei  A eine beliebige Observable. Dann gilt:   (ε)   (ε)   (ε)  1  p = A  ϕN = ψN   ε ψα1 · · · ψαN  P +  A  ϕN N! P

=

  (ε)  1  p = AP  ϕN ε ψα1 · · · ψαN   N! P

  (ε)  1  2p  = A  ϕN . ε ψα1 · · · ψαN   N! P

A. Da P als Produkt von TransWegen (1.10) vertauscht jede Transposition Pij mit  positionen dargestellt werden kann, kommutiert auch P mit jeder erlaubten Observablen  A. Dies haben wir zusammen mit (1.27) im zweiten Schritt ausgenutzt. Da ε2p = +1 ist und die Summe gerade N! Terme enthält, bleibt:   (ε)   (ε)   (ε)   (1.28) A  ϕN = ψα1 · · · ψαN   A  ϕN . ψN  

1.2

„Kontinuierliche“ Fock-Darstellung

11

Auf der rechten Seite ist der bra-Vektor also nicht symmetrisiert. Diese Beziehung gilt insbesondere dann, wenn  A die Identität ist:    (ε) ϕβ1 · · · ϕβN  ϕα1 · · · ϕαN (ε) =    = ϕβ1 · · · ϕβN  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = =

   1  pα ε Pα ϕβ1 · · · ϕβN  ϕα1 · · · ϕαN . N! Pα

Der Index α soll andeuten, dass Pα nur auf die Größen ϕα wirkt. Damit gilt für das Skalarprodukt zweier (anti-)symmetrisierter N-Teilchen-Zustände    (ε) ϕβ1 · · · ϕβN  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = =

 (N)    1  pα   (1)  (1)  ϕ = ε Pα ϕβ1 ϕα1 · · · ϕβ(N) αN N N! Pα





 1  pα ε Pα δ β1 − α1 · · · δ βN − αN . = N!

(1.29)

Pα

Dies ist die logische Verallgemeinerung der Orthonormierungsbedingung (1.23) für die Ein-Teilchen-Zustände auf die (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zustände. Mit (1.29) findet man dann:        · · · dβ1 · · · dβN  ϕβ1 · · · ϕβN (ε) (ε) ϕβ1 · · · ϕβN  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = =

  1  2pα  1  pα  ε Pα ϕα1 · · · ϕαN (ε) = ε ϕα1 · · · ϕαN (ε) = N! N! Pα

Pα

  =  ϕα1 · · · ϕαN (ε) .

(1.30)

  Jeder beliebige N-Teilchen-Zustand  ψN (ε) stellt eine Summe aus Produkten   von jeweils N Ein-Teilchen-Zuständen | ψ  dar. Da nach Voraussetzung die  ϕα im H1  eine vollständige Basis bilden, lässt | ψ  als Linearkombination der  ϕα schrei sich   ben. Dann ist klar, dass sich  ψN (ε) stets nach den  ϕα1 · · · (ε) wird entwickeln lassen können:   (ε)    ψN = Sε  ψ(1) · · · ψ(N) =      = Cα1 Cα2 · · · CαN Sε  ϕα1 · · · ϕαN = α1

=



α1 ··· αN

α2

αN

  C α1 · · · αN  ϕα1 · · · ϕαN (ε) .

(1.31)

12

1. Die Zweite Quantisierung

Damit folgt aus (1.30) die Vollständigkeitsrelation       · · · dβ1 · · · dβN  ϕβ1 · · · ϕβN (ε) (ε) ϕβ1 · · · ϕβN  = 1

(1.32)

in HN(ε) .   Die in (1.26) definierten Zustände  ϕα1 · · · ϕαN (ε) bilden also eine vollständige, orthonormierte Basis des HN(ε) . Die vorstehenden Betrachtungen machen deutlich, wie mühselig das Arbeiten mit (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zuständen sein kann. Wir wollen diese deshalb nun mithilfe eines speziellen Operators sämtlich aus dem so genannten Vakuumzustand |0 ;

0 | 0 = 1

(1.33)

aufbauen. Die Eigenart dieses Operators, a+ϕα ≡ a+α , besteht darin, Viel-Teilchen-Hilbert-Räume, die zu verschiedenen Teilchenzahlen gehören, miteinander zu verknüpfen: a+α : HN(ε)

⇒

HN(ε)+ 1 .

(1.34)

Er ist vollständig definiert durch seine Wirkungsweise: √   a+α1 |0 = 1  ϕα1 (ε) , √     a+α2  ϕα1 (ε) = 2  ϕα2 ϕα1 (ε) ... Allgemein gilt: √     a+β  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = N + 1  ϕβ ϕα1 · · · ϕαN (ε) .       (ε)

∈HN

(1.35)

(ε)

∈HN + 1

Man nennt a+β einen Erzeugungsoperator.

  Er erzeugt anschaulich ein zusätzliches Teilchen im Ein-Teilchen-Zustand  ϕβ . – Die Umkehrung von (1.35) lautet:    ϕα · · · ϕα (ε) = √1 a+ a+ · · · a+ |0 . 1 N α α αN N! 1 2

(1.36)

1.2

„Kontinuierliche“ Fock-Darstellung

13

Dabei ist streng auf die Reihenfolge der Operatoren zu achten. So gilt z. B.:      a+α1 a+α2  ϕα3 · · · ϕαN (ε) = N (N − 1)  ϕα1 ϕα2 ϕα3 · · · ϕαN (ε) ,

     a+α2 a+α1  ϕα3 · · · ϕαN (ε) = N (N − 1)  ϕα2 ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) =

   = ε N (N − 1)  ϕα1 ϕα2 ϕα3 · · · ϕαN (ε) .

Da es sich um Basiszustände handelt, lesen wir hieran die folgende Operatoridentität ab:

+ + aα1 , aα2 −ε ≡ a+α1 a+α2 − εa+α2 a+α1 = 0 .

(1.37)

Die Erzeugungsoperatoren kommutieren für Bosonen (ε = +) und antikommutieren für Fermionen (ε = −). Wir diskutieren nun den zu a+α adjungierten Operator + aα = a+α ,

(1.38)

der die Hilbert-Räume HN(ε) und HN(ε)− 1 miteinander verknüpft: aα : HN(ε)

HN(ε)− 1 .

⇒

(1.39)

Die Bezeichnung Vernichtungsoperator wird durch die folgenden Überlegungen verständlich. Da aα zu a+α adjungiert ist, gilt zunächst einmal nach (1.35) bzw. (1.36): (ε)



√



ϕα1 · · · ϕαN  aβ = N + 1

(ε)





1

ϕα1 · · · ϕαN  = √

N!

(ε)





ϕβ ϕα1 · · · ϕαN 

0| aαN · · · aα2 aα1 .

(1.40) (1.41)

Die Bedeutung des Operators aα ergibt sich durch die Berechnung des folgenden Matrixelements: (ε)







ϕβ2 · · · ϕβN  aγ  ϕα1 · · · ϕαN 



(ε)

∈HN − 1







∈HN(ε)



 (ε)

=

√ (ε)    N ϕγ ϕβ2 · · · ϕβN  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = √







N  pα ε Pα δ γ − α1 δ β2 − α2 δ β3 − α3 · · · δ βN − αN . = N!

=

Pα

14

1. Die Zweite Quantisierung

Im letzten Schritt haben wir (1.29) ausgenutzt. Wir sortieren die Summe noch etwas um: (ε)







ϕβ2 · · · ϕβN  aγ  ϕα1 · · · ϕαN

 (ε)

=



 p



1 1 δ γ − α1 ε α Pα δ β2 − α2 · · · δ βN − αN + =√ N (N − 1)! P

 p





+ εδ γ − α2 ε α Pα δ β2 − α1 δ β3 − α3 · · · δ βN − αN + Pα

+ ···+ +ε

N −1



δ γ −αN











ε Pα δ β2 −α1 δ β3 −α2 · · · δ βN −αN − 1 pα





.

Pα

Die Summen auf der rechten Seite stellen wiederum Skalarprodukte dar, nun aber im HN(ε)− 1 : (ε)







ϕβ2 · · · ϕβN  aγ  ϕα1 · · · ϕαN

 (ε)

=





  1 δ γ − α1 (ε) ϕβ2 · · · ϕβN  ϕα2 · · · ϕαN (ε) + =√ N 

  + εδ γ − α2 (ε) ϕβ2 · · · ϕβN  ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) + + ···+ +ε

N −1



δ γ − αN

(ε) 

  (ε)  . ϕβ2 · · · ϕβN ϕα1 · · · ϕαN − 1

Da der bra-Vektor ein beliebiger Basisvektor des HN(ε)− 1 ist, besagt diese Beziehung:   

  1 aγ  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = √ δ γ − α1  ϕα2 · · · ϕαN (ε) + N

  + εδ γ − α2  ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) + + ···+

  + εN − 1 δ γ − αN  ϕα1 · · · ϕαN − 1 (ε)

(1.42)

       ϕγ unter den Zuständen  ϕα bis  ϕα , die Wenn der Ein-Teilchen-Zustand 1 N   (ε) den N-Teilchen-Zustand  ϕα1 · · · ϕαN erscheint, dann resultiert ein aufbauen,   ϕγ nicht mehr vorkommt. Man sagt, aγ (N − 1)-Teilchen-Zustand, in dem gerade     vernichtet ein Teilchen im Zustand  ϕγ . Kommt  ϕγ in dem symmetrisierten

1.2

„Kontinuierliche“ Fock-Darstellung

15

Ausgangszustand nicht vor, so bringt die Anwendung von aγ den Ausgangszustand zum Verschwinden. Insbesondere gilt der wichtige Spezialfall: aγ |0 = 0 .

(1.43)

Die Vertauschungsrelation für die Vernichtungsoperatoren folgt unmittelbar aus (1.37):

+ [aα1 , aα2 ]−ε = −ε [a+α1 , a+α2 ]−ε . Vernichtungsoperatoren kommutieren (ε = +; Bosonen) bzw. antikommutieren (ε = −; Fermionen):

[aα1 , aα2 ]−ε ≡ 0 .

(1.44)

Es bleibt noch eine dritte Vertauschungsrelation, nämlich die zwischen Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren:

(1.45) [aα1 , a+α2 ]−ε = δ α1 − α2 .   (ε) Beweis  ϕα1 · · · ϕαN (ε) sei ein beliebiger Basiszustand des HN .      √  aβ a+γ  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = N + 1 aβ  ϕγ ϕα1 · · · ϕαN (ε) =

  = δ β − γ  ϕα1 · · · ϕαN (ε) +

  + εδ β − α1  ϕγ ϕα2 · · · ϕαN (ε) + + ···+

  + εN δ β − αN  ϕγ ϕα1 · · · ϕαN − 1 (ε) ,    

  a+γ aβ  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = δ β − α1  ϕγ ϕα2 · · · ϕαN (ε) +

  + εδ β − α2  ϕγ ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) + + ···+

  + εN − 1 δ β − αN  ϕγ ϕα1 · · · ϕαN − 1 (ε) . Wenn wir diese beiden Gleichungen zusammenfassen, dann folgt:   

  aβ a+γ − εa+γ aβ  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = δ β − γ  ϕα1 · · · ϕαN (ε) . Dies beweist (1.45). Wir haben mit (1.36) und (1.41) alle N-Teilchen-Zustände auf den Vakuumzustand |0 zurückführen können, und zwar mithilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Die Wirkung des Vernichters auf |0 ist trivial (1.43). Mithilfe der Vertauschungsrelationen (1.37), (1.44) und (1.45) können wir die Anordnung der Operatoren in gewünschter Weise verändern.

16

1. Die Zweite Quantisierung

Sinnvoll wird die Einführung der Konstruktionsoperatoren aber erst, wenn es uns gelingt, auch die N-Teilchen-Observablen in demselben Formalismus darzustellen. Zunächst gilt mit der Vollständigkeitsrelation (1.32) für eine beliebige Observab le A:  A = 1 · A·1=     = · · · dα1 · · · dαN dβ1 · · · dβN  ϕα1 · · · (ε) ·       · (ε) ϕα1 · · ·   A  ϕβ1 · · · (ε) (ε) ϕβ1 · · ·  . Wir setzen nun (1.36) und (1.41) ein:   1  · · · dα1 · · · dαN dβ1 · · · dβN a+α1 · · · a+αN |0 · A= N!     A  ϕβ1 · · · (ε) 0| aβN · · · aβ1 . · (ε) ϕα1 · · ·  

(1.46)

(1.47)

In der Regel wird  A aus Ein-Teilchen- und Zwei-Teilchen-Anteilen bestehen:  A=

n 

 A1(i) +

i=1

i =/ j

1  (i, j)  A2 . 2

(1.48)

i, j

Wir diskutieren zunächst den Ein-Teilchen-Anteil, für den in (1.47) das folgende Matrixelement benötigt wird: (ε)



n 

ϕα1 · · · 

   A1(i)  ϕβ1 · · · (ε) =

i=1

=

 (N)   1  pβ   (1)  (1)  (1)   (2)  (2)  ϕ A1 ϕβ1 ϕα2 ϕβ2 · · · ϕα(N) ε Pβ ϕα1  βN + N N! Pβ

+ ···+   (N)  (N)       + ϕα(1)1  ϕβ(1) · · · ϕα(N) . A1  ϕβN N 1

(1.49)

Hier haben wir bereits (1.28) ausgenutzt. Man macht sich nun leicht klar, dass jeder Term der Summe über die Permutationen nach Einsetzenvon (1.49) in (1.47) exakt  denselben Beitrag liefert. Jede permutierte Anordnung der  ϕβ(i)i kann nämlich durch 1. Umbenennung der Integrationsvariablen βi und 2. anschließende Vertauschung der entsprechenden Vernichtungsoperatoren auf die Standardanordnung zurückgeführt werden. Das Vertauschen in 2. liefert wegen (1.44) einen Faktor εpβ . Insgesamt ergibt das für jede Permutation einen Koeffizienten ε2pβ = +1. Ganz ähnlich zeigt man, dass auch jeder Summand in der eckigen Klammer in (1.49) zu (1.47) denselben Beitrag liefert. Dies gelingt durch

1.2

„Kontinuierliche“ Fock-Darstellung

17

1.

Vertauschung von entsprechenden Integrationsvariablen

αj ⇐⇒ αi , βj ⇐⇒ βi und 2. anschließende Umgruppierung von gleich vielen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. n Teil 2. liefert dabei in jedem Fall einen Faktor ε2 j = +1. – Damit erhalten wir das nun schon wesentlich vereinfachte Zwischenergebnis: n 

 A1(i) =

i=1

  N · · · dα1 · · · dβN a+α1 · · · a+αN |0 · = N!   (1)  (1) 



 A1  ϕβ1 δ α2 − β2 · · · δ αN − βN · · ϕα(1)1   · 0| aβN · · · aβ1 =   (1)  (1)  +  A1  ϕβ1 aα1 · = dα1 dβ1 ϕα(1)1    ·

1 (N − 1)!



 ···

dα2 · · · dαN a+α2 · · · a+αN |0 0| aαN · · · aα2 aβ1 .

(1.50)

In der geschweiften Klammer steht, wie man an (1.32) abliest, die Identität 1 des HN(ε)− 1 . Es bleibt dann als Resultat:  n      +  A1  ϕβ aα aβ . dα dβ ϕα   (1.51) A1(i) ≡ i=1

Auf der rechten Seite erscheint nicht mehr explizit die Teilchenzahl N. Sie steckt natürlich implizit in der Identität, die nach (1.50) eigentlich zwischen a+α und aβ hinzugedacht werden muss. Völlig analog behandeln wir nun den Zwei-Teilchen-Anteil der Observablen  A: i =/ j

1  (i, j)  A2 = 2 i, j   1 · · · dα1 · · · dβN a+α1 · · · a+αN |0 · = 2N!      (1, 2)  (1)   (2)   1 pβ  ϕ A2 ε Pβ ϕα(1)1  ϕα(2)2   · β1 ϕβ2 · N! Pβ

   (N)  (N)  · ϕα(3)3  ϕβ(3) · · · ϕαN  ϕβN + 3   (1, 3)  (1)   (3)   (2)  (2)    ϕ  A2 + ϕα(1)1  ϕα(3)3   β1 ϕβ3 ϕα2 ϕβ2 ·     (N)  (N)   ϕ · · · + · · ·

0| aβN · · · aβ1 . · ϕα(4)4  ϕβ(4) ϕ αN βN 4 

(1.52)

18

1. Die Zweite Quantisierung

Exakt dieselbe Argumentation wie oben für den Ein-Teilchen-Anteil kann hier benutzt werden, um zu zeigen, dass alle N! Permutationen Pβ in gleicher Weise zum Vielfachintegral beitragen, und ferner, dass alle N(N − 1) Summanden in der eckigen Klammer gleichwertig sind. Dies bedeutet: i =/ j

1  (i, j) 1  A2 = 2 2



 ···

 (1, 2)     ϕβ ϕβ · dα1 dα2 dβ1 dβ2 ϕα1 ϕα2   A2 1 2

i, j

 +

+

· aα1 aα2

1 (N − 2)!



 ···

dα3 · · · dαN ·

· aα3 · · · aαN |0 0| aαN · · · aα3 aβ2 aβ1 . +

+

(1.53)

In der geschweiften Klammer steht nun die Identität 1 des HN(ε)− 2 . Es bleibt damit: i =/ j

1  (i, j) 1  A2 = 2 2



 ···

    dα dβ dγ dδ ϕα ϕβ   A2  ϕγ ϕδ a+α a+β aδ aγ .

(1.54)

i, j

Das Matrixelement kann mit nicht symmetrisierten Zuständen gebildet werden,     (1, 2)  (1)   (2)     ϕ ϕ A2  ϕγ ϕδ = ϕα(1)  ϕβ(2)   A2 ϕα ϕβ   γ δ , aber auch mit symmetrisierten Zwei-Teilchen-Zuständen:          ϕγ ϕδ (ε) = 1  ϕ(1)  ϕ(2) + ε  ϕ(2)  ϕ(1) . γ δ γ δ 2! Man macht sich wiederum leicht klar, dass in     1   (1)   (2)  (1, 2)  (1)   (2)  (ε) A2  ϕγ ϕδ (ε) = A2 ϕα ϕβ   ϕα ϕβ  ϕγ ϕδ + 4   (1, 2)  (2)   (1)   ϕ ϕ + ε ϕα(1)  ϕβ(2)   A2 γ δ +   (1, 2)  (1)   (2)   ϕ ϕ A2 + ε ϕα(2)  ϕβ(1)   γ δ +   (1, 2)  (2)   (1)    ϕ ϕ A + ε2 ϕ(2)  ϕ(1)   α

β

2

γ

δ

jeder Summand denselben Beitrag zum Integral in (1.54) beisteuert, sodass der Normierungsfaktor dafür sorgt, dass das symmetrisierte Matrixelement in (1.54) mit dem nicht symmetrisierten gleichbedeutend ist. Man kann die Wahl also nach Zweckmäßigkeit treffen. Fassen wir kurz zusammen, was wir bisher erreicht haben. Durch (1.36) und (1.41) haben wir das mühselige Konstruieren von (anti-)symmetrisierten Produkten aus Ein-Teilchen-Wellenfunktionen für die N-Teilchen-Wellenfunktionen ersetzen können durch Anwendung von Produkten aus Erzeugungsoperatoren auf den Vakuumzustand |0 . Die Anwendung ist einfach. Das Symmetrieverhalten der Wellenfunktionen wird durch die drei fundamentalen Vertauschungsrelationen (1.37), (1.44)

1.2

„Kontinuierliche“ Fock-Darstellung

19

und (1.45) reproduziert. Auch die N-Teilchen-Observablen lassen sich durch die Konstruktionspoperatoren ausdrücken, (1.51) und (1.54), wobei die verbleibenden Matrixelemente einfach berechenbar sind. Wir werden dazu in Kap. 2 einige Anwendungsbeispiele diskutieren. Wir führen noch zwei wichtige, spezielle Operatoren ein: Besetzungsdichteoperator nˆ α = a+α aα .

(1.55)

Die Wirkungsweise dieses Operators ergibt sich aus (1.35) und (1.42):  

  nˆ α  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = δ α − α1  ϕα ϕα2 · · · ϕαN (ε) +

  + εδ α − α2  ϕα ϕα1 ϕα3 · · · ϕαN (ε) + + ···+

  + ε N − 1 δ α − αN  ϕα ϕα1 · · · ϕαN − 1 (ε) =

  = δ α − α1  ϕα ϕα2 · · · ϕαN (ε) +

  + εδ α − α2 ε  ϕα ϕα ϕα · · · ϕα (ε) + 1

3

N

+ ···+ 

 + ε N − 1 δ α − αN ε N − 1  ϕα1 · · · ϕαN − 1 ϕα (ε) . Die Basiszustände des HN(ε) sind also offensichtlich Eigenzustände des Besetzungsdichteoperators:  n  

  nˆ α  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = δ α − αi  ϕα1 · · · ϕαN (ε) . (1.56) i=1

In der geschweiften Klammer steht die mikroskopische Besetzungsdichte. Teilchenzahloperator = N



dα nˆ α =



dα a+α aα .

(1.57)

Aus (1.56) folgt unmittelbar, dass die Basiszustände des HN(ε) auch Eigenzustände  sind, wobei in jedem Fall der Eigenwert die Gesamtteilchenzahl N ist. zu N  N    (ε)

    = dα δ α − αi  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = N ϕα1 · · · ϕαN i=1

  = N  ϕα1 · · · ϕαN (ε) .

(1.58)

20

1. Die Zweite Quantisierung

Mithilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen für die Konstruktionsoperatoren berechnen wir den folgenden Kommutator:   nˆ α , a+β = nˆ α a+β − a+β nˆ α = −

= a+α aα a+β − a+β nˆ α =

= a+α δ(α − β) + εa+β aα − a+β nˆ α = = a+α δ(α − β) + ε2 a+β a+α aα − a+β nˆ α . Die beiden letzten Terme heben sich gerade auf:   nˆ α , a+β = a+α δ(α − β) . −

(1.59)

Ganz analog zeigt man:

 nˆ α , aβ − = −aα δ(α − β) .

(1.60)

Mit (1.57) ergeben sich dann unmittelbar die analogen Beziehungen für den Teilchenzahloperator: 

, a+α = a+α ; N −



, aα = −aα . N −

(1.61)

Dies kann man auch wie folgt schreiben:

+1 ; a+α = a+α N N



aα = aα N −1 . N

(1.62)

Wenden wir diese Operatorkombinationen auf einen Basiszustand an,          a+α  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = (N + 1) a+α  ϕα1 · · · ϕαN (ε) , N          aα  ϕα1 · · · ϕαN (ε) = (N − 1) aα  ϕα1 · · · ϕαN (ε) , N so erkennen wir noch einmal, dass die Bezeichnungen Erzeuger für a+α und Vernichter für aα offensichtlich sinnvoll sind. ϕ, Wir haben in diesem Abschnitt vorausgesetzt, dass die Ein-Teilchen-Observable (ε) aus deren Eigenzustände wir die N-Teilchen-Basis des HN konstruiert haben, ein kontinuierliches Spektrum besitzt. Ein prominenter Vertreter dieser Klasse ist der Ortsoperator rˆ. Die zugehörigen Konstruktionsoperatoren nennt man

ψ(r),  ψ+ (r). Feldoperatoren 

1.3

„Diskrete“ Fock-Darstellung

21

Für diese gelten natürlich alle oben abgeleiteten Beziehungen, allerdings mit einer speziellen Notation: √      ψ+ (r)  r1 · · · rN (ε) = N + 1  rr1 · · · rN (ε) , (1.63)  



 r 1 r 2 · · · r N (ε) = √1  ψ+ r1 · · ·  ψ+ rN |0 . N!

(1.64)

Die Vertauschungsrelationen der Feldoperatoren folgen direkt aus (1.37), (1.44) und (1.45):

+  

 ψ (r),  ψ+ r −ε =  ψ(r),  ψ r −ε = 0 , 

(1.65)  ψ(r),  ψ+ r −ε = δ r − r . Wichtig ist der Zusammenhang mit allgemeinen Konstruktionsoperatoren aα , a+α . Die Vollständigkeitsrelation liefert:         ϕα = d3 r |r r  ϕα = d3 r ϕα (r) |r .   ψ+ (r) |0 : Also folgt wegen  ϕα = a+α |0 und |r =   d3 r ϕα (r) ψ+ (r) , a+α =  aα =

d3 r ϕα∗ (r) ψ(r) .

(1.66) (1.67)

ψ(r),  ψ+ (r) Operatoren sind, während ϕα (r) die skalare WelMan beachte, dass  lenfunktion zum Zustand  ϕα ist. Die Umkehrungen zu (1.66) und (1.67) folgen aus      |r = dα  ϕα ϕα  r mit derselben Überlegung wie oben:  ψ (r) =



+

ψ(r) = 



dα ϕα∗ (r)a+α ,

(1.68)

dα ϕα (r)aα .

(1.69)

1.3 „Diskrete“ Fock-Darstellung Wir nehmen wiederum an, dass die Basis des Hilbert-Raumes HN(ε) eines Systems aus ϕ N identischen Teilchen aus den Eigenzuständen einer Ein-Teilchen-Observablen  konstruiert wird, wobei nun aber  ϕ ein diskretes Spektrum besitzen möge:

1.3

22

1. Die Zweite Quantisierung

     ϕ  ϕα = ϕα  ϕα , 

ϕα  ϕβ  = δαβ ,      ϕα ϕα  = 1 in H1 .

(1.70) (1.71) (1.72)

α

Im Prinzip haben wir dieselben Überlegungen durchzuführen wie in Abschn. 1.2, können deshalb hier etwas rascher vorgehen. Ausgangspunkt ist ein nicht symmetrisierter N-Teilchen-Zustand von der Form (1.25):        ϕα · · · ϕα =  ϕ(1) · · ·  ϕ(N) . (1.73) 1 N α1 αN Die Zustandsindizes α1 , . . . αN seien auch hier in einer beliebigen, aber festen Standardanordnung vorgegeben. Auf diesen Zustand wenden wir den Operator  Sε aus (1.18) an und erhalten damit einen (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Zustand       ϕα · · · ϕα (ε) = Cε εp P  ϕα1 · · · ϕαN , 1 N

(1.74)

P

der sich formal von (1.26) nur durch die noch zu bestimmende Normierungskonstante Cε unterscheidet. Man erkennt, dass sich für Fermionen (ε = −) der antisymmetrisierte Zustand auch als Determinante schreiben lässt:     ϕ(1)   ϕ(2)  · · ·  ϕ(N)   α1 α1   α1       (1)   (2)    ϕα2 ϕα2 · · ·  ϕα(N)   (−) 2   ϕα · · · ϕα (1.75) = C−  . 1 N  . . . ..  .. ..  ..     (1)   (2)   (N)    ϕ   αN ϕαN · · · ϕαN Slater-Determinante. Sind in dem N-Teilchen-Zustand zwei Sätze von Quantenzahlen gleich (αi = αj ), dann bedeutet dies, dass zwei Zeilen der Determinante gleich wären. Dieselbe würde also verschwinden. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Fermionen in demselben EinTeilchen-Zustand anzutreffen, ist also Null. Das ist die Aussage des Pauli-Prinzips, das natürlich nicht nur für den Fall des hier diskutierten diskreten Spektrums gilt. Selbstverständlich kann man auch (1.26) für ε = − als Slater-Determinante schreiben. Wir wollen im nächsten Schritt die Normierungskonstante Cε festlegen und führen dazu die Besetzungszahl ni

1.3

„Diskrete“ Fock-Darstellung

23

  ein. Damit ist die Häufigkeit gemeint, mit der der Ein-Teilchen-Zustand  ϕαi im   (ε) N-Teilchen-Zustand  ϕα1 · · ·  vorkommt, oder anschaulicher, die Zahl der iden tischen Teilchen im Zustand  ϕα : i



ni = N,

i

(1.76)

Fermionen ,

ni = 0, 1

ni = 0, 1, 2, . . . Bosonen .   Cε sei reell und so gewählt, dass der N-Teilchen-Zustand  ϕα1 · · · ϕαN (ε) auf 1 normiert ist. Dann folgt: !  (ε)  (ε)  ϕN 1 = ϕN

=

Cε









εp ϕα1 · · · ϕαN  P +  ϕN(ε)



(P + = P )

=

P (P + = P )

=

Cε



   ε2p ϕα1 · · ·  ϕN(ε) =

P

=

 (ε)   . N! Cε ϕα1 · · · ϕαN  ϕN

Dies bedeutet:  (N)      (1) 

−1  p  (1)   (2)     P ϕ N! Cε2 . = ε ϕα1  ϕα2  · · · ϕα(N) α1 · · · ϕαN N

(1.77)

P

Bei Fermionen kommt jeder Zustand genau einmal vor, d. h., alle N Ein-TeilchenZustände sind paarweise verschieden. Die rechte Seite ist also nur dann ungleich Null, wenn P die Identität ist, und ist dann wegen ε0 = +1 und wegen (1.71) gleich 1. 1 C− = √ . N!

(1.78)

Bei Bosonen (ε = +) kommen alle die Permutationen in Frage, die lediglich die Teilchen in den jeweils ni gleichen Ein-Teilchen-Zuständen | ϕαi  miteinander vertauschen. Es gibt offenbar n1 ! n2 ! · · · ni ! · · · solcher Permutationen, die jeweils einen Summanden vom Wert +1 zu (1.77) beisteuern. Dies bedeutet:   −1 | 2 ni ! . (1.79) C+ = N! i

Formal gilt dieser Ausdruck wegen 0! = 1! = 1 auch für Fermionen.

24

1. Die Zweite Quantisierung

Wir erkennen, dass sich ein (anti-)symmetrisierter N-Teilchen-Zustand eindeutig durch Angabe der Besetzungszahlen charakterisieren lässt. Dies führt zu einer alternativen Darstellung, die man die Besetzungszahldarstellung nennt:

     N; n1 n2 · · · ni · · · nj · · · (ε) ≡  ϕα · · · ϕα (ε) = 1 N         ··· . εp P  ϕα(1)1  ϕα(2)1 · · · · · ·  ϕα(p)i  ϕα(p+1) = Cε i       P

(1.80)

ni

n1

Es werden in dem Zustandssymbol alle Besetzungszahlen angegeben; die unbesetzten Ein-Teilchen-Zustände sind dann durch ni = 0 gekennzeichnet. Zwei Zustände sind offenbar genau dann identisch, wenn sie in allen Besetzungszahlen übereinstimmen. Die Orthonormierung     (ε) N; · · · ni · · ·  N; · · · n¯ i · · · (ε) = δNN δni n¯ i

(1.81)

i

folgt unmittelbar aus der der Ein-Teilchen-Zustände. Dies gilt in gleicher Weise für die Vollständigkeit  n1

···

n2



    · · ·  N; · · · ni · · · (ε) (ε) N; · · · ni · · ·  = 1

(1.82)

ni

der so genannten Fock-Zustände. Summiert wird über alle erlaubten Besetzungszahlen mit der Nebenbedingung i ni = N. Die nun zu diskutierenden Konstruktionsoperatoren sind bis auf Normierungsfaktoren wie in Abschn. 1.2 definiert: Erzeugungsoperator: a+αr ≡ a+r   a+r  N; · · · nr · · · (ε) =   = a+r  ϕα1 · · · ϕαN (ε) ≡   √ ≡ nr + 1  ϕαr ϕα1 ϕα1 · · · · · · ϕαr ϕαr · · · · · · (ε) =       =ε

n1

nr

  nr + 1  ϕα1 ϕα1 · · · · · · ϕαr ϕαr · · · · · · (ε)      

Nr √

n1

nr +1

(1.83)

1.3

„Diskrete“ Fock-Darstellung

25

Dabei soll Nr =

r−1 

ni

(1.84)

i=1

sein. Der Erzeugungsoperator wirkt also wie folgt: Bosonen:     √ a+r  N; · · · nr · · · (+) = nr + 1  N + 1; · · · nr + 1 · · · (+) , Fermionen:     a+r  N; · · · nr · · · (−) = (−1)Nr δnr , 0  N + 1; · · · nr + 1 · · · (−) .

(1.85)

Jeder N-Teilchen-Fock-Zustand kann durch wiederholtes Anwenden des Erzeugungsoperators aus dem Vakuumzustand erzeugt werden:    N; n1 · · · ni · · · (ε) =

np = N  (a+p )np N  ε p |0 . n ! p p = 1 ···

(1.86)

Der Vernichtungsoperator: ar ≡ (a+r )+ ist wiederum als der zum Erzeuger adjungierte Operator definiert. Seine Wirkungsweise lässt sich an dem folgenden allgemeinen Matrixelement ablesen:     (ε) N; · · · nr · · ·  ar  N; · · · n¯ r · · · (ε) =    √ = ε Nr nr + 1 (ε) N + 1; · · · nr + 1 · · ·  N; · · · n¯ r · · · (ε) =

√ = ε Nr nr + 1 δN + 1,N δn1 n¯ 1 · · · δnr +1,¯nr · · · =

¯ √ = εNr n¯ r δN, N − 1 δn1 n¯ 1 · · · δnr ,¯nr −1 · · · =    √ = εN r n¯ r (ε) N; n1 · · · nr · · ·  N − 1; n¯ 1 · · · n¯ r − 1 · · · (ε) . Dies gilt so für beliebige Basiszustände, sodass offensichtlich folgen muss:    √  ar  N; · · · n¯ r · · · (ε) = εN r n¯ r  N − 1; n¯ 1 · · · n¯ r − 1 · · · (ε) . Bei Fermionen haben wir noch die Beschränkung für die Besetzungszahlen zu beachten: Bosonen:    √  ar  N; · · · nr · · · (+) = nr  N − 1; · · · nr − 1 · · · (+) , (1.87) Fermionen:     ar  N; · · · nr · · · (−) = δnr ,1 (−1)Nr  N − 1; · · · nr − 1 · · · (−) .

26

1. Die Zweite Quantisierung

Zur Ableitung der fundamentalen Vertauschungsrelationen gehen wir von den Definitionsgleichungen (1.85) und (1.87) aus. Man liest unmittelbar die folgenden Relationen ab: 1. Bosonen (r =/ p):   a+r a+p  · · · nr · · · np · · · (+) =    √ = nr + 1 np + 1  · · · nr + 1 · · · np + 1 · · · (+) =   = a+p a+r  · · · nr · · · np · · · (+) ,   ar ap  · · · nr · · · np · · · (+) =  √ √  = nr np  · · · nr − 1 · · · np − 1 · · · (+) =   = ap ar  · · · nr · · · np · · · (+) ,   a+r ap  · · · nr · · · np · · · (+) =   √ √ = np nr + 1  · · · nr + 1 · · · np − 1 · · · (+) =   = ap a+r  · · · nr · · · np · · · (+) .   a+r ar  · · · nr · · · (+) =   √ = nr a+r  · · · nr − 1 · · · (+) =   = nr  · · · nr · · · (+) ,   ar a+r  · · · nr · · · (+) =   √ = nr + 1 ar  · · · nr + 1 · · · (+) =

  = nr + 1  · · · nr · · · (+) .

2. Fermionen (r < p):   a+r a+p  · · · nr · · · np · · · (−) =   = (−1)Np (−1)Nr δnr , 0 δnp , 0  · · · nr + 1 · · · np + 1 · · · (−) ,   a+p a+r  · · · nr · · · np · · · (−) =

(1.88)

(1.89)

(1.90)

(1.91)

(1.92)

1.3

„Diskrete“ Fock-Darstellung

27

  = (−1)Nr (−1)Np + 1 δnr , 0 δnp , 0  · · · nr + 1 · · · np + 1 · · · (−) =   = −a+r a+p  · · · nr · · · np · · · (−) , (1.93)   a+r ar  · · · nr · · · (−) =     = (−1)2Nr δnr , 1  · · · nr · · · (−) = δnr , 1  · · · nr · · · (−) , (1.94)   ar a+r  · · · nr · · · (−) =     = (−1)2Nr δnr , 0  · · · nr · · · (−) = δnr , 0  · · · nr · · · (−) , (1.95)   a+r ap  · · · nr · · · np · · · (−) =   = (−1)Np (−1)Nr δnp ,1 δnr , 0  · · · nr + 1 · · · np − 1 · · · (−)   ap a+r  · · · nr · · · np · · · (−) =   = (−1)Nr (−1)Np + 1 δnr , 0 δnp , 1  · · · nr + 1 · · · np − 1 · · · (−) =   = −a+r ap  · · · nr · · · np · · · (−) . (1.96) Da alle diese Beziehungen für beliebige Basiszustände gelten, lassen sich an ihnen die folgenden Operationidentitäten ablesen:

[ar , as ]−ε = 0 ,

(1.97)

[a+r , a+s ]−ε = 0 ,

(1.98)

[ar , a+s ]−ε = δrs .

(1.99)

Dies sind die zu (1.37), (1.44) und (1.45) analogen fundamentalen Vertauschungsrelationen für die Konstruktionsoperatoren in der diskreten Fock-Darstellung. Um einen beliebigen Operator  A, der wie in (1.48) aus Ein-Teilchen- und ZweiTeilchen-Anteilen besteht, im Formalismus der zweiten Quantisierung durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darzustellen, haben wir exakt dieselben Überlegungen wie im Fall des kontinuierlichen Spektrums durchzuführen:      A1  ϕαr a+p ar + ϕαp   A≡ p, r

+

1   (1) (2)   (1) (2)  + + A2 ϕαt ϕαs ap ar as at . ϕ ϕ  2 p, r, αp αr

(1.100)

s, t

Der einzige Unterschied zum kontinuierlichen Fall besteht darin, dass hier das ZweiTeilchen-Matrixelement auf jeden Fall mit nicht symmetrisierten Zwei-TeilchenZuständen zu bilden ist. In (1.54) konnte man auch die (anti-)symmetrisierten Zustände verwenden. Die Ursache liegt allein in der unterschiedlichen Normierung.

28

1. Die Zweite Quantisierung

Das Analogon zum Besetzungsdichteoperator (1.55) ist im diskreten Fall der Besetzungszahloperator nˆ r = a+r ar .

(1.101)

An (1.90) und (1.94) erkennt man, dass die Fock-Zustände Eigenzustände zu nˆ r sind:     nˆ r  N; · · · nr · · · (ε) = nr  N; · · · nr · · · (ε) . (1.102) nˆ r fragt also ab, wie viele Teilchen den r-ten Ein-Teilchen-Zustand besetzen: Teilchenzahloperator = N



nˆ r .

(1.103)

r

Auch dessen Eigenzustände sind die Fock-Zustände mit der Gesamtteilchenzahl N als Eigenwert:         N; · · · nr · · · (ε) = nr  N; · · · nr · · · (ε) = N r

  = N  N; · · · nr · · · (ε) .

(1.104)

Die Ableitung der folgenden nützlichen, für Bosonen wie Fermionen gleichermaßen gültigen Kommutator-Relationen gelingt mit (1.97) bis (1.99) und sei zur Übung empfohlen:   

nˆ r , a+p = δrp a+p ; nˆ r , ap − = −δrp ap , −   

+ , ap = −ap . , ap = a+p ; N (1.105) N − −

1.4

1.4.1

1.4 Aufgaben Aufgabe 1.4.1 Zwei identische Teilchen bewegen sich in einem eindimensionalen Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden: ⎧ ⎨0 für 0 ≤ x ≤ a, V(x) = ⎩ ∞ für x < 0 und x > a.

Berechnen Sie die Energieeigenfunktionen und die Energieeigenwerte des Zwei-Teilchen-Systems, wenn es sich a) um Bosonen, b) um Fermionen handelt. Wie lautet die Grundzustandsenergie im Fall von N >> 1 Bosonen bzw. Fermionen?

1.4

Aufgaben

29

Aufgabe 1.4.2 Gegeben sei ein System von zwei Spin-1 | 2 -Teilchen. Die gemeinsamen Eigenzustände

   Si , m(i) ; S

Si =

1 ; 2

der Spinoperatoren S2i , Szi , 1 $ 3 1 $  (i) 2 = ; S2i  , m(i) h ¯ , m  2 S 4 2 S

1 m(i) S =± ; 2

i = 1, 2

1  $ $  (i)  1 (i) Szi  , m(i) = , h ¯ m , m  S 2 S 2 S

bilden eine vollständige Ein-Teilchen-Basis. Für die nicht symmetrisierten Zwei-Teilchen-Zustände,  (1) (2)   1 (1) $  1 (2) $ m , m S1 S2 =  , mS1  , mS2 , 2 2 sei der Permutations- (Transpositions-)Operator P12 wie üblich definiert:  (2) (1)   (2)   P12  m(1) S1 , mS2 = mS1 , mS2 . Beweisen Sie die folgenden Aussagen: 1. Die gemeinsamen Eigenzustände |S, MS  t der Operatoren

2 S21 , S22 , S2 = S1 + S2 , Sz = Sz1 + Sz2 ,     |0, 0 t = 2−1 | 2  (1 | 2)(1) , (−1 | 2)(2) −  (1 | 2)(2) , (−1 | 2)(1) ,     |1, 0 t = 2−1 | 2  (1 | 2)(1) , (−1 | 2)(2) +  (1 | 2)(2) , (−1 | 2)(1) ,   |1, ±1 t =  (±1 | 2)(1) , (±1 | 2)(2) sind Eigenzustände zu P12 . 2.

Im H2(ε) gilt: P12 S1 P12 = S2 ;

3.

Es gilt die Darstellung: P12

P12 S2 P12 = S1 .

  4 1 1 + 2 S1 · S2 . = 2 h¯

1.4.2

30

1.4.3

1. Die Zweite Quantisierung

  Aufgabe 1.4.3 |0 sei der normierte Vakuumzustand ( 0 | 0 = 1) und  ϕα ein Eigenzustand zu einer Observablen  Φ mit kontinuierlichem Spektrum:    ϕα  ϕβ = δ(α − β) . a+α und aα sind Erzeugungs  und Vernichtungsoperatoren für ein Teilchen im Ein-Teilchen-Zustand  Φα . Leiten Sie mit den Vertauschungsrelationen der a+α , aα die folgende Beziehung ab: 





0 | aβN · · · aβ1 a+α1 · · · a+αN | 0 = εpα Pα δ β1 − α1 · · · δ βN − αN . Pα

Pα ist der Permutationsoperator, der auf die Zustandsindizes αi wirkt. ε ist +1 für Bosonen und −1 für Fermionen.

1.4.4

Aufgabe 1.4.4 Gegeben sei ein System von N identischen (spinlosen) Teilchen mit einer lediglich vom Abstand abhängigen Paarwechselwirkung

Vij = V |r i − r j | .

Zeigen Sie, dass sich der Hamilton-Operator H=

i=/ j n  p2i 1 Vij + 2m 2 i=1 i,j

in der kontinuierlichen k-Darstellung (ebene Wellen!) wie folgt schreiben lässt:  2 2   1 h¯ k 3 a+k ak + d3 k d3 p d3 q V(q)a+k + q a+p − q ap ak . H= d k 2m 2 Dabei ist V(q) = (2π)−3



d3 r V(r) e iq · r = V(−q)

die Fourier-Transformierte des Wechselwirkungspotentials. Sie können die folgende Darstellung der δ-Funktion benutzen: 

  −3 d3 r e −i (k − k ) · r . δ k − k = (2π)

1.4

Aufgaben

Aufgabe 1.4.5 Zeigen Sie, dass der Teilchenzahloperator  = N d3 k a+k ak

31

1.4.5

mit dem Hamilton-Operator aus Aufg. 1.4.4 kommutiert!

Aufgabe 1.4.6 Für ein System von N identischen (spinlosen) Teilchen mit einer nur vom Abstand abhängigen Paarwechselwirkung V( |r − r  | ) lässt sich der Hamilton-Operator H in zweiter Quantisierung wie folgt durch Feldoperatoren ausdrücken:  2  h¯ ψ+ (r) − Δr  ψ(r) + H = d3 r  2m   

 1 d3 r d3 r  ψ+ (r) ψ+ r V r − r   ψ r  ψ(r) . + 2

1.4.6

Zeigen Sie die Äquivalenz mit der k-Darstellung für H, die in Aufg. 1.4.4 unter Benutzung von ebenen Wellen als Ein-Teilchen-Wellenfunktionen abgeleitet wurde.

Aufgabe 1.4.7 aϕα = aα und a+ϕα = a+α seien Vernichtungs- und Erzeugungs  Φ mit disoperatoren für Ein-Teilchen-Eigenzustände  ϕα einer Observablen  kretem Spektrum. Berechnen Sie mithilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen für Bosonen und für Fermionen die folgenden Kommutatoren: 1. [nˆ α , a+β ]− ; 2. [nˆ α , aβ ]− ; , a+α ]− ; 3. [N , aα ]− . 4. [N

1.4.7

Aufgabe 1.4.8 Zeigen Sie, dass unter Voraussetzungen wie in Aufg. 1.4.7 für Fermionen die folgenden Beziehungen gültig sind: + 2 2 aα = 0 , 1. aα = 0 ; 2 2. nˆ α = nˆ α , 3. aα nˆ α = aα ; a+α nˆ α = 0 , 4. nˆ α aα = 0 ; nˆ α a+α = a+α .

1.4.8

32

1.4.9

1. Die Zweite Quantisierung

Aufgabe 1.4.9 Gegeben sei ein System von nicht wechselwirkenden, identischen Bosonen bzw. Fermionen:

H=

N 

H1(i) .

i=1

H1(i)

Der Ein-Teilchen-Operator habe ein diskretes, nicht entartetes Spektrum:      (i)  (i)  H1(i)  ϕr(i) = εr  ϕr(i) ; ϕr  ϕs = δrs .     Die  ϕr(i) werden zum Aufbau der Fock-Zustände  N; n1 , n2 , . . . (ε) benutzt. Der allgemeine Zustand des Systems werde durch die nicht normierte Dichtematrix ρ beschrieben, für die in der großkanonischen Gesamtheit (variable Teilchenzahl!) gilt:



  . ρ = exp −β H − μN 1. 2.

Wie lautet der Hamilton-Operator in zweiter Quantisierung? Verifizieren Sie, dass für die großkanonische Zustandssumme gilt: ⎧



 &  ⎪ ⎨ i 1 − exp −β εi − μ −1 Bosonen, Ξ(T, V, μ) = Sp ρ = & 



 ⎪ ⎩ Fermionen. i 1 + exp −β εi − μ

3.

Berechnen Sie den Erwartungswert der Teilchenzahl:   1

 = Sp ρN  . N

Ξ

4.

Berechnen Sie die innere Energie: U = H  =

5.

1

Ξ

Sp(ρH) .

Berechnen Sie die mittlere Besetzungszahl des i-ten Ein-Teilchen-Zustandes,   1

nˆ i = Sp ρa+i ai ,

Ξ

und zeigen Sie, dass gilt: U=

   εi nˆ i ; i

     = N nˆ i . i

1.4

Aufgaben

33

Aufgabe 1.4.10 Betrachten Sie ein System von Elektronen, die aus zwei verschiedenen Energieniveaus ε1 und ε2 stammen. Sie werden durch den folgenden Hamilton-Operator beschrieben: 

 (σ =↑ oder ↓) . H= ε1 a+1σ a1σ + ε2 a+2σ a2σ + V a+1σ a2σ + a+2σ a1σ σ

1.

Zeigen Sie, dass H mit dem Teilchenzahloperator 

= N a+1σ a1σ + a+2σ a2σ σ

2.

3. 4.

5.

vertauscht. Entwickeln Sie mithilfe der Fock-Zustände   |N; F =  N; n1↑ n1↓ ; n2↑ n2↓ (−) ein allgemeines Lösungsverfahren zur Berechnung der Energieeigenwerte für beliebige Gesamtelektronenzahlen N (N = 0, 1, 2, 3, 4). Berechnen Sie die Energieeigenwerte für N = 0 und N = 1. Zeigen Sie, dass von den sechs möglichen Fock-Zuständen zu N = 2 zwei bereits Eigenzustände zu H sind. Lösen Sie die verbleibende 4 × 4 Säkulardeterminante. Finden Sie die Energieeigenwerte für N = 3 und N = 4.

1.4.10

34

1.5

1. Die Zweite Quantisierung

1.5 Kontrollfragen Zu Abschn. 1.1 1. Was versteht man unter identischen Teilchen? 2. Warum sind in der Klassischen Physik auch identische Teilchen unterscheidbar? 3. Was besagt das Prinzip der Ununterscheidbarkeit? 4. Begründen Sie für eine beliebige Observable  A eines Systems identischer Teilchen APij , wobei Pij der Transpositionsoperator ist. die Operatoridentität  A = Pij+ 5. Wie konstruiert man (anti-)symmetrisierte N-Teilchen-Zustände? 6. Kann sich der Symmetriecharakter eines Zustands N identischer Teilchen mit der Zeit ändern? 7. Begründen Sie, warum alle Zustände eines Systems aus N identischen Teilchen denselben Symmetriecharakter haben. 8. Formulieren Sie den Spin-Statistik-Zusammenhang. 9. Was sind Bosonen, was sind Fermionen? Nennen Sie Beispiele. Zu Abschn. 1.2 1. Warum ist jeder Permutationsoperator P im Raum HN(±) eines Systems von N identischen Teilchen hermitesch? 2. Wie lautet das Skalarprodukt zweier(anti-)symmetrisierter N-Teilchen-Zustän de, die aus Ein-Teilchen-Zuständen  ϕα mit kontinuierlichem Spektrum aufgebaut sind? 3. Formulieren Sie für Zustände wie in 2 die Vollständigkeitsrelation. 4. Wie lässt sich mithilfe ein (anti-)symmetrisierter N von Erzeugungsoperatoren  (±)  aus dem Vakuumzustand |0 konstruieren? Teilchen-Zustand ϕα1 . . . ϕαN   5. Wie wirkt der Vernichtungsoperator aγ auf den N-Teilchen-Zustandϕα1...ϕαN (±) ? 6. Wie wirken aα und a+α auf den Vakuumzustand |0 ? 7. Erläutern Sie die Begriffe Erzeugungsoperator, Vernichtungsoperator. 8. Formulieren Sie die drei fundamentalen Vertauschungsrelationen. 9. Drücken Sie einen allgemeinen Ein-Teilchen-Operator durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aus. 10. Bestehen irgendwelche Einschränkungen bezüglich der Ein-Teilchen-Basis    ϕα , aus der die (anti-)symmetrisierten N-Teilchen-Basiszustände des H (ε) N aufgebaut sind? Welche Gesichtspunkte könnten ihre Wahl beeinflussen? 11. Wie sind Besetzungsdichte- und Teilchenzahl-Operator definiert? Wie sehen ihre Eigenzustände aus? 12. Was versteht man unter Feldoperatoren? 13. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Feldoperatoren und allgemeinen Konstruktionsoperatoren aα , a+α ?

1.5

Kontrollfragen

35

Zu Abschn. 1.3 1. Was beschreibt die Slater-Determinante? 2. In welchem Zusammenhang steht die Slater-Determinante mit dem Pauli-Prinzip? 3. Was versteht man unter der Besetzungszahl ni ? 4. Wie formuliert man einen N-Teilchen-Zustand in der Besetzungszahldarstellung? 5. Formulieren Sie die Orthonormierungs- und Vollständigkeitsbedingungen der Fock-Zustände. 6. Beschreiben Sie die Wirkungsweise von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren auf N-Teilchen-Zustände in der Besetzungszahldarstellung. 7. Wie kann man einen N-Teilchen-Fock-Zustand aus dem Vakuumzustand |0 erzeugen? 8. Wie lauten die fundamentalen Vertauschungsrelationen im diskreten Fall? 9. Zeigen Sie, dass die Fock-Zustände Eigenzustände des Besetzungszahl- und des Teilchenzahl-Operators sind.

Kapitel 2 Viel-Teilchen-Modellsysteme

2

2

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.5

Viel-Teilchen-Modellsysteme Kristallelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Jellium-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Hubbard-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Gitterschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Harmonische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Phononengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Elektron-Phonon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Hamilton-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . 81 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Klassifikation der magnetischen Festkörper . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Modellvorstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Spinwellennäherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

39

2 Viel-Teilchen-Modellsysteme In diesem Abschnitt sollen einige häufig diskutierte Modellsysteme eingeführt werden, an denen wir später die Elemente der abstrakten Theorie demonstrieren und testen wollen. Bei der Formulierung der Modell-Hamilton-Operatoren werden wir bereits das Transformieren von der ersten in die zweite Quantisierung üben können. Die ausgewählten Beispiele stammen sämtlich aus dem Bereich der Theoretischen Festkörperphysik und sollen mit ein paar einführenden Bemerkungen vorbereitet werden. Der Festkörper ist sicher ein Viel-Teilchen-System, FK =

N 

(Teilchen)i ,

i=1

zusammengesetzt aus Atomen oder Molkülen, die miteinander wechselwirken. Das Teilchen besteht aus einem oder mehreren positiv geladenen Kernen und einer negativen Elektronenhülle. Man unterscheidet Rumpfelektronen und Valenzelektronen. Die Rumpfelektronen sind fest gebunden, d. h. in unmittelbarer Kernnähe lokalisiert. Sie stammen in der Regel aus abgeschlossenen Schalen – Ausnahmen sind z. B. die 4f Elektronen der Seltenen Erden – und haben damit kaum Einfluss auf typische Festkörpereigenschaften. Dies ist anders bei den Valenzelektronen, die aus nicht abgeschlossenen Schalen stammen und z. B. für die Festkörperbindung zuständig sind. Natürlich ist die Aufteilung in Rumpf- und Valenzelektronen nicht immer eindeutig. Darin liegt bereits eine gewisse Näherung. Unter einem Gitterion versteht man in diesem Sinne die Summe aus Kern plus Rumpfelektronen. Dies ergibt das folgende Modell: Festkörper: wechselwirkendes Teilchensystem aus Gitterionen und Valenzelektronen. Wie sieht der zugehörige Hamilton-Operator aus? H = He + Hi + Hei .

(2.1)

Das Teilsystem der Elektronen wird durch den Operator He beschrieben: He =

i =/ j Ne  p2i e2 1 1    ≡ He, kin + Hee . + r i − r j  2m 2 4πε0 i=1 i, j

(2.2)

Ne ist die Anzahl der Valenzelektronen. Der erste Summand stellt deren kinetische Energie, der zweite Summand ihre Coulomb-Wechselwirkung dar. r i , r j sind die Elektronenorte. Das Teilsystem der Ionen wird bestimmt durch den Operator Hi : Hi =

α =/ β Ni   1  p2α + Vi Rα − Rβ ≡ Hi, kin + Hii . 2M 2 α α=1 α, β

W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

(2.3)

40

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Die Ion-Ion-Wechselwirkung soll hier zunächst nicht weiter spezifiziert werden. Es handelt sich aber auf jeden Fall um eine Paarwechselwirkung. Sie ist mitverantwortlich dafür, dass die Gleichgewichtslagen der Ionen Rα(0) ein streng periodisches Kristallgitter definieren. Die Ionen führen um diese Gleichgewichtslagen Schwingungen aus. Deren Energien sind quantisiert. Das Elementarquant heißt Phonon. Es ist deshalb zweckmäßig, Hii noch einmal aufzuspalten in Hii = Hii(0) + Hp .

(2.4)

Hii(0) bestimmt z. B. die Festkörperbindung, Hp die Gitterdynamik. Die Wechselwirkung der beiden Teilsysteme wird schließlich durch Hei =

Ne  Ni  i=1 α=1

  Vei r i − Rα

(2.5)

wiedergegeben, wobei auch hier eine weitere Aufteilung zweckmäßig ist: Hei = Hei(0) + Hep .

(2.6)

Hei(0) betrifft die Wechselwirkung der Elektronen mit in Gleichgewichtspositionen befindlichen Ionen. Hep ist die Elektron-Phonon-Wechselwirkung. Die exakte Lösung für das Gesamtsystem (2.1) erscheint unmöglich. Eine Approximation kann in den folgenden drei Schritten erfolgen: 1. Elektronenbewegung, z. B. im starren Ionengitter: He + Hei(0) . 2. Ionenbewegung, z. B. im homogenen Elektronensee: Hp . 3. Kopplung, z. B. störungstheoretische Behandlung von Hep . Entsprechend dieses Konzepts diskutieren wir im nächsten Abschnitt zunächst das elektronische Teilsystem.

2.1

2.1 Kristallelektronen 2.1.1 Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen Wir betrachten zunächst Elektronen in einem starren Ionengitter, die nicht miteinander, sondern nur mit dem periodischen Gitterpotential wechselwirken, d. h., wir suchen die Eigenlösungen des folgenden Hamilton-Operators:

H0 = He, kin + Hei(0) .

(2.7)

Die in ihren Gleichgewichtspositionen verankerten Ionen definieren das so genannte Gitterpotential: Ni       Vei r i − Rα(0) . V ri =

α=1

(2.8)

2.1

Kristallelektronen

41

Für die Ionenpositionen Rα(0) gilt genauer: Rα(0) ⇒ Rsn = R n + Rs ,   n = n1 , n2 , n3 ; ni ∈ Z .

(2.9)

R n definiert das Bravais-Gitter: Rn =

3 

(2.10)

ni ai .

i=1

a1 , a2 , a3 sind die primitiven Translationen. Rs sind die Ortsvektoren der Basisatome. Die erwähnte Periodizität betrifft das Bravais-Gitter:      ri .  r i + R n =! V (2.11) V       rˆi ist ein Ein-Teilchen-Operator, und dies überträgt sich auf: V ri = V Hei(0) =

Ne 

   rˆi . V

(2.12)

i=1

Wir haben deshalb die folgende Eigenwertgleichung zu lösen: h0 ψk (r) = ε(k)ψk (r) .

(2.13)

Man nennt ψk (r) eine Bloch-Funktion und ε(k) die zugehörige Bloch-Energie. k ist ein Wellenvektor der ersten Brillouin-Zone. Mit h0 ist der Operator p2 (ˆr ) +V (2.14) 2m gemeint. Die Lösung (2.13) stellt für realistische Gitter ein nichttriviales Problem dar. Aus der Perdiodizität (2.11) des Gitterpotentials leitet man das fundamentale Bloch’sche Theorem ab:   n ψk r + R n = e i k · R ψk (r) . (2.15) h0 =

Macht man den üblichen Ansatz

ψk (r) = uk (r) e i k · r ,

(2.16)

so muss die Amplitudenfunktion gitterperiodisch sein:   uk r + R n = uk (r) .

(2.17)

Die Bloch-Funktionen ψk (r) bilden ein vollständiges, orthonormiertes System: d3 r ψ∗k (r)ψk (r) = δk, k , (2.18) 1. BZ  k

 





ψ∗k (r)ψk r = δ r − r .

(2.19)

42

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Summiert wird über alle Wellenvektoren k der ersten Brillouin-Zone. Diese sind wegen periodischer Randbedingungen diskret. – Da h0 keine Spinanteile enthält, faktorisiert die Eigenfunktion in einen Spin- und einen Ortsanteil: |kσ 

⇐⇒

Bloch-Zustand ,

r | kσ  = ψkσ (r) = ψk (r)χσ ,



 1 0 χ↑ = ; χ↓ = . 0 1

(2.20)

Falls Elektronen aus verschiedenen Energiebändern betrachtet werden, erscheint an der Bloch-Funktion noch ein Bandindex n. Wir beschränken uns hier jedoch auf Elektronen aus einem einzigen Band. Wir definieren: a+kσ

  akσ :

Erzeugungs- (Vernichtungs-) operator eines Bloch-Elektrons.

Da H0 ein Ein-Teilchen-Operator ist, folgt aus (1.100):  kσ | h0 | k σ   a+kσ ak σ . H0 = kσ k σ 

Das Matrixelement lässt sich leicht berechnen   kσ | h0 | k σ   = ε k kσ | k σ   = ε(k) δkk δσσ , da |kσ  Eigenzustand zu h0 ist. Damit folgt:   ε(k)a+kσ akσ = ε(k)nkσ . H0 = kσ

(2.21)

(2.22)

kσ

Die Bloch-Operatoren akσ , a+kσ erfüllen natürlich die fundamentalen Vertauschungsrelationen:

[akσ , ak σ ]+ = [a+kσ , a+k σ ]+ = 0 ,

(2.23)

[akσ , a+k σ ]+ = δkk δσσ .

(2.24)

Vernachlässigt man die kristalline Struktur des Festkörpers und betrachtet das Ionengitter lediglich als positiv geladenen, homogenen Hintergrund für das Elektronensystem ( V (r) = const), so werden aus den Bloch-Funktionen ebene Wellen,

ψk (r)

1 √ ei k · r , V V =const] [ ⇒

(2.25)

2.1

Kristallelektronen

43

  und aus den Bloch-Energien wegen p2 | 2m = − h¯2 | 2m Δ:

ε(k)

h¯2 k2 . 2m V =const] [ ⇒

(2.26)

(V ist das Volumen des Festkörpers! Man unterscheide V von  V , dem Gitterpotential!) Wir wollen noch zwei weitere, für Anwendungen wichtige Darstellungen von H0 diskutieren, z. B. die mit Feldoperatoren  ψ+σ (r) ,

 ψσ (r) ,

die wie in (1.63) bis (1.69) zu verstehen sind, wobei wir allerdings zusätzlich den Spin des Elektrons berücksichtigen. Die Verallgemeinerung der früheren Formeln liegt auf der Hand. So gilt z. B.:     ψσ (r),  ψ+σ r + = δ r − r δσσ . (2.27)  Damit folgt für H0 :    d3 r d3 r r σ | h0 | r  σ    ψ+σ (r) ψσ r = H0 = σ, σ

=

 σ, σ

=

 σ

2   +      h¯ d3 r d3 r δσσ − Δr +  V r δ r − r  ψσ (r) ψσ r = 2m

2  h¯ (r)  d3 r  ψ+σ (r) − Δr + V ψσ (r) . 2m

(2.28)

Eine weitere spezielle, häufig verwendete Ortsdarstellung benutzt Wannier-Funktionen 



1. BZ 1  −i k · Ri e ψkσ (r) . Ni

ωσ r − Ri = √

(2.29)

k

Reωσv

Ri

r

Abb. 2.1. Qualitative Ortsabhängigkeit des Realteils einer Wannier-Funktion

44

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Typisch für diese ist die relativ starke Konzentration um den jeweiligen Gitterplatz Ri . Mit (2.18) sowie 1. BZ 1  i k · Ri −Rj  e = δij Ni

(2.30)

k

beweist man leicht die Orthogonalitätsrelation:     d3 r ω∗σ r − Ri ωσ r − Rj = δσσ δij .

(2.31)

Mit den Bezeichnungen |iσ  ⇐⇒ Wannier-Zustand,   r | iσ  = ωσ r − Ri , a+iσ

  aiσ :

(2.32)

Erzeugungs- (Vernichtungs-)operator eines Elektrons in einem Wannier-Zustand am Gitterplatz Ri ,

lautet H0 in zweiter Quantisierung, H0 =

 ijσ

Tij a+iσ ajσ ,

(2.33)

und beschreibt in anschaulicher Weise das Hüpfen eines Elektrons mit dem Spin σ vom Gitterplatz Rj – dort wird es vernichtet – zum Gitterplatz Ri , wo es erzeugt wird. Tij heißt deshalb auch das „Hopping“-Integral. Es gilt zunächst: iσ | h0 | jσ   = δσσ iσ | h0 | jσ  = = δσσ



iσ | kσ1  kσ1 | h0 | k σ2  k σ2 | jσ  =

k, k

σ1 , σ2

= δσσ



ε(k ) iσ | kσ1  kσ1 | k σ2  k σ2 | jσ  =

k, k

σ1 , σ2

= δσσ

 k, σ1

ε(k) iσ | kσ1  kσ1 | jσ  .

(2.34)

2.1

Kristallelektronen

45

Die verbleibenden Matrixelemente berechnen sich schließlich wie folgt: iσ | kσ1  = d3 r iσ | r r | kσ1  = =

  d3 r ω∗σ r − Ri ψkσ1 (r) =

1  i k  · Ri d3 r ψ∗k σ (r)ψkσ1 (r) = e =√ Ni  k

1  i k  · Ri e i k · Ri =√ e δkk δσσ1 = δσσ1 √ . Ni  Ni k

Dies ergibt in (2.34): iσ | h0 | jσ   = δσσ Tij

(2.35)

mit Tij =

  1  ε(k) e i k · Ri −Rj . Ni

(2.36)

k

Die Umkehrung lautet

ε(k) =

  1  Tij e −i k · Ri −Rj , Ni

(2.37)

i, j

wie man durch Einsetzen in (2.36) mithilfe von (2.30) verifiziert. Den Zusammenhang zwischen Bloch- und Wannier-Operatoren findet man wie in (1.66) am Beispiel der Feldoperatoren demonstriert: 1. BZ 1  i k · Ri e akσ , aiσ = √ Ni k

(2.38)

Ni 1  akσ = √ e −i k · Ri aiσ . Ni i = 1

(2.39)

Aus den Vertauschungsrelationen der Bloch-Operatoren (2.23) und (2.24) folgen dann unmittelbar die der Wannier-Operatoren:  

(2.40) aiσ , ajσ + = a+iσ , a+jσ = 0 , +

  aiσ , a+jσ = δij δσσ . +

(2.41)

46

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

2.1.2 Jellium-Modell Das Modell ist zur Beschreibung einfacher Metalle brauchbar und basiert auf den folgenden Annahmen: 1. Ne Elektronen im Volumen V = L3 üben aufeinander die Coulomb-Wechselwirkung

Hee =

2.

i =/ j e2 

8πε0

i, j

1   r i − r j 

(2.42)

aus. Die Ionen sind einfach positiv geladen: Ne = Ni = N .

(2.43)

3.

Die Ionen bilden einen homogen verschmierten Hintergrund und sorgen damit für a) Ladungsneutralität, b) konstantes Gitterpotential. Aus den Bloch-Funktionen werden ebene Wellen: 1 ψkσ (r) ⇒ √ e i k · r χσ . (2.44) V

4.

Periodische Randbedingungen auf V sorgen für diskrete Wellenzahlen: k=

 2π  nx , ny , nz , L

nx, y, z ∈ Z .

(2.45)

Wie sieht der diesen Annahmen entsprechende Modell-Hamilton-Operator in erster Quantisierung aus? Er sollte sich aus drei Termen zusammensetzen: H = He + H+ + He+ .

(2.46)

He ist so wie in (2.2) gemeint und ist der eigentlich entscheidende Term. H+ beschreibt die homogen verschmierten Ionenladungen, wobei homogen verschmiert heißen soll, dass die Ionendichte n(r) ortsunabhängig ist: n(r) −→ Damit lautet H+ : H+ =

e2 8πε0



N . V

  n(r) · n r  −α |r−r | d rd r e . |r − r  | 3

3 

(2.47)

(2.48)

Wegen der Annahme 4. müssen wir unsere Resultate im thermodynamischen Limes diskutieren, d. h. für N → ∞, V → ∞, N | V → const. Wegen der Langreichweitigkeit der Coulomb-Kräfte divergieren dann die Integrale. Aus diesem Grund wird ein konvergenzerzeugender Faktor exp(−α |r − r  | ) mit α > 0 eingeführt. Nach Auswertung der Integrale wird der Grenzübergang α → 0 vollzogen.

2.1

Kristallelektronen

47

Wegen (2.47) benötigen wir in (2.48) das folgende Integral: −α |r − r  | −αr 4πV 3 3  e 3 e d rd r d r . = V −−−→ |r − r  | r V → ∞ α2 V

Damit ergibt sich: H+ =

 2 4π e2 N . 8πε0 V α2

(2.49)

H+ divergiert zwar für α → 0, wird aber durch andere noch zu besprechende Terme kompensiert. He+ in (2.46) beschreibt die Wechselwirkung der Elektronen mit dem homogenen Ionensee: He+ = −

N e2 

4πε0

i=1

n(r) −α |r−ri | e d3 r  . r − r i 

(2.50)

Mit denselben Überlegungen wie zu H+ folgt: He+ = −

=−

N e2 N  e −α |r−ri |  = d3 r  r − r i  4πε0 V i = 1 N e2 N  4π . 4πε0 V i = 1 α2

Ersetzen wir wiederum die klassische Teilchenzahl N durch den Teilchenzahlopera, so bleibt: tor N He+ = −

 2 4π e2 N . 4πε0 V α2

(2.51)

Insgesamt wird damit aus unserem Modell: H = He −

 2 4π 1 e2 N . 2 4πε0 V α2

(2.52)

Dies sieht für α → 0 zwar immer noch kritisch aus, jedoch werden wir sehen, dass He einen ganz entsprechenden Term enthält, der den zweiten Summanden in (2.52) gerade aufhebt. He ist der eigentlich entscheidende Operator, der sich gemäß (2.2) aus der kinetischen Energie H0 (2.7) und der Coulomb-Wechselwirkung Hee (2.42) zusammensetzt. H0 haben wir schon im letzten Abschnitt in die zweite Quantisierung transformiert. Hee ist ein typischer Zwei-Teilchen-Operator, für den nach (1.100) in der Bloch-Darstellung gilt: Hee =

 1   v k1 σ1 , . . . , k4 σ4 a+k1 σ1 a+k2 σ2 ak4 σ4 ak3 σ3 . 2 k1 ··· k4 σ1 ··· σ4

(2.53)

48

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Das Matrixelement   v k1 σ1 , . . . , k4 σ4 = =

 (1)  (2)  (1)  (2)  e2   1    k3 σ3 k1 σ1 k2 σ2   (1) k4 σ4 (2) rˆ − rˆ  4πε0

ist sicher nur für

σ1 = σ3 und σ2 = σ4 von Null verschieden, da der Operator selbst spinunabhängig ist:    e2 1 (2)   (1)  · d3 r1 d3 r2 k(1) v k1 σ1 , . . ., k4 σ4 = 1 k2 rˆ − rˆ (2)  4πε0  (2)   (1) (2)  (1) (2)  ·  r (1) r 1 r 2 k3 k4 δσ1 σ3 δσ2 σ4 = 1 r2  e2 1 (2)  (1) (2)   k(1) d3 r1 d3 r2  = r1 r2 · 1 k2   4πε0 r1 − r2  (2)  (1) (2)  k3 k4 δσ1 σ3 δσ2 σ4 = · r (1) 1 r2     e2 1  ψ∗k r 1 ψ∗k r 2 · d3 r1 d3 r2  = 1 2 r 1 − r 2  4πε0     · ψk3 r 1 ψk4 r 2 δσ1 σ3 δσ2 σ4 . Mithilfe des Bloch’schen Theorems (2.15) können wir noch zeigen, dass zusätzlich k1 + k2 = k 3 + k 4 gelten muss. Es bleibt damit:     v k1 σ1 , . . ., k4 σ4 = δσ1 σ3 δσ2 σ4 δk1 + k2 , k3 + k4 v k1 , . . .k4 ,       e2 v k1 , . . . , k4 = d3 r1 d3 r2 ψ∗k1 r 1 ψ∗k2 r 2 · 4πε0

(2.54)

    1  ψk3 r 1 ψk4 r 2 . ·  r 1 − r 2  Für die Coulomb-Wechselwirkung Hee haben wir damit den folgenden Ausdruck gewonnen: Hee =

 1   v k1 , . . . , k4 δk1 + k2 , k3 + k4 a+k1 σ a+k2 σ ak4 σ ak3 σ . 2 k1 , ... , k4 σ, σ

(2.55)

2.1

Kristallelektronen

49

Im Jellium-Modell sind die ψk (r) ebene Wellen, sodass wir noch zu berechnen haben:   vα k1 , . . . , k4 = (2.56) e2 1 e −i (k1 − k3 ) · r1 e −i (k2 − k4 ) · r2 −α |r1 −r2 | 3 3   d = r d r e . 1 2 r 1 − r 2  4πε0 V 2 Wir setzen

 1 r1 + r2 2 1 1 ⇐⇒ r 1 = r + R ; r 2 = − r + R . 2 2 und haben damit zu lösen:   e2 1 vα k1 , . . . , k4 = d3 R e −i (k1 − k3 + k2 − k4 ) · R · 4πε0 V 1 1 d3 r e −αr e −(i | 2)(k1 − k3 − k2 + k4 ) · r = · V r e2 1 e −i (k1 − k3 ) · r e −αr d3 r = δk1 + k2 , k3 + k4 . 4πε0 V r Mit 4π e −iq · r −αr d3 r e = 2 r q + α2 r = r1 − r2 ;

R=

(2.57)

(2.58)

folgt schließlich:   vα k1 , . . . , k4 = Dies setzen wir in (2.55) ein: (α) Hee =

e2  δk1 − k3 , k4 − k2 .   ε0 V k1 − k3 2 + α2

(2.59)

1  vα (q) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ , 2

(2.60)

e2 .  ε0 V q2 + α2

(2.61)

k, p , q σ, σ

vα (q) =

Wir betrachten nun einmal den q = 0 -Term der Coulomb-Wechselwirkung: 1 e2  + + akσ apσ apσ akσ = 2 ε0 V α2 k, p

σ, σ

=

 1 e2   −δσσ δkp nkσ + npσ nkσ = 2 2 ε0 V α k, p σ, σ

=

 2  e2  + N  − N . 2ε0 V α2

(2.62)

50

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Wir erkennen, dass der zweite Summand von (2.62) den zweiten Summanden in (2.52) gerade kompensiert, d. h. den Beitrag von H+ und He+ aufhebt. Der erste Summand in (2.62) führt zu einer Energie pro Teilchen, die im thermodynamischen Limes verschwindet, −

e2 −−−−−−−−→ 0 , 2ε0 V α2 N → ∞; V → ∞

und deshalb von vornherein weggelassen wird. Wenn wir nun zum Schluss den Grenzübergang α → 0 vollziehen, so bleibt als Hamilton-Operator des Jellium-Modells H=

 kσ

ε0 (k) a+kσ akσ +

q =/ 0 1  v0 (q) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ . 2

(2.63)

k, p, q σ, σ

Nach (2.26) ist

ε0 (k) =

h¯2 k2 2m

(2.64)

das Matrixelement der kinetischen Energie und v0 (q) =

1 e2 V ε0 q2

(2.65)

das der Coulomb-Wechselwirkung. Wir wollen noch eine nützliche alternative Darstellung für H ableiten, und zwar mithilfe des Operators der Elektronendichte

ρˆ (r) =

N    δ r − rˆi .

(2.66)

i=1

Es handelt sich dabei um einen Ein-Teilchen-Operator. Der Elektronenort rˆi ist hier ein Operator, die Variable r natürlich nicht. Nach (1.100) gilt für ρˆ im Formalismus der zweiten Quantisierung in der Bloch-Darstellung:

ρˆ (r) =

 k, k σ, σ

  kσ | δ r − rˆ |k σ   a+kσ ak σ .

(2.67)

2.1

Kristallelektronen

51

Für das Matrixelement ist zu berechnen:      d3 r kσ | δ r−ˆr  |r  σ   r  σ  | k σ   = kσ | δ r−ˆr  |k σ   = σ

=

 σ

=

 σ

  d3 r δ r−r  kσ | r  σ   r σ  | k σ   =

δσσ δσ σ kσ | rσ  rσ | k σ  =

= δσσ ψ∗k (r)ψk (r) . Beschränkt man sich wie im Jellium-Modell auf ebene Wellen, dann ist   1  kσ | δ r − rˆ |k σ   = δσσ e i (k − k) · r . V

(2.68)

Dies bedeutet in (2.67):

ρˆ (r) =

1  + akσ ak + qσ e iq · r . V

(2.69)

k, q, σ

Für die Fourier-Komponente des Elektronendichteoperators gilt also:  ρˆ q = a+kσ ak + qσ .

(2.70)

kσ

Man liest daran u. a. ab: . ρˆ q+ = ρˆ −q ; ρˆ q = 0 = N

(2.71)

Damit lässt sich der Hamilton-Operator des Jellium-Modells durch Dichteoperatoren ausdrücken. Die kinetische Energie bleibt unverändert: Hee =

q =/ 0 1  v0 (q) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ = 2 k, p, q σ, σ

=

q=/ 0   1 v0 (q) a+k + qσ −δσσ δk, p − q + akσ a+p − qσ apσ = 2 k, pq σ, σ

=− ·

q =/ 0 q =/ 0  1 1  v0 (q) a+pσ apσ + v0 (q) a+k + qσ akσ · 2 q, p, σ 2 q

 p, σ 

kσ

a+p − qσ apσ .

52

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Damit wird insgesamt aus dem Hamilton-Operator des Jellium-Modells: H=

 kσ

ε0 (k) a+kσ akσ +

q =/ 0   1  . v0 (q) ρˆ q ρˆ −q − N 2 q

(2.72)

Um einen gewissen Einblick in die Physik des Modells zu gewinnen, untersuchen wir nun die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells. Dazu machen wir eine Störungstheorie erster Ordnung, die uns nach dem Variationsprinzip auf jeden Fall eine obere Schranke für die Grundzustandsenergie liefern wird. Wir betrachten die Coulomb-Wechselwirkung Hee als Störung; das ungestörte System ist deshalb durch  H0 = ε0 k a+kσ akσ (2.73) kσ

gegeben (Sommerfeld-Modell). Dieses lässt sich exakt lösen. Im   „ungestörten“ Grundzustand  E0 besetzen die N Elektronen alle Zustände mit Energien, die nicht größer als eine Grenzenergie εF sind, die man die Fermi-Energie nennt:

ε0 (k) =

h¯2 kF2 h¯2 k2 ≤ εF = . 2m 2m

(2.74)

kF ist der Fermi-Wellenvektor, der sich wie folgt leicht berechnen lässt: Wegen der isotropen Energiedispersion

ε0 (k) = ε0 (k)

(2.75)

besetzen die Elektronen im k-Raum alle Zustände innerhalb einer Kugel mit dem Radius kF . Da die k-Punkte wegen der periodischen Randbedingungen im k-Raum diskret liegen (s. (2.45)), steht jedem k-Punkt ein Rastervolumen Δk =

(2π)3 (2π)3 = L3 V

(2.76)

zur Verfügung. Wenn wir noch die Spinentartung berücksichtigen, so ergibt sich der folgende Zusammenhang zwischen Elektronenzahl N und Fermi-Wellenvektor kF :

 V 1 4π 3 N=2 kF = 2 kF3 . Δk 3 3π Dies bedeutet:

1 | 3

2N , kF = 3π V

 h¯2 N 2|3 3π2 εF = . 2m V

(2.77)

(2.78)

2.1

Kristallelektronen

53

Für die mittlere Energie pro Teilchen ¯ε berechnet man leicht: ⎛ ⎞ 2 k2 2 ⎜ h ¯ 3 ⎟ 1 ¯ε = ⎝ d3 k = εF . ⎠ N 2m Δk 5

(2.79)

k ≤ kF

Damit kennen wir bereits die Grundzustandsenergie: E0 = N¯ε =

3 N εF . 5

(2.80)

Wir führen einige Standard-Abkürzungen ein: ne =

N : V

mittlere Elektronendichte ,

(2.81)

ve =

1 : ne

mittleres Volumen pro Elektron .

(2.82)

ve legt durch ve =

3 4π  aB rs 3

(2.83)

den dimensionslosen Dichteparameter rs fest, wobei aB =

4πε0 h¯2 = 0,529 Å me2

(2.84)

der Bohr’sche Radius ist. Führt man noch in ähnlicher Weise einen Energieparameter ein, 1 ryd =

e2 = 13,605 eV , 4πε0 2aB 1

(2.85)

so gilt für die Fermi-Energie εF :

εF =

α2

[ryd] ; 2

rs

α=



9π 4

1 | 3 .

Damit lautet die ungestörte Grundzustandsenergie: 2,21 E0 = N 2 [ryd] . rs

(2.86)

(2.87)

Wir schalten nun die Störung Hee ein und berechnen die Energiekorrektur 1. Ordnung:

ε(1) =

q =/ 0     1  v0 (q) E0  a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ  E0 . 2N

(2.88)

k, p, q σ, σ

Nur solche Terme liefern einen Beitrag, bei denen die Vernichter auf Zustände innerhalb der Fermi-Kugel wirken und die Erzeuger anschließend die durch die Vernichter geschaffenen Löcher in der Fermi-Kugel wieder auffüllen:

54

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

1) Direkter Term:

k=k+q;

p = p − q ⇐⇒ q = 0 .

(2.89)

Nach unseren Vorüberlegungen kommen solche Terme in der Summe allerdings nicht vor! 2) Austauschterm:

σ = σ ; k + q = p ; p − q = k .

(2.90)

Dies ist ein typisch quantenmechanischer Term, der klassisch nicht erklärbar ist. Er resultiert aus dem Antisymmetrisierungsprinzip für die N-Teilchen-Zustände:

ε(1) =

q =/ 0     1  v0 (q) E0  a+k + qσ a+kσ ak + qσ akσ  E0 = 2N k, q, σ

q =/ 0

    1  =− v0 (q) E0  nˆ k + qσ nˆ kσ  E0 . 2N

(2.91)

k, q, σ

  Da im ungestörten Grundzustand  E0 alle Zustände innerhalb der Fermi-Kugel besetzt, alle außerhalb unbesetzt sind, folgt:

ε(1) = −

q =/ 0     1  v0 (q) Θ kF − |k + q| Θ kF − k . 2N

(2.92)

k, q, σ

Im thermodynamischen Limes können wir die Summen durch Integrale ersetzen:  1 V 3 d k= d3 k . ⇒ Δk (2π)3 k

Nach Ausführung der Spinsummation bleibt zu berechnen:    V e2 1  3 d ε(1) = − k d3 q 2 Θ kF − |k + q| Θ kF − k . 6 N ε0 (2π) q Die Substitution 1 k ⇒ x=k+ q 2 führt zu

V e2 1 d3 q 2 2S(q) , N ε0 (2π)6 q



   1  1  1   3 d x Θ kF − x + q Θ kF − x − q . S(q) = 2 2 2

ε(1) = −

(2.93)

(2.94)

2.1

Kristallelektronen

x kF

2 +1

x-

q

55

12

x

S=Volumen dieses Kugelsegments

q

q

kF

× Integrationsgebiet für x

ϑ

q 2

y(ϑ )

Abb. 2.2. Veranschaulichung des Integrationsgebietes zur Berechnung der Grundzustandsenergie

des Jellium-Modells in erster Ordnung Störungstheorie nach (2.93)

Für das in Abb. 2.2 skizzierte Kugelsegment haben wir offenbar zu berechnen: 1 kF  q S(q) = Θ kF − d cos ϑ dϕ dx x2 , 2 q|2 kF

y(ϑ) =

y(ϑ)

q|2 . cos ϑ

Die Integration lässt sich leicht ausführen:   q 3 3 2 1 3 2π  kF − qkF + q . Θ kF − S(q) = 3 2 4 16

(2.95)

Die weitere Auswertung von (2.93) ist dann einfach: 0,916 ε(1) = − [ryd] . rs Damit ergibt sich insgesamt als Grundzustandsenergie pro Teilchen: 2,21 0,916 1 + εcorr = ε . Emin [ryd] = 2 − N rS rS

(2.96)

Der erste Summand ist die kinetische Energie (2.87), der zweite stellt die so genannte Austauschenergie dar. Letztere ist typisch für Systeme identischer Teilchen und eine direkte Folge des Prinzips der Ununterscheidbarkeit und damit für Fermionen des Pauli-Prinzips. Dieses sorgt dafür, dass sich Elektronen parallelen Spins nicht zu nahe kommen. Jeder Effekt, der gleichnamig geladene Teilchen auf Abstand hält, führt zu einer Reduktion der Grundzustandsenergie. Das erkärt das Minuszeichen in (2.96). Der letzte Summand wird Korrelationsenergie genannt. Diese gibt die Abweichung des störungstheoretischen Resultats vom exakten Ergebnis an und ist damit natürlich unbekannt. Moderne Methoden der Viel-Teilchen-Theorie haben die folgende Entwicklung ergeben (s. (5.177)):

εcorr =

2

π2

  (1 − ln 2) ln rS − 0,094 + O rS ln rS [ryd] .

(2.97)

56

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

ε - ε corr[ryd] 0,3 0,2 0,1

-0,1

r0 2

4

6

8 10 12

rs

Abb. 2.3. Grundzustandsenergie pro

Teilchen im Jellium-Modell als Funktion des Dichteparameters rS

Das einfache Jellium-Modell liefert bereits recht brauchbare Ergebnisse, z. B.: ε − εcorr durchläuft ein Minimum bei   r0 = rS min = 4,83 ,   ε − εcorr min = − 0,095 [ryd] = − 1,29 [eV] . Dies deutet auf eine optimale Elektronendichte hin, d. h. letztlich auf einen energetisch günstigen Ionenabstand, und erklärt damit, zumindest qualitativ, das Phänomen der metallischen Bindung. 2.1.3 Hubbard-Modell Die entscheidende Vereinfachung des Jellium-Modells besteht darin, die Festkörperionen lediglich als einen positiv geladenen, homogen verschmierten Hintergrund zu berücksichtigen, d. h. die kristalline Struktur vollständig zu vernachlässigen. Aus den Bloch-Funktionen werden dann ebene Wellen (2.44), sodass im Rahmen dieses Modells die Elektronen eine über den gesamten Kristall konstante Aufenthaltswahrscheinlichkeit besitzen. Man wird die Anwendung des Jellium-Modells deshalb von vornherein auf Elektronen aus breiten Energiebändern beschränken, also z. B. auf die Leitungselektronen der Alkalimetalle, für die diese Annahmen näherungsweise gültig sind. Die Elektronen schmaler Energiebänder besitzen eine vergleichsweise geringe Beweglichkeit und ausgeprägte Maxima der Aufenthaltswahrscheinlichkeit an den einzelnen Gitterplätzen. Ebene Wellen sind zur Beschreibung solcher Bandelektronen natürlich unbrauchbar. Einen wesentlich besseren Startpunkt stellt dann die so genannte Tight-Binding-Näherung dar. (r) und eine schwache Beweglichkeit der Setzt man ein starkes Gitterpotential V Bandelektronen voraus, so sollte in der Nähe der Gitteratome der atomare HamiltonOperator

Hat =

Ni 

h(i) at ,

(2.98)

i=1

der sich additiv aus denen der Einzelatome zusammensetzt, noch eine halbwegs vernünftige Beschreibung liefern, d. h. dem H0 aus (2.7) noch recht ähnlich sein:     (2.99) h(i) at ϕn r − Ri = εn ϕn r − Ri .

2.1

Kristallelektronen

57

ϕn ist eine atomare Wellenfunktion, die wir als bekannt voraussetzen wollen. Der Index n symbolisiert einen Satz von Quantenzahlen. Uns interessiert der Fall, in dem die Funktionen ϕn nur wenig überlappen, falls sie um verschiedene Orte Ri , Rj zentriert sind. Das hat eine geringe Tunnelwahrscheinlichkeit der Elektronen von Atom zu Atom zur Folge und damit eine lediglich schwache Aufspaltung des Atomniveaus im Festörper, d. h. ein schmales Energieband. Für den Hamilton-Operator der nicht wechselwirkenden Elektronen (2.7), H0 =

Ne 

h(i) 0 ,

(2.100)

i=1

machen wir den folgenden Ansatz: (2.101)

h0 = hat + V1 (r) .

Die Korrektur V1 (r) sollte also in der Nähe der Gitterionen klein sein, dagegen relativ stark in den Zwischenräumen, wo allerdings die ϕn praktisch schon auf Null abgefallen sind. Nach (2.13) haben wir eigentlich zu lösen: h0 ψnk (r) = εn (k)ψnk (r) .

(2.102)

Die volle Lösung dieses Eigenwertproblems erscheint außerordentlich kompliziert. Wir machen deshalb für die Bloch-Funktion ψnk (r) den folgenden Ansatz: Ni   1  e ik · Rj ϕn r − Rj . Ni j = 1

ψnk (r) = √

(2.103)

Dieser Ansatz erfüllt das Bloch-Theorem (2.15), ist in der Nähe der Ionenrümpfe (V1 (r) ≈ 0) praktisch exakt, während der Fehler in den Zwischenräumen wegen des geringen Überlapp der Wellenfunktionen dort im Rahmen bleiben dürfte. – Der Vergleich mit (2.29) zeigt, dass wir die exakten Wannier-Funktionen durch die atomaren Wellenfunktionen ersetzt haben. Mit (2.102) berechnen wir nun näherungsweise die Bloch-Energien εn (k). Zunächst gilt noch streng: ∗ 3 ϕn (r)h0 ψnk (r)d r = εn (k) ϕn∗ (r)ψnk (r)d3 r ,



ϕn∗ (r)V1 (r)ψnk (r)d3 r = εn (k) − εn





ϕn∗ (r)ψnk (r)d3 r .

Hier verwenden wir nun den Ansatz (2.103). Mit den Abkürzungen   vn = d3 r V1 (r) ϕn (r) 2 , T0(n) = εn + vn ,   (j) αn = d3 r ϕn∗ (r)ϕn r − Rj ,

γn(j) =



  d3 r ϕn∗ (r)V1 (r)ϕn r − Rj

(2.104) (2.105) (2.106) (2.107)

58

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

ergibt sich: 

εn (k) − εn



Rj =/ 0   1   (j)  ik · Rj = vn + √ γn − εn (k) − εn α(j) , n e Ni j

wobei wir die atomaren Wellenfunktionen als normiert vorausgesetzt haben. Für die Bloch-Energie bleibt dann:

εn (k) = εn +

vn + 1+

√1 Ni √1 Ni

=/ 0 (j) ik · Rj j γn e =/ 0 (j) ik · Rj j αn e

(2.108)

.

Die Überlapp-Integrale γn und αn sind nach Voraussetzung für Rj =/ 0 nur sehr kleine Größen, sodass wir getrost weiter vereinfachen können:  εn (k) = T0(n) + γn(1) e ik · RΔ . (2.109) (j)

(j)

Δ

Δ indiziert die nächsten Nachbarn des Atoms im Koordinatenursprung. Die Summe lässt sich in der Regel leicht ausführen. So gilt für ein kubisch primitives Gitter: a(0, ±1, 0) ;

RΔ = a(±1, 0, 0) ;

a(0, 0, ±1) ,





εs.n c. (k) = T0(n) + 2γn(1) cos(kx a) + cos(ky a) + cos(kz a) .

(2.110)

a ist die Gitterkonstante, T0(n) und γn(1) sind Parameter, die dem Experiment entnommen werden müssen. γn(1) ist durch die Breite W des Bandes bestimmt:   (2.111) Wns. c. = 12 γn(1)  . Die Tight-Binding-Näherung, die zu (2.109) führte, ist streng genommen nur für so genannte s-Bänder in Ordnung. Für p-, d-, f - . . . -Bänder sind noch gewisse Entartungen zu berücksichtigen, auf die wir hier nicht näher eingehen wollen. Wir beschränken uns im Folgenden auf s-Bänder und lassen ab jetzt den Index n weg. Die Bloch-Energien (2.109) bzw. (2.110) zeigen jetzt deutlich den Einfluss der Kristallstruktur. Nur für sehr kleine |k| am Bandboden gilt noch in etwa die parabolische Dispersion ε(k) ⇒ ε0 (k) = h¯2 k2 | 2m, die im Jellium-Modell verwendet wird. In zweiter Quantisierung nimmt H0 dieselbe Gestalt wie in (2.33) an:  Tij a+iσ ajσ . (2.112) H0 = ijσ

Die Tight-Binding-Näherung lässt für das Hopping-Integral, Tij =

1  ε(k) e ik · (Ri −Rj ) , Ni k

(2.113)

2.1

Kristallelektronen

59

nur elektronische Übergänge zwischen nächstbenachbarten Gitterplätzen zu. Für die Coulomb-Wechselwirkung der Bandelektronen gilt natürlich unverändert (2.55). Die Transformation in die Ortsdarstellung ergibt dann: Hee =

1 v(ij; kl) a+iσ a+jσ alσ akσ , 2

(2.114)

ijkl σ, σ

wobei das Matrixelement mit atomaren Wellenfunktionen zu bilden ist: v(ij; kl) = =

e2 4πε0



3

3

d r1 d r2





    r 1 − r 2 

 

ϕ∗ r1 − Ri ϕ∗ r2 − Rj ϕ r2 − Rl ϕ r1 − Rk



(2.115) .

Wegen des geringen Überlapps der um verschiedene Plätze zentrierten atomaren Wellenfunktionen wird das intraatomare Matrixelement U = v(ii; ii)

(2.116)

stark dominieren. Hubbard schlug vor, die Elektron-Elektron-Wechselwirkung deshalb auf diesen Anteil zu beschränken: Hubbard-Modell H=

 ijσ

1  Tij a+iσ ajσ + U nˆ iσ nˆ i − σ 2 i, σ

(2.117)

(Schreibweise: σ =↑ (↓) ⇐⇒ −σ =↓ (↑)). Das Hubbard-Modell dürfte damit wohl das einfachste Modell sein, an dem man das Zusammenspiel von kinetischer Energie, Coulomb-Wechselwirkung, Pauli-Prinzip und Gitterstruktur studieren kann. Die drastischen Vereinfachungen, die zu (2.117) führten, bedingen natürlich eine entsprechend eingeschränkte Anwendbarkeit des Modells. Das Modell wird benutzt zur Diskussion von 1. elektronischen Eigenschaften von Festkörpern mit schmalen Energiebändern (z. B. Übergangsmetalle), 2. Bandmagnetismus (Fe, Co, Ni, . . . ), 3. Metall-Isolator-Übergängen („Mott-Übergänge“), 4. allgemeinen Gesetzmäßigkeiten der Statistischen Mechanik, 5. Hochtemperatur-Supraleitung. Trotz der einfachen Struktur liegt die exakte Lösung des Hubbard-Modells bis heute nicht vor. Man ist weiterhin auf Approximationen angewiesen. Beispiele werden in den nächsten Abschnitten diskutiert.

60

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

2.1.4 Aufgaben 2.1.1

Aufgabe 2.1.1 Ein Festkörper bestehe aus N = N 3 (N  gerade) Einheitszellen   im Volumen V = L3 L = aN  . Für die erlaubten Wellenvektoren gelte infolge periodischer Randbedingungen:

   2π  N k= nx , ny , nz ; nx, y, z = 0, ±1, +2, . . . , ± − 1 , N  |2 . L 2

Beweisen Sie die Orthogonalitätsrelation

δij =

1. BZ   1  exp ik · Ri − Rj . N k

Summiert wird über alle Wellenzahlen der ersten Brillouin-Zone.

2.1.2

Aufgabe 2.1.2 Berechnen Sie die folgenden, häufig auftretenden Integrale: 1. −α|r−r  | 3 3  e ; α>0 I1 = d r d r |r − r  | V

2.

V



d3 r

I2 = V

d3 r

V

 

e i(q·r+q ·r ) |r − r  |

In beiden Fällen sei V endlich mit V → ∞.

2.1.3

Aufgabe 2.1.3 Leiten Sie mithilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen für Bloch-Operatoren a+kσ , akσ die entsprechenden für Wannier-Operatoren a+iσ , ajσ ab.

2.1

Kristallelektronen

61

Aufgabe 2.1.4 In der Theoretischen Festkörperphysik hat man es häufig mit Integralen vom Typ

+∞ dx g(x)f− (x) , I(T) =

 −1 f− (x) = exp [β (x − μ)] + 1

−∞

zu tun. Diese werden von ihrem T = 0-Wert εF dx g(x)

I(T = 0) = −∞

durch einen Ausdruck abweichen, der praktisch allein durch das Verhalten der Funktion g(x) in der Fermi-Schicht (μ − 2kB T; μ + 2kB T) bestimmt ist, wobei μ das chemische Potential darstellt. Reihenentwicklungen sind deshalb vielversprechend! Setzen Sie voraus, dass g(x) → 0 für x → −∞, und dass g(x) für x → +∞ höchstens wie eine Potenz von x divergiert und regulär in der Fermi-Schicht ist. 1. Zeigen Sie, dass +∞ ∂ dx p(x) f− (x) I(T) = − ∂x −∞

gilt mit x dy g(y) .

p(x) = −∞

2.

Benutzen Sie eine Taylor-Entwicklung von p(x) um μ (chemisches Potential) für die folgende Darstellung des Integrals: I(T) = p(μ) + 2

∞    1 − 21 − 2n β−2n ζ(2n)g (2n − 1) (μ) . n=1

g (2n − 1) (μ)

Dabei ist die (2n − 1)-te Ableitung der Funktion g(x) an der Stelle x = μ und ζ(n) die Riemann’sche ζ-Funktion:

ζ(n) =

∞  p=1

3.

−n

p

=

1 (1 − 21 − n )Γ(n)

∞ du

un − 1 . eu + 1

0

Berechnen Sie explizit die ersten drei Terme der Entwicklung für I(T).

2.1.4

62

2.1.5

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Aufgabe 2.1.5 Das Sommerfeld-Modell kann viele elektronische Eigenschaften der so genannten einfachen Metalle wie Na, K, Mg, Cu, . . . in guter Näherung erklären. Es ist definiert durch die folgenden Modell-Annahmen: a) Ideales Fermi-Gas im Volumen V = L3 . b) Periodische Randbedingungen auf V. c) Konstantes Gitterpotential V(r) = const

1. 2. 3. 4. 5.

Geben Sie die Eigenenergien und Eigenfunktionen an. Berechnen Sie die Fermi-Energie und den Fermi-Wellenvektor als Funktion der Elektronendichte n = N | V. Wie hängt die mittlere Energie pro Elektron mit der Fermi-Energie zusammen? Bestimmen Sie die elektronische Zustandsdichte ρ0 (E). Benutzen Sie den dimensionslosen Dichteparameter rs aus Gleichung (2.83) zur Berechnung der Grundzustandsenergie E0 : E0 = N

2.1.6

2,21 [ryd] . rs2

Aufgabe 2.1.6 Diskutieren Sie einige thermodynamische Eigenschaften des in Aufg. 2.1.5 eingeführten Sommerfeld-Modells. 1. Berechnen Sie die Temperaturabhängigkeit der mittleren Besetzungszahl eines Ein-Teilchen-Niveaus. 2. Wie hängen Gesamtteilchenzahl N und innere Energie U(T) mit der Zustandsdichte ρ0 (E) zusammen? 3. Verifizieren Sie mithilfe der Sommerfeld-Entwicklung aus Aufg. 2.1.3, dass für das chemische Potential μ gilt: !

 " π2 kB T 2 . μ = εF 1 − 12 εF  4 4. Berechnen Sie mit einer Genauigkeit von kB T |εF die innere Energie U(T) und die spezifische Wärme cV der Metallelektronen. 5. Berechnen und diskutieren Sie die Entropie

 ∂  kB T ln Ξ . ∂T Überprüfen Sie den Dritten Hauptsatz! Ξ ist die großkanonische ZustandsS=

summe.

2.1

Kristallelektronen

63

Aufgabe 2.1.7 1. Transformieren Sie den Operator der Elektronendichte

ρ= 

2.1.7

N    δ r −ri i=1

2. 3.

in die zweite Quantisierung mit Wannier-Zuständen als Ein-Teilchen-Basis. Leiten Sie mit dem Ergebnis aus 1. den Zusammenhang zwischen dem Elektronenzahl- und dem Elektronendichteoperator ab. Wie sieht der Elektronendichteoperator aus Teil 1. im Spezialfall des JelliumModells aus?

Aufgabe 2.1.8 Stellen Sie den Operator der Elektronendichte

2.1.8

N    ρ= δ r −ri  i=1

im Formalismus der zweiten Quantisierung durch Feldoperatoren dar.

Aufgabe 2.1.9 Transformieren Sie den Hamilton-Operator des Jellium-Modells in die zweite Quantisierung mit Wannier-Zuständen als Ein-Teilchen-Basis.

Aufgabe 2.1.10 Mithilfe des Elektronendichteoperators

ρ= 

N    δ r −ri i=1

berechnet man die so genannte Dichtekorrelation      1 d3 r ρ r  − r, 0 ρ r  , t G(r, t) = N sowie den dynamischen Strukturfaktor S(q, ω) =



+∞ d r dt G(r, t) e i (q · r−ωt) . 3

−∞

Als statischen Strukturfaktor bezeichnet man den Ausdruck +∞ dω S(q, ω) , S(q) = −∞

2.1.9

2.1.10

64

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

während die statische Paarverteilungsfunktion g(r) durch G(r, 0) = δ(r) + ng(r) (n = N | V) definiert ist. 1. Zeigen Sie, dass für die Dichtekorrelation G(r, t) =

2.

 1  ρq ρ−q (t) e −iq · r NV q

gilt. Welche Bedeutung hat G(r, t)? Verifizieren Sie den Ausdruck ng(r) =

i =/ j  1   δ r + ri (0) − rj (0) . N i, j

3.

Überlegen Sie sich auch hier eine passende physikalische Interpretation. Beweisen Sie für den Strukturfaktor die folgenden Relationen: 1 S(q, ω) = N S(q) =

4.

2.1.11

+∞   dt e −iωt ρq ρ−q (t) , −∞

 2π  ρq ρ−q . N

Zeigen Sie, dass für T = 0 gilt: # $  2π     +    2 1 En − E0 . S(q, ω) =  En ρq E0  δ ω − N n h¯      En sind die Eigenzustände des Hamilton-Operators,  E0 ist der Grundzustand.

Aufgabe 2.1.11 1. Benutzen Sie die allgemeinen Resultate aus Aufg. 2.1.10, um mit den exakten Eigenzuständen des Sommerfeld-Modells den statischen Strukturfaktor S(q) zu bestimmen. Skizzieren Sie die q-Abhängigkeit. 2. Berechnen Sie ebenso die statische Paarverteilungsfunktion g(r). Skizzieren und diskutieren Sie die r-Abhängigkeit.

2.2

Gitterschwingungen

65

Aufgabe 2.1.12 Berechnen Sie in der Tight-Binding-Näherung die Bloch-Energien ε(k) für eine kubisch innenzentrierte und eine kubisch flächenzentrierte Gitterstruktur.

2.1.12

Aufgabe 2.1.13 Zeigen Sie, dass der Tight-Binding-Ansatz für die elektronische Wellenfunktion ϕnk (r) das Bloch-Theorem erfüllt.

2.1.13

2.2

2.2 Gitterschwingungen In Abschn. 2.1 wurden die Gitterionen als unbeweglich angenommen und lediglich Anregungen im Elektronensystem untersucht. Gemäß dem Programm nach (2.6) soll nun das Teilsystem der Ionen genauer diskutiert werden, d. h., der HamiltonOperator (2.3) wird jetzt im Mittelpunkt stehen. Überträgt man einem einzelnen Gitterion Energie, z. B. durch Teilchenstoß, so wird sich diese infolge der starken Ion-Ion-Wechselwirkung rasch auf das ganze Gitter verteilen. Aus der lokalen wird eine kollektive Anregung, an der letztlich alle Gitterbausteine beteiligt sind. Es ist deshalb zweckmäßig, bei der mathematischen Beschreibung anstelle von Ionenkoordinaten noch zu definierende Kollektivkoordinaten zu verwenden. In dieser Darstellung lassen sich die Gitterschwingungen dann quantisieren. Die entsprechenden Quanten heißen Phononen. 2.2.1 Harmonische Näherung Die für die Gitterschwingungen notwendigen rücktreibenden Kräfte sind die so genannten Bindungskräfte, die recht unterschiedlichen physikalischen Ursprungs sein   können. Qualitativ hat das Paarpotential Vi Rα − Rβ  jedoch stets den skizzierten (0) Verlauf. Das Potentialminimum definiert den Gleichgewichtsabstand Rαβ . Die so genannte harmonische Näherung besteht letztlich darin, den Kurvenverlauf durch eine Parabel anzunähern, was für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage vernünftig erscheint. Dies wollen wir nun etwas quantitativer diskutieren. Ausgangspunkt sei ein Bravais-Gitter mit einer p-atomigen Basis, das wie in (2.9) durch

Rsm = R m + Rs

(2.118)

Vi harmonische Näherung (0) Rαβ ´

Rα - Rβ

Abb. 2.4. Demonstration der harmonischen

Näherung für das Paarpotential im Festkörper

66

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

  mit s = 1, 2, . . . , p und m ≡ m1 , m2 , m3 ; mi ∈ Z, Rm =

3 

mi ai

(2.119)

i=1

beschrieben wird. Es sei xsm (t) :

momentane Position des (m, s)-Atoms ,

usm (t) :

Auslenkung des (m, s)-Atoms aus der Ruhelage.

Folglich gilt: xsm (t) = Rsm + usm (t) . Die kinetische Energie der Gitterionen lautet dann:

m 2 dus, i 1 Ms , i = x, y, z . Hi, kin = 2 m dt

(2.120)

(2.121)

s, i

Für die potentielle Energie schreiben wir:     Hii = V xsm = V Rsm + usm .

(2.122)

Dabei stellt V0 = V

 m  Rs

(2.123)

die so genannte Bindungsenergie dar. Wir entwickeln V um die Gleichgewichtslage:    V xsm = V0 + ϕm, s, i us,mi + m s, i

+

  1   n, t, j m n ϕm, s, i us, i ut, j + O u3 . 2 m n s, i

(2.124)

t, j

  Die harmonische Näherung besteht nun darin, den Rest O u3 zu vernachlässigen. Die Auslenkungen u betragen in der Regel weniger als 5% des Gitterabstandes, sodass die harmonische Näherung durchaus angemessen sein wird. Höhere, so genannte anharmonische Terme sollen uns deshalb zunächst nicht interessieren. Für die partiellen Ableitungen ϕ in (2.124) gilt:  ∂V  ϕm, s, i ≡ m  = 0 . (2.125) ∂xs, i 0 Dies ist die Definition der Gleichgewichtsposition. Die zweiten Ableitungen bilden eine

2.2

Gitterschwingungen

67

Matrix der atomaren Kraftkonstanten n, t, j ϕm, s, i



∂2 V  ≡ n m  . ∂xt, j ∂xs, i 0

(2.126)

Zum Verständnis dieser bedeutenden Matrix dient die Feststellung: −ϕm, s, i ut,n j : n, t, j

Kraft in i-Richtung, die auf das (m, s)-Atom ausgeübt wird, wenn das (n, t)-Atom in j-Richtung um ut,n j ausgelenkt ist, und alle anderen Teilchen fest bleiben.

Die harmonische Näherung entspricht damit einem linearen Kraftgesetz wie beim harmonischen Oszillator:  n, t, j ∂V Ms¨us,mi = − m = − ϕm, s, i ut,n j . (2.127) ∂us, i n t, j

Die Kraftkonstantenmatrix besitzt ein paar offensichtliche Symmetrien. Direkt aus der Definition folgt: n, t, j m, s, i ϕm, s, i ≡ ϕn, t, j .

(2.128) 



Bei einer Translation des gesamten Festkörpers um Δx = Δx1 , Δx2 , Δx3 ändern sich die Kräfte natürlich nicht. Deswegen folgt aus  n, t, j  Δxj ϕm, − s, i = 0 n, t

j

die Beziehung 

n, t, j ϕm, s, i = 0 .

(2.129)

n, t

Schließlich liefert noch die Translationssymmetrie: n, t, j t, j ϕm, s, i = ϕs, i (n − m) .

(2.130)

Zur Lösung von (2.127) machen wir nun einen ersten Ansatz der Form: uˆ s,mi us,mi = √ e −iωt . Ms

(2.131)

Dies ergibt die Eigenwertgleichung

ω2 uˆ s,mi =

 n t, j

n, t, j

Dm, s, i uˆ t,n j

(2.132)

68

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

für die reelle und symmetrische Matrix

ϕ

. D= √ Ms Mt

(2.133)

Diese besitzt 3pN reelle Eigenwerte (ωs,mi )2 . Die Eigenwerte ωs,mi sind also ebenfalls reell oder rein imaginär. Nur die reellen Eigenwerte sind physikalische Lösungen. Durch Ausnutzung der Translationssymmetrie (2.130) wird die Dimension des Eigenwertproblems von 3pN auf 3p reduziert.  s, t ω2 cs, i = Ki, j ct, j . (2.134) t, j

Dabei wurde definiert:   cs, i us,mi = √ exp i q · Rm − ωt , Ms Ki,s,j t (q) =

 ϕ0,p,s,t,ij   exp iq · R p . √ M M s t p

(2.135)

(2.136)

Gleichung (2.134) ist eine Eigenwertgleichung für die Matrix K mit 3p Eigenwerten:

ω = ωr (q) , r = 1, 2, . . . , 3p .

(2.137)

Kristalle sind anisotrop. Die Dispersionszweige ωr (q) müssen deshalb für jede Raumrichtung q | |q| als Funktion von q = |q| bestimmt werden. Einzelheiten entnehme man dem Standardbeispiel diatomare, lineare Kette der Lehrbuchliteratur der Festkörperphysik. Man findet (Aufg. 2.2.1): 3 akustische Zweige ⇐⇒ ω(q = 0) = 0 , 3(p − 1) optische Zweige ⇐⇒ ω(q = 0) =/ 0 . Wegen periodischer Randbedingungen sind die Wellenzahlen q diskret. Ist G ein beliebiger reziproker Gittervektor, so gilt wegen exp(iG · R m ) = 1:

ωr (q + G) = ωr (q) .

(2.138)

Dies bedeutet, dass man die betrachteten Wellenzahlen q auf die erste Brillouin-Zone beschränken kann. Zeitumkehrinvarianz der Bewegungsgleichungen führt schließlich noch zu:

ωr (q) = ωr (−q) .

(2.139)

Zu jedem der 3p ωr -Werte hat die Gleichung (2.134) eine Lösung cs, i = ε(r) s, i (q) ,

(2.140)

2.2

Gitterschwingungen

69

die sich so wählen lässt, dass die Orthonormalitätsrelation 



(r ) ε(r)∗ s, i (q) εs, i (q) = δr, r

(2.141)

s, i

erfüllt ist. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung (2.127) lautet schlussendlich: 3p 1. BZ 1  iq · R m Qr (q, t) ε(r) . us,mi (t) = √ s, i (q) e NMs r = 1 q

(2.142)

  Dabei haben wir den Zeitfaktor exp −iωr (q)t mit in die Koeffizienten Qr (q, t) hineingezogen. Mit     1  exp i q − q · R m = δq, q N m findet man für die Normalkoordinaten Qr (q, t) 1 % −iq · R m Qr (q, t) = √ Ms us,mi (t) ε(r)∗ , s, i (q) e N m

(2.143)

s, i

die die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators

¨ r (q, t) + ω2r (q)Qr (q, t) = 0 . Q

(2.144)

erfüllen. 2.2.2 Phononengas Die harmonische Näherung des letzten Abschnitts liefert für die Lagrange-Funktion L = T − V des Ionensystems den folgenden Ausdruck:

L=

1   m 2 1  n, t, j m n Ms u˙ s, i − ϕm, s, i us, i ut, j . 2 m 2 m, s, i s, i

(2.145)

n, t, j

Wir wollen L in Normalkoordinaten darstellen. Zur Umformung benutzen wir: ⎧ ⎨1,   

1 exp i q − q · R m = ⎩ N m 0

falls q − q = 0 oder G ,

(2.146)

sonst,

∗  = Qr (−q, t)ε(r) Qr (q, t) ε(r) s, i (q) s, i (−q) .

(2.147)

70

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Gleichung (2.147) muss gelten, damit die Verschiebungen us,mi reell sind. Gleichung (2.146) haben wir schon verschiedentlich benutzt.  2 1    1 1  ˙ ˙ r q , t ε(r) Ms u˙ s,mi = Ms Qr (q, t) Q s, i (q) · 2 m 2 m N Ms   s, i

q, q r, r

s, i

   )    i q + q · R m · ε(r = s, i q e

=

 1  ˙ (r ) ˙ r (−q, t) Qr (q, t) Q ε(r) s, i (q) εs, i (−q) = 2 q  s, i

(2.148)

r, r

=

1  ˙∗ ˙ r (q, t) . Q (q, t) Q 2 q, r r

Ganz analog bestimmen wir die potentielle Energie: 1  n, t, j m n ϕm, s, i us, i ut, j = 2 m, s, i n, t, j

=

   1  n, t, j 1 ϕm, s, i √ Qr (q, t) Qr q , t · 2N m, s, i Ms Mt   q, q r, r

n, t, j

(r )    iq · R m iq · ε(r) e s, i (q) εt, j q e

=

· Rn

=

  1  (r )    Qr (q, t) Qr q , t ε(r) s, i (q) εt, j q · 2N s, i   n, t, j

·

qq r, r

   ϕs,t, ij (n − m) m n  n e iq · (R − R ) e i q + q · R = √ Ms Mt m

  1  (r )    = Qr (q, t) Qr q , t ε(r) s, i (q) εt, j q · 2 s, i   t, j

q, q r, r

· Ki,s,tj (q) =

1  i q + q  · R n e = N n

 s, t ) 1  Qr (q, t) Qr (−q, t) ε(r) Kij (q) ε(r s, i (q) t, j (−q) = 2 s, i q  r, r

=

 1  2 (r ) ωr (−q) Qr (q, t) Qr (−q, t) ε(r) s, i (q) εs, i (−q) = 2 q  s, i r, r

=

t, j

1 2 ω (q) Qr (q, t) Q∗r (q, t) . 2 q, r r

(2.149)

2.2

Gitterschwingungen

71

Insgesamt gilt damit für die Lagrange-Funktion: L=

 1  ˙ ∗ ˙ r (q, t) − ω2r (q) Q∗r (q, t) Qr (q, t) . Qr (q, t) Q 2 r, q

(2.150)

Die zu den Normalkoordinaten kanonisch konjugierten Impulse,

∂L Πr (q, t) = ˙ = Q˙ ∗r (q, t) , ∂Qr brauchen wir für die klassische Hamilton-Funktion:  1  ∗ H= Πr (q, t) Πr (q, t) + ω2r (q) Q∗r (q, t) Qr (q, t) . 2 r, q

(2.151)

(2.152)

Dies ist ein bemerkenswertes Ergebnis, da wir durch Transformation auf Normalkoordinaten erreicht haben, dass die Hamilton-Funktion in eine Summe von 3pN ungekoppelten, linearen harmonischen Oszillatoren zerfällt. Der nächste Schritt ist die Quantisierung der klassischen Variablen. Die Verschiebungen us,mi und die Impulse Ms u˙ s,mi werden nun Operatoren mit den fundamentalen Vertauschungsrelationen:     us,mi , ut,n j = Ms u˙ s,mi , Mt u˙ t,n j = 0 , (2.153) −

−

  h¯ Ms u˙ s,mi , ut,n j = δm, n δs, t δi, j . − i

(2.154)

Durch Einsetzen erfolgen daraus die Vertauschungsrelationen für die Normalkoordinaten und deren kanonisch konjugierten Impulsen. Mit (2.143) und (2.153) ergibt sich unmittelbar:     Qr (q), Qr q − = Πr (q), Πr q − = 0 . Für die dritte Relation benutzen wir (2.154):

 

Πr (q), Qr q

−

=

1 % iq · R m Ms Mt ε(r) · s, i (q) e N m n s, i

t, j

 )∗    −iq · ε(r t, j q e

=

· Rn

 1  Ms u˙ s,mi , ut,mj = Ms

  h¯ 1  i (q − q ) · R m (r)  e εs, i (q) εs,(ri)∗ q = iN m s, i

=

h¯  (r)  εs, i (q) εs,(ri)∗ (q) δq,q . i s, i

(2.155)

72

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Mit (2.141) folgt schließlich:

 

Πr (q), Qr q

−

=

h¯ δq, q δr, r . i

(2.156)

Wir führen als Nächstes neue Operatoren bqr , b+qr ein: ) Qr (q) =

 h¯  bqr + b+−qr , 2ωr (q)

*

Πr (q) = i

(2.157)

  1 h¯ωr (q) b+qr − b−qr . 2

(2.158)

Man liest direkt ab: Q+r (−q) = Qr (q) ;

Πr+ (−q) = Πr (q) .

(2.159)

Die Umkehrungen von (2.157) und (2.158) lauten:   −1 | 2  bqr = 2h¯ωr (q) ωr (q)Qr (q) + i Πr+ (q) ,

(2.160)

  −1 | 2  b+qr = 2h¯ωr (q) ωr (q)Q+r (q) − i Πr (q) .

(2.161)

Wir berechnen die Vertauschungsrelationen:

bqr , bq r − =  −1 | 2  = 4h¯2 ωr (q)ωr q ·          = + iωr q Πr+ (q), Qr q · iωr (q) Qr (q), Πr+ q −

−

  −1 | 2 = 4h¯2 ωr (q)ωr q ·  



    h¯ h¯ δrr δ−q,q = · iωr (q) − δrr δq,−q + iωr q i i =0,   bqr , b+q r = −

  −1 | 2 = 4h¯2 ωr (q)ωr q ·          +    + = · −iωr (q) Qr (q), Πr q + iωr q Πr (q), Qr q −

−

2.2

Gitterschwingungen

73

 −1 | 2  = 4h¯2 ωr (q) ωr q ·

 

    h¯ h¯      = δr, r δ−q, −q · −iωr (q) − δr, r δqq + iωr q i i = δrr δqq . bqr , b+qr sind also Bose-Operatoren:  

bqr , bq r − = b+qr , bq r = 0 ,

(2.162)

  bqr , b+q r = δqq δrr .

(2.163)

−

−

Wir sind nun in der Lage, die Hamilton-Funktion zu quantisieren:   1 + 2 + H= Π (q) Πr (q) + ωr (q) Qr (q) Qr (q) = 2 r q, r =

      1 = h¯ωr (q) bqr − b+−qr b+qr − b−qr + b+qr + b−qr bqr + b+−qr 4 qr

=

  1 h¯ωr (q) bqr b+qr + b+−qr b−qr + b+qr bqr + b−qr b+−qr = 4 qr

=

  1 h¯ωr (q) 2b+qr bqr +2b+−qr b−qr +2 . 4 qr

Wir können noch (2.139) ausnutzen und erhalten dann in der verwendeten harmonischen Näherung als Hamilton-Operator für die quantisierten Schwingungen des Ionen-Gitters:    1 . (2.164) h¯ωr (q) b+qr bqr + H= 2 qr Es handelt sich um ein System von 3pN ungekoppelten harmonischen Oszillatoren. Wir haben in (2.157), (2.158) die Zeitabhängigkeit der Normalkoordinaten Qr und deren kanonischen Impulse unterdrückt. Wie in (2.142) vereinbart, gilt für diese einfach: Qr (qt) = Qr (q) e −iωr (q)t .

(2.165)

bqr (t) = bqr e −iωr (q)t .

(2.166)

Dies impliziert nach (2.157):

74

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Wir zeigen, dass dieses Resultat mit



  i i bqr (t) = exp Ht bqr exp − Ht h¯ h¯ übereinstimmt. Dazu beweisen wir die Behauptung  n bqr H n = h¯ωr (q) + H bqr ,

(2.167)

(2.168)

und zwar durch vollständige Induktion: n = 1:    

bqr , H − = h¯ωr q bqr , b+q r bq r = h¯ωr (q) bqr −

q , r

  ⇒ bqr H = h¯ωr (q) + H bqr . n⇒n+1:    n bqr H n + 1 = bqr H n H = h¯ωr (q) + H bqr H =  n + 1 = h¯ωr (q) + H bqr . Dies beweist die Behauptung (2.168). Damit folgt dann weiter:

  ∞ (−i | h¯)n n −i bqr exp Ht = t bqr H n = h¯ n! n=0

$ #  i = exp − h¯ωr (q) + H t bqr . h¯

Nach Einsetzen in (2.167) folgt hieraus (2.166). Die beiden Beziehungen sind also äquivalent. Das wesentliche Resultat dieses Abschnitts ist (2.164). Es macht deutlich, dass die Energie der Gitterschwingungen quantisiert ist. Das Elementarquant h¯ωr (q) wird als die Energie des Quasiteilchens Phonon gedeutet. Im einzelnen trifft man die folgenden Zuordnungen: b+qr :

Erzeugungsoperator eines (q, r)-Phonons,

bqr :

Vernichtungsoperator eines (q, r)-Phonons,

h¯ωr (q) :

Energie des (q, r)-Phonons.

Phononen sind Bosonen! Jeder Schwingungszustand kann deshalb mit beliebig vielen Phononen besetzt sein. Die in diesem Abschnitt zugrundegelegte harmonische Näherung benutzt letztlich als Modell des Ionengitters ein wechselwirkungsfreies Phononengas. Die in der

2.2

Gitterschwingungen

75

Entwicklung (2.124) vernachlässigten Terme von dritter oder noch höherer Ordnung in den Auslenkungen us,mi für das Potential V (Anharmonizität des Gitters) lassen sich als Kopplung, d. h. Wechselwirkung zwischen den Phononen, deuten. Sie sind wichtig zur Beschreibung von Effekten wie thermische Ausdehnung, Einstellung des thermischen Gleichgewichts, Wärmeleitung, Hochtemperaturverhalten von cp , cV , . . . 2.2.3 Aufgaben Aufgabe 2.2.1 Gegeben sei eine aus zwei verschiedenen Atomtypen (Massen m1 , m2 ) aufgebaute lineare Kette: n -1 f

n-2 m1

m2

2.2.1

n +1

n

r0

a z

Abb. 2.5. Modell der linearen diatomaren Kette

Die Wechselwirkung zwischen den Atomen kann in guter Näherung als auf nächste Nachbarn beschränkt angesehen werden. Im Rahmen der harmonischen Näherung (lineares Kraftgesetz) lässt sich die Kopplung zwischen benachbarten Atomen durch eine Federkonstante f ausdrücken. 1. Beschreiben Sie die Kette als lineares Bravais-Gitter mit zweiatomiger Basis. Bestimmen Sie die primitiven Translationen und die Vektoren des (reziproken) Gitters sowie die erste Brillouin-Zone. 2. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für longitudinale Gitterschwingungen auf. 3. Begründen und benutzen Sie den Lösungsansatz   cα exp i qRn − ωt unα = √ mα 4.

für die Auslenkung des (n, α)-Atoms aus seiner Ruhelage. Skizzieren Sie für eine qualitative Diskussion die Dispersionszweige. Untersuchen Sie insbesondere die Spezialfälle q = 0, +π | a, −π | a, 0 < q << π | a.

Aufgabe 2.2.2 Berechnen Sie die Zustandsdichte D(ω) der linearen Kette:

D(ω)dω = Anzahl der Eigenfrequenzen im Intervall (ω; ω + dω) . Benutzen Sie dazu passende periodische Randbedingungen. Wie hängt D(ω) von der Gruppengeschwindigkeit vg = dω | dqz ab? Skizzieren Sie qualitativ D(ω)!

2.2.2

76

2.2.3

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Aufgabe 2.2.3 Berechnen Sie die Zustandsdichte D(ω) für die Gitterschwingungen eines drei-dimensionalen Kristalls. Dieser besitze die nicht notwendig orthogonalen, primitiven Translationen ai , i = 1, 2, 3. 1. Führen Sie periodische Randbedingungen auf einem Parallelepiped mit den Kantenlängen Ni ai , i = 1, 2, 3 ein. Drücken Sie die erlaubten Wellenzahlen durch die primitiven Translationen des reziproken Gitters aus. 2. Berechnen Sie das Rastervolumen im q-Raum, in dem sich genau ein Wellenvektor befindet. 3. Drücken Sie die Zustandsdichte für einen Dispersionszweig ωr (q) durch ein Volumenintegral im q-Raum aus. 4. Verwenden Sie für eine alternative Darstellung der Zustandsdichte die Gruppengeschwindigkeit:   vg(r) = Δq ωr (q) .

5.

2.2.4

Wie lautet die Gesamtzustandsdichte?

Aufgabe 2.2.4 Das so genannte Debye-Modell für die Gitterschwingungen eines reinen Bravais-Gitters (p = 1, einatomige Basis) benutzt die beiden Annahmen: 1. Lineare, isotrope Approximation der akustischen Zweige:

ωr = v¯r q . 2.

Ersetzung der Brillouin-Zone durch eine Kugel gleichen Volumens.

Wegen 2. muss es eine Grenzfrequenz ωdr (Debye-Frequenz) geben. Berechnen Sie diese! Leiten Sie die diesem Modell entsprechende Zustandsdichte DD (ω) ab.

2.2.5

Aufgabe 2.2.5 1. Berechnen Sie in der harmonischen Näherung die innere Energie U(T) = H ( · · ·: thermischer Mittelwert) der Gitterschwingungen eines dreidimensionalen Kristalls. Diskutieren Sie die Grenzfälle hoher und tiefer   Temperaturen (Hinweis: b+qr bqr ⇒ Bose-Einstein-Verteilungsfunktion). 2. Benutzen Sie das Debye-Modell (Aufg. 2.2.4) zur Berechnung der spezifischen Wärme bei tiefen Temperaturen.

2.3

Elektron-Phonon-Wechselwirkung

77

2.3

2.3 Elektron-Phonon-Wechselwirkung Nachdem wir in Abschn. 2.1 die Kristallelektronen und in Abschn. 2.2 die Gitterionen im Wesentlichen ungekoppelt, oder wenn doch, dann nur in sehr einfacher Weise über He+ (2.50) gekoppelt, diskutiert haben, soll nun die Wechselwirkung zwischen diesen beiden Teilsystemen genauer analysiert werden. In unserem allgemeinen Festkörpermodell (2.1) geht es jetzt also um den Teiloperator Hei . 2.3.1 Hamilton-Operator Ausgangspunkt ist der Operator (2.5):

Hei =

Ne  Ni  j=1

α=1

  Vei r j − xα = Hei(0) + Hep .

(2.169)

Die Wechselwirkung Hei(0) der Elektronen mit dem starren Ionengitter haben wir bereits in unserem Modell H0 der Kristallelektronen (s. (2.7)) verarbeitet. Hep ist die eigentliche Elektron-Phonon-Wechselwirkung. Nach den Überlegungen des letzten Abschnitts wissen wir, dass jede Gitterschwingung durch die Zahl der Phononen in den durch die Wellenzahl q und den Zweig r des Dispersionsspektrums ωr (q) definierten Zuständen charakterisiert ist. ElektronPhonon-Wechselwirkung bedeutet deshalb Absorption und Emission von (q, r)-Phononen. Die denkbaren Elementarprozesse lassen sich in einfacher Weise graphisch darstellen (s. Abb. 2.6). Alle Wechselwirkungen lassen sich aus diesen vier Elementarprozessen zusammensetzen. Sie sollten sich deshalb in einem entsprechenden Modell-HamiltonOperator niederschlagen. Wir setzen voraus, dass bei der Wechselwirkung das Ion als Ganzes starr verschiebt und nicht deformiert wird, was natürlich keineswegs selbstverständlich ist. Deformationen des Ions stellen allerdings höhere Effekte dar. Entsprechend der harmonischen Näherung für die Gitterschwingungen entwickeln wir die Wechselwirkungsenergie Vei bis zum ersten nicht verschwindenden Term. Das ist in diesem Fall bereits der lineare:     Vei r j − xsm ≡ Vei r j − Rsm − usm = (2.170)     = Vei r j − Rsm − usm · ∇Vei + O u2 . Der erste Summand führt zu Hei(0) und wurde bereits bei der Behandlung der Kristallelektronen (s. Abschn. 2.1) z. B. in den Bloch-Energien ε(k) berücksichtigt. Der zweite Term stellt die eigentliche Elektron-Phonon-Wechselwirkung dar. Wir setzen einfach

78

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

k-q k (a) q

(b)

k+q

k q

k-q (c)

q k k

(d)

q

k+q

Abb. 2.6. Elementarprozesse der

Elektron-Phonon-Wechselwirkung, durchgezogene Pfeile für Elektronen, geschlängelte Pfeile für Phononen: (a) Phononenemission des Elektrons; (b) Phononenabsorption des Elektrons; (c) Phononenemission durch Elektron-Loch-Rekombination; (d) Erzeugung eines Elektron-Loch-Paares durch Phononenvernichtung

geladene Ionen voraus (Ne = Ni = N) und benutzen für die Auslenkungen usm die Darstellung (2.142): Hep = −

3p 1. BZ N     j = 1 m, s r = 1 q

1 Qr (q) e iq · Rm · √ NMs

(2.171)

  m . · ε(r) s (q) · ∇Vei r j − Rs Qr (q) ist uns aus (2.157) in zweiter Quantisierung bekannt. Es bleibt noch der elektronische Anteil zu transformieren. In ∇Vei erscheint die Elektronenvariable r j . Wir wählen die Fourier-Darstellung für Vei :      (s) m Vei r j − Rsm = Vei (p) e ip · rj − R . (2.172) p

Man beachte, dass in dieser Darstellung p als Wellenzahl eine Variable und kein Operator ist. Operatoreigenschaften besitzt nur r j .      m ∇Vei r j − Rsm = i Vei(s) (p) p e ip · rj − R . (2.173) p

Für die zweite Quantisierung dieses Ein-Elektronenoperators wählen wir die BlochDarstellung: N  j=1

   ∇Vei r j − Rsm = kσ | ∇Vei | k σ   a+kσ ak σ . k, k σ, σ

(2.174)

2.3

Elektron-Phonon-Wechselwirkung

79

Wir berechnen das Matrixelement: kσ | e ip · rˆ | k σ   = δσσ = δσσ = δσσ



d3 r k | e ip · rˆ | r r | k  =



d3 r e ip · r k | r r | k  =



d3 r e ip · r ψ∗k (r)ψk (r) .

Für die Bloch-Funktionen setzen wir (2.16) ein:    kσ | e ip · rˆ | k σ   = δσσ d3 r e i p − k + k · r u∗k (r) · uk (r) .

(2.175)

Die gitterperiodische Amplitudenfunktion uk (r) sollte nicht mit den Auslenkungen usm verwechselt werden. Mit (2.175) in (2.174) haben wir nun das folgende Zwischenergebnis: N 

   m ∇Vei r j − Rsm = i Vei(s) (p) p e −ip · R a+kσ ak σ · k, k p, σ

j=1

·

(2.176) 

d3 r e i (p − k + k ) · r u∗k (r)uk (r) .

Das Produkt der Auslenkungen ist wegen (2.17) gitterperiodisch. Das Integral kann deshalb nur für k = k + p von Null verschieden sein. Einsetzen in (2.171) ergibt dann, wenn man noch 1  i (q − p) · R m  e = δp, q + K N m

(2.177)

K

benutzt, wobei K ein Vektor des reziproken Gitters ist: Hep = −

  s, r q, k, K, σ

)

i

N Qr (q)Vei(s) (q + K) · Ms

  +  · ε(r) s (q) · (q + K) ak + q + K σ akσ · ·

d3 r u∗k + q + K (r) uk (r) .

Wir verwenden nun noch (2.157) für die Normalkoordinaten Qr (q, t) und definieren zur Abkürzung das

80

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Matrixelement der Elektron-Phonon-Kopplung )   h¯N (s, r) Tk, q, K = −i (q) · (q + K) · Vei(s) (q + K) ε(r) s 2Ms ωr (q) · d3 r u∗k + q + K (r) uk (r) .

(2.178)

Dann lautet der Hamilton-Operator der Elektron-Phonon-Wechselwirkung:     (s, r)  Hep = Tk, q, K bqr + b+−qr a+k + q + K σ akσ . (2.179) kσ q, K s, r

Bei der Emission (Erzeugung) eines (−q, r)-Phonons bzw. bei der Absorption (Vernichtung) eines (q, r)-Phonons ändert sich die Wellenzahl des Elektrons von k auf k + q + K. Man definiert deshalb h¯(q + K) :

Quasi-(Kristall-)Impuls des Phonons,

wobei q aus der ersten Brillouin-Zone stammt, während K ein beliebiger reziproker Gittervektor sein kann. In (2.179) ist K durch die Forderung k+q+K ∈

1. Brillouin-Zone

festgelegt. Man unterscheidet: K=0 :

Normalprozesse,

K =/ 0 :

Umklappprozesse.

Das komplizierte Matrixelement (2.178) vereinfacht sich stark, wenn folgende Annahmen erlaubt sind: 1. Reines Bravais-Gitter: p = 1 ⇒ s fällt weg, 2. Normalprozesse: K = 0 ⇒ K fällt weg, 3. Phononen eindeutig longitudinal oder transversal polarisiert:

ε (q) · q

=/ 0 :

longitudinal,

=0:

transversal.

(r)

Unter diesen Annahmen wechselwirken nur die longitudinalen, akustischen Phononen mit den Elektronen. Mit dem Matrixelement ) h¯N (2.180) Vei (q) [ε(q) · q] d3 r u∗k+q (r)uk (r) Tk,q = −i 2M ω(q)

2.3

Elektron-Phonon-Wechselwirkung

vereinfacht sich die Elektron-Phonon-Wechselwirkung zu:    Tkq bq + b+−q a+k + qσ akσ . Hep =

81

(2.181)

kqσ

2.3.2 Effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung Die zu Beginn des Abschn. 2.3.1 skizzierten Elementarprozesse lassen sich zu weiteren, komplizierteren Kopplungstypen kombinieren. Insbesondere lassen sich phononeninduzierte Elektron-Elektron-Wechselwirkungen realisieren. Das Bild symbolisiert einen Prozess, bei dem ein (k, σ )-Elektron ein q-Phonon emittiert, das von einem (k , σ  )-Elektron dann absorbiert wird. Hierbei ist der Spin des Elektrons natürlich unbeteiligt. Das erste Elektron deformiert das Gitter in seiner unmittelbaren Umgebung, d. h. verschiebt als negativ geladenes Teilchen die positiv geladenen Ionen ein wenig. Deformieren heißt abstrakt immer Absorption bzw. Emission von Phononen. Ein zweites Elektron sieht diese Deformation des Gitters und reagiert darauf. Es resultiert also eine effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung, die natürlich nichts mit der üblichen Coulomb-Wechselwirkung zu tun hat und deshalb sowohl anziehend wie abstoßend sein kann. Im Falle der Anziehung kann sie zu einer Elektronenpaarbildung führen (Cooper-Paare) mit einer Absenkung der Grundzustandsenergie. Dieser Prozess stellt die Grundlage der herkömmlichen Supraleitung dar. Wir verwenden die Elektron-Phonon-Wechselwirkung in der Form (2.181) und lassen Elektron-Elektron- sowie Phonon-Phonon-Wechselwirkungen außer acht. Das Matrixelement Tkq (2.180) berechnen wir der Einfachheit halber mit ebenen Wellen, √   wodurch auch noch die k-Abhängigkeit eliminiert wird uk (r) ⇒ 1 | V : ) h¯N Vei (q) [ε(q) · q] . (2.182) Tq = −i 2M ω(q)

An (2.172) erkennt man, dass Vei∗ (q) = Vei (−q)

k

k-q q

k'

k'+q

Abb. 2.7. Elementarprozess der phononenvermittelten,

effektiven Elektron-Elektron-Wechselwirkung

82

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

sein muss. Wegen (2.147) ist auch [ε(q) · q]∗ = ε(−q) · q anzunehmen, sodass Tq∗ = T−q

(2.183)

folgt. Wir untersuchen nun, ob der folgende Modell-Hamilton-Operator, wie vermutet, Terme einer effektiven Elektron-Elektron-Wechselwirkung enthält:      H= ε(k) a+kσ akσ + h¯ω(q) b+q bq + Tq bq + b+−q a+k + qσ akσ . (2.184) kσ

kqσ

q

Wir führen dazu eine passende kanonische Transformation durch und versuchen, lineare Terme in Hep zu eliminieren.



 1 1 + = e −S H e S = 1 − S + S2 + · · · H 1 + S + S2 + · · · = H 2 2 = H + [H, S]− +

1 [[H, S]− , S]− + · · · , 2

(2.185)



1 + = e −S H e S = H0 + Hep + [H0 , S]− + Hep , S + [[H0 , S]− , S] + · · · H − − 2 Wir fassen Hep als kleine Störung auf. S sollte von derselben Größenordnung sein. Wir vernachlässigen in der Entwicklung (2.185) deshalb alle Terme, die in S oder Hep von höherer als quadratischer Ordnung sind. H0 fasst die beiden ersten Summanden in (2.184) zusammen. Wir machen für S den Ansatz    Tq xbq + yb+−q a+k + qσ akσ (2.186) S= kqσ

und legen die Parameter x und y so fest, dass !

Hep + [H0 , S]− = 0

(2.187)

+: wird. Gelingt uns dies, so lautet der effektive Operator H + ≈ H0 + H

1 Hep , S − . 2

Wir berechnen zunächst den Kommutator:

[H0 , S]− = [He , S]− + Hp , S − .

(2.188)

2.3

Elektron-Phonon-Wechselwirkung

83

Dabei ist

[He , S]− =      = ε(p)Tq a+pσ apσ , xbq + yb+−q a+k + qσ akσ = −

p, σ  kqσ

=





ε(p)Tq xbq + yb+−q

p, k, q σ, σ

= =



 kqσ



  a+pσ apσ , a+k + qσ akσ =



−





ε(p)Tq xbq + yb+−q δσσ δp, k + q a+pσ akσ − δkp a+k + qσ apσ =     Tq ε(k + q) − ε(k) a+k + qσ akσ xbq + yb+−q .

Wir haben mehrmals ausgenutzt, dass die Konstruktionsoperatoren von Elektronen und Phononen natürlich vertauschbar sind.    

Hp , S − = h¯ω(p)Tq b+p bp , xbq + yb+−q a+k + qσ akσ = kqσ

p

=

 p

=

 kqσ

kqσ

−

  h¯ω(p)Tq −xδqp bp + yδ−qp b+p a+k + qσ akσ =

  Tq h¯ω(q) −xbq + yb+−q a+k + qσ akσ .

Insgesamt ergibt sich damit:     Tq x ε(k + q) − ε(k) − h¯ω(q) bq + [H0 , S]− = kqσ

  + y ε(k + q) − ε(k) + h¯ω(q) b+−q a+k + qσ akσ . 

(2.189)

Gleichung (2.187) lässt sich also durch die folgenden Parameter x, y realisieren: −1  , (2.190) x = ε(k) − ε(k + q) + h¯ω(q) −1  . (2.191) y = ε(k) − ε(k + q) − h¯ω(q) Im letzten Schritt setzen wir das so festgelegte S in (2.188) ein. Dabei haben wir im Wesentlichen den folgenden Kommutator zu berechnen:      bq + b+−q a+k + q σ ak σ , xbq + yb+−q a+k + qσ akσ = −

    = bq + b+−q xbq + yb+−q a+k + q σ ak σ , a+k + qσ akσ + −     + + + + ak + q σ ak σ ak + qσ akσ . + bq + b−q , xbq + yb−q −

84

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Nur der letzte Summand führt auf eine effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung. Wir konzentrieren uns also ausschließlich auf diesen:         bq + b+−q , xbq + yb+−q = x b+−q , bq + y bq , b+−q = − − − (2.192) = −xδq , −q + yδq , −q . +: Dies ergibt den folgenden Beitrag zu H +eff = H

1  Tq Tq (y − x) δq , −q a+k + q σ ak σ a+k + qσ akσ = 2 kqσ k q σ 

=

  1 T−q Tq (y − x) a+k + qσ a+k − qσ ak σ akσ + δk , k + q nˆ kσ . 2 kqσ k σ 

Der letzte Term ist in diesem Zusammenhang relativ uninteressant. Wir erkennen aber, dass die Elektron-Phonon-Wechselwirkung einen Term der folgenden Form hervorruft:    h¯ω(q) + + Tq  2  +ee = (2.193) H 2  2 ak + qσ ap − qσ apσ akσ . ε (k + q) − ε (k) − h ¯ ω (q)  kpqσ ,σ Diese Wechselwirkung ist abstoßend, falls anziehend, falls

















ε(k + q) − ε(k) 2 > h¯ω(q) 2 , ε(k + q) − ε(k) 2 < h¯ω(q) 2 .

Letztere Möglichkeit erkärt die Stabilität der Cooper-Paare, ist damit Grundlage für das Verständnis der Supraleitung. 2.3.3 Aufgaben 2.3.1

Aufgabe 2.3.1 Die Ausgangsidee der BCS-Theorie der Supraleitung ist die durch virtuellen Phononenaustausch vermittelte Formation von Leitungselektronen zu so genannten Cooper-Paaren, d. h. je zwei Elektronen mit entgegengesetzten Wellenvektoren und entgegengesetzten Spins,

(k ↑, −k ↓) , bilden einen gebundenen Zustand. Definieren Sie geeignete Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Cooper-Paare! Berechnen Sie die zugehörigen fundamentalen Vertauschungsrelationen! Sind Cooper-Paare Bosonen?

2.3

Elektron-Phonon-Wechselwirkung

85

Aufgabe 2.3.2 Die normale Elektron-Phonon-Wechselwirkung sorgt für eine durch Phononenaustausch induzierte effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung, die unter bestimmten Umständen auch anziehend sein kann (Abschn. 2.3.3). Betrachten Sie das folgende Modell: a) N wechselwirkungsfreie Elektronen in Zuständen k ≤ kF , alle Zustände mit k > kF unbesetzt ⇐⇒ gefüllte Fermi-Kugel |FK . b) Zwei zusätzliche Elektronen mit entgegengesetzten Wellenzahlen und entgegengesetzten Spins (Cooper-Paar, s. Aufg. 2.3.1) wechselwirken gemäß ⎧ ⎨−V , falls ε(k + q) − ε(k) ≤ h¯ω , D Vk (q) = ⎩ 0 , sonst

(ωD : Debye-Frequenz). 1. 2.

Formulieren Sie den Modell-Hamilton-Operator. Begründen Sie den Ansatz  |ψ = ασ (k) a+kσ a+−k − σ |FK k, σ

für den Cooper-Paar-Zustand und zeigen Sie, dass

ασ (k) = −α−σ (−k) 3.

sein muss. Verifizieren Sie, dass aus der Normierung von | ψ  und |FK k > kF k, σ

folgen muss.

  ασ (k) 2 = 1

2.3.2

86

2.3.3

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Aufgabe 2.3.3 Betrachten Sie weiterhin das in Aufg. 2.3.2 definierte CooperModell mit dem Ansatz | ψ  für den Cooper-Paar-Zustand: 1. Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert der kinetischen Energie im Zustand | ψ  gilt:

ψ | T | ψ = 2 2.

k > kF k, σ





ε(k) ασ (k) 2 + 2

k < kF

ε(k) .

k

Zeigen Sie, dass für den Erwartungswert der potentiellen Energie im Zustand | ψ  gilt: k, |k + q| > kF  ψ | V | ψ = 2 Vk (q) α∗σ (k + q) ασ (k) . k, q, σ

2.3.4

Aufgabe 2.3.4 Betrachten Sie weiterhin das in Aufg. 2.3.2 definierte CooperModell mit dem Ansatz | ψ  für den Cooper-Paar-Zustand: 1. Bestimmen Sie optimale Entwicklungskoeffizienten ασ (k) durch Minimierung der in Aufg. 2.3.3 berechneten Energie E = ψ | H | ψ  . Beachten Sie dabei die aus der Normierung von | ψ  folgende Nebenbedingung aus Aufg. 2.3.2, 3. 2. Zeigen Sie, dass die Energie des Cooper-Paares kleiner ist als die Energie zweier nicht miteinander wechselwirkender Elektronen an der FermiKante. Welche Schlussfolgerung ergibt sich daraus? Hinweis: k-Summationen lassen sich bisweilen günstig mithilfe der freien Bloch-Zustandsdichte  1   ρ0 (ε) = δ ε − ε(k) N k

in einfachere Energieintegrationen verwandeln!

2.3

Elektron-Phonon-Wechselwirkung

87

Aufgabe 2.3.5 Zur BCS-Theorie der Supraleitung (Phys. Rev. 108, 1175 (1957)): Das BCS-Modell unterdrückt von vorneherein alle die Wechselwirkungen, die für die normal- und die supraleitende Phase denselben Beitrag liefern. Es beschränkt sich deshalb auf den anziehenden Teil der phononeninduzierten Elektron-Elektron-Wechselwirkung. Als Testzustände für ein Variationsverfahren zur Berechnung der BCS-Grundzustandsenergie (⇐⇒ Unterschied der Grundzustandsenergien in normal- und supraleitender Phase) werden Produktzustände von Cooper-Paar-Zuständen gewählt, da letztere nach Aufg. 2.3.4 zu einer Energieabsenkung führen: $ #,   uk + vk b+k |0 , |0 : Teilchenvakuum, |BCS = k

b+k = a+k↑ a+−k↓ : Cooper-Paar-Erzeugungsoperator (s. Aufg. 2.3.1). Die Koeffizienten uk und vk seien reell. 1. Zeigen Sie, dass aus der Normierung des Zustands |BCS u2k + vk2 = 1 2.

folgt. Berechnen Sie die folgenden Erwartungswerte: BCS | b+k bk | BCS ;   BCS | b+k bk 1 − b+p bp | BCS ;

BCS | b+k bk b+p bp | BCS ; BCS | b+p bk | BCS .

2.3.5

88

2.3.6

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Aufgabe 2.3.6 Zur BCS-Theorie der Supraleitung (Phys. Rev. 108, 1175 (1957)): Das BCS-Modell der Supraleitung beschränkt, wie in Aufg. 2.3.5 bereits erklärt, die Elektron-Elektron-Wechselwirkung auf den phononen-induzierten anziehenden Beitrag (s. Aufg. 2.3.2). Mit dem Variationsansatz |BCS aus Aufg. 2.3.5 wird eine obere Schranke der Grundzustandsenergie berechnet. 1. Begründen Sie den Modell-Hamilton-Operator:

HBCS =

 k, σ

2.

k =/ p

t(k) a+kσ akσ

−V



b+p bk ;

t(k) = ε(k) − μ .

k, p

Berechnen Sie: E = BCS | HBCS | BCS .

3.

Zeigen Sie, dass für den Gap-Parameter

Δk = V

=/ k 

up vp

p

  aus der Minimum-Bedingung für E = E {vk } folgt:

Δk = 4.

2.3.7

=/ k −1 | 2 V 2 Δp t (p) + Δ2p . 2 p

  Drücken Sie vk2 , u2k , E0 = E({vk }) min durch Δk und t(k) aus.

Aufgabe 2.3.7 Zur Ableitung der effektiven Elektron-Elektron-Wechselwir+ aus der eigentlichen Elektron-Phonon-Wechselwirkung H wird eine kung H kanonische Transformation (2.185),

+ = e −S H e S , H durchgeführt. Warum muss S+ = −S gefordert werden? Wird diese Forderung von der Lösung (2.186), (2.190), (2.191) erfüllt?

2.4

2.4 Spinwellen Besonders intensive Anwendung finden die Konzepte der Viel-Teilchen-Theorie im Bereich des Magnetismus. Für dieses an sich recht alte Phänomen existiert bis heute keine abgeschlossene Theorie. Man ist auf Modell-Vorstellungen angewiesen, die auf spezielle Erscheinungsformen des Magnetismus zugeschnitten sind. Die wichtigsten sollen in diesem Abschnitt entwickelt werden.

2.4

Spinwellen

89

2.4.1 Klassifikation der magnetischen Festkörper Mithilfe der magnetischen Suszeptibilität 

∂M χ= (M : Magnetisierung) ∂H T

(2.194)

lassen sich die Erscheinungsformen des Magnetismus grob in drei Klassen einteilen: Diamagnetismus, Paramagnetismus, „kollektiver“ Magnetismus. Beim 1) Diamagnetismus handelt es sich im Grunde genommen um einen reinen Induktionseffekt. Das äußere Magnetfeld H induziert magnetische Dipole, die nach der Lenz’schen Regel dem erregenden Feld entgegengerichtet sind. Typisch für den Diamagneten ist deshalb eine negative Suszeptibilität:

χdia < 0 ; χdia (T, H) ≈ const .

(2.195)

Diamagnetismus ist natürlich eine Eigenschaft aller Stoffe. Man spricht von einem Diamagneten deshalb auch nur dann, wenn nicht zusätzlich noch Paramagnetismus oder kollektiver Magnetismus vorliegen, die den relativ schwachen Diamagnetismus überkompensieren. Entscheidende Voraussetzung für 2) Paramagnetismus ist die Existenz von permanenten magnetischen Momenten, die von dem äußeren Feld H ausgerichtet werden, wozu die thermische Bewegung der Elementarmagnete in Konkurrenz steht. Typisch ist deshalb: i. a.

χpara > 0 ; χpara (T, H) = χpara (T) .

(2.196)

Es kann sich bei den permanenten Momenten um 2a) lokalisierte Momente handeln, die aus einer nur teilweise gefüllten Elektronenschale resultieren. Ist diese durch weiter außen liegende, vollständig gefüllte Schalen hinreichend gegenüber Umwelteinflüssen abgeschirmt, so werden sich die Elektronen dieser Schale nicht am elektrischen Strom beteiligen, sondern sich stets im Bereich ihres Mutterions aufhalten. Prominente Beispiele sind die 4f -Elektronen der Seltenen Erden. – Eine nicht vollständig gefüllte Elektronenschale besitzt in der Regel ein resultierendes magnetisches Moment. Ohne äußeres Feld sind die Richtungen der Momente statistisch verteilt, sodass der Festkörper als Ganzes kein Moment aufweist. Im Feld ordnen

90

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

sich die Momente, wobei die Suszeptibilität bei nicht zu tiefen Temperaturen das so genannte Curie-Gesetz

χpara (T) ≈

C T

(C = const)

(2.197)

befolgt. Ein solches System nennt man einen Langevin-Paramagneten. Es kann sich bei den permanenten Momenten eines Paramagneten aber auch um 2b) itinerante Momente von quasifreien Leitungselektronen handeln, von denen jedes ein Bohr’sches Magne  ton 1μB mit sich führt. Man spricht in diesem Fall von Pauli-Paramagnetismus, dessen Suszeptibilität als Folge des Pauli-Prinzips in erster Näherung temperaturunabhängig ist.

Dia- und Paramagnetismus kann man als im Wesentlichen verstanden ansehen. Sie sind mehr oder weniger Eigenschaften des Einzelatoms, also keine typischen Viel-Teilchen-Phänomene. Uns interessiert hier deshalb ausschließlich der 3) „kollektive“ Magnetismus, der aus einer charakteristischen, nur quantenmechanisch verständlichen Austauschwechselwirkung zwischen permanenten magnetischen Dipolen resultiert. Diese permanenten Momente können wiederum   lokalisiert Gd, EuO, Rb2 MnCl4

oder aber auch itinerant (Fe, Co, Ni) sein. Die Austauschwechselwirkung führt zu einer kritischen Temperatur T ∗ , unterhalb der sich die Momente spontan, d. h. ohne äußeres Feld, ordnen. Oberhalb T ∗ benehmen sie sich wie beim normalen Paramagneten. Die Suszeptibilität ist für T < T ∗ im Allgemeinen eine komplizierte Funktion des Feldes und der Temperatur, die zudem auch noch von der Vorbehandlung der Probe abhängt:   (2.198) χKM = χKM (T, H, Vorgeschichte) T ≤ TC . Der kollektive Magnetismus lässt sich in drei große Unterklassen gliedern: 3a) Ferromagnetismus In diesem Fall heißt die kritische Temperatur

T ∗ = TC :

Curie-Temperatur.

2.4

Spinwellen

91

Bei T = 0 sind alle Momente parallel ausgerichtet (ferromagnetische Sättigung). Diese Ordnung wird mit wachsender Temperatur geringer. Es bleibt für 0 < T < TC aber noch eine Vorzugsrichtung, d. h. eine spontane Magnetisierung der Probe, die bei TC dann verschwindet. Oberhalb TC ist das System paramagnetisch mit einem charakteristischen Hochtemperaturverhalten der Suszeptibilität, das man das CurieWeiß-Gesetz nennt:   C T >> TC . (2.199) χ(T) = T − TC 3b) Ferrimagnetismus Das Gitter zerfällt in diesem Fall in zwei ferromagnetische Untergitter A und B mit unterschiedlichen spontanen Magnetisierungen:

M A =/ M B :

M A + M B = M =/ 0 für T < TC .

(2.200)

3c) Antiferromagnetismus Dies ist ein Spezialfall des Ferrimagnetismus. Unterhalb einer kritischen Temperatur, die hier

T ∗ = TN :

Néel-Temperatur

heißt, ordnen sich die beiden Untergitter ferromagnetisch mit entgegengesetzt gleichen spontanen Magnetisierungen:     (2.201) T < TN : M A  = M B  =/ 0 ; M = M A + M B ≡ 0 . Oberhalb TN ist das System normal paramagnetisch mit einem linearen Hochtemperatur-Verhalten der inversen Suszeptibilität, ähnlich wie beim Ferromagneten:

χ(T) =

C T−Θ

  T >> TN .

(2.202)

Θ nennt man die paramagnetische Curie-Temperatur. Sie ist in der Regel negativ. 2.4.2 Modellvorstellungen Wegen der noch ausstehenden abgeschlossenen Theorie des Magnetismus sind Modellvorstellungen unverzichtbar, die sich jeweils auf ganz spezielle Erscheinungsformen des Phänomens beziehen. Dabei geht es ausschließlich um den kollektiven Magnetismus, wobei der der Isolatoren und der der Metalle unterschiedlich behandelt werden müssen. 1) Isolatoren Der Magnetismus wird bewirkt von lokalisierten magnetischen Momenten, die einer unvollständig gefüllten Elektronenschale (3d-, 4d-, 4f - oder 5f -) zuzuschreiben sind.

92

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Beispiele: Ferromagnete:

CrBr3 , K2 CuF4 , EuO, EuS , CdCr2 Se4 , Rb2 CrCl4 , . . .

Antiferromagnete: MnO, EuTe, NiO, RbMnF3 , Rb2 MnCl4 , . . . Ferrimagnete:

MO · Fe2 O3

(M = zweiwertiges Metallion wie

Fe, Ni, Cd, Mg, Mn, . . . ) Diese Substanzen werden sehr realistisch beschrieben durch das so genannte Heisenberg-Modell H=−



Jij Si · Sj .

(2.203)

i, j

Mit jedem lokalisierten magnetischen Moment ist ein Drehimpuls J i verknüpft:   mi = μB Li + 2Si ≡ μB gJ · J i .

(2.204)

Li ist der Bahn-, Si der Spinanteil und gJ der Landé-Faktor. Wegen   Si = gJ − 1 J i

(2.205)

kann man die Austauschwechselwirkung zwischen den Momenten als eine solche zwischen den zugehörigen Spins formulieren. Der Index i bezieht sich auf den Gitterplatz. Die Koppelkonstanten Jij werden Austauschintegrale genannt. Der Heisenberg-Hamilton-Operator (2.203) ist als ein effektiver Operator zu verste  hen. Die Spin-Spin-Wechselwirkung Si · Sj , angewendet auf entsprechende Spinzustände, simuliert den Beitrag der Austauschmatrixelemente der Coulomb-Wechselwirkung (vgl. (2.90)), von denen man annimmt, dass sie für die spontane Magnetisierung verantwortlich sind. So gut das Heisenberg-Modell zu den magnetischen Isolatoren passt, so unbrauchbar ist es zur Beschreibung magnetischer Metalle.

Jij Si

Sj

Abb. 2.8. Modell eines Ferromagneten mit lokalisierten magnetischen Momenten. Jij sind die Austauschintegrale

2.4

Spinwellen

93

2) Metalle Es empfiehlt sich eine Unterteilung in solche magnetische Metalle, bei denen Magnetismus und elektrische Leitfähigkeit von derselben Elektronengruppe bewirkt werden, und solche, bei denen diese Eigenschaften verschiedenen Elektronengruppen zuzuschreiben sind. Im ersten Fall spricht man von 2a) Bandmagnetismus Prominente Vertreter dieser Klasse sind Fe, Co und Ni. Eine quantenmechanische Austauschwechselwirkung sorgt bei T < TC für eine spinabhängige Bandverschiebung. Da die beiden Spinbänder bis zur gemeinsamen Fermi-Kante EF mit Elektronen gefüllt sind, folgt

N↑ > N↓

  T < TC

und damit ein spontanes magnetisches Moment. Man beobachtet, dass Bandmagnetismus vor allem in schmalen Energiebändern möglich ist, und glaubt deshalb, das Phänomen durch das in Abschn. 2.1 diskutierte Hubbard-Modell (2.117) erklären zu können.

ρ­

EF

ρ¯

E Abb. 2.9. Austauschaufspaltung der Zustandsdichte

ρ­(¯) : Zustandsdichte

für ­ (¯) - Elektronen

eines Ferromagneten unterhalb der Curie-Temperatur. Die Zustände bis zur Fermi-Energie EF sind mit Elektronen besetzt

2b) „Lokalisierter“ Magnetismus Der Prototyp dieser Klasse ist das 4f -Metall Gd. Der Magnetismus wird von lokalisierten 4f -Momenten getragen, die man realistisch durch das Heisenberg-Modell (2.203) beschreibt. Der elektrische Strom wird von quasi frei beweglichen Leitungselektronen hervorgerufen, die man z. B. im Jellium-Modell (Abschn. 2.1.2) oder aber auch im Hubbard-Modell (Abschn. 2.1.3) verstehen kann. Interessante Phänomene resultieren aus einer Wechselwirkung zwischen den lokalisierten 4f -Momenten und den itineranten Leitungselektronen. Sie kann z. B. zu einer effektiven Kopplung der 4f Momente Anlass geben und damit den Magnetismus verstärken. Sie kann aber auch über Streuung der Leitungselektronen an den Momenten zum elektrischen Widerstand beitragen. Ein angemessenes Modell ist das so genannte

94

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

s-f (s-d)-Modell H = H (Hubbard, Jellium) + H (Heisenberg) − g



σ i · Si .

(2.206)

i

σ ist der Spinoperator des Leitungselektrons am Ort Ri , g eine entsprechende Koppelkonstante. 2.4.3 Magnonen Es gibt interessante Analogien zwischen den in Abschn. 2.2 behandelten Gitterschwingungen und den Elementaranregungen eines Ferromagneten. Die Oszillationen der Gitterionen um ihre Gleichgewichtspositionen lassen sich in Normalmoden mit quantisierten Amplituden zerlegen. Die Quantisierungseinheit heißt Phonon. Die den Normalmoden des Gitters entsprechenden Oszillationen der Ferromagneten werden nach Bloch

Spinwellen genannt, und ihre Quantisierungseinheit ist das Magnon. Dieses soll nun im Rahmen des Heisenberg-Modells (2.203) genauer analysiert werden. – Mit der üblichen Vereinbarung   Jij = Jij (2.207) Jij = Jji ; Jii = 0 ; J0 = i

und den bekannten Spinoperatoren   y Sj = Sjx , Sj , Sjz , Sj± = Sjx ± i Sj , y

j

(2.208) (2.209)

  1 + 1  + y Sj + Sj− ; Sj = Sj − Sj− (2.210) 2 2i lässt sich das Skalarprodukt im Heisenberg-Hamilton-Operator in Komponenten zerlegen:  1 + − Si Sj + Si− Sj+ + Siz Sjz Si · Sj = 2 (2.211)  1    ⇒ H=− Jij Si+ Sj− + Siz Sjz − gJ μB B0 Siz . h¯ i Sjx =

i, j

Gegenüber (2.203) haben wir den Hamilton-Operator um einen Zeeman-Term erweitert, um die Wechselwirkung der lokalisierten Momente mit dem äußeren Feld B0 = μ0 H zu berücksichtigen.

2.4

Spinwellen

95

Bisweilen ist es zweckmäßig, die Spinoperatoren im k-Raum zu verwenden: S α (k) =



e −i k · Ri Siα ,

(2.212)

1  i k · Ri α e S (k) , N

(2.213)

i

Siα =

k

mit (α = x, y, z, +, −). Aus den bekannten Vertauschungsrelationen im Ortsraum,   y Six , Sj = i h¯ δij Siz und zyklisch, −

(2.214)

  Siz , Sj± = ±h¯ δij Si± ,

(2.215)

  Si+ , Sj− = 2h¯ δij Siz ,

(2.216)

−

−

folgen unmittelbar die im k-Raum:   [S + (k1 ), S − (k2 )]− = 2h¯S z k1 + k2 ,

(2.217)

z  

S (k1 ), S± (k2 ) − = ±h¯S ± k1 + k2 ,

(2.218)

 + + S (k) = S − (−k) .

(2.219)

Mit den wellenzahlabhängigen Austauschintegralen, J(k) =

1  Jij e i k · (Ri − Rj ) , N

(2.220)

i, j

lässt sich dann der Hamilton-Operator (2.211) auf Wellenzahlen umschreiben: H =−

  1  J(k) S + (k)S − (−k) + S z (k)S z (−k) − N k

(2.221)

1 − gJ μB B0 S z (0) . h¯ Der Grundzustand |S des Heisenberg-Ferromagneten entspricht der totalen Ausrichtung aller Spins. Wir berechnen zunächst seinen Energieeigenwert. Die Wirkung der Spinoperatoren auf |S ist unmittelbar klar: Siz |S = h¯S |S ⇒ S z (k) |S = h¯NS |S δk, 0 ,

(2.222)

Si+ |S = 0 ⇒ S + (k) |S = 0 .

(2.223)

96

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Damit folgt: −

1  J(k)S + (k)S − (−k) |S = N k

=−

  1  J(k) S − (−k)S + (k) + 2h¯S z (0) |S = N k

= −2N h¯2 SJii |S = 0 , −

1  J(k)S z (k)S z (−k) |S = N k

1 J(0)S z (0) |S = −NJ0 h¯2 S 2 |S . N Dies ergibt die Grundzustandsenergie E0 des Heisenberg-Ferromagneten: = −h¯NS

H |S = E0 |S , E0 = −NJ0 h¯2 S 2 − NgJ μB B0 S .

(2.224)

Wir zeigen nun, dass der Zustand S − (k) |S ebenfalls ein Eigenzustand zu H ist. Dazu berechnen wir den folgenden Kommutator:

[H, S − (k)]− =−

 1  J(p) [S + (p), S − (k)]− S − (−p) + N p

 + Sz (p) [S z (−p), S − (k)]− + [S z (p), S − (k)]− S z (−p) − 1 − gJ μB B0 [S z (0), S − (k)] = h¯  1  J(p) 2h¯S z (k + p)S − (−p) − h¯S z (p)S − (k − p) − =− N p  − h¯S − (k + p)S z (−p) + gJ μB B0 S − (k) = = gJ μB B0 S − (k) −

 1  J(p) −2h¯2 S − (k) + N p

+ 2h¯S − (−p)S z (k + p) + h¯2 S − (k) − h¯S − (k − p)S z (p) −  − h¯S − (k + p)S z (−p) .

2.4

Spinwellen

97

Wegen Jii = bleibt schließlich:

[H, S − (k)]− = gJ μB B0 S − (k) −

1  J(p) = 0 N p

(2.225)

 h¯  J(p) 2S − (−p)S z (k + p) − N p

(2.226)

 − S (k − p)S (p) − S (k + p)S (−p) . −

z

−

z

Die Anwendung dieses Kommutators auf den Grundzustand |S ergibt:   [H, S − (k)]− |S = h¯ω(k) S − (k) |S ,   h¯ω(k) = gJ μB B0 + 2Sh¯2 J0 − J(k) .

(2.227) (2.228)

Dabei haben wir noch J(k) = J(−k) ausgenutzt. Unsere Behauptung, dass S − (k) |S Eigenzustand zu H ist, ist jetzt leicht zu zeigen:   H S − (k) |S = S − (k)H |S + [H, S − (k)]− |S =   = E(k) S − (k) |S ,

(2.229)

E(k) = E0 + h¯ω(k) .

(2.230)

Setzt man den Grundzustand |S als normiert voraus, so folgt:   S| S + (−k)S − (k) |S = S| 2h¯S z (0) + S − (k)S + (−k) |S = 2h¯2 NS . Wir haben damit das folgende wichtige Schlussresultat: Der normierte Ein-Magnonenzustand 1 |k = √ S − (k) |S h¯ 2SN

(2.231)

ist Eigenzustand zur Energie E(k) = E0 + h¯ω(k) . Dies entspricht der Anregungsenergie   h¯ω(k) = gJ μB B0 + 2Sh¯2 J0 − J(k) ,

(2.232)

die dem Quasiteilchen Magnon zugeschrieben wird. Der Feldterm gJ μB B0 gibt weiteren Aufschluss. Man erkennt daran, dass sich das magnetische Moment der Probe im

98

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Zustand |k gegenüber dem Grundzustand |S gerade um gJ μB geändert hat. Das Magnon hat deshalb einen Spin S = 1: Magnonen sind Bosonen! Ein weiteres interessantes Ergebnis liefert der Erwartungswert des lokalen Spinoperators Siz im Ein-Magnonenzustand |k : k | Siz | k = 1 S | S + (−k)Siz S − (k) | S = 2SN h¯2  1 = e i q · Ri S | S + (−k)S z (q)S − (k) | S = 2SN 2 h¯2 q

=

=

   1 e i q · Ri S| S + (−k) −h¯S − (k + q) + S − (k)S z (q) |S = 2 2 2SN h¯ q

=

   1 e i q · Ri −2h¯2 S | S z (q) | S + h¯NSδq, 0 2h¯ S | S z (0) | S = 2 2 2SN h¯ q

=

  1 −2h¯2 N h¯S + 2h¯2 NSN h¯S = 2SN 2 h¯2

= h¯S −

h¯ . N

Wir haben also das bemerkenswerte Ergebnis 

1 z k | Si | k = h¯ S − N

∀i, k .

(2.233)

Die rechte Seite ist unabhängig von i und k. Dies bedeutet, dass sich die Spindeviation 1h¯ des Ein-Magnonenzustands |k gleichmäßig über alle Gitterplätze Ri verteilt. Gegenüber dem total geordneten Grundzustand |S mit S | Siz | S = h¯S ∀i

(2.234)

ergibt sich pro Gitterplatz eine Abweichung des lokalen Spins um h¯ | N. Dies führt unmittelbar zum Begriff der Spinwelle, unter der man eben diese kollektive Anregung |k versteht. Jede existierende Spinwelle bedeutet also für das gesamte Gitter eine Spindeviation um genau eine Drehimpulseinheit. Die Spinwelle ist charakterisiert durch die Wellenzahl k, was man sich in einem halbklassischen Vektormodell wie folgt vorzustellen hat. Der lokale Spin Si präzediert um die z-Achse mit einem Öffnungswinkel, der gerade so ist, dass die Projektion des Spins der Länge h¯S auf die z-Achse h¯(S − 1 | N) beträgt. Von Gitterplatz zu Gitterplatz haben die präzedierenden Spins eine durch k = 2π | λ festgelegte, konstante Phasenverschiebung. Sie definieren damit offensichtlich eine Welle.

2.4

Spinwellen

99

2.4.4 Spinwellennäherung Das Heisenberg-Modell (2.211) ist für den allgemeinen Fall nicht exakt lösbar. Um zu einer approximativen Lösung zu gelangen, erweist es sich manchmal als zweckmäßig, die etwas unhandlichen Spinoperatoren auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der zweiten Quantisierung zu transformieren:

Holstein-Primakoff-Transformation: √ Si+ = h¯ 2S ϕ(ni ) ai , √ Si− = h¯ 2S a+i ϕ(ni ) ,   Siz = h¯ S − ni . Dabei bedeuten ni = a+i ai ;

 

*

ϕ ni = 1 −

(2.235) (2.236) (2.237)

ni . 2S

(2.238)

Durch Einsetzen überzeugt man sich, dass die Vertauschungsrelationen der Spinoperatoren (2.214) bis (2.216) genau dann erfüllt sind, wenn die Konstruktionsoperatoren a+i , ai Bose-Operatoren sind:  

ai , aj − = a+i , a+j =0, − (2.239)   = δij . ai , a+j −

Die entsprechenden Fourier-Transformierten 1  −i q · Ri 1  i q · Ri + e ai ; a+q = √ e ai aq = √ N i N i

(2.240)

können als Magnonenvernichter bzw. -erzeuger interpretiert werden. Der ModellHamilton-Operator (2.211) nimmt nach der Transformation die folgende Gestalt an:      H = E0 + 2Sh¯2 J0 ni − 2Sh¯2 Jij ϕ ni ai a+j ϕ(nj ) − h¯2 Jij ni nj . (2.241) i

i, j

i, j

Dabei ist E0 die Grundzustandsenergie (2.224). Ein Nachteil der Holstein-PrimakoffTransformation liegt auf der Hand. Das explizite Arbeiten mit H fordert eine Entwicklung der Quadratwurzel in ϕ(ni ):

ϕ(ni ) = 1 −

n2 ni − i 2 − ··· 4S 32S

(2.242)

Dies bedeutet, dass H im Prinzip aus unendlich vielen Termen besteht. Die Transformation ist also nur dann sinnvoll, wenn es eine physikalische Rechtfertigung für ein Abbrechen der unendlichen Reihe gibt. Da ni als Operator der Magnonenzahl am

100

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Ort Ri interpretiert werden kann, bei tiefen Temperaturen aber nur wenige Magnonen angeregt sind, kann man sich in einem solchen Fall auf die niedrigsten Potenzen von ni beschränken. Die einfachste Näherung in diesem Sinne ist die so genannte Spinwellennäherung:   H SW = E0 + 2Sh¯2 J0 δij − Jij a+i aj . (2.243) i, j

Nach Transformation auf Wellenzahlen wird H SW diagonal  h¯ω(k) a+k ak H SW = E0 +

(2.244)

k

mit h¯ω(k) aus (2.232). In dieser Tieftemperatur-Näherung wird der Ferromagnet also durch ein Gas von nicht wechselwirkenden Magnonen beschrieben. Nach den Regeln der statistischen Mechanik ist die mittlere Magnonenzahl nk  bei T > 0 dann durch die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion gegeben: nk  =



1

 . exp βh¯ω(k) − 1

Damit ergibt sich für die Magnetisierung des Ferromagneten: 

1  N nk  . S− M(T, H) = gJ μB V N

(2.245)

(2.246)

k

Bei tiefen Temperaturen wird dieses Resultat experimentell ausgezeichnet bestätigt. 2.4.5 Aufgaben 2.4.1

Aufgabe 2.4.1 Leiten Sie aus den bekannten Vertauschungsrelationen der Spinoperatoren im Ortsraum die entsprechenden der wellenzahlabhängigen Spinoperatoren ab:  S α (k) = e −i k · Ri Siα . i

2.4.2

Aufgabe 2.4.2 Formulieren Sie den Heisenberg-Modell-Hamilton-Operator,    μB  z Jij Si+ Sj− + Siz Sjz − gJ B0 Si , H=− h¯ i i, j

mithilfe der k-abhängigen Spinoperatoren aus Aufg. 2.4.1 um.

2.4.3

Aufgabe 2.4.3 Führen Sie am Heisenberg-Modell-Hamilton-Operator (Aufg. 2.4.2) die Holstein-Primakoff-Transformation durch.

2.4

Spinwellen

101

Aufgabe 2.4.4 In der Spinwellennäherung gilt für die spontane Magnetisierung eines Heisenberg-Ferromagneten bei tiefen Temperaturen: 1  1 M0 − MS (T) (s. (2.246)) . = M0 NS q exp[βh¯ω(q)] − 1

2.4.4

M0 = gJ μB S N V ist die Sättigungsmagnetisierung und   h¯ω(q) = 2Sh¯2 J0 − J(q) die Magnonenenergie. Beweisen Sie das Bloch’sche T 3 | 2 -Gesetz: M0 − MS (T) ∼ T3|2 . M0 Hinweise: a) Verwandeln Sie die q-Summation in ein Integral. b) Überlegen Sie sich, dass es bei tiefen Temperaturen ausreicht, die Magnonenenergien in der für kleine q gültigen Form D 2 q 2Sh¯2 zu verwenden, und dass es erlaubt ist, die q-Integration statt über die erste Brillouin-Zone über den gesamten q-Raum zu erstrecken. h¯ω(q) =

Aufgabe 2.4.5 Es seien:

H :

2.4.5

Hamilton-Operator mit H |n = En |n ;

Wn =

exp(−βEn ) , Sp[exp(−βH)]

A, B, C: beliebige Operatoren. 1. Zeigen Sie, dass (A, B) =

En =/ Em

n | A+ | m m | B | n

n, m

2.

3.

Wm − Wn En − Em

ein (semidefinites) Skalarprodukt darstellt. Zeigen Sie, dass mit B = [C+ , H ]− gilt:     (A, B) = [C+ , A+ ]− ; (B, B) = [C+ , [H, C]− ]− ≥ 0 ,  1  (A, A) ≤ β [A, A+ ]+ . 2 Beweisen Sie mit 2. die Bogoliubov-Ungleichung:

β 2

    [A, A+ ]+ [[C, H]− , C+ ]− ≥  [C, A]−   2 .

102

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

2.4.6

Aufgabe 2.4.6 1. Zeigen Sie, dass für das in Aufg. 2.4.5 definierte Skalarprodukt (H, H) = 0 gilt, wenn H der Hamilton-Operator des Systems ist. 2. C sei ein mit dem Hamilton-Operator H kommutierender Operator. Zeigen Sie, dass für diesen die Bogoliubov-Beziehung aus Aufg. 2.4.5 als Gleichung zu lesen ist.

2.4.7

Aufgabe 2.4.7 Diskutieren Sie das isotrope Heisenberg-Modell:   gJ μB . Jij Si · Sj − bB0 Siz exp(−i K · Ri ) ; b = H=− h¯ i i, j

Der Wellen-Vektor K hilft, verschiedene magnetische Konfigurationen zu unterscheiden. So führt K = 0 zu Ferromagnetismus. Wir setzen schließlich noch

Q=

   1   Ri − Rj  2 Jij  < ∞ N i, j

voraus, was keine übermäßige Einschränkung bedeutet. Für die Magnetisierung gilt:      1  exp i K · Ri Siz . M T, B0 = b N i Im Fall des Antiferromagneten (K = (1 | 2)Q, Q: kleinster reziproker Gittervektor) stellt M die Untergittermagnetisierung dar. 1. Wählen Sie A = S − (−k − K) ;

C = S + (k)

und beweisen Sie damit  2h¯N  a) [C, A]−  = M T, B0 , b   b) [A, A+ ]+ ≤ 2h¯2 NS (S + 1),  k    c) [[C, H]− , C+ ]− ≤ 4N h¯2 B0 M  +h¯2 k2 QS(S + 1) . 2.

Beweisen Sie mithilfe der Bogoliubov-Ungleichung (Aufg. 2.4.5) das Mermin-Wagner-Theorem (Phys. Rev. Lett. 17, 1133 (1966)): Im d = 1und d = 2-dimensionalen, isotropen Heisenberg-Modell kann es keine spontane Magnetisierung geben.

2.4

Spinwellen

103

a) Zeigen Sie dazu, dass gilt: M 2 vd Ωd S (S + 1) ≥ 2 2 βh¯ b (2π)d

k0 dk 0

kd − 1 . |BM| + h¯2 k2 QS (S + 1)

Dabei ist k0 der Radius einer Kugel, die vollständig innerhalb der Brillouin-Zone liegt, Ωd die Oberfläche der d-dimensionalen Einheits  kugel Ω1 =1, Ω2 =2π, Ω3 =4π und vd = Vd | Nd das spezifische Volumen des d-dimensionalen Systems im thermodynamischen Limes. b) Verifizieren Sie für die spontane Magnetisierung:   MS (T) = lim M T, B0 = 0 für T =/ 0 und d = 1 und 2. B0 → 0

104

2.5

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

2.5 Kontrollfragen Zu Abschnitt 2.1 1. Aus welcher Eigenwert-Gleichung folgen Bloch-Funktionen und Bloch-Energien? 2. Was besagt das Bloch’sche Theorem? 3. Wie lauten Orthogonalitäts- und Vollständigkeitsrelationen für Bloch-Funktionen? 4. Geben Sie den Hamilton-Operator H0 nicht miteinander wechselwirkender Kristallelektronen in zweiter Quantisierung in der Bloch-Darstellung, Ortsdarstellung mit Feldoperatoren und in der Wannier-Darstellung an. 5. Wie lauten die Vertauschungsrelationen für Bloch-Operatoren a+kσ , akσ und Wannier-Operatoren a+iσ , aiσ ? 6. Wann wird eine Bloch-Funktion zur ebenen Welle? 7. Was versteht man unter einem Hopping-Integral? 8. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Bloch-und Wannier-Operatoren? 9. Welche Annahmen definieren das Jellium-Modell? 10. Begründen Sie die Notwendigkeit eines konvergenzerzeugenden Faktors in den Coulomb-Integralen des Jellium-Modells. 11. Wie lautet der Hamilton-Operator des Jellium-Modells? Worin besteht die Auswirkung der homogen verschmierten positiven Ionenladung? 12. Wie stellt sich der Operator der Elektronendichte im Formalismus der zweiten Quantisierung dar, wenn man ebene Wellen als Ein-Teilchen-Basis benutzt? 13. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Elektronendichteoperator und dem Teilchenzahloperator? 14. Formulieren Sie den Hamilton-Operator des Jellium-Modells mithilfe des Elektronendichteoperators. 15. Definieren Sie die Begriffe Fermi-Energie, Fermi-Wellenvektor. 16. Was versteht man unter dem direkten Term und dem Austauschterm in der Coulomb-Wechselwirkung des Jellium-Modells? 17. Geben Sie die beiden führenden Terme in der Entwicklung der Grundzustandsenergie des Jellium-Modells nach dem dimensionslosen Dichteparameter rs an und interpretieren Sie diese. 18. Was versteht man unter Korrelationsenergie? 19. Warum ist das Jellium-Modell unbrauchbar zur Beschreibung von Elektronen in schmalen Energiebändern? 20. Beschreiben Sie die so genannte Tight-Binding-Näherung. 21. Was sind die entscheidenden Vereinfachungen, die schließlich zum HubbardModell führen? 22. Wie lautet der Hamilton-Operator des Hubbard-Modells?

2.5

Kontrollfragen

105

23. Von welchen physikalischen Parametern werden die Aussagen des HubbardModells vor allem beeinflusst? 24. Nennen Sie einige wichtige Anwendungsbereiche des Hubbard-Modells?

Zu Abschnitt 2.2 1. Warum ist es sinnvoll, bei der Beschreibung der Gitterschwingungen anstelle von Ionenkoordinaten Kollektivkoordinaten zu verwenden? 2. Wie lässt sich die harmonische Näherung rechtfertigen? 3. Wie ist die Matrix der atomaren Kraftkonstanten definiert? Welche Bedeutung haben ihre Elemente? 4. Nennen Sie einige offensichtliche Symmetrien der Kraftkonstantenmatrix. 5. Begründen Sie die Bezeichnung akustischer bzw. optischer Dispersionszweig. 6. Welcher Bewegungsgleichung genügen die so genannten Normalkoordinaten? Wie hängen diese mit den realen Ionenverschiebungen zusammen? 7. Wie schreibt sich die Lagrange-Funktion des Ionensystems in Normalkoordinaten? 8. Wie lauten die zu den Normalkoordinaten kanonisch konjugierten Impulse? 9. Geben Sie die klassische Hamilton-Funktion des Ionensystems an. Interpretieren Sie diese. 10. Nennen Sie die Vertauschungsrelationen der Normalkoordinaten und der zu ihnen kanonisch konjugierten Impulse. 11. Wie hängen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperator b+qr , bqr mit den Normalkoordinaten und deren kanonisch konjugierten Impulsen zusammen? 12. Warum handelt es sich bei bqr und b+qr um Bose-Operatoren? 13. Geben Sie den Hamilton-Operator für das Ionensystem in harmonischer Näherung in Termen der Konstruktionsoperatoren bqr , b+qr an. 14. Was ist ein Phonon?

Zu Abschnitt 2.3 1. Beschreiben Sie die Elementarprozesse, die zu einer Elektron-Phonon-Wechselwirkung führen. 2. Welche Approximation der Elektron-Phonon-Wechselwirkung entspricht der harmonischen Näherung für die Gitterschwingungen? 3. Welche Operator-Kombination bestimmt im Formalismus der zweiten Quantisierung die Elektron-Phonon-Wechselwirkung? 4. Was versteht man unter Normal-, was unter Umklappprozessen? 5. Beschreiben Sie, wie man die Elementarprozesse der Elektron-Phonon-Wechselwirkung kombinieren kann.

106

6.

7.

2. Viel-Teilchen-Modellsysteme

Welches Verfahren der Theoretischen Physik lässt erkennen, dass die ElektronPhonon-Wechselwirkung Terme einer effektiven, phononeninduzierten Elektron-Elektron-Wechselwirkung enthält? Kann diese effektive Elektron-Elektron-Wechselwirkung auch anziehend sein?

Zu Abschnitt 2.4 1. Welche physikalische Messgröße erscheint besonders geeignet für eine Klassifikation magnetischer Festkörper? 2. Warum ist Diamagnetismus eine Eigenschaft aller Stoffe? 3. Was ist die entscheidende Voraussetzung für Paramagnetismus und kollektiven Magnetismus? 4. Wie unterscheiden sich Langevin- und Pauli-Paramagnetismus? 5. Kommentieren Sie das Curie-Gesetz. 6. In welche drei große Unterklassen gliedert man den kollektiven Magnetismus? 7. Wie lautet der Hamilton-Operator des Heisenberg-Modells? Auf welche Klasse von magnetischen Substanzen ist das Modell zugeschnitten? 8. Wann spricht man von Bandmagnetismus? 9. Auf welche magnetischen Materialien passt das s-f-(s-d)- Modell? 10. Skizzieren Sie die Ableitung des so genannten Ein-Magnonenzustands

−1 | 2 −  S (k) |S |k = h¯2 2SN

(|S ⇐⇒ ferromagnetische Sättigung)

als Eigenzustand des Heisenberg-Hamilton-Operators. 11. Welchen Spin hat das Magnon? 12. Was ergibt der Erwartungswert des lokalen Spinoperators Siz im Ein-Magnonenzustand |k ? Interpretieren Sie das Ergebnis. 13. Erläutern Sie den Begriff Spinwelle. 14. Formulieren Sie die Holstein-Primakoff-Transformation der Spinoperatoren. 15. Was versteht man unter der Spinwellennäherung? Unter welchen Bedingungen ist diese gerechtfertigt?

Kapitel 3 Green-Funktionen

3

3

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.1.6 3.1.7 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.4.6 3.5

Green-Funktionen Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linear-Response-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Leitfähigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dielektrizitätsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektroskopien, Spektraldichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweizeitige Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spektraltheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exakte Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kramers-Kronig-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erste Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Freie Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Zwei-Spin-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Quasiteilchenkonzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Elektronen-Green-Funktion .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronische Selbstenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasiteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quasiteilchenzustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Innere Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

109 109 115 119 121 123 125 130 133 133 137 141 143 147 149 152 152 157 159 170 173 173 176 180 185 187 190 192

3.1

Vorbereitungen

109

3 Green-Funktionen Die Aufgabe der Theoretischen Physik besteht darin, Verfahren zur Berechnung physikalischer Messgrößen zu entwickeln. Physikalische Messgrößen sind: 1. die Eigenwerte von Observablen,       2. die Erwartungswerte von Observablen  A(t) ,  B t , ... ,    3. die Korrelationsfunktionen zwischen Observablen  A(t) ·  B t . . . Im Rahmen der Statistischen Mechanik sind die Berechnungen von Messgrößen vom Typ 2. oder 3. genau dann möglich, wenn die Zustandssumme des betrachteten physikalischen Systems bekannt ist. Dies setzt auf der anderen Seite die Kenntnis der Eigenwerte und Eigenzustände des Hamilton-Operators voraus, was bei realistischen Viel-Teilchen-Problemen in der Regel nicht gegeben ist. Die Methode der Green-Funktionen gestattet eine, im Allgemeinen natürlich approximative, Bestimmung von Erwartungswerten und Korrelationsfunktionen ohne explizite Kenntnis der jeweiligen Zustandssumme. Entsprechende Verfahren werden in diesem und den folgenden Kapiteln besprochen. Dazu sind einige Vorbereitungen vonnöten, die zum Teil Wiederholungen aus den ersten Bänden dieser Reihe Grundkurs: Theoretische Physik sind.

3.1

3.1 Vorbereitungen 3.1.1 Bilder Zur Beschreibung von Zeitabhängigkeiten physikalischer Systeme benutzt man, je nach Zweckmäßigkeit, eines der drei äquivalenten Bilder:

Schrödinger-, Heisenberg-, Dirac-Bild. Wir beginnen mit dem Bild, das im Band Quantenmechanik fast ausschließlich verwendet wurde. 1) Schrödinger-Bild (Zustandsbild) In diesem Bild wird die Zeitabhängigkeit von den Zuständen getragen, wohingegen die Operatoren zeitunabhängig sind, falls sie nicht explizit von der Zeit abhängen, z. B. durch Ein- und Ausschaltvorgänge. Wir übernehmen aus der elementaren Quantenmechanik die

Bewegungsgleichungen a) für reine Zustände:     ˙ s (t) = H  ψs (t) , i¯ h ψ W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

(3.1)

110

3. Green-Funktionen

b) für gemischte Zustände:

i h¯

ρ˙ S = [ρS , H ]− . Dabei ist ρS die Dichtematrix mit den bekannten Eigenschaften:     ρS = pm  ψm ψm 

(3.2)

(3.3)

m

  (pm ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das System im Zustand  ψm befindet),      A = Sp ρs A , (3.4) Sp ρs = 1 , ⎧ ⎨ 1: Sp ρs2 = ⎩ <1 :

(3.5) reiner Zustand,

(3.6)

gemischter Zustand.

Für das Folgende wichtig ist der Zeitentwicklungsoperator US (t, t0 ), der durch         ψS (t) = US t, t0  ψS t0 definiert ist. Wichtige Eigenschaften dieses Operators sind:     1. US+ t, t0 = US−1 t, t0 ,   2. US t0 , t0 = 1       3. US t, t0 = US t, t  US t  , t0 .

(3.7)

(3.8) (3.9) (3.10)

Benutzt man (3.7) in (3.1), so folgt eine äquivalente Bewegungsgleichung für den Zeitentwicklungsoperator:     (3.11) i¯ hU˙ S t, t0 = Ht US t, t0 . Der Index t am Hamilton-Operator soll eine mögliche explizite Zeitabhängigkeit andeuten. (3.11) lässt sich unter Beachtung von (3.9) formal integrieren:   i US t, t0 = 1 − h¯ Nach Iteration folgt die

t t0

  dt1 Ht1 US t1 , t0 .

(3.12)

3.1

Vorbereitungen

111

von Neumann’sche Reihe ∞      US t, t0 = 1 + US(n) t, t0 ,

(3.13)

n=1 t n − 1

n t t1   i dt1 dt2 · · · dtn Ht1 Ht2 · · · Htn US(n) t, t0 = − h¯ t0

t0

(3.14)

t0

  t ≥ t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tn ≥ t0 . Die Zeitordnung ist streng zu beachten, da die Operatoren Hti für verschiedene Zeiten nicht notwendig miteinander vertauschen. Zur weiteren Umformung führen wir einen speziellen Operator ein: Dyson’scher Zeitordnungsoperator ⎧          ⎨A t1 B t2 für t1 > t2 , TD A t1 B t2 = ⎩B t  A t  für t > t . 2 1 2 1

(3.15)

Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei Operatoren liegt auf der Hand. An Abb. 3.1 macht man sich die folgenden Beziehungen klar: t

t1 dt1

t0

t dt2 Ht1 Ht2 =

t0

t dt2

t0

dt1 Ht1 Ht2 . t2

Auf der rechten Seite Zeile der Gleichung vertauschen wir t1 und t2 : t

t1 dt1

t0

t2

t dt2 Ht1 Ht2 =

t0

t dt1

t0

dt2 Ht2 Ht1 . t1

t1 = t 2

t t

dt2 ò dt1 t2

t0

t

t1

t1

dt1 ò dt2 t0

Abb. 3.1. Veranschaulichung zur Umformung des Zeitordnungsoperators von (3.14) nach (3.17)

112

3. Green-Funktionen

Dies bedeutet, wenn man die beiden letzten Beziehungen kombiniert: t

t1 dt1

t0

1 = 2 1 = 2!

dt2 Ht1 Ht2 = t0

t

t dt1

t0

     dt2 Ht1 Ht2 Θ t1 − t2 + Ht2 Ht1 Θ t2 − t1 =

(3.16)

t0

t

  dt1 dt2 TD Ht1 Ht2 .

t0

Dieses Ergebnis lässt sich auf n Terme verallgemeinern, sodass aus (3.14) nun wird:   US(n) t, t0

n t t   1 i − = · · · dt1 · · · dtn TD Ht1 Ht2 · · · Htn . n! h¯ t0

(3.17)

t0

Damit lässt sich der Zeitentwicklungsoperator kompakt in der folgenden Form darstellen: ⎞ ⎛ t   i (3.18) US t, t0 = TD exp ⎝− dt  Ht  ⎠ . h¯ t0

Einen Spezialfall stellt das abgeschlossene System dar:

    ∂H i  = 0 ⇒ US t, t0 = exp − H t − t0 . ∂t h¯

(3.19)

2) Heisenberg-Bild (Operatorbild) In diesem Bild wird die Zeitabhängigkeit von den Operatoren getragen, während die Zustände zeitlich konstant bleiben. Das in 1) diskutierte Schrödinger-Bild ist natürlich keineswegs zwingend. Jede unitäre Transformation der Operatoren und Zustände, die die Messgrößen (Erwartungswerte, Skalarprodukte) invariant lässt, ist selbstverständlich erlaubt. Für die Zustände im Heisenberg-Bild möge gelten:         ψH (t) ≡  ψH =!  ψS t0 . (3.20)

Dabei ist t0 ein beliebiger, aber fester Zeitpunkt, z. B. t0 = 0. Mit (3.7), (3.9) und (3.10) folgt:          ψH = U −1 t, t0  ψS (t) = US t0 , t  ψS (t) . (3.21) S Wegen          ψH AH (t) ψH  =!  ψS (t) AS ψS (t) 

(3.22)

3.1

Vorbereitungen

113

gilt dann für die Observable A im Heisenberg-Bild:     AH (t) = US−1 t, t0 AS US t, t0 .

(3.23)

Falls H nicht explizit von der Zeit abhängt, vereinfacht sich diese Beziehung zu  

   i  i  ∂H AH (t) = exp H t − t0 AS exp − H t − t0 =0 . (3.24) h¯ h¯ ∂t Insbesondere gilt dann: HH (t) = HH = HS = H .

(3.25)

Wir leiten schließlich noch die Bewegungsgleichung der Heisenberg-Operatoren ab:       ∂AS   d AH (t) = U˙ S+ t, t0 AS US t, t0 + US+ t, t0 U t, t + dt ∂t S 0     + US+ t, t0 AS U˙ S t, t0 = =− =

1 + 1 ∂AS US HAS US + US+ AS HUS + US+ U = i¯ h i¯ h ∂t S

i + ∂AS U [H, AS ]− US + US+ U . h¯ S ∂t S

Wir definieren   ∂AS   ∂AH = US−1 t, t0 U t, t ∂t ∂t S 0

(3.26)

und haben dann als Bewegungsgleichung: d ∂AH h AH (t) = [AH , HH ]− (t) + i¯ . (3.27) dt ∂t Eine Mittelstellung zwischen Schrödinger- und Heisenberg-Bild nimmt das

i¯ h

3) Dirac-Bild (Wechselwirkungsbild) ein, d. h., die Zeitabhängigkeit wird auf Zustände und Operatoren verteilt. Ausgangspunkt ist die übliche Situation,

H = H0 + Vt ,

(3.28)

in der sich der Hamilton-Operator aus einem Anteil H0 für das freie System und einer eventuell explizit zeitabhängigen Wechselwirkung Vt zusammensetzt. Dann wird der folgende Ansatz vereinbart:        ψD (t0 ) =  ψS (t0 ) =  ψH , (3.29)        ψD (t) = UD t, t   ψD t  , (3.30)        ψD (t) = U −1 t, t0  ψS (t) . (3.31) 0

114

3. Green-Funktionen

Dabei soll

      i  U0 t, t = exp − H0 t − t h¯

(3.32)

der Zeitentwicklungsoperator des freien Systems sein. Daraus ergibt sich, dass bei fehlender Wechselwirkung das Dirac- mit dem Heisenberg-Bild identisch ist. Wegen (3.29) bis (3.31) gilt die folgende Umformung:              ψD (t) = U −1 t, t0  ψS (t) = U −1 t, t0 US t, t   ψS t  = 0 0         !     = U0−1 t, t0 US t, t  U0 t  , t0  ψD t  = UD t, t   ψD t  . Wir haben damit die Verknüpfung zwischen dem Dirac’schen und dem Schrödinger’schen Zeitentwicklungsoperator gefunden:         UD t, t  = U0−1 t, t0 US t, t  U0 t  , t0 .

(3.33)

  Wir erkennen, dass für Vt ≡ 0, d. h. US = U0 , UD t, t  ≡ 1 wird. Dirac-Zustände sind dann zeitunabhängig. Wir fordern 













ψD (t)  AD (t)  ψD (t) = ψS (t)  AS  ψS (t) !



für einen beliebigen Operator A. Dies ergibt mit (3.31) und (3.32):  

    i i . H0 t − t0 AS exp − H0 t − t0 AD (t) = exp h¯ h¯

(3.34)

Die Dynamik der Operatoren ist im Dirac-Bild also durch H0 festgelegt. Dies erkennt man insbesondere an der Bewegungsgleichung, die sich unmittelbar aus (3.34) ableitet:

i¯ h

d ∂AD h AD (t) = [AD , H0 ]− + i¯ . dt ∂t

(3.35)

Analog zu (3.26) haben wir dabei definiert:   ∂AS   ∂AD = U0−1 t, t0 U t, t . ∂t ∂t 0 0 Für die Zeitabhängigkeit der Zustände gilt nach (3.31):         ψ ˙ D (t) = U˙ 0+ t, t0  ψS (t) + U0+ t, t0  ψ˙ S (t) =     i  +  U0 t, t0 H0 − U0+ t, t0 H  ψS (t) = h¯      i = U0+ t, t0 (−Vt )U0 t, t0  ψD (t) . h¯

=

(3.36)

3.1

Vorbereitungen

115

Es folgt damit:     ˙ D (t) = VtD (t)  ψD (t) . i¯ h ψ

(3.37)

Die Dynamik der Zustände wird also durch die Wechselwirkung Vt festgelegt. Man unterscheide die beiden unterschiedlichen Zeitabhängigkeiten in VtD (t)! Analog zu (3.37) leitet man die Bewegungsgleichung der Dichtematrix ab:

ρ˙ D (t) =

 i ρD , VtD − (t) . h¯

(3.38)

Setzt man (3.30) in (3.37) ein, so ergibt sich mit

i¯ h

    d UD t, t  = VtD (t)UD t, t  dt

(3.39)

eine Bewegungsgleichung für den Zeitentwicklungsoperator, die formal-identisch mit (3.11) ist. Derselbe Gedankengang wie der im Anschluss an (3.13) führt dann auf die wichtige Beziehung: 

t     i  D  , dt Vt  t UD t, t = TD exp − h¯

(3.40)

t

die den Ausgangspunkt für die später zu besprechende Diagrammtechnik dar    stellt. Man beachte, dass sich UD t, t  im Gegensatz zu US t, t  auch bei fehlender expliziter Zeitabhängigkeit nicht weiter vereinfachen lässt, da dann lediglich VtD (t  ) → V D (t  ) zu ersetzen ist. Eine Zeitabhängigkeit bleibt also. 3.1.2 Linear-Response-Theorie Wir wollen die Green-Funktionen in Verbindung mit einer ganz konkreten physikalischen Fragestellung einführen:

Wie reagiert ein physikalisches System auf eine äußere Störung? Zuständig für diesen Problemkreis sind die so genannten Response-Größen, zu denen insbesondere 1. elektrische Leitfähigkeit, 2. magnetische Suszeptibilität, 3. Wärmeleitfähigkeit zählen. Es stellt sich heraus, dass es sich bei diesen Größen um retardierte GreenFunktionen handelt. Um dies zu zeigen, führen wir mit der Linear-Response-Theorie ein wichtiges Lösungsverfahren der Theoretischen Physik ein.

116

3. Green-Funktionen

Wir beschreiben das vorliegende System durch den Hamilton-Operator: H = H0 + Vt .

(3.41)

Dabei hat Vt eine etwas andere Bedeutung als in (3.28). Es beschreibt die Wechselwirkung des Systems mit einem äußeren Feld (Störung). H0 betrifft das wechselwirkende Teilchensystem bei abgeschaltetem äußeren Feld. Wegen der Teilchenwechselwirkungen wird deshalb bereits das Eigenwertproblem zu H0 nicht exakt lösbar sein. B des Systems: Das skalare Feld Ft kopple an die Observable  Vt =  BFt .

(3.42)

Man beachte, dass  B ein Operator und Ft eine c-Zahl ist.  A sei eine nicht explizit zeit  abhängige Observable, deren thermodynamischer Erwartungswert  A als Messwert    aufgefasst werden kann. Es soll untersucht werden, wie A auf die Störung Vt reagiert. Ohne Feld gilt      A , (3.43) A 0 = Sp ρ0  wobei ρ0 die Dichtematrix des feldfreien Systems ist:   exp −βH0  .  ρ0 = Sp[exp −βH0 ]

(3.44)

Gemittelt wird in der großkanonischen Gesamtheit: . H0 = H0 − μN

(3.45)

μ ist das chemische Potential. Wenn wir nun das Feld Ft einschalten, wird sich auch die Dichtematrix entsprechend ändern: ρ0 −→ ρt . Dies überträgt sich auf den Erwartungswert von  A:      A . A t = Sp ρt 

(3.46)

(3.47)

Wir benutzen hier zunächst das Schrödinger-Bild, lassen den Index S aber weg. Die Bewegungsgleichung der Dichtematrix lautet nach (3.2):

i¯ hρ˙ t = [H0 , ρt ]− + [Vt , ρt ]− .

(3.48)

Wir nehmen an, dass das Feld zu irgendeinem Zeitpunkt eingeschaltet wird, können deshalb als Randbedingung für die Differentialgleichung erster Ordnung (3.48) lim ρt = ρ0

t → −∞

verwenden.

(3.49)

3.1

Vorbereitungen

117

Wir wechseln nun (vorübergehend) in das Dirac-Bild, in dem mit t0 = 0 nach (3.34) gilt:



 i i ρtD (t) = exp H0 t ρt exp − H0 t . (3.50) h¯ h¯ Die Bewegungsgleichung (3.38) führt mit der Randbedingung (3.49), lim ρD (t) t → −∞ t

= ρ0 ,

(3.51)

zu dem Resultat:

ρtD (t)

i = ρ0 − h¯

t

     dt  VtD t  , ρtD t  − .

(3.52)

−∞

Diese Gleichung kann durch Iteration bis zu beliebiger Genauigkeit gelöst werden:

ρtD (t) = ρ0 +

∞ 

ρtD(n) (t) ,

(3.53)

n=1

ρtD(n) (t)

t n − 1

n t t1 i = − dt1 dt2 · · · dtn · h¯ −∞ −∞ −∞        D    D   D . · Vt1 t1 , Vt2 t2 , . . ., Vtn tn , ρ0 − . . . − − −

(3.54)

Diese Formel ist zwar exakt, aber in der Regel auch unbrauchbar, da die unendliche Reihe nicht berechenbar sein wird. Wir setzen deshalb hinreichend kleine, äußere Störungen voraus, sodass wir uns auf lineare Terme in der Störung V beschränken können: Linear Response

i ρt ≈ ρ0 − h¯

t −∞



     i i dt  exp − H0 t VtD t  , ρ0 − exp H0 t . h¯ h¯

(3.55)

Dabei haben wir die Dichtematrix bereits wieder in die Schrödinger-Darstellung zurücktransformiert. Wir können zur Berechnung des gestörten Erwartungswertes diesen Ausdruck nun in (3.47) einsetzen:  

  t         i i i  dt  Sp exp − H0 t VtD t  , ρ0 − exp H0 t  A 0− A = At=  h¯ h¯ h¯ −∞

  i =  A 0− h¯   i =  A 0− h¯

t

dt  Ft  Sp



   D   B D t  , ρ0 −  A (t) =

−∞

t −∞

     D dt  Ft  Sp ρ0  B D t − . A (t), 

118

3. Green-Funktionen

Wir haben mehrmals die zyklische Invarianz der Spur ausnutzen können. Damit kennen wir die Reaktion des Systems auf die äußere Störung, wie sie von der Observablen  A vermittelt wird:  

t

 

i ΔAt =  At−  A 0=−

h¯

 D    dt  Ft   B D t − 0 . A (t), 

(3.56)

−∞

Man beachte, dass die Reaktion des Systems durch einen Erwartungswert des unge  B D t störten Systems bestimmt wird. Die Dirac-Darstellung der Operatoren  A D (t),  entspricht der Heisenberg-Darstellung bei abgeschaltetem Feld. Wir definieren: zweizeitige, retardierte Green-Funktion              ret GAB t, t = A(t); B t  = −i Θ t − t  A(t), B t  − 0 .

(3.57)

Die Operatoren sind hier stets in der Heisenberg-Darstellung des feldfreien Systems gedacht. Den entsprechenden Index lassen wir weg. ret beschreibt also die Reaktion des Systems, wie Die retardierte Green-Funktion GAB sie sich in der Observablen  A manifestiert, wenn die Störung an der Observablen  B angreift: 1 ΔAt = h¯

+∞   ret t, t . dt  Ft  GAB

(3.58)

−∞

Mit der Fourier-Transformierten F(E) der Störung Ft =

  +∞  i dE exp − E + i0+ t F(E) , 2πh¯ h¯ 1

(3.59)

−∞

und im Vorgriff auf ein späteres Ergebnis, dass die Green-Funktion bei nicht explizit zeitabhängigem Hamilton-Operator selbst nur von der Zeitdifferenz t − t  abhängt, können wir (3.58) auch in der folgenden Form schreiben: Kubo-Formel 1 ΔAt = 2πh¯2

  +∞  i ret dE F(E)GAB (E + i0+ ) exp − E + i0+ t . h¯

(3.60)

−∞

Der Term i0+ im Exponenten sorgt für die Erfüllung der Randbedingung (3.49). Das Feld Ft wird dadurch, wie man sagt, adiabatisch eingeschaltet. Wir wollen in den nächsten drei Abschnitten Anwendungsbeispiele für die wichtige Kubo-Formel diskutieren.

3.1

Vorbereitungen

119

3.1.3 Magnetische Suszeptibilität Die Störung werde durch ein räumlich homogenes, zeitlich oszillierendes Magnetfeld bewirkt:

  +∞  i + dE exp − E + i0 t B(E) . Bt = 2πh¯ h¯ 1

(3.61)

−∞

Dieses koppelt an das magnetische Moment des Systems:  gJ μB  m= mi = Si . h¯ i i

(3.62)

Dadurch erscheint im Hamilton-Operator der folgende Störterm: Vt = −m · Bt = =−

   i dE exp − E + i0+ t mα B α (E) . h¯

+∞ (x, y, z)



1 2πh¯

α −∞

(3.63)

Von besonderem Interesse ist natürlich die Reaktion der Magnetisierung auf das eingeschaltete Feld. Wegen gJ μB  1 Si

m = V h¯V i

M=

(3.64)

werden wir demnach in der Kubo-Formel (3.60) bzw. (3.58) für beide Operatoren  A und  B den Momentenoperator m wählen. (3.58) liefert dann: 1  Mt − M0 = − V h¯ α β

β

+∞     . dt  Btα mβ (t); mα t 

(3.65)

−∞

β

Die feldfreie Magnetisierung M0 ist natürlich nur beim Ferromagneten von Null verschieden. (3.65) definiert den Tensor der magnetischen Suszeptibilität 

μ0 gJ2 μ2B 



χijβα t, t  = −

V h¯

h¯2

   β Si (t); Sjα t 

(3.66)

als eine retardierte Green-Funktion. Es gilt

ΔMtβ =

1 

+∞

μ0

i, j

α −∞

βα 

dt  χij

 t, t  Btα

(3.67)

120

3. Green-Funktionen

oder in der Energiedarstellung:    1  i βα + ΔMt = dE exp − E + i0 t χij (E)B α (E) . 2πh¯μ0 h¯ i, j α −∞ β

+∞

(3.68)

Wir haben durch (3.62) implizit vorausgesetzt, dass das betrachtete physikalische System permanente, lokalisierte Momente enthält (s. (2.204)). Für solche Situationen sind zwei spezielle Typen von Suszeptibilitäten von besonderem Interesse: 1) longitudinale Suszeptibilität

χijzz (E) = −

μ0 gJ2 μ2B  V h¯

h¯2

Siz ; Sjz

 E

(3.69)

.

Der Index E kennzeichnet die energieabhängige Fourier-Transformierte der retardierten Green-Funktion. Man kann an χijzz wichtige Aussagen über die Stabilität magnetischer Ordnungen ableiten. Dazu berechnet man die räumliche Fourier-Transformierte   1  zz χqzz (E) = χij (E) e iq · Ri −Rj (3.70) N i, j

für die paramagnetische Phase. Bei den Singularitäten dieser Response-Funktion genügt ein infinitesimales Feld, um in der Probe eine endliche Magnetisierung hervorzurufen, d. h. eine spontane Ordnung der Momente zu bewirken. Man untersucht deshalb, unter welchen Bedingungen −1  =0 (3.71) lim χqzz (E) (q, E) → 0

wird und liest daran die Kenndaten des Phasenübergangs Para- ⇐⇒ Ferromagnetismus ab. Von beträchtlicher Aussagekraft ist auch die 2) transversale Suszeptibilität

χij+− (E) = −

μ0 gJ2 μ2B  V h¯

h¯2

Si+ ; Sj−

 E

,

deren Pole mit den Spinwellenenergien (Magnonen) identisch sind: −1  χq+− (E) = 0 ⇐⇒ E = h¯ω(q) .

(3.72)

(3.73)

Diese Beispiele zeigen, dass die Linear-Response-Theorie nicht nur ein Näherungsverfahren für schwache äußere Störungen darstellt, sondern auch Aussagen über das ungestörte System liefert.

3.1

Vorbereitungen

121

3.1.4 Elektrische Leitfähigkeit Wir nehmen nun als Störung ein räumlich homogenes, zeitlich oszillierendes elektrisches Feld:

  +∞  i + dE exp − E + i0 t F(E) . Ft = 2πh¯ h¯ 1

(3.74)

−∞

Wir wählen für das Feld den Buchstaben F statt des üblichen E, um Verwechslungen mit der Energie E zu vermeiden. Das elektrische Feld koppelt an den Operator des elektrischen Dipolmomentes P: P = d3 r r ρ(r) . (3.75) Wir betrachten N Punktladungen qi an den Orten rˆi (t). Dann lautet die Ladungsdichte

ρ(r) =

N 

  qi δ r − rˆi

(3.76)

i=1

und damit der Dipolmomentenoperator: P=

N 

qi rˆi .

(3.77)

i=1

Das elektrische Feld bewirkt im Hamilton-Operator den Zusatzterm: Vt = −P · F t = =−

1 2πh¯

   i dE exp − E + i0+ t P α F α (E) . h¯

+∞ (x, y, z)



α −∞

(3.78)

Man interessiert sich natürlich insbesondere für die Reaktion der Stromdichte auf das Feld. Der Erwartungswert des Stromdichteoperators, j=

N 1  ˙ 1 qi rˆi = P˙ , V i=1 V

(3.79)

ist ohne Feld sicher Null:   j 0=0.

(3.80)

Nach Einschalten des Feldes gilt wegen (3.58):  β 1 j t =− h¯ α

+∞     . dt  Ftα j β (t); P α t 

−∞

(3.81)

122

3. Green-Funktionen

Daraus wird in der Energiedarstellung:  β 1  j t= 2πh¯ α

  +∞  i + dE exp − E + i0 t σ βα (E)F α (E) . h¯

(3.82)

−∞

Diese Beziehung (Ohm’sches Gesetz) definiert den Tensor der elektrischen Leitfähigkeit

σβα (E) ≡ −

1  β α  j ;P E , h¯

(3.83)

dessen Komponenten retardierte Green-Funktionen darstellen. Es empfiehlt sich, diesen Ausdruck noch etwas umzuformen. Wir nutzen dazu die schon einmal verwendete, später noch zu beweisende zeitliche Homogenität der Green-Funktionen aus:   +∞   β  i α + E + i0 t = dt j (0); P (−t) exp h¯ h¯

1 σβα (E) = −

−∞

∞

i = h¯

 dt



  i + E + i0 t = exp h¯



j β , P α (−t)

−

0

=

 β α   j , P (−t) − E + i0+ ∞ −

  ∞ i + E + i0 t  − exp h¯ 0 

     exp (i | h¯) E + i0+ t d  β α j , P (−t) = dt + − E + i0 dt

(3.84)

0

=−

=−

 β α   j ,P − E + i0+  β α   j ,P − E + i0+

∞ +

 dt

 exp[(i | h¯) E + i0+  t ] = − E + i0+

j β , P˙ α (−t)

0

 β α  j ;j E + iV . E + i0+

Der erste Summand kann leicht weiter ausgewertet werden: 

j β, P α

 −

=

 β  1  1  h¯ δij δαβ qi qj ˆr˙ i , ˆrjα = qi qj . − V V i mi i, j

i, j

Wir setzen identische Ladungsträger voraus, qi = q ;

mi = m ∀i ,

(3.85)

3.1

Vorbereitungen

123

und haben dann mit (3.85) in (3.84) gefunden: (N | V)q2  δαβ + iV σβα (E) = i¯h  m E + i0+

 β α  j ;j E . E + i0+

(3.86)

Der erste Summand stellt die Leitfähigkeit eines nicht wechselwirkenden Elektronensystems dar, wie sie aus der klassischen Drude-Theorie bekannt ist. Der Einfluss der Teilchenwechselwirkung wird somit vollständig durch die retardierte Strom-StromGreen-Funktion ins Spiel gebracht. 3.1.5 Dielektrizitätsfunktion Bringt man eine externe Ladungsdichte ρext (r, t) in ein Metall, so werden sich in dem System der quasifreien Leitungselektronen Dichteänderungen ergeben, die zu einer Abschirmung der Störladung führen. Dieser Abschirmeffekt wird durch die Dielektrizitätsfunktion ε(q, E) beschrieben, die damit ein Maß für die Antwort des Systems auf die äußere Störung ρext (r, t) darstellt. Sie ist ein weiteres Beispiel für eine Response-Größe und lässt sich ebenfalls durch eine retardierte Green-Funktion ausdrücken. Dies soll in diesem Abschnitt gezeigt werden, wobei wir das Problem zunächst mit einer klassischen Betrachtung aufbereiten wollen. Für die Extraladungsdichte setzen wir an:

ρext (r, t) =

1 2πh¯V

  +∞   i dE ρext (q, E) e iq · r exp − E + i0+ t . h¯ q

(3.87)

−∞

Zwischen ρext und der Ladungsdichte der Leitungselektronen, e  ρq e iq · r , −eρ(r) = − V q besteht die Wechselwirkungsenergie   ρ(r)ρext r , t −e d3 r d3 r Vt = . 4πε0 |r − r  |

(3.88)

(3.89)

Wie in (2.58) zeigt man, dass    exp i q · r + q · r  4πV d3 rd3 r = δq, −q 2 |r − r  | q gilt. Damit wird aus Vt , wenn man noch v¯(q) =

v0 (q) 1 −e = −e V ε0 q2

(3.90)

definiert und (3.87) sowie (3.88) in (3.89) einsetzt: Vt =

  +∞   i dE exp − E + i0+ t v¯(q)ρ−q ρext (q, E) . 2πh¯ h¯ q 1

−∞

(3.91)

124

3. Green-Funktionen

Wir benutzen für das Metall das Jellium-Modell, nehmen also an, dass sich im Gleichgewicht Elektronen- und Ionenladungsdichten gerade kompensieren. Ferner soll die Störladung nur das beweglichere Elektronensystem polarisieren, die Ionenladungen dagegen homogen verschmiert lassen. Die gesamte Ladungsdichte setzt sich dann additiv aus ρext und der hierdurch induzierten Ladungsdichte ρind im Elektronengas zusammen:

ρtot (r, t) = ρext (r, t) + ρind (r, t) .

(3.92)

Aus den Maxwell-Gleichungen

iq · D(q, E) = ρext (q, E) , iq · F(q, E) =

(3.93)

1 

ε0



ρext (q, E) + ρind (q, E)

(3.94)

sowie der Materialgleichung D(q, E) = ε0 ε(q, E)F(q, E) folgt für die induzierte Ladungsdichte:   1 ρind (q, E) = − 1 ρext (q, E) . ε(q, E)

(3.95)

(3.96)

Wir transformieren nun unsere bislang klassischen Überlegungen in die quantenmechanische Darstellung. Aus der Elektronendichte ρ−q in (3.91) wird der in (2.70) in zweiter Quantisierung formulierte Dichteoperator:  ρq = a+kσ ak + qσ ; ρ−q = ρq+ . (3.97) kσ

Die in (3.91) definierte Wechselwirkungsenergie wird dann ebenfalls ein Operator:  ρq+! (3.98) Ft (q) . Vt = q

Das Störfeld ! Ft (q), v¯(q) ! Ft (q) = 2πh¯

  +∞  i dE exp − E + i0+ t ρext (q, E) , h¯

(3.99)

−∞

bleibt dagegen eine skalare c-Zahl. Uns interessiert, wie der Erwartungswert der induzierten Ladungsdichte (Operator!), 



 

  

ρind (q, t) = −e ρq t − ρq 0 ,

(3.100)

3.1

Vorbereitungen

125

auf das Störfeld reagiert. Die entsprechende Information vermittelt die Kubo-Formel (3.60): 1 Δ(ρq )t = h¯ 

+∞       . dt  ! Ft  q ρq (t); ρq+ t 

(3.101)

q −∞

Die Translationssymmetrie des ungestörten Systems sorgt dafür, dass die retardierte Green-Funktion nur für q = q von Null verschieden ist. Dies bedeutet 



ρind (q, t) =

−e h¯

+∞     dt  ! Ft  (q) ρq (t); ρq+ t 

(3.102)

−∞

oder nach Fourier-Transformation:    −e¯v(q)  ρind (q, E) = ρext (q, E) ρq ; ρq+ E . h¯

(3.103)

Vergleicht man dieses Resultat nun mit dem klassischen Ausdruck (3.96), so zeigt sich, dass auch die Dielektrizitätsfunktion durch eine retardierte Green-Funktion bestimmt ist:   1 1 = 1 + v0 (q) ρq ; ρq+ E . (3.104) ε(q, E) h¯   Ist ε(q, E) sehr groß, so folgt nach (3.103) und (3.104) ρind −ρext . Die Abschirmung der Störladung durch die induzierten Ladungen im Elektronengas ist also praktisch vollständig. Der andere Grenzfall ε(q, E) → 0 entspricht einer Singularität der Green  Funktion ρq ; ρq+ E . Nach (3.103) genügen dann schon beliebig kleine Störladungen, um endliche Dichteschwankungen im Leitungselektronensystem zu provozieren. Die   Pole von ρq ; ρq+ E entsprechen deshalb gewissen Eigenschwingungen (Resonanzen) des Systems. Diesen kollektiven Anregungen des Elektronensystems ordnet man das Quasiteilchen Plasmon zu, in demselben Sinne, wie wir in Abschn. 2.4.3 zur Spinwelle das Quasiteilchen Magnon eingeführt haben. 3.1.6 Spektroskopien, Spektraldichte Eine weitere wichtige Motivation für die Beschäftigung mit Green-Funktionen ist ihr enger Bezug zu

Elementaranregungen des Systems, die mit geeigneten Spektroskopien direkt beobachtbar sind. Gewisse Green-Funktionen erlauben also einen unmittelbaren Zugang zum Experiment. Noch direkter gilt dieses eigentlich für eine weitere fundamentale Funktion, die aber in sehr engem Zusammenhang mit den Green-Funktionen steht, nämlich für die so genannte Spektraldichte.

126

3. Green-Funktionen

Abbildung 3.2 zeigt in schematischer Form, welche Elementarprozesse in vier bekannten Spektroskopien zur Bestimmung der elektronischen Struktur herangezogen werden. Die Photoemission (PES) und die Inverse Photoemission (IPE) sind so genannte Ein-Teilchen-Spektroskopien, da das System (der Festkörper) nach dem Anregungsprozess ein Teilchen mehr (weniger) als vor dem Prozess enthält. In der Photoemission wird die Energie h¯ω eines Photons von einem Elektron eines (teilweise) besetzten Energiebandes absorbiert. Der Zugewinn an Energie kann es dem Elektron gestatten, den Festkörper zu verlasssen. Eine Analyse der kinetischen Energie des Photoelektrons erlaubt dann Rückschlüsse auf die Energien der besetzten Zustände des betreffenden Energiebandes. Der Übergangsoperator Z−1 = aα entspricht dann dem Vernichtungsoperator aα , wenn sich das Elektron vor dem Anregungsprozess in dem Ein-Teilchen-Zustand |α befand. In der Inversen Photoemisssion läuft gewissermaßen der umgekehrte Prozess ab. Ein Elektron wird in den Festkörper ge schossen und landet dort in einem unbesetzten Zustand β des teilweise gefüllten e− EF

(1)

hω hω

e−

Z −1 = aα

EF

(2) Z

1

= aα+

e− EF

EC

(3) Z − 2 = aα aβ

e− EF

EC

(4) Z + 2 = aβ+ aα+

Abb. 3.2. Schematische Darstellung der zentralen Elementarprozesse in vier verschiedenen

Spektroskopien: 1. Photoemission (PES), 2. Inverse Photoemission (IPE), 3. Auger-Elektron Spektroskopie (AES), 4. Appearance-Potential Spektroskopie (APS). Zj is der Übergangsoperator, wobei j der beim Elementarprozess auftretenden Änderung in der Elektronenzahl entspricht

3.1

Vorbereitungen

127

Energiebandes. Die frei werdende Energie wird als Photon h¯ω emittiert und anschließend analysiert. Das System enthält nun ein Elektron mehr als vor dem Prozess. Das entspricht dem Übergangsoperator Z+1 = a†β . PES und IPE sind in gewisser Weise komplementäre Spektroskopien. Die erste gestattet Aussagen über besetzte, die andere über unbesetzte Zustände des Energiebandes. Auger-Elektronen-Spektroskopie (AES) und Appearance-Potential-Spektroskopie (APS) sind Zwei-Teilchen-Spektroskopien. Die Ausgangssituation der AES ist charakterisiert durch die Existenz eines Loches in einem tief liegenden core-Zustand. Ein Elektron des teilweise gefüllten Energiebandes wechselt in diesen core-Zustand und übergibt die frei werdende Energie einem anderen Elektron desselben Energiebandes, das damit den Festkörper verlassen kann. Die Analyse der kinetischen Energie des entweichenden Elektrons verschafft Information über die Energiestruktur der besetzten Bandzustände (Zwei-Teilchen-Zustandsdichte). Das System (Energieband) enthält nach dem Anregungsvorgang zwei Teilchen weniger als vorher: Z−2 = aα aβ . Praktisch der umgekehrte Prozess wird in der APS ausgenutzt. Ein Elektron landet auf einem unbesetzten Zustand des Energiebandes. Die dabei frei werdende Energie wird einem core-Elektron zur Anregung in einen weiteren freien Zustand des Bandes übertragen. Die sich daran anschließenden Abregungsprozesse können im Hinblick auf den unbesetzten Teil des Energiebandes analysiert werden. Das System (Energieband) enthält also nach dem Prozess zwei Elektronen mehr als vor dem Prozess. Als Übergangsoperator haben wir deshalb in diesem Fall: Z+2 = a†β a†α . AES und APS sind offensichlich komplementäre Zwei-Teilchen-Spektroskopien. Wir wollen nun mit einfachen Überlegungen die bei den einzelnen Messprozessen auftretenden Intensitäten abschätzen. Das zu untersuchende System werde durch den Hamilton-Operator  H = H − μN

(3.105)

 der Teilchenzahlbeschrieben. Dabei sind μ das chemische Potential und N Operator. Wir verwenden hier H anstelle von H, da wir im Folgenden Mittelungen in der großkanonischen Gesamtheit durchführen wollen. Diese bietet sich an, da  der oben diskutierte Übergangsoperator Zj die Teilchenzahl verändert. H und N sollen aber kommutieren, also einen gemeinsamen Satz von Eigenzuständen besitzen: H |En (N) = En (N) |En (N)

;

 |En (N) = N |En (N)

N

Damit besitzt H die Eigenwertgleichung: H |En (N) = (En (N) − μN) |En (N) → En |En

(3.106)

Um Schreibarbeit zu sparen, werden wir im Folgenden, so lange keine Verwechslungen zu befürchten sind, die Kurzform rechts verwenden, also für die Eigenwerte (En (N) − μN) kurz En und für die Eigenzustände |En (N) einfach |En

128

3. Green-Funktionen

schreiben. Die tatsächliche Abhängigkeit der Zustände bzw. Eigenenergien von der Teilchenzahl muss aber stets beachtet werden. Mit der Wahrscheinlichkeit 1 exp(−βEn )

Ξ

befindet sich das System bei der Temperatur T in einem Eigenzustand |En des Hamilton-Operators H. Ξ ist die großkanonische Zustandssumme:   Ξ = Sp exp(−βH . (3.107) Der Übergangsoperator Zr erzwingt einen Übergang zwischen den Zuständen |En und |Em mit der Wahrscheinlichkeit: | Em |Zr |En |2

r = ±1, ±2

Die Intensität der zu messenden Elementarprozesse entspricht der Gesamtzahl der Übergänge mit Anregungsenergien zwischen E und E + dE: 1  −βEn | Em |Zr |En |2 δ(E − (Em − En )) e (3.108) Ir (E) =

Ξ

m,n

Liegen die Anregungsenergien (Em − En ) hinreichend dicht, was für einen Festkörper, z. B., auf jeden Fall gilt, dann wird es sich bei Ir (E) um eine kontinuierliche Funktion der Energie E handeln. Wir vernachlässigen an dieser Stelle einige Nebeneffekte, die für eine quantitative Analyse des entsprechenden Experiments durchaus von Bedeutung sein können, die aber für den eigentlich interessierenden Prozess nicht entscheidend sind. Das gilt z. B. in PES und AES für die Tatsache, dass das den Festkörper verlassende Photoelektron noch eine Kopplung an das Restsystem aufweisen wird (sudden approximation). Ferner werden Matrixelemente für den Übergang vom Bandniveau ins Vakuumniveau hier nicht berücksichtigt. Die „nackte Linienform“ der genannten Spektroskopien sollte aber durch (3.108) korrekt beschrieben sein. Man beachte, dass für den Übergangsoperator † Zr = Z−r

(3.109)

gilt, d. h. komplementäre Spektroskopien werden in gewisser Weise miteinander zusammenhängen. Das soll jetzt genauer untersucht werden. 1  βE −βEm | Em |Zr |En |2 δ(E − (Em − En )) e e Ir (E) =

Ξ

m,n

1  βE −βEn | En |Zr |Em |2 δ(E − (En − Em )) = e e

Ξ

=

n,m

e βE 

Ξ

n,m

e −βEn | Em |Z−r |En |2 δ((−E) − (Em − En ))

3.1

Vorbereitungen

129

Im zweiten Schritt wurden lediglich die Summationsindizes n, m vertauscht; der letzte Übergang benutzte dann (3.109). Wir haben damit eine Symmetrierelation für komplementäre Spektroskopien abgeleitet: Ir (E) = e βE I−r (−E) Wir definieren nun die für das Folgende wichtige Spektraldichte: " # 1 (±) Sr (E) = I−r (E) ∓ Ir (−E) = e βE ∓ 1 Ir (−E) h¯

(3.110)

(3.111)

Die Vorzeichenfreiheit wird später gedeutet werden können. An (3.110) und (3.111) erkennt man, dass Intensitäten von komplementären Spektroskopien auf einfache Art und Weise durch ein und dieselbe Spektraldichte bestimmt sind. h¯ Ir (E) =

1

e −βE

∓1

S(±) r (−E)

e βE h¯ I−r (E) = βE S(±) (E) e ∓1 r

(3.112) (3.113)

Die neu eingeführte Spektraldichte hängt also sehr eng mit den Intensitäten der Spektroskopien zusammen. Wir wollen sie deshalb weiter untersuchen, indem wir eine Fourier-Transformation in die Zeitdarstellung durchführen: +∞ i 1  dE e − ¯h E(t−t ) I−r (E) 2πh¯ −∞ =

1 1  −βEn − i (Em −En )(t−t  ) † e e ¯h Em |Z−r |En En |Z−r |Em

2πh¯ Ξ m,n

=

i i i i 1 1  −βEn   e Em | e ¯h Ht Z−r e − ¯h Ht |En En | e ¯h Ht Zr e − ¯h Ht |Em

2πh¯ Ξ m,n

=

1 1  −βEn e En |Zr (t)|Em Em |Zr† (t  )|En

2πh¯ Ξ m,n

=

1 1  −βEn e En |Zr (t)Zr† (t  )|En

2πh¯ Ξ n

=

1 Zr (t) Zr† (t  )

2πh¯

Ganz analog findet man +∞ i 1 1  dE e − ¯h E(t−t ) Ir (−E) = Z † (t  ) Zr (t)

2πh¯ −∞ 2πh¯ r

130

3. Green-Funktionen

Das bedeutet mit (3.111) für die zweizeitige Spektraldichte: +∞ i 1  Sr(ε) (t, t  ) = dE e − ¯h E(t−t ) Sr(ε) (E) 2πh¯ −∞ =

 1  Zr (t), Zr† (t  ) −ε

2π

(3.114)

Dabei ist ε = ± lediglich ein zunächst willkürlicher Vorzeichenfaktor. [· · · , · · · ]−ε ist entweder der Kommutator oder der Antikommutator:   Zr (t), Zr† (t  ) −ε = Zr (t) Zr† (t  ) − ε Zr† (t  ) Zr (t) (3.115) Wir haben zeigen können, dass die Spektraldichte in (3.114) für die Intensitäten der Spektroskopien von zentraler Bedeutung ist. Es lässt sich aber darüberhinaus feststellen, dass die Verallgemeinerung der Spektraldichte auf beliebige Operatoren  A und  B in engem Zusammenhang mit der in (3.57) eingeführten retardierten Green-Funktion steht. Das gilt auch für die anderen, im nächsten Abschnitt noch zu definierenden Typen von Green-Funktionen. Die Spektraldichte (ε) (t, t  ) = SAB

  1   A(t),  B(t  ) −ε 2π

(3.116)

hat denselben fundamentalen Stellenwert für die Viel-Teilchen-Theorie wie die Green’s-Funktionen. 3.1.7 Aufgaben 3.1.1

Aufgabe 3.1.1 Berechnen Sie für das nicht wechselwirkende Elektronengas (He ) und das nicht wechselwirkende Phononengas (Hp ), 

  1 , ε(k)a+kσ akσ ; Hp = h¯ωr (q) b+qr bqr + He = 2 q, r k, σ

die Zeitabhängigkeiten der Vernichtungsoperatoren akσ (t), bqr (t) imHeisenbergBild.

3.1

Vorbereitungen

131

Aufgabe 3.1.2 A und B seien lineare Operatoren mit A =/ A(λ) und B =/ B(λ), λ ∈ R. 1. Schreiben Sie

e λA B e −λA =

∞ 

3.1.2

αn λn (αn Operatoren!)

n=0

2.

und berechnen Sie die Koeffizienten αn . Zeigen Sie, dass aus

[A, [A, B]− ]− = 0 folgt:

e λA B e −λA = B + λ[A, B]− . 3.

4.

Benutzen Sie die Teilergebnisse aus 1. und 2., um die Differentialgleichung # " d " λA λB #  = A + B + λ[A, B]− e λA e λB e e dλ für [A, [A, B]− ]− = [B, [A, B]− ]− = 0 abzuleiten. Beweisen Sie mit 3.: 1

e A e B = e A + B + 2 [A,B]− ,

falls [A, [A, B]− ]− = [B, [A, B]− ]− = 0.

Aufgabe 3.1.3 A(t) sei ein beliebiger Operator in der Heisenberg-Darstellung und ρ der statistische Operator:

ρ=

3.1.3

e −βH .  Sp e −βH

Beweisen Sie die Kubo-Identität:

i [A(t), ρ]− = ρ h¯

β

˙ − iλh¯). dλ A(t

0

Aufgabe 3.1.4 Zeigen Sie mithilfe der Kubo-Identität (Aufg. 3.1.3), dass sich die retardierte (Kommutator-)Green-Funktion wie folgt schreiben lässt:



     A(t); B t  ret = −h¯Θ t − t 

β 0

    dλ B˙ t  − iλh¯ A(t) .

3.1.4

132

3.1.5

3. Green-Funktionen

Aufgabe 3.1.5 Benutzen Sie die Kubo-Identität (Aufg. 3.1.3), um den Tensor der elektrischen Leitfähigkeit durch eine Strom-Strom-Korrelationsfunktion auszudrücken:

σβα (E) = V

β 0

dλ

∞

  dt j α (0)j β (t + iλh¯) exp

  i E + i0+ t . h¯

0

V ist das System-Volumen!

3.1.6

Aufgabe 3.1.6 Berechnen Sie den Stromdichteoperator ˆj im Formalismus der zweiten Quantisierung für die 1. Bloch-Darstellung, 2. Wannier-Darstellung.

Wie sieht in diesen Fällen der Leitfähigkeitstensor aus?

3.1.7

Aufgabe 3.1.7 Im so genannten Tight-Binding-Modell (s. Abschn. 2.1.3) für stark gebundene Festkörperelektronen gilt näherungsweise für das Matrixelement:     pijσ = d3 r wσ∗ r − Ri rwσ r − Rj Ri δij .

Hier ist wσ (r−Ri ) die um den Gitterplatz Ri zentrierte Wannier-Funktion (2.29). 1. Wie lauten Dipolmomentenoperator  P und Stromdichteoperator ˆj in zweiter Quantisierung bei Verwendung der Wannier-Darstellung? 2. Das wechselwirkende Elektronensystem werde durch einen HamiltonOperator der Form   Tij a+iσ ajσ + Vijσσ niσ njσ H= i, j, σ

i, j, σ , σ 

beschrieben. Berechnen Sie den Stromdichteoperator ˆj. Welche GreenFunktion bestimmt den Leitfähigkeitstensor σ αβ (E)?

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

133

3.2

3.2 Zweizeitige Green-Funktionen 3.2.1 Bewegungsgleichungen Zum Aufbau des vollen Green-Funktionsformalismus reicht die bisher eingeführte retardierte Funktion nicht aus. Man benötigt noch zwei weitere Typen GreenFunktionen:

Retardierte Green-Funktion        ret GAB t, t ≡ A(t); B t  ret =       = −i Θ t − t  A(t), B t  −ε .

Avancierte Green-Funktion        av t, t ≡ A(t); B t  av = GAB       = +i Θ t  − t A(t), B t  −ε .

(3.117)

(3.118)

Kausale Green-Funktion

       c GAB t, t ≡ A(t); B t  c =     . = −i Tε A(t)B t 

(3.119)

Die die Green-Funktionen aufbauenden Operatoren stehen hier in ihrer zeitabhängigen Heisenberg-Darstellung, d. h. nach (3.24) bei nicht explizit zeitabhängigem Hamilton-Operator:



 i i X(t) = exp Ht X exp − Ht . (3.120) h¯ h¯ H ist wie in (3.45) definiert: . H = H − μN

(3.121)

Gemittelt wird in der großkanonischen Gesamtheit: X =

1

Ξ

" # Sp e −βH X , "

(3.122)

#

Ξ = Sp e −βH .

(3.123)

134

3. Green-Funktionen

Ξ ist die großkanonische Zustandssumme. ε = ± ist der in Kap. 1 eingeführte Vorzeichenindex. Die Festlegung von ε in den Definitionen (3.117) bis (3.119) ist völlig willkürlich. Handelt es sich bei A und B um reine Fermi-(Bose-) Operatoren, so erweist sich die Wahl ε = −(+) als zweckmäßig, wie wir noch sehen werden. Sie ist aber keineswegs zwingend. Wir erinnern uns, dass       (3.124) [A(t), B t  ]−ε = A(t)B t  − εB t  A(t) für ε = + den Kommutator und für ε = − den Antikommutator meint. Bleibt schließlich noch der Wick’sche Zeitordnungsoperator Tε zu definieren, der Operatoren in einem Produkt nach ihren Zeitargumenten sortiert:          (3.125) Tε A(t)B t  = Θ t − t  A(t)B t  + εΘ(t  − t)B t  A(t) . Wegen ε ist er nicht mit dem Dyson’schen Zeitordnungsoperator TD (3.15) identisch. – Die Stufenfunktion Θ, ⎧ ⎨1   für t > t  , Θ t − t = (3.126) ⎩ 0 für t < t  , ist für geiche Zeiten nicht definiert. Dies gilt damit auch für die Green-Funktionen. Wegen des Mittelungsprozesses in den Definitionsgleichungen (3.117) bis (3.119) sind die Green-Funktionen auch temperaturabhängig. Wir werden später zeigen, wie man Zeit- und Temperaturvariable in einen engen Zusammenhang bringen kann (Kap. 6). Es gibt eine weitere, sehr wichtige Funktion der Viel-Teilchen-Theorie die wir bereits an dieser Stelle einführen wollen. Dies ist die so genannte Spektraldichte, deren Aussagekraft mit der der Green-Funktion identisch sein wird:      1  A(t), B t  −ε . SAB t, t  = 2π

(3.127)

Wir können nun die in Abschn. 3.1 schon mehrfach benutzte Tatsache beweisen, dass bei nicht explizit zeitabhängigem Hamilton-Operator Green-Funktionen und Spektraldichte homogen in der Zeit sind: ∂H α t, t   = G α t − t   (α = ret, av, c) , (3.128) = 0 ⇒ GAB AB ∂t     SAB t, t = SAB t − t  . (3.129) Der Beweis ist offensichtlich erbracht, wenn wir diese Homogenität für die so genannten Korrelationsfunktionen

   A(t)B t  ,

    B t A(t)

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

135

nachweisen können. Das gelingt durch Ausnutzen der zyklischen Invarianz der Spur:      Sp exp −βH A(t)B t  =   



 i i  i   = Sp exp(−βH) exp Ht A exp − H t − t B exp − Ht = h¯ h¯ h¯  

 

  i  i  = Sp exp(−βH) exp H t − t  A exp − H t − t  B = h¯ h¯     = Sp exp(−βH)A t − t  B(0) . Daraus folgt: 

      A(t)B t  = A t − t  B(0) .

(3.130)

       B t A(t) = B(0)A t − t  .

(3.131)

Analog findet man:

Damit sind (3.128) und (3.129) bewiesen! Zur konkreten Berechnung der Green-Funktion benötigen wir in der Regel deren Bewegungsgleichung. Diese ergibt sich unmittelbar aus der allgemeinen Bewegungsgleichung (3.27) für Heisenberg-Operatoren. Wegen     d  d  Θ t − t = δ t − t = −  Θ t − t dt dt findet man für alle drei Green-Funktionen (3.117) bis (3.119) formal dieselbe Bewegungsgleichung:

i¯ h

      ∂ α   G t, t = h¯δ t − t  [A, B]−ε + [A, H]− (t); B t  α . ∂t AB

(3.132)

Die Lösungen für die drei Funktionen unterliegen allerdings verschiedenen Randbedingungen:   ret t, t = 0 für t < t  , (3.133) GAB   av t, t  = 0 für t > t  , GAB (3.134) ⎧ ⎨−i  A t − t   B(0)   für t > t  , c  GAB t, t = (3.135)    ⎩ für t < t  . −iε B(0)A t − t  Auf der rechten Seite von (3.132) taucht eine neue Green-Funktion auf, da der Kommutator [A, H]− selbst ein Operator ist. Es handelt sich dabei in aller Regel um eine so genannte höhere Green-Funktion, d. h. um eine, die aus mehr Operatoren aufgebaut

136

3. Green-Funktionen

α t, t  . Es gibt für diese natürlich ebenfalls eine ist als die ursprüngliche Funktion GAB Bewegungsgleichung vom Typ (3.132), in der dann auf der rechten Seite eine weitere neue Green-Funktion erscheint,

i¯ h

      ∂  [A, H]− (t); B t  α = h¯δ t − t  [[A, H]− , B]−ε + ∂t +



   [[A, H]− , H ]− (t); B t  α ,

(3.136)

auf die das Verfahren dann erneut angewendet werden kann, usw. Dies führt bei nichttrivialen Problemen zu einer unendlichen Kette von Bewegungsgleichungen, die zur approximativen Lösung an irgendeiner Stelle entkoppelt werden muss. Letzteres sollte allerdings physikalisch begründbar sein. Zweckmäßiger als die Zeitdarstellung der Green-Funktionen und der Spektraldichte ist häufig ihre Energiedarstellung: α (E) ≡  A; B  α = GAB E 

+∞  α     i     = , d t − t GAB t − t exp E t−t h¯

(3.137)

−∞

α t − t   = GAB



+∞  i  α  . dE GAB (E) exp − E t − t 2πh¯ h¯ 1

(3.138)

−∞

Ebenso transformiert sich die Spektraldichte. Benutzt man dann noch die FourierDarstellungen der δ-Funktionen,   1 δ E − E = 2πh¯   1 δ t − t = 2πh¯



+∞     i , d t − t  exp − E − E t − t  h¯

(3.139)



+∞  i  , dE exp E t − t h¯

(3.140)

−∞

−∞

so wird aus der Bewegungsgleichung (3.132): E A; B

αE = h¯ [A, B]−ε +



 [A, H]− ; B αE .

(3.141)

Es handelt sich nun nicht mehr um eine Differentialgleichung, sondern um eine rein algebraische Gleichung. Allerdings ergibt sich auch jetzt eine unendliche Kette von solchen Bewegungsgleichungen, die entkoppelt werden muss. – Die unterschiedlichen Randbedingungen (3.133) bis (3.135) manifestieren sich in der Energiedarstelα (E) in der lung in unterschiedlichem analytischen Verhalten der Green-Funktion GAB komplexen E-Ebene. Dies soll im nächsten Abschnitt untersucht werden.

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

137

3.2.2 Spektraldarstellungen Um das aus (3.141) entstehende Gleichungssystem durch Randbedingungen zu ergänzen, ist es wichtig, die so genannten Spektraldarstellungen der Green-Funktionen zu kennen.   Es seien En und  En Eigenenergien und Eigenzustände des Hamilton-Operators H des betrachteten physikalischen Systems:

    H  En = En  En .

(3.142)

  Die Zustände  En mögen ein vollständiges, orthonormiertes System bilden:         En En  = 1 ; En  Em = δnm . (3.143) n

       Wir wollen zunächst die Korrelationsfunktionen A(t)B t  , B t  A(t) diskutieren:          −βH    En  e Ξ A(t)B t  = Sp e −βH A(t)B t  = A(t)B t   En = n

=



       En  A(t)  Em Em  B t   En e −βEn =

n, m

=



      En  A  Em Em  B  En e −βEn ·

n, m

   i En − Em t − t  = · exp h¯        En  B  Em Em  A  En e −βEn e −β(Em − En ) · = 

(3.144)

n, m

    i  . · exp − En − Em t − t h¯ Im dritten Schritt haben wir zwischen die Operatoren den vollständigen Satz von Eigenzuständen eingeschoben, wodurch die Zeitabhängigkeit der Heisenberg-Operatoren trivial wird. Im letzten Schritt haben wir noch die Indizes n und m vertauscht. – Ganz analog ergibt sich für die zweite Korrelationsfunktion:              −βE En  B  Em Em  A  En e n · Ξ B t  A(t) = n, m

    i  . · exp − En − Em t − t h¯

(3.145)

Einsetzen von (3.144) und (3.145) in (3.127) führt nach Fourier-Transformation auf die wichtige

138

3. Green-Funktionen

Spektraldarstellung der Spektraldichte h¯          −βEn En B Em Em A En e · SAB (E) =

Ξ n, m ·

"

#    δ E − En − Em .

(3.146)

e βE − ε

Man beachte, dass in den Argumenten der δ-Funktionen die möglichen Anregungsenergien des Systems stehen. Wir wollen nun die Green-Funktionen durch die Spektraldichte ausdrücken. Dazu benutzen wir die folgende Darstellung der Stufenfunktion:   +∞    i e −ix t − t  Θ t−t = dx . (3.147) 2π x + i0+ −∞

Der Beweis gelingt leicht mithilfe des Residuensatzes. Mit (3.147) lässt sich die retardierte Green-Funktion (3.117) wie folgt umformen:

 +∞          i  ret −iΘ t−t  2πSAB t−t  = d t−t  exp E t−t  GAB (E) = h¯ −∞



+∞     i    = −iΘ t−t  · d t−t exp E t−t h¯ −∞

1 · h¯



+∞  i  dE SAB (E ) exp − E t−t  = h¯

−∞

  +∞ +∞ SAB E = dE dx · x + i0+ −∞

−∞

  +∞      i  · = d t−t exp − h¯x − E + E t−t 2πh¯ h¯ 1

−∞

   +∞  SAB E 1 1  E−E x− . dE dx δ x + i0+ h¯ h¯

+∞ = −∞



−∞

Damit haben wir die Spektraldarstellung der retardierten Green-Funktion ret GAB (E)

+∞ = dE −∞

  SAB E . E − E + i0+

(3.148)

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

139

Die Behandlung der avancierten Funktion erfolgt völlig analog: Gav AB (E)

 +∞        i  = d t − t  exp E t − t  iΘ t  − t 2πSAB t − t  = h¯ −∞

  +∞ +∞ SAB E  = dE dx · x + i0+ −∞

−∞

−1 · 2πh¯

  +∞     i d t − t  exp − −h¯x − E + E t − t  = h¯

−∞

 

 +∞ +∞  SAB E 1 1   =− dE dx δ −x − E−E . x + i0+ h¯ h¯ −∞

−∞

Dies ergibt die Spektraldarstellung der avancierten Green-Funktion   +∞ SAB E av (E) = dE . GAB E − E − i0+

(3.149)

−∞

Das Vorzeichen von i0+ ist der einzige, aber wichtige Unterschied zwischen retardierter und avancierter Funktion, aus dem das unterschiedliche analytische Verhalten resultiert: ret ist in die obere, G av in die untere Halbebene analytisch fortsetzbar! GAB AB

Die noch zu besprechende kausale Green-Funktion ist dagegen weder in die obere noch in die untere Halbebene fortsetzbar. Wenn wir nun die Spektraldarstellung (3.146) der Spektraldichte in (3.148) bzw. (3.149) einsetzen, so ergibt sich der folgende bemerkenswerte Ausdruck: ret

av = GAB

h¯  

Ξ n, m

      En  B  Em Em  A  En e −βEn

e β(En − Em ) − ε   . E − En − Em ± i0+

(3.150)

Es handelt sich also in beiden Fällen um eine meromorphe Funktion mit einfachen Polen bei den exakten Anregungsenergien des wechselwirkenden Systems. Wenn wir in der Lage sind, die Green-Funktion irgendwie zu bestimmen, so können wir an   den Singularitäten genau die Energien En − Em ablesen, für die die Matrixelemente der Operatoren A und B von Null verschieden sind. Man kann also durch passende Wahl von A und B dafür sorgen, dass ganz bestimmte Anregungsenergien als Pole in Erscheinung treten. Wegen ihrer identischen physikalischen Aussagekraft fasst man die retardierte und die avancierte Green-Funktion bisweilen zu einer einzigen Funktion GAB (E) zusam-

140

3. Green-Funktionen

ret und G av als die beiden Zweige einer einheitlichen men. Konkret betrachtet man GAB AB Green-Funktion in der komplexen E-Ebene:   ⎧ +∞ ⎨G ret (E) , S falls Im E > 0 , AB E AB GAB (E) = dE = (3.151)  ⎩ av E−E G (E) , falls Im E < 0 . AB −∞

Die Singularitäten liegen nun auf der reellen Achse. Wir haben in (3.148), (3.149) und (3.151) die Green-Funktionen durch die Spektraldichte ausgedrückt. Mithilfe der Dirac-Identität   1 1 (3.152) =P ∓ iπδ x − x0 , + x − x0 ± i0 x − x0 in der P den Cauchy’schen Hauptwert bezeichnet, können wir auch leicht die Umkehrung ableiten:     i  SAB (E) = GAB E + i0+ − GAB E − i0+ . (3.153) 2π Wenn man die Spektraldichte in (3.151) als reell voraussetzt, so folgt: ret 1 av (E) . SAB (E) = ∓ Im GAB (3.154)

π

Es fehlt nun noch die Spektraldarstellung der kausalen Green-Funktion. Ausgehend von der Definition (3.119) 

+∞         i  c (E) = −i d t − t  exp Θ t − t  A(t)B t  + GAB E t − t h¯ −∞

     + εΘ t  − t B t  A(t) erhalten wir nach Einsetzen von (3.144), (3.145) und (3.147): c (E) = GAB

=

1 

Ξ n, m

      1 En BEm Em AEn e −βEn 2π

+∞ +∞ dt  dx −∞

−∞

1 · x + i0+

         i E − En − Em − h¯x t + · exp[β En − Em ] exp h¯      i E − En − Em + h¯x t  = + ε exp h¯         h¯ = En  B  Em Em  A  En e −βEn ·

Ξ n, m

+∞ dx ·

   1  β(En − Em )  e δ E − En − Em − h¯x + + x + i0 −∞     + εδ E − En − Em + h¯x .

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

141

Dies ergibt die Spektraldarstellung der kausalen Green-Funktion h¯          −βEn c En B Em Em A En e (E) = · GAB

Ξ n, m $

·

e β(En − Em ) ε     − + E − En − Em + i0 E − En − Em − i0+

%

(3.155) .

Die kausale Green-Funktion hat also sowohl in der unteren als auch in der oberen Halbebene Singularitäten, ist also in keine von beiden analytisch fortsetzbar. Für konkrete Rechnungen sind deshalb in der Regel die retardierte und die avancierte Funktion bequemer. Die später zu besprechende Diagrammtechnik ist dagegen nur mit der kausalen Funktion durchführbar. 3.2.3 Spektraltheorem Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass aus den Green-Funktionen bzw. aus der Spektraldichte wertvolle mikroskopische Informationen über das betrachtete physikalische System zugänglich wird. Die Singularitäten dieser Funktionen sind mit den Anregungsenergien des Systems identisch. Die Green-Funktionen liefern aber noch wesentlich mehr. Wir werden nun zeigen, dass die gesamte makroskopische Thermodynamik durch passend definierte Green-Funktionen festgelegt ist. Zu diesem Zweck leiten wir zunächst das fundamentale Spektraltheorem ab. Wir beginnen mit der Korrelationsfunktion     B t A(t) ,

deren Spektraldarstellung (3.145) der entsprechenden Darstellung (3.146) der Spektraldichte sehr ähnlich ist. Die Korrelation lässt sich deshalb durch die Spektraldichte ausdrücken. Dies gelingt unmittelbar durch die Antikommutator-Spektraldichte (ε = −). Kombination von (3.145) und (3.146) liefert: 

+∞     1  S (−) (E) i   B t A(t) = . (3.156) dE AB exp − E t − t h¯ h¯ e βE + 1 −∞

Diese fundamentale Beziehung wird Spektraltheorem genannt. Mit ihr lassen sich beliebige Korrelationsfunktionen und Erwartungswerte (t = t  ) über passend definierte Spektraldichten berechnen. Man hat jedoch zu beachten, dass bei Verwendung von Kommutator-Spektraldichten (ε = +) der obige Ausdruck um eine Konstante D erweitert werden muss, sodass das Spektraltheorem vollständig wie folgt formuliert werden muss:     1 B t A(t) = h¯



+∞  S (ε) (E) 1 i   E t − t + (1 + ε)D . dE AB exp − β E h¯ 2 e −ε

−∞

(3.157)

142

3. Green-Funktionen

Dass im (ε = +)-Fall zu (3.156) ein Korrekturterm hinzukommen muss, macht das folgende Beispiel klar. Ersetzen wir in der Definition (3.127) für die KommutatorSpektraldichte die Operatoren A und B durch ! A = A − A ;

! B = B − B ,

(3.158)

so ändert sich die Spektraldichte selbst überhaupt nicht:   (+)  (+)  t − t  = S! t − t . SAB A! B Ohne D würde sich also auch die rechte Seite von (3.156) nicht ändern, wohl hingegen die linke Seite:         ! B t ! (3.159) A(t) = B t  A(t) − B A . Die Kommutator-Spektraldichte bestimmt also die Korrelationsfunktion nicht vollständig. Die Ursache lässt sich an (3.146) ablesen, wenn man die Spektraldichte in einen diagonalen und einen nichtdiagonalen Anteil zerlegt: (ε) (ε) SAB (E) =  SAB (E) + h¯ (1 − ε)Dδ(E) .

(3.160)

Dabei gilt: (ε)  SAB (E) =

E =/ E h¯ nm 

Ξ ·

D=

      En  B  Em Em  A  En e −βEn ·

n, m

"

#    e βE − ε δ E − En − Em ,

E =E 1 nm 

Ξ

      En  B  Em Em  A  En e −βEn .

(3.161) (3.162)

n, m

In der Kommutator-Spektraldichte tauchen die in D enthaltenen Diagonalterme nicht auf. Sie werden allerdings zur Bestimmung der Korrelationsfunktionen (3.144) und (3.145) benötigt. Die (ε = +)-Spektraldichte reicht deshalb zur Festlegung der Korrelationen nicht aus, falls die Diagonalelemente von Null verschieden sind. Es gilt vielmehr     1 B t A(t) = D + h¯ 

  1 A(t)B t  = D + h¯



+∞   S (ε) (E) i   , dE AB exp − E t − t h¯ e βE − ε

(3.163)



+∞   S (ε) (E) e βE i  , dE ABβE exp − E t − t  h¯ e −ε

(3.164)

−∞

−∞

wie man direkt an den allgemeinen Spektraldarstellungen (3.144) und (3.145) abliest. (+) Beim Einsetzen in die Kommutator-Green-Funktion GAB (E) oder in die Kommutator-

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

143

Spektraldichte fällt die Konstante D heraus. Die Spektraldarstellung der in (3.151) definierten Green-Funktion GAB (E) lautet damit: (−) GAB (E) =

=

h¯  

Ξ n, m

      e β(En − Em ) + 1 ,  En  B  Em Em  A  En e −βEn E − En − Em

(3.165)

(+) (E) = GAB

=

E =/ E h¯ nm 

Ξ

n, m

      e β(En − Em ) − 1 .  En  B  Em Em  A  En e −βEn E − En − Em

(3.166)

(ε) (E) nur Der folgende Grenzübergang, der im Komplexen durchzuführen ist, da GAB dort definiert ist, (ε) lim EGAB (E) = (1 − ε)h¯D ,

E→0

(3.167)

liefert eine praktische Möglichkeit zur Bestimmung der Konstanten D. Das allgemeine Spektraltheorem (3.157) erfordert D bei Benutzung der Kommutator-Funktionen. Bestimmen können wir diese über (3.167) aus der zugehörigen Antikommutator(−) (E). – Zwei weitere wichtige Konsequenzen lassen sich an (3.167) Green-Funktion GAB ablesen: (+) (E) ist in jedem Fall regulär im Nullpunkt. 1. Die Kommutator-Green-Funktion GAB Diese Tatsache kann als Kriterium für approximative Lösungen verwendet werden. (−) (E) hat im Fall D =/ 0 bei E = 0 einen 2. Die Antikommutator-Green-Funktion GAB Pol erster Ordnung mit dem Residuum 2h¯D. Wir werden einfache Anwendungen des fundamentalen Spektraltheorems in Abschn. 3.3 diskutieren. 3.2.4 Exakte Relationen Für realistische Probleme sind Green-Funktionen und Spektraldichten leider fast nie exakt berechenbar. Approximationen müssen deshalb toleriert werden. Dann ist es aber sehr nützlich, einige allgemeine exakte Relationen (Grenzfälle, Symmetrierelationen, Summenregeln usw.) zur Verfügung zu haben, an denen man die Näherungen testen kann. Wir listen in diesem Abschnitt einige solcher exakten Relationen auf. Direkt an den allgemeinen Definitionen der Green-Funktionen liest man ab:     ret av  t, t = εGBA t ,t . (3.168) GAB

Mit (3.117) und (3.118) gilt nämlich:         A(t); B t 

ret = −iΘ t − t  A(t), B t  −ε =        = +iεΘ t − t  B t  , A(t) −ε =     = ε B t  ; A(t) av .

144

3. Green-Funktionen

Nach Fourier-Transformation wird aus (3.168):

 +∞  ret     i  t − t  exp d t − t  GAB E t − t = h¯

−∞



+∞  av      i  E t − t = t − t exp =ε d t − t  GBA h¯ −∞

  +∞    av     i t − t exp (−E) t  − t . =ε d t  − t GBA h¯ −∞

Dies bedeutet: ret av GAB (E) = εGBA (−E) (E reell) .

(3.169)

ret (E) und G av (E) nur in jeweils Ist E komplex, so hat man zu bedenken, dass GAB AB einer Halbebene analytisch sind. Bei komplexem E empfiehlt sich die kombinierte Funktion (3.151), die wiederum für reelle E nicht definiert ist:

GAB (E) = εGBA (−E)

(E komplex) .

Für retardierte wie avancierte Green-Funktionen gilt gleichermaßen:  ret, av   ∗ av    GAB t, t . = εGAret, + B+ t, t

(3.170)

(3.171)

Diese direkt aus der Definition folgende Beziehung hat für den Fall, dass die Green  Funktionen aus hermiteschen Operatoren A = A+ , B = B+ aufgebaut sind, wie z. B. die Response-Größen aus Abschn. 3.1, die Konsequenz, dass die KommutatorFunktionen rein reell und die Antikommutator-Funktionen rein imaginär sind. Mit der Bewegungsgleichung (3.141) führen wir die folgende Umformung durch: +∞     dE E A; B Eret − h¯ [A, B]−ε = −∞

+∞   = dE [A, H]− ; B Eret = −∞

 +∞ ∞   i dE (−i) dt [[A, H]− (t), B(0)]−ε exp = Et = h¯ −∞

∞ = h¯

0

   ˙ dt A(t), B(0) −ε

−∞

0

= 2πh¯2

 +∞ i dE exp Et = h¯

∞ dt 0

   ˙ A(t), B(0) −ε δ(t) .

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

145

Wegen ∞

dx δ(x)f (x) =

1 f (0) 2

(3.172)

0

folgt schließlich: +∞    ret   ˙ dE EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε = πh¯2 A(0), B(0) −ε .

(3.173)

−∞

Die analogen Beziehungen für die beiden anderen Green-Funktionen lauten: +∞    av   ˙ dE EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε = −πh¯2 A(0), B(0) −ε ,

(3.174)

−∞

+∞     c   ˙ ˙ dE EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε = πh¯2 A(0)B(0) + ε B(0)A(0) .

(3.175)

−∞

Die Bedeutung dieser Relationen liegt in dem folgenden Schluss: Die rechten Seiten sind als Erwartungswerte von Produkten aus Operatoren (Observablen) endliche Größen. Die Integrale auf den linken Gleichungsseiten müssen deshalb konvergieren. Notwendige Bedingung dafür ist: α (E) ≈ lim GAB

E→∞

h¯ [A, B]−ε . E

(3.176)

Der Erwartungswert rechts ist in aller Regel direkt berechenbar, so dass das Hochenergieverhalten der Green-Funktion auf einfache Weise bestimmbar ist. Man denke αβ z. B. an die wichtigen Response-Größen χij (E), σ αβ (E), ε(q, E) aus Abschn. 3.1. Für die Spektraldichte SAB (E) existieren nützliche Summenregeln, die unabhängig von der Funktion selbst berechnet werden können und deshalb als Kontrolle für die unvermeidlichen Näherungsverfahren dienen. Aus der Definition der Spektraldichte in (3.167) folgt:  

      ∂ n ∂ n 2πSAB t, t = i¯ [A(t), B t  ]−ε = i¯ h h ∂t ∂t  

+∞  ∂ n1 i  = i¯ h dE SAB (E) exp − E t − t  = (3.177) ∂t h¯ h¯ −∞

1 = h¯



+∞  i  n  . dE SAB (E)E exp − E t − t h¯

−∞

146

3. Green-Funktionen

Für t = t  ergeben sich hieraus die so genannten Spektralmomente (n) MAB

1 = h¯

+∞ dE E n SAB (E) .

(3.178)

−∞

Setzen wir auf der linken Seite von (3.177) die Bewegungsgleichung (3.27) für Heisen  berg-Operatoren ein und bedenken wir, dass wir auf SAB t, t  mit demselben Resultat p  ∂ n  ∂ n − p  −i¯ statt i¯ h ∂t auch i¯ h ∂t h ∂∂t  mit 0 ≤ p ≤ n hätten wirken lassen können, so ergibt sich die folgende alternative Darstellung der Momente:  (n) = [ [· · · [[A, H]− , H ]− · · · H ]− , [H, · · · [H, B]− · · · ]− ]−ε MAB & '( ) & '( ) (3.179) p-facher Kommutator (n − p)-facher Kommutator (0 ≤ p ≤ n ;

n = 0, 1, 2, . . . )

Bei bekanntem Hamilton-Operator lassen sich über diese Beziehung im Prinzip alle Momente der Spektraldichte exakt berechnen, und das unabhängig von SAB (E). Mit den Spektralmomenten läßt sich eine häufig sehr nützliche Hochenergieentwicklung für die Green’s-Funktionen formulieren. Für die „kombinierte“ Green’s-Funktion (3.151) gilt +∞ SAB (E ) GAB (E) = dE E − E −∞

1 = E

+∞ SAB (E ) dE  1 − EE

−∞

+∞

 n ∞ 1 E   = dE SAB (E ) E n=0 E −∞

Der Vergleich mit (3.178) liefert dann: GAB (E) = h¯

∞ (n)  MAB En+1 n=0

(3.180)

Dieses bedeutet für das extreme Hochenergieverhalten (E → ∞) (vgl. (3.176)): h¯ (0) h¯ M = [A, B]−ε

(3.181) E AB E Die rechte Seite ist in der Regel leicht berechenbar. Das Hochenergieverhalten der wichtigen Response-Funktionen aus Abschn. 3.1, z. B., ist damit bereits bekannt. GAB (E) ≈

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

147

3.2.5 Kramers-Kronig-Relationen ret und G av vollständig durch Nach (3.148) bzw. (3.149) sind die Green-Funktionen GAB AB die Spektraldichte SAB festgelegt. Andererseits ist diese wiederum nach (3.154) allein aus dem Imaginärteil dieser Funktionen ableitbar. Real- und Imaginärteile der GreenFunktionen sind demnach nicht unabhängig voneinander. Man betrachte das Integral * ret (E) GAB . IC (E) = dE E − E − i0+ C ret (E) GAB

ist analytisch in der gesamten oberen Halbebene. Dies gilt, wenn wir E als reell voraussetzen, dann auch für den kompletten Integranden, sodass IC (E) = 0 folgt. Schließen wir den Halbkreis im Unendlichen, so verschwindet der Integrand wegen (3.176) auf diesem. Es bleibt damit, wenn wir die Dirac-Identität (3.152) benutzen: +∞ dE 0= −∞

ret (E) GAB =P E − E − i0+

+∞ G ret (E) ret + iπGAB dE AB (E) . E−E

−∞

Daraus folgt: ret (E) GAB

+∞ G ret (E) . = P dE AB π E−E

i

(3.182)

−∞

Ganz analog findet man, wenn man den Halbkreis in der unteren Halbebene schließt, av (E) analytisch ist, und −i0+ durch +i0+ ersetzt: in der GAB av GAB (E)

+∞ G av (E) . =− P dE AB π E−E

i

(3.183)

−∞

Genau genommen braucht man die vollen Green-Funktionen gar nicht zu kennen. Es reicht die Bestimmung des Real- oder des Imaginärteils aus. Der jeweils andere Teil folgt dann aus den an (3.182) und (3.183) ablesbaren Im E C Abb. 3.3. Integrationsweg in der komplexen E-Ebene zur

Re E

Berechnung des Integrals IC (E)

148

3. Green-Funktionen

Kramers-Kronig-Relationen ret av (E) Re GAB

ret +∞ av (E) Im GAB , =∓ P dE π E−E

(3.184)

ret +∞ av (E) Re GAB . =± P dE π E−E

(3.185)

1

−∞

ret av (E) Im GAB

1

−∞

Setzen wir voraus, dass die Spektraldichte SAB (E) reell ist, so gilt (3.154) und damit: ret (E) Re GAB

+∞ SAB (E) , =P dE E−E

=

av Re GAB (E)

=

av − Im GAB (E)

(3.186)

−∞

ret Im GAB (E)

= −πSAB (E) .

(3.187)

Die Verbindung zur kausalen Green-Funktion gelingt mit (3.146) und (3.155):

e βE + ε Im GcAB (E) = −πSAB (E) βE , e −ε

(3.188)

ret, av c Re GAB (E) = Re GAB (E) .

(3.189)

Während (3.184) und (3.185) noch allgemein gültig sind, setzen (3.186) bis (3.189) voraus, dass die Spektraldichte reell ist. Ist dies, wie in der Regel, der Fall, so können diese Relationen als Transformationsformeln für den Wechsel von einem Typ GreenFunktion zum anderen herhalten. Dies ist nicht ganz unwichtig, da, wie bereits erret, av benutzt, die später zu besprechende wähnt, die Bewegungsgleichungsmethode GAB c Diagrammtechnik dagegen GAB .

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

149

3.2.6 Aufgaben Aufgabe 3.2.1 Beweisen Sie

3.2.1

    d  d  Θ t − t = δ t − t = −  Θ t − t , dt dt

  wobei Θ t − t  die Stufenfunktion sein soll.

Aufgabe 3.2.2 Leiten Sie die Bewegungsgleichung der kausalen Green’schen   c t, t  ab. Funktion GAB

3.2.2

Aufgabe 3.2.3 Zeigen Sie, dass für zeitabhängige Korrelationsfunktionen   B(0)A(t + i¯ hβ) = A(t)B(0)

3.2.3

gilt, falls der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt.

Aufgabe 3.2.4 Beweisen Sie die Darstellung (3.147) der Stufenfunktion:

  i Θ t − t = 2π

3.2.4

+∞  e −ix(t − t ) dx . x + i0+

−∞

Aufgabe 3.2.5 Beweisen Sie, dass eine komplexe Funktion F(E) eine analytische Fortsetzung in die obere (untere) Halbebene besitzt, wenn ihre FourierTransformierte f (t) für t < 0 (t > 0) verschwindet.

3.2.5

Aufgabe 3.2.6 Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus Aufg. 3.1.7 den Leitfähigkeitstensor für das nicht wechselwirkende Elektronensystem

3.2.6

Aufgabe 3.2.7 Zeigen Sie, dass für retardierte und avancierte Green-Funktionen gleichermaßen gilt:     ret (av)    ∗ GAB t, t t, t . = εGAret+ B(av) +

3.2.7

150

3.2.8

3. Green-Funktionen

Aufgabe 3.2.8 Beweisen Sie für die kausale Green-Funktion die Beziehung (3.175):

+∞     c ˙ ˙ dE [EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε ] = πh¯2 A(0)B(0) + ε B(0)A(0) . −∞

3.2.9

Aufgabe 3.2.9 Berechnen Sie für ein System von wechselwirkungsfreien Elektronen,

H=

 k, σ

ε(k)a+kσ akσ ,

sämtliche Spektralmomente,   + Mk(n) σ = [. . .[akσ , H]− , . . . , H]− , H]− , akσ ]+ , und daraus die exakte Spektraldichte: Skσ (E) = −

1

π

  Im akσ ; a+kσ Eret .

3.2

Zweizeitige Green-Funktionen

151

Aufgabe 3.2.10 Betrachten Sie ein freies, spinloses Teilchen in einer Dimension:

H=

p2 , 2m

[x, p]− = i h¯

Der (gemischte) Zustand des Systems sei durch den Dichteoperator

ρ = e −βH (nicht normiert) gegeben. β = kB1T ist ein Parameter. 1. Berechnen Sie die Spur des Dichteoperators: Sp(ρ) = e −βH dp 2.

Zeigen Sie, dass für den Energie-Erwartungswert 1 H = kB T 2

3.

4. 5.

gilt. H soll jetzt aus der Kommutator-Greenfunktion Gp(+) (E) = p; p

(ε = +) berechnet werden. Lösen Sie die Bewegungsgleichung für Gp(+) (E)! (Das Ergebnis ist trivial.)   1 p · p aus dem SpektraltheoVersuchen Sie, den Erwartungswert H = 2m rem zu bestimmen. Beachten Sie dabei die Konstante D (s. (3.157))! Berechnen Sie die Konstante D mithilfe der Beziehung lim EGp(−) (E) = 2h¯D

E→0

6.

aus der Lösung der Bewegungsgleichung der Antikommutator-Greenfunktion Gp(−) (E) = p; p

(ε = −) ! Gelingt die Bestimmung von H ? Es sei nun ein infinitesimales, symmetriebrechendes Feld durch H =

7. 8. 9.

m p2 + ω2 x2 2m 2

(ω → 0)

eingeführt. Stellen Sie die Bewegungsgleichung für die Kommutator-Greenfunktion auf und lösen Sie diese für ω =/ 0! (Dazu ist auch die KommutatorGreenfunktion x; p

(ε = +) zu bestimmen.) Bestimmen Sie die Konstante D! Berechnen Sie H ω aus dem Spektraltheorem für Gp(+) (E) für ω =/ 0! Zeigen Sie, dass   1 lim H  ω = kB T . 2

ω→0

3.2.10

152

3.3

3. Green-Funktionen

3.3 Erste Anwendungen Wir wollen in diesem Abschnitt den abstrakten Green-Funktionsformalismus des letzten Abschnitts auf einfache Systeme anwenden. Deren Eigenschaften sind natürlich aus der elementaren statistischen Mechanik bekannt. Sie helfen uns hier lediglich, mit der Methode vertraut zu werden. 3.3.1 Nicht wechselwirkende Bloch-Elektronen Wir diskutieren als erstes Beispiel ein System von nicht miteinander, nur mit dem periodischen Gitterpotential wechselwirkenden Festkörperelektronen, beschrieben durch den Hamilton-Operator (2.22):

, H0 = H0 − μN 

H0 =

kσ



= N

kσ

(3.190)

ε(k)a+kσ akσ ,

(3.191)

a+kσ akσ .

(3.192)

Wir können alle uns interessierenden Eigenschaften des Elektronensystems aus der so genannten Ein-Elektronen-Green-Funktion Gkασ (E) =



 akσ ; a+kσ αE ,

α = ret, av, c ; ε = − .

(3.193)

ableiten. Da es sich um ein reines Fermionensystem handelt, ist die Wahl der Antikommutator-Green-Funktion (ε = −) nahe liegend, jedoch nicht zwingend. Wir gehen bei der Lösung dieses einfachen Problems genauso vor, wie man auch in komplizierteren Fällen verfahren würde. Der erste Schritt ist das Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung:     (3.194) EGkασ (E) = h¯ [akσ , a+kσ ]+ + [akσ , H0 ]− ; a+kσ α . Mithilfe der fundamentalen Vertauschungsrelationen (2.23) und (2.24) für Fermionen findet man leicht:   ε(k ) − μ [akσ , a+k σ ak σ ]− = [akσ , H0 ]− = k  ,σ 

=



k  ,σ 



ε(k ) − μ δkk δσσ ak σ =

  = ε(k) − μ akσ .

(3.195)

3.3

Erste Anwendungen

153

Dies führt nach Einsetzen in (3.194) zu der einfachen Bewegungsgleichung:   EGkασ (E) = h¯ + ε(k) − μ Gkασ (E) .

(3.196)

Auflösen und Erfüllen der Randbedingungen durch Einfügen von +i0+ bzw. −i0+ ergibt: Gkret, σ

av

(E) =

h¯   . E − ε(k) − μ ± i0+

(3.197)

Die Singularitäten dieser Funktion entsprechen offensichtlich den möglichen Anregungsenergien des Systems. Bei komplexem Argument E benutzen wir die kombinierte Green-Funktion (3.151): Gkσ (E) =

h¯ . E − ε(k) − μ 

(3.198)

Wichtig ist die Ein-Elektronen-Spektraldichte    Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) − μ .

(3.199)

Wie sehen die zugehörigen zeitabhängigen Funktionen aus? Betrachten wir zunächst die retardierte Green-Funktion: Gkret σ

  1 t − t = 2πh¯



+∞  i  h¯    dE exp − E t − t . h¯ E − ε (k) − μ + i0+

−∞

  Wir substituieren E durch E = E − ε(k) − μ : Gkret σ

     +∞     1 exp − ¯hi E t − t  i   t − t = exp − ε (k) − μ t − t dE . h¯ 2π E + i0+ −∞

Dies ergibt mit (3.147):         i    t − t = − t − t exp − . i Θ ε (k) − μ ) t − t ( Gkret σ h¯

(3.200)

Die Randbedingung (3.133) ist also in der Tat durch das Einfügen des Infinitesimals +i0+ erfüllt. Ganz analog finden wir die avancierte Funktion:         i (3.201) Gkavσ t − t  = iΘ t  − t exp − ε(k) − μ t − t  . h¯ Im nicht wechselwirkenden System zeigen die zeitabhängigen Green-Funktionen also ein oszillatorisches Verhalten mit einer Frequenz, die einer exakten Anregungsenergie entspricht. Wir werden später sehen, dass das in analoger Weise auch für die

154

3. Green-Funktionen

wechselwirkenden Systeme gültig bleibt. Typisch wird dann jedoch ein zusätzlicher Dämpfungsfaktor sein, der als endliche Lebensdauer der Quasiteilchen zu interpretieren sein wird. Wir wollen noch die kausale Green-Funktion untersuchen, die gemäß (3.135) die etwas unhandlichen Randbedingungen      Gkcσ t − t  = 0+ = −i 1 − nkσ ,    Gkcσ t − t  = −0+ = +i nkσ

(3.202) (3.203)

zu erfüllen hat. Wir schreiben deshalb die Lösung der Bewegungsgleichung (3.194) in der folgenden Form: Gkcσ (E) =

C1 C2     + . E − ε(k) − μ + i0+ E − ε(k) − μ − i0+

Die Transformation auf die Zeitfunktion erfolgt wie zu (3.200): 

       C2 c   C1 Gkσ t − t = −iΘ t − t · + iΘ t − t h¯ h¯     i  . · exp − ε(k) − μ t − t h¯

(3.204)

Die Randbedingungen (3.202) und (3.203) sind also erfüllt mit C1 = h¯ (1 − nkσ ) ;

C2 = h¯ nkσ .

(3.205)

Wir erkennen an diesem einfachen Beispiel, dass die rechnerische Handhabung der kausalen Green-Funktion, Gkcσ (E) =

h¯ (1 − nkσ ) h¯ nkσ

    + , E − ε(k) − μ + i0+ E − ε(k) − μ − i0+

(3.206)

wesentlich komplizierter ist als die der retardierten oder avancierten Funktion. Insbesondere muss der Erwartungswert nkσ des Anzahloperators noch bestimmt werden. Die Bewegungsgleichungsmethode konzentriert sich deshalb praktisch ausschließlich auf die retardierte und die avancierte Funktion. Die zeitabhängige Spektraldichte findet sich leicht mit (3.199):       1 i   . (3.207) exp − (ε(k) − μ) t − t Skσ t − t = 2π h¯ Die mittlere Besetzungszahl nkσ des (k, σ )-Niveaus können wir durch Einsetzen von (3.199) in das Spektraltheorem (3.157) angeben. Wir finden das bekannte Ergebnis der Quantenstatistik: nkσ =

1   . exp β ε(k) − μ + 1

(3.208)

3.3

Erste Anwendungen

155

Dies ist die Fermi-Funktion 1 f− (E) = β(E − μ) e +1

(3.209)

an der Stelle E = ε(k). Mithilfe von nkσ können wir durch Summation über alle Wellenzahlen k und beide Spinrichtungen σ die Gesamtelektronenzahl Ne festlegen: +∞ 1 1 Ne = dE Skσ (E) βE = h¯ e +1 kσ

−∞

+∞ 1 dE f− (E)Skσ (E − μ) . = h¯ kσ

(3.210)

−∞

Bezeichnen wir mit ρσ (E) die Zustandsdichte pro Spin für das freie Fermionensystem, für das natürlich auch ρσ (E) = ρ−σ (E) gilt, so lässt sich Ne noch wie folgt schreiben: 

+∞

Ne = N

σ −∞

dE f− (E)ρσ (E) .

(3.211)

N ist die Zahl der Gitterplätze; ρσ (E) ist auf 1 normiert. Der Vergleich von (3.210) und (3.211) führt zur wichtigen Definition der (Quasiteilchen-)Zustandsdichte

ρσ (E) =

1  Skσ (E − μ) . N h¯

(3.212)

k

Die obigen Überlegungen zur Elektronenzahl Ne sind natürlich nicht nur für das freie System richtig, sondern gelten ganz allgemein. Wir werden deshalb später sehen, dass (3.212) bereits die allgemeine Definition der Quasiteilchenzustandsdichte eines beliebigen, wechselwirkenden Elektronensystems darstellt. Für nicht wechselwirkende Elektronensysteme können wir noch (3.199) einsetzen:

ρσ (E) =

 1   δ E − ε(k) . N k

Spielt das Gitterpotential keine Rolle, ist also

ε(k) =

h¯2 k2 , 2m

(3.213)

156

3. Green-Funktionen

so zeigt ρσ (E) die bekannte

ρσ (E) =

√ E-Abhängigkeit:



 1   V h¯2 k2 3 = d E − δ E − ε(k) = k δ N N (2π)3 2m k

=

V 2π2 N

∞ dk k2

 2m 2mE 2 = δ − k h¯2 h¯2

0

mV = 2 2 2π h¯ N

∞

$ +, dk k δ

+, -% 2mE 2mE −k +δ +k . h¯2 h¯2

0

Nur die erste δ-Funktion liefert einen Beitrag: ⎧

3 | 2 √ 2m ⎪ ⎨ V E, 2 2 ρσ (E) = 4π N h¯ ⎪ ⎩ 0

falls E ≥ 0 ,

(3.214)

sonst.

Die innere Energie U ist als thermodynamischer Erwartungswert des HamiltonOperators in einfacher Weise durch nkσ festgelegt:  ε(k) nkσ = U = H0 = kσ

1  = 2h¯

+∞   dE E + ε(k) f− (E)Skσ (E − μ) .

(3.215)

kσ −∞

Die kompliziertere Darstellung der zweiten Zeile wird sich als die allgemein gültige Definition von U für wechselwirkende Elektronensysteme herausstellen. Aus U gewinnen wir die freie Energie F, und damit letztlich die gesamte Thermodynamik, durch die folgende Überlegung: Wegen

 ∂F F(T, V) = U(T, V) − TS(T, V) = U(T, V) + T ∂T V gilt auch:  U(T, V) = −T

2



∂ 1 F(T, V) ∂T T

. V

Mithilfe des Dritten Hauptsatzes der Thermodynamik,     ∂F 1 F(T) − F(0) = lim (T = 0) = −S(T = 0, V) = 0 , T →0 T ∂T V

(3.216)

3.3

Erste Anwendungen

157

sowie F(0, V) = U(0, V), lässt sich (3.216) integrieren: T F(T, V) = U(0, V) − T

dT 

U(T  , V) − U(0, V) . T 2

(3.217)

0

Alle weiteren Größen der Gleichgewichtsthermodynamik lassen sich aus F(T, V) ableiten. Wir haben in diesem Abschnitt die nicht wechselwirkenden Festkörperelektronen mithilfe der wellenzahlabhängigen Green-Funktion Gkασ (E) beschrieben. Wir hätten natürlich die Ein-Elektronen-Green-Funktion auch in der Wannier-Darstellung untersuchen können. Für H0 hätten wir (2.33) verwendet. Man findet für   (3.218) Gijασ (E) = aiσ ; a+jσ αE eine Bewegungsgleichung, EGijασ (E) = h¯δij +

  α Tim − μδim Gmj σ (E) ,

(3.219)

m

die nicht direkt entkoppelt wie Gkασ (E) in (3.196), aber durch Fourier-Transformation leicht gelöst werden kann:   ret 1  exp ik · (Ri − Rj )   Gijavσ (E) = . (3.220) N E − ε(k) − μ ± i0+ k Die physikalischen Aussagen, die aus dieser Funktion ableitbar sind, sind natürlich dieselben wir die oben aus Gkασ gefolgerten. 3.3.2 Freie Spinwellen Wir wollen als weiteres, sehr einfaches Anwendungsbeispiel ein System von nicht wechselwirkenden Bosonen diskutieren und betrachten dazu die in Abschn. 2.4.4 eingeführten Spinwellen eines Ferromagneten. Ausgangspunkt ist also der HamiltonOperator (2.244):  h¯ω(q)a+q aq . (3.221) HSW = E0 + q

E0 und h¯ω(q) sind in (2.224) bzw. (2.232) erklärt. Wir definieren die folgende Ein-Magnonen-Green-Funktion       Gqα t, t  = aq (t); a+q t  α ,

(3.222)

α = ret, av, c; ε = +. Da Magnonen Bosonen sind, werden wir hier zweckmäßig von der Kommutator-Green-Funktion ausgehen. Für Magnonen gilt keine Teilchenzahlerhaltung. Es stellt sich bei einer gegebenen Temperatur T genau die Magnonenzahl ein, für die die freie Energie F minimal wird: 

∂F ! =0. (3.223) ∂N T, V

158

3. Green-Funktionen

Der Differentialquotient links ist nichts anderes als das chemische Potential μ. Also folgt:

μ=0.

(3.224)

Dies bedeutet, dass wir in der Bewegungsgleichung für die Green-Funktion H = H − μN = H setzen können. Wir benötigen den Kommutator      aq , HSW − = h¯ω(q ) aq , a+q aq = −

q

=

 q

  h¯ω(q ) aq , a+q aq =

(3.225)

−

= h¯ω(q)aq . Die Bewegungsgleichung wird damit sehr einfach: EGqα (E) = h¯ + h¯ω(q)Gqα (E) . Auflösen und Berücksichtigen der Randbedingungen liefert dann: ret

Gqav (E) =

h¯ . E − h¯ω(q) ± i0+

(3.226)

Die Pole stellen wiederum die Anregungsenergien dar, also die bei Erzeugung oder Vernichtung eines Magnons aufzubringenden Energien. Dies ist natürlich gerade h¯ω(q). Mit (3.154) folgt unmittelbar aus (3.226) die fundamentale Ein-Magnonen-Spektraldichte   Sq (E) = h¯δ E − h¯ω(q) .

(3.227)

Die zeitabhängige Green-Funktion, z. B. die retardierte, stellt, wie in (3.200) die der freien Bloch-Elektronen, eine ungedämpfte harmonische Schwingung dar:      (3.228) Gqret t − t  = −iΘ t − t  e −iω(q)(t − t ) . Die Frequenz der Schwingung entspricht wiederum einer exakten Anregungsenergie des Systems. Mithilfe des Spektraltheorems (3.157) und der Spektraldichte Sq (E) erhalten wir den Erwartungswert des Magnonenanzahloperators, die so genannte Magnonenbesetzungsdichte   mq = a+q aq =

1   + Dq . exp βh¯ω(q) − 1

(3.229)

3.3

Erste Anwendungen

159

Da wir von der Kommutator-Green-Funktion ausgegangen sind, müssen wir, wie in Abschn. 3.2.3 ausführlich erläutert, die Konstante Dq noch über die entsprechende Antikommutator-Green-Funktion festlegen. Die fundamentalen Vertauschungsrelationen für Bose-Systeme (1.99) liefern für die Inhomogenität in der Bewegungsgleichung:  (3.230) [aq , a+q ]+ = 1 + 2mq . Ansonsten erfüllt die Antikommutator-Green-Funktion dieselbe Bewegungsgleichung wie die Kommutator-Funktion. Man erhält: Gq(−) (E) =

h¯ (1 + 2mq ) . E − h¯ω(q)

(3.231)

Bei einem zumindest infinitesimalen, symmetriebrechenden äußeren Feld (B0 ≥ 0+ ) sind die Magnonenenergien auf jeden Fall von Null verschieden, und zwar positiv. Dann gilt aber nach (3.167): 2h¯Dq = lim EGq(−) (E) = 0 . E→0

(3.232)

Damit folgt für die Besetzungsdichte: 1 . mq = β¯hω(q) e −1

(3.233)

Dies ist die Bose-Einstein-Verteilungsfunktion, also das aus der elementaren Quantenstatistik für freie Bose-Systeme bekannte Resultat. Die innere Energie des Spinwellensystems entspricht dem Erwartungswert des Hamilton-Operators, ist demnach mit (3.221) durch  U = H = E0 + h¯ω(q)mq (3.234) q

gegeben. Die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik leitet sich schließlich aus der freien Energie F ab, die sich wie in (3.217) aus der inneren Energie bestimmt. Letztlich folgt also alles aus der Magnonenbesetzungsdichte mq und damit aus der Spektraldichte Sq (E). Auch für kompliziertere, wechselwirkende Systeme werden wir später zeigen können, dass alle Aussagen der Gleichgewichtsthermodynamik zugänglich sind, sobald wir die Spektraldichte oder, gleichwertig damit, eine der GreenFunktionen berechnet haben. 3.3.3 Das Zwei-Spin-Problem Wir wollen als dritte Anwendung ein Modellsystem mit Wechselwirkungen diskutieren, dessen Zustandssumme noch exakt berechenbar ist, sodass alle interessierenden Korrelationsfunktionen im Prinzip bekannt sind. Es liefert damit die Möglichkeit, die Resultate der Green-Funktions-Methode mit den exakten Lösungen zu vergleichen.

160

3. Green-Funktionen

Das Modellsystem bestehe aus zwei Spins vom Betrag 1 , (3.235) 2 die über eine Austauschwechselwirkung J miteinander gekoppelt sind und sich in einem homogenen Magnetfeld befinden mögen. Wir beschreiben sie durch das entsprechend vereinfachte Heisenberg-Modell (2.211):     (3.236) H = −J S1+ S2− + S1− S2+ + 2S1z S2z − b S1z + S2z , S1 = S2 =

wobei 1 gJ μB B0 . (3.237) h¯ Die Beschränkung auf S1 = S2 = 1 | 2 hat einige Vereinfachungen zur Folge: b=

h¯2 ∓ h¯Siz , 2

(3.238)

h¯ Si± Siz = −Siz Si± = ∓ Si± , 2

(3.239)

Si∓ Si± =

 + 2 Si =0;

 z 2 h¯2 Si = . (3.240) 4 Für die weiteren Betrachtungen benötigen wir eine Reihe von Kommutatoren:

[S1− , H ]− = −J [S1− , S1+ ]− S2− − 2J [S1− , S1z ]− S2z − b [S1− , S1z ]− =   = 2h¯J S1z S2− − S1− S2z − h¯bS1− .

(3.241)

Ganz analog findet man:   [S2− , H ]− = 2h¯J S1− S2z − S1z S2− − h¯bS2− ,   [S1z , H ]− = −J [S1z , S1+ ]− S2− + [S1z , S1− ] S2+ =   = −h¯J S1+ S2− − S1− S2+ = − [S2z , H ]− .

(3.242)

(3.243)

Wir brauchen schließlich noch:

[S1z S2− , H ]− = = [S1z , H ] S2− + S1z [S2− , H ]− =

"    2 # = −h¯J S1+ S2− − S1− S2+ S2− + 2h¯J S1z S1− S2z − S1z S2− − h¯bS1z S2− =

   2

¯ ¯ h¯2 − h z − zh − 2h¯J S2− − h¯bS1z S2− = + 2h¯J −S1 S2 = h¯J S1 + h¯S2 2 2 4   1 = h¯3 J S1− − S2− − h¯bS1z S2− . 2

(3.244)

3.3

Erste Anwendungen

161

Vertauscht man in dieser Beziehung, bei deren Ableitung (3.238) bis (3.240) ausgenutzt wurden, die Indizes 1 und 2, so folgt:   1 [S2z S1− , H ]− = h¯3 J S2− − S1− − h¯bS2z S1− . 2

(3.245)

Hauptanliegen ist die Berechnung der Magnetisierung des Spinsystems, d. h. der     Erwartungswerte S1z = S2z ≡ S z . Die dazu passende Green-Funktion (retardiert oder avanciert) ist nach (3.238)     (+)    t, t = S1− (t); S1+ t  (+) , G11 (3.246) wobei sich die Kommutator-Funktion (ε = +) als zweckmäßig erweist. Die Bewe(+) enthält natürlich neue, höhere Green-Funktionen, für die gungsgleichung für G11 wir dann weitere Bewegungsgleichungen konstruieren können. Wir erhalten jedoch (+) noch die folgenden ein geschlossenes System von Gleichungen, wenn wir zu G11 Funktionen hinzunehmen:     (+)    t, t = S2− (t); S1+ t  (+) , G21 (3.247) (+) t, t  = Γ12





  z −     S1 S2 (t); S1+ t  (+) ,

(3.248)

(+) Γ21 (t; t  ) =

     z −  S2 S1 (t); S1+ t  (+) .

(3.249)

Die Bewegungsgleichungen der energieabhängigen Fourier-Transformierten dieser Funktionen leiten wir mithilfe der Kommutatoren (3.241) bis (3.243), (3.244), (3.245) ab, benötigen aber noch die Inhomogenitäten:    − +  (3.250) [S1 , S1 ]− = −2h¯ S z ,  − +  (3.251) [S2 , S1 ]− = 0 ,  z − +    (3.252) [S1 S2 , S1 ]− = h¯ S1+ S2− ,  z − +    (3.253) [S2 S1 , S1 ]− = −2h¯ S2z S1z . Wenn wir noch zur Abkürzung definieren,     ρ12 = S1+ S2− + 2 S1z S2z ,

(3.254)

(+) (+) R (+) (E) = Γ12 (E) − Γ21 (E) ,

(3.255)

so ergeben sich die folgenden Bewegungsgleichungen:   (+) (E) = −2h¯2 S z + 2h¯JR (+) (E) , (E + h¯b)G11 (+) (E + h¯b)G21 (E) = −2h¯JR (+) (E) , " # (+) (+) (E + h¯b)R (+) (E) = h¯2 ρ12 + h¯3 J G11 (E) − G21 (E) .

(3.256) (3.257) (3.258)

162

3. Green-Funktionen

Dieses Gleichungssystem lässt sich leicht lösen: " #   (+) (+) (E) + G21 (E) = −2h¯2 S z , (E + h¯b) G11

(3.259)

 # 4h¯4 J 2 " (+) (+) E + h¯b − G11 (E) − G21 (E) = E + h¯b   h¯2 ρ12 . = −2h¯2 S z + 4h¯J E + h¯b

(3.260)

Es stellt sich heraus, dass die Green-Funktionen Pole erster Ordnung bei den folgenden Energien haben: E1 = −h¯b ;

E2 = −h¯b − 2J h¯2 ;

E3 = −h¯b + 2J h¯2 .

(3.261)

Damit formen wir (3.259) und (3.260) weiter um: −2h¯2 S z

, E − E1 

  1 1 (+) (+) 2 z − + G11 (E) − G21 (E) = −h¯ S E − E2 E − E3

 1 1 . − h¯ρ12 − E − E2 E − E3

(+) (+) G11 (E) + G21 (E) =

Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Gleichungen führt schließlich zu: (+) G11 (E) = −

h¯2 S z h¯ η+ h¯ η− − − , E − E1 2 E − E2 2 E − E3

(3.262)

(+) (E) = − G21

h¯2 S z h¯ η+ h¯ η− + + . E − E1 2 E − E2 2 E − E3

(3.263)

Dabei haben wir noch die Abkürzung  

η± = h¯ S z ± ρ12

(3.264)

benutzt. Die noch verbleibende höhere Green-Funktion R (+) (E) bestimmt sich am einfachsten aus (3.257): E − E1 (+) G (E) = 2h¯J 21  

 2J h¯2 2J h¯2 h¯  z  1 S − + η− 1 + . η+ 1 − = 2J 4J E − E2 E − E3

R (+) (E) = −

Dies ergibt: R (+) (E) =

h¯2 η+ h¯2 η− − . 2 E − E2 2 E − E3

(3.265)

3.3

Erste Anwendungen

163

Wegen (3.167) müssen diese Kommutator-Green-Funktionen bei E = 0 regulär sein. Dies ist bei eingeschaltetem Feld (B0 =/ 0 ⇐⇒ b =/ 0 ⇐⇒ E1 =/ 0) unmittelbar klar. Bei ausgeschaltetem Feld ist dies jedoch nur durch  z S = 0 für B0 = 0 (3.266) gewährleistet. Aus den allgemeinen analytischen Eigenschaften der KommutatorGreen-Funktionen folgt also bereits die physikalisch wichtige Aussage, dass es in dem austauschgekoppelten Zwei-Spin-System keine spontane Magnetisierung geben kann. ZurvollständigenBestimmungderGreen-Funktionenin(3.262),(3.263)und(3.265) haben wir noch mithilfe des Spektraltheorems (3.157) die Erwartungswerte S z

und ρ12 festzulegen. Die zu den Green-Funktionen gehörenden Spektraldichten sind mit (3.152) und (3.154) direkt an (3.262), (3.263) und (3.265) abzulesen:   h¯ h¯ (+) (E) = −h¯2 S z δ(E − E1 ) − η+ δ(E − E2 ) − η− δ(E − E3 ) , (3.267) S11 2 2   h¯ h¯ (+) S21 (E) = −h¯2 S z δ(E − E1 ) + η+ δ(E − E2 ) + η− δ(E − E3 ) , 2 2

(3.268)

h¯2 h¯2 η+ δ(E − E2 ) − η− δ(E − E3 ) . (3.269) 2 2 Das Spektraltheorem (3.157) liefert dann, wenn man noch die Abkürzungen Sr(+) (E) =

1 ; mi = βE e i −1 verwendet:

i = 1, 2, 3

   + − 1 S1 S1 = −h¯ S z m1 − η+ m2 − 2  + −   1 S1 S2 = −h¯ S z m1 + η+ m2 + 2

(3.270)

1 η− m3 + D11 , 2

(3.271)

1 η− m3 + D21 , 2

(3.272)

 + z −   + z −  h¯ h¯ S1 S1 S2 − S1 S2 S1 = η+ m2 − η− m3 + DR . 2 2

(3.273)

Mit  z  h¯ 1  S = − + S1+ S1− , 2 h¯    2  η+ = − S1+ S1z S2− − S1+ S2z S1− , h¯   η− = −η+ + 2h¯ S z ,

(3.274) (3.275) (3.276)

 z z 1  1 S1 S2 = (η+ − η− ) − S1+ S2− (3.277) 4 2 sind dann, bis auf die Konstanten D11 , D21 , DR , alle benötigten Korrelationsfunktionen festgelegt.

164

3. Green-Funktionen

Nach (3.167) stellen diese Konstanten gerade die Residuen der E = 0 -Pole der (−) (−) zugehörigen Antikommutator-Green-Funktionen G(−) 11 (E), G21 (E) und R (E) dar. Deren Bewegungsgleichungen unterscheiden sich von denen der Kommutator-Funktionen (3.256) bis (3.258) nur durch die Inhomogenitäten auf der rechten Gleichungsseite:  − +  [S1 , S1 ]+ = h¯2 ,    − +  [S2 , S1 ]+ = 2 S1+ S2− ,  z − +  [S1 S2 , S1 ]+ = 0 ,  z − +    [S2 S1 , S1 ]+ = h¯2 S z . Es ergeben sich die folgenden Bewegungsgleichungen: (−) (E + h¯b)G11 (E) = h¯3 + 2h¯JR (−) (E) ,

(3.278)

  (−) (E + h¯b)G21 (E) = 2h¯ S1+ S2− − 2h¯JR (−) (E) , " #   (−) (−) (E + h¯b)R (−) (E) = −h¯3 S z + h¯3 J G11 (E) − G21 (E) .

(3.279) (3.280)

Dies formen wir weiter um:

  h¯2 + 2 S1+ S2− = h¯ , E − E1 

# 4h¯4 J 2 " (−) (−) G11 (E) − G21 E + h¯b − (E) = E + h¯b

(−) (−) G11 (E) + G21 (E)

  S z

. = h¯3 − 2h¯ S1+ S2− − 4h¯4 J E + h¯b Dies ergibt: (−) (−) G11 (E) − G21 (E) =

 1   = h¯3 − 2h¯ S1+ S2− 2

1 1 + E−E2 E−E3



2

+ h¯

1 1 − E−E2 E−E3



 z S .

Addition bzw. Subtraktion dieser beiden Gleichungen führt schließlich zu: (−) G11 (E) =

 1  h¯  2 h¯ + 2 S1+ S2− + 2 E − E1

     h¯ h¯2 1 + + + h¯ S z − S1+ S2− 2 2 E − E2

  z   + − h¯ h¯2 1 + , − h¯ S − S1 S2 2 2 E − E3

(3.281)

3.3

Erste Anwendungen

165

(−) G21 (E) =

 1  h¯  2 h¯ + 2 S1+ S2− − 2 E − E1

     h¯ h¯2 1 − − + h¯ S z − S1+ S2− 2 2 E − E2

  z   + − h¯ h¯2 1 − h¯ S − S1 S2 − . 2 2 E − E3

Zur Bestimmung von R (−) (E) benutzen wir (3.279):   h¯3  1 R (−) (E) = + h¯ S1+ S2− − 2h¯J 2

     h¯ h¯2 + 1− + h¯ S z − S1+ S2− 2 2

  z   + − h¯ h¯2 + 1+ − h¯ S − S1 S2 2 2 Dies ergibt:

2J h¯2 E − E2 2J h¯2 E − E3

 + 

h¯2 2

.

     h¯2 1 + + h¯ S z − S1+ S2− 2 E − E2

  z   + − h¯2 h¯2 1 . + − h¯ S − S1 S2 2 2 E − E3

R (−) (E) = −

(3.282)

Gemäß (3.167) lesen wir an diesen Ausdrücken direkt ⎧ ⎪ ⎨0 für b =/ 0 , D11 = D21 = h¯2 1   ⎪ ⎩ + S1+ S2− für b = 0 , 4 2 DR ≡ 0

(3.283)

(3.284)

(3.285)

ab. Damit sind die Gleichzeit-Korrelationsfunktionen (3.271) bis (3.275) vollständig festgelegt. Von besonderem Interesse ist die Magnetisierung S z des Zwei-Spin-Systems für b =/ 0, für die wegen (3.271), (3.274) und (3.284) gilt:  z h¯   η+ η− S = − − S z m1 − m2 − m3 . 2 2h¯ 2h¯ Mit (3.276) ergibt sich hieraus:  z    h¯ η+  S 1 + m1 + m3 = − − m2 − m3 . 2 2h¯ Gleichung (3.273) führt auf   m3 η+ = 2h¯ S z . 1 + m2 + m3

(3.286)

166

3. Green-Funktionen

Kombiniert man diese beiden Gleichungen, so folgt als Zwischenergebnis:

−1  z h¯ 1 + 2m2 S =− 1 + m1 + m3 . 2 1 + m2 + m3 Einsetzen der mi gemäß (3.270) liefert dann nach einfachen Umformungen:  z  h¯ exp(βh¯b) − exp(−βh¯b)   S = . 2 1 + exp −2βh¯2 J + exp(βh¯b) + exp(−βh¯b)

(3.287)

Für verschwindendes äußeres Magnetfeld (B0 → 0+ ) wird auch die Magnetisierung des Zwei-Spin-Systems Null. Es gibt also keine spontane Magnetisierung, wie wir ja aus den allgemeinen analytischen Eigenschaften der Kommutator-Green-Funktion (+) (E) bereits in (3.266) gefolgert hatten. Bei fehlender Kopplung zwischen den G11 beiden Spins (J → 0) ergibt sich das bekannte Resultat für den S = 12 -Paramagneten:

  z h¯ 1 S −−→ tanh gJ μB B0 . (3.288) J →0 2 2 Die durch J vermittelte Austauschkopplung zwischen den beiden Spins drückt sich     vor allem in den Korrelationen S1+ S2− und S1z S2z aus, für die ja in der J → 0 -Grenze gelten muss:  + −    S1 S2 −−→ S1+ S2− = 0 , (3.289) J →0



S1z S2z



−−→ J →0

 z   z   z 2 S1 S2 = S .

(3.290)

Nach (3.271) und (3.272) gilt zunächst:      + − S1 S2 = − S1+ S1− − 2h¯ S z m1 =   h¯2 = − − h¯ S z (1 + 2m1 ) . 2

(3.291)

Im letzten Schritt haben wir noch (3.238) ausgenutzt. Einsetzen von (3.287) führt dann auf 

 h¯2 1 − exp(−2βh¯2 J) S1+ S2− = . 2 1 + (−2βh¯2 J) + exp(−βh¯b) + exp(βh¯b)

(3.292)

Der Grenzfall (3.289) ist offensichtlich erfüllt.   Die zweite Korrelationsfunktion S1z S2z finden wir wie folgt: Zunächst ergibt sich aus (3.273), (3.275) und (3.276):   1 + m2 − m3 . 1 + m2 + m3

η+ − η− = −2h¯ S z Dies bedeutet nach (3.277):

 z z h¯   1 + m2 − m3 1  + −  S1 S2 = − S z − S S . 2 1 + m2 + m3 2 1 2

3.3

Erste Anwendungen

167

Einsetzen von (3.287) und (3.292) führt dann zu: 

 h¯2 exp(βh¯b) + exp(−βh¯b) − exp(−2βh¯2 J) − 1 . S1z S2z = 4 1 + exp(βh¯b) + exp(−βh¯b) + exp(−2βh¯2 J)

(3.293)

Auch hier erkennen wir, dass der Grenzfall J → 0 korrekt reproduziert wird (3.290). Wir haben bisher b =/ 0 vorausgesetzt, müssen daher noch den Spezialfall b = 0 gesondert betrachten. Wir erwarten natürlich, dass er sich als Grenzübergang b → 0 aus (3.292) bzw. (3.293) ergibt. Zunächst einmal muss notwendig S z = 0 sein (3.266), (+) (E) bei E = 0 keinen Pol haben darf. Ferner da die Kommutator-Green-Funktion G11 sind in (3.271) bis (3.277) die Konstanten D11 und D21 nun ungleich Null (3.284). DR ist jedoch nach wie vor Null. Aus (3.271) folgt:   h¯2 1  + −  h¯2 1 m + ρ − m (3.294) = + S1 S2 0 . 12 3 2 0 2 2 4 2   Dieselbe Gleichung ergibt sich aus (3.272), sodass wir für S1+ S2− keine weitere Bestimmungsgleichung zur Verfügung haben. Die bei b = 0 vorliegende Isotropie führt jedoch zu  + −   S1 S2 0 = 2 S1z S2z 0 (3.295)  + − und damit zu ρ12 = 2 S1 S2 0 . Gleichung (3.294) enthält dann nur noch eine Unbekannte: 

1 h¯2  + −  . = S1 S2 0 m3 − m2 + 4 2 

S1+ S1−



=

Daraus folgt in der Tat mit 



S1+ S2− b = 0

  h¯2 1 − exp −2βh¯2 J   = 2 3 + exp −2βh¯J

(3.296)

der b → 0-Grenzfall des Resultats (3.292) und wegen (3.295) auch der von (3.293). Man beachte, dass dies nicht der Fall gewesen wäre, wenn wir die aus der Anwendung des Spektraltheorems resultierenden Konstanten D11 und D12 unberücksichtigt gelassen hätten. Wir wollen zum Schluss die Bedeutung der Konstanten D im Spektraltheorem   noch an einem weiteren Beispiel demonstrieren. Das für die Korrelation S1z S2z exakte Resultat (3.293) haben wir letztlich mithilfe der in (3.249) definierten Green(+) Funktion Γ21 (E) gewonnen. Dasselbe hätten wir aber auch mit der Green-Funktion   (+) (E) = S2z ; S1z E(+) (3.297) P21 und dem Spektraltheorem (3.157) erreichen können. Wir wollen diese Funktion deshalb berechnen. Mit dem Kommutator (3.243) lautet ihre Bewegungsgleichung: (+) (E) = h¯JQ (+) (E) . EP21

(3.298)

168

3. Green-Funktionen

Mit Q (+) (E) bezeichnen wir die Green-Funktion   Q (+) (E) = S1+ S2− − S2+ S1− ; S1z E(+) .

(3.299)

Für deren Bewegungsgleichung benötigen wir den folgenden Kommutator:

[S1+ S2− , H ]− = [S1+ , H ]− S2− + S1+ [S2− , H ]− = +  = − [S1− , H ]− S2− + S1+ [S2− , H ]− . Wir setzen (3.241) und (3.242) ein     [S1+ S2− , H ]− = −2h¯J S1z S2+ − S1+ S2z + h¯bS1+ S2− +     + S1+ 2h¯J S1− S2z − S1z S2− − h¯bS2− , und nutzen (3.238) und (3.239) aus: 

  2 ¯ h¯ − + − z h z + + + h¯S2 − S1 − S2 [S1 S2 , H ]− = −2h¯J S1 2 2     2

h¯ h¯ + − z z + 2h¯J + h¯S1 S2 − − S1 S2 = 2 2   = −J h¯3 S1z − S2z = − [S2+ S1− , H ]− . Mit der Inhomogenität     + −   [S1 S2 − S2+ S1− , S1z ]− = h¯ −S1+ S2− − S2+ S1− = −2h¯ S1+ S2− lautet die Bewegungsgleichung für Q (+) (E):    (+)  (+) (E) − P21 (E) . EQ (+) (E) = −2h¯2 S1+ S2− − 2J h¯3 P11

(3.300)

Die entsprechende Bewegungsgleichung der Funktion   (+) (E) = S1z ; S1z E(+) P11

(3.301)

ergibt sich unmittelbar mit (3.243) zu (+) (E) = −h¯JQ (+) (E) . EP11

(3.302)

Aus (3.298) und (3.302) schließen wir: (+) (+) (E) = −P21 (E) . P11

(3.303)

Dies führt über (3.300) zu

  (+) (+) (E) = −2h¯3 J S1+ S2− + 4J 2 h¯4 P21 (E) . E2 P21

(+) (E) leicht berechnen: Damit lässt sich P21 

h¯  + −  1 1 (+) . P21 (E) = S1 S2 − 2 E + 2h¯2 J E − 2h¯2 J

(3.304)

3.3

Erste Anwendungen

169

  Mit dem Spektraltheorem (3.157) und dem Ergebnis (3.292) für S1+ S2− erhalten wir schließlich:    z z 1 + exp −2βJ h¯2 h¯2   S1 S2 = − (3.305) + Dp . 4 1 + exp −2βh¯2 J + exp(βh¯b) + exp(−βh¯b) Ohne die Konstante Dp würde sich ein Widerspruch zu unserem früheren Ergebnis (3.293) ergeben. Dp darf hier also auf keinen Fall vernachlässigt werden. Zur Festlegung von Dp müssen wir schließlich noch die Antikommutator-Green(−) Funktion P21 (E) berechnen. Mit 

   [S2z , S1z ]+ = 2 S1z S2z

lautet deren Bewegungsgleichung:   (−) (E) = 2h¯ S1z S2z + h¯JQ (−) (E) . EP21

(3.306)

Wegen   + − z   − + z [S1 S2 , S1 ]+ = S2 S1 S1 + S1z S1+ = 0 gilt für Q (−) (E) analog zu (3.300):  (−)  (−) (E) − P21 (E) . EQ (−) (E) = −2J h¯3 P11

(3.307)

Mit 

   h¯2 2 [S1z , S1z ]+ = 2 S1z = 2

folgt schließlich noch wie in (3.302): (−) (E) = EP11

h¯3 − h¯JQ (−) (E) . 2

(3.308)

Die Gleichungen (3.306), (3.307) und (3.308) bilden ein geschlossenes System, das (−) (E) aufgelöst werden kann: leicht nach P21   2h¯ E2 − 2h¯4 J 2  z z  h¯2 2h¯4 J 2 (−) . (3.309) S − P21 (E) = S E E2 − 4h¯4 J 2 1 2 4 E2 − 4h¯4 J 2 Im Gegensatz zur Kommutator-Green-Funktion (3.304) hat also die AntikommutatorGreen-Funktion bei E = 0 einen Pol erster Ordnung. Nach (3.167) gilt deshalb: Dp =

 h¯2 1 1 (−) lim EP21 . (E) = S1z S2z + 2h¯ E → 0 2 8

(3.310)

  Setzt man diesen Ausdruck für Dp in (3.305) ein, so ergibt sich für S1z S2z das korrekte Resultat (3.293).

170

3. Green-Funktionen

3.3.4 Aufgaben 3.3.1

Aufgabe 3.3.1 Nach (2.164) werden die quantisierten Schwingungen des Ionengitters durch ein nicht wechselwirkendes Phononengas beschrieben: 

 1 + . H= h¯ωr (q) bqr bqr + 2 q, r

Als so genannte Ein-Phononen-Green-Funktion definiert man: α t, t   =  b (t); b+ t    α Gqr (α = ret, av, c) . qr qr 1. 2. 3. 4.

3.3.2

Begründen Sie, warum für Phononen das chemische Potential μ gleich Null ist. ret, av (E). Berechnen Sie Gqr   ret, av t, t  ab. Leiten Sie die zeitabhängige Green-Funktion Gqr Berechnen Sie die innere Energie U.

Aufgabe 3.3.2 In den Aufg. 2.3.5 und Aufg. 2.3.6 wurde die BCS-Theorie der Supraleitung behandelt. Der vereinfachte Modell-Hamilton-Operator,    1 bk + b+k + Δ2 , H∗ = t(k)a+kσ akσ − Δ V k, σ k

in dem b+k = a+k↑ a+−k↓ der Cooper-Paar-Erzeugungsoperator ist, und t(k) = ε(k) − μ ;

t(−k) = t(k)

definiert wurde, führt zu denselben Ausdrücken für die Grundzustandsenergie und für die Koeffizienten uk und vk im BCS-Ansatz |BCS (Aufg. 2.3.5), wenn man noch    bk = V b+k Δ = Δ∗ = V k

k

wählt. 1. Berechnen Sie mit der Ein-Elektronen-Green-Funktion  ret  + Gkret σ (E) = akσ ; akσ E

2.

das Anregungsspektrum des Supraleiters. Zeigen Sie, dass dieses eine Energielücke Δ besitzt. Leiten Sie mithilfe des Spektraltheorems für eine passend definierte GreenFunktion eine Bestimmungsgleichung für Δ ab. Zeigen Sie für T → 0 die Äquivalenz mit dem Lückenparameter Δk aus Aufg. 2.3.6, falls Δk kunabhängig angenommen wird.

3.3

Erste Anwendungen

171

Aufgabe 3.3.3 1. Zeigen Sie mit dem Modell-Hamilton-Operator H ∗ aus Aufg. 3.3.2, dass für den p-fachen Kommutator von akσ mit H ∗ gilt:     . . . [akσ , H ∗ ]− , H ∗ . . . , H ∗ = −

3.3.3

−

⎧ ⎨t 2 (k) + Δ2 n a , kσ =  n   ⎩ 2 2 t(k)akσ − zσ Δa+−k − σ , t (k) + Δ

falls p = 2n , falls p = 2n + 1 ,

n = 0, 1, 2, . . .

2.

Berechnen Sie damit sämtliche Spektralmomente der Ein-Elektronen-Spektraldichte. Wählen Sie einen Zwei-Pol-Ansatz für die Ein-Elektronen-Spektraldichte Skσ (E) =

2 

  aiσ (k)δ E − Eiσ (k)

i=1

und bestimmen Sie die spektralen Gewichte αiσ (k) und die so genannten Quasiteilchenenergien Eiσ (k) aus den exakt berechneten, ersten vier Spektralmomenten. Aufgabe 3.3.4 Der Modell-Hamilton-Operator H ∗ der BCS-Supraleitung,

H∗ =

 k

Hk +

Δ2 V

,

# " # " Hk = t(k) a+k↑ ak↑ + a+−k↓ a−k↓ − Δ a+k↑ a+−k↓ + a−k↓ ak↑ , soll untersucht werden. 1. Bestimmen Sie die Energieeigenwerte zu Hk . 2. Wie lauten die zugehörigen Eigenzustände? 3. Geben Sie die möglichen Anregungsenergien des Systems an.

3.3.4

172

3.3.5

3. Green-Funktionen

Aufgabe 3.3.5 1. Zeigen Sie, dass die Anregungen des BCS-Supraleiters aus Aufg. 3.3.4 durch die Operatoren + + ρk↑ = uk a+k↑ − vk a−k↓ ; ρ−k↓ = uk a+−k↓ + vk ak↑

erzeugt werden. Die Koeffizienten uk und vk sind so wie in Aufg. 2.3.6 definiert: + t(k) 1 2 2 2 1+  uk = 1 | 2 , vk = 1 − uk . 2 2 2 t (k) + Δ 2. 3.

Beweisen Sie, dass es sich bei diesen Operatoren um reine Fermi-Operatoren handelt. Berechnen Sie den Kommutator   + H ∗ , ρk↑ . −

4.

3.3.6

Wie ist das Ergebnis zu interpretieren? Formulieren und lösen Sie die Bewegungsgleichung der retardierten GreenFunktion:  ret  ret +  (E) = ρk↑ ; ρk↑ Gk↑ E .

Aufgabe 3.3.6 Berechnen Sie für ein freies Bose-Gas (μ = 0):  H = E0 + h¯ωqr nqr q,r

die freie Energie nach der Formel (3.217) T F(T) = U(0) − T

dT 

U(T  ) − U(0) T 2

0

Bestätigen Sie die allgemein gültige Formel:    F(T) = −kB T ln Sp exp(−βH) Bedenken Sie dabei, dass wegen μ = 0 die freie Energie mit dem großkanonischen Potential Ω(T) übereinstimmt.

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

173

3.4 Das Quasiteilchenkonzept In Abschn. 3.3 haben wir relativ einfache, exakt lösbare Modellsysteme diskutiert, die natürlich genau genommen den Formalismus der Green-Funktionen gar nicht erforderlich machen. Sie sollten lediglich mit der Lösungstechnik vertraut machen. Die volle Tragweite des Verfahrens wird erst bei der Behandlung von wechselwirkenden Viel-Teilchen-Systemen deutlich. In den meisten Fällen werden wir dann allerdings auch nicht mehr in der Lage sein, das Viel-Teilchen-Problem mathematisch streng durchzurechnen. Approximationen werden unvermeidlich und müssen toleriert werden. Als außerordentlich nützlich hat sich in diesem Zusammenhang das Konzept des Quasiteilchens erwiesen, mit dem wir uns in diesem Abschnitt ausführlich befassen wollen. Um konkret zu sein, werden wir zunächst wechselwirkende Elektronensysteme im Auge haben. Die Übertragung auf andere Viel-Teilchen-Systeme wird keine Schwierigkeiten machen. Wir wollen untersuchen, welche Aussagen über wechselwirkende Elektronensysteme mithilfe von Green-Funktionen möglich sind. Dazu müssen wir zunächst die Operatoren (oder Operatorkombinationen) A und B festlegen, die die zu diskutierende Green-Funktion aufbauen sollen. In den meisten praktischen Fällen ist der Typ dieser Funktion ziemlich eindeutig durch die physikalische Fragestellung und durch die Darstellung des Modell-Hamilton-Operators vorgegeben. 3.4.1 Ein-Elektronen-Green-Funktion Nach (2.55) lautet der Hamilton-Operator eines Systems von Ne miteinander wechselwirkenden Elektronen in der Bloch-Darstellung:  1 H= ε(k)a+kσ akσ + vkp (q)a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ . (3.311) 2 kσ

kpq

σσ

Wir beschränken uns auf Elektronen eines einzelnen Energiebandes, so dass wir Bandindizes unterdrücken können. Für die so genannten Bloch-Energien ε(k) gilt nach (2.14) und (2.21):  2  h¯ ε(k) = d3 r ψ∗k (r) − Δ + V(r) ψk (r) . (3.312) 2m

ψk (r) ist eine Bloch-Funktion und V(r) das periodische Gitterpotential. Wir fassen die ε(k) im Folgenden als vorgegebene Modellparameter auf. Das CoulombMatrixelement haben wir in (2.54) berechnet:         ψ∗k+q r1 ψ∗p−q r2 ψp r2 ψk r1 e2 3 3   d r1 d r2 . (3.313) vkp (q) = r 1 − r 2  4πε0

3.4

174

3. Green-Funktionen

Für konstantes Gitterpotential V(r) ≡ const geht dieses über in vkp (q) −−−−−→ v0 (q) = V(r)=const

e2 . ε0 Vq2

(3.314)

Häufig benutzt man den Modell-Hamilton-Operator (3.311) auch in seiner WannierDarstellung (s. z. B. (2.115)):  1 Tij a+iσ ajσ + v(ij; kl)a+iσ a+jσ alσ akσ . (3.315) H= 2 ijσ

ijkl

σσ

Die so genannten Hopping-Integrale,  2      h¯ 3 ∗ Tij = d r ω r − Ri − Δ + V(r) ω r − Rj , 2m

(3.316)

sind über Fourier-Transformation mit den Bloch-Energien ε(k) verknüpft (s. (2.113)). ω(r − Ri ) ist die bei Ri zentrierte Wannier-Funktion.     e2 d3 r1 d3 r2 ω∗ r 1 − Ri ω∗ r 2 − Rj · v(ij; kl) = 4πε0 (3.317)     1   · ω r2 − Rl ω r1 − Rk . r 1 − r 2  Wir werden in diesem Abschnitt zeigen können, dass die bereits durch Gleichung (3.193) eingeführte Ein-Elektronen-Green-Funktion   Gkασ (E) ≡ akσ ; a+kσ αE , (3.318)   Gijασ (E) ≡ aiσ ; a+jσ αE , (3.319)

α = ret, av, c (ε = −) bzw. die dazu äquivalente Ein-Elektronen-Spektraldichte 1 Skσ (E) = 2π 1 Sijσ (E) = 2π

 +∞        i    akσ (t), a+kσ t  + , d t − t exp − E t − t h¯

(3.320)

 +∞       i  aiσ (t), a+jσ t  d t − t  exp − E t − t  + h¯

(3.321)

−∞

−∞

auch für wechselwirkende Elektronensysteme die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik bestimmt. Voraussetzung ist natürlich, dass man sie irgendwie hat berechnen können.

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

175

Dazu stellen wir zunächst die Bewegungsgleichung der k-abhängigen Green’schen Funktion auf, wobei wir den folgenden Kommutator benötigen:   [akσ , H ]− = ε(k) − μ akσ +  (3.322) vp, k + q (q)a+p + qσ apσ ak + qσ + p, q

σ

(Ableitung als Übung!). Mit der höheren Green-Funktion  α α Γ σ σ (E) ≡  a+ + pk; q p + qσ  apσ  ak + qσ ; akσ E lautet dann die Bewegungsgleichung: (E − ε(k) + μ)Gkασ (E) = h¯ +

 p, q, σ 

(3.323)

σ σ (E) . vp, k + q (q) α Γpk; q 

(3.324)

Die unbekannte Funktion Γ auf der rechten Seite verhindert ein direktes Auflösen dieser Gleichung. Wir postulieren jedoch, dass die folgende Zerlegung erlaubt ist:    σ σ (E) ≡ vp, k + q (q) Γpk; [akσ , H − H0 ]− ; a+kσ αE = q p, q, σ 

(3.325)

≡ Σσα (k, E)Gkασ (E) . Diese Gleichung definiert die so genannte Selbstenergie Σσα (k, E), die wir noch ausführlich diskutieren werden. Mit ihr lässt sich die Bewegungsgleichung (3.324) formal einfach lösen: Gkασ (E) =

h¯  . E − ε(k) − μ + Σσα (k, E)

(3.326)

Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem für das nicht wechselwirkende System (3.197), so erkennt man, dass der gesamte Einfluss der Teilchen-Wechselwirkungen in der Selbstenergie Σσ (k, E) steckt. Im Regelfall handelt es sich um eine komplexwertige Funktion von (k, E), deren Realteil die Energie und deren Imaginärteil die Lebensdauer der noch einzuführenden Quasiteilchen bestimmt. Man kann (3.326) noch etwas umformulieren. Bezeichnen wir mit Gk(0) σ (E) die Ein-Elektronen-Green-Funktion der nicht wechselwirkenden Elektronen, so folgt aus (3.326):   −1  −1 Gkσ (E) = h¯ h¯ Gk(0) (E) − Σ (k, E) σ σ ⇒

  −1 1 Gk(0) (E) − Σ (k, E) Gkσ (E) = 1 . σ σ h¯

176

3. Green-Funktionen

Der Index α ist hier der besseren Übersicht wegen unterdrückt. Wir erhalten schließlich die so genannte Dyson-Gleichung 1 (0) Gkσ (E) = Gk(0) G (E)Σσ (k, E)Gkσ (E) . σ (E) + h ¯ kσ

(3.327)

Unser Ziel wird eine zumindest approximative Bestimmung der Selbstenergie sein. Einsetzen eines Näherungsausdrucks für Σσ (k, E) in die Dyson-Gleichung bedeutet bereits das Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe. Es sei jedoch daran erinnert, dass wir zur Ableitung von (3.327) die Zerlegung (3.325) der höheren Green-Funktion postulieren mussten. 3.4.2 Elektronische Selbstenergie Wir wollen uns in diesem Abschnitt ein gewisses Bild von den allgemeinen Strukturen der fundamentalen Größen Selbstenergie, Green-Funktion und Spektraldichte machen. Ausgangspunkt ist die Darstellung (3.326) der Ein-Teilchen-Green-Funktion, wobei es sich bei der Selbstenergie im Allgemeinen um eine komplexe Größe handelt:

Σσα (k, E) = Rσα (k, E) + iIσα (k, E) .

(3.328)

Der Index α steht für retardiert, avanciert oder kausal. Die entsprechenden Selbstenergien sind durchaus unterschiedlich. So gilt z. B. nach (3.186) und (3.187) bei reeller Spektraldichte:  av ∗ Gkσ (E) = Gkret σ (E) . Dies impliziert 



Σσav (k, E) ∗ = Σσret (k, E) .

(3.329)

Der Zusammenhang ist also einfach. Wir werden unsere Betrachtungen deshalb o. B. d. A. auf die retardierten Funktionen konzentrieren können. Dabei verzichten wir auf den Zusatz +i0+ , falls Iσ =/ 0 ist. Den Index „ret“ an der Selbstenergie lassen wir im Folgenden weg. Zunächst formen wir Gleichung (3.326) noch etwas um:    E − ε(k) − μ + Rσ (k, E) + iIσ (k, E) ret Gkσ (E) = h¯  . (3.330)  2 E − ε(k) − μ + Rσ (k, E) + Iσ2 (k, E) Nach (3.154) gilt dann für die Spektraldichte: h¯ Iσ (k, E) . Skσ (E) = −   π E − ε(k) − μ + Rσ (k, E)2 + Iσ2 (k, E)

(3.331)

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

177

Mit (3.146) hatten wir die allgemeine Spektraldarstellung der Spektraldichte angeben können, die für den Fall der hier interessierenden Ein-Elektronen-Spektraldichte in # h¯     +    2 −βEn " βE En akσ Em e Skσ (E) = e +1 · Ξ n, m (3.332)    · δ E − En − Em übergeht. Skσ (E) ist also nichtnegativ für alle (k, σ , E). Dies bedeutet aber nach (3.331) für den Imaginärteil der Selbstenergie (retardiert!): Iσ (k, E) ≤ 0 .

(3.333)

Wir wollen den Ausdruck (3.331) nun etwas genauer untersuchen. Ohne explizite Kenntnis über Rσ (k, E) und Iσ (k, E) erwarten wir doch für den Normalfall mehr oder weniger ausgeprägte Maxima in der Spektraldichte an den durch   ! (3.334) Eiσ (k) = ε(k) − μ + Rσ k, Eiσ (k) ; i = 1, 2, 3, . . . definierten Resonanzstellen Eiσ (k). Dabei haben wir zwei Fälle zu unterscheiden. Fall A: Es sei Iσ (k, E) ≡ 0

(3.335)

in einem gewissen Energiebereich, der die Resonanz Eiσ enthält. Dann müssen wir in (3.331) den Grenzübergang Iσ → −0+ vollziehen. Mit der Darstellung der δ-Funktion als Grenzprozess 



δ E − E0 =

1

x lim  2 π E − E0 + x2 x→0

(3.336)

folgt dann:    Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) − μ + Rσ (k, E) .

(3.337)

Nutzen wir noch

δ [ f (x)] =

 i

  1   δ x − xi ;  f  (xi )

f (xi ) = 0

(3.338)

aus, so können wir statt (3.337) auch schreiben: Skσ (E) = h¯

n 





αiσ (k)δ E − Eiσ (k) ,

(3.339)

i=1

 

αiσ (k) = 1 −



−1 ∂ . Rσ (k, E) ∂E E = Eiσ

(3.340)

178

3. Green-Funktionen

Summiert wird dabei über jene Resonanzen Eiσ , die in dem Energiebereich liegen, in dem (3.335) gilt. Fall B: Es gelte Iσ (k, E) =/ 0 , wobei allerdings in einer gewissen Umgebung der Resonanz Eiσ     Iσ (k, E) << ε(k) − μ + Rσ (k, E)

(3.341)

(3.342)

erfüllt sei. Dann erwarten wir ein ausgeprägtes Maximum an der Stelle E = Eiσ . Um dies zu sehen, entwickeln wir den Ausdruck Fσ (k, E) ≡ ε(k) − μ + Rσ (k, E) um die Resonanz und brechen die Reihe nach dem linearen Term ab:      ∂Fσ   Fσ (k, E) = Fσ k, Eiσ + E − Eiσ + ··· = ∂E E = Eiσ   ∂Rσ    + ··· = Eiσ (k) + E − Eiσ ∂E E = Eiσ Dies bedeutet:

+ -2  2  2  ∂Rσ  1− E − ε(k) + μ − Rσ (k, E) E − Eiσ = ∂E E = Eiσ

(3.343)

 2 = α−2 . iσ (k) E − Eiσ (k) Diesen Ausdruck setzen wir in (3.331) ein. Nehmen wir dann noch an, dass Iσ (k, E) in der Nähe der Resonanz Eiσ eine stetige, nur schwach veränderliche Funktion von E ist, sodass wir in dem interessierenden Energiebereich näherungsweise   Iσ (k, E) ≈ Iσ k, Eiσ (k) ≡ Iiσ (k)

(3.344)

setzen können, so lässt sich die Spektraldichte wie folgt approximieren:

α2iσ (k)Iiσ (k) h¯ Sk(i)σ (E) ≈ −  . π E − Eiσ (k)2 + αiσ (k)Iiσ (k)2

(3.345)

Unter den getroffenen Voraussetzungen besitzt die Spektraldichte in der Nähe der Resonanz Eiσ Lorentz-Gestalt. Man beachte jedoch, dass dazu insbesondere (3.342) erfüllt sein muss. Diese Bedingung ist aber unglücklicherweise erst nach vollständiger Lösung des Problems wirklich kontrollierbar. Sie bleibt damit zunächst spekulativ, wird allerdings von vielen Anwendungsbeispielen gut bestätigt. Wir werden

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

179

jedoch auch Systeme kennen lernen, in denen sich die Gestalt der Spektraldichte als alles andere denn lorentzartig herausstellt, bei denen also (3.342) nicht erfüllt ist. In der Regel wird jedoch nach unseren Vorüberlegungen die Spektraldichte eine Linearkombination von gewichteten Lorentz- und δ-Funktionen darstellen: Diese Struktur der Spektraldichte wird uns im nächsten Abschnitt zum Begriff des Quasiteilchens führen. Interessant ist in diesem Zusammenhang das Verhalten der zeitabhängigen Spektraldichte, die man manchmal auch Propagator nennt. (Bisweilen verwendet man diesen Begriff auch für die zeitabhängige Green-Funktion.) Sie stellt im Falle des nicht wechselwirkenden Teilchensystems eine ungedämpfte harmonische Schwingung dar, wie man an Gleichung (3.207) erkennt. Das gilt im wechselwirkenden System nur dann, wenn Fall A vorliegt, wenn sich die Spektraldichte als δ-Funktion (3.337) schreiben lässt. Aus (3.339) folgt dann nämlich: 

n     1  i Skσ t − t  = αiσ (k) exp − Eiσ (k) t − t  . 2π i = 1 h¯

(3.346)

Die Schwingungsfrequenzen sind dabei durch die Resonanzenergien Eiσ (k) bestimmt. Im Fall B dagegen bedingen die Lorentz-Peaks exponentiell gedämpfte Oszillatoren. Um dies einzusehen, nehmen wir einmal an, dass (3.345) näherungsweise für den gesamten Energiebereich gültig ist. Dann können wir schreiben:  Sk(i)σ t



+∞  i   −t ≈ 2 dE exp − E t − t αiσ (k) · 4π i h¯ 



1

 ·

−∞

1  − E − Eiσ (k) − iαiσ (k)Iiσ (k) 1   − E − Eiσ (k) + iαiσ (k)Iiσ (k)

(3.347)  .

Wir lösen die Integrale mithilfe des Residuensatzes. Die spektralen Gewichte sind positiv definit, sodass wegen (3.333) gelten muss:

αiσ (k)Iiσ (k) ≤ 0 .

(3.348)

Skσ Abb. 3.4. Qualitativer Verlauf der

Eiσ

E jσ

Ekσ

E

Spektraldichte eines wechselwirkenden Fermionensystems

180

3. Green-Funktionen

Der erste Summand hat deshalb einen Pol in der oberen, der zweite Summand einen Pol in der unteren Halbebene. Wenn wir die folgenden Integrationswege wählen, t − t > 0 :

+∞ dE . . . ⇒

dE . . . ,

−∞

+∞ t − t < 0: dE . . . ⇒ 

dE . . . ,

−∞

dann sorgt die Exponentialfunktion in (3.347) dafür, dass die im Unendlichen geschlossenen Halbkreise keinen Beitrag liefern. Nach dem Residuensatz trägt für t − t  > 0 dann nur der zweite Summand, für t − t  < 0 nur der erste Summand zum Integral in (3.347) bei. Dies ergibt schließlich: 

    1 i Sk(i)σ t − t  ≈ αiσ (k) exp − Eiσ (k) t − t  · 2π h¯ (3.349) 

 1    · exp − αiσ (k)Iiσ (k) |t − t | . h¯ Die zeitabhängige Spektraldichte stellt also in der Tat eine gedämpfte Schwingung dar, wobei die Frequenz wieder einer Resonanz Eiσ entspricht, während die Dämpfung im Wesentlichen durch den Imaginärteil der Selbstenergie reguliert wird.   Im Allgemeinen ist also für wechselwirkende Systeme zu erwarten, dass Skσ t − t  aus einer Überlagerung von gedämpften und ungedämpften Oszillationen, deren Frequenzen den Resonanzenergien Eiσ entsprechen, bestehen wird. Die resultierende Zeitabhängigkeit kann dann durchaus kompliziert werden. Genau dieses qualitative Bild vom Zeitverhalten der Spektraldichte wird uns im nächsten Abschnitt zum für die Viel-Teilchen-Theorie typischen Begriff des Quasiteilchens führen. 3.4.3 Quasiteilchen Wir wollen in diesem Abschnitt ein erstes Fazit ziehen. Was ist eigentlich der neue Aspekt des Green-Funktions-Formalismus, verglichen mit konventionellen Methoden? Was haben Green-Funktionen oder Spektraldichten mit Quasiteilchen zu tun? Was sind überhaupt Quasiteilchen? Wir vermuten, dass sie etwas mit den mehr oder weniger ausgeprägten Resonanzpeaks in der gerade diskutierten Spektraldichte zu tun haben. Dies wollen wir uns nun qualitativ etwas verdeutlichen, und zwar an dem Spezialfall

T=0;

|k| > kF ;

t > t .

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

181

Mit kF istder Fermi-Wellenvektor gemeint. Das System befinde sich in seinem Grund zustand  E0 . Durch Hinzufügen eines (k, σ )-Elektrons zur Zeit t entsteht der Zustand      ϕ0 (t) = a+ (t)  E0 , (3.350) kσ bei dem es sich nicht notwendig um einen Eigenzustand des Hamilton-Operators handeln muss. Von den beiden Summanden in der Definition (3.127) des Propagators   Skσ t − t  kann wegen |k| > kF nur einer beitragen. Es ist deshalb       (3.351) 2πSkσ t − t  = ϕ0 (t)  ϕ0 t  . Damit erhält die zeitabhängige Spektraldichte eine klare Interpretation.   der zur Zeit t  durch 2πSkσ t − t  ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür,  dass   Hinzufügen eines (k, σ )-Elektrons aus dem Grundzustand E0 entstandene Zustand      ϕ0 zur Zeit t > t  noch existiert. Skσ t − t  charakterisiert damit die zeitliche Entwicklung (Propagation) eines zusätzlichen (k, σ )-Elektrons in dem N-Teilchen  System. Hätten wir |k| < kF vorausgesetzt, so würde Skσ t − t  die Propagation eines Loches beschreiben. Zwei typische Fälle sind nun zu unterscheiden:       ϕ0 (t)  ϕ0 t   2 = const ⇐⇒ stationärer Zustand,       ϕ0 (t)  ϕ0 t   2 −−−−→ 0 ⇐⇒ Zustand mit endlicher Lebensdauer.  t −t →∞

Betrachten wir zunächst einmal wieder 1) Nicht wechselwirkende Elektronen, beschrieben durch   H0 = ε(k) − μ a+kσ akσ . k, σ

Man berechnet leicht

[H0 , a+kσ ]− = (ε(k) − μ)a+kσ , womit        H0 a+kσ  E0 = a+kσ H0  E0 + [H0 , a+kσ ]−  E0 =      = E0 + ε(k) − μ a+kσ  E0 folgt.

182

3. Green-Funktionen

  In diesem Spezialfall ist also a+kσ  E0 ein Eigenzustand zu H0 . Damit ergibt sich weiter:



      ϕ0 (t) = exp i H0 t a+ exp − i H0 t  E0 = kσ h¯ h¯ 



   i i (3.352) = exp − E0 t exp H0 t a+kσ  E0 = h¯ h¯ 

    i ε(k) − μ t a+kσ  E0 . = exp h¯    Wegen |k| > kF und E0  E0 = 1 gilt noch: 

          E0  akσ a+kσ  E0 = E0  E0 − E0  a+kσ akσ  E0 = 1 .

Damit haben wir schließlich: 



 

ϕ0 (t)  ϕ0 t 

    i = exp − ε(k) − μ t − t  . h¯

(3.353)

   Der Propagator Sk(0) σ t − t stellt also, wie schon anderweitig abgeleitet, eine ungedämpfte harmonische Schwingung dar. Die Frequenz entspricht einer exakten   Anregungsenergie des Systems, nämlich ε(k) − μ . Wegen       ϕ0 (t)  ϕ0 t   2 = 1 (3.354) handelt es sich um einen stationären Zustand. Re Sk(0σ) Abb. 3.5. Manifestation eines

t - t'

stationären Zustands in der zeitabhängigen Spektraldichte in Form einer ungedämpften harmonischen Schwingung

2) Wechselwirkende Elektronensysteme   Für den Propagator Skσ t − t  erhalten wir aus (3.351) durch Einschieben eines  vollständigen Satzes von Eigenzuständen  En zwischen die beiden zeitabhängigen Konstruktionsoperatoren: 

       +   2    En  a  E0  exp − i En − E0 t − t  . (3.355) 2πSkσ t − t  = kσ h¯ n

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

183

  Im freien System ist ak+σ  E0 ein Energieeigenzustand. Deren Orthogonalität sorgt dann dafür, dass nur ein Term der Summe von Null verschieden ist. Dies gilt im wechselwirkenden System nicht mehr. In der Entwicklung         ϕ0 = a+  E0 = (3.356) cm  Em kσ m

werden mehrere, im Allgemeinen unendlich viele, Entwicklungskoeffizienten ungleich Null sein. Jeder Summand für sich stellt zwar wieder eine harmonische Schwingung dar. Die Überlagerung mehrerer Schwingungen unterschiedlicher Frequenz wird jedoch dafür sorgen, dass die Summe in (3.355) für t = t  maximal ist. Für    t − t  > 0 werden sich die Phasenfaktoren exp −(i | h¯)(En − E0 ) t − t  allmählich über den gesamten Einheitskreis der komplexen Zahlenebene verteilen und damit möglicherweise durch destruktive Interferenz für       ϕ0 (t)  ϕ0 t   2 −−−−→ 0 (3.357) t − t → ∞    sorgen. Der zur Zeit t  geschaffene Zustand  ϕ0 t  hat dann nur eine endliche Lebensdauer. Unter gewissen Umständen gelingt es jedoch, die unregelmäßige Zeitabhängigkeit des Propagators als Überlagerung gedämpfter Oszillationen wohldefinierter Frequenz darzustellen:        i  . (3.358) αiσ (k) exp − ηQT (k) t − t 2πSkσ t − t  = h¯ iσ i Dieser Ansatz hat formal dieselbe Struktur wie der entsprechende Ausdruck (3.353) für das freie System, nur sind nun die neuen Ein-Teilchen-Energien im Allgemeinen komplexe Größen: QT QT ηQT iσ (k) = Re ηiσ (k) + i Im ηiσ (k) .

(3.359)   Der Imaginärteil Im ηQT iσ < 0 ist für die exponentielle Dämpfung der Oszillation verantwortlich. Wir schreiben diese neuen Energien ηQT iσ einem fiktiven Teilchen zu, das wir Quasiteilchen nennen wollen. Es ist nämlich gleichsam so, als ob das zur Zeit t  als (N + 1)-tes Teilchen in das N-Teilchen-System eingepflanzte (k, σ )-Elektron in mehrere QuasiRe Skσ

t - t'

Abb. 3.6. Typisches Zeitverhalten der

Spektraldichte im Fall wechselwirkender Teilchensysteme

184

3. Green-Funktionen

teilchen zerfällt, deren Energien durch die Realteile und deren Lebensdauer durch die Imaginärteile der ηQT iσ festgelegt sind: Quasiteilchenenergie Quasiteilchenlebensdauer

 = Re ηQT iσ (k) , h¯  =   . Im ηQT  iσ (k)

(3.360)

Jedes Quasiteilchen ist mit einem spektralen Gewicht αiσ (k) versehen, wobei wegen der Erhaltung der Gesamtteilchenzahl  αiσ (k) = 1

(3.361)

i

gelten muss. Vergleichen wir nun  Sk(i)σ t

    1 i QT  −t = αiσ (k) exp − Re ηiσ (k) t − t · 2π h¯ 

  1  QT   · exp − Im ηiσ (k) t − t h¯ 



(3.362)

mit (3.349), so erkennen wir den Zusammenhang der Quasiteilchenkenngrößen mit der elektronischen Selbstenergie: Quasiteilchenenergie: Eiσ (k)   ! Eiσ (k) = ε(k) − μ + Rσ k, E = Eiσ (k) ,

(3.363)

Quasiteilchenlebensdauer: τiσ (k) h¯

 . τiσ (k) =  αiσ (k) · Iiσ (k)

(3.364)

Die spektralen Gewichte αiσ (k) sind nach (3.340) durch den Realteil der Selbstenergie bestimmt. Damit wird die Lebensdauer der Quasiteilchen nicht allein durch den Imaginär-, sondern auch durch den Realteil von Σσ (k, E) beeinflusst. Allerdings ist für Iiσ (k) = 0 in jedem Fall τiσ = ∞. Die Lorentz-Peaks in der Spektraldichte Skσ (E) sind also Quasiteilchen zuzuschreiben, deren Energien durch die Positionen und deren Lebensdauer durch die Breiten der Peaks gegeben sind. δ-Funktionen (3.339) sind dann Spezialfälle, die Quasiteilchen unendlich langer Lebensdauer entsprechen. Man kann die Analogie zum freien System schließlich noch zur Definition einer effektiven Masse m∗iσ (k)

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

185

des Quasiteilchens ausnutzen. Für kleine Wellenzahlen lassen sich die Bloch-Energien stets wie folgt entwickeln:

ε(k) = T0 +

  h¯2 k2 + O k4 . 2m

(3.365)

T0 ist die untere Kante des betreffenden Energiebandes. Formal denselben Ansatz postulieren wir für die Quasiteilchenenergien: Eiσ (k) = T0iσ +

  h¯2 k2 + O k4 . 2m∗iσ

(3.366)

Wir setzen (3.365) ein: Eiσ (k) = T0iσ +

 m  ε(k) − T0 + · · · . ∗ miσ

Damit folgt: m ∂Eiσ (k) = . m∗iσ (k) ∂ε(k)

(3.367)

Dies bedeutet aber nach (3.363):  

∂Rσ ∂Rσ ∂Eiσ m = 1 + + ∗ miσ ∂ε(k) Eiσ ∂Eiσ ε(k) ∂ε(k) ⇒

 

 

m ∂Rσ ∂Rσ 1 − = 1 + . m∗iσ ∂Eiσ ε(k) ∂ε(k) Eiσ

Der Realteil der elektronischen Selbstenergie bestimmt also die effektive Masse des Quasiteilchens: # " Eiσ ) 1 − ∂Rσ∂(k, ∗ E i σ miσ (k) #ε(k) . " (3.368) = ∂ Rσ (k, Eiσ ) m 1+ ∂ε(k) Eiσ

Eine weitere wichtige Quasiteilchenkenngröße lernen wir im nächsten Abschnitt kennen. 3.4.4 Quasiteilchenzustandsdichte Auch diese Größe wollen wir in strenger Analogie zum freien Elektronengas begründen. Für die mittlere Besetzungszahl nkσ des (k, σ )-Niveaus erhalten wir mithilfe des Spektraltheorems (3.157) aus der Ein-Elektronen-Spektraldichte:

 1  nkσ = a+kσ akσ = h¯

+∞ dE f− (E)Skσ (E − μ) .

(3.369)

−∞

Im nicht wechselwirkenden System wird daraus (3.208), wenn man für die Spektraldichte (3.199) einsetzt. Wir können aus nkσ durch Summation über alle Wellenzah-

186

3. Green-Funktionen

len k und alle Spins σ die Gesamtelektronenzahl Ne gewinnen: Ne =

 kσ

+∞ dE f− (E)Skσ (E − μ) .

1 nkσ = h¯

(3.370)

kσ −∞

Wie im freien System muss Ne auch durch Energieintegration über eine Zustandsdichte ρσ (E) des wechselwirkenden Systems zu bestimmen sein: 

+∞

Ne = N

σ −∞

dE f− (E)ρσ (E) .

(3.371)

N ist hier die Zahl der Gitterplätze, und ρσ (E) ist offensichtlich auf 1 normiert. Der Vergleich mit (3.370) ergibt dann die Quasiteilchenzustandsdichte

ρσ (E) =

1  Skσ (E − μ) . N h¯

(3.372)

k

Denselben Ausdruck haben wir bereits in Abschn. 3.3.1 für wechselwirkungsfreie Bloch-Elektronen begründen können. Es besteht also ein sehr enger Zusammenhang zwischen Zustandsdichte und Spektraldichte. Alle Eigenschaften der Spektraldichte übertragen sich demnach ziemlich direkt auf die Quasiteilchenzustandsdichte. Setzen wir z. B. (3.332) in (3.372) ein, so erkennen wir, dass ρσ (E) im Gegensatz zur so genannten Bloch-Zustandsdichte ρ0 (E) ((3.213) bzw. (3.214)) des nicht wechselwirkenden Elektronensystems temperaturabhängig sein wird. Ferner werden wir an späteren Beispielen erkennen, dass sie auch entscheidend durch die Teilchenzahl beeinflusst wird. Da schließlich die Spektraldichte nach (3.332) eine gewichtete Überlagerung von δ-Funktionen darstellt, in deren Argumenten die Anregungsenergien stehen, die aufgebracht werden müssen, um ein zusätzliches (k, σ )-Elektron in dem N-Teilchensystem unterzubringen oder ein entsprechendes aus diesem herauszuholen, hat auch ρσ (E) einen direkten Bezug zum Experiment (Photoemission!). Wegen ihrer fundamentalen Bedeutung wollen wir die Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E) noch für einen relativ einfachen Spezialfall diskutieren. Wir nehmen an, dass die elektronische Selbstenergie k-unabhängig und reell ist: Rσ (k, E) ≡ Rσ (E) ;

Iσ (k, E) ≡ 0 .

(3.373)

Dann gilt gemäß (3.337):

  Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) + μ − Rσ (E) .

Dies bedeutet für die Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E): 1  ρσ (E) = δ [E − ε(k) − Rσ (E − μ)] . N k

(3.374)

(3.375)

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

187

Der Vergleich mit der Bloch-Zustandsdichte,  1   ρ0 (E) = δ E − ε(k) , N k

ergibt schließlich:

ρσ (E) = ρ0 [E − Rσ (E − μ)] .

(3.376)

ρσ (E) ist also für solche Energien von Null verschieden, für die die Funktion [E − Rσ (E − μ)] Werte annimmt, die zwischen der unteren und der oberen Kante des freien Bloch-Bandes liegen. Ist Rσ lediglich eine schwach veränderliche, glatte Funktion von E, so wird ρσ gegenüber ρ0 nur leicht deformiert sein, sodass man den Einfluss der Teilchenwechselwirkungen durch Einführung effektiver Teilchenmassen oder ähnlicher Hilfskonzepte der Festkörperphysik hinreichend genau berücksichtigen kann. Man kann sich jedoch auch leicht Situationen vorstellen, für die ρσ (E) sich qualitativ deutlich von ρ0 (E) unterscheidet. Dies ist z. B. der Fall, wenn die Funktion [E − Rσ (E − μ)] an irgendeiner Stelle E0 singulär wird, wie in der Skizze angedeutet. Diese Situation führt notwendig zu einer Bandaufspaltung. Bei passender Bandfüllung kann das chemische Potential μ dann gerade in die Bandlücke fallen, was zur Folge hat, dass das System nach konventioneller Bandtheorie metallisch sein sollte, während die Viel-Teilchen-Theorie einen Isolator oder Halbleiter voraussagt. Ein prominentes Beispiel für eine solche Situation (Mott-Isolator) ist das antiferromagnetische NiO. E - Rσ (E - μ )

E

μ E

E0

μ ρσ

Isolator

E

Metall Abb. 3.7. Qualitatives

ρ0

Energieverhalten der Selbstenergie eines wechselwirkenden Teilchensystems, das zu einer korrelationsbedingten Bandaufspaltung Anlass gibt (Mott-Isolator)

3.4.5 Innere Energie In den Abschnitten 3.1.2 bis 3.1.5 haben wir den Gebrauch von Green-Funktionen an Hand so genannter Response-Größen wie

σαβ (E) :

elektrische Leitfähigkeit (3.83) ,

χαβ (E) :

magnetische Suszeptibilität (3.66) ,

ε(q, E) :

Dielektrizitätsfunktion (3.104)

188

3. Green-Funktionen

motiviert, die sich als retardierte Kommutator-Green-Funktionen herausstellten. Es handelt sich dabei durchweg um Mehrteilchen-Funktionen, d. h. um Green-Funktionen, die aus mehr als einem Erzeugungs- und einem Vernichtungsoperator aufgebaut sind. Zu dieser Klasse zählt Gkσ (E) natürlich nicht. Wir wollen nun aber am Beispiel der inneren Energie zeigen, dass über Gkσ (E) die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik des wechselwirkenden Elektronensystems festgelegt ist. Für die innere Energie gilt zunächst mit (3.311):    1   (3.377) ε(k) a+kσ akσ + vkp (q) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ . U = H = 2 kσ

p, k, q

σσ

Wir substituieren q → −q ,

dann k − q → k

und nutzen gemäß (3.313) vk + q, p (−q) = vp, k + q (q) aus. Dann wird aus (3.377):    1   ε(k) a+kσ akσ + vp, k + q (q) a+kσ a+p + qσ apσ ak + qσ . U= 2 kσ

(3.378)

k, p, q σ, σ

Mithilfe des Spektraltheorems (3.157) können wir die Erwartungswerte auf der rechten σσ (E), letztere definiert in (3.323), Seite durch die Green-Funktionen Gkσ (E) und Γpk; q ausdrücken: 1 U= h¯

+∞

  1 dE ret ε (k) − Im G (E) + kσ π e βE + 1 kσ

−∞

 1 1 σ σ (E) vp, k + q (q) − Im ret Γpk; . + q 2 π

(3.379)

kpq

σσ

Mithilfe der Bewegungsgleichung (3.324) lässt sich schließlich noch die höhere Greenσ σ durch die Ein-Elektronen-Green-Funktion G ret (E) ersetzen: Funktion ret Γpk; q kσ     1 σ σ (E) = 1 −h¯ + E − ε(k) + μ Gkret vp, k + q (q) ret Γpk; (E) . q σ 2 2

(3.380)

kσ

kpq

σσ

Einsetzen in (3.379) führt dann zu: 1  U= 2h¯

+∞

kσ −∞

  1 dE  ret E + μ + ε(k) − Im Gkσ (E) . π e βE + 1

(3.381)

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

189

Nach (3.154) steht auf der rechten Seite gerade die Ein-Elektronen-Spektraldichte Skσ (E). Substituieren wir noch E durch E − μ und setzen die Fermi-Funktion f− (E) (3.209) ein, so bleibt das bemerkenswerte Resultat, 1  U= 2h¯

+∞   dE f− (E) E + ε(k) Skσ (E − μ) ,

(3.382)

kσ −∞

das wir in (3.215) bereits im Zusammenhang mit dem nicht wechselwirkenden Elektronensystem kennen gelernt haben. Es ist uns mit (3.382) gelungen, selbst den Beitrag der Zwei-Teilchen-Coulomb-Wechselwirkung zur inneren Energie durch die Ein-Elektronen-Spektraldichte auszudrücken. Wegen des allgemein gültigen Zusammenhangs (3.217) zwischen innerer Energie U und freier Energie F(T, V) ist letztere ebenfalls allein durch Skσ (E) bestimmt. Damit ist die Behauptung verifiziert, dass die gesamte Gleichgewichtsthermodynamik des wechselwirkenden Elektronensystems allein aus der Ein-Elektronen-Green-Funktion bzw. -Spektraldichte ableitbar ist. Wir wollen uns zum Schluss dieses Kapitels noch einmal an die eingangs formulierten Ziele erinnern. Es geht uns um die Berechnung von thermodynamischen Erwartungswerten und Korrelationsfunktionen. Das können wir durch Lösen der Schrödinger-Gleichung erreichen, indem wir Eigenzustände und Eigenwerte des Hamilton-Operators H zur Konstruktion der Zustandssumme verwenden. Aus dieser ist dann jede gewünschte Information ableitbar. Abgesehen davon, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung nur approximativ gelingen wird, erscheint dieses Verfahren in vielen Fällen unökonomisch, da möglicherweise ein Großteil der mühselig bestimmten Terme sich gegenseitig beim Aufsummieren durch die in Abschn. 3.4.3 diskutierte destruktive Interferenz aufheben werden. Die Spektraldichte Skσ (E), aus der ebenfalls die gesamte thermodynamische Information erhältlich ist, ist gewissermaßen eine pauschale Größe, die den erwähnten Interferenzeffekt bereits implizit enthält. Nur die hinreichend ausgeprägten Quasiteilchen-Peaks in der Spektraldichte, also die Quasiteilchen mit hinreichend langer Lebensdauer, werden entscheidend zu den diversen Energieintegralen beitragen. In diesem Sinne erscheint die Methode der Green-Funktionen, die keine Zustände berechnet, sondern gleich auf die entscheidenden Größen wie die Spektraldichte zusteuert, als ein recht ökonomisches Verfahren. Die Grundidee besteht darin, das an sich kompliziert miteinander wechselwirkende Viel-Teilchen-System durch ein freies Gas von Quasiteilchen zu ersetzen. Die tatsächlich ablaufenden Wechselwirkungsprozesse manifestieren sich in den renormierten Energien und in den eventuell endlichen Lebensdauern dieser Quasiteilchen.

190

3. Green-Funktionen

3.4.6 Aufgaben 3.4.1

Aufgabe 3.4.1 Berechnen Sie für ein wechselwirkendes Elektronensystem,

H=

 k, σ

ε(k)a+kσ akσ +

1  vkp (q)a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ , 2 k, p, q σ, σ

die Bewegungsgleichung der retardierten Ein-Teilchen-Green-Funktion. Bestätigen Sie damit Gleichung (3.324) des Textes.

3.4.2

  Aufgabe 3.4.2  E0 sei der Grundzustand des wechselwirkungsfreien Elektronensystems (Fermi-Kugel). Berechnen Sie die Zeitabhängigkeit des Zustands      ψ0 = a+ ak σ  E0 kσ

  k > kF , k < kF !

Handelt es sich um einen stationären Zustand?

3.4.3

Aufgabe 3.4.3 Für die Ein-Elektronen-Green-Funktion eines wechselwirkenden Elektronensystems gelte:  −1 Gkret ¯ E − 2ε(k) + E2 | ε(k) + iγ |E| , γ>0. σ (E) = h / 1. Bestimmen Sie die elektronische Selbstenergie σ (k, E). 2. Berechnen Sie Energien und Lebensdauern der Quasiteilchen. 3. Unter welcher Voraussetzung ist das Quasiteilchenkonzept brauchbar? 4. Berechnen Sie die effektiven Massen der Quasiteilchen.

3.4

Das Quasiteilchenkonzept

191

Aufgabe 3.4.4 Für ein wechselwirkendes Elektronensystem sei die Selbstenergie     aσ E + μ − bσ  aσ , bσ , cσ positiv-reell; cσ > bσ Σσ (E) =  E + μ − cσ

3.4.4

berechnet worden. Für die Zustandsdichte der wechselwirkungsfreien Elektronen gelte: ⎧ ⎨1 | W für 0 ≤ E ≤ W , ρ0 (E) = ⎩ 0 sonst. Bestimmen Sie die Quasiteilchenzustandsdichte. Gibt es eine Bandaufspaltung?

Aufgabe 3.4.5 Ein wechselwirkendes Elektronensystem werde durch das Hubbard-Model (Abschn. 2.1.3) beschrieben. Zeigen Sie, dass für die innere Energie U die Formel (3.382) gültig ist, dass diese sich also durch die EinElektronen-Spektraldichte Skσ (E) ausdrücken lässt.

3.4.5

192

3.5

3. Green-Funktionen

3.5 Kontrollfragen Zu Abschnitt 3.1 1. Warum bezeichnet man die Schrödinger-Darstellung der Zeitabhängigkeit physikalischer Systeme auch als Zustandsbild? 2. Nennen Sie die wichtigsten Eigenschaften des ZeitentwicklungsoperatorsUS (t, t0) des Schrödinger-Bildes. 3. Wie lautet der Zeitentwicklungsoperator des Schrödinger-Bildes für den Fall, dass der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit abhängt?   4. Geben Sie eine kompakte Darstellung von US t, t0 für den Fall an, dass ∂H | ∂t =/ 0 ist. 5. Wie lautet die Bewegungsgleichung für zeitabhängige Heisenberg-Operatoren? 6. Welche Beziehung besteht zwischen den Operatoren des Heisenberg- und denen des Schrödinger-Bildes? 7. Charakterisieren Sie das Dirac-Bild. 8. Wie lautet die Verknüpfung zwischen dem Dirac’schen und dem Schrödinger’sche Zeitentwicklungsoperator? 9. Nennen Sie Beispiele physikalisch wichtiger Response-Größen. 10. Worin besteht die vereinfachende Annahme der Linear-Response-Theorie? 11. Was ist eine zweizeitige, retardierte Green’sche Funktion? 12. Interpretieren Sie die Kubo-Formel. 13. Durch welche retardierte Green’sche Funktion ist der Tensor der magnetischen Suszeptibilität bestimmt? 14. Wie lässt sich über die Suszeptibilität die Curie-Temperatur Tc des Phasenübergangs Para-/Ferromagnetismus bestimmen? 15. Welche physikalische Bedeutung haben die Singularitäten der transversalen Suszeptibilität χq± (E)? 16. Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Dipolmomentenoperator und dem Stromdichteoperator? 17. Welche Green’sche Funktion bestimmt den Einfluss der Teilchenwechselwirkungen auf den Leitfähigkeitstensor? 18. Skizzieren Sie den Gedankengang zur Ableitung der Dielektrizitätsfunktion ε(q, E).   19. Welche physikalische Bedeutung haben die Pole der Green-Funktion ρq ; ρq+ Eret ?

Zu Abschnitt 3.2 1. Definieren Sie retardierte, avancierte und kausale Green-Funktionen. 2. Erklären Sie die Wirkungsweise des Wick’schen Zeitordnungsoperators. 3. Wann sind Green’sche Funktionen homogen in der Zeit?

3.5

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

17. 18. 19.

Kontrollfragen

193

Wie lautet die Bewegungsgleichung für zeitabhängige, retardierte (avancierte, kausale) Funktionen? Welchen Randbedingungen unterliegen diese? Wie kommt es zu einer Bewegungsgleichungskette? Wie lautet die Spektraldarstellung der Spektraldichte SAB (E)? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Spektraldichte SAB (E) und den ret (av) (E)? Green’schen Funktionen GAB Welche physikalische Bedeutung haben die Pole der Green’schen Funktionen? ret (E) und G av (E)? Wie unterscheiden sich GAB AB Formulieren Sie die so genannte Dirac-Identität. Warum ist die kausale Green-Funktion für die Bewegungsgleichungsmethode unbequemer als die retardierte oder die avancierte Funktion? Formulieren und interpretieren Sie das Spektraltheorem. Kann eine Kommutator-Green-Funktion bei E = 0 einen Pol haben? Was können Sie über das Hochenergie-Verhalten (E → ∞) der Green-Funktion α (E) (α = ret, av, c) aussagen? GAB Erklären Sie den Zusammenhang zwischen Spektraldichte und Spektralmomenten. Wie kann man aus den Spektraldarstellungen der Green’schen Funktion folgern, dass die Real- und Imaginärteile dieser Funktionen nicht unabhängig voneinander sind? Was versteht man unter Kramers-Kronig-Relationen? Welche Zusammenhänge bestehen zwischen den verschiedenen Green-Funktioret (E), G av (E) und G c (E) sowie der Spektraldichte S (E)? nen GAB AB AB AB c (E) sei auf irgendeine Weise bestimmt worden. Die kausale Green-Funktion GAB Wie können Sie daraus auf die retardierte Funktion schließen?

Zu Abschnitt 3.3 1. Wie ist die Ein-Elektronen-Green-Funktion definiert? 2. Wie lautet für wechselwirkungsfreie Bloch-Elektronen die Ein-Elektronen-Spektraldichte? 3. Welches typische Zeitverhalten zeigen die Ein-Teilchen-Green-Funktionen des freien Elektronensystems? 4. Skizzieren Sie die Ableitung der kausalen Ein-Teilchen-Green-Funktion für nicht miteinander wechselwirkende Bloch-Elektronen. 5. Wie bestimmt man die mittlere Besetzungszahl nkσ des freien Elektronensystems? Wie lautet deren Temperaturabhängigkeit? 6. Welche Überlegung führt zur Definition der Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E)? Wie hängt diese mit der Spektraldichte zusammen? 7. Auf welche Weise ist die innere Energie U = H0 des nicht wechselwirkenden Elektronensystems durch die Spektraldichte festgelegt?

194

3. Green-Funktionen

8. 9.

Wie lässt sich aus U(T, V) die freie Energie F(T, V) gewinnen? Wie lautet die Ein-Magnonen-Spektraldichte für ein System von nicht wechselwirkenden Magnonen? 10. Warum ist das chemische Potential μ von Magnonen gleich Null? 11. Warum ist es sinnvoll, zur Beschreibung von Magnonen die Kommutator-GreenFunktion zu verwenden? 12. Begründen Sie für Spin-1 | 2 -Teilchen (Si+ )2 = 0 und (Siz )2 = h¯2 | 4.

Zu Abschnitt 3.4 1. Wie wird die elektronische Selbstenergie Σσα (k, E) (α = ret, av, c) in die Bewegungsgleichung der Ein-Elektronen-Green-Funkion eingeführt? 2. Wie lautet die formale Lösung für Gkασ (E) unter Einbeziehung der Selbstenergie? 3. Formulieren und interpretieren Sie die Dyson-Gleichung der Ein-ElektronenGreen-Funktion. 4. Welcher Zusammenhang besteht zwischen retardierter und avancierter Selbstenergie? 5. Warum kann der Imaginärteil der retardierten Selbstenergie nicht positiv sein? 6. Was können Sie über das Vorzeichen des Imaginärteils der avancierten Selbstenergie aussagen? 7. Demonstrieren Sie, warum der Realteil der Selbstenergie die Resonanzstellen Eiσ (k) der Ein-Elektronen-Spektraldichte bestimmt, bei denen diese ausgeprägte Maxima aufweist. 8. Wie sieht die Spektraldichte des wechselwirkenden Elektronensystems für den Fall aus, dass der Imaginärteil Iσ (k, E) der Selbstenergie identisch Null ist? 9. Welche Bedingung an den Imaginärteil der Selbstenergie garantiert ein ausgeprägtes Maximum in der Spektraldichte? 10. Unter welchen Voraussetzungen besitzt die Spektraldichte in der Nähe einer Resonanz Lorentz-Gestalt? 11. Welche allgemeine Struktur ist im Normalfall für die Spektraldichte zu erwarten? 12. Wie sieht bei identisch verschwindendem Imaginärteil der Selbstenergie die zeitabhängige Spektraldichte aus?   13. Wie wirken sich Lorentz-Peaks von Skσ (E) in Skσ t − t  aus?   14. Welche wohldefinierte physikalische Bedeutung besitzt der Propagator Skσ t − t  für den Spezialfall T = 0; k > kF ; t > t  ? Wie ändert sich diese für k < kF ?  15. Wann bezeichnet man  ϕ0 (t) als stationären Zustand? Wann sagt man, er habe eine endliche Lebensdauer? 16. Welche Zeitabhängigkeit besitzt der Propagator       2πSkσ t, t  = ϕ0 (t)  ϕ0 t          ϕ0 = a+  E0 ,  E0 : Grundzustand, k > kF für das nicht wechselwirkende kσ Elektronensystem?

3.5

Kontrollfragen

195

17. Wie dürfte sich diese Zeitabhängigkeit für das wechselwirkende Elektronensystem ändern? 18. Erläutern Sie, wie diese Zeitabhängigkeit zum Begriff des Quasiteilchen führt. 19. Was versteht man unter dem spektralen Gewicht und was unter der Lebensdauer eines Quasiteilchens? 20. Wie hängen Quasiteilchenenergien und Quasiteilchenlebensdauern mit der elektronischen Selbstenergie zusammen? 21. Wie manifestiert sich ein Quasiteilchen in der Spektraldichte Skσ (E)? 22. Wann hat ein Quasiteilchen eine unendlich lange Lebensdauer? 23. Wie ist die effektive Masse eines Quasiteilchens definiert? 24. Welcher enge Zusammenhang besteht zwischen der Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E) und der Spektraldichte eines wechselwirkenden Elektronensystems? 25. Die Selbstenergie sei reell und k-unabhängig und habe eine Singularität bei der Energie E0 . Was bedeutet das für die Quasiteilchenzustandsdichte? 26. Wie hängt die innere Energie eines wechselwirkenden Elektronensystems mit der Ein-Elektronen-Spektraldichte zusammen?

Kapitel 4 Wechselwirkende Teilchensysteme

4

4

4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 4.1.6 4.1.7 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.5 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4 4.5.5 4.6

Wechselwirkende Teilchensysteme Festkörperelektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Grenzfall des unendlich schmalen Bandes . . . . . . . . . . . . Hartree-Fock-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektronenkorrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolationsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das exakt halbgefüllte Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kollektive elektronische Anregungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ladungsabschirmung (Thomas-Fermi-Näherung) . . . . . . . Ladungsdichtewellen, Plasmonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spindichtewellen, Magnonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen . . . . . Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Methode des effektiven Mediums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coherent Potential Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spinsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tyablikow-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Renormierte“ Spinwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektron-Magnon-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetische 4f -Systeme (s-f -Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das unendlich schmale Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legierungsanalogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das magnetische Polaron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

199 199 202 207 211 212 221 225 229 230 234 243 246 249 249 253 255 259 269 270 270 277 282 283 284 286 292 294 302 304

4.1

Festkörperelektronen

199

4 Wechselwirkende Teilchensysteme Wir wollen in diesem Abschnitt den im letzten Kapitel diskutierten abstrakten Formalismus der Green-Funktionen auf einige realistische Probleme der Viel-TeilchenTheorie anwenden, wobei wir insbesondere die Modellsysteme aus Kap. 2 zugrunde legen werden. Wir wollen dabei zum einen erkennen, welche Informationen durch passend gewählte Green-Funktionen zugänglich sind, und zum anderen, wie solche Green-Funktionen in praktischen Fällen berechnet werden können. Die in der Regel unumgänglichen Approximationen sollen kritisch erläutert werden.

4.1

4.1 Festkörperelektronen Wir beginnen mit der Untersuchung von wechselwirkenden Festkörperelektronen, wobei wir uns hier auf einige typische Probleme konzentrieren wollen, ohne den Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben. Zwei in Abschn. 2.1 vorgestellte Modelle, das Jellium- und das Hubbard-Modell, sollen dabei die Grundlage bilden. Wir beginnen mit einem exakt lösbaren Spezialfall des Hubbard-Modells. 4.1.1 Der Grenzfall des unendlich schmalen Bandes Das Hubbard-Modell beschreibt wechselwirkende Elektronen in relativ schmalen Energiebändern. Es ist charakterisiert durch den Hamilton-Operator (2.117):

H=

  1  Tij − μδij a+iσ ajσ + U niσ ni − σ . 2 i, σ

(4.1)

ijσ

Wir wollen die Ein-Elektronen-Green-Funktion berechnen. Die Darstellung des Hamilton-Operators in (4.1) legt die Verwendung der Wannier-Formulierung (3.319) nahe: Gijασ (E) =



 aiσ ; a+jσ αE .

(4.2)

Für die Bewegungsgleichung benötigen wir den Kommutator   Tim − μδim amσ + Uni − σ aiσ . [aiσ , H ]− =

(4.3)

m

Der zweite Summand führt zu einer höheren Green-Funktion: 

α + + Γilm; jσ (E) = ai − σ al − σ amσ ; ajσ

 α E

.

Damit lautet die Bewegungsgleichung der Ein-Elektronen-Green-Funktion:  α (E) + U Γ α (E) , Tim Gmj (E + μ)Gijασ (E) = h¯δij + σ iii; jσ m

W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

(4.4)

(4.5)

200

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

α (E) auf der rechten Seite nicht direkt die wegen der höheren Green-Funktion Γiii; jσ lösbar ist. Wir stellen deshalb auch für diese Funktion die entsprechende Bewegungsgleichung auf:

[ni − σ aiσ , H0 ]− =   Tlm − μδlm [ni − σ aiσ , a+lσ amσ ]− = = lmσ 

=

  Tlm − μδlm δil δσσ ni − σ amσ −

lmσ 

(4.6)

 − δil δσ − σ a+i − σ aiσ amσ − δim δσ − σ a+lσ ai − σ aiσ =

=

   Tim − μδim ni − σ amσ + a+i − σ am − σ aiσ − a+m − σ ai − σ aiσ , m

[ni − σ aiσ , H1 ]− = =

1  U [ni − σ aiσ , nmσ nm − σ ]− = 2  m, σ

=

1  ni − σ [aiσ , nmσ nm − σ ]− = U 2  m, σ

=

(4.7)

  1  U ni − σ δim δσσ amσ nm − σ + δim δσ − σ nmσ am − σ = 2  m, σ

= Uaiσ ni − σ . Im letzten Schritt haben wir die für Fermionen gültige Beziehung n2iσ = niσ ausgenutzt. Insgesamt ergibt sich damit die Bewegungsgleichung: α (E) = (E + μ − U)Γiii; jσ

= h¯δij ni − σ  +

 m

  α α α Tim Γiim; jσ (E) + Γimi; jσ (E) − Γmii; jσ (E) .

(4.8)

Wir wollen uns in diesem Abschnitt auf den relativ einfachen, aber durchaus aufschlussreichen Grenzfall des unendlich schmalen Bandes beschränken,

ε(k) ≡ T0 ⇐⇒ Tij = T0 δij ,

(4.9)

4.1

Festkörperelektronen

201

fürdensichdieBewegungsgleichungshierarchievonselbstentkoppelt.Gleichung(4.8) vereinfacht sich nämlich zu:  α  ¯δij n−σ  . E + μ − U − T0 Γiii; jσ (E) = h

(4.10)

Wegen Translationssymmetrie wird der Erwartungswert des Anzahloperators gitter  platzunabhängig niσ  = nσ  ∀i . Wir setzen die Lösung von (4.10) in (4.5) ein:   E + μ − T0 Giiασ = h¯ + h¯

U n−σ   . E − T0 − μ + U

Damit ergibt sich schließlich für die retardierte Funktion:   h¯ 1 − n−σ  h¯ n−σ  ret     + . Giiσ (E) = + E − T0 − μ + i0 E − T0 + U − μ + i0+

(4.11)

Giiret σ (E) hat also zwei, den möglichen Anregungsenergien entsprechende Pole: E1σ = T0 − μ = E1 − σ ,

(4.12)

E2σ = T0 + U − μ = E2 − σ .

(4.13)

Das ursprüngliche Niveau T0 spaltet aufgrund der Coulomb-Wechselwirkung in zwei spinunabhängige Quasiteilchenniveaus E1σ , E2σ auf. Die Spektraldichte berechnet sich mit (3.154) leicht aus (4.11): Siiσ (E) = h¯

2 





αjσ δ E − Ejσ .

(4.14)

j=1

Die spektralen Gewichte

α1σ = 1 − n−σ  ; α2σ = n−σ 

(4.15)

sind ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass das σ -Elektron an einem Gitterplatz     ein (−σ )-Elektron antrifft α2σ oder an einen unbesetzten Platz gerät α1σ . Im ersten Fall muss es die Coulomb-Wechselwirkung U aufbringen. Die Quasiteilchenzustandsdichte

ρσ (E) =

1  1 Siiσ (E − μ) = Siiσ (E − μ) = N h¯ i h¯

      = 1 − n−σ  δ E − T0 + n−σ  δ E − (T0 + U)

(4.16)

besteht in diesem Grenzfall aus zwei unendlich schmalen Bändern bei den Ener  gien T0 und T0 + U. Das zum Niveau entartete untere Band enthält 1 − n−σ  , das obere n−σ  Zustände pro Atom. Die Zahl der Zustände in einem Quasiteilchensubband ist also temperaturabhängig!

202

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Wir müssen zur vollständigen Festlegung der Quasiteilchenzustandsdichte noch den Erwartungswert n−σ  mithilfe des Spektraltheorems (3.157) bestimmen: n−σ  =

1 h¯

+∞

−1 dE Sii − σ (E) e βE + 1 = −∞

      = 1 − nσ  f− T0 + nσ  f− T0 + U . f− (E) ist hier wieder die Fermi-Funktion. Wir setzen noch den entsprechenden Ausdruck für nσ  ein und finden damit:   f− T0    . n−σ  = (4.17) 1 + f− T0 − f− T0 + U Die vollständige Lösung für ρσ (E) lautet also:

ρσ (E) =

     1     1 − f− T0 + U δ E − T0 + 1 + f− T0 − f− T0 + U     + f− T0 δ E − T0 − U =

(4.18)

= ρ−σ (E) . Die Quasiteilchenzustandsdichte ist also spinunabhängig. Spontane Magnetisierung, d. h. Ferromagnetismus, scheidet im Grenzfall des unendlich schmalen Bandes demnach aus: 1 nσ  = n−σ  = n . 2

(4.19)

4.1.2 Hartree-Fock-Näherung Wir wollen in diesem Abschnitt eine sehr einfache, aber auch sehr typische Approximation kennen lernen, die für gehobene Ansprüche zwar viel zu grob ist, häufig jedoch bereits einen ersten wertvollen Einblick in die Physik des zugrunde liegenden Modells vermitteln kann. Die Hartree-Fock-Näherung des Hubbard-Modells ist in der Literatur unter der Bezeichnung Stoner-Modell bekannt und wird als solches zur Diskussion des magnetischen Verhaltens von Bandelektronen herangezogen. Ausgangspunkt ist die folgende Identität für das Produkt zweier Operatoren A und B:

AB = (A − A)(B − B) + A B + A B − A B .

(4.20)

Die Vereinfachung besteht in einer Linearisierung dieses Ausdrucks. Wir stellen uns das Produkt AB als Bestandteil einer Green-Funktion vor, die ja als thermodynamischer Mittelwert definiert ist. Die Hartree-Fock-Näherung oder auch Molekularfeld-

4.1

Festkörperelektronen

203

näherung vernachlässigt in den Green-Funktionen die Fluktuation der Observablen um ihre thermodynamischen Mittelwerte, ersetzt also AB −→ A B + A B − A B . HFN

(4.21)

Der letzte Summand ist eine reine c-Zahl, die in den Bewegungsgleichungen nicht erscheint. α (E) in (4.5) durch. Wir führen die Näherung (4.21) an der Green-Funktion Γiii, jσ Wegen aiσ ni − σ −→ aiσ n−σ  + aiσ  ni − σ − aiσ  n−σ  = aiσ n−σ  HFN

α (E) in der Hartree-Fock-Näherung: gilt für die höhere Green-Funktion Γiii; jσ α (E) −→ n  G α (E) . Γiii; −σ jσ ijσ HFN

(4.22)

n−σ  kann als Skalar aus der Green-Funktion herausgezogen werden. Damit vereinfacht sich die Bewegungsgleichung (4.5) zu    α (E) Tim Gmj E + μ − U n−σ  Gijασ (E) = h¯δij + σ m

und kann durch Fourier-Transformation auf Wellenzahlen leicht gelöst werden: h¯ ≡ E − ε(k) + U n−σ  − μ   ≡ Gk(0) σ E − U n−σ  .

Gkσ (E) =



(4.23)

In der Hartree-Fock-Näherung hat also die Ein-Elektronen-Green-Funktion des Hubbard-Modells dieselbe Gestalt wie die des freien Systems, allerdings mit renormierten, spinabhängigen Ein-Teilchen-Energien. Mithilfe der dimensionslosen

Magnetisierung m =

1     n↑ − n↓ 2

(4.24)

und der     Teilchendichte n = n↑ + n↓

(4.25)

lauten die Quasiteilchenenergien:

1 (4.26) Eσ (k) = ε(k) + Un − zσ mU . 2   zσ ist dabei ein Vorzeichenfaktor z↑ = +1 , z↓ = −1 . Zur vollständigen Lösung des Problems haben wir noch den Erwartungswert n−σ  in (4.23) festzulegen. Dies

204

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

gelingt mithilfe des Spektraltheorems. An (4.23) lesen wir unmittelbar den folgenden Ausdruck   (4.27) Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) − U n−σ  + μ für die Spektraldichte ab. Das Spektraltheorem (3.157) liefert dann:  1  1  + ni − σ  = n−σ  = ak − σ ak − σ = N i N k

=

1 1 N h¯ k

Dies bedeutet: n−σ  =

+∞

dE f− (E)Sk − σ (E − μ) .

−∞

  −1 1  1 + exp β ε(k) + U nσ  − μ . N

(4.28)

k

Dies ist eine implizite Bestimmungsgleichung für die mittleren Teilchenzahlen nσ , n−σ , die wir in eine entsprechende für die Magnetisierung m umschreiben können: m=

1  1 sinh(βUm) gk (β, n, m) . 2 N

(4.29)

k

Dabei haben wir abgekürzt:

−1   1 . gk (β, n, m) = cosh(βUm) + cosh β ε(k) + Un − μ 2 Für die Teilchendichte gilt:  

  1 1  exp −β ε(k) + Un − μ + cosh(βUm) gk (β, n, m) . n= N 2

(4.30)

(4.31)

k

Man erkennt unmittelbar, dass der nichtmagnetische Zustand m = 0 stets eine mögliche Lösung darstellt. Um zu sehen, ob es weitere Lösungen m =/ 0 gibt, formen wir mit der Zustandsdichte (3.213) des nicht wechselwirkenden Systems,  1   ρ0 (E) = δ E − ε(k) , N k

die wir als bekannt voraussetzen dürfen, den Ausdruck (4.30) noch etwas um:  +∞ 1  gk (β, n, m) = dx ρ0 (x) cosh(βUm) + N k

−∞

−1  1 . + cosh β x + Un − μ 2

(4.32)

4.1

Festkörperelektronen

205

Für hohe Temperaturen (T → ∞ ⇐⇒ β → 0) können wir die hyperbolischen Funktionen entwickeln: sinh x = x +

1 3 x + ··· ; 3!

cosh x = 1 +

1 2 x + ··· . 2!

Dies bedeutet: +∞ 1 1 1  gk (β, n, m) −−−→ dx ρ0 (x) = T →∞ 2 N 2 k

(4.33)

−∞

oder mit (4.29): m −−−→ T →∞

1 βUm . 4

(4.34)

Diese Gleichung hat nur die Lösung m = 0. Bei hohen Temperaturen gibt es also keine spontane Magnetisierung m =/ 0. Wenn also überhaupt eine ferromagnetische Lösung m =/ 0 existiert, dann offenbar nur unterhalb einer kritischen Temperatur TC (Curie-Temperatur). Nähern wir uns von unten TC , so sollte m sehr klein werden (Phasenübergang zweiter Ordnung!), sodass wir in (4.32) den ersten Summanden entwickeln können. In der Nähe von TC sollte demnach mit (4.25) gelten: < T → TC :

1 1 ≈ βC U 2

+∞ dx −∞

ρ0 (x)  .   1 + cosh βC x + 12 Un − μ

(4.35)

Damit wirklich Ferromagnetismus vorliegt, muss mindestens     βC = kB TC −1 → ∞ TC = 0+ gefordert werden. Mit der folgenden Darstellung der δ-Funktion (Beweis als Übung!), 1 β , β → ∞ 2 1 + cosh(βx)

δ(x) = lim

(4.36)

erhalten wir aus (4.35) das Kriterium



1 1 ≈ U ρ0 μ − Un . 2

(4.37)

Bei T ≈ 0 kann man das chemische Potential μ durch die Fermi-Energie EF ersetzen.   Nach (4.26) hängt diese mit der des freien Systems εF wegen m ≈ 0 über EF ≈ εF + 12 Un zusammen. Damit ergibt sich aus (4.37) das bekannte Stoner-Kriterium 1 ≤ U ρ0 (εF )

(4.38)

206

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

für das Auftreten von Ferromagnetismus. Ist diese Relation erfüllt, so sollte das Elektronensystem eine spontane, d. h. nicht durch ein äußeres Magnetfeld erzwungene Magnetisierung m =/ 0 aufweisen. Trotz der diversen, stark vereinfachenden Annahmen, die letzlich zu (4.38) führten, erweist sich das Stoner-Kriterium als trendmäßig richtig. Wir kommen zum Schluss noch einmal zu den Quasiteilchenenergien Eσ (k) (4.26) zurück. Wir haben gesehen, dass unter bestimmten Bedingungen (4.38) die Magnetisierung m =/ 0 sein kann. Dies entspricht einer temperaturabhängigen Austauschaufspaltung ΔEex

ΔEex = 2Um , die in diesem einfachen Beispiel starr, d. h. k-unabhängig ist. Entsprechend der Bedeutung der Ein-Elektronen-Green-Funktion sind die Quasiteilchenenergien Eσ (k) gerade die Energien, die aufgebracht werden müssen, um ein zusätzliches (k, σ )Elektron in dem N-Teilchensystem unterzubringen. Als eigentliche Anregungsenergie innerhalb des Systems ergibt sich dann:

ΔEσσ (k; q) = Eσ (k + q) − Eσ (k) =   = ε(k + q) − ε(k) + mU zσ − zσ .

(4.39)

Erfolgt eine solche Anregung ohne Spinflip (σ = σ  ) innerhalb eines Teilbandes, dann ist diese wegen der starren Bandverschiebung mit einer entsprechenden im nicht wechselwirkenden (U = 0)-System identisch. Bei einem kugelsymmetrischen Fermi-Körper, d. h. ε(k) = h¯2 k2 | 2m∗ , liegt das Anregungsspektrum dann zwischen den beiden Kurven:  h¯2  2 q + 2kF |q| , ∗ 2m ⎧ 2 ⎪ ⎨ h¯ q2 − 2k |q|  , F ΔEmin (q) = 2m∗ ⎪ ⎩0

ΔEmax (q) =

(4.40)

falls

|q| > 2kF ,

(4.41)

sonst.

Eσ 2Um

Abb. 4.1. Spinabhängige Aufspaltung der Quasiteilchenenergien des

k

Stoner-Modells für Temperaturen unterhalb der Curie-Temperatur

4.1

Festkörperelektronen

207

DEσσ DEmax DEmin ´ 2kF

Abb. 4.2. Anregungsspektrum im Stoner-Modell für

q

Übergänge ohne Spinflip

Anregungen mit Spinflip bedeuten dagegen Übergänge zwischen den beiden Teilbändern:

ΔE↑↓ (k; q) = ε(k + q) − ε(k) + 2Um .

(4.42)

  Man unterscheidet zwischen starkem 2Um > εF und schwachem Ferromagnetis  mus 2Um < εF (s. Abb. 4.3): 4.1.3 Elektronenkorrelationen Die im letzten Abschnitt besprochene Hartree-Fock-Näherung des Hubbard-Modells α (E) vollzogen (s. (4.22)), die in der Bewewird an der höheren Green-Funktion Γiiij σ gungsgleichung (4.5) für die Ein-Elektronen-Green-Funktion erscheint. Man macht sich leicht klar, dass sich dieselben Resultate ergeben hätten, wenn man die Näherung (4.21) direkt auf den Modell-Hamilton-Operator (4.1) angewendet hätte:

H → HS =

    Tij + U n−σ  − μ δij a+iσ ajσ =

i, j, σ

=

(4.43)

  Eσ (k) − μ a+kσ akσ . k, σ

HS definiert das eigentliche Stoner-Modell. Es handelt sich um einen Ein-TeilchenOperator, für den Gkσ (E) leicht exakt berechenbar ist und mit (4.23) übereinstimmt.

DE­¯

2Um < εF

2Um Um ´

2Um Um ´

(a)

q

(b)

2Um

<

DE­¯

εF

q

Abb. 4.3. Anregungsspektrum im Stoner-Modell für Übergänge mit Spinflip: (a) schwacher

Ferromagnet; (b) starker Ferromagnet

208

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Weiterführende Information gewinnt man, wenn man die Entkopplung der Bewegungsgleichungskette an einer späteren Stelle durchführt, z. B. an den in der Beα (E) erscheinenden neuen Green-Funktionen. Das wegungsgleichung (4.8) für Γiii; jσ Resultat wird dann allerdings nicht mehr im Rahmen eines Ein-Teilchen-Modells formulierbar sein. In diesem Zusammenhang führt man den Begriff der Teilchen-Korrelationen ein und meint damit alle Einflüsse der Teilchen-Wechselwirkungen, die nicht in einem Ein-Teilchen-Modell beschreibbar sind und deshalb echte Viel-Teilchen-Effekte darstellen. Die oben bereits erwähnten Entkopplungen gehen auf Hubbard selbst zurück, der auf diese Weise eine approximative Lösung seines eigenen Modells vorschlug. Man vollzieht das Hartree-Fock-Verfahren (4.21) an den Green-Funktionen der Gleichung (4.8). Unter Beachtung von Teilchenzahl- und Spinerhaltung findet man damit: i =/ m

α (E) −−→ n  G α (E), Γiim;j −σ σ mjσ i =/ m





i =/ m





α + α Γimi; jσ (E) −−→ ai − σ am − σ Gijσ (E) , α + α Γmii; jσ (E) −−→ am − σ ai − σ Gijσ (E) .

(4.44) (4.45) (4.46)

Gleichungen (4.45) und (4.46) liefern nach Einsetzen in (4.8), m =/ i  m

  α α Tim Γimi; jσ (E) − Γmii; jσ (E)

−→ Gijασ (E)



    Tim a+i − σ am − σ − a+m − σ ai − σ ,

(4.47)

m

keinen Beitrag, wenn wir, wie immer, ein translationssymmetrisches Gitter voraussetzen:      Tim a+i − σ am − σ − a+m − σ ai − σ = m

=

    1  Tim a+i − σ am − σ − a+m − σ ai − σ = N i m

  1  = Tim − Tmi a+i − σ am − σ = N i, m =0.

(4.48)

4.1

Festkörperelektronen

209

Von der ersten zur zweiten Zeile haben wir die Translationssymmetrie ausgenutzt, von der zweiten zur dritten im zweiten Summanden die Summationsindizes vertauscht und von der dritten zur vierten Tim = Tmi verwendet. Mit (4.47) und (4.48) bleibt von der Bewegungsgleichung (4.8): m =/ i    α α (E) . n  n  E + μ − T0 − U Γiii; (E) = h ¯ δ Tim Gmj + ij − σ − σ jσ σ m

Auflösen nach Γ α

und Einsetzen in (4.5) liefert für die Ein-Elektronen-GreenFunktion eine Bestimmungsgleichung   m =/ i   α  α E + μ − T0 Gijσ (E) = h¯δij + Tim Gmjσ (E) · iii; jσ (E)

· 1+

m

U n−σ  E + μ − T0 − U

,

die durch Fourier-Transformation auf Wellenzahlen gelöst wird. Wir definieren

Σσ (E) = U n−σ 

E + μ − T0   E + μ − U 1 − n−σ  − T0

(4.49)

und haben dann für die Green-Funktion des wechselwirkenden Elektronensystems genau die nach den allgemeinen Ausführungen in Abschn. 3.4.1 zu erwartende Gestalt gefunden (s. (3.326)):   −1 . Gkσ (E) = h¯ E − ε(k) − μ + Σσ (E)

(4.50)

Man zeigt leicht, dass für U → 0 (Bandlimit) und für ε(k) → T0 (Atomares Limit) diese Lösung in die exakten Ausdrücke (3.198) bzw. (4.11) übergeht. Die HartreeFock-Lösung (4.23) ist dagegen nur im Bandlimit korrekt. Die Selbstenergie ist Null, wenn die Wechselwirkung ausgeschaltet wird (U = 0), aber auch für n−σ  = 0, weil das σ -Elektron dann keinen Wechselwirkungspartner hat. E - åσ (E - μ )

E0σ

´

´

E

Abb. 4.4. Qualitativer Energieverlauf

der Selbstenergie in der Hubbard-Lösung des Hubbard-Modells

210

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Die Selbstenergie ist in der Hubbard-Lösung (4.49) reell und k-unabhängig, erfüllt damit die Voraussetzungen (3.373) des in Abschn. 3.4.4 diskutierten Spezialfalles, der für die Quasiteilchenzustandsdichte die Darstellung (3.376) bedeutet:

ρσ (E) = ρ0 [E − Σσ (E − μ)] .

(4.51)

Das Argument E − Σσ (E − μ) divergiert bei   E0σ = U 1 − n−σ  + T0 .

(4.52)

Dies führt zu einer durch Elektronenkorrelationen bedingten Bandaufspaltung, die in einem Ein-Teilchen-Bild prinzipiell nicht verständlich ist. Betrachten wir zum Schluss noch die Spektraldichte, für die nach (3.374) Skσ (E) = h¯δ [E − ε(k) + μ − Σσ (E)]

(4.53)

gilt. Mit der Formel (3.338) kann dafür auch Skσ (E) = h¯

2 





αjσ (k)δ E + μ − Ejσ (k)

(4.54)

j=1

geschrieben werden. Dabei gilt für die Quasiteilchenenergien, Ejσ (k) =

 1 U + ε(k) + T0 + 2     2 j 1 + (−1) T0 + U − ε(k) + U n−σ  ε(k) − T0 , 4

und für die spektralen Gewichte:

αjσ (k) = (−1)

  − U 1 − n−σ  . E2σ (k) − E1σ (k)

j Ejσ (k) − T0

(4.55)

(4.56)

Die erwähnte Bandaufspaltung manifestiert sich hier darin, dass zu jeder Wellenzahl k zwei Quasiteilchenenergien existieren. Diese sind reell, entsprechen also Quasiteilchen mit unendlich langer Lebensdauer. Bewegt sich das Elektron im oberen der beiden Teilbänder, so hüpft es vornehmlich über solche Gitterplätze, an denen sich schon ein anderes Elektron desselben Energiebandes mit entgegengesetztem Spin aufhält. Im unteren Teilband bervorzugt es dagegen unbesetzte Plätze. Dies führt zu einem energetischen Abstand der beiden Teilbänder um etwa den Betrag U, wovon man sich mit (4.55) leicht überzeugt. Die die Bandaufspaltung bewirkende Singularität E0σ ist jedoch auch für einen schwerwiegenden Nachteil der Hubbard-Lösung verantwortlich. Man sollte erwarten, dass mit abnehmendem U | W (W = Bloch-Bandbreite) die zunächst getrennten Subbänder allmählich überlappen. Wir erkennen aber an (4.52), dass für beliebig   kleine U | W stets eine Singularität E0σ in E − Σσ (E − μ) existiert, sodass die Theo-

4.1

Festkörperelektronen

211

rie für alle Parameterwerte eine Lücke prophezeit. Für kleine U | W erscheint die Hubbard-Lösung deshalb fragwürdig. 4.1.4 Interpolationsmethode Wir wollen in diesem Abschnitt ein sehr einfaches Näherungsverfahren kennen lernen, das sich für erste Abschätzungen recht informativ zeigen kann. Es erweist sich als exakt in den beiden extremen Grenzen, Bandlimit (Wechselwirkung → 0) und Atomares Limit (ε(k) → T0 ∀k), und sollte deshalb auch im Zwischenbereich eine halbwegs brauchbare Näherung darstellen können. Zur Erklärung der Methode beginnen wir zunächst mit dem freien System, das durch     Tij − μδij a+iσ ajσ H0 = ε(k) − μ a+kσ akσ ≡ (4.57) ijσ

k,σ

beschrieben wird. Das zugehörige Atomare Limit ist dann noch einfacher:   T0 − μ a+iσ aiσ . H00 =

(4.58)

i, σ

Die hiermit verknüpfte Ein-Teilchen-Green-Funktion wollen wir die Schwerpunktfunktion G00σ (E) nennen. Ihre Bewegungsgleichung ist schnell aufgestellt und gelöst: G00σ (E) = h¯ [E − T0 + μ]−1 .

(4.59)

Die Ein-Teilchen-Green-Funktion zu H0 haben wir schon früher abgeleitet (3.198): G(0) ¯[E − ε(k) + μ]−1 . kσ (E) = h Sie lässt sich offenbar wie folgt durch die Schwerpunktfunktion ausdrücken:  −1 G(0) ¯ h¯G−1 . (4.60) 00σ (E) + T0 − ε(k) kσ (E) = h Diese Beziehung ist natürlich noch exakt. Wir postulieren nun, dass formal dieselbe Beziehung zwischen Gkσ (E) und Schwerpunktfunktion G0σ (E) (= Lösung des Atomaren Limits!) auch für beliebige Modellsysteme in guter Näherung gültig ist: Interpolationsmethode  −1 Gkσ (E) = h¯ h¯G0−1 . σ (E) + T0 − ε(k) Dies impliziert als Quasiteilchenzustandsdichte:   ρσ (E) = ρ0 h¯G0−1σ (E − μ) + T0 .

(4.61)

(4.62)

212

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Dabei ist G0σ (E) als Lösung des Atomaren Limits in aller Regel relativ einfach bestimmbar. Wir wollen diesen Ausdruck einmal für das Hubbard-Modell auswerten. Für die Atomic Limit-Lösung gilt (4.11):   E − T0 + μ − U 1 − n−σ   . G0σ (E) = h¯  E − T0 + μ E − T0 + μ − U Daraus folgt:

   h¯G0−1 σ (E) = E − T0 + μ 1 −

U n−σ    E − T0 + μ − U 1 − n−σ 

 (4.63)

= E + μ − T0 − Σσ (E) .

Σσ (E) ist die Selbstenergie (4.49). Die Interpolationsmethode (4.61) liefert also mit Gkσ (E) = h¯ [E + μ − ε(k) − Σσ (E)]−1

(4.64)

für das Hubbard-Modell exakt dieselbe Lösung wie die im letzten Abschnitt besprochenen Hubbard-Entkopplungen. Per Konstruktion ist die Interpolationsmethode im Bandlimit und im Atomaren Limit exakt. 4.1.5 Momentenmethode Die in Abschn. 4.1.3 diskutierte Hubbard-Lösung ist ursprünglich zur Beschreibung von Bandmagnetismus konzipiert worden. Man kann sich jedoch klar machen, dass eine spontane Magnetisierung im Rahmen dieser Theorie nur unter sehr außergewöhnlichen, physikalisch sogar wenig plausiblen Bedingungen (z. B. geringe Teilchendichte n!) möglich wird. Auf die Ursache hierfür werden wir später noch zu sprechen kommen. Während das Stoner-Modell (Abschn. 4.1.2) das Auftreten von Ferromagnetismus offensichtlich überschätzt – das Stoner-Kriterium (4.30) ist zu schwach –, liefert die Hubbard-Lösung ein zu scharfes Kriterium! Wir wollen jetzt am Beispiel des Hubbard-Modells eine Methode entwickeln, die sich von den üblichen Entkopplungsprozeduren der Green-Funktionen deutlich absetzt. Sie hat sich bereits als ein sehr effektives Verfahren der Viel-Teilchen-Theorie erwiesen, liefert z. B. im Fall des Hubbard-Modells sehr realistische Kriterien für die Möglichkeit von Bandferromagnetismus. Ausgangspunkt ist in diesem Fall die Ein-Elektronen-Spektraldichte (3.320) bzw. (3.321):

1 Sij(k)σ (E) = 2π



+∞    i    · d t − t exp − E t − t h¯

−∞



 · ai(k)σ (t), a+j(k)σ (t  )

+

.

(4.65)

4.1

Festkörperelektronen

213

Das Verfahren besteht aus zwei Teilschritten. Zunächst versucht man, die allgemeine Struktur dieser fundamentalen Funktion zu erraten, wobei man sich von exakt lösbaren Grenzfällen, Spektraldarstellungen, bereits vorliegenden vertrauenswürdigen Approximationen oder allgemeinen Plausibilitätsbetrachtungen leiten lässt. Dies führt zu einem gewissen Ansatz für die Spektraldichte, der eine Reihe von zunächst unbekannten Parametern enthält. Diese werden dann im zweiten Schritt den exakt berechenbaren Spektralmomenten Mk(n) σ der gesuchten Spektraldichte angepasst. Entscheidend ist, dass es für diese nach (3.178) und (3.179) zwei äquivalente Darstellungen gibt. Die eine liefert den Zusammenhang mit der Spektraldichte Mk(n) σ =

1 h¯

+∞ dE E n Skσ (E) ;

n = 0, 1, 2, . . . ,

(4.66)

−∞

während sich über die zweite Relation alle Momente unabhängig von der gesuchten Funktion zumindest im Prinzip exakt berechnen lassen: 1  −ik · (Ri − Rj ) Mk(n) e · σ = N i, j

·







  . [. . . [aiσ , H ]− , . . . , H ]− , H, . . . , H, a+jσ . . . , − ! "# $ ! "# $− + (n − p)-fach

(4.67)

p-fach

Wir werden also für Skσ (E) einen Ansatz suchen, der m freie Parameter enthält, diesen dann in (4.66) einsetzen und die Parameter schließlich mithilfe der ersten m, nach (4.67) exakt berechneten Momente Mk(n) σ festlegen. Das Verfahren ist an zwei entscheidende Voraussetzungen geknüpft. Zum einen sollte der Ansatz der korrekten Struktur der Spektraldichte möglichst nahekommen. Zum anderen müssen alle in den Momenten vorkommenden Erwartungswerte durch Skσ (E) mithilfe des Spektraltheorems (3.157) in irgendeiner Form ausdrückbar sein, um zu einem geschlossenen, selbstkonsistent lösbaren Gleichungssystem zu gelangen. Mit wachsender Ordnung n der Momente werden die Erwartungswerte jedoch immer komplizierter, sodass letztere Bedingung der Zahl der verwendbaren Momente Grenzen setzt. Wie könnte nun ein vernünftiger Ansatz im Rahmen des Hubbard-Modells aussehen? Die allgemeinen Betrachtungen des Abschn. 3.4.2 haben gezeigt, dass in aller Regel die Spektraldichte eine Linearkombination von gewichteten δ- und LorentzFunktionen darstellen sollte. Sind wir nicht an Lebensdauer-Effekten interessiert, so können wir die Version (3.339) akzeptieren: Skσ (E) = h¯

n0 





αjσ (k)δ E + μ − Ejσ (k) .

(4.68)

j=1

Die αjσ (k) und Ejσ (k) betrachten wir als die zunächst unbestimmten Parameter. Die Frage ist nur noch, wie groß die Zahl n0 der Quasiteilchenpole ist. Einen Hinweis

214

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

könnte das exakt lösbare Atomare Limit geben, das natürlich als Grenzfall ebenfalls in (4.68) enthalten sein muss. Für dieses gilt aber nach (4.14): n0 = 2 .

(4.69)

Die Hubbard-Lösung (4.54) bzw. das äquivalente Resultat (4.64) der Interpolationsmethode entsprechen ebenfalls einer solchen Zwei-Pol-Struktur der Spektraldichte. Es liegt deshalb nahe, als Ansatz eine Summe von zwei gewichteten δ-Funktionen zu wählen. Er enthält damit vier unbestimmte Parameter, die beiden spektralen Gewichte αjσ (k) und die beiden Quasiteilchenenergien Ejσ (k). Diese legen wir über die ersten vier exakt berechneten Spektralmomente fest. Mit dem ModellHamilton-Operator (4.1) in (4.67) ergibt sich nach direkter, allerdings etwas mühseliger Rechnung: Mk(0) σ =1,   (1) Mkσ = ε(k) − μ + U n−σ  ,  2   2 Mk(2) σ = ε(k) − μ + 2U n−σ  ε(k) − μ + U n−σ  ,  3 2  Mk(3) σ = ε(k) − μ + 3U n−σ  ε(k) − μ +    + U 2 n−σ  2 + n−σ  ε(k) − μ +    + U 2 n−σ  1 − n−σ  Bk−σ − μ + U 3 n−σ  . Dabei haben wir zur Abkürzung geschrieben:   n−σ  1 − n−σ  Bk−σ = BS, −σ + BW, −σ (k) + T0 n−σ  .

(4.70) (4.71) (4.72)

(4.73)

(4.74)

Dieser Term stellt sich als entscheidend für die Möglichkeit einer spontanen Spinordnung heraus. Er muss deshalb sehr sorgfältig diskutiert werden. Am wichtigsten ist der erste Summand, der für eine spinabhängige Bandverschiebung sorgt:   1   + Tij ai − σ aj − σ 2niσ − 1 . (4.75) BS, −σ = N i, j

Der zweite Summand in (4.75) beeinflusst wegen seiner k-Abhängigkeit vor allem die Breiten der Quasiteilchenbänder:   1  Tij e ik · (Ri −Rj ) · ni − σ nj − σ − n−σ 2 − BW, −σ (k) = N i, j (4.76)    + + + + − ajσ aj − σ ai − σ aiσ − ajσ ai − σ aj − σ aiσ . Das Hubbard-Modell soll vornehmlich Fragen des Magnetismus beantworten. In diesem Zusammenhang spielt BW, −σ (k) nur eine untergeordnete Rolle. So kompensieren sich in einer Hartree-Fock-Näherung die beiden ersten Terme auf der rechten Seite von (4.76). Die beiden anderen Terme sind sogar spinunabhänig. Es gilt nämlich   a+jσ a+j − σ ai − σ aiσ = a+j − σ a+jσ aiσ ai − σ

4.1

Festkörperelektronen

215

und bei reellen Erwartungswerten: %  + & a+jσ a+i − σ aj − σ aiσ = a+jσ a+i − σ aj − σ aiσ =  = a+iσ a+j − σ ai − σ ajσ =  = a+j − σ a+iσ ajσ ai − σ . Es dürfte deshalb völlig ausreichen, BW, −σ (k) nur in der über alle Wellenzahlen k gemittelten Form zu berücksichtigen: 1  BW, −σ (k) = N k

1  Tij = N i, j



  1  −ik · (Ri − Rj )  ni − σ nj − σ − n−σ 2 − e N k

  − a+jσ a+j − σ ai − σ aiσ − a+jσ a+i − σ aj − σ aiσ = 

  1  Tij δij ni − σ nj − σ − n−σ 2 − = N

(4.77)

ij

  − a+jσ a+j − σ ai − σ aiσ − a+jσ a+i − σ aj − σ aiσ =     = T0 n−σ  1 − n−σ  − 2 ni − σ niσ  . 

Bk, −σ aus (4.74) geht dann insgesamt über in die Bandkorrektur B−σ :     n−σ  1 − n−σ  B−σ = T0 n−σ  1 − n−σ  + +

i =/ j   1   + Tij ai − σ aj − σ 2niσ − 1 . N

(4.78)

i, j

Mit den exakten Spektralmomenten (4.70) bis (4.73) sind über (4.66) die freien Parameter in unserem Ansatz (4.68) für die Spektraldichte festgelegt. Man findet für die Quasiteilchenenergien, ' (4.79) Ejσ (k) = Hσ (k) + (−1) j Kσ (k) ,  1 ε(k) + U + B−σ , 2   2 1 U + B−σ − ε(k) + U n−σ  ε(k) − B−σ , Kσ (k) = 4 und für die spektralen Gewichte:   j Ejσ (k) − B−σ − U 1 − n−σ  . αjσ (k) = (−1) E2σ (k) − E1σ (k) Hσ (k) =

(4.80) (4.81)

(4.82)

216

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Die Resultate haben dieselbe Struktur wie die Hubbard-Lösungen (4.55) und (4.56). Neu, aber auch entscheidend, ist die Bandkorrektur B−σ . Ersetzen wir in den obigen Ausdrücken diese durch ihren Atomic Limit-Wert, B−σ −−−−−→ T0 , Tij → T0 δij

(4.83)

so ergeben sich exakt die Hubbard-Resultate. In der Momentenmethode bekommen die Quasiteilchengrößen über B−σ eine zusätzliche Spinabhängigkeit. Zur vollständigen Lösung des Problems haben wir noch die Erwartungswerte n−σ  und B−σ zu bestimmen bzw. durch Skσ (E) auszudrücken, um zu einem geschlossenen, selbstkonsistent lösbaren Gleichungssystem zu gelangen. Für n−σ  können wir direkt das Spektraltheorem (3.157) verwenden: 1  n−σ  = N h¯

+∞ dE f− (E)Sk − σ (E − μ) .

(4.84)

k −∞

Die Bandkorrektur B−σ ist allerdings im Wesentlichen durch eine höhere GleichzeitKorrelationsfunktion, nämlich durch  +  ai − σ aj − σ niσ , bestimmt. Glücklicherweise lässt sich dieser Term ebenfalls durch die Ein-Elektronen-Spektraldichte ausdrücken. Dies erfordert jedoch einige Vorüberlegungen. Zunächst haben wir wie in (4.3),   Tmi − μδmi a+m − σ + Uniσ a+i − σ , (4.85) [H, a+i − σ ]− = m

und können damit den gesuchten Erwartungswert wie folgt darstellen:     + 1  Tmi − μδmi a+m − σ aj − σ + ai − σ aj − σ niσ = − U m  1  + [H, a+i − σ ]− aj − σ . U

(4.86)

Benutzen wir nun noch einmal das Spektraltheorem, so wie die Bewegungsgleichung (3.27) für zeitabhängige Heisenberg-Operatoren, so können wir für den zweiten Summanden schreiben:   [H, a+i − σ ] aj − σ = 1 = h¯

+∞  −1 +∞   β E dE e + 1 d t − t · −∞



−∞

   i  ∂ · exp −i¯ h  Sji − σ t − t  = E t − t h¯ ∂t

4.1

Festkörperelektronen

1 = h¯

217



+∞  −1 +∞    i  β E   · dE e + 1 d t − t exp E t − t h¯

−∞

−∞

  +∞  i   · dE exp − E t − t ESji − σ (E) = 2πh¯ h¯ 1

−∞

1 = h¯

+∞  −1 +∞ β E dE e + 1 dE δ(E − E)ESji − σ (E) . −∞

−∞

Damit folgt schließlich:   1  −ik · (Ri − Rj ) e · [H, a+i − σ ]− aj − σ = N h¯ k

(4.87)

+∞

dE f− (E)(E − μ)Sk − σ (E − μ) .

· −∞

  Für den noch fehlenden Erwartungswert a+m − σ aj − σ in (4.86) können wir das Spektraltheorem direkt anwenden:  +  1  −ik · (Rm − Rj ) am − σ aj − σ = e · N h¯ k

+∞ dE f− (E)Sk − σ (E − μ) . ·

(4.88)

−∞

Damit ergibt sich für den Erwartungswert (4.86):  +  1  −ik · (Ri − Rj ) ai − σ aj − σ niσ = e · N h¯ k

+∞  1  E − ε(k) Sk − σ (E − μ) . dE f− (E) · U −∞

Für die Bandkorrektur benötigen wir   1   + Tij ai − σ aj − σ 2niσ − 1 = N i, j

=

1  ε(k) N h¯ k

  +∞  2  E − ε(k) − 1 Sk − σ (E − μ) , dE f− (E) U

−∞

(4.89)

218

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

wovon wir noch den Diagonalterm    T0  T0 ni − σ 2niσ − 1 = N h¯

  +∞  2  E − ε(k) − 1 Sk − σ (E − μ) dE f− (E) U

k −∞

abzuziehen haben. Wenn wir dann noch unseren Zwei-Pol-Ansatz (4.68) für die Spektraldichte einsetzen, so bleibt für die gesuchte Bandkorrektur:   n−σ  1 − n−σ  B−σ = 2       1  = n−σ  1 − n−σ  T0 + αj − σ (k) ε(k) − T0 f− Ej − σ (k) · N k j=1

 ·

(4.90)

  2  Ej − σ (k) − ε(k) − 1 . U

Ganz offensichtlich bilden die Gleichungen (4.79) bis (4.82), (4.84) und (4.90) ein geschlossenes System, das selbstkonsistent gelöst werden kann. Als Modellparameter sind aufzufassen: 1. die Temperatur, die in die Fermi-Funktionen eingeht, ( 2. die Bandbesetzung n = σ nσ , die das chemische Potential μ festlegt, 3. die Coulomb-Wechselwirkung U und  (  4. die Gitterstruktur, die die freie Bloch-Zustandsdichte ρ0 (E) = N1 k δ E − ε(k) bzw. die Ein-Teilchen-Energien ε(k) bestimmt und die k-Summationen beeinflusst. Abbildung 4.5 zeigt die Quasiteilchenzustandsdichte

ρσ (E) =

2   1  αjσ (k)δ E − Ejσ (k) N

(4.91)

k j=1

ρ­ eV -1 2m = 0,775

FM

1,0 n = 0,8 0,5 0 0,5

Abb. 4.5.

6

-1

0

n = 0,6 1,0 2m = 0,326

ρ eV -1

1

7

5

U = 6eV W = 3eV T =0 K

E eV

Quasiteilchenzustandsdichte des Hubbard-Modells in der ferromagnetischen Phase als Funktion der Energie für zwei verschiedene Bandbesetzungen, berechnet mithilfe der Momentenmethode

­

4.1

Festkörperelektronen

219

ρ0 eV -1 1,0 0,5 Abb. 4.6. Bloch-Zustandsdichte des

-1

0

1

E eV

wechselwirkungsfreien Systems als Funktion der Energie

für zwei verschiedene Bandbesetzungen n = 0,6 und n = 0,8, sowie U = 6 eV und T = 0 K. Die verwendete Bloch-Zustandsdichte ist in Abb. 4.6 skizziert. Wir erkennen, dass das ursprüngliche Band pro Spinrichtung in zwei Quasiteilchenteilbänder aufspaltet. Für die skizzierten Situationen gibt es zusätzlich eine Verschiebung der beiden Spinspektren gegeneinander. Da die Bänder bis zu den durch Balken gekennzeichneten Fermi-Energien aufgefüllt sind, ergibt sich eine Spinvorzugsrichtung und damit eine von Null verschiedene, spontane Magnetisierung m. Letztlich wird die beobachtete Bandverschiebung durch die Bandkorrektur B−σ bewirkt. Sobald B↑ =/ B↓ ist, folgt m =/ 0. Die Bandkorrektur fehlt in den Hubbard-Lösungen des Abschn. 4.1.3, mit denen sich deshalb Ferromagnetismus nur schwer realisieren lässt. Abbildung 4.7 verdeutlicht, wie entscheidend die Parameter U und n für die Möglichkeit von Ferromagnetismus sind. Die Quasiteilchenzustandsdichten ρ↑↓ (E) sind im Gegensatz zu ρ0 (E) deutlich temperaturabhängig. Mit wachsender Temperatur werden ρ↑ und ρ↓ immer ähnlicher, um oberhalb einer kritischen Temperatur TC , die man die Curie-Temperatur nennt, vollends zusammenzufallen. Auch TC ist sehr stark von der Bandbesetzung n

2m 1,0

2m

T =0 K W = 3eV

=n

FM

20 1000

0,5 8

4

U eV 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 n

0,0

Abb. 4.7. Spontane Magnetisierung m eines durch das Hubbard-Modell beschriebenen Systems von korrelierten Elektronen als Funktion der Bandbesetzung n für verschiedene Werte der Coulomb-Wechselwirkung U, berechnet mit der Momentenmethode für eine Bloch-Zustandsdichte wie in Abb. 4.6

220

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

ρ­ eV -1 2m = 0,612 1,0

FM

T = 560K m=0

T =0 K

0,5 0 0,5

Abb. 4.8.

-1 T = 550K

1,0 2m = 0,310

0

1 E eV

Quasiteilchenzustandsdichte des Hubbard-Modells in der ferromagnetischen Phase als Funktion der Energie für zwei verschiedene Temperaturen, berechnet mithilfe der Momentenmethode

E eV

U = 6eV W = 3eV n = 0,7

ρ eV -1 ­

und der Wechselwirkungskonstanten U abhängig, wie Abb. 4.9. (In den Abbildungen ist mit W stets die Breite des freien Bloch-Bandes gemeint!) Die mit der vom Konzept her doch sehr einfachen Momentenmethode gefundenen TC -Werte stimmen qualitativ sehr gut mit dem Experiment überein. Der entscheidende Punkt der Momentenmethode ist natürlich der Ansatz (4.68). Die weitere Rechnung ist dann praktisch exakt. Man kann zeigen (A. Lonke, J. Math. Phys. 12, 2422 (1971)), dass ein solcher Ansatz genau dann mathematisch streng ist, wenn die Determinante ) ) ) (0) (r) ) )Mkσ . . . Mkσ ) ) ) ) .. .. ) (4.92) ≡ D(r) ) . )) kσ ) . ) ) (r) )M . . . M (2r) ) kσ

kσ

gleich Null ist für r = n0 und ungleich Null für alle niedrigeren Ordnungen r = 1, 2, . . . , n0 − 1. Die Elemente der Determinante sind gerade die Spektralmomenn =0 8...0,9

TC K FM 750

n = 0,9 n = 0,8 n = 0,7

¾¾® n = 0 ,7 ¾¾¾®

n = 0 ,6

¾¾¾®

n = 0,6 500

250

n = 0 ,5

¾¾¾® n = 0,5 Abb. 4.9. Curie-Temperatur im

W = 3eV 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 131415 U eV

Hubbard-Modell als Funktion der Coulomb-Wechselwirkung U für verschiedene Bandbesetzungen n, berechnet mit der Momentenmethode

4.1

Festkörperelektronen

221

te (4.67). (Man untersuche als Übung mit (4.92) das in Abschn. 4.1.1 gelöste Atomare Limit!) 4.1.6 Das exakt halbgefüllte Band Bisweilen lässt sich wertvolle physikalische Information gewinnen, wenn man den eigentlichen Modell-Hamilton-Operator auf einen äquivalenten, effektiven Operator transformiert. Eine interessante Möglichkeit in dieser Hinsicht bietet das HubbardModell für den Spezialfall des exakt halbgefüllten Bandes. Im Hubbard-Modell wird ja das System als ein Gitter von Atomen aufgefasst, die nur ein einziges atomares Niveau tragen, das dann maximal mit zwei Elektronen entgegengesetzten Spins besetzt sein kann. Halbgefülltes Band heißt also, dass jedes Atom genau ein Elektron beisteuert, d. h., es gibt gleich viele Elektronen wie Gitterplätze (n = 1!). Im Atomaren Limit ist im Grundzustand jeder Platz mit genau einem Elektron besetzt. Die einzige Variable ist dann der Elektronenspin. Wenn man nun langsam das Hopping einschaltet, so werden die Bandelektronen noch hochgradig lokalisiert bleiben. Virtuelle Platzwechsel sorgen allerdings für eine indirekte Kopplung zwischen den Elektronenspins an den verschiedenen Gitterplätzen. Eine solche Situation wird in der Regel durch das Heisenberg-Modell (2.203) beschrieben. Dass für die geschilderte Situation (n = 1, U | W >> 1) eine Äquivalenz zwischen Hubbard- und Heisenberg-Modell besteht, soll in diesem Abschnitt mithilfe einer elementaren Störungstheorie gezeigt werden. Wir fassen das Hopping der Elektronen als Störung auf:

(4.93)

H = H0 + H1 , H0 = T0

H1 =

1  niσ + U niσ ni − σ ; 2 i, σ i, σ



i =/ j  i, j, σ

 n = 1;

 U | W >> 1 ,

Tij a+iσ ajσ .

(4.94)

(4.95)

Wir betrachten nur den Grundzustand. – Sämtliche Eigenwerte und Eigenzustände zu H0 sind charakterisiert durch die Zahl d der doppelt besetzten Gitterplätze. Die Zustände zu gleichem d sind noch hochgradig entartet durch die explizite Verteilung der Nσ Elektronen mit Spin σ (σ =↑ oder ↓) auf die einzelnen Gitterplätze. Die entsprechende Kennzeichnung geschehe durch griechische Buchstaben α, β, γ , . . .   (4.96) H0 |dα  (0) = Ed(0) |dα  (0) = NT0 + dU |dα  (0) . Wegen n = 1 ist |0α  (0) :

2N -fach entarteter Grundzustand.

Störungstheorie erster Ordnung erfordert die Lösung der Säkulargleichung,  !

(4.97) det (0) 0α | H1 | 0α  (0) − E0(1) δαα = 0 ,

222

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

mit 2N Lösungen E0(1) α . Nun macht man sich leicht klar, dass (0)

dα | H1 | 0α  (0) =/ 0 höchstens für d = 1

(4.98)

sein kann, da jeder Summand des Operators H1 einen leeren und einen doppelt besetzten Platz produziert. Die Störmatrix in (4.97) enthält also als Elemente nur Nullen. Sämtliche Energiekorrekturen erster Ordnung E0(1) α verschwinden; die Entartung bleibt völlig unverändert. Störungstheorie zweiter Ordnung erfordert die Lösung des Gleichungssystems: ⎧ =/ 0  ⎨d (0) Cα 0α | H1 | dγ  (0) (0) dγ | H1 | 0α  (0) · ⎩ α d, γ (4.99) * 1 ! · (0) − E0(2) δαα = 0 . (0) E0 − Ed Dies entspricht der Eigenwertgleichung eines effektiven Hamilton-Operators Heff mit den Matrixelementen: (0)

0α | H1

d =/ 0 d, γ

|dγ  (0) (0) dγ | E0(0)

− Ed(0)

H1 |0α  (0) =

⎛ ⎞  1 = − (0) 0α | H1 ⎝ |dγ  (0) (0) dγ | ⎠ H1 |0α  (0) = U

(4.100)

d, γ

=−

1 U

(0)

0α | H12 | 0α  (0) .

Im ersten Schritt haben wir (4.98) ausgenutzt, wodurch     Ed(0) − E0(0) −→ E1(0) − E0(0) = U wird und die Einschränkung d =/ 0 weggelassen werden kann. Der zweite Schritt folgt mit der Vollständigkeitsrelation für die ungestörten Zustände |dγ  (0) . Sei P0 : Projektionsoperator auf den d = 0 -Unterraum, dann folgt für unseren effektiven Hamilton-Operator zweiter Ordnung:

H2 Heff = P0 − 1 P0 . U

(4.101)

Diesen schreiben wir nun auf Spinoperatoren um. Dazu setzen wir zunächst (4.95) ein: ⎛ ⎞ i =/ j m =/ n   1 ⎜ ⎟ Tij Tmn a+iσ ajσ a+mσ anσ ⎠ P0 . (4.102) Heff = − P0 ⎝ U mn ij

σ

σ

4.1

Festkörperelektronen

223

In der Vielfachsumme liefern nur die Terme i = n und j = m einen Beitrag. Es bleibt also: ⎛

⎞

i =/ j

Heff = −

 ⎟ 1 ⎜ P0 ⎜ Tij Tji a+iσ ajσ a+jσ aiσ ⎟ ⎝ ⎠ P0 = U ij

⎛

σσ

⎞  ⎟ 1 ⎜ 2 + = − P0 ⎜ Tij aiσ aiσ δσσ − a+jσ ajσ ⎟ ⎝ ⎠ P0 = U i =/ j



(4.103)

ij

σσ

⎛ ⎞ i =/ j  1 ⎝ 2  = − P0 Tij niσ − niσ njσ − a+iσ ai − σ a+j − σ ajσ ⎠ P0 . U ijσ

Wir führen nun Spinoperatoren ein: Siz =

1 zσ niσ , 2 σ

Siσ = a+iσ ai − σ

  Si↑ ≡ Si+ , Si↓ ≡ Si− .

(4.104) (4.105)

Man überzeugt sich leicht, dass diese Operatoren die elementaren Vertauschungsrelationen (2.215) und (2.216) erfüllen (s. Aufg. 4.1.6). (Zur Erinnerung: z↑ = +1, z↓ = −1.)     1 zσ zσ P0 niσ njσ P0 = P0 Siz Sjz P0 = 4  σ ,σ

=

    1   P0 niσ njσ P0 − P0 niσ nj − σ P0 = 4 σ

=

     1   P0 niσ njσ P0 − P0 niσ 1 − njσ P0 = 4 σ

1 * 1 *   1 1 = P0 niσ njσ P0 − P0 niσ P0 = 2 4 σ σ

1 *  1 1 niσ njσ P0 − P02 . = P0 2 4 σ

224

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Es gilt damit: P0

1 

*

  1 P0 , niσ njσ P0 = P0 2Siz Sjz + 2 σ

(4.106)

wobei wir insbesondere P0

1  σ

* niσ P0 ≡ P0 1P0

(4.107)

ausgenutzt haben; eine Beziehung, die natürlich nur für unseren Spezialfall n = 1 richtig ist. Schließlich folgt noch aus (4.105): 1 * 1 *   + + σ −σ P0 = P0 aiσ ai − σ aj − σ ajσ P0 = P0 Si Sj σ σ (4.108)   y y = P0 2Six Sjx + 2Si Sj P0 . Setzen wir (4.106) bis (4.108) in (4.103) ein, so erhalten wir einen effektiven Operator vom Heisenberg-Typ: ⎫ ⎧

i =/ j 2 ⎨ Tij 1 ⎬ 2Si · Sj − P0 . (4.109) Heff = P0 ⎩ U 2 ⎭ i, j

Die Austauschintegrale Jij = −2

Tij2 U

(4.110)

sind stets negativ, wodurch eine antiferromagnetische Ordnung der Elektronenspins begünstigt wird. Wir haben damit gezeigt, dass für das halbgefüllte Band (n = 1) das HubbardModell dem Heisenberg-Modell äquivalent ist, wobei wir hier sogar in der glücklichen Lage sind, den Austauschintegralen Jij eine mikroskopische Bedeutung zuordnen zu können. T0 + U

Tij

Tji T0 Abb. 4.10. Virtuelle Hüpfprozesse eines Elektrons im

Rm

Ri

Rj

stark korrelierten Hubbard-Modell bei halber Bandfüllung (n = 1)

4.1

Festkörperelektronen

225

Der Ausdruck (4.100) der zweiten Ordnung Störungstheorie beschreibt virtuelle Sprungprozesse von einem Platz Ri nach Rj und wieder zurück (Abb. 4.10). Nach (4.100) führen diese Sprungprozesse zu einem Energiegewinn. Die Sprungwahrscheinlichkeit ist proportional zu Tij und zwischen nächstbenachbarten Plätzen sicher maximal. In einem Ferromagneten ist das virtuelle Hopping wegen des PauliPrinzips verboten, da alle Spins parallel sind. In einem Paramagneten sind die Spins in ihren Richtungen statistisch verteilt. Die Zahl der nächsten Nachbarn mit einem antiparallelen Elektronenspin ist deshalb sicher geringer als beim Antiferromagneten. Es ist deshalb in der Tat ein antiferromagnetischer Grundzustand zu erwarten. 4.1.7 Aufgaben Aufgabe 4.1.1 Wie sieht der Hubbard-Hamilton-Operator in der Bloch-Darstellung aus? Worin unterscheidet er sich vom Hamilton-Operator des JelliumModells?

4.1.1

Aufgabe 4.1.2 Verifizieren Sie die folgende Darstellung der δ-Funktion:

4.1.2

δ(x) =

1 β lim 2 β → ∞ 1 + cosh(βx)

(β > 0) .

Aufgabe 4.1.3 1. Führen Sie am Hamilton-Operator des Jellium-Modells die Hartree-FockNäherung durch. Nutzen Sie dabei die Spin-, Impuls- und Teilchenzahlerhaltung aus. 2. Berechnen Sie damit die Ein-Elektronen-Spektraldichte. 3. Konstruieren Sie mithilfe des Spektraltheorems eine implizite Bestimmungsgleichung für die mittlere Besetzungszahl nkσ . 4. Berechnen Sie die innere Energie U(T). 5. Vergleichen Sie U(T = 0) mit dem störungstheoretischen Resultat aus Abschn. 2.1.2.

4.1.3

Aufgabe 4.1.4 Überprüfen Sie, ob 1. die Stoner-Näherung, 2. die Hubbard-Näherung

4.1.4

zum Hubbard-Modell die exakten Grenzfälle des Bandlimits (U → 0) und des   Atomaren Limits ε(k) → T0 ∀k korrekt reproduzieren.

226

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

4.1.5

Aufgabe 4.1.5 Berechnen Sie die elektronische Selbstenergie des HubbardModells im Grenzfall des unendlich schmalen Bandes. Vergleichen Sie das Resultat mit der Selbstenergie der Hubbard-Näherung.

4.1.6

Aufgabe 4.1.6 1. Zeigen Sie, dass die folgende Definition von Spinoperatoren für itinerante Band-Elektronen sinnvoll ist:  h¯  ni↑ − ni↓ ; Si+ = h¯a+i↑ ai↓ ; Si− = h¯a+i↓ ai↑ . Siz = 2 Verifizieren Sie die üblichen Vertauschungsrelationen. 2. Transformieren Sie den Hubbard-Hamilton-Operator auf die Spinoperatoren von Teil 1. Dabei möge sich das Elektronensystem in einem statischen, ortsabhängigen Magnetfeld   B0 exp −iK · Ri ez

3.

befinden. Berechnen Sie für die wellenzahlabhängigen Spinoperatoren    (α = x, y, z, +, −) S α (k) = Siα exp −ik · Ri i

die zu 1. analogen Vertauschungsrelationen.

4.1

Festkörperelektronen

227

Aufgabe 4.1.7 1. Zeigen Sie mithilfe des Resultats von Teil 3. in Aufg. 4.1.6, dass für den Hubbard-Hamilton-Operator in der Wellenzahl-Darstellung gilt:

H=

 k, σ

ε(k)a+kσ akσ −

k

b= 2.

2U  1 5 − bS z (K) , S(k) · S(−k) + U N 2 3h¯ N 2

2μB μ0 H , h¯

5= N

 iσ

Beweisen Sie die folgende Antikommutator-Relation:   2 ni↑ − ni↓ [S − (−k − K), S + (k + K)]+ = h¯2 N i

k

(K 3.

beliebig!) .

Verifizieren Sie die folgenden Kommutator-Ausdrücke: ⎡ ⎤    ⎣S + (k), 5 =0. S(p)S(−p)⎦ = S + (k), N − p

4.

niσ .

−

Berechnen Sie mit dem Hubbard-Hamilton-Operator H den folgenden Kommutator:    Tij e −ik · Ri − e −ik · Rj a+i↑ aj↓ + bh¯S + (k + K) . [S + (k), H ]− = h¯ i, j

5.

Bestätigen Sie das Ergebnis für den folgenden Doppel-Kommutator:    Tij e −ik · (Ri − Rj ) − 1 a+iσ ajσ + 2bh¯2 S z (K) . [[S + (k), H ]− , S − (−k)]− = h¯2 i, j, σ

4.1.7

228

4.1.8

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Aufgabe 4.1.8 Für ein System von wechselwirkenden Elektronen in einem schmalen Energieband kann

Q=

2 1  )) ))  Tij Ri − Rj < ∞ N i, j

angenommen werden, da )die Hopping-Integrale Tij in der Regel exponentiell ) mit dem Abstand )Ri − Rj ) abfallen. 1. Setzen Sie A = S − (−k − K) ;

C = S + (k)

und schätzen Sie mit den Teilergebnissen aus Aufg. 4.1.7 ab:   a) Σk [A, A+ ]+ ≤ 4h¯2 N 2 , ) )   b) [[C, H]− , C+ ]− ≤ N h¯2 Qk2 + 2bh¯2 )S z (K) ) , c) [C, A]−  = 2h¯ S z (−K) .

2.

Unterscheiden Sie in 1.a) bis 1.c) Kommutatoren [. . . , . . . ]− und Antikommutatoren [. . . , . . . ]+ . Führen Sie wie beim Heisenberg-Modell in Aufg. 2.4.7 die Magnetisierung  2μB 1  ik · R  z   i S e M T, B0 = i h¯ N i ein. Benutzen Sie die Ergebnisse von Teil 1., um mit der Bogoliubov-Ungleichung aus Aufg. 2.4.5 abzuschätzen: M2 1  1 ) ) 1 . 2 ) ) 2μB N k B0 M + 2 k2 Q

β≥  3.

Zeigen Sie mit dem Resultat von Teil 2., dass es im d = 1 - und im d = 2 -dimensionalen Hubbard-Modell keine spontane Magnetisierung geben kann (Mermin-Wagner-Theorem): MS (T) = lim M(T, B0 ) = 0 für T =/ 0 und d = 1, 2 . B0 → 0

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

229

Aufgabe 4.1.9 Ein wechselwirkendes Elektronensystem in einem schmalen Energieband werde approximativ durch das Hubbard-Modell im Grenzfall des unendlich schmalen Bandes,

4.1.9

Tij = T0 δij , beschrieben. 1. Verifizieren Sie für die Ein-Elektronen-Spektralmomente die folgende exakte Darstellung:   n n n Mii(n) σ = T0 + T0 + U − T0 ni − σ  ; n = 0, 1, 2, . . . 2.

3.

Benutzen Sie das Lonke-Theorem (4.92) für den Beweis, dass die Ein-Elektronen-Spektraldichte eine Zwei-Pol-Funktion, d. h. eine Linearkombination von zwei δ-Funktionen, darstellt. Berechnen Sie die Quasiteilchenenergien und deren spektrale Gewichte.

Aufgabe 4.1.10 In Aufg. 3.3.2 hatten wir gesehen, dass der vereinfachte ModellHamilton-Operator H ∗ ,

H∗ =

 k, σ

t(k)a+kσ akσ − Δ

  1 bk + b+k + Δ2 ; V

4.1.10

b+k = a+k↑ a+−k↓ ,

k

die BCS-Supraleitung beschreibt. 1. Geben Sie sämtliche Spektralmomente der Ein-Elektronen-Spektraldichte an. 2. Zeigen Sie mithilfe des Lonke-Theorems (4.92), dass es sich bei der EinElektronen-Spektraldichte um eine Zwei-Pol-Funktion handeln muss.

4.2 Kollektive elektronische Anregungen Alle in Abschn. 2.1 abgeleiteten Aussagen über wechselwirkende Festkörperelektronen haben wir mit der Ein-Elektronen-Green-Funktion bzw. Ein-Elektronen-Spektraldichte gewinnen können. Es gibt jedoch auch wichtige kollektive elektronische Anregungen wie Ladungsdichtewellen (Plasmonen), Spindichtewellen (Magnonen), zu deren Beschreibung andere Green-Funktionen gewählt werden müssen. Um auf die Problematik vorzubereiten, wollen wir zunächst mehr oder weniger qualitativ das Phänomen der Abschirmung diskutieren, eine charakteristische Konsequenz der Elektron-Elektron-Wechselwirkung.

4.2

230

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

4.2.1 Ladungsabschirmung (Thomas-Fermi-Näherung) Wie kann es in einem Elektronensystem, das sich in einem homogen verschmierten, positiv geladenen Ionensee bewegt, zu kollektiven Anregungen kommen? Zunächst beginnen wir mit der allereinfachsten Annahme, dass nämlich die Elektronen untereinander nicht wechselwirken (Sommerfeld-Modell). Es ergibt sich dann eine ortsunabhängige Teilchendichte n0 (2.77):

 3 | 2   2mεF kF3 = n0 εF . n0 = 2 = 3π 3π2 h¯3

(4.111)

Wir bringen nun in das System eine zusätzliche statische Elektronenladung (q = −e), die im Koordinatenursprung angebracht sein möge. Mit dieser wechselwirken die System-Elektronen. Wegen der Coulomb-Abstoßung benötigen sie in der Nähe der Testladung bei r = 0 die zusätzliche potentielle Energie Epot (r) = (−e)ϕ(r) ,

(4.112)

wobei ϕ(r) das elektrostatische Potential der Testladung ist. Sie werden also die Umgebung von r = 0 zu meiden suchen, d. h., die Teilchendichte n(r) wird ortsabhängig. Eigentlich müssen wir zur Berechnung der Teilchendichte die Schrödinger-Gleichung

−

h¯2 Δψi (r) − eϕ(r)ψi (r) = εi ψi (r) 2m

lösen und über n(r) =

) ) )ψi (r)) 2 i

die Teilchendichte bestimmen. In der Thomas-Fermi-Näherung wird das Verfahren drastisch durch die Annahme vereinfacht, dass sich die Ein-Teilchen-Energien ε(k) bei Anwesenheit der Testladung näherungsweise wie folgt schreiben lassen: E(k) ≈ ε(k) − eϕ(r) .

(4.113)

Dies ist natürlich nicht ganz unproblematisch, da diese Beziehung im Widerspruch zur Unschärferelation gleichzeitig scharfen Impuls und scharfen Ort des Elektrons n(r) ´n 0

-e

Abb. 4.11. Schematische Darstellung der

r

Ortsabhängigkeit der Teilchendichte im Sommerfeld-Modell in der Nähe einer statischen Störladung

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

231

impliziert. Man muss sich das Elektron als Wellenpaket vorstellen, dessen Ortsunschärfe dann von der Größenordnung 1 | kF sein wird. Um (4.113) akzeptieren zu können, müssen wir dann noch fordern, dass sich ϕ(r) über einen Bereich der Größenordnung 1 | kF nur wenig ändert. Gehen wir zu den wellenzahlabhängigen Fourier-Komponenten über, so wird die Thomas-Fermi-Näherung nur im Bereich (4.114)

q << kF vertrauenswürdig sein. Für die ungestörte Teilchendichte n0 (4.111) gilt nach (3.209):   2     −1 exp β ε(k) − εF + 1 . n0 εF = V k

Um aus n0 n(r) zu gewinnen, ersetzen wir die ungestörten Ein-Teilchen-Energien ε(k) durch die Energien E(k) aus (4.113): n(r) =

   −1 2  exp β ε(k) − eϕ(r) − εF + 1 = V k



 = n0 εF + eϕ(r) .

(4.115)

Dies bedeutet nach (4.111): 3 | 2   2m εF + eϕ(r) . n(r) = 3π2 h¯3

(4.116)

Wir entwickeln n(r) um n0 und brechen die Reihe unter der Voraussetzung ) ) εF >> )eϕ(r)) nach dem linearen Term ab:



3 eϕ(r) ∂n0 = n0 1 + n(r) ≈ n0 + eϕ(r) ∂εF 2 εF

.

(4.117)

Die r-Abhängigkeit ist qualitativ im letzten Bild dargestellt. Es bildet sich um die statische Ladung bei r = 0 ein virtuelles Loch, das denselben Effekt wie eine zusätzliche positive Ladung erzielt, da dort der positive Ionenuntergrund stärker als normal durchscheint. Das Coulomb-Potential der Testladung wird damit abgeschirmt, sodass die System-Elektronen dieses nur dann spüren, wenn ihr Abstand kleiner als eine charakteristische Länge, die noch zu definierende Abschirmlänge, ist. Wir bestimmen diese über die Poisson-Gleichung:

Δϕ(r) = −

(−e)

ε0

δ(r) −

(−e)

ε0

{n(r) − n0 } .

(4.118)

Der erste Summand auf der rechten Seite stellt die Ladungsdichte der statischen Punktladung dar. Der zweite Summand ist eine Folge der nicht mehr vollständigen

232

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Kompensation von positiver Ionenladung und Elektronenladung in der Nähe der Störung. Mit (4.117) vereinfacht sich (4.118) zu:

3 n e2 e Δ− 0 ϕ(r) = δ(r) . (4.119) 2 ε0 εF ε0 Die Lösung dieser Differentialgleichung gelingt am einfachsten durch Fourier-Transformation: V d3 q ϕ(q) e iq · r , ϕ(r) = (2π)3 1 d3 q e iq · r . δ(r) = (2π)3 Dies ergibt in (4.119):



3 n0 e2 e −q2 − ϕ(q) = . 2 ε0 εF ε0 V

Wir definieren

: qTF =

3n0 e2 2ε0 εF

(4.120)

und haben dann:

ϕ(q) =



−e

ε0 V q2 + q2TF

.

Die Rücktransformation benutzt den Residuensatz: −e e iq · r d3 q 2 ϕ(r) = = 3 ε0 (2π) q + q2TF =

=

=

−e

∞

4π2 ε0

ie

0

q2 dq 2 q + q2TF

∞ dq

4π2 ε0 r

0

q2

+1 dx e iqrx = −1

 iqr  q e − e −iqr = 2 + qTF

+∞ q e iqr dq 2 = 2 4π ε0 r q + q2TF

ie

−∞

ie



q e iqr   = dq  q + iqTF q − iqTF

=

1 4π2 ε0 r

=

iqTF −qTF r e . 2πε0 r 2iqTF −e

(4.121)

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

233

Es ergibt sich, wie erwartet, ein abgeschirmtes Coulomb-Potential

ϕ(r) =

−e 4πε0 r

kleine

  exp −qTF r

r

r→∞

−ε 4πε0 r

(4.122)

0

(Yukawa-Potential). Innerhalb der Abschirmlänge :

λTF =

q−1 TF

=

2ε0 εF 3n0 e 2

(4.123)

wird das Potential der Testladung auf den e -ten Teil abgeschirmt. Wenn man (2.84) bis (2.86) ausnutzt, so lässt sich λTF durch den in (2.83) definierten dimensionslosen Dichteparameter rS ausdrücken: √ λTF ≈ 0,34 rS Å . (4.124) Typische metallische Dichten sind 2 ≤ rS ≤ 6. Damit ist λTF von der Größenordnung des mittleren Teilchenabstandes. Die Abschirmung ist also beträchtlich! Als ein charakteristisches Maß für den Abschirmungseffekt haben wir in Abschn. 3.1.5 die Dielektrizitätsfunktion ε(q, E) eingeführt. Für die hier diskutierte statische Situation gilt nach (3.96):

ρind (q, 0) 1 = −1. ρext (q, 0) ε(q, 0) Nun ist 

ρind (r) = −e n(r) − n0



und damit nach (4.117): TF ρind (q) = −

=

3 e2 3 2ε0 q2TF −e  =  n0 ϕ(q) = − e2 2 2 εF 2 3e ε0 V q2 + q2TF

eq2  TF 2  . V q2 + qTF

Mit ρext (q, 0) = − e | V ergibt sich dann für die Dielektrizitätsfunktion in der ThomasFermi-Näherung der folgende einfache Ausdruck:

εTF (q) = 1 +

q2TF . q2

(4.125)

Der entscheidende Nachteil der Thomas-Fermi-Näherung besteht in der Annahme, dass es sich um ein statisches Problem handelt. Abschirmprozesse sollten aber dyna-

234

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

mische Prozesse sein. Bringen wir eine negative Testladung in das Elektronensystem, so werden die gleichnamig geladenen Elektronen abgestoßen. Sie werden zunächst über die stationäre Gleichgewichtslage hinauspendeln. Dadurch scheint der positive Untergrund stärker durch und zieht die Elektronen wieder an. Diese fließen zurück, kommen dadurch der Testladung zu nahe, werden wieder abgestoßen usw. Das Ganze stellt ein schwingungsfähiges System dar mit Oszillationen in der Elektronendichte. Dieses System wird dann auch Eigenschwingungen besitzen, die kollektiven Anregungen entsprechen und Plasmonen genannt werden. Nach diesen wollen wir in den nächsten Abschnitten suchen. Sie tauchen in der Thomas-Fermi-Näherung natürlich nicht auf! 4.2.2 Ladungsdichtewellen, Plasmonen Wir hatten in Abschn. 3.1.5 gesehen, dass die Dielektrizitätsfunktion ε(q, E) die Reaktion des Elektronensystems auf eine zeitabhängige äußere Störung beschreibt. Gemäß (3.103) gilt:



1 h¯

ε−1 (q, E) = 1 + v0 (q) ρˆ q ; ρˆ q+ v0 (q) =

 ret E

1 e2 . V ε0 q2

,

(4.126)

(4.127)

Dabei ist 5 ρq die Fourier-Komponente des Dichteoperators:

ρq = 5

 kσ

a+kσ ak + qσ .

(4.128)

Eine erste Näherung für ε(q, E) haben wir im letzten Abschnitt im Rahmen der klassischen Thomas-Fermi-Theorie kennen gelernt (4.125), die aber nur für statische Probleme (E = 0) und |q| → 0 glaubhaft sein kann. Über die Nullstellen von ε(q, E) können wir die spontanen Ladungsdichteschwankungen des Systems finden, zu deren Anregung beliebig kleine Störladungen ausreichen. Um diese Eigenschwingungen des geladenen Teilchensystems soll es im folgenden gehen. Sie manifestieren sich offensichtlich in den Polen der retardierten Green-Funktion, 

χ(q, E) = 5 ρq ;5 ρq+

 ret E

(4.129)

,

die man auch verallgemeinerte Suszeptibilität nennt (vgl. mit (3.69), (3.70)). Wir berechnen diese Funktion zunächst für das nicht wechselwirkende System. Dabei gehen wir zweckmäßig von der folgenden Green-Funktion aus, fkσ (q, E) =



a+kσ ak + qσ ;5 ρq+

 ret E

,

(4.130)

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

235

die nach Summation über k, σ in χ(q, E) übergeht. Zur Aufstellung der Bewegungsgleichung benötigen wir den Kommutator   + akσ ak + qσ , H0 − =   

ε(p) − μ a+kσ ak + qσ , a+pσ apσ = = −

p,σ 

=

p, σ 

(4.131)







ε(p) − μ δσσ δp, k + q a+kσ apσ − δσσ δp, k a+pσ ak + qσ =

  = ε(k + q) − ε(k) a+kσ ak + qσ und die Inhomogenität

  

a+kσ ak+qσ ,5 a+kσ ak + qσ , a+p + qσ apσ = ρq+ = −

−

p, σ 

=

 p, σ 



δσσ δpk a+kσ apσ − δσσ δkp a+p + qσ ak + qσ =

(4.132)

= nkσ − nk + qσ und erhalten dann:    (0)    E − ε(k + q) − ε(k) fkσ (q, E) = h¯ nkσ (0) − nk + qσ .

(4.133)

Der Index „0“ bedeutet Mittelung im freien System. Daraus erhalten wir die Suszeptibilität des freien Systems

χ0 (q, E) = h¯

   nkσ (0) − nk + qσ (0)  . E − ε(k + q) − ε(k) k, σ

(4.134)

Dies ist im Übrigen gleichzeitig die verallgemeinerte Suszeptibilität des StonerModells, wenn man gemäß (4.26) Eσ (k) für ε(k) einsetzt. Im obigen Ausdruck ist die σ -Summation rein formal, da die Besetzungszahlen nkσ (0) im freien System natürlich spinunabhängig sind. Bei Berücksichtigung von realistischen Teilchenwechselwirkungen lässt sich die Suszeptibilität nicht mehr exakt berechnen. Wir diskutieren im folgenden eine Näherung für das Jellium-Modell, dessen Hamilton-Operator wir in der Form (2.72) verwenden: H=

 kσ

ε(k) a+kσ akσ +

=/ 0

  1 5 , v0 (q) 5 ρq 5 ρ−q − N 2 q

(4.135)

236

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

mit ε(k) aus (2.64) und v0 (q) aus (4.127). Ausgangspunkt ist wiederum die GreenFunktion fkσ (q, E), deren Bewegungsgleichung sich wie folgt schreiben lässt:       E − ε(k + q) − ε(k) fkσ (q, E) = h¯ nkσ  − nk+qσ + =/ 0

+

    1 v0 (q1 ) a+kσ ak + qσ ,5 ρq15 ρ−q1 − ;5 ρq+ . 2 q

(4.136)

1

Gemittelt wird nun natürlich mit Zuständen des wechselwirkenden Systems. Wir haben bei der Aufstellung von (4.136) die Kommutatoren (4.131) und (4.132) bereits ausgenutzt. Ferner zeigt man leicht:  +  5 ≡0. akσ ak+qσ , N (4.137) − Wir formen die Bewegungsgleichung weiter um. Zunächst gilt:   + akσ ak + qσ ,5 ρq15 ρ−q1 − =     = a+kσ ak+qσ ,5 ρq1 − 5 ρ−q1 + 5 ρq1 a+kσ ak+qσ ,5 ρ−q1 − ,  +  akσ ak+qσ ,5 ρq1 − =  

= a+kσ ak + qσ , a+pσ ap+q1 σ = −

p, σ 

=

 p, σ 



δσσ δp, k + q a+kσ ap + q1 σ − δσσ δk, p + q1 a+pσ ak + qσ =

= a+kσ ak + q + q1 σ − a+k − q1 σ ak + qσ . Analog findet man:   + akσ ak + qσ ,5 ρ−q1 − = a+kσ ak + q −q1 σ − a+k + q1 σ ak + qσ .     Mit v0 q1 = v0 −q1 können wir dann die Bewegungsgleichung wie folgt schreiben:    E − ε(k + q) − ε(k) fkσ (q, E) = =/ 0  1      v0 q1 · = h¯ nkσ  − nk + qσ + 2 q

(4.138)

1

·

       

5 . ρq1 , a+kσ ak + q − q1 σ + ;5 ρq+ − 5 ρq1 , a+k + q1 σ ak + qσ ; 5 ρq+ +

Noch ist alles exakt. Man beachte, dass in den höheren Green-Funktionen auf der rechten Seite nun Antikommutatoren stehen! Wir vollziehen im nächsten Schritt die so genannte

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

237

Random Phase Approximation (RPA): 1.

Höhere Green-Funktionen werden nach der Hartree-Fock-Methode (4.18) entkoppelt, wobei Impulserhaltung beachtet wird. Beispiel:   HFN ρq1 a+kσ ak + q − q1 σ −−→ 5 ρq1 a+kσ ak + q − q1 σ + 5   + + 5 ρq1 akσ ak + q − q1 σ −   +  − 5 ρq1 akσ ak + q − q1 σ =

(4.139)

= δqq15 ρq1 nkσ  . 2.

Besetzungszahlen werden durch die des freien Systems ersetzt: nkσ  −→ nkσ (0) .

(4.140)

Damit ist die Bewegungsgleichung (4.138) entkoppelt:    E − ε(k + q) − ε(k) fkσ (q, E) =  (0)   + = h¯ nkσ (0) − nk + qσ

(4.141)

 (0)     5 ρq ;5 ρq+ E . + v0 (q) nkσ (0) − nk + qσ   ( ρq ;5 ρq+ E = kσ fkσ (q, E) sowie (4.134) erhalten wir schließlich die Mit χ(q, E) ≡ 5 verallgemeinerte Suszeptibilität in der RPA:

χRPA (q, E) =

1−

χ0 (q, E) 1 ¯ h v0 (q)χ0 (q, E)

.

(4.142)

Nach (4.126) folgt damit für die Dielektrizitätsfunktion: 1 h¯

εRPA (q, E) = 1 − v0 (q)χ0 (q, E) =    nkσ (0) − nk+qσ (0)  . = 1 − v0 (q) E − ε(k + q) − ε(k) k,σ

(4.143)

Diesen Ausdruck nennt man auch die Lindhard-Funktion. Wie in Abschn. 3.1.5 gezeigt, beschreibt ε(q, E) den Zusammenhang zwischen der Polarisation ρind (q, E) des Mediums, also den Fluktuationen der Ladungsdichte im Elektronensystem, und einer äußeren Störung ρext (q, E). Nach (3.96) gilt:

1 ρind (q, E) = (4.144) − 1 ρext (q, E) . ε(q, E)

238

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Interessant sind deshalb die Nullstellen der Dielektrizitätsfunktion, die die Eigenschwingungen des Systems festlegen. Nach (4.143) erhalten wir diese aus der Forderung    nkσ (0) − nk+qσ (0) !   =1. (4.145) fq (E) ≡ v0 (q) E − ε (k + q) − ε (k) kσ Eine erste Auswertung dieses Ausdrucks wurde von J. Lindhard (1954) publiziert. Die Funktion fq (E) hat innerhalb des Ein-Teilchen-Kontinuums Ek (q) = ε(k + q) − ε(k)

(4.146)

eine dichte Folge von Polstellen. Dazwischen liegt dann jeweils eine Schnittstelle fq (E) = 1 (s. Abb. 4.12). Im thermodynamischen Limes fallen diese mit den EinTeilchen-Anregungen Ek (q) zusammen und sind deshalb für uns hier uninteressant. Es gibt jedoch eine weitere Schnittstelle Ep (q) außerhalb des Kontinuums, die keine Ein-Teilchen-Anregung sein kann, vielmehr eine kollektive Mode darstellt: Ep (q) ≡ h¯ωp (q) :

Plasmaschwingung, Plasmon.

Qualitativ ergibt sich das in Abb. 4.13 skizzierte Anregungsspektrum. Da eine langwellige Plasmaschwingung (q klein) die korrelierte Bewegung einer großen Zahl von Elektronen darstellt, haben Plasmonen recht hohe Energien, 5 eV · · · Ep (q) · · · 25 eV , können deshalb nicht thermisch angeregt werden. Durch Einschießen hochenergetischer Teilchen in Metalle hat man jedoch Plasmonen erzeugen und beobachten können. Wir wollen die Plasmonendispersion ωp (q) für kleine |q| näherungsweise bestimmen. Wir setzen

ε(k) =

h¯2 k2 , 2m∗

(4.147)

fq 1

´ E p(q)

E

Abb. 4.12. Graphische Illustration zum Auffinden

Ein-Teilchen-Kontinuum

der Nullstellen der Lindhard-Funktion

4.2

E

Kollektive elektronische Anregungen

239

εF 4

(q) hω p

Ein-TeilchenKontinuum

2 2

Abb. 4.13. Wellenzahlabhängigkeit der Nullstellen der Lindhard-Funktion (Plasmonen-Mode und Ein-Teilchen-Kontinuum)

q kF

wobei m∗ eine effektive Masse des Elektrons darstellen möge, die in einfachster Näherung den ansonsten vernachlässigten Einfluss des Gitterpotentials berücksichtigen soll. Wegen (4.147) können wir dann nkσ (0) = n−kσ (0)

(4.148)

annehmen. Wir substituieren im zweiten Summanden von (4.145) k durch (−k − q) und nutzen dann (4.148) aus: 1 = fq (Ep ) = = v0 (q)



1

kσ

n−kσ (0) nkσ (0) Ep − ε(k + q) + ε(k) Ep − ε(−k) + ε(−k − q)

* =

(4.149)

 (0)

  nkσ  ε(k + q) − ε(k) = 2v0 (q)  2 . 2 kσ e p − ε(k + q) − ε(k) Wir setzen (4.147) ein:

ω2p =

 nkσ (0) (q2 + 2k · q) e2 . ∗ 2 ε0 m Vq kσ 1 − ¯h2  q2 + k · q 2 m∗ ω2 2m∗

(4.150)

p

Untersuchen wir zunächst einmal den Fall |q| → 0. Dann können wir den Klammerausdruck im Nenner gegen die 1 vernachlässigen. Ferner gilt:  nkσ (0) = Ne = n0 V , (4.151) k, σ

 k, σ

nkσ (0) (2k · q) = (4.148)

=

 k , σ

−

  n−k σ (0) −2k · q =

 k , σ

=

0.

  nk σ (0) 2k · q =

(4.152)

240

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Es bleibt dann für |q| = 0 die so genannte :

ωp = ωp (q = 0) =

Plasmafrequenz:

n0 e2 . ε0 m∗

(4.153)

Für q =/ 0 , aber |q| noch klein, entwickeln wir den Nenner in (4.150) bis zu quadratischen Termen in q:

ω2p



;

<2 k·q k·q e2  h¯2 q4 (0) nkσ  1+2 2 1+ 2 1+2 2 ≈ = ε0 m∗ V q ωp 4m∗2 q kσ

=

e2

ε0 m∗ V

 kσ

 k·q q4 h¯2 nkσ (0 1 + 2 2 + · q 4m∗2 ω2p ·



 k·q (k · q)2 (k · q)3 1 + 6 2 + 12 . + 8 q q4 q6

Die ungeraden Potenzen von (k·q) liefern wegen der k-Summation (s. (4.152)) keinen Beitrag:

ω2p (q) ≈ ω2p (0) +

3e2 h¯2 1  nkσ (0) (k · q)2 . ∗3 2 ε0 m ωp (q) V

(4.154)

k, σ

Wir können auf der rechten Seite ω2p (q) durch ω2p (0) ersetzen und ferner für tiefe Temperaturen abschätzen: 1  nkσ (0) k2 cos2 ϑ ≈ V k, σ

(4.111)

=

2 · 2π (2π)3

+1

d cos ϑ cos ϑ

kF

2

−1

dk k4 = 0

1 n0 kF2 . 5

Dies bedeutet in (4.154) mit (4.153):

ω2p (q) ≈ ω2p +

3 h¯2 kF2 2 q . 5 m∗2

(4.155)

Wir haben damit aus den Nullstellen der Dielektrizitätsfunktion ε(q, E) die Plasmonendispersion

ωp (q) = ωp abgeleitet.



   3 h¯2 kF2 2 1+ q + O q4 10 m∗2 ω2p

(4.156)

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

241

Um unser allgemeines RPA-Resultat (4.143) mit der semiklassischen ThomasFermi-Näherung des letzten Abschnitts vergleichen zu können, werten wir schließlich die Dielektrizitätsfunktion noch in der statischen Grenze E = 0 aus. Nach (4.143) und (4.149) haben wir dazu zu berechnen:

εRPA (q, 0) = 1 + 2v0 (q)

 k, σ

nkσ (0) . ε(k + q) − ε(k)

(4.157)

Wir ersetzen wie üblich die k-Summation durch eine entsprechende Integration (T ≈ 0):   −1  −1 2V nkσ (0) ε(k + q) − ε(k) = d3 k ε(k + q) − ε(k) ≡ I(q) . (2π)3 k, σ

FK

FK bedeutet Fermi-Kugel. Mit (4.147) folgt weiter: V 2m∗ I(q) = 2 2 2π h¯ Vm∗ 1 = 2 2 π h¯ 2q

+1

kF dk k2

dx −1

kF

1 = 2kqx + q2

0

) ) ) q + 2k ) ) . ) dk k ln ) q − 2k )

0

Rechts steht noch ein Standardintegral:

1 2 a2 1 x2 ax x ln(a + bx)dx = x − 2 ln(a + bx) − . − 2 b 2 2 b

(4.158)

Damit folgt: I(q) =

)

)  ) q + 2kF ) Vm∗ 1 1 2 q2 ) ) qk k ln + − F ) q − 2k ) . 2qπ2 h¯2 2 2 F 4 F

Wir definieren die folgende Funktion: ) ) )1 + u) 1 1 2 ) . ) 1 + (1 − u ) ln ) g(u) = 2 2u 1 − u) Dann können wir schreiben: I(q) =

1 Vm∗ kF g 2 π2 h¯2



q 2kF

(4.159)

(4.160)

.

Mit (4.120) und (4.157) lautet dann die statische Dielektrizitätsfunktion:

q2 q . εRPA (q) = 1 + TF g q2 2kF

(4.161)

242

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

g (u) 1 0,8 0,6 0,4 0,2

~ 1 3u2

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

Abb. 4.14. Qualitativer Verlauf der Lindhard-Korrektur (4.160)

u

Für g = 1 ergibt sich hieraus das Thomas-Fermi-Resultat (4.125). Für kleine q, d. h. große Wellenlängen, gilt deshalb:

εRPA (q) ≈ εTF (q) . q << kF

(4.162)

  Die so genannte Lindhard-Korrektur g q | 2kF ist 1 für q = 0 und nicht analytisch für q = 2kF . Dort hat die erste Ableitung von g eine logarithmische Singularität mit interessanten physikalischen Konsequenzen. Mithilfe der Poisson-Gleichungen für die externe Ladungsdichte ρext (r) und der totalen Ladungsdichte ρ(r) = ρext (r) + ρind (r), q2 ϕ(q) = q2 ϕext (q) =

1

ε0 1

ε0

ρ(q) ,

(4.163)

ρext (q) ,

(4.164)

können wir das abgeschirmte Potential ϕ(q) durch die statische Dielektrizitätsfunktion ε(q) auf das externe Potential zurückführen. Mit (3.96) gilt:

ϕ(q) =

ϕext (q) . ε(q)

(4.165)

Ist ϕext das Potential einer Punktladung (−e), also

ϕext (q) =

−e

ε0 Vq2

,

so folgt z. B. mit dem Thomas-Fermi-Resultat (4.125) gerade (4.121). Setzen wir jedoch das RPA-Ergebnis (4.162) ein und transformieren zurück in den Ortsraum, so dominiert für große Abstände ein Term der Form

ϕ(r) ∼

1 cos(2kF r) . r3

(4.166)

Das Potential fällt also nicht wie in der Thomas-Fermi-Theorie exponentiell ab, sondern hat sehr langreichweitige Oszillationen, die man Friedel-Oszillationen nennt.

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

243

4.2.3 Spindichtewellen, Magnonen Es gibt eine weitere Art von kollektiven Anregungen in einem System von wechselwirkenden Bandelektronen, die durch die Existenz des Elektronenspins möglich wird. In Abschn. 3.1.3 haben wir die transversale Suszeptibilität χij+− eingeführt (3.72), die sich für Bandelektronen wie folgt schreiben lässt:     μ (4.167) χij+− (E) = −γ a+i↑ ai↓ ; a+j↓ aj↑ E ; γ = 0 g 2 μ2B . V h¯ Die Pole der wellenzahlabhängigen Fourier-Transformierten, 1  +− 1  χq+− (E) = χij (E) e iq(Ri − Rj ) = −γ χ¯ kp (q) , (4.168) N N i, j

k, p



χ¯ kp (q) = a+k↑ ak + q↓ ; a+p↓ ap − q↑

 E

,

(4.169)

entsprechen Spinwellenenergien (Magnonen). Den Begriff der Spinwelle haben wir in Abschn. 2.4.3 für ein System wechselwirkender, lokalisierter (!) Spins (HeisenbergModell!) eingeführt. Es handelt sich um eine kollektive Anregung, die mit einer Änderung der z-Komponente des Gesamtspins um eine Drehimpulseinheit verknüpft ist. Diese Spindeviation ist dabei nicht an ein einzelnes Elektron gebunden, sondern verteilt sich gleichmäßig über das gesamte Spinsystem. Wenn auch weniger anschaulich, so lässt sich doch das Konzept der Spinwelle auch auf itinerante Bandelektronen mit ihren permanenten Spins übertragen. Dies soll hier kurz diskutiert werden. Wir berechnen χq+− (E) zunächst im Rahmen des Stoner-Modells, das nach (4.43) durch den Hamilton-Operator   Eσ (k) − μ a+kσ akσ HS = (4.170) k, σ

beschrieben wird. Wir stellen die Bewegungsgleichung für die Green-Funktion χ¯ kp (q) auf. Dazu benötigen wir den Kommutator,

 a+k↑ ak + q↓ , HS = −

  

Eσ (k ) − μ a+k↑ ak + q↓ , a+k σ ak σ = = −

k , σ

=

   Eσ (k ) − μ δσ↓ δk , k + q a+k↑ ak σ − δσ↑ δk , k a+k σ ak + q↓ =

(4.171)

k , σ

=

  E↓ (k + q) − E↑ (k) a+k↑ ak + q↓ =

(4.39)

= ΔE↑↓ (k; q)a+k↑ ak + q↓ ,

und die Inhomogenität: 

 a+k↑ ak + q↓ , a+p↓ ap − q↑

−

=

  (S)  (S)  nk↑ − nk + q↓ δp, k + q .

(4.172)

244

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Dies ergibt die einfache Bewegungsgleichung:   (S)    (S)  − nk + q↓ δp, k + q . E − ΔE↑↓ (k; q) χkp (q) = nk↑

(4.173)

Es folgt mit (4.168) die transversale Suszeptibilität des Stoner-Modells: (S)



χq+− (E)









(S) (S) γ  nk + q↓ − nk↑ = . N E − ΔE↑↓ (k; q) k

(4.174)

Die Pole sind mit dem Ein-Teilchen-Spinflip-Anregungsspektrum identisch. In diesem Modell ohne echte Wechselwirkungen gibt es natürlich keine kollektiven Anregungen. Im nächsten Schritt berechnen wir die Suszeptibilität im Rahmen des HubbardModells:   U + ε(k) − μ a+kσ akσ + ak↑ ak − q↑ a+p↓ ap + q↓ . (4.175) H= N kσ

kpq

Für die Bewegungsgleichung der Green-Funktion χkp (q) ergibt sich gegenüber (4.173) ein zusätzlicher Term aus der Wechselwirkung:  U  + ak↑ ak + q↓ , a+k ↑ ak − q ↑ a+p↓ ap + q ↓ = − N   k pq

=

U  δp, k + q a+k↑ a+k ↑ ak − q ↑ ap + q ↓ − N   k pq

(4.176)



δk, k −q a+k ↑ a+p↓ ap + q ↓ ak + q↓ = =

 U  + + ak↑ ak ↑ ak − q ↑ ak + q + q ↓ − a+k + q ↑ a+k ↓ ak + q ↓ ak + q↓ . N   kq

Wir finden in der Bewegungsgleichung also zwei neue höhere Green-Funktionen, k q



k q



Hkpq (E) = Kkpq (E) =

a+k↑ a+k ↑ ak − q ↑ ak + q + q ↓ ; a+p↓ ap − q↑ a+k + q ↑ a+k ↓ ak + q ↓ ak + q↓ ; a+p↓ ap − q↑

 E

,

(4.177)

E

,

(4.178)



die wir mithilfe des RPA-Verfahrens vereinfachen, wobei wir auf Impuls- und Spinerhaltung achten: (S)   (S) k q Hkpq (E) ⇒ nk ↑ δq , 0 χkp (q) − nk↑ δk, k − q χk + q , p (q) , (S)    k q Kkpq ⇒ nk ↓ δq , 0 χk, p (q) − nk + q↓ (S) χk + q , p (q) δk , k + q .

(4.179) (4.180)

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

245

Damit ergibt sich für χk, p (q) die folgende vereinfachte Bewegungsgleichung:    E − ε(k + q) − ε(k) χkp (q) =

  (S)  (S)  + − nk + q↓ = δp, k + q nk↑

  (S)  (S)  U (4.181) nk ↑ − + χkp (q) − nk ↓ N  k (S)   U  (S)  − nk↑ − nk + q↓ χk + q, p (E) . N  q

Mit (4.39) folgt weiter:

  (S)    (S)  − − nk + q↓ E − ΔE↑↓ (k; q) χkp (q) = δp, k + q nk↑

 (S)  U  (S)  nk↑ − − nk + q↓ χk p (q) . N 

(4.182)

k

Dies bedeutet mit (4.168) und (4.174):    (S) (S)  U +− +− +− +− , χq (E) = χq (E) + χq (E) χq (E) 

(S) χq+− (E) χq+− (E) =  (S) . 1 − γ −1 U χq+− (E)

γ

(4.183)

Dieses Resultat ähnelt sehr stark dem RPA-Ergebnis (4.142) für die verallgemeinerte Suszeptibilität. Die Auswertung erfolgt deshalb nach demselben Schema wie im letzten Abschnitt. Wir wollen hier nicht noch einmal auf Einzelheiten eingehen. Qualitativ ergibt sich das dargestellte Anregungsspektrum für Spin-Umklappprozesse. h¯ωm (q) ist eine kollektive Spinwellenmode mit h¯ωm (q) ≈ Dq2

(q → 0) .

(4.184)

Das gesamte Spektrum setzt sich aus dem Ein-Teilchen-Stoner-Kontinuum und der kollektiven Mode zusammen. Spinwellen in Metallen wurden zunächst in Eisen mit DE

Um ´

StonerKontinuum

hωm (q)

q

Abb. 4.15. Anregungsspektrum für

Spinumkehrprozesse im System von Bandelektronen. Die durchgezogene Linie ist die Spinwellendispersion

246

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

inelastischer Neutronenstreuung nachgewiesen. Als charakteristischen Unterschied zu den Spinwellen in lokalisierten Spinsystemen ergibt eine genauere Analyse eine T 2 Abhängigkeit der Magnetisierung bei tiefen Temperaturen anstelle des Bloch’schen T 3|2 -Gesetzes. 4.2.4 Aufgaben 4.2.1

Aufgabe 4.2.1 Beweisen Sie die folgende Kommutator-Beziehung:  +  5 = 0 (N 5: Teilchenzahloperator). akσ ak + qσ , N

4.2.2

Aufgabe 4.2.2 1. Zeigen Sie, dass für die Pauli-Suszeptibilität eines wechselwirkungsfreien Elektronensystems gilt:

χPauli  2μ2B μ0 ρ0 (EF ) . Dabei ist EF die Fermi-Energie, ρ0 die Zustandsdichte, μB das Bohr’sche Magneton und μ0 die Permeabilität des Vakuums. Die Suszeptibilität ist wie folgt definiert:

χ= 2.

  ∂M ; M = μB N↑ − N↓ Magnetisierung. ∂H

H ist ein homogenes Magnetfeld. Werten Sie die verallgemeinerte Suszeptibilität χ0 (q) des wechselwirkungsfreien Elektronensystems (4.134),    nk + qσ (0) − nkσ (0) , χ0 (q, E = 0) = h¯ ε(k + q) − ε(k) k, σ

für T = 0 aus und vergleichen Sie das Ergebnis mit χPauli aus Teil 1.

4.2

Kollektive elektronische Anregungen

247

Aufgabe 4.2.3 1. Berechnen Sie im Rahmen des Hubbard-Modells die diagonale Suszeptibilität wechselwirkender Elektronen:    1  zz χqzz (E) = χij (E) exp iq · Ri − Rj , N i, j

χijzz (E) = − σiz = 2.

4μ2B μ0  z z  σi ; σj , V h¯3

 h¯  ni↑ − ni↓ . 2

Benutzen Sie eine zu Abschn. 4.2.3 analoge RPA-Näherung. Leiten Sie mithilfe von (3.71) und dem Resultat aus Teil 1. eine Bedingung für Ferromagnetismus ab.

4.2.3

248

4.2.4

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Aufgabe 4.2.4 Als wichtiges experimentelles Hilfsmittel zur Erforschung elektronischer Zustände in Festkörpern haben sich die Auger-Elektronen (AES)und die Auftrittspotential (APS)-Spektroskopie erwiesen. In AES wird ein primär erzeugtes Core-Loch durch ein Bandelektron aufgefüllt. Die dabei frei werdende Energie wird auf ein anderes Bandelektron übertragen, das dadurch den Festkörper verlassen kann. Dessen kinetische Energie wird gemessen! - In APS läuft gewissermaßen der umgekehrte Prozess ab. Ein Elektron trifft auf einen Festkörper und fällt auf einen unbesetzten Bandzustand. Die frei werdende Energie wird dazu benutzt, ein Core-Elektron in einen weiteren unbesetzten Zustand anzuregen. Die anschließende Rekombinationsstrahlung (⇐⇒ Auffüllen des entstandenen Core-Lochs) wird zur Analyse verwendet. Wegen des beteiligten, streng lokalisierten Core-Zustandes wird die Anregung der beiden Löcher bzw. Elektronen als intraatomar angesehen. Wir betrachten ein nicht entartetes Energieband, dessen wechselwirkende Elektronen im Rahmen des Stoner-Modells (4.43),   Eσ (k) − μ a+kσ akσ , HS = k, σ

beschrieben werden. Eine exakte Betrachtung liefert für die APS- (AES-)Intensitäten die folgenden Energie- und Temperaturabhängigkeiten:

e β(E − 2μ) 1 (2) β (E − 2μ) S (E − 2μ) . IAES (2μ − E) = β(E − 2μ) IAPS (E − 2μ) = e e − 1 h¯ ii Beide Intensitäten werden durch dieselbe Zwei-Teilchen-Kommutator-Spektraldichte bestimmt:   1 Sii(2) (E) = − Im Dii (E) ; Dij (E) = ai − σ aiσ ; a+jσ aj − σ ret E .

π

1.

2.

Zeigen Sie, dass sich die Zwei-Teilchen-Spektraldichte wie folgt durch die Quasiteilchen-Zustandsdichte ρσ(S) (E) des Stoner-Modells ausdrücken lässt:   Sii(2) (E − 2μ) = h¯ dx ρσ(S) (x) ρ−(S)σ (E − x) 1 − f− (x) − f− (E − x) , f− (x) ist die Fermi-Funktion. W sei die Breite des Energiebandes für die nicht wechselwirkenden Elektronen. Wie breit ist der Energiebereich, in dem Sii(2) (E − 2μ) von Null verschieden ist?

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

249

Aufgabe 4.2.5 Über die Intensitäten IAPS , IAES der in Aufg. 4.2.4 erklärten AE- und AP-Spektroskopien lassen sich wichtige Korrelationsfunktionen und Summenregeln ableiten. Zeigen Sie mithilfe der Spektraldarstellung der ZweiTeilchen-Spektraldichte, dass folgende Relationen unabhängig vom verwendeten Ein-Band-Modell gültig sind:

+∞ dE IAPS (E − 2μ) = 1 − n + nσ n−σ  ; −∞

4.2.5

+∞ dE IAES (2μ − E) = nσ n−σ  . −∞

Aufgabe 4.2.6 Elektronen eines nicht entarteten Energiebandes (s-Band) sollen durch das Hubbard-Modell beschrieben werden. Zeigen Sie, dass für die Intensitäten der in Aufg. 4.2.4 vorgestellten Auger-Elektronen (AES)- und Auftrittspotential (APS)-Spektroskopie im Falle eines leeren (n = 0) Energiebandes (μ → −∞) gilt:

IAES (E) = 0 ;

Λ(0) k (E) =

IAPS = −

1

π

Im

4.2.6

(0) 1  Λk (E) , (0) N k 1 − U Λk (E)

1  1 . N p E − ε(k) − ε(k − p) + i0+

Es dürfte zweckmäßig sein, von der retardierten Green-Funktion   ret + + ret Dmn; jj (E) = amσ an − σ ; aj − σ ajσ E auszugehen. Stellen Sie deren Bewegungsgleichung auf und zeigen Sie, dass sich die höheren Green-Funktionen wegen n = 0 sehr stark vereinfachen! Demonstrieren Sie, dass sich IAPS für schwache Elektronenkorrelationen, d. h. kleine U, als Selbstfaltungsintegral der Bloch-Zustandsdichte ρ0 (E) schreiben lässt.

Aufgabe 4.2.7 Berechnen Sie wie in Aufg. 4.2.6 die APS- und AES-Intensitäten für den Fall eines vollständig besetzten Energiebandes (n = 2).

4.3 Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen 4.3.1 Problemstellung Wir haben bisher elektronische Eigenschaften von Festkörpern mit periodischer Gitterstruktur untersucht, die deshalb gegenüber Symmetrieoperationen invariant bleiben. So gilt z. B. die bereits mehrfach ausgenutzte Translationssymmetrie, die da-

4.2.7

4.3

250

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

für sorgt, dass der Ein-Teilchen-Anteil des Hamilton-Operators diagonal im k-Raum ist. Der entscheidende Vorteil des periodischen Festkörpers gegenüber dem ungeordneten System besteht in der Anwendbarkeit des Bloch-Theorems (2.15), mit dem man das gesamte Problem auf die Lösung der Schrödinger-Gleichung für eine mikroskopische Elementarzelle reduzieren kann. Für ungeordnete Systeme gilt das Bloch-Theorem nicht. Man muss für diese deshalb ein Potential unendlicher Reichweite in die Betrachtungen einbeziehen, was mathematisch streng natürlich nur für wenige, relativ uninteressante Grenzfälle möglich ist. Machen wir uns zunächst Gedanken über einen passenden Modell-Hamilton-Operator, dessen Gestalt natürlich entscheidend vom Typ der räumlichen Unordnung bestimmt sein wird. Wir wollen uns im folgenden auf den Ein-Teilchen-Anteil beschränken, d. h. die Wechselwirkungen der Elementaranregungen untereinander unberücksichtigt lassen. Dann wird der Modell-Hamilton-Operator für alle Elementaranregungen (Elektronen, Phononen, Magnonen usw.) formal dieselbe Struktur haben: H=

i =/ j   i, j m, n

Tijmn a+im ajn +

 i, m

εm a+im aim +



Vijmn a+im ajn .

(4.185)

i, j m, n

Der erste Summand beschreibt das Hüpfen des Teilchens vom Zustand |n bei Rj in den Zustand |m bei Ri . Tijmn ist das entsprechende Transferintegral. εm ist die atomare Energie des Zustandes |m im ideal periodischen System. Das eigentliche Problem steckt in dem dritten Summanden. Die Störmatrix Vijmn enthält die statistischen Abweichungen der atomaren Energien und der Transferintegrale von den entsprechenden Größen des idealen Systems:   (4.186) Tijmn − Tijmn . Vijmn = (ηm − εm )δij δmn + = Die Vielfalt der möglichen Unordnungstypen lässt sich grob in zwei Klassen aufteilen: Substitutionsunordnung und strukturelle Unordnung. Die erste Kategorie ist durch eine noch streng periodische Anordnung der Gitterbausteine gekennzeichnet, wobei jedoch für eine propagierende Elementaranregung die physikalischen Verhältnisse von Ort zu Ort wechseln. Beispiele sind Legierungen und Mischkristalle. Von struktureller Unordnung spricht man, wenn noch eine zusätzliche Abweichung der Gitterstruktur von der strengen räumlichen Periodizität vorliegt, wie z. B. in amorphen Festkörpern, in Gläsern, in dotierten Halbleitern, in flüssigen Metallen usw. Wir entwickeln das theoretische Konzept am allereinfachsten Unordnungstyp, nämlich der diagonalen Substitutionsunordnung. Dabei denken wir an ein periodisches Gitter, in dem die atomaren Bausteine von Gitterplatz zu Gitterplatz statistisch ihren Charakter ändern, wovon die HoppingIntegrale allerdings unbeeinflusst sein sollen. Nach (4.186) bleibt dann:   (4.187) Vijmn = ηm − εm δij δmn .

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

251

Diese idealisierte Situation liegt näherungsweise in solchen Legierungen vor, deren reine Komponenten sich in ihren Bandstrukturen sehr ähnlich sind. Man denke an Ni-Cu- oder Ag-Au-Legierungen. Um konkret zu sein, betrachten wir im folgenden Elektronen in einer mehrkomponentigen Legierung mit diagonaler Substitutionsunordnung. Es ist schließlich noch klar, dass das Einbeziehen von Bandübergängen in dem hier interessierenden Zusammenhang nichts grundsätzlich Neues bieten kann. Wir beschränken uns deshalb auf ein Einband-Modell und unterdrücken den Bandindex:  Hσ ; Hσ = H0σ + V0σ , (4.188) H= σ

H0σ =



Tij a+iσ ajσ ,

(4.189)

η(i)σ a+iσ aiσ .

(4.190)

i, j

V0σ =

 i

Fassen wir die hineingesteckten Voraussetzungen noch einmal kurz zusammen: 1. α-komponentige Legierung. Jede Komponente ist durch genau ein atomares ηmσ , falls ein Atom der Sorte m bei Niveau gekennzeichnet (η(i)σ = ηmσ − Tii = 5 Ri liegt), 2. diagonale Substitutionsunordnung (4.187), 3. keine Elektron-Elektron Wechselwirkung, 4. statistisch unabhängige und homogene Verteilung der Atomsorten. Die Einschränkungen 1. und 2. lassen sich reduzieren. Wegen 4. werden die atomaren Niveaus ηmσ statistische Zufallsvariable. Die Konzentrationen cm der Legierungskomponenten sind gleichzeitig die Wahrscheinlichkeiten dafür, an einem bestimmten Gitterplatz ein Atom der Sorte m anzutreffen. Wir kennen den großen Informationsgehalt der Ein-Teilchen-Green-Funktion,   (4.191) Gijσ (E) = aiσ ; a+jσ E , und werden deshalb versuchen, diese so gut wie möglich zu bestimmen. Ihre Bewegungsgleichung ist mit (4.188) leicht abgeleitet:   Tim + η(i)σ δim Gmjσ (E) . (4.192) EGijσ (E) = h¯δij + m

Wegen der fehlenden Translationssymmetrie kann diese Gleichung nun aber nicht einfach durch Fourier-Transformation gelöst werden. Wenn wir mit 5 Gσ (E) die Green-Funktions-Matrix bezeichnen, deren Elemente in der Wannier-Darstellung gerade die Gijσ (E) sind, so können wir (4.192) auch als Matrix-Gleichung lesen, die für manche Zwecke einfacher zu handhaben ist:   Gσ (E) . (4.193) E5 Gσ (E) = h¯1 + H0σ + V0σ 5

252

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Die formale Lösung ist einfach: 5 Gσ (E) = h¯ [E − Hσ ]−1 .

(4.194)

Die Green-Funktion des freien Systems lautet entsprechend: 5 G0σ (E) = h¯ [E − H0σ ]−1 .

(4.195)

Kombiniert man die letzten beiden Gleichungen, −1  −1 5 Gσ (E) = h¯ h¯5 G0σ (E) − V0σ = −1  1 5 G0σ (E)V0σ = 1− 5 G0σ (E) , h¯ so ergibt sich die Dyson-Gleichung (3.327): 1 5 G0σ (E)V0σ 5 Gσ (E) . Gσ (E) = 5 G0σ (E) + 5 (4.196) h¯ Gehen wir für einen Moment wieder zurück in die Wannier-Darstellung, so liest sich die Dyson-Gleichung mit (4.190) wie folgt: 1  (0) G (E)η(m)σ Gmjσ (E) . (4.197) Gijσ (E) = Gij(0) σ (E) + h ¯ m imσ Es erweist sich als zweckmäßig, an dieser Stelle die Streumatrix (T-Matrix) 5 T0σ einzuführen. Sie wird durch die folgende Gleichung definiert: 1 5 G0σ (E)5 G0σ (E) . G0σ (E) + 5 T0σ 5 Gσ (E) = 5 h¯

(4.198)

5 Gσ (E) bzw. Gijσ (E) wird genau wie der Hamilton-Operator Hσ von der konkreten Verteilung der Atomsorten m = 1, 2, . . . , α über das Gitter abhängen. Zu einem vorgegebenen Satz von Konzentrationen (c1 , c2 , . . . , cα ) gibt es deshalb ein ganzes Ensemble von Green-Funktionen. Dies bedeutet hier jedoch eine völlig unnötige Erschwernis, da spezielle Konfigurationen nicht interessieren, weil für diese experimentelle Aussagen kaum reproduzierbar wären. Wichtig sind allein die konfigurationsgemittelten Größen, die wir durch eine Winkelklammer, ...

⇐⇒

Konfigurationsmittelung ,

symbolisieren wollen. Konfigurationsmittelung bedeutet Ensemble-Mittelung über alle makroskopisch nichtunterscheidbaren, mikroskopisch aber unterschiedlichen Atomanordnungen, die zu einem vorgegebenen Satz von Konzentrationen möglich sind. Die praktische Durchführung der Mittelung geschieht wie folgt. Sei Fσ ein Funktional der Zufallsvariablen ηmσ , dann gilt: Fσ  =

α  m=1

  cm Fσ ηmσ .

(4.199)

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

253

Führt man diese Mittelung an der Green-Funktions-Matrix (4.194) durch, so wird σ (E) definiert: durch sie ein effektiver Hamilton-Operator Heff & %   h¯ h¯ 5 = Gσ (E) = (4.200) σ (E) . E − Hσ E − Heff σ besitzt nun wegen der vollzogenen Konfigurationsmittelung die volle SymmeHeff trie des Gitters, ist dafür aber unter Umständen energieabhängig und komplex. Das Grundgitter (freies System) ist natürlich von der Konfigurationsmittelung unbeeinflusst. Es gilt deshalb:   5 G0σ (E) , (4.201) G0σ (E) ≡ 5 σ wird sich gemäß (4.188) schreiben lassen als: und Heff σ (E) = H + Σ (E) . Heff 0σ 0σ

(4.202)

Die Bestimmung von Σ0σ (E) löst offenbar das Problem. Wir können schließlich noch die Dyson-Gleichung (4.196) und die T-MatrixGleichung (4.198) für die konfigurationsgemittelte Green-Funktion aufschreiben: 

   1 5 G0σ (E)Σ0σ (E) 5 Gσ (E) = 5 G0σ (E) + 5 Gσ (E) , h¯     1 5 G0σ (E) 5 G0σ (E) . G0σ (E) + 5 T0σ 5 Gσ (E) = 5 h¯

(4.203) (4.204)

4.3.2 Methode des effektiven Mediums Die Aufspaltung des Modell-Hamilton-Operators Hσ gemäß (4.188) in H0σ und V0σ ist so nicht zwingend. Wir können genauso gut anstelle des ungestörten Kristalls, gemeint ist damit das streng periodische Grundgitter, irgendein passend gewähltes effektives Medium abspalten, indem wir jedem Gitterplatz ein fiktives, reelles oder komplexes Potential vK σ zuordnen. Das effektive Medium ist dann definiert durch den Hamilton-Operator   Tij a+iσ ajσ + vK σ a+iσ aiσ . (4.205) Kσ = i, j

i

Es ist natürlich so gewählt, dass das zugehörige Viel-Teilchen-Problem exakt lösbar ist. Da es außerdem die volle Symmetrie des Grundgitters aufweist, ist die GreenFunktion des effektiven Mediums, 5 Rσ (E) = h¯ [E − Kσ ]−1 ,

(4.206)

bekannt und diagonal im k-Raum:   εσ (k) −1 , Rkσ (E) = h¯ E −= = εσ (k) = ε(k) + vK σ .

(4.207) (4.208)

254

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Der Modell-Hamilton-Operator schreibt sich nun: (4.209)

Hσ = Kσ + VK σ , VK σ =





η(i)σ − vK σ a+iσ aiσ ≡

i



= η(i)σ a+iσ aiσ .

(4.210)

i

= η(i)σ gibt die Abweichung des lokalen Potentials bei Ri gegenüber dem effektiven Medium an. Die Gleichungen (4.196), (4.198), (4.203) und (4.204) übertragen sich Rσ (E) zu ersetzen. Natürlich ändern sich auch die direkt. Wir haben nur 5 G0σ durch 5     T0σ ⇒ 5 TK σ . Selbstenergie Σ0σ ⇒ ΣK σ und die T-Matrix 5 1 5 Gσ (E) = 5 Gσ (E) , Rσ (E) + 5 Rσ (E)VK σ 5 h¯

(4.211)

1 5 Gσ (E) = 5 Rσ (E) + 5 TK σ5 Rσ (E) , Rσ (E)5 h¯

(4.212)



   1 5 Gσ (E) = 5 Rσ (E) + 5 Gσ (E) , Rσ (E)ΣK σ (E) 5 h¯

(4.213)



   1 5 Gσ (E) = 5 Rσ (E) . Rσ (E) + 5 TK σ 5 Rσ (E) 5 h¯

(4.214)

Kombinieren wir die ersten beiden Gleichungen für die nicht gemittelte Funktion, so können wir die T-Matrix durch das statistische Potential VK σ ausdrücken:

−1 1 5 5 5 1 − TK σ = VK σ 5 Gσ5 = V V R−1 Rσ5 R−1 R K σ σ K σ σ σ , h¯ (4.215)

−1 1 5 TK σ = VK σ 1 − 5 . Rσ VK σ h¯ Ganz analog findet man durch Kombination von (4.213) und (4.214): 



−1  1 5 5 , TK σ = ΣK σ 1 − Rσ ΣK σ h¯

−1    1 TK σ 5 Rσ ΣK σ = 5 TK σ 1 + 5 . h¯

(4.216)

(4.217)

Wir erinnern uns nun daran, dass wir das effektive Medium noch gar nicht konkret spezifiziert haben. Wir variieren dieses nun so lange, d. h., wir ändern den Typ der Quasiteilchen des effektiven Mediums so lange, bis diese an den lokalen Potentialen nicht mehr gestreut werden. Dies ist genau dann der Fall, wenn die konfigurationsgemittelte T-Matrix verschwindet: 

 ! 5 TK σ = 0 .

(4.218)

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

255

Lässt sich das erreichen, so ist automatisch das volle Problem gelöst. Aus (4.217) folgt dann nämlich:

ΣK σ (E) ≡ 0

⇐⇒



 5 Gσ (E) = 5 Rσ (E) .

(4.219)

Die Green-Funktion 5 Rσ des effektiven Mediums ist aber nach Voraussetzung bekannt. Die Forderung (4.218) lässt sich jedoch in der Regel nicht streng erfüllen, da 5 TK σ nicht explizit bekannt ist. Wir diskutieren im nächsten Abschnitt ein passendes Näherungsverfahren. 4.3.3 Coherent Potential Approximation Wir versuchen zunächst, die Streumatrix 5 TK σ durch atomare Streumatrizen ˆtK(i)σ auszudrücken. 5 Giσ (E) sei die Green-Funktion für den Spezialfall, dass nur das atomare Streuzentrum am Gitterplatz Ri eingeschaltet ist, d. h., die Summe für VK σ in (4.210) enthält nur einen Summanden:

η(i)σ a+iσ aiσ . VK(i)σ = =

(4.220)

Dann folgt aus (4.211): 1 5 Giσ (E) = 5 Rσ (E) + 5 Rσ (E) + Rσ (E)VK(i)σ 5 h¯ +

1 5 Rσ (E)VK(i)σ 5 Rσ (E)VK(i)σ 5 Rσ (E) + · · · = h¯2

(4.221)

1 =5 Rσ (E) + 5 Giσ (E) . Rσ (E)VK(i)σ 5 h¯ Gleichung (4.212) definiert dann die atomare Streumatrix tK(i)σ : 1 5 Giσ (E) = 5 Rσ (E) + 5 Rσ (E) . Rσ (E)ˆtK(i)σ 5 h¯

(4.222)

Der Vergleich mit (4.221) ergibt: 1 1 ˆtK(i)σ = VK(i)σ + VK(i)σ 5 Rσ VK(i)σ + 2 VK(i)σ 5 Rσ VK(i)σ 5 Rσ VK(i)σ + · · · = h¯ h¯

−1 1 (i) (i) 5 = VK σ 1 − Rσ VK σ . h¯

(4.223)

Dieses Ergebnis ist natürlich konsistent mit (4.215). Wir gehen nun zu der vollen ( Dyson-Gleichung (4.211) zurück und setzen dort VK σ = i VK(i)σ ein:  (i) 1  (i) 1 (j) 5 Gσ = 5 Rσ + 5 VK σ 5 VK σ 5 Rσ + 2 5 Rσ Rσ VK σ 5 Rσ + · · · Rσ h¯ h ¯ i i, j

256

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Mit (4.223) folgt dann:  (i) 1 5 ˆtK σ 5 Rσ (E) Rσ (E) + Rσ (E) + 5 Gσ (E) = 5 h¯ i i =/ j

+

 (i) 1 (j) 5 ˆtK σ 5 Rσ (E) Rσ (E)ˆtK σ 5 Rσ (E) + 2 h¯ i, j

+

(4.224)

i =/ j; k =/ j  (i) 1 (j) 5 5 ˆtK σ 5 (E) R Rσ (E)ˆtK σ 5 Rσ (E)ˆtK(k) σ σ Rσ (E) + 3 h¯ i, j, k

+ ··· . Der Vergleich mit (4.212) liefert dann das gewünschte Resultat: 5 TK σ =

 i

ˆtK(i)σ +

i =/ j

1  (i) (j) ˆtK σ 5 Rσ (E)ˆtK σ + h¯ i, j

1 + 2 h¯

i =/ j; j =/ k



(4.225) (j) ˆtK(i)σ 5 Rσ (E)ˆtK σ 5 Rσ (E)ˆtK(k) σ + ··· .

i, j, k

Noch ist alles exakt. Bei bekannter T-Matrix ist auch das volle Problem gelöst, da dann via (4.212) auch die Ein-Teilchen-Green-Funktion festliegt. Jede approximative Bestimmung von 5 TK σ führt also zu einer genäherten Lösung des gesamten Legierungsproblems. Es empfiehlt sich an dieser Stelle, die Operator-Beziehung (4.225) noch einmal für die entsprechenden Matrixelemente zu formulieren: 

5 TK σ

 mn

1 (m) = tK(m) t Rmnσ (E)tK(n)σ + σ δmn + h ¯ Kσ 1  (m) (j) tK σ Rmjσ (E)tK σ Rjnσ (E)tK(n)σ + + 2 h¯

(4.226)

j

+ ··· . Dabei ist zur Abkürzung geschrieben:   Rmnσ (E) = Rmnσ (E) 1 − δmn .

(4.227)

Wir benötigen die konfigurationsgemittelte T-Matrix. Führen wir die Mittelung an dem Ausdruck (4.225) durch, so ergeben sich Terme der Form  (j) ˆtK(i)σ 5 (4.228) Rσ ˆtK(n) Rσ ˆtK σ 5 Rσ · · · 5 σ .

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

257

Sind die Indizes i, j, . . . , n sämtlich paarweise verschieden, so faktorisiert dieser Ausdruck. Die so genannte T-Matrix-Approximation (TMA) postuliert, dass das propagierende Elektron niemals an einen Platz zurückkehrt, an dem es bereits einmal gestreut wurde. Wegen der statistischen Unabhängigkeit der lokalen Streupotentiale gilt dann:     (j) ˆtK(i)σ 5 ˆtK(i)σ ˆrσ ˆtK(j)σ 5 Rσ ˆtK σ 5 Rσ · · · 5 (4.229) Rσ ˆtK(n) Rσ ˆtK(n) Rσ · · · 5 σ σ . TMA

Nach der Konfigurationsmittelung ist die atomare Streumatrix natürlich gitterplatzunabhängig. Damit lässt sich nun (4.225) aufsummieren, wenn man noch ⎛ ⎞ 0 . 0 ⎜ .. ⎟  ⎟ ˆtK(i)σ = tK σ  ⎜ ⎜ ⎟ ← i-te Zeile 1 . ⎝ .. ⎠ 0 0 berücksichtigt. Wir schreiben ⎛ ⎞ 0 . 0 ⎜ .. ⎟ ⎜ ⎟ 1i ≡ ⎜ ⎟ ← i-te Zeile 1 . ⎝ .. ⎠ 0 0

(4.230)

↑ i-te Spalte und haben dann: 

ˆtK(i)σ = tK σ  1i .

(4.231)

Dabei ist tK σ  nun kein Operator mehr. Vielmehr gilt mit (4.223) und (4.199): α 

5 ηmσ − vK σ .  1 1 − R ηmσ − vK σ ¯ h iiσ (E) 5 m=1 (     ˆ (i) ˆ Aus (4.225) wird damit i tK σ = tK σ 1 :  TMA 1 5 TK σ = tK σ  1 1 + 5 Rσ (E) tK σ  + h¯ tK σ  =

15 5 t t   R (E) R (E) + · · · , σ Kσ σ Kσ h¯2

−1 15 = tK σ  1 1 − Rσ (E) tK σ  . h¯ +



5 TK σ

TMA

cm

(4.232)

(4.233)

258

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Setzen wird dieses Ergebnis in den Ausdruck (4.217) für die Selbstenergie ein, so erkennen wir, dass diese im Rahmen der TMA in der Wannier-Darstellung diagonal ist:





1 h¯

ΣKTMA σ (E) ij = tK σ  δij 1 + Riiσ (E) tK σ 

−1 .

(4.234)

Man beachte, dass die Green-Funktion Riiσ (E) wegen der Translationssymmetrie nur formal den Index i trägt. Sie ist natürlich gitterplatzunabhängig: Riiσ (E) =

1  Rkσ (E) = N k

−1 h¯   E − ε(k) − vK σ . = N

(4.235)

k

Die Selbstenergie ist wellenzahlunabhängig: TMA ΣKTMA σ (k; E) ≡ ΣK σ (E) .

(4.236)

Bei der TMA handelt es sich offenbar um ein nichtselbstkonsistentes Verfahren, da die Lösung von der willkürlichen Wahl des effektiven Mediums abhängt. Intuitiv erwartet man, dass die Güte der TMA umso höher zu bewerten ist, je ähnlicher das effektive Medium bereits dem tatsächlichen System gewählt wird. Wir können nun aber mit den Ergebnissen des letzten Abschnitts das Verfahren leicht selbstkonsistent machen, indem wir nämlich das Potential des effektiven Mediums durch die Forderung (4.218) festlegen. Dies bedeutet aber nach (4.233), dass durch !

tK σ  = 0

(4.237)

vK σ bestimmt ist. Diese Methode heißt in der Literatur Coherent Potential Approximation (CPA).   Nach (4.232) löst man Tii = T0 , 5 ηmσ = ηmσ − T0 : !

0=

α  m=1

cm

ηmσ − vK σ − T0   1 − ¯h1 Riiσ (E) ηmσ − vK σ − T0

(4.238)

für vK σ → ΣσCPA (E)

(4.239)

und hat dann wegen (4.219) die Ein-Teilchen-Green-Funktion  −1 Gkσ (E) = Rkσ (E) = h¯ E − ε(k) − ΣσCPA (E)

(4.240)

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

259

vollständig bestimmt. Damit sind auch alle anderen, aus der Ein-Teilchen-GreenFunktion ableitbaren Größen bekannt, wie z. B. die Quasiteilchenzustandsdichte:

ρσ (E) = −

1

π

+∞ Im dx −∞

ρ0 (x) . E − x − ΣσCPA (E)

(4.241)

Dabei haben wir die Summation über k durch eine Integration über die freie Zustandsdichte ρ0 (x) ersetzt. Die zu lösende Gleichung (4.238) ist in der Regel hochgradig nichtlinear und deshalb nur numerisch lösbar. Das physikalische Konzept der CPA ist klar und relativ einfach. Nun leiden Theorien, die in gewisser Weise physikalischer Intuition folgen, häufig darunter, dass ihre mathematische Struktur verschwommen bleibt. Dies gilt jedoch nicht für die CPA! Trotz ihres naiven Konzepts ist sie doch das Resultat sorgfältig durchgeführter Mathematik. Um dies zu verdeutlichen, leiten wir im nächsten Abschnitt die CPAFormel (4.238) noch einmal auf einem ganz anderen Weg mithilfe einer Diagrammtechnik ab. Dabei werden wir eine Reihe weiterer, in der Theorie der ungeordneten Systeme häufig verwendeter Methoden kennen lernen und die Überlegenheit der CPA erfahren können. 4.3.4 Diagrammatische Methoden Wir gehen noch einmal zurück zu der Dyson-Gleichung (4.197):

Gijσ (E) = Gij(0) σ (E) + +

1  (0) (0) G (E)η(m)σ Gmj σ (E) + h¯ m imσ

1  (0) (0) (0) G (E)η(m)σ Gmn σ (E)η(n)σ Gnjσ (E) + h¯2 m, n imσ

(4.242)

+ ··· und vollziehen die Konfigurationsmittelung direkt an dieser unendlichen Reihe: 

  1  (0) (0)  Gijσ = Gij(0) G G η(m)σ + σ +h ¯ m imσ mjσ +

 1  (0) (0) (0)  Gimσ Gmnσ Gnjσ η(m)σ η(n)σ + 2 h¯ m, n

(4.243)

+ ··· Wegen der angenommenen statistischen Unabhängigkeit der Gitterplätze gilt natürlich:       η(m)σ η(n)σ = δmn η2(m)σ + 1 − δmn η(m)σ 2 . (4.244)

260

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Wir vereinbaren die folgenden Diagrammregeln i

j

i

j



⇒

Gijσ



⇒

Gij(0) σ

⇒

α  1  1 η(i)σ = cm5 ηmσ h¯ h¯ m = 1

⇒

α 1  1 n η(i)σ = n cm5 ηmn σ h¯ h¯ m = 1

i

i

n Wechselwirkungslinien

  Damit können wir nun obiges Resultat (4.243) für Gijσ durch Diagramme darstellen: m i

j

=

j m

i

j

i n j

i

m

σ

m n

+ j

i m

n +

+ i

m

n

j

i

+

m n

+ i

m

+ j

i

j

i

j

j

·

(4.245)

Unter der Ordnung eines Diagramms versteht man die Zahl der Wechselwirkungslinien (gestrichelt!). Explizit aufgetragen sind in (4.245) alle Diagramme bis zur dritten Ordnung. Bei der Auswertung der Diagramme ist über alle inneren Indizes zu summieren. Beispiel m

n

⇐⇒ i

j

 1  (0) (0) (0) (0)  Gimσ Gmnσ Gnnσ Gnjσ η(m)σ η2(n)σ . 3 h¯ m, n

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

261

Wir können nun aber auch die Dyson-Gleichung durch Diagramme darstellen: i

j

i

=

j

+

j

∑σ (0) Gin σ

Gij(0σ)

Gijσ

i

1 h ∑ nmσ

(4.246) Gmjσ

Σσ ist definiert als die Summe aller derjenigen Diagramme, die sich nicht durch ) in zwei selbstständige Diagramme Zerschneiden eines Teilchenpropagators (   aus der Entwicklung von Gijσ zerlegen lassen, wobei die beiden äußeren Anschlüsse bei i und j weggelassen werden. Bis zur vierten Ordnung besteht demnach Σσ aus den folgenden Diagrammen: 1. Ordung

1h

=

åσ

3. Ordnung

2. Ordnung

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

4. Ordnung

+ ···

(4.247)

Man kann nun anhand dieser noch exakten Darstellung alle bekannten Approximationen zur Theorie der ungeordneten Systeme klassifizieren. 1)Virtual Crystal Approximation (VCA) Die einfachste Approximation ist die des virtuellen Kristalls, die aus der Entwicklung ( von σ nur den ersten Term mitnimmt:

1 VCA Σ ⇐⇒ h¯ σ

≡ δrt

α 1  1  cm5 ηmσ ≡ δrt 5 ησ . h¯ m = 1 h¯

(4.248)

Dies bedeutet für die Green-Funktion: 

VCA VCA 1    (0)  5 Gijσ (E) = Gij(0) ησ Gimσ Gmjσ . σ (E) + h ¯ m

Transformation auf Wellenzahlen ergibt dann:    Gkσ (E)VCA = Gk(0) ησ . σ E− 5

(4.249)

262

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Dies entspricht einer Molekularfeldnäherung. Die Quasiteilchenenergien EσVCA (k) sind gegenüber den freien Bloch-Energien ε(k) nur um einen konstanten Energiebe  ησ verschoben: trag 5   EσVCA (k) = ε(k) + 5 ησ − T0 . (4.250) Die VCA ist sicher nur dann brauchbar, wenn sich die atomaren Niveaus der Legierungskomponenten nur wenig voneinander unterscheiden. 2) Single Site Approximation (SSA) Eine schon etwas subtilere Näherung besteht darin, aus der exakten SelbstenergieEntwicklung (4.247) alle die Diagramme zu berücksichtigen, die genau einen Vertexpunkt enthalten, also linear in den Konzentrationen cm sind. Man vernachlässigt damit Korrelationen zwischen Streuprozessen an verschiedenen Gitterplätzen.

1 SSA Σ h¯ σ

⇐⇒

+

+

+ ⋅⋅⋅

(4.251)

Diese unendliche Reihe lässt sich exakt aufsummieren: 1  SSA  Σ = h¯ σ rt ; 1  1 (0) cm5 ηmσ + 2 cm5 ηm2 σ Gmm = δrt σ+ h¯ m h¯ m <  2 1  3 (0) + 3 cm5 ηmσ Gmmσ + · · · = h¯ m

= δrt

  2 1 1  1 (0) (0) 5 cm5 ηmσ 1 + 5 ηmσ Gmm + η G + · · · . mσ mmσ σ h h¯ m h¯ ¯2

Rechts in der Klammer steht die geometrische Reihe: 1 5 ηmσ 1  SSA  Σσ rt = δrt cm . (0) 1 h¯ h¯ m 1 − ¯h 5 ηmσ Gmm σ

(4.252)

Nach (4.232) stellt die Selbstenergie der SSA, die nur Vielfachstreuung an einem isolierten Einzelpotential berücksichtigt, gerade die atomare T-Matrix dar. Die Selbstenergie ist wegen des Single Site-Aspekts nach Fourier-Transformation wellenzahlunabhängig:

ΣσSSA (k, E) ≡ ΣσSSA (E) . Die volle Ein-Teilchen-Green-Funktion lautet dann  −1 Gkσ SSA = h¯ E − ε(k) − ΣσSSA (E) ,

(4.253)

(4.254)

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

263

und die Quasiteilchenenergien bestimmen sich wie üblich aus den Polen dieser Funktion:  )) ! E − ε(k) − ΣσSSA (E) ) =0. (4.255) E = Eσ (k)

Wegen der k-Unabhängigkeit kann man die volle Green-Funktion durch die des freien Systems ausdrücken:   SSA Gkσ (E)SSA = Gk(0) σ E − Σσ (E) .

(4.256)

3) Modified Propagator Method (MPM) Man kann in einem nächsten Schritt die SSA dadurch selbstkonsistent machen, dass man den freien Propagator in (4.251) durch die volle Green-Funktion ersetzt:

1 MPM Σ h¯ σ

⇐⇒

+

+ ×××

+

(4.257)

Man reproduziert damit genau das Ergebnis der so genannten Modified Propagator Method, die allerdings ursprünglich auf einer ganz anderen Idee beruhte: 1 5 ηmσ 1 MPM Σσ (E) = cm  . (0) 1 h¯ h¯ m 1 − ¯h 5 ηmσ Gmmσ E − ΣσMPM (E)

(4.258)

Man erkennt unmittelbar, dass durch das Einsetzen des vollen Propagators in die SSADiagramme eine große Anzahl von Diagrammen der exakten Entwicklung wieder ins Spiel kommt, die von der SSA selbst vernachlässigt werden. So fehlt aus der exakten Entwicklung (4.247) für Σσ bis zur vierten Ordnung eigentlich nur das gekreuzte Diagramm, das echte Cluster-Effekte beschreibt. 4) Average T-Matrix Approximation (ATA) Man kann sich einen sehr offensichtlichen Fehler der SSA leicht klar machen, der jedoch letztlich bereits auf einer Ungenauigkeit unserer allgemeinen Diagrammregeln beruht. Setzt man z. B. den ersten Term aus der Selbstenergieentwicklung (4.247) in die Dyson-Gleichung ein, so erhält man unter anderem das skizzierte Diagramm, m

n

i

j

das wegen der beiden Vertexpunkte den Beitrag 1  2  (0) (0) (0) 5 ησ Gimσ Gmnσ Gnjσ h¯2 m, n

264

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

liefert. Nach den Regeln muss über alle m und n summiert werden. Der Fehler liegt in den Diagonaltermen m = n, da diese hier quadratisch in den Konzentrationen c gezählt werden, obwohl das korrekte m=n-Diagramm nur linear in c ist: m i

j

 2   2 (Merke: 5 ησ =/ 5 ησ !) Dieser offensichtliche Fehler kann durch die folgende Zusatzvorschrift eliminiert werden: Man ziehe von jedem Diagramm der SSA die Beiträge aller derjenigen Diagramme ab, die sich aus den ursprünglichen Diagrammen durch Abreißen der Wechselwirkungslinien von Vertexpunkten konstruieren lassen. Dies wird durch die folgende Tabelle veranschaulicht: m + m

m

m

-

+ m

m m

-

+

××××

××××

m -

m

m

m

-

××××

m Abb. 4.16.

×× ××

Diagramm-Korrektur der Single Site Approximation

Wir haben schließlich noch eine wichtige Zusatzvorschrift zu beachten. In den Korrekturspalten dürfen natürlich nur solche Diagramme erscheinen, die ein wirkliches Pendant in der SSA (erste Spalte) haben. Andererseits kommt es zu so genannten Überkorrekturen, d. h. zu Korrekturen zu einem gar nicht existenten Diagramm. Beispiel m

m

m "Überkorrektur"

Das gekreuzte Diagramm darf nicht gezählt werden. Wir summieren die einzelnen Spalten separat auf: 1. Spalte:

1 SSA 1 Σ = t0σ  h¯ σ h¯

(s. (4.252)) ,

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

2. Spalte:

265

1 ATA (0) 1 ATA Σ Gmmσ Σσ , h¯ σ h¯ .. .

n. Spalte:

 n − 1 1 ATA (0) 1 ATA Gmmσ Σσ Σ . h¯ σ h¯

Dies lässt sich leicht zusammenfassen: n ∞  1 ATA 1 1 ATA  (0) 1 ATA Gmmσ Σσ Σ = t0σ  − Σσ = h¯ σ h¯ h¯ h¯ n=1 =

n ∞   1 1 1 (0) 1 ATA t0σ  + ΣσATA − ΣσATA Gmm Σ = σh h¯ h¯ h¯ ¯ σ n=0



−1 1 1 ATA 1 ATA (0) 1 ATA 1 − Gmmσ Σσ . = t0σ  + Σσ − Σσ h¯ h¯ h¯ h¯ Dies ergibt schließlich:

−1

1 h¯

(0) ΣσATA (E) = t0σ  1 + Gmm σ (E) t0σ 

.

(4.259)

Der Vergleich mit (4.234) macht klar, dass sich die ATA von der T-Matrix Approximation (TMA) nur dadurch unterscheidet, dass in der ATA das effektive Medium wieder durch den freien, ungestörten Kristall ersetzt wurde mit der entsprechenden atomaren T-Matrix: t0σ  =

α  m=1

cm

1−

5 ηmσ 1 ηmσ Gii(0) σ ¯ h5

.

(4.260)

5) Coherent Potential Approximation (CPA) Es leuchtet unmittelbar ein, dass man das Verfahren noch in einem letzten Punkt verbessern kann, wenn man es nämlich wie unter Punkt 3) bei der MPM dadurch (0) selbstkonsistent macht, dass man den freien Propagator Gmm σ in den Diagrammen der ATA durch die volle Ein-Teilchen-Green-Funktion ersetzt. Die Vielfachbesetzungskorrekturen wie in den Diagrammen der ATA werden jetzt allerdings noch etwas vielfältiger, haben aber alle dieselbe Ursachen wie unter Punkt 4) erklärt. – Neu an der CPA ist nun das Einbeziehen von so genannten Nestm n o

Abb. 4.17. Beispiel eines Nestdiagramms

266

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Diagrammen, die den propagierenden Teilchen erlauben, zwischen zwei Streuereignissen an demselben Platz m an allen anderen Plätzen gestreut zu werden. Schwierigkeiten machen wieder die Diagonalterme m = n = o, die subtrahiert werden müssen. Dazu gehören z. B. alle Diagramme der zweiten Spalte. Wir summieren die einzelnen Kolumnen wieder separat auf. 1. Spalte: Es ergibt sich dasselbe Ergebnis wie bei der ATA, nur ist der freie durch den vollen Propagator zu ersetzen:

−1 α 1 1 (1) 1  Σσ = cm5 ηmσ 1 − 5 ηmσ Giiσ  . h¯ h¯ m = 1 h¯

(4.261)

2. Spalte: Diese Diagramme erhalten wir offenbar, wenn wir Σσ als Funktional des wie folgt definierten Propagators γσ auffassen:

γσ =

+

+

= Gmmσ  + 1

1 Gmmσ  Σσ [γσ ]γσ . h¯

3

2

+

+

(4.262)

5

4

m + +

m m

m

-

m +

+

m -

m

m

m

-

m -

m

m -

××××

m m

m m m

m m m m -

m m

m -

m -

m m m m

m m m

m m

m m m m -

m m m -

m m m -

m m

m m - m

×× × × × × × ×

××××

× × ××

Abb. 4.18. Vollständige Diagrammkorrekturen zur Modified Propagator Method, die zur CPA führen

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

267

Damit liefert die zweite Spalte den Beitrag:  1 − Σσ [γσ ] − Σσ [Gmmσ ] . h¯ Der erste Summand in (4.262) taucht nicht auf. Entsprechende Diagramme müssen also noch einmal abgezogen werden. 3. Spalte: 1 1 − Σσ [γσ ] Gmmσ  Σσ [γσ ] . h¯ h¯

(4.263)

.. . n. Spalte:



n − 2 1 1 − Σσ [γσ ] Gmmσ  Σσ [γσ ] . h¯ h¯

(4.264)

Wir erhalten damit insgesamt für die gesuchte Selbstenergie Σσ [Gmnσ ]:

Σσ [Gmmσ ] = Σσ(1) − Σσ [γσ ] + Σσ [Gmmσ ] + + Σσ [γσ ] −

∞  1

h¯

n=0

Dies bedeutet zunächst



n

Σσ [γσ ] Gmmσ 

1 h¯

Σσ(1) = 1 − Σσ [γσ ] Gmmσ 

−1

Σσ [γσ ] .

Σσ [γσ ]

(4.265)

.

(4.266)

und kann nach Σσ [γσ ] aufgelöst werden:

Σσ [γσ ] =

Σσ(1) 1+

Dies formen wir mit (4.262) weiter um:

1 ¯ h

Gmmσ  Σσ(1) 



Σσ(1) 1 + γσ ¯h1 Σσ [γσ ] Σσ [γσ ] = 1 + γσ ¯h1 Σσ [γσ ] + γσ ¯h1 Σσ(1)



1 ⇒ Σσ [γσ ] 1 + γσ Σσ [γσ ] = Σσ(1) . h¯

(4.267)

Wir setzen (4.261) ein:

Σσ [γσ ] =

α  m=1

cm5 ηmσ



−1 1 1 1− 5 ηmσ Giiσ  1 + γσ Σσ [γσ ] = h¯ h¯

 −1 1 1 cm5 ηmσ 1 + γσ Σσ [γσ ] − 5 ηmσ γσ . = h¯ h¯ m=1 α 

(4.268)

268

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Dies ist eine selbstkonsistente Bestimmungsgleichung für die Selbstenergie als Funktional von γσ . Das eigentlich erwünschte Resultat

ΣσCPA (E) ≡ Σσ [Gmmσ (E)]

(4.269)

erhalten wir durch den Grenzübergang

γσ

Gmmσ  .

⇒

Es ergibt sich der folgende Ausdruck:  ΣσCPA (E) = cm 1− m

1 ¯ h

5 ηmσ  . Giiσ  5 ηmσ − ΣσCPA

(4.270)

Dies lässt sich weiter umformen:    1 + ¯h1 Giiσ  ΣσCPA 1 CPA   . Σ Giiσ  = cm −1 + h¯ σ 1 − ¯h1 Giiσ  5 ηmσ − ΣσCPA m ( Mit m cm = 1 folgt daraus: 

  1 1 CPA   . cm 1 − 0 = 1 + Σσ Giiσ  h¯ 1 − ¯h1 Giiσ  5 ηmσ − ΣσCPA m Dies führt schließlich zu 0=

α  m=1

cm

ηmσ − ΣσCPA (E) − T0  . 1 − Giiσ (E) ηmσ − ΣσCPA (E) − T0 1 ¯ h

(4.271)

Diese selbstkonsistente Bestimmungsgleichung für die CPA-Selbstenergie ΣσCPA (E) ist wegen   CPA Giiσ (E) = Gii(0) (4.272) σ E − Σσ (E) mit (4.238) identisch. Wegen des Single Site-Aspektes der Näherung ist sie ebenfalls wellenzahlunabhängig. Wir sehen, dass diese formal recht einfache Lösung drei wesentliche Parameter enthält: 1. Konzentrationen der Legierungskomponenten, 2. atomare Niveaus ηmσ , 3. Zustandsdichte ρ0 (E) des ungestörten, reinen Kristalls.

ρ0 (E) benötigen wir zur Festlegung des freien Propagators: Gii(0) σ (E)

+∞ ρ0 (x) = dx . E−x

(4.273)

−∞

Die Überlegungen dieses Abschnitts haben gezeigt, dass die CPA unter allen Methoden, die den Single Site-Aspekt benutzen, die mit Abstand beste ist.

4.3

Elementaranregungen in ungeordneten Legierungen

269

4.3.5 Anwendungen Die nahe liegendste Anwendung der CPA beträfe eine binäre Legierung aus den Atomsorten A und B, die mit Konzentrationen cA , cB = 1 − cA in die Legierung eingehen. Ein typisches Ergebnis ist in Abb. 4.19 skizziert. Die reinen Kristalle sollen dieselben kirchturmähnlichen Zustandsdichten aufweisen, deren Schwerpunke jedoch bei unterschiedlichen Energien liegen. Liegen diese hinreichend weit auseinander, so führt dies bei mittleren Konzentrationen zu einer Bandaufspaltung in der AB-Legierung und zu deutlichen Deformationen der Zustandsdichte. Der Anwendungsbereich der CPA geht aber weit über die realen Legierungen hinaus. Sie ist inzwischen zu einem Standardverfahren der allgemeinen Viel-TeilchenTheorie gereift, und zwar im Zusammenhang mit dem Begriff der

Legierungsanalogie. Man denke an irgendein elektronisches Viel-Teilchen-Modell, wie z. B. das HubbardModell (2.117). Dieses löst man im Atomaren Limit, d. h. für den Fall, dass alle N Energieband-Zustände auf ein dann N-fach entartetes Niveau T0 fallen. In der GreenFunktion, G0σ (E) = h¯

p 

αmσ , E − ηmσ m=1

(4.274)

sind dann die ηmσ die p Quasiteilchenniveaus, in die T0 aufgrund der Wechselwirkung aufspaltet. Die spektralen Gewichte ασ geben den Entartungsgrad des Quasiteilchenniveaus an: N αmσ :

Entartung des Niveaus ηmσ . cA 1,0 0,9

ρ (E)

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

-2,0

-1,0

0,0

1,0 Energie

0,1 0,0 2,0

Abb. 4.19. Typische CPA-Lösung für die Zustandsdichte einer binären AB-Legierung, wenn die reinen Legierungspartner A und B gleiche Zustandsdichten, aber mit verschobenen Schwerpunkten besitzen. cA und cB = 1 − cA sind die Konzentrationen von A bzw. B

270

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Diese Situation entspricht aber einer fiktiven Legierung aus p Komponenten mit den Konzentrationen: α1σ , α2σ , . . . , αpσ und den atomaren Niveaus: η1σ , η2σ , . . . , ηpσ . Diese Größen sind bekannt. Man kann sie in die CPA-Formel (4.271) einsetzen und die Selbstenergie ΣσCPA (E) für ein durch ρ0 (E) definiertes Kristallgitter ausrechnen. So transformiert, z. B., die atomare Lösung (4.11) des Hubbard-Modells dieses auf eine binäre Legierung mit den atomaren Niveaus T0 und T0 + U und den Konzentrationen (1 − n−σ ) und n−σ . Diese Legierungsanalogie hat sich als eine außerordentlich mächtige Methode der Viel-Teilchen-Theorie herausgestellt. In Abschn. 4.5.3 diskutieren wir ein konkretes Anwendungsbeispiel.

4.4

4.4 Spinsysteme Wir haben in Abschn. 2.4.2 das Heisenberg-Modell als ein realistisches Modell für magnetische Isolatoren eingeführt. Trotz der einfachen Struktur des HamiltonOperators (2.203) ist das zugehörige Viel-Teilchen-Problem bis heute nicht exakt gelöst. Man ist also weiterhin auf Approximationen angewiesen. Eine erste haben wir mit der Spinwellen-Näherung (2.243) bereits kennen gelernt, die allerdings vom Konzept her auf den Tieftemperaturbereich beschränkt ist. Das in Abschn. 3.3.3 gerechnete Zwei-Spinsystem konnte mathematisch streng gelöst und damit als wertvolles Demonstrationsbeispiel für abstrakte Konzepte der Viel-Teilchen-Theorie verwendet werden. Für schlüssige Aussagen über einen makroskopischen Ferromagneten ist es natürlich überfordert. 4.4.1 Tyablikow-Näherung Als Modell für einen ferromagnetischen Isolator betrachten wir ein System von lokalisierten magnetischen Momenten, beschrieben durch Spinoperatoren Si , Sj in einem homogenen, zeitunabhängigen Magnetfeld B0 = μ0 H:  1    H=− Jij Si+ Sj− + Siz Sjz − gJ μB B0 Siz . (4.275) h¯ i i, j

Wir nehmen an, dass das Spinsystem unterhalb einer kritischen Temperatur TC ferromagnetisch ordnet, interessieren uns deshalb primär für dessen Magnetisierung:

M(T, B0 ) =

1 μB   z  Si T, B . gJ 0 V h¯ i

(4.276)

4.4

Spinsysteme

271

Dazu benötigen wir den thermodynamischen Erwartungswert des Spinoperators Siz , der wegen Translationssymmetrie gitterplatzunabhängig sein wird:    z (4.277) Si T, B ≡ S z T, B . 0

0

Welche Green-Funktion kann uns diese Größe liefern? Wenn wir zunächst der Einfachheit halber voraussetzen, dass die lokalisierten Spins den Betrag 1 2 besitzen, dann vereinfacht sich die allgemein gültige Beziehung  2 Si± Si∓ = h¯2 S (S + 1) ± h¯Siz − Siz

(4.278)

S=

zu Si± Si∓

  = h¯ h¯S ± Siz

(4.279)

 z 2 h¯2 Si = 1 . 4

(4.280)

Offensichtlich ist dann die folgende retardierte Kommutator-Green-Funktion ein guter Ausgangspunkt:   Gijret (t, t  ) = Si+ (t); Sj− (t  ) ret . (4.281) Wir stellen zunächst die Bewegungsgleichung der energieabhängigen Fourier-Transformierten auf und benutzen dazu die folgenden Kommutatoren: 

Si+ , Sj− = 2h¯δij Siz , (4.282) −

[Si+ , H ]−

= −2h¯



  Jmi Sm+ Siz − Si+ Smz + gJ μB B0 Si+ .

(4.283)

m

Zur Ableitung der letzten Beziehung haben wir Jii = 0 ausnutzen können. Die Bewegungsgleichung für Gijret (E) lautet somit:     E − gJ μB B0 Gijret (E) = 2h¯2 δij Siz +     Jim Si+ Smz ; Sj− ret + 2h¯ E − (4.284) m

−



Sm+ Siz ; Sj−

 ret  E

.

Diese Gleichung ist wegen der höheren Green-Funktionen auf der rechten Seite nicht direkt auflösbar. Eine einfache Näherung besteht darin, an den höheren Green  Funktionen die Hartree-Fock-Entkopplung (4.21) durchzuführen. Wegen Si+ ≡ 0 (Spinerhaltung!) bedeutet dies:  + z −  ret   Si Sm ; Sj E −→ S z Gijret (E) , 

 − ret

Sm+ Siz ; Sj

E

i =/ m

−→ i =/ m

 z  ret S Gmj (E) .

(4.285)

272

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Damit vereinfacht sich die Bewegungsgleichung (4.284) zu:    E − gJ μB B0 − 2h¯J0 S z Gijret (E) =     ret Jim Gmj (E) . = 2h¯2 δij S z − 2h¯ S z

(4.286)

m

J0 ist in (2.207) definiert. Diese Gleichung lässt sich leicht durch Transformation auf Wellenzahlen lösen ((2.212), (2.220)): Gqret (E) =

2h¯2 S z  . E − E(q) + i0 +

(4.287)

Die Pole der Green-Funktion entsprechen den Elementaranregungen des Spinsystems,    (4.288) E(q) = gJ μB B0 + 2h¯ S z J0 − J(q) , die sich wegen S z  als temperaturabhängig herausstellen. Für T → 0 ist die Näherung (4.285) exakt, (4.288) stimmt dann wegen S z T = 0 = h¯S (ferromagnetische Sättigung) mit (2.232) überein. Zur vollständigen Festlegung der Quasiteilchenenergien E(q) benötigen wir noch eine Bestimmungsgleichung für S z , die wir mithilfe des Spektraltheorems (3.157) und der Spektraldichte     1 (4.289) Sq (E) = − Im Gqret (E) = 2h¯2 S z δ E − E(q)

π

gewinnen. Man überprüft leicht mithilfe der zugehörigen Antikommutator-GreenFunktion, dass für die Konstante D im Spektraltheorem für B0 ≥ 0 +

D≡0

(4.290)

zu wählen ist. Es gilt also: +∞  Sq (E)dE 1  −iq · (Ri − Rj ) 1 − + Sj Si = e = N q h¯ e βE − 1 −∞

  1  e −iq · (Ri − Rj ) = 2h¯ S z . N q e βE(q) − 1 Wegen der vereinbarten Beschränkung auf S =   mit Si− Si+ in Verbindung bringen,

1 2

können wir über (4.280) S z  direkt

 z  1 S = h¯S − Si− Si+ , h¯ woraus die folgende implizite Bestimmungsgleichung für S z  resultiert:  z h¯S S =  −1 . 2 ( βE(q) 1+ N e −1 q

(4.291)

(4.292)

4.4

Spinsysteme

273

Da nach (4.288) die Quasiteilchenenergien E(q) noch S z  enthalten, ist die allgemeine Lösung nicht analytisch durchführbar. Sie bereitet am Rechner jedoch keinerlei Schwierigkeiten. Wir wollen im nächsten Schritt aus (4.292) eine explizite Bestimmungsgleichung für die Curie-Temperatur TC ableiten. Dazu untersuchen wir den Spezialfall  z > < B0 = 0 + , T → TC ⇐⇒ S →0, für den die QuasiteilchenenergienE(q) sehr klein werden, sodass der Nenner in (4.292) eine Entwicklung gestattet. ⎞−1 ⎛   z 1 2 ⎠  S  h¯S ⎝ N q 1 + βC E(q) + · · · − 1 ⎛

⎞−1  1 2  ⎠ .  h¯SβC ⎝ N q 2 S z  h¯ J0 − J(q) Die Curie-Temperatur

⎧ ⎫−1 ⎨ 1  ⎬ 1   kB TC = ⎩ NS q h¯2 J0 − J(q) ⎭

(4.293)

ist natürlich zum einen von den Austauschintegralen abhängig, zum anderen aber auch von der Gitterstruktur, die die q-Summation beeinflusst. Letztere lässt sich bei bekannten Austauschintegralen für nicht zu komplizierte Gitter ohne Schwierigkeiten ausführen. Man kann ferner zeigen, dass für tiefe Temperaturen die Tyablikow-Näherung (4.292) das Bloch’sche T 3 | 2 -Gesetz, S z  (4.294) 1− ∼ T3 | 2 , h¯S korrekt reproduziert, was als nachträgliche Rechtfertigung der zunächst recht willkürlich erscheinenden Entkopplung (4.285) gewertet werden kann. Insgesamt liefert die Tyablikow-Näherung über den gesamten Temperaturbereich 0 ≤ T ≤ TC vertretbare Ergebnisse. Wir berechnen zum Schluss noch die innere Energie U des Spinsystems als thermodynamischen Erwartungswert des Hamilton-Operators:      1   (4.295) Jij Si+ Sj− + Siz Sjz − gJ μB B0 N S z . U = H = − h¯ i, j   Die Terme Si+ Sj− und S z  konnten wir bereits durch die Spektraldichte Sq (E) aus  drücken. Noch zu diskutieren bleibt Siz Sjz . Wir benutzen zunächst die für S = 12 gültigen Operatoridentitäten Si− Siz =

h¯ − S ; 2 i

Si− Si+ = h¯2 S − h¯Siz ,

(4.296)

274

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

um mit (4.283) Si− [Si+ , H ]− = = −2h¯





Jmi

m

   h¯ + − Sm Si − h¯2 SSmz + h¯Siz Smz + gJ μB B0 h¯2 S − h¯Siz 2

zu berechnen. Dies bedeutet:     1  − + − Si [Si , H]− + Jij Siz Sjz = 2 2h¯ i i, j

+

  1   + − Jij Si Sj − h¯SJ0 N S z − 2 i, j

−

   1 gJ μB B0 N h¯2 S − h¯ S z . 2 2h¯

Wir bezeichnen mit E0 die Grundzustandsenergie des Ferromagneten (2.224), E0 = −NJ0 h¯2 S2 − NgJ μB B0 S , und finden dann mit (4.295) für die innere Energie U: U=−

 1  − + 1   + − S [S , H]− + Jij Si Sj + 2 2 2h¯ i i i i, j

   1 + NSJ0 Si− Si+ − h¯2 S − gJ μB B0 NS + 2   1   1 + gJ μB B0 N S z − gJ μB B0 N S z = 2h¯ h¯  1  − + Si [Si , H]− + = E0 + 2 2h¯ i

     1  1 + J0 δij − Jij + δij 2 gJ μB B0 Sj− Si+ . 2 h¯ i, j

Wir haben hier mehrfach die Normierung Jii = 0 ausgenutzt. Nach Fourier-Transformation auf Wellenzahlen steht in der geschweiften Klammer gerade die Spinwellenenergie h¯ω(q) des S = 1 | 2-Ferromagneten (2.232): Sq (E) 1  U = E0 + 3 h¯ω(q) dE βE + 2h¯ q e −1 +∞

−∞

 1  − + Si [Si , H]− . + 2 2h¯ i

(4.297)

4.4

Spinsysteme

275

Wir versuchen, schließlich auch noch den letzten Summanden durch die Spektraldichte Sq (E) auszudrücken:  1  − + Si [Si , H]− = 2 2h¯ i



i¯ h  ∂  −   +  S t Si (t) = 2 = 2h¯ i ∂t i t = t ⎛ ⎞

+∞    S (E) i¯ h i q ⎝1 ∂ = 2 dE βE exp − E t − t  ⎠ 2h¯ q h¯ ∂t h¯ e −1

(4.298) =

t = t

−∞

ESq (E) 1  dE βE . 2h¯3 q e −1 +∞

=

−∞

Hier haben wir die Bewegungsgleichung für zeitabhängige Heisenberg-Operatoren (3.27) und noch einmal das Spektraltheorem (3.157) ausgenutzt. Damit ist schlussendlich die innere Energie U vollständig durch die Spektraldichte Sq (E) bestimmt:  +∞  E + h¯ω(q) 1  dE Sq (E) . U = E0 + 3 2h¯ q e βE − 1

(4.299)

∞

Setzen wir noch für die Spektraldichte den Ausdruck (4.289) ein, so lässt sich die Energieintegration leicht ausführen. Es bleibt für den S = (1 | 2)-Ferromagneten: U = E0 +

1  z   E(q) + h¯ω(q)   S . h¯ exp βE(q) − 1 q

(4.300)

Mithilfe der allgemein gültigen Beziehung (3.217) können wir aus U(T, V) die freie Energie F(T, V) bestimmen, womit dann die gesamte Thermodynamik des S = 12 Ferromagneten festgelegt ist. Bisher haben wir unsere Betrachtungen auf den Sonderfall S = 1 | 2 beschränkt, da dieser gegenüber dem allgemeinen Fall S ≥ 1 | 2 gewisse Vereinfachungen zulässt. Das eigentliche Ziel ist die Bestimmung von S z  mithilfe einer passend gewählten GreenFunktion. Wegen (4.280) ist das für S = 1 | 2 mit der Funktion (4.281) unmittelbar möglich. Für S > 1 | 2 ist jedoch statt (4.280) die Beziehung (4.279) zu mitteln:  − +    2 . (4.301) Si Si = h¯2 S (S + 1) − h¯ Siz − Siz   Der Term (Siz )2 macht Schwierigkeiten. Er kann nicht durch die Green-Funktion (4.281) ausgedrückt werden. Wir wählen deshalb nun als Ausgangspunkt einen ganzen Satz von Green-Funktionen:   n (4.302) Gij(n) (E) = Si+ ; Sjz Sj− E ; n = 0, 1, 2, . . . , 2S − 1 .

276

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Da der Operator links vom Semikolon derselbe ist wie der im vorher diskutierten S = 1 | 2 -Fall, ändert sich an der Bewegungsgleichung nur die Inhomogenität. Akzeptieren wir dieselben Entkopplungen wie in (4.285), so können wir die Lösung für die Green-Funktion (4.302) direkt angeben:    n h¯ [Si+ , Siz Si− ]− . (4.303) Gq(n) (E) = E − E(q) Die Quasiteilchenenergien E(q) sind exakt dieselben wie in (4.288). Aus dem Spektraltheorem folgt nun:  z n − +   +  z n −  Si Si Si = [Si , Si Si ]− ϕ(S) , (4.304)

ϕ(S) =

−1 1   βE(q) e −1 . N q

(4.305)

Für den Erwartungswert auf der linken Seite von (4.304) können wir mit (4.301) schreiben:  n   z n − +  − Si Si Si = h¯2 S (S + 1) Siz (4.306)     n+1 n+2 − h¯ Siz − Siz . Diese Gleichung benötigen wir nur für n = 0, 1, . . . , 2S−1, da die im Spinraum gültige Operatoridentität +S >  z  Si − h¯mS = 0

(4.307)

mS =−S

für ein Abbrechen der Gleichungskette (4.306) sorgt. Für n = 2S − 1 ist in dieser die höchste Siz -Potenz gleich 2S + 1. Diese lässt sich aber durch Auflösen der Beziehung (4.307) nach (Siz )2S + 1 , 2S       2S + 1 Siz = αn (S) Siz n ,

(4.308)

n=0

durch die niedrigeren Potenzen von Siz ausdrücken. Die Zahlen αn (S) lassen sich für gegebenen Spin S leicht aus (4.307) ableiten. Wir beweisen als Nächstes durch vollständige Induktion die Behauptung  n  n (4.309) Si+ Siz = Siz − h¯ Si+ . Für n = 1 ist wegen Si+ Siz = − [Siz , Si+ ]− + Siz Si+ =   = −h¯Si+ + Siz Si+ = Siz − h¯ Si+

4.4

Spinsysteme

277

die Behauptung korrekt. Der Schluss von n auf n + 1 gelingt wie folgt:  n + 1  n Si+ Siz = Si+ Siz Siz =  n = Siz − h¯ Si+ Siz =  n   = Siz − h¯ Siz − h¯ Si+ =  n + 1 + = Siz − h¯ Si . Damit ist (4.309) bewiesen. Diese Beziehung benutzen wir nun, um den Kommutator in (4.304) weiter auszuwerten:  +  z n −   n  n Si , Si Si − = Siz − h¯ Si+ Si− − Siz Si− Si+ = (4.310)  n  n  − +  n = Siz − h¯ − Siz Si Si + 2h¯ Siz − h¯ Siz . Nach Mittelung und Einsetzen von (4.301) erhalten wir einen Ausdruck, der zusammen mit (4.306) aus (4.304) das folgende Gleichungssystem macht:      n  n+1 n+2 − h¯ Siz − Siz = h¯2 S (S + 1) Siz   n  = 2h¯ Siz − h¯ Siz +  n  n   2  2   h¯ S (S + 1) − h¯Siz − Siz ϕ(S) , + Siz − h¯ − Siz

(4.311)

n = 0, 1, . . . , 2S − 1 . Dies sind 2S Gleichungen, die zusammen mit (4.308) die (2S + 1) Erwartungswerte  z n (Si ) , n = 1, 2, . . . , 2S + 1, zu bestimmen gestatten. Dieses Verfahren ist für große S natürlich sehr aufwändig, insbesondere weil S z  in komplizierter Weise noch einmal in ϕ(S) auftaucht, bietet aber keine prinzipiellen Schwierigkeiten. 4.4.2 „Renormierte“ Spinwellen Wir haben in Abschn. 2.4.3 das Konzept der Spinwelle eingeführt, ausgehend von der Tatsache, dass der normierte Ein-Magnonenzustand, 1 S − (q) |S , |q = √ h¯ 2SN ein exakter Eigenzustand des Heisenberg-Hamilton-Operators ist mit dem Eigenwert

E(q) = E0 + h¯ω(q) . Die lineare Spinwellennäherung (Abschn. 2.4.4) beschreibt den Ferromagneten als ein Gas von nicht wechselwirkenden Magnonen. Sie basiert auf der HolsteinPrimakoff-Transformation ((2.235) bis (2.238)) der Spinoperatoren, die eine unendliche Reihe in der Magnonenbesetzungszahl darstellt, welche nach dem linearen Term abgebrochen wird. Eine solche Näherung kann allerdings nur für sehr tiefe Temperaturen gerechtfertigt werden, wenn das Magnonengas noch so dünn ist, dass die

278

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Wechselwirkungen zwischen den Magnonen vernachlässigt werden können. Letzteres ist bei etwas höheren Temperaturen nicht mehr erlaubt, der Ansatz (2.243) wird unbrauchbar. Wir wollen in diesem Abschnitt mithilfe der in Abschn. 4.1.5 am Hubbard-Modell demonstrierten Momentenmethode die Spinwellenenergien durch Einbeziehen der Wechselwirkung renormieren. Wir benutzen dazu zunächst die so genannte DysonMaleév-Transformation der Spinoperatoren: √ Si− = h¯ 2Sαi+ , √  ni  Si+ = h¯ 2S 1 − αi , (4.312) 2S   Siz = h¯ S − ni .

αi+ , αi sind Bose-Operatoren, erfüllen also die fundamentalen Vertauschungsrelationen (1.97) bis (1.99). ni = αi+ αi kann als Magnonenbesetzungszahloperator interpretiert werden. Die Transformation (4.312) hat gegenüber der Holstein-PrimakoffTransformation den Vorteil, dass keine unendlichen Reihen auftreten. Der Heisenberg-Hamilton-Operator besteht nach der Transformation aus endlich vielen Termen: H = E0 + H2 + H4 ,

 1 H2 = 2Sh¯2 J0 δij − Jij + δij 2 gJ μB B0 αi+ αj , h¯

(4.313) (4.314)

i, j

H4 = −h¯2



Jij ni nj + h¯2



i, j

Jij αi nj αj+ .

(4.315)

i, j

Der Term H2 beschreibt freie Spinwellen, H4 drückt die Wechselwirkung zwischen diesen aus. Der entscheidende Nachteil der Transformation (4.312) besteht darin, dass Si− , Si+ nicht mehr adjungierte Operatoren sind und H demzufolge nicht mehr hermitesch. Auf die daraus resultierenden Komplikationen wollen wir jedoch hier nicht näher eingehen (F. J. Dyson, Phys. Rev. 102, 1217, 1230 (1956)). Mit 1  −iq · Ri αq = √ e αi (4.316) N i schreiben wir nun H auf Wellenzahlen um:  H = E0 + h¯ω(q)αq+ αq + q

  h¯2     J q4 − J q1 − q3 δq1 + q2 , q3 + q4 αq+1 αq+2 αq3 αq4 . + N q ··· q 1

4

Mit h¯ω(q) sind wieder die nackten Spinwellenenergien (2.232) gemeint.

(4.317)

4.4

Spinsysteme

279

Wir definieren als Ein-Magnonen-Spektraldichte: 1 Bq (E) = 2π



+∞   

   i  E t − t . d t − t  exp αq (t), αq+ t  − h¯

(4.318)

−∞

Die zugehörigen Spektralmomente berechnen sich aus: Mq(n)

 &    + . . . . [αq , H]− , H − , . . . , H , αq − − ! "# $

%

=

(4.319)

n-facher Kommutator

Sie sind über Mq(n)

1 = h¯

+∞ dE E n Bq (E)

(4.320)

−∞

mit der Spektraldichte verknüpft. Welchen Ansatz wählen wir für Bq (E)? Das Spinwellen-Resultat   BqSW (E) = h¯δ E − h¯ω(q)

(4.321)

als auch die Tyablikow-Näherung (4.289) entsprechen Ein-Pol-Ansätzen. Legen wir auf Lebensdauereffekte keinen besonderen Wert, so sollte   Bq (E) = bq δ E − h¯Ω(q)

(4.322)

einen physikalisch vernünftigen Ausgangspunkt darstellen, wobei bq und h¯Ω(q) zunächst unbekannte Parameter sind. Wir berechnen nun mit (4.319) die ersten beiden Spektralmomente:  

=1. (4.323) Mq(0) = αq , αq+ −

Für das zweite Moment benötigen wir den folgenden Kommutator: 

αq , H

 −

= h¯ω(q)αq +

  h¯2     J q4 − J q1 − q3 · N q ··· q 1

4



 · δq1 + q2 , q3 + q4 δq, q1 α+q2 αq3 αq4 + δqq2 α+q1 αq3 αq4 =     h¯2     2J q4 − J q − q3 − J q4 − q · = h¯ω(q)αq + N q ,q 3

4

· α+q3 + q4 − q αq3 αq4 .

(4.324)

280

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Damit berechnen wir weiter:

 [αq , H]− , α+q = −

= h¯ω(q) +

       2J q4 − J q − q3 − J q4 − q α+q3 + q4 − q ·

h¯2 N

q3 , q4





· δqq4 αq3 + δqq3 αq4 = = h¯ω(q) + 2

(4.325)

 h¯2   J(q) + J(¯q) − J(0) − J(q − q¯ ) α+q¯ αq¯ . N q¯

Das zweite Spektralmoment lautet somit: Mq(1) = h¯ω(q) + 2

  h¯2   J(q) + J(¯q) − J(0) − J(q − q¯ ) α+q¯ αq¯ . N q¯

(4.326)

Die zunächst unbekannten Parameter im Spektraldichte-Ansatz (4.322) sind durch Mq(1) und Mq(2) über (4.320) eindeutig festgelegt: bq ≡ h¯ ,

(4.327)

h¯Ω(q) = h¯ω(q) + 2

h¯2  J(q) + J(¯q) − J(0) − J(q − q¯ )   . N q¯ exp βh¯Ω(¯q) − 1

(4.328)

Für die letzte Gleichung haben wir noch das Spektraltheorem ausgenutzt: 



αq¯+ αq¯ =

1 h¯

+∞ dE −∞

   −1 Bq¯ (E) = exp βh¯Ω(¯q) − 1 . exp( βE) − 1

(4.329)

Die Konstante D im allgemeinen Spektraltheorem (3.157) verschwindet hier wegen B0 ≥ 0 + . Es ist bemerkenswert, dass die renormierten Spinwellenenergien (4.328), berechnet mithilfe der konzeptionell einfachen Momentenmethode, sich als vollständig äquivalent zur wohlbekannten Dyson’schen Spinwellentheorie erweisen. Die Momentenmethode stellt sich auch hier wieder als ein ebenso einfaches wie mächtiges Lösungsverfahren der Viel-Teilchen-Theorie heraus. Das Ergebnis (4.328) lässt sich für konkrete) Systeme ) leicht weiter auswerten. Die Austauschintegrale Jij sind nur vom Abstand )Ri − Rj ) abhängig. Sei zn die Zahl der magnetischen Atome (Spins) in der n-ten Schale relativ zu einem herausgegriffenen Atom und Jn das Austauschintegral zwischen diesen und seinen n-ten Nachbarn und sei ferner 1  iq · RΔn γq(n) = e , (4.330) zn Δn

4.4

Spinsysteme

281

wobei die Summe über alle magnetischen Gitterplätze der n-ten Schale läuft, dann können wir die renormierten Spinwellenenergien in die folgende Form bringen:     1 − γq(n) zn Jn 1 − An (T) , h¯Ω(q) = 2S (4.331) n

An (T) =

1 − γp(n) 1    . NS p exp βh¯Ω(p) − 1

(4.332)

Prototyp eines ferromagnetischen Heisenberg-Spinsystems ist Eu0, von dem man weiß, dass nur der Austausch zwischen nächsten und übernächsten Nachbarn von Bedeutung ist (J. Als Nielsen et al., Phys. Rev. B 14, 4908 (1976)): J2 J1 = 0,625 K ; = 0,125 K . (4.333) kB kB Die magnetischen 4f -Momente des EuO sind an den Eu2+ -Gitterplätzen streng lokalisiert. Sie bilden damit eine kubisch flächenzentrierte Struktur. Die Summation in (4.332) erstreckt sich deshalb auf die erste f. c. c.-Brillouin-Zone und kann exakt durchgeführt werden, so dass (4.331) für alle Temperaturen selbstkonsistent gelöst werden kann. Mit den Spinwellenenergien h¯Ω(q) können wir über   −1  z h¯   exp βh¯Ω(q) − 1 (4.334) S = h¯S − N q die Magnetisierung des Systems berechnen und mit dem Experiment vergleichen. Das Ergebnis (4.334) sollte im Temperaturbereich 0 ≤ T ≤ 0,8 · TC anwendbar sein (TC (EuO) = 69,33 K). Aus der Theorie der Phasenübergänge (s. Abschn. 4.2 von Bd. 4) lernt man, dass die Magnetisierung des Ferromagneten im kritischen Bereich 0,9 · TC ≤ T ≤ TC durch ein Potenzgesetz beschrieben werden kann (J. Als Nielsen et al., Phys. Rev. B. 14, 4908 (1976)):

 z T 0,36 . (4.335) S = 1,17 · S · 1 − TC Kombiniert man (4.334) und (4.335) und „fittet“ den kleinen Zwischenbereich (0,8TC ≤ T ≤ 0,9TC ) passend, so ergibt sich, wie Abb. 4.20 zeigt, eine praktisch quantitative Übereinstimmung mit dem Experiment (Punkte!). Sz h 3,5

(J. Nielsen et al., Phys. Rev. B. 14, 4908 (1976))

2,5 0,5 0,5

1,0 T TC

Abb. 4.20. Spontane

Magnetisierung von EuO als Funktion der Temperatur, berechnet mit der Momentenmethode. Die Punkte sind experimentelle Daten

282

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

4.4.3 Aufgaben 4.4.1

Aufgabe 4.4.1 Zeigen Sie, dass die Tyablikow-Näherung für das HeisenbergModell das Bloch’sche T 3 | 2 -Gesetz,

1 − S z  ∼ T3|2 , h¯S erfüllt. Sie können dabei ausnutzen, dass für kleine Wellenzahlen |q| die Austauschintegrale sich durch J0 − J(q) =

D 2 q 2Sh¯2

approximieren lassen.

4.4.2

Aufgabe 4.4.2 Leiten Sie für ein System von lokalisierten Spins mit S = 1 im Rahmen des Heisenberg-Modells die folgende implizite Bestimmungsgleichung ab:

1 + 2Φ(1) , 1 + 3Φ(1) + 3Φ2 (1) 1  Φ(S) = [exp( βE(q)) − 1]−1 , N q

 z S S = 1 = h¯

   E(q) = 2h¯ S z J0 − J(q) . Benutzen Sie die Tyablikow-Näherung für die in Abschn. 4.3.2 definierte Green’sche Funktion:   n Gij(n) (E) = Si+ ; Sjz Sj− ret n = 1, 2 . E ;   Berechnen Sie auch (S z )2 S = 1 .

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

283

Aufgabe 4.4.3 Verifizieren Sie die folgenden Kommutatoren für Spinoperatoren: 1.

[(Si− )n , Siz ]− = nh¯(Si− )n ; 2.

4.4.3

n = 1, 2, . . .

 n  2  (Si− )n , Siz = n2 h¯2 (Si− )n + 2nh¯Siz Si− ;

n = 1, 2, . . .

   n − 1 ; [Si+ , (Si− )n ]− = 2nh¯Siz + h¯2 n(n − 1) Si−

n = 1, 2, . . .

−

3.

Aufgabe 4.4.4 Verifizieren Sie die folgende Operatoridentität:

 − n  + n Si = Si

4.4.4

n

>

 2  . h¯2 S(S + 1) − (n − p)(n − p + 1)h¯2 − (2n − 2p + 1)h¯Siz − Siz

p=1

Aufgabe 4.4.5 Finden Sie mithilfe der retardierten Green-Funktionen  n  ret Gij(n) (E) = Si+ ; (Sj− )n + 1 Sj+ n = 0, 1, . . . , 2S − 1 E ;

4.4.5

ein geschlossenes Gleichungssystem für die spontane Magnetisierung S z  eines S ≥ 1 | 2 -Spinsystems. Lösen Sie die Bewegungsgleichung mithilfe der Tyablikow-Näherung und benutzen Sie Teilergebnisse der Aufgaben Aufg. 4.4.3 und Aufg. 4.4.4. Zeigen Sie die Äquivalenz des obigen Systems von GreenFunktionen mit dem aus (4.302) (s. Aufg. 4.4.2) explizit für S = 1.

4.5 Elektron-Magnon-Wechselwirkung Wir haben bereits an früherer Stelle darauf hingewiesen, dass es interessante Analogien zwischen den in Abschn. 2.2 behandelten Gitterschwingungen (Phononen) und den in Abschn. 2.4.3 eingeführten Magnonen gibt. So wie die Elektron-PhononWechselwirkung (Abschn. 2.3) zu einer Reihe von spektakulären Phänomenen führt – man denke nur an die Supraleitung –, so hat auch die analoge Elektron-MagnonWechselwirkung interessante Konsequenzen. Dies gilt insbesondere für solche Systeme, bei denen magnetische und elektrische Eigenschaften von verschiedenen Elektronengruppen geprägt werden. Dieses wiederum ist typisch für Verbindungen, an denen Seltene Erden beteiligt sind, auf die die folgenden Betrachtungen deshalb gezielt ausgerichtet sind.

4.5

284

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

4.5.1 Magnetische 4f-Systeme (s-f-Modell) Unter einem 4f -System versteht man einen Festkörper, dessen elektronische Eigenschaften im Wesentlichen der Existenz von nur teilweise gefüllten 4f -Schalen zuzuschreiben sind. Dies sind also Verbindungen, an denen so genannte Seltene Erden beteiligt sein müssen. Die Elektronenkonfiguration des neutralen SeltenenErd-Atoms entspricht der stabilen Edelgaskonfiguration des Xenons plus zusätzliche 4f -, 6s- und manchmal auch noch 5d-Anteile:

[SE] = [Xe](4f )n (5d)m (6s)2 ;

(0 ≤ n ≤ 14 ; m = 0, 1) .

Im Periodensystem folgen die Seltenen Erden auf das Element Lanthan (La) und unterscheiden sich von diesem und voneinander durch ein sukzessives Auffüllen der 4f -Schale, also durch die Zahl n ihrer 4f -Elektronen. In kondensierter Materie erscheinen die 4f -Systeme als Isolatoren, Halbleiter und Metalle, und typisch ist dabei der Valenzzustand 3+,   SE −→ (SE)3 + + (6s)2 + 4f 1 , wobei die Seltene Erde ihre beiden 6s-Elektronen und eines der 4f -Elektronen abgibt. In Isolatoren (z. B. NdCl3 ) werden diese drei Elektronen zur Bindung benötigt, während sie in metallischen 4f -Systemen (z. B. Gd) die quasifreien Leitungselektronen darstellen. Es gibt von dieser Regel ein paar Ausnahmen. Ce, Pr können auch vierwertig, Sm, Eu, Tm, Yb auch zweiwertig in gewissen Verbindungen vorliegen. Ein wesentliches Charakteristikum der 4f -Systeme ist die strenge Lokalisation der 4f -Elektronen. Die 4f -Schale wird durch weiter außen liegende, vollständig gefüllte Elektronenschalen (5s, 5p) sehr stark gegenüber Einflüssen aus der Umgebung abgeschirmt, sodass selbst in komplizierter Materie die 4f -Wellenfunktionen benachbarter Seltenen Erdionen so gut wie gar nicht überlappen. Das hat unter anderem auch zur Folge, dass sich die 4f -Schale selbst im Festkörper sehr gut durch die Hund’schen Regeln der Atomphysik beschreiben lässt. Koppeln – diesen Regeln gemäß – die 4f Elektronendrehimpulse zu einem Gesamtdrehimpuls J =/ 0, so ruft die unvollständig gefüllte 4f -Schale ein permanentes magnetisches Moment hervor, das zudem am Ort der Seltenen Erde streng lokalisiert ist. Dann ist es aber auch nicht weiter verwunderlich, dass in gewissen 4f -Systemen gewisse Austauschwechselwirkungen dafür sorgen, dass diese permanenten magnetischen Momente unterhalb einer für das jeweilige Material charakteristischen kritischen Temperatur kollektiv magnetisch, z. B. ferromagnetisch, ordnen. In diesem Fall sprechen wir dann von einem magnetischen 4f -System. Prototypen dieser Klasse sind die Europiumchalkogenide EuX (X = O,S, Se, Te) und das Gd. Die EuX sind Isolatoren bzw. Halbleiter, Gd ist ein Metall. Die Tatsache, dass elektrische und magnetische Eigenschaften der 4f -Systeme von zwei verschiedenen Elektronengruppen verantwortet werden, führt zu interessanten wechselseitigen Effekten. So beobachtet man z. B. in ferromagnetischen Sys-

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

285

temen eine drastische Temperaturabhängigkeit der Leitungsbandstruktur, die von dem Magnetisierungszustand der 4f -Momente bestimmt wird. Auf der anderen Seite reagiert das Momentensystem empfindlich auf Änderungen der Ladungsträgerdichte im Leitungsband, was z. B. durch Dotieren mit passenden Fremdsubstanzen erreicht werden kann. Völlig unumstritten ist das theoretische Modell, mit dem man magnetische 4f Systeme beschreibt. Es handelt sich um das in (2.206) bereits eingeführte s-f-Modell, das wir hier noch einmal im Detail besprechen wollen. Es ist definiert durch den folgenden Hamilton-Operator: H = Hs + Hss + Hf + Hsf .

(4.336)

Hs drückt die kinetische Energie der Leitungselektronen und ihre Wechselwirkung mit dem periodischen Gitterpotential aus:     Tij − μδij ai+σ ajσ = Hs = ε(k) − μ ak+σ akσ . (4.337) ijσ

kσ

Dies entspricht dem Operator H0 aus Gleichung (3.190) in Abschn. 3.3.1. Die Symbole in (4.337) haben dieselbe Bedeutung wie in (3.190). Hss erfasst die Coulomb-Wechselwirkung der Leitungselektronen, die wir der Einfachheit halber als stark abgeschirmt annehmen wollen, sodass sie vom HubbardTyp sein wird: 1  niσ ni − σ . (4.338) Hss = U 2 i, σ Bei der Formulierung von Hs und Hss haben wir vorausgesetzt, dass das Leitungsband ein so genanntes s-Band ist, das maximal mit zwei Elektronen pro Gitterplatz besetzt sein kann. Das Teilsystem der magnetischen 4f -Momente wird wegen deren strenger Lokalisation sehr realistisch durch das Heisenberg-Modell (2.203) beschrieben:  Jij Si · Sj . (4.339) Hf = − i, j

Von entscheidender Bedeutung ist nun die Kopplung zwischen den Leitungs- und den 4f -Elektronen, für die man eine intraatomare s-f-Austauschwechselwirkung ansetzt, d. h. eine lokale Wechselwirkung zwischen dem Spin σ des Leitungselektrons und dem 4f -Spin Si :  Hsf = −g σ i · Si . (4.340) i

Formal hat dieser Operator dieselbe Gestalt wie Hf , nur ist ein 4f -Spin durch den Elektronenspin ersetzt und die Doppelsumme auf die diagonalen (intraatomaren) Anteile beschränkt. g ist die entsprechende s-f-Austauschkonstante. Für praktische Zwecke ist die kompakte Schreibweise in (4.340) ungünstig. Man benutzt für den

286

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Elektronenspin besser den Formalismus der zweiten Quantisierung. Dazu transformieren wir wie in (4.104) und (4.105) die Spinoperatoren auf Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren: 1 z 1 σ = zσ niσ ; h¯ i 2 σ

 z↑ = +1;

 z↓ = −1 ,

(4.341)

1 + σ = a+i↑ ai↓ , h¯ i

(4.342)

1 − σ = a+i↓ ai↑ . h¯ i

(4.343)

Damit ergibt sich die s-f-Wechselwirkung wie folgt,  1  z zσ Si niσ + Siσ ai+− σ aiσ , Hsf = − g h¯ 2 i, σ

(4.344)

wobei wir zur Abkürzung Si↑ ≡ Si+ = Six + iSi ; y

Si↓ ≡ Si− = Six − iSi

y

(4.345)

geschrieben haben. Die Wechselwirkung setzt sich also aus zwei Bestandteilen zusammen, einem diagonalen Term zwischen den z-Komponenten der beteiligten Spinoperatoren und einem nichtdiagonalen Term, der offensichtlich Spinaustauschprozesse zwischen den beiden Wechselwirkungspartnern beschreibt. Es stellt sich heraus, dass es gerade diese Spinflipterme sind, die die Leitungsbandstruktur ganz wesentlich beeinflussen. Das s-f-Modell (4.336) hat sich als außerordentlich realistisch für die magnetischen 4f -Systeme erwiesen. Es definiert allerdings ein wirklich nichttriviales Viel-TeilchenProblem, das für den allgemeinen Fall nicht exakt gelöst werden kann. Viel kann man aus zwei Grenzfällen lernen, die wir in den nächsten Abschnitten besprechen wollen. 4.5.2 Das unendlich schmale Band Wir wollen uns zunächst nicht für die Dispersion (k-Abhängigkeit) der Energiebandzustände interessieren und lassen deshalb in einem Gedankenexperiment die Gitterkonstante so groß werden, dass das Leitungsband zu einem Niveau T0 entartet. Aus dem Modell-Hamilton-Operator (4.336) wird dann:

   1  1  z 5 = T0 − μ zσ S nσ + S σ a−+σ aσ . nσ + U nσ n−σ − g h¯ H 2 2 σ σ σ

(4.346)

Wegen Jii = 0 verschwindet Hf in dieser Grenze. Wir wollen aber weiterhin annehmen, dass das lokalisierte Spinsystem ferromagnetisch ordnet, d. h. unterhalb TC eine endliche Magnetisierung S z  aufweist. S z  lässt sich natürlich nicht selbstkonsistent 5 ableiten, soll deshalb als Parameter aufgefasst werden. Dies wird später noch aus H klarer werden.

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

287

5 gehörige Viel-Teilchen-Problem lässt sich mit etwas Aufwand exakt Das zu H lösen. Wir definieren die folgenden Operatorkombinationen, dσ = zσ S z aσ + S −σ a−σ ,

(4.347)

Dσ = zσ S z n−σ aσ + S −σ nσ a−σ ,

(4.348)

pσ = n−σ aσ ,

(4.349)

und berechnen damit die Kommutatoren:   1 5 = T0 aσ − g h¯dσ + Upσ , aσ , H − 2   5 dσ , H − =

  1 1 = T0 + g h¯2 dσ − gS (S + 1)h¯3 aσ + U − g h¯2 Dσ , 2 2

  1 2 1 5 Dσ , H − = T0 + U − g h¯ Dσ − gS (S + 1)h¯3 pσ , 2 2     1 5 = T0 + U pσ − g h¯Dσ . pσ , H − 2 Für die folgenden vier Green-Funktionen   Gaσ (E) = aσ ; a+σ E ,   Gdσ (E) = dσ ; a+σ E ,   GDσ (E) = Dσ ; a+σ E ,   Gpσ (E) = pσ ; a+σ E

(4.350)

(4.351) (4.352) (4.353)

(4.354) (4.355) (4.356) (4.357)

lassen sich leicht mithilfe der obigen Kommutatoren die Bewegungsgleichungen aufstellen:   h¯ (4.358) E − T0 + μ Gaσ (E) = h¯ − gGdσ (E) + UGpσ (E) , 2

h¯2 E − T0 + μ − g Gdσ (E) = 2   h¯3   = h¯zσ S z − gS (S + 1) Gaσ (E) + U − g h¯2 GDσ (E) , 2

1 E − T0 + μ − U + g h¯2 GDσ (E) = 2 h¯3 gS (S + 1) Gpσ (E) , 2   h¯ E − T0 + μ − U Gpσ (E) = h¯ n−σ  − gGDσ (E) . 2 = −h¯2 Δ−σ −

(4.359)

(4.360) (4.361)

288

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Dabei haben wir zur Abkürzung geschrieben:     h¯Δσ = S σ a−+σ aσ + zσ S z nσ .

(4.362)

Die Gleichungen (4.358) bis (4.361) bilden ein geschlossenes System. Zur Lösung setzen wir zunächst (4.360) in (4.361) ein:

h¯4 | 4g 2 S (S + 1) Gpσ (E) = E − T0 + μ − U − E − T0 + μ − U + h¯2 | 2g 2 g Δ−σ + h¯2 | 2g − T0 ¯ h3

= h¯ n−σ  +

E−U

+μ

.

Wir kürzen ab: E3 = T0 + U −

h¯2 g(S + 1) ; 2

E4 = T0 + U +

h¯2 gS . 2

(4.363)

Gpσ (E) stellt offensichtlich eine Zwei-Pol-Funktion dar: h¯   · Gpσ (E) =  E − E3 + μ E − E4 + μ  2

 h¯ h¯2 · g Δ−σ + n−σ  E − T0 + μ − U + g . 2 2 Wir setzen deshalb

Gpσ (E) = h¯

ϑ3σ

E − E3 + μ

+

ϑ4σ

E − E4 + μ

(4.364)

und bestimmen die spektralen Gewichte aus:

ϑ3σ =

 1 E − E3 + μ Gpσ (E) = E → E3 − μ h ¯ lim

 1  S n−σ  − Δ−σ , 2S + 1  1 E − E4 + μ Gpσ (E) = ϑ4σ = lim E → E4 − μ h ¯ =

=

 1  (S + 1) n−σ  + Δ−σ . 2S + 1

(4.365)

(4.366)

Damit ist Gpσ (E) vollständig bestimmt. Die Summenregel

ϑ3σ + ϑ4σ = n−σ 

(4.367)

dient der Kontrolle. An (4.361) wird klar, dass GDσ (E) dieselben Pole wie Gpσ (E) haben muss:

γ3σ γ4σ 2 . (4.368) + GDσ (E) = h¯ E − E3 + μ E − E4 + μ

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

289

Für die spektralen Gewichte findet man wie in (4.365) und (4.366):

γ3σ = (S + 1) ϑ3σ ; γ4σ = −Sϑ4σ .

(4.369)

Auch hier ist die Summenregel ( = erstes Spektralmoment) erfüllt:

γ3σ + γ4σ = −Δ−σ .

(4.370)

Wir setzen nun die Ergebnisse für GDσ (E) und Gpσ (E) in (4.358) und (4.359) ein und lösen nach Gaσ (E) auf:   ¯ h4 2 4 g S (S + 1) E − T0 + μ − Gaσ (E) = 2 E − T0 + μ − ¯h2 g   ¯ h z 2 gzσ S  (4.371) = h¯ 1 − + UGpσ (E) − E − T0 + μ − 12 g h¯2   1 ¯2 h¯ 2 g U − gh GDσ (E) . − E − T0 + μ − 12 g Die Klammer auf der linken Seite der Gleichung lässt sich als Produkt (E − E1 + μ) (E − E2 + μ) mit h¯2 h¯2 gS ; E2 = T0 + g(S + 1) 2 2 schreiben. Gaσ (E) stellt also offensichtlich eine Vier-Pol-Funktion dar: E1 = T0 −

Gaσ (E) = h¯

4  i=1

αiσ

E − Ei + μ

.

(4.372)

(4.373)

Für die spektralen Gewichte ergeben sich mit (4.371) und

αiσ =

 1 E − Ei + μ Gaσ (E) E → Ei − μ h ¯ lim

die folgenden Ausdrücke:  zσ  z  1  S+1+ S + Δ−σ − (S + 1) n−σ  , 2S + 1 h¯  zσ  z  1  S− S − Δ−σ − S n−σ  , α2σ = 2S + 1 h¯

α1σ =

α3σ = ϑ3σ ; α4σ = ϑ4σ .

(4.374) (4.375) (4.376)

Bleibt noch die Green-Funktion Gdσ (E), die sich nun leicht über (4.358) festlegen lässt: Gdσ (E) = h¯2

4  i=1

βiσ

E − Ei + μ

.

(4.377)

290

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Für die spektralen Gewichte gilt jetzt:

β1σ = Sα1σ ; β2σ = −(S + 1)α2σ ; β3σ = (S + 1)α3σ ; β4σ = −Sα4σ . (4.378) Die uns eigentlich interessierende Größe ist die Ein-Elektronen-Green-Funktion Gaσ (E) (4.373), zu deren vollständigen Festlegung wir noch die Erwartungswerte Δ−σ und n−σ  sowie das chemische Potential μ kennen müssen. Schreiben wir zur Abkürzung fi (T) =

1  ;   1 + exp β Ei − μ

i = 1, . . . , 4 ,

(4.379)

so folgt n−σ  unter Anwendung des Spektraltheorems aus der Ein-ElektronenSpektraldichte Saσ (E) = −

1

π

4      Im Gaσ E + i0 + = h¯ αiσ δ E − Ei + μ .

(4.380)

i=1

Man findet unmittelbar: n−σ  =

4 

αi − σ fi (T) .

(4.381)

i=1

Das chemische Potential μ ist durch die Bandbesetzung n (= Zahl der Elektronen des betrachteten Energiebandes pro Gitterplatz) festgelegt:   nσ  = n= αiσ fi (T) . (4.382) σ

i, σ

Δ−σ lässt sich über die höhere Spektraldichte Sdσ (E) = −

1

π

4      Im Gdσ E + i0 + = h¯2 βiσ δ E − Ei + μ

(4.383)

i=1

ebenfalls leicht aus dem Spektraltheorem ableiten:

Δ−σ =

4 

βi − σ fi (T) .

(4.384)

i=1

Mit (4.381), (4.382) und (4.384) sind die spektralen Gewichte aller vier Green-Funktionen vollständig bestimmt. Die Pole der Ein-Elektronen-Green-Funktion Gaσ (E) stellen die QuasiteilchenEnergien des wechselwirkenden Systems dar. Aufgrund dieser Wechselwirkungen spaltet das zum Niveau T0 entartete Bloch-Band in vier Quasiteilchenniveaus Ei auf, die in (4.363) und (4.372) aufgelistet sind. Im Gegensatz zu den spektralen Gewichten αiσ sind die Niveaus unabhängig von Spin, Temperatur und Bandbesetzung.

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

1

α 3­ E4 n

1 M

1 1

2

E4

E4 1 M

1

1

g>0 T0 + U +

T0 + U −

α 2­

n

291

T0 + E4

¯ h2

2

T0 −

¯ h2

2

¯ h2

2

gS

g[S + 1]

2

2

n

1 M

1 1

g[S + 1] ¯ h2

α4­

2

α1­

gS 1 M

n 1

2

Abb. 4.21. Spektrale Gewichte der exakten Lösung des sf-Modells für die Grenze des unendlich

schmalen Bandes als Funktion der Teilchendichte n und der renormierten Magnetisierung M = S − Sz . E1 bis E4 sind die Quasiteilchniveaus

Die ↑-Gewichte sind in Abb. 4.21 als Funktion der Bandbesetzung n (0 ≤ n ≤ 2) sowie der renormierten Magnetisierung M = (S − S z ) | S für einen realistischen Parametersatz (U = 2 eV; g = 0,2 eV; S = 7 | 2) aufgetragen. Die entsprechenden ↓-Gewichte lassen sich mithilfe der Teilchen-Loch-Symmetrie

α1σ (T, n) = α4 − σ (T, 2 − n) ; α2σ (T, n) = α3 − σ (T, 2 − n)

(4.385)

ebenfalls der Skizze entnehmen. Die Temperaturabhängigkeit der αiσ resultiert praktisch ausschließlich aus der 4f -Magnetisierung S z , die wir hier als Parameter ansehen müssen. Das ist nicht ganz unproblematisch, da das Momentensystem natürlich auch durch die Austauschkopplung (4.344) von den Leitungselektronen beeinflusst wird. S z  müsste also eigentlich selbstkonsistent im Rahmen des vollen Modells bestimmt werden. Für Hf = 0 würde eine solche selbstkonsistente Rechnung allerdings S z  = 0 liefern. – Wir erkennen an der Skizze, dass für jede Parameterkonstellation von den vier Niveaus höchstens drei tatsächlich realisiert sind; mindestens eines von ihnen hat ein verschwindendes spektrales Gewicht. Es gibt zudem eine Reihe von Spezialfällen, in denen weitere Niveaus ausfallen, z. B. für T = 0 oder n = 0, 1, 2. Welche Bedeutung haben die spektralen Gewichte? Bei ausgeschalteten Wechselwirkungen ist das Niveau T0 2N-fach entartet (N = Zahl der Gitterplätze, Faktor 2 wegen der beiden Spinrichtungen). Die αiσ legen nun fest, wie sich die Entartung bei eingeschalteten Wechselwirkungen auf die Quasiteilchenniveaus verteilt. αiσ N ist der Entartungsgrad des (i, σ )-Niveaus. Diese Interpretation legt nun nahe, die in Abschn. 4.3.5 eingeführte Legierungsanalogie (CPA) auf das s-f-Modell anzuwenden, um mit den obigen atomaren Ergebnissen zu Aussagen über den eigentlich interessierenden Fall endlicher Bandbreiten zu gelangen.

292

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

4.5.3 Legierungsanalogie Wir denken uns eine aus vier Komponenten zusammengesetzte fiktive Legierung. Jede Komponente ist durch ein einziges, uns interessierendes Niveau

ηmσ ≡ Em (m = 1, 2, 3, 4)

(4.386)

Konzentration cmσ ≡ αmσ (T, n)

(4.387)

ausgezeichnet und mit der

statistisch über das Gitter verteilt. Im Falle sehr großer Gitterabstände ist dann das Niveau ηmσ insgesamt (cmσ N)-fach entartet. Dies entspricht aber genau der Situation im realen System, in dem bei großen Abständen jedes Quasiteilchenniveau (αmσ N)fach entartet ist. Wir wählen als Zustandsdichte des betrachteten Energiebandes im ungestörten, reinen Kristall eine einfache semielliptische Gestalt, ⎧ : 2 ⎪ ⎪ W E ⎨ 4 , 1−4 falls |E| ≤ W 2 (4.388) ρ0 (E) = πW ⎪ ⎪ ⎩0 sonst , und ferner die konkreten Parameter h¯2 g = 0,2 eV ;

U = 2 eV ;

S=

7 ; 2

W = 1,17 eV ,

(4.389)

die als realistisch für den ferromagnetischen 4f -Isolator EuS angesehen werden können. Dieses alles setzen wir in die Gleichung (4.271) ein, aus der wir dann für verschiedene Temperaturen, d. h. verschiedene 4f -Magnetisierungen, und für verschiedene Bandbesetzungen n die CPA-Selbstenergie ΣσCPA (E) selbstkonsistent berechnen können. Mit   ρσ (E) = ρ0 E − ΣσCPA (E) (4.390) finden wir dann die (T, n)-abhängige Quasiteilchenzustandsdichte. Die konkrete Auswertung muss am Rechner erfolgen. Das auffallendste Merkmal der Quasiteilchenzustandsdichte ist die Multisubbandstruktur, die zudem eine ausgeprägte (T, n)Abhängigkeit aufweist. Abb. 4.22 zeigt für drei verschiedene Temperaturen T = 0, T = 0,8 TC und T = TC = 16,6 K die Abhängigkeit von der Bandbesetzung n. Für n < 1 besteht das Spektrum im Allgemeinen aus zwei nieder- und einem höherenergetischen Quasiteilchensubband. Man kann die Teilbänder grob anschaulich wie folgt klassifizieren: Bewegt sich das σ -Elektron (bei n < 1) im obersten Band, so hüpft es vornehmlich über Gitterplätze, die schon mit einem (−σ )-Elektron besetzt sind. Dazu muss aber die Coulomb-Wechselwirkung U aufgebracht werden. Das erklärt auch die Position dieses Quasiteilchenbandes etwa 2 eV oberhalb der beiden anderen

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

T =0

(a)

1,0

293

0,5 0

2,0

0

E eV

1,0 1,0

n

ρ

2,0

0,5 0

2,0

0

2,0

E eV

1,0 n

ρ

0,5 0

2,0

0

E eV

1,0 2,0

0

1,0

­

2,0

T = 0,8TC

ρ­

0,5

0

(b)

1,0

ρ­

­

4.5

E eV

1,0 2,0

n

(c)

n

T = TC

1,0

ρ­¯ 0,5 0

0

2,0

E eV

1,0

2,0

n

Abb. 4.22. Quasiteilchenzustandsdichte des sf-Modells als Funktion der Energie für verschiedenen

Bandbesetzungen n, berechnet mit der CPA-Legierungsanalogie. Die Teilbilder (a), (b) und (c) betreffen drei verschiedene Temperaturen

Bänder, in denen das Elektron über leere Plätze propagiert. Es ist damit klar, dass das oberste Subband bei n = 0 verschwinden muss, weil dann keine Wechselwirkungspartner existieren, und die beiden unteren Bänder bei n = 2, da dann keine leeren Plätze vorhanden sind. Die beiden niederenergetischen Bänder können wie folgt unterschieden werden. Im untersten Subband bewegt sich das Elektron über Gitterplätze, an denen ein paralleler 4f -Spin lokalisiert ist, im zweiten Subband stellt es sich dann antiparallel zum 4f -Spin ein. In der ferromagnetischen Sättigung bei T = 0 kann ein ↑-Elektron keinen antiparallelen 4f -Spin finden, das zweite Subband tritt deshalb bei T = 0 im ↑-Spektrum nicht in Erscheinung. – Auf diese Art

294

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

und Weise lassen sich selbst Details der bemerkenswerten (T, n)-Abhängigkeit der Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E) anschaulich deuten. Für n > 1, d. h. mehr als halbgefülltes Bloch-Band, nutzt man zur Interpretation der Spektren zweckmäßig die Teilchen-Loch-Symmetrie aus. 4.5.4 Das magnetische Polaron Es gibt zum s-f-Modell (4.336) einen sehr aufschlussreichen Spezialfall, der die Situation eines einzelnen Elektrons (Testelektron) im ansonsten leeren Leitungsband betrifft, eine für ferromagnetische Isolatoren wie Eu0, EuS durchaus zutreffende Situation. Dieses Problem ist in der ferromagnetischen Sättigung, d. h. für T = 0, exakt lösbar. Die gesamte, uns interessierende Information leiten wir wiederum aus der (retardierten oder avancierten) Ein-Elektronen-Green-Funktion ab:   1  Gkσ (E) e ik · (Ri − Rj ) . (4.391) Gijσ (E) ≡ aiσ ; a+jσ E = N k

Wir lassen den Index „av“ oder „ret“ der Einfachheit halber im folgenden weg. Drei weitere, höhere Green-Funktionen werden noch von Bedeutung sein:   (4.392) Dik,jσ (E) = Siz akσ ; a+jσ E , Fik, jσ (E) = Pik, jσ (E) =

 

S−i σ ak − σ ; a+jσ ni − σ akσ ; a+jσ



E

,

(4.393)

E

.

(4.394)



Für die Bewegungsgleichung der Funktion Gijσ (E) benötigen wir den Kommutator:  h¯ h¯ Tim amσ + Uni − σ aiσ − gzσ Siz aiσ − gSi−σ ai − σ . (4.395) [aiσ , H ]− = 2 2 m Dies ergibt als Bewegungsgleichung:   Eδim − Tim Gmjσ (E) = m

(4.396)  h¯  = h¯δij + UPii, jσ (E) − g zσ Dii, jσ (E) + Fii, jσ (E) . 2 Wie in (3.325) führen wir an dieser Stelle die elektronische Selbstenergie ein:    [aiσ , H − Hs ]− ; aj+σ E ≡ Σilσ (E)Gljσ (E) . (4.397) l

Die Bestimmung von Σilσ (E) bzw. der k-abhängigen Fourier-Transformierten Σkσ (E) löst das Problem. Der Vergleich mit (4.396) zeigt, dass die Selbstenergie im Wesentlichen durch die höheren Green-Funktionen P, D und F festgelegt wird:   h¯  Σilσ (E)Gljσ (E) = UPii, jσ (E) − g zσ Dii, jσ (E) + Fii, jσ (E) . (4.398) 2 l

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

295

Wir wollen nun unsere Voraussetzung (T = 0, n = 0) ausnutzen, die besagt, dass wir die in den Green-Funktionen erforderlichen Mittelungen mit dem Grundzustand |0 ausführen können, der einem Elektronen- und Magnonenvakuum entspricht. Für diesen Spezialfall gelten einige offensichtliche Vereinfachungen: Dik, jσ (E) −−−−−→ h¯SGkjσ (E) ,

(4.399)

Pik, jσ (E) −→ 0 .

(4.400)

T = 0, n = 0

n=0

Die Selbstenergie ist also im Wesentlichen durch die Spinflipfunktion Fik, jσ (E) bestimmt. Diese wird für σ =↑ besonders einfach. Wegen Si+ |0 = 0

⇐⇒

0| Si− = 0

(4.401)

folgt nämlich: Fik, j↑ (E) −−−−−→ 0 . T = 0, n = 0

(4.402)

Man beachte, dass bei endlichen Bandbesetzungen n =/ 0 wegen der s-f-Kopplung das Spinsystem nicht notwendig ferromagnetisch gesättigt sein muss. Die Schlussfolgerungen (4.399) und (4.402) sind dann nicht mehr erlaubt. Mit (4.402) ist das ↑-Problem trivial gelöst: 1 2

(0, 0) Σil↑ (E) ≡ − g h¯2 Sδil ,

1 2

(4.403)

(0, 0) Σk↑ (E) ≡ − g h¯2 S .

Für die retardierte Green-Funktion gilt somit: −1  1 2 (0, 0) + . Gk↑ (E) = h¯ E − ε(k) + g h¯ S + i0 2

(4.404)

Die ↑-Quasiteilchenenergien sind in diesem Spezialfall gegenüber den freien BlochEnergien ε(k) lediglich um einen konstanten Energiebetrag verschoben: 1 E↑(0, 0) (k) ≡ ε(k) − g h¯2 S . 2 Die ↑-Spektraldichte stellt eine einfache δ-Funktion dar,

1 (0, 0) (E) = h¯δ E − ε(k) + g h¯2 S , Sk↑ 2

(4.405)

(4.406)

typisch für ein Quasiteilchen unendlich langer Lebensdauer. Die Quasiteilchenzustandsdichte

1 2 1  (0, 0) (0, 0) ρ↑ (E) = Sk↑ (E) = ρ0 E + g h¯ S (4.407) N 2 k

296

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

ρ

Sk(0­,0) ´ E­(0,0)(k)

ρ­(0,0)

ρ0

E

E

Abb. 4.23. ↑-Spektraldichte und ↑-Quasiteilchenzustandsdichte der exakten Lösung des

(n = 0, T = 0)-sf-Modells

verbleibt gegenüber der freien Bloch-Zustandsdichte

ρ0 (E) =

 1   δ E − ε(k) N

(4.408)

k

undeformiert, wird lediglich um einen konstanten Energiebetrag starr verschoben. Das ↑-Spektrum besteht also aus einem einzigen Quasiteilchenband. Die CPAErgebnisse des letzten Abschnitts erweisen sich für diesen Spezialfall als exakt. Physikalisch sind diese Ergebnisse sehr einfach zu verstehen. Bei der Temperatur T = 0 hat das ↑-Elektron keine Möglichkeit, seinen Spin mit dem total parallel ausgerichteten Spinsystem auszutauschen. Die Spinflipterme im s-f-Austausch (4.344) werden bedeutungslos, lediglich der diagonale Anteil der s-f-Wechselwirkung sorgt für die relativ unbedeutende starre Verschiebung des Quasiteilchenspektrums. Die Situation wird komplizierter, aber auch interessanter beim ↓-Spektrum. Ein ↓-Elektron kann natürlich auch bei T = 0 seinen Spin mit dem dann antiparallel orientierten lokalisierten f-Spin austauschen. Die Spinflipterme des s-f-Austausches werden in diesem Fall das Quasiteilchenspektrum recht drastisch modifizieren. Dies soll nun etwas genauer untersucht werden. Nach (4.398) gilt zunächst:  (0, 0) (0, 0) 1 1 (0, 0) Σil↓ Glj↓ = g h¯2 SGij↓ − g h¯Fii,(0,j↓0) . (4.409) 2 2 l

Wir stellen die Bewegungsgleichung der Spinflipfunktion Fik,j↓ (E) auf. Dazu benötigen wir den folgenden Kommutator:  Tkm Si+ am↑ + USi+ nk↓ ak↑ − [Si+ ak↑ , H ]− = m

 1  − g h¯ Si+ Skz ak↑ + Si+ Sk− ak↓ + 2   1 + g h¯2 ni↑ − ni↓ Si+ ak↑ − 2 + − g h¯2 Siz ai↑ ai↓ ak↑ −    − 2h¯ Jim Siz Sm+ − Smz Si+ ak↑ . m

(4.410)

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

297

Die aus diesen Termen resultierenden Green-Funktionen lassen sich zum Teil wieder wegen (n = 0, T = 0) vereinfachen:  

+ Si+ Skz ak↑ ; aj↓



+ Si+ nk↓ ak↑ ; aj↓



−→ 0 ,

n=0

    = −h¯δik Si+ ak↑ ; a+j↓ + Skz Si+ ak↑ ; a+j↓ (0, 0) −−−−−→ h¯(S − δik )Fik,j↓ , n = 0, T = 0



Si+ Sk− ak↓ ; a+j↓



   − +  + = 2h¯δik Siz ak↓ ; aj↓ + Sk Si ak↓ ; a+j↓ (0, 0) −−−−−→ 2h¯2 Sδik Gij↓ ,

n = 0, T = 0

    ni↑ − ni↓ Si+ ak↓ ; a+j↓ −→ 0 , n=0



+ Siz ai↑ ai↓ ak↑ ; a+j↓



−→ 0 , n=0

    z +   (0, 0) (0, 0) Si Sm − Smz Si+ ak↑ ; a+j↓ −−−−−→ h¯S Fmk,j↓ . − Fik, j↓ n = 0, T = 0

Damit bleibt als Bewegungsgleichung

1 2 (0, 0) E + g h¯ (S − δik ) Fik, j↓ (E) = 2  (0, 0) (0, 0) Tkm Fim, ¯3 Sδik Gij↓ (E) − = j↓ (E) − g h m

− 2h¯2 S



(4.411)

  (0, 0) (0, 0) Jim Fmk, (E) − F (E) . j↓ ik, j↓

m

Zur Lösung transformieren wir die ortsabhängigen Funktionen in den k-Raum: Gijσ (E) =

  1  exp ik · (Ri − Rj ) Gkσ (E) , N

(4.412)

k

Fik, jσ (E) =

1 N3 | 2



   exp i q · Ri + (k − q) · Rk − k · Rj Fkqσ (E) .

(4.413)

k, q

Damit wird aus (4.411) nach einfachen Umformungen:

1 (0, 0) E + g h¯2 S − ε(k − q) − h¯ω(q) Fkq↓ (E) = 2 1 (0, 0) 1  (0, 0) 1 Fk¯q↓ (E) − g h¯3 S √ Gk↓ (E) . = g h¯2 2 N q¯ N

(4.414)

298

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Die Spinwellenenergien h¯ω(q) sind wie in (2.232) definiert. Wir schreiben zur Abkürzung:  −1 1 1  E + g h¯2 S − ε(k − q) − h¯ω(q) . (4.415) Bk (E) = N q 2 Damit folgt aus (4.414): g h¯3 SBk (E) 1  (0, 0) G (0, 0) (E) . Fkq↓ (E) = − √ 1 − 12 g h¯2 Bk (E) k↓ N q

(4.416)

Die Bewegungsgleichung der Ein-Teilchen-Green-Funktion lautet nach (4.396), (4.399), (4.400), (4.412) und (4.413):

1 1 1  (0, 0) (0, 0) E − g h¯2 S − ε(k) Gk↓ (E) = h¯ − g h¯ √ F (E) . (4.417) 2 2 N q kq↓ In diese Gleichung setzen wir (4.416) ein:

1 2 4 ¯S 1 (0, 0) (0, 0) 2g h E − g h¯2 S − ε(k) Gk↓ Bk (E)Gk↓ (E) = h¯ + (E) . 1 2 1 − 2 g h¯2 Bk (E) Durch Vergleich mit

 −1 (0, 0) (0, 0) Gk↓ (E) = h¯ E − ε(k) − Σk↓ (E)

(4.418)

folgt schließlich die ↓-Selbstenergie: (0, 0) Σk↓ (E)

  1 2 g h¯2 Bk (E) . = g h¯ S 1 + 2 1 − 12 g h¯2 Bk (E)

(4.419)

Damit ist das Problem vollständig und exakt gelöst. Wir wollen versuchen, dieses Ergebnis zu interpretieren. Zunächst ergibt sich für die Auswertung eine beträchtliche Vereinfachung, wenn wir in (4.415) die Magnonenenergien h¯ω(q) unterdrücken. Das ist sicher erlaubt, da diese stets um einige Größenordnung kleiner sind als andere typische Energiegrößen, wie z. B. die BlochBandbreite W oder die s-f-Kopplungskonstante g. Mit dieser Vereinfachung wird der im Allgemeinen komplexe Propagator Bk (E) wellenzahlunabhängig: Bk (E) ≡ B(E) = RB (E) + iIB (E) .

(4.420)

Dabei ist der Imaginärteil IB (E) praktisch mit der ↑-Zustandsdichte (4.407) identisch:

1 π IB (E) = − δ E + g h¯2 S − ε(k − q) = N q 2 =−



1 π δ E + g h¯2 S − ε(ˆq) =

N

qˆ

2



1 2 = −πρ0 E + g h¯ S = −πρ↑(0, 0) (E) . 2

(4.421)

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

299

Der Realteil ist ein Hauptwertintegral: RB (E) = P dx

ρ0 (x) E + 12 g h¯2 S − x

(4.422)

.

Auch die elektronische Selbstenergie (4.419) wird im Allgemeinen eine komplexe Größe sein, die wegen obiger Vereinbarung, h¯ω(q) zu vernachlässigen, ebenfalls wellenzahlunabhängig ist: (0, 0) Σk↓ (E) ≡ Σ↓(0, 0) (E) = R↓ (E) + iI↓ (E) .

Setzen wir (4.420) in (4.419) ein, so ergibt sich konkret:     1 2 ¯ RB (E) − 12 g h¯2 IB2 (E) 1 2 2 RB (E) 1 − 2 g h , R↓ (E) = g h¯ S 1 + g h¯  2 2 1 − 1 g h¯2 RB (E) + 1 g 2 h¯4 I 2 (E) 2

4

(4.423)

(4.424)

B

1 IB (E) I↓ (E) = g 2 h¯4 S  . 2 1 2 2 1 − 2 g h¯ RB (E) + 14 g 2 h¯4 IB2 (E)

(4.425)

Der Vergleich mit (4.421) zeigt, dass der Imaginärteil der elektronischen ↓-Selbstenergie genau dann von Null verschieden ist, wenn die ↑-Zustandsdichte ρ↑(0,0) (E) endliche Werte annimmt. I↓ =/ 0 bedeutet, dass die Lebensdauer des entsprechenden Quasiteilchens endlich ist. Sie ist offensichtlich durch Spinflip-Prozesse begrenzt. Erinnern wir uns nämlich, dass wir in den obigen Ausdrücken eigentlich noch die Magnonenenergien zu berücksichtigen haben, so wird klar, dass das ursprüngliche ↓-Elektron durch Emission eines Magnons seinen Spin umdreht und zum ↑-Elektron wird. So etwas ist natürlich nur dann möglich, wenn überhaupt passende ↑-Zustände zur Verfügung stehen, auf denen das ursprüngliche ↓-Elektron landen kann. Hat die Green-Funktion außerhalb des ρ↑(0,0) (E) =/ 0 -Bereichs einen Pol, d. h. ist dort E = ε(k) + R↓ (E)

hω(q)

α1*

+

α2*

Sk(0¯,0)

E Abb. 4.24. Schematische Darstellung der Elementarprozesse, die zur exakten ↓-Spektraldichte des

(n=0, T=0)-sf-Modells beitragen; links Magnonenemission, rechts Bildung eines stabilen magnetischen Polarons

300

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

erfüllbar, so erscheint ein weiteres Quasiteilchen, nun aber mit unendlicher Lebensdauer. Die Spektraldichte (0, 0) Sk↓ (E) = −

1

π

(0, 0) Im Gk↓ (E + i0 + )

wird sich also in der Regel aus zwei Termen zusammensetzen, die zwei verschiedenen Elementarprozessen entsprechen (vgl. Abschn. 3.4.2): (0, 0) (E) = Sk↓

⎧ I↓ (E) h¯ ⎪ ⎪ , ⎨−  π E − ε(k) − R↓ (E)2 + I↓2 (E) = ⎪ ⎪ ⎩h¯δ E − ε(k) − R (E) ↓

1 falls ε0 ≤ E + g h¯2 S ≤ ε0 + W , (4.426) 2 sonst .

(ε0 ist die untere Kante und W die Breite des Bloch-Bandes.) Das ursprüngliche ↓-Elektron kann mit dem lokalisierten Spinsystem einmal durch Magnonenemission seinen Spin austauschen und dabei zum ↑-Elektron werden. Dies führt zu dem ersten Term in (4.426), einem stets einige eV breiten Streuspektrum, das denselben Energiebereich wie die ↑-Zustandsdichte einnimmt. – Das ↓-Elektron kann aber auch mit einem antiparallel orientierten 4f -Spin mehr oder weniger lokal einen gebundenen Zustand bilden. Solange dessen Energie außerhalb des Streuspektrums liegt, wird dadurch ein Quasiteilchen mit unendlich langer Lebensdauer geschaffen, das man das magnetische Polaron nennt: Wir wollen zum Abschluss dieses Kapitels die exakten T = 0-Resultate mithilfe der konkreten Bloch-Zustandsdichte für ein kubisch primitives Gitter diskutieren, die sich in der „Tight-Binding-Näherung“ mit den Energien aus (2.110) berechnet. Einzelheiten einer solchen Rechnung sind hier unwichtig. (0, 0) (E) für bestimmte k-Vektoren der Abbildung 4.25 zeigt die Spektraldichte Sk↓ ersten Brillouin-Zone und für drei verschiedene Kopplungsstärken g h¯2 . Für schwache Kopplungen (g h¯2 = 0,05 eV) besteht die Spektraldichte aus einem einzigen schmalen Peak, dessen Position k-abhängig ist und etwa bei der Energie ε(k) + 12 g h¯2 S liegt, was einer Molekularfeldnäherung entspricht. Genauer gilt im „weak-coupling-limit“ 1 g 2 h¯4 S  1 . E↓ (k) ≈ ε(k) + g h¯2 S + 2 2N q ε(k) + g h¯2 S − ε(q)

(4.427)

Für stärkere Kopplungen ändert sich das Bild vollkommen. Wie in Abb. 4.24 bereits schematisch angedeutet, spaltet sich ein scharfer hochenergetischer Peak ab, der dem stabilen magnetischen Polaron entspricht. Das aus Magnonen-Emissionen durch das ↓-Elektron entstehende Streuspektrum stellt in der Regel eine relativ flache, niederenergetische Struktur dar, ist jedoch bisweilen auch zu einem recht ausgeprägten Peak gebündelt (Abb. 4.25; Γ-Punkt; g h¯2 = 0,6 eV).

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

301

2

gh = 0,6 eV 2

Γ

gh = 0,3 eV 2

gh = 0,05 eV

X Sk(0,¯ 0)(E )

M

R

0,5

0 E (eV)

0,5

Abb. 4.25. ↓-Spektraldichte als Funktion der Energie für verschiedene Wellenzahlen der ersten Brillouin-Zone und unterschiedliche Kopplungskonstanten g¯ h2 (k(Γ) = (0, 0, 0); k(X) = π (1, 0, 0); a

k(M) = πa (1, 1, 0); k(R) = πa (1, 1, 1); a: Gitterkonstante). Parameter: S = 12 , W = 1 eV, kubisch primitives Gitter, n = 0, T = 0.

Mit

ρσ(0, 0) (E) =

1  (0, 0) Skσ (E) N h¯

(4.428)

k

können wir schließlich noch die Quasiteilchen-Zustandsdichte berechnen. Resultate für das kubisch primitive Gitter sind in Abb. 4.26 dargestellt. Nach (4.407) ist ρ↑ (E) mit der Bloch-Zustandsdichte identisch, lediglich um den konstanten Energiebetrag − 12 g h¯2 S starr verschoben. Wesentlich mehr Struktur zeigt ρ↓ (E). Die beiden geschilderten Elementarprozesse führen schon für moderate Kopplungen zu einer Aufspaltung des ursprünglichen Bloch-Bandes in zwei Quasiteilchenteilbänder. Das untere Band entsteht als Folge von Magnonen-Emission. Da das ↓-Elektron bei diesem Prozess seinen eigenen Spin umkehrt, müssen ↑-Zustände vorhanden sein, auf

302

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

2,0 ¯

1,0

– 2 = 0,05 eV gh

¯

0,0 – 2 = 0,1 eV gh

1,0 0,0

– 2 = 0,15 eV gh

1,0

ρ¯(0, 0)(E )

0,0 – 2 = 0,2 eV gh

1,0 0,0

– 2 = 0,25 eV gh

1,0 0,0

– 2 = 0,3 eV gh

1,0 0,0

–1,0

–0,5

0,0 E (eV)

0,5

1,0

Abb. 4.26. Quasiteilchenzustandsdichte ρσ (E) als Funktion der Energie E für verschiedene

Kopplungsstärken g¯ h2 . Durchgezogene Linien für σ =↓, gestrichelte Linien für σ =↑. Parameter: S = 72 , W = 1 eV, kubisch primitives Gitter, n = 0, T = 0.

denen das ↓-Elektron dann „landen“ kann. Das erklärt, warum das „Streuband“ denselben Energiebereich einnimmt wie ρ↑ (E). Das obere Quasiteilchenband besteht aus Polaronen-Zuständen. Die Viel-Teilchen-Korrelationen sorgen hier also für ein Phänomen, das in einer konventionellen Ein-Teilchen-Theorie keine Erklärung findet. 4.5.5 Aufgaben 4.5.1

Aufgabe 4.5.1 Berechnen Sie im Rahmen des s-f-Modells die vollständige Bewegungsgleichung der höheren Green-Funktion (4.392):   Dik, jσ (E) = Siz akσ ; a+jσ E .

4.5

Elektron-Magnon-Wechselwirkung

303

Aufgabe 4.5.2 Berechnen Sie im Rahmen des s-f-Modells die vollständige Bewegungsgleichung der höheren Green-Funktion (4.394):   Pik, jσ (E) = ni − σ akσ ; a+jσ E .

4.5.2

Aufgabe 4.5.3 Berechnen Sie im Rahmen des s-f-Modells die vollständige Bewegungsgleichung der höheren Green-Funktion (4.393):   Fik, jσ (E) = S−i σ ak − σ ; a+jσ E .

4.5.3

Aufgabe 4.5.4 Diskutieren Sie im Rahmen des s-f-Modells den Spezialfall eines einzelnen Loches im ansonsten vollständig besetzten Leitungsband. Bei ferromagnetisch gesättigtem f-Spinsystem lässt sich diese Situation mathematisch streng behandeln. 1. Zeigen Sie, dass die Ein-Elektronen-Green-Funktion für σ =↓-Elektronen die folgende einfache Gestalt annimmt:

−1 1 2 (n = 2, T = 0) + (E) = h¯ E − ε(k) − U − g h¯ S + i0 . Gk↓ 2

4.5.4

2.

Berechnen Sie die elektronische σ =↑-Selbstenergie. Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem in Abschn. 4.5.4 diskutierten magnetischen Polaron!

Aufgabe 4.5.5 Vollziehen Sie an der Bewegungsgleichung der Ein-ElektronenGreen-Funktion des s-f-Modells die Hartree-Fock-Näherung. Testen Sie das Ergebnis an den exakten Grenzfällen der atomaren Grenze und des leeren bzw. vollständig gefüllten Leitungsbandes bei T = 0. Worin würden Sie den Hauptnachteil dieser Näherung sehen?

4.5.5

304

4.6

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

4.6 Kontrollfragen Zu Abschnitt 4.1 1. Wie lautet der Hubbard-Hamilton-Operator im Grenzfall des unendlich schmalen Bandes? 2. Welche Struktur haben Ein-Elektronen-Green-Funktion und -Spektraldichte für diesen Grenzfall? 3. Kann im unendlich schmalen Band Ferromagnetismus auftreten? 4. Was bezeichnet man als Hartree-Fock- oder Molekularfeld-Näherung einer Green-Funktion? 5. Welche Gestalt nimmt die Ein-Elektronen-Green-Funktion des Hubbard-Modells in der Hartree-Fock-Näherung an? 6. In welcher Beziehung steht das Stoner- zum Hubbard-Modell? 7. Wie lauten die Quasiteilchenenergien des Stoner-Modells? 8. Erläutern Sie das Stoner-Kriterium für Ferromagnetismus. 9. Wann spricht man von starkem, wann von schwachem Ferromagnetismus? 10. Was versteht man unter Teilchen-Korrelationen? 11. Inwiefern sind die so genannten Hubbard-Entkopplungen auch als Molekularfeld-Näherung interpretierbar? 12. Wie kann man leicht an der Selbstenergie erkennen, dass die Hubbard-Näherung zum Hubbard-Modell zu einer Aufspaltung in zwei Quasiteilchenteilbänder führt? 13. Welche Lebensdauer besitzen die Quasiteilchen in der Hubbard-Näherung? 14. Nennen Sie einen schwerwiegenden Nachteil der Hubbard-Lösung. 15. Welcher Zusammenhang besteht im Rahmen der Interpolationsmethode zwischen der Green-Funktion eines Modellsystems und der zugehörigen Lösung des Atomaren Limits? 16. Wie vergleichen sich für das Hubbard-Modell die Lösungen der Ein-ElektronenGreen-Funktion nach der Interpolationsmethode und nach der Hubbard’schen Entkopplungsmethode? 17. Skizzieren Sie die Momentenmethode. 18. Begründen Sie den Zwei-Pol-Ansatz für die Spektraldichte des Hubbard-Modells. 19. Wie unterscheiden sich die Quasiteilchenenergien der Hubbard-Näherung von denen der Momentenmethode? 20. Warum sind die Lösungen nach der Momentenmethode zur Beschreibung magnetischer Elektronensysteme realistischer als die über die Hubbard-Entkopplungen gefundenen Lösungen? 21. Von welchen physikalischen Größen wird die konkrete Gestalt der Quasiteilchenzustandsdichte des Hubbard-Modells bestimmt? 22. Unter welchen Voraussetzungen lässt sich eine Äquivalenz zwischen dem Hubbard- und dem Heisenberg-Modell erkennen?

4.6

Kontrollfragen

305

23. Können Sie begründen, warum das Hubbard-Modell im Fall des halbgefüllten Energiebandes (n = 1) Antiferromagnetismus gegenüber Ferromagnetismus begünstigt?

Zu Abschnitt 4.2 1. Worin besteht die vereinfachende Annahme der Thomas-Fermi-Näherung? 2. Was versteht man unter der Abschirmlänge? 3. Welche einfache Struktur nimmt die statische Dielektrizitätsfunktion ε(q) in der Thomas-Näherung an? 4. Was sind Plasmonen? Durch die Pole welcher Green-Funktion sind diese bestimmt? 5. Kann man mit der Ein-Elektronen-Green-Funktion Ladungsdichtewellen (Plasmonen) beschreiben? 6. Welche Gestalt hat die Suszeptibilität χ0 (q, E) des nicht wechselwirkenden Elektronensystems? 7. Wie hängt die Suszeptibilität in der Random Phase Approximation (rpa) mit χ0 (q, E) zusammen? 8. Skizzieren Sie graphisch das Auffinden der Plasmonendispersion h¯ωp (q) über die Lindhard-Funktion. 9. Von welcher Größenordnung sind Plasmonenenergien? 10. Wie ist die Plasmafrequenz definiert? 11. Geben Sie die Wellenzahlabhängigkeit der Plasmonendisperion ωp (q) für kleine |q| an. 12. Was bedeutet die Lindhard-Korrektur? Welcher Bezug besteht zu den FriedelOszillationen des abgeschirmten Coulomb-Potentials einer Störladungsdichte ρext (r)? 13. Welche Green’sche Funktion eignet sich zur Bestimmung und Diskussion von Spindichtewellen und Magnonen im Hubbard-Modell?

Zu Abschnitt 4.3 1. Definieren Sie die Begriffe strukturelle Unordnung, Substitutionsunordnung, diagonale Substitutionsunordnung. 2. Welches ist für die theoretische Beschreibung der entscheidende Vorteil des periodischen Festkörpers gegenüber dem ungeordneten System? 3. Wie unterscheiden sich T-Matrix- und Dyson-Gleichung? 4. Was versteht man unter Konfigurationsmittelung in einem ungeordneten System? Wie wird sie praktisch durchgeführt? 5. Erläutern Sie die Methode des effektiven Mediums. 6. Durch welche Gleichung wird die atomare Streumatrix definiert?

306

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

19. 20. 21. 22. 23. 24.

4. Wechselwirkende Teilchensysteme

Welche Vereinfachung benutzt die so genannte T-Matrix-Approximation (tma)? Man bezeichnet die tma als nichtselbstkonsistent. Was ist damit gemeint? Wie gewinnt man aus der tma die Coherent Potential Approximation (cpa)? Die cpa gilt im Gegensatz zur tma als selbstkonsistent. Warum? Formulieren Sie die Diagrammregeln für die Ein-Teilchen-Green-Funktion ungeordneter Systeme. Was versteht man unter der Ordnung eines Diagramms? Wie sieht die Diagrammdarstellung der Dyson-Gleichung aus? Klassifizieren Sie die Virtual Crystal Approximation (vca). Wann darf sie angewendet werden? Was vernachlässigt die Single Site Approximation (ssa)? Welche Gestalt hat die Selbstenergie in der ssa? Wie geht die Modified Propagator Method (mpm) aus der ssa hervor? Welche Diagrammkorrekturen werden vollzogen, um von der ssa zur Average T-Matrix Approximation (ata) zu gelangen? Was versteht man in diesem Zusammenhang unter Überkorrekturen? Wie unterscheiden sich die Selbstenergien von tma und ata? Wie erhält man aus der ata die cpa? Welche Vielfachbesetzungskorrekturen sind zu beachten? Warum ist die cpa-Selbstenergie wellenzahlunabhängig? Von welchen Parametern hängt die cpa-Selbstenergie ab? Was versteht man im Zusammenhang mit der cpa unter dem Begriff der Legierungsanalogie? Formulieren Sie die cpa-Legierungsanalogie des Hubbard-Modells.

Zu Abschnitt 4.4 1. Welche Green-Funktion ist zweckmäßig für die Berechnung der Magnetisierung eines Spin-(1 | 2)-Systems im Rahmen des Heisenberg-Modells? 2. Was versteht man unter der Tyablikow-Näherung? Wie ist sie für tiefe Temperaturen (T → 0) zu bewerten? 3. Erfüllt die Tyablikow-Näherung das Bloch’sche T 3 | 2 -Gesetz? 4. Welche Schwierigkeiten ergeben sich bei der Berechnung der Magnetisierung von S > 1 | 2 -Systemen? 5. Formulieren Sie die Dyson-Maleév-Transformation der Spinoperatoren. 6. Welchen Vorteil und welchen Nachteil besitzt die Dyson-Maleév- gegenüber der Holstein-Primakoff-Transformation? 7. Welcher einfache Ansatz für die Ein-Magnonen-Spektraldichte liefert über die Momentenmethode bereits das volle Spinwellen-Resultat von Dyson?

4.6

Kontrollfragen

307

Zu Abschnitt 4.2 1. Was versteht man unter einem 4f -System? 2. Wie lautet der Hamilton-Operator des s-f-Modells? Welche Festkörper werden typischerweise durch dieses Modell beschrieben? 3. Wie viele Pole besitzt die Ein-Elektronen-Green-Funktion des s-f-Modells im Grenzfall des unendlich schmalen Bandes? Charakterisieren Sie diese. 4. Formulieren Sie die cpa-Legierungsanalogie des s-f-Modells. 5. Versuchen Sie eine physikalische Interpretation der verschiedenen Quasiteilchensubbänder der cpa-Lösung des s-f-Modells. 6. Wie sehen die ↑-Quasiteilchenenergien für ein Elektron im ansonsten leeren Leitungsband bei T = 0 aus? Warum haben sie in dieser Grenze eine solch einfache Gestalt? 7. Ist die cpa-Lösung für den in 6. gemeinten Spezialfall korrekt? 8. Warum ist in diesem Spezialfall der Imaginärteil der ↓-Selbstenergie genau dann von Null verschieden, wenn die ↑-Zustandsdichte endliche Werte annimmt? 9. Welche physikalischen Prozesse bestimmen die Lebensdauer der ↓-Quasiteilchen? 10. Was besagt eine δ-Funktion bezüglich der Lebensdauer des entsprechenden Quasiteilchens? 11. Welche Elementarprozesse sorgen in dem oben genannten, exakt lösbaren Spezialfall für eine Aufspaltung der ↓-Quasiteilchenzustandsdichte in zwei Teilbänder?

Kapitel 5 Störungstheorie (T = 0)

5

5

5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 5.5.1 5.5.2 5.5.3 5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3 5.6.4 5.7

Störungstheorie (T = 0) Kausale Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Konventionelle“ zeitunabhängige Störungstheorie . . . „Adiabatisches Einschalten“ der Wechselwirkung . . . . . . . Kausale Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wick’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Normalprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Wick’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Feynman-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungsentwicklung für die Vakuumamplitude . . . . . . . . . Linked-Cluster-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Störreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dyson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Störungstheorie zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Korrelationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Partialsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarisationspropagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Effektive Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertexfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311 311 315 321 324 326 326 329 335 335 336 345 349 352 353 353 359 362 363 363 366 371 382 382 388 393 396 398

5.1

Kausale Green-Funktion

311

5 Störungstheorie (T = 0) Die allgemeinen Betrachtungen in Kap. 3 hatten gezeigt, dass wir alles, was zur Beschreibung physikalischer Systeme notwendig ist, durch passend definierte GreenFunktionen ausdrücken können. Mit dieser Feststellung allein ist jedoch ein VielTeilchen-Problem noch nicht gelöst. Wir müssen Verfahren zur Bestimmung solcher Green-Funktionen suchen. Einige haben wir in Kap. 4 im Zusammenhang mit konkreten Fragestellungen der Festkörperphysik bereits kennen gelernt. Ziel dieses Kapitels ist die Entwicklung einer diagrammatischen Störungstheorie, wobei wir zunächst generell T=0 :

. . .

⇒



   E0  . . .  E0

voraussetzen wollen. Alle Mittelwerte sind mit dem Grundzustand |E0  des wechselwirkenden Systems durchzuführen.

5.1

5.1 Kausale Green-Funktion 5.1.1 „Konventionelle“ zeitunabhängige Störungstheorie Wir zerlegen den Hamilton-Operator H,

H = H0 + V ,

(5.1)

wie üblich in einen ungestörten Anteil H0 und einen Störanteil V. Die Zerlegung sei so durchgeführt, dass das Eigenwertproblem zu H0 als gelöst angesehen werden kann:     H0  ηn = ηn  ηn .

(5.2)

Gesucht ist der Grundzustand des vollen Problems:     H  E0 = E0  E0 .

(5.3)

Bisweilen spaltet man vom Störanteil V, bei dem es sich in der Regel um die Teilchenwechselwirkung handelt, eine Koppelkonstante λ ab, V = λv ,

(5.4)

  und versucht dann, die gesuchten Größen E0 ,  E0 nach Potenzen von λ zu entwickeln. Ist λ hinreichend klein, so wird man die Störreihe nach endlich vielen Termen abW. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

312

5. Störungstheorie (T = 0)

brechen können. Ist diese Voraussetzung nicht gegeben, so wird man versuchen, unendliche Teilreihen aus den dominierenden Termen aufzusummieren. Mit (5.2) und (5.3) gilt zunächst:             η0  V  E0 = η0  H − H0  E0 = E0 − η0 η0  E0 . Dies ergibt die noch exakte Niveauverschiebung



ΔE0 ≡ E0 − η0 =







η0  V  E0    . η0  E0

(5.5)

  Damit können wir natürlich noch nicht viel anfangen, da  E0 unbekannt ist. Wir definieren den Projektionsoperator    (5.6) P0 ≡  η0 η0  Für den Orthogonalprojektor Q gilt: Q0 ≡ 1 − P0 =

∞         ηn ηn  −  η0 η0  = n=0

∞      ηn ηn  . =

(5.7)

n=1

Wir gehen nun zurück zu der exakten Eigenwertgleichung (5.3), in der wir den  Grundzustand  E0 als nicht entartet voraussetzen wollen. Mit einer beliebigen reellen Konstanten D können wir schreiben:         D − H0  E0 = (D − H + V)  E0 = D − E0 + V  E0 . Der Operator (D − H0 ) besitzt eine eindeutige Umkehrung, falls H0 als Eigenwert nicht gerade die Konstante D aufweist:    E0 =

   1 D − E0 + V  E0 . D − H0

Wir benutzen nun die oben eingeführten Projektoren:              E0 = P0  E0 + Q0  E0 =  η0 η0  E0 + Q0  E0 . Mit der Definition

   E0    E0 =    η0  E0

(5.8)

5.1

Kausale Green-Funktion

313

haben wir dann eine Gleichung für | E0  ,      E0 =  η0 +

   1 Q0 D − E0 + V  E0 , D − H0

(5.9)

die sich offenbar iterieren lässt. Wir haben in (5.9) bereits ausgenutzt, dass Q0 mit H0 kommutiert. Aus der Definition (5.6) folgt nämlich unmittelbar:

[P0 , H0 ]− = 0

(5.10)

[Q0 , H0 ]− = 0 .

(5.11)

und damit auch:

Durch Iteration von (5.9) erhalten wir die störungstheoretische Grundformel

∞    m  1  η0 . Q0 D − E0 + V | E0  = D − H0 m=0

(5.12)

Auf der rechten Seite taucht nur noch der ungestörte Grundzustand auf, allerdings auch der noch unbekannte Eigenwert E0 . Dafür haben wir die Konstante D noch frei. – Für die Niveauverschiebung ΔE0 gilt mit (5.12) in (5.5):     E0 = ΔE0 = η0  V   =

∞  

 η0  V



m=0

  m  1  η0 . Q0 D − E0 + V D − H0

(5.13)

Durch spezielle Festlegungen von D ergeben sich unterschiedliche Versionen der stationären Störungstheorie. 1) Schrödinger-Störungstheorie Wählt man

D = η0 ,

(5.14)

so ergibt sich: ∞     E0 = m=0

ΔE0 =

∞   m=0

m   1 Q0 (V − ΔE0 )  η0 , η0 − H0 

η0  V



m   1 Q0 (V − ΔE0 )  η0 . η0 − H0

(5.15)

(5.16)

314

5. Störungstheorie (T = 0)

Für eine praktische Auswertung müssen diese allgemeinen Resultate nun nach Potenzen der Koppelkonstanten λ sortiert werden. Dazu werten wir die ersten Terme der Niveauverschiebung explizit aus:     ΔE0 (m = 0) = η0  λv  η0 ∼ λ , (5.17) 



ΔE0 (m = 1) = η0  V   = η0  V

=

   1 Q0 V − ΔE0  η0 = η0 − H0 ∞       1  η η  V  η0 = η0 − H0 n = 1 n n

   ∞    η0  λv  ηn  2 n=1

η0 − ηn

∼ λ2 .

(5.18)

Dies sind die bekannten Resultate der Schrödinger-Störungstheorie. Bis m=1 läuft die Störreihe mit den λ-Potenzen parallel, d. h.

ΔE0 (m) ∼ λm + 1 (m = 0, 1) .

(5.19)

Dies gilt jedoch schon beim m = 2 -Term nicht mehr.

ΔE0 (m = 2) =   = η0  V

=

∞  

     1 1 Q0 V − ΔE0 Q0 V − ΔE0  η0 = η0 − H0 η0 − H0 

η0  V

n=1

1

η0 − H0

      Q0 V − ΔE0  ηn ηn  V  η0

1

η0 − ηn

= (5.20)

         ∞  ∞  η0  V  ηm ηm  V  ηn ηn  V  η0    − = η0 − ηm η0 − ηn n=1 m=1 

   ∞    η0  V  ηn   2 . − ΔE0   η0 − ηn 2 n=1 Der erste Summand ist proportional zu λ3 , der zweite enthält wegen ΔE0 alle λ-Potenzen ≥ 3. Das Sortieren wird mit wachsendem m immer mühsamer. Es ist z. B. nicht möglich, die allgemeine Energiekorrektur proportional λn konkret und übersichtlich zu formulieren. Dies erweist sich als folgenschwerer Nachteil, wenn ein physikalisches Problem das Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe erforderlich macht. Dazu benötigt man Störreihen, die die Korrekturen proportional λn direkt liefern. Solche werden wir im nächsten Abschnitt kennen lernen. – Schauen wir jedoch zunächst, ob die

5.1

Kausale Green-Funktion

315

2) Brillouin-Wigner-Störungstheorie im obigen Sinne besser geeignet ist als die Schrödinger’sche. Hier setzt man

(5.21)

D = E0 und erhält dann:

∞     E0 = m=0

ΔE0 =

∞   m=0

1 Q0 V E0 − H0  η0  V



m

   η0 ,

1 Q0 V E0 − H0

m

(5.22)    η0 .

(5.23)

Man macht sich sehr leicht klar, dass das erwünschte Sortieren nach Potenzen von λ hier dieselben Schwierigkeiten macht wie unter 1). Man hilft sich mit einem Trick weiter. Es wird künstlich aus dem eigentlich zeitunabhängigen ein zeitabhängiges Problem geschaffen, um über den Zeitentwicklungsoperator, der nach (3.18) bzw. (3.40) aus nach λ-Potenzen sortierten Termen besteht, aus dem Grunmcdzustand des nicht wechselwirkenden den des wechselwirkenden Systems zu konstruieren. 5.1.2 „Adiabatisches Einschalten“ der Wechselwirkung Wir machen den Hamilton-Operator (5.1) künstlich zeitabhängig, indem wir ihn durch

Hα = H0 + V e −α |t| ;

α>0

(5.24)

ersetzen. Ausgehend vom ungestörten System (H0 ) bei t = −∞ schalten wir die Wechselwirkung langsam ein, sodass sie bei t = 0 ihre volle Stärke erreicht, um dann in derselben Weise für t → ∞ wieder ausgeschaltet zu werden: lim Hα = H0 ;

t → ±∞

lim Hα = H .

t →0

(5.25)

Am Schluss der Rechnung wird der Übergang α → 0 vollzogen, d. h. die Wechselwirkung unendlich  langsam (adiabatisch) ein- bzw. ausgeschaltet. Wenn nun der Grundzustand  η0 des freien Systems nicht entartet ist, ferner der Überlapp  η0 | E0  endlich ist, dann erscheint es zumindest plausibel, dass sich der Grundzu Systems bei diesem adiabatischen Einschaltprozess stand  E0 des wechselwirkenden   kontinuierlich aus  η0 entwickelt. Dies wollen wir im Folgenden etwas quantitativer untersuchen. Es erweist sich als günstig, die interessierenden Operatoren im Dirac-Bild darzustellen. Nach (3.34) gilt für den Wechselwirkungsoperator,    i i (5.26) VD (t) exp(−α |t| ) = exp H0 t V exp − H0 t exp −α |t| , h¯ h¯

316

5. Störungstheorie (T = 0)

der in (3.40) und (3.18) den Zeitentwicklungsoperator bestimmt:  n t ∞    1 i − · · · dt1 · · · dtn e −α( |t1 | + ··· + |tn | ) · Uα t, t0 = n! h ¯ n=0 D

t0



    · TD VD t1 · · · VD tn .

(5.27)

Jeder Term gehört zu einer bestimmten Potenz der Kopplungskonstanten λ. Die Reihe ist also im Sinne der Vorbetrachtungen des letzten Abschnitts günstig sortiert. Die Wirkungsweise des Zeitentwicklungsoperators ist nach (3.30) klar:  D       ψ (t) = U D t, t0  ψD t0 . (5.28) α α α Die Bewegungsgleichung (3.37),  D    ˙ α (t) = e −α |t| VD (t)  ψD i¯ h ψ α (t) , impliziert bei α > 0:

 D  ˙ α (t → ±∞) = 0 . i¯ h ψ

Der Zustand wird im Wechselwirkungsbild in dieser Grenze also zeitunabhängig. Wir setzen  D     ψ (t → −∞) =  η0 , (5.29) α  D  da wegen T = 0 sich  ψα (t → −∞) nur um einen Phasenfaktor vom Grundzustand des freien Systems unterscheiden wird. Diesen können wir o. B. d. A. gleich 1 setzen. Damit ist die Phase für den entsprechenden Grenzzustand bei t → +∞ allerdings nicht mehr frei:    D   ψ (t → +∞) = e iϕ  η0 . (5.30) α Mit (5.28) erhalten wir nun für die Zeitentwicklung des Dirac-Zustands:  D     ψ (t) = U D (t, −∞)  η0 . α α

(5.31)

Bei t = 0 ist die Wechselwirkung voll eingeschaltet. Es kann natürlich nicht aus D   geschlossen werden, dass der Zustand ψα (0) noch von α abhängt. α legt ja die Geschwindigkeit des Einschaltprozesses fest. Führt man diesen jedoch adiabatisch (α → 0) durch, so könnte man meinen, dass sich zu jeder Zeit t der der entsprechenden Wechselwirkungsstärke zugeordnete Grundzustand einstellt. Dann würde der gesuchte exakte Grundzustand aus (5.31) und   D ?   E = lim  ψD (0) (5.32) 0 α α→0

berechenbar sein. Da wir aber für (5.29) explizit α > 0 annehmen mussten, ist keineswegs sicher, dass der Limes α → 0 wirklich existiert.

5.1

Kausale Green-Funktion

317

Gell-Mann–Low-Theorem Wenn der Zustand

 D     ψ (0) UαD (0, −∞)  η0   = lim   α  lim   D α → 0 η0  Uα (0, −∞)  η0 α→0 η0  ψD α (0)

(5.33)

in jeder Ordnung Störungstheorie existiert, dann ist er exakter Eigenzustand zu H. Der Grenzwert (5.32) existiert dagegen nicht! Dieses Theorem legt den Eigenzustand fest, der sich nach dem adiabatischen Einschalten der Störung aus dem freien Grundzustand entwickelt. Das muss nicht notwendig der Grundzustand des wechselwirkenden Systems sein. Deswegen werden wir später die Zusatzannahme postulieren müssen, dass kein Überkreuzen der Zustände beim Entwickeln aus den freien Zuständen auftritt. Das wird in der Regel wohl auch richtig sein, jedoch schließt diese Zusatzannahme natürlich Phänomene wie Supraleitung aus. Dort führt die Wechselwirkung zu einem neuen Typ Grundzustand mit veränderter Symmetrie und einer geringeren Energie als der adiabatische Grundzustand. Wir wollen den Beweis des Gell-Mann–Low-Theorems kurz skizzieren: Ausgangspunkt ist die Beziehung     D     H0 − η0  ψD α (0) = H0 − η0 Uα (0, −∞) η0 = (5.34)     = H0 , UαD (0, −∞) −  η0 . Setzen wir (5.27) ein, so haben wir den folgenden Kommutator auszuwerten:      H0 , VD t1 · · · VD tn − =        = H0 , VD t1 − VD t2 · · · VD tn +       + VD t1 H0 , VD t2 − VD (t3 ) · · · VD tn + (5.35)

+ ···+        + VD t1 VD t2 · · · H0 , VD tn − =

    ∂ ∂ ∂ VD t1 · · · VD tn . h + + ···+ = −i¯ ∂t1 ∂t2 ∂tn

Im letzten Schritt haben wir die Bewegungsgleichung (3.35) ausgenutzt. Es ist unmittelbar klar, dass aus (5.35) ⎞ ⎛ n             ∂ ⎠ TD VD t1 · · · VD tn H0 , TD VD t1 · · · VD tn − = −i¯ (5.36) h⎝ ∂tj j=1

318

5. Störungstheorie (T = 0)

folgt. Dies setzen wir mit (5.27) in (5.34) ein:   (H0 − η0 )  ψD α (0) =  n − 1

∞  1 i − · · · dt1 · · · dtn · =− n! h¯ n=1 0

−∞

(5.37)

⎛ ⎞ n         ∂ ⎠ TD VD t1 · · · VD tn  η0 . · e −α( |t1 | +···+ |tn | ) ⎝ ∂tj j=1

Wegen der anschließenden Integrationen liefern die n Zeitdifferentiationen natürlich denselben Beitrag. Man braucht die Zeiten ja nur passend umzuindizieren. Wir können in (5.37) also die Ersetzung ⎛ ⎞ n  ∂ ⎝ ⎠ −→ n ∂ ∂tj ∂tn j=1

vereinbaren. Nun ist aber

0

dtn e +αtn

−∞

  ∂    TD VD t1 · · · VD tn = ∂tn

    0 = e αtn TD VD t1 · · · VD tn

0



−∞

−

     dtn α e αtn TD VD t1 · · · VD tn =

−∞

    = VD (0)TD VD t1 · · · VD (tn − 1 ) − α

0

     dtn e −α |tn | TD VD t1 · · · VD tn .

−∞

Dies bedeutet für (5.37):    H0 − η0  ψD α (0) = −VD (0)

·

0

···

 n − 1 1 i − · (n − 1)! h¯ n=1 ∞ 

       dt1 · · · dtn − 1 e −α( |t1 | +···+ |tn − 1 | ) TD VD t1 · · · VD tn − 1  η0 + (5.38)

−∞

 n − 1 0 1 i − · · · dt1 · · · dtn · +α (n − 1)! h¯ n=1 ∞ 

−∞

       · e −α( |t1 | + ··· + |tn | ) TD VD t1 · · · VD tn  η0 .

5.1

Kausale Green-Funktion

319

Wegen (5.4) gilt:      TD VD t1 · · · VD tn ∼ λn . Im zweiten Summanden von (5.38) haben wir dann einen Term der Form  n − 1  n  ∂ i 1 i 1 n n − α − λ = αi¯hλ λ . h¯ (n − 1)! ∂λ h¯ n!

(5.39)

Damit können wir die beiden Summanden in (5.38) zusammenfassen:    H0 − η0  ψD α (0)  n 0 ∞  ∂  1 i − · · · dt1 · · · dtn e −α( |t1 | + ··· + |tn | ) · hαλ = −VD (0) + i¯ ∂λ n = 0 n! h¯ −∞

       · TD VD t1 · · · VD tn  η0 =  ∂  D  = −VD (0) + i¯ hαλ ψα (0) .

(5.40)

∂λ

Bei t = 0 ist die Wechselwirkung im Dirac-Bild mit der des Schrödinger-Bildes identisch. Wir können also noch H0 mit VD (0) zusammenfassen:     ∂  H − η0  ψD hαλ  ψD α (0) = i¯ α (0) .

∂λ

Wir formen noch etwas um:   D  ψ (0) ∂  α  = H − η0 − i¯ hαλ ∂λ η0  ψD (0) α

 D   ψ (0) i¯ hαλ ∂  D  ψ (0) + = (H − η0 )   α D  −   D    η0 ψα (0) η0 ψα (0) ∂λ α    i¯ hα  ψD (0)   ∂  (0) = +    α  2 η0  λ  ψD α ∂λ η0  ψD (0) α

      ψD   ψD   (0) (0) α = H − η0   D  − H − η0   α D  + η0  ψα (0) η0  ψα (0)

(5.41)

 D       ψ (0) η0  H − η0 ψDα (0)  α    = +   D  η0  ψα (0) η0  ψDα (0) =



 D     D 

 ψ (0) η0  H  ψα (0) α     − η0 . η0  ψDα (0) η0  ψDα (0)

(5.41)

320

5. Störungstheorie (T = 0)

Insgesamt haben wir also gefunden:    D 

 D  η0  H  ψα (0) ψ (0) ∂   α  − i¯  =0. H−  hαλ ∂λ η0  ψDα (0) η0  ψDα (0)

(5.42)

Nun soll nach Voraussetzung der Zustand rechts neben der Klammer auch für α → 0 in jeder störungstheoretischen Ordnung existieren, d. h. in jeder Ordnung der Koppelkonstanten λ. Daran ändert sich auch dann nichts, wenn wir diesen Ausdruck nach λ ableiten. Vollziehen wir nun in (5.42) den Grenzübergang α → 0, so verschwindet der dritte Summand in der Klammer:    D   D   ψ (0) η0  H  ψ (0)  0 D  = 0 . H−   D0  (5.43) η0  ψ (0) η0  ψ (0) 0

0

Damit ist die Behauptung des Gell-Mann–Low-Theorems bewiesen. Wir haben gezeigt, dass es sich bei dem Zustand (5.33) unter den getroffenen Voraussetzungen um einen exakten Eigenzustand handelt. Gemäß früherer Überlegungen treffen wir die Zusatzannahme, dass es sich dabei um den Grundzustand handelt:  D   D   E (0)  ψ (0)   ! 0  0     =  (5.44) = E0 . η0  ψD (0) η0  ED (0) 0

0

Wir zeigen zum Schluss noch, dass Zähler und Nenner von (5.33) für sich genommen in der Grenze α → 0 nicht existieren. Wir betrachten dazu den folgenden Ausdruck:  ∂   i¯ hαλ ln η0  ψD α (0) =

∂λ

=



1 ∂   D    i¯ hαλ η ψ (0) = D  ∂λ 0 α η0 ψ (0)

(5.41)



    1   η0  H − η0  ψD (0) = α D η0  ψ (0)

=

 =

α α

   η0  VD (0)  ψDα (0) (5.5)    −−→ ΔE0 (λ) . α→0 η0  ψDα (0)

Daraus folgt weiter:

∂   D  1 ΔE0 (λ) 1 ln η0 ψα (0) −−→ . α → 0 i¯ ∂λ h λ α

Die Integration über λ führt auf einen Ausdruck der Form    −if (λ) ln η0  ψD α (0) −−→ α→0

und damit









η0  ψDα (0) − −→ exp −i α→0

α

f (λ)

α

.

(5.45)

  Der Zustand  ψD α (0) hat also eine mit 1|α für α → 0 divergierende Phase. Der Grenzübergang (5.32) existiert deshalb nicht. Diese divergierende Phase kürzt sich bei dem Zustand (5.33) offensichtlich heraus.

5.1

Kausale Green-Funktion

321

5.1.3 Kausale Green-Funktion Green-Funktionen sind nach ihrer Definition in Abschn. 3.2.1 Erwartungswerte von zeitabhängigen Heisenberg-Operatoren. Da wir in diesem Abschnitt generell T = 0 voraussetzen wollen, sind diese Erwartungswerte mit dem Grundzustand zu bilden. Die Heisenberg-Darstellung ist für eine Störungstheorie ungünstig, bequemer ist die Dirac-Darstellung. Wir untersuchen deshalb zunächst die entsprechenden Transformationen. Wir haben mit (5.44) den Grundzustand des wechselwirkenden Systems gefunden:     UαD (0, −∞)  η0    . (5.46) E0 = lim   D α→0 η0  Uα (0, −∞)  η0

Da die Wechselwirkung für positive Zeiten auf dieselbe Art und Weise wieder ausgeschaltet wird, wie sie von t = −∞ kommend für negative Zeiten eingeschaltet wurde, hätten wir das Gell-Mann–Low-Theorem auch für den Zustand   U D (0, +∞)  η0   (5.47) | E0  = lim  α D α→0 η0  U (0, +∞)  η0 α

    E0 beweisen können. Da  η0 nach Voraussetzung nicht entartet ist, können sich  und | E0  höchstens durch eine Phase voneinander unterscheiden. Wegen 











E0 = η0   E0 = 1 η0  

(5.48)

     E0 . E0 ≡ 

(5.49)

ist jedoch sogar:

Der normierte Grundzustand, der zur Zeit t = 0 in allen Bildern derselbe ist, lautet dann:         E E  E0 =    0   =    0   . (5.50) 1| 2 1| 2

    E0 E0

E0  E0  Für den Zeitentwicklungsoperator in der Dirac-Darstellung gilt nach (3.33),       i i D S

H0 t Uα t, t exp − H0 t , Uα t, t = exp h¯ h¯

(5.51)

und damit für einen beliebigen Operator A in der Heisenberg-Darstellung: S S S AH α (t) = Uα (0, t)Aα Uα (t, 0) =

  i i = UαS (0, t) exp − H0 t AD (t) exp H0 t UαS (t, 0) = h¯ h¯ = UαD (0, t)AD (t)UαD (t, 0) .

(5.52)

322

5. Störungstheorie (T = 0)

Damit können wir nun den Erwartungswert einer Heisenberg-Observablen im Grundzustand bilden:     H    H   E0 E0  Aα → 0 (t)      E0  A (t)  E0 = =   E0 E0      H E0 E0  Aα → 0 (t)   (5.49)     = =    E0 E0     D η0  Uα (+∞, 0)AHα (t)UαD (0, −∞)  η0     = lim . α→0 η0  U D (∞, 0)U D (0, −∞)  η0 α

α

Wir definieren, Streumatrix: Sα = UαD (+∞, −∞) ,

(5.53)

und können dann mithilfe von (5.52) den Erwartungswert bezüglich des wechselwirkenden Grundzustands in einen Ausdruck überführen, der sich auf den Grundzu stand  η0 des freien Systems bezieht:     D   H   η0  Uα (∞, t)AD (t)Uα (t, −∞)  η0     E0  A (t)  E0 = lim . (5.54) α→0 η0  Sα  η0 Mit (5.51) lässt sich diese Beziehung unmittelbar auf mehrere Operatoren verallgemeinern:      H E0  A (t)BH t  E0 =         η0  UαD (∞, t)AD (t)UαD t, t BD t UαD t , −∞  η0     = lim . α→0 η0  Sα  η0 

(5.55)

Mithilfe dieses Ausdrucks wollen wir nun die in (3.119) definierte kausale GreenFunktion in eine für die Störungstheorie vernünftige Form bringen. Dazu werden wir UαD nach (5.27) einsetzen, wobei wir allerdings ab jetzt den Index „D“ weglassen, da im Folgenden ausschließlich in der Dirac-Darstellung gearbeitet wird. In der Definition der kausalen Green-Funktion (3.119) taucht der Wick’sche Zeitordnungsoperator Tε auf. Dieser sortiert Operatoren zu späteren Zeiten nach links, wobei jede Vertauschung einen Faktor ε = +1 für Bose-Operatoren und ε = −1 für Fermi-Operatoren beisteuert. In UαD taucht dagegen der Dyson’sche Zeitordnungsoperator TD (3.15) auf. Dieser sortiert wie Tε , aber ohne den Faktor ε. TD wirkt auf die Wechselwirkung V(t). Diese besteht jedoch im Fall von Fermionen immer aus einer geraden Anzahl von Konstruktionsoperatoren, sodass die Ersetzung TD

⇒

Tε

im Zeitentwicklungsoperator stets erlaubt ist. – Wir behaupten nun, dass man den Erwartungswert (5.54) wie folgt schreiben kann:

5.1

Kausale Green-Funktion



323

   E0  AH (t)  E0 =  ν

∞  1 1 i    − · · · dt1 · · · dtν · η0  Sα  η0 ν=0 ν! h¯ +∞

= lim  α→0

(5.56)

−∞

         · e −α( |t1 | + ··· + |tν | ) η0  Tε V t1 · · · V tν A(t)  η0 .

Zum Beweis betrachten wir eine Momentaufnahme im ν-ten Summanden: n Zeiten

t1 , t2 , . . ., tn > t ,

m Zeiten ¯t1 , ¯t2 , . . ., ¯tm < t , mit m + n = ν. In diesem Fall gilt:           Tε {. . . } = Tε V t1 · · · V tn A(t)Tε V ¯t1 · · · V ¯tm . Diese Situation lässt sich bei ν unabhängigen Zeiten durch ν! n! m! Möglichkeiten gleichen Beitrags realisieren. Wir erfassen dann alle Möglichkeiten durch Summation über alle denkbaren n und m mit ν = n + m als Randbedingung:  ν

∞  1 i − · · · dt1 · · · dtν e −α( |t1 | + ··· + |tν | ) · ν! h ¯ ν=0 +∞

−∞

      · Tε V t1 · · · V tν A(t) =

∞ 0...∞   1  i ν ν! = − δν, n + m · · · dt1 · · · dtn · ν! n, m h¯ n! m! ν=0 ∞

t

· e

·

−α( |t1 | + ··· + |tn | ) t

···

     Tε V t1 · · · V tn A(t) ·

  d¯t1 · · · d¯tm e −α( |¯t1 | + ··· + |¯tm | ) Tε V(¯t1 ) · · · V(¯tm ) =

−∞

⎡

 n

∞  1 i − · · · dt1 · · · dtn e −α( |t1 | + ··· + |tn | ) · =⎣ n! h¯ n=0 ∞

t

⎤ ⎡  m ∞       1 i ⎦ ⎣ − A(t) · · Tε V t1 · · · V tn m! h ¯ m=0

·

t

··· −∞

d¯t1 · · · d¯tm e

−α( |¯t1 | + ··· + |¯tm | )

⎤      Tε V ¯t1 · · · V ¯tm ⎦ .

324

5. Störungstheorie (T = 0)

Der Vergleich mit (5.27) liefert dann:  ν

∞  1 i − · · · dt1 · · · dtν e −α( |t1 | + ··· + |tν | ) · ν! h ¯ ν=0 +∞

−∞

(5.57)

      · Tε V t1 · · · V tν A(t) = = Uα (∞, t)A(t)Uα (t, −∞) .

Zusammen mit (5.54) beweist diese Beziehung die Behauptung (5.56). Mit demselben Gedankengang können wir nun auch (5.55) umformen. Wir haben lediglich die Integrationsvariablen in drei Gruppen einzuteilen. Dies führt zu:    H     E0  Tε A (t)BH t  E0 =  ν

∞  1 1 i = lim     − · · · dt1 · · · dtν · α → 0 η0  Sα  η0 ν! h¯ ν=0 +∞

(5.58)

−∞

· e

−α( |t1 | +···+ |tν | )



          η0  Tε V t1 · · · V tν A(t)B t  η0 .

Wir können damit nun speziell die kausale T = 0 -Green-Funktion in eine Form bringen, die sich für eine diagrammatische Störungstheorie als zweckmäßig erweist:

kausale Ein-Elektronen-Green-Funktion (T = 0)   iGckσ t, t =  ν

∞  1 1 i = lim     − · · · dt1 · · · dtν · α → 0 η0  Sα  η0 ν! h¯ ν=0 +∞

−∞

· e −α( |t1 | + ··· + |tν

 |)

          η0  Tε V t1 · · · V tν akσ (t)a+kσ t  η0 .

(5.59)

Der Nenner  η0 | Sα | η0  hat dabei eine analoge Gestalt wie der Zähler, nur die Operatoren akσ , a+kσ fehlen im Argument des Tε -Operators. 5.1.4 Aufgaben 5.1.1

Aufgabe 5.1.1 P = | η   η | sei der Projektionsoperator auf den Eigenzustand | η  des Hamilton-Operators H. Zeigen Sie, dass P und der Orthogonalprojektor Q = 1 − P mit H kommutieren.

5.1

Kausale Green-Funktion

325

Aufgabe 5.1.2 Wenn

5.1.2

H = H0 + λv = H(λ) der Hamilton-Operator eines Teilchensystems mit Wechselwirkung ist, so wer   den der (nomierte) Grundzustand E0 und die Grundzustandsenergie E0 Funktionen der Koppelkonstanten λ. Zeigen   Sie, dass für die Niveauverschiebung des ungestörten Grundzustands  η0 aufgrund der Wechselwirkung λv gilt:

ΔE0 (λ) = E0 (λ) − η0 =

λ 0

dλ 

λ

     E0 λ  λ v  E0 λ .

Aufgabe 5.1.3 Elektronen eines Valenzbandes, die mit einem antiferromagnetisch geordneten lokalisierten Spinsystem wechselwirken, beschreiben wir durch das folgende vereinfachte s-f-Modell:  H = H0 + H1 ; H0 = εαβ (k)a+kσα akσβ ; k, σ α, β

1   z + zσ Sα akσα akσα . H1 = − g 2 k, σ , α

α = A, B kennzeichnet die beiden chemisch äquivalenten, ferromagnetischen Untergitter A und B:      z SA = − SzB = Sz . Die Bloch-Energien

εAA (k) = εBB (k) = ε(k);

εAB (k) = ε∗BA (k) = t(k)

seien bekannt, wobei k eine Wellenzahl aus der ersten Brillouin-Zone eines der beiden äquivalenten Untergitter ist. 1. Berechnen Sie Eigenwerte und Eigenzustände des ungestörten Operators H0 . 2. Berechnen Sie die Energiekorrekturen erster und zweiter Ordnung in der Schrödinger-Störungstheorie. 3. Berechnen Sie die Energiekorrekturen erster und zweiter Ordnung in der Brillouin-Wigner-Störungstheorie. 4. Vergleichen Sie die Ergebnisse von Teil 1. und 2. mit den exakten Eigenenergien.

5.1.3

326

5.2

5. Störungstheorie (T = 0)

5.2 Das Wick’sche Theorem 5.2.1 Das Normalprodukt Um konkret zu sein, wollen wir uns im Folgenden ausschließlich auf

Fermi-Systeme konzentrieren, die einer Paarwechselwirkung der Form V(t) =

1 v(kl; nm)a+k (t)a+l (t)am (t)an (t) 2

(5.60)

kl mn

unterliegen. Die nahe liegendste Realisierung wäre die Elektron-Elektron-CoulombWechselwirkung mit k ≡ (k, σ ), . . . Die Operatoren stehen in ihrer Dirac-Darstellung, wobei die Zeitabhängigkeit eigentlich trivial ist. Nach dem Baker-Hausdorff-Theorem (s. Aufg. 3.1.2) gilt:  ak (t) = exp

   ∞ i i 1 i n   H0 t ak exp − H0 t = − t Ln H0 ak , h¯ h¯ n! h¯ n=0     L H0 ak = [ak , H0 ]− = ε(k) − μ ak ,     Ln H0 ak = . . . [[ak , H0 ]− , H0 ]− . . ., H0 =   ! − n-fach



n

(5.61) (5.62)

(5.63)

= ε(k) − μ ak . Dies bedeutet:

  i ak (t) = exp − ε(k) − μ t ak , h¯   i ε(k) − μ t a+k . a+k (t) = exp h¯

(5.64) (5.65)

Nach (5.59) besteht die Aufgabe darin, Erwartungswerte der folgenden Form zu bilden:        +   +  η0  Tε ak1 t1 al1 t1 am1 t1 an1 t1 · · · (5.66)             · · · a+kn tn a+ln tn amn tn ann tn akσ (t)a+kσ t  η0 . Wir versuchen, diese Produkte   so umzuformen, dass die Anwendung der Operatoren auf den Grundzustand  η0 des wechselwirkungsfreien Systems durchführbar  leicht  wird. Wir führen dazu neue Operatoren ein. Im Grundzustand  η0 sind alle Niveaus innerhalb der Fermi-Kugel (Radius kF im k-Raum) besetzt. Der Operator

5.2

Das Wick’sche Theorem

⎧ ⎨a+ γk+σ = kσ ⎩ akσ

327

für

|k| > kF ,

für

|k| ≤ kF

(5.67)

erzeugt deshalb außerhalb der Fermi-Kugel ein Teilchen, innerhalb derselben ein Loch. Das entsprechende Vernichten wird von dem Operator γkσ bewirkt: ⎧ ⎨a für |k| > kF , γkσ = kσ (5.68) ⎩ + akσ für |k| ≤ kF , Für die γ ’s gelten natürlich dieselben fundamentalen Vertauschungsrelationen wie für die a’s. Für |k| > kF sind γkσ und γk+σ Konstruktionsoperatoren für Teilchen, für |k| ≤ kF für Löcher. Wegen   (5.69) γkσ  η0 = 0   nennt man  η0 auch das Fermi-Vakuum oder den Vakuumzustand. Wir führen nun das so genannte   Normalprodukt N · · · γk+ · · · γl eines Produkts aus solchen auf das Fermi-Vakuum bezogene Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren γ + , γ durch die Vorschrift ein, dass alle Erzeuger γ + links von allen Vernichtern γ zu stehen kommen. Jede dazu benötigte Vertauschung von zwei Operatoren bringt einen Faktor (−1). Die Reihenfolge der γ ’s unter sich und der γ + ’s unter sich ist dabei belanglos. Beispiel

  N γ1 γ2+ γ3 = (−1)γ2+ γ1 γ3 = = (−1)2 γ2+ γ3 γ1 =   = N γ2+ γ3 γ1 =   = (−1)3 N γ3 γ2+ γ1 . Stehen im Argument von N die „ursprünglichen“ a und a+ , so werden diese gemäß (5.67) und (5.68) als γ bzw. γ + interpretiert. Wichtig für unsere Zwecke ist:      (5.70) η0  N · · · γk+ · · · γl · · ·  η0 = 0 . Eine Zerfällung der T-Produkte nach N-Produkten in (5.66) wäre also wünschenswert, soll deshalb im Folgenden versucht werden. Wir definieren:

328

5. Störungstheorie (T = 0)

Kontraktion         A(t)B t ≡ Tε A(t)B t − N A(t)B t .

(5.71)

Sind die Operatoren A, B beide Erzeuger oder beide Vernichter, so ist die Kontraktion offenbar Null. Interessant sind also nur die folgenden beiden Fälle: ⎧ ⎨γ (t)γ + t  + γ + t  γ (t)   für t > t , k +

k

γk (t)γk t = k k

(5.72) ⎩ 0 für t < t , ⎧ ⎨−γ (t)γ + t  − γ + t  γ (t)   für t > t , k k +

k

k

γk t γk (t) = (5.73) ⎩ 0 für t < t . Da die Zeitabhängigkeit der γ ’s wegen (5.64) und (5.65) trivial ist, ferner für k =/ k

alle Konstruktionsoperatoren antikommutieren, sind obige Kontraktionen für k =/ k

sämtlich Null. Wir formulieren (5.72) und (5.73) noch einmal explizit für die ursprünglichen Operatoren ak , a+k : |k| > kF : ⎧      ⎪ ⎨exp − i ε(k) − μ t − t

für t > t ,   h¯ ak (t)a+k t = δkk

(5.74) ⎪ ⎩0

für t < t , ⎧      ⎪ ⎨− exp − i ε(k) − μ t − t

für t > t ,   +

h ¯ (5.75) ak t ak (t) = δkk

⎪ ⎩0 für t < t , |k| ≤ kF :   ak (t)a+k t = δkk

⎧ ⎪ ⎨0

    i ⎪ ⎩− exp − ε(k) − μ t − t

h¯ ⎧ ⎪ ⎨0     a+k t ak (t) = δkk

  i

⎪ ⎩exp − ε(k) − μ t − t h¯

für t > t , für t < t ,

(5.76)

für t > t , für t < t ,

(5.77)

Nun gilt nach (3.204) für die freie, kausale Green-Funktion (ε = −1, T = 0): '  &      c



1 − nkσ (0) − Θ t − t nkσ (0) · iG0, kσ t − t = Θ t − t     i

. · exp − ε(k) − μ t − t h¯

(5.78)

5.2

Das Wick’sche Theorem

329

Der Vergleich liefert:    c t − t , ak (t)a+k t = iG0, k

(5.79)

   c a+k t ak (t) = −iG0, t − t . k

(5.80)

Die Tε -Produkte von zwei zeitabhängigen Konstruktionsoperatoren zerfallen also in Normalprodukte, die bei der Mittelwertbildung mit dem freien Grundzu  stand  η0 verschwinden, und Kontraktionen, die nichts anderes als freie, kausale Green-Funktionen sind. (Im Argument der Green-Funktion steht stets Vernichterzeit minus Erzeugerzeit.) Kontraktionen sind dabei C-Zahlen, also keine Operatoren: 

      η0  ak (t)a+k t  η0 = ak (t)a+k t .

(5.81)

Diese wichtigen Relationen gelten für t =/ t . Für t = t sind die kausalen Funktionen nicht definiert. Das Problem der Gleichzeitigkeit taucht immer dann auf, wenn in einem typischen Term wie (5.66) Erzeuger und Vernichter miteinander kontrahiert werden, die aus demselben Wechselwirkungspotential V(t) stammen. Man vereinbart, dass die Tε -Produkte die Operatoren in ihrer natürlichen Reihenfolge belassen, d. h. den Erzeuger links vom Vernichter. Dies bedeutet tVernichter − tErzeuger = 0− und damit: c − ak (t)a+k (t) = iG0, k (0 ) ;

c − a+k (t)ak (t) = −iG0, k (0 ) ,

(5.82)

wobei nach (5.78) gilt: c − (0) iG0, . k (0 ) = − nk 

(5.83)

5.2.2 Der Wick’sche Satz Gleichung (5.71) liefert die gesuchte Zerfällung eines Tε -Produkts aus zwei Faktoren in Normalprodukte und Kontraktionen. Allgemein folgt diese aus dem Wick’schen Satz für ein Tε -Produkt aus n Faktoren. Satz 5.2.1

5.2.1

U, V, W, . . ., X, Y, Z :

Fermionenoperatoren .

330

5. Störungstheorie (T = 0)

Dann gilt: Tε (UVW. . . XYZ) = N(UVW. . . XYZ) + ⎞

⎛ N-Produkte

⎟ ⎜ ⎜ mit einer ⎟ ⎠ ⎝ Kontraktion

+N(UVW. . . XYZ)+ +N(UVW. . . XYZ)+ + ···+

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

(5.84)

⎞ N-Produkte mit zwei

⎟ ⎟ ⎠

Kontraktionen

+N(UVW. . . XYZ)+ +N(UVW. . . XYZ)+ + ···+ + {totale Paarung}

Unter totaler Paarung versteht man die vollständige und auf alle denkbaren Arten und Weisen durchgeführte Zerlegung des Operatorprodukts UVW. . . XYZ in Kontraktionen, was natürlich eine gerade Anzahl von Operatoren voraussetzt. Der obige Wick’sche Satz, den man auch als Wick’sches Theorem bezeichnet, ist eine Operatoridentität. Sein Wert wird jedoch erst bei der Mittelung mit dem Grundzu  stand  η0 deutlich, wenn alle Normalprodukte verschwinden:     (5.85) η0  Tε (UVW. . . XYZ)  η0 = {totale Paarung} . Dabei stellt nach (5.79) bis (5.82) die totale Paarung eine Summe von Produkten aus kausalen Green-Funktionen der freien Systeme dar. Bevor wir den Satz beweisen, betrachten wir als Beispiel das Tε -Produkt aus vier Operatoren: Tε (UVWX) = N(UVWX) + * + UV N(WX) + VW N(UX)+ + WX N(UV) + UX N(VW) − (5.86) + −UW N(VX) − VX N(UW) + ' & + UV WX − UW VX + UX VW .

5.2

Das Wick’sche Theorem

331

Kontraktionen können als C-Zahlen natürlich aus dem N-Produkt herausgezogen werden. Dazu treffen wir die Vorzeichenkonvention, dass die zu kontrahierenden Operatoren im N-Produkt nebeneinander stehen müssen. Die dazu erforderlichen Vertauschungen von je zwei Fermionenoperatoren liefern jeweils einen Faktor (−1). Zum Beweis des Satzes ist die Annahme erlaubt, dass die Operatoren U, V, W, . . . , X, Y, Z im Argument des Tε -Operators bereits zeitgeordnet sind. Wenn das noch nicht der Fall ist, dann ordnen wir das Argument des Tε -Operators entsprechend um. Dies ergibt bei p Vertauschungen einen Faktor (−1)p auf der linken Seite von (5.84). Derselbe Faktor tritt aber dann auch in jedem Summanden auf der rechten Seite auf, wenn wir entsprechend die Argumente der N-Produkte umsortieren. Entscheidend für den Beweis des Wick’schen Theorems ist der folgende Hilfssatz 5.2.1 Sei Z ein Operator mit einer früheren Zeit als U, V, W, . . ., X, Y. Dann gilt:

N(UV. . . XY)Z = N(UV. . . XYZ) + + N(UV. . . XYZ) + + ···+

(5.87)

+ N(UV. . . XYZ) + + N(UV. . . XYZ) .

Beweis 1. Z: Vernichter auf dem Fermi-Vakuum. Dann gilt:

UZ = Tε (UZ) − N(UZ) = UZ − UZ = 0 . (5.87) ist also offensichtlich bewiesen, falls N(UV. . . XY)Z = N(UV. . . XYZ)

2.

angenommen werden darf. Dies ist aber sicher erlaubt, da Z ein Vernichter sein soll. Z: Erzeuger auf dem Fermi-Vakuum.

Wir können davon ausgehen, dass die Operatoren U, V, . . ., X, Y in (5.87) bereits normal-geordnet sind. Wenn dies nicht der Fall ist, werden wir in den Argumenten der N-Produkte passend umsortieren, was in jedem Summanden einen Fak-

5.2.1

332

5. Störungstheorie (T = 0)

tor (−1)m einbringt. – Wenn aber bereits Normalordnung vorliegt, dann können wir o. B. d. A. die Operatoren U, V, . . . X, Y sämtlich als Vernichter auf dem FermiVakuum ansehen. Wir können nämlich später von links Erzeuger einfüllen, ohne die Normalordnungen zu ändern. Die rechts dann zusätzlich erscheinenden Terme enthalten Kontraktionen des Erzeugers Z mit einem der eingefüllten Erzeuger, sind also sämtlich Null. Wir brauchen also das Lemma nur für den Fall zu beweisen, dass Z ein Erzeuger und U, V, . . ., X, Y Vernichter sind. Wir führen den Beweis durch vollständige Induktion: n=2 : Wir haben zu zeigen: N(Y)Z = N(YZ) + N(YZ) . Die Kontraktion ist eine C-Zahl. Deshalb ist die Beziehung genau dann bewiesen, wenn YZ = YZ + N(YZ) gilt. Mit der Voraussetzung ty > tz ist dies aber gerade die Definition (5.71) der Kontraktion: Tε (YZ) = YZ + N(YZ) . n⇒n+1 : Wir multiplizieren (5.87) von links mit einem weiteren Vernichter D: Da auch U, V, . . ., X, Y Vernichter sind, folgt zunächst: DN(UV. . . XY)Z = N(DUV. . . XY)Z . Nach Induktionsvoraussetzung gilt (5.87) für n Operatoren: DN(UV. . . XY)Z = DN(UV. . . XYZ) + DN(UV. . . XYZ) + + · · · + DN(UV. . . XYZ) + DN(U. . . Z) = = N(DUV. . . XYZ) + N(DUV. . . XYZ) + + · · · + N(DUV. . . XYZ) + DN(UV. . . XYZ) . Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass der einzige Erzeuger in den Argumenten der N-Produkte, der Operator Z, ausschließlich in Kontraktionen auftaucht, also nicht

5.2

Das Wick’sche Theorem

333

mehr als Operator wirkt. Wir können also den Vernichter D, wie angegeben, in die N-Produkte ziehen. – (5.87) ist demnach bewiesen, wenn DN(UV. . . XYZ) = N(DU. . .YZ) + N(DU. . . YZ) gezeigt werden kann. Nun ist aber: DN(UV. . .YZ) = (−1)n DZUV. . .Y = (tD >tZ )

=

(−1)n DZUV. . .Y + (−1)n N(DZ)UV. . .Y =

= (−1)2n N(DUV. . .YZ) + (−1)n + 1 N(ZD)UV. . .Y = = N(DUV. . .YZ) + (−1)n + 1 N(ZDUV. . .Y) = = N(DUV. . .YZ) + (−1)n + 1 (−1)n + 1 N(DUV. . .YZ) = = N(DUV. . .YZ) + N(DUV. . .YZ) . Damit ist der Hilfssatz (5.87) bewiesen. Man erkennt unmittelbar, dass (5.87) auch dann gültig ist, wenn das Normalprodukt auf der linken Seite bereits eine oder mehrere Kontraktionen enthält: N(UV. . . XY)Z = N(UV. . . XYZ) + · · · + + · · · + N(UV. . . XYZ) + N(UV. . . XYZ) .

(5.88)

Damit können wir nun den Wick’schen Satz (5.84) beweisen, wiederum durch vollständige Induktion. Wir nutzen dabei die oben erläuterte Tatsache aus, dass die Operatoren bereits als zeitgeordnet angenommen werden können. n=2 : Tε (UV) = UV = N(UV) + UV . Dies ist nichts anderes als die Definition der Kontraktion. n⇒n+2 : Wir multiplizieren (5.84) von rechts mit AB, wobei tU > tV > tW > · · · > tX > tY > tZ > tA > tB

334

5. Störungstheorie (T = 0)

anzunehmen ist, und nutzen zweimal hintereinander den Hilfssatz (5.87) aus. Tε (UV. . .YZ)AB = Tε (UV. . .YZAB) = = N(UV. . .YZ)AB + N(UV. . .YZ)AB + + ··· = = N(UV. . .YZA)B + N(UV. . .YZA)B + + ···+ + N(UV. . .YZA)B + N(UV. . . YZA)B + + ···+   + {totale Paarung}n AB + N(AB) = = N(UV. . .YZAB) + N(UV. . .YZAB) + + ... + + N(UV. . .YZAB) + N(UV. . . YZAB) + + ... + + {totale Paarung}n N(AB) + + {totale Paarung}n AB = = N(UV. . .YZAB) + N(UV. . .YZAB) + + N(UV. . .YZAB) + · · · + + N(UV. . .YZAB) + N(UV. . .YZAB) + · · · + + ···+ + {totale Paarung}n + 2 .

5.3

Feynman-Diagramme

335

Die {totale Paarung}n + 2 resultiert aus {totale Paarung}n AB und aus allen jenen Termen, bei denen im n-ten Schritt im Argument der N-Produkte alle Operatoren bis auf zwei gepaart sind. Damit ist das fundamentale Wick’sche Theorem bewiesen! 5.2.3 Aufgaben Aufgabe 5.2.1 1. Stellen Sie das zeitgeordnete Produkt &        ' Tε akσ t1 a+lσ t2 amσ t3 a+nσ t3

2.

5.2.1

durch Normalprodukte und passende Kontraktionen dar. Drücken Sie den Erwartungswert des zeitgeordneten Produkts aus Teil 1.   im Grundzustand  η0 des ungestörten Systems durch Produkte der freien kausalen Green-Funktion aus.

Aufgabe 5.2.2 Werten Sie den Erwartungswert des zeitgeordneten Produkts   aus Teil 1. von Aufg. 5.2.1 im Grundzustand  η0 des ungestörten Systems für den Spezialfall k = l = m = n, σ = σ explizit aus, und zwar für 1. t1 > t2 > t3 , 2. t1 > t3 > t2 .

5.2.2

Kontrollieren Sie die Resultate durch direkte Berechnungen der Erwartungswerte, d. h. ohne Anwendung des Wick’schen Theorems.

5.3 Feynman-Diagramme Das Wick’sche Theorem zeigt den Weg für Störungsentwicklungen der verschiedenen Erwartungswerte. Die Hauptaufgabe besteht darin, aus vorgegebenen Produkten von Konstruktionsoperatoren alle denkbaren Kontraktionen zu bilden, wobei diese nach (5.79) und (5.82) direkt mit den ungestörten, kausalen Green-Funktionen zusammenhängen. Diese Aufgabe ist in der Regel mit beträchtlichem Aufwand verbunden, der jedoch durch Einführung von Feynman-Graphen ganz erheblich gesenkt werden kann. Wir beginnen mit dem Erwartungwert des Zeitentwicklungsoperators,      η0  Uα t, t  η0 , den man auch die Vakuumamplitude nennt. Andere Beispiele werden dann ganz zwanglos folgen.

5.3

336

5. Störungstheorie (T = 0)

5.3.1 Störungsentwicklung für die Vakuumamplitude Nach (5.27) haben wir zu berechnen:



    η0  Uα t, t  η0 = 1 +

∞  

    η0  Uα(n) t, t  η0 ,

(5.89)

n=1



 n t  (n)     1 i   − · · · dt1 · · · dtn · η0 Uα t, t η0 = n! h¯ t

· e −α( |t1 | + ··· + |tn

 |)

        η0  Tε V t1 · · · V tn  η0 .

(5.90)

V(t) soll eine Paarwechselwirkung vom Typ (5.60) sein. Es erweist sich für später als zweckmäßig, in diese eine triviale Integration einzubauen:   1 V t1 = v(kl; nm) 2 kl mn

+∞           dt1 δ t1 − t1 a+k t1 a+l t1 am t1 an t1

(5.91)

−∞

Betrachten wir als Beispiel einmal den ersten Term der Störreihe (5.89): 

    i η0  Uα(1) t, t  η0 = − 2h¯

t dt1 e

−α |t1 |

+∞    dt1 δ t1 − t1 · klmn−∞

t

            · v(kl; nm) η0  Tε a+k t1 a+l t1 am t1 an t1  η0 . 

Zur Auswertung des Matrixelements benutzen wir das Wick’sche Theorem:             η0  Tε {. . . }  η0 = a+k t1 an t1 a+l t1 am t1 −         − a+k t1 am t1 a+l t1 an t1 =    c − c − −iG0, = −iG0, k (0 )δkn l (0 )δlm −      c

0, c 

t − t − t δ i G − t − −iG0, 1 1 km 1 1 δln . k l Dies ergibt mit (5.83) nach Einsetzen:   (1)     η0  Uα t, t  η0 =

i = 2h¯

t t

dt1 e −α |t1 |

 k, l

  nk (0) nl (0) v(kl; lk) − v(kl; kl) .

(5.92)

5.3

Feynman-Diagramme

337

Wir wollen uns dieses Ergebnis durch Diagramme veranschaulichen. Dabei soll im Folgenden schrittweise eine eineindeutige Übersetzungsvorschrift der komplizierten Terme in der Störreihe auf die so genannten Feynman-Graphen erarbeitet werden. Vertex. Die Wechselwirkung wird durch eine gestrichelte Linie symbolisiert. Die Zeitindizes ti , ti dienen nur zur Unterscheidung der Enden der Wechselwirkungslinie. Wegen δ(ti − ti ) im Integranden von (5.91) geben beide Punkte natürlich letztlich denselben Zeitpunkt an. Eine in einen Vertexpunkt einlaufende Linie symbolisiert einen Vernichtungs-, eine auslaufende Linie einen Erzeugungsoperator. ti¢ l

m

v(kl; nm) n

k

Abb. 5.1. Bezifferung eines Vertex als Grundelement eines

ti

Feynman-Diagramms

Eine Kontraktion wird durch eine ausgezogene, mit einem Pfeil versehene Linie repräsentiert, die zwei Vertexpunkte miteinander verbindet. Wir denken uns eine Zeitachse mit von links nach rechts zunehmendem Zeitindex. Man unterscheidet: 1) Propagierende Linien Im Zeitargument der Green-Funktion steht, wie schon früher vereinbart, stets (Vernichterzeit − Erzeugerzeit). ti ¢

t j¢

⇐⇒ nj

ki ti

tj

ti¢

t j¢

 c = −iG0, ki tj − ti δki nj ,

⇐⇒ ni ti

    a+ki ti anj tj = (5.93)

    ani ti a+kj tj =

kj tj

 c = iG0, kj ti − tj δni kj .

(5.94)

Innerhalb der Kontraktion erscheint vorn der Operator mit der weiter links angeordneten Zeit.

338

5. Störungstheorie (T = 0)

2) Nicht propagierende Linien Darunter versteht man eine ausgezogene Linie, die an ein und demselben Vertex ausund einläuft. Es gibt dazu mehrere Möglichkeiten: ti¢

a+ki (ti )aki (ti ) =

⇐⇒ ti

=

c − −iG0, ki (0 )δki ni



= nki

(0)

(5.95)

δki ni .

ki

Diese Zuordnung ist Konvention, der Pfeil an der Blase also eigentlich überflüssig. mi ti¢

ki

ti

li

ti¢

ni

ti

a+ki (ti )ami (ti ) =

⇐⇒

 (0) c − = −iG0, δki mi . ki (0 )δki mi = nki

(5.96)

ani (ti )a+li (ti ) =

⇐⇒

 (0) c − = iG0, δli ni . ni (0 )δni li = − nli

(5.97)

Wir vereinbaren, im Tε -Produkt die Kontraktionen immer so zu sortieren, dass bei Gleichzeitigkeit die Operatoren mit den „gestrichenen“ Zeiten rechts von denen mit den „ungestrichenen“ Zeiten platziert sind. Kombiniert man (5.96) mit (5.97), so erkennt man, dass man innerhalb einer Kontraktion die „gestrichenen“ mit den „ungestrichenen“ Zeiten vertauschen kann. Dies werden wir später noch ausnutzen.   Der erste Term in der Störreihe für Uα t, t hat nur einen einzigen Vertex. Als ausgezogene Linien kommen deshalb nur nicht propagierende Linien in Frage. Die Vierfach- wird dadurch zur Zweifachsumme: 

    i η0  Uα(1) t, t  η0 = − 2h¯

t dt1 e t

+∞   dt1 δ t − t1 ·

−α |t1 |

−∞

(5.98)

å k,l

v(kl; kl)

+

l k

.

v(kl; kl)

Mit den oben aufgelisteten Diagrammregeln ergibt sich hierfür unmittelbar das Ergebnis (5.92). Da an jedem Vertex zwei Linien ein- und zwei Linien auslaufen müssen, ist klar, dass in erster Ordnung keine weiteren Diagramme als die beiden in (5.98) möglich sind.

5.3

Feynman-Diagramme

339

Für den ersten Term der Störreihe ist die Diagrammdarstellung eine Spielerei, von Nutzen wird sie erst bei höheren Termen und beim partiellen Aufsummieren werden. Wie viele verschiedene Graphen sind bei n Vertizes möglich? Das kann man sich wie folgt klar machen: Bei n Vertizes gibt es 2n auslaufende Pfeile. Der erste auslaufende Pfeil hat dann 2n Möglichkeiten, als einlaufender Pfeil an einem Vertex zu enden, dem zweiten Pfeil bleiben dann noch (2n − 1) Möglichkeiten, dem dritten (2n − 2) usw.: n Vertizes ⇐⇒ (2n)! verschiedene Graphen zur Vakuumamplitude. Es werden jedoch nicht immer alle wirklich explizit zu zählen sein. Graphen, die lediglich durch Vertauschung der Indizes an einer Wechselwirkungslinie auseinander hervorgehen, sind natürlich identisch, da ja über alle Wellenzahlen später summiert wird. Auch sind solche Diagramme gleich, bei denen lediglich die Anordnung der Zeitindizes modifiziert wurde, da ja über alle Zeiten unabhängig integriert wird. In diesen Sachverhalt werden wir später eine gewisse Systematik einzubringen haben. Bevor wir allgemeine Diagrammregeln formulieren, wollen wir zur Übung noch den zweiten Summanden der Störreihe genauer untersuchen:   (2)     η0  Uα t, t  η0 =  2 t   1 i = 2 − · · · dt1 dt1 dt2 dt2 e −α( |t1 | + |t2 | ) δ t1 − t1 · 2 2! h¯ t

   · δ t2 − t2



(5.99)

    v k1 l1 ; n1 m1 v k2 l2 ; n2 m2 ·

k1 l1 m1 n1 k2 l2 m2 n2

   · η0  Tε {(2)}  η0 . 

Die totale Paarung des zeitgeordneten Produkts in  η0 | Tε {(2)} | η0  enthält 24 Terme:

ak+1 t1 al+1 t 1¢ am1 t ¢ an1 t1 ak+2 t 2 a+2 l t 2¢ am2 t 2¢ an2 t 2 1) 2) 3) 4) 5)

340

5. Störungstheorie (T = 0)

ak+1 t1 al+1 t 1¢ am1 t ¢ an1 t1 ak+2 t 2 a+2 l t 2¢ am2 t 2¢ an2 t 2

6) 7) 8) 9) 10)

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

18) 19) 20)

5.3

Feynman-Diagramme

341

ak+1 t1 al+1 t 1¢ am1 t 1¢ an1 t1 ak+2 t 2 a+l 2 t 2¢ am2 t 2¢ an2 t 2 21) 22)

23)

24)

Bei der Auswertung der hier angedeuteten Kontraktionen hat man zu beachten, dass die zu kontrahierenden Operatoren nebeneinander stehen müssen. Die dazu notwendigen paarweisen Vertauschungen liefern jeweils einen Faktor (−1). Ferner hatten wir noch vereinbart, in einer Kontraktion die Operatoren so anzuordnen, dass links der Operator mit dem kleineren Zeitindex steht und bei Gleichzeitigkeit der Operator mit der ungestrichenen Zeit. – Das klingt alles sehr kompliziert, wird aber durch die später zu beweisende Schleifenregel stark vereinfacht werden. Wir übersetzen die obigen Beiträge der totalen Paarung in die Diagrammsprache: t1¢

t 2¢

1)

2)

t1¢

t 2¢

3)

5)

4)

6)

7)

342

5. Störungstheorie (T = 0)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

Alle 24 Diagramme müssen natürlich gezählt werden. Sehr viele dieser Diagramme liefern aber denselben Beitrag zur Störreihe. Eine erste wertvolle Vereinfachung liefert die so genannte Schleifenregel. 1.

Jede ausgezogene, propagierende Linie erhält den Faktor  c iG0, kν tν − tμ δkν ,kμ (tν : Vernichterzeit; tμ : Erzeugerzeit).

5.3

2.

Feynman-Diagramme

343

Jede nicht propagierende Linie erhält den Faktor  (0) c − iG0, δkν kμ . kν (0 )δkν kμ = − nkν

3.

(5.100)

Vorzeichen des Gesamtbeitrags (−1)S , S: Zahl der geschlossenen Fermionenschleifen, Schleife: geschlossener Zug von ausgezogenen Linien.

Beweis In den Termen n-ter Ordnung der Störreihe treten die Operatoren in Viererpäckchen der Form     a+k (t)a+l t am t an (t)

auf. Wir können diese ohne Vorzeichenwechsel auf     a+k (t)an (t)a+l t am t

umschreiben, da dazu im Tε -Produkt jeweils zwei Vertauschungen notwendig sind. – Gleichzeitige Operatoren gehen in eine Schleife immer in der Form a+k (t)an (t) ein, falls es sich nicht um eine Blase handelt, die wir gesondert behandeln wollen. Solche Operatorprodukte lassen sich wiederum ohne Vorzeichenwechsel beliebig durch das Tε -Produkt ziehen. Dann lässt sich eine Schleife aber immer wie folgt anordnen:             a+ t1 a t1 a+ t2 a t2 · · · a+ (tn − 1 )a(tn − 1 )a+ tn a tn .         Man halte dazu a+ t1 a t1 fest, ziehe a+ tn a tn ganz nach rechts, schließe a+ (tn − 1 )a(tn − 1 ) an usw. Sind nun die Zeitindizes in einer Kontraktion unterschiedlich, so entspricht dies einer propagierenden Linie. Die inneren Kontraktionen in dem obigen Ausdruck haben dann die Operatorenreihenfolge, die nach (5.94) zu einem Beitrag der Form 1. führt. Werden gleichzeitige Operatoren mit gestrichenen und ungestrichenen Zeiten kontrahiert, so entspricht dies einer nicht propagierenden Linie der Form (5.97), die einen Beitrag wie in 2. liefert. Dies gilt wiederum für die inneren Kontraktionen. Die einzige Ausnahme stellt die äußere Kontraktion dar, in der die zu kontrahierenden Operatoren in der falschen Reihenfolge angeordnet sind. Wertet man die gesamte Schleife also nach den Vorschriften 1. und 2. aus, so bekommt sie noch einen zusätzlichen Faktor (−1).

344

5. Störungstheorie (T = 0)

Besteht der Diagrammterm aus mehreren Schleifen, so kann man die Operatoren im Tε -Produkt gleich so umordnen, dass in der totalen Paarung die Schleifen direkt faktorisieren. Dies geht ohne Vorzeichenwechsel, da jede Schleife natürlich aus einer geraden Anzahl von Operatoren aufgebaut ist. Die Blase a+k (t)ak (t) stellt einen Spezialfall einer Schleife dar. Nach 2. liefert sie den Beitrag − nk (0) , nach 3. noch einmal einen Faktor (−1), insgesamt also + nk (0) . Dies stimmt aber in der Tat mit (5.95) überein. Damit ist die Schleifenregel bewiesen. „Vorläufige“ Diagrammregeln. Term n-ter Ordnung in der Störreihe für  η0 | Uα (t, t ) | η0  : Man zeichne alle (!) Diagramme mit n Vertizes, deren Endpunkte paarweise mit ausgezogenen, gerichteten Linien verknüpft sind. Der Beitrag eines Diagramms berechnet sich dann wie folgt: 1. Vertex i ⇐⇒ v(ki li ; ni mi ). c 2. Propagierende Linie ⇐⇒ iG0, ki (ti − tj )δki ,kj .  (0) δki ,kj . 3. Nicht propagierende Linie ⇐⇒ − nki 4. Faktor (−1)S ; S = Zahl der Fermionenschleifen. 5. Summation über alle Wellenzahlen und evtl. Spins . . . , ki , li , mi , ni , . . . . 6. δ-Funktionen δ(ti − ti ), Einschaltfaktor exp [−α( |t1 | + · · · + |tn | )] einfügen. 7. Über alle ti , ti von t bis t integrieren.  n 8. Faktor n!1 − 2i¯h hinzufügen. Beispiel Diagramm 3)

 t     1 i 2 − 3) = · · · dt1 dt1 dt2 dt2 δ t1 − t1 δ t2 − t2 · 2! 2h¯ t



· e −α( |t1 | + |t2 | )

    v k1 . . . v k2 . . . (−1) ·

k1 , ... , n1 k2 , ... , n2

    (0)   (0)   c

c t2 − t1 iG0, − nk1 − nn2 · · iG0, n1 t1 − t2 l1 · δl1 , m2 δn1 , k2 δk1 , m1 δn2 , l2 =  t +1 i 2 − = dt1 dt2 e −α( |t1 | + |t2 | ) 2! 2h¯ t



  v k1 l1 ; n1 k1 ·

k1 , l1 , n1 , n2

     (0)  (0)  c c t2 − t1 G0, nn2 · v n1 n2 ; n2 l1 G0, . n1 t1 − t2 nk1 l1

5.3

Feynman-Diagramme

345

5.3.2 Linked-Cluster-Theorem Das bisher entwickelte Verfahren erscheint so noch zu kompliziert. Wir wollen es weiter vereinfachen durch Ausnutzen der Topologie. Was ist in den obigen Regeln eigentlich unter

„alle“ Diagramme mit n Vertizes gemeint? Unter diesen gibt es zunächst einmal eine ganze Reihe von Diagrammen, die alle denselben Beitrag zur Störreihe liefern: Diagramme gleicher Struktur sind solche, die durch Vertauschung der Vertizes und durch Vertauschung der Zeitpunkte an den Vertizes auseinander hervorgehen. Bei n Vertizes gibt es n! Vertauschungsmöglichkeiten derselben untereinander und 2n Vertauschungen von oben und unten an den einzelnen Vertizes. Zu einem gegebenen Diagrammtyp mit n Vertizes existieren also Diagramme gleicher Struktur, die zur Störreihe denselben Beitrag liefern, da unabhängig über alle Wellenzahlen summiert und alle Zeiten integriert wird. Die Indizes an den Wellenzahlen und an den Zeiten sollen ja nur die Variablen unterscheiden helfen. Beispiel

Wir finden alle Diagramme gleicher Struktur wie das skizzierte z. B. nach der folgenden Vorschrift: Lasse die Pfeile weg und konstruiere alle Diagramme durch Vertauschen von rechts und links sowie oben und unten:

Bei jedem dieser Diagramme gibt es nun noch zwei Möglichkeiten für den Umlaufsinn. Insgesamt haben wir also acht Diagramme (22 2!) gleicher Struktur. Unter den 2n n! Diagrammen gleicher Struktur sind nun aber auch solche, die schon topologisch gleich

346

5. Störungstheorie (T = 0)

sind. Das sind Diagramme mit gewissen Symmetrien, die dafür sorgen, dass das Vertauschen gewisser Vertizes oder das Vertauschen der Vertexpunkte identische Diagramme liefert. So ist das Diagramm 1.

invariant gegenüber einem Vertauschen von oben und unten. Das Diagramm 2.

bleibt unverändert, wenn man die beiden Vertizes miteinander vertauscht und gleichzeitig an beiden Vertizes oben und unten wechselt. Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein:

Θ:

Struktur eines Diagramms,

h(Θ) :

Zahl der topologisch gleichen Diagramme

An (Θ) :

Zahl der topologisch verschiedenen Diagramme

innerhalb einer Struktur Θ,

innerhalb einer Struktur

An (Θ) =

2n n! . h(Θ)

(5.101)

Topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur entsprechen unterschiedlichen Kombinationen von Kontraktionen in der totalen Paarung, die aber sämtlich zum Störterm denselben Beitrag liefern. Man nehme also aus allen paarweise verschiedenen Strukturen

Θ1 , Θ2 , . . . , Θν , . . . (n) jeweils einen Vertreter D(n) ν heraus und berechne dessen Beitrag U(Dν ) nach den Diagrammregeln des letzten Abschnitts. Dann lautet der Gesamtbeitrag der Struktur Θν : ,   ,     = an Θν U ∗ D(n) . (5.102) U Θν = An Θν U D(n) ν ν

5.3

Feynman-Diagramme

347

(n) Hier ist U ∗ (D(n) ν ) der Beitrag des Diagramms Dν ohne den in Regel 8. geforderten Faktor, d. h.  n   1 i an Θν =   − . (5.103) h¯ h Θν

Anschließend summiere man über alle Strukturen:   (n)        ∗ , (n) . η0  Uα t, t  η0 = an Θν U Dν

(5.104)

ν

Wir definieren nun zusammenhängende Diagramme als solche, die durch keinen Schnitt in zwei selbstständige Diagramme niedrigerer Ordnung zerlegt werden können, ohne dass dabei eine Linie des Diagramms unterbrochen würde. – Die Diagramme 1), 2), 7) und 8) in Abschn. 5.3.1 sind offensichtlich nicht zusammenhängend. Sei nun D(n) ein Diagramm der Struktur Θ, das in zwei zusammenhängende 2) der Strukturen Θ1 und Θ2 zerfällt, selbst also nicht Diagramme D1(n1 ) und D(n 2 zusammenhängend ist. Dann gilt für Θ1 =/ Θ2 :     (5.105) h(Θ) = h Θ1 h Θ2 , da zu jedem Diagramm aus Θ1 h(Θ2 ) topologisch gleiche Diagramme der Struktur Θ2 existieren. Der Gesamtbeitrag der Struktur Θ beträgt dann:  i n1 + n2 , − U(Θ) =  ¯h    U ∗ D(n) . h Θ1 h Θ2 Nicht zusammenhängende Diagramme haben keine gemeinsamen Integrationsoder Summationsvariable in den Unterstrukturen. Deshalb faktorisiert der Gesamtbeitrag U ∗ (D(n) ): , , , (n2 ) ∗ 1) U ∗ D(n) = U ∗ D(n U D . (5.106) 1 2 Dies bedeutet aber auch:     U(Θ) = U Θ1 U Θ2





Θ1 =/ Θ2 .

Bei gleichen Strukturen (Θ1 = Θ2 ) gilt statt (5.105):       h(Θ) = h Θ1 h Θ2 2! = 2! h2 Θ1 ,

(5.107)

(5.108)

da das Vertauschen der gleichen Strukturen weitere topologisch gleiche Diagramme liefert:     1 (5.109) Θ1 = Θ2 . U(Θ) = U 2 Θ1 2!

348

5. Störungstheorie (T = 0)

Diese Überlegungen lassen sich leicht auf beliebige Strukturen Θ verallgemeinern. Sei

Θ = p1 Θ1 + · · · + pn Θn ; pν ∈ N ,

(5.110)

wobei Θν zusammenhängende Strukturen sind. Dann gilt für den Gesamtbeitrag dieser Struktur: 1 pn   1 p1   1 p2   (5.111) U(Θ) = U Θ1 U Θ2 · · · U Θn . p1 ! p2 ! pn !   Betrachten wir nun einmal die volle Störreihe des Zeitentwicklungsoperators Uα t, t : 

    η0  Uα t, t  η0 = 1 +

 Θ

U(Θ) =

    = 1 + U Θ1 + U Θ2 + · · · +   ! Beiträge aller zusammenhängenden Diagramme

        1 2  U Θ1 + U Θ1 U Θ2 + U Θ1 U Θ3 + · · · + 2!       1 + U 2 Θ2 + U Θ2 U Θ3 + · · · + 2! .. .       1 + U 2 Θn + U Θn U Θn + 1 + · · · +  ! 2! +

Beiträge aller nicht zusammenhängenden Diagramme, die in zwei zusammenhängende zerfallen

1 3  1 2    U Θ1 + U Θ1 U Θ2 + · · · + 3! 2!       + U Θ1 U Θ2 U Θ3 + · · · +

+

+

1 3  1 2    U Θ2 + U Θ2 U Θ1 + · · · + 3! 2!  ! 

Beiträge aller nicht zusammenhängenden Diagramme, die in drei zusammenhängende zerfallen

+ ··· = * zus. +    =1+ U Θν + ν

    1, 2  + U Θ1 + 2U Θ1 U Θ2 + · · · + 2!

5.3

Feynman-Diagramme

349

      + U 2 Θ2 + 2U Θ2 U Θ3 + · · · + +

          1, 3  U Θ1 + 3U 2 Θ1 U Θ2 + 6U Θ1 U Θ2 U Θ3 + · · · + 3!

+ ··· = . zus. / /2 . zus.    1    U Θν + U Θν + ··· . =1+ 2! ν ν Damit haben wir das wichtige Linked-Cluster-Theorem 

. zus /         η0  Uα t, t  η0 = exp U Θν

(5.112)

ν

abgeleitet mit der bemerkenswerten Konsequenz, dass wir nur die zusammenhängenden Diagramme aufzusummieren haben, die paarweise verschiedene Strukturen aufweisen. Wir können nun die Diagrammregeln des letzten Abschnitts auf den neuesten Stand bringen: Störungstheoretische Berechnung der Vakuumamplitude      η0  Uα t, t  η0 . Man suche alle zusammenhängenden Diagramme mit paarweise verschiedenen Strukturen auf und berechne den Beitrag eines Diagramms n-ter Ordnung wie folgt: 1. Vertex ⇐⇒ v(kl; nm). c 2. Propagierende Linie ⇐⇒ iG0, kν (tν − tμ )δkν ,kμ .  (0) δkν ,kμ . 3. Nicht propagierende Linie ⇐⇒ − nkν 4. Summation über alle . . . , ki , li , mi , ni , . . .   5. Multiplikation mit exp −α( |t1 | + · · · + |tn | ) δ(t1 − t1 ) · · · δ(tn − tn ), dann Integration über alle ti , ti von t bis t.  n S 6. Faktor − ¯hi (−1) h(Θ) . Man setze schließlich den resultierenden Beitrag U(Θ) in (5.112) ein. 5.3.3 Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf die Diagrammentwicklung der Vakuumamplitude      η0  Uα t, t  η0 ,

350

5. Störungstheorie (T = 0)

die für t = +∞ und t = −∞ in die Streumatrix Sα (5.53) übergeht. Eigentlich interessiert sind wir jedoch an Ausdrücken der Form (5.58):    H     E0  Tε A (t)BH t  E0 =  ν

∞  1 1 i    − · · · dt1 · · · dtν · η0  Sα  η0 ν = 0 ν! h¯ +∞

= lim  α→0

(5.113)

−∞

           · e −α( |t1 | + ··· + |tν | ) η0  Tε V t1 · · · V tν A(t)B t  η0 ,

  wobei die Operatoren rechts in der Dirac-Darstellung stehen und A(t), B t Produkte von Fermi-Konstruktionsoperatoren sein sollen. Die Störentwicklung des Zählers auf der rechten Seite erfolgt ganz analog zu der der bisher besprochenen Vakuumamplitude: 1. Wick’sches Theorem: totale Paarung der auftretenden Konstruktionsoperatoren. 2. Summationen über alle inneren ki , li , . . . Über die äußeren Indizes der in A und B auftretenden Operatoren wird nicht summiert. 3. Integrationen über alle inneren Zeitvariablen von −∞ bis +∞, aber nicht über t und t .   ¯ wobei m ¯ + n¯ eine gerade Zahl sein A(t) enthalte n¯ Konstruktionsoperatoren, B t m, soll. Ein Diagramm n-ter Ordnung lässt sich symbolisch dann wie folgt darstellen: t1¢

t 2¢

tn¢

t1

t2

tn

n innere Vertices

t

n äußere Linien

t¢

m äußere Linien

Abb. 5.2. Allgemeine Struktur eines offenen Diagramms n-ter Ordnung

Man unterscheidet: „offene“ Diagramme

= Diagramme mit äußeren Linien,

„geschlossene“ Diagramme; Vakuum-FluktuationsDiagramme

= Diagramme ohne äußere Linien.

Es gilt offenbar: Jedes offene Diagramm besteht aus offenen, zusammenhängenden Diagrammen plus zusammenhängenden Vakuum-Fluktuations-Diagrammen.

5.3

Feynman-Diagramme

351

Zus offene Diagramme Beitrag: U(D0 ) Zus Zus

VakuumFluktuationsDiagramme

Zus

Abb. 5.3. Allgemeine

Struktur eines beliebigen Diagrammbeitrags zur Vakuumamplitude

t¢

t

Man erhält alle solche Diagramme, wenn man zu jeder Kombination D0 von offenen, zusammenhängenden Diagrammen alle denkbaren Vakuum-FluktuationsDiagramme hinzunimmt. Letztere ergeben nach (5.112) den Faktor / . zus.    . exp U Θν ν

Alle Diagramme mit der gleichen Kombination D0 von offenen zusammenhängenden Diagrammen tragen deshalb zum Zähler in (5.113) mit . zus. /      U D0 exp U Θν ν

bei. Daraus folgt: Gesamtbeitrag aller Diagramme der Störreihe: ⎛ ⎞ / . zus.       ⎝ . U D0 ⎠ exp U Θν D0

(5.114)

ν

Summiert wird über alle Kombinationen offener zusammenhängender Diagramme. Dies ist der Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen, ohne den jede Diagrammentwicklung illusorisch wäre. Setzen wir ihn in (5.113) ein, so kürzt sich der Beitrag der Vakuum-Fluktuations-Diagramme gerade gegen  η0 | Sα | η0  heraus.           H (5.115) U D0 . E0  Tε A (t)BH t  E0 = lim α→0

D0

Dabei ist also D0 eine Kombination von offenen, zusammenhängenden Diagrammen mit insgesamt n bei t und m bei t angehefteten äußeren Linien, wobei n und m die   Zahlen der Fermionenoperatoren in A(t) und B t sind.

352

5. Störungstheorie (T = 0)

Ganz analog finden wir für den einfacheren Ausdruck (5.56):      H   E0  A (t)  E0 = lim U D0 . α→0

(5.116)

D0

Dabei ist nun D0 eine Kombination von offenen, zusammenhängenden Diagrammen mit so vielen festen, bei t angehefteten Linien, wie Fermionenoperatoren in A(t) enthalten sind. Für beide Fälle (5.115) und (5.116) diskutieren wir in den nächsten Abschnitten Anwendungsbeispiele. 5.3.4 Aufgaben 5.3.1

  Aufgabe 5.3.1 Werten Sie die Vakuumamplitude  η0 | Uα t, t | erster Ordnung Störungstheorie für das 1. Hubbard-Modell, 2. Jellium-Modell

η0  in

aus.

5.3.2

Aufgabe 5.3.2 Zur zweiten Ordnung Störungstheorie für die Vakuumamplitude gehört das Diagramm: t1¢

t1

1. 2. 3.

5.3.3

t 2¢

t2

Berechnen Sie den Beitrag dieses Diagramms. Was ergibt sich für das Hubbard-Modell? Wie sieht dieser Beitrag für das Jellium-Modell aus?

Aufgabe 5.3.3 Untersuchen Sie, welche der in Abschn. 5.3.1 aufgelisteten Diagramme zweiter Ordnung zur Vakuumamplitude topologisch verschieden, aber von gleicher Struktur sind, d. h. unterschiedlichen Termen der totalen Paarung mit gleichem Beitrag zur Störreihe entsprechen. Wie viele der 24 Diagramme müssen demnach explizit ausgewertet werden?

5.4

Ein-Teilchen-Green-Funktion

353

5.4

5.4 Ein-Teilchen-Green-Funktion 5.4.1 Diagrammatische Störreihe Eine wichtige Anwendung der diagrammatischen Störungstheorie betrifft die kausale Ein-Teilchen-Green-Funktion:

         iGckσ t − t = E0  Tε akσ (t)a+kσ t  E0 .

(5.117)

Dies entspricht dem Fall (5.115), d. h., es ist über alle paarweise verschiedenen Strukturen von zusammenhängenden Diagrammen mit zwei festen äußeren Linien, den   Operatoren akσ (t) und a+kσ t entsprechend, zu summieren. Wir schieben eine Bemerkung zur Wechselwirkung ein. Bei dieser soll es sich um eine Paarwechselwirkung handeln ((v( |r 1 − r 2 | )). Das ganze System besitze Translationssymmetrie. Dann sind die Impulse an einem Vertex nicht beliebig, es ist vielmehr Impulserhaltung am Vertex zu fordern: k−n=m−l =q.

(5.118)

Die Summe der einlaufenden ist gleich der Summe der auslaufenden Impulse. – An jedem Vertexpunkt gelte zudem Spinerhaltung:

σk = σn ; σl = σm .

(5.119)

Durch (5.118) und (5.119) reduziert sich die Zahl der Summationen noch einmal sehr stark. Dies werden wir an passender Stelle ausnutzen. Wir kommen nun zur Diagrammentwicklung der Green-Funktion. In nullter Ordnung ergibt sich lediglich eine von t nach t propagierende Linie: k, σ

t¢ .

t

Dies entspricht dem Beitrag:  c

. iG0, kσ t − t Für die erste Ordnung

354

5. Störungstheorie (T = 0)

haben wir auszuwerten:  +∞ +∞   11 i − dt1 dt1 δ t1 − t1 e −α |t1 | 1! 2 h¯ −∞

−∞



  v k1 l1 ; n1 m1 ·

k1 l1 m1 n1

σ1 σ1

η0 TÎ ak σ (t)a+k σ (t¢) ak+1σ1(t1) an1σ1(t1) al+1σ1¢ (t1¢)am1σ1¢ (t1¢) η0 1) 2)

Nur offene, zusammenhängende Diagramme brauchen berücksichtigt zu werden. t1¢

1)

t1¢

2)

l1 ,σ 1¢

δ σ ,σ 1 q = 0

q = k - l1

k,σ

t¢

l1 ,σ 1

δ σ ,σ 1 × δ σ ,σ 1¢

t

kσ

t1

kσ

t¢

t

k,σ

t1

Man kann am Vertex natürlich noch oben und unten vertauschen. Dies liefert topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur, die durch den Faktor 21 · 1! berücksichtigt werden. Zweite Ordnung Wir haben die folgenden offenen, zusammenhängenden Diagramme zu zählen:

5.4

Ein-Teilchen-Green-Funktion

355

Zu jedem dieser Diagramme gibt es wieder 22 · 2! = 8 topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur, die denselben Beitrag liefern. Topologisch gleiche Diagramme gibt es wegen der äußeren Anschlüsse nicht. Man wählt für die GreenFunktions-Diagramme bisweilen eine etwas modifizierte Darstellung, indem man die propagierenden Linien streckt, dafür die Vertizes nicht notwendig als senkrechte Linien einzeichnet. Obige Diagramme zeichnet man dann wie folgt:

„Gestreckte“ Diagramme Die Regeln für die Auswertung dieser nicht bezifferten Diagramme ergeben sich unmittelbar aus denen in Abschn. 5.3.2 für die Vakuumamplitude: Man zeichne je ein Mitglied aus jeder Struktur Θ zusammenhängender Diagramme mit zwei äußeren Anschlüssen. Jedes Diagramm n-ter Ordnung enthält n Vertizes und (2n + 1) ausgezogene Linien, darunter zwei äußere. Der Beitrag eines solchen Diagramms berechnet sich dann wie folgt: 1. Vertex ⇐⇒ v(kl; nm). c 2. Propagierende Linie ⇐⇒ iG0, kν (tν − tμ )δkν ,kμ . c − 3. Nicht propagierende Linie ⇐⇒ iG0, kν (0 )δkν ,kμ . 4. Impulserhaltung am Vertex; Spinerhaltung am Vertexpunkt. 5. Multiplikation mit e −α( |t1 | +... + |tn | ) δ(t1 − t1 ) · · · δ(tn − tn ). 6. Summation über alle inneren Wellenzahlen und Spins . . . , ki , li , mi , ni , . . . sowie Integration über alle inneren Zeiten ti , ti von −∞ bis +∞.  n 7. Faktor − ¯hi (−1)S ; S = Schleifenzahl (h¯(Θ) ≡ 1). In 2. und 3. sind mit kν , kμ die Indizes (Wellenzahl, Spin) gemeint, die der Propagator iG0, c miteinander verbindet.

356

5. Störungstheorie (T = 0)

Die Auswertung der Diagramme nach diesen Regeln gestaltet sich etwas unbequem, da nach (5.78) die kausale Ein-Elektronen-Green-Funktion eine ungünstige Zeitabhängigkeit aufweist. Man geht besser zur Fourier-Transformierten über: c t G0, k



+∞  i  c

. −t = dE G0, (E) exp − E t − t k 2πh¯ h¯



1

(5.120)

−∞

In den Diagrammen wird der Übergang wie folgt vollzogen: t1¢

t 2¢

i Gk0,c (t1 - t 2 ) t1

t2

    exp − ¯hi Et1 , 0, c - exp ¯hi Et2 iGk (E) √ √ 2πh¯ 2πh¯ Der bei t2 auslaufenden Linie ordnen wir den zusätzlichen Faktor   exp ¯hi Et2 √ 2πh¯ zu. Die bei t1 einmündende Linie bringt dagegen den Term   exp − ¯hi Et1 √ 2πh¯ mit. Es empfiehlt sich deshalb, die aus einem Vertex ein- und auslaufenden Linien zusätzlich mit Energien zu indizieren. Dem gesamten Vertex ist dann außer dem Matrixelement v(kl; nm) noch der Faktor

 

  i i 1 E E t + t exp − E − E − α |t| δ t − t

n m k l 2 (2πh¯) h¯ h¯

l, El

k, Ek

t¢

t

m, Em

n, En

Abb. 5.4. Bezifferung eines Vertex in einem Diagramm zur

energieabhängigen Ein-Elektronen-Green-Funktion

5.4

Ein-Teilchen-Green-Funktion

357

zugeordnet. Die anschließende Zeitintegration wird einfach:



+∞ +∞         i  Ek −En t + El −Em t exp −α |t| δ t−t = dt dt exp h¯

−∞

−∞

 0 

+∞ i i dt exp Et − αt + dt exp Et + αt = = h¯ h¯ −∞

0

1 2α −1 + =  2 , 1 2 − α ¯hi E + α ¯ hE + α     E = Ek − En + El − Em . =

i ¯ hE

Der anschließende Grenzübergang α → 0 (adiabatisches Einschalten) macht aus diesem Ausdruck dann eine δ-Funktion:



+∞

    1 i 

Ek − En t + El − Em t · lim dtdt exp α → 0 (2πh ¯)2 h¯ −∞

    · exp −α |t| δ t − t = =

1





(5.121)



δ Ek + El − Em + En

2πh¯ Dies bedeutet aber nichts anderes als



.

Energieerhaltung am Vertex. Eine gewisse Sonderstellung nehmen die äußeren Linien ein: t1¢

i Gk0,c (t - t1) t

t1

    exp − ¯hi Et , 0, c - exp − ¯hi Et1 iGk (E) √ √ 2πh¯ 2πh¯ √ Der Faktor exp [(i | h¯)Et1 ] | 2πh¯ wird, wie oben beschrieben, in den Vertex bei t1 hineingezogen und trägt nach Integration über t1 zu der (5.121) entsprechenden δ-Funktion bei. Es bleibt dann noch der Term   exp − ¯hi Et , 0, c iGk (E) , √ 2πh¯   der am Schluss über alle E integriert wird, um Gck t − t zu erhalten.

358

5. Störungstheorie (T = 0)

Analoges gilt für die von t rechts in das Diagramm einlaufende Linie: c   E iG0, k

  exp ¯hi E t

. √ 2πh¯

Wenn die inneren Summationen und Integrationen insgesamt den Zahlenwert I liefern, so gilt für das Gesamtdiagramm:   Gk t − t = i



i 2πh¯

, -, c c

dE dE iG0, iG0, k (E) k (E ) ·

   ! i

E t − Et = · exp h¯ !

Gk = i =

    t + t0 − t + t0 =

i 2πh¯

, -, c c   dEdE iG0, E · iG0, k (E) k

      i

i

E t − Et exp E − E t0 . · exp h¯ h¯ Da nach (3.129) die Green-Funktion nur von der Zeitdifferenz abhängt, folgt:   Gk t − t = i

i 2πh¯

 , -2 i   0, c dE iGk (E) exp . E t −t h¯

Dies bedeutet für die Fourier-Transformierte: , -2 c Gk (E) = I iG0, i . k (E)

(5.122)

Die beiden äußeren Anschlüsse eines Diagramms zur Ein-Teilchen-Green-Funktion Gck (E) tragen also nicht nur gleiche Wellenzahl und Spin k = (k, σ ), sondern auch dieselbe Energie E. Wenn wir uns nun noch in Erinnerung rufen, wie die freie, energieabhängige, kausale T = 0 -Green-Funktion nach (3.206) aussieht, c G0, kσ (E) =

 + für

h¯  E − ε(k) − εF ± i0+ 

|k| > kF ,

− für



(5.123)

|k| < kF ,

dann haben wir alles zusammen, um die Diagrammregeln für iGckσ (E) zu formulieren: Diagrammregeln für iGckσ (E):

5.4

Ein-Teilchen-Green-Funktion

359

Je ein Mitglied aus jeder Struktur Θ zusammenhängender Diagramme mit zwei äußeren Anschlüssen ist aufzusuchen. Ein Diagramm n-ter Ordnung (n Vertizes, (2n + 1) ausgezogene Linien) liefert dann den folgenden Beitrag: 1. Vertex ⇐⇒ 2π1 ¯h v(kl, nm)δ [(Ek + El ) − (Em + En )]. c 2. Propagierende und nicht propagierende Linie ⇐⇒ iG0, kν (Ekν )δkν kμ .   n 3. Faktor: (−1)S − ¯hi . 4. Summation über alle inneren Indizes ki , li , . . . ; Integration über alle inneren Energien Eki , Eli , . . . c 5. Äußere Anschlüsse: iG0, k (E). 5.4.2 Dyson-Gleichung Wie wir bereits früher angemerkt haben, ist das Aufsummieren endlich vieler Terme einer Störreihe nicht immer sinnvoll, z. B. dann, wenn die Störung nicht wirklich klein ist oder wenn Divergenzen in den einzelnen Störtermen auftreten. Es ist dann häufig besser, eine Approximation durch Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe zu entwickeln. Eine solche Möglichkeit ergibt sich über die so genannte DysonGleichung, die wir bereits in (3.327) kennen gelernt haben. Sie soll nun mit unserer Diagrammtechnik rekonstruiert werden. Definition 5.4.1 Selbstenergieanteil = Teil eines Diagramms, das durch zwei propagierende Linien mit dem Rest des Diagramms verknüpft ist.

5.4.1

Beispiele 1)

Diagramm

Selbstenergieanteil

oder

2)

Diagramm

Selbstenergieanteil

Ein Selbstenergieanteil ist also ein Diagrammteil mit zwei äußeren Anschlüssen für je eine ein- und eine auslaufende propagierende Linie.

Definition 5.4.2 Eigentlicher (irreduzibler) Selbstenergieanteil = Selbstenergieanteil, der nicht durch Auftrennen einer propagierenden Linie in zwei unabhängige Selbstenergieanteile zerlegt werden kann.

5.4.2

360

5. Störungstheorie (T = 0)

Beispiele

„ eigentlich“ ; ...

;

„ nicht eigentlich“

Bis zur zweiten Ordnung besitzt die kausale Green-Funktion die folgenden irreduziblen Selbstenergieanteile: 1. Ordnung ;

2. Ordung

Mit Ausnahme des Diagramms nullter Ordnung kann man jedes zu iGckσ (E) beitragende Diagramm wie folgt zerlegen: c iG0, (I): k (E), (II): eigentlicher Selbstenergieanteil, (III): irgendein Green-Funktions-Diagramm.

k, E

k, E

k, E

(I) (II)

(III)

Wegen Energie- und Impulserhaltung an jedem Vertex trägt der mittlere Propagator dieselben festen Indizes k, E wie die ein- und auslaufenden propagierenden Linien. Man bekommt offensichtlich alle Diagramme, wenn man in (II) über alle eigentlichen Selbstenergieanteile und in (III) über alle Green-Funktions-Diagramme summiert.

5.4

Ein-Teilchen-Green-Funktion

361

  Definition 5.4.3 Selbstenergie Σkσ (E) = i¯ h · Summe aller eigentlichen Selbstenergieanteile. Mit den Bezeichnungen : iGckσ (E) c : iG0, kσ (E)

i : − Σkσ (E) h¯ finden wir die Diagrammdarstellung der Dyson-Gleichung =

+

Die Selbstenergiediagramme sind in der Regel von einfacherer Gestalt als die GreenFunktions-Diagramme. Sobald die Selbstenergie (approximativ oder exakt) berechnet ist, ist auch die Green-Funktion bestimmt:  i 0, c 0, c c iGkσ (E) = iGkσ (E) + iGkσ (E) − Σkσ (E) iGckσ (E) , h¯ (5.124) 1 0, c 0, c Gckσ (E) = Gkσ (E) + Gkσ (E) Σkσ (E)Gckσ (E) . h¯ Diese Gleichung lässt sich formal lösen: Gckσ (E) = =

c G0, kσ (E)

c 1 1 − G0, kσ (E) ¯ h Σkσ (E)

=

h¯ . E − ε(k) + εF − Σkσ (E)

(5.125)

(5.126)

Im letzten Schritt haben wir (5.123) ausgenutzt, wobei wir das imaginäre Infinitesimal ±i0+ mit in Σkσ (E) hineingezogen haben, da es sich dabei in der Regel um eine komplexe Funktion handelt. Bei reellem Σkσ (E) ist ±i0+ im Sinne von (5.123) wieder einzuführen. – Die physikalische Bedeutung der Selbstenergie ist ausgiebig in Abschn. 3.4 diskutiert worden, braucht hier also nicht wiederholt zu werden. Man beachte, dass selbst die denkbar einfachste Näherung für Σkσ (E) nach (5.124) das Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe bedeutet: Setzen wir wie beim Jellium-Modell (Abschn. 2.1.2) v(q = 0) = 0

(5.127)

5.4.3

362

5. Störungstheorie (T = 0)

voraus, so tragen alle Diagramme mit Blasen nichts bei, da sie einem Impulsübertrag q = 0 entsprechen. Es bleibt dann als einfachste Näherung: q, E ¢

i 0 = − Σk(1) (E) . h¯ σ

k + q,σ E + E¢

Die Auswertung ergibt sich unmittelbar aus den Diagrammregeln in Abschn. 5.4.1: q=/ 0

i i 1  − Σk(1) (E) = − v(q) σ h¯ h¯ 2πh¯ q

 c 

dE iG0, k+qσ E + E =

q =/ 0 −i  c − v(q)i2πh¯G0, = k + qσ (0 ) . 2πh¯2 q

Dabei haben wir hier speziell wie im Jellium-Modell v(kl; nm) = v(k − n) = v(m − l) = v(q) vorausgesetzt. Es bleibt damit    Σk(1)σ (E) = − v(q) nk+q,σ (0) . (5.128) q

5.4.3 Aufgaben 5.4.1

Aufgabe 5.4.1 Berechnen Sie für das Hubbard-Modell den Beitrag erster Ordnung zur Selbstenergie der Ein-Elektronen-Green-Funktion. Welcher Approximation der Bewegungsgleichungsmethode (Kap. 4) entspricht diese Selbstenergie?

5.4.2

Aufgabe 5.4.2 Diskutieren Sie die Selbstenergiediagramme zweiter Ordnung für das Hubbard-Modell, die einen von Null verschiedenen Beitrag zur EinElektronen-Green-Funktion liefern können.

5.4.3

Aufgabe 5.4.3 Berechnen Sie für das Hubbard-Modell die Green’sche EinElektronenfunktion in erster Ordnung Störungstheorie und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Green’schen Funktion, die sich ergibt, wenn man die Selbstenergie in erster Ordnung berechnet (Aufg. 5.4.1).

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

363

Aufgabe 5.4.4 Selbst die Näherung niedrigster Ordnung für die Selbstenergie bedeutet für die Ein-Elektronen-Green-Funktion das Aufsummieren einer unendlichen Teilreihe von Diagrammen. Geben Sie alle bis zur zweiten Ordnung auftretenden Diagramme an.

5.4.4

Aufgabe 5.4.5 Welche Näherung ergibt sich, wenn man in der Selbstenergie erster Ordnung die freien durch die vollen Green-Funktions-Propagatoren ersetzt:

5.4.5

+

0 Σ (1) (E) = kσ

Geben Sie Beispiele von Diagrammen an, die durch diese so genannte Renormierung der Teilchenpropagatoren neu gegenüber der Näherung in Aufg. 5.4.4 hinzukommen.

5.5

5.5 Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell) 5.5.1 Störungstheorie erster Ordnung Nach der Ein-Elektronen-Green-Funktion diskutieren wir nun eine weitere Anwendung der in Abschn. 5.3 entwickelten Diagrammtechnik. Es soll um die Grundzustandsenergie des wechselwirkenden Elektronengases gehen, zu dessen Beschreibung wir das Jellium-Modell (Abschn. 2.1.2) benutzen. Dieses ist durch den Wechselwirkungsoperator

V(t) =

1 v(kl; nm)a+k (t)a+l (t)am (t)an (t) , 2 klmn

  k ≡ k, σk

(5.129)

charakterisiert, wobei für das Matrixelement v(kl; nm) = v(k − n)δk + l, m + n δσk σn δσm σl

(5.130)

gilt: v(q) =

e2 ; ε0 Vq2

v(0) = 0 .

(5.131)

Das q = 0-Matrixelement wird durch den homogen verschmierten, positiv geladenen Ionen-Hintergrund kompensiert.

364

5. Störungstheorie (T = 0)

Für die Grundzustandsenergie bzw. die Niveauverschiebung gilt nach (5.5) oder (5.43):     η0  Hα  ψDα (0)    , (5.132) E0 = lim α→0 η0  ψDα (0)     η0  V(t = 0)Uα (0, −∞)  η0     ΔE0 = E0 − η0 = lim . (5.133) α→0 η0  Uα (0, −∞)  η0 Alle Operatoren sind natürlich hier wieder in ihrer Dirac-Darstellung gemeint. Den Nenner kennen wir bereits aus Abschn. 5.3. Es ist die Vakuumamplitude für t = −∞ und t = 0. Es bleibt auszuwerten:  n ∞  1 1 i     − ΔE0 = lim · α → 0 η0  Uα (0, −∞)  η0 n! h¯ n=0

0

···

·

dt1 · · · dtn e −α( |t1 | + ··· + |tn | ) ·

(5.134)

−∞

        · η0  V(t = 0)Tε V t1 · · · V tn  η0 . 

Wir können den Operator V(t = 0) wie angedeutet in das Tε -Produkt ziehen, da die Zeiten t1 , . . . , tn sämtlich ≤ 0 sind. Die Diagrammentwicklung dieses Ausdrucks entspricht der Situation (5.116):    (5.135) ΔE0 = lim U 0 D0 . α→0

0 D0

Summiert wird über alle Kombinationen 0 D0 von offenen, zusammenhängenden Diagrammen mit vier festen, bei t = t = 0 angehefteten Linien. Nach dem Wick’schen Theorem haben wir aus typischen Termen der Störreihe wie &         Tε a+k (t = 0)a+l t = 0 am t = 0 an (t = 0)a+k1 t1 a+l1 t1 ·            ' · am1 t an1 t1 · · · a+kn tn a+ln tn amn tn ann tn die totale Paarung zu konstruieren. Die Feynman-Diagramme haben formal dieselbe Gestalt wie die der Vakuumamplitude in Abschn. 5.3.1 mit der Ausnahme, dass der linke Vertex bei t = t = 0 fest ist. Über die Zeiten, Impulse, Spins der inneren Vertizes wird integriert bzw. summiert. Wir können uns an dieser Stelle bereits überlegen, wie viele topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur es zu einer gegebenen Ordnung geben kann. Wegen der Integrationen und Summationen kann man die inneren Vertizes untereinander vertauschen und an denselben oben und unten wechseln. Der linke Vertex ist fest. Es lässt sich aber auch dort oben und unten vertauschen:   2n + 1 n! (5.136) A Θn =   . h Θn h(Θn ) ist die Zahl der topologisch gleichen Diagramme.

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

t ¢= 0

t1¢

t 2¢

tn¢

t =0

t1

t2

tn

fester Vertex

365

Abb. 5.5. Äußere und innere Vertizes bei der

Berechnung der Grundzustandsenergie des Jellium-Modells

innere Vertices

Die Diagramme der ersten Ordnung Störungstheorie (n = 0) enthalten keine inneren Vertizes: l

t ¢= 0

t¢= 0 l

k

n=0

t =0 t =0

k

Eine Blase wie im linken Diagramm liefert wegen v(k − n) = v(0) = 0 im Jellium-Modell keinen Beitrag. Es bleibt also nur das zweite Diagramm. Vertauschen von oben und unten liefert ein topologisch gleiches Diagramm. Es ist damit h(Θ0 ) = 2; A(Θ0 ) = 1. Die Regeln des Abschn. 5.3 ergeben dann:

ΔE0(1) = −

1 v(kl; nm) nk (0) nl (0) δkm δln = 2 klmn

=−

 (0)  (0) 1  nlσl v(k − l)δ2σk σl nkσk . 2 kl

σk , σl

Mit l = k + q und σk = σl = σ bleibt also zu berechnen:

ΔE0(1)

q =/ 0

=−



    v(q)Θ kF − k Θ kF − |k + q| .

(5.137)

k, q

Einen solchen Ausdruck haben wir bereits in Abschn. 2.1.2 ausgewertet. Nach (2.96) gilt:

ΔE0(1) = −

0,916 N[ryd] . rs

(5.138)

366

5. Störungstheorie (T = 0)

Mit (2.87) für η0 ergibt sich in erster Ordnung Störungstheorie für die Grundzustandsenergie die so genannte Hartree-Fock-Energie:  2,21 0,916 [ryd] . (5.139) E0(1) = η0 + ΔE0(1) = N − rs2 rs Der erste Term stellt die kinetische Energie, der zweite die Austauschenergie dar. 5.5.2 Störungstheorie zweiter Ordnung Wie sehen nun die Diagramme der zweiten Ordnung Störungstheorie aus? Nach (5.134) ist der folgende Ausdruck auszuwerten:

ΔE0(2)

1   = lim   α → 0 η0  Uα (0, −∞)  η0

+∞ · −∞

 +∞

0   i

dt δ t dt1 · − h¯ −∞

  1 dt1 δ t1 − t1 e −α |t1 | 4



−∞

  v(kl; nm)v k1 l1 ; n1 m1 ·

klmn k1 l1 m1 n1

 &            '   · η0  Tε a+k (0)a+l t am t an (0)a+k1 t1 a+l1 t1 am1 t1 an1 t1  η0 . 

(5.140) Nur zusammenhängende, offene Diagramme brauchen betrachtet zu werden. Zu jeder Diagrammstruktur gibt es nach (5.136)   4 A Θ1 =   (5.141) h Θ1 topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur. Folgende Strukturen treten auf: 2)

1)

h(θ1) = 2

4)

3)

h(θ1) = 2

5)

h(θ1) = 1

h(θ1) = 1

6)

h(θ1) = 1

h(θ1) = 1

Wegen des festen Vertex links sind die Diagramme 5) und 6) anders als im Fall der Vakuumamplitude nicht von gleicher Struktur. Wegen (5.131) liefern alle Diagramme mit Blasen keinen Beitrag. Die Strukturen 4), 5) und 6) brauchen deshalb nicht ausgewertet zu werden. Man kann sich leicht klar machen, dass dies auch für Diagramme vom Typ 3) gilt:

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

367

Wir führen dazu die genaue Bezifferung des Diagramms durch: l ,σl

t¢

m,σm t1¢

v(k - n)δk +l ,m+n δσk σn δσn σl n,σn

t

k, σ k

t1

t¢

k, σ

t1¢

n,σ

(k - n) t

t1

k, σ

c

Wegen t > t1 ist der Propagator oben, iG0, kσ (t − t1 ), nach (5.78) nur für k > kF von 0, c Null verschieden, der unten, iGkσ (t1 −t), wegen t1 < t aber nur für k < kF . Beides geht nicht gleichzeitig. Der Diagrammbeitrag verschwindet also. Da die ti , ti stets kleiner sind als die festen Zeiten t, t (nach Ausführen der trivialen Integrationen), gilt dies auch für alle höheren Ordnungen. Diagramme der Art

t¢

t

können für das Jellium-Modell keinen Beitrag liefern. Wir konzentrieren unsere Betrachtungen auf die Strukturen 1) und 2). Der Beitrag von 1) berechnet sich wie folgt:     41 i − (−1)2 v(kl; nm) · U(1) Θ1 = lim α→0 2 4 h¯ ·



klmn

+∞

0

−∞

−∞

  v k1 l1 ; n1 m1

k1 l1 m1 n1

  dt δ t

dt1 e −α |t1 | ·

+∞ -  ,     c c t1 − 0 δkn1 iG0, 0 − t1 δnk1 · · dt1 δ t1 − t1 iG0, n k −∞

, -     c

c

· iG0, t − t δ iG0, lm 1 m t − t1 δml1 = 1 l  i  v(kl; nm)v(nm; kl) · = lim − α→0 2h¯ klmn

0 · −∞

,  , 0, c  -  0, c   c    0, c  t1 dt1 e −α |t1 | iG0, iGn −t1 iGl t1 iGm −t1 . k

368

5. Störungstheorie (T = 0)

In diesen Ausdruck setzen wir nun die freien, kausalen Green-Funktionen nach (5.78) ein: |l| , |k| <  kF < |n| , |m|   i v(k − n)δm + n, k + l · U(1) Θ1 = lim − α→0 2h¯ klmn

σk σl σm σn

· δσk σn δσm σl v(n − k)δk + l, m + n δσn σk δσm σl · 

0 -  i, · dt1 exp αt1 − ε(k)−μ+ε(l)−μ−ε(n)+μ−ε(m)+μ t1 = h¯ −∞

1 = 4 2

|l| , |k| < kF < |n| , |m|

v2 (n − k)

klmn

δk + l, m + n . ε(k) + ε(l) − ε(n) − ε(m)

Mit n = k + q, l = p, m = p − q folgt schließlich: q =/ 0



  U(1) Θ1 = 2

k, p, q , p, k < kF |k + q| , |p − q| > kF

v2 (q) . ε(k) + ε(p) − ε(k + q) − ε(p − q)

(5.142)

Wir werden später zeigen, dass dieser Beitrag wegen der Coulomb-Wechselwirkung v2 (q) divergiert. Dies gilt nicht für die Struktur 2):     41 i − (−1) v(kl; nm) · U(2) Θ1 = lim α→0 2 4 h¯ klmn



·

  v k1 l1 ; n1 m1

k1 l1 m1 n1

0

, c  · t dt1 e −α |t1 | iG0, δ 1 km 1 k

−∞

-    ,    c  c c · iG0, −t1 δnk1 iG0, t δ iG0, 1 ln n m −t1 δml1 = 1 l =

i 2h¯



v(k − n)δk + l, m + n δσk σn δσm σl ·

klmn

σk σl σm σn

· v(n − l)δn + m, l + k δσn σl δσm σk ·     −1  i  · − ε(k) + ε(l) − ε(n) − ε(m)  k, l < kF = h¯ n, m > kF

=−

k, l < kF < n, m klmn

δk + l, n + m v(k − n)v(n − l) . ε(k) + ε(l) − ε(n) − ε(m)

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

369

Die Struktur 2) liefert also den Beitrag: q =/ 0



  U(2) Θ1 = −

v(q)v(k + q − p)

k, p, q , p, k < kF |k + q| , |p − q| > kF

ε(k) + ε(p) − ε(k + q) − ε(p − q)

.

(5.143)

Wir wollen nun durch explizite Auswertung die oben aufgestellte Behauptung bewei  sen, dass der Beitrag U(1) Θ1 divergiert:

ε(k) + ε(p) − ε(k + q) − ε(p − q) =

h¯2 q · (p − k − q) . m

Wir normieren die Wellenzahlen q¯ = −

q ; kF

k k¯ = − ; kF

p¯ =

p kF

und ersetzen wie üblich die Summen durch Integrale:

 V d3 k . ⇒ (2π)3 k

Es bleibt dann auszurechnen:   −2V 3 3 e4 U(1) Θ1 = k (2π)9 F ε20 V 2

d3 q¯ q¯ 4

d3 k¯ d3 p¯

m | h¯2 . q¯ · (p¯ + k¯ + q¯ )

Wir benutzen noch die Energieeinheit „ryd“ (2.35): 1 ryd =

me4 2h¯2 (4πε0 )2

  3N U(1) Θ1 = − 5 8π ,

(5.144)

,



p¯ , k¯ < 1 |k¯ + q¯ | , |p¯ + q¯ | > 1

-

d3 q¯ d3 k¯ d3 p¯

1 1 . 4 q¯ q¯ · (p¯ + k¯ + q¯ )

(5.145)

Dabei haben wir noch kF3 = 3π2 N |V ausgenutzt. Wir kürzen ab xp = und betrachten das Integral

p¯ · q¯ ; p¯ q¯



I(¯q) =

d3 p¯ d3 k¯

xk =

k¯ · q¯ ¯q k¯

1 . ¯ k + q¯ 2 q¯ p¯ xp + q¯ kx

Der Integrationsbereich ist durch k¯ < 1 < |k¯ + q¯ | ;

p¯ < 1 < |p¯ + q¯ |

(5.146)

370

5. Störungstheorie (T = 0)

festgelegt. Wir schätzen diese Ausdrücke für kleine q¯ ab.  1 2 1 | 2 ¯qxk = k¯ 1 + 2xk q¯ + q¯ = |k¯ + q¯ | = k¯2 + q¯ 2 + 2k¯ k¯ k¯2 = k¯ + q¯ xk + O(¯q2 ) , |p¯ + q¯ | = p¯ + q¯ xp + O(¯q2 ) . Dies bedeutet für den Integrationsbereich: 1 − q¯ xk < k¯ < 1 ;

1 − q¯ xp < p¯ < 1 .

Wir legen die Polarachse parallel zu q¯ und haben dann auszuwerten: I(¯q) ≈ 4π

+1 2

+1 dxk

−1

1

1 dk¯

dxp −1

1 − q¯ xk

dp¯

1 − q¯ xp

k¯2 p¯ 2 . ¯ k + q¯ 2 q¯ p¯ xp + q¯ kx

¯ p¯ = 1 + O(¯q) annehmen: Für q¯ → 0 können wir im Nenner des Integranden k, I(¯q) ≈ 4π2

+1

+1 dxk

−1

4π2 = 9

+1

−1

1

1 dk¯

dxp −1

1 − q¯ xk

dp¯

1 − q¯ xp

k¯2 p¯ 2 =  q¯ xp + xk

  3   3  1 − 1 − q¯ xk 1 − 1 − q¯xp   dxk dxp ≈ q¯ xp + xk

(5.147)

  ≈ αq¯ + O q¯ 2 . Dabei ist

α = 4π

+1

2

dxk dxp −1

xk xp xk + xp

ein einfacher Zahlenwert. Setzen wir dieses Ergebnis in (5.145) ein, 

U(1) Θ1



3N ≈ − 4α 2π

?

d¯q , q¯

(5.148)

0

so erkennen wir, dass das Integral an der unteren Grenze divergiert. Für die obere Grenze gilt unsere Abschätzung nicht, jedoch treten wegen des 1|q¯ 4 -Terms dort keine Besonderheiten auf. Für die Struktur 2) gilt nach (5.143):   U(2) Θ1 =

1 V 3 e4 m d3 q d3 k d3 p 2 =− = 2 9 2 2 2 (2π) ε0 V h¯ , q |k+q−p| q · (p−k−q) k, p < kF |k + q| , |p − q| > kF

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

=−

VkF3 16π7,



¯ p¯ < 1 k, |k¯ + q¯ | , |p¯ − q¯ | > 1

371

1 d3 q¯ d3 k¯ d3 p¯ 2 [ryd] . ¯ − q¯ | 2 q¯ · (p¯ −k−¯ ¯ q) ¯ q ¯ | p − k -

Wir substituieren noch q¯ durch −¯q und k¯ durch −k¯ und erhalten dann einen Ausdruck, der analytisch integriert werden kann (L. Onsager et al., Annalen der Physik 18, 71 (1966)):

3

  3N d q¯ 1 3¯ d k d3 p¯ [ryd] = U(2) Θ1 = ¯ + k¯ + q¯ | 2 q¯ · (p¯ + k¯ + q¯ ) 16π5 , q¯ 2 | p ¯ p¯ < 1 k, (5.149) |k¯ + q¯ | , |p¯ + q¯ | > 1

= 0,0484 · N[ryd] . Die Ursache für die Divergenz der Struktur 1) liegt in dem Faktor v2 (q). Dies gilt auch für alle höheren Ordnungen, die jeweils ein Diagramm vom Typ 1) enthalten, welches einen Faktor vn + 1 (q) beisteuert, der die Divergenz erzeugt. Solche Diagramme nennt man Ringdiagramme, die durchgehende Folgen von Bauteilen (Abb. 5.6) darstellen. Diese liefern an jeder Wechselwirkungslinie denselben Impulsübertrag q. Wir machen für das Jellium-Modell damit die seltsame Beobachtung, dass die Störungstheorie in erster Ordnung gute Resultate liefert (5.138), wohingegen jeder weiterer Term der Störreihe divergiert. Summiert man jedoch die unendliche Reihe auf, so kompensieren sich die Beiträge der Ringdiagramme zu einem endlichen Wert. −

;

− Abb. 5.6. Bauteile eines Ringdiagramms

5.5.3 Korrelationsenergie Die so genannte Hartree-Fock-Lösung (5.139) für die Grundzustandsenergie des wechselwirkenden Elektronengases, die wir hier mit einer Störungstheorie erster Ordnung abgeleitet haben, ergab sich letztlich als Erwartungswert der Coulomb Wechselwirkung im ungestörten Grundzustand  η0 . Dieser berücksichtigt das PauliPrinzip, das dafür sorgt, dass sich Elektronen parallelen Spins nicht zu nahe kommen. Dies führt zu einer Reduktion der Grundzustandsenergie, da dadurch gleichnamig geladene Teilchen auf Abstand gehalten werden. – Wegen der abstoßenden Elektron-Elektron-Wechselwirkung sollte es aber auch unwahrscheinlich sein, dass sich Elektronen antiparallelen Spins zu sehr nähern. Dieser Tatsache, dass auch Teilchen entgegengesetzten Spins miteinander korreliert sind, wird in der HartreeFock-Näherung nicht Rechnung getragen. Man bezeichnet deshalb die Abweichung der exakten Grundzustandsenergie von dem Hartree-Fock-Resultat als

Korrelationsenergie,

372

5. Störungstheorie (T = 0)

die wir in diesem Abschnitt nach einem Verfahren von M. Gell-Mann und K. A. Brueckner (Phys. Rev. 106, 364 (1957)) für den Grenzfall hoher Elektronendichten genauer abschätzen wollen. Nach dem Rayleigh-Ritz’schen Variationsprinzip stellt das störungstheoretische Resultat (5.139) bereits eine obere Schranke für die Grundzustandsenergie dar. Die Berücksichtigung der Korrelationen sollte deshalb zu einer weiteren Absenkung führen. Als Maß für die Elektronendichte benutzen wir den dimensionslosen Dichteparameter rs , der durch (2.83) definiert wird: 3 V 4π  aB rs ; = N 3

aB =

4πε0 h¯2 . me2

aB ist der Bohr’sche Radius. Hohe Elektronendichten bedeuten kleine Werte für rs . Bei der Abschätzung höherer Störungskorrekturen kann es sich als sinnvoll erweisen, den Übergang von (3.14) nach (3.18) für den Zeitentwicklungsoperator wieder rückgängig zu machen. Wir können dann anstelle von (5.134) auch die folgende Formel für die Grundzustandsenergie verwenden: ∞   1 i n   − ΔE0 = lim   · α → 0 η0 Uα (0, −∞)  η0 h¯ n=0

0 ·

t1 dt1

−∞

t n − 1

dtn e −α( |t1 | + ··· + |tn | ) ·

dt2 · · ·

−∞

(5.150)

−∞

        · η0  V(t = 0)V t1 V t2 · · · V tn  η0 . 

Die Operatoren sind in diesem Fall bereits zeitgeordnet. Tε wirkt deshalb wie die Identität und kann weggelassen werden. Man beachte, dass in (5.150) gegenüber (5.134) der Faktor 1|n! fehlt. Bei der Abzählung der topologisch verschiedenen Diagramme gleicher Struktur haben wir aufzupassen, da die Vertizes wegen der festen Zeitordnung nicht mehr beliebig vertauscht werden dürfen. Das macht gerade den Faktor 1|n! aus. Statt (5.136) gilt nun: A∗ (Θn ) =

2n + 1   = 2n + 1 . h Θn

(5.151)

Wegen der festen Anordnung der Vertizes gibt es nun keine zusammenhängenden, topologisch gleichen Diagramme mehr. Betrachten wir zunächst einmal aus der dritten Ordnung Störungstheorie (n = 2) das entsprechende Ringdiagramm, das wir mit (5.150) auswerten wollen.   URing Θ2 = = lim 8 α→0

 2      1 i − (−1)3 v(kl, nm)v k1 l1 , n1 m1 v k2 l2 , n2 m2 · 8 h¯ klmn k1 ... k2 ...

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

0 ·

t1 dt1

−∞

373

- ,    c  c t −t2 δnk2 · dt2 e −α( |t1 | + |t2 | ) · iG0, δ iG0, 2 kn n 2 k

−∞

, - -    , 0, c      c  c c · iG0, t1 δl, m1 iG0, iGk1 t2 −t1 δk1 m2 iG0, m −t1 δm, l1 n1 t1 −t2 δn1 l2 . l Wir setzen gemäß (5.130) die expliziten Coulomb-Matrixelemente ein und führen die Spinsummationen aus, die triviale Zahlenwerte liefern, da die freien GreenFunktionen spinunabhängig sind:  2  i lim v(k − n)v(n − k) · = −8 − h¯ α→0 klmn k1

0 t1 ,  c    0, c  t2 iGn −t2 · · v(n − k) dt1 dt2 e −α( |t1 | + |t2 | ) δk + l, m + n iG0, k −∞

−∞

,  , 0, c  - , 0, c  c    0, c  · iG0, t −t t t . i G i G − t i G − t 1 1 2 1 2 m l k1 k1 + k − n 1 Wir schreiben k → k1 ;

l → k2 ;

m → k2 + q ;

n → k1 − q ;

k1 → k3

und erhalten dann nach Einsetzen von (5.78): 

URing Θ2



 2

0

t1 q =/ 0  i 3 =8 − lim v (q) dt1 dt2 e α(t1 + t2 ) · h¯ α → 0 k 1 , k2 , k3 q

−∞

−∞

    · Θ kF − k1 Θ |k1 − q| − kF ·     · Θ kF − k2 Θ |k2 + q| − kF ·     · Θ kF − k3 Θ |k3 + q| − kF ·  i,        -  · exp − ε k2 −ε k2 +q −ε k3 +ε k3 +q t1 · h¯  i,        -  · exp − ε k1 −ε k1 −q +ε k3 −ε k3 +q t2 = h¯ q =/ 0



=8

k 1 , k2 , k3 , q k1 < kF < |k1 − q| k2 < kF < |k2 + q| k3 < kF < |k3 + q|



v3 (q)          · ε k1 − ε k1 −q + ε k3 − ε k3 +q

1       . ·    ε k2 − ε k2 +q + ε k1 − ε k1 −q

374

5. Störungstheorie (T = 0)

m l q k

q

k1 n1

q

n

Abb. 5.7. Ringdiagramm dritter Ordnung

Wir substituieren q→−

q ; kF

k2 → −

k2 ; kF

k3 → −

k3 kF

und verwenden wiederum die Energieeinheit „ryd“ (5.144). Mit kF aB =

α rs

;

α=



9π 4

1|3 (s. (2.86))

folgt dann als Zwischenergebnis:   3N URing Θ2 = rs 4π7 α





d3 q¯ q¯ 6

d3 k¯1 d3 k¯2 d3 k¯3 · k¯i < 1 < |k¯ i + q¯ | i = 1, 2, 3

(5.152)

1   [ryd] ·  ¯ ¯ q¯ · (k1 + k3 + q¯ ) q¯ · (k¯ 1 + k¯ 2 + q¯ ) Wir wollen uns wie zu (5.79) klar machen, dass auch dieser Beitrag divergiert. Dazu untersuchen wir zunächst das Dreifach-Integral über die k¯ i

&  I(2) (¯q) ≡ d3 k¯1 d3 k¯2 d3 k¯3 q¯ k¯1 x1 + q¯ k¯3 x3 + q¯ 2 · k¯i <1< |k¯ i + q¯ | i = 1, 2, 3

(5.153)

'−1  · q¯ k¯1 x1 + q¯ k¯2 x2 + q¯ 2 für kleine q¯ . Wir haben wieder xi =

k¯ i · q¯ ; k¯i q¯

i = 1, 2, 3

abgekürzt. Die Integrationsbereiche lassen sich wie nach (5.146) zu 1 − q¯ xi < k¯i < 1 ;

i = 1, 2, 3

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

375

abschätzen. In diesen Bereichen ist aber k¯i = 1 + O(¯q). Die Polarachse wird parallel zu q¯ gewählt: I(2) (¯q) ≈ 8π

+1 3

+1 dk¯1 dk¯2 dk¯3 k¯12 k¯22 k¯32 ·

dx1 dx2 dx3 −1

1−¯qxi

&    '−1 = · q¯2 x1 + x3 x1 + x2 + O(¯q)

=

8π3 9

+1

  3    3  1 − 1 − q¯ x2 · dx1 dx2 dx3 1 − 1 − q¯ x1

−1

 3  & 2     '−1  q¯ x1 + x3 x1 + x2 + O q¯ 3 · 1 − 1 − q¯ x3 . Dies ergibt   I(2) (¯q) = α(2) q¯ + O q¯ 2

(5.154)

mit einem einfachen Zahlenwert α(2) . Die q¯ -Abhängigkeit ist also dieselbe wie in (5.147). Es bleibt dann für den Beitrag (5.152) des Ringdiagramms,   URing Θ2 ≈ γ(2) rs

?

d¯q , q¯3

(5.155)

0

der offensichtlich an der unteren Integrationsgrenze divergiert. In (n+1)-ter Ordnung Störungstheorie ist das zu (5.153) analoge Integral I(n) (¯q) für kleine q¯ abzuschätzen. Die Integrationen über die inneren Zeiten t1 , t2 , . . . , tn liefern mit obiger Abschätzung jeweils einen Faktor q¯ −1 . Wir haben an jedem Vertex eigentlich drei unabhängige k-Summationen. Bei Ringdiagrammen liefert jeder innere Vertex, bis auf den letzten, jedoch nur eine zusätzliche, unabhängige WellenzahlSummation. Bei n inneren Vertizes sind das (n − 1) Summationen. Der feste Vertex links steuert drei Summationen bei, davon eine über q¯ . Insgesamt haben wir nach Übergang in den thermodynamischen Limes in I(n) (¯q) (n + 1)k¯i -Integrationen jeweils von 1 − q¯ xi bis 1. Jede liefert nach Entwicklung für kleine q¯ , wie vor (5.154) demonstriert, einen Faktor q¯ . Dies bedeutet insgesamt   (5.156) I(n) (¯q) ≈ α(n) q¯ + O q¯ 2 . Der Beitrag U des Ringdiagramms in (n + 1)-ter Ordnung Störungstheorie divergiert deshalb wegen des Faktors vn + 1 (¯q) ∼ q¯ −(2n+2) wie 



URing Θn ∼

?

d¯q q¯ 2n − 1

.

(5.157)

0

Man vergleiche mit den speziellen Ergebnissen (5.148) für n = 1 und (5.155) für n = 2.

376

5. Störungstheorie (T = 0)

Wichtig ist nun noch die Abhängigkeit der einzelnen Diagrammbeiträge vom Dichteparameter rs , die sich leicht für beliebige Diagramme, also nicht nur für Ringdiagramme, abschätzen lässt. In zweiter Ordnung Störungstheorie (n = 1) haben wir alle denkbaren Diagramme für das Jellium-Modell in Abschn. 5.5.2 exakt ausgerechnet. Sie erweisen sich als unabhängig von rs . Bei jeder um Δn = 1 anwachsenden Ordnung kommt ein Faktor   v ki − kj ∼

1 |ki − kj | 2

hinzu, der nach Skalierung einen Faktor kF−2 beisteuert. Jeder neue innere Vertex liefert außerdem eine weitere Zeitvariable, über die dann zu integrieren ist. Dies −1  , der nach Skalierung wegen ergibt einen zusätzlichen Energie-Nenner ε(ki ) + · · · ε(ki ) ∼ ki2 ebenfalls einen Faktor kF−2 liefert. Jeder zusätzliche innere Vertex bedingt eine weitere k-Summation, die nach Übergang in den thermodynamischen Limes,

 V d3 k , −→ (2π)3 k

zu einem Skalierungsfaktor kF3 führt. – Insgesamt ruft also jede um Δn=1 anwachsende Ordnung der Störungstheorie einen Faktor kF−1 und damit wegen kF aB =

α rs

einen Faktor rs hervor. Für einen Beitrag U(Θn ) zur (n + 1)-ten Ordnung Störungstheorie gilt also:   U Θn ∼ rsn − 1 ;

n = 0, 1, 2, . . .

(5.158)

Dies ist natürlich außerordentlich günstig für eine Störungstheorie im Bereich hoher Elektronendichten (rs → 0). Die Störungsentwicklung ließe sich nach endlich vielen Termen abbrechen, wenn da nicht das divergente q → 0 -Verhalten in gewissen Termen wäre, das aus der Langreichweitigkeit der Coulomb-Wechselwirkung resultiert. Die Korrelationsenergie muss insgesamt natürlich endlich sein, d. h., die CoulombWechselwirkung wird letztendlich durch das Elektronengas selbst abgeschirmt. Es werden sich also die divergenten Terme der Störreihe beim Aufsummieren zu einem endlichen Wert kompensieren müssen. Wir werden deshalb versuchen, unendliche Partialsummen über die kritischen Diagramme durchzuführen, während die nichtdivergenten Terme wegen (5.158) nur bis zu einer endlichen Ordnung berücksichtigt zu werden brauchen. Es ist dabei allerdings zu beachten, dass nicht nur die Ringdiagramme Singularitäten aufweisen. Wir wollen deshalb zunächst begründen, warum wir uns dennoch bei der Auswertung im Wesentlichen auf die Ringdiagramme beschränken dürfen. Die eigentlichen Ringdiagramme sehen wie Abb. 5.8 aus.

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

377

In Abb. 5.9 ist ein divergentes Nicht-Ringdiagramm als Beispiel skizziert. Es gehört   zu U Θ2 und liefert einen Term v2 (q), ist damit weniger divergent als das entspre  chende Ringdiagramm, jedoch genauso divergent wie URing Θ1 . Es ist deshalb nicht unmittelbar einsichtig, warum es vernachlässigt werden darf. Es divergiert gemäß

?

d¯q (3) g (¯q) , q¯ 4 − 3 2

0

wobei g2(3) (¯q) ein harmloser Faktor ist, der für q¯ → 0 endlich bleibt. Der obere Index soll die Ordnung (n + 1) der Störungstheorie angeben, der untere Index (m = 2) die Zahl der gleichen Impulsüberträge der jeweiligen Struktur, wodurch ein Faktor q¯ −2m ins Spiel kommt. Allgemein kann man für den Diagrammbeitrag n-ter Ordnung schreiben: 



U Θn =

rsn − 1

n +1

? (n+1) d¯q q¯ 3 − 2m gm (¯q) ,

m=1 0 (n+1) (¯q) −−→ const . gm q¯ → 0

(a) q

q

(b) q q q

(c) q q

q q Abb. 5.8 a–c. Ringdiagramme niedriger Ordnung

(5.159)

378

q

5. Störungstheorie (T = 0)

q Abb. 5.9. Beispiel eines divergenten Nicht-Ringdiagramms

Alle Beiträge außer m = 1 sind divergent. Die eigentlichen Ringdiagramme entsprechen m = n + 1 (s. (5.157)). Warum darf man sich bei der Auswertung dennoch auf die Ringdiagramme beschränken? Wie bereits erwähnt, liegt die physikalische Ursache der Divergenzen in der Langreichweitigkeit des Coulomb-Potentials. Die Reaktion des Elektronengases führt zu einem Abschirmeffekt, sodass lediglich solche Wellenzahlen q zum Tragen kommen, deren Betrag einen Minimalwert km überschreitet. Nehmen wir als Maß für km die reziproke Thomas-Fermi-Abschirmlänge (4.123), −1 | 2

km ∼ rs

⇒

−1 | 2

km rs k¯m = ∼ kF kF

+1 | 2

∼ rs

,

so lässt sich abschätzen:

? m=2 :

d¯q (n+1) (¯q) ∼ ln k¯m ∼ ln rs , g q¯ 2

k¯m

? (n+1) 4 − 2m d¯q · q¯ 3 − 2m gm (¯q) ∼ k¯m ∼ rs2 − m .

m>2 : k¯m

Der Beitrag eines Diagramms mit n inneren Vertizes skaliert dann wegen (5.159) wie   (5.160) U Θn ∼ rsn + 1−m (m > 2) . Dies bedeutet für Ringdiagramme (m = n + 1)   URing Θn ∼ rs0 (m > 2)

(5.161)

und für die Beiträge aller anderen Diagramme:   U Θn ∼ rst −−→ 0 (t > 0) . rs → 0

Ein Spezialfall ist n = 1, den wir im letzten Abschnitt explizit gerechnet haben:   URing Θ1 ∼ ln rs , (5.162)   U(2) Θ1 ∼ rs0 (s. (5.149)) .

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

379

Bei hohen Elektronendichten (rs klein!) stellt demnach der folgende Ausdruck eine sinnvolle Näherung für die Korrelationsenergie dar: Ecorr ≈

∞ 

    URing Θn + U(2) Θ1 .

(5.163)

n=1

Wir werden deshalb als Nächstes versuchen, die Ringdiagramme aufzusummieren. Ausgangspunkt ist die folgende Darstellung für URing (Θ):

  3N , rs -n − 2 I(n−1) (¯q) 3 URing Θn − 1 = (−1)n − 1 5 d q¯ [ryd] , (5.164) 8π απ2 q¯ 2n 1 I(n−1) (¯q) = n

+∞

··· −∞

Fq¯ (t) =

p¯ < 1 < |p¯ + q¯ |

      dt1 · · · dtn Fq¯ t1 · · · Fq¯ tn δ t1 + · · · + tn ,

(5.165)

  1 2 q¯ + q¯ · p¯ |t| . d3 p¯ exp − 2

(5.166)

Zum allgemeinen Beweis dieser Behauptung müssen wir auf die Originalliteratur verweisen (M. Gell-Mann, K. A. Brueckner, Phys. Rev. 106, 364 (1957)). Wir wollen aber den Fall n = 2 explizit überprüfen. I(1) (¯q) = 1 = 2 1 = 2

+∞

      dt1 dt2 Fq¯ t1 Fq¯ t2 δ t1 + t2 =

−∞

+∞     dt1 Fq¯ t1 Fq¯ −t1 = −∞

=



∞

3¯

3¯

d p1 d p2

p¯ i < 1 < |p¯ i + q¯ | i = 1, 2

dt exp −

 1 2 1 2 q¯ + q¯ · p¯ 1 t exp − q¯ + q¯ · p¯ 2 t . 2 2

0

Die Exponenten  2 1  1 2 q¯ + q¯ · p¯ i = q¯ + p¯ i − p¯ 2i 2 2

(5.167)

sind im Integrationsbereich positiv, sodass obige Integrale auf jeden Fall konvergieren:

1  (s. (5.146)) .  I(1) (¯q) = d3 p¯ 1 d3 p¯ 2 q¯ · q¯ + p¯ 1 + p¯ 2 p¯ i < 1 < |p¯ i + q¯ | i = 1, 2

380

5. Störungstheorie (T = 0)

Setzen wir dies in (5.164) ein, so ergibt sich in der Tat exakt (5.145). – Die Kontrolle des Falls n = 3 sei zur Übung empfohlen. Wir setzen nun in (5.164) den folgenden Ausdruck für die δ-Funktion ein, 1 δ(t) = 2π

+∞

+∞ q¯ iωt dω e = dω e iq¯ωt , 2π

−∞

−∞

und erhalten dann: I(n−1) (¯q) =

q¯ 2πn

+∞ +∞     dω · · · dt1 · · · dtn Fq¯ t1 · · · Fq¯ tn · −∞

−∞

· exp [i¯qω(t1 + · · · + tn )] = ⎡ +∞ ⎤n

+∞

q¯ i q ¯ ω t ⎦ . = dω ⎣ dt Fq¯ (t) e 2πn −∞

(5.168)

−∞

Wir werten die eckige Klammer weiter aus:

+∞ Rq¯ (ω) ≡ dt Fq¯ (t) e iq¯ωt = −∞

= p¯ < 1 < |p¯ + q¯ |

=

 

+∞ 1 2 q¯ + q¯ · p¯ |t| = d p dt exp(iq¯ ωt) exp − 2 3¯

(5.169)

−∞

    d3 p¯ Θ 1 − p¯ Θ |p¯ + q¯ | − 1

1



¯ 2 + q¯ · p¯ 2q 1 2 q¯ 2 ω2 + 2 q¯2 + q¯ · p¯ 2

.

Wegen (5.167) ist der Bruch im Integranden antisymmetrisch gegenüber einer Vertauschung p¯  p¯ + q¯ . Im Produkt der Stufenfunktionen      &  ' Θ 1 − p¯ Θ |p¯ + q¯ | − 1 = Θ 1 − p¯ 1 − Θ 1 − |p¯ + q¯ | ist dagegen der zweite Summand symmetrisch gegenüber einer solchen Vertauschung, sodass insgesamt bleibt:

1 2   ¯ + q¯ · p¯ 2q Rq¯ (ω) = 2 d3 p¯ Θ 1 − p¯  2 . q¯ 2 ω2 + 12 q¯ 2 + q¯ · p¯ Wir führen zunächst die Winkelintegrationen aus. Mit

+1 −1

±iq¯ ω + 12 q¯ 2 + q¯ p¯ 1 dx = ln ±iq¯ ω + 12 q¯2 + q¯ p¯ x q¯ p¯ ±iq¯ ω + 12 q¯ 2 − q¯ p¯

5.5

Grundzustandsenergie des Elektronengases (Jellium-Modell)

381

folgt als Zwischenergebnis: 2 ¯ + p¯ 2q 1 2 ¯ − p¯ 2q 1

1

2π Rq¯ (ω) = q¯

dp¯ p¯ ln 0

+ ω2 + ω2

.

Mit 1 x = p¯ ± q¯ 2 bleibt auszuwerten: ⎡ ⎤ 1+ 12 q¯ 1− 12 q¯  

⎥  2π ⎢ 1 1 ⎢ dx x − q¯ ln(x2 + ω2 ) − dx x + q¯ ln x2 + ω2 ⎥ Rq¯ (ω) = ⎣ ⎦ . q¯ 2 2 1 ¯ 2q

− 12 q¯

Die Integrale sind elementar:

    x dx ln x2 + ω2 = x ln x2 + ω2 + 2ω arctan − 2x + C1 ,

ω

  1 2    x2 dx x ln x2 + ω2 = x + ω2 ln x2 + ω2 − + C2 . 2 2

Damit ergibt sich:

.

*

Rq¯ (ω) = 2π 1 − ω arctan

1 + 12 q¯

ω

+ arctan

1 − 12 q¯

ω

(5.170) (5.171)

+ +

/  2 1 + 12 q¯ + ω2 1 − 14 q¯ 2 + ω2 + . ln  2 2¯q 1 − 12 q¯ + ω2

(5.172)

Dies setzen wir zunächst in (5.168) ein, um damit dann (5.164) auszuwerten:

ΔERing =

∞ 

(n) ΔERing =

n=2

3N =− 5 8π



απ2

∞ 

URing (Θn − 1 ) =

n=2

2

rs

q¯ d3 q¯ 2π



+∞ ∞  Rq¯ (ω) n (−1)n rs 2 2 dω . n απ q¯ n=2

(5.173)

−∞

Die Reihe konvergiert, falls −1 < rs

Rq¯ (ω) < +1 απ2 q¯2

(5.174)

angenommen werden darf, was allerdings für kleine q¯ sicher fragwürdig wird:

ΔERing =

3N 16π6



απ2 rs

2 d3 q¯ q¯



+∞   Rq¯ (ω) Rq¯ (ω) dω ln 1 + rs 2 2 − rs 2 2 . απ q¯ απ q¯

−∞

(5.175)

382

5. Störungstheorie (T = 0)

Damit sind wir im Prinzip fertig. Die verbleibenden Mehrfachintegrale müssen am Rechner ausgewertet werden. Die Verwendung des Logarithmus erweist sich trotz (5.174) als immer korrekt (K. Sawada: Phys. Rev. 106, 372 (1957); K. Sawada, K. Brueckner, N. Fukuda, R. Brout: Phys. Rev. 108, 507 (1957)):     2 (5.176) ΔERing = N 2 (1 − ln 2) ln rs − 0,142 + O rs ln rs [ryd] .

π

Mit (5.149) und (5.176) in (5.163) haben wir schließlich die Korrelationsenergie bestimmt:    1 (5.177) Ecorr = 0,0622 ln rs − 0,094 + O rs ln rs [ryd] . N Weitergehende Korrekturen entsprechen höheren rs -Potenzen, die wir im Fall hoher Elektronendichten vernachlässigen können. Nur für diese ist aber auch (5.177) akzeptabel. Man beachte jedoch, dass für typische metallische Elektronendichten 1 < rs < 6 angenommen werden muss.

5.6

5.6 Diagrammatische Partialsummen Wir haben in Abschn. 5.4.2 die Dyson-Gleichung für die Ein-Elektronen-GreenFunktion abgeleitet. Zentraler Punkt war dabei die Einführung des Selbstenergiekonzepts (5.124). Jede noch so einfache Approximation für die Selbstenergie Σkσ (E) entspricht bereits einer unendlichen Partialsumme. Das Selbstenergiekonzept ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, Partialsummen zu bilden. Wir wollen in diesem Abschnitt weitere Varianten kennen lernen. Das Aufsummieren solcher unendlichen Teilreihen ist oft sehr wichtig, bisweilen sogar unumgänglich. Lebensdauereffekte von Quasiteilchen sind z. B. nur auf diese Weise berechenbar. Im letzten Abschnitt hatten wir gesehen, dass sich Divergenzen in den einzelnen Termen der Störentwicklung für die Grundzustandsenergie durch passende Partialsummen zu endlichen Werten kompensieren. Bei vielen Diagrammentwicklungen lässt sich eine beträchtliche Reduktion der Zahl der Diagramme erreichen, wenn man nur solche Diagramme mitnimmt, die in keiner Teilchenlinie einen Selbstenergieanteil enthalten („Skelett-Diagramme“), und dafür in den übrig bleibenden Diagrammen jeden freien Propagator durch den vollen Propagator ersetzt. Auf ähnliche Weise lassen sich auch Wechselwirkungslinien renormieren (ankleiden). Einige der wichtigsten Verfahren dieser Art sollen im Folgenden stichpunktartig besprochen werden, wobei wir die Betrachtungen konkret auf das Jellium-Modell beschränken wollen. 5.6.1 Polarisationspropagator Im Zusammenhang mit der Dielektrizitätsfunktion ε(q, E) haben wir in Abschn. 3.1.5 die so genannte Dichtekorrelation eingeführt. Es handelt sich dabei um eine ZweiTeilchen-Green-Funktion:

5.6

Diagrammatische Partialsummen

383

4 ,        -5 = = −i Tε ρq (t)ρq+ t

Dq t, t = ρq (t); ρq+ t



+∞  i  . = dE Dq (E) exp − E t − t

2πh¯ h¯ 1

(5.178)

−∞

Die Dichteoperatoren ρq (t) haben wir in (3.97) kennen gelernt:  ρq (t) = a+kσ (t)ak + qσ (t); ρq+ (t) = ρ−q (t) .

(5.179)

k, σ

Die Berechnung des Ausdrucks (5.178), 

+∞    i 



· iDq (E) = d t − t exp E t−t h¯ −∞

·



        E0  Tε a+kσ (t)ak+qσ (t)a+pσ t ap−qσ t  E0 ,

(5.180)

k, p

σ, σ

entspricht der in (5.115) formulierten Aufgabenstellung. Es ist über alle Kombinationen von offenen, zusammenhängenden Diagrammen zu summieren, die insgesamt vier äußere Linien aufweisen, von denen je zwei bei t und bei t angeheftet sind: k,σ

t1¢

tn¢

p-

t

k+

q,σ

t1

tn

q,σ

t¢

p,σ

Wenn wir wieder Spinerhaltung an jedem Vertexpunkt voraussetzen (kein Spinaustausch zwischen den wechselwirkenden Teilchen!), dann ist unmittelbar klar, dass (5.180) nur für σ = σ von Null verschieden ist. Das ist in dem Bild schon berücksichtigt. Denken wir insbesondere wieder an das Jellium-Modell, so sind wegen v(0) = 0 alle offenen Diagramme der obigen Art selbst auch schon zusammenhängend. So erfordert z. B. ein Diagrammanteil der Form p-

k,σ n

t

k+q ,σ

q,σ

p,σ

t¢

wegen Impulserhaltung am Vertex k + q + n = k + n ⇐⇒ q = 0, liefert also keinen Beitrag. Wir haben also in (5.180) nicht über Kombinationen von offenen, zusammenhängenden Diagrammen mit insgesamt vier äußeren Linien zu summieren, sondern nur über die zusammenhängenden Diagramme selbst.

384

5. Störungstheorie (T = 0)

Die nullte Ordnung enthält keinen Vertex. Es ist deshalb für q =/ 0 nur ein Diagramm möglich. n=0: n=0:

k,σ t¢

t

, ,  c

(−1) iG0, δk, p − q iG0,k +c q,σ t − t δp, k + q . kσ t − t

⇐⇒

k + q,σ

Der Faktor (−1) stammt aus der Schleifenregel. In erster Ordnung ergeben sich folgende Diagrammstrukturen: n=1: n = 1: t1¢ t¢

t

t1 t1¢ t1 t

t1¢ t

t¢

t¢

t1

Die beiden Darstellungen sind natürlich völlig äquivalent, die rechte ist die üblichere. Wie bei der Ein-Teilchen-Green-Funktion in Abschn. 5.4.1 können wir nun wieder zu der energieabhängigen Fourier-Transformierten übergehen. Die wichtigste Konsequenz ist dann die Energieerhaltung an jedem Vertex. Ansonsten können die im Anschluss an (5.123) formulierten Diagrammregeln praktisch unverändert übernommen werden. Für eine quantitative Analyse ist jedoch eine sorgfältige Auswertung der trivialen Faktoren unumgänglich. Letztere stellen eine durchaus ernst zu nehmende Fehlerquelle dar. Wir wollen die Diagrammregeln für die Zwei-Teilchen-Green  Funktion Dq t, t bzw. Dq (E) deshalb hier noch einmal explizit zusammenstellen.

5.6

Diagrammatische Partialsummen

385

Betrachten wir zunächst das Diagramm zur Ordnung n = 0: kσ t

t¢

  t, t . ≡ i¯ hΛ(0) q

(5.181)

k + q,σ

Gleichung (5.180) entsprechend gilt: ,    - , 0, c  0, c 

t, t = − t − t i¯ hΛ(0) δ i G iGkσ t − t = k + q, p q k + qσ k, σ p



 1  i 



dE dE · exp − E t − t (2πh¯)2 h¯ k, σ , - , 0, c  c 

E + E . · iG0, iGkσ E k + qσ

=−

Dies bedeutet für die energieabhängige Fourier-Transformierte: k, E ¢,σ k + q, E + E ¢,σ

≡ i¯ hΛ(0) q (E) = - , (0, c)  −1  , (0, c)  = . dE iGk+qσ E + E

iGkσ E 2πh¯

(5.182)

k,σ

Nach (5.123) hat die Green-Funktion G0, c die Dimension Zeit. Das gilt dann auch für (0) h¯Λ(0) q . Λq (E) selbst besitzt also die Dimension 1|Energie. Wie sieht nun die Fourier-Transformation eines allgemeinen Diagramms der Störreihe aus? I kp,qσ (E1 ,..., E4 ) k + q, E1 ,σ

p - q, E4 ,σ t¢

t

k, E2 ,σ

  ≡ i Dq t, t .

p, E3 ,σ

Nach den Überlegungen in Abschn. 5.4.1 tragen die vier äußeren Linien die folgenden Beiträge: ,    1 i c   E1 , k + q, E1 : √ exp − E1 t iG0, σ k+q h¯ 2πh¯ ,    1 i c  k, E2 : √ E , exp E2 t iG0, 2 kσ h¯ 2πh¯    1 i , 0, c  p, E3 : √ iGpσ E3 , exp E3 t h¯ 2πh¯    1 i , 0, c  p − q, E4 : √ iGp−qσ E4 . exp − E4 t h¯ 2πh¯

386

5. Störungstheorie (T = 0)

Der Kern des Diagramms steuere Ikp,qσ (E1 · · · E4 ) bei. Dann haben wir insgesamt:

    −1  · · · dE1 · · · dE4 Ikp, qσ E1 · · · E4 · i Dq t, t = 2 (2πh¯) k, p

σ

    , 0, c  i  E1 −E2 t − E3 −E4 t

· exp − iGk + q, σ E1 · h¯ , -, -,  c  0, c   0, c · iG0, E E E4 . i G i G 2 3 p p − q σ σ kσ Green-Funktionen sind nur von Zeitdifferenzen abhängig (3.128). Wir können deshalb E1 − E2 = E3 − E4 ≡ E annehmen. Mit E1 = E + E, E2 = E , E3 = E

, E4 = E

− E bleibt dann nach Fourier-Transformation:

  −1  dE dE

Ikp, qσ E , E

; E · i Dq (E) = 2πh¯ k, p, σ

, - , 0, c  c 

· iGkσ E · iG0, k + qσ E + E

(5.183)

-, , 

c 

 0, c E E i G − E . · iG0, pσ p − qσ Der Faktor (−1) resultiert aus der Schleifenregel. Wir können nun die Diagrammregeln für die Zwei-Teilchen-Green-Funktion formulieren: Diagrammregeln für iDq (E) Man betrachte alle Diagramme mit vier äußeren Anschlüssen wie in Abb. 5.10. Ein Diagramm n-ter Ordnung (n Vertizes!) ist dann wie folgt auszuwerten (vgl. Abschn. 5.4.1):   1. Vertex ⇐⇒ 2π1 ¯h − ¯hi v(kl, nm)δ [(Ek + El ) − (Em + En )].  c 2. Propagator (= durchgezogene Linie): iG0, kν Ekν δkν kμ . 3. Faktor: (−1)S ; S = Zahl der Fermionenschleifen. 4. Äußere Anschlüsse: - , 0, c  1 , 0, c 

, iGk + q E + E iGk E links: √ 2πh¯ - , 0, c 

1 , 0, c 

rechts: √ iGp − q E − E iGp E 2πh¯ k + q, E ¢+ E,σ k, E ¢,σ

p, E ¢¢,σ p - q, E ¢¢- E,σ

Abb. 5.10. Allgemeine Diagrammstruktur der

Dichtekorrelation

5.6

5.

Diagrammatische Partialsummen

387

Summation bzw. Integration über alle inneren Wellenzahlen, Spins und Energien. Dazu zählen auch k, p, σ , E , E

, nicht jedoch E und q.

Damit lässt sich die Störreihe der Zwei-Teilchen-Green-Funktion iDq (E) systematisch entwickeln. Genau wie bei der Dyson-Gleichung der Ein-Elektronen-Green-Funktion in Abschn. 5.4.2 erkennen wir, dass auch die Diagrammentwicklung für iDq (E) nach den obigen Regeln eine unendliche Teilreihe enthält, die sich abtrennen lässt. Definition 5.6.1 Polarisationsanteil

5.6.1

= Diagrammanteil in iDq (E) mit zwei festen äußeren Anschlüssen, in die je eine äußere Linie einmündet und von denen je eine äußere Linie ausgeht. Es handelt sich damit selbst um ein Diagramm aus der Entwicklung von ⇐⇒

iDq (E) .

Beispiele 1)

2)

Definition 5.6.2 Eigentlicher, irreduzibler Polarisationsanteil = Polarisationsanteil, der sich nicht durch Auftrennen einer Wechselwirkungslinie in zwei selbstständige Diagramme zerlegen lässt. Beispiele 1)

,

2)

, ...

irreduzibel,

, ...

reduzibel

Jedes Diagramm, das nicht schon selbst ein irreduzibler Polarisationsanteil ist, lässt sich dann offensichtlich wie folgt zerlegen:

(I)

(II)

(III)

5.6.2

388

5. Störungstheorie (T = 0)

(I): Irreduzibler Polarisationsanteil, (II): Wechselwirkungslinie, (III): Diagramm aus der Entwicklung von iDq (E). Wir erhalten offensichtlich alle Diagramme, wenn wir in (I) über alle irreduziblen Polarisationsanteile und in (III) über alle möglichen Diagramme summieren und ferner die Summe aller irreduziblen Polarisationsanteile selbst hinzuzählen. 5.6.3

Definition 5.6.3

i¯ hΛq (E) ⇐⇒ = Summe aller irreduziblen Polarisationsanteile. Damit können wir die folgende diagrammatische Dyson-Gleichung formulieren: =

iDq (E)

+

i¯ hΛq (E)

i v (q) h

(5.184)

i¯ hΛq (E)

iDq (E)

Wir haben noch den Beitrag der Wechselwirkungslinie zu erläutern, der etwas vom Punkt 1. der obigen Diagrammregeln abweicht. Die Energieerhaltung, die durch die δ-Funktion in 1. gewährleistet wird, ist bei dieser Wechselwirkungslinie durch die Anschlüsse links und rechts bereits vorgegeben. Wenn wir bei der AuswerhΛq (E) und tung des zweiten Summanden in (5.184) die rechten Anschlüsse von i¯ die linken Anschlüsse von iDq (E) als äußere Anschlüsse gemäß Regel 5. auffassen, so entfällt natürlich die Zeitintegration (5.121) am Vertex und damit der Faktor (1|2πh¯)δ [(Ek + El ) − (Em + En )]. Dies wird an der Herleitung von (5.183) klar. Die formale Lösung zu (5.184) lautet Dq (E) =

h¯Λq (E) . 1 − Λq (E)v(q)

(5.185)

Dq (E) ist also vollständig durch den Polarisationspropagator Λq (E) festgelegt, der nach den obigen Diagrammregeln zu berechnen ist und wesentlich einfacher aufgebaut ist als die ursprüngliche Zwei-Teilchen-Green-Funktion Dq (E). 5.6.2 Effektive Wechselwirkung Mithilfe des im letzten Abschnitt eingeführten Polarisationspropagators Λq (E) lässt sich ein weiteres, sehr nützliches Konzept entwickeln, nämlich das der effektiven (angekleideten) Wechselwirkung. In der Diagrammentwicklung für die Ein-TeilchenGreen-Funktion iGckσ (E), die in Abschn. 5.4.1 durchgeführt wurde, taucht eine Reihe von Graphen auf, die in einer Wechselwirkungslinie einen irreduziblen Polarisationsanteil enthalten.

5.6

Diagrammatische Partialsummen

389

Beispiel

Beim Summieren über alle denkbaren Diagramme werden wir eine große Zahl solcher Graphen antreffen, die sich von dem skizzierten nur dadurch unterscheiden, dass die Schlaufe in der Wechselwirkungslinie durch etwas Komplizierteres ersetzt wird. Die Gesamtheit aller solcher Diagramme wollen wir durch Einführen der effektiven Wechselwirkung veff (q, E) erfassen. Wir vereinbaren die folgenden Symbole: ======

⇐⇒

i − veff (q, E) h¯

−−−−−−

⇐⇒

i − v(q) . h¯

Der Vorfaktor (−i | h¯) entspricht der Diagrammregel 1. für iDq (E). Die Energieerhaltung, die zu dem Term 1 2πh¯







δ Ek + El − Em + En



führt, ist sowohl für veff (q, E) als auch für die nackte Wechselwirkung v(q) zu beachten, wird deshalb für die folgenden Überlegungen nicht explizit berücksichtigt. Man unterdrückt nun in der Diagrammentwicklung für iGckσ (E) alle die Diagramme, die in mindestens einer Wechselwirkungslinie einen Polarisationsanteil enthalten. In den verbleibenden Diagrammen ersetzt man die einfachen (nackten) Wechselwirkungslinien v(q) durch die effektiven, wobei veff (q, E) aus folgender Entwicklung resultiert: =

i − Veff (q, E) h

+

+

0. Ordnung

+

1. Ordnung +

+ 2. Ordnung

+

+ 3. Ordung

+ ... +

+ + ...

=

i − v (q) h

+ i − v (q) h

i − v eff (q, E) h i hΛq (E)

+

390

5. Störungstheorie (T = 0)

Die n-te Ordnung in der Entwicklung für veff (q, E) ist durch (n+ 1) Wechselwirkungslinien v(q) gekennzeichnet. Offensichtlich lassen sich in der angegebenen Form die Diagramme zu einer Dyson-Gleichung mit der formalen Lösung zusammenfassen: v(q) . (5.186) veff (q, E) = 1 − v(q)Λq(E) Durch den Polarisationspropagator Λq (E) ist also auch die effektive Wechselwirkung eindeutig festgelegt. Die nach der oben beschriebenen Einführung der effektiven Wechselwirkung noch in der Entwicklung von iGckσ (E) verbleibenden Diagramme nennt man Skelettdiagramme. In Abschn. 3.1.5 haben wir die Dielektrizitätsfunktion ε(q, E) diskutiert. Über die Beziehung (3.104) können wir diese nun mit dem Polarisationspropagator bzw. mit der effektiven Wechselwirkung in Verbindung bringen:   1 1 = 1 + v(q) ρq ; ρq+ cE = εc (q, E) h¯ 1 = 1 + v(q)Dq (E) . h¯ Der Index c soll darauf hindeuten, dass die hier benutzte Diagrammtechnik die kausale Green-Funktion betrifft. Die Überlegungen in Abschn. 3.1.5 bezogen sich dagegen auf die entsprechende retardierte Funktion. Wegen (3.188), (3.189) für T → 0, Re εret (q, E) = Re εc (q, E) , Im εret (q, E) = sign(E) Im εc (q, E) ,

(5.187)

ist die Transformation aber einfach. Mit (5.185) folgt:

εc (q, E) = 1 − v(q)Λq (E) .

(5.188)

Setzen wir dies in (5.186) ein, veff (q, E) =

v(q)

εc (q, E)

(5.189)

,

so erkennen wir, dass die Dielektrizitätsfunktion die Abschirmung der nackten Wechselwirkung aufgrund der Polarisation des Fermi-Sees durch die Teilchenwechselwirkungen ausdrückt. Wir wollen die Diskussion eines wichtigen Spezialfalls einschieben, durch den wir einen direkten Bezug zwischen der Selbstenergie der Dyson-Gleichung und dem Polarisationspropagator herstellen können. Ausgangspunkt ist die einfachste Näherung Λ(0) q (E) für den Polarisationspropagator, die wir in (5.182) formuliert haben. Sie bedeutet für die effektive Wechselwirkung das Aufsummieren von Ringdiagrammen.

i - veff (q, E) h

+

= + +

+ +

5.6

Diagrammatische Partialsummen

391

Damit konstruieren wir nun andererseits eine unendliche Teilreihe für die Selbstenergie Σkσ (E). , - Wir ersetzen in dem Anwendungsbeispiel am Schluss des Abschn. 5.4.2 Σk(1)σ (E) die nackte durch die effektive Wechselwirkung: (0) veff (q, E ¢)

i ~ - å (k1σ) (E) º h

i (1) i 1  −  Σkσ (E) = − h¯ h¯ 2πh¯ q

k + q,σ E + E¢

  (0)  c 

dE veff q, E iG0, k+q,σ E + E .

(5.190)

Dies führt zu der so genannten RPA (Random Phase Approximation), die durch das niedrigste Diagramm für Λq (E) und bereits durch alle Ringdiagramme für Σkσ (E) gekennzeichnet ist:  Σ(1) (E) = kσ

+∞ , 1  v(q) c  E + E

dE iG0,  . σ k+q 2πh¯ q E

1 − v(q)Λ(0) q

(5.191)

−∞

Wir sehen, dass die niedrigste Ordnung Störungstheorie einer höheren Green-Funktion bereits einer unendlichen Teilsumme für eine Green-Funktion niedrigerer Ordnung entspricht. Dies ist im übrigen ein typisches Merkmal der Diagrammtechnik. Wir wollen das RPA-Ergebnis für den Polarisationspropagator einmal explizit auswerten. Ausgangspunkt ist das Zwischenergebnis (5.182), in das wir (5.123) einsetzen:

Λ(0) q (E)

−i  = 2 2π

+∞ dE

k −∞

·

E

1   · E + E − ε(k + q) − εF + i0k+q

1  . − ε(k) − εF + i0k 

0k ist positiv, falls |k| > kF , und negativ, falls |k| < kF . Wir lösen das Integral durch komplexe Integration. Liegen beide Pole in derselben Halbebene, so können wir den Integrationsweg in der anderen Halbebene schließen. Im vom Integrationsweg umschlossenen Gebiet liegt dann kein Pol. Das Integral verschwindet also. Zwei Fälle bleiben zu diskutieren: 1. |k + q| > kF ; |k| < kF In diesem Fall ist folgendes Integral zu lösen:

 −1 

−1 E − ε(k) + εF − i0+ dE E + E − ε(k + q) + εF + i0+ =  −1 = = 2πi E + ε(k) − εF − ε(k + q) + εF + i0+  −1 = 2πi E + ε(k) − ε(k + q) + i0+ .

392

2.

5. Störungstheorie (T = 0)

|k + q| < kF ; |k| > kF

 −1 

−1 E − ε(k) + εF + i0+ dE E + E − ε(k + q) + εF − i0+ =  −1 = = 2πi −E + ε(k + q) − εF − ε(k) + εF + i0+  −1 = −2πi E + εk − ε(k + q) − i0+ .

Dies ergibt insgesamt für Λ(0) q (E):

Λ(0) q (E) = 2

⎧ ,  (0) nk (0)  ⎨ 1 − nk+q k

⎩ E + ε(k) − ε(k + q) + i0+

− (5.192)

  (0) ⎫ ⎬ 1 − nk (0) nk+q −

E + ε(k) − ε(k + q) − i0+ ⎭

.

Wir können schließlich noch die Grundzustandsenergie des wechselwirkenden Elektronengases durch den Polarisationspropagator ausdrücken. Wegen v(0) = 0 (JelliumModell) sind alle Grundzustandsdiagramme zusammenhängend und offen. Mit dem festen Vertex bei t = t = 0 sind vier äußere Linien (zwei Erzeuger und zwei Vernichter) verbunden. t ¢= 0 p,σ

p - q,σ ihΛq(E)

k,σ t =0

k + q,σ

veff (q, E)

Das an den Vertex angeschlossene Restdiagramm entspricht dem allgemeinen Diagramm der Dichtekorrelation. Es lässt sich deshalb wiederum ein irreduzibler Polarisationsanteil abspalten. Der Rest ist dann ein Diagramm der effektiven Wechselwirkung 

+∞

ΔE0 = 2

q −∞

dE hΛq (E) . veff (q, E)i¯ 2πh¯

(5.193)

Die Faktoren 2 und 1 | 2πh¯ resultieren aus der Spinsummation bzw. aus der Energieerhaltung am Vertex. Der nach Diagrammregel 1. für iDq (E) mit einem Vertex verknüpfte Faktor −i | h¯ resultiert letztlich aus der Störreihe für den Zeitentwicklungsoperator, erscheint also nur bei den inneren Vertizes. In (5.193) geht die effektive

5.6

Diagrammatische Partialsummen

393

Wechselwirkung deshalb ohne diesen Faktor ein. Mit (5.188) und (5.189) lässt sich schließlich die Niveauverschiebung durch die Dielektrizitätsfunktion ausdrücken:

i 



+∞

ΔE0 =

π

dE

q −∞

1 − 1 . εc (q, E)

(5.194)

ΔE0 ist natürlich reell, deswegen muss bereits gelten:

1

+∞

ΔE0 = −

π

dE Im

q −∞

1

εc (q, E)

(5.195)

.

Wie im letzten Abschnitt ausführlich diskutiert, sind für die Grundzustandsenergie insbesondere die Ringdiagramme wichtig. Diese finden wir genau dann, wenn wir in (5.193) für den Polarisationspropagator dessen niedrigste Nährerung Λ(0) q (E) einsetzen:

+∞ v(q)Λ(0) i  q (E) RPA ΔE0 = dE . π q 1 − v(q)Λ(0) q (E) −∞

5.6.3 Vertexfunktion Die Methode, Diagrammentwicklungen durch Einführung gewisser Diagrammblöcke zu vereinfachen, lässt sich noch in vielfältiger Weise ausdehnen. Wir haben bis jetzt die Selbstenergie der Ein-Teilchen-Green-Funktion, den Polarisationspropagator der Dichtekorrelation und die effektive Wechselwirkung eingeführt. Schauen wir uns noch einmal den Polarisationspropagator Λq (E) etwas genauer an. In den niedrigsten Ordnungen ergeben sich die folgenden Diagrammbeiträge: 0. Ordung

1. Ordnung

;

;

;

;

; ...

;

;

;

2. Ordnung

Wir definieren: Definition 5.6.4 Vertexanteil = Diagrammteil mit zwei Anschlüssen für Teilchenlinien und einem Anschluss für eine Wechselwirkungslinie.

5.6.4

394

5. Störungstheorie (T = 0)

Beispiele ;

5.6.5

;

; ...

;

Definition 5.6.5 Irreduzibler Vertexanteil = Vertexanteil, von dem sich nicht durch Auftrennen einer propagierenden Linie ein selbstständiges Selbstenergiediagramm oder durch Auftrennen einer Wechselwirkungslinie ein selbstständiges Polarisationsdiagramm abspalten lässt. Beispiele irredzibel

; ...

;

; ...

;

reduzibel

Wir definieren schließlich noch: 5.6.6

Definition 5.6.6 Vertexfunktion k, E ¢,σ

Γσ (qE; kE ) = Summe aller irreduziblen

⇐⇒

q, E k + q, E + E ¢,σ

Vertex-Anteile.

Wir geben die niedrigsten Ordnungen an: =

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+ ...

5.6

Diagrammatische Partialsummen

395

Wir können die Vertexfunktion zur Darstellung des Polarisationspropagators benutzen: Gkcσ (E ¢)

Γσ (qE; kE ¢)

=

ihΛq (E)

Gkc + qσ (E + E ¢)

Über innere Variable muss summiert bzw. integriert werden: −1  i¯ hΛq (E) = 2πh¯

+∞    dE iGckσ E ·

kσ −∞

(5.196)

,  -   · iGck+qσ E + E Γσ qE; kE .

Der Faktor 1 | 2πh¯ folgt aus Regel 4. für iDq (E); das Vorzeichen entspricht der Schleifenregel. Die niedrigste Näherung liefert bereits das RPA-Ergebnis (5.182): c RPA: Gckσ −→ G0, kσ ,

(5.197)

Γσ −→ 1 .

Physikalisch bedeutet dies eine Vernachlässigung sämtlicher Streuprozesse des Teilchen-Loch-Paares. Besser werden diese durch die so genannte Leiternäherung berücksichtigt: (k, E ¢) (q, E )

=

+

=

+

+

+ ...

Ø

Γσ

(k + q, E + E ¢)

(5.198)

Die durchgezogenen Linien sind in dieser Näherung als freie Propagatoren gemeint. Die Dyson-Gleichung für die Leiternäherung der Vertexfunktion lässt sich für bestimmte Wechselwirkungstypen exakt aufsummieren. Wir können schließlich die Vertexfunktion noch dazu verwenden, die elektronische Selbstenergie zu zerlegen: veff (q, E ′) = (k, E)

(k, E)

(k, E)

Γσ (qE ′; kE) (k, E)

Gkc + qσ (E + E ′)

396

5. Störungstheorie (T = 0)

Als Formel geschrieben lautet diese Zerlegung:

i − Σkσ (E) = h¯

+∞   , c  -   −i 



q, E E + E dE v i G Γσ qE ; kE . = eff k+qσ 2πh¯2 q

(5.199)

−∞

Benutzen wir die einfachste Näherung (5.197) zusammen mit veff → v, so ergibt sich bereits die Hartree-Fock-Näherung (5.128). 5.6.4 Aufgaben 5.6.1

Aufgabe 5.6.1 Berechnen Sie approximativ über passende Partialsummen im Rahmen des Hubbard-Modells die transversale Suszeptibilität,

χ±q (E)

 

+∞   1    ,  i  −i E0  Tε a+k↑ (t)ak+q↓ (t) · = −γ d t − t exp E t − t

h¯ N k, p

−∞

   -   · a+p↓ t ap−q↑ t  E0



γ

=− 0 χ ± (E) , N q

die sich diagrammatisch ganz analog zur in Abschn. 5.6 besprochenen DichteDichte-Green-Funktion Dq (E) behandeln lässt. χ±q (E) vollständig durch den 1. Zeigen Sie mithilfe der Dyson-Gleichung, dass 0 passend definierten Polarisationspropagator bestimmt ist. 2. Berechnen Sie die Vertexfunktion in der Leiternäherung. 3. Stellen Sie die transversale Suszeptibilität durch die volle Ein-ElektronenGreen-Funktion und die Vertexfunktion dar. 4. Ersetzen Sie in der exakten Darstellung der transversalen Suszeptibilität aus Teil 3. die vollen durch die freien Propagatoren und verwenden Sie für die Vertexfunktion die Leiternäherung aus Teil 2. Vergleichen Sie das Ergebnis für die transversale Suszeptibilität mit dem aus Abschn. 4.2.3.

5.6

Diagrammatische Partialsummen

397

Aufgabe 5.6.2 Die in Abschn. 4.3.1 eingeführte T-Matrix lässt sich wie folgt defnieren:  i − Tkσ (E) = Summe aller eigentlichen und h¯ uneigentlichen Selbstenergieanteile.

5.6.2

Finden Sie mithilfe der T-Matrix eine exakte diagrammatische Darstellung der Ein-Elektronen-Green-Funktion. Leiten Sie den Zusammenhang zwischen T-Matrix und Selbstenergie ab.

Aufgabe 5.6.3 In Aufg. 4.2.4 wurde gezeigt, dass die so genannte AppearancePotential-Spectroscopy (APS) und Auger-Elektronen-Spektroskopie (AES) vollständig bestimmt sind durch die Zwei-Teilchen-Spektraldichte

S(2) iiσ (E) = − 1. 2.

3.

1

π

  Im ai − σ aiσ ; a+iσ a+i − σ E .

Überlegen Sie sich eine angemessene Diagrammdarstellung. Beschreiben Sie wie in Aufg. 4.2.6 das wechselwirkende Elektronensystem durch das Hubbard-Modell und überlegen Sie sich eine Approximation, die die direkten Wechselwirkungen der beiden angeregten Teilchen (direkte Korrelationen) exakt mitnimmt, dafür die Wechselwirkungen mit dem Restsystem (indirekte Korrelationen) vernachlässigt. Wie könnte man mit einer vorher bestimmten vollen Ein-ElektronenGreen-Funktion die Näherung aus Teil 2. erweitern, um die indirekten Korrelationen zumindest approximativ zu berücksichtigen?

5.6.3

398

5.7

5. Störungstheorie (T = 0)

5.7 Kontrollfragen Zu Abschnitt 5.1 1. Wie lautet die störungstheoretische Grundformel? 2. Wie gehen Schrödinger-Störungstheorie und Brillouin-Wigner-Störungstheorie aus der Grundformel hervor? 3. Welchen Nachteil weist die konventionelle, zeitunabhängige Störungstheorie auf? 4. Was versteht man unter adiabatischem Einschalten einer Wechselwirkung? 5. Formulieren und interpretieren Sie das Gell-Mann–Low-Theorem. 6. Wie entwickelt sich nach dem Gell-Mann–Low-Theorem der normierte Grundzustand des wechselwirkenden Systems aus dem des freien Systems? 7. Stellen Sie den Erwartungswert einer beliebigen, zeitabhängigen HeisenbergObservablen im Grundzustand mit dem Trick des adiabatischen Einschaltens   durch einen Ausdruck dar, der sich auf den Grundzustand  η0 des freien Systems bezieht. 8. Diskutieren Sie die Struktur der kausalen Ein-Elektronen-Green-Funktion, wie sie sich für eine diagrammatische Störungstheorie als zweckmäßig erweist.

Zu Abschnitt 5.2 1. Was wird als Fermi-Vakuum bezeichnet? 2. Wie ist das Normal-Produkt definiert? Zu welchem Zweck wird es eingeführt? 3. Was versteht man unter einer Kontraktion? 4. Was ergibt die Kontraktion zweier Vernichtungsoperatoren?   5. Warum ist die Kontraktion ak (t)a+k t kein Operator?

6. 7.

Wie hängt sie mit der kausalen T = 0 -Green-Funktion zusammen? Was ist für Gleichzeitigkeit t = t vereinbart? Formulieren Sie das Wick’sche Theorem. Was bedeutet totale Paarung?

Zu Abschnitt 5.3 1. Welcher Erwartungswert wird Vakuumamplitude genannt? 2. Welche Diagramme enthält der erste Term der Störreihe für die Vakuumamplitude? 3. Was versteht man unter einem Vertex? 4. Wie viele verschiedene Graphen mit vier Vertizes gibt es zur Vakuumamplitude? 5. Formulieren Sie die Schleifenregel. 6. Welche Diagramme bezeichnet man als von gleicher Struktur?

5.7

Kontrollfragen

399

7.

Wie viele Diagramme gleicher Struktur zur Vakuumamplitude gibt es bei n Vertizes? 8. Was sind topologisch gleiche Diagramme? 9. Was ist ein zusammenhängendes Diagramm? 10. Formulieren und interpretieren Sie das Linked-Cluster-Theorem. 11. Was ist ein offenes Diagramm? Was ist ein Vakuum-Fluktuations-Diagramm? 12. Was besagt der Hauptsatz von den zusammenhängenden Diagrammen?

Zu Abschnitt 5.4 1. Was bedeutet Impulserhaltung am Vertex? 2. Was versteht man unter gestreckten Diagrammen der Ein-Teilchen-Green-Funktion? 3. Welche Überlegung führt zur Energieerhaltung am Vertex? 4. Wie lauten die Diagrammregeln für die kausale Ein-Elektronen-Green-Funktion iGckσ (E)? 5. Was ist ein Selbstenergieanteil? Wann nennt man diesen eigentlich oder irreduzibel? 6. Wie ist die Selbstenergie definiert? 7. Wie sieht die Diagrammdarstellung der Dyson-Gleichung aus?

Zu Abschnitt 5.5 1. Welcher Ausdruck ist zur Berechnung der Niveauverschiebung ΔE0 = E0 − η0 auszuwerten? 2. Wie unterscheiden sich die Feynman-Diagramme für ΔE0 von denen der Vakuumamplitude? 3. Wie viele topologisch verschiedene Diagramme gleicher Struktur Θn gibt es zur Ordnung n in der Entwicklung für ΔE0 ? 4. Was ergibt sich in erster Ordnung Störungstheorie für die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells? 5. Warum liefern Diagramme mit Blasen für das Jellium-Modell keinen Beitrag? 6. Welche Diagrammstrukturen tragen zur Störungstheorie zweiter Ordnung für die Grundzustandsenergie bei? 7. Welcher Diagrammtyp sorgt für Divergenzen bereits in zweiter Ordnung Störungstheorie für die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells? 8. Was versteht man unter Ringdiagrammen? 9. Interpretieren Sie den Begriff Korrelationsenergie. 10. Wie hängt ein Grundzustandsdiagramm n-ter Ordnung vom Dichteparameter rs ab?

400

5. Störungstheorie (T = 0)

11. Warum darf man sich bei der approximativen Bestimmung der Grundzustandsenergie des Jellium-Modells für hohe Elektronendichten bei nicht divergenten Diagrammen auf niedrige Ordnungen beschränken, während die Ringdiagramme als unendliche Partialsumme aufsummiert werden müssen? 12. Was ist die physikalische Ursache für die Divergenz eines Ringdiagramms?

Zu Abschnitt 5.6 1. Formulieren Sie die Diagrammregeln für die Zwei-Teilchen-Green-Funktion iDq (E) (Dichte-Dichte-Korrelation). 2. Was ist ein Polarisationsanteil? Wann heißt dieser eigentlich oder irreduzibel? 3. Was versteht man unter dem Polarisationspropagator? Welche Form nimmt er in der so genannten RPA an? 4. Formulieren Sie mithilfe des Polarisationspropagators die Dyson-Gleichung für iDq (E). 5. Wie kann man über den Polarisationspropagator eine effektivere Wechselwirkung veff (q, E) definieren? 6. Was sind Skelettdiagramme? 7. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der effektiven Wechselwirkung veff (q, E) und der Dielektrizitätsfunktion? 8. Wie kann man die so genannte RPA der Selbstenergie Σkσ (E) diagrammatisch mithilfe der angekleideten Wechselwirkung veff (q, E) darstellen? 9. Stellen Sie die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells durch den Polarisationspropagator und die effektive Wechselwirkung dar. 10. Drücken Sie die Niveauverschiebung ΔE0 durch die Dielektrizitätsfunktion aus. Welches Ergebnis ergibt sich in RPA? 11. Was ist ein Vertexanteil? Wann ist dieser irreduzibel? 12. Wie ist die Vertexfunktion definiert? 13. Stellen Sie den Polarisationspropagator mithilfe der Vertexfunktion dar. 14. Was versteht man unter der Leiternäherung? 15. Wie kann man die Selbstenergie Σkσ (E) durch die Vertexfunktion darstellen?

Kapitel 6 Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

6

6

6 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.3

Störungstheorie bei endlichen Temperaturen Matsubara-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matsubara-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Großkanonische Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammatische Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wick’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrammanalyse der großkanonischen Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ringdiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontrollfragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

403 403 409 411 415 415 419 426 429 434

6.1

Matsubara-Methode

403

6 Störungstheorie bei endlichen Temperaturen 6.1 Matsubara-Methode Bislang haben wir uns ausschließlich um störungstheoretische Methoden gekümmert, die bei T = 0 angewendet werden können. Experimente werden jedoch bei endlichen Temperaturen durchgeführt. Da jede Theorie letztlich die Aufgabe hat, Experimente zu erklären bzw. vorherzusagen, ist die Erweiterung auf T > 0 unumgänglich. Zumindest haben wir zu untersuchen, ob die T = 0 -Methoden des letzten Kapitels auf den T =/ 0 -Fall in irgendeiner Form übertragbar sind. Überlegungen dieser Art sind sehr eng mit dem Namen Matsubara verknüpft (T. Matsubara, Progr. Theoret. Phys. 14, 351 (1955)). Wir nennen deshalb das in diesem Abschnitt zu besprechende Verfahren die Matsubara-Methode. Wir haben in Kap. 3 gezeigt, dass die retardierte Green-Funktion einen direkten Bezug zum Experiment aufweist (z. B. Response-Funktionen, Quasiteilchenzustandsdichte, Korrelationsfunktionen, Anregungsenergien). Zu ihrer approximativen Bestimmung gibt es eine Reihe von Verfahren (Bewegungsgleichungsmethode, Momentenmethode, CPA, . . . ), eine störungstheoretische Diagrammtechnik im Sinne von Kap. 5 lässt sich jedoch nicht formulieren. Für die retardierte Funktion gibt es kein Wick’sches Theorem, obwohl sich eine Dyson-Gleichung wie in (3.327) konstruieren lässt. Die retardierte Green-Funktion ist also störungstheoretisch nicht so einfach zugänglich. Dazu ist jedoch zumindest bei T = 0 die kausale Funktion hervorragend geeignet. Die spezielle Form (5.85) des Wick’schen Theorems macht eine recht effektive Diagrammtechnik möglich. Da andererseits bei T = 0 die Transformation von der kausalen auf die retardierte Funktion sehr einfach ist ((3.188), (3.189)), lohnte es sich, die Störungstheorie für die kausale Green-Funktion in Kap. 5 zu entwickeln. Bei endlichen Temperaturen sind nun aber die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Wick’schen Theorems in der speziellen Form (5.85) nicht mehr erfüllt. Wir können Mittelwerte nicht mehr ausschließlich mit dem Grundzustand | η0  des wechselwirkungsfreien Systems bilden, das Verschwinden der Normalprodukte wie in (5.70) kann nicht mehr ausgenutzt werden. Die nun einzuführenden MatsubaraFunktionen sind eigentlich nichts anderes als passend verallgemeinerte kausale Green-Funktionen, die die Anwendung eines modifizierten Wick-Theorems erlauben und damit störungstheoretisch zugänglich werden. Ferner werden wir zeigen können, dass der Übergang von diesen zu den eigentlich interessierenden retardierten Funktionen sehr einfach ist. 6.1.1 Matsubara-Funktionen Mit den Gleichungen (3.130) und (3.131) hatten wir abgeleitet, dass bei nicht ex  plizit zeitabhängigem Hamilton-Operator die Korrelationsfunktionen A(t)B(t  ) , W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

6.1

404

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

   B(t )A(t) und damit alle drei Green-Funktionen nur von der Zeitdifferenz t − t  abhängen:           A(t)B t  = A t − t  B(0) = A(0)B t  − t ,            B t A(t) = B t  − t A(0) = B(0)A t − t  . Die beiden Korrelationsfunktionen, die die Green-Funktionen GαAB (t, t  ) (α = ret, av, c) aufbauen, sind nicht unabhängig voneinander, wenn man formal die Zeitvariable komplexe Werte annehmen lässt:    Ξ A(t − i¯hβ)B t  =          i i = Sp exp −βH exp H(t − i¯ hβ) A(0) exp H(t − i¯ hβ) B t  = h¯ h¯

 

       i i = Sp B t  exp −βH exp +βH exp Ht A(0) exp − Ht exp(−βH) = h¯ h¯

    = Sp exp −βH B t  A(t) . Wir haben hier mehrmals die zyklische Invarianz der Spur ausgenutzt. Die resultierende Beziehung        A(t − i¯ (6.1) hβ)B t  = B t  A(t) legt es nahe, auch die Definitionen der Green-Funktionen auf komplexe Zeiten auszudehnen. Das hätte einen weiteren Vorteil: Jede normale Störungstheorie basiert auf der Annahme, dass sich der Hamilton-Operator H des Systems gemäß H = H0 + V zerlegen lässt, wobei angenommen wird, dass das Eigenwertproblem zu H0 exakt lösbar ist. Bei T =/ 0 -Mittelwerten (3.122) erscheint die Störung V dann an zwei verschiedenen Stellen, einmal in der Heisenberg-Darstellung der zeitabhän  gigen Operatoren via exp ± ¯hi Ht , zum anderen im Dichteoperator exp(−βH) der großkanonischen Mittelung. Für beide müsste dann eigentlich eine Störentwicklung durchgeführt werden. Das lässt sich im Arbeitsaufwand reduzieren, wenn man h¯β als Real- oder Imaginärteil einer komplexen Zeit auffasst. Man kann die beiden Exponentialfunktionen dann zusammenfassen. Die Matsubara-Methode geht von rein imaginären Zeiten aus und führt die reelle Größe

τ = it ein. Dies ergibt eine modifizierte Heisenberg-Darstellung für Operatoren: 



1 1 A(τ) = exp H τ A(0) exp − H τ . h¯ h¯

(6.2)

(6.3)

6.1

Matsubara-Methode

405

Ein bisschen werden wir beim Gebrauch dieser Darstellung aufpassen müssen, da der   die imaginären Zeitverschiebungen verursachende Operator exp ¯h1 H τ nicht unitär ist. Die Bewegungsgleichung lautet nun: −h¯ Mit der Stufenfunktion ⎧ ⎨1 , Θ(τ) = ⎩ 0,

∂ A(τ) = [A(τ), H ]− . ∂τ

falls τ > 0 ⇐⇒ t

negativ imaginär,

falls τ < 0 ⇐⇒ t

positiv imaginär

(6.4)

(6.5)

können wir einen Zeitordnungsoperator definieren:            Tτ A(τ)B τ = Θ τ − τ A(τ)B τ + εp Θ τ − τ B τ A(τ) .

(6.6)

p ist die Zahl der Permutationen von Konstruktionsoperatoren, die notwendig sind, um den zweiten Summanden wieder in die Operatorreihenfolge des ersten Summanden zu bringen. ε ist wie üblich definiert (ε = +1 : Bosonen; ε = −1 : Fermionen). Wir wollen jedoch im Folgenden der Einfachheit halber annehmen, dass es sich bei A und B um reine Fermi- bzw. Bose-Operatoren handelt, sodass wir p = 1 setzen können. Nach diesen Vorbereitungen definieren wir nun die Matsubara-Funktion         M     GM = − Tτ A(τ)B τ . AB τ, τ ≡ A(τ); B τ

(6.7)

Aus der Definition folgt unmittelbar die Bewegungsgleichung dieser Funktion, wenn wir (6.4) und (6.6) einsetzen:          ∂ −h¯ GM ¯δ τ − τ [A, B]−ε + [A(τ), H ]− ; B τ M . (6.8) AB τ, τ = h

∂τ

Wir wollen einige wichtige Eigenschaften auflisten. Wegen    Ξ A(τ)B τ =  

 



   1  1 1 = Sp exp −βH exp H τ A exp − H τ−τ B exp − H τ = h¯ h¯ h¯ 

 

    1  1  = Sp exp −βH exp H τ−τ A exp − H τ−τ B = h¯ h¯     = Ξ A τ − τ B hängt auch die Matsubara-Funktion nur von Zeitdifferenzen ab:        M  M GM AB τ, τ = GAB τ − τ , 0 = GAB 0, τ − τ .

(6.9)

406

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Eine ganz wichtige Eigenschaft betrifft ihre Periodizität. Sei h¯β > τ − τ + nh¯β > 0 n ∈ Z , dann gilt: 



 ΞGM ¯β = AB τ − τ + nh







>0

      = − Sp exp −βH Tτ A τ − τ + nh¯β B(0) =

    = − Sp exp −βH A τ − τ + nh¯β B(0) =  

   1   = − Sp exp −βH exp H τ − τ + nh¯β A(0) · h¯

  1  · exp − H τ − τ + nh¯β B(0) = h¯ 

  1   = − Sp exp H τ − τ + (n − 1)h¯β A(0) · h¯

    1  · exp − H τ − τ + (n − 1)h¯β exp −βH B(0) = h¯     = − Sp exp −βH B(0)A τ − τ + (n − 1)h¯β =    <0

     = = − Sp exp −βH Tτ B(0)A τ − τ + (n − 1)h¯β       = −ε Sp exp −βH Tτ A τ − τ + (n − 1)h¯β B(0) . Damit ergibt sich die wichtige Beziehung: h¯β > τ − τ + nh¯β > 0 :       GM ¯β = εGM ¯β . AB τ − τ + nh AB τ − τ + (n − 1)h

(6.10)

Insbesondere gilt für n = 1:       GM ¯β = εGM AB τ − τ + h AB τ − τ , falls

− h¯β < τ − τ < 0 .

(6.11)

Die Matsubara-Funktion ist demnach periodisch mit einem Periodizitätsintervall 2h¯β. Wir können unsere Betrachtungen auf das Zeitintervall −h¯β < τ − τ < 0 beschränken.

6.1

Matsubara-Methode

407

Wegen der Periodizität bietet sich für die Matsubara-Funktion eine Fourier-Entwicklung an:  ∞   1 nπ nπ an cos τ + bn sin τ , GM (τ) = a0 + 2 h¯β h¯β n=1 1 an = h¯β

1 bn = h¯β



+¯hβ nπ dτ GM (τ) cos τ , h¯β

−¯ hβ



+¯hβ nπ dτ GM (τ) sin τ . h¯β

−¯ hβ

Wir definieren En =

nπ

β

  1   GM En = h¯β an + ibn 2

;

(6.12)

und können dann schreiben: 

+∞   1  i G (τ) = exp − En τ GM En , h¯β n = −∞ h¯ M

  1 G En = 2 M



+¯hβ i M dτ G (τ) exp En τ . h¯

−¯ hβ

Dies lässt sich noch etwas weiter vereinfachen:   1 G En = 2

¯hβ

M

1 ... + 2

0

1 = 2

¯hβ

0 ... = −¯ hβ

dτ GM (τ) exp



 i En τ + h¯

0

1 + 2

¯hβ

dτ G 

M



  i  τ − h¯β exp En τ exp −iEn β = h¯







0





τ = τ + h¯β



¯hβ   1  i dτ GM (τ) exp En τ . = 1 + ε exp −iβEn 2 h¯ 0

(6.13)

(6.14)

408

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Die Klammer verschwindet für Fermionen (ε = −1), falls n gerade, und für Bosonen (ε = +1), falls n ungerade ist. Es bleibt also: 

+∞   1  i exp − En τ GM En , G (τ) = h¯β n = −∞ h¯ M

  G En =

¯hβ

M

dτ GM (τ) exp



 i En τ , h¯

(6.15)

(6.16)

0

⎧ ⎨2nπ | β : En = ⎩ (2n + 1)π | β :

Bosonen,

(6.17)

Fermionen.

Für diese Matsubara-Funktionen werden wir später ein Wick’sches Theorem formulieren können. Um zu zeigen, dass sie auch einen direkten Bezug zum Experiment gewährleisten, stellen wir noch den Zusammenhang mit der retardierten Funktion her. Dies gelingt mithilfe der Spektraldarstellung (Notation wie in Abschn. 3.2.2):   A(τ)B(0) =

=

1

Ξ

n

1

Ξ n, m

     En  A(τ)B(0)  En exp −βEn =            1 En − Em τ . En  A  Em Em  B  En exp −βEn exp h¯

Für die Spektraldichte SAB (E) hatten wir mit (3.146) abgeleitet: SAB (E) =

h¯  

Ξ n, m

      En  A  Em Em  B  En e −βEn ·

     · 1 − ε e −βE δ E − Em − En . Also gilt:   1 A(τ)B(0) = h¯

+∞ dE −∞



SAB (E) 1 exp − Eτ . 1 − ε exp(−βE) h¯

(6.18)

Im Integrationsintervall in (6.16) ist τ stets positiv, sodass für die Matsubara-Funktion auszuwerten bleibt: GM AB

  En = −

¯hβ 0



  i dτ exp En τ A(τ)B(0) . h¯

(6.19)

6.1

Matsubara-Methode

409

Wir setzen ¯hβ 0



     h¯   1 exp iβEn exp −βE − 1 = dτ exp iEn − E τ = h¯ iEn − E =

   h¯  ε exp −βE − 1 iEn − E

zusammen mit (6.18) in (6.19) ein: GM AB

  En =

  +∞  SAB E dE . iEn − E

(6.20)

−∞

Der Vergleich mit (3.148) bestätigt die formale Übereinstimmung mit der Spektraldarstellung der retardierten Green-Funktion, wenn man die Ersetzung

iEn −→ E + i0+

(6.21)

vornimmt. Man erhält also die retardierte Green-Funktion aus der MatsubaraFunktion ganz einfach durch analytische Fortsetzung von der imaginären Achse auf die reelle E-Achse. – Der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, dass die avancierte Green-Funktion aus der Matsubara-Funktion (6.20) durch den Übergang iEn → E − i0+ erhältlich ist. 6.1.2 Großkanonische Zustandssumme Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf Systeme von Fermionen oder Bosonen, die wie üblich einer Paarwechselwirkung unterliegen mögen:

H = H0 + V ,   ε(k) − μ a+k ak , H0 =

(6.22) (6.23)

k

V=

1 v(kl; nm)a+k a+l am an . 2

(6.24)

klmn

Im Fall von S = 1 | 2 -Fermionen ist k ≡ (k, σ ), bei S = 0 -Bosonen k = k zu lesen. Letztlich wird die Aufgabe darin bestehen, Erwartungswerte von zeitgeordneten Operatorprodukten zu berechnen, wobei die Mittelung in der großkanonischen Gesamtheit durchzuführen ist:      ! 1       (6.25) Tτ · · · I τi · · · J τj · · · = Sp e −βH Tτ · · · I τi · · · J τj · · · .

Ξ

Ξ ist die schon häufig verwendete großkanonische Zustandssumme 



Ξ = Sp e −βH .

(6.26)

410

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Es wird sich herausstellen, dass diese wichtige Funktion in etwa die Rolle übernehmen wird, die die Vakuumamplitude im T = 0 -Formalismus spielte. Zum Aufbau der T = 0 -Störungstheorie hatte sich die Dirac- oder Wechselwirkungsdarstellung als besonders günstig erwiesen. Dies gilt in modifizierter Form auch für den Matsubara-Formalismus. Die folgenden Überlegungen laufen deshalb weitgehend parallel zu denen in Abschn. 3.1.1. Man definiert zunächst analog zu (3.34) für einen beliebigen Operator AS des Schrödinger-Bildes den Übergang ins Dirac-Bild wie folgt:  



1 1 (6.27) AD (τ) = exp H0 τ AS exp − H0 τ . h¯ h¯ Für die Transformation ins Heisenberg-Bild gilt nach (6.3):  



1 1 AH (τ) = exp H τ AS exp − H τ . h¯ h¯

(6.28)

AS ist höchstens explizit zeitabhängig. Wir definieren als Analogon zum Dirac’schen Zeitentwicklungsoperator (3.33): 

 



   1  1 1   (6.29) exp − H0 τ . UD τ, τ = exp H0 τ exp − H τ − τ h¯ h¯ h¯ Dieser Operator ist zwar nichtunitär, hat aber wie sein Analogon (3.33) für reelle Zeiten die Eigenschaften:       (6.30) UD τ1 , τ2 UD τ2 , τ3 = UD τ1 , τ3 , UD (τ, τ) = 1 .

(6.31)

Über UD lassen sich Dirac- und Heisenberg-Bild miteinander verknüpfen: 

 





1 1 1 1 AH (τ) = exp H τ exp − H0 τ AD (τ) exp H0 τ exp − H τ = h¯ h¯ h¯ h¯ = UD (0, τ)AD (τ)UD (τ, 0) .

(6.32)

Mit (6.29) lässt sich leicht die Bewegungsgleichung des Zeitentwicklungsoperators ableiten: ∂   − h¯ UD τ, τ =

∂τ

 





   1 1  1   exp − H0 τ = = − exp H0 τ H0 − H exp − H τ − τ h¯ h¯ h¯ 









 1 1  1 1 1   exp − H0 τ , = exp H0 τ V exp − H0 τ exp H0 τ exp − H τ − τ h¯ h¯ h¯ h¯ h¯ − h¯

  ∂   UD τ, τ = VD (τ)UD τ, τ . ∂τ

(6.33)

6.1

Matsubara-Methode

411

VD (τ) ist die Wechselwirkung in der Dirac-Darstellung. Mit (6.31) als Randbedingung lautet die formale Lösung der Bewegungsgleichung: UD





1 τ, τ = 1 − h¯ 

τ

    dτ VD τ UD τ , τ .

(6.34)

τ

Dies stimmt bis auf unwesentliche Faktoren mit (3.12) überein. Wir finden deshalb mit denselben Überlegungen wie zu (3.13) und (3.17): UD

τ

τ

n   ∞       1 1 − τ, τ = dτ1 · · · dτn Tτ VD τ1 · · · VD τn . n! h¯ n=0







τ

(6.35)

τ

Mit derselben Begründung wie zu (5.56) haben wir hier den eigentlich in der Entwicklung (6.35) erscheinenden Dyson’schen Zeitordnungsoperator TD (3.15), der ohne den Faktor ε sortiert, durch den Operator Tτ aus (6.6) ersetzen können. Das ist erlaubt, da nach (6.24) die Wechselwirkung V durch eine gerade Anzahl von Konstruktionsoperatoren aufgebaut ist. Gleichung (6.35) ist der Ausgangspunkt der T > 0-Störungstheorie. Eine erste wichtige Folgerung ziehen wir für die großkanonische Zustandssumme. Aus (6.29) folgt: 



1 1 exp − H τ = exp − H0 τ UD (τ, 0) . h¯ h¯ Wählen wir speziell τ = h¯β,

e −βH = e −βH0 UD (h¯β, 0) ,

(6.36)

so können wir die Zustandssumme mit UD in Verbindung bringen:   Ξ = Sp e −βH0 UD (h¯β, 0) =

n  ¯hβ  ∞       (6.37) 1 1 − = · · · dτ1 · · · dτn Sp e −βH0 Tτ VD τ1 · · · VD τn . n! h¯ n=0 0

6.1.3 Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion Von besonderem Interesse wird die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion sein:    + GM k (τ) = − Tτ ak (τ)ak (0) .

Wir werden später zeigen, dass diese eine Dyson-Gleichung erfüllt: 

+∞   1  i M exp − En τ GM Gk (τ) = k En , h¯β n = −∞ h¯ GM k

  En =

h¯ 

 .  iEn − ε(k) − μ − ΣM k, En

(6.38)

(6.39)

412

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Dabei hängt die Selbstenergie ΣM (k, En ), durch die der Einfluss der Teilchenwechselwirkungen Berücksichtigung findet, durch den folgenden Übergang mit der uns vertrauten retardierten Selbstenergie zusammen: −−−→ Σret (k, E) = Rret (k, E) + iI ret (k, E) . ΣM (k, En ) i−E−− → E + i0+

(6.40)

n

Rret und I ret bestimmen nach (3.331) direkt die Ein-Teilchen-Spektraldichte Sk (E), deren Aussagekraft und direkter Bezug zum Experiment in Kap. 3 ausgiebig diskutiert wurden. Für die anschließend zu besprechende Störungstheorie benötigen wir die MatM subara-Funktion G0, k (τ) des durch H0 definierten, nicht wechselwirkenden Teilchensystems, die sich natürlich exakt berechnen lässt. Dazu leiten wir zunächst die Zeitentwicklung des Heisenberg-Operators ak (τ) explizit ab. Die Beziehung n  ak H0n = ε(k) − μ + H0 ak (6.41) beweisen wir durch vollständige Induktion. Wegen   [ak , H0 ]− = ε(k) − μ ak ist die Behauptung für n = 1 offensichtlich richtig:   ak H0 = [ak , H0 ]− + H0 ak = ε(k) − μ + H0 ak . Der Schluss von n auf n + 1 gelingt wie folgt: ak H0n + 1 = (ak H0n )H0 =  n = ε(k) − μ + H0 ak H0 = n    = ε(k) − μ + H0 ε(k) − μ + H0 ak = n + 1  = ε(k) − μ + H0 ak

q. e. d.

Mit (6.27) gilt weiter:  



1 1 exp H0 τ ak exp − H0 τ = h¯ h¯

n  ∞ 1 τ 1 = exp H0 τ − ak H0n = h¯ n! h ¯ n=0

= exp

  ∞  n 1 1 1 − ε(k) − μ + H0 τ ak = H0 τ h¯ n! h¯ n=0



  1 1 = exp H0 τ exp − ε(k) − μ + H0 τ ak . h¯ h¯

6.1

Matsubara-Methode

Dies bedeutet:

413



 1 ak (τ) = ak exp − ε(k) − μ τ . h¯

Ganz analog beweist man: a+k (τ) = a+k exp



(6.42)

  1 ε(k) − μ τ . h¯

(6.43)

Man erkennt, dass in der modifizierten Heisenberg-Darstellung ak (τ) und a+k (τ) für τ =/ 0 nicht mehr zueinander adjungiert sind. Mit (6.42) und (6.43) ist die freie Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion leicht berechenbar:   (0) M = − Tτ ak (τ)a+k (0) = G0, k  (0)  (0) = = −Θ(τ) ak (τ)a+k (0) − εΘ(−τ) a+k (0)ak (τ)

  (0) (0)   1 = − exp − ε(k) − μ τ Θ(τ) ak a+k , + εΘ(−τ) a+k ak h¯ 

   1 M G0, ( τ ) = − exp − ε (k) − μ τ Θ(τ) 1 + ε nk (0) + Θ(−τ)ε nk (0) . k h¯

(6.44)

Dieses Resultat erinnert stark an die Darstellung (3.204) für die kausale Funktion. Den Erwartungswert des Anzahloperators nk (0) bestimmen wir mit (6.18): 

(0) ak a+k

1 = h¯

+∞ S(0) (E) dE k −βE 1 − εe

(3.199)

=

1 1 − ε e −β(ε(k) − μ)

−∞

=

e β(ε(k) − μ) ε = 1 + β(ε(k) − μ) = 1 + ε nk (0) . = β(ε(k) − μ) e −ε e −ε Dies ergibt das aus der Quantenstatistik bekannte Resultat (Fermi- bzw. BoseFunktion): −1 

nk (0) = e β(ε(k) − μ) − ε . (6.45) Die energieabhängige Matsubara-Funktion berechnet sich schnell durch Einsetzen von (3.199) in (6.20): M  En = G0, k

h¯  . iEn − ε(k) − μ 

(6.46)

Natürlich hätten wir auch (6.44) in (6.16) verwenden und direkt transformieren können. – Die Temperaturabhängigkeit steckt hier lediglich noch in den Energien En ∼ β−1 . Wir werden später sehen, wie die mittleren Besetzungszahlen bei expliziter Auswertung von Diagrammen und Korrelationsfunktionen in die Gleichungen zurückkehren.

414

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Wir wollen nun die Ein-Teilchen-Funktion des wechselwirkenden Systems (6.38) in eine der Störungstheorie angemessene Form bringen:     +   . GM k (τ1 , τ2 ) = − Tτ ak τ1 ak τ2

(6.47)

Die Operatoren stehen hier noch in ihrer modifizierten Heisenberg-Darstellung. Die Zeitdifferenzen τ1 − τ2 sind auf das Intervall −h¯β < τ1 − τ2 < +h¯β beschränkt. Wir können deshalb für τ1 und τ2 0 < τ1 , τ2 < h¯β

(6.48)

annehmen. Gleichung (6.47) lässt sich mit (6.36) und (6.32) weiter umformen, wobei wir zunächst τ1 > τ2 voraussetzen wollen:   1 −βH    +   = Tτ ak τ1 ak τ2 GM k τ1 , τ2 = − Sp e

Ξ

=− =−

=−

1

Ξ 1

Ξ

1

Ξ

    Sp e −βH ak τ1 a+k τ2 =    Sp e −βH0 UD (h¯β, 0)UD 0, τ1 ·      +D      U 0, a U τ τ , 0 U τ τ τ , 0 = · aD 1 D 1 D 2 2 D 2 k k      +D     U a U Sp e −βH0 UD (h¯β, τ1 )aD τ τ , τ τ τ , 0 . 1 D 1 2 2 D 2 k k

Da nach (6.48) h¯β die späteste Zeit ist, sind die Operatoren in der Spur bereits zeitgeordnet. Wir können deshalb den Zeitordnungsoperator Tτ wieder einführen und +D im Argument von Tτ die Operatoren UD ohne Vorzeichenänderung an aD k bzw. ak vorbeiziehen, da sie nach (6.35) und (6.24) aus einer geraden Anzahl von Konstruktionsoperatoren aufgebaut sind:   GM k τ1 , τ2 =         +D     1 = − Sp e −βH0 Tτ UD h¯β, τ1 aD U a U τ τ , τ τ τ , 0 = 1 D 1 2 k 2 D 2 k

Ξ

=− =−

1

Ξ 1

Ξ

          +D   a = Sp e −βH0 Tτ UD h¯β, τ1 UD τ1 , τ2 UD τ2 , 0 aD τ τ 1 k 2 k    +D   Sp e −βH0 Tτ UD (h¯β, 0)aD τ2 . k τ1 ak

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

415

Im letzten Schritt haben wir noch einmal (6.30) benutzt. Wir müssen nun noch den anderen Fall τ1 < τ2 untersuchen:   GM k τ1 , τ2

ε  −βH +     Sp e ak τ2 ak τ1 = Ξ     ε = − Sp e −βH0 UD (h¯β, 0)UD 0, τ2 a+D τ2 · k Ξ

=−

        · UD τ2 , 0 UD 0, τ1 aD U τ τ , 0 = 1 D 1 k

         ε −βH0  Sp e UD h¯β, τ2 a+D τ2 UD τ2 , τ1 aDk τ1 UD τ1 , 0 = k Ξ         D    ε U a U = − Sp e −βH0 Tτ UD h¯β, τ2 a+D τ τ , τ τ τ , 0 = 2 D 2 1 1 D 1 k k Ξ    D   ε τ2 ak τ1 = = − Sp e −βH0 Tτ UD (h¯β, 0)a+D k Ξ =−

=−

1

Ξ

   +D   Sp e −βH0 Tτ UD (h¯β, 0)aD τ2 . k τ1 ak

Beide Fälle τ1 > τ2 und τ1 < τ2 führen also zu demselben Ergebnis. Dieses lautet, wenn wir ab sofort den Index D an den Operatoren unterdrücken, da nun alle Operatoren in ihrer Dirac-Darstellung gemeint sind:         Sp e −βH0 Tτ U(h¯β, 0)ak τ1 a+k τ2 M   Gk τ1 , τ2 = − . (6.49) Sp e −βH0 U(h¯β, 0) Setzen wir noch den Zeitentwicklungsoperator U nach (6.35) ein, so erkennen wir eine starke Analogie zur kausalen T = 0 -Green-Funktion (5.59). Es ist deshalb nicht weiter verwunderlich, dass wir später zur Auswertung von (6.49) praktisch dieselben Verfahren wie in Kap. 5 werden verwenden können. Wichtige Unterschiede sind, dass die Zeitintegrationen über endliche Intervalle zu erstrecken sind und keine Einschaltfaktoren auftreten. Wir haben nirgendwo die Hypothese des adiabatischen Einschaltens (s. Abschn. 5.1.2) benutzen müssen .– Die Zustandssumme Ξ übernimmt im Matsubara-Formalismus in etwa die Rolle, die die Vakuumamplitude (5.89) im T = 0 -Formalismus spielte. Das wird im nächsten Abschnitt noch klarer werden.

6.2 Diagrammatische Störungstheorie 6.2.1 Das Wick’sche Theorem Für eine diagrammatische Analyse der zeitgeordneten Produkte in (6.49) benötigen wir ein Hilfsmittel, das die Rolle des Wick’schen Theorems (5.85) im T = 0 -

6.2

416

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Formalismus für die kausale Funktion übernimmt. Wir wollen dieses nun zu begründende Hilfsmittel verallgemeinertes Wick’sches Theorem nennen. Es wird darum gehen, Ausdrücke der folgenden Form auszuwerten:    (0) Sp e −βH0 Tτ (UVW · · · XYZ) = Ξ0 Tτ (UVW · · · XYZ) .

Ξ0 ist die großkanonische Zustandssumme des nicht wechselwirkenden Systems. U, V, W . . . sind Konstruktionsoperatoren in der Dirac-Darstellung, die jeweils zu irgendeiner Zeit τ wirken. Wir definieren: Kontraktion  (0) UV = Tτ (UV) = εVU .

(6.50)

Da U und V Konstruktionsoperatoren sein sollen, wird es sich bei der Kontraktion analog zum T = 0 -Fall im Wesentlichen um die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion handeln. Wir beweisen nun ein verallgemeinertes Wick-Theorem  (0) Tτ (UVW · · · XYZ) = (UVW · · · XYZ) + (UVW · · · XYZ) + · · · = (6.51) = {totale Paarung} . Man beachte, dass dieses Theorem keine Operatoridentität darstellt. Unter totaler Paarung verstehen wir wie in Abschn. 5.2.2 die vollständige und auf alle denkbaren Arten und Weisen durchgeführte Aufteilung des Operatorproduks UVW · · · XYZ in Produkte von Kontraktionen, was natürlich eine gerade Anzahl von Operatoren voraussetzt. Letzteres wird jedoch immer gegeben sein. H0 vertauscht nämlich mit "; die Teilchenzahl ist deshalb eine Erhaltungsgröße. Ein dem Teilchenzahloperator N Erwartungswert der Form UV · · · YZ(0) ist deshalb nur dann von Null verschieden, wenn das Produkt eine gleiche Zahl von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren enthält. Insgesamt handelt es sich also immer um eine gerade Operatorzahl. – Wir treffen für (6.51) noch die Vorzeichenvereinbarung, dass die zu kontrahierenden Operatoren zunächst in benachbarte Positionen zu bringen sind. Jede dazu notwendige Vertauschung liefert einen Faktor ε. WirkönnenzunächstwiederwiebeimBeweisdesWick’schenSatzesinAbschn. 5.2.2 davon ausgehen, dass die Operatoren auf der linken Seite von (6.51) bereits zeitgeordnet sind. Wenn dies nicht der Fall wäre, würden die entsprechenden Vertauschungen für jeden Term in (6.51) denselben Faktor εm bedeuten. Wir können also ohne Beschränkung der Allgemeinheit für den Beweis

τU > τV > τW > · · · > τX > τY > τZ

(6.52)

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

417

voraussetzen. – Wegen (6.42) und (6.43) ist die Zeitabhängigkeit der Konstruktionsoperatoren sehr einfach. Wir schreiben:   U = γU τU αU ;

γU (τU ) = exp σU

αU = a+U oder aU ,

 1 ε(U) − μ τU h¯

 ;

(6.53)

⎧ ⎨− , σU = ⎩ +,

falls αU = aU , falls αU = a+U .

(6.54)

Betrachten wir zunächst einmal die Kontraktion (0)  = UV(0) = γU (τU )γV (τV ) αU αV (0) . UV = Tτ (UV)

(6.55)

Da die Mittelung im freien System erfolgt, kann man weiter schließen:

αU αV (0) =/ 0 nur, falls 1) αU = aU ,

αV = a+U ,

2) αU = a+U ,

αV = aU .

Daraus folgt mit (6.45): 1. (0)  = 1 + ε nU (0) = aU a+U 1 ε = 1 + β(ε(U)−μ) = = e − ε 1 − ε e −β(ε(U)−μ)

[aU , a+U ]−ε . 1 − εγU (h¯β)

= 2. 

a+U aU

(0)

= nU (0) = =

−ε

1 = γU (h¯β) − ε

1 − εγU (h¯β)

=

[a+U , aU ]−ε . 1 − εγU (h¯β)

Wir können die beiden Fälle offensichtlich zusammenfassen:   [αU , αV ]−ε UV = γU (τU )γV τV . 1 − εγU (h¯β) Wir kommen nun zum eigentlichen Beweis von (6.51). Es gilt zunächst: 

UV · · · YZ

(0)

 (0) = γU γV · · · γY γZ αU αV · · · αY αZ .

(6.56)

418

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Wir versuchen nun, den Operator αU ganz nach rechts zu ziehen: (0)

UV · · · YZ(0)  = [αU , αV ]−ε αW · · · αZ + γU γV · · · γY γZ  (0) + + ε αV [αU , αW ]−ε · · · αZ + ···+

(6.57)

 (0) + εp − 2 αV αW · · · [αU , αZ ]−ε +  (0) . + εp − 1 αV αW · · · αY αZ αU p ist die Zahl der Operatoren im Erwartungswert. Da p gerade sein muss, ist εp − 1 = ε. Wir formen den letzten Summanden in (6.57) noch einmal um. Dabei hilft uns (6.41): aU e −βH0 =

=

∞  1 (−β)n aU H0n = n! n=0 ∞  n 1 −β(ε(U) − μ + H0 ) aU = n! n=0

= e −β(ε(U) − μ + H0 ) aU = = γU (h¯β) e −βH0 aU . Analog findet man a+U e −βH0 = e +β(ε(U) − μ)−βH0 a+U = γU (h¯β) e −βH0 a+U , sodass wir zusammenfassen können:

αU e −βH0 = γU (h¯β) e −βH0 αU .

(6.58)

Unter Ausnutzung der zyklischen Invarianz der Spur finden wir mit (6.58) für den letzten Summanden in (6.57):

  1 αV αW · · · αZ αU (0) = Sp e −βH0 αV αW · · · αZ αU =

Ξ0

=

1

Sp αU e −βH0 αV αW · · · αZ =

Ξ0

γU (h¯β) −βH0 Sp e αU αV · · · αZ = = Ξ0

(0)  = γU (h¯β) αU αV · · · αZ .

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

419

Dies ergibt in (6.57): 

UV · · · YZ(0)  1 − εγU (h¯β) = γU γV · · · γZ (0)  = [αU , αV ]−ε αW · · · αZ +  (0) + + ε αV [αU , αW ]−ε · · · αZ + ···+  (0) + εp − 2 αV αW · · · [αU , αZ ]−ε . Es folgt schließlich mit (6.56):  (0)  (0) UVW · · · XYZ = UVW · · · XYZ +  (0) + ε VUW · · · XYZ + + ···+  (0) + εp − 2 VW · · · UZ =  (0) = UVW · · · XYZ +

(6.59)

 (0) + UVW · · · XYZ + + ···+  (0) + UVW · · · XYZ . Die Kontraktion selbst ist eine C-Zahl, kann also aus dem Erwartungswert herausgezogen werden. Auf den verbleibenden Mittelwert lässt sich wieder (6.59) anwenden. Schließlich erhalten wir die totale Paarung. Mit (6.52) ist dann das verallgemeinerte Wick’sche Theorem (6.51) bewiesen. 6.2.2 Diagrammanalyse der großkanonischen Zustandssumme Wir beginnen mit der Analyse der großkanonischen Zustandssumme Ξ, aus der sich die gesamte makroskopische Thermodynamik des wechselwirkenden Teilchensystems ableiten lässt. Wir setzen die großkanonische Zustandssumme Ξ0 des nicht wechselwirkenden Systems als bekannt voraus und haben dann nach (6.37) zu berechnen:

 (0) 1 Ξ = Sp e −βH0 U(h¯β, 0) = U(h¯β, 0) . (6.60)

Ξ0

Ξ0

420

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Die zugehörige Störreihe ist ebenfalls in (6.37) angegeben. Ihr n-ter Term lautet:

n  ¯hβ       (0) 1 1 − · · · dτ1 · · · dτn Tτ V τ1 · · · V τn = n! h¯ 0

n    1 1 1  − ··· v k1 l1 ; n1 m1 · · · v(kn · · · ) · = n n! h¯ 2 k1 l1 m1 n1

 ·

¯ hβ

···



kn ln mn nn

(6.61)

        dτ1 · · · dτn Tτ a+k1 τ1 a+l1 τ1 am1 τ1 an1 τ1 ·

0

        !(0) · · · · · a+kn τn a+ln τn amn τn ann τn . Bis auf die Einschaltfaktoren und (−1 | h¯)n anstelle von (−i | h¯)n ist dieser Ausdruck mit (5.90), der Entwicklung für die Vakuumamplitude, identisch. Da auch die algebraische Struktur des verallgemeinerten Wick’schen Theorems (6.51) dieselbe ist wie im T = 0 -Fall, wenn man (5.84) mit dem Grundzustand | η0  des freien Systems mittelt, können wir praktisch alle in Abschn. 5.3 abgeleiteten Regeln und Gesetzmäßigkeiten direkt übernehmen. Die Feynman-Diagramme werden dieselben Strukturen wie im T = 0 -Fall haben. Wir können deshalb die in Abschn. 5.3 für die Vakuumamplitude durchgeführten Überlegungen fast unverändert hier wiederholen, wollen das aber nur stichpunktartig tun. Die Zeitargumente in einem Viererpaket a+k (τ)a+l (τ)am (τ)an (τ) haben wir früher in τ und τ aufgeteilt, um formal an einem Vertex unten und oben unterscheiden zu können. Darauf verzichten wir jetzt, vereinbaren aber, dass a+k und an an dem einen und a+l und am an dem anderen Vertexpunkt ankoppeln. Jede Kombination von Kontraktionen aus der totalen Paarung wird durch ein FeynmanDiagramm dargestellt. Die Zahl der Vertizes entspricht der Ordnung des Diagramms. Wir übernehmen die Notation aus Abschn. 5.3.2. Demnach bezeichnet Θ die Struktur eines Diagramms. Alle topologisch verschiedenen Diagramme gleicher Struktur liefern denselben Beitrag zur Störreihe, gehören aber zu unterschiedlichen Kombinationen von Kontraktionen, müssen deshalb gesondert gezählt werden. Ihre Zahl lässt sich angeben. Es gilt wie in (5.101): An (Θ) =

2n n! . h(Θ)

(6.62)

Der Faktor 2n resultiert aus dem Vertauschen von unten und oben am Vertex, n! aus der Permutation der Vertizes. h(Θ) ist die Zahl der topologisch gleichen Diagramme innerhalb der Struktur Θ. Diese entsprechen identischen Kombinationen von Kontraktionen, dürfen deshalb nur einmal gezählt werden.

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

421

Als zusammenhängende Diagramme bezeichnen wir wiederum solche, die durch keinen Schnitt in zwei selbstständige Diagramme niedrigerer Ordnung zerlegt werden können. Für den Beitrag aller zusammenhängenden Diagramme der Struktur Θ zur Ordnung n schreiben wir:

n   1 2n − (6.63) Un (Θ) = Un∗ D(n) , h(Θ) h¯ ¯ hβ

Un∗

         (0) D(n) = · · · dτ1 · · · dτn Tτ V τ1 · · · V τn zus. .

(6.64)

0

Wir betrachten nun ein nicht zusammenhängendes Diagramm, das aus p zusammenhängenden Diagrammteilen mit n1 , n2 , . . ., np Vertizes besteht (n1 + n2 + · · · + np = n). Nicht zusammenhängende Diagramme haben keine gemeinsamen Integrations- oder Summationsvariablen in den Unterstrukturen. Deshalb faktorisiert der Gesamtbeitrag nach (6.64):       Un∗ D(n) = Un∗1 D(n1 ) · · · Un∗p D(np ) . Gibt es unter den p zusammenhängenden Diagrammteilen p1 , . . . , pν gleiche der Struktur Θ1 , . . . , Θν

Θ = p1 Θ1 + p2 Θ2 + · · · + pν Θν ; p1 + p2 + · · · + pν = p , so ist in (6.63)       h(Θ) = p1 ! hp1 Θ1 p2 ! hp2 Θ2 · · · pν ! hpν Θν

(6.65)

zu setzen. Die Fakultäten p1 !, p2 !, . . . , pν ! resultieren aus der Tatsache, dass das Vertauschen der pμ Diagrammteile untereinander zu topologisch gleichen Diagrammen führt. Als Gesamtbeitrag der Struktur ergibt sich dann: Un (Θ) =

1 pν   1 p1   1 p2   U Θ1 U Θ2 · · · U Θν . p1 ! p2 ! pν !

(6.66)

Wir können jetzt leicht die gesamte Störreihe für Ξ | Ξ0 kompakt formulieren: 0 ... ∞ Ξ 1 p1   1 p2   U Θ1 U Θ2 · · · = Ξ0 p1 , p2 , ... p1 ! p2 !

(6.67)

In dem Produkt rechts erscheinen alle paarweise verschiedenen zusammenhängenden Diagrammstrukturen. Jedes pν läuft von 0 bis ∞. Dies bedeutet       Ξ = exp U Θ1 exp U Θ2 · · · Ξ0

422

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

oder

#

$

zus.    Ξ . = exp U Θν Ξ0 ν

(6.68)

Dies entspricht dem Linked-Cluster-Theorem (5.112). Wir können uns also ab sofort bei der Auswertung der großkanonischen Zustandssumme auf die zusammenhängenden Diagramme beschränken. Die Analyse eines Diagrammteils erfolgt völlig analog zum T = 0 -Spezialfall. l

m

v(kl; nm) k

τi

n

Abb. 6.1. Bezifferung eines Vertex in der Diagrammanalyse von Matsubara-Funktionen

Die Vertizes werden mit Zeiten τi beziffert, deren Indizes von links nach rechts zunehmen. Jeder Vertex erhält den Faktor v(kl; nm). Die Faktoren 1 | 2 kürzen sich in der Gesamtbilanz gegen den Term 2n in (6.63) weg. ki

nj

     M " = a+ki τi anj τj = εG0, τj − τi δki nj , ki

(6.69)

ni

kj

      M τi − τj δni kj . " = ani τi a+kj τj = −G0, ni

(6.70)

τi

τi

τj

τj

Bei Gleichzeitigkeit (τi = τj = τ) vereinbaren wir wie im T = 0 -Fall, dass der Zeitordnungsoperator den Erzeuger nach links bringt:  (0) !   = a+k (τ)ak (τ) = Tτ a+k (τ)ak τ − 0+ M  + −0 = = −εG0, k

(6.71)

= εak (τ)a+k (τ) . Mit (6.44) bedeutet dies: a+k (τ)ak (τ) = nk (0) . Damit sind wir nun endgültig in der Lage, die Diagrammregeln für die großkanonische Zustandssumme Ξ | Ξ0 zu formulieren:

(6.72)

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

423

Man suche alle zusammenhängenden Diagramme mit paarweise verschiedener Struktur auf und berechne den Beitrag eines Diagramms n-ter Ordnung (n Vertizes, 2n Propagatoren) wie folgt: 1. Vertex ⇐⇒ v(kl; nm). M 2. Propagierende Linie ⇐⇒ −G0, kν (τν − τμ )δkν ,kμ (von τμ nach τν ). M + 3. Nicht propagierende Linie (Gleichzeitigkeit) ⇐⇒ −G0, kν (−0 )δkν kμ . 4. Summation über alle . . ., ki , li , mi , ni , . . . 5. Integration über alle τ1 , . . ., τn von 0 bis h¯β.  n s 6. Faktor: − ¯h1 h(εΘ) ; S = Zahl der Schleifen. Die Schleifenregel, die in Regel 6. zu dem Faktor εs führt, wird wie im T = 0 Fall (5.100) bewiesen. M Die Zeitabhängigkeit der freien Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion G0, k (τ) ist nach (6.44) etwas unhandlich. Die notwendige Fallunterscheidung τ ≷ 0 macht die Auswertung der Feynman-Diagramme relativ kompliziert. Die energieabhängige Funktion ist dagegen wesentlich einfacher strukturiert (6.46). Nach (6.15) gilt: 

  0, M   1  i  M = En . τ − τ exp − τ − τ E G0, 2 1 n 2 1 Gk k h¯β n h¯

(6.73)

In den Diagrammen vereinbaren wir die folgende Zuordnung:

τ1

τ2 - Gk0, M (τ2 - τ1) - Gk0, M (En )

1 i exp( En τ1) hβ h

1 i exp(- En τ1) hβ h

Jede an einem Vertexpunkt auslaufende Linie erhält einen zusätzlichen Faktor   exp ¯hi En τ1 % . h¯β 1 i exp( El τ) hβ h 1 i exp( Ek τ) hβ h

τ

1 i exp(- Em τ) hβ h 1 i exp(- En τ) hβ h

Abb. 6.2. Vertex-Bezifferung für den

Übergang von zeit- zu energieabhängigen Matsubara-Funktionen

424

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Die entsprechende, bei τ2 einlaufende Linie bringt den Faktor 

% i exp − En τ2 | h¯β h¯ mit. Die Zeitabhängigkeiten stecken ausschließlich in diesen Exponentialfunktionen. Der Vertex bei τ enthält dann die skizzierten Faktoren, mit denen man die Zeitintegrationen leicht ausführen kann: 1 (h¯β)2

¯hβ



 i Ek + El − Em − En τ = dτ exp h¯

0

  ¯hβ   1 exp ¯hi Ek + El − Em − En τ     = = i (h¯β)2 0 ¯ h Ek + El − Em − En ⎧     falls Ek + El =/ Em + En , 1 ⎨0 , =     h¯β ⎩1 , falls Ek + El = Em + En . Die Kombination (Ek + El − Em − En ) ist nach (6.17) sowohl für Bosonen als auch für Fermionen ein geradzahliges Vielfaches von π | β. Die Zeitintegrationen führen also zur Energieerhaltung am Vertex. Wir können nun noch einmal die Diagrammregeln für die großkanonische Zustandssumme Ξ | Ξ0 neu formulieren: Man suche alle zusammenhängenden Diagramme mit paarweise verschiedenen Strukturen und berechne den Beitrag eines Diagramms n-ter Ordnung nach den folgenden Vorschriften: 1. Vertex ⇐⇒ v(kl; nm) ¯h1β δEk +El ,Em +En . 2. Ausgezogene Linie (propagierend oder nicht propagierend):  M Enk = −G0, k

−h¯  .  iEnk − ε(k) − μ

3.

Nicht propagierende Linien zusätzlich: 

i exp Enk 0+ . h¯

4. 5.

Summationen über alle . . ., ki , li , mi , ni , . . . und über alle Eni .  n s Faktor: − ¯h1 h(εΘ) ; S = Zahl der Schleifen.

Der konvergenzerzeugende Faktor für nicht propagierende Linien in Regel 3. kann direkt an (6.73) abgelesen werden. Er folgt aus unserer Vereinbarung, bei Gleichzeitigkeit den Grenzübergang

τ2 −→ τ1 − 0+

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

425

zu vollziehen. Dies bedeutet aber, dass wir einer ausgezogenen Linie, die an ein und demselben Vertex beginnt und endet, neben dem Beitrag 2. noch den Faktor 3. zuordnen müssen. Die in Regel 4. geforderten Wellenzahlsummationen werden wir praktisch immer durch Übergang in den thermodynamischen Limes durch eine entsprechende Integration ersetzen können:   V d3 k . ⇒ (6.74) (2π)3 k

Neu für uns sind die Summationen über die Matsubara-Energien En , für die (6.17) gilt. Auch diese Summationen lassen sich in Integrationen umwandeln. Sei F = F(iEn ) irgendeine Funktion dieser En , dann gilt:    +∞ −1 1   F E F(iEn ) = dE (6.75)  . h¯β n = −∞ 2πh¯i 1 − ε e βE C

Mit C ist der in Abb. 6.3 skizzierte Weg der komplexen E -Ebene gemeint. – Wenn die Funktion F(E ) im Unendlichen stärker als 1 | E verschwindet, dann werden wir später C durch die Kontur C ersetzen dürfen. Zum Beweis von (6.75) formen wir die rechte Seite wie folgt um:      F E −1  I= dE  f E . 2πh¯i n E − iEn Cn

Dabei soll

  E − iEn f E =  1 − ε e βE   sein. f E bleibt endlich für E = iEn :    d    dE E − iEn f E = iEn =  lim d  = βE E → iEn dE 1 − ε e 1 1 . =  lim  = − β E → iEn −εβ e βE Im E ¢ Im E ¢ E¢

´ C

´ ´ ´

En

Re E ¢

´

C¢

´ ´

E¢

´ ´ ´ ´

Re E En

Abb. 6.3. Integrationswege in der komplexen Energieebene zur Durchführung von Summationen

über Matsubara-Energien

426

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

Der Integrand von I hat also einen Pol erster Ordnung bei E = iEn mit dem Residuum − β1 F(iEn ). Nach dem Residuensatz folgt dann für I: I=

1    F iEn . h¯β n

Das beweist die Behauptung (6.75). Wir wollen im nächsten Abschnitt an einem konkreten Beispiel die Anwendung der Diagrammregeln üben. 6.2.3 Ringdiagramme Wie in Abschn. 5.5 für die Grundzustandsenergie des Jellium-Modells demonstriert, so spielen auch bei der großkanonischen Zustandssumme Ξ die Ringdiagramme eine entscheidende Rolle. Sie lassen sich exakt aufsummieren. Das wollen wir wieder für das Jellium-Modell, also für ein System von Fermionen, durchführen. Betrachten wir als Beispiel das Ringdiagramm dritter Ordnung: k1 + q, E1 + E0

k1 , E1

q

k2 + q, E 2 + E0

q

k3 + q, E 3 + E0

k2 , E2 q

k3 , E3

Energie- und Impulserhaltung sind bei der Bezifferung des Diagramms bereits berücksichtigt worden. Die Eν ’s sind nach Voraussetzung Fermiquanten,  π , Eν = 2nν + 1

β

folglich muss der Energieübertrag E0 ein Bose-Quant sein: E0 = 2n0

π . β

Wir haben wegen der Spinerhaltung am Vertex noch drei unabhängige Spinsummationen zu berücksichtigen. Der Beitrag I3 ergibt sich dann zu:

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

427

3   1 (−1)3 V 4 · · · d3 q d3 k1 d3 k2 d3 k3 I3 = 23 − h¯ h(Θ3 ) (2π)12     (5)



·

E0 E1 E2 E3



(4)

 3

& 1 3 −h¯ −h¯       v (q) . · (h¯β)3 iEν − ε kν + μ i Eν + E0 − ε kν + q + μ ν=1       (1)

(2)

Wir ziehen den Term   1  −h¯ −h¯ '   Λq k; E0 = h¯β E iEn − ε(k) + μ i En + E0 − ε(k + q) + μ

(6.76)

n

heraus und definieren noch h¯Λ(0) q (E0 ) = 2

V (2π)3



  d3 k ' Λq k; E0 .

(6.77)

Dies entspricht der niedrigsten Näherung (5.182) des Polarisationspropagators. Der Faktor 2 resultiert aus der Spinentartung. Damit lässt sich nun der Diagrammbeitrag I3 wie folgt schreiben:    3 1 V d3 q v(q)Λ(0) E0 . (6.78) I3 =   q 3 h Θ3 (2π) E 0

Dies lässt sich leicht auf eine beliebige Ordnung n des Ringdiagramms erweitern. Für die Zahl h(Θn ) der topologisch gleichen Ringdiagramme findet man   (6.79) h Θn = 2n . Topologisch gleiche Diagramme erhält man z. B. durch zyklisches Vertauschen der Vertizes. Das ergibt n Möglichkeiten. Vertauschen von oben und unten gleichzeitig an den Vertizes liefert noch einmal einen Faktor 2. Für den Beitrag n-ter Ordnung gilt also:   1  n 1 V 3 v(q)Λ(0) d E0 q , n≥2. (6.80) In = q 2 (2π)3 n E 0

Der Beitrag n = 1 ist noch ausgespart. Es handelt sich um ein Gleichzeit-Diagramm,   das nach Regel 3. einen zusätzlichen Faktor exp ¯hi E0 0+ bekommt. Wir werden sehen, dass ohne diesen Faktor der n = 1 -Beitrag zur großkanonischen Zustandssumme

k1 + q1 E1 + E0

q

k1 + E0

Abb. 6.4. Diagramm erster Ordnung in der Ringdiagramm-Näherung

zur großkanonischen Zustandssumme

428

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

divergieren würde. Da er andererseits in den n ≥ 2 -Termen nicht stört, fügen wir ihn in (6.80) allgemein für alle n ein:

n 

 ∞ ∞    1 V 1 i 3 (0) + v(q) E d . In = q Λ (E ) exp 0 0 0 q 2 (2π)3 n h¯ E n=1 n=1 0

Mit ln(1 − x) = −

∞ n  x n n=1

lässt sich die Ringdiagramm-Näherung der großkanonischen Zustandssumme dann wie folgt schreiben, wenn man noch bedenkt, dass der n = 0 -Term gerade die 1 liefert:

     1 V Ξ d3 q =1− ln 1 − v(q)Λ(0) (6.81) q (E0 ) . 3 Ξ0 Ring 2 (2π) E 0

Wir schreiben den konvergenzerzeugenden Faktor nicht explizit hin, fügen ihn lediglich bei Bedarf ein. Bleibt schließlich noch Λ(0) q (E0 ) auszuwerten. Wir berechnen dazu zunächst nach ' (6.76) Λq (k; E0 ). Mit (6.75) gilt:    −1 dE h¯2 '  . Λq k; E0 =    β E  2πh¯i 1+e E − ε(k) + μ E + iE0 − ε(k + q) + μ C

Der Bruch rechts verschwindet im Unendlichen wie 1 | E2 . Wir können also den Weg C durch C ersetzen (s. Abb. 6.3). Zwei Pole erster Ordnung liegen im von C berandeten Gebiet, die jeweils mathematisch negativ umlaufen werden. Mit dem Residuensatz folgt dann: h¯ '  + Λq (k; E0 ) =  β ( ε (k) − μ ) 1+e ε(k) − ε(k + q) + iE0 h¯ . + 1 + e β(ε(k + q) − μ) e −iβE0 E0 ist ein Bose-Quant, und damit ist e iβE0 = +1. Es bleibt: (0) 

n (0) − nk+q ' Λq (k; E0 ) = h¯ k . ε(k) − ε(k + q) + iE0

(6.82)

Das Ergebnis

Λ(0) q (E0 ) vergleiche man mit (5.192).

2V = (2π)3



(0) 

nk (0) − nk+q d k ε(k) − ε(k + q) + iE0 3

(6.83)

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

429

Wenn wir dieses Resultat in (6.81) einsetzen, so können wir die Summation über die Matsubara-Frequenzen E0 wieder mithilfe von (6.75) in eine Integration verwandeln. In der Reihenentwicklung für den Logarithmus würde der n = 1 -Term dann ohne   den konvergenzerzeugenden Faktor exp ¯hi E0 0+ Schwierigkeiten machen, da Λ(0) q sich im Unendlichen nur wie 1 | E0 verhält. Mit diesem Faktor sind zwei Fälle zu unterscheiden: 1. |E| → ∞ mit Re E > 0: Der gesamte Integrand verhält sich asymptotisch wie  1 

+   1 ¯ h Re E0 + Re E . exp ∼ exp − βh¯ − 0 exp(βE) |E| |E| h¯

2.

Da βh¯ > 0+ > 0 gilt, sind die Voraussetzungen für Jordan’s Lemma erfüllt. Wir können also die Kontur C durch C ersetzen. |E| → ∞ mit Re E < 0: Der Integrand verhält sich nun asymptotisch wie   exp ¯h1 Re E0+ 1 1 |E| und erfüllt damit ebenfalls die Voraussetzungen.

6.2.4 Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion Die wichtigsten Vorbereitungen für eine diagrammatische Analyse der Ein-TeilchenMatsubara-Funktion haben wir bereits in Abschn. 6.1.3 getroffen. Die folgenden Überlegungen bauen auf (6.49) auf und laufen weitgehend parallel zu denen in Abschn. 5.3.3. Die zum mit 1 | Ξ0 multiplizierten Zähler in (6.49) beitragenden Diagramme der Störreihe sind sämtlich offen. Sie besitzen zwei ausgezogene äußere Linien, von denen die eine bei τ2 startet, die andere in τ1 einläuft. Hängt ein Diagrammteil an einem dieser beiden äußeren Anschlüsse, dann notwendig auch an

τ1

τ2

Abb. 6.5. Allgemeine Struktur eines offenen Diagramms für die

Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion

430

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

dem anderen. Das erfordert die Teilchenzahlerhaltung. Zu jeder Kombination von Kontraktionen tragen gleich viele Erzeuger wie Vernichter bei. Jedes so geartete offene Diagramm besteht aus einem offenen, zusammenhängenden Diagramm plus Kombinationen von geschlossenen, zusammenhängenden Diagrammen aus der Entwicklung von Ξ. Man erhält demnach alle Diagramme, wenn man zu jedem offenen, zusammenhängenden Diagramm D0 mit zwei äußeren Anschlüssen alle möglichen Ξ | Ξ0 -Diagramme hinzunimmt. Letztere ergeben nach (6.68) den Faktor $ # zus.    . exp U Θν ν

Der Gesamtbeitrag aller Diagramme der Störreihe für den mit 1 | Ξ0 multiplizierten Zähler in (6.49) ist dann: ⎧ ⎫ $ # zus. ⎨ ⎬    . U(D0 ) exp U Θν ⎩ ⎭ ν D0

Der letzte Faktor kürzt sich gerade gegen den mit 1 | Ξ0 multiplizierten Nenner in (6.49) weg, sodass für die Matsubara-Funktion bleibt:        (0) ¯β, 0)ak τ1 a+k τ2 zus. . GM k τ1 , τ2 = − Tτ U(h offen

(6.84)

Die Diagrammregeln für die zeitabhängige Funktion leiten sich direkt aus denen für die großkanonische Zustandssumme ab, die wir im Anschluss an (6.72) formuliert haben, wobei lediglich Summationen und Integrationen auf innere Variable zu beschränken sind. Wir gehen deshalb direkt zu der energieabhängigen Funktion über. Zunächst erkennt man leicht, dass jedes zusammenhängende Diagramm mit zwei äußeren Linien kein topologisch gleiches Diagramm gleicher Struktur besitzt:   h Θn = 1 ∀n .

(6.85)

Wir können praktisch alle Regeln aus Abschn. 6.2.2 übernehmen, lediglich die äußeren Linien benötigen eine gewisse Sonderbehandlung. Wegen Energieerhaltung an jedem Vertex werden die beiden äußeren Linien dieselbe Energie En tragen: Links:

τ1

τi

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

431

 M − G0, τ1 − τi = k + + ,  ,



  i 1 1 1 0, M   % exp − En τ1 % exp = En τi En −Gk . h¯ h¯ h¯β h¯β n        (1)

(2)

(3)

Der Beitrag (3) wird dem Vertex zugeordnet und sorgt dort für Energieerhaltung. (2) wird von der durchgezogenen, äußeren Linie übernommen. (1) wird für die gesamte Fourier-Zerlegung benötigt. Rechts:

τj

τ2

 M − G0, τj − τ2 = k + + ,  ,



  i 1 1 1 0, M   % exp − En τj % exp = −Gk En . En τ2 h¯ h¯ h¯β h¯β n        (1)

(2)

(3)

(1) geht in den Vertex, (2) wird der äußeren Linie zugeordnet, (3) erscheint in der Fourier-Zerlegung. Liefern die inneren Linien insgesamt den Beitrag I, so folgt: 

   1   0, M  2 i  = E , (6.86) τ − τ I −G exp − τ − τ −GM E 1 2 n n 1 2 k k h¯β n h¯  2   0, M   E = I G E −GM . n n k k

(6.87)

Damit haben wir nun die   Diagrammregeln für −GM k En . Man suche alle zusammenhängenden Diagramme mit zwei äußeren Linien und paarweise verschiedener Struktur. Ein Diagramm n-ter Ordnung (n Vertizes; 2n + 1 ausgezogene Linien, davon 2 äußere) wird nach folgenden Vorschriften ausgewertet: 1. Vertex: v(kl; nm) ¯h1β δEk +El ,Em +En . 2. Ausgezogene (propagierende und nicht propagierende) Linie: M = −G0, ki

−h¯   . iEnki − ε ki + μ

432

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

3.

Zusätzlicher Faktor für nicht propagierende Linie 

i exp Enk 0+ . h¯

4. 5. 6.

Summation über alle inneren ki , li und alle inneren Matsubara-Energien. M  En . Ausgezogene äußere Linien: G0, k  1 n s Faktor: − ¯h ε ; S = Zahl der Schleifen.

Wir wollen zum Schluss als Anwendungsbeispiel die Diagramme nullter und erster Ordnung für das wechselwirkende Elektronensystem (ε = −1) explizit berechnen: l, El

k, En

=

k, En

+

q=0 k, En

k, En

l ¢- k +

k, En

l,¢ El ¢

k, En

Obige Regeln schreiben den folgenden Beitrag vor:   0, M    M  (1) 2 V 0, M   3 d = Gkσ En + 2 l Glσ El · Gkσ En h¯ β (2π)3 n l



i +  0, M  2 Gkσ En · v(0) exp El 0 + h¯ 

  0, M     1 V d 3 l Gl σ El v l − k · + − 2 3 h¯ β (2π) n l

 2 i M  E · exp . El 0+ G0, n kσ h¯

Dies kann man wie folgt zusammenfassen:  M  (1) M  M   1 (1)   0, M   En + G0, En Σkσ En Gkσ En , Gkσ En = G0, kσ kσ h¯   1 (1)   1 V d3 l Σ En = 2 (2v(0) − v(l − k)) · h¯ kσ h¯ β (2π)3 n l

 i + 0, M · exp El 0 Glσ (El ) . h¯

(6.88)

(6.89)

In dieser Näherung ist die Selbstenergie energieunabhängig. Wir sehen aber an diesem Beispiel, dass auch der T =/ 0 -Matsubara-Formalismus die Definition einer Selbstenergie zulässt. Das ist natürlich auch kein Wunder, da T = 0 und T =/ 0 Diagramme strukturell identisch sind. Sämtliche Dyson-Gleichungen des fünften Kapitels können direkt übernommen werden.

6.2

Diagrammatische Störungstheorie

433

Der T =/ 0 -Matsubara-Formalismus benötigt an keiner Stelle die Hypothese des adiabatischen Einschaltens, die mit einer gewissen Unsicherheit behaftet ist. Das Gell-Mann–Low-Theorem garantiert nur, dass der adiabatisch eingeschaltete Zustand ein Eigenzustand des vollen Hamilton-Operators ist. Es muss, ausgehend vom Grundzustand des freien Systems, sich nicht notwendig nach dem Einschalten der Wechselwirkung der Grundzustand des wechselwirkenden Systems ergeben. Das wird zwar in der Regel der Fall sein, man kann aber auch in einem angeregten Zustand landen. Der T → 0 -Grenzübergang im Matsubara-Formalismus ergibt dagegen in jedem Fall den Grundzustand (W. Kohn, J. M. Luttinger: Phys. Rev. 118, 41 (1960)).

434

6.3

6. Störungstheorie bei endlichen Temperaturen

6.3 Kontrollfragen Zu Abschnitt 6.1 1. Warum ist die retardierte Green-Funktion für Störungstheorien ungeeignet? 2. Warum lässt sich das Wick’sche Theorem aus Abschn. 5.2.2 nicht auch für T =/ 0 Probleme ausnutzen? 3. Welcher enge Zusammenhang besteht zwischen den Korrelationsfunktionen        A(t)B t  und B t  A(t) , wenn man für die Zeitvariable formal komplexe Werte zulässt? 4. Die Matsubara-Methode geht von rein imaginären Zeiten aus (τ = it reell!). Wie sieht die modifizierte Heisenberg-Darstellung für zeitabhängige Operatoren in diesem Fall aus? 5. Wie ist die Matsubara-Funktion definiert? Wie lautet ihre Bewegungsgleichung? 6. Welche Periodizität weist die Matsubara-Funktion auf? 7. Wie erhält man aus der Matsubara-Funktion die eigentlich interessierende retardierte Green-Funktion? 8. Geben Sie Bewegungsgleichung und weitere Eigenschaften des Zeitentwicklungsoperators in der Dirac-Darstellung bei rein imaginären Zeiten an. 9. Wie lautet die formale Lösung des Zeitentwicklungsoperators UD (τ, τ )? 10. Drücken Sie e −βH durch UD aus. 11. Wie ist die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion GM k (τ) definiert? 12. Wie sieht die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion für das nicht wechselwirkende System aus? 13. Welche Form der Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion eines wechselwirkenden Systems ist für die diagrammatische Störungstheorie geeignet? 14. Wird die Hypothese des adiabatischen Einschaltens der Störung im MatsubaraFormalismus auch benötigt? 15. Welche Größe übernimmt im Matsubara-Formalismus die Rolle der Vakuumamplitude in der T = 0 -Theorie?

Zu Abschnitt 6.2 1. Wie wird im Matsubara-Formalismus die Kontraktion definiert? 2. Formulieren Sie das so genannte verallgemeinerte Wick-Theorem! Handelt es sich um eine Operatoridentität? 3. Wie unterscheiden sich die Diagrammregeln für die großkanonische Zustandssumme Ξ von denen für die T = 0 -Vakuumamplitude? 4. Gibt es ein Linked-Cluster-Theorem für Ξ? 5. Wie führt man Summationen über Matsubara-Energien aus? 6. Beschreiben Sie die Ringdiagramm-Näherung der großkanonischen Zustandssumme.

6.3

7. 8. 9.

Kontrollfragen

435

Erläutern Sie, warum für die Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion nur offene, zusammenhängende Diagramme mit zwei äußeren Linien aufzusummieren sind. Formulieren Sie die Diagrammregeln für die energieabhängige Ein-TeilchenMatsubara-Funktion. Lassen sich auch im Matsubara-Formalismus Dyson-Gleichungen formulieren?

Lösungen der Übungsaufgaben

437

Lösungen der Übungsaufgaben Abschnitt 1.4 Lösung zu Aufgabe 1.4.1 1. Hamilton-Operator des Zwei-Teilchen-Systems:

H = H1 + H2 = −

1.4.1





h¯2 Δ1 + Δ2 + V x1 + V x2 . 2m

Nicht symmetrisierter Eigenzustand: | ϕα1 ϕα2  = | ϕα(1)1  | ϕα(2)2  . Ortsdarstellung:

  



x1 x2 | ϕα1 ϕα2  = ϕn x1 ϕm x2 χS m(1) , χS m(2)  S S

χS :

Spinfunktion (identische Teilchen haben gleichen Spin S)



α1 = n, mS ; α2 = m, mS . 2.

Lösung des Ein-Teilchen-Problems:  2  h¯ − Δ + V(x) ϕ(x) = Eϕ(x) . 2m Zunächst gilt:

ϕ(x) ≡ 0 für x < 0 und x > a . Für 0 ≤ x ≤ a ist zu lösen: −

h¯2 Δϕ(x) = Eϕ(x) . 2m

Lösungsansatz:



ϕ(x) = c sin γ1 x + γ2 . Randbedingungen:

ϕ(0) = 0

⇒

ϕ(a) = 0

⇒

γ2 = 0 , π γ1 = n ; n = 1, 2, 3, . . . . a

Energie-Eigenwerte: E=

h¯2 2 γ 2m 1

⇒

En =

W. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik 7 ISBN 978-3-642-01605-9 © Springer 2009

h¯2 π2 2 n ; 2ma2

n = 1, 2, . . . .

438

Lösungen der Übungsaufgaben

Eigenfunktionen:

 π  ϕn (x) = c sin n x , a

a

!

1=c

2

1

 π  sin n x dx a 2

⇒

c=

2 , a

0

⎧1   ⎪ ⎨ 2 sin n π x a a ϕn (x) = ⎪ ⎩0

für 0 ≤ x ≤ a , sonst.

3.

Zwei-Teilchen-Problem:

4.

(+): Bosonen, (−): Fermionen: (n, mS ) =/ (m, mS ) wegen Pauli-Prinzip. Grundzustandsenergie des N-Teilchen-Systems:

    1 

± χS m(2) | ϕα1 ϕα2  (±) −→ √ ϕn x1 ϕm x2 χS m(1)  S S 2   

 (1) ± ϕn x2 ϕm x1 χS m(2) m , χ  S S S

Bosonen: Alle Teilchen im n = 1 -Zustand: E0 = N

h¯2 π2 . 2ma2

Fermionen: N |2

E0 = 2

 h¯2 π2 h¯2 π2 N 3 2 n ≈ 2ma2 2ma2 24 n=1

mit N |2



n=1

1.4.2

2

n

≈

N >> 1

N |2    N3 1 N3 2 −1 ≈ . n dn = 3 8 24 1

Lösung zu Aufgabe 1.4.2 1.

P12 |0, 0 t = − |0, 0 t     P12  1, MS t =  1, MS t

MS = 0, ±1

antisymmetrisch, symmetrisch.

Lösungen der Übungsaufgaben

2.

439

Beweis wird komponentenweise geführt:  $  (2) P12 S1z P12 m(1) S1 , mS2 =   $ $   (2) (1) (1) = , m h ¯ m P , m = P12 S1z m(2) m S 12 2 S1 S2 S1 S2 =   $ $  (2) (2) z  (1) = h¯mS2 m(1) S1 , mS2 = S2 mS1 , mS2 . Gilt für beliebige Zwei-Teilchen-Zustände, damit auch für die symmetrisierten Basis-Zustände des H2(±) . Es ist somit im H2(±) P12 S1z P12 = S2z eine Operatoridentität. Analog zeigt man: P12 S2z P12 = S1z . Bleiben noch die x- und y-Komponenten:   1 + 1  + y Sj + S−j ; Sj = Sj − S−j ; j = 1, 2 . Sxj = 2 2i Es gilt:   $ $  (1) (2) ±  (2) (1) P12 S± 1 P12 mS1 mS2 = P12 S1 mS1 mS2 = 0   

(1) $ 1 1  ∓ mS2 ± mS2 + 1 P12 m(2) = = h¯ S1 , mS2 ± 1 2 2 0  

(2) $ 1 1  = h¯ = ∓ mS2 ± mS2 + 1 m(1) S1 , mS2 ± 1 2 2  $  (1) (2) = S± , m m S1 S2 . 2 Schlussfolgerung wie oben: ± P12 S± 1, 2 P12 = S2, 1 .

Damit folgt auch: x, y

x, y

P12 S1, 2 P12 = S2, 1 . 3.

Dies beweist die Behauptung.

S1 · S2 = S1z S2z + 12 S+1 S−2 + S−1 S+2 . mS1 = mS2 = mS

 $ (2) ∓  (1) =0, S± S , m m S S 1 2

 $ h¯2  $  (1) (2)  (2) S1z S2z m(1) = , , m , m m S S S S 4   $  $  $ 4 1   (1) (2)  (2) (1) (2) 1 + 2 S1 · S2 m(1) = = . , m , m , m m m S S S S S S 2 h¯

440

Lösungen der Übungsaufgaben

mS1 =/ mS2   $

(1)

(2) $   (2) 2 = = S+1 S−2 m(1) , m h ¯ δ δ , mS2 − 1 mS1 , −(1 | 2) mS2 , (1 | 2)  mS1 + 1 S1 S2  $  (2) , m = h¯2 δmS1 , −(1 | 2) δmS2 , (1 | 2) m(1) S2 S1 =  $  (1) = h¯2 δmS1 , −(1 | 2) δmS2 , (1 | 2) m(2) S1 , mS2 . Analog:

  $ $   (2) (1) S−1 S+2  m(1) ¯2 δmS2 , −(1 | 2) δmS1 , (1 | 2)  m(2) S1 , mS2 = h S1 , mS2 , $ h¯2  $

 1 + −  (2) (1) (2) S1 S2 + S−1 S+2 m(1) , m mS1 , mS2 . S1 S2 = 2 2

Außerdem gilt:  $ h¯2  (1) (2) $  (2) S1z S2z  m(1)  mS1 , mS2 . S1 , mS2 = − 4 Insgesamt bleibt somit:   $ 4 1  (2) 1 + 2 S1 · S2 m(1) S1 , mS2 = 2 h¯     4 h¯2  (1) (2) $ 1 4 h¯2  (2) (1) $ 1 1− 2 = mS1 , mS2 + mS1 , mS2 = 2 h¯ 4 2 h¯2 2  $  (1) =  m(2) S1 , mS2 . Damit gilt offensichtlich ganz allgemein:  $  $  (2) (1)  (2) P12 m(1) S1 , mS2 = mS1 , mS2 .

1.4.3

Lösung zu Aufgabe 1.4.3 Beweis durch vollständige Induktion:

Induktionsanfang: N=1:





0 | aβ1 a+α1 | 0 = 0| δ β1 − α1 + εa+α1 aβ1 |0 =

= δ β1 − α1 0 | 0 + ε 0 | a+α1 aβ1 | 0 =

= δ β1 − α1 .

Lösungen der Übungsaufgaben

441

N=2:

0 | aβ2 aβ1 a+α1 a+α2 | 0 =



= 0| aβ2 δ β1 − α1 + εa+α1 aβ1 a+α2 |0 =





= δ β1 − α1 0| δ β2 − α2 + εa+α2 aβ2 |0 +



+ ε 0| aβ2 a+α1 δ β1 − α2 + εa+α2 aβ1 |0 =









= δ β1 − α1 β2 − α2 + ε β1 − α2 0| β2 − α1 + εa+α1 aβ2 |0 =







= β1 − α1 β2 − α2 + ε β1 − α2 β2 − α1 . Induktionsschluss N − 1 → N: αβ1 nach rechts „durchziehen“! ↓

0| aβN · · · aβ1 a+α1 · · · a+αN |0 =

= β1 − α1 0| aβN · · · aβ2 a+α2 · · · a+αN |0 +

+ ε β1 − α2 0| aβN · · · aβ2 a+α1 a+α3 · · · a+αN |0 + + ···+

+ εN−1 δ β1 − αN 0| aβN · · · aβ2 a+α1 a+α2 · · · a+αN − 1 |0 = Induktionsvoraussetzung

 P

↓ = β1 − α1 ε α Pα δ β2 Pα

+ εδ(β1 −α2 )





 − α2 · · · δ βN − αN +









εPα Pα δ(β2 − α1 )δ β3 − α3 · · · δ βN − αN +

Pα

+ ···+

 P







 + εN−1 δ β1 − αN ε α Pα δ β2 − α1 δ β3 − α2 · · · δ βN − αN − 1 = =



Pα









εPα Pα δ β1 − α1 δ β2 − α2 · · · δ βN − αN



q. e. d.

Pα

Lösung zu Aufgabe 1.4.4 Ein-Teilchen-Basis:

|k

1.4.4

⇐⇒

r | k = ϕk (r) = (2π)−3 | 2 e ik · r ebene Welle.

442

Lösungen der Übungsaufgaben

Operator der kinetischen Energie: N  p2i 2m i=1

Matrixelement:

 ⇒

d3 kd3 k k|

p2  + |k  ak ak . 2m

 2   p2  h¯ 3 ∗ d r k | r r| |k  = d r ϕk (r) − Δ ϕk (r) = 2m 2m 

h¯2 k2 h¯2 k2  δ k − k . = (2π)−3 d3 r e −i (k−k ) · r = 2m 2m

p2 

k| |k  = 2m



3

Ein-Teilchen-Operator: N  p2i 2m i=1

 ⇒

dk

h¯2 k2 + a ak . 2m k

Operator der Coulomb-Wechselwirkung: i =/ j

1 Vij 2

1 2

⇒

i, j



 ···

    d3 k1 d3 k2 d3 k3 d3 k4 k1 k2  V12  k3 k4 a+k1 a+k2 ak4 ak3 .

Das Matrixelement darf symmetrisiert, aber auch nicht symmetrisiert sein: '   $ $ '  (2)   (1)  (2) . k V M ≡ k(1) k   k 12 1 2 3 4 Ortsdarstellung günstig, da dann V12 diagonal ist:     '   ' $' $'  (1) (1)  (2)  (2) (2)  r r r k r M = · · · d3 r1 · · · d3 r4 k(1)    1 1 1 2 2 2  ·      (1) $ ' (1)  (1) $    (2) $ ' (2)  (2) $  r 3  k3 r 4  k4 = · V rˆ(1) − rˆ(2)  r 4 r 3  =

 ···

  $' $  '   (1) (1)  (1) r1  r3 · d3 r1 · · · d3 r4 V r 3 − r 4  k(1) 1  r1

    $' $' $' $ '  (2) (2)  (2) (1)  (1) (2)  (2) r2  r4 r 3  k3 r 4  k4 = · k(2) 2  r2 = (2π)

−6





 d3 r1 d3 r2 V r 1 − r 2  e −i (k1 − k3 ) · r1 e −i (k2 − k4 ) · r2 .

Mit Koordinatenwechsel r = r1 − r2 ;

R=

1 r1 + r2 2

⇒

1 r1 = r + R , 2 1 r2 = R − r 2

Lösungen der Übungsaufgaben

folgt weiter: M = (2π)−6  ·



443

d3 R e −i (k1 − k3 + k2 − k4 ) · R · 1

d3 r V(r) e − 2 (k1 − k3 − k2 +k4 ) · r =



= (2π)−3 δ k1 − k3 + k2 − k4



d3 r V(r) e −(k1 − k3 ) · r =



= V(k1 − k3 )δ k1 − k3 + k2 − k4 . Substitution: k1 → k + q ,

k2 → p − q ,

k3 → k .

Ergebnis: i =/ j

1 1 Vij → 2 2

 d3 k d3 p d3 q V(q)a+k + q a+p − q ap ak

q. e. d.

i, j

Lösung zu Aufgabe 1.4.5

1.4.5

H = T+ V,  h¯2 k2 +  T = d3 k a ak , 2m k  1  d3 k d3 p d3 q V(q)a+k + q a+p − q ap ak . V= 2 1.

 ,  N T −=



 3

d p

d3 k

 h¯2 k2 nˆ p , nˆ k − , 2m



nˆ p , nˆ k − = a+p ap a+k ak − nˆ k nˆ p =

= a+p δ(p − k) + εa+k ap ak − nˆ k nˆ p = = δ(p − k)a+p ak + ε2 a+k a+p ap ak − nˆ k nˆ p = = δ(p − k)ˆnk + εa+k a+p ak ap − nˆ k nˆ p =   = δ(p − k)ˆnk + εa+k εak a+p − εδ(p − k) ap − nˆ k nˆ p = = δ(p − k)ˆnk + nˆ k nˆ p − δ(p − k)a+k ap − nˆ k nˆ p =

⇒

=0

 ,  N T −=0.

444

Lösungen der Übungsaufgaben

2.

 1 , V  = N 2 =

1 2



  d3 q¯ d3 k d3 p d3 q V(q) a+q¯ aq¯ , a+k + q a+p − q ap ak =



 d3 q¯ d3 k d3 p d3 q V(q) δ(¯q − k − q)a+q¯ a+p − q ap ak +

−

+ εδ(¯q − p + q)a+q¯ a+k + q ap ak − ε5 δ(¯q − p)a+k + q a+p − q ak aq¯ −  − ε6 δ(¯q − k)a+k + q a+p − q ap aq¯ = =

1 2



 d3 k d3 p d3 q V(q) a+k + q a+p − q ap ak + εa+p − q a+k + q ap ak −

 − εa+k + q a+p − q ak ap − a+k + q a+p − q ap ak = 1 = 2



  d3 k d3 p d3 q V(q) 2a+k + q a+p − q ap ak − 2a+k + q a+p − q ap ak =

=0 ⇒

1.4.6



,  N V −=0.

Lösung zu Aufgabe 1.4.6 Nach Abschn. 1.2 gilt für den Zusammenhang zwischen Feldoperatoren und allgemeinen Konstruktionsoperatoren:  ψ+ (r) = dα ϕα∗ (r)a+α , 

ψ(r) = 



dα ϕα (r)aα .

In der k-Darstellung mit ebenen Wellen bedeutet dies:   ψ+ (r) = (2π)−3 | 2 d3 k e −ik · r a+k ,

ψ(r) = (2π)−3 | 2 



d3 k e ik · r ak .

Wir diskutieren zunächst die kinetische Energie:  2  h¯ 3 +  ψ (r) − Δr  ψ(r) = T = d r 2m  2  h¯  d3 r d3 k d3 k e −ik · r − Δr e ik · r a+k ak = = (2π)−3 2m

Lösungen der Übungsaufgaben

 =



 d3 k

=



d 3 k d 3 k

445

h¯2 k2 2m

2

h¯2 k 2m



a+k ak (2π)−3 





d3 r e −i (k − k ) · r =  

δ(k−k )

a+k ak .

Etwas mehr Aufwand erfordert die potentielle Energie:   

 1  d3 r d3 r  V= ψ+ (r) ψ+ r V r − r   ψ r  ψ(r) = 2    

 1 d3 r d3 r V r − r   · · · d3 k1 · · · d3 k4 · = (2π)−6 2 

· a+k1 a+k2 ak3 ak4 e −i (k1 r + k2 r ) e i (k3

· r  + k4 · r)

.

Schwerpunkt- und Relativkoordinaten: r¯ = r − r  ; ⇒ Dies bedeutet:  V=

1 2





 d3 R e −i (k1 + k2 − k3 − k4 )R · 

1

d3 ¯r V(¯r) e i 2 (−k1 + k2 − k3 + k4 )¯r =

 ···

· (2π)−3 1 2

1 1 r¯ + R ; r  = R − r¯ . 2 2

d3 k1 · · · d3 k4 a+k1 a+k2 ak3 ak4 ·

···

· (2π)−3

=

1 r + r 2



· (2π)−3

1 = 2

r=

R=





d3 k1 · · · d3 k4 a+k1 a+k2 ak3 ak4 δ k1 + k2 − k3 − k4 · 1

d3 ¯r V(¯r) e i 2 (−k1 + k2 − k3 + k4 ) · r¯ =

 d3 k1 d3 k2 d3 k3 a+k1 a+k2 ak3 ak1 + k2 − k3 ·

· (2π)−3



d3 ¯r V(¯r) e i (k2 − k3 ) · r¯ .

Setzt man k1 → k + q ;

k2 → p − q ;

k3 → p ,

dann gilt mit V(q) = V(−q):  1 = d3 k d3 p d3 q V(q)a+k + q a+p − q ap ak V 2

q. e. d.

446

1.4.7

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 1.4.7 1.   nˆ α , a+β = nˆ α a+β − a+β nˆ α = a+α aα a+β − a+β nˆ α = −   = a+α δαβ + εa+β aα − a+β nˆ α = δαβ a+α + ε2 a+β a+α aα − a+β nˆ α =

= δαβ a+α . 2.

3.

 nˆ α , aβ − = nˆ α aβ − aβ nˆ α = εa+α aβ aα − aβ nˆ α =

= aβ a+α − δαβ aα − aβ nˆ α = −δαβ aα .    1. 

+ ˆ a+α = n ˆ , a = δγα a+α = a+α . N, γ α − − γ

4.

γ

 

  , aα = N nˆ γ , aα − = δγα (−aα ) = −aα . − γ

1.4.8

γ

Lösung zu Aufgabe 1.4.8 1. [aα , aβ ]+ = 0. Daraus folgt speziell für α = β: 2 2 2 0 = [aα , aα ]+ = aα + aα = 2 aα

⇒

2 aα = 0 .

Wegen des Pauli-Prinzips können zwei Fermionen nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen. Es können deshalb auch nicht zwei gleiche Fermionen vernichtet werden. Analog folgt: 0 = [a+α , a+α ]+ 2.

3.

⇐⇒

(a+α )2 = 0 .

2

nˆ α = a+α aα a+α aα = a+α 1 + a+α aα aα = 2 2 = nˆ α + a+α aα = nˆ α (Deutung?) .

2 aα nˆ α = aα a+α aα = 1 + a+α aα aα = aα + a+α aα = aα , 2 a+α nˆ α = a+α aα = 0 .

Lösungen der Übungsaufgaben

4.

447

2 nˆ α aα = a+α aα = 0 ,

2 aα nˆ α = 1 + a+α aα aα = aα + a+α aα = aα .

Lösung zu Aufgabe 1.4.9 1. Nicht wechselwirkende, identische Bosonen bzw. Fermionen:

H=

N 

H1(i) .

i=1

Eigenwert-Gleichung:

  $ $   H1(i)  ϕr(i) = εr  ϕr(i) ,

'



$

ϕr(i)  ϕs(i) = δrs .

Ein-Teilchen-Operator in zweiter Quantisierung:      ϕr  H1  ϕs a+r as = εs δrs a+r as H= r, s

⇒

H=



r, s

εr a+r ar =

r

2.



εr nˆ r .

r

Nicht normierte Dichtematrix der großkanonischen Gesamtheit:



  , ρ = exp −β H − μN  = nˆ r . N r

Die normierten Fock-Zustände    N; n1 n2 · · · ni · · · (ε)  und H: sind Eigenzustände zu nˆ r und damit auch zu N 5 4      H  N; n1 · · · (ε) = εr nr  N; n1 · · · (ε) , r

      N; n1 · · · (ε) = N  N; n1 · · · (ε) . N Spurbildung deshalb zweckmäßig mit diesen Fock-Zuständen:  



  (ε)   N; n1 n2 · · · (ε) = N; n1 n2 · · ·  exp −β H − μN / .  

mit = exp −β εr − μ nr nr = N . r

r

1.4.9

448

Lösungen der Übungsaufgaben

Daraus folgt: 

N =0

{nr } nr = N)

Sp ρ =

(

N =0

r {nr } nr = N)

 n1

=

···





n2

4 

e



/

εr − μ nr =

r

 (



exp −β

∞ 

=

=

.

∞ 

e −β(εr − μ)nr =

···

nr



e −β(εr − μ)nr =

r

−βn1 (ε1 − μ)

54 

n1

5

e

−βn2 (ε2 − μ)

··· .

n2

Großkanonische Zustandssumme:

Ξ(T, V, μ) = Sp ρ =

4   r

5

e

−βnr (εr − μ)

.

nr

Bosonen (nr = 0, 1, 2, . . . ):

ΞB (T, V, μ) =

 r

1 . 1 − ε−β(εr − μ)

Fermionen (nr = 0, 1):

ΞF (T, V, μ) =

  1 + e −β(εr − μ) . r

3.

Erwartungswert der Teilchenzahl:   1  = Sp(ρN ) . N

Ξ

Spurbildung empfiehlt sich mit den Fock-Zuständen, da diese Eigenzustände  sind: zu N 9 . /8 ∞  

  1   N exp −β εr − μ nr = N =

Ξ N =0

(

=

1 ∂

β ∂μ

{nr } nr = N)

ln Ξ .

r

Lösungen der Übungsaufgaben

449

Mit Teil 2.:

9

8

   ∂ ∂ − ln ΞB = ln 1 − e −β(εr − μ) = ∂μ ∂μ r =−

 −β e −β(εr − μ)  1 =β − β ( ε − μ ) β ( ε − μ) − 1 , r r 1−e e r r 9

8

 ∂ ∂   ln ΞF = ln 1 + e −β(εr − μ) = ∂μ ∂μ r =β

 r

Dies bedeutet:

4.

 e −β(εr − μ) 1 =β − β ( ε − μ ) β ( ε − μ) + 1 . r r 1+e e r

⎧ 1 ⎪ ⎪ ⎪ β ( ε − μ) − 1 : ⎨ r e   r  N =  1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ β ( ε − μ) + 1 : r e r

Bosonen, Fermionen.

Innere Energie: 1

U = H =

Ξ

Sp(ρH) .

Fock-Zustände sind auch Eigenzustände zu H, eignen sich deshalb wiederum zur hier erforderlichen Spurbildung! .4 5 / ∞  1   −β r (εr − μ)nr U= = εi ni e

Ξ N =0

{nr } nr = N)

(

=−

i

  ∂  , ln Ξ + μ N ∂β



 εr − μ e −β(εr − μ)    ∂ εr  + − ln ΞB = = −μ N − β ( ε − μ ) β ( ε − μ) − 1 , r r ∂β 1−e e r r

−



 − εr − μ e −β(εr − μ)    ∂ εr  + ln ΞF = − = −μ N − β ( ε − μ ) β(εr −μ) + 1 . r ∂β 1+e e r

Dies ergibt schließlich:

⎧ εr ⎪ ⎪ ⎪ β ( ε − μ) − 1 : ⎨ r e r U=  εr ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ β ( ε − μ) + 1 : r e r

Bosonen, Fermionen.

450

5.

Lösungen der Übungsaufgaben

Fock-Zustände sind auch Eigenzustände zum Besetzungszahloperator:

ˆni  =

1

Sp(ρnˆ i ) =

Ξ

∞ 1 



Ξ N =0

−

1 ∂

β ∂εi

ln ΞB = +

1 ∂

β ∂εi

ln ΞF = −

  nˆ i =

 =

1  +β e −β(εr − μ) ∂εr = β r 1 − e −β(εr − μ) ∂εi (Bose-Funktion) ,

1  −β e −β(εr − μ) ∂εr = β r 1 + e −β(εr − μ) ∂εi

1 = β(ε − μ) i e +1 Es folgt:

− μ)nr

1 ∂ ln Ξ , β ∂εi

1 = β(ε −μ) e i −1 −

r (εr

{nr } nr = N)

(

=−

 ni e −β

(Fermi-Funktion) .

⎧ −1



 ⎪ ⎪ ⎨ exp β εi − μ − 1

Bosonen,

−1  ⎪



⎪ ⎩ exp β εi − μ + 1

Fermionen.

Man erkennt unmittelbar durch Vergleich mit den vorangegangenen Aufgaben:      =

ˆnr  ; U = εr ˆnr  . N r

1.4.10

r

Lösung zu Aufgabe 1.4.10 1. 

= nˆ 1σ + nˆ 2σ , N σ 

H= ε1σ nˆ 1σ + ε2σ nˆ 2σ + V c1+σ c2σ + c2+σ c1σ . σ

Es gilt natürlich: 

nˆ iσ , nˆ jσ − = 0 ,

i, j ∈ {1, 2} .

Dies bedeutet:

/ .  





+ +  N, H − = nˆ 1σ + nˆ 2σ , V c1σ c2σ + c2σ c1σ = σ

σ

−

Lösungen der Übungsaufgaben

=V

451

 [nˆ 1σ , c1+σ c2σ ]− + [nˆ 1σ , c2+σ c1σ ]− + σ

σ

 + [nˆ 2σ , c1+σ c2σ ]− + [nˆ 2σ , c2+σ c1σ ]− . Wir benutzen die allgemein-gültige Beziehung:

    C + B  A,  B C −=  A,  C − . A,  B − Ferner zeigt man leicht (s. Aufg. 1.4.7): 

nˆ iσ , cjσ − = −δij δσσ ciσ ,   nˆ iσ , cj+σ = δij δσσ ci+σ . −

Es bleibt also:  

 + + + + , H = V c =0. c − c c − c c + c c N 2 σ 1 σ 2 σ 1 σ 1σ 2σ 1σ 2σ − σ

2.

Fock-Zustände:   |N; F =  N; n1↑ n1↓ ; n2↑ n2↓ (−) . Eigenwert-Gleichung: H |E = |E ⇒ ⇒

N; F | H | E = E N; F | E 

N; F | H | N  ; F   N  ; F  | E = E N; F | E . N

F

Nach 1. erhält H die Teilchenzahl. Dies bedeutet:

N; F | H | N  ; F   ∼ δNN  . Wir haben demnach für N = 0, 1, 2, 3, 4 das folgende, homogene Gleichungssystem zu lösen: 

N; F | H | N; F   − EδFF N; F  | E = 0 . F

Die Eigenwerte bestimmen sich aus der Lösbarkeitsbedingung:  !  (N) (N)  det HFF = 0 , HFF  − EδFF   = N; F | H | N; F  . 3.

N=0 |0; F = |0; 00; 00 (−) ist offenbar Eigenzustand mit E(0) = 0.

452

Lösungen der Übungsaufgaben

n=1 Vier mögliche Fock-Zustände: |1; F = |1; 10; 00 (−) ; |1; 01; 00 (−) ; |1; 00; 10 (−) ; |1; 00; 01 (−) . H |1; 10; 00 (−) = ε1 |1; 10; 00 (−) + V |1; 00; 10 (−) , H |1; 01; 00 (−) = ε1 |1; 01; 00 (−) + V |1; 00; 01 (−) , H |1; 00; 10 (−) = ε2 |1; 00; 10 (−) + V |1; 10; 00 (0) , H |1; 00; 01 (−) = ε2 |1; 00; 01 (−) + V |1; 01; 00 (−) , ⎛ ⎞ ε1 0 V 0 ⎜ ⎟  ⎜ 0 ε 0 V⎟  1 ⎜ ⎟ (1) HFF ≡ ⎜ ⎟ ⎜V 0 ε2 0 ⎟ ⎝ ⎠ 0 V 0 ε2 Lösbarkeitsbedingung:

    V 0  ε1 − E 0    0 ε −E 0 V  ! 1  0=  =  V 0 ε2 − E 0      0 V 0 ε2 − E     V 0  ε1 − E 0    V 0 ε2 − E 0   = − =  0 ε1 − E 0 V      0 V 0 ε2 − E     0 0  ε1 − E V    V ε −E 0 0  2  =  =  0 0 ε1 − E V      0 0 V ε2 − E  2 = (ε1 − E)(ε2 − E) − V 2

⇒

E1(1) = E2(1) = E+ ; E3(1) = E4(1) = E− ,   A

2 1 2 ε1 + ε2 ± ε1 − ε2 + 4V . E± = 2

Lösungen der Übungsaufgaben

4.

453

N=2 Sechs mögliche Fock-Zustände: |2; F = |2; 11; 00 (−) , |2; 00; 11 (−) ; |2; 10; 10 (−) ; |2; 10; 01 (−) ; |2; 01; 10 (−) ; |2; 01; 01 (−) . Zwei der Fock-Zustände sind bereits Eigenzustände zu H:

H |2; 10; 10 (−) = ε1 + ε2 |2; 10; 10 (−) ,

H |2; 01; 01 (−) = ε1 + ε2 |2; 01; 01 (−) ⇒

(2) E1, 2 = ε1 + ε2 ,

H |2; 11; 00 (−) = 2ε1 |2; 11; 00 (−) − V |2; 01; 10 (−) + V |2; 10; 01 (−) , H |2; 00; 11 (−) = 2ε2 |2; 00; 11 (−) + V |2; 10; 01 (−) − V |2; 01; 10 (−) ,

H |2; 10; 01 (−) = ε1 + ε2 |2; 10; 01 (−) + V |2; 00; 11 (−) + V |2; 11; 00 (−) ,

H |2; 01; 10 (−) = ε1 + ε2 |2; 01; 10 (−) − V |2; 11; 00 (−) − V |2; 00; 11 (−) . Es bleibt demnach die folgende 4 × 4-Säkulardeterminante zu lösen:    2ε − E 0 V −V   1     0 2ε2 − E V −V ! = 0 =   V ε1 + ε2 − E 0   V    −V −V 0 ε1 + ε2 − E    2ε − E −2ε + E 0 0 2  1      0 2 ε − E V −V 2 =  =  V ε1 + ε2 − E 0  V     0 0 ε1 + ε2 − E ε1 + ε2 − E      2ε1 − E −2ε2 + E 0   − = (ε1 + ε2 − E)  0 2ε2 − E V     V V ε1 + ε2 − E     2ε1 − E −2ε2 + E 0    − (ε1 + ε2 − E)  0 2ε2 − E −V  .    V V 0 

454

Lösungen der Übungsaufgaben

Daran lesen wir eine weitere Lösung ab: E3(2) = ε1 + ε2 . Es bleibt weiter zu berechnen:





0 = 2ε1 − E 2ε2 − E ε1 + ε2 − E − V 2 (2ε2 − E) −



− V 2 2ε1 − E − V 2 2ε2 − E − V 2 2ε1 − E =





= 2ε1 − E 2ε2 − E ε1 + ε2 − E −

− 2V 2 2ε2 − E + 2ε1 − E . Dies ergibt unmittelbar die nächste Lösung: E4(2) = ε1 + ε2 . Schließlich haben wir nur noch eine quadratische Gleichung:



0 = 2ε1 − E 2ε2 − E − 4V 2 5.

⇒

(2) E5, 6 = 2E± .

N=3 |3; F = |3; 01; 11 (−) , |3; 10, 11 (−) , |3; 11, 01 (−) , |3; 11, 10 (−) , H |3; 01, 11 (−) = (ε1 + 2ε2 ) |3; 01, 11 (−) − V |3; 11, 01 (−) , H |3; 10, 11 (−) = (ε1 + 2ε2 ) |3; 10, 11 (−) − V |3; 11, 10 (−) , H |3; 11, 01 (−) = (2ε1 + ε2 ) |3; 11, 01 (−) − V |3; 01, 11 (−) , H |3; 11, 10 (−) = (2ε1 + ε2 ) |3; 11, 10 (−) − V |3; 10, 11 (−) . Säkular-Determinante:     ε + 2ε − E 0 −V 0 2   1

    0 0 −V ε1 + 2ε2 − E ! = 0 = 

 −V 0 2ε1 + ε2 − E 0    

 0 −V 0 2ε1 + ε2 − E     ε + 2ε − E 0 −V 0 2   1

    −V 0 2 − E 0 ε + ε 1 2 =  = −

 0 0 −V ε1 + 2ε2 − E    

 0 −V 0 2ε1 + ε2 − E

Lösungen der Übungsaufgaben

=

=

455

   ε + 2ε − E  −V 0 0 2  1 

    −V 2 − E 0 0 ε + ε 1 2  =

  0 0 −V ε1 + 2ε2 − E    

 0 0 −V 2ε1 + ε2 − E 



ε1 + 2ε2 − E

2 

 2ε1 + ε2 − E − V 2

(3) 2 E1, 2 = E+ ;

⇒

(3) 2 E3, 4 = E− ,

2 E± = E± + ε1 + ε2 . N=4 |4; F = |4; 11, 11 (−) ,

H |4; F = 2 ε1 + ε2 |4; 11, 11 (−) ⇒

E(4) = 2 ε1 + ε2 .

Abschnitt 2.1.4 Lösung zu Aufgabe 2.1.1

k=

2π nx , ny , nz , L

2.1.1

 nx, y, z = 0, ±1, ±2, . . ., ±

L = N  ax = N  ay = N  az ,

  N N −1 , , 2 2

ax, y, z = a .

Wir erkennen unmittelbar:  e ik · (Ri − Rj ) = N 3 = N ,

falls i = j .

k

Es bleibt also der Fall i =/ j zu diskutieren:  e ik · (Ri − Rj ) = k

=



e ikx (Rix − Rjx )

kx

=

 nx



e iky (Riy − Rjy )



ky 2π

e i N  nx (ix − jx )

 ny

e ikz (Riz − Rjz ) =

kz 2π

e i N  ny (iy − jy )

 nz

2π

e i N  nz (iz − jz ) .

456

Lösungen der Übungsaufgaben

Wir berechnen stellvertretend den ersten Faktor: N N ix , jx ∈ Z mit − < ix , jx ≤ + . 2 2  i 2π n (i − j ) e N x x x = nx N | 2

=



=



nx =− N2 +1 2π

e i N  nx (ix − jx ) +

=



 −1 N  

nx =0 N  −1

2π

e i N  nx (ix − jx ) =



nx =0 N | 2

−1 

2π

e i N  nx (ix − jx ) +

2π

2π

nx = N2 −1 2π

e i N  nx (ix − jx ) =

nx =0



e i N  nx (ix − jx ) e −i N  N(ix − jx) = =+1

1 − e i2π (ix − jx ) 2π

1 − e i N  (ix − jx )

.

Für ix =/ jx ist der Zähler Null, der Nenner endlich. Völlig analoge Ausdrücke ergeben sich für die y- und z-Komponenten. Damit ist die Behauptung 1  ik · (Ri − Rj ) e = δij N k

bewiesen! 2.1.2

Lösung zu Aufgabe 2.1.2 Für beide Integrale ist (wegen V → ∞) die Einführung von Relativ- und Schwerpunktkoordinaten sinnvoll: 1 x = r − r  ; R = (r + r  ) 2 1 1  r = x+R ; r =− x+R. 2 2 Mit Hilfe der Jacobi-Determinante zeigt man zudem:

d3 r d3 r = d 3 R d3 x 1. 

 3

I1 =

d r V

V

E−α|r−r | d r = |r − r  | 3 





 3

d R

e −αx d x = V · 4π x

∞

3

 d = V · 4π − dα

0

 ∞ 0

  d 1 = V · 4π − dα α

dx e −α x

dx x e −α x

Lösungen der Übungsaufgaben

457

Damit bleibt I1 = 2.

D

4πV

α2



Zunächst folgt mit d3 R exp i(q1 − q2 ) · R = V δq1 −q2 :   exp(i(q · r + q · r  )) 3 I2 = d r d3 r |r − r  | V

 

V

d3 R d3 x

=

 

1 i exp (q − q ) · x exp i(q + q ) · R x 2

I = V δq,−q ·  Zur Berechnung von  I empfiehlt sich die Einführung eines konvergenzerzeugenden Faktors:  1  I = lim+ d3 x e iq·x e −αx x α→0 = lim+ 2π α→0

= lim+ 2π α→0

2π = lim + α→0 iq 2π = lim α→0+ iq

∞

+1 dx x

0

d cos ϑ e iqx cos ϑ e −αx

−1

∞ dx

x −αx iqx e e − e −iqx iqx

0

∞

dx e iqx−αx − e −iqx−αx

0



∞ ∞ 1 1 e iqx−αx 0 − e −iqx−αx 0 iq − α −iq − α  1 2π −1 − = lim+ α→0 iq iq − α iq + α   4π 2π −2 = 2 = iq iq q Wir haben damit gefunden I2 =

4πV δq,−q q2



458

2.1.3

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 2.1.3 1. BZ 1  ik · Ri aiσ = √ e akσ N k

⇒



1   i (k · Ri + k aiσ , ajσ + = e N  k

Ganz analog findet man:

· Rj )

k

[akσ , ak σ ]+ = 0.    =0

  a+iσ , a+jσ = 0 . +

Bleibt noch zu bestimmen:   1   i (k · Ri − k aiσ , a+jσ = e + N 

· Rj )

[akσ , a+k σ ]+ =

1   i (k · Ri − k e N 

· Rj )

δσσ δkk =

k

=

k

= δσσ

k

k

1  ik · (Ri − Rj ) e = N k

= δσσ δij

2.1.4

(s. Aufg. 2.1.1) .

Lösung zu Aufgabe 2.1.4 1.

y p(y) =

dx g(x)

⇐⇒

g(y) =

−∞

dp(y) . dy

Es folgt mit partieller Integration: +∞ +∞ +∞ ∂f− (x) dx g(x)f− (x) = p(x)f− (x)−∞ − dx p(x) . ∂x

−∞

−∞

Der erste Term verschwindet an der oberen Grenze, da f− (x) schneller verschwindet als p divergiert. An der unteren Grenze sind f− (x) = 1 und p(x) = 0. Wir haben also gefunden: +∞ ∂f− (x) dx p(x) I(T) = − . ∂x −∞

Lösungen der Übungsaufgaben

2.

459

Der zweite Faktor auf der rechten Seite ist nur in der schmalen Fermi-Schicht (μ ± 4kB T) merklich von Null verschieden! Taylor-Entwicklung:   ∞  (x − μ)n dn p(x) p(x) = p(μ) + . n! dxn x = μ n=1 Der erste Summand liefert den folgenden Beitrag: J0 (μ) = −p(μ)

+∞ ∂f− (x) = p(μ) . dx ∂x

−∞

Aus der Summe tragen nur die geraden Potenzen von (x − μ) bei, da −β ∂f− (x) e β(x − μ) = −β 2 = 2 β (x − μ ) (1 | 2) β (x − μ ) ∂x e +1 e + e −(1 | 2)β(x − μ) eine gerade Funktion von (x − μ) ist. Wir setzen diese Entwicklung von p(x) in das Integral I(T) ein:  2n − 1  ∞  1 d I(T, μ) = J0 (μ) + β g(x) J2n (T) . (2n)! dx2n − 1 x=μ n=1 Dabei haben wir zur Abkürzung definiert: +∞ dx (x − μ)2n J2n (T) = −∞

e β(x − μ)

2 . e β(x − μ) + 1

Dies lässt sich weiter auswerten: J2n (T) = β

−(2n + 1)

+∞ dy y2n

−∞

⎛

d = −2β−(2n + 1) ⎝ dλ

ey = ( e y + 1)2

∞

⎞ y2n − 1 ⎠ dy λy e +1

= −2β−(2n + 1) ⎝

λ=1

0

⎛ d −2n λ dλ

= ⎞

∞ du

u2n − 1

eu + 1

⎠

0



= 4nβ−(2n + 1) 1 − 21 − 2n Γ(2n)ζ(2n) .

λ=1

=

460

Lösungen der Übungsaufgaben

Riemann’sche ζ-Funktion:  ∞  1 un − 1 1

ζ(n) = = du , pn eu + 1 1 − 21 − n Γ(n) p=1 ∞

0

dann: Γ(n) = (n − 1) !

n∈N; Speziell:

ζ(2) =

π2 6

ζ(4) =

;

π4 90

;

ζ(6) =

π6 945

;

...

Dies bedeutet: I(T, μ) = p(μ) + 2

∞ 



2n 1 − 21 − 2n kB T ζ(2n)g (2n − 1) (μ) . n=1

3.

Der Wert dieser so genannten Sommerfeld-Entwicklung wird besonders deutlich für Funktionen g(x), für die  g(μ) g (n) (x)x = μ ≈ n

μ

√ gilt, wie z. B. die Zustandsdichte ρ0 (x) ∼ x im Sommerfeld-Modell (s. Aufg. 2.1.5). Dann konvergiert die Reihe nämlich sehr rasch, da die Verhältnisse aufeinander folgender Reihenglieder von der Größenordnung  

kB T 2 ≈ 10−4 für Metalle bei Raumtemperatur

μ

sind. In der Regel kommt man bereits mit den allerersten Summanden aus: +∞ μ π2 2  kB T g (μ) + dx g(x)f− (x) = dx g(x) + 6

−∞

−∞

+



6 

4 7π4 kB T g  (μ) + O kB T | μ . 360

Lösungen der Übungsaufgaben

461

Lösung zu Aufgabe 2.1.5 1. Schrödinger-Gleichung:

2.1.5

−

h¯2 Δψk (r) = ε(k)ψk (r) , 2m

Δ=

d2 d2 d2 + + . dx2 dy2 dz2

Lösungsansatz:

ψk (r) = α e ik · r ,   ψk (r) 2 d3 r =

Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Volumenelement d3 r am Ort r vorzufinden.

Normierung: !



1=

  d3 r ψk (r) 2

⇒

1

α= √ .

V

V

Eigenfunktionen: 1

ψk (r) = √ e ik · r . V

Diese Lösung berücksichtigt noch keine Randbedingungen. Sind die Elektronen auf den Kristall beschränkt, so wäre eigentlich ψ ≡ 0 an den Rändern zu fordern. Dies erweist sich als unzweckmäßig. Periodische Randbedingungen sind handlicher und lassen sich im thermodynamischen Limes (N → ∞, V → ∞ , N | V → const) rechtfertigen. !

!

!

ψk (x + L, y, z) = ψk (x, y + L, z) = ψk (x, y, z + L) = ψk (x, y, z) 2π nx, y, z , nx, y, z ∈ Z . L „Rastervolumen“ = Volumen pro Zustand im k-Raum: ⇒

kx, y, z =

Δk =

(2π)3 (2π)3 . = L3 V

Eigenenergien:

ε(k) = 2.

 2h¯2 π2   h¯2 k2 h¯2  2 2 2 2 = kx + ky2 + kz2 = n . + n + n x y z 2m 2m mL2

Hieraus folgen diskrete Energieniveaus durch Randbedingungen! Im Grundzustand besetzen die Elektronen alle Zustände mit

ε(k) ≤ εF =

h¯2 kF2 , 2m

462

Lösungen der Übungsaufgaben

εF : Fermi-Energie, kF : Fermi-Wellenvektor. kz

ky kx

kF

Abb. A.1.

Gesamtelektronenzahl: N=2

k ≤ kF

1.

k

Faktor 2 erscheint wegen der Spinentartung:  2V 4π 3 2 d3 k = N= k Δk (2π)3 3 F k ≤ kF

⇒



1 | 3 kF = 3π2 n ;

εF =

h¯2 2 2 | 3 3π n . 2m

3.  k≤k 2 F h¯2 k2 1 2 h¯2 ¯ε = = 4π dk k4 = N 2m N 2m Δk kF

k

0

4πh¯2 kF5

=

2 4πh¯2 kF2 2 V 2 V = 3π n 3 = 3 N 2m 5 (2π) N 2m 5 8π

=

3 h¯2 kF2 3 = εF . 5 2m 5

4.

ρ0 (E)dE =

Zahl der Zustände im Energieintervall [E; E + dE] ,  2 ρ0 (E)dE = d3 k . Δk Schale [E;E + dE]

Integriert wird über eine Schale im k-Raum, die die k-Vektoren enthält, die zu Energien zwischen E und E + dE gehören. Mit dem Phasenvolumen     4π 3  4π 2m 3 | 2 3 k ϕ(E) = d k= = E 3 ε(k) = E 3 h¯2 ε(k) ≤ E

Lösungen der Übungsaufgaben

463

folgt  3 | 2 √ dϕ(E) 2m E. = 2π dE h¯2 Es gilt ferner:

  2V dϕ(E) dE (2π)3 dE ⎧ √ ⎨d E , falls E ≥ 0 , ρ0 (E) = ⎩ 0 sonst,

ρ0 (E)dE = ⇒

d=

V 2π2



2m h¯2

3 | 2 =

3N 3|2

2εF

.

5. n = N|V :

mittlere Elektronendichte,

v = 1|n : 4π (aB rs )3 , 3

v=

4πε0 h¯2 : me2

aB = 1 ryd ≡

Bohr’scher Radius,

me4 e2 =

, 4πε0 2aB 2h¯2 4πε0 2 1

 aB rs =

mittleres Volumen pro Elektron,

3v 4π

1 | 3

 =

3 4πn

1 | 3

 ⇒

kF aB rs =

9π 4

1 | 3

Damit folgt:

2 1 h¯2 kF2 h¯2 = kF aB rs = 2m 2m a2B rs2 4 5 4 5 α2 h¯2 m2 e4 α2 me4 = 2 . = 2



rs 2m 4πε0 2 h¯4 rs 2h¯2 4πε0 2

εF =

=α.

464

Lösungen der Übungsaufgaben

Es ist also:

εF = ⇒

2.1.6

α2 rs2

[ryd] (α = 1,92)

3 2,21 E0 = N¯ε = N εF = N 2 [ryd] . 5 rs

Lösung zu Aufgabe 2.1.6 1. Nach Aufg. 1.4.9 gilt:

−1 





ˆni  = exp β εi − μ + 1 . Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Zustand mit der Energie εi bei der Temperatur T besetzt ist! Für das Sommerfeld-Modell der Metallelektronen bedeutet dies:

ˆnkσ  = f− [E = ε(k)] , 1 f− (E) = β(E − μ) . e +1

f-

T =0

1 1 2

T =0

μ

E

Abb. A.2.

Bei T =/ 0 wächst die kinetische Energie der Elektronen. Einige wechseln aus Niveaus ε < εF in höhere, bei T = 0 unbesetzte Niveaus. Es gilt jedoch für alle Temperaturen: f− (E = μ) =

1 . 2

Das Aufweichen an der Fermi-Kante erfolgt symmetrisch: f− (μ + ΔE) = 1 − f− (μ − ΔE) , 1 e β(E − μ) df− (E) = −β . −→ −

2 − E→μ β (E − μ ) dE 4k BT e +1

Lösungen der Übungsaufgaben

465

Die Breite der aufgeweichten Fermi-Schicht lässt sich deshalb auf etwa 4kB T abschätzen!

μ = μ(T) (s. Teil 3.) ; μ(T = 0) = εF . Zahlenwerte: kB T[eV] =

T[K] , 11605

εF = 1,10 eV (typisch für Metalle) ⇒

kB T

εF

≥

1 40

(bei T = 290 K) .

Bei normalen Temperaturen wird also nur ein sehr schmaler Bereich um die Fermi-Kante herum aufgeweicht. Hochenergetischer Ausläufer der Verteilung: E − μ >> kB T ;

2.

f− (E) ≈ exp [−β(E − μ)] ,

entspricht der klassischen Boltzmann-Verteilung. f− (E)ρ0 (E) = Dichte der besetzten Zustände: +∞ N=2 dE f− (E)ρ0 (E) , −∞

+∞ dE Ef− (E)ρ0 (E) . U(T) = 2 −∞

ρ0 (E )

T =0 T =0

μ

E

Abb. A.3.

466

Lösungen der Übungsaufgaben

Formaler: N=



ˆnkσ  = 2

kσ



U(T) = H =

kσ





f− ε(k) ,

k



ε(k) ˆnkσ  = 2





ε(k)f− ε(k) ,

k



ρ0 (E) = δ E − ε(k) k

+∞ ⇒

dE f− (E)ρ0 (E) ,

N= −∞

+∞ U(T) = dE Ef− (E)ρ0 (E) . −∞

3.

Die Teilchenzahl N ist natürlich nicht wirklich temperaturabhängig! ⎧ 3N √ ⎪ ⎨ E für E ≥ 0 , ρ0 (E) = 2ε3F | 2 ⎪ ⎩0 sonst. erfüllt die Voraussetzungen der Sommerfeld-Entwicklung! μ N≈

dE ρ0 (E) +

−∞

⇒



3N

=

3|2

6

2

ρ0 (μ) + · · · =

2εF    3 | 2   μ π2 kB T 2 1+ 1≈ +··· εF 8 μ    2 π2 kB T μ ≈1− εF 3 8 μ .

⇒

kB T



2 1 −1 | 2 2 3 | 2 π2 kB T μ + μ + ··· 3 6 2



⇒

π2



π2 kB T 1− 12 εF

μ ≈ εF

≈10−4 in typischen Fällen!

2

2 / .

Die Temperaturabhängigkeit ist also in der Regel sehr schwach! 4. μ U(T) ≈

dE Eρ0 (E) +

π2 6

kB T

2

[μρ0 (u) + ρ0 (μ)] =

0

=

2 2 π2 2 kB T ρ0 (μ) = μ ρ0 (μ) + 5 4

Lösungen der Übungsaufgaben

467

3N

=



3|2

2εF



2 2 5 | 2 π2 kB T μ1 | 2 = μ + 5 4

     5π2 kB T 2 μ 1 | 2 , + 8 εF εF  n   μ π2 kB T 2 ≈1−n , εF 12 εF / .     5π2 kB T 2 5π2 kB T 2 − + ··· U(T) = U(0) 1 + 8 εF 8 εF 3 = N εF 5



5π2 U(T) − U(0) = U(0) 12

⇒

Spezifische Wärme:

μ εF





5 | 2

γ = U(0) 5.

+O

εF

∂U cV = ∂T

.

2

kB T



kB T

4 / .

εF

= γT

V



k2 5π2 kB2 1 1 = N π2 B = π2 kB2 ρ0 εF . 2 6 εF 2 εF 3

Großkanonische Gesamtheit: Entropie: S = kB

∂ (T ln Ξ) , ∂T 9

8

   ∂ kB T = ln 1 + e −β(ε(k) − μ) S= ∂T kσ = kB



  ln 1 + e −β(ε(k) − μ) +

kσ

+ kB T

1  e −β(ε(k) − μ) (ε(k) − μ) kB T 2 1 + e −β(ε(k) − μ) kσ

⇒

  kB ln S= kσ

1

ˆ 1 − nkσ 

 

+ kB β(ε(k) − μ) ˆnkσ  ,

  −β ε(k) − μ = ln ˆnkσ  + ln 1 + e −β(ε(k) − μ) =



= ln ˆnkσ  − ln 1 − ˆnkσ  .



∂μ ≈0 , ∂T

468

Lösungen der Übungsaufgaben

Damit haben wir dann: 

 ln 1 − ˆnkσ  + ˆnkσ  ln nkσ  − ˆnkσ  ln 1 − ˆnkσ  , S = −kB kσ

S = −kB







ˆnkσ  ln ˆnkσ  + 1 − ˆnkσ  ln 1 − ˆnkσ  . kσ       Beitrag der Elektronen

Beitrag der Löcher

Verhalten bei T → 0:

ε(k) > μ

⇒

→

ˆnkσ  T−− →0 0 ;

→ ln 1 − ˆnkσ  T−− →0 0 ,

ε(k) < μ

⇒

−→

ˆnkσ  − T →0 1 ;

−→ ln ˆnkσ  − T →0 0 .

Daraus folgt insgesamt die Gültigkeit des Dritten Hauptsatzes: −→ S − T →0 0 .

2.1.7

Lösung zu Aufgabe 2.1.7 1. Operator der Elektronendichte:

ρ(r) = 

N 

δ r − rˆi . i=1

Zweite Quantisierung mit Wannier-Zuständen |iσ  : 

 ρ(r) =

iσ | δ r − rˆ | jσ   a+iσ ajσ . ij

σσ

Matrixelement: 



  d3 r iσ | δ r − rˆ | r  σ   r  σ  | jσ   =

iσ | δ r − rˆ | jσ  = σ

=

 σ

=

 σ

⇒



d3 r δ r − r  iσ | r  σ   r  σ  | jσ   =

δσσ δσ σ i | r r | j =





= δσσ ω∗ r − Ri ω r − Rj 



 ρ(r) = ω∗ r − Ri ω r − Rj a+iσ ajσ . ijσ

Lösungen der Übungsaufgaben

2.

469

  ⇒





d3 r ω∗ r − Ri ω r − Rj = δij d3 r ρ(r) =

= ⇒ N 3.



 ijσ

δij a+iσ ajσ =

 iσ

nˆ iσ

d3 r ρ(r) .

Jellium-Modell: Bloch-Funktionen ⇒ ebene Wellen. Wannier-Funktionen:

1  −ik · Ri 1 ik · r ω r − Ri = √ e . √ e N k V Dies bedeutet:

1  −ik(r − Ri ) ik (r − Rj ) e e =

iσ | δ r − rˆ | jσ   = δσσ VN  kk

1  iq · r 1  ik · Ri −i (k + q) · Rj = δσσ e e e . V q N k

Damit folgt:

ρ(r) =   ρq =

1   ρq e iq · r , V q  1   ik · Ri −i (k+q) · Rj + e e aiσ ajσ = a+kσ ak + qσ . N ijσ

k

k, σ

Lösung zu Aufgabe 2.1.8       + 



d3 r d3 r r  σ   δ(r − rˆ)  r  σ    ρ(r) = ψσ r  ψσ r = σ , σ  





d3 r d3 r δ r − r  r  σ  | r  σ    ψ+σ r  ψσ r = = σ , σ  







= d3 r d3 r δ r − r  δ r  − r  δσ σ  ψ+σ r  ψσ r = σ , σ  =  ψ+σ (r) ψσ (r) . σ

2.1.8

470

2.1.9

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 2.1.9 Coulomb-Wechselwirkung Hee :

1  v iσ1 , jσ2 ; kσ3 , lσ4 a+iσ1 a+jσ2 alσ4 akσ3 . Hee = 2 ijkl σ1 , ..., σ4

Matrixelement:  $

e2 ' (1) (2)  1 (1) (2)  iσ1 = jσ2  lσ4 v iσ1 , jσ2 ; kσ3 , lσ4 =  kσ3 (2) (1) 4πε0  ˆ rˆ − r = δσ1 σ3 δσ2 σ4 v(ij, kl) , v(ij, kl) =

e2



4πε0

 '  d3 r1 d3 r2 i(1) j(2) 

1

  $' $  (1) (2) (1) (2)  (1) (2) r = r r r 1 2 k l (2) 1 2

rˆ(1) −rˆ   ' $' $ e2 1  (2) (2)  (1) (2) i(1) j(2)  r (1) d3 r1 d3 r2 r (1) , = 1 r2 1 r2  k l 4πε0 |r 1 − r 2 |

r | i = ω r − Ri : Wannier-Funktion

∗





 ∗ e2 3 3 ω r 1 −Ri ω r 2 −Rj ω r 1 −Rk ω r 2 −Rl d r1 d r2 v(ij, kl) = . 4πε0 |r 1 −r 2 | 

⇒

Hamilton-Operator: H=

 ijσ

Tij a+iσ ajσ +

1 v(ij; kl)a+iσ a+jσ alσ akσ . 2 ijkl

σσ

Jellium-Modell:



ω r − Ri = √



1

VN

e ik · (r − Ri ) .

k

Wie in Abschn. 2.1.2 ausführlich erläutert, benötigt die explizite Berechnung des Coulomb-Matrixelements die Einführung eines konvergenzerzeugenden Faktors:   1 e2 d3 r1 d3 r2 e −α |r2 − r2 | · vα (ij; kl) = 2 2 V N 4πε0 k1 , ..., k4

e −ik1 (r1 − Ri ) e −ik2 (r2 − Rj ) e ik3 (r1 − Rk ) e ik4 (r2 − Rl ) = |r 1 − r 2 | 1  i (k1 Ri + k2 Rj − k3 Rk − k4 Rl ) = 2 e · N ·

k1 , ..., k4

·

e2

1 4πε0 V 2

 d3 r1 d3 r2

e −i (k1 − k3 ) · r1 e −i (k2 − k4 ) · r2 −α |r1 − r2 | e . |r 1 − r 2 |

Lösungen der Übungsaufgaben

471

Die Integrale wurden bereits in (2.56) bzw. (2.59) berechnet: vα (ij; kl) = =

1  i (k1 e N2

· Ri + k2 Rj − k3 Rk − k4 · Rl )

δk1 − k3 , k4 − k2

k1 , ..., k4

Lösung zu Aufgabe 2.1.10 1.

2.1.10

ρ(r) =  Damit folgt: G(r, t) =

e2 . 

ε0 V k1 − k3 2 + α2

1   ρq e iq · r . V q

  1 1     (t)  ρ  ρ d3 r e iq · (r − r) e iq q q 2 NV 

· r

=

q, q

=

 1   ρq  ρq (t) e −iq · r δ−q, q = NV  q, q

=

 1   ρq  ρ−q (t) e −iq · r . NV q

Dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, zur Zeit t bei r ein Teilchen vorzufinden, wenn zur Zeit t = 0 eines bei r = 0 war. Homogenes System:  

     ρ r − r, 0 ρ r , t = ρ(−r, 0)ρ(0, t) = ρ(0, 0)ρ(r, t) ⇒ 2. G(r, 0) =

=

1 N



d3 r

G(r, t) =

 V ρ(0, 0)ρ(r, t) . N





 1 

 δ r − r − rˆi δ r − rˆj = δ r + rˆi − rˆj = N i, j

i, j

i =/ j

 1  1  δ(r) + δ r + rˆi − rˆj = N i N i, j

= δ(r) +

i =/ j

 1  δ r + rˆi (0) − rˆj (0) . N i, j

Durch Vergleich ergibt sich: ng(r) =

i =/ j

 1  δ r + rˆi (0) − rˆj (0) . N i, j

472

3.

Lösungen der Übungsaufgaben

g(r) ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, zu einem bestimmten Zeitpunkt zwei Teilchen im Abstand r anzutreffen. Dynamischer Strukturfaktor: S(q, ω) =

+∞ dt G(r, t) e i (q · r − ωt) =

 d3 r

−∞

 +∞   1   3 d r = dt e i (q − q ) · r e −iωt  ρq ρ−q (t) = NV  1.

q

−∞

+∞   1  = dt e −iωt δq, q  ρq ρ−q (t) N  q −∞

⇒

S(q, ω) =

1 N

+∞

  dt e −iωt  ρq  ρ−q (t) .

−∞

Mit 1 2π

+∞ dω e −iωt = δ(t) −∞

folgt dann schließlich:  2π   ρq ρ−q . N T = 0 ⇒ Mittelung mit dem Grundzustand |E0  . S(q) =

4.

S(q, ω) =

1 N

+∞     dt e −iωt E0  ρq  ρ−q (t)  E0 . −∞

Zeitabhängigkeit: i

i

ρ−q (t) = e ¯h Ht  ρ−q e − ¯h Ht .  Vollständigkeit: 1=

     En En  . n

Damit folgt: 1 S(q, ω) = N

=

+∞        E0  dt e −iωt ρq  En En  ρ−q (t)  E0 = −∞

n

+∞   i 1        E0  ρq En En  ρ−q  E0 dt e −iωt e ¯h (En − E0 )t = N n −∞

Lösungen der Übungsaufgaben

=

473

   

2π        1 E0  ρq En En  ρ−q  E0 δ ω − En − E0 . N n h¯

Wir benutzen noch  ρ−q =  ρq+ : S(q, ω) =

 

2π     +    2 1 En  ρq E0 δ ω − En − E0 . N n h¯

Lösung zu Aufgabe 2.1.11 1. Der Operator

2.1.11

ρq+ = 

 kσ

a+k + qσ akσ

erzeugt Teilchen-Loch-Paare. Der Grundzustand |E0  entspricht der gefüllten Fermi-Kugel.   +  q=0 : En   ρq  E0 = N δn, 0 ,

q =/ 0 :



 +  En   ρq  E0 =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨1 ,

falls |En  einer Teilchen-Loch-Anregung ρq+ vorkommt, entspricht, die in 

⎪ ⎪ ⎩ 0,

sonst.

Mit dem allgemeinen Resultat 4. aus Aufg. 2.1.10 folgt dann:

 (q =/ 0) 2π  S(q, ω) = 2 Θ kF − k 1 − Θ kF − |k + q| · N 

k

· δ ω−



1 ε(k + q) − ε(k) , h¯

S(0, ω) = 2πN δ(ω) . Der Term q = 0 entfällt im Jellium-Modell. Wir setzen also ab jetzt q =/ 0 voraus: +∞ S(q) = dω S(q, ω) = −∞

=





 4π  Θ kF − k − Θ kF − k Θ kF − |k + q| = N k

= 2π −



4π  Θ kF − k Θ kF − |k + q| = N k

  



2 V 3 d k Θ kF − k Θ kF − |k + q| . = 2π 1 − N (2π)3

474

Lösungen der Übungsaufgaben

Das Integral auf der rechten Seite wurde in Abschn. 2.1.2 gerechnet. Wir übernehmen (2.95):   

3 3 2 2 V 4π 1 3 . S(q) = 2π 1 − Θ 2kF − q kF − qkF + q N 8π3 3 4 16 Mit kF3 = 3π2 N V folgt schließlich:   

3q q3 . S(q) = 2π 1 − Θ 2kF − q 1 − + 4kF 16kF3 S(q = 0) = 2πN. S(q) 2π

q

2kF

2. 1.

G(r, 0) =

=

Abb. A.4.

 1  1   ρq  ρ−q e −iq · r = S(q) e −iq · r = NV q 2πV q



1  −iq · r 2  2πN + e − Θ kF − k Θ kF − |k + q| e −iq · r . 2πV V q VN q k

Wir können in den beiden letzten Summanden den eigentlich fehlenden q = 0-Term hinzuzählen, da er sich gerade weghebt: G(r, 0) = n + δ(r) −



! 2   −i (p − k) · r e Θ kF − k Θ kF − p = δ(r) + ng(r) . VN p k

Hieraus folgt:





2 1 d3 p d3 k e −i (p − k) · r Θ kF − k Θ kF − p = 2 6 n (2π)   

2 2 1 3 −ip · r d k p e Θ − p = =1− 2 F n (2π)3 ⎡ ⎤2 kF −ipr

2 ⎣ 1 2 1 ipr ⎦ dp p e −e = =1− 2 n 4π2 −ipr

g(r) = 1 −

0

⎡ =1−

2 ⎣ 1 1 n2 2π2 r

kF 0

⎤2 dp p sin pr⎦ =

Lösungen der Übungsaufgaben

475

 2 1 sin kF r kF − r = cos k F 2π4 n2 r2 r2 r . /2

sin kF r − kF r cos kF r kF6 . =1− 4 2 2π n kF3 r3 =1−

1

Damit haben wir das Schlussresultat: . /2

9 sin kF r − kF r cos kF r g(r) = 1 − . 2 kF3 r3 Mit der Regel von l’Hospital zeigt man: 1 sin x − x cos x −−→ 3 x→0 3 x 1 ⇒ g(r) −→ Fermi-Loch, r→0 2 g(r) −−→ 1 . r→∞

g (r ) 1 1 2 r

Abb. A.5.

Das Fermi-Loch resultiert aus dem Pauli-Prinzip, das dafür sorgt, dass sich zwei Elektronen parallelen Spins nicht zu nahe kommen. Der Wert g(r = 0) = 1 | 2 ist trotzdem unsinnig. Das Sommerfeld-Modell vernachlässigt die CoulombWechselwirkung, sodass sich zwei Elektronen mit antiparallelem Spin im Prinzip beliebig nahekommen können. Lösung zu Aufgabe 2.1.12

ε(k) = T0 + γ1 1.



2.1.12

e ik · RΔ .

Δ

Kubisch innenzentriert Anzahl der nächsten Nachbarn: z1 = 8 a RΔ = (±1, ±1, ±1) 2 a : Gitterkonstante,      a a a a a a e ik · RΔ = e ikx 2 + e −ikx 2 e iky 2 + e −iky 2 e ikz 2 + e −ikz 2 Δ       1 1 1 ⇐⇒ εb. c. c. (k) = T0 + 8γ1 cos kx a cos ky a cos kz a . 2 2 2

476

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Kubisch flächenzentriert z1 = 12 a a a RΔ = (±1, ±1, 0) ; (±1, 0, ±1) ; (0, ±1, ±1) , 2 2 2     a a a a e ik · RΔ = e ikx 2 + e −ikx 2 e iky 2 + e −iky 2 + Δ

   a a a a + e ikx 2 + e −ikx 2 e ikz 2 + e −ikz 2 +    a a a a + e iky 2 + e −iky 2 e ikz 2 + e −ikz 2

     1 1 kx a cos ky a + ⇐⇒ εf. c. c. (k) = T0 + 4γ1 cos 2 2         1 1 1 1 kx a cos kz a + cos ky a cos kz a + cos . 2 2 2 2 2.1.13

Lösung zu Aufgabe 2.1.13 Tight-Binding-Ansatz: Ni

1  e ik · Rj ϕn r − Rj Ni j = 1

ψnk (r) = √

Ni

1  e ik · Rj ϕn r + Ri − Rj Ni j = 1



ψnk r + Ri = √

⇒

(Substitution: Rk = Rj − Ri )

Ni

1  e ik · Rk ϕn r − Rk = Ni



ψnk r + Ri = e ik · Ri √

⇒

k=1

= e ik · Ri ψnk (r) . Dies ist das Bloch-Theorem!

Abschnitt 2.2.3 2.2.1

Lösung zu Aufgabe 2.2.1 1. Lineares Bravais-Gitter mit zweiatomiger Basis: n -1 m1

f

m2

n +1

n

r0

n+2 a z

Abb. A.6.

Lösungen der Übungsaufgaben

477

Primitive Translationen: a = aez = 2r0 ez . Basis: R1 = 0, Gittervektoren: Rn1

= na ;

Rm 2

R2 = r0 ez .

  1 a; = m+ 2

n, m ∈ Z .

Primitive Translationen im reziproken Gitter: b = bez ;

2π . a

b=

1. Brillouin-Zone: −

π a

≤q≤+

π a

.

Reziproke Gittervektoren: Gm = mb . 2.

Longitudinalwellen, d. h., die Bewegung der Kettenmoleküle ist auf die Kettenrichtung beschränkt. Kraft auf (n, 1)-Atom in z-Richtung:

von rechts: f un2 − un1 ; u : Auslenkung aus der Ruhelage

von links: f un2 − 1 − un1 ⇒

Bewegungsgleichung für (n, 1)-Atom:

m1¨un1 = f un2 + un2 − 1 − 2un1 .

Analog für (n, 2)-Atom:

m2¨un2 = f un1 + 1 + un1 − 2un2 . 3.

Dieser Ansatz enthält die Translationsinvarianz bezüglich der zweiatomigen Zelle und berücksichtigt, dass die Amplituden wegen unterschiedlicher Teilchenmassen verschieden sein können. Einsetzen in die obigen Bewegungsgleichungen liefert das folgende Gleichungssystem:

c2 fc2 c1 1 + e −iqa − 2 √ f , m1 √ (−ω2 ) = √ m1 m2 m1

fc1 iqa c2 c2 m2 √ (−ω2 ) = √ e + 1 − 2√ f . m2 m1 m2

478

Lösungen der Übungsaufgaben

Die Säkulargleichung des homogenen Gleichungssystems, ⎛

⎞ 4 5 2f −f 2 −iqa √ 1 + e m1 − ω m m 1 2 ⎠ c1 , 0=⎝

−f 2f i qa 2 √ c2 1+e m −ω m m 1

2

2

liefert die Eigenfrequenzen (Dispersionszweige): ⎡ ⎤  0 2  1 1 2 1 1 ± ω21, 2 (q) = f ⎣ + + − (1 − cos qa) ⎦ . m1 m2 m1 m2 m1 m2 Die beiden Dispersionszweige sind periodisch in q mit der Periode 2aπ . Für einen beliebigen Vektor G des reziproken Gitters, Gm = mb = m

2π ez , a

gilt offenbar:

ω(q) = ω(q + Gm ) . Alle physikalischen Informationen lassen sich deshalb bereits aus der 1. BrillouinZone, −

π a

≤q≤+

π a

,

ableiten. Außerhalb liegende q’s lassen sich durch Addition eines passenden reziproken Gittervektors in die 1. Brillouin-Zone tranformieren, ohne dass sich dabei die Dispersionsrelation ändert. 4.

0

ω

π -

a

0 q

ω1

ωg = 2f

ω2

ω(1) g

π +

ω(2) g



0

a

= 0 =

1 1 + m1 m2



2f m2 2f , m1

m1 > m2 .

Spezialfälle: a) q = 0; ω = ω2 ⇒ ω2 (q = 0) = 0 Aus dem homogenen Gleichungssystem folgt dann für die Amplituden: 1 c1 m1 = . c2 m2 Basisatome schwingen gleichphasig, aber mit unterschiedlichen Amplituden.

Lösungen der Übungsaufgaben

479

b) q << πa ; ω = ω2   1   1 1 m1 m2 1 1 2 2 − ≈ ω2 ≈ f + + 1− (qa) m1 m2 m1 m2 (m1 + m2 )2 . /    (qa)2 1 1 1 1

≈f − + + + m1 m2 m1 m2 2 m1 + m2 0 ⇒

ω2 ≈ a

f

q. 2 m1 + m2

q << π | a heißt λ >> 2a. Für solche Wellenlängen wird die atomistische Struktur des Festkörpers unbedeutend und die Kontinuumstheorie näherungsweise anwendbar. Diese liefert für Schallwellen die Beziehung

ω = vs q (vs = Schallgeschwindigkeit) . Da der untere Dispersionszweig ω2 also für große Wellenlängen (kleine q) in normale Schallwellen übergeht, heißt er akustischer Zweig. c) q = 0, ω = ω1

0 ⇒ ω1 (q = 0) = ωg =

2f



1 1 + m1 m2



Grenzfrequenz des Spektrums. Jetzt folgt für die Amplituden:

1 m2 c1 =− . c2 m1

Basisatome schwingen mit unterschiedlichen Amplituden gegenphasig. Sind die Basisatome elektrisch entgegengesetzt geladen (z. B. NaCl-Kristall), so ergibt sich ein zeitlich oszillierendes, elektrisches Dipolmoment. Dieses kann mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirken, Wellen absorbieren oder emittieren. Man nennt ω1 deshalb den optischen Zweig. d) Zonenrand: q = ± πa

0   π 2f = ω(1) (optisch) , g = ω1 q = ± a m2 0  π 2f (2) ωg = ω2 q = ± = (akustisch) . a m1

480

Lösungen der Übungsaufgaben

Aus dem homogenen Gleichungssystem folgt:

ω = ω(1) g

⇒

c1 = 0 :

nur m2 -Atome schwingen,

ω = ω(2) g

⇒

c2 = 0 :

nur m1 -Atome schwingen.

Typisch für die zweiatomige Kette ist die (1) Frequenzlücke: ω(2) g < ω < ωg .

Lösungen mit reellem ω in der Lücke haben komplexe Wellenzahlen q. Die Welle ist dann räumlich gedämpft.

2.2.2

Lösung zu Aufgabe 2.2.2 Lösungsansatz:

xαn (t) = na + unα (t) ,



 cα exp i qz na − ωt . unα (t) = √ mα Periodische Randbedingungen: !

unα (t) = unα + N (t) !

e iNqz a = 1 ,

⇐⇒

qz = n¯

2π ; Na

n¯ = 0, ±1, ±2, . . . , +

N . 2

Der Term −N | 2 wird nicht mitgezählt, da sich qz von −N | 2 nach +N | 2 gerade um 2π | a, also einen reziproken Gittervektor ändert.





ω qz = ω −qz = ω(q) ; q = |qz | ⇒



D(ω)dω = D(q) dq = 2D qz dqz .

Zu jedem Betrag q gehört die Frequenz ω zweimal, zu jeder Wellenzahlkomponente qz = ±q dagegen nur einmal.

1 Na , D qz = 2π = 2π Na vg =

dω dqz

⇒



D qz : Anzahl der qz pro Wellenzahleinheit , dqz Na 1 D(ω) = 2D qz = . dω π vg

Lösungen der Übungsaufgaben

481

Bei mehreren Dispersionszweigen gilt also insgesamt: Na  1 3p

D(ω) =

π

s=1

vg(s)

.

ω L0

DL0

DLA

L0: longitudinal-optisch, LA: longitudinal-akustisch

LA

DL

q

Abb. A.7.

Lösung zu Aufgabe 2.2.3 1. a1 , a2 , a3 : primitive Translationen

2.2.3





 V = N1 a1 · N2 a2 × N3 a3 = NVz Periodizitätsvolumen, Vz = a1 · [a2 × a3 ] Elementarzelle, N = N1 N2 N3 Anzahl der primitiven Elementarzellen im Periodizitätsvolumen = Anzahl der Bravais-Gitterpunkte des Kristalls. Periodische Randbedingungen: Für die Auslenkungen aus den Gleichgewichtslagen soll gelten: !

!

!

(m1 + N1 , m2 , m3 ) (m1 , m2 + N2 , m3 ) 1 ,m2 ,m3 ) = uS, = uS, = u(m S, i i i !

(m1 , m2 , m3 + N3 ) = uS, i

⇒

q · ai =

2π ni , Ni

i = 1, 2, 3 ,

ni = 0, ±1, ±2, . . . , +

Ni . 2

482

Lösungen der Übungsaufgaben

Es gibt also N = N1 N2 N3 verschiedene Wellenzahlen q: q=

3  nj bj , Nj

bj : primitive Translationen des reziproken Gitters.

j=1

2.

Rastervolumen

Δ3 q = b1 =

V∗ 1 b 1 · b2 × b3 ≡ z , N1 N2 N3 N

2π a2 × a3 Vz

und zyklisch

(s. (1.72), Bd. 1) ,











a2 × a3 · b2 × b3 = a2 · b2 a3 · b3 − a2 · b3 a3 · b2 = (2π)2

Δ3 q =

⇒ 3. Dr (ω) dω =

1

Δ3 q

1 (2π)3 ; N Vz

Vz∗ =

 d3 q = Schale (ωr , ωr + dω)

(2π)3 . Vz

V (2π)3

 d3 q . Schale (ωr , ωr + dω)

4. dfω =

Element der Fläche ω = const im q-Raum,

∇q ω = Vektor senkrecht zur Fläche ω(q) = ω = const   ⇒ dω = dq · ∇q ω = dq⊥ |∇q ω| = vg dq⊥ ⇒ Volumenelement der Schale: d3 q = dfω dq⊥ = ⇒ Zustandsdichte: Dr (ω) = 5.

V (2π)3

 ω = const

dfω vg(r)

1 dω dfω vg

.

Gesamtzustandsdichte: D(ω) =

3p 

Dr (ω) .

r=1

2.2.4

Lösung zu Aufgabe 2.2.4 Für die Zustandsdichte benutzen wir den in Teil 4. von Aufg. 2.2.3 abgeleiteten Ausdruck:

Gruppengeschwindigkeit: Bravais-Gitter: p = 1

⇒

vg(r) = v¯r , r = 1, 2, 3 .

Lösungen der Übungsaufgaben

483

Es gibt einen longitudinal akustischen und zwei (im Allgemeinen entartete) transversale akustische Dispersionszweige:   1 1 4πω2 dfω 2 ⇒ df = 4 π q ( ω ) = . ω v¯r v¯r v¯r3 vg(r) ω = const

Zustandsdichte:

ω = const

⎧ V ⎪ ⎨ ω2 2v 3 D 2 π ¯ r Dr (ω) = ⎪ ⎩0

für 0 ≤ ω ≤ ωD r , sonst.

Debye-Frequenz: Forderung: Anzahl der möglichen Frequenzen pro Dispersionszweig = N, ωr

D

N=

V

dω DD r (ω) =

6π2 v¯r3

0



⇒

ωDr = v¯r 6π2

N V



ωDr

3

1 | 3 .

Lösung zu Aufgabe 2.2.5 1. Innere Energie:

2.2.5

U(T) = H =

3p 1. BZ   r=1 q

h¯ωr (q)

   +  1 , bqr bqr + 2

−1  +  

bqr bqr = exp βh¯ωr (q) − 1 . a) Hohe Temperaturen: kB T >> h¯ωr (q) −1   +  kB T h¯ωr (q) + ···− 1 bqr bqr = 1 + ≈ kB T h¯ωr (q)    1 h¯ωr (q) + · · · ≈ 3pNkB T . ⇒ U(T) ≈ kB T 1 + 2 kB T r, q Dies ist das bekannte klassische Resultat. Jeder der 3pN Oszillatoren steuert im Mittel kB T ( 12 kB T aus kinetischer, 12 kB T aus potentieller Energie: Gleichverteilungssatz) zur inneren Energie bei! ⇒ Spezifische Wärme: CV  3pNkB („Dulong-Petit’sches Gesetz“). b) Tiefe Temperaturen: kB T << h¯ωr (q) Optische Zweige können vernachlässigt werden, da  + opt. bqr bqr ≈0.

484

Lösungen der Übungsaufgaben

Dies gilt nicht für die drei akustischen Zweige, da diese ja für q → 0 verschwindende Energien aufweisen. Zur Auswertung von U(T) verwandeln wir zunächst die q-Summation in eine ω-Integration. Man begründe dazu die folgende Darstellung der Zustandsdichte: 

δ ω − ωr (q) Dr (ω) = q 3  

+∞

⇒

U(T) − U(0) =

↑ r = 1−∞ Nullpunktsenergie

dω

h¯ωDr (ω) . exp(βh¯ω) − 1

Bei tiefen Temperaturen benutzen wir für die akustischen Zweige die DebyeNäherung aus Aufg. 2.2.4: U(T) − U(0) =

2.

ωr

D

3 

V

r=1

2π2 v¯r3

0

 3N h¯ω3 = dω β¯hω 3 e − 1 r = 1 ωD r 3

ωr

D

0

h¯ω3 . dω β¯hω e −1

Spezifische Wärme 

∂U CV = ∂T

 V

x = βh¯ω

Θ(r) D = ⇒

CV ≈

ωDr

r=1

ωr

D

1 kB T 2

0

h¯2 ω4 e β¯hω dω

2 , e β¯hω − 1



4 x4 kB T h¯ ω = , h¯2

kB T dω = dx ; h¯

⇒

h¯ωD r kB 3 

3  3N = 3

2

4

(„Debye-Temperatur“) 4

3NkB

53 ΘD(r) | T T dx (r)

ΘD

r=1

x4 e x . ( e x − 1)2

0

Tiefe Temperaturen:

T <<

Θ(r) D

ΘD(r) | T

x4 e x dx x ≈ ( e − 1)2

⇒ 0

⇒

∞ dx

x4 e x 4 = π4 ( e x − 1)2 15

0

CV = N αT 3 4 5

(„Debye’sches T 3 -Gesetz“) ,

α = π4 kB

3  

Θ(r) D

r=1

−3

.

Lösungen der Übungsaufgaben

485

Abschnitt 2.3.3 Lösung zu Aufgabe 2.3.1 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Cooper-Paare:

b+k = a+k↑ a+−k↓ ;

2.3.1

bk = a−k↓ ak↑ .

Dabei sind: akσ , a+kσ :

Konstruktionsoperatoren für Elektronen in der Bloch-Darstellung!

Fundamentale Vertauschungsrelationen: a)

[bk , bk ]− = [a−k↓ ak↑ , a−k ↓ ak ↑ ]− = 0 , [b+k , b+k ]− = 0 , b)

da die Fermionen-Erzeuger und Vernichter miteinander antikommutieren.   [bk , b+k ]− = a−k↓ ak↑ , a+k ↑ a+−k ↓ = −

=

δkk a−k↓ a+−k ↓

− δ−k, −k a+k ↑ ak↑



= δkk 1 − nˆ −k↓ − nˆ k↑ .

Cooper-Paare sind also trotz Gesamtspin 0 keine echten Bosonen, da nur zwei der drei fundamentalen Vertauschungsrelationen erfüllt sind. c) 2 b2k = b+k = 0 wie bei Fermionen,

[bk , bk ]+ = 2bk bk =/ 0 für k =/ k . Natürlich auch keine echten Fermionen!

Lösung zu Aufgabe 2.3.2 1. Modell-Hamilton-Operator:   H= ε(k)a+kσ akσ + Vk (q)a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ . kσ kqσ

Wechselwirkung nur zwischen den beiden Zusatzelektronen, die nach Voraussetzung entgegengesetzte Spins und entgegengesetzte Wellenzahlen aufweisen!

2.3.2

486

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Cooper-Paar-Zustand: 1  |ψ = √ ασ (k)a+kσ a+−k − σ |FK = 2 kσ

1  α−σ −k a+−k − σ a+k σ |FK = =√ 2 k σ  1  = −√ α−σ (−k)a+kσ a+−k − σ |FK 2 kσ ⇒

ασ (k) = −α−σ (−k) .

3. !

1 = ψ | ψ =

=

1 ∗ ασ (k)ασ¯ (p) FK| a−k − σ akσ a+p¯σ a+−p − σ¯ |FK = 2 kσ p¯σ





1 ∗ ασ (k)ασ¯ (p)Θ k − kF Θ p − kF · 2 kσ p¯σ

 · δσσ¯ δkp FK| a−k − σ a+−p − σ¯ |FK −  −δσ − σ¯ δk − p FK| a−k − σ a+p¯σ |FK = =





1 ∗ ασ (k)Θ k − kF Θ k − kF · 2 kσ



· FK| 1 − nˆ −k − σ |FK ασ (k) − α−σ (−k) = 2.

=

k>k k > kF    1 F  ασ (k) 2 . 2 ασ (k) 2 FK | FK = 2 kσ

2.3.3

kσ

Lösung zu Aufgabe 2.3.3 1.

2 ψ | T | ψ = =



ε(k)α∗σ (p)ασ (q) FK| a−p − σ apσ a+kσ akσ a+qσ a+−q − σ |FK =

kpq

σσ σ

=

 kpq

σσ σ









ε(k)α∗σ (p)ασ (q)Θ p − kF Θ q − kF ·

Lösungen der Übungsaufgaben

487

 · FK| δσ σ δpk a−p − σ akσ a+qσ a+−q − σ + + δσ σ δpq a−p − σ a+kσ akσ a+−q − σ −  − δσ − σ δp − q a−p − σ a+kσ akσ a+qσ |FK = =



ε(k)ασ (q)Θ(q − kF ) ·

kq

σσ



· α∗σ (k)Θ k − kF FK| a−k − σ akσ a+qσ a+−q − σ |FK +

+ α∗σ (q)Θ q − kF FK| a−q − σ a+kσ akσ a+−q − σ |FK − 

− α∗−σ (−q)Θ q − kF FK| aqσ a+kσ akσ a+qσ |FK = =











ε(k)α∗σ (k)ασ (q)Θ q − kF Θ k − kF ·

kq

σσ





· FK| δσσ δkq 1 − nˆ −k − σ − δσ − σ δk − q 1 − nˆ −k − σ |FK + +





ε(k)α∗σ (q)ασ (q) Θ q − kF

2

·

kq

σσ







· FK| δσ − σ δ−qk 1 − nˆ kσ + nˆ kσ + δσ σ δqk 1 − nˆ kσ + nˆ kσ |FK ⇒

ψ | T | ψ =



1 ε(k)α∗σ (k) Θ k − kF 2 ασ (k) − α−σ (−k) + 2 kσ

+

   

  1 ε(k) Θ k − kF 2 α−σ (−k) 2 + ασ (k) 2 + 2 kσ

q>k 

F  1  ασ (q) 2 = ε(k)Θ kF − k + 2 2  kσ

=

qσ

k>k k < kF   1 F ε(k) ασ (k) 2 (2 + 2) + ε(k) = 2 kσ

=2

k > kF kσ

kσ





ε(k) ασ (k) 2 + 2

k < kF k

ε(k) q. e. d.

488

Lösungen der Übungsaufgaben

2. 2 ψ | V | ψ = =

 kqσ p1 σ1 p2 σ2





Vk (q)α∗σ1 (p1 )ασ2 p2 Θ p1 − kF Θ p2 − kF ·

· FK| a−p1 − σ1 ap1 σ1 a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ ·

=

· a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 |FK = 



Vk (q)α∗σ1 (p1 )ασ2 (p2 )Θ p1 − kF Θ p2 − kF ·

kqσ p1 σ1 p2 σ2

 · FK| δσ1 σ δp1 , k + q a−p1 − σ1 a+−k − q − σ a−k − σ akσ · · a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 − δσ1 − σ δp1 , −k − q · · a−p1 − σ1 a+k + qσ a−k − σ akσ a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 + + δσ1 σ2 δp1 p2 a−p1 − σ1 a+k + qσ a+−q − k − σ a−k − σ akσ a+−p2 − σ2 −

 − δσ1 − σ2 δp1 , −p2 a−p1 − σ1 a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+p2 σ2 |FK =

=

 kqσ p2 σ2



Vk (q)ασ2 p2 Θ p2 − kF ·

· FK|







α∗σ (k + q)Θ |k + q| − kF ·

· a−k − q − σ a+−k − q − σ − α∗−σ (−k − q) ·



· Θ |k + q| − kF ak + qσ a+k + qσ · · a−k − σ akσ a+p2 σ2 a+−p2 − σ2 +



+ α∗σ2 p2 Θ p2 − kF a−p2 − σ2 a+k + qσ · · a+−q − k − σ a−k − σ akσ a+−p2 − σ2 −



− α∗−σ2 −p2 Θ p2 − kF ap2 σ2 a+k + qσ · · a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+p2 σ2



|FK =

Lösungen der Übungsaufgaben

=

 kqσ p2 σ2

489





Vk (q)ασ2 p2 α∗σ (k + q)Θ |k + q| − kF ·

    · 2 FK  a−k − σ akσ a+p2 σ2 a+−p2 − σ2  FK +    

 + Vk (q) ασ2 (p2 ) 2 Θ p2 − kF FK| δ−σ2 σ · kqσ p2 σ2

· δ−p2 , k + q a+−q − k − σ a−k − σ akσ a+−p2 − σ2 − − δσσ2 δp2 , k + q a+k + qσ a−k − σ akσ a+−p2 − σ2 +



+ a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ 1 − nˆ −p2 − σ2 + + δσσ2 δp2 , k + q a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+p2 σ2 −

=

 kqσ p2 σ2

− δσ − σ2 δp2 , −k − q a+k + qσ a−k − σ akσ a+p2 σ2 +

 + a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ 1 − nˆ p2 σ2 |FK =

2Vk (q)ασ2 (p2 )α∗σ (k + q)Θ |k + q| − kF Θ(k − kF ) ·





 · FK| δσσ2 δkp2 1 − nˆ k − σ − δσ − σ2 δk − p2 1 − nˆ k − σ |FK +

+

 kqσ

 

Vk (q) ασ (k + q) 2 Θ |k + q| − kF ·

 · FK| a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+k + qσ − a+k + qσ a−k − σ akσ a+−k − q − σ + + a+k+qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ + a+−k − q − σ a−k − σ akσ a+k + qσ −  − a+k + qσ a−k − σ akσ a+−k − q − σ + a+k + qσ a+−k − q − σ a−k − σ akσ |FK .

Die zweite Summe verschwindet, da

FK| a+k + qσ = FK| a+−k − q − σ = 0 ,

falls

|k + q| > kF .

In der ersten Summe benutzen wir, wie bereits mehrfach vorher:

ασ (k) = −α−σ (−k) . Damit bleibt:

ψ | V | ψ = 2

k > kF |k + q| > kF

 kqσ

Vk (q)α∗σ (k + q)ασ (k) q. e. d.

490

2.3.4

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 2.3.4 Energie des Modellsystems im Cooper-Paar-Zustand nach Aufg. 2.3.3:

E = ψ | H | ψ

=2

k > kF k, σ

1.

k > kF

|k + q| > kF k ≤ kF    ε(k) ασ (k) 2 + 2 ε(k) + 2 Vk (q)α∗ (k + q)ασ (k) .

σ

k, q, σ

k

Zur Bestimmung der ασ (k) minimieren wir E, wobei wir die Randbedingung k > kF k, σ

  ασ (k) 2 = 1

mit einem Lagrange-Parameter λ ankoppeln: ⎛ ⎞  >k k F    2 ∂ ⎝ ασ k  ⎠ = E−λ ∂α∗σ (k)   k ,σ

(k > kF )

=

k > kF |k + q| > kF



2ε(k)ασ (k) + 2

!

Vk − q (q)ασ (k − q) − λασ (k) = 0 .

q

Multiplizieren mit α∗σ (k), dann summieren über alle k und σ (k > kF ):

λ=E−2

k < kF

ε(k) =  E.

k

Der Lagrange-Parameter entspricht also der Zusatzenergie durch die beiden Elektronen des Cooper-Paares. – Mit der in Aufg. 2.3.2 vereinbarten Vereinfachung für das Matrixelement folgt weiter: 

k > kF

E ασ (k) = 2V ασ k ≡ 2Aσ 2ε(k) −  k



⇐⇒ Aσ =

k

2VAσ . 2ε(k) −  E

Die k-Summation läuft natürlich nur über solche Wellenzahl-Vektoren, für die V =/ 0 ist. Wir verwandeln die Summe in ein Integral: εF + ¯hωD

dx

1 = 2NV εF

ρ0 (x)

2x −  E

≈ 2NV ρ0 (εF )

εF + ¯hωD εF

dx ≈ 2x −  E

Lösungen der Übungsaufgaben

491

E 1 2 εF + h¯ωD −  ≈ 2NV ρ0 (εF ) ln 2 2εF −  E

exp −1 | NV ρ0 (εF ) 

. E ≈ 2εF − 2h¯ωD 1 − exp −1 | NV ρ0 (εF )

⇒

Für V =/ 0 ist demnach die Energie des Cooper-Paares kleiner als die Energie zweier nicht miteinander wechselwirkender Elektronen an der Fermi-Kante. Das Cooper-Paar stellt somit einen gebundenen Zustand dar. Die Fermi-Kugel ist instabil gegenüber Cooper-Paarbildung!

Lösung zu Aufgabe 2.3.5 1.

2.3.5

!

1 = BCS | BCS = 0|

 

 uk + vk bk up + vp b+p |0 . k

p

Alle Operatoren kommutieren für unterschiedliche Wellenzahlen. Wegen bk |0 =

0| b+k = 0 bleibt dann:

1

!

0|

=





uk + vk bk uk + vk b+k |0 = k

0|

=





u2k + vk bk + b+k uk + vk2 bk b+k |0 = k

0|

=



u2k + vk2 bk b+k |0 = k

Aufg. 2.3.1

=

0|



 u2k + vk2 b+k bk +1−ˆnk↑ −ˆn−k↓ |0 k

b+k bk |0 = nˆ kσ |0 = 0

⇒

1

!

=

0|

 



u2k + vk2 |0 = u2k + vk2 . k

k

Alle k-Terme sind gleichberechtigt und unabhängig voneinander: 1 = u2k + vk2 .

492

Lösungen der Übungsaufgaben

2.

BCS | b+k bk | BCS = = 0|

  

uq + vq bq b+k bk up + vp b+p |0 = q

p

⎧ ⎫ =/ k  =/ k ⎨ ⎬





+ = 0| u + vk bk b+k bk uk + vk b+k |0 = uq + vq bq up + vp bp ⎩ q p ⎭ k ⎫ ⎧ =/ k  =/ k ⎨ ⎬

 v2 b b+ b b+ |0 . uq + vq bq up + vp b+p = 0| ⎭ k k k k k ⎩ q p Wie in Teil 1.: bk b+k |0 = |0

BCS | b+k bk | BCS = vk2 0|

⇒

=/ k  =/ k  

 uq + vq bq up + vp b+p |0 = q

1.

= vk2

p

=/ k   1.  u2p + vp2 = vk2 . p

vk2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Cooper-Paar (k↑, −k↓) existiert! Der zweite Erwartungswert berechnet sich völlig analog: k =/ p: ⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/  ⎬ 

uq + vq bq uq + vq b+q ·

BCS | b+k bk b+p bp | BCS = 0| ⎭ ⎩ q  q

 



· (uk + vk bk )b+k bk uk + vk b+k up + vp bp b+p bp up + vp b+p |0 = ⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬ 

 uq + vq bq uq + vq b+q vk2 vp2 bk b+p bk b+k bp b+p bp b+p |0 = = 0| ⎭ ⎩  q

q

⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬  

uq + vq bq uq + vq b+q |0 = = vk2 vp2 0| ⎭ ⎩ q  q

= vk2 vp2

2 = vk

für k = p .

 

BCS | b+k bk 1 − b+p bp | BCS = vk2 − vk2 vp2 = vk2 u2p ,

falls k =/ p

(= 0, falls k = p). u2p ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Cooper-Paar (p↑, −p↓) nicht existiert!

Lösungen der Übungsaufgaben

493

Bleibt noch zu berechnen:     BCS  b+p bk  BCS = ⎧ ⎫ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬ 

 = 0| · uq + vq bq uq + vq b+q ⎩ q ⎭  q







· up + vp bp b+p up + vp b+p uk + vk bk bk uk + vk b+k |0 = ⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬ 

 uq + vq bq uq + vq b+q u v b b+ u v b b+ |0 = = 0| ⎭ p p p p k k k k ⎩ q  q

⎫ ⎧ k, p =/ k, p ⎨ =/ ⎬ 

 uq + vq bq uq + vq b+q |0 = = up vp uk vk 0| ⎭ ⎩  q

q

s. o.

= up vp uk vk .

Dabei wurden Ergebnisse aus Aufg. 2.3.1 ausgenutzt: + 2 2 bk = bk = 0 .

Lösung zu Aufgabe 2.3.6 1. Phononen-induzierte Elektron-Elektron-Wechselwirkung (s. Aufg. 2.3.2):

H=

 kσ

ε(k)a+kσ akσ − V

q =/ 0



a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ .

kpq

σ, σ

Variation soll mit |BCS durchgeführt werden. Nach Aufg. 2.3.5 enthält dieser Testzustand nur Cooper-Paare. Deshalb kann H auf H=

 kσ

ε(k)a+kσ akσ − V

p =/ k



b+p bk

p, k

reduziert werden. Alle anderen Terme liefern, auf |BCS angewendet, keinen Beitrag. Multipliziert man das Produkt in |BCS aus, so treten Terme mit unterschiedlicher Anzahl von Erzeugungsoperatoren b+k auf. Daraus folgt: |BCS ist kein Zustand fester Teilchenzahl! Die Nebenbedingung N = const muss deshalb mithilfe eines Lagrange’schen Parameters μ (s. Bd. 2, Abschn. 1.2.5) angekoppelt werden: HBCS = H(ε(k) → t(k)) t(k) = ε(k) − μ .

2.3.6

494

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Der Erwartungswert der potentiellen Energie wurde in Teil 2. von Aufg. 2.3.5 berechnet. Alle Operatoren kommutieren, solange sie zu unterschiedlichen Wellenzahlen k gehören: Deswegen kann man BCS | a+kσ akσ | BCS wie folgt sortieren: ⎫ ⎧ / ±k ⎨ = ⎬ 

up + vp bp up + vp b+p ·

BCS | a+kσ akσ | BCS = 0| ⎭ ⎩ p







· uk + vk bk u−k + v−k b−k a+kσ akσ uk + vk b+k u−k + v−k b+−k |0 ,   [a+kσ akσ , b+k ]− = a+kσ akσ , a+k↑ a+−k↓ = δσ↑ b+k , −

[a+kσ akσ , b+−k ]− = δσ↓ b+−k ,

[a+kσ akσ , b+k b+−k ]− = δσ↓ + δσ↑ b+k b+−k = b+k b+−k . Damit folgt:



a+kσ akσ uk + vk b+k u−k + v−k b+−k |0 =

= vk u−k δσ↑ b+k + uk v−k δσ↓ b+−k + vk v−k b+k b+−k |0 . Es gilt weiter:









0| uk + vk bk u−k + v−k b−k a+kσ akσ uk + vk b+k u−k + v−k b+−k |0 =

2 = vk u−k δσ↑ 0 | bk b+k | 0 + (uk v−k )2 δσ↓ 0 | b−k b+−k | 0 + 2 + vk2 v−k

0 | bk b−k b+k b+−k | 0 = 2 = vk2 δσ↑ + v−k δσ↓ .

Schlussfolgerungen wie in der letzten Aufgabe: 2 δσ↓ .

BCS | a+kσ akσ | BCS = vk2 δσ↑ + v−k

Wegen t(−k) = t(k) und Teil 2. von Aufg. 2.3.5 bleibt schließlich: E=2



k =/ p



t(k)vk2 − V

k

3.

Minimum-Bedingung: !

0=

dE = dvk



∂E ∂vk

vk vp uk up .

k, p



 +

u

= 4t(k)vk − 2V

∂E ∂uk =/ k  p





∂uk ∂E = ∂ v ∂ vk k v

vp up uk + 2V

 − u

vk uk



∂E ∂uk

=/ k vk  vk vp up = uk p

 = v

Lösungen der Übungsaufgaben

495

4 = 4t(k)vk + 2Δk ⇐⇒

vk2 − uk uk

5



2

4t 2 (k)vk2 u2k = Δ2k vk2 − u2k = Δ2k 4vk4 − 4vk2 + 1 = = −Δ2k 4vk2 u2k + Δ2k .

Damit folgt: uk vk =

1 Δk A . 2 t 2 (k) + Δ2 k

Einsetzen in die Definitionsgleichung für Δk ergibt schließlich: 1 2

Δk = V

=/ k  p

Δp

A . t 2 (p) + Δ2p

4.   Δ2 1 2 1 1 + = 2 k 2 u2k vk2 = −vk4 + vk2 = − vk2 − 2 4 4 t (k) + Δk ⎛ ⎞ t(k) 1 negative Wurzel, da für Δ → 0 ⎠ , ⇒ vk2 = ⎝1 + A keine Cooper-Paare existieren. 2 2 2 − t (k) + Δ k

⎛ u2k =

⎞

t(k) 1⎝ ⎠ . 1+ A 2 t 2 (k) + Δ2k

BCS-Grundzustandsenergie: 4 5  t(k 1 1−  − t(k) vk uk Δk E0 = 2 2 t 2 (k) + Δ2 k k ⎧ ⎫ ⎨ t 2 (k) + 12 Δ2k ⎬ t(k) − A . E0 = ⎩ t 2 (k) + Δ2 ⎭ 

⇒

k

k

Lösung zu Aufgabe 2.3.7

eS :

unitäre Transformation

2.3.7

⇐⇒

S + S −1 e = e

⇐⇒

S+ = −S .

496

Lösungen der Übungsaufgaben

Nach (2.186):



S=

kqσ

⇒



S+ =

kqσ

⇒

  Tq x(k, q)bq + y(k, q)b+−q a+k+qσ akσ   Tq∗ x∗ (k, q)b+q + y∗ (k, q)b−q a+kσ ak+qσ ,

∗ = Tq (2. 183) , q → −q ; k → k + q ; T−q    S+ = Tq x∗ (k + q, −q)b+−q + y∗ (k + q, −q)bq a+k+qσ akσ . kqσ

S+

= −S gilt also offensichtlich genau dann, wenn !

y∗ (k + q, −q) = −x(k, q) , !

x∗ (k + q, −q) = −y(k, q) erfüllt. Das ist nach (2.190) und (2.191) wegen h¯ω(−q = h¯ω(q) offensichtlich der Fall!

Abschnitt 2.4.5 2.4.1

Lösung zu Aufgabe 2.4.1

  

+ −  S k 1 , S k2 − = e −i (k1 Ri + k2 Rj ) S+i , S−j = −

i, j

=



e −i (k1 Ri + k2 Rj ) 2h¯δij Siz = 2h¯



e −i (k1 + k2 ) · Ri Siz =

i

i, j



= 2h¯S z k1 + k2 . 

z ±  S k1 , S k2 − = e −i (k1 i, j

= ±h¯



· Ri + k2 · Rj )

  Siz , S± = j −



e −i (k1 · Ri + k2 · Rj ) δij S± ¯S± k1 + k2 . i = ±h

i, j

2.4.2

Lösung zu Aufgabe 2.4.2  β Jij Sαi Sj = i, j

=

1  J(k)Sα (p)Sβ (q) e −ik · (Ri − Rj ) e ip · Ri e iq · Rj = N3 i, j kqp

Lösungen der Übungsaufgaben

=

497

1  1  J(k)Sα (p)Sβ (q)δkp δk, −q = J(k)Sα (k)Sβ (−k) , N N kqp



k

Siz = S z (0) .

i

Hieraus folgt: H=−

 i, j

=−

  μB  z Jij S+i S−j + Siz Sjz − gJ B0 Si = h¯ i



1  μB J(k) S+ (k)S− (−k) + S z (k)S z (−k) − gJ B0 S z (0) . N h¯ k

Lösung zu Aufgabe 2.4.3

2.4.3

    H=− Jij S+i S−j + Siz Sjz − b Siz = i

i, j

 μB  b = gJ B0 h¯  



=− Jij 2Sh¯2 ϕ ni ai a+j ϕ nj + i, j







+ h¯2 S − ni S − nj − b h¯ S − ni , i



Jij = NJ0 ;



Jij =



i

i, j

Jij = J0 .

j

Grundzustandsenergie:

E0 = −NJ0 h¯2 S − NgJ μB B0 S = E0 B0 . Hieraus folgt: H = E0 (B0 ) + 2Sh¯2 J0



ni − 2Sh¯2

i

− h¯2



Jij ni nj







Jij ϕ ni ai a+j ϕ nj −

i, j

q. e. d.

i, j

Lösung zu Aufgabe 2.4.4

1  M0 − Ms (T) 1 . = M0 NS q exp [βh¯ω(q)] − 1

2.4.4

498

Lösungen der Übungsaufgaben

Zunächst verwandeln wir die Summe in ein Integral:     V 1 3 β¯hω(q) − 1 −1 = = d q e exp [βh¯ω(q)] − 1 (2π)3 q =

V (2π)3

 d3 q

∞  V  e −β¯hω(q) d3 q e −nβ¯hω(q) . = 1 − e −β¯hω(q) (2π)3 n = 1

Integriert wird über die erste Brillouin-Zone. Für tiefe Temperaturen ist β sehr groß, sodass zum Integral nur die kleinen Magnonenenergien wesentlich beitragen. Das sind die mit kleinem |q| :

2 1  1  D 2 Jij 1 − e iq · Rij ≈ Jij q · Rij ≡ q J0 − J(q) = N 2N 2Sh¯2 i, j

⇒

ij

h¯ω(q) ≈ Dq2 .

Aus demselben Grund können wir auch die Integration über die erste Brillouin-Zone durch eine solche über den gesamten q-Raum ersetzen: ∞  V  M0 − Ms (T) 2 = 2 dq q2 e −nβDq = M0 2π NS n = 1 ∞

0

  ∞ V 1 3 −3 | 2 (nβD) . = 2 Γ 2π NS n = 1 2 2 1 Riemann’sche ζ-Funktion: ζ(m) = ∞ n = 1 nm . Daraus folgt: Tief-Temperatur-Magnetisierung:

M0 − Ms (T) = C3 | 2 T 3 | 2 M0

> (T → 0)

„Bloch’sches T 3 | 2 -Gesetz“, C3 | 2 =

2.4.5

   V kB 3 | 2 3 ζ . NS 2 4πD

Lösung zu Aufgabe 2.4.5 1. Wir überprüfen die Axiome des Skalarprodukts: a) (A, B) ist eine komplexe Zahl mit

(A, B) = (B, A)∗ , denn Wm − Wn En − Em

Lösungen der Übungsaufgaben

499

ist eine reelle Zahl und

∗

n | B+ | m m | A | n = n | A+ | m m | B | n . b) Linearitätseigenschaften des Skalarprodukts,





A, α1 B1 + α2 B2 = α1 A, B1 + α2 A, B2

α1 , α2 ∈ C ,

folgen unmittelbar aus denen des Matrixelements m | B | n . c) (A, A) ≥ 0, denn    Wm − Wn  n | A+ | m  2 Wm − Wn ≥ 0 . ≥ 0 ⇒ (A, A) = n, m En − Em En − Em d) Aus A = 0 folgt natürlich (A, A) = 0. Die Umkehrung gilt allerdings nicht (s. Aufg. 2.4.6)! Es handelt sich deshalb um ein semidefinites Skalarprodukt! 2. (A, B) =



n | A+ | m m | [C+ , H ]− | n

n, m

=



Wm − Wn = En − Em



n | A+ | m m | C+ | n Wm − Wn .

n, m

Wegen des Faktors rechts können die Diagonalterme nun mitgezählt werden. Mithilfe der Vollständigkeitsrelation und der Definition von Wn folgt weiter:   Wn n | A+ C+ | n + Wm m | C+ A+ | m = (A, B) = − n

m

      = − A+ C+ + C+ A+ = [C+ , A+ ]− ,     (B, B) = [C+ , B+ ]− = [C+ , [H, C]− ]− . Für die dritte Beziehung führen wir zunächst die folgende Abschätzung durch: 0<

Wm − Wn 1 e −βEm + e −βEn e −βEm − e −βEn = = En − Em En − Em Sp e −βH e −βEm + e −βEn  

Wm + Wn 1 = tanh β En − Em , En − Em 2

d 1 < 1 für x =/ 0 tanh x = dx cosh2 x



tanh 12 β |En − Em | tanh 12 β En − Em = ⇒ ≤ En − Em |En − Em | ≤

1 2 β |En

− Em | 1 = β. |En − Em | 2

500

Lösungen der Übungsaufgaben

Es gilt also: 0<

Wm − Wn 1 < β Wn + Wm , En − Em 2

falls En =/ Em .

Damit folgt dann weiter: (A, A) <

E =/ E

1 nm β

n | A+ | m m | A | n Wn + Wm ≤ 2 n, m

1  ≤ β

n | A+ | m m | A | n Wn + Wm = 2 n, m = 3.

 1  +   +  1  β A A + AA = β [A, A+ ]+ 2 2

q. e. d.

Das Skalarprodukt genügt der Schwarz’schen Ungleichung:   (A, B) 2 ≤ (A, A)(B, B) . Dies bedeutet nach 2.       [C, A]−   2 ≤ 1 β [A, A+ ] [C+ , [H, C]− ] + − 2 und beweist die Bogoliubov-Ungleichung!

2.4.6

Lösung zu Aufgabe 2.4.6 1.

(H, H) =

En =/ Em

n | H | m m | H | n

n, m

=

En =/ Em

En2 δnm δnm

n, m

Wm − Wn = En − Em

Wm − Wn =0. En − Em

2. −1   

[C, A]−  = Sp e −βH e −βEn n | CA − AC | n . n

Wegen [C, H]− = 0 haben C und H gemeinsame Eigenzustände: −1   

[C, A]−  = Sp e −βH e −βEn cn n | A − A | n = 0 q. e. d. n

Lösungen der Übungsaufgaben

501

Lösung zu Aufgabe 2.4.7 1a)

2.4.7

[C, A]− = [S+ (k), S− (−k − K)]− = 2h¯S z (−K) = 2h¯



e ik · Ri Siz

i

⇒

  [C, A]− = 2h¯

 i

  2h¯N

e ik · Ri Siz = M T, B0 . b

1b) 

  −  [A, A+ ]+ = [S (−k − K), S+ (k + K)]+ =

k

k

=

 k

=



  e i (k + k) · (Ri − Rj ) S−i S+j + S+j S−i =

i, j

  e ik · (Ri − Rj ) N δij S−i S+i + S+i S−i =

i, j

= 2N

 y  (Sxi )2 + (Si )2 ≤ i

  ≤ 2N S2i = 2h¯2 N 2 S (S + 1) . i

1c) Zunächst gilt:   −ik · (R − R )  +   m n e R(k) ≡ [[C, H]− , C+ ]− = [[Sm , H]− , S−n ]− . m, n

Wir haben also einige Kommutatoren zu berechnen:

[S+m , H ]− =    = −h¯ Jim 2S+i Smz − Siz S+m − S+m Siz + h¯bB0 S+m e −ik · Rm = i

= −2h¯





Jim S+i Smz − Siz S+m + h¯bB0 S+m e −ik · Rm ,

i

[[S+m , H ]− , S−n ]− = −2h¯

 i

=

 Jim S+i [Smz , S−n ]− + [S+i , S−n ]− Smz − Siz [S+m , S−n ]− −

 − [Siz , S−n ]− S+m + h¯bB0 [S+m , S−n ] e −ik · Rm =

502

Lösungen der Übungsaufgaben

= −2h¯2



  Jim −δmn S+i S−n + 2δin Siz Smz − 2δmn Siz Smz + δin S−i S+m +

i

+ 2h¯2 bB0 δmn Smz e −ik · Rm = 



Jim S+i S−m + 2Siz Smz − 2h¯2 Jnm S−n S+m + 2Snz Smz + = 2h¯2 δmn i

+ 2h¯2 bB0 δmn Smz e −ik · Rm . Damit folgt als Zwischenergebnis:     Jmn 1 − e −ik · (Rm −Rn ) S+m S−n + 2Smz Snz + R(k) = 2h¯2 m, n

+ 2h¯2 bB0



  e −ik · Rm Smz .

m

Hier haben wir mehrmals Jii = 0 und Jij = Jji ausgenutzt. Wegen Teil 2. von Aufg. 2.4.5 kann R(k) nicht negativ sein. Das gilt natürlich auch für den entsprechenden Erwartungswert R(k), der statt mit C = S+ (k) mit  C = S+ (−k) berechnet wird. Es gilt deshalb sicher:    e −ik · Rm Smz + R(k) ≤ R(k) + R(−k) = +4h¯2 bB0 + 4h¯2



m



  Sm · Sn + Smz Snz . Jmn 1 − cos k · Rm − Rn

m, n

Zur weiteren Abschätzung nutzen wir für die folgende Form des Skalarprodukts

  Sm , Sn = Sm · Sn die Schwarz’sche Ungleichung aus: 





 Sm , Sn  2 ≤ Sm , Sm · Sn , Sn . Diese besagt offenbar:

Außerdem gilt sicher:



Sm · Sn 

2

≤ h¯4 [S(S + 1)]2 .

 Smz Snz ≤ h¯2 S2 .

Damit folgt weiter:   



 Jmn 1 − cos k · Rm −Rn ≤ R(k) ≤ 4h¯2 N B0 M T, B0  +8h¯4 S (S + 1) m, n

  

 1  ≤ 4h¯2 N B0 M T, B0  +8h¯4 S (S + 1) k2 Jmn Rm − Rn  2 . 2 m, n    NQ

Lösungen der Übungsaufgaben

503

Damit haben wir gezeigt:    

 [[C, H]− , C+ ]− ≤ 4N h¯2 B0 M T, B0  +h¯2 k2 QS (S + 1) . 2a) Wir wissen, dass R(k) ≥ 0 sein muss. Deswegen können wir die BogoliubovUngleichung wie folgt schreiben:    [C, A]−   2  β + . [A, A ]+ ≥  2 [[C, H]− , C+ ]− Wir summieren diese Ungleichung über alle k der ersten Brillouin-Zone:

βS (S + 1) ≥

M2 1  1 . h¯2 b2 N |B0 M| + h¯2 k2 QS (S + 1) k

Übergang in den thermodynamischen Limes:  vd 1  dd k , −→ Nd (2π)d k

d: Dimension des Systems. Das d-dimensionale Volumen Vd enthalte Nd Spins (vd = Vd | Nd ). Der Integrand auf der rechten Seite der Ungleichung ist positiv. Die Ungleichung gilt also erst recht, wenn wir statt über die volle Brillouin-Zone über eine vollständig innerhalb der Zone liegende Kugel vom Radius k0 integrieren: M 2 vd Ωd S (S + 1) ≥ 2 2 βh¯ b (2π)d

k0 dk 0

kd−1 . |B0 M| + h¯2 k2 QS (S + 1)

Die Winkelintegration ist bereits ausgeführt und liefert mit Ωd die Oberfläche der Einheitskugel. 2b) d = 1  ax 1 dx arctan +c = 2 2 2 a x +b ab b   A 2 ¯ h QS (S+1) |B0 M| M 2 vd arctan k0  . ⇒ S (S + 1) ≥ 2πβh¯2 b2 h¯2 QS (S + 1) |B0 M| Uns interessiert das Verhalten für kleine Felder: ⎛ 0 ⎞ 2 QS (S + 1) h ¯ ⎠ −−→ π . arctan ⎝k0 B0 → 0 2 |B0 M| Dies bedeutet: 

 M T, B0 

< →

B0 → 0

1|3

const

B0 T2 | 3

504

Lösungen der Übungsaufgaben

und damit Ms (T) = 0 für T =/ 0! d=2



1 dx x = 2 ln c a2 x2 + b2 2 +b 2a   2 ¯ h QS (S+1)+ |B0 M| |B0 M| M 2 vd ln . ⇒ S (S + 1) ≥ 2πβh¯2 b2 2h¯2 QS (S + 1) Für kleine Felder gilt somit: 

 < 1 M T, B0  → const1 1 .  B0 → 0 |B0 M| T ln const|B2 0+M| a2 x2

Auch das hat für T =/ 0

Ms (T) = 0 zur Folge!

Abschnitt 3.1.7 3.1.1

Lösung zu Aufgabe 3.1.1 Bewegungsgleichung für Heisenberg-Operatoren:

d akσ (t) = [akσ , He ]− (t) , dt 

ε k [akσ , a+k σ ak σ ]− = [akσ , He ]− =

i¯ h

k σ 

=



ε k δkk δσσ ak σ = ε(k)akσ k σ 

⇒

i¯ h

d akσ (t) = ε(k)akσ (t) , dt

akσ (t = 0) = akσ ⇒

akσ (t) = akσ e − ¯h ε(k)t . i

Ganz analog findet man für das Phononengas:

i¯ h ⇒



d bqr (t) = bqr , Hp − (t) = h¯ωr (q)b+qr (t) dt bqr (t) = bqr e −iωr (q)t .

Eine alternative Ableitung wurde in (2.166) benutzt!

Lösungen der Übungsaufgaben

505

Lösung zu Aufgabe 3.1.2 1.

3.1.2

f (λ) = e λA B e −λA ; ⇒

A =/ A(λ) ;

B =/ B(λ)

d f (λ) = e λA [A, B]− e −λA , dλ d2 f (λ) = e λA [A, [A, B]− ]− e −λA , dλ2 .. .   dn λA A, [A, . . .[A, B ] . . . ] f ( λ ) = e e −λA . − − dλn   − n-fach

Taylor-Entwicklumg um λ = 0: f (λ) = B +

  ∞ ∞    λn dn λn  A, [A, . . .[A, B ]− . . . ]− . f ( λ ) = B + n n! dλ n! λ=0   − n=1 n=1 n−fach

Der Vergleich ergibt:

α0 = B , 

αn = A, [A, . . .[A, B]− . . .]−

 1 , − n!

n≥1.

2.

αn = 0 für n ≥ 2 , α0 = B ; α1 = [A, B]− ⇒

f (λ) = B + λ[A, B]− .

3. g(λ) = e λA e λB ,

d g(λ) = e λA (A + B) e λB = e λA (A + B) e −λA g(λ) = A + f (λ) g(λ) . dλ Mit Teil 2. folgt dann:

d g(λ) = A + B + λ[A, B]− g(λ) . dλ

506

4.

Lösungen der Übungsaufgaben

Die Voraussetzungen liefern:

[(A + B), [A, B]− ]− = 0 . Der Operator-Koeffizient in der obigen Differentialgleichung verhält sich bei der Integration deshalb wie eine normale Variable:

d g(λ) = a1 + λa2 g(λ) , dλ g(0) = 1 ⇒ ⇒

3.1.3

g(λ) = e a1 λ + 2 a2 λ 1

2

  1 g(λ = 1) = e A e B = exp A + B + [A, B]− 2

q. e. d.

Lösung zu Aufgabe 3.1.3

ρ

β

˙ − iλh¯) = ρ dλA(t

0

β 0

dλ

i d A(t − iλh¯) = h¯ dλ

i ρ [A(t − i¯hβ) − A(t)] = h¯  i i  i = ρ e ¯h (−i¯hβ)H A(t) e − ¯h (−i¯hβ)H − A(t) = h¯  i  = ρ e βH A(t) e −βH − A(t) = h¯ . / i e −βH e βH A(t) e −βH

− ρA(t) = = h¯ Sp e −βH =

=

3.1.4

i i A(t)ρ − ρA(t) = [A(t), ρ]− h¯ h¯

q. e. d.

Lösung zu Aufgabe 3.1.4        



A(t), B t  − = Sp ρ A(t), B t  − = Sp ρA(t)B t  − ρB t  A(t) =

   



= Sp B t  ρA(t) − ρB t  A(t) = Sp B t  , ρ − A(t) (zyklische Invarianz der Spur!) .

Lösungen der Übungsaufgaben

507

Kubo-Identität einsetzen:

     A(t); B t  ret = −iΘ t − t  A(t), B t  − =

= −h¯Θ t − t 

β



 dλ Sp ρB˙ t  − iλh¯ A(t) =

0



= −h¯Θ t − t 

β



 dλ B˙ t  − iλh¯ A(t) q. e. d.

0

Lösung zu Aufgabe 3.1.5 In (3.84) wurde abgeleitet:

3.1.5

+∞   i + dt jβ (0); Pα (−t) e ¯h (E+i0 )t .

1 σβα (E) = −

h¯

−∞

Mit dem Resultat aus Aufg. 3.1.4 folgt: β

∞

σβα (E) =

dt 0

(3.79)

  i + dλ P˙ α (−t − iλh¯)jβ (0) e ¯h (E + i0 )t =

0

β

∞

= V

dt 0

  i + dλ jα (−t − iλh¯)jβ (0) e ¯h (E + i0 )t .

0

Die Korrelationsfunktion ist nur von der Zeitdifferenz abhängig. Deswegen gilt auch:

σβα (E) = V

β

∞ dt 0

  i + dλ jα (0)jβ (t + iλh¯) e ¯h (E + i0 )t

q. e. d.

0

Lösung zu Aufgabe 3.1.6 Der Dipolmomentenoperator (3.77)

3.1.6

P=

N 

qi rˆi

i=n

ist ein Ein-Teilchen-Operator. Wir betrachten identische Teilchen: qi = q ∀i . 1.

Bloch-Darstellung:  P=q

 kσ k σ 

kσ | rˆ | k σ   a+kσ ak σ .

508

Lösungen der Übungsaufgaben

Matrixelement:

kσ | rˆ | k σ   =



d3 r kσ | ˆr | r r | k σ   = δσσ

= δσσ





d3 r k | r r r | k  =

d3 r ψ∗kσ (r)r ψk σ (r)

ψkσ (r) :

Bloch-Funktion (2.20) ,

kσ | rˆ | k σ   = δσσ pkk σ  pkk σ ≡ d3 r ψ∗kσ (r)r ψk σ (r) ⇒

 P=q

 kk σ

2.

Wannier-Darstellung:

pkk σ a+kσ ak σ . 

pijσ =





d3 r ω∗σ r − Ri r ωσ r − Rj



ωσ r − Ri : ⇒

 P=q

 ijσ

Wannier-Funktion (2.29)

pijσ a+iσ ajσ .

Stromdichteoperator:

i   ˆj = 1  P, H − . P˙ = − V h¯V 1.

 ˆj = − iq pkk σ [a+kσ ak σ , H ]− . h¯V  kk σ

2.



 ˆj = − iq pijσ a+iσ ajσ , H − . h¯V ijσ

Der Leitfähigkeitstensor ergibt sich unmittelbar durch Einsetzen in (3.85).

3.1.7

Lösung zu Aufgabe 3.1.7 1. Mit Aufg. 3.1.6:

 P≈q

 i, σ

Ri niσ ,

 ˆj ≈ − iq Ri [niσ , H ]− . h¯V i, σ

Lösungen der Übungsaufgaben

2.

509

niσ kommutiert mit allen Besetzungszahloperatoren. Deshalb gilt:

[niσ , H ]− =

=

 l, m, σ 



Tlm [niσ , a+lσ amσ ]− =



Tlm δil a+iσ amσ − δim a+lσ aiσ =

l, m

=



Tim a+iσ amσ − Tmi a+mσ aiσ . m

Stromdichteoperator: 

ˆj ≈ − iq Ri Tim a+iσ amσ − Tmi a+mσ aiσ h¯V imσ ⇒



ˆj ≈ − iq Tim Ri − Rm a+iσ amσ . h¯V imσ

Leitfähigkeitstensor:  iq2

−

Tim Tjn · m E + i0+ h¯2 V E + i0+ imσ N 2 q

σαβ (E) = i¯h V

jnσ 



 β  β  + aiσ amσ ; a+jσ anσ ret · Rαi − Rαm Rj − Rn E (α, β = x, y, z) .

Abschnitt 3.2.6 Lösung zu Aufgabe 3.2.1



Θ t − t =

3.2.1 t− t 



dt  δ t 

−∞

⇒





d ∂ 

Θ t − t =  Θ t − t = δ t − t , ∂t d t−t



d ∂ 

Θ t − t = −  Θ t − t  = −δ t − t  . ∂t  d t−t

510

3.2.2

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 3.2.2





 GcAB t, t  = −i Tε A(t)B t  =

  



= −iΘ t − t  A(t)B t  − iεΘ t  − t B t  A(t) . Damit folgt:

i¯ h



 

  ∂ c 

G t, t = +h¯δ t − t  A(t)B t  − iΘ t − t  [A, H]− (t)B t  − ∂t AB









 − h¯εδ t − t  B t  A(t) − iεΘ t  − t B t  [A, H]− (t) =

   '

$ = h¯δ t − t  A(t), B t  −ε − i Tε [A, H](t)B t  =

    = h¯δ t − t  [A, B]−ε + [A, H]− (t); B t  c

3.2.3

q. e. d.

Lösung zu Aufgabe 3.2.3

  B(0)A(t + iβ) = = = =

1

Ξ 1

Ξ 1

Ξ

  i i Sp e −βH B e ¯h H(t+i¯hβ) A e − ¯h H(t+i¯hβ) =   i i Sp e βH e −βH B e ¯h Ht e −βH A e − ¯h Ht =     i i Sp e −βH e ¯h Ht A e − ¯h Ht B = A(t)B(0) .

Dabei wurde mehrfach die zyklische Invarianz der Spur ausgenutzt. 3.2.4

Lösung zu Aufgabe 3.2.4

1.

t − t > 0 Im x

´- i 0+ Re x Abb. A.8.

Der Integrand hat einen Pol bei x = x0 = −i0+ . Residuum: 



e −ix(t − t )  c−1 = lim x − x0 = lim e −ix(t − t ) = 1 . x → x0 x → x0 x + i0+

Lösungen der Übungsaufgaben

511

Wegen t − t  > 0 Halbkreis in der unteren Halbebene schließen; dann sorgt die exp-Funktion dafür, dass der Beitrag auf dem Halbkreis verschwindet. Der Pol wird mathematisch negativ umlaufen. Daraus folgt:



Θ t − t = 2.

i (−2πi)1 = 1 . 2π

t − t < 0 Damit kein Beitrag auf dem Halbkreis erscheint, diesen nun in der oberen Halbebene schließen. Daraus folgt:



Θ t − t = 0 , da kein Pol im Integrationsgebiet.

Lösung zu Aufgabe 3.2.5

3.2.5

+∞ f (ω) = dt f¯(t) e iωt . −∞

Das Integral möge für reelle ω existieren. Setzen Sie:

ω = ω1 + iω2 ⇒

+∞ f (ω) = dt f¯(t) e iω1 t e −ω2 t . −∞

1.

f¯(t) = 0 für t < 0: ⇒

f (ω) =

∞

dt f¯(t) e iω1 t e −ω2 t .

0

Konvergiert für alle ω2 > 0, also analytisch fortsetzbar in die obere Halbebene! 2.

f¯(t) = 0 für t > 0: ⇒

f (ω) =

0

dt f¯(t) e iω1 t e −ω2 t .

−∞

Konvergiert für alle ω2 < 0, also analytisch fortsetzbar in die untere Halbebene.

512

3.2.6

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 3.2.6 Es ist zweckmäßig, den Leitfähigkeitstensor aus Aufg. 3.1.7 zunächst von der BlochDarstellung in die Ortsdarstellung zu transformieren. Es gilt:



∇k ε(k) nkσ = k

=

 1  Tij −i Ri − Rj e −ik · (Ri − Rj ) e ik · (Rm − Rn ) a+mσ anσ = 2 N m, n k

=

i, j

 1  Tij −i Ri − Rj δn, m + j − i a+mσ anσ = N m, n ij

=

 1  Tij −i Ri − Rj a+mσ am + j−iσ . N ijm

Dies setzen wir in den Wechselwirkungsterm des Leitfähigkeitstensors ein, dabei beachtend, dass wegen Translationssymmetrie   +  ret 1   + amσ am + j−iσ ; . . . ret E = aiσ ajσ ; . . . E N m sein muss. Es bleibt dann nach Aufg. 3.1.7: N 2 e

ie2

+

· m E + i0+ h¯2 V E + i0+ 

 

∇k ε(k) ∇k ε k nkσ ; nk σ ret · E .

σαβ (E) = i¯h V

kσ k σ 

Wechselwirkungsfreies Elektronensystem:  ε(p)a+p¯σ ap¯σ H0 = p¯σ

⇒

[nkσ , H0 ]− = 0 ,



 [nkσ , nk σ ]− = 0 .

Damit wird die Bewegungsgleichung der höheren Green-Funktion trivial:   E nkσ ; nk σ ret E ≡0. Der Wechselwirkungsterm verschwindet also wie erwartet: 

(0)

σαβ (E)

= i¯ h

N 2 Ve

m(E + i0+ )

.

Lösungen der Übungsaufgaben

513

Lösung zu Aufgabe 3.2.7

3.2.7

ret, av  ∗ 



   ∗ GAB t, t A(t), B t  −ε = = ∓iΘ ± t − t 



   ∗



  +  A(t), B t  −ε = ±iΘ ± t − t  A(t), B t  −ε = = ±iΘ ± t − t 



 

 = ±iΘ ± t − t  B+ t  A+ (t) − εA+ (t)B+ t  =



  +   = ∓iεΘ ± t − t  A (t), B+ t  −ε = av = εGret, A+ B+

q. e. d.

Lösung zu Aufgabe 3.2.8

3.2.8

+∞ +∞   c    dE EGAB (E) − h¯ [A, B]−ε = dE [A, H]− ; B cE = −∞

=

−∞

+∞ +∞   i dE dt e ¯h Et [A, H]− (t); B(0) c = −∞

−∞

⎧ +∞ ⎨∞  i  = −i dE dt e ¯h Et [A, H]− (t)B(0) + ⎩ −∞

+ε

0

0

−∞

= 2πh¯2

⎫ ⎬   i dt e ¯h Et B(0)[A, H]− (t) = ⎭

⎧∞ ⎨ ⎩

  ˙ dt δ(t) A(t)B(0) +ε

0

−∞

0

⎫ ⎬ ˙ dt δ(t) B(0)A(t) = ⎭ 

    ˙ ˙ + ε B(0)A(0) q. e. d. = πh¯2 A(0)B(0)

Lösung zu Aufgabe 3.2.9

H=

 kσ

3.2.9

= ε(k)a+kσ akσ − μN

 kσ



ε(k) − μ a+kσ akσ .

514

Lösungen der Übungsaufgaben

Man berechnet leicht:

[akσ , H ] =



ε k − μ [akσ , a+k σ ak σ ]− = k σ 





= ε k − μ δkk δσσ ak σ = ε(k) − μ akσ . k σ 

Daraus folgt weiter:



2 [[akσ , H ]− H ]− = ε(k) − μ [akσ , H ]− = ε(k) − μ akσ .

Das bedeutet für die Spektralmomente:   + Mk(0) σ = [akσ , akσ ]+ = 1 ,   + Mk(1) σ = [[akσ , H ]− , akσ ]+ =

 

= ε(k) − μ [akσ , a+kσ ]+ = ε(k) − μ ,  $ ' + Mk(2) = σ = [[akσ , H ]− , H ]− , akσ

2 

= ε(k) − μ

[akσ , a+kσ ]+



+



2 = ε(k) − μ

Durch vollständige Induktion ergibt sich dann unmittelbar:

n Mk(n) σ = ε(k) − μ ; n = 0, 1, 2, . . . . Der Zusammenhang (3.178) mit der Spektraldichte, +∞ 1 Mk(n) = dE En Skσ (E) , σ h¯ −∞

führt dann zu der Lösung:

3.2.10



Skσ (E) = h¯δ E − ε(k) + μ .

Lösung zu Aufgabe 3.2.10 1.

+∞  p2 Sp(ρ) = e −β 2m dp = 2πmkB T −∞

2. Sp(ρ) H = Sp(ρH) 1 = 2m

=−

+∞ p2 p2 e −β 2m dp −∞

d dβ

+∞ p2 e −β 2m dp −∞

Lösungen der Übungsaufgaben

⇒ 3.

515

0 d 2πm 1 √ =− = 2πm β−3 | 2 dβ β 2 √

3 | 2 1 1 2πm

H = √ kB T = kB T 2 2πmkB T 2

  ¯ [p, p]− +

[p, H]− ; p  (+) EG(+) p (E) = h E =0       =0

=0

⇒ 4.  5.



1 p = h¯ 2

/0 G(+) p (E) ≡ 0 fürE =



+∞ − π1 Im G(+) E + i0+ p dE +D=D e βE − 1

−∞

    ¯ [p, p]+ +

[p, H]− ; p  (−) ¯ p2 EG(−) p (E) = h E = 2h    =0

⇒ „kombinierte“ Greenfunktion:   ⇒ 2h¯D = lim EG(−) ¯ p2 p (E) = 2h E→0  2 ⇒ D= p

G(−) p (E)

  2h¯ p2 = E

Widerspruch beseitigt, aber keine Information aus dem Spektraltheorem. 6. H = [p, H  ]− =

1 p2 + mω2 x2 2m 2

(ω → 0)

1 1 hmω2 x mω2 [p, x2 ]− = mω2 (x[p, x]− + [p, x]− p) = −i¯ 2 2   p2 i¯ h [x, H  ]− = x, = p 2m − m

Bewegungsgleichungskette: (+)  hmω2

x; p  (+) EG(+) p (E) = 0 +

[p, H ]− ; p  E = −i¯ E

E

x; p  (+) h2 +

[x, H  ]− ; p  = ih¯2 + E = i¯

¯3 mω2 + h¯2 ω2 G(+) E2 G(+) p (E) = h p (E)   1 2 1 h¯3 mω2 1 (+) Gp (E) = 2 = mh¯ ω − E − h¯2 ω2 2 E − h¯ω E + h¯ω ⇒

⇒

i¯ h (+) Gp (E) m

516

7.

Lösungen der Übungsaufgaben

Antikommutator-Greenfunktion:

  ¯ p2 − i¯ hmω2

x; p  (−) EG(−) p (E) = 2h E   i¯ h E

x; p  (−) ¯ xp + px + G(−) p (E) E =h m     ¯ p2 E − ih¯2 mω2 xp + px + h¯2 ω2 G(−) ⇒ E2 G(−) p (E) = 2h p (E)    2 2 2 h mω xp + px 2h¯ p E − i¯ ⇒ G(−) p (E) = 2 E − h¯2 ω2 Pole natürlich unverändert! 0 =0 ⇒ 2h¯D = lim EG(−) p (E) = E→0 −h¯2 ω2 ⇒ D=0

8.

1  2 p ω 2m +∞ + − 1 Im G(+) 1 p (E + i0 ) = dE π 2mh¯ e βE − 1

Hω =

−∞

+∞ h¯ω δ(E − h¯ω) − δ(E + h¯ω) = dE 4 e βE − 1 −∞   1 h¯ω 1 − = 4 e β¯hω − 1 e −β¯hω − 1 9.

  1 h¯ω 1 − lim Hω = lim ω→0 ω→0 4 e β¯hω − 1 e −β¯hω − 1   1 h¯ω 1 − = lim ω→0 4 βh¯ω −βh¯ω 1 ⇒ lim Hω = kB T ω→0 2 Das stimmt mit dem Ergebnis aus 2. überein!

Abschnitt 3.3.4 3.3.1

Lösung zu Aufgabe 3.3.1 1. Phononen können in beliebiger Zahl erzeugt und dann wieder vernichtet werden. Im thermodynamischen Gleichgewicht stellt sich die Teilchenzahl ein, für die die freie Energie F minimal wird:

∂F ! =0. ∂N Die linke Seite definiert andererseits μ!

Lösungen der Übungsaufgaben

2.

517

Bewegungsgleichung:     

  bqr , H − = h¯ωr (q) bqr , b+q r bq r = h¯ωr q bqr , b+q r bq r = −

q, r

−

q , r

= h¯ωr (q)bqr . Damit folgt:  $ ' = h¯ [E − h¯ωr (q)] Gαqr (E) = h¯ bqr , b+qr −

av (E) = Gret, q

⇒ 3.

h¯ . E − h¯ωr (q) ± i0+

In Aufg. 3.1.1 berechnet: bqr (t) = bqr e −iωr (q)t '  $ '  $  = e −iωr (q)(t − t ) bqr , b+qr bqr (t), b+qr t 

⇒

−

⇒

Gret qr





 t, t = −iΘ t − t  e −iωr (q)(t − t ) ,

−



 −iω (q) t−t 

r Gav . qr t, t = +iΘ t − t e Kontrolle durch Fourier-Transformation: Gret qr



1 t, t = 2πh¯ E=E−¯ hωr (q)

=

x=E|¯ h

=

+∞

i  dE e − ¯h E t−t −∞

e −iωr (q) t−t

e −iωr (q)(t − t ) 





1 2π

1 2π

h¯ = E − h¯ωr (q) + i0+

i  +∞ e − ¯h E(t − t ) dE = E + i0+

−∞

+∞  e −ix (t − t ) dx = x + i0+

−∞



 = −iΘ t − t  e −iωr (q)(t − t ) 4.

(s. Aufg. 3.2.4) .

Spektraldichte: Sqr (E) = −

1

π

Im Gret ¯δ(E − h¯ωr (q)) . qr (E) = h

Mittlere Besetzungszahl, Spektraltheorem: 

   mqr = b+qr bqr = D+qr [exp(βh¯ωr (q)) − 1]−1 ,

518

Lösungen der Übungsaufgaben

Dqr aus der kombinierten Antikommutator-Green-Funktion. Wegen '  $   bqr , b+qr = 1 + mqr +

gilt für diese: G(−) qr (E)

 

h¯ 1 + mqr = , E − h¯ωr (q)

ωr (q) = 0 nur für akustische Zweige für q = 0: q = 0 ⇐⇒ λ = ∞ :

makroskopische Translation des gesamten Kristalls! Uninteressant!

q =/ 0: Dqr =

1 lim EG(0) (E) = 0 . 2h¯ E → 0 qr

Es bleibt: 



−1 mqr = exp(h¯ωr q) − 1 Bose-Einstein-Funktion.

Innere Energie:     1    . h¯ωr (q) mqr + U= H = 2 qr

3.3.2

Lösung zu Aufgabe 3.3.2 1. Bewegungsgleichung:

[akσ , H ∗ ]− =      = akσ , a−p↓ ap↑ + a+p↑ a+−p↓ = t(p) akσ , a+pσ apσ − Δ pσ 

=

 pσ 

−

t(p)δσσ δkp apσ − Δ

−

p





δkp δσ↑ a+−p↓ − δk−p δσ↓ a+p↑ =

p



= t(k)akσ − Δ δσ↑ − δσ↓ a+−k − σ , ⎧ ⎨+1 für σ =↑ , zσ = ⎩ −1 für σ =↓ .

Lösungen der Übungsaufgaben

519

Damit lautet die Bewegungsgleichung:

  E − t(k) Gkσ (E) = h¯ − Δzσ a+−k − σ ; a+kσ . Die Green-Funktion auf der rechten Seite der Gleichung verhindert eine direkte Lösung. Wir stellen auch für diese die entsprechende Bewegungsgleichung auf: [a+−k − σ , H ∗ ]− = = −t(−k)a+−k − σ − Δ = −t(k)a+−k − σ − Δ

  a+−k − σ , a−p↓ ap↑ − = p





δkp δ−σ↓ ap↑ − δ−kp δ−σ↑ a−p↓ =

p

= −t(k)a+−k − σ − Δzσ akσ . Dies ergibt die folgende Bewegungsgleichung:

  E + t(k) a+−k − σ ; a+kσ = −Δzσ Gkσ (E) ⇒



a+−k − σ ; a+kσ



=−

zσ Δ Gkσ (E) . E + t(k)

Dies wird in die Bewegungsgleichung für Gret kσ (E) eingesetzt:   Δ2 E − t(k) − Gkσ (E) = h¯ . E + t(k) Anregungsenergien:  E(k) = + t 2 (k) + Δ2 −→ Δ Energielücke. t →0

Green-Funktion:



h¯ E + t(k) . Gkσ (E) = 2 E − E2 (k)

Berücksichtigung der Randbedingungen:   t(k) − E(k) h¯ t(k) + E(k) ret Gkσ (E) = . − 2E(k) E − E(k) + i0+ E + E(k) + i0+ 2.

Für Δ benötigen wir den Erwartungswert:  + +  ak↑ a−k↓ . Die Bestimmung gelingt mithilfe des Spektraltheorems und der im Teil 1. verwendeten Green-Funktion:  +  −Δ −h¯Δ a−k↓ ; a+k↑ E = Gk↑ (E) = 2 . E + t(k) E − E2 (k)

520

Lösungen der Übungsaufgaben

Unter Beachtung der Randbedingungen erhalten wir für die entsprechende retardierte Funktion:    +  1 h¯Δ 1 a−k↓ ; a+k↑ ret . = − E 2E(k) E + E(k) + i0+ E − E(k) + i0+ Dazu gehört die Spektraldichte: S−k↓; k↑ (E) =



 h¯Δ δ E + E(k) − δ E − E(k) . 2E(k)

Spektraltheorem: 

a+k↑ a+−k↓



1 = h¯

+∞ S−k↓; k↑ (E) dE = exp(βE) + 1

−∞

Δ

4

1 1



= − 2E(k) exp(−βE k) + 1 exp(βE k) + 1   Δ 1 tanh = βE(k) . 2E(k) 2 Daraus folgt schließlich:

   1  tanh 2 β t 2 (k) + Δ2 1  Δ = ΔV . 2 t 2 (k) + Δ2 k

Δ = Δ(T) ⇒ Energielücke ist T-abhängig. Δ ´ Tc

T

Abb. A.9.

Spezialfall:

 T→0

⇒

3.3.3

⇒

tanh

 1 2 β t (k) + Δ2 → 1 2

dasselbe Ergebnis wie in Aufg. 2.3.6 für Δk ≡ Δ.

Lösung zu Aufgabe 3.3.3 1. Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion: Induktionsanfang p = 1, 2:

[akσ , H ∗ ]− = t(k)akσ − zσ Δa+−k − σ (s. Aufg. 3.3.2) ,

5 =

Lösungen der Übungsaufgaben

521

[[akσ , H ∗ ]− , H ∗ ]− = t(k) t(k)akσ − zσ Δa+−k − σ −

− zσ Δ −t(k)a+−k − σ − zσ Δakσ =

= t 2 (k) + Δ2 akσ . Induktionsschluss p −→ p + 1 : a) p gerade:   . . . [[akσ , H ∗ ]− , H ∗ ]− , . . ., H ∗ =    − (p + 1)-facher Kommutator

p | 2

p | 2

takσ − zσ Δa+−k − σ . = t 2 + Δ2 [akσ , H ∗ ]− = t 2 + Δ2 b) p ungerade:   . . . [[akσ , H ∗ ]− , H ∗ ]− , . . ., H ∗ =    − (p + 1)-facher Kommutator

(1 | 2)(p−1) = t 2 + Δ2 [takσ − zσ Δa+−k − σ , H ∗ ]− =

(1 | 2)(p−1)



 = t 2 + Δ2 t takσ − zσ Δa+−k − σ − zσ Δ −ta+−k − σ − Δzσ akσ =

(1 | 2)(p+1) = t 2 + Δ2 akσ

q. e. d.

Für die Spektralmomente der Ein-Elektronen-Spektraldichte folgt damit unmittelbar: n = 0, 1, 2, . . .

2 2 n , Mk(2n) σ = t (k) + Δ

n + 1) Mk(2n = t 2 (k) + Δ2 t(k) . σ

2.

Wir benutzen: Mk(n) σ

1 = h¯

+∞ dE En Skσ (E) . −∞

Bestimmungsgleichungen aus den ersten vier Spektralmomenten:

α1σ + α2σ = h¯ , α1σ E1σ + α2σ E2σ = ht ,







α1σ E12σ + α2σ E22σ = h¯ t 2 + Δ2 , α1σ E13σ + α2σ E23σ = h¯ t 2 + Δ2 t .

522

Lösungen der Übungsaufgaben

Dies lässt sich umformen:



α2σ E2σ − E1σ = h¯ t − E1σ ,



α2σ E2σ E2σ − E1σ = h¯ t 2 + Δ2 − tE1σ ,





α2σ E22σ E2σ − E1σ = h¯ t 2 + Δ2 t − E1σ . Nach Division folgt: E22σ = t 2 + Δ2

 E2σ (k) = + t 2 (k) + Δ2 ≡ E(k) .

⇒

Dies hat weiter zur Folge: t 2 + Δ2 − tE1σ Δ2 =t+ t − E1σ t − E1σ

−1 2 E(k) − t(k) Δ = t(k) − E1σ (k)

E(k) = ⇒

⇒ E1σ (k) = t(k) −

Δ2 E(k) − t(k)

=

E(k)t(k) − E2 (k) E(k) − t(k)

⇒ E1σ (k) = −E(k) = −E2σ (k) . Spektrale Gewichte:



α2σ (k)2E(k) = h¯ t(k) + E(k ⇒

α2σ (k) = h¯



t(k) + E(k) , 2E(k)

α1σ (k) = h¯ − α2σ (k) = h¯  ⇒

3.3.4

Skσ (E) = h¯

E(k) − t(k) 2E(k)



E(k) + t(k)

E(k) − t(k) δ E + E(k) + δ E − E(k) . 2E(k) 2E(k)

Lösung zu Aufgabe 3.3.4 1. Alle Hk kommutieren. Wir brauchen also nur ein festes k zu betrachten. Mit dem normierten Vakuumzustand |0 und der Tatsache, dass es sich um Fermionen handelt, kommen nur die folgenden vier Zustände in Frage:

|0, 0 = |0 ; |1, 0 = a+k↑ |0 ; |0, 1 = a+−k↓ |0 ; |1, 1 = a+k↑ a+−k↓ |0 .

Lösungen der Übungsaufgaben

523

Die Wirkung von Hk auf diese Zustände ist leicht ablesbar: Hk |0, 0 = −Δ |1, 1 , Hk |1, 0 = t(k) |1, 0 , Hk |0, 1 = t(k) |0, 1 , Hk |1, 1 = 2t(k) |1, 1 − Δ |0, 0 . Dies ergibt die folgende Hamilton-Matrix: ⎛ 0 0 0 −Δ ⎜ ⎜ 0 t(k) 0 0 Hk ≡ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 t(k) 0 −Δ 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ ⎠

0 2t(k)

Die Eigenwerte ergeben sich aus der Forderung: !  det Hk − E1 = 0 , ⎛ −E 0 −Δ ⎜ 0 = (t − E) det ⎜ 0 t − E 0 ⎝ −Δ

0

⎞ ⎟ ⎟= ⎠

2t − E

 = (t − E) −E(t − E)(2t − E) − Δ2 (t − E) ⇒

E1, 2 (k) = t(k) , 0 = −E(2t − E) − Δ2

⇐⇒

Δ2 = E2 − 2tE .

Damit haben wir insgesamt die folgenden Eigenenergien:  E0 (k) = t(k) − t 2 (k) + Δ2 = t(k) − E(k) , E1 (k) = E2 (k) = t(k) ,  E3 (k) = t(k) + t 2 (k) + Δ2 = t(k) + E(k) . 2.

Ansatz:

   E0 (k) = α0 |0, 0 + α1 |1, 0 + α2 |0, 1 + α3 |1, 1 ,

  Hk − E0 (k)1  E0 (k) = 0 , ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 0 −E0 0 0 −Δ α0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 t − E0 0 0 ⎟ ⎜α1 ⎟ ⎜0⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ 0 t − E0 0 ⎠ ⎝α2 ⎠ ⎝0⎠ ⎝ 0 0 −Δ 0 0 2t − E0 α3

524

Lösungen der Übungsaufgaben

⇒ α1 = α2 = 0 , E0 α0 + Δα3 = 0 ; ⇒ α20 =

Δ2

1 − α20

α20 + α23 = 1



α20 =

⇒

Δ2

E02 + Δ2

Δ2 t 2 + Δ2 + tE(k) 1 Δ2 1 2

= ⇒ α0 = 2 = 2 t + Δ2 − tE(k) 2 t 4 + Δ4 + 2t 2 Δ2 − t 2 t 2 + Δ2 √ 1 t 2 + Δ2 + t t 2 + Δ2 = 2 Δ2 + t 2   t(k) 1 2 1+ √ ≡ u2k (s. Aufg. 2.3.6) . ⇒ α0 = 2 t 2 + Δ2 Damit folgt auch:   t(k) 1 1− √ ≡ vk2 (s. Aufg. 2.3.6) . α23 = 2 t 2 + Δ2 E02

Der Grundzustand lautet damit:      E0 (k) = uk + vk a+ a+ k↑ −k↓ |0 . Die beiden Ein-Teilchen-Zustände sind klar:    E1 (k) = a+ |0 , k↑    E2 (k) = a+ |0 . −k↓

  Bleibt noch  E3 (k) zu berechnen: ⎞⎛ ⎞ ⎛ −t(k) − E(k) 0 0 −Δ γ0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −E(k) 0 0 ⎟ ⎜γ1 ⎟ = 0 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 0 0 −E(k) 0 ⎠ ⎝γ2 ⎠ ⎝ −Δ 0 0 t(k) − E(k) γ3

γ1 = 0 = γ2 ,

⇒

(t + E)γ0 + Δγ3 = 0 ; ⇒ γ02 = + ⇒

γ02 =

Δ2

Δ2 (t + E)2



1 − γ02

Δ2 + (t

γ02 + γ32 = 1

+ E)2

=

2Δ2

Δ2 + 2t 2 + 2tE

=

Lösungen der Übungsaufgaben

525

1 Δ2 (Δ2 + t 2 − tE) = 4 4 2 Δ + t + 2t 2 Δ2 − t 2 (t 2 + Δ2 )   t 1 1− √ = vk2 = 2 t 2 + Δ2 =

⇒

γ32 = u2k

     E3 (k) = vk − uk a+ a+ k↑ −k↓ |0 ,

⇒

Minuszeichen, damit E0 | E3  = 0 gilt! 3. 

Δ30 = 2 t 2 (k) + Δ2 erscheint als Zwei-Teilchen-Anregung nicht als Pol der Ein-Elektronen-GreenFunktion!  Δ32 = Δ31 = Δ20 = Δ10 = t 2 (k) + Δ2 ≡ E(k) . Diese Ein-Teilchen-Anregungen sind mit den Polen der Green-Funktion aus Aufg. 3.3.3 identisch!

Lösung zu Aufgabe 3.3.5 1.      +  E0 (k) = uk a+k↑ − vk a−k↓ uk + vk a+k↑ a+−k↓ |0 = ρk↑

3.3.5



 = u2k + vk2 a+k↑ |0 =  E1 (k) , 





+  E0 (k) = uk a+−k↓ + vk ak↑ ρ−k↓

  uk + vk a+k↑ a+−k↓ |0 =



 = u2k + vk2 a+−k↓ |0 =  E2 (k) , 











+  E1 (k) = uk a+−k↓ + vk ak↑ a+k↑ |0 = vk − uk a+k↑ a+−k↓ |0 = ρ−k↓

  =  E3 (k) , 











+  E2 (k) = uk a+k↑ − vk a+−k↓ a+−k↓ |0 = − vk − uk a+k↑ a+−k↓ |0 = ρk↑

  = −  E3 (k) .

526

Lösungen der Übungsaufgaben

2.   + [ρp↑ , ρk↑ ]+ = up ap↑ − vp a+−p↓ , uk a+k↑ − vk a−k↓ = +

    = up uk ap↑ , a+k↑ + vp vk a+−p↓ , a−k↓ = +

+

= u2k + vk2 δpk = δpk ,

ρp↑ , ρk↑

 +

  = up ap↑ − vp a+−p↓ , uk ak↑ − vk a+−k↓ = 0 . +

3.     + + H ∗ , ρk↑ = Hk , ρk↑ = −

−

  = t(k) a+k↑ ak↑ + a+−k↓ a−k↓ , uk a+k↑ − vk a−k↓ − −

  − Δ a+k↑ a+−k↓ + a−k↓ ak↑ , uk a+k↑ − vk a−k↓ = −

    = t(k)uk a+k↑ ak↑ , a+k↑ − t(k)vk a+−k↓ a−k↓ , a−k↓ + −

−

    + Δvk a+k↑ a+−k↓ , a−k↓ − Δuk a−k↓ ak↑ , a+k↑ = −

    = t(k) uk a+k↑ + vk a−k↓ + Δ vk a+k↑ − uk a−k↓ , 

tu + Δv u

2 =

t 2 u2 + Δ2 v2 + 2t Δuv , u2

2tuv = 2t ⇒

 1 | 2

t2 tΔ 1 1− 2 =√ = Δ u2 − v2 2 2 t +Δ t 2 + Δ2 tu + Δv √ 2 = t + Δ2 . u

Analog zeigt man:

⇒

√ tv − Δu = − t 2 + Δ2 v     + + H ∗ , ρk↑ = E(k) uk a+k↑ − vk a−k↓ = E(k)ρk↑ . −

H ∗ beschreibt den Supraleiter als ein System von wechselwirkungsfreien Bogolonen. Das sind die durch ρ+ erzeugten Quasiteilchen der Supraleitung!

Lösungen der Übungsaufgaben

527

4.

[H ∗ , ρk↑ ]− = −E(k)ρk↑ , '

+ ρk↑ , ρk↑

 $ +

=1

ret  (E) = Gk↑

⇒

h¯ . E + E(k) + i0+

Lösung zu Aufgabe 3.3.6 Innere Energie:

3.3.6

U − E0 = H − E0  = h¯ωqr nqr  q,r

=



 −1 h¯ωqr e β¯hωqr − 1

q,r

=

∞ 

h¯ωqr e −β¯hωqr n

q,r n=1

Dies benutzen wir mit E0 = U(0) in T

dT 

F(T) − U(0) = −T

U(T  ) − U(0) T 2

0

T

∞ dT    h¯ωqr exp(−β h¯ωqr n) T 2 q,r n=1

= −T 0

β = kB T ∞

dβ

∞ 

h¯ωqr exp(−β h¯ωqr n)

q,r n=1

β  ∞   1  = −kB T exp(−β h¯ωqr n) n  q,r n=1

∞

= −kB T

∞  q,r n=1

1 exp(−βh¯ωqr n) n

528

Lösungen der Übungsaufgaben

= kB T



  ln 1 − e −β¯hωqr

q,r

= −kB T



−1  ln 1 − e −β¯hωqr

q,r

= −kB T



⎛ ln ⎝

q,r

⎞

∞ 

e −β¯hωqr nqr ⎠

nqr =0

⎞ ⎛ ∞  e −β¯hωqr nqr ⎠ = −kB T ln ⎝ qr nqr =0

⎛ = −kB T ln ⎝

⎞⎛

∞ 

e −β¯hωq1 r1 nqr ⎠ ⎝

nq1 r1 =0

⎛ = −kB T ln ⎝

= −kB T ln ⎝

{nqr }

nqr =N ∞  

N=0

⎞

e −β¯hωq2 r2 nq2 r2 ⎠ · · ·

nq2 r2 =0

nqr =N ∞   

N=0

⎛

∞ 

⎞

e −β¯hωqr nqr ⎠

qr

⎞

e

−β

nqr

¯ hωqr nqr

⎠

{nqr }

Damit gilt:

F(T) − U(0) = −kB T ln Sp exp(−β(H − E0 )) Mit U(0) = E0 folgt weiter:

F(T) = E0 − kB T ln Sp exp(−β(H − E0 ))

= E0 − kB T ln exp(βE0 ) Sp exp(−βH)

= −kB T ln Sp exp(−βH) Das war zu zeigen!

Abschnitt 3.4.6 3.4.1

Lösung zu Aufgabe 3.4.1 Mit

H0 =

 kσ



ε(k) − μ a+kσ akσ

Lösungen der Übungsaufgaben

529

berechnen wir zunächst:

[akσ , H0 ]− = =



ε k − μ [akσ , a+k σ ak σ ]− = k σ 





ε k − μ δkk δσσ ak σ = ε(k) − μ akσ .

k  ,σ 

Mehr Aufwand erfordert der Wechselwirkungsterm:

[akσ , H − H0 ]− = =

  1 vk p (q) akσ , a+k + qσ a+p − qσ apσ ak σ = − 2  k pq

σ σ

=

 1  vk p (q) δσσ δk, k +q a+p − qσ apσ ak σ − 2  k , p, q

σ σ

 − δσσ δkp − q a+k + qσ apσ ak σ = =

1 vk − qp (q)a+p − qσ apσ ak − qσ − 2  pqσ

−

1  vk k + q (q)a+k + qσ ak + qσ ak σ . 2   k qσ

Im ersten Summanden: q → −q ;

vk + q, p (−q) = vp, k + q (q) (s. (3.313)) .

Im zweiten Summanden: k → p ;

σ → σ .

Die beiden Summanden lassen sich dann zusammenfassen:  vp, k + q (q)a+p + qσ apσ ak + qσ . [akσ , H − H0 ]− = pqσ 

Bewegungsgleichung: 

  E − ε(k) + μ Gkret ¯+ vp, k + q (q) a+p + qσ apσ ak + qσ ; a+kσ ret E . σ (E) = h pqσ 

530

3.4.2

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 3.4.2

H0 =

 kσ



ε(k) − μ a+kσ akσ .

Damit berechnet man leicht:

[akσ , H0 ]− = ε(k) − μ akσ ,

[a+kσ , H0 ]− = − ε(k) − μ a+kσ ,

[a+kσ ak σ , H0 ] = [a+kσ , H0 ]− ak σ + a+kσ [ak σ , H0 ]− =





= − ε(k) − μ a+kσ ak σ + ε k − μ a+kσ ak σ =

= ε k − ε(k) a+kσ ak σ . | ψ0  ist Eigenzustand zu H0 , denn:       H0  ψ0 = a+kσ ak σ H0  E0 − [a+kσ ak σ , H0 ]−  E0 =

  = E0 − ε k + ε(k)  ψ0 . Zeitabhängigkeit:        ψ0 (t) = a+ (t)ak σ (t)  E0 = e ¯hi H0 t a+ ak σ e − ¯hi H0 t  E0 = kσ kσ     i i i i  = e − ¯h E0 t e ¯h H0 t  ψ0 = e − ¯h E0 t e ¯h (E0 + ε(k ) − ε(k))t  ψ0      ψ0 (t) = e − ¯hi (ε(k ) − ε(k))t  ψ0 .

⇒

Mit E0 | E0  = 1 folgt noch: 













ψ0  ψ0 = E0  a+k σ akσ a+kσ ak σ  E0 =

   

= E0  a+k σ 1 − nkσ ak σ  E0 =     = E0  a+  ak σ  E0 = kσ

    = E0  1 − ak σ a+k σ  E0 =    = E0  E0 = =1.



k > kF 

k < kF

Lösungen der Übungsaufgaben

531

Damit gilt schließlich:  ⇒





ψ0 (t)  ψ0 t 

 

i

= exp − ε k − ε(k) t − t  h¯

    ψ0 (t)  ψ0 t   2 = 1 :

stationärerZustand.

Lösung zu Aufgabe 3.4.3

3.4.3



−1 Gkret ¯ E − ε(k) + μ − Σσ (k, E) σ (E) = h allgemeine Darstellung. 1.

Es muss gelten: !

E − ε(k) + μ − Σσ (k, E) = E − 2ε(k) +

E2 + iγ |E| ε(k) 

⇒

Σσ (k, E) = Rσ (k, E) + iIσ (k, E) = ε(k) + μ −

⇒

Rσ (k, E) = ε(k) + μ −

E2 , ε(k)

E2 ε(k)



− iγ |E|

Iσ (k, E) = −γ |E| .

2.

E2 (k) ! Eiσ (k) = ε(k) − μ + Rσ k, Eiσ (k) = 2ε(k) − iσ ε(k) ⇒

Ei2σ (k) + ε(k)Eiσ (k) = 2ε2 (k) ,  2 1 9 Eiσ (k) + ε(k) = ε2 (k) . 2 4

Es ergeben sich zwei Quasiteilchen-Energien: E1σ (k) = −2ε(k) ;

E2σ (k) = ε(k) .

Spektrale Gewichte (3.340):   −1     Eiσ (k) −1 ∂ αiσ (k) = 1 − Rσ (k, E) = 1 + 2 ∂E ε(k)  E = Eiσ ⇒

α1σ (k) = α2σ (k) =

1 . 3

532

Lösungen der Übungsaufgaben

Lebensdauern:  

Iσ k, E1σ (k) = −2γ ε(k) = I1σ (k) ,  

Iσ k, E2σ (k) = −γ ε(k) = I2σ (k)

τ1σ (k) =

⇒ 3.

3h¯   ;  2γ ε(k)

Quasiteilchen-Konzept brauchbar, falls     Iσ (k, E) << ε(k) − μ + Rσ (k, E)     Iσ (k, Eiσ ) << Eiσ (k)

⇐⇒ ⇐⇒

    γ Eiσ (k) << Eiσ (k)

γ << 1 .

⇐⇒ 4.



∂Rσ (k, E) ∂E 

 ε(k)

∂Rσ (k, E) ∂ε(k) ⇒

3.4.4

3h¯

τ2σ (k) =   . γ ε(k)

=−

2E

ε(k)

 =1+ E

,

E2

ε2 (k)

m∗1σ (k) = m

1 1−4 =− m, 1+5 2

m∗2σ (k) = m

1+2 =m. 1+2

Lösung zu Aufgabe 3.4.4 Die Selbstenergie ist reell und k-unabhängig. Deswegen gilt mit (3.376):   E − bσ . ρσ (E) = ρ0 [E − Σσ (E − μ)] = ρ0 E − aσ E − cσ

Lösungen der Übungsaufgaben

533

Untere Bandkanten: !

0 = E − aσ ⇐⇒

E − bσ E − cσ

0 = E2 − (aσ + cσ )E + aσ bσ =

 

2

2 1 1 aσ + cσ aσ + cσ = E− + aσ bσ − 2 4   A

2 1 (u) aσ + cσ ∓ aσ + cσ − 4aσ bσ . E1, 2σ = 2

⇒ Obere Bandkanten: !

W = E − aσ ⇐⇒

E − bσ E − cσ



−cσ W = E2 − aσ + cσ + W E + aσ bσ ,

 

2

1

2 1 aσ + cσ + W aσ + cσ + W 0= E− + aσ bσ + cσ W − 2 4 A

2

 1 (o) a aσ + cσ + W − 4 aσ bσ + cσ W . ⇒ E1, = + c + W ∓ σ σ 2σ 2 Quasiteilchen-Zustandsdichte: ⎧ (o) ⎪ ⎪ falls E1(u) 1|W , ⎪ σ ≤ E ≤ E1σ , ⎨ (o) ρσ (E) = 1 | W , falls E2(u) σ ≤ E ≤ E2σ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 , sonst. Bandaufspaltung in zwei Quasiteilchen-Teilbänder! Lösung zu Aufgabe 3.4.5 Nach Glg. (4.5) lautet die exakte Bewegungsgleichung der (retardierten) Ein-Elektronen-Green-Funktion:  (E + μ) Gijσ (E) = h¯δij + Tim Gmjσ (E) + U Γiii,jσ (E) m

mit der „höheren“ Green-Funktion

Γilm,jσ (E) ≡

a†i−σ al−σ amσ ; a†jσ E

3.4.5

534

Lösungen der Übungsaufgaben

 und Spektraltheorem: Innere Energie U  1   = H = Tij a†iσ ajσ  + U

niσ ni−σ  U 2 iσ ijσ ⎧    1 1 +∞ dE ⎨ Tij − Im Gjiσ (E) = h¯ −∞ e βE + 1 ⎩ π ijσ

 8 1 1  − Im Γiii,iσ (E) + U 2 iσ π Aus der Bewegungsgleichung folgt unmittelbar:        1 1 1 Tim − Im Gmiσ (E) U − Im Γiii,iσ (E) = (E + μ) − Im Giiσ (E) −

π

π

m

π

Damit ist die innere Energie durch die Ein-Teilchen-Green-Funktion ausdrückbar:    +∞

1 dE  1 = T + δ (E + μ ) − Im G (E) U ij ij jiσ 2h¯ −∞ e βE + 1 π ijσ

Fourier-Transformation:

1  ε(k) e ik·(Ri −Rj ) N

Tij =

k

1  Gijσ = Gkσ (E) e ik·(Ri −Rj ) N k

1  −ik·(Ri −Rj ) δij = e N k

1  i(k−k )·Ri = e N i

δkk Mit



Giiσ (E) =

i

und

 ij

Tij Gijσ (E) =



Gkσ (E)

k

 1   ε(k) Gk σ (E) e i(k−k )·(Ri −Rj ) N2  ij

kk

1  = ε(k) Gk σ (E) δkk N i kk  = ε(k) Gkσ (E) k

Lösungen der Übungsaufgaben

535

folgt für die innere Energie:    +∞

1 dE  1 = E + μ + ε (k) − Im G (E) U k σ 2h¯ −∞ e βE + 1 π kσ



1  +∞ dEf− (E) E + ε(k) Skσ (E − μ) = 2h¯ −∞ kσ

Das ist die Gleichung (3.368)!

Abschnitt 4.1.7 Lösung zu Aufgabe 4.1.1 Hubbard-Hamilton-Operator in der Wannier-Darstellung:  1  H= Tij a+iσ ajσ + U niσ ni−σ . 2 i, σ ijσ

Nach (2.37) gilt für die Hopping-Integrale, 1  Tij = ε(k) e ik · (Ri − Rj ) , N k

und für die Konstruktionsoperatoren: 1  aiσ = √ akσ e ik · Ri . N k Damit folgt für den Ein-Teilchen-Anteil:  Tij a+iσ ajσ = ijσ

=

 1  ε(k)a+pσ aqσ e ik · (Ri − Rj ) e ip · Ri e −iq · Rj = 2 N k, p, q

=

 k, p, q

σ

=

 pσ

σ

i, j

ε(k)a+pσ aqσ δk, −p δk, −q =

 p, σ

ε(−p)a+pσ apσ =

ε(p)a+pσ apσ , da ε(−p) = ε(p) .

4.1.1

536

Lösungen der Übungsaufgaben

Für den Wechselwirkungsterm benötigen wir: 1  −i (k1 − k2 ) · Ri + niσ = e ak1 σ ak2 σ , N  i, σ

=

k1 , k2

niσ ni − σ =

1  + ak1 σ ak2 σ a+p1 −σ ap2 −σ e −i (k1 − k2 + p1 − p2 ) · Ri = N 2 i, σ k1 , k2 p1 , p2

=

1 N



δk1 + p1 , k2 + p2 a+k1 σ ak2 σ a+p1 − σ ap2 − σ =

k1 , k2 , p1 , p2

σ

=

1 N



a+k1 σ a+k2 + p2 − k1 − σ ap2 − σ ak2 σ =

k1 , k2 , p2

σ

=

1 N

 k, p, q, σ

a+k + qσ a+p − q − σ ap − σ akσ .

Im letzten Schritt wurde substituiert: k2 → k, p2 → p, k1 → k + q. Damit lautet der Hubbard-Hamilton-Operator in der Bloch-Darstellung:  U  + ε(p)a+pσ apσ + ak + qσ a+p − q − σ ap − σ akσ . H= 2N pσ kpqσ

Vergleich mit (2.63): Jellium

Hubbard

h¯2 k2

←→ ε(k)

2m v0 (q) =

4.1.2

e2 V ε0 q2

←→

(Tight-Binding-Näherung)

U δσ , −σ . N

Lösung zu Aufgabe 4.1.2 Sei zunächst x =/ 0: 1 β lim = lim β e −β |x| = 0 . 2 β → ∞ 1 + cosh(βx) β → ∞

Lösungen der Übungsaufgaben

537

Für x = 0 divergiert der Ausdruck. Es gilt außerdem: +∞ ∞ 1 β β dx dx lim = lim , 2 β → ∞ 1 + cosh(βx) β → ∞ 1 + cosh(βx)

−∞

0

∞ dx 0

∞

β

=

1 + cosh(βx)

1 dy = 1 + cosh y

0 ∞

=

∞ dy 0

dz 0

1 2 cosh2

y 2

=

∞ 1  = tanh z  =1−0=1. 2 0 cosh z

Nach (1.2) und (1.3) in Bd. 3 sind damit die Eigenschaften der δ-Funktion erfüllt! Lösung zu Aufgabe 4.1.3 1. Jellium-Modell (2.63):

H=

 kσ

4.1.3

ε0 (k)a+kσ akσ +

q =/ 0 1 v0 (q)a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ , 2 kpq

σ, σ

ε0 (k) =

h¯2 k2 ; 2m

v0 (q) =

1 e2 . V ε0 q2

Hartree-Fock-Näherung am Wechselwirkungsterm:    (q =/ 0) a+k + qσ a+p − qσ apσ akσ = − a+k + qσ apσ a+p − qσ akσ $   ' $ ' HFN −−→ − a+k + qσ apσ a+p − qσ akσ − a+k + qσ apσ a+p − qσ akσ + $' $ ' + a+k + qσ apσ a+p − qσ akσ =       = δp, k + q δσσ − nk + qσ nkσ − nk + qσ nkσ  + nk + qσ nkσ  . Über die Erwartungswerte konnten wir im letzten Schritt Impuls- und Spinerhaltung ausnutzen. Wir definieren noch:

ασ (k) = 



βσ =

=/ 0 

=/ k      v0 (q) nk+qσ = v0 (p − k) npσ ,

q

p q =/ 0

  1  v0 (q) nk + qσ nkσ  . 2 k, q, σ

Damit lässt sich der Jellium-Modell-Hamilton-Operator wie folgt schreiben:     HHFN = ε0 (k) − ασ (k) a+kσ akσ + βσ . kσ

538

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Die Bewegungsgleichung der Ein-Elektronen-Green-Funktion ist leicht abgeleitet,

E − ε0 (k) + μ + ασ (k) Gkσ (E) = h¯ , und ebenso leicht gelöst: h¯ . E − ε0 (k) + μ + ασ (k) + i0+

Gkret σ (E) =

Daran liest man unmittelbar die Spektraldichte ab:

Skσ (E) = h¯δ E − ε0 (k) + μ + ασ (k) . 3.  1 

nkσ  = a+kσ akσ = h¯

+∞

Skσ (E) dE βE = f− E = ε0 (k) − ασ (k) . e +1

−∞

Implizite Bestimmungsgleichung, da 



ασ (k) =

=/ k 

  v0 (p − k) npσ .

p

4.

Nach (3.382) gilt: 1  U(T) = 2h¯

+∞

dE f− (E) E + ε0 (k) Skσ (E − μ) .

kσ −∞

Dies bedeutet: U(T) =

1  2ε0 (k) − ασ (k) nkσ  . 2 kσ

5.

Es ist damit offensichtlich: U(T) = HHFN . Bei T = 0 wird die Mittelung mit dem Grundzustand durchgeführt: U(T = 0) =

 kσ

ε0 (k) nkσ 0 −

q =/ 0   1 v0 (q) nk + qσ 0 nkσ 0 . 2 kqσ

Das ist formal identisch mit dem Resultat der Störungstheorie erster Ordnung (2.92). Der Unterschied liegt in den verschiedenen Grundzuständen, die zur Mittelung herangezogen werden. In (2.92) war es der des wechselwirkungsfreien Systems (gefüllte Fermi-Kugel).

Lösungen der Übungsaufgaben

539

Lösung zu Aufgabe 4.1.4 Band-Limit:

4.1.4

Gkret(0) σ (E) =

h¯ . E − ε(k) + μ + i0+

Atomares Limit (4.11):

h¯ 1 − n−σ  h¯ n−σ  Gσ (E) = + . + E − T0 + μ + i0 E − T0 − U + μ + i0+ ret

1.

Stoner-Näherung (4.23): h¯ . E − ε(k) − U n−σ  + i0+

Gkret σ (E) = 2.

Das Band-Limit ist ganz offensichtlich erfüllt, nicht jedoch das atomare! Hubbard-Näherung (4.49), (4.50): Band-Limit U → 0

Σσ (E) ≡ 0,

⇐⇒

Hubbard-Näherung in dieser Grenze korrekt. Im atomaren Limit (ε(k) → T0 ∀k) gilt nach (4.50): Gkσ (E) =

h¯ E − T0 + μ −

U n−σ (E+μ−T0 ) E+μ−U(1− n−σ )−T0

=



h¯ E − T0 + μ − U 1 − n−σ  =

2

= E − T0 + μ − U E − T0 + μ





h¯ E − T0 + μ n−σ  + E − T0 − U + μ 1 − n−σ 



= = E − T0 + μ E − T0 − U + μ =

h¯ n−σ  h¯ (1 − n−σ ) + . E − T0 − U + μ E − T0 + μ

Dies stimmt mit (4.11) überein, wenn man noch die Randbedingung der retardierten Funktion durch Einfügen von +i0+ im Nenner erfüllt. Die Hubbard-Näherung ist also in beiden Grenzfällen exakt.

Lösung zu Aufgabe 4.1.5 Die Lösung ergibt sich unmittelbar aus Teil 2. von Aufg. 4.1.4:

Σσ (E) = U n−σ 

E + μ − T0

. E + μ − T0 − U 1 − n−σ 

Die Selbstenergie des atomaren Limits ist also mit der der Hubbard-Lösung (4.49) identisch!

4.1.5

540

4.1.6

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 4.1.6 1.     S+i , S−j = h¯2 δij a+i↑ ai↓ , a+i↓ ai↑ = h¯2 δij {ni↑ − ni↓ } = 2h¯δij Siz , −

−

  

1  Siz , S+j ni↑ − ni↓ , a+j↑ aj↓ = h¯2 − − 2      1 = = h¯2 δij ni↑ , a+i↑ ai↓ − ni↓ , a+i↑ ai↓ − − 2    1 = h¯2 δij a+i↑ ai↓ − −a+i↑ ai↓ = h¯δij S+i , 2  1       = Siz , S−j = h¯2 ni↑ , a+j↓ aj↑ − ni↓ , a+j↓ aj↑ − − 2   1 = h¯2 δij −a+i↓ ai↑ − a+i↓ ai↑ = −h¯δij S−i . 2 2.

Es gilt zunächst ganz allgemein für Spin-Operatoren: 2 y 2

y  y y

S+i S−i = Sxi + iSi Sxi − iSi = Sxi + Si + i Si , Sxi − = 2 = Si · Si − Siz + h¯Siz . Damit folgt weiter:

2 1

1 1 ni↑ − ni↓ − ni↑ − ni↓ = Si · Si = a+i↑ ai↓ a+i↓ ai↑ + h¯ 4 2   1

1 2 ni↑ + n2i↓ − 2ni↑ ni↓ − ni↑ − ni↓ = = ni↑ − ni↑ ni↓ + 4 2 2

3 3 3 = ni↑ + ni↓ − ni↑ ni↓ niσ = niσ 4 4 2  2  1 , ⇒ − 2 Si · Si = ni↑ ni↓ − N 3h¯ i 2 i = N

 i, σ

niσ .

Feldterm:

μB B0

 i, σ

zσ niσ e −ik · Ri = b

 h¯  zσ niσ e −ik · Ri = b Siz e −ik · Ri . 2 i, σ i

Dabei haben wir benutzt: b=2

μB h¯

B0 ;

z↑ = +1 ;

z↓ = −1 .

Lösungen der Übungsaufgaben

541

Hubbard-Hamilton-Operator:   2U  1 −b H= Tij a+iσ ajσ − 2 Si · Si + U N Siz e −ik · Ri . 3h¯ i 2 i ijσ

3.

  

z  S (k), S± (q) − = e −i (k · Ri + q · Rj ) Siz , S± = j i, j

= ±h¯

−



e −i (k + q) · Ri S± ¯S± (k + q) . i = ±h

i

Analog:

[S+ (k), S− (q)]− = 2h¯S z (k + q) .

Lösung zu Aufgabe 4.1.7 1. Für die Spin-Spin-Wechselwirkung schreiben wir:  1   i (k + p) · Ri Si · Si = 2 e S(k) · S(p) = N i i k, p

1  1  δp, −k S(k) · S(p) = S(k) · S(−k) . = N N p, k

k

Für den Feldterm lesen wir direkt ab:  Siz e −ik · Ri = S z (K) . i

Den Operator der kinetischen Energie haben wir bereits früher auf Wellenzahlen transformiert:   Tij a+iσ ajσ = ε(k)a+kσ akσ . ijσ

kσ

Damit folgt mit Teil 3. von Aufg. 4.1.6 unmittelbar die Behauptung. 2.

 k

=

[S− (−k − K), S+ (k + K)]+ =

  S−i , S+j e i (k + k) · Ri e −i (k + k) · Rj = k

=N

i, j

 i, j

+



δij S−i , S+j

 +

e ik · (Ri − Rj ) = N



S−i S+i + S+i S−i , i



S−i S+i = h¯2 a+i↓ ai↑ a+i↑ ai↓ = h¯2 ni↓ 1 − ni↑ ,

S+i S−i = h¯2 a+i↑ ai↓ a+i↓ ai↑ = h¯2 ni↑ 1 − ni↓ .

4.1.7

542

Lösungen der Übungsaufgaben

3.

⎡ ⎣S+ (k),

⎤



S(p) · S(−p)⎦ =

p

=



−

[S+ (k), S z (p)]− S z (−p) + S z (p) [S+ (k), S z (−p)]− +

p

1 + 1 [S (k), S+ (p)]− S− (−p) + S+ (p) [S+ (k), S− (−p)]− + 2 2 1 1 + [S+ (k), S− (p)]− S+ (−p) + S− (p) [S+ (k), S+ (−p)]− = 2 2  −h¯S+ (k + p)S z (−p) − h¯S z (p)S+ (k − p)+ = +

p

 + 0 + h¯S+ (p)S z (k − p) + h¯S z (k + p)S+ (−p) +0 = 0 ,       p→p+k

+   = h¯ S (k), N −



p→p−k

  e −ik · Ri a+i↑ ai↓ , a+jσ ajσ = −

i, j

σ

= h¯

 ijσ

= h¯



  e −ik · Ri δij δ↓σ a+i↑ ajσ − δij δ↑σ a+jσ ai↓ =   e −ik · Ri a+i↑ ai↓ − a+i↑ ai↓ = 0 .

i

4.

Wir benötigen zunächst: ⎡ ⎤  + + ⎣S (k), ε(p)apσ apσ ⎦ = pσ

=



e −ik · Ri

mnσ

i

=

 i

=





e −ik · Ri 



mnσ

−

  Tmn a+i↑ ai↓ , a+mσ anσ = −

  Tmn δim δ↓σ a+i↑ anσ − δin δ↑σ a+mσ ai↓ =

 Tmn e −ik · Rm − e −ik · Rn a+m↑ an↓ .

m, n

Mit

[S+ (k), S z (K)]− = −h¯S+ (k + K) folgt dann unmittelbar die Behauptung!

Lösungen der Übungsaufgaben

5.

543

Der Feldterm ist einfach:

[bh¯S+ (k + K), S− (−k)]− = 2bh¯2 S z (K) . Die Berechnung des zweiten Summanden ist etwas aufwändiger:     h¯ Tij e −ik · Ri − e −ik · Rj a+i↑ aj↓ , S− (−k) = −

i, j

= h¯2

 ijm

= h¯2

 ijσ

    Tij e −ik · Ri − e −ik · Rj e ik · Rm a+i↑ aj↓ , a+m↓ am↑ = −    δjm a+i↑ am↑ − δim a+m↓ aj↓

  Tij e −izσ k(Ri − Rj ) − 1 a+iσ ajσ .

Das beweist die Behauptung!

Lösung zu Aufgabe 4.1.8 1. Nach Teil 2. von Aufg. 4.1.7 gilt bereits:     S−i S+i + S+i S−i = [A, A+ ]+ = N

4.1.8

i

k

= h¯2 N

  

2  ni↑ − ni↓ ≤ h¯2 N n2i ≤ 4h¯2 N 2 . i

i

Für die zweite Ungleichung können wir Teil 5. aus Aufg. 4.1.7 ausnutzen:

     0 ≤ [[C, H]− , C+ ]− ≤ h¯2 |Tij |  e −izσ k · Ri −Rj − 1 · ijσ

    ·  a+iσ ajσ  +2 |b| h¯2  S z (K)  . Für den ersten Term auf der rechten Seite der Ungleichung lässt sich weiter abschätzen:  −iz k · (R − R )  A

2

i j − 1 = e σ cos zσ k · (Ri − Rj ) − 1 + sin2 zσ k · (Ri − Rj ) ≤  1 



2 ≤ cos k · Ri − Rj − 1 ≤ k2 Ri − Rj , 2  +  1  k(R − R ) aiσ ajσ = e i j nkσ  N k

⇒

   +    a ajσ  ≤ 1  nkσ   ≤ 1 . iσ N k

544

Lösungen der Übungsaufgaben

Damit folgt die Behauptung:     [[C, H]− , C+ ]− ≤ N h¯2 Qk2 + 2h¯2 |b|  S z (K)  . Die dritte Ungleichung ergibt sich unmittelbar aus den allgemeinen Vertauschungsrelationen der Spin-Operatoren (Aufg. 4.1.6):     [C, A]− = 2h¯ S z (−K) . 2.

Bogoliubov-Ungleichung:     1  β [A, A+ ]+ [[C, H]− , C+ ]− ≥  [C, A]−   2 . 2   Nach Teil 2. von Aufg. 2.4.5 ist [[C, H]− , C+ ]− nicht negativ. Deshalb gilt auch:      [C, A]−   2 1  +  . β [A, A ]+ ≥ 2 [[C, H]− , C+ ]− k

k

Mit   z

      S (K)  =  S z (−K)  = N h¯ M T, B0  2μB 3.

folgt dann durch Einsetzen der Resultate von Teil 1. unmittelbar die Behauptung. In Aufg. 2.4.7 hatten wir eine entsprechende Ungleichung für das HeisenbergModell gefunden:

βS(S + 1) ≥

M2

gj μB

2

1  1 . 2 N |B0 M| + h¯ k2 QS (S + 1) k

Dies stimmt bis auf unwesentliche Faktoren mit der Ungleichung in Teil 2. überein. Die Schlussfolgerungen sind dieselben, d. h., das Mermin-Wagner-Theorem gilt auch für das Hubbard-Modell!

4.1.9

Lösung zu Aufgabe 4.1.9 Hubbard-Modell im Grenzfall des unendlich schmalen Bandes:  1  H = T0 niσ + U niσ ni − σ . 2 i, σ i, σ

1.

Man berechnet mit

[aiσ , niσ ]− = δσσ aiσ leicht die folgenden Kommutatoren:

[aiσ , H ]− = T0 aiσ + Uaiσ ni−σ ,

[aiσ ni − σ , H ]− = T0 + U aiσ ni − σ .

Lösungen der Übungsaufgaben

545

Wir beweisen zunächst durch vollständige Induktion:  



n . . . [[aiσ , H ]− , H ]− , . . ., H = T0n aiσ + T0 + U − T0n aiσ ni − σ .   −  n-facher Kommutator

Induktionsanfang n = 1: siehe oben. Induktionsschluss n −→ n + 1:   . . . [[aiσ , H ]− , H ]− , . . ., H =   −  (n + 1)-facher Kommutator

= T0n [aiσ , H ]− + [(T0 + U)n − T0n ] [aiσ ni − σ , H ]− = 



n

= T0n (T0 aiσ + Uaiσ ni − σ ) + T0 + U − T0n T0 + U aiσ ni − σ =  

n+1 = T0n+1 aiσ + aiσ ni − σ T0 + U q. e. d. − T0n + 1 Damit folgt für die Spektralmomente:  7 6  + Mii(n) = = . . . a , H , H , . . ., H , a [[ ] ] − i σ iσ σ − −    + n-facher Kommutator

   

n = T0n [aiσ , a+iσ ]+ + T0 + U − T0n [aiσ ni − σ , a+iσ ]+ = 



n = T0n + T0 + U − T0n ni − σ  q. e. d. 2.

  M (0) . . . M (r)  iiσ   iiσ  . ..  .  D(r) iiσ =  .. .    (r)  M . . . M (2r)  iiσ iiσ r=1 D(1) iiσ

  M (0) M (1)  2   iiσ iiσ  =  (1) (2)  = Mii(0) Mii(2) − Mii(1) = σ σ σ Miiσ Miiσ   

2

2 = T02 + T0 + U − T02 ni − σ  − T0 + U ni − σ  =

= U 2 n−σ  1 − n−σ  =/ 0,

falls

n−σ  =/ 0, 1 .

Für leere Bänder ( n−σ  = 0), voll besetzte Bänder ( n−σ  = 1) und vollständig polarisierte, halbgefüllte Bänder ( nσ  = 1, n−σ  = 0) besteht die Spektraldichte offensichtlich aus nur einer δ-Funktion.

546

Lösungen der Übungsaufgaben

r=2 (0) (2) (4) (1) (2) (3) D(2) iiσ = Miiσ Miiσ Miiσ + 2Miiσ Miiσ Miiσ −

3  2  2  (0) (3) (1) (4) − Mii(2) σ − Miiσ Miiσ − Miiσ Miiσ =   2  2    (4) (2) (1) (2) (1) (3) (2) + Miiσ Miiσ Miiσ − Miiσ + = Miiσ Miiσ − Miiσ   (1) (2) (3) M M − M + Mii(3) σ iiσ iiσ iiσ = 



(2) (3) = U 2 ni − σ  1 − ni − σ  Mii(4) σ + T0 T0 + U Miiσ − (U + 2T0 )Miiσ = =0. Damit ist die Spektraldichte im Allgemeinen eine Zwei-Pol-Funktion. 3.





Siiσ (E) = h¯ α1σ δ E − E1σ + α2σ δ E − E2σ . Es muss gelten: 1 h¯

+∞ dE En Siiσ (E) = Mii(n) σ −∞

⇐⇒









α1σ E1nσ + α2σ E2nσ = T0n 1 − ni − σ  + T0 + U n ni − σ  .

Daran liest man direkt ab: E1σ = E1 − σ = T0 ;

α1σ = 1 − ni − σ  ,

E2σ = E2 − σ = T0 + U ; α2σ = ni − σ  .

4.1.10

Lösung zu Aufgabe 4.1.10 1. Spektralmomente in Aufg. 3.3.3 berechnet:

2

2n 2 n = E(k) , Mk(2n) σ = t (k) + Δ

n

2n + 1) Mk(2n = t 2 (k) + Δ2 t(k) = E(k) t(k) . σ

2.

Lonke-Determinante:

 

2 (0) (2) (1) 2 = E(k) − t 2 (k) = Δ2 =/ 0 , D(1) kσ = Mkσ Mkσ − Mkσ (0) (2) (4) (1) (2) (3) D(2) kσ = Mkσ Mkσ Mkσ + 2Mkσ Mkσ Mkσ −

Lösungen der Übungsaufgaben

547

3      (0) (3) 2 (1) 2 M − Mk(2) − M − M Mk(4) σ σ = kσ kσ kσ

4

6

6 = E(k) + 2t 2 (k) E(k) − E(k) −

4

4 − t 2 (k) E(k) − t 2 (k) E(k) = 0 q. e. d.

Abschnitt 4.2.4 Lösung zu Aufgabe 4.2.1

4.2.1



+    = akσ ak + qσ , N a+kσ ak + qσ , apσ apσ = − p,σ 

=





δσσ δp, k + q a+kσ apσ − δσσ δkp apσ ak + qσ =

p, σ 

= a+kσ ak + qσ − a+kσ ak + qσ = 0 .

Lösung zu Aufgabe 4.2.2 1.

4.2.2



ρσ (E) = ρ0 (E)



ρσ (E) = ρ0 E + zσ μB B0 , B0 = μ0 H .

Magnetisierung: +∞ Nσ = N dE f− (E) ρσ (E) =    −∞



Fermi-Funktion

=N



dE f− (E)ρ0 E + zσ μB B0 =

−zσ∞ μB B0

∞ =N



dE f− E − zσ μB B0 ρ0 (E) ,

0

μB B0 = 10−4 . . . 10−3 eV bei gewöhnlichen Feldern. ρ­

ρ¯

ρ­ EF E

ρ¯

E Abb. A.10.

548

Lösungen der Übungsaufgaben

Taylor-Entwicklung der Fermi-Funktion kann deshalb nach dem linearen Term abgebrochen werden: ∞ Nσ ≈ N

dE 0

  ∂f− f− (E) − zσ μB B0 ρ (E) , ∂E 0



∂f− ≈ −δ E − EF ∂E



M ≈ 2μ2B μ0 N ρ0 EF H .

⇒

Pauli-Suszeptibilität:

χPauli ≈ 2μ2B μ0 N ρ0 EF . 2.

χ0 (q, E = 0) = 2V h¯ = (2π)3





3

d k





Θ kF − |k + q| − Θ kF − k



= [(k + q)2 − k2 ] 



 4mV 3 2 −1 2 −1 d k = k Θ − k 2k · q − q − 2k · q + q = F h¯ (2π)3

mV =− 2 h¯π

=−

¯ h2 2m

kF dk k 0

dx

1 1 + 2 2 q + 2kqx q − 2kqx

=

−1

mV 2h¯π2 q

mV =− 2 h¯π q



+1 2

kF 0

kF 0

  2    2 q − 2kq q + 2kq − ln 2 = dk k ln 2 q − 2kq q + 2kq

2kF q    2  2   q + 2kq  q + x −mV   .   = dk k ln  2 dx x ln  2 q − 2kq  4h¯π2 q3 q − x 0

Wir benutzen die Integralformel (4.158):

χ0 (q, E = 0) =

  

2

2

1 2

1 x2 −mV 1 2 4 4 2 x − q ln q + x − x − q ln q − x − −q x + = 4h¯π2 q3 2 2 2 2

 2kF q x2 = 2 + q2 x 0       2kF + 1  q2 −mVkF 1 kF  .  + 1 − 2 ln  = h¯π2 2 2q 2kF − q  4kF +

1 2



Lösungen der Übungsaufgaben

549

In der Klammer entdecken wir die in (4.160) definierte Funktion:   q . g n= 2kF Mit der in Teil 4. von Aufg. 2.1.5 eingeführten Zustandsdichte des wechselwirkungsfreien Elektronengases (Sommerfeld-Modell),  3 | 2 √ V 2m ρ0 (E) = 2 EΘ(E) , 2 4π N h¯ können wir den Vorfaktor noch etwas umformulieren:  3 | 2 1 2

V mV h¯ 2m ρ0 EF = 2 kF kF = 2 4π N h¯ 2m 2N π2 h¯2

⇒ χ0 (q, E = 0) = −2N h¯ρ0 EF g q | 2kF = =−

h¯

χ g μ0 μ2B Pauli

q | 2kF .

Lösung zu Aufgabe 4.2.3 1. Wir haben zu berechnen: 

1   + μ μ2  2δσσ − 1 akσ ak + qσ ; a+k σ ak − qσ . χqzz (E) = − 0 B V h¯ N σ, σ k, k

Es empfiehlt sich, von der folgenden Green-Funktion auszugehen:    σσ  a+kσ ak + qσ ; a+k σ ak − qσ . χkq (E) = k

Hubbard-Modell: H = H0 + H1 , 

H0 = ε(k) − μ a+kσ akσ , kσ

U + ak↑ ak − q↑ a+p↓ ap + q↓ . H1 = N kpq

σσ (E) benötigen wir: Für die Bewegungsgleichung der Funktion χkq a) Inhomogenität  +   akσ ak + qσ , a+k σ ak − qσ − =     = δσσ δk , k + q a+kσ ak − qσ − δσσ δk, k − q a+k σ ak + qσ 

 = δσσ δk , k + q nkσ  − nk + qσ . 

4.2.3

550

Lösungen der Übungsaufgaben

b) 

+ akσ ak + qσ , H0 − = 

 ε k − μ a+kσ ak + qσ , a+k σ ak σ − = = k σ 

=

 

 ε k − μ δσσ δk , k + q a+kσ ak σ − δσσ δk , k a+k σ ak + qσ =

k , σ 



= ε(k + q) − ε(k) a+kσ ak + qσ . c) 

+ akσ ak + qσ , H1 − =  U  + akσ ak + qσ , a+k ↑ ak − q ↑ a+p↓ ap + q ↓ = = − N   k , p, q

=

U  δσ↑ δk , k + q a+kσ ak − q ↑ a+p↓ ap + q ↓ − N   k , p, q

− δσ↑ δk, k − q a+k ↑ ak + qσ a+p↓ ap + q ↓ + + δσ↓ δk + q, p a+k ↑ ak − q ↑ a+kσ ap + q ↓ −  − δσ↓ δk, p + q a+k ↑ ak − q ↑ a+p↓ ak + qσ = =

  U a+k↑ ak + q − q ↑ a+p↓ ap + q ↓ − a+k + q ↑ ak + q↑ a+p↓ ap + q ↓ + δσ↑ N  p, q

+

  U a+k ↑ ak − q ↑ a+k↓ ak + q + q ↓ − a+k ↑ ak − q ↑ a+k − q ↓ ak + q↓ . δσ↓ N   k ,q

Der Wechselwirkungsterm H1 führt also zu den folgenden höheren Green-Funktionen:    + akσ ak + qσ , H1 − ; . . . =     U = δσ↑ a+k↑ ak + q − q ↑ a+p↓ ap + q ↓ ; . . . − N  p, q

  a+k + q ↑ ak + q↑ a+p↓ ap + q ↓ ; . . . +    + δσ↓ a+p↑ ap − q ↑ a+k↓ ak + q + q ↓ ; . . . − −

−





a+p↑ ap − q ↑ a+k − q ↓ ak + q↓ ; . . .

  

.

Lösungen der Übungsaufgaben

551

DiehöherenGreen-FunktionenwerdennachdemRPA-VerfahrenausAbschn.4.2.2 entkoppelt, wobei insbesondere auf Impuls- und Spinerhaltung geachtet wird:   +  RPA akσ ak + qσ , H1 − ; . . . −→

      U −→ δσ↑ δqq nk↑ a+p↓ ap + q ↓ ; . . . + N  RPA

p, q

        + δq , 0 np↓ a+k↑ ak + q − q ↑ ; . . . − δqq nk + q↑ a+p↓ ap + q ↓ ; . . . −           − δq , 0 np↓ a+k + q ↑ ak + q↑ ; . . . + δσ↓ δq 0 np↑ a+k↓ ak + q + q ↓ ; . . . +         + δq, −q nk↓ a+p↑ ap − q ↑ ; . . . − δq , 0 np↑ a+k − q ↓ ak + q↓ ; . . . −       = − δ−q , q nk + q↓ a+p↑ ap − q ↑ ; . . . =

  +   U 

nkσ  − nk + qσ ap − σ ap + q−σ ; . . . . N p

Bewegungsgleichung:



 σσ E − ε(k + q) − ε(k) χkq (E) =  U  

  

nkσ  − nk + qσ χ−pqσσ (E) . = h¯δσσ nkσ  − nk + qσ + N p Im Sinne der RPA sind die Erwartungswerte als die des wechselwirkungsfreien Systems aufzufassen. Sie sind demnach spinunabhängig ( nkσ (0) = nk−σ (0) ).

χqzz (E) = − (4.134)

=

 μ0 μ2B 1   σσ χkq (E) − χ−kqσσ (E) = V h¯ N 2

−

kσ

μ0 μB 1 V h¯

N

χ0 (q, E) +

 U 1 χ0 (q, E) χ−pqσσ (E) − 2 N h¯ p

  U 1 −σ −σ − 2 χ0 (q, E) χpq (E) N h¯ p 

⇒

χqzz (E) 1 +

χqzz (E) = −

 μ μ2 U 1 χ0 (q, E) = − 0 B χ0 (q, E) , N 2h¯ V h¯N

χ0 (q, E) . U V h¯N 1 + 2N ¯ h χ0 (q, E)

μ0 μ2B

552

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Mit dem Resultat von Aufg. 4.2.2 für χ0 erhalten wir: 

−1

lim χ zz (E) (q, E) → 0 q



1 − U ρ0 EF . =V 2μ0 μ2B ρ0 EF

Nach (3.71) liefert die Nullstelle dieses Ausdrucks ein Kriterium für Ferromagnetismus:

! 1 = U ρ0 EF . Dies ist das bekannte Stoner-Kriterium (4.38).

4.2.4

Lösung zu Aufgabe 4.2.4 1. Transformation auf Wellenzahlen, Translationssymmetrie ausnutzen:

Dij (E) =

1  Dq (E) e iq · (Ri − Rj ) , N q

Dq (E) =

1  Dkp (q, E) , N k, p

Dkp (q, E) =



ak − σ aq − kσ ; a+q − pσ a+p − σ

 ret E

.

Bewegungsgleichung berechnen:   ak − σ aq − kσ , a+q − pσ a+p − σ = δkp ak − σ a+p − σ − δkp a+q − pσ aq − kσ = −



= δkp 1 − nk − σ − nq − kσ , 



 ak − σ aq − kσ , Hs − = Eσ k − μ ak − σ aq − kσ , a+k σ ak σ − = k , σ 

=





Eσ k − μ δk , q − k δσσ ak − σ ak σ − δk , k δσ − σ aq − kσ ak σ =

k , σ 

⇒



= Eσ (q − k) + E−σ (k) − 2μ ak − σ aq − kσ



 E + 2μ − Eσ (q − k) + E−σ (k) Dkp (q, E) = 

 = h¯δkp 1 − nk − σ  − nq − kσ .

Lösung mit passender Randbedingung: 

 h¯ 1 − nk − σ  − nq − kσ

Dkp (q, E) = δkp . E + 2μ − Eσ (q − k) + E−σ (k) + i0+

Lösungen der Übungsaufgaben

553

Wir benötigen: Sii(2) (E − 2μ) = =

  1 1  − Im D (q, E − 2 μ ) kp N2 π kpq

=

 

  1 

n  1 − E − E h ¯ δ (q − k) + E (k) . − n σ − σ k − σ q − k σ N2 kq

Im Stoner-Modell gilt nach (4.27) für die Ein-Elektronen-Spektraldichte:



¯δ E − ε(k) − U n−σ  + μ = h¯δ E − Eσ (k) + μ . S(S) kσ (E) = h Mit dem Spektraltheorem findet man somit:

nσ  = f− Eσ (k) . Wir können dann für die Zwei-Teilchen-Spektraldichte weiter schreiben: Sii(2) (E − 2μ) =



 h¯  1 − f− E−σ (k) − f− Eσ (p) · 2 N kp



 · δ E − Eσ (p) + E−σ (k) =  = h¯

dx



 1  1 − f− E−σ (k) − f− (x) · N k



1 

δ x − Eσ (p) = · δ E − E−σ (k) − x N p  = h¯ ·

dx ρσ(S) (x) [1 − f− (E − x) − f− (x)] ·

1  δ E − E−σ (k) − x = N k

 = h¯

dx ρσ(S) (x)ρ−(S)σ (E − x) [1 − f− (E − x) − f− (x)] .

Dabei gilt für die Stoner-Quasiteilchen-Zustandsdichte:

ρσ(S) (E) =



1  (S) 1  Skσ (E − μ) = δ E − Eσ (k) = ρ0 E − U n−σ  . N h¯ N k

k

554

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Die Breite des Spektrums wird durch die Zustandsdichten festgelegt: max E−min σ (k) ≤ E − x ≤ E−σ (k) max max ⇒ Emax = E−max σ (k) + xmax = E−σ (k) + Eσ (k) , min min Emin = E−min σ (k) + xmin = E−σ (k) + Eσ (k) ,

max

min min Breite = Emax − Emin = E−max σ (k) − E−σ (k) + Eσ (k) − Eσ (k) =

= W−σ + Wσ . Im Stoner-Modell ist Wσ = W−σ = W

4.2.5

⇒

Breite des Spektrums: 2W.

Lösung zu Aufgabe 4.2.5 Zwei-Teilchen-Spektraldichte:

Sii(2) (E)

+∞

i



   1  ai − σ aiσ (t), a+iσ a+i − σ t  − . = d t − t  e ¯h E(t − t ) 2π −∞

Wir berechnen die beiden Erwartungswerte gesondert, Ξ = großkanonische Zustandssumme: 



 Ξ a+iσ a+i − σ t  ai − σ aiσ (t) = 



 = Sp e −βH a+iσ a+i − σ t  ai − σ aiσ (t) =   



  = e −βEm (N) En (N)  a+iσ a+i − σ t  ai − σ aiσ (t)  En (N) = N

=

n

 N, N  n, m

    e −βEn (N) En (N)  a+iσ a+i − σ  Em N  ·

    · Em N   ai − σ aiσ  En (N) ·  



i En (N) − Em N  t − t  = · exp h¯      = e −βEn (N) En (N)  a+iσ a+i − σ  Em (N − 2) · N n, m

    · Em (N − 2)  ai − σ aiσ  En (N) ·  

i . · exp − En (N) − Em (N − 2) t − t  h¯ Ganz analog ergibt sich für den zweiten Term: 



 Ξ ai − σ aiσ (t) a+iσ a+i − σ t  =  = e −βEn (N) e −β(Em (N − 2) − En (N)) · N  n, m

Lösungen der Übungsaufgaben

555

       · En (N)  a+iσ a+i − σ  Em (N − 2) Em (N − 2)  ai − σ aiσ  En (N) ·  

i  · exp − En (N) − Em (N − 2) t − t . h¯ Damit ergibt sich für die Spektraldichte mit En (N) ≈ En − μN

(N >> 1)

die folgende Spektraldarstellung: Sii(2) (E) =

h¯  

Ξ

    e −βEn (N) En (N)  a+iσ a+i − σ  Em (N − 2) ·

N n, m

  

  · Em (N − 2)  ai − σ aiσ  En (N) e βE − 1 δ E − En − Em − 2μ . 

Wir berechnen damit: +∞ +∞ 1 Sii(2) (E − 2μ) = dE IAES (E − 2μ) = dE β(E−2μ) h¯ e −1

−∞

=

−∞

1 

Ξ

N

    e −βEn (N) En (N)  a+iσ a+i − σ  Em N  ·

N  n, m

   · Em N   ai − σ aiσ  En (N) = 

=

1 

Ξ

N

    e −βEn (N) En (N)  a+iσ a+i − σ ai − σ aiσ  En (N) =

n

 = a+iσ a+i − σ ai − σ aiσ = niσ ni − σ  = nσ n − σ  

q. e. d.

Analog findet man: +∞ 1   −βEn (N) β (En − Em − 2μ) dE IAPS (E − 2μ) = e e ·

Ξ

−∞

=

N n, m

       · En (N)  a+iσ a+i − σ  Em (N − 2) Em (N − 2)  ai − σ aiσ  En (N) = 1 

Ξ

N

e −βEm

  N

N  n, m

   En (N)  a+iσ a+i − σ  Em N  ·

   · Em N   ai − σ aiσ  En (N) = 

=

1 

Ξ 

N

e −βEm

  N

   Em N   ai − σ aiσ a+iσ a+i − σ  Em N  =

m

 



 = ai − σ aiσ a+iσ a+i − σ = 1 − ni − σ 1 − niσ = 1 − n + n−σ nσ 

q. e. d.

556

Lösungen der Übungsaufgaben

Für beide Teilergebnisse haben wir die Vollständigkeitsrelation,      En (N) En (N)  = 1 , N

n

ausgenutzt. Ferner konnten wir mehrmals 

   En (N)  a+iσ a+i − σ  Em N  ∼ δN  , N − 2

verwenden. 4.2.6

Lösung zu Aufgabe 4.2.6 Wir berechnen die retardierte Green-Funktion ret Dmn; jj (E) =



amσ an − σ ; a+j − σ a+jσ

 ret E

mithilfe ihrer Bewegungsgleichung. Wegen des angenommenen leeren Bandes ist μ → −∞ anzusetzen, d. h.

e β(E − 2μ) −→ 1 ; e β(E − 2μ) − 1 ⇒

IAES ≡ 0 ;

1

−→ 0 e β(E − 2μ) − 1

IAPS (E − 2μ) −→ −

1 Im Dii;retii (E − 2μ) . h¯π

Die μ-Abhängigkeit rechts ist nun rein formaler Natur. Das chemische Potential μ taucht in Dii;retii (E − 2μ) explizit nicht mehr auf, sodass wir es der Einfachheit halber bereits im Hamilton-Operator gleich Null setzen: (n = 0) (E) = − IAPS

1 Im Dii;retii (E) . h¯π

Wir benötigen den Kommutator:

[amσ an − σ , H ]− = =

 ijσ 

=

 1  Tij amσ an − σ , a+iσ ajσ − + U [amσ an − σ , niσ ni − σ ]− = 2  iσ



1 

Tnj amσ aj − σ − Tmj an − σ ajσ + U amσ an − σ nnσ + nnσ an − σ + 2 j



+ amσ nm − σ + nm − σ amσ an − σ = =





Tnj amσ aj − σ − Tmj an − σ ajσ + U amσ an − σ nnσ + nm − σ amσ an − σ . j

Lösungen der Übungsaufgaben

557

Das ergibt die noch exakte Bewegungsgleichung:

ret E − U δmn Dmn; jj (E) = $ ' $  ' = h¯ δnj amσ a+jσ − δmj a+j − σ an − σ + +

  ret ret Tnl Dml, (E) + T D (E) + ml jj ln, jj l





 + U 1 − δmm amσ nnσ + nm − σ an − σ ; a+j − σ a+jσ ret E . Wir können nun die Voraussetzung des leeren Energiebandes (n = 0) ausnutzen: ' $ $ ' amσ a+jσ = δmj − a+jσ amσ −→ δmj , ' $ a+j − σ an − σ −→ 0 , 



 amσ nnσ + nm − σ an − σj a+j − σ ; a+jσ ret 0. E −→ m =/ n

Man verifiziere die letzte Beziehung direkt mit der Definition der Green’schen Funktion. Es bleibt dann als nun schon wesentlich vereinfachte Bewegungsgleichung:  

ret ret ret Tnl Dml; E − U δmn Dmn; ¯δnj δmj + jj (E) = h jj (E) + Tml Dln; jj (E) . l

Lösung durch Fourier-Transformation: 1  −i (k · Rm + p · Rn ) ret ret Dkp; e Dmn; jj (E) . jj (E) = N m, n Damit findet man im einzelnen:  1  i (p · Rn + k · Rm ) ret ret Tnl Dml; e ε(p)Dkp; jj (E) , jj (E) = N k, p

l



ret Tml Dln; jj (E) =

1  i (p · Rn + k · Rm ) ret e ε(k)Dkp; jj (E) , N k, p

l ret δmn Dmn; jj (E) =

1   i (p · Rn + k · Rm ) ret e Dk − q, p + q; jj (E) , N2 q k, p

δmj δnj = δmj δmn =

1  i (p · Rn + k · Rm ) −i (p + k) · Rj e e . N2 p, k

Dies ergibt die folgende fouriertransformierte Bewegungsgleichung: ret [E − ε(k) − ε(p)] Dkp; jj (E) =

h¯ −i (p + k) · Rj U  ret e + D (E) . N N q k − q, p + q; jj

558

Lösungen der Übungsaufgaben

Günstig erscheint nun die Variablentransformation: 1 2      1 1 E−ε ρ + ρ¯ − ε ρ − ρ¯ D 1retρ + ρ¯ , 1 ρ − ρ¯ ; jj (E) = 2 2 2 2

ρ = k + p ; ρ¯ = (k − p)

⇒

=

h¯ −iρ · Rj U  ret e + D 1 ρ + q¯ , 1 ρ − q¯ ; jj (E) . N N q 2 2

Wir benötigen: Dii;retii (E) =

1  i (k + p) · Ri ret 1  iρ · Ri ret e Dkp; ii (E) = e D 1 ρ + ρ¯ , 1 ρ − ρ¯ ; ii (E) . N N ρ, ρ¯ 2 2 k, p

Zunächst lässt sich die Bewegungsgleichung nach Summation über ρ¯ mit der vereinbarten Definition von Λ(0) k (E) zusammenfassen zu:

Λ(0) h¯ 1  ret ρ (E) D 1 ρ + ρ¯ , 1 ρ − ρ¯ ; ii (E) = e −iρ · Ri . N ρ¯ N 2 2 1 − U Λ(0) ρ (E) Damit folgt die Behauptung: (n = 0) (E) = − IAPS

1

π

Im

(0) 1  Λk (E) . (0) N k 1 − U Λk (E)

Für kleine U vereinfacht sich dieser Ausdruck zu: 1  (n = 0) (E) ≈ 2 δ [E − ε(k) − ε(k − q)] = IAPS N q k

=

+∞ +∞

1  dx ρ0 (x) δ E − ε(k) − x = dx ρ0 (x)ρ0 (E − x) . N

−∞

k

−∞

Dies ist die Selbstfaltung der Bloch-Zustandsdichte:

1  ρ0 (x) = δ x − ε(p) . N p 4.2.7

Lösung zu Aufgabe 4.2.7 Genaugenommen müssten wir in diesem Fall für das chemische Potential μ → +∞ wählen. Dies bedeutet:

IAES (E − 2μ) −→ +

1 Im Dii;retii (E − 2μ) , h¯π

IAPS (E − 2μ) −→ 0 .

Lösungen der Übungsaufgaben

559

ret (E) in der In der exakten und allgemein gültigen Bewegungsgleichung für Dmn; jj Lösung zu Aufg. 4.2.6 können wir nun wegen n = 2 die folgenden Vereinfachungen durchführen: $ ' amσ a+jσ −→ 0 ,

'  

a+j − σ an − σ

amσ nnσ an − σ ; a+j − σ a+jσ

amσ nm − σ an − σ ; a+j − σ a+jσ

$

 ret E

 ret E

−→ δnj , ret −→ Dmn; jj (E) ,

−→

ret 1 − δmn Dmn; jj (E) .

Dies führt nun zu der vereinfachten Bewegungsgleichung:

 ret

E + 2μ − U 2 − δnm Dmn; jj (E) =    ret ret Tnl Dml; (E) + T D (E) . = −h¯δmj δnj + ml jj ln; jj l

Diese ist der entsprechenden Bewegungsgleichung für n = 0 sehr ähnlich. Wir haben nur E durch E + 2μ − 2U und U durch −U zu ersetzen. Wir können das Ergebnis deshalb direkt übernehmen: (2) 1 1  Λk (E) (n = 2) IAES (E − 2μ) = + Im , π N k 1 + U Λ(2) k (E)

Λ(2) k (E) =

1  1 . N p E − 2U − ε(k) − ε(k − p) + i0+

Abschnitt 4.4.3 Lösung zu Aufgabe 4.4.1 Es gilt nach (4.292):

σ≡

4.4.1

 z S 1 = = 1 − 2ϕ + (2ϕ)2 − · · · h¯S 1 + 2ϕ

Für tiefe Temperaturen können wir uns auf die ersten Terme der Entwicklung beschränken: 1  1 ϕ= . N q exp(βE(q)) − 1 Nach (4.288) gilt für die Quasiteilchen-Energien:

 

B0 = 0+ . E(q) = 2h¯ S z J0 − J(q) Wir sind an der spontanen Magnetisierung interessiert. Ein äußeres Feld sei also nicht eingeschaltet.

560

Lösungen der Übungsaufgaben

Im thermodynamischen Limes können wir die Wellenzahl-Summation in eine Integration verwandeln:  V 1 d3 q e −βE(q) ϕ= = N(2π)3 1 − e −βE(q)  ∞  V 3 −βE(q) d q e e −nβE(q) = = N(2π)3 n=0 ∞   V z d3 q e −nβ2¯h S (J0 −J(q)) . = N(2π)3 n = 1

Bei tiefen Temperaturen (β → ∞) ist der Integrand nur für kleine |q| nennenswert von Null verschieden. Wir dürfen deshalb wie folgt approximieren:   ∞ ∞  V  V  3 2 −nβσ DQ2 −3 | 2 , dq q e = (n βσ D) Γ N4π2 n = 1 8π2 N n = 1 2 ∞

ϕ≈

0

Γ

  1√ 3 = π, 2 2

   ∞ 1 3 = ζ ≈ 2,612 (Riemann’sche ζ-Funktion) . 3 2 n |2 n=1 Dies bedeutet schließlich:

ϕ≈

V N



kB T 4πσ D

3 | 2   3 . ζ 2

Nahe der ferromagnetischen Sättigung ist ϕ << 1:  z S ≡ 1 − σ ≈ 2ϕ ∼ T 3 | 2 1− h¯S 4.4.2

q. e. d.

Lösung zu Aufgabe 4.4.2 Aus der Operatoridentität (4.307), +1  z





Si − h¯ms = Siz + h¯ Siz Siz − h¯ , ms = −1

folgt für S = 1:

z 3 Si = h¯2 Siz .

Das Gleichungssystem (4.311) werten wir für n = 0, 1 aus: n=0

  ' 2 $   = 2h¯ S z ϕ(1) . 2h¯2 − h¯ S z − S z

Lösungen der Übungsaufgaben

561

n=1  ' $ ' $  ' $     2 3 2 2h¯2 S z − h¯ S z − S z = 3h¯ S z − h¯2 S z − 2h¯3 ϕ(1) . Die aus der n = 0 -Gleichung folgende Beziehung, ' $   2 = 2h¯2 − h¯ S z (1 + 2ϕ(1)) , Sz wird in die n = 1 -Gleichung eingesetzt:      

2h¯2 S z − 2h¯3 + h¯2 S z 1 + 2ϕ(1) − h¯2 S z =      

= 6h¯3 − 3h¯2 S z 1 + 2ϕ(1) − h¯2 S z − 2h¯3 ϕ(1) . Nach S z  aufgelöst ergibt das die Behauptung:  z S = h¯

1 + 2ϕ(1) . 1 + 3ϕ(1) + 3ϕ2 (1)

Da S z  auch noch in ϕ(1) steckt, ist dies eine implizite Bestimmungsgleichung für

S z . – Durch Einsetzen findet man außerdem: ' $ 2 Sz

S=1

= h¯2

1 + 2ϕ(1) + 2ϕ2 (1) . 1 + 3ϕ(1) + 3ϕ2 (1)

Lösung zu Aufgabe 4.4.3 1. Beweis durch vollständige Induktion: n = 1:

[S−i , Siz ]− = h¯S−i . n −→ n + 1: 

 n n+1 S−i , Siz = S−i [S−i , Siz ]− + [(S−i )n , Siz ]− S−i = −

n + 1 n n + 1 = h¯ S−i + nh¯ S−i S−i = (n + 1)h¯ S−i . 2.

Beweis mithilfe des Teilergebnisses 1.:  

n  n

n n 2 = S−i , Siz = [(S−i )n, Siz ]− Siz + Siz S−i , Siz − = nh¯ S−i Siz +Siz S−i −

3.

n

n n n = n2 h¯2 S−i + 2nh¯Siz S−i . = nh¯ nh¯ S−i + 2Siz S−i

Beweis durch vollständige Induktion: n = 1:

[S+i , S−i ]− = 2h¯Siz .

4.4.3

562

Lösungen der Übungsaufgaben

n −→ n + 1:  

n  n n+1 S+i , S−i = S−i S+i , S−i + [S+i , S−i ]− S−i = − −

n  n − 1 + 2h¯Siz S−i = = S−i 2nh¯Siz + h¯2 n (n − 1) S−i

n − 1 n n = h¯2 n (n−1) S−i + 2nh¯ h¯S−i + Siz S−i S−i + 2h¯Siz S−i = n n = h¯2 n (n + 1) S−i + 2h¯(n + 1)Siz S−i q. e. d.

4.4.4

Lösung zu Aufgabe 4.4.4 − n + n Si Si = n − 1  2 2  + n − 1 = S−i Si h¯ S (S + 1) − h¯Siz − Siz =





 2  − n − 1 + n + 1 n−1 n−1 Si Si S+i − h¯ S−i , Siz − = h¯2 S (S+1) − h¯Siz − Siz −





n − 1 z 2 n−1 S+i , Si = − S−i −

 2  − n − 1 + n + 1 Si Si − = h¯2 S (S + 1) − h¯Siz − Siz  n − 1  + n − 1 Si − − h¯ (n − 1)h¯ S−i   n − 1 + n − 1 − (n − 1)2 h¯2 + 2(n − 1)h¯Siz S−i Si =  2  − n − 1 + n − 1 = h¯2 S (S + 1) − n (n − 1)h¯2 − (2n − 1)h¯Siz − Siz Si Si = n   h¯2 S (S + 1) − (n − p)(n − p + 1)h¯2 − = p=1

2  q. e. d. − (2n − 2p + 1)h¯Siz − Siz

4.4.5

Lösung zu Aufgabe 4.4.5 Der für die Bewegungsgleichung aktive Operator S+i links vom Semikolon ist derselbe wie in (4.281). Die Tyablikow-Näherung führt deshalb zu der zu (4.287) völlig analogen Lösung:

G(n) q (E) =

 $ '

n + 1 + n Si S+i , S−i

 

E(q) = 2h¯ S z J0 − J(q) .

−

1 , E − E(q) + i0+

Lösungen der Übungsaufgaben

563

Das Spektraltheorem liefert dann: '

$ '

 $ n + 1 + n + 1 n + 1 + n S−i Si = S+i , S−i Si ϕ(S) , −

−1 1   βE(q) ϕ (S) = e −1 . N q Hier setzen wir nun Teilergebnisse der beiden vorangegangenen Aufgaben ein: n = 0:   ' 2 $   = 2h¯ S z ϕ(S) . h¯2 S (S + 1) − h¯ S z − S z n ≥ 1: 7 6n + 1 2  = h¯2 S (S + 1) − (n + 1 − p)(n + 2 − p)h¯2 − (2n − 2p + 3)h¯S z − S z p=1

6 n  

= ϕ(S) h¯2 n (n + 1) + 2h¯ (n + 1)S z h¯2 S (S + 1) − (n − p)(n + 1 − p)h¯2 − p=1

7 2  . − (2n − 2p + 1) h¯S z − S z Auswertung für S = 1: Wegen 2S − 1 = 1 benötigen wir die Gleichungen für n = 0 und n = 1: n = 0:   ' 2 $   = 2h¯ S z ϕ(1) . 2h¯2 − h¯ S z − S z n = 1:

$ '

2 3 4 S z + 4h¯ S z + h¯2 S z − 6h¯3 S z = ' 2 3 $ . = ϕ(1) 4h¯4 + 6h¯3 S z − 6h¯2 S z − 4h¯ S z

Außerdem gilt noch nach (4.307): z 3 S = h¯2 S z

⇐⇒

2 z 4 S = h¯2 S z .

Damit wird aus der n = 1-Gleichung: ' $ ' $      2 2 . 2h¯2 S z − 2h¯3 S z = ϕ(1) 4h¯4 + 2h¯3 S z − 6h¯2 S z Die n = 0 -Gleichung liefert: ' $  

2 Sz = 2h¯2 − h¯ S z 1 + 2ϕ(1) .

564

Lösungen der Übungsaufgaben

Das wird eingesetzt:

    

 4h¯4 − 4h¯3 S z 1 + ϕ (1) = ϕ (1) −8h¯4 + 2h¯3 S z 4 + 6ϕ (1) ⇒

 



4h¯4 1 + 2ϕ (1) = 4h¯3 S z 1 + 3ϕ (1) + 3ϕ2 (1) .

Daraus folgt die aus Aufg. 4.4.2 bekannte Beziehung:  z S S = 1 = h¯

1 + 2ϕ (1) 1 + 3ϕ (1) + 3ϕ2 (1)

q. e. d.

Abschnitt 4.5.5 4.5.1

Lösung zu Aufgabe 4.5.1 Wir benötigen für die Bewegungsgleichung eine Reihe von Kommutatoren:  

Jmn [Siz , S+m S−n ]− = h¯ Jim S+m S−i − S+i S−m , [Siz , Hf ]− = − m, n

m



 1 1 zσ Siσ a+i − σ aiσ . [Siz , Hs − f ]− = − g h¯ [Siz , Smσ ]− a+m − σ amσ = − g h¯2 2 m, σ 2 σ Damit folgt insgesamt:

[Siz , H ]− = h¯

 m



1 Jim S+m S−i − S+i S−m − g h¯2 zσ Siσ a+i − σ aiσ . 2 σ

Das kombinieren wir mit (4.395):

[Siz akσ , H ]− = Siz [akσ , H ]− + [Siz , H ]− akσ =  Tkm Siz amσ + USiz nk − σ akσ − = m

1 1 − g h¯zσ Siz Skz akσ − g h¯Siz S−k σ ak − σ + 2 2 

Jim S+m S−i − S+i S−m akσ − + h¯ m

  1 − g h¯2 S+i a+i↓ ai↑ − S−i a+i↑ ai↓ akσ . 2 Wir definieren einige neue Green-Funktionen:   z + D(1) ik, jσ (E) = Si nk − σ akσ ; ajσ E , D(2) ik, jσ (E) = D(3) ik, jσ (E) =

 

Siz Skz akσ ; a+jσ

 E

Siz S−k σ ak − σ ; a+jσ

,  E

,

Lösungen der Übungsaufgaben

565

  + − Sm Si − S+i S−m akσ ; a+jσ E ,  $$ ''  S+i a+i↓ ai↑ − S−i a+i↑ ai↓ akσ ; a+jσ E . Lik, jσ (E) =

Himk, jσ (E) =

Mit diesen Definitionen lautet die schon recht komplizierte, vollständige Bewegungsgleichung: 

Eδkm − Tkm Dim, jσ (E) = m

  1 ¯zσ D(2) = h¯δkj S z + UD(1) ik, jσ (E) − 2 g h ik, jσ (E) −  1 1 (E) + h¯ Jim Himk, jσ (E) − g h¯2 Lik, jσ (E) . − g h¯D(3) σ ik, j 2 2 m Lösung zu Aufgabe 4.5.2 Wir benötigen für die Bewegungsgleichung wiederum eine Reihe von Kommutatoren:

[ni − σ , H ]− = [ni − σ , Hs ]− + [ni − σ , Hs − f ]− ,  Tmn [ni − σ , a+mσ anσ ]− = [ni − σ , Hs ]− = m, n

σ

=

 m, n

σ

=



  Tmn δim δσ −σ a+i − σ anσ − δin δσ −σ a+mσ ai − σ =

Tim a+i − σ am − σ − a+m − σ ai − σ ,

m

1  σ Sm [ni − σ , a+m − σ amσ ]− = [ni − σ , Hs − f ]− = − g h¯ 2  m, σ



1  σ = − g h¯ Sm δim δσσ a+i − σ amσ − δ−σσ a+m − σ ai − σ = 2  m, σ

1 = − g h¯ Siσ a+i − σ aiσ − S−i σ a+iσ ai − σ . 2 Dies ergibt insgesamt mit (4.395):

[ni − σ akσ , H ]− =  

= Tkm ni − σ amσ + Tim a+i − σ am − σ − a+m − σ ai − σ akσ − m

m

1 1 − g h¯zσ Skz ni − σ akσ − g h¯S−k σ ni − σ ak − σ − 2 2

1 σ + − g h¯ Si ai − σ aiσ − S−i σ a+iσ ai − σ akσ . 2

4.5.2

566

Lösungen der Übungsaufgaben

Wir definieren ein paar neue Green-Funktionen:

  Kimk, jσ (E) = a+i − σ am − σ − a+m − σ ai − σ akσ ; a+jσ E , (1) Pik, jσ (E) = (2) Pik, jσ (E) = (3) Pik, jσ (E) =

 

Skz ni − σ akσ ; a+jσ



,

E

S−k σ ni − σ ak − σ ; a+jσ

 E

,

  σ + Si ai − σ aiσ − S−i σ a+iσ ai − σ akσ ; a+jσ E .

Damit lautet die vollständige Bewegungsgleichung: 

Eδkm − Tkm Pim, jσ (E) = m

= h¯δkj n−σ  +



Tim Kimk, jσ (E) −

m

 1 1  (2) (1) (3) − g h¯zσ Pik, (E) − h ¯ P (E) + P (E) . g jσ ik, jσ ik, jσ 2 2 4.5.3

Lösung zu Aufgabe 4.5.3 Wir benötigen für die Bewegungsgleichung die folgenden Kommutatoren:

[Siσ , H ]− = [Siσ , Hf ]− + [Siσ , Hs − f ]− , 

Jmn [Siσ , S+m S−n ]− + [Siσ , Smz Snz ]− = [Siσ , Hf ]− = − m, n

=−



 Jmn δσ↓ (−2h¯Siz δim )S−n +

m, n







 + S+m δσ↑ 2h¯Siz δin + Smz −zσ h¯Siσ δin + −zσ h¯Siσ δim Snz = = 2h¯zσ





Jim Smz Siσ − Smσ Siz .

m

Im letzten Schritt haben wir Jii = 0 ausgenutzt:    1   zσ [Siσ , Smz ]− nmσ + Siσ , Smσ a+m − σ amσ = [Siσ , Hsf ]− = − g h¯ − 2  m, σ



1 = + g h¯2 Siσ niσ − ni − σ − g h¯2 zσ Siz a+iσ ai − σ . 2 Dies wird nun mit dem Kommutator (4.395) kombiniert:

[S−i σ ak − σ , H ]− = S−i σ [ak − σ , H ]− + [S−i σ , H ]− ak − σ =  Tkm S−i σ am − σ + US−i σ nkσ ak − σ + = m

Lösungen der Übungsaufgaben

567

1 1 + g h¯zσ S−i σ Skz ak − σ − g h¯S−i σ Skσ akσ − 2 2

1 − g h¯2 S−i σ niσ − ni − σ ak − σ + 2 + g h¯2 zσ Siz a+i − σ aiσ ak − σ − 

Jim Smz S−i σ − S−mσ Siz ak − σ . − 2h¯zσ m

Wir definieren die folgenden höheren Green-Funktionen:   −σ z (1) + Fik, jσ (E) = Si Sk ak − σ ; ajσ E , (2) Fik, jσ (E) = (3) Fik, jσ (E) = (4) Fik, jσ (E) =

Rik, jσ (E) =

   

S−i σ Skσ akσ ; a+jσ

 E

,

S−i σ (niσ − ni − σ )ak − σ ; a+jσ S−i σ nkσ ak − σ ; a+jσ

 E

Siz a+i − σ aiσ ak − σ ; a+jσ

 E

,

,  E

,

  Qimk, jσ (E) = S−i σ Smz − S−mσ Siz ak − σ ; a+jσ E . Bewegungsgleichung: 

Eδkm − Tkm Fim, jσ (E) = m

 1  (1) (4) (2) = UFik, ¯ zσ Fik, jσ (E) − Fik, jσ (E) + 2 g h jσ (E) −    1 (3) − g h¯2 Fik, (E) − 2zσ Rik, jσ (E) − 2h¯zσ Jim Qimk, jσ (E) . σ j 2 m Lösung zu Aufgabe 4.5.4 1. Exakte Bewegungsgleichung der Ein-Elektronen-Green-Funktion (s. (4.395)): 

Eδim − Tim Gmjσ (E) = m

1 = h¯δij + UPii, jσ (E) − g h¯ zσ Dii, jσ (E) + Fii, jσ (E) . 2 Für den Spezialfall (n = 2, T = 0) können wir ausnutzen:   Dii, jσ (E) ≡ Siz aiσ ; a+jσ E −−−−−→ h¯SGijσ (E) , (n = 2, T = 0)

Pii, jσ (E) ≡



ni − σ aiσ ; a+jσ

 E

−−−−−→ Gijσ (E) . (n = 2, T = 0)

4.5.4

568

Lösungen der Übungsaufgaben

Es ergibt sich die noch exakte, aber für (n = 2, T = 0) schon stark vereinfachte Bewegungsgleichung:     1 1 E − U + g h¯2 Szσ δim − Tim Gmjσ (E) = h¯δij − g h¯Fii, jσ (E) . 2 2 m Für die Spinflip-Funktion gilt außerdem:   Fii, j↓ (E) ≡ S+i ai↑ ; a+j↓ −−−−−→ 0 . (n = 2, T = 0)

Dies erkennt man am besten an der zeitabhängigen Funktion:



  

 Fii, j↓ t, t  = −iΘ t − t  (S+i ai↑ )(t)a+j↓ t  + a+j↓ t  (S+i ai↑ )(t) . ↑ ↑ = 0, wegen n = 2

= 0, wegen T = 0

Die verbleibende Bewegungsgleichung ist durch Fourier-Transformation leicht zu lösen: −2  1 2 = 2, T = 0) + G(n g (E) = h ¯ E − ε (k) − U − h ¯ S + i 0 . k↓ 2 2.

Für σ =↑-Elektronen verschwindet die Spinflip-Funktion nicht. Ihre Bewegungsgleichung wurde in Aufg. 4.5.3 berechnet:  

1  (1) (4) (2) g Eδkm − Tkm Fim, j↑ (E) = UFik, (E) + h ¯ F (E) − F (E) − j↑ ik, j↑ ik, j↑ 2 m   1 (3) − g h¯2 Fik, (E) − 2Rik, j↑ (E) − j↑ 2  Jim Qimk, j↑ (E) . − 2h¯ m

Die höheren Green-Funktionen lassen sich zum Teil wegen (n = 2, T = 0) vereinfachen:   − (4) + Fik, j↑ (E) ≡ Si nk↑ ak↓ ; aj↑ E −−−−−→ Fik, j↑ (E) , (n = 2, T = 0)

(1) Fik, j↑ (E) ≡ (2) Fik, j↑ (E) = (3) Fik, j↑ (E) ≡

Rik, j↑ (E) ≡

   

S−i Skz ak↓ ; a+j↑ S−i S+k ak↑ ; a+j↓

 E

−−−−−→ h¯SFik, j↑ (E) ,

E

−−−−−→ 0 ,



(n = 2, T = 0)

(n = 2, T = 0)

S−i (ni↑ − ni↓ )ak↓ ; a+j↑ Siz a+i↓ ai↑ ak↓ ; a+j↑

 E

 E

−−−−−→ + δik Fik, j↑ (E) , (n = 2, T = 0)

−−−−−→ − δik h¯SGij↑ (E) , (n = 2, T = 0)

  Qimk, j↑ (E) ≡ S−i Smz − S−m Siz ak↓ ; a+j↑ E

−−−−−→ h¯S Fikj, ↑ (E) − Fmk, j↑ (E) . (n = 2, T = 0)

Lösungen der Übungsaufgaben

569

Dies ergibt die nun schon stark vereinfachte Bewegungsgleichung:  

1 E − U − g h¯2 S − δik Fik, j↑ (E) = 2  

Tkm Fim, j↑ (E) − g h¯3 Sδik Gij↑ (E) + 2h¯2 S Jim Fik, j↑ (E) − Fmk, j↑ (E) . = m

m

Dazu gehört noch die Gleichung für die Ein-Teilchen-Green-Funktion:     1 2 1 E − U + g h¯ S δim − Tim Gmj↑ (E) = h¯δij − g h¯Fii, j↑ (E) . 2 2 m Zur Lösung dieses Gleichungssystems gehen wir zu den in (4.412) und (4.413) definierten Fourier-Transformationen über, woraus ganz analog zu (4.414) und (4.417) die folgenden Gleichungen folgen:   1 1  (2, 0) 1 2 0) g (E) = h ¯ − h ¯ F (E) , E − U + g h¯ S − ε(k) G(2, √ k↑ 2 2 N q kq↑   1 (2, 0) E − U − g h¯2 S − ε(k − q) + h¯ω(q) Fkq↑ (E) = 2 1 1  (2, 0) 1 0) F (E) − g h¯3 S √ G(2, = − g h¯2 k↑ (E) . 2 N q¯ k¯q↑ N Die Spinwellen-Energien sind wie in (2.232) definiert. Wir kürzen ab:  −1 1 2 1  E − U − (E) = h ¯ S − ε (k − q) + h ¯ ω (q) . g B(2) k N q 2 Damit folgt: −g h¯3 SB(2) 1  (2, 0) 0) k (E) Fkq↑ (E) = G(2, √ k↑ (E) . 1 2 N q 1 + 2 g h¯ B(2) (E) k Dies ergibt als Bewegungsgleichung für die Ein-Elektronen-Green-Funktion: 8 9 1 2 4 (2) ¯ SBk (E) 1 2 0) 2g h G(2, E − U + g h¯ S − ε(k) − ¯. k↑ (E) = h 1 2 (2) 2 1 + g h¯ B (E) 2

k

Daraus folgt schlussendlich für die Selbstenergie: 5 4 g h¯2 B(2) 1 2 (2, 0) k (E) . Σk↑ (E) = U − g h¯ S 1 − 2 1 + 1 g h¯2 B(2) (E) 2

k

Damit ist das Problem gelöst. Man vergleiche mit (4.419). Die weitere Auswertung erfolgt wie in Abschn. 4.5.4.

570

4.5.5

Lösungen der Übungsaufgaben

Lösung zu Aufgabe 4.5.5 Hartree-Fock-Näherung:

Dii, jσ (E) −→

 z S Gijσ (E) ,

Pii, jσ (E) −→ n−σ  Gijσ (E) , Fii, jσ (E) −→ 0 . Die so vereinfachte Bewegungsgleichung,       1 E − U n−σ  + g h¯zσ S z δim − Tim G(HFN) ¯δij , mjσ (E) = h 2 m lässt sich leicht durch Fourier-Transformation lösen: h¯ . GHFN kσ (E) = E − ε(k) − U n−σ  + 12 g h¯zσ S z  + i0+ „Band-Limit“ (U = g = 0) : Atomares Limit (ε(k) = T0 ∀k) :

korrekt, falsch,

(n = 0, T = 0) :

korrekt für σ =↑, falsch für σ =↓,

(n = 2, T = 0) :

korrekt für σ =↓, falsch für σ =↑.

Der Hauptnachteil der Hartree-Fock-Näherung dürfte in der völligen Unterdrückung der Spinflip-Prozesse liegen!

Abschnitt 5.1.4 5.1.1

Lösung zu Aufgabe 5.1.1

[P0 , H0 ]− = | η  η | H0 − H0 | η  η | = (η − η) | η  η | = 0 , da H0 hermitesch,

[Q0 , H0 ]− = [1 − P0 , H0 ]− = − [P0 , H0 ]− = 0 .

5.1.2

Lösung zu Aufgabe 5.1.2

   d  d E0 (λ)  H(λ)  E0 (λ) = E0 (λ) = dλ dλ   6 7       d     d       E0 (λ)  H(λ) E0 (λ) + E0 (λ) H(λ)  E0 (λ) = = E0 (λ) v E0 (λ) + dλ dλ

Lösungen der Übungsaufgaben

571

  6 7 6 7    d   d = E0 (λ)  v  E0 (λ) + E0 (λ) E0 (λ)E0 (λ) + E0 (λ) E0 (λ) E0 (λ) = dλ dλ       d  E0 (λ)E0 (λ) = = E0 (λ)  v  E0 (λ) + E0 (λ) dλ     = E0 (λ)  v  E0 (λ) . Mit η0 = E0 (0) folgt dann:

ΔE0 = E0 − η0 =

λ

    dλ E0 λ  v  E0 λ .

0

Lösung zu Aufgabe 5.1.3 1. Offensichtlich gilt:

5.1.3

H0 =

 (Hkσ )0 , kσ

wobei in der Basis  α  + ψ kσ = akσα |0 ;

α = A, B

gilt:

Hkσ 0 ≡

5

4

ε(k) t(k) , t ∗ (k) ε(k)

  !   αβ det η − Hkσ =0 0

⇒





  η(0) ± (k) = ε(k) ± t(k) .

Eigenzustände: 54 5 CA t(k) =0,   ∗ CB t (k) ∓ t(k)

4   ∓ t(k)

CA± = ±γ CB ;

t(k)  . t(k)

γ = 

Normierung:  $

1  (0)  η± (k) = √ a+kσA ± γ a+kσB |0 . 2 Wegen (−σ , B) ⇐⇒ (σ , A) ist die rechte Seite nicht wirklich spinabhängig!

572

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Energiekorrektur erster Ordnung:   $ 1  1   '

   (0) − g S z 0| akσA ± γ ∗ akσB η(0) (k) H η (k) = zσ ·   1 ± ± 2 2 σ



· a+kσ A akσ A − a+kσ B akσ B a+kσA ± γ a+kσB |0 =  



1 = − gzσ S z 0| akσA ± γ ∗ akσB a+kσA ∓ γ a+kσB |0 = 4  

1 = − gzσ S z 0| 1 − |γ | 2 1 |0 = 0 4

⇒

η(1) ± (k) ≡ 0 .

Energiekorrektur zweiter Ordnung:   ' $   (0) η(0) (k) H η (k) =   1 + −

⇒

 



1 = − gzσ S z 0| akσA − γ ∗ akσB a+kσA − γ a+kσB |0 = 4    

1 1 = − gzσ S z 0| 1 + |γ | 2 1 |0 = − gzσ S z 4 2 '   $  (0)   (0) 2  η∓ (k)  H1  η± (k)  1 2 S z 2  . η(2) (k) = = ± g  ± (0) 8 t(k) η(0) ± (k) − η∓ (k)

Die Störungstheorie nach Schrödinger liefert also bis zur zweiten Ordnung:   1 2 S z 2

   + O g3 . η(S) ± (k) = ε(k) ± t(k) ± g   8

3.

t(k)

Probleme am Zonenrand, da dort t(k) verschwindet. Die Energiekorrektur erster Ordnung nach Brillouin-Wigner ist dieselbe wie die nach Schrödinger:

η(1) ± (k) ≡ 0 . In zweiter Ordnung gilt:

η(2) ± (k) = ⇒

'   $  (0)   (0)   η∓ (k)  H1  η± (k)  2

η± (k) − η(0) ∓ (k) 1 4

 

2 z 2 η(BW) (k) = η(0) ± ± (k) + g S

⇒



2

1

η(BW) (k) − η(0) ± ∓ (k) 



(0) η(BW) (k) − η(BW) (k) η(0) ± ± ± (k) + η∓ (k) =

=

1 2  z 2 (0) g S − η(0) ± (k)η∓ (k) 4

Lösungen der Übungsaufgaben



2

 1  2  = g 2 S z + t(k) 2 , 4 1   1 (BW) η± (k) = ε(k) ± g 2 S z 2 + t(k) 2 . 4   Keine Probleme am Zonenrand; dort Aufspaltung um g S z   (Slater-Gap). Exakte Eigenenergien:  H= Hkσ ,

η(BW) (k) − ε(k) ±

⇒

4.

573

kσ

4 Hkσ =

ε(k) − 12 gzσ S z  t ∗ (k)

t(k)

5

ε(k) + 12 gzσ S z 

,

!

det(E − Hkσ ) = 0 

2 1  2  E − ε(k) − g 2 S z = t(k) 2 4 1  1 2 z 2  g S  + t(k) 2 . ⇒ E± (k) = ε(k) ± 4 Die Brillouin-Wigner’sche Störungstheorie ist also in zweiter Ordnung bereits exakt, während die Schrödinger’sche Störungstheorie in derselben Ordnung gerade den ersten Entwicklungsterm der Wurzel darstellt! ⇒

Abschnitt 5.2.3 Lösung zu Aufgabe 5.2.1 1. Wir benutzen das Wick’sche Theorem: 





 Tε akσ t1 a+lσ t2 amσ t3 a+nσ t3 = 





 = N akσ t1 a+lσ t2 amσ t3 a+nσ t3 +



 + akσ t1 a+lσ t2 N amσ t3 a+nσ t3 +





 + amσ t3 a+nσ t3 N akσ t1 a+lσ t2 +



 + akσ t1 a+nσ t3 N a+lσ t2 amσ t3 +



 + a+lσ t2 amσ t3 N akσ t1 a+nσ t3 +







+ akσ t1 a+lσ t2 amσ t3 a+nσ t3 +







+ akσ t1 a+nσ t3 a+lσ t2 amσ t3 .

5.2.1

574

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Lediglich die Kontraktionen zwischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren können von Null verschieden sein! Der Erwartungswert eines Normalprodukts im Grundzustand | η0  ist stets Null:   





   η0  Tε akσ t1 a+lσ t2 amσ t3 a+nσ t3  η0 =















= akσ t1 a+lσ t2 amσ t3 a+nσ t3 + akσ t1 a+nσ t3 a+lσ t2 amσ t3 =

0, c −

0, c

c c + δkn δlm δσσ G0, = −δkl δmn δσσ G0, kσ t1 − t3 Gmσ 0 kσ t1 − t3 Gmσ t3 − t2 =  



c 0, c (0) 

n = δσσ δkn δlm G0, t − t . − t i δ δ G − t 1 3 mn 1 3 m σ kl kσ kσ

5.2.2

Lösung zu Aufgabe 5.2.2 Wir übernehmen von der Lösung der letzten Aufgabe:   





   η0  Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3  η0 = 



c 0, c (0) = iG0, . kσ t1 − t3 −iGkσ t3 − t2 − nkσ 

1.

t1 > t2 > t3 :   





   η0  Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3  η0 =    i  i = e − ¯h (ε(k) − μ)(t1 − t3 ) 1 − nkσ (0) nkσ (0) e − ¯h (ε(k) − μ)(t3 − t2 ) − 1 = 0 . Kontrolle durch direkte Rechnung:   





   η0  Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3  η0 =  



  = − η0  akσ t1 a+kσ t2 nkσ t3  η0 = 0 . ←− −→ = 0 für k ≤ kF

2.

t1 > t3 > t2 :











= 0 für k > kF



    η0 =

η0  Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3

  i = e − ( ¯hε(k) − μ)(t1 − t3 ) 1 − nkσ (0) ·

 i    · − 1 − nkσ (0) e − ¯h (ε(k) − μ)(t3 − t2 ) − nkσ (0) =  i  = − 1 − nkσ (0) e − ¯h (ε(k) − μ)(t1 − t2 ) = ⎧ ⎪ ⎨0  i =



 ⎪ ⎩− exp − ε(k) − μ t1 − t2 h¯

für k ≤ kF , für k > kF .

Lösungen der Übungsaufgaben

575

Kontrolle durch direkte Rechnung:   





   η0  Tε akσ t1 a+kσ t2 akσ t3 a+kσ t3  η0 =  



  = − η0  akσ t1 nkσ t3 a+kσ t2  η0 =     i = − e − ¯h (ε(k) − μ)(t1 − t2 ) η0  akσ nkσ a+kσ  η0 =   i = − 1 − nkσ (0) e − ¯h (ε(k) − μ)(t1 − t2 ) .

Abschnitt 5.3.4 Lösung zu Aufgabe 5.3.1 Nach (5.92) gilt für die erste Ordnung Störungstheorie der Vakuumamplitude:



   η0  Uα(1) t, t   η0 = U 1



i 2h¯

t dt1 e

−α |t1 |

 .

t

Das Zeitintegral lässt sich einfach ausführen: 

nk  nl  [v(kl; lk) − v(kl; kl)] . U1 ≡ kl

1.

Hubbard-Modell k ≡ (k, σk ), . . . Nach Aufg. 4.1.1 gilt für den Wechselwirkungsterm: 1 V= vH (kl; nm)a+k a+l am an , 2 klmn

vH (kl; nm) ≡

U δk + l, m + n δσk σn δσl σm δσk − σl . N

Man erkennt unmittelbar: U vH (kl; lk) = δk + l, k + l δσk σl δσl σk δσk − σl = 0 , N vH (kl; kl) = Es bleibt somit: U1 = − Nσ =

U U δk + l, l + k δσk σk δσl σl δσk − σl = δσk − σl . N N

U U

nkσ  nl − σ  = − Nσ N−σ , N N

 k

klσ

nkσ  :

Zahl der Elektronen mit Spin σ .

5.3.1

576

2.

Lösungen der Übungsaufgaben

Jellium-Modell

vj (kl; nm) = v(k − n) 1 − δkn δk + l, m + n δσk σn δσm σl . Das bedeutet für die hier benötigten Spezialfälle: vj (kl; lk) = v(k − l)(1 − δkl )δσk σl , vj (kl; kl) = v(0)(1 − δkk ) = 0 . Blasen liefern keinen Beitrag! Es bleibt somit:  U1 = v(k − l)(1 − δkl ) nkσ  nlσ  . klσ

Dieser Term wurde explizit in Abschn. 2.1.2 (s. (2.92)) ausgewertet.

5.3.2

Lösung zu Aufgabe 5.3.2 1. Beitrag des Diagramms nach den Regeln aus Abschn. 5.3.1:

   t 



1 i 2 − · · · dt1 dt1 dt2 dt2 δ t1 − t1 δ t2 − t2 e −α ( |t1 | + |t2 | ) · (D) = 2! 2h¯ t



·



v k1 l1 ; n1 m1 v k2 l2 ; n2 m2 (−1)2 ·

k1 l1 m1 n1 k2 l2 m2 n2

 



 c   c  t − t δ iG0, · iG0, l m 2 1 n1 t1 − t2 δn1 l2 · 1 2 l1  



· − nk1 δk1 m1 − nk2  δk2 n2 =

=

1 8h¯2 ·

 t

dt1 dt2 e −α ( |t1 | + |t2 | ) ·

t





v k1 l1 ; n1 k1 v k2 n1 ; k2 l1 ·

k1 , l1 , n1 , k2



   c c · G0, t2 − t1 G0, n1 t1 − t2 nk1 nk2 . l1 2.

Hubbard-Modell:

U vH k1 l1 ; n1 k1 = δl1 , n1 δσk1 σn1 δσl1 σk1 δσk1 − σl1 = 0 N ⇒

(D) = 0 .

Lösungen der Übungsaufgaben

3.

577

Jellium-Modell:



vj k2 n1 ; k2 l1 = v(0) 1 − δk2 k2 δn1 l1 δσl1 σn1 = 0 ⇒

(D) = 0 .

Lösung zu Aufgabe 5.3.3 Die Indizes entsprechen im Folgenden der Diagramm-Bezifferung aus Abschn. 5.3.1:



h Θ1 = 8 −→ A Θ1 = 1 ,

5.3.3





h Θ2 = 4 −→ A Θ2 = 1 , gleicher Beitrag der Diagramme (2), (8) ,



h Θ3 = 2 −→ A Θ3 = 4 , gleicher Beitrag der Diagramme (3), (6), (15), (22) ,



h Θ4 = 1 −→ A Θ4 = 8 , gleicher Beitrag der Diagramme (4), (5), (9), (12), (13), (16), (20), (21) ,



h Θ7 = 8 −→ A Θ7 = 1 ,



h Θ10 = 2 −→ A Θ10 = 4 , gleicher Beitrag der Diagramme (10), (11), (14), (19) ,



h Θ17 = 4 −→ A Θ17 = 2 , gleicher Beitrag der Diagramme (17), (24) ,



h Θ18 = 4 −→ A Θ18 = 2 , gleicher Beitrag der Diagramme (18), (23) .

Abschnitt 5.4.3 Lösung zu Aufgabe 5.4.1 Für die Elektron-Elektron-Wechselwirkung gilt im Hubbard-Modell (s. Aufgabe 5.3.1):

vH (kl; nm) =

U δk + l, n + m δσk σn δσl σm δσk − σl . N

Zur Selbstenergie gehören in erster Ordnung die beiden folgenden Diagramme:

5.4.1

578

Lösungen der Übungsaufgaben

1. vH

(kσ E)

k + q,σ E + E¢

(kσ E) Abb. A.11.

k = (k + q, σ ) , ⇒

l = (k, σ ) ,

m = (k + q, σ ) ,

n = (k, σ )

vH (kl; nm) = 0 wegen δσk − σl = 0 .

2. (lσ ¢E ¢) vH

(kσ E)

(kσ E)

Abb. A.12.

k = (k, σ ) ,

l = l, σ  ,



m = l, σ  ,

vH (kl; nm) =



n = k, σ ,

U δσ − σ N

⇒ Beitrag zur Selbstenergie:

   1 U i i c 

(−1) dE iG0, E (E) = − − Σk(1) σ σ l − h¯ h¯ 2πh¯ N l

⇒

U   0, c −  U 

nl − σ (0) = U n−σ (0) . Σk(1)σ (E) = − iGl − σ (0 ) = N N l

l

Dies ergibt die folgende kausale Ein-Teilchen-Green-Funktion: Gckσ (E) =

h¯

.

E − ε(k) + U n−σ (0) − εF ± i0+

Sie ist im Wesentlichen mit der des T = 0 -Stoner-Modells (4.23) identisch, entspricht also der Hartree-Fock-Näherung der Bewegungsgleichungsmethode. Allerdings ist hier n−σ  der Erwartungswert des Anzahloperators für das nicht wechselwirkende System. Dasselbe gilt auch für das chemische Potential μ(T = 0) = εF . 5.4.2

Lösung zu Aufgabe 5.4.2 1. Die Bezifferung des Diagramms ergibt sich aus Impuls- und Energieerhaltung am Vertex, Spinerhaltung am Vertexpunkt und

vH (kl; nm) ∼ δσk − σl .

Lösungen der Übungsaufgaben

579

Nach den Diagrammregeln aus Abschn. 5.4.1 bleibt dann auszuwerten: (lσE ¢¢ ) 1 U 2π h N (l - sE ¢) 1 U 2π h N (kσ E)

(l - sE ¢ )

(kσ E)

Abb. A.13.

i − Σk(2,σ a) (E) = h¯



  2   i 1 U 2 2 dE dE (−1) − · h¯ 2πh¯ N ¯ 



l, l

2    c 

c 

E · iG0, iG¯0, l−σ E lσ ⇒

Σk(2,σ a) (E)

= U nσ  2

(0)

    2  i 1 1 c 

dE iG0, − E . l− σ h¯ N 2πh¯ l

2.

Die Bezifferung des Diagramms begründet sich wie oben. (l ,- σ, E ¢¢ - E ¢ )

1 U 2π h N

1 U 2π h N

(l + q,- σ, E ¢¢)

(kσ E)

(k + q, σ, E + E ¢ )

⇒

Σk(2,σ b) (E)

(kσ E) Abb. A.14.

 

 i 1  1 0, c    dE E + E · =U dE i G k + qσ h¯ N 2 (2πh¯)2 2

lq

    0, c 

 c · iG0, iGl − σ E − E . l+q−σ E Alle anderen Diagramme zweiter Ordnung sind wegen vH (kl; nm) ∼ δσk − σl Null. Lösung zu Aufgabe 5.4.3 Störungstheorie erster Ordnung:

 2 i c 0, c (0)

n  U iGckσ (E) ≈ iG0, (E) − i G (E) − σ kσ kσ h¯   1 c (0) 0, c 

n ⇒ Gckσ (E) ≈ G0, (E) 1 + G (E) . U −σ kσ kσ h¯

5.4.3

580

Lösungen der Übungsaufgaben

Dyson-Gleichung (Aufg. 5.4.1):

  1 c (0) c 

n Gckσ (E) ≈ G0, (E) 1 + G (E) . U − σ kσ kσ h¯

Die Störungstheorie erster Ordnung entspricht also dem ersten Entwicklungsterm in der unendlichen Teilreihe, die durch die Dyson-Gleichung vermittelt wird. 5.4.4

Lösung zu Aufgabe 5.4.4

Σk(1σ) (E) =

+ Abb. A.15.

Über die Dyson-Gleichung ergibt das für die Ein-Elektronen-Green-Funktion bis zur zweiten Ordnung die folgenden Diagramme:

+

+

= +

+

+ +

+ Abb. A.16.

5.4.5

Lösung zu Aufgabe 5.4.5

i (1) −  Σ (E) = h¯ kσ  



 i 1  dE −v(kl; kl) iGclσ E + v(lk; kl)δσ σ iGclσ E =− . h¯ 2πh¯  l,σ

Es gilt: 1 2πh¯



'



$ dE Gclσ E = −i Tε alσ (t)cl+σ t + 0+ = +i nlσ  .

Dabei haben wir die Gleichzeitigkeits-Konvention ausgenutzt:   Σk(1) [v(kl; kl) − v(lk; kl)δσ σ ] nlσ  . σ (E) = l, σ 

Der Unterschied zur Lösung von Aufg. 5.4.4 besteht lediglich darin, dass der Erwartungswert des Besetzungszahloperators nun für das wechselwirkende, nicht mehr für das freie System zu bilden ist.

Lösungen der Übungsaufgaben

581

Die Renormierung führt zu einer ganzen Reihe von neuen Diagrammen, wie z. B.

Abb. A.17.

Abschnitt 5.6.4 Lösung zu Aufgabe 5.6.1 1. Wir schreiben:

5.6.1

γ ± χ±q (E) = −  χq (E) .

N i χq± (E) hat bis auf die Spins der beteiligten Propagatoren dieselbe Struktur wie iDq (E) in (5.180). Die in Abschn. 5.6 besprochene Entwicklung kann deshalb bis (5.198) fast direkt übernommen werden. Wir müssen nur darauf achten, dass die bei den festen Zeiten t und t  ein- bzw. auslaufenden Propagatoren (s. z. B. (5.182)) unterschiedliche Spins haben. Nach Fourier-Transformation auf p - q­

k­ t

t¢

k + q¯

 =



i χq± t, t 

p¯

Abb. A.18.

Energien verschwindet dann aber in der zu (5.184) analogen Dyson-Gleichung der zweite Summand, da wegen Spinerhaltung am Vertexpunkt an die Endpunkte des obigen Diagramms keine Wechselwirkungslinie angeschlossen werden kann. ⇒

i χq± (E)

 =

i¯ hΛq↑↓ (E) 2.

Vertex-Funktion in der Leiter-Näherung: (k, ­, E ¢ )

(k, ­, E ¢ ) (q, E)

=

+

( p, ­, E ¢¢) (q, E)

( p + q, ¯, E ¢¢+ E) (k + q, ¯, E + E ¢ )

(k + q, ¯, E + E ¢ ) Abb. A.19.





ΓL↑↓ qE; kE = 1 U =1+ 2πh¯ N

   

 ↑↓ i c 

c  − dE iG0, qE; pE . iG0, p↑ E p+q↓ E + E ΓL h¯ p

582

Lösungen der Übungsaufgaben

Da im Hubbard-Modell das Wechselwirkungs-Matrixelement eine Konstante ist, ist die rechte Seite von (k, E ) unabhängig. Dies bedeutet



ΓL↑↓ qE; kE ≡ ΓL↑↓ (qE) und somit:

ΓL↑↓ (qE) = 

=

↑↓ 1 + ΓL (qE)

=

↑↓ 1 + ΓL (qE)

   

 1 iU 0, c 

0, c   − dE iGp↑ E iGp+q↓ E + E = h¯ N 2πh¯ p



 i U  (0) i¯ hΛq↑↓ (E) . h¯ N

Die Leiter-Näherung lässt sich also im Fall des Hubbard-Modells exakt aufsummieren:

ΓL↑↓ (qE) = 3.

1 1+

U (0) N Λq↑↓ (E)

.

Exakt gilt: c Gk­ (E ¢)

Γ ­¯ (qE; kE ¢)

Gkc + q¯ (E + E ¢)

4.

i χq± (E) ≈ −

Abb. A.20.

  

 ↑↓ 1  c) c 

dE iG0, E E + E ΓL (q, E) . iG(0, k↑ k + q↓ 2πh¯ k

Der erste Faktor stammt von den äußeren Anschlüssen links! ↑↓ i χq± (E) ≈ i¯hΛ(0) q↑↓ (E)ΓL (q, E) .

Daraus folgt für die Suszeptibilität:

χq± (E)

=

¯ h (0) N Λq↑↓ (E) −γ (0) 1+ U N Λq↑↓ (E)

.

γ

Bis auf den Faktor − N ist Λ(0) q↑↓ mit der freien Suszeptibilität identisch. Das obige Ergebnis stimmt also mit (4.183) überein! Λ(0) q↑↓ (E) wurde in (5.192) berechnet.

Lösungen der Übungsaufgaben

583

Lösung zu Aufgabe 5.6.2

5.6.2 i : - Tkσ (E) . h

Alle anderen Symbole haben dieselbe Bedeutung wie im Text: T-Matrix-Gleichung: +

=

iGckσ (E)

Abb. A.21.

c 0, c iG0, kσ (E) + iGkσ (E)

=

  i c − Tkσ (E) iG0, kσ (E) , h¯

1 0, c c c Gckσ (E) = G0, G (E)Tkσ (E)G0, kσ (E) + h kσ (E) . ¯ kσ Vergleich mit der Dyson-Gleichung: Dies bedeutet: = +

=

Abb. A.22.

+

=

Abb. A.23.

    i i i i 0, c − Tkσ (E) = − Σkσ (E) + − Σkσ (E) iGkσ (E) − Tkσ (E) h¯ h¯ h¯ h¯ ⇒

Tkσ (E) =

1−

Σkσ (E) 1 0, c ¯ h Gkσ (E)Σkσ (E)

.

Lösung zu Aufgabe 5.6.3 Zu berechnen ist die folgende Zwei-Teilchen-Spektraldichte:

S(2) iiσ (E − 2μ) = −

1 1  Im  Dq (E − 2μ) . πN q

Dabei ist:

i Dqσ (E) =

+ ∞

i 

d t − t  e ¯h E t−t · −∞

·

 kp

σ

 

   E0  Tε ak − σ (t)aq − kσ (t)a+q − pσ t  a+p − σ t   E0 .

5.6.3

584

1.

Lösungen der Übungsaufgaben

Das allgemeine Diagramm hat die Form: q − k,σ, E ′

q − p,σ, E ′′

(q, E)

(q, E)

p,− σ , E − E ′′

k,− σ , E − E ′

Abb. A.24.

Bis auf die Bezifferung und die Pfeilrichtungen haben wir dieselben Diagrammtypen wie bei der Dichte-Korrelation Dq (E) in Abschn. 5.6. Die Diagramm-Regeln entsprechen weitgehend denen nach (5.183) in Abschn. 5.6.1. Wir haben lediglich die äußeren Anschlüsse (Regel 4) gemäß dem obigen Bild zu indizieren. – Wegen der speziellen Pfeilrichtungen kann es allerdings keine reduziblen Polarisationsanteile im Sinne von Abschn. 5.6.1 geben. 2. iDÆqσ (E) »

+

+

+

=

i¯ h Λ(0) qσ = −

+

Γ Lσ -σ (q, E)

Abb. A.25.

  

 1  c 

c dE iG0, E E − E . iG0, σ σ q − k k − 2πh¯ k

Wie in Aufg. 5.6.1 findet man:

ΓLσ − σ (q, E) =

1 1+

U (0) N Λqσ (E)

.

Dies ergibt:  Dqσ (E) = h¯

 Λ(0) qσ (E) 1+

U (0) N Λqσ (E)

.

Λ(0) qσ (E) berechnet sich völlig analog zu (5.192). 3. Ersetzen Sie in  Λ(0) qσ (E) die freien durch die vollen Propagatoren!

Sachverzeichnis

585

Sachverzeichnis Fette Seitenzahlen verweisen auf eine Definition, die Formulierung eines Satzes oder eine wichtige Aussage, kursive auf eine Aufgabe. 4f -System, 285, 285, 286 − magnetisches, 285, 287 Abschirmeffekt, 123, 378 Abschirmlänge, 231, 233 Abschirmung, 123, 125, 229, 233, 390 Absorption, 77, 80, 81 adiabatisch, siehe Einschalten AES, siehe Augen-Elektronen-Spectroskopie Anregungsenergie, 97, 138, 139, 141, 153, 158, 171, 182, 186, 201, 206, 403 Antiferromagnet, 92, 102, 187, 225 Antiferromagnetismus, 91 Antikommutator-Green-Funktion, 143, 152, 159, 164, 169, 272 Antikommutator-Spektraldichte, 141 Appearance-Potential-Spectroscopy (APS), 248, 249, 397 ATA, siehe Average T-Matrix Approximation Atomares Limit, siehe Limit Auger-Elektronen-Spektroskopie (AES), 248, 249, 397 Austauschaufspaltung, 206 Austauschenergie, 55, 366 Austauschintegrale, 92, 95, 224, 273, 280, 283 Austauschterm, 54 Austauschwechselwirkung, 90, 92, 93, 160, 285, 286 Average T-Matrix Approximation (ATA), 263, 265, 266 Bahnanteil, 92 Baker-Hausdorff-Theorem, 326 Band − exakt halbgefülltes, 221, 224 − unendlich schmales, 199–202, 226, 229 Bandaufspaltung, 187, 191, 210, 269 Bandbesetzung, 218–220, 291–293, 296 Bandkorrektur, 215–219

Bandlimit, 209, 211, 212, 225 Bandmagnetismus, 59, 93, 93, 212 Bandverschiebung, 206, 219 − spinabhängige, 93, 214 Basis, 3, 4, 9, 11, 12, 20, 21, 29, 65 Basisvektor, 14 Basiszustand, 13, 15, 19, 20, 25, 27 BCS-Supraleitung, 171, 172, 229 BCS-Theorie, 84, 87, 170, 171 Besetzungsdichteoperator, 19, 19, 28 Besetzungszahl, 22, 24, 25, 235, 237 − mittlere, 32, 62, 154, 185, 225, 413 Besetzungszahldarstellung, 24 Besetzungszahloperator, 28 Bewegungsgleichung, 68, 69, 75, 109, 203, 405, 411 − der Dichtematrix, 115–117 − der Ein-Elektronen-Green-Funktion, 199, 200, 203, 207, 209, 304 − der Ein-Teilchen-Green-Funktion, 211, 251, 299 − der Green-Funktion, 135, 135, 136, 144, 149, 152–154, 157–159, 161, 164, 167–169, 172, 175, 188, 190, 199, 235–237, 243–245, 249, 271, 272, 276, 284, 288, 295, 303, 304 − der Heisenberg-Operatoren, 113, 114, 135, 146, 216, 275, 316, 317 − des harmonischen Oszillators, 69 − des Zeitentwicklungsoperators, 110, 115, 410 Bindung, metallische, 56 Bindungsenergie, 66 Blase, 338, 343, 344, 362, 365, 366 Bloch-Band, 187, 220, 291, 295, 301 Bloch-Darstellung, 47, 50, 78, 132, 173, 225 Bloch-Elektronen, 40, 42, 152, 186 Bloch-Energie, 41, 43, 57, 58, 65, 77, 173, 174, 185, 262, 296, 325 Bloch-Funktion, 41, 41, 42, 46, 56, 57, 79, 173

586

Sachverzeichnis

Bloch-Operatoren, 42, 45, 60 Bloch-Zustand, 42 Bloch-Zustandsdichte, 86, 186, 187, 218, 219, 249, 297 Bloch’sches T 3 | 2 -Gesetz, 246, 273, 283 Bloch’sches Theorem, 41, 48, 57, 65, 250 Bogoliubov-Ungleichung, 101, 102, 228 Bohr’scher Radius, 53, 372 Bohr’sches Magneton, 90, 246 Bose-Einstein-Verteilungsfunktion, 76, 100, 159 Bose-Funktion, 413 Bose-Operatoren, 73, 99, 134, 278, 322, 405 Bosonen, 9, 13, 15, 23, 25, 26, 28, 74, 84, 98, 157, 405, 408, 409, 424 Bravais-Gitter, 41, 41, 65, 75, 76, 80 Brillouin-Wigner-Störungstheorie, 315, 325 Brillouin-Zone, erste, 41, 42, 60, 68, 75, 76, 80, 101, 103, 281, 325 Cauchy’scher Hauptwert, 140 Coherent Potential Approximation (CPA), 255, 258, 259, 265, 265, 268, 269, 292, 297 Cooper-Modell, 85, 86 Cooper-Paar-Erzeugungsoperator, 87, 170 Cooper-Paare, 81, 84, 84, 85, 86 Core-Zustand, 248 Coulomb-Matrixelement, 48, 173, 363, 373 Coulomb-Potential, abgeschirmtes, 231, 233, 378 Coulomb-Wechselwirkung, 39, 46, 46, 47– 50, 52, 59, 81, 92, 189, 201, 218, 286, 293, 326, 368, 371, 376 CPA, siehe Coherent Potential Approximation Curie-Gesetz, 90 Curie-Temperatur, 91, 205, 219, 273 − paramagnetische, 91 Curie-Weiß-Gesetz, 91 Debye-Frequenz, 76, 85 Debye-Modell, 76 delta-Funktion (δ-Funktion), 138, 156, 177, 179, 184, 186, 214, 296, 344, 357, 380, 388 delta-Funktion (δ-Funktion), 30, 136, 205, 225

Diagonalelemente, 142 Diagrammdarstellung, 339, 397 − der Dyson-Gleichung, 361, 388, 390 Diagramme, 260–267, 337–342, 344, 345, 351, 352, 356–362, 363, 365–367, 371, 376–378, 382–393 − gekreuzte, 263, 264 − geschlossene, 350 − „gestreckte“, 355 − gleicher Struktur, 345, 346, 354, 355, 364, 366, 372, 420 − nicht zusammenhängende, 347, 348 − offene, 350–354, 364, 366, 383, 430 − topologisch gleiche, 345–347, 355, 364, 365, 372, 420, 421, 430 − topologisch verschiedene, 346, 354, 355, 364, 366, 372, 420 − zusammenhängende, 347–349, 351, 351, 352–355, 359, 364, 366, 383, 421 Diagrammentwicklung, 364, 387, 393 − der Green-Funktion, 353, 388, 389 Diagrammregeln, 260, 263, 338, 339, 344, 346, 349, 358, 358, 362, 384, 386, 388, 389, 392, 426, 430, 431 − für die großkanonische Zustandssumme, 422, 424 Diagrammtechnik, 115, 141, 148, 259, 359, 363, 390, 391 Diamagnetismus, 89, 89, 90 Dichtekorrelation, 63, 64, 382, 392, 393 Dichtematrix, 110, 115–117 Dichteoperator, 51, 124, 234, 383, 404 Dichteparameter, 53, 62, 233, 372, 376 Dielektrizitätsfunktion, 123, 123, 125, 187, 233, 233, 234, 237, 238, 240, 241, 382, 390, 393 − statische, 241, 242 Dipolmomentenoperator, 121, 132 Dirac-Bild, 109, 113, 114, 117, 315, 319, 410 Dirac-Darstellung, 118, 321, 322, 326, 350, 364, 410, 411, 415, 416 Dirac-Identität, 140, 147 Dirac-Zustand, 114, 316 Dispersion, 52, 58, 287 Dispersionsspektrum, 77 Dispersionszweige, 68, 75, 76

Sachverzeichnis

Drude-Theorie, 123 Dyson-Gleichung, 176, 176, 252, 253, 255, 259, 261, 263, 359, 361, 382, 387, 388, 390, 395, 396, 403, 411, 432 Dyson-Maleév-Transformation, 278 Dyson’sche Spinwellentheorie, 280 Dyson’scher Zeitordnungsoperator, 111, 134, 322, 411 Eigenenergie, 62, 137, 325 Eigenfrequenz, 75 Eigenfunktion, 42, 62 Eigenlösung, 40 Eigenschwingung, 125, 234, 238 Eigenwert, 4, 7, 19, 28, 33, 68, 109, 189, 221, 277, 312, 313, 325 Eigenwertgleichung, 41, 67, 68, 222, 312 Eigenwertproblem, 57, 68, 116, 311, 404 Eigenzustand, 3, 7, 9, 19–21, 28, 29–31, 33, 42, 64, 96, 97, 137, 181–183, 189, 221, 277, 317, 320, 325, 433 Ein-Elektronen-Green-Funktion, 152, 157, 170, 174, 175, 188, 189, 190, 199, 203, 206, 207, 209, 229, 291, 295, 304, 362, 363, 382, 387, 396, 397 − kausale, 324, 356 Ein-Elektronen-Spektraldichte, 153, 171, 174, 177, 185, 189, 212, 216, 225, 229, 229, 291 Ein-Elektronenoperator, 78 Ein-Magnonen-Green-Funktion, 157 Ein-Magnonen-Spektraldichte, 158, 279 Ein-Magnonenzustand, 97, 98, 277 Ein-Phononen-Green-Funktion, 170 Ein-Teilchen-Anteil, 16, 27, 250 Ein-Teilchen-Basis, 29, 63 Ein-Teilchen-Energie, 183, 203, 218, 230, 231 Ein-Teilchen-Funktion, 414 Ein-Teilchen-Green-Funktion, 176, 190, 211, 251, 256, 258, 259, 262, 265, 299, 358, 384, 388, 393 − kausale, 353 Ein-Teilchen-Kontinuum, 238 Ein-Teilchen-Matsubara-Funktion, 411, 416, 423, 429 − freie, 413

587

Ein-Teilchen-Modell, 208, 210 Ein-Teilchen-Observable, 9, 20, 21 Ein-Teilchen-Operator, 41, 42, 50, 207 Ein-Teilchen-Problem, 4 Ein-Teilchen-Spektraldichte, 412 Ein-Teilchen-Wellenfunktionen, 3, 31 Ein-Teilchen-Zustand, 4, 9, 11, 12, 14, 22–24, 28, 32 Einschalten, adiabatisches, 118, 317, 357, 415, 433 − der Wechselwirkung, 315, 316 Elektron-Elektron-Wechselwirkung, 59, 81, 85, 87, 88, 229, 251, 326, 371 − effektive, 81, 82, 84, 88 Elektron-Magnon-Wechselwirkung, 284 Elektron-Phonon-Kopplung, 79 Elektron-Phonon-Wechselwirkung, 40, 77, 80, 81, 84, 85, 88, 284 Elektronendichte, 50, 56, 62, 63, 124, 234, 372, 376, 379, 382 − mittlere, 53 Elektronendichteoperator, 51 Elektronengas, 124, 125, 130, 185, 363, 371, 376, 378, 392 Elektronenkorrelation, 207, 210, 249 Elektronenpaarbildung, 81 Elektronensystem, 42, 65, 124, 125, 152, 206, 226, 230, 234, 237 − nicht wechselwirkendes, 123, 149, 155, 186, 189, 190, 246 − wechselwirkendes, 132, 155, 156, 173, 174, 182, 188, 189, 190, 191, 209, 229, 397, 432 Elektronenvakuum, 296 Elektronenzahl, 52, 155, 186 Elementarprozess, 77, 81, 301 Energie, 40, 50, 52, 53, 65, 74, 86, 87, 121, 139, 158, 162, 170, 177–179, 183, 184, 186, 187, 189, 201, 206, 225, 231, 248, 250, 269, 296, 297, 301, 314, 317, 356, 358, 369, 374, 376, 385, 387, 413, 426, 430 − freie, 156, 157, 159, 189, 275 − innere, 32, 62, 76, 156, 159, 170, 188, 189, 225, 273–275, 359 − kinetische, 39, 47, 50, 51, 55, 59, 66, 86, 248, 286, 366

588

Sachverzeichnis

− mittlere, pro Teilchen, 53, 62 − potentielle, 66, 70, 86, 230 Energieband, 42, 56, 57, 59, 93, 173, 185, 199, 210, 229, 248, 249, 291, 293 Energiedarstellung, 120, 122, 136 − der Spektraldichte, 136 Energieeigenfunktion, 28 Energieeigenwert, 28, 33, 95, 171 Energieeigenzustand, 97, 171 Energieerhaltung am Vertex, 357, 360, 388, 392, 424, 426, 430 Entropie, 62 Erwartungswert, 5, 32, 86, 87, 98, 106, 109, 112, 116–118, 121, 124, 141, 145, 154, 156, 158, 159, 161, 163, 188, 189, 201–203, 213, 215– 217, 271, 273, 276, 277, 291, 321, 322, 326, 335, 335, 371, 409, 413, 416, 418, 419 Erzeuger, 20, 25, 53, 99, 327–329, 331, 332, 392, 422, 430 Erzeugerzeit, 329, 337, 342 Erzeugungsoperator, 3, 9, 12, 13, 15, 17, 18, 24, 25, 27, 30, 42, 44, 74, 84, 99, 188, 287, 327, 337, 416 Feldoperatoren, 20, 21, 43, 45, 63 Fermi-Energie, 52, 53, 62, 205, 219 Fermi-Funktion, 155, 189, 202, 218, 248, 413 Fermi-Kugel, 53, 54, 85, 241, 326, 327 Fermi-Operatoren, 134, 172, 350, 405 Fermi-Schicht, 61 Fermi-System, 326 Fermi-Vakuum, 327, 331, 332 Fermi-Wellenvektor, 52, 62, 181 Fermionen, 9, 13, 15, 22, 23, 25, 25, 26, 28, 31, 55, 152, 155, 200, 322, 343, 344, 405, 408, 409, 424, 426 Fermionenoperatoren, 330, 331, 351, 352 Ferrimagnetismus, 91, 91, 92 Ferromagnet, 91, 92, 94–96, 100, 101, 119, 157, 225, 270, 274, 275, 277, 281 Ferromagnetismus, 90, 102, 120, 202, 205– 207, 212, 219, 247 Festkörper, 39 Festkörperelektronen, 152, 157, 199 Feynman-Diagramme, 335, 337, 364, 420, 423

Fock-Darstellung, diskrete, 21, 27 Fock-Zustände, 24, 28, 33 Fourier-Darstellung, 78, 136 Fourier-Entwicklung, 407 Fourier-Transformation, 125, 137, 144, 203, 209, 232, 251, 262, 274, 385, 386 Fourier-Transformierte, 30, 99, 118, 120, 149, 157, 161, 174, 243, 271, 295, 356, 358, 384, 385 Friedel-Oszillationen, 242 Gap-Parameter, 88 Gell-Mann–Low-Theorem, 316, 317, 320, 321, 433 Gewicht, spektrales, 171, 184, 201, 210, 214, 215, 229, 289–292 Gitter, 41, 75, 76, 79, 81, 91, 98, 208, 209, 250, 252, 253, 273 − kubisch primitives, 58 Gitterionen, 39, 39, 57, 65, 66, 77, 94 Gitterpotential, 40, 40, 41, 43, 46, 56, 152, 155, 173, 174, 239, 286 Gitterschwingungen, 65, 74, 75, 76, 77, 94, 284 Gitterstruktur, 59, 65, 75, 249, 250, 273 Gleichzeit-Diagramm, 427 Green-Funktion, 109, 115, 118, 122, 125, 132, 134–141, 143–145, 147, 148, 153, 157–159, 161– 163, 167, 168, 170, 173, 176, 179, 180, 187–189, 199, 202, 203, 208, 209, 229, 234, 236, 243, 244, 252, 253, 255, 256, 258, 261, 263, 269, 271, 272, 275, 276, 284, 288, 290, 291, 296, 298, 300, 311, 321, 337, 353, 358, 361, 373, 385, 386, 396, 404 − avancierte, 133, 139, 144, 145, 147, 149, 153, 161, 170, 409 − höhere, 135, 136, 162, 175, 176, 188, 199, 200, 203, 207, 236, 237, 249, 271, 295, 303, 304, 391 − kausale, 133, 139–141, 145, 148, 150, 154, 322, 324, 328–330, 335, 335, 358, 360, 368, 390, 403, 415 − retardierte, 115, 118, 118, 119, 120, 122, 123, 125, 131, 133, 138, 139, 144, 147, 149, 153, 161, 170, 172, 190, 234, 249, 271, 284, 296, 403, 409 Green-Funktions-Diagramme, 355, 360, 361

Sachverzeichnis

589

Green-Funktions-Matrix, 251, 253 Grenzfall des unendlich schmalen Bandes, 199, 200, 202, 226, 229 Grundformel, störungstheoretische, 313 Grundzustand, 95, 97, 98, 181, 221, 225, 296, 311, 315, 320–322, 326 − entarteter, 221 − ungestörter, 52, 54, 313, 371 Grundzustandsdiagramme, 392 Grundzustandsenergie, 28, 52, 53, 55, 55, 81, 87, 88, 96, 99, 274, 363, 364, 366, 371, 372, 382, 392, 393, 426 Gruppengeschwindigkeit, 75, 76

„Hopping“-Integral, 44, 58, 174, 228 Hubbard-Entkopplungen, 212 Hubbard-Lösung, 210–212, 214, 216, 219 Hubbard-Modell, 56, 59, 59, 93, 199, 202, 203, 207, 212–214, 221, 224, 225, 226, 228, 229, 244, 247, 249, 269, 270, 278, 352, 362, 362, 396, 397 Hubbard-Näherung, 225, 226

Hamilton-Funktion, 71, 73 Hamilton-Operator, 4, 6, 30–33, 39, 40, 46, 56, 57, 64, 65, 73, 77, 80, 82, 85, 88, 92, 94, 95, 99, 100, 102, 109, 110, 113, 115, 118, 119, 121, 132, 133, 134, 137, 146, 149, 152, 156–159, 170, 171, 173, 174, 181, 189, 199, 207, 214, 221, 225–227, 229, 243, 250, 252–254, 270, 273, 277, 278, 286, 287, 311, 315, 324, 403, 404, 433 − des Jellium-Modells, 50, 51, 52, 63, 225, 235 − effektiver, 222, 253 Hamilton’sche Bewegungsgleichungen, 4 Hartree-Fock-Energie, 366 Hartree-Fock-Lösung, 203, 209, 366, 371 Hartree-Fock-Näherung, 202, 203, 207, 208, 214, 225, 237, 271, 304, 371, 396 Hauptsatz − der Thermodynamik, Dritter, 62, 156 − von den zusammenhängenden Diagrammen, 351 Heisenberg-Bild, 109, 112, 112, 113, 114, 130, 410 Heisenberg-Darstellung, 118, 131, 133, 321, 404 − modifizierte, 404, 413 Heisenberg-Modell, 92, 92, 93, 94, 99, 100, 102, 160, 221, 224, 228, 243, 270, 283, 286 Hilbert-Raum, 3, 21 − der antisymmetrischen Zustände, 7 − der symmetrischen Zustände, 7 Holstein-Primakoff-Transformation, 99, 100, 277, 278

Jellium-Modell, 46, 49–52, 56, 58, 63, 93, 124, 199, 225, 225, 235, 352, 361–365, 367, 371, 376, 382, 383, 392, 426

Impulserhaltung, 237 − am Vertex, 353, 355, 360, 383, 426 Interpolationsmethode, 211, 212, 214 Invarianz, zyklische, der Spur, 118, 135, 404, 418

Kette − diatomare lineare, 68, 75 − lineare, 75 − von Bewegungsgleichungen, 136, 208 Kommutator-Green-Funktion, 142, 143, 157, 159, 163, 166, 167, 169, 188, 271 Kommutator-Spektraldichte, 141–143, 248 Konfigurationsmittelung, 252, 253, 257, 259 Konstruktionsoperator, 3, 16, 20, 21, 24, 27, 83, 99, 182, 322, 327–329, 335, 350, 405, 411, 414, 416, 417 Kontraktion, 327, 328–333, 335, 335, 337, 338, 341, 343, 346, 416, 416, 417, 419, 420, 430 Korrelation, 141, 142, 166, 167, 262, 372, 397 Korrelationsenergie, 55, 371, 376, 379, 382 Korrelationsfunktion, 109, 132, 134, 137, 141, 142, 149, 159, 163, 165, 166, 189, 216, 249, 403, 404, 413 Kramers-Kronig-Relationen, 147, 147 Kubo-Formel, 118, 119, 125 Kubo-Identität, 131, 132 Ladungsdichte, 121, 123, 124, 231, 234, 237, 242 Ladungsdichtewellen, 229, 234 Lagrange-Funktion, 69, 71 Landé-Faktor, 92 Langevin-Paramagnet, 90

590

Sachverzeichnis

Lebensdauer, 154, 181, 183, 296, 300, 301, 382 Legierung, binäre, 269, 270 Legierungsanalogie, 269, 270, 292 Leiternäherung, 395, 396 Leitfähigkeit, elektrische, 93, 115, 121, 122, 132, 187 Leitungselektronen, 84, 90, 93, 94, 123, 125, 285, 286, 292 Limes, thermodynamischer, 46, 50, 54, 103, 238, 375, 376, 425 Limit, Atomares, 209, 211, 212, 214, 216, 221, 221, 225, 269 Lindhard-Funktion, 237 Lindhard-Korrektur, 242 Linear Response, 117 Linear-Response-Theorie, 115, 120 Linie − nicht propagierende, 338, 343, 344, 349, 355, 359, 423, 424, 431, 432 − propagierende, 337, 342–344, 349, 353, 355, 359, 360, 394, 423, 424, 431 Linked-Cluster-Theorem, 345, 349, 422 Lonke-Theorem, 220, 229 Lorentz-Funktion, 179, 213 Lorentz-Gestalt, 178 Lorentz-Peak, 179, 184 Magnetisierung, 89, 100, 102, 119, 120, 161, 165, 166, 203, 204, 206, 228, 246, 270, 281, 287, 292, 293 − spontane, 91, 92, 101–103, 163, 166, 202, 205, 212, 219, 228, 284 Magnetismus, 88, 89, 91, 93, 214 − kollektiver, 89–91 − lokalisierter, 93 Magnonen, 9, 94, 97, 98, 98, 100, 120, 125, 157–159, 229, 243, 250, 278, 284, 300 Magnonenbesetzungsdichte, 159 Magnonenbesetzungszahloperator, 278 Magnonenemission, 301 Magnonenenergie, 101, 159, 299, 300 Magnonenvakuum, 296 Masse, effektive, 184, 185, 190, 239 Matrix der atomaren Kraftkonstanten, 66

Matrixelement, 6, 13, 16, 18, 19, 25, 27, 42, 45, 48, 50, 51, 59, 79–81, 92, 132, 139, 222, 256, 336, 356, 363 − der Elektron-Phonon-Kopplung, 79 Matsubara-Energien, 425, 432 Matsubara-Funktion, 403, 405–409, 412, 413, 430 Matsubara-Methode, 403, 404 Maxwell-Gleichungen, 124 Medium, effektives, 253 Mehrteilchen-Funktionen, 188 Mermin-Wagner-Theorem, 102, 228 Mesonen, 9 Methode des effektiven Mediums, 253 Mode, kollektive, 238 Modellsystem, 39, 159, 160, 173, 199, 211 Modified Propagator Method (MPM), 263, 263, 265 Molekularfeldnäherung, 203, 262 Moment, magnetisches, 93, 285 Momentenmethode, 212, 216, 220, 278, 280, 403 Mott-Isolator, 187 MPM, siehe Modified Propagator Method Multisubbandstruktur, 293 N-Teilchen-Zustand, 4–8, 11, 14, 15, 22–24, 54 − antisymmetrisierter, 7, 8, 10, 11, 12, 22 − nicht symmetrisierter, 10, 22 − symmetrisierter, 7, 8, 10, 11, 12, 22 Näherung, harmonische, 65, 66, 67, 69, 74, 75 Néel-Temperatur, 91 Nest-Diagramme, 266 von Neumann’sche Reihe, 110 Niveau, atomares, 57, 221, 251, 262, 268, 270 Niveauverschiebung, 312–314, 325, 364, 393 Normalkoordinaten, 69, 71, 73, 79 Normalprodukt, 327, 329, 330, 333, 335, 403 Normalprozesse, 80 Observable, 3–6, 10, 16, 17, 19, 20, 34, 109, 113, 116, 118, 145, 203, 322 Ohm’sches Gesetz, 122 Operator, 5, 8, 10, 12, 13, 15, 21, 22, 25, 27, 50, 72, 77, 78, 82, 109, 111–114, 116, 118, 124, 135,

Sachverzeichnis

142, 144, 173, 257, 276, 315, 321, 322, 328–331, 333, 338, 341, 343, 344, 350, 364, 372, 410, 414–416, 418 − der Elektronendichte, 50, 63 − effektiver, 92, 221, 224 Operatorbild, 112 Operatoridentität, 6, 273, 276, 284, 330, 416 Ordnung eines Diagramms, 260, 420 Orthogonalprojektor, 312, 324 Orthonormierung, 24 Ortsoperator, 20 Oszillator, harmonischer, 67, 69, 71, 73 Paarung, totale, 330, 330, 334, 335, 339, 350, 364, 416, 419 Paarverteilungsfunktion, statische, 64 Paarwechselwirkung, 30, 31, 40, 326, 336, 353, 409 Paramagnet, 90, 166, 225 Paramagnetismus, 89, 89, 90, 120 Partialsumme, 376, 382, 396 Pauli-Paramagnetismus, 90 Pauli-Prinzip, 22, 55, 59, 90, 225, 371 Pauli-Suszeptibilität, 246 Permutationsoperator, 5, 7, 10 Phasenübergang, 120, 205, 281 Phonon-Phonon-Wechselwirkung, 81 Phononen, 9, 40, 65, 74, 75, 77, 80, 81, 83, 94, 170, 250, 284 − longitudinale, akustische, 80 Phononengas, 75, 130, 170 Photoemission, 186 Photonen, 9 Plasmafrequenz, 240 Plasmaschwingung, 238 Plasmonen, 125, 229, 234, 238 Plasmonendispersion, 238, 240 Poisson-Gleichung, 231, 242 Polarisation, 237, 390 Polarisationsanteil, 387, 389 − irreduzibler, 387, 388, 392 Polarisationsdiagramm, 394 Polarisationspropagator, 388, 390–393, 395, 396, 427 Polaron, magnetisches, 301, 304

591

Potential, 242, 250, 253 − abgeschirmtes, 242 − chemisches, 61, 62, 116, 170, 187, 205, 218, 291 − elektrostatisches, 230 Prinzip der Ununterscheidbarkeit, 5, 7, 55 Projektionsoperator, 222, 312, 324 Propagator, 179, 181–183, 263, 266, 299, 355, 360, 363, 367, 386, 423 − freier, 265, 266, 268, 382, 395, 396 − voller, 263, 266, 382 Quantisierung, zweite, 3, 3, 9, 27, 31, 32, 39, 44, 47, 50, 58, 63, 78, 99, 124, 132, 287 Quasi-(Kristall-)Impuls des Phonons, 80 Quasiteilchen, 97, 125, 154, 173, 175, 179, 180, 183, 184, 185, 189, 190, 210, 254, 291, 296, 301, 382 Quasiteilchenenergie, 171, 175, 183–185, 190, 203, 206, 210, 214, 215, 229, 262, 263, 272, 273, 276, 296 Quasiteilchenkonzept, 190 Quasiteilchenlebensdauer, 175, 184, 189, 190, 210 Quasiteilchenzustandsdichte, 155, 155, 186, 191, 201, 202, 210, 211, 218, 219, 259, 293, 295, 296, 403 Randbedingungen, periodische, 42, 46, 52, 60, 62, 68, 75, 76 Random Phase Approximation (RPA), 236, 237, 244, 391, 395, 551 Rastervolumen, 52, 76 Rayleigh-Ritz-Variationsprinzip, 372 Renormierung, 363 Residuensatz, 138, 179, 180, 232, 426, 428 Resonanz, 125, 177, 177, 178, 180 Response-Funktion, 120, 403 Response-Größen, 115, 145 Riemann’sche zeta-Funktion (ζ-Funktion), 61 Ringdiagramm-Näherung, 428 Ringdiagramme, 371, 371, 372, 375–379, 390, 391, 393, 426 − topologisch gleiche, 427

592

Sachverzeichnis

RPA, siehe Random Phase Approximation Rumpfelektronen, 39 s-f-Modell, 93, 286, 287, 292, 295, 303, 304, 325 s-f-Wechselwirkung, 287, 297 Säkulargleichung, 221 Schleife, 343, 344, 355, 423, 424, 432 Schleifenregel, 341, 342, 344, 384, 386, 395, 423 Schrödinger-Bild, 109, 109, 112, 113, 116, 117, 319, 410 Schrödinger-Gleichung, 3, 4, 189, 230, 250 Schrödinger-Störungstheorie, 313, 314, 325 Schwerpunktfunktion, 211 Selbstenergie, 175, 175, 176, 177, 180, 184–186, 190, 191, 209, 210, 212, 226, 254, 258, 262, 267, 268, 270, 293, 295, 296, 299, 300, 304, 361, 362, 363, 382, 390, 391, 393, 395, 397, 412, 432 Selbstenergieanteil, 359, 382, 397 − irreduzibler, 359–361 Selbstenergiediagramme, 361, 362, 394 Seltene Erden, 89, 284, 285 Single Site Approximation (SSA), 262, 262, 263, 264 Skalarprodukt, 5, 8, 14, 94, 101, 102, 112 − zweier (anti-)symmetrisierter N-Teilchen-Zustände, 11 Skelettdiagramm, 390 Slater-Determinante, 22 Sommerfeld-Modell, 52, 62, 64, 230 Spektraldarstellung, 137, 139–143, 177, 213, 408 − der avancierten Green-Funktion, 139 − der kausalen Green-Funktion, 141 − der retardierten Green-Funktion, 139 − der Spektraldichte, 137 Spektraldichte, 134, 136–143, 145–148, 150, 154, 158, 159, 163, 176–181, 184–186, 189, 201, 204, 210, 213–215, 218, 248, 249, 272, 273, 275, 279, 280, 296, 301, 408 − höhere, 291 Spektralmomente, 146, 150, 171, 213–215, 221, 229, 279 Spektraltheorem, 141, 143, 154, 158, 163, 167, 169, 170, 185, 188, 202, 204, 213, 216, 217, 225, 272, 275, 276, 280, 291

Spin, 43, 44, 81, 84, 85, 92, 95, 98, 160, 166, 186, 210, 214, 221, 225, 243, 276, 286, 291, 297, 355, 358, 364, 371, 387 − ganzzahliger, 9 − halbzahliger, 9 Spin-Statistik-Zusammenhang, 9 Spin-Umklappprozesse, 245 Spinanteil, 42 Spindichtewellen, 229 Spinerhaltung, 225, 244, 353, 426 − am Vertexpunkt, 355, 383 Spinflip, 206, 207, 287, 296, 297, 300 Spinoperatoren, 29, 94, 95, 98–100, 100, 222, 223, 226, 226, 278, 284, 287 Spinsysteme, 246 Spinwelle, 94, 98, 125, 157, 243, 245, 246, 277, 278 Spinwellenenergie, 120, 243, 274, 278, 281, 299 − renormierte, 280 Spinwellennäherung, 100, 101, 277 Spinzustand, 92 Spur, 118, 135, 404, 414, 418 SSA, siehe Single Site Approximation Standardanordnung, 10, 16, 22 Stoner-Kriterium, 205, 206, 212 Stoner-Modell, 202, 207, 212, 235, 243, 244, 248 Stoner-Näherung, 225 Störfeld, 124, 125 Störladung, 123–125, 234 Störreihe, 311, 314, 336–339, 342–345, 348, 351, 352, 359, 364, 371, 376, 385, 387, 392, 420, 421, 429, 430 Störung, 82, 118, 221, 234, 317, 359 Störungstheorie, 221, 311, 317, 321, 322, 375– 377, 391, 403, 404, 410–414 − diagrammatische, 311, 324, 353 − dritter Ordnung, 372 − erster Ordnung, 52, 221, 352, 362, 363, 365, 366, 371 − stationäre, 313 − zweiter Ordnung, 222, 225, 352, 366, 376 Streumatrix, 252, 255, 322, 350 − atomare, 255, 257

Sachverzeichnis

Streuspektrum, 301 Stromdichte, 121 Stromdichteoperator, 121, 132 Struktur eines Diagramms, 346 Strukturfaktor, 64 − dynamischer, 63 − statischer, 63, 64 Stufenfunktion, 134, 138, 149, 380, 405 Substitutionsunordnung, 250, 251 Supraleiter, 170, 172 Supraleitung, 59, 81, 84, 84, 87, 170, 171, 229, 284, 317 Suszeptibilität, 89–91, 235, 244, 246 − des freien Systems, 235 − diagonale, 247 − longitudinale, 120 − magnetische, 89, 115, 119, 187 − transversale, 120, 243, 244, 396 − verallgemeinerte, 234, 235, 237, 245, 246 Symmetrisierungsoperator, 7 Systeme − identischer Teilchen, 5–8, 21, 30, 31, 55 − ungeordnete, 250 T-Matrix, 252, 254, 256, 397 − atomare, 262, 265 T-Matrix-Approximation (TMA), 257, 258, 265 T-Matrix-Gleichung, 253 Teilchen, identische, 4, 4, 5–9, 21, 23, 28, 30, 31, 55 Teilchen-Korrelationen, 208 Teilchen-Loch-Symmetrie, 292, 295 Teilchendichte, 203, 204, 212, 230, 231 Teilchenzahloperator, 19, 20, 28, 31, 33, 47, 416 Teilreihe, unendliche, 176, 312, 314, 359, 361, 363, 382, 387, 391 Temperatur, 76, 90, 100, 157, 205, 219, 240, 273, 277, 281, 291, 293, 297, 403 − kritische, 90, 91, 205, 219, 285 Tensor − der elektrischen Leitfähigkeit, 122, 132, 149 − der magnetischen Suszeptibilität, 119 Term, direkter, 54

593

Thomas-Fermi-Abschirmlänge, 378 Thomas-Fermi-Näherung, 230, 231, 233, 233, 234, 241, 242 Tight-Binding-Näherung, 56, 58, 65 TMA, siehe T-Matrix-Approximation topologisch gleich, verschieden, siehe Diagramme, Ringdiagramme Transformation, kanonische, 82, 88 Translationssymmetrie, 67, 68, 125, 201, 209, 250, 251, 271, 353 Transpositionsoperator, 5, 6 Tyablikow-Näherung, 270, 273, 279, 283, 284 Überkorrekturen, 264 Überlapp-Integrale, 58 Umklappprozesse, 80, 245 Unordnung, strukturelle, 250 Unordnungstyp, 250, 250 Untergittermagnetisierung, 91, 102 Ununterscheidbarkeit, Prinzip der, siehe Prinzip Vakuum-Fluktuations-Diagramme, 350, 351 Vakuumamplitude, 335, 339, 349, 350, 352, 355, 364, 366, 410, 415, 420 Vakuumzustand, 12, 15, 18, 25, 327 Valenzelektronen, 39 Variationsprinzip, 52 − von Rayleigh-Ritz, 372 VCA, siehe Virtual Crystal Approximation Vernichter, 15, 20, 53, 99, 327–329, 331–333, 392, 430 Vernichterzeit, 329, 337, 342 Vernichtung, 3, 80, 158 Vernichtungsoperator, 3, 9, 13, 15–17, 25, 27, 42, 44, 74, 84, 99, 130, 188, 287, 327, 337, 416 Vertauschungsrelation, 21, 30, 45, 71, 72, 95, 99, 100, 223, 226, 327 − fundamentale, 3, 15, 15, 19, 20, 26, 27, 31, 42, 60, 71, 84, 152, 159, 278 Vertex, 337–339, 344, 349, 353–357, 359, 364, 366, 375, 376, 384, 386, 388, 392, 420, 422– 426, 430, 431 Vertexanteil (irreduzibler), 393, 394

594

Sachverzeichnis

Vertexfunktion, 394, 395, 396 Vertexpunkt, 262–264, 337, 346, 353, 355, 383, 420, 423 Viel-Teilchen-Effekte, 208 Viel-Teilchen-Problem, 3, 109, 173, 253, 270, 287, 288, 311 Viel-Teilchen-System, 3, 4, 39, 173, 189 Viel-Teilchen-Theorie, 55, 88, 134, 180, 187, 199, 212, 269, 270, 280 Vielfachbesetzungskorrekturen, 265 Virtual Crystal Approximation (VCA), 261, 262 Vollständigkeit, 24 Vollständigkeitsrelation, 12, 16, 21, 222 Volumenintegral, 76

Wannier-Darstellung, 132, 157, 174, 251, 252, 258 Wannier-Funktion, 43, 57, 132, 174 Wannier-Operatoren, 45, 60 Wannier-Zustand, 44 Wärmeleitfähigkeit, 115 Wechselwirkung, 3, 40, 47, 75, 77, 84, 93, 94, 114–116, 123, 209, 220, 244, 250, 269, 278, 287, 291, 292, 315, 316, 319, 321, 325, 337, 353, 389–391, 395, 397, 411 − effektive, 388–393 Wechselwirkungenergie, 77, 123, 124 Wechselwirkungsbild, 113, 316 Wechselwirkungslinie, 260, 264, 337, 371, 382, 387–390, 393, 394 Wechselwirkungsoperator, 363 Wechselwirkungspotential, 30 Wellenfunktion, 18, 21, 57, 65, 285 − atomare, 57–59 Wick’scher Satz, siehe Wick’sches Theorem Wick’scher Zeitordnungsoperator, 134, 322 Wick’sches Theorem, 329, 330, 331, 333, 335, 335, 336, 350, 364, 403, 408, 416 − verallgemeinertes, 416, 416, 419

Yukawa-Potential, 233 Zeeman-Term, 94 Zeitentwicklungsoperator, 7, 110, 112, 114, 115, 315, 316, 321, 322, 335, 348, 372, 392, 410, 415 Zeitordnungsoperator, 111, 134, 322, 405, 411, 414, 422 Zustand, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 22–24, 32, 52, 84, 86, 87, 96, 98, 110, 112–115, 137, 181, 183, 189, 190, 201, 221, 236, 248, 250, 301, 316, 317, 320, 321, 433 − adiabatisch eingeschalteter, 433 − antisymmetrischer, 7 − antisymmetrisierter, 22 − gemischter, 110 − nicht symmetrisierter, 18 − nichtmagnetischer, 204 − reiner, 109, 110 − stationärer, 181, 182, 190 − symmetrischer, 7 − ungestörter, 222 Zustandsbild, 109 Zustandsdichte, 62, 75, 76, 155, 155, 186, 191, 204, 248, 259, 268, 269, 293, 299–301 Zustandssumme, 109, 159, 189 − großkanonische, 32, 62, 134, 409, 411, 415, 416, 419, 422, 424, 426, 428, 430 Zwei-Pol-Ansatz, 171, 213, 218 Zwei-Pol-Funktion, 229, 289 Zwei-Pol-Struktur, 214 Zwei-Spin-Problem, 159 Zwei-Spin-System, 163, 165, 166 Zwei-Teilchen-Anteil, 16, 17, 27 Zwei-Teilchen-Green-Funktion, 382, 384, 386–388 Zwei-Teilchen-Matrixelement, 27 Zwei-Teilchen-Operator, 47 Zwei-Teilchen-Spektraldichte, 248, 248, 249, 397 Zwei-Teilchen-Zustand, 18, 27, 29 Zweig, akustischer, optischer, 68