Quantenmechanik 001

P. Manakos, Wolfgang Kilian

Quantenmechanik ein Skriptum

Inhaltsverzeichnis 1 Observable und Operatoren I 1.1 Mathematische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Der Raum H: Inneres Produkt und Norm . . . . . . . . . 1.1.2 Linearformen in H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Orthonormierte Systeme, Basen . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Eigenvektoren, Eigenwerte von Operatoren . . . . . . . . . 1.1.6 Funktionen von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Quantenmechanik von Einteilchensystemen . . . . . . . . . . . . . 1.3 Erl¨auterungen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Normierung von Zustandsvektoren . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Unsch¨arfe . . . . 1.3.3 Reduktion des Wellenpakets. Kompatible Observable . . . 1.3.4 Pr¨aparation durch Messung. Maximaler Satz kompatibler Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.3.5 Zeitliche Anderung von Erwartungswerten . . . . . . . . . 1.3.6 Station¨are Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Kontinuierliches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8 Spektrum des Ortsoperators, Wahrscheinlichkeitsdichte . . 1.3.9 Nichtkompatible Observable . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6 7 8 9 11 13 14 16 16 17 21

2 Einfache Anwendungen der Quantenmechanik 2.1 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Definition des Drehimpulsoperators . . . . . . . . . . . . ~2 . . . . . . 2.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren von L3 und L 2.2.3 Eigenvektoren des Bahndrehimpulses (Kugelfunktionen) 2.3 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Streuung an einem Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Wirkungsquerschnitt und Streuamplitude . . . . . . . . . 2.4.2 Integralgleichung f¨ ur Streuung . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Bornsche N¨aherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Partialwellenanalyse, Streuphasen . . . . . . . . . . . . .

33 33 37 37 38 41 44 46 46 49 50 51

1

. . . . . . . . . . .

23 25 26 26 29 30

2

INHALTSVERZEICHNIS 2.4.5

Streuresonanzen, Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Observable und Operatoren II 3.1 Der mathematische Rahmen (Dirac-Formalismus) . . 3.1.1 Vektoren und Operatoren . . . . . . . . . . . 3.1.2 Spektralzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Transformationstheorie . . . . . . . . . . . . . 3.2 Beschreibung physikalischer Systeme . . . . . . . . . 3.2.1 Zust¨ande, Observable, Messungen . . . . . . . 3.2.2 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Bilder der zeitlichen Entwicklung . . . . . . . 3.2.4 Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Anwendung auf spezielle Systeme . . . . . . . . . . . 3.3.1 Systeme, die ein klassisches Analogon besitzen 3.3.2 Zusammengesetzte Systeme (Tensorprodukte) 3.3.3 Zwei Teilchen ohne innere Freiheitsgrade . . . 3.3.4 Teilchen mit Spin 12 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

56 59 59 59 65 69 72 72 74 79 81 85 85 91 93 95

4 Symmetrien und Invarianzen 99 4.1 Translationen und Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.1 Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.2 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.1.3 Infinitesimale Drehungen und Drehimpuls . . . . . . . . . 105 4.2 Darstellungen von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.1 Allgemeine Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.2 Darstellungen der Drehgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.3 Drehungen eines physikalischen Systems und Drehoperatoren113 4.2.4 Irreduzible lokale Darstellungen der Drehgruppe . . . . . . 114 4.2.5 Tensorprodukt von Darstellungen (Drehimpulskopplung) . 114 4.2.6 Tensoroperatoren und Wigner–Eckart–Theorem . . . . . . 116 5 Anwendungen 5.1 Systeme gleicher Teilchen. Fermionen und Bosonen . . . . . . 5.1.1 Der Raum der Ket–Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Permutationen in E ⊗N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Teilchen gleicher Sorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Symmetrische und antisymmetrische Zust¨ande . . . . . 5.2 Systeme von Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Besetzungszahldarstellung f¨ ur Bosonen . . . . . . . . . 5.2.2 Ein–Teilchen–Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Bosonen und Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . 5.3.1 Das elektromagnetische Feld in klassischer Darstellung

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

119 119 119 120 122 125 130 130 134 137 140 140

INHALTSVERZEICHNIS 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6

Hamiltonfunktion f¨ ur Teilchen und elektromagnetisches Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes . . Plancksche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantisierung des elektromagnetischen Feldes . . . . . Anwendung: Spontane Photonenemission . . . . . . . .

3 Feld150 . . 154 . . 155 . . 157 . . 159

A Zeitabh¨angige St¨orungsrechnung 1. Ordnung

163

B Tensorprodukte

169

4

INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1 Observable und Operatoren I (Ortsdarstellung, Einteilchensystem)

1.1 Mathematische Hilfsmittel Im ersten Kapitel wurde ausgehend von den Postulaten de Broglies eine Theorie f¨ ur die Zust¨ande eines Einteilchensystems im ¨außeren Potential, dargestellt durch eine Wellenfunktion ψ(~r, t), aufgebaut. Dabei ergab sich eine Randbedingung, die an ψ zu stellen ist, um eine physikalische Interpretation zu erm¨oglichen: Alle physikalisch realisierbaren Zust¨ande werden durch normierbare Wellenfunktionen, d.h ψ(~r, t) mit Z

|ψ(~r, t)|2 d3~r < ∞

f¨ ur alle Zeiten t

dargestellt. Im folgenden werden nun die Eigenschaften dieser Funktionenklasse, die bez¨ uglich der Addition und der Multiplikation mit komplexen Zahlen einen Vektorraum bildet, n¨aher untersucht. Besonders wichtig sind hierbei die linearen Operatoren u ¨ber diesem Vektorraum, die jeder quadratintegrablen Funktion eine andere zuordnen, da mit ihrer Hilfe die physikalischen Observablen in die Theorie eingef¨ uhrt werden. Mit zweien dieser Operatoren wurde bereits gearbeitet: Der e f¨ Hamiltonoperator H ur die physikalische Gr¨oße Energie und der Differentialopeh~ ¯ ur die physikalische Gr¨oße Impuls. rator i ∇ f¨ Im zweiten Abschnitt werden in einer axiomatischen Form die bisher erhaltenen Ergebnisse zusammengefaßt und zus¨atzlich die statistische Deutung der EinteilchenQuantenmechanik eingef¨ uhrt, ausgehend vom Begriff der Messung (einer Observablen). Die Anwendung der Quantenmechanik auf konkrete physikalische Systeme (Wasserstoffatom, Streuprozesse) wird dann Gegenstand des n¨achsten Kapitels sein. 5

6

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

1.1.1 Der Raum H: Inneres Produkt und Norm H = Der Vektorraum quadratintegrablen Funktionen {u(~r ) | R der komplexwertigen 3 2 3 ~r ∈ IR und |u(~r )| d ~r < ∞ (Lebesgue-Integral) } (Dabei entspricht die Addition von Funktionen bzw. die Multiplikation mit komplexen Zahlen der Addition von Vektoren bzw. der Multiplikation mit komplexen Zahlen.) Ein inneres Produkt im Raum H wird definiert durch: Z (u, w) = u∗ (~r )w(~r ) d3~r

(1.1)

Eigenschaften des inneren Produkts: 1. (u, w1 + w2 ) = (u, w1 ) + (u, w2 ) 2. (u, λw1 ) = λ(u, w1 ) (linear im zweiten Argument) 3. (u1 + u2 , w) = (u1 , w) + (u2 , w) 4. (λu1 , w) = λ∗ (u1 , w) (antilinear im ersten Argument) 5. (u, w) = (w, u)∗ 6. (u, u) ≥ 0 f¨ ur jedes u aus H 7. (u, u) = 0 genau dann, wenn u = 0

(1.2)

Zwei quadratintegrable Funktionen u1 , u2 werden als gleich angesehen, wenn sie fast u ¨berall“ ” gleich sind, d.h. wenn die Menge X aller Punkte ~r mit u1 (~r ) 6= u2 (~r ) eine Menge vom (Lebesgueschen) Maß Null ist. Eine Menge X heißt Menge vom (Lebesgueschen) Maß Null“, wenn ” f¨ ur jedes  > 0 eine Folge von W¨ urfeln existiert, die X u ¨berdeckt, und die Summe der Volumina der W¨ urfel kleiner als  ist.

Die Norm kuk eines Vektors u aus H ist definiert durch: p kuk = (u, u)

(1.3)

Man beachte, daß (u, u) ≥ 0. Die Norm kuk eines Vektors ist Null genau dann, wenn u = 0. Aus den Eigenschaften des inneren Produkts folgt die Cauchy–Schwarz–Ungleichung |(u, w)| ≤ kuk · kwk Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

(1.4)

1.1. MATHEMATISCHE HILFSMITTEL

7

1. Wenn kwk = 0, dann w = 0 und (u, w) = 0, also |(u, w)| ≤ kuk · kwk . 2. Sei w 6= 0. Wir definieren z = u − λw mit λ = (w, u)/kwk2 . Aus (z, z) ≥ 0 folgt: 0 ≤ (u − λw, u − λw) = (u, u) + |λ|2 (w, w) − λ(u, w) − (w, u)λ∗ |(w, u)|2 = kuk2 − kwk2 d.h. kuk2 · kwk2 ≥ |(u, w)|2 . 2 Der Raum H ist vollst¨andig. Das bedeutet: Zu jeder Folge {un | n = 1, 2, . . .} von Vektoren aus H mit der Eigenschaft { f¨ ur jedes  > 0 existiert ein N > 0, so daß ||un − um || <  f¨ ur alle n, m > N gilt } (Cauchy-Folge) gibt es einen Vektor u aus H mit limn→∞ ||un − u|| = 0 . Ein Vektorraum mit innerem Produkt heißt Hilbert-Raum, wenn er vollst¨andig ist.

1.1.2 Linearformen in H Eine Linearform T in H ist eine lineare Abbildung T von H in die komplexen Zahlen. T (u + λw) = T (u) + λT (w) (1.5) Es gilt folgender Satz u ¨ber die Linearformen: Satz von Riesz: F¨ ur jede stetige Linearform T : H ⇒ C existiert genau ein Vektor φ aus H, so daß T (u) = (φ, u) f¨ ur alle u aus H (1.6) gilt. In endlichdimensionalen Vektorr¨aumen mit innerem Produkt gibt es f¨ ur jede Linearform T einen Vektor φ mit T (u) = (φ, u) f¨ ur alle u. Da im folgenden auf die ausf¨ uhrliche Darstellung der erforderlichen mathematischen Voraussetzungen verzichtet werden muß, werden mehrfach S¨atze, die f¨ ur endlichdimensionale R¨aume gelten, ohne weiteren Beweis f¨ ur H u ¨bernommen. Insbesondere verwenden wir statt des Satzes von Riesz die Behauptung: F¨ ur jede Linearform T in H existiert genau ein φ aus H mit T (u) = (φ, u) f¨ ur alle u aus H. Eine Linearform T in H heißt stetig (oder beschr¨ankt), wenn es ein M > 0 gibt, so daß |T (u)| ≤ M ||u|| f¨ ur alle u aus H gilt. Wenn T (u) = (φ, u), dann folgt aus der Cauchy-SchwarzUngleichung: |T (u)| ≤ M ||u|| mit M = ||φ||.

8

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

1.1.3 Operatoren Eine lineare Abbildung A von H in sich selbst wird linearer Operator oder einfach Operator in H genannt (A(u + λw) = A(u) + λA(w)). Als Kurzschrift wird auch Au statt A(u) verwendet. Zu jedem Operator A existiert genau ein Operator A† , genannt adjungierter Operator von A, mit der Eigenschaft: (A† u, w) = (u, Aw) f¨ ur alle u,w aus H

(1.7)

Diese Behauptung wird wie folgt begr¨ undet: F¨ ur festes u ist die Abbildung Tu : w ⇒ (u, Aw) eine Linearform in H (da A linear ist). Es gibt also genau einen Vektor φu aus H mit Tu (w) = (φu , w) f¨ ur alle z. Man definiert nun die Abbildung † † A : H ⇒ H durch A (u) = φu . Hieraus folgt: (A† u, w) = (φu , w) = Tu (w) = (u, Aw) f¨ ur alle u,w aus H Es gilt ferner: (A† (u1 + λu2 ), w) = ((u1 + λu2 ), Aw) = (u1 , Aw) + λ∗ (u2 , Aw) = (A† u1 , w) + λ∗ (A† u2 , w) = (A† u1 + λA† u2 , w) f¨ ur alle w. Hieraus folgt, daß A† (u1 + λu2 ) = A† u1 + λA† u2 . Also ist A† linear. Addition von Operatoren: (A + B)(u) = A(u) + B(u) Multiplikation von Operatoren: A ◦ B(u) = A(B(u)) (Hintereinanderausf¨ uhrung) (Kurzschrift: AB statt A ◦ B) Einheitsoperator I: I(u) = u f¨ ur jedes u aus H Inverser Operator: Ein Operator B heißt inverser Operator von A und wird mit A−1 bezeichnet, wenn AB = BA = I

(1.8)

(Es gibt zu jedem Operator h¨ochstens eine Inverse; f¨ ur gewisse Operatoren gibt es gar keine Inverse.) Operatoren-Addition und -Multiplikation erf¨ ullen Assoziativgesetze und Distributivgesetze: (A+B)+C = A+(B +C), (A◦B)◦C = A◦(B ◦C), (A+B)◦C = A ◦ C + B ◦ C, C ◦ (A + B) = C ◦ A + C ◦ B. Die Multiplikation ist aber nicht kommutativ, denn A ◦ B ist nicht immer gleich B ◦ A.

1.1. MATHEMATISCHE HILFSMITTEL

9

¨ Eigenschaften von adjungierten Operatoren (Beweis: Ubung): 1. (A† )† = A 2. (A + B)† = A† + B † 3. (A ◦ B)† = B † ◦ A† 4. (λI)† = λ∗ I 5. (A + λB)† = A† + λ∗ B † Wenn A−1 existiert, dann gilt 6. (A−1 )† = (A† )−1

(1.9)

Der Kommutator von zwei Operatoren ist definiert als [A, B] = AB − BA

(1.10)

¨ Eigenschaften von Kommutatoren (Beweis: Ubung): 1. [A, B + λC] = [A, B] + λ[A, C] 2. [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] 3. [A, B] = −[B, A] 4. [A, B]† = [B † , A† ] 5. [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0

(1.11)

Hermitesche Operatoren: Ein Operator A heißt hermitesch, wenn A = A† . Unit¨are Operatoren: Ein Operator B heißt unit¨ar, wenn B † B = BB † = I.

1.1.4 Orthonormierte Systeme, Basen Eine (endliche oder unendliche) Folge χn |n = 1, 2, . . . von Vektoren heißt orthonormiertes System von Vektoren, wenn (χκ , χλ ) = δκλ

(1.12)

gilt. Ein orthonormiertes System χn |n = 1, 2, . . . heißt vollst¨andig, wenn es zu jedem Vektor u aus H eine Folge an |n = 1, 2, . . . von komplexen Zahlen gibt, so daß

N

X

lim u − an χn = 0. (1.13) N →∞

n=1

P P∞ (Statt limN →∞ ku− N andin=1 an χn k = 0 schreibt man u = n=1 an χn .) Ein vollst¨ ges orthonormiertes System wird orthonormierte Basis von H genannt. Ein beliebiges System χn |n = 1, 2, . . . von Vektoren heißt vollst¨andig, wenn es zu jedem Vektor u aus H eine Folge uN |N = 1, 2, . . . von Vektoren gibt, so daß limN →∞ ||u − uN || = 0, wobei jedes uN eine Linearkombination der Vektoren {χn |1 ≤ n ≤ N } ist.

10

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

Satz: Wenn χn |n = 1, 2, . . . ein orthonormiertes System von Vektoren und u ein Vektor aus H sind, dann ist

N

X

an χn

u −

n=1

minimal f¨ ur die Koeffizientenwahl (1.14)

an = (χn , u).

Beweis: Sei a0n = (χn , u) + δn f¨ ur n = 1, 2, . . . N . ku −

N X

a0n χn k2 = kψ + zk2 = (ψ + z, ψ + z)

n=1

= kψk2 + kzk2 + (ψ, z) + (z, ψ) mit ψ =u−

N X

(χn , u)χn und z = −

n=1

N X

δn χn .

n=1

Aber f¨ ur m = 1, 2, . . . N gilt (χm , ψ) = (χm , u) −

N X

(χn , u)δnm

n=1

= (χm , u) − (χm , u) = 0 Daraus folgt (z, ψ) = 0 und somit ku −

N X

a0n χn k2 = kψk2 + kzk2

n=1

= ku −

N X

2

(χn , u)χn k +

n=1

N X

|δn |2 ;

n=1

also wird der Ausdruck minimal f¨ ur δn = 0 | n = 1, 2, . . . N .

2

Orthogonalisierungsverfahren (Erhard Schmidt) Sei φ1 , φ2 , . . . ein System von Vektoren, so daß jeder Satz von endlich vielen von ihnen linear unabh¨angig ist. Gesucht wird nun ein Satz ψ1 , ψ2 , . . ., so daß 1. (ψκ , ψλ ) = δκλ gilt und

1.1. MATHEMATISCHE HILFSMITTEL

11

2. f¨ ur jedes N die Vektoren {φ1 , . . . , φN } Linearkombinationen der Vektoren {ψ1 , . . . , ψN } sind. Zur Konstruktion des Systems ψ1 , ψ2 , . . . wird verfahren wie folgt: 1) 2)

ψ1 = kφφ11 k φ02 = φ2 − (ψ1 , φ2 )ψ1 φ0 ψ2 = kφ20 k 2

··· k) φ0k = φk − (ψ1 , φk )ψ1 − (ψ2 , φk )ψ2 − . . . − (ψk−1 , φk )ψk−1 φ0 ψk = kφk0 k k

Begr¨ undung: F¨ ur λ = 1, 2, . . . k − 1 gilt (ψλ , φ0k ) = (ψλ , φk ) − (ψλ , φk ) = 0 φ0k 6= 0 wegen der linearen Unabh¨angigkeit der Vektoren φ1 , . . . φk . Also ist ψk definiert, und es gilt (ψµ , ψλ ) = δµλ f¨ ur λ, µ ≤ k. Das Orthogonalisierungsverfahren kann man auch f¨ ur linear abh¨angige S¨atze φ1 , φ2 , . . . verwenden, indem man zuerst durch Streichung von Vektoren einen linear unabh¨angigen Satz erh¨alt. Aus einem vollst¨ andigen System von Vektoren kann ein vollst¨andiges orthonormiertes System konstruiert werden.

1.1.5 Eigenvektoren, Eigenwerte von Operatoren Sei A ein Operator, λ eine komplexe Zahl und φ ein Vektor aus H. Wenn φ 6= 0 und Aφ = λφ, dann heißt λ Eigenwert von A und φ Eigenvektor zum Eigenwert λ. Die Gesamtheit der Eigenwerte eines Operators A wird Spektrum des Operators genannt und mit SpA bezeichnet. Satz: Jeder Eigenwert eines hermiteschen Operators A ist reell. Beweis: Aφ = λφ ; (φ, Aφ) = λ(φ, φ), aber (φ, Aφ)∗ = (Aφ, φ) = (φ, Aφ), also muß λ = λ∗ sein, wenn (φ, φ) 6= 0. 2 Satz: Wenn φ1 , φ2 Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten λ1 , λ2 eines hermiteschen Operators A sind, dann ist (φ1 , φ2 ) = 0. Beweis:  Aus

Aφ1 = λ1 φ1 Aφ2 = λ2 φ2



 folgt

(φ2 , Aφ1 ) = λ1 (φ2 , φ1 ) (Aφ2 , φ1 ) = λ∗2 (φ2 , φ1 )

 .

Da aber A = A† ist, gilt λ∗ = λ und (Aφ2 , φ1 ) = (φ2 , Aφ1 ). Daraus folgt: 0 = (λ1 − λ2 )(φ2 , φ1 )

12 F¨ ur λ1 6= λ2 also:

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

(φ2 , φ1 ) = 0 2

Satz: Ein hermitescher Operator hat ein vollst¨andiges orthonormiertes System von Eigenvektoren. F¨ ur endlichdimensionale R¨aume kann der Satz relativ einfach bewiesen werden. F¨ ur unendlich dimensionale R¨aume ist der Satz nicht immer richtig. Da aber hier auf mathematische Exaktheit verzichtet wird, wird der Satz als allgemein richtig angenommen. Satz: Wenn A und B zwei hermitesche Operatoren sind und [B, A] = 0 gilt, dann gibt es einen vollst¨andigen orthonormierten Satz uν | ν = 1, 2, . . . von gemeinsamen Eigenvektoren von A und B. Beweis: Seien φκ | κ = 1, 2, . . . bzw. ψµ | µ = 1, 2, . . . vollst¨andige orthonormierte Systeme von Eigenvektoren von A bzw. von B. Die entsprechenden Eigenwerte seien aκ und bµ . Aφκ = aκ φκ Bψµ = bµ ψµ (κ)

F¨ ur jedes κ gibt es einen Satz cµ |µ = 1, 2, . . . von komplexen Zahlen, so daß X c(κ) φκ = µ ψµ µ

F¨ ur jedes b aus dem Spektrum von B definieren wir Ψ(κ, b) durch: X Ψ(κ, b) = c(κ) µ ψµ µ mit bµ = b

Hieraus folgt BΨ(κ, b) = bΨ(κ, b) d.h. Ψ(κ, b) ist Eigenvektor von B zum Eigenwert b (vorausgesetzt, daß Ψ 6= 0 ist) und X φκ = Ψ(κ, b) b aus SpB

Es gilt aber ferner AΨ(κ, b) = aκ Ψ(κ, b) d.h. Ψ(κ, b) ist unter der Voraussetzung Ψ 6= 0 Eigenvektor von A zum Eigenwert aκ . Das beweist man wie folgt: X 0 = (A − aκ )φκ = (A − aκ )Ψ(κ, b) b aus SpB

1.1. MATHEMATISCHE HILFSMITTEL

13

aber da wegen [A, B] = 0 B(A − aκ )Ψ(κ, b) = (A − aκ )BΨ(κ, b) = b(A − aκ )Ψ(κ, b) gilt, ist (A − aκ )Ψ(κ, b) entweder der Nullvektor oder ein Eigenvektor von B, und f¨ ur b 6= b0 ist ((A − aκ )Ψ(κ, b), (A − aκ )Ψ(κ, b0 )) = 0 und folglich X k (A − aκ )Ψ(κ, b)k2 =

X

((A − aκ )Ψ(κ, b), (A − aκ )Ψ(κ, b0 ))

b, b0 aus SpB

b aus SpB

=

X

k(A − aκ )Ψ(κ, b)k2

b aus SpB

d.h. aber 0 = k(A − aκ )φκ k2 =

X

k(A − aκ )Ψ(κ, b)k2

b aus SpB

also (A − aκ )Ψ(κ, b) = 0. Nachdem die Vektoren Ψ(κ, b) — soweit von Null verschieden — gemeinsame Eigenvektoren von A und B sind, und alle φκ |κ = 1, 2, . . . als (“unendliche”) Linearkombinationen der Vektoren Ψ(κ, b) dargestellt werden k¨onnen, bilden die von Null verschiedenen Ψ(κ, b) einen vollst¨andigen Satz von gemeinsamen Eigenvektoren von A und B. Hieraus erh¨alt man mit Hilfe des OrthogonalisierungsVerfahrens von Erhard Schmidt einen vollst¨andigen orthonormierten Satz von gemeinsamen Eigenvektoren von A und B: F¨ ur jedes Paar a, b von Eigenwerten von A und B konstruiert man aus den zugeh¨origen von Null verschiedenen Ψ(κ, b), falls es solche gibt, einen orthonormierten Satz. Die Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten von A und B geh¨oren, sind automatisch orthogonal. Also erh¨alt man durch Vereinigung der einzelnen orthonormierten S¨atze wiederum einen orthonormierten Satz. 2 Entsprechend kann der allgemeine Satz bewiesen werden: Satz: Sei A1 , A2 , . . . An ein System von hermiteschen Operatoren, die paarweise miteinander kommutieren ([Aj , Ak ] = 0 f¨ ur alle j, k). Dann existiert ein vollst¨andiges orthonormiertes System von gemeinsamen Eigenvektoren der Operatoren A1 , A2 , . . . A n .

1.1.6 Funktionen von Operatoren Definition: Sei f (ξ1 , ξ2 , . . . ξn ) eine komplexwertige Funktion von n reellen Variablen. Wenn A1 , A2 , . . . An ein Satz von miteinander vertauschbaren hermiteschen

14

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

Operatoren ist, dann definiert man den Operator f (A1 , A2 , . . . An ) folgendermaßen: Es existiert eine orthonormierte Basis {φk |k = 1, 2, . . .} von H, deren Elemente gemeinsame Eigenvektoren der Operatoren A1 , A2 , . . . An sind: (m)

Am φk = λk φk |m = 1, 2, . . . n und k = 1, 2, . . . Der lineare Operator T = f (A1 , A2 , . . . An ) ist definiert durch (1)

(2)

(n)

T φk = f (λk , λk , . . . λk )φk

(1.15)

Spezialfall n = 1: Sei f (ξ) Funktion einer reellen Variablen und A ein hermitescher Operator mit Aφk = λk φk . Der Operator f (A) ist definiert durch f (A)φk = f (λk )φk

(1.16)

Insbesondere wenn f (ξ) = ξ 2 , dann ist nach dieser Definition f (A) = A ◦ A = A2 . Wenn die Funktion f (ξ1 , ξ2 , . . . ξn ) reelle Werte hat, dann ist der Operator f (A1 , A2 , . . . An ) hermitesch. Dies folgt aus dem Satz: Sei {φk |k = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis und {ηk |k = 1, 2, . . .} ein Satz von reellen Zahlen. Dann ist der durch die Relationen {T φk = ηk φk | k = 1, 2, . . .} definierte Operator T hermitesch. P P ¨ (Beweis: Ubung. Man beachte, daß T u = k ck ηk φk f¨ ur u = k ck φk .)

1.2 Quantenmechanische Beschreibung eines Einteilchensystems: Die Grundvorschriften (Teilchen ohne innere Freiheitsgrade“) ” Zur Beschreibung aller physikalischen Eigenschaften eines Einteilchensystems (ohne innere Freiheitsgrade) benutzt die Quantenmechanik folgende Vorschriften: 1. Zu jedem Zeitpunkt t ist der Zustand des Systems vollst¨andig charakterisiert durch einen Vektor ψt 6= 0 aus H, der Zustandsvektor genannt wird. (Der Vektor ψt ist eine quadratintegrable Funktion ψt (~r ), die man oft ψ(~r, t) notiert. Hierbei ist t ein Parameter.) ˜ zugeord2. Jeder beobachtbaren Gr¨oße (Observablen) O wird ein Operator O net, welcher hermitesch ist und ein vollst¨andiges orthonormiertes System von Eigenvektoren besitzt.

1.2. QUANTENMECHANIK VON EINTEILCHENSYSTEMEN

15

Der Erwartungswert < O > der Observablen O in dem durch ψt charakterisierten Zustand ist gegeben durch =

˜ t) (ψt , Oψ . (ψt , ψt )

(1.17)

Der Erwartungswert wird experimentell realisiert als Mittelwert der Meßergebnisse, die eine sehr lange Reihe von Messungen der Observablen O an Systemen ergibt, die sich zum Zeitpunkt der jeweiligen Messung1 in dem durch ψt charakterisierten Zustand befinden. ˜ 1, O ˜ 2 die zugeordneten Operatoren 3. (a) Wenn O1 , O2 Observable und O sind, dann wird f¨ ur jedes Paar ξ1 , ξ2 von reellen Zahlen der Observablen ξ1 O1 + ξ2 O2 der Operator ˜ 1 + ξ2 O ˜2 (ξ1 O1 + ξ2 O2 )˜= ξ1 O

(1.18)

zugeordnet. ˜ der der Observablen O zugeordnete Operator ist, dann wird (b) Wenn O ˜ O ˜ zugeordnet. (◦ bedeutet Operader Observablen O2 der Operator O◦ torenmultiplikation, d.h. Hintereinanderausf¨ uhrung der Operationen. ˜ ◦O ˜ wird oft die Abk¨ ˜ 2 benutzt.) F¨ ur das Produkt O urzung O ˜ zugeordnet wird, dann wird (c) Wenn der Observablen O der Operator O ˜ zugeordnet. f ist hierbei der Observablen f (O) der Operator f (O) eine reellwertige Funktion. 4. Die den Observablen xk |k = 1, 2, 3 und pk |k = 1, 2, 3 zugeordneten Operatoren x˜k und p˜k sind gegeben durch x˜k ψ = φ, wobei φ(x1 , x2 , x3 ) = xk ψ(x1 , x2 , x3 ), h ¯ ∂ p˜k ψ = χ, wobei χ(x1 , x2 , x3 ) = ψ(x1 , x2 , x3 ). i ∂xk

(1.19) (1.20)

¨ 5. Die zeitliche Anderung des Zustandsvektors ψt des Systems ist gegeben durch die Schr¨odingergleichung i¯ h

d ˜ t. ψt = Hψ dt

(1.21)

˜ den der Hamilton-Funktion H(~p, ~q) zugeordneten Hierbei bezeichnet H Operator. 1

Die Tatsache, daß eine von Null verschiedene Zeitspanne f¨ ur die Durchf¨ uhrung einer Messung notwendig ist, wird hier nicht n¨ aher diskutiert.

16

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I 6. (a) Sei χn |n = 1, 2, . . . ein vollst¨andiges orthonormiertes System von Ei˜ Die genvektoren des der Observablen O zugeordneten Operators O. entsprechenden Eigenwerte seien λn |n = 1, 2, . . .. Bei einer Messung der Observablen O sind die einzigen m¨oglichen Meßwerte f¨ ur O die ˜ Eigenwerte von O. Wenn sich das System zum Zeitpunkt der Messung in einem durch ψt charakterisierten Zustand befindet, ist die Wahrscheinlichkeit W (ξ) f¨ ur den Meßwert ξ gegeben durch: P 2 n mit λn = ξ |cn (t)| P W (ξ) = (1.22) 2 alle n |cn (t)| wobei ψt =

X

cn (t)χn

n

(b) Wenn ferner die Messung den Meßwert ξ ergibt, dann befindet sich das System nach der Messung in einem durch den Zustandsvektor X φ= cn (t)χn (1.23) n mit λn = ξ

¨ charakterisierten Zustand. Diese Anderung (ψt ⇒ φ) des Zustands wird Reduktion des Wellenpakets genannt.

1.3 Erl¨auterungen und Anwendungen der Grundvorschriften ˜ f¨ Bezeichnungen: Es wird im folgenden oft die Bezeichnung O (statt O) ur den der Observablen O zugeordneten Operator benutzt (Vorsicht!). Der durch den Zustandsvektor ψt charakterisierte Zustand wird gelegentlich der Zustand ψt“ ” genannt. Wenn X ein Operator ist, dann wird (ψt , Xψt )/(ψt , ψt ) durch < X > abgek¨ urzt.

1.3.1 Normierung von Zustandsvektoren F¨ ur jede komplexe Zahl λ 6= 0 beschreibt der Zustandsvektor λψt den gleichen Zustand wie der Zustandsvektor ψt . Denn (Vorschrift 6a) der Zustandsvektor λψt ergibt f¨ ur die Wahrscheinlichkeit W (ξ) den gleichen Wert wie der Vektor ψt . Es ist n¨ utzlich, die Freiheit bei der Wahl der Zahl λ auszunutzen, um den Zustand des Systems durch einen Zustandsvektor ψt mit (ψt , ψt ) = 1 zu beschreiben (auf Eins normierter oder normierter Vektor). Wenn ψt ein normierter Vektor ist, dann ˜ t ). vereinfacht sich der Erwartungswert < O > zu (ψt , Oψ

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN

17

¨ Zeitliche Anderung der Norm: d (ψt , ψt ) = 0 dt

(1.24)

Denn d d d (ψt , ψt ) = ( ψt , ψt ) + (ψt , ψt ) dt dt dt 1 ˜ 1 ˜ = ( Hψt , ψt ) + (ψt , Hψ t) i¯ h i¯ h   1 ˜ ˜ −(Hψt , ψt ) + (ψt , Hψt ) = 0, = i¯ h ˜ hermitesch ist. weil H

1.3.2 Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Unsch¨arfe Wenn {χn |n = 1, 2, . . .} ein vollst¨andiger orthonormierter Satz von Vektoren ist und P u ein Vektor aus H, dann sind die Koeffizienten {cn } der Entwicklung u = n cn χn eindeutig bestimmt, und zwar gilt (1.25)

cn = (χn , u). Denn2 aus u =

P

n cn χn

folgt (χn , u) = (χn ,

X

ck χk )

k

=

X

=

X

ck (χn , χk )

k

ck δnk = cn .

k

Wenn u =

P

n cn χn

und w = (u, w) =

P

dn χn , dann

X

c∗n dn =

n

n

X

(u, χn )(χn , w),

(1.26)

n

wegen X X X (u, w) = ( cn χn , w) = c∗n (χn , w) = c∗n dn . n

n

n

2 Die mathematischen Fragen, die dadurch entstehen, daß es sich um unendliche Summen handelt (Konvergenzfragen), werden hier u ¨bergangen. Ein detaillierter Beweis der Relation cn = PN PN PN N →∞ (χn , u) lautet: |(χn , u) − k=1 ck δnk P|∞= |(χn , u − k=1 ck χk )| ≤ kχn k · ku − k=1 ck χk k −→ 0 (Cauchy-Schwarz), also (χn , u) = k=1 ck δnk .

18

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

Insbesondere gilt X

kuk2 = (u, u) =

|cn |2 =

n

X

|(u, χn )|2 .

(1.27)

n

Mit Hilfe obiger Relationen k¨onnen die in Vorschrift 6 erw¨ahnten Wahrscheinlichkeiten W (ξ) f¨ ur den Meßwert ξ und der Zustandsvektor φ f¨ ur den Zustand nach der Messung geschrieben werden wie folgt: P 2 n mit λn = ξ |(χn , ψt )| W (ξ) = (1.28) (ψt , ψt ) X φ = (χn , ψt )χn (1.29) n mit λn = ξ

Hierbei bezeichnet {χn |n = 1, 2, . . .} einen vollst¨andigen orthonormierten Satz von Eigenvektoren des der gemessenen Observablen O zugeordneten Operators ˜ O: ˜ n = λn χ n Oχ (1.30) ˜ Offenbar gilt W (ξ) = 0, wenn die Zahl ξ dem Spektrum SpO˜ des Operators O ˜ nicht angeh¨ort, d.h. wenn ξ kein Eigenwert von O ist. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten W (ξ) f¨ ur alle m¨oglichen Meßwerte muß Eins sein: X W (ξ) = 1 (1.31) ξ

Dies ist tats¨achlich erf¨ ullt, denn X

W (ξ) =

ξ

X

P

|(χn , ψt )|2 (ψt , ψt )

n mit λn = ξ

ξ

|(χn , ψt )|2 (ψt , ψt ) (ψt , ψt ) = = 1. (ψt , ψt ) P

=

alle n

F¨ ur den Erwartungswert < O > der Observablen O erh¨alt man X = ξW (ξ).

(1.32)

ξ

Aber ξW (ξ) =

X X 1 1 ξ|(χn , ψt )|2 = λn |(χn , ψt )|2 , (ψt , ψt ) n mit λ = ξ (ψt , ψt ) n mit λ = ξ n

n

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN

19

also X X 1 1 ˜ n )(χn , ψt ) λn |(χn , ψt )|2 = (ψt , Oχ (ψt , ψt ) alle n (ψt , ψt ) alle n X † 1 ˜ ψt , χn )(χn , ψt ) = (O (ψt , ψt ) alle n

=

=

˜ 1 ˜ † ψt , ψt ) = (ψt , Oψt ) (O (ψt , ψt ) (ψt , ψt )

d.h. =

˜ t) (ψt , Oψ (ψt , ψt )

(1.33)

wie bereits in Vorschrift 2 erw¨ahnt. F¨ ur die Unsch¨arfe ∆O der Observablen O (mittlere quadratische Abweichung) erh¨alt man X (∆O)2 = (ξ − < O >)2 W (ξ). (1.34) ξ

Aber f¨ ur jede Zahl a gilt X 1 (ξ − a)2 |(χn , ψt )|2 (ψt , ψt ) n mit λ = ξ n X 1 = (λn − a)2 |(χn , ψt )|2 , (ψt , ψt ) n mit λ = ξ

(ξ − a)2 W (ξ) =

n

also X ξ

X 1 (ξ − a)2 |(χn , ψt )|2 (ψt , ψt ) alle n X 1 ˜ − aI)2 χn )(χn , ψt ) = (ψt , (O (ψt , ψt ) alle n

(ξ − a)2 W (ξ) =

=

˜ − aI)2 ψt ) (ψt , (O (ψt , ψt )

(vgl. die Rechnung f¨ ur < O >), wobei I den Einheitsoperator, also die identische Abbildung von H auf sich, bezeichnet. Somit ist s 2 ˜ (ψt , (O − aI) ψt ) ∆O = . (1.35) (ψt , ψt ) a=

Aus diesem Ausdruck f¨ ur die Unsch¨arfe ∆O folgt ∆O =

ˆ tk kOψ , kψt k

(1.36)

20

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

ˆ =O ˜ − < O >I definiert wird. F¨ wobei O ur jeden hermiteschen Operator A gilt n¨amlich: (ψt , A2 ψt ) = (A† ψt , Aψt ) = (Aψt , Aψt ) = kAψt k2 Unter Benutzung dieses Ausdrucks f¨ ur ∆O erh¨alt man, daß die Unsch¨arfe ∆O ˜ ist (Ubung). ¨ genau dann Null ist, wenn ψt ein Eigenvektor von O F¨ ur das Produkt der Unsch¨arfen ∆A, ∆B zweier Observablen A, B gilt die Unsch¨arferelation: ∆A · ∆B ≥ |< 2i [A, B] >| (1.37) Beweis der Unsch¨arferelation: ∆A =

ˆ tk ˆ tk kAψ kBψ und ∆B = , kψt k kψt k

ˆ = B − < B >I ist. Hieraus folgt: wobei Aˆ = A − < A >I und B ∆A ∆B =

ˆ t kkBψ ˆ tk ˆ t , Bψ ˆ t) kAψ |(Aψ ≥ kψt k2 kψt k2

(Cauchy-Schwarz-Ungleichung (1.4)). Ferner gilt ˆ t , Bψ ˆ t )| ≥ |Im(Aψ ˆ t , Bψ ˆ t )|. |(Aψ Aber ˆ t , Bψ ˆ t )| = |Im(Aψ = = =

  1 ∗ ˆ ˆ ˆ ˆ 2i (Aψt , Bψt ) − (Aψt , Bψt )   1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2i (Aψt , Bψt ) − (Bψt , Aψt )   1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2i (ψt , ABψt ) − (ψt , B Aψt ) i ˆ ˆ i |(ψt , [A, B]ψt )| = |(ψt , [A, B]ψt )| 2 2

wegen ˆ B] ˆ = [A, B] ˆ − < A > [I, B] ˆ = [A, B] − < B > [A, I] = [A, B]. [A, | {z } | {z } =0

Also

=0

|(ψt , 2i [A, B]ψt )| = |< 2i [A, B] >| ∆A ∆B ≥ 2 kψt k

2

Wichtiges Beispiel: Unsch¨arferelationen f¨ ur Ort und Impuls ∆pj ∆xj ≥

h ¯ |j = 1, 2, 3 2

(Heisenberg)

(1.38)

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN

21

Diese Unsch¨arferelationen erh¨alt man unter Ausnutzung der Vertauschungsrelationen f¨ ur Ort und Impuls: [˜ xj , p˜k ] = i¯ hδjk (1.39) Diese folgen wiederum aus der Definition der Operatoren x˜j , p˜k (Vorschrift 4): [˜ xj , p˜k ]ψ = x˜j ◦ p˜k ψ − p˜k ◦ x˜j ψ Einsetzen der Definitionen ergibt x˜j ◦ p˜k ψ = φ mit φ(x1 , x2 , x3 ) = xj

h ¯ ∂ ψ(x1 , x2 , x3 ) i ∂xk

und h ¯ ∂ xj ψ(x1 , x2 , x3 ) i ∂xk h ¯ h ¯ ∂ = xj ψ(x1 , x2 , x3 ) + δjk ψ(x1 , x2 , x3 ), i ∂xk i

p˜k ◦ x˜j ψ = χ mit χ(x1 , x2 , x3 ) =

also [˜ xj , p˜k ]ψ = − ¯hi δjk ψ. F¨ ur den Operator λI (λ ∈ C) wird meistens die vereinfachte Bezeichnung λ benutzt, z.B. [x1 , p1 ] = i¯ h statt [x1 , p1 ] = i¯ hI. Operatoren der Form λI werden manchmal c-Zahl-Operatoren oder c-Zahlen genannt.

1.3.3 Reduktion des Wellenpakets. Kompatible Observable Aus Vorschrift 6 ergeben sich folgende Konsequenzen: 1. Wenn der Zustandsvektor vor einer Messung MO der Observablen O Eigenvektor von O zum Eigenwert ξ ist, dann ergibt die Messung MO von O mit Sicherheit den Meßwert ξ. Denn wenn Oψt = ξψt gilt und {χn |n = 1, 2, . . .} ein vollst¨andiges orthonormiertes System von Eigenvektoren (Oχn = λn χn ) von O bezeichnet, dann gilt (χn , ψt ) = 0 f¨ ur λn 6= ξ. Deswegen ist bei der Messung von O die Wahrscheinlichkeit W (ξ 0 ) f¨ ur den Meßwert ξ 0 gegeben durch  f¨ ur ξ 0 6= ξ  X X 0 1 0 2 1 W (ξ ) = |(χn , ψt )| = |(χn , ψt )|2 = 1 f¨ ur ξ 0 = ξ (ψt ,ψt )  (ψt , ψt ) 0 n mit λn = ξ

alle n

Also ergibt die Messung MO mit Sicherheit den Meßwert ξ.

22

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I 2. Wenn eine Messung MO der Observablen O den Meßwert ξ ergibt, dann ist der Zustandsvektor φ nach der Messung (Reduktion des Wellenpakets) ein Eigenvektor von O zum Eigenwert ξ. Denn wenn {χn |n = 1, 2, . . .} ein vollst¨andiges orthonormiertes System von Eigenvektoren (Oχn = λn χn ) des Operators O ist und ψt den Zustandsvektor vor der Messung bezeichnet, dann gilt X (χn , ψt )χn . φ= n mit λn = ξ

Hieraus folgt X

Oφ =

n mit λn = ξ

= ξ

X

(χn , ψt )Oχn =

X

(χn , ψt )λn χn

n mit λn = ξ

(χn , ψt )χn = ξφ.

n mit λn = ξ

Aus den oben bewiesenen Konsequenzen der Vorschrift 6 folgt ferner: Wenn eine Messung MO einer Observablen O den Meßwert ξ ergibt, dann ergibt eine anschließende3 Messung MO der gleichen Observablen O den gleichen Meßwert ξ. Wenn zwischen den zwei Messungen MO eine Messung MR einer anderen Observablen R stattfindet, dann ergibt im allgemeinen die zweite Messung MO nicht mehr mit Sicherheit den Meßwert ξ. Dies ist eine Folge der Reduktion des Wellenpakets, die bei der Messung MR stattfindet. F¨ ur spezielle Paare von Observablen O, R, die kompatibel genannt werden, bleibt das Ergebnis der zweiten Messung MO von der Messung MR unbeeinflußt: Zwei Observable A, B heißen miteinander kompatibel, wenn die zugeordneten Operatoren A, B vertauschbar sind, d.h. wenn AB = BA gilt, was gleichbedeutend mit [A, B] = 0 ist. Wenn nun zwischen zwei Messungen MA einer Observablen A eine Messung MB einer Observablen B stattfindet4 , dann ergibt die zweite Messung MA dasselbe wie die erste Messung MA , falls die Observablen A, B miteinander kompatibel sind. Dies ist eine Konsequenz folgender Aussage: Seien A, B kompatible Observable. Wenn eine Messung von A den Meßwert ξ und eine anschließende Messung von B den Meßwert η ergibt, dann befindet sich das 3

Es wird hierbei angenommen, daß die Messungen so kurz hintereinander erfolgen, daß ¨ die durch die Schr¨ odingergleichung gegebene Anderung des Zustands in der Zeit zwischen den Messungen vernachl¨ assigt werden darf. 4 vgl. die vorige Fußnote.

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN

23

System nach der zweiten Messung in einem Zustand φ mit Aφ = ξφ, Bφ = ηφ. (Jede sp¨atere Messung von A ergibt ξ und jede sp¨atere Messung von B ergibt η.) Dies folgt aus Vorschrift 6. Denn es existiert ein vollst¨andiger orthonormierter Satz {χn |n = 1, 2, . . .} gemeinsamer Eigenvektoren der Operatoren A und B, da [A, B] = 0 (Aχn = an χn , Bχn = bn χn ). Nach der Messung von A ist der Zustandsvektor ψ Eigenvektor von A zum Eigenwert ξ (Aψ = ξψ). Nach der Messung von B ist der Zustandsvektor φ gegeben durch X φ= (χn , ψ)χn n mit bn = η

und es gilt Bφ = ηφ. Aber aus {Aψ = ξψ, Aχn = an χn } folgt {(ψ, χn ) = 0 f¨ ur an 6= ξ}. Also X φ= (χn , ψ)χn . n mit {bn = η und an = ξ}

Hieraus folgt aber Aφ = ξφ (vgl. Zwischenrechnung Seite 22).

1.3.4 Pra¨paration durch Messung. Maximaler Satz kompatibler Observablen Ein Satz {A1 ,...An } von Observablen heißt Satz kompatibler Observablen, wenn je zwei Observable des Satzes miteinander kompatibel sind, d.h. wenn [Aj , Al ] = 0 |j, l = 1, 2, . . . n

(1.40)

gilt. Sei {A1 ,. . . An } ein Satz kompatibler Observablen. Der nach Ausf¨ uhrung von Messungen MA1 , MA2 ,. . . MAn der Observablen A1 ,A2 ,. . . An hintereinander mit den Meßergebnissen ξ (1) ,ξ (2) ,. . . ξ (n) entstehende Zustand wird durch einen Zustandsvektor φ charakterisiert, welcher die Eigenschaft Am φ = ξ (m) φ |m = 1, 2, . . . n

(1.41)

hat (gemeinsamer Eigenvektor der Operatoren A1 ,A2 ,. . . An ). Durch selektive Messungen5 eines Satzes {A1 ,A2 ,. . . An } kompatibler Observablen k¨onnen Systeme pr¨apariert werden, so daß jede anschließende Messung einer der Observablen A1 ,. . . An mit Sicherheit den entsprechenden Wert ξ (1) ,ξ (2) ,. . . ξ (n) als Meßwert ergibt. Durch Hinzunahme weiterer (mit den vorhergehenden und miteinander kompatibler) Observablen kann man den Satz kompatibler Observablen vergr¨oßern und 5

Selektive Messung = Messung, bei welcher das System nur dann durchgelassen“ wird, wenn ” es einen bestimmten Meßwert f¨ ur die gemessene Observable ergibt. Sonst wird es abgeblendet“. ”

24

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

entsprechend mehr Information u ¨ber das durch Messungen untersuchte (oder pr¨aparierte) System gewinnen. Dieses Verfahren endet, wenn ein maximaler Informationsstand6 erreicht wird. Die Hinzunahme weiterer Observablen kann zu keiner neuen Information f¨ uhren. Dies ist der Fall, wenn der Satz {A1 ,. . . An } maximal ist. Ein Satz {A1 , . . . An } kompatibler Observablen heißt maximal, wenn jede Observable B, die mit jeder Observablen des Satzes kompatibel ist, eine Funktion F (A1 ,. . . An ) der Observablen A1 ,A2 ,. . . An ist. Es gilt folgender Satz: Ein System {A1 ,. . . An } kompatibler Observablen ist genau dann maximal, wenn es kein Paar φ,φ0 linear unabh¨angiger Vektoren gibt mit Am φ = λ(m) φ und Am φ0 = λ(m) φ0 |m = 1, 2, . . . n,

(1.42)

d.h., wenn es zu jedem Satz {λ(1) ,. . . λ(n) } von reellen Zahlen h¨ochstens einen Zustand des Systems gibt mit der Eigenschaft, daß jede Messung von Am mit Sicherheit den Meßwert λ(m) f¨ ur m = 1, . . . n ergibt. (Man beachte: Zwei linear abh¨angige, von Null verschiedene Vektoren φ,φ0 charakterisieren den gleichen Zustand des Systems: φ0 = aφ.) Beweis 1. Sei {χk |k = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von H, die aus gemeinsamen Eigenvektoren der Operatoren A1 ,. . . An und des zus¨atzlichen Operators B besteht. (m)

|k = 1, 2, . . . und m = 1, 2, . . . n |k = 1, 2, . . .

Am χk = ξk χk Bχk = bk χk

Wenn zu jedem Paar χµ ,χν von Basisvektoren mit µ 6= ν die Eigenwerts¨atze (1) (n) (1) (n) {ξµ , . . . ξµ } bzw. {ξν , . . . ξν } verschieden sind, dann gibt es zu jedem vorkommenden Satz {ξ (1) , . . . ξ (n) } genau einen Index k. Also ist k und folglich bk eine Funktion von {ξ (1) , . . . ξ (n) }. (1)

(n)

bk = f (ξk , . . . ξk ) |k = 1, 2, . . . d.h. B = f (A1 , . . . An ) 2. Umgekehrt sei {A1 ,A2 ,. . . An } maximal, und es gelte Am φ = λ(m) φ, 6

Am φ0 = λ(m) φ0 |m = 1, 2, . . . n.

In der klassischen Mechanik wird z.B. maximaler Informationsstand erreicht, wenn der Impuls und der Ort eines Teilchens bestimmt sind. Alle anderen Gr¨oßen (z.B. Energie, Drehimpuls) k¨onnen aus Ort und Impuls errechnet werden.

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN

25

Es wird gezeigt, daß φ,φ0 linear abh¨angig sind: Angenommen, φ,φ0 seien linear unabh¨angig; dann existieren zwei orthonormierte Vektoren ψ1 ,ψ2 (ψ1 = φ/kφk, ψ2 = (φ0 − (ψ1 , φ0 )ψ1 )/kφ0 − (ψ1 , φ0 )ψ1 k: Erhard Schmidt) mit der Eigenschaft Am ψj = λ(m) ψj |j = 1, 2; m = 1, 2, . . . n. Dann definiert man einen Operator B durch Bχ = (ψ1 , χ)ψ1 − (ψ2 , χ)ψ2 . Dieser Operator hat die Eigenschaften [B, Am ] = 0 |m = 1, 2, . . . n Bψ1 = ψ1 ,

Bψ2 = −ψ2 ,

die aus seiner Definition folgen. z.B. ist BAm χ = (ψ1 , Am χ)ψ1 − (ψ2 , Am χ)ψ2 = (Am ψ1 , χ)ψ1 − (Am ψ2 , χ)ψ2 = λ(m) (ψ1 , χ)ψ1 − λ(m) (ψ2 , χ)ψ2 = (ψ1 , χ)Am ψ1 − (ψ2 , χ)Am ψ2 = Am Bχ. Da aber nach Voraussetzung {A1 ,. . . An } maximal ist, muß B = f (A1 ,. . . An ) gelten, und daraus folgt Bψj = f (λ(1) , . . . λ(n) )ψj |j = 1, 2 also 1 = f (λ(1) , . . . λ(n) ) = −1 (Widerspruch!). 2

¨ 1.3.5 Zeitliche Anderung von Erwartungswerten Wenn der Operator A als zeitunabh¨angig vorausgesetzt wird, dann gilt d dψt dψt i (ψt , Aψt ) = ( , Aψt ) + (ψt , A ) = ((Hψt , Aψt ) − (ψt , AHψt )) dt dt dt h ¯ i i = ((ψt , HAψt ) − (ψt , AHψt )) = (ψt , [H, A]ψt ), h ¯ h ¯ weil H hermitesch ist. Da (ψt , ψt ) konstant ist, gilt daher d 1 d 1 i = (ψt , Aψt ) = (ψt , [H, A]ψt ). dt (ψt , ψt ) dt (ψt , ψt ) h ¯

(1.43)

Wenn also [H, A] = 0, dann ist der Erwartungswert der Observablen A zeitunabh¨angig. Insbesondere ist wegen [H, H] = 0 der Erwartungswert der Energie < H > zeitunabh¨angig, wenn der Operator H zeitunabh¨angig ist.

26

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

1.3.6 Stationa¨re Zusta¨nde Sei {χn |n = 1, 2, . . .} ein vollst¨andiger orthonormierter Satz von Eigenvektoren von H: Hχn = En χn

(Zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung)

(1.44)

Dann l¨aßt sich die allgemeine L¨osung ψt der zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung i¯ h dtd ψt = Hψt in der Form X i ψt = cn (0) e− h¯ En t χn (1.45) n

darstellen. Denn wegen der Vollst¨andigkeit des Satzes {χn } gilt X ψt = cn (t)χn n

Hieraus erh¨alt man i¯ h

X d d ψt − Hψt = (i¯ h cn (t) − En cn (t))χn . dt dt n

Die Schr¨odingergleichung i¯ h dtd ψt − Hψt = 0 ist also genau dann erf¨ ullt, wenn d i¯ h dt cn (t) − En cn (t) = 0 f¨ ur alle n gilt, d.h., wenn i

cn (t) = cn (0)e− h¯ En t f¨ ur alle n gilt. Speziell ist e−iEn t/¯h χn eine L¨osung der Schr¨odingergleichung. Eine solche L¨osung sowie der dadurch charakterisierte Zustand wird station¨ar genannt. Man benutzt diese Bezeichnung, weil der Erwartungswert jeder zeitunabh¨angigen Observablen in einem station¨aren Zustand konstant ist: i

i

(e− h¯ En t χn , Ae− h¯ En t χn ) = (χn , Aχn ).

(1.46)

1.3.7 Kontinuierliches Spektrum Beispiel: Spektrum des Impulsoperators im IR3 Da die Operatoren {p1 , p2 , p3 } paarweise kommutieren (d.h. [pµ , pν ] = 0 f¨ ur µ, ν = 1, 2, 3), werden gemeinsame Eigenvektoren χ der drei Operatoren gesucht. pµ χ = λµ χ |µ = 1, 2, 3

(1.47)

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN

27

λ1 ,λ2 ,λ3 sind hierbei die Eigenwerte. Aus der Definition der Operatoren pµ folgt h ¯ ∂ χ(x1 , x2 , x3 ) = λµ χ(x1 , x2 , x3 ) |µ = 1, 2, 3 i ∂xµ und daraus erh¨alt man i

i

i

i

χ(x1 , x2 , x3 ) = Ae h¯ λ1 x1 e h¯ λ2 x2 e h¯ λ3 x3 = Ae h¯ (λ1 x1 +λ2 x2 +λ3 x3 ) ,

(1.48)

wobei A eine von Null verschiedene Konstante bezeichnet. Die Eigenwerte λ1 ,λ2 ,λ3 m¨ ussen reell sein, sonst w¨ urde |χ(x1 , x2 , x3 )| gegen ∞ anwachsen f¨ ur xk → ±∞. Mit der Bezeichnung ~k = (k1 , k2 , k3 ) = ( λ1 , λ2 , λ3 ) h ¯ h ¯ h ¯

(1.49)

gilt also ~

χ(~r ) = Aei(k·~r ) pν χ = h ¯ kν χ. Die Funktion χ(~r ) ist nicht quadratintegrabel: Z Z 2 3 |χ(~r )| d ~r = |A|2 d3~r = ∞

(1.50) (1.51)

(1.52)

Also ist χ kein Element von H ( uneigentlicher Vektor“). Es ist trotzdem n¨ utzlich, ” χ als Eigenvektor von p1 ,p2 ,p3 anzusehen, da jeder Vektor u aus H als kontinu” ierliche“ Superposition solcher uneigentlicher Vektoren dargestellt werden kann: Z 1 ~ u(~r ) = u˜(~k)ei(k·~r ) d3~k (1.53) 3/2 (2π) Das Spektrum von pν , d.h. die Menge aller Eigenwerte von pν , ist kontinuierlich: alle reellen Zahlen λ sind Eigenwerte von pν . In Analogie zu den bisher betrachteten vollst¨andigen orthonormierten S¨atzen von Eigenvektoren hermitescher Operatoren werden die Eigenvektoren von p1 ,p2 ,p3 mit dem kontinuierlichen Index ~k indiziert: ~ χ~k = Aei(k·~r ) (1.54) Sie werden ferner durch die Festlegung A = (2π)−3/2 so normiert, daß Z (χ~k0 , χ~k ) = χ~∗k0 (~r )χ~k (~r )d3~r = δ(~k − ~k 0 )

(1.55)

28

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

gilt. Denn es gilt Z

i(~k−~k0 )·~ r 3

e

d ~r = =

3 Z Y ν=1 3 Y

0

ei(kν −kν )xν dxν

(2πδ(kν − kν0 )) = (2π)3 δ(~k − ~k 0 ).

ν=1

Mit dieser Indizierung und Normierung k¨onnen alle Formeln, die f¨ ur diskret indizierte vollst¨andige orthonormierte S¨atze gelten, leicht u bertragen werden. Es ¨ gen¨ ugt, δ 0 durch δ(~k − ~k 0 ) und R P νν durch · · · d3~k zu ersetzen. ν ··· Wichtig ist hierbei zu beachten, daß die Integrationsvariable mit dem im Argument der δ-Funktion erscheinenden Index identisch sein muß. ¨ Beispiele der Ubertragung: (χν , χν 0 ) = δνν 0 =⇒ (χ~k , χ~k0 ) = δ(~k − ~k 0 ) ( R  P u = c(~k)χ~k d3~k u = ν cν χν =⇒ mit cν = (χν , u) mit c(~k) = (χ~k , u) Z Z X X 2 2 3 2 2 |cν | =⇒ kuk = k c(~k)χ~k d ~kk = |c(~k)|2 d3~k cν χν k = kuk = k ν

ν

Es gibt Operatoren, deren Spektrum zum Teil aus diskreten Werten und zum Teil aus endlichen oder unendlichen Intervallen besteht. In solchen F¨allen werden die Eigenvektoren zum Teil mit diskreten und zum Teil mit kontinuierlichen Indizes versehen. Die nicht quadratintegrablen Eigenvektoren treten immer in Zusammenhang mit dem kontinuierlichen Teil des Spektrums von Operatoren auf. Bemerkung: Der f¨ ur die Eigenvektoren der Impulsoperatoren benutzte Index ~k ist die Zusammenfassung der drei kontinuierlichen Indizes k1 ,k2 ,k3 . Im allgemeinen k¨onnen vollst¨andige orthonormierte S¨atze mehrfach indiziert sein, wobei einige Indizes kontinuierlich und andere diskret sein k¨onnen:   ξ1 , . . . ξm : kontinuierlich χξ1 ξ2 ...ξm ν1 ν2 ...νn ν1 , . . . νn : diskret 0 ) δν1 ν10 · · · δνn νn0 (χξ1 ...νn , χξ10 ...νn0 ) = δ(ξ1 − ξ10 ) · · · δ(ξm − ξm

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN

29

1.3.8 Spektrum des Ortsoperators, Wahrscheinlichkeitsdichte Auch hier sind die Eigenvektoren χξ~ (~r ) keine Elemente des Hilbertraums7 : x˜k χξ~ (~r ) = ξk χξ~ (~r )

|k = 1, 2, 3

(1.56)

mit χξ~ (~r ) = δ(ξ~ − ~r ) Es gilt die Orthogonalit¨atsrelation Z χ∗ξ~ (~r ) χξ~0 (~r) d3~r = δ(ξ~ − ξ~0 ).

(1.57)

(1.58)

Offensichtlich kann jeder Vektor ψ aus H mit Hilfe der so definierten χξ~ als Z Z 3~ ~ χ~ (~r ) d3 ξ~ ~ ψ(~r ) = ψ(ξ) χξ~ (~r ) d ξ = c(ξ) (1.59) ξ ~ nach geschrieben werden, d.h. ψ stimmt als Funktion mit seiner Entwicklung c(ξ) Eigenvektoren des Ortsoperators u ¨berein. Die Verallgemeinerung der Vorschrift 6 f¨ ur Observable mit kontinuierlichem Spektrum ergibt f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ortsmessung einen Wert im Volumen ∆V zu erhalten, den Ausdruck R R ~ 2 d3 ξ~ |c( ξ)| |ψ(~r )|2 d3~r . (1.60) W (∆V ) = R∆V = ∆V ~ 2 3~ (ψ, ψ) 3 |c(ξ)| d ξ IR

Diesen Ausdruck kann man aber auch als Integral u ¨ber eine Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren: Z ρ(~r ) d3~r

W (∆V ) =

(1.61)

∆V

mit ρ(~r ) =

1 |ψ(~r )|2 . (ψ, ψ)

(1.62)

F¨ ur ein Einteilchensystem ohne innere Freiheitsgrade hat der Hamiltonoperator i.a. die Form ˜2 ¯2 ˜ = p~ + V (~˜r ) = − h H ∆ + V (~r ). (1.63) 2m 2m Damit erh¨alt man eine Beziehung f¨ ur ρ(~r ), wenn man die Schr¨odingergleichung   ∂ h ¯2 i¯ h + ∆ − V (~r ) ψ(~r, t) = 0 (1.64) ∂t 2m 7

Die Tatsache, daß die so definierten Eigenvektoren ( Deltafunktionen“) nicht als Funktio” nen, sondern nur als verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) verstanden werden k¨onnen, wird hier nicht er¨ ortert.

30

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

von links mit ψ ∗ multipliziert und anschließend die konjugiert komplexe Gleichung   h ¯2 ∂ ψ(~r, t) −i¯ h + ∆ − V (~r ) ψ ∗ (~r, t) = 0 ∂t 2m subtrahiert: 

∂ ∂ i¯ h ψ ψ + ψ ψ∗ ∂t ∂t ∗

 +

h ¯2 (ψ ∗ ∆ψ − ψ ∆ψ ∗ ) = 0. 2m

Wegen ∂ ∂ ∂ ∂ ψ + ψ ψ∗ = (ψ ∗ ψ) = |ψ|2 ∂t ∂t ∂t ∂t   ~ · ψ ∗ ∇ψ ~ − ψ ∇ψ ~ ∗ ψ ∗ ∆ψ − ψ ∆ψ ∗ = ∇ ψ∗

und

erh¨alt man so die Kontinuit¨atsgleichung ∂ ~ · ~ (~r, t) = 0, ρ(~r, t) + ∇ ∂t wobei

1 |ψ(~r, t)|2 (ψ, ψ)

(1.66)

 1 h ¯  ∗~ ~ ∗ ψ ∇ψ − ψ ∇ψ (ψ, ψ) 2mi

(1.67)

ρ(~r, t) = und ~ (~r, t) =

(1.65)

gesetzt ist. In Analogie zur Elektrodynamik bezeichnet man ~ als WahrscheinlichkeitsStromdichte und die Kontinuit¨atsgleichung als Erhaltung der Wahrscheinlichkeit. 8

1.3.9 Nichtkompatible Observable Wenn zwei Observable A,B nicht kompatibel sind, existiert kein vollst¨andiger Satz gemeinsamer Eigenvektoren. F¨ ur gewisse Paare von inkompatiblen Observablen gibt es keinen einzigen gemeinsamen Eigenvektor; dies bedeutet physikalisch, daß es keinen Zustand gibt, bei welchem jede der beiden Observablen einen bestimmten Wert hat. Wichtiges Beispiel: Impuls und Ort eines Teilchens. Die Unsch¨arfen von Impuls und Ort erf¨ ullen die Heisenbergschen Unsch¨arferelationen ∆pj ∆xj ≥ h ¯ /2 |j = 1, 2, 3. Beispiele von Ortsbestimmung: 8

Die Kontinuit¨ atsgleichung wurde bereits im ersten Kapitel abgeleitet. Der neue Aspekt ist die statistische Deutung: ρ(~r, t) als Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur die Ortsmessung.

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN 6x

31

2

l A A A

w

h ¯k





A A

A θ A
A
x - A
a

x1 -

Abbildung 1.1: Mikroskop 1. Mikroskop: Die Unsch¨arfe ∆x1 der Bestimmung des Teilchenorts ist gegeben durch das Aufl¨osungsverm¨ogen des Mikroskops ∆x1 ≈

λ sin θ

(1.68)

(λ = Wellenl¨ange des zur Beleuchtung“ benutzten Lichts). Das Teilchen ” wird sichtbar dadurch, daß ein Lichtquant mit Impuls h ¯ k an dem Teilchen gestreut wird und in das Mikroskop gelangt. Bei dieser Streuung wird auf das Teilchen Impuls u ¨bertragen. Damit ist die Komponente p1 des Teilchenimpulses nach der Streuung ge¨andert. Die Unsch¨arfe ∆p1 kann aus den m¨oglichen Impulsen des gestreuten Lichtquants abgesch¨atzt werden: ∆p1 ≈ h ¯ k sin θ. Somit ∆x1 ∆p1 ≈ h ¯ kλ = 2π¯ h. 2. Blende: Der Ort von Teilchen mit Impuls p1 = h ¯ k, p2 = p3 = 0 wird mit einer Blende bestimmt. ∆x2 = d. Wegen der Beugung an der Blende (θ ≈ sin θ ≈ λ/d) gilt nach dem Durchgang ∆p2 = h ¯ k sin θ ≈ h ¯ kλ/d. Also ∆x2 ∆p2 ≈ h ¯ kλ = 2π¯ h.

32

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

6x

2

-

1      θ A  PP PP PP PP q P

6

d ?

x1 -

Abbildung 1.2: Blende

Kapitel 2 Einfache Anwendungen der Quantenmechanik 2.1 Der harmonische Oszillator Die Bestimmung der station¨aren L¨osungen der Schr¨odingergleichung f¨ ur das Potential eines eindimensionalen harmonischen Oszillators V (x) =

mω 2 2 x 2

(2.1)

ist der Angabe von Eigenwerten und Eigenvektoren des Hamiltonoperators H=

1 2 mω 2 2 h ¯2 mω 2 2 p + x =− ∆+ x 2m 2 2m 2

(2.2)

¨aquivalent. Man definiert man die zueinander hermitesch adjungierten Operatoren     1 1 1 b 1 d a = √ x+i p = √ x+b (2.3) h ¯ dx 2 b 2 b     1 1 1 b 1 d † a = √ x−i p = √ x−b (2.4) h ¯ dx 2 b 2 b p mit b = h ¯ /mω (L¨angenparameter des harmonischen Oszillators). Aus der kanonischen Vertauschungsrelation [x, p] = i¯ h

(2.5)

[a, a† ] = 1,

(2.6)

folgt

33

34KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK denn 

    1 1 b 1 1 b [a, a ] = √ x+i p ,√ x−i p h ¯ h ¯ 2 b 2 b 1 1 b2 1 −i [x, p] + i [p, x] + [p, p] = [x, x] h 2¯ h 2b2 | {z } 2¯ 2¯ h2 |{z} †

=0

=0

i = − [x, p] = 1. h ¯ Es gilt ferner 

1 H =h ¯ω a a + 2 †

 ,

(2.7)

denn †

aa = = = = =

   1 1 b 1 b x−i p x+i p 2 b h ¯ b h ¯   1 1 2 1 1 b2 2 x + i xp − i px + 2 p 2 b2 h ¯ h ¯ h ¯   2 1 1 2 b 2 i x + 2 p + [x, p] 2 b2 h ¯ h ¯   1 mω 2 1 2 x + p −1 2 h ¯ mω¯ h   1 1 2 mω 2 2 1 p + x − . h ¯ ω 2m 2 2

Das Eigenwertproblem f¨ ur den Operator H wird somit auf das Eigenwertproblem † f¨ ur den Operator a a zur¨ uckgef¨ uhrt. Die Eigenwerte des Operators a† a sind, wie im folgenden gezeigt wird, die nichtnegativen ganzen Zahlen {0, 1, 2, . . .}. Es gibt ferner eine orthonormierte Basis {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} mit den Eigenschaften: a† a ψn a† ψn a ψn a ψ0 ψn

n ψn | n = 0, 1, 2, . . . √ n+1 ψn+1 | n = 0, 1, 2, . . . √ n ψn−1 | n = 1, 2, . . . 0 1 = √ (a† )n ψ0 n!

= = = =

(2.8) (2.9) (2.10) (2.11) (2.12)

Zum Beweis obiger Behauptungen zeigt man zun¨achst, daß aus [a, a† ] = 1 die Relationen [a† a, a† ] = a† und [a† a, a] = −a

2.1. DER HARMONISCHE OSZILLATOR

35

folgen. Hieraus folgt: Wenn ψβ Eigenvektor von a† a zum Eigenwert λβ ist, wenn also a† a ψβ = λβ ψβ gilt, dann gelten auch die Relationen

a† a a† ψβ = (λβ + 1) a† ψβ und a† a (a ψβ ) = (λβ − 1) (a ψβ ) . Diese Relationen bedeuten, daß die Vektoren a† ψβ und a ψβ , soweit von Null verschieden, Eigenvektoren von a† a zu den Eigenwerten (λβ + 1), (λβ − 1) sind. Durch mehrfache Anwendung dieser Aussage erh¨alt man, daß jeder Vektor (a† )n ψβ

bzw. (a)n ψβ

| n = 1, 2, . . . ,

soweit von Null verschieden, Eigenvektor von a† a zum Eigenwert (λβ +n) (bzw. (λβ −n)) ist. Alle Eigenwerte von a† a sind nichtnegativ. Denn aus a† a ψβ = λβ ψβ und ψβ 6= 0 folgt (ψβ , a† aψβ ) = λβ (ψβ , ψβ ), also λβ =

(ψβ , a† aψβ ) . (ψβ , ψβ )

Aber (ψβ , a† aψβ ) = ka ψβ k2 ≥ 0, und daraus folgt λβ ≥ 0. Wenn nun ψβ Eigenvektor von a† a zum Eigenwert λβ ist, dann ist mindestens einer der Vektoren {(a)n ψβ : n = 1, 2, . . .} Null, denn sonst w¨aren sie alle Eigenvektoren von a† a und alle Zahlen {λβ −n | n = 1, 2, . . .} Eigenwerte von a† a, obwohl a† a nur nichtnegative Eigenwerte hat. Sei m die kleinste nat¨ urliche Zahl, f¨ ur die (a)m ψβ = 0 gilt; dann gilt
a† a am−1 ψβ = a† (am ψβ ) = 0. Da aber andererseits
a† a am−1 ψβ = (λβ − (m−1)) am−1 ψβ und am−1 ψβ 6= 0 gelten, muß λβ − (m−1) = 0 sein. Also ist λβ = m−1 eine ganze nichtnegative Zahl. Es gilt ferner
1 ψβ = (a† )m−1 am−1 ψβ , (m−1)! denn (a† )k (a)k ψβ = = .. . = =

(a† )k−1 a† a (a)k−1 ψβ (λβ − (k−1)) (a† )k−1 (a)k−1 ψβ (λβ − (k−1)) (λβ − (k−2)) · · · λβ ψβ (m−k)(m−k+1) · · · (m−1) ψβ ,

36KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK d.h. (a† )m−1 (a)m−1 ψβ = (m − 1)! ψβ . Das bedeutet, daß jeder Eigenvektor ψβ von a† a mit Eigenwert λβ in der Form (a† )λβ ψz dargestellt werden kann, wobei ψz einen Vektor mit der Eigenschaft a ψz = 0 bezeichnet. Zur Bestimmung eines Vektors ψ0 mit a ψ0 = 0 und (ψ0 , ψ0 ) = 1 benutzen wir die Wellenfunktion ψ0 (x) | − ∞ < x < ∞. explizit. Die Gleichung a ψ0 = 0 ist gleichbedeutend mit der Differentialgleichung   d x +b ψ(x) = 0 (2.13) b dx f¨ ur die Wellenfunktion ψ0 . Die allgemeine L¨osung dieser Differentialgleichung ist x2

ψ(x) = A e− 2b2 , 1

1

wobei A eine komplexe Konstante ist. Mit der Wahl A = π − 4 b− 2 erf¨ ullt die Wellenfunktion x2 1 ψ0 (x) = 1 1 e− 2b2 (2.14) π 4 b2 R∞ die Normierungsbedingung −∞ |ψ0 (x)|2 dx = 1. Jeder Vektor ψz mit a ψz = 0 ist ein Vielfaches des oben bestimmten Vektors ψ0 , da die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung Produkt von ψ0 mit einer komplexen Konstante ist. Damit hat auch jeder Eigenvektor ψβ mit Eigenwert λβ die Form ψβ = Aβ (a† )λβ ψ0 , wobei Aβ eine komplexe Zahl ist. Wir definieren die Vektoren 1 ψn = √ (a† )n ψ0 n!

| n = 1, 2, 3 . . .

und zeigen induktiv, daß sie auf Eins normiert sind: 1 ((a† )n+1 ψ0 , (a† )n+1 ψ0 ) (n + 1)! 1 = (ψ0 , (a)n+1 (a† )n+1 ψ0 ) (n + 1)! 1 = (ψ0 , (a)n aa† (a† )n ψ0 ) (n + 1)! 1 = (ψ0 , (a)n ([a, a† ] + a† a) (a† )n ψ0 ) (n + 1)!

(ψn+1 , ψn+1 ) =

2.2. DER DREHIMPULS

37

1 (ψ0 , (a)n (1 + a† a) (a† )n ψ0 ) (n + 1)! n+1 = (ψ0 , (a)n (a† )n ψ0 ) (n + 1)! 1 ((a† )n ψ0 , (a† )n ψ0 ) = n! = (ψn , ψn ). =

Also (ψn+1 , ψn+1 ) = (ψn , ψn ) = · · · = (ψ0 , ψ0 ) = 1. Die Vektoren {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} sind paarweise orthogonal, da sie zu verschiedenen Eigenwerten des hermiteschen Operators a† a geh¨oren; sie bilden also ein orthonormiertes System. Aus den Definitionen folgt ferner √ 1 a† ψn = √ (a† )n+1 ψ0 = n+1 ψn+1 n!

| n = 0, 1, . . .

sowie 1 1 a ψn = √ a(a† )n ψ0 = √ (aa† )(a† )n−1 ψ0 n! n! 1 1 = √ aa† ψn−1 = √ (1 + a† a) ψn−1 n n √ = n ψn−1 | n = 1, 2, . . . Es bleibt nur noch zu beweisen, daß das orthonormierte System {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} vollst¨andig ist. Dies wird hier nicht bewiesen. Wir beschr¨anken uns nur auf die Bemerkung, daß, wenn es ein vollst¨andiges System aus Eigenvektoren von a† a gibt, dann {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} auch vollst¨andig ist, da jeder Eigenvektor von a† a ein Vielfaches eines der Vektoren {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} ist. 2 Die Basisvektoren {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} sind auch Eigenvektoren von H, und zwar gilt   1 H ψn = h ¯ω n + ψn | n = 0, 1, 2, . . . (2.15) 2

2.2 Der Drehimpuls 2.2.1 Definition des Drehimpulsoperators Nach den allgemeinen Zuordnungsvorschriften entsprechen die Operatoren (x2 p3 − x3 p2 ), (x3 p1 − x1 p3 ), (x1 p2 − x2 p1 ) den drei Komponenten des Drehimpulses eines

38KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK Teilchens. In Einheiten von h ¯ ausgedr¨ uckt: L1 = (x2 p3 − x3 p2 )/¯ h L2 = (x3 p1 − x1 p3 )/¯ h L3 = (x1 p2 − x2 p1 )/¯ h

(2.16)

Diese drei Definitionsgleichungen werden formal zusammengefaßt: ~ = (~r × p~)/¯ L h

(2.17)

Dem Quadrat des Drehimpulses entspricht der Operator ~ 2 = L2 + L2 + L 2 . L 1 2 3

(2.18)

~ 2 sind hermitesch (Ubung). ¨ Die Operatoren L1 , L2 , L3 und L Aus den Definitionen 2 ~ von L1 , L2 , L3 , L und den Vertauschungsrelationen [xj , xk ] = 0,

[pj , pk ] = 0,

[xj , pk ] = i¯ hδjk

(2.19)

der Operatoren xj , pk folgen die Vertauschungsrelationen der Drehimpulsoperatoren [L1 , L2 ] = iL3 [L2 , L3 ] = iL1 (2.20) [L3 , L1 ] = iL2 ~ 2 , Lk ] = 0 [L

|k = 1, 2, 3

(2.21)

¨ (Ubung).

~2 2.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren von L3 und L ~ 2 kommutieren. Also existiert ein vollst¨anDie hermiteschen Operatoren L3 und L diges orthonormiertes System von gemeinsamen Eigenvektoren dieser Operatoren. Es ist zweckm¨aßig, f¨ ur die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren folgende Operatoren zu definieren (Schiebeoperatoren): L+ = L1 + iL2 L− = L1 − iL2

(2.22)

Aus den Vertauschungsrelationen und den Definitionen folgt [L3 , L+ ] = L+ [L3 , L− ] = −L−

(2.23)

~ 2 − L23 + L3 L+ L − = L ~ 2 − L23 − L3 L− L+ = L

(2.24)

2.2. DER DREHIMPULS

39 [L+ , L− ] = 2 L3

(2.25)

¨ (Ubung). Es gilt ferner (L+ )† = L− ,

(L− )† = L+ .

(2.26)

Die Aussagen, die man mit Hilfe dieser Relationen erh¨alt, werden in den folgenden S¨atzen zusammengefaßt. Satz 1: Nur die reellen Zahlen j(j+1) mit j = 0, 12 , 1, 32 , 2, 52 , . . . k¨onnen Eigenwerte ~ 2 sein. Wenn ψjm gemeinsamer Eigenvektor von L ~ 2 und L3 mit von L ~ 2 ψjm = j(j + 1)ψjm L L3 ψjm = mψjm

(2.27) (2.28)

ist, dann hat m einen der (2j + 1) Werte {−j, −j +1, . . . , j −1, j}. ~ 2 zum Eigenwert j(j + 1), wobei j eine der Satz 2: Sei χ Eigenvektor von L 1 3 Zahlen {0, 2 , 1, 2 , . . .} ist. Dieser Vektor χ sei ferner normiert (kχk = 1) und Eigenvektor von L3 . Dann existiert genau ein orthonormierter Satz {ψjm |m = −j, −j+1, . . . j−1, j} von (2j + 1) Vektoren, der χ enth¨alt und die Eigenschaften ~ 2 ψjm = j(j + 1)ψjm L L3 ψjm = mψjm 1 ψj,m+1 = L+ ψjm kL+ ψjm k 1 ψj,m−1 = L− ψjm kL− ψjm k

| m = −j, . . . j

(2.29)

| m+1 = −j +1, −j +2, . . . j

(2.30)

| m−1 = −j, −j +1, . . . j −1

(2.31)

hat. F¨ ur die Vektoren ψjm dieses Satzes gilt ferner p kL+ ψjm k = pj(j + 1) − m(m + 1) |m = −j, . . . j kL− ψjm k = j(j + 1) − m(m − 1)

(2.32)

und insbesondere L+ ψjj = L− ψj,−j = 0. Beweis der S¨atze: Sei χ ein Vektor mit ~ 2 χ = λχ, L

L3 χ = µχ,

kχk = 1.

Dann gelten die folgenden drei Aussagen: ~ 2 (L+ χ) = λ(L+ χ) L

(2.33)

40KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK ~ 2 , L+ ] = 0 folgt L ~ 2 L+ χ = L+ L ~ 2 χ = L+ λχ = λL+ χ), (Denn aus [L L3 (L+ χ) = (µ + 1)(L+ χ) (Aus [L3 , L+ ] = L+ folgt L3 L+ χ = L+ L3 χ + L+ χ = (µ + 1)L+ χ) und kL+ χk2 = (λ − µ(µ + 1))kχk2 wegen kL+ χk2 = (L+ χ, L+ χ) = (χ, (L+ )† L+ χ) ~ 2 − L2 − L3 )χ) = (χ, L− L+ χ) = (χ, (L 3

2

2

= (λ − µ − µ)kχk . Die entsprechenden Relationen f¨ ur L− sind ~ 2 (L− χ) = λ(L− χ), L L3 (L− χ) = (µ − 1)(L− χ), kL− χk2 = (λ − µ(µ − 1))kχk2 . Durch Induktion erh¨alt man ferner ~ 2 (L± )k χ = λ(L± )k χ L L3 (L± )k χ = (µ ± k)(L± )k χ k(L+ )k χk2 = (λ − µ(µ+1)) (λ − (µ+1)(µ+2)) . . . (λ − (µ+k−1)(µ+k)) kχk2 k(L− )k χk2 = (λ − µ(µ−1)) (λ − (µ−1)(µ−2)) . . . (λ − (µ−k+1)(µ−k)) kχk2 . F¨ ur gen¨ ugend große Werte von k wird (λ−(µ+k−1)(µ+k)) und (λ−(µ−k+1)(µ−k)) negativ. Da aber k(L+ )k χk2 ≥ 0 und k(L− )k χk2 ≥ 0 f¨ ur k = 1, 2, . . . sowie kχk = 6 0 gilt, gibt es zwei nicht negative ganze Zahlen n, n0 mit λ − (µ + n)(µ + n + 1) = 0 λ − (µ − n0 )(µ − n0 − 1) = 0. Nach Aufl¨osung obiger Gleichungen nach µ und λ folgt µ=

n0 − n , 2

λ = j(j + 1),

wobei j =

n0 + n . 2

Dies bedeutet aber, daß j einen der Werte 0, 12 , 1, 32 , . . . hat, w¨ahrend {−j, −j + 1, . . . j − 1, j} die m¨oglichen Werte von µ sind. Dies beweist Satz 1. Die f¨ ur χ bewiesenen Formeln zeigen ferner, daß p kL+ ψjm k = j(j + 1) − m(m + 1) p kL− ψjm k = j(j + 1) − m(m − 1)

2.2. DER DREHIMPULS

41

~ 2 und L3 mit den Eigenwerten gilt, wenn ψjm ein normierter Eigenvektor von L j(j + 1), m ist. Im Spezialfall m = j (bzw. m = −j) erh¨alt man kL+ ψjj k = 0 (bzw. kL− ψj,−j k = 0), also L+ ψjj = 0 (bzw. L− ψj,−j = 0). Um den Beweis des Satzes 2 zu vervollst¨andigen, definieren wir die Vektoren ψjm durch: ψjm = χ ψj,m+1 = kL+ 1ψjm k L+ ψjm ψj,m−1 = kL− 1ψjm k L− ψjm

|m = µ |m+1 = µ+1, µ+2, . . . j |m−1 = µ−1, µ−2, . . . − j

Aus den bereits bewiesenen Relationen folgt induktiv, daß die ψjm Eigenvekto~ 2 , L3 zu den Eigenwerten λ = j(j + 1) sind. Die Vektoren ψjm sind ren von L zueinander orthogonal, da sie zu verschiedenen Eigenwerten von L3 geh¨oren. Das System {ψjm |m = −j, . . . j} ist also orthonormiert, da die Vektoren ψjm offenbar auch auf Eins normiert sind. F¨ ur (m+1) = µ+1, µ+2, . . . j ist die Relation ψj,m+1 = L+ ψjm /kL+ ψjm k identisch mit der Definition von ψj,m+1 . F¨ ur (m+1) = µ, µ−1, µ−2, . . . − j +1 gilt andererseits:   1 1 L+ ψjm = L+ L− ψj,m+1 = L+ L− ψj,m+1 kL− ψj,m+1 k kL− ψj,m+1 k 1 ~ 2 − L23 + L3 )ψj,m+1 = (L kL− ψj,m+1 k 1 = p (j(j +1) − (m+1)2 + (m+1))ψj,m+1 j(j +1) − (m+1)m p = j(j +1) − m(m+1)ψj,m+1 = kL+ ψjm kψj,m+1 Also gilt ψj,m+1 = L+ ψjm /kL+ ψjm k f¨ ur (m + 1) = −j + 1, . . . j. Entsprechend wird die Relation ψj,m−1 = L− ψjm /kL− ψjm k bewiesen. 2 Aus Satz 2 folgt, daß ψjm =

1 k(L+ )m+j ψj,−j k

(L+ )m+j ψj,−j

|m = −j, . . . j.

(2.34)

Diese Formel wird im folgenden f¨ ur die Konstruktion der Kugelfunktionen benutzt.

2.2.3 Eigenvektoren des Bahndrehimpulses (Kugelfunktionen) In sph¨arischen Polarkoordinaten r, θ, φ gilt: L3 =

1 ∂ i ∂φ

L± = e±iφ (±

(2.35) ∂ ∂ + i ctg θ ) ∂θ ∂φ

¨ (Ubung)

(2.36)

42KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK Die Eigenwertgleichung L3 ψ = mψ kann also in der Form 1 ∂ ψ(r, θ, φ) = mψ(r, θ, φ) i ∂φ

(2.37)

geschrieben werden, und daraus folgt f¨ ur den Eigenvektor ψ ψ(r, θ, φ) = eimφ F (r, θ).

(2.38)

Da die Wellenfunktion ψ eine eindeutige Funktion des Ortsvektors ~r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) ist, muß ψ(r, θ, φ+2π) = ψ(r, θ, φ) gelten. Hieraus folgt eim2π = 1, d.h. m ist ganzzahlig. Die Eigenwerte des Operators L3 , welcher einer Komponente des Bahndrehimpulses eines Teilchens entspricht, sind m = 0, ±1, ±2, ±3, . . .. Bemerkung: F¨ ur manche Teilchen setzt sich der Drehimpuls aus dem Bahndrehimpuls und einem weiteren Anteil, dem Spin, zusammen. F¨ ur einige Elementarteilchen (Elektronen, Protonen, Neutronen, Neutrinos, µ-Mesonen etc.) haben die Operatoren, die einer Komponente des Spins entsprechen, halbzahlige Eigenwerte. Der Spin ist ein innerer“ Freiheitsgrad; zur Beschreibung der Zust¨ande ” von Teilchen mit Spin sind Wellenfunktionen ψ(x1 , x2 , x3 ) nicht ausreichend (vgl. Abschnitt 3.3.4). ~ 2 , L3 mit EigenwerZur Bestimmung von gemeinsamen Eigenvektoren ψlm von L ten l(l + 1), m k¨onnen die S¨atze 1 und 2 benutzt werden: F¨ ur m = −l gilt L− ψl,−l = 0 d.h. e−iφ (−

(2.39)

∂ ∂ + i ctg θ )ψl,−l = 0. ∂θ ∂φ

(2.40)

Da aber andererseits ψl,−l = e−ilφ F (r, θ) gilt, erh¨alt man (−

∂ + l ctg θ)ψl,−l = 0. ∂θ

(2.41)

Aus dieser Dgl. folgt, daß ψl,−l die Form (sin θ)l G(r, φ) hat. Es gilt also ψl,−l (r, θ, φ) = N e−ilφ (sin θ)l f (r).

(2.42)

q gew¨ahlt. F¨ ur die Normierungskonstante N wird zweckm¨aßig der Wert 21l l! (2l+1)! 4π Mit dieser Wahl gilt dann Z Z Z ∞ 2 3 2 2 |ψl,−l | d ~r = |ψl,−l | dΩ r dr = |f (r)|2 r2 dr (2.43) 0

2.2. DER DREHIMPULS

43

(dabei ist dΩ = sin θ dθ dφ). F¨ ur allgemeine Werte von m (m 6= l) erh¨alt man die Funktionen ψlm durch wiederholte Anwendung von L+ auf ψl,−l und Multiplikation mit geeigneten Normierungskonstanten. Es gilt allgemein ψlm (r, θ, φ) = Ylm (θ, φ)f (r),

(2.44)

wobei die Kugelfunktionen Ylm definiert sind durch s Ylm (θ, φ) = (−1)m

(2l + 1)(l − m)! m Pl (cos θ)eimφ . 4π(l + m)!

(2.45)

Hierbei bezeichnet Plm die assoziierten Legendre-Funktionen Plm (z)

l+m 1 2 m/2 d = l (1 − z ) (z 2 − 1)l . l+m 2 l! dz

(2.46)

F¨ ur m = 0 gilt insbesondere r Yl0 (θ, φ) =

2l + 1 Pl (cos θ), 4π

(2.47)

wobei Pl (z) =

1 dl 2 (z − 1)l 2l l! dz l

(2.48)

ein Legendre-Polynom ist. Die Legendre-Polynome haben die Eigenschaft Pl (1) = 1.

(2.49)

Die Kugelfunktionen sind auf der Oberfl¨ache der Einheitskugel“ orthonormiert, ” d.h. Z ∗ Ylm (θ, φ)Yl0 m0 (θ, φ)dΩ = δll0 δmm0 . (2.50) Es gilt schließlich die wichtige Identit¨at

Pl (cos θ12 ) =

l 4π X ∗ Ylm (θ1 , φ1 )Ylm (θ2 , φ2 ), 2l + 1 m=−l

(2.51)

das sogenannte Additionstheorem der Kugelfunktionen. (Der Beweis ist umst¨andlich.) Hierbei bezeichnen (θ1 , φ1 ), (θ2 , φ2 ) Polarkoordinaten f¨ ur zwei Einheitsvektoren ~r1 , ~r2 und θ12 den Winkel zwischen diesen Vektoren: cos θ12 = (~r1 · ~r2 ).

44KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK

2.3 Das Wasserstoffatom Es werden station¨are Zust¨ande eines Teilchens unter dem Einfluß eines anziehenden Coulomb-Potentials V (r) = −Ze2 /r gesucht. Beispiel: Elektron im Feld eines Atomkerns mit Kernladungszahl Z, wenn man annimmt, daß der Kern am Koordinatenursprung ruht ( festgenagelt ist“). Dies ist eine gute N¨aherungsannahme, ” denn selbst beim leichtesten Atom (Wasserstoff) ist die Masse M des Atomkerns viel gr¨oßer als die Masse des Elektrons (M/m ≈ 2000). Die gesuchten station¨aren Zust¨ande entsprechen also Eigenvektoren ψ des Opera2 h2 ¯ ~ 2 , L3 } miteinander kompatibel tors H = − 2m ∆+(− Zer ). Da die Operatoren {H, L sind, gibt es einen vollst¨andigen orthonormierten Satz gemeinsamer Eigenvektoren dieser Operatoren. Jeder gemeinsame Eigenvektor ψ(~r ) hat die Form ψ(~r ) = Ylm (θ, φ)f (r). Da

h ¯2 ∆ψ = Tψ = − 2m



h ¯2 ~ 2 h ¯2 L − 2mr2 2mr2

(2.52) 

∂ 2∂ r ∂r ∂r

 ψ

(2.53)

¨ (Ubung) gilt, erh¨alt man   h ¯2 ∆ + V (r) Ylm (θ, φ)f (r) − 2m   2   h ¯2 ∂ 2 ∂ l(l+1) = Ylm (θ, φ) − + − + V (r) f (r), 2m ∂r2 r ∂r r2 somit ist dann die Eigenwertgleichung Hψ = Eψ ¨aquivalent zur Radialgleichung  2    d 2 d l(l+1) 2m 2m Ze2 + − − 2 − + 2 E f (r) = 0. (2.54) dr2 r dr r2 r h ¯ h ¯ Im folgenden werden nur Zust¨ande negativer Energie betrachtet (gebundene Zust¨ande). Das klassische Analogon der gebundenen Zust¨ande sind Teilchenbahnen, bei welchen der Abstand des Teilchens vom Koordinatenursprung beschr¨ankt bleibt (Ellipsenbahnen des Keplerproblems). Die nicht gebundenen Zust¨ande entsprechen Teilchenbahnen, bei welchen der Abstand des Teilchens vom Koordinatenursprung unbeschr¨ankt ist (z.B. Hyperbelbahnen des Keplerproblems). Abk¨ urzungen: α2 = −

2mE , h ¯2

r0 =

h ¯2 (Bohrscher Radius), me2

Neue Variable: ρ = αr (dimensionslos) Ansatz: f (r) = e−αr u(αr) = e−ρ u(ρ)

ρ0 = αr0

2.3. DAS WASSERSTOFFATOM

45 2

d 2 Motivation des Ansatzes: F¨ ur r → ∞ gilt n¨aherungsweise ( dr 2 − α )f = 0. Daher erwartet man das asymptotische Verhalten f (r) → e−αr f¨ ur r → ∞. Einsetzen in die Radialgleichung ergibt f¨ ur u die Differentialgleichung:      1 du Z 2 l(l+1) d2 u +2 −1 + −1 − u=0 (2.55) dρ2 ρ dρ ρ0 ρ ρ2

Physikalisch brauchbar1 ist nur die am Ursprung regul¨are L¨osung, die sich als Potenzreihe ∞ X l aν ρν u(ρ) = ρ (2.56) ν=0

ansetzen l¨aßt. F¨ ur die Koeffizienten aν erh¨alt man die Rekursionsformel   Z [(ν +l+1)(ν +l+2) − l(l+1)] aν+1 − 2 ν +l+1 − aν = 0. ρ0

(2.57)

Wenn die Reihe nicht abbricht, dann verh¨alt sich u(ρ) asymptotisch wie e2ρ , und f (r) verh¨alt sich wie eρ (denn aν+1 /aν ≈ 2/(ν + 1) f¨ ur große ν-Werte). Quadratintegrable Funktionen erh¨alt man also nur, wenn die Reihe abbricht. Abbruchbedingung: N +l+1−

Z = 0 f¨ ur eine ganze Zahl N ≥ 0 ρ0

(2.58)

Hieraus folgen die Energieeigenwerte: h ¯ 2Z 2 1 me4 2 1 En = − = − Z 2 2mr02 (N + l + 1)2 n 2¯ h2

(2.59)

mit n = N + l + 1 = 1, 2, . . . ( Hauptquantenzahl“). Die zugeh¨origen normierten ” Radialfunktionen fnl sind gegeben durch 

(n−l−1)! fnl = − (2αn ) 2n[(n+l)!]3 3

1/2

e−αn r (2αn r)l L2l+1 n+1 (2αn r),

(2.60)

wobei  αn =

2mEn − 2 h ¯

1/2 =

Z nr0

(2.61)

1 Die allgemeine L¨ osung u = a1 χ1 +a2 χ2 der Differentialgleichung ist eine Linearkombination der regul¨ aren L¨ osung χ1 und der singul¨aren χ2 . Die singul¨are L¨osung χ2 verh¨alt sich am Ursprung wie ( 1r )l+1 . F¨ ur l > 0 ist die singul¨are L¨osung nicht quadratintegrabel. F¨ ur l = 0 ist die R h ¯2 singul¨are L¨ osung zwar quadratintegrabel, aber der Erwartungswert < T > = − 2m χ∗2 ∆χ2 d3~r der kinetischen Energie wird unendlich.

46KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK und dσ Lµ (ξ) dξ σ

Lσµ (ξ) =

(2.62) µ

X dµ Lµ (ξ) = e µ (e−ξ ξ µ ) = (−1)ν dξ ν=0 ξ



µ ν



µ! ν ξ ν!

(2.63)

gesetzt wird (Laguerresche Polynome).

2.4 Streuung an einem Potential 2.4.1 Wirkungsquerschnitt und Streuamplitude Experimentelle Situation: Teilchen (Projektile) werden auf das Streuzentrum (Target) geschossen und zum Teil in verschiedene Richtungen gestreut. Der Impuls der Projektile lange Zeit p~ = h ¯~k. I vor der Streuung ist  @ @

p~ = h ¯~k

@ -



z Q JQ J Q J QQ J Q J @ QQ @ QQ R R JJ @ J J JE dΩ

-

Abbildung 2.1: Streuung an einem Streuzentrum Der Wirkungsquerschnitt dσ f¨ ur die Streuung in den Raumwinkel dΩ ist definiert 2 durch dσ =

jst R2 dΩ jp

2

Bei Streuexperimenten besteht das Target ( Zielscheibe“) aus einer großen Anzahl NT von ” Streuzentren (Targetteilchen). Wenn die Streuzentren statistisch verteilt sind, so daß koh¨arente Streuung ausgeschlossen ist und die mehrfache Streuung vernachl¨assigbar ist, dann ist die Anzahl der gestreuten Teilchen um den Faktor NT gr¨oßer als im Falle eines einzigen Streuzentrums. Deswegen gilt f¨ ur den Wirkungsquerschnitt: dσ =

Anzahl der pro Zeiteinheit in dΩ gestreuten Teilchen (Einfallende Stromdichte) · (Anzahl der Targetteilchen)

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL =

Anzahl der pro Zeiteinheit in dΩ gestreuten Teilchen Stromdichte der einfallenden Teilchen

47 (2.64)

Dabei ist die Stromdichte der einfallenden Teilchen definiert als die Anzahl der einfallenden Teilchen pro Zeiteinheit und Fl¨acheneinheit. Zur Beschreibung dieser experimentellen Situation werden Wellenfunktionen ψ herangezogen, die L¨osungen der zeitunabh¨angigen Schr¨odingergleichung sind: " #   p~ 2 h ¯ 2~k 2 h ¯2 − ∆ + V (~r ) ψ = Eψ E= = >0 (2.65) 2m 2m 2m mit dem asymptotischen Verhalten    ikr  ~r e r→∞ i~k·~ r ψ(~r ) −→ A e + f~k , r r

(2.66)

wobei r = |~r |, k = |~k|, A eine Normierungskonstante und f~k die Streuamplitude bedeuten. Erl¨auterung: V (~r ) ist das durch die Anwesenheit des Streuzentrums entstehende Potential, in dem sich das Projektil bewegt. Die Wellenfunktion ψ ist asympto~ tisch Superposition einer ebenen Welle eik·~r und einer auslaufenden Kugelwelle f · 1r eikr . Die Streuamplitude f~k (~r/r) h¨angt vom Impuls p~ = h ¯~k der einfallenden Teilchen und der Richtung (~r/r) des Vektors ~r ab. Die physikalische Situation wird durch Wellenpakete, die aus den erw¨ahnten Wellenfunktionen ψ durch Superposition entstehen, beschrieben. Das Ergebnis der Untersuchung des Verhaltens solcher Wellenpakete verdeutlicht die Abbildung: Die Streuwelle und die einfallende Welle interferieren nur in Vorw¨artsrichtung“, ” d.h. in der durch die Geschwindigkeit des Projektils bestimmten Richtung. Durch ¨ Ubergang zu scharfem Impuls p~ des einfallenden Teilchens erh¨alt man als Grenzr→∞ ~ fall die Wellenfunktion ψ mit dem asymptotischen Verhalten ψ −→ A(eik·~r + f 1r eikr ). Der differentielle Wirkungsquerschnitt (dσ/dΩ) kann aus der asymptotischen Form der Wellenfunktion berechnet werden. Da einlaufende und gestreute Wellen nur in Vorw¨artsrichtung interferieren, k¨onnen die Stromdichten (Wahrscheinlichkeits-Stromdichten) f¨ ur das einfallende und das gestreute Wellenpaket mit Hilfe ~ der Wellenfunktionen Aeik·~r bzw. Af 1r eikr getrennt berechnet werden: h ¯ ~ ~ ~ jp = |~jp | = (A eik·~r )∗ ∇(A eik·~r ) + k.k. 2mi ¯~k h ¯k 2h = |A| (2.67) = |A|2 m m

48KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK

 

Einfallendes Wellenpaket Streuzentrum x

W l



 

vorher (t ≈ −l/|~v |)

-

auslaufende Kugelwelle   7  

R   /

x K

nachher (t ≈ R/|~v |)

W HH Y

auslaufendes Wellenpaket

Abbildung 2.2: Ein- und auslaufendes Wellenpaket   ~jst · ~r r | {z }

2

jst R dΩ =

R2 dΩ

Radialkomponente

 =

h ¯ 2mi



eikr Af r

∗

∂ ∂r



eikr Af r



 + k.k.

R2 dΩ

(2.68)

|r=R

d.h.   1 R→∞ h ¯k jst R dΩ = |A| |f | dΩ + O −→ |A|2 |f |2 dΩ. m R m 2

2

¯k 2h

(2.69)

Man erh¨alt also: dσ =

|A|2 |f |2 ¯hmk dΩ = |f |2 dΩ |A|2 ¯hmk

(2.70)

  2 dσ ~r = f~k dΩ r

(2.71)

Das bedeutet:

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL

49

2.4.2 Integralgleichung fu ¨r Streuung Die Schr¨odingergleichung   h ¯2 ∆ + V (~r ) ψ = Eψ − 2m

h ¯ 2k2 2m

(2.72)

2m V (~r ). h ¯2

(2.73)

mit E =

erh¨alt durch triviale Transformation die Form
∆ + k 2 − U (~r ) ψ = 0,

wobei U =

Wenn die Greensfunktion G(~r, ~r 0 ) die Gleichung (∆~r + k 2 )G(~r, ~r 0 ) = δ(~r − ~r 0 )

(2.74)

erf¨ ullt, dann ist die Funktion Z ψ(~r ) = φ(~r ) +

G(~r, ~r 0 )χ(~r 0 ) d3~r 0

(2.75)

L¨osung der Gleichung (∆ + k 2 )ψ = χ,

(2.76)

vorausgesetzt, daß φ eine L¨osung der entsprechenden homogenen Gleichung (∆ + k 2 )φ = 0 ist. Insbesondere erh¨alt man f¨ ur χ(~r ) = U (~r )ψ(~r ), daß ψ(~r ) mit Z ψ(~r ) = φ(~r ) + G(~r, ~r 0 )U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 (2.77) L¨osung der Gleichung (∆ + k 2 − U (~r ))ψ = 0 ist. Die Funktion 0

1 eik|~r−~r | Gk (~r, ~r ) = − 4π |~r − ~r 0 | 0

(2.78)

erf¨ ullt die Gleichung (∆ + k 2 )G = δ(~r − ~r 0 ). Somit hat die Integralgleichung die Form: Z ik|~r−~r 0 | 1 e ψ(~r ) = φ(~r ) − U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 (2.79) 4π |~r − ~r 0 | Asymptotisches Verhalten von ψ: Unter der Annahme, daß U (~r 0 ) = 0 f¨ ur |~r 0 | > a gilt, erh¨alt man wegen 0

eik|~r−~r | r→∞ eikr −ik(~r 0 ·~r )/r ≈ e |~r − ~r 0 | r

f¨ ur r 0 ≤ a

(2.80)

das asymptotische Verhalten 1 eikr ψ(~r ) −→ φ(~r ) − 4π r r→∞

Z

~

0

e−ikf ·~r U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 ,

(2.81)

50KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK r − ~r 0 · ~r



-

r

~r hhhh



 0 hhh ~r
h hhhh h h
|~r − ~r 0 |

hhh

hhhh

Abbildung 2.3: N¨aherung f¨ ur |~r 0 − ~r | ~

wobei ~kf = k~r/r. Wenn φ(~r ) = eik·~r gew¨ahlt wird, dann hat ψ das asymptotische ~ Verhalten (eik·~r + f 1r eikr ), und zwar gilt Z 1 0 ~ e−ikf ·~r U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 . (2.82) f~k = − 4π Die vollst¨andige Integralgleichung lautet dann: Z ik|~r−~r 0 | 1 e i~k·~ r ψ(~r ) = e − U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 4π |~r − ~r 0 |

(2.83)

2.4.3 Bornsche Na¨herung Die Integralgleichung Z ψ(~r ) = φ(~r ) +

G(~r, ~r 0 )U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0

(2.84)

kann (f¨ ur gen¨ ugend schwaches“ Potential U (~r 0 )) iterativ gel¨ost werden: ”   ψ0 (~r ) = φ(~r ) R ψn+1 (~r ) = φ(~r ) + G(~r, ~r 0 )U (~r 0 )ψn (~r 0 ) d3~r 0 | n = 0, 1, 2, . . .  n→∞ ψn −→ ψ Die sukzessiven Approximationen ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . sind also ψ0 = φ Z ψ1 = φ + Z ψ2 = φ +

GU φ d3~r 0 3

0

GU φ d ~r +

(2.85) Z

GU GU d3~r 0 d3~r 00

··· F¨ ur die Streuamplitude f erh¨alt man die n + 1-te Bornsche N¨aherung durch Ersetzen von ψ durch ψn : Z 1 ~ f ≈− e−kf ·~r U (~r )ψn (~r ) d3~r (2.86) 4π

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL

51

Insbesondere ergibt die erste Bornsche N¨aherung, die auch Bornsche N¨aherung“ ” schlechthin genannt wird: Z 1 ~ ~ f ≈ fB = − ei(k−kf )·~r U (~r ) d3~r (2.87) 4π und damit gilt 

dσ dΩ

 B

2 Z 2m i~ q ·~ r 3 = − 2 e V (~r ) d ~r h ¯ 4π

mit ~q = ~k − ~kf .

(2.88)

2.4.4 Partialwellenanalyse, Streuphasen Die f¨ ur das Streuproblem relevante L¨osung ψ der station¨aren Schr¨odingergleichung   h ¯2 − ∆ + V (r) ψ = Eψ(~r ) (E > 0) (2.89) 2m mit dem asymptotischen Verhalten (~k = k~ez ) r→∞

ψ(~r ) −→ eikz + f

~ r r


eikr r

(2.90)

wird in diesem Abschnitt als Superposition von Drehimpuls-Eigenvektoren dargestellt (Zerlegung in Partialwellen. Wichtige L¨osungsmethode). Es werden hier Potentiale V (r) betrachtet, die nur von r = |~r | abh¨angen (Sph¨arische Symmetrie). Deswegen kommutieren die Drehimpulsoperatoren mit dem Hamilton-Operator   h ¯2 H= − ∆ + V (r) . 2m ~ 2 , L3 } sind also miteinander vertr¨aglich, und es existiert Die Observablen {H, L ein vollst¨andiger Satz gemeinsamer Eigenvektoren dazu. Wir bezeichnen mit ψElm einen solchen Eigenvektor mit ~ 2 ψElm = l(l+1)ψElm , L

L3 ψElm = mψElm ,

HψElm = EψElm .

(2.91)

Die Wellenfunktionen ψElm haben die Form ψElm = Ylm (θ, φ) χl (r) und erf¨ ullen die Radialgleichung“ ”  2  d 2 d l(l+1) 2 + +k − − U (r) χl (r) = 0, dr2 r dr r2

(2.92)

(2.93)

52KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK wobei U (r) = 2m V (r). F¨ ur U (r) ≡ 0 ist die allgemeine L¨osung der Radialgleih2 ¯ chung eine Linearkombination von jl (kr) und nl (kr). Die Funktionen jl , nl sind definiert durch:  l d 1 jl (ρ) = (−ρ)l ρ1 dρ sin ρ sph¨ar. Besselfunktion ρ  l (2.94) d 1 nl (ρ) = −(−ρ)l ρ1 dρ cos ρ sph¨ar. Neumannfunktion ρ (±)

hl (ρ) = (±i) (jl (ρ) ± i nl (ρ))

sph¨ar. Hankelfunktion

Diese Funktionen haben folgendes Verhalten f¨ ur ρ → ∞ bzw. ρ → 0: jl (ρ)

ρ→∞

−→

1 ρ

sin(ρ − lπ/2)

jl (ρ)

ρ→0

−→ [(2l+1)!!]−1 ρl ρ→0

ρ→∞

nl (ρ) −→ − ρ1 cos(ρ − lπ/2) nl (ρ) −→ −(2l−1)!!ρ−(l+1) ρ→∞ (±) hl (ρ) −→ ρ1 e±i(ρ−lπ/2) (Dabei ist (2l + 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2l + 1).) Wenn das Potential U (r) f¨ ur r > a verschwindet, dann gilt χl (r) = (Al jl (kr) + Bl nl (kr))

| r > a.

(2.95)

χl (r) ist eine am Ursprung (d.h. f¨ ur r = 0) regul¨are L¨osung der Radialgleichung. Die Funktion χl ist bis auf einen konstanten Faktor durch die Forderung der Regularit¨at am Ursprung bestimmt. Die Koeffizienten Al , Bl k¨onnen bestimmt werden, wenn χl (r) und χ0l (r) f¨ ur r = a bekannt sind. Asymptotisches Verhalten von χl (r): r→∞

χl (r) −→

1 (Al sin(kr − lπ/2) − Bl cos(kr − lπ/2)) = kr  lπ r→∞ Cl sin kr − + δl χl (r) −→ |{z} kr 2

Cl sin(kr − lπ/2 + δl ) kr  (2.96)



Streuphase

Alternative Schreibweisen f¨ ur χl (r) | r > a:  i(kr−lπ/2) iδl  e e − e−i(kr−lπ/2) e−iδl r→∞ Cl χl (r) −→ kr 2i Also   2iδl Cl e−iδl − 1 ei(kr−lπ/2) − e−i(kr−lπ/2) i(kr−lπ/2) e χl (r) −→ e + kr 2i 2i −iδl
Cl e = sin(kr − lπ/2) + eiδl sin δl ei(kr−lπ/2) kr r→∞

und somit −iδl

χl (r) = Cl e



iδl

jl (kr) + e



(+) sin δl hl (kr)

.

(2.97)

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL

53

(Cl e−iδl ist eine uninteressante Konstante.) Zur Konstruktion der Wellenfunktion ψ mit dem gew¨ unschten asymptotischen Verhalten benutzt man folgenden Ansatz:   X (+) |r>a ψ= αlm Ylm (θ, φ) jl (kr) + eiδl sin δl hl (kr) (2.98) l,m

Aufgrund der wichtigen Relation ikz

e

=

∞ X

il (2l+1) jl (kr) Pl (cos θ)

(2.99)

l=0

(mit z = r cos θ) und der Gleichung r Yl0 =

2l + 1 Pl (cos θ) 4π

(2.100)

ist folgende Wahl naheliegend: r αlm = 0 | m 6= 0,

l

αl0 = i (2l+1)

4π 2l + 1

Somit erh¨alt man ∞   X (+) ψ= il (2l+1) Pl (cos θ) jl (kr) + eiδl sin δl hl (kr)

| r > a,

(2.101)

(2.102)

l=0

also r→∞

ikz

ψ −→ e

+

! ∞ 1X eikr iδl (2l+1)e sin δl Pl (cos θ) . k l=0 r

(2.103)

Daraus erh¨alt man f¨ ur die Streuamplitude ∞

f=

1X (2l+1)eiδl sin δl Pl (cos θ). k l=0

(2.104)

F¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt folgt hieraus: ∞ 2 X dσ 1 iδl = (2l+1)e sin δl Pl (cos θ) k dΩ l=0
∗ 1 X = 2 (2l+1)(2l0 +1) eiδl sin δl eiδl0 sin δl0 Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) (2.105) k l,l0 R dσ F¨ ur den totalen Wirkungsquerschnitt: σ = dΩ dΩ erh¨alt man unter Ausnutzung der Orthogonalit¨atsrelation s Z Z (4π)2 4π Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) dΩ = Yl0∗ (θ, φ) Yl0 0 (θ, φ) dΩ = δll0 0 (2l+1)(2l +1) 2l+1 (2.106)

54KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK den Ausdruck

∞ 2 4π X σ= 2 (2l + 1) eiδl sin δl . k l=0

(2.107)

Die Streuphasen sind reell, wie am Ende des Abschnitts bewiesen wird. Deswegen gilt |eiδl sin δl |2 = sin2 δl . Somit: ∞ 4π X σ= 2 (2l + 1) sin2 δl k l=0

(2.108)

Da die Streuphasen reell sind, gilt f¨ ur den Imagin¨arteil der Streuamplitude f (θ): ∞

Im (f (θ)) =

1X (2l + 1) sin2 δl Pl (cos θ) k l=0

(2.109)

Hieraus folgt (da Pl (cos θ) |θ=0 = Pl (1) = 1 gilt) σ=

4π Im (f (0)) k

(Optisches Theorem)

(2.110)

f (0) heißt Streuamplitude in Vorw¨artsrichtung (Vorw¨artsstreuamplitude). Physikalische Bedeutung des Optischen Theorems: In der Vorw¨artsrichtung wird die Intensit¨at der einfallenden Welle durch Interferenz mit der Streuwelle geschw¨acht (vgl. Skizzen Seite 48). Aber aufgrund der Kontinuit¨atsgleichung (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit) ist die Verminderung der Intensit¨at der einfallenden Welle gleich der insgesamt gestreuten Intensit¨at. F¨ ur die Berechnung der Streuphasen ist folgende Relation machmal n¨ utzlich: Z ∞ eiδl sin δl = −k jl (kr) U (r) χl (r) r2 dr (2.111) 0

Hierbei ist χl (r) die L¨osung der Radialgleichung mit asymptotischem Verhalten 1 χl (r) → kr sin(kr − lπ/2 + δl ). Beweis der obigen Relation: Aus Z 1 0 ~ f =− e−ikf ·~r U (r0 ) ψ(~r 0 ) d3~r 0 4π mit 0

ψ(~r ) =

∞ X

(2l + 1) il Pl (cos θ0 ) χl (r0 )

l=0 0

(wobei θ der Winkel zwischen ~ez und ~r 0 ist) folgt  Z Z ∞ X 2l+1 l ∞ −i~kf ·~ r0 0 f =− i e Pl (cos θ ) dΩ U (r0 ) χl (r0 ) r02 dr0 . 4π 0 l=0

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL

55

Aber aus X

eikr cos θ =

(2l + 1) il jl (kr) Pl (cos θ)

l

folgt mit Hilfe des Additionstheorems der Kugelfunktionen“ (2.51) ” X ~ ∗ il jl (kr) Ylm (Ω~k ) Ylm (Ω~r ). eik·~r = 4π l,m

Man erh¨alt dann aufgrund der Orthogonalit¨atsrelation der Kugelfunktionen (2.50) Z 0 ~ e−ikf ·~r Pl (cos θ0 ) dΩ~r0 = 4π(−i)l jl (kr0 ) Pl (cos θ) (θ = Winkel zwischen ~ez und ~kf ) und somit f =−

∞ X

Z

∞ 0

(2l+1)

0

0

02

jl (kr ) U (r ) χl (r ) r dr

0

 Pl (cos θ).

0

l=0

Der Vergleich mit der Relation (2.104) f=

1X (2l + 1) eiδl sin δl Pl (cos θ) k l

ergibt schließlich die zu beweisende Relation Z ∞ iδl e sin δl = −k jl (kr) U (r) χl (r) r2 dr

2

0

Beweis der Behauptung, daß die Streuphasen reell sind: Die Wellenfunktion ψElm (~r ) h2 ¯ = χl (r)Ylm (θ, φ) ist L¨osung der zeitunabh¨angigen Schr¨odingergleichung (− 2m ∆+ V )ψElm = EψElm . Also ist φ(~r, t) = e−iEt/¯h ψElm (~r ) station¨are L¨osung der zeitabh¨angigen Gleichung. Es gilt also die Kontinuit¨atsgleichung   ∂ h ¯ 2 ∗ ~ · ~ + k.k. . |φ(~r, t)| = −∇ φ ∇φ (2.112) ∂t 2mi Hieraus folgt, da |φ(~r, t)|2 zeitunabh¨angig ist, ~ · ( ¯h φ∗ ∇φ ~ + k.k.) = 0. ∇ 2mi Also ∗ ~ · ( 1 ψElm ~ Elm + k.k.) = 0. ∇ ∇ψ i

56KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK Unter Anwendung des Satzes von Gauß f¨ ur eine Kugel mit Radius R erh¨alt man hieraus:  Z Z    1 1 ∂ ∗ ∗ ~ Elm dF~ + k.k. = 0 = ψElm ∇ψ ψElm ψElm R2 dΩ + k.k. i |~r |=R i ∂r r=R dχl (r) 1 ∗ = χl (r) R2 + k.k. i dr r=R r→∞ 1 kr

Hieraus folgt, da χl (r) −→ 0

R→∞

≈

sin(kr − lπ/2 + δl ) gilt,

(sin(kR−lπ/2+δl ))∗ cos(kR−lπ/2+δl ) − (cos(kR−lπ/2+δl ))∗ sin(kR−lπ/2+δl ).

Also sin(δl∗ − δl ) = 0, d.h. δl∗ − δl = nπ (wobei n eine ganze Zahl ist). Daraus folgt aber δl∗ = δl , da (δl∗ − δl )∗ = −(δl∗ − δl ). 2 Nach obigem Beweis sind die Streuphasen reell aufgrund der Kontinuit¨atsgleichung. Das optische Theorem ist also auch eine Konsequenz der Kontinuit¨atsgleichung.

2.4.5 Streuresonanzen, Lebensdauer p Der Beitrag der Partialwelle mit Drehimpuls l(l + 1) zum totalen Wirkungsquerschnitt ist σl = 4π (2l+1) sin2 δl . Dieser Beitrag wird maximal, wenn sin δl = k2 ±1, d.h. δl = π/2+nπ. Wenn die Streuphase δl als Funktion der Energie (¯hk)2 /2m des einfallenden Teilchens an einer Stelle E = Er schnell“ durch den Wert ” π/2 + nπ geht, erscheint ein mehr oder weniger ausgepr¨agtes Maximum des totalen Wirkungsquerschnitts (vorausgesetzt, daß die Beitr¨age aller u ¨brigen Streuphasen vernachl¨assigbar sind). Im Fall eines solchen Maximums spricht man von einer Streuresonanz, vorausgesetzt, daß δl eine wachsende Funktion von E ist. An der Resonanzenergie Er ist ctg δl |E=Er = 0. Wenn also ctg δl (E) in der N¨ahe von Er nach Taylor entwickelt werden kann, gilt ctg δl (E) ≈ −

2(E − Er ) Γ

(Γ > 0).

(2.113)

Hieraus folgt iδl

e und


Γ sin δl tan δl 2 sin δl = = = cos δl − i sin δl 1 − i tan δl (Er −E) − i
Γ 2 4π 2 σl = 2 (2l + 1) k (Er − E)2 +


. Γ 2 2

Γ 2




(2.114)

(2.115)

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL σl

L

57

E Er Abbildung 2.4: Lorentz–Kurve

In der N¨ahe der Resonanz werden die auslaufenden Wellen um eine Zeit der Gr¨oßenordnung 2¯ h/Γ verz¨ogert“. Zur Bestimmung der Verz¨ogerungszeit (auch ” Verweilzeit genannt) betrachtet man den zeitlichen Verlauf der Bewegung von Wellenpaketen: Im asymptotischen Bereich (r → ∞) hat die Partialwelle ψElm die Form
A −i(kr−lπ/2) r→∞ ψElm (~r ) −→ Ylm e − e2iδl (E) ei(kr−lπ/2) (2.116) r mit E = (¯ hk)2 /2m (A ist eine Konstante). Durch Superposition erh¨alt man die Wellenfunktion Z ∞
i r→∞ ψ(~r, t) −→ |g(k)| Ylm e−i(kr−lπ/2) − e2iδl (E) ei(kr−lπ/2) e− h¯ Et dk. (2.117) 0

Diese Wellenfunktion besteht aus einem einlaufenden und einem auslaufenden Wellenpaket: ψein (~r, t), ψaus (~r, t) Z ∞  r→∞ −i(kr−lπ/2)−iEt/¯ h ψein (~r, t) −→ |g(k)| e dk Ylm (2.118) 0 Z ∞  r→∞ i(kr−lπ/2)−iEt/¯ h+2iδl (E) ψaus (~r, t) −→ |g(k)| e dk Ylm (2.119) 0

Nach der N¨aherung der station¨aren Phase3 ist ψein (bzw. ψaus ) wesentlich von Null verschieden, wenn     1 dE 1 dE d(δl ) dE r+ t = 0 bzw. r− t+2 = 0. h ¯ dk h ¯ dk dE dk N¨aherung aren Phase: Wenn g(k 0 ) scharf um den Wert k zentriert ist, dann ist R der 0station¨ i∆(k0 ,λ) das Integral |g(k )| e dk 0 wesentlich von Null verschieden nur f¨ ur solche Werte λ, f¨ ur die 3

58KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK l) Da ¯h1 dE = ¯hmk = v, kann 2¯ h d(δ interpretiert werden als die Verz¨ogerungszeit dk dE des auslaufenden Wellenpakets gegen¨ uber dem Wellenpaket, welches bei Abwesenheit des Streuzentrums (δl (E) ≡ 0) auslaufen w¨ urde. F¨ ur eine Resonanz ist die mittlere Verz¨ogerungszeit 2¯ h/Γ. Wenn man die Resonanz als einen instabilen Zustand auffaßt, der in der H¨alfte der Verz¨ogerungszeit aufgebaut wird und in der n¨achsten H¨alfte zerf¨allt, erh¨alt man als mittlere Lebensdauer dieses Zustands

τ =h ¯ /Γ.

gilt: 

 d 0 ∆(k , λ) =0 dk 0 k0 =k

(2.120)

Kapitel 3 Observable und Operatoren II (Allgemeine quantenmechanische Beschreibung)

3.1 Der mathematische Rahmen (Dirac-Formalismus) In diesem Abschnitt wird der mathematische Rahmen f¨ ur die quantenmechanische Beschreibung physikalischer Systeme definiert. Dieser Rahmen ist in zwei Hinsichten breiter als der im Abschnitt 1 gegebene. Die Beschr¨ankung auf Systeme mit einem Teilchen ohne innere Freiheitsgrade entf¨allt hier. Andererseits enth¨alt der betrachtete Vektorraum auch nicht-normierbare“ Vektoren; somit ” sind auch uneigentliche Eigenvektoren (kontinuierliches Spektrum) Elemente des Raums.

3.1.1 Vektoren und Operatoren Der Raum der Ket–Vektoren. F¨ ur die quantenmechanische Beschreibung eines physikalischen Systems benutzt man einen Vektorraum u ¨ber den komplexen Zahlen. Die Elemente des Vektorraums werden Ket-Vektoren (oder Kets“) genannt ” und mit Symbolen |ai, |bi, . . ., |1i, |2i, . . . bezeichnet. Addition von Ket-Vektoren und Multiplikation mit komplexen Zahlen: |ai + |bi,

λ|ai (λ ∈ C)

Linearkombinationen: λ1 |ai + λ2 |bi Auch unendliche Linearkombinationen“ sind zugelassen: ” ∞ X λµ |µi µ=1

59

60

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

und sogar Integration u ¨ ber kontinuierliche Indices“: ” Z ∞ λξ |ξi dξ −∞

Die bei der Definition der unendlichen Summen und Integrale auftretenden mathematischen Fragen (Konvergenz) werden hier nicht er¨ortert. Der Vektor Null (den man von der komplexen Zahl Null unterscheiden muß) wird auch mit 0 bezeichnet. Der Raum der Bra–Vektoren. Es ist bekannt (Lineare Algebra), daß jedem Vektorraum E ein dualer Raum E ∗ zugeordnet wird. Der duale Raum E ∗ ist die Menge aller Linearformen auf E (d.h. die Menge aller linearen Abbildungen χ von E in die komplexen Zahlen C), versehen mit den u ¨blichen Operationen der Addition von Abbildungen und Multiplikation mit komplexen Zahlen.   χ(|ui) ∈ C f¨ ur jedes |ui ∈ E Linearform χ: χ(λ1 |u1 i + λ2 |u2 i) = λ1 χ(|u1 i) + λ2 χ(|u2 i) Addition von Linearformen und Multiplikation mit komplexen Zahlen:   χ1 + χ2 (bzw. λχ)         ist die durch   (χ1 + χ2 )(|ui) = χ1 (|ui) + χ2 (|ui)     bzw. (λχ)(|ui) = λχ(|ui)       definierte Linearform. Der zum Raum der Ket-Vektoren duale Raum wird Raum der Bra-Vektoren genannt und seine Elemente χ, nach Dirac, mit hχ| bezeichnet. In der Dirac’schen Bezeichnungsweise wird hχ|ui statt χ(|ui) geschrieben. Ein Bra-Vektor hΦ| ist Null, wenn hΦ|ui f¨ ur alle |ui aus E gilt. Zur Einf¨ uhrung eines inneren Produkts wird im folgenden angenommen, daß eine eindeutige antilineare Abbildung g des Raums der Ket-Vektoren auf den Raum der Bra-Vektoren ausgezeichnet ist. Der einem Ket-Vektor |ui zugeordnete BraVektor wird mit hu| bezeichnet: g

|ui =⇒ hu| g |vi = λ1 |1i + λ2 |2i =⇒ hv| = λ∗1 h1| + λ∗2 h2| Rξ Rξ g |wi = ξ12 λξ |ξi dξ =⇒ hw| = ξ12 λ∗ξ hξ| dξ

(3.1)

Die durch die Abbildung g (bzw. durch ihre Umkehrung) einander zugeordneten Vektoren |ui und hu| werden zueinander adjugiert genannt. Bemerkung: F¨ ur endlich-dimensionale R¨aume kann die Existenz einer solchen Abbildung g leicht bewiesen werden. F¨ ur unendlich-dimensionale R¨aume treten

3.1. DER MATHEMATISCHE RAHMEN (DIRAC-FORMALISMUS)

61

einige mathematische Komplikationen auf, deren Behandlung außerhalb des Rahmens dieser Vorlesung liegt. Deswegen werden im folgenden die damit zusammenh¨angenden mathematischen Probleme u ¨bergangen. Inneres Produkt (Skalarprodukt) der Ket-Vektoren |ui und |vi ist die komplexe Zahl hu|vi, wobei hu| den durch die Abbildung g dem Ket |ui zugeordneten Bra bezeichnet. Aus der Definition folgt, daß das innere Produkt hu|vi linear bez¨ uglich |vi und antilinear bez¨ uglich |ui ist (Letzteres ist eine Folge der Antilinearit¨at der Abbildung g). Folgende Eigenschaften des inneren Produkts werden postuliert: 1.  2.

hv|ui = hu|vi∗ f¨ ur alle |ui, |vi  hu|ui ≥ 0 f¨ ur alle |ui hu|ui = 0 genau dann, wenn |ui = 0

(3.2)

(Diese Eigenschaften k¨onnen als postulierte Eigenschaften der Abbildung g angesehen werden.) Aus obigen Eigenschaften und der Linearit¨at folgt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (vgl. Kap.1 (1.4)): |hu|vi|2 ≤ hu|ui · hv|vi (3.3) Die Norm eines Vektors |ui ist definiert durch: p k|uik = hu|ui

(3.4)

Man sagt, daß zwei Vektoren |ui, |vi zueinander orthogonal sind (notiert |ui ⊥ |vi), wenn hu|vi = 0. Man sagt, daß zwei Unterr¨aume1 E1 , E2 zueinder orthogonal sind (notiert E1 ⊥ E2 ), wenn hx|yi = 0 f¨ ur jeden Vektor |xi aus E1 und jeden Vektor |yi aus E2 gilt. Wenn E1 ein Unterraum ist, dann nennt man orthogonales Komplement von E1 (bezeichnet E1⊥ ) die Menge aller Vektoren, die orthogonal auf allen Vektoren von E1 sind. Es ist leicht zu zeigen, daß das orthogonale Komplement E1⊥ auch ein Unterraum ist. Es gilt ferner der folgende Satz: Sei E1 ein Unterraum. F¨ ur jeden Ket-Vektor |ui gibt es genau eine Zerlegung: |ui = |u1 i + |u⊥ 1i

(3.5)

⊥ mit |u1 i aus E1 und |u⊥ 1 i aus E1 .

Lineare Operatoren sind lineare Abbildungen des Raums der Ket-Vektoren in sich. Der dem Ket-Vektor |ui durch den Operator A zugeordnete Ket-Vektor wird A|ui bezeichnet. Addition: (A + B)|ui = A|ui + B|ui 1

Eine nichtleere Menge E von Vektoren eines Vektorraums E heißt Unterraum von E, wenn f¨ ur jedes Paar |xi, |yi von Vektoren aus E auch die Vektoren |xi + |yi und λ|yi f¨ ur alle komplexen Zahlen λ in E enthalten sind.

62

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

Multiplikation: (A ◦ B)|ui = A(B|ui) Einsoperator I oder 1: I|ui = |ui Inverser Operator: B = A−1 bedeutet AB = BA = 1. c–Zahl–Operator λI oder λ ist die Abbildung |ui ⇒ λ|ui, wobei λ eine komplexe Zahl bezeichnet. Wenn zu P und Q inverse Operatoren P −1 und Q−1 existieren, dann existiert ein inverser Operator von P Q, und zwar (P Q)−1 = Q−1 P −1 . Anwendung eines Operators auf Bra–Vektoren: Sei A ein Operator. Zu jedem Bra-Vektor hx| definiert man den Bra-Vektor hy| = hx|A durch die Bedingung hy|ui = hx| (A|ui).

(3.6)

Obige Bedingung definiert genau einen Bra-Vektor hy|, da die Abbildung |ui ⇒ hx| (A|ui) eine Linearform ist. Es ist aus der Definition leicht festzustellen, daß die Abbildung hx| ⇒ hx|A linear ist. Da nach der Definition von hx|A die Gleichung (hx|A) |ui = hx| (A|ui)

(3.7)

gilt, kann die vereinfachte Schreibweise hx|A|ui f¨ ur (hx|A) |ui und hx| (A|ui) benutzt werden. Aus der Definition der Anwendung von Operatoren auf BraVektoren erh¨alt man schließlich auch die Relationen hx| (A + B) = hx|A + hx|B hx| (A ◦ B) = (hx|A) B hx|λI = λhx| f¨ ur jedes λ ∈ C.

(3.8) (3.9) (3.10)

Ket–Bra–Operatoren. Besonders n¨ utzlich sind die Operatoren |aihb| (auch KetBra-Operatoren genannt), die definiert werden durch die Relation (|aihb|) |xi = |ai (hb|xi)

(3.11)

(Ket |ai multipliziert mit der komplexen Zahl hb|xi). Aus den Definitionen folgt hy| (|aihb|) = hy|aihb|

(3.12)

(Bra hb| multipliziert mit der komplexen Zahl hy|ai). Statt (|aihb|) |xi oder |ai (hb|xi) schreibt man einfach |aihb|xi. Hermitesche Adjunktion. Sei A ein linearer Operator. Man definiert den hermitesch adjungierten Operator A† durch die Relation: A† |xi = |ui,

wenn hu| = hx|A

(3.13)

3.1. DER MATHEMATISCHE RAHMEN (DIRAC-FORMALISMUS)

63

Obige Relation definiert die Abbildung A† eindeutig, und es ist leicht festzustellen, daß die so definierte Abbilding A† linear ist. Aus der Definition erh¨alt man leicht die Beziehungen 1. (A + B)† = A† + B † 2. (λI)† = λ∗ I (λ ∈ C) 3. (AB)† = B † A† (3.14) † 4. (|aihb|) = |biha| 5. (A† )† = A. Wenn komplexe Zahlen, Bra-Vektoren, Ket-Vektoren und Operatoren in jeweils geeigneter Reihenfolge aneinander geschrieben werden, entstehen Ausdr¨ ucke, die ihrerseits komplexe Zahlen, Bra-Vektoren, Ket-Vektoren oder Operatoren darstellen. z.B. hd|ai hb|A|ci ist eine komplexe Zahl λhd|ai hb|A ist ein Bra-Vektor B † |ai hb|ci ist ein Ket-Vektor AB|ai hb| ist ein Operator. ¨ Der Ubergang zur entsprechenden konjugierten komplexen Zahl, zum adjungierten Vektor oder zum adjungierten Operator erfolgt durch folgende Vorschrift, die aus den Definitionen abgeleitet wird: 1. Alle im Ausdruck auftretenden komplexen Zahlen (bzw. Vektoren oder Operatoren) sind durch die konjugiert komplexe Zahl (bzw. den adjungierten Vektor oder den adjungierten Operator) zu ersetzen. 2. Die Reihenfolge der Faktoren“ des Ausdrucks ist umzukehren, z.B. ” hd|ai hb|A|ci =⇒ hc|A† |bi ha|di λhd|ai hb|A =⇒ A† |bi ha|diλ∗ B † |ai hb|ci =⇒ hc|bi ha|B AB|ai hb| =⇒ |bi ha|B † A† Definition: Ein Operator A heißt hermitesch oder selbstadjungiert, wenn A = A† . Projektionsoperatoren: Sei S ein Unterraum von E. F¨ ur jeden Vektor |ui aus E gibt es, wie bereits erw¨ahnt, genau eine Zerlegung |ui = |uS i + |u⊥ Si

⊥ mit |uS i ∈ S und |u⊥ Si ∈ S .

Man definiert die Abbildung PS (von E in E) durch die Gleichung PS |ui = |uS i.

(3.15)

PS ist eine lineare Abbildung, wie man leicht feststellen kann, und wird orthogonaler Projektionsoperator auf den Unterraum S (oder kurz Projektionsoperator

64

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

auf S oder Projektor auf S) genannt. Man sagt auch, daß PS auf S projiziert. Aus der Definition folgt, daß ein Vektor |xi aus E genau dann ein Element des Unterraums S ist, wenn PS |xi = |xi gilt. Satz: Jeder Projektionsoperator PS hat die charakteristischen Eigenschaften PS2 = PS ,

PS† = PS .

(3.16)

Beweis: 1. PS2 |ui = PS |uS i = |uS i = PS |ui. Also ist PS2 = PS . 2. F¨ ur |vi = |vS i + |vS⊥ i gilt: hv|PS |ui = hv|uS i = hvS |uS i (denn hvS⊥ |uS i = 0) = hvS |ui (denn hvS |u⊥ S i = 0) Also hv|PS = hvS |, und daraus folgt PS† |vi = |vS i, d.h. PS† = PS .

2

Es kann auch umgekehrt gezeigt werden, daß es f¨ ur jeden Operator P mit den 2 † Eigenschaften P = P und P = P genau einen Unterraum von E gibt, so daß P der Projektionsoperator auf diesen Unterraum ist. Also ist jeder Operator mit P 2 = P und P † = P ein Projektionsoperator. Bemerkung: F¨ ur endlich-dimensionale R¨aume u ¨ber den rellen Zahlen haben Projektionsoperatoren anschauliche Bedeutung: sie projizieren orthogonal auf den Unterraum S. 6

 P PP PP

*   PP P

 PP PP P S  PPP    P P P    PPP  PP  q P PP

Abbildung 3.1: Orthogonale Projektion auf S Beispiele f¨ ur Projektionsoperatoren: 1. P = |aiha| wenn ha|ai = 1 Pν 2. P = n=1 |nihn| wenn hn|n0 i = δnn0 Rξ 3. P = ξ12 |ξi dξ hξ| wenn hξ|ξ 0 i = δ(ξ −ξ 0 )

3.1. DER MATHEMATISCHE RAHMEN (DIRAC-FORMALISMUS)

65

Eigenwertproblem. Sei A ein Operator. Eine komplexe Zahl ξ heißt Eigenwert von A, wenn es einen Ket-Vektor |ai gibt mit |ai 6= 0 und A|ai = ξ|ai. Ein solcher Vektor heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert ξ. Wenn ξ ein Eigenwert von A ist, dann nennt man Eigenraum von A zum Eigenwert ξ die Menge aller Vektoren |ai mit A|ai = ξ|ai. Es ist leicht nachzuweisen, daß der Eigenraum zu irgendeinem Eigenwert ein Unterraum des Vektorraumes ist. (Der Eigenraum enth¨alt alle Eigenvektoren zum Eigenwert ξ und ferner den Null-Vektor). F¨ ur hermitesche Operatoren A sind alle Eigenwerte reell. Denn aus A|ai = ξ|ai folgt ha|A|ai = ξha|ai, und durch Konjugation erh¨alt man ha|A† |ai = ξ ∗ ha|ai. Da aber A = A† gilt, muß also ξ ∗ ha|ai = ξha|ai sein. Dies bedeutet f¨ ur |ai 6= 0, daß ξ = ξ ∗ ist. F¨ ur jeden hermiteschen Operator A gilt ferner: Wenn A|1i = ξ1 |1i und A|2i = ξ2 |2i ist, dann gilt h1|2i = 0, falls ξ1 6= ξ2 . Obige Behauptung ist trivial, wenn |2i = 0. Wenn |2i 6= 0, dann ist ξ2 Eigenwert von A, also reell; also folgt durch ¨ Ubergang zum adjungierten Vektor aus A|2i = ξ2 |2i die Relation h2|A = ξ2 h2| und hieraus h2|A|1i = ξ2 h2|1i. Andererseits folgt aus A|1i = ξ1 |1i auch h2|A|1i = ξ1 h2|1i, es gilt also 0 = (ξ2 − ξ1 ) h2|1i. Somit ist h2|1i = 0, wenn ξ2 6= ξ1 . Ein Eigenwertproblem kann auch f¨ ur Bra-Vektoren formuliert werden: ha|A = ξha|. F¨ ur hermitesche Operatoren ist diese Relation aber ¨aquivalent zu A|ai = ξ|ai.

3.1.2 Spektralzerlegung ManPbezeichnet eine endliche oder unendliche (oder sogar kontinuierliche“) Sum” me n Pn von Projektionsoperatoren als Zerlegung der Einheit, wenn folgendes gilt:   P n Pn = 1 (3.17) Pn Pn0 = 0 f¨ ur n 6= n0 Sei A ein Operator. F¨ ur jedes ξ aus dem Spektrum SpA von A sei Pξ der Projektionsoperator auf den Eigenraum P zum Eigenwert ξ. Man sagt, daß A eine Spektralzerlegung besitzt, wenn ξ aus SpA Pξ eine Zerlegung der Einheit ist, und wenn X A= ξPξ (3.18) ξ aus SpA

gilt. Man nennt dann die rechte Seite dieser Gleichung die Spektralzerlegung des Operators A. In endlich-dimensionalen Vektorr¨aumen besitzt jeder hermitesche Operator eine Spektralzerlegung. F¨ ur unendlich-dimensionale R¨aume trifft das nicht f¨ ur alle

66

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

hermiteschen Operatoren zu. In der Quantenmechanik werden nur solche hermiteschen Operatoren, die eine Spektralzerlegung besitzen, physikalischen Observablen zugeordnet. Deswegen werden in der Literatur (z.B. Dirac, Messiah) nur hermitesche Operatoren, die eine Spektralzerlegung besitzen, Observable“ ” genannt. Da wir im folgenden die Existenz2 einer Spektralzerlegung nicht im einzelnen nachpr¨ ufen, werden wir uns darauf verlassen m¨ ussen, daß in den meisten f¨ ur die Quantenmechanik relevanten F¨allen folgende Aussage gilt: Jeder hermitesche Operator besitzt eine Spektralzerlegung. Bemerkungen: 1. Aus der Eigenschaft aller hermitescher Operatoren, daß Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind, folgt Pξ Pξ0 = 0 f¨ ur ξ 6= ξ 0 . 2. Ein Eigenwert ξ eines Operators A heißt nicht-entartet, wenn der zugeh¨orige Eigenraum eindimensional ist, andernfalls heißt er entartet. Wenn {|ξ, νi : ν = 1, 2, . . . nξ } eine orthonormierte Basis des Eigenraums zum Eigenwert ξ ist (hξ, ν |ξ, ν 0 i = δνν 0 ), dann l¨aßt sich der Projektionsoperator Pξ auf diesen Eigenraum in der Form Pξ =

nξ X

|ξ, νihξ, ν|

(3.19)

ν=1

darstellen. Wenn ξ nicht entartet ist, dann ist nξ = 1. Bei entsprechender Bezeichnung f¨ ur orthonormierte Basen in den Eigenr¨ P aumen von allen Eigenwerten ξ von A nimmt die Zerlegung der Einheit 1 = ξ aus SpA Pξ die Form 1=

X

|ξ, νihξ, ν|

(3.20)

ξ aus SpA ν=1,...nξ

an. Bemerkungen: P 1. Mit Hilfe der Spektralzerlegung A = ξPξ erreicht man eine einfache Definition f¨ ur Funktionen von Operatoren: X f (A) = f (ξ)Pξ (3.21) 2

Voraussetzung f¨ ur eine pr¨ azise Formulierung der Bedingung f¨ ur die Existenz einer Spektralzerlegung ist eine sorgf¨ altige Definition des adjungierten Operators unter Ber¨ ucksichtigung des Definitionsbereichs der Operatoren. Viele f¨ ur die Quantenmechanik wichtige Operatoren sind n¨amlich nur in einem Unterraum des Hilbertraums definiert.

3.1. DER MATHEMATISCHE RAHMEN (DIRAC-FORMALISMUS)

67

2. Der Satz u ¨ber die Existenz einer orthonormierten Basis von gemeinsamen Eigenvektoren f¨ ur kommutierende hermitesche Operatoren kann mit Hilfe der Spektralzerlegung eleganter formuliert und durchsichtiger bewiesen werden. F¨ ur den Beweis ben¨otigt man den folgenden P Hilfssatz: Sei A ein Operator mit der Spektralzerlegung A = ξ aus SpA ξPξ . Ein Operator B kommutiert mit A (d.h. BA = AB) dann und nur dann, wenn BPξ = Pξ B f¨ ur jedes ξ aus dem Spektrum von A. Beweis: 1. Wenn BPξ = Pξ B f¨ ur jedes ξ aus SpA gilt, dann gilt auch ! ! X X B ξPξ = ξPξ B, ξ aus SpA

ξ aus SpA

d.h. BA = AB. 2. Wegen derP Relation {Pξ Pξ0 = 0 | ξ 6= ξ 0 } erh¨alt man aus der Spektralzerlegung A = ξ aus SpA ξPξ die Relation APξ = Pξ A = ξPξ

f¨ ur jedes ξ aus SpA .

Also folgt aus AB = BA durch Multiplikation mit Pξ von links und Pξ0 von rechts: ξPξ BPξ0 = ξ 0 Pξ BPξ0 , d.h. Pξ BPξ0 = 0

f¨ ur ξ 6= ξ 0 .

P Unter Verwendung der Zerlegung der Einheit 1 = ξ aus SpA Pξ erh¨alt man hieraus     X X BPξ =  Pξ0  BPξ = Pξ BPξ = Pξ B  Pξ0  = Pξ B. 2 ξ 0 aus SpA

ξ 0 aus SpA

Erl¨auterung: Die Relation BPξ = Pξ B bedeutet, daß alle Vektoren des Unterraums, auf den Pξ projiziert, auf Vektoren des gleichen Unterraums durch B abgebildet werden. P (A) Satz: Seien A, B Operatoren mit Spektralzerlegungen A = ξ aus SpA ξPξ , B = P (B) η aus SpB ηPη , und es gelte ferner AB = BA. Dann gelten die Relationen (A)

Pη(B) Pξ

(A)

= Pξ Pη(B)

f¨ ur jedes ξ aus SpA und jedes η aus SpB ,

(3.22)

68

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

und dann ist X

(B,A)

(B,A)

Pη,ξ

mit Pη,ξ

(A)

= Pη(B) Pξ

η aus SpB ξ aus SpA (B,A)

eine Zerlegung der Einheit. Der Operator Pη,ξ ist der Projektionsoperator auf den Unterraum, der die Vektoren |xi mit A|xi = ξ|xi und B|xi = η|xi enth¨alt. Es gelten X X (B,A) (B,A) A= ξPη,ξ , B= ηPη,ξ . (3.23) η aus SpB ξ aus SpA

η aus SpB ξ aus SpA

Beweis: Durch zweimalige Anwendung des Hilfssatzes erh¨alt man zun¨achst, daß (A) (A) (B) (A) (A) (B) BPξ = Pξ B, und daraus, daß Pη Pξ = Pξ Pη (f¨ ur alle ξ aus SpA und (B,A)

(B)

alle η aus SpB ). F¨ ur die Operatoren Pη,ξ (B,A)

(B,A)

(B)

(A)

= Pη Pξ

(A)

(A)

folgt hieraus

(B)

(A)

(A)

= Pη0 Pξ0 Pη(B) Pξ = Pη0 Pη(B) Pξ0 Pξ 
 (A) (B,A) = δηη0 Pη(B) δξξ0 Pξ = δηη0 δξξ0 Pη,ξ

Pη0 ,ξ0 Pη,ξ

sowie  (A)

(B,A)

Pη,ξ

†

(B)

 † (A) (A) (A) (B,A) = Pη(B) Pξ = Pξ Pη(B) = Pη(B) Pξ = Pη,ξ (B,A)

(Denn Pξ

und Pη

sind hermitesch.) Also sind die Pη,ξ

und es gilt

(B,A) (B,A) Pη,ξ Pη0 ,ξ0

0

Projektionsoperatoren

0

= 0 f¨ ur (η, ξ) 6= (η , ξ ).

Andererseits gilt ! X

(B,A) Pη,ξ

=

X

Pη(B)

η aus SpB

η aus SpB ξ aus SpA

! X

(A) Pξ

= 1 · 1 = 1.

ξ aus SpA

Also ist dies eine Zerlegung der Einheit. Es gilt ferner ! X

(B,A)

ξPη,ξ

η aus SpB ξ aus SpA

=

X η aus SpB

Pη(B)

! X

(A)

ξPξ

= 1 · A = A.

ξ aus SpA

(Analog f¨ ur B.) (B,A)

Ein Vektor |xi ist Element des Unterraums Sηξ , auf den Pη,ξ dann, wenn

(B,A) Pη,ξ |xi

= |xi gilt. Aber die Relation

(B,A) {Pη,ξ |xi

projiziert, genau

= |xi} ist ¨aquiva-

3.1. DER MATHEMATISCHE RAHMEN (DIRAC-FORMALISMUS) (B)

69

(A)

lent3 zu der Relation {Pη |xi = |xi und Pξ |xi = |xi}. Letzteres bedeutet aber, (B,A)

daß B|xi = η|xi und A|xi = ξ|xi. Also projiziert Pη,ξ auf den Unterraum aller Vektoren |xi mit B|xi = η|xi und A|xi = ξ|xi. 2 P Erl¨auterung: Sei νn=1 eine Zerlegung der Einheit und f¨ ur n = 1, 2, . . . ν bezeichne En den Unterraum, auf den Pn projiziert. Aus der Definition der Zerlegung der Einheit folgt, daß die Unterr¨aume En paarweise orthogonal sind. Ferner kann jeder Vektor |xi aus E eindeutig in der Form |xi = |x1 i + |x2 i + . . . + |xν i mit |xn i aus En zerlegt werden, und zwar gilt |xn i = Pn |xi f¨ ur n = 1, 2, . . . ν. In einem solchen Fall sagt man, daß E direkte Summe der Unterr¨aume E1 , . . . Eν ist und bezeichnet E = E1 ⊕ E2 ⊕ . . . En . Wenn ein Operator A eine Spektralzerlegung besitzt, dann ist der Raum E direkte Summe der Eigenr¨aume von A. Wenn ein Operator B mit A kommutiert, dann bildet B jeden der Eigenr¨aume in sich ab. Beim Beweis des Satzes wird jeder der Eigenr¨aume von A weiter zerlegt, so daß innerhalb jedes einzelnen Eigenraums von A eine Spektralzerlegung der Beschr¨ankung von B auf jeden Eigenraum konstruiert wird.

3.1.3 Transformationstheorie (Theorie der Darstellungen von Vektoren und Operatoren) Orthonormierte Basen. Neben den orthonormierten Basen {|ni : n = 1, 2, . . .} mit hn|n0 i = δnn0 , die mit einem diskreten Index indiziert werden, betrachtet man in der Transformationstheorie zweckm¨aßigerweise auch Basen mit mehreren Indices, die diskret oder kontinuierlich oder sogar gemischt sind. Beispiele: 1. {|ki | − ∞ < k < +∞} mit hk|k 0 i = δ(k−k 0 ) 2. {|k1 , k2 , k3 i | − ∞ < kj < +∞} mit hk1 , k2 , k3 |k10 , k20 , k30 i = δ(k1 −k10 ) δ(k2 −k20 ) δ(k3 −k30 )   0 ≤ E < +∞   3. |E, l, mi l = 0, 1, 2, . . .  m = −l, −l+1, . . . l  mit hE, l, m|E 0 , l0 , m0 i = δ(E −E 0 ) δll0 δmm0 3

(B)

Aus {Pη

(A)

|xi = |xi und Pξ

(B,A)

|xi = |xi} folgt Pη,ξ (B)

Umgekehrt, aufgrund der Relationen Pη

(B,A)

(B,A)



(A)

Pξ

(A)

 (B) |xi = Pη |xi = |xi.

(B,A)

(B,A)

= Pη,ξ und Pξ Pη,ξ = Pη,ξ folgen   (B,A) (B) (B) (B,A) (B,A) aus {Pη,ξ |xi = |xi} die Relationen Pη |xi = Pη Pη,ξ |xi = Pη,ξ |xi = |xi und (A)

Pξ

|xi = |xi.

Pη,ξ

(B)

|xi = Pη

70

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II   4. |Ei  mit

E = 1 , 2 , . . . n < 0 sowie f¨ ur 0 ≤ E < +∞  0  hE|E i = δ(E −E 0 ) hE|E 0 i = 0  hE|E 0 i = δEE 0

   f¨ ur E, E 0 ≥ 0 f¨ ur E < 0, E 0 ≥ 0 f¨ ur E, E 0 < 0

Im Beispiel 4 ist der Index E zum Teil diskret und zum Teil kontinuierlich. Ein solcher Fall tritt z.B. auf, wenn man Eigenvektoren eines hermiteschen Operators mit teils diskretem, teils kontinuierlichem Spektrum mit Hilfe der Eigenwerte indiziert. Um Komplikationen der Schreibweise zu vermeiden, werden die Formeln in der Regel nur f¨ ur Basen mit einem diskreten Index angegeben. Der diskrete Index steht stellvertretend f¨ ur alle Indices, und das Summationszeichen bedeutet Summation (bzw. Integration) u ¨ber alle Indices. Darstellung von Vektoren und Operatoren. PSei {|ni : n = 1, 2, . . .} eine ortho4 0 normierte Basis (hn|n i = δnn0 ). Dann ist P n |nihn| eine Zerlegung der Einheit . Mit Hilfe dieser Zerlegung der Einheit 1 = n |nihn| kann man eine Darstellung von Operatoren und Vektoren durch Matrizen erhalten: P F¨ ur einen beliebigen Vektor |zi gilt |zi = n |nihn|zi. Der Vektor |zi ist eindeutig bestimmt durch die Vorgabe des Satzes von Zahlen {hn|zi : n = 1, 2, . . .}. Dieser Satz von Zahlen kann auch als Spaltenvektor   h1|zi  h2|zi    .. . aufgefaßt werden. P F¨ ur jeden Operator A gilt A = m,n |mihm|A|nihn|. Der Operator A ist eindeutig bestimmt durch die Vorgabe des Satzes von Zahlen {hm|A|ni : m, n = 1, 2, . . .}. Dieser Satz von Zahlen kann auch als Matrix aufgefaßt werden:   h1|A|1i h1|A|2i h1|A|3i . . . ..   .   h2|A|1i h2|A|2i  ..  ...  h3|A|1i .  ... ... ... ... Bei vorgegebener Basis {|ni : n = 1, 2, . . .} hat man also eine Zuordnung zwischen Operatoren und Matrizen einerseits und zwischen Ket-Vektoren und 4

P Um diePOperatorengleichung 1 = ugt es zu zeigen, daß der n |nihn| zu beweisen, gen¨ Operator P ( n |nihn|) jedenP Basisvektor |mi unge¨ a ndert l¨ a ßt. Dies kann aber leicht festgestellt P werden: ( n |nihn|) |mi = n |nihn|mi = n |niδnm = |mi.

3.1. DER MATHEMATISCHE RAHMEN (DIRAC-FORMALISMUS)

71

Spaltenvektoren andererseits. Operatorenaddition und -multiplikation entsprechen Matrixaddition und -multiplikation: hm| (A + B) |ni = hm|A|ni + hm|B|ni ! X hm| A ◦ B |ni = hm|A |kihk| B|ni

(3.24)

k

=

X

hm|A|kihk|B|ni

(3.25)

k

Die Anwendung eines Operators auf einen Ket-Vektor entspricht der Multiplikation der Matrix mit dem Spaltenvektor: A|zi = |yi

⇐⇒

X

hn|A|mihm|zi = hn|yi

(3.26)

m

Bemerkungen: 1. Jeder Bra-Vektor hy| kann durch Angabe der Zahlen {hy|ni : n = 1, 2, . . .} P bestimmt werden, da hy| = n hy|nihn| gilt. Der Satz {hy|ni : n = 1, 2, . . .} kann als Zeilenvektor aufgefaßt werden. Damit entspricht dem inneren Produkt hy|zi die Matrixmultiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor:   h1|zi X   hy|zi = hy|nihn|zi = (hy|1i, hy|2i, . . .)  h2|zi  (3.27) . . n . 2. Da die Zahlen hm|A|ni in der Matrixdarstellung des Operators A auftreten, bezeichnet man allgemein f¨ ur beliebige Vektoren |yi, |zi die Zahl hy|A|zi als Matrixelement des Operators A zwischen y und z. F¨ ur jede orthonormierte Basis {|ni : n = 1, 2, . . .} hat man eine Darstellung von Operatoren und Matrizen. Es ist u ¨blich von der {Q}-Darstellung zu sprechen, wenn die Basisvektoren {|ni : n = 1, 2, . . .} Eigenvektoren des hermiteschen Operators (bzw. des Satzes von vertauschbaren hermiteschen Operatoren) Q sind. In der {Q}-Darstellung ist die Matrix des Operators Q diagonal, d.h. hn|Q|mi = 0 f¨ ur m 6= n, denn Q|mi = qm |mi (qm = Eigenwert), also hn|Q|mi = qm hn|mi = qm δnm . ¨ Anderung der Darstellung. Seien {|an i : n = 1, 2, . . .}, {bn : n = 1, 2, . . .} zwei verschiedene orthonormierte Basen (Die Zeichen a, b werden benutzt, um die Basen zu unterscheiden). Die zwei Darstellungen von Vektoren {han |zi : n =

72

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

1, 2, . . .} und {hbn |zi : n = 1, 2, . . .} bzw. von Operatoren {han |A|am i : n, m = 1, 2, . . .} und {hbn |A|bm i : n, m = 1, 2, . . .} sind miteinander verkn¨ upft durch X X han |zi = han |bk ihbk |zi = Tnk hbk |zi (3.28) k

han |A|am i =

X

k

han |bk ihbk |A|bk0 ihbk0 |am i =

k,k0

X

∗ Tnk hbk |A|bk0 iTmk 0 (3.29)

k,k0

mit der Transformationsmatrix Tnk = han |bk i

| n, k = 1, 2, . . .

(3.30)

3.2 Quantenmechanische Beschreibung physikalischer Systeme 3.2.1 Zusta¨nde, Observable, Messungen F¨ ur die Beschreibung physikalischer Systeme werden folgende Grundvorschriften benutzt: 1. Ein physikalisches System wird mit Hilfe eines Vektorraums E beschrieben. Jeder Zustand eines solchen Systems zu einem gegebenen Zeitpunkt wird durch einen Ket-Vektor |ψi (Zustandsvektor) aus dem Vektorraum E charakterisiert. 2. Jeder physikalischen Observablen A wird ein hermitescher Operator A im Vektorraum E zugeordnet5 . 3. Bei jeder Messung der Observablen A sind die Eigenwerte des Operators A die einzig m¨oglichen Meßwerte. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß sich bei einer Messung der Observablen A an einem sich im Zustand |ψi befindenden System6 der Meßwert ξ ergibt, ist: W (ξ) =

hψ|Pξ2 |ψi kPξ |ψik2 = k|ψik2 hψ|ψi

(3.31)

Hierbei bezeichnet Pξ den Projektionsoperator auf den Eigenraum des Operators A zum Eigenwert ξ. Nach einer Messung mit dem Meßresultat ξ befindet sich das System in dem Zustand Pξ |ξi ( Reduktion des Wellenpakets“). ” 5

Der Einfachheit halber wird das gleiche Symbol A zur Bezeichnung sowohl der physikalischen Observablen als auch des zugeordneten Operators verwendet. 6 Der Ausdruck Das System ist im Zustand |ψi“ bedeutet: Das System ist in dem durch ” den Vektor |ψi charakterisierten Zustand.

3.2. BESCHREIBUNG PHYSIKALISCHER SYSTEME

73

Bemerkungen und Erl¨auterungen: Im Zusammenhang mit Vorschrift 1 stellt sich die Frage, ob auch umgekehrt jedem Ket-Vektor |ψi aus E ein Zustand des Systems entspricht. Da der Raum der Ket-Vektoren auch nicht normierbare Vektoren |ψi (mit hψ|ψi = ∞) enth¨alt, gibt es offenbar die (triviale) Einschr¨ankung, daß nur Ket-Vektoren |ψi mit hψ|ψi < ∞ physikalische Zust¨ande darstellen k¨onnen. Die nicht normierbaren Vektoren sind nur aus Gr¨ unden der mathematischen Zweckm¨aßigkeit im Vektorraum E enthalten. Ein weitergehendes Problem ist, ob allen normierbaren Vektoren |ψi physikalische Zust¨ande (d.h. physikalisch realisierbare Zust¨ande) entsprechen. Damit verkn¨ upft ist die Frage nach dem G¨ ultigkeitsbereich des Superpositionsprinzips: Wenn |ψ1 i und |ψ2 i physikalischen Zust¨anden entsprechen und λ1 , λ2 komplexe Zahlen sind, dann entspricht λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i einem physikalischen Zustand, wenn λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i = 6 0 ist. Die G¨ ultigkeit des Superpositionsprinzips wird durch sogenannte Superauswahlregeln eingeschr¨ankt. Eine Superauswahlregel besagt, daß f¨ ur bestimmte Paare von Zustandsvektoren |ψ1 i, |ψ2 i kein Vektor der Form λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i mit λ1 6= 0, λ2 6= 0 einem physikalischen Zustand entspricht. Das einfachste Beispiel einer Superauswahlregel ist die (−1)F -Superauswahlregel. Diese schließt Linearkombinationen von Zustandsvektoren |ψ1 i, |ψ2 i aus, wenn |ψ1 i Eigenvektor zu einem halbzahligen Eigenwert des Drehimpulsoperators Jz oder Linearkombination solcher Eigenvektoren ist, w¨ahrend |ψ2 i Eigenvektor zum ganzzahligen Eigenwert von Jz oder Linearkombination solcher Eigenvektoren ist. Diese Superauswahlregel folgt aus Invarianzforderungen (vgl. das Kapitel u ¨ber Symmetrien und Invarianzen). Weitere Superauswahlregeln, deren G¨ ultigkeit aufgrund umfangreicher experimenteller Evidenz als Erfahrungstatsache angenommen wird, sind die Superauswahlregeln der elektrischen Ladung und die der Baryonenladung. Diese schließen Linearkombinationen von |ψ1 i, |ψ2 i aus, wenn den Vektoren |ψ1 i, |ψ2 i Zust¨ande mit verschiedener elektrischer Ladung oder Baryonenladung7 entsprechen. Man nimmt an, daß die einzigen Einschr¨ankungen der G¨ ultigkeit des Superpositionsprinzips die von Superauswahlregeln bedingten sind. In Zusammenhang mit Vorschrift 2 stellt sich die analoge Frage, ob alle hermiteschen Operatoren physikalischen Observablen entsprechen. Aus der vorangehenden Diskussion folgt, daß einige hermitesche Operatoren keiner Observablen entsprechen k¨onnen. Wenn z.B. der Vektor |ψi = λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i aufgrund von Superauswahlregeln keinem physikalischen Zustand entspricht, w¨ahrend |ψ1 i und |ψ2 i physikalischen Zust¨anden entsprechen, dann kann der Projektionsoperator 7

Baryonenladung (oder Baryonenzahl): Additive Gr¨oße, die f¨ ur Atome gleich der Atommassenzahl A ist, f¨ ur Protonen und Neutronen den Wert 1 hat, w¨ahrend sie f¨ ur Mesonen, Elektronen und Photonen den Wert 0 hat.

74

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

|ψihψ| keiner Observablen entsprechen8 . Eine weitere Einschr¨ankung, die sich aus den Grundvorschriften selbst ergibt, ist, daß die Operatoren A, die Observable darstellen, eine Spektralzerlegung besitzen m¨ ussen. Dies ist notwendig, um die Zahl W (ξ) = hψ|Pξ |ψi/hψ|ψiPals Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Meßergebnis ξ zu interpretieren. Denn es muß ur alle |ψi ξ aus SpA W (ξ) = 1 gelten, und das ist f¨ P nur dann m¨oglich, wenn ξ aus SpA Pξ eine Zerlegung der Einheit ist. F¨ ur die Beschreibung eines Systems, welches aus einem Teilchen ohne innere Freiheitsgrade besteht, wurde in Kapitel 3 ein viel detaillierterer Satz von Vorschriften angegeben. Insbesondere wurde vorgeschrieben, welche Operatoren den Observablen zugeordnet werden, und ferner wurde die Bewegungsgleichung (zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung) angegeben. Im Gegensatz dazu wurde in diesem Abschnitt nur der allgemeine Rahmen der Beschreibung gegeben. Welche Operatoren den Observablen eines Systems entsprechen sollen, ist ein nichttriviales Problem, welches bei der Anwendung der Quantenmechanik auf ein konkretes physikali¨ sches System gel¨ost werden muß. Uberhaupt kann die Frage, welche Observable ein System besitzt, nur empirisch beantwortet werden. Es gibt Observable (z.B. den Spin), die keiner klassischen Observablen entsprechen. Die Existenz solcher Freiheitsgrade wurde aufgrund von Experimenten festgestellt. Es k¨onnen also nur in den einzelnen F¨allen Vorschriften f¨ ur die Zuordnung von Operatoren zu Observablen gegeben werden. Schließlich ist f¨ ur die Festlegung der Bewegungsgleichung die Angabe des Hamiltonoperators notwendig. Dies kann aber nicht mit allgemeinen Vorschriften erfolgen. In sehr vielen F¨allen sind die Wechselwirkungen der betrachteten Teilchen nicht genau bekannt. Man ist dann darauf angewiesen, Ans¨atze f¨ ur den Hamiltonoperator zu machen, und sie durch Vergleich der gewonnenen Vorhersagen mit dem Experiment zu testen.

3.2.2 Bewegungsgleichung Zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines Systems wird folgende Vorschrift benutzt: ¨ 4. Die zeitliche Anderung des Zustands eines Systems ist durch die Schr¨odingergleichung d i¯ h |ψ(t)i = H |ψ(t)i (3.32) dt f¨ ur den Zustandsvektor |ψ(t)i bestimmt. Hierbei bezeichnet H einen f¨ ur das System charakteristischen hermiteschen Operator, der Hamilton-Operator genannt wird. 8

Denn nach einer Messung der Observablen |ψihψ| an einem System im Zustand |ψ1 i (oder |ψ2 i) w¨ urde aufgrund der Reduktion des Wellenpakets der Zustand |ψi entstehen k¨onnen.

3.2. BESCHREIBUNG PHYSIKALISCHER SYSTEME

75

Bemerkungen: 1. Der Hamilton-Operator entspricht der Observablen Energie. F¨ ur einfache Systeme, die ein klassisches Analogon besitzen, kann der Hamilton-Operator aus Korrespondenzbetrachtungen gewonnen werden: Man ersetzt in der Hamilton-Funktion H(p1 , . . . pn , q1 , . . . qn ) die (klassischen) Observablen p1 , . . . qn durch die entsprechenden Operatoren. Dieses Verfahren ist aber bei komplizierteren Hamilton-Funktionen nicht eindeutig durchf¨ uhrbar. 2. Der Hamilton-Operator kann im allgemeinen Fall zeitabh¨angig sein. F¨ ur eine besonders wichtige Klasse von Systemen (konservative Systeme) ist der Hamilton-Operator zeitunabh¨angig. Formale L¨osung der Schr¨odingergleichung: Wenn {|ψ1 (t)i : −∞ < t < +∞} und {|ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} L¨osungen der Schr¨odingergleichung und λ1 , λ2 komplexe Zahlen sind, dann ist {|ψ(t)i = λ1 |ψ1 (t)i + λ2 |ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} auch L¨osung der Schr¨odingergleichung (Linearit¨at). Ferner ist hψ1 (t)|ψ2 (t)i zeitunabh¨angig, denn aus der Schr¨odingergleichung ergibt sich durch Adjunktion (−i¯ h)

d hψ1 (t)| = hψ1 (t)| H dt

(3.33)

und damit erh¨alt man    d d hψ1 (t)| |ψ2 (t)i + hψ1 (t)| |ψ2 (t)i dt dt 1 1 = hψ1 (t)|H|ψ2 (t)i + hψ1 (t)|H|ψ2 (t)i, (−i¯ h) i¯ h

d hψ1 (t)|ψ2 (t)i = dt

also



d hψ1 (t)|ψ2 (t)i = 0. dt

(3.34)

Zu jedem Zeitpunkt t0 und jedem Zustandsvektor |ai gibt es genau eine L¨osung9 {|ψ(t)i : −∞ < t < +∞} der Schr¨odingergleichung mit |ψ(t0 )i = |ai. Man kann also bei jedem gegebenen Paar t1 , t0 von Zeitpunkten jedem Vektor |xi eindeutig den Vektor U (t1 , t0 ) |xi = |ψ(t1 )i zuordnen, wobei {|ψ(t)i : −∞ < t < +∞} die eindeutig bestimmte L¨osung der Schr¨odingergleichung mit der Anfangsbedingung |ψ(t0 )i = |ψ0 i ist. Somit ist f¨ ur jedes Paar (t1 , t0 ) die Abbildung U (t1 , t0 ) definiert. 9

Es wird hier kein mathematischer Beweis der Existenz einer L¨osung gegeben. Die Eindeutigkeit der L¨ osung kann aber leicht gezeigt werden: Wenn {|ψ1 (t)i : −∞ < t < +∞}, {|ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} L¨ osungen der Schr¨odingergleichung mit |ψ1 (t0 )i = |ψ2 (t0 )i = |xi sind, dann ist {|φ(t)i = |ψ1 (t)i − |ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} L¨osung der Schr¨odingergleichung mit |φ(t0 )i = 0. Daraus folgt, da hφ(t)|φ(t)i zeitunabh¨angig ist, hφ(t)|φ(t)i = hφ(t0 )|φ(t0 )i = 0 f¨ ur alle t, also |ψ1 (t)i − |ψ2 (t)i = 0 f¨ ur alle t.

76

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

Offenbar ist nach dieser Definition {|ψ(t)i : −∞ < t < +∞} genau dann eine L¨osung der Schr¨odingergleichung, wenn |ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i f¨ ur alle t

(3.35)

gilt. Aus der Definition von U folgen die Relationen U (t1 , t1 ) = 1 U (t1 , t2 ) U (t2 , t3 ) = U (t1 , t3 )

(3.36) (3.37)

f¨ ur alle t1 , t2 , t3 . Insbesondere folgt U (t1 , t2 ) U (t2 , t1 ) = 1 = U (t2 , t1 ) U (t1 , t2 ), d.h. U (t2 , t1 ) = (U (t1 , t2 ))−1 .

(3.38)

Aus der Definition folgt, daß die Abbildung U (t1 , t2 ) linear ist, da jede Linearkombination von L¨osungen der Schr¨odingergleichung auch eine L¨osung ist. F¨ ur jedes Paar {|ψ1 (t)i : −∞ < t < +∞}, {|ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} von L¨osungen der Schr¨odingergleichung ist hψ1 (t)|ψ2 (t)i zeitunabh¨angig; daraus folgt, daß hx1 |U † (t, t0 ) U (t, t0 )|x2 i = hx1 |x2 i f¨ ur alle |x1 i, |x2 i gilt. Dies bedeutet U † (t, t0 ) U (t, t0 ) = 1.

(3.39)

Durch Multiplikation von rechts mit U (t0 , t) = (U (t, t0 ))−1 erh¨alt man daraus U † (t, t0 ) = (U (t, t0 ))−1 ,

(3.40)

U † (t, t0 ) U (t, t0 ) = U (t, t0 ) U † (t, t0 ) = 1.

(3.41)

d.h. Der Operator U (t, t0 ) ist also unit¨ar. Aus der Definition von U und der Schr¨odingergleichung folgt i¯ h dtd U (t, t0 )|xi = H(t) U (t, t0 ) |xi f¨ ur jeden Vektor |xi. Daraus folgt i¯ h

d U (t, t0 ) = H(t) U (t, t0 ). dt

(3.42)

Diese Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung U (t0 , t0 ) = 1 ist ¨aquivalent zur Integralgleichung Z i t U (t, t0 ) = 1 − H(τ ) U (τ, t0 ) dτ. (3.43) h ¯ t0 Die formale L¨osung10 dieser Integralgleichung ist U (t, t0 ) =

∞ X

Un (t, t0 )

(3.44)

n=0 10

Diese L¨ osung der Integralgleichung wird durch sukzessive Approximation gewonnen: Die nullte“ N¨ aherung U (t, t0 ) ≈ U0 (t, t0 ) = 1 in die rechte Seite der Integralgleichung eingesetzt ”

3.2. BESCHREIBUNG PHYSIKALISCHER SYSTEME

77

mit   

 Un+1 (t, t0 ) = U0 (t, t0 )

i − h ¯

Z

t

H(τ ) Un (τ, t0 ) dτ | n = 0, 1, 2, . . .

 

t0

= 1

(3.45)



Im wichtigen Spezialfall eines zeitunabh¨angigen Hamilton-Operators H hat die formale L¨osung die einfache Form i

U (t, t0 ) = e− h¯ (t−t0 ) H .

(3.46)

Zum Beweis dieser Relation bestimmt man Un (t, t0 ) induktiv:  U1 (t, t0 ) = 

i − h ¯



i − h ¯

2

Z

t

H

 1 dτ =

t0 2

Z

i − h ¯



t

H (τ − t0 ) dτ = U2 (t, t0 ) = t0 ...  n i (t − t0 )n Un (t, t0 ) = − Hn . h ¯ n!

H (t − t0 ) 

i − h ¯

2

H2

(t − t0 )2 2!

Daraus folgt: n ∞  n X i i n (t − t0 ) U (t, t0 ) = − H = e− h¯ H (t−t0 ) . h ¯ n! n=0 Andererseits kann direkt gezeigt werden, daß e−iH(t−t0 )/¯h die Anfangsbedingung und die Differentialgleichung f¨ ur U erf¨ ullt. Bemerkung: F¨ ur zeitunabh¨angiges H h¨angt U (t, t0 ) nur von der Differenz (t − t0 ) ab: i U (t, t0 ) = e− h¯ H (t−t0 ) = U (t−t0 , 0) (3.47)

ergibt als n¨ achste N¨ aherung U (t, t0 ) ≈ 1 −

i h ¯

Z

t

H(τ ) U0 (τ, t0 ) dτ = U0 (t, t0 ) + U1 (t, t0 ). t0

PN Allgemein: Wenn die N¨ aherung der Ordnung N ist: U (t, t0 ) ≈ n=0 Un (t, t0 ) in die rechte Seite der Integralgleichung eingesetzt ergibt als N¨aherung der Ordnung N + 1: ! Z N N +1 X X i t U (t, t0 ) ≈ 1 − H(τ ) Un (τ, t) dτ = Un (t, t0 ) h t0 ¯ n=0 n=0

78

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

Konstanten der Bewegung. Eine Observable A, deren zugeordneter Operator A zeitunabh¨angig ist, heißt Konstante der Bewegung, wenn [A, H(t)] = 0 f¨ ur alle t gilt. Satz: Eine Observable A ist genau dann eine Konstante der Bewegung, wenn der zugeordnete Operator A zeitunabh¨angig ist, und wenn U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) = A

f¨ ur alle t gilt.

(3.48)

Zum Beweis dieser Behauptung benutzt man die Differentialgleichung f¨ ur U und die daraus durch hermitesche Adjunktion entstehende Differentialgleichung f¨ ur U† d − i¯ h U † (t, t0 ) = U † (t, t0 ) H(t). (3.49) dt Man erh¨alt:
d U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) dt     d † d † U AU + U A U = dt dt   i † i = U (t, t0 ) H(t) A U (t, t0 ) + − U † (t, t0 ) A H(t) U (t, t0 ) h ¯ h ¯ i = − U † (t, t0 ) [A, H(t)] U (t, t0 ) h ¯ Wenn also A eine Konstante der Bewegung ist, dann gilt
d U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) = 0 dt

f¨ ur alle t,

also ist U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) = U † (t0 , t0 ) A U (t0 , t0 ) = A

f¨ ur alle t.

Umgekehrt: Wenn U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) = A

f¨ ur alle t

gilt, dann folgt daraus i − U † [A, H(t)] U = 0 h ¯ und daraus [A, H(t)] = U U † [A, H(t)]U U † = 0.

2

Bemerkung: Wegen der Relation U † U = U U † = 1 sind die Gleichungen U † A U = A, A U = U A, U † A = A U † ¨aquivalent. Die Konstanten der Bewegung sind durch folgende Eigenschaften ausgezeichnet:

3.2. BESCHREIBUNG PHYSIKALISCHER SYSTEME

79

1. Der Erwartungswert hψ(t)|A|ψ(t)i/hψ(t)|ψ(t)i einer Konstanten der Bewegung ist zeitunabh¨angig. Es gilt n¨amlich hψ(t)|A|ψ(t)i hψ(t0 )| U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) |ψ(t0 )i hψ(t0 )|A|ψ(t0 )i = = . hψ(t)|ψ(t)i hψ(t0 )|ψ(t0 )i hψ(t0 )|ψ(t0 )i (3.50) 2. Wenn der Zustandsvektor |ψ(t0 )i, der den Zustand des Systems zum Zeitpunkt t0 charakterisiert, ein Eigenvektor von A zum Eigenwert ξ ist, und wenn A eine Konstante der Bewegung ist, dann ist zu jedem Zeitpunkt t der Zustandsvektor |ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i auch ein Eigenvektor von A zum gleichen Eigenwert ξ. Es gilt n¨amlich A|ψ(t)i = A U (t, t0 ) |ψ(t0 )i = U (t, t0 ) A|ψ(t0 )i = ξ U (t, t0 ) |ψ(t0 )i = ξ|ψ(t)i. (3.51) 3. Wenn H zeitunabh¨angig ist und A eine Konstante der Bewegung ist, dann gibt es einen vollst¨andigen orthonormierten Satz von gemeinsamen Eigenvektoren von A und H (A und die Energie sind kompatible Observable). Bemerkung: Wenn H zeitunabh¨angig ist, dann ist H selbst eine Konstante der Bewegung.

3.2.3 Bilder der zeitlichen Entwicklung Die oben angegebene Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines Systems wird Schr¨odinger-Bild genannt. Es gibt aber weitere ¨aquivalente Beschreibungen (Bilder) der zeitlichen Entwicklung: Zu jedem Zeitpunkt t sei T (t) ein unit¨arer Operator, und f¨ ur jeden Vektor |xi und Operator O bezeichnen wir mit |xiT bzw. OT den Vektor |xiT = T † (t)|xi bzw. den Operator OT = T † (t)O T (t). Wir erhalten eine ¨aquivalente Beschreibung des Systems, wenn wir jeden Zustandsvektor |xi durch |xiT und jede Observable O durch OT ersetzen. Denn alle Erwartungswerte bleiben bei dieser Transformation unge¨andert: T hx|O T |xiT T hx|xiT

=

hx|T T † OT T † |xi hx|O|xi = , † hx|T T |xi hx|xi

(3.52)

weil T T † = T † T = 1 gilt. Das Heisenberg–Bild der zeitlichen Entwicklung erh¨alt man, wenn man T (t) = U (t, t0 ) w¨ahlt. Wir benutzen Indices S und H, um die Zustandsvektoren und Observablen im Schr¨odinger-Bild von den Entsprechungen im Heisenberg-Bild zu unterscheiden: |xiH = U † (t, t0 ) |xiS OH = U † (t, t0 ) OS U (t, t0 )

(3.53) (3.54)

80

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

F¨ ur die zeitliche Entwicklung der Zustandsvektoren gilt im Heisenberg-Bild: |ψ(t)iH = U † (t, t0 ) |ψ(t)iS = U † (t, t0 ) U (t, t0 ) |ψ(t0 )iS = |ψ(t0 )iS , d.h. |ψ(t)iH = |ψ(t0 )iS .

(3.55)

Die Zustandsvektoren sind also zeitunabh¨angig im Heisenberg-Bild. Daf¨ ur sind die Operatoren zeitabh¨angig. Es gilt:     d d † d † OH = U (t, t0 ) OS U (t, t0 ) + U (t, t0 ) OS U (t, t0 ) dt dt dt dOS U (t, t0 ) + U † (t, t0 ) dt i † i = U (t, t0 ) HS (t) OS U (t, t0 ) − U † (t, t0 ) OS HS (t) U (t, t0 ) h ¯ h ¯ dO S U (t, t0 ) + U † (t, t0 ) dt Mit den Bezeichnungen ∂OH dOS = U † (t, t0 ) U (t, t0 ) ∂t dt HH = U † (t, t0 ) HS (t) U (t, t0 )

(3.56) (3.57)

(HH ist zeitabh¨angig, wenn HS zeitabh¨angig ist) erh¨alt man dann11 i¯ h

d ∂OH OH = [OH , HH ] + i¯ h . dt ∂t

(3.58)

Durch eine andere Wahl von T (t) gewinnt man andere Bilder der zeitlichen Entwicklung. Ein f¨ ur die Anwendungen (zeitabh¨angige St¨orungsrechnung) besonders n¨ utzliches Bild ist das sogenannte Wechselwirkungsbild. Dies erh¨alt man durch die Wahl i T = e− h¯ H0 (t−t0 ) , (3.59) wobei H0 zeitunabh¨angig ist und H = H0 + V . F¨ ur die Operatoren OW im Wechselwirkungsbild gilt i

i

OW = e+ h¯ H0 (t−t0 ) OS e− h¯ H0 (t−t0 ) .

(3.60)

F¨ ur die Zustandsvektoren i

|ψ(t)iW = e+ h¯ H0 (t−t0 ) |ψ(t)iS 11

(3.61)

Durch den Term (∂OH /∂t) wird die sogenannte explizite Zeitabh¨angigkeit der Observablen, d.h. derjenige Anteil der Zeitabh¨ angigkeit, der von der Zeitabh¨angigkeit im Schr¨odinger-Bild (dOS /dt) herr¨ uhrt, ber¨ ucksichtigt.

3.2. BESCHREIBUNG PHYSIKALISCHER SYSTEME

81

andererseits gilt die Bewegungsgleichung i¯ h

d |ψ(t)iW = VW |ψ(t)iW . dt

(3.62)

Denn: i¯ h

i d i H0 (t−t0 ) e h¯ |ψ(t)iS = e h¯ H0 (t−t0 ) (−H0 + H) |ψ(t)iS dt i i = e h¯ H0 (t−t0 ) V e− h¯ H0 (t−t0 ) |ψ(t)iW = VW |ψ(t)iW

3.2.4 Quantenstatistik Die Spur Sp(A) (oder Tr(A)) eines Operators A ist definiert durch Sp(A) =

X

haν |A|aν i,

(3.63)

ν

wobei {|aν i} eine orthonormierte Basis bezeichnet. Diese Definition ist von der Wahl der orthonormierten Basis {|aν i} unabh¨angig. Denn wenn {|bκ i} eine andere orthonormierte Basis bezeichnet, dann gilt X

haν |A|aν i =

ν

X

haν |A|bκ ihbκ |aν i

ν,κ

=

X ν,κ

hbκ |aν ihaν |A|bκ i =

X

hbκ |A|bκ i

(3.64)

κ

P P (da κ |bκ ihbκ | = 1 = ν |aν ihaν | jeweils Zerlegungen der Einheit sind). Folgende Identit¨aten k¨onnen leicht nachgewiesen werden: Sp(A + λB) = Sp(A) + λSp(B) f¨ ur jedes λ ∈ C Sp(AB) = Sp(BA) (zyklische Invarianz) † ∗ Sp(A ) = Sp(A)

(3.65) (3.66) (3.67)

(Vorsicht! SpA = Spektrum von A; Sp(A) = Spur von A) Der statistische Operator (Dichtematrix). Aufgrund der Grundvorschriften 1,2,3 (Seite 72) ist der Erwartungswert < A > jeder Observablen A, wenn das System sich in einem durch den Zustandsvektor |ψi charakterisierten Zustand befindet,

82

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

gegeben12 durch =

hψ|A|ψi . hψ|ψi

(3.68)

Sei {|ψm i : m = 1, 2, . . .} ein Satz normierter (aber nicht notwendig zueinander orthogonaler) Zustandsvektoren. Wenn bekannt ist, daß sich das physikalische System in einem der Zust¨ande {|ψm i} befindet und daß P die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß es sich im Zustand |ψm i befindet, pm ist ( m pm = 1), dann ist der Erwartungswert einer Observablen A gegeben durch X = (3.69) pm hψm |A|ψm i. m

Der statistische Operator (oder Dichtematrix 13 ) ρ wird definiert durch X ρ= pm |ψm ihψm |.

(3.70)

m

Mit Hilfe des statistischen Operators l¨aßt sich der Erwartungswert < A > in der kompakten Form < A > = Sp(ρA) = Sp(Aρ) (3.71) schreiben. Denn Sp(ρA) =

X

=

X

haν |ρA|aν i =

ν

X

haν |ψm ihψm |A|aν ipm

ν,m

hψm |A|aν ihaν |ψm ipm =

ν,m

X

hψm |A|ψm ipm .

m

Es gilt ferner Sp(ρ) = 1.

(3.72)

Denn Sp(ρ) =

X

haν |ρ|aν i =

ν

=

X

X

haν |ψm ihψm |aν ipm

ν,m

hψm |aν ihaν |ψm ipm =

ν,m

X

hψm |ψm ipm .

m

12

P Der Erwartungswert < A > ist definiert durch die Gleichung < A > = ξ ξWξ , wobei ξ alle m¨ oglichen Meßwerte von A durchl¨auft und Wξ die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Meßwert ξ bezeichnet. Nach Vorschrift 3 sind die einzig m¨oglichen Meßwerte der Observablen A die 2 2 Elemente des P Spektrums SpA von A und es gilt Wξ = kPξ |ψik /k|ψik = hψ|Pξ |ψi/hψ|ψi, wobei A = ξ aus SpA ξPξ die Spektralzerlegung von A ist. Daraus erh¨alt man =

X ξ aus SpA

13

ξWξ =

X ξ aus SpA

ξhψ|Pξ |ψi hψ|A|ψi = . hψ|ψi hψ|ψi

ρ ist ein Operator und nicht eine Matrix. Aus historischen Gr¨ unden wird er aber oft Dichtematrix“ genannt. ”

3.2. BESCHREIBUNG PHYSIKALISCHER SYSTEME

83

P P Aber nach Voraussetzung ist hψm |ψm i = 1 und m pm = 1, also m hψm |ψm ipm = 1. Auch wenn das System sich mit Sicherheit in einem Zustand |ψi befindet, kann der statistische Operator ρ = |ψihψ| (hψ|ψi = 1 vorausgesetzt) zur Bestimmung von Erwartungswerten benutzt werden. Reiner Zustand und Gemisch. Bei der experimentellen Untersuchung atomarer Systeme liegt meistens eine Gesamtheit (Ensemble) gleicher Systeme vor. (Im Stern-Gerlach-Experiment z.B. wird ein Strahl, der aus einer großen Anzahl von Silberatomen besteht, untersucht.) Wenn sich alle Systeme der Gesamtheit im gleichen Zustand befinden, dann sagt man, daß ein reiner Zustand vorliegt. Andernfalls spricht man von einem Gemisch. F¨ ur die Beschreibung eines Systems aus einem Gemisch wird die Dichtematrix benutzt: Wenn sich Nm Systeme der Gesamtheit im Zustand |ψm i befinden (f¨ ur m = 1, 2, . . . M ), dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein aus der Gesamtheit zuf¨allig herausgegriffenes System im Zustand |ψm i befindet, pm = Nm /N , wobei N = N1 +N2 +. . . NM die gesamte Anzahl von Systemen der Gesamtheit bezeichnet. Zur Beschreibung eines zuf¨allig aus der Gesamtheit herausgegriffenen Systems (und folglich auch P zur Beschreibung der vorliegenden Gesamtheit) wird die Dichtematrix ρ = M m=1 pm |ψm ihψm | benutzt. (Hierbei wurde hψm |ψm i = 1 vorausgesetzt.) Wenn zwei Gesamtheiten die gleiche Dichtematrix zugeordnet wird, dann sind sie ununterscheidbar, da die Erwartungswerte aller Observablen f¨ ur beide Systeme identisch sind. Beispiel: Seien |χ1 i, |χ2 i zwei Zustandsvektoren mit hχj |χk i = δjk . Dann ist eine Gesamtheit aus N/2 Systemen im Zustand |χ1 i und N/2 Systemen im Zustand |χ2 i nicht von einer Gesamtheit aus N/2 Systemen im Zustand |ψ1 i = cos φ|χ1 i + sin φ|χ2 i und N/2 Systemen im Zustand |ψ2 i = − sin φ|χ1 i + cos φ|χ2 i (φ reell) unterscheidbar, denn 1 1 1 1 |ψ1 ihψ1 | + |ψ2 ihψ2 | = |χ1 ihχ1 | + |χ2 ihχ2 |. 2 2 2 2 Formale P Eigenschaften der Dichtematrix: Aus der Definition der Dichtematrix P ρ = m pm |ψm ihψm | (die pm sind reelle Zahlen mit 0 ≤ pm ≤ 1 und m pm = 1) folgen die Eigenschaften ρ = ρ† (3.73) und 0 ≤ ha|ρ|ai ≤ ha|ai

f¨ ur jeden Ket |ai.

(3.74)

Beweis: 1. ρ† =

P p∗m |ψm ihψm | = m pm |ψm ihψm | = ρ wegen p∗m = pm . P P 2. ha|ρ|ai = m pm ha|ψm ihψm |ai = m pm |ha|ψm i|2 . Da pm ≥ 0 gilt, folgt hieraus ha|ρ|ai gilt wegen |ha|ψm i|2 ≤ ha|aihψm |ψm i = P ≥ 0. Andererseits P ha|ai auch m pm |ha|ψm i|2 ≤ m pm ha|ai = ha|ai. 2 P

m

84

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

Bemerkung: Aus (3.74) folgt, daß jeder Eigenwert λ von ρ notwendig im Intervall 0 ≤ λ ≤ 1 liegen muß. Unter Benutzung der Spektralzerlegung von ρ folgt daraus die Relation ha|ρ2 |ai ≤ ha|ρ|ai f¨ ur jeden Ket |ai. (3.75) Ein formales Kriterium zur Unterscheidung zwischen reinen Zust¨anden und Gemischen liefert der folgende Satz: Ein reiner Zustand liegt genau dann vor, wenn die Dichtematrix ein Projektionsoperator ist. Beweis: 1. Bei einem reinen Zustand mit Zustandsvektor |ψi (hψ|ψi = 1) ist die Dichtematrix ρ = |ψihψ| ein Projektionsoperator. 2. Sei ρ ein Projektionsoperator. Wenn {|ψm i : m = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis des Unterraums P V ist, auf den ρ projiziert, dann gilt ρ = P m |ψm ihψm |. Da aber Sp(ρ) = m Sp(|ψm ihψm |) und Sp(|ψm ihψm |) = 1 gilt14 , muß der Unterraum V eindimensional sein, denn 1 = Sp(ρ) = dim V . Also ρ = |ψ1 ihψ1 |, d.h. ρ ist die Dichtematrix f¨ ur einen reinen Zustand |ψ1 i. 2 Zeitliche Entwicklung der Dichtematrix im Schr¨odingerbild. Im Schr¨odingerbild ist die zeitliche Entwicklung von Zustandsvektoren gegeben durch |ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i (bzw. |ψ(t)i = e−iH(t−t0 )/¯h |ψ(t0 )i, wenn H zeitunabh¨angig ist). Hieraus folgt die zeitliche Entwicklung der Dichtematrix: X X ρ(t) = pm |ψm (t)ihψm (t)| = pm U (t, t0 ) |ψm (t0 )ihψm (t0 )| U † (t, t0 ) m

Also: ρ(t) = U (t, t0 ) ρ(t0 ) U † (t, t0 )

(3.76)

bzw. (wenn H zeitunabh¨angig ist): i

i

ρ(t) = e− h¯ H(t−t0 ) ρ(t0 ) e h¯ H(t−t0 )

(3.77)

Gibbs–Ensemble. F¨ ur die Beschreibung eines Systems im thermischen Gleichgewicht mit absoluter Temperatur T wird in der statistischen Mechanik15 folgende Dichtematrix benutzt: H (3.78) ρ = C e− kT 14 15

P P Es gilt allgemein Sp(|xihy|) = ν haν |xihy|aν i = ν hy|aν ihaν |xi = hy|xi. vgl. Vorlesung Thermodynamik und Statistik“ ”

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME

85

mit dem Normierungsfaktor C = 1/Sp(e−H/kT ). (k ist die Boltzmann-Konstante mit dem Zahlenwert k = 8.6 · 10−5 eV/K). Die durch diese Dichtematrix beschriebene Gesamtheit wird Gibbs-Ensemble genannt. Dichtematrix nach einer Messung. Die Dichtematrix f¨ ur ein System vor einer Messung der Observablen A sei ρI . Wenn die Messung das Resultat ξ ergibt und Pξ den Projektionsoperator auf den entsprechenden Eigenraum bezeichnet, dann wird das System nach der Messung durch die Dichtematrix ρII = C Pξ ρI Pξ

(3.79)

mit C = 1/Sp(Pξ ρI Pξ ) beschrieben. Die Begr¨ undung dieser Vorschrift aus den Grundvorschriften ist umst¨andlich. Wir begn¨ ugen uns daher hier mit der Bemerkung, daß diese Vorschrift mit Vorschrift 3 (Seite 72) identisch ist, wenn ρI einem reinen Zustand entspricht.

3.3 Anwendung auf spezielle Systeme In den folgenden Abschnitten soll die Konstruktion des Raumes der Ket-Vektoren und die Bestimmung der den Observablen zugeordneten Operatoren f¨ ur einige wichtige Klassen physikalischer Systeme ausgef¨ uhrt werden.

3.3.1 Systeme, die ein klassisches Analogon besitzen F¨ ur die quantenmechanische Beschreibung eines Systems, das ein klassisches Analogon mit f Freiheitsgraden besitzt, benutzt man folgende Vorschrift: Den Koordinaten q1 , . . . qf und den kanonischen Impulsen p1 , . . . pf des klassischen Analogons entsprechen Observable des Systems, denen hermitesche Operatoren16 q˜1 , . . . q˜f , p˜1 , . . . p˜f zugeordnet werden, die die kanonischen Vertauschungsrelationen [˜ qj , q˜k ] = 0, [˜ pj , p˜k ] = 0,

[˜ qj , p˜k ] = i¯ hδjk

| j, k = 1, . . . f

(3.80)

erf¨ ullen. Weiteren dynamischen Variablen (z.B. Energie) des klassischen Analogons, die als reelle Funktionen f (q1 , . . . pf ) der reellen Variablen q1 , . . . pf dargestellt werden k¨onnen, ordnet man Observable des Systems zu, deren Operator jeweils als eine entsprechende Funktion f˜(˜ q1 , . . . p˜f ) der Operatoren q˜1 , . . . p˜f dargestellt wird. Man kann nicht beliebige Funktionen f eines Satzes A1 , . . . An hermitescher Operatoren allgemein definieren. Dies ist aber eine akademische Schwierigkeit, da f¨ ur die wichtigen dynamischen Variablen (z.B. Energie) die f (q1 , . . . pf ) meist relativ 16

Operatoren werden in diesem Abschnitt durch das Zeichen

”

˜ “ gekennzeichnet.

86

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

einfache Funktionen sind. Die Bestimmung von f (˜ q1 , . . . p˜f ) kann auf die Anwendung folgender spezieller Definitionen zur¨ uckgef¨ uhrt werden: 1. Wenn A1 , A2 , . . . An vertauschbare hermitesche Operatoren sind, dann ist der Ausdruck F (A1 , . . . An ) f¨ ur jede Funktion F (x1 , . . . xn ) von n reellen Variablen definiert (vgl. Abschnitt 1.1.6). 2. Wenn F (x1 , . . . xn ) ein Polynom in n Variablen ist, dann ist F (A1 , . . . An ) f¨ ur beliebige Operatoren definiert, wenn die Reihenfolge der Faktoren in den auftretenden Produkten bestimmt ist. Beispiel: H(x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 ) =

1 (p 2 +p22 +p32 ) 2m 1

+ V (x1 , x2 , x3 )

V˜ = V (˜ x1 , x˜2 , x˜3 ) ist definiert, weil x˜1 , x˜2 , x˜3 kommutieren. 1 T˜ = 2m (˜ p12 + p˜22 + p˜32 ) ist definiert, weil p˜1 , p˜2 , p˜3 kommutieren. ˜ = T˜ + V˜ ist definiert, weil F (T, V ) = T + V Polynom der Variablen T, V H ist. Wenn f (˜ q1 , . . . p˜f ) ein Operator ist, der einer Observablen entspricht, dann muß er hermitesch sein. Diese Forderung an den Operator f wird zur Bestimmung der Reihenfolge der Faktoren der auftretenden Produkte herangezogen. Allerdings reicht dies bei mehr als zwei Faktoren zur eindeutigen Bestimmung der Reihenfolge nicht aus. Beispiele: 1. f (x, y) = xy: Wenn A, B hermitesche Operatoren sind, dann ist f (A, B) = 1 (AB +BA) hermitesch. 2 2. f (x, y, z) = xyz: Wenn A, B, C hermitesche Operatoren sind, dann gibt es mehrere M¨oglichkeiten f¨ ur f (A, B, C), die die Hermitezit¨atsforderung erf¨ ullen, z.B. 1 (ABC +CBA), 2

1 (BAC +CAB), 2

1 (ABC +CBA+BAC +CAB +ACB +BCA). 6

Wichtige Bemerkung: Wenn (q1 , . . . qf , p1 , . . . pf ) und (Q1 , . . . Qf , P1 , . . . Pf ) zwei S¨atze von Koordinaten und kanonischen Impulsen des klassischen Analogons bezeichnen, dann sind im allgemeinen die kanonischen Vertauschungsrelationen {[˜ qj , q˜k ] = 0, [˜ pj , p˜k ] = 0, [˜ qj , p˜k ] = i¯ hδjk } nicht zu den Relationen {[Q˜j , Q˜k ] = 0, ˜ ˜ ˜ ˜ [Pj , Pk ] = 0, [Qj , Pk ] = i¯ hδjk } ¨aquivalent. Um die Vorschriften anwenden zu k¨onnen, muß man also einen bestimmten Satz von verallgemeinerten Koordinaten ausw¨ahlen. F¨ ur Systeme mehrerer Teilchen (nichtrelativistisch) wird die Vorschrift dahingehend pr¨azisiert, daß die kanonischen Vertauschungsrelationen f¨ ur die Operatoren, die den kartesischen Teilchenkoordinaten und den kanonisch konjugierten Impulsen entsprechen, gelten sollen.

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME (j)

(j)

87 (j)

Beispiel: System aus zwei Teilchen. Seien x1 , x2 , x3 die kartesischen Koordi(j) (j) (j) naten des Ortes des Teilchens j (j = 1, 2) und p1 , p2 , p3 die kanonisch konjugierten Impulse. Die kanonischen Vertauschungsrelationen f¨ ur die entsprechenden Operatoren sind (j 0 )

[˜ x(j) ˜λ ] = 0, κ ,x

(j 0 )

˜λ ] = 0, [˜ p(j) κ ,p

(j 0 )

[˜ x(j) ˜λ ] = i¯ hδκλ δjj 0 κ ,p

f¨ ur j, j 0 = 1, 2 und κ, λ = 1, 2, 3. Konstruktion des Raumes der Ket–Vektoren: Nach Festlegung der Grundobservablen q1 , . . . qf , p1 , . . . pf , deren zugeordnete Operatoren die kanonischen Vertauschungsrelationen erf¨ ullen sollen, wird ein Raum von Ket-Vektoren gesucht, in dem hermitesche Operatoren q˜1 , . . . p˜f definiert sind. (a) System mit einem Freiheitsgrad. Grundobservable sind q und p. Gesucht wird ein Vektorraum E, in dem zwei hermitesche Operatoren q˜, p˜ mit [˜ q , p˜] = i¯ h definiert sind. Zur Konstruktion von E nehmen wir zun¨achst an, daß es einen solchen Raum gibt, und erhalten einige Folgerungen aus den Vertauschungsrelationen. Da q˜ hermitesch ist, gibt es einen Eigenwert q0 und einen entsprechenden Eigenvektor |q0 i = 6 0 von q˜: q˜ |q0 i = q0 |q0 i (3.81) Man definiert die Operatoren i

S(ξ) = e− h¯ ξp˜

f¨ ur jede reelle Zahl ξ.

(3.82)

Aus der Definition folgen die Relationen S(ξ1 ) S(ξ2 ) = S(ξ1 + ξ2 ) S(0) = 1

(3.83) (3.84)

i

S † (ξ) = S(−ξ) = e h¯ ξp˜ = (S(ξ))−1 .

(3.85)

Ferner: Mit Hilfe der Hausdorff-Identit¨at17 eA Be−A = B + mit



∞ X 1 [A, B]n n! n=1

[A, B]n+1 = [A, [A, B]n ] [A, B]1 = [A, B]



erh¨alt man unter Ausnutzung der Vertauschungsrelation [˜ q , p˜] = i¯ h    2 iξ 1 iξ † S (ξ) q˜ S(ξ) = q˜ + [˜ p, q˜] + [˜ p, [˜ p, q˜]] + . . . = q˜ + ξ. h ¯ 2! h ¯ 17

¨ Beweis: Ubung

(3.86)

(3.87)

(3.88)

88

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

Hieraus folgt q˜ S(ξ) = S(ξ) (˜ q + ξ)

(3.89)

q˜ S(ξ) |q0 i = S(ξ) (˜ q + ξ) |q0 i = (q0 + ξ) S(ξ) |q0 i.

(3.90)

und somit Also ist S(ξ) |q0 i Eigenvektor von q˜ zum Eigenwert (ξ + q0 ), falls S(ξ) |q0 i = 6 0 ist. Dies ist aber sicher der Fall, da aus der Annahme 0 = S(ξ) |q0 i 0 = S † (ξ) S(ξ) |q0 i = |q0 i

(3.91)

folgen w¨ urde, was im Widerspruch zur Voraussetzung |q0 i = 6 0 steht. Dies trifft f¨ ur jede reelle Zahl ξ zu. Somit sind alle reellen Zahlen Eigenwerte von q˜ (Kontinuierliches Spektrum: Uneigentliche Eigenvektoren). Es muß also im Raum E ein orthonormiertes System {|qi} von Eigenvektoren von q˜ geben mit den Eigenschaften hq|q 0 i = δ(q−q 0 ) q˜ |qi = q|qi |q0 + ξi = λ(ξ) S(ξ) |q0 i,

(3.92) (3.93) (3.94)

wobei λ(ξ) eine von Null verschiedene komplexe Zahl bezeichnet. (Aufgrund der Normierung hq|q 0 i = δ(q−q 0 ) gilt |λ(ξ)| = 1.) Nach diesen Betrachtungen erfolgt die Konstruktion des Raumes E mit den geforderten Eigenschaften durch Vorgabe einer orthonormierten Basis {|qi : −∞ < q < +∞} mit hq|q 0 i = δ(q −q 0 ). Die Vektoren von E sind Linearkombinationen der Basisvektoren. Jeder Vektor |αi aus E ist eindeutig charakterisiert durch den Satz R +∞ von komplexen Zahlen {ψα (q) = hq|αi : −∞ < q < +∞}. Denn es gilt (da |qihq| dq eine Zerlegung der Einheit ist) −∞ Z +∞ Z +∞ |αi = |qihq|αi dq = |qiψα (q) dq. (3.95) −∞

−∞

Der Satz {ψα (q) : −∞ < q < +∞} wird auch die dem Vektor |αi entsprechende Wellenfunktion genannt. Im Raum E werden die Operatoren q˜, p˜ definiert durch q˜ |qi = q|qi S(ξ) |qi = |q+ξi h ¯ 1 p˜ = − lim (S(ξ) − 1). i ξ→0 ξ

(3.96) (3.97) (3.98)

ξ6=0

Das Ergebnis der Anwendung der Operatoren q˜, p˜ kann auch mit Hilfe der Wellenfunktionen ausgedr¨ uckt werden:    ψβ (q) = q ψα (q) wenn |βi = q˜|αi  h ¯ d (3.99) ψα (q) wenn |γi = p˜|αi   ψγ (q) = i dq

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME

89

Denn es gilt Z

ψβ (q) = hq|βi = hq|˜ q |αi = dq 0 hq|˜ q |q 0 ihq 0 |αi Z = dq 0 q 0 δ(q−q 0 )hq 0 |αi = qhq|αi = q ψα (q). Ferner Z hq|S(ξ)|αi =

0

0

dq hq|S(ξ)|q ihq |αi = Z

=

0

Z

dq 0 hq|q 0 +ξihq 0 |αi

dq 0 δ(q−q 0 −ξ)hq 0 |αi

= hq−ξ|αi = ψα (q−ξ) und daher   1 h ¯ ψγ (q) = hq|γi = hq|˜ p|αi = − lim hq| (S(ξ) − 1)|αi i ξ→0 ξ ξ6=0   h ¯ 1 = − lim (hq|S(ξ)|αi − hq|αi) i ξ→0 ξ ξ6=0   h ¯ 1 h ¯ d = − lim (ψα (q−ξ) − ψα (q)) = ψα (q) i ξ→0 ξ i dq ξ6=0

Man kann nachpr¨ ufen, daß die oben definierten Operatoren q˜, p˜ hermitesch sind und die Relation [˜ q , p˜] = i¯ h erf¨ ullen. Damit ist gezeigt, daß der oben konstruierte Raum E alle geforderten Eigenschaften hat18 . (b) Teilchen ohne innere Freiheitsgrade. Grundobservable: {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 }: Teilchenkoordinaten und kanonische Impulse. Gesucht wird ein Raum E von KetVektoren, in dem hermitesche Operatoren {˜ xκ , p˜κ |κ = 1, 2, 3} mit der Eigenschaft [˜ xκ , p˜λ ] = i¯ hδκλ , [˜ xκ , x˜λ ] = 0,

[˜ pκ , p˜λ ] = 0 | κ, λ = 1, 2, 3

(3.100)

definiert sind. Einen solchen Raum E konstruiert man19 durch die Vorgabe einer orthonormierten Basis {|x1 , x2 , x3 i : −∞ < xκ < ∞} mit hx1 , x2 , x3 |x01 , x02 , x03 i = δ(x1 −x01 ) δ(x2 −x02 ) δ(x3 − x03 ). 18

(3.101)

Es stellt sich die Frage, ob der Raum E durch die gestellten Forderungen eindeutig bestimmt ist. Es zeigt sich, daß E bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, wenn man außerdem verlangt, daß E in Bezug auf p˜ und q˜ irreduzibel ist. Die Definition des irreduziblen Raums wird in dem Kapitel Symmetrien und Invarianzen“ gegeben. ” 19 Der hier konstruierte Raum unterscheidet sich von dem in Kapitel 1 betrachteten Raum H der quadratintegrablen Funktionen nur dadurch, daß er auch nicht normierbare Vektoren enth¨alt.

90

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

Jeder beliebige Vektor |αi aus E wird durch die Wellenfunktion {ψα (x1 , x2 , x3 ) = hx1 , x2 , x3 |αi : −∞ < xκ < ∞} eindeutig charakterisiert. Die Operatoren x˜κ , p˜κ sind definiert durch: ψβ (x1 , x2 , x3 ) = xκ ψα (x1 , x2 , x3 ), wenn |βi = x˜κ |αi h ¯ ∂ ψγ (x1 , x2 , x3 ) = ψα (x1 , x2 , x3 ) wenn |γi = p˜κ |αi i ∂xκ

(3.102) (3.103)

Die so definierten Operatoren sind hermitesch und erf¨ ullen die kanonischen Vertauschungsrelationen (vgl. Zwischenrechnung auf Seite 21). (j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j

(c) System aus N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade. Grundobservable: {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 1, 2, . . . N }: Teilchenkoordinaten und kanonische Impulse. Kanonische Vertauschungsrelationen: j, l = 1, 2, . . . N (l) (j) (l) (j) (j) (l) hδjl δκλ , [˜ xκ , x˜λ ] = 0, [˜ pκ , p˜λ ] = 0 [˜ xκ , p˜λ ] = i¯ κ, λ = 1, 2, 3 (3.104) (j) (j) Es wird ein Raum E gesucht, in dem hermitesche Operatoren x˜κ , p˜κ definiert ¨ sind, die die kanonischen Vertauschungsrelationen erf¨ ullen. Ahnlich wie im Fall (b) konstruiert man einen solchen Raum E durch Vorgabe einer orthonormierten Basis   −∞ < x(j)  κ < ∞  (1) (1) (1) (N ) (N ) (N ) |x1 , x2 , x3 , . . . x1 , x2 , x3 i j = 1, 2, . . . N   κ = 1, 2, 3 mit (1)

(1)

(N )

hx1 , . . . x3 |x01 , . . . x03

(N )

(1)

(1)

(N )

i = δ(x1 −x01 ) · · · δ(x3 −x03

(N )

).

(3.105)

Jeder beliebige Vektor |αi aus E wird durch die Wellenfunktion (1)

(N )

(1)

(N )

ψα (x1 , . . . x3 ) = hx1 , . . . x3 |αi

(3.106)

eindeutig charakterisiert. Das innere Produkt von Vektoren |α1 i, |α2 i aus E kann mit Hilfe der Wellenfunktionen ausgedr¨ uckt werden: Z (1) (N ) (1) (N ) (1) (N ) hα1 |α2 i = hα1 |x1 , . . . x3 i hx1 , . . . x3 |α2 i dx1 · · · dx3 (3.107) Z (1) (N ) (1) (N ) (1) (N ) = ψα∗ 1 (x1 , . . . x3 ) ψα2 (x1 , . . . x3 ) dx1 · · · dx3 (3.108) (j)

(j)

Die Operatoren x˜κ , p˜κ sind definiert durch (1)

(N )

(1)

(N )

(j)

ψβ (x1 , . . . , x3 ) = x(j) wenn |βi = x˜κ |αi (3.109) κ ψα (x1 , . . . , x3 ), h ¯ ∂ (1) (N ) (1) (N ) (j) ψγ (x1 , . . . , x3 ) = ψα (x1 , . . . , x3 ), wenn |γi = p˜κ |αi(3.110) (j) i ∂xκ

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME

91

Abk¨ urzungen: (j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

~rj = (x1 , x2 , x3 ), p~j = (p1 , p2 , p3 ) (j) (j) (j) (j) (j) (j) ~˜rj = (˜ x1 , x˜2 , x˜3 ), p˜~j = (˜ p1 , p˜2 , p˜3 ) entsprechend: (1)

(1)

(1)

(N )

(N )

(N )

|~r1 , . . . ~rN i = |x1 , x2 , x3 , . . . x1 , x2 , x3 i (1)

(N )

ψα (~r1 , . . . ~rN ) = ψα (x1 , . . . x3 ) 3 X
2 p~j2 = p(j) κ κ=1

Hamiltonoperator: F¨ ur ein System von N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade hat der Hamiltonoperator in den meisten F¨allen die Form ˜ = H

N X 1 ˜2 p~j + V (~˜r1 , . . . ~˜rN , t). 2m j j=1

(3.111)

Hierbei sind {mj | j = 1, 2, . . . N } die Massen der Teilchen und V (~r1 , ~r2 , . . . ~rN , t) die potentielle Energie des klassischen Analogons. F¨ ur ein System geladener Teilchen mit Ladungen {ej | j = 1, 2, . . . N } z.B. ist der Hamiltonoperator ˜ = H

N X 1 ˜ 2 1 X ek ej p~j + , ˜rk −~˜rj | 2m 2 | ~ j j=1 k6=j

(3.112)

wenn man nur die Coulomb-Wechselwirkung der Teilchen ber¨ ucksichtigt. Wenn sich das gleiche System in einem ¨außeren elektromagnetischen Feld befindet, dann ist der Hamiltonoperator ˜ = H

N N 2 1 X e e X X 1 ˜ ej ~ ˜ k j p~j − A(~rj , t) + + ej φ(~˜rj , t), ˜rk −~˜rj | 2m c 2 j | ~ j=1 j=1 k6=j

(3.113)

~ r, t), φ(~r, t) bewenn das ¨außere elektromagnetische Feld durch die Potentiale A(~ schrieben wird.

3.3.2 Zusammengesetzte Systeme (Tensorprodukte) Der Raum E von Ket-Vektoren eines Systems, welches aus zwei Teilsystemen besteht, wird konstruiert durch Bildung des Tensorproduktes E1 ⊗ E2 der R¨aume von Ket-Vektoren E1 , E2 der Teilsysteme. Diese allgemeine Methode zur Konstruktion von R¨aumen von Ket-Vektoren beruht auf folgender Bemerkung:

92

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

ˆ1 , B ˆ2 , . . . Wenn {Aˆ1 , Aˆ2 , . . . Aˆn } ein Satz von Operatoren in einem Raum E1 und {B ˆ Bm } ein Satz von Operatoren in einem Raum E2 ist, dann gelten f¨ ur die Operaˆ ˆ toren {Aν = Aν ⊗ I | ν = 1, . . . n}, {Bµ = I ⊗ Bµ | µ = 1, . . . m} die Relationen: ν = 1, . . . n [Aν , Bµ ] = 0 (3.114) µ = 1, . . . m Wenn ferner f (X1 , . . . Xn ) ein Polynom von Operatoren (mit festgelegter Reihenfolge der Faktoren der auftretenden Produkte) ist, dann gilt f (A1 , A2 , . . . An ) = f (Aˆ1 , Aˆ2 , . . . Aˆn ) ⊗ I.

(3.115)

Wenn g(Y1 , . . . Ym ) ein Polynom von Operatoren ist, dann gilt ˆ1 , B ˆ2 , . . . B ˆm ). g(B1 , B2 , . . . Bm ) = I ⊗ g(B

(3.116)

Obige Relationen folgen aus den Eigenschaften des Tensorprodukts von Operatoren: ˆµ ) = (Aˆν ⊗ B ˆµ ) = (I ⊗ B ˆµ )(Aˆν ⊗ I) = Bµ Aν Aν Bµ = (Aˆν ⊗ I)(I ⊗ B Somit [Aν , Bµ ] = 0. Ferner: Da jedes Polynom von Operatoren Summe von Produkten von Operatoren ist, folgt die Relation f (A1 , . . . An ) = f (Aˆ1 , . . . Aˆn ) ⊗ I aus den Relationen (X1 ⊗ I + X2 ⊗ I) = (X1 + X2 ) ⊗ I, (X1 X2 ) ⊗ I = (X1 ⊗ I)(X2 ⊗ I).

(3.117) (3.118)

ˆ1 , . . . B ˆm ) ist analog. Der Beweis der Relation g(B1 , . . . Bm ) = I ⊗ g(B Wir sagen, daß ein System aus zwei Teilsystemen besteht, wenn es einen Satz von Grundobservablen20 des Systems gibt, welcher aus zwei S¨atzen {A1 , . . . An } und {B1 , . . . Bm } mit der Eigenschaft {[Aν , Bµ ] = 0 | ν = 1, . . . n; µ = 1, . . . m} besteht. Jeder dieser beiden S¨atze wird als Satz von Grundobservablen eines Teilsystems aufgefaßt. Beispiel: System von zwei Teilchen ohne innere Freiheitsgrade. Der Satz von Grundobservablen (1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

{x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 , p1 , p2 , p3 } 20

Ein Satz von Operatoren (die Observablen entsprechen) wird Satz von Grundobservablen“ ” genannt, wenn jeder Operator, der einer Observablen entspricht, als Funktion der Operatoren des Satzes aufgefaßt werden kann.

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME

93

des Systems kann in die Teils¨atze (1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

{x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 } und {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 } aufgeteilt werden. Diese S¨atze entsprechen den Teilsystemen Teilchen 1“ und ” Teilchen 2“, aus denen das Gesamtsystem zusammengesetzt ist. ” Das Problem der Konstruktion des Raums von Ket-Vektoren eines aus zwei Teilsystemen bestehenden Systems stellt sich folgendermaßen: Gesucht wird ein Raum E, in dem hermitesche Operatoren {A1 , A2 , . . . An , B1 , . . . Bm } definiert sind, die folgende Relationen erf¨ ullen: ν = 1, . . . n (3.119) [Aν , Bµ ] = 0 µ = 1, . . . m fj (A1 , A2 , . . . An ) = 0 | j = 1, . . . N gj (B1 , B2 , . . . Bn ) = 0 | j = 1, . . . M

(3.120) (3.121)

wobei fj und gj gewisse Polynome der Operatoren sind21 . Wenn E1 , E2 R¨aume von Ket-Vektoren f¨ ur die Teilsysteme sind, d.h. wenn in ˆ1 , . . . B ˆm }) mit den E1 (bzw. E2 ) hermitesche Operatoren {Aˆ1 , . . . Aˆn } (bzw. {B ˆ ˆ ˆ ˆm ) = 0 | j = Eigenschaften {fj (A1 , . . . An ) = 0 | j = 1, . . . N } (bzw. {gj (B1 , . . . B 1, . . . M }) definiert sind, dann ist der Raum E = E1 ⊗ E2 der gesuchte Raum von Ket-Vektoren f¨ ur das Gesamtsystem. Die Operatoren {Aν = Aˆν ⊗ I | ν = 1, . . . n},

ˆµ ⊗ I | µ = 1, . . . m} in E {Bµ = B

sind hermitesch und erf¨ ullen die geforderten Relationen (3.119) bis (3.121).

3.3.3 Zwei Teilchen ohne innere Freiheitsgrade Die Konstruktion eines Raumes von Ket-Vektoren f¨ ur ein System von mehreren Teilchen ohne innere Freiheitsgrade erfolgte bereits im Abschnitt 30 (c). Es ist aber n¨ utzlich, die Konstruktion des Raumes f¨ ur das Zweiteilchensystem auch mit Hilfe des Tensorproduktes zu vollziehen. Satz von Grundobservablen: (1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

{x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 , p1 , p2 , p3 } Die Grundobservablen erf¨ ullen die Vertauschungsrelationen j, l = 1, 2, . . . N (l) (j) (l) (j) (j) (l) [xκ , pλ ] = i¯ hδjl δκλ , [xκ , xλ ] = 0, [pκ , pλ ] = 0 κ, λ = 1, 2, 3 (3.122) 21

Vertauschungsrelationen von Operatoren k¨onnen in der Form f (A1 , . . . An ) = 0 geschrieben werden; z.B. ist [q, p] = i¯ ha ¨quivalent zu f (q, p) = 0 mit f (X1 , X2 ) = X1 X2 − X2 X1 − i¯hI.

94

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

Aufteilung der Grundobservablen: ( ) (1) (1) (1) (1) (1) (1) Teilchen 1“ mit Grundobservablen {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 } ” (2) (2) (2) (2) (2) (2) Teilchen 2“ mit Grundobservablen {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 } ” Sei E ein Raum von Ket-Vektoren f¨ ur ein Teilchen ohne innere Freiheitsgrade mit der Basis {|x1 , x2 , x3 i : −∞ < xκ < ∞}, dessen Vektoren |αi durch Wellenfunktionen ψα (x1 , x2 , x3 ) = hx1 , x2 , x3 |αi dargestellt werden. In diesem Raum sind hermitesche Operatoren {ˆ xκ , pˆκ | κ = 1, 2, 3}, die die Relationen [ˆ xκ , pˆλ ] = i¯ hδκλ ,

[ˆ xκ , xˆλ ] = 0,

[ˆ pκ , pˆλ ] = 0 | κ, λ = 1, 2, 3

(3.123)

erf¨ ullen, definiert durch: ψβ (x1 , x2 , x3 ) = xκ ψα (x1 , x2 , x3 ), wenn |βi = xˆκ |αi h ¯ ∂ ψγ (x1 , x2 , x3 ) = ψα (x1 , x2 , x3 ) wenn |γi = pˆκ |αi i ∂xκ

(3.124) (3.125)

E kann als Raum von Ket-Vektoren sowohl f¨ ur das Teilsystem Teilchen 1“ (E1 ) ” als auch f¨ ur das Teilsystem Teilchen 2“ (E2 ) benutzt werden (E1 = E2 = E). ” F¨ ur das aus Teilchen 1 und Teilchen 2 bestehende Gesamtsystem ist der Raum der Ket-Vektoren E1 ⊗E2 , also E ⊗E. Die Grundobservablen sind gegeben durch: (1)

(1)

xκ = xˆκ ⊗ I (2) xκ = I ⊗ xˆκ

pκ = pˆκ ⊗ I (2) pκ = I ⊗ pˆκ

(3.126)

Basis von E ⊗ E: (1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

|x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 , i = |x1 , x2 , x3 i⊗|x1 , x2 , x3 , i | −∞ < x(j) κ < ∞ (3.127) (j) (j) (j) oder (mit der Abk¨ urzung ~rj = (x1 , x2 , x3 )): |~r1 , ~r2 i = |~r1 i ⊗ |~r2 i

| ~r1 , ~r2 ∈ IR3

(3.128)

Wellenfunktionen: ψα (~r1 , ~r2 ) = h~r1 , ~r2 |αi

(3.129)

Im Spezialfall |αi = |α1 i ⊗ |α2 i gilt ψα (~r1 , ~r2 ) = h~r1 , ~r2 | (|α1 i ⊗ |α2 i) = (h~r1 | ⊗ h~r2 |) (|α1 i ⊗ |α2 i) = h~r1 |α1 i h~r2 |α2 i = ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 ). (3.130) (j)

(j)

Anwendung der Operatoren xκ , pκ : vgl. Abschnitt 30 (c).

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME

3.3.4 Teilchen mit Spin

95

1 2

Um die experimentellen Ergebnisse u ¨ber das Verhalten von Atomen in Magnetfeldern (Zeeman-Effekt, Stern-Gerlach-Experiment) zu erkl¨aren, wurde (Uhlenbeck und Goudsmit 1925) angenommen, daß Elektronen neben dem Bahndrehimpuls ~r × p~ einen intrinsischen (inneren) Drehimpuls ~s besitzen. Dieser intrinsische Drehimpuls wird Spin genannt. Heute schreibt man sehr vielen Teilchen einen Spin zu. Teilchen ohne Spin werden als Spezialfall, n¨amlich als Teilchen mit Spin Null angesehen. F¨ ur die Operatoren ~s = (s1 , s2 , s3 ) des Spins von Elektronen wurde neben den Drehimpuls-Vertauschungsrelationen [s1 , s2 ] = is3 die Relation s12

+

s22

+

s32

und zyklisch 1 = 2



(3.131)

 1 +1 I 2

(3.132)

(kurz: ~s 2 = 34 ) postuliert. Dies hat aufgrund der allgemeinen Theorie des Drehimpulses (vgl. Seite 39) zur Folge, daß s3 nur die Eigenwerte ± 12 hat. Es wird ferner angenommen, daß die Operatoren ~r, p~ der mit der Bahnbewegung verkn¨ upften Observablen mit den Spin-Operatoren kommutieren: [xκ , sλ ] = 0,

[pκ , sλ ] = 0

(3.133) 1

Der Raum von Ket-Vektoren f¨ ur das Ein-Elektron-System ist E ⊗ E ( 2 ) . Hierbei bezeichnet E den Raum von Ket-Vektoren mit Basis {|~r i : ~r ∈ IR3 }, welcher zur Beschreibung eines Teilchens ohne innere Freiheitsgrade benutzt wird. E (j) bezeichnet einen Raum von Ket-Vektoren mit orthonormierter Basis {|j, mi : m = −j, −j + 1, . . . j}, in welchem hermitesche Operatoren sˆ1 , sˆ2 , sˆ3 definiert sind, so daß die Relationen sˆ3 |j, mi = m |j, mi p (ˆ s1 ± iˆ s2 ) |j, mi = j(j +1) − m(m±1) |j, m±1i 2 2 2 (ˆ s1 + sˆ2 + sˆ3 ) |j, mi = j(j +1) |j, mi

(3.134) (3.135) (3.136)

gelten. Im Raum E sind hermitesche Operatoren xˆk , pˆk | k = 1, 2, 3 definiert (vgl. 1 Seite 94). Somit sind im Raum E ⊗ E ( 2 ) die Operatoren xk , pk , sk definiert durch xk = xˆk ⊗ I,

pk = pˆk ⊗ I,

sk = I ⊗ sˆk

| k = 1, 2, 3.

(3.137)

1

Basis von E ⊗ E ( 2 ) : |~r, mi = |~r i ⊗ | 12 , mi

~r ∈ IR3 m = −1, 1 2 2

(3.138)

96

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II 1

Somit kann jeder beliebige Vektor |αi aus E ⊗ E ( 2 ) durch die Wellenfunktion ~r ∈ IR3 ψα (~r, m) = h~r, m|αi (3.139) m = −1, 1 2 2 eindeutig charakterisiert werden. Neben der oben angegebenen ist in der Literatur auch die Schreibweise   φ+ (~r ) | ~r ∈ IR3 φ− (~r ) mit φ+ (~r ) = ψα (~r, 21 ) und φ− (~r ) = ψα (~r, − 12 ) gebr¨auchlich. Man definiert schließlich die Funktionen {χ+ (m) : m = − 12 , 12 }, {χ− (m) : m = − 12 , 12 } durch χ+ (m) = δm, 1 , χ− (m) = δm,− 1 . (3.140) 2

2

Mit dieser Definition kann die Wellenfunktion f¨ ur einen beliebigen Zustandsvektor ( 21 ) |αi aus E ⊗ E in der Form ψα (~r, m) = φ+ (~r ) χ+ (m) + φ− (~r ) χ− (m)

(3.141)

geschrieben werden. Insbesondere ist f¨ ur Zustandsvektoren der Form |αi = |vi ⊗ 1 1 | 2 , ± 2 i die Wellenfunktion ψα (~r, m) = φ(~r ) χ± (m) (wobei φ(~r ) = h~r |vi). Man sagt, daß ein Teilchen Spin j hat, wenn die Operatoren s1 , s2 , s3 des Spins des Teilchens die Relation s12 + s22 + s32 = j(j+1)I erf¨ ullen. Die Konstruktion des ( 21 ) Raumes der Ket-Vektoren E ⊗ E und die Definition der Operatoren xk , pk , sk bleibt f¨ ur alle Werte j = 0, 12 , 1, 32 , 2, . . . des Spins unge¨andert. Aufgrund der experimentellen Beobachtungen wird den Elektronen, Protonen und Neutronen Spin 21 und den Photonen Spin 1 zugeschrieben. 1

Pauli–Matrizen: Im Raum E ( 2 ) definiert man die Operatoren σ1 , σ2 , σ3 durch σκ = 2ˆ sκ | κ = 1, 2, 3.

(3.142)

Diese Operatoren (Pauli-Spin-Operatoren) erf¨ ullen die Relationen σ12 = σ22 = σ32 = 1 σκ σλ = −σλ σκ | λ 6= κ σ1 σ2 = iσ3 und zyklisch

(3.143) (3.144) (3.145)

Die Matrizen der Operatoren σ1 , σ2 , σ3 in der Basis {| 12 , mi : m = − 12 , 12 } sind       1 0 0 1 0 −i σ1 : , σ2 : , σ3 : (Pauli–Spin–Matrizen) 1 0 i 0 0 −1 (3.146)

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME

97

Die Anordnung der Matrixelemente ist hierbei   h+|σκ |+i h+|σκ |−i mit |±i = | 12 , ± 12 i. h−|σκ |+i h−|σκ |−i Magnetisches Moment: Um die Ergebnisse der Experimente zu interpretieren, muß den Elektronen ein intrinsisches magnetisches Dipolmoment zugeschrieben werden, welches proportional zum intrinsischen Drehimpuls ist: e¯ h ~µ = ge ~s (3.147) 2mc (d.h. µκ = ge (e¯ h/2mc)sκ | κ = 1, 2, 3), wobei e = −|e|, und zwar mit ge ≈ 2 (genauer: ge = 2 · 1.00116). Das bedeutet, daß der Hamiltonoperator f¨ ur ein ~ r ) den Term Elektron in einem Magnetfeld B(~ h ~ r )) = −ge e¯ ~ r) − (~µ · B(~ ~s · B(~ (3.148) 2mc zus¨atzlich enthalten muß. Wenn man annimmt, daß dieser Term der einzige vom Spin herr¨ uhrende Beitrag zur Energie des Elektrons ist22 , dann erh¨alt man f¨ ur ein Elektron im ¨außeren elektromagnetischen Feld den Hamiltonoperator 2 1  e~ e¯ h ~ r ). H= p~ − A(~ r, t) + eφ(~r, t) − ge ~s · B(~ (3.149) 2m c 2mc ~ erh¨alt man mit A ~ = 1B ~ × ~r F¨ ur ein homogenes Magnetfeld B 2  2 2 e1~ 1 2 e 1 ~ × ~r ) + e (B ~ × ~r )2 p~ − B × ~r = p~ − p~ · (B 2m c2 2m 2mc 2mc2   1 2 e¯ h ~r × p~ ~ ≈ p~ − · B. (3.150) 2m 2mc h ¯ ~ quadratischen Terms erh¨alt man also f¨ Unter Vernachl¨assigung des in |B| ur den mit der Bahnbewegung des Elektrons verkn¨ upften Beitrag zum magnetischen Moment e¯ h~ ~µBahn = l. (3.151) 2mc Die Herleitung zeigt, daß dieses Ergebnis f¨ ur jedes geladene Teilchen gilt, wenn jeweils e die Ladung und m die Masse des Teilchens bezeichnet. Der Zusammenhang zwischen Spin und magnetischem Moment andererseits ist f¨ ur verschiedene Teilchen im allgemeinen verschieden, wie experimentell festgestellt wurde. F¨ ur Nukleonen (d.h. Protonen und Neutronen) gilt z.B.  ep h ¯ g = 5.587 f¨ ur Protonen ~µSpin = g ~s mit (3.152) g = −3.826 f¨ ur Neutronen, 2Mp c wobei ep und Mp Ladung und Masse des Protons bezeichnen. 22

Tats¨ achlich muß noch werden.

h ¯ s 2m2 c2 ~

  ~ × p~ , der Term der Spin-Bahn-Kopplung“, addiert · ∇φ ”

98

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

Kapitel 4 Symmetrien und Invarianzen 4.1 Translationen und Drehungen Die Untersuchung von Symmetrie- und Invarianzeigenschaften hat sich im Rahmen sowohl der klassischen Physik als auch der Quantenphysik als sehr fruchtbar erwiesen, denn wichtige Aussagen u ¨ber ein physikalisches System k¨onnen aufgrund solcher Symmetrie¨ uberlegungen ohne detaillierte Kenntnis der Dynamik gewonnen werden. F¨ ur ein klassisches Teilchensystem z.B. kann ohne volle Kenntnis der Kr¨afte die Erhaltung des Gesamtimpulses aus der Translationsinvarianz der Lagrangefunktion abgeleitet werden. Entsprechend folgt aus der Invarianz unter Drehungen die Erhaltung des Drehimpulses und aus der Invarianz unter Translationen der Zeit (zeitunabh¨angige Lagrangefunktion) die Erhaltung der Energie. Den Symmetrietransformationen (z.B. Translationen, Drehungen) werden also Observable zugeordnet (Impuls, Drehimpuls), die Konstanten der Bewegung sind, wenn die Lagrangefunktion unter der entsprechenden Symmetrie invariant ist. In der Quantenmechanik ist die Verkn¨ upfung zwischen Symmetrietransformationen und den zugeordneten Observablen noch enger. Dies wird im folgenden anhand von Beispielen (Translationen, Drehungen) erl¨autert.

4.1.1 Translationen Bei einer r¨aumlichen Translation wird jeder Vektor ~r in den Vektor ~r+ξ~ u uhrt; ¨berf¨ ~ hierbei ist ξ ein Vektor, der die Translation charakterisiert. Wenn eine durch den Vektor ξ~ charakterisierte Translation eines sich im Zustand |Ai befindenden ¨ Systems erfolgt, dann geht es in einen Zustand |Bi u kann ¨ber. Dieser Ubergang mit Hilfe eines Translationsoperators Tξ~ ausgedr¨ uckt werden: |Bi = Tξ~ |Ai

(4.1)

Der Translationsoperator Tξ~ f¨ ur ein System von N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade ist definiert durch die Relation ~ ~r2 − ξ, ~ . . . ~rN − ξ~ ), ψB (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) = ψA (~r1 − ξ, (4.2) 99

100

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

wenn |Bi = Tξ~ |Ai und wenn ψA (bzw. ψB ) die Wellenfunktion bezeichnet, die den Zustand |Ai (bzw. |Bi) charakterisiert. Diese Definition des Translationsoperators erscheint besonders plausibel: Bei Verschiebung eines Einteilchensystems um ξ~ hat die neue Wellenfunktion ψB an der Stelle ~r den gleichen Wert wie die urspr¨ ungliche Wellenfunktion ψA an der Stelle ~ ~r − ξ.

*]   J  J ~ ~r   J ξ  J  J

~r − ξ~ Abbildung 4.1: Translation um den Vektor ξ~ Aus der Definition der Translationsoperatoren {Tξ~ | ξ ∈ IR3 } folgen die Relationen Tξ~1 ◦ Tξ~2 = Tξ~1 +ξ~2 Tξ~ = 1 ~

(4.3) (4.4)

ξ=0

Tξ~† ◦ Tξ~ = 1.

(4.5)

Bemerkungen: 1. Die letzte Relation bedeutet: hA1 |A2 i = hB1 |B2 i,

wenn |B1 i = Tξ~ |A1 i und |B2 i = Tξ~ |A2 i.

Dies l¨aßt sich aber aufgrund der Definition von Tξ~ auf die offenbar erf¨ ullte Relation Z ψA∗ 1 (~r1 , . . . ~rN ) ψA2 (~r1 , . . . ~rN ) d3~r1 · · · d3~rN Z ~ . . . ~rN − ξ) ~ ψA (~r1 − ξ, ~ . . . ~rN − ξ) ~ d3~r1 · · · d3~rN = ψA∗ 1 (~r1 − ξ, 2 zur¨ uckf¨ uhren. 2. Aus obigen Relationen (4.3) bis (4.5) folgt, daß Tξ~ unit¨ar ist, und zwar (Tξ~)† = (Tξ~)−1 = T−ξ~. Denn aus (4.3) und (4.4) folgt T−ξ~ ◦ Tξ~ = Tξ~ ◦ T−ξ~ = Tξ− ~ ξ~ = 1.

4.1. TRANSLATIONEN UND DREHUNGEN

101

Also existiert ein inverser Operator zu Tξ~, und zwar (Tξ~)−1 = T−ξ~. Durch Multiplikation von (4.5) mit dem Inversen (Tξ~)−1 erh¨alt man (Tξ~)† ◦ Tξ~ ◦ (Tξ~)−1 = (Tξ~)−1 , also (Tξ~)† = (Tξ~)−1 . Es gilt schließlich ~ ~

i

f¨ ur alle ξ~ ∈ IR3 ,

Tξ~ = e− h¯ P ·ξ

(4.6)

wobei P~ der Operator des Gesamtimpulses f¨ ur das betrachtete System ist. Dies erh¨alt man leicht durch eine Taylorentwicklung wie folgt: (−ξ) + ... 1!  n ! ∞ X d (−ξ)n d g(x) = e−ξ( dx ) g(x) n! dx n=1

g(x−ξ) = g(x) + g 0 (x) = g(x) +

(4.7)

F¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher gilt entsprechend1 ∂ ∂ −(ξ1 ∂x +...+ξf ∂x )

g(x1 −ξ1 , . . . xf − ξf ) = e

1

f

g(x1 , . . . xf ).

(4.8)

Insbesondere: ~∇ ~∇ ~ ~r +...+ξ· ~ ~r ) ~ . . . ~rN − ξ~ ) = e−(ξ· 1 N ψ (~ ψA (~r1 − ξ, rN ) A r1 , . . . ~ 1

(4.9)

Denn wenn f (λ) = g(x1 −λξ1 , . . . xf −λξf ), dann gilt  n ∞ X 1 d f (1) = f (0) + f (λ) n! dλ n=1

Aber d f (λ) = dλ und somit 

d dλ

n



. λ=0

 ∂g(z1 , . . . zf ) ∂g(z1 , . . . zf ) −ξ1 − . . . − ξf ∂z1 ∂zf zk =xk −λξk

f (λ)

 = λ=0

∂ ∂ −ξ1 − . . . − ξf ∂x1 ∂xf

n g(x1 , . . . xf )

und " g(x1 −ξ1 , . . . xf −ξf ) = f (1)

=

 n # ∞ X 1 ∂ ∂ 1+ −ξ1 − . . . − ξf g(x1 , . . . xf ) n! ∂x1 ∂xf n=1

∂ −(ξ1 ∂x +...+ξf

= e

1

∂ ∂xf

)

g(x1 , . . . xf ).

102

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

Hieraus folgt: i

~

~

i

~~

Tξ~ |Ai = e− h¯ (ξ·~p1 +...+ξ·~pN ) |Ai = e− h¯ (ξ·P ) |Ai i

(4.10)

~ ~

Die wichtige Relation Tξ~ = e− h¯ P ·ξ zwischen Translationsoperatoren und Impulsoperatoren gilt f¨ ur beliebige quantenmechanische Systeme. (Manchmal wird diese Relation zur Definition des Operators P~ benutzt.) Wenn der Hamiltonoperator H eines Systems translationsinvariant ist, d.h. wenn f¨ ur alle ξ~ ∈ IR3

Tξ~ H (Tξ~)−1 = H

(4.11)

gilt, dann gilt auch [P~ · ~n, H] = 0

f¨ ur alle ~n ∈ IR3 .

(4.12)

Jede Komponente des Impulses ist dann eine Konstante der Bewegung. Denn aus ~ ~

i

i

~ ~

e− h¯ P ·ξ H e h¯ P ·ξ = H folgt 

   i~ ~ i~ ~ ~ 2 ) = H, 1 − P · ξ H 1 + P · ξ + O(|ξ| h ¯ h ¯

d.h.



i H+ − h ¯



~ H] + O(|ξ| ~ 2 ) = H, [P~ · ξ,

~ H] = 0 f¨ also [P~ · ξ, ur alle ξ~ ∈ IR3 .

4.1.2 Drehungen Eine Drehung2 d um die Achse ~n (~n = Einheitsvektor) um den Winkel φ im dreidimensionalen Raum IR3 kann in der Form d = eφ~n× = 1 +

∞ X φν ν=1

ν!

(~n×)ν

(4.13)

als Operator im Raum IR3 geschrieben werden, wobei der Operator (~n×)ν definiert ist durch (~n×)1 (~r ) = ~n × ~r, (~n×)ν+1 (~r ) = (~n×)ν (~n × ~r ).

(4.14)

Zum Beweis der Formel (4.13) f¨ ur d muß gezeigt werden, daß d(~r ) = ~r +

∞ X φν ν=1

ν!

(~n×)ν (~r )

(4.15)

Die Drehungen im dreidimensionalen Raum IR3 k¨onnen mathematisch als lineare orthogonale Transformationen mit Determinante Eins definiert werden. 2

4.1. TRANSLATIONEN UND DREHUNGEN

103

f¨ ur jeden Vektor ~r aus IR3 gilt. Zu diesem Zweck zerlegt man den Vektor ~r in eine zu ~n parallele Komponente ~rk und eine zu ~n orthogonale Komponente ~r⊥ : ~r = ~rk + ~r⊥

(4.16)

~n × ~r = ~n × ~r⊥ , ~n × (~n × ~r ) = ~n × (~n × ~r⊥ ) = −~r⊥

(4.17) (4.18)

Es gilt offenbar

und somit (~n×)2ν (~r ) = (−1)ν ~r⊥ (~n×)2ν+1 (~r ) = (−1)ν (~n × ~r⊥ )

| ν = 1, 2, . . . | ν = 0, 1, 2, . . .

(4.19) (4.20)

Also φ~ n×

e

∞ ∞ X X φ2ν φ2ν+1 ν (~r ) = ~r + (−1) ~r⊥ + (−1)ν (~n × ~r⊥ ) (2ν)! (2ν + 1)! ν=1 ν=0

= ~rk + (cos φ)~r⊥ + sin φ (~n × ~r⊥ ).

(4.21)

Es ist leicht festzustellen (vgl. Abb. 35), daß der Vektor ~r 0 = ~rk + ~r 0⊥ = ~rk + cos φ ~r⊥ + sin φ (~n × ~r ) aus dem Vektor ~r = ~rk + ~r⊥ durch Drehung um die Achse ~n um den Winkel φ hervorgeht.

~r ⊥0 D

~r⊥

φ

~n × ~r⊥ ~r 0

~r ⊥0

d

φ

~rk

~r

~r⊥

Abbildung 4.2: Drehung eines Vektors um den Winkel φ F¨ ur ein System aus N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade definiert man f¨ ur jede Drehung d den Operator D(d) im Raum der Ket-Vektoren durch die Relation
ψB (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) = ψA d−1 (~r1 ), d−1 (~r2 ), . . . d−1 (~rN ) , (4.22)

104

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

wenn |Bi = D(d) |Ai und ψB , ψA die den Ket-Vektoren |Bi, |Ai entsprechenden Wellenfunktionen bezeichnen. Hierbei bezeichnet d−1 die zu d inverse Drehung (d · d−1 = d−1 · d = 1). Aus der Definition der Operatoren D(d) folgen die Relationen D(d1 ) ◦ D(d2 ) D(1) D(d−1 ) D† (d)

= = = =

D(d1 · d2 ) 1E (D(d))−1 (D(d))−1

(4.23) (4.24) (4.25) (4.26)

f¨ ur alle Drehungen d1 , d2 , d. Hierbei bezeichnet d1 ·d2 die Hintereinanderausf¨ uhrung von d1 , d2 : d1 · d2 (~r ) = d1 (d2 (~r )). d1 · d2 ist auch eine Drehung. Ferner bezeichnet 1 die identische Abbildung in IR3 , also eine Drehung um eine beliebige Achse um den Winkel Null. Schließlich bezeichnet 1E den Eins-Operator im Raum der Ket-Vektoren E. (Der Einfachheit halber wird 1E durch 1 abgek¨ urzt.) Beweis: 1. Seien |Bi = D(d2 ) |Ai, |Ci = D(d1 ) |Bi und ψA , ψB , ψC die den Vektoren |Ai, |Bi, |Ci entsprechenden Wellenfunktionen. Nach der Definition gelten
ψC (~r1 , . . . ~rN ) = ψB d−1 r1 ), . . . d−1 rN ) 1 (~ 1 (~ und
0 −1 0 ψB (~r 01 , . . . ~r 0N ) = ψA d−1 (~ r ), . . . d (~ r ) . 2 1 2 N Hieraus folgt (mit der Bezeichnung ~r 0k = d−1 rk )) 1 (~
0 −1 0 ψC (~r1 , . . . ~rN ) = ψB (~r 01 , . . . ~r 0N ) = ψA d−1 (~ r ), . . . d (~ r ) 2 1 N
2 −1 −1 −1 (d (~ r )), . . . d (d (~ r )) , = ψA d−1 1 N 1 2 1 2 d.h.
ψC (~r1 , . . . ~rN ) = ψA d−1 (~r1 ), . . . d−1 (~rN ) −1 −1 mit d = d1 · d2 (da d−1 2 · d1 = (d1 · d2 ) ). Somit gilt

|Ci = D(d1 · d2 ) |Ai. Andererseits |Ci = D(d1 ) |Bi = D(d1 ) D(d2 ) |Ai. Da also D(d1 ) D(d2 ) |Ai = D(d1 · d2 ) |Ai f¨ ur beliebiges |Ai gilt, ist (4.23) bewiesen. 2. D(1) = 1 (4.24) ist trivial.

4.1. TRANSLATIONEN UND DREHUNGEN

105

3. D(d−1 ) = (D(d))−1 (4.25) ist eine Folge von (4.23) und (4.24). Denn D(d−1 ) D(d) = D(d−1 · d) = D(1) = 1 und D(d) D(d−1 ) = D(d · d−1 ) = D(1) = 1. 4. F¨ ur jedes Paar von Ket-Vektoren |A1 i, |A2 i gilt hA1 |A2 i = hB1 |B2 i, wenn |Bk i = D(d) |Ak i ist. Denn Z hA1 |A2 i = ψA∗ 1 (~r1 , . . . ~rN ) ψA2 (~r1 , . . . ~rN ) d3~r1 · · · d3~rN und hB1 |B2 i Z ψB∗ 1 (~r1 , . . . ~rN ) ψB2 (~r1 , . . . ~rN ) d3~r1 · · · d3~rN = Z

= ψA∗ 1 d−1 (~r1 ), . . . d−1 (~rN ) ψA2 d−1 (~r1 ), . . . d−1 (~rN ) d3~r1 · · · d3~rN Z = ψA∗ 1 (~r 01 , . . . ~r 0N ) ψA2 (~r 01 , . . . ~r 0N ) d3~r 01 · · · d3~r 0N = hA1 |A2 i mit der Variablensubstitution ~r 0k = d−1 (~rk ), wobei d3~r1 · · · d3~rN = d3~r 01 · · · d3~r 0N , weil die Jacobi-Determinante bei dieser Substitution gleich Eins ist. Somit: hA1 |A2 i = hA1 | D† (d) D(d) |A2 i | {z } | {z } hB1 |

f¨ ur alle |A1 i, |A2 i.

|B2 i

Also D† (d) D(d) = 1. Multiplikation von rechts mit dem Operator (D(d))−1 ergibt D† (d) D(d) (D(d))−1 = (D(d))−1 , d.h. D† (d) = (D(d))−1 .

2

4.1.3 Infinitesimale Drehungen und Drehimpuls Aus den Relationen D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ),

D(1) = 1,

D† (d) = (D(d))−1 = D(d−1 )

(4.27)

und einer Differenzierbarkeitsforderung f¨ ur D(d) erh¨alt man folgendes Ergebnis:

106

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

Satz: Es existiert genau ein Tripel J~ = (J1 , J2 , J3 ) von Operatoren im Raum der Ket-Vektoren E mit den Eigenschaften Jk = Jk†

| k = 1, 2, 3

[J1 , J2 ] = iJ3 so daß

und zyklisch, ~

D(eφ~n× ) = e−i(J·~n)φ

(4.28) (4.29) (4.30)

f¨ ur jeden Winkel φ aus IR und jeden Einheitsvektor ~n aus IR3 gilt. Beweis: 1. Sei F (a1 , a2 , a3 ) = D(e~a× ) f¨ ur ~a = (a1 , a2 , a3 ). Wir definieren die Operatoren Jk durch ∂F Jk = i | k = 1, 2, 3. ∂ak ~a=0 Aus der Eigenschaft D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ) folgt insbesondere D(e(λ+∆λ)~a× ) = D(e∆λ~a× ) D(eλ~a× ) und daraus wiederum  D(e(λ+∆λ)~a× ) − D(eλ~a× ) lim ∆λ→0 ∆λ   ∆λ~a× D(e )−1 = lim D(eλ~a× ) ∆λ→0 ∆λ   d λ~a× D(e ) D(eλ~a× ) = dλ λ=0   d = F (λa1 , λa2 , λa3 ) D(eλ~a× ) dλ

d D(eλ~a× ) = dλ



λ=0

= −i (J1 a1 + J2 a2 + J3 a3 ) D(eλ~a× ) = −i (J~ · ~a) D(eλ~a× ). Also

d D(eλ~a× ) = −i (J~ · ~a) D(eλ~a× ). dλ

(4.31)

2. Unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangsbedingung D(eλ~a× )|λ=0 = D(1) = 1 erh¨alt man aus der Differentialgleichung (4.31) ~

D(eλ~a× ) = e−i(J·~a)λ . Aus der Unitarit¨atsbedingung D(eλ~a× )† = (D(eλ~a× ))−1 = D(e−λ~a× ) folgt ~

~

(e−i(J·~a)λ )† = e+i(J·~a)λ .

4.1. TRANSLATIONEN UND DREHUNGEN

107

Die Potenzreihenentwicklung ergibt (1 − i(J~ · ~a)λ + O(λ2 ))† = (1 + i(J~ · ~a)λ + O(λ2 )) und damit auch (J~ · ~a)† = J~ · ~a. Das bedeutet, daß die Operatoren Jk | k = 1, 2, 3 hermitesch sind. 3. Es gilt f¨ ur beliebige Einheitsvektoren ~n1 , ~n2 : 0

eφ2~n2 × eφ1~n1 × e−φ2~n2 × = eφ1~n1 × , wobei ~n01 = eφ2~n2 × (~n1 ). Dies kann man durch anschauliche geometrische Betrachtung leicht einsehen: Die Hintereinanderausf¨ uhrung der Drehungen d · eφ1~n1 × · d−1 ist gleich einer Drehung mit Winkel φ1 um die neue Achse ~n01 , die durch die Drehung d aus ~n1 entsteht. Unter Benutzung der Relation D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ) erh¨alt man also 0

D(eφ2~n2 × ) D(eφ1~n1 × ) D(e−φ2~n2 × ) = D(eφ1~n1 × ), d.h. ~

~

~

~

0

e−i(J·~n2 )φ2 e−i(J·~n1 )φ1 e+i(J·~n2 )φ2 = e−i(J·~n1 )φ1 . Daraus folgt     ~ n2 )φ2 ~ n2 )φ2 −i(J·~ 2 +i(J·~ 0 2 ~ ~ 1 − i(J · ~n1 )φ1 + O(φ1 ) e = 1 − i(J · ~n1 )φ1 + O(φ1 ) e und somit ~ ~ e−i(J·~n2 )φ2 (J~ · ~n1 )e+i(J·~n2 )φ2 = (J~ · ~n01 ).

Entwicklung nach Potenzen von φ2 ergibt (J~ · ~n1 ) − i[(J~ · ~n2 ), (J~ · ~n1 )]φ2 + O(φ22 ) = (J~ · ~n1 ) + (J~ · (~n2 × ~n1 ))φ2 + O(φ22 ), die zu den Vertauschungsrelationen {[J1 , J2 ] = iJ3 und zyklisch} ¨aquivalent ist. 2 Damit hat man in Teil 3 des Beweises auch die Relation ~

~

e−i(J·~n)φ (J~ · ~a)e+i(J·~n)φ = (J~ · ~a0 ) mit ~a0 = eφ~n× (~a) gezeigt.

(4.32)

108

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

F¨ ur ein System aus N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade gilt 3

1X J~ = ~rk × p~k . h ¯ k=1 Denn: (J~ · ~a) |Ai =



 d i |Bi dφ φ=0

(4.33)

~

mit |Bi = e−i(J·~a)φ |Ai.

F¨ ur die entsprechenden Wellenfunktionen ψB , ψA gilt ψB (~r1 , . . . ~rN ) = ψA (e−φ~a×~r1 , . . . e−φ~a×~rN ) und somit N   X d ~ ~r ψA (~r1 , . . . ~rN ) · (~a × ~rk ) i ψB = −i ∇ k dφ φ=0 k=1 ! N  X 1 h ¯~ = ~a · ~rk × ∇~rk ψA (~r1 , . . . ~rN ), h ¯ i k=1 also 

 ! N  X d 1 h ¯ ~ ~r i |Bi = ~a · ~rk × ∇ |Ai. k dφ h ¯ i φ=0 k=1

Im oben besprochenen Fall eines Systems aus Teilchen ohne innere Freiheitsgrade ist also f¨ ur jeden Einheitsvektor ~n aus IR3 der Operator (J~ · ~n) mit dem Operator der Komponente des Gesamtdrehimpulses in Richtung ~n identisch. Dieser Zusammenhang ist aber ganz allgemein: F¨ ur jedes System hat der der Drehung eφ~n× ~ φ~ n× entsprechende Operator D(e ) die Form e−i(J·~n)φ , wobei (J~ · ~n) der Operator der Komponente in Richtung ~n des Gesamtdrehimpulses ist. (Diese allgemeine Relation wird manchmal umgekehrt zur Definition des Gesamtdrehimpulses benutzt.) Wenn der Hamiltonoperator H des Systems unter Drehungen invariant ist, d.h. wenn D(eφ~n× ) H D(e−φ~n× ) = H (4.34) gilt, dann ist der Gesamtdrehimpuls eine Konstante der Bewegung: [(J~ · ~n), H] = 0

(4.35)

Bemerkung: F¨ ur Teilchen mit halbzahligem Spin entsteht eine kleine formale ~ Komplikation: Es gilt n¨amlich e−i(J·~n)2π 6= 1. Diese Schwierigkeit kann aber leicht behoben werden, wie noch gezeigt wird (vgl. Abschnitt 4.2.2).

4.2. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN

109

4.2 Darstellungen von Gruppen, Darstellung der Drehgruppe 4.2.1 Allgemeine Theorie Sei G eine Gruppe3 und E ein Vektorraum4 und L(E) die Menge der linearen Operatoren im Raum E. Eine Abbildung D von G in L(E) heißt eine Darstellung der Gruppe G in L(E) oder kurz eine Darstellung der Gruppe G, wenn sie die Eigenschaften D(1) = 1E D(a · b) = D(a) D(b) f¨ ur jedes a, b ∈ G

(4.36) (4.37)

hat. Hierbei bezeichnet 1E den Einsoperator in E und wird oft mit 1 abgek¨ urzt. Beispiele: 1. Sei G die Gruppe der Translationen und E der Raum der Ket-Vektoren. Die i ~ ~ Abbildung, die der Translation um ξ~ den Operator e− h¯ P ·ξ zuordnet (vgl. Seite 101), ist eine Darstellung von G. 2. Sei G die Gruppe der Drehungen im dreidimensionalen Raum: Die Zuordnung ~ eφ~n× =⇒ D(eφ~n× ) = e−i(J·~n)φ ist eine Darstellung von G. Eine Darstellung D : G ⇒ L(E) der Gruppe G heißt unit¨ar, wenn der Raum E ein inneres Produkt hat und die Operatoren D(a) f¨ ur jedes a aus G unit¨ar sind: (D(a))−1 = (D(a))†

(4.38)

Ein Unterraum U von E heißt invarianter Unterraum f¨ ur die Darstellung D, wenn D(a) den Unterraum U f¨ ur jedes a aus G in sich abbildet, d.h. wenn D(a) |zi ∈ U 3

f¨ ur jedes |zi ∈ U und jedes a ∈ G.

G ist also eine Menge mit einer Operation (a, b) ⇒ a · b mit den Eigenschaften

1. (a · b) · c = a · (b · c) f¨ ur alle a, b, c aus G. 2. Es gibt ein Element 1 aus G, so daß 1 · a = a · 1 = a f¨ ur alle a aus G gilt. 3. F¨ ur jedes a aus G gibt es ein Element a−1 aus G mit a · a−1 = a−1 · a = 1. 4

Es handelt sich hier um Vektorr¨ aume u ¨ber den K¨orper der komplexen Zahlen.

(4.39)

110

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

Der Raum E selbst und der aus dem Nullvektor allein bestehende Unterraum {0} sind offenbar invariante Unterr¨aume. Eine Darstellung D : G ⇒ L(E) heißt irreduzibel, wenn es außer E und {0} keinen invarianten Unterraum gibt; andernfalls nennt man D reduzibel. Allgemeiner: Ein Unterraum U heißt invariant bez¨ uglich einer Menge X von Operatoren in E, wenn jeder Operator aus X U in sich abbildet. Der Raum E heißt irreduzibel bez¨ uglich der Menge von Operatoren X, wenn es außer E und {0} keinen bez¨ uglich X invarianten Unterraum gibt. Wenn U ein invarianter Unterraum f¨ ur die Darstellung D : G ⇒ L(E) ist, dann erh¨alt man durch Beschr¨ankung des Operators D(a) auf U eine Darstellung der Gruppe G in L(U ). Diese Darstellung wird kurz Beschr¨ankung der Darstellung D auf U bezeichnet. Zwei Darstellungen D1 : G ⇒ L(E1 ) und D2 : G ⇒ L(E2 ) einer Gruppe G werden ¨aquivalent genannt, wenn es eine eineindeutige lineare Abbildung f von E1 auf E2 gibt, so daß f D1 (a) f −1 = D2 (a) f¨ ur jedes a ∈ G (4.40) gilt. Andernfalls werden sie in¨aquivalent genannt. Eine wichtige Aufgabe der Dar¨ stellungstheorie ist, eine Ubersicht der Gesamtheit der irreduziblen Darstellungen einer Gruppe G zu liefern: Es soll eine Menge M von paarweise in¨aquivalenten irreduziblen Darstellungen von G konstruiert werden, so daß jede beliebige irreduzible Darstellung zu einer Darstellung aus der Menge M ¨aquivalent ist.

4.2.2 Darstellungen der Drehgruppe Mit O3+ bezeichnen wir im folgenden die Gruppe der Drehungen im dreidimensionalen Raum. Die Elemente von O3+ k¨onnen als Operatoren eφ~n× dargestellt werden (vgl. Seite 102). Um die mit den halbzahligen Eigenwerten von Jk zusammenh¨angenden Schwierigkeiten zu beheben, f¨ uhrt man den Begriff der lokalen ” Darstellung“ der Gruppe O3+ ein. Eine Abbildung D : O3+ ⇒ L(E) wird lokale Darstellung der Drehgruppe genannt, wenn sie folgende Eigenschaften hat: D(1) = 1E

(4.41) 

D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 )

f¨ ur

φk ~ nk ×

dk = e mit |φk ~nk | <

π 2

k = 1, 2

(4.42)

Also wird bei einer lokalen Darstellung D die Relation D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ) nur f¨ ur gen¨ ugend kleine“ Drehungen (f¨ ur Drehungen mit Drehwinkel kleiner als ” π ) gefordert. Offenbar ist jede Darstellung auch eine lokale Darstellung, aber 2 nicht jede lokale Darstellung ist eine Darstellung5 . 5

Den Begriff der lokalen Darstellung von O3+ kann man etwas allgemeiner fassen: D : O3+ ⇒

4.2. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN

111

Zwei lokale Darstellungen D1 : O3+ ⇒ L(E1 ) und D2 : O3+ ⇒ L(E2 ) der Drehgruppe heißen ¨aquivalent, wenn es eine eineindeutige lineare Abbildung f von E1 auf E2 gibt, so daß f D1 (eφ~n× ) f −1 = D2 (eφ~n× ) |φ~n| < π2 (4.43) gilt6 . Andernfalls heißen die lokalen Darstellungen in¨aquivalent. Sei D : O3+ ⇒ L(E) eine lokale Darstellung von O3+ . Ein Unterraum U von E heißt invarianter Unterraum f¨ ur die lokale Darstellung D, wenn f¨ ur jedes |φ~n| < π2 der Operator D(eφ~n× ) U in sich abbildet, d.h. wenn gilt D(eφ~n× ) |zi ∈ U

f¨ ur jedes |zi ∈ U und jedes |φ~n| < π2 .

(4.44)

Eine lokale Darstellung D : O3+ ⇒ L(E) heißt irreduzibel, wenn es außer E selbst und {0} keinen invarianten Unterraum f¨ ur D gibt. Sei D : O3+ ⇒ L(E) eine lokale Darstellung von O3+ . Man erh¨alt (vgl. Abschnitt 4.1.3) unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit von D(eφ~n× ) das Ergebnis: Satz: Es gibt drei hermitesche Operatoren J1 , J2 , J3 in E mit den Vertauschungsrelationen [J1 , J2 ] = iJ3 und zyklisch, (4.45) so daß

~

D(eφ~n× ) = e−i(J·~n)φ

(4.46)

f¨ ur jeden Einheitsvektor ~n und |φ| < π gilt. Aus obiger Relation folgt, daß ein Unterraum U von E ein invarianter Unterraum f¨ ur die lokale Darstellung D genau dann ist, wenn er invariant bez¨ uglich der Menge von Operatoren {J1 , J2 , J3 } ist. Hieraus folgt ferner, daß die lokale Darstellung D genau dann irreduzibel ist, wenn E bez¨ uglich der Operatorenmenge {J1 , J2 , J3 } irreduzibel ist. Man kann aber auch umgekehrt zeigen: Wenn in einem Raum E drei hermitesche Operatoren J1 , J2 , J3 mit der Eigenschaft {[J1 , J2 ] = iJ3 und zyklisch} definiert ~ sind, dann ist jede Abbildung D : O3+ ⇒ L(E) mit D(eφ~n× ) = e−i(J·~n)φ (wobei |~n| = 1 und |φ| < π) eine unit¨are lokale Darstellung von O3+ . L(E) ist eine lokale Darstellung, wenn D(1) = 1E gilt und es eine Zahl δ > 0 gibt, so daß D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ) gilt, falls dk = eφk ~nk × und |φk ~nk | < δ f¨ ur k = 1, 2. Diese Fassung entspricht der Definition der lokalen Darstellung einer allgemeinen kontinuierlichen Gruppe G. Da wir uns hier ohnehin nur mit der O3+ befassen, bringt diese allgemeinere Fassung keinen Vorteil. 6 ¨ Beim Ubergang von Darstellungen zu lokalen Darstellungen wird der Ausdruck f¨ ur alle d ” aus O3+“ bei allen Definitionen durch f¨ ur alle eφ~n× mit |φ~n| < π2 “ ersetzt. ”

112

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

Bemerkung: An dieser Stelle spielt der Unterschied zwischen Darstellung und lokaler Darstellung eine wesentliche Rolle: Sei E ein zweidimensionaler Raum mit der orthonormierten Basis {| 12 , mi : m = + 12 , − 12 } und seien {J1 , J2 , J3 } die durch die Relationen J3 | 12 , mi = m | 12 , mi p (J1 ± iJ2 ) | 12 , mi = j(j +1) − m(m±1) | 12 , m ± 1i

(4.47) (4.48)

definierten linearen Operatoren. Diese Operatoren sind hermitesch und erf¨ ullen die Vertauschungsrelationen {[J1 , J2 ] = iJ3 und zyklisch}. Es gilt e−i2πJ3 = −1,

(4.49)

denn e−i2πJ3 | 12 , mi = e−i2πm | 12 , mi = −| 12 , mi

| m = ± 21 .

Es gibt also keine Darstellung D von O3+ mit der Eigenschaft φ~ n×

D(e

f¨ ur jeden Einheitsvektor ~n und jedes |φ| < δ,

~ n)φ −i(J·~

)=e

(4.50)

wobei δ irgendeine positive Zahl ist. Denn g¨abe es eine solche Darstellung, dann m¨ ußte gelten 2π~ n×

1 = D(1) = D(e



) = D (e

F¨ ur gen¨ ugend großes k ist aber

2π k

2π ~ n× k

k

)





= D (e

2π ~ n× k

k )

| k = 1, 2, . . .

< δ und folglich ~

2π

2π

D(e k ~n× ) = e−i(J·~n) k . Also m¨ ußte ~

2π

~

1 = (e−i(J·~n) k )k = e−i(J·~n)2π f¨ ur alle Einheitsvektoren ~n gelten und insbesondere 1 = e−iJ3 2π . Dies wiederspricht aber der Relation e−iJ3 2π = −1. Es gibt aber eine lokale Darstellung D von O3+ mit der Eigenschaft (4.50). Mit Hilfe des Begriffs der lokalen Darstellung u ¨berwindet man also die formalen Schwierigkeiten, die von den halbzahligen J3 -Eigenwerten herr¨ uhren. Die Re−iJ3 2π lation e = −1 bei halbzahligen J3 -Eigenwerten wirft aber dar¨ uberhinaus ~ die Frage nach dem Zusammenhang zwischen den Operatoren e−i(J·~n)φ und den Drehungen eines physikalischen Systems auf.

4.2. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN

113

4.2.3 Drehungen eines physikalischen Systems und Drehoperatoren Bei einer Drehung d1 eines physikalischen Systems geht jeder Zustand des Systems ¨ in einen neuen u kann durch eine Abbildung T1 : E ⇒ E des ¨ber. Dieser Ubergang Raums der Ket-Vektoren in sich dargestellt werden. Da aber die Ket-Vektoren |xi und λ|xi f¨ ur jede komplexe Zahl λ 6= 0 den gleichen Zustand darstellen, gibt es viele M¨oglichkeiten die Abbildung T1 zu w¨ahlen. F¨ ur Drehungen kann gezeigt 7 werden , daß diese Freiheit der Wahl so ausgenutzt werden kann, daß T1 ein unit¨arer linearer Operator ist. Aber auch bei der zus¨atzlichen Forderung, daß T1 ein unit¨arer linearer Operator sein soll, bleibt noch Freiheit bei der Wahl von T1 : F¨ ur jede komplexe Zahl c mit |c| = 1 ist T10 = cT1 auch ein unit¨arer linearer Operator, der jedem Vektor |xi = 6 0 einen Zustandsvektor zuordnet, welcher dem Zustand entspricht, der durch die Drehung d1 aus dem von |xi charakterisierten Zustand hervorgeht. Dieser Sachverhalt hat folgende Konsequenz: Wenn T = D(d) den der Drehung d zugeordneten unit¨aren linearen Operator bezeichnet, dann gilt f¨ ur jedes Paar d1 , d2 von Drehungen D(d1 ) D(d2 ) = w(d1 , d2 ) D(d1 d2 ),

(4.51)

wobei w(d1 , d2 ) eine von d1 , d2 abh¨angende komplexe Zahl mit |w(d1 , d2 )| = 1 bezeichnet. Wenn man eine andere Wahl f¨ ur die unit¨aren Operatoren trifft: T 0 = D0 (d) = c(d) D(d),

(4.52)

wobei c(d) eine von d abh¨angende komplexe Zahl mit |c(d)| = 1 bezeichnet, dann gilt   c(d1 ) c(d2 ) 0 0 D (d1 ) D (d2 ) = w(d1 , d2 ) D0 (d1 d2 ). (4.53) c(d1 d2 ) Man k¨onnte also hoffen, daß bei geschickter Wahl von c(d) c(d1 ) c(d2 ) w(d1 , d2 ) = 1 und damit D0 (d1 ) D0 (d2 ) = D0 (d1 d2 ) c(d1 d2 ) f¨ ur alle Paare (d1 , d2 ) gilt. Diese Hoffnung ist jedoch falsch; man kann nur erreichen, daß D0 (d1 ) D0 (d2 ) = D0 (d1 d2 ) f¨ ur alle d1 , d2 mit gen¨ ugend kleinem Drehwinkel (Drehungen in einer Umgebung der Eins) gilt. Nach Klarstellung dieses Punktes ist es nicht mehr verwunderlich, wenn 1 = D(1) 6= D(eπ~n× ) D(eπ~n× ) bei halbzahligen Drehimpulseigenwerten gilt. 7

vgl. z.B. Gottfried: Quantum Mechanics I

(4.54)

114

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

4.2.4 Irreduzible lokale Darstellungen der Drehgruppe Unter Benutzung der S¨atze u ¨ber Eigenvektoren und Eigenwerte der Drehimpulsoperatoren (vgl. Abschnitt 2.2.2) erh¨alt man folgenden Satz von irreduziblen lokalen Darstellungen der Drehgruppe: D(j) | j = 0, 12 , 1, 32 , 2, . . . Diese sind definiert wie folgt: E (j) ist ein komplexer Vektorraum mit einer orthonormierten Basis {|j, mi : m = −j, −j + 1, . . . j}. In E (j) sind die linearen Operatoren J1 , J2 , J3 definiert durch die Relationen J3 |j, mi = m |j, mi p (J1 ± iJ2 ) |j, mi = j(j +1) − m(m±1) |j, m ± 1i.

(4.55) (4.56)

Die so definierten Operatoren sind hermitesch und erf¨ ullen die Relation {[J1 , J2 ] = iJ3 und zyklisch}. Es gilt ferner (J12 + J22 + J32 ) |j, mi = j(j +1) |j, mi

| m = −j, −j +1, . . . j.

Die lokale Darstellung D(j) : O3+ ⇒ L(E (j) ) ist definiert durch ~ n)φ (j) φ~ n× −i(J·~ D (e ) = e |~n| = 1 und |φ| < π.

(4.57)

(4.58)

(F¨ ur ganzzahliges j kann die Beschr¨ankung |φ| < π aufgehoben werden: {D(j) (eφ~n× ) ~ = e−i(J·~n)φ | − π ≤ φ ≤ π, |~n| = 1} ist sogar eine Darstellung von O3+ .) Jede differenzierbare irreduzible lokale Darstellung ist einer der Darstellungen der 1 Menge {D(0) , D( 2 ) , D(1) , . . .} ¨aquivalent.

4.2.5 Tensorprodukt von Darstellungen (Drehimpulskopplung) Seien D1 : O3+ ⇒ L(E1 ), D2 : O3+ ⇒ L(E2 ) zwei (lokale) Darstellungen der Drehgruppe. Dann ist die Abbildung D : O3+ ⇒ L(E1 ⊗ E2 ), die definiert wird durch D(d) = D1 (d) ⊗ D2 (d) f¨ ur alle d aus O3+ , (4.59) auch eine (lokale) Darstellung von O3+ . Aus D1 (a·b) = D1 (a) D2 (b) und D2 (a·b) = D2 (a) D2 (b) folgt n¨amlich D1 (a · b) ⊗ D2 (a · b) = (D1 (a) D1 (b)) ⊗ (D2 (a) D2 (b)) = (D1 (a) ⊗ D2 (a)) (D1 (b) ⊗ D2 (b)) , d.h. D(a · b) = D(a) D(b). Andererseits ist D(1) = D1 (1) ⊗ D2 (1) = 1 ⊗ 1 = 1.

4.2. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN

115

Die (lokale) Darstellung D wird Kroneckerprodukt oder Tensorprodukt der (lokalen) Darstellungen D1 , D2 genannt und gelegentlich mit D1 ⊗ D2 bezeichnet. In der Quantenmechanik tritt das Kroneckerprodukt von Darstellungen bei der Betrachtung eines aus Teilsystemen zusammengesetzten Systems auf. Wenn E1 (bzw. E2 ) der Raum der Ket-Vektoren f¨ ur das Teilsystem S1 (bzw. S2 ) ist, dann sind alle Ket-Vektoren, die Zust¨anden des aus S1 und S2 zusammengesetzten Systems entsprechen, Vektoren aus E1 ⊗ E2 . Wenn durch die (lokale) Darstellung D1 (bzw. D2 ) die Drehungen des Teilsystems S1 (bzw. S2 ) beschrieben werden, dann beschreibt D1 ⊗ D2 die Drehungen des Gesamtsystems. Wenn J~(1) (bzw. J~(2) ) die Drehimpulsoperatoren f¨ ur das Teilsystem S1 (bzw. S2 ) bezeichnet, dann gilt f¨ ur jedes |~n| = 1 und |φ| < π folgende Relation8 : ~(1) ·~ n)φ

D(eφ~n× ) = D1 (eφ~n× ) ⊗ D2 (eφ~n× ) = e−i(J

~(2) ·~ n)φ

⊗ e−i(J

~

= e−i(J·~n)φ ,

(4.60)

wobei (J~ · ~n) = (J~(1) · ~n) ⊗ 1 + 1 ⊗ (J~(2) · ~n),

(4.61)

d.h. die Projektion des Drehimpulses des Gesamtsystems in Richtung ~n ist gleich der Summe der entsprechenden Projektionen der Drehimpulse beider Teilsysteme. Bei den Anwendungen besonders wichtig ist der Fall des Kroneckerprodukts D(j1 ) ⊗ D(j2 ) der irreduziblen Darstellungen D(j1 ) , D(j2 ) . Die Darstellung D(j1 ) ⊗ D(j2 ) ist im allgemeinen nicht irreduzibel. Aber der Raum E (j1 ) ⊗E (j2 ) kann in invariante paarweise zueinander orthogonale Unterr¨aume zerlegt werden, so daß die Beschr¨ankung der (lokalen) Darstellung auf jeden dieser Unterr¨aume irreduzibel ist. Im folgenden werden die Ergebnisse ohne Beweis angegeben. Es gibt eine orthonormierte Basis von E (j1 ) ⊗ E (j2 ) M = −J, −J +1, . . . J |JM i J = |j1 −j2 |, |j1 −j2 |+1, . . . j1 +j2 mit folgenden Eigenschaften: 8

Es gilt n¨ amlich allgemein eA ⊗ eB = eA⊗1+1⊗B . Dies zeigt man wie folgt: eA ⊗ eB = (eA ⊗ 1)(1 ⊗ eB ) = eA⊗1 e1⊗B .

Aber die Operatoren (A ⊗ 1) und (1 ⊗ B) kommutieren miteinander, und somit gilt eA⊗1 e1⊗B = eA⊗1+1⊗B .

(4.62)

116

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

F¨ ur jedes J ist der von den Basisvektoren {|JM i : M = −J, . . . J} aufgespannte Unterraum [E (j1 ) ⊗ E (j2 ) ]J ein invarianter Unterraum f¨ ur D(j1 ) ⊗ D(j2 ) . Die Beschr¨ankung von D(j1 ) ⊗D(j2 ) auf [E (j1 ) ⊗E (j2 ) ]J ist ¨aquivalent mit der irreduziblen lokalen Darstellung D(J) . Es gilt n¨amlich J3 |JM i = M |JM i p (J1 ± iJ2 ) |JM i = J(J +1) − M (M ±1) |J, M ±1i,

(4.63) (4.64)

wobei {Jk | k = 1, 2, 3} die Operatoren f¨ ur die drei Komponenten des Gesamtdrehimpulses bezeichnen: (1)

(2)

Jk = Jk ⊗ 1 + 1 ⊗ J k

| k = 1, 2, 3

(4.65)

Die Entwicklungskoeffizienten der Basisvektoren |JM i in der Basis |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i

| m1/2 = −j1/2 , . . . j1/2

werden Clebsch-Gordan-Koeffizienten genannt. X |JM i = C(j1 m1 ; j2 m2 |JM ) |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i

(4.66)

m1 ,m2

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind reell und erf¨ ullen die Bedingung C(j1 j1 ; j2 , J −j1 |JJ) > 0 (1)

| J = |j1 −j2 |, . . . j1 +j2 .

(4.67)

(2)

Aus der Relation J3 = (J3 ⊗ 1) + (1 ⊗ J3 ) erh¨alt man C(j1 m1 ; j2 m2 |JM ) = 0,

wenn m1 + m2 6= M .

(4.68)

4.2.6 Tensoroperatoren und Wigner–Eckart–Theorem Definition: Sei D : O3+ ⇒ L(E) eine (lokale) Darstellung der O3+ . Eine Abbildung9 T : E (q) ⇒ L(E) wird irreduzibler Tensoroperator der Stufe q genannt, wenn sie linear ist und folgende Eigenschaft hat:   D(d) T (x) (D(d))−1 = T (D(q) (d) x) f¨ ur jedes x aus E (q) und jede Drehung d aus O3+ mit Drehwinkel φ (|φ| < π). (4.69) Erl¨auterung: F¨ ur jedes x aus E (q) ist T (x) ein Operator in E. D(q) ist die auf Seite 114 definierte Darstellung O3+ ⇒ L(E (q) ). Also ist D(q) (d) x ein Vektor aus 9

Zur Definition von E (q) vgl. Seite 114.

4.2. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN

117

E (q) . Die Vektoren aus E (q) werden nicht als Ket-Vektoren bezeichnet; entsprechend wird die Bezeichnung {eqk | k = −q, . . . q} f¨ ur die auf Seite 114 angegebene (q) orthonormierte Basis von E benutzt. Schließlich wird, um Verwechslungen zu ~ ~ vermeiden, e−i(j·~n)φ f¨ ur D(q) (eφ~n× ) geschrieben, w¨ahrend die Bezeichnung e−i(J·~n)φ f¨ ur D(eφ~n× ) vorbehalten bleibt. Der Tensoroperator T ist durch Angabe der 2q+1 Operatoren {T (eqk ) | k = −q, . . . q} vollst¨andig bestimmt. In der Literatur ist es u ¨blich, diesen Satz von 2q+1 Operatoren einen Tensoroperator zu nennen. Aus der Definition folgt, daß eine lineare Abbildung T : E (q) ⇒ L(E) genau dann ein Tensoroperator ist, wenn die folgende Aussage gilt:   f¨ ur jedes x aus E (q) ~ ~ [(J · ~n), T (x)] = T ((j · ~n)x) (4.70) und jedes ~n aus IR3 mit |~n| = 1. Beweis: 1. Aus

~

~

~

e−i(J·~n))φ T (x) ei(J·~n)φ = T (e−i(j·~n)φ x) folgt   T (x) − iφ[(J~ · ~n), T (x)] + O(φ2 ) = T x − iφ(~j · ~n)x + O(φ2 ) = T (x) − iφT ((~j · ~n)x) + O(φ2 ) und damit [(J~ · ~n), T (x)] = T ((~j · ~n)x). 2. Aus der Hausdorff-Identit¨at A

−A

e Be

∞ X 1 =B+ [A, B]ν ν! ν=1

(mit [A, B]ν+1 = [A, [A, B]ν ] f¨ ur ν = 1, 2, . . . und [A, B]1 = [A, B]) folgt ~ n)φ −i(J·~

e

~ n)φ i(J·~

T (x) e

= T (x) +

∞ X (−iφ)ν ν=1

ν!

[(J~ · ~n), T (x)]ν .

Wenn also [(J~ · ~n), T (z)] = T ((~j · ~n)z)

f¨ ur alle a aus E (q)

gilt, dann gilt [(J~ · ~n), T (x)]ν = T ((~j · ~n)ν z) und damit ~ n)φ −i(J·~

e

~ n)φ i(J·~

T (x) e

  ∞ X (−iφ)ν ~ ~ ν = T (j · ~n) x = T (e−i(j·~n)φ x). ν! ν=0

2

118

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

F¨ ur jede lineare Abbildung T : E (q) ⇒ L(E) ist die Bedingung (4.70) a¨quivalent zu:   [J3 , T (eqk )] = k T (eqk ) p | k = −q, . . . q (4.71) [(J1 ±iJ2 ), T (eqk )] = q(q+1) − k(k±1) T (eqk±1 ) F¨ ur irreduzible Tensoroperatoren gilt das Wigner–Eckart–Theorem, welches wir hier ohne Beweis angeben: hα0 J 0 M 0 |T (eqk )|αJM i = c(α0 , α, J 0 , J, q) C(qk; JM |J 0 M 0 )

(4.72)

Hierbei bezeichnen |αJM i (bzw. hα0 J 0 M 0 |) Ket- (bzw. Bra-) Vektoren mit J3 |αJM i = M |αJM i p (J1 ± iJ2 ) |αJM i = J(J +1) − M (M ±1) |αJ, M ±1i, (bzw. entsprechend f¨ ur hα0 J 0 M 0 |). Weiterhin ist C(qk; JM |J 0 M 0 ) ein ClebschGordan-Koeffizient, und schließlich ist c(α0 , α, J 0 , J, q) eine von M 0 , M, k unabh¨angige komplexe Zahl.

Kapitel 5 Anwendungen 5.1 Systeme gleicher Teilchen. Fermionen und Bosonen 5.1.1 Der Raum der Ket–Vektoren Die Ket-Vektoren eines Systems aus N Teilchen sind Elemente des Raumes E1 ⊗ E2 ⊗· · · EN , wenn Ek den Raum der Ket-Vektoren f¨ ur das nur aus dem Teilchen k bestehende System bezeichnet. Dies erh¨alt man durch direkte Verallgemeinerung des Spezialfalls eines Zweiteilchensystems (vgl. die Abschnitte 3.3.2 und 3.3.3). Wenn {|λi(k) : λ = 1, 2, . . .} orthonormierte Basis1 von Ek f¨ ur k = 1, . . . N ist, dann ist  |λ1 i(1) ⊗ |λ2 i(2) ⊗ · · · |λN i(N ) | λ1 , . . . λN = 1, 2, . . . (5.1) eine orthonormierte Basis von E1 ⊗ E2 ⊗ · · · EN . Beispiel: 

|~r, mi(k) | ~r ∈ IR3 , m = −jk , −jk +1, . . . jk



(5.2)

ist orthonormierte Basis von Ek , wenn das Teilchen k ein Teilchen mit Spin jk ist: (k) h~r, m|~r 0 , m0 i(k) = δ(~r −~r 0 ) δmm0 . Dann ist   ~rk ∈ IR3   |~r1 , m1 i(1) ⊗ |~r2 , m2 i(2) ⊗ · · · |~rN , mN i(N ) mk = −jk , . . . jk (5.3)  k = 1, 2, . . . N  eine orthonormierte Basis von E1 ⊗ E2 ⊗ · · · EN . Jeder Vektor |Ai aus E1 ⊗ E2 ⊗ · · · EN wird eindeutig charakterisiert durch die Wellenfunktion
ψA (~r1 , m1 ; ~r2 , m2 ; . . . ~rN , mN ) = (1) h~r1 m1 | ⊗ (2) h~r2 m2 | ⊗ · · · (N ) h~rN mN | |Ai. (5.4) 1

Der Index k am Ket |λi(k) (bzw. Bra (k) hλ|) soll darauf hinweisen, daß es sich um einen Vektor des Raumes Ek (bzw. des dualen Raumes Ek∗ ) handelt.

119

120

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Wenn E1 = E2 . . . = EN = E gilt2 , dann ist E1 ⊗ E2 ⊗ · · · EN = E ⊗ E ⊗ · · · E und dann ist {|λ1 i ⊗ |λ2 i ⊗ · · · |λN i : λ1 . . . λN = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von E ⊗ E ⊗ · · · E, wenn {|λi : λ = 1, 2, . . .} orthonormierte Basis von E ist. Es werden im folgenden nur solche Systeme betrachtet, f¨ ur die E1 = E2 = . . . = EN = E ist. Bezeichnungen und Definitionen: E ⊗N = E ⊗ · · · E} | ⊗ E{z

(5.5)

N Faktoren

(E = Raum von Ket-Vektoren f¨ ur ein Einteilchensystem.) Basis von E:   ~r ∈ IR3 |~r, mi m = −j, . . . j

(5.6)

bzw. {|~r i : ~r ∈ IR3 } f¨ ur ein Teilchen ohne innere Freiheitsgrade. Die Vektoren |αi von E sind durch Wellenfunktionen φα (~r, m) = h~r, m|αi

bzw. φα (~r ) = h~r |αi

(5.7)

eindeutig charakterisiert. Die Vektoren |Ai von E ⊗N werden durch Wellenfunktionen ψA (~r1 m1 , . . . ~rN mN ) = (h~r1 m1 | ⊗ · · · h~rN mN |) |Ai bzw. ψA (~r1 , . . . ~rN ) = (h~r1 | ⊗ · · · h~rN |) |Ai

(5.8) (5.9)

eindeutig bestimmt. Die Argumente der Wellenfunktionen werden im folgenden vielfach durch η abgek¨ urzt: η⇐⇒(~r, m) |ηi⇐⇒|~r, mi φα (η)⇐⇒φα (~r, m) ψA (η1 , . . .RηN )⇐⇒ψ PA (~rR1 m1 , . . . ~rN mN ) dη⇐⇒ m d3~r

bzw. η⇐⇒~r bzw. |ηi⇐⇒|~r i bzw. φα (η)⇐⇒φα (~r ) bzw. ψA (η1 , . . .RηN )⇐⇒ψ R A (~r1 , . . . ~rN ) bzw. dη⇐⇒ d3~r

5.1.2 Permutationen in E ⊗N Eine Permutation P der Menge {1, 2, . . . N } ist eine eineindeutige Abbildung der Menge auf sich. Die Permutation P ordnet jeder Zahl k aus {1, 2, . . . N } die Zahl P (k) zu. Eine Permutation kann durch ein Diagramm   1 2 ... N P : (5.10) P (1) P (2) . . . P (N ) 2

Die R¨ aume E1 , . . . EN k¨ onnen u ¨bereinstimmen, obwohl die Teilchen 1, . . . N nicht gleicher Sorte sind. Beispiel: Drei-Teilchen-System aus einem Elektron, einem Proton und einem Neutron. Da alle drei Teilchen Spin 12 haben, kann f¨ ur jedes von ihnen der gleiche Raum von Ket-Vektoren mit Basis {|~r, mi | ~r ∈ IR3 , m = − 21 , 12 } benutzt werden.

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 121 als Permutation der Reihenfolge von 1, . . . N“ anschaulich dargestellt werden. ” Die Menge der Permutationen der Menge {1, 2, . . . N } wird mit SN bezeichnet. F¨ ur jede Permutation P aus SN definiert man die lineare Abbildung Pb in E ⊗N durch Pb(|α1 i ⊗ · · · |αN i) = |αP −1 (1) i ⊗ · · · |αP −1 (N ) i. (5.11) Aus dieser Definition folgt ψB (η1 , . . . ηN ) = ψA (ηP (1) , . . . ηP (N ) ),

wenn |Bi = Pb|Ai,

(5.12)

denn: ψB (η1 , . . . ηN ) = (hη1 | ⊗ · · · hηN |) |Bi = (hη1 | ⊗ · · · hηN |) Pb|Ai Z  0 0 0 0 0 0 b = (hη1 | ⊗ · · · hηN |) P (|η1 i ⊗ · · · |ηN i) (hη1 | ⊗ · · · hηN |) dη1 · · · dηN |Ai | {z } Zerlegung der Einheit Z   0 0 = (hη1 | ⊗ · · · hηN |) |ηP0 −1 (1) i ⊗ · · · |ηP0 −1 (N ) i ψA (η10 , . . . ηN ) dη10 · · · dηN Z 0 0 = hη1 |ηP0 −1 (1) i · · · hηN |ηP0 −1 (N ) i ψA (η10 , . . . ηN ) dη10 · · · dηN Z 0 0 ) dη10 · · · dηN = δ(η1 −ηP0 −1 (1) ) · · · δ(ηN −ηP0 −1 (N ) ) ψA (η10 , . . . ηN = ψA (ηP (1) , . . . ηP (N ) ). (Denn {ηk = ηP0 −1 (k) } bedeutet {ηj0 = ηP (j) }.) Aus der Definition von Pb folgen die Relationen3 : d b P Q = PbQ Ib = 1 −1 (Pb)† = (Pb)−1 = Pd

(5.13) (5.14) (5.15)

Hierbei bezeichnet I die identische Permutation; P, Q sind beliebige Permutationen. Beweis: 1. b (|α1 i ⊗ · · · |αN i) = Pb (|β1 i ⊗ · · · |βN i) PbQ = |βP −1 (1) i ⊗ · · · |βP −1 (N ) i, 3

ist.

Diese Relationen besagen, daß P ⇒ Pb eine unit¨are Darstellung der Permutationsgruppe

122

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN wobei b (|α1 i ⊗ · · · |αN i) , d.h. |βk i = |αQ−1 (k) i |β1 i ⊗ · · · |βN i = Q und somit |βP −1 (j) i = |αQ−1 (P −1 (j)) i = |α(P Q)−1 (j) i. b=P d Also PbQ Q.

2. Ib = 1 ist trivial, da I(j) = j f¨ ur j = 1, . . . N . 3. −1 = Pd −1 P −1 P = I b = Pd b = 1, PbPd P −1 = Ib = 1 und Pd −1 . Ferner gilt f¨ also (Pb)−1 = Pd ur jedes Paar von Vektoren |A1 i, |A2 i aus ⊗N E : Z hA1 |A2 i = ψA∗ 1 (η1 , . . . ηN ) ψA2 (η1 , . . . ηN ) dη1 · · · dηN Z = ψA∗ 1 (ηP (1) , . . . ηP (N ) ) ψA2 (ηP (1) , . . . ηP (N ) ) dη1 · · · dηN

= hB1 |B2 i, wobei |Bk i = Pb |Ak i f¨ ur k = 1, 2. Also gilt hA1 |A2 i = hA1 | Pb† Pb |A2 i, | {z } | {z } hB1 |

|B2 i

und aus Pb† Pb = 1 folgt durch Multiplikation mit (Pb)−1 von rechts: Pb† = (Pb)−1 . 2

5.1.3 Teilchen gleicher Sorte Zur Definition der Gleichartigkeit von Teilchen benutzt man folgende Bedingung: Bei jeder Vertauschung von Teilchen gleicher Sorte bleiben alle beobachtbaren Gr¨oßen unge¨andert. Aus dieser Bedingung folgt, daß Teilchen gleicher Sorte den gleichen Spin, die gleiche Masse und gleiche Wechselwirkungen haben. Da alle beobachtbaren Gr¨oßen bei einer Vertauschung von Teilchen gleicher Sorte unge¨andert bleiben, sind Teilchen gleicher Sorte ununterscheidbar. Alle Ket-Vektoren, die Zust¨anden eines Systems von N Teilchen gleicher Sorte entsprechen, sind Elemente des Raumes E ⊗N = E ⊗E ⊗· · · E, wobei E den Raum

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 123 der Ket-Vektoren f¨ ur ein Teilchen dieser Sorte bezeichnet. Die Bedingung, die zur Definition der Gleichartigkeit von Teilchen benutzt wird, wird mathematisch folgendermaßen ausgedr¨ uckt: Wenn |Ai ∈ E ⊗N einem Zustand eines Systems von N Teilchen gleicher Sorte entspricht, dann gilt f¨ ur jede Permutation P aus SN und jeden Operator X, welcher einer beobachtbaren Gr¨oße entspricht, die Relation hA|X|Ai hB|X|Bi = hA|Ai hB|Bi

mit |Bi = Pb|Ai.

(5.16)

Diese Relation kann in der Form hA|Pb−1 X Pb|Ai = hA|X|Ai

(5.17)

geschrieben werden, denn hB| = hA|Pb† = hA|Pb−1 , also hA|Pb−1 X Pb|Ai hB|X|Bi hA|Pb−1 X Pb|Ai = = . hB|Bi hA|Ai hA|Pb−1 Pb|Ai Aus dieser Bedingung folgt: Satz: Jeder beobachtbaren Gr¨oße des Systems von N Teilchen gleicher Sorte entspricht ein Operator X in E ⊗N mit der Eigenschaft Pb−1 X Pb = X

f¨ ur alle Permutationen P ∈ SN .

(5.18)

Die zeitliche Entwicklung des Systems kann durch eine Bewegungsgleichung i¯ h

d |ψi = H|ψi dt

(5.19)

beschrieben werden, wobei der Hamiltonoperator H auch die Eigenschaft Pb−1 H Pb = H

f¨ ur alle Permutationen P ∈ SN .

(5.20)

hat. Beweis: Wenn einer Observablen des Systems der Operator X0 entspricht, dann gilt hA|X0 |Ai hA|X|Ai = , hA|Ai hA|Ai wobei X=

1 X b−1 b P X0 P N ! P ∈S N

124

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

f¨ ur jeden Vektor |Ai, welcher einen Zustand des Systems charakterisiert. Der Operator X hat die Eigenschaft (5.18), denn ! X 1 b−1 X0 Q b Pb Pb−1 X Pb = Pb−1 Q N ! Q∈S N 1 X d −1 d) = (QP ) X0 (QP N ! Q∈S N X 1 c0 −1 X0 Q c0 = X. = Q N ! Q0 ∈S N

(Wenn Q f¨ ur festes P alle Permutationen aus SN genau einmal durchl¨auft, dann durchl¨auft Q0 = QP auch alle Permutationen aus SN genau einmal.) Die zeitliche Entwicklung des Systems sei durch i¯ h

d |ψ(t)i = H0 |ψ(t)i dt

¨ beschrieben. Das bedeutet, daß die beobachtbare zeitliche Anderung des Erwartungswerts einer beliebigen Observablen mit zugeordnetem Operator X durch den Erwartungswert von ¯hi [H0 , X] gegeben ist: i d hψ(t)|X|ψ(t)i = hψ(t)| [H0 , X] |ψ(t)i. dt h ¯ Daraus folgt   i 1 X b−1 i hA| [H0 , X] |Ai = hA| P [H0 , X] Pb|Ai h ¯ N ! P ∈S h ¯ N

und hieraus

i i hA| [H0 , X] |Ai = hA| [H, X] |Ai h ¯ h ¯

mit H=

1 X b−1 b P H0 P , N ! P ∈S N

denn Pb−1 [H0 , X]Pb = [Pb−1 H0 Pb, Pb−1 X Pb] = [Pb−1 H0 Pb, X]. Also kann die zeitliche Entwicklung mit Hilfe des Hamiltonoperators H mit der Eigenschaft {Pb−1 H Pb = H f¨ ur jedes P aus SN } beschrieben werden. 2

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 125

5.1.4 Symmetrische und antisymmetrische Zusta¨nde Eine T ransposition tjk ist eine Permutation aus SN mit tjk (j) = k,

tjk (k) = j,

tjk (l) = l (l 6= k und l 6= j).

(5.21)

Dabei sind j, k zwei verschiedene Indices. F¨ ur Transpositionen gilt (tjk )−1 = tjk . Damit gilt f¨ ur den Operator b tjk b b† tjk = b t−1 jk = tjk

(5.22)

(hermitescher Operator). Wegen (b tjk )2 = 1 sind ±1 die einzig m¨oglichen Eigenwerte von b tjk : Man sagt, daß ein Zustand symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) bei Vertauschung der Teilchen j, k ist, wenn der entsprechende Zustandsvektor |Ai die Eigenschaft b tjk |Ai = |Ai hat (bzw. b tjk |Ai = −|Ai). Da der Hamiltonoperator b mit allen Permutationsoperatoren P vertauscht (da PbH = Pb(Pb−1 H Pb) = H Pb), gilt insbesondere b tjk H = H b tjk . Daraus folgt: Wenn zu einem Zeitpunkt der Zustand des Systems symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) bei Vertauschung der Teilchen j, k ist, dann gilt das gleiche f¨ ur den Zustand des Systems zu jedem anderen Zeitpunkt. Wenn wir also die Transpositionen als Observable auffassen, dann sind sie Konstanten der Bewegung. Man sagt, daß ein Zustand eines Systems N gleicher Teilchen total-symmetrisch (bzw. total-antisymmetrisch) ist, wenn dieser Zustand symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) bei Vertauschung der Teilchen j, k f¨ ur alle Werte 1 ≤ j < k ≤ N der Indices j, k ist. Wenn der Zustand eines Systems N gleicher Teilchen zu einem Zeitpunkt total-symmetrisch (bzw. total-antisymmetrisch) ist, dann gilt das gleiche f¨ ur den Zustand des Systems auch zu jedem anderen Zeitpunkt. Neben den total-symmetrischen und den total-antisymmetrischen Zust¨anden sind auch Zust¨ande denkbar, deren Zustandsvektoren ein anderes Transformationsverhalten unter Transpositionen haben. F¨ ur ein System aus vier gleichen Teilchen w¨aren Zustandsvektoren |Ai mit b t12 |Ai = −|Ai, b t34 |Ai = |Ai denkbar, z.B. |Ai = |v1 i ⊗ |v2 i ⊗ |v3 i ⊗ |v3 i − |v2 i ⊗ |v1 i ⊗ |v3 i ⊗ |v3 i.

Die Erfahrung hat aber bisher gezeigt, daß nur total-symmetrische und total-antisymmetrische Zust¨ande von N gleichen Teilchen in der Natur vorkommen, und zwar kommt f¨ ur jede Sorte von Teilchen ausschließlich eine der beiden M¨oglichkeiten vor. Zust¨ande von N Elektronen (oder N Protonen) z.B. sind immer totalantisymmetrisch, Zust¨ande von N α-Teilchen (4 He) sind immer total-symmetrisch.

126

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Man sagt, daß eine Teilchensorte der Bose-Statistik 4 gehorcht oder daß die Teilchen dieser Sorte Bosonen sind, wenn jeder Zustand von N Teilchen dieser Sorte total-symmetrisch ist. Man sagt, daß eine Teilchensorte der Fermi-Statistik 5 gehorcht oder daß die Teilchen dieser Sorte Fermionen sind, wenn jeder Zustand von N Teilchen dieser Sorte total-antisymmetrisch ist. Mit diesen Definitionen kann man die oben erw¨ahnte Erfahrungstatsache auch so formulieren: Die Erfahrung hat bisher gezeigt, daß alle in der Natur vorkommenden Teilchen entweder Bosonen oder Fermionen sind. Die Erfahrung hat schließlich auch folgenden Zusammenhang zwischen Spin und Statistik gezeigt: Teilchen mit ganzzahligem Spin sind Bosonen; Teilchen mit halbzahligem Spin sind Fermionen.6 Elektronen, Protonen und Neutronen sind also Fermionen; Photonen und αTeilchen (α-Teilchen haben Spin Null) sind Bosonen. Ein Vektor |Ai aus E ⊗N heißt symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) bez¨ uglich der Permutation P ∈ SN , wenn Pb |Ai = |Ai

bzw. Pb |Ai = sgn(P ) |Ai

(5.23)

gilt. Hierbei bedeutet sgn(P ) das Signum der Permutation:  sgn(P ) =

+1, falls P ungerade und −1, falls P gerade ist.

(5.24)

Bekanntlich ist eine Permutation gerade (bzw. ungerade), wenn sie als Produkt einer geraden (bzw. ungeraden) Anzahl von Transpositionen dargestellt werden kann; jede Permutation ist entweder gerade oder ungerade. Jede Transposition ist offenbar eine ungerade Permutation; die identische Permutation ist gerade. Es gilt sgn(QP ) = sgn(Q) sgn(P ) f¨ ur alle P, Q ∈ SN . (5.25) Wenn ein Vektor |Ai bez¨ uglich jeder Transposition symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) ist, dann ist dieser Vektor bez¨ uglich jeder Permutation symmetrisch (bzw. antisymmetrisch); ein solcher Vektor wird total-symmetrisch (bzw. totalantisymmetrisch) genannt. Mit dieser Nomenklatur ist ein Zustandsvektor, der 4

auch Bose-Einstein-Statistik genannt auch Fermi-Dirac-Statistik genannt 6 Der Zusammenhang zwischen Spin und Statistik konnte im Rahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie als Folge sehr allgemeiner Voraussetzungen gezeigt werden (vgl. Streater, Wightman: Die Prinzipien der Quantenfeldtheorie, BI-Taschenbuch). 5

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 127 einem total-symmetrischen (bzw. einem total-antisymmetrischen) Zustand entspricht, ein total-symmetrischer (bzw. ein total-antisymmetrischer) Vektor. Die Gesamtheit der total-symmetrischen (bzw. total-antisymmetrischen) Vektoren aus E ⊗N ist ein Unterraum des Vektorraumes E ⊗N . Dieser Unterraum wird als Raum von Ket-Vektoren f¨ ur ein N -Bosonen-System (bzw. N -Fermionen-System) benutzt. Im folgenden werden Projektionsoperatoren f¨ ur diese Unterr¨aume sowie Basen dieser Unter¨aume konstruiert. Man definiert die Operatoren S,A (Symmetrisator, Antisymmetrisator) in E ⊗N durch 1 X b 1 X S= P, A = sgn(P ) Pb. (5.26) N ! P ∈S N ! P ∈S N

N

Mit obigen Definitionen gelten die Relationen b b S Q = QS = S ur jedes Q ∈ SN , f¨ b b AQ = QA = sgn(Q) A S 2 = S, S † = S,

A2 = A, A† = A.

(5.27)

(5.28)

Beweis: 1 X bb 1 X d PQ = PQ = S N ! P ∈S N ! P ∈S N N X 1 1 X 1 b = d d AQ sgn(P )P Q= sgn(P Q) P Q N ! P ∈S sgn(Q) N ! P ∈S b = SQ

N

N

1 = A = sgn(Q)A sgn(Q) (Wenn P alle Permutationen genau einmal durchl¨auft, dann durchl¨auft P Q auch b = S und QA b = ¨ alle Permutationen genau einmal.) Ahnlich zeigt man, daß QS sgn(Q)A gelten. ! X 1 1 X b S 2 = SS = Pb S = PS N ! P ∈S N ! P ∈S N N 1 X 1 = S= N! S = S N ! P ∈S N! N ! X 1 1 X A2 = AA = sgn(P )Pb A = (sgn(P ))2 A N ! P ∈S N ! P ∈S N

=

1 N! A = A N!

N

128

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

(denn (sgn(P ))2 = 1.) Schließlich: 1 X d 1 X b† P = P −1 = S N ! P ∈S N ! P ∈S N N 1 X 1 X −1 = A = sgn(P )Pb† = sgn(P )Pd N ! P ∈S N ! P ∈S

S† = A†

N

N

(Wenn P alle Permutationen genau einmal durchl¨auft, dann durchl¨auft P −1 auch alle Permutationen genau einmal, wobei sgn(P −1 ) = sgn(P ) gilt.) S (bzw. A) ist der Projektionsoperator auf den Unterraum der total-symmetrischen (bzw. total-antisymmetrischen) Vektoren von E ⊗N . Der Raum der totalsymmetrischen (bzw. total-antisymmetrischen) Vektoren von E ⊗N wird deswegen S(E ⊗N ) (bzw. A(E ⊗N )) bezeichnet. Beweis: S ist ein Projektionsoperator, da die Relationen S 2 = S und S † = S gelten. Wenn |Xi ein beliebiger Vektor aus E ⊗N ist, dann ist S|Xi ein totalsymmetrischer Vektor, denn PbS|Xi = S|Xi. Andererseits: Wenn |Y i ein totalsymmetrischer Vektor ist, dann gilt S|Y i = |Y i, denn aus {Pb|Y i = |Y i f¨ ur alle P ∈ SN } folgt 1 X b 1 S|Y i = P |Y i = N ! |Y i = |Y i. N ! P ∈S N! N

F¨ ur A verl¨auft der Beweis analog.

2

Basen der R¨aume S(E ⊗N ), A(E ⊗N ): Sei {|νi : ν = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von E. Dann ist {|ν1 i ⊗ |ν2 i ⊗ · · · |νN i : ν1 , . . . νN = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von E ⊗N . Durch Anwendung eines Projektionsoperators auf die Basisvektoren erh¨alt man ein System von Erzeugenden7 des Unterraums, auf den der Operator projiziert. Also sind die Vektoren {S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) | ν1 , . . . νN = 1, 2, . . .} bzw. {A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) | ν1 , . . . νN = 1, 2, . . .}

(5.29) (5.30)

ein System von Erzeugenden des Unterraums S(E ⊗N ) (bzw. A(E ⊗N )). Wenn P eine beliebige Permutation aus SN ist, gelten S(|νP −1 (1) i ⊗ · · · |νP −1 (N ) i) = S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) und A(|νP −1 (1) i ⊗ · · · |νP −1 (N ) i) = sgn(P ) A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i),

(5.31) (5.32)

denn |νP −1 (1) i ⊗ · · · |νP −1 (N ) i = Pb(|ν1 i ⊗ · · · |νN i), 7

Ein System von Erzeugenden eines Unterraums U ist ein Satz von Vektoren des Unterraums mit der Eigenschaft, daß jeder Vektor aus U als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden kann.

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 129 und S Pb = S sowie APb = sgn(P )A. Es gilt schließlich A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = 0, wenn es zwei Indices i, j mit νi = νj gibt, denn in diesem Fall gilt b tij (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = |ν1 i · · · ⊗ |νN i und folglich A(|ν1 i · · · |νN i) = A b tij (|ν1 i · · · ⊗ |νN i) = −A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i), also A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = 0. Durch Ausnutzung dieser Relationen folgt, daß das eingeschr¨ankte System von Vektoren {S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) | ν1 , . . . νN = 1, 2, . . . mit ν1 ≤ ν2 ≤ · · · ≤ νN } bzw. {A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) | ν1 , . . . νN = 1, 2, . . . mit ν1 < ν2 < · · · < νN } auch ein System von Erzeugenden von S(E ⊗N ) (bzw. A(E ⊗N )) ist. Diese Systeme sind sogar Basen von S(E ⊗N ) (bzw. A(E ⊗N )), wie in den n¨achsten Abschnitten gezeigt wird. Die Vektoren S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) (bzw. A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i)) entsprechen Zust¨anden eines N -Bosonen- (bzw. N -Fermionen-) Systems, bei welchen sich ein Teilchen im Zustand |ν1 i , ein Teilchen im Zustand |ν2 i usw. befindet. Daß jeder Vektor der Form A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) verschwindet, wenn zwei der Indices ν1 , . . . νN u ¨bereinstimmen, hat folgende Konsequenz: Pauli–Prinzip: Es gibt keinen Zustand eines physikalischen Systems, bei welchem sich zwei gleiche Fermionen im gleichen Zustand befinden. Die Wellenfunktionen, die Vektoren der Form A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) entsprechen, k¨onnen als Determinanten geschrieben werden: 1 X sgn(P ) (hη1 | ⊗ · · · hηN |) Pb (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) N ! P ∈S N 1 X = sgn(P ) φν1 (ηP (1) ) · · · φνN (ηP (N ) ) N ! P ∈S N φν (η1 ) φν (η2 ) . . . φν (ηN ) 1 1 1 1 φν2 (η1 ) φν2 (η2 ) . . . φν2 (ηN ) = (5.33) .. .. .. ... N! . . . φνN (η1 ) φνN (η2 ) . . . φνN (ηN ) | {z } Slater–Determinante

ψ(η1 , . . . ηN ) =

130

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

5.2 Systeme von Bosonen 5.2.1 Besetzungszahldarstellung fu ¨r Bosonen Basis von S(E ⊗N ): Sei {|νi : ν = 1, 2, . . .} orthonormierte Basis des Raumes E der Ket-Vektoren f¨ ur ein Ein-Bosonen-System. Die Vektoren {S(|ν1 i ⊗ . . . |νN i) | ν1 . . . νN = 1, 2, . . . mit ν1 ≤ ν2 ≤ · · · ≤ νN } bilden einen Satz von Erzeugenden f¨ ur den Vektorraum S(E ⊗N ). Es ist bequem, den Satz von N Indices ν1 ≤ ν2 ≤ · · · ≤ νN durch einen Satz von (unendlich vielen) ganzzahligen nichtnegativen Indices n1 , n2 , . . . auszudr¨ ucken, die wie folgt definiert sind: n1 =

N X

δ1,νj ,

j=1

n2 =

N X j=1

δ2,νj ,

...

nk =

N X

δk,νj ,

...

(5.34)

j=1

d.h. man z¨ahlt“, wieviele der Indices ν1 , ν2 , . . . νN den Wert k haben. Offenbar ” gilt (5.35) N = n1 + n2 + n3 + · · · Ferner: νj = 1 | 0 < j ≤ n1 νj = 2 | n1 < j ≤ n1 + n2 .. .. . . νj = k | n1 + · · · nk−1 < j ≤ n1 + · · · nk−1 + nk .. .. . . Beispiel: N = 6, {ν1 , ν2 , ν3 , ν4 , ν5 , ν6 } = {2, 2, 4, 4, 4, 5}. Dann ist n1 = 0, n2 = 2, n3 = 0, n4 = 3, n5 = 1, n6 = n7 = . . . = 0. Die Indices ν1 , ν2 , . . . lassen sich aus den Indices n1 , n2 , . . . in folgender Weise bestimmen: νj νj νj νj νj

=1 =2 =3 =4 =5

| 0 < j ≤ 0 (d.h. f¨ ur keinen Wert von j) |0 < j ≤ 2 | 2 < j ≤ 2 (d.h. f¨ ur keinen Wert von j) |2 < j ≤ 5 |5 < j ≤ 6

Die Indices n1 , n2 , . . . werden Besetzungszahlen genannt, denn der Index nk ist gleich der Anzahl der Teilchen, die sich im Einteilchenzustand |ki befinden, wenn der Zustand des N -Bosonen-Systems durch den Ket-Vektor S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) gegeben ist.

5.2. SYSTEME VON BOSONEN

131

Man definiert die Vektoren |N ; n1 , n2 , . . .i durch r N! |N ; n1 , n2 , . . .i = S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i). n1 ! n2 ! · · ·

(5.36)

Dann ist der Satz von Vektoren {|N ; n1 , n2 , . . .i | n1 , n2 , . . . = 0, 1, 2, . . . mit N = n1 + n2 + · · ·} eine orthonormierte Basis von S(E ⊗N ). Beweis: Dieser Satz von Vektoren bildet ein System von Erzeugenden von S(E ⊗N ). Wir brauchen also nur noch nachzuweisen, daß es ein orthonormiertes System ist. hN ; n01 , n02 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i s r N! N! = (hν 0 | ⊗ · · · hνN0 |) S † S (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) 0 0 n1 ! n2 ! · · · n1 ! n2 ! · · · 1 s N! N! = (hν 0 | ⊗ · · · hνN0 |) S (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) 0 0 n1 ! n2 ! · · · n1 ! n2 ! · · · 1 X 1 (hν10 | ⊗ · · · hνN0 |) Pb (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = p 0 0 n1 ! n2 ! · · · n1 ! n2 ! · · · P ∈SN X 1 = p 0 0 hν10 |νP −1 (1) i · · · hνN0 |νP −1 (N ) i n1 ! n2 ! · · · n1 ! n2 ! · · · P ∈SN (Dabei wurde S † = S und S 2 = S verwendet.) Wegen der Orthogonalit¨atsrelation hν|µi = δµν verschwinden alle Summanden dieser Summe, wenn f¨ ur irgendeine nichtnegative ganze Zahl k die Anzahl n0k der Indices ν10 , ν20 , . . . mit Wert k von der Anzahl nk der Indices ν1 , ν2 , . . . mit Wert k verschieden ist. Es gilt also hN ; n01 , n02 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i = hN ; n1 , n2 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i δn01 n1 δn02 n2 · · · und hN ; n1 , n2 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i =

X 1 hν1 |νP −1 (1) i · · · hνN |νP −1 (N ) i. n1 ! n2 ! · · · P ∈S N

Jeder Summand der letzten Summe ist entweder 1 oder 0. Die Anzahl der nicht verschwindenden Summanden ist gleich der Anzahl von Permutationen mit ν1 = νP −1 (1) ,

ν2 = νP −1 (2) , . . . νN = νP −1 (N ) .

Diese sind aber genau die Permutationen, die nur Indices mit gleichem Wert untereinander permutieren; ihre Anzahl ist (n1 ! n2 ! n3 ! · · ·). Damit gilt hN ; n1 , n2 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i = 1.

2

132

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Es ist zweckm¨aßig, einen Raum T als direkte Summe der R¨aume {S(E ⊗N ) | N = 0, 1, 2, . . .} zu konstruieren: T = S(E ⊗0 ) ⊕ S(E ⊗1 ) ⊕ S(E ⊗2 ) ⊕ · · · mit einer orthonormierten Basis   n1 , n2 , . . . = 0, 1, 2, . . .   |N ; n1 , n2 , . . .i N = n1 + n2 + · · ·   N = 0, 1, 2, . . .

(5.37)

(5.38)

F¨ ur einen festen Wert von N bilden die Vektoren {|N ; n1 , n2 , . . .i} eine orthonormierte Basis des Vektorraums S(E ⊗N ), welcher Unterraum von T ist. F¨ ur N = 1 ⊗1 ⊗0 ist S(E ) identisch mit E, und f¨ ur N = 0 definiert man S(E ) als einen eindimensionalen Raum mit Basis {|0; 0, 0, . . .i}. Der Vektor |0; 0, 0, . . .i entspricht dem Vakuumzustand“, bei welchem kein Boson vorhanden ist. ” Man definiert die linearen Operatoren a†k , ak (Erzeugungs- und Vernichtungsoperator f¨ ur ein Boson im Zustand |ki) durch die Gleichungen √ a†k |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk + 1 |N +1; n1 , n2 , . . . nk +1, . . .i (5.39) √ ak |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |N −1; n1 , n2 , . . . nk −1, . . .i. (5.40) Hierbei bezeichnet |N 0 ; n01 , n02 , . . .i den Nullvektor, wenn irgendeiner der Indices n01 , n02 , . . . negativ ist. Unter Benutzung der Definition der Erzeugungsoperatoren zeigt man induktiv, daß   1 |N ; n1 , n2 , . . .i = √ (a†1 )n1 (a†2 )n2 · · · |0; 0, 0, . . .i (5.41) n1 ! n2 ! · · · gilt. Aus den Definitionen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ergeben sich folgende Eigenschaften dieser Operatoren: a†k = (ak )†

(5.42)

(d.h. ak und a†k sind zueinander hermitesch adjungiert.) [ak , al ] = [a†k , a†l ] = 0,

[ak , a†l ] = δkl

(5.43)

(Vertauschungsrelationen) a†k ak |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i X N |N ; n1 , n2 , . . .i = nk |N ; n1 , n2 , . . .i

| k = 1, 2, . . .(5.44) (5.45)

k

= N |N ; n1 , n2 , . . .i,

(5.46)

5.2. SYSTEME VON BOSONEN

133

wobei der Teilchenzahloperator N durch die Gleichung X † N = ak ak

(5.47)

k

definiert wird. Bemerkung: Der Eigenwert nk des Operators a†k ak f¨ ur den entsprechenden Eigenvektor |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i ist die Anzahl von Teilchen, die sich im Einteilchenzustand |ki befinden, also die Besetzungszahl des Zustands |ki. Beweis der Eigenschaften der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren: 1. Zum Nachweis der Eigenschaft a†k = (ak )† gen¨ ugt es zu zeigen, daß hN 0 ; n01 , n02 , . . . | a†k |N ; n1 , n2 , . . .i = hN ; n1 , n2 , . . . | ak |N 0 ; n01 , n02 , . . .i∗ f¨ ur n1 , n01 , n2 , n02 , . . . = 0, 1, 2, . . . gilt. Dies folgt aus den Relationen √ hN 0 ; n01 , n02 , . . . | a†k |N ; n1 , n2 , . . .i = nk + 1 δn01 n1 δn02 n2 · · · δn0k ,nk +1 · · · p hN ; n1 , n2 , . . . | ak |N 0 ; n01 , n02 , . . .i = n0k δn01 n1 δn02 n2 · · · δn0k −1,nk · · · , die aus den Definitionen von a†k und ak folgen. 2. √ a†k ak |N ; n1 , n2 , . . . nk . . .i = a†k nk |N −1; n1 , n2 , . . . nk −1, . . .i √ p = nk (nk −1) + 1 |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i. Hieraus folgt trivialerweise auch N |N ; n1 , n2 , . . .i = (n1 +n2 +· · ·) |N ; n1 , n2 , . . .i. 3. √ ak a†k |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = ak nk +1 |N +1; n1 , n2 , . . . nk +1, . . .i = (nk +1) |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i. Aus der unter 2. bewiesenen Relation ergibt sich somit (ak a†k − a†k ak ) |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = ((nk +1) − nk ) |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i, d.h. ak a†k − a†k ak = 1, also [ak , a†k ] = 1.

134

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

4. F¨ ur k < l gilt ak a†l |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . . nl , . . .i √ = ak nl +1 |N +1; n1 , n2 , . . . nk , . . . nl +1, . . .i √ √ = nl +1 nk |N ; n1 , n2 , . . . nk −1, . . . nl +1, . . .i p = nk (nl +1) |N ; n1 , n2 , . . . nk −1, . . . nl +1, . . .i und a†l ak |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . . nl , . . .i √ = a†l nk |N −1; n1 , n2 , . . . nk −1, . . . nl , . . .i p = nk (nl +1) |N ; n1 , n2 , . . . nk −1, . . . nl +1, . . .i, d.h. (ak a†l − a†l ak ) |N ; n1 , n2 , . . .i = 0. Also ist [ak , a†l ] = 0 f¨ ur k < l (Analog f¨ ur k > l). ¨ 5. Ahnlich wie unter 3. und 4. zeigt man die Relationen [ak , al ] = 0 und [a†k , a†l ] = 0. 2

5.2.2 Ein–Teilchen–Operatoren Ein Operator B (N ) in E ⊗N heißt Ein-Teilchen-Operator, wenn er die Form B (N ) = b1 + b2 + · · · bN

(5.48)

hat, wobei b1 = B (1) ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ · · · 1 b2 = 1 ⊗ B (1) ⊗ 1 ⊗ · · · 1 ... bN = 1 ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ · · · B (1)

(5.49)

und B (1) ein Operator in E ⊗1 = E ist. Jede Observable eines Systems N gleicher Teilchen, die Summe N gleichartiger auf die einzelnen Teilchen des Systems bezogener Observablen ist, entspricht einem Ein-Teilchen-Operator. Eine solche Observable ist z.B. die kinetische Energie des Systems, welche Summe der kinetischen Energien der einzelnen Teilchen ist. Das gleiche gilt f¨ ur die z-Komponente des Gesamtimpulses oder des Gesamtdrehimpulses, welche Summe der z-Komponenten der Impulse oder Drehimpulse der einzelnen Teilchen sind.

5.2. SYSTEME VON BOSONEN

135

Jeder Ein-Teilchen-Operator B (N ) kommutiert mit allen Permutationsoperatoren Pb (P ∈ SN ), wie man feststellen kann: B (N ) Pb(|x1 i ⊗ |x2 i ⊗ · · · |xN i) = B (N ) (|xP −1 (1) i ⊗ |xP −1 (2) i ⊗ · · · |xP −1 (N ) i)
B (1) ⊗ 1 ⊗ · · · 1 + 1 ⊗ B (1) ⊗ · · · 1 + . . . · (|xP −1 (1) i ⊗ |xP −1 (2) i ⊗ · · · |xP −1 (N ) i)
(1) = B |xP −1 (1) i ⊗ |xP −1 (2) i ⊗ · · · |xP −1 (N ) i
+ |xP −1 (1) i ⊗ B (1) |xP −1 (2) i ⊗ · · · |xP −1 (N ) i + . . .
= Pb (B (1) |x1 i) ⊗ |x2 i ⊗ · · · |xN i + |x1 i ⊗ (B (1) |x2 i) ⊗ · · · |xN i + . . . = PbB (N ) (|x1 i ⊗ |x2 i ⊗ · · · |xN i) =

f¨ ur alle |x1 i, |x2 i, . . . |xN i aus E. Durch Anwendung eines Ein-Teilchen-Operators B (N ) auf einen total-symmetrischen (bzw. total-antisymmetrischen) Vektor |Ai aus E ⊗N entsteht immer ein total-symmetrischer (bzw. total-antisymmetrischer) Vektor B (N ) |Ai aus E ⊗N . Denn aufgrund der Vertauschbarkeit von Pb mit B (N ) folgt aus Pb|Ai = |Ai PbB (N ) |Ai = B (N ) Pb|Ai = B (N ) |Ai und aus Pb|Ai = sgn(P )|Ai folgt PbB (N ) |Ai = B (N ) Pb|Ai = sgn(P )B (N ) |Ai. Anders formuliert: B (N ) bildet die R¨aume S(E ⊗N ) und A(E ⊗N ) jeweils in sich ab. F¨ ur die mathematische Behandlung eines Viel-Bosonen-Systems empfiehlt es sich, im Raum T = S(E ⊗0 ) ⊕ S(E ⊗1 ) ⊕ · · · (direkte Summe) einen Operator B zu definieren, dessen Beschr¨ankung auf S(E ⊗N ) mit dem Operator B (N ) identisch ist f¨ ur N = 1, 2, . . ., und dessen Beschr¨ankung auf S(E ⊗0 ) Null ist. Ein solcher Operator B, welcher fortan auch Ein-Teilchen-Operator genannt wird, kann mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausgedr¨ uckt werden. Es gilt X B= hk|B (1) |li a†k al , (5.50) k,l

wobei {|νi : ν = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von E bezeichnet. Beweis: 1. Offenbar ist

P

k,l hk|B

(1)

|li a†k al |Ai = 0, wenn |Ai ∈ S(E ⊗0 ), denn

al |N ; n1 , n2 , . . .i = 0, wenn N = 0.

136

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

2. F¨ ur N 6= 0 gilt B (N ) |N ; n1 , n2 , . . .i r N! = B (N ) S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) n1 ! n2 ! · · · r N! 1 X (N ) b B P (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = n1 ! n2 ! · · · N ! P ∈S N r X N! 1 PbB (N ) (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = n1 ! n2 ! · · · N ! P ∈S N ! r N N! 1 X b X (1) = P |ν1 i ⊗ · · · (B |νi i) ⊗ · · · |νN i n1 ! n2 ! · · · N ! P ∈S i=1 N ! r N X N! = S |ν1 i ⊗ · · · (B (1) |νi i) ⊗ · · · |νN i n1 ! n2 ! · · · i=1 ! ! r N X X N! = S |ν1 i ⊗ · · · |kihk|B (1) |νi i ⊗ · · · |νN i n1 ! n2 ! · · · i=1 k r N XX N! = hk|B (1) |νi i S (|ν1 i ⊗ · · · |ki ⊗ · · · |νN i) . n1 ! n2 ! · · · i=1 k F¨ ur k 6= νi gilt r S (|ν1 i ⊗ · · · |ki ⊗ · · · |νN i) . =

n01 ! n02 ! · · · |N ; n01 , n02 , . . .i, N!

wobei   nj + 1 | j = k nj − 1 | j = νi n0j =  nj | sonst Somit gilt r

N! S (|ν1 i ⊗ · · · |ki ⊗ · · · |νN i) n1 ! n2 ! · · · s nk + 1 = |N ; n01 , n02 , . . .i n νi p 1 = (nk +1)nνi |N ; n01 , n02 , . . .i n νi 1 † = a aν |N ; n1 , n2 , . . .i. n νi k i

5.2. SYSTEME VON BOSONEN

137

F¨ ur k = νi gilt andererseits r N! S (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = |N ; n1 , n2 , . . .i n1 ! n2 ! · · · 1 † = a aν |N ; n1 , n2 , . . .i n νi νi i 1 † = a aν |N ; n1 , n2 , . . .i. n νi k i Also gilt B (N ) |N ; n1 , n2 , . . .i =

N X X i=1

hk|B (1) |νi i

k

1 † a aν |N ; n1 , n2 , . . .i. n νi k i

Die rechte Seite der Gleichung ist Summe von Termen der Form X 1 hk|B (1) |li a†k al |N ; n1 , n2 , . . .i. nl k Ein solcher Term kommt so oft vor, wie es Indices νi gibt, die gleich l sind; ein solcher Term kommt also nl mal vor. Die rechte Seite der Gleichung kann also in der Form XX hk|B (1) |li a†k al |N ; n1 , n2 , . . .i l

k

geschrieben werden, wobei l zun¨achst u ¨ber alle Werte mit nl 6= 0 l¨auft. Da aber al |N ; n1 , n2 , . . .i = 0 ist, falls nl = 0, bleibt diese Summe unge¨andert, wenn der Index l alle Werte annimmt. Es gilt also X B (N ) |N ; n1 , n2 , . . .i = hk|B (1) |li a†k al |N ; n1 , n2 , . . .i 2 k,l

5.2.3 Bosonen und Oszillatoren Die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren des Hamiltonoperators H=

1 2 mω 2 2 p + x 2m 2

(5.51)

eines eindimensionalen harmonischen Oszillators wurde bereits im Abschnitt 2.1 durchgef¨ uhrt. An dieser Stelle sollen die Ergebnisse rekapituliert werden. Man definiert die zueinander hermitesch adjungierten Operatoren   1 1 b a = √ x+i p (5.52) h ¯ 2 b   1 1 b † a = √ x−i p (5.53) h ¯ 2 b

138

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

p mit b = h ¯ /mω (L¨angenparameter des harmonischen Oszillators). Aus der kanonischen Vertauschungsrelation [x, p] = i¯ h

(5.54)

[a, a† ] = 1.

(5.55)

folgt Damit gilt 

1 H =h ¯ω a a + 2 †

 ,

(5.56)

und das Eigenwertproblem f¨ ur den Operator H ist auf das Eigenwertproblem f¨ ur † den Operator a a zur¨ uckgef¨ uhrt. Die Eigenwerte des Operators a† a sind die nichtnegativen ganzen Zahlen {0, 1, 2, . . .}. Es gibt ferner eine orthonormierte Basis {|ni : n = 0, 1, 2, . . .} mit den Eigenschaften: a† a |ni a† |ni a |ni a |0i

n |ni | n = 0, 1, 2, . . . √ n+1 |n+1i | n = 0, 1, 2, . . . √ n |n−1i | n = 1, 2, . . . 0 1 |ni = √ (a† )n |0i n! = = = =

(5.57) (5.58) (5.59) (5.60) (5.61)

Jeder Basisvektor |ni mit Eigenwert n kann als Vielfaches von (a† )n |0i dargestellt werden, wobei |0i den Vektor mit der Eigenschaft a |0i = 0 bezeichnet. Zur Bestimmung eines Vektors |0i mit a |0i = 0 und h0|0i = 1 benutzt man die zugeordnete Wellenfunktion ψ0 (x) = hx|0i

| − ∞ < x < ∞.

Die Gleichung a |0i = 0, d.h. (x/b + i(b/¯ h)p) |0i = 0, ist gleichbedeutend mit der Differentialgleichung   x d +b ψ(x) = 0 (5.62) b dx f¨ ur die Wellenfunktion ψ0 . Die allgemeine L¨osung dieser Differentialgleichung ist 2

x ψ(x) = A e− 2b2 , 1

1

wobei A eine komplexe Konstante ist. Mit der Wahl A = π − 4 b− 2 erf¨ ullt die Wellenfunktion x2 1 hx|0i = ψ0 (x) = 1 1 e− 2b2 (5.63) π 4 b2

5.2. SYSTEME VON BOSONEN

139

R∞ die Normierungsbedingung −∞ |ψ0 (x)|2 dx = 1. Jeder Vektor |zi mit a |zi = 0 ist ein Vielfaches des oben bestimmten Vektors |0i, da die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung Produkt von ψ0 mit einer komplexen Konstante ist. Damit hat auch jeder Eigenvektor |βi mit Eigenwert λβ die Form |βi = Aβ (a† )λβ |0i, wobei Aβ eine komplexe Zahl ist. Die Vektoren 1 |ni = √ (a† )n |0i n!

| n = 1, 2, 3 . . .

(5.64)

sind auf Eins normiert hn+1|n+1i = hn|ni = · · · = h0|0i = 1. und paarweise orthogonal, da sie zu verschiedenen Eigenwerten des hermiteschen Operators a† a geh¨oren; sie bilden eine Orthonormalbasis. Diese Vektoren sind auch Eigenvektoren von H, und zwar gilt   1 |ni | n = 0, 1, 2, . . . (5.65) H |ni = h ¯ω n + 2

System aus mehreren ungekoppelten harmonischen Oszillatoren. Der Hamiltonoperator f¨ ur ein System aus M ungekoppelten harmonischen Oszillatoren ist  M  X 1 2 mk ωk2 2 H= pk + xk , 2m 2 k k=1

(5.66)

wobei die Operatoren xk , pk f¨ ur Koordinaten und Impulse die kanonischen Vertauschungsrelationen erf¨ ullen: [xk , xl ] = 0,

[pk , pl ] = 0,

[xk , pl ] = i¯ hδkl

| k, l = 1, 2, . . . M

(5.67)

Man definiert die zueinander hermitesch adjungierten Operatoren   1 1 bk ak = √ xk + i pk (5.68) h ¯ 2 bk   1 1 bk † ak = √ xk − i pk (5.69) h ¯ 2 bk p mit bk = h ¯ /mk ωk (f¨ ur k = 1, 2, . . . M ). Aus den kanonischen Vertauschungsrelationen erh¨alt man [ak , al ] = 0,

[a†k , a†l ] = 0,

[ak , a†l ] = δkl

| k, l = 1, 2, . . . M.

(5.70)

140

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Obige Vertauschungsrelationen sind identisch mit denjenigen f¨ ur die Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren f¨ ur ein System gleicher Bosonen. Der Hamiltonoperator l¨aßt sich mit Hilfe der Operatoren ak , a†k in der Form H=

M X

 h ¯ ωk

k=1

a†k ak

1 + 2

 (5.71)

schreiben. ¨ Ahnlich wie im Fall eines einzelnen Oszillators zeigt man, daß es eine orthonormierte Basis {|n1 , n2 , . . . nM i | n1 , . . . nM = 0, 1, 2, . . .} (5.72) mit folgenden Eigenschaften gibt: √ ak |n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |n1 , n2 , . . . nk −1, . . .i √ † ak |n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk +1 |n1 , n2 , . . . nk +1, . . .i † a ak |n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |n1 , n2 , . . . nk , . . .i 1 |n1 , n2 , . . .i = √ (a†1 )n1 (a†2 )n2 · · · |0, 0, . . .i n1 ! n2 ! · · ·

(5.73) (5.74) (5.75) (5.76)

Diese Eigenschaften der Basisvektoren |n1 , n2 , . . .i sind identisch mit denjenigen der Basisvektoren |N ; n1 , n2 , . . .i eines Systems gleicher Bosonen (vgl. Abschnitt 5.2.1). Diese Identit¨at der Eigenschaften der Operatoren und Basisvektoren eines Systems ungekoppelter Oszillatoren und eines Systems von Bosonen erm¨oglicht folgende alternative Beschreibung des Oszillatorensystems: Jedem Oszillator k entspricht ein Einteilchenzustand |ki, in dem sich eine variable Anzahl von Bosonen ( Oszillationsquanten“) befinden kann. Jedes Boson im ” Zustand |ki hat die Energie h ¯ ωk . Damit ist im Zustand |n1 , n2 , . . .i die Energie des Systems X E = E0 + nk h ¯ ωk , (5.77) k

wobei E0 =

1X h ¯ ωk 2 k

(5.78)

die Energie des Grundzustands |0, 0, . . .i (Nullpunktsenergie) bezeichnet.

5.3 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 5.3.1 Das elektromagnetische Feld in klassischer Darstellung Das elektromagnetische Feld wird klassisch beschrieben durch Angabe der elek~ r, t), B(~ ~ r, t) an jedem Raumpunkt trischen und der magnetischen Feldst¨arke E(~

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

141

~ B ~ zu jedem Zeitpunkt. Die Felder E, ~ ~ ×E ~ = − 1 ∂B ∇ c ∂t ~ ·B ~ = 0 ∇

erf¨ ullen die Maxwellschen Gleichungen   homogene (5.79) Maxwell-Gleichungen   ~ ·E ~ = 4πρ  ∇ inhomogene ~ (5.80) 4π 1 ∂ E Maxwell-Gleichungen ~ ×B ~ =  ∇ ~ + c c ∂t ~ ~ ~ φ ausgeDie Felder E, B k¨onnen mit Hilfe der elektromagnetischen Potentiale A, dr¨ uckt werden: ~ ~ =∇ ~ × A, ~ ~ = − 1 ∂ A − ∇φ ~ (5.81) B E c ∂t Die elektromagnetischen Potentiale sind nicht eindeutig bestimmt; durch die Eichtransformation   ~ =⇒ A ~0 = A ~ + ∇χ ~  A  , (5.82) 1 ∂χ  φ =⇒ φ0 = φ −  c ∂t ~ 0 , φ0 , wobei χ eine beliebige Eichfunktion bezeichnet, entstehen neue Potentiale A ~ B ~ wie die urspr¨ ~ φ entsprechen, die denselben Feldern E, unglichen Potentiale A, denn offenbar gilt ~ ~0 ~ ×A ~=∇ ~ ×A ~ 0 und − 1 ∂ A − ∇φ ~ = − 1 ∂ A − ∇φ ~ 0. ∇ c ∂t c ∂t Durch Einsetzen von (5.81) in die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.80) — die homogenen (5.79) werden durch den Ansatz (5.81) automatisch erf¨ ullt — erh¨alt man f¨ ur die Potentiale die Differentialgleichungen 1∂ ~ ~ − ∆φ − ∇ · A = 4πρ (5.83) c ∂t 2~ ~ ∇ ~ · A) ~ − ∆A = 4π ~ − 1 ∂ ∇φ ~ − 1 ∂ A. ∇( (5.84) c c ∂t c2 ∂t2 Wichtige Eichungen: (a) Die Lorentz–Eichung. Die Potentiale erf¨ ullen die Zusatzbedingung ~ ·A ~ + 1 ∂φ = 0. ∇ (5.85) c ∂t Die Differentialgleichungen (5.83) und (5.84) f¨ ur die Potentiale werden bei dieser Eichung entkoppelt:   1 ∂2 − ∆ φ = 4πρ (5.86) c2 ∂t2   1 ∂2 ~ = 4π ~ −∆ A (5.87) 2 2 c ∂t c

142

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Die Lorentz-Eichung ist dadurch ausgezeichnet, daß das Transformationsverhalten der Potentiale unter Lorentz-Transformationen in dieser Eichung besonders u ¨bersichtlich ist. Die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes ist bei Benutzung der Lorentz-Eichung aufwendig. Bei den hier betrachteten einfacheren Problemen ist aber dieser Aufwand nicht gerechtfertigt. Deswegen wird hier bei der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes die Coulomb-Eichung (transversale Eichung) benutzt. (b) Die Coulomb–Eichung. Die Potentiale erf¨ ullen die Bedingungen Z ρ(~r 0 , t) 3 0 d ~r φ(~r, t) = |~r − ~r 0 | ~ ·A ~ = 0. ∇

(5.88) (5.89)

Es ist immer m¨oglich die Potentiale so zu w¨ahlen, daß (5.88) und (5.89) erf¨ ullt 00 00 ~ sind. Denn wenn A , φ Potentiale in beliebiger Eichung sind, dann ergibt die ~=A ~ 00 + ∇χ, ~ Eichtransformation A φ = φ00 − (1/c)(∂χ/∂t) mit  Z t Z ρ(~r 0 , τ ) 3 0 00 χ(~r, t) = c φ (~r, τ ) − d ~r dτ + χ0 (~r ), (5.90) |~r − ~r 0 | t0 wobei χ0 (~r ) die Bedingung ~ ·A ~ 00 (~r, t0 ) ∆χ0 (~r ) = −∇

(5.91)

erf¨ ullt, neue Potentiale, die (5.88) f¨ ur alle Zeiten t und (5.89) f¨ ur t = t0 erf¨ ullen. Aus (5.88) folgt aber ∆φ = −4πρ, (5.92) und damit ergibt sich aus (5.83) 1∂ ~ ~ (∇ · A) = 0. c ∂t

(5.93)

~ ·A ~ zeitunabh¨angig ist, und somit bedeutet die Erf¨ Das bedeutet, daß ∇ ullung von (5.89) f¨ ur t = t0 auch die Erf¨ ullung f¨ ur alle Zeiten t. In Coulomb-Eichung ist die Dgl. (5.83) automatisch erf¨ ullt. Aus der Dgl. (5.84) erh¨alt man unter Benutzung von (5.89)   1 ∂2 ~ 4π ~ A − ∆A = ~t , (5.94) 2 2 c ∂t c wobei ~t = ~ −

1 ∂ ~ ∇φ. 4π ∂t

(5.95)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES ~t wird der transversale Strom“ genannt. Aus (5.95) folgt offenbar ” ~ × ~t = ∇ ~ × ~ ∇

143

(5.96)

und ~ · ~t = 0, ∇

(5.97)

denn

~ · ~ + ∂ ρ = 0. ~ · ~t = ∇ ~ · ~ − 1 ∂ ∆φ = ∇ ∇ 4π ∂t ∂t Es ergeben sich also insgesamt folgende Relationen: 1 ∂2 ~ ~ = 4π ~t A − ∆A 2 2 c ∂t c ~ ~ ∇·A = 0 Z ρ(~r 0 , t) 3 0 φ(~r, t) = d ~r |~r − ~r 0 | 1 ∂ ~ ∇φ ~t = ~ − 4π ∂t

(5.98) (5.99) (5.100) (5.101)

F¨ ur das freie elektromagnetische Feld, d.h. f¨ ur den Fall ρ ≡ 0, ~j ≡ 0, erh¨alt man 1 ∂2 ~ ~ = 0 A − ∆A c2 ∂t2 ~ ·A ~ = 0 ∇ φ = 0.

(5.102) (5.103) (5.104)

Periodische Randbedingungen. Aus Gr¨ unden der mathematischen Zweckm¨aßigkeit schr¨ankt man das Vektorpotential durch periodische Randbedingungen ein: ~ 1 +L, x2 , x3 , t) = A(x ~ 1 , x2 , x3 , t) A(x ~ 1 , x2 +L, x3 , t) = A(x ~ 1 , x2 , x3 , t) A(x ~ 1 , x2 , x3 +L, t) = A(x ~ 1 , x2 , x3 , t) A(x

(5.105)

¨ Am Ende der Rechnung wird der Ubergang L → ∞ durchgef¨ uhrt. Durch diese Methode treten in den Rechnungen Fourier-Reihen statt Fourier-Integralen auf. ~ in Coulomb-Eichung kann als Linearkombination ebener Das Vektorpotential A Wellen ~u~k,α (~r ) dargestellt werden, die (5.105) sowie die Transversalit¨atsbedingung ~ · (~u~ (~r )) = 0 ∇ (5.106) k,α erf¨ ullen. Diese ebenen Wellen haben die Form ~

~u~k,α (~r ) = ~ (α) eik·~r ,

(5.107)

144

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

wobei ~k =



2π 2π 2π n1 , n2 , n3 L L L

n 1 , n2 , n3 ganzzahlig



(5.108)

und ~ (α) ein reeller Einheitsvektor mit ~k · ~ (α) = 0

(5.109)

ist. F¨ ur jeden Vektor ~k 6= 0, der (5.108) erf¨ ullt, w¨ahlt man zwei reelle Einheits(α) vektoren {~ | α = 1, 2}, die (5.109) erf¨ ullen und zueinander orthogonal sind: 0

~ (α) · ~ (α ) = δαα0

(5.110)

(F¨ ur ~k = 0 w¨ahlt man drei Vektoren, die (5.110) erf¨ ullen). Man kann damit das Vektorpotential wie folgt schreiben: X ~ r, t) = √2 A(~ C~k,α (t) ~u~k,α (~r ) L3 ~

(5.111)

k,α

Das Vektorpotential ist aber reell; deswegen folgt aus (5.111)  X ∗ ~ r, t) = √1 A(~ C~k,α (t) ~u~k,α (~r ) + C~k,α (t) ~u~∗k,α (~r ) . L3 ~

(5.112)

k,α

F¨ ur die ebenen Wellen gilt ∆~u~k,α = −

ω(~k) c

!2 ~u~k,α ,

(5.113)

wobei ω(~k) = c |~k|.

(5.114)

Im folgenden wird h¨aufig das Indexpaar (~k, α) durch ν ersetzt und ω(~k) entsprechend durch ων abgek¨ urzt. Mit diesen Abk¨ urzungen erh¨alt man anstelle von (5.111) und (5.112) X ~ r, t) = √2 A(~ Cν (t) ~uν (~r ) L3 ν X ~ r, t) = √1 A(~ (Cν (t) ~uν (~r ) + Cν∗ (t) ~u∗ν (~r )) . 3 L ν

(5.115) (5.116)

Ferner erh¨alt man ∆~u = − ~ · ~uν = 0 ∇

ων2 ~uν c2

(5.117) (5.118)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES und schließlich 1 L3

Z

(~u∗ν · ~uµ ) d3~r = δµν ,

145

(5.119)

V

wobei V = {0 ≤ xκ ≤ L | κ = 1, 2, 3}.

(5.120)

Bemerkung: Die Tatsache, daß die ~uν ebene Wellen sind, wird im folgenden nicht benutzt. Benutzt werden lediglich die Relationen (5.117), (5.118), (5.119) und die ~ r ) mit Vollst¨andigkeitseigenschaft, daß jede quadratintegrable Vektorfunktion X(~ ~ ·X ~ = 0 als Linearkombination der ~uν dargestellt werden kann. ∇ Aus (5.97) folgt, daß ~t als Linearkombination der ~uν dargestellt werden kann: 2 X ~t = √ fν (t) ~uν (~r ) L3 ν

(5.121)

Da ~t = ~t∗ ist, erh¨alt man aus (5.121) 1 X ~t = √ (fν (t) ~uν (~r ) + fν∗ (t) ~u∗ν (~r )) . 3 L ν

(5.122)

Einsetzen von (5.115) und (5.121) in (5.98) ergibt unter Ausnutzung von (5.117)   2 X 1 d2 ων2 2 4π X √ √ C (t) + C (t) ~ u (~ r ) = fν (t) ~uν (~r ). ν ν ν c2 dt2 c2 L3 ν L3 c ν Hieraus folgt unter Ausnutzung von (5.119) 1 d2 ων2 4 C (t) + C (t) = fν (t). ν ν πc2 dt2 πc2 c

(5.123)

Die Entwicklungskoeffizienten {Cν } und ihre Ableitungen {(d/dt)Cν } bestimmen ~ r, t) und (∂/∂t)A(~ ~ r, t) und damit den Zustand zu jedem Zeitpunkt t die Gr¨oßen A(~ des elektromagnetischen Feldes. Wenn alle Funktionen ~uν reell sind8 , sind offenbar auch die Entwicklungskoeffizienten Cν reell. Man kann also in einem solchen Fall die Cν als Koordinaten f¨ ur die Freiheitsgrade des elektromagnetischen Feldes auffassen. Die Bewegungsgleichung (5.123) kann dann entsprechend als LagrangeGleichung   ∂L d ∂L − =0 (5.124) dt ∂ C˙ ν ∂Cν 8

Einfaches Beispiel reeller ~uν sind stehende ebene Wellen:

√

2~ (α) cos(~k·~r ),

√

2~ (α) sin(~k·~r ).

146

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

mit der Lagrangefunktion  X 1 ων2 2 4 2 ˙ L= C − C + fν Cν 2πc2 ν 2πc2 ν c ν

(5.125)

¨ angesehen werden. Es ist hierbei zu bemerken, daß die zeitliche Anderung des elektromagnetischen Feldes mit Hilfe der Lagrangefunktion  X  1 ων2 2 4 2 ˙ L= αν C − C + fν Cν 2 ν 2 ν 2πc 2πc c ν und den entsprechenden Gleichungen αν d2 αν ων2 4αν C (t) + Cν (t) = fν (t), ν 2 2 2 πc dt πc c wobei die αν positive Konstanten sind, ebensogut wie durch (5.125) und (5.123) beschrieben werden kann. Durch die spezielle Wahl der Lagrangefunktion (5.125) erreicht man, daß beim freien Feld (d.h. f¨ ur fν = 0) die Hamiltonfunktion gleich der Energie des Feldes ist, wie wir sp¨ater zeigen. Im Falle reeller ~uν k¨onnen also die Cν als verallgemeinerte Koordinaten benutzt werden. Die zugeordneten kanonischen Impulse sind den Geschwindigkeiten C˙ ν proportional. Bei komplexen ~uν f¨ uhrt man Koordinaten Qν und kanonische Impulse Pν durch folgende Gleichungen ein: r   1 1 1 ˙ ∗ ∗ ˙ Qν = (Cν + Cν ) + Cν − Cν (5.126) πc2 2 2iων r    ω 1 1˙ ν ∗ ∗ ˙ Pν = Cν + Cν − (Cν − Cν ) (5.127) πc2 2 2i Es wird dabei vorausgesetzt, daß alle ~uν mit ων = 0 reell sind; f¨ ur ων = 0 wird (5.126) durch r r 1 1 1 Qν = (Cν + Cν∗ ) = Cν 2 πc 2 πc2 ersetzt. Aus (5.126) und (5.127) folgen   √ i i πc2 Qν − Pν = Cν − C˙ ν ων ων   √ i i πc2 Qν + Pν = Cν∗ + C˙ ν∗ ων ων

(5.128) (5.129)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

147

f¨ ur ων 6= 0, w¨ahrend f¨ ur ων = 0 √ 2 √πc Qν = Cν πc2 Pν = C˙ ν gilt. Aus (5.128) und (5.129) folgt     X  √ i i 2 πc Qν − Pν ~uν + Qν + Pν ~u∗ν ων ων ν: ων >0   X X 1 ˙∗ ∗ 1 ˙ ∗ ∗ = (Cν ~uν + Cν ~uν ) − i Cν ~uν − Cν ~uν . ων ων ν: ω >0 ν: ω >0 ν

(5.130)

(5.131)

ν

Es gilt aber  X 1 1 ∗ ∗ C˙ ν ~uν − C˙ ν ~uν = 0, ω ων ν ν: ω >0

(5.132)

ν

~ denn f¨ ur jedes ξ > 0 ist ν: ων =ξ C˙ ν ~uν die Projektion von 12 (∂ A/∂t) auf den von P den Funktionen {~uν | ων = ξ} aufgespannten Raum, w¨ahrend ν: ων =ξ C˙ ν∗~u∗ν die ~ Projektion von 21 (∂ A/∂t) auf den von den Funktionen {~u∗ν | ων = ξ} aufgespann∗ ten Raum ist. Diese R¨aume sind aber identisch. P (Es gilt n¨amlich ∆~uP uν )∗ = ν = (∆~ ˙ ∗ u∗ν und ˙ uν −(ων2 /c2 )~u∗ν .) Damit sind aber die Summen ν: ων =ξ Cν ~ ν: ων =ξ Cν ~ gleich; daraus folgt (5.132). P

Aus (5.131) und (5.132) folgt unter Benutzung von (5.116) r      πc2 X i i ~ A(~r, t) = Qν − Pν ~uν + Qν + Pν ~u∗ν . L3 ν ων ων Hierbei ist

(5.133)

     i i Qν − Pν ~uν + Qν + Pν ~u∗ν ων ων

f¨ ur ων = 0, ~uν = ~u∗ν mit dem Ausdruck [Qν ~uν + Qν ~u∗ν ] gleichzusetzen. Aus (5.128), (5.129) und (5.130) folgt X √ πc2 (Pν + iων Qν )~uν + (Pν − iων Qν )~u∗ν ν

=

X ν

(C˙ ν ~uν + C˙ ν∗~u∗ν ) + i

X ν

(ων Cν ~uν − ων Cν∗~u∗ν ).

(5.134)

148

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Es gilt aber andererseits X

(ων Cν ~uν − ων Cν∗~u∗ν ) = 0.

(5.135)

ν

(Der Beweis von (5.135) ist demjenigen von (5.132) analog.) Aus (5.134), (5.135) und (5.116) erh¨alt man also r ∂ ~ πc2 X [(Pν + iων Qν )~uν + (Pν − iων Qν )~u∗ν ] . (5.136) A(~r, t) = L3 ν ∂t ~ Die Relationen (5.133) und (5.136) zeigen, daß f¨ ur gegebene Qν , Pν die Gr¨oßen A ~ und (∂ A/∂t) eindeutig bestimmt sind. Umgekehrt folgt aus (5.116), (5.126) und ~ und (∂ A/∂t) ~ (5.127), daß Qν , Pν bei gegebenen A eindeutig bestimmt sind. Aus den Relationen (5.126), (5.127) und der Dgl. (5.123) folgen √ π 2 (fν − fν∗ ) Q˙ ν = Pν + iων √ 2 ˙ Pν = −ων Qν + 2 π(fν + fν∗ ).

(5.137) (5.138)

Diese Gleichungen k¨onnen offenbar als kanonische Gleichungen ∂H Q˙ ν = , ∂Pν mit H=

X1 ν

2

Pν2

+

ων2 Qν2

∂H P˙ν = − ∂Qν

 √ √ 4 π ∗ ∗ + (fν − fν )Pν − 4 πQν (fν + fν ) iων

(5.139)

(5.140)

~ und geschrieben werden. Die Hamiltonfunktion (5.140) kann mit Hilfe von A ~ (∂ A/∂t) ausgedr¨ uckt werden; unter Benutzung von (5.128) und (5.129) erh¨alt man X1 1 X ˙ (Pν2 + ων2 Qν2 ) = |Cν + iων Cν |2 (5.141) 2 2 2πc ν ν und  fν − fν∗ ∗ Pν − (fν + fν )Qν iων ν      2X i ˙∗ i ˙ ∗ ∗ = − fν Cν + Cν + fν Cν − Cν . c ν ων ων

√ X 2 π



Beim Beweis von (5.132) wurde gezeigt, daß f¨ ur jedes ξ ≥ 0 X X C˙ ν ~uν = C˙ ν∗~u∗ν ν: ων =ξ

ν: ων =ξ

(5.142)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

149

¨ gilt. Ahnlich zeigt man, daß X

Cν ~uν =

ν: ων =ξ

X

Cν∗~u∗ν .

ν: ων =ξ

Daraus folgt, daß die Summe X

C˙ ν∗ Cν =

Z V

ν: ων =ξ

! X

 X

C˙ ν∗~u∗ν

Cµ~uµ 



ν: ων =ξ

µ: ωµ =ξ

1 3 d ~r L3

reell ist. Weiterhin verschwindet die Summe X ν

~∗ ∂A fν C˙ ν∗ − fν∗ C˙ ν = 2 Im · ~t ∂t

!

~ ∗ /∂t)·~t = (∂ A/∂t)·~ ~ weil (∂ A t reell ist. Damit erh¨alt man aus (5.141) und (5.142)  X1 1 X ˙ 2 2 2 2 2 2 (P + ων Qν ) = |Cν | + ων |Cν | (5.143) 2 ν 2πc2 ν ν   √ X fν − fν∗ 2X ∗ 2 π Pν − (fν + fν )Qν = − fν Cν∗ + fν∗ Cν . (5.144) iων c ν ν Unter Benutzung von (5.115), (5.117) und (5.119) erh¨alt man hieraus   2 Z X1 ~ 1 ~ ∆A)c ~ 2  d3~r  ∂ A − (A (Pν2 + ων2 Qν2 ) = 2 2 8πc V ∂t

(5.145)

ν

und √ X 2 π ν



fν − fν∗ Pν − (fν + fν∗ )Qν iων



1 =− c

Z

~ d3~r. (~t · A)

(5.146)

V

~ ·A ~ = 0) Es gilt aber (wegen ∇ Z Z   3 ~ ∆A) ~ d ~r = ~· ∇ ~ × (∇ ~ × A) ~ d3~r − (A A V VZ Z 3 ~ ~ ~ ~ ~ × A| ~ 2 d3~r = − ∇ · (A × (∇ × A)) d ~r + |∇ V {z } |V =0

(das erste Integral verschwindet nach Anwendung des Gaußschen Satzes wegen der periodischen Randbedingungen), d.h. Z Z 3 ~ ~ ~ × A| ~ 2 d3~r. − (A ∆A) d ~r = |∇ (5.147) V

V

150

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Andererseits gilt Z

~ d ~r = (~t · A) 3

Z

V

~ d3~r. (~ · A)

(5.148)

V

Denn 4π

Z  V

  Z   ∂φ 3 ~ ~ ~ d3~r (~ − ~t ) · A d ~r = ∇ ·A ∂t   ZV Z   ∂φ ~ 3 ∂φ ~ ~ 3 ~ = ∇· A d ~r − ∇ · A d ~r = 0 ∂t ∂t | {z } V V =0 | {z } =0

(das erste Integral verschwindet wieder nach Anwendung des Gaußschen Satzes wegen der periodischen Randbedingungen). Aus (5.145) und (5.147) (bzw. (5.146) und (5.148)) erh¨alt man schließlich   2 Z X1 ~ 1 ~ × A| ~ 2  d3~r  1 ∂ A + |∇ (Pν2 + ων2 Qν2 ) = (5.149) 2 8π V c2 ∂t ν

und √ X 2 π ν



fν − fν∗ Pν − (fν + fν∗ )Qν iων



1 =− c

Z

~ d3~r. (~ · A)

(5.150)

V

F¨ ur eine gegebene Stromverteilung ~ k¨onnen also die Bewegungsgleichungen (5.137), (5.138) des elektromagnetischen Feldes als kanonische Gleichungen (5.139) mit der Hamiltonfunktion   2 Z Z ~ 1 ∂A 1 1 2 3 ~ ~ ~ d3~r  H= (~ · A) (5.151) + |∇ × A| d ~r − 2 8π V c ∂t c V geschrieben werden (vgl. (5.140), (5.149), (5.150)).

5.3.2 Hamiltonfunktion fu ¨r Teilchen und elektromagnetisches Feld Die zeitliche Entwicklung eines aus dem elektromagnetischen Feld und N strukturlosen Teilchen bestehenden Systems wird bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten durch kanonische Bewegungsgleichungen mit der Hamiltonfunktion N 2 X e e X 1  ek ~ k l H = p~k − A(~ rk , t) + 2m c |~ r rl | k k −~ k=1 k
(5.152)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

151

~ ist beschrieben. Hierbei sind mk , ek Massen und Ladungen der Teilchen, und A gegeben durch (5.133). Beweis:

1. Die kanonischen Gleichungen f¨ ur die Teilchenkoordinaten und die kanonischen Impulse ~ p~ H, ~r˙k = ∇ k

~ ~r H p~˙k = −∇ k

(5.153)

sind f¨ ur das durch (5.152) gegebene H identisch mit  1  ek ~ p~k − A(~ rk , t) (5.154) mk c    ek  ek ~ ~ rk , t) + d ek A(~ ~ rk , t) p~k − A(~ rk , t) × B(~ = mk c c dt c ~ rk , t), + ek E(~ (5.155)

~r˙k = p~˙k

wobei ~ rk , t) = ∇ ~ × A(~ ~ rk , t) B(~

(5.156) 



X ~ el  ~ rk , t) = − 1 ∂ A(~rk , t) − ∇ ~ ~r  E(~ . k c ∂t |~rk − ~rl |

(5.157)

l (l6=k)

Die Gleichungen (5.154) und (5.155) sind ¨aquivalent zu ek ~ p~k = mk~r˙k + A(~ rk , t) c   ek ˙ ~ rk , t) + ek E(~ ~ rk , t). mk~r¨k = ~rk × B(~ c

(5.158) (5.159)

2. Die kanonischen Gleichungen f¨ ur die Feldkoordinaten und -impulse ∂H Q˙ ν = , ∂Pν

∂H P˙ν = − ∂Qν

(5.160)

152

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN f¨ ur die durch (5.152) gegebene Hamiltonfunktion H sind  Q˙ ν =

P˙ν

∂ 1 ∂Pν 8π

 Z V

  2 ~ ~ × A| ~ 2  d3~r  1 ∂ A + |∇ c2 ∂t

N  ∂ A(~ X ~ rk , t) ek  ek ~ − p~k − A(~ rk , t) mk c c ∂Pν k=1     2 Z ~ ∂ 1 ~ × A| ~ 2  d3~r  1 ∂ A + |∇ = − ∂Qν 8π V c2 ∂t N  ∂ A(~ X ~ rk , t) ek ~ ek  + p~k − A(~ rk , t) . mk c c ∂Qν k=1

(5.161)

(5.162)

Unter Benutzung von (5.158) und der Beziehung ~ (~r, t) =

N X

ek~r˙k δ(~r − ~rk )

(5.163)

k=1

erh¨alt man aus (5.161) und (5.162) 

Q˙ ν

P˙ν



  2 ! Z ~ ~ ∂ 1 1 ∂ A 1 ∂ A ~ × A| ~ 2  d3~r −  = ~ · d3~r + |∇ ∂Pν 8π V c2 ∂t c V ∂Pν     2 ! Z Z ∂A ~ ~ ∂ 1 1 1 ∂ A ~ × A| ~ 2  d3~r +  = − ~ · d3~r. + |∇ 2 ∂Qν 8π V c ∂t c V ∂Qν Z

Diese Gleichungen sind aber zu (5.137) und (5.138) ¨aquivalent (vgl. (5.149), (5.150)). 2 Bemerkungen: 1. Durch Addition eines Terms V (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) zur Hamiltonfunktion (5.152) ~ ~r V ) auf die Teilchen ber¨ k¨onnen zus¨atzlich Kr¨afte (−∇ ucksichtigt werden. k 2. Wenn neben den betrachteten Teilchen eine zus¨atzliche Ladungs- und Stromverteilung ρext , ~ext vorhanden ist, dann muß ein Term 1 − c

Z V

~ d3~r + (~ext · A)

N Z X ek ρext (~r 0 ) 3 0 d ~r |~rk − ~r 0 | k=1 V

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

153

zur Hamiltonfunktion (5.152) addiert werden. Alternativ kann man einen ~ ext des Vektorpotentials, dessen Quelle der transentsprechenden Anteil A versale Anteil von ~ext ist, abspalten. Bei einer solchen Behandlung ersetzt man (5.152) durch N 2 X e e X ek  ~ 1  k l ~ ext (~rk , t) H = p~k − A(~rk , t) + A + 2mk c |~rk − ~rl | k
Zusammenfassung: Sei {~uν (~r )} ein vollst¨andiges System im Raum der divergenzfreien Vektorfelder mit periodischen Randbedingungen. Ferner sollen die {~uν } folgende Eigenschaften haben:

∆~uν = − 1 L3

Z

ων2 ~uν c2

(~u∗ν (~r ) · ~uµ (~r )) d3~r = δνµ

(5.164) (5.165)

V

~uν = ~u∗ν ,

wenn ων = 0

(5.166)

Nach obiger Voraussetzung erf¨ ullen die ~uν die periodischen Randbedingungen und sind divergenzfrei: ~ · ~uν = 0 ∇

(5.167)

Die Koordinaten und Impulse Qν , Pν des elektromagnetischen Feldes werden durch die Gleichungen r

     πc2 X i i ∗ Qν − Pν ~uν (~r ) + Qν + Pν ~uν (~r (5.168) ) L3 ν ων ων

r

πc2 X [(Pν + iων Qν ) ~uν (~r ) + (Pν − iων Qν ) ~u∗ν (~r )] (5.169) L3 ν

~ r, t) = A(~ ∂ ~ A(~r, t) = ∂t eingef¨ uhrt.

154

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Die Hamiltonfunktion f¨ ur ein System aus N strukturlosen Teilchen und dem elektromagnetischen Feld ist H =

N 2 X e e X 1  ek ~ k l p~k − A(~ rk , t) + + V (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) 2m c |~ r r k k −~ l| k
oder anders geschrieben N 2 X e e X ek ~ 1  k l p~k − A(~ rk , t) + + V (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) H = 2m c |~ r r k k −~ l| k
~ und (∂ A/∂t) ~ In (5.170) und (5.171) sind A durch die Gleichungen (5.168) und (5.169) gegeben. Wenn kein geladenes Teilchen vorhanden ist (freies elektromagnetisches Feld), vereinfacht sich die Hamiltonfunktion zu H=

X1 ν

2


Pν2 + ων2 Qν2 .

(5.172)

5.3.3 Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes Das freie elektromagnetische Feld mit der Hamiltonfunktion (5.172) kann als ein System ungekoppelter harmonischer Oszillatoren angesehen werden. Ausgangspunkt f¨ ur die quantenmechanische Beschreibung ist die Postulierung kanonischer Vertauschungsrelationen f¨ ur die Operatoren Qν , Pν , die Koordinaten und Impulsen entsprechen: [Qν , Qµ ] = 0,

[Pν , Pµ ] = 0,

[Qν , Pµ ] = i¯ hδνµ

(5.173)

Wie auf Seite 140 erl¨autert wurde, kann ein System ungekoppelter Oszillatoren auch als System gleicher Bosonen angesehen werden. Diese Bosonen, in diesem Fall die Oszillationsquanten des elektromagnetischen Feldes, werden Photonen genannt. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a†ν , aν werden definiert durch r r  ων 1 1 Qν + i Pν aν = √ h ¯ h ¯ ω 2 r ων 6= 0. r ν  (5.174) ω 1 1 ν † Qν − i Pν aν = √ h ¯ ων h ¯ 2

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

155

Diese Operatoren erf¨ ullen die Vertauschungsrelationen [aν , aµ ] = 0,

[a†ν , a†µ ] = 0,

[aν , a†µ ] = δνµ .

(5.175)

Es gilt ferner (vgl. Seite 140)  
1 1 2 2 2 † P + ων Qν = h ¯ ων aν aν + . 2 ν 2

(5.176)

Als Hamiltonoperator f¨ ur das freie elektromagnetische Feld w¨ahlt man X1
H= Pν2 + ων2 Qν2 − h ¯ ων . (5.177) 2 ν P Mit dieser Wahl ist die Nullpunktsenergie“ hων /2) der Oszillatoren von ν (¯ ” Anfang an abgezogen. Mit Hilfe der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren l¨aßt sich der Hamiltonoperator wie folgt schreiben: X 1 X H= Pν2 + h ¯ ων a†ν aν (5.178) 2 ν: ων =0 ν: ων >0 P Bemerkung: Der erste Term ( ν: ων =0 21 Pν2 ) der rechten Seite von (5.178) wird oft weggelassen. Diese Vernachl¨assigung ist meistens irrelevant; die Freiheitsgrade ~ In diesem Qν mit ων = 0 entsprechen einem r¨aumlich konstanten Anteil von A. Zusammenhang ist zu bemerken, daß es keine Photonen mit Frequenz ων = 0 gibt; dies wird gerade durch Gleichung (5.178) und die Beschr¨ankung ων 6= 0 in (5.174) deutlich. Bei der quantenmechanischen Beschreibung sind f¨ ur jedes ~r, t die Komponenten ~ ~ von A(~r, t) und (∂ A(~r, t)/∂t) Operatoren. Diese Operatoren sind durch (5.168) und (5.169) definiert, wenn man die in den rechten Seiten von (5.168) und (5.169) auftretenden Qν , Pν als Operatoren auffaßt. Mit (5.174) erh¨alt man dann: r
2¯ hπc2 X 1 † ∗ ~ r, t) = ~ u (~ r ) + a ~ u (~ r ) A(~ a (5.179) √ ν ν ν ν L3 ων ν r ~ r, t)
∂ A(~ 2¯ hπc2 X √ † ∗ = i ω a ~ u (~ r ) − a ~ u (~ r ) (5.180) ν ν ν ν ν ∂t L3 ν ~ r, t) allein durch die Es ist hierbei zu bemerken, daß die Zeitabh¨angigkeit von A(~ † Zeitabh¨angigkeit der Operatoren aν , aν (im Heisenberg-Bild) bedingt ist.

5.3.4 Plancksche Formel In der statistischen Mechanik wird ein System im thermischen Gleichgewicht mit Temperatur T durch eine Dichtematrix H ρ = C e− kT

(5.181)

156

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

beschrieben. Die Konstante C ist dabei so gew¨ahlt, daß Sp(ρ) = 1. Dieses Resultat der statistischen Mechanik wird hier vorweggenommen. F¨ ur ein System M ungekoppelter Oszillatoren mit P Frequenzen ωk | k = 1, . . . M kann der Hamiltonoperator in der Form H = M ¯ ωk (a†k ak + 21 ) k=1 Hk geschrieben werden, wobei Hk = h der Hamiltonoperator f¨ ur den Oszillator k ist. Es gibt eine orthonormierte Basis von Vektoren {|n1 , n2 , . . . nM i : n1 , . . . nM = 0, 1, . . .} mit der Eigenschaft a†k ak |n1 , n2 , . . . nM i = nk |n1 , n2 , . . . nM i.

(5.182)

Es gilt offenbar  Hk |n1 , n2 , . . . nM i = h ¯ ωk

1 nk + 2

 |n1 , n2 , . . . nM i.

(5.183)

Mit Hilfe dieser Basis kann der Erwartungswert der Energie des k-ten Oszillators wie folgt berechnet werden: < Hk > = Sp(Hk ρ) = C Sp(Hk e−H/kT ) Sp(Hk e−H/kT ) = Sp(e−H/kT ) P −H/kT |n1 , . . . nM i n1 ,...nM hn1 , . . . nM | Hk e P = −H/kT |n , . . . n i 1 M n1 ,...nM hn1 , . . . nM | e Aufgrund der Eigenschaften dieser Basis erh¨alt man hieraus  
P X 1 − M ¯hωl nl + 1 l=1 kT 2 h ¯ ωk nk + e 2 n1 ,...nM < Hk > = . X − PM ¯hωl n + 1
l l=1 kT 2 e n1 ,...nM

Daraus folgt X

h ¯ ωk h ¯ ωk < Hk > = + 2


! Y X ¯hω
! 1 l nk + e− kT nl + 2

¯ ωk h nk e− kT

1 2

nk

l6=k

! Y X − ¯hωl n + 1
l 2 e kT nl

l

h ¯ ωk h ¯ ωk = + 2

X

¯ ωk h nk e kT

nk +

1 2




nk

X

hωk ¯ e kT nk +

1 2




nk

= h ¯ ωk

nl

! P∞ −ξn ne 1 + Pn=0 . ∞ −ξn h ¯ω 2 e n=0 ξ= k kT

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

157

Aber: ∞ X n=0 ∞ X

e−ξn =

ne

n=0

−ξn

1 1 − e−ξ ∞ X

d = − dξ

! −ξn

e

n=0

e−ξ = . (1 − e−ξ )2

Es gilt also h ¯ ωk < Hk > = +h ¯ ωk 2 oder < Hk > =

h ¯ ωk + 2

hω k ¯ e− kT hωk ¯ 1 − e− kT

h ¯ ωk ¯ ωk h e kT

.

(5.184)

(5.185)

−1 F¨ ur das elektromagnetische Feld erh¨alt man damit f¨ ur die Energiedichte in einem 0 Frequenzintervall ω ≤ ω ≤ ω + ∆ω ! 1 h ¯ω h ¯ω dN ∆u = ρ(ω) ∆ω = 3 + ¯hω ∆ω, (5.186) L 2 dω e kT − 1 wobei (dN/dω)∆ω die Anzahl von Oszillatoren des elektromagnetischen Feldes mit Frequenz ω 0 im Intervall ω ≤ ω 0 ≤ ω + ∆ω ist. Zur Bestimmung von (dN/dω)∆ω benutzt man ebene Wellen {~uν (~r )} als Basis. Die Basisvektoren sind   α = 1, 2 (α) i~k·~ r ~ e ~k = 2π (n1 , n2 , n3 ) . L Die Anzahl der Basisvektoren mit ω 0 = c|~k| aus dem Intervall ω ≤ ω 0 ≤ ω + ∆ω ist  3   L ω 2 ∆ω 2 4π . 2π c c Damit erh¨alt man die Plancksche Formel h ¯ ω3 ρ(ω) ∆ω = 2 3 π c

1 + 2

1 hω ¯

! ∆ω.

(5.187)

e kT − 1

5.3.5 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes Wenn Teilchen mit elektromagnetischen Wechselwirkungen vorhanden sin, hat man ein Gesamtsystem zu betrachten, welches aus dem elektromagnetischen Feld und den Teilchen zusammengesetzt ist. Klassisch wird der Zustand dieses Gesamtsystems durch die Angabe der Koordinaten und Impulse Qν , Pν des Feldes

158

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

und der Koordinaten und Impulse ~rk , p~k der (strukturlosen) Teilchen festgelegt. Hierbei ist (k)

(k)

(k)

~rk = (x1 , x2 , x3 )

und

(k)

(k)

(k)

p~k = (p1 , p2 , p3 ).

F¨ ur die quantenmechanische Beschreibung werden kanonische Vertauschungsrelationen postuliert: [Qν , Qµ ] = 0,

[Pν , Pµ ] = 0,

[Qν , Pµ ] = i¯ hδνµ

(j) (j) (j) [Qν , x(j) κ ] = [Qν , pκ ] = [Pν , xκ ] = [Pν , pκ ] = 0 (l)

[x(j) κ , xλ ] = 0,

(l)

[p(j) κ , pλ ] = 0.

(l)

[x(j) hδκλ δjl κ , pλ ] = i¯

(5.188) (5.189) (5.190)

Die zeitliche Entwicklung des Systems wird mit Hilfe des Hamiltonoperators N 2 X e e X ek ~ 1  k l p~k − A(~ rk ) + + V (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) H = 2m c |~ r r k k −~ l| k
beschrieben. Hierbei ist9 r
hπc2 X 1 † ∗ ~ r ) = 2¯ A(~ a ~ u (~ r ) + a ~ u (~ r ) √ ν ν ν ν L3 ων ν

(5.192)

mit aν a†ν

r r  1 ων 1 = √ Qν + i Pν ¯ h ¯ ω 2 r h ν r  1 ων 1 Qν − i Pν = √ h ¯ h ¯ ων 2

ων 6= 0.

(5.193)

~ r ) zeitunabh¨angig. Die Zeitabh¨abgigkeit Bemerkung: Im Schr¨odinger-Bild ist A(~ ~ r ) im Heisenberg-Bild ist durch die Zeitabh¨angigkeit der Operatoren a† , aν von A(~ ν ~ bedingt. F¨ ur die zeitliche Ableitung von A(~r ) im Heisenberg-Bild erh¨alt man unter Benutzung von (5.191) und (5.192) nach l¨angerer Rechnung: d ~ i ~ r )] = A(~r ) = [H, A(~ dt h ¯ 9

F¨ ur ων = 0 ist

q

1 † uν (~r ) ων (aν ~

r


2πc2 X √ i ων a†ν ~uν (~r ) − aν ~u∗ν (~r ) 3 L ν

+ aν ~u∗ν (~r )) durch

q

2 uν (~r ) h ¯ Qν ~

zu ersetzen.

(5.194)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

159

5.3.6 Anwendung: Spontane Photonenemission ¨ Zur Beschreibung der Uberg¨ ange von Atomen unter spontaner Photonenemission wird zeitabh¨angige St¨orungsrechnung erster Ordnung benutzt. Der Hamiltonoperator H f¨ ur das aus dem Atom und dem elektromagnetischen Feld zusammengesetzte System wird wie folgt zerlegt: H = H0 + HI ,

(5.195)

wobei H0 = HAt + HPh N X 1 2 HAt = p~ + V (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) 2m k k=1 X HPh = h ¯ ων a†ν aν HI =

ν N X k=1

 2 1  e~ 1 2 p~k − A(~rk ) − p~ . 2m c 2m k

(5.196) (5.197) (5.198)

(5.199)

Hierbei ist HPh der Hamiltonoperator f¨ ur das freie elektromagnetische Feld; der andere in H0 enthaltene Term HAt ist ein Hamiltonoperator f¨ ur das Atom der Form, die f¨ ur die Berechnung der Energien der Atomniveaus u ¨blicherweise benutzt wird. F¨ ur V w¨ahlt man z.B. V (~r1 , . . . ~rN ) =

X k
X Ze2 e2 − . |~rk − ~rl | |~ r k| k

(5.200)

Dabei wird der Atomkern als unendlich massiv angenommen, so daß er an einem Punkt — dem Koordinatenursprung — festgenagelt“ ruht. ” Das betrachtete Gesamtsystem setzt sich aus dem Atom und dem elektromagnetischen Feld zusammen: Eine orthonormierte Basis des Gesamtsystems hat die Form   X = 1, 2, . . . |X; n1 , n2 , . . .iG = |Xi ⊗ |n1 , n2 , . . .iPh , n1 , n2 , . . . = 0, 1, 2, . . . wobei {|Xi : X = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis im Raum der Atomzustandsvektoren bezeichnet, und {|n1 , n2 , . . .iPh : n1 , n2 , . . . = 0, 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von Zustandsvektoren des elektromagetischen Feldes ist, die der Besetzungszahldarstellung entspricht. ¨ Bei dem betrachteten Ubergang ist im Anfangszustand |iiG des Gesamtsystems das Atom im Zustand |Ai und das elektromagnetische Feld im Zustand |0, 0, . . .iPh =

160

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

|∅iPh ( Photonenvakuum“), w¨ahrend sich im Endzustand |f iG das Atom im Zu” stand |Bi und das elektromagnetische Feld im Zustand |0, 0, . . . 0, 1, 0, . . .iPh = a†ν |∅iPh mit einem Photon befindet: |iiG = |Ai ⊗ |∅i = |A; 0, 0, . . . 0, 0, 0, . . .iG † |f iG = |Bi ⊗ aν |∅i = |B; 0, 0, . . . 0, 1, 0, . . .iG

(5.201)

Bei der zeitabh¨angigen St¨orungsrechnung tritt das Matrixelement G hf |HI |iiG auf, welches wir zun¨achst berechnen: Aus (5.199) folgt N  X e  ~ rk ) + A(~ ~ rk ) · p~k − e A(~ ~ rk ) · A(~ ~ rk ) . p~k · A(~ HI = − 2mc c k=1

Das Vektorpotential ist eine Linearkombination von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren (vgl. (5.192)). Aus den Eigenschaften von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren folgt G hf |HI |iiG =

G hf |

N  X

−

k=1

e = − 2mc

r

e 2mc

r

= −

 e  ~ rk ) + A(~ ~ rk ) · p~k |iiG p~k · A(~ 2mc

2π¯ hc2 1 √ ων L3

G hf |

N X

(~pk · ~uν (~rk ) + ~uν (~rk ) · p~k ) a†ν |iiG

k=1 N X

2π¯ hc2 1 (~pk · ~uν (~rk ) + ~uν (~rk ) · p~k ) |Ai. (5.202) √ hB| L3 ων k=1

Aus der Divergenzfreiheit von ~uν folgt p~k · ~uν (~rk ) = ~uν (~rk ) · p~k . Damit vereinfacht sich (5.202) zu e G hf |HI |iiG = − mc

r

N

X 2π¯ hc2 1 hB| (~uν (~rk ) · p~k ) |Ai. √ L3 ων k=1

(5.203)

Speziell betrachten wir den Fall, wo die {~uν (~r )} ebene Wellen sind. F¨ ur ~uν (~r ) = (α) i~k·~ r ~ ~ e (d.h. f¨ ur ein Photon mit Impuls h ¯ k und Polarisationsvektor ~ (α) ) erh¨alt man also r N X e 2π¯ hc 2 1 ~ eik·~rk (~ (α) · p~k ) |Ai. (5.204) √ hB| G hf |HI |iiG = − 3 mc L ων k=1 ¨ Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Ubergang pro Zeiteinheit ist W =

2π |G hf |HI |iiG |2 ρf , h ¯

(5.205)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

161

wobei ρf die Dichte der Endzust¨ande bezeichnet. F¨ ur einen diskreten Zustand |Bi des Atoms und Photonen mit ~k in einem Raumwinkel ∆Ω ist die Anzahl ∆N der Endzust¨ande im Energieintervall ∆E = h ¯ ∆ω = h ¯ c ∆|~k| gegeben durch  3  3 2 L L ω 2 ~ ~ ∆N = k ∆Ω ∆|k| = ∆Ω ∆E. (5.206) 2π 2π c3 h ¯ Somit ist

3 2 L ω ∆Ω. ρf = 2π c3 h ¯ Man erh¨alt aus (5.205) unter Benutzung von (5.204) und (5.207) 2 N X ω e ~ ik·~ rk (α) W = (~ · p~k ) |Ai ∆Ω. hB| − e 2πc¯ h mc k=1 

(5.207)

(5.208)

Hierbei ist ω = c|~k| durch die Bedingung h ¯ ω + EB = EA

(5.209)

festgelegt. EA , EB bezeichnen die Eigenwerte des Operators HAt : HAt |Ai = EA |Ai,

HAt |Bi = EB |Bi

(5.210)

Dipoln¨aherung. In Atomen ist die relevante Wellenl¨ange λ=

2π¯ hc 2π = EA − EB |~k| ~

viel gr¨oßer als die Atomabmessungen. Dies rechtfertigt die Dipoln¨aherung eik·~rk ≈ 1 in (5.208). Damit erh¨alt man 2 N X ω e (α) W = hB| (~  · p ~ ) |Ai (5.211) ∆Ω. k 2πc¯ h mc k=1

Unter Ausnutzung von (5.210) und der Relation i 1 [HAt , ~rk ] = p~k , h ¯ m die aus (5.197) folgt, erh¨alt man

(5.212)

N N X X e (α) i e (α) hB| (~ · p~k ) |Ai = hB| [HAt , (~ · ~rk )] |Ai mc h ¯ c k=1 k=1 N X i e (α) = (EB − EA ) hB| (~ · ~rk ) |Ai. (5.213) h ¯ c k=1

162

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Damit erh¨alt man aus (5.211) unter Benutzung von (5.209) 2 ω 3 (α) ~ W = hB| (~ · d) |Ai ∆Ω, 3 2π¯ hc wobei d~ =

N X

ek~rk

(5.214)

(5.215)

k=1

den elektrischen Dipol-Operator bezeichnet. ¨ Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit f¨ ur den Ubergang des Atoms von |Ai nach |Bi unter Emission eines Photons mit beliebiger Polarisation und Impulsrichtung summiert man (5.214) u ¨ber den Index α des Polarisationsvektors und integriert u uhrung der Summation und ¨ber den Winkel Ω. Zur Ausf¨ Integration benutzt man die Relation Z X Z X 2 2 2 X (α) (α) ~ ∗ Dµ Dν (α) hB| (~ · d) |Ai dΩ = µ λ dΩ, α=1

µ,ν

α=1

~ |Ai der µ-ten kartesischen Komponente wobei Dµ das Matrixelement hB| (~eµ · d) (α) von d~ und µ die µ-te kartesische Komponente von ~ (α) bezeichnet. Es gilt aber ferner Z X 2 8π (α) (α) . µ λ dΩ = δµλ 3 α=1 Damit erh¨alt man schließlich f¨ ur die Zerfallswahrscheinlichkeit A → B pro Zeiteinheit 3 4 ω3 X WA→B = |Dµ |2 . (5.216) 3h ¯ c3 µ=1 Bemerkung: Nach der klassischen Elektrodynamik ist die Strahlungsleistung eines schwingenden Dipols 4 ω4 ~ 2 P = |d| . 3 c3 Diese Leistung entspricht der Ausstrahlung von   1 4 ω4 ~ 2 |d| h ¯ ω 3 c3 Photonen pro Zeiteinheit.

Anhang A Zeitabha¨ngige St¨orungsrechnung 1. Ordnung Problemstellung: Ein System mit Hamiltonoperator H = H0 + V

(A.1)

befinde sich zum Zeitpunkt t0 im Zustand |ai mit H0 |ai = a |ai.

(A.2)

Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß bei einer Messung zum sp¨ateren Zeitpunkt t das System in den Zustand |bi mit H0 |bi = b |bi

(A.3)

hb|ai = 0

(A.4)

und u ¨bergeht. Es wird ferner vorausgesetzt, daß V eine kleine St¨orung “ ist — in ” dem Sinn, daß die gesuchte Wahrscheinlichkeit ausreichend genau in niedrigster nicht verschwindender Ordnung in V berechnet werden kann. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit Wa→b (t) ist gegeben durch Wa→b (t) = |hb| U (t, t0 ) |ai|2 ,

(A.5)

wobei U (t, t0 ) den Entwicklungsoperator im Schr¨odingerbild bezeichnet. F¨ ur eine Entwicklung nach Termen steigender Ordnung in V benutzt man zweckm¨aßig das Wechselwirkungsbild (vgl. Seite 80). F¨ ur den Entwicklungsoperator im Wechselwirkungsbild i (A.6) UW (t, t0 ) = e h¯ H0 (t−t0 ) U (t, t0 ) erh¨alt man aus der Differentialgleichung mit Anfangsbedingung i¯ h

d UW (t, t0 ) = VW (t) UW (t, t0 ), dt 163

UW (t0 , t0 ) = 1

(A.7)

¨ ¨ 164ANHANG A. ZEITABHANGIGE STORUNGSRECHNUNG 1. ORDNUNG die Integralgleichung i UW (t, t0 ) = 1 − h ¯ wobei

Z

t

VW (τ ) UW (τ, t0 ) dτ,

(A.8)

t0

i

i

VW (τ ) = e h¯ H0 (τ −t0 ) V (τ )e− h¯ H0 (τ −t0 ) .

(A.9)

Aus (A.8) erh¨alt man f¨ ur UW (t, t0 ) eine St¨orungsreihe bez¨ uglich V Z i t UW (t, t0 ) = 1 − VW (τ ) dτ + O(V 2 ). h ¯ t0 Hieraus folgt unter Benutzung von (A.6)   Z i i t −h H (t−t ) 0 0 U (t, t0 ) = e ¯ VW (τ ) dτ + O(V 2 ) 1− h ¯ t0 und damit unter Benutzung von (A.3) und (A.4)   Z t i i −h  (t−t ) hb| VW (τ ) |ai dτ + O(V 2 ). hb| U (t, t0 ) |ai = e ¯ b 0 − h ¯ t0 Aus (A.5) und (A.12) folgt bis auf Terme h¨oherer Ordnung in V Z 2 1 t Wa→b (t) = 2 hb| VW (τ ) |ai dτ . h ¯ t0

(A.10)

(A.11)

(A.12)

(A.13)

Zur Vereinfachung der Ausdr¨ ucke wird im folgenden t0 = 0 gew¨ahlt. Bei der Auswertung der rechten Seite von (A.13) betrachten wir im folgenden zwei F¨alle: Fall 1: V ist zeitunabh¨angig. Damit folgt aus (A.2), (A.3) und (A.9) i

hb| VW (τ ) |ai = hb|V |ai e h¯ (b −a )τ . Hieraus erh¨alt man Z t

(A.14)

i

hb| VW (τ ) |ai dτ = hb|V |ai 0

e h¯ (b −a )t − 1 i ( − a ) h b ¯

und damit 1 Wa→b (t) = |hb|V |ai| 2 h ¯ 2

wobei ωba =



2 sin(ωba t/2) ωba

b − a . h ¯

! (A.15)

2 ,

(A.16)

(A.17)

165

Fall 2: V oszilliert mit Frequenz ω. V (t) = X eiωt + X † e−iωt

(A.18)

(mit ω > 0). Damit folgt aus (A.2), (A.3), (A.9) und (A.17) hb| VW (τ ) |ai = hb|X|ai ei(ωba +ω)τ + hb|X † |ai ei(ωba −ω)τ und daraus Z t ei(ωba +ω)t − 1 ei(ωba −ω)t † + hb|X |ai . hb| VW (τ ) |ai dτ = hb|X|ai i(ωba + ω) i(ωba − ω) 0

(A.19)

(A.20)

Hieraus folgt unter Benutzung von (A.13) Wa→b (t)
!2
!2 ωba −ω 2 sin ωba2+ω t 2 sin t 1 2 + |hb|X † |ai|2 2 ωba + ω ωba − ω h ¯


4 sin ωba2+ω t sin ωba2−ω t hb|X|ai hb|X † |ai∗ eiωt + hb|X|ai∗ hb|X † |ai e−iωt . + (ωba + ω)(ωba − ω) (A.21)

1 = |hb|X|ai|2 2 h ¯

Die Funktion sinx x verschwindet rasch f¨ ur große |x| (f¨ ur |x|  π). Deswegen kann f¨ ur gen¨ ugend große Zeit t (d.h. f¨ ur t  π/ω) der dritte Term der rechten Seite von (A.21) vernachl¨assigt werden: Wenn n¨amlich ωba +ω ≈ 0 (bzw. wenn ωba −ω ≈ 0), dann ist sin ωba −ω t
sin ωba +ω t
2 2  ωba − ω ωba + ω vernachl¨assigbar (bzw. umgekehrt). Also gilt f¨ ur gen¨ ugend großes t 1 Wa→b (t) = |hb|X|ai|2 2 h ¯


!2 2 sin ωba2+ω t 1 + |hb|X † |ai|2 2 ωba + ω h ¯


!2 2 sin ωba2−ω t . ωba − ω (A.22)

Die Goldene Regel“. Wichtigste Anwendung der gewonnenen Relation (A.16) ” ¨ (bzw. (A.22)) ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Ubergang zu einem Zustand |bi aus einer Menge B unter der Voraussetzung, daß |hb|V |ai| (bzw. |hb|X|ai| und |hb|X † |ai|) praktisch konstant bleibt, wenn |bi die Menge B

¨ ¨ 166ANHANG A. ZEITABHANGIGE STORUNGSRECHNUNG 1. ORDNUNG durchl¨auft. F¨ ur eine kontinuierliche Menge B erh¨alt man1 bei zeitunabh¨angigem V  2 Z 1 2 sin ω2ba t 2 Wa→b (t) = |hb|V |ai| db. (A.23) ωba ¯2 B h

t2

S −1

x 0

1

Abbildung A.1: Die Funktion (sin(tx)/x)2 ; t = 10 Zum Integral in (A.23) (vgl. Skizze) tr¨agt praktisch nur der Bereich mit |ωba | ≤ π/t bei. F¨ ur gen¨ ugend großes t ergibt also (A.23) einen wesentlich von Null verschiedenen Beitrag, wenn im Bereich B ωba ≈ 0 gilt, d.h. b ≈ a . Der Integrand in (A.23) kann f¨ ur gen¨ ugend großes t durch ein Vielfaches der δ-Funktion δ(b − a ) ersetzt werden: 2  Z Z 1 2 sin ω2ba t db ≈ λ δ(b − a ) db, (A.24) ωba ¯2 B B h wobei λ durch die Bedingung Z

∞

Z

∞

1 λ δ(b − a ) db = ¯2 −∞ −∞ h



2 sin ω2ba t ωba

2 db

bestimmt wird: Man erh¨alt  2 2 Z ∞ Z  t ∞ sin x 2πt 1 2 sin ω2ba t db = 2 dx = . λ= 2 ωba h ¯ −∞ x h ¯ ¯ −∞ h 1

(A.25)

(A.26)

Das Symbol b ist eine Abk¨ urzung f¨ ur einen Satz R von kontinuierlichen und gegebenenfalls auch diskreten Indices. Dementsprechend bezeichnet B db Integration u ¨ber die kontinuierlichen Indices und Summation u ¨ber die diskreten Indices, wobei der Zustandsvektor |bi die Menge B durchl¨ auft.

167 Damit erh¨alt man anstelle von (A.23) 2π Wa→b (t) = t |hb|V |ai|2 h ¯

Z δ(b − a ) db.

(A.27)

B

¨ F¨ ur die Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit wa→b folgt aus (A.27) Z 2π 2 wa→b = |hb|V |ai| δ(b − a ) db. (A.28) h ¯ B R Das Integral B δ(b − a ) db ist offenbar Null, wenn die Energie a außerhalb des Energiebereichs {b : |bi ∈ B} liegt. Wenn a im Bereich {b : |bi ∈ B} liegt, dann ist das Integral von Null verschieden. Dieses Integral wird als Anzahl von Endzust¨anden |bi pro Energieintervall (Dichte der Endzust¨ande) interpretiert und mit ρb |b =a oder einfach ρb bezeichnet. Mit dieser Bezeichnung erh¨alt (A.28) die Form wa→b (t) =

2π |hb|V |ai|2 ρb |b =a . h ¯

(A.29)

Die Relation (A.29) wird wegen ihrer N¨ utzlichkeit golden rule“ (Goldene Regel) ” genannt. F¨ ur eine mit der Frequenz ω oszillierende St¨orung V (t) = X eiωt + X † e−iωt erh¨alt man aus (A.22) durch eine entsprechende Rechnung die Relation   Z Z 2π † 2 2 wa→b = |hb|X|ai| δ(b − a + h ¯ ω) db + |hb|X |ai| δ(b − a − h ¯ ω) db . h ¯ B B (A.30)

¨ ¨ 168ANHANG A. ZEITABHANGIGE STORUNGSRECHNUNG 1. ORDNUNG

Anhang B Tensorprodukte Im folgenden werden ausschließlich Vektorr¨aume u ¨ber den K¨orper C der komplexen Zahlen betrachtet. Der Einfachheit halber beschr¨anken wir uns auf endlichdimensionale R¨aume. Die meisten S¨atze gelten aber nach geeigneter Modifikation oder sogar unver¨andert f¨ ur unendlich-dimensionale R¨aume. Definition 1: Seien E1 , E2 , E3 Vektorr¨aume. Eine Abbildung1 f : E1 × E2 ⇒ E3 (d.h. eine Abbildung f von E1 × E2 in E3 ) heißt bilinear, wenn    x1 , x2 ∈ E1  λ1 , λ2 ∈ C f (λ1 x1 + λ2 x2 , y) = λ1 f (x1 , y) + λ2 f (x2 , y) f¨ ur alle (B.1)   y ∈ E2 und f (x, λ1 y1 + λ2 y2 ) = λ1 f (x, y1 ) + λ2 f (x, y2 )

   x1 , x2 ∈ E1  λ1 , λ2 ∈ C f¨ ur alle   y ∈ E2

(B.2)

gelten. Bemerkungen: 1. In obiger Definition werden die Symbole x, y f¨ ur Vektoren benutzt. Wenn man betonen m¨ochte, daß z.B. die R¨aume E1 , E2 als R¨aume von KetVektoren anzusehen sind, dann kann man zweckm¨aßig die Symbole x, y durch |xi, |yi ersetzen. 2. Die Bilinearit¨at der Abbildung f bedeutet, daß f¨ ur jedes (feste) y aus E2 y die durch f1 (x) = f (x, y) definierte Abbildung f1y : E1 ⇒ E3 linear ist, und daß f¨ ur jedes x aus E1 die durch f2x = f (x, y) definierte Abbildung f2x : E2 ⇒ E3 linear ist. Kurz formuliert: f (x, y) ist linear in x f¨ ur festes y und linear in y f¨ ur festes x. 1

Wenn A, B zwei Mengen sind, dann bezeichnet A × B die Menge aller Paare (x, y) mit x ∈ A und y ∈ B.

169

170

ANHANG B. TENSORPRODUKTE

3. Multilineare Abbildungen werden analog definiert. Eine Abbildung f : E1 × E2 × · · · En ⇒ E wird multilinear genannt, wenn f (x1 , x2 , . . . λxk + µx0k , . . . xn ) = λ f (x1 , x2 , . . . xk , . . . xn ) + µ f (x1 , x2 , . . . x0k , . . . xn )

(B.3)

gilt. Definition 2: Seien E1 , E2 Vektror¨aume. Ein Vektorraum E3 wird Tensorprodukt (oder Kroneckerprodukt) von E1 , E2 genannt und mit E1 ⊗ E2 bezeichnet, wenn folgende Bedingungen erf¨ ullt sind: ⊗

1. Es gibt eine bilineare Abbildung E1 × E2 =⇒ E3 , die jedem Paar (x, y) aus E1 × E2 ein Element x ⊗ y aus E3 zuordnet. 2. Der Vektorraum E3 wird von den Vektoren {x ⊗ y | x ∈ E1 und y ∈ E2 } aufgespannt. 3. Wenn F ein Vektorraum ist und f eine bilineare Abbildung E1 × E2 ⇒ F , dann gibt es genau eine lineare Abbildung g : E3 ⇒ F , so daß f (x, y) = g(x ⊗ y)

f¨ ur alle x ∈ E1 und y ∈ E2

(B.4)

gilt. Bemerkungen: Die Bedingung 2. bedeutet, daß jedes Element von E3 als Linearkombination von Vektoren der Form x ⊗ y dargestellt werden kann. Bedingung 3. scheint zun¨achst abstrakt; ihre Bedeutung wird bei der Konstruktion eines Tensorprodukts deutlich. Folgender Satz ist f¨ ur diese Konstruktion relevant: Satz 1: Seien E1 , E2 , E3 Vektorr¨aume. Sei {aµ | µ = 1, 2, . . . n} Basis von E1 und {bκ | κ = 1, 2, . . . m} Basis von E2 . F¨ ur jeden Satz {cµκ | µ = 1, 2, . . . n; κ = 1, 2, . . . m} von Vektoren aus E3 gibt es genau eine bilineare Abbildung f : E1 × E2 ⇒ E3 mit der Eigenschaft µ = 1, 2, . . . n f (aµ , bκ ) = cµκ (B.5) κ = 1, 2, . . . m.

Beweis: 1. Da {aµ } Basis von E1 und {bκP } Basis von E2 sind,Pkann jedes x aus E1 und y aus E2 in der Form x = nµ=1 ξµ aµ bzw. y = m κ=1 ηκ bκ geschrieben

171 werden, wobei ξµ , ηκ komplexe Zahlen sind. Wir definieren eine Abbildung f durch  P X x = µ ξµ aµ P f (x, y) = ξµ ηκ cµκ f¨ ur y = κ ηκ b κ . µκ

Aus dieser Definition folgt, daß f (aµ , bκ ) = cµκ . Andererseits folgt auch die Bilinearit¨at leicht aus der Definition: X f (λ1 x + λ2 x0 , y) = (λ1 ξµ + λ2 ξµ0 )ηκ cµκ µκ

! = λ1

X

ξµ ηκ cµκ

! + λ2

µκ

X

ξµ0 ηκ cµκ

µκ 0

= λ1 f (x, y) + λ2 f (x , y), wenn x0 = ξµ0 aµ . Analog zeigt man, daß f (x, λ1 y + λ2 y 0 ) = λ1 f (x, y) + λ2 f (x, y 0 ). Damit ist gezeigt, daß die oben definierte Abbildung die Forderungen des Satzes erf¨ ullt. P

2. Wenn umgekehrt f 0 eine bilineare AbbildungP mit der Eigenschaft f 0 (aµ , bκ ) = P cµκ ist, dann gilt f¨ ur x = µ ξµ aµ und y = κ ηκ bκ : ! X X X X f 0 (x, y) = f 0 ξµ aµ , ηκ b κ = ξµ ηκ f 0 (aµ , bκ ) = ξµ ηκ cµκ = f (x, y). µ

κ

µκ

µκ

Also stimmt f 0 mit der oben definierten Abbildung f u ¨berein.

2

Konstruktion eines Tensorprodukts: Seien E1 , E2 Vektorr¨aume mit Basen {aµ | µ = 1, . . . n}, {bκ | κ = 1, . . . m}. Wir definieren einen Vektorraum E3 mit einer Basis {cµκ | µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m}. Nach dem bewiesenen Satz gibt es genau eine bilineare Abbildung E1 × E2 ⇒ E3 , die (aµ , bκ ) auf cµκ f¨ ur µ = 1, . . . n und κ = 1, . . . m abbildet. Den dem Paar (x, y) durch diese Abbildung zugeordneten Vektor aus E3 bezeichnen wir mit x ⊗ y. Mit dieser Bezeichnung gilt insbesondere aµ ⊗ bκ = cµκ f¨ ur µ = 1, . . . n und κ = 1, . . . m. Mit dieser Konstruktion des Raumes E3 ist aber die Bedingung 1. der Definition des Tensorprodukts erf¨ ullt. Die Bedingung 2. ist auch erf¨ ullt, da die Vektoren {aµ ⊗ bκ } eine Basis von E3 bilden. Daß der oben definierte Raum E3 auch der Bedingung 3. gen¨ ugt, wird folgendermaßen gezeigt: Sei F ein Vektorraum und f eine bilineare Abbildung E1 × E2 ⇒ F . F¨ ur jede lineare Abbildung g : E3 ⇒ F ist, wie man leicht nachpr¨ ufen kann, die Abbildung (x, y) ⇒ g(x ⊗ y) eine bilineare Abbildung E1 × E2 ⇒ F . Diese stimmt mit der bilinearen Abbildung f nach dem bewiesenen Satz genau dann u ¨berein, wenn µ = 1, . . . n (B.6) f (aµ , bκ ) = g(aµ ⊗ bκ ) κ = 1, . . . m

172

ANHANG B. TENSORPRODUKTE

gilt. Da aber {aµ ⊗ bκ } Basis von E3 ist, gibt es genau eine lineare Abbildung2 g mit g(aµ ⊗bκ ) = f (aµ , bκ ), f¨ ur die g(x⊗y) = f (x, y) f¨ ur alle (x, y) aus E1 ×E2 gilt. Damit ist gezeigt, daß der so konstruierte Raum E3 Tensorprodukt von E1 , E2 ist. Bemerkungen und Erl¨auterungen: 1. Obige Konstruktion beweist die Existenz eines Tensorproduktes. Gleichzeitig liefert sie eine Basis von E3 , n¨amlich {aµ ⊗bκ | µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m}, wobei {aµ | µ = 1, . . . n} Basis von E1 und {bκ | κ = 1, . . . m} Basis von E2 ist. Dies ist sehr n¨ utzlich bei konkreten Anwendungen. 2. Wenn E3 = E1 ⊗ E2 und {a0µ | µ = 1, . . . n} Basis von E1 und {b0κ | κ = 1, . . . m} Basis von E2 ist, dann ist {a0µ ⊗ b0κ | µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m} eine Basis von E3 . Hierbei brauchen die Basen {a0µ }, {b0κ } nicht mit den zur Konstruktion von E3 benutzten Basen {aµ }, {bκ } identisch zu sein. Diese Behauptung wird als Satz formuliert und bewiesen: Satz 2: Sei {a0µ | µ = 1, . . . n} Basis von E1 und {b0κ | κ = 1, . . . m} Basis von E2 . Dann ist {a0µ ⊗ b0κ | µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m} Basis von E3 = E1 ⊗ E2 . Beweis: 1. {a0µ ⊗ b0κ | µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m} sind linear unabh¨angig. Denn es gibt einen Vektorraum F mit einer Basis {cµκ | µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m}, also gibt es nach Satz 1 eine bilineare Abbildung f : E1 × E2 ⇒ F mit f (a0µ , b0κ ) = cµκ | µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m und dazu nach Definition 2 eine lineare Abbildung g : E3 ⇒ F , so daß f (x, y) = g(x ⊗ y) und insbesondere g(a0µ ⊗ b0κ ) = cµκ gilt. Wenn {a0µ ⊗ b0κ } linear abh¨angig w¨aren, dann w¨aren auch {cµκ } linear abh¨angig. 2. {a0µ ⊗b0κ | µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m} spannen E3 auf. Denn jeder Vektor x⊗y kannP offenbar als Linearkombination der {a0µP ⊗ b0κ } dargestellt werden. (F¨ ur P 0 0 0 0 0 0 0 0 x = µ ξµ aµ und y = κ ηκ bκ gilt x ⊗ y = µκ ξµ ηκ aµ ⊗ bκ .) Andererseits ist jeder Vektor aus E3 Linearkombination von Vektoren der Form x ⊗ y und somit auch Linearkombination der Vektoren {a0µ ⊗ b0κ }. 2 Bemerkungen: 1. Die Elemente des Raums E3 = E1 ⊗ E2 werden auch Tensoren genannt. Insbesondere nennt man Tensoren der Form x ⊗ y zerlegbare Tensoren. Der Tensor x ⊗ y wird auch Tensorprodukt der Vektoren x, y genannt. 2

Es ist aus der linearen Algebra bekannt, daß, wenn {ej | j = 1, . . . d} eine Basis eines Vektorraums E3 ist, und {hj | j = 1, . . . d} Vektoren eines Vektorraums F sind, es genau eine lineare Abbildung g : E3 ⇒ F mit g(ej ) = hj | j = 1, . . . d gibt.

173 2. Aus dem bewiesenen Satz folgt die Relation dim(E1 ⊗ E2 ) = dim(E1 ) dim(E2 ).

(B.7)

Satz 3: Seien E1 , E2 , F1 , F2 Vektorr¨aume und A1 , A2 lineare Abbildungen A1 : E1 ⇒ F1 , A2 : E2 ⇒ F2 . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung E1 ⊗ E2 ⇒ F1 ⊗ F2 , die man mit A1 ⊗ A2 bezeichnet, mit der Eigenschaft (A1 ⊗ A2 ) (x ⊗ y) = (A1 x) ⊗ (A2 y)

f¨ ur alle x ∈ E1 und y ∈ E2 .

(B.8)

Beweis: Die Abbildung (x, y) ⇒ (A1 x) ⊗ (A2 y) ist eine bilineare Abbildung E1 × E2 ⇒ F1 ⊗ F2 . Nach Definition 2 existiert genau eine lineare Abbildung A1 ⊗ A2 : E1 ⊗ E2 ⇒ F1 ⊗ F2 , so daß (A1 ⊗ A2 ) (x ⊗ y) = f (x, y) = (A1 x) ⊗ (A2 y). 2 Bemerkung: Man nennt A1 ⊗ A2 Kroneckerprodukt oder Tensorprodukt der Ab¨ bildungen A1 , A2 . Es gelten folgende Identit¨aten (Beweis: Ubung): (A1 ⊗ A2 ) (B1 ⊗ B2 ) = (A1 B1 ) ⊗ (A2 B2 ) (λA1 + µA01 ) ⊗ A2 = λ(A1 ⊗ A2 ) + µ(A01 ⊗ A2 ) A1 ⊗ (λA2 + µA02 ) = λ(A1 ⊗ A2 ) + µ(A1 ⊗ A02 )

(B.9) (B.10) (B.11)

Aus obigen Identit¨aten folgt, wenn I die identische Abbildung bezeichnet, die wichtige Relation (A ⊗ I) (I ⊗ B) = (I ⊗ B) (A ⊗ I) = A ⊗ B

(B.12)

[A ⊗ I, I ⊗ B] = 0.

(B.13)

und daraus Satz 4: Sei E2 ein Vektorraum und E1 = C der eindimensionale Vektorraum der komplexen Zahlen. Dann gilt E2 = C ⊗ E2 , wenn man die bilineare Abbildung ⊗ durch λ ⊗ y = λy f¨ ur λ ∈ C und y ∈ E2 (B.14) definiert. Beweis: Offenbar ist die Abbildung (λ, x) ⇒ λ⊗x = λx bilinear und offenbar sind die Vektoren {1 ⊗ bµ = bµ | µ = 1, . . . n} eine Basis von E2 (vgl. die Konstruktion des Tensorprodukts). 2 Bemerkungen: 1. Da jeder eindimensionale Raum E1 mit Basis {a1 } mit dem Vektorraum C durch die Zuordnung λ ⇔ λa1 identifiziert werden kann, gilt E2 = E1 ⊗ E2 , wenn dim(E1 ) = 1, und zwar mit (λa1 ) ⊗ x = λx.

174

ANHANG B. TENSORPRODUKTE

2. Analog kann gezeigt werden: Wenn dim(E2 ) = 1, dann gilt E1 = E1 ⊗ E2 mit x ⊗ λb1 = λx, wobei {b1 } Basis von E2 ist. 3. Sehr n¨ utzlicher Spezialfall des Satzes: C = C ⊗ C mit λ ⊗ µ = λµ. Tensorprodukte von Bra– und Ket–Vektoren. E1 , E2 seien Vektorr¨aume, deren Elemente als Ket-Vektoren dargestellt werden, und E1∗ , E2∗ seien die entsprechenden R¨aume von Bra-Vektoren. Da die Bra-Vektoren aus E1∗ (bzw. aus E2∗ ) lineare Abbildungen E1 ⇒ C (bzw. E2 ⇒ C) sind, kann das Tensorprodukt hu| ⊗ hw| von Bra-Vektoren als Tensorprodukt linearer Abbildungen (vgl. Satz 3) aufgefaßt werden. Somit ist hu| ⊗ hw| eine lineare Abbildung E1 ⊗ E2 ⇒ C ⊗ C = C mit der Eigenschaft (hu| ⊗ hw|) (|xi ⊗ |yi) = hu|xi hw|yi

f¨ ur alle |xi ∈ E1 und |yi ∈ E2 .

(B.15)

hu|⊗hw| als lineare Abbildung E1 ⊗E2 ⇒ C ist also ein Bra-Vektor aus (E1 ⊗E2 )∗ . Seien {|aµ i : µ = 1, . . . n} Basis von E1 und {|bκ i : κ = 1, . . . m} Basis von E2 . Wir definieren eine antilineare Zuordnung g : E1 ⊗ E2 ⇒ (E1 ⊗ E2 )∗ durch X X g λµκ |aµ i ⊗ |bκ i =⇒ λ∗µκ haµ | ⊗ hbκ |. (B.16) µκ

µκ

F¨ ur diese antilineare Zuordnung gilt g

|xi ⊗ |yi =⇒ hx| ⊗ hy|

f¨ ur alle |xi ∈ E1 und |yi ∈ E2 . (B.17) P P Dies verifiziert man leicht wie folgt: Sei |xi = µ ξµ |aµ i und |yi = κ ηκ |bκ i, dann gilt X X g |xi ⊗ |yi = ξµ ηκ |aµ i ⊗ |bκ i =⇒ ξµ∗ ηκ∗ haµ | ⊗ hbκ | µκ

µκ

! =

X µ

ξµ∗ haµ |

! ⊗

X

ηκ∗ hbκ |

= hx| ⊗ hy|.

κ

Mit der so eingef¨ uhrten antilinearen Zuordnung g definiert man das innere Produkt in E1 ⊗ E2 : Das innere Produkt (Skalarprodukt) der Ket-Vektoren |zi, |z 0 i aus E1 ⊗ E2 ist die komplexe Zahl hz|z 0 i, wobei hz| den durch die Abbildung g dem Ket |zi ¨ zugeordneten Bra bezeichnet. Es ist leicht nachzuweisen (Ubung), daß das so definierte innere Produkt folgende Eigenschaften hat: hz|z 0 i = hz 0 |zi∗ f¨ ur alle |zi, |z 0 i aus E1 ⊗ E2 . hz|zi ≥ 0 f¨ ur alle |zi aus E1 ⊗ E2 . hz|zi = 0 genau dann, wenn |zi = 0.

(B.18) (B.19) (B.20)

175 Bemerkung: Wenn |zi = |xi ⊗ |yi und |z 0 i = |x0 i ⊗ |y 0 i ist, dann ist das innere Produkt der Vektoren |zi, |z 0 i gegeben durch hz|z 0 i = (hx| ⊗ hy|) (|x0 i ⊗ |y 0 i) = hx|x0 i hy|y 0 i.

(B.21)

Orthonormierte Basis von E1 ⊗ E2 : Sei {|aµ i : µ = 1, . . . n} orthonormierte Basis von E1 und {|bκ i : κ = 1, . . . m} orthonormierte Basis von E2 ; es gelte also haµ |aµ0 i = δµµ0 und hbκ |bκ0 i = δκκ0 . Wir benutzen die Bezeichnung |aµ , bκ i f¨ ur den Vektor |aµ i ⊗ |bκ i: |aµ , bκ i = |aµ i ⊗ |bκ i (B.22) Hieraus folgt f¨ ur den zugeordneten Bra-Vektor haµ , bκ | haµ , bκ | = haµ | ⊗ hbκ |.

(B.23)

Die Basis {|aµ , bκ i : µ = 1, . . . n; κ = 1, . . . m} von E1 ⊗ E2 ist orthonormiert: haµ , bκ |aµ0 , bκ0 i = δµµ0 δκκ0 .

(B.24)

Es gilt n¨amlich haµ , bκ |aµ0 , bκ0 i = (haµ | ⊗ hbκ |) (|aµ0 i ⊗ |bκ0 i) = haµ |aµ0 i hbκ |bκ0 i = δµµ0 δκκ0 .

Hermitesche Adjunktion von A1 ⊗A2 : Wenn A1 , A2 lineare Operatoren sind, dann ¨ gilt folgende n¨ utzliche Identit¨at (Beweis: Ubung): (A1 ⊗ A2 )† = A†1 ⊗ A†2

(B.25)