Spieltheorie 001

Spieltheorie Skript zur Vorlesung im SS 2006 Prof. Dr. J¨ urgen Jerger ¨ Lehrstuhl f¨ ur internationale und monet¨are Okonomik ¨ Institut f¨ ur Volkswirtschaftslehre und Okonometrie Wirtschaftswissenschaftliche Fakult¨at Universit¨at Regensburg April 2006

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Inhaltsverzeichnis 1 Literaturhinweise

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2 Einf¨ uhrung: Elemente der Spieltheorie 2.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Was ist Spieltheorie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Modellierung strategischer Interdependenz . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Elemente eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Anwendungsbereiche der Spieltheorie, oder: Warum das Paradies mit dem S¨ undenfall enden musste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Ein degeneriertes Beispiel: Ein-Personen-Spiel mit vollkommener Information (Schatzsuche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Klassifikation verschiedener Arten von Spielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Kooperative vs. nicht-kooperative Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Statische (”strategic”) vs. dynamische (”extensive”, ”sequential”) Spiele 2.3.3 One-shot games vs. wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Nullsummenspiele vs. Spiele mit variablen Auszahlungssummen . . . . 2.3.5 Spiele mit vollkommener bzw. unvollkommener Information . . . . . . 2.3.6 Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Nutzen und Erwartungsnutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Anforderungen an Nutzenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Bewertung von Risiko und Erwartungsnutzenfunktion . . . . . . . . . 2.5 Rationalit¨at der Akteure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Das St. Petersburg Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Das Allais-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Beschr¨ankte Rationalit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Alternative Darstellungen von Spielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Extensive Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 Koalitionsspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 L¨osungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Elimination dominierter Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Zermelo’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Nash-Gleichgewicht und Fokus-Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 4 5

10 11 11 12 13 13 14 14 15 15 17 22 23 25 27 30 30 32 32 34 34 36 37 38

3 Nichtkooperative Spiele I: Statische Spiele mit ansonsten vollkommener Information 3.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Information in Spielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Perfekte Information und common knowledge . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sicherheit, Vollst¨andigkeit und Symmetrie von Informationen . . . . . 3.3 Das Gefangenendilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42 43 44 46

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INHALTSVERZEICHNIS 3.4 3.5 3.6 3.7

Gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nash-Gleichgewichte mit (unendlich) vielen Strategien . . . . . . Existenz von Nash-Gleichgewichten . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Oligopol I: Das Cournot-Modell . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Oligopol II: Das Bertrand-Modell . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Das Allmende-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.4 Geldpolitik I: Die Nash-L¨osung des Barro-Gordon-Modells

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49 52 53 55 55 57 58 60

4 Nichtkooperative Spiele II: Dynamische Spiele mit vollkommener Information und wiederholte Spiele 65 4.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 R¨ uckw¨artsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3 Teilspiele und teilspielperfekte Gleichgewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4 Wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4.1 Begriffliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.4.2 Endlich wiederholte Spiele I: Eindeutige Nash-Gleichgewichte auf den einzelnen Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4.3 Endlich wiederholte Spiele II: Multiple Nash-Gleichgewichte auf den einzelnen Stufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.4.4 Unendlich oft wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.1 Oligopol III: Die Stackelberg-L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.5.2 Geldpolitik II: Stackelberg-F¨ uhrerschaft der Lohnsetzer im Barro-GordonModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5.3 Geldpolitik III: Reputation im Barro-Gordon-Modell . . . . . . . . . . 91 5 Nichtkooperative Spiele III: Dynamische Spiele bei unvollkommener Information 95 5.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Modifikation des L¨osungskonzepts bei dynamischen Spielen bei unvollkommener Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2.1 Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.2.2 Andere Gleichgewichtskonzepte bei dynamischen Spielen mit unvollkommener Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.3 Signalspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3.1 Problemstruktur und L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3.2 M¨ogliche Gleichgewichte eines Signalspiels . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4 Screening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.4.1 Allgemeine Charakterisierung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.4.2 Screening auf dem Versicherungsmarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.5.1 Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt (Spence 1973) . . . . . . . . . . . . 107 5.5.2 Geldpolitik IV: Das Barro-Gordon-Modell bei unbekannter Inflationsaversion der Zentralbank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6 Verhandlungen 6.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Methodische Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Nicht-kooperative Verhandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Verteilungsspiel I: Endlicher Zeithorizont . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Verteilungsspiel II: Unendlicher Zeithorizont, Rubinstein-Spiel . 6.3.3 Die Einbeziehung von Außenoptionen im Rubinstein-Spiel . . . 6.4 Kooperative Verhandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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115 115 115 117 118 119 122 124

INHALTSVERZEICHNIS 6.4.1 6.4.2

6.5

Die Nash-Verhandlungsl¨osung (Verteilungsspiel III) . . . . . . . . . . . Eine ”unsch¨one” Eigenschaften der Nash-Verhandlungsl¨osung: Gl¨aubigerverhandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Die Kalai-Smorodinsky-L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Lohnverhandlungen I: Verteilung von Renten in einem endlichen Spiel 6.5.2 Lohnverhandlungen II: Die Nash-L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 Wie funktionieren Ehen und WG’s? Die Perspektive der kooperativen Haushaltstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v 124 126 127 130 130 132 136

7 Auktionen 141 7.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.2 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2.1 Wert und Bewertung einer Auktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2.2 Auktionsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 ¨ 7.3 Aquivalenzeigenschaften von Auktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.4 Winner’s curse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.5 Erweiterungen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.5.1 Multi-Unit-Auktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.5.2 Komplementarit¨aten bei multi-object auctions . . . . . . . . . . . . . 152 7.5.3 Multi-object auctions ohne Komplementarit¨aten: Die M¨oglichkeit eines Zielkonflikts zwischen Effizienz- und Einnahmenziel . . . . . . . . 152 7.5.4 Multi-object auctions und Bieterkollusion . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.5.5 Die Versteigerung der UMTS-Lizenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8 Koalitionsspiele 157 8.1 Lernziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.2 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.2.1 Kooperative Mehrpersonenspiele ohne Koalitionsbildung . . . . . . . . 157 8.2.2 Koalitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.2.3 Transferierbarer Nutzen, die charakteristische Funktion und ein Beispiel159 8.2.4 Der Shapley-Shubik-Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.3 L¨osungskonzepte f¨ ur Koalitionsspiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.3.1 Imputationsmenge eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.3.2 Der Kern eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.3.3 Der Shapley-Wert eines Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.4 Weitere Bei-(Spiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

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INHALTSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Anwendung der Charakteristika Lotterie A und B, Teil 1 . . . . Lotterie C und D, Teil 1 . . . . Lotterie A und B, Teil 2 . . . . Lotterie C und D, Teil 2 . . . .

auf drei Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 4.2

Battle of the sexes: Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte u ¨ber zwei Runden . 79 Der qualitative Einfluss der dynamischen Struktur im Stackelberg-Duopol . . 85

7.1 7.2 7.3

Zahlungsbereitschaften dreier Bieter f¨ ur jeweils drei Einheiten eines Gutes . . 152 Zahlungsbereitschaften von zwei Bietern (A und B) f¨ ur zwei Produkte (1 und 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Auktionserl¨ose f¨ ur die UMTS-Lizenzen je Einwohner . . . . . . . . . . . . . . 155

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8

Koalitionsm¨oglichkeiten bei 4 Spielern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Ein Drei-Personen-Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Drei charakteristische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Strategiewahl einer Zweier-Koalition unter Verwendung des Minimax-Kriteriums161 Strategiewahl von Einer- und Zweierkoalitionen bei defensivem Verhalten . . 162 Strategiewahl von Einer- und Zweierkoalitionen bei rationalen Drohungen . . 162 Wie m¨achtig sind die einzelnen Fraktionen im Dt. Bundestag? . . . . . . . . . 163 Die Ermittlung des Shapley-Shubik-Index f¨ ur die Fraktionen des Dt. Bundestags165

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15 25 25 26 26

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TABELLENVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20

Strategische Interdependenz in einem Tripol . . . . . Ergebnisraum im Paradiesspiel . . . . . . . . . . . . Ergebnismatrix im ”Paradiesspiel” . . . . . . . . . . Spielbaum des ”Paradiesspiels” . . . . . . . . . . . . Schatzsuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Spielbaum f¨ ur Schatzsuche . . . . . . . . . . . . Instrumentenrationalit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . Auszahlungen f¨ ur zwei Lotterien . . . . . . . . . . . Das Zustandspr¨aferenz-Diagramm . . . . . . . . . . Das Maximum-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . Das Erwartungswert-Kriterium . . . . . . . . . . . . Risikoaversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Erwartungsnutzen-Kriterium bei Risikoaversion Das St. Petersburg-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . Battle of sexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die extensive Form von battle of sexes . . . . . . . . Normalform von Gemeinsame Schatzsuche . . . . . . Koalitionsform von ”Gemeinsame Schatzsuche” . . . Seeschlacht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Dilemma des Samariters . . . . . . . . . . . . .

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4 8 9 10 11 11 16 17 18 19 20 21 22 23 31 32 33 33 35 39

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13

Systematik der nichtkooperativen Spieltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . Die Informationsmengen bei battle of the sexes . . . . . . . . . . . . . . . Die Normalform des Gefangenendilemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nash-Gleichgewicht im Gefangenendilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeiter und Unternehmer im Gefangenendilemma . . . . . . . . . . . . . Das Gefangenendilemma bei der Bereitstellung ¨offentlicher G¨ uter . . . . . Die Normalform-Darstellung von matching pennies . . . . . . . . . . . . . Die Reaktionsfunktionen der beiden Spieler in matching pennies . . . . . Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien f¨ ur matching pennies . . Die Fixpunkteigenschaft der Reaktionsfunktion in einem 2-Personen-Spiel Das Cournot-Duopolmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Allmende-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Barro-Gordon-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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42 43 46 47 48 49 50 51 52 54 56 60 63

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

R¨ uckw¨artsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R¨ uckw¨artsinduktion bei battle of sexes . . . . . . . . . . . . . . R¨ uckw¨artsinduktion bei einem Kartenspiel . . . . . . . . . . . . Das chain store paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die extensive Form des Marktzutrittspiels . . . . . . . . . . . . Das Marktzutrittspiels und die Glaubw¨ urdigkeit einer Drohung Wiederholte Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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67 68 69 70 71 72 73

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ABBILDUNGSVERZEICHNIS 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19

2 Spieler, 2 Strategien, 2 Wiederholungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strategien bei 2x2x2 Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das wiederholte Marktzutrittspiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ergebnismatrix ”Battle of the sexes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Battle of the sexes: Nash-Gleichgewichte in reinen und gemischen Strategien . Gleichgewichte in ”Battle of the sexes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalform eines Gefangenendilemmas mit zus¨atzlichem Nash-Gleichgewicht Auszahlungsmatrix eines Gefangenendilemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . Timing im Stackelberg-Duopol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Timing im Stackelberg-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Qualitative Eigenschaften eines Stackelberg-Gleichgewichts . . . . . . . . . . Qualitative Eigenschaften eines Nash-Gleichgewichts . . . . . . . . . . . . . .

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Ein dynamisches Spiel mit unvollkommener Information . . . . . Ein dynamisches Spiel mit unvollkommener Information . . . . . Normalform des Teilspiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Struktur eines Signalspiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Screening auf dem Versicherungsmarkt . . . . . . . . . . . . . . . Screening auf dem Versicherungsmarkt bei zwei Vertragsoptionen Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . Timing im Modell von Vickers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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97 99 99 102 105 106 108 112

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14

Das Verteilungsspiel: splitting the pie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Endliche sequentielle Verhandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unendliche sequentielle Verhandlung: Das Rubinstein-Spiel . . . . . . L¨osungen des Rubinstein-Spiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Rubinstein-Spiels mit Außenoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . Ergebnisraum f¨ ur das Rubinstein-Spiel mit Außenoptionen . . . . . . . Das Rubinstein-Spiels mit Außenoptionen . . . . . . . . . . . . . . . . Die Irrelevanz der Forderungsh¨ohe im Gl¨aubigerspiel . . . . . . . . . . Die Nicht-Monotonizit¨at der Nash-L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . Die Kalai-Smorodinsky-L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nash- und Kalai-Smorodinsky-L¨osung bei Gl¨aubigerverhandlungen . . Lohnverhandlungen zwischen Belegschaft und Management . . . . . . Abwechselnd teilspielperfekte Forderungen in den Lohnverhandlungen Timing im Zeuthen-Nash-Jackmann-Modell . . . . . . . . . . . . . . .

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117 118 120 122 123 123 126 127 128 129 130 131 133 133

7.1 7.2 7.3

Vier Auktionsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 The winner’s curse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Die Besonderheit der UMTS-Auktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

. . . . . . . .

. . . . . . . .

74 75 76 77 78 79 80 82 84 86 89 90

Kapitel 1

Literaturhinweise Die Vorlesung folgt nicht stur einem bestimmten Lehrbuch - was die Existenzberechtigung dieses Skripts ist. Dies ist deshalb der Fall, weil kein auf dem Markt verf¨ ugbares Buch sowohl eine fundierte Darstellung der methodischen Grundlagen der Spieltheorie als auch eine Behandlung der (wirklich interessanten) Anwendungen dieser Methoden gibt. Daher wird dem Einsteiger in dieses Fach aus den verf¨ ugbaren Lehrb¨ uchern der immense Nutzen und die weitgehende Durchdringung des wirtschaftswissenschaftlichen Theoriegeb¨audes durch diese Methode nicht wirklich deutlich. Im Gegensatz dazu versucht diese Vorlesung, gerade auch spieltheoretische Anwendungen in der makro¨ okonomischen Theorie zu vermitteln. Dies entspricht nicht nur den komparativen Vorteilen des Verfassers dieses Skripts, sondern soll dazu dienen, zu zeigen, wie die Entwicklung der Spieltheorie die Art des Nachdenkens u ¨ber makro¨okonomische Ph¨anomene ver¨andert hat. Um so viel vorwegzunehmen: Dieser Einfluss spieltheoretischer Methoden war und ist immens. So ist es beispielsweise schwer vorstellbar, dass sich ohne die Ergebnisse einer spieltheoretisch fundierten Theorie der Geldpolitik die Zentralbanken rund um den Globus seit Mitte der 1980er Jahre eine deutlich st¨arkere Orientierung am Ziel der Preisstabilit¨at zu eigen gemacht ¨ h¨ atten. Ahnlich bedeutsame Impulse durch spieltheoretische Methoden erfuhr bspw. auch die Arbeitsmarkttheorie. All diese Entwicklungen sind in den g¨angigen Lehrb¨ uchern kaum nachvollziehbar. Dennoch seien die folgenden B¨ ucher f¨ ur die begleitende bzw. erg¨anzende Lekt¨ ure zu dieser Veranstaltung empfohlen: • Avinash Dixit, Barry Nalebuff: Thinking strategically. The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life, New York: W.W. Norton, 1991. ¨ Dieses Buch liegt auch als deutsche Ubersetzung vor: • Avinash Dixit, Barry Nalebuff: Spieltheorie f¨ ur Einsteiger. Strategisches Know-how f¨ ur Gewinner, Stuttgart: Sch¨affer-Poeschel-Verlag, 1997. Das Buch bietet rein verbale Beschreibungen vieler (Bei-) Spiele und vermittelt einen guten Eindruck in die Denkweise der Spieltheorie und von der Breite der Anwendbarkeit dieser Ideen – wobei allerdings nur wenig Anwendungen auf makro¨okonomische Fragestellungen angesprochen werden. Weil jedoch jede formale Besch¨aftigung mit der Methode gemieden wird, eignet sich das Buch nicht zur Nacharbeitung des Vorlesungsstoffs. uhrung in die Spieltheorie, Heidelberg: Springer• Manfred J. Holler, Gerhard Illing: Einf¨ Verlag, 6. Auflage, 2006. Dieses Buch bietet eine gute, und teilweise sehr formale und nicht leicht verdaubare ¨ Ubersicht u ¨ber die Spieltheorie. Vor allem die kooperative Spieltheorie ist hier recht ausf¨ uhrlich abgehandelt. 1

2

KAPITEL 1. LITERATURHINWEISE • Eric Rasmusen: Games and Information, Malden/MA: Blackwell, 3rd. ed., 2001. Rasmusen bietet eine sehr gut lesbare und didaktisch ¨außerst empfehlenswerte Einf¨ uhrung auf relativ hohem Niveau. Als eines der wenigen Lehrb¨ ucher bietet Rasmusen auch ein Kapitel zu Auktionen an. Es fehlt allerdings die Behandlung der kooperativen Spieltheorie. • Robert Gibbons: A Primer in Game Theory, Harlow: Pearson Education, 1992 Hier werden am ehesten die relevanten Anwendungen der Spieltheorie pr¨asentiert. Insgesamt eines der didaktisch besten B¨ ucher zur nicht-kooperativen Spieltheorie. Kooperative Spieltheorie und die Verhandlungstheorie werden nicht behandelt.

Die Liste dieser Empfehlungen ist notwendigerweise selektiv und damit auch etwas willk¨ urlich. Gerade auf dem Markt f¨ ur englischsprachige Lehrb¨ ucher findet sich eine große Zahl ausgezeichneter Texte zur Spieltheorie diesem Gebiet. Abgesehen vom gew¨ahlten Niveau der formalen Darstellung unterscheiden sich diese Texte insb. in der Auswahl der Anwendungsbeispiele sowie in der Auswahl der Teile, die u ¨ber die Kapitel 2 bis 5 dieser Vorlesung hinausgehen. Die grundlegenden Konzepte sind jedoch – trotz einer bisweilen nicht immer leicht zu entwirrenden Unterschiedlichkeit in der exakten Begriffsverwendung u ¨ber verschiedene Autoren hinweg – weitgehend kanonisiert, womit verschiedene Lehrb¨ ucher durchaus gut gegeneinander substituierbar sind.

Kapitel 2

Einf¨ uhrung: Elemente der Spieltheorie 2.1

Lernziele

Ein ”Spiel” geh¨ort zu den Dingen, von denen bereits ein Kleinkind eine ziemlich konkrete Vorstellung hat. Daher ist es vielleicht u ¨berraschend, ausgerecht in einer relativ speziellen Veranstaltung im Hauptstudium auf eine Veranstaltung mit dem Titel ”Spieltheorie” zu stoßen. In diesem einleitenden - allerdings recht umf¨anglichen - Kapitel geht es daher zun¨achst um die Inhalte und die wesentlichen Begriffe der Spieltheorie. Im Einzelnen soll Ihnen dieses Kapitel Vorstellungen davon vermitteln, • welche Besonderheit die Spieltheorie relativ zu anderen Theoriezweigen aufweist, konkret, dass es auf einer sehr allgemeinen Ebene immer um die Analyse strategischer Interdependenz geht; • was genau die (formalen) Elemente eines ”Spiels” sind; • dass die Anwendungsbereiche der formalen Spieltheorie nicht nur Fragestellungen der Volkswirtschaftslehre betreffen, sondern wesentlich weitergehend sind; • welche grundlegenden (und n¨ utzlichen) Klassifikationen von Spielen in der Literatur vorgenommen werden; • was die nutzentheoretischen Grundlagen der Spieltheorie sind – und dass es diese u ¨berhaupt braucht; • welchen Stellenwert das Rationalit¨ atspostulat f¨ ur die Akteure in der Spieltheorie besitzt – und inwiefern dieses Postulat eine n¨ utzliche bzw. realit¨atsnahe Annahme darstellt; • welche alternative (formale) Darstellungen von Spielen es gibt; osungsstrategien f¨ ur ein Spiel (unter verschiedenen Vor• welche grunds¨atzlichen L¨ aussetzungen) es gibt bzw. wie L¨osungen eines Spiels charakterisiert werden k¨onnen.

2.2

Was ist Spieltheorie? ”Game theory is concerned with the actions of decision makers who are conscious that their actions affect each other.” (Rasmusen, 2001, p. 11) 3

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

4

”Game theory is everywhere these days.” (Hargreaves Heap/Varoufakis, 1995, p. 1) In diesem ersten Unterabschnitt wollen wir uns zun¨achst vor Augen f¨ uhren, was Spieltheorie u ¨berhaupt ist. Dazu betrachten wir zun¨achst in 2.2.1 das zentrale Element spieltheoretischer Situationen, das Vorliegen strategischer Interdependenz. Eine etwas formalere Auflistung der Elemente eines Spiels 2.2.2 schließt sich an, bevor in den Abschnitten 2.2.3 und 2.2.4 zwei (Bei-) Spiele analysiert werden.

2.2.1

Modellierung strategischer Interdependenz

Im volkswirtschaftlichen Grundstudium wird man fast ausschließlich mit zwei sehr speziellen Annahmen u ¨ber Marktformen konfrontiert, n¨amlich • der vollst¨andigen Konkurrenz • dem unilateralen Monopol (in aller Regel: Angebotsmonopol) Obgleich diese Marktformen denkbar gegens¨atzlich sind, haben sie doch eines gemeinsam: Das Angebotsverhalten der einzelnen Akteure kann relativ einfach modelliert werden, weil Aspekte strategischer Interdependenz wegfallen: Im Fall vollst¨andiger Konkurrenz sind es so viele Akteure, dass das Verhalten des Einzelnen f¨ ur die jeweils anderen (annahmegem¨aß) keine Rolle spielt. Also wird jede(r) Einzelne das Verhalten der anderen als Datum hinnehmen, das von ihm oder ihr nicht beeinflussbar ist. Insbesondere der Preis einer Ware ist f¨ ur den Einzelnen Akteur ein Datum, da die von ihm produzierbare Menge nur den sprichw¨ortlichen ”Tropfen auf den heißen Stein” ausmacht und daher den Marktpreis nicht zu beeinflussen vermag. Daher spricht man auch von den Anbietern bei vollst¨andiger Konkurrenz von Preisnehmern bzw. von Mengenanpassern. Im Fall des Monopols ist das noch einfacher zu verstehen, da hier nur ein Akteur u ¨berhaupt auftritt. Dieser kann (gegeben die Nachfragefunktion f¨ ur das entsprechende Produkt) frei w¨ahlen, insbesondere kann er auch den Preis nach Belieben (also gewinnmaximal) setzen. Daher spricht man von einem Angebotsmonopolisten als einem Preissetzer. In vielen M¨arkten besteht aber eine Situation, in der eine noch u ¨berschaubare Mehrzahl von Anbietern auftritt. Da die Anbieter um die gleichen Nachfrager konkurrieren, wird ihr Verhalten nicht nur von der Nachfrageseite (Lage und Steigung der Nachfragefunktion) und der betrieblichen Kostenfunktion abh¨angen, sondern auch vom Verhalten der anderen Anbieter. Da dies f¨ ur alle Anbieter gilt, spricht man von einer Situation strategischer Interdependenz: Das individuell optimale Verhalten h¨angt vom Verhalten der anderen Akteure ab. Wenn sich eine solche Situation auf die Angebotsseite von M¨arkten bezieht, spricht man dabei von Oligopolen. Abbildung 2.1 verdeutlicht dies f¨ ur das Beispiel eines Tripols.

Anbieter 1 Anbieter 2

Anbieter 3

Abbildung 2.1: Strategische Interdependenz in einem Tripol Bei mehr als einem, aber nicht sehr vielen Anbietern h¨angt das Verhalten jeden Akteurs vom Verhalten der jeweils anderen Akteure ab. Man spricht dabei von strategischer Interdependenz. Im Gegensatz zur Charakterisierung von M¨arkten unter vollst¨andiger Konkurrenz oder im Fall eines Angebotsmonopols, liefert die Analyse von Oligopolen keine eindeutigen

2.2. WAS IST SPIELTHEORIE?

5

Ergebnisse, da hier sehr viel darauf ankommt, exakt wie die strategische Interdependenz aussieht. So macht es beispielsweise einen enormen Unterschied, ob die Oligopolisten mit ihren jeweiligen Mengen (Mengenwettbewerb; Cournot-L¨osung), oder aber mit den Preisen (Preiswettbewerb; Betrand-L¨osung) aufeinander reagieren. Wenn man nicht a priori eine Vorstellung davon hat, welches Szenario realistischer ist, ist die einzige Aussage, die die Oligopoltheorie treffen kann, dass die L¨osung zwischen der Konkurrenz- und Monopoll¨osung liegt – was nicht gerade eine sehr scharfe Aussage ist. Wir werden diese Modellierungen in sp¨ateren Abschnitten der Vorlesung genau kennen lernen, k¨onnen aber hier bereits festhalten, dass die Analyse von Situationen mit strategischen Interdependenzen h¨aufig keine eindeutige L¨osung hat, sondern dass solche Situationen durchaus auch mehrere plausible L¨osungen aufweisen k¨onnen. Das Merkmal der strategischen Interdependenz kann auch benutzt werden, um sich zu verdeutlichen, dass ”Spiele” im umgangssprachlichen Wortsinn genau dieses auch oft beinhalten. Beispiele daf¨ ur sind: • Schach (¨ uber dessen Eigenschaften sogar eines der ersten Ergebnisse der Spieltheorie formuliert wurde, n¨amlich Zermelo’s Theorem, vgl. Abschnitt 2.7.2 auf Seite 36) • Monopoly (das f¨alschlicherweise so heißt, weil der ganze Spaß daher r¨ uhrt, dass es sich um Oligopolsituationen handelt - nicht umsonst endet ja das Spiel sp¨atestens dann, wenn sich ein(e) Monopolist(in) herausgestellt hat) • Fußball (was hier genannt werden soll, um sofort den Punkt zu verdeutlichen, dass eine noch so gewiefte und fachkundige Analyse aller Regeln und Ausgangsbedingungen zwar zu einem fundierten ”Tip”, nicht aber nicht zu notwendigerweise zur Prognose des richtigen Ergebnisses f¨ uhren muss) • Patience (”Spiel gegen die Natur”)

2.2.2

Elemente eines Spiels

Die Charakterisierung jedes Spiels kann letztlich auf die folgenden zentralen Elemente zur¨ uckgef¨ uhrt werden: • Die Menge der Spieler i ∈ I mit I = {1, 2, . . . , I}. 1 Als Spieler werden nur die aktiv am Spiel beteiligten Akteure bezeichnet. Bisweilen finden sich auch Situationen, in denen die ”Natur” irgend eine Zufallsentscheidung trifft (bspw. ob nach der Gr¨ undung eines Unternehmens gleich eine Rezession auftritt oder nicht). Man spricht in diesem Zusammenhang dann auch von einem (oder mehreren) Pseudospielern. Beispiele: Der am h¨aufigsten analysierte Fall ist ein 2-Personen-Spiel mit I = {1, 2}, wof¨ ur Schach ein Beispiel ist. Bei der Analyse eines Tripols ist I = {1, 2, 3}. Die Natur als Pseudospieler tritt in jedem Kartenspiel auf, da hier die Karten zuf¨allig gemischt werden. Daher werden Spiele wie beispielsweise Solitaire (I = {1}) auch als ”Spiele gegen die Natur” bezeichnet. • Die Strategiemengen (reine Strategien - das sind eindeutig definierte Aktionen im Gegensatz zu zuf¨alligen Kombinationen von reinen Strategien, die gemischte Strategien genannt werden) Si , die jedem der Spieler zur Verf¨ ugung stehen. Die Strategie selbst (si ∈ Si ) - also die Wahl aus der Strategiemenge – ist letztlich das Ergebnis einer spieltheoretischen Analyse und spezifiziert, welche Aktion jeder Spieler zu jedem Zeitpunkt vor dem Hintergrund seines Informationsstandes w¨ahlt. Ein wichtiger Bestandteil der Strategiemengen ist, welchen Zug man wann machen kann, d.h. ob der 1 Dass f¨ ur die Menge und deren Gr¨ oße - und damit deren letztes Element - das gleiche Symbol verwendet werden ist eine h¨ aufig benutzte Konvention und wird hier benutzt, solange dies nicht zu Konfusion Anlass gibt.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

6

oder die andere(n) Spieler mit ihren Aktionen vor oder nach einer m¨oglichen eigenen Aktion ”ziehen” d¨ urfen. Beispiele: Im Schach besteht die Strategiemenge aus den Regeln nach denen jede der Figuren ziehen darf und aus der Tatsache, dass nach der Er¨offnung durch Weiß immer abwechselnd gezogen werden muss. Bei der Cournot-L¨osung des Oligopol-Modells sind dies die Ausbringungsmengen der einzelnen Unternehmen, bei der Betrand-L¨osung die Preise. Hier sind die die Strategievariablen also stetig variierbar. Oft - und gleich in Abschnitt 2.2.3 - betrachten wir aber auch Situationen, in denen die Strategievariable dichotom ist, beispielsweise kann ein ”Markteintrittsspiel” im einfachsten Fall spezifiziert werden mit den Handlungsoptionen ”eintreten” und ”nicht eintreten” • Die Auszahlungsfunktionen (payoff functions) ui (s) aller Spieler, die nat¨ urlich abh¨angen von den aus der Strategienmenge Si tats¨achlich gew¨ahlten Strategien aller I Spieler s = {s1 , s2 , . . . , sI }. Beispiele: Bei Schach gibt es einfach nur die Dreiteilung: Sieg, Niederlage, Remis. Bei anderen Spielen kann das Remis sogar wegfallen. H¨aufig ist einfach der Gewinn ¨ (bei Oligopolmodellen) bzw. dessen Nutzen die relevante Auszahlungsfunktion. Uber die Anforderungen an die Auszahlungsfunktion werden wir uns noch in Abschnitt 2.4 n¨aher unterhalten. • Schließlich ist der Informationsstand der Spieler von entscheidender Bedeutung. H¨aufig wird hier die Annahme getroffen, dass alle Spieler jeweils alle der drei oben genannten Merkmale des Spiels kennen (und dass alle wissen, dass alle alles wissen). Allerdings wird h¨aufig ein Spiel gerade dadurch interessant, dass bestimmten Akteuren bestimmte Informationen nicht vorliegen. Als Beispiele seien genannt: Lohnsetzer kennen nicht das Ausmaß der Inflationsaversion der Zentralbank; Arbeitgeber kennen nicht die genaue Qualifikation bzw. Leistungsf¨ahigkeit eines Bewerbers. Abschnitt 5.4 auf Seite 104 nimmt diese Beispiele genauer unter die Lupe.

2.2.3

Anwendungsbereiche der Spieltheorie, oder: Warum das Paradies mit dem S¨ undenfall enden musste

”Since God does not always get His way, He can properly be viewed as a participant, or player, in a game” (Brams, 2003, p. 5) Die Spieltheorie ist letztlich eine Analysemethode und als solche offen f¨ ur Anwendungen aus allen m¨oglichen Bereichen. Daher kann die Spieltheorie auch als Hilfswissenschaft anderer Disziplinen verstanden werden. Einzige Voraussetzung f¨ ur die Anwendbarkeit der Spieltheorie ist, dass die zu analysierende Situation eine strategische Interaktion von Spielern betrachtet. Einige Beispiele (die keineswegs eine abgeschlossene Liste darstellen) helfen dabei, den Einsatzbereich der Spieltheorie abzusch¨atzen. • VWL: Modellierung der Interaktion von Geld- und Lohnpolitik, Analyse von (verschiedenen Arten von) Lohnverhandlungen • BWL: Wahl von Marketingstrategien, Modellierung des Verhaltens bei Auktionen (und damit auch design der Auktionen) • Politikwissenschaft: Parteienwettbewerb • Biologie: Wettbewerb innerhalb und zwischen verschiedenen Populationen um knappe Ressourcen (Wasser, Nahrung, Nistpl¨atze, . . . )

2.2. WAS IST SPIELTHEORIE? • Milit¨ar: (”Strategische”) Kriegsf¨ uhrung; Kalter Krieg

7 1

• Religionswissenschaft: Die Bibel enth¨alt - wie alle interessanten B¨ ucher - eine ganze Reihe von ”Geschichten”, die mehr oder weniger komplexe Entscheidungssituationen beinhalten. Deren spieltheoretische Aufarbeitung ist Gegenstand des Buches von Steven J. Brams (2003) - und eine empfehlenswerte und spannende Lekt¨ ure. Als Verdeutlichung der universellen Einsetzbarkeit der Spieltheorie gehen wir zur¨ uck zum (biblischen) Beginn der Welt und analysieren die wahrscheinlich allgemein bekannte Situation, die zum S¨ undenfall und zur Vertreibung aus dem Paradies f¨ uhrte. Ein wenig Spieltheorie hilft zu verstehen, warum vor dem Hintergrund der biblisch belegten bzw. begr¨ undbaren Pr¨aferenzen der beteiligten Akteure letztlich gar nichts anderes als die Vertreibung von Adam und Eva aus dem Paradies herauskommen konnte.2 Gleichzeitig vermittelt das Beispiel eine hilfreiche Anwendung der im letzten Abschnitt vorgenommenen allgemeinen Charakterisierung eines Spiels. Die Spieler: Die Situation wird dargestellt als ein 2-Personenspiel zwischen Gott auf der einen Seite und Adam und Eva auf der anderen Seite.3 Die Strategienmengen: • Gott: Gott kann nat¨ urlich alle Parameter frei w¨ahlen. Bevor das hier zu analysierende Spiel beginnt, hat er sich aber bereits entschieden, dass er einen Menschen mit freiem Willen einer willenlosen Marionette vorzieht. Gegeben, dass also Adam und Eva u ¨ber einen freien Willen verf¨ ugen, kann Gott w¨ahlen, ob er den beiden verbietet, die Frucht vom Baum der Erkenntnis zu essen oder ob er dieses Verbot nicht ausspricht. Er entschied sich bekanntermaßen f¨ ur das Verbot, denn ”vom Baum der Erkenntnis von Gut und B¨ose darfst du nicht essen; denn sobald du davon isst, wirst du davon sterben” (Gen 2,17). Wir unterscheiden daher die beiden folgenden M¨oglichkeiten: ”verbieten” und ”nicht verbieten”. • Adam und Eva: Unabh¨angig von dem Verbot, haben sie die M¨oglichkeit, vom Baum der Erkenntnis zu essen oder nicht zu essen. Durch die 2x2 Aktionsm¨oglichkeiten er¨offnen sich vier denkbare Ergebniskonstellationen, die in Abbildung 2.2 auf der n¨achsten Seite einfach mit r¨omischen Zahlen durchnummeriert werden. Diesen vier denkbaren Ergebnissen m¨ ussen nun noch Nutzenwerte der Akteure beigemessen werden. 1 Die Spieltheorie wurde bereits sehr fr¨ uh f¨ ur milit¨ arische Zwecke eingesetzt, so hat auch einer der wichtigsten Spieltheoretiker - der Nobelpreistr¨ ager John Nash - f¨ ur das amerikanische Milit¨ ar gearbeitet. Auch einer der drei Nobelpreistr¨ ager des Jahres 2005 - Thomas Schelling - bekam den Preis f¨ ur die spieltheoretische Durchdringung eines milit¨ arischen Problems, n¨ amlich des kalten Krieges. 2 Das

Beispiel ist entnommen aus Brams (2003), ch. 2.

3 Nat¨ urlich

ist die Zusammenfassung von Adam und Eva eine Vereinfachung, die wir aber zun¨ achst akzeptieren wollen. Selbstverst¨ andlich ist auch die Interaktion zwischen Adam und Eva einer weiteren spieltheoretischen Analyse zug¨ anglich – und auch die Schlange kann mit einbezogen werden. F¨ ur Details sei auf das ¨ angegebene Buch von Brams hingewiesen. (Im Ubrigen ist der Bibel zu entnehmen, dass sich Adam beim Paradiesspiel recht passiv verhielt. Nachdem sich Eva von der Schlange hat verf¨ uhren lassen und von der verbotenen Frucht gegessen hatte, heißt es in Gen 3,6 etwas lapidar: ”Sie gab auch ihrem Mann, der bei ihr war, und auch er aß”.)

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

8

Adam und Eva nicht essen essen

verbieten

I

II

III

IV

Gott nicht verbieten

Abbildung 2.2: Ergebnisraum im Paradiesspiel Jede denkbare Kombination von Aktionen der Spieler f¨ uhrt zu einem m¨oglichen Ergebnis des Spiels. Bei 2x2 Aktionen sind dies vier M¨oglichkeiten.

Die Auszahlungfunktionen: ¨ Uber Nutzenfunktionen berichtet die Bibel nur etwas zur¨ uckhaltend, dennoch k¨onnen wir die folgenden Reihungen aufstellen: • Gott f¨ande es am besten, wenn Adam und Eva nicht vom Baum der Erkenntnis essen, ohne dass er dies verbieten und mit dem Ausschluss aus dem Paradies drohen m¨ usste. So w¨ urde ihm die Drohung erspart bleiben und dennoch nach seinem Willen gehandelt werden. Schon etwas weniger gut ist, wenn Adam und Eva zwar nicht essen, aber nur deswegen, weil er gedroht hat.1 Noch weniger zufrieden w¨are Gott, wenn er zwar das Verbot ausspricht, Adam und Eva aber dennoch essen. Und das f¨ ur Gott schlechteste Resultat m¨oge sein, dass er das Verbot nicht ausspricht und Adam und Eva vom Baum der Erkenntnis essen.2 F¨ ur Gott gilt also, dass III Â I Â II Â IV. Wir k¨onnen diesen Situationen ”Auszahlungen” (Nutzenwerte) in H¨ohe von 4, 3, 2 und 1 beilegen. F¨ ur die L¨osung des Spiels gen¨ ugt es jedoch, wenn die die Auszahlungen als ordinale Reihung verstanden wird, eine kardinale Interpretation ist nicht zwingend erforderlich. • Adam und Eva hingegen f¨anden es nat¨ urlich am besten, wenn sie vom Baum der Erkenntnis essen k¨onnten ohne dabei gegen ein g¨ottliches Verbot verstoßen zu m¨ ussen. Das zweitbeste Resultat w¨are f¨ ur sie, der Versuchung auch gegen ein g¨ottliches Verbot nachzugeben - Erkenntnis ist schließlich ein hohes Gut und verbotene Fr¨ uchte waren schon immer s¨ uß. Schlechter sind f¨ ur Adam und Eva alle Situationen, die mit ”nicht essen” assoziiert sind. Wenn Gott das Verbot auferlegt, k¨onnen sie sich wenigstens am Wohlgefallen Gottes freuen, was die Situation f¨ ur sie noch besser macht als wenn sie ohne Verbot auf den Genuss der Frucht verzichten. F¨ ur Adam und Eva gilt also IV Â II Â I Â III. Auch hier k¨onnen wir den Situationen (in der genannten Reihenfolge) die Nutzenwerte 4, 3, 2 und 1 zuordnen. Dies f¨ uhrt zu der Ergebnismatrix in Abbildung 2.3 auf der n¨achsten Seite. Ein genauer Blick auf die Ergebnismatrix zeigt, dass die Interessen genau entgegengesetzt sind, wobei in allen Situationen die Auszahlungssummen gleich hoch sind. Eine solche 1 Diese Reihenfolge ist vielleicht nicht theologisch zwingend, dahinter steckt aber die Idee, dass Gott es sch¨ atzen w¨ urde, wenn die Menschen das gew¨ unschte Verhalten aus v¨ ollig freien St¨ ucken an den Tag legten. 2 Auch diese Reihenfolge ist nicht zwingend, aber zu rechtfertigen. Man kann sich vorstellen, dass Gott im letzten Fall (Fall IV) es bereuen w¨ urde, die Beschr¨ ankung nicht ausgesprochen zu haben und Adam und Eva v¨ ollig ungewarnt ins Verderben rennen ließ.

2.2. WAS IST SPIELTHEORIE?

9

Adam und Eva nicht essen

essen

verbieten

(3, 2)

(2, 3)

nicht verbieten

(4, 1)

(1, 4)

Gott

Abbildung 2.3: Ergebnismatrix im ”Paradiesspiel” Die erste Zahl gibt jeweils die Auszahlung f¨ ur Gott, die zweite Zahl die Auszahlung f¨ ur Adam und Eva an.

Situation wird als Konstantsummenspiel bezeichnet.1 Es ist zu beachten, dass daf¨ ur die Nutzenwerte der Spieler zwischen Situationen und Spielern numerisch verglichen werden m¨ ussen. Damit wird eine kardinale Messbarkeit von Nutzen unterstellt. F¨ ur eine nur ordinale Nutzenmessung kann man nicht von einem Konstantsummenspiel sprechen. Informationsverteilung und Timing: Als letztes Charakteristikum sind die Annahmen u ¨ber die Informationsverteilung und das Timing der einzelnen Spielz¨ uge zu benennen. Wir gehen hier von vollkommener Information aller Ergebnisse und Konsequenzen bei allen Akteuren aus. Sowohl Gott als auch Adam und Eva kennen also die Ergebnismatrix in Abbildung 2.3 und wissen, dass der jeweils andere sie auch kennt. Bzgl. der Reihenfolge der Spielz¨ uge wird angenommen, dass Gott zuerst ”zieht” und erst dann Adam und Eva ihre Entscheidung treffen k¨onnen. L¨ osung: Die gerade genannte Timing-Annahme kann in einem so genannten Spielbaum (game tree) zum Ausdruck gebracht werden. Dieser ist in Abbildung 2.4 auf der n¨achsten Seite zu sehen. Mit Hilfe dieses Instruments k¨onnen wir uns der L¨osung bereits gut n¨ahern. Da Gott zuerst zieht, muss sein Kalk¨ ul als erstes verdeutlicht werden.2 Daf¨ ur ist jedoch entscheidend, dass das Ergebnis auch davon abh¨angt, was Adam und Eva tun. Ein Blick auf den Entscheidungsbaum zeigt Gott, dass auf Stufe 2 Adam und Eva immer die Option ”essen” w¨ahlen werden – egal was Gott in Stufe 1 tut.3 Die Ergebnisse I und III sind also ”aus dem Rennen”, es bleiben die M¨oglichkeiten II und IV. Gott sieht also, dass er sich die Auszahlungen 4 und 3 zwar nicht sichern kann, durch die Auferlegung der Beschr¨ankung aber immerhin noch 2 (an Stelle von 1) erreichen kann. Also wird Gott in Stufe 1 die Aktion ”verbieten” w¨ahlen und Adam und Eva in Stufe 2 die Aktion ”essen”. Und genau so steht es nat¨ urlich auch in der Bibel. Damit haben wir das erste Spiel aufgeschrieben und gel¨ost, wobei hier die Situation so gestaltet war, dass sich eine L¨osung eindeutig ableiten ließ. Im Verlauf des Abschnitts 2.3 1 Durch geeignete Normierung der Auszahlungen k¨ onnte man das Spiel in ein so genanntes Nullsummenspiel umformen, was eine sehr wichtige Kategorie darstellt. Vgl. Abschnitt 2.3.3 auf Seite 13 zu diesem Punkt. Zu beachten ist, dass daf¨ ur ein kardinales Nutzenkonzept vorausgesetzt werden muss. 2 Diese 3 Man

Vorgehensweise wird als ”R¨ uckw¨ artsinduktion” bezeichnet.

sollte sich daran erinnern, dass Gott in einer vorgelagerten Entscheidung sich bereits f¨ ur die Sch¨ opfung von Menschen mit freiem Willen entschieden hat, dies also offensichtlich gegen¨ uber willensfreien Gesch¨ opfen pr¨ aferierte.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

10

nicht

en iet b r ve nic h

tv

erb iet en

essen

essen nicht

essen Gott

essen

I

(3,2)

II

(2,3)

III (4,1)

IV (1,4)

A&E

Abbildung 2.4: Spielbaum des ”Paradiesspiels” Hier ist die Annahme sichtbar gemacht, dass Gott zeitlich bzw. logisch vor Adam und Eva zieht.

wird dieses ”Paradiesspiel” als Beispiel f¨ ur die unterschiedlichen Merkmale von strategischen Interaktionen (d.h. von Spielen) dienen.

2.2.4

Ein degeneriertes Beispiel: Ein-Personen-Spiel mit vollkommener Information (Schatzsuche)

Um die Bestandteile eines Spiels noch klarer zu machen, wird in diesem Abschnitt ein denkbar einfaches ”Spiel” analysiert (vgl. Gardner 1995, ch. 1.3). Es gibt nur einen Spieler, weshalb das Spiel degeneriert ist in dem Sinn, dass strategische Interaktionen keine Rolle mehr spielen k¨onnen.1 Nennen wir diesen Spieler 1. Weiterhin gibt es vollkommene Information, d.h. der Spieler kennt alle relevanten Umst¨ande. Das Spiel besteht darin, dass 1 ein Labyrinth betritt und • entweder im Labyrinth gegen eine Wand st¨oßt, womit das Spiel mit einer Auszahlung von Null beendet ist (einfach umkehren ist also nicht zul¨assig), • oder am Ausgang des Labyrinths einen Schatz findet, den er als Preis des Werts W erh¨alt. Nennen wird das Spiel daher ”Schatzsuche”. Das (sehr u ¨bersichtliche) Labyrinth ist in der folgenden Abbildung 2.5 auf der n¨achsten Seite zu sehen. Die Spielermenge ist damit einfach gegeben durch I = {1} Die Strategienmenge ist wie folgt definiert: In Punkt a: S1a = {rechts gehen, links gehen} In Punkt b: S1b = {rechts gehen, links gehen} Die Auszahlungsfunktion f¨ ur Spieler 1 ist ½ W f¨ ur s1a = links gehen und s1b = rechts gehen u1 = 0 sonst Wie schon f¨ ur das Paradiesspiel k¨onnen wir auch f¨ ur Schatzsuche einen Spielbaum aufzeichnen. Dieser ist in Abbildung 2.6 auf der n¨achsten Seite gezeigt. Die Punkte a und b in dem Baum bezeichnet man als Knoten; von diesen gehen die ¨ Aste (oder Kanten) aus, die durch die Handlungsoptionen gegeben sind. Geht von einem 1 Wenn irgendwelche Informationsunvollkommenheiten f¨ ur den einen Spieler bestehen, so spricht man von einem ”Spiel gegen die Natur”.

2.3. KLASSIFIKATION VERSCHIEDENER ARTEN VON SPIELEN

11

b

Eingang

a

Abbildung 2.5: Schatzsuche In den Punkten a und b ist jeweils die Entscheidung rechts oder links zu f¨allen. Am Ausgang wartet der Preis.

links rech t

s

s link rechts

0 W

0

Abbildung 2.6: Der Spielbaum f¨ ur Schatzsuche

Knoten kein Ast mehr nach rechts weiter, spricht man von einem Endknoten. Die Auszahlungsfunktion weist jedem Endknoten einen bestimmten Wert zu. Man sieht auch hier die L¨osung sofort. Wenn Spieler 1 das Labyrinth kennt, wird er nat¨ urlich die Strategie {s1a , s1b } = {links gehen, rechts gehen} w¨ahlen. Dies ist unter den drei generell denkbaren Kombinationen die einzige mit einer positiven Auszahlung.

2.3

Klassifikation verschiedener Arten von Spielen

Ein Blick in ein spieltheoretisches Lehrbuch kann leicht den Eindruck einer mehr oder weniger gut geordneten Sammlung verschiedener (Bei-) Spiele erwecken. Um diesem Eindruck entgegenzuwirken, werden in diesem Abschnitt die f¨ unf wichtigsten Charakteristika von Spielen vorgestellt. Ein konkretes Spiel ist dann immer charakterisiert durch eine Kombination dieser Charakteristika. In den folgenden f¨ unf Unterabschnitten werden diese Merkmale vorgestellt und kurz diskutiert, Abschnitt 2.3.6 auf Seite 14 klassifiziert drei Spiele gem¨aß dieser Kriterien.

2.3.1

Kooperative vs. nicht-kooperative Spiele

Die Spieltheorie besteht zum weitaus u ¨berwiegend Teil aus der Analyse non-kooperativer Situationen. In diesen nicht-kooperativen Spielen wird angenommen, dass die Spieler strikt ”gegeneinander” spielen in dem Sinn, dass sie sich nicht f¨ ur die Auszahlungen der anderen Spieler oder f¨ ur eine Teilmenge dieser Auszahlungen interessieren, sondern nur an den eigenen Auszahlungen ein Interesse nehmen. Die Mitspieler sind also nur insoweit von Interesse, als deren Aktionen die eigenen Ziele tangieren. Mit solchen Situationen werden wir uns auch in der Vorlesung im Wesentlichen besch¨ aftigen. Dies reflektiert die Tatsache, dass die Theorie non-kooperativer Spiele deutlich

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

12

besser ausgebaut ist als die Theorie kooperativer Spiele.1 In Situationen mit strategischen Interaktionen ist es aber durchaus m¨oglich, dass es Kooperationen zwischen einzelnen Spielern gibt. Im Extremfall ist sogar eine Kooperation aller Spieler miteinander denkbar, was dann wieder zu einem degenerierten Spiel (vgl. Abschnitt 2.5 auf Seite 22) ohne (echte) strategische Interaktion f¨ uhrt. Bei allseits kooperationsfreudigen Oligopolisten spricht man von einem Kartell, das sich wie ein Monopolist ¨ verh¨alt. F¨ ur solche Kartelle gibt es zahlreiche Beispiele, das bekannteste ist das Olkartell der OPEC. Das entscheidende Merkmal kooperativer Spiele ist die M¨oglichkeit, dass einzelne Spieler bindende und glaubw¨ urdige Verhaltensank¨ undigungen (commitments) machen k¨ onnen, die f¨ ur ein kooperatives Gleichgewicht unerl¨asslich sind. Auf das Beispiel der OPEC gem¨ unzt heißt dies, dass alle Teilnehmerl¨ander sich auf eine F¨orderquote einlassen und auf diese verpflichten m¨ ussen. Wenn diese Selbstverpflichtungen nicht glaubw¨ urdig sind, bricht das kooperative Gleichgewicht zusammen - was bei Kartellen nicht gerade selten auch in der Realit¨at der Fall ist. Der Grund daf¨ ur liegt darin, dass ausgehend von einem kooperativen Optimum fast immer Anreize f¨ ur den Einzelnen gibt, sich anders zu verhal¨ ten. Mit dieser Uberlegung r¨ uckt das Konzept der Glaubw¨ urdigkeit in den Mittelpunkt des Interesses. Mit der Analyse der M¨oglichkeit, dass einzelne Spieler Koalitionen untereinander bilden k¨onnen, setzt sich die Theorie kooperativer Spiele auseinander, die wir in Kapitel 8 auf Seite 157 kennen lernen werden. Das ”Paradiesspiel” aus Abschnitt 2.2.3 auf Seite 6 ist ein non-kooperatives Spiel, da zwischen Gott sowie Adam und Eva keine Absprachen getroffen werden. In dem Konstantsummenspiel kann es auch insofern nicht zu Kooperation kommen, als das was den einen Spieler besser stellt, den anderen immer um den gleichen Betrag schlechter stellt. Kooperation ist n¨amlich nur dann zu erwarten, wenn sich daraus potentielle Vorteile f¨ ur beide ergeben k¨onnen. In einem Konstantstummenspiel ist die per Konstruktion nicht der Fall. Im Gegensatz dazu liegen f¨ ur ein Kartell liegen die potentiellen Vorteile einer Kooperation auf der Hand: Durch Kooperation lassen sich die Gewinn aller beteiligten Anbieter relativ zu einer Situation ohne Kooperation steigern. Die in der Praxis bisweilen sehr schwierig zu l¨osende Frage ist dann nur noch die nach der Verteilung dieser Gewinne.

2.3.2

Statische (”strategic”) vs. dynamische (”extensive”, ”sequential”) Spiele

Eine weitere wichtige Kategorisierung ist die zwischen statischen und dynamischen Spielen. In statischen Spielen2 w¨ahlen alle Spieler ihre Strategie simultan aus. Dies bedeutet insbesondere, dass alle Spieler u ¨ ber das Verhalten der jeweils anderen Spieler nur Erwartungen bilden k¨ onnen, nicht aber deren Verhalten als gegeben – und damit unabh¨ angig vom eigenen Verhalten – annehmen k¨ onnen. Davon geht man beispielsweise in Modell des Cournot’schen Duopols aus: Man unterstellt, dass ein jeder Duopolist seinen Gewinn unter der Annahme maximiert, dass der jeweils andere Duopolist dies auch tut. Die jeweiligen Produktionsmengen werden aber simultan bestimmt. Im Gegensatz dazu weisen dynamische Spiele3 eine vorgegebene zeitliche (oder logische) Reihenfolge der Spielz¨ uge auf. 1 In der Realit¨ at findet sich oft eine Mischung zwischen kooperativen und nicht-kooperativen Verhaltensweisen vor. In der Managementliteratur wurde daf¨ ur bereits das Kunstwort ”co-opetion” (als Synthese aus co-operation und competition) geschaffen. 2 Hier

gibt es – wie so oft in der Spieltheorie – leider keine einheitliche Begriffsverwendung in der Literatur. Bspw. Osborne/Rubinstein (1994) bezeichnen die hier charakterisierten statischen Spiele als ”strategische Spiele”, in anderen Lehrb¨ uchern wird auch von ”Spielen in Normalform” gesprochen. Dies ist jeweils synonym miteinander. 3 Auch hier gibt es zwei synonyme Bezeichnungsweisen: Osborne/Rubinstein (1994) sprechen von ”extensive games”, andere (z.B. Gardner 1995, part II) von ”sequential games”.

2.3. KLASSIFIKATION VERSCHIEDENER ARTEN VON SPIELEN

13

So hat im ”Paradiesspiel” Gott vor Adam und Eva gezogen, d.h. Adam und Eva konnten die Entscheidung ”verbieten” bereits als Datum in ihr Entscheidungskalk¨ ul u ¨ber ”gehorchen” und ”nicht gehorchen” einfließen lassen. Im Beispiel des Duopols spricht man hier von der so genannten Stackelberg-L¨ osung. Diese L¨osung postuliert, dass ein Duopolist (der Stackelberg-F¨ uhrer) seinen Gewinn maximiert unter der Annahme, dass der zweite Duopolist (Stackelberg-Folger) dies auch tut, dabei aber die Menge des ersten Duopolisten als gegeben hinnimmt. Wir werden im Verlauf der Vorlesung auch Beispiele (Geldpolitik I und Geldpolitik II) aus der Makro¨okonomik kennen lernen, in denen die Implementierung einer zeitlichen Reihenfolge von Spielz¨ ugen einen ganz entscheidenden Einfluss auf das Ergebnis hat.

2.3.3

One-shot games vs. wiederholte Spiele

Unabh¨angig davon, ob in einer Spielrunde die Akteure simultan oder in einer wohlspezifizierten Reihenfolge ihre Spielz¨ uge durchf¨ uhren, kann das so beschriebene Spiel als einmaliges Ereignis (”one-shot game”) betrachtet werden oder aber davon ausgegangen werden, dass dieses Spiel oft (oder sogar unendlich oft) gespielt wird. Die L¨osung des wiederholten Spiels muss dabei nicht notwendigerweise einer immer gleichen Abfolge der L¨osung des one-shot games entsprechen. (Ist dies der Fall, w¨are auch die Unterscheidung gleich u ¨berfl¨ ussig.) Der Grund daf¨ ur besteht darin, dass es bei wiederholten Spielen m¨oglich ist, dass die Spieler voneinander lernen und sich bestimmte Reaktionsmuster ”signalisieren” k¨onnen. Es kann mithin zu einem Aufbau von ”Reputation” kommen, was in einem one-shot game nicht m¨oglich ist. Auch die Idee, dass man sich bewusst aus strategischen Erw¨agungen heraus Handlungsoptionen verbaut (”tying one’s hand” oder ”burning bridges”) kann nur im Kontext wiederholter Spiele einen Sinn ergeben. Beispiele: Die Relevanz eines solchen Reputationsaufbaus liegt in ganz unterschiedlichen Bereichen auf der Hand. Genannt sei die Beziehung zwischen Lieferanten und Kunden. Wenn hier ein Lieferant den Kunden bei einer Transaktion nicht so weitgehend wie irgend m¨oglich ”ausquetscht”, so ist dies nicht unbedingt reiner Altruismus, sondern kann als Reputationsaufbau mit dem Ziel des Abschlusses lukrativer Gesch¨afte auch in der Zukunft verstanden werden. Allerdings besteht dieser Anreiz nur dann, wenn davon ausgegangen werden kann, dass das Spiel zumindest potentiell ein wiederholtes Spiel ist. Ein h¨ ubsches Beispiel daf¨ ur, dass analoge Situationen ”wiederholt” oder auch ”one-shot” sein k¨onnen, ist die Entscheidung u ¨ ber das Geben von Trinkgeld bei einem Restaurantbesuch. Hier hat die Tatsache, ob man irgendwo regelm¨aßig wiederkommt und einen guten Service erhalten m¨ochte, oder auf der Durchreise ist, und das Restaurant voraussichtlich nie wieder betritt, durchaus Einfluss auf das Verhalten. Auch in der Theorie der Geldpolitik kann der Aufbau von Reputation eine ganz zentrale Rolle spielen. Wir werden in der Anwendung ”Geldpolitik III” darauf zur¨ uckkommen.

2.3.4

Nullsummenspiele vs. Spiele mit variablen Auszahlungssummen

Mit dem ”Paradiesspiel” haben wir bereits ein Beispiel f¨ ur ein Nullsummenspiel kennen gelernt. Das entscheidende Merkmal f¨ ur ein Nullsummenspiel ist das folgende: In einem Nullsummenspiel addieren sich in allen denkbaren Endknoten die Auszahlungen aller Spieler auf Null bzw. zu einem konstanten Wert.1 Mit anderen Worten: 1 Im Paradiesspiel addieren sich die Auszahlungen jeweils auf 5. Zieht man von jeder Bewertung einfach die Zahl 2,5 ab, so ¨ andert sich nichts an der ordinal definierten Wertsch¨ atzung der Entscheidungsalternativen. Damit bleiben auch die Entscheidungen die gleichen. Die Auszahlungen der Spieler addieren sich aber in

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

14

Des einen Verlust ist des (oder der) anderen Gewinn, es handelt sich also um ein reines Verteilungsspiel. Die Darstellung von Nullsummenspielen in g¨angigen Lehrb¨ uchern der Spieltheorie ist relativ ausf¨ uhrlich, was allerdings eher dogmengeschichtliche als materielle Gr¨ unde hat: Die Analyse von Nullsummenspielen war n¨amlich in dem das Fach praktisch begr¨ undenden Buch von John von Neumann und Oskar Morgenstern (1944) sehr prominent – vielleicht auch deshalb, weil diese Spiele relativ einfach zu l¨osen sind. Gerade in ¨okonomischen Kontexten geht es aber sehr viel h¨aufiger um variable sum games1 , d.h. nicht nur die individuellen, sondern auch die aggregierten Auszahlungen der Akteure h¨angen davon ab, welche Strategiekombinationen gew¨ahlt werden. Beispiele f¨ ur variable sum games: Als Beispiel m¨oge wieder das aus dem Grundstudium bekannte Duopolmodell dienen. Hier ist die Summe der Gewinne bei Kooperation (Kartell) h¨oher als bei Nicht-Kooperation. Aber auch bei Nicht-Kooperation, wenn also tats¨achlich ein Zielkonflikt zwischen den Duopolisten besteht, ist der zus¨atzliche Gewinn des einen Anbieters nicht unbedingt identisch mit dem dadurch verursachten zus¨atzlichen Verlust beim anderen Anbieter.

2.3.5

Spiele mit vollkommener bzw. unvollkommener Information

Eine weitere wichtige Kategorisierung von Spielen bezieht sich auf die Informationslage der Spieler. Die weitestgehende Annahme u ¨ber die Verf¨ ugbarkeit von Information ist, dass alle relevante Information allen Spielern zur Verf¨ ugung steht. In Abschnitt 3.2 auf Seite 42 wird darauf noch detaillierter einzugehen sein. F¨ ur den Moment soll etwas lose festgelegt werden, dass man von einem Spiel mit vollkommener oder perfekter Information spricht, wenn alle Spieler bei jeder Entscheidung genau wissen, in welcher Situation sie sich befinden, welche Entscheidungsalternativen zur Verf¨ ugung stehen, ggf. wie das Spiel weitergehen wird (bzw. kann), und welches die Auszahlungen in jedem Endknoten sind. Prototypisches Beispiel daf¨ ur ist Schach, aber auch das Paradiesspiel ist ein Spiel mit vollkommener Information, da Adam und Eva bei ihrer Entscheidung wissen, ob sie einem g¨ottlichen Verbot unterliegen und auch die Konsequenzen ihrer Entscheidungsalternativen kennen. Fehlt irgendeinem Spieler an irgendeinem Punkt des Spiels ein Teil der Information, so spricht man von Spielen mit unvollkommener Information. Statische Spiele weisen per Konstruktion eine gewisse Informationsunvollkommenheit auf: Da die Entscheidungen aller Spieler simultan gef¨allt werden, weiß der einzelne Spieler nicht (mit Sicherheit), welche Entscheidungen die anderen jeweils treffen. In der Literatur wird oft u ¨ber dieses Merkmal hinweggesehen und auch von ”statischen Spielen mit vollkommener Information” gesprochen. Damit die Einschr¨ankung klar erkennbar bleibt, wird hier bei statischen Spielen, die keinen weiteren Informationsbeschr¨ankungen unterliegen von ”statischen Spielen bei ansonsten vollkommener Information” geredet. Deren Analyse ist Gegenstand von Kapitel 3.

2.3.6

Anwendung

Abschließend sollen die f¨ unf Charakteristika auf drei Spiele angewendet werden. Bereits hier behandelt wurde das Paradiesspiel, aus dem Grundstudium sind außerdem auch ohne genaue spieltheoretische Charakterisierung das Cournot-Duopolspiel sowie die Kartelll¨osung bei einem Duopol bekannt. jedem Endknoten zu Null. 1 Im Deutschen wird daf¨ ur bisweilen der Begriff Positivsummenspiel gebraucht. Allerdings ist dies insofern eher irref¨ uhrend, als es auf die Unterschiede der aggregierten Auszahlungen an verschiedenen Endknoten ankommt und nicht auf die Frage, welches Vorzeichen diese haben. Daher der etwas sperrige Begriff ”variable ¨ Auszahlungssummen” in der Uberschrift.

2.4. NUTZEN UND ERWARTUNGSNUTZEN Spiel

kooperativ vs. nonkooperativ

statisch vs. dynamisch

15

one-shot vs. wiederholt

konstante vollk. vs. vs. unvollk. variable InforSummenmation spiel Paradiesnondynamisch one-shot Nullsummenvollk. spiel kooperativ spiel Information Cournotnonstatisch one-shot (a) variable ansonsten Duopol kooperativ Summen vollk. Information (b) Kartell kooperativ statisch one-shot (a) variable ansonsten Summen vollk. Information (b) Anmerkungen: (a) Einfache Lehrbuchdarstellungen analysieren u ¨blicherweise ein oneshot game. Gerade die Kartelll¨osung kann dadurch stabil werden, dass sich die einzelnen Mitglieder in einem wiederholten Spiel eine Reputation daf¨ ur aufbauen, sich an die vereinbarten Quoten zu halten. Dies wird analysierbar im Kontext eines wiederholten Spiels. Gleiches gilt f¨ ur die strategische Interaktion von Anbieter in einem engen Markt ohne Kooperation. (b) Auch bez¨ uglich des Informationsstands sind Variationen denkbar, bspw. Unsicherheiten der Anbieter u ¨ber die Nachfrageverh¨altnisse, u ¨ber Kostenparameter etc.. Tabelle 2.1: Anwendung der Charakteristika auf drei Spiele

2.4

Nutzen und Erwartungsnutzen ”Reason is, and ought only to be the slave of the passions, and can never pretend to any other office than to serve and obey them.” David Hume, Treatise on Human Nature

Aktionen im wirtschaftlichen Bereich oder auch dar¨ uber hinaus k¨onnen immer nur vor dem Hintergrund von Zielfunktionen modelliert werden. Das ganze Programm der Wirtschaftswissenschaften kann verstanden werden als die L¨osung des zentralen Problems der Knappheit von Ressourcen. Wie genau diese knappen Ressourcen eingesetzt werden sollen, h¨angt nat¨ urlich von den Pr¨aferenzen der Akteure ab. Auch die Aktionen in Spielen sind getrieben von den Zielen der einzelnen Akteure (sowie den Nebenbedingungen, die den Handlungsspielraum der Akteure definieren). Wir sprechen hier allgemein von Nutzenfunktionen. Im Paradiesspiel hatten wir f¨ ur die beiden Akteure (Gott, Adam und Eva) ordinale Reihungen der m¨oglichen Ergebnisse postuliert. Nat¨ urlich h¨angt die L¨osung des Spiels von diesen unterstellten Nutzenfunktionen ab. Die Anforderungen, die an diese Nutzenfunktionen zu stellen sind, werden im ersten Teilabschnitt 2.4.1 kurz beleuchtet. Daran schließt sich eine kurze Darstellung der Ber¨ ucksichtigung von Risiko – ein wichtiges Element in fast allen realen Spielen – an.

2.4.1

Anforderungen an Nutzenfunktionen

Eine Nutzenfunktion bewertet alle m¨oglichen Ergebnisse (eines Spiels) in einer konsistenten Weise. Diese Bewertung ist eine notwendige Bedingung, damit sich ein Spieler (oder eine ¨ Gruppe von Spielern) rational verhalten kann. Uber die Rationalit¨atsannahme wird im folgenden Abschnitt 2.5 noch einiges zu sagen sein, hier gen¨ ugt es festzuhalten, dass damit

16

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

Mittel

Ziele

Abbildung 2.7: Instrumentennationalit¨at Diese verlangt den effizienten Einsatz der vorhanden Mittel zur Erzielung des h¨ochstm¨oglichen Zielerreichungsgrades.

eine Instrumentenrationalit¨ at gemeint ist, d.h. der rationale Einsatz von verf¨ ugbaren Mitteln bei der Verfolgung klar definierter Ziele. (Diese Zielfunktionen k¨onnen dann Egoismus, Altruismus und ”Merkw¨ urdigkeiten” jeder Art enthalten.) Abbildung 2.7 macht das einfache Denkmuster deutlich. Folgende Anforderungen sind an die Pr¨aferenzen, d.h. an den Vergleich der durch die Pr¨aferenzordnung zu bewertenden G¨ uter bzw. G¨ uterb¨ undel zu stellen: 1. Reflexivit¨ at: F¨ ur alle xi gilt, dass xi ¹ xi . Diese Eigenschaft verlangt also, dass jedes zu bewertende Gut (oder G¨ uterb¨ undel) xi mindestens so viel wert ist wie es selbst und impliziert nat¨ urlich auch die intuitiv einsichtigere Eigenschaft xi ∼ xi . 2. Transitivit¨ at: F¨ ur alle xi , xj und xk , f¨ ur die gilt, dass xi º xj und dass xj º xk muss auch gelten, dass xi º xk . Hierbei geht es um die logische Konsistenz von Pr¨aferenzen. 3. Vollst¨ andigkeit: F¨ ur alle denkbaren Alternativen xi und xj gilt entweder, dass xi ¹ xj oder dass xi º xj . Mit dieser Anforderung wird sichergestellt, dass es keine durch die Pr¨aferenzordnung nicht erfassten G¨ uter(b¨ undel) gibt. 4. Kontinuit¨ at: F¨ ur alle xi , xj und xk , f¨ ur die gilt, dass xi  xj  xk muss es ein aus xi und xk zusammengesetztes Gut y geben, f¨ ur das gilt, dass y ∼ xj , d.h. dass zwischen xj und y Indifferenz besteht. Die ”Zusammensetzung” von y kann dabei sowohl w¨ortlich genommen werden – Teile der beiden G¨ uter werden einfach kombiniert – als auch im Sinne einer Lotterie verstanden werden, die eines der beiden Teilg¨ uter mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten liefert. Die Eigenschaften (1) - (3) konstituieren eine wohldefinierte Pr¨aferenzordnung aller Alternativen bei dem Individuum. Wenn dar¨ uber hinaus auch die Kontinuit¨atseigenschaft (4) gilt, dann kann diese Pr¨aferenzordnung durch eine Nutzenfunktion U (xi ) dargestellt werden. Wenn es um die Pr¨aferenzen u ¨ber unsichere Zahlungen (also Lotterien1 ) geht, so wird ein weiteres Axiom erforderlich: 5. Unabh¨ angigkeit: xi , xj und xk seien drei Lotterien, und es gelte xi  xj . Dann muss f¨ ur die folgenden zusammengesetzten Lotterien gelten, dass p · xi + (1 − p) · xk  p · xj + (1 − p) · xk ∀0 ≤ p ≤ 1. Damit wird sichergestellt, dass die Pr¨aferenz zwischen xi und xj nicht vom Vorhandensein einer bestimmten ”Beimischung” der dritten Lotterie xk abh¨angt. In vielen Situationen gen¨ ugt es v¨ollig, eine Vorstellung u ¨ber die Reihenfolge von Alternativen zu haben. Dieses wird bezeichnet als ordinale Nutzenfunktion. Wenn jedoch bspw. verschiedene Alternativen mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten auftreten, oder Nutzenvergleiche zwischen Personen stattfinden sollen (incl. der Bewertung des aggregierten Nutzens mehrerer Personen in einem Koalitionsspiel), dann ist diese Information nicht hinreichend. Dazu ist es erforderlich, Vorstellungen u ¨ber eine kardinale Nutzenfunktion zu haben, die Nutzenunterschiede zwischen verschiedenen Alternativen quantifiziert. (Streng genommen reicht eine kardinale Nutzenfunktion f¨ ur eine interpersonelle Vergleichbarkeit 1 Formal ist eine Lotterie charakterisiert durch die m¨ oglichen Auszahlungen, denen jeweils Wahrscheinlichkeiten zugeordnet sind.

2.4. NUTZEN UND ERWARTUNGSNUTZEN

17

Zustand der Welt gut (g)

schlecht (b)

Lotterie A

1000

100

Lotterie B

900

700

Abbildung 2.8: Auszahlungen f¨ ur zwei Lotterien Die Zahlen geben die Auszahlungen der Lotterien A und B im guten bzw. schlechten Zustand der Welt an.

nicht aus, diese Vergleichbarkeit wird bisweilen einfach zus¨atzlich angenommen.) In vielen (Bei-) Spielen – auch in der Realit¨at – geht es einfach um Geld, was zumindest auf den ersten Blick eine unmittelbare Vergleichbarkeit auch zwischen Personen suggeriert. Man sollte sich aber klar machen, dass dahinter das Werturteil steckt, dass ein Geldbetrag in den H¨anden unterschiedlicher Personen gleich viel ”wert” ist. Das trifft selbstverst¨andlich f¨ ur die Kaufkraft zu, nicht aber notwendigerweise f¨ ur den Nutzen, den verschiedene Personen aus dieser Kaufkraft ziehen k¨onnen.

2.4.2

Bewertung von Risiko und Erwartungsnutzenfunktion

Risiko ist mit fast allen (realistischen) Spielen – und ¨okonomischen Situationen – verbunden. Bei dem Kauf eines Lotterieloses liegt es auf der Hand, nicht sicher absehbare Ver¨anderungen der konjunkturellen Situation, des Wechselkurses oder anderer Relativpreise sind andere Beispiele (aus der Makro¨okonomik) f¨ ur Risiken, die sich auf Auszahlungen in strategischen Spielen und damit auf das Verhalten von Spielern auswirken k¨onnen. Es liegt dabei v¨ollig auf der Hand – und entspricht der Lebenserfahrung –, dass verschiedene Personen die gleiche riskante Situation unterschiedlich einsch¨atzen, es also unterschiedliche Bewertungen von Risiken gibt. Bereits ohne n¨ahere Analyse k¨onnen wir unterscheiden, ob eine Person • risikoavers, • risikofreudig oder • risikoneutral ist. Wir k¨onnen uns diese Unterscheidung anhand von zwei sehr einfachen Lotterien vor Augen f¨ uhren. Die Auszahlungen der beiden Lotterien sind in Abbildung 2.8 wiedergegeben. Lotterie A ergibt im g¨ unstigen Fall eine Auszahlung von 1000, im schlechten Zustand der Welt aber nur eine Auszahlung von 100. Lotterie B ist im Vergleich mit Lotterie A deutlich weniger sensitiv gegen¨ uber dem ”Zustand der Welt”. Intuitiv l¨asst sich daher sagen, dass Lotterie B weniger riskant als Lotterie A ist.1 Die beiden Lotterien lassen sich sehr anschaulich in Abbildung 2.9 auf der n¨achsten Seite mit Hilfe des sog. Zustandspr¨ aferenz-Diagramm darstellen. Entlang der horizontalen (vertikalen) Achse sind die Auszahlungen im guten (schlechten) Zustand der Welt abgetragen.2 Die 45˚-Linie ist der Ort aller Punkte, in denen sich 1 Man kann sich hier eine Situation ohne (Lotterie A) bzw. mit (Lotterie B) einer Versicherung vorstellen, wobei die Versicherung auch im schlechten Zustand der Welt eine Auszahlung von 700 garantiert, daf¨ ur aber eine Pr¨ amie von 100 nimmt. 2 Die Idee ist keineswegs auf eine Situation mit nur zwei Zust¨ anden der Welt beschr¨ ankt. Allgemein erfolgt bei n denkbaren Zust¨ anden die analoge Darstellung in einem n-dimensionalen Raum.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

18

Auszahlung im schlechten Zustand der Welt Sicherheitslinie B

700

A

100

900 1000

Auszahlung im guten Zustand der Welt

45°

Abbildung 2.9: Das Zustandspr¨aferenz-Diagramm Mit Hilfe dieser Grafik l¨asst sich eine Lotterie als Punkt in einem n-dimensionalen Raum darstellen, wobei n die Zahl der m¨oglichen Umweltzust¨ande bezeichnet. Im Beispiel ist n = 2.

die beiden Zust¨ande der Welt nicht voneinander unterscheiden. Man spricht daher von der sog. Sicherheitslinie. Beide Lotterien lassen sich einfach durch einen Punkt in diesem Diagramm darstellen. Die Frage ist jetzt die nach der Bewertung dieser Lotterien. Dies ist nicht ”objektiv” m¨oglich, sondern eine Frage der subjektiven Einsch¨ atzung des offensichtlich unterschiedlichen Risikos, das in den beiden Lotterien steckt. Drei verschiedene Kriterien werden h¨aufig herangezogen, die nachfolgend erl¨autert werden sollen. Diese sind • das Maximin-Kriterium, • der Erwartungswert der Lotterie, sowie • der Erwartungsnutzen der Lotterie. Nach der Erl¨auterung dieser drei Konzepte werden noch zwei g¨angige Maße f¨ ur die Messung der Risikoneigung eingef¨ uhrt. Das Maximin-Kriterium gibt die folgende Handlungsanweisung: ”W¨ahle diejenige Handlung, die im schlechtesten Fall am besten ist.” Man schaut also ausschließlich auf den ”worst case” – in diesem Fall also die zweite Spalte in der Auszahlungstabelle in Abbildung 2.8 auf der vorherigen Seite und optimiert dar¨ uber, sucht also das maximale Minimum. Die Reihung der beiden Lotterien gem¨aß des Maximin-Kriteriums ist damit klar: Es gilt, dass Lotterie B Â Lotterie A. Allgemein l¨asst sich f¨ ur beliebige Lotterien j ∈ L und Zust¨ande der Welt i ∈ n mit den L · n Auszahlungen Wij das Maximin-Kriterium wie folgt darstellen: Der Wert einer Lotterie j ist gegeben durch min (Wji ), die Auswahl der besten Lotterie gegeben durch die L¨osung des Problems

i∈n

max min (Wji ) . j∈L

i∈n

(2.1)

Wichtig bei diesem Kriterium ist, dass die Bewertung ganz offensichtlich ohne die Ber¨ ucksichtigung von Information, die man intuitiv als relevant erachten w¨ urde, zustande kommt. Konkret werden folgende Bestandteile einer Lotterie vernachl¨assigt: • alle Auszahlungen in anderen als dem schlechtesten Zustand;

2.4. NUTZEN UND ERWARTUNGSNUTZEN

19

Auszahlung im schlechten Zustand der Welt

B

700

A

100

900 1000

Auszahlung im guten Zustand der Welt

45°

Abbildung 2.10: Das Maximin-Kriterium Dieses Kriterium l¨asst sich darstellen mit Hilfe von L-f¨ormigen Indifferenzkurven im Zustandspr¨aferenz-Diagramm.

• jegliche Wahrscheinlichkeiten, mit denen der gute oder schlechte Zustand eintritt. Qua Konstruktion beinhaltet das Maximin-Kriterium den denkbar h¨ochsten Grad an Pessimismus, weil eben unabh¨angig von der Wahrscheinlichkeit des Eintretens ausschließlich der schlechteste Zustand in die Bewertung mit einfließt. Im Zustandspr¨aferenz-Diagramm ist es m¨oglich, das Maximin-Kriterium mit den aus dem Grundstudium vertrauten Indifferenzkurven darzustellen. Wie man sich leicht verdeutlichen kann, verlaufen diese L-f¨ormig durch die Punkte in Abbildung 2.9 auf der vorherigen Seite, wobei der Knick auf der Sicherheitslinie liegt. Abbildung 2.10 zeigt diese Indifferenzkurven. Je weiter eine Indifferenzkurve vom Ursprung entfernt liegt, desto h¨oher ist das damit assoziierte Nutzenniveau. Der Erwartungswert einer Lotterie ist gegeben durch die mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten der verschiedenen Zust¨ ande der Welt gewichteten Auszahlungen in diesen Zust¨anden. Man spricht dabei auch von einem ”fairen Preis” einer Lotterie. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten des schlechten Zustands der Welt sei pb , entsprechend ist die Gegenwahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten des guten Zustands der Welt mit (1 − pb ) gegeben. Daher sind die Erwartungswerte der Lotterien A und B durch E (A) = pb · 100 + (1 − pb ) · 1000 und E (B) = pb · 700 + (1 − pb ) · 900 gegeben. Bezeichnen Wg und Wb allgemein die Auszahlungen einer Lotterie in den beiden Zust¨anden, so ist der Erwartungswert einer Lotterie L konstant entlang einer Linie im Zustandspr¨aferenz-Diagramm mit der Steigung −(1 − pb )/pb .1 Damit ist klar, dass im Gegensatz zum Maximin-Kriterium beim Erwartungswert alle Zust¨ ande der Welt und alle m¨oglichen Auszahlungen eine Rolle spielen. Allgemein, d.h. f¨ ur beliebig viele (hier:Pn) Zust¨ande der Welt ist der Erwartungswert einer Lotterie j gegeben P durch E (Wj ) = pij Wij mit pij = 1. Die Auswahl aus mehreren Lotterien ist die i∈n

i∈n

L¨osung des Problems

M ax E (Wj ) j∈L

1 Der

Wb =

¯ C pb

(2.2)

¯ fixe Erwartungswert sei E (L) osen dieser Gleichung ergibt sofort ˛ = C = pb Wb + (1 − pb ) Wg . Aufl¨ 1−pb ∂Wb ˛ b − p Wg . Damit ist ∂W ˛ = − 1−p . p g ¯ b

C

b

20

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE Auszahlung im schlechten Zustand der Welt

B

700

A

100

900 1000

Auszahlung im guten Zustand der Welt

45°

Abbildung 2.11: Das Erwartungswert-Kriterium Dieses Kriterium bezieht die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der beiden Zust¨ande mit ein.

Der Erwartungswert ist ein Bewertungskriterium, das man mit Risikoneutralit¨ at assoziieren kann. Dabei interessiert nicht die m¨ogliche Streuung der Auszahlungen u ¨ber die diversen Zust¨ande der Welt, sondern einzig die erwartete Auszahlung. Viele Entscheidungssituationen sind allerdings dadurch gekennzeichnet, dass es keine objektiven Wahrscheinlichkeiten f¨ ur den Eintritt diverser Zust¨ande gibt.1 In diesem Fall sind entweder subjektive Wahrscheinlichkeiten (incl. Sensitivit¨ atsanalysen) zu verwenden. Andernfalls ist das Kriterium nicht anwendbar. Abbildung 2.11 zeigt f¨ ur die beiden Lotterien A und B die Linien mit jeweils identischem Erwartungswert. F¨ ur die Wahrscheinlichkeit, die zu den beiden durchgezogenen Linien mit jeweils gleichen Erwartungswerten f¨ uhrt, gilt wieder, dass die Lotterie B der Lotterie A vorgezogen wird. Die durch A und B gehende gestrichelte Linie repr¨asentiert Eintrittswahrscheinlichkeiten der beiden Zust¨ande, die den beiden Lotterien gerade den Erwartungswert geben. Es ist f¨ ur die Auszahlungen aus Abbildung 2.8 auf Seite 17 recht einfach zu berechnen, welche Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreten des guten Zustands der Welt daf¨ ur notwendig ist.2

Das Erwartungsnutzen-Kriterium als dritter Bewertungsmaßstab bewertet schließlich die Auszahlungen Wij einer Lotterie j in einem Zustand i mit einer beliebigen Nutzenfunktion u (Wij ). Eine Lotterie j weist P dann einen Erwartungsnutzen von uej ≡ E (uj ) = pij u (Wij ) auf. Die Wahl zwischen i∈n

verschiedenen Lotterien ist dann die L¨osung des Problems max E (uj ) . j∈L

(2.3)

1 F¨ ur das bekannte Lotto (”6 aus 49”) sind solche Wahrscheinlichkeiten problemlos anzugeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass aus den 49 Kugeln eine bestimmte 6-er Kombination gezogen wird, ist gegeben durch „ « 49 49! = 13983816. = 6!(49−6)! 6 2 F¨ ur das Verst¨ andnis des Konzepts ist es hilfreich zu zeigen, dass dieser Wert pg = (1 − pb ) = 6/7 ≈ 0, 857 betr¨ agt.

2.4. NUTZEN UND ERWARTUNGSNUTZEN

21

Abbildung 2.12: Risikoaversion Bei Vorliegen von Risikoaversion ist der Nutzen des (sicheren) Erwartungswertes der Auszahlungen h¨oher als der Erwartungswert des Nutzens einer Lotterie mit dieser erwarteten Auszahlung.

Die Erwartungsnutzenfunktion E (uj ) wird auch h¨aufig als von Neumann-MorgensternNutzenfunktion bezeichnet.1 (2.3) ist das allgemeinste der drei Kriterien, da verschiedene Risikoneigungen abgebildet werden k¨onnen, was nachfolgend kurz erl¨autert werden soll. Als risikoavers bezeichnet man eine Bewertung, bei der ein sicheres Einkommen W einer beliebigen Lotterie mit dem gleichen Erwartungswert vorgezogen wird. Abbildung 2.12 zeigt einen solchen Fall. Wiederum nehmen wir an, dass es zwei Zust¨ande der Welt, b und g gebe. Die Auszahlungen der Lotterie j sind in Abbildung 2.12 mit Wbj bzw. Wgj bezeichnet. Wenn beide Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, so ist der Erwartungswert E (Wj ) gerade das arithmetische Mittel. Der damit assoziierte Nutzen ist mit u (E (Wj )) bezeichnet. Dieses Nutzenniveau w¨ urde realisiert, wenn die erwartete Auszahlung sicher bezahlt w¨ urde. Bei der Lotterie ist dies jedoch nicht der Fall; vielmehr wird mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/2 ein niedrigeres bzw. h¨oheres Nutzenniveau realisiert. Der Erwartungswert aus diesen beiden Nutzenwerten ist in der Abbildung 2.12 mit E (u (Wj )) bezeichnet. Durch die Kr¨ ummung der Nutzenfunktion u (Wj ) ist dieser Erwartungsnutzen niedriger als der Nutzen des gleich hohen Erwartungswertes. Aus Abbildung 2.12 geht sofort hervor, dass Risikoaversion verbunden ist mit der Eigenschaft des sinkenden Grenznutzens der Auszahlungen.2 Analog ist ein steigender Grenznutzen mit Risikofreude verbunden, und ein konstanter Grenznutzen mit Risikoneutralit¨at. Sinkender Grenznutzen der Auszahlungen (also eine konkave Nutzenfunktion) geht einher mit konvexen Indifferenzkurven im Zustandspr¨aferenz-Diagramm, das in Abbil1 Diese Bezeichnung ehrt die beiden Pioniere der Spieltheorie (und der Erwartungsnutzentheorie, die ebenfalls in dem 1944 erschienenen Buch, das die Spieltheorie begr¨ undete, entwickelt wurde), John von Neumann und Oskar Morgenstern. 2 So wie die Nutzenfunktion in Abbildung 2.12 gezeichnet ist, sollte klar sein, dass u0 (W ) > 0 und j u00 (Wj ) < 0.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

22

B

700

A

100

900 1000

Auszahlung im guten Zustand der Welt

45° Abbildung 2.13: Das Erwartungsnutzen-Kriterium bei Risikoaversion Das Erwartungsnutzen-Kriterium bezieht neben den Wahrscheinlichkeiten des Eintretens der beiden Zust¨ande auch eine subjektive Bewertung der Auszahlungen mit ein. Gezeigt ist Fall der Risikoaversion.

dung 2.13 zu sehen ist. Abschließend werden nun noch zwei g¨angige Maße f¨ ur die Beschreibung der Risikoneigung eingef¨ uhrt. F¨ ur eine gegebene Nutzenfunktion u (W ) ist das Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion definiert durch den Term ARA = −

u00 (W ) , u0 (W )

(2.4)

w¨ahrend das Arrow-Pratt-Maß der relativen Risikoaversion definiert ist durch RRA = −

u00 (W ) · W . u0 (W )

(2.5)

Beispiel: F¨ ur die Nutzenfunktion u (W ) = W α sind diese Maße gegeben durch ARA = (1 − α) W −1 und RRA = (1 − α).

2.5

Rationalit¨ at der Akteure

Rationalit¨at der Akteure vor dem Hintergrund wohlspezifizierter Pr¨aferenzen ist eine zentrale Annahme in allen Bereichen der Wirtschaftswissenschaften. In diesem Abschnitt1 wird nun mit dem sog. ”St.-Petersburg-Paradoxon” zun¨achst ein historisch sehr altes Beispiel vorgestellt, in dem sehr deutlich wird, dass die Orientierung an Erwartungswerten bei Spielen nicht ad¨aquat ist, sondern der Erwartungsnutzen das relevante Konzept sein muss, wenn man tats¨achliches Verhalten mit dem Rationalit¨atspostulat unter einen Hut bringen m¨ochte. Daran schließt sich mit dem Allais-Paradoxon die Analyse einer Situation an, in der tats¨achlich beobachtbares und auf den ersten Blick ”ganz vern¨ unftiges” Verhalten einer wie auch immer spezifizierten Erwartungsnutzenfunktion widerspricht. Anders gesagt geht 1 Dieser

Abschnitt st¨ utzt sich auf die Darstellung in Hargreaves Heap/Varoufakis (1995), p. 13-14.

¨ DER AKTEURE 2.5. RATIONALITAT

Zahl Kop f

1 Zahl

Kop f

23

2 Zahl

Kop f

4 Zahl

Kop f

8 etc. 0

0

0

0

Abbildung 2.14: Das St. Petersburg-Paradoxon

es hier um ein Verhalten, das nicht mit den im Abschnitt 2.4 auf Seite 15 vorgestellten Axiomen der (Erwartungs) Nutzentheorie konsistent ist. Dieses Beispiel ist ein wichtiges Argument letztlich gegen die ganze Methode der Wirtschaftswissenschaft - wobei allerdings mit dem Hinweis auf m¨ogliche Schw¨achen einer Methode noch keine Alternative genannt ist, und schon gar keine bessere Alternative. Dennoch zeigt das Allais-Paradoxon, dass die Rationalit¨atspr¨amisse nicht v¨ollig unangreifbar ist - jedenfalls dann, wenn Rationalit¨ at hinl¨anglich eng gefasst wird, was noch zu erl¨autern sein wird. Abschließend erfolgen einige Bemerkungen zur Modellierung beschr¨ ankter Rationalit¨ at - eine der Forschungsfronten der Spieltheorie bzw. der Wirtschaftstheorie u ¨berhaupt.

2.5.1

Das St. Petersburg Paradoxon

Zu Beginn des 18. Jahrhunderts1 formulierte der Schweizer Mathematiker Nikolaus Bernoulli eine Lotterie mit einer bemerkenswerten Eigenschaft: Die Zahlungsbereitschaften potentieller Spieler weichen dramatisch von der objektiv berechenbaren erwarteten Auszahlung der Lotterie ab. Eine L¨osung dieses scheinbaren Paradoxons bot Daniel Bernoulli, ein Cousin von Nikolaus Bernoulli.2 Das angebotene Spiel ist sehr einfach und kann wie folgt beschrieben werden: • Eine (faire) M¨ unze wird wiederholt geworfen. Es wird zu Beginn vereinbart, wie oft die M¨ unze maximal geworfen wird. Dies ist eine Zahl I mit 1 ≤ I ≤ ∞. • Taucht zum ersten Mal ”Kopf” auf, so ist das Spiel beendet. Die Auszahlung betr¨agt in diesem Fall Null. • Taucht ”Zahl” auf, so erh¨alt der Spieler vom Anbieter des Spiels (Veranstalter der Lotterie) eine mit der Anzahl des sukzessiven Auftauchens von ”Zahl” wachsende Auszahlung. Diese beginnt bei 1e nach dem ersten Wurf von ”Zahl” und verdoppelt sich danach jeweils, betr¨agt also 2e beim zweiten Mal, dann 4e, 8e etc.. Einmal erhaltene Auszahlungen beh¨alt der Spieler. Bei einer Wurffolge ”ZZZK” erh¨alt der Spieler also 1e + 2e + 4e = 7e. Das Spiel kann in dem Spielbaum der Abbildung 2.14 dargestellt werden. An jedem Knoten ist die bei Erreichen jeweils f¨allige Auszahlung angegeben. Man beachte, dass an jedem Endknoten nur die zus¨ atzliche Auszahlung gleich Null ist, insgesamt das Spiel aber eine Auszahlung in H¨ohe der Summe der Auszahlungen, die bei den passierten Knoten nach Wurf von ”Zahl” f¨allig werden, aufweist. Zun¨achst ist nun der Erwartungswert des Spiels zu berechnen. Daf¨ ur ist die Wahrscheinlichkeit p (i), eine beliebige Zahl i von W¨ urfen hintereinander ”Zahl” zu werfen entscheidend. 1 Dieser 2 Die

Abschnitt basiert auf der Darstellung in Jerger (1992).

L¨ osung von Daniel Bernoulli wurde w¨ ahrend eine Aufenthalts in St. Petersburg ausgearbeitet und auch dort im Jahr 1738 ver¨ offentlicht - daher der Name des Paradoxons.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

24

Diese Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch p (i) =

1 1 1 1 · · ... = i |2 2{z 2} 2 i Faktoren

(2.6)

Die Auszahlung W (i) f¨ ur den Fall, dass i Mal hintereinander ”Zahl” f¨allt ist gegeben durch W (i) = 2i−1

(2.7)

Die erwartete Auszahlung E (W (I)) bei maximal I W¨ urfen ist also gegeben durch E (W (I)) =

I X

p (i) · W (i) =

i=1

I I X X 1 I 1 i−1 · 2 = = . i 2 2 2 i=1 i=1

(2.8)

Die erwartete Auszahlung w¨achst also proportional mit der maximalen Anzahl der W¨ urfe. Dies ist deshalb so, weil an jedem Punkt des Spiels, die Option, weiter zu spielen, einen positiven Wert hat – egal wie h¨aufig zuvor bereits ”Zahl” erschien. Dadurch impliziert ist aber auch, dass der Erwartungswert des Spiels bei einer ex ante unbegrenzten Zahl von W¨ urfen unendlich hoch ist. Selbst bei einer sehr begrenzten Maximalzahl von W¨ urfen von z.B. I = 100 w¨aren aber die wenigsten Spieler bereit, f¨ ur die Teilnahme 50e zu bezahlen. Die relativ hohe Wahrscheinlichkeit mit keinem oder sehr geringen Gewinnen das Spiel zu verlassen, f¨ uhrt in aller Regel zu einer subjektiven Bewertung des Spiels unterhalb des Erwartungswerts. Die grundlegende Idee von Daniel Bernoulli, die eine L¨osung dieses Paradoxons erm¨oglicht, liegt in der konzeptionellen Trennung von erwarteter Auszahlung und dessen Nut¨ zen. In seinen eigenen Worten (der englischen Ubersetzung) beschreibt er die Grundlage des Paradoxons wie folgt: ”Until now scientists have usually rested their hypothesis on the assumption that all gains must be evaluated exclusively in terms of themselves, i.e., on the levels of their intrinsic qualities, and that these gains will always produce a utility directly proportionate to the gain.” Es bedarf daher einer Bewertung des Spiels in Kategorien des erwarteten Nutzens - wie dies bereits als von Neumann-Morgenstern-Funktion eingef¨ uhrt wurde. Anstelle des Erwartungswertkriteriums ( 2.8) ist daher E (u (W (I))) =

I X i=1

p (i) · u (W (i)) =

I X ¡ ¢ 1 · u 2i−1 i 2 i=1

(2.9)

heranzuziehen. Daniel Bernoulli selbst schlug daf¨ ur die folgende logarithmische Nutzenfunktion vor: u (W ) = a · ln (W ) , (2.10) wobei a eine positive Konstante ist.1 Einsetzen von ( 2.10) in ( 2.9) liefert dann E (u (W (I))) =

Die unendliche Reihe

I I I X X X ¡ i−1 ¢ 1 i−1 i−1 · a · ln 2 = a · ln 2 = a · ln 2· i i 2 2 2i i=1 i=1 i=1 I P i=1

i−1 2i

I P

i−1 i I→∞ i=1 2

konvergiert gegen den Wert 1, d.h. lim

(2.11)

= 1. Somit ist

also der Erwartungsnutzen des Spiels bei einer ex ante nicht begrenzten Zahl von W¨ urfen gegeben durch E (u (W (∞))) = a · ln 2. (2.12) 1 F¨ ur alle qualitativen Eigenschaften der Nutzenfunktion ist es unerheblich, auf welche Basis sich die Logarithmus-Operation bezieht – hier wurde der nat¨ urliche Logarithmus verwendet.

¨ DER AKTEURE 2.5. RATIONALITAT

25

Anstelle des Erwartungswerts von Unendlich f¨ uhrt die Bewertung mit der Nutzenfunk¨ tion ( 2.10 auf der vorherigen Seite) zu einer Aquivalenz der Lotterie mit einem sicheren Gewinn in H¨ohe von 2. In Experimenten, in denen Probanden dieses Spiel angeboten wurde, war eine Zahlungsbereitschaft in der Regel zwischen 2 und 3e zu beobachten. Dies legt nahe, dass die logarithmische Nutzenfunktion (2.10) eine offenbar realit¨atsnahe Spezifikation ist. (2.10) weist die f¨ ur das Ergebnis eines endlichen Erwartungsnutzens einer Lotterie mit unendlich hoher erwarteter Auszahlung zentrale Eigenschaft sinkenden Grenznutzens und damit der Risikoaversion auf.

2.5.2

Das Allais-Paradoxon

¨ Das Allais-Paradoxon - bezeichnet nach dem franz¨osischen Okonomen Maurice Allais, der v.a. f¨ ur seine Arbeit aus dem Jahr 1953 sp¨ater den Nobelpreis erhielt - schildert eine Situation, in der beobachtbares Verhalten den Axiomen der Nutzentheorie widerspricht und damit rationales Verhalten der Akteure offensichtlich nicht gegeben ist. Nehmen Sie an, Sie h¨atten die Wahl zwischen folgenden Lotterien, wobei es f¨ ur den Vergleich egal ist, ob diese kostenlos sind, oder ob ein Los jeweils den gleichen Preis hat. Lotterie A

Lotterie B

2500 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% 0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 100% (”degenerierte Lotterie”) Tabelle 2.2: Lotterie A und B, Teil 1

Die Wahl ist nicht ganz offensichtlich, d.h. l¨asst offensichtlich Raum f¨ ur unterschiedliche Risikoeinstellungen. Das Maximin-Kriterium f¨ uhrt nat¨ urlich zu einer Pr¨aferenz von B u ¨ber A, das Erwartungswertkriterium zu der umgekehrten Pr¨aferenz, da (f¨ ur einen Preis des Loses von Null) gilt, dass E (WA ) = 2500 · 0, 33 + 2400 · 0, 66 + 0 · 0, 01 = 2409 > E (WB ) = 2400. Wenn die beiden Lotterien tats¨achlich (in einem Experiment) angeboten werden, so entscheiden sich viele f¨ ur Lotterie B, d.h. die wenn auch kleine Wahrscheinlichkeit (1%), v¨ollig leer auszugehen, wird gerne vermieden, auch wenn man daf¨ ur auf die Chance, 100 e mehr zu gewinnen, verzichten muss. Anders gesagt: Viele Menschen sind hinreichend risikoavers, um Lotterie B der Lotterie A vorzuziehen. Nachdem eine Entscheidung zwischen den Lotterien A und B gefallen ist, gibt es nun eine zweite Wahl zu treffen, n¨amlich zwischen den folgenden Lotterien C und D. Lotterie C Lotterie D

2500 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% 0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 67% 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 34% 0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% Tabelle 2.3: Lotterie C und D, Teil 1

Selbstverst¨andlich sind beide Lotterien schlechter als A und B, beide haben aber einen positiven Erwartungswert.1 Konkret gilt folgendes f¨ ur die erwarteten Auszahlungen der beiden Lotterien: E (WC ) = 2500 · 0, 33 = 825 > E (WD ) = 2400 · 0, 34 = 816. Hier w¨ahlen nun viele Personen, die zuvor Lotterie B gew¨ahlt haben, Lotterie C, d.h. ¨ diejenige mit dem h¨oheren Erwartungswert. Die Uberlegung dahinter mag wie folgt lauten: 1 Das

Maximin-Kriterium f¨ uhrt hier offensichtlich zu einer Indifferenz.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

26

”Am wahrscheinlichsten ist ohnehin, dass ich leer ausgehe. Ob nun die Gewinnchance 33% oder 34% betr¨agt, ist ohnehin fast das gleiche. Also entscheide ich mich f¨ ur den h¨oheren Gewinn, f¨ ur den Fall, dass ich Gl¨ uck habe.” F¨ ur den ”gesunden Menschenverstand” sind beide Entscheidungen ”nicht unplausibel”, jedenfalls begr¨ undbar, und durchaus auch nicht inkonsistent miteinander. Jedenfalls ist nicht offensichtlich, dass diese beiden Entscheidungen mit dem Postulat rationalen Verhaltens inkonsistent sind. Genau dies ist aber gem¨aß den Postulaten der Erwartungsnutzentheorie der Fall. Diese Inkonsistenz soll im Folgenden gezeigt werden. Zu diesem Zweck werden die Lotterien A und B wie folgt dargestellt. Lotterie A

Lotterie B

2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% 2500 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% 0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 34% Tabelle 2.4: Lotterie A und B, Teil 2

Die beiden ersten Zeilen sind jeweils identisch, k¨onnen also bei einem Nutzenvergleich vernachl¨assigt werden. Die zuvor beschriebene Entscheidung zwischen Lotterie A und B muss also darauf beruhen, dass E (u (WA ) − u (WB )) = 0, 33 · u (2500) + 0, 01 · u (0) − 0, 34 · u (2400) < 0 ⇔ 0, 33 · u (2500) + 0, 01 · u (0) < 0, 34 · u (2400) (2.13) Nur wenn diese Beziehung gilt, wird ein rationaler Akteur Lotterie B der Lotterie A vorziehen (B Â A). Analog k¨onnen Lotterien C und D leicht umgeschrieben werden in die folgende Form: Lotterie C

Lotterie B

2500 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 33% 0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% 0 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 34% 2400 e mit einer Wahrscheinlichkeit von 66% Tabelle 2.5: Lotterie C und D, Teil 2

Hier ist die jeweils letzte Linie identisch und kann also bei einem Vergleich weggelassen werden. Eine H¨ohersch¨atzung von Lotterie C relativ zu Lotterie D bedingt also E (u (WC ) − u (WD )) = 0, 33 · u (2500) + 0, 01 · u (0) − 0, 34 · u (2400) > 0 ⇔ 0, 33 · u (2500) + 0, 01 · u (0) > 0, 34 · u (2400) (2.14) Offensichtlich stehen ( 2.13) und ( 2.14) in diametralem Widerspruch zueinander. Anders gesagt: Ein rationales Individuum, der sich bei der Auswahl zwischen A und B f¨ ur B entscheidet, muss sich bei der Wahl zwischen C und D f¨ ur D entscheiden. Die Tatsache, dass dies in Experimenten nicht notwendigerweise so ist, ist ein Verstoß gegen die Pr¨ amisse des Rationalverhaltens. Konkret verst¨oßt dieses Verhalten gegen das Axiom der Reflexivit¨at (vgl. Abschnitt 2.4.1 auf Seite 15): Wird 0, 33 · u(2500) + 0, 01 · u(0) als Gut x1 und 0, 34 · u(2400) als Gut x2 definiert, gilt n¨amlich sowohl x1 ≺ x2 als auch x1 Â x2 , was offensichtlich gegen das Reflexivit¨atsaxiom verst¨oßt. Um dieses Ergebnis in Perspektive zu setzen, sind zwei Dinge von Bedeutung:

¨ DER AKTEURE 2.5. RATIONALITAT

27

• Rationalit¨at ist daran gebunden, dass das Individuum, dessen Entscheidungen betrachtet werden, eine Situation v¨ ollig versteht – bzw. es der M¨ uhe f¨ ur wert erachtet, eine Situation v¨ollig zu verstehen. Die Unterschiede zwischen jeweils zwei Lotterien A und B bzw. C und D sind vielleicht schlicht zu gering – oder die Entscheidung zu kompliziert –, um hier jeweils eine zwar m¨ogliche, aber anstrengende genaue Bewertung vorzunehmen. Es entspricht jedenfalls der Alltagserfahrung, dass Entscheidungen zwischen zwei sehr engen Substituten oft zuf¨allig, d.h. ”ohne genaueres Nachdenken” getroffen werden. Ist dieses Nachdenken anstrengend – und der damit verbundene Aufwand gr¨oßer als die bei nicht zuf¨alliger Entscheidung zu erwartende Nutzengewinn – so ist diese Unsch¨arfe bereits wieder rational. • Der hier unterstellte Rationalit¨atsbegriff postuliert, dass unterschiedliche Entscheidungssituationen mit der jeweils gleichen Pr¨ aferenzordnung entschieden werden. Dies ist zwar letztlich methodisch unumg¨anglich, da man sonst jedes Verhalten als mit Rationalverhalten kompatibel erkl¨aren k¨onnte. Allerdings ist es durchaus denkbar, dass ein und das gleiche Individuum mit relativ geringen Betr¨ agen in einem begrenzten Umfang risikofreudig agiert, w¨ ahrend das Verhalten auf Risikoaversion schließen l¨ asst, wenn es um h¨ ohere Betr¨ age geht. Anders l¨ asst sich beispielsweise nicht erkl¨aren, dass viele Leute mehr oder regelm¨aßig Lotto spielen, was nur mit Risikofreude konsistent ist, eine sogar mehr als faire Lotterie aber ablehnen w¨ urden, wenn dabei im schlechtesten Fall z.B. ihr Eigenheim verloren gehen k¨onnte – also Risikoaversion an den Tag legen.

2.5.3

Beschr¨ ankte Rationalit¨ at

”I have the impression that [. . . ] the attempts to model bounded rationality have yet to find the right track. It is difficult to pinpoint any economic work not based on fully rational microeconomic behaviour that yields results as rich, deep, and interesting as those achieved by standard models assuming full rationality.” (Ariel Rubinstein, 1998, p. 3) Das Allais-Paradoxon ist eines von relativ vielen Beispielen, in denen in experimentellen Situationen (”experimental economics”) Verhalten beobachtet werden konnte, das nicht mit Rationalit¨at in Einklang gebracht werden kann. Von daher ist zun¨achst einmal zu konzedieren, dass Rationalit¨ at eine Arbeitsannahme ist, die keinen Anspruch auf umfassende G¨ ultigkeit f¨ ur alle realen Situationen f¨ ur sich in Anspruch nehmen kann. In diesem Abschnitt gehen wir kurz und eher beispielhaft auf drei Effekte ein, die bei der Modellierung beschr¨ankter Rationalit¨at eine Rolle spielen: Begrenzte und unterschiedliche F¨ ahigkeiten von Spielern, Framing-Effekte und die Tendenz zur Vereinfachung von Entscheidungsproblemen. Kognitive und analytische F¨ ahigkeiten Das vielleicht wichtigste Beispiel f¨ ur eingeschr¨ankte Rationalit¨at ist die unterschiedliche F¨ ahigkeit von Spielern, die in Rede stehenden strategischen Situationen zu durchschauen (analytische F¨ahigkeiten) und die daf¨ ur relevante Information zu erfassen und zu verarbeiten (kognitive F¨ahigkeiten). Es gibt unterschiedlich geschickte Unterh¨andler, obgleich die Regeln einer Verhandlung f¨ ur alle die gleichen sein m¨ogen. Ein noch frappierenderes Beispiel daf¨ ur ist Schach. Dies ist ein spieltheoretisch h¨ochst ”langweiliges” Spiel, weil f¨ ur beide Spieler die gleichen Regeln gelten, und diese Regeln allgemein bekannt und dar¨ uber hinaus noch recht einfach sind. Insoweit haben also alle, denen die wenigen Regeln bekannt sind, ”eigentlich” die gleiche Chance. Es sind unterschiedliche F¨ ahigkeiten im Umgang mit diesen Regeln, die verschiedene Spieler charakterisiert. Dies gilt nicht nur f¨ ur die Unterscheidung guter und schlechter Spieler. Vielmehr sind bei den bereits

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

28

(sehr) guten Spielern unterschiedliche (Spiel-) Charaktere und unterschiedlichen Tagesformen Aspekte, die das Spiel erst wirklich interessant machen. ¨ Man kann aus diesen Uberlegungen folgern, dass es generell w¨ unschenswert w¨are, eine Spieltheorie zu formulieren, die diese Unterschiede zwischen den Spielern zu ber¨ ucksichtigen in der Lage ist. Dies ist zumindest derzeit praktisch nicht der Fall. Allenfalls einige grobe Kategorien wie unterschiedliche Risikoneigungen der Spieler lassen sich gut in die Annahme der unbeschr¨ankt g¨ ultigen Rationalit¨at einpassen. Framing-Effekte Irrationalit¨at bzw. beschr¨ankte Rationalit¨at ist auch insoweit zu beobachten, als empirisch unterschiedlich auf Situationen reagiert wird, die zwar logisch identisch sind, aber in der genauen Formulierung gewisse Unterscheidungen aufweisen. Man spricht in diesem Zusammenhang von sog. framing effects. Das Allais-Paradoxon war ein Beispiel daf¨ ur. Es kommt dabei zu nicht mit der Annahme unbeschr¨ankter Rationalit¨at zu vereinbarenden Ergebnissen, wie das folgende Beispiel zeigt (Tversky/Kahnemann 1986). Wie schon beim AllaisParadoxon m¨ ussen hier Individuen, deren Rationalit¨at hinterfragt wird, zwei mal zwischen jeweils zwei Alternativen entscheiden. Entscheidung 1: Den Probanden wird klar gemacht, dass eine Seuche ohne jede Intervention 600 Tote fordern w¨ urde und sie sich f¨ ur eines (und nur f¨ ur eines) der beiden Programme A und B entscheiden k¨onnen. Diese h¨atten die folgenden Konsequenzen: A 200 von den 600 Menschenleben werden gerettet. B Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 werden alle 600 gerettet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 wird niemand gerettet. Entscheidung 2: Die Durchf¨ uhrung von einem von zwei Programmen C und D ist unabdingbar notwendig und h¨atte die folgenden Auswirkungen; C 400 Personen sterben. D Mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 wird niemand sterben, mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 werden 600 sterben. Der Erwartungswert betr¨agt in allen vier Situationen A, B, C und D 400 Tote und damit ¨ 200 Uberlebende. Damit kommt es nat¨ urlich auf die Bewertung der Unsicherheit (Risiken und Chancen) an, die in den Situationen B und D enthalten ist gegen¨ uber der Sicherheit, die die Situationen A und B auszeichnet. Kurzes Nachdenken sollte verdeutlichen, dass A und C sowie B und D identisch sind. Es sollte also erwartet werden, dass alle, die A gegen¨ uber B pr¨aferieren, auch C gegen¨ uber D pr¨aferieren (und vice versa). Dennoch w¨ahlten in einem Laborexperiment 72% der Probanden in Entscheidung 1 das Programm A aus und 78% in Entscheidung 2 das Programm D – was wiederum einen klaren Verstoß gegen das Rationalit¨atspostulat darstellt. Eine m¨ogliche Interpretation dieser empirischen Beobachtung besteht im Folgenden: Entscheidung 1 ist ”positiv” formuliert, d.h. es wird suggeriert, dass es bei den Programmen um ”gewonnene Menschenleben” geht. Hier entscheiden die Testpersonen offenbar mehrheitlich risikoavers. Im Gegensatz dazu ist Entscheidung 2 negativ formuliert, d.h. es geht um Verluste. In diesem Fall sind die gleichen Testpersonen, die zuvor risikoavers waren pl¨otzlich risikofreudig. Es kommt also bei tats¨achlichen Entscheidungen nicht nur auf die objektiven Charakteristika der Alternativen an, sondern auch auf deren ”Verpackung”. Auch hier w¨are eine entsprechend allgemeine (Spiel-) Theorie, die solche Ph¨anomene ber¨ ucksichtigen kann, w¨ unschenswert. Allerdings ist derzeit eine solche Formulierung nicht in Sicht.

¨ DER AKTEURE 2.5. RATIONALITAT

29

Vereinfachung von Entscheidungssituationen In vielen Entscheidungssituationen werden nicht alle relevanten Alternativen wirklich ernsthaft erwogen, sondern es erfolgt von vorneherein eine Beschr¨ankung auf einige Alternativen, die nach irgendeiner Regel pr¨aselektiert werden. Beispiele daf¨ ur gibt es sehr viele: Man geht in ein bestimmtes Restaurant, und ist damit auf die dort verf¨ ugbare Speisenkarte beschr¨ankt; man schaut sich nur einige wenige ”in Frage kommende” Autos an, bevor man sich zum Kauf entschließt; man schaut sich nur einige wenige Fakult¨aten an, bevor man sich f¨ ur einen bestimmten Studienort entscheidet. Dieses Verhalten kann offensichtlich ebenfalls zu Verletzungen der Rationalit¨atsannahme f¨ uhren. Das folgende Beispiel soll dies illustrieren. Ein (zugegebenermaßen etwas beschr¨anktes oder Beschr¨ankung suchendes) Individuum habe im Prinzip die Wahl zwischen drei Alternativen A, B und C und die Pr¨aferenzordnung B Â A Â C, kann aber nie mehr als zwei Angebote geistig verarbeiten. In einer ersten Entscheidung hat er die Wahl zwischen allen drei Alternativen, wird mit diesen aber in der Reihenfolge ACB konfrontiert. Die beschr¨ankten mentalen F¨ahigkeiten f¨ uhren dazu, dass B erst gar nicht wahrgenommen, die Person entscheidet sich f¨ ur A, weil A Â C. In einer zweiten Entscheidung stehen wirklich nur die Alternativen A und B zur Verf¨ ugung, die – weil es nur zwei sind – beide wahrgenommen werden. Dieses Mal entscheidet sich die Person f¨ ur B, weil B Â A. Die Beschr¨ankung des Entscheidungsraums auf zwei Alternativen f¨ uhrt also zu einer anderen Entscheidung als in der Situation mit einem gr¨oßeren Entscheidungsraum. Dieses Verhalten ist irrational, da die Daumenregel ”Vergleiche nur die ersten beiden Alternativen” eine dem Rationalit¨atspostulat v¨ollig entsprechende Handlungsweise nicht zul¨asst. Nat¨ urlich kann dieses Verhalten v¨ollig rational sein, wenn die Wahrnehmung und der Vergleich der verschiedenen Alternativen hinl¨anglich große Kosten verursacht. Allerdings gibt es in diesem Beispiel keinerlei Nutzen der Beschr¨ankung – was in der Realit¨at anders ist. Es kann beispielsweise durchaus rational sein, sich auf den Vergleich weniger Alternativen zu beschr¨anken, wenn die Evaluation zeitraubend oder schwierig und damit teuer ist. Jede(r) hat wahrscheinlich schon einmal etwas gekauft, das es ”irgendwo” vermutlich billiger gibt. Die Vernachl¨assigung dieser Alternative(n) ist rational, wenn die Suchkosten die erwartete Ersparnis u ¨bersteigen.

Und nun? Die kurze Diskussion zeigt, wie beschr¨ankte Rationalit¨at in der Realit¨at ohne Zweifel eine gewichtige Rolle spielen kann. Allerdings ist der theoretische Umgang mit beschr¨ankt rationalem Verhalten derzeit bestenfalls rudiment¨ar – wie schon die Beispiele zeigen. Zumindest bis heute gibt es daher schlicht keine brauchbare Alternative zum Rationalit¨ atspostulat. Daher wird dieses Postulat eine der zahlreichen Abstraktionen sein, die in den Modellen auch dieser Veranstaltung benutzt werden. Allerdings ist diese Abstraktion auch eine der n¨ utzlichsten in den Wirtschaftswissenschaften. Fast alle Lehrb¨ ucher der Spieltheorie nehmen diese Annahme u ¨brigens als so selbstverst¨andlich hin, dass sie noch nicht einmal thematisiert wird. Bei weiterem Interesse an diesem Gegenstand seien folgende Leseempfehlungen gegeben: Eine recht ausf¨ uhrliche philosophische Diskussion des Rationalit¨atsbegriff im Kontext der Spieltheorie bietet das erste Kapitel in Hargreaves Heap/Varoufakis (1995). Rubinstein (1998), dem auch das Motto dieses Abschnitts entnommen ist, gibt einen durchaus noch ¨ aktuellen Uberblick u ¨ber Vorgehensweise und Probleme der Modellierung beschr¨ankter Rationalit¨at.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

30

2.6

Alternative Darstellungen von Spielen

Nachdem nun anhand einiger Beispiele die Vorgehensweise der Spieltheorie gezeigt und deren nutzentheoretischer Hintergrund er¨ortert wurde, geht es in diesem und dem n¨achsten Abschnitt um Darstellungen 2.6 und L¨osungsmethoden 2.7 von Spielen. Bei den verschiedenen Darstellungsweisen geht es insb. um die genaue Informationsmengen, die u ¨ber ein Spiel zur Verf¨ ugung gestellt werden. Man unterscheidet hierbei • Extensive Form • Normalform • Koalitionsform

2.6.1

Extensive Form

Allgemeine Charakterisierung Die extensive Form liefert die umfassendsten Information u ¨ber ein Spiel und dessen Verlauf. Im Einzelnen geh¨oren dazu Informationen u ¨ber a) die Menge der Spieler, b) die Pr¨aferenzordnungen aller Spieler (h¨aufig nicht explizit, da einfach die Auszahlungen gereiht werden), c) die Reihenfolge aller Spielz¨ uge, d) die Informationsmenge, die jeder Spieler an jedem Punkt des Spiels hat, e) alle M¨oglichkeiten, die jeder Spieler an jedem Punkt des Spiels hat (Strategiemenge), f) die Auszahlungen, die jeder Spieler an allen denkbaren Endknoten erh¨alt. Die Darstellung der extensiven Form erfolgt u ¨blicherweise mit Hilfe eines Spielbaums, der bereits f¨ ur die Darstellung und L¨osung von ”Paradiesspiel” und ”Schatzsuche” eingef¨ uhrt wurde. Generell besteht ein Spielbaum aus Knoten (wobei Anfangs- und Endknoten offen¨ sichtliche Besonderheiten aufweisen), die durch Aste bzw. Kanten miteinander verbunden sind. Jeder Knoten eines Spielbaums ist definiert durch a) die Geschichte des Spiels, d.h. der Weg vom Beginn des Spiels bis zu diesem Knoten (im Anfangsknoten ist diese Informationsmenge leer); b) die Angabe des Spielers, der einen Zug machen kann; ¨ber die dieser Spieler bei der Entscheidung u ¨ber diesen Zug dabei c) die Informationen, u verf¨ ugt; d) die alternativen Aktionen, die diesem Spieler zur Verf¨ ugung stehen. Diese werden durch ¨ die nach rechts weggehenden Aste aus einem Knoten gekennzeichnet. In der grafischen Darstellung geht man dabei u ¨blicherweise von einer endlichen Anzahl von Handlungsalternativen in einem gegebenen Knoten aus (so wie das bspw. bei Schach der Fall ist), was allerdings kein zwingendes Merkmal ist. In einem Modell, das den Wettstreit verschiedener Unternehmen abbildet, kann in einem bestimmten Knoten beispielsweise eine kontinuierlich variierbare Preis- oder Mengenentscheidung gefordert sein;

2.6. ALTERNATIVE DARSTELLUNGEN VON SPIELEN

31

Petra Boxkampf

Ballett

Boxkampf

(2, 1)

(0, 0)

Ballett

(0, 0)

(1, 2)

Peter

Abbildung 2.15: Battle of the sexes Die erste Zahl in den vier Eintr¨agen in der Ergebnismatrix gibt jeweils die Auszahlung f¨ ur Peter, die zweite Zahl die Auszahlung f¨ ur Petra an.

e) die Auszahlungen f¨ ur alle Spieler, wenn es sich um Endknoten handelt; die Merkmale b), c) und d) treffen f¨ ur Endknoten nicht zu. Merkmal c), d.h. die Information, die einem Spieler zur Verf¨ ugung steht wurde in den bisherigen Beispielen nicht explizit ber¨ ucksichtigt, da es sich um Spiele mit vollkommener Information handelte. In einem Spielbaum wird unvollkommene Information dadurch zum Ausdruck gebracht, dass Knoten umrahmt bzw. durch gestrichelte Linien verbunden sind, wenn der Spieler der am Zug ist, nicht weiß, an welchem der Knoten er sich befindet. Damit kann beispielsweise zum Ausdruck gebracht werden, dass f¨ ur den Spieler, der als zweiter zieht, der Zug des ersten Spielers nicht beobachtbar ist. Diese fehlende Information kann, muss aber nicht, zu einer anderen L¨osung des Spiels f¨ uhren. Dieses Merkmal wird anhand eines Beispiels n¨aher erl¨autert. Beispiel: Battle of the sexes Peter und Petra sind befreundet und w¨ urden gerne den Abend miteinander verbringen, haben aber keinerlei M¨oglichkeit, sich vorher zu koordinieren. Gl¨ ucklicherweise gibt es in der Stadt nur zwei Veranstaltungen, die in Frage kommen: Einen Boxkampf und einen Ballettabend. Peter w¨ urde am liebsten zum Boxkampf gehen, Petra zum Ballett.1 Beide w¨aren aber sehr ungl¨ ucklich und jeweils am schlechtesten dran, wenn sie sich verpassen w¨ urden – es w¨are dann sogar beiden egal, in welcher Veranstaltung sie alleine sein m¨ ussen. Abbildung 2.15 zeigt die Auszahlungen bei allen vier denkbaren Konstellationen. Die extensive Form dieses Spiels kann auf zwei ¨aquivalente Arten dargestellt werden, die in Abbildung 2.16 auf der n¨achsten Seite zu sehen sind. Die gestrichelten Ellipsen um die jeweils zwei Knoten sind jeweils so zu lesen, dass die Person, die hier zu entscheiden hat (Petra in Teil (a) und Peter in Teil (b)), nicht weiß, an welchem Knoten sie sich befindet, sondern dar¨ uber allenfalls eine subjektive Wahrscheinlichkeitsvorstellung hat. Daher kann in diesem Spiel ”alles passieren” – auch wenn die beiden Gleichgewichte mit den Auszahlungen (0, 0) eindeutig inferior sind. W¨ are die Information f¨ ur den Spieler, der als zweiten zieht, vorhanden, so ¨andern sich folgende Merkmal von ”battle of sexes”: • Zum einen h¨atten die beiden Spielb¨aume in Abbildung 2.16 auf der n¨achsten Seite eine jeweils eindeutige L¨osung. 1 Es gibt nat¨ urlich Varianten des Spiels, die etwas weniger tradierte Vorstellungen von geschlechterspezifischen Pr¨ aferenzunterschieden unterstellen (”Bach oder Strawinsky”). Die hier vorgestellte Variante ist die Originalgeschichte von Luce/Raiffa 1957.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

32

Peter

Petra

Petra

k. Box

(2,1)

Ballett

(0,0) (0,0)

k. Box Ba lle t t

. Boxk

Ballett (a)

(1,2)

Peter k. Box

(2,1)

k. Box

Ballett

Ba lle

. Boxk

(0,0) (0,0)

tt

Ballett

(1,2)

(b)

Abbildung 2.16: Die extensive Form der battle of sexes.

• Zum anderen macht es bei vollkommener Information einen Unterschied, wer zuerst zieht. Zieht Peter zuerst, w¨are die eindeutige L¨osung {Boxkampf, Boxkampf}, zieht Petra zuerst, so ist es {Ballett, Ballett}. Peter bzw. Petra h¨atten dann jeweils einen first mover advantage, der zu der von dem first mover pr¨aferierten L¨osung f¨ uhrt. Petra (Peter) k¨onnte das zu erzwingen versuchen, indem (sie) er am Vorabend (nat¨ urlich glaubw¨ urdig) ank¨ undigt, bereits zwei Karten f¨ ur den Ballettabend (Boxkampf) zu haben– aber das w¨are dann ein anderes Spiel.

2.6.2

Normalform

In der Normalform eines Spiels werden bestimmte Informationen unterdr¨ uckt, d.h. es findet gegen¨ uber der extensiven Form eine Informationsreduktion statt. Daraus folgt sofort, dass ein Spiel in extensiver Form eine eindeutige Normalform, ein Spiel in Normalform aber keine eindeutige extensive Form aufweist. Konkret beinhaltet die Normalform die folgenden Informationen: a) die Menge der Spieler, b) die Pr¨aferenzordnungen aller Spieler (wiederum h¨aufig nicht explizit, da einfach die Auszahlungen gereiht werden), c) alle Aktionsm¨oglichkeiten, die jeder Spieler hat (Strategiemenge), d) die Auszahlungen, die jeder Spieler an allen denkbaren Endknoten erh¨alt. Es fehlen also die Angaben u ¨ber die Informationen, die die Spieler bei ihren Z¨ ugen haben sowie ggf. u ¨ber die Reihenfolge der Z¨ uge. Daher sind in der Auszahlungsmatrix in Abbildung 2.15 auf der vorherigen Seite alle Angaben der Normalform von ”battle of sexes” enthalten. Wenn das Spiel wirklich simultan gespielt wird, gehen in der Normalform auch eine Informationen verloren: Es gibt in diesem Fall keine Reihenfolge der Z¨ uge und die Spieler haben jeweils keine Information u ¨ber das Verhalten der oder des Anderen.

2.6.3

Koalitionsspiele

Mit Koalitionsspielen werden wir uns erst an sp¨aterer Stelle (Kapitel 8) befassen. Da in der Literatur neben extensiver Form und Normalform zumeist gleich die Koalitionsform als dritte Art der Darstellung eines Spiels eingef¨ uhrt wird, wird diese hier ebenfalls kurz erl¨autert. Wie der Begriff bereits nahe legt, ist die Koalitionsform insbesondere geeignet, kooperative Spiele darzustellen. Die Koalitionsform beinhaltet daher Angaben u ¨ber a) die Spieler sowie

2.6. ALTERNATIVE DARSTELLUNGEN VON SPIELEN

33

Abbildung 2.17: Normalform von Gemeinsame Schatzsuche

Abbildung 2.18: Koalitionsform von Gemeinsame Schatzsuche.

b) die maximalen Auszahlungen, die jede denkbare Koalition von Spielern f¨ ur sich garantieren kann. Als Beispiel kann hier das denkbar einfachste 2-Personen Spiel dienen, das als Parabel f¨ ur eine Verhandlung verstanden werden kann: ”Gemeinsame Schatzsuche”.1 Dieses Spiel funktioniert genau wie in Abschnitt 2.2.4 auf Seite 10 beschrieben mit dem Unterschied, dass nun 2 Personen den Weg finden m¨ ussen und sie dann gemeinsam die Auszahlung W vorfinden, die sie dann unter sich aufteilen k¨onnen. Der einzig richtige Weg durch das Labyrinth war {links, rechts}. Abbildung 2.17 zeigt die Normalform des Spiels, wobei hier zun¨achst einfach angenommen wird, dass der Gewinn h¨alftig aufgeteilt wird. Beide Spieler k¨onnen also auf sich allein gestellt, keine positive Auszahlung gew¨ahrleisten. Wenn aber beide – und das ist dann eine Koalition – den richtigen Weg zur¨ ucklegen, k¨onnen sie zusammen die Auszahlung W sicherstellen. In diesem einfachen Spiel kann die Koalitionsform in einer einfachen Grafik zusammengefasst werden, was in Abbildung 2.18 geschieht. Hier wird klar, dass effizienterweise jeder Punkt auf der Linie zwischen (0, W ) und (W, 0) realisiert werden kann. Der schraffierte Bereich unterhalb dieser Linie entspricht nicht-effizienten Aufteilungen.

1 Das

Beispiel ist angelehnt an Gardner (1995), ch. 1.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

34

2.7

L¨ osungskonzepte

Die L¨osung der bisherigen Spiele erfolgte mehr oder weniger entlang von Plausibilit¨ats¨ uberlegungen, die gerade auf die jeweilige Situation passten. In diesem Abschnitt werden L¨osungskonzepte von Spielen etwas genauer betrachtet. Diese L¨osungskonzepte sollen dazu dienen, vorhersagen zu k¨onnen, welche Strategien die Spieler in einer bestimmten Situation w¨ahlen werden. Ein h¨aufig gebrauchter Begriff in diesem Zusammenhang ist derjenige des Gleichgewichts eines Spiels. Es ist n¨ utzlich, diesen Begriff zu definieren: Definition: Ein Gleichgewicht eines Spiels ist eine Strategienkombination, die f¨ ur alle I Spieler die jeweils beste Strategie darstellt. Diese werden notiert als s∗ = {s∗1 , s∗2 , . . . , s∗I }. Mit dieser Definition ist allerdings weder gesagt, dass ein Gleichgewicht existiert, noch dass dieses – wenn es denn existiert – eindeutig ist. Es leuchtet beispielsweise auch ohne genauere formale Analyse ein, dass bei ”battle of the sexes” gleich zwei Strategiekombinationen, n¨amlich s∗A = {Boxkampf,Boxkampf} und s∗B = {Ballett,Ballett}, ein Gleichgewicht darstellen. Ein L¨osungskonzept ist nun einfach eine Regel, die aus allen m¨ oglichen Strategiekombinationen, die sich aus den Strategiemengen der I Spieler ergeben, das gerade definierte Gleichgewicht herausfindet. In Abh¨angigkeit von der genauen Situation sind mehr oder weniger sophistizierte Regeln notwendig, um ein Gleichgewicht identifizieren zu k¨onnen. Im ersten Unterabschnitt 2.7.1 befassen wir uns mit dem einfachsten Konzept, der Elimination dominierter Strategien. Danach wird in 2.7.2 mit Zermelo’s Theorem die Charakterisierung der L¨osung des Schachspiels gegeben. Es ist zwar – wenig u ¨berraschend, da Schach nach wie vor als interessantes Spiel gilt – nicht m¨oglich, gleichgewichtige Strategien zu formulieren, dennoch l¨asst sich u ¨ber die Eigenschaften des Spiels etwas ableiten. Im Anschluss daran wird das wohl wichtigste Konzept der Spieltheorie u ¨berhaupt eingef¨ uhrt, das Nash-Gleichgewicht. Unterschiedliche Formen dieses Gleichgewichtskonzepts sind entscheidend f¨ ur das Auffinden von L¨osungen f¨ ur Spiele, die keine dominanten Strategien aufweisen. W¨ahrend in 2.7.3 dieses Konzept in einem Rahmen eingef¨ uhrt wird, der die Ermittlung einer L¨osung in einer reinen Strategie zul¨asst, wird in 2.7.4 die Idee eines Nash-Gleichgewichts in gemischten Strategien erl¨autert.

2.7.1

Elimination dominierter Strategien

Es gibt Situationen – auch wenn diese nicht sehr h¨aufig sein m¨ogen – in denen eine bestimmte Verhaltensweise eindeutig schlechter oder eindeutig besser ist als alle anderen Optionen, egal was die anderen Mitspieler tun. In diesem Fall ist das L¨osungskonzept denkbar einfach: Man w¨ahlt die Strategie, die unter allen Umst¨anden eindeutig die beste ist (dominante Strategie) bzw. verwirft die Strategien, die unter allen Umst¨anden schlechter sind als realisierbare Alternativen (dominierte Strategien). Diese Idee wird in den beiden folgenden Definitionen pr¨azisiert. F¨ ur einen Spieler i ∈ I ist eine Strategie s∗i eine strikt dominante Strategie, wenn gilt, dass ui (s∗i , s−i ) > ui (s0i , s−i ) ∀ s−i , ∀ s0i 6= s∗i s0i

(2.15)

s∗i

Alle 6= heißen dann strikt dominierte Strategien. Lesehilfe f¨ ur Gleichung (2.15): ui (·) bezeichnet die Nutzenbewertung der Auszahlungen der Strategiekombinationen, die in der Klammer stehen, s−i bezeichnet eine beliebige Strategienkombination aller anderen Spieler (”nicht von i”), ∀ s−i heißt, dass die Ungleichung ”f¨ ur alle” Strategiekombinationen der anderen Spieler gelten muss. s0i 6= s∗i bezeichnet eine beliebige Strategie des Spielers i, die nicht strikt dominiert ist. V¨ollig analog kann eine schwach dominante Strategie definiert werden. F¨ ur einen Spieler i ∈ I ist eine Strategie s∗i eine schwach dominante Strategie, wenn gilt, dass ui (s∗i , s−i ) ≥ ui (s0i , s−i ) ∀ s−i , ∀ s0i 6= s∗i

(2.16)

¨ 2.7. LOSUNGSKONZEPTE

35

Abbildung 2.19: Seeschlacht Das Spiel ist ein Nullsummenspiel, die Situation bedingt, dass Kenney nur gewinnen und Imamura nur verlieren konnte, wenngleich unterschiedlich viel.

Alle s0i 6= s∗i heißen dann schwach dominierte Strategien. Man spricht von einem Gleichgewicht in (strikt oder schwach) dominanten Strategien, wenn f¨ ur alle Spieler (strikt oder schwach) dominante Strategien gefunden werden k¨onnen. Dieses L¨osungskonzept kann auf ein Spiel auch wiederholt angewendet werden. Es ist beispielsweise denkbar, dass es f¨ ur einen Spieler keinerlei dominante bzw. dominierte Strategien gibt, f¨ ur einen anderen aber durchaus. Dann kann man dessen dominierte Strategien eliminieren und ein ”neues” Spiel betrachten, das nur noch aus den nicht eliminierten Optionen besteht. Man spricht dabei von der Ermittlung eines Gleichgewichts in dominanten Strategien mittels Iteration. Ein Beispiel aus dem milit¨arischen Bereich ist geeignet, dieses L¨osungskonzept zu verdeutlichen. Seeschlacht Folgende ”Geschichte” umschreibt die Situation. Im zweiten Weltkrieg hatte der japanische General Imamura den Auftrag, Truppen per Schiff nach Neuguinea zu transportieren. Dabei hatte er die Wahl zwischen zwei verschiedenen Routen, einer k¨ urzeren ”Nord”-Route und einer etwas l¨angeren ”S¨ udroute”. Der amerikanische General Kenney hatte den Auftrag, diesen Transport aus der Luft anzugreifen und m¨oglichst stark zu dezimieren. Kenney wusste um die beiden alternativen Routen, hatte aber keine M¨oglichkeit, genau zu wissen, welche Imamura w¨ahlen w¨ urde. Kenney hatte aber die Option, die Flugzeuge loszuschicken und wieder zur¨ uckzurufen f¨ ur den Fall, dass sie die Flotte der Japaner verfehlten. In diesem Fall w¨ urde aber Zeit verloren gehen, die man auf den eigentlichen Angriff h¨atte verwenden k¨onnen. Da die Verluste der Japaner gleichzeitig auch ”Gewinne” der Amerikaner sind, kann die Situation als Nullsummenspiel dargestellt werden, das die in Abbildung 2.19 gezeigte Normalform aufweist. Kenney hat offensichtlich keine dominante Strategie. Er w¨ urde seine Flugzeuge optimalerweise sofort dahin schicken wollen, wo sich Imamura mit seinen Schiffen befindet. Wenn Imamura w¨ usste, dass Kenney nach S¨ uden fliegen l¨asst, w¨ urde er die Nordroute w¨ahlen, wenn er aber w¨ usste, dass Kenney seine Flugzeuge zur Nordroute schickt, w¨are er indifferent zwischen den beiden ihm zur Verf¨ ugung stehenden Optionen. Imamura hat also eine schwach dominante bzw. schwach dominierte Strategie: Entscheidet er sich f¨ ur Nordroute, so kann sein Verlust im schlechtesten Fall {Nord, Nord} genau so hoch sein, wie im besten Fall bei einer Entscheidung f¨ ur die S¨ udroute. Also ist ”S¨ ud” f¨ ur Imamura eine schwach dominierte Strategie und kann eliminiert werden. Damit bleibt nur noch die erste Spalte der Matrix in Abbildung 2.19 u ¨brig. Hier hat aber Kenney eine (sogar strikt) dominante Strategie, n¨amlich Nord. Also kann die untere Zeile eliminiert werden. Damit ist {Nord, Nord} ein Gleichgewicht in dominanten Strategien, das mit dem L¨osungs-

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

36

konzept der iterierten Elimination (schwach oder strikt) dominierter Strategien ermittelt wurde. Diese Konstellation wurde dann auch in der Tat von den beiden Gener¨alen realisiert. In gleicher Weise kann auch die L¨osung von ”Paradiesspiel” aus der Auszahlungsmatrix in Abbildung 2.3 auf Seite 9 per iterierter Elimination dominierter Strategien ermittelt werden.

2.7.2

Zermelo’s Theorem

Eines der historisch ersten noch vor dem ersten Weltkrieg entwickelten spieltheoretischen Ergebnisse bezieht sich auf Schach. Dieses Spiel ist insofern ”einfach” als die Spielregeln leicht zu formulieren sind und alle Spieler an jedem Entscheidungsknoten vollkommene Information sowohl u ¨ber die Geschichte des Spiels haben als auch u ¨ber ihre jeweiligen Handlungsoptionen. Wenn man ein hinreichend großes Papier (und Geduld) h¨atte, w¨are es prinzipiell m¨oglich, f¨ ur Schach einen vollst¨ andigen Spielbaum aufzuzeichnen.1 Aufgrund dieser prinzipiellen M¨oglichkeit l¨asst sich sagen, dass Schach ein endliches Spiel ist. An den Endknoten steht immer ein von drei Auszahlungsvektoren, da entweder einer der beiden Spieler gewinnt (und der andere dann verliert) oder ein Remis erzielt wird. Diese Auszahlungsvektoren f¨ ur die Spieler 1 und 2 seien – mit offensichtlicher Bedeutung – wie folgt benannt: (g, v), (r, r), (v, g). Damit sind die wichtigsten Elemente f¨ ur den Beweis des folgenden Theorems genannt: Zermelo’s Theorem: F¨ ur Schach gilt, dass entweder a) Weiß den Gewinn des Spiels sicherstellen kann, oder b) Schwarz den Gewinn des Spiels sicherstellen kann, oder c) beide Spieler ein Remis sicherstellen k¨ onnen. Zu beachten ist jeweils das Wort ”sicherstellen”. Es geht also nicht um die nat¨ urlich v¨ollig triviale Behauptung, dass beim Schach irgendeiner gewinnt oder aber ein Remis herauskommt. Mit diesem Ergebnis l¨asst sich kein Schachspiel gewinnen, es bedeutet aber, dass f¨ ur Schach im Prinzip ein Strategienpaar formuliert werden k¨onnte, welches das Spiel deterministisch macht und nur eine der drei genannten M¨oglichkeiten zul¨asst. Der Beweis von Zermelo’s Theorem ist instruktiv und soll daher skizziert werden.2 Zun¨achst wird das Theorem nicht f¨ ur Schach bewiesen, sondern f¨ ur ein ”neues” Spiel, das eine endliche Anzahl t von Z¨ ugen hat. Nennen wir es t-Schach. Wenn Zermelo’s Theorem f¨ ur ein beliebiges t-Schach bewiesen werden kann, so gilt es auch f¨ ur Schach. Der Grund daf¨ ur besteht darin, dass Schach wie t-Schach ein endliches Spiel ist. Untersuchen wir also gleich den letzten, d.h. den t-ten Zug von t-Schach. Unabh¨angig davon, wer am Zug ist – nennen wir ihn Spieler 1 – muss nun gelten, dass • entweder Spieler 1 einen Sieg erzwingen kann, • oder Spieler 2 gewinnt, egal wie Spieler 1 zieht, • oder Spieler 1 ein Remis erzwingen kann. Schauen wir nun auf ein Spiel mit einem Zug weniger, also auf t − 1-Schach, in dem Spieler 2 den letzten Zug hat. Hier gibt es wieder drei M¨oglichkeiten: • entweder Spieler 2 kann den Sieg erzwingen, • oder Spieler 1 gewinnt, egal wie Spieler 2 zieht, • oder Spieler 2 ein Remis erzwingen kann. 1 Da zu Beginn des Spiels prinzipiell 20 Z¨ uge m¨ oglich sind, sind beim dritten Zug (das ist der zweite Zug von Weiß) bereits 400 verschiedene Knoten zu ber¨ ucksichtigen. 2 Die

Beweisf¨ uhrung ist angelehnt an Eichberger (1993), p. 11.

¨ 2.7. LOSUNGSKONZEPTE

37

Im dritten Fall wird das Ergebnis bzgl. t-Schach relevant. Diesen Gedanken kann man nun beliebig nach hinten fortsetzen. Da es nicht notwendig war, t in irgendeiner Weise zu beschr¨anken, ist damit auch Zermelos’s Theorem f¨ ur Schach bewiesen. Das Theorem zeigt zweierlei: • F¨ ur Schach kann prinzipiell eine gleichgewichtige Strategienkombination ausgerechnet werden, auch wenn dies selbst mit den derzeitigen Rechenkapazit¨aten nicht m¨oglich ist. Auch der beste Schachcomputer ist nicht in der Lage, alle m¨oglichen Strategiekombinationen zu ber¨ ucksichtigen – auch wenn dies generell denkbar ist.1 • Auch wenn man das Gleichgewicht (d.h. die L¨osung) eines Spiels nicht explizit benennen kann, ist es m¨oglich, Aussagen u ¨ ber dieses Gleichgewicht zu treffen.

2.7.3

Nash-Gleichgewicht und Fokus-Punkte

In ¨okonomischen (und auch anderen) Situationen ist die Existenz einer dominanten Strategie eher die Ausnahme als die Regel. Z.B. in ”battle of the sexes” haben weder Petra noch Peter eine dominante bzw. dominierte Strategie, in einem Oligopol kommt es ebenfalls immer darauf an, was die Konkurrenz macht. Die Liste ließe sich beliebig verl¨ angern. Dennoch kann auch f¨ ur sehr viele Spiele ohne Gleichgewicht in dominanten Strategien eine plausible L¨osung angegeben werden, die auf dem L¨osungskonzept des sog. NashGleichgewichts beruht. Dieses Konzept wurde entwickelt von und ist benannt nach dem Nobelpreistr¨ager John Nash (1950a) – einer der wichtigsten Figuren der Spieltheorie u ¨berhaupt. Ein Nash-Gleichgewicht kann wie folgt charakterisiert werden: Eine Strategienkombination s∗ = {s∗1 , s∗2 , . . . , s∗I } heißt Nash-gleichgewichtig, wenn keiner der I Spieler sich durch eine Abweichung von s∗i besser stellen kann, solange die anderen Spieler bei s∗−i bleiben. Formal l¨asst sich dies wie folgt ausdr¨ ucken: ¢ ¢ ¡ ¡ (2.17) ∀ i gilt, dass ui s∗i , s∗−i ≥ ui s0i , s∗−i ∀s0i Ein Vergleich mit dem L¨osungskonzept dominanter Strategien macht klar, dass das NashGleichgewicht ein weniger anspruchsvolles Gleichgewichtskonzept ist in dem Sinn, dass ein Spiel kein Gleichgewicht in dominanten Strategien haben kann, es aber dennoch ein NashGleichgewicht (oder auch mehrere) aufweist. Der Grund daf¨ ur liegt darin, dass eine Strategie nur dann dominant ist, wenn sie unabh¨ angig von der Strategiewahl der/des Mitspieler(s) optimal ist. Im Gegensatz dazu erfordert ein Nash-Gleichgewicht diese Optimalit¨at einer Strategie nur bez¨ uglich der Strategien der Mitspieler, die auch f¨ ur diese optimal sind. Daraus folgt, dass jedes Gleichgewicht in dominanten Strategien auch ein NashGleichgewicht ist. Mit anderen Worten: Die Menge aller Spiele mit einem Gleichgewicht in dominanten Strategien ist eine echte Teilmenge der Spiele mit einem Nash-Gleichgewicht. Zur Illustration greifen wir zun¨achst noch einmal auf ”Seeschlacht” zur¨ uck und gehen alle denkbaren Kombinationen durch. • Wenn Imamura ”Nord” w¨ahlt, antwortet Kenney mit ”Nord”. • Wenn Imamura ”S¨ ud w¨ahlt”, antwortet Kenney mit ”S¨ ud”. 1 Daher ist die F¨ ahigkeit von Computern, Schach zu spielen, ein denkbar schlechtes Beispiel f¨ ur die Behauptung, dass Computer ”intelligent” in einem vern¨ unftigen Sinn des Worts sein k¨ onnen. ”Intelligenz” hat etwas mit einer flexiblen Beurteilung von und Reaktion auf eine Situation zu tun, die generell nicht vollst¨ andig vorhersehbar sein muss. Schach ist ein im Prinzip vollst¨ andig vorhersehbares Spiel. Daher ist es durchaus vorstellbar, dasss eine Tages ein Computer herausfindet, welche der drei Alternativen des ZermeloTheorems zwingend ist.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

38

• Wenn Kenney ”Nord” w¨ahlt, ist Imamura indifferent zwischen ”Nord” und ”S¨ ud”. • Wenn Kenney ”S¨ ud” w¨ahlt, antwortet Imamura mit ”Nord”. Daher ist {Nord, Nord} ein Nash-Gleichgewicht. In diesem Beispiel ist es sogar das einzige Nash-Gleichgewicht. Anders verh¨alt sich die Situation in ”battle of the sexes”. • Wenn Peter ”Boxkampf” w¨ahlt, antwortet Petra mit ”Boxkampf”. • Wenn Peter ”Ballett” w¨ahlt, antwortet Petra mit ”Ballett”. • Wenn Petra ”Boxkampf” w¨ahlt, antwortet Peter mit ”Boxkampf”. • Wenn Petra ”Ballett” w¨ahlt, antwortet Peter mit ”Ballett”. Also sind in diesem Beispiel sowohl {Boxkampf, Boxkampf} als auch {Ballett, Ballett} NashGleichgewichte. Das hilft Petra und Peter nat¨ urlich nicht weiter, denn sie wissen nun nach wie vor nicht, wie sie sich verhalten sollen. Ohne weitere Strukturierung der Situation kann die Spieltheorie den beiden auch nicht helfen, allerdings gibt es f¨ ur die Auswahl zwischen jeweils gleich plausiblen Nash-Gleichgewichten ein weiteres, wenn auch sehr unscharfes Konzept, den sog. Fokus-Punkt. Dies ist ein Nash-Gleichgewicht, auf das sich aufgrund psychologischer oder anderer Faktoren die Erwartungen konzentrieren. Zur Illustration soll u ¨ber die missliche Situation von Petra und Peter weiter spekuliert werden: Angenommen, beide wissen, dass der Boxkampf ein wirklich großes Ereignis ist, zu dem einige Tausend Zuschauer kommen, bei dem es einigermaßen laut und schummerig ist, mit anderen Worten: bei dem man sich leicht verfehlen kann. Ganz anders beim Ballett: Schon vor Beginn ist im Grunde klar, dass jeder zur Garderobe kommt und sp¨atestens in der Pause trifft man sich an der hell erleuchteten Champagnerbar. Unter diesen Umst¨anden sollte klar sein, dass unter den beiden NashGleichgewichten {Ballett, Ballett} das ”plausiblere” ist und sich somit als Fokus-Punkt anbietet. Es braucht allerdings schon eine gewisse Kenntnis der Spieler voneinander und hinsichtlich der Situation: Wie viel weiß Peter u ¨ber die Sitten und Gebr¨auche beim Ballett und was weiß Petra u ¨ber Peters Wissen?

2.7.4

Gemischte Strategien

Auch in relativ einfachen Spielsituationen kann es vorkommen, dass es kein Nash-Gleichgewicht, wie es in Abschnitt 2.7.3 definiert wurde, gibt. Allerdings war dort das Nash-Gleichgewichtskonzept so formuliert, dass im Gleichgewicht eine bestimmte Strategie gespielt werden musste. Nun ist es denkbar, dass eine solche L¨osung nicht existiert, aber dennoch eine plausible L¨osung gefunden werden kann, in der Spieler eine wahrscheinlichkeitsgewichtete Kombination der zur Verf¨ ugung stehenden Strategien w¨ahlen. Man spricht dann davon, dass die Spieler eine gemischte Strategie verfolgen und dass von der M¨oglichkeit, das zwar kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien vorliegt, hingegen eines in gemischten Strategien. Auch hier sei wieder ein Beispiel f¨ ur die Illustration des Konzepts herangezogen, n¨amlich das Dilemma des Samariters.1 Dieses Spiel illustriert – wenn auch sehr holzschnittartig - ein grundlegendes Problem der Sozialpolitik, die ”den Armen” gerne helfen m¨ochte. Nehmen wir folgende – nicht unrealistische – Konstellation an: Der Staat m¨ochte gerne einem Armen helfen, aber nur, wenn der auch bereit ist, zu arbeiten. Arbeitet der Arme (zu einem niedrigen Lohn bzw. in einem gemeinn¨ utzigen Projekt), will der Staat dennoch helfen, um ein nicht weiter zu begr¨ undendes Gerechtigkeitsziel zu verfolgen. Der Arme m¨ochte sich durchaus gerne helfen lassen, zieht es in dem Fall aber vor, gar nicht zu arbeiten. Eine denkbare Auszahlungsmatrix f¨ ur dieses Spiel ist in Abbildung 2.20 auf der n¨achsten Seite

¨ 2.7. LOSUNGSKONZEPTE

39

Abbildung 2.20: Das Dilemma des Samariters Die erste Zahl gibt jeweils die Auszahlung f¨ ur den Staat, die zweite f¨ ur den Armen an.

zu sehen. Zun¨achst u ¨berzeugen wir uns davon, dass es hier kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gibt: • Spielt der Staat ”helfen”, antwortet der Arme mit ”nicht arbeiten”. • Spielt der Arme ”nicht arbeiten”, antwortet der Staat mit ”nicht helfen”. • Spielt der Staat ”nicht helfen”, antwortet der Arme mit ”arbeiten”. • Spielt der Arme ”arbeiten”, antwortet der Staat mit ”helfen”. Es gibt also kein Strategienpaar, das die in Abschnitt 2.7.3 formulierten Anforderungen an ein Nash-Gleichgewicht erf¨ ullt. Dennoch k¨onnen wir etwas zu den gew¨ahlten Strategien der beiden Spieler sagen, wenn zugelassen wird, dass der Arme mit einer Wahrscheinlichkeit 0 < pa < 1 die Option ”arbeiten” und der Staat mit einer Wahrscheinlichkeit 0 < ph < 1 die Option ”helfen” w¨ahlen k¨onnen. ”Nicht arbeiten” und ”nicht helfen” werden dann einfach mit den jeweiligen Gegenwahrscheinlichkeiten gew¨ahlt. In diesem Fall ist die erwartete Auszahlung des Staates E (WS ) wie folgt gegeben: E (WS ) = ph ·[pa · 3 + (1 − pa ) · (−1)]+(1 − ph )·[pa · (−1) + (1 − pa ) · 0] = ph (5pa − 1)−pa (2.18) Die erste Zeile folgt sofort, wenn man die mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten gewichteten Auszahlungen f¨ ur den Staat in den vier m¨oglichen Zust¨anden aufschreibt, die zweite Zeile folgt nach sehr einfachen Zusammenfassungen. Die Regierung kann nun versuchen, ihre erwartete Auszahlung zu maximieren, d.h. sie optimiert E (WS ) u ¨ber die Wahrscheinlichkeit, Hilfe zu leisten, d.h. u ¨ber ph . Dies f¨ uhrt zu ∂E (WS ) = 5pa − 1 = 0 ⇔ pa = 0, 2 (2.19) ∂ph Die in 2.19 gefundene L¨osung ist insoweit ”merkw¨ urdig” als die Zielfunktion der Regierung E (WS ) u ¨ber deren Handlungsvariable ph optimiert wird, dann aber eine L¨osung f¨ ur die Handlungsvariable des Gegenspielers, d.h. des Armen pa herauskommt. Dies ist wie folgt zu verstehen: • Es wird zun¨achst einmal postuliert, dass es ein noch zu identifizierendes Gleichgewicht in gemischten Strategien gibt. Dieses Postulat erlaubt es zun¨achst einmal, u ¨berhaupt Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die eine oder andere Strategiewahl einzuf¨ uhren und dar¨ uber zu optimieren. 1 Die Bezeichnung geht auf James Buchanan zur¨ uck. Die Darstellung hier ist angelehnt an Rasmusen (2001), p. 67-68.

¨ KAPITEL 2. EINFUHRUNG: ELEMENTE DER SPIELTHEORIE

40 ∂E(WS ) ∂ph ∂E(WS ) < 0, ∂ph

• Aus

= 5pa − 1 wird folgende Fallunterscheidung deutlich: F¨ ur pa < 0, 2 ist

d.h. die Regierung stellt sich am besten, wenn sie dem Armen nie hilft, d.h. den niedrigstm¨oglichen Wert ph = 0 w¨ahlt. V¨ollig analog ist f¨ ur pa > 0, 2 die S) Ableitung der Zielfunktion nach der Handlungsvariablen ∂E(W > 0. In diesem Fall ∂ph wird also die Regierung immer den h¨ochstm¨oglichen Wert ph = 1 w¨ahlen. • Beide F¨alle sind offensichtlich nicht Teil eines Gleichgewichts in gemischten Strategien. Anders gesagt: Die Regierung wird dann und nur dann eine gemischte Strategie spielen, wenn der Arme pa = 0, 2 w¨ahlt. • Damit gibt (2.19) nicht an, welches das optimale Verhalten des optimierenden Agenten (hier: der Regierung) ist, wie dies u ¨blicherweise bei einem Optimierungskalk¨ ul der Fall ist. Vielmehr zeigt (2.19), unter welcher Bedingung f¨ ur das Verhalten des anderen Spielers eine gemischte Strategie f¨ ur die Regierung u ¨berhaupt in Betracht kommt. V¨ollig analog l¨asst sich die erwartete Auszahlung des Armen schreiben als E (WA ) = ph (pa · 2 + (1 − pa ) · 3) + (1 − ph ) (pa · 1 + (1 − pa ) · 0) = ph (−2pa + 3) + pa (2.20) Eine Optimierung dieser Auszahlung u ¨ber pa liefert die folgende Bedingung erster Ordnung, die wie schon bei 2.19 ausf¨ uhrlich erl¨autert eine Bedingung daf¨ ur ist, dass der Arme eine gemischte Strategie spielt: ∂E (WA ) = −2ph + 1 = 0 ⇔ ph = 0, 5 ∂pa

(2.21)

Auch hier sei die Logik der Optimalbedingung genauer erl¨autert: F¨ ur ph > 0, 5 - wenn A) < 0. Unter diesen also der Staat mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit hilft - ist ∂E(W ∂pa Umst¨anden wird der Arme sicher nicht arbeiten, d.h. seine optimale Wahl besteht in pa = 0. Hilft der Staat mit einer Wahrscheinlichkeit von weniger als 0,5 wird der Arme hingegen in jedem Fall arbeiten. ph = 0, 5 ist der einzige Wert, bei dem der Arme eine gemischte Strategie in Erw¨agung zieht, weil er letztlich indifferent zwischen den beiden Optionen ist. Damit ist das Strategienpaar {”helfen” mit Wahrscheinlichkeit 0,5, ”arbeiten” mit Wahrscheinlichkeit 0,2} ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien. Man beachte, dass die Idee der wechselseitig optimalen Strategiewahl in der Definition aus Abschnitt 2.7.3 auf Seite 37 v¨ollig erhalten bleibt.

Kapitel 3

Nichtkooperative Spiele I: Statische Spiele mit ansonsten vollkommener Information 3.1

Lernziele

¨ Kapitel 2 versuchte einen Uberblick u ¨ber die wichtigsten Elemente und Konzepte in der Spieltheorie zu geben. Die folgenden drei Kapitel befassen sich nun detaillierter mit verschiedenen nichtkooperativen Spielsituationen. Eine Klassifikation kann dabei aufgrund aller in Abschnitt 2.3 genannten Charakteristika vorgenommen werden. Besonders hilfreich ist dabei jedoch zun¨achst die Trennung zwischen statischen und dynamischen Spielen, d.h. zwischen Spielen, in denen die beteiligten Spieler ihre Entscheidungen simultan f¨allen und solchen, in denen es eine vorgegebene logische Sequenz der einzelnen Entscheidungen gibt. Eine weitere n¨ utzliche Kategorisierung betrifft die unterstellte Informationslage der Akteure, d.h. die Trennung zwischen Spielen mit vollkommener und unvollkommener Information. Bislang wurde ”vollkommene Information” etwas lose so definiert, dass alle Spieler bei ihrer Entscheidung u ¨ber alle relevanten Umst¨ande Bescheid wissen. Bei statischen Spielen ist dies per definitionem nicht der Fall, da bei simultanen Entscheidungen nicht klar ist, welche Entscheidungen von den Mitspielern getroffen werden; dar¨ uber k¨onnen allenfalls Erwartungen gebildet werden. Im Gegensatz dazu weiß man bspw. bei Schach u ¨ber alle vorhergehenden Z¨ uge des Gegners perfekt Bescheid. Daher ist in der Kapitel¨ uberschrift von ”ansonsten vollkommener Information” die Rede. H¨aufig wird dieser vielleicht etwas subtile Punkt auch in der Lehrbuchliteratur vernachl¨assigt, d.h. man spricht oft auch von statischen Spielen bei vollkommener Information. Abbildung 3.1 auf der n¨achsten Seite zeigt die sich aus den genannten Kategorisierungen ergebenden Konstellationen der nicht-kooperativen Spieltheorie. In diesem Kapitel wird nun zun¨ achst der einfachste Fall behandelt, die Theorie statischer Spiele bei ansonsten vollkommener Information. Wie bereits eingef¨ uhrt, bezieht sich das Adjektiv ”statisch” auf die Eigenschaft, dass die Spieler ihre Z¨ uge simultan machen, d.h. es keine eindeutig fixierte Reihenfolge gibt. Dabei ist es nicht wirklich wichtig, ob bzw. dass die Z¨ uge zeitgleich erfolgen, es ist lediglich wichtig, dass die Spieler bei ihrer Entscheidung die Entscheidungen der Mitspieler noch nicht kennen und diese allenfalls aus der Kenntnis des gesamten Spiels heraus antizipieren k¨onnen. Da somit die zeitliche Abfolge keine Rolle spielt, werden statische Spiele auch Normalformspiele genannt, da die zus¨atzliche Information, die die extensive Form gegen¨ uber der Normalform beinhaltet, offensichtlich unerheblich ist. 41

42

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

Abbildung 3.1: Systematik der nichtkooperativen Spieltheorie

Die konkreten Lernziele in diesem Kapitel sind die Folgenden: • Zun¨achst wird in Abschnitt 3.2 eine genauere Begrifflichkeit f¨ ur die Charakterisierung von Information in Spielen entwickelt, die dazu dient diverse Arten von Informationsunvollkommenheiten zu unterscheiden. • Dann wird eine Klasse von Spielsituationen eingef¨ uhrt, die als Gefangenendilemma bekannt ist; hier wird insb. gezeigt, dass Rationalverhalten selbst in sehr u ¨bersichtlichen Situationen zu ineffizienten Ergebnissen f¨ uhren kann. Von besonderer Bedeutung in diesem Abschnitt 3.3 auf Seite 46 ist die Erkenntnis, dass solche Situationen auch im Kontext zahlreicher ¨okonomischer Problemstellungen von großer Bedeutung sind. • Als n¨achstes wird in Abschnitt 3.4 auf Seite 49 gezeigt, wie eine strategische Interaktion auch dann gel¨ost werden kann, wenn keiner der Spieler eine dominante Strategie hat und auch ein Nash-Gleichgewicht in einer der zur Verf¨ ugung stehenden Strategien nicht existiert. Wie bereits in Kapitel 2 eingef¨ uhrt, kann es dann Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien geben. • Viele Situationen lassen sich nicht in den bisher eingef¨ uhrten sehr u ¨bersichtlichen Normalformen darstellen, da es oft sehr viele verschiedene Strategien geben kann; insb. kann eine einzige Strategievariable stetig variiert werden – was bereits unendlich viele Strategien darstellt. Abschnitt 3.5 auf Seite 52 behandelt die L¨ osung von Spielen mit vielen Strategien. • Eher theoretischer Natur ist Abschnitt 3.6 auf Seite 53, in dem kurz auf die Bedingungen eingegangen wird, unter denen eine Spielsituation u ¨ber ein Nash-Gleichgewicht haben kann. Es geht hier also um die Existenz von Nash-Gleichgewichten. • Abschnitt 3.7 auf Seite 55 bietet schließlich vier verschiedene Anwendungen f¨ ur die Charakterisierung der L¨ osung statischer Spiele ohne weitere Informationsunvollkommenheiten. Hier wird bereits deutlich, wie groß das Anwendungsgebiet der Spieltheorie ist. Aus der Markttheorie werden dabei zun¨achst die zwei klassischen Oligopolmodelle (Cournot und Betrand) besprochen. Ein Klassiker der Finanzwissenschaft ist das Allmende-Problem und schließlich wird mit dem Barro-GordonModell eine sehr einfache Modellierung der Geldpolitik als Interaktion zwischen geldpolitischen Akteuren und dem privaten Sektor vorgestellt.

3.2

Information in Spielen ”If half of strategic thinking is predicting what the other player will do, the other half is figuring out what he knows.”

3.2. INFORMATION IN SPIELEN

Peter

43

Petra k. Box

k. C Bal le tt Box A k. Ba llet B Box t Ballett

(2,1) (0,0) (0,0) (1,2)

Abbildung 3.2: Die Informationsmengen bei battle of the sexes

(Rasmusen, 2001, p. 38) In Abschnitt 2.6.1 auf Seite 30 wurde bereits die Unterscheidung von Spielen mit unvollkommener bzw. vollkommener Information kurz angesprochen. In diesem Abschnitt wird dieser Aspekt weiter vertieft bzw. pr¨azisiert.1

3.2.1

Perfekte Information und common knowledge

In Abschnitt 1.5.1 lernten wir ”battle of the sexes” kennen, in dem Peter und Petra bei ihrer Entscheidung jeweils nicht wussten, was der/die jeweils andere tun w¨ urde. In der Darstellung der extensiven Form war dies darstellbar durch die Unsicherheit dar¨ uber, an welchem Knoten des Spiels man sich gerade befindet (vgl. Abbildung 2.16 auf Seite 32). Ebenfalls war klar, dass das Ergebnis eines Spiels stark von dem jeweils unterstellten Informationsstand der Spieler abh¨angt bzw. abh¨angen kann. Diese Art der Informationsunvollkommenheit soll nun pr¨aziser gefasst werden durch die folgende Definition: Die Informationsmenge des Spielers i an einem bestimmten Punkt eines Spiels besteht in der Menge aller Knoten, an denen sich der Spieler befinden k¨ onnte, zwischen denen er aber nicht unterscheiden kann. Abbildung 3.2 macht dies anhand der Informationsmenge bei ”battle of the sexes” klar. Es gen¨ ugt dabei, auf eine der Varianten in Abbildung 2.16 auf Seite 32 abzustellen. Bei der Entscheidung von Petra in Stufe 2, kann sie nicht unterscheiden, ob sie sich in Knoten B oder C befindet. Ihre Informationsmenge bei dieser Entscheidung ist also gegeben durch {B, C}. Da in dieser Menge mehr als ein Element steht, spricht man von unvollkommener Information. W¨ usste sie Bescheid, d.h. h¨atte Peter vorher angerufen und gesagt, ob er Ballett- oder Boxkampfkarten besorgt hat, w¨are die Informationsmenge von Petra gegeben entweder durch {B} oder durch {C}. Es klingt vielleicht etwas paradox, ist aber offensichtlich, dass die Information um so unvollkommener ist, je mehr Elemente in der Informationsmenge enthalten sind. Diese sprachliche Paradoxie wird vermieden, wenn man von den eingekreisten Knoten, die die Informationsmenge darstellen als Wolke spricht. Mit dem Konzept der Informationsmenge k¨onnen wir nun eine klare Definition eines Spiels mit vollkommener bzw. unvollkommener Information geben: Definition: In einem Spiel mit vollkommener Information (perfect information) bestehen alle Informationsmengen aus nur einem Element. Sobald eine Informationsmenge im Verlauf eines Spiels mehr als ein Element aufweist, spricht man von einem Spiel mit unvollkommener Information (imperfect information). 1 Dieser

Abschnitt basiert zu einem großen Teil auf Rasmusen 2001, ch. 2

44

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

”Alle Informationsmengen” bezieht sich dabei auf alle Entscheidungsknoten, in denen sich jeder Spieler im Verlauf eines Spiels befinden kann. Das Konzept der Informationsmenge bezieht sich zwar auf den Wissensstand alle Spieler, charakterisiert aber nur jeweils den Informationsstand eines Spielers. Damit ist noch nichts dar¨ uber ausgesagt, was jeweils ein Spieler u ¨ ber den Informationsstand der ¨ anderen Spieler weiß. Ublicherweise wird davon ausgegangen, dass jeder Spieler u ¨ber die Informationsmengen der anderen Spieler informiert ist und dass alle wissen, dass dies jeder weiß. Hier schließt sich ein im Prinzip infiniter Regress an, da man auch davon ausgehen muss, dass alle wissen, dass alle wissen, dass jeder alles weiß. . . . Wenn dieses Merkmal vorliegt, spricht man von common knowledge (gemeinsames Wissen). Es wird immer unterstellt, dass die Spielregeln eines Spiels common knowledge sind. Desgleichen wird in fast allen Zweigen der Spieltheorie als common knowledge unterstellt, dass sich alle Spieler rational verhalten.

3.2.2

Sicherheit, Vollst¨ andigkeit und Symmetrie von Informationen

Die h¨ochste Anforderung, die an die Informationsausstattung der Spieler gestellt werden kann, ist die Eigenschaft der Vollkommenheit der Information, wie sie im letzten Abschnitt definiert wurde. Unter dieser Annahme weiß jeder Spieler bei seiner Entscheidung vollkommen Bescheid u ¨ber die Entscheidungssituation und die Konsequenzen der verschiedenen Optionen. Unvollkommene Information kann jedoch noch weiter konkretisiert bzw. charakterisiert werden, was in der Literatur anhand von drei Begriffspaaren geschieht. Sicherheit vs. Unsicherheit Definition: Ein Spiel ist ein Spiel mit Unsicherheit, wenn an mindestens einer Stelle des Spiels die ”Natur” als Pseudospieler einen Zug macht, nachdem ein Spieler seine Entscheidung getroffen hat. Ist dies an keiner Stelle des Spiels der Fall, spricht man von einem Spiel mit Sicherheit. Diese Kategorisierung bringt zum Ausdruck, dass es h¨aufig Situationen gibt, in denen man sich f¨ ur eine bestimmte Handlung entscheiden kann, deren Konsequenzen aber nicht v¨ollig absehbar sind. Beispiel: Die geldpolitischen Entscheidungstr¨ager k¨onnen u ¨ber den Zustand einer Volkswirtschaft und die Reaktionen der sie interessierenden Gr¨oßen auf eine Zins¨anderung durchaus genau Bescheid wissen. Insofern es aber nach der Setzung des geldpolitischen Aktionsparameters (Zins) zu einem Nachfrage- oder Angebotsschock kommt, ist das makro¨okonomische Ergebnis von der Geldpolitik nicht exakt steuer- und vorhersehbar. Hier liegt also eine Situation mit Unsicherheit vor. Genau f¨ ur diese Situation ist die Evaluation des erwarteten Ergebnisses mit Hilfe einer Erwartungsnutzenfunktion (von Neumann-Morgenstern-Funktion) notwendig. Vollst¨ andigkeit vs. Unvollst¨ andigkeit der Information Definition: Unvollst¨ andige Information in einem Spiel liegt vor, wenn die ”Natur” als Pseudospieler vor der ersten Entscheidung eines Spielers einen Zug macht und dieser von mindestens einem Spieler nicht beobachtet werden kann. Dies ist ein Spezialfall unvollkommener Information, da hier zu Beginn des Spiels mindestens ein Spieler nicht weiß, in welchem Knoten er sich befindet. Man kann daher auch sagen, dass es sich um ein Spiel mit nicht vollst¨ andig bekannter Ausgangslage handelt. Um wieder das Beispiel der Geldpolitik zu bem¨ uhen, w¨are dies der Fall, wenn die Geldpolitik bei ihrer Zinsentscheidung nicht genau einsch¨atzen kann, in welchem Zustand sich die Volkswirtschaft befindet.1 Ein Spiel kann durchaus vollst¨andige, aber nicht vollkom1 Dies ist schon allein deshalb eine sehr realistische Annahme, weil die relevanten makro¨ okonomischen Daten nur mit einer mehr oder weniger großen Zeitverz¨ ogerung gemessen werden k¨ onnen. Selbst wenn

3.2. INFORMATION IN SPIELEN

45

mene Information haben (aber nicht umgekehrt). Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn an irgendeinem Punkt eines Spiels Spieler simultan ziehen m¨ ussen. Dann wissen die Spieler nicht, in welchem Knoten sie sich befinden – die Information ist also unvollkommen, es gibt aber keine Unklarheit u ¨ber die Ausgangslage des Spiels – die Information daher vollst¨andig. Symmetrische vs. asymmetrische Informationen Eine letzte Kategorisierung der vorliegenden Information bezieht sich auf deren Aufteilung auf die Spieler. Definition: In einem Spiel sind die Informationen symmetrisch verteilt, wenn in jedem Knoten, an dem ein Spieler eine Entscheidung zu treffen hat, dieser mindestens die gleiche Informationsmenge hat, wie alle anderen Spieler auch. Dar¨ uber hinaus muss gew¨ ahrleistet sein, dass am Endknoten alle Spieler den gleichen Informationsstand haben. Andernfalls liegt ein Spiel mit asymmetrisch verteilter Information vor. Diese Unterscheidung ist in der Praxis sehr wichtig, da Informationsvorspr¨ unge einzelner Spieler plausiblerweise das Spielergebnis massiv beeinflussen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch davon, dass einige Spieler private information haben. Ein Beispiel f¨ ur ein Spiel mit asymmetrischer Information ist der bekannte market for lemons (Akerlof 1970). Hier geht es darum, dass u ¨ber gebrauchte Autos (die, wenn sie schlecht sind, als ”lemons” bezeichnet werden - was man im Deutschen als ”Montagsauto” u ¨bersetzen kann) die Vorbesitzer systematisch besser informiert sind als potentielle K¨aufer. Da die potentiellen K¨aufer dies nat¨ urlich antizipieren, ist es m¨oglich, dass dieser Markt aufgrund dieser Informationsasymmetrie zusammenbricht. Anwendungen Die genannten Klassifikationen bzgl. der Information in Spielen werden in einigen speziellen Varianten von Poker angewendet, wobei es hier nicht auf die genauen Spielregeln, die spezifizieren, welches Blatt ein anderes schl¨agt, ankommt; diese werden als common knowledge unterstellt. Vielmehr kommt es nur darauf, welche Charakteristika die vier folgenden Regeln f¨ ur die Austeilung der Karten mit sich bringen. • Alle Karten werden verdeckt gegeben, jeder Spieler sieht aber sein eigenes Blatt: Es handelt sich dabei um ein Spiel mit unvollst¨ andiger (und damit auch unvollkommener) Information: Die ”Natur” hat den jeweils anderen ein Blatt gegeben, das man nicht kennt, vor dem ersten Zug weiß man also nicht, an welchem Knoten man steht – jede nach Kenntnis des eigenen Blatts denkbare Kombination der anderen Bl¨atter w¨are ein unterschiedlicher Knoten in einer extensiven Form-Darstellung. Weiterhin ist die Information asymmetrisch verteilt, weil man bei der Entscheidung des n¨achsten Spielzugs Dinge nicht weiß, die ein Teil der Mitspieler weiß. Und schließlich ist es ein Spiel mit Sicherheit in dem oben genannte Sinn, weil an keiner Stelle nach dem initialen Ausgeben der Karten - die ”Natur” mitspielt, also ein zuf¨alliges Ereignis außerhalb der Kontrolle der Spieler auftreten kann. • Alle Karten werden offen gegeben: In diesem Fall handelt es sich Spiel mit vollkommener (und daher auch vollst¨ andiger) und symmetrischer Information mit Sicherheit. • Alle Karten werden verdeckt gegeben, danach zeigt jeder Spieler die eigenen Karten allen anderen Spielern, sieht aber seine eigenen nicht (Indian Poker): Mit den jeweils gleichen Begr¨ undungen wie in der zuerst genannten ”¨ ublichen” Variante handelt es sich bereits erste Ergebnisse bspw. des BIP mit ca. einem Quartal Verz¨ ogerung vorliegen, unterliegen diese in der Folge noch teilweise substantiellen Revisionen.

46

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

Moritz

Nicht gestehen

Nicht gestehen

Gestehen

(-1, -1)

(-9,0)

(0, -9)

(-6,-6)

Max Gestehen

Abbildung 3.3: Die Normalform des Gefangenendilemmas

dabei um ein Spiel mit unvollkommener, daher auch unvollst¨andiger, asymmetrischer Information mit Sicherheit. • Die Karten werden offen gegeben, jeder Spieler setzt seinen Einsatz und erh¨ alt danach noch eine weitere Karte, die ebenfalls offen ausgegeben wird: In diesem Fall ist die Information zwar vollkommen (und vollst¨andig), da man bei der Entscheidung exakt weiß, an welchem Knoten man steht und auch symmetrisch - da bei der Formulierung der Wette jeder den gleichen Informationsstand hat, jedoch ist dies ein Spiel mit Unsicherheit, weil die ”Natur” vor dem Endknoten noch einen zuf¨alligen Zug macht.

3.3

Das Gefangenendilemma

Das Gefangenendilemma ist ein prototypisches Beispiel f¨ ur ein statisches Spiel. Es beschreibt eine Situation, f¨ ur die es unmittelbar einsichtige ¨okonomische Parallelen gibt, d.h. ”Geschichten”, die eine isomorphe Struktur aufweisen. Die ”Originalversion”, die auch f¨ ur den Namen verantwortlich ist, lautet wie folgt: Zwei Gefangene, nennen wir sie Max und Moritz, werden eines schweren, gemeinsam begangenen Verbrechens beschuldigt, f¨ ur das es jedoch keinerlei gerichtsfeste Beweise gibt.1 Hingegen gibt es gegen beide Gefangenen eindeutige Beweise f¨ ur kleinere Vergehen (unerlaubter Waffenbesitz o.¨a.). Wenn beide Gefangenen das schwere Verbrechen leugnen, so werden sie - in dubio pro reo - mit einer geringen Strafe aufgrund dieser kleineren Vergehen davon kommen. Wenn beide gestehen, so werden sie des schweren Verbrechens angeklagt, aufgrund der Kooperationsbereitschaft, sagt der Staatsanwalt jedoch zu, nicht die H¨ochststrafe zu beantragen. Wenn einer gesteht - und damit den anderen mit belastet -, der andere jedoch leugnet, so wird der Gest¨andige aufgrund der Kooperationsbereitschaft nach kurzer Zeit auf freien Fuß gesetzt (Kronzeuge), w¨ahrend f¨ ur den anderen, nunmehr ja Belasteten, die H¨ochststrafe resultieren wird. Die Gefangenen haben keine M¨oglichkeit, direkt oder indirekt, die Entscheidung u ¨ber ”gestehen” oder ”nicht gestehen” miteinander zu koordinieren. Das genaue Ausmaß der Strafen in den verschiedenen Szenarien ist willk¨ urlich, wichtig ist nur, dass die beschriebene Rangfolge eingehalten wird. Die H¨ochststrafe m¨oge 9 Monate betragen, bei beiderseitigem Gest¨andnis werden 6 Monate f¨allig, die Strafe f¨ ur das kleine Vergehen betr¨agt 1 Monat, der Kronzeuge m¨oge sofort freikommen. Damit l¨asst sich die folgende Normalform des Spiels in Abbildung 3.3 aufschreiben: Eine ¨ kurze Uberlegung zeigt, dass ”Gestehen” sowohl f¨ ur Max als auch f¨ ur Moritz eine strikt domi¨ nante Strategie darstellt. Aufgrund der Symmetrie der Situationen gen¨ ugt es, die Uberlegung einfach f¨ ur ”M” anzustellen. M u ¨berlegt sich das Folgende. Wenn der andere gesteht, stelle ich mich durch ”gestehen” besser (-6 gegen¨ uber -9). Wenn der andere aber nicht gesteht, 1 Ob

die Gefangenen - oder einer von ihnen - wirklich schuldig sind, ist f¨ ur das Spiel v¨ ollig ohne Belang.

3.3. DAS GEFANGENENDILEMMA

47

Strafe für Max

Nash-GG

Strafe für Moritz

Pareto-effiziente Lösung

Abbildung 3.4: Das Nash-Gleichgewicht im Gefangenendilemma ist nicht Pareto-effizienz.

so stelle ich mich durch gestehen auch besser (0 gegen¨ uber -1). Also ist ”gestehen” eine strikt dominante Strategie f¨ ur beide Spieler, es kommt also zu einem Gleichgewicht bei dem Strategienpaar {gestehen, gestehen} und zu einer gleichgewichtigen ”Auszahlung” von (-6, -6). Abbildung 3.4 zeigt den Auszahlungsraum grafisch. Folgende Aspekte sind hier der Erw¨ahnung wert - und k¨onnen anhand der Abbildung 3.4 leicht nachvollzogen werden: • {gestehen, gestehen} ist ein Gleichgewicht in dominanten Strategien und damit auch ein Nash-Gleichgewicht. • Das Nash-Gleichgewicht ist nicht Pareto-effizient, d.h. es gibt ein Strategienpaar, das beide Spieler besser stellt, n¨amlich {nicht gestehen, nicht gestehen}. • Das Pareto-effiziente Gleichgewicht k¨onnte erreicht werden, wenn beide Spieler jeweils glaubw¨ urdige und bindende Vereinbarungen treffen k¨onnten. Dann l¨age eine kooperative Spielsituation vor. Dies ist eine sehr wichtige Erkenntnis, besagt sie doch, dass bei Vorliegen strategischer Information individuelle Rationalit¨at zu einem kollektiv ineffizienten Ergebnis f¨ uhrt bzw. f¨ uhren kann. • Letzteres kann wie folgt verallgemeinert werden: Das Nash-Gleichgewicht in einem nicht-kooperativen Spiel ist im allgemeinen nicht Pareto-effizient. • Im speziellen Zusammenhang des Spiels ist auch folgendes wichtig: Eine Kronzeugenregelung dient jedenfalls in dieser einfachen Form nicht der Wahrheitsfindung, sondern schafft v¨ollig unabh¨angig von Schuld oder Unschuld Anreize f¨ ur strategisches Verhalten. Als Gesetzgeber bzw. Jurist sollte man also die Aussagen von Kronzeugen mit besonderer Vorsicht genießen und sich der Entscheidungssituation - eben des Dilemmas - der Person sehr bewusst sein. Genau so ist aber klar, dass eine Kommunikation und Kooperation zwischen den Gefangenen im Interesse der Wahrheitsfindung unterbunden werden muss, da sich sonst bei Mangel an Beweisen das (f¨ ur Max und Moritz!!) Pareto-effiziente Gleichgewicht durchsetzen w¨ urde - ebenfalls unabh¨angig von der tats¨achlichen Schuld.

48

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

Nett sein

Unternehmer Fies sein

Gut arbeiten

(10,10)

(0,20)

Schlampen

(20,0)

(5,5)

Arbeiter

Abbildung 3.5: Arbeiter und Unternehmer im Gefangenendilemma

¨ Okonomische Beispiele f¨ ur Gefangenendilemmata Die Spielsituation des Gefangenendilemmas kann sehr gut auf ¨okonomische Zusammenh¨ange angewandt werden, da es hier h¨aufig um Situationen geht, in denen Kooperation f¨ ur den einzelnen ”etwas kostet”, und deshalb nicht zustande kommt, w¨ahrend alle Beteiligten genau davon profitieren w¨ urden, wenn es zu dieser f¨ ur den einzelnen kostentr¨achtigen Kooperation k¨ame. Vier Beispiele sollen die Bedeutung dieses Szenarios illustrieren. Beispiel 1: Motivation am Arbeitsplatz Max und Moritz aus Abbildung 3.3 auf Seite 46 seien nun ersetzt durch Arbeiternehmer und Unternehmer. Der Arbeitnehmer habe die Strategien ”gut arbeiten” und ”schlampen”, der Unternehmer die Strategie ”nett sein” (was alle m¨oglichen monet¨aren und nichtmonet¨aren Dinge beinhalten kann) und ”fies sein”. Bei ”guter Arbeit” teilt sich der ”nette” Unternehmer den Ertrag mit dem Arbeiter, wenn er ”fies” ist, so kann er den ganzen Ertrag an sich reißen. Ist der Unternehmer hingegen nett obwohl der Arbeiter schlampt, geht die komplette Auszahlung an den gut behandelten, aber unangestrengten Arbeiter. Schlampt der Arbeiter in einer fiesen Unternehmung, so stellen sich beide schlechter als bei guter Arbeit in nettem Klima, k¨onnen sich aber nicht gegenseitig u ¨bervorteilen. Die so beschriebene Struktur ist in Abbildung 3.5 zu sehen. Es ist leicht zu sehen, dass ”schlampen” und ”fies sein” strikt dominante Strategien sind, mithin ein Nash-Gleichgewicht darstellen, dieses jedoch ineffizient ist. Alle Arten von Leistungsentlohnungen (Akkordlohn, Bonuszahlungen, . . . ) sind letztlich Versuche, das effiziente Gleichgewicht durchzusetzen. Sp¨ater werden wird auch sehen, dass es m¨oglich ist, die Ineffizienz des Gefangenendilemmas dadurch zu umgehen, dass das Spiel wiederholt gespielt wird und damit die Akteure im Hinblick auf zuk¨ unftige Ertr¨age Anreize haben k¨onnen, sich eine Reputation zur Kooperationsbereitschaft zu erwerben. In einem statischen one-shot game ist aber das Nash-Gleichgewicht im Allgemeinen nicht Pareto-effizient. Beispiel 2: Oligopol Ein weiteres Beispiel ist die typische Oligopolsituation, in der ein (kooperatives) Kartell h¨ohere gemeinsame Gewinne erzielen kann als bei Wettbewerb, obwohl jeder einzelne von einer isolierten Abweichung von den Kartellregeln profitieren k¨onnte. Diese Situation wird uns noch in verschiedenen Varianten besch¨aftigen. ¨ Beispiel 3: Offentliche G¨ uter Ein ganz typisches ¨okonomisches Problem ist die Bereitstellung ¨offentlicher G¨ uter. Aufgrund der Eigenschaft der Nichtrivalit¨ at im Konsum lohnt es sich f¨ ur jeden einzelnen, sich vor

3.4. GEMISCHTE STRATEGIEN

49

Beteiligen

Beteiligen

Bürger B Nicht beteiligen

(25,25)

(-50,100)

(100,-50)

(0,0)

Bürger A Nicht beteiligen

Abbildung 3.6: Das Gefangenendilemma bei der Bereitstellung ¨offentlicher G¨ uter

einer Beteiligung an der Finanzierung zu dr¨ ucken, und sich stattdessen als Trittbrettfahrer zu bet¨atigen. Nehmen wir an, die Zahlungsbereitschaft von zwei B¨ urgern f¨ ur ein Projekt, dessen Kosten sich auf 150 e belaufen, betr¨agt jeweils 100 e. Damit ist klar, dass keiner allein das Projekt angeht, aber bei einer gemeinsamen Finanzierung jeder im Umfang von (100 − 150/2) = 25 profitiert. Wenn sie sich nun f¨ ur eine Beteiligung bzw. Nicht-Beteiligung (= Trittbrettfahren) an dem Projekt entscheiden m¨ ussen, ist die folgende Auszahlungsmatrix relevant, die wiederum die Struktur eines Gefangenendilemmas aufweist: Beispiel 4: Werbung Werbung hat in heftig umk¨ampften M¨arkten sehr h¨aufig den Effekt, dass es die Nachfrage zu der beworbenen Marke lenkt, nicht aber unbedingt die Gesamtnachfrage in diesem Markt (z.B. nach Zigaretten) dramatisch beeinflusst. Da Werbung teuer ist, w¨are es also f¨ ur Wettbewerber in diesem Markt vorteilhaft, ein Werbememorandum zu beschließen und sich den Markt einfach friedlich zu teilen. Nat¨ urlich entsteht dadurch f¨ ur den einzelnen Wettbewerber ein Anreiz durch ein ”kleines bisschen” Werbung die Nachfrage weitgehend an sich zu binden. Da alle Wettbewerber diesen Anreiz haben, werden alle Werbung betreiben wollen, obgleich diese f¨ ur die Branche insgesamt wenig hilfreich ist. Vor diesem Hintergrund l¨asst sich beispielsweise verstehen, warum die US-Tabakfirmen bereits 1971 einem Verbot der TV-Werbung zustimmten, wenn auch f¨ ur die Zusicherung trotz der damals ins Bewusstsein ger¨ uckten Gesundheitssch¨aden, keine Schadensersatzprozesse unter Bundesrecht f¨ uhren zu m¨ ussen1 . Da die USA ein großer und weitgehend in sich abgeschlossener Markt sind, wussten die Firmen, dass eine gesetzliche Beschr¨ankung f¨ ur alle letztlich profitabel sein w¨ urde. Das gesetzliche Werbeverbot stellte damit sicher, dass das effiziente Gleichgewicht erreicht wurde – wobei hier Gesundheitserw¨agungen keinerlei Rolle spielen (m¨ ussen).

3.4

Gemischte Strategien

In Abschnitt 2.7.4 auf Seite 38 bei der Diskussion verschiedener L¨osungskonzepte von Spielen hatten wir bereits einen Fall kennen gelernt (Dilemma des Samariters), in dem kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gefunden werden konnte, aber dennoch eines in gemischten Strategien zu begr¨ unden war. In diesem Abschnitt werden wir dieses L¨osungskonzept eines statischen Spiels noch etwas genauer betrachten. Dazu dient zun¨achst die folgende Definition: In einem Normalformspiel mit I Spielern, die die Strategienmengen Si = {si1 , si2 , . . . , siK } , i = 1, . . . I haben, wird eine gemischte Strategiedurch die Wahrschein1 Die Prozesse, die dennoch zu milliardenschweren Entsch¨ adigungszahlungen f¨ uhrten, wurden alle auf der Eben der einzelnen Bundesstaaten gef¨ uhrt.

50

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

Spieler 2 Kopf

Zahl

Kopf

(1,-1)

(-1,1)

Zahl

(-1,1)

(1,-1)

Spieler 1

Abbildung 3.7: Die Normalform-Darstellung von matching pennies

lichkeitsverteilung pi = {pi1 , pi2 , . . . , piK } beschrieben, wobei gelten muss, dass 0 ≤ pik ≤ 1 K P pik = 1. und k=1

Bislang haben wir zumeist Spiele mit I = K = 2 betrachtet, d.h. mit zwei Spielern, die jeweils zwei alternative Strategien w¨ahlen konnten. Weiterhin ist zu beachten, dass eine reine Strategie letztlich ein Spezialfall einer gemischten Strategie ist, da hier einfach eine bestimmte Strategie die Wahrscheinlichkeitsmasse 1 und alle anderen Strategien damit die Wahrscheinlichkeitsmasse 0 zugeordnet bekommen. F¨ ur eine grafische L¨osung eines Spiels mit einer gemischten Strategie eignet sich ein noch einfacheres Szenario als das Dilemma eines Samariters, n¨amlich ein Spiel namens Matching Pennies. Die Regel ist sehr einfach: Zwei Spieler mit je einer M¨ unze legen simultan die M¨ unze auf den Tisch. Stimmen die Seiten u ¨berein, d.h. liegt (Kopf, Kopf) oder (Zahl, Zahl) auf dem Tisch erh¨alt Spieler 1 beide M¨ unzen, liegt (Kopf, Zahl) oder (Zahl, Kopf) auf dem Tisch gehen beide M¨ unzen an Spieler 2. Damit ergibt sich folgende in Abbildung 3.7 zu sehende Normalform: Man kann sich rasch davon u ¨berzeugen, dass es bei diesem Spiel kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gibt – und nat¨ urlich auch keine dominierte Strategie. Dennoch ist fast schon intuitiv klar, dass jeder Spieler jede der beiden Strategien mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 spielen wird, und dies ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien darstellt. Im Folgenden soll dies formal gezeigt werden, wobei wir f¨ ur die Notation lediglich die Wahrscheinlichkeiten einf¨ uhren m¨ ussen, mit denen die Spieler 1 und 2 ”Kopf” w¨ahlen. In ¨ Ubereinstimmung mit der allgemeinen Definition seien diese p1 und p2 genannt. (Die doppelte Indizierung kann hier entfallen, da jeder Spieler nur zwei Strategien hat, und die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler 1 bzw. Spieler 2 ”Zahl” w¨ahlen daher mit 1 − p1 bzw. 1 − p2 bezeichnet werden k¨onnen.) Die Auszahlung f¨ ur Spieler 1 ergibt sich in Abh¨angigkeit von den Wahrscheinlichkeiten p1 und p2 als1 E (u1 ) = p1 p2 − p1 (1 − p2 ) − (1 − p1 ) p2 + (1 − p1 ) (1 − p2 ) = p1 (4p2 − 2) + (1 − 2p2 ) (3.1) Angenommen, Spieler 1 w¨ usste, dass p2 > 1/2. In diesem Fall ist der erste Klammerterm (4p2 − 2) offensichtlich positiv, die erwartete Auszahlung ist also eine steigende Funktion von p1 . Das Beste, was Spieler 1 tun kann, ist also p1 = 1 zu spielen. Die gleiche Logik f¨ uhrt f¨ ur p2 < 1/2 zu dem Schluss, die erwartete Auszahlung eine sinkende Funktion von p1 ist und daher p1 = 0 die optimale Reaktion ist. F¨ ur p2 = 1/2 ist hingegen E (u1 ) = 0; in dieser 1 Die erste Zeile geht einfach die vier m¨ oglichen Felder durch und gewichtet die Auszahlungen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten, die zweite Zeile ergibt sich aus der ersten nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Terme

3.4. GEMISCHTE STRATEGIEN

51

Situation ist es v¨ollig egal, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung Spieler 1 w¨ahlt. Damit ist Spieler 1 f¨ ur p2 = 1/2 also indifferent bzgl. des zu w¨ahlenden Wert von p1 . Formal:  f¨ ur 0 ≤ p2 < 1/2  0 ∈ (0, 1) f¨ ur p2 = 1/2 p∗1 = (3.2)  1 f¨ ur 1/2 < p2 ≤ 1 Diese Funktion ist im linken Teil von Abbildung 3.8 gestrichelt eingezeichnet und fasst als Reaktionsfunktion des Spielers 1 dessen Optimalverhalten als Funktion des Verhaltens des anderen Spielers zusammenfassen.1 V¨ollig analog dazu l¨asst sich auch eine Reaktionsfunktion des Spielers 2 ableiten, indem man analog zu (3.1) die erwartete Auszahlung E (u2 ) berechnet und die optimale Strategie f¨ ur p2 in Abh¨angigkeit von p1 identifiziert. Die erwartete Auszahlung f¨ ur Spieler 2 betr¨agt dabei E (u2 ) = p2 (2 − 4p1 ) − (1 − 2p1 ) ,

(3.3)

die Reaktionsfunktion ist gegeben durch  f¨ ur 0 < p1 < 1/2  1 ∈ (0, 1) f¨ ur p1 = 1/2 p∗2 =  0 f¨ ur 1/2 < p1 < 1

(3.4)

Diese Reaktionsfunktion ist im rechten Teil der Abbildung 3.8 zu sehen. p1

p2

1

1

p1 ?p2 ?

1/2 (a)

p2 ?p1 ?

1

p2

1/2

1

p1

(b)

Abbildung 3.8: Die Reaktionsfunktionen der beiden Spieler in matching pennies In Abbildung 3.9 auf der n¨achsten Seite sind die beiden Reaktionsfunktionen zusammengefasst, wobei die Reaktionsfunktion des Spielers 2 nun blau eingezeichnet ist. Zu beachten ist, dass der Quadrant in Abbildung 3.8 b) entsprechend zu ”drehen” ist, um in der gleichen Ebene wie Abbildung 3.8 a) dargestellt werden zu k¨onnen. Es ist sofort zu sehen, dass die beiden Reaktionsfunktionen einen eindeutigen Schnitt¡ ¢ punkt bei (p1 , p2 ) = 21 , 12 aufweisen. Dies ist das eindeutige Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien bei Matching Pennies. Man kann das Konzept des Nash-Gleichgewichts bei gemischten Strategien leicht auf den Fall u ¨bertragen, dass die Spieler mehr als jeweils zwei reine Strategien haben. Allgemein muss f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsverteilungen p1 und p2 (die hier wieder Vektoren sind, 1 Genau genommen ist die Reaktionsfunktion in diesem Fall keine mathematische ”saubere” Funktion, da hier dem Argument 1/2 mehrere (hier sogar: unendlich viele) Funktionswerte zugeordnet sind. Man spricht dann allgemeiner von einer Korrespondenz, was hier jedoch ignoriert werden soll.

52

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

p1

p1 ?p2 ?

1

1/2 p2 ?p1 ?

1/2

1

p2

Abbildung 3.9: Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien f¨ ur matching pennies

w¨ahrend sie bei Matching Pennies nur jeweils Skalare waren) in einem Nash-Gleichgewicht bei gemischten Strategien gelten, dass u1 (p∗1 , p∗2 ) ≥ u1 (p1 , p∗2 ) ∀p1

(3.5)

u2 (p∗1 , p∗2 ) ≥ u2 (p∗1 , p2 ) ∀p2 ,

(3.6)

und wobei p∗i , i = 1, 2 die Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Nash-Gleichgewicht bezeichnen. In ussen jeweils wechselseitig optimale Antworten (”best responses”) Worten: p∗i , i = 1, 2 m¨ auf die Strategie des Mitspielers sein.

3.5

Nash-Gleichgewichte mit (unendlich) vielen Strategien

Abgesehen von der gerade gemachten Verallgemeinerung des Nash-Konzepts bei gemischten Strategien gingen fast alle bisherigen Beispiele davon aus, dass die Strategienmenge jedes Spielers aus nur zwei Alternativen besteht. Dieser ”Trick” hielt die Matrix der Normalform einigermaßen u ¨bersichtlich. Wenn z.B. zwei Spieler jeweils 20 Strategiealternativen h¨atten, so w¨are die Normalform eine 20x20-Matrix – also nichts, was man sich wirklich hinzuschreiben w¨ unscht. Gerade im Kontext ¨okonomischer Fragestellungen sind jedoch Strategiemengen oft nicht einmal endlich, da die Strategievariable in vielen Situationen plausiblerweise stetig variiert werden – und damit unendlich viele Auspr¨agungen annehmen kann. Dies gilt beispielsweise f¨ ur Preise, Mengen, Werbeausgaben, Bonuszahlungen, usw. – was alles denkbare Strategievariablen in entsprechend formulierten Spielen sind. In solchen Situationen ist die Matrixdarstellung der Normalform nat¨ urlich kein besonders hilfreiches Instrument. Allerdings kann man mit etwas Algebra diese Situationen leicht in den Griff bekommen, was nun ohne R¨ uckgriff auf eine konkrete ”story” kurz gezeigt werden soll. In den Anwendungen des Abschnitts 3.7 auf Seite 55 werden dann Beispiele folgen, in denen das gezeigte Prinzip angewandt wird. Wieder beschr¨anken wir uns zun¨achst auf ein 2-Personenspiel. Hier l¨asst sich allgemein sagen, dass die Auszahlungsfunktion der beiden Spieler eine Funktion der gew¨ahlten Strategien beider Spieler sind, dass also u1 = u1 (s1 , s2 ) ,

(3.7)

3.6. EXISTENZ VON NASH-GLEICHGEWICHTEN

53

wobei s1 und s2 , d.h. die Strategievariable(n) der beiden Spieler nun als stetig variierbar angenommen werden. Analog ist u2 = u2 (s1 , s2 ) .

(3.8)

Die Auszahlungsfunktionen m¨ ussen als zweifach stetig differenzierbar und konkav in den beiden Strategievariablen angenommen werden. Dann ist die optimale Strategiewahl des Spielers 1 charakterisiert durch ∂u1 (·) = 0 ⇔ s∗1 (s2 , ...) ∂s1

(3.9)

Analog w¨ahlt Spieler 2 seine Strategie gem¨aß ∂u2 (·) = 0 ⇔ s∗2 (s1 , ...) ∂s2

(3.10)

Die Funktionen in der jeweils zweiten Zeile der Gleichungen (3.9) und (3.10) sind die Reaktionsfunktionen der Spieler – analog zu den Reaktionsfunktionen bei ”Matching Pennies”, wobei dort allerdings konkret gleichgewichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ermittelt wurden, es hier aber ganz allgemein um die Auspr¨agung einer beliebigen Strategievariablen geht. Die Gleichungen (3.9) und (3.10) stellen nun ein 2-Gleichungssystem in den beiden Un¨blichen Regeln der Algebra aufl¨osen l¨asst. In bekannten s∗1 und s∗2 dar, das sich mit den u dieser allgemeinen Form ist es nat¨ urlich durchaus denkbar, dass es mehrere L¨ osungen des Gleichungssystems gibt – in diesem Fall gibt es dann eben mehrere Nash-Gleichgewichte. Man spricht dann davon, dass das Spiel durch multiple Gleichgewichte gekennzeichnet ist. Es leuchtet unmittelbar ein, dass das gezeigte L¨osungsprinzip auch auf Viel-PersonenSpiele mit I Spielern ausgedehnt werden kann. In dem Fall gibt es eben I Reaktionsfunktionen der Gestalt ∂ui (·) = 0 ⇔ s∗i (s−i , ...) i = 1, ..., I ∂si

(3.11)

und damit ein I-dimensionales Gleichungssystem zur Berechnung der I gleichgewichtigen Strategien.

3.6

Existenz von Nash-Gleichgewichten

Die in Abschnitt 3.5 auf der vorherigen Seite geschilderte Methode zur Berechnung von ¨ Nash-Gleichgewichten ist deutlich allgemeiner als die zuvor angestellten Uberlegungen zur Identifikation eines Nash-Gleichgewichts. Allerdings stellt zun¨achst nichts sicher, dass es ein Nash-Gleichgewicht tats¨achlich gibt. Daher wird in diesem Abschnitt kurz gezeigt, unter welchen Umst¨anden die Existenz eines Nash-Gleichgewichts gesichert ist. Zun¨achst sei das Ergebnis vorweggenommen in dem folgenden Theorem (Existenz von Nash-Gleichgewichten): In einem Spiel mit I Personen und begrenztem Strategienraum Si f¨ ur alle Spieler i = 1, ..., I sowie in der jeweils eigenen Strategie zweifach stetig differenzierbaren und konkaven Auszahlungsfunktionen ui (si , ...) existiert immer ein Nash-Gleichgewicht. Folgende Anmerkungen zu diesem Theorem sind angebracht: • Der ”begrenzte Strategienraum” schließt nicht aus, dass die Strategievariablen stetig variiert werden kann, verlangt aber, dass es f¨ ur die Auspr¨agung der Strategievariablen endliche Ober- und Untergrenzen gibt.

54

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I • Das Theorem macht keinerlei Aussage dazu, ob unter den genannten Bedingungen ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht existiert. • Das Theorem sagt nichts u ¨ber die Existenz von Nash-Gleichgewichten, wenn die Auszahlungsfunktion nicht konkav in der Strategievariablen ist und wenn der Strategienraum unbegrenzt ist. Ein ganzer Zweig der Spieltheorie ist damit besch¨aftigt, immer feinere Existenzbeweise f¨ ur Nash-Gleichgewichte unter etwas weniger stringenten Bedingungen zu formulieren. Da diese Ergebnisse allerdings wenig anwendungsbezogen sind, werden wir uns damit nicht weiter befassen. • Das Theorem gilt auch f¨ ur Gleichgewichte in gemischten Strategien, wobei hier auf die Details der Anforderungen an Strategienraum und Auszahlungsfunktion f¨ ur den Existenzbeweis verzichtet werden soll.

Um das Theorem (f¨ ur das Beispiel eines 2-Personen-Spiels) zu beweisen, machen wir uns zun¨achst klar, dass durch die Optimalit¨atsbedingungen ∂u1 /∂s1 = 0 und ∂u2 /∂s2 = 0 die beiden Reaktionsfunktionen definiert sind, die nun mit r1 (s2 ) und r2 (s1 ) bezeichnet werden. Es ist hier explizit nur darauf abgestellt, dass die Strategie des anderen die eigene optimale Strategie beeinflusst; andere Einflussgr¨oßen auf die Reaktionsfunktionen sind m¨oglich, hier aber nicht weiter interessant. Die beiden Reaktionsfunktionen k¨onnen nun in einer Vektorfunktion r zusammengefasst werden: r = [r1 (s2 ) , r2 (s1 )] = r (s) mit s = [s1 , s2 ] s∗2

(3.12)

Das Nash-Gleichgewicht s∗ = [s∗1 , s∗2 ] ist nun dadurch definiert, dass s∗1 = r1 (s∗2 ) und = r2 (s∗1 ). In Vektorschreibweise l¨asst sich dies zusammenfassen als s∗ = r (s∗ ) .

(3.13)

Die Funktion r bildet also das Argument auf sich selbst ab. Einen solchen Punkt bezeichnet man als Fixpunkt einer Funktion. Nun w¨are noch zu zeigen, dass die Funktion r (s) unter den getroffenen Annahmen einen Fixpunkt aufweist. Hierbei hilft uns das folgende Fixpunkttheorem: Wenn r (s) eine kontinuierliche Funktion auf einem begrenzten Intervall ist, dann weist r (s) eine Fixpunkt auf, f¨ ur den gilt, dass s = r (s) . Geometrisch bedeutet das Fixpunkttheorem, dass sich die Funktionen r1 (s2 ) und r2 (s1 ) in mindestens einem Punkt schneiden m¨ ussen. Das Fixpunkttheorem selbst soll hier nicht bewiesen werden; vielmehr soll mit Hilfe der Abbildung 3.10 anhand zweier fallender Reaktionsfunktionen die Idee eines Fixpunktes grafisch verdeutlicht werden. s1

s1 s2 ?s1 ? s1 ?s2 ?

s2 ?s1 ? s*

s1 ?s2 ?

??

r s*

r

s2

s2

Abbildung 3.10: Die Fixpunkteigenschaft der Reaktionsfunktionen in einem 2-Personen-Spiel

3.7. WEITERE ANWENDUNGEN

3.7

55

Weitere Anwendungen

In diesem Abschnitt werden nun einige konkrete ¨okonomische Beispiele f¨ ur statische Spiele mit vollst¨andiger Information er¨ortert.

3.7.1

Oligopol I: Das Cournot-Modell

Ein Oligopol ist ein Markt mit wenigen Anbietern; diese haben somit Marktmacht, die jedoch durch die Existenz der Konkurrenten eingeschr¨ankt wird. Es wird hier der Fall eines homogenen Duopols besprochen, d.h. es m¨oge nur zwei Anbieter geben – was f¨ ur die Analyse der strategischen Interaktion zwischen diesen Anbietern v¨ollig ausreicht. Diese produzieren ein Gut, das aus der Sicht der (atomistischen) Konsumenten v¨ollig gleichwertig ist. Die Duopolisten produzieren die Mengen x1 und x2 eines Gutes. Die produzierte Menge ist die relevante Strategievariable.1 Die gemeinsam produzierte Menge ist gegeben durch x ≡ x1 + x2 . Die Nachfragekurve ist aufgrund der Homogenit¨at der Produkte ausschließlich von der Summe der beiden Produkte abh¨angig und durch x = D (p)

(3.14)

gegeben, wobei p der Marktpreis des Gutes ist. Die inverse Nachfrage ist dann gegeben durch p = D−1 (x) .

(3.15)

Die Kostenfunktionen der beiden Anbieter sind durch C1 (x1 ) und C2 (x2 ) gegeben, die Gewinnfunktionen sind daher Π1 = p (x) · x1 − C1 (x1 )

(3.16)

Π2 = p (x) · x2 − C2 (x2 )

(3.17)

und Die Reaktionsfunktionen ergeben sich nun durch Maximierung von (3.16) bzw. (3.17) u ¨ber die jeweiligen Produktionsmengen x1 und x2 . Die denkbar einfachste Spezifikation ist eine lineare (inverse) Nachfragefunktion der Gestalt p = a − bx, a, b > 0

(3.18)

sowie die Annahme identischer und konstanter Grenzkosten in H¨ohe von c, wobei angenommen werden muss, dass c < a. In diesem Fall konkretisiert sich (3.19) zu Π1 = [a − b (x1 + x2 )] · x1 − cx1 = (a − c) x1 − bx1 x2 − bx21

(3.19)

Π2 = [a − b (x1 + x2 )] · x2 − cx2

(3.20)

und

Maximierung von Π1 u ¨ber x1 f¨ uhrt zu ∂Π1 a−c 1 = (a − c) − bx2 − 2bx∗1 = 0 ⇔ x∗1 = − x2 ∂x1 2b 2

(3.21)

1 Es w¨ are logisch vielleicht konsistenter, diese weiterhin mit s zu bezeichnen. Lange Gew¨ ohnung spricht aber f¨ ur die hier gew¨ ahlte Notation.

56

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

Diese Gleichung ist die Reaktionsfunktion des Anbieters 1. V¨ollig analog ergibt sich die Reaktionsfunktion des Anbieters 2 als a−c 1 a−c − x1 ⇔ x1 = − 2x∗2 (3.22) 2b 2 b Die zweite Schreibweise dient nur dazu, (3.21) und (3.22) in ein Diagramm einzuzeichnen, was in Abbildung 3.11 geschieht. x∗2 =

x1 RF des 2

Cournot-Nash-GG RF des 1 x2 Abbildung 3.11: Das Cournot-Duopolmodell Das Nash-Gleichgewicht liegt im Schnittpunkt der beiden Reaktionsfunktionen und ist in diesem Fall eindeutig. Die Bezeichnung ”Cournot-Nash-Gleichgewicht” ehrt sowohl den ¨ franz¨osischen Okonomen Auguste Cournot1 , der bereits im 19. Jhd. die hier vorgef¨ uhrte ”klassische” Oligopoll¨osung entwickelte – und damit das Nash-Gleichgewichtskonzept gut 120 Jahre vor dessen allgemeiner Charakterisierung durch John Nash benutzte.2 Die gezeigte Konstruktion des Nash-Gleichgewichts setzt voraus, dass beide Anbieter ihre gewinnmaximale Menge w¨ahlen, dabei aber nicht wissen, wie viel der andere produziert, sondern nur davon ausgehen, dass der jeweils andere ebenfalls die f¨ ur ihn gewinnmaximierende Menge anbieten wird. Wir werden in dem Kapitel u ¨ber dynamische Spiele sehen, wie sich die Situation ¨andert, wenn sich ein Anbieter auf irgendeine spezifische Menge ex ante festlegen kann. Die jeweiligen optimalen Mengen erh¨alt man durch die L¨osung des Gleichungssystems (3.21) und (3.22). Es ergibt sich x∗1 = x∗2 =

1 (a − c) 3 b

(3.23)

und damit die Marktmenge

2 (a − c) 3 b sowie durch Einsetzen von (3.24 in (3.18) der Marktpreis x∗ =

(3.24)

1 (a + 2c) > c (3.25) 3 Die behauptete Relation in (3.25) folgt aus der Annahme c < a, die notwendig ist f¨ ur eine positive Menge. p∗ =

1 Vgl. 2 John

Cournot (1838)

Nash erhielt f¨ ur seine bahnbrechenden Arbeiten zur Spieltheorie zusammen mit R. Selten und J. Harsanyi den Nobelpreis f¨ ur Wirtschaftswissenschaften.

3.7. WEITERE ANWENDUNGEN

57

Ein kurzer Vergleich mit der L¨osung bei einer Vielzahl von Anbietern (vollst¨andige Konkurrenz) ist hilfreich. Bei vollst¨andiger Konkurrenz f¨ uhrt die Gewinnmaximierung zu einem Verhalten der einzelnen Anbieter, das daf¨ ur sorgt, dass der Marktpreis gleich den Grenzkosten entspricht, bei konstanten und identischen Grenzkosten gilt also im Marktgleichgewicht bei vollkommener Konkurrenz p = c. Die zu diesem Preis nachgefragte Menge (und auch bereitgestellte) Menge betr¨agt x = (a − c)/b – wie ein Blick auf die Nachfragefunktion (3.18) sofort zeigt. Damit beschr¨anken die Duopolisten die Menge relativ zur Konkurrenzl¨osung – auch ohne explizite Absprache.1

3.7.2

Oligopol II: Das Bertrand-Modell

Das gerade vorgestellte Cournot-Modell f¨ ur das Verhalten von Oligopolisten ist nicht die einzige denkbare und plausible Beschreibung der Situation weniger Akteure auf der Angebotsseite eines Marktes. Schon sehr fr¨ uh hat J. Bertrand (1883) darauf aufmerksam gemacht, dass eine relativ einfache Modifikation des Cournot-Modells gravierende Konsequenzen nach sich zieht. Wenn n¨amlich unterstellt wird, dass die Unternehmer nicht die Produktionsmenge, sondern den Absatzpreis als strategische Variable heranziehen, ¨andern sich die Ergebnisse stark – was auch Konsequenzen f¨ ur die wohlfahrtstheoretische Beurteilung von Oligopolen hat und damit f¨ ur die angemessene Wettbewerbspolitik. Nehmen wir der Einfachheit halber wieder ein homogenes Duopol an.2 Diese Annahme stellt sicher, dass bei irgendwelchen Preisunterschieden die Nachfrage vollst¨andig zu dem billigeren Anbieter umschwenkt. F¨ ur den Duopolisten 1 ergibt sich damit bei konstanten Grenzkosten in H¨ohe von c und in Abwesenheit von Fixkosten die folgende Gewinnfunktion   (p1 − c) x (p1 ) ∀p1 < p2 (p1 − c) x (p1 )/2 ∀p1 = p2 Π1 (p1 , p2 ) = (3.26)  0 ∀p1 > p2 F¨ ur den zweiten Anbieter ergibt sich eine v¨ollig analoge Funktion. In diesem einfachen Fall kann das Spiel u ¨ber die Technik der Elimination dominierter Strategien gel¨ost werden – auch wenn die Strategievariable stetig variiert werden kann. Angenommen, Anbieter 1 verlangt einen Preis p1 f¨ ur den gilt, dass p2 > p1 > c. Dann ist klar, dass er den ganzen Markt an sich reißen kann und einen positiven Profit macht. Dies kann aber offensichtlich kein Gleichgewicht sein, da Anbieter 2 sich besser stellt durch die Anpassung von p2 auf bzw. leicht unter die H¨ohe von p1 . Anbieter 2 hat f¨ ur p1 > c eine strikt dominante Strategie, n¨amlich seinen Preis unter p1 zu senken. Genau das gleiche gilt f¨ ur Anbieter 1 f¨ ur den Fall, dass p2 > c. Dieses Argument ist also solange richtig bis gilt, dass p1 = p2 = c, d.h. bis zu dem Punkt, in dem die Preise gleich den Grenzkosten sind. Bertrand-Wettbewerb in einem homogenen Duopolmarkt sorgt also f¨ ur das gleiche Ergebnis wie die Marktform der vollst¨andigen Konkurrenz. Wie beim Cournot-Modell des Duopols k¨onnten sich auch hier die beiden Anbieter durch Kooperation besser stellen. Bei vollst¨andiger Kooperation k¨onnten sich beide Anbieter – genau wie beim Cournot-Duopol – den Monopolgewinn teilen. In diesem Fall w¨ urde der Unterschied zwischen Preis- und Mengenwettbewerb verschwinden. Die Gegen¨ uberstellung von Cournot- und Bertrand-Modell des Duopols ist nicht nur per se f¨ ur die Analyse von M¨arkten bei unvollst¨andiger Konkurrenz interessant. Eine wichtige und allgemeinere Botschaft ist hier auch, dass es bei der Formulierung einer Spielsituation sehr auf die ”Details”, in diesem Fall auf die exakte Spezifikation der gew¨ahlten Strategieparameter ankommt. 1 Es ist eine gute und sehr einfache Ubung, ¨ zu u ¨ berlegen, wie die gemeinsame Gewinnmaximierung aussieht. In diesem Fall geht man davon aus, dass die beiden Duopolisten u ¨ bereinkommen, die Gewinnsumme maximieren. 2 Gibbons

(1992), p. 21 f. bietet eine Darstellung von Bertrand-Wettbewerb in einem heterogenen Duopol.

58

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

3.7.3

Das Allmende-Problem

Ein klassisches Problem der Finanzwissenschaft ist die Analyse der Bereitstellung und Nutzung sog. ”¨offentlicher G¨ uter”. Diese zeichnen sich dadurch aus, dass ein Einzelner nicht von deren Benutzung ausgeschlossen werden kann – sich also gerne als Trittbrettfahrer bet¨atigt. Damit w¨ urde der Marktmechanismus nicht oder nur unzul¨ anglich f¨ ur die Bereitstellung solcher G¨ uter Sorge tragen. Umgekehrt gilt, dass ein vorhandenes ¨offentliches ¨ Gut tendenziell der Ubernutzung unterliegt, da bzw. wenn der Einzelne f¨ ur dessen Nutzung nicht oder nicht gen¨ ugend zur Kasse gebeten wird. In diese – wenn auch etwas grobe Schablone – lassen sich fast alle umweltpolitischen Probleme legen. In diesem Abschnitt wird eine ”klassische” Formulierung des Problems ¨offentlicher G¨ uter analysiert, das auf Hardin (1968) zur¨ uckgehende Beispiel der ”tragedy of the commons” (Allmende-Problem). Damit wird gleichzeitig auch ein Spiel gezeigt, in dem eine beliebig große Zahl von Spielern simultan spielt. Die Story geht wie folgt: In einem Dorf gibt es I Bauern, die jeweils si Ziegen halten. si I P ist dabei die Strategievariable f¨ ur die Bauern. Insgesamt gibt es in dem Dorf also Z = si i=1

Ziegen. Da die Dorfwiese (common) nur begrenzt Platz und Futter bietet, ist klar, dass der Wert (Milchleistung, . . . ) einer einzelnen Ziege davon abh¨ angt, wie viele Ziegen es insgesamt gibt. Dieser Wert sei mit u (Z) bezeichnet, wobei eine Indizierung dieser Auszahlungsfunktion mit dem Index i f¨ ur die einzelnen Spieler unterbleibt, da die Funktion als f¨ ur alle identisch unterstellt wird. Plausiblerweise weist diese Funktion die folgenden Eigenschaften auf: u0 (Z) < 0; u00 (Z) < 0, (3.27) da mit jeder zus¨atzlichen Ziege der Wert jeder bereits vorhandenen Ziege sinkt und dieser Effekt an Bedeutung zunimmt, wenn die Ziegenpopulation steigt. Jede Ziege kostet in der Anschaffung außerdem einen konstanten Betrag von c. Dann ist die Zielfunktion eines repr¨asentativen Ziegenbauers gegeben durch Πi = si · u (Z) − c · si ,

(3.28)

Die I Bedingungen erster Ordnung sind dann gegeben durch ∂Πi = u (Z) + s∗i · u0 (Z) − c = 0 ∂si

(3.29)

Damit diese Gleichungen ein Nash-Gleichgewicht darstellen, m¨ ussen sie gelten f¨ ur Z = I P i=1

s∗i = Z ∗ , wobei Z ∗ die Gesamtzahl der Ziegen im Nash-Gleichgewicht bezeichnet. Damit muss (3.29) f¨ ur ein Nash-Gleichgewicht wie folgt geschrieben werden: u (Z ∗ ) + s∗i · u0 (Z ∗ ) − c = 0

(3.30)

Die I Gleichungen (3.30) k¨onnen nun aufsummiert werden u ¨ber alle I Bauern, was zu der Schreibweise I · u (Z ∗ ) + Z ∗ · u0 (Z ∗ ) − I · c = 0 f¨ uhrt, die durch I dividiert werden kann und damit zu folgendem Ergebnis f¨ uhrt u (Z ∗ ) +

Z∗ 0 ∗ · u (Z ) − c = 0. I

(3.31)

¨ Der zweite Term in der Gleichung bildet den Anreiz zur Ubernutzung der Allmende ab. Bei der Entscheidung, ob eine zus¨atzliche Ziege gekauft werden soll, stellt jeder Bauer n¨amlich nur einen kleinen Teil der zus¨atzlichen Abwertung des Weidelandes in Rechnung und zwar proportional zur Anzahl seiner eigenen (und eben nicht aller) Ziegen. (Bei Symmetrie betr¨agt die Anzahl der Ziegen pro Bauer genau Z ∗ /I.)

3.7. WEITERE ANWENDUNGEN

59

Man sieht den Punkt noch deutlicher, wenn ein ”wohlmeinender Diktator” (oder eine funktionierende Bauerngenossenschaft) das Problem der Nutzung der Allmende l¨ost. Dessen Zielfunktion ΠD ist offensichtlich gegeben durch ΠD = Z · u (Z) − Z · c,

(3.32)

wobei bereits hier auffallen sollte, dass die Anzahl der Bauern keine Rolle spielt – was aus Sicht des wohlmeinenden Diktators ja auch plausibel ist. Genauso sollte es n¨amlich f¨ ur die effiziente L¨osung des Allmende-Problems auch sein, da eben die Zahl der Ziegen und nicht die der Bauern f¨ ur die Nutzenfunktion u(·) relevant ist. Die Bedingung erster Ordnung f¨ ur die Optimierung von (3.32) lautet ∂ΠD = u (ZD ) + ZD u0 (ZD ) − c = 0, (3.33) ∂Z wobei ZD den Optimalwert des wohlmeinenden Diktators bezeichnet. (3.33) wird als auch zentrale L¨ osung bezeichnet, w¨ahrend (3.31) die dezentrale L¨ osung charakterisiert. Auch ohne weitere Spezifikation der Funktion u u ¨ber die Eigenschaften 3.27 hinaus, sollte sofort klar sein, dass ZD < Z ∗ ∀I > 1 (3.34) Formal kann man das wie folgt sehen: Angenommen, es gelte Z ∗ = ZD . Dann macht ein Blick auf (3.31) und (3.33) sofort klar, dass dies nur f¨ ur I = 1 erf¨ ullt ist, f¨ ur alle I > 1 also nicht gelten kann. Weiterhin sei angenommen, dass Z ∗ < ZD . Dann w¨are u (Z ∗ ) > u (ZD ), d.h. der erste Summand in (3.31) ist gr¨oßer als in (3.33). Weiterhin w¨are dann Z ∗ /I < ZD und u0 (ZD ) < u0 (Z ∗ ) < 0, d.h. der negative zweite Summand ist betragsm¨aßig kleiner in ∗ (3.33) als in (3.31). Damit w¨are also u (Z ∗ ) + ZI u0 (Z ∗ ) > u (ZD ) + ZD u0 (ZD ), was nicht sein darf, da die linke und rechte Seite dieser Relation offensichtlich nicht verschieden sein d¨ urfen. ¨ Die Intuition hinter dem Ergebnis der Ubernutzung ist recht einfach: Jeder einzelne Bauer stellt bei der Entscheidung u ¨ber eine zus¨atzliche Ziege – im Einklang mit individueller Rationalit¨at – nur die negativen Folgen f¨ ur seine schon vorhandenen Ziegen in Rechnung und nicht die gleichen Folgen f¨ ur die anderen. Er internalisiert also nicht die gesamten Grenzkosten seiner Aktivit¨at. Der wohlmeinende Diktator ber¨ ucksichtigt hingegen alle Kosten und kommt somit zu einer kollektiv optimalen Nutzung. Dies l¨asst sich auf eine etwas andere Weise sehen, wenn wir die Entscheidung u ¨ber eine ¯ anschauen. Der zus¨atzliche Ertrag zus¨ atzliche (marginale) Ziege bei einem Niveau von Z = Z ¡ ¢ dieser Ziege ist dann u Z¯ , egal ob sie von einem einzelnen Bauern oder einem Diktator angeschafft wird. Die Kosten, die dabei in Rechnung gestellt werden, sind jedoch c − |

Z¯ 0 ¡ ¯ ¢ u Z |I {z } <0

{z

(3.35)

}

>0

im Kalk¨ ul eines Bauern und

¡ ¢ ¯ 0 Z¯ c − Zu | {z } <0 | {z }

(3.36)

>0

im Kalk¨ ul des Diktators. Offensichtlich sind also die tats¨achlich in Rechnung gestellten ¨ Grenzkosten bei dem Bauern geringer als beim Diktator, was zur Ubernutzung f¨ uhren muss. Die Parallelit¨at dieser Situation zu vielen anderen Aktivit¨aten mit negativen Externalit¨aten – insb. im Bereich der Umweltverschmutzung – sollte auf der Hand liegen. Abbildung 3.12 auf der n¨achsten Seite fasst die alle Bestandteile der zentralen bzw. dezentralen L¨osung zusammen und sollte keines weiteren Kommentars mehr bed¨ urfen.

60

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

Abbildung 3.12: Das Allmende-Problem: Zentrale vs. dezentrale L¨osung.

3.7.4

Geldpolitik I: Die Nash-L¨ osung des Barro-Gordon-Modells

Die bisherigen spieltheoretischen Anwendungen waren ausnahmslos dem Spektrum mikro¨okonomischer Fragestellungen entnommen. Allerdings hat die Spieltheorie auch weithin Anwendungen f¨ ur genuin makro¨okonomische Probleme gefunden. Eines der vielleicht wichtigsten Anwendungsgebiete war und ist dabei die Theorie der Geldpolitik. Hier wird mit spieltheoretischen Methoden untersucht, wie die strategische Interaktion zwischen der Geldpolitik auf der einen Seite und dem privaten Sektor auf der anderen Seite von den Anreizen der Akteure und insb. der Geldpolitik abh¨angt. Ein sehr wichtiges Ergebnis, das zur¨ uckgeht auf das Papier von Barro/Gordon (1983), besagt, dass die Geldpolitik bei einer zus¨atzlichen Fixierung auf reale Ziele (also Besch¨aftigungsgrad, realer Output oder ¨ahnlichem) zu einer unerw¨ unscht hohen Inflation neigt, ohne letztlich an der Besch¨aftigungssituation irgendetwas zu ¨andern. Daraus folgt auf der politischen Ebene dann die W¨ unschbarkeit einer von der Regierung unabh¨angigen Geldpolitik – wie wir sie mit der Europ¨aischen Zentralbank auch tats¨achlich haben.1 In diesem Abschnitt wird nun ein sehr einfaches Grundmodell vorgestellt, das die Idee von Barro/Gordon (1983) auf die denkbar einfachste Weise zusammenfasst. In sp¨ateren Kapiteln 1 Der wesentliche analytische Kern – dass n¨ amlich ex ante optimale Politiken ex post nicht mehr optimal und damit zeitinkonsistent sein k¨ onnen – wurde jedoch schon etwas zuvor in einem Aufsatz von Kydland/Prescott (1977) erarbeitet. Es war nicht nur, aber vor allem dieser Aufsatz, der diesen beiden ¨ Okonomen den Nobelpreis 2004 eintrug.

3.7. WEITERE ANWENDUNGEN

61

wird dieses Grundmodell verfeinert und modifiziert werden, um zus¨atzliche Aspekte dieser Interaktion (wiederholtes Spiel, Unsicherheit, . . . ) mit einzubeziehen. Die Darstellung geht dabei davon aus, dass die Zentralbank auf Weisung der jeweiligen Regierung agiert, d.h. keine eigenst¨andigen Ziele verfolgt. Die Regierung (Zentralbank) setzt ihr geldpolitisches Instrumentarium so ein, dass ihre Nutzenfunktion 2 uG = −απ 2 − (y − y˜) (3.37) maximiert wird.1 π bezeichnet dabei die Inflationsrate, y den Output und y˜ den Zieloutput der Regierung, der beispielsweise konsistent ist mit Vollbesch¨aftigung. Abweichungen der Inflationsrate von einem Zielwert von Null und Abweichungen von dem Outputziel gehen jeweils negativ und mit steigendem Grenzleid in die Nutzenfunktion ein. Der Parameter α reflektiert die Bedeutung des Inflationsziels relativ zum Outputziel. Eine Zentralbank, die sich ausschließlich der Inflationsbek¨ampfung widmet (”inflation nutter”) kann durch α → ∞ charakterisiert werden. Es ist etwas bequemer – und in der Literatur u ¨blich – anstelle der Nutzenfunktion (3.37) die folgende Verlustfunktion zu postulieren: LG = −uG = απ 2 + (y − y˜)

2

(3.38)

Nat¨ urlich sind die Maximierung von (3.37) und die Minimierung (3.38) v¨ollig ¨aquivalent. Das Umfeld der Geldpolitik kann in der denkbar k¨ urzesten Weise durch die Phillipskurve beschrieben werden: y = y N + β (π − π e ) (3.39) π e ist die vom privaten Sektor erwartete Inflationsrate. y N bezeichnet das ”nat¨ urliche” Outputniveau. Aufgrund von Unvollkommenheiten auf Arbeits- und G¨ uterm¨arkten kann das y N geringer sein als der mit Vollbesch¨aftigung kompatible Zieloutput der Regierung y˜. Dieser Gedanke kann formalisiert werden durch die Beziehung y˜ = γ · y N ,

(3.40)

wobei der Parameter γ > 1 als Maß f¨ ur die genannten Marktunvollkommenheiten dienen kann. Der zweite Spieler in diesem Modell ist der private Sektor. Hier k¨onnte nun eine ausf¨ uhrliche Modellierung erfolgen, die z.B. Strukturaspekte von Lohnverhandlungen beinhaltet, hier soll es jedoch gen¨ ugen, dem privaten Sektor einfach zu unterstellen, dass er nicht systematischen Erwartungsirrt¨ umern unterliegen will, sondern seine Erwartungen – in Kenntnis ¨ der Zielfunktion (3.38) und dem ”Modell der Okonomie” (3.39) – so bildet, dass sie auch erf¨ ullt werden. Dieses Verhalten l¨asst sich also einfach zusammenfassen als π = πe ,

(3.41)

was der Hypothese Rationaler Erwartungsbildung entspricht. Damit sind die Zielfunktionen der Akteure und das Modell beschrieben. Die beiden Spieler sind die Regierung und der private Sektor, die Zielfunktion der Regierung ist (3.38), die Zielfunktion der privaten Sektors ist in diesem Modell zwar nicht explizit gemacht, dessen Verhalten aber in (3.41) zusammengefasst. Die Strategievariable der Regierung ist die Inflationsrate, diejenige des privaten Sektors ist die Inflationserwartung. Damit liegt ein ”Spiel” vor, dessen Nash-Gleichgewicht nun bestimmt werden kann. Der erste Schritt dazu besteht in der Ermittlung der Reaktionsfunktion π (π e , . . .) der Geldpolitik. 1 H¨ aufig wird auch eine Verlustfunktion der Gestalt −uG postuliert, die dann nat¨ urlich zu minimieren ist. Selbstverst¨ andlich ¨ andert dies nichts am Ergebnis der Analyse.

62

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

Dazu muss die Zielfunktion (3.38) in eine Form gebracht werden, in der außer exogenen Konstanten nur noch die beiden Strategievariablen π und π e enthalten sind. Dazu wird mit Hilfe von (3.39) y aus (3.38) eliminiert. Weiterhin wird mit (3.40) y˜ eliminiert. Dies f¨ uhrt zu ¡ ¢2 LG = απ 2 + (1 − γ) y N + β (π − π e )

(3.42)

Minimierung dieser Funktion u ¨ber π ergibt ¡ ¢ ∂LG = 2απ + 2β (1 − γ) y N + β (π − π e ) = 0, ∂π

(3.43)

woraus sich sofort die Reaktionsfunktion der Regierung als π=

¢ β ¡ e βπ + (γ − 1) y N 2 α+β

(3.44)

errechnet. Zu beachten ist, dass f¨ ur γ > 1 die optimale Reaktion der Regierung auf Inflationserwartungen in H¨ohe von Null die Setzung einer positiven Inflationsrate ist. Diese Reaktionsfunktion ist in Abbildung 3.13 auf der n¨achsten Seite als durchgezogene Linie zu sehen. Die Reaktionsfunktion des privaten Sektors ist aufgrund der extrem sparsamen Modellierung einfach durch Gleichung (3.41) gegeben und in Abbildung 3.13 auf der n¨achsten Seite als Winkelhalbierende zu sehen. Das Nash-Gleichgewicht f¨ ur die Inflationsrate errechnet sich durch Einsetzen von (3.41) in (3.44) und lautet (γ − 1) β N π= y . (3.45) α Das dazugeh¨orige Outputniveau ergibt sich durch Einsetzen von (3.41) in die Phillipskurve (3.39) als y = yN . (3.46) Damit liegt wieder ein Beispiel vor, in dem ein Nash-Gleichgewicht eine offenkundig ineffiziente L¨osung darstellt, da f¨ ur π = π e = 0 das gleiche Outputniveau d.h. y N erreicht werden k¨onnte und die gesellschaftliche Wohlfahrt gem¨aß (3.37) h¨oher w¨are. Der L¨osung (3.46) ist zu entnehmen, dass f¨ ur das in (3.40) zum Ausdruck kommende u ¨berambitionierte Outputziel aufgrund von Marktunvollkommenheiten nur eine Zentralbank dieses effiziente Ergebnis erzielt, die sich ausschließlich dem Inflationsziel verpflichtet f¨ uhlt, die also so handelt, als ob α → ∞. Dies erkl¨art die weltweite Tendenz zu Zentralbankverfassungen, in denen genau diese Zielvorgabe gemacht wird und ein Eingreifen der gew¨ahlten Regierung nicht oder nur sehr schwer m¨oglich ist. Abbildung 3.13 auf der n¨achsten Seite zeigt die Reaktionsfunktionen und das NashGleichgewicht dieses Spiels.

3.7. WEITERE ANWENDUNGEN

Abbildung 3.13: Das Barro-Gordon-Modell

63

64

KAPITEL 3. NICHTKOOPERATIVE SPIELE I

Kapitel 4

Nichtkooperative Spiele II: Dynamische Spiele mit vollkommener Information und wiederholte Spiele 4.1

Lernziele

In diesem Kapitel werden Spielsituationen analysiert, in denen die Spieler zeitlich bzw. logisch nacheinander ihre Entscheidungen treffen (dynamisches Spiel) und dabei genau die Geschichte des Spiels kennen, d.h. bei jeder Entscheidung wissen, an welchem Knoten eines Spielbaums sie sich befinden (vollkommene Information). Die Struktur solcher Spiele kann nur durch die extensive Form ad¨aquat zum Ausdruck gebracht werden; in der Normalform ist diese Information nicht mehr enthalten. Deshalb werden dynamische Spiele auch als extensive form games bezeichnet. Das erste zentrale Anliegen dieses Kapitels besteht in der Analyse und Anwendung dieser Klasse von Spielen. Dazu wird in Abschnitt 4.2 auf der n¨achsten Seite das L¨osungskonzept der sog. R¨ uckw¨ artsinduktion eingef¨ uhrt. Dabei handelt es sich um ein L¨osungskonzept, bei dem die rationalen Spielz¨ uge (zeitlich und/oder logisch) von hinten nach vorne identifiziert werden. Durch diese sequentielle Vorgehensweise wird ein Spiel letztlich in verschiedene Teilspiele zerlegt. Dieses Konzept und die Anforderung an eine L¨osung f¨ ur ein aus mehreren Teilspielen bestehendes Spiel – die Eigenschaft der Teilspielperfektheit – sind Gegenstand des Abschnitts 4.3 auf Seite 69. Eine ganz andere Dimension der zeitlichen Gliederung von Spielen ist die M¨oglichkeit, dass ein und dasselbe Spiel – egal ob es dynamischer oder statischer Natur ist – wiederholt gespielt wird. Bei sehr vielen Interaktionen auf wirtschaftlichem Gebiet, aber auch außerhalb dieses Bereichs, sind Wiederholungen von gleichen Situationen ein ganz wesentliches Merkmal. Daher widmet sich Abschnitt 4.4 auf Seite 72 der Theorie wiederholter Spiele. Es wird sich dabei zeigen, dass es von großer Bedeutung f¨ ur die L¨osung des wiederholten Spiels ist, ob die Situation von vorneherein nur eine wohldefinierte und endliche Zahl von Wiederholungen vorsieht, oder ob dies nicht der Fall ist und eine jedenfalls potentiell unendliche Zahl von Wiederholungen stattfinden kann. Abschnitt 4.5 auf Seite 84 befasst sich dann mit einigen Anwendungen dynamischer und wiederholter Spiele. Dabei geht es zun¨achst um die Dynamisierung des CournotDuopolmodells aus Abschnitt 3.7.1 auf Seite 55; hier wird unterstellt, dass die beiden Spieler ihre Mengen in einer bestimmten Reihenfolge, also zeitlich bzw. logisch nacheinander setzen. 65

66

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

Die zweite Anwendung betrifft zwei Modifikationen des Barro-Gordon-Modells, dessen einfachste, d.h. statische Version auch bereits im zweiten Abschnitt behandelt wurde. Zum einen wird die Struktur des privaten Sektors etwas reicher modelliert und ebenfalls eine zeitliche ¨ Struktur postuliert, was zu ”dramatischen” Anderungen des Ergebnisses relativ zur Modellierung des Abschnitts 3.7.4 auf Seite 60 f¨ uhrt. Schließlich wird die Theorie wiederholter Spiele auf die Barro-Gordon-Struktur angewandt.

4.2

R¨ uckw¨ artsinduktion Life can only be understood backwards, but it must be lived forwards.” (Soren Kierkegaard, zitiert nach Rasmusen, 2001, p. 110)

Im einfachsten Fall eines dynamischen Spiels mit vollst¨andiger Information treffen zwei Spieler nacheinander ihre Entscheidungen. Nennen wir diese Spieler 1 und 2. Da keinerlei Informationsdefizite in diesem Spiel vorliegen, kann Spieler 1 das Verhalten von Spieler 2 perfekt antizipieren; da der payoff f¨ ur Spieler 1 von dem Verhalten des Spielers 2 abh¨angt, ¨ wird er dies selbstverst¨ andlich in Rechnung stellen. Diese Uberlegung etabliert das Prinzip bzw. das L¨ osungskonzept der R¨ uckw¨ artsinduktion.1 Dieses L¨osungskonzept identifiziert die Wahl einer gleichgewichtigen Strategienkombination dadurch, dass eine dynamische Situation von hinten nach vorne durchdacht wird. Zumindest in einer sehr u ¨bersichtlichen Situation ist dieses Prinzip so einleuchtend, dass auch ohne n¨ahere Begr¨ undung dessen Anwendung fast zwingend erscheint. So wurde im Paradiesspiel bereits das Prinzip der R¨ uckw¨artsinduktion angewandt, indem zuerst die (logisch zweite) Entscheidung von Adam und Eva u ¨ber ”essen” bzw. ”nicht essen” analysiert wurde und erst danach die (logisch erste) Entscheidung von Gott u ¨ber ”verbieten” bzw. ”nicht verbieten”. Selbstverst¨andlich hat die Idee der R¨ uckw¨artsinduktion in einem statischen Spiel keinerlei Bedeutung, da hier die Struktur des Spiels keine Reihenfolge etabliert. Die Darstellung der vollst¨andigen Struktur eines dynamischen Spiels erfolgt mit Hilfe der bereits bekannten extensiven Form. Eine oft benutzte Alternative dazu ist die Zeitlinie (oder Zeitpfad) eines Spiels. Diese veranschaulicht die logische Reihenfolge sowohl von Spielz¨ ugen als auch ggf. exogener Ereignisse, die in Spielen mit Unsicherheit v.a. die Realisation ex ante unbekannter Schocks darstellen. Abbildung 4.1 auf der n¨achsten Seite zeigt die Zeitlinien f¨ ur das Paradiesspiel aus Kapitel 2 sowie f¨ ur eine Modifikation des Oligopolspiels aus Abschnitt 3.7.1 auf Seite 55, in dem die beiden Anbieter nicht simultan, sondern nacheinander ihre Mengen setzen. Diese Situation wird in den Anwendungen zu diesem Kapitel n¨aher erl¨autert werden. In Teil (b) der Abbildung 4.1 auf der n¨achsten Seite wird außerdem noch ein stochastischer Nachfrageschock in das Spiel eingef¨ uhrt (es handelt sich also um ein in diesem Kapitel nicht untersuchtes Spiel unter Unsicherheit). Ein solcher Schock ver¨andert die Entscheidung der beiden Anbieter insoweit, als diese bei ihrer Entscheidung nicht genau u ¨ber die Lage der Nachfragekurve Bescheid wissen. Die Idee der R¨ uckw¨ artsinduktion l¨asst sich in dem oben eingef¨ uhrten Rahmen mit zwei Spielern, die nacheinander Entscheidungen treffen und je eine stetig variierbare Strategievariable haben, wie folgt beschreiben. Der zuletzt ziehende Spieler 2 l¨ost das Problem max u2 (s2 |s1 ) . s2

(4.1)

Die Schreibweise in (4.1) bringt zum Ausdruck, dass dies bereits f¨ ur eine gegebene und beobachtbare Auspr¨agung der Strategievariable des Spielers 1 erfolgt. Generell, d.h. f¨ ur eine beliebige Auspr¨agung von s1 kann die L¨osung von (4.1) als Reaktionsfunktion geschrieben werden: 1 In der dynamischen Optimierungsrechnung beschreibt das sog. Bellman-Prinzip ein analoges Vorgehen ”von hinten nach vorne”.

¨ ¨ 4.2. RUCKW ARTSINDUKTION

67

(a) Gott entscheidet „v“ oder „nv“

A+E entscheiden „e“ oder „ne“

Zeit

(b) Duopolist 1 Duopolist 2 setzt Menge setzt Menge

Nachfrageschock

Preise, Zeit Gewinne

Abbildung 4.1: R¨ uckw¨ artsinduktion Zeitlinien sind gerade bei dynamischen Spielen mit stetig variierbaren Strategien eine n¨ utzliche Alternative zur extensiven Form. (a) zeigt die Zeitlinie des Paradiesspiels, (b) ein Stackelberg-Duopol-Spiel mit stochastischer Nachfrage.

∂u2 (s2 |s1 ) = 0 ⇔ s∗2 = r2 (s1 ) . ∂s2

(4.2)

Spieler 1 kennt sowohl das Problem seines Gegenspielers (4.1) als auch dessen L¨osung (4.2); daher kann das Problem von Spieler 1 geschrieben werden als max u1 (s1 , s2 ) = max u1 (s1 , r2 (s1 )) s1

s1

(4.3)

Die L¨osung dieses Problems ist gegeben durch ∂u1 =0 ∂s1

(4.4)

uckw¨ artund wird mit s∗1 bezeichnet. Das Strategienpaar (s∗1 , s∗2 ) ist das Ergebnis der R¨ sinduktion. Folgende Bemerkungen zu dieser L¨osungsprozedur sind hilfreich: • Viele ¨okonomische Situationen lassen sich in die – zugegebenermaßen abstrakt klingende – Schablone hintereinander folgender Entscheidungen von zwei oder mehr Akteuren pressen. Darunter fallen die Stackelberg-L¨osung eines oligopolistisch strukturierten Marktes, die Entscheidungen von Gewerkschaften und Firmen u ¨ber L¨ohne und Besch¨aftigung und viele andere mehr. • (4.2) und (4.4) unterscheiden sich von der Nash-L¨osung des statischen Spiels (3.9) und (3.10) dadurch, dass Spieler 1 bei seiner L¨osung die Reaktionsfunktion des Spielers 2 bereits in Rechnung stellt. Diese Modifikation kann die Natur der L¨osung dramatisch ¨andern, d.h. das Nash-Gleichgewicht des dynamischen Spiels kann (muss aber nicht) ein v¨ ollig anderes sein als bei simultanen Entscheidungen. • Wenn ein statisches Spiel mehrere Nash-Gleichgewichte aufweist, kann eine dynamische Struktur bei der Selektion zwischen diesen Gleichgewichten helfen. R¨ uckw¨artsinduktion kann also als eine feinere Methode zur Vorhersage der L¨osung des Spiels verstanden werden. Durch die Einf¨ uhrung der dynamischen Struktur k¨onnen bestimmte Nash-Gleichgewichte des statischen Spiels ”¨ uberleben”, andere hingegen nicht. uckw¨artsinduktion ist die Tatsache, • Eine wichtige Eigenschaft der L¨osung durch R¨ dass diese keine unglaubw¨ urdigen Drohungen erlaubt. Anders gesagt: Die einzige glaubw¨ urdige Reaktion des Spielers 2 ist gegeben durch seine Reaktionsfunktion

68

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II (4.2); nur diese ist konsistent damit, dass Spieler 2 Rationalverhalten an den Tag legt. Glaubw¨ urdigkeit ist in der Tat ein ganz zentrales Element in dynamischen Spielen. Es ist wohl eine der wichtigsten Errungenschaften der Spieltheorie, f¨ ur Fragen der Glaubw¨ urdigkeit einen stringenten Analyserahmen anbieten zu k¨onnen.

F¨ ur eine denkbar einfache Illustration der beiden letzten Punkt k¨onnen wir wieder ”Battle of the Sexes” heranziehen. Die extensive Form dieses Spiels wurde bereits in Abbildung 2.16 auf Seite 32 eingef¨ uhrt, wobei dort zwei ¨aquivalente Darstellungen f¨ ur das statische Spiel gegeben werden konnten. Die beiden Teile von Abbildung 4.2 geben nun eine zeitliche Struktur vor und lassen Peter bzw. Petra zuerst entscheiden, wobei der jeweils andere die zuerst getroffene Entscheidung kennt. Es leuchtet sofort ein, dass hier die jeweils fett gedruckten Strategiekombinationen ein Gleichgewicht darstellen.

Peter

Petra

Petra k.

B ox k. Box Ba lle t t

Ballett . Boxk

Ballett (a)

(2,1) (0,0) (0,0) (1,2)

Peter k. Box

(2,1)

k. Box

Ballett

Ba llet t

. Boxk

(0,0) (0,0)

Ballet t

(1,2)

(b)

Abbildung 4.2: R¨ uckw¨artsinduktion bei battle of sexes Durch die Annahme einer zeitlichen Struktur kann in Battle of the Sexes (jeweils) ein eindeutiges Ergebnis durch R¨ uckw¨artsinduktion ermittelt werden. Abbildung 4.2 eignet sich auch, um die Idee der Glaubw¨ urdigkeit einer Ank¨ undigung zu verdeutlichen. Angenommen, die zeitliche Struktur sein durch Abbildung 4.2 (a) gegeben. Petra k¨onnte bei dieser Sequenz versucht sein, damit zu drohen, unabh¨angig von Peter’s Entscheidung ins Ballett zu gehen – nat¨ urlich in der Hoffnung, dass deshalb auch Peter sich in der ersten Stufe daf¨ ur entscheidet. Sollte Peter die Drohung glauben? Die Antwort lautet eindeutig nein, da sich Petra nach Peters Entscheidung f¨ ur ”Boxkampf” selbst schaden w¨ urde, wenn sie die Ank¨ undigung in die Tat umsetzt. Petra’ Drohung w¨are also unglaubw¨ urdig und ist somit irrelevant. Zum Schluss dieses Abschnitts wird noch eine weitere Illustration f¨ ur das L¨osungskonzept der R¨ uckw¨artsinduktion eingef¨ uhrt. Nennen wir dieses Spiel Der Letzte wird der Erste sein Zwei Personen sitzen vor einem Stapel mit 10 Karten und d¨ urfen nacheinander abheben. Die Regel ist, dass jeder Spieler entweder eine oder zwei Karten aufnehmen muss. Gewonnen hat derjenige Spieler, der die letzte Karte nimmt. Spieler 1 hat das Recht, zuerst zu ziehen. Auch hier kann die L¨osung vom Ende des Spiels her gedacht werden: Spieler 1 hat den sicheren Sieg in der Tasche, wenn er es schafft, dass Spieler 2 vor einem Stapel mit 3 Karten sitzt – dann kann dieser eine oder zwei Karten nehmen, was Spieler 1 dann den Sieg sichert. Abbildung 4.3(a) zeigt die Logik des Arguments. Um diese Situation herzustellen, muss Spieler 1 sicherstellen, dass Spieler 2 einmal vor einem Stapel mit 6 Karten sitzt – die Logik sollte nunmehr klar sein und ist in Teil (b) von Abbildung 4.3 zu sehen. Treibt man dieses Spiel noch eine Stufe weiter, so ist klar, dass Spieler 1 versuchen sollte, Spieler 2 vor einen Stapel mit 9 Karten zu setzen – was er problemlos tun kann, indem er zuerst eine Karte nimmt. Dies ist f¨ ur Spieler 1 Teil einer dominanten Strategie. Danach besteht

4.3. TEILSPIELE UND TEILSPIELPERFEKTE GLEICHGEWICHTE

69

die dominante Strategie darin, immer 2 (1) Karte(n) zu nehmen, wenn Spieler 2 zuvor 1 (2) Karte(n) genommen hat. Mit dieser Strategie kann Spieler 1 den Sieg sicherstellen. Sp 2

Erg. für Sp 1 Sieg

Sp 1

Sp 2

1

Restkarten 4

1

1

Niederlage

2

Sieg (a)

6 Karten

3 Karten

2

Sp 1

1

5 2

2

4 1

2

3 3 2

(b)

Abbildung 4.3: R¨ uckw¨ artsinduktion bei einem Kartenspiel (a) Sitzt Spieler 2 vor drei Karten, kann Spieler 1 eine Sieg sicherstellen; (b) Sitzt Spieler 2 vor 6 Karten, kann Spieler 1 eine Situation mit 3 Karten erzwingen.

4.3

Teilspiele und teilspielperfekte Gleichgewichte

Der Schl¨ ussel zur Identifikation einer dominanten Strategie in dem gerade analysierten Spiel ist die Abbildung 4.3(a). Hier werden verschiedene Konstellationen f¨ ur die beiden letzten Z¨ uge des gesamten Spiels angeschaut, d.h. es handelt sich um ein Teilspiel (subgame). Diese M¨oglichkeit der Zerlegung eines Spiels in mehrere Teilspiele steht im Zentrum einer wichtigen Verfeinerung der Idee von Nash-Gleichgewichten, wie sie in Abschnitt 2.7.3 auf Seite 37 eingef¨ uhrt wurde, n¨amlich des Konzepts eines teilspielperfekten Gleichgewichts.1 Um diese zu verstehen, muss zun¨achst ein Teilspiel definiert werden. Definition: Ein Teilspiel ist ein Teil eines dynamischen Spiels mit den folgenden Eigenschaften: (a) das Teilspiel muss an einem Knoten beginnen, der f¨ ur alle Spieler eine vollst¨ andige Informationsmenge ist; (b) das Teilspiel muss an Endknoten enden, die f¨ ur alle Spieler eine Auszahlung angeben. Anforderung (a) legt fest, dass ein Teilspiel einen klar definierten Beginn haben muss, und jeder Spieler mit Sicherheit weiß, dass es auch in diesem Punkt beginnt. Petras Entscheidung in Abbildung 4.2 auf der vorherigen Seite (a) ist also ein Teilspiel, da sie Peters Entscheidung kennt; die gleiche Entscheidung ohne diese Kenntnis (wie in Abbildung 3.2 auf Seite 43 illustriert) ist hingegen kein Teilspiel. Anforderung (b) impliziert, dass Abbildung 4.3 (a) ein Teilspiel ist, Abbildung 4.3 (b) jedoch nicht; allerdings k¨onnte an die vier Knoten am rechten Ende von Abbildung 4.3 (b) der ”Rest der Geschichte” (die in zwei Knoten Abbildung 4.3 (a) entspricht) angeh¨angt werden, was dann wieder zu einem Teilspiel f¨ uhren w¨ urde. Man kann sich anhand obiger Definition leicht verdeutlichen, dass jedes Spiel mit vollkommener Information Teilspiele aufweisen muss. Außerdem gilt, dass ein statisches Spiel (in dem die Spieler gleichzeitig ziehen) kein anderes Teilspiel aufweist als das Spiel selbst. Ein ber¨ uhmt gewordenes Beispiel aus der Industrie¨okonomik, das so genannte chain store paradoxon bzw. Marktzutrittsspiel, soll diese Idee illustrieren.2 Es geht hierbei um die Frage, ob der Inhaber einer marktbeherrschenden Stellung sich gegen die Etablierung 1 Vor allem f¨ ur die Entwicklung dieser Idee erhielt Reinhard Selten im Jahr 1994 den Nobelpreis f¨ ur ¨ Okonomie. Formuliert wurde die Idee in Selten (1965) in einem deutschsprachigen Aufsatz. Durch das Papier von Selten (1975) in englischer Sprache wurde die Idee allerdings erst international wirklich zur Kenntnis genommen. 2 Was genau an diesem Spiel paradox ist, wird sich erst im Kontext eines wiederholten Spiels Abschnitt 4.4.2 auf Seite 74 erschließen.

70

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

von Konkurrenz zur Wehr setzen w¨ urde und damit, ob man davon ausgehen sollte, dass es u ¨berhaupt zu Markteintritten kommt. Die Theorie dynamischer Spiele gibt hier zwar nicht eine eindeutige Antwort, liefert aber das analytische Ger¨ ust.1 Folgende Geschichte liegt dem Spiel zugrunde: Ein Warenhauskonzern beherrscht einen oder mehrere lokale M¨arkte. Auf einem solchen lokalen Markt kann sich nun ein potentieller Newcomer u ¨berlegen, ob er den Warenhauskonzern herausfordert und ebenfalls als Anbieter auf den Plan tritt. Entscheidet er sich f¨ ur einen Markteintritt, so kann der Warenhauskonzern diesen mit einer aggressiven Strategie (z.B. durch einen Preiskampf `a la Bertrand-Duopol-Modell; vgl. Abschnitt 3.7.2 auf Seite 57 zu bek¨ampfen versuchen oder aber die bisherige Monopolrente mit dem neuen Konkurrenten teilen, ihn also dulden. Die m¨oglichen Auszahlungen ergeben sich wie folgt: Die Monopolrente betrage 100, die Marktzutrittskosten f¨ ur den Newcomer 10 Geldeinheiten, im Fall von ”Duldung” wird angenommen, dass der Monopolgewinn gleich zwischen den beiden Spielern geteilt werden kann, wobei der Newcomer daraus allerdings noch die Marktzutrittskosten zu bestreiten hat. Abbildung 4.4 zeigt die Normalform dieses Spiels.

Konzern dulden

bekämpfen

eintreten

(40, 50)

(-10, 0)

nicht eintreten

(0, 100)

(0, 100)

Newcomer

Abbildung 4.4: Das chain store paradoxon Die Normalform des Marktzutrittsspiels weist zwei Nash-Gleichgewichte auf. ¨ Die u ¨blichen Uberlegungen zum Nashgleichgewicht in der Normalform (d.h. ohne die Ber¨ ucksichtigung der dynamischen Struktur) weisen hier sowohl {eintreten, dulden} als auch {nicht eintreten, bek¨ampfen} als Nash-Gleichgewichte im Sinne wechselseitig bester Antworten aus. Allerdings leuchtet es ein, dass das zweite dieser Gleichgewichte nicht besonders plausibel ist – und dies gleich aus zwei Gr¨ unden: • Der erste Grund ist fast trivial: Was sollte der Konzern bek¨ampfen, wenn der Newcomer sich gegen den Markteintritt entscheidet? Im Grunde ist diese Situation gar nicht definiert – was in der Normalform dadurch zum Ausdruck kommt, dass die Auszahlungen in der unteren Zeile identisch sind. ur den Konzern unter keinen • Wichtiger ist der zweite Grund: ”Bek¨ampfen” ist f¨ Umst¨ anden eine glaubw¨ urdige Strategie. Denn wenn sich der Newcomer zum Markteintritt entschlossen hat, schadet sich der Konzern nur selbst – verh¨alt sich also irrational. Wenn also sowohl Rationalverhalten als auch vollkommene Information vorausgesetzt werden k¨onnen, so ist die Drohung mit ”Bek¨ampfen” nicht glaubw¨ urdig und kann daher ignoriert werden. Die extensive Form in Abbildung 4.5 auf der n¨achsten Seite bringt diesen Punkt besser zum Ausdruck. Die Entscheidung des Konzerns auf der zweiten Stufe – abgegrenzt durch das Rechteck – ist ein Teilspiel, das eine klare L¨osung aufweist: Die Duldung des Newcomers ist die rationale 1 Diese

Klasse von Spiele wurde ebenfalls von Reinhard Selten (1978) analysiert.

4.3. TEILSPIELE UND TEILSPIELPERFEKTE GLEICHGEWICHTE

Newcomer

71

Warenhauskonzern (40, 50) den dul

r eint

eten

nic ein ht tret en

bek

äm p

fen

(-10, 0)

(0, 100)

Abbildung 4.5: Die extensive Form des Marktzutrittspiels In dieser Form l¨asst sich die Zerlegung in Teilspiele gut darstellen.

Wahl f¨ ur den Konzern, ist also die L¨osung des in Abbildung 4.5 auf der n¨achsten Seite durch das Rechteck abgegrenzten Teilspiels. Man spricht dabei von einem teilspielperfekten (Nash-) Gleichgewicht (subgame equilibrium oder subgame perfect Nash equilibrium). Diese Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts-Konzepts soll nun allgemein definiert werden: Definition: Eine Strategienkombination ist ein teilspielperfektes Gleichgewicht, wenn diese (a) ein Nash-Gleichwicht f¨ ur das gesamte dynamische Spiel ist und (b) ein NashGleichgewicht f¨ ur jedes Teilspiel ist. Daher ist die Kombination {nicht eintreten, bek¨ampfen} zwar ein Nash-Gleichgewicht, nicht aber ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, da nach dem ausbleibenden Eintritt des Newcomers auf der zweiten Stufe des Spiels ”bek¨ampfen” nicht optimal ist. Das L¨osungskonzept des teilspielperfekten Gleichgewichts f¨ uhrt hier also zu einer hilfreichen Reduktion der Zahl der plausiblen Gleichgewichte. Dieses Ergebnis darf nat¨ urlich nicht so interpretiert werden, dass es niemals zu einem Preiskrieg kommen kann; mindestens drei Klassen von Situationen sind vorstellbar, in denen dies doch passieren kann. Die einfachste M¨oglichkeit ist die, dass einfach andere Auszahlungen vorliegen und der Konzern eine einfachere Bek¨ampfungsstrategie hat – oder aber schlicht per se Nutzen daraus zieht (¨ uber den Gewinn hinaus), einen Konkurrenten aus dem Feld geschlagen zu haben. Abbildung 4.6 auf der n¨achsten Seite zeigt eine solche Situation sowohl in Normalform als auch in extensiver Form. Mit den dort angenommenen Auszahlungen ist {nicht eintreten; bek¨ampfen} das einzige Nash-Gleichgewicht. Es ist auch das einzige teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht, weil alle m¨oglichen L¨osungen des umrahmten Teilspiels f¨ ur den Newcomer schlechter w¨aren als die genannte L¨osung.1 In diesem Fall ist also die Androhung einer Bek¨ ampfung des Newcomers durch den Konzern glaubw¨ urdig, weil Bek¨ampfung dem wohlverstandenen Interesse des Konzerns und damit Rationalverhalten entspricht. Daraus kann die Lehre gezogen werden, dass es f¨ ur einen potentiellen Newcomer von gr¨oßter Wichtigkeit ist, welche Gewinneinbußen er einem im Markt befindlichen Unternehmen zuf¨ ugen kann und u ¨ber welche Bek¨ampfungsstrategien dieses verf¨ ugt. Die zweite M¨oglichkeit, Bek¨ampfung von Markteintritt zu erkl¨aren beruht darauf, dass die Situation in des Marktzutrittsspiels nicht als one-shot game verstanden wird, sondern potentiell wiederholt gespielt wird. Es leuchtet intuitiv ein, dass in diesem Fall ein im Markt bereits agierender Akteur ein Interesse haben kann, Kampfbereitschaft zu signalisieren und dieses auch falls notwendig unter Beweis zu stellen. Es k¨onnte also zum Aufbau von Reputation kommen. Diese Dinge werden im n¨achsten Abschnitt, der sich mit der 1 Nur zur Ubung ¨ des Jargons: {eintreten, bek¨ ampfen} ist ein Nash-Gleichgewicht des eingerahmten Teilspiels. Es ist aber kein teilspielperfektes Gleichgewicht, weil es kein Nash-Gleichgewicht des gesamten Spiels ist.

72

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

Konzern dulden

bekämpfen

eintreten

(40, 50)

(-10, 60)

nicht eintreten

(0, 100)

(0, 100)

Newcomer

Newcomer

Warenhauskonzern (40, 50) lden

du r eint

eten

nic ein ht tret en

bek

äm p

fen

(-10, 60)

(0, 100)

Abbildung 4.6: Das Marktzutrittspiels und die Glaubw¨ urdigkeit einer Drohung Hier ist nicht eintreten, bek¨ampfen das einzige Nash-Gleichgewicht; dieses weist auch die Eigenschaft der Teilspielperfektheit auf.

Theorie wiederholter Spiele befasst, n¨aher behandelt. Die dritte M¨oglichkeit besteht schließlich darin, dass sich die Akteure u ¨ ber Auszahlungen und/oder Verhalten des Gegenspielers nicht v¨ ollig sicher sind. Im Kontext des Marktzutrittsspiels bedeutet dies, dass der Newcomer eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit wahrnimmt, dass der Konzern quasi ”aus Versehen” doch die (f¨ ur ihn nach wie vor unvorteilhafte) Strategie ”bek¨ampfen” w¨ahlt. In diesem Umfeld sind andere Gleichgewichte als das hier beschriebene vorstellbar. Aufgrund der Unsicherheit bei der Entscheidung spricht man von trembling hand equilibria.1 Damit sind wir in einer Situation mit unvollkommener Information, wie sie im n¨achsten Kapitel analysiert wird.

4.4 4.4.1

Wiederholte Spiele Begriffliches

Das Marktzutrittsspiel ist nur ein (fast) beliebig herausgegriffenes Beispiel f¨ ur die M¨oglichkeit, dass ein Spiel wiederholt gespielt werden kann. In der Tat werden die meisten Spiele wiederholt gespielt: Ein potentieller Newcomer kann einen Markteintritt immer wieder in Erw¨agung ziehen, Oligopolisten k¨onnen mehr oder weniger h¨aufig neue Mengen oder Preise 1 Die Metapher der ”zitternden Hand” bringt gut die Idee zum Ausdruck, dass die Entscheidung in einem v¨ ollig deterministischen Rahmen zwar klar und eindeutig ist, man aber trotz dieser Klarheit nie v¨ ollig sicher sein kann, dass Akteure von der optimalen Strategie abweichen.

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE

73

setzen, L¨ohne k¨onnen nach dem Ende der Laufzeit eines Tarifvertrags neu ausgehandelt werden. Daher ist es nahe liegend, sich mit der Theorie wiederholter Spiele zu befassen. Dabei soll zun¨achst auf einen taxonomischen Punkt eingegangen werden, da dieser Punkt bisweilen auch in der Lehrbuchliteratur etwas untergeht: Sowohl statische als auch dynamische Spiele k¨ onnen als wiederholte Spiele gespielt werden. Abbildung 4.7 zeigt in Teil (a) eine Zeitlinie f¨ ur ein wiederholtes statisches Cournot-Oligopolspiel, w¨ahrend (b) ein wiederholtes dynamisches Stackelberg-Oligopolspiel zeigt. Ein anderes Beispiel f¨ ur ein wiederholtes statisches Spiel ist das wiederholte Gefangenen-Dilemma. (a)

Zeit Beide Duopolisten entscheiden über jeweilige Menge

Beide Duopolisten entscheiden über jeweilige Menge

1. Runde

2. Runde Zeit

(b) Duopolist 1 Duopolist 2 Duopolist 1 Duopolist 2 setzt Menge setzt Menge setzt Menge setzt Menge 1. Runde

2. Runde

Abbildung 4.7: Wiederholte Spiele Die Beispiele zeigen (a) ein wiederholtes statisches Spiel und (b) ein wiederholtes dynamisches Spiel. Auf der Zeitachse ist dar¨ uber hinaus angedeutet, dass die Spiele keineswegs nur zwei Mal gespielt werden m¨ ussen. In diesem Zusammenhang ist es von besonderer Bedeutung die Unterscheidung zwischen endlich oft oder unendlich oft wiederholten Spielen. Die folgenden Unterabschnitte befassen sich jeweils mit diesen Kategorien. Zu kl¨aren ist in einem wiederholten Spiel der Begriff der Strategie. Jeder Spieler kann ja nun bei jeder Wiederholung m¨oglicherweise eine andere Wahl treffen und wird diese Wahl im Allgemeinen auch auf die Ergebnisse zuvor gespielter Runden konditionieren wollen. Angenommen, ein one-shot game findet statt zwischen 2 Spielern (1 und 2), die in jeder Stufe jeweils zwei reine Strategien (A und B) haben. Diese Situation ist in Abbildung 4.8 zu sehen. Bei zwei gespielten Runden ergeben sich bereits 16 verschiedene denkbare Strategiekombinationen in reinen Strategien. Allgemein ergeben sich bei I Spielern, deren Strategiemengen Si = {S1 , S2 , . . . , SN } jeweils N Elemente aufweisen N I m¨ogliche Ergebnisse im one-shot game und dementspre¡ ¢W chend N I M¨oglichkeiten nach W Wiederholungen dieses one-shot game. Im Beispiel der ¡ ¢W Abbildung 4.8 auf der n¨achsten Seite ist I = N = W = 2 und somit N I = 16 Eine Strategie Si f¨ ur einen Spieler i in einem wiederholten Spiel spezifiziert nun f¨ ur jede Stufe eine Entscheidung, wobei ab Runde 2 die Entscheidungen konditional auf alle denkbaren Geschichten des Spiels vor der jeweiligen Stufe sind. In dem Spiel aus Abbildung 4.8 auf der n¨achsten Seite (2x2x2-Spiel) soll die Anzahl der m¨oglichen Strategien f¨ ur einen Spieler verdeutlicht werden: In Stufe 1 gibt es 2 M¨oglichkeiten f¨ ur Spieler 1 (w¨ahle A oder B). In Stufe 2 gibt es 4 denkbare Geschichten des Spiels und somit (22 )2 = 16 verschiedene M¨oglichkeiten der Entscheidung f¨ ur A oder B.1 Multipliziert man nun noch 1 Hierf¨ ur wird das folgende Ergebnis aus der Kombinatorik gebraucht: Wenn aus N Objekten (das sind hier die reinen Strategien) Gruppen mit K Elementen gebildet werden und beliebige Wiederholungen und Permutationen der Elemente m¨ oglich sind, so gibt es N K M¨ oglichkeiten.

74

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II Runde 1

Spieler 1

Spieler 2 A B A

a

b

B

c

d

Runde 2

*

*

*

*

B

*

*

A B A

*

*

B

*

*

A B Spieler 1

B

A B A

Spieler 1

* *

Spieler 1

Spieler 1

A B A

A

*

*

B

*

*

Abbildung 4.8: 2 Spieler, 2 Strategien, 2 Wiederholungen Ein u ¨ber zwei Runden wiederholtes Spiel mit zwei Spielern, die Strategiemengen mit je zwei reinen Strategien haben, weist 16 denkbare Ergebnisse in reinen Strategien auf.

diese 16 M¨oglichkeiten mit den beiden M¨oglichkeiten des anderen Spielers in Stufe 1, so ergeben sich 32 denkbare Strategien. Allgemein gibt es f¨ ur einen Spieler in Stufe 1 N Wahlm¨oglichkeiten. Da in Stufe 2 das NI Spiel N I Vorgeschichten haben kann, gibt es auf dieser Stufe (N ) Wahlm¨oglichkeiten, ³ ´ NI insg. also N · (N ) Strategien. In einem nur einmal wiederholten Spiel mit drei Spielern mit je drei reinen Strategien gibt es somit f¨ ur jeden Spieler 59049 Strategien! Diese ¨ sind allerdings teilweise beobachtungs¨ aquivalent, wie die folgenden Uberlegungen zum 2x2x2-Spiel zeigen. F¨ ur diesen Fall sind in Abbildung 4.9 auf der n¨achsten Seite alle denkbaren 32 Strategien f¨ ur Spieler 1 aufgelistet. Fett gedruckt sind Optionen, die in der zweiten Stufe wirklich zur Verf¨ ugung stehen, da beispielsweise bei Strategie 1 – die ja voraussetzt, dass in Runde 1 Spieler 1 die Option A w¨ahlte – die beiden letzten Konditionierungen (B,A) und (B,B) nicht zutreffen. Daraus folgt auch, dass beispielsweise die Strategien 1, 9, 10 und 11 beobachtungs¨aquivalent sind. Einige der Strategien in Abbildung 4.9 auf der n¨achsten Seite haben besondere Eigenschaften und entsprechende Bezeichnungen: • Die Strategien 1 und 18 sind unkonditionale Strategien, da hier auf beiden Stufen A (bzw. B) gespielt wird, wobei auf der zweiten Stufe die Geschichte des Spiels keinerlei Rolle spielt. • Strategien 2 und 17 sind Rotationsstrategien, da in der zweiten Runde ebenfalls in allen denkbaren Konstellationen die jeweils andere Wahl erfolgt. • Strategie 13 ist eine Triggerstrategie; hier spielt Spieler 1 A in der ersten Runde und beh¨alt dies dann und nur dann bei, wenn auch Spieler 2 in der ersten Runde die gleiche Wahl getroffen hat. Strategie 29 ist die Triggerstrategie f¨ ur B.

4.4.2

Endlich wiederholte Spiele I: Eindeutige Nash-Gleichgewichte auf den einzelnen Stufen

In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass die Analyse endlich oft wiederholter Spiele keine besondere Herausforderung darstellt, wenn auf den einzelnen Stufen des

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE Strategie

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

Zug des Spielers 1 in der 1. Runde

A A A A A A A A A A A A A A A A B B B B B B B B B B B B B B B B

75 Zug des Spielers 1 in der 2. Runde konditional auf die vier möglichen Ergebnisse in der 1. Runde (A, A)

(A, B)

(B, A)

(B, B)

A B A B B B B A A A A B A B A B A B A B B B B A A A A B A B A B

A B B A B B A B A A A B B A B A A B B A B B A B A A A B B A B A

A B B B A B A A B A B A A B B A A B B B A B A A B A B A A B B A

A B B B B A A A A B B A B A A B A B B B B A A A A B B A B A A B

Abbildung 4.9: Strategien in einem 2x2x2 Spiel

Spiels ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht vorliegt. In diesem Fall ergibt sich als Ergebnis einfach das eindeutige (bei dynamischen Spielen: teilspielperfekte) Nash-Gleichgewicht auf jeder Stufe des Spiels. Trotz der scheinbaren Banalit¨at des Ergebnisses ist dies keineswegs trivial. Wenn beispielsweise das chain store paradox aus den Abbildungen 4.4 auf Seite 70 bzw. 4.5 auf Seite 71 nicht auf einem Markt, sondern (zeitlich gestaffelt) auf einer beliebigen Zahl von n M¨arkten gespielt wird, k¨onnte man sich intuitiv durchaus vorstellen, dass der Konzern den Newcomer mit gr¨oßerer Vehemenz bek¨ampft als wenn dies auf nur einem Markt passiert. Die Logik scheint klar zu sein: Wenn der Konzern auf dem ersten Markt k¨ampft, h¨atte er eine Reputation f¨ ur die anderen n − 1 M¨arkte aufgebaut, die sehr n¨ utzlich w¨are. Diese Intuition ist aber falsch, wie gleich gezeigt wird. Abbildung 4.10 auf der n¨achsten Seite zeigt diese Situation: Die Struktur kann nun – wie bei der Analyse eines dynamischen one-shot games – mit Hilfe der Methode der R¨ uckw¨ artsinduktion analysiert werden. Beginnen wir also in Runde (oder Periode) n: Unabh¨angig von der ”Vorgeschichte” – und damit von der eventuell aufgebauten Reputation f¨ ur die entschlossene Bek¨ampfung von Marktzutritt durch den Konzern – ist das Ergebnis in der letzten Periode v¨ollig eindeutig. Da es nach dieser

76

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

Zeit Newcomer: e. oder n.e.

Konzern: d. oder b.

1. Runde

Newcomer: e. oder n.e.

Konzern: d. oder b.

n-te Runde

Abbildung 4.10: Das wiederholte Marktzutrittsspiel.

Runde keine weiteren Wiederholungen mehr gibt, liegt hier ein one-shot game vor, dessen eindeutiges Gleichgewicht dann wie beschrieben bei {eintreten, dulden} ist. Da das Spiel in Runde der letzten, d.h. n-ten Runde ein Teilspiel ist, nennt man dieses Ergebnis auch teilspielperfektes Gleichgewicht. Runde (oder Periode) n − 1: Der Konzern weiß, dass ihm egal welche Reputation f¨ ur die Folgeperiode n nichts mehr nutzen wird, da sie dort ohnehin v¨ollig unglaubw¨ urdig ist. Also bestehen in Runde n − 1 keine Anreize mehr, diese Reputation aufzubauen. Das Ergebnis ist somit wieder das Gleichgewicht des one-shot game {eintreten, dulden}. Da auch die beiden Spiele in Runde n − 1 und n zusammen ein Teilspiel sind, nennt man die L¨osung f¨ ur beide Runden wieder ein teilspielperfektes Gleichgewicht. Alle weitere Perioden: Da nun festgestellt wurde, dass in Periode n, und deshalb auch in Periode n − 1 das Gleichgewicht eines one-shot games resultiert, besteht nat¨ urlich auch in Periode n − 2 keine Veranlassung f¨ ur den Konzern eine – notwendigerweise unglaubw¨ urdige – Reputation f¨ ur die Bek¨ampfung eines Marktzutritts aufzubauen. Dieses Argument kann nun immer weiter nach vorne gedacht werden bis zur ersten Runde des endlich wiederholten Spiels. Dieses Ergebnis verdient es, allgemein festgehalten zu werden in dem folgenden Theorem: Das eindeutige teilspielperfekte Gleichgewicht eines n Mal wiederholten (dynamischen) one-shot games, das ein eindeutiges (teilspielperfektes) Nash-Gleichgewicht aufweist, ist die n-fache Wiederholung des (teilspielperfekten) Nash-Gleichgewichts des one-shot ¨ games. (Der Beweis dieses Theorems wurde durch die obigen Uberlegungen erbracht.) Die Formulierung dieses Theorems stellt nicht ausschließlich auf dynamische one-shot games ab, wie das im Beispiel des Markteintrittsspiels der Fall ist, sondern gilt auch f¨ ur statische one-shot games wie beispielsweise das Gefangenendilemma.1 Daher bezieht sich das Attribut ”teilspielperfekt” im Kontext eines dynamischen one-shot games auf zwei unterschiedliche Dinge, deren Unterscheidung zu der etwas sperrigen Formulierung des obigen Theorems f¨ uhrt: Zum einen auf die L¨ osung des one-shot games und zum anderen auf die Abfolge dieser L¨ osungen durch die Wiederholungen des Spiels. Mit diesem Ergebnis kann nun auch das Paradoxe am chain store paradoxon klar identifiziert werden: Obgleich die Intuition zumindest bei h¨aufigen Wiederholungen des Marktzutrittsspiels nahe legt, dass eine Reputation f¨ ur die Bek¨ampfung von Newcomern aufgebaut wird – oder dass die Neigung, Reputation aufzubauen, zumindest von der Anzahl der Wiederholungen abh¨angt –, ist dies im Kontext eines endlich oft wiederholten Spiels nicht begr¨ undbar. Vielmehr gibt es in diesem Rahmen (paradoxerweise) keine glaubw¨ urdige M¨oglichkeit f¨ ur den bereits im Markt agierenden Anbieter, eine entsprechende Reputation aufzubauen. Zu beachten ist, dass dieses Ergebnis unabh¨angig von jeder Art der Diskontierung ist. Der Grund daf¨ ur ist sehr einfach: Auch wenn eine Auszahlung in Runde n aus heutiger Sicht 1 In dem Spiel aus Abschnitt 3.3 auf Seite 46 (vgl. Abbildung 3.3 auf Seite 46) werden Max und Moritz in der letzten Periode gestehen, da eine Reputation sp¨ ater nichts mehr wert ist. Per R¨ uckw¨ artsinduktion folgt daraus wieder, dass {gestehen, gestehen} in jeder Stufe des endlich wiederholten Spiels gew¨ ahlt wird, dies also das einzige teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht darstellt. Mit anderen Worten: Eine endliche Zahl von Wiederholungen ist nicht in der Lage, die beiden Delinquenten aus dem Gefangenendilemma zu befreien.

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE

77 −n

mit einem Diskontfaktor (1 + ρ) (ρ ist dabei die Zeitpr¨aferenzrate) zu bewerten ist, so ¨andert dies nichts an der Reihenfolge der Auszahlungen in jeder Runde.

4.4.3

Endlich wiederholte Spiele II: Multiple Nash-Gleichgewichte auf den einzelnen Stufen

Das gerade behandelte Theorem in Abschnitt 4.4.2 auf Seite 74 setzt voraus, dass das oneshot game ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht aufweist – was beim Marktzutrittsspiel der Fall ist. Allerdings gibt es viele Situationen, in denen dies nicht der Fall ist. Zur Illustration kann wieder ”Battle of the Sexes” herangezogen werden – allerdings in der statischen Version, da nur hier zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien vorhanden sind. Außerdem gibt es ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien. Die Auszahlungsmatrix aus Abbildung 2.15 auf Seite 31 ist in Abbildung 4.11 noch einmal zu sehen.

Petra Boxkampf

Ballett

Boxkampf

(2, 1)

(0, 0)

Ballett

(0, 0)

(1, 2)

Peter

Abbildung 4.11: Ergebnismatrix in Battle of the sexes Wenn p1 bzw. p2 die Wahrscheinlichkeiten bezeichnen, mit denen Peter bzw. Petra zum Boxkampf gehen, so ergeben sich die erwarteten Auszahlungen u f¨ ur Peter und Petra wie folgt: ¡ ¢ E uPeter = p1 [p2 · 2 + (1 − p2 ) · 0] + (1 − p1 ) [p2 · 0 + (1 − p2 ) · 1] (4.5) = 3p1 p2 − p1 − p2 + 1 ¡ ¢ E uPetra = p2 [p2 · 1 + (1 − p2 ) · 0] + (1 − p2 ) [p1 · 0 + (1 − p2 ) · 2] (4.6) = 3p1 p2 − 2 (p1 + p2 ) + 2 Peters Reaktionsfunktion p1 (p2 ) l¨asst sich ableiten, wenn man sich vor Augen h¨alt, wie eine marginale Variation von p1 auf seinen Erwartungsnutzen wirkt:  ¡ ¢ ur p2 > 1/3 ⇒ setze p1 = 1  > 0 f¨ ∂E uPeter = 0 f¨ ur p2 = 1/3 ⇒ p1 ∈ (0, 1) = 3p2 − 1 (4.7)  ∂p1 < 0 f¨ ur p2 < 1/3 ⇒ setze p1 = 0 Analog ergibt sich f¨ ur Petra  ¢ ¡ ur p1 > 2/3 ⇒ setze p2 = 1  > 0 f¨ ∂E uPetra = 0 f¨ ur p1 = 2/3 ⇒ p2 ∈ (0, 1) = 3p1 − 2  ∂p2 < 0 f¨ ur p1 < 2/3 ⇒ setze p2 = 0

(4.8)

Abbildung 4.12 auf der n¨achsten Seite zeigt die Reaktionsfunktionen 4.7 und 4.8 in einem Quadranten. Wird dieses Spiel zwei Mal gespielt, sind mehrere teilspielperfekte Strategiekombinationen denkbar. Zun¨achst wird die Kombination der folgenden

78

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

Abbildung 4.12: Battle of the sexes: Nash-Gleichgewichte in reinen und gemischen Strategien

Rotationsstrategien betrachtet. Peter und Petra: ”Gehe zum Boxkampf in Spiel 1 und ins Ballett in Spiel 2, egal was in Spiel 1 herauskam.” Wenn beide dieser Strategie folgen, ist die erwartete durchschnittliche Auszahlung f¨ ur beide (2 + 1)/2 = 3/2.1 Die beiden Strategienkombinationen sind ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, weil in beiden Teilspielen ein NashGleichgewicht erzielt wurde. Selbstverst¨andlich trifft dies auch zu f¨ ur die umgekehrte Rotationsstrategie, dass beide zun¨achst in das Ballett gehen und in Spiel 2 zum Boxkampf. Ebenfalls eine Abfolge von Nash-Gleichgewichten. Unkonditionalen Strategien Peter und Petra: ”Gehe sowohl in Spiel 1 als auch in Spiel 2 zum Boxkampf” sowie Peter und Petra: ”Gehe sowohl in Spiel 1 als auch in Spiel 2 zum Ballett.” Die erwarteten Auszahlungen sind hier (2, 1) bzw. (1, 2). Ferner k¨onnen Peter und Petra in beiden Spielen die Gemischten Strategien spielen, n¨amlich Peter: ”Gehe in beiden Spielen mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 zum Boxkampf und mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 zum Ballett.” Petra: ”Gehe in beiden Spielen mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 zum Boxkampf und mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 zum Ballett.” Die erwarteten Auszahlungen sind hier f¨ ur beide 2/3. Die Beispiele machen das Prinzip deutlich: In einem endlich wiederholten Spiel mit multiplen one-shot Nash-Gleichgewichten sind alle denkbaren Abfolgen dieser Gleichgewichte ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Die drei one-shot Gleichgewichte seien wie folgt bezeichnet: {Boxkampf, Boxkampf} = α, {Ballett, Ballett} = β und {Mix, Mix} = γ. Dann gibt es in zwei Runden 32 = 9 teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte, die in Abbildung 4.1 auf der n¨achsten Seite aufgelistet sind. In der untersten Zeile sind die erwarteten durchschnittlichen Auszahlungen dieser Kombinationen f¨ ur Petra und Peter enthalten. Allgemein gibt es in einem W mal wiederholten Spiel mit G one-shot Gleichgewichten GW teilspielperfekte Gleichgewichtspfade dieser Art. Die Vektoren der durchschnittlichen Auszahlungen sind in Abbildung 4.13 auf der n¨achsten Seite dargestellt. Die Fl¨ache der m¨oglichen Punkte, die sich durch verschiedene Linearkombinationen der Ergebnisvektoren f¨ ur zwei Spielrunden ergeben, ist blau eingef¨arbt und zeigt die m¨ogliche L¨osungsmenge f¨ ur eine beliebig hohe Zahl von Wiederholungen. 1 Die Verwendung durchschnittlicher Auszahlungen (anstelle von Auszahlungssummen) ist f¨ ur das Argument in keiner Weise zwingend, erleichtert aber den unmittelbaren Vergleich der Strategien in der Darstellung des one-shot game.

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE

Spiel 1 Spiel 2 Ergebnis Peter Petra

79

1 α

2 β

3 γ

4 α

5 α

6 β

7 β

8 γ

9 γ

α

β

γ

β

γ

α

γ

α

β

2 1

1 2

2/3 2/3

3/2 3/2

4/3 5/6

3/2 3/2

5/6 4/3

4/3 5/6

5/6 4/3

Tabelle 4.1: Battle of the sexes: Teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte u ¨ber zwei Runden

Abbildung 4.13: Ergebnisvektoren f¨ ur teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte in Battle of the Sexes.

Damit k¨onnen wir das folgende Ergebnis festhalten: Folk Theorem f¨ ur endlich wiederholte 2-Personen Spiele: Angenommen, ein oneshot game habe einen gleichgewichtigen Auszahlungsvektor, der einen Vektor mit minimalen Auszahlungen m f¨ ur alle Spieler dominiert. Dann sind im Limit f¨ ur sehr h¨ aufige Wiederholungen alle individuell rationalen und m¨ oglichen Auszahlungen als durchschnittliche Auszahlungen eines teilspielperfekten Gleichgewichts m¨ oglich. Dieses Ergebnis heißt Folk-Theorem, weil es (zusammen mit einem analogen Ergebnis f¨ ur unendlich oft wiederholte Spiele) unter Spieltheoretikern (also den ”game theory folks”) lange bekannt war, bevor es bewiesen wurde. Ein rigoroser Beweis und auch eine Erweiterung auf Spiele mit mehr als zwei Personen finden sich in Benoit/Krishna (1985). Gerade war die Rede von teilspielperfekten Gleichgewichtspfaden ”dieser Art” von Gleichgewichten. Dies impliziert nat¨ urlich, dass es noch eine andere Art von Gleichgewichten geben kann. In der Tat kann man zeigen, dass in einem wiederholten Spiel mit multiplen one-shot Gleichgewichten eine in einem one-shot game nicht gleichgewichtige Strategienkombination Teil einer teilspielperfekten Abfolge von Strategiekombinationen werden kann – wobei die Betonung hier auf ”kann” liegt. Zur Illustration sei das 2-Personen-Spiel mit drei reinen Strategien in Abbildung 4.14 auf der n¨achsten Seite betrachtet.1 1 Dieses

Beispiel ist entnommen aus Gibbons (1992), S. 85.

80

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

Abbildung 4.14: Gleichgewicht.

Normalform

eines

Gefangenendilemmas

mit

zus¨atzlichem

Nash-

Eine kurze Pr¨ ufung des Optimalverhaltens beider Spieler macht klar, dass es in diesem Spiel zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien gibt, n¨amlich {A1 , A2 } und {C1 , C2 }. Man beachte, dass das Spiel ohne die Strategien C ein Gefangenendilemma abbildet, dessen effiziente L¨osung (4, 4) in einem endlich oft wiederholten Spiel kein teilspielperfektes NashGleichgewicht sein kann. Wenn das Spiel jedoch zwei Mal gespielt wird, so ist die folgende Trigger-Strategie ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht: Spieler 1 und Spieler 2: Spiele Strategie Ci , i = 1, 2 in Runde 2, wenn in Runde 1 {B1 , B2 } gespielt wurde und Ai in allen anderen F¨allen. Wenn beide Spieler von dieser Strategie ausgehen, ist (4, 4) in Runde 1 rationalisierbar und damit teilspielperfekt, auch wenn es kein Nash-Gleichgewicht des zugrunde liegenden one-shot game ist. Der Unterschied zum einfachen Gefangenendilemma besteht darin, dass ein weiteres Nash-Gleichgewicht zur Verf¨ ugung steht, und es daher eine glaubw¨ urdige Alternative zum ineffizienten Nash-Gleichgewicht {A1 , A2 } gibt. Deshalb ist auch die genannte Trigger-Strategie als ganzes glaubw¨ urdig, w¨ahrend in einem reinen Gefangenendilemma die (bedingte) Ank¨ undigung einer Abweichung vom einzigen Nash-Gleichgewicht nicht glaubw¨ urdig ist. Nat¨ urlich lassen sich auch andere teilspielperfekte Gleichgewichte finden, so dass die Theorie nur auf eine M¨oglichkeit, nicht aber auf eine eindeutige L¨osung des Spiels hinweist. Zusammenfassend l¨asst sich festhalten, dass bei endlich wiederholten Spielen mit mehr als einem Nash-Gleichgewicht des one-shot game das L¨ osungskonzept des teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts nicht sehr trennscharf ist, sondern schon in relativ einfachen Situationen eine Vielzahl von Gleichgewichten zul¨asst. Da es kein enger gefasstes und dennoch plausibles L¨osungskonzept gibt, kann die Spieltheorie in aller Regel also den M¨oglichkeitenraum f¨ ur gleichgewichtige L¨osungen nur einschr¨anken, reicht aber nicht aus, um eine konkrete Antwort geben zu k¨onnen. Immerhin ist es ja auch ein keineswegs triviales Ergebnis, dass es unterschiedliche rationalisierbare und teilspielperfekte Strategiekombinationen geben kann.

4.4.4

Unendlich oft wiederholte Spiele

Intuitiv leuchtet es wenig ein, dass es einen Unterschied machen soll, ob eine Situation endlich, aber beliebig oft wiederholt wird, oder ob man von einer unendlichen Zahl von Wiederholungen ausgeht. Auf der theoretischen Ebene ist dieser Unterschied jedoch von großer Bedeutung. Die Intuition f¨ ur die Relevanz dieses Unterschieds besteht darin, dass bei unendlicher Wiederholung die Logik der R¨ uckw¨ artsinduktion, wie sie f¨ ur die Ermittlung des teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts benutzt wurde, nicht mehr angewendet werden kann. Es gibt einfach keine letzte Runde, f¨ ur die sich ein Reputationsaufbau nicht mehr lohnt und daher unglaubw¨ urdig ist. F¨ ur die Darstellung der Theorie unendlich wiederholter Spiele wird zun¨achst das Konzept der Diskontierung zuk¨ unftiger Ertr¨ age und einer durchschnittlichen Auszahlung in

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE

81

einem unendlich wiederholten Spiel eingef¨ uhrt. Danach wird das Folk-Theorem f¨ ur unendlich wiederholte Spiele genannt und schließlich mit Hilfe des unendlich wiederholten Gefangenendilemmas illustriert. Diskontierung, ungewisses Spielende und durchschnittliche Auszahlungen Der f¨ ur unendlich wiederholte Spiele entscheidende Zusammenbruch der R¨ uckw¨artsinduktion macht bereits deutlich, dass diese Situation durchaus realistisch sein kann. Denn vielfach kann man zwar nicht davon ausgehen, dass sich eine Situation buchst¨ablich unendlich oft wiederholt. Es gen¨ ugt f¨ ur den Zusammenbruch der Logik der R¨ uckw¨artsinduktion jedoch, wenn unbekannt ist, welches die letzte Runde sein wird, das Spiel also zu jedem Entscheidungszeitpunkt noch weiter gehen k¨ onnte. Insofern d¨ urfte diese Situation oft eine sehr viel n¨ utzlichere Approximation an die Realit¨at sein als ein sehr h¨aufig, aber endlich wiederholtes Spiel.1 Dieser Punkt kann etwas pr¨aziser gefasst werden: Ein m¨ oglicherweise unendlich wiederholtes, dennoch faktisch endliches Spiel, kann so verstanden werden, dass jede gegebene Wiederholung mit einer exogenen Wahrscheinlichkeit p die letzte war – ein entsprechender Zufallsgenerator verk¨ undet nach jeder Runde die Entscheidung. In der n¨achsten Periode t + 1 wird daher die dann zu erwartende Auszahlung ut+1 nur mit der Wahrscheinlichkeit 1−p realisiert. Abgezinst auf die aktuelle Periode t mit der Zeitpr¨aferenzrate ρ, ist der erwartete Gegenwartswert dieser Auszahlung daher (1 − p) β · ut+1 mit β ≡ 1/(1 + ρ) < 1. F¨ ur ein potentiell unendlich oft wiederholtes Spiel kann der Gegenwartswert der Auszahlungen ab Periode t daher geschrieben werden als 2

ut + (1 − p) βut+1 + (1 − p) β 2 ut+2 + ... =

∞ X

i

(1 − p) β i ut+i

(4.9)

i=0

bzw. f¨ ur δ ≡ (1 − p) β =

1−p 1+ρ 2

ut + (1 − p) βut+1 + (1 − p) β 2 ut+2 + ... =

∞ X

δ i ut+i

(4.10)

i=0

Damit ist gezeigt, dass ein unsicherer Endzeitpunkt einfach durch eine ”st¨arkere Diskontierung” der zuk¨ unftigen Auszahlungen abgebildet werden kann. Diese Situation ist also konzeptionell n¨aher an einem unendlich wiederholten Spiel als an einem endlich oft wiederholten Spiel. Die Berechnung der unendlichen Summe in 4.9 kann in konkreten Anwendungen durchaus aufw¨ andig sein. Ein einfacher Spezialfall liegt aber vor, wenn die zuk¨ unftigen Auszahlungen gleich bleiben, d.h. f¨ ur ut = u ¯ ∀t. In diesem Fall ist der Gegenwartswert des unendlichen Auszahlungsstroms gegeben durch u ¯

∞ X i=0

¡ ¢ δi = u ¯ 1 + δ + δ 2 + ... =

u ¯ 1−δ

(4.11)

Die letzte Schreibweise in 4.11 verwendet die Summenformel f¨ ur eine unendliche geometrische Reihe. 1 Ariel Rubinstein weist darauf hin, dass die Modellierungsentscheidung zwischen endlich und unendlich oft wiederholtem Spiel nicht so sehr die tats¨ achliche Situation reflektieren sollte als vielmehr die Wahrnehmung der Spieler. Selbst bei einer ex ante auf nur 20 Wiederholungen begrenzten Spielsituation ist es in Experimenten oft beobachtbar, dass Probanden zu Beginn die letzten Perioden kaum wirklich ber¨ ucksichtigen – sich also so verhalten, als ob eine unendlich oft wiederholte Spielsituation vorl¨ age. Vgl. hierzu (und zur Interpretation die abgedruckte Diskussion zwischen den beiden Autoren) in Osborne/Rubinstein (1994), p. 134-136.

82

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

Um eine Vergleichbarkeit des Auszahlungsstroms eines unendlich wiederholten Spiels mit den zugrunde liegenden one-shot games herzustellen, ist es sinnvoll, eine durchschnittliche Auszahlung zu definieren. Mit Hilfe der beiden letzten Gleichungen ist dies sehr einfach m¨oglich. Da der Gegenwartswert einer im zeitvariablen Auszahlungsreihe gegeben ist durch ∞ P δ i ut+i und derjenige einer konstanten Auszahlung in H¨ohe von u ¯ durch u ¯/(1 − δ), muss i=0

gelten, dass u ¯ = (1 − δ)

∞ X

δ i ut+i .

(4.12)

i=0

Das Folk-Theorem f¨ ur unendlich wiederholte Spiele Nach diesen Vorbemerkungen kann nun die f¨ ur unendlich wiederholte Spiele geltende Version des Folk-Theorems aufgeschrieben werden. Wenn der Diskontfaktor β inl¨ anglich nahe bei Eins und die Wahrscheinlichkeit p, dass das Spiel in der n¨ achsten Periode endet, hinl¨ anglich nahe bei Null liegen, dann gilt: a) Jede Kombination Nash-gleichgewichtiger Auszahlungsvektoren des zugrunde liegenden one-shot games kann in einem unendlich wiederholten Spiel als durchschnittliche Auszahlung eines teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts resultieren. b) Dar¨ uber hinaus k¨ onnen durch das Spielen von Triggerstrategien alle m¨ oglichen Auszahlungsvektoren als durchschnittliche Auszahlungen eines teilspielperfekten Gleichgewichts resultieren, die den minimalen Auszahlungsvektor m u ¨bersteigen. Insbesondere k¨ onnen effiziente Auszahlungsvektoren teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte sein. Anstelle eines allgemeinen Beweises wird gleich ein Beispiel die Logik des Folk-Theorems verdeutlichen. Gegen¨ uber dem Folk-Theorem f¨ ur endlich wiederholte Spiele ist vor allem zu beachten, dass durch die Tatsache der unendlichen Wiederholung f¨ ur eine Vielzahl von m¨oglichen teilspielperfekten L¨osungen nicht mehr eine Multiplizit¨at von Gleichgewichten im zugrunde liegenden one-shot game notwendig ist. Damit wird die Vorhersagekraft des L¨osungskonzepts des teilspielperfekten Gleichgewichts noch geringer als im Fall endlich oft wiederholter Spiele. W¨ahrend dort wenigstens im Fall eindeutiger Nash-Gleichgewichte im one-shot game noch ein eindeutiges teilspielperfektes Gleichgewicht resultierte, ist dies bei unendlich wiederholten Spielen nicht mehr der Fall. Gleichgewichte beim unendlich wiederholten Gefangenendilemma Eine einfache und sehr n¨ utzliche Illustration f¨ ur das Folk-Theorem ist die Analyse des unendlich wiederholten Gefangenendilemmas. Da hier die negativen Auszahlungen des Beispiels in Abbildung 3.3 auf Seite 46 didaktisch eher hinderlich sind, wird nachfolgend die folgende (aus Abbildung 4.14 auf Seite 80 u ¨bernommene) Auszahlungsmatrix zugrunde gelegt.

Abbildung 4.15: Auszahlungsmatrix eines Gefangenendilemmas

4.4. WIEDERHOLTE SPIELE

83

Selbstverst¨andlich ist die unendliche Abfolge des (ineffizienten) Nash-Gleichgewichts {A1 , A2 } ein teilspielperfektes Gleichgewicht, und somit auch im Rahmen eines unendlich wiederholten Spiels eine m¨oglich L¨osung. Allerdings kann auch die effiziente, aber nicht Nash-gleichgewichtige Strategienkombination {B1 , B2 } ein teilspielperfektes Gleichgewicht sein, wie im Folgenden gezeigt wird. Angenommen, beide Spieler verhalten sich gem¨aß der Trigger-Strategie (grim strategy): Spiele Bi in der ersten Runde. Spiele Bi in allen sp¨ateren Runden, wenn der (die) andere(n) Spieler B−i in allen vorangegangenen Runden spielte(n). Andernfalls spiele Ai in allen folgenden Runden. Diese Strategie nennt man grim strategy, da hier eine ”grausame” bzw. ”unbeugsame” Bestrafung des (der) anderen Spieler erfolgt, wenn diese(r) einmal nicht die effiziente kooperative Strategie spielte(n). Man kann sich nun vor Augen f¨ uhren, unter welchen Umst¨anden, die grim strategy die effiziente Strategienkombination unterst¨ utzt. Wenn die Strategie funktionieren w¨ urde, so w¨are die Auszahlung in jeder Periode bei 4, was dann nat¨ urlich die durchschnittliche Auszahlung des unendlich wiederholten Spiels w¨are. Wenn u ¨berhaupt ein Abweichen sinnvoll ist, dann gleich zu Beginn des Spiels. Der Grund daf¨ ur ist einfach: Mehr als ein Mal kann ein Spieler den h¨oheren payoff (5 anstelle von 4) unter der grim strategy ohnehin nicht realisieren, und dieser hat gleich zu Beginn den h¨ochsten Gegenwartswert. Die Auszahlungsreihe betr¨agt dann zun¨achst 5, danach 1 f¨ ur alle weiteren Runden. Unter Beachtung von (4.12) ist der Gegenwartswert der durchschnittlichen Auszahlung in diesem Fall gegeben durch £ ¤ £ ¤ (1 − δ) 5 + δ · 1 + δ 2 · 1 + δ 3 ·h1 + ... =i (1 − δ) 4 + 1 + δ + δ 2 + δ 3 + ... 1 = (1 − δ) 4 + 1−δ = 4 − 4δ + 1 = 5 − 4δ

(4.13)

Dieser Durchschnittswert der Auszahlungsreihe bei non-kooperativem Verhalten ist weniger wert als die durchschnittliche Auszahlung bei kooperativem Verhalten, wenn 1 4 > 5 − 4δ ⇔ δ > . (4.14) 4 Wenn diese Bedingung erf¨ ullt ist, so ist die kooperative Strategienkombination ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. (4.14) konkretisiert f¨ ur das vorliegende Beispiel die bei der Formulierung des Folk-Theorems gestellte Anforderung bzgl. der Diskontrate, die ”hinl¨anglich nahe bei Eins” liegen muss. Nat¨ urlich ist f¨ ur eine gegebene Zeitpr¨aferenzrate und Wahrscheinlichkeit der Beendigung des Spiels Kooperation umso eher ein Gleichgewicht, je h¨oher der Kooperationsgewinn der konkreten Situation ist und je niedriger der einmalige Gewinn bei Abweichung vom kooperativen Gleichgewicht ist. Die skizzierte grim strategy ist eine zwar m¨ogliche Verhaltensweise, nicht aber notwendigerweise sehr plausibel, da die ”Bestrafung auf ewig” nach einer schlechten Erfahrung keinerlei M¨oglichkeit offen l¨asst, zur kooperativen L¨osung zur¨ uckzukehren – und die w¨are ja auch f¨ ur den einmal Betrogenen prinzipiell w¨ unschenswert. Eine mildere Form w¨are die folgende Trigger-Strategie (tit for tat1 ): Spiele Bi in der ersten Runde. Spiele Bi in allen sp¨ateren Runden, wenn der (die) andere(n) Spieler B−i in der vorangegangenen Runde spielte(n). Andernfalls spiele Ai . Es leuchtet sofort ein, dass in diesem Fall ebenfalls Kooperation ein teilspielperfektes Gleichgewicht sein kann. Dar¨ uber hinaus ist tit for tat unter der Bedingung 4.14 beobachtungs¨ aquivalent mit der grim strategy. 1 Die

¨ sinngem¨ aße deutsche Ubersetzung davon ist ”Wie Du mir, so ich Dir.”

84

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

4.5 4.5.1

Anwendungen Oligopol III: Die Stackelberg-L¨ osung

In diesem Abschnitt wird noch einmal das homogene Duopolmodell aus Abschnitt 3.7.1 auf Seite 55 aufgegriffen. W¨ahrend dort ein statisches Spiel zwischen den beiden Duopolisten modelliert wurde, wird nun jedoch eine sequentielle Struktur angenommen und damit ein dynamisches Spiel betrachtet. Die beiden Duopolisten spielen jeweils nur eine Runde, so dass es sich um ein dynamisches one-shot game handelt. Das unterstellte Timing ist in Abbildung 4.16 zu sehen.

Abbildung 4.16: Timing im Stackelberg-Duopol. Diese zeitliche Struktur impliziert eine gegen¨ uber dem statischen Spiel deutlich ande¨ re L¨osung, die in der Literatur (zu Ehren des Okonomen Heinrich von Stackelberg) als Stackelberg-L¨osung eines homogenen Duopols bezeichnet wird. Duopolist 1 ist in Abbildung 4.16 in der Position eines Stackelberg-F¨ uhrers, Duopolist in der eines Stackelberg-Folgers. Letzterer nimmt die von Duopolist 1 gesetzte Menge als exogenes Datum hin und optimiert unter dieser Restriktion. Der Stackelberg-F¨ uhrer antizipiert diese Verhaltensweise des Stackelberg-Folgers. Der Einfachheit halber werden wie bereits in Abschnitt 3.7.1 auf Seite 55 die lineare Nachfragefunktion 3.18 sowie identische und konstante Grenzkosten angenommen. Die L¨osung erfolgt nun entlang des Zeitstrahls in Abbildung 4.16 per R¨ uckw¨artsinduktion. Die Gewinnfunktion des Duopolisten 2 ist durch Gleichung (3.20) gegeben, die hier der ¨ besseren Ubersichtlichkeit wegen noch einmal aufgeschrieben werden soll: Π2 = [a − b (x1 + x2 )] · x2 − cx2

(4.15)

Diese Funktion wird u ¨ber x2 optimiert, wobei die Menge des Konkurrenten als Datum betrachtet wird. Dies f¨ uhrt zu der bereits als Gleichung (3.22) abgeleiteten Reaktionsfunktion x∗2 =

a−c 1 − x1 . 2b 2

(4.16)

Diese Verhaltensweise des Stackelberg-Folgers wird nun durch den Stackelberg-F¨ uhrer in Rechnung gestellt. Seine Gewinnfunktion ist dementsprechend gegeben durch Π1 = [a − b (x1 + x∗2 )] · x1 − cx1 .

(4.17)

Einsetzen von (4.16) in (4.17) f¨ uhrt zu Π1 =

b a−c x1 − x21 2 2

(4.18)

In dieser Schreibweise h¨angt der Gewinn des Stackelberg-F¨ uhrers nur noch von dessen Handlungsvariable x1 sowie exogenen Parametern ab, wobei jedoch die Verhaltensweise des Konkurrenten ber¨ ucksichtigt ist. Optimierung von (4.18) f¨ uhrt zu a−c ∂Π1 = 0 ⇔ x∗1 = ∂x1 2b

(4.19)

4.5. ANWENDUNGEN x1 ↑

85 x2 ↓

x1 + x2 ↑

p ↓

Π1 ↑

Π2 ↓

Π1 + Π2 ↓

Tabelle 4.2: Der qualitative Einfluss der dynamischen Struktur im Stackelberg-Duopol Anbieter 1 ist Stackelberg-F¨ uhrer, Anbieter ist Stackelberg-Folger. Die Pfeile geben die Ver¨ anderung der Gr¨oße relativ zur Cournot-L¨osung an.

Ein Vergleich mit der Cournot-L¨osung (3.23) zeigt, dass der Stackelberg-F¨ uhrer eine gr¨ oßere Menge herstellt als in einer statischen Spielsituation. Setzt man das Ergebnis (4.19) in die Reaktionsfunktion (4.16) des Stackelberg-Folgers ein, so ergibt sich dessen optimale Menge als a−c x∗2 = , (4.20) 4b was weniger ist als die Menge in einem Cournot-Duopol. Das ist auch genau der Grund f¨ ur die Verhaltensweise des Stackelberg-Folgers: Da dieser weiß, dass der Stackelberg-Folger eine negativ geneigte Reaktionsfunktion hat, kann er seine Menge gegen¨ uber der Cournot-L¨osung erh¨ohen. Die Mengen sind also strategische Substitute in diesem Modell. Die Addition der Marktmengen liefert x∗ = x∗1 + x∗2 =

3 (a − c) , 4b

(4.21)

was mehr ist als die Marktmenge in der Cournot-L¨osung (3.24). Entlang einer negativ geneigten Nachfragefunktion muss der Preis niedriger sein. Daraus l¨asst sich auch sofort etwas zum Einfluss der dynamischen Spielstruktur auf die Gewinne der beiden Konkurrenten sagen: Insgesamt sinkt die Gewinnsumme, da schon in der Cournot-L¨osung eine h¨ohere als die Monopolmenge produziert wird, man sich also auf dem fallenden Ast der Gewinnfunktion bewegt – und sich entlang dieses Astes durch eine weitere Ausweitung der Menge weiter nach unten bewegt. Allerdings ist die Inzidenz auf die Gewinne sehr unterschiedlich: Der Stackelberg-F¨ uhrer gewinnt gegen¨ uber der CournotL¨ osung, da er ja diese auch durchsetzen k¨onnte – der Stackelberg-Folger wird ja immer einen Punkt auf seiner Reaktionsfunktion w¨ahlen –, dieses aber nicht tut. Damit ist klar, dass sein Gewinn steigen muss. Nimmt man die Resultate f¨ ur den Gewinn des Stackelberg-F¨ uhrers und f¨ ur die Gewinnsumme zusammen, so folgt, dass der Gewinn f¨ ur den Stackelberg-Folger eindeutig sinken muss. Tabelle 4.2 fasst die qualitativen Ergebnisse zusammen.

4.5.2

Geldpolitik II: Stackelberg-F¨ uhrerschaft der Lohnsetzer im Barro-Gordon-Modell

In diesem und dem n¨achsten Abschnitt werfen wir einen genaueren Blick auf das BarroGordon-Modell zur Analyse der Geldpolitik, das wir in seiner Grundstruktur bereits in Abschnitt 3.7.4 auf Seite 60 kennen gelernt hatten. Zun¨achst geht es um die Konsequenzen einer dynamischen Struktur des Spiels zwischen privatem Sektor und geldpolitischen Akteuren – und insbesondere um die Implikationen und die W¨ unschbarkeit einer mehr oder weniger an der Bek¨ampfung von Inflation ausgerichteten Geldpolitik.1 1 Alle Uberlegungen ¨ hier beziehen sich nur auf Gleichgewichtsph¨ anomene, d.h. nicht auf die Frage, inwiefern die Geldpolitik konjunkturelle Schwankungen ausgleichen kann oder sollte. Dieser Aspekt – der in der geldpolitischen Literatur sehr prominent ist – w¨ urde sich zwar mehr oder weniger problemlos ber¨ ucksichtigen lassen, ¨ andert aber nichts Wesentliches an der hier zu analysierenden Interaktion.

86

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

In Abschnitt 3.7.4 auf Seite 60 war der private Sektor dabei sehr rudiment¨ar dadurch abgebildet, dass dieser systematisch falsche Inflationserwartungen vermeiden wollte. Hier wird nun dem privaten Sektor etwas mehr Struktur gegeben.1 Konkret wird unterstellt, dass neben der Geldpolitik die Lohnpolitik der zweite zentrale Spieler auf der makro¨okonomischen Ebene ist. Diese setzt den Nominallohn. Der logarithmierte Wert des Nominallohns wird im Folgenden mit w bezeichnet. Das makro¨okonomische Ergebnis h¨angt dann sowohl vom Verhalten der Geldpolitik, die die Inflationsrate weiterhin direkt bestimmen kann, als auch von der Lohnpolitik ab. Weiterhin wird angenommen, dass die Lohnsetzer zeitlich bzw. logisch vor der Geldpolitik ihre Entscheidung fixieren k¨onnen und damit in der Position eines Stackelberg-F¨ uhrers sind. Entsprechend agiert die Geldpolitik als Stackelberg-Folger. Abbildung 4.17 zeigt diese zeitliche Abfolge.

Abbildung 4.17: Timing im Stackelberg-Modell des Spiels zwischen Lohn- und Geldpolitik. Auf der ”dritten Stufe” in Abbildung 4.17 ist keine eigentliche Entscheidung zu treffen; hier werden vielmehr die Konsequenzen der vorangegangenen Entscheidungen der Akteure f¨ ur die interessierenden Variablen berechnet und angegeben. Im vorliegenden Fall ist dies einfach die H¨ohe der Arbeitslosenquote u, die als proportional zum (Logarithmus des) Reallohn(s) w − p angenommen wird:2 u=w−p

(4.22)

¨ Okonomisch steckt dahinter letztlich eine fallende Arbeitsnachfragekurve; dass die Elastizit¨at hier auf den Wert 1 normiert wird, ist f¨ ur die folgende Argumentation unwichtig, d.h. erleichtert nur die Notation des Modells. Die Nutzenfunktionen der Akteure sind wie folgt beschrieben. Die Geldpolitik minimiert die Verlustfunktion LG = u2 + αp2 mit α ≥ 0.

(4.23)

Diese Nutzenfunktion ist v¨ollig isomorph zu (3.37); es wurde lediglich als Maß f¨ ur den Auslastungsgrad der Volkswirtschaft anstelle der Abweichung von Output und Zieloutput die Arbeitslosenquote verwendet und deren Zielwert auf Null normiert. α ist ein Maß f¨ ur das relative Gewicht von Inflationsziel bzw. realem Ziel. α = 0 bildet die Situation einer Zentralbank ab, die sich u ¨berhaupt nicht um Inflation k¨ ummert, sondern sich ausschließlich dem Outputziel verpflichtet sieht. Die Lohnsetzer weisen eine ¨ahnliche Nutzen- bzw. Verlustfunktion auf, n¨amlich LW = u2 + βp2 − 2χ (w − p) mit β, χ ≥ 0.

(4.24)

Auch diese Gruppe ist an einer niedrigen Arbeitslosenquote interessiert. F¨ ur β > 0 l¨asst sich auch eine Inflationsaversion der Lohnsetzer einfangen, der Parameter χ bildet dar¨ uber 1 Die 2 In

Modellierung st¨ utzt sich auf Jerger (2002a) und Jerger (2002b).

einem one-shot game, wie es hier vorliegt, k¨ onnen wir p sowohl f¨ ur den Log des Preisniveaus als auch f¨ ur die Inflationsrate verwenden. Dies folgt aus der Tatsache, dass πt = pt − pt−1 . Bei Normierung des (exogenen) Preisniveaus der Vorperiode auf Pt−1 = 1 ⇒ pt−1 = 0 folgt daraus, dass πt = pt . P bezeichnet dabei das nicht logarithmierte Preisniveau. Die Zeitindizierung f¨ allt in der Darstellung im Text weg, da diese in einem one-shot-Kontext nicht von Bedeutung ist.

4.5. ANWENDUNGEN

87

hinaus ein Reallohnziel ab; da die Lohnsetzer plausiblerweise an einem hohen Reallohn interessiert sind, geht dieser negativ in die Verlustfunktion ein. Wieder wird die Methode der R¨ uckw¨artsinduktion angewandt, d.h. zun¨achst wird das Kalk¨ ul der Zentralbank betrachtet. Einsetzen von (4.22) in (4.23) liefert die Schreibweise 2

LG = (w − p) + αp2 ,

(4.25)

deren Minimierung u ¨ber p das folgende Resultat liefert: w ∂LG = −2 (w − p) + 2αp = 0 ⇔ p = ∂p 1+α

(4.26)

Diese Gleichung kann als geldpolitische Reaktionsfunktion aufgefasst werden. Eine ausschließlich auf das reale Ziel fixierte Geldpolitik (α = 0) wird einfach p = w setzen und damit gem¨aß (4.22) immer u = 0, d.h. Vollbesch¨aftigung erreichen k¨onnen. Hingegen wird ein ”inflation nutter” (α → ∞) u ¨berhaupt nicht auf ein h¨oheres Niveau der Nominall¨ohne reagieren, damit das Inflationsziel (p = 0) in jedem Fall erreicht wird.1 Algebraisch ausgedr¨ uckt: ∂p lim = 0. (4.27) α→∞ ∂w Der n¨achste Schritt besteht nun in der Ermittlung des optimalen Verhaltens der Lohnsetzer. Hierzu ist das Verhalten der Geldpolitik (4.26) sowie die die Bestimmungsgleichung f¨ ur u (4.22) in die Verlustfunktion der Lohnsetzer (4.24) einzusetzen. Dies f¨ uhrt zu µ ¶2 µ ¶2 αw w αw 2 LW = +β − 2χ . (4.28) 1+α 1+α 1+α Minimierung dieser Verlustfunktion u ¨ber w liefert µ ¶ µ ¶ αw α w 1 α χα (1 + α) ∂LW =2 + 2β − 2χ =0 ⇔w= (4.29) ∂w 1+α 1+α 1+α 1+α 1+α β + α2 Gleichung (4.29) gibt den Nominallohn in Kategorien der Pr¨aferenzparameter der Akteure an, ist also keine Reaktionsfunktion, sondern bereits die ”Schlussgleichung” f¨ ur diese Variable. Einsetzen von (4.29) in die geldpolitische Reaktionsfunktion (4.26) liefert die L¨ osung des Modells f¨ ur die Inflationsrate p=

χα . β + α2

(4.30)

Die L¨osung f¨ ur die Arbeitslosenquote ergibt sich als u=

χα2 β + α2

(4.31)

Halten wir zun¨achst die folgenden Ergebnisse fest: • Je h¨oher das Gewicht χ des Reallohns in der Verlustfunktion der Lohnsetzer ist, desto h¨oher sind sowohl im Stackelberg-Gleichgewicht ¯ Inflation als auch Arbeitslosenquote ¯ ∂p ¯ ∂u ¯ α α2 des Modells: ∂χ ¯ = β+α2 > 0 und ∂χ ¯ = β+α2 > 0 4.30

4.30

1 ”Nicht

reagieren” bezieht sich hier auf die angenommene Handlungsvariable p. Wird nicht p, sondern ein Zins oder Geldmengenaggregat als Handlungsparameter aufgefasst, so liegt es auf der Hand, dass durchaus eine Reaktion erfolgt – und sogar eine denkbar extreme: Jeder inflation¨ are Druck, der von noch so hohen Nominallohnabschl¨ ussen kommt wird durch eine Politik des ”leaning against the wind” in ihren Inflationswirkungen bek¨ ampft. 2 Dabei

wird die aus 4.26 folgende Tatsache benutzt, dass w − p =

αw . 1+α

88

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II • Weisen auch die Lohnsetzer ein gewisses Maß an Inflationsaversion auf (β > 0), so wirkt dies sowohl auf die Inflationsrate als auch auf die Arbeitslosenquote senkend. Anders gesagt: Agieren die Lohnsetzer ohne R¨ ucksicht auf die Inflationsrate, so f¨ uhrt dies zu einem gesamtwirtschaftlich eindeutig schlechteren Gleichgewicht.1

Die zwei zentralen Implikationen des Modells sind jedoch die Folgenden: Zum einen ist die gleichgewichtige Arbeitslosenquote umso gr¨oßer, je konservativer die Zentralbank ist: ¯ µ µ ¶2 ¶2 ¡ ¡ 2 ¢ ¢ 1 ∂u ¯¯ 1 2 = 2αχ α + β − 2αα χ = 2αβχ >0 (4.32) ∂α ¯4.31 β + α2 β + α2 Dies ist insofern ein sehr wichtiges Resultat, als eine systematisch weniger inflationsaverse Geldpolitik in diesem Modell tats¨achlich zu einer Reduktion der Arbeitslosenquote f¨ uhrt. In diesem Sinn liegt eine jenseits des konjunkturellen Horizonts relevante Nichtneutralit¨at der Geldpolitik vor, die in dem Modell des Abschnitts 3.7.4 auf Seite 60 nicht enthalten war. Es wird gleich gezeigt werden, dass dieser qualitative Unterschied auf das Zusammenwirken zweier wesentlicher Modifikationen beruht, der dynamischen (Stackelberg-) Struktur des Spiels einerseits und der Eigenschaft der Inflationsaversion von Lohnsetzern andererseits. Die Bedeutung der Inflationsaversion der Lohnsetzer kann unmittelbar aus 4.32 abgelesen werden. Es gilt n¨amlich, dass ¯ ∂u ¯¯ = 0. (4.33) ∂α ¯4.31 ∧ β=0 Zum anderen kann man zeigen, dass die Inflationsrate eine im Allgemeinen nicht-monotone Funktion der Zentralbankkonservativit¨at ist – es also einen Bereich gibt, in dem eine st¨arkere Inflationsaversion der geldpolitischen Akteure zu weniger bzw. zu mehr Inflation im Gleichgewicht f¨ uhrt. Dieser Punkt soll zun¨achst formal gezeigt werden. Aus (4.30) l¨asst sich sofort ableiten, dass  ¯ ¶2 µ ur α2 < β  > 0 f¨ ¡ ¢ ∂p ¯¯ 1 2 = 0 f¨ ur α2 = β χ β−α (4.34) =  ∂α ¯4.30 β + α2 < 0 f¨ ur α2 > β In Prosa: Ausgehend von einer sehr populistischen Zentralbank (kleines α) wird durch die Etablierung einer st¨arker am Inflationsziel interessierten Geldpolitik die gleichgewichtige Inflationsrate paradoxerweise erh¨oht! Insbesondere gilt, dass sowohl eine ultrapopulistische Zentralbank (α = 0) als auch eine ultrakonservative Zentralbank (α → ∞) f¨ ur eine Inflationsrate von Null sorgen: lim p = lim p = lim

α→0

α→∞

α→∞

χ = 0. 2α

(4.35)

Bei der Berechnung des Limes f¨ ur α → ∞ in (4.35) wurde die Regel von De L‘Hˆopital verwendet. Abbildung 4.18 auf der n¨achsten Seite zeigt die qualitativen Eigenschaften der L¨osung mit Hilfe einer numerischen Simulation. Entlang der horizontalen Achse wird der Grad der Zentralbankkonservativit¨at variiert, wobei die Variation von α zwischen Null und Unendlich durch die Definition der Hilfsvariabeln γ = 1/(1 + α) auf den Bereich zwischen Null und 1 abgebildet wird. Man sieht, dass das makro¨okonomisch beste Resultat (p = u = 0) durch eine ultrapopulistische Zentralbank herbeigef¨ uhrt wird. Die Intuition hinter diesem Ergebnis lautet wie 1 Das ist stringent zu zeigen, wenn die gesellschaftliche Verlustfunktion L G durch Einsetzen der Modell¨ osung (4.30) und (4.31) als Funktion aller Pr¨ aferenzparameter berechnet wird. Tut man dies, so ergibt G sich, dass ∂L < 0, d.h. der gesellschaftliche Verlust ist um so geringer, je h¨ oher die Sensibilit¨ at der Lohn∂β setzer f¨ ur die Inflationsrate ist.

4.5. ANWENDUNGEN

89

p

u

?? 0

?? ? Zunehmende Konservativität der Geldpolitik

Abbildung 4.18: Die qualitativen Eigenschaften eines Stackelberg-Gleichgewichts bei inflationsaversen Lohnsetzern.

folgt: Wenn die Geldpolitik sich ausschließlich auf das reale Ziel konzentriert, kann sie dies aufgrund ihrer Position als Stackelberg-Folger immer tun: Was immer an Nominall¨ohnen in der ersten Stufe gesetzt wurde, muss nur – und kann auch – durch eine entsprechende Inflation real ”unsch¨adlich” gemacht werden. Da die Lohnsetzer dieses Verhalten nat¨ urlich antizipieren ist ihnen im Grunde klar, dass sie keinerlei Einfluss auf alle realen Variablen haben, konkret: auf Arbeitslosenquote und Reallohn. F¨ ur α = 0 gilt diese Machtlosigkeit bzgl. der realen Variablen unabh¨angig von der Intensit¨at des Reallohnziels χ. Wenn nun die Lohnsetzer auch nur einen geringen Grad an Inflationsaversion mitbringen, so sehen sie in der ersten Stufe, dass sie im Prinzip nur Einfluss auf die Inflationsrate haben. Ihr Rationalit¨ atskalk¨ ul diktiert ihnen dann sich ausschließlich auf dieses Ziel zu konzentrieren und damit der Zentralbank in der zweiten Stufe Bedingungen zu bescheren, die es ihr erlaubt, das reale Ziel ohne inflation¨are Nebenwirkungen zu erreichen.1 Diese Logik macht auch klar, warum und wie die hier unterstellte sequentielle Struktur des Spiels von Bedeutung ist. Das Ergebnis ist denkbar weit entfernt vom Resultat des Modells in Abschnitt 3.7.4 auf Seite 60. Dort wurde ja gezeigt, dass die Zentralbank in einem Gleichgewicht mit Rationalen Erwartungen keinerlei Einfluss auf die realen Variablen hat und daher so konservativ wie m¨oglich sein sollte. Die Bedeutung der sequentiellen Struktur wird genauer herausgestellt, indem nun dieses Ergebnis innerhalb des extrem einfachen Modellrahmens in diesem Abschnitt ”reproduziert” wird. D.h. im Rest dieses Abschnitts wird noch das Nash-Gleichgewicht des statischen Spiels berechnet. Die geldpolitische Reaktionsfunktion (4.26) kann dabei einfach u ¨bernommen werden, das lohnpolitische Verhalten muss aber neu abgebildet werden; die Lohnsetzer wissen ja in einem statischen Kontext, dass die geldpolitischen Akteure nicht von einem spezifischen Wert von w ausgehen, sondern allgemein nur von lohnpolitischem Optimalverhalten. Die zu optimierende Verlustfunktion der Lohnsetzer muss also in einer Form geschrieben werden, die noch konditional auf p ist. Einsetzen von (4.22) in (4.24) liefert 2

LW = (w − p) + βp2 − 2χ (w − p) , 1 Formal:

Aus (4.29) folgt, dass w|α=0 = 0.

(4.36)

90

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

woraus sich sofort die lohnpolitische Reaktionsfunktion wie folgt ableiten l¨asst. ∂LW = 2 (w − p) − 2χ = 0 ⇔ w = p + χ ∂w

(4.37)

Einsetzen von (4.37) in (4.26) liefert die gleichgewichtige Inflationsrate als p=

χ α

(4.38)

(4.37) und (4.26) determinieren gem¨aß (4.22) die Arbeitslosenquote im Gleichgewicht als u = χ.

(4.39)

Die Inflationsrate (4.38) ist in diesem Szenario eine monotone Funktion der Konservativit¨at der Zentralbank, w¨ahrend die Geldpolitik nun die realen Variablen nicht beeinflusst. Vielmehr ist die Arbeitslosenquote im Gleichgewicht proportional zur Gewichtung des Reallohnziels in der Zielfunktion der Lohnsetzer. Abbildung 4.19 zeigt die qualitativen Eigenschaften der Nash-L¨osung des statischen Spiels wieder in einer numerischen Simulation. Alle Parameter sind dabei genau so gew¨ahlt wie f¨ ur die Simulation des sequentiellen Spiels in Abbildung 4.18 auf der vorherigen Seite.

p

u

?? 0

?? ? Zunehmende Konservativität der Geldpolitik

Abbildung 4.19: Die qualitativen Eigenschaften eines Nash-Gleichgewichts im statischen Spiel zwischen Lohnsetzern und Geldpolitik. Nat¨ urlich resultiert nun wieder die normative Implikation, dass sich die Geldpolitik m¨oglichst konservativ verhalten sollte, d.h. einen ausschließlichen Fokus auf das Inflationsziel legen sollte. Eine wichtige Lehre aus dem Vergleich des sequentiellen und statischen Spiels in diesem Abschnitt ist vor allem, dass die Unterschiedlichkeit der L¨osungen in beiden Szenarien von der genauen Spezifikation des Modells abh¨angt. So w¨aren in dem Modell dieses Abschnitts die Ergebnisse im statischen und dynamischen Spiel identisch, wenn es keine Inflationsaversion der Lohnsetzer g¨abe (d.h. f¨ ur β = 0).1 1 In der Tat wird in dem Lehrbuch von Gibbons (1992) das traditionelle Barro-Gordon-Modell (vgl. Abschnitt 3.7.4 auf Seite 60 explizit als dynamisches Spiel pr¨ asentiert.

4.5. ANWENDUNGEN

4.5.3

91

Geldpolitik III: Reputation im Barro-Gordon-Modell

In diesem Abschnitt werden nun die Unterschiede zwischen statischem und dynamischem Spiel wieder in den Hintergrund geschoben und die Frage nach der M¨oglichkeit eines Reputationsaufbaus der geldpolitischen Akteure gestellt. Dabei wird die Modellstruktur des Abschnitts 3.7.4 auf Seite 60 wieder unterstellt, d.h. die geldpolitische Zielfunktion ist wieder durch LG = −uG = απ 2 + (y − y˜)

2

(4.40)

¨ gegeben, die Phillipskurve y = y N + β (π − π e ) ist das ”Modell der Okonomie”, wobei die Beziehung zwischen dem inflationsstabilen Outputniveau y N und dem Zielniveau der Geldpolitik y˜ gegeben ist durch y˜ = γ · y N mit γ > 1. Unter der Annahme Rationaler Erwartungsbildung π = π e resultieren im Nash-Gleichgewicht die Inflationsrate π=

(γ − 1) β N y α

(4.41)

y = yN .

(4.42)

und das Outputniveau

Wie bereits diskutiert, weist diese L¨osung eine Ineffizienz in Form einer unerw¨ unscht hohen Inflationsrate auf, die im Gleichgewicht nicht in der Lage ist, das Niveau der realen Aktivit¨at zu steigern. Es w¨are daher vorstellbar, dass sich die Geldpolitik in dieser Situation eine Reputation aufbauen m¨ochte, die Inflationsrate bei Null zu halten. Wenn dies auch von den Privaten erwartet wird, so ¨andert sich nichts am Outputniveau 4.42, die Inflationsrate ginge jedoch auf Null zur¨ uck. Reputationsaufbau w¨are also eine denkbare L¨osung des Zeitinkonsistenzproblems der Geldpolitik. Allerdings h¨atte in dieser Situation die Geldpolitik einen Anreiz, eine h¨ohere Inflationsrate zu kreieren – was ja genau der Kern des Zeitinkonsistenzproblems ist. Nachfolgend wird nun zun¨achst der Fall eines endlich wiederholten Spiels betrachtet, danach die Situation bei unendlicher Wiederholung. Endlich wiederholte Interaktion Wenn das oben noch einmal kurz beschriebene one-shot game aus Abschnitt 3.7.4 auf Seite 60 f¨ ur eine vorgegebene Zahl von T Perioden gespielt wird, so l¨asst sich die teilspielperfekte Abfolge der gleichgewichtigen L¨osungen der T Teilspiele durch R¨ uckw¨artsinduktion ermitteln. Das Teilspiel in Periode T besteht nur noch aus dem one-shot game in dieser Periode. Die Anreize der Akteure h¨angen dabei in keiner Weise von der Geschichte des Spiels ab – womit klar ist, dass hier kein Weg an der ineffizienten L¨osung (4.41) und (4.42) vorbei f¨ uhrt. Anders gesagt: Die Zentralbank w¨ urde bei Inflationserwartungen in H¨ohe von πTe = 0 eine Inflationsrate πT > πTe = 0 w¨ahlen. Daher ist πTe = 0 kein Gleichgewicht, da der private Sektor den Anreiz der Zentralbank und somit die zeitkonsistenten Inflationserwartungen y N und yT = y N . bildet. In Periode T ergibt sich also πT = (γ−1)β α In Periode T − 1 besteht das Teilspiel aus den Stufenspielen der Perioden T und T − 1. Damit ist klar, dass in T eine in T − 1 evtl. aufzubauende Reputation nichts n¨ utzt, da sich auch bei πT −1 = 0 an der im letzten Absatz geschilderten Logik nichts ¨andert. Ein Reputationsaufbau ist somit unglaubw¨ urdig und unterbleibt deswegen. Das Ergebnis besteht N y und yT −1 = y N . ist also auch hier πT −1 = (γ−1)β α In Periode T −2 ist die Logik nun v¨ollig parallel zu der in T −1, d.h. ein Reputationsaufbau ist unn¨ utz, ergo unglaubw¨ urdig und unterbleibt daher. Die Logik ¨andert sich nat¨ urlich auch nicht f¨ ur noch gr¨oßer Teilspiele, die weiter zur¨ uckreichen.

92

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

Damit ist gezeigt, dass ein Reputationsaufbau in einer endlich wiederholten Spielsituation nicht auftritt. Dies ist eine Anwendung des Theorems in Abschnitt 4.4.2 auf Seite 74, das ja behauptete, dass sich ein eindeutiges Nash-Gleichgewicht in einem one-shot game bei endlicher Wiederholung dieser Situation einfach perpetuiert. Unendlich wiederholte Interaktion Auch sehr stabile Institutionen leben nicht unendlich lange, dennoch ist gerade in der Geldpolitik die Unterscheidung zwischen endlichem und unendlichem Zeithorizont von großer Bedeutung. Denn in einer zun¨achst einmal ”nat¨ urlichen” Situation, in der Geldpolitik von einer gew¨ahlten Regierung betrieben wird, wechselt diese – jedenfalls potentiell – nach Ablauf einer Legislaturperiode. Diese dauern typischerweise ca. 4-5 Jahre und bieten damit eine wirklich begrenzte zeitliche Perspektive, die mit der Logik eines endlich wiederholten Spiels gut abgebildet ist. Eine nicht von der Regierung abh¨angige Zentralbank bzw. eine Zentralbank, die f¨ ur die Mitglieder der Erntscheidungsgremien l¨angere Amtszeiten vorsieht, kann dagegen schon eher eine Kontinuit¨at gew¨ahrleisten, die durch ein unendlich wiederholtes Spiel besser abgebildet ist. Nachfolgend wird nun gezeigt, dass die folgende Triggerstrategie f¨ ur die Bildung der Inflationswartungen des privaten Sektors unter bestimmten Umst¨anden ein effizientes teilspielperfektes Gleichgewicht unterst¨ utzen kann: Triggerstrategie: Setze in Periode 1 die Inflationserwartungen auf π1e = 0. Setze danach f¨ ur alle t > 1 die Inflationserwartungen gem¨aß ( πte

=

0 (γ−1)β N y α

f¨ ur πt−i = 0, ∀i ≥ 1 f¨ ur max πt−i > 0, ∀i ≥ 1

(4.43)

i

In Worten: Der private Sektor gibt der Zentralbank einmal einen ”Vertrauensvorschuss”, der aber sofort und f¨ ur alle Zeiten aufgebraucht ist, wenn dieses Vertrauen einmal missbraucht werden sollte.1 Die Notation f¨ ur den Rest des Arguments kann sehr einfach gehalten werden, da es gen¨ ugt, drei Nutzenniveaus der geldpolitischen Zielfunktion (4.40) zu unterscheiden. Es ist hier auch wieder bequemer, anstelle der Verlustgr¨oßen LG von Nutzengr¨oßen uG zu sprechen. Dieses Nutzenniveau kann als Funktion der beiden Handlungsparameter π und π e aufgefasst werden, d.h. uG (π, π e ) (4.44) Dabei k¨onnen die Inflationsrate und auch die Inflationserwartungen das Niveau des NashGleichgewichts im one-shot game (4.41) annehmen, das hier mit π N bezeichnet werden soll oder aber das effiziente Niveau von Null. Die drei relevanten Konstellationen sind die folgenden: ¡ N ¢ • uU G = uG π , 0 ist das Nutzenniveau, das die Zentralbank erreicht, wenn sie eine ¨ erfolgreiche Uberraschungsinflation herbeif¨ uhrt, d.h. den privaten Sektor t¨auscht. Dies ist vor dem Hintergrund der Triggerstrategie (4.43) genau ein Mal m¨oglich. ¡ N N¢ • uN ist assoziiert mit der Situation, in der der private Sektor das VerG = uG π , π trauen in die Zentralbank verloren hat und damit das one-shot game Nash-Gleichgewicht resultiert. 1 Daher ist (4.43) eine ”grim strategy”. Die gleiche Analyse l¨ asst sich auch hier f¨ ur etwas weniger rigorose Bestrafungsstrategien, wie z.B. tit for tat durchf¨ uhren. Es ¨ andert sich dadurch nichts an der Logik der Analyse, wohl aber an der genauen Bedingung, unter der das effiziente Gleichgewicht des one-shot games die Eigenschaft der Teilspielperfektheit aufweist. Es leuchtet ein, dass Teilspielperfektheit umso eher gegeben ist, je h¨ arter die Bestrafungsstrategie ist; der Grund daf¨ ur ist der, dass Bestrafung als Abschreckung dient – und diese naturgem¨ aß umso eher wirkt, je bedrohlicher sie ist.

4.5. ANWENDUNGEN

93

• uE G = uG (0, 0) wird realisiert, solange der private Sektor an die Reputation der Geldpolitik, die effiziente Inflationsrate von Null zu w¨ahlen, glaubt und diese Erwartungen auch erf¨ ullt werden. Die Analyse im zweiten Kapitel machte deutlich, dass die folgende Reihenfolge gelten muss: E N 1 uU (4.45) G > uG > uG . Betrachten wir nun das Optimalverhalten der Zentralbank unter der oben genannten Triggerstrategie. Zwei Optionen stehen im Prinzip zur Verf¨ ugung: Zum einen kann die Zen¨ tralbank die effiziente L¨osung unterst¨ utzen, d.h. der Versuch zur Uberraschungsinflation E widerstehen und eine unendliche Folge der Nutzenniveaus uG generieren: ¡ ¢ uE 2 G uE G 1 + δ + δ + ... = 1−δ

(4.46)

Der Durchschnittswert dieser Zahlungsreihe ist gem¨aß der Definition (4.12) gegeben durch (1 − δ) uE G = uE (4.47) G 1−δ ¨ Zum anderen kann die Zentralbank aber auch zu irgendeinem Zeitpunkt eine Uberraschungsinflation durchf¨ uhren. Bei dieser einfachen Struktur ist klar, dass dieser Anreiz bei auch nur marginaler Diskontierung gleich in der ersten Periode besteht. Dementsprechend w¨are der Nutzenstrom gegeben durch ¡ ¢ N 2 (4.48) uU G + uG δ + δ + . . . Der durchschnittliche Wert dieses Zahlungsstroms ist £ ¡ ¢¤ £ ¡ ¢¤ N 2 N N 2 (1 − δ) uU = (1 − δ) uU G + uG δ + δ + . . . G − uG + uG 1 + δ + δ + . . . · ¸ · ¸ uN δuN N N U G G + − u ⇒ (1 − δ) uU + = (1 − δ) u = (1 − δ) uU G G G G + δuG 1−δ 1−δ

(4.49)

Die durchschnittliche Auszahlung (4.49) muss nun verglichen werden mit (4.47). Dar¨ aus l¨asst sich ableiten, dass die Herbeif¨ uhrung von Uberraschungsinflation – und damit ein analoges Ergebnis wie beim endlich wiederholten Spiel – das einzige teilspielperfekte Gleichgewicht ist, wenn N uE N E U G − δuG (1 − δ) uU (4.50) G + δuG > uG ⇔ uG > 1−δ E Da uU ur einen hinreichend kleinen Wert von δ m¨oglich. Dieser G > uG ist dies prinzipiell f¨ Schwellenwert errechnet sich aus (4.50) als

δ=

E uU G − uG . N uU G − uG

(4.51)

Damit ist gezeigt, dass Reputationsaufbau im Kontext eines unendlich wiederholten Spiels gelingen kann, wenn die Diskontrate hinl¨anglich niedrig ist (δ also hinl¨anglich nahe bei ¨ Eins liegt) sowie der Nutzen aus der Uberraschungsinflation relativ zum Nutzendifferential zwischen effizientem Gleichgewicht und dem Nash-Gleichgewicht des one-shot game nicht zu groß wird.

1 Es w¨ ¨ are eine nahe liegende Ubung, den algebraischen Beweis dieser Behauptung durch die Evaluation dieser Situationen mit Hilfe der Verlustfunktion (4.40) anzutreten.

94

KAPITEL 4. NICHTKOOPERATIVE SPIELE II

Kapitel 5

Nichtkooperative Spiele III: Dynamische Spiele bei unvollkommener Information 5.1

Lernziele

Unvollkommene Information und insbesondere auch asymmetrisch verteilte Information ist ein sehr g¨angiges Merkmal ¨okonomischer Situationen. Ein Verk¨aufer kennt die Qualit¨at seines Produktes besser als der K¨aufer, ein Arbeitnehmer seine tats¨achliche Qualifikation besser als ein prospektiver Arbeitgeber. Beispiele dieser Art lassen sich zuhauf finden. Das Ziel dieses Kapitels ist es, das bisherige Instrumentarium der spieltheoretischen Analyse auf diese Situationen abzustimmen. Dies erfordert vor allem eine Verfeinerung der bisher verwendeten L¨osungskonzepte. Dieser Aufgabe widmet sich der erste Abschnitt 5.2 auf der n¨achsten Seite. Hier wird insbesondere das Konzept des perfekten bayesianischen Gleichgewichts beschrieben und begr¨ undet. Im Anschluss daran werden in den Abschnitten 5.3 auf Seite 101 und 5.4 auf Seite 104 zwei ganz bestimmte Klassen von dynamischen Spielen mit unvollkommener Information n¨aher untersucht. Zun¨achst geht es um sog. Signalspiele. In diesen Spielen gibt ein gut informierter Spieler ein Signal, das der schlechter informierte Spieler empfangen kann und auf das er seine Entscheidung im Allgemeinen konditionieren wird. Obgleich diese Charakterisierung zugegebenermaßen reichlich abstrakt klingt, gibt es viele ¨okonomische Beispiele, die in dieses Muster sehr gut passen. Als n¨achstes werden dann Screening-Spiele etwas genauer unter die Lupe genommen. In diesen muss der schlechter informierte Spieler den ersten Zug machen, der besser informierte Spieler kann reagieren. Letzterer kann durch sein Wissen also keine Signale senden, sondern wird durch den Spielablauf ”abgeschirmt”.1 Wie auch in den beiden vorangegangenen Kapiteln werden Anwendungen des Modellrahmens das Kapitel in Abschnitt 5.5 auf Seite 107 beschließen.

1 So erkl¨ art sich auch die englische Bezeichnung: Aus Sicht des ersten, schlecht informierten Spielers wird durch die Reihenfolge der Z¨ uge ein ”screen” vor dem gut informierten Spieler aufgebaut.

95

96

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

5.2 5.2.1

Modifikation des L¨ osungskonzepts bei dynamischen Spielen bei unvollkommener Information Perfektes Bayesianisches Gleichgewicht

Auch die Theorie nichtkooperativer Spiele bei unvollkommener Information versucht letztlich, eine Vorhersage u ¨ber das Ergebnis einer Spielsituation zu machen, wobei sie sich eines bestimmten L¨osungskonzepts bedienen muss. Die bisher verwendeten L¨osungskonzepte waren • das Nash-Gleichgewicht, das Verwendung fand bei der Theorie statischer Spiele mit vollkommener Information (vgl. Kapitel 3) und • das teilspielperfekte Gleichgewicht, das sich f¨ ur die Analyse dynamischer Spiele gut eignet. Eine Voraussetzung f¨ ur die Anwendung des L¨osungskonzepts des teilspielperfekten Gleichgewichts ist die Identifizierbarkeit entsprechender Teilspiele, f¨ ur die dann ein Nash-Gleichgewicht angegeben werden kann. Ein Teilspiel kann jedoch nur dann identifiziert werden, wenn es bei einer einwertigen Informationsmenge startet. Spiele mit unvollkommener Information bieten diese M¨oglichkeit per Konstruktion nicht oder nur eingeschr¨ankt, da sie Situationen beinhalten, in denen ein Spieler nicht weiß, an welchem Knoten einer extensiven Form er sich befindet. Daher ist das Konzept des teilspielperfekten Gleichgewichts in dynamischen Situationen mit unvollkommener Information nicht mehr anwendbar. Ein abstraktes (Bei-) Spiel (vgl. Gibbons 1992, p. 175 ff.) soll dieses Problem verdeutlichen. In Abbildung 5.1 auf der n¨achsten Seite ist sowohl die extensive als auch die Normalform eines Spiels mit zwei Spielern zu sehen. Spieler 2 kann hier zwar unterscheiden, ob Spieler 1 im ersten Zug R1 oder eine der beiden anderen Strategien w¨ahlte, zwischen L1 und M1 kann Spieler 2 jedoch nicht unterscheiden. Schon nur ein ”theoretisch unbewaffneter” Blick auf die Auszahlungen zeigt aber, dass Spieler 2 in dieser Situation L2 w¨ahlen wird. Offensichtlich kann er sich damit in beiden Situationen eine bessere Auszahlung sichern – 1 gegen¨ uber 0, wenn Spieler 1 L1 w¨ahlte und 2 gegen¨ uber 1, wenn Spieler 1 M1 w¨ahlte. Spieler 1 kann ¨ diese Uberlegung antizipieren – die Auszahlungen sind ja bekannt – und wird sich dann in der Tat f¨ ur L1 entscheiden, da er hier eine Auszahlung von 2 erh¨alt, was gr¨oßer ist als die Auszahlung von 0 bei Wahl von M1 und die Auszahlung von 1 bei Wahl von R1 . Damit ist das Spiel ”intuitiv” gel¨ost. Die mehr oder weniger implizit verwendeten Anforderungen werden nachfolgend explizit gemacht werden m¨ ussen. Zun¨achst soll aber kurz diskutiert werden, dass bzw. warum die beiden o.g. bisherigen L¨ osungskonzepte in der Situation der Abbildung 5.1 auf der n¨ achsten Seite nicht ad¨ aquat sind: Ein Blick auf die Normalform des Spiels zeigt, dass das Spiel zwei Nash-Gleichgewichte, n¨amlich (L1 , L2 ) und (R1 , R2 ) aufweist. Damit ist das Konzept des Nash-Gleichgewichts nicht in der Lage, das unplausible Gleichgewicht (R1 , R2 ) auszuschließen. Das gleiche trifft auch zu f¨ ur das Konzept des teilspielperfekten Gleichgewichts zu, da aufgrund der eingef¨ uhrten Informationsunvollkommenheit das einzige Teilspiel in Abbildung 5.1(a) das Spiel selbst ist. Damit sind (L1 , L2 ) und (R1 , R2 ) trivialerweise auch teilspielperfekte Gleichgewichte. Diese Probleme und die oben diskutierte ”plausible” L¨osung des Spiels f¨ uhrt zu folgenden Eigenschaften, die f¨ ur das zu entwickelnde L¨osungskonzept eine Rolle spielen: • Zum einen erfordert die L¨osung, dass ein Spieler an einer nicht einwertigen Informationsmenge eine Vorstellung u ¨ ber die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Knoten in der Informationsmenge entwickelt – im Spiel der Abbildung 5.1 muss Spieler 2 also eine Vorstellung dar¨ uber haben, mit welcher Wahrscheinlichkeit, er sich im linken oder rechten Knoten befindet, Spieler 1 also L1 oder M1 w¨ahlte. Diese Vorstellung u ¨ber die Wahrscheinlichkeitsverteilung nennt man belief.

¨ 5.2. MODIFIKATION DES LOSUNGSKONZEPTS

97

Abbildung 5.1: Ein dynamisches Spiel mit unvollkommener Information (a) in extensiver Form, (b) in Normalform.

• F¨ ur gegebene beliefs der Spieler muss an die gleichgewichtigen Strategien der Spieler die Anforderung sequentieller Rationalit¨ at gestellt werden. Wenn also Spieler 2 davon ausgeht, dass Spieler 1 in der ersten Stufe L1 w¨ahlte (d.h. sein belief ist gegeben durch p (L1 ) = 1), so muss Spieler 1 die Aktion L2 w¨ahlen, da u2 ( L2 | L1 ) = 1 > u2 ( R2 | L1 ) = 0. Wenn aus welchem Grund auch immer Spieler 2 mit Sicherheit davon ausgeht, dass p (L1 ) = 0, so dass Spieler 1 die Aktion M1 w¨ahlte, resultiert im Beispiel die gleiche Aktion, da u2 ( L2 | M1 ) = 2 > u2 ( R2 | M1 ) = 1. Man kann hier zeigen, dass L2 generell f¨ ur jeden belief u ¨ber die Wahl des Spielers 1 optimal ist, da E ( u2 | R2 , p) = p · u2 ( R2 | L1 ) + (1 − p) · u2 ( R2 | M1 ) = p · 0 + (1 − p) · 1 = 1 − p < . E ( u2 | L2 , p) = p · u2 ( L2 | L1 ) + (1 − p) · u2 ( L2 | M1 ) = p · 1 + (1 − p) · 2 = 2 − p (5.1) Damit ist bereits das unplausible Nash-Gleichgewicht ausgeschlossen, da Spieler 2 f¨ ur irgendeinen belief niemals R2 w¨ahlen wird. Bislang wurde noch nichts u ¨ber das Zustandekommen der beliefs selbst gesagt. Hier wird nun die folgende Anforderung gestellt, dass die beliefs der Spieler gem¨ aß der Bayesianischen Regel gebildet werden. Dies gilt f¨ ur Informationsmengen, die mit einer positiven Wahrscheinlichkeit erreicht werden (man spricht dann von Informationsmengen auf dem Gleichgewichtspfad) und auch f¨ ur solche jenseits des Gleichgewichtspfades, wann immer dies m¨oglich ist. Was sagt nun die Bayesianische Regel? Es geht dabei immer um die Bildung einer bedingten Wahrscheinlichkeit, d.h. der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A eintritt,

98

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

gegeben, dass ein zweites, allgemeineres Ereignis B beobachtet wird. Dann gilt f¨ ur die bedingte Wahrscheinlichkeit p ( A| B) =

p (A ∩ B) . p (B)

(5.2)

Ein Beispiel hilft, die Formel zu verstehen: Angenommen, es ist die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass bei einem W¨ urfel die Zahl 3 aufscheint (Ereignis A), gegeben, dass eine ungerade Zahl gew¨ urfelt wurde (Ereignis B). Nun ist klar, dass bei einem fairen W¨ urfel die unkonditionale Wahrscheinlichkeit f¨ ur die Zahl 3 durch p(A) = 1/6 gegeben ist. Da dies eine ungerade Zahl ist kann A nur zusammen mit B auftreten, d.h. es gilt p(A ∩ B) = 1/6. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein ungerade Zahl ist nat¨ urlich p(B) = 1/2, so dass p(A|B) =

p(A ∩ B) 1/6 1 = = , p(B) 1/2 3

(5.3)

wie man in diesem einfachen Beispiel wohl auch ohne die Bayesianische Regel herausgefunden h¨atte. Im Beispiel von Abbildung 5.1 auf der vorherigen Seite kann (5.2) wie folgt angewandt werden. Wenn bekannt ist, dass Spieler 1 mit den Wahrscheinlichkeiten q, r und 1 − q − r die Aktionen L1 , M1 bzw. R1 w¨ahlt, dann bildet Spieler 2 seinen belief u ¨ber q, wenn er beobachten konnte, dass R1 nicht gew¨ahlt wurde, gem¨aß p(L1 |{L1 , M1 }) =

p(L1 ∩ {L1 , M1 }) q = . p({L1 , M1 }) q+r

(5.4)

In dem einfachen Fall von Abbildung 5.1 auf der vorherigen Seite, weiß Spieler 2 sogar, dass p(M1 ) = r = 0, so dass q = 1. Dies weiß Spieler 2 deshalb, weil Spieler 1 durchschaut, dass Spieler 2 in jedem Fall L2 w¨ahlen wird und sich daher durch die die Wahl von L1 am besten stellen kann. Damit kann nun die folgende Definition formuliert werden: Ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht ist eine Kombination von Strategien und beliefs, f¨ ur die gilt, dass • die Strategien f¨ ur gegebene beliefs der Anforderung sequentieller Rationalit¨ at entsprechen; • die beliefs mit Hilfe der Bayesianischen Regel abgeleitet sind, falls diese Regel anwendbar ist. Ein wichtiges Merkmal der Definition eines perfekten Bayesianischen Gleichgewichts ist die Tatsache, dass sowohl Strategien als auch Beliefs f¨ ur die Definition des L¨ osungskonzepts herangezogen werden. Die Konsistenz dieser beiden Dinge ist es, was die Plausibilit¨at dieses L¨osungskonzepts ausmacht. Die Idee, Beliefs in die Definition eines L¨osungskonzepts mit aufzunehmen geht zur¨ uck auf den Beitrag von Kreps/Wilson (1982). Die n¨achste Illustration (ebenfalls aus Gibbons 1992, p. 180 f. entnommen) zeigt die Interaktion dieser beiden Dinge. Gegeben sei das 3-Personen-Spiel in Abbildung 5.2 auf der n¨achsten Seite, das ein echtes Teilspiel aufweist, welches bei der Entscheidung des Spielers 2 beginnt. Die Normalform des Teilspiels, das bei der Entscheidung von 2 beginnt, ist in Abbildung 5.3 auf der n¨achsten Seite angegeben. Die Auszahlungen f¨ ur Spieler 1 sind hier jeweils einfach durch einen Strich markiert, um zu verdeutlichen, dass diese f¨ ur das Teilspiel zwischen den Spielern 2 und 3 keine Rolle spielen. Man kann sofort erkennen, dass (L, R0 ) ein Nash-Gleichgewicht dieses Spiels ist. Da auch Spieler 1 keinen Anlass hat, durch Wahl von A das Spiel vorzeitig zu beenden, ist offensichtlich ein perfektes bayesianisches Gleichgewicht gegeben durch (D, L, R0 , q = 1). Wir k¨onnen nun u ¨berlegen, ob auch (A, L, L0 , q = 0) ein perfektes bayesianisches Gleichgewicht ist. Zun¨achst ist festzuhalten, dass es ein Nash-Gleichgewicht in dem Sinne ist, dass

¨ 5.2. MODIFIKATION DES LOSUNGSKONZEPTS

99

1 D

A

2

(q) R´

L´

(1, 2, 1)

(2, 0, 0)

R

L 3

(1-q) R´

L´

(3, 3, 3) (0, 1, 2)

(0, 1, 1)

Abbildung 5.2: Ein dynamisches Spiel mit unvollkommener Information Es gibt hier mehrere Nash-Gleichgewichte, aber nur ein perfekt bayesianisches Gleichgewicht.

Spieler 3 L´

Spieler 2

R´

L

(-, 2, 1)

(-, 3, 3)

R

(-, 0, 2)

(-, 1, 1)

Abbildung 5.3: Normalform des Teilspiels zwischen Spieler 2 und 3 in Abbildung 5.2.

kein Spieler einen Anreiz hat, von der Strategie abzuweichen. F¨ ur q = 0 wird Spieler 1 nicht von A abweichen. Spieler 2 stellt sich durch L immer mindestens genau so gut wie durch R und f¨ ur q = 0 wird sich auch Spieler 3 durch L0 immer besser stellen als durch R0 . Dennoch ist nat¨ urlich ”etwas faul” an diesem Gleichgewicht – und zwar die Tatsache, dass eine gleichgewichtige L¨osung die Strategie L f¨ ur Spieler 2 vorschreibt und gleichzeitig q = 0 als belief f¨ ur Spieler 3. D.h. der belief von Spieler 3 und die gleichgewichtige Strategie f¨ ur Spieler 2 ¨ sind f¨ ur (A, L, L0 , q = 0) nicht miteinander konsistent. Ubrigens betrifft die Wahrscheinlichkeit q eine Informationsmenge abseits des Gleichgewichtspfads, da dieser Punkt ja nie erreicht wird, wenn Spieler 1 die Aktion A w¨ahlt. Der belief q = 0 kann also nicht mit der Bayesianischen Regel abgeleitet worden sein.

5.2.2

Andere Gleichgewichtskonzepte bei dynamischen Spielen mit unvollkommener Information

In der Literatur werden auch andere L¨osungskonzepte f¨ ur dynamische Spiele mit unvollkommener Information benutzt. Diese Unterscheidung beruht darauf, dass das Konzept des Perfekten Bayesianischen Gleichgewichts zwar am einfachsten zu handhaben ist, jedoch erst

100

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

relativ sp¨at in die Literatur eingef¨ uhrt wurde.1 Zumindest f¨ ur den Schwierigkeitsgrad dieser Vorlesung sind die inhaltlichen Unterschiede zwischen den Konzepten letztlich unerheblich, so dass hier keine ausf¨ uhrliche Diskussion erfolgen soll. Vielmehr dient dieser kleine Abschnitt nur dem vielleicht besseren Verst¨andnis weiterf¨ uhrender Literatur.2

Trembling hand perfekte Gleichgewichte Diese Idee wurde von Selten (1975) – also vor der Idee des perfekten Bayesianischen Gleichgewichts – in die Literatur eingef¨ uhrt. Dieses L¨osungskonzept verlangt von den einzelnen Aktionen, die Bestandteil einer gleichgewichtigen L¨osung sind, dass diese auch dann optimal bleiben, wenn es eine geringe Wahrscheinlichkeit daf¨ ur gibt, dass die Gegenspieler nicht die Aktionen der gleichgewichtigen Strategie spielen. Diese geringe Wahrscheinlichkeit f¨ ur letztlich irrationales Verhalten kann so paraphrasiert werden, dass die Spieler durchaus wissen, was die optimale Verhaltensweise ist, bei der Entscheidung jedoch etwas ”zittern”, d.h. Unsicherheit in die Situation hineintragen. Dadurch wird in einem dynamischen Spiel jede Informationsmenge mit einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit erreicht. Indem man dann das Zittern gegen Null gehen l¨asst (mathematisch gesprochen: den Limes einer gemischten Strategie betrachtet, die mit einer gegen Null gehenden Wahrscheinlichkeit alle Informationsmengen erreicht), werden dann die u ¨berlebenden Strategien identifiziert. Selten (1975) konnte zeigen, dass diese Art von Gleichgewicht in allen endlichen Spielen (also Spielen mit einer endlichen Zahl von Spielern, Strategien und Z¨ ugen) existiert.

Sequentielle Gleichgewichte Der bereits erw¨ahnte Artikel von Kreps/Wilson (1982) definiert keine perfekten bayesianischen Gleichgewichte, sondern ”sequentielle Gleichgewichte”. F¨ ur die meisten Anwendungen sind die beiden Konzepte identisch, wobei allerdings sequentielle Gleichgewichte unter bestimmten Umst¨anden das anspruchsvollere L¨osungskonzept darstellen. Der Unterschied besteht darin, dass in Spielen mit diskreten Strategievariablen das Konzept des sequentiellen Gleichgewichts zus¨atzlich zu den Anforderungen des perfekten bayesianischen Gleichgewichts verlangt, dass die beliefs und Strategien der Grenzwert einer Folge von rationalen beliefs und vollst¨andig gemischten Strategien sind.3 Das ist insofern n¨ utzlich, als durch die Einf¨ uhrung vollst¨andig gemischter Strategien das Erreichen jeder Informationsmenge eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit aufweist. Dies wiederum erm¨oglicht die Anwendung der Bayesianischen Regel auch abseits des Gleichgewichtspfads. Dies ist aber eine Technikalit¨at, die hier nicht weiter vertieft werden wird. Die Einf¨ uhrung des Limes einer Folge vollst¨andig gemischter Strategien hat den gleichen Zweck wie das ”Zittern” bei dem Konzept der trembling hand perfekten Gleichgewichte. Bei vollst¨andig gemischten Strategien wird ja auch jede Informationsmenge, d.h. auch diejenigen jenseits des Gleichgewichtspfads, mit einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit erreicht. Daher ist es auch nicht u ¨berraschend, dass Kreps/Wilson (1982) zeigen konnten, dass alle endlichen Spiele sequentielle Gleichgewichte aufweisen.

1 Dies

erfolgte in dem Aufsatz von Fudenberg/Tirole (1991a).

2 Zur

vertieften Diskussion der Gleichgewichtskonzepte f¨ ur dynamische Spiele mit unvollkommener Information eignet sich daf¨ ur insb. das Lehrbuch der Autoren, die das Perfekte Bayesianische Gleichgewicht in die Literatur einf¨ uhrten, d.h. Fudenberg/Tirole (1991b), ch. 8. 3 Bei vollst¨ andig gemischten Strategien tritt jede Aktion mit einer von Null verschiedenen Wahrscheinlichkeit auf.

5.3. SIGNALSPIELE

5.3 5.3.1

101

Signalspiele Problemstruktur und L¨ osung

Eine wichtige Untergruppe dynamischer Spiele mit unvollkommener Information sind sog. Signalspiele. Diese Klasse von Spielen hat als gemeinsamen Nenner eine bestimmte Art der Informationsasymmetrie. Konkret geht es darum, dass in einem Signalspiel der besser informierte Spieler den ersten Zug macht, und der weniger gut informierte Spieler danach seine Entscheidung f¨ allt. Der zweite Spieler kann zwar die Entscheidung des besser informierten ersten Spielers beobachten, nicht aber irgendwelche Merkmale, die im Prinzip von Interesse sind, jedoch f¨ ur den zweiten Spieler unbeobachtbar bleiben. Diese Struktur bringt es mit sich, dass der gut informierte Spieler 1 durch seine allseits beobachtbare Entscheidung ein Signal f¨ ur Spieler 2 setzen kann. Spieler 1 daher oft als Sender, Spieler 2 als Empf¨ anger bezeichnet. Einige Beispiele m¨ogen dazu dienen, die N¨ utzlichkeit und das große Anwendungsspektrum dieser Struktur zu erkennen: • IPO: Eine Unternehmung beschließt, Eigenkapital an der B¨orse zu akquirieren und kennt (plausiblerweise) ihre Situation besser als die potentiellen Investoren. Daher wird das Unternehmen als Sender Signale an die Investoren zu schicken, die diese zu einem Verhalten veranlassen, das der Unternehmung zum Vorteil gereicht. Auf der anderen Seite werden die Investoren als Signalempf¨anger nat¨ urlich genau zu beurteilen haben, inwiefern sie den Signalen Glauben schenken.1 • Werbung: Wenn Produkteigenschaften f¨ ur den K¨aufer als Signalempf¨anger nicht beobachtbar sind, kann das Unternehmen als Sender versuchen, den Empf¨anger davon zu u ¨berzeugen, dass es sich um ein hochwertiges Produkt handelt. Dies kann bspw. dadurch geschehen, dass der Sender sehr viel Geld in eine per se v¨ollig nutzlose Werbeaktion steckt, die nur signalisiert: ”Wir sind so u ¨berzeugt von der f¨ ur die Konsumenten vor dem Kauf nicht direkt beobachtbaren Qualit¨at unseres Produkts, dass wir jede Menge daf¨ ur verschwenden.” • Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt: Ein Arbeitnehmer kann seine F¨ahigkeiten (Belastbarkeit, Sozialkompetenz etc.) gut einsch¨atzen, der Arbeitgeber kann diese F¨ahigkeiten in aller Regel jedoch nur schwer beobachten. Er muss sich stattdessen auf ein gut beobachtbares Signal eines Bewerbers um eine Vakanz verlassen. Dies kann bspw. ein Universit¨atsdiplom sein. Dieses muss per se gar nichts u ¨ber die Qualifikation des Bewerbers aussagen, kann aber dennoch als Signal f¨ ur ganz andere F¨ahigkeiten dienen. • Geldpolitik: Wenn die Zentralbank eine nicht beobachtbare Inflationsaversion hat, so kann sie in einem Spiel u ¨ber zwei oder mehr Perioden dem privaten Sektor als Signalempf¨anger etwas u ¨ber ihre wahren Pr¨aferenzen signalisieren. Das nahe liegende Instrument daf¨ ur ist die Inflationsrate in der ersten bzw. in den ersten Periode(n). Die beiden letzten Szenarien werden im letzten Abschnitt dieses Kapitels genauer analysiert werden. Zun¨achst gehen wir auf allgemeiner Ebene auf das Signalspiel ein. Abbildung 5.4 auf der n¨achsten Seite zeigt die Struktur mit zwei m¨oglichen Auspr¨agungen2 eines den Sender betreffenden Merkmals, d.h. den Typ des Senders. F¨ ur die gerade genannten Beispiele f¨ ur Signalspiele w¨aren dies ein(e): 1 Dass z.B. nach dem Einbruch der B¨ orsen 2000/01 kaum mehr IPOs stattfanden, beruht darauf, dass es den Unternehmen kaum mehr m¨ oglich war, glaubw¨ urdige Signale an die Investoren zu senden, dass hier ein gesundes, profitables Unternehmen um Eigenkapital wirbt. 2 Nat¨ urlich k¨ onnen Signalspiele auch mit mehr als zwei Auspr¨ agungen f¨ ur den Typ des Senders formuliert werden. Die hier gemachte Beschr¨ ankung erfolgt aus Gr¨ unden der m¨ oglichst einfachen Darstellung.

102

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III • profitables oder nicht profitables Unternehmen; • gutes oder schlechtes Produkt; • produktiver oder nicht-produktiver Arbeiter; • Taube oder Falke.

Danach setzt der Sender ein wiederum bin¨ares Signal oder message ab, was den Empf¨anger zu einer ebenfalls bin¨aren Entscheidung oder Aktion veranlasst (investieren oder nicht investieren; kaufen oder nicht kaufen; Jobangebot machen oder kein Jobangebot machen; Nullinflation erwarten oder eine h¨ohere Inflationsrate erwarten). Die beiden gestrichelten Linien in Abbildung 5.4 bezeichnen die Tatsache, dass der Empf¨anger, der sich in diesen Knoten am Zug befindet nicht zwischen den jeweils verbundenen Knoten unterscheiden kann; dadurch ist das Merkmal abgebildet, dass er zwar die message des Senders, nicht aber dessen Typ beobachten kann. Die Auszahlungen an den Endknoten m¨ ussen f¨ ur die L¨osbarkeit des Spiels nat¨ urlich spezifiziert sein, sind f¨ ur die Illustration der allgemeinen Situation aber entbehrlich und fehlen daher in Abbildung 5.4. Generell h¨angen die Auszahlungen von Sender und Empf¨anger (uS und uE ) sowohl vom Typ des Senders ti als auch von dessen Signal mj und der Aktion des Senders ak ab: uS = uS (ti , mj , ak )

(5.5)

uE = uE (ti , mj , ak )

(5.6)

Natur t2

t1 Sender m1

m2

m1

m2

Empfänger a1

a2

a1

a2

a1

a2

a1

a2

Abbildung 5.4: Struktur eines Signalspiels Die Idee eines perfekten Bayesianischen Gleichgewichts u ¨bertr¨agt sich nun problemlos auf die Struktur des Signalspiels: Der Empf¨anger muss f¨ ur seine Entscheidung einen (potentiell) auf das empfangene Signal konditionalen belief b = b(mj ) u ¨ber den Typ des Senders bilden. Nat¨ urlich muss f¨ ur jede Auspr¨agung des Signals gelten, dass X b ( ti | mj ) = 1. (5.7) ti ∈T

In Worten: F¨ ur jedes Signal mj muss die Summe der den verschiedenen denkbaren Typen zugeordneten Wahrscheinlichkeiten 1 betragen. Der Empf¨anger maximiert dann f¨ ur einen gegebenen belief seine Auszahlung u ¨ber die Wahl seiner Aktion. F¨ ur einen Aktionsraum A ist sein Problem also gegeben durch X max b ( ti | mj ) · uE (ti , mj , ak ) , (5.8) ak ∈A

ti ∈T

5.3. SIGNALSPIELE

103

wobei T die Menge der m¨oglichen Typen des Senders bezeichnet. Dieses Verhalten kann in der Reaktionsfunktion a∗ (mj ) (5.9) zusammengefasst werden. V¨ollig analog dazu maximiert der Sender seinen erwarteten Nutzen u ¨ber die Wahl der zur Verf¨ ugung stehenden Signale, wobei er die Reaktionsfunktion (5.9) des Empf¨angers antizipiert. Formal ist sein optimales Signal m∗ also bestimmt durch die L¨osung des folgenden Problems: max uS (ti , mj , a∗ (mj )) (5.10) mj ∈M

Damit ist das Gleichgewicht des Signalspiels beschrieben bis auf die Bildung der beliefs durch den Empf¨anger. Dem Empf¨anger wird unterstellt, dass er das Kalk¨ ul (5.10) durchschaut. Daher kann er die Menge der Typen T aufteilen in solche, die das beobachtete Signal mj senden und solche, f¨ ur die es nicht optimal ist, mj zu senden. Sei Tj die Menge aller Typen f¨ ur die m∗ (ti ) = mj . Dann muss der belief des Empf¨angers gebildet werden gem¨aß p (ti ) b ( ti | mj ) = P . p (ti )

(5.11)

ti ∈Tj

Dies ist die Anwendung der Bayesianischen Regel 5.2 im vorliegenden Kontext eines Signalspiels. Damit kann f¨ ur den hier gew¨ahlten Abstraktionsgrad das folgende Ergebnis festgehalten werden: Die L¨ osung eines Signalspiels in reinen Strategien ist gegeben durch • die Strategien von Sender und Empf¨ anger sowie durch • die beliefs des Empf¨ angers, die die Gleichungen (5.7), (5.8), (5.10) und (5.11) erf¨ ullen.

5.3.2

M¨ ogliche Gleichgewichte eines Signalspiels

Abbildung 5.4 auf der vorherigen Seite machte deutlich, dass der Sender vier m¨ogliche Strategien hat. Diese f¨ uhren zu unterschiedlichen L¨osungen des Spiels, die nat¨ urlich auch vom Verhalten des Empf¨angers abh¨angen, deren Charakterisierung aber auch unabh¨angig davon interessant ist. Die vier Strategien des Senders sind: • Spiele m1 unkonditional (d.h. sowohl bei t1 als auch bei t2 ). • Spiele m2 unkonditional. • Spiele m1 , wenn t = t1 und m2 , wenn t = t2 . • Spiele m1 , wenn t = t2 und m2 , wenn t = t1 . Es ist klar, dass f¨ ur den Empf¨anger die Optimalit¨at (aus Sicht des Senders) der beiden ersten Strategien ”bad news” ist: Unkonditionale Strategien verm¨ogen es nicht, irgendetwas u ¨ber den Typ des Senders zu verraten, da alle Typen das gleiche Signal senden. Wenn eine der beiden ersten Strategien f¨ ur den Sender optimal ist, spricht man daher auch von Pooling-Gleichgewichten. Auf der anderen Seite vermag die Optimalit¨at der dritten und vierten Strategie etwas u ¨ber die wahre Natur des Typs des Senders zu verraten. Gleichgewichte, die die Optimalit¨at dieser Verhaltensweise f¨ ur den Sender implizieren, werden als separierende Gleichgewichte bezeichnet. Wenn der Einfachheit halber die Botschaft mi einfach lautet: ”Ich bin

104

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

vom Typ i”, so k¨onnte der Empf¨anger im dritten Fall dem Sender einfach glauben, w¨ahrend er im vierten Fall genau weiß, dass der Sender in jedem Fall l¨ ugt.1 Wenn es mehr als zwei Typen gibt, sind nat¨ urlich auch Gleichgewichte denkbar, in denen ein partielles Pooling (synonym: partielles separating, semi-pooling, semi-separating) auftritt. In diesen F¨allen kann der Empf¨anger aus dem Signal zwar Information ziehen, d.h. f¨ ur ein bestimmtes Signal einen oder mehrere bestimmte Typen ausschließen, aber nicht – oder jedenfalls nicht in jedem Fall – sicher sagen, um exakt welchen Typ es sich handelt. Ein unsch¨ones Merkmal von Signalspielen – aber auch von dynamischen Spielen mit unvollkommener Information im Allgemeinen – ist die Tatsache, dass es auch in wohlspezifizierten Situationen h¨aufig kein eindeutiges Gleichgewicht gibt, sondern unterschiedliche Kombinationen von Strategien und beliefs, die das Kriterium des perfekten Bayesianischen Gleichgewichts erf¨ ullen. Darunter f¨allt auch die M¨oglichkeit, dass es in Abh¨angigkeit der herrschenden beliefs sowohl Pooling-Gleichgewichte als auch separierende Gleichgewichte geben kann. Das Grundproblem dabei ist, dass beliefs und Strategien ja nicht unabh¨angig voneinander evaluiert werden k¨onnen, sondern gleichberechtigte Bestandteile eines Gleichgewichts sind. Daher gibt es bei Vorliegen multipler perfekt Bayesianischer Gleichgewichte keine M¨oglichkeit, diese Gleichgewichte weiter zu hierarchisieren.

5.4 5.4.1

Screening Allgemeine Charakterisierung und Beispiele

Eine zweite, sehr bedeutsame Untergruppe dynamischer Spiele mit unvollkommener Information sind sog. Screening-Spiele. Der gemeinsame Nenner dieser Art von Spielen ist das Merkmal, dass der uninformierte Spieler zuerst ziehen muss und erst danach der besser informierte Spieler seine Entscheidung zu f¨allen hat. Um etwas konkreter zu werden: In typischen Screening-Situationen muss der schlechter informierte Spieler dem besser informierten Spieler einen Vertrag anbieten, den dieser vor dem Hintergrund seiner besseren Information akzeptieren oder ablehnen kann. Daher besteht die Herausforderung f¨ ur den schlechter informierten Spieler darin, einen Vertrag anzubieten, der es f¨ ur den besser informierten Spieler individuell rational macht, sich so zu verhalten, dass es im Interesse des schlechter informierten Spielers ist. Auch hier ist es hilfreich, konkrete Anwendungen zu benennen: • Versicherung: Ein Versicherungsunternehmen bietet einen Police an, wohl wissend, dass der Versicherungsnehmer u ¨ber sein Risiko besser unterrichtet ist als der Versicherungsanbieter selbst. In der zweiten Stufe kann dann ein Versicherungsnehmer das Angebot annehmen oder ablehnen. Nat¨ urlich antizipiert der Versicherungsanbieter das typabh¨angige Optimalverhalten des Versicherungsnehmers und versucht daher, Policen anzubieten, die trotz des Informationsnachteils nicht zu Verlusten f¨ uhren.2 ur die • Bildung/Training: Ein Sportler erh¨alt am Ende der Spielzeit ein Angebot f¨ kommende Saison. Der Wert des Sportlers h¨angt nat¨ urlich auch davon ab, was er in 1 Von einem rein strategischen bzw. informations¨ okonomischen Standpunkt aus betrachtet ist eine L¨ uge bzgl. einer dichotomen Aussage (d.h. die Antwort auf eine Frage, die man mit ja oder nein beantworten kann) nat¨ urlich genau so gut wie die Wahrheit, wenn man genau weiß, dass es eine L¨ uge ist. Moralische Bewertungen spielen hierbei keinerlei Rolle. 2 Verluste w¨ aren dann unvermeidlich, wenn die Bedingungen so formuliert sind, dass nur die schlechten Risiken die Police kaufen, die guten Risiken hingegen nicht. Eine weit verbreitete M¨ oglichkeit der Ausstattung von Policen ist die Vereinbarung eines relativ hohen Selbstbehaltes im Schadensfall. Dieser dient v.a. dazu, dass sich die schlechten Risiken selbst aussortieren, d.h. es nicht in ihrem Interesse sehen, die Police in Anspruch zu nehmen. Es ist aber trotz dieser M¨ oglichkeiten ein in der Versicherungs¨ okonomik gut etabliertes Faktum, dass f¨ ur einige Risiken solche Policen praktisch nicht existieren und man daher einen exogenen (in dem Fall durch den Staat vorgegebenen) Versicherungszwang einf¨ uhren muss. Dies ist z.B. in der Krankenversicherung der Fall oder bei der Kfz-Haftpflicht.

5.4. SCREENING

105

der spielfreien Zeit macht (”feiern” oder trainieren”), wor¨ uber aber der neue Arbeitgeber nicht oder nicht perfekt informiert sein kann. Das gleiche gilt f¨ ur latente oder versteckte Verletzungen, wenn diese nicht mit objektiven ¨arztlichen Tests verifizierbar sind sowie ggf. auch f¨ ur die Motivation des Spielers. Daher muss das Angebot vor dem Hintergrund unvollkommener Information abgegeben werden. Im zweiten Beispiel sind in der ersten Stufe zwei schlecht informierte Spieler simultan am Zug. Dadurch gewinnt die Situation an zus¨atzlichem Reiz, da auch ein Wettbewerb zwischen diesen beiden in die Beschreibung der L¨osung aufgenommen werden muss. Da in einem Screening-Spiel der schlechter informierte Spieler zuerst zieht, ist es f¨ ur die Etablierung der L¨osung nicht notwendig, etwas u ¨ ber dessen beliefs zu sagen, da er ja aus dem Verhalten der besser informierten Spieler aufgrund des Ablaufs keine entscheidungsrelevante Information mehr ziehen kann. Wie in Signalspielen kann es aber auch hier zu Pooling-Gleichgewichten und separierenden Gleichgewichten kommen, d.h. die (optimale) Entscheidung der besser informierten Spieler kann sich in Abh¨angigkeit der nur f¨ ur sie beobachtbaren Merkmalen unterscheiden (separierendes Gleichgewicht) oder aber unabh¨angig von diesen Merkmalen f¨ ur alle gleich sein (Pooling-Gleichgewicht).

5.4.2

Screening auf dem Versicherungsmarkt

Betrachten wir zun¨achst ein Screening-Spiel auf dem Versicherungsmarkt. Dessen Struktur ist in Abbildung 5.5 zu sehen. Natur Kunde ist gutes Risiko (q) Keinen Vertrag anbieten

Kunde ist schlechtes Risiko (1-q)

Versicherungsanbieter Vertrag Vertrag anbieten anbieten Kunde

Keinen Vertrag anbieten

ablehnen annehmen

annehmen

Abbildung 5.5: Screening auf dem Versicherungsmarkt Die ”Natur” entscheidet, ob ein bestimmter Kunde ein gutes oder schlechtes Risiko ist; der Versicherungsnehmer kennt nur die Verteilung der Gesamtpopulation; in dieser seien die guten Risiken mit einer Wahrscheinlichkeit von q enthalten, die schlechten Risiken mit der entsprechenden Gegenwahrscheinlichkeit. Folgende Situationen k¨onnen unterschieden werden: • Pooling-Gleichgewicht 1: Alle Kunden kaufen die Police. In diesem Fall muss gelten, dass die Police billig genug ist, um auch den guten Risiken attraktiv genug zu erscheinen; ist sie dies, so werden die schlechten Risiken in jedem Fall die Police kaufen. Wenn sg und ss die erwarteten Schadenssummen f¨ ur gute und schlechte Risiken sind, so muss aus Sicht des (annahmegem¨aß risikoneutralen) Versicherungsanbieters gelten, dass die Kosten der Police c die folgende Bedingung erf¨ ullen c ≥ q · sg + (1 − q) · ss . Ist dies der Fall, so ist es aus Sicht des Versicherungsunternehmens rational, die Versicherung anzubieten, f¨ ur c < q · sg + (1 − q) · ss wird er hingegen keine Policen anbieten. • Pooling-Gleichgewicht 2: Keiner der Kunden kauft die Police, da auch die schlechten Risiken im Hinblick auf die Relation von erwarteter Schadenssumme ss und Versicherungspr¨amie c sich ohne Police besser stellen.

106

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III • Separierendes Gleichgewicht: Nur die schlechten Risiken kaufen die Police, da zwar die Relation von ss und c attraktiv erscheint, vor dem Hintergrund der kleineren zu erwartenden Schadenssumme sg die Police aber u ¨berteuert erscheint. Es mag F¨alle geben, in denen der Versicherungsnehmer auch dann noch mit nicht-negativen Gewinnerwartungen rechnen kann, typischerweise ist dies jedoch ein Fall, in dem der Markt zusammenbricht.

Wie bereits angedeutet, hat der Versicherungsunternehmer in einem komplexeren Spiel die M¨oglichkeit, zwei Kontrakte anzubieten. Auch hier soll nur die Idee anhand zweier Policen veranschaulicht werden: Police 1 (V1 ) verlangt eine hohe Versicherungspr¨amie, gew¨ahrt daf¨ ur aber einen niedrigen Selbstbehalt. Dieser Vertrag ist f¨ ur schlechte Risiken vorgesehen, die entsprechend zur Kasse gebeten werden, die es aber insb. attraktiv finden, dass im Fall der F¨alle nur ein niedriger Selbstbehalt zu zahlen ist. Die Pr¨amie muss nat¨ urlich den erwarteten Schadensfall f¨ ur die Versicherung abdecken. Police 2 (V2 ) verlangt nur eine geringe Versicherungspr¨amie, verlangt daf¨ ur aber einen hohen Selbstbehalt. Dieser Vertrag ist f¨ ur die guten Risiken maßgeschneidert, da sie den Schadensfall – und damit den hohen Selbstbehalt – wenig f¨ urchten, und lieber die niedrige Pr¨amie nehmen. Abbildung 5.6 zeigt die extensive Form dieses Spiels. Natur Kunde ist gutes Risiko (q)

Kunde ist schlechtes Risiko (1-q) Versicherungsanbieter V1

Kunde

Keinen Vertrag anbieten

nein

nein

nein

nein

ja

V2

ja

V2

ja

V1

ja

Keinen Vertrag anbieten

Abbildung 5.6: Screening auf dem Versicherungsmarkt bei zwei Vertragsoptionen

Das Konzept des Versicherungsanbieters geht auf, wenn die mit den Pfeilen in Abbildung 5.6 gekennzeichneten Gleichgewichte realisiert werden. Es handelt sich dann nat¨ urlich um ein separierendes Gleichgewicht, da die guten Risiken und die schlechten Risiken jeweils andere Vertragsformen w¨ahlen. Die Voraussetzungen f¨ ur die Existenz dieses Gleichgewichts k¨onnen wie folgt beschrieben werden: ur den Versicherungsanbieter profitabel. • Beide Vertragsformen sind f¨ • Ein schlechtes Risiko muss sich durch V1 besser stellen als durch V2 sowie durch Verzicht auf eine Versicherung. • Ein gutes Risiko muss sich durch V2 besser stellen als durch V1 sowie durch Verzicht auf eine Versicherung.

5.5. ANWENDUNGEN

5.5 5.5.1

107

Anwendungen Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt (Spence 1973)

Spence (1973) formulierte ein klassisches Signalspiel, das die Rolle von Ausbildungsinvestitionen (wie z.B. ein wirtschaftswissenschaftliches Studium) untersucht. Die grundlegende Idee dabei lautet wie folgt: Arbeitgeber sind nur unzureichend in der Lage, die tats¨achlichen F¨ahigkeiten eines Bewerbers einzusch¨atzen. Man sieht es einem Bewerber nicht an der Nasenspitze an, wie intelligent, anpassungsf¨ahig und kreativ er ist. Ein sehr intelligenter, anpassungsf¨ahiger und kreativer Kopf kann auch nicht einfach zu seinem Wunscharbeitgeber gehen und sagen: ”Seht her, ich bin sehr intelligent, anpassungsf¨ahig und kreativ”, weil ein tumber, starrer und phantasieloser Bewerber ja das gleiche Interesse hat. ”Cheap talk” ist daher keine M¨oglichkeit, etwas u ¨ber seine echten Qualifikationen glaubw¨ urdig auszusagen.1 Ein nahe liegendes Vehikel, etwas u ¨ber seine F¨ahigkeiten auszusagen, ist die formale Qualifikation, die man bspw. durch einen Universit¨atsabschluss erwirbt. Da dessen Erwerb ja mit Aufwand verbunden ist, l¨auft man nicht in die ”cheap talk”-Falle, insb. dann, wenn die (monet¨aren, psychischen, . . . ) Kosten von den nicht beobachtbaren F¨ahigkeiten abh¨angen. Die Idee ist dann, dass ein sehr intelligenter, anpassungsf¨ahiger und kreativer Kopf einfacher und eher an einen formalen Bildungsabschluss kommt als der tumbe, starre und phantasielose Kommilitone. Ist dies der Fall, so wird die formale Qualifikation als Signal f¨ ur die nicht beobachtbaren F¨ ahigkeiten herangezogen. Das Frappierende daran ist, dass die formale Qualifikation u ¨berhaupt nichts zu den tats¨achlichen F¨ahigkeiten beitragen muss, per se also v¨ollig nutzlos sein kann, um dennoch die Signalfunktion aus¨ uben zu k¨onnen. In diesem Fall k¨onnen dann Universit¨aten oder andere Bildungseinrichtungen als relativ kostspielige Generatoren von Signalen u ¨ber nicht beobachtbare F¨ahigkeiten interpretiert werden. F¨ ur die folgende Analyse werden nun zun¨achst die wichtigsten Symbole eingef¨ uhrt: Die unbeobachtbaren F¨ahigkeiten des Arbeiters werden durch η bezeichnet, dessen beobachtbare formale Bildung als e. Arbeiter produzieren einen Output y, wobei die Produktionsfunktion allgemein y = y (η, e)

(5.12)

lautet. Der bereits erw¨ahnte Extremfall, dass die formale Qualifikation per se wertlos ist, w¨are gegeben durch ∂y ∂e = 0, wodurch dann das zweite Argument in 5.12 verschwinden w¨ urde. In der hier pr¨asentierten Version ist diese Eigenschaft von formaler Qualifikation als soziale Verschwendung angelegt; das Originalmodell von Spence (1973) und die sehr empfehlenswerte Darstellung in Gibbons (1992), benutzen hingegen die allgemeinere Spezifikation 5.12. Arbeiter erhalten f¨ ur ihre Arbeit einen Lohn w, der ggf. eine Funktion von e sein kann, d.h. w = w (e) .

(5.13)

Zu beachten ist, dass in einem Pooling-Gleichgewicht diese Abh¨ angigkeit nicht existieren kann. Damit das Signal der Bildung kein cheap talk ist, muss Bildung Kosten c verursachen, wobei die Kosten außerdem von der F¨ahigkeit η abh¨angen, d.h. c = c (η, e)

(5.14)

1 Es gibt aber Situationen, in denen cheap talk, d.h. ein kostenloses Signal eine Wirkung zeitigen kann. Daf¨ ur ist es aber notwendig, dass unterschiedliche Sender ein jeweils anderes Interesse an der Reaktion des Empf¨ angers haben. Beim Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt ist das nicht der Fall, weil alle ein Interesse an einem m¨ oglichst hohen Lohn haben. F¨ ur eine Charakterisierung von cheap-talk games vgl. Gibbons (1992), ch. 4.3.

108

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

Die Auszahlung der Arbeiter uA h¨angt allgemein ab von w und c bzw. von w, e und η, w¨ahrend die Auszahlung der Unternehmer uU als Funktion y und w angesehen werden kann. Daher kann auch die Kostenfunktion 5.14 direkt in die Nutzenfunktion eingebaut werden, was im Beispiel dieses Abschnitts getan wird. Betrachten wir also eine in ihrer Spezifikation reichlich extreme, daf¨ ur gut handhabbare Form des Signalspiels auf dem Arbeitsmarkt. Die extensive Form ist in Abbildung 5.7 zu sehen.1 Die Natur ”macht hier den ersten Zug” und weist allen Arbeitern eine F¨ahigkeit η zu, wobei diese mit der Wahrscheinlichkeit von jeweils 0,5 entweder den Wert 2 oder den Wert 5,5 annimmt. Der Arbeiter trifft danach in Kenntnis dieser F¨ahigkeit seine formale Bildungsentscheidung, die hier wie schon die F¨ahigkeitsverteilung bin¨ar ist, d.h. e nimmt entweder den Wert 0 oder 1 an. Die Kosten der Ausbildung sind direkt in der Nutzenfunktion uA (·) enthalten. Im Modell von Spence konkurrieren nun zwei Unternehmen in Kenntnis von e um den Arbeiter. Damit entspricht das Modell im Grunde nicht ganz der Struktur aus Abbildung 5.4 auf Seite 102, da nun zwei Empf¨anger angesprochen werden. Die extensive Form in Abbildung 5.7 breitet dieses Spiel jedoch nicht im Einzelnen aus, weil das Ergebnis sehr einfach ist2 : Die beiden Unternehmen u ¨berbieten sich so lange, bis der angebotene Lohnsatz dem erwarteten Output entspricht.3 Dies ist in der Auszahlungsfunktion der Unternehmer angegeben.

Abbildung 5.7: Signalspiel auf dem Arbeitsmarkt Welche Gleichgewichte sind nun in diesem Spiel m¨oglich? Zun¨achst wird untersucht, ob ein Pooling-Gleichgewicht bei e = 0 existiert, d.h. ob es ein Gleichgewicht gibt, bei dem weder die Arbeiter mit der hohen noch die mit der niedrigen F¨ahigkeit eine formale Bildung w¨ahlen. In diesem Fall w¨aren die damit konsistenten beliefs der Unternehmer gegeben durch b ( η = 2| e = 0) = b ( η = 5, 5| e = 0) = 0, 5. 1 Die

(5.15)

Spezifikationen sind entnommen aus Rasmusen (2001, p. 268).

2 Das

Ergebnis ist – wie gleich begr¨ undet wird – wirklich einfach, die Darstellung aber praktisch unm¨ oglich, ¨ da das Lohnangebot stetig variiert werden kann und daher keine endliche Zahl von Asten diese M¨ oglichkeiten grafisch abbilden kann. 3 Dies entspricht dem Ergebnis eines Bertrand-Wettbewerbs aus Abschnitt 3.7.2 auf Seite 57, wobei der Wettbewerb im Signalspiel auf dem Faktormarkt ausgetragen wird, w¨ ahrend sich die Darstellung in 3.7.2 auf Bertrand-Wettbewerb auf dem G¨ utermarkt bezog.

5.5. ANWENDUNGEN

109

Die beliefs abseits des (m¨oglichen) Gleichgewichtspfads sind dann ebenfalls fast trivialerweise gegeben durch b ( η = 2| e = 1) = b ( η = 5, 5| e = 1) = 0, 5.

(5.16)

Die erwartete Produktion ist dann y = E (η) = 0, 5 · 2 + 0, 5 · 5, 5 = 3, 75.

(5.17)

Die Nullgewinnbedingung stellt sicher, dass w = y = 3, 75

(5.18)

Der Nutzenwert sowohl f¨ ur die f¨ahigeren als auch f¨ ur die unf¨ahigeren Arbeiter ist dann gegeben durch uA (η) = w −

8e ⇒ uA (η = 5, 5) = uA (η = 2) = 3, 75 η

(5.19)

Es bleibt zu pr¨ ufen, ob sich eine der beiden Arbeitergruppen f¨ ur die in (5.15) und (5.16) gegebenen beliefs der nternehmer durch Abweichung besser stellen k¨onnte. Da f¨ ur e = 1 der Nutzen sowohl der f¨ahigeren wie auch der weniger f¨ahigen Arbeiter sinkt, existiert dieser Anreiz nicht. Mit anderen Worten: Das beschriebene Pooling-Szenario ist ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht. Allerdings ist dieses Gleichgewicht nicht das einzig denkbare Gleichgewicht. Untersuchen wir also, ob das folgende separierende Gleichgewicht ebenfalls die Bedingungen f¨ ur ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht erf¨ ullt: Die f¨ahigeren Arbeiter w¨ahlen e = 1, die weniger f¨ahigen e = 0. Die Unternehmen formen ihre beliefs gem¨aß b ( η = 2| e = 0) = b ( η = 5, 5| e = 1) = 1 (5.20) auf dem Gleichgewichtspfad und b ( η = 2| e = 1) = b ( η = 5, 5| e = 0) = 0

(5.21)

abseits des Gleichgewichtspfads. Dementsprechend k¨onnen nun die L¨ohne differenziert werden, d.h. beide Gruppen erhalten (aufgrund der Null-Gewinnbedingung) ihre jeweilige Produktivit¨at, d.h. ½ 2 f¨ ur e = 0 . w (e) = (5.22) 5, 5 f¨ ur e = 1 Damit sind die Nutzen der beiden Arbeitergruppen gegeben durch ½ 8 8e ≈ 4, 05 f¨ ur e = 1, η = 5, 5 5, 5 − 5,5 . uA (w, η, e) = w − = 2 f¨ ur e = 0, η = 2 η

(5.23)

Wenig u ¨berraschend, gewinnen die F¨ahigeren und verlieren die weniger F¨ahigen gegen¨ uber dem Pooling-Gleichgewicht. Zu untersuchen ist aber auch hier zun¨achst, ob Abweichungen vom unterstellten Verhalten durch die Arbeiter f¨ ur die in (5.20) und (5.21) charakterisierten beliefs und damit f¨ ur das Lohnangebotsverhalten (5.22) optimal w¨aren. F¨ ur einen der f¨ahigeren Arbeiter ist dies offensichtlich nicht der Fall, da er bei e = 0 nur einen Lohn in H¨ohe von w = 2 bek¨ame, der sich in uA (w = 2, e = 0, η = 5, 5) = 2 u ¨bersetzt – was offensichtlich geringer ist als der Wert in H¨ohe von ca. 4,05. Wenn sich der weniger f¨ahige Arbeiter zu einer formalen Ausbildung entschließen w¨ urde, erhielte er gem¨aß (5.22) auch den hohen Lohn, w¨ urde aber den Nutzen uA (w = 4, 05, e = 1, η = 2) ≈ 4, 05 − 28 ≈ 0, 05 < 2 realisieren. F¨ ur ihn lohnt sich also ein Abweichen ebenfalls nicht. Damit ist gezeigt, dass auch diese Konstellation ein perfektes bayesianisches Gleichgewicht ist. Selbst in diesem sehr

110

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

einfachen Spiel gibt es also zwei v¨ ollig verschiedene Gleichgewichte, ein perfektes bayesianisches Pooling-Gleichgewicht und ein perfektes bayesianisches separierendes Gleichgewicht. Eine Bemerkung zur Natur des separierenden Gleichgewichts ist noch angebracht: Da ¨ beim Ubergang vom Pooling-Gleichgewicht bei e = 0 zum separierenden Gleichgewicht die beiden Gruppen unterschiedlich tangiert werden, existiert kein klares Pareto-Ranking zwischen den beiden Situationen. Dennoch macht ein Blick auf (5.19) und (5.23) klar, dass der Zugewinn der F¨ahigeren im separierenden Gleichgewicht geringer ist als der Verlust der weniger F¨ahigen. Anders gesagt: Die weniger F¨ahigen h¨atten prinzipiell die M¨oglichkeit, die F¨ahigen durch Bestechung am Erwerb einer formalen Qualifikation zu hindern. Dies reflektiert die in diesem Modell getroffene Annahme, dass formale Qualifikation reine Verschwendung ist. Dies ist nat¨ urlich keineswegs notwendig. Abschließend wird noch gezeigt, dass das zweite prinzipiell denkbare Pooling-Gleichgewicht – die Situation, in der alle Arbeiter eine formale Ausbildung durchlaufen – hier nicht die Eigenschaft eines perfekten bayesianischen Gleichgewichts erf¨ ullt. Die beliefs w¨aren in dieser Situation gegeben b ( η = 2| e = 1) = b ( η = 5, 5| e = 1) = 0, 5

(5.24)

auf dem unterstellten Gleichgewichtspfad und b ( η = 2| e = 0) = b ( η = 5, 5| e = 0) = 0, 5

(5.25)

abseits dieses Pfades. Der Lohn w¨are aufgrund der Nicht-Unterscheidbarkeit der beiden F¨ahigkeitsgruppen wie in (5.17) und (5.18) durch w = 3, 75 gegeben. Die Auszahlungswerte w¨aren dann ½ 8 8e ≈ 2, 30 f¨ ur η = 5, 5 3, 75 − 5,5 uA (w = 3, 75, η, e = 1) = w − = (5.26) 8 3, 75 − 2 = −0, 25 f¨ ur η = 2 η Wieder muss gepr¨ uft werden, ob f¨ ur die beliefs (5.24) und (5.25) Abweichung lohnt. Dies ist diesmal der Fall, da die Entscheidung f¨ ur e = 0 ein Nutzenniveau von uA (w = 3, 75, η, e = 0) = w −

8e = 3, 75 η

(5.27)

implizieren w¨ urde, so dass f¨ ur beide Gruppen von Arbeitern die Entscheidung f¨ ur e = 0 vorzuziehen w¨are – und gezeigt ist, dass ein Pooling-Gleichgewicht bei e = 1 nicht existiert. F¨ ur die weniger f¨ahigen Arbeiter kann das Argument sogar noch verst¨arkt werden, da sich f¨ ur diese ein h¨oheres Auszahlungsniveau bei e = 0 erg¨abe, selbst wenn sie dann eindeutig als weniger f¨ahig eingestuft w¨ urden – was in den beliefs (5.24) und (5.25) aber nicht enthalten ist. In diesem Fall w¨are ihre Auszahlung immer noch uA = 2 und damit h¨oher als in (5.26). Die hier vorgestellte Variante des Modells von Spence (1973) ist denkbar einfach, zeigt jedoch die wichtigsten Merkmale. Auf der Hand liegende Erweiterungen w¨aren die folgenden: uhrten Annahme v¨ollig unproduktiver Signale (d.h. die formale • Anstelle der hier eingef¨ Bildung tr¨agt nichts zur Produktivit¨at bei) kann man auch produktive Signale unterstellen, und damit eine Produktionsfunktion wie in Gleichung (5.12). Dies macht die Modelle zweifelsohne realistischer. • Anstelle von bin¨aren Auspr¨agungen der F¨ahigkeiten und Signale (f¨ahiger oder weniger f¨ahiger Arbeiter; formale Bildung oder keine formale Bildung) k¨onnen stetig variierbare Variablen angenommen werden – oder wenigstens mehr als zwei Zust¨ande zugelassen werden. Dies sorgt dann bspw. daf¨ ur, dass nicht nur ein separierendes Gleichgewicht existiert, sondern dass z.B. vor dem Hintergrund der ”passenden” beliefs alle

5.5. ANWENDUNGEN

111

auf jegliche formale Bildung verzichten oder alle einen mittleren Bildungsgrad w¨ahlen. Weiterhin ist es hier denkbar, dass es zu partiell separierenden Gleichgewichten kommt, in denen sich z.B. die GanzGuten von MittelGuten und den GanzSchlechten mit ihrer Bildungsentscheidung absetzen, ein Unternehmer aber nicht unterscheiden kann, ob er einen MittelGuten oder GanzSchlechten vor sich hat. • V¨ollig außen vor gelassen wurde hier die M¨oglichkeit von Gleichgewichten in gemischten Strategien. So ist bspw. denkbar, dass ein Arbeiter mit einer bestimmten F¨ ahigkeit im Gleichgewicht zwischen zwei Bildungsentscheidungen stochastisch w¨ahlt, der Unternehmer also wieder nicht mit Sicherheit von dem Signal auf die F¨ahigkeit schließen kann. In diesem Fall ist dann f¨ ur die Bildung der beliefs auch in dem einfachen Modell wieder die Verwendung der Bayesianischen Regel notwendig (vgl. Gibbons 1992, p. 202 ff.) Diese Auflistung sowie die obige Analyse des sehr einfachen Modells machten jedoch bereits die folgenden Dinge klar, die auch auf andere Modellierungen dynamischer Spiele mit unvollkommener Information u ¨bertragbar sind: • Auch bei Fokussierung auf perfekte bayesianische Gleichgewichte in reinen Strategien bleiben typischerweise mehrere m¨ogliche Gleichgewichtskonstellationen von Strategien und beliefs u ¨brig, die ganz unterschiedliche qualitative Eigenschaften aufweisen. • Von daher hilft auch hier die Spieltheorie nur im Ausnahmefall dabei, ein eindeutiges Gleichgewicht zu identifizieren. Multiple Gleichgewichte sind eher die Regel als die Ausnahme. ¨ • Die Uberlebensf¨ ahigkeit von Gleichgewichten kann von relativ geringf¨ ugigen Details der Spezifikation abh¨angen. • Signalspiele erfordern ein sehr hohes Maß an ”Durchblick” der beteiligten Spieler. Anders gesagt: Die Anforderungen der Rationalit¨ atspr¨ amisse sind in solchen Situationen relativ hoch. Dennoch dienen diese Spiele dazu, empirische ”R¨atsel”, wie eben die hohe Bedeutung von formalen Bildungsabschl¨ ussen jedenfalls in Professionen, in denen die F¨ahigkeit schwer zu messen ist, zu verstehen.1

5.5.2

Geldpolitik IV: Das Barro-Gordon-Modell bei unbekannter Inflationsaversion der Zentralbank

Auch im Kontext dynamischer Spiele mit unvollkommener Information kann eine auf das Grundmodell von Barro/Gordon (1983) aufbauende Modifikation erl¨autert werden. Dazu lassen wir alle Komplikationen durch Timing und der m¨oglichen Inflationsaversion des privaten Sektors beiseite und konzentrieren uns auf das Grundmodell des Abschnitts 3.7.4 auf Seite 60, das allerdings nun in einem 2-Perioden-Kontext gespielt wird. Das Modell dieses Abschnitts basiert auf Vickers (1986) und ist auch in Gibbons (1992), p. 208 ff. kurz beschrieben. Didaktisch wird mit diesem Modell vor allem der Zweck verfolgt, zu zeigen, dass man ein Signalspiel als Teil eines umfassenderen Spiels modellieren kann. Die Informationsunvollkommenheit betrifft die Inflationsaversion der Zentralbank. Diese war in der Verlustfunktion 3.38, die hier noch einmal aufgeschrieben werden soll 2

LG = απ 2 + (y − y˜)

(5.28)

1 Juristen sind daf¨ ur ein wohl besonders gut geeignetes Beispiel; hier ist die formale Ausbildung (mit genauem Ergebnis etc.) extrem wichtig f¨ ur Einstellungsentscheidungen, weil die relevanten F¨ ahigkeiten kaum in einem Einstellungsgespr¨ ach abgepr¨ uft werden k¨ onnen. Dagegen kommt ein Formel I-Pilot sogar ohne F¨ uhrerschein aus, weil ein potentieller Nachfolger von Michael Schumacher im Grunde nur ein paar Runden fahren muss um in etwa nachzuweisen, mit welcher Wahrscheinlichkeit (und Geschwindigkeit) er um eine enge Kurve kommt.

112

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

mit α bezeichnet.1 Die privaten Wirtschaftssubjekte wissen nicht genau, ob ein sehr inflationsaverser ”Falke” oder eine nur m¨aßig inflationsaverse ”Taube” die Politik dominiert. Bekannt ist lediglich, dass ½ αT mit Wahrscheinlichkeit p α= , (5.29) αF mit Wahrscheinlichkeit (1 − p) wobei nat¨ urlich gelten muss, dass αF > αT . Der Ablauf des Spiels kann durch die Zeitachse in Abbildung 5.8 charakterisiert werden; dieses Hilfsmittel bietet sich hier v.a. deswegen an, weil die Handlungsvariablen jeweils stetig variierbar sind und daher ein Spielbaum nicht mehr gezeichnet werden kann.

Abbildung 5.8: Timing im Modell von Vickers (1986). Bei der folgenden Charakterisierung der L¨osung wird eine m¨ogliche Diskontierung der Auszahlungen vermieden, so dass die Auszahlungen in beiden Perioden einfach aufaddiert werden k¨onnen. Im Hinblick auf das 2-Periodenspiel findet die bereits bekannte Methode der R¨ uckw¨artsinduktion Verwendung. Zun¨achst geht es also um die Bestimmung von π2 . F¨ ur gegebene Inflationserwartungen π2e wird die in Abschnitt 3.7.4 auf Seite 60 gefundene Reaktionsfunktion (3.44) diese Frage beantworten. Mit der hier notwendigen Zeitindizierung lautet diese π2 =

¡ e ¢ β βπ2 + (γ − 1) y N ≡ π2∗ (π2e , αi ) , i = F, T, αi + β 2

(5.30)

wobei angenommen sei, dass der nat¨ urliche Output u ¨ber die Zeit hinweg konstant ist. Die letzte Schreibweise f¨ ur die Reaktionsfunktion dient nur der bequemeren Notation. Als n¨achstes sind die Inflationserwartungen π2e zu bestimmen. Der private Sektor erleidet einen Verlust in H¨ohe der quadrierten Abweichung der tats¨achlichen von der erwarteten Inflationsrate. Vor dem Hintergrund der unvollkommenen Information u ¨ber die wahre Natur des Zentralbankers (5.29) und dessen Verhalten (5.30) ist die Aufgabe des privaten Sektors als gegeben durch 2

min b · (π2∗ (π2e , αT ) − π2e ) + (1 − b) · (π2∗ (π2e , αF ) − π2e ) e

2

π2

⇒ π2e∗ = π2e∗ (b, ...)

,

(5.31)

wobei b den belief des privaten Sektors bzgl. der Wahrscheinlichkeit, dass eine Taube die Zentralbank leitet, bezeichnet. (5.30) und (5.31) bestimmen das Ergebnis in der zweiten Periode f¨ ur gegebene beliefs. 1 Alle

Symbole etc. werden genau so verwendet wie in Abschnitt 3.7.4 auf Seite 60.

5.5. ANWENDUNGEN

113

Nun gilt es wieder zwei unterschiedliche Gleichgewichtskonstellationen zu unterscheiden, n¨amlich separierende und Pooling-Gleichgewichte. In einem Pooling-Gleichgewicht ist das Signal der Zentralbank π1 wertlos, d.h. die beliefs sind gegeben durch b = p. Die Inflationserwartungen f¨ ur Periode 2 werden gem¨aß der L¨osung von (5.31) gebildet, die Zentralbank verh¨alt sich in Abh¨angigkeit von ihrem Typ gem¨aß (5.30). Damit ist das Signalspiel zu Ende. Hingegen beinhaltet ein separierendes Gleichgewicht Informationen u ¨ber den Typ des Zentralbankers. Leitet der private Sektor aus der Beobachtung von π1 ab, dass es sich um eine Taube (einen Falken) handelt, wird der belief aufdatiert auf p = 1 (p = 0). Die Erwartungsbildung gem¨aß (5.31) wird entsprechend angepasst, was zusammen mit (5.30) wieder das Gleichgewicht ergibt. Selbst in diesem relativ einfachen Kontext ist die Untersuchung, ob eine bestimmte Kombination von Verhaltensweisen und beliefs ein perfektes Bayesianisches Gleichgewicht, eine echte ”Knochenarbeit”, die hier nicht im Einzelnen geleistet werden soll. Wie immer gilt es, die Konsequenzen einer Verhaltensweise gegeben die beliefs durchzuspielen und zu schauen, ob an einer Stelle einer der Akteure einen Anreiz hat, von der vorgeschlagenen Strategie abzuweichen. Als Beispiel sei die folgende Sequenz genannt, deren Validit¨at Schritt f¨ ur Schritt u ¨berpr¨ uft werden kann: 2

• In Periode 1 bilden sich Inflationserwartungen gem¨aß min p · (π1∗ (π1e , αT ) − π1e ) + π1e ¢ ¡ e 2 β (1 − p) · (π1∗ (π1e , αF ) − π1e ) mit π1∗ (αi ) = αi +β βπ1 + (γ − 1) y N , i = T, F . 2 • Die Inflationsrate in Periode 1 ist gegeben durch π1 (αi ) = T, F .

β αi +β 2

¡

¢ βπ1e + (γ − 1) y N , i =

• Die beliefs bzgl. des Typs des Zentralbankers f¨ ur die Erwartungsbildung in der zweiten ½ 0 π1 = π1∗ (αF ) . Periode sind gegeben durch b = 1 π1 6= π1∗ (αF ) • In Periode 2 ist die Erwartungsbildung gegeben durch (5.31), wobei die im letzten Schritt ermittelten beliefs Ber¨ ucksichtigung finden. • In Periode 2 ist die Inflationsrate gegeben durch (5.30) unter Ber¨ ucksichtigung der gerade ermittelten Inflationserwartungen.

114

KAPITEL 5. NICHTKOOPERATIVE SPIELE III

Kapitel 6

Verhandlungen 6.1

Lernziele

Verhandlungen sind auf allen m¨oglichen Ebenen etwas fast Allt¨agliches. Die Palette dieser Situationen reicht von der Entscheidungsfindung zweier Personen u ¨ber die beste Alternative, das (gemeinsame) Wochenende zu verbringen u ¨ber bilaterale Lohnverhandlungen zwischen Arbeitnehmern und Arbeitgebern bzw. deren Vertreter bis hin zu internationalen, bioder multilateralen Verhandlungen beispielsweise u ¨ber Handelsbeschr¨ankungen oder deren Lockerung. Diese Liste ließe sich fast beliebig verl¨angern und zeigt einmal mehr die große Bedeutung der Spieltheorie als Analysemethode. In diesem Kapitel soll vermittelt werden, wie spieltheoretische Methoden zur Modellierung und L¨osung von Verhandlungssituationen genutzt werden k¨onnen. In Abschnitt 6.2 werden zun¨achst einige methodische Vorbemerkungen gemacht, da sich in der Spieltheorie zwei sehr verschiedene Arten der Modellierung von Verhandlungen herausgebildet haben, n¨amlich im Rahmen der Theorie kooperativer Spiele und als non-kooperative Spielsituation. Abschnitt 6.3 auf Seite 117 widmet sich danach der Theorie non-kooperativer Verhandlungen und leitet die L¨osung f¨ ur eine sehr allgemeine Klasse von Verhandlungssituationen ab. Den analytischen Rahmen bildet dabei das Rubinstein-Spiel, das zwar nur in einer relativ einfachen Form dargestellt wird; auf der Hand liegende Erweiterungen, die alle auf inzwischen bereits bekannten Modellierungsprinzipien beruhen, lassen hier jedoch eine sehr weitgehende Abbildung auch komplexerer Verhandlungssituationen (v.a. die Einbeziehung von Unsicherheit) zu. Der dogmengeschichtlich ¨altere Ansatzpunkt der Modellierung von Verhandlungen erfolgte im Rahmen der Theorie kooperativer Spiele. Dieser Ansatz und zwei verschiedene axiomatisch begr¨ undete L¨osungen, die Nash-Verhandlungsl¨ osung sowie die KalaiSmorodinsky-L¨ osung, werden in Abschnitt 6.4 auf Seite 124 behandelt. In Abschnitt 6.5 auf Seite 130 werden auch in diesem Kapitel einige Anwendungen die Verwendung der Konzepte in konkreten Verhandlungssituationen demonstrieren. Alle Modellierungen in diesem Kapitel gehen aus didaktischen Gr¨ unden von nur jeweils zwei Verhandlungspartnern aus. Die Erweiterung auf mehr beteiligte Parteien ist von der Idee her einfach m¨oglich. Allerdings werden die Situationen deutlich komplizierter (aber eben nicht komplexer), so dass hier darauf verzichtet wird.

6.2

Methodische Vorbemerkung

Trotz der bereits im letzten Abschnitt begr¨ undeten Relevanz von Verhandlungen sind diese in den meisten ¨okonomischen Modellen nicht wirklich enthalten. So wird beispielsweise die Marktpreisbildung als Ergebnis einer anonymen Interaktion zwischen ”vielen” Individuen 115

116

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

auf wenigstens einer Marktseite betrachtet – womit Verhandlungen keine Rolle mehr spielen. Allenfalls wird darauf hingewiesen, dass im Hintergrund die gedankliche Konstruktion eines ”Walrasianischen Auktionators” f¨ ur den Ausgleich von Angebot und Nachfrage auf einem Markt oder einem System von M¨arkten sorgt. Dies liegt nicht etwa daran, dass die Wirtschaftstheorie die Bedeutung von Verhandlungen nicht erfasst h¨atte. Der Grund f¨ ur die weitgehende Absenz von Verhandlungen in den Standardmodellen der ¨okonomischen Theorie ist vielmehr die schwierige Modellierbarkeit dieses sozialen Ph¨anomens. Reale Verhandlungen sind n¨amlich ein durchaus komplexer Prozess, bei dem psychologische Aspekte, das ”framing” der Verhandlungen, die Reputation der Verhandlungspartner, deren Konzentrationsf¨ahigkeit und viele Dinge mehr eine wichtige Rolle spielen. ”Das rechte Wort zur rechten Zeit”, die ”pers¨onliche Chemie” zwischen den Personen am Verhandlungstisch haben ohne Zweifel eine in konkreten Verhandlungssituationen nicht zu untersch¨atzende Bedeutung.1 Die Spieltheorie ist nicht in der Lage – und intendiert auch gar nicht – diese ”weichen” Aspekte, deren Bedeutung hier gar nicht in Abrede gestellt werden soll, abzubilden. Daf¨ ur gelingt es ihr aber eher, eine Verhandlungssituation in ihren wesentlichen Elementen zu beschreiben – bzw. auch darauf aufmerksam zu machen, was es f¨ ur eine solche Beschreibung braucht und insbesondere auch eine konkrete L¨ osung daf¨ ur anzugeben. Im Kern sind dies drei Elemente, n¨amlich die Beschreibung • der Pr¨aferenzen der Verhandlungspartner; • der m¨oglichen Auszahlungen bei erfolgreicher Verhandlung; • der Auszahlungen bei einem Scheitern der Verhandlung. Eine Verhandlungssituation ist immer dadurch gekennzeichnet, dass ein Verhandlungsergebnis eine Pareto-Verbesserung relativ zu den Auszahlungen bei Scheitern der Verhandlungen erlaubt. W¨are dies nicht der Fall, h¨atte zumindest eine der beiden Parteien keinerlei Anreiz, sich u ¨berhaupt auf eine Verhandlung einzulassen und das Problem w¨are trivial.2 In einem guten Teil dieses Kapitels wird der gemeinsame Gewinn bei erfolgreichen Verhandlungen exogen vorgegeben. Damit liegt eine Verhandlung vor, die als ”Splitting the Pie” bzw. Verteilungsspiel bezeichnet werden kann. In den Anwendungen am Ende des Kapitels wird jedoch auch ein sich endogen ergebender Gewinn aus den Verhandlungen modelliert. Das Verhandlungsproblem kann in seiner einfachsten Form (mit exogener Gesamtauszahlung, die hier den Wert 1 annehmen m¨oge, und mit auf Null normierten Auszahlungen f¨ ur beide Verhandlungspartner bei Scheitern der Verhandlungen) in Abbildung 6.1 auf der n¨achsten Seite dargestellt werden. Alle Allokationen (bzw. Verhandlungsergebnisse) auf der effizienten Grenze sind m¨oglich, die Verhandlungsl¨osung muss nun noch spezifizieren, ob die effiziente Grenze erreicht wird und falls ja, welcher Punkt darauf. Wenn das Verhandlungsproblem dann formuliert ist, gibt es zwei prinzipiell verschiedene Vorgehensweisen f¨ ur die Bestimmung des Verhandlungsergebnisses: • Beginnend mit dem zweiten wesentlichen Beitrag zur Spieltheorie von John Nash aus dem Jahr 1950, der Nash-Verhandlungsl¨ osung3 , hat sich die kooperative Spieltheorie der L¨osung des Verhandlungsproblems wie folgt gen¨ahert: Es werden plausible, einleuchtende Kriterien formuliert, die eine Verhandlungsl¨osung aufweisen sollte. 1 Neben dem Studium der Spieltheorie k¨ onnen daher auch Dinge wie Rollenspiele oder andere gruppendy¨ namische Ubungen durchaus auf eine erfolgreiche Verhandlungsf¨ uhrung vorbereiten. Dies kann man – trotz der methodischen ”Welten” die hier dazwischen liegen m¨ ogen – durchaus als Komplement zum Studium der Spieltheorie ansehen. 2 Man kann sich darunter die ”Verhandlung” vorstellen, ob ein (zahlungsf¨ ahiger) und dem Wirt namentlich bekannter Gast in der Kneipe seine Zeche bezahlt. Da er dazu juristisch verpflichtet ist und der Wirt diesen Anspruch auch durchsetzen kann, wird er sich auf diese Frage typischerweise nicht ernsthaft einlassen. 3 Vgl.

Nash (1950b).

6.3. NICHT-KOOPERATIVE VERHANDLUNGEN

117

u2

1

effiziente Grenze

0

1

u1

Abbildung 6.1: Das Verteilungsspiel: splitting the pie

Danach wird eruiert, welche L¨osungsmethode diese Eigenschaften generiert.1 Diese Vorgehensweise ist die historisch ¨altere Methode, wird hier jedoch aufgrund der notwendigen ad hoc Annahmen als zweite behandelt. Der entsprechende Abschnitt betritt damit gegen¨ uber den vorhergehenden Kapiteln konzeptionelles Neuland. • Alternativ dazu hat sich seit dem bahnbrechenden Beitrag von Rubinstein (1982) auch eine non-kooperative Theorie der Verhandlungen entwickelt, die eine g¨anzlich andere Modellierungsstrategie verfolgt: Es wird unterstellt, dass die beteiligten Akteure abwechselnd Angebote unterbreiten, die von dem (den) Verhandlungspartner(n) akzeptiert oder zur¨ uckgewiesen werden k¨onnen. Sobald ein Angebot akzeptiert wird, ist das Spiel zu Ende. Damit bewegen wir uns in konzeptionell bekanntem Fahrwasser, da hier einfach eine dynamische (und ggf. endlich oder unendlich oft wiederholte) Spielsituation vorliegt, die bereits analysiert wurde.

6.3

Nicht-kooperative Verhandlungen

Dieser Abschnitt unterscheidet sich von den vorhergehenden Kapiteln 3-5 nicht fundamental in dem Sinn, dass eine prinzipiell ”andere” Situation untersucht werden w¨ urde, f¨ ur die erst wieder ein passendes L¨osungskonzept entwickelt werden m¨ usste. Vielmehr handelt es sich bei der spieltheoretischen Analyse von Verhandlungen letztlich ”nur” um die Anwendung bereits bekannter Konzepte. Diese Bemerkung impliziert (nat¨ urlich) keineswegs, dass es in diesem Abschnitt nichts zu lernen gibt, sondern dient dazu, dass man sich die Verbindung zwischen den bisher eingef¨ uhrten Konzepten und deren Anwendungen im Kontext der Modellierung von Verhandlungen immer vor Augen h¨alt. Wie bereits erl¨autert, bildet die non-kooperative Spieltheorie einen Verhandlungsprozess durch die Abfolge alternierender Angebote ab. Daher spricht man auch von sequentiellen Verhandlungen (sequential bargaining). Zun¨achst wird im Folgenden ein endlicher Zeithorizont unterstellt, d.h. die Akteure haben nur eine begrenzte Zahl von M¨oglichkeiten, ein Angebot zu machen. Danach wird diese Situation verallgemeinert zu einem Spiel, in dem bis zur Einigung potentiell unendlich viele alternierende Angebote gemacht werden k¨onnen. 1 Die Einordnung in die ”kooperative” Spieltheorie verdankt sich der Tatsache, dass man zur L¨ osung des Verhandlungsproblems letztlich eine Konstruktion ben¨ otigt, die die Nutzenfunktionen beider Akteure ber¨ ucksichtigt. Dies ist zwar nicht dasselbe wie die Maximierung der gemeinsamen Nutzensumme (was eine nahe liegende Konkretisierung von Kooperation w¨ are), geht aber ein gutes St¨ uck in diese Richtung.

118

6.3.1

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

Verteilungsspiel I: Endlicher Zeithorizont

Angenommen, Spieler 1 und Spieler 2 spielen das in Abbildung 6.1 auf der vorherigen Seite dargestellte Verteilungsspiel, dem nun aber noch die folgende zeitliche Struktur1 gegeben wird, die in Abbildung 6.2 zu sehen ist.2 In Periode 1 macht Spieler 1 ein Angebot f¨ ur die Teilung des e, dieser Vorschlag besteht in den Anteilen s1 f¨ ur Spieler 1 und damit (1 − s1 ) f¨ ur Spieler 2. Dieser kann den Vorschlag akzeptieren oder ablehnen. Bei Akzeptanz endet das Spiel mit den entsprechenden Auszahlungen. Wenn Spieler 2 jedoch ablehnt, muss er seinerseits einen Vorschlag machen, der wiederum einen Anteil f¨ ur Spieler 1, n¨amlich s2 (der Index bezieht sich auf die Periode, nicht auf den Spieler!) und dementsprechend (1 − s2 ) f¨ ur Spieler 2 spezifiziert. Nun ist es Spieler 1, der den Vorschlag ablehnen oder akzeptieren kann. Akzeptiert er, endet das Spiel mit der Realisierung des Vorschlags von 2, wenn nicht endet das Spiel mit Auszahlungen von Null f¨ ur jeden. Abbildung 6.2 zeigt also letztlich einfach ein dynamisches Spiel bei vollkommener Information in seiner extensiven Form, d.h. als Spielbaum. In Kapitel 4 wurden daher im Prinzip alle konzeptionellen Voraussetzungen f¨ ur die Analyse dieser Situation geschaffen – wie im Lauf der Entwicklung der L¨osung dieser Verhandlungssituation deutlich werden sollte.

Abbildung 6.2: Endliche sequentielle Verhandlung Die L¨osung des Problems besteht nun in der Suche nach dem teilspielperfekten Gleichgewicht, das (wie in Kapitel 4) per R¨ uckw¨artsinduktion gefunden werden kann. In Periode 2 hat Spieler 2 das Vorschlagsrecht. Da Spieler 1 nur eine ”take or leave it”-Wahl hat, kann Spieler 2 den Vorschlag 1 − s2 = 1, d.h. s2 = 0 machen. Spieler 1 ist indifferent und akzeptiert den Vorschlag.3 Das Vorschlagsrecht in der letzten Periode zusammen mit der Auszahlung von Null bei Scheitern der Verhandlung f¨ ur den Gegenspieler verschafft hier Spieler 2 also eine sehr weitreichende Machtposition. F¨ ur die Entscheidung in der ersten Periode durchschauen beide Spieler annahmegem¨aß die gerade geschilderte Logik in Periode 2. Insbesondere weiß Spieler 1, dass jeder Vorschlag von ihm durch Spieler 2 abgelehnt werden wird, wenn dieser dem Spieler 2 nicht mindestens die gerade geschilderte Auszahlung gew¨ahrt. Wenn zwischen den Perioden nicht abgezinst wird, ist Spieler 1 v¨ollig indifferent zwischen jedem Vorschlag s1 ∈ [0, 1]. s1 = 0 ¨ ist eine instruktive Ubung, sich zu u ¨ berlegen, welche Strategiekombinationen ein Nash-Gleichgewicht in einem statischen Spiel (in dem beide Spieler simultan ihre Offerten machen) darstellen. Antwort: Es sind alle Vorschl¨ age, deren Summe gleich dem exogen festgelegten Preis entspricht. 1 Es

2 Verhandlungskosten werden hier nicht explizit gemacht, k¨ onnten aber leicht aufgenommen werden, indem die Auszahlungen an den Endknoten des Spiels um die w¨ ahrend der Verhandlung anfallenden Kosten korrigiert werden. 3 Man k¨ onnte hier die Indifferenz aufheben, in dem Spieler 2 seinem Kontrahenten eine minimale positive Summe u ¨ berl¨ asst. Diese unn¨ otige Komplikation wird hier vermieden. Man beachte dabei, dass die Rationalit¨ atspr¨ amisse auch mit der Akzeptanz sehr ungleicher Verhandlungsergebnisse konsistent ist, wenn ¨ der ”benachteiligte” Spieler keine bessere Alternative durchsetzen kann. Fairness-Uberlegungen spielen hier keine Rolle.

6.3. NICHT-KOOPERATIVE VERHANDLUNGEN

119

w¨ urde von 2 sofort akzeptiert, alles andere abgelehnt. Von daher ist in diesem Fall s1 = 0 und dementsprechend 1 − s1 = 1 – also die denkbar krasseste Ungleichverteilung – das teilspielperfekte Gleichgewicht dieser Verhandlungssituation. Wird zwischen den Perioden abdiskontiert1 , so ist der in der zweiten Periode erreichbare e f¨ ur Spieler 2 aus Sicht der Periode 1 nur noch β · 1 e wert, wobei 0 < β ≤ 1 wieder den Diskontfaktor bezeichnet. Dementsprechend wird Spieler 2 auf ein Angebot des Spielers 1 in der ersten Periode eintreten, das ihm dann bereits einen Anteil β sichert, d.h. (1 − s∗1 ) = β

⇔ s∗1 = 1 − β

(6.1)

ist das Angebot, das Spieler 1 in Periode 1 machen wird und auf das Spieler 2 eintreten wird, da er sich auch durch seine Machstellung in Periode 2 nicht besser stellen kann. 6.1 ist also die teilspielperfekte L¨osung dieser Verhandlungssituation. F¨ ur β = 1 impliziert diese L¨osung nat¨ urlich die zuvor abgeleitete v¨ollige Ungleichverteilung im Fall ohne zeitliche Diskontierung. Drei Merkmale dieser L¨osung verdienen besondere Erw¨ahnung: • Wird die sequentielle Verhandlung nach einer ex ante festgelegten und bekannten Zahl von Runden (im Beispiel: 2) abgebrochen, so hat derjenige Spieler einen Vorteil, der das Recht hat, den letzten Vorschlag zu machen. • Dieser Vorteil ist umso gr¨oßer, je niedriger die unterstellte Zeitpr¨ aferenzrate (d.h. je n¨aher der Diskontfaktor β bei dem Wert 1 liegt) ist. Ohne Abdiskontierung geht der gesamte Kooperationsgewinn an den Spieler, der den letzten Vorschlag macht. • Im Fall mit Diskontierung (d.h. β < 1) wird das Spiel in jedem Fall gleich in der ersten Periode beendet.2 Der Spieler mit dem Nachteil, in der letzten Periode keinen Vorschlag machen zu k¨onnen, kann durch die Diskontierung einen Teil des Verhandlungsgewinns an sich ziehen. Dieses Ergebnis ist intuitiv verst¨andlich, da das einzige Drohpotential des Spielers 1 darin besteht, die Entscheidung u ¨berhaupt erst in die zweite Periode zu verlagern. Sein durch diese Macht erreichbarer Anteil an dem Verhandlungsgewinn wird umso h¨oher sein, je h¨oher die Zeitpr¨aferenzrate ist, d.h. je niedriger der Diskontfaktor ist. Nat¨ urlich kann man das Spiel in Abbildung 6.2 auf der vorherigen Seite noch um die M¨ oglichkeit weiterer alternierender Angebote erweitern mit dem klaren Ergebnis, dass diese Ausdehnung das Drohpotential durch die m¨ogliche Verschiebung der Auszahlungen am Ende des Spiels ebenfalls vergr¨oßert.

6.3.2

Verteilungsspiel II: Unendlicher Zeithorizont, Rubinstein-Spiel

Es ist nicht ganz einfach, sich ein Umfeld vorzustellen, in dem tats¨achlich einer der verhandelnden Parteien ein ”letztes Wort” zugestanden wird. Typischerweise laufen Verhandlungen ohne einen klar definierten Endpunkt ab. Und selbst wenn dieser zeitlich definiert w¨are (z.B. durch das Ende der Friedenspflicht bei Tarifverhandlungen oder durch das Auslaufen jedes anderen Vertrags u ¨ber dessen Verl¨angerung man verhandeln kann), besteht kein Anlass zur Vermutung, dass diese Limitation auch festlegt, welche der Verhandlungsparteien ein 1 Die

Frage, ob dies von Bedeutung ist oder nicht, kommt auf den konkreten Kontext an. Wenn die Angebote und Gegenangebote sofort hintereinander gemacht werden k¨ onnen, kann man die Abdiskontierung getrost vernachl¨ assigen, wenn hingegen l¨ angere Intervalle dazwischen liegen, so muss das ber¨ ucksichtigt werden. 2 Ohne Diskontierung sind die Verhandlungspartner letztlich indifferent, zu welchem Zeitpunkt das Spiel den beschriebenen Ausgang findet, d.h. gleich in Periode 1 oder erst in Periode 2.

120

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

letztes Angebot machen kann. Daher ist Abschnitt 6.3.1 auf der vorherigen Seite im Grunde nur eine erste Ann¨aherung an die Modellierung einer Verhandlung mit alternierenden Angeboten. Viel plausibler ist es, von einem unbegrenzten Zeithorizont auszugehen, d.h. eine Struktur wie in Abbildung 6.3 zu unterstellen. Diese Struktur konstituiert das Rubinstein-Spiel, das nach dem bahnbrechenden Aufsatz von Ariel Rubinstein (1982) benannt ist.

Abbildung 6.3: Unendliche sequentielle Verhandlung: Das Rubinstein-Spiel Die Methode der R¨ uckw¨artsinduktion steht nun bei unendlicher Wiederholung des Spiels nicht mehr ohne weiteres zur Verf¨ ugung. Dennoch kann das Spiel relativ einfach gel¨ost werden, wenn man sich vor Augen f¨ uhrt, dass das in Periode 3 beginnende Teilspiel exakt die gleiche Struktur aufweist wie das gesamte, d.h. in Periode 1 beginnende Spiel1 : In beiden F¨allen kann Spieler 1 einen Vorschlag machen, den Spieler 2 annehmen oder ablehnen kann um f¨ ur den Fall der Ablehnung einen eigenen Vorschlag zu machen usw.. Sowohl in Periode 1 als auch in Periode 2 sind prinzipiell unendlich viele Wiederholungen dieser Sequenz m¨oglich.2 Diese Struktur erlaubt es, die Methode der R¨ uckw¨artsinduktion auch auf das unendlich wiederholte Spiel anzuwenden. Unter Ber¨ ucksichtigung von zeitlicher Diskontierung, die in diesem Fall sogar zwischen den beiden Verhandlungspartnern unterschiedlich sein kann3 , ist die Logik der R¨ uckw¨artsinduktion dabei wie folgt: Angenommen, Spieler 1 kann in Periode 3 (von der wir noch gar nicht wissen, ob sie erreicht werden wird) einen nat¨ urlich erst noch zu bestimmenden maximalen Anteil s¯ durchsetzen, d.h. er schl¨agt die Aufteilung (¯ s, 1 − s¯) vor und Spieler 2 stimmt dem zu. Dann weiß Spieler 2 in Periode 2, dass er einen Vorschlag machen kann, der dem Spieler 1 einen Anteil in H¨ohe von β1 s¯ bel¨asst, wobei β1 der Diskontierungsfaktor des Spielers 1 ist. Aus Sicht der Periode 2 ist β1 s¯ f¨ ur Spieler 1 nat¨ urlich genau so viel wert wie s¯ in Periode 3, daher wird er dem Vorschlag zustimmen. Spieler 2 erh¨alt dann nat¨ urlich den Anteil 1 − β1 s¯. In Periode 1 weiß nun Spieler 1, dass er ein Angebot machen kann. Damit Spieler 2 dieses Angebot gerade noch akzeptiert, muss es f¨ ur diesen einen Anteil β2 (1 − β1 s¯) vorsehen, wobei β2 der Diskontfaktor f¨ ur Spieler 2 ist. Die in Periode 1 maximal durchsetzbare Forderung f¨ ur Spieler 1 ist dementsprechend gegeben durch den Anteil 1 − β2 (1 − β1 s¯). Da aber nun die Struktur der Spiele, die in Periode 1 und 3 beginnen, v¨ollig identisch ist, m¨ ussen die jeweils durchsetzbaren Anteile ebenfalls identisch sein. Es muss also gelten, dass s¯ = 1 − β2 (1 − β1 s¯) , 1 Dieser

L¨ osungsweg geht zur¨ uck auf den Beitrag von Shaked/Sutton (1984).

2 Genauso 3 Auch

(6.2)

sind nat¨ urlich die in Periode 2 und 4 startenden Teilspiele v¨ ollig isomorph.

dem gesunden Menschenverstand ist problemlos zug¨ anglich, dass in Verhandlungssituationen eine im Vergleich zum Verhandlungsgegner st¨ arker ausgepr¨ agte Ungeduld sich sch¨ adlich auf das Verhandlungsergebnis auswirkt. Dies wird eines der Ergebnisse der folgenden Analyse sein.

6.3. NICHT-KOOPERATIVE VERHANDLUNGEN

121

was sich leicht nach s¯ aufl¨osen l¨asst: s¯ =

1 − β2 . 1 − β1 β2

(6.3)

Das Angebot durch Spieler 1 in Periode 1 einer Aufteilung des zu erzielenden Verhandlungsgewinns gem¨aß (6.3) stellt ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht des RubinsteinSpiels dar. Zu pr¨ ufen ist nun noch, ob dieses Gleichgewicht eindeutig ist, oder ob es weitere teilspielperfekte L¨osungen gibt. Um diese Frage nach der m¨oglichen Existenz multipler Gleichgewichte zu beantworten, wird nun untersucht, wie hoch die von Spieler 1 minimal durchsetzbare Forderung ist, die mit s bezeichnet sei. Wenn Spieler 1 in Periode 3 wenigstens s erwarten kann, so kann Spieler 2 in Periode 2 dem Spieler 1 nicht weniger als β1 s anbieten, d.h. f¨ ur sich selbst den Anteil 1 − β1 s sichern. Damit muss Spieler 1 in Periode 1 an Spieler 2 einen Vorschlag machen, der diesem wenigstens den Gegenwartswert des letztgenannten Anteils sichert, d.h. β2 (1 − β1 s). Dies impliziert nat¨ urlich einen Anteil f¨ ur Spieler 1 in H¨ohe von s = 1 − β2 (1 − β1 s)

(6.4)

Man sieht durch einen Vergleich von (6.4) mit (6.2) sofort, dass der minimale Anteil, den Spieler 1 erwarten kann genau so groß ist wie der maximale Anteil, den er durchsetzen kann. Damit ist das eindeutige teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht des Rubinstein-Spiels gegeben durch 1 − β2 s¯ = s ≡ s∗ = (6.5) 1 − β1 β2 Die Eigenschaften dieser L¨osung sollen nun noch etwas genauer unter die Lupe genommen werden: • Spieler 1 erh¨alt umso mehr (Spieler 2 damit umso weniger) je geduldiger er ist, d.h. ∂s∗ je gr¨oßer β1 ist. Algebraisch l¨asst sich dies sehr einfach aus (6.5) ermitteln: ∂β = 1 β2 (1−β2 ) (1−β1 β2 )2

> 0. ∗

−(1−β1 ) ∂s • Umgekehrt profitiert Spieler 1 von der Ungeduld des 2, d.h. es ist ∂β = (1−β 2 < 0. 2 1 β2 ) Die Intuition f¨ ur diese Ergebnisse ist klar: Je geduldiger ein Spieler ist, desto st¨arker wird sein Drohpotential f¨ ur das Ablehnen eines Angebots und desto h¨oher muss also das Angebot an ihn im Gleichgewicht sein.

• Bei identischen Diskontierungsfaktoren der beiden Spieler, d.h. f¨ ur β1 = β2 ≡ β ist 1−β 1 1 das Ergebnis des Rubinstein-Spiels gegeben durch s∗ = 1−β = 2 1+β . • Das letzte Ergebnis gibt auch Auskunft u ¨ber den Spezialfall, dass bei de Spieler keinerlei Diskontierung vornehmen, d.h. β1 = β2 = 1. In diesem Fall ist s∗ = 21 , d.h. der e wird gleichm¨aßig aufgeteilt – was eine intuitiv sehr plausible L¨osung ist. • F¨ ur alle β < 1 hat der erste Spieler jedoch wie im endlich wiederholten Spiel einen echten First-Mover-Vorteil, d.h. er kann (etwas) mehr als die H¨alfte des e beanspruchen und kann dies auch durchsetzen, da Spieler 2 in der ersten Runde lieber etwas weniger als die H¨alfte akzeptiert als seinerseits erst in der n¨achsten Runde ein Angebot zu unterbreiten. Abbildung 6.4 auf der n¨achsten Seite zeigt die L¨osungen gem¨aß (6.5) f¨ ur Werte von β1 ∈ [0, 1] und drei alternative Werte f¨ ur β2 . Die wichtigsten der gerade diskutierten Eigenschaften der L¨osung des Rubinstein-Spiels werden hier gut sichtbar. 1 F¨ ur die zweite Schreibweise ist zu ber¨ ucksichtigen, dass der Nenner in der ersten Schreibweise wie folgt aufgel¨ ost werden kann. 1 − β 2 = (1 − β) (1 + β).

122

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

Abbildung 6.4: L¨osungen des Rubinstein-Spiels

6.3.3

Die Einbeziehung von Außenoptionen im Rubinstein-Spiel

Das Rubinstein-Spiel fand in der verhandlungstheoretischen Literatur eine sehr weite Beachtung. Allerdings ist es unstrittig, dass die gerade pr¨asentierte Form sehr wenig interessante und f¨ ur reale Verhandlungssituationen bedeutsame Merkmale enth¨alt. Diese k¨onnen jedoch teilweise sehr einfach in die gezeigte Struktur eingebaut werden. Zu diesen Merkmalen z¨ahlen insbesondere die Ber¨ ucksichtigung von • Verhandlungskosten, die in jeder Runde als fixer Betrag anfallen k¨onnen, wobei die im letzten Unterabschnitt gezeigte Analyse jedoch bereits proportionale Verhandlungskosten durch die Diskontierung mit abbildet – und sogar den Fall, dass diese Kosten zwischen den Verhandlungspartnern differieren mit beinhaltet; • Unsicherheiten diverser Arten, bspw. u ¨ber die genau H¨ohe der Auszahlungen, u ¨ber Pr¨aferenzen der Verhandlungspartner etc.; • Risikoaversion der Akteure, was einen Einfluss auf die Nutzenkonsequenzen des Scheiterns von Verhandlungen und damit auf das Verhandlungsergebnis hat; • Außenoptionen (outside options) d.h. M¨oglichkeit beim Scheitern der Verhandlungen eine bestimmte Option zu haben (z.B. mit einem andern Partner zu verhandeln). Außenoptionen werden auch als Drohpunkte (threat points) bezeichnet. Die Einbeziehung von Außenoptionen soll nun noch kurz gezeigt werden. Dazu wird angenommen, dass beide Spieler nach einem Angebot nunmehr drei M¨oglichkeiten haben: Sie k¨onnen es akzeptieren, ablehnen und ein Gegenangebot machen (wie bisher) oder aber die Verhandlung abbrechen und eine Außenoption wahrnehmen – z.B. mit einem anderen Partner Verhandlungen aufnehmen. In diesem Fall erhalten beide Spieler die Auszahlungen (α1 , α2 ). Nat¨ urlich darf die Summe der Außenoptionen den Verhandlungsgewinn nicht u ¨bersteigen, da ansonsten wenigstens ein Verhandlungspartner kein Interesse an der Verhandlung haben kann. Beim Spiel um einen Verhandlungsgewinn von 1 muss also gelten, dass α1 + α2 < 1. Um die Situation nicht zu kompliziert werden zu lassen, wird davon ausgegangen, dass der Wert der Außenoptionen f¨ ur beide Spieler u ¨ber die gesamte m¨ogliche Dauer des Spiels hinweg konstant ist. Abbildung 6.5 auf der n¨achsten Seite zeigt die geschilderte Situation. Wieder kann man von einer maximal durchsetzbaren Auszahlung s¯ f¨ ur Spieler 1 in Pe¨ riode 3 ausgehen. Die Uberlegung von Spieler 2 f¨ ur sein Angebot in Periode 2 modifiziert

6.3. NICHT-KOOPERATIVE VERHANDLUNGEN

123

Abbildung 6.5: Das Rubinstein-Spiel mit Außenoptionen.

sich nun aber etwas: Damit Spieler 1 akzeptiert, muss er ihm mindestens seine Außenoption garantieren, d.h. Spieler 2 muss in Periode 2 folgendes Angebot machen: max (β1 s¯, α1 ). Dazu wird er aber nur bereit sein, wenn der f¨ ur ihn verbleibende Teil mindestens seiner eigenen Außenoption entspricht, d.h. f¨ ur 1 − β1 s¯ ≥ α2 . In Periode 1 kann Spieler 1 also einen Vorschlag machen, der Spieler 2 wenigstens max (β2 (1 − β1 s¯) , α2 ) bel¨asst. Das ist aber f¨ ur Spieler 1 nur dann attraktiv, wenn sein Anteil mindestens seiner Außenoption entspricht, d.h. f¨ ur 1−β2 (1 − β1 s¯) ≥ α1 . Es leuchtet unmittelbar ein, dass f¨ ur den Fall, dass die Außenoptionen keine bindenden Restriktionen darstellen, das Verhandlungsergebnis mit dem Spiel ohne Außenoptionen u ¨bereinstimmen, diese jedoch den zul¨assigen M¨oglichkeitenraum f¨ ur das Verhandlungsergebnis unabh¨angig von Unterschieden der Diskontierungsfaktoren und der Reihenfolge der Vorschlagsm¨oglichkeiten begrenzen. Abbildung 6.6 illustriert dieses Ergebnis. Nur der fett ausgezogene Bereich der Verteilungsm¨oglichkeiten ist relevant, da die Außenoptionen der Verhandlungspartner die Macht der oder des jeweils Anderen unabh¨angig von den weiteren Merkmalen der Verhandlungssituation begrenzen. Die Abbildung macht auch klar, dass ein Scheitern der Verhandlungen und damit die Realisierung der Außenoption f¨ ur beide Verhandlungspartner nicht w¨ unschenswert ist, d.h. dass die Verhandlung eindeutige Paretoverbesserungen zul¨asst.

s* 1

?1 0

?2

1 ? s*

1

Abbildung 6.6: Ergebnisraum f¨ ur das Rubinstein-Spiel mit Außenoptionen. Anhand von Abbildung 6.6 kann man sich auch noch einmal gut die Logik Forderung vor Augen f¨ uhren, dass die Summe der Außenoptionen nicht der Verhandlungsgewinn (hier: 1) u ¨berschreiten darf ohne dass es zum Abbruch der Verhandlungen kommt. Es w¨ urde einfach

124

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

kein relevanter Bereich auf der effizienten Grenze, der in Abbildung 6.6 fett ausgezeichnet ist, u ¨brig bleiben. Daher w¨ urden hier die Verhandlungen von demjenigen mit der besseren Außenoption abgebrochen, ohne dass der Spieler mit der niedrigeren Außenoption eine f¨ ur beiden Seiten akzeptable M¨oglichkeit h¨atte, diesen wieder an den Verhandlungstisch zur¨ uckzubringen.

6.4 6.4.1

Kooperative Verhandlungen Die Nash-Verhandlungsl¨ osung (Verteilungsspiel III)

Wie bereits in den methodischen Vorbemerkungen in Abschnitt 6.2 auf Seite 115 ausgef¨ uhrt wurde, geht die kooperative Spieltheorie einen modellierungstechnisch g¨anzlich anderen Weg als den in Abschnitt 6.4 gerade beschrittenen. Die bahnbrechende Arbeit von Nash (1950b) geht von einer Reihe von Axiomen aus, die eine Verhandlungsl¨ osung erf¨ ullen sollte bzw. erf¨ ullen muss und identifiziert dann eine Methode, die zu einer L¨osung f¨ uhrt, in der diese Axiome immer erf¨ ullt sind. Daher spricht man bisweilen auch von einem axiomatischen Ansatz der Verhandlungstheorie. Die von Nash postulierten Axiome sind die Folgenden: • Effizienz: Die Verhandlungsl¨osung muss die Eigenschaft der Paretooptimalit¨at aufweisen. Dieses Axiom verbietet letztlich Verschwendung, d.h. der Verhandlungsgewinn wird vollst¨andig verteilt. • Symmetrie: Wenn die Verhandlungssituation v¨ollig symmetrisch ist (wie das beispielsweise bei ”splitting the pie” der Fall ist), so muss auch die Verhandlungsl¨osung symmetrisch sein. Eine andere, allgemeinere Formulierung der gleichen Eigenschaft lautet: Die Verhandlungsl¨osung darf nicht davon abh¨angen, wie die beteiligten Spieler bezeichnet werden. • Invarianz gegen¨ uber monotonen Transformationen der Auszahlungen: Dieses Axiom stellt sicher, dass die Verhandlungsl¨osung nicht davon abh¨angt, in welchen Einheiten die Auszahlungen gemessen werden • Unabh¨ angigkeit der L¨ osung von irrelevanten Alternativen: Dieses Axiom fordert, dass sich die Verhandlungsl¨osung nicht ¨andert, wenn Handlungsm¨oglichkeiten ausgeschlossen werden, die ohnehin nicht gew¨ahlt w¨ urden. Dies klingt zun¨achst extrem plausibel und v¨ollig unangreifbar, kann aber dennoch zu ”merkw¨ urdigen” Eigenschaften einer L¨osung f¨ uhren, wie in Abschnitt 6.4.2 auf Seite 126 deutlich werden wird. John Nash zeigte nun, dass diesen Axiomen Gen¨ uge getan ist, wenn das folgende Problem gel¨ost wird: Seien u1 und u2 die Auszahlungen zweier an einem Verhandlungsspiel beteiligten Spieler sowie α1 und α2 deren Drohpunkte. Dann l¨asst sich die Verhandlungsl¨osung charakterisieren durch max Ω = (u1 − α1 ) · (u2 − α2 ) ,

(6.6)

wobei die Nebenbedingung zu beachten ist, dass sich die Summe der beiden Auszahlungen auf der effizienten Grenze befindet, d.h. die L¨osung zul¨assig ist.1 Zu maximieren ist Ω u ¨ber die Handlungsparameter, die den beteiligten Spielern zur Verf¨ ugung stehen. 1 Bei ”splitting the pie” wurde die Summe der Auszahlungen als konstant, d.h. unabh¨ angig von den gew¨ ahlten Strategien angenommen. Dieses vereinfachende Merkmal ist jedoch in den meisten ¨ okonomisch relevanten Verhandlungssituationen nicht gegeben.

6.4. KOOPERATIVE VERHANDLUNGEN

125

Ω wird als Nash-Maximand oder Nash-Produkt bezeichnet. In (6.6) ist nicht spezifiziert, wor¨ uber Ω maximiert werden soll. Dies h¨angt von der konkreten Verhandlungssituation ab. In Lohnverhandlungen sind es eben die L¨ohne, in Verhandlungen u ¨ber den Verkauf einer Firma der zu zahlende Preis und in ”splitting the pie” (Verteilungsspiel) die Anteile, die die Verhandlungspartner am Kuchen bekommen. F¨ ur das Verteilungsspiel lautet die Konkretisierung von (6.6) wie folgt: max Ω = (s − α1 ) · (1 − s − α2 ) .

(6.7)

s

In der Formulierung des Problems ist die Restriktion, dass sich die beiden Anteile auf 1 erg¨anzen m¨ ussen, bereits enthalten. Die Bestimmung des Verhandlungsergebnisses ist nun denkbar einfach. Durch Anwendung der Produktregel errechnet sich ∂Ω ∂s ∗

!

= (1 − s∗ − α2 ) − (s∗ − α1 ) = 1 − 2s∗ − α2 + α1 = 0 ⇔ . s = 21 (1 + α1 − α2 )

(6.8)

Wenn beide bei Scheitern der Verhandlungen leer ausgehen (d.h. f¨ ur αi = 0, i = 1, 2) resultiert die intuitiv plausible L¨osung, dass der zu verteilende Verhandlungsgewinn (hier eben 1 e) gerade halbiert wird. Die L¨osung (6.8) macht ebenfalls klar, dass auch diese Modellierung der Verhandlung nicht zu einem sinnvollen Ergebnis f¨ uhrt, wenn die Summe der Außenoptionen bzw. Auszahlungen in den Drohpunkten gr¨oßer ist als der aufzuteilende Verhandlungsgewinn. Es ist sofort zu sehen, dass s∗ in diesem Fall negativ w¨ urde, was f¨ ur einen Anteil ganz offensichtlich keine vern¨ unftige L¨osung ist. Im Gegensatz zum Rubinstein-Spiel mit sequentiellen Angeboten spielt nun aber Diskontierung keine Rolle. Dies resultiert aus der Modellierungsentscheidung, in der eine zeitliche Struktur der Verhandlungen gar nicht erst angelegt ist. Aufschlussreich sind auch die unterschiedlichen Rollen der Drohpunkte im RubinsteinSpiel und in der Nash-L¨osung. W¨ahrend beim Rubinstein-Spiel die Drohpunkte das L¨osungsspektrum nur begrenzten, spielen sie f¨ ur die Nash-L¨ osung in jedem Fall eine Rolle. Man kann sich das so vorstellen, dass bei der Nash-Verhandlungsl¨osung die Parteien von dem Verhandlungsgewinn erst einmal ihre jeweiligen Außenoption subtrahieren (also den entsprechenden Teil des e vom Tisch nehmen) und dann u ¨ber den Rest verhandeln als ob sie keine Außenoption h¨atten. Die Nash-L¨osung (6.8) ist auch einer graphischen Intuition gut zug¨anglich. Dazu ist es hilfreich, den Nash-Maximanden explizit als Funktion der Anteile f¨ ur die beiden Spieler, s1 und s2 zu schreiben:1 Ω = (s1 − α1 ) · (s2 − α2 ). Totale Differentiation nach s1 und s2 liefert dΩ = (s1 − α1 ) ds2 + (s2 − α2 ) ds1 (6.9) Setzt man diesen Ausdruck gleich Null, so errechnet sich die Steigung eines locus mit einem konstanten Wert des Nash-Produkts als ¯ ds1 ¯¯ s1 − α1 < 0, (6.10) =− ds2 ¯dΩ=0 s2 − α2 womit ein konstanter Wert von Ω offensichtlich entlang einer fallenden Hyperbel gegeben ist. Abbildung 6.7 auf der n¨achsten Seite zeigt alle Bestandteile der Nash-L¨osung. Die durchgezogene Gerade repr¨asentiert die effiziente Grenze (entlang der sich die beiden Anteile zu 1 addieren). Die beiden Hyperbeln gelten f¨ ur zwei unterschiedliche, aber jeweils konstan¯ < Ω. Die Nash-L¨osung ist gegeben durch te Werte des Nash-Produkts, wobei gilt, dass Ω den Tangentialpunkt der Zielfunktion Ω und der Nebenbedingung. Damit ist dies von der 1 Bisher

wurde einfach die Konvention s1 = s und die Restriktion s2 = 1 − s1 = 1 − s benutzt.

126

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

Struktur her sehr nahe an einem aus der Mikro¨okonomik g¨angigen Nutzenoptimierungskalk¨ ul, wobei die Besonderheit der Verhandlungsl¨osung darin liegt, dass sie eine bestimmte Art einer u ¨ber die Verhandlungsteilnehmer ”aggregierten” Nutzenfunktion heranzieht. Wie aus (6.6) ersichtlich ist, besteht die Aggregation aus einem gleichgewichteten geometrischen Mittel der um die Drohpunkte korrigierten Nutzenpositionen der beteiligten Akteure.

Abbildung 6.7: Verteilungsspiel III: Die Nash-Verhandlungsl¨osung. Die letzte Beobachtung f¨ uhrt zu einer nahe liegenden Erweiterung der Modellierung. Wenn man n¨amlich von asymmetrischen Machtpositionen zwischen den Verhandlungspartnern ausgeht, die sich aus Merkmalen erkl¨aren, die außerhalb des Modells liegen,1 so kann man dies – wenn auch etwas krude – durch eine Verschiebung der Gewichte f¨ ur den NashMaximanden abbilden. Dies f¨ uhrt dann zu dem verallgemeinerten Nash-Maximanden γ

max Ω = (u1 − α1 ) · (u2 − α2 )

1−γ

,

(6.11)

wobei γ die relative Machtposition des Spielers 1 bezeichnet. Zu beachten ist, dass f¨ ur γ = 0, 5 der in (6.6) p unterstellte Symmetriefall gegeben ist. In (6.11) w¨ urde dieser Fall zu dem Ausdruck Ω = (u1 − α1 ) · (u2 − α2 ) f¨ uhren, was aber ¨aquivalent mit (6.6) ist, weil eine monotone Transformation des Nash-Maximanden das Ergebnis v¨ollig unber¨ uhrt l¨asst.2

6.4.2

Eine ”unsch¨ one” Eigenschaften der Nash-Verhandlungsl¨ osung: Gl¨ aubigerverhandlungen

Eine in der Realit¨at sehr wichtige Verhandlungssituation betrifft die Aufteilung einer Konkursmasse zwischen zwei oder mehr Gl¨aubigern. Angenommen, eine Firma hinterl¨asst e 50000 an verwertbaren assets, und zwei Gl¨aubiger 1 und 2 haben (gleichrangige) Anspr¨ uche in H¨ohe von a1 = 40000 und a2 = 30000. Nat¨ urlich besteht das Problem des Konkurses genau darin, dass die Summe der Anspr¨ uche h¨oher ist als die verwertbaren assets. Die beiden Gl¨aubiger m¨ ussen eine Einigung erzielen, d.h. ohne wechselseitiges Einverst¨andnis kommt keiner der beiden Gl¨aubigern an die Konkursmasse heran. Damit sind aber die Drohpunkte gleich Null. Gesetzlich geregelt ist, dass kein Gl¨aubiger mehr als die ihm zustehenden Anspr¨ uche ai , i = 1, 2 mitnehmen kann. Wenn man davon ausgeht, dass beide Gl¨aubiger risikoneutral sind, kann die Auszahlungssumme gleich den Nutzen gesetzt werden, womit das Nash-Programm wie folgt lautet: 1 Das

w¨ are z.B. die politische R¨ uckendeckung von Gewerkschaften bei Lohnverhandlungen.

2 Daher

wird der verallgemeinerte Nash-Maximand zumeist auch in logarithmierter Form geschrieben, da dies das Ergebnis unber¨ uhrt l¨ asst, aber analytisch etwas traktabler ist. Anstelle von (6.11) kann man daher auch von ln Ω = γ ln(u1 − α1 ) + (1 − γ) ln(u2 − α2 ) ausgehen.

6.4. KOOPERATIVE VERHANDLUNGEN

max u1 u2

u1 ,u2

127

  u1 + u2 ≤ 50000 u1 ≤ 40000 s.t.  u2 ≤ 30000

(6.12)

Die L¨osung dieses Problems lautet nat¨ urlich u∗1 = u∗2 = 25000, d.h. die beiden Gl¨aubiger teilen sich einfach die zur Verf¨ ugung stehende Summe, die beiden letzten Nebenbedingungen in (6.12) erweisen sich als nicht bindend. Diese L¨osung erf¨ ullt nat¨ urlich alle in Abschnitt (6.6) aufgelisteten Axiome, ist aber insofern ”unsch¨on” als die v¨ollige Bedeutungslosigkeit der H¨ohe der individuellen Anspr¨ uche unrealistisch erscheint. Diese Eigenschaft hat zu tun mit dem Axiom der Unabh¨angigkeit der Verhandlungsl¨osung von irrelevanten Alternativen. Wenn ein Gl¨aubiger die Auszahlung an den anderen Gl¨aubiger komplett verhindern kann (die Drohpunkte sind ja jeweils gleich Null), dann spielt es eben keinerlei Rolle mehr, wie hoch die individuellen Anspr¨ uche sind.1 Man kann dies auch weiter auf die Spitze treiben, indem man annimmt, dass die Anspr¨ uche wie folgt verteilt sind: a1 = 45000, a2 = 25000. Das Nash-Verhandlungs-Programm ist nun   u1 + u2 ≤ 50000 u1 ≤ 45000 max u1 u2 s.t. , (6.13) u1 ,u2  u2 ≤ 25000 was offensichtlich nichts an dem Ergebnis u∗1 = u∗2 = 25000 ¨andert. Der kleine Gl¨aubiger erh¨alt damit eine v¨ollige Abdeckung seiner Forderungen, w¨ahrend sich der große Gl¨aubiger mit einer Quote von 45/25 = 55, ¯5% zufrieden geben muss. Abbildung 6.8 illustriert die Logik des Gl¨aubigerspiels. Die Forderungsh¨ohen verbieten nur L¨osungen oberhalb bzw. rechts von a1 bzw. a2 , d.h. den schraffierten Bereich. Nur f¨ ur den Fall, dass eine der beiden Forderungen unter die H¨alfte der zur Verf¨ ugung stehenden Konkursmasse rutscht, wird eine ”Eckl¨osung” realisiert, d.h. der kleine Gl¨aubiger bekommt seine Forderung vollst¨andig ersetzt, der große Gl¨aubiger erh¨alt den Rest.

u1 50 k€ a1 (25, 25)

45° a2

50 k€

u2

Abbildung 6.8: Die Irrelevanz der Forderungsh¨ohe im Gl¨aubigerspiel Dieses Merkmal der Nash-L¨osung wurde vielfach kritisiert und f¨ uhrte zur Entwicklung der Kalai-Smorodinsky-L¨osung, die Gegenstand des n¨achsten Abschnitts ist.

6.4.3

Die Kalai-Smorodinsky-L¨ osung

Um diese L¨osung besser zu verstehen, sei zun¨achst auf eine weitere ”unsch¨one” Eigenschaft der Nash-Verhandlungsl¨osung aufmerksam gemacht, die in den bisherigen Beispielen nicht 1 Man kann das auch so ausdr¨ ucken, dass in der Verhandlungssituation die aufgeh¨ auften Forderungen ”sunk costs” und nur noch den Zweck einer ”Eintrittskarte” zum modellierten Verhandlungsspiel haben.

128

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

sichtbar wurde. Im linken Teil von Abbildung 6.9 ist durch die fett ausgezogene Linie die effiziente Grenze eines nicht n¨aher spezifizierten Verhandlungsspiels eingezeichnet. Bei identischen Pr¨aferenzen und Drohpunkten der Akteure resultiert die symmetrische L¨osung in Punkt A.

u1

u1

B

A

A

45°

45° u2

u2

Abbildung 6.9: Die Nicht-Monotonizit¨at der Nash-L¨osung. Nun wird unterstellt, dass sich die Menge der zur Verf¨ ugung stehenden L¨osungen erweitert, wenn auch auf eine sehr asymmetrische Art und Weise, indem sich der flache Abschnitt nach oben verlagert. Das Resultat ist im rechten Teil von Abbildung 6.9 zu sehen. Man sieht sofort, dass das Nash-Programm zur Verhandlungsl¨osung in Punkt B f¨ uhrt, was eine ebenfalls ”unsch¨one” Eigenschaft impliziert: Obwohl sich die M¨oglichkeiten insgesamt verbessert haben, verliert Spieler 2 in B relativ zu A. Dies scheint als Beschreibung einer Verhandlungsl¨osung nicht realit¨atsnah zu sein. Der Beitrag von Kalai-Smorodinsky (1975) versucht diesem Problem abzuhelfen, indem f¨ ur die Verhandlungsl¨osung eine bestimmte Monotonieeigenschaft postuliert wird. Diese verlangt – etwas lose formuliert –, dass eine Pareto-Verbesserung der in einem Spiel denkbaren Auszahlungsvektoren keinen der Spieler schlechter stellen darf. Offensichtlich ist diese Eigenschaft f¨ ur die NashL¨osung eines Verhandlungsspiels nicht erf¨ ullt: Die Verschiebung der effizienten Grenze ist eine Pareto-Verbesserung, f¨ uhrt aber zu einer Verschlechterung der Auszahlung f¨ ur Spieler 2, wenn man die Nash-L¨osung zugrunde legt. Diese Monotonieeigenschaft setzen Kalai und Smorodinsky (1975) an die Stelle des Axioms der Unabh¨angigkeit der Verhandlungsl¨osung von irrelevanten Alternativen. Die L¨osung eines Verhandlungsspiels l¨asst sich dann wie folgt charakterisieren: Sei u ¯ = (¯ u1 , u ¯2 ) der Vektor des in einer Verhandlung maximal denkbaren Ergebnisses bei v¨olliger ”Ausbeutung” des Verhandlungspartners1 und α = (α1 , α2 ) der Vektor der Drohpunkte. Dann ist die Kalai-Smorodinsky-L¨osung u∗ = (u∗1 , u∗2 ) charakterisiert durch u∗1 − α1 u ¯1 − α1 , = u∗2 − α2 u ¯2 − α2 wobei

(6.14)

u1 − α1 u ¯1 − α1 = f¨ ur i = 1, 2. (6.15) u2 − α2 u ¯2 − α2 In Worten: Gleichung (6.14) verlangt, dass das Verh¨altnis der durch die Verhandlung herbeigef¨ uhrten Verbesserungen gegen¨ uber dem Drohpunkt f¨ ur beide Spieler dem Verh¨altnis der maximal aus einer Verhandlung erzielbaren Verbesserungen bei jeweils v¨olliger Ausbeutung der anderen Verhandlungspartei(en) entspricht. Gleichung (6.15) stellt sicher, dass u∗i ≥ ui und

1 In

”splitting the pie” w¨ are dies nat¨ urlich ein Anteil von 1 f¨ ur beide Spieler.

6.4. KOOPERATIVE VERHANDLUNGEN

129

sich die L¨osung auf der effizienten Grenze befindet. Der Beitrag von Kalai und Smorodinsky bestand in dem Beweis, dass die durch (6.14) und (6.15) charakterisierte L¨osung der Monotonieeigenschaft sowie den ersten drei der zu Beginn von Abschnitt (6.6) genannten Axiomen Gen¨ uge tut. Es ist wichtig sich vor klarzumachen, dass dieses Kriterium genauso wie die Nash-Verhandlungsl¨osung nicht aus individuellen Optimalit¨atskalk¨ ulen abgeleitet ist. Somit werden im Grunde ”nur” arbitr¨are, wenngleich sehr plausible Forderungen an die zu ermittelnde Verhandlungsl¨osung verlangt. Die Kalai-Smorodinsky-L¨osung l¨asst sich grafisch jedenfalls in einem 2-Personen-Spiel sehr einfach darstellen. Man zeichnet einfach eine Gerade durch α und u ¯ und sucht dann den Schnittpunkt dieser Geraden mit der effizienten Grenze. Abbildung 6.10 demonstriert diese Methode f¨ ur die in Abbildung 6.9 auf der vorherigen Seite erl¨auterte Situation.

u1 u1

u B A

?

u2

u2

Abbildung 6.10: Die Kalai-Smorodinsky-L¨osung. Punkt A ist die Kalai-Smorodinsky-L¨osung f¨ ur beide Spiele. Damit vermeidet dieses Konzept die oben gezeigte ”unsch¨one” Eigenschaft der Nash-L¨osung. Ebenfalls instruktiv ist ein Blick zur¨ uck auf die Modellierung der Gl¨aubigerverhandlungen aus Abschnitt 6.4.2 auf Seite 126. Dort hatte ja ”gest¨ort”, dass die H¨ohe der offenen Forderungen f¨ ur die Verhandlungen keine Rolle spielte. Da diese aber den maximalen Verhandlungsgewinn bestimmen, werden sie in der Kalai-Smorodinsky-L¨osung mit einbezogen. Die maximal bei Ausbeutung des anderen ”verhandelbare” Forderung u ¯i , i = 1, 2 f¨ ur jeden einzelnen Gl¨aubiger i ist gegeben durch das Minimum aus der H¨ohe der offenen Forderungen und der H¨ohe der zur Verteilung anstehenden assets. In Abbildung 6.11 auf der n¨achsten Seite ist der Unterschied zwischen Nash- und KalaiSmorodinsky-L¨osung (Punkte KS und N) zu sehen. Es leuchtet ein, dass die Kalai-SmorodinskyL¨ osung f¨ ur identische R¨ uckzahlungsquoten sorgt, solange die H¨ohe der individuellen Forderungen unterhalb der Summe der assets bleibt. ¨ Es ist nicht m¨oglich, anhand theoretischer Uberlegungen eine Rangfolge zwischen den beiden L¨osungskonzepten von Nash bzw. Kalai-Smorodinsky zu etablieren. Der Unterschied besteht einfach darin, dass bei ersterem die Eigenschaft der Unabh¨angig der L¨osung von irrelevanten Alternativen gegeben ist, w¨ahrend bei letzterem die individuellen Auszahlungen eine monotone Funktion der insgesamt m¨oglichen Auszahlungen sind. Beides sind plausible Eigenschaften, die sich jedoch unter bestimmten Umst¨anden gegenseitig ausschließen k¨onnen, d.h. nicht gleichzeitig zu verwirklichen sind. Generell ist es denkbar, die beiden Konzepte auf den empirischen Pr¨ ufstand zu stellen, indem das Ergebnis konkreter Verhandlungen beobachtet (oder im Labor simuliert) werden. Als einschl¨agige Pionierarbeit auf diesem Gebiet ist hier Nydegger/Owen (1975) zu bezeichnen. Hier wurden 10 Mal jeweils 2 Verhandlungspartner einander gegen¨ ubergestellt und mit einer konkreten Verhandlungssituation konfrontiert.

130

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

u1 50 k€

u

u1 KS

N 45° u2

50 k€

u2

Abbildung 6.11: Nash- und Kalai-Smorodinsky-L¨osungen bei Gl¨aubigerverhandlungen

Das einfachste Beispiel f¨ ur eine solche Verhandlungssituation ist das ”splitting the pie”Spiel – in diesem Fall ging es um einen $. Hier kam in der Tat heraus, dass alle 20 Verhandlungspaare die h¨alftige Aufteilung vornahmen – was in diesem Fall sowohl das Nashals auch das Kalai-Smorodinsky-Programm prognostiziert h¨atten. Eine einfache Variante dieses Spiels verlangte zus¨atzlich, dass Spieler 1 h¨ochstens 60 Cent von dem zu teilenden $ erhalten darf. Die Nash-L¨osung dieser Situation ist nach wie vor die h¨alftige Aufteilung des $ – da ja nur irrelevante Alternativen (dass n¨amlich Spieler 1 mehr als 60 Cent erh¨alt) verboten werden. Die Kalai-Smorodinsky-L¨osung 6.14 verlangt u∗ −α 1 nun aber u1∗ −α12 = uu¯¯12 −α ur die Drohpunkte α1 = α2 = 0 gilt −α2 bzw. da in diesem Fall f¨ 2

u∗ 1 u∗ 2

60 = uu¯¯12 = 100 , da die maximal denkbare Auszahlung f¨ ur Spieler 1 nur noch 60 Cent betr¨agt, w¨ahrend sie f¨ ur Spieler 2 nat¨ urlich 1 $ = 100 Cent betr¨agt. Zusammen mit der Bedingung, dass beide Auszahlungen sich zu einem $ addieren m¨ ussen, d.h. u∗1 + u∗2 = 1 ∗ folgt daraus unmittelbar, dass Spieler 1 die Auszahlung u1 = 37, 5 Cent erhalten sollte und dementsprechend f¨ ur Spieler 2 eine Auszahlung von u∗2 = 62, 5 Cent resultiert. Die Spieler in der Versuchsreihe von Nydegger/Owen blieben jedoch durchweg bei der h¨alftigen Aufteilung – was ein klares Verdikt gegen die Kalai-Smorodinsky-L¨osung ist. In anderen Experimenten mit etwas anders gelagerten Verhandlungssituationen wurde jedoch auch ein anderes Resultat erzielt. Daher bleiben beide L¨osungskonzepte nach wie vor relevant und k¨onnen nebeneinander als jeweils sinnvolle – wenngleich nicht alternativlose – Prognose des Verhandlungsergebnisses Verwendung finden.

6.5 6.5.1

Anwendungen Lohnverhandlungen I: Verteilung von Renten in einem endlichen Spiel

Das hier zu analysierende Verhandlungsspiel wird von Dixit/Nalebuff (1997), ch. 11 beschrieben und ist eine sehr instruktive Anwendung des Prinzips der R¨ uckw¨artsinduktion. Die Situation ist folgende: Ein Ferienhotel r¨ ustet sich f¨ ur die Saison, die 101 Tage dauern m¨oge. Management und Personal sind aufeinander angewiesen, d.h. wenn sich beide nicht auf einen Lohn einigen, muss das Hotel geschlossen bleiben, k¨onnte aber auch im Extremfall erst am 101. Tag (f¨ ur einen Tag) er¨offnen, wenn f¨ ur diesen Tag eine Einigung erzielt wird, zuvor jedoch kein Ergebnis erreicht werden konnte. Nach Abzug aller sonstigen Kosten wirft der Hotelbetrieb jeden Tag einen Betrag von e 1000 ab, der im Prinzip zwischen Management und Belegschaft geteilt werden kann.1 Außen1 Dass

das am letzten Tag der Saison noch geht, wenn zuvor das Hotel die ganze Saison aufgrund der

6.5. ANWENDUNGEN

131

optionen haben weder das Management noch die Belegschaft, von Diskontierung wird hier abstrahiert. Abgesehen vom Lohn ist es der Belegschaft egal, ob sie arbeitet oder sich dabei langweilt, weiter auf eine Einigung zu warten. Am ersten Tag (aber so fr¨ uh am Morgen, dass man danach noch f¨ ur diesen Tag aufmachen kann) macht die Belegschaft (B) ein Angebot; das Management kann dieses akzeptieren, oder ablehnen. Wird das Angebot akzeptiert, kann die Saison losgehen. Falls nicht, macht M an Tag 2 ein Angebot, das nun B akzeptieren oder ablehnen kann, etc.. Diese Struktur ist in Abbildung 6.12 zu sehen, wobei s1 den in Periode 1 vorgeschlagenen Anteil an den t¨aglich erzielbaren Einnahmen in H¨ohe von e 1000 bezeichnet. Dieser Anteil w¨ urde bei Akzeptanz die ganze Saison u ¨ber angewandt werden. Relativ zur Analyse in Abschnitt 6.3.1 auf Seite 118 neu ist bei diesem Spiel, dass ein Betrag nicht einmalig ”auf dem Tisch” liegt, sondern jeden Tag neu anf¨allt, d.h. dass die insgesamt zur Verteilung anstehende Summe mit jedem Tag, den man sich fr¨ uher einigt, um e 1000 steigt. Man kann dies jedoch als (wenngleich extreme Form) Diskontierung verstehen: Je sp¨ater man sich einigt, desto geringer ist der zu verteilende Kooperationsgewinn.

Abbildung 6.12: Lohnverhandlungen zwischen Belegschaft und Management Auf welchen Lohn (pro Tag und Gesamtbelegschaft) wird man sich wann einigen? Die Antwort darauf gibt wie immer in solchen Situationen die Methode der R¨ uckw¨artsinduktion. Periode 101: Hier macht annahmegem¨aß B den Vorschlag. Es geht (noch) um e 1000 in dieser Periode, danach ist das Spiel f¨ ur alle Beteiligten zu Ende. M wird also jeden Vorschlag akzeptieren, der zu nicht-negativen Auszahlungen f¨ uhrt, daher ist s∗101 = 1,

(6.16)

d.h. B kann den gesamten an diesem Tag erzielbaren Erl¨os f¨ ur sich beanspruchen, M verliert nichts dabei, auf den Vorschlag einzutreten. B kann durch dieses Angebot e 1000 f¨ ur sich sicherstellen. Periode 100: Nun kann M ein Angebot machen. M weiß dabei, dass B f¨ ur sich e 1000 sicherstellen kann. Daher wird B kein Angebot akzeptieren, bei dem sie schlechter wegkommt. Umgekehrt kann B aber auch nichts durchsetzen, was einen h¨oheren Betrag abwirft. Daher wird M folgendes Angebot machen: s∗100 = 0, 5 (6.17) Dieses Angebot stellt sicher, dass sowohl M als auch B an den letzten beiden Tagen jeweils insgesamt e 1000 erhalten. Periode 99: In dieser Periode realisiert B, dass M f¨ ur sich e 1000 durchsetzen kann. Daher kann von den ab Periode 99 m¨oglichen Gesamteinnahmen in H¨ohe von e 3000 die fehlenden Einigung lahmgelegt wurde, erscheint nicht besonders realistisch, wird hier aber der Einfachheit halber angenommen. Die beschriebene L¨ osungsprozedur k¨ onnte durchaus mit einem im Zeitablauf kleiner werdenden Erl¨ os pro Tag umgehen.

132

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

Belegschaft e 2000 f¨ ur sich beanspruchen, was erreicht wird durch ein Angebot s∗99 =

2 . 3

(6.18)

Dieser Vorschlag bel¨asst M die ab Periode 100 durchsetzbare Auszahlung von e 1000, bringt aber B eine Auszahlung von e 2000. Periode 98: M ist sich nun bewusst, dass B e 2000 durchsetzen kann und bietet daher wieder s∗98 = 0, 5 (6.19) an, was eine Gesamtauszahlung in H¨ohe von e 2000 jeweils f¨ ur B und f¨ ur M impliziert. Periode 97: B weiß, dass M e 2000 f¨ ur sich sicherstellen kann, daher wird es genau e 3000 der nun zu verteilenden e 5000 f¨ ur sich beanspruchen, was einem Vorschlag f¨ ur eine Aufteilung von 3 s∗97 = (6.20) 5 entspricht. Das Prinzip sollte jetzt klar geworden sein: In jeder geradzahligen Periode wird M eine jeweils h¨alftige Aufteilung vorschlagen, in jeder ungeradzahligen Periode wird B einen Anteil vorschlagen, der sich von oben asymptotisch einer h¨alftigen Aufteilung ann¨ahert. Die Asymmetrie beruht auf der Tatsache, dass B annahmegem¨aß das Vorschlagsrecht in der letzten Periode hat. Je mehr Perioden das Spiel hat, desto geringer wird dieser Vorteil, d.h. f¨ ur ein zwar endliches, aber sehr lang dauerndes Spiel wird man sich im Limit auf eine h¨alftige Aufteilung des Kooperationsgewinns einigen. Nat¨ urlich kann man die Rollen von B und M auch vertauschen, wenn man M das Vorschlagsrecht in der letzten Periode gibt, da weitere Asymmetrien in der Situation nicht angelegt sind. Ein Zur¨ uckrechnen (f¨ ur die Situation, dass B das Vorschlagsrecht in der letzten Periode 101 und in allen ungeradzahligen Perioden zuvor hat) bis zur Periode 1 f¨ uhrt zu der teilspielperfekten Forderung der Belegschaft in H¨ohe von 101 ≈ 0, 505. (6.21) 51 Auf diese Forderung wird das Management eintreten, womit die Saison gerettet ist und die zu verteilenden Einnahmen zu 50,5% an die Belegschaft und zu 49,5% an das Management gehen. Abbildung 6.13 auf der n¨achsten Seite zeigt das zeitliche Profil der teilspielperfekten Forderungen in allen Perioden t ∈ [1, 101]. Man sieht hier sehr gut, dass eine deutliche Abweichung von der h¨alftigen Aufteilung des Kooperationsgewinns erst weit am Ende des Spiels zu einer teilspielperfekten L¨osung wird. Erst dann f¨ uhrt die Macht, die aus dem letzten Vorschlagsrecht erw¨achst, zu einer deutlichen Asymmetrie. s∗97 =

6.5.2

Lohnverhandlungen II: Die Nash-L¨ osung

Eine g¨anzlich andere Art der Verhandlung u ¨ber L¨ohne bietet das sog. Zeuthen-Nash-JackmanModell aus der Arbeitsmarkttheorie1 Hier verhandeln zun¨achst Gewerkschaften G mit Unternehmen U u ¨ber den zu bezahlenden Reallohn.2 Alle Beteiligten wissen dabei, dass die 1 Friedrich Zeuthen ist ein Arbeitsmarkttheoretiker, der bereits in den 1930er u ¨ ber Lohnverhandlungen nachdachte, dem aber nat¨ urlich das analytische Instrumentarium fehlte, Nash lieferte das L¨ osungskonzept und Richard Jackman f¨ uhrte das folgende Modell (bzw. eine allgemeinere Version davon) als Hauptvehikel zur Beschreibung und Analyse der europ¨ aischen Arbeitsmarktsituation in die Literatur ein. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung findet sich bei Landmann/Jerger (1999, Kap. 5). 2 Nat¨ urlich werden in Lohnverhandlungen streng genommen nur Nominall¨ ohne gesetzt. Die hier getroffene Vereinfachung unterstellt zweierlei: Zum einen hat die Unternehmung keine Preissetzungsmacht auf ihrem Absatzmarkt und zum anderen wirken die L¨ ohne in dem betrachteten (kleinen) Unternehmen nicht auf das

6.5. ANWENDUNGEN

133

1

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5 1

11

21

31

41

51

61

71

81

91

101

Abbildung 6.13: Abwechselnde teilspielperfekte Forderungen in den Lohnverhandlungen zwischen Management und Belegschaft.

Unternehmung nach erfolgreichen Lohnverhandlungen nur so viele Besch¨aftigte einstellt, wie sie f¨ ur richtig (also gewinnmaximal) h¨alt.1 Der Ablauf dieses Spiels ist in Abbildung 6.14 zusammengefasst.

Zeit G und U verhandeln über (Real-) Lohn W

U entscheidet unilateral über Beschäftigung, gegeben den Lohn W

Abbildung 6.14: Timing im Zeuthen-Nash-Jackman-Modell zwischen Gewerkschaft (G) und Unternehmen (U). Zun¨achst muss untersucht werden, wie sich die Unternehmung auf der zweiten Stufe verh¨alt. Da sie ihren Output Y mit Hilfe des Faktors Arbeit N produziert, den sie f¨ ur einen Reallohn von W pro Einheit2 besch¨aftigen kann, lautet das Gewinnmaximierungsproblem wie folgt: max Π = Y − W N s.t. Y = F (N ) , N

(6.22)

wobei Y = F (N ) die Produktionsfunktion ist. F¨ ur die folgende Analyse wird dabei der Einfachheit halber von einer einfachen Cobb-Douglas-Produktionsfunktion mit fixem (und auf 1 normierten) Kapitalstock ausgegangen: Y = F (N ) = N η mit 0 < η < 1

(6.23)

aggregierte Preisniveau. Durch diesen ”Trick” sind sowohl Produzenten- als auch Konsumentenpreise fix und die Verhandlungen u ¨ ber Nominall¨ ohne sind gleichzeitig auch Verhandlungen u ¨ ber Reall¨ ohne. Eine Analyse der makro¨ okonomischen Konsequenzen von Lohnsetzungen m¨ usste hier sorgf¨ altiger modellieren. 1 Aufgrund 2 Das

dieser Eigenschaft spricht man in der Literatur von sog. ”right-to-manage”-Modellen.

Outputgut Y ist das num´ eraire, d.h. W gibt an, wie viele Einheiten Y man f¨ ur eine Einheit N bekommt.

134

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN Die Bedingung erster Ordnung f¨ ur den optimalen Arbeitseinsatz liefert ∂Π ∂Y = −W =0 ⇔ ∂N ∂N ∂Y W = , ∂N

(6.24)

was die denkbar einfachste Form einer Arbeitsnachfragekurve ist. Es wird gerade soviel Arbeit eingestellt, dass die Grenzproduktivit¨at dem Reallohn entspricht. F¨ ur sp¨ateren Gebrauch wird schon hier festgehalten, dass die Arbeitsnachfrage (6.24) bei G¨ ultigkeit der η−1 Produktionsfunktion (6.23) charakterisiert ist durch W = ηN bzw. aufgel¨ost nach N : µ N=

W η

1 ¶ η−1

.

(6.25)

Damit ist die Elastizit¨at der Besch¨aftigung bei Variation des Reallohns gegeben durch εN |W = (η − 1)

−1

.

(6.26)

Die Unternehmer gehen in die Lohnverhandlungen mit dem Ziel, einen m¨oglichst hohen Gewinn zu erzielen, wobei das Verhalten (6.24), d.h. die Arbeitsnachfrage als Funktion des auszuhandelnden Lohnes antizipiert wird. Eine Außenoption existiert nicht, d.h. wenn keine Einigung zustande kommt, so findet keine Produktion statt. Die Gewinne der Unternehmung sind dann gleich Null.1 Damit ist der ”Unternehmenspart” des Nash-Maximanden gegeben durch Π = Y − WN − 0 } = Y − WN | {z | {z } Zielfunktion Außenoption

(6.27)

F¨ ur die Gewerkschaft sei unterstellt, dass sie die Einkommenssumme ihrer Klientel (Gewerkschaftsmitglieder) maximieren m¨ochte. Dabei erhalten die besch¨aftigten Gewerkschaftsmitglieder den Reallohn W , die Arbeitslosen erhalten eine staatliche Transferleistung in H¨ohe von A (f¨ ur Außenoption). Wenn weiterhin die Zahl der Gewerkschaftsmitglieder auf 1 normiert wird, so lautet der ”Gewerkschaftspart” des Nash-Maximanden wie folgt: uG = N W + (1 − N ) A − | 1 ·{zA } = N (W − A) | {z } Außenoption Zielfunktion

(6.28)

Somit ist der Nash-Maximand gegeben durch ˜ = Π · uG = [Y − W N ] · [N (W − A)] ⇔ Ω ˜ = ln (Y − W N ) + ln (N (W − A)) . Ω ≡ ln Ω

(6.29)

Die Optimierung u ¨ber W f¨ uhrt zu µ ¶ ∂N N+ (W − A) = 0. ∂W (6.30) Dieser Ausdruck sieht zun¨achst etwas ”h¨asslich” aus, ist aber relativ leicht (aber nicht ohne Bleistift und Papier) in eine ”h¨ ubsche” Form zu bringen. Zun¨achst heben sich aufgrund 1 ∂Ω = ∂W Y − WN

µ

∂Y ∂N ∂N −W −N ∂N ∂W ∂W

¶

1 + N (W − A)

1 Dies ist eine ”unschuldige” Normierung, da man auch einen negativen Gewinn beispielsweise aufgrund von bereits vor den Lohnverhandlungen eingegangenen Verpflichtungen zur Anmietung von Produktionsanlagen mit einbeziehen k¨ onnte.

6.5. ANWENDUNGEN

135

von (6.24) die beiden ersten Terme in der Klammer des ersten Summanden gegenseitig auf. Dies f¨ uhrt zu µ ¶ −N 1 ∂N + N+ (W − A) = 0. (6.31) Y − WN N (W − A) ∂W Betrachten wir den ersten Term etwas genauer. Dieser kann (durch Erweitern mit N −1 ) auch geschrieben werden als Y N

−1 −1 −1 ³ ¶ ´ = =µ −1 ∂Y Y ∂N −W W εY |N − 1 −W N ∂Y ∂N | {z } | {z } W

ε−1 Y |N

=

³ W

−1 1−εY |N εY |N

´=

−ε −η ¡ Y |N ¢ = W (1 − η) W 1 − εY |N

(6.32)

wobei 0 < εY |N = η < 1 die Elastizit¨at des Outputs bei Variation der Einsatzmenge des Faktors Arbeit angibt. Dass diese Elastizit¨at dem Parameter η entspricht, ergibt sich direkt aus (6.23). Der zweite Summand in (6.31) kann ebenfalls leicht etwas vereinfacht werden: µ ¶ 1 ∂N 1 ∂N /∂W N+ (W − A) = + = N (W − A) ∂W (W − A) N 1 ∂N W 1 1 1 1 1 1 + = + εN |W = + , (W − A) ∂W N W (W − A) W (W − A) η − 1 W

(6.33)

wobei im letzten Schritt (6.26) Verwendung findet. Zusammenfassen, d.h. Einsetzen von (6.32) und (6.33) in (6.31) liefert −

η 1 1 1 + + = 0. W (1 − η) (W − A) η − 1 W

(6.34)

Dies l¨asst sich leicht nach W aufl¨osen, wenn man die drei Summanden in 6.34 mit W (1 − η) (W − A) durchmultipliziert und die Terme in W und A zusammenfasst. Dies f¨ uhrt zu der Schlussgleichung W =A·

1+η . 2η

(6.35)

Damit erhalten wir das Ergebnis, dass die Lohnverhandlungen zu einem Aufschlag auf die Außenoption der Gewerkschaftsmitglieder f¨ uhren, wobei der Aufschlagsfaktor produktionstechnisch bedingt ist.1 Die H¨ohe des Aufschlagsfaktors l¨asst sich dabei leicht A verstehen. Die Quotientenregel liefert ∂W ∂η = − 2η 2 < 0, d.h. der Lohn ist umso kleiner, je gr¨oßer die Produktionselastizit¨at des Faktors Arbeit ist. Dies ist deswegen der Fall, weil ein h¨oherer Wert von η einen (betragsm¨aßig) h¨oheren Wert der Elastizit¨at der Arbeitsnachfra−1 ge εN |W = (η − 1) mit sich bringt, d.h. zu einer flacheren Arbeitsnachfragefunktion im W −N -Quadranten f¨ uhrt. Dies wiederum impliziert einen hohen marginalen Besch¨aftigungsverlust f¨ ur eine gegebene Lohnerh¨ohung. Die Gewerkschaft wird sich daher c.p. mit einem niedrigeren Lohn begn¨ ugen. 1 Wenn Preissetzungsmacht des Unternehmens auf dem Absatzmarkt mit in die Betrachtung einbezogen wird, l¨ asst sich zeigen, dass diese ebenfalls auf den Lohn mit einwirkt.

136

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

6.5.3

Wie funktionieren Ehen und WG’s? Die Perspektive der kooperativen Haushaltstheorie

Die Haushaltstheorie oder Konsumtheorie zeigt, wie eine homogene organisatorische Einheit, die f¨ ur gew¨ohnlich als Haushalt bezeichnet wird, optimale Entscheidungen trifft. Dabei wird so getan, als ob Unterschiede zwischen den Mitgliedern eines Haushalts keine Rolle spielen. Typischerweise zeigt die Lebenserfahrung, dass diese Beschreibung jedenfalls nicht vollkommen zutreffend ist; vielmehr spielen Interessenkongruenzen aber auch Interessenkonflikte innerhalb eines Haushalts eine bedeutsame Rolle. Daher kann die Verhandlungstheorie auch dazu benutzt werden, einen genaueren Blick auf das Innenleben von Haushalten zu werfen – ¨ oder wie in der Uberschrift zu diesem Abschnitt anklingt: einen Blick hinter die Kulissen von Ehen und Wohngemeinschaften zu riskieren. Dabei sind immer zwei Schritte bedeutsam: • Wie kommt die Entscheidung f¨ ur oder gegen eine gemeinsame Haushaltsf¨ uhrung zustande? • Wenn ein gemeinsamer Haushalt gegr¨ undet ist: Wie wird in diesem Haushalt u ¨ber Einkommensentstehung und Einkommensverwendung entschieden? Beide Schritte h¨angen nat¨ urlich eng miteinander zusammen, wie sich aus dem folgenden Modell erhellen wird. In diesem Modell gehen wir aus von zwei Individuen (mit den phantasielosen Namen A und B), die jeweils Arbeitseinkommen erzielen k¨onnen und dieses f¨ ur ein gemeinschaftlich nutzbares Gut x sowie ein nur individuell nutzbares Gut y ausgeben k¨onnen. Unter x kann man sich dabei Dinge wie Wohnung, Strom, Waschmaschine etc. vorstellen, unter y Kleidung, Essen, Eintrittskarten f¨ ur Fußballspiele etc.. Das Gut y wird hier als num´eraire benutzt, d.h. der Preis dieses Gutes ist auf den Wert 1 normiert. Gut x habe einen Preis von p. Die beiden Individuen k¨onnen ihre Arbeitskraft zu den Lohns¨atzen wi , i = A, Banbieten. Nat¨ urlich kann die Lohnh¨ohe individuell verschieden sein. Die Nutzenfunktionen von A und B sind wie folgt gegeben ui = ui (xi , yi , Li ) ,

(6.36)

wobei diese Nutzenfunktionen keineswegs identisch sein m¨ ussen – und es im Normalfall auch nicht sind. ¨ Uberlegen wir zun¨achst, wie sich die beiden Individuen ohne einen gemeinsamen Haushalt verhalten w¨ urden. Das Problem besteht darin, (6.36) unter der Nebenbedingung, dass die Einnahmen (in dem Modell annahmegem¨aß nur aus Arbeitseinkommen) die Ausgaben (f¨ ur x und y) nicht unterschreiten, zu maximieren. Die Nebenbedingungen (das sind einfach die individuellen Budgetrestriktionen) sind dabei wie folgt gegeben: p · xi + yi ≤ wi · Li , i = A, B.

(6.37)

Die Lagrangefunktion dieses Problems ist Λi = ui (xi , yi , Li ) + λi (p · xi + yi − wi · Li ) .

(6.38)

Diese ist u ¨ber die Handlungsvariablen xi , yi und Li zu optimieren. Die aus dieser Optimierung resultierenden Bedingungen erster Ordnung sind wie folgt gegeben: ∂ui ∂Λi = +λ·p=0 ∂xi ∂xi

(6.39)

∂ui ∂Λi = +λ=0 ∂yi ∂yi

(6.40)

∂ui ∂Λi = − λ · wi = 0 ∂Li ∂Li

(6.41)

6.5. ANWENDUNGEN

137

i Die vierte Bedingung erster Ordnung, d.h. ∂Λ ∂λi = 0 stellt die Einhaltung der Budgetrestriktion (6.37) sicher. Diese Gleichung sowie die drei Gleichungen (6.39) bis (6.41) determinieren die Optimalwerte von xi , yi und Li sowie die Schattenvariable (Lagrangemultiplikator) λi . Diese Optimalwerte bei jeweils individueller Maximierung seien bezeichnet mit x ¯si ,¯ yis s ¯ . Nat¨ und L urlich h¨angen diese Optimalwerte vom jeweils relevanten Lohnsatz sowie dem i Relativpreis der beiden G¨ uter ab, d.h. es gilt z.B. x ¯si = x ¯si (wi , p). Damit werden die Nuts zenniveaus u ¯i erreicht. Das Superscript s steht f¨ ur ”separat”. Wie entscheidet sich nun, ob die beiden einen gemeinsamen Haushalt gr¨ unden? Ganz einfach: Da (bzw. genauer: falls) die Entscheidung f¨ ur beide freiwillig ist, m¨ ussen beide einen positiven Anreiz daf¨ ur haben. Das jeweils im Haushalt erzielbare Nutzenniveau muss also h¨oher sein als ohne einen gemeinsamen Haushalt. Bezeichnen wir die – nat¨ urlich erst noch zu berechnenden – Optimalwerte der individuellen Nutzenniveaus bei gemeinsamer Haushaltsf¨ uhrung mit u ¯gi , so m¨ ussen also die beiden Gleichungen

u ¯gi ≥ u ¯si , i = A, B

(6.42)

erf¨ ullt sein. Man kann (6.42) als Partizipationsbedingungen am gemeinsamen Haushalt interpretieren. Damit w¨are die erste der beiden eingangs genannten Fragen beantwortet – wenn denn klar w¨are, wie hoch der in einem gemeinsamen Haushalt realisierbare Nutzen f¨ ur die beiden ist. Die zweite der beiden Fragen ist daher f¨ ur die Beantwortung der ersten Frage essentiell. Anders gesagt: Ob es zu dem gemeinsamen Haushalt kommt, h¨angt davon ab, welche Entscheidungen im gemeinsamen Haushalt getroffen werden. Und dieses kann als Verhandlungsproblem formalisiert werden. Bevor dieses Verhandlungsproblem aufgeschrieben und gel¨ost wird, noch zwei Bemerkungen zur Nutzenfunktion 6.36 bzw. den Modifikationen, die f¨ ur die Abbildung eines gemeinsamen Haushalts vorzunehmen sind. • Da das Gut x annahmegem¨aß gemeinsam genutzt wird, ist eine Indexierung in einem gemeinsamen Haushalt hinf¨allig. • Bei separater Optimierung ist es v¨ollig ausreichend, die eigenen Wahlhandlungsvariablen in die Nutzenfunktion aufzunehmen. Allerdings kann es sein, dass in einem gemeinsamen Haushalt auch ein direkter Einfluss der ”individuellen Variablen” des einen auf die Nutzenposition des andern existiert, d.h. die Nutzenfunktionen wie folgt zu spezifizieren sind:1 ui = ui (x, yi , Li , y−i , L−i ) , i = A, B

(6.43)

Die gemeinsame Budgetrestriktion des Haushalts ist nun gegeben durch p · x + yA + yB ≤ wA · LA + wB · LB

(6.44)

Um die Nash-Verhandlungsl¨ osung zu ermitteln, braucht es nun noch eine sinnvolle Spezifikation der individuellen Drohpunkte. Hier liegt es auf der Hand, diejenigen Nutzenniveaus heranzuziehen, die bei einer separaten Optimierung erzielbar sind, d.h. die bereits charakterisierten Niveaus u ¯si . Damit lautet das Nash-Programm f¨ ur den gemeinsamen Haushalt max

x,yA ,yB ,LA ,LB 1 Es

N = (uA − u ¯sA ) (uB − u ¯sB ) + λ · (p · x + yA + yB − wA · LA − wB · LB ) (6.45)

ist n¨ utzlich, sich u ¨ bungshalber einige konkrete Beispiele f¨ ur die beiden letzten Argumente vorzustellen.

138

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN Die Bedingungen erster Ordnung dieses Problems sind gegeben durch ∂N ∂uA ∂uB = (uB − u ¯sB ) + (uA − u ¯sA ) + λ · p = 0 ∂x ∂x ∂x

(6.46)

∂N ∂uA ∂uB = (uB − u ¯sB ) + (uA − u ¯sA ) + λ = 0 ∂yA ∂yA ∂yA

(6.47)

∂uB ∂uA ∂N = (uB − u ¯sB ) + (uA − u ¯sA ) + λ = 0 ∂yB ∂yB ∂yB

(6.48)

∂uA ∂uB ∂N = (uB − u ¯sB ) + (uA − u ¯sA ) − λ · wA = 0 ∂LA ∂LA ∂LA

(6.49)

∂N ∂uA ∂uB = (uB − u ¯sB ) + (uA − u ¯sA ) − λ · wB = 0 (6.50) ∂LB ∂LB ∂LB Diese f¨ unf Gleichungen determinieren zusammen mit der Budgetbedingung (6.44) in g g ¯g Gleichungsform die f¨ unf Entscheidungsvariablen des Haushalts, die mit x ¯g , y¯A , y¯B , LA und g ¯ bezeichnet werden sollen – und außerdem wie u L ¨ blich die Schattenvariable λ. Einsetzen B dieser Optimalwerte in die beiden Nutzenfunktionen (6.43) liefern die optimierten individuellen Nutzenniveaus u ¯gi in dem gemeinsamen Haushalt als Funktion der beiden Lohns¨atze und des Preises p. Damit lassen sich auch die Partizipationsbedingungen (6.42) evaluieren. Aufgrund der durchaus nicht geringen Komplexit¨at soll hier ein konkretes, d.h. mit bestimmten Nutzenfunktionen ausspezifiziertes Beispiel nicht gerechnet werden. Allerdings lassen sich auch auf der hier benutzten Abstraktionsebene einige allgemeine Lehren aus der Analyse dieses Abschnitts ziehen: • Was in einem gemeinsamen Haushalt passiert, h¨angt (unter anderem) davon ab, was zu erwarten ist, wenn der Haushalt nicht existiert. • Je besser der Drohpunkt eines Haushaltsmitglieds, desto eher kann dieses seine Vorstellungen durchsetzen. Dies ist an den Bedingungen (6.46) bis (6.50) unmittelbar ablesbar: Der (marginale) Nutzeneffekt einer Entscheidung f¨ ur i wird immer gewichtet mit dem Abstand zwischen Nutzenniveau und Drohpunkt des anderen, d.h. mit der Differenz u−i − u ¯s−i . Je h¨oher der Drohpunkt von −i, desto geringer also das Gewicht, mit dem die Konsequenzen einer Entscheidung f¨ ur i in das Kalk¨ ul einfließen. • Eine entscheidende Komponente der individuellen Drohpunkte ist der jeweils erzielbare Lohnsatz. Je h¨oher dieser im Vergleich zum Lohnsatz des anderen ist, desto besser der Drohpunkt und damit das Ergebnis in einem gemeinsamen Haushalt. Diese Erkenntnis aus der kooperativen Spieltheorie mag mit erkl¨aren, warum sich zumeist WG’s und Ehepaare bilden, in denen die Partner ein ¨ahnliches Einkommenspotential haben. • Nat¨ urlich spielen genuine Unterschiede in den Pr¨aferenzen der beiden Hautshaltmitglieder eine wichtige Rolle f¨ ur die Entscheidungen in diesem Haushalt. Wenn beispielsweise A eine sehr hohe Abneigung gegen (bezahltes) Arbeitsangebot hat und diese ∂uB ∂uA < ∂L < 0, wird der Haushalt auch c.p. Eigenschaft nicht mit B teilt, d.h. f¨ ur ∂L A B das Arbeitsangebot eher durch B entfalten lassen. Das hier vorgestellte Grundmodell kann vielfach erweitert werden. So w¨are es beispielsweise m¨oglich, Nicht-Arbeitseinkommen zu ber¨ ucksichtigen. Ebenso kann man das gemeinsam konsumierbare Gut x so modellieren, dass dies nicht auf dem Markt (zu einem Preis von p) gekauft werden kann, sondern im Haushalt erstellt werden muss, aber Arbeitszeit kostet. Damit w¨aren (nicht externalisierbare) Haushaltsarbeiten mit in die Betrachtung aufgenommen – und selbstverst¨andlich lassen sich auch unterschiedliche absolute und/oder komparative Vorteile bei der Erzielung von Einkommen auf dem Arbeitsmarkt und der Produktivit¨at im Haushalt abbilden.

6.5. ANWENDUNGEN

139

Am Ende dieses Abschnitts soll noch kurz darauf eingegangen werden, wie die KalaiSmorodinsky-L¨osung des Haushaltsproblems zu ermitteln w¨are. Dazu rufen wir uns aus Abschnitt 6.4.3 in Erinnerung, dass f¨ ur diese L¨osung der Vektor der bei v¨olliger Ausbeutung des anderen erzielbaren Nutzenniveaus ben¨otigt wird. Dieser Vektor ist gegeben durch die L¨ osung der beiden Probleme max

x,yA ,yB ,LA ,LB

ui + λ · (p · x + yA + yB − wA · LA − wB · LB ) , i = A, B,

(6.51)

in denen jeweils einer der beiden Partner die eigene Position optimiert, wobei er u ¨ber den anderen nach Belieben verf¨ ugt. Die Budgetrestriktion des Haushalts ist nach wie vor durch 6.44 gegeben. Die Drohpunkte ergeben sich wie bei der Nash-L¨osung durch die Nutzenniveaus bei individueller Optimierung. Damit k¨onnen die Kriterien 6.14 und 6.15 angewandt werden. Aufgrund der algebraischen Komplexit¨at sei auch hier auf ein ausspezifiziertes Beispiel verzichtet.

140

KAPITEL 6. VERHANDLUNGEN

Kapitel 7

Auktionen 7.1

Lernziele

Auktionen sind eine sehr alte Form der Zusammenf¨ uhrung von Angebot und Nachfrage mit einem praktisch unersch¨opflichen Anwendungsbereich: Sklaven, Kunstwerke, Konkursmassen, Haushaltsaufl¨osungen wurden und werden in Auktionen verkauft. Selbst das gesamte r¨omische Kaiserreich wurde im Jahr 193 n. Chr. von einem gewissen Senator Didius Julianus ersteigert. Anbieter waren die Pr¨atorianer (kaiserliche Garde), die zuvor schlicht den amtierenden Kaiser Pertinax ermordeten und dann bei 6250 Drachmen (= 25000 Sesterzen) pro Pr¨atorianer den Zuschlag f¨ ur das Kaiserreich erteilten.1 Didius Julianus ereilte aber eine fr¨ uhe Form des ”winner’s curse”: 66 Tage nach Abgabe seines Angebots wurde er seinerseits erschlagen. Ein entscheidendes Merkmal von Auktionen besteht darin, dass der Verk¨aufer die Bewertungen und damit Zahlungsbereitschaften des in Rede stehenden Guts durch den oder die potentielle(n) K¨aufer nicht kennt. W¨ urde er n¨amlich diese Bewertungen kennen, so k¨onnte der Verk¨aufer das Gut einfach dem K¨aufer mit der h¨ochsten Zahlungsbereitschaft zu genau diesem Preis anbieten. Eine Auktion ist also ein m¨oglicher Mechanismus f¨ ur einen Verk¨aufer, etwas u ¨ber die Zahlungsbereitschaften der potentiellen K¨aufer zu erfahren. Moderne Auktionen umfassen so unterschiedliche Dinge wie • die Platzierung von Staats- und anderen Anleihen auf Finanzm¨arkten; • die Allokation von Mobilfunklizenzen; • die Privatisierung von Staatseigentum – in sehr großem Umfang in den osteurop¨aischen L¨andern nach dem Fall des Eisernen Vorhangs; • die Vergabe ¨offentlicher Auftr¨age2 ; urfrechten; • die Vergabe von Bohr- und Sch¨ • die Allokation von Umweltverschmutzungsrechten; • und auch aufgrund geringer werdender Transaktionskosten auch den Kauf bzw. Verkauf relativ geringwertiger G¨ uter zwischen Privatkunden – beispielsweise u ¨ber Ebay. 1 Dies entspricht in heutiger Kaufkraft einer Summe von etwa 100.000 US-$. Bei einer St¨ arke der Pr¨ atorianergarde von ca. 10.000 Mann summierte sich der Gesamtbetrag f¨ ur das R¨ omische Reich also auf rund eine Milliarde US-$. 2 Hier

erh¨ alt der Anbieter den Zuschlag, der zum niedrigsten Preis eine bestimmte Leistung durchf¨ uhrt.

141

142

KAPITEL 7. AUKTIONEN

Durch die M¨oglichkeit elektronischer Auktionen hat sich das Spektrum der Einsatzm¨oglichkeiten von Auktionen dramatisch erweitert. Selbst modernes Rechnerdesign greift auf Auktionsmechanismen zur¨ uck, indem konkurrierenden Verwendungen von Prozessorkapazit¨at ein Wert beigelegt wird. Diejenige Verwendung mit der h¨ochsten ”Zahlungsbereitschaft” wird dann als erstes durchgef¨ uhrt – was letztlich einen optimalen Umgang mit Flaschenh¨alsen der Prozessorkapazit¨at und damit eine optimierte Rechnerleistung erm¨oglicht. Gerade bei Rechnern, die parallel an verschiedenen Aufgabenteilen, die miteinander zusammen h¨angen, arbeiten, leuchtet die Verwendung einer solchen ”internen Auktion” unmittelbar ein. Auktionen sind einer spieltheoretischen Analyse zug¨anglich, weil es sich um eine Situation mit strategischer Interaktion zwischen Anbieter und ggf. mehreren Nachfragern handelt. Auch die Interaktion verschiedener Bieter untereinander kann strategische Elemente beinhalten. Da zudem den Beteiligten wichtige Informationen fehlen (wie oben bereits gesagt, fehlt dem Anbieter immer die Information u ¨ber die Bewertung des Auktionsgegenstands durch die Bieter) sind Auktionen letztlich nichts anderes als Spiele mit unvollkommener Information. Die Interdependenz zwischen dem Verhalten der an einer Auktion beteiligten Akteure kommt vor allem darin Ausdruck, dass das Gebot eines Nachfragers abh¨angig vom Verhalten der anderen Nachfrager ist, da ja auf konkurrierende Gebote reagiert werden muss ¨ – entweder mit Uberbieten oder mit R¨ uckzug. Dabei kann es sich um dynamische oder statische Spiele handeln, je nachdem, ob man u ¨ber mehrere (beliebig viele?) Runden mitsteigern oder aber nur ein einziges Angebot abgeben kann. Die systematische spieltheoretische Analyse von Auktionen begann mit der Arbeit von ¨ William Vickrey (1961).1 Einen breiten, jedoch sehr anspruchsvollen Uberblick u ¨ber die inzwischen sehr große Literatur zu Auktionen bietet das Buch von Krishna (2002). Abschnitt 7.2 auf der n¨achsten Seite befasst sich mit einigen grundlegenden Begriffen der Auktionstheorie, insb. mit vier wichtigen Grundformen von Auktionen. In Abschnitt 7.3 auf Seite 147 wird dann kurz dargestellt, inwiefern bzw. unter welchen Umst¨anden die Auktionen zu gleichen bzw. unterschiedlichen Ergebnissen f¨ uhren, d.h. es geht um die ¨ Aquivalenzeigenschaften unterschiedlicher Auktionsformen. Abschnitt 7.4 auf Seite 148 widmet sich einer sehr bekannten und instruktiven auktionstheoretischen Anomalie, dem ”winner’s curse”. Bis zu diesem Punkt wird (wenigstens implizit) davon ausgegangen, dass jeweils nur ein Objekt versteigert wird. Allerdings geht es in Auktionen gar nicht so selten auch darum, dass mehrere Objekte gleichzeitig versteigert werden – sei es als fixe Pakete oder auch in B¨ undeln, die ex ante nicht ”fertig gesch¨ urt” sind. Diese Situation einer solchen ”multi-object auction” ist theoretisch sehr interessant, weil die Bewertungen einzelner Gegenst¨ande in einer solchen Auktion typischerweise eine Funktion der Verteilung aller Gegenst¨ande ist.2 Dieser Umstand verkompliziert die Analyse der strategischen Interaktion zwischen Verk¨aufer und K¨aufern bzw. auch zwischen verschiedenen potentiellen K¨aufern ganz erheblich. Diese Situation ist aber nicht nur theoretisch spannend, sondern auch empirisch interessant. Bei den in den letzten Jahren spektakul¨arsten Versteigerungen wurden die Rechte an bestimmten Frequenzspektren f¨ ur die mobile Kommunikation mit dem UMTS-Standard verkauft. Da es hierbei um die simultane Versteigerung mehrerer Frequenzpakete ging, waren dies typische Beispiele f¨ ur multi-object auctions. Abschnitt 7.5 auf Seite 151 befasst sich mit den wichtigsten theoretischen Aspekten, aber auch mit einer kurzen Zusammenfassung der wichtigsten Aspekte der UMTS-Auktionen.

1 Im Jahr 1996 wurde William Vickrey f¨ ¨ ur diese Arbeiten der Nobelpreis f¨ ur Okonomie (zusammen mit James Mirrlees) zuerkannt. 2 Von multi-object auctions sind zu unterscheiden multi-unit auctions, bei denen es ”nur” darum geht, mehr als eine Mengeneinheit des gleichen Guts zu versteigern.

7.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE

7.2

143

Grundlegende Begriffe

7.2.1

Wert und Bewertung einer Auktion

Ein f¨ ur jede Auktion zentrales Merkmal ist die Bewertung des Auktionsgegenstands durch die verschiedenen Bieter.1 Dabei ist zun¨achst zwischen dem Wert eines Gegenstandes f¨ ur einen Bieter und der Sch¨ atzung dieses oft nicht genau bekannten Wertes oder - um ein k¨ urzeres Wort zu haben - der Bewertung zu unterscheiden. Gibt es hier einen Unterschied, so liegt offensichtlich eine Bewertungsunsicherheit durch den Bieter vor – was der Normalfall sein d¨ urfte. Im Folgenden sei mit vi die Bewertung eines Gegenstandes durch den Bieter i bezeichnet. Hinsichtlich dieser Bewertungen werden die folgenden Unterscheidungen bzw. Begriffsbestimmungen vorgenommen: • Wenn eine Bewertung vi allen anderen Bietern j 6= i unbekannt sind, spricht man von private values. • Wenn die Bewertungen eines Gegenstands durch zwei Bieter i und j unabh¨angig voneinander sind, spricht man von independent values. Es gilt hier, dass vi ⊥vj .2 Beide Eigenschaften sind typischerweise gegeben, wenn es um Liebhaberobjekte geht oder generell um Dinge, die man f¨ ur den Eigengebrauch ersteigern m¨ochte ohne eine Wiederverkaufsabsicht. Der entscheidende Punkt ist, dass im Verlauf der Auktion das Verhalten der jeweils anderen Bieter keinerlei (relevante) Information f¨ ur den Wert oder die Bewertung eines Auktionsgegenstands beinhaltet. Damit ist auch eine wichtige Komponente der strategischen Interaktion ausgeschaltet. In vielen Auktionen ist diese Unabh¨angigkeit der Bewertungen aber nicht gegeben, weil alle Bieter unvollkommenen u ¨ber den Auktionsgegenstand informiert sind, dabei aber ggf. ¨ unterschiedliche Informationen haben. Wird beispielsweise das F¨orderrecht f¨ ur ein Olvorkommen versteigert, so wird jeder Bieter eine eigene Absch¨atzung der Ergiebigkeit und Qualit¨ at vornehmen. Dar¨ uber hinaus kann ein Bieter aber auch hoffen, vom Bietungsver¨ halten der anderen etwas lernen zu k¨onnen: ”Wenn meinem Mitbieter das Olfeld x e wert ist, dann wird das schon seine Gr¨ unde haben, die letztlich auch f¨ ur mich zutreffend sind. Offensichtlich hat mein Konkurrent einen Grund anzunehmen, dass das Feld diesen Betrag wert ist. Also werde ich mal mithalten.” In diesem Fall spricht man von • interdependent values. Diese sind also gegeben, wenn die Bewertung durch den Bieter i (z.B. aufgrund des unterschiedlichen Informationsstandes zwischen den Bietern) unter anderem abh¨angt von der Bewertung durch Bieter j: vi = vi (vj , ...) ∀i 6= j. Synonym zu interdependent values findet auch der Begriff ”correlated values” Verwendung in der Literatur. Nat¨ urlich muss der interdependente bzw. korrelierte Wert f¨ ur die Bieter nicht identisch ¨ sein. So kann ein bestimmtes Olvorkommen f¨ ur eine Firma attraktiver sein als f¨ ur eine andere, weil sie beispielsweise bereits spezielles Bohrger¨at und/oder qualifizierte Arbeiter vor Ort hat. Trotz dieser unterschiedlichen Werte bzw. Bewertungen sind in diesem Beispiel jedoch die Angebote der Konkurrenz nicht wertlos, sondern k¨onnen die eigene Bewertung beeinflussen. Ein besonders einfacher – h¨aufig aber auch realistischer – Spezialfall von interdependent values liegt vor, wenn der Wert eines Gegenstands f¨ ur alle Bieter gleich ist, d.h. 1 Davon

zu unterscheiden ist die Frage, ob der Verk¨ aufer diese Bewertungen kennt. Wie bereits im einleitenden Abschnitt gesagt, ist eine Auktion fast dadurch definiert, dass dies nicht der Fall ist. 2 Die Begriffsverwendung in der Literatur ist leider nicht ganz einheitlich. Bisweilen wird die Eigenschaft der Unabh¨ angigkeit von Bewertungen bereits als Merkmal von private values gesehen. Oft wird auch von ”independent private values” gesprochen, wobei hier dann klar ist, dass beide der o.g. Eigenschaften gemeint sind.

144

KAPITEL 7. AUKTIONEN • common values vorliegen. In diesem Fall gilt also ∀i : vi = v + εi , wobei εi ein unabh¨angig mit Mittelwert von Null verteilter St¨orterm ist. v ist dann der typischerweise zwar unbekannte, aber f¨ ur alle Bieter identische Wert. Der St¨orterm bringt hier zum Ausdruck, dass auch bei einem gleichen Wert des Auktionsgegenstands die Bewertungen nicht identisch sein m¨ ussen, da individuelle Abweichungen vom wahren Wert aufgrund von Informationsunvollkommenheiten, die in Bewertungsunsicherheiten resultieren, auftreten k¨onnen.

Ein Beispiel f¨ ur common values sind IPO’s junger Aktien. Auch wenn ex ante die Einsch¨atzungen des Werts junger Aktien zwischen Bietern deutlich voneinander abweicht, sind diese plausiblerweise ex post f¨ ur alle Bieter gleich viel wert – jedenfalls wenn man von Dingen absieht wie Erlangung von Sperrminorit¨aten durch den Kauf dieser Aktien oder unterschiedliche Korrelationsmuster mit schon existierenden Portfolios.

7.2.2

Auktionsformen

Unabh¨angig von der Bewertung durch die Teilnehmer an einer Auktion gibt es extrem viele und verschiedene konkrete Auktionsformen – der Phantasie sind da kaum Grenzen gesetzt.1 Bei aller Formenvielfalt lassen sich jedoch vier Grundformen unterscheiden, die in Abbildung 7.1 aufgelistet sind und nachfolgenden jeweils kurz erl¨autert werden. Auktionen k¨onnen generell mit offenen oder verdeckten Geboten arbeiten. Bei offenen Geboten ist weiterhin zu unterscheiden, ob der Bietprozess abnehmende oder zunehmende Preise nennt. Bei verdeckten Auktionen kann danach unterschieden werden, ob der Preis dem h¨ochsten oder dem zweith¨ochsten Gebot entspricht. Auktionen offene Auktionen

verdeckteAuktionen

Englische A. (First Price Open Cry)

First Price Sealed Bid

Holländische A. (absteigende Gebote)

Vickrey (Second Price Sealed Bid)

Abbildung 7.1: Vier Auktionsformen

Vickrey Auctions (Second Price Sealed Bid) Diese Form der Auktion sieht vor, dass alle Bieter ihre Gebote (ohne vorherige Absprache) in verschlossenen Umschl¨agen hinterlegen. Der Auktionator ¨offnet dann alle Umschl¨age und erteilt demjenigen Bieter den Zuschlag, der das h¨ochste Gebot abgegeben hat. Dieser muss dann jedoch nur den Preis des zweith¨ochsten Gebots bezahlen. Daher wird diese von Vickrey (1961) zuerst beschriebene Form auch als ”second price sealed bid auction” bezeichnet. Obgleich das Design auf den ersten Blick etwas eigenartig aussieht, l¨asst sich eine VickreyAuktion f¨ ur den Fall von private independent values besonders einfach analysieren. Das Ergebnis lautet wie folgt: Theorem: Die ehrliche Bekanntgabe der eigenen Bewertung des Auktionsgegenstandes ist eine schwach dominante Strategie eines Bieters in einer Vickrey-Auktion. 1 Ab Ende des 17. Jhd. wurden die G¨ uter der ostindischen Kompanie in England in sog. Kerzenauktionen verkauft. Dabei wurde eine kleine Kerze angez¨ undet; den Zuschlag erhielt, wer das letzte Angebot vor dem Verl¨ oschen der Kerze machte.

7.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE

145

Beweis: Die Bewertung des Auktionsgegenstandes durch Bieter i sei mit vi bezeichnet. Wenn i mehr als vi bietet, und er das h¨ochste Gebot abgibt, muss er u.U. einen Preis bezahlen, der u ¨ber seiner Zahlungsbereitschaft liegt. Verliert er die Auktion dennoch, ist sein Nutzen einfach Null. Also wird er niemals einen h¨oheren Betrag als vi bieten. Wenn er jedoch einen niedrigeren Betrag bietet, ist es denkbar, dass er die Auktion verliert und der Zuschlag zu einem Preis p < vi erfolgt, der auch f¨ ur Bieter i attraktiv gewesen w¨are. Daher wird i nie ein niedrigeres Gebot als vi abgeben. Dies ist eine (nur) schwach dominante Strategie, weil f¨ ur p = vi Bieter i gerade indifferent ist, ob er die Auktion gewinnt oder verliert. Das Design der Vickrey-Auktion findet sich auch in der Realit¨at h¨aufig wieder. Durch die M¨ oglichkeit, in ebay einen Bietagenten zu beauftragen bis zu einer bestimmten Summe alle eingehenden Gebote um die Bietmarge zu u ¨berbieten, bezahlt letztlich der H¨ochstbietende die zweith¨ochste marginale Zahlungsbereitschaft (plus Bietmarge), nicht aber sein H¨ochstgebot. In einer Online-Auktion ist dies allein schon deswegen ein sinnvolles design, weil potentielle K¨aufer dadurch die M¨oglichkeit haben, alle relevanten Angaben zu einem beliebigen Zeitpunkt einzugeben und dann das Ende der Auktion auch nicht vor dem Bildschirm abzuwarten. First Price Sealed Bid Auctions Bei dieser Auktionsform werden ebenfalls Gebote in verschlossenen Umschl¨agen (oder auf eine andere Art verdeckt) abgegeben. Allerdings bezahlt hier der H¨ochstbietende auch den von ihm genannten Preis. Zumindest auf den ersten Blick erscheint diese Auktionsform plausibler und aus der Sicht des Verk¨aufers deutlich attraktiver zu sein. Allerdings ist es selbst bei independent private value auctions deutlich schwieriger, eine gleichgewichtige Bietstrategie zu formulieren. Die ehrliche Bekanntgabe der Bewertung vi ist n¨amlich kein Optimum mehr, da ja dann der erwartete Nutzen aus einer gewonnenen Auktion gleich Null w¨are. Trivialerweise g¨alte dann n¨amlich, dass p = vi ⇔ vi − p = 0. Jeder, der eine solche Auktion gewinnt, ist also gerade indifferent, ob er gewinnt oder verliert, wenn als Bietstrategie die Bekanntgabe von vi gew¨ahlt wird. Daher muss eine gleichgewichtige Bietstrategie in jedem Fall ein Gebot benennen, das unterhalb von vi liegt. Wie viel man darunter gehen sollte, ist aber nicht einfach und auch nicht generell zu beantworten, da sich der folgende trade-off auftut: Je geringer das Gebot ist, desto h¨oher w¨are die Differenz vi − p im Fall des Zuschlags und damit der Nutzen aus einer gewonnenen Auktion. Auf der anderen Seite geht aber mit einem geringeren Gebot auch die Wahrscheinlichkeit zur¨ uck, dass man den Zuschlag erh¨alt. Eine Abw¨agung dieser beiden Effekte bedingt mindestens eine Vorstellung u ¨ber die Verteilung der Zahlungsbereitschaften aller Bieter – egal, ob diese jeweils unabh¨angig oder miteinander korreliert sind. Diese Vorstellung ist notwendig, um absch¨atzen zu k¨onnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Gebot tats¨achlich gewinnen wird. Eine genauere formale Analyse unterbleibt hier. Wenden wir uns nun den offenen Auktionen zu, bei denen der gerade aktuelle Preis w¨ahrend der laufenden Auktion allen Beteiligten bekannt ist. Es leuchtet ein, dass nun aus dem Bieterverhalten w¨ahrend des Auktionsprozesses im Prinzip bestimmte Informationen u ¨ber die Bewertungen des Auktionsgegenstandes durch die jeweils anderen abgeleitet werden k¨onnen. Es bleibt zu sehen, inwiefern diese Informationen f¨ ur die beteiligten Bieter relevant sind und zu entsprechend verschiedenen Bietstrategien f¨ uhren. Holl¨ andische Auktion Bei der holl¨ andischen Auktion wird vom Verk¨aufer (bzw. Auktionator) zun¨achst ein H¨ochstpreis benannt, der anschließend kontinuierlich gesenkt wird. Der Verk¨aufer kann sich dabei die M¨oglichkeit vorbehalten, einen Mindestpreis anzugeben, bei dem das Angebot zur¨ uckgezogen w¨ urde. Jeder der potentiellen K¨aufer kann jederzeit die Auktion beenden,

146

KAPITEL 7. AUKTIONEN

indem er den gerade angezeigten Preis akzeptiert.1 Das mag nicht besonders allt¨aglich klingen, in Rasmusen (2001, p. 328) wird aber u ¨ber die kanadische Tabakb¨orse berichtet, in der die K¨aufer um eine Art Uhr herumsitzen, die den Preis jeweils um 1/4 Cent nach unten ¨ z¨ahlt. Etwas Ahnliches kann man bisweilen beim Verkauf verderblicher Waren beobachten, wenn Anbieter gegen Handelsschluss die Preise sukzessive senken. Ein wichtiges Merkmal dieser Auktionsform ist, dass sie trotz des offenen Formats keine relevante Information u ¨ber die Bewertungen durch die anderen Bieter liefert. Denn erst wenn ein Bieter den Auktionsgegenstand u ¨bernimmt, signalisiert er etwas u ¨ber seine Zahlungsbereitschaft.2 Und genau dann ist die Auktion auch schon zu Ende. Deshalb ist f¨ ur diese Auktionsform auch die Unterscheidung zwischen private values und interdependent bzw. common values nicht wirklich bedeutsam. Englische Auktion Die g¨angigste Form ist die sog. englische Auktion, in der bindende und allen Teilnehmern sofort bekannte Angebote genannt werden m¨ ussen und das h¨ochste Angebot den Zuschlag zu dem letztgenannten Preis erh¨alt.3 Jeder Bieter wird hier seine Bietstrategie w¨ahlen vor dem Hintergrund des Wertes, den er dem Auktionsgegenstand beimisst, seinen Einsch¨ atzungen bzgl. der Bewertungen des Gegenstands durch die anderen Bieter und dem Verlauf der Auktion, d.h. den bereits abgegebenen Angeboten. Bei independent value auctions, die als englische Auktion durchgef¨ uhrt werden, liegt die optimale Strategie jedes Teilnehmers auf der Hand: Man bietet unterhalb des eigenen Werts bzw. der eigenen Bewertung immer mit und u ¨berbietet dabei andere Gebote um den geringstm¨oglichen Betrag.4 Das Ergebnis der Auktion wird sein, dass der Spieler mit der h¨ochsten Bewertung den Artikel zum Preis der zweith¨ochsten Bewertung zuz¨ uglich der mi¨ nimal notwendigen Uberbietung erh¨alt. Dies ist auch der Fall bei interdependent values, weil ja im Verlauf der Auktion relevante Signale u ¨ber die Bewertungen des Auktionsgegenstandes durch die Mitspieler bekannt werden. Relevant sind diese Signale deswegen, weil eine offenbarte h¨ohere Bewertung der Mitbieter w¨ahrend der laufenden Auktion in die Revision der eigenen (interdependenten) Bewertung einfließen und rechtzeitig in ein entsprechend hohes eigenes Gebot umgesetzt werden kann. Englische Auktionen weisen die sog. ”no-regret property” auf. Auch wenn nach der Auktion die Bewertungen aller Bieter klar w¨aren, bleibt das Verhalten aller Beteiligten optimal und daher nicht im Nachhinein zu bedauern. Der Gewinner bedauert den Gewinn nicht, weil er unterhalb der eigenen Bewertung des Gegenstands geblieben ist – egal ob diese Bewertung durch die im Verlauf der Auktion abgegebenen Gebote der anderen beeinflusst wurde oder nicht. Und alle ”Verlierer” der Auktion brauchen nicht zu bedauern, dass sie den Zuschlag nicht erhalten haben, weil dieser ja zu einem Preis erfolgte, der h¨oher liegt 1 F¨ ur

alle, die sich schon einmal mit der genauen Prozedur der Allokation von Zentralbankgeld durch die EZB an die Gesch¨ aftsbanken befasst haben: Dort gibt es auch ein holl¨ andisches (und als Gegenst¨ uck: amerikanisches) Verfahren zur Allokation des Zentralbankgelds f¨ ur eine gegebene Struktur von Angeboten seitens der Gesch¨ aftsbanken im Rahmen eines Zinstendergesch¨ afts. Nach dem holl¨ andischen Zuteilungsverfahren werden alle akzeptierten Gebote zu dem niedrigsten von der EZB noch akzeptierten Zins bedient. Im Gegensatz dazu wird bei amerikanischen Zuteilungsverfahren jedes Gebot zu dem genannten Zins bedient. Mit dieser Unterscheidung hat das hier besprochene holl¨ andische Auktionsverfahren nichts zu tun. In der Auktionstheorie haben sich f¨ ur diese Unterscheidung innerhalb von multi-unit auctions die Begriffe uniform price auction (alle Bieter bezahlen das gleiche) versus discriminatory price auctions (unterschiedliche Bieter bezahlen f¨ ur das gleiche unterschiedlich viel) eingeb¨ urgert. 2 Zuvor erf¨ ahrt man auch schon etwas, dass n¨ amlich niemandes Bietstrategie vorsieht, zu einem entsprechend hohen Preis ein Gebot abzugeben. Aber diese Information ist offensichtlich f¨ ur das eigene Verhalten irrelevant. 3 Daher 4 Die

wird diese Auktionsform auch ”first price open cry” bezeichnet.

meisten Auktionsregeln schreiben bestimmte minimale Erh¨ ohungsschritte vor, die typischerweise vom bereits erreichten Betrag abh¨ angen.

¨ 7.3. AQUIVALENZEIGENSCHAFTEN VON AUKTIONEN

147

als ihre Bewertung – also subjektiv u ¨berteuert ist. Im Gegensatz dazu weisen Holl¨andische Auktionen diese ”no-regret property” nicht auf, weil ja der Gewinner den Zuschlag potentiell deutlich u ¨ber der ihm unbekannten zweith¨ochsten Bewertung erh¨alt.

7.3

¨ Aquivalenzeigenschaften von Auktionen

Die Beschreibung der vier Auktionsformen im letzten Abschnitt l¨asst nicht ohne weiteres erkennen, ob bzw. unter welchen Unterschieden diese zum gleichen Ergebnis gelangen. Ein guter Teil der Auktionstheorie besch¨aftigt sich mit genau dieser Frage. Der normative Hintergrund dabei ist die Beratung vor allem von Anbietern, aber auch von Nachfragern von G¨ utern, die versteigert werden sollen. Insbesondere die Versteigerung der UMTS-Lizenzen generierte dabei einen immensen Bedarf f¨ ur Beratung. Es ist wichtig, die Konsequenzen unterschiedlicher Auktionsdesigns zu verstehen, um hier entsprechenden Rat f¨ ur das design von Auktionen – und gegeben das design f¨ ur das Verhalten in Auktionen – geben zu k¨onnen. ¨ Die st¨ arkste Aquivalenz besteht zwischen der Holl¨ andischen Auktion und der First Price Sealed Bid Auktion. Diese beiden Auktionsformen sind strategisch ¨aquivalent in dem Sinn, dass sich die Bieter jeweils identisch verhalten. Auch ohne formalen Beweis kann man sich dies relativ einfach verdeutlichen: Der entscheidende Punkt ist, dass bei beiden Auktionen keinerlei relevante Informationen u ¨ber die Bewertungen der jeweils anderen Bieter bekannt werden. Bei der First Price Sealed Bid Auktion ist dies durch die Konstruktion der Auktion vollkommen klar, wie bereits erw¨ahnt wird aber auch beim offenen, holl¨andischen Auktionsformat die erste relevante Information erst dann bekannt, wenn die Auktion vor¨ uber ¨ ist. Die Aquivalenz h¨angt deshalb auch nicht davon ab, ob es sich um private independent oder interdependet value auctions handelt. ¨ Eine schw¨ achere Form der Aquivalenz liegt zwischen der englischen Auktion und einer Vickrey-Auktion vor. Beide sind n¨amlich nur dann identisch, wenn alle Bieter eine private valuation vornehmen. Dann wird in beiden Formaten derjenige Bieter mit der h¨ochsten Zahlungsbereitschaft das Gut zu dem Preis erhalten, den der Bieter mit der zweith¨ ochsten Zahlungsbereitschaft maximal bietet – bei der englischen Auktion zuz¨ uglich der Bietmarge. Liegen hingegen interdependent values vor, so sind die beiden Formen nicht identisch. Das offene englische Format erm¨oglicht es n¨amlich, w¨ahrend des Bietvorgangs die eigene Bewertung aufgrund der Gebote der anderen nach oben zu korrigieren, w¨ahrend das geschlossene Format der Vickrey-Auktion dies nicht zul¨asst. ¨ Ein sehr wichtiges Aquivalenzergebnis der Auktionstheorie ist die Tatsache, dass f¨ ur independent private valuations in allen Auktionsformen der erwartete Preis, den ein Auktionsgegenstand erzielt, der gleiche ist. Dieses Ergebnis von Vickrey (1961) firmiert in der Literatur als revenue equivalence theorem. Wichtig ist, dass dieses Ergebnis zweierlei nicht impliziert: • Zum einen sind die gleichgewichtigen Bietstrategien nicht allen vier Formen die gleichen; so hatten wir ja gesehen, dass bei der Second Price Sealed Bid Auktion das ehrliche Offenlegen der Bewertung gleichgewichtig ist, w¨ahrend dies f¨ ur eine First Price Sealed Bid Auktion nicht der Fall ist. • Zum anderen impliziert das genannte Ergebnis nicht, dass in jeder private value Auktion unabh¨angig von der Form der gleiche Preis resultiert. Dies ist deshalb nicht der Fall, weil es f¨ ur das holl¨andische und das First Price Sealed Bid Format jeweils eine Sch¨ atzung der zweith¨ochsten Zahlungsbereitschaft braucht. Man kann nun plausiblerweise davon ausgehen, dass diese Sch¨atzung in der Erwartung bzw. bei hinl¨anglich h¨aufiger Wiederholung der Auktion im Durchschnitt korrekt ist – was dann zu dem revenue equivalence theorem f¨ uhrt. Das impliziert aber nicht, dass jede Realisation f¨ ur die Sch¨atzung korrekt und damit das Ergebnis konkreter Auktionen immer identisch ist

148

KAPITEL 7. AUKTIONEN

Wichtige Unterschiede zwischen den Formaten – und bei der Formulierung der weiteren Details innerhalb eines Auktionsformats – betreffen vor allem die Wahrscheinlichkeit, dass sich Bieter in irgendeiner Weise – nat¨ urlich zum Nachteil des Verk¨aufers – koordinieren k¨ onnen. Verschiedene Auktionsformen machen aber die sog. Bieterkollusion unterschiedlich leicht. Angenommen, zwei Bieter 1 und 2 wissen voneinander, dass 1 die h¨ohere Zahlungsbereitschaft hat und sie einigen sich darauf, dass zwar 1 die Auktion gewinnt, dass aber das H¨ochstgebot auch (deutlich) unterhalb der Zahlungsbereitschaft des 2 bleibt.1 In einer offenen englischen Auktion ist dies einigermaßen leicht durchzusetzen, denn 1 sieht sofort, wenn 2 sich nicht an die Abmachung h¨alt und kann dann glaubw¨ urdig die Auktion bis u ¨ber die Zahlungsbereitschaft des 2 hinaus treiben. In diesem Sinne erm¨oglicht die englische Auktion die rechtzeitige Entdeckung eines Abweichens von kollusivem Verhalten und stabilisiert damit die Kollusion. Demgegen¨ uber w¨are bei einer First Price Sealed Bid Auktion die Kontrolle schwieriger, da der 2 die Auktion nun tats¨achlich gewinnt, wenn er sich gerade nicht an die Abmachung h¨alt und ein klein wenig mehr bietet als zuvor f¨ ur den 1 ausgemacht. Wenn der 1 die Auktion ganz sicher gewinnen will, muss er die Bewer¨ tung des 2 wirklich u ¨berbieten – und diesen Preis auch bezahlen. Ahnliches gilt auch f¨ ur die Holl¨andische Auktion. Sobald hier der Preis die Zahlungsbereitschaft des 2 unterschreitet, k¨onnte dieser jederzeit ”zuschlagen” und damit die Auktion beenden, ohne dass 1 noch etwas dagegen tun k¨onnte. Daher d¨ urfte es hier schwieriger sein, Abweichungen von Kollusion zu verhindern, was Kollusion wiederum weniger attraktiv und wahrscheinlich macht. Wenn ein Verk¨aufer also Kollusion f¨ urchtet zwischen den Bietern, die sich f¨ ur sein Produkt interessieren, so tut er gut daran, keine englische Auktion zu veranstalten. Nat¨ urlich impliziert dies nicht, dass eine holl¨andische Auktion oder ein nicht offenes Format eine perfekte Versicherung gegen Bieterkollusion darstellen. Selbstverst¨andlich k¨onnen auch verdeckt abgegebene Angebote abgesprochen sein. Diverse Skandale im Bereich ¨offentlicher Ausschreibungen illustrieren dies immer wieder.2 Die hier immer wieder beobachtbare oder wenigstens vermutbare Kollusion wird verst¨andlich, wenn man sich vor Augen f¨ uhrt, dass die Konkurrenz um Auftr¨age zwischen Firmen letztlich ein wiederholtes Spiel ist. Bekanntermaßen kann in einem solchen Kontext ein Verhalten Teil einer gleichgewichtigen (teilspielperfekten) Strategie sein, das in einem one-shot-Spiel nicht m¨oglich w¨are.

7.4

Winner’s curse

Stellen wir uns folgende Situation vor: Eine Firma steht zum Verkauf, und Sie u ¨berlegen, ob und wenn ja bis zu welchem Preis Sie mitbieten sollen. Da die Firma durch Sie nicht vollst¨andig evaluiert werden kann, wissen Sie nur etwas u ¨ber die Wahrscheinlichkeitsverteilung des tats¨achlichen Werts. Um die Dinge m¨oglichst einfach zu halten, sei angenommen dass ein Firmenanteil (z.B. eine Aktie) mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 100 e wert sein kann. Dementsprechend ist der Erwartungswert des Firmenanteils ge100 P 1 geben durch 101 i = 50. Das alte Management der zu verkaufenden Firma kennt diese i=0

naturgem¨aß sehr gut und weiß daher besser, was die Firma wert ist, hat aber keine M¨oglichkeit, diesen Wert glaubhaft zu kommunizieren. Der Einfachheit halber sei angenommen, dass das alte Management den (zwischen 0 und 100 e liegenden) Wert ganz genau kennt. Das alte Management kann beim Verkauf der Firma mitbieten. Die Frage ist nun, welchen Betrag Sie als risikoneutraler Investor f¨ ur diese Firma ma1 F¨ ur

sich genommen ist das nat¨ urlich f¨ ur den 2 keine dominante Strategie, da er ja bis zu seiner Bewertung gehen k¨ onnte. Allerdings k¨ onnte es Teil einer gleichgewichtigen Strategie in einem gr¨ oßeren Zusammenhang sein; innerhalb dieses ”großen Spiels” w¨ urde Bieter 1 dem Bieter 2 dann ebenfalls bestimmte Vorteile zukommen lassen m¨ ussen. 2 Eine typische Ausschreibung eines ¨ offentlichen Auftrags kann als First Price Sealed Bid Auktion verstanden werden: Es erh¨ alt das g¨ unstigste Angebot den Zuschlag zu dem in diesem Angebot genannten Preis.

7.4. WINNER’S CURSE

149

ximal bieten sollten. Zur Illustration sei eine englische Auktion angenommen. Eine nahe liegende Antwort w¨are nat¨ urlich, dass Sie bis zu 50 e, d.h. bis zu dem Erwartungswert des Firmenwerts mitbieten und danach aussteigen, sollte der Preis noch h¨oher gehen. Diese auf den ersten Blick plausible Strategie w¨ urde aber bei Gewinn der Auktion mit Sicherheit (!) ¨ zu einem Verlust f¨ uhren, was folgende Uberlegung klar macht: Wenn das Gebot (von 50 e oder weniger) gewinnt, steht fest, dass das alte Management kein h¨oheres Gebot abgegeben hat und auch nicht abgeben wollte und damit der Firmenanteil in jedem Fall nicht mehr als der zuletzt gebotene und damit auch zu bezahlenden Preis wert ist. Ist die Firma hingegen mehr wert, kommt man mit einem Maximalangebot in H¨ohe des erwarteten Firmenwerts nicht zum Zuge, da ja das besser informierte alte Management dann u ¨berbieten wird. Damit unterliegt der Auktionsgewinner in der Tat einem ”Fluch”, eben dem winner’s curse: Wenn man die Auktion gewinnt, verliert man sicher. Nur wenn man den Zuschlag nicht erh¨alt, kann man Verluste vermeiden. Das Beispiel ist extrem gew¨ahlt, macht aber klar, dass aufgrund der existierenden Informationsasymmetrie auch ein risikoneutraler rationaler Investor kein positives Gebot abgeben sollte. Das Merkmal eines (nat¨ urlich verlustbringenden) erfolgreichen Gebots oberhalb des tats¨achlichen Werts der Firma h¨angt jedoch nicht an der gerade getroffenen Annahme der (extremen) Informationsasymmetrie. Betrachten wir daher die folgende, deutlich realistischere Situation: Wiederum betr¨agt der Erwartungswert der Firma 50 e, die individuellen Einsch¨ atzungen der einzelnen Bieter variieren aber um diesen Wert. Beispielsweise sollen f¨ unf Anbieter subjektive Einsch¨atzungen des Firmenwerts in H¨ohe von {30, 40, 50, 60, 70} haben, so dass auch die durchschnittliche Bewertung dem Erwartungswert der Firma entspricht. Wenn man nun nur die eigene Einsch¨atzung, nicht aber die objektiv vorhandene Unsicherheit, dem eigenen Bietverhalten zugrunde legt, so ist klar, dass der Bieter mit der h¨ochsten Zahlungsbereitschaft die Auktion gewinnt und einen Preis bezahlt, dessen H¨ohe von dem Auktionsdesign abh¨angt, der aber oberhalb des Firmenwerts von 50 e liegt. Dies f¨ uhrt jedoch zu einem Verlust – wiederum ist der Auktionsgewinner ein Opfer des winner’s curse geworden. Der Grund daf¨ ur ist nun einfach einzusehen: Wenn individuelle Bewertungen mit Unsicherheiten behaftet sind und um den wahren Wert streuen, so f¨ uhrt eine Untersch¨atzung einfach nur dazu, dass man die Auktion verliert und eine Auszahlung von Null realisiert. ¨ Eine Ubersch¨ atzung f¨ uhrt jedoch zum Gewinn der Auktion – und damit zu einem Verlust. Anders gesagt: Wenn man eine common value Auktion ”gegen” sachkundige Mitbieter gewinnt, sollte man sich Sorgen machen. Es gewinnte n¨amlich derjenige die Auktion, der den gr¨oßten positiven Bewertungsfehler macht. Die Konsequenz daraus ist offensichtlich: Bei Bewertungsunsicherheit sollte rationalerweise das Maximalgebot nur einen Teil der eigenen Bewertung betragen! Eine genaue formale Analyse ist jedoch auch in diesem Fall relativ anspruchsvoll und kommt nicht ohne Annahme bzgl. der Verteilung der Bewertungen aus. ¨ Die urspr¨ ungliche Formulierung des winner’s curse basiert auf einem Beispiel der Olindustrie. Die Firmen, die die Bohrrechte im Golf von Mexiko ersteigert haben, konnten mit ihren Operationen allesamt keinen Profit machen, haben also offensichtlich bei der Auktion der Bohrrechte zu viel daf¨ ur bezahlt. Die Analyse dieser Situation in Capen/Clapp/Campbell (1971) f¨ uhrte den Begriff in die Literatur ein. ¨ Rasmusen (2001), S. 333 listet f¨ ur vier verschiedene Sealed Bid Auktionen von Olbohrrechten in den 1960er Jahren die (von seri¨osen Anbietern) abgegebenen Gebote auf. Das Verh¨altnis von h¨ochstem und niedrigstem Gebot schwankte dabei zwischen 6,9 und 108,8.1 Schon dieses krasse Verh¨altnis legt nahe, dass die Idee des winner’s curse in diesen F¨allen eine wichtige Rolle spielte. Wichtig ist allerdings die Erkenntnis, dass der winner’s curse im Gleichgewicht, d.h. 1 Das sind wohlgemerkt keine Gebote im Verlauf einer aufsteigenden Auktion, sondern einzige und finale Gebote in einer Sealed Bid Auktion.

150

KAPITEL 7. AUKTIONEN

bei rationalem Bieterverhalten, keine Rolle spielt. Denn wie so oft gilt auch hier, dass die Einsicht in das Problem bereits davor bewahrt, (im Erwartungswert) ein Opfer davon zu werden. Diese Einsicht besteht darin, dass die eigene Bewertung des Guts nicht in vollem Umfang als Maximalgebot genannt werden darf, sondern entsprechend herunterskaliert werden muss - wohlgemerkt gilt diese Anforderung an die gleichgewichtige Bietstrategie f¨ ur rationale und auch risikoneutrale Bieter. Allerdings ist es sehr schwierig anzugeben, wie groß der Abstand zwischen Bewertung und Gebot liegen muss. Die Antwort darauf h¨angt ab von der empirischen Verteilung der Bewertungen durch die Bieter - und nat¨ urlich die Korrekturen, die diese bei der Umwandlung von Bewertungen in Gebote vornehmen. Die folgende Illustration zeigt den winner’s curse noch einmal sehr sch¨on: Einer Gruppe von StudentInnen wurde eine transparente Schachtel mit einigen M¨ unzen gezeigt. Nat¨ urlich konnte per ”Blickdiagnose” der Betrag nicht gez¨ahlt, sondern allenfalls grob gesch¨atzt werden. Dar¨ uber hinaus wurde die Information gegeben, dass sich in der Schachtel ausschließlich auf Cent lautende M¨ unzen (d.h. M¨ unzen zu 1, 2,5, 10, 20 und 50 Cent) befinden. Diese Schachtel wurde zur Versteigerung im First Price Sealed Bid-Verfahren gebracht. Nat¨ urlich hatte die Schachtel f¨ ur alle Bieter den gleichen Wert, n¨amlich die sich darin tats¨achlich befindliche Summe. Das Problem bestand nat¨ urlich in der Absch¨atzung, wie viel in der Schachtel wirklich ist. Es waren tats¨achlich genau 1,49 e. Die folgende Abbildung 7.2 zeigt die H¨ohe der insgesamt 21 Gebote: 350

317

wahrer Wert: 149 Gebote-MW: 100 Gebote-Median: 80 "Winning bid": 317

Gebote in Cent

300 250

195

200

163167 150

150 100 50

14

30

45 52

62

93 81 82 85 72 73 75 77 80 80

105

0 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

Abbildung 7.2: The winner’s curse Folgende Beobachtungen sind bemerkenswert: • 16 von 21 Geboten waren unterhalb des wahren Wertes von 1,49 e. Sowohl Mittelwert (100 Cent) als auch Median (80 Cent) der Gebote lagen deutlich unterhalb des wahren Wertes. Dieses Bieterverhalten deutet entweder auf eine stark ausgepr¨agte Risikoaversion hin oder aber auf eine Einsicht in die Problematik des winner’s curse. • Immerhin 5 von 21 Geboten (knapp 24 %) waren h¨oher als der wahre Wert, d.h. sind im Fall des Gewinns mit Verlust verbunden. F¨ unf Bieter waren also potentielle Opfer des winner’ curse, auch wenn der Fluch letztlich nur einen wirklich ereilt hat. • Der ”Gewinner” der Auktion mit einem Gebot von 3,17 e ist tats¨achlich der (einzige) Verlierer. Auch wenn der Verlust mit 1,68 e in absoluten Zahlen u ¨berschaubar ist, wurde immerhin mehr als das Doppelte (!!) des wahren Wertes geboten.

7.5. ERWEITERUNGEN UND ANWENDUNGEN

7.5

151

Erweiterungen und Anwendungen

Auktionen von einzelnen Objekten erf¨ ullen typischerweise zwei zentrale Eigenschaften:1 • Auktionen sorgen f¨ ur allokative Effizienz in dem Sinne, dass derjenige Bieter das Objekt erh¨alt, der dieses am h¨ochsten bewertet. • Auktionen sorgen daf¨ ur, dass der Verk¨aufer den gr¨oßtm¨oglichen Betrag f¨ ur das Objekt erl¨ost, also seine Einnahmen aus dem Verkauf maximiert. Dies resultiert insb. aus der (f¨ ur den Bieter rationalen) Offenbarung der Bewertungen der Bieter. Die folgenden Abschnitte zeigen, dass dies in einem Kontext mit mehreren G¨ utern nicht mehr notwendigerweise erf¨ ullt ist. Dies ist bereits dann der Fall, wenn mehrer Einheiten eines Guts homogenen Guts versteigert werden sollen, was in Abschnitt 7.5.1 untersucht wird. Die Abschnitte 7.5.2 auf der n¨achsten Seite bis 7.5.4 auf Seite 153 befassen sich mit der simultanen Versteigerung von heterogenen G¨ utern. Abschließend wird in Abschnitt 7.5.5 auf Seite 154 auf einige wichtige Aspekte der Versteigerung der UMTS-Lizenzen ein.

7.5.1

Multi-Unit-Auktionen

Im multi-unit-Auktionen werden mehrere homogene Einheiten eines Produkts simultan versteigert. Oft werden Auktionen dabei so ausgestaltet, dass alle erfolgreichen Bieter den gleichen Preis bezahlen m¨ ussen (uniform price auction). Schon in diesem einfachen Fall werden die beiden gerade genannten Eigenschaften der allokativen Effizienz und der Einnahmenmaximierung m¨oglicherweise verletzt. Dies ist im Folgenden zu zeigen. Angenommen, es gibt n Einheiten dieses Produkts und jeder der mehr als n Bieter m¨ochte jeweils nur eine Einheit. Dann kann ein Auktionator alle Bieter jeweils zu einem verdeckt gemachten Gebot auffordern. Der Auktionator sucht dann die n h¨ochsten Gebote heraus und benennt den Preis des n + 1-h¨ochsten Gebots f¨ ur alle erfolgreichen Bieter. Damit liegt eine einfache Erweiterung der Zweitpreisauktion auf den Fall von n Einheiten vor – die n + 1-Preisauktion. Auch hier haben alle Bieter einen Anreiz, die wahren Bewertungen auch zu bieten. Ein einfaches Beispiel m¨oge den Mechanismus illustrieren. Es sei n = 3 und es m¨ogen Gebote vorliegen, die Preise von 100, 90, 80, 50 und 10 bezahlen. Dann gehen die drei Einheiten zu einem Preis von jeweils 50 an diejenigen, die 100, 90 und 80 geboten hatten. Sowohl allokative Effizienz als auch Einnahmenmaximierung liegen vor. Betrachten wir nun den folgenden nur leicht komplizierteren Fall, in dem ein Bieter Verwendung auch f¨ ur mehrere Einheiten des gleichen Produkts haben kann. Wieder sollen insgesamt 3 Einheiten zur Verf¨ ugung stehen. Die nicht mit Unsicherheit behafteten Bewertungen durch drei Bieter A, B und C f¨ ur die erste, zweite und dritte Einheit (denken Sie an drei Flaschen Wein) sind in der folgenden Tabelle 7.1 auf der n¨achsten Seite zusammengefasst. Der Nettonutzen (Konsumentenrente) eines Bieters f¨ ur die jeweilige Einheit entspricht dieser Bewertung abz¨ uglich des dem Verk¨aufer zu bezahlenden Preises. Es sei weiterhin angenommen, dass diese Informationen allgemein bekannt sind. Nat¨ urlich w¨ urde die Forderung nach Effizienz der aus der Auktion resultierenden Allokation implizieren, dass A alle drei Einheiten des Guts erh¨alt – seine Zahlungsbereitschaft auch f¨ ur die dritte Einheit ist gr¨oßer als die n¨achstgr¨oßte Zahlungsbereitschaft, die B f¨ ur die erste Einheit aufbringen w¨ urde. Bei diesem Ergebnis (und unter Vernachl¨assigung der Bietmarge) w¨are der Nettonutzen von A gegeben durch 100 + 90 + 80 − (3 · 50) = 270 − 150 = 120. Allerdings ist dies kein gleichgewichtiges Ergebnis. A h¨atte n¨amlich einen strategischen Anreiz, seine Zahlungsbereitschaft f¨ ur die dritte Einheit zu verschweigen und nur ein Gebot abzugeben in H¨ohe von 10 (+ Bietmarge) f¨ ur zwei oder drei Einheiten. Da zu diesem Preis 1 Jehiel/Moldovanu (2003) geben einen guten Uberblick ¨ u ¨ ber die Schwierigkeiten, die sich bei multi-object auctions ergeben k¨ onnen und diskutieren die Erfahrungen mit den Versteigerungen der UMTS-Lizenzen in Europa. Der folgende Abschnitt macht einigen Gebrauch von dieser Darstellung.

152

KAPITEL 7. AUKTIONEN Bieter/Gut A B C

1. Einheit 100 50 10

2. Einheit 90 0 0

3. Einheit 80 0 0

Tabelle 7.1: Zahlungsbereitschaften dreier Bieter f¨ ur jeweils drei Einheiten eines Gutes

C nach wie vor aus dem Rennen ist, nunmehr aber B eine Einheit nimmt, erh¨alt A bei diesem Gebot zwei Einheiten zum Preis von 10 + Bietmarge. Wird die Bietmarge wieder vernachl¨assigt, so ergibt sich durch dieses Gebot ein Nettonutzen f¨ ur A in H¨ohe von 100 + 90 − (2 · 10) = 190 − 20 = 170 > 120. Gegen¨ uber der ehrlichen Angabe der Zahlungsbereitschaften kann er sich also besser stellen – und wird dies auch tun. Dennoch ergibt sich eine ineffiziente Allokation (B bekommt eine Einheit, die A als dritte Einheit h¨oher sch¨atzen w¨ urde) und auch das Ziel der Einkommensmaximierung durch den Verk¨aufer ist offensichtlich verletzt, da er f¨ ur die drei Einheiten des Guts bei einem Preis von 10 insgesamt nur 30 erl¨ost, w¨ahrend auch f¨ ur einen Preis, der 50 u ¨berschreitet (aber nicht h¨oher als 80 ist) das Angebot vollst¨andig nachgefragt w¨ urde und einen Umsatz von 150 garantieren w¨ urde.

7.5.2

Komplementarit¨ aten bei multi-object auctions

Angenommen in der Regensburger Innenstadt werden zwei nebeneinander liegende Autostellpl¨atze frei und der Vermieter veranstaltet eine Auktion um diese Pl¨atze. Diese Auktion kann entweder um den Verkaufspreis gehen oder aber auch u ¨ber den monatlichen Mietpreis. Um die Zahlen u ¨bersichtlich zu halten, nehmen wir letzteres an. Es gibt zwei potentielle Bieter, A und B. A hat einen Wagen mit Anh¨anger und w¨ urde 100 e f¨ ur beide Pl¨atze zusammen bieten, jedoch 0 f¨ ur einen einzelnen Stellplatz, da ein einzelner Platz sein Problem nicht l¨ost. Damit liegt eine klare und sogar denkbar extreme Komplementarit¨at vor: Ein Stellplatz allein hat f¨ ur A keinerlei Wert, erst die Kombination der beiden Pl¨ atze schafft f¨ ur ihn einen Wert und induziert eine entsprechende Zahlungsbereitschaft. B hat hingegen nur ein ”normales” Auto, das mit einem Stellplatz auskommt. F¨ ur diesen w¨ urde er 75 e bieten, wobei es ihm letztlich egal w¨are, ob er daf¨ ur einen oder zwei Pl¨atze erh¨alt. Weitere Gebote gibt es nicht. Nat¨ urlich w¨ urden sowohl allokative Effizienz als auch Einnahmenmaximierung fordern, dass Bieter A beide Pl¨atze erh¨alt. Dies w¨are auch ohne weiteres der Fall, wenn die beiden Pl¨atze als Paket erwerbbar sind, d.h. wenn die Auktionsprozedur die Flexibilit¨at aufweist, dass nicht nur ein Gebot auf einen Platz abgegeben werden kann, sondern auch auf beide zusammen. Werden n¨amlich die Pl¨atze einzeln versteigert, so w¨ urde Bieter A bei einem Preis von 50 e pro Platz aussteigen – und Bieter B erh¨alt zu diesem Preis den Zuschlag. B zu u ¨berbieten liegt also nicht im Interesse von A, obwohl A eine h¨ohere Bewertung und damit Zahlungsbereitschaft aufweist. Halten wir also fest: Bei Komplementarit¨aten zwischen einzelnen Bestandteilen eines B¨ undels k¨onnen separate Auktionen der Bestandteile zu Verletzungen sowohl der Effizienzbedingung f¨ uhren als auch einer Einnahmenmaximierung seitens des Verk¨aufers im Wege stehen. Die L¨osung des Problems best¨ unde in diesem Fall in der Zul¨assigkeit der Abgabe von Geboten auf entsprechende Pakete.

7.5.3

Multi-object auctions ohne Komplementarit¨ aten: Die M¨ oglichkeit eines Zielkonflikts zwischen Effizienz- und Einnahmenziel

Auch ohne das Vorliegen von Komplementarit¨aten zwischen den G¨ utern kann es gravierende Probleme bei der Beurteilung von multi-object auctions geben. Wiederum soll ein einfaches Beispiel den Punkt verdeutlichen. Hier m¨ogen zwei Bieter, A und B die M¨oglichkeit haben

7.5. ERWEITERUNGEN UND ANWENDUNGEN

153

von einem Verk¨aufer zwei G¨ uter, nennen wir diese 1 und 2 zu ersteigern. Es gibt dabei auch keinerlei Bewertungsprobleme – die folgenden (Brutto-) Bewertungen in Tabelle 7.2 seien bekannt und auch nicht mit Unsicherheit behaftet. Allerdings sind die Pr¨aferenzen sehr heterogen, d.h. auch die Reihenfolge der Bewertung der beiden G¨ uter differiert hier u ¨ber die beiden Bieter. Bieter/Gut A B

Gut 1 100 50

Gut 2 70 120

{1 und 2} 170 200

Tabelle 7.2: Zahlungsbereitschaften von zwei Bietern (A und B) f¨ ur zwei Produkte (1 und 2)

Zwei separate Zweitpreisauktionen (oder auch englische Auktionen) w¨ urden unter Vernachl¨assigung der Bietermarge zu dem Ergebnis f¨ uhren, dass Gut 1 f¨ ur einen Preis von 80 an Bieter A geht und Gut 2 zu einem Preis von 70 an Bieter B. Allokative Effizienz w¨are erreicht, da die G¨ uter jeweils an die Bieter mit der h¨ochsten Zahlungsbereitschaft gehen. Der Verk¨aufer erzielt Einnahmen f¨ ur beide G¨ uter in H¨ohe von 80 + 70 = 150. Die letzte Spalte von Tabelle 7.2 gibt die kumulierte Bewertung f¨ ur das G¨ uterb¨ undel {1 und 2} durch die beiden Bieter an. Da hier keinerlei Komplementarit¨aten unterstellt werden, entsprechen diese kumulierten Bewertungen einfach den Summen der Bewertungen der beiden G¨ uter. Es ist sofort zu sehen, dass der Verk¨aufer bei den hier vorliegenden Bewertungen ein besseres Resultat erzielen k¨onnte, wenn er die beiden G¨ uter b¨ undelt. Eine Zweitpreisauktion f¨ ur das gesamte B¨ undel w¨ urde dieses n¨amlich zu einem Preis von 170 an Bieter B gehen lassen. Offensichtlich sind hier die Einnahmen des Verk¨aufers h¨oher als bei separaten Auktionen (170 > 150), allerdings resultiert eine allokative Ineffizienz: Gut 1 geht an Bieter B, obwohl Bieter A dies h¨ohere bewertet. In diesem Fall liegt somit ein Zielkonflikt zwischen Einnahmenmaximierung seitens des Verk¨ aufers und allokativer Effizienz vor. Wenn nun ein ausschließlich an den Einnahmen interessierter Verk¨aufer die Auktion zu gestalten hat, liegt es auf der Hand, dass er eine B¨ undelung vorzieht. Dies ist aber beispielsweise schon dann nicht mehr der Fall, wenn der Staat G¨ uter zu versteigern hat und dabei die allokative Effizienz durchaus ein Kriterium ist.

7.5.4

Multi-object auctions und Bieterkollusion

Das Problem der Bieterkollusion kann auch bei Versteigerung einzelner Objekte auftreten. Wie bereits ausgef¨ uhrt, ist dabei die englische Auktion am ehesten anf¨allig, weil ein abweichendes Verhalten des ”absichtlichen Verlierers” rechtzeitig festgestellt werden k¨onnte und dieser daher sich eher an die Abmachung halten wird als bei Auktionen mit verdeckten Geboten. Bei simultaner Versteigerung mehrerer (teilbarer) Objekte versch¨arft sich dieses Problem jedoch, weil nun die Bieter allesamt erfolgreich sein k¨onnen in dem Sinn, dass sie sich die Objekte teilen, dabei aber alle von einem niedrigen Preis profitieren. W¨ahrend eine explizite Absprache durchaus illegal sein kann, ist es dann m¨oglich, in einer englischen Auktion u ¨ber den Preis Signale auszusenden. Das prominenteste Beispiel daf¨ ur ist die Versteigerung der Mobilfunklizenzen der zweiten Generation (GMS) f¨ ur Deutschland im Oktober 1999. Gegenstand dieser Versteigerungen waren 9 identische Bl¨ocke zu je 2 x 1 MHz und ein Block zu 2 x 1,4 MHz (mit entsprechend h¨oherer Kapazit¨at). Das Minimalangebot wurde auf 1 Million DM pro MHz-Paar festgelegt, die minimale Erh¨ohung zwischen zwei Runden auf 10%, wobei alle gebotenen Betr¨age durch 10000 DM ganzzahlig teilbar sein mussten. Die beiden großen Spieler waren Mannesman und T-Mobile, außerdem waren als von vorneherein

154

KAPITEL 7. AUKTIONEN

kleinere Spieler Viag Interkom und E-Plus mit dabei. Diese sind dann allerdings sehr schnell im Verlauf der Auktion ausgestiegen. In der ersten Runde gab Mannesmann das folgende Gebot ab: F¨ ur die Bl¨ocke: 1-5: je 36,36 Millionen DM, f¨ ur die Bl¨ocke 6-9: je 40 Millionen DM, f¨ ur Block 10: 56 Millionen DM. In der zweiten Runde bot dann T-Mobile f¨ ur die Bl¨ocke 1-5 je 40,01 Millionen DM, u ¨berbot aber Mannesmann bei den Bl¨ocken 6-10 nicht. Damit war die Auktion bei einem Preis von ca. 20 Millionen DM pro MHz f¨ ur alle Beobachter u ¨berraschend fr¨ uh beendet. Insgesamt wurden 416,05 Millionen DM bei dieser Auktion erl¨ost. Zum Vergleich: Die Erl¨ose bei der Versteigerung der UMTS-Lizenzen waren mit insg. ca. 100 Milliarden DM um einen Faktor 240 (!) h¨oher. Im Nachhinein wurde das Bieterverhalten wie folgt interpretiert: Durch den sehr weit u ¨ber dem Minimalgebot von 1 Million DM pro MHz-Paar liegenden Einstieg signalisierte Mannesmann an T-Mobile, dass nicht lange in letztlich uninteressanten Regionen ”herumgealbert” werden solle, sondern man einem raschen Ende der Auktion – nat¨ urlich zu einem attraktiven Preis – nicht im Wege stehen w¨ urde. Weiterhin signalisierte Mannesmann durchaus verst¨andlich, exakt wo der Preis liegen und wie die Aufteilung erfolgen sollte. Die Bl¨ocke 1-5 stellen ja exakt das gleiche Gut dar wie die Bl¨ocke 1-9 und Block 10 ist pr¨azise 40% mehr wert. F¨ ur Block 10 wurde auch pr¨azise 40% mehr geboten als f¨ ur die Bl¨ocke 6-9. F¨ ur die Bl¨ocke 1-5 wurde demgegen¨ uber exakt der Betrag geboten, der bei Aufstockung um 10% (die minimale Erh¨ohung zwischen zwei Runden) eben den Betrag von 40 Millionen DM ergeben h¨atte. T-Mobile hat dann in der zweiten Runde den Mindestbietbetrag f¨ ur die Bl¨ocke 1-5 von 40 Millionen DM um den geringstm¨oglichen Betrag von 10000 DM u ¨berschritten. ¨ Diese ”unn¨otige” Uberschreitung wurde so interpretiert – und offensichtlich auch verstanden –, dass man zwar mit dem von Mannesmann signalisierten Plan einverstanden ist, sich aber gegen die kleineren Mitbieter durchaus weiter zur Wehr setzen w¨ urde, wenn diese den Preis nach oben treiben sollten. Da aber Viag Interkom und E-Plus die Botschaft verstanden hatten, zogen sich diese zur¨ uck – und es kam zu dem beschriebenen Ergebnis. Ein Vertreter von T-Mobile kommentierte dieses Ergebnis im Nachhinein wie folgt: ”No, there were no agreements with Mannesmann. But Mannesmann’s first bid was a clear offer. Given Game Theory, it was expected that they show what they want most.” Dieses Beispiel zeigt, wie in offenen Auktionsformaten eine – selbstverst¨andlich nicht justitiable – Form der Absprachen auftreten kann. Dabei ist es durchaus glaubw¨ urdig, dass es in der Tat keinerlei (verbotene) explizite Absprachen gegeben hat. Es reichte v¨ollig, dass sich der erste Bieter einen Plan ausgedacht hat, bei dem er davon ausgehen konnte, dass er a) verst¨andlich signalisierbar und b) konsensf¨ahig ist. Beides ist mit dem ersten Gebot von Mannesmann tats¨achlich gelungen.

7.5.5

Die Versteigerung der UMTS-Lizenzen

Die Versteigerung der UMTS-Lizenzen war v.a. in den europ¨aischen L¨andern eine spektakul¨are Anwendung von Auktionen. Von den 14 Mitgliedsl¨andern der Europ¨aischen Union (vor der Osterweiterung am 1.5.2004 und ohne Luxemburg), haben sechs Staaten die Lizenzen u ¨ber Verwaltungsprozeduren (sog. ”beauty contests”) verteilt (Finnland, Frankreich, ¨ Irland, Portugal, Schweden, Spanien). Bei diesen ging es um die Uberpr¨ ufung technischer und finanzieller Leistungsf¨ahigkeit der Bewerber um Lizenzen, mit denen dann in der Regel ein positiver Preis f¨ ur die Lizenz ausgehandelt wurde. Nur im Fall Finnlands wurde die Lizenz den Netzbetreibern kostenlos u ¨berlassen. Die anderen L¨ander w¨ahlten alle ein Auktionsformat, wobei es auch hier wieder sehr deutliche Unterschiede in der konkreten Ausgestaltung zwischen den L¨andern gegeben hat. Spektakul¨ar w¨aren bei diesen Auktionen nat¨ urlich insb. die schieren Summen, um die es ging. Mehr als 37 Mrd. e wurden in Großbritannien erl¨ost, in Deutschland waren es etwas u ¨ber 50 Mrd. e. Tabelle 7.3 auf der n¨achsten Seite zeigt die Erl¨ose f¨ ur einige L¨ander in e je Einwohner f¨ ur einige L¨ander in Europa. Es ging jeweils um die Nutzungsrechte eines

7.5. ERWEITERUNGEN UND ANWENDUNGEN

155

Frequenzspektrums von zwischen 125 und 155 MHz f¨ ur eine Dauer von 20 Jahren. In den einzelnen L¨andern wurden dabei zwischen zwei und sechs Lizenzen vergeben.1 Land Finnland Spanien Großbritannien Niederlande Deutschland Italien ¨ Osterreich Frankreich

e/Einwohner 0 15 648 171 613 240 82 337

Tabelle 7.3: Auktionserl¨ose f¨ ur die UMTS-Lizenzen je Einwohner

Auf der anderen Seite waren mit diesen Auktionen aber auch interessante theoretische ”Komplikationen” verbunden, auf die im Folgenden eingegangen werden soll. Dabei sind im Zusammenhang mit UMTS-Auktionen zwei Stichworte von besonderer Bedeutung: Komplementarit¨ aten der zu versteigernden G¨ uter und Externalit¨ aten des Auktionsergebnisses auf den nachfolgenden Wettbewerb im Mobilfunkmarkt. Beide Eigenschaften werden nachfolgend kurz diskutiert. Komplementarit¨ aten Auf diese Eigenschaft wurde bereits weiter oben eingegangen. Im Zusammenhang mit Mobilfunklizenzen bedeutet ein gr¨oßeres Frequenzspektrum – und damit der simultane Erwerb mehrerer Frequenzpakete – eine h¨ohere Kapazit¨at f¨ ur den sp¨ateren Betrieb. Aufgrund von Fixkosten f¨ ur den Netzwerkaufbau (Sende- und Empfangseinrichtungen), aber auch f¨ ur Werbung und f¨ ur den laufenden Betrieb ist es daher durchaus plausibel, dass bspw. ein Spek¨ trum von 40 MHz mehr wert ist als das Doppelte von 20 MHz. Die Uberlegungen weiter oben legten nahe, dass in einem solchen Fall sowohl Effizienz- als auch Einnahmemaximierungs¨ uberlegungen f¨ ur eine gewisse Flexibilit¨at des Auktionsdesigns sprechen. Insbesondere sollte es den Bietern m¨oglich sein, Gebote f¨ ur mehrere Pakete abgeben zu k¨onnen. Bei der UMTS-Auktion in Deutschland war dies folgendermaßen geregelt: Bei einem Gesamtangebot von 12 Frequenzbl¨ocken musste ein Bieter wenigstens f¨ ur zwei Bl¨ocke bieten, war aber beschr¨ankt auf maximal 3 Bl¨ocke. Das Auktionsdesign sah nicht vor, dass alle 12 Bl¨ocke versteigert werden mussten. Mit dieser Regel war klar, dass am Ende zwischen null und sechs Firmen den Mobilfunkmarkt unter sich aufteilen w¨ urden. Externalit¨ aten des Auktionsergebnisses auf den Wettbewerb Im Gegensatz zu vielen anderen Auktionen wurde bei der Versteigerung der UMTS-Lizenzen ein Gesch¨aft nicht abgeschlossen, sondern vielmehr er¨offnet. Schließlich ist die Lizenz ja ”nur” eine Eintrittskarte in einen wichtigen Markt. Selbstverst¨andlich h¨angt f¨ ur einen Bieter der Wert dieser Eintrittskarte ab von den auf dem Mobilfunkmarkt (¨ uber 20 Jahre) zu erwartenden Gewinnen. Gleichzeitig h¨angen diese Gewinne aber von der Marktstruktur ab, die in genau dieser Auktion bestimmt wird. Da ja ex ante, wie gerade gesehen, die Zahl der sp¨ateren Wettbewerber nicht feststand, ergab sich hier eine sehr bedeutsame Interdependenz: Der Wert des Auktionsgegenstandes h¨angt von der Marktsituation ab, die sich aber erst 1 Obwohl die Versteigerungsbedingungen in Deutschland eine eindeutige Verpflichtung zum jeweils v¨ ollig getrennten Ausbau und Betrieb des Netzes vorsahen, ist mittlerweile aufgrund massiver finanzieller Probleme einiger der Betreiber klar, dass dies nicht geschehen wird.

156

KAPITEL 7. AUKTIONEN

durch die Auktion bestimmt. Abbildung 7.3 visualisiert diesen Zusammenhang. Aus der Sicht eines potentiellen Bieters handelt es sich dabei um ein 2-stufiges Spiel, wobei strategische Interaktionen sowohl innerhalb der einzelnen Stufe als auch u ¨ber die beiden Stufen hinweg eine offensichtliche Bedeutung haben.

Bieterverhalten bei der Lizenzauktion

Struktur des UMTSMobilfunkmarktes

Abbildung 7.3: Die Besonderheit der UMTS-Auktion Schon nur diese Struktur macht deutlich, dass es ein eindeutiges Gleichgewicht bei diesem 2-stufigen Spiel nicht mehr geben kann, sondern nunmehr die Erwartungen der Marktteilnehmer eine entscheidende Rolle spielen. Wird ein harter Wettbewerb mit vielen Anbietern und entsprechend geringen Gewinnmargen erwartet, so wird die Zahlungsbereitschaft bei der Auktion nicht sehr hoch sein und damit die Lizenz relativ billig werden – was die Erwartungen dann ex post genau erf¨ ullt. Umgekehrt wird f¨ ur Lizenzen mehr bezahlt, wenn eine wenig kompetitive Marktstruktur erwartet wird. Aufgrund der hohen (und dann f¨ ur zus¨atzliche Bieter unattraktiven) Preise wird auch diese Erwartung sich selbst erf¨ ullen. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von self-fulfilling prophecies. Der entscheidende Punkt dabei ist, dass unterschiedliche ex ante Erwartungen ein Verhalten induzieren, dass diese Erwartungen ex post validiert. Damit liegen nat¨ urlich multiple Gleichgewichte vor, die es v¨ollig unm¨oglich machen, eine konkrete Prognose u ¨ber das Auktionsergebnis abzugeben. Eine vor der UMTS-Auktion von Investment-Banken erstellte Studie u ¨ber den Wert der Lizenzen arbeitete diesen Punkt sehr deutlich heraus: Unter der Hypothese, dass bei insgesamt vier Firmen im Markt sich eine dominante Firma (mit h¨oherem Frequenzspektrum als die anderen) herausbilden kann, wurde der Wert auf 88,4 Milliarden e taxiert – also noch einmal deutlich mehr als die tats¨achlich erl¨oste Summe. Wenn allerdings f¨ unf Firmen auf dem Markt sind und dabei ein aggressiver neuer Wettbewerber f¨ ur rasch sinkende bzw. generell tiefe Preise sorgt, wurde die Lizenz mit nur noch 13,5 Milliarden e bewertet. Schon diese dramatischen Unterschiede machen klar, mit welchen Schwierigkeiten die Bewertung im Vorfeld der Auktion behaftet war.

Kapitel 8

Koalitionsspiele 8.1

Lernziele

Die Spieltheorie analysiert Situationen strategischer Interaktion zwischen zwei oder auch mehreren Akteuren. Bisher wurde dabei immer unterstellt, dass ein Spieler ausschließlich sein Eigeninteresse verfolgt. Die Auszahlungen f¨ ur den anderen Spieler waren f¨ ur die jeweils eigenen Entscheidungen nur insoweit von Interesse, als diese die Strategiewahl der Gegenspieler bestimmten. In diesem Sinn waren die in den Kapiteln 3-5 behandelten Situationen allesamt non-kooperativ und damit Gegenstand der non-kooperativen Spieltheorie. Die gleiche Perspektive wurde auch in der non-kooperativen Verhandlungstheorie beibehalten. Bei der Analyse von Verhandlungen hatten wir allerdings gesehen, dass auch eine ganz andere Vorgehensweise gew¨ahlt werden kann, indem eine kooperative Sichtweise eingenommen wird. Sowohl in der Nash- als auch in der Kalai-Smorodinsky-L¨osung einer Verhandlungssituation werden die Positionen aller beteiligten Spieler ber¨ ucksichtigt. In diesem Kapitel wird ebenfalls eine kooperative Perspektive eingenommen, gegen¨ uber den einfachen 2-Personenspielen, die bisher vor allem untersucht wurden, jedoch ein Spiel mit wenigstens drei Spielern unterstellt und zugelassen, dass diese Spieler in Untergruppen oder auch als Gesamtheit Koalitionen eingehen k¨onnen. Dies ist nicht nur ein in realistischen Entscheidungssituationen in allem m¨oglichen Gremien und Parlamenten immer wieder beobachtbares Ph¨anomen, sondern legt auch nahe, dass eine kooperative Perspektive gerade in diesem Zusammenhang eine besonders realistische und plausible Perspektive ist. In Abschnitt 8.2 werden die grundlegenden Begriffe zur genauen Charakterisierung der beschriebenen Spiele eingef¨ uhrt. Abschnitt 8.3 auf Seite 166 stellt die bedeutendsten L¨osungskonzepte f¨ ur Koalitionsspiele vor, deren anschließend in Abschnitt 8.4 auf Seite 169 weiter vertieft wird.

8.2 8.2.1

Grundlegende Begriffe Kooperative Mehrpersonenspiele ohne Koalitionsbildung

Eine auf der Hand liegende Verallgemeinerung der Nash-Verhandlungsl¨osung aus Abschnitt 6.4.1 auf Seite 124 in einem Zwei-Personenspiel besteht darin, bei I Spielern mit Auszahlungen ui (s) und Drohpunkten αi einen Nash-Maximanden wie folgt zu definieren1 : 1 Ebenfalls sehr einfach m¨ oglich w¨ are nat¨ urlich eine Ber¨ ucksichtigung unterschiedlicher Gewichte analog zu dem verallgemeinerten Nash-Maximanden in Gleichung 6.11. Dieser w¨ are dann gegeben durch Ω = I Q (ui (s) − αi )γi . i=1

157

158

KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

Ω = (u1 (s) − α1 ) · (u2 (s) − α2 ) · . . . · (uI (s) − αI ) I Q (ui (s) − αi ) =

(8.1)

i=1

s bezeichnet dabei den Vektor der Strategievariablen, die insgesamt von den I Spielern kontrolliert werden k¨onnen. Es spielt dabei in einem kooperativen Verhandlungskontext – egal ob zwischen zwei oder mehr Verhandlungspartnern – keine Rolle, ob die Kontrolle einer Variablen einem bestimmten Spieler zugeordnet werden kann und falls dem so w¨are, welchem. Die L¨osung des Verhandlungsproblems w¨are dann gegeben durch die Bedingungen erster Ordnung ∂Ω = 0, ∂s

(8.2)

wobei dieses System von Bedingungen erster Ordnung so viele Gleichungen hat, wie der Vektor s Elemente aufweist. 8.2 legt dann die Optimalwerte der Strategievariablen fest, die mit s∗ bezeichnet seien. Daraus ergeben sich dann sofort die in der Verhandlungsl¨osung realisierten Auszahlungen als ui (s∗ ) , i = 1, ..., I,

(8.3)

wobei sichergestellt sein muss, dass ui (s∗ ) ≥ αi ∀i. Diese Vorgehensweise erlaubt es jedoch nicht, die eingangs erw¨ahnten Koalitionsbildungen zu ber¨ ucksichtigen und findet daher kaum Anwendung in der Analyse von Verhandlungen zwischen mehr als zwei Spielern.

8.2.2

Koalitionen

Unter einer Koalition wird typischerweise der Zusammenschluss von wenigstens zwei Entscheidungstr¨agern verstanden, die ihre Aktionen untereinander absprechen und festlegen k¨onnen. Ein wichtiges Merkmal von Koalitionen ist, dass innerhalb von Koalitionen bindende Absprachen getroffen werden k¨onnen. Diese M¨oglichkeit wird im Folgenden nicht weiter hinterfragt, sondern als gegeben angenommen. Dies bedeutet insbesondere, dass ein Mitglied einer Koalition verl¨asslich und glaubw¨ urdig auf ein Verhalten festgelegt werden kann, das f¨ ur die gesamte Koalition (im Zusammenspiel mit dem Verhalten der anderen Koalition¨are) optimal ist, das aber nicht notwendigerweise die ceteris paribus individuell rationale Strategiewahl reflektiert. Welche und wie viele Koalitionen kann es innerhalb einer Gesamtheit von I Spielern prinzipiell geben? Hier helfen einige Ergebnisse aus der Kombinatorik. • I Elemente k¨onnen in beliebig großen Gruppen (einschließlich der leeren Menge und der großen Koalition) auf 2I verschiedene Arten kombiniert werden. Da die Betrachtung der leeren Menge in diesem Zusammenhang nicht interpretierbar ist, ergeben sich bei I Spielern 2I − 1 Koalitionsm¨oglichkeiten, wobei hier die I denkbaren Einerkoalitionen mit enthalten sind. Will man diese ausschließen, so verbleiben 2I − I − 1 ”echte” Koalitionen (einschließlich der großen Koalition). • Koalitionen bestehen aus einem Teil der I Mitglieder. Die Zahl der Mitglieder sei mit k bezeichnet, wobei gelten muss, dass k ≤ I. Aus einer Gesamtheit der Gr¨oße I k¨onnen µ ¶ I I! Gruppen der Gr¨oße k konstruiert werden.1 = k!(I−k)! k

8.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE Koalitionsgr¨oße k

1 2 3 4

Anzahl der Koalitionen mit µGr¨oße ¶ k? 4 =4 µ 1 ¶ 4 =6 µ 2 ¶ 4 =4 µ 3 ¶ 4 =1 4

159 Konkrete Koalitionen

{1}, {2}, {3}, {4} {1, 2}, {1, 3},{1, 4},{2, 3},{2, 4},{3, 4} {1, 2, 3}, {1, 2, 4},{1, 3, 4},{2, 3, 4} {1, 2, 3, 4}

Tabelle 8.1: Koalitionsm¨oglichkeiten bei 4 Spielern

F¨ ur I = 4 seien die m¨oglichen Koalitionen in Tabelle 8.1 zusammengestellt: Es ist sofort zu verifizieren, dass in diesem Fall 24 −1 = 15 verschiedene Koalitionen (einschließlich der 1-er Koalitionen) m¨oglich sind.1 Daraus erhellt sich auch sofort die Tatsache, dass die Analyse von Verhandlungen mit der M¨oglichkeit von Kooperationen innerhalb von auch recht u ¨berschaubaren Gruppen ein wirklich komplexes Problem ist. In einer Gruppe von 10 Personen gibt es bereits 1023 Koalitionsm¨oglichkeiten, die derzeit 601 Abgeordneten des Deutschen Bundestags k¨onnten sich auf ca. 8, 299 · 10180 verschiedene Arten zusammentun, wenn dabei keinerlei Parteigrenzen respektiert werden w¨ urden, d.h. sich jeder mit jedem in beliebig großen Gruppen der Gr¨oße 1 ≤ k ≤ 601 zusammentun k¨onnte.2 Von daher schafft die B¨ undelung der Abgeordneten in Fraktionen durchaus eine gewisse und vielleicht sogar ¨ w¨ unschenswerte Ubersichtlichkeit.

8.2.3

Transferierbarer Nutzen, die charakteristische Funktion und ein Beispiel

In der Theorie der Koalitionsspiele wird h¨aufig angenommen, dass die Auszahlungen zwischen den Teilnehmern direkt miteinander verglichen werden k¨onnen, d.h. eine Auszahlungseinheit bei Individuum i genau so zu bewerten ist wie eine Auszahlungseinheit bei einem Individuum j 6= i. Anders gesagt: Der Nutzen ist transferierbar. Dies ist immer dann auch durchaus realistisch, wenn die Auszahlungen eines konkreten Spiels in Geldeinheiten gemessen werden k¨onnen und man mit der Annahme leben kann, dass eine Geldeinheit f¨ ur alle Teilnehmer gleich viel wert ist. Unter dieser Annahme kann eine charakteristische Funktion v (C) definiert werden, die f¨ ur alle denkbaren Koalitionen C die erreichbaren Auszahlungen angibt. Die Auszahlungen beziehen sich dann immer auf die Koalition insgesamt. Wie diese Auszahlung auf die Koalitionsmitglieder verteilt wird, steht hier nicht zur Diskussion. 1 Die

Operation wird bezeichnet mit ”I u ¨ ber k”. Die Fakult¨ at einer nat¨ urlichen Zahl x ≥ 1 ist definiert x Q i. Es gilt außerdem die Konvention, dass 0! = 1.

durch x! ≡

i=1 1 Einerkoalitionen

sind keineswegs ein irrelevanter Spezialfall bei Verhandlungsspielen. Diese sind n¨ amlich genau dann optimal, wenn sich keine ”echte” Koalition mit zwei oder mehr Mitgliedern finden l¨ asst, die eine h¨ ohere gemeinsame Auszahlung generiert als durch individuell rationales Verhalten ohne Absprachen in dieser Koalition. Ohne entsprechende Kooperationsanreize wird es also auch keine Kooperation geben. 2 Dies ist eine absolut monstr¨ ose Zahl – man schreibt die Ziffern 8299 auf und h¨ angt danach 177 Nullen an. Zum Vergleich: Die Erde wiegt ca. 6 · 1024 kg, die Zahl der Atome (!) im gesamten Universum (!) wird in der Gr¨ oßenordnung 1078 vermutet. Selbst wenn man also die Zahl der Atome im Universum quadiert, w¨ are man mit 10156 noch immer einen Faktor, der dem Gewicht der Erde in kg entspricht, von der Zahl der m¨ oglichen Koalitionen im Bundestag entfernt.

160

KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

Die Ermittlung der charakteristischen Funktion ist aber auch f¨ ur eine gegebene Zuordnung von allen denkbaren Strategiekombinationen zu Auszahlungen f¨ ur alle Teilnehmer nicht trivial bzw. nicht eindeutig. Die Schwierigkeit liegt n¨amlich darin begr¨ undet, dass jeweils eine Annahme dar¨ uber getroffen werden muss, wie sich die Spieler außerhalb der gerade betrachteten Koalition verhalten. Auf die die Spieltheorie quasi begr¨ undende Monographie von von Neumann/Morgenstern (1944) geht der Vorschlag zur¨ uck, dass die charakteristische Funktion so definiert wird, dass sie die minimalen Werte benennt, die eine Koalition f¨ ur sich sicherstellen kann. Dies ist insofern ein Minimax-Wert, als es der kleinste Wert (d.h. f¨ ur das denkbar schlechteste Verhalten der Spieler außerhalb der Koalition) ist, den die Koalition durch die f¨ ur sie optimalen Strategieparameter f¨ ur sich erreichen kann. Bei der Bestimmung der f¨ ur sie optimalen Strategie rechnet eine Koalition also immer mit dem Schlimmsten. Ein denkbar einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen. Angenommen drei Spieler 1, 2 und 3 haben jeweils 2 Strategieoptionen, A und B. Es gibt in diesem Fall also 23 = 8 M¨oglichkeiten, wie diese Strategien kombiniert werden k¨onnen. Diese sind mit den damit verbundenen Auszahlungen in der nachfolgenden Tabelle 8.2 aufgelistet1 : Strategie Auszahlung

A, A, A 4, 4, 4

A, B, A 2, 5, 2

A, A, B 2, 2, 5

A, B, B 0, 3, 3

B, A, A 5, 2, 2

B, B, A 3, 3, 0

B, A, B 3, 0, 3

B, B, B 1, 1, 1

Tabelle 8.2: Ein Drei-Personen-Spiel

In der ersten Zeile sind die Kombinationen der Strategiewahlen der Spielern 1, 2 und 3 aufgelistet, in der zweiten die entsprechenden Auszahlungen f¨ ur alle drei Spieler. Zwei Merkmale sollten sofort auffallen: • Bei der Strategiekombination {A, A, A} ist die Auszahlungssumme mit 12 am h¨ochsten. • F¨ ur jeden Spieler ist B eine strikt dominante Strategie, deren Befolgung durch alle allerdings zu einer kollektiv offensichtlich ineffizienten L¨osung f¨ uhrt. Bei drei Spielern gibt es 23 − 1 = 7 verschiedene Koalitionen, konkret die große Koalition, 3 Zweier-Koalitionen und 3 Einer-”Koalitionen”. Tabelle 8.3 auf der n¨achsten Seite listet die charakteristische Funktion des Spiels aus Tabelle 8.2 auf, wobei der erste Teil das Minimax-Kriterium zugrunde legt. Auf die beiden anderen Abschnitten wird weiter unten n¨aher eingegangen. Die charakteristische Funktion ist die Zuordnung der 7 Koalitionen der ersten Zeile zu den jeweiligen Auszahlungen bzw. Auszahlungssummen. Als Gleichung kann die charakteristische Funktion unter Zugrundelegung des Minimax-Kriteriums vm (C) wie folgt geschrieben werden:   12 ∀C mit |C| = 3 4 ∀C mit |C| = 2 . vm (C) = (8.4)  1 ∀C mit |C| = 1 |C| bezeichnet die Anzahl der Mitglieder in der Koalition C. F¨ ur die große Koalition liegt das Ergebnis auf der Hand: Die Strategiekombination A, A, A liefert die h¨ochste Auszahlungssumme (in H¨ohe von 12). Da es Spieler außerhalb der Koalition gar nicht gibt, greift die ¨ Minimax-Uberlegung in diesem Fall nicht. Alle Einer-”Koalitionen” k¨onnen f¨ ur sich durch Wahl der Strategie B die Auszahlung 1 sichern. Je nach Verhalten der beiden anderen Spieler k¨onnen dann n¨amlich die Auszahlungen 5, 3 und 1 realisiert werden, w¨ahrend bei Wahl von 1 Das

Zahlenbeispiel ist entnommen dem Lehrbuch von Myerson (1991), S. 425

8.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE Koalition

{1, 2, 3}

Opt. Strategie Auszahlung

A, A, A

Opt. Strategie Auszahlung

A, A, A

Opt. Strategie Auszahlung

A, A, A

12

12

161

{1, 2} {1, 3} {2, 3} 1) Minimax-Kriterium A, A A, A A, A 4

4 4 2) Defensives Verhalten A, A A, A A, A 4

4 4 3) Rationale Drohung B, B B, B B, B

12

2

2

2

{1}

{2}

{3}

B

B

B

1

1

1

B

B

B

5

5

5

B

B

B

1

1

1

Tabelle 8.3: Drei charakteristische Funktionen ... des Spiels aus Tabelle 8.2 auf der vorherigen Seite unter Verwendung unterschiedlicher Kriterien

A die Auszahlungen 4, 2 und 0 resultieren k¨onnen. Damit wird die Einer-Koalition immer B w¨ahlen und damit mindestens die Auszahlung von 1 sicherstellen k¨onnen. Etwas aufwendiger ist die Begr¨ undung des Werts der charakteristischen Funktion f¨ ur eine Zweier-Koalition. F¨ ur {1, 2} sei die Ableitung der optimalen Strategie und der damit verbundenen Auszahlung f¨ ur diese Koalition im Detail skizziert.1 Die beiden Koalition¨are haben die M¨oglichkeit, sich auf vier verschiedene Strategiekombinationen zu einigen, wobei sie dann hinsichtlich der Wahl des Gegenspielers (d.h. von Spieler 3) das f¨ ur sie Schlechteste unterstellen. In Tabelle 8.4 sind alle Alternativen und deren Bewertung aufgelistet. Wahl von 3

Wahl von {1, 2} A, A A, B B, A B, B

4 2 5 3

A +4= +5= +2= +3=

8 7 7 6

2 0 3 1

B +2= +3= +0= +1=

Min. Wert f¨ ur {1, 2} 4 3 3 2

4 3 3 2

Tabelle 8.4: Strategiewahl einer Zweier-Koalition und Bestimmung des Werts einer charakteristischen Funktion unter Verwendung des Minimax-Kriteriums

Man sieht aus dieser Tabelle sofort, dass die Wahl von A, A im schlechtesten Fall die Auszahlung 4 generiert und daher die f¨ ur die Koalition {1, 2} beste Option darstellt – wie gesagt, wenn unterstellt wird, dass hinsichtlich der Wahl der anderen Spieler der schlechteste Fall eintritt. Wie bereits gesagt, ist das Minimax-Kriterium aber nicht alternativlos. Man k¨onnte – als zweite M¨oglichkeit f¨ ur eine Ableitung der charakteristischen Funktion – unterstellen, dass sich Koalitionen defensiv verhalten in dem Sinn, dass sie durch ihre Strategiewahl die Summe ihrer Auszahlungen maximieren unter der Annahme, dass sich alle Gegenspieler (die sog. komplement¨ are Koalition) zusammentun und ihrerseits die Summe ihrer Auszahlung maximieren. Eine Koalition unterstellt also immer ”Konspiration” seitens aller 1 Da die anderen Zweier-Koalitionen symmetrisch zu diesem Fall sind, ist die Herleitung f¨ ur die entsprechenden Werte der charakteristischen Funktion v¨ ollig identisch.

162

KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

Nicht-Mitglieder. F¨ ur die große Koalition ist die Hypothese u ¨ber das Verhalten der Anderen wiederum uninteressant. F¨ ur das Beispiel aus Tabelle 8.2 auf Seite 160 sind aber nun die ¨ Uberlegungen f¨ ur Einer- und Zweier-Koalitionen in der folgenden Tabelle 8.5 zusammengefasst.1 F¨ ur alle denkbaren Strategiewahlen werden die Auszahlungsvektoren f¨ ur eine Einerund die dazu komplement¨are Zweier-Koalition angegeben. Aufgrund der Symmetrie k¨onnte die Einer-Koalition auch aus {1} oder {2} bestehen (mit entsprechender Modifikation f¨ ur die komplement¨aren Koalitionen), ohne dass sich die Auszahlungsvektoren ¨andern w¨ urden. {2, 3 } 1 A B

A, A (4, 8) (5, 4)

A, B (2, 7) (3, 3)

B, A (2, 7) (3, 3)

B, B (1, 2) (1, 2)

Tabelle 8.5: Strategiewahl von Einer- und Zweierkoalitionen bei defensivem Verhalten Die jeweils erste Zahl gibt die Auszahlung von {1}, die zweite die Auszahlungssumme f¨ ur {2, 3} an.

Man sieht unmittelbar, dass B f¨ ur {1} sowie A, A f¨ ur die Koalition {2, 3} (schwache) dominante Strategiewahlen darstellen und damit Auszahlungen von 5 f¨ ur die Einer-Koalitionen und 4 f¨ ur die Zweier-Koalitionen verbunden sind. Die charakteristische Funktion vd (C) f¨ ur defensives Verhalten w¨are damit gegeben durch   12 ∀C mit |C| = 3 4 ∀C mit |C| = 2 . (8.5) vd (C) =  5 ∀C mit |C| = 1 Als drittes Kriterium kann schließlich noch angenommen werden, dass Koalitionen versuchen, den Abstand ihrer Auszahlungen zu den Auszahlungen der komplement¨ aren Koalition zu maximieren und damit eine rationale Drohung auszusprechen. Die Bewertung der Strategiekombinationen erfolgt hier also nicht direkt mit den Auszahlungen, sondern mit dem Abstand der erreichten Auszahlungen zu den von der komplement¨aren Koalition erreichten Auszahlungen. Dieser Abstand wird ermittelt, in dem einfach die Werte in jedem Auszahlungsvektor in Tabelle 8.5 voneinander subtrahieret werden. Dies ist in Tabelle 8.6 erfolgt. {2, 3} {1} A B

A, A (-4, 4) (1, -1)

A, B (-5, 5) (0, 0)

B, A (-5, 5) (0, 0)

B, B (-1, 1) (-1, 1)

Tabelle 8.6: Strategiewahl von Einer- und Zweierkoalitionen bei rationalen Drohungen Die jeweils erste Zahl gibt u ({1})−u ({2, 3}) an, die zweite den Abstand u ({2, 3})−u ({1}).

B ist hier f¨ ur die Einer-Koalition eine dominante Strategie. Gegeben diese Wahl, entschließt sich die Zweier-Koalition f¨ ur die Strategie B, B. Die resultierenden Auszahlung(ssumm)en sind mithin 2 f¨ ur eine Zweier-Koalition und 1 f¨ ur eine Einer-Koalition unter der Annahme rationaler Drohungen. Die charakteristische Funktion vrD (C) lautet damit 1 Man kann dies deswegen sehr einfach machen, weil ja in einem Drei-Personen-Spiel zu jeder EinerKoalition die Zweier-Koalition die komplement¨ are Koalition ist und auch vice versa zu jeder Zweier-Koalition eine Einer-Koalition komplement¨ ar ist.

8.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE

163

  12 ∀C mit |C| = 3 2 ∀C mit |C| = 2 . vrD (C) =  1 ∀C mit |C| = 1

(8.6)

Nat¨ urlich m¨ ussen die drei Kriterien (m, d, rD) nicht notwendigerweise zu unterschiedlichen charakteristischen Funktionen f¨ uhren. Man spricht von orthogonalen Koalitionen, wenn das Kriterium in der Tat keine Rolle f¨ ur die Gestalt der charakteristischen Funktion spielt. Hinsichtlich der Beurteilung des Kooperationspotentials ist die Eigenschaft der Superadditivit¨ at der charakteristischen Funktion von Bedeutung. F¨ ur zwei sich nicht u ¨berschneidende Koalitionen C1 und C2 liegt diese Eigenschaft vor, wenn ein Zusammengehen dieser beiden Koalition zu mindestens dem gleichen Ergebnis f¨ uhrt wie eine getrennte Optimierung. Formal ausgedr¨ uckt ist also eine charakteristische Funktion superadditiv, wenn f¨ ur C1 ∩ C2 = ∅ immer gilt, dass v (C1 ∪ C2 ) ≥ v (C1 ) + v (C2 ). Eine nach dem MinimaxKriterium ermittelte charakteristische Funktion weist diese Eigenschaft immer auf, f¨ ur die beiden anderen benutzten Kriterien ist dies nicht notwendigerweise der Fall.

8.2.4

Der Shapley-Shubik-Index

Viele Verhandlungs- und auch Abstimmungssituationen finden statt in einem Kontext, in dem nicht jeder alles machen kann – oder in dem eine gewisse ”Ordnung” im Verhalten der Mitglieder zumindest nicht unplausibel ist. Als Beispiel daf¨ ur sei das Abstimmungsverhalten im Bundestag genannt. Bei den meisten Abstimmungen verhalten sich hier die Abgeordneten einer Fraktion aufgrund von Fraktionssolidarit¨at bzw. Fraktionsdisziplin1 einheitlich. Nun kann man sich Koalitionen innerhalb der vier Fraktionen vorstellen und sich die Frage stellen, wie m¨achtig eine bestimmte Fraktion ist. Ein erstes und auf der Hand liegendes Maß daf¨ ur w¨are nat¨ urlich einfach die (relative) Fraktionsst¨arke heranzuziehen. Tabelle 8.7 beinhaltet die Daten f¨ ur Anfang 20052 – die beiden letzten Zeilen werden noch erkl¨art werden.

Anzahl Abgeordnete Relative Fraktionsst¨arke ShapShu I ShapShu II

SPD

CDU/CSU

249 41,639 1/3 1/2

247 41,304 1/3 1/2

B90/Die Gr¨ unen 55 9,197 1/3 0

FDP 47 7,860 0 0

Tabelle 8.7: Wie m¨achtig sind die einzelnen Fraktionen im Dt. Bundestag?

Es ergibt sich das nat¨ urlich bekante Bild von zwei ¨ahnlich großen Fraktionen, die aber ohne Koalition keine eigene (einfache) Mehrheit zustande bringen. Dar¨ uber hinaus gibt es zwei deutlich kleinere Fraktionen, die aber untereinander nicht dramatisch unterschiedlich sind - oder jedenfalls nicht zu sein scheinen. 1 Ein formaler Fraktionszwang ist in Deutschland aufgrund von Art. 38 (1) GG nicht verfassungsgem¨ aß. Dort heißt es: ”Die Abgeordneten des Deutschen Bundestages werden in allgemeiner, unmittelbarer, freier, gleicher und geheimer Wahl gew¨ ahlt. Sie sind Vertreter des ganzen Volkes, an Auftr¨ age und Weisungen nicht gebunden und nur ihrem Gewissen unterworfen.” 2 Es gab zu diesem Zeitpunkt drei fraktionslose Abgeordnete im Deutschen Bundestag, n¨ amlich zwei Abgeordnete der PDS sowie der von der CDU/CSU-Fraktion aufgrund mangelnden Geschichtsverst¨ andnisses ausgeschlossene Abgeordnete Martin Hohmann. Diese werden aus der folgenden Analyse aus Vereinfachungsgr¨ unden ausgeschlossen, d.h. der Bundestag ”schrumpft” auf die 598 Abgeordneten mit Fraktionszugeh¨ origkeit.

164

KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

Denn die Fraktionsst¨arke an sich sagt noch nichts direkt aus f¨ ur die Macht einer Fraktion bei einer konkreten Abstimmung. Daf¨ ur ist es notwendig zu kl¨aren, ob sie in irgendeiner denkbaren Koalition das entscheidende Z¨ unglein auf der Waage sein, d.h. eine pivotale Rolle spielen kann. Da von vorneherein keine Koalition ausgeschlossen werden soll, werden einfach alle denkbaren Konstellationen durchgespielt. Dies geschieht wie folgt: • Man ordnet alle Fraktionen in allen denkbaren Konstellationen an. Bei I Fraktionen ergibt dies I! M¨oglichkeiten, dies zu tun. • Man geht all diese M¨oglichkeiten durch und fragt jeweils, welche Fraktion die pivotale Rolle spielt, d.h. die f¨ ur die Erreichung einer Mehrheit notwendige Stimme beibringt. • Anschließend wird gefragt, in welchem Anteil der I! M¨oglichkeiten, eine Fraktion die pivotale Rolle spielt. Diese Zahl wird als Shapley-Shubik-Index bezeichnet. Es leuchtet sofort ein, dass im zweiten der gerade genannten Schritte die konkrete Abstimmungsregel von entscheidender Bedeutung ist. In der nachfolgenden Analyse werden hier zwei wichtige Spezialf¨alle untersucht, n¨amlich zum einen die u ¨bliche Mehrheitsentscheidung, bei der es mehr als 50% der Stimmen braucht und zum anderen die 2/3Mehrheitsentscheidung, die es in Deutschland f¨ ur Verfassungs¨anderungen braucht. Die vier Fraktionen lassen sich auf 4! = 24 verschiedene Weisen anordnen. Bei 598 Mitgliedern ist die einfache Mehrheit erreicht, wenn das 300. Mitglied erreicht ist. Die Fraktion, die diesen Abgeordneten in ihren Reihen hat, ist also die pivotale Fraktion. F¨ ur eine 2/3Mehrheit spielt der 399. Abgeordnete diese Rolle. In der nachfolgenden Tabelle 8.8 auf der n¨achsten Seite werden alle Konstellationen gezeigt. Die Konstruktion der ersten Konstellation (1-2-3-4) wird hier n¨aher erl¨autert: Wenn zun¨achst Fraktion 1 ihre 249 Stimmen abgibt und logisch ”danach” Fraktion 2 ihre 247, so verf¨ ugt letztere sowohl u ¨ber die 300. als auch u ¨ber die 399. Stimme und ist damit sowohl bei Entscheidungen mit einfacher Mehrheit als auch bei Entscheidungen, die eine 2/3-Mehrheit erfordern pivotal. Dasselbe gilt nat¨ urlich auch f¨ ur die n¨achste Konstellation, da es ja auf die Reihenfolge der Fraktionen 3 und 4 in diesem Fall nicht ankommt. Das Ergebnis der Analyse ist zumindest auf den ersten Blick u ¨berraschend: Obwohl Fraktion 3 sehr viel kleiner ist als die Fraktionen 1 und 2 ist sie bei Abstimmungen mit einfacher Mehrheit gleich m¨achtig wie die großen. Die Intuition daf¨ ur ist recht einfach: Die kann als Mehrheitsbeschafferin f¨ ur zwei andere Fraktionen dienen – und genau das gleiche gilt auch f¨ ur diese gr¨oßeren. Im Gegensatz dazu wird der Fraktion 4 ein Shapley-ShubikIndex von Null zugeordnet, weil sie in keiner denkbaren Zweier-Koalition f¨ ur die Mehrheit sorgen kann und es sie in keiner denkbaren Dreier-Koalition, in der sie Mitglied sein k¨onnte (das sind die Koalitionen {1, 2, 4}, {2, 3, 4} und {1, 3, 4}) f¨ ur die Mehrheit braucht. F¨ ur Entscheidungen mit die 2/3-Mehrheit ¨andert sich das Bild deutlich: Hier teilen sich die beiden großen Fraktionen 1 und 2 die Macht untereinander auf, weil ihre gemeinsame Mitwirkung immer sowohl notwendig als auch hinreichend ist. Der kleine Gr¨oßenunterschied spielt keinerlei Rolle, da es f¨ ur keine Fraktion ohne die jeweils andere geht. Die beiden unteren Zeilen in Tabelle 8.7 auf der vorherigen Seite zeigen die ShapleyIndices f¨ ur die vier Fraktionen und machen noch einmal den zentralen Punkt deutlich, dass n¨amlich ein einfacher Blick auf die Stimmenanteile keineswegs hinreichend ist, um die wahre Abstimmungsst¨arke einer Fraktion beurteilen zu k¨onnen. Die Konstruktion des Shapley-Shubik-Index kann auch formal nachvollzogen werden. Er errechnet sich f¨ ur einen Spieler i ∈ I wie folgt: Shapley-Shubik-Indexi =

X C ⊂ {1, . . . , I} ∧ i ∈ C i ist pivotal

(|C| − 1)! (I − |C|)! I!

(8.7)

8.2. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE

Permutation 1-2-3-4 1-2-4-3 1-3-2-4 1-3-4-2 1-4-2-3 1-4-3-2 2-1-3-4 2-1-4-3 2-3-1-4 2-3-4-1 2-4-1-3 2-4-3-1 3-1-2-4 3-1-4-2 3-2-1-4 3-2-4-1 3-4-1-2 3-4-2-1 4-1-2-3 4-1-3-2 4-2-1-3 4-2-3-1 4-3-1-2 4-3-2-1 Summe: ShapShu

Einfache Mehrheit Pivotstimme: Nr. 300 1 2 3 4 (249) (247) (55) (47) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 8 8 8 0 1/3 1/3 1/3 0

165

2/3-Mehrheit Pivotstimme: Nr. 399 1 2 3 4 (249) (247) (55) (47) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 12 12 0 0 0,5 0,5 0 0

Tabelle 8.8: Die Ermittlung des Shapley-Shubik-Index f¨ ur die Fraktionen des Dt. Bundestags

166

KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

Dabei bezeichnet |C| die Anzahl der Mitglieder in einer Koalition C. (8.7) bedarf sicherlich der Erl¨auterung. Im Gegensatz zur Konstruktion ”zu Fuß” in Tabelle 8.8 auf der vorherigen Seite wird nicht u ¨ber alle I! Permutationen der Spieler summiert, sondern ”nur” u ¨ber die Teilmenge der aus den I Spielern denkbaren Koalitionen, in denen Spieler i Mitglied ist. Dar¨ uber hinaus werden nur diejenigen Koalitionen ber¨ ucksichtigt, in denen i eine pivotale Rolle spielen kann. In einer großen Koalition kann kein einzelnes Mitglied pivotal sein, daher wurde diese bei der Summierung in (8.7) außen vor gelassen.1 Der Ausdruck im Summenzeichen ist ”einfach” die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass i das pivotale Mitglied auch wirklich stellt – so ist es ja beispielsweise bei der Koalition {1, 2} gleich wahrscheinlich, 1 bzw. 2 pivotal sind. Dies soll kurz erl¨autert werden: Der Ausdruck (|C| − 1)! gibt die Zahl der m¨oglichen Permutationen der aus Sicht von i anderen Koalitionsmitgliedern an, (I − |C|)! die Zahl der Permutationen, die mit Spielern außerhalb von C vorgenommen werden k¨onnen. Das Produkt – also der Z¨ahler des Summanden – gibt damit die Zahl der Permutationen an, in denen i pivotales Mitglied von C ist. Wird dies durch die Gesamtzahl aller denkbaren Permutationen I! dividiert, erh¨alt man die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, dass i als pivotales Mitglied von C die Abstimmung letztlich entscheiden kann. Die Anwendung von (8.7) illustriert das relativ zur Betrachtung jeder einzelnen Permutation enorme Vereinfachungspotential der Berechnung. F¨ ur den Shapley-Shubik-Index der Fraktion 1 bei Abstimmungen mit 50%-Mehrheiten kann man sich n¨amlich sehr schnell das folgende klar machen: • Pivotal kann 1 nur in Zweier- und Dreier-Koalitionen sein. In der Einer-Koalition {1} kann keine Mehrheit erreicht werden, in der großen Koalition braucht es 1 nicht f¨ ur das Erreichen einer Mehrheit. • 1 ist Mitglied in drei Zweier-Koalitionen und kann in allen zweien davon pivotal sein, n¨amlich in allen außer in der Koalition mit 4. • 1 ist ebenfalls Mitglied in drei Dreier-Koalitionen, allerdings nicht potentiell pivotal in der Koalition mit 2 und 3, da diese beiden eine eigene Mehrheit zustande bringen werden. • Daraus folgt, dass die relevanten Koalitionen, die die Summationsbedingung f¨ ur 1 erf¨ ullen die folgenden sind: {1, 2}, {1, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 4}. Damit l¨asst sich (8.7) wie folgt anwenden: Shapley-Shubik-Index1

= =

(2 − 1)! (4 − 2)! (3 − 1)! (4 − 3)! ·2+ ·2 4! 4! 2 1 ·4= , 24 3

(8.8)

was nat¨ urlich dem Ergebnis aus Tabelle 8.8 auf der vorherigen Seite entspricht.

8.3

L¨ osungskonzepte f¨ ur Koalitionsspiele

¨ Die bisherigen Uberlegungen konnten nicht – oder jedenfalls nicht unmittelbar – daf¨ ur herangezogen werden, eine L¨osung f¨ ur eine kooperative Verhandlungssituation mit der M¨oglichkeit von Koalitionsbildungen anzugeben oder auch nur einzugrenzen, wie dies im Kontext ohne Koalitionsbildungen mit der Nash- oder der Kalai-Smorodinsky-L¨osung erfolgte. Die Literatur u ¨ber kooperative Koalitionsspiele hat eine große Zahl unterschiedlicher L¨osungskonzepte erarbeitet, die alle jeweils plausible, aber eben nicht alternativlose Anforderungen an die L¨osung stellen. Dies ist insofern eine ”unsch¨one” Situation als eine eindeutige 1 Es

m¨ usste sonst in der Summierungsbedingung C ⊆ {1, . . . , I} heißen.

¨ ¨ KOALITIONSSPIELE 8.3. LOSUNGSKONZEPTE FUR

167

L¨osung in einem solchen Kontext sehr h¨aufig nicht gegeben werden kann. Allerdings traf dies ja selbst f¨ ur Situationen zu, in denen es ausschließlich um individuelle Rationalentscheidun¨ gen ging und Uberlegungen einer Gruppenrationalit¨at keinerlei Rolle spielten. Neben der Tatsache, dass es mehrere L¨osungskonzepte gibt, liefern auch nicht alle L¨osungskonzepte ein eindeutiges Ergebnis. Einige Konzepte grenzen n¨amlich nur einen Bereich ab, in dem die L¨osung liegen muss bzw. nicht liegen kann. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem Bereichskonzept, oder synonym von einem Mengenansatz. Entscheidender Punkt ist, dass es keine L¨osungsfunktion gibt, d.h. eine ein-eindeutige Zuordnung von den Charakteristika der Situation zu den resultierenden Auszahlungen, sondern nur eine Korrespondenz. Es gibt allerdings auch sog. Wertkonzepte, die eine eindeutige L¨osung angeben. Im Folgenden werden zwei Bereichskonzepte (Imputationsmenge sowie der Kern eines Spiels) und ein Wertkonzept (Shapley-Wert) n¨aher charakterisiert. Weitere Konzepte wie z.B. die Verhandlungsmenge, der Kernel und der Nucleolus eines Spiels werden hier nicht betrachtet. Es handelt sich dabei um weitere Verfeinerungen des Kerns.

8.3.1

Imputationsmenge eines Spiels

Die Imputationsmenge eines Spiels besteht aus allen Auszahlungen, die den beiden Kriterien der individuellen Rationalit¨ at und der Gruppenrationalit¨ at(oder kollektive Rationalit¨ at) gen¨ ugen. Man kann dies alternativ auch so ausdr¨ ucken, dass man von Allokationen in der Imputationsmenge verlangt, dass sie weder durch Einer-Koalitionen noch durch die große Koalition verworfen werden. Formal: Eine Allokation ui ≡ {u1 , . . . , uI } ist in der Imputationsmenge eines Spiels, wenn gilt, dass P

ui = v ({I})

(Gruppenrationalit¨at)

i∈I

∀i : ui ≥ v ({i}) (individuelle Rationalit¨at)

.

(8.9)

v ({I}) ist die Auszahlung, die die große Koalition f¨ ur sich garantieren kann, die Auszahlungen in den Einer-Koalitionen sind durch die entsprechenden Werte der charakteristischen Funktion v ({i}) gegeben. Man beachte, dass f¨ ur eine Angabe der Imputationsmenge – wie auch f¨ ur die anderen der nachfolgend diskutierten Konzepte – die charakteristische Funktion bekannt sein muss. Wie in Abschnitt 8.2.3 auf Seite 159 gesehen, k¨onnen bereits hier unterschiedliche Kriterien angewandt werden, die auch zu unterschiedlichen charakteristischen Funktionen f¨ uhren, wenn es sich nicht um orthogonale Koalitionen handelt. F¨ ur das 3-Personenspiel aus Tabelle 8.2 auf Seite 160 und die charakteristische Funktion vm (C), die mit Hilfe des Minimax-Kriteriums abgeleitet wurde, sei das Konzept sofort angewandt. Aus 8.4 ist klar, dass jeder Spieler f¨ ur sich die Auszahlung 1 garantieren kann. Damit geh¨ oren die Auszahlungen aus den Strategiekombinationen A, B, B sowie B, B, A und B, A, B nicht zur Imputationsmenge, da hier das Kriterium der individuellen Rationalit¨at verletzt w¨ are. Das Kriterium der Gruppenrationalit¨at ist aber nur erf¨ ullt bei der Strategiekombination A, A, A, so dass der damit verbundene Auszahlungsvektor einziges Element im Kern dieses Spiels ist. Es ist auch denkbar, dass die Imputationsmenge gar keine L¨osung liefert, d.h. der leeren Menge entspricht. Dies ist der Fall, wenn in dem gleichen 3-Personenspiel aus Tabelle 8.2 auf Seite 160 f¨ ur die Ableitung der charakteristischen Funktion unter der Hypothese defensiven Verhaltens f¨ uhrt. In diesem Fall ist – wie aus 8.5 ersichtlich – v ({i}) = 5. Es gibt jedoch keine Strategiekombination, die diese (oder einen h¨ohere) Auszahlung f¨ ur alle Spieler liefert. Damit w¨are vor dem Hintergrund dieser charakteristischen Funktion f¨ ur jede denkbare Allokation das Kriterium der individuellen Rationalit¨at verletzt. Damit ist die Imputationsmenge in diesem Fall leer.

168

KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

8.3.2

Der Kern eines Spiels

Der Kern eines Spiels (englisch: core) verfeinert das Konzept der Imputationsmenge weiter, ist aber auch ein Bereichskonzept, d.h. kann mehrere L¨osungen beinhalten. Das Konzept verlangt von einer m¨oglichen L¨osung, dass es keine Koalition gibt, die diese L¨osung verwerfen kann bzw. ein Interesse daran hat. Wenn eine L¨osung von irgendeiner Koalition verworfen werden kann, so geh¨ort sie nicht zum Kern. Damit ist der Kern eine Teilmenge der Imputationsmenge. Wie im letzten Abschnitt gesehen, verlangte die Imputationsmenge ja, dass eine Allokation nicht von Einer-Koalition und auch nicht von der großen Koalition verworfen wird. Der Kern dehnt dieses Kriterium auf alle denkbaren Koalitionen aus. Formal: Eine Allokation ui ≡ {u1 , . . . , uI } ist im Kern eines Spiels, wenn gilt, dass X ui ≥ v (C) ∀C ⊆ I. (8.10) i∈C

(8.10) muss dabei von allen aus den I Spielern zu bildenden Koalitionen C erf¨ ullt werden. In dem Spiel aus Tabelle 8.2 ist nat¨ urlich nur die Strategiekombination A, A, A bzw. die damit verbundene Allokation im Kern, da nur hier das bereits von der Imputationsmenge verlangte Kriterium der Gruppenrationalit¨at erf¨ ullt wird. Ein sehr wichtiger Anwendungsbereich des Kerns betrifft das allgemeine Tauschgleich¨ gewicht in einer Wettbewerbs-Okonomie. Hier zeigte F.Y. Edgeworth schon Ende des 19. Jahrhunderts, dass der Preismechanismus daf¨ ur sorgt, dass Allokationen entlang einer Kontraktkurve gefunden werden. Da diese sowohl individuell als auch f¨ ur die gesamte Gruppe bzw. irgendeine denkbare Koalition rational sind, entspricht die Kontraktkurve dem Kern einer Tausch¨okonomie. Allerdings sind die u ¨blichen Darstellungen mit 2 G¨ utern (die es mindestens braucht, damit etwas getauscht werden kann) und 2 Personen (die es f¨ ur einen Tausch nat¨ urlich auch wenigstens braucht) nicht dazu geeignet, Koalitions¨ uberlegungen in einem Mehr-Personen-Kontext anzustellen.

8.3.3

Der Shapley-Wert eines Spiels

Der Shapley-Wert eines Spiels ist eine im Grunde sehr nahe liegende Erweiterung bzw. Verallgemeinerung des Shapley-Shubik-Machtindexes und ist in der Lage, eine einwertige L¨osung eines kooperativen Koalitionsspiels zu generieren. Dabei wird jedem Spieler eine eindeutige Auszahlung aus dem Spiel zugeordnet. Das Konzept baut genau wie die NashVerhandlungsl¨osung auf einigen plausiblen, aber wiederum nicht vollkommen alternativlosen Axiomen auf. Daher gibt es auch im Bereich der Wertkonzepte eine Vielzahl alternativer Konzepte. Der Shapley-Wert eines Koalitionsspiels ist definiert als Shapley-Werti =

X C⊂{1,...,I}∧ i∈C

(|C| − 1)! (I − |C|)! · [v (C) − v (C ohne {i})] I!

(8.11)

In der eckigen Klammer steht der Nutzenzuwachs f¨ ur eine Koalition C durch den Beitritt von i erf¨ahrt. Dieser Zuwachs ist nat¨ urlich nur dann von Null verschieden, wenn i eine pivotale Rolle spielt. Insofern kann die Summierungsbedingung des Shapley-Shubik-Index ”i ist pivotal” hier vernachl¨assigt werden. Wie bereits im Zusammenhang mit diesem Index ausf¨ uhrlich erl¨autert, gibt der Bruch vor der eckigen Klammer die Wahrscheinlichkeit an, mit der i wirklich die pivotale Rolle innehat. Der Nutzenzuwachs durch i kann hier jeden beliebigen Wert betragen, w¨ahrend bei der Berechnung des Shapley-Shubik-Index dieser Wert auf 1 normiert wurde. Die Interpretation des Shapley-Wertes ist unmittelbar einleuchtend: Eine Spieler i erh¨alt einen Betrag, der sich aus dem von ihm zu leistenden marginalen Beitrag zu jeder denkbaren Koalition ergibt. Wie bereits gesehen, kann dieser Wert trotz positiver Stimmanteile Null sein und h¨angt auch davon ab, ob einer bestimmte Abstimmungsregel Anwendung findet bzw. wie genau diese ausgestaltet ist.

8.4. WEITERE BEI-(SPIELE)

8.4

169

Weitere Bei-(Spiele)

In diesem Abschnitt werden zwei weitere Spiele besprochen, deren Eigenschaften aufschlussreich f¨ ur die in diesem Kapitel eingef¨ uhrten Konzepte sind. Verteilungsspiele Im Folgenden werden drei Varianten eines einfachen Verteilungsspiels eingef¨ uhrt, in dem es darum geht, eine Summe von 300 (Geldeinheiten) auf drei Personen zu verteilen. F¨ ur alle Varianten muss also gelten, dass die Summe der Zahlungen x1 + x2 + x3 ≤ 300 ist. Negative Auszahlungen werden ausgeschlossen, d.h. ∀i : xi ≥ 0. Variante A sieht vor, dass sich alle drei Spieler auf eine bestimmte Allokation einigen und daher den gleichen Vorschlag machen m¨ ussen. Ist dies nicht der Fall, gibt es f¨ ur niemanden eine Auszahlung. Bezeichnet man mit si die Strategie von Spieler i, die jeweils aus einem Vektor von Auszahlungsvorschl¨agen besteht, d.h. si = (x1 , x2 , x3 ), i ∈ {1, 2, 3}, so ist das Spiel wie folgt definiert: P ur s1 = s2 = s3 = (x1 , x2 , x3 ) , xi ≤ 300 uA i (s1 , s2 , s3 ) = xi f¨ i (8.12) uA ur sj 6= sk f¨ ur beliebige j, k i (s1 , s2 , s3 ) = 0 f¨ In Variante B m¨ ussen f¨ ur die positive Aussch¨ uttung sich nur die Spieler 1 und 2 einig sein und einen durchf¨ uhrbaren Vorschlag unterbreiten. Das Verhalten von Spieler 3 hat in diesem Fall keinerlei Einfluss auf die Auszahlungen. Dies kann ausgedr¨ uckt werden als P uB ur s1 = s2 = (x1 , x2 , x3 ) , xi ≤ 300 i (s1 , s2 , s3 ) = xi f¨ i (8.13) A ui (s1 , s2 , s3 ) = 0 f¨ ur s1 6= s2 Schließlich wird in Variante C zugelassen, dass sich eine beliebige Koalition aus (mindestens) zwei Spielern findet, die den gleichen durchf¨ uhrbaren Vorschlag unterbreiten. Damit gilt P uC ur sj = sk = (x1 , x2 , x3 ) f¨ ur beliebige j, k, xi ≤ 300 i (s1 , s2 , s3 ) = xi f¨ i . (8.14) ur s1 6= s2 6= s3 6= s1 uC i (s1 , s2 , s3 ) = 0 f¨ Die charakteristischen Funktionen dieser drei Varianten werden nach dem MinimaxKriterium ermittelt, d.h. geben an, was ein einzelner Spieler bzw. eine Koalition mindestens f¨ ur sich sicherstellen kann. Dann ergibt sich sofort ½ 0 f¨ ur |C| ∈ {1, 2} A v (C) = (8.15) 300 f¨ ur |C| = 3 ½

B

300 f¨ ur |C| = 3 und C = {1, 2} 0 sonst ½ 0 f¨ ur |C| = 1 v C (C) = 300 f¨ ur |C| ∈ {2, 3}

v (C) =

(8.16) (8.17)

Die Imputationsmenge besteht hier bei allen drei Varianten aus allen denkbaren Allokationen, die mit Auszahlungen, die sich auf 300 addieren, verbunden sind. Keine dieser Allokationen widerspricht der Anforderung der Gruppenrationalit¨at, da die große Koalition in allen drei F¨allen 300 f¨ ur sich sicherstellen kann. Der Vorschlag ist aber auch individuell rational, weil in keinem der drei F¨alle die Einer-Koalitionen einen positiven Betrag sichern k¨onnen. Irgendeine Art von Kooperation wird in allen drei Varianten verlangt. Das Beispiel zeigt, dass die Imputationsmenge hier kaum eine Hilfestellung bietet und praktisch nichts verbietet. Insb. wird auch der dem gesunden Menschenverstand sofort evidenten Machstellung der Spieler 1 und 2 in Variante B keinerlei Rechnung getragen.

170

KAPITEL 8. KOALITIONSSPIELE

Betrachten wir also den Kern dieser drei Verteilungsspiele. F¨ ur Variante A l¨asst der Kern wiederum alle Allokationen zu, bei denen sich die Auszahlungen auf 300 addieren, wobei aber alle nicht-negativen Betr¨age f¨ ur die einzelnen Spieler zul¨assig sind. Die Intuition daf¨ ur ist, dass aufgrund der Erfordernis der Einstimmigkeit des Vorschlags Zweier-Koalitionen genauso wenig einen positiven Betrag durchsetzen k¨onnen wie Einer-Koalitionen. Dies ¨andert sich in Variante B. Hier kann die Zweier-Koalition C = {1, 2} die Auszahlungssumme unter sich aufteilen, w¨ahrend das Verhalten von Spieler 3 unerheblich ist. Daher sind alle Allokationen mit x1 + x2 = 300, x3 = 0. F¨ ur die Aufteilung der Auszahlung auf die Spieler in der Koalition impliziert die Theorie kooperativer Spiele nichts.1 In Variante C ist hingegen der Kern leer. Hier kann jede Zweier-Koalition die komplette Auszahlung f¨ ur sich sicherstellen. Dann ginge aber der ausgeschlossene Spieler leer aus. Dieser k¨onnte aber seinerseits Mitglied einer anderen Zweier-Koalition sein, die wiederum den dann ausgeschlossenen Spieler ausbeutet. Nat¨ urlich ist dieses Argument zirkul¨ar, l¨auft aber darauf hinaus, dass es keine denkbare Allokation gibt, die nicht von einer bestimmten Zweier-Koalition angegriffen w¨ urde. Das Kriterium (8.10) kann nicht erf¨ ullt werden. Das Handschuhspiel Angenommen, 100 Personen besitzen einen linken, 101 andere Personen einen rechten Handschuh. Ansonsten sind die Handschuhe nicht unterschiedlich. Ein einzelner Handschuh habe den Wert 0, ein passendes Paar hingegen der Wert von 1. Die Mengen der Personen seien hier mit L bzw. R bezeichnet. Die charakteristische Funktion ordnet also jeder denkbaren Koalition der insgesamt 201 Personen2 die Anzahl der in dieser Koalition ”zusammenfindenden” Paare zu, d.h. v (C) = min (|C ∩ L| , |C ∩ R|) . In diesem Fall besteht der Kern aus nur einer einzigen Allokation, n¨amlich ½ 1 f¨ ur i ∈ L ui = 0 f¨ ur i ∈ R

(8.18)

(8.19)

In Worten: Die Besitzer der linken Handschuhe k¨onnen die gesamte Auszahlung an sich ziehen, die Besitzer der rechten Handschuhe gehen leer aus. Die Intuition daf¨ ur ist folgende: Angenommen, ein Spieler aus R habe eine positive Auszahlung. Dann haben die anderen 200 Spieler notwendigerweise weniger als die Auszahlung von 100. Von dieser Position kann sich die Koalition der 200 Spieler offensichtlich verbessern, da man ja unter sich 100 Paare hat und damit die Auszahlung von 100 nicht mit dem 101. Spieler teilen muss. Diese Logik gilt nat¨ urlich f¨ ur alle Besitzer rechter Handschuhe. Diese werden ausbeutbar, weil es von ¨ ihrem Gut ein – wenn auch nur marginales – Uberangebot gibt. Nat¨ urlich ist die Allokation (8.19) insofern nicht stabil als sie komplett umkippen w¨ urde, ¨ wenn sich noch zwei weitere linke Handschuhe anfinden und damit das Uberangebot ”die Seite wechselt”.3

1 Man k¨ onnte die Situation aber als ein zus¨ atzliches Spiel modellieren. Ohne weitere modellexogene Struktur ist dies isomorph dem hier eingef¨ uhrten Verteilungsspiel der Variante A f¨ ur nur 2 Spieler. 2 Das

ist wieder eine unvorstellbar große Zahl (in etwa 3, 21 · 1060 ).

3 Man kann f¨ ur solche Situationen das Konzept eines ”ε-Kerns” anwenden, der auch Allokationen zul¨ asst, die Auszahlungssummen f¨ ur eine Koalition knapp unterhalb des Wertes der charakteristischen Funktion zul¨ asst. Vgl. dazu Myerson (1991), p. 430.

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