Numerische Physik (Springer Lehrbuch)

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Author: Harald Wiedemann

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Springer-Lehrbuch

3 Berlin Heidelberg New York Hongkong London Mailand Paris Tokio

Harald Wiedemann

Numerische Physik ¨ Mit 72 Abbildungen, zahlreichen Ubungen und einer CD-ROM mit Beispielprogrammen und Programmpaketen

13

Dr. Harald Wiedemann Hattsteinstr. 6 79423 Heitersheim, Deutschland e-mail: [email protected]

ISBN 3-540-40774-x Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

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Meinen Eltern

Vorwort

Die letzten Jahre waren vom ungeheuren Siegeszug des Computers gepr¨agt: Er hielt zun¨ achst Einzug in große Computers¨ ale der Konzerne, dann drang er auch in kleinere Firmen vor, eroberte unsere Arbeitspl¨atze und ﬁndet sich mittlerweile in fast jedem Haushalt. Er u ¨bernimmt verschiedenste Aufgaben, wie die Verwaltung von Lagerbest¨ anden oder von Konten, die Berechnung der Sicherheit unserer Autos, dient als Schreibmaschine ebenso wie als Stereoanlage oder Fernseher – die Liste ließe sich fast beliebig fortsetzen. Schon als Computer noch die Ausmaße von Schr¨ anken hatten, wurden Sie intensiv in der Forschung eingesetzt, und das nicht nur als der schon oben erw¨ahnte Schreibmaschinenersatz, um Diplom- oder Doktorarbeiten sowie Ver¨oﬀentlichungen niederzuschreiben. Auch bei der eigentlichen Forschung, also der Gewinnung neuen Wissens, ist der Computer zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel geworden. In der Physik wird der Computer im Wesentlichen zu drei unterschiedlichen Aufgabengebieten herangezogen: zum einen f¨ ur die Erstellung von Graﬁken und Texten, zum zweiten zur Steuerung und Auswertung von Messabl¨aufen in der Experimentalphysik und zum dritten zur numerischen Auswertung von Gleichungen in der Theoretischen Physik. In j¨ ungster Zeit gewinnt dar¨ uber hinaus der Computer eine Bedeutung als Hilfsmittel bei der algebraischen Auswertung komplizierter Ausdr¨ ucke. In diesem Buch werden wir uns lediglich mit dem dritten Aspekt, also der numerischen Physik, besch¨aftigen, wobei wir jedoch nicht umhin kommen, die so gewonnenen Ergebnisse auch graﬁsch darzustellen, so dass der an erster Stelle genannte Gesichtspunkt – wenn auch nur am Rande – ins Spiel kommt. Wenn man ein Buch u ¨ber numerische Physik schreiben will, sollte man sich zun¨ achst fragen, welche Hilfsmittel ein theoretischer Physiker in diesem Aufgabengebiet einsetzt und welche Kenntnisse er f¨ ur seine Arbeit ben¨otigt. Bei den Arbeitsmitteln ist in erster Linie neben einem m¨oglichst leistungsf¨ahigen Computer ein Compiler einer h¨ oheren Programmiersprache (z.B. C/C++ oder FORTRAN) zu nennen. Da der Physiker allerdings m¨oglichst wenig seiner Zeit opfern m¨ ochte, um numerische Standardaufgaben zu programmieren, ben¨ otigt er noch eine Numerik-Bibliothek, die ihm diese Aufgabe abnimmt. Und schließlich ben¨ otigt er noch ein Graﬁkprogramm, mit dessen Hilfe er die gewonnenen Ergebnisse visualisieren kann.

VIII

Vorwort

Die Frage nach speziellen Kenntnissen, die der numerische Physiker ben¨ otigt, ist weit schwieriger zu beantworten. Auf den ersten Blick scheinen Programmierkenntnisse und ein Handbuch der verwendeten Numerikbibliothek sowie des eingesetzten Graﬁkprogramms auszureichen. Die Realit¨at aber zeigt, dass diese beiden Dinge zwar einen guten Programmierer, aber keinen guten Wissenschaftler ausmachen – f¨ ur letzteren sind die Kenntnisse seines Fachgebietes weitaus wichtiger, auch wenn er den gr¨oßeren Teil seiner Zeit mit dem Suchen von Programmierfehlern zubringt. Nun k¨onnte man meinen, dass diese Kenntnisse doch hinreichend in den Vorlesungen zur Experimentalphysik und Theoretischen Physik vermittelt w¨ urden, aber die Erfahrung zeigt, dass die Sichtweise physikalischer Sachverhalte in der numerischen Physik oft eine andere ist: Im konventionellen Lehrplan zentrale Dinge verlieren an Bedeutung, w¨ahrend andere Gesichtspunkte ins Blickfeld geraten. Probleme, die vorher zu schwierig waren, sind nun verh¨altnism¨aßig einfach, w¨ahrend es sich bei anderen genau umgekehrt verh¨ alt. Dies ist die L¨ ucke, die dieses Buch schließen will. Und dieses Buch m¨ ochte den Studenten einladen, die aufregende Welt der numerischen Physik selbst zu entdecken. Um dieses zu erm¨ oglichen, m¨ ussen wir noch einmal auf die materiellen Voraussetzungen zur¨ uckkommen, die f¨ ur numerische Physik ben¨otigt werden. Computer sind seit ihrer Erﬁndung kontinuierlich billiger und leistungsf¨ahiger geworden, so dass mittlerweile fast jeder Student einen besitzt oder wenigstens Zugang zu einem hat. Compiler sind zwar auch nicht unerschwinglich, aber bei der Numerik-Bibliothek erreichen wir im Allgemeinen ein Preisniveau, das f¨ ur Studenten nicht mehr akzeptabel ist. Deshalb kommen bislang viele Studenten erst zum Beginn der Diplomarbeit mit einem umfangreicheren Einsatz numerischer Methoden in Ber¨ uhrung, oder die Erfahrungen vorher beschr¨ anken sich auf eine Vorlesung mit eventuellem Praktikum. Angesichts der zunehmenden Bedeutung der numerischen Physik ist diese Situation unbefriedigend, und eine Aufgabe dieses Buches ist, dies zu ¨andern. Einen Ausweg aus dieser Situation bietet mittlerweile sogenannte freie Software, also Software die umsonst ist. Neben dem weithin bekannten freien Unix-Betriebssystem Linux gibt es n¨ amlich inzwischen f¨ ur fast jede SoftwareSparte auch freie Programme, die den Vergleich mit ihren kommerziellen Konkurrenten nicht zu scheuen brauchen – von der Textverarbeitung bis hin zum von uns ben¨ otigten Compiler. Und wer ein wenig sucht, ﬁndet sogar frei verf¨ ugbare Numerikbibliotheken. Da auch f¨ ur unsere Zwecke taugliche Visualisierungsprogramme frei erh¨ altlich sind, k¨ onnen alle Voraussetzungen f¨ ur numerische Physik auch zum Nulltarif erf¨ ullt werden, und man hat bei allen drei Software-Paketen (Compiler, Numerikbibliothek und Graﬁkprogramm) sogar noch verschiedene Programme zur Auswahl – eine Auswahl, die zumindest zum Teil von mir eingeschr¨ ankt werden musste, da dieses Buch nicht alle M¨ oglichkeiten abdecken kann. Beim Compiler haben Sie noch weitgehend freie Wahl, sofern Sie sich auf die Programmiersprachen C++ oder FORTRAN beschr¨anken – andere

Vorwort

IX

Programmiersprachen ﬁnden in der Numerik auch praktisch keine Anwendung. An freien Compilern stehen hier z.B. die Compiler der GNU-Familie gcc/g++ bzw. g77 zur Verf¨ ugung. Diese Compiler gibt es in Varianten f¨ ur Windows und f¨ ur Linux sowie andere Betriebssysteme. Wenn Sie als Betriebssystem Linux installiert haben, stehen Ihnen dar¨ uber hinaus noch z.B. die Intel-Compiler zur Verf¨ ugung (die auch auf AMD-Systemen hervorragend unden sind diese Compiler aber nicht auf der beiliegenlaufen) – aus Lizenzgr¨ den CD-ROM vorhanden, sondern m¨ ussen nach einer Registrierung direkt bei Intel von deren Webseiten geholt werden. Neben diesen frei verf¨ ugbaren Compilern ist aber selbstverst¨ andlich auch jeder kommerzielle C++- oder Fortran-Compiler f¨ ur unsere Zwecke geeignet. Eine Auswahl von Numerik-Bibliotheken ﬁnden Sie in Anhang C. Deren Routinen werden von unseren C++- bzw. Fortran-Programmen aufgerufen, so dass ein Programm immer nur mit einer bestimmten Bibliothek u ¨bersetzt werden kann. Hier muss also eine Festlegung erfolgen und wenn Sie eine andere Numerik-Bibliothek verwenden wollen, m¨ ussen Sie die Programme auf der beigelegten CD-ROM entsprechend anpassen. Alle Programme werden im Buch als C++-Quellcode in ihrer f¨ ur die GNU Scientiﬁc Library [1], kurz GSL, ausgelegten Variante ausf¨ uhrlich vorgestellt und Sie ﬁnden diese Programme auf der CD-ROM im Verzeichnis programme\gsl. Dar¨ uber hinaus ﬁnden Sie im Verzeichnis programme\slatec die meisten dieser Programme als FORTRAN-Quellcode f¨ ur SLATEC. Alle diese Programme wurden wie die zugeh¨ origen Bibliotheken, unter die Gnu General Public License, kurz GPL, gestellt. Das bedeutet, dass Sie diese Programme verwenden, ver¨andern und an Dritte weitergeben d¨ urfen. Ein entsprechender Hinweis ﬁndet sich im Quelltext der Programme am Dateiende – diese Zeilen geben wir aus Platzgr¨ unden bei der Besprechung der Programme im Buch nicht wieder. F¨ ur die Weiterverteilung von GPL-lizensierten Programmen gibt es einige Auflagen, die Sie bitte Anhang G entnehmen. Der dort wiedergegebene Text der GPL ist Englisch, da nur dieser rechtliche Relevanz besitzt – Sie ﬁnden im Internet unter http://www.gnu.org/licenses/translations.html ¨ aber auch Ubersetzungen in andere Sprachen, die allerdings keinen oﬃziellen Charakter haben. Als letzten Punkt m¨ ussen wir auf die Visualisierung unserer Ergebnisse eingehen. Die von uns geschriebenen Programme erzeugen zun¨achst einmal nur eine Menge Zahlen, die graﬁsch dargestellt werden m¨ ussen, damit man mit diesen etwas anfangen kann. Auch hier stehen wieder eine ganze Reihe von Programmen zur Auswahl (gnuplot, GLE, kplot), und es ist Ihnen u ¨berlassen, welches Sie benutzen wollen. Die Programme dieses Buches sind zwar insofern auf GLE oder gnuplot ausgelegt, dass Kommentarzeilen mit Parametern mit einem # beginnen – diese Zeilen lassen sich jedoch leicht entfernen oder an ein anderes Graﬁkprogramm anpassen. Die Gliederung des Buches entspricht dem Kursus Theoretischer Physik, wie er an Universit¨ aten gelehrt wird: Mechanik, Elektrodynamik, Optik, Sta-

X

Vorwort

tistische Physik sowie Quantenmechanik. Jedes Kapitel beginnt mit einem Abriss der Grundlagen – dieser soll dem Leser, der bereits u ¨ber die entsprechenden Kenntnisse verf¨ ugt, die wesentlichen Punkte noch einmal in Erinnerung rufen. Sollte der Leser dabei feststellen, dass er keine ausreichenden Grundlagenkenntnisse hat, m¨ ussen wir ihn an ein konventionelles Lehrbuch verweisen, da das vorliegende Buch ein solches weder ersetzen kann noch will. Empfehlenswerte Werke, die alle wesentlichen Teilgebiete der Physik abdecken, sind [2–4]. Dar¨ uber hinaus kann der Leser auf [5] f¨ ur Elektrodynamik, [6] f¨ ur Optik und [7] f¨ ur Quantenmechanik zur¨ uckgreifen. Durch die F¨ ulle an detailliert besprochenen Aufgaben und Problemen zeichnet sich [8] aus – diese Aufgaben bieten sich auch f¨ ur eine numerische L¨osung an, wobei die analytische L¨ osung zur Kontrolle herangezogen werden kann. Als erg¨ anzende bzw. weiterf¨ uhrende Literatur in Richtung Numerische Physik empfehle ich [9–13]. ¨ Uberhaupt nicht angesprochen wird in diesem Buch der Themenbereich Dynamik von Fl¨ ussigkeiten, da dies den Rahmen einer Einf¨ uhrung in die Numerische Physik sprengen w¨ urde. F¨ ur diese Disziplin kann der Leser auf eine umfangreiche Spezialliteratur zur¨ uckgreifen [14–17]. Wie in einem konventionellen Lehrbuch in Theoretischer Physik werden zu jedem Kapitel eine Reihe von Problemstellungen vorgestellt und ausf¨ uhrlich besprochen. Jedes dieser Probleme wird zun¨ achst in einem Grundlagenabschnitt diskutiert, in dem wir dieses soweit wie m¨oglich analytisch l¨osen und damit den Grundstein f¨ ur die numerische L¨ osung legen, die im Anschluss daran besprochen wird. Mir liegt daran, dass Sie die Numerik nicht als Alternative zur analytischen L¨ osung begreifen, sondern eher als Erg¨anzung, und Sie werden feststellen, wie diese beiden an sich grundverschiedenen Zug¨ange ineinander greifen. So eingesetzt, erweist sich Numerik als ein a¨ußerst leistungsf¨ ahiges Werkzeug in der Hand des Theoretischen Physikers. ¨ Zu jedem Kapitel dieses Buches gibt es Ubungsaufgaben, bei denen Sie die Programme, die im Text besprochen werden und die Sie auf der CDROM ﬁnden, an neue Aufgabenstellungen anpassen m¨ ussen. Fassen Sie diese Aufgaben als Anregungen auf – sein Ziel hat das Buch erreicht, wenn Sie u ¨ber diese Aufgaben hinausgehen und Probleme numerisch angehen, die Sie interessieren, die Sie aber nicht analytisch l¨ osen k¨onnen. Zu guter Letzt m¨ ochte ich mich bei Gert-Ludwig Ingold und Michael Weing¨ artner f¨ ur das unerm¨ udliche Korrekturlesen und zahlreiche Vorschl¨age, die diesem Buch zu Gute kamen, bedanken. Dar¨ uber hinaus bin ich Fritz Haake, Holger Schanz und den Mitgliedern der GSL-Newsgroup zu Dank verpﬂichtet.

Heitersheim, Januar 2004

Harald Wiedemann

Inhaltsverzeichnis

Mechanik der Massenpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Die Newtonschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Das Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Veriﬁzierung des Programms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Graphische Darstellung und Interpretation der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Verbesserung des Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Das Doppelpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Integrable und nicht integrable Dynamiken . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Regul¨ are und chaotische Dynamiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Das Teilchen in der Schachtel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Hamilton-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Attraktoren in dissipativen Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Das periodisch angetriebene Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen ...................................................

12 14 26 32 40 45 52 52 55 61 66

2

Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Felder von Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Berechnung von Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Magnetfelder station¨ arer Str¨ ome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen ...................................................

71 71 72 73 76 80 92 96

3

Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.1 Historischer Uberblick ................................... 3.2 Grundbegriﬀe der Strahlenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Brechung und Reﬂektion von Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Brechung an einer Linsenﬂ¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Bild durch eine Linse – Linsenfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Entstehung eines Regenbogens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Qualitative Erkl¨ arung des Regenbogens . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Quantititave Vor¨ uberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99 99 100 101 105 111 116 117 118

1

1 1 3 11

XII

Inhaltsverzeichnis

3.6.3 Programm zur Berechnung eines Regenbogens . . . . . . . 3.6.4 Der Regenbogen bei ellipsoidf¨ ormigen Regentropfen . . . 3.7 Grundlagen der Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Ebene Wellen und Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Das Huygenssche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Berechnung von Beugungsmustern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Koh¨ arenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13 Beugung bei endlicher Koh¨ arenzl¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen ...................................................

120 124 125 126 127 128 129 134 137 142

4

Statistische Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Grundbegriﬀe der Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Mittelwerte und Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Korrelationen . . . . . . . . . . . 4.5 Dynamik bei statistischen Problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Der Random-Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Stochastische Diﬀerentialgleichung des Random-Walk . 4.6.2 Mastergleichung des Random-Walks . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Verbesserung des Random-Walk-Modells . . . . . . . . . . . . 4.7 Thermisches H¨ upfen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Thermalisierung in Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen ...................................................

147 147 148 150 150 152 153 154 158 160 170 176 177 189

5

Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Die mathematische Struktur der Quantenmechanik . . . . . . . . . 5.2 Operationen im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Eigenzust¨ ande und ihre Verwendung als Koordinatensysteme . 5.4 Orts- und Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Die Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik . . . . . 5.6 Schr¨ odingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Bestimmung des Hamilton-Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Das freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Eigenzust¨ ande des Hamiltonoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Variationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Quantentunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12 Einf¨ uhrung in die Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 Ein Zwei-Niveau-System mit ¨ außerer Anregung . . . . . . . . . . . . . 5.14 Messprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15 Der Zeno-Eﬀekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.16 Ein Ein-Atom-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ Ubungen ...................................................

193 193 193 195 197 199 199 200 200 213 219 226 233 235 241 242 246 254

Inhaltsverzeichnis

XIII

Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 A

Installation der Pakete unter Linux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

B

Installation der Pakete unter Windows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

C

Mathematische Bibliotheken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

D

Fortran und C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

E

Filterprogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

F

Fouriertransformation und FFT-Routinen . . . . . . . . . . . . . . . . 285

G

Die GPL-Lizenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

1 Mechanik der Massenpunkte

Der Siegeszug der mathematischen Beschreibung physikalischer Gesetzm¨aßigkeiten begann vor rund 330 Jahren mit der Formulierung der Newtonschen Gesetze [18], die die Bewegung von Massenpunkten unter dem Einﬂuss von Kr¨aften beschreiben. Dieser Schritt war gleichermaßen revolution¨ar wie ungeheuer erfolgreich. So erfolgreich, dass in der Folgezeit versucht wurde, die gesamte Physik mechanisch zu interpretieren und zu beschreiben. Auch wenn wir heute wissen, dass diese Sichtweise falsch ist und die Mechanik nur ein Teilgebiet der Physik darstellt, folgt der Unterricht in Theoretischer Physik weitgehend der geschichtlichen Chronologie und beginnt mit der Mechanik – schon wegen der Anschaulichkeit der dabei besprochenen Problemstellungen.

1.1 Die Newtonschen Gesetze Die Aufstellung der Newtonschen Gesetze bedeutete, wie eben schon ausgef¨ uhrt, in der Geschichte der Physik einen entscheidenden Wendepunkt: erstmals wurden Gesetzm¨ aßigkeiten so formuliert, dass man mit den Methoden der Mathematik daraus andere Gesetzm¨aßigkeiten herleiten konnte. Und auch f¨ ur uns sollen die Newtonschen Gesetze am Anfang unseres Weges durch die klassische Mechanik stehen: In Ineratialsystemen gilt: F = ma . (1.1) In Worten ausgedr¨ uckt besagt dieses Gesetz, dass man, um einem K¨orper der Masse m eine Beschleunigung a zu geben, eine Kraft F ben¨otigt, die gerade gleich dem Produkt aus der Masse und der Beschleunigung ist. Insbesondere ist die Beschleunigung null, wenn keine Kraft wirkt – ein Spezialfall, den Newton aufgrund seiner Bedeutung in einem eigenen Gesetz formulierte: Ein Massenpunkt, auf den keine Kraft wirkt, bewegt sich gleichf¨ ormig. Noch bevor wir uns der Frage widmen, woher Kr¨afte zwischen K¨orpern kommen, wollen wir ein weiteres – und letztes – Newtonsches Gesetz postulieren: ¨ ein K¨ Ubt orper 1 auf einen anderen K¨ orper 2 eine Kraft F aus, so u ¨bt umgekehrt letzterer (2) auf ersteren (1) die Kraft −F aus. Dieses Gesetz fasst man h¨ auﬁg kurz zusammen durch: Kraft gleich Gegenkraft, oder mit lateinischen Ausdr¨ ucken: actio gleich reactio.

2

1 Mechanik der Massenpunkte

Kommen wir jedoch zur Gleichung (1.1) zur¨ uck. Als erstes m¨ ussen wir uns fragen, wann dieses Gesetz gilt – und diese Frage bringt uns schon in Probleme. Die Antwort, die Sie in den Lehrb¨ uchern ﬁnden, n¨amlich dass das Newtonsche Grundgesetz in Inertialsystemen gilt, f¨ uhrt uns zu der Frage, was ein Inertialsystem ist. Und die Antwort darauf ist, dass ein Inertialsystem dadurch deﬁniert ist, dass in ihm das Newtonsche Grundgesetz gilt. Wir sind ussen uns an dieser Stelle mit der also in einen Zirkelschluss geraten. Wir m¨ Annahme begn¨ ugen, dass es Inertialsysteme zumindestens gibt und dass wir hinreichend gut in einem Inertialsystem sind, wenn wir (salopp gesagt) mit beiden F¨ ußen auf der Erde stehen. Ein weiterer Punkt, den wir zu Gleichung (1.1) anmerken wollen, ist die Tatsache, dass die Beschleunigung ein Vektor ist, und deshalb auch die Kraft vektoriell sein muss. Newton macht keine Aussage dar¨ uber, woher die Kraft F kommt und wie man sie berechnet. Er impliziert aber, dass jede Kraft eine irgendwie geartete Ursache hat und f¨ ur den Fall der Gravitation konnte Newton auch den mathematischen Ausdruck ﬁnden – eben das Gravitationsgesetz: m 1 m2 F = −G 3 r . (1.2) r Die Gravitationskraft zwischen zwei K¨ orpern ist nach diesem Gesetz proportional zum Produkt der zwei beteiligten Massen m1 und m2 und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes r zwischen den K¨orpern. Außerdem zeigt die Kraft immer in Richtung der Verbindungslinie zwischen den K¨ orpern und ist immer anziehend. Die Gravitionskonstante G schließlich ist eine Naturkonstante und daher f¨ ur alle K¨ orper die selbe. Mit dem Gravitationsgesetz l¨ asst sich schon eine ganze Menge machen: Planetenbewegungen fallen ebenso unter dessen Zust¨andigkeit wie Pendel oder der schiefe Wurf. Um z.B. Federn in die Betrachtungen einzubeziehen, m¨ ussen wir jedoch auch empirische Gesetze zulassen, denen zufolge wir wissen, dass die Federkraft proportional zur Auslenkung s der Feder ist: F = −Ds .

(1.3)

Dieses Gesetz (das Hookesche Gesetz) ist empirisch und bei einer anderen Feder kann es sein, dass nicht nur die Proportionalit¨atskonstante D eine andere ist, sondern der Zusammenhang zwischen der Kraft F und der Auslenkung s grunds¨ atzlich ein anderer ist (im Prinzip ist es sogar so, dass keine Feder das Gesetz (1.3) exakt befolgt). In diesem Sinne handelt es sich also bei (1.3) nicht um ein Gesetz, sondern eher um eine Regel. Zusammenfassend haben wir bis jetzt das Newtonsche Grundgesetz (1.1), das durch andere physikalische Gesetze sowie durch empirische Regeln mit Leben gef¨ ullt wird. Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir uns noch u ¨berlegen, was passiert, wenn wir nicht einen Massenpunkt haben, sondern mehrere. Der Einfachheit halber nummerieren wir die Massenpunkte mit 1, 2, 3 u.s.w. durch

1.2 Das Fadenpendel

3

und bezeichnen die zugeh¨ origen Massen mit m1 , m2 , m3 und so weiter. In dieser Situation wirkt auf jeden Massenpunkt auch eine eigene Kraft, die wir ur konsequenterweise F1 , F2 , . . . nennen. Und Newtons Gesetz (1.1) gilt nun f¨ jeden einzelnen Massenpunkt, also F i = mi ai ,

(1.4)

wobei ai die Beschleunigung des Massenpunkts mit der Nummer i ist.

1.2 Das Fadenpendel In diesem ersten Beispiel untersuchen wir einen Massenpunkt, der mittels einer Stange an einem Punkt befestigt ist (siehe Abb. 1.1).

Abb. 1.1. Fadenpendel

Wir setzen voraus, dass die Bewegung ausschließlich in der Zeichenebene erfolgen kann und da durch die Stange außerdem der Abstand zum Aufh¨angepunkt ﬁxiert ist, ist die Position des Massenpunktes eindeutig durch den Winkel φ festgelegt. Aufgrund dieses eindimensionalen Charakters der Bewegung k¨ onnen wir den Vektorcharakter der Beschleunigung a und der Kraft F außer Acht lassen und stattdessen mit skalaren Gr¨ oßen rechnen. Unabh¨ angig von der Position wirkt auf den Massenpunkt die Schwerkraft −mg, wobei allerdings nur die Komponente senkrecht zur Stange den Massenpunkt beschleunigen bzw. verz¨ ogern kann, der Rest wird von einer entsprechenden Gegenkraft in Richtung der Stange kompensiert: In unserem Fall ist die wirksame Komponente −mg sin φ. Nun ben¨otigen wir noch die Beschleunigung, ausgedr¨ uckt durch die dynamische Variable φ sowie die ﬁxe L¨ange l der Stange: d2 (1.5) a = l 2φ . dt Damit haben wir auch schon unsere Bewegungsgleichung ml

d2 φ = −mg sin φ . dt2

(1.6)

4

1 Mechanik der Massenpunkte

Nach dem K¨ urzen der Masse m erhalten wir eine Diﬀerentialgleichung, in die noch die Gr¨ oße l/g eingeht, die, wie wir leicht feststellen, die DimensionZeit zum Quadrat hat. Diese charakteristische Zeit deﬁnieren wir als τ = l/g und skalieren die Zeit t gem¨ aß t =

t . τ

(1.7)

Dadurch erhalten wir die skalierte Diﬀerentialgleichung d2 φ = − sin φ . dt2

(1.8)

Diese Vorgehensweise hat gleich mehrere Vorteile: –

Wir haben die Zeitskala, auf der die Bewegung des Pendels stattﬁndet, bereits identiﬁziert, obwohl wir die Bewegungsgleichung noch nicht gel¨ost haben. – Wir haben die Parameter l und g eliminiert, so dass wir im Falle einer numerischen L¨ osung die Diﬀerentialgleichung nicht f¨ ur mehrere Werte dieser Parameter l¨ osen m¨ ussen. Diese Diﬀerentialgleichung sieht ziemlich einfach aus, wir werden jedoch sehen, dass sie bereits zu schwierig ist, um mit Papier und Bleistift geschlossen gel¨ ost zu werden. Ohne Computer m¨ ussten wir uns deswegen mit mehr oder weniger guten N¨ aherungsl¨ osungen zufrieden geben – eine Situation, die leider bei sehr vielen Problemen auftritt. Die Entwicklung leistungsf¨ahiger Computer hat uns zu dieser klassischen Vorgehensweise noch einen zweiten Zugang zur Verf¨ ugung gestellt, um den es in diesem Buch geht: die numerische Behandlung des Problems. Vorher jedoch wollen wir uns trotzdem mit einer N¨ aherungsl¨ osung besch¨ aftigen, dem sogenannten mathematischen Pendel, das Sie bereits aus der Schule kennen. Beim mathematischen Pendel geht man davon aus, dass die Auslenkungen φ aus der Ruhelage sehr klein sind (das Pendel also weit davon entfernt ist, u onnen wir den Sinus auf der rechten Seite ¨berzuschlagen). In diesem Fall k¨ von (1.8) in guter N¨ aherung durch dessen Argument ersetzen, wodurch sich unsere Diﬀerentialgleichung vereinfacht zu: d2 φ = −φ . dt2

(1.9)

Diese Gleichung nun k¨ onnen wir direkt l¨ osen, ihre L¨osung lautet φ = A sin t + B cos t ,

(1.10)

wobei A und B beliebige Werte annehmen d¨ urfen, die wir zum Beispiel durch die Anfangsbedingungen bestimmen k¨ onnen. Wenn wir nun wieder zu der unskalierten Zeit t u ¨bergehen, erhalten wir

1.2 Das Fadenpendel

φ = A sin ωt + B cos ωt ,

5

(1.11)

mit ω = g/l. Aus dieser Kreisfrequenz ω bekommen wir die Frequenz f , indem wir ω durch 2π dividieren. Die Periodendauer schließlich ist das Inverse der Frequenz f , also 2π/ω. Nach diesem kleinen Ausﬂug kehren wir jedoch zu unserem urspr¨ unglichen Problem (1.8) zur¨ uck. Nachdem wir uns vielleicht eine Weile erfolglos daran versucht haben, eine Funktion zu ﬁnden, die diese Bewegungsgleichung erf¨ ullt, geben wir diese Bem¨ uhungen auf und wenden uns einer numerischen L¨ osung zu. Im ersten Schritt machen wir uns klar, dass diese Diﬀerentialgleichung zweiter Ordnung (die gesuchte Gr¨ oße φ tritt maximal in zweiter Ableitung nach τ auf) auch als zwei gekoppelte Diﬀerentialgleichungen erster Ordnung aufgefasst werden kann: d φ = vφ dτ d vφ = − sin φ . dτ

(1.12) (1.13)

¨ In der ersten der beiden Gleichungen steht, dass die zeitliche Anderung von φ gleich einer Winkelgeschwindigkeit vφ ist; in der zweiten Gleichung wird die ¨ Anderung dieser Gr¨ oße gleich der Beschleunigung − sin φ gesetzt. Wenn Sie die erste Gleichung nach τ ableiten und darin die zweite Gleichung einsetzen, erhalten Sie wieder die urspr¨ ungliche Gleichung (1.8). Nehmen wir nun an, dass wir die Werte von φ und vφ zu einem Zeitpunkt achst φ(τ ) und vφ (τ ) in Potenzreihen um τ0 : τ0 kennen. Entwickeln wir zun¨ φ(τ ) = φ(τ0 + ∆τ ) = φ(τ0 ) +

∞ 1 (n) φ (∆τ )n n! n=1

vφ (τ ) = vφ (τ0 + ∆τ ) = vφ (τ0 ) + (n)

∞ 1 (n) vφ (∆τ )n . n! n=1

(1.14) (1.15)

Wenn wir alle Koeﬃzienten φ(n) und vφ kennen w¨ urden, h¨atten wir immerhin eine Potenzreihendarstellung der gesuchten L¨osung unseres Problems gefunden. Aber was ist, wenn ∆τ sehr klein ist, sagen wir 0.001. Dann sind die weitaus gr¨ oßten Terme auf der rechten Seite von (1.14) und (1.15) φ(τ0 ) und vφ (τ0 ). Der n¨achstfolgende Term ist bereits etwa tausendmal kleiner, der n¨ achste noch einmal tausendmal kleiner und so weiter. Diese Beobachtung ist keineswegs u ¨berraschend, besagt sie doch nur, dass der Zustand zum Zeitpunkt τ0 sich nur wenig unterscheidet von einem Zustand kurz vor und kurz nach τ0 . Wenn wir uns also auf solche kleinen Zeitschritte ∆τ beschr¨anken, kommen wir mit sehr wenigen Termen aus den Potenzreihen (1.14) und (1.15) aus! Der Trick besteht nun darin, eine l¨ angere Zeit in entsprechend kleine Zeitschritte zu zerteilen und sich so langsam in der Zeit entlangzuhangeln.

6

1 Mechanik der Massenpunkte

Nur die beiden Anfangsterme φ(τ0 ) und vφ (τ0 ) zu ber¨ ucksichten, macht oﬀensichtlich keinen Sinn, da sich dann u urde. Die ¨berhaupt nichts ¨andern w¨ einfachst m¨ ogliche Vorgehensweise macht also die folgende N¨aherung: φ(τ0 + ∆τ ) ≈ φ(τ0 ) + φ(1) ∆τ vφ (τ0 + ∆τ ) ≈ vφ (τ0 ) +

(1) vφ ∆τ

(1.16) .

(1.17)

Wenn Sie nun in einem Mathematiklehrbuch den Abschnitt u ¨ber Potenzreihen konsultieren, werden Sie feststellen, dass die beiden fehlenden Terme φ(1) (1) und vφ durch die Ableitungen der betreﬀenden Funktionen, also durch unsere Diﬀerentialgleichungen (1.12) und (1.13), gegeben sind. Auf diese Weise erhalten wir also φ(τ0 + ∆τ ) ≈ φ(τ0 ) + vφ (τ0 )δτ vφ (τ0 + ∆τ ) ≈ vφ (τ0 ) − sin(φ(τ0 ))δτ .

(1.18) (1.19)

Damit haben wir – endlich – zwei Gleichungen, bei denen alle Gr¨oßen auf der rechten Seite bekannt sind. Nun k¨ onnen wir daran gehen, das Ganze in einem Computerprogramm zu implementieren. Wie in der Einleitung bereits erl¨ autert, werden wir die Programme jeweils in C++ vorstellen und besprechen, einfach weil diese Sprache der derzeitige Standard ist und sich – nach langen Geburtswehen – auch in der Physik durchsetzt. Alternativ stehen jedoch auf der beigef¨ ugten CD auch Quellprogramme f¨ ur Fortran zur Verf¨ ugung. Doch nun zu dem Programm: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: faden1.cpp * * Zweck: Simuliert die Dynamik eines Fadenpendels * * Gleichung: (dˆ2/d tˆ2) phi + sin(phi) = 0 * * Methode: 1.Ordnung * **************************************************************************/

7 8 9 10 11

#include #include #include #include

<stdio.h> <string>

12 13 14

//-- Definition der globalen Variablen const int n_start_max = 10;

15 16

main( int argc, char *argv[] )

17 18 19 20 21 22 23 24

{ //-- Definition der Variablen int n, m, n1, nmax, nout, n_start; double t, tend, dt, phi, phi_neu, v_phi, v_phi_neu, phi_0, v_phi_0; char* resfile; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

25 26

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden

1.2 Das Fadenpendel 27 28 29 30 31

if (argc<3) { cout << " Aufruf: faden1 infile outfile\n"; exit(1); }

32 33 34 35 36 37 38 39

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); in_stream >> tend; in_stream >> nmax; in_stream >> nout; in_stream >> n_start; in_stream.close();

40 41 42

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / nmax;

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

//-- Schleife ueber die Anfangsbedingungen for (n1=0; n1
55 56 57 58 59 60 61 62

//-- Anfangsbedingungen in_stream >> phi_0; in_stream >> v_phi_0; t = 0; phi = phi_0; v_phi = v_phi_0; out_stream << t << " " << phi << " " << v_phi;

63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

//-- Zeitschleife -for (n=1; n<=nout; n++) { for (m=1; m<=nmax/nout; m++) { //-----------t = t + dt; phi_neu = phi + v_phi * dt; v_phi_neu = v_phi - sin(phi) * dt; //-----------phi = phi_neu; v_phi = v_phi_neu; //-----------} out_stream << t << " " << phi << " " << v_phi; } out_stream.close(); }

82 83

}

7

8

1 Mechanik der Massenpunkte

Beginnen wir mit dem Programmkopf, der aus einigen Kommentarzeilen besteht (alles hinter einem \\ wird vom Compiler als Kommentar interpretiert, desgleichen alles zwischen \* und *\). Aus diesen Zeilen geht hervor, wie die Datei heißt, in welcher das Programm steht, und was es ganz grob macht. Danach kommt der eigentliche Programmtext, zun¨achst einige Zeilen, die verwendete Include-Dateien festlegen, danach die Deﬁnition einer globalen Konstante n start max, die festlegt, wie viele verschiedene Anfangsbedingungen in einem Programmlauf durchgerechnet werden k¨onnen. Nach der Deklaration der f¨ ur das Programm ben¨ otigten Variablen (Zeile 19–24) beginnt das eigentliche Programm. In den Zeilen 26 bis 31 wird u uft, ob das Programm korrekt aufge¨berpr¨ rufen wurde – wir werden bei diesem und allen folgenden Programmen die Namen der Eingabe- und Ausgabedateien beim Programmaufruf als Argumente u ¨bergeben. Der Aufruf ist also sicher nicht korrekt, wenn nicht mindestens zwei Argumente u ¨bergeben wurden und da bei C/C++ immer auch der Programmname selbst zu den Argumenten mitgerechnet wird, ergibt sich die Bedingung argc<3 f¨ ur einen Fehler. Nachdem nun die Eingabedatei bekannt ist, werden in den folgenden Zeilen alle f¨ ur das Programm n¨otigen Parameter eingelesen und gleichzeitig in der Ausgabedatei festgehalten. In unserem Fall ist das die Zeit tend, bis zu der die Bewegungsgleichung gel¨ost werden soll, die Zahl der Zeitschritte nmax, die Zahl der Zeiten, zu denen wir das Ergebnis abspeichern wollen (nout). Schließlich kommt noch ein Parameter n start, der angibt, mit wie vielen Anfangsbedingungen die Bewegungsgleichung gel¨ ost werden soll: 1 2 3 4 5 6 7

10 1000000 100 3 0 1. 0 2. 0 2.1

Alle diese Parameter wollen wir in der bzw. in diesem Fall den Ausgabedateien festhalten, ansonsten ist sp¨ ater nicht mehr rekonstruierbar zu welchen Parametern ein konkreter Datensatz geh¨ ort. Dabei m¨ ussen wir beachten, dass das Graﬁkprogramm, mit dessen Hilfe sp¨ ater die Ergebnisse graphisch umgesetzt werden sollen, diese Zeilen ignoriert – im Falle von GLE oder von gnuplot geschieht das wie hier gezeigt durch ein ! am Zeilenanfang. So erkl¨ aren sich die Zeilen 48–53, in denen jeder Ausgabedatei ein Block der Form ! ! ! ! ! !

Ergebnis-Datei generiert von faden1 tend = 10 nmax = 1000000 nout = 100 n_start = 3 Spalte 1: t Spalte 2: phi(t)

Spalte 3: v_phi(t)

vorangestellt wird. Die Tatsache, dass wir f¨ ur jede Anfangsbedingung eine eigene Ausgabedatei generieren, erfordert zwei Besonderheiten im Programm,

1.2 Das Fadenpendel

9

die Sie in den weiteren Programmen dieses Buches so nicht wiederﬁnden werden (auf den normalen Aufbau gehen wir dann beim n¨achsten Beispielprogramm faden all.cpp ein): – der Name der jeweiligen Ausgabedatei wird in der Zeile 47 zusammengesetzt, – das Schreiben des oben beschriebenen Blocks geschieht nicht unmittelbar nach dem Einlesen der Parameter, sondern erst innerhalb der Schleife u ¨ber n1. Anschließend werden in Zeile 59–61 die Werte phi und v phi auf diese Anfangswerte und t auf null gesetzt. Was jetzt noch fehlt, ist lediglich die Zeitschleife, die in zwei Schleifen geteilt wurde. Der Sinn dieser Aufteilung ist, dass wir dadurch die M¨oglichkeit haben, nur zu einem Bruchteil der Zeiten, die wir durchlaufen, die Werte von urden wir n¨amlich sehr, sehr große phi und v phi abzuspeichern. Ansonsten w¨ Ausgabedateien erzeugen, die wir gar nicht ben¨otigen. Bei diesem ersten Programm wollen wir – ausnahmsweise – auch den FORTRAN-Code besprechen, um dem FORTRAN-Programmierer einen Einblick in den Programmierstil zu geben, der in den Beispielprogrammen gew¨ ahlt wurde: 1 2 3 4 5 6

*************************************************************************** * Name: faden1.f * * Zweck: Simuliert die Dynamik eines Fadenpendels * * Gleichung: (dˆ2/d tˆ2) phi + sin(phi) = 0 * * Methode: 1.Ordnung * ***************************************************************************

7

program faden1

8 9 10

*

11

-- Definition der Variablen implicit none

12

integer

13

n_start_max

14

parameter (n_start_max=10)

15 16

real*8 t, tend, dt, phi, phi_neu, v_phi, v_phi_neu, phi_0, v_phi_0 character*20 resfile(n_start_max) integer n, m, n1, nmax, nout, n_start

17 18 19 20 21

*

-- Einlesen der Parameter -open(1,file="faden1.par") read(1,*) tend read(1,*) nmax read(1,*) nout read(1,*) n_start

*

-- Namen fuer die Ergebnisdateien resfile(1) = "faden1.1" resfile(2) = "faden1.2" resfile(3) = "faden1.3" resfile(4) = "faden1.4"

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

10

1 Mechanik der Massenpunkte

33

resfile(5) = "faden1.5" resfile(6) = "faden1.6" resfile(7) = "faden1.7" resfile(8) = "faden1.8" resfile(9) = "faden1.9" resfile(10) = "faden1.10"

34 35 36 37 38 39 40

*

-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / dfloat(nmax)

*

-- Schleife ueber die Anfangsbedingungen do n1 = 1, n_start

41 42 43 44 45

open(2,file=resfile(n1))

46 47 48

*

-- Anfangsbedingungen read(1,*) phi_0, v_phi_0 t = 0.d0 phi = phi_0 v_phi = v_phi_0 write(2,*) t, phi, v_phi

*

-- Zeitschleife -do n = 1, nout do m = 1, nmax / nout -t = t + dt phi_neu = phi + v_phi * dt v_phi_neu = v_phi - sin(phi) * dt -phi = phi_neu v_phi = v_phi_neu -enddo write(2,*) t, phi, v_phi enddo

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

*

59 60 61 62

*

63 64 65 66 67 68

*

69 70

close(2)

71 72

enddo

73 74

close(1)

75 76 77

STOP end

Wie im vorher besprochenen C++-Programm haben wir dem Programm einen erkl¨ arenden Kopf mit Informationen zum Programm vorangestellt. Danach kommt zuerst eine Zeile, die den Programmnamen festlegt, dann wird in Zeile 11 festgelegt, dass keine implizite Variablendeklaration durchgef¨ uhrt werden soll. Normalerweise nimmt FORTRAN n¨amlich bei nicht deklarierten Variablen an, dass sie – je nach deren Anfangsbuchstaben entweder integer oder real sein sollen. Dies ist auf der einen Seite zwar bequem, hat aber die fatale Folge, dass versehentlich nicht deklarierte Variablen nicht vom Compiler moniert werden, was wiederum dazu f¨ uhrt, dass Variablen einfach statt doppelt genau sind. Ein weiteres Problem dieser impliziten Variablendeklara-

1.2 Das Fadenpendel

11

tion ist, dass Tippfehler bei Variablennamen nicht erkannt werden. Aus diesen Gr¨ unden empfehlen wir, diese Zeile grunds¨ atzlich einzuf¨ ugen. Nun kommt in den Zeilen 13 bis 19 die Deﬁnition einiger Variablen, sowie der Konstanten n start max. Im eigentlichen Programm schließlich werden zun¨achst aus einer Datei faden1.par Parameter eingelesen, die das Programm ben¨otigt – im Gegensatz zum C++-Programm ist hier also der Name der Eingabedatei, wie u ¨brigens auch der Ausgabedatei, festgelegt, weil FORTRAN nicht standardm¨aßig ¨ die Ubergabe von Parametern unterst¨ utzt. Es schließt sich ein Block an, in dem daraus Gr¨ oßen berechnet werden, die im weiteren Verlauf noch gebraucht werden – in unserem Fall ist dies nur die Gr¨ oße eines Zeitschritts dt. Nun kann die Ausgabedatei ge¨ oﬀnet werden und eine ¨außere Schleife durchl¨auft alle Anfangsbedingungen. Innerhalb dieser Schleife wird jede Anfangsbedingung jeweils aus der Parameterdatei faden1.par gelesen. Das L¨ osungsverfahren, mit dem wir vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t+dt kommen, ist denkbar primitiv, d.h. wir haben die grobe N¨aherung (1.18) und (1.19) verwendet. Wir werden jedoch sehen, dass wir uns diese Einfachheit mit einer großen Zahl ben¨ otigter Zeitschritte und damit einer langen Rechenzeit erkaufen. Bevor wir uns jedoch um eine Verbesserung des Algorithmus’ bem¨ uhen, ist es Zeit, ein bisschen mit dem Programm zu spielen. Auf der beiliegenden CD ﬁnden Sie in der Datei faden1.par einen Parametersatz, mit dem wir anfangen wollen. Wenn Sie das Programm faden1.cpp bzw. faden1.f komplilieren und mit diesen Parametern starten, sehen Sie, dass das Programm sehr schnell durchl¨ auft – der Grund liegt nicht daran, dass es so eﬃzient programmiert w¨ are, sondern schlicht und einfach daran, dass das Problem sehr einfach ist. Um nennenswerte Rechenzeiten zu bekommen, m¨ ussen wir statt zwei Trajektorien, sagen wir, 1000 anfordern und die betrachtete Zeit bis auf τ = ¨ 1000 ausdehnen, aber dies ist Gegenstand von Ubung 1.1. An dieser Stelle wollen wir uns damit begn¨ ugen, dass auch dieses Programm bei geeigneter Wahl der Parameter etwas l¨ anger braucht, und es deswegen Sinn machen kann, den Algorithmus zu verbessern. Darauf kommen wir in Abschn. 1.2.3 zur¨ uck. 1.2.1 Veriﬁzierung des Programms Zun¨ achst jedoch m¨ ussen wir uns davon u ¨berzeugen, dass dieses Programm keine Fehler enth¨ alt; das k¨ onnen einfache Programmierfehler sein, oder aber auch ein Fehler im Algorithmus, den wir uns u ussen ¨berlegt haben. Dazu m¨ wir die gewonnenen Ergebnisse mit einer Referenz vergleichen. Wenn unser Problem analytisch l¨ osbar w¨ are, k¨ onnten wir diese analytische L¨osung als Referenz verwenden, aber leider ist das in unserem Beispiel ja nicht der Fall. ¨ Uberhaupt m¨ ussen wir im Allgemeinen davon ausgehen, dass uns eine solche analytische L¨ osung nicht zur Verf¨ ugung steht, da wir ansonsten das Problem gar nicht numerisch gel¨ ost h¨ atten. Ein m¨ oglicher Ausweg besteht in der Suche

12

1 Mechanik der Massenpunkte

nach Grenzf¨ allen oder Sonderf¨ allen, in denen wir das Problem l¨osen k¨onnen – in unserem Fall bietet sich der Grenzfall kleiner Auslenkungen an, f¨ ur den das Fadenpendel in das mathematische Pendel u ¨bergeht, dessen L¨osung wir kennen (1.10). Das einzige, was wir hierf¨ ur tun m¨ ussen ist, in der Parameterdatei faden1.par z.B. eine sehr kleine Auslenkung ohne Anfangsgeschwindigkeit einzustellen und uns die Zahlenwerte f¨ ur die L¨ osung (1.10) zu besorgen. Letzonnen wir durch ein kleines, separates Programm berechnen lassen – tere k¨ einfacher ist es jedoch, zwei entsprechende Zeilen phi_an = phi_0 * cos(t) + v_phi_0 * sin(t); v_phi_an = v_phi_0 * cos(t) - phi_0 * sin(t);

in unser bestehendes Programm einzubauen. Wir d¨ urfen nicht vergessen, diese beiden neuen Variablen im Deklarationsblock am Anfang des Programms zu erg¨ anzen! Und wir m¨ ussen diese Werte nat¨ urlich ausgeben lassen, was wir am Einfachsten bewerkstelligen, indem wir sie an den bestehenden Schreibbefehl anh¨ angen: out_stream << t << " " << phi << " " << v_phi << " " << phi_an << " " << v_phi_an << " " << sqr(phi-phi_an) << " " << sqr(v_phi-v_phi_an) << "\n";

¨ F¨ ur einen schnelleren Uberblick haben wir nicht nur die analytische L¨osung selbst herausschreiben lassen, sondern auch deren Abweichung von der numerischen L¨ osung – diese Abweichung sollte m¨ oglichst klein sein, was wir dann nach einem Programmlauf auch veriﬁzieren k¨ onnen. Eine andere M¨ oglichkeit, das Programm faden1.cpp zu testen, best¨ unde darin, einen Alternativalgorithmus zu entwickeln, der uns ebenfalls das gestellte Problem l¨ ost. Das h¨ atte gegen¨ uber dem Vergleich in einem analytisch l¨ osbaren Grenzfall den Vorteil, dass wir uns sicher w¨aren, dass die L¨osung auch außerhalb dieses Grenzfalls richtig ist. Der Nachteil, den wir dabei in Kauf nehmen, ist, dass wir, wenn die beiden gewonnenen L¨osungen nicht u ¨bereinstimmen, nicht wissen, in welchem der beiden Programme der Fehler steckt, oder ob gar beide L¨ osungen falsch sind. Eine weitere wichtige Veriﬁkationsm¨ oglichkeit bieten Erhaltungss¨atze. In unserem Beispiel ist die Energie eine Erhaltungsgr¨oße, was wir leicht im Programm u ufen k¨ onnen: ¨berpr¨ E = 0.5 * sqr(v_phi) - cos(phi);

berechnet die Energie, die wir der Ausgabe einfach anh¨angen k¨onnen. Zeigt diese Gr¨ oße eine signiﬁkante Zeitabh¨ angigkeit, enth¨alt das Programm noch einen Fehler. 1.2.2 Graphische Darstellung und Interpretation der Ergebnisse Nachdem wir nun einigermaßen sicher sind, dass die gewonnene L¨osung richtig ist, wollen wir sie uns ansehen, d.h. aus dem Zahlenwust, der in der Datei faden1.res enthalten ist, Diagramme machen, die uns etwas sagen.

1.2 Das Fadenpendel

13

Das Einfachste ist nat¨ urlich die Darstellung von φ bzw. vφ als Funktion der skalierten Zeit τ . Eingabedateien f¨ ur die verschiedenen in der Einleitung besprochenen Graﬁkprogramme ﬁnden Sie auf der beiliegenden CD – da es nicht Thema dieses Buchs sein soll, diese Graﬁkprogramme zu erkl¨aren, werden wir hier nicht n¨ aher darauf eingehen. Worauf wir jedoch eingehen wollen, ist die geeignete Wahl von Anfangsbedingungen, um letztendlich eine aftige Graphik zu bekommen. Dazu m¨ ussen wir unser physikalisches aussagekr¨ Verst¨ andnis des Problems bem¨ uhen. Das genannte Problem hat zwei verschiedene L¨ osungstypen: zum einen L¨ osungen, bei denen der Massenpunkt um den unteren Umkehrpunkt schwingt; zum anderen L¨osungen, bei denen die ¨ Energie zum Uberschlagen ausreicht. Bei Anfangsbedingungen mit E = mgl beﬁnden wir uns gerade im Grenzfall zwischen diesen beiden L¨osungstypen. F¨ ur eine aussagef¨ahige Graﬁk sollten wir darauf achten, dass beide Typen und nach M¨ oglichkeit auch der Grenzfall zwischen ihnen vertreten ist. Sch¨on ist es außerdem, wenn wir bei der Auswahl der Anfangsbedingungen eine gewisse Systematik walten lassen – in diesem Fall k¨onnten wir z.B. Anfangsbedingungen w¨ ahlen, die alle φ0 = 0 gemeinsam haben und sich nur in vφ0 unterscheiden. Das entstehende Diagramm k¨ onnte dann etwa so aussehen: (a)

v

3

(b)

2

10

1

5

0 0

-1 0

2

4

6

8 10

t

0

2

4

6

8 10

t

Abb. 1.2. Auslenkung φ und deren zeitliche Ableitung vφ beim Fadenpendel als Funktion der Zeit

Wir erkennen im unteren Bereich von Abb. 1.2(a) die oszillatorische L¨osung (durchgezogene Kurve), bei der das Fadenpendel um die Ruhelage ¨ φ = 0 pendelt. Bei der Uberschlagsl¨ osung im oberen Bereich der Abbildung (gestrichelte Kurve) hingegen w¨ achst φ kontinuierlich an. Und schließlich haben wir zwischen den beiden die Trajektorie des asymptotischen Grenzfalls (gepunktete Kurve), bei der der Massenpunkt zwar nicht zur Ruhelage zur¨ uckkehrt, allerdings auch nie den Punkt φ = π erreicht bzw. u ¨berwindet. Im rechten Diagramm (Abb. 1.2(b)) sehen wir die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Zeit. Die oszillatorische L¨ osung (wieder die durchgezogene Kurve) bietet ein ¨ ahnliches Bild wie im vorangegangenen Diagramm. Die ¨ Uberschlagsl¨ osung (gestrichelt) sieht jedoch ¨ ahnlich wie die oszillatorische L¨osung aus, nur dass sie nicht um vφ = 0, sondern um einen von null verschiedenen Mittelwert pendelt. Wenn man genau hinsieht, stellt man außerdem fest, dass die Periodendauer dieser Kurve kleiner ist, als bei der oszillato-

14

1 Mechanik der Massenpunkte

rischen L¨ osung. Ein v¨ ollig anderes Bild hingegen liefert der asymptotische ur t → ∞ den Wert null Grenzfall, bei dem vφ kontinuierlich abnimmt und f¨ annimmt. Das Problem aus einer etwas anderen Sicht beleuchtet das sogenannte Phasendiagramm, bei dem die Ortsvariable φ gegen die Impulsvariable vφ aufgetragen wird (Beachten Sie, dass wir in den skalierten Variablen nicht ussen). Das Phasenzwischen Geschwindigkeit und Impuls unterscheiden m¨ diagramm f¨ ur die selben Trajektorien wie in der vorangegangen Abb. 1.2 sieht so aus:

v

2 1 0 -1 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

Abb. 1.3. Phasendiagramm des Fadenpendels

Die geschlossene Trajektorie links unten entspricht der oszillatorischen ¨ L¨osung, die Trajektorie im oberen Bereich des Diagramms der Uberschlagsl¨osung, bei der der Impuls niemals null wird. Die dazwischenliegende Kurve repr¨ asentiert den asymptotischen Grenzfall, bei dem der Punkt φ = π erst f¨ ur τ = ∞ mit der Geschwindigkeit vφ = 0 erreicht wird. Diese Trajektorie heißt Separatrix, da sie den Bereich der oszillatorischen vom Bereich der ¨ Uberschlagsl¨ osung abtrennt (separiert). 1.2.3 Verbesserung des Algorithmus Wie bereits angedeutet, ist unser bisheriges Programm einfach, aber in puncto Rechengeschwindigkeit nicht sonderlich eﬀektiv. Der Grund hierf¨ ur ist, dass unser Algorithmus mit dem wir uns von einem Zeitpunkt zum n¨achsten hangeln, außerordentlich kleine Zeitinkremente delta t verlangt, was wiederum zu einer sehr großen Zahl von Zeitschritten f¨ uhrt. Die n¨ achstliegende Methode, den bisherigen Algorithmus zu verbessern, besteht darin, die N¨ aherung (1.18), (1.19) um die n¨achsten Terme in den Potenzreihen (1.14), (1.15) zu erweitern. Die so gewonnene verfeinerte N¨aherung lautet φ(τ0 + ∆τ ) = φ(τ0 ) + vφ (τ0 )∆τ − −

1 sin(φ(τ0 ))(∆τ )2 2

1 vφ (τ0 ) cos(φ(τ0 ))(∆τ )3 . . . 6

(1.20)

1.2 Das Fadenpendel

15

1 vφ (τ0 + ∆τ ) = vφ (τ0 ) − sin(φ(τ0 ))∆τ − vφ (τ0 ) cos(φ(τ0 ))(∆τ )2 2 1 sin(φ(τ0 )) cos(φ(τ0 )) + vφ2 (τ0 ) sin(φ(τ0 )) (∆τ )3 . . . . + 6 (1.21) Auf diese Weise bekommen Sie nur durch den Austausch der Zeilen phi_neu = phi + v_phi * dt; v_phi_neu = v_phi - sin(phi) * dt;

durch phi_neu = phi + v_phi * dt - 0.5 * sin(phi) * sqr(dt); v_phi_neu = v_phi - sin(phi) * dt - 0.5 * v_phi * cos(phi) * sqr(dt);

f¨ ur die 2. Ordnung bzw. durch phi_neu

= phi + v_phi * dt - 0.5 * sin(phi) * sqr(dt) - 1/6 * v_phi * dcos(phi) * pow(dt,3); v_phi_neu = v_phi - sin(phi) * dt - 0.5 * v_phi * dcos(phi) * sqr(dt) + 1./6 * (sin(phi)*cos(phi)+sqr(v_phi)*sin(phi)) * pow(dt,3);

f¨ ur die 3. Ordnung zwei Programme faden2.cpp und faden3.cpp. Wir vereinfachen aber die weitere Vorgehensweise indem wir alle drei Algorithmen (also erster, zweiter und dritter Ordnung) in einem einzigen Programm vereinigen: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: faden_all.cpp * * Zweck: Simuliert die Dynamik eines Fadenpendels * * Gleichung: (dˆ2/d tˆ2) phi + sin(phi) = 0 * * Methode: 1. bis 3.Ordnung * **************************************************************************/

7 8 9 10 11

#include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

12 13

using namespace std;

14 15 16 17

//-- Definition der globalen Variablen const int n_start_max = 10; const int n_fehler = 17;

18 19

main( int argc, char *argv[] )

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

{ //-- Definition der Variablen int n, m, n1, n2, nmax, n_start, exp_min; double t, tend, dt, phi_0, v_phi_0, phi_ref, v_phi_ref; double phi1, phi_neu1, v_phi1, v_phi_neu1; double phi2, phi_neu2, v_phi2, v_phi_neu2; double phi3, phi_neu3, v_phi3, v_phi_neu3; double fehler1, fehler2, fehler3, fehler[n_fehler][3]; ifstream in_stream;

16 30

1 Mechanik der Massenpunkte ofstream out_stream, ref_stream;

31 32 33 34 35 36 37

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<4) { cout << " Aufruf: faden_all infile outfile reference-file\n"; exit(1); }

38 39 40 41 42 43

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); ref_stream.open(argv[3]); inout(tend,"tend"); inout(n_start,"n_start");

44 45 46 47 48 49

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / nmax; exp_min = 5; for (n1=0; n1
50 51 52 53 54 55 56

//-- Schleife ueber die Anfangsbedingungen for (n1=1; n1<=n_start; n1++) { //-- Anfangsbedingungen in_stream >> phi_0; in_stream >> v_phi_0;

57 58 59 60 61 62 63

//-- Schleife ueber die Zeitinkremente (sie werden jedesmal verdoppelt) nmax = pow(2,n_fehler+exp_min) * 2; for (n2=0; n2
64 65 66 67 68 69 70 71

t = 0; phi1 = phi_0; v_phi1 = v_phi_0; phi2 = phi_0; v_phi2 = v_phi_0; phi3 = phi_0; v_phi3 = v_phi_0;

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88

//-- Zeitschleife for (n=1; n<=nmax; n++) { t = t + dt; phi_neu1 = phi1 + v_phi1 * dt; v_phi_neu1= v_phi1 - sin(phi1) * dt; phi_neu2 = phi2 + v_phi2 * dt - 0.5 * v_phi_neu2= v_phi2 - sin(phi2) * dt; - 0.5 * v_phi2 * cos(phi2) * phi_neu3 = phi3 + v_phi3 * dt - 0.5 * - 1/6 * v_phi3 * cos(phi3) * v_phi_neu3= v_phi3 - sin(phi3) * dt - 0.5 * v_phi3 * cos(phi3) * + 1/6 * (sin(phi3)*cos(phi3) + v_phi3*v_phi3*sin(phi3)) * //--

sin(phi2) * dt*dt; dt*dt; sin(phi3) * dt*dt dt*dt*dt; dt*dt dt*dt*dt;

1.2 Das Fadenpendel phi1 phi2 phi3 }

89 90 91 92

= phi_neu1; = phi_neu2; = phi_neu3;

17

v_phi1 = v_phi_neu1; v_phi2 = v_phi_neu2; v_phi3 = v_phi_neu3;

93

if (n2 == 1) { phi_ref = phi3; v_phi_ref = v_phi3; ref_stream << phi_ref << " " << v_phi_ref << "\n"; }

94 95 96 97 98 99

fehler1 = + fehler2 = + fehler3 = +

100 101 102 103 104 105

(phi1-phi_ref)*(phi1-phi_ref) (v_phi1-v_phi_ref)*(v_phi1-v_phi_ref); (phi2-phi_ref)*(phi2-phi_ref) (v_phi2-v_phi_ref)*(v_phi2-v_phi_ref); (phi3-phi_ref)*(phi3-phi_ref) (v_phi3-v_phi_ref)*(v_phi3-v_phi_ref);

106

fehler[n2][0] fehler[n2][1] fehler[n2][2] cout << n1 << }

107 108 109 110 111

= = = "

fehler[n2][0] + fehler1; fehler[n2][1] + fehler2; fehler[n2][2] + fehler3; " << n2 << "\n";

112 113

}

114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

nmax = pow(2,n_fehler+exp_min); for (n1=1; n1
125 126 127 128 129

out_stream.close(); ref_stream.close(); in_stream.close(); }

Exemplarisch f¨ ur den Großteil der Programme dieses Buches ist hier die Behandlung des Einlesens der Parameter aus der Eingabedatei und des Festhaltens derselben als Kommentare in der Ausgabedatei – siehe dazu auch das vorangegangene Programm faden1.cpp. Im Gegensatz zu letzterem ist hier nun nur eine Ausgabedatei vorhanden, so dass wir f¨ ur jeden Parameter eine Befehlszeile der Form in_stream >> varname; out_stream << "! varname = " << varname << "\n";

haben. Da wir diese Syntax in jedem unserer Programme mehrfach brauchen, wurde eine entsprechende Zeile in die Datei tools.h eingef¨ ugt, die in Zeile 11 eingebunden wird, so dass sich das Einlesen einer Variablen aus der Eingabedatei und das Herausschreiben derselben in die Ausgabedatei vereinfacht zu

18

1 Mechanik der Massenpunkte inout(varname,"varname");

In diese Datei tools.h k¨ onnen wir immer wiederkehrende einfache Aufgaben oder immer wieder gebrauchte Deﬁnitionen aufnehmen – ein Blick in diese Datei auf der CD ist sicherlich sinnvoll. Auch zu diesem Programm noch einige weitere Erl¨auterungen: Um den Fehler zu ermitteln, ben¨ otigen wir die exakte, oder doch zumindest eine sehr gute L¨ osung. Aus diesem Grund l¨ osen wir die Bewegungsgleichung zun¨achst mit einer sehr großen Zahl von Zeitinkrementen und reduzieren diese dann von Schritt zu Schritt. Dies gibt uns die M¨ oglichkeit die L¨osung bei h¨ochster Ordnung und kleinstem Zeitinkrement als Referenzl¨osung zu deﬁnieren und in phi ref und v phi ref abzuspeichern. Mittels dieser Referenzl¨osung k¨onnen wir den Fehler einer beliebigen L¨ osung bestimmen und summieren diesen in einem Feld deviations(n1,n2) auf. Hierbei gibt n1 die Zahl der Zeitinkremente an, w¨ ahrend n2 festlegt, ob wir den Fehler zur L¨osung erster, zweiter oder dritter Ordnung aufsummieren. Da wir die Ergebnisse logarithmisch darstellen wollen, und das von uns verwendete Graﬁkprogramm manchmal Probleme mit dieser Darstellung von Daten hat, schreiben wir diese gleich logarithmisch in die Ausgabedatei, so dass aus der Sicht des Graﬁkprogramms die Darstellung linear ist. Wenn wir nun den Fehler als Funktion der Zahl der Einzelschritte auftragen, erhalten wir das Diagramm in Abb. 1.4:

1

Fehler

10

-10 -20

10 -30 10

-2

10

10

-3

-4

10

10

-5

-6

10

dt Abb. 1.4. Numerische Fehler beim Fadenpendel unter Verwendung verschiedener Ordnungen bei der L¨ osung der Diﬀerentialgleichung, beginnend bei erster Ordnung in der Abbildung ganz oben, dann zweiter und schließlich dritter Ordnung

Wir sehen, dass wie erwartet der Fehler durch die Hinzunahme des Terms zweiter bzw. dritter Ordnung wesentlich kleiner geworden ist. Zudem stellen wir fest, dass die Abnahme des Restfehlers mit der Zahl der Schritte bei einem Algorithmus h¨ oherer Ordnung schneller erfolgt, als bei einem Algorithmus niedrigerer Ordnung (in dem Diagramm ist die Steigung beim Algorithmus dritter Ordnung am h¨ ochsten, beim Algorithmus erster Ordnung am niedrigsten). Die Tatsache, dass der Restfehler durch eine weitere Verkleinerung der Schrittweite nicht auf beliebig kleine Werte gedr¨ uckt werden kann, liegt an der endlichen Rechengenauigkeit durch das Zahlenformat – diese Grenz-

1.2 Das Fadenpendel

19

genauigkeit ließe sich nur durch den Wechsel von 16-Bit-Gleitkommazahlen auf 32-Bit usw. verbessern. Wenn wir jedoch eine einigermaßen realistische Genauigkeitsanforderung stellen, und sagen wir, Fehler von 10−7 tolerieren, kommen wir in unserem Beispiel bei Verwendung nur der ersten Ordnung mit ca. 2 Millionen Zeitschritten aus. Allein die Hinzunahme der n¨achsth¨oheren Ordnung reduziert diesen Wert auf etwa 4000 Zeitschritte und bei Verwendung des Terms dritter Ordnung reichen sogar etwa 500 Zeitschritte. Diese drastische Reduktion der Zahl n¨ otiger Schritte macht die Tatsache, dass jeder Einzelschritt eine unwesentlich l¨ angere Rechenzeit ben¨otigt, unerheblich. Nach dem bisher Gesagten scheint der Weg zu einem eﬀektiven Algorithmus festzustehen: man verwende m¨ oglichst viele Terme der Potenzreihenentwicklung (1.14), (1.15). Es gibt jedoch auch Bewegungsgleichungen bei denen die h¨ oheren Ordnungen zwar ohne prinzipielle Probleme berechnet werden k¨onnen, aber einen erheblichen Mehraufwand f¨ ur den Computer darstellen. Ein Beispiel hierf¨ ur sind alle Systeme mit vielen gekoppelten Teilchen. Betrachten wir eine Bewegungsgleichung der Form d xn = f (x1 , . . . , xN ) , dt

(1.22)

wobei N die Gesamtzahl der beteiligten Teilchen ist. Die zweiten Ableitungen nach der Zeit erhalten wir durch d d2 xn = f (x1 , . . . , xN ) 2 dt dt N df dxn = dx n dt n=1 =

N df f (x1 , . . . , xN ) . dxn n=1

(1.23) (1.24)

(1.25)

Entsprechend erhalten wir die dritten Ableitungen nach der Zeit: N d2 d df x = f (x1 , . . . , xN ) n dt2 dt n=1 dxn N N d2 f df df = f+ . dxn1 dxn2 dxn1 dxn2 n =1 n =1 1

(1.26)

(1.27)

2

Sie sehen, dass die erste Ableitung eine Summe u ¨ber alle Teilchen enth¨alt, die zweite Ableitung bereits eine Doppelsumme und Sie sehen vielleicht auch, dass es entsprechend weitergeht, also die dritte Ableitung nach der Zeit bereits eine Dreifachsumme enth¨ alt. In diesem Fall f¨ uhrt die direkte Berechnung der h¨ oheren Ableitungen zu einem sehr großen Rechenaufwand. Zum Gl¨ uck gibt es jedoch auch Algorithmen h¨ oherer Ordnung, bei denen diese h¨oheren Zeitableitungen gar nicht zur Verf¨ ugung gestellt werden m¨ ussen, sondern die

20

1 Mechanik der Massenpunkte

diese durch Diﬀerenzbildung an nahe beieinanderliegenden Punkten selbst ausrechnen. Solche Algorithmen m¨ ussen wir zudem nicht selbst programmieren, sondern wir k¨ onnen auf fertige Bibliotheken zur¨ uckgreifen, z.B. auf die beiliegende GSL-Bibliothek. Dies ist die Vorgehensweise, die ein Wissenschaftler im Normalfall w¨ahlen wird, da sie gegen¨ uber dem Programmieren eigener Routinen einige wichtige Vorteile hat: – eine erhebliche Reduktion der Entwicklungszeit – eigene Routinen w¨ aren fast immer langsamer – ein Wechsel des Algorithmus’ ist verh¨ altnism¨aßig einfach, – die Sicherheit einer gut getesteten Routine. Alle diese Punkte werden wir auch am Beispiel des Doppelpendels best¨atigt ﬁnden. Die Vorgehensweise, um das bestehende C++ bzw. FORTRAN-Programm so zu modiﬁzieren, dass die L¨ osung der Diﬀerentialgleichung durch eine Bibliotheksroutine erfolgt, erl¨ autern wir bei diesem ersten Beispiel f¨ ur alle drei auf der CD-ROM beigef¨ ugten Bibliotheken GSL, MATPACK und SLATEC, da diese bei den drei vorgestellten Bibliotheken sehr verschieden ist. ¨ Beginnen wir jedoch mit einigen grunds¨atzlichen Uberlegungen. Unabh¨ angig von der verwendeten Bibliothek muss unser Computerprogramm folgende Dinge festlegen bzw. zur Verf¨ ugung stellen: – – – – – –

die zu l¨ osende Diﬀerentialgleichung, das numerische Verfahren zur L¨ osung, Anfangs- und Endzeit, den Anfangsbedingungen die Genauigkeitsanforderung an die gesuchte L¨osung und Speicherplatz, der f¨ ur die L¨ osung ben¨ otigt wird.

Die verschiedenen Bibliotheken unterscheiden sich lediglich in der Art und Weise, wie dies alles deﬁniert wird. Die GNU Scientiﬁc Library oder GSL legt diese Punkte jeweils einzeln fest – dadurch wird das Programm zwar etwas l¨anger, daf¨ ur erlaubt dieser modulare Aufbau aber einen noch leichteren Austausch insbesondere des L¨osungsalgorithmus’. Im Einzelnen sieht das dann so aus: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: faden_lib.cpp * * Zweck: Simuliert die Dynamik eines Fadenpendels * * Gleichung: (dˆ2/d tˆ2) phi + sin(phi) = 0 * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include

1.2 Das Fadenpendel 13 14

21

#include <math.h> #include "tools.h"

15 16

using namespace std;

17 18 19

//---- globale Variablen int icount1, icount2;

20 21

//-------------------------------------------------------------------------

22 23

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

24 25 26 27

{ dxdt[0] = x[1]; dxdt[1] = -sin(x[0]);

28 29 30 31

icount1++; return GSL_SUCCESS; }

32 33

//-------------------------------------------------------------------------

34 35 36

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dfdt[], void *params)

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

{ double mu = *(double *)params; gsl_matrix_view dfdx_mat = gsl_matrix_view_array (dfdx, 2, 2); gsl_matrix * m = &dfdx_mat.matrix; gsl_matrix_set (m, 0, 0, 0.0); gsl_matrix_set (m, 0, 1, 1.0); gsl_matrix_set (m, 1, 0, -cos(x[0])); gsl_matrix_set (m, 1, 1, 0); dfdt[0] = 0.0; dfdt[1] = 0.0; icount2++; return GSL_SUCCESS; }

52 53

//-------------------------------------------------------------------------

54 55

int main( int argc, char *argv[] )

56 57

{

58 59 60 61 62 63 64 65 66

//-- Definition der Variablen int n, n1, n_start, n_out, max_fct, iaux, error, normal; double t, tend, dt, t1, t2; double rtol, atol, h; double mu = 10; double x[2], x_ref[2]; ifstream in_stream, ref_stream; ofstream out_stream;

67 68 69 70 71

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: faden_lib infile referencefile outfile\n";

22 72 73

1 Mechanik der Massenpunkte exit(1); }

74 75 76 77 78 79 80 81

//-- Einlesen der Parameter -ref_stream.open(argv[2]); in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[3]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von faden_lib.cpp\n"; inout(tend,"tend"); inout(atol,"atol"); inout(rtol,"rtol"); inout(n_start,"n_start");

82 83 84 85

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend; h = 1.e-6;

86 87 88 89 90

//-- Schleife ueber die Anfangsbedingungen for (n1=1; n1<=n_start; n1++) { icount1 = 0; icount2 = 0;

91 92 93 94 95

//-- Anfangsbedingungen in_stream >> x[0]; ref_stream >> x_ref[0]; in_stream >> x[1]; ref_stream >> x_ref[1]; t = 0;

96 97 98

out_stream << t << " " << x[0] << " " << x[1] << " " << 0 << " " << 0 << "\n";

99 100 101 102 103 104 105

//-- Initialisierung der GSL-Routine const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rk4; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, 2); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(2); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 2, &mu};

106 107 108 109 110 111 112 113 114

while (t
115 116 117

cout << " Aufrufe von f bzw. jac: " << icount1 << " " << icount2; cout << " Fehler : " << sqr(x[0]-x_ref[0])+sqr(x[1]-x_ref[1]) << "\n";

118 119 120 121 122

gsl_odeiv_evolve_free(e); gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s); }

123 124 125 126 127

out_stream.close(); in_stream.close(); ref_stream.close(); }

Die entscheidende Neuerung beﬁndet sich in Zeile 109: die eigentliche L¨osung der Diﬀerentialgleichung erfolgt nun in einer einzigen Zeile durch

1.2 Das Fadenpendel

23

Aufruf der Routine gsl odeiv evolve apply, die von GSL zur Verf¨ ugung gestellt wird. Vor dem Aufruf dieser Routine muss diese initialisiert werden, was in den Zeilen 100 bis 105 geschieht, wobei f¨ ur uns vor allem die Zeilen 101, 103 und 105 interessant sind. In ersterer wird das numerische Verfahren zur L¨osung der Diﬀerentialgleichung festgelegt – im Fall von gsl odeiv step rk4 ist dies ein Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung. In der Zeile 103 wird die Genauigkeitsanforderung (absolute und relative Toleranz) festgelegt. Und schließlich wird in Zeile 105 das Diﬀerentialgleichungssystem selbst deklariert, wozu ein Unterprogramm f geh¨ ort, das der Programmierer schreiben muss. Dieser Routine wird ein Unterprogramm subroutine f u ¨bergeben, in der die Diﬀerentialgleichung x˙ = f (x) festgelegt wird. Sie ﬁnden dieses Unterprogramm im Programmtext ab Zeile 23. Die genaue Form dieses Unterprogramms (also die zu u ¨bergebenden Parameter und deren Reihenfolge) h¨ angt von der verwendeten Bibliotheksroutine ab. Um mitzuz¨ahlen, wie oft dieses Unterprogramm aufgerufen wird, wurde noch ein Z¨ahler icount eingebaut, und um ein Maß f¨ ur die erreichte Genauigkeit zu bekommen, lesen wir die Referenzergebnisse von faden all.f ein und vergleichen diese mit den neu errechneten L¨ osungen (was nat¨ urlich voraussetzt, dass beide Programme mit identischen Eingabe-Parametern gestartet wurden). Dieser modulare Aufbau, bei dem das L¨ osungsverfahren und die Toleranzen jeweils in einem einzelnen Befehl festgelegt werden, eine weitere Befehlszeile den ben¨ otigten Speicherplatz zur Verf¨ ugung stellt und eine Zeile f¨ ur das Ausf¨ uhren eines Integrationsschrittes ben¨ otigt wird, ist eine Besonderheit der GSL-Bibliothek. Bei allen mir bekannten anderen Numerik-Bibliotheken, erfolgen alle diese Schritte in einem einzigen Befehl, z.B. unter MATPACK: error = ODE_Bulirsch(tstart,x,f,tend,h,hmax,atol,rtol,max_fct,normal, aux,iaux,daux);

Der entsprechende Aufruf unter der C-Version von Visual Numerics IMSL lautet imsl_ode_runge_kutta(neq,&tstart,tend,x,state,f);

w¨ ahrend er bei der FORTRAN-Version von Visual Numerics IMSL so aussieht: call divprk(ido,4,f,tstart,tend,param,x)

Zum Abschluss geben wir noch die Befehlszeile f¨ ur SLATEC, eine frei verf¨ ugbare FORTRAN-Bibliothek an: &

call dderkf(f,4,tstart,x,tend,info,rtol,atol,idid, rwork,lrw,iwork,liw,rpar,ipar)

W¨ ahrend die beiden IMSL-Routinen den ben¨otigten Speicherplatz automatisch bereitstellen, geschieht dies bei den anderen beiden Routinen durch ¨ Ubergabe von Feldern (aux, iaux und daux bzw. rwork und iwork), deren Mindestgr¨ oße von der Zahl der zu integrierenden Diﬀerentialgleichungen abh¨ angt.

24

1 Mechanik der Massenpunkte

Zus¨ atzlich m¨ ussen wir f¨ ur dderkf noch Platz im Arbeitsspeicher reservieren, der w¨ ahrend der L¨ osung der Diﬀerentialgleichungen ben¨otigt wird. Dies ¨ geschieht durch Ubergabe der Felder rwork und iwork, deren Dimensionierung sich aus der Beschreibung der Routine dderkf ergibt. Allen diesen Bibliotheksroutinen gemein sind die Parameter atol und rtol, die angeben welche Genauigkeitsanforderung wir an die gewonnene osung stellen: atol legt einen Grenzwert f¨ ur den Absolutfehler, rtol einen L¨ f¨ ur den relativen Fehler fest. In der Praxis ist es sinnvoll zu veriﬁzieren, dass ¨ eine Versch¨ arfung dieser beiden Parameter zu keiner signiﬁkanten Anderung des Ergebnisses f¨ uhrt, um, falls dies doch der Fall sein sollte, kleinere Werte f¨ ur diese beiden Parameter zu w¨ ahlen. Desgleichen darf die Einteilung der Zeitachse in diskrete Abschnitte keinen Einﬂuss auf die L¨osung haben, ansonsten kann der gewonnenen L¨ osung kein Vertrauen geschenkt werden. Setzt man einen dieser Parameter u ¨brigens auf null, wird als alleiniges Kriterium f¨ ur das Erreichen der geforderten Genauigkeit der jeweils andere Parameter herangezogen. Eine der jeweiligen Situation angemessene Wahl dieser Parameter ist nicht immer einfach, insbesondere solange man keine Informationen u osung hat: ¨ber die zu erwartende L¨ – Legt man nur den relativen Fehler fest, bekommt man Probleme, wenn die L¨ osung einen Nulldurchgang hat, da an diesem Punkt ein relativer Fehler nicht deﬁniert ist. – Legt man nur den absoluten Fehler fest, bekommt man hingegen Schwierigkeiten, wenn die L¨ osung sehr große Werte annimmt, da dann die Anforderungen – relativ gesehen – immer ansteigen und unter Umst¨anden aufgrund des endlichen Zahlenformats gar nicht mehr erreicht werden k¨ onnen. In solchen Situationen kann man entweder versuchen, durch eine Festlegung beider Parameter Abhilfe zu schaﬀen, oder man tastet sich in mehreren Probel¨aufen mit unterschiedlicher Wahl von atol und rtol an das Verhalten der L¨osung heran, wonach eine sinnvolle Wahl dieser beiden Werte m¨oglich ist. Das Ergebnis unseres Programms ist > faden_lib faden_lib.par faden_all.ref faden_lib.res Aufrufe von f bzw. jac: 12480 0 Fehler : 9.50448e-14 Aufrufe von f bzw. jac: 16379 0 Fehler : 1.82071e-13 Aufrufe von f bzw. jac: 18972 0 Fehler : 2.05772e-13 Aufrufe von f bzw. jac: 21788 0 Fehler : 1.55255e-13 Aufrufe von f bzw. jac: 14852 0 Fehler : 2.8778e-13 Aufrufe von f bzw. jac: 15856 0 Fehler : 2.52265e-13 Aufrufe von f bzw. jac: 18116 0 Fehler : 1.34472e-13 Aufrufe von f bzw. jac: 19800 0 Fehler : 2.90902e-13 Aufrufe von f bzw. jac: 22261 0 Fehler : 3.15646e-14 Aufrufe von f bzw. jac: 23830 0 Fehler : 1.32739e-11

Im Vergleich zu den bisherigen Programmen mit selbst geschriebener Routine zur L¨ osung des Gleichungssystems kommt das eingesetzte Runge-KuttaVerfahren odeiv step rk4 mit weniger St¨ utzpunkten aus und erreicht eine h¨ ohere Genauigkeit! Interessant ist auch,

1.2 Das Fadenpendel

25

Ohne großen Aufwand k¨ onnen wir nun eine andere der vielen zur Auswahl stehenden Bibliotheksroutinen verwenden: wir tauschen lediglich in Zeile 101 odeiv step rk4 durch odeiv step rk8pd, das eine Implementierung des Runge-Kutta-Prince-Dormand-Algorithmus’ darstellt, aus und erhalten das Programm faden lib2.cpp, das dann mit noch weniger St¨ utzstellen auskommt: > faden_lib2 Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von

faden_lib.par faden_all.ref faden_lib.res f bzw. jac: 272 0 Fehler : 4.88865e-10 f bzw. jac: 169 0 Fehler : 8.7534e-12 f bzw. jac: 207 0 Fehler : 2.53785e-12 f bzw. jac: 245 0 Fehler : 8.01659e-11 f bzw. jac: 193 0 Fehler : 1.6238e-10 f bzw. jac: 169 0 Fehler : 2.65704e-10 f bzw. jac: 207 0 Fehler : 1.51987e-13 f bzw. jac: 233 0 Fehler : 7.65308e-12 f bzw. jac: 245 0 Fehler : 1.07912e-10 f bzw. jac: 307 0 Fehler : 2.82351e-10

Zum Abschluss wollen wir noch eine Routine (odeiv step bsimp) verwenden, die neben der Funktion f auch Gebrauch von jac macht – diese Routine stellt ∂(dfi /dt)/∂xj zur Verf¨ ugung. > faden_lib3 Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von Aufrufe von

faden_lib.par faden_all.ref faden_lib.res f bzw. jac: 1820 13 Fehler : 1.08217e-09 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 2.26444e-09 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 4.64311e-09 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 2.3433e-09 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 2.71246e-08 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 1.49442e-09 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 2.50474e-09 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 3.35529e-09 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 3.9156e-09 f bzw. jac: 420 3 Fehler : 7.62995e-10

Gegen¨ uber odeiv step rk8pd stellt dieses Verfahren jedoch keine Verringerung des Rechenaufwands dar. Bei komplexeren Problemen, bei denen wir noch mehr Rechenzeit einsparen wollen (oder m¨ ussen), besteht eine weitere Optimierungsm¨oglichkeit in der Speicherung immer wieder verwendeter Ausdr¨ ucke. Zum Beispiel berechnet das Programm faden all.cpp bei jedem Zeitschritt das Produkt (dt)3 /6 zweimal und das Produkt (dt)2 /2 sogar viermal, was insgesamt leicht mehrere tausend- oder gar millionenmal der Fall sein kann. Das ist nat¨ urlich unsinnig, und wir h¨ atten gut daran getan, den Wert dieser Audr¨ ucke in Variablen, z.B. dt3 und dt2 zu speichern. Viele moderne Compiler erledigen diese Aufgabe selbstt¨ atig, so dass man sich nicht weiter darum k¨ ummern muss – in diesen F¨allen gen¨ ugt es, beim Compilieren eine entsprechende Option zu speziﬁzieren, die den Optimierer einschaltet.

26

1 Mechanik der Massenpunkte

1.3 Das Doppelpendel H¨ angt man an den Massenpunkt am Ende des Fadenpendels ein weiteres Pendel erh¨ alt man das sogenannte Doppelpendel (siehe Abb. 1.5), dem wir uns in diesem Abschnitt widmen wollen.

Abb. 1.5. Das Doppelpendel, bestehend aus einem Fadenpendel, an dem ein weiteres Pendel angeh¨ angt ist

Hier die Bewegungsgleichungen durch eine Betrachtung der wirkenden Kr¨ afte aufzustellen, ist zwar m¨ oglich, aber sehr un¨ ubersichtlich. Der Grund hierf¨ ur ist die Tatsache, dass die Kr¨ afte im Allgemeinen nicht in eine Richtung zeigen, in die sich die Massenpunkte bewegen k¨ onnen. Das hat Zwangskr¨afte zur Folge, die von den Stangen aufgebracht werden und die – obwohl zun¨achst unbekannt – in die Betrachtungen miteinbezogen werden m¨ ussen. Deswegen wollen wir an dieser Stelle den Lagrangeformalismus in Erinnerung rufen, der diese Schwierigkeiten elegant umgeht. Ausgangspunkt des Lagrangeformalismus ist ein mathematisches Verfahren zum Auﬃnden von Extremwerten unter Beachtung von Nebenbedingungen, das unter dem Stichwort Lagrangeparameter in der Literatur zu ﬁnden ist. Wir wollen im Rahmen dieses Buches auf eine Herleitung des Lagrangeformalismus’ verzichten, ihn aber jedoch soweit skizzieren, dass der Leser keine Schwierigkeiten bei der Anwendung dieses Verfahrens haben sollte. Der erste Schritt zu den Bewegungsgleichungen besteht im Aufﬁnden sogenannter generalisierter Koordinaten – dabei handelt es sich um einen Satz von Koordinaten q, die so gew¨ ahlt sind, dass sie bereits die Zwangsbedingungen ber¨ ucksichtigen, in deren Richtung eine Verr¨ uckung also immer m¨oglich ist. Im zweiten Schritt stellt man nun die Lagrangefunktion auf, die f¨ ur ein nicht explizit zeitabh¨ angiges Problem wie das Vorliegende gleich der Diﬀerenz aus kinetischer und potentieller Energie ist: L(q, q) ˙ = Ekin − Epot .

(1.28)

1.3 Das Doppelpendel

27

Zu beachten ist hierbei, dass die Lagrangefunktion als Funktion der im ersten Schritt gefundenen generalisierten Koordinaten und deren Zeitableitungen zu schreiben ist. Im letzten Schritt erh¨ alt man die gesuchten Bewegungsgleichungen durch partielle Diﬀerentiation der Lagrangefunktion nach diesen Koordinaten bzw. deren Ableitungen nach der Zeit: ∂L d ∂L = . dt ∂ q˙ ∂q

(1.29)

Wenn Sie den Lagrangeformalismus noch nicht kennen, betrachten Sie bitte diese extrem kurze Skizzierung als Rezept und identiﬁzieren Sie die einzelnen Schritte bei diesem und den folgenden Beispielen. Beginnen wir also mit Schritt 1, dem Aufﬁnden generalisierter Koordinaten. Dies sind am Einfachsten die beiden Winkel φ1 und φ2 . Ganz oﬀensichtlich unterliegen diese beiden Winkel keinen Beschr¨ankungen durch die Zwangsbedingungen, die die beiden Stangen darstellen. Im zweiten Schritt stellen wir nun die Lagrangefunktion auf, wozu wir zun¨ achst die kinetische und die potentielle Energie – ausgedr¨ uckt durch φ1 , otigen. Der Ausdruck f¨ ur die potentiellen Energie ist φ2 , φ˙ 1 und φ˙ 2 – ben¨ verh¨ altnism¨ aßig einfach: Epot (φ1 , φ2 ) = −m1 gl1 cos φ1 − m2 g(l1 cos φ1 + l2 cos φ2 ) .

(1.30)

F¨ ur die kinetische Energie erhalten wir: Ekin =

2 1 m1 l1 φ˙ 1 2 1 + m2 l12 φ˙ 21 + l22 φ˙ 22 + 2l1 l2 φ˙ 1 φ˙ 2 cos(φ1 + φ2 ) . 2

(1.31)

Daraus erhalten wir deﬁnitionsgem¨ aß die Lagrangefunktion L = Ekin − Epot (1.32) 2 1 1 = m1 l1 φ˙ 1 + m2 l12 φ˙ 21 + l22 φ˙ 22 + 2l1 l2 φ˙ 1 φ˙ 2 cos(φ1 + φ2 ) 2 2 (1.33) +m1 gl1 cos φ1 + m2 g(l1 cos φ1 + l2 cos φ2 ) . Im dritten und letzten Schritt erhalten wir daraus die Bewegungsgleichungen: d ∂L d = m1 l12 φ˙1 + m2 l12 φ˙1 + m2 l1 l2 φ˙2 cos(φ1 + φ2 ) dt ∂ φ˙1 dt = m1 l1 φ¨1 + m2 l2 φ¨1 + m2 l1 l2 φ¨2 cos(φ1 + φ2 )

(1.34)

1

− m2 l1 l2 φ˙ 1 φ˙ 2 cos(φ1 + φ2 ) − m2 l1 l2 φ˙ 22 cos(φ1 + φ2 ) ∂L = ∂φ1

(1.35) (1.36)

28

1 Mechanik der Massenpunkte

= −m2 l1 l2 φ˙ 1 φ˙ 2 sin(φ1 + φ2 ) − m1 gl1 sin φ1 (1.37) −m2 gl1 sin φ1 d ∂L d = (1.38) m2 l22 φ˙2 + m2 l1 l2 φ˙1 cos(φ1 + φ2 ) dt ∂ φ˙2 dt = m2 l1 l2 φ¨2 + m2 l1 l2 φ¨1 cos(φ1 + φ2 ) − m2 l1 l2 φ˙ 2 sin(φ1 + φ2 ) 1

−m2 l1 l2 φ˙ 1 φ˙ 2 sin(φ1 + φ2 ) ∂L = ∂φ2 = −m2 l1 l2 φ˙ 1 φ˙ 2 sin(φ1 + φ2 ) − m2 gl2 sin φ2 .

(1.39) (1.40) (1.41)

Sie sehen, wie diese scheinbar harmlose Ver¨ anderung gegen¨ uber dem Problem des vorherigen Abschnitts die Sache erheblich komplizierter macht. Um die Bewegungsgleichungen u ¨bersichtlicher zu gestalten, skalieren wir ¨ahnlich wie beim Fadenpendel l1 τ =t (1.42) g und f¨ uhren die Abk¨ urzungen m2 m1 l2 β= l1

α=

(1.43) (1.44)

ein. Damit erhalten wir: (1 + α)φ¨1 + αβ φ¨2 cos(∆φ) + αβ φ˙ 22 sin(∆φ) = −(1 + α) sin(φ1 ) (1.45) β 2 φ¨2 + φ¨1 cos(∆φ) − φ˙ 21 sin(∆φ) = − sin(φ2 ) , (1.46) wobei wir die Abk¨ urzung ∆φ = φ1 − φ2

(1.47)

eingef¨ uhrt haben. Da die Herleitung dieser Bewegungsgleichungen l¨anglich und damit auch fehlertr¨ achtig ist, wollen wir zumindest einen einfachen Test auf Richtigkeit durchf¨ uhren: Im Grenzfall α → 0 h¨ angt an der ersten Masse m1 ein quasi masseloses Teilchen, das deren Bewegung nat¨ urlich nicht beeinﬂussen kann. Wir sollten in diesem Grenzfall also f¨ ur das erste Teilchen die Bewegungsgleichung des einfachen Fadenpendels erhalten, was tats¨achlich der Fall ist. Gl¨ ucklicherweise haben wir damit die Hauptarbeit getan und es sollte uns keine sonderlichen Schwierigkeiten bereiten, diese Diﬀerentialgleichungen zu implementieren. Am Einfachsten nehmen wir das bestehende Programm faden lib.cpp als Ausgangspunkt, kopieren dieses in eine neue Datei ¨ dpendel1.cpp und nehmen die n¨ otigen Anderungen vor:

1.3 Das Doppelpendel 1 2 3 4 5 6

29

/************************************************************************** * Name: dpendel1.cpp * * Zweck: Simuliert die Dynamik eines Doppelpendels * * Gleichung: siehe Text * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13 14

#include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

15 16

using namespace std;

17 18 19

//---- globale Variablen double alpha, beta;

20 21

//-------------------------------------------------------------------------

22 23

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

{ dxdt[0] = x[1]; dxdt[1] = ( - alpha*beta*x[3]*x[3] * sin(x[0]-x[2]) (1+alpha)*sin(x[0]) - alpha*x[1]*x[1]*sin(x[0] -x[2])*cos(x[0]-x[2]) + alpha*sin(x[2])*cos(x[2]-x[0]) ) / ( 1 + alpha*pow(sin(x[0]-x[2]),2) ); dxdt[2] = x[3]; dxdt[3] = ( -dxdt[1] * cos(x[0]-x[2]) +x[1]*x[1] * sin(x[0]-x[2]) - sin(x[2]) ) / beta;

34 35 36

return GSL_SUCCESS; }

37 38

//-------------------------------------------------------------------------

39 40 41 42

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dxdt[], void *params)

43 44 45 46

{ return GSL_SUCCESS; }

47 48 49

//-------------------------------------------------------------------------

50 51

int main( int argc, char *argv[] )

52 53

{

54 55 56 57 58 59

//-- Definition der Variablen int n, neq, n1, n2, nout; double t, tend, dt, dt1, dtmin, dtfirst, eps, t1, t2, E, x[4]; double phi1_0, phi2_0, v_phi1_0, v_phi2_0, rtol, atol, h; double mu = 10;

30 60 61

1 Mechanik der Massenpunkte ifstream in_stream; ofstream out_stream;

62 63 64 65 66 67 68

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: dpendel1 infile outfile\n"; return 0; }

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von dpendel1.cpp\n"; inout(tend,"tend"); inout(phi1_0,"phi1_0"); inout(phi2_0,"phi2_0"); inout(v_phi1_0,"v_phi1_0"); inout(v_phi2_0,"v_phi2_0"); inout(alpha,"alpha"); inout(beta,"beta"); inout(nout,"nout"); in_stream.close();

79 80 81 82 83 84 85 86

//-- Initialiserung der Bibliotheksroutine atol = 1.e-6; rtol = 1.e-6; const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, 4); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(4); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 4, &mu};

87 88 89 90

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / nout; h = 1.e-6;

91 92 93

x[0] = phi1_0; x[2] = phi2_0;

x[1] = v_phi1_0; x[3] = v_phi2_0;

94 95 96 97 98 99

E = 0.5 * x[1]*x[1] + 0.5 * alpha * (x[1]*x[1]+ pow(beta*x[3],2) + 2 * beta * x[1] * x[3] * cos(x[0]-x[2])) - cos(x[0]) - alpha * (cos(x[0])+beta*cos(x[2])); out_stream << 0 << " " << x[0] << " " << x[1] << " " << x[2] << " " << x[3] << " " << E << "\n";

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112

t = 0; for (n=1; n<=nout; n++) { t1 = n * dt; while (t
113 114 115 116

out_stream << t << " " << x[0] << " " << x[1] << " " << x[2] << " " << x[3] << " " << E << "\n"; }

117 118

gsl_odeiv_evolve_free(e);

1.3 Das Doppelpendel 119 120

31

gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s);

121 122 123

out_stream.close(); }

Zun¨ achst hat sich nat¨ urlich die Zahl der Zustandsvariablen von 2 in oht (zwei f¨ ur jede der beiden Massen) und dementfaden lib.cpp auf 4 erh¨ sprechend musste auch die Gr¨ oße des allozierten Speicherplatzes angepasst werden. Auf die M¨ oglichkeit, in einem Programmlauf die Trajektorien zu mehreren Anfangsbedingungen zu berechnen, haben wir hier verzichtet, um das Programm u ¨bersichtlicher zu gestalten. Und schließlich berechnen wir in den Zeilen 95–97 bzw. 110–112 als weitere Kontrolle die Energie und geben diese in der Ergebnisdatei mit aus. Die Tatsache, dass diese konstant ist, ist eine Kontrolle f¨ ur die Richtigkeit sowohl der analytischen Berechnung der Bewegungsgleichung als auch der Implementierung in einem Computerprogramm. Als Ergebnis erhalten wir die vier Zustandsvariablen φ1 , φ2 , p1 = φ˙ 1 und ur die hier p2 = φ˙ 2 als Funktion der Zeit (Abb. 1.6). Wenn wir die Ergebnisse f¨ gew¨ ahlten Parameter (α = 1, und β = 0.8) betrachten, so erkennen wir zwar auf kurzen Zeitskalen eine Art immer wiederkehrende Struktur, aber – im Gegensatz zu den Ergebnissen beim Fadenpendel – keine Regelm¨aßigkeiten u ¨ber lange Zeitr¨aume. Diese Abwesenheit von Regularit¨at wollen wir nun genauer untersuchen, wozu wir jedoch zuerst einige theoretische Grundlagen ben¨ otigen, die wir in den beiden folgenden Abschnitten legen wollen.

Abb. 1.6. Zeitverlauf der beiden Auslenkungen φ1 (a) und φ2 (b) sowie der kanonisch konjugierten Impulse p1 (c) und p2 (d) beim Doppelpendel (α = 1, β = 0.8)

32

1 Mechanik der Massenpunkte

1.4 Integrable und nicht integrable Dynamiken Dieser Abschnitt enth¨ alt zwar keinerlei Formeln, erfordert daf¨ ur ein erh¨ohtes Maß an r¨ aumlichem Vorstellungsverm¨ ogen, vor allem in h¨oherdimensionalen R¨aumen. Es ist daher erfahrungsgem¨ aß sinnvoll, sich die Abs¨atze langsam zu Gem¨ ute zu f¨ uhren und gegebenenfalls noch einmal zu lesen. achst zum Beispiel des einfachen Fadenpendels zur¨ uck. Kommen wir zun¨ In diesem Fall ist der Phasenraum zweidimensional (φ und φ˙ als unabh¨angige Variable). Einer Trajektorie steht jedoch nicht der gesamte Phasenraum zur Verf¨ ugung, da die Energieerhaltung die Trajektorie auf eine Energieﬂ¨ache1 zwingt. Diese zus¨atzliche Einschr¨ ankung hat zur Folge, dass der eﬀektiv zur Verf¨ ugung stehende Unterraum eindimensional ist, das heißt dass die Trajektorie durch Erhaltungss¨ atze vollst¨ andig festgelegt ist. Diesen einer Trajektorie zur Verf¨ ugung stehende Teilraum des Phasenraumes werden wir im Folgenden immer wieder ben¨ otigen, weswegen wir ihm ein Symbol zuordnen: U. Eine Dynamik, bei der ebenso viele von einander unabh¨angige Erhaltungsgr¨oßen wie dynamische Variablen existieren, heißt integrabel . Schauen wir uns nun unter diesem Aspekt das Doppelpendel an: die Zahl dynamischer Variabler ist nun zwei, was bedeutet, dass der Phasenraum vierdimensional ist. Die einzige Erhaltungsgr¨ oße, die wir unmittelbar erkennen, ist die Energie; wir k¨ onnen aber zun¨ achst nicht sicher sein, dass wirklich keine weitere Erhaltungsgr¨ oße existiert. Im Fall von zwei dynamischen Variablen gibt es jedoch eine Methode, genau dies zu u ufen: der sogenannte Poincar´e-Plot. Dazu stellen wir uns ¨berpr¨ zun¨ achst vor, es g¨ abe eine weitere Erhaltungsgr¨oße, die wir jedoch nicht gefunden haben. In diesem Fall w¨ are der zur Verf¨ ugung stehende Unterraum des Phasenraums zweidimensional (anstatt dreidimensional im Fall von nur einer Erhaltungsgr¨ oße). Deﬁnieren wir einen beliebigen dreidimensionalen Unterraum V des Phasenraumes, so dass der Schnitt von U und V nicht leer ist und stellen uns die Frage, welche Dimension diese Schnittmenge hat. Im Fall der integrablen Dynamik ist dieser Schnitt eindimensional (die Dimension ist eins niedriger als die Dimension von U); im Fall der nicht integrablen Dynamik ist der Schnitt zweidimensional. Und diese beiden F¨alle lassen sich wie folgt unterscheiden: Wir bestimmen die Schnittpunkte der Trajektorie mit V und stellen diese in einer graphischen Projektion auf die zweidimensionale Zeichenﬂ¨ ache dar. Im ersten Fall ordnen sich diese entlang einer Linie an, im zweiten Fall verteilen sich die Schnittpunkte auf einer Fl¨ache. Nun wollen wir unser Programm dpendel1.cpp so erweitern, dass es statt dem Zeitverlauf einer Trajektorie die Schnittpunkte dieser Trajektorie mit einer festgelegten Hyperﬂ¨ ache V ausgibt. Diese deﬁnieren wir durch φ˙ 1 = 0 1

Der Begriﬀ Fl¨ ache ist hier im Sinne einer Hyperﬂ¨ ache zu verstehen, d.h. ein Unterraum, dessen Dimension gegen¨ uber dem Phasenraum um eins erniedrigt ist. Im hier vorliegenden Fall eines zweidimensionalen Phasenraums ist die Energieﬂ¨ ache also ein eindimensionales Gebilde.

1.4 Integrable und nicht integrable Dynamiken

33

(ein Wert, den φ˙ 1 sicher bei jeder Trajektorie immer wieder annimmt). Das Ergebnis ist das Programm dpendel2.cpp: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: dpendel2.cpp * * Zweck: Poincare-Plot fuer ein Doppelpendel * * Gleichung: siehe Text * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13 14 15

#include #include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

16 17

using namespace std;

18 19 20 21

//---- globale Variablen double alpha, beta, tstart, tend, akt_f0, akt_f1, akt_f2, akt_f3; double phi1_alt, phi2_alt, v_phi1_alt, v_phi2_alt;

22 23

//-------------------------------------------------------------------------

24 25

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

{ dxdt[0] = x[1]; dxdt[1] = ( - alpha*beta*x[3]*x[3] * sin(x[0]-x[2]) - (1+alpha)*sin(x[0]) - alpha*x[1]*x[1]*sin(x[0]-x[2])*cos(x[0]-x[2]) + alpha*sin(x[2])*cos(x[2]-x[0]) ) / ( 1 + alpha*pow(sin(x[0]-x[2]),2) ); dxdt[2] = x[3]; dxdt[3] = ( -dxdt[1] * cos(x[0]-x[2]) +x[1]*x[1] * sin(x[0]-x[2]) - sin(x[2]) ) / beta;

36 37 38

return GSL_SUCCESS; }

39 40

//-------------------------------------------------------------------------

41 42 43 44

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dxdt[], void *params)

45 46 47 48

{ return GSL_SUCCESS; }

49 50

//-------------------------------------------------------------------------

51 52

double funktion(double t, void *params)

53 54 55 56

{ double y[4], rtol, atol, t1, t2; double mu = 10;

34 57

1 Mechanik der Massenpunkte double h = 1.e-8;

58 59 60 61 62

y[0] y[2] t1 = t2 =

= phi1_alt; = phi2_alt; tstart; t;

y[1] = v_phi1_alt; y[3] = v_phi2_alt;

63 64 65 66 67 68 69

atol = 1.e-7; rtol = 1.e-7; const gsl_odeiv_step_type *T2 = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s2 = gsl_odeiv_step_alloc(T2, 4); gsl_odeiv_control *c2 = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e2 = gsl_odeiv_evolve_alloc(4); gsl_odeiv_system sys2 = {f, jac, 4, &mu};

70 71 72 73 74 75

while (t1
76 77 78 79

gsl_odeiv_evolve_free(e2); gsl_odeiv_control_free(c2); gsl_odeiv_step_free(s2);

80 81 82 83 84

akt_f0 = y[0]; akt_f2 = y[2]; return y[1]; }

akt_f1 = y[1]; akt_f3 = y[3];

85 86

//-------------------------------------------------------------------------

87 88

int main( int argc, char *argv[] )

89 90

{

91 92 93 94

//-- Definition der Variablen int n, neq, n1, n2, nout, status; int iter, max_iter = 100;

95 96 97 98 99 100

double x[4], t, dt, dt1, dtmin, dtfirst, t1, t2; double phi1_0, phi2_0, v_phi1_0, v_phi2_0, E, rtol, atol, h, r; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

101 102 103 104 105 106 107

rtol = 1.e-10; atol = 1.e-10; const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, 4); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(4); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 4, &mu};

108 109 110 111 112

const gsl_root_fsolver_type *T1; gsl_root_fsolver *s1; gsl_function F; F.function = &funktion;

113 114 115

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3)

1.4 Integrable und nicht integrable Dynamiken 116 117 118 119

{ cout << " Aufruf: dpendel2 infile outfile\n"; return 0; }

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129

//-- Einlesen der Parameter -out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von dpendel2.cpp\n"; in_stream.open(argv[1]); inout(tend,"tend"); inout(phi1_0,"phi1_0"); inout(phi2_0,"phi2_0"); inout(v_phi1_0,"v_phi1_0"); inout(v_phi2_0,"v_phi2_0"); inout(alpha,"alpha"); inout(beta,"beta"); inout(nout,"nout"); in_stream.close();

130 131 132 133 134

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -t = 0; dt = tend / nout; h = 1.e-6;

135 136 137

x[0] = phi1_0; x[2] = phi2_0;

x[1] = v_phi1_0; x[3] = v_phi2_0;

138 139 140 141 142

E = -cos(x[0]) + 0.5*sqr(x[1]) - alpha*(cos(x[0])+beta*cos(x[2])) + 0.5*alpha*( sqr(x[1])+sqr(beta*x[3]) + 2*beta*x[1]*x[3]*cos(x[0]+x[2]) ); cout << " E = " << E << "\n";

143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

for (n=1; n<=nout; n++) { t1 = (n-1) * dt; t2 = n * dt; phi1_alt = x[0]; v_phi1_alt = x[1]; phi2_alt = x[2]; v_phi2_alt = x[3]; while (t
35

36 175

1 Mechanik der Massenpunkte }

176 177 178 179

gsl_odeiv_evolve_free(e); gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s);

180 181 182

out_stream.close(); }

Zun¨ achst integriert das Programm wie dpendel1.cpp die Bewegungsgleichungen. Sobald v phi1 sein Vorzeichen wechselt, wird ein Nullstellensuchprogramm damit beauftragt, den exakten Schnittpunkt mit v phi1 = 0 zu bestimmen. Hierzu muss eine Funktion funktion implementiert werden, die uckgibt. Diese Funktion arbeitet f¨ ur jeden Zeitpunkt den Wert von v phi1 zur¨ ebenfalls mit der Bibliotheksroutine zur L¨ osung von Diﬀerentialgleichungen, allerdings sind deren Aufrufe nicht wie bisher immer zu aufeinander folgenden Intervallen, sondern zu Intervallen mit immer demselben Startwert. Aus diesem Grund m¨ ussen wir vor jedem Aufruf deren Workarrays neu initialisieren. Außerdem achten wir auf eine strenge Trennung der Integration der Bewegungsgleichungen im Hauptprogramm (mit den Kontrollvariablen s, c, e und sys) und derjenigen in der Funktion funktion (mit den Kontrollvariablen s2, c2, e2 und sys2). Starten wir zun¨ achst das Programm mit den Parametern > cat dpendel2.par 200000 0 1 1 0 1 1 1000000

und stellen die erhaltenen Schnittpunkte in der φ1 -φ2 -Ebene dar, so erhalten wir:

Abb. 1.7. Poincar´e-Plot f¨ ur eine chaotische Dynamik: die Punkte f¨ ullen eine Fl¨ ache aus

Dies ist das charakteristische Bild, wie wir es bei einem nicht integrablen System erwarten: die Punkte f¨ ullen (wenn auch nicht gleichm¨aßig) eine

1.4 Integrable und nicht integrable Dynamiken

37

Fl¨ ache. Diese Fl¨ ache weist in unserem Beispiel eine unegelm¨aßige Berandung und dar¨ uber hinaus L¨ ocher auf – es stellt sich die Frage, wie die Trajektorien aussehen, die durch diese L¨ ocher gehen. Um diese Frage zu beantworten, modiﬁzieren wir lediglich die Anfangsbedingungen f¨ ur unsere Trajektorie: > cat dpendel2a.par 200000 -0.5 0.6 0 1.4423578 1 1 1000000

Der Wert von 1.442375 f¨ ur v phi2 0 ergibt sich aus der Bedingung, dass die Gesamtenergie aus (1.30) und (1.31) die selbe sein soll, wie bei der vorangegangen Parameter-Datei. Das Bild, das wir f¨ ur diese Anfangsbedingungen erhalten, ist v¨ ollig anders:

Abb. 1.8. Poincar´e-Plot f¨ ur eine integrable Dynamik: die Punkte ordnen sich entlang eines eindimensionalen Gebildes (in diesem Fall zweier Kurven) an

Hier liegt eindeutig die Situation einer integrable Dynamik vor, bei der sich diese Durchstoßpunkte entlang einer oder mehrerer Kurven anordnen m¨ ussen. Wir k¨ onnten nun f¨ ur eine Vielzahl von Anfangsbedingungen entsprechende Plots erstellen, um zu entscheiden, in welchen Bereichen des Phasenraumes die Bewegung regul¨ ar und in welchen die Dynamik chaotisch ist. Wir k¨onnen jedoch diese etwas m¨ uhselige Vorgehensweise vereinfachen, indem wir mehrere solcher Plots in einer Darstellung vereinigen. Wir m¨ ussen dabei jedoch sicherstellen, dass durch die Projektion auf eine zweidimensionale Darstellung keine sich u ¨berlappenden Strukturen erzeugt werden – in diesem Fall k¨onnte man dem entstehenden Diagramm keine Informationen mehr entlocken. Am Einfachsten erf¨ ullen wir diese Forderung, indem wir Startwerte mit gleicher Gesamtenergie w¨ahlen, dann n¨ amlich liegen alle Trajektorien auf einer gemeinsamen Hyperﬂ¨ ache. Wenn wir dies ber¨ ucksichtigen, kommen wir durch Modiﬁkation des Hauptprogramms von dpendel2.cpp zu dem Programm dpendel3.cpp:

38

1 Mechanik der Massenpunkte

... 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127

//-- Einlesen der Parameter -out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von dpendel3\n"; in_stream.open(argv[1]); inout(tend,"tend"); inout(dphi1,"dphi1"); inout(dphi2,"dphi2"); inout(E_0,"E_0"); inout(alpha,"alpha"); inout(beta,"beta"); inout(nmax,"nmax"); inout(nout,"nout"); in_stream.close();

128 129 130 131

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / nout; h = 1.e-6;

132 133

F.function = &funktion;

134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

for (n1=-nmax; n1<=nmax; n1++) for (n2=-nmax; n2<=nmax; n2++) { t = 0; x[0] = n1*dphi1; x[1] = 0; x[2] = n2*dphi2; // x[3] = 0; a = E_0 + cos(x[0]) + alpha*(cos(x[0])+beta*cos(x[2])); x[3] = sqrt(2*a / (alpha*sqr(beta))); cout << n1 << " " << n2 << "\n"; for (n=1; n<=nout; n++) { t1 = (n-1) * dt; t2 = n * dt; phi1_alt = x[0]; v_phi1_alt = x[1]; phi2_alt = x[2]; v_phi2_alt = x[3]; while (t
1.4 Integrable und nicht integrable Dynamiken }

176 177

39

}

178 179 180 181

gsl_odeiv_evolve_free(e); gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s);

182 183 184 185

out_stream.close(); return 0; }

Das Einlesen der Eingabeparameter in Zeile 142–149 wurde dahingehend ge¨ andert, dass v phi 1 nicht mehr eingegeben werden muss, sondern fest gleich null ist. Auch v phi 2 muss nicht mehr eingegeben werden, da dieses durch die Energie E festgelegt wird. Variiert werden phi 1 und phi 2, so dass statt diesen Variablen deren Schrittweiten dphi1 und dphi2 eingelesen werden. Neu hinzugekommen ist die Festlegung der Anfangswerte aus den Schleifenz¨ ahlern n1 und n2 sowie der Anfangsenergie E 0 in den Zeilen 163–168. Zu beachten ist dabei, dass es Wertekombinationen von φ1 und φ2 gibt, bei denen die vorgegebene Energie E0 nicht mehr m¨oglich ist, weil die zugeh¨ orige potentielle Energie bereits gr¨ oßer ist. In diesem Fall hat die quaosung. Um solche Situationen nicht dratische Gleichung f¨ ur vφ1 keine reelle L¨ weiter zu betrachten, fragen wir in Zeile 177 das Vorzeichen des Terms des Radikanden a ab. Wir haben die Eingabeparameter geringf¨ ugig ge¨andert, um das entstehende Bild etwas zu variieren und die regul¨ aren Inseln etwas zu vergr¨oßern: > cat dpendel3.par 2000 0.2 0.2 -1.5403 1 1.2 5 10000

Das Ergebnis (Abb. 1.9) zeigt sowohl Bereiche, wie wir Sie bei einer integrablen Dynamik erwarten, als auch Bereiche, die dem nicht integrablen Fall

Abb. 1.9. Poincar´e-Plot f¨ ur eine Dynamik mit chaotischen und regul¨ aren Bereichen

40

1 Mechanik der Massenpunkte

entsprechen. F¨ ur eine Charakterisierung dieser beiden parallel vorliegenden Situationen ist die Unterscheidung regul¨ are vs. chaotische Bewegung geeignet, auf die wir im folgenden Abschnitt eingehen.

1.5 Regul¨ are und chaotische Dynamiken Die Unterscheidung integrabel zu nicht integrabel ist eng verwandt mit einer anderen Klassiﬁzierung in der klassischen Mechanik. Diese nimmt als Klas¨ siﬁzierungskriterium die Sensitivit¨ at der Trajektorie auf geringf¨ ugige Anderungen der Startwerte. W¨ achst der Abstand zweier inﬁnitesimal benachbarter Punkte im Phasenraum mit der Zeit exponentiell an, so spricht man von chaotischem Verhalten, ist dieses Anwachsen langsamer als exponentiell (also z.B. nach einem Potenzgesetz) nennt man die Dynamik regul¨ar. In dem letzten Absatz sind einige Begriﬀe enthalten, die einer n¨aheren Erl¨ auterung bed¨ urfen. Zun¨ achst ist vom Abstand zwischen Trajektorien die Rede, was allerdings etwas unpr¨ azise ist. Gemeint ist der Abstand zwischen zwei Punkten im Phasenraum und da sich diese beiden jeweils auf ihrer Trajektorie bewegen, ist auch der Abstand eine Funktion der Zeit. Wir ben¨otigen also eine Abstandsfunktion ∆ im Phasenraum, die jeweils zwei Punkten einen Abstand zuordnet – eine solche Abstandsfunktion wird auch Metrik genannt. Dann m¨ ussen wir noch kl¨ aren, was unter benachbart gemeint ist. Damit meinen wir, dass der Anfangsabstand der beiden Punkte inﬁnitesimal sein soll, d.h. wir betrachten den Grenzwert ∆(t0 = 0) → 0. Solche Abst¨ande verhalten sich in einem bestimmten Sinne linear: skaliert man n¨amlich den inﬁnitesimalen Anfangsabstand mit einem Faktor α, so bleibt diese Skalierung erhalten: Gegeben sind drei Trajektorien x0 (t), x1 (t) und x2 (t), die sich zum Zeitpunkt t = 0 um (1.48) ∆01 (t = 0) = |x0 (0) − x1 (0)| bzw. ∆02 (t = 0) = x2 (0) − x2 (0) = α∆01 (0)

(1.49)

unterscheiden. Diese Abst¨ ande ¨ andern sich nun aufgrund der Dynamik des Systems, im Limes |∆x01 (t = 0)| → 0 gilt jedoch die Beziehung ∆02 (t) = α∆01 (t)

(1.50)

f¨ ur alle (endlichen) Zeiten t. Um Missverst¨andnisse zu vermeiden, bedarf es einiger Erkl¨arungen, mit deren Hilfe wir das Gesagte dann auch in einer quantitativen Gr¨oße zum Ausdruck bringen k¨ onnen. Der Abstand zweier Punkte im Phasenraum wird im Allgemeinen nicht kontinuierlich gr¨ oßer werden, sondern zwischenzeitlich auch mal abnehmen. Bei der Unterscheidung zwischen regul¨ ar und chaotisch interessiert man sich ausschließlich f¨ ur das Langzeitverhalten (t → ∞), bei dem dieses intermedi¨are

1.5 Regul¨ are und chaotische Dynamiken

41

Verhalten nicht beachtet wird. Da trotz dieser langen Zeiten und des potentiell exponentiellen Anwachsens des Abstandes letzterer klein bleiben muss, ist die Reihenfolge dieser beiden Limites entscheidend: zuerst wird der Limes Abstand gegen null und dann der Limes Zeit gegen unendlich durchgef¨ uhrt! Unter Ber¨ ucksichtigung des bisher gesagten deﬁnieren wir den LyapunovExponenten durch λ = lim

lim

T →∞ ∆(t=0)→0

1 ln (∆(T )/∆(0)) . T

(1.51)

Bevor wir an die numerische Berechnung des Lyapunov-Exponenten gehen, noch einige Bemerkungen: –

Der Lyapunov-Exponent ist ein Maß f¨ ur die Empﬁndlichkeit gegen kleine ¨ Anderung der Anfangsbedingungen. Ist der Lyapunov-Exponent kleiner oder gleich null, wachsen Abst¨ ande zwischen Trajektorien im Allgemeinen polynomial an, w¨ ahrend ein Lyapunov-Exponent gr¨oßer als null bedeutet, dass diese Abst¨ ande exponentiell anwachsen. Da in der Realit¨at ein Zustand nie genau bekannt ist, sondern wir immer eine Unsicherheit z.B. durch Messungenauigkeiten haben, ist der Lyapunov-Exponent auch ein Maß daf¨ ur wie schnell diese Unsicherheit w¨achst und unsere Kenntnis u ¨ber das System verlorengeht. – Die Wahl der Metrik ∆ hat – von pathologischen Ausnahmen abgesehen – keinen Einﬂuss auf den Lyapunov-Exponenten. – Auch die Wahl des Nachbarpunktes, von dem die zweite Trajektorie startet, spielt – wieder abgesehen von singul¨ aren F¨allen – keine Rolle.

Nun jedoch zur numerischen Berechnung des Lyapunov-Exponenten. Die Deﬁnition (1.51) mit den beiden Limites ∆(t = 0) → 0 und t → ∞ stellt numerisch ein Problem dar, da die endliche Genauigkeit, die uns der Computer zur Verf¨ ugung stellt, den ersten Grenz¨ ubergang unm¨oglich macht. Bei den bisherigen Anwendungen stellte dies kein Problem dar, da relative Abst¨ande ost werden k¨onnen. Erst durch den von 10−10 und kleiner durchaus aufgel¨ zweiten Grenz¨ ubergang t → ∞ werden diese kleinen Abst¨ande zu einem begrenzenden Faktor, da sie eine Einschr¨ ankung f¨ ur die Zeiten geben, zu denen der Abstand noch klein ist. Nehmen wir beispielsweise einen Anfangsabstand von 10−10 und einen Lyapunov-Exponenten von 1 an und fragen uns, wie lange der Abstand kleiner als 10−4 bleibt, so ergibt sich diese maximale Zeit, bis zu der wir die Zeitentwicklung verfolgen d¨ urfen: tmax = ln(10−4 /10−10 ) ≈ 16 .

(1.52)

Selbst unter etwas g¨ unstigeren Annahmen (kleinerer Anfangsabstand, kleinerer Lyapunov-Exponent) sind wir weit davon entfernt, den Grenz¨ ubergang t → ∞ vern¨ unftig durchzuf¨ uhren. Die Beziehung (1.50) erm¨ oglicht uns jedoch einen Trick, mit dem wir dieses Dilemma beseitigen k¨ onnen. Wir beginnen mit einem moderaten Anfangsabstand, der uns nur eine kurze Zeitentwicklung ∆t erlaubt, ohne den

42

1 Mechanik der Massenpunkte

Linearit¨ atsbereich zu verlassen. Danach skalieren wir den – inzwischen angewachsenen Abstand – auf seinen urspr¨ unglichen Wert zur¨ uck, was wegen (1.50) einer Verkleinerung des Anfangsabstands ¨aquivalent ist: ∆0eﬀ = ∆0

∆1 . ∆0

(1.53)

Nach einer erneuten Entwicklung u ¨ber einen kurzen Zeitbereich skalieren wir erneut zur¨ uck und so weiter. Da wir jedesmal eﬀektiv den Anfangsabstand verkleinern, erreichen wir im Prinzip beliebig kleine Werte f¨ ur denselben, ohne je wirklich mit solchen winzigen Diﬀerenzen rechnen zu m¨ ussen: ∆0eﬀ = ∆0

∆1 ∆2 ∆N ... , ∆0 ∆0 ∆0

(1.54)

wobei N die Zahl der insgesamt durchgef¨ uhrten Zeitschritte ∆t ist. Diese Vorgehensweise liefert uns eine Folge von Abst¨anden ∆1 , ∆2 , . . . , die die beiden Phasenraumpunkte am Ende des ersten, zweiten, dritten . . . Zeitintervalls haben. Den gesuchten Lyapunov-Exponenten erhalten wir dann als N ∆t ∆N λ= (1.55) ln ∆0eﬀ ∆1 N ∆t ∆N ∆N −1 = ... (1.56) ln ∆ 0 ∆0 ∆0 =

N 1 λn , N n=1

wobei wir quasi Kurzzeit-Lyapunov-Exponenten ∆n 1 ln λn = ∆t ∆0

(1.57)

(1.58)

eingef¨ uhrt haben. Nach Gleichung (1.57) ist der Lyapunov-Exponent also einfach der Mittelwert dieser Kurzzeit-Exponenten. Nachdem wir diese Informationen vorangestellt haben, sollte das folgende Programm verst¨ andlich sein: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: ljapu.cpp * * Zweck: Ljapunov-Exponent fuer ein Doppelpendel * * Gleichung: siehe Text * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11

#include #include #include #include

1.5 Regul¨ are und chaotische Dynamiken 12 13 14

43

#include #include <math.h> #include "tools.h"

15 16

using namespace std;

17 18 19 20 21 22

//---double double double double

globale Variablen alpha, beta; phi1_alt, phi2_alt, v_phi1_alt, v_phi2_alt; tstart, tend; akt_f0, akt_f1, akt_f2, akt_f3;

23 24

//-------------------------------------------------------------------------

25 26

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

{ dxdt[0] = x[1]; dxdt[1] = ( - alpha*beta*x[3]*x[3] * sin(x[0]-x[2]) - (1+alpha)*sin(x[0]) - alpha*x[1]*x[1]*sin(x[0]-x[2])*cos(x[0]-x[2]) + alpha*sin(x[2])*cos(x[2]-x[0]) ) / ( 1 + alpha*pow(sin(x[0]-x[2]),2) ); dxdt[2] = x[3]; dxdt[3] = ( -dxdt[1] * cos(x[0]-x[2]) +x[1]*x[1] * sin(x[0]-x[2]) - sin(x[2]) ) / beta;

38 39 40

return GSL_SUCCESS; }

41 42

//-------------------------------------------------------------------------

43 44 45 46

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dxdt[], void *params)

47 48 49 50

{ return GSL_SUCCESS; }

51 52

//-------------------------------------------------------------------------

53 54

int main( int argc, char *argv[] )

55 56

{

57 58 59 60 61 62 63 64

//-- Definition der Variablen int n, nout, status, i; double dt, t1, tend1, t2, tend2, phi1_0, phi2_0, v_phi1_0, v_phi2_0; double rtol, atol, h1, h2; double mu = 10, x1[4], x2[4], dist0 = 1.e-6, dist1, ljapu, ljapu_1; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

65 66 67 68 69 70

rtol = 1.e-10; atol = 1.e-10; const gsl_odeiv_step_type *T1 = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s1 = gsl_odeiv_step_alloc(T1, 4); gsl_odeiv_control *c1 = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol);

44 71 72 73 74 75 76

1 Mechanik der Massenpunkte gsl_odeiv_evolve *e1 = gsl_odeiv_evolve_alloc(4); const gsl_odeiv_step_type *T2 = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s2 = gsl_odeiv_step_alloc(T2, 4); gsl_odeiv_control *c2 = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e2 = gsl_odeiv_evolve_alloc(4); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 4, &mu};

77 78 79 80 81 82 83

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: ljapu infile outfile\n"; return 0; }

84 85 86 87 88 89 90 91 92 93

//-- Einlesen der Parameter -out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von ljapu.cpp\n"; in_stream.open(argv[1]); inout(tend,"tend"); inout(phi1_0,"phi1_0"); inout(phi2_0,"phi2_0"); inout(v_phi1_0,"v_phi1_0"); inout(v_phi2_0,"v_phi2_0"); inout(alpha,"alpha"); inout(beta,"beta"); inout(nout,"nout"); in_stream.close();

94 95 96 97 98

//-dt = h1 = h2 =

Berechnung einiger benoetigter Parameter -tend / nout; 1.e-6; 1.e-6;

99 100 101 102 103

x1[0] x1[2] x2[0] x2[2]

= = = =

phi1_0; phi2_0; phi1_0 + dist0; phi2_0;

x1[1] x1[3] x2[1] x2[3]

= = = =

v_phi1_0; v_phi2_0; v_phi1_0; v_phi2_0;

104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129

ljapu = 0; for (n=1; n<=nout; n++) { tend1 = n * dt; tend2 = n * dt; while (t1
1.6 Das Teilchen in der Schachtel 130 131

45

gsl_odeiv_step_reset (s2); }

132 133 134 135 136 137 138

gsl_odeiv_evolve_free(e1); gsl_odeiv_control_free(c1); gsl_odeiv_step_free(s1); gsl_odeiv_evolve_free(e2); gsl_odeiv_control_free(c2); gsl_odeiv_step_free(s2);

139 140 141

out_stream.close(); }

Die entscheidende Neuerung ist in den Zeilen 121–124, wo zum einen der in Gleichung (1.58) eingehende Kurzzeit-Lyapunov-Exponent ljapu1 und zum anderen der gleitende Mittelwert ljapu aus allen bislang ermittelten ljapu1 berechnet wird. Dieser Mittelwert ist – wenn wir u ¨ber eine hinreichend lange Zeit mitteln – gleich dem gesuchten Lyapunov-Exponenten. In Abb. 1.10 haben wir diese Berechnung eines Lyapunov-Exponenten zeitlich f¨ ur eine regul¨ are und eine chaotische Dynamik verfolgt, wobei dieser Unterschied lediglich durch verschiedene Anfangsbedingungen erreicht wurde (d.h. wir haben hier gleichzeitig ein Beispiel f¨ ur einen gemischten Phasenraum). Die Parameter waren α = 1 und β = 1, die Anfangsbedingungen φ1 (t = 0) = 0, φ2 (t = 0) = 0.4 bzw. 0.8, φ2 = 0.8 bzw. 1.6 sowie vφ2 = 0.

Abb. 1.10. Der Lyapunov-Exponent als Funktion der Zeit, u ¨ber die die Zeitentwicklung verfolgt wird, f¨ ur regul¨ are (durchgezogene Kurve) und chaotische Dynamik (gestrichelte Kurve)

1.6 Das Teilchen in der Schachtel In diesem Beispiel wollen wir uns mit einem Teilchen besch¨aftigen, das sich wie eine Billardkugel auf einer Fl¨ ache frei bewegen kann und an den R¨andern dieser Fl¨ ache reﬂektiert wird. Dieses an und f¨ ur sich sehr einfache Beispiel wird zu unserem Erstaunen noch eine erstaunliche Vielfalt an Ph¨anomenen zeigen! Als weiterf¨ uhrende Literatur in Bezug auf Billards ist [19] empfehlenswert.

46

1 Mechanik der Massenpunkte

Als Umrandung w¨ ahlen wir zum einen ein Rechteck, in dessen Mitte ein kreisf¨ ormiges Hindernis ist, und zum anderen ein Rechteck ohne dieses Hindernis. Da bei letzterem die Bewegung sehr viel einfacher ist, beginnen wir mit diesem. Wir legen den Ursprung in die linke, untere Ecke des Rechtecks und bezeichnen dessen Kantenl¨ angen mit a und b (Abb. 1.11). Um die Bezeichnungen so einfach wie m¨ oglich zu halten, w¨ahlen wir den Zeitpunkt t = 0 so, dass sich unser Teilchen in diesem Moment irgendwo auf der Kante 2 in Abb. 1.11 beﬁndet.

y b

4 3

1 2

a

x

Abb. 1.11. Rechteck-Billard

Um die Anfangsbedingungen zu komplettieren, ben¨otigen wir noch die xKoordinate sowie die Geschwindigkeiten in x- und y-Richtung. Damit ist das Problem vollst¨ andig beschrieben und wir m¨ ussen uns der Frage zuwenden, welche Gr¨ oßen wir u ¨berhaupt berechnen wollen. Im Normalfall w¨aren die xund y-Koordinaten als Funktion der Zeit eine gute Wahl, und wir k¨onnten den Zeitverlauf dieser Koordinaten wie in dem vorigen Beispiel des Fadenpendels durch eine Aufteilung in sehr kleine Zeitschritte gewinnen (Wenn Sie Interesse ¨ an dieser Ubung haben, wollen wir Sie an dieser Stelle sogar ausdr¨ ucklich dazu ermuntern, dann k¨ onnen Sie sp¨ ater diesen Algorithmus mit dem vergleichen, den wir f¨ ur dieses Beispiel entwickeln werden). Die Tatsache, dass die Bewegung zwischen zwei Wandber¨ uhrungen so einfach ist, dass sie analytisch beschrieben werden kann, k¨onnen wir ausn¨ utzen, um einen Algorithmus zu entwerfen, der wesentlich schneller als eine Iteration mit vielen, kleinen Zeitschritten ist. Die Idee besteht darin, den Zeitpunkt und den Ort des n¨ achsten Zusammenpralls mit einer Wand zu berechnen, dann die Geschwindigkeit entsprechend des Stoßes mit der Wand zu ¨andern, und diese Prozedur zu wiederholen. Man betrachtet also nur Zeitpunkte, bei denen das Teilchen gerade eine Wand triﬀt, weswegen man diese Betrachtungsweise stroboskopisch nennt – ein Stroboskop ist eine Lampe, die kurze Lichtblitze aussendet, und den Raum nur zu diesen Zeitpunkten ausleuchtet, w¨ ahrend er ansonsten im Dunkeln bleibt. Um diese Vorgehensweise zu realisieren, berechnen wir zun¨achst, nach welcher Zeit ∆t unser Massenpunkt mit jeder einzelnen Wand zusammenstoßen w¨ urde, wenn die anderen W¨ ande nicht da w¨aren. Diese Zeiten k¨onnen

1.6 Das Teilchen in der Schachtel

47

auch negativ sein, dann hat der Zusammenstoß bereits stattgefunden. Außerdem wird diese Zeit f¨ ur eine Wand null sein, n¨amlich f¨ ur die Wand, an der sich das Teilchen gerade beﬁndet. Beginnen wir mit dem Zusammenstoß mit der Wand 1, die durch die Gleichung y = 0 beschrieben wird. Wenn gar keine Wand vorhanden w¨are, w¨ are der Ort unseres K¨ orpers gegeben durch: x(t) = x(t0 + ∆t1 ) = x(t0 ) + vx (t0 )∆t1 y(t) = y(t0 + ∆t1 ) = y(t0 ) + vy (t0 )∆t1 .

(1.59) (1.60)

Hierbei soll der Index 1 bei ∆t1 anzeigen, dass dies die Zeit bis zum Zusammenstoß mit Wand 1 ist – vorausgesetzt, es kommt nicht vorher zu einer Ber¨ uhrung mit einer anderen Wand. Wenn wir die erste dieser beiden Gleichungen gleich null setzen, erhalten wir eine Bestimmungsgleichung f¨ ur ∆t und daraus x(t0 ) . (1.61) ∆t1 = − vx (t0 ) Entsprechend erhalten wir f¨ ur die Wand mit x = a ∆t3 =

x(t0 ) − a , vx (t0 )

(1.62)

y(t0 ) , vy (t0 )

(1.63)

y(t0 ) − b vy (t0 )

(1.64)

f¨ ur die Wand mit y = 0 ∆t4 = und ∆t2 =

f¨ ur die Wand mit y = b. Der kleinste positive Wert von ∆t bestimmt nun die Wand, an der die n¨ achste Reﬂexion stattﬁndet. Ist dies eine Wand parallel zur x-Achse (beispielsweise die Wand mit y = b), so wird bei der Reﬂexion die y-Komponente der Geschwindigkeit invertiert, andernfalls die x-Komponente. Damit haben wir alle Bestandteile, die wir zur numerischen Bearbeitung des Problems ben¨ otigen. 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: box1.cpp * * Zweck: Simuliert die Dynamik eines Teilchens in einer quadr. Box * * Methode: stroboskopische Abbildung * **************************************************************************/

6 7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include #include

<math.h>

48 13

1 Mechanik der Massenpunkte #include "tools.h";

14 15

using namespace std;

16 17

//-------------------------------------------------------------------------

18 19

int main( int argc, char *argv[] )

20 21

{

22 23 24 25 26 27

//-- Definition der Variablen int n1, n, n_start, nmax, n_wand; double t, tend, dt, t1, t2, t3, t4, x, y, v_x, v_y, a, b, eps; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

28 29 30 31 32 33 34

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: box1 infile outfile\n"; return 0; }

35 36 37 38 39 40 41 42

//-- Einlesen der Parameter in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von box1.cpp\n"; inout(tend,"tend"); inout(a,"a"); inout(b,"b"); inout(n_start,"n_start"); in_stream.close();

43 44 45 46

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter nmax = 1000000; eps = 1.e-6;

47 48 49 50

//-- Schleife ueber die Anfangsbedingungen for (n1=1; n1<=n_start; n1++) {

51 52 53 54 55 56 57 58 59

//-- Anfangsbedingungen in_stream >> x; in_stream >> in_stream >> v_x; in_stream >> t = 0; dt = 0; n_wand = 0; out_stream << t << " " << x << " << v_x <<

y; v_y;

" << y << " " " " << v_y << "\n";

60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

//-- Zeitschleife for (n=1; n<=nmax; n++) { dt = 1.e10; //-- Kollision mit Wand 1 t1 = - x / v_x; if ((t1>eps) && (t1eps) && (t2
1.6 Das Teilchen in der Schachtel

49

t3 = (a-x) / v_x; if ((t3>eps) && (t3eps) && (t4tend) break; out_stream << t << " " << x << " " << y << " " << v_x << " " << v_y << "\n";

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

}

90 91 92

}

93 94 95

out_stream.close(); }

Einige Teile dieses Programms bed¨ urfen einer n¨aheren Erkl¨arung. Zum einen ist da diese omin¨ ose Variable eps, was f¨ ur steht. Der Hintergrund ist, dass wir bei jedem Stoß unter den Variablen t1, t2, t3 und t4 die gr¨oßte positive ﬁnden m¨ ussen – das ist dann der Zeitpunkt des n¨achsten Aufpralls auf eine Umrandung der Schachtel. Daf¨ ur m¨ ussen wir jeweils einen Vergleich mit null durchf¨ uhren, und genau dieser Vergleich stellt ein Problem dar: eine der Zeiten muss theoretisch exakt null sein, aber durch Rundungsfehler kann sie auch einen kleinen positiven Wert annehmen. Um nun zu verhindern, dass dadurch diese Zeit statt der n¨ achstgr¨ oßeren gew¨ahlt wird, fordern wir statt arfere Bedingung ti > , wobei eine sehr kleine, positive ti > 0 die etwas sch¨ Gr¨oße ist. Die Variable nmax gibt an, wie viele St¨ oße f¨ ur eine Anfangsbedingung ausgerechnet werden sollen, falls vorher nicht die Endzeit tend erreicht wird. Dies stellt lediglich einen Mechanismus dar, um zu verhindern, dass die Rechenzeit durch ungeeignete Parameterwahl ins Unermessliche steigt. Wenn Sie dieses Programm laufen lassen, werden Sie feststellen, dass die Dynamik ziemlich langweilig ist. Eine typische Bahn unseres Massenpunktes ﬁnden Sie in Abb. 1.12.

Abb. 1.12. Bewegung eines Teilchens auf einem rechteckigen Billardtisch

50

1 Mechanik der Massenpunkte

Sie sehen, dass das Teilchen nach 2 Reﬂektionen immer antiparallel zur urspr¨ unglichen Richtung l¨ auft – eine Tatsache, die nach einigem Nachdenken selbstverst¨ andlich ist. Aus diesem Grund wollen wir nun eine Ver¨anderung vornehmen, die diese Situation drastisch ¨ andert – drastischer, als Sie es sich wahrscheinlich im Moment vorstellen k¨ onnen. ¨ Die Anderung besteht darin, dass wir in die Mitte des Rechtecks ein ormiges Hindernis stellen, oder in anderen Worten, in der Mitte einen kreisf¨ Teil der vorher rechteckigen Fl¨ ache des Billardtisches herausschneiden. Dadurch erhalten wir das so genannte Sinai-Billard:

Abb. 1.13. Das so genannte Sinai-Billard, bei dem sich ein Teilchen auf einer rechteckigen Fl¨ ache bewegt, aus dem in der Mitte ein kreisf¨ ormiger Teil herausgeschnitten wurde

Zun¨ achst vereinfachen wir die Situation, indem wir uns auf ein Viertel ¨ des in Abb. 1.13 dargestellten Billards beschr¨anken. Uberzeugen Sie sich, dass wir dabei die Bahnkurve qualitativ nicht ¨andern, sondern diese nur in das betreﬀende Viertel umklappen. Zur konkreten Berechnung der Trajektorie m¨ ussen wir zun¨ achst bestimmen, mit welcher Wand die n¨achste Kollision erfolgt. Das geschieht am Einfachsten, indem wir f¨ ur alle Berandungen (vier gerade W¨ ande und der Kreisabschnitt) berechnen, wann und wo diese erreicht werden. Von diesen f¨ unf Paaren an Zeiten und Koordinaten des Ber¨ uhrungspunktes ist dann dasjenige relevant, bei dem die berechnete Zeit den kleinsten positiven Wert annimmt. Diese Vorgehensweise bereitet keine sonderlichen Schwierigkeiten und Sie ﬁnden das entsprechende Programm auf der beiliegenden CD-ROM als sinai1.cpp. Die typischen Ergebnisse sehen v¨ ollig anders aus als beim RechteckBillard. W¨ ahrend dort eine Bahnkurve einen sehr u ¨bersichtlichen, geordneten Eindruck machte (Abb. 1.12) – die einzelnen Abschnitte waren immer parallel oder senkrecht zueinander – l¨ auft die Bahn beim Sinai-Billard (Abb. 1.14) kreuz und quer. Dieser visuelle Eindruck legt nahe, dass die Dynamik chaotisch sein k¨onnte – um dies jedoch zu veriﬁzieren, stehen uns nun zwei M¨oglichkeiten zur Verf¨ ugung: – –

Bestimmung des Poincar´e-Plots Berechnung des Lyapunov-Exponenten.

1.6 Das Teilchen in der Schachtel

51

Abb. 1.14. Typische Bahn im Sinai-Billard, wobei diese auf das rechte obere Viertel projeziert wurde

¨ F¨ ur die Berechnung des Lyapunov-Exponenten verweisen wir auf die Ubungsaufgabe 1.5. Den Poincar´e-Plot hingegen werden wir hier im Text etwas n¨aher unter die Lupe nehmen. Dazu wiederholen wir zun¨achst an diesem Beispiel die Dimensionsbetrachtung, die wir bereits in Abschn. 1.4 angestellt haben: Der gesamte Phasenraum ist vierdimensional (zwei Orts- und zwei Impulsvariablen). Da die Energie jedoch eine Erhaltungsgr¨oße ist – was in diesem Fall gleichbedeutend ist mit der Tatsache, dass der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist, ﬁndet die Dynamik auf einer dreidimensionalen Hyperﬂ¨ache im Phasenraum statt. Indem wir uns nun auf Durchstoßpunkte durch eine weitere solche Hyperﬂ¨ ache, die wir frei w¨ ahlen k¨ onnen, beschr¨anken, verbleiben wir mit einem Gebilde in einem zweidimensionalen Raum. Am Einfachsten realisieren wir das, indem wir die Punkte nehmen, an denen unser Teilchen auf eine bestimmte der f¨ unf Berandungen triﬀt – diese Auftreﬀpunkte berechnen wir ohnehin – und x, y, vx und vy nach jedem Stoß abspeichern (eigentlich ben¨ otigen wir nur zwei Werte, die die Lage des Auftreﬀpunktes und die Richtung der Geschwindigkeit festlegen; die anderen beiden Werte dienen lediglich der Kontrolle). Wir k¨ onnten nat¨ urlich auch die entsprechenden vier Werte vor dem Stoß nehmen, wir d¨ urfen aber nicht vor und nach dem Stoß mischen. Das Ergebnis (Abb. 1.15) zeigt, dass die Dynamik nicht integrabel ist:

Abb. 1.15. Poincar´e-Plot beim Sinai-Billard

52

1 Mechanik der Massenpunkte

1.7 Hamilton-Formalismus In diesem Abschnitt wollen wir den Hamilton-Formalismus kurz skizzieren, da wir im n¨ achsten Abschnitt die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ben¨otigen werden. F¨ ur eine ausf¨ uhrliche Herleitung verweisen wir auf [20] oder [21]. Wir gehen von einem System aus, dessen Dynamik wir in Form der Lagrangefunktion L(qi , q˙i ) kennen. Das impliziert, dass wir einen Satz von generalisierten Koordinaten qi haben, deren zeitlichen Ableitungen q˙i die generalisierten ¨ Geschwindigkeiten sind. Der Ubergang zur Hamiltonfunktion erfolgt durch eine Legendre-Transformation. Die Rolle der Lagrangefunktion L u ¨bernimmt die Hamiltonfunktion H(qi , pi ) = pi q˙i − L(qi , q˙i ) . (1.65) i

Die darin auftretenden neuen Variablen pi sind die zu qi kanonisch konjugierten Impulse: ∂L pi = , (1.66) ∂ q˙i die die qi als unabh¨ angige Variablen ersetzen. Die Bewegungsgleichungen sind dann die Hamiltonschen Gleichungen: q˙i =

∂H ∂pi

p˙i = −

∂H . ∂qi

(1.67)

Abschließend wollen wir noch erkl¨ aren, welche anschauliche Bedeutung die Hamiltonfunktion hat. Dazu betrachten wir ein System ohne explizite Zeitabh¨ angigkeit: ∂L =0 (1.68) ∂t ¨ und berechnen die zeitliche Anderung der Hamiltonfunktion H: ∂H ∂H d ∂H q˙i + p˙i + H(qi , pi ) = dt ∂q ∂p ∂t i i i i =0.

(1.69) (1.70)

Die Hamiltonfunktion ist also eine Erhaltungsgr¨oße. Man kann zeigen, dass es sich im Fall konservativer Kr¨ afte, wenn sich also die Kr¨afte durch ein Potential darstellen lassen, um die Energie handelt [22]. In diesem Fall spricht man von skleronomen Zwangsbedingungen.

1.8 Attraktoren in dissipativen Systemen Bislang haben wir uns ausschließlich mit sogenannten Hamiltonschen Systemen besch¨ aftigt – darunter versteht man Systeme, bei denen der Energieerhaltungssatz gilt. Wenn man jedoch Situationen betrachtet, bei denen von

1.8 Attraktoren in dissipativen Systemen

53

außen Energie zugef¨ uhrt bzw. nach außen Energie abgef¨ uhrt wird, bleibt die Gesamtenergie im System selbst nicht konstant. Eine ¨ahnliche Situation erhalten wir, wenn zwar keine Energie zu- bzw. abgef¨ uhrt wird, aber Energie in eine nicht betrachtete Energieform umgewandelt wird. Dies ist zum Beispiel bei einem System mit Reibung der Fall, solange wir die thermische Energie in unserer (rein mechanischen) Betrachtung nicht ber¨ ucksichtigen. Um diese qualitativen Aussagen auf eine exakte theoretische Basis zu stellen, betrachten wir die Zeitentwicklung von (kleinen) Phasenraumvolumina ∆V in einem 2N -dimensionalen Phasenraum der von N Orts- und N Impulskoordinaten aufgespannt wird:

Abb. 1.16. Entwicklung eines Phasenraumelements, das durch die Punkte 0, 1 ¨ und 2 aufgespannt wird. Zur besseren Ubersichtlichkeit sind nur die Ortsvektoren des Punktes 0 beschriftet

In Abb. 1.16 sehen wir ein solches Volumen, das von den Punkten 0, 1 und 2 aufgespannt wird. Zu einem beliebigen Zeitpunkt τ sind die zugeh¨oriuhren wir die gen Phasenraumvektoren x0 (τ ), x1 (τ ) und x2 (τ ). Außerdem f¨ Diﬀerenzvektoren ∆xn = xn − x0

(1.71)

ein. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, dass diese Diﬀerenzvektoren an den Koordinatenachsen ausgerichtet sind: ∆xn = (0, . . . , ∆xn , . . . , 0, 0, . . . , 0 , . . . , 0)

f¨ ur n ≤ N

(1.72)

∆xn = (0, . . . , 0, . . . , 0, 0, . . . , ∆pn , . . . , 0)

f¨ ur n > N ,

(1.73)

so dass sich das Phasenraumvolumen ∆V einfach durch Multiplikation ergibt: ∆V =

N

∆xn ∆pn .

(1.74)

n=1

Die Zeitableitung dieses Volumenelements erhalten wir gem¨aß der Produktregel

54

1 Mechanik der Massenpunkte

d∆V = ∆V dt

N N 1 d∆xn 1 d∆pn + x dt p dt n=1 n n=1 n

.

(1.75)

Wenn die Zeitentwicklung durch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen d∆xn d∆Hn = dt dpn

d∆Hn d∆pn =− dt dxn

(1.76)

mit der Abk¨ urzung ∆Hn = H(x + ∆xn ) − H(x)

(1.77)

gegeben ist, erhalten wir f¨ ur diese Volumen¨ anderung f¨ ur kleine ∆x, ∆p den Wert null, da dH dH 1 dxn 1 d 1 dpn 1 d ∆xn − ∆pn = 0 + = xn dt pn dt xn dpn dxn pn dxn dpn (1.78) ist. Diese Erhaltung von Phasenraumvolumina in Hamiltonschen Systemen wird als Liouvillescher Satz bezeichnet. Nimmt die Zeitableitung von Phasenraumvolumina also einen Wert verschieden von null an, so ist die Dynamik mit Sicherheit nicht Hamiltonsch, was nur m¨ oglich ist, wenn dem System Energie zugef¨ uhrt bzw. abgef¨ uhrt wird. Ein System, bei dem diese Zeitableitung negativ ist, wird dissipativ genannt. Wir sehen also, dass ein Phasenraumvolumen in einem dissipativen System immer weiter schrumpft, bis es im Grenzfall t → ∞ verschwindet. Im Einfachsten Fall heißt das, dass alle Trajektorien auf einen einzigen stabilen Punkt laufen, in dem das System dann zur Ruhe kommt. Selbstverst¨andlich gibt es auch die M¨ oglichkeit, dass mehrere solcher Fixpunkte existieren – in diesem Fall h¨ angt es von den Anfangsbedingungen ab, in welchen der Fixpunkte die Trajektorie hineinl¨ auft. Bei einem System, bei dem die einzige Orts- oder Impulsvariable nicht in die Bewegungsgleichungen eingeht und der Phasenraum daher quasi eindimensional ist, ist dies die einzige M¨oglichkeit. Eine weitere M¨ oglichkeit kommt hinzu, wenn ein zweidimensionaler Phasenraum vorliegt: der Grenzzyklus, darunter versteht man eine Trajektorie, der sich alle benachbarten Trajektorien immer mehr ann¨ahern. Das heißt, dass sich das System nach einem transienten Einschwingvorgang, in dem die Trajektorie in den Grenzzyklus l¨ auft, periodisch verh¨alt. Fixpunkt und Grenzzyklus sind zwei spezielle Formen von Attraktoren, von denen es in h¨oherdimensionalen Phasenr¨ aumen noch weitere Ausbildungen gibt. Ein Attraktor ist eine Untermenge des Phasenraumes mit folgenden Eigenschaften: – Der Attraktor ist bez¨ uglich der Dynamik des Systems abgeschlossen, d.h. startet man auf einem beliebigen Punkt des Attraktors, verl¨auft die gesamte Dynamik auf dem Attraktor und verl¨asst diesen nicht.

1.9 Das periodisch angetriebene Pendel

–

55

Startet man an einem Punkt gen¨ ugend nahe am aber nicht auf dem Attraktor so n¨ ahert sich die Trajektorie f¨ ur t → ∞ dem Attraktor immer mehr an.

Insbesondere kann die Dimension eines solchen Attraktors auch nicht ganzzahlige Werte annehmen – in diesem Fall spricht man von einem seltsamen Attraktor.

1.9 Das periodisch angetriebene Pendel In diesem Abschnitt wollen wir ein Beispiel besprechen, das in manchen Bereichen des Phasenraums dissipativ ist, w¨ ahrend in anderen das Phasenraumvolumen expandiert. Als Ausgangspunkt w¨ ahlen wir das ged¨ampfte Fadenpendel mit der Bewegungsgleichung d2 d (1.79) x + β x + sin x = 0 . 2 dt dt Das Programm getr pendel1.cpp, das diese Bewegungsgleichung l¨ost, ﬁnden Sie auf der CD-ROM. Neu gegen¨ uber der Bewegungsgleichung (1.8) ist lediglich der D¨ ampfungsterm β dx/dt, der zur Folge hat, dass Phasenraumvolumina nicht mehr erhalten bleiben, sondern immer kleiner werden. Diesen rein dissipativen Charakter der Bewegungsgleichung ¨andern wir durch das Hinzuf¨ ugen einer periodischen, treibenden Kraft: d2 d (1.80) x + β x + sin x = α cos(Ωt) . dt2 dt Durch Hinzuf¨ ugen dieses explizit zeitabh¨ angigen Terms verlassen wir zun¨achst den Rahmen der zeitunabh¨ angigen Dynamiken, auf die wir uns bisher beschr¨ ankt haben. Wir k¨ onnen dieses Problem jedoch elegant l¨osen, indem wir den zweidimensionalen Phasenraum des urspr¨ unglichen Problems formal um eine Dimension erweitern. Die zus¨ atzliche Variable nennen wir f und ihre Bewegungsgleichung soll durch d f =Ω (1.81) dt gegeben sein. Die L¨ osung dieser Diﬀerentialgleichung zur Anfangsbedingung f (t = 0) = 0 ist trivial: f = Ωt (1.82) und erlaubt die obigen Diﬀerentialgleichung (1.80) in das folgende zeitunabh¨ angige Diﬀerentialgleichungssystem umzuwandeln: d x=v dt d v = −βv − sin x + α cos f dt d f = Ω. dt

(1.83) (1.84) (1.85)

56

1 Mechanik der Massenpunkte

Beachten Sie bitte, dass sowohl x als auch f den Charakter eines Winkels haben und daher modulo 2π zu betrachten sind. Eine direkte Konsequenz ist, dass die zus¨ atzlich eingef¨ uhrte Variable f periodisch ist und deren Periodendauer durch T0 = 2π/Ω gegeben ist. Wenn wir sp¨ater nach der Periodendauer des Gesamtsystems fragen, kommen hierf¨ ur nur Vielfache dieses Wertes in Frage. Da wir nun sehen, dass die Dimension des Phasenraums gr¨oßer als zwei ¨ ist und das System außerdem dissipativ ist, wissen wir aus den Uberlegungen des vorigen Abschnitts, dass mindestens ein Attraktor existieren muss, wissen aber nicht, ob dieser vom Typ eines Fixpunkts, eines Grenzzyklus oder eines seltsamen Attraktors ist. Die erste M¨ oglichkeit k¨onnen wir jedoch verh¨altnism¨ aßig einfach ausschließen: Im Grenzpunkt m¨ usste die Zeitableitung aller drei Koordinaten des Phasenraums null sein – was jedoch (1.85) widerspricht. Es bleiben die M¨ oglichkeiten eines Grenzzyklusses und eines seltsamen Attraktors. Um dies zu entscheiden, konstruieren wir das Programm zur L¨osung der Bewegungsgleichung so, dass es eine eventuelle Periodizit¨at erkennt und die zugeh¨ orige Periodendauer ausgibt: 1 2 3 4 5 6 7 8

/************************************************************************** * Name: getr_pendel2.cpp * * Zweck: Berechnet die Periodendauer eines getriebenen, gedaempften * * Fadenpendels * * Gleichung: (dˆ2/d tˆ2) phi + beta * (d/dt) phi + sin(phi) = * * alpha * cos(Omega*t) * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

9 10 11 12 13 14 15 16 17

#include #include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

18 19

using namespace std;

20 21 22 23

//---- globale Variablen double alpha, beta, Omega; double rtoleranz, atoleranz, h;

24 25

//-------------------------------------------------------------------------

26 27

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

28 29 30 31

{ dxdt[0] = x[1]; dxdt[1] = -beta*x[1]-sin(x[0])+alpha*cos(Omega*t);

32 33 34

return GSL_SUCCESS; }

35 36

//-------------------------------------------------------------------------

1.9 Das periodisch angetriebene Pendel

57

37 38 39

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dfdt[], void *params)

40 41 42 43

{ return GSL_SUCCESS; }

44 45

//-------------------------------------------------------------------------

46 47

int check_period(double x0[],double x1[], double eps, int *n)

48 49 50

{ int n1, n2, n_min, found;

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

found = 0; n_min = 1000; for (n1=0; n1<=*n; n1++) { for (n2=1; n2<=*n-n1; n2++) { if ((fabs(x0[n1]-x0[n1+n2])<eps) && (fabs(x1[n1]-x1[n1+n2])<eps) && (n2
65 66 67

return found; }

68 69

//-------------------------------------------------------------------------

70 71

int main( int argc, char *argv[] )

72 73

{

74 75 76 77 78 79 80 81 82

//-- Definition der Variablen int n, n1, n_alpha, n_alpha_max, status, nmax, found, n_assumed; double t, tend, dt, t_start, T_0, T_period; double x[2], x_start[2], delta[2], x0[10000], x1[10000]; double alpha_min, alpha_max, dalpha, eps; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

83 84 85 86 87 88 89

//-- Fehlermeldung, wenn Input- oder Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: getr_pendel2 infile outfile\n"; exit(0); }

90 91 92 93 94 95

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von getr_pendel2.cpp\n"; inout(dt,"dt"); inout(nmax,"nmax");

58 96 97 98 99 100 101

1 Mechanik der Massenpunkte inout(alpha_min,"alpha_min"); inout(n_alpha_max,"n_alpha_max"); inout(Omega,"Omega"); inout(rtoleranz,"rtoleranz"); inout(x_start[1],"x_start[1]"); in_stream.close();

inout(alpha_max,"alpha_max"); inout(beta,"beta"); inout(atoleranz,"atoleranz"); inout(x_start[0],"x_start[0]");

102 103 104 105 106 107

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -eps = 1.e-7; h = 1.e-6; dalpha = (alpha_max-alpha_min) / n_alpha_max; T_0 = 2 * pi / Omega;

108 109 110 111 112 113 114

out_stream.precision(7); //-- Schleife ueber alpha for (n_alpha=0; n_alpha<=n_alpha_max; n_alpha++) { alpha = alpha_min + n_alpha * dalpha; found = 0;

115 116 117 118 119

//-- Anfangsbedingungen t = 0; x[0] = x_start[0]; x[1] = x_start[1];

120 121 122 123 124 125 126

//-- Initialisierung der GSL-Routine const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rk8pd; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, 2); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atoleranz, rtoleranz); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(2); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 2, &mu};

127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149

for (n=1; n<=nmax; n++) { //-- Zeitentwicklung bis zum Ende der n-ten Periode tend = n*T_0; while (t0; n1--) { delta[0] = x[0] - x0[n1]; delta[1] = x[1] - x1[n1]; if (fabs(delta[0]) > pi-eps) delta[0] = fabs(delta[0]) - pi; if ((fabs(delta[0])<eps) && (fabs(delta[1])<eps)) {found=1; break;} } if (found==1) break; }

150 151 152 153 154

n_assumed = n-n1; if ((found==1) && (n_assumed<=64)) { x0[0] = x[0]; x1[0] = x[1];

1.9 Das periodisch angetriebene Pendel 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173

59

t_start = t; for (n=1; n<=5*n_assumed; n++) { tend = t_start + n*T_0; while (t
174 175 176 177 178

gsl_odeiv_evolve_free(e); gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s); }

179 180 181

out_stream.close(); }

In den Zeilen 25 bis 35 ﬁnden wir die Funktion f, die zur L¨osung der Bewegungsgleichung ben¨ otigt wird, wobei wir auf die einfachere Form eines zweidimensionalen Phasenraumes zur¨ uckgreifen und daf¨ ur die explizite Zeitabh¨ angigkeit der Diﬀerentialgleichung in Kauf nehmen. Nach dem Einlesen der Parameter und der Berechnung einiger ben¨otigter Hilfsvariablen ﬁnden wir in den Zeilen 111 bis 178 eine Schleife, mit der wir einen der Parameter (hier α) variieren k¨ onnen. F¨ ur jeden Wert von α bestimmen wir die L¨ osung der Bewegungsgleichung zu den Zeitpunkten, die Vielfache von T0 sind, und speichern die Werte von x und v in x0[n] und x1[n]. Nach jedem solchem Schritt vergleichen wir in den Zeilen 140 bis 147 diese neuen Werte mit denen zu den vorangegangen Zeitpunkten und entscheiden so, ob wahrscheinlich Periodizit¨at vorliegt und – wenn dies erf¨ ullt ist – welche Periodendauer wir vermuten. Die so ermittelte Periodendauer kann jedoch noch falsch sein – insbesondere k¨onnte die tats¨ achliche Periodendauer ein Bruchteil des ermittelten Wertes sein, wie wir uns an dem folgenden Beispiel klarmachen k¨onnen: nehmen wir an, die gesuchte Periodizit¨ at ist T0 . Wenn wir nun die Dynamik an einem beliebigen Punkt starten, n¨ ahert sich die Trajektorie dem gesuchten Grenzzyklus und n¨ ahert sich ihm irgendwann soweit, dass die Pr¨ ufung in Zeile 145 zu dem Schluss kommt, dass Periodizit¨ at vorliegt. Dies kann bedeuten, dass die Werte von x und v ihren jeweiligen Vorg¨ angern so nahe kommen, dass der Abstand unter den Schwellwert f¨ allt – es kann aber auch sein, dass dieser Abstand geringf¨ ugig gr¨ oßer ist, aber der Abstand zum Zustand vor 2T0 klein genug war. In diesem Fall scheint die Periode – f¨alschlicherweise – 2T0 sein.

60

1 Mechanik der Massenpunkte

Dieser erste Schritt garantiert also nur, dass wir uns dem Grenzzyklus hinreichend gen¨ ahert haben und wahrscheinlich keine Periodendauer gr¨ oßer als der gefundene Wert vorliegt. Wir m¨ ussen also an diesen ersten Schritt noch eine Pr¨ ufung anschließen, welche Periodendauer die wahrscheinlich richtige ist. Zu diesem Zweck verfolgen wir die Trajektorie weiter – in unserem Fall bis zum f¨ unffachen der vermuteten Periodendauer und ermitteln aus den gefundenen Werten von x und v die Periodendauer T . Diesen letzten Schritt u ¨bernimmt das Unterprogramm check period in den Zeilen 47 bis 67. Schließlich schreiben wir, wenn wir f¨ ur einen Wert von α eine Periodendauer gefunden haben, diese sowie ihren Kehrwert in Zeile 171 in die Ausgabedatei. Nach so vielen Details zum Programm getr pendel2.cpp k¨onnen wir uns nun den so gewonnenen Ergebnissen widmen:

Abb. 1.17. Periodenverdopplung beim getriebenen ged¨ ampften Pendel. Die St¨ arke α der treibenden Kraft wird variiert, w¨ ahrend die Parameter Ω = 2/3 und β = 0.5 konstant gehalten werden

Abbildung 1.17 zeigt die gefundene Periodendauer sowie ihren Kehrwert als Funktion von α, wobei die anderen beiden Parameter Ω und β festgehalten wurden. Bis zu α ≈ 1.0625 liegt die f¨ ur Ω = 2/3 k¨ urzestm¨ogliche Periodendauer 2π/ω ≈ 9.425 vor. Dann springt die Periodendauer pl¨otzlich auf den doppelten Wert, auf dem sie bis etwa α ≈ 1.078 bleibt. Bei diesem Wert verdoppelt sich die Periodendauer ein weiteres Mal, um sich dann bereits bei α ≈ 1.082 wieder zu verdoppeln. Diese Periodenverdopplungen treten dann immer wieder auf und folgen zunehmend dichter aufeinander. Schließlich wird die Periodendauer unendlich – das heißt mit anderen Worten, dass die Bewegung nicht mehr periodisch ist. Wie Sie sehen, ist eine einigermaßen zuverl¨assige Bestimmung der Periodendauer gar nicht so einfach, wie man dies vielleicht zun¨achst vermuten sollte. Es stellt sich also die Frage, ob man auf einfacherem Weg die selbe Information u ¨ber das physikalische Verhalten h¨atte bekommen k¨onnen. Diese Frage f¨ uhrt uns zum sogenannten Attraktordiagramm. F¨ ur dieses sammeln wir f¨ ur jeden Wert des Kontrollparameters α die Werte einer beliebigen dynamischen Variablen zu den Zeiten nT0 , (n + 1)T0 , . . . (n + N )T0 . Dabei w¨ ahlen wir die Startzeit nT0 groß genug um sicherzugehen, dass sich unsere

1.10 Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand

61

Trajektorie nahe genug an den Attraktor angen¨ahert hat. Wenn wir nun all diese Werte der dynamischen Variable in Abh¨ angigkeit des Kontrollparameters (hier α) auftragen, erhalten wir das Attraktordiagramm in Abb. 1.18 (das Programm sollte keinerlei Probleme darstellen und Sie ﬁnden es auf der CD als getr pendel3.cpp).

Abb. 1.18. Attraktordiagramm des getriebenen ged¨ ampften Pendels. Auch in diesem Diagramm sehen wir die Kaskade der Periodenverdopplungen bis hin zum Chaos. Der Parameter α wird variiert, w¨ ahrend die Parameter Ω = 2/3 und β = 0.5 konstant gehalten werden

Vergleichen Sie dieses Diagramm mit Abb. 1.17 so sehen Sie, dass sich die erste Periodenverdopplung im Attraktordiagramm durch eine Gabelung, eine Bifurkation manifestiert. Bei der zweiten Periodenverdopplung gabeln sich beide so entstandenen Linien noch einmal und so weiter bis im chaotischen Bereich keine einzelnen Linien mehr ausgemacht werden k¨onnen, sondern ein Band entsteht. Mit dem Wissen aus den Abbildungen 1.17 und 1.18 k¨onnen wir nun einige interessante Werte von α ausw¨ ahlen und die Trajektorien des Grenzzyklus f¨ ur diese Werte berechnen. An dieser Stelle nun kommen wir auf das Programm uck. Die Werte von Ω = 2/3 und β = 0.5 u getr pendel1.cpp zur¨ ¨bernehmen wir und w¨ ahlen f¨ ur α die Werte 1.06 (vor der ersten Periodenverdopplung), 1.075 (nach der ersten Periodenverdopplung), 1.082 (nach der zweiten Periodenverdopplung) und 1.085 (chaotischer Bereich). Die Ergebnisse sehen Sie in Abb. 1.19.

1.10 Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand Beim schiefen Wurf handelt es sich um die Bewegung eines K¨orpers im – homogen gen¨ aherten – Schwerefeld der Erde. Unter Vernachl¨assigung der Luftreibung sind die Bewegungsgleichungen schnell aufgestellt: in x-Richtung haben wir eine freie Bewegung d2 x(t) = 0 dt2

(1.86)

62

1 Mechanik der Massenpunkte

Abb. 1.19. Trajektorien des getriebenen ged¨ ampften Pendels f¨ ur einige ausgew¨ ahlte Werte von α f¨ ur feste Parameter Ω = 2/3 und β = 0.5. Die Werte von α sind 1.06 (a), 1.075 (b), 1.082 (c) und 1.085 (d). Die Periodenverdopplung von (a) nach (b) manifestiert sich in dieser Darstellung in einer Aufspaltung der Trajektorie von einer Einfachschleife in eine Doppelschleife. Entsprechend erhalten wir nach einer weiteren Periodenverdopplung (c) eine Vierfachschleife. Im chaotischen Fall (d) schließlich ist die Trajektorie ﬂ¨ achenf¨ ullend

und in z-Richtung den freien Fall d2 z(t) = −g . dt2

(1.87)

Hierbei haben wir unser Koordinatensystem so gew¨ahlt, dass in y-Richtung keine Bewegung stattﬁndet, so dass wir diese Koordinate nicht zu ber¨ ucksichtigen brauchen. Diese Bewegungsgleichungen sind einfach zu l¨osen: x(t) = x0 + vx0 t

(1.88)

1 z(t) = z0 + vz0 t − gt2 . 2

(1.89)

Nun m¨ ussen wir in die Bewegungsgleichungen (1.86) und (1.87) die Luftreibung einbauen, von der wir annehmen wollen, dass sie proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit des K¨ orpers ist (eine Annahme, die f¨ ur die nicht u aßig schnelle Bewegung in Gasen sehr gut erf¨ ullt ist). Diese ¨berm¨ Reibungskraft ist nat¨ urlich der Geschwindigkeit entgegengerichtet, so dass wir als modiﬁzierte Bewegungsgleichungen d2 x(t) = −γ vx2 (t) + vz2 (t)vx 2 dt d2 z(t) = −g − γ vx2 (t) + vz2 (t)vz dt2

(1.90) (1.91)

1.10 Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand

63

erhalten. Wie sie sehen, koppelt der Luftwiderstand die bisher unabh¨angigen Bewegungsgleichungen von x(t) und z(t). Am Einfachsten bekommen wir das ben¨ otigte Programm, indem wir unser bestehendes Programm faden1.cpp nach wurf.cpp kopieren und dann die ¨ n¨otigen Anderungen vornehmen. So bekommen wir 1 2 3 4 5 6 7

/************************************************************************** * Name: wurf.cpp * * Zweck: Simuliert den schiefen Wurf mit Luftwiderstand * * Gleichung: (dˆ2/d tˆ2) x = - eta sqrt(v_xˆ2+v_zˆ2) v_x * * (dˆ2/d tˆ2) z = -g - eta sqrt(v_xˆ2+v_zˆ2) v_x * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

8 9 10 11 12 13 14 15

#include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

16 17

using namespace std;

18 19 20

//---- globale Variablen double g, eta;

21 22

//-------------------------------------------------------------------------

23 24

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

25 26 27 28 29 30

{ dxdt[0] dxdt[1] dxdt[2] dxdt[3]

= x[2]; = x[3]; = - eta * sqrt(x[2]*x[2]+x[3]*x[3]) * x[2]; = - g - eta * sqrt(x[2]*x[2]+x[3]*x[3]) * x[3];

31 32 33

return GSL_SUCCESS; }

34 35

//-------------------------------------------------------------------------

36 37 38

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dxdt[], void *params)

39 40 41 42

{ return GSL_SUCCESS; }

43 44

//-------------------------------------------------------------------------

45 46

main( int argc, char *argv[] )

47 48

{

49 50 51 52

//-- Definition der Variablen int n, n1, n_start, n_out, max_fct, iaux, error, normal; double t, tend, dt, t1, t2, rtol, atol, h, x[4];

64 53 54 55

1 Mechanik der Massenpunkte double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

56 57 58 59 60 61 62

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: wurf infile outfile\n"; exit(1); }

63 64 65 66 67 68 69 70 71

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von wurf1.cpp\n"; inout(tend,"tend"); inout(n_out,"n_out"); inout(g,"g"); inout(eta,"eta"); inout(rtol,"rtol"); inout(atol,"atol"); inout(n_start,"n_start");

72 73 74 75 76 77

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / n_out; rtol = 1.e-8; atol = 1.e-8; h = 1.e-6;

78 79 80 81

//-- Schleife ueber die Anfangsbedingungen for (n1=1; n1<=n_start; n1++) {

82 83 84 85 86

//-- Anfangsbedingungen in_stream >> x[0]; in_stream >> x[1]; in_stream >> x[2]; in_stream >> x[3]; t = 0;

87 88 89

out_stream << t << " " << x[0] << " " << x[1] << " " << x[2] << " " << x[3] << "\n";

90 91 92 93 94 95 96

//-- Initialisierung der GSL-Routine const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, 4); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(4); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 4, &mu};

97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

//-- Zeitschleife -t = 0; for (n=1; n<=n_out; n++) { t1 = n * dt; while (t
1.10 Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand 112 113 114

65

gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s); }

115 116 117 118

out_stream.close(); in_stream.close(); }

¨ Zum Uberpr¨ ufen k¨ onnen wir zwei Grenzf¨ alle betrachten: zum einen den schiefen Wurf ohne Luftreibung, zum anderen die vertikale Bewegung des K¨ orpers (vx (t) = 0) mit Luftreibung, aber ohne Schwerefeld. Auf diese Weise testen wir sowohl die richtige Implementation des Schwerefeldes als auch der Luftreibung. F¨ ur den freien Fall haben wir die L¨osung bereits angegeben, es fehlt uns also nur noch der Fall der eindimensionalen Bewegung mit vx (t) = 0. Die Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Geschwindigkeit vz (t) ist d vz (t) = −γ|vz (t)|vz (t) . dt

(1.92)

Ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit k¨ onnen wir vz (0) positiv w¨ahlen. Unsere Anschauung sagt uns, dass in diesem Fall die Geschwindigkeit allein durch Reibung nie negative Werte annimmt (eine Tatsache, die wir anschließend am Ergebnis veriﬁzieren k¨ onnen), so dass wir die einfachere Diﬀerentialgleichung d vz (t) = −γvz2 (t) . (1.93) dt zu l¨ osen haben. Diese Diﬀerentialgleichung ist separierbar, d.h. wir k¨onnen sie in die folgende Form bringen: −

1 dvz = dt . γvz2

Integration auf beiden Seiten f¨ uhrt auf die Gleichung 1 1 1 − =t. 3γ vz (t)3 vz (0)3

(1.94)

(1.95)

Diese Gleichung k¨ onnen wir ohne Problem nach vz (t) aufl¨osen und erhalten 1/3 vz (t) = vz (0)3 − 3γt .

(1.96)

Der letzte Punkt schließlich ist die Visualisierung der Ergebnisse, wobei es dabei darauf ankommt, unter welchem Aspekt man den schiefen Wurf betrachten m¨ ochte. Sehr lehrreich sind die Trajektorien bei gleichen Anfangsbedingungen aber verschiedenen Werten des Luftwiderstandskoeﬃzienten γ, wie in Abb. 1.20 dargestellt. In allen drei dargestellten F¨ allen beginnt das Teilchen seine Bahn im Ursprung. Seine Geschwindigkeit ist sehr hoch (etwa 69 m/s oder knapp 250

66

1 Mechanik der Massenpunkte

Abb. 1.20. Bahnkurve beim schiefen Wurf f¨ ur verschiedene Luftwiderstandswerte, wobei alle u ¨brigen Parameter – Abwurfwinkel und -geschwindigkeit festgehalten wurden

km/h und bildet einen Winkel von 45 Grad zum Horizont. Die Werte f¨ ur den Luftwiderstand γ waren null (durchgezogene Kurve), 10−4 1/m (gestrichelte Linie), 10−3 1/m (gepunktet-gestrichelte Linie) sowie 10−2 1/m (gepunktete Linie). Vergleichen Sie die verschiedenen Flugbahnen qualitativ mit Ihren Erfahrungen: wie ﬂiegt ein Wattebausch, wie ﬂiegt ein Stein?

¨ Ubungen 1.1 Numerische L¨ osung von Diﬀerentialgleichungen L¨osen Sie direkt durch Anwendung der Entwicklung (1.14), (1.15), d.h. ohne Verwendung einer Numerik-Bibliothek, das Kepler-Problem mit N Teilchen, wobei Sie sowohl die Ordnung m der Entwicklung als auch die Zahl N der beteiligten K¨ orper variieren. Was stellen Sie insbesondere f¨ ur große N und große m fest? 1.2 Dreieckspotential L¨ osen Sie die Bewegungsgleichung eines Teilchens im Potential

(x − [x]) f¨ ur [x] gerade V (x) = V0 × . (1 − x + [x]) f¨ ur [x] ungerade

(1.97)

Dabei ist die Gaußklammer [x] deﬁniert als die gr¨oßte ganze Zahl, die kleiner gleich x ist, also z.B. [2] = 2 [1.2] = 1 [−1.2] = −2 .

(1.98) (1.99) (1.100)

¨ Ubungen

67

Dieses Potential hat die folgende Form:

Abb. 1.21. Dreieckspotential

Versuchen Sie f¨ ur die L¨ osung der Bewegungsgleichung verschiedene Bibliotheksroutinen, insbesondere solche, die auf Verfahren niedriger bzw. h¨oherer Ordnung beruhen. 1.3 Stadionbillard Wir betrachten ein Teilchen in einer stadionf¨ ormigen Umrandung (Abb. 1.22):

Abb. 1.22. Stadionbillard

Schreiben Sie ein Programm, das – analog zum Programm box1.cpp – die Bewegung eines Massenpunkts in diesem sogenannten Stadionbillard simuliert. Ausgehend von diesem Programm k¨ onnen Sie nun einen Poincar`eSchnitt oder ein Attraktordiagramm anfertigen und dann f¨ ur ausgew¨ahlte Parameter den Lyapunov-Exponenten berechnen. 1.4 Dreik¨ orperproblem Die Entdeckung des klassischen Chaos durch Poincar´e geschah im Rahmen eines Wettbewerbs zur Berechenbarkeit von Planetenbewegungen. Im Rahmen seiner Abhandlung konnte Poincar´e zeigen, dass bereits bei drei K¨opern unter dem Einﬂuss ihrer gegenseitigen Anziehung eine Voraussage u ¨ber lange Zeiten nicht m¨ oglich ist. Um eine solche Situation zu untersuchen, w¨ahlen

68

1 Mechanik der Massenpunkte

Sie bitte drei gleiche Massen m an den Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks und spielen verschiedene Anfangsgeschwindigkeiten durch – von Interesse sind hierbei allerdings nur Situationen, bei denen alle drei Massen gebunden bleiben. Da der Phasenraum 18-dimensional ist (f¨ ur jeden Massenpunkt drei Orts- und drei Geschwindigkeitskoordinaten) und nach Festlegung des Schwerpunkts und seines Impulses davon immer noch 12 Dimensionen u ¨brig bleiben, ist ein Poincar`e-Plot nicht ohne weiteres m¨oglich. Zur Entscheidung, ob chaotisches Verhalten vorliegt oder nicht, ziehen Sie deshalb bitte den Lyapunov-Exponenten heran. 1.5 Lyapunov-Exponent beim Sinai-Billard Berechnen Sie den Lyapunov-Exponent des in Abschn. 1.6 vorgestellten SinaiBillards. Betrachten Sie dazu zwei Bahnen, die an der selben Wand entweder parallel und nahe beeinander oder am selben Punkt mit etwas unterschiedlicher Richtung beginnen. Versuchen Sie zun¨achst eine Bestimmung des Lyapunov-Exponenten ohne der im Text beschriebenen sukzessiven R¨ uckskalierung. Welche tend sind bei dieser Vorgehensweise noch sinnvoll m¨oglich? Und wie ¨ andert sich das, wenn Sie in bestimmten Zeitabst¨anden den Abstand auf einen festen Wert skalieren? 1.6 Flug einer Diskusscheibe Das Programm wurf1.cpp aus Abschn. 1.10 kann verh¨altnism¨assig einfach so modiﬁziert werden, dass die wesentlichen Punkte beim Flug einer Diskusscheibe in einem einfachen Modell erfasst werden. Gegen¨ uber dem schiefen Wurf eines ’normalen’ K¨ orpers kommt bei der Diskusscheibe eine Auftriebskraft proportional zur Relativgeschwindigkeit Diskus–Luft hinzu: F Auftr = α(vx,Diskus − vx,Luft )ez .

(1.101)

Hierbei sind vx,Diskus bzw. vx,Luft die x-Komponente der Geschwindigkeit des Diskus bzw. der Luft und ez ist der Einheitsvektor in z-Richtung. Der Einfachheit halber haben wir angenommen, daß der Diskus w¨ahrend des Fluges eben liegt – in Wirklichkeit steht der Diskus u ¨blicherweise leicht schr¨ag in der Luft, wobei diese Neigung aufgrund der schnellen Rotation w¨ahrend des Fluges ann¨ ahernd konstant ist. Der Wert der Konstanten α h¨angt von der Form des Diskus ab; ein guter Diskus sollte ein m¨oglichst großes α aufweisen, da dies viel Auftrieb und damit eine große Flugweite bedeutet. Beachten Sie, dass die Einbeziehung von Luftbewegung auch eine Modiﬁkation beim Reibungsterm erfordert. Im ersten Schritt m¨ ussen Sie den Wert von α absch¨atzen – u ¨berlegen Sie sich dazu einen realistischen Wert der Anfangsgeschwindigkeit und ermitteln Sie f¨ ur verschiedene Werte von α die maximalen Wurfweiten bei Windstille (vx,Luft = 0). Im Folgenden verwenden Sie das α, bei dem die so ermittelte

¨ Ubungen

69

maximale Wurfweite mit dem Weltklasseergebnis von 70 m u ¨bereinstimmt. unstiger Nun k¨ onnen Sie durch Variation von vx,Luft studieren, inwieweit ein g¨ Wind noch eine Verbesserung erlaubt. Ist eher R¨ uckenwind oder Gegenwind g¨ unstig?

2 Elektrodynamik

2.1 Die Maxwellschen Gleichungen Nach dem Studium des letzten Kapitels beherrschen wir mechanische Systeme, d.h. Systeme, die durch die Angabe von Orten und Impulsen vollst¨andig beschrieben werden. Noch Anfang des letzten Jahrhunderts nahm man an, dass dies – zumindest im Prinzip – bei allen physikalischen Fragestellungen der Fall sei. Dieses mechanistische Weltbild, das zur Erkl¨arung elektrischer ¨ und magnetischer Ph¨ anomene den Ather ben¨otigte, wurde durch die Aufstellung der speziellen Relativit¨ atstheorie [23] zerst¨ort. In Einsteins Weltbild ist eine mechanische Interpretation des elektrischen und magnetischen Feldes nicht mehr m¨oglich, und die Bewegungsgleichungen dieser Felder k¨onnen nicht als eine Folge der Newtonschen Axiome betrachtet werden. Vielmehr nehmen diese Bewegungsgleichungen, die Maxwellschen Gleichungen, denselben Status ein, wie die Newtonschen Axiome selbst. Im Rahmen dieses Buches ist die Elektrodynamik die erste Feldtheorie, die wir kennen lernen, d.h. die dynamischen Variablen sind nicht mehr skalare oder vektorielle Gr¨ oßen, sondern sind Funktionen von Ort und Zeit. Das hat zur Folge, dass die Bewegungsgleichungen keine gew¨ohnlichen Diﬀerentialgleichungen, sondern partielle Diﬀerentialgleichungen sind: div B = 0 div D =

∂D =j ∂t ∂B rotE + = 0, ∂t

rotH −

(2.1) (2.2)

wobei ρ die Ladungsdichte und j die Stromdichte sind. Es wird Sie vielleicht verwundern, dass statt zwei Feldern (dem elektrischen und dem magnetischen) in den Maxwellschen Gleichungen vier Felder eingehen. Der Grund ist praktischer Natur: auf diese Weise dr¨ uckt man sich quasi – zumindest f¨ ur’s erste – um die Frage, wie stark das elektrische und magnetische Feld innerhalb von Materie ist, wenn man die Felder außerhalb kennt. Bis auf historisch durch das Einheitensystem bedingte Vorfaktoren ist n¨ amlich D nichts anderes als das elektrische Feld E innerhalb von Materie und entsprechend verh¨ alt es sich mit B und H. Letztendlich kann man sich dieser Problematik aber nicht entziehen, so dass die Maxwell-Gleichungen

72

2 Elektrodynamik

alleine noch unvollst¨ andig sind und erst durch – Im allgemeinen empirische – Beziehungen zwischen D und E sowie zwischen B und H erg¨anzt werden m¨ ussen. Diese Beziehungen k¨ onnen außerordentlich kompliziert sein und sogar von der Vorgeschichte abh¨ angen (Hysterese), in vielen F¨allen wird die Wirklichkeit aber durch einen linearen Ansatz hinreichend genau beschrieben: D = ε0 ε r E B = µ0 µr H .

(2.3) (2.4)

Dabei sind ε0 und µ0 die oben erw¨ ahnten historischen Faktoren (sie heißen Dielektrizit¨ ats- und Permeabilit¨ atskonstante des Vakuums), w¨ahrend εr und µr die Dielektrizit¨ ats- und Permeabilit¨ atskonstante des jeweiligen Mediums sind. Im Vakuum nehmen die letzteren beiden Konstanten den Wert eins an. Transparenter wird die Unterscheidung von E und D einerseits und B und H andererseits durch die Aufspaltung D = ε0 E + P

(2.5)

B = µ0 (H + M ) .

(2.6)

wobei P die Polarisation und M die Magnetisierung des Mediums ist.

2.2 Felder von Punktladungen Die Maxwellschen Gleichungen sind in Ihrer vollen Allgemeinheit außerordentlich kompliziert – was Sie unter anderem daran ermessen k¨onnen, welche Vielzahl von Ph¨ anomenen grunds¨ atzlich auf dieses System partieller Diﬀerentialgleichungen zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Man beschr¨ankt sich daher in den Vorlesungen darauf, mehr oder weniger eingeschr¨ankte Spezialf¨alle des allgemeinen Problems zu betrachten. Der erste Spezialfall, den wir nun eingehender untersuchen wollen, ist der eines Systems von sich nicht bewegenden Punktladungen qn an den Orten xn im Vakuum: qn δ(x − xn ) (2.7) (x, t) = n

j(x, t) = 0 .

(2.8)

In diesem Fall vereinfachen sich die Maxwellgleichungen zu div B = div E =

0 1 ε0

n qn δ(x

1 µ0 rotB

− xn )

=0 rotE = 0 ,

(2.9) (2.10)

wobei wir bereits alle Terme mit einer Zeitableitung weggelassen haben, da die L¨ osung dieses statischen Problems keine zeitabh¨angigen Anteile enthalten kann.

2.3 Multipole

73

Die L¨ osung dieser Diﬀerentialgleichungen l¨asst sich direkt angeben: E(x, t) =

qn 1 (x − xn ) 4πε0 n |x − xn |3

B(x, t) = 0 .

(2.11) (2.12)

Die L¨ osung f¨ ur das elektrische Feld sollte uns sofort an das Newtonsche Gravitationsgesetz (1.2) erinnern, das genau die selbe Form und die selbe Abstandsabh¨ angigkeit besitzt.

2.3 Multipole Auch wenn das Newtonsche Gravitationsgesetz, das die Anziehung zwischen Massen beschreibt, und das Grundgesetz der Elektrostatik, das die Anziehung und Abstoßung von Ladungen wiedergibt, mathematisch v¨ollig ¨aquivalent sind, gibt es doch einen entscheidenden physikalischen Unterschied: w¨ahrend Massen immer positiv sind, sich diese also immer anziehen, k¨onnen Ladungen sowohl positiv als auch negativ sein. Eine direkte Konsequenz ist, dass das Feld einer positiven Punktladung durch eine negative Ladung in unmittelbarer N¨ ahe nahezu aufgehoben werden kann — eine M¨oglichkeit, die beim Gravitationsgesetz nat¨ urlich nicht gegeben ist. Auf diese Weise erhalten wir einen so genannten Dipol, dessen Fernfeld nur vom Quotienten q/∆ abh¨angt (q bzw. −q sind die beiden Punktladungen und ∆ ist deren Abstand) und kubisch mit dem Abstand zum Dipol abnimmt (anstatt quadratisch wie bei einer Einzelladung, dem Monopol). Durch Hinzuf¨ ugen eines zweiten Dipols, dessen Ladungen gegen¨ uber dem ersten wieder vertauscht sind, erhalten wir einen Quadrupol, dessen Feld nun quartisch mit zunehmenden Abstand abnimmt usw. In diesem Abschnitt wollen wir die Felder dieser Multipole berechnen und die bereits erw¨ ahnte Abh¨ angigkeit der Feldst¨ arke vom Abstand zum Multipol best¨ atigen. Das Programm multipol.cpp konstruiert im ersten Schritt (Zeile 60–71) einen Multipol vorgegebener Ordnung. Dabei wird ausgenutzt, dass man aus zwei gegeneinander versetzten Ladungsanordnungen, die jeweils einen Multipol n-ter Ordnung darstellen und bei denen beim einen Multipol die Ladungen gegen¨ uber dem anderen alle invertiert sind, zusammen einen Multipol (n+1)-ter Ordnung erh¨ alt. Anschließend (Zeile 73–86) wird die elektrische Feldst¨ arke entlang einer Geraden, deren Richtung durch die Variable alpha festgelegt wird, berechnet und ausgegeben. 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: multipol.cpp * * Zweck: Berechnet eletrostatische Multipol-Felder * * Gleichung: E(x) = sum_n q_n (x-x_n) / (x-x_n)ˆ3 * **************************************************************************/

6 7

#include

74 8 9 10

2 Elektrodynamik #include #include <math.h> #include "tools.h"

11 12

using namespace std;

13 14

main( int argc, char *argv[] )

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

{ //-- Definition der Variablen const int ord_max = 10; const int xmax = 1024; int n, n_left, ord, nr, nr_max, npos, npos1, n_ord; double x_multipol[xmax], q_multipol[xmax], alpha, x, y, r, dr, rmax; double E, E_x, E_y, delta, distance; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

25 26 27 28

//-- Initialisierung for (n=0; n<xmax; n++) x_multipol[n] = 0; for (n=0; n<xmax; n++) q_multipol[n] = 0;

29 30 31 32 33 34 35

//-- Fehlermeldung, wenn Input- oder Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: multipol infile outfile\n"; return 0; }

36 37 38 39 40 41 42 43 44

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ausgabe-File generiert von multipol.cpp \n"; inout(ord,"ord"); inout(alpha,"alpha"); inout(rmax,"rmax"); inout(nr_max,"nr_max"); inout(delta,"delta"); in_stream.close();

45 46 47

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dr = rmax / nr_max;

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

//-- Generation des Multipols aus Einzelladungen if (ord > ord_max) { cout << " Maximal zulaessige Ordnung ueberschritten!\n"; return 0; } if (ord < 1) { cout << " Nur positive Ordnungen sind physikalisch sinnvoll!\n"; return 0; } n_left = -pow(2,ord-1); x_multipol[0] = n_left * delta; q_multipol[0] = 1; npos = 0; for (n_ord=1; n_ord<=ord; n_ord++) for (n=1; n<=pow(2,n_ord-1); n++) {

2.3 Multipole 67 68 69 70 71

75

npos++; npos1 = npos - pow(2,n_ord-1); x_multipol[npos] = (npos+n_left) * delta; q_multipol[npos] = -q_multipol[npos1]; }

72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

//-- Berechnung der elektrischen Feldstaerke entlang einer Linie for (nr=1; nr<=nr_max; nr++) { r = nr*dr; x = r * cos(alpha); y = r * sin(alpha); E_x = 0; E_y = 0; for (n=0; n<=npos; n++) { distance = sqr(x-x_multipol[n]) + sqr(y); E_x = E_x + q_multipol[n] / pow(distance,1.5) * ( x-x_multipol[n]); E_y = E_y + q_multipol[n] / pow(distance,1.5) * y; } E = sqrt( sqr(E_x)+sqr(E_y) ); out_stream << r << " " << log(r) / log(10) << " " << E << " " << log(fabs(E)) / log(10) << "\n"; } out_stream.close(); }

Das Ergebnis dieses Programms f¨ ur Ordnungen bis n ord = 10 zeigt das folgende Diagramm:

Abb. 2.1. Abh¨ angigkeit der elektrischen Feldst¨ arke vom Abstand bei Multipolen 1. (oberste Linie) bis 10. Ordnung (unterste Linie)

Da die Multipolfelder als kleine Gr¨ oßen durch Diﬀerenzbildung der wesentlich gr¨ oßeren Monopolfelder gebildet werden, bekommen wir nur numerisches Rauschen, wenn das Gr¨ oßenverh¨ altnis zwischen den beiden zu groß wird, was hier etwa bei Multipolfeldern der Gr¨oßenordnung 10−25 der Fall ist. Bei kleinen Abst¨ anden r u ¨berschneiden sich die Kurven teilweise, weil wir noch nicht im Fernfeld sind – durch unser Konstruktionsverfahren sind insbesondere Multipole h¨ oherer Ordnung N ziemlich ausgedehnt: der Abstand zwischen den beiden außen liegenden Ladungen ist (2N − 1)∆, wobei ∆ der Abstand zweier benachbarter Einzelladungen ist. Dieses unsch¨one Detail ließe sich entsch¨ arfen, indem man die hier gew¨ ahlte lineare Anordnung der Punkt-

76

2 Elektrodynamik

ladungen durch eine r¨ aumliche Anordnung ersetzt. Abgesehen von diesen beiden Artefakten erhalten wir jedoch die bei einer doppelt-logarithmischen Auftragung erwarteten Geraden verschiedener Steigung.

2.4 Berechnung von Feldlinien Nachdem wir im vorangegangenen Abschnitt elektrische Felder berechnet haben, stellt sich nun die Frage, wie wir diese am besten graphisch darstellen. Sie kennen sowohl aus Lehrb¨ uchern als auch aus dem Physikunterricht an der Schule die Darstellung mittels Feldlinien: Linien, die immer in Richtung des elektrischen Feldes zeigen. Der Berechnung solcher Feldlinien bei vorgegebenem elektrischen Feld, z.B. dem Feld eines Multipols, wollen wir uns in diesem Abschnitt widmen. Was wir suchen, ist also eine Kurve x(s), wobei s ein Parameter ist, der einen jeweils festzulegenden Bereich durchl¨auft. Die Tatsache, dass die Feldlinie immer in Richtung des elektrischen Feldes zeigt, heißt nun, dass d x(s) = α(s)E(x) . dt

(2.13)

Den Proportionalit¨ atsfaktor α(s) k¨ onnen wir hierbei frei w¨ahlen, da er lediglich angibt, wie schnell die Kurve x(s) mit s durchlaufen wird. Gleichung (2.13) stellt bei gegebenem elektrischen Feld E(x) eine Diﬀerentialgleichung f¨ ur die Parameterdarstellung der elektrischen Feldlinien dar. Wenn man noch ber¨ ucksichtigt, dass Feldlinien immer bei positiven Ladungen beginnen und bei negativen Ladungen enden, steht einem Computerprogramm zur Berechnung von Feldlinien nichts mehr im Wege: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: linien1.cpp * * Zweck: Berechnet Feldlinien elektrostatischer Multipol-Felder * * Gleichung: (d/dt)x(t) = E(x) / |E(x)| * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13 14

#include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

15 16

using namespace std;

17 18 19 20 21 22

//-- Definition der globalen Variablen const int ord_max = 10; const int nq_max = 1024; int npos; double x_multipol[nq_max], q_multipol[nq_max];

2.4 Berechnung von Feldlinien

77

23 24

//-------------------------------------------------------------------------

25 26

int f(double s, const double x[], double dxds[], void *params)

27 28 29 30

{ int n; double E_x, E_y, E, distance;

31 32 33 34 35 36 37 38

E_x = 0; E_y = 0; for (n=0; n<=npos; n++) { distance = sqr(x[0]-x_multipol[n]) + sqr(x[1]); E_x = E_x + q_multipol[n] / pow(distance,1.5) * ( x[0]-x_multipol[n]); E_y = E_y + q_multipol[n] / pow(distance,1.5) * x[1]; }

39 40 41 42

E = sqrt( sqr(E_x) + sqr(E_y) ); dxds[0] = E_x / E; dxds[1] = E_y / E;

43 44 45

return GSL_SUCCESS; }

46 47

//-------------------------------------------------------------------------

48 49 50

int jac(double s, const double x[], double *dfdx, double dxds[], void *params)

51 52 53 54

{ return GSL_SUCCESS; }

55 56

//-------------------------------------------------------------------------

57 58

main( int argc, char *argv[] )

59 60 61 62 63 64 65 66

{ //-- Definition der Variablen int n, n1, n_left, ord, npos1, n_ord, nline, nline_max, status; double x[2], s, send, delta, eps, rtol, atol; double dist, dist1, deltax, deltay, h, mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

67 68 69 70 71 72 73

//-- Fehlermeldung, wenn Input- oder Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: linien1 infile outfile\n"; return 0; }

74 75 76 77

//-- Initialisierung for (n=0; n
78 79 80 81

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]);

78 82 83 84 85 86

2 Elektrodynamik out_stream << "! Ausgabe-File generiert von linien1.cpp\n"; inout(ord,"ord"); inout(delta,"delta"); inout(nline_max,"nline_max"); inout(atol,"atol"); inout(rtol,"rtol"); inout(eps,"eps"); in_stream.close();

87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

//-- Generation des Multipols aus Einzelladungen if (ord > ord_max) { cout << " Maximal zulaessige Ordnung ueberschritten!\n"; return 0; } if (ord < 1) { cout << " Nur echt positive Ordnungen sind physikalisch sinnvoll!\n"; return 0; } n_left = -pow(2,ord-1); x_multipol[0] = n_left * delta; q_multipol[0] = 1; npos = 0; for (n_ord=1; n_ord<=ord; n_ord++) for (n=1; n<=pow(2,n_ord-1); n++) { npos++; npos1 = npos - pow(2,n_ord-1); x_multipol[npos] = x_multipol[npos-1] + delta; q_multipol[npos] = -q_multipol[npos1]; }

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

//-- Berechnung der elektrischen Feldlinien for (n=0; n<=npos; n++) { if (q_multipol[n] > 0) for (nline=1; nline<=nline_max; nline++) { deltax = eps * cos(2*3.141*(nline-0.5)/nline_max); deltay = eps * sin(2*3.141*(nline-0.5)/nline_max); x[0] = x_multipol[n] + deltax; x[1] = deltay; dist = eps * 2; const gsl_odeiv_step_type *T1 = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s1 = gsl_odeiv_step_alloc(T1, 2); gsl_odeiv_control *c1 = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e1 = gsl_odeiv_evolve_alloc(2); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 2, &mu}; h = 1.e-6; while (dist >= eps) { s = 0; send = eps; while (s < send) { status = gsl_odeiv_evolve_apply(e1,c1,s1,&sys,&s,send,&h,x); if (status != GSL_SUCCESS) break; } out_stream << x[0] << " " << x[1] << "\n"; dist = 1.e6; for (n1=0; n1<=npos; n1++) {

2.4 Berechnung von Feldlinien 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152

79

dist1 = sqrt(sqr(x[0]-x_multipol[n1])+sqr(x[1])); if (dist1
In diesem Programm haben wir die Generierung eines Multipols aus dem Programm multipol.cpp des vorigen Abschnitts u ¨bernommen (Zeile 99–110). ur Rings um jede positive Ladung im Abstand eps werden die Startpunkte f¨ die Feldlinien gew¨ahlt (Zeile 118–121), die Feldlinien werden dann als L¨osung des Diﬀerentialgleichungssystems (2.13) berechnet (Zeile 123–136). In Zeile 144 ﬁnden Sie die Abbruchbedingung: Eine Feldlinie gilt als beendet, wenn ihr Abstand zu einer der Punktladungen kleiner als eps geworden ist. Das Ergebnis dieses Programms f¨ ur Multipole erster bis vierter Ordnung zeigt Abb. 2.2. Was wir an diesen Diagrammen sehr sch¨on sehen, ist die Symmetrie der Multipolfelder. W¨ ahrend das hier nicht gezeigte Feld eines Monopols kugelsymmetrisch ist, wird diese Symmetrie beim Dipol gebrochen und es ist symmetrisch bzgl. Spiegelung an der Verbindungslinie zwischen den beiden Einzelladungen sowie bzgl. Drehungen um π. Das Quadrupolfeld

Abb. 2.2. Feldlinien f¨ ur Multipole 1. Ordnung (Dipol, oben links), 2. Ordnung (Quadrupol, oben rechts), 3. Ordnung (Oktopol, unten links) sowie 4. Ordnung (unten rechts)

80

2 Elektrodynamik

sollte invariant gegen¨ uber Drehungen um beliebige Vielfache von π/2 sein, aufgrund des endlichen Abstands der Einzelladungen ist diese Symmetrie jedoch bereits leicht gebrochen. Noch deutlicher wird diese Symmetriebrechung beim Oktopolfeld, das eigentlich invariant gegen¨ uber Drehungen um Vielfache von π/3 sein sollte, und beim Multipol 4. Ordnung, dessen Feld invariant gegen¨ uber Drehungen um Vielfache von π/4 sein sollte. Der Grund f¨ ur diese zunehmende Verzerrung des elektrischen Feldes ist die Tatsache, dass die Ausdehnung unseres linear aufgebauten Multipols mit h¨oherer Ordnung rasch zunimmt und deshalb nicht mehr vernachl¨ assigbar ist. Beachten Sie hierzu ¨ Ubungsaufgabe 2.1, in der die Multipole in einer r¨aumlichen Anordnung realisiert werden.

2.5 Magnetfelder station¨ arer Stro ¨me Einen weiteren interessanten – und auch technisch sehr bedeutsamen Spezialfall – stellt das elektromagnetische Feld dar, das von station¨aren Str¨omen erzeugt wird: (x, s) = 0 j(x, s) = I

(2.14) dl(s) δ(x − x(s)) . ds ds

(2.15)

Der zweite Ausdruck beschreibt einen auf einen Draht beschr¨ankten Strom. Dabei ist I die Stromst¨ arke, und s ist ein Parameter, der den Leiter parametrisiert, d.h. jedem Wert von s entspricht einem Punkt l(s) auf der Leiterbahn. In diesem Fall reduzieren sich die Maxwell-Gleichungen auf: dl(s) divB = 0 rotH = I ds δ(x − x(s)) (2.16) ds divD = 0 rotE = 0 . (2.17) Diese Gleichungen lassen sich direkt l¨ osen: E=0 j(x ) × (x − x ) . B = d3 x |x − x |3

(2.18) (2.19)

Da Str¨ ome h¨ auﬁg in d¨ unnen Leiterbahnen ﬂießen, ist diese Situation von besonderer Bedeutung. In diesem Fall reduziert sich das Dreifachintegral aus (2.19) zu einem Einfachintegral entlang der Leiterbahn(en): I(x ) × (x − x ) B = dx . (2.20) |x − x |3 Das ist das Biot-Savart-Gesetz, mit dem das Magnetfeld um beliebige Leiteranordnungen berechnet werden kann, z.B. das Magnetfeld einer Spule, f¨ ur das Sie aus der Schule die N¨ aherungsformel

2.5 Magnetfelder station¨ arer Str¨ ome

B = NI

A l

81

(2.21)

kennen (N ist die Zahl der Windungen, l und A ist die L¨ange bzw. die Querschnittsﬂ¨ ache der Spule). Berechnungen von Feldern zu verschiedenen Stromverteilungen ﬁnden Sie z.B. in [24]. Doch zur¨ uck zum Biot-Savart-Gesetz in seiner allgemeinen Formulierung (2.19), die wir auf eine beliebig geformte Leiterbahn anwenden k¨ onnen, z.B. einen Ringstrom:

Abb. 2.3. Kreisstrom und das von ihm erzeugte Magnetfeld

Die dargestellten Feldlinien wurden mittels dieses Programms berechnet: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: kreisstrom.cpp * * Zweck: Berechnet das Magnetfeld eines stromdurchflossenen Rings * * Gleichung: Biot-Savart-Gesetz * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13 14 15

#include #include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

16 17

using namespace std;

18 19 20 21

//-- Definition der globalen Variablen const double epsabs = 1.e-12; const double epsrel = 1.e-12;

22 23 24

int double

npos; R, x[3];

25 26

//-------------------------------------------------------------------------

27 28 29

int dI(double s, double x0[3], double dx0_ds[3], double *r, double *dl)

30 31 32

{ x0[0] = R * cos(s);

dx0_ds[0] = - R * sin(s);

82 33 34

2 Elektrodynamik x0[1] = R * sin(s); x0[2] = 0;

dx0_ds[1] = dx0_ds[2] =

R * cos(s); 0;

35 36 37

*dl = sqrt(sqr(dx0_ds[0])+sqr(dx0_ds[1])+sqr(dx0_ds[2])); *r = sqrt(sqr(x[0]-x0[0])+sqr(x[1]-x0[1])+sqr(x[2]-x0[2]));

38 39 40

return 1; }

41 42

//-------------------------------------------------------------------------

43 44

double dB_x(double s, void *params)

45 46 47 48

{ int result; double x0[3], dx0_ds[3], r, dl;

49 50

result = dI(s, x0, dx0_ds, &r, &dl);

51 52 53

return (dx0_ds[1] * (x[2]-x0[2]) - dx0_ds[2] * (x[1]-x0[1]))/pow(r,3); }

54 55

//-------------------------------------------------------------------------

56 57

double dB_y(double s, void *params)

58 59 60 61

{ int result; double x0[3], dx0_ds[3], r, dl;

62 63

result = dI(s, x0, dx0_ds, &r, &dl);

64 65 66

return (dx0_ds[2] * (x[0]-x0[0]) - dx0_ds[0] * (x[2]-x0[2]))/pow(r,3); }

67 68

//-------------------------------------------------------------------------

69 70

double dB_z(double s, void *params)

71 72 73 74

{ int result; double x0[3], dx0_ds[3], r, dl;

75 76

result = dI(s, x0, dx0_ds, &r, &dl);

77 78 79

return (dx0_ds[0] * (x[1]-x0[1]) - dx0_ds[1] * (x[0]-x0[0]))/pow(r,3); }

80 81

//-------------------------------------------------------------------------

82 83

double B_x(double x, double y, double z)

84 85 86 87 88

{ const size_t limit = 10000; const int key = GSL_INTEG_GAUSS21; double result, abserr;

89 90 91

gsl_integration_workspace * w = gsl_integration_workspace_alloc(limit);

2.5 Magnetfelder station¨ arer Str¨ ome

83

92 93 94

gsl_function F; F.function = &dB_x;

95 96 97

gsl_integration_qag(&F, -pi, pi, epsabs, epsrel, limit, key, w, &result, &abserr);

98 99

gsl_integration_workspace_free(w);

100 101 102

return result; }

103 104

//-------------------------------------------------------------------------

105 106

double B_y(double x, double y, double z)

107 108 109 110 111

{ const int limit = 1000; const int key = GSL_INTEG_GAUSS61; double result, abserr;

112 113 114

gsl_integration_workspace * w = gsl_integration_workspace_alloc(limit);

115 116 117

gsl_function F; F.function = &dB_y;

118 119 120

gsl_integration_qag(&F, -pi, pi, epsabs, epsrel, limit, key, w, &result, &abserr);

121 122

gsl_integration_workspace_free(w);

123 124 125

return result; }

126 127

//-------------------------------------------------------------------------

128 129

double B_z(double x, double y, double z)

130 131 132 133 134

{ const int limit = 1000; const int key = GSL_INTEG_GAUSS61; double result, abserr;

135 136 137

gsl_integration_workspace * w = gsl_integration_workspace_alloc(limit);

138 139 140

gsl_function F; F.function = &dB_z;

141 142 143

gsl_integration_qag(&F, 0, 2*pi, epsabs, epsrel, limit, key, w, &result, &abserr);

144 145

gsl_integration_workspace_free(w);

146 147 148

return result; }

149 150

//-------------------------------------------------------------------------

84

2 Elektrodynamik

151 152

int f(double s, const double x[], double dxds[], void *params)

153 154 155

{ double B;

156 157 158 159 160 161

B = sqrt( + dxds[0] = dxds[1] = dxds[2] =

sqr(B_x(x[0],x[1],x[2])) + sqr(B_y(x[0],x[1],x[2])) sqr(B_z(x[0],x[1],x[2])) ); B_x(x[0],x[1],x[2]) / B; B_y(x[0],x[1],x[2]) / B; B_z(x[0],x[1],x[2]) / B;

162 163 164

return GSL_SUCCESS; }

165 166

//-------------------------------------------------------------------------

167 168 169

int jac(double s, const double x[], double *dfdx, double dxds[], void *params)

170 171 172 173

{ return GSL_SUCCESS; }

174 175

//-------------------------------------------------------------------------

176 177 178

main( int argc, char *argv[] )

179 180 181 182 183 184 185 186 187 188

{ //-- Definition der Variablen double dxds[3], x_start[3], s, send, ds; double delta, eps, rtol, atol, dist, dist1; double mu = 10; double h, x2old; int n, n1, N, N_res, nline, nline_max; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

189 190 191 192 193 194 195

//-- Fehlermeldung, wenn Input- oder Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: kreisstrom infile outfile\n"; return 0; }

196 197 198 199 200 201 202 203 204 205

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ausgabe-File generiert von kreisstrom.cpp \n"; inout(R,"R"); inout(x_start[0],"x_start[0]"); inout(x_start[1],"x_start[1]"); inout(x_start[2],"x_start[2]"); inout(ds,"ds"); inout(atol,"atol"); inout(rtol,"rtol"); inout(eps,"eps"); in_stream.close();

206 207 208 209

//-- Berechnung der elektrischen Feldlinien x[0] = x_start[0]; x[1] = x_start[1];

2.5 Magnetfelder station¨ arer Str¨ ome 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237

85

x[2] = x_start[2]; const gsl_odeiv_step_type *T1 = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s1 = gsl_odeiv_step_alloc(T1, 3); gsl_odeiv_control *c1 = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e1 = gsl_odeiv_evolve_alloc(3); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 3, &mu}; h = 1.e-6; s = 0; send = ds; dist = 1.e6; x2old = 1.e6; while ((x2old >=0) || (x[2]<=0)) { x2old = x[2]; while (s < send) { int status = gsl_odeiv_evolve_apply(e1,c1,s1,&sys,&s,send,&h,x); if (status != GSL_SUCCESS) break; } out_stream << x[0] << " " << x[1] << " " << x[2] << "\n"; cout << s << " " << x[0] << " " << x[1] << " " << x[2] << "\n"; dist = sqrt(sqr(x[0]-x_start[0])+sqr(x[1]-x_start [1]) +sqr(x[2]-x_start[2])); send = send + ds; } gsl_odeiv_evolve_free(e1); gsl_odeiv_control_free(c1); gsl_odeiv_step_free(s1);

238 239 240

out_stream.close(); }

Die Generierung der Feldlinien bei gegebenem Feld k¨onnen wir aus dem Programm linien1.cpp u ¨bernehmen, was bleibt ist die Berechnung des ma¨ gnetischen Feldes gem¨ aß (2.19), die zur besseren Ubertragung auf andere Leitergeometrien in drei Teile aufgeteilt ist: –

Das Unterprogramm dI liefert f¨ ur ein s die zugeh¨origen Koordinaten des Punktes x0 (s) auf dem Leiter, die Richtung der Leiterbahn sowie der Einfachheit halber den Abstand vom gerade betrachteten Punkt x und das L¨ angenelement dl = |dx0 (s)/ds|. – Die Funktionen dB x, dB y und dB z stellen die drei Komponenten des Integranden in (2.19) zur Verf¨ ugung. – Die Unterprogramme B x, B y und B z schließlich berechnen die jeweiligen Komponenten des magnetischen Feldes durch Integration der Funktionen dB x, dB y und dB z. Den Vorteil dieser Strukturierung sehen Sie, wenn Sie das Programm spule1.cpp weiter unten studieren. Abgesehen von einer Anpassung der einzulesenden Parameter, musste lediglich das Unterprogramm dI modiﬁziert werden. Bei diesem Programm haben wir von einer n¨ utzlichen Symmetrie nicht Gebrauch gemacht: das Problem ist n¨ amlich symmetrisch bzgl. beliebigen Drehungen um die z-Achse. Aus diesem Grund m¨ ussen Feldlinien immer in

86

2 Elektrodynamik

der Ebene liegen, die durch den Startpunkt und die z-Achse festgelegt wird. Der Grund, warum wir uns den Luxus leisten, von dieser Einschr¨ankung auf zwei Dimensionen nicht Gebrauch zu machen, liegt wieder in der Wiederverwertbarkeit f¨ ur andere Probleme, bei denen diese Symmetrie nicht mehr vorliegt. Womit wir nun endg¨ ultig zum Programm spule1.cpp kommen, das ebenfalls die Feldlinien des Magnetfelds berechnet – diesmal jedoch f¨ ur eine Spule:

Abb. 2.4. Stromf¨ uhrung durch eine Spule inklusive Zuleitungen

1 2 3 4 5 6

/********************************************************************* * Name: spule1.cpp * * Zweck: Berechnet das Magnetfeld einer Spule * * Gleichung: Biot-Savart-Gesetz * * verwendete Bibiliothek: GSL * *********************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13 14 15

#include #include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

16 17

using namespace std;

18 19

//-- Definition der globalen Variablen

20 21 22 23 24 25 26

const const const const const const

double double double double double double

epsabs = 1.e-12; epsrel = 1.e-12; s0 = 0; const double s1 = 1; s2 = 2; const double s3 = 3; s4 = 4; const double s5 = 5; s6 = 6;

27 28

int

npos, dir;

2.5 Magnetfelder station¨ arer Str¨ ome 29

double

R, l, L1, L2, phi_min, phi_max, dphids, x[3];

30 31

//--------------------------------------------------------------------

32 33 34

int dI(double s, double x0[3], double dx0_ds[3], double *r, double *dl)

35 36 37

{ double phi = phi_min + dphids*s;

38 39 40 41 42 43 44

if (s<1) { x0[0] = R * cos(phi); x0[1] = R * sin(phi); x0[2] = l * s; }

dx0_ds[0] = - R * sin(phi) * dphids; dx0_ds[1] = R * cos(phi) * dphids; dx0_ds[2] = l;

45 46 47 48 49 50 51

if ((s>=s1) && (s<s2)) { x0[0] = R; dx0_ds[0] = 0; x0[1] = 0; dx0_ds[1] = 0; x0[2] = l + (L2-l) * (s-1); dx0_ds[2] = (L2-l); }

52 53 54 55 56 57 58

if ((s>=s2) && (s<s3)) { x0[0] = R + (L1-R)*(s-2); x0[1] = 0; x0[2] = L2; }

dx0_ds[0] = L1-R; dx0_ds[1] = 0; dx0_ds[2] = 0;

59 60 61 62 63 64 65

if ((s>=s3) && (s<s4)) { x0[0] = L1; x0[1] = 0; x0[2] = L2 - 2*L2*(s-3); }

dx0_ds[0] = 0; dx0_ds[1] = 0; dx0_ds[2] = -2*L2;

66 67 68 69 70 71 72

if ((s>=s4) && (s<=s5)) { x0[0] = L1 + (R-L1)*(s-4); x0[1] = 0; x0[2] = -L2; }

dx0_ds[0] = R-L1; dx0_ds[1] = 0; dx0_ds[2] = 0;

73 74 75 76 77 78 79

if ((s>=s5) && (s<=s6)) { x0[0] = R; x0[1] = 0; x0[2] = -L2+L2*(s-5); }

dx0_ds[0] = 0; dx0_ds[1] = 0; dx0_ds[2] = L2;

80 81 82

*dl = sqrt(sqr(dx0_ds[0])+sqr(dx0_ds[1])+sqr(dx0_ds[2])) / 100.; *r = sqrt(sqr(x[0]-x0[0])+sqr(x[1]-x0[1])+sqr(x[2]-x0[2]));

83 84 85

return 1; }

86 87

//--------------------------------------------------------------------

87

88

2 Elektrodynamik

88 89

double dB_x(double s, void *params)

90 91 92 93

{ int result; double x0[3], dx0_ds[3], r, dl;

94 95

result = dI(s, x0, dx0_ds, &r, &dl);

96 97 98 99

return (dx0_ds[1] * (x[2]-x0[2]) - dx0_ds[2] * (x[1]-x0[1])) / pow(r,3) * dl; }

100

... 126 127

//--------------------------------------------------------------------

128 129

double B_x(double x, double y, double z)

130 131 132 133 134

{ const size_t limit = 10000; const int key = GSL_INTEG_GAUSS21; double result1, result2, result3, result4, result5, result6, abserr;

135 136 137 138

gsl_integration_workspace * w = gsl_integration_workspace_alloc(limit);

139 140 141

gsl_function F; F.function = &dB_x;

142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154

gsl_integration_qag(&F, s0, s1, epsabs, &result1, &abserr); gsl_integration_qag(&F, s1, s2, epsabs, &result2, &abserr); gsl_integration_qag(&F, s2, s3, epsabs, &result3, &abserr); gsl_integration_qag(&F, s3, s4, epsabs, &result4, &abserr); gsl_integration_qag(&F, s4, s5, epsabs, &result5, &abserr); gsl_integration_qag(&F, s5, s6, epsabs, &result6, &abserr);

epsrel, limit, key, w, epsrel, limit, key, w, epsrel, limit, key, w, epsrel, limit, key, w, epsrel, limit, key, w, epsrel, limit, key, w,

155 156

gsl_integration_workspace_free(w);

157 158 159

return result1+result2+result3+result4+result5+result6; }

160

... 226 227

//-------------------------------------------------------------------------

228 229

int f(double s, const double x[], double dxds[], void *params)

230 231

{

2.5 Magnetfelder station¨ arer Str¨ ome 232

89

double B;

233 234 235 236 237 238

B = sqrt( + dxds[0] = dxds[1] = dxds[2] =

sqr(B_x(x[0],x[1],x[2])) + sqr(B_y(x[0],x[1],x[2])) sqr(B_z(x[0],x[1],x[2])) ); dir * B_x(x[0],x[1],x[2]) / B; dir * B_y(x[0],x[1],x[2]) / B; dir * B_z(x[0],x[1],x[2]) / B;

239 240 241

return GSL_SUCCESS; }

242 243

//-------------------------------------------------------------------------

244 245 246

int jac(double s, const double x[], double *dfdx, double dxds[], void *params)

247 248 249 250

{ return GSL_SUCCESS; }

251 252

//-------------------------------------------------------------------------

253 254 255

main( int argc, char *argv[] )

256 257 258 259 260 261 262 263 264 265

{ //-- Definition der Variablen int n, n1, N, nline, nline_max; double dxdt[3], x_start[3], s, s_max, send, ds, delta, rtol, atol; double dist, dist1, Bx, By, Bz, kruemmung, h; double tx, ty, tz, txold, tyold, tzold, txp, typ, tzp, kx, ky, kz; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

266 267 268 269 270 271 272 273

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht // uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: spule1 infile outfile\n"; return 0; }

274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ausgabe-File generiert von spule1.cpp \n"; inout(N,"N"); inout(l,"l"); inout(L1,"L1"); inout(L2,"L2"); inout(R,"R"); inout(s_max,"s_max"); inout(ds,"ds"); inout(x_start[0],"x_start[0]"); inout(x_start[1],"x_start[1]"); inout(x_start[2],"x_start[2]"); inout(atol,"atol"); inout(rtol,"rtol"); inout(dir,"dir"); in_stream.close();

287 288 289 290

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -phi_min = 0; phi_max = 2 * pi * N;

90 291

2 Elektrodynamik dphids = phi_max - phi_min;

292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305

//-- Berechnung der elektrischen Feldlinien x[0] = x_start[0]; x[1] = x_start[1]; x[2] = x_start[2]; const gsl_odeiv_step_type *T1 = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s1 = gsl_odeiv_step_alloc(T1, 3); gsl_odeiv_control *c1 = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e1 = gsl_odeiv_evolve_alloc(3); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 3, &mu}; h = 1.e-6; s = 0; send = ds; dist = 1.e6;

306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337

while (s < s_max) { while (s < send) { int status = gsl_odeiv_evolve_apply(e1,c1,s1,&sys,&s,send,&h,x); if (status != GSL_SUCCESS) break; } out_stream << s << " " << x[0] << " " << x[1] << " " << x[2] << " "; Bx = B_x(x[0],x[1],x[2]); By = B_y(x[0],x[1],x[2]); Bz = B_z(x[0],x[1],x[2]); tx = Bx / sqrt( sqr(Bx)+sqr(By)+sqr(Bz) ); ty = By / sqrt( sqr(Bx)+sqr(By)+sqr(Bz) ); tz = Bz / sqrt( sqr(Bx)+sqr(By)+sqr(Bz) ); txp = ( tx - txold ) / ds; txold = tx; typ = ( ty - tyold ) / ds; tyold = ty; tzp = ( tz - tzold ) / ds; tzold = tz; kx = ty * tzp - tz * typ; ky = tz * txp - tx * tzp; kz = tx * typ - ty * txp; kruemmung = sqrt( sqr(kx)+sqr(ky)+sqr(kz) ); out_stream << Bx << " " << By << " " << Bz << " " << sqrt(sqr(Bx)+sqr(By)+sqr(Bz)) << " " << kruemmung << "\n"; cout << x[0] << " " << x[1] << " " << x[2] << "\n"; dist = sqrt(sqr(x[0]-x_start[0])+sqr(x[1]-x_start [1]) +sqr(x[2]-x_start[2])); send = send + ds; } gsl_odeiv_evolve_free(e1); gsl_odeiv_control_free(c1); gsl_odeiv_step_free(s1);

338 339 340

out_stream.close(); }

Etwas l¨ anglich ist die Funktion dI, die bei gegebenem Parameter t die dazugeh¨ orige Position x0, das Linienelement dx0 ds, sowie dessen Betrag dl und den Abstand r vom Punkt x berechnet. Das liegt an der notwendigen Fallunterscheidung f¨ ur die verschiedenen Abschnitte der Leiterbahn:

2.5 Magnetfelder station¨ arer Str¨ ome

91

f¨ ur t ∈ [0, 1] beﬁndet man sich auf der Spulenwicklung, f¨ ur t ∈ [1, 2] beﬁndet man sich auf dem daran anschließenden Abschnitt in z-Richtung, – f¨ ur t ∈ [2, 3] beﬁndet man sich auf dem n¨achsten Abschnitt, der in xRichtung verl¨auft, – usw. – –

Von den Funktionen dB x, dB y und dB z haben wir hier nur die erste wiedergegeben – die beiden anderen sind v¨ ollig analog. Diese Funktionen stellen die Implementierung des Integranden im Biot-Savart-Gesetz (2.20) dar und sind gegen¨ uber dem Programm kreisstrom.cpp unver¨andert. Das selbe gilt f¨ ur die Funktionen B x, B y und B z – Sie ﬁnden im Buchtext wieder nur B x. Diese berechnen aus dB x, dB y und dB z durch Integration das magnetische Feld. Die Routine f schließlich baut aus diesen Funktionen das Diﬀerentialgleichungssystem, dessen L¨ osung – im Hauptprogramm implementiert – die Feldlinien sind.

Abb. 2.5. Magnetisches Feld einer (gestrichelt eingezeichneten) Spule – man beachte, dass die Feldlinien am Rand der Spule wegen der einzelnen Wicklungen onduliert sind und dann aus dem Innenbereich der Spule ausbrechen

Das Bild der Feldlinien in Abb. 2.5 entspricht unseren Erwartungen: innerhalb der schematisch eingezeichneten Spule ist das Feld einigermaßen homogen – je n¨ aher man aber den Spulendr¨ ahten kommt, desto mehr weicht das Feld von dieser Vorstellung ab, weil es die Diskretheit der Drahtwicklungen sieht. Interessanterweise verlassen die ¨ außeren beiden Feldlinien die Spule nicht an den Enden sondern nutzen den Zwischenraum zwischen zwei Drahtwicklungen. Wenn Sie die Feldlinien weiter in den Außenbereich ver¨ folgen – was Sie zur Ubung unbedingt tun sollten! – werden Sie feststellen, dass sich auch dort die Feldlinien ungef¨ ahr so verhalten, wie man dies erwartet: sie machen einen weiten Bogen um die Spule, treten wieder in diese ein, und die Feldlinie schließt sich – naja, jedenfalls fast – wieder. Soweit so gut, nun wollen wir an den Parametern ein wenig drehen, und schauen, ob wir vielleicht etwas Interessanteres entdecken k¨ onnen. Die Spule, die Abb. 2.6 zugrunde liegt, ist gleich lang wie die aus Abb. 2.5, jedoch hat sie nur den halben Radius und doppelt so viele Wicklungen (20 statt 10). Gezeigt ist nur eine einzelne Feldlinie, die in etwa in der Mitte

92

2 Elektrodynamik 10

5

0 -10

-5

0

5

Abb. 2.6. Eine Feldlinie des magnetischen Felds einer Spule – man beachte, dass sich die Feldlinie nicht schließt

der Spule beginnt, wobei wir die ganze Anordnung gedreht haben, um eine maßstabsgerechte Darstellung zu erm¨ oglichen. Im Innenbereich der Spule sehen wir wieder einen weitgehend geradlinigen Verlauf (entsprechend dem hier nahezu homogenen Magnetfeld). Wenn wir diesen Bereich getrennt darstellen und den Maßstab der z-Achse stark vergr¨ oßern, stellen wir wieder eine leichte Welligkeit der Feldlinien fest, die von den einzelnen Spulenwicklungen herr¨ uhrt. Interessant wird es aber vor allem, wenn wir die Feldlinie im Außenbereich verfolgen: die Feldlinie ist hier bei weitem nicht mehr eben und der Weg an das andere Ende der Spule verl¨ auft in unerwarteten Schleifen. Die Tatsache, dass die Feldlinien nicht in einer Ebene verlaufen, sollte uns allerdings nicht sonderlich u ¨berraschen, da die Wicklungen der Spule keine entsprechende Symmetrie aufweisen. Dieser Verlauf der Feldlinie im Außenbereich der Spule f¨ uhrt dazu, dass sich die Feldlinie nicht schließt, sondern beim zweiten Durchlauf durch die Spule parallel zum ersten verl¨ auft.

2.6 Hysterese Wir haben bereits in Abschn. 2.1 angemerkt, dass der lineare Charakter der Maxwellschen Gleichungen durch nichtlineare Materialgleichungen zu einem komplexen nichtlinearen Gleichungssystem f¨ uhren kann. Dort hatten wir auch festgehalten, dass in manchen F¨ allen u berhaupt kein funktionaler Zusammen¨ hang zwischen Polarisation P und elektrischem Feld E bzw. zwischen Magnetisierung M und magnetischem Feld H existiert, sondern Ged¨achtniseﬀekte eine Rolle spielen. Dieses Ph¨ anomen wird Hysterese genannt und wir wollen in diesem Abschnitt anhand eines einfachen Modells f¨ ur einen Ferromagneten (siehe [25]) aufzeigen, wie es zu diesem Eﬀekt kommt. Wir gehen von einem System von N Spin- 12 -Teilchen (siehe Abschn. 5.13) aus, die sich in einem ¨ außeren Magnetfeld Hext jeweils entweder parallel oder

2.6 Hysterese

93

antiparallel zu Hext ausrichten k¨ onnen. Wir bezeichnen die Zahl der parallel orientierten Spins mit N1 und die der antiparallel orientierten mit N2 . Wenn wir diese beiden Zahlen im thermischen Gleichgewicht wissen m¨ochten, m¨ ussen wir einen Vorgriﬀ auf Kap. 4 machen: N1 E1 − E 2 = exp − . (2.22) N2 kT Dabei sind k die Boltzmann-Konstante und E1 und E2 die jeweiligen Energien der beiden m¨ oglichen Spinzust¨ ande: E1 = −µH E2 = +µH .

(2.23) (2.24)

Das magnetische Feld H setzt sich nun aus dem externen Feld Hext und dem durch die Spins selbst erzeugten Feld zusammen. Letzteres ist f¨ ur jeden Spin verschieden, wenn wir dieses lokale Feld jedoch durch dessen Mittelwert ersetzen (Mean-Field-N¨ aherung) erhalten wir: H = Hext + α(N1 − N2 ) .

(2.25)

Der zweite Term auf der rechten Seite ist die Magnetisierung M . Der entscheidende Schritt zur Komplettierung unseres Modells ist nun die Aufstellung von Bewegungsgleichungen f¨ ur N1 und N2 , die bei statischem ¨außerem Feld f¨ ur t → ∞ in das durch (2.22) beschriebene Gleichgewicht l¨auft. Dar¨ uber hinaus haben wir zu beachten, dass die Bewegungsgleichungen bzgl. Invertierung des ¨ außeren Feldes Hext bei gleichzeitigem Vertauschen von N1 und ¨ ussen. Uberzeugen Sie sich bitte, dass die geforderten N2 symmetrisch sein m¨ Bedingungen von d N1 = −ξ [(N1 exp(−βH) − N2 exp(βH)] dt d N2 = +ξ [(N1 exp(−βH) − N2 exp(βH)] dt

(2.26) (2.27)

erf¨ ullt werden. Dabei haben wir zum einen den Parameter ξ eingef¨ uhrt, der ¨ angibt, wie schnell die Spins auf eine Anderung des magnetischen Feldes reagieren. Zum anderen haben wir die Abk¨ urzung β=

αµ kT

(2.28)

verwendet. β setzt die Wechselwirkungsenergie eines einzelnen Spins mit der Magnetisierung ins Verh¨ altnis zur thermischen Energie pro Freiheitsgrad. Durch Subtraktion von (2.26) und (2.27) und Multiplikation mit µ erh¨alt man eine einzige Bewegungsgleichung f¨ ur die Magnetisierung M = α(N1 − N2 ): d M = −2µξ [N1 exp(βH) − N2 exp(βH)] . dt

(2.29)

94

2 Elektrodynamik

Die darin auftretenden Gr¨ oßen N1 , N2 und H m¨ ussen dabei durch M ausgedr¨ uckt werden: M 1 N1,2 = 1± (2.30) 2 α H = Hext + M

(2.31)

Die Implementierung dieser Bewegungsgleichung stellt uns vor keine besonderen Probleme: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: hysterese.cpp * * Zweck: Berechnet eine Hysterese-Kurve * * Gleichung: siehe Buch * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13

#include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

14 15

using namespace std;

16 17 18

//-- globale Variablen double mu, kT, xi, H_0, omega, alpha, beta;

19 20

//-------------------------------------------------------------------------

21 22

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

23 24 25

{ double H_ext, H, N1, N2;

26 27 28 29 30

H_ext = H_0 * sin(omega*t); H = H_ext + x[0]; N1 = 0.5 * (1. + x[0] / alpha); N2 = 0.5 * (1. - x[0] / alpha);

31 32

dxdt[0] = -2*alpha*xi*(N1*exp(-beta*H)-N2*exp(beta*H));

33 34 35

return GSL_SUCCESS; }

36 37

//------------------------------------------------------------------------

38 39 40

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dxdt[], void *params)

41 42 43 44

{ return GSL_SUCCESS; }

45 46 47

//-------------------------------------------------------------------------

2.6 Hysterese 48

95

main( int argc, char *argv[] )

49 50

{

51 52 53 54 55

//-- Definition der Variablen int n, nout; double x[1], t, t1, dt, atol, rtol, h, tend; double mu1 = 10;

56 57 58

ifstream in_stream; ofstream out_stream;

59 60 61 62 63 64 65

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: hysterese infile outfile\n"; exit(1); }

66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von hysterese.cpp\n"; inout(mu,"mu"); inout(kT,"kT"); inout(xi,"xi"); inout(alpha,"alpha"); inout(H_0,"H_0"); inout(omega,"omega"); inout(tend,"tend"); inout(nout,"nout"); in_stream.close();

76 77 78 79

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / nout; beta = exp(alpha*mu/(kT));

80 81 82 83

//-- Anfangsbedingungen t = 0; x[0] = 0; atol = 1.e-6; rtol = 1.e-6;

84 85 86 87 88 89 90

//-- Initialisierung der GSL-Routine const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, 1); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(1); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 1, &mu1};

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102

for (n=1; n<=nout; n++) { t1 = n * dt; while (t
103 104 105

out_stream.close(); }

96

2 Elektrodynamik

In dem Programm ist die Zeitabh¨ angigkeit des ¨außeren Feldes auf Hext = H0 sin(ωt)

(2.32)

ur kleine Frequenzen ω stellt sich zu jedem Zeitfestgelegt (Zeile 27). F¨ punkt das durch (2.22) beschriebene Gleichgewicht ein. Wenn jedoch ω in der Gr¨ oßenordnung von ξ oder dar¨ uber liegt, hinkt die Magnetisierung ihrem Gleichgewichtswert immer hinterher und wir beobachten Hysterese:

Abb. 2.7. Magnetisierung M in Abh¨ angigkeit vom ¨ außeren Feld Hext , das einen sinusoidalen Zeitverlauf hat. Nach dem transienten Verhalten in der ersten Halbperiode sieht man deutlich die typische Hysterese-Kurve

Dieser Abbildung lagen die Parameter µ = kT = ξ = 1, α = 0.6, H0 = 2 sowie ω = 2 zu Grunde. Wir u ¨berlassen es dem Leser, zu untersuchen, inwieweit sich die in Abb. 2.7 dargestellte Kurve ¨ andert, wenn man die einzelnen Parameter ver¨andert.

¨ Ubungen 2.1 R¨ aumlich angeordnete Multipole Sie k¨ onnen die Ausdehnung der Multipole aus Abschn. 2.3 reduzieren, indem Sie statt einer linearen Anordnung der Einzelladungen eine r¨aumliche Anordnung w¨ ahlen. Berechnen Sie die Abh¨ angigkeit der Feldst¨arke vom Abstand r und vergleichen Sie die Ergebnisse mit Abb. 2.1. Wie f¨allt dieser Vergleich f¨ ur kleine Abst¨ ande und f¨ ur große Abst¨ ande aus? Interessant ist es auch, f¨ ur diese Anordnung die Feldlinien zu berechnen und mit Abb. 2.2 zu vergleichen. 2.2 Feld von Helmholtz-Spulen In Abschn. 2.5 haben wir das Magnetfeld eines Kreisstroms betrachtet. Sie k¨ onnen nun zwei solcher Ringstr¨ ome koaxial anordnen und erhalten eine Helmholtz-Spule (Abb. 2.8). Typischerweise wird der Abstand der beiden Spulen gleich deren Radius gew¨ ahlt, wodurch das Magnetfeld in der Mitte der Anordnung sehr homogen

¨ Ubungen

97

Abb. 2.8. Helmholtz-Spule, bestehend aus zwei Ringstr¨ omen. Gestrichelt eingezeichnet wurde die Symmetrieachse der Anordnung

wird. Berechnen Sie dieses Feld in der N¨ ahe der Mitte f¨ ur diesen Abstand, wobei Sie auch Variationen senkrecht zur Symmetrieachse betrachten sollen. Wie sieht das magnetische Feld aus, wenn der Stromﬂuß in den beiden Ringen nicht wie dargestellt gleichsinnig sondern gegensinnig erfolgt? 2.3 Diamagnetismus Das in Abschn. 2.6 entworfene Modell beschreibt f¨ ur positive µ – je nach Gr¨oße von µ und α ein paramagnetisches oder ferromagnetisches Material, bei dem sich die Spins parallel zum magnetischen Feld ausrichten m¨ochten. F¨ ur negative µ ist die energetisch g¨ unstige Orientierung hingegen antiparallel zum ¨ außeren Feld, was der Situation bei einem Diamagneten entspricht. Untersuchen Sie zun¨ achst analytisch das Verhalten bei statischem ¨außeren Feld und anschließend numerisch das bei einem Magnetfeld mit sinusoidalem Zeitverlauf (2.32). 2.4 Magnetisierung und Entmagnetisierung Durchl¨ auft man die Hystereseschleife in Abb. 2.7 und h¨ort bei Hext = 0 auf, verbleibt das Material mit einer endlichen Magnetisierung, die man Remaneszenz nennt. M¨ ochte man dies vermeiden, muss man das ¨außere Feld langsam abklingen lassen (z.B. in Form einer ged¨ampften Sinusschwingung). Schreiben Sie – aufbauend auf hysterese.cpp – ein Programm, das diese Entmagnetisierung modelliert.

3 Optik

In diesem Kapitel wollen wir einige ausgew¨ ahlte Probleme der Optik mit Verfahren der numerischen Physik bearbeiten. Da Licht nichts anderes als eine elektromagnetische Welle ist, handelt es sich hierbei streng genommen um ein Unterkapitel zu 2 – aufgrund der Bedeutung der Optik ist es jedoch gerechtfertigt, hierf¨ ur ein eigenes Kapitel vorzusehen. W¨ahrend die ersten Abschnitte sich mit der Strahlenoptik besch¨ aftigen, werden wir uns ab Abschn. 3.7 der Wellenoptik widmen.

¨ 3.1 Historischer Uberblick Beginnen wir unseren Streifzug durch die Optik mit einem kleinen historischen R¨ uckblick auf deren Geschichte: Nachdem lange Zeit u ¨ber das Wesen von Licht nur wilde Spekulationen existierten, kristallisierten sich im 17. Jahrhundert zwei unvereinbare Theorien heraus. Die erstere wurde von dem gr¨ oßten Physiker dieser Epoche vertreten, von Isaac Newton. Er war der Ansicht, dass Licht ein Strom von Teilchen ist, deren Flugbahn bei Lichtstrahlen besonders deutlich wird. Aus dieser Vorstellung entwickelte sich die Strahlenoptik. Der Hauptvertreter der zweiten Theorie war Huygens – nach dieser Theorie sollte es sich bei Licht um Schwingungen eines Mediums han¨ deln, das jeden Stoﬀ durchdringt und das er Ather nannte (der nichts mit ¨ dem Ather aus der Chemie zu tun hat). Aus dieser Theorie entwickelte sich sp¨ater die Wellenoptik. Zu Lebzeiten dieser beiden Physiker wurde allgemein die Newtonsche Theorie bevorzugt, zum einen, weil es keinerlei sonstige Hin¨ weise auf den Ather gab, den Huygens’ Theorie ben¨otigte, zum anderen aber auch wegen der Ber¨ uhmtheit Newtons. Sp¨ ater jedoch h¨auften sich Hinweise, dass Newton in diesem Punkt doch irrte und die Huygenssche Theorie korrekt sei. Als Mitte des 19. Jahrhunderts die Maxwellschen Gleichungen aufgestellt wurden, die als spezielle L¨ osungen die elektromagnetischen Wellen und damit Licht beinhalten, schien die Entscheidung u ¨ber die wahre Natur des Lichts gefallen. Aber das Blatt wendete sich noch einmal – gegen Ende des vorletzten Jahrhunderts gab es die ersten Experimente, die nicht ins Wellenbild des Lichts passten und schließlich zur Entwicklung der Quantentheorie f¨ uhrten: nach unserer heutigen Auffassung sind die beiden oben dargestellten Theorien u ¨ber das Licht zwei Facetten, von denen je nach Experiment die eine oder

100

3 Optik

die andere zum Vorschein kommen. Die Theorie, die beide Aspekte in sich vereinigt und das Licht korrekt beschreibt, ist folgerichtig die Quantenoptik. Es stellt sich nat¨ urlich die Frage, warum sich so viele – sich gegenseitig ausschließende – Auffassungen u ¨ber die Natur des Lichts entwickeln konnten. Die Antwort ist, dass jede dieser Betrachtungsweisen ihre Berechtigung hat, und die Frage, ob die geometrische Optik, die Wellenoptik oder gar ur ein konkretes Problem nur die Quantenoptik die geeignete Beschreibung f¨ ist, von der Art des Problems abh¨ angt. Wenn alle relevanten L¨angen groß gegen die Wellenl¨ ange des Lichts (ca 400–800 nm) sind, spielen die Welleneigenschaften keine Rolle und die geometrische Optik kommt zu korrekten Resultaten. Ist dies nicht der Fall, z.B. weil Wegdiﬀerenzen in dieser Gr¨oßenordnung vorhanden sind, tritt die Wellennatur des Lichts zutage und eine korrekte Beschreibung erfordert deren Ber¨ ucksichtigung. Die Quantennatur des Lichts schließlich wird relevant, wenn die Energie eines einzelnen Photons (¯hω, wobei h ¯ das Plancksche Wirkungsquantum und ω = 2πf die Frequenz des Lichts ist) nicht mehr klein gegen die alle anderen betrachteten Energien ist. An dieser Stelle ist auch ein Blick auf die Weise interessant, in der Optik gelehrt und gelernt wird. Diese ist n¨ amlich a¨quivalent zur historischen Entwicklung und beginnt in der gymnasialen Mittelstufe mit der Strahlenoptik und geht dann erst zur Wellenoptik u ¨ber. Quantenoptik schließlich bleibt, wenn u berhaupt, den h¨ o heren Semestern im Physikstudium vorbehalten. Und ¨ an diese Reihenfolge wollen wir uns auch in diesem Kapitel halten und beginnen daher mit Problemen aus der Strahlenoptik.

3.2 Grundbegriﬀe der Strahlenoptik Der entscheidende Begriﬀ der Strahlenoptik ist – naheliegenderweise – der des Lichtstrahls. Dieser wird zum einen durch seine Bahn und zum anderen in jedem Punkt seiner Bahnkurve durch seine Intensit¨at, seine Wellenl¨ange und gegebenenfalls durch seine Polarisation charaktierisiert. Mit der letzten Eigenschaft verlassen wir allerdings streng genommen schon die Strahlenoptik, da die Polarisation die Schwingungsebene des elektrischen und magnetischen Feldes, also eine typische Welleneigenschaft, angibt – n¨aheres hierzu werden wir in Abschn. 3.7 diskutieren. Beginnen wir jedoch mit der Bahnkurve: diese ist in homogenen Ausbreitungsmedien geradlinig, so dass der geometrische Verlauf des Lichtstrahls hier durch eine Geradengleichung (z.B. einen Punkt und einen Richtungsvektor) beschrieben wird. Hierbei bezieht sich die Forderung der Homogenit¨at auf die Brechzahl n und damit die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts in diesem Medium. Interessant wird es, wenn wir mehrere Medien mit verschiedenen Brechzahlen haben: in diesem Fall erfolgt an der Grenzﬂ¨ache zwischen diesen beiden Materialien Brechung und Reﬂektion (siehe Abschn. 3.3). In solchen Situationen ist es also unsere Aufgabe, eine Abfolge von Geradengleichungen

3.3 Brechung und Reﬂektion von Licht

101

f¨ ur den Verlauf des Lichtstrahls aufzustellen und gegebenenfalls die Intensit¨at und Polarisation entlang dieses Strahls zu berechnen.

3.3 Brechung und Reﬂektion von Licht In der Strahlenoptik geht es um die Berechnung von Lichtstrahlen. Diese verlaufen im Allgemeinen geradlinig, jedoch mit zwei Ausnahmen, die auftreten, wenn ein Lichtstrahl auf die Grenzﬂ¨ ache zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechzahlen triﬀt:

x’ n2 x

n1

n

x’’

Abb. 3.1. Brechung und Reﬂektion an einer Grenzﬂ¨ ache

–

Ein Teil des Lichts dringt in das andere Medium ein, wobei sich dessen Richtung a anomen bezeichnet man als Brechung. ¨ndert. Dieses Ph¨ – Der verbleibende Teil des Lichts wird an der Grenzﬂ¨ache reﬂektiert. Diesen Vorgang bezeichnet man als Reﬂektion. Dies sind also die beiden Elementarprozesse, die wir zun¨achst beherrschen m¨ ussen, bevor wir uns schwierigeren, darauf aufbauenden Problemen zuwenden. Wie in Abb. 3.1 wollen wir den Normalenvektor der Grenzﬂ¨ache so w¨ ahlen, dass sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor des einfallenden Strahls positiv ist. Beginnen wir mit der Darstellung des einfallenden Lichtstrahls: x = x0 + µxt ,

(3.1)

wobei x0 ein beliebig gew¨ ahlter Punkt auf der Einfallslinie des Lichtstrahls ist. Es ist sinnvoll, den Richtungsvektor xt in eine Komponente in Richtung der Fl¨ achennormalen n (3.2) xt = (xt n)n und die dazu senkrechte Komponente xt⊥ = xt − (xt n)n

(3.3)

102

3 Optik

aufzuspalten. Dann erhalten wir den Richtungsvektor des reﬂektierten Strahls als xt = xt⊥ − xt = x − 2xt .

(3.4) (3.5)

Etwas komplizierter ist die Berechnung der Richtung des gebrochenen Strahls. ussen wir uns an das Snelliussche Brechungsgesetz erinnern: Zun¨ achst m¨ n1 sin α1 = n2 sin α2 .

(3.6)

Dabei sind n1 und n2 die Brechungsindizes im Bereich des einfallenden bzw. gebrochenen Lichtrahls. Aus Symmetriegr¨ unden muss der gebrochene Lichtstrahl in der Ebene verlaufen, die durch den eingehenden Lichtstrahl und den Normalenvektor der Ebene aufgespannt wird: x = λ1 x + λ2 n .

(3.7)

Da die in (3.6) auftretenden Terme sin α1 und sin α2 schwer zu bestimmen sind, quadrieren wir die gesamte Gleichung, dr¨ ucken die sin2 -Terme durch den Kosinus aus und schreiben cos α0 = xt n cos α1 = xt n .

(3.8) (3.9)

Wir m¨ ussen nun die zwei Faktoren λ1 und λ2 in (3.7) so berechnen, dass das Snelliussche Brechungsgesetz (3.6) erf¨ ullt ist: sin2 α1 1 − cos2 α1 = 2 1 − cos2 α2 sin α2 1 − (xn)2 = = 1 − (x n)2

(3.10)

n2 n1

2 .

(3.11)

Dabei haben wir vorausgesetzt, dass alle Richtungsvektoren normiert sind, was zu der zus¨ atzlichen Bedingung λ21 + λ22 + 2λ1 λ2 xt n = 1

(3.12)

f¨ uhrt. Setzen wir in (3.11) die Zerlegung (3.7), so k¨onnen wir die entstehenden Terme mit λ1 unter Verwendung der Normierungsbedingung (3.12) eliminieren und erhalten n1 . (3.13) λ1 = n2 Die negative L¨ osung λ1 = −n1 /n2 k¨ onnen wir ausschließen, da der gesuchte Richtungsvektor in Richtung des Normalenvektors zeigen muss. Setzen wir

3.3 Brechung und Reﬂektion von Licht

103

diesen Ausdruck f¨ ur λ1 in (3.12) ein und ber¨ ucksichtigen, dass auch λ2 positiv sein muss (siehe Abb. 3.1), so erh¨ alt man (3.14) λ2 = 1 − λ1 (1 − ξ 2 ) − ξλ1 . Dabei haben wir die Abk¨ urzung ξ = nxt

(3.15)

eingef¨ uhrt. Wenn wir den Ausdruck f¨ ur λ2 betrachten, stellen wir fest, dass dieser nicht notwendigerweise reell ist – und nur reellwertige Koeﬃzienten λ1 und λ2 geben einen physikalisch sinnvollen Richtungsvektor. Wenn eine solches reelles λ2 nicht existiert, wenn also 1 − λ1 (1 − ξ 2 ) < 0 n2 sin α12 > n1

(3.16) (3.17)

ist, tritt Totalreﬂektion ein, d.h. das gesamte Licht wird an der Grenzﬂ¨ache reﬂektiert und kein Licht wird in das andere Medium gebrochen. Bei gen¨ ugend streifendem Einfall wird also jede Grenzﬂ¨ ache zwischen zwei Medien aus der Richtung des optisch dichteren Mediums (das Material mit dem gr¨oßerem Brechungsindex) totalreﬂektierend – eine Tatsache, die man in Glasfasern ausnutzt, um den Lichtstrahl in denselben zu halten. Abschließend wollen wir uns noch der Frage zuwenden, welche Intensit¨aten der reﬂektierte und der gebrochene Strahl haben – eine Frage, die durch die Fresnelschen Formeln (von denen wir hier nur einen Teil ben¨otigen) beantwortet wird: sin2 (α1 − α2 ) sin2 (α1 + α2 ) tan2 (α1 − α2 ) R⊥ = . tan2 (α1 + α2 ) R =

(3.18) (3.19)

Der hier angegebene Reﬂektionskoeﬃzient R = I2 /I0 h¨angt von der Polarisationsebene des Lichts ab: Bei Polarisation in der durch Einfallsrichtung und Normalenvektor deﬁnierten Ebene gilt (3.18), in der dazu senkrechten Ebene gilt (3.19). Zum Abschluss dieses Abschnitts implementieren wir dessen Inhalt in einem Unterprogramm, das ein wichtiger Bestandteil aller Programme zum Bereich Strahlenoptik sein wird – es ist daher das Einfachste, diesen Teil separat zu kompilieren und bei den folgenden Programmen hinzuzulinken: 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: refract.cpp * * Zweck: Unterprogramm zur Berechnung des gebrochenen und * * reflektierten Strahls * * Gleichung: Snelliussches Brechungsgesetz *

104 6

3 Optik **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12

int refract(double x_t, double y_t, double z_t, double n_x, double n_y, double n_z, double* xs_t, double* ys_t, double* zs_t, double* xss_t, double* yss_t, double* zss_t, double I, double* Is, double* Iss, double n_0, double n_1)

13 14 15

{ double norm, xi, xi2, lambda_1, lambda_2, alpha_1, alpha_2, R_1, R_2;

16 17

// Berechnung der Richtung des reflektierten Strahls

18 19 20 21 22 23 24 25 26

xi = x_t*n_x + y_t*n_y + z_t*n_z; *xs_t = x_t - 2.*xi* n_x; *ys_t = y_t - 2.*xi* n_y; *zs_t = z_t - 2.*xi* n_z; norm = 1. / sqrt( sqr(*xs_t)+sqr(*ys_t)+sqr(*zs_t) ); *xs_t = *xs_t * norm; *ys_t = *ys_t * norm; *zs_t = *zs_t * norm;

27 28 29

// Berechnung der Richtung des gebrochenen Strahls xi2 = sqr(xi);

30 31 32

lambda_1 = n_0 / n_1; lambda_2 = sqrt( 1. - lambda_1*(1.-xi2) ) - xi*lambda_1;

33 34 35 36 37 38 39 40

*xss_t *yss_t *zss_t norm = *xss_t *yss_t *zss_t

= lambda_1 = lambda_1 = lambda_1 1. / sqrt( = *xss_t * = *yss_t * = *zss_t *

* x_t + lambda_2 * n_x; * y_t + lambda_2 * n_y; * z_t + lambda_2 * n_z; sqr(*xss_t)+sqr(*yss_t)+sqr(*zss_t) ); norm; norm; norm;

41 42 43 44 45 46

// Berechnung der Intensitaeten alpha_1 = acos(xi); alpha_2 = acos(*xss_t*n_x + *yss_t*n_y + *zss_t*n_z); R_1 = sqr(sin(alpha_1-alpha_2)/sin(alpha_1+alpha_2)); R_2 = sqr(tan(alpha_1-alpha_2)/tan(alpha_1+alpha_2));

47 48 49

*Is = 0.5 * I * (R_1+R_2); *Iss = I - *Is;

50 51 52

return 1; }

Zu beachten ist, dass dieses Programm normierte Richtungsvektoren als Eingabeparameter voraussetzt und auch normierte Richtungsvektoren f¨ ur den refelektierten und den gebrochenen Strahl liefert (siehe Zeile 20–26 und 37– 47). Auch dass der Richtungsvektor des einfallenden Strahls und der Normalenvektor der Grenzﬂ¨ ache nicht in entgegengesetzte Richtung zeigen, muss man beim Aufruf von refract sicherstellen, da eine entsprechende Korrektur in der Routine selbst nicht vorgenommen wird. Der R¨ uckgabewert von refract ist im Fall von Totalreﬂektion null und ansonsten eins.

3.4 Brechung an einer Linsenﬂ¨ ache

105

Der Einfachheit halber haben wir angenommen, dass das einfallende Licht unpolarisiert ist, so dass wir f¨ ur den Reﬂektionskoeﬃzienten den Mittelwert der beiden Werte aus den Fresnelschen Formeln nehmen konnten. Beachten Sie, dass selbst unter dieser Annahme der reﬂektierte und gebrochene Strahl teilweise polarisiert sind, so dass die sukzessive Anwendung von refract eigentlich nicht korrekt ist – ein Detail, das wir im Folgenden unber¨ ucksichtigt lassen werden. Die Korrektur dieser Ungenauigkeit w¨are nicht schwierig – sie erfordert lediglich eine Auftrennung in die beiden Polarisationsebenen – f¨ uhrt jedoch zu l¨angeren und un¨ ubersichtlicheren Programmen, so dass wir in diesem Rahmen darauf verzichtet haben. Der Leser, der jedoch ein vertieftes Interesse an der Optik hat, sollte diese L¨ ucke durch eine entsprechende Erweiterung des Programms durchf¨ uhren.

3.4 Brechung an einer Linsenﬂ¨ ache Nachdem wir im vorangegangenen Abschnitt die Grundlagen von Reﬂektion und Brechung besprochen haben, k¨ onnen wir diese jetzt benutzen, um die Brechung von Licht an einer Linsenoberﬂ¨ ache zu berechnen. Wir beschr¨anken uns dabei auf Grenzﬂ¨ achen, die Teile von Kugeln sind – diese Bedingung ist bei den meisten Linsenoberﬂ¨ achen erf¨ ullt, da diese sph¨ arischen Linsen einfacher und damit billiger herzustellen sind als die sogenannten asph¨ arischen Linsen. Sie k¨ onnen die im Folgenden verwendeten Bezeichnungen Abb. 3.2 entnehmen, wobei wir – im Vorgriﬀ auf die folgenden Abschnitte – uns dabei nicht auf eine einzelne Linsenoberﬂ¨ ache beschr¨ ankt haben, sondern eine komplette Linse mit einem Objektpunkt und dem dazugeh¨origen Bildpunkt betrachten. Die Linse hat zwei Linsenﬂ¨ achen – alle Gr¨ oßen, die zur linken Linsenoberﬂ¨ ache geh¨ oren tragen den Index 1, w¨ ahrend die entsprechenden Gr¨oßen zur rechten Linsenﬂ¨ ache am Index 2 erkennbar sind. Die Position der Linsenﬂ¨ ache auf der optischen Achse (die in z-Richtung orientiert ist) kennzeichnen wir durch deren Scheitelpunkt z1 bzw. z2 . Die Kr¨ ummung der Linsenﬂ¨achen wird durch den Radien r1 und r2 beschrieben. Den Linsendurchmesser – der f¨ ur beide Linsenﬂ¨ achen im Normalfall identisch sein muss – schließlich bezeichnen wir mit 2R. Die Position des Objekt- sowie des Bildpunkts (die wir

Abb. 3.2. Schematischer Aufbau einer Linse inklusive einem Objektpunkt (links im Bild) und dem dazugeh¨ origen Bildpunkt (rechts)

106

3 Optik

allerdings erst in den sp¨ ateren Abschnitten ben¨otigen) charakterisieren wir durch ihre Lage auf der optischen Achse z0 bzw. z0 sowie ihre Objekth¨ohe l bzw. (d.h. den Abstand von der optischen Achse). Bevor wir in die Rechnung einsteigen, wollen wir Ihnen noch einen kur¨ zen Uberblick u ¨ber die Vorgehensweise zur Konstruktion des Strahlengangs geben: –

Wir beginnen mit einem Strahl, der durch einen Punkt und durch einen Richtungsvektor gegeben ist, – dann berechnen wir den ersten Schnittpunkt mit der Linsenoberﬂ¨ache und den Normalenvektor in diesem Punkt, – anschließend verwenden wir die Routine des vorigen Abschnitts um die Richtung des gebrochenen und/oder des reﬂektierten Strahls zu berechnen. Beginnen wir also mit der Berechnung des Schnittpunktes von Linsenoberf¨ ache und einfallendem Lichstrahl. Die Linsenoberﬂ¨ache wird durch x2 + y 2 + (z − zc )2 = r2

(3.20)

beschrieben, wobei zc die z-Koordinate des Kugelmittelpunktes und r der Kugelradius ist. Der Lichtstrahl hingegen durchl¨auft alle Punkte entlang der Bahn (3.21) x = x0 + µxt . Setzen wir dies in (3.20) ein, erhalten wir eine quadratische Bestimmungsgleichung f¨ ur µ und damit Kandidaten f¨ ur potentielle Punkte, bei denen der Lichtstrahl in die Linse eindringt: (x0 + µxt )2 + (y0 + µyt )2 + (z0 + µzt − zc )2 = r2 .

(3.22)

Wir multiplizieren aus, fassen die Terme gleicher Ordnung in µ zusammen und erhalten so eine quadratische Gleichung in der Standardform µ2 + 2aµ + b = 0

(3.23)

mit a = x0 xt + y0 yt + (z0 − zc )zt b=

x20

+

y02

+

z02

+

zc2

(3.24)

− 2z0 zc − r . 2

(3.25)

Hat diese quadratische Gleichung keine L¨ osung, verfehlt der Lichtstrahl die Linse, aber auch wenn es eine reelle L¨ osung gibt, ist nicht gesagt, dass der Lichtstrahl tats¨ achlich die Linse triﬀt – dazu m¨ ussen noch zwei weitere Bedingungen erf¨ ullt sein: –

Das gefundene µ muss positiv sein, ansonsten hat der Lichtstrahl n¨amlich die Linse verlassen, bevor er unseren Objektpunkt durchlaufen hat.

3.4 Brechung an einer Linsenﬂ¨ ache

–

107

Der Auftreﬀpunkt muss zwischen dem linken (zl ) und dem rechten Rand der Linse (zr ) liegen. Die L¨ osung der quadratischen Gleichung (3.23) lautet: µ1,2 = −a ± a2 − b .

(3.26)

onnen wir entscheiden, ob u Durch Betrachten der Determinante a2 − b k¨ ¨berhaupt reelle L¨ osungen existieren, und wenn ja, entscheiden wir anhand der beiden gewonnenen L¨ osungen, welche davon die relavante ist. Den so gewonnenen Eintrittspunkt bezeichnen wir im Weiteren mit x1 = (x1 , y1 , z1 ). Um dies zu u ufen, bauen wir das daraus resultierende Unterpro¨berpr¨ gramm gleich in ein kleines Testprogramm ein: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: strahl1.cpp * * Zweck: Brechung an einer Linsenoberflaeche * * Gleichung: Snelliussches Brechungsgesetz * * Methode: Konstruktion von Lichtstrahlen * **************************************************************************/

7 8 9 10 11

#include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

12 13

using namespace std;

14 15

#include "refract.cpp"

16 17

//-------------------------------------------------------------------------

18 19 20 21 22 23

int hit(double x_0, double y_0, double z_0, double x_t, double y_t, double z_t, double* x_1, double* y_1, double* z_1, double* n_x, double* n_y, double* n_z, double r, double z_l, double z_r, double z_c)

24 25 26 27 28

{ double t_1, t_2, a, b, d, diskri; int ret_val;

29 30

ret_val = 0;

31 32 33

a = x_0*x_t + y_0*y_t + (z_0-z_c)*z_t; b = sqr(x_0) + sqr(y_0) + sqr(z_0) + sqr(z_c) - 2*z_0*z_c - sqr(r);

34 35 36

diskri = sqr(a) - b; if (diskri < 0) return 0;

37 38 39

t_1 = -a + sqrt(diskri); t_2 = -a - sqrt(diskri);

40 41 42 43

if (t_2 > 0) { *z_1 = z_0 + t_2 * z_t;

108

3 Optik if ((*z_1 >= z_l) && (*z_1 <= z_r)) { ret_val = 1; *x_1 = x_0 + t_2 * x_t; *y_1 = y_0 + t_2 * y_t; } else return 0; } else if (t_1 > 0) { *z_1 = z_0 + t_1 * z_t; if ((*z_1 > z_l) && (*z_1 < z_r)) { ret_val = 1; *x_1 = x_0 + t_1 * x_t; *y_1 = y_0 + t_1 * y_t; } else return 0; } else return 0;

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

d = sqrt(sqr(*x_1) + sqr(*y_1) + sqr(z_c-*z_1));

65 66

*n_x = -*x_1 / d; *n_y = -*y_1 / d; *n_z = (z_c - *z_1) / d;

67 68 69 70

if (r < 0) { *n_x = -*n_x; *n_y = -*n_y; *n_z = -*n_z; }

71 72 73 74 75 76 77

return ret_val;

78 79

}

80 81

//-------------------------------------------------------------------------

82 83

int main( int argc, char *argv[] )

84 85 86 87 88 89 90 91

{ int n, hit_result; double x0, y0, z0, x1, y1, z1, xs_t, ys_t, zs_t, xss_t, yss_t, zss_t; double Is, Iss, z_l, z_r, z_c, z_1, R, n_x, n_y, n_z, r1, length; double n0, n1, phi_start, phi_end; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

92 93 94 95 96 97 98

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: strahl1 infile outfile\n"; return 0; }

99 100 101 102

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]);

3.4 Brechung an einer Linsenﬂ¨ ache 103 104 105 106 107

109

out_stream << "! GLE-Datei generiert von strahl1.cpp\n"; inout(z_1,"z_1"); inout(R,"R"); inout(r1,"r1"); inout(n0,"n0"); inout(n1,"n1"); in_stream.close();

108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

if (r1 > 0) { z_l = z_1; z_c = z_l + z_r = z_c phi_start = phi_end = } else { z_r = z_1; z_c = z_r + z_l = z_c phi_start = phi_end = }

r1; r1 * cos(asin(R/r1)); 180 * acos((z_r-z_c)/r1)/pi; 180 * (2*pi-acos((z_r-z_c)/r1))/pi;

r1; r1 * cos(asin(R/r1)); -180 * acos(-(z_l-z_c)/r1)/pi; +180 * acos(-(z_l-z_c)/r1)/pi;

125 126

y0 = 0;

z0 = 0;

127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153

out_stream out_stream out_stream out_stream out_stream

<< "size 22*0.2 10*0.5\n"; << "set lwidth 0.1\n"; << "begin scale 0.2 0.2\n"; << "amove " << 1+z_c << " " << 12 << "\n"; << "arc " << fabs(r1) << " " << phi_start << " " << phi_end << "\n"; for (n = -10; n <= 10; n++) { x0 = n; out_stream << "amove 1 " << x0+12 << "\n"; hit_result = hit(x0,y0,z0,0,0,1,&x1,&y1,&z1,&n_x,&n_y, &n_z,r1,z_l,z_r,z_c); if (hit_result == 1) { refract(0,0,1,n_x,n_y,n_z,&xs_t,&ys_t,&zs_t,&xss_t, &yss_t,&zss_t,1,&Is,&Iss,n0,n1); length = min( (20-z1) / zss_t, fabs((fabs(x1)+10)/xss_t) ); out_stream << "aline " << z1+1 << " " << x1+12 << "\n"; out_stream << "rline " << length*zss_t << " " << length*xss_t << "\n"; } else out_stream << "rline 20 0\n"; } out_stream << "end scale\n"; out_stream.close(); }

Zun¨ achst eine Bemerkung zur Funktion hit, die den Auftreﬀpunkt auf die Linsenoberﬂ¨ ache und den zugeh¨ origen Normalenvektor berechnet. Die Funktion ist eins, wenn die Oberﬂ¨ ache getroﬀen wird und ansonsten null. Wenn sie den Wert eins hat liefert sie in den Variablen x 1, y 1 und z 1 die Koordinaten des Auftreﬀpunktes und in den Variablen n x bis n z die Komponenten des Normalenvektors, der bereits in Richtung des einfallenden

110

3 Optik

Lichtstrahls normiert ist (Zeile 67–76). Da wir uns an dieser Stelle lediglich f¨ ur den geometrischen Aspekt der Strahlverl¨ aufe interessieren, sind die Intensit¨aten irrelevant. Das Testprogramm berechnet die Strahlverl¨aufe f¨ ur einen Satz parallel einlaufender Strahlen und schreibt die Ergebnisse in ein GLEFile strahl1.gle, so dass wir uns diese Strahlverl¨aufe direkt anschauen und entscheiden k¨ onnen, ob wir mit dem Ergebnis zufrieden sind. Typische Bilder ur n0 < n1 bzw n0 > n1 sehen etwa so aus: f¨

¨ Abb. 3.3. Strahlverlauf beim Ubergang vom optisch d¨ unneren ins optisch dichtere Medium (a) und umgekehrt (b)

Nachdem wir uns davon u ¨berzeugt haben, dass die Unterprogramme refract und hit funktionieren und vern¨ unftige Ergebnisse liefern, ist der n¨achste Schritt verh¨ altnism¨ aßig einfach: wir m¨ ussen nach dem Eintritt in die Linse noch den Austritt aus der Linse berechnen, wozu wir – abgesehen von Deklaration und Einlesen einiger neuer Parameter – nur den letzten Teil des Programms ¨ andern m¨ ussen: ... 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162

out_stream out_stream out_stream out_stream out_stream

<< << << << << << out_stream << out_stream << <<

"size 27*0.2 10*0.5\n"; "set lwidth 0.1\n"; "begin scale 0.2 0.2\n"; "amove " << 1+z1_c << " " "arc " << fabs(r1) << " " " " << phi1_end << "\n"; "amove " << 1+z2_c << " " "arc " << fabs(r2) << " " " " << phi2_end << "\n";

<< 12 << "\n"; << phi1_start << 12 << "\n"; << phi2_start

163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176

for (n = -10; n <= 10; n++) { x0 = n+0.01; out_stream << "amove 1 " << x0+12 << "\n"; hit_result = hit(x0,y0,z0,0,0,1,&xa,&ya,&za,&n_x,&n_y, &n_z,r1,z1_l,z1_r,z1_c); if (hit_result == 1) { refr_result = refract(x_t,y_t,z_t,n_x,n_y,n_z, &dummy_1,&dummy_2,&dummy_3, &xs_t,&ys_t,&zs_t,1.,&dummy_4,&Is,n0,n1); hit_result = hit(xa,ya,za,xs_t,ys_t,zs_t,&xb,&yb,&zb,&n_x,&n_y,&n_z, r2,z2_l,z2_r,z2_c);

3.5 Bild durch eine Linse – Linsenfehler

111

refr_result = refract(xs_t,ys_t,zs_t,n_x,n_y,n_z, &dummy_1,&dummy_2,&dummy_3, &xss_t,&yss_t,&zss_t,Is,&dummy_4,&Iss,n1,n0); out_stream << "aline " << za+1 << " " << xa+12 << "\n"; out_stream << "aline " << zb+1 << " " << xb+12 << "\n"; length = min( (25-zb) / zss_t, fabs((fabs(xb)+10)/xss_t) ); out_stream << "rline " << length*zss_t << " " << length*xss_t << "\n"; } else out_stream << "rline 25 0\n";

177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187

} out_stream << "end scale\n"; out_stream.close();

188 189 190 191 192

}

Das ge¨ anderte Programm ﬁnden Sie als strahl2.cpp bzw. strahl2.f auf der CD-ROM. Mit dessen Hilfe erhalten wir nun den typischen Strahlengang durch eine Linse in Abb. 3.4:

Abb. 3.4. Strahlverlauf beim Durchgang durch eine sph¨ arische Linse

Bei genauem Hinsehen stellen Sie fest, dass sich die Strahlen nicht alle in einem Punkt – dem Brennpunkt – kreuzen, wie dies f¨ ur eine perfekte Linse der Fall sein sollte. Vielmehr schneiden die achsfernen Strahlen die optische Achse n¨ aher an der Linse als dies bei den achsnahen Strahlen der Fall ist. Dieser Linsenfehler r¨ uhrt daher, dass die Linsenoberﬂ¨ achen Sph¨aren – also Teile von Kugeln – sind, was nicht der idealen Oberﬂ¨ achenform entspricht. Aus diesem Grund bezeichnet man diesen Linsenfehler als sph¨arische Aberration.

3.5 Bild durch eine Linse – Linsenfehler Nach diesem Testprogramm k¨ onnen wir davon ausgehen, dass das Unterprogramm refract korrekte Ergebnisse liefert. Dieses werden wir f¨ ur unsere n¨ achste Aufgabe – der Konstruktion des Bildes eines Objektpunkts in endlicher Entfernung von der Linse – weiterverwenden. Bevor wir uns dem Umbau unseres bisherigen Programms zuwenden k¨ onnen, m¨ ussen wir uns zun¨achst u at an einem Punkt in der Bildebene zustande ¨berlegen, wie die Lichtintensit¨ kommt und wie sie demzufolge zu berechnen ist

112

3 Optik

In der Strahlenoptik sendet die Lichtquelle Licht in den Raum hinaus, wobei bei einer isoptropen Lichtquelle die Intensit¨at des ausgestrahlten Lichts unabh¨ angig von der Richtung ist. In diesem Falle ist der Energieﬂuss in einen Raumwinkel dΩ = sin(θ)dθdφ proportional zum Raumwinkel selbst. Im freien Raum ist der Strahlverlauf aller Strahlen in einem solchen Raumwinkel sehr einfach und man erkennt sofort, dass die Fl¨ache, die dieses Raumwinache im Abstand r ausschneidet, proportional kelelement aus einer Kugelﬂ¨ zu r2 ist. Auf diese Fl¨ ache verteilt sich nun die Energie, die von der Lichtquelle ausgestrahlt wurde, was bedeutet, dass die Intensit¨at einer Lichtquelle proportional zum Quadrat des Abstands von ihr abnimmt. Eine optische Vorrichtung wie z.B. eine Linse ver¨ andert nun den weiteren Strahlverlauf und f¨ uhrt dazu, dass die Fl¨ ache auf der Bildebene, auf der sich das Winkelelement verteilt, eine v¨ ollig andere ist. Was m¨ ussen wir also tun, um die Intensit¨ at an einem bestimmten Punkt (x1 ,y1 ) in der Bildebene zu bestimmen? Eine einfache M¨oglichkeit ist es, eine Reihe von Lichtstrahlen, die vom Punkt in der Objektebene ausgehen, zu betrachten und ihren Strahlverlauf zu berechnen. Jeder dieser Lichtstrahlen tr¨ agt zur Intensit¨ atsverteilung in der Bildebene bei, und entsprechend summieren wir diese Einzelintensit¨ aten auf: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: strahl3.cpp * * Zweck: Brechung an zwei Linsenoberflaechen * * Gleichung: Snelliussches Brechungsgesetz * * Methode: Konstruktion von Lichtstrahlen * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

13 14

using namespace std;

15 16

//-- globale Variablen

17 18

double r1, r2, n0, n1, z1_l, z1_r, z1_c, z2_l, z2_r, z2_c, Iss;

19 20

#include "refract.cpp"

21 22

//-------------------------------------------------------------------------

23 24 25 26 27 28

int hit(double x_0, double y_0, double z_0, double r_x, double r_y, double r_z, double* x_1, double* y_1, double* z_1, double* n_x, double* n_y, double* n_z, double r, double z_l, double z_r, double z_c)

29 30 31 32 33

{ int hit_result; double t_1, t_2, a, b, diskri, xi, d;

3.5 Bild durch eine Linse – Linsenfehler 34

113

hit_result = 0;

35 36 37

a = x_0*r_x + y_0*r_y + (z_0-z_c)*r_z; b = sqr(x_0) + sqr(y_0) + sqr(z_0) + sqr(z_c) - 2*z_0*z_c - sqr(r);

38 39 40

diskri = sqr(a) - b; if (diskri < 0) return 0;

41 42 43

t_1 = -a + sqrt(diskri); t_2 = -a - sqrt(diskri);

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

if (t_2 > 0) { *z_1 = z_0 + t_2 * r_z; if ((*z_1 >= z_l) && (*z_1 <= z_r)) { hit_result = 1; *x_1 = x_0 + t_2 * r_x; *y_1 = y_0 + t_2 * r_y; } else return 0; } else if (t_1 > 0) { *z_1 = z_0 + t_1 * r_z; if ((*z_1 >= z_l) && (*z_1 <= z_r)) { hit_result = 1; *x_1 = x_0 + t_1 * r_x; *y_1 = y_0 + t_1 * r_y; } else return 0; } else return 0;

69

d = sqrt(sqr(*x_1) + sqr(*y_1) + sqr(z_c-*z_1));

70 71

*n_x = -*x_1 / d; *n_y = -*y_1 / d; *n_z = (z_c - *z_1) / d;

72 73 74 75

xi = (*n_x)*r_x + (*n_y)*r_y + (*n_z)*r_z; if (xi < 0) { *n_x = -(*n_x); *n_y = -(*n_y); *n_z = -(*n_z); }

76 77 78 79 80 81 82 83

return hit_result;

84 85

}

86 87

//-------------------------------------------------------------------------

88 89

int main( int argc, char *argv[] )

90 91 92

{ double x0, y0, z0, z1, x_t, y_t, z_t, z1_1, z2_1, R, Is, Iss, I_max, I;

114 93 94 95 96 97 98 99 100

3 Optik double xs_t, ys_t, zs_t, x1s, y1s, xss_t, yss_t, zss_t; double dummy_1, dummy_2, dummy_3, dummy_4, n_x, n_y, n_z; double theta, theta_max, dtheta, phi, phi_max, dphi; double xmin, xmax, dx, ymin, ymax, dy, xa, ya, za, xb, yb, zb, t; ifstream in_stream; ofstream out_stream; int hit_result, refr_result, nx, nx_max, ny, ny_max; int n_phi, n_phi_max, n_theta, n_theta_max;

101 102 103 104 105 106 107

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: strahl3 infile outfile\n"; exit(1); }

108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124

in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von strahl3.cpp\n"; inout(z1_1,"z1_1"); inout(r1,"r1"); inout(z2_1,"z2_1"); inout(r2,"r2"); inout(R,"R"); inout(n0,"n0"); inout(n1,"n1"); inout(xmin,"xmin"); inout(xmax,"xmax"); inout(ymin,"ymin"); inout(ymax,"ymax"); inout(nx_max,"nx_max"); inout(ny_max,"ny_max"); inout(phi_max,"phi_max"); inout(theta_max,"theta_max"); inout(n_phi_max,"n_phi_max"); inout(n_theta_max,"n_theta_max"); inout(x0,"x0"); inout(y0,"y0"); inout(z0,"z0"); inout(z1,"z1"); out_stream << "! Spalte 1: x Spalte 2: y Spalte 3: I(x,y)\n"; in_stream.close();

125 126

gsl_matrix *I_ges = gsl_matrix_alloc(nx_max,ny_max);

127 128 129

dx = (xmax-xmin) / nx_max; dy = (ymax-ymin) / ny_max;

130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter dphi = phi_max / n_phi_max; dtheta = (theta_max-pi/2.) / n_theta_max; if (r1 > 0) { z1_l = z1_1; z1_c = z1_l + r1; z1_r = z1_c - r1 * cos(asin(R/r1)); } else { z1_r = z1_1; z1_c = z1_r + r1; z1_l = z1_c - r1 * cos(asin(R/r1)); }

146 147 148 149 150 151

if (r2 { z2_l z2_c z2_r

> 0) = z2_1; = z2_l + r2; = z2_c - r2 * cos(asin(R/r2));

3.5 Bild durch eine Linse – Linsenfehler 152 153 154 155 156 157 158

115

} else { z2_r = z2_1; z2_c = z2_r + r2; z2_l = z2_c - r2 * cos(asin(R/r2)); }

159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191

//-- Intensitaeten in der Bildebene bestimmen for (n_phi = -n_phi_max; n_phi<=n_phi_max; n_phi++) { if ((n_phi % 100) == 0) cout << n_phi << " von " << n_phi_max << "\n"; for (n_theta = -n_theta_max; n_theta<=n_theta_max; n_theta++) { phi = n_phi * dphi; theta = n_theta * dtheta + pi/2.; I = cos(theta); x_t = cos(phi) * cos(theta); y_t = sin(phi) * cos(theta); z_t = sin(theta); hit_result = hit(x0,y0,z0,x_t,y_t,z_t,&xa,&ya,&za, &n_x,&n_y,&n_z,r1,z1_l,z1_r,z1_c); if (hit_result == 1) { refr_result = refract(x_t,y_t,z_t,n_x,n_y,n_z,&dummy_1,&dummy_2, &dummy_3,&xs_t,&ys_t,&zs_t,1.,&dummy_4,&Is,n0,n1); hit_result = hit(xa,ya,za,xs_t,ys_t,zs_t,&xb,&yb,&zb, &n_x,&n_y,&n_z,r2,z2_l,z2_r,z2_c); refr_result = refract(xs_t,ys_t,zs_t,n_x,n_y,n_z,&dummy_1,&dummy_2, &dummy_3,&xss_t,&yss_t,&zss_t,Is,&dummy_4,&Iss,n1,n0); t = (z1-zb) / zss_t; x1s = xb + t * xss_t; y1s = yb + t * yss_t; nx = int((x1s-xmin)/dx); ny = int((y1s-ymin)/dy); if ((nx>=0) && (nx=0) && (ny
192 193 194 195 196 197 198 199 200 201

//-- Intensitaeten in der Bildebene abspeichern und Maximum bestimmen I_max = 0; for (nx = 0; nx I_max) I_max = I; }

202 203 204 205

out_stream << "! Max. Intensity = " << I_max <<"\n"; out_stream.close(); }

Die beiden Unterprogramme refract und hit konnten wir unge¨andert u bernehmen, so dass wir diese nicht erneut besprechen m¨ ussen. Der Rest des ¨ Programms ist verh¨ altnism¨ aßig einfach: eine große Zahl von Strahlen wird

116

3 Optik

ausgehend vom Objektpunkt verfolgt und tr¨ agt zur Intensit¨atsverteilung in der Bildebene bei. Um Abb. 3.5 zu erzeugen haben wir Parameter gew¨ahlt, die f¨ ur eine gute Abbildungsleistung ziemlich ung¨ unstig sind: – einen kleinen Abstand des Objektes von der Linse, – eine große Linse, – einen Objektpunkt weit weg von der optischen Achse.

Abb. 3.5. Intensit¨ atsverteilung in der Bildebene durch den Linsenfehler Koma. Die Intensit¨ at des korrekten Lichtpunktes (rechts im Bild) wurde reduziert, um den Linsenfehler deutlicher hervortreten zu lassen

Sie sehen, dass ein Lichtpunkt – wie erwartet – durch die Linsenfehler nicht auf einen Punkt in der Bildebene abgebildet wird. Hingegen ist vielleicht die Tatsache u ¨berraschend, dass wir nicht einfach einen diﬀusen Fleck ¨ erhalten, sondern ein Gebilde, das durchaus eine gewisse Asthetik ausstrahlt. Der Hauptteil des Lichtes konzentriert sich in dem Lichtpunkt auf der rechten Seite, das Streulicht verteilt sich in dem ’Schweif’ nach links, wobei hier insbesondere der begrenzende Rand ganz links und der Punkt genau in der Mitte ausgeleuchtet wird. Dieser Linsenfehler kommt vor allem daher, dass unser Objektpunkt sehr weit von der optischen Achse entfernt gew¨ahlt wurde und dass wir eine große Linse betrachten. Aufgrund seiner optischen Erscheinung wird dieser Linsenfehler Koma genannt. Andere Linsenfehler lassen sich mit ¨ dem Programm durch Variation der Parameter (siehe Ubungsaufgabe 3.1) erzeugen.

3.6 Entstehung eines Regenbogens Die vielleicht eindrucksvollste Demonstration der spektralen Zerlegung von weißem Licht in der Natur ist der Regenbogen. Man sieht ihn, wenn hinter

3.6 Entstehung eines Regenbogens

117

einem die Sonne scheint und es gleichzeitig vor einem regnet. Unter besonders g¨ unstigen Bedingungen sieht man sogar zwei Regenb¨ogen, wobei der acher ist und die Reihenfolge der Spektralfarben gegen¨ uber dem ¨außere schw¨ achst qualitativ erkl¨aren, wie es ¨außeren invertiert ist. Hier wollen wir zun¨ zum Regenbogen kommt, und dann das Problem numerisch angehen, wobei die entstehende Theorie in der Lage sein sollte, sowohl die Existenz mehogen zu erkl¨ aren als auch Gr¨ oße und Reihenfolge der Farben rerer Regenb¨ vorherzusagen. 3.6.1 Qualitative Erkl¨ arung des Regenbogens Das Licht, das von der Sonne die Erde erreicht, triﬀt auf einen Regentropfen, den wir zun¨ achst einmal kugelf¨ ormig annehmen. Am Auftrittspunkt A (siehe Abb 3.6) an der Grenzﬂ¨ ache Luft–Wasser wird ein Teil dieses Lichts reﬂektiert, w¨ ahrend der Rest in den Wassertropfen eintritt. Dieser Rest triﬀt nach Durchqueren des Wassertropfens bei B auf die Grenzﬂ¨ache Wasser–Luft, wo wieder ein Teil austritt, w¨ ahrend der Rest reﬂektiert wird und also im Wassertropfen verbleibt und ihn abermals durchquert. Danach tritt bei C wiederum ein Teil aus, w¨ ahrend der u ¨brige Teil reﬂektiert wird – und immer so weiter.

Abb. 3.6. Strahlverlauf beim Durchgang durch einen Wassertropfen. Dargestellt ist der Strahlverlauf, der f¨ ur den Hauptregenbogen verantwortlich ist

Es gibt also eine Vielzahl m¨ oglicher Wege, die zum einen durch die Zahl der Reﬂektionen an der Grenzschicht Wasser–Luft gekennzeichnet sind, zum anderen werden diese Wege aber auch von dem Winkel α zwischen der uspr¨ unglichen Richtung des Sonnenstrahls und der Verbindungslinie des Wassermittelpunkts und dem ersten Auftrittspunkt A bestimmt. Interessant ist nun, in welche Richtungen besonders viel Licht vom Regentropfen gestreut wird. Um dies zu verstehen, betrachten wir Abb. 3.7, bei der wir statt einem Lichtstrahl eine ganze Reihe parallel einfallender Lichtstrahlen betrachten, ¨ allerdings haben wir zwecks Ubersichtlichkeit auf den auslaufenden Teil jedes Lichtstrahls nach einer Reﬂektion beschr¨ ankt und alle anderen Teile weggelassen. Wir sehen, dass das ganze Licht mehr oder weniger zur¨ uckgestreut wird, nichts wird in Vorw¨ artsrichtung gestreut. Wir bezeichnen den Winkel

118

3 Optik

Abb. 3.7. Richtung des r¨ uckgestreuten Lichts nach Passieren eines Regentropfens (bei einfacher Reﬂektion im Regentropfen). Der einfallende Lichtstrahl kommt wie in Abb. 3.6 von links

zwischen einfallendem Licht und r¨ uckgestreutem Licht mit α. Dieser variiert zwischen einem minimalen Ablenkungswinkel −αmax und einem Maximum αmax . Wir werden sehen, dass diese Extrema die Richtungen sind, in die besonders viel Licht gestreut wird. Nicht ber¨ ucksichtigen werden wir die Interferenz von Strahlen, die in die gleiche Richtung gestreut werden – ein Eﬀekt, der in der Wirklichkeit zu einer, wenn auch geringen Abh¨angigkeit der genauen Struktur des Regenbogens von der Gr¨ oße der Regentropfen f¨ uhrt. 3.6.2 Quantititave Vor¨ uberlegungen Wie wir den gerade beschriebenen Strahlverl¨ aufen entnehmen, treten nur zwei Elementarprozesse auf: Brechung (jeweils beim Ein- und Austritt) und Reﬂektion. Wenn wir ein Unterprogramm haben, das f¨ ur einen beliebigen Lichtstrahl den n¨achsten Auftreﬀpunkt auf die Grenzﬂ¨ache Wasser–Luft berechnet und sowohl die Intensit¨ at als auch die Richtung des reﬂektierten und des gebrochenen Strahls ausgibt, k¨ onnen wir den gesamten Strahlverlauf durch wiederholte Aufrufe dieses Unterprogramms erhalten. An dieser Stelle wollen wir die urspr¨ ungliche Annahme eines kugelf¨ormigen Wassertropfens durch die vielleicht wirklichkeitsgetreuere Beschreibung durch ein Rotationsellipsoid ersetzen. Wenn wir den Wassertropfen in den Ursprung des Koordinatensystems setzen, wird seine Oberﬂ¨ache durch die Gleichung x2 y2 z2 + + =1 (3.27) a2 a2 b2 beschrieben. Hierbei sind a bzw. b die Radien des Wassertropfens in x- und y- bzw. in z-Richtung. Alternativ k¨ onnen wir auch eine Parameterdarstellung durch zwei Winkel ϑ und φ w¨ ahlen: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x a cos φ sin ϑ ⎝ y ⎠ = ⎝ a sin φ sin ϑ ⎠ . (3.28) z b cos ϑ

3.6 Entstehung eines Regenbogens

Wenn wir den Lichtstrahl in der Parameterdarstellung ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x x0 xt ⎝ y ⎠ = ⎝ y0 ⎠ + α ⎝ yt ⎠ . z z0 zt

119

(3.29)

gegeben haben, erhalten wir eventuelle Schnittpunkte mit der Oberﬂ¨ache des Wassertropfens durch L¨ osen der quadratischen Gleichung (x0 + αxt )2 + (y0 + αyt )2 + β 2 (z0 + αzt )2 = a2 .

(3.30)

Hierbei haben wir den Parameter β = a/b eingef¨ uhrt, der f¨ ur einen kugelf¨ ormigen Wassertropfen den Wert eins annimmt. Diese quadratische Gleichung hat entweder – – –

keine L¨ osung, wenn der Lichtstrahl den Wassertropfen verfehlt, genau eine L¨ osung, wenn der Lichtstrahl den Wassertropfen ber¨ uhrt, oder zwei L¨ osungen, wenn der Lichtstrahl durch den Wassertropfen durchgeht.

Die Situation, die uns im Zusammenhang mit dem Regenbogen nat¨ urlich am meisten interessiert, ist die letztgenannte, bei der der Lichtstrahl eine Chance hat, in den Wassertropfen einzudringen. Wir f¨ uhren die Abk¨ urzungen A = x20 + y02 + β 2 z02 − a2 B = x0 xt + y0 yt + β 2 z0 zt

(3.31) (3.32)

C = x2t + yt2 + β 2 zt2

(3.33)

ein, wonach wir die L¨ osung des quadratischen Gleichungssystems verh¨altnism¨ aßig leicht hinschreiben k¨ onnen: √ B ± B 2 − AC . (3.34) α1,2 = A Nachdem wir den Schnittpunkt des Lichtstrahls mit der Oberﬂ¨ache des Wassertropfens ermittelt haben, ben¨ otigen wir nun den Normalenvektor zu dieser Oberﬂ¨ ache in diesem Punkt. Dazu gehen wir in die Parameterdarstellung (3.28), wo wir durch Diﬀerentiation nach φ bzw. ϑ die (nicht normierten) Tangentialvektoren t1 und t2 an die Wasseroberﬂ¨ache erhalten: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a cos φ sin ϑ a cos φ cos ϑ ∂ ⎝ a sin φ sin ϑ ⎠ = ⎝ a sin φ cos ϑ ⎠ (3.35) t1 = ∂φ b cos ϑ −b sin ϑ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a cos φ sin ϑ −a sin φ sin ϑ ∂ ⎝ a sin φ sin ϑ ⎠ = ⎝ a cos φ sin ϑ ⎠ . t2 = (3.36) ∂ϑ b cos ϑ 0

120

3 Optik

Durch Bildung des Vektorprodukts erhalten wir daraus den gesuchten (immer noch nicht normierten) Normalenvektor: ⎞ ⎛ ab cos φ sin2 ϑ (3.37) n = t1 × t2 = ⎝ ab sin φ sin2 ϑ ⎠ . a2 sin ϑ cos ϑ Der Faktor sin θ ist allen drei Komponenten gemein, so dass wir diesen ohne ¨ Anderung der Richtung des Vektors n streichen k¨onnen, ebenso extrahieren wir den Faktor ab, wonach ⎛ ⎞ x n=⎝ y ⎠ (3.38) βz verbleibt. 3.6.3 Programm zur Berechnung eines Regenbogens ¨ Das Programm, das nun die Quintessenz der vorangegangen Uberlegungen darstellt, ist gar nicht so verschieden von den Programmen zur Berechnung des Strahlengangs durch eine Linse und zur Konstruktion eines Punktes in der Objektebene, wie wir sie im vorhergehenden Abschnitt kennengelernt haben. 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: regen1.cpp * * Zweck: Beschreibung eines Regenbogens * * Gleichung: Snelliussches Brechungsgesetz, Fresnelsche Formeln * * Methode: Konstruktion von Lichtstrahlen * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

13 14

using namespace std;

15 16 17

const int nmax = 10; double r1, r2;

18 19

#include "refract.cpp"

20 21

//-------------------------------------------------------------------------

22 23 24 25 26

int hit(double x_0, double y_0, double z_0, double x_t, double y_t, double z_t, double* x_1, double* y_1, double* z_1, double* n_x, double* n_y, double* n_z)

27 28 29

{ int

hit_result;

3.6 Entstehung eines Regenbogens 30

121

double t_1, t_2, diskri, eps, A, B, C, beta, xi;

31 32 33

hit_result = 0; eps = 1.e-8;

34 35 36 37 38 39

// Berechnung des Eintrittspunktes beta = r2/r1; A = sqr(x_t) + sqr(y_t) + sqr(beta*z_t); B = x_0*x_t + y_0*y_t + sqr(beta)*(z_0*z_t); C = sqr(x_0) + sqr(y_0) + sqr(beta*z_0) - sqr(r1);

40 41 42

diskri = sqr(B) - A*C; if (diskri < 0) return 0;

43 44 45

t_1 = (-B + sqrt(diskri)) / A; t_2 = (-B - sqrt(diskri)) / A;

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

if (t_2 > eps) { hit_result = *x_1 = x_0 + *y_1 = y_0 + *z_1 = z_0 + } else if (t_1 { hit_result *x_1 = x_0 *y_1 = y_0 *z_1 = z_0 } else return

1; t_2 * x_t; t_2 * y_t; t_2 * z_t; > eps) = + + +

1; t_1 * x_t; t_1 * y_t; t_1 * z_t;

0;

62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73

// Berechnung des Normalenvektors *n_x = *x_1; *n_y = *y_1; *n_z = beta * (*z_1); xi = x_t*(*n_x) + y_t*(*n_y) + z_t*(*n_z); if (xi<0) { *n_x = - (*n_x); *n_y = - (*n_y); *n_z = - (*n_z); }

74 75 76

return hit_result; }

77 78

//------------------------------------------------------------------------

79 80

int main( int argc, char *argv[] )

81 82 83 84 85 86 87 88

{ int n_1, n_2, ny, nz, hit_result, n_refl, n_refl_max; int m_1, m_2, my, mz, m1start, m1stop, m2start, m2stop; double Intensity[nmax], Intensity_max, angle_max; double x[nmax], y[nmax], z[nmax], rx[nmax], ry[nmax], rz[nmax]; double y_min, y_max, z_min, z_max, n0, n1, n_x, n_y, n_z; ifstream in_stream;

122 89

3 Optik ofstream out_stream;

90 91 92 93 94 95 96

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: regen1 infile outfile\n"; return 0; }

97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); in_stream >> x[0]; in_stream in_stream >> nz; in_stream in_stream >> y_max; in_stream in_stream >> z_max; in_stream in_stream >> mz; in_stream in_stream >> r1; in_stream in_stream >> n0; in_stream in_stream.close();

>> >> >> >> >> >> >>

ny; y_min; z_min; my; n_refl_max; r2; n1;

109 110 111 112

gsl_matrix *Intensity_result = gsl_matrix_alloc(my, mz); Intensity_max = 0; angle_max = 0;

113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147

for (n_1 = 0; n_1<=ny; n_1++) { if (n_1 % 100 == 0) cout << n_1 << " von " << ny << "\n"; for (n_2 = 0; n_2<=nz; n_2++) { y[0] = y_min + (y_max-y_min) * (n_1) / (ny-1); z[0] = z_min + (z_max-z_min) * (n_2) / (nz-1); Intensity[0] = 1; hit_result = hit(x[0],y[0],z[0],1.,0.,0., &(x[1]),&(y[1]),&(z[1]),&n_x,&n_y,&n_z); if (hit_result == 1) { hit_result = refract(1.,0.,0.,n_x,n_y,n_z, &(rx[1]),&(ry[1]),&(rz[1]), &(rx[2]),&(ry[2]),&(rz[2]), Intensity[0],&(Intensity[1]),&(Intensity[2]),n0,n1); for (n_refl=1; n_refl<=n_refl_max+1; n_refl++) { hit_result = hit(x[n_refl],y[n_refl],z[n_refl], rx[n_refl*2],ry[n_refl*2],rz[n_refl*2],&(x[n_refl+1]), &(y[n_refl+1]),&(z[n_refl+1]),&n_x,&n_y,&n_z); hit_result = refract(rx[n_refl*2],ry[n_refl*2],rz[n_refl*2], n_x,n_y,n_z,&(rx[n_refl*2+2]),&(ry[n_refl*2+2]), &(rz[n_refl*2+2]),&(rx[n_refl*2+1]),&(ry[n_refl*2+1]), &(rz[n_refl*2+1]),Intensity[n_refl*2], &(Intensity[n_refl*2+2]),&(Intensity[n_refl*2+1]),n1,n0); if ((rx[n_refl*2+1]<0) && (n_refl==n_refl_max+1)) //Rueckstreuung { m_1 = int((ry[n_refl*2+1]/2.+0.5)*my); m_2 = int((rz[n_refl*2+1]/2.+0.5)*mz); gsl_matrix_set(Intensity_result,m_1,m_2, gsl_matrix_get(Intensity_result,m_1,m_2) +Intensity[n_refl*2+1]); // Richtung, in welche am meisten Licht gestreut wird if (gsl_matrix_get(Intensity_result,m_1,m_2) > Intensity_max)

3.6 Entstehung eines Regenbogens { Intensity_max = gsl_matrix_get(Intensity_result,m_1,m_2); angle_max = atan( sqrt( sqr(ry[n_refl*2+1]) +sqr(rz[n_refl*2+1]))); }

148 149 150 151 152

}

153

}

154

}

155

}

156 157

123

}

158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171

m1start = int(my*0.1); m1stop = int(my*0.9); m2start = int(mz*0.6); m2stop = int(mz*1.0); for (m_1=m1start; m_1<m1stop; m_1++) for (m_2=m2start; m_2<m2stop; m_2++) { out_stream << (m_1/float(my)-0.5) * 2. << " " << (m_2/float(mz)-0.5) * 2. << " " << gsl_matrix_get(Intensity_result,m_1,m_2) << "\n"; } cout << " Zahl der m_1 : " << m1stop-m1start << "\n"; cout << " Zahl der m_2 : " << m2stop-m2start << "\n"; cout << " Maximale Intensitaet : " << Intensity_max << "\n"; cout << " Winkel maximaler Intensitaet : " << angle_max*180./pi << "\n";

172 173 174 175

out_stream << "! GLE-Eingabe-Datei generiert von regen1.cpp\n"; out_stream.close(); }

Die Funktion hit wurde gem¨ aß (3.31) bis (3.38) an eine ellipsoidf¨ormige Grenzﬂ¨ ache angepasst. Im Hauptprogramm wird mit Hilfe dieser Funktion f¨ ur eine Vielzahl paralleler Lichtstrahlen, die von der Sonne kommen, gepr¨ uft, ob sie den Regentropfen treﬀen. Wenn dies der Fall ist, wird der Weg dieses Lichtstrahles mit n refl max Reﬂektionen innerhalb des Tropfens veruhrung mit der Grenzﬂ¨ache folgt, bis er dann bei der (n refl max+1)-ten Ber¨ Wasser–Luft den Tropfen verl¨ asst. Jeder dieser Strahlen tr¨agt zur Gesamtintensit¨ at bei, weswegen wir ihre jeweiligen Einzelintensit¨aten aufsummieren. Mit der Abfrage in Zeile 139 beschr¨ anken wir uns auf r¨ uckgestreutes Licht (den Regenbogen sehen wir immer nur, wenn wir die Sonne im R¨ ucken haben!) und k¨ onnen uns zus¨ atzlich mit dem zweiten Teil der Bedingung auf Licht beschr¨ anken, das genau n refl max Reﬂektionen im Regentropfen erfahren hat. Diese Einschr¨ ankung ist hilfreich, um den ersten und zweiten Regenbogen getrennt zu untersuchen, da diese stark unterschiedliche Inten¨ sit¨ aten aufweisen (siehe auch Ubungsaufgabe 3.4). Im letzten Teil des Programms erkennen Sie unschwer das Herausschreiben der gefundenen Intensit¨ aten, allerdings nur in einem eingeschr¨ankten Bereich, der bewußt die Richtung genau entgegengesetzt zur Sonne ausspart. In dieser Richtung w¨ urden Sie n¨ amlich ein starkes Maximum der Intensit¨at ﬁnden, das in der Realit¨ at jedoch ohne Bedeutung ist, weil diese Richtung bei Tag unterhalb des Horizontes liegt. Anschließend werden noch die Zahl der Punkte in horizontaler und vertikaler Richtung, das Intensit¨atsmaximum, so¨ wie der Oﬀnungswinkel des Regenbogens (Winkel maximaler Intensitaet)

124

3 Optik

Abb. 3.8. Regenbogen, wie er durch kugelf¨ orrmige Wassertropfen hervorgerufen wird. Da Lichtstreuung in der Atmosph¨ are nicht ber¨ ucksichtigt wird, ist der Himmel schwarz und nicht blau

¨ auf dem Bildschirm ausgegeben. Die Oﬀnungswinkel k¨onnen wir mit den Werten in der Literatur vergleichen, w¨ ahrend wir die anderen Zahlen zur Generierung der graphischen Darstellung ben¨ otigen. In Abb. 3.8 sehen Sie die so generierte Helligkeitsverteilung, in der Sie ¨ sehr sch¨ on den Regenbogen erkennen. Die Oﬀnungswinkel betragen ca 42.6 Grad f¨ ur das rote Licht, 42.4 Grad beim gr¨ unen Licht und 42.2 Grad f¨ ur blaues Licht. Es erstaunt Sie vielleicht, dass die Breite des Regenbogens lediglich 0.4 Grad betr¨ agt – generell neigt der Mensch dazu, die Gr¨oße von Himmelserscheinungen zu u atzen, beispielsweise betr¨agt die scheinba¨bersch¨ re Gr¨ oße der Sonnenscheibe lediglich 0.5 Grad, wesentlich weniger als die meisten Menschen sch¨ atzen w¨ urden. 3.6.4 Der Regenbogen bei ellipsoidf¨ ormigen Regentropfen Bis zu diesem Punkt haben wir kugelf¨ ormige Regentropfen betrachtet – obwohl unser Programm regen1.cpp so konstruiert ist, dass es auch Regentropfen in Betracht zieht, die die Form eines Rotationsellipsoids haben. Indem wir die beiden Radien a und b in der Eingabedatei verschieden w¨ahlen, erhalten wir diesen allgemeineren Fall, wobei ar2 (β > 1) ein langgestrecktes Ellipsoid (eine Art Zigarre). F¨ ur eine verh¨ altnism¨aßig schwache Abplattung (r1=1 und r2=1.2) erhalten wir den Regenbogen in Abb. 3.9, der bereits stark von der uns bekannten Kreisform abweicht. Der Grund f¨ ur diese starke Ver¨ anderung der Form des Regenbogens bei nur geringf¨ ugig verformten Wassertropfen liegt in dem komplizierten Weg, den der Lichtstrahl im Regentropfen nimmt, und bei dem er dreimal von der Oberﬂ¨ ache des Regentropfens beeinﬂusst wird: zweimal bei Brechung und zweimal in Reﬂektion. Dadurch verst¨ arken sich eventuelle Abweichungen vom Strahlverlauf bei kugelf¨ ormigen Regentropfen. Aus der Tatsache, dass Regenb¨ ogen – zumindest f¨ ur das bloße Auge – praktisch kreisf¨ormig sind, kann man also umgekehrt schließen, dass dies noch in ausgep¨agterem Maß f¨ ur die Regentropfen der Fall sein muss, auch wenn sie wohl nicht v¨ollig kugelf¨ ormig sind.

3.7 Grundlagen der Wellenoptik

125

Abb. 3.9. Regenbogen, wie er durch Wassertropfen hervorgerufen wird, die die Form eines abgeﬂachten Rotationsellipsoids haben. Da Lichtstreuung in der Atmosph¨ are nicht ber¨ ucksichtigt wird, ist der Himmel schwarz und nicht blau

3.7 Grundlagen der Wellenoptik In der Wellenoptik wird – im Gegensatz zur Strahlenoptik – ber¨ ucksichtigt, dass Licht eine Wellenl¨ osung der Maxwellschen Gleichungen ist, also eine Schwingung von elektrischem und magnetischem Feld darstellt. Wir wollen an dieser Stelle die genaue Form dieser L¨ osung nicht herleiten, sondern lediglich einige ihrer Eigenschaften ins Ged¨ achtnis rufen: –

Licht ist eine transversale Welle, d.h. elektrisches und magnetisches Feld stehen immer senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung. – Das elektrische und magnetische Feld stehen außerdem senkrecht aufeinander. – Die Knoten des elektrischen Feldes sind Maxima des magnetischen Feldes und umgekehrt. Eine entscheidende Gr¨ oße in der vorhin besprochenen Strahlenoptik war die Intensit¨ at des Lichtes, die wir auch hier angeben k¨onnen: I=

1 c 1 cε0 εr E 2 + B2 . 2 2 µ0 µr

(3.39)

c ist die Vakuumlichtgeschwindigkeit, ε0 bzw µ0 sind die Dielektrizit¨atskonstante bzw. die Permeabilit¨ at des Vakuums und εr bzw. µr sind Materialkonstanten, die die Dielektrizit¨ at bzw. Permeabilit¨at relativ zum Vakuumwert festlegen. An (3.39) sieht man sehr sch¨ on, dass die Energie sowohl im elektrischen als auch im magnetischen Feld stecken kann. Im Fall von Licht wechselt die Energie zwischen diesen beiden Formen hin und her, so wie dies bei einer mechanischen Schwingung eines Pendels zwischen potentieller und kinetischer Energie der Fall ist. Die etwas unsch¨ onen Vorfaktoren in Gleichung (3.39) kann man durch Einf¨ uhrung skalierter Variabler √ E = cε0 εr E (3.40) c B = B (3.41) µ0 µr

126

3 Optik

loswerden, was zudem den Vorteil hat, dass danach elektrisches und magnetisches Feld die selbe Dimension haben und die Amplituden dieser beider Felder im Falle von Licht identisch sind. Wir werden im Weiteren diese ska¨ lierten Gr¨ oßen verwenden, der Ubersichtlichkeit halber allerdings die Striche wieder weglassen. Besonders bequem ist es, das elektrische und magnetische Feld zu einer oße komplexen Gr¨ A = E + iB (3.42) zusammenzufassen. Dies hat zum einen den Vorteil, dass sich die Formel f¨ ur die Intensit¨ at I weiter vereinfacht zu I=

1 |A|2 , 2

(3.43)

vor allem aber schreiben sich sowohl ebene als auch Kugelwellen besonders einfach in dieser Darstellung.

3.8 Ebene Wellen und Kugelwellen Ein wichtiges Konzept ist die Zerlegung eines beliebigen Lichtfeldes nach einer Basis, wobei wir hier die zwei wichtigsten solcher Elementarwellen vorstellen wollen: zum einen ebene Wellen und zum anderen Kugelwellen. Von beiden Zerlegungen werden wir im weiteren Verlauf Gebrauch machen. Die ebene Welle wird am Besten durch eine sehr weit entfernte Lichtquelle, die ununterbrochen leuchtet, realisert. In diesem Fall sind das elektrische und magnetische Feld gegeben durch E = E0 cos(kz − ωt + φ0 )ex

(3.44)

B = B0 sin(kz − ωt + φ0 )ey .

(3.45)

Dabei haben wir die Freiheit bei der Wahl des Koordinatensystems so ausgenutzt, dass die Fortpﬂanzung der Welle in z-Richtung erfolgt und E und B in der x- bzw. y-Achse liegen. Mit der komplexen Schreibweise (3.42) sieht das ganze etwas u ¨bersichtlicher aus: A = A0 exp (i(kz − ωt + φ0 )) .

(3.46)

Die Phase φ0 k¨ onnen Sie auch in die komplexe Amplitude A0 einbeziehen. Bei der Kugelwelle handelt es sich im Gegensatz dazu um ein Lichtfeld, wie es von einer punktf¨ ormigen Lichtquelle erzeugt wird, die das Licht isotrop in alle Raumrichtungen ausstrahlt. Um die Abnahme der Lichtintensit¨at mit wachsender Entfernung richtig zu bestimmen, betrachten wir die Energie in einer Kugelschale mit Radius R um den Ausgangspunkt der Kugelwelle. Aus der Forderung, dass die Abstrahlung isotrop ist, folgt, dass die Intensit¨at I u ache konstant sein muss, d.h. der Energiestrom durch diese ¨ber die Kugelﬂ¨

3.9 Interferenz

127

Kugelﬂ¨ ache ist proportional zu IR2 . Da dieser Energiestrom f¨ ur alle diese Kugelﬂ¨ achen gleich sein muss – es kann ja nirgendwo Energie verloren gehen – haben wir (3.47) I ∝ 1/R2 , woraus wiederum A ∝ 1/R folgt. Damit erhalten wir f¨ ur die Kugelwelle 1 A = A0 exp(i(kR − ωt + φ0 )) . R

(3.48)

(3.49)

3.9 Interferenz Die unmittelbarste Konsequenz der Tatsache, dass Licht eine Schwingung ¨ darstellt, ist Interferenz. Uberlagern sich n¨ amlich zwei solcher Schwingungen, so heißt das, dass diese beiden Felder vektoriell addiert werden m¨ ussen, um ¨ die Gesamtsituation zu beschreiben. Betrachten wir zur besseren Ubersicht zun¨ achst zwei monochromatische, ebene Lichtwellen, die sich in identischer Richtung (entlang der z-Achse) ausbreiten und die selbe Wellenl¨ange haben. Außerdem sollen beiden Lichtwellen so polarisiert sein, dass das elektrische Feld in x-Richtung und das magnetische Feld in y-Richtung zeigt. Letzteres hat zur Folge, dass wir den vektoriellen Charakter von A außer acht lassen k¨ onnen. A1 = A0,1 exp(i(kz − ωt + φ1 )) A2 = A0,2 exp(i(kz − ωt + φ2 )) .

(3.50) (3.51)

Dabei haben wir die Phasen φ1 und φ2 so gew¨ ahlt, dass A1 und A2 reell und ¨ positiv sind. Uberlagern wir nun diese beiden Wellen, erhalten wir als Summe f¨ ur A: A = A1 + A2 = (A0,1 + A0,2 ) exp(i(kz − ωt)) .

(3.52) (3.53)

Die Intensit¨ at schließlich ist proportional zum Betragsquadrat

also erhalten wir

|A|2 = A21 + A22 + 2A1 A2 cos(φ2 − φ1 ) ,

(3.54)

Iges = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(φ2 − φ1 ) .

(3.55)

Das Interessante an diesem Ergebnis ist, dass die Gesamtintensit¨at nicht gleich der Summe der Einzelintensit¨ aten ist, sondern ein sogenannter Interferenzterm 2A1 A2 cos(φ2 − φ1 ) hinzukommt. Dieser Term kann positiv (konstruktive Interferenz) oder negativ (destruktive Interferenz) sein, so dass die Intensit¨ at sowohl gr¨ oßer als auch kleiner als erwartet sein kann. Im Extremfall (A1 = A2 und φ2 − φ1 = π) k¨ onnen sich die beiden Wellen sogar komplett ausl¨ oschen und die Gesamtintensit¨ at ist null.

128

3 Optik

3.10 Das Huygenssche Prinzip Das Huygenssche Prinzip besagt, dass man sich jeden Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer kugelf¨ ormigen Elementarwelle vorstellen kann und dass diese Elementarwellen so interferieren, dass sie alle zusammen die weitere Zeitentwicklung des gesamten Lichtwellenfeldes beschreiben. Wir wollen uns diesen Sachverhalt an einer ebenen Welle verdeutlichen, deren Fortpﬂanzungsrichtung wir in Richtung der z-Achse w¨ahlen. Um nun das Huygenssche Prinzip anzuwenden, ben¨ otigen wir eine Wellenfront, z.B. die xy-Ebene. Jeder Punkt A dieser Ebene ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle und tr¨ agt so zum Lichtfeld im gesamten Raum bei. Berechnen wir nun konkret das Feld an einem Punkt B im Abstand L von der Wellenfront. Die Aufsummation (in diesem Fall eine Integration) des Huygensschen Prinzip ergibt das Integral (3.56) A ∝ A0 dxdy exp(ikl)/l , wobei l der Abstand des betrachteten Punktes vom Punkt (Ax , Ay , 0) ist. Wenn wir den Punkt, an dem wir das Lichtfeld berechnen wollen, auf die z-Achse legen, ist dieser Abstand (3.57) l = A2x + A2y + L2 . Oﬀensichtlich h¨ angt l nur vom Abstand r = A2x + A2y des Punktes A vom Ursprung ab – daher ist der Beitrag aller Punkte auf dem Kreis in Abb 3.10 identisch.

Abb. 3.10. Schematische Darstellung zur Konstruktion einer ebenen Welle aus Kugelwellen. Links zu sehen ist die Ebene, die Ausgangspunkt der Elementarwellen ist. Eingezeichnet in diese Ebene ist ein Kreis konstanten Abstands zum betrachteten Punkt A

Fassen wir diese Punkte zusammen, verbleibt von dem Doppelintegral in (3.56) nur noch ein Einfachintegral:

3.11 Berechnung von Beugungsmustern

∞ A ∝ 2πA0

129

r dr exp(ikl) l

(3.58)

dl exp(ikl)

(3.59)

0

∞ = 2πA0 L

2πiA0 exp(ikL) . = k

(3.60)

F¨ ur den letzten Schritt mussten wir die Konvergenz des Integrals durch einen Konvergenz erzeugenden Faktor erzwingen – am einfachsten indem man k einen kleinen Imagin¨ arteil zuweist, den man dann gegen null gehen l¨asst. Das Endergebnis (3.60) sagt uns nicht nur, dass sich in der Tat die Kugelwellen zu einer ebenen Welle (von der wir ja ausgegangen sind) aufsummieren, sondern liefert auch den fehlenden Proportionalit¨atsfaktor −ik/(2π).

3.11 Berechnung von Beugungsmustern Wir k¨ onnen das Huygenssche Prinzip dazu verwenden, das Beugungsmuster hinter einer Blende (z.B. hinter einem Spalt oder einem Doppelspalt) zu berechnen. Gegen¨ uber der vorangegangen Berechnung bedeutet es lediglich dass der Integrationsbereich in (3.56) auf den oﬀenen Teil der Blende eingeschr¨ ankt werden muss. Besonders u ¨bersichtlich gestaltet sich die Berechnung des Beugungsmusters bei einer kreisf¨ ormigen Blende, mit der wir uns in diesem Abschnitt befassen werden. Betrachten wir dazu zun¨achst Abb 3.11:

Abb. 3.11. Schematische Darstellung einer kreisf¨ ormigen Blende (im Hintergrund) und der Bildebene (im Vordergrund). Dargestellt ist ein beliebig herausgegriﬀener Lichtweg von der Blende zu einem Punkt auf der Bildebene, der x0 von der optischen Achse entfernt ist

130

3 Optik

Die Einf¨ uhrung einer Blende bricht die Translationssymmetrie gegen¨ uber Verschiebungen in x- und y-Richtung und f¨ uhrt eine optische Achse ein (die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt der Kreisblende geht). W¨ahrend es vorher naheliegend war, die z-Achse so zu legen, dass sie durch den Punkt A geht, an dem wir das Licht berechnen wollten, m¨ ussen wir uns nun entscheiden, ob es nicht sinnvoller ist, sie in die optische Achse zu legen. Wir ur diese Vorgehensweise und bezeichnen mit x0 den Abentscheiden uns f¨ stand von A von der optischen Achse. Die Kreisblende ist dann ein Kreis mit Radius R um die z-Achse, w¨ ahrend jener Kreis, der alle Punkte gleichen Abstands l von A enth¨ alt, gegen¨ uber der optischen Achse um x0 versetzt ist. Dieser letztere Kreis hat Radius r und Sie sehen in Abb 3.11, dass er unter ¨ Umst¨ anden nur teilweise innerhalb der Oﬀnung der Blende liegt (dieser Teil, den wir h nennen wollen, ist in der Abbildung mit einer durchgezogenen Linie gezeichnet, w¨ ahrend der Rest des Kreises punktiert ist). Dieser Tatsache m¨ ussen wir nun Rechnung tragen, wobei wir drei F¨alle unterscheiden m¨ ussen: ¨ – Wenn r + x0 < R ist, liegt dieser Kreis vollst¨andig innerhalb der Oﬀnung der Blende und h ist durch 2πr gegeben. ¨ – Wenn r ∈ [R−x0 , R+x0 ], liegt der Kreis teilweise innerhalb dieser Oﬀnung und wir m¨ ussen noch berechnen, wie groß dieser Teil h(r) ist. ¨ – Wenn r > R+x0 ist, liegt der Kreis gar nicht mehr innerhalb der Oﬀnung, h ist null und es gibt keinen Beitrag zum Integral (3.56). Wenn wir f¨ ur jeden Wert von r das zugeh¨ orige Bogenst¨ uck h kennen, ergibt sich die komplexe Amplitude A des Gesamtfeldes als Verallgemeinerung des Integrals (3.59): A = 2πA0

dl exp(ikl)h(r(l)) .

(3.61)

Beachten Sie bitte, dass der erste der oben genannten F¨alle nur auftritt, wenn x0 < R ist, was bedeutet dass der Punkt x0 in dem Bereich ist, der nach den Gesetzen der Strahlenoptik ausgeleuchtet wird. Im Folgenden bezeichnen wir den Beitrag dieses ersten Falles zu A mit A1 , den des zweiten Falles mit ahrend der dritte Fall oﬀensichtlich keinen Beitrag zu A liefert. A2 , w¨ onnen wir analytisch berechnen, hingegen werden wir das aus A2 A1 k¨ resultierende Integral im Computer bestimmen m¨ ussen. F¨ ur die numerische Implementation ben¨ otigen wir eine kleine Nebenrechnung. Am Einfachsten ist es, wenn wir den Kreis mit dem Winkel φ zur x-Achse parametrisieren und den Winkel φ0 am Schnittpunkt mit der Kreisblende berechnen: x20 + R2 + 2x0 R cos φ0 = r2 r2 − x20 − R2 cos φ0 = . 2x0 R

(3.62) (3.63)

Wenn x0 im Intervall [R −x0 , R +x0 ] liegt, ist der Bruch auf der rechten Seite von (3.63) zwischen −1 und 1, so dass ein zugeh¨origer Winkel φ0 existiert.

3.11 Berechnung von Beugungsmustern

131

Die L¨ ange des relevanten Kreisbogens (innerhalb der Kreisblende) ist nun 2(π − φ0 ) ,

(3.64)

so dass wir schließlich 1 A2 = ik 1 = ik

R+x 0

exp(ikl) l

(3.65)

exp(ikl) . l

(3.66)

dr (r − φ0 (r)) r=R−x0

l2 dl (r(l) − φ0 (l)) l=l1

erhalten. Dabei sind l1 und l2 deﬁniert durch 2

l12 = (R − x0 ) + L2 l22

2

2

= (R + x0 ) + L .

(3.67) (3.68)

Nun ben¨ otigen wir noch A1 , von dem wir ja oben behauptet haben, dass wir es analytisch berechnen k¨ onnen. Im Wesentlichen k¨onnen wir diese Berechnung aus Abschn. 3.10 u ¨bernehmen: R−x 0

1 A1 = ik 1 = ik

dr r r=0

l1 dl l l=L

exp(ikl) l

exp(ikl) l

= exp(ikl1 ) − exp(ikL) . 1 2 3 4 5 6 7

(3.69)

(3.70) (3.71)

/************************************************************************** * Name: kreisbl1.cpp * * Zweck: Berechnet das Beugungsmuster hinter einer kreisfoermigen * * Blende ( Kohaerenzlaenge unendlich ) * * Gleichung: siehe Buch * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

8 9 10 11 12 13

#include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

14 15

using namespace std;

16 17 18

//-- globale Variablen double R, R2, x_02, x_0, L, k;

19 20

//-------------------------------------------------------------------------

132

3 Optik

21 22

double f(double dist, void *params)

23 24 25

{ double r, r2, phi, res, arg;

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

r2 = sqr(dist)-sqr(L); r = sqrt(r2); res = 0; if (r
37 38 39

return res; }

40 41

//-------------------------------------------------------------------------

42 43

main( int argc, char *argv[] )

44 45

{

46 47 48 49 50 51 52 53 54

//-- Definition der Variablen int limit = 1000; int n1, nmax; double epsabs = 1.e-10; double epsrel = 1.e-4; double A_real, A_imag, A_1_real, A_1_imag, A_2_real, A_2_imag; double l_0, l_start, l_end, delta_l, x_max, dx, abserr, Intensity; double mu = 10;

55 56 57

gsl_integration_workspace *w; gsl_integration_qawo_table *wf;

58 59 60

ifstream in_stream; ofstream out_stream;

61 62 63 64 65 66 67

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: kreisbl1 infile outfile\n"; exit(1); }

68 69 70 71 72 73 74 75 76

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von kreisbl1.cpp\n"; inout(R,"R"); inout(L,"L"); inout(k,"k"); inout(nmax,"nmax"); inout(x_max,"x_max"); in_stream.close();

77 78 79

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dx = x_max / nmax;

3.11 Berechnung von Beugungsmustern 80

R2 = sqr(R);

81 82 83 84

for (n1 = nmax-1; n1>=0; n1--) { x_0 = (n1+0.5)*dx; x_02 = sqr(x_0);

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

if (R>x_0) { l_0 = sqrt(sqr(R-x_0)+sqr(L)); l_start = l_0; l_end = sqrt(sqr(R+x_0)+sqr(L)); A_1_real = 2.*pi / k * (sin(k*l_0)-sin(k*L)); A_1_imag = 2.*pi / k * (cos(k*l_0)-cos(k*L)); } else { A_1_real = 0; A_1_imag = 0; l_start = sqrt(sqr(x_0-R)+sqr(L)); l_end = sqrt(sqr(x_0+R)+sqr(L)); } delta_l = l_end-l_start;

102 103 104 105

w = gsl_integration_workspace_alloc(100000); wf = gsl_integration_qawo_table_alloc(k, delta_l, GSL_INTEG_COSINE, 100000);

106 107 108 109

gsl_function F; F.function = &f; F.params = μ

110 111 112

gsl_integration_qawo(&F, l_start, epsabs, epsrel, limit, w, wf, &A_2_real, &abserr);

113 114 115

gsl_integration_workspace_free(w); gsl_integration_qawo_table_free(wf);

116 117 118 119

w = gsl_integration_workspace_alloc(100000); wf = gsl_integration_qawo_table_alloc(k, delta_l, GSL_INTEG_SINE, 100000);

120 121 122

gsl_integration_qawo(&F, l_start, epsabs, epsrel, limit, w, wf, &A_2_imag, &abserr);

123 124 125

gsl_integration_workspace_free(w); gsl_integration_qawo_table_free(wf);

126 127 128 129 130 131 132

A_real = A_1_real + A_2_real; A_imag = A_1_imag + A_2_imag; Intensity = (sqr(A_real)+sqr(A_imag)) * sqr(k/2./pi); out_stream << x_0 << " " << Intensity << "\n"; cout << x_0 << " " << Intensity << "\n"; }

133 134 135

out_stream.close(); }

133

134

3 Optik

Die Real- und Imagin¨ arteile der Integrale A1 und A2 ﬁnden Sie im Programm als A 1 real und A 1 imag bzw A 2 real und A 2 imag. Es f¨allt Ihnen vielleicht auf, dass die Funktion f in diesem Programm nicht direkt der Integrand ist, sondern von diesem der schnell oszillierende Anteil exp(iωl) abgespalten wurde. Integrale mit solchen schnell oszillierenden Anteilen stellen n¨ amlich f¨ ur die Standard-Algorithmen zur Integration eine beur eine speziell angepasste Routine sondere Schwierigkeit dar, so dass hierf¨ (gsl integration qawo) verwendet wurde. 2

I / I0

1 0 0

0.5 10

-3

-3

10

1.5 10

-3

x0 Abb. 3.12. Beugungsmuster hinter einer kreisf¨ ormigen Blende

Der Bereich bis x0 = 10−3 in Abb 3.12 entspricht dem Teil der Bildebene, der in der geometrischen Optik ausgeleuchtet ist, w¨ahrend der verbleibende Teil der Bildebene im Schatten l¨ age. Sie sehen, dass die Wellennatur des Lichtes diese scharfe Trennung aufhebt, so dass zum einen auch etwas Licht in den Rand des Schattenbereiches eindringt und zum anderen auch im ausgeleuchteten Teil dunkle Stellen (in diesem Fall wegen der Rotationssymmetrie dunkle Kreise) auftreten. Beachten Sie außerdem, dass im Bereich konstruktiver Interferenz die Intensit¨ at h¨ oher ist als in der geometrischen Optik zu erwarten w¨ are (I/I0 = 1), so dass die u ¨ber die gesamte Bildebene gemittelte Intensit¨ at die selbe ist. Letzteres bringt zum Ausdruck, dass auch in der Wellenoptik konstruktive und destruktive Interferenz zusammen die Energieerhaltung nicht verletzen d¨ urfen. Interessant ist auch, dass die Mitte des ausgeleuchteten Bereichs dunkel bleibt: I(x0 = 0) = 0.

3.12 Koh¨ arenz Bis jetzt haben wir ausschließlich die Interferenz von v¨ollig monochromatischem Licht betrachtet, was eine Lichtquelle impliziert, die schon immer geleuchtet hat und auch in Zukunft immer leuchten wird! Diese Annahme ist nat¨ urlich irrealistisch, jede Lichtwelle muss einen zeitlichen Anfang und ein zeitliches Ende haben. Im Falle thermischer Lichtquellen (also z.B. einer ¨ Gl¨ uhbirne oder der Sonne) haben wir es mit einer statistischen Uberlagerung sehr vieler und sehr kurzer solcher Lichtwellenz¨ uge zu tun, so dass der zeitliche Verlauf des elektrischen Feldes in etwa so aussieht, wie es in Abb. 3.13

3.12 Koh¨ arenz

135

Abb. 3.13. Schematische Darstellung des elektrischen Feldes von Licht mit endlicher Koh¨ arenzl¨ ange

dargestellt ist. Die Frage, wie es mit der Interferenz solchen Lichts aussieht, wird uns zum Begriﬀ der Koh¨ arenz f¨ uhren. Wir beginnen bei (3.55), wobei wir jedoch den Phasen φ1 und φ2 statistischen Charakter zuweisen, wonach wir als Ausdruck f¨ ur die Intensit¨at (3.72) Iges = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(φ1 − φ2 ) . erhalten. Die eckigen Klammern auf der rechten Seite von (3.72) bedeuten den statistischen Mittelwert des innerhalb der Klammern stehenden Ausdrucks – f¨ ur die Grundlagen der Statistik, soweit nicht vorhanden, verweisen wir den Leser auf das folgende Kap. 4. Gegen¨ uber der geometrischen Optik, in der Intensit¨ aten einfach addiert werden, erhalten wir einen zus¨atzlichen Term, den Interferenzterm 2 I1 I2 cos(φ1 − φ2 ) . (3.73) Im Fall von unterschiedlichen Lichtquellen ist die Phasendiﬀerenz v¨ollig zuf¨allig und gleichverteilt, so dass sich der Interferenzterm im Mittel weghebt und wir das Ergebnis der geometrischen Optik erhalten. Licht aus unterschiedlichen Quellen kann also nicht miteinander interferieren. Wie sieht es nun aus mit Licht, das aus einer Quelle kommt, aber auf unterschiedlichen Wegen auf die Bildebene gelangt? Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Kreisblende aus dem vorhergehenden Abschnitt, aber auch im Regenbogen gibt es mehrere m¨ ogliche Wege des Lichtstrahls, die zum selben Ausfallswinkel f¨ uhren. Der Wegl¨ angendiﬀerenz ∆l entspricht ein Laufzeitunterschied ∆t = ∆l/c: die beiden Lichtwellen sind also zu verschiedenen Zeiten bei der Lichtquelle gestartet! In diesem Fall ist der Mittelwert cos(φ1 − φ2 ) eine Funktion der Laufzeitdiﬀerenz ∆t und eine charakteristische Eigenschaft der Lichtquelle. Bei einer rein monochromatischen Lichtquelle ist die Phasendifferenz (3.74) φ1 − φ2 = ω(t1 − t2 ) fest, so dass die Mittelung trivial ist: cos(φ1 − φ2 ) = cos(ω(t1 − t2 )) .

(3.75)

Diesen Faktor, der nur von der Frequenz des Lichtes herr¨ uhrt, spaltet man vom Mittelwert cos(φ1 − φ2 ) ab und deﬁniert den verbleibenden Teil als

136

3 Optik

Koh¨ arenzfunktion: C(∆t) = cos(φ(t) − φ(t + ∆t)) / cos(ω∆t) .

(3.76)

Dabei bringt diese Schreibweise schon implizit zum Ausdruck, dass diese Koh¨ arenzfunktion aus Symmetriegr¨ unden nur von der Laufzeitdiﬀerenz ∆t abh¨ angen kann. Betrachten wir Abb. 3.13, so wird klar, dass die Koh¨arenzfunktion f¨ ur sehr kleine Zeiten den Wert 1 annehmen muss (auf kleinen Skalen ist der Verlauf sinusoidal), w¨ ahrend umgekehrt im Limes ∆t → ∞ die Koh¨ arenzfunktion auf null abfallen muss, da die einzelnen Wellenz¨ uge voneinander unabh¨ angig sind. Dar¨ uberhinaus k¨ onnen wir zun¨achst keine Aussage u arenzfunktion machen und tats¨ achlich kann sie von Fall zu Fall ¨ber die Koh¨ sehr verschieden aussehen, h¨ auﬁg jedoch hat sie die Form einer Exponentialfunktion: |∆t| C(∆t) = exp − , (3.77) tcoh ur den Prozess der Lichtentstehung chawobei die Koh¨ arenzzeit tcoh eine f¨ rakteristische Konstante ist. Die in der Literatur ebenfalls oft verwendete Koh¨ arenzl¨ ange lcoh ist deﬁniert durch lcoh = ctcoh .

(3.78)

Setzen wir die Koh¨ arenzfunktion (3.76) in den Ausdruck f¨ ur die Intensit¨at (3.72) ein, so erhalten wir I = I1 + I2 + 2 I1 I2 C(t1 − t2 ) cos(ω(t1 − t2 )) (3.79) = A1 A1 C(0) cos(0) + A2 A2 C(0) cos(0) +2Re (A1 A2 ) C(t1 − t2 ) cos(ω(t1 − t2 )) .

(3.80)

Dabei haben wir davon Gebrauch gemacht, dass sowohl Koh¨arenzfunktion als auch der Kosinus symmetrisch sind und bei null den Wert eins haben. Die Darstellung (3.80) hat den Vorteil, dass sie leicht auf mehrere sich u ¨berlagernde Wellen oder sogar auf den kontinuierlichen Fall verallgemeinert werden kann: I= An Am C(tn − tm ) cos(ω(tn − tm )) (3.81) n,m

bzw.

I=

dx1

dx2 A(x1 )A (x2 )C (t(x1 ) − t(x2 ))

× cos [ω(t(x1 ) − t(x2 ))] ,

(3.82)

wobei wir jedoch nicht implizieren wollen, dass die Integrationsvariablen x1 bzw. x2 Ortscharakter haben m¨ ussen, sondern einfach verschiedene m¨ogliche Wege parametrisieren.

3.13 Beugung bei endlicher Koh¨ arenzl¨ ange

137

3.13 Beugung bei endlicher Koh¨ arenzl¨ ange Die Berechnung von Beugungsmustern unter Ber¨ ucksichtigung der endlichen achst an einem Beispiel, das wir – alKoh¨ arenzl¨ ange lcoh diskutieren wir zun¨ lerdings f¨ ur lcoh = ∞ – bereits besprochen haben: die Beugung hinter einer kreisf¨ ormigen Blende. Das hat den Vorteil, dass wir die gewonnenen Ergeb¨ nisse vergleichen k¨ onnen und so eine einfache Uberpr¨ ufungsm¨oglichkeit f¨ ur deren Richtigkeit haben. Wenn wir die Ausdr¨ ucke f¨ ur die Intensit¨ at bei unendlicher ((3.54) mit (3.61)) und endlicher Koh¨ arenzl¨ ange (3.82) vergleichen, so stellen wir fest, dass aus dem Einfachintegral, das das Programm kreisbl1.cpp zu l¨osen hatte, nun ein Doppelintegral wird: (3.83) I = dl1 dl2 h(l1 )h(l2 ) exp(ik(l1 − l2 ))C(|x1 − x2 |) . Das erste Problem mit diesem Integral erkennen wir, wenn wir f¨ ur die Koh¨ arenzfunktion C(|x1 − x2 |) = exp(−α|x1 − x2 |)

(3.84)

die Normierung berechnen wollen, was uns (h(l) = 2π) auf das Integral ∞ ∞ dl1 dl2 exp(ik(l1 − l2 )) exp(−α|l1 − l2 |) L

(3.85)

L

f¨ uhrt, welches divergent ist. Das kann daran liegen, dass die Koher¨anzfunktion zumindest f¨ ur große Argumente unphysikalisch ist oder unsere Annahme einer ebenen Welle zur Berechnung der Normierungskonstante das Problem darstellt, da ebene Wellen nicht realisierbar sind und unendlich viel Energie enthalten w¨ urden. Welcher der beiden Gr¨ unde hier auch vorliegt, es ist in beiden F¨ allen legitim, die Normierung auf sp¨ ater zu verschieben und nach der Berechnung des Beugungsmusters aus der Energieerhaltung zu bestimmen. Damit sollte die Implementation des Doppelintegrals (3.83) eigentlich kein Problem darstellen: 1 2 3 4 5 6 7

/************************************************************************** * Name: kreisbl2.cpp * * Zweck: Berechnet das Beugungsmuster hinter einer kreisfoermigen * * Blende (endliche Kohaerenzlaenge) * * Gleichung: siehe Buch * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

8 9 10 11 12 13

#include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

138

3 Optik

14 15

using namespace std;

16 17 18 19

//-- globale Variablen double R, R2, x_0, x_02, L, k, l2_global, alpha; gsl_integration_qawo_table *wf;

20 21

//-------------------------------------------------------------------------

22 23

double f_inner(double l1_shifted, void *params)

24 25 26 27

{ double r, r2, res, phi, arg, l1; res = 0;

28 29

l1 = l1_shifted + L;

30 31 32 33 34

if (l1 < L) return 0; r2 = sqr(l1_shifted)+2.*L*l1_shifted; r = sqrt(r2); arg = 0;

35 36 37

if (fabs(x_0+r) < R) res = res + 2.*pi;

38 39 40 41 42 43

else if (fabs(x_0-r) < R) { arg = (r2+x_02-R2)/(2.*x_0*r); if (fabs(arg)<=1) res = res + 2.*acos(arg); }

44 45

return res*exp(-alpha*fabs(l1-l2_global));

46 47

}

48 49

//-------------------------------------------------------------------------

50 51

double f_outer_real(double l2_shifted, void *params)

52 53 54 55 56 57 58 59

{ int limit = 1000; double r, r2, phi, arg, res, l1_start, l2, Int_inner_real_1, abserr; double mu = 10; double epsabs = 1.e-17; double epsrel = 1.e-5; gsl_integration_workspace *w;

60 61

res = 0;

62 63 64

l2 = l2_shifted + L; l2_global = l2;

65 66 67 68

if (l2 < L) return 0; r2 = sqr(l2_shifted)+2.*L*l2_shifted; r = sqrt(r2);

69 70 71 72

if (fabs(x_0+r) < R) res = res + 2.*pi;

3.13 Beugung bei endlicher Koh¨ arenzl¨ ange 73 74 75 76 77

139

else if (fabs(x_0-r) < R) { arg = (r2+x_02-R2)/(2.*x_0*r); if (fabs(arg)<=1) res = res + 2.*acos(arg); }

78 79 80 81

gsl_function F; F.function = &f_inner; F.params = μ

82 83 84 85 86

if (R>x_0) l1_start = 0; else l1_start = sqrt(sqr(x_0-R)+sqr(L))-L;

87 88

w = gsl_integration_workspace_alloc(100000);

89 90 91

gsl_integration_qawo(&F, l1_start, epsabs, epsrel, limit, w, wf, &Int_inner_real_1, &abserr);

92 93

gsl_integration_workspace_free(w);

94 95 96

return Int_inner_real_1*res; }

97 98

//-------------------------------------------------------------------------

99 100

double f_outer_imag(double l2_shifted, void *params)

101 102 103 104 105 106 107 108

{ int limit = 1000; double r, r2, phi, res, arg, l1_start, l2, Int_inner_real_1, abserr; double mu = 10; double epsabs = 1.e-17; double epsrel = 1.e-5; gsl_integration_workspace *w;

109 110

res = 0;

111 112 113

l2 = l2_shifted + L; l2_global = l2;

114 115 116 117

if (l2 < L) return 0; r2 = sqr(l2_shifted)+2.*L*l2_shifted; r = sqrt(r2);

118 119 120

if (fabs(x_0+r) < R) res = res + 2.*pi;

121 122 123 124 125 126

else if (fabs(x_0-r) < R) { arg = (r2+x_02-R2)/(2.*x_0*r); if (fabs(arg)<=1) phi = res + 2.*acos(arg); }

127 128 129 130 131

gsl_function F; F.function = &f_inner; F.params = μ

140 132 133 134 135

3 Optik if (R>x_0) l1_start = 0; else l1_start = sqrt(sqr(x_0-R)+sqr(L))-L;

136 137

w = gsl_integration_workspace_alloc(100000);

138 139 140

gsl_integration_qawo(&F, l1_start, epsabs, epsrel, limit, w, wf, &Int_inner_real_1, &abserr);

141 142

gsl_integration_workspace_free(w);

143 144 145

return Int_inner_real_1*res; }

146 147

//-------------------------------------------------------------------------

148 149

main( int argc, char *argv[] )

150 151

{

152 153 154 155 156 157 158 159 160

//-- Definition der Variablen int limit = 1000; int n1, nmax; double epsabs = 1.e-12; double epsrel = 1.e-3; double Int1_real, Int1_imag, Intensity; double l2_start, l2_end, delta_l2, x_max, dx, abserr, delta; double mu = 10;

161 162 163

gsl_integration_workspace *w; gsl_function F;

164 165 166

ifstream in_stream; ofstream out_stream;

167 168 169 170 171 172 173

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: kreisbl2 infile outfile\n"; exit(1); }

174 175 176 177 178 179 180 181 182 183

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von kreisbl2.cpp\n"; inout(R,"R"); inout(L,"L"); inout(k,"k"); inout(nmax,"nmax"); inout(x_max,"x_max"); inout(delta,"delta"); inout(alpha,"alpha"); in_stream.close();

184 185 186 187

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dx = x_max / nmax; R2 = sqr(R);

188 189 190

for (n1=0; n1<=nmax; n1++) {

3.13 Beugung bei endlicher Koh¨ arenzl¨ ange 191

141

x_0 = (n1+0.5)*dx; x_02 = sqr(x_0);

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203

if (R>x_0) { l2_start l2_end } else { l2_start l2_end } delta_l2 =

= 0; = sqrt(sqr(R+x_0)+sqr(L))-L;

= sqrt(sqr(x_0-R)+sqr(L))-L; = sqrt(sqr(x_0+R)+sqr(L))-L; l2_end-l2_start;

204 205 206 207

w = gsl_integration_workspace_alloc(10000); wf = gsl_integration_qawo_table_alloc(k, delta_l2, GSL_INTEG_COSINE, 10000);

208 209 210

F.function = &f_outer_real; F.params = μ

211 212 213

gsl_integration_qawo(&F, l2_start, epsabs, epsrel, limit, w, wf, &Int1_real, &abserr);

214 215 216

gsl_integration_workspace_free(w); gsl_integration_qawo_table_free(wf);

217 218 219 220

w = gsl_integration_workspace_alloc(10000); wf = gsl_integration_qawo_table_alloc(k, delta_l2, GSL_INTEG_SINE, 10000);

221 222 223

F.function = &f_outer_imag; F.params = μ

224 225 226

gsl_integration_qawo(&F, l2_start, epsabs, epsrel, limit, w, wf, &Int1_imag, &abserr);

227 228 229

gsl_integration_workspace_free(w); gsl_integration_qawo_table_free(wf);

230 231 232 233 234

Intensity = (Int1_real+Int1_imag) * sqr(k/2./pi); out_stream << x_0 << " " << Intensity << "\n"; cout << x_0 << " " << Intensity << "\n"; }

235 236 237

out_stream.close(); }

Wenn Sie den Programmcode jedoch aufmerksam studieren, werden Sie einige Feinheiten bemerken, die f¨ ur die erfolgreiche Berechnung des Interferenzmusters ausschlaggebend sind: Zun¨ achst f¨ allt auf, dass zur Berechnung des Doppelintegrals (3.83) dieses umgeformt wurde: I = dl1 dl2 h(l1 )h(l2 ) exp(ik(l1 − l2 )) exp(−α|l1 − l2 |)

142

3 Optik

I / I0

2 1 0 0

0.5 10

-3

-3

10

-3

1.5 10

x0 Abb. 3.14. Beugungsmuster einer 1 mm großen, kreisf¨ ormigen Blende im Abstand von 10 cm. Die durchgezogene Linie entspricht der Situation unendliche Koh¨ arenzl¨ ange, w¨ ahrend die gestrichelte Linie einer Koher¨ arenzl¨ ange von 1 µm entspricht

=

dl1

dl2 h(l1 )h(l2 ) (cos(kl1 ) cos(kl2 ) + sin(kl1 ) sin(kl2 ))

× exp(−α|l1 − l2 |)

(3.86)

Dies hat den Vorteil, dass sowohl f¨ ur das innere als auch das ¨außere Integral die uns schon bekannte Routine gsl integration qawo verwendet werden kann. Außerdem wurden die Integrationsvariablen l1 bzw l2 um L verschoben, um zu vermeiden, dass bei der Berechnung von r zwei fast gleich große Zahlen subtrahiert werden m¨ ussen, was auf Kosten der Genauigkeit gehen w¨ urde. Bei den Genauigkeitsanforderungen zur Berechnung des inneren bzw. außeren Integrals – festgelegt durch die Variablen epsabs und epsrel – ¨ stellen Sie fest, dass diese Anforderungen f¨ ur die innere Integrale um zwei Zehnerpotenzen h¨ oher angesetzt wurden als bei den beiden ¨außeren Integralen. Dies ist n¨ otig, da sonst die Ungenauigkeiten im inneren Integral eine Konvergenz des ¨ außeren Integrals verhindern. Ein Zusatzprogramm kreisbl2 norm.cpp bewerkstelligt abschließend die Normierung. Diese beiden Programme stellen keine besonderen Probleme dar, weswegen wir sie hier nicht im Detail vorstellen – Sie ﬁnden Sie jedoch selbstverst¨ andlich auf der CD zum Buch. In Abb. 3.14 erkennen Sie, dass das Beugungsmuster bei unendlicher Koh¨ arenzl¨ ange (durchgezogene Kurve) genau Abb. 3.12 enspricht. Bei endlicher Koh¨ arenzl¨ ange wird das Beugungsmuster hingegen gegl¨attet (gestrichelte Linie) – ein Eﬀekt, der mit kleiner werdender Koh¨arenzl¨ange immer ausgepr¨ agter wird.

¨ Ubungen 3.1 Strahlengang durch an einer Linse Das Programm strahl3.cpp konstruiert den Strahlengang durch eine Linse f¨ ur ein Strahlenb¨ undel, das parallel zur optischen Achse auf die Linse f¨allt. Dies entspricht einem unendlich weit entfernten Objekt mit Objekth¨ohe null.

¨ Ubungen

143

Modiﬁzieren Sie dieses Programm dahingehend, dass die Strahlen zwar parallel zueinander aber in einem beliebigen Winkel zur optischen Achse einfallen – diese Situation entspricht einem Objekt, das weiterhin unendlich weit entfernt ist, aber nicht auf der optischen Achse liegt. 3.2 Linsenfehler Es gibt eine ganze Reihe weiterer Linsenfehler, die Sie mit strahl5.cpp untersuchen k¨ onnen – eine Aufstellung gibt Tabelle 3.1, wobei statt der Objekth¨ ohe l der Objektwinkel φ zur Charakterisierung benutzt wird. tan φ = l/d .

(3.87)

Tabelle 3.1. Linsenfehler Bezeichnung

Gr¨ oßenordn. Bemerkung

¨ Oﬀnungsfehler

∝ R3

Koma Astigmatismus

∝ R2 tan φ ∝ R tan2 φ

Bildfeldw¨ olbung ∝ R tan2 φ Verzeichnung

∝ tan3 φ

auch sph¨ arische Aberration, Strahlen am Linsenrand werden zu stark gebrochen Asymmetrie der Kaustik es gibt statt einem Brennpunkt zwei Brennstriche die Bildﬂ¨ ache ist nicht mehr eben, sondern gew¨ olbt der Abbildungsmaßstab h¨ angt von der Entfernung zur optischen Achse ab

Sie k¨ onnen durch Variation der Parameter (insbesondere des Linsenradius R und der Objekth¨ ohe l) die einzelnen Linsenfehler betonen und so getrennt untersuchen. Wer Kenntnisse in geometrischer Optik besitzt, kann an geeigneter Stelle des Strahlengangs eine Blende einbringen und dadurch die Linsenfehler reduzieren. 3.3 Regenbogen von tropfenf¨ ormigen Regentropfen Sie k¨ onnen das Regenbogenprogramm so modiﬁzieren, dass es statt Tropfen in Form von Rotationsellipsoiden z.B. tropfenf¨ ormige Regentropfen annimmt, z.B. etwas in der Form r = r0 + r1 /(ϑ − ϑ0 ) ,

(3.88)

wobei θ der Winkel gegen die Vertikale ist. F¨ ur r0 = 0.8 und ϑ0 = 0.2 ergibt sich ein sch¨ oner (wenn auch falscher) Tropfen (Abb. 3.15):

144

3 Optik

Abb. 3.15. Typische, aber falsche Tropfenform

3.4 Der zweite Regenbogen Wie Sie sicherlich schon einmal gesehen haben, k¨onnen unter g¨ unstigen Bedingungen auch zwei Regenb¨ ogen beobachtet werden. Um den sogenannten zweiten Regenbogen zu bekommen, m¨ ussen Sie in unserem Programm die Variable n ray max auf 2 (statt 1 beim ersten Regenbogen) setzen. Ermitteln Sie die Intensit¨ at dieses zweiten Regenbogens im Vergleich zum ersten und ¨ bestimmen Sie den Oﬀnungswinkel. Wenn Sie einen Ausschnitt der beiden Regenb¨ogen betrachten (Abb. 3.16), stellen Sie zudem fest, dass die Reihenfolge der Farben bei den beiden verschieden ist.

Abb. 3.16. Ausschnittsvergr¨ oßerung vom ersten (linkes Bild) und zweiten Regenbogen (rechtes Bild). Deutlich zu sehen ist, dass die Reihenfolge der Farben beim zweiten Regenbogen gegen¨ uber dem ersten gerade invertiert ist – also rot innen und blau außen liegt. (Eine Farbversion dieser Abbildung ﬁnden Sie u ¨brigens auf der Buch-CD im Verzeichnis figures)

3.5 Interferenz hinter einer Kreisscheibe Das Interferenzmuster hinter einer Kreisscheibe ist quasi das Komplement¨ar zu dem der Kreisblende. Dieses Beugungsmuster direkt durch numerische Integration u ¨ber den Außenbereich auszurechnen ist schwierig, weil dieses

¨ Ubungen

145

Integral bis ins Unendliche ausgedehnt ist. Sie k¨onnen aber die Tatsache ausnutzen, dass sich die Felder (also nicht die Intensit¨aten!) von der Kreisblende (siehe Abschn. 3.11) und die des gesuchten Lichtfeldes zu den Feldern einer ebenen Welle addieren m¨ ussen. Damit k¨ onnen Sie direkt das Interferenzmuster hinter einer Kreisscheibe angeben.

4 Statistische Physik

Bei einer Vielzahl physikalischer Probleme ist der Zustand aus mikroskopischer Sicht nicht bekannt – ein typisches Beispiel hierf¨ ur ist ein Gas, bei dem der Zustand durch die Koordinaten und Impulse aller beteiligten Atome gegeben w¨ are. In diesem Fall helfen uns die mikroskopischen Bewegungsgleichungen alleine also nicht weiter und es stellt sich die Frage, warum sich ein Gas u alt. Die Antwort lautet, dass wir ein ¨berhaupt immer gleich verh¨ Gas nicht mikroskopisch betrachten, sondern dieses außerordentlich komplexe System mit einer Vielzahl von Freiheitsgraden durch einige wenige Zustandsgr¨ oßen wie Druck oder Temperatur beschreiben, bei denen sich unsere Unkenntnis durch die Vielzahl beteiligter Teilchen quasi herausmittelt. Die Aufgabe der statistischen Physik ist es, diese Zusammenh¨ange herzustellen und die makroskopischen Zustandsgleichungen mit den Methoden der Statistik auf die mikroskopischen Bewegungsgleichungen zur¨ uckzuf¨ uhren.

4.1 Grundbegriﬀe der Statistik Bevor wir zur Anwendung von statistischen Verfahren auf physikalische Probleme kommen, m¨ ussen wir zun¨ achst einige mathematische Grundbegriﬀe aus der Statistik kl¨ aren. Der erste dieser Begriﬀe ist der des Zufallsexperiments. Dabei handelt es sich um ein Experiment, dessen Ausgang wir nicht vorhersagen k¨ onnen und das wir – zumindest im Prinzip – beliebig oft wiederholen k¨ onnen. Ein typisches Beispiel ist das Werfen einer M¨ unze, bei dem wir vorher nicht sagen k¨ onnen, welche Seite anschließend nach oben zeigen wird. In diesem Fall w¨aren die Menge der m¨ oglichen Ereignisse gleich der Menge mit den Elementen Kopf und Zahl. Ebensogut kann dieser Ereignisraum aber auch nat¨ urliche Zahlen (beim Werfen eines W¨ urfels) oder reelle Zahlen (zum Beispiel Zeiten) enthalten. Insbesondere kann die Ergebnismenge endlich oder abz¨ ahlbar unendlich sein oder sogar ein Kontinuum bilden. Das Ergebnis x eines konkreten solchen Zufallsexperiments wird Ereignis genannt. Macht man nun viele identische Zufallsexperimente, kann man die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein bestimmtes Ereignis feststellen, indem man die Zahl nx der Zufallsexperimente, bei denen dieses Ereignis eintrat, durch die Zahl aller Zufallsexperimente N teilt:

148

4 Statistische Physik

nx . N →∞ N

Px = lim

(4.1)

Ist der Ereignisraum ein Kontinuum, so wird in den meisten F¨allen dieser Grenzwert null liefern, so dass man hier statt der Wahrscheinlichkeit selbst die Wahrscheinlichkeitsdichte p deﬁniert: n(x, ∆x) , ∆x→0 N →∞ N

p(x) = lim

lim

(4.2)

wobei n(x, ∆x) die Zahl der Ereignisse im Intervall [x − ∆x/2, x + ∆x/2] ist. Da wir wissen, dass in jedem Zufallsexperiment irgendein Ereignis eintritt, muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein: Px = 1 , (4.3) x

bzw. im Fall eines Kontinuums: dx p(x) = 1 .

(4.4)

¨ In den nachfolgenden Abschnitten werden wir zur besseren Ubersichtlichkeit nur die Ausdr¨ ucke f¨ ur diskrete Ereignisr¨aume angeben, sofern der entsprechende Ausdruck f¨ ur kontinuierliche R¨ aume oﬀensichtlich ist.

4.2 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten An dieser Stelle wollen wir die empirische Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit p durch Wiederholung des betreﬀenden Zufallsexperimentes genauer unter die Lupe nehmen. Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit zwei m¨oglichen Ausg¨ angen, die wir positiv und negativ nennen. Die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den postiven Ausgang sei p und entsprechend die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den negativen Ausgang 1 − p. Wenn wir dieses Experiment N -mal wiederholen, so erhalten wir n+ positive und n− negative Ausg¨ange, woraus wir empirisch die Wahrscheinlichkeit p absch¨ atzen: pemp =

n+ . N

(4.5)

Im Extremfall k¨ onnen wir jedoch immer den negativen Ausgang erhalten, obwohl p nicht null ist, d.h. diese Bestimmung ist mit einer Unsicherheit behaftet, die daher r¨ uhrt, dass wir N zwar groß w¨ahlen k¨onnen, aber nie den Grenz¨ ubergang N → ∞ wirklich vollziehen k¨ onnen. Um dies zu quantiﬁzieren, deﬁnieren wir eine Wahrscheinlichkeit PN (n) ¨ (wir lassen im Folgenden den Index + der Ubersichtlichkeit wegen weg) daf¨ ur, dass wir bei N Zufallsexperimenten genau n positive Ereignisse beobachten.

4.2 Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten

149

Sofern unsere Zufallsexperimente alle voneinander unabh¨angig sind (N¨aheres zu diesem Begriﬀ siehe Abschn. 4.4), berechnet sich diese Wahrscheinlichkeit zu N (4.6) PN (n) = pn (1 − p)N −n , n

wobei

N n

=

N! n! (N − n)!

(4.7)

die Zahl der M¨ oglichkeiten angibt, die n positiven Ereignisse auf die N Zufallsexperimente zu verteilen. Uns interessieren nun der Mittelwert und die Varianz der empirisch bestimmten Wahrscheinlichkeit, also ben¨ otigen wir n (4.8) P1 = PN (n) N n n 2 P2 = PN (n) . (4.9) N n Um diese Gr¨ oßen zu berechnen, betrachten wir zun¨achst die Funktion fN (α, β) =

N N n=0

n

αn β N −n = (α + β)N .

(4.10)

Wie wir sehen, liefert der erste Ausdruck f¨ ur fN (α = p, β = 1 − p) gerade den Mittelwert von eins und konsequenterweise liefert die rechte Seite das korrekte Ergebnis (p + 1 − p)N = 1. Entsprechend erhalten wir α ∂ (4.11) P1 = fN (α, β) α=p N ∂α β=1−p p = N (p + 1 − p)N −1 (4.12) N =p (4.13) α ∂ α ∂ fN (α, β) (4.14) P2 = α=p N ∂α N ∂α β=1−p p (1 + p(N − 1)) . (4.15) = N Daraus erhalten wir den Mittelwert der empirisch bestimmten Wahrscheinlichkeit pemp zu (4.16) pemp = p und deren Varianz zu p2emp − pemp 2 =

1 p − p2 . N

(4.17)

150

4 Statistische Physik

Beachten Sie bitte, dass die Varianz proportional zu 1/N abf¨allt, das heißt √ die Standardabweichung f¨ allt nur mit 1/ N ab – um also einen doppelt so genauen Wert von p zu erhalten m¨ ussen Sie viermal so viele Zufallsexperimente durchf¨ uhren. Interessant ist außerdem, dass die Unsicherheit f¨ ur p = 0 und f¨ ur p = 1 verschwindet (hier ist man sich sicher, dass alle Zufallsexperimente negativ bzw. positiv ausgehen) und f¨ ur p = 1/2 ihr Maximum 1/4N annimmt.

4.3 Mittelwerte und Momente Wenn auf dem Ergebnisraum eine Addition erkl¨art ist, so macht es Sinn, den Mittelwert zu deﬁnieren: x = xPx . (4.18) x

Statt dem Mittelwert von x selbst k¨ onnen wir nat¨ urlich auch nach dem Mittelwert von jeder Funktion von x fragen: f (x)Px , (4.19) f (x) = x

insbesondere nach den Mittelwerten von x2 , x3 . . . Diese Mittelwerte heißen zweites, drittes, viertes Moment und so weiter. Das erste Moment ist gleich dem Mittelwert (4.18), das nullte Moment ist immer identisch eins (4.3). An dieser Stelle muss betont werden, dass der Mittelwert f (x) im Allgemeinen verschieden von der Funktion des Mittelwertes f (x ) ist.

4.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Korrelationen Die konzeptionell schwierigsten Begriﬀe und deswegen auch die am h¨auﬁgsten missinterpretierten Grundbegriﬀe, die wir f¨ ur dieses Kapitel ben¨otigen, sind die der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Korrelation. Betrachten wir hierzu ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnisse als N -Tupel von Zahlen dargestellt werden k¨ onnen. Dabei k¨ onnte es sich zum Beispiel um das Werfen von N unterscheidbaren W¨ urfel handeln, bei denen wir die Augenzahl des n-ten W¨ urfel an die n-te Stelle des N -Tupels schreiben. Andere Beispiele w¨ aren die Energien zweier in einem Experiment erzeugter Photonen oder zwei Komponenten des Geschwindigkeitsvektors eines Teilchens. Die beiden Begriﬀe bedingte Wahrscheinlichkeit und Korrelation dienen der Kl¨arung der statistischen Unabh¨ angigkeit von solchen Einzelereignissen. Neben den Wahrscheinlichkeiten f¨ ur die Einzelergebnisse einer konkreten Komponenten des N -Tupels k¨ onnen wir auch sogenannte Verbundwahrscheinlichkeiten bilden, dass z.B. der erste W¨ urfel Ergebnis a und der zweite W¨ urfel Ergebnis b liefert. Diese Verbundwahrscheinlichkeit k¨onnen wir uns

4.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Korrelationen

151

nun zusammensetzen aus der Wahrscheinlichkeit Pa f¨ ur Ergebnis a beim erur, dass der zweite W¨ urfel b sten W¨ urfel mal der Wahrscheinlichkeit Pb|a daf¨ liefert, unter der Bedingung, dass das Ergebnis des ersten W¨ urfels a ist. Diese Zusatzbedingung ist enorm wichtig, denn es ist nicht a priori selbstverst¨andlich, dass die Ergebnisse der beiden W¨ urfel voneinander unabh¨angig sind. ¨ Wenn diese Zusatzbedingung zu keiner Anderung der Wahrscheinlchkeiten uhrt, wenn also f¨ Pb|a = Pb f¨ ur alle a, b (4.20) gilt, dann spricht man von unabh¨ angigen Ereignissen. Bei zwei normalen W¨ urfeln muss beispielsweise das Ergebnis beim einen W¨ urfel unabh¨angig vom Ergebnis beim zweiten W¨ urfel sein. Ist die Bedingung (4.20) f¨ ur irgendein Paar a, b nicht erf¨ ullt, sprechen wir hingegen von korrelierten Ereignissen. Der Nachteil dieser Formel ist, dass wir sie im Zweifelsfall f¨ ur alle a und alle b veriﬁzieren m¨ ussen, bevor wir sicher sein k¨onnen, dass die beiden Ereignisse voneinander unabh¨ angig sind. Aus diesem Grund ist die Berechnung der Korrelation (4.21) Cxy = xy − x y eine sch¨ one Alternative, auch wenn deren Aussage streng genommen nicht so weit geht wie die Forderung (4.20). Um die Bedeutung von Cxy zu verstehen, berechnen wir die Korrelation unter der Voraussetzung, dass die beiden Ereignisse x und y voneinander unabh¨ angig sein sollen: xypx py|x − xpx ypy Cxy = x,y

=

x,y

x

xypx py −

x

xpx

y

ypy

(4.22)

y

=0. Wenn dieser Ausdruck also nicht verschwindet, k¨onnen wir sicher sein, dass die beiden betrachteten Ereignisse miteinander korreliert sind – umgekehrt k¨ onnen wir leider aus Cxy = 0 nicht sicher auf statistische Unabh¨angigkeit schließen. Als letzten Begriﬀ in diesem Abschnitt wollen wir die Korrelationsfunktion einf¨ uhren. Dazu stellen wir uns vor, dass unsere Zufallsvariablen x und y von einem Parameter, z.B. der Zeit t, abh¨ angen. Als Beispiel k¨onnen Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens dienen, dessen Bewegung auf Grund von St¨ oßen mit anderen, nicht beobachteten Teilchen zuf¨alliger Natur ist. Die Korrelationsfunktion ist nun deﬁniert durch Cxy (t, ∆t) = x(t)y(t + ∆t) − x(t) y(t + ∆t) .

(4.23)

In station¨ aren Situationen, z.B. im thermischen Gleichgewicht, kann diese Korrelationsfunktion nicht von der Zeit t, sehr wohl aber von der Zeitdiﬀerenz ∆t abh¨ angen.

152

4 Statistische Physik

4.5 Dynamik bei statistischen Problemen Eine stochastische Beschreibung physikalischer Probleme wird notwendig, wenn die Anfangsbedingung nicht genau bekannt ist oder die Dynamik selbst stochastischer Natur ist, d.h. die Bewegungsgleichung eine Zufallskomponente enth¨ alt. Letzteres bedarf einer Erkl¨ arung, denn klassisch liegt die Dynamik eindeutig fest, wenn alle Zustandsvariablen bekannt sind – es besteht also gar kein Spielraum f¨ ur einen statistischen Charakter der Bewegung. Der einzige Ausweg aus diesem logischen Dilemma, ist, dass wir nur einen Teil der Zustandsvariablen erfasst haben und einen relevanten Teil des Systems unterschlagen haben. Als Illustration dessen, was wir damit meinen, ziehen wir die Brownsche Bewegung heran. Dabei handelt es sich um die Bewegung von kleinen, aber im Mikroskop noch wahrnehmbaren Teilchen (z.B. B¨arlappsporen) in einer Fl¨ ussigkeit. Der Botaniker Robert Brown stellte 1827 fest, dass diese Teilchen eine Zitterbewegung vollf¨ uhren, konnte jedoch keinen Grund f¨ ur dieses Zittern ﬁnden.1 Die Erkl¨ arung lieferte Einstein im Jahre 1905: die B¨arlappsporen werden von den Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ulen, die im Mikroskop nicht optisch aufgel¨ ost werden k¨ onnen, gestoßen. In diesem Fall sind also die Molek¨ ule der Fl¨ ussigkeit der Teil, den wir nicht ber¨ ucksicht haben und auch gar nicht k¨ onnen, ohne ein nicht handhabbares System von 1020 gekoppelten Diﬀerentialgleichungen zu bekommen. Wie sieht nun die Struktur der Bewegungsgleichung eines solchen Teilchens aus? Sie hat zum einen einen deterministischen und zum anderen einen stochastischen Anteil: d x = x˙ det + x˙ stoch . (4.24) dt Hierbei umfasst der Vektor x alle Zustandsvariablen, d.h. z.B. bei einem mechanischen System alle Orte und Impulse. Eine solche Diﬀerentialgleichung mit einem stochastischen Anteil heißt stochastische Diﬀerentialgleichung [26] und sie macht nur Sinn, wenn man die statistischen Eigenschaften dieses Terms kennt. Im folgenden Abschnitt werden wir sehen, wie mit einer stochastischen Diﬀerentialgleichung gerechnet werden kann und wie man sie numerisch implementiert. Einen v¨ ollig anderen Zugang erh¨ alt man, wenn man sich bereits bei der Bewegungsgleichung auf Mittelwerte – bzw. allgemeiner Momente – der Zustandsvariablen beschr¨ ankt. Auf diese Weise erh¨alt man aus (4.24) formal z.B. f¨ ur den Mittelwert der Variablen xn : d xn = x˙ n,det + x˙ n,stoch . dt 1

(4.25)

Tats¨ achlich war Brown nicht der erste, der eine solche Beobachtung machte, aber der erste, der zum Schluss kam, dass es sich dabei nicht um ein Anzeichen von Leben handelt, sondern jedes Material, sofern es nur zu einem sehr feinen Pulver verrieben wird, dieses Ph¨ anomen zeigt.

4.6 Der Random-Walk

153

Ob die beiden Terme auf der rechten Seite ausgewertet werden k¨onnen und ob sie auf ein geschlossenes Diﬀerentialgleichungssystem f¨ uhren, ist von Fall zu Fall unterschiedlich. In einigen F¨ allen hilft auch die N¨aherung f (x) ≈ f (x ) ,

(4.26)

die allerdings voraussetzt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung im Phasenraum gut lokalisiert ist. Der dritte und letzte Zugang, den wir an dieser Stelle ansprechen wollen, ist eine Bewegungsgleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsverteilung P , die sogenannte Mastergleichung. Alle drei Zug¨ ange sowie deren numerische Implementation werden wir im folgenden Abschnitt am Beispiel des Random-Walk diskutieren.

4.6 Der Random-Walk Als Einstieg in die statistische Physik beginnen wir mit einem einfachen Modell f¨ ur die Brownsche Bewegung, dem sogenannten Random-Walk, was soviel wie Zufallsmarsch bedeutet. Dazu betrachten wir Teilchen, die sich entlang einer Achse bewegen k¨onnen. Der Einfachheit halber nehmen wir zun¨achst an, dass diese Bewegung in diskreten (und ¨ aquidistanten) Schritten erfolgt: zum Zeitpunkt 1 bewegt sich das Teilchen um eine Einheit nach links oder rechts, desgleichen zum Zeitpunkt 2, 3 und so weiter. Der entscheidende Punkt ist nun, dass die Frage, in welche Richtung die Bewegung erfolgt, zuf¨allig entschieden wird. Bevor wir dieses Problem numerisch angehen werden, wollen wir zun¨achst an seinen physikalischen Hintergrund erinnern und es außerdem analytisch l¨osen. Beginnen wir mit der physikalischen Rechtfertigung dieses eigentlich recht seltsamen Modells (das so wichtig ist, dass jeder Physikstudent mehrmals w¨ ahrend seines Studiums damit bel¨ astigt wird). Das Teilchen, dessen Bewegung wir betrachten, ist ein relativ großes Partikel in einer Fl¨ ussigkeit. Die Zufallsschritte der Gr¨ oße ±1 entsprechen der Zitterbewegung, die durch St¨ oße mit kleineren, nicht mehr wahrnehmbaren Teilchen (den Fl¨ ussigkeitsmolek¨ ulen) herr¨ uhren (siehe Abschn. 4.5). Kommen wir nun zur analytischen Behandlung des Problems. Aufgrund des stochastischen Charakters der Bewegungsgleichung k¨onnen wir die Bahn des Teilchens nicht vorhersagen. Das einzige, was wir angeben k¨onnen sind Wahrscheinlichkeiten oder daraus resultierende Mittelwerte. Beginnen wir mit dem Mittelwert m1 = x . Dieser Mittelwert h¨angt zun¨achst davon ab, wo sich das Teilchen zum Zeitpunkt n = 0 aufgehalten hat und wie viele Zeiteinheiten (sprich Spr¨ unge) inzwischen vergangen sind. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit setzen wir das Teilchen zu Anfang in den Ursprung und berechnen (4.27) m1 (n) = m1 (n − 1) + ∆x .

154

4 Statistische Physik

Hierbei ist ∆x der Sprung, den das Teilchen bei einem Zeitschritt macht. Da die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Sprung nach rechts (∆x = +1) genauso groß ist wie f¨ ur einen Sprung nach links (∆x = −1) ist der Mittelwert ∆x gleich null. Also gilt m1 (n) = m1 (n − 1) = m1 (n − 2) = . . . = m0 = 0 .

(4.28)

Das Teilchen bewegt sich also im Mittel nicht von der Stelle. Zur Beantwortung der Frage, wie weit sich das Teilchen nach n Schritten vom Ausgangspunkt entfernt hat, ist der Mittelwert x also ungeeignet. Die Tatsache, dass dieser null ist, dr¨ uckt ja nur aus, dass das Teilchen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit links vom Ursprung wie rechts vom Ursprung ist. Zur Berechnung eines mittleren Abstandes m¨ ussen wir den Mittelwert m2 = x2 berechnen. m2 (n) = x(n)2 = (x(n − 1) + ∆x(n))2 = x(n − 1)2 + x(n − 1)∆x(n) + ∆x(n)2 .

(4.29) (4.30) (4.31)

Der erste Ausdruck ist identisch mit m2 (n − 1). Der zweite ist wegen der Unabh¨ angigkeit von aktueller Position und n¨ achstem Sprung identisch mit dem Produkt der Mittelwerte x(n − 1) ∆x(n) . Da ∆x(n) null ist, verschwindet dieser Term. Der letzte Ausdruck ist der Mittelwert von eins, denn egal ob ∆x(n) den Wert 1 oder -1 annimmt, das Quadrat ist in beiden F¨allen 1. Insgesamt erhalten wir also m2 (n) = m2 (n − 1) + 1 = m2 (n − 2) + 2 = . . . = m2 (0) + n = n . (4.32) √ Das bedeutet, dass der mittlere Abstand d = m2 nur mit der Wurzel der Zeit anw¨ achst – im Gegensatz zu einer linearen Zunahme bei einer deterministischen Bewegung (mit Ausnahme singul¨ arer Punkte). 4.6.1 Stochastische Diﬀerentialgleichung des Random-Walk Schreiten wir nun zu einer ersten (noch auszubauenden) numerischen Implementierung des Random-Walks: 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: rw1.cpp * * Zweck: Simuliert den Random-Walk - ohne Skalierung * * verwendete Bibliothekl: GSL * **************************************************************************/

6 7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

4.6 Der Random-Walk

155

13 14

using namespace std;

15 16

int main( int argc, char *argv[] )

17 18 19 20

{ const int N_max = 1000000; const int n_bins = 100;

21 22 23 24 25 26 27 28

//-- Definition der Variablen int histo[2*n_bins+1], n, N, n_step, n_step_max; double x[N_max], xmean, xvar, sum1, sum2, dx, d_bins, rand; ifstream in_stream; ofstream out_stream1, out_stream2; const gsl_rng_type * T; gsl_rng * r;

29 30 31 32 33 34 35 36 37

//-- Fehlermeldung, if (argc<4) { cout << " Aufruf: cout << " cout << " exit(1); }

wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden

rw1 infile outfile1 outfile2\n"; outfile1: Zeitentwickl. von Mittelwert und Varianz\n"; outfile2: Histogramm der Schlussverteilung\n";

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream1.open(argv[2]); out_stream2.open(argv[3]); out_stream1 << "! Ergebnis-Datei out_stream2 << "! Ergebnis-Datei in_stream >> n_step_max; out_stream1 << "! n_step_max = " out_stream2 << "! n_step_max = " in_stream.close();

generiert von rw1\n"; generiert von rw1\n"; << n_step_max << "\n"; << n_step_max << "\n";

49 50 51 52 53

//-- Initialisierung des Zufallszahlengenerators gsl_rng_env_setup(); T = gsl_rng_default; r = gsl_rng_alloc (T);

54 55 56

//-- Anfangsbedingungen for (N=0; N
57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71

//-- Zeitschleife -for (n_step=1; n_step<=n_step_max; n_step++) { sum1 = 0; sum2 = 0; for (N=0; n 0.5) dx = 1; else dx = -1; x[N] = x[N] + dx; sum1 = sum1 + x[N]; sum2 = sum2 + sqr(x[N]); } xmean = sum1 / N_max;

156 72 73 74

4 Statistische Physik xvar = sum2 / N_max - sqr(xmean); out_stream1 << n_step << " " << xmean << " " << xvar << "\n"; }

75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

for (n=0; n<=2*n_bins+1; n++) histo[n] = 0; d_bins = sqrt(xvar) * 5 / n_bins; for (N=0; N=0) && (n<=2*n_bins+1)) histo[n]++; } for (n=0; n<=2*n_bins+1; n++) out_stream2 << (n-n_bins) * d_bins << " " << histo[n] / N_max / d_bins << " " << exp( -(sqr(n-n_bins)*d_bins) / 2 / xvar ) / sqrt( 2 * pi * xvar );

87 88 89 90

out_stream1.close(); out_stream2.close(); }

Aufgrund des statistischen Charakters des Problems hat die Bewegung eines einzelnen Teilchens nur begrenzte Aussagekraft. Deswegen simulieren wir im Programm rw1.cpp gleich die Dynamik einer Vielzahl von Teilchen (ein Ensemble mit identischen Anfangsbedingungen, dessen Gr¨oße durch die Vaalligen St¨ oße sorgen nun daf¨ ur, dass sich riable n max festgelegt wird. Die zuf¨ diese Teilchen voneinander wegbewegen und eine immer weiter ausgedehnte Verteilung bilden. Dieser Zufallsprozess spiegelt sich in den Zeilen 64–66 wider: gsl rng uniform liefert eine gleichverteilte Zufallszahl im Intervall [0, 1]; die nachfolgende Fallunterscheidung gew¨ahrleistet, dass mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Schritt nach links bzw. nach rechts gemacht wird. In der Ergebnisdatei rw1.res speichern wir den Mittelwert und die Varianz des Aufenthaltsortes ab. Wenn sowohl unsere analytische Berechnung als auch unsere numerische Implementierung korrekt sind, sollte ersterer bei etwa 0 bleiben, und die zweite linear ansteigen. Zus¨ atzlich legen wir eine weitere Ergebnisdatei rw1 1.res an, die ein Histogramm des Endzustandes abspeichert: Dazu deﬁnieren wir ein Feld histo, dessen Eintr¨age der H¨auﬁgkeit von Endwerten in einem bestimmten x-Intervall entsprechen. Das heißt, dass histo(0) gleich der Teilchen ist, die sich am Ende der Simulation im Intervall [-d bins/2,d bins/2] befunden haben, und allgemeiner ist histo(n) die Zahl der Teilchen im Intervall [(n-1/2)*d bins, (n+1/2)*d bins]. Doch zun¨ achst zum zeitlichen Verlauf des Mittelwertes und der Varianz des Aufenthaltsortes. Wir sehen an der Skala in Abb. 4.1(a), dass der Mittelwert ungef¨ ahr bei null bleibt. Dieser Mittelwert ließe sich auf noch niedrigere Werte dr¨ ucken, indem man die Zahl n max der Teilchen erh¨oht. Entscheidend ist auch eigentlich nicht, dass der ermittelte Mittelwert klein (gegen die typischen Einzelwerte) ist, sondern die Tatsache, dass dieser Mittelwert im Grenzfall unendlich großer Ensembles n max→ ∞ verschwindet – davon sollte sich der Leser u ¨berzeugen, indem er Ergebnisse von dem auf der CD beﬁndlichen Programm rw1.cpp f¨ ur mehrere Werte von n max vergleicht.

4.6 Der Random-Walk 0.01

100

(a)

x

(b)

2

x

0.0

157

50

-0.01

0 0

25

50

75

n

100

0

25

50

75

100

n

Abb. 4.1. Mittelwert (a) und Varianz (b) des Aufenthaltsortes eines Teilchens beim Random-Walk. Das Ensemble umfasst 106 Teilchen

Der lineare Verlauf (mit der vorhergesagten Steigung von 1) im rechten Diagramm (Abb. 4.1(b)) entspricht genau unseren Erwartungen, so dass wir uns eigentlich sicher sein k¨ onnen, die Grundform des Random-Walk richtig implementiert zu haben. Schauen wir uns jedoch das Histogramm das Endzustandes an:

Abb. 4.2. Histogramm des Endzustandes nach einem RandomWalk (n=100, n max=106 ), wobei die Schrittweite beim Einzelschritt ±1 betr¨ agt. Zum Vergleich wurde eine Gaußfunktion mit gleicher Varianz eingezeichnet

Wenn wir genau hinsehen, stellen wir fest, dass das Histogramm keine glatte Kurve ist, sondern eine Reihe von Spitzen bei den geraden Zahlen, was vielleicht nicht das ist, was Sie erwartet h¨ atten. Das muss aber so sein, weil –

die Wahrscheinlichkeitsverteilung nur auf der Menge der ganzen Zahlen deﬁniert ist, eine glatte Funktion also gar nicht im Bereich des m¨oglichen liegt, – unser Teilchen vom Ursprung startend eine gerade Zahl von Spr¨ ungen um eine Einheit gemacht hat und sich deshalb nicht an einem ungeraden n beﬁnden kann. Aus diesem Grund wollen wir unser Modell f¨ ur den Random-Walk sp¨ater verbessern, bevor wir es zur Analyse physikalischer Fragestellungen verwenden werden. Zun¨ achst jedoch werden wir an diesem einfachsten Beispiel noch

158

4 Statistische Physik

die Mastergleichung erarbeiten und in einem Computerprogramm implementieren. 4.6.2 Mastergleichung des Random-Walks Die Mastergleichung ist, wie schon gesagt, die Bewegungsgleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsverteilung P , die angibt mit welcher Wahrscheinlichkeit man das Teilchen an einem bestimmten Ort ﬁndet. Da sich das Teilchen in unserem Fall aufgrund der festgeschriebenen Schrittweite von ±1 immer nur bei 0, ±1, ±2, . . . aufhalten kann, ist auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung P nur an diesen diskreten Punkten deﬁniert. Da außerdem die Schritte nur zu festgelegten Zeiten 1, 2, . . . erfolgen, ist auch die Zeit diskret. Zusammengefasst hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung P also zwei diskrete Argumente, wovon eines der Zeit und das andere dem Ort entspricht. Die Mastergleichung muss nun angeben, wie man aus allen P (n, m) zu einem festen Zeitpunkt n die Verteilung P (n + 1, m) zum n¨achsten Zeitpunkt ausrechnet. In unserem Fall ist das verh¨ altnism¨aßig einfach, da sich ein Teilchen nur dann am Ort m beﬁnden kann, wenn es zum vorhergehenden Zeitpunkt am Ort m − 1 war und es einen Schritt nach rechts gemacht hat, oder – es zum vorhergehenden Zeitpunkt am Ort m + 1 war und es einen Schritt nach links gemacht hat. –

Da die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur einen Schritt nach links bzw. nach rechts beide 1/2 sind, ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Zeitpunkt n + 1 als: P (n + 1, m) =

1 [P (n, m − 1) + P (n, m + 1)] . 2

(4.33)

Das ist bereits die gesuchte Mastergleichung, deren Umsetzung in ein Computerprogramm keine besonderen Schwierigkeiten bereitet: 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: master1.cpp * * Zweck: Loest die Mastergleichung des Random-Walk - ohne Skalierung * * verwendete Bibliothek: keine * **************************************************************************/

6 7 8 9 10

#include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

11 12

using namespace std;

13 14

int main( int argc, char *argv[] )

15 16 17

{ const int n_max = 100;

4.6 Der Random-Walk

159

18 19 20 21 22 23

//-- Definition der Variablen int n, n_step, n_step_max; double P[n_max], P1[n_max], x, xmean, xvar, sum1, sum2; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

24 25 26 27 28 29 30

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<4) { cout << " Aufruf: master1 infile outfile\n"; exit(1); }

31 32 33 34 35 36 37

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von master1.cpp\n"; inout(n_step_max,"n_step_max"); in_stream.close();

38 39 40 41

//-- Anfangsbedingungen for (n=0; n
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61

//-- Zeitschleife -for (n_step=1; n_step<=n_step_max; n_step++) { P1[0] = 0.5 * P[1]; P1[n_max-1] = 0.5 * P[n_max-2]; for (n=1; n
62 63

out_stream.close();

64 65 66 67 68 69 70 71

out_stream.open(argv[3]); for (n=0; n
Wenn wir dieses Programm rechnen lassen, stellen wir fest, dass der lineare Anstieg der Varianz mit der Zeit perfekt, d.h. ohne statistisches Rauschen wiedergegeben wird. Der Grund liegt nat¨ urlich darin, dass die Bewegungsglei-

160

4 Statistische Physik

chung f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsverteilung P kein stochastisches Element enth¨ alt, sondern der stochastische Charakter des Random-Walks lediglich darin zum Ausdruck kommt, dass die Verteilung P nicht scharf sondern verschmiert ist. Zumindest wenn wir die Mastergleichung numerisch l¨osen, haben wir diesen enormen Vorteil mit zwei Nachteilen erkauft: –

Anstatt der L¨osung einer Bewegungsgleichung haben wir es nun mit einem System gekoppelter Gleichungen zu tun. Insbesondere bei Systemen mit mehreren dynamischen Variablen steigt der numerische Aufwand enorm an, weil die Wahrscheinlichkeitsverteilung ein mehrdimensionales Feld darstellt. – Die numerisch gewonnene L¨ osung ist nur richtig, solange die Wahrscheinlichkeitsverteilung P nicht den Rand des ber¨ ucksichtigten r¨aumlichen Bereiches erreicht. Im vorliegenden Fall ist das der Fall, solange n step < n max ist. Neben der Entwicklung des Mittelwertes und der Varianz liefert das Programm master1.cpp auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung P selbst, die unserem Histogramm in Abb. 4.2 entspricht:

Abb. 4.3. Wahrscheinlichkeitsverteilung des Endzustandes nach einem RandomWalk, wobei die Schrittweite beim Einzelschritt ±1 betr¨ agt. Die durchgezogene Linie ist eine Gaußfunktion mit der selben Varianz

Der Vorteil der L¨ osung der Mastergleichung statt der stochastischen Differentialgleichung liegt darin, dass man nicht gezwungen ist, sehr große Ensembles zu benutzen, um zu genauen Ergebnissen zu gelangen. Man l¨ost eine Bewegungsgleichung und erh¨ alt ein im Rahmen der Rechengenauigkeit exaktes Ergebnis. 4.6.3 Verbesserung des Random-Walk-Modells Sowohl in Abb. 4.2 als auch in Abb. 4.3 spiegelt sich eine Unzul¨anglichkeit unseres bisherigen Modells wieder, die wir bereits angesprochen haben: Zu einem gegebenen Zeitpunkt h¨ alt sich das Teilchen entweder nur an einem

4.6 Der Random-Walk

161

geraden oder nur an einem ungeraden Ort auf – das heißt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung P diesen untypischen, gezackten Verlauf hat, der in den beiden Abbildungen zum Ausdruck kommt. Als Verbesserung bietet sich an, neben den beiden Spr¨ ungen um ±1 auch zu erlauben, dass das Teilchen an seinem Ort verweilt. Dies ist Gegenstand ¨ ¨ der Ubungsaufgabe 4.1. Hier wollen wir sofort den Ubergang zu Gauß-f¨ormig verteilten Sprungweiten machen. Dies bedeutet, dass wir lediglich die Zeilen ... 65 66 67

rand = gsl_rng_uniform (r); if (rand > 0.5) dx = 1; else dx = -1;

... im Programm rw1.cpp durch ... 65

dx = gsl_rng_gaussian(r,dv_0);

... ersetzen m¨ ussen. Sie ﬁnden das so entstandene Programm als rw2.cpp auf der beigelegten CD-ROM. Dabei haben wir gleichzeitig die Gr¨oße unseres Ensembles drastisch reduziert (von 106 auf 104 Teilchen), um im zugeh¨origen Histogramm des Endzustandes (Abb. 4.4) u ¨berhaupt einen Unterschied zwischen dem Ergebnis der Simulation (durchgezogene Kurve) und der theoretischen Vorhersage (eine Gaußfunktion, gestrichelte und d¨ unner gezeichnete Kurve) zu sehen.

Abb. 4.4. Histogramm des Endzustandes nach einem Random-Walk, wobei die Schrittweite beim Einzelschritt Gauß-f¨ ormig verteilt ist. Zum Vergleich wurde gestrichelt die vorhergesagte Gaußfunktion eingezeichnet

Zu einer kompletten Implementierung ist es jedoch noch n¨otig, dass wir die Verbindung zu einer physikalischen Problemstellung herstellen – dabei werden wir feststellen, dass wir uns noch Gedanken u ¨ber die korrekte Skalierung der Sprungweite mit dem Zeitintervall ∆t machen m¨ ussen, die wir bisher einfach zu 1 gesetzt hatten.

162

4 Statistische Physik

Als naheliegendste Realisation w¨ ahlen wir die Diﬀusion, genauer gesagt die Bewegung eines freien Teilchens, bei dem nicht wie bisher dessen Ort sondern dessen Geschwindigkeit einer Diﬀusion gem¨aß v 2 = Dt

(4.34)

unterliegt. Unser Teilchen bekommt nun also St¨oße, bei denen sich dessen Geschwindigkeit stochastisch ¨ andert. Diese f¨ uhren zu einem nicht deterministischen Term in der Bewegungsgleichung d v = ξ(t) , dt

(4.35)

f¨ ur die Geschwindigkeit v, die wir der Einfachheit halber skalar ansetzen, was physikalisch bedeutet, dass wir die Bewegung auf eine Raumdimension reduzieren. In (4.35) haben wir uns dar¨ uber hinaus auf eine freie Bewegung eingeschr¨ ankt, so dass die Bewegungsgleichung keinen determinstischen Anteil hat. Der stochastische Term ξ(t) ist mittelwertsfrei ξ(t) = 0

(4.36)

und h¨ angt streng genommen von den Details beim Stoß ab, in vielen F¨allen ist jedoch die Markov-N¨ aherung erlaubt: ξ(t)ξ(t ) = D δ(t − t ) .

(4.37)

Integrieren wir (4.35) u ¨ber ein kleines Zeitintervall ∆t so erhalten wir: t+∆t

dt ξ(t )

v(t + ∆t) = v(t) +

(4.38)

t

= v(t) + Λ(∆t) .

(4.39)

Die neu deﬁnierte Gr¨ oße Λ enth¨ alt die u ¨ber das Zeitintervall [t, t + ∆t] akkumulierten St¨ oße und ist selbst eine Zufallszahl mit Gauß-f¨ormiger Wahrscheinlichkeitsverteilung. F¨ ur die Implementierung im Computerprogramm ben¨ otigen wir den Mittelwert t+∆t

dt ξ(t )

Λ =

(4.40)

t

=0

(4.41)

sowie die Varianz t+∆t

Λ = 2

t+∆t

dt ξ(t )ξ(t )

dt t

= D∆t .

(4.42)

t

(4.43)

4.6 Der Random-Walk

163

Da die Standardabweichung die Wurzel der Varianz ist, bedeutet (4.43), dass die Schrittweite nur mit der Wurzel von ∆t zunimmt – und nicht proportional zu ∆t, wie es bei deterministischen Prozessen der Fall ist. Das entsprechende Programm ﬁnden Sie als rw3.cpp auf der CD: 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: rw3.cpp * * Zweck: Simuliert den Random-Walk - mit Skalierung * * verwendete Bibliothekl: GSL * **************************************************************************/

6 7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

13 14

using namespace std;

15 16

int main( int argc, char *argv[] )

17 18 19 20

{ const int N_max = 1000000; const int n_bins = 100;

21 22 23 24 25 26 27 28 29

//-- Definition der Variablen int histo[2*n_bins+1], N, n, n_step, n_step_max; double x[N_max][2], xmean, xvar, vmean, vvar, D, t_max, t, dt; double sum1, sum2, sum3, sum4, dx, dv, dv_0, d_bins; ifstream in_stream; ofstream out_stream1, out_stream2; const gsl_rng_type * T; gsl_rng * r;

30 31 32 33 34 35 36 37 38

//-- Fehlermeldung, if (argc<4) { cout << " Aufruf: cout << " cout << " exit(1); }

wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben

rw3 infile1 outfile1\n"; outfile1: Zeitentwickl. von Mittelwert und Varianz\n"; outfile2: Histogramm der Schlussverteilung\n";

39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

wurden

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream1.open(argv[2]); out_stream2.open(argv[3]); in_stream >> D; in_stream >> t_max; in_stream >> dt; in_stream.close(); out_stream1 << "! Ergebnis-Datei generiert von rw3.cpp\n"; out_stream1 << "! D = " << D << "\n"; out_stream1 << "! t_max = " << t_max << "\n"; out_stream1 << "! dt = " << dt << "\n"; out_stream2 << "! Ergebnis-Datei generiert von rw3.cpp\n"; out_stream2 << "! D = " << D << "\n"; out_stream2 << "! t_max = " << t_max << "\n";

164 54 55 56

4 Statistische Physik out_stream2 << "! dt = " << dt << "\n"; n_step_max = t_max / dt; dv_0 = D * sqrt(dt);

57 58 59 60 61

//-- Initialisierung des Zufallszahlengenerators gsl_rng_env_setup(); T = gsl_rng_default; r = gsl_rng_alloc (T);

62 63 64 65

//-- Anfangsbedingungen t = 0; for (n=0; n
66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

//-- Zeitschleife -for (n_step=1; n_step<=n_step_max; n_step++) { t = t+dt; sum1 = 0; sum2 = 0; sum3 = 0; sum4 = 0; for (N=0; N
87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

for (n=0; n<=2*n_bins+1; n++) histo[n] = 0; d_bins = sqrt(xvar) * 5 / n_bins; for (N=0; N=0) && (n<=2*n_bins+1)) histo[n]++; } for (n=0; n<=2*n_bins+1; n++) out_stream2 << (n-n_bins) * d_bins << " " << histo[n] / N_max / d_bins << " " << exp( -(sqr(n-n_bins)*d_bins) / 2 / xvar ) / sqrt( 2 * pi * xvar );

99 100 101 102

out_stream1.close(); out_stream2.close(); }

Die Ergebnisse dieses Programms sind in Abb. 4.5 dargestellt: Unter Umst¨ anden u ¨berraschen Sie zwei Details in Abb. 4.5: – die lineare Drift im Mittelwert x des Ortes (Abb. 4.5(a)), – das quadratische Ansteigen der Varianz x2 mit der Zeit t (Abb. 4.5(b)). Um die lineare Drift des Ortsmittelwertes zu verstehen, betrachten Sie bitte die Zeitentwicklung von v in Abb. 4.5(c): Durch die endlichen Gr¨oße des

4.6 Der Random-Walk 0.0

x

(a)

x

165

2

(b)

2000

-0.02 1000 -0.04 0 0

5

10

0

5

t

t

(c)

0.0

v

10

2

v

(d)

75 50

-0.005

25 -0.01 0 0

5

10

0

t

5

10

t

Abb. 4.5. Mittelwert und Varianz von Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens, das eine Geschwindigkeitsdiﬀusion erf¨ ahrt.

betrachteten Ensembles ist dieser Mittelwert nicht exakt null, sondern ﬂuktuiert, wobei er in unserem Beispiel u ¨berwiegend negative Werte annimmt. Da sich der Ort durch Integration t x(t) =

dt v(t )

(4.44)

0

ergibt, driftet der Ortsmittelwert langsam in den negativen Bereich. Sie sollten anhand der Beispielprogramme u ufen, dass bei einer anderen Initia¨berpr¨ lisierung des Zufallszahlengenerators diese Drift auch in Richtung positiver Werte erfolgen kann und dass deren Steigung mit gr¨oßer werdendem Ensemble abnimmt. Um die quadratische Zunahme von x2 zu verstehen, muss man sich klar machen, dass Ort und Geschwindigkeit des Teilchens nicht statistisch unabh¨ angig sind, sondern sich auf der positiven x−Achse u ¨berwiegend Teilchen mit positiver Geschwindigkeit beﬁnden, w¨ ahrend auf der negativen x−Achse u ¨berwiegend Teilchen mit negativer Geschwindigkeit sind. Diese Teilchen behalten im Mittel ihre Geschwindigkeit bei, wandern also nach rechts bzw. links und f¨ uhren zu einem quadratischen Anwachsen der Varianz des Ortes. Um diese Argumentation zu untermauern, f¨ ugen wir einen Programmabschnitt ein, der eben diese Korrelation vx − v x zwischen Ort und Geschwindigkeit berechnet. Dazu f¨ uhren wir zus¨ atzlich zu den Variablen sum1 bis sum4 eine Variable sum5 ein, die entsprechend sum5 = sum5 + x(n,1) * x(n,2)

166

4 Statistische Physik

aufsummiert wird. Daraus erhalten wir die gesuchte Korrelation corr corr = sum5 / dfloat(n_max) - xmean*vmean

Betrachten wir diese Korrelation in Abh¨ angigkeit von der Zeit, so erhalten wir Abb. 4.6, der wir entnehmen, dass v und x tats¨achlich stark korreliert sind. Die Tatsache, dass die Korrelation positiv ist, bedeutet, dass Teilchen

vx 40 20 0 0

5

10

t Abb. 4.6. Korrelation zwischen Ort und Geschwindigkeit eines freien Teilchens, das einer Geschwindigkeitsdiﬀusion unterliegt.

mit positiver Geschwindigkeit am wahrscheinlichsten rechts vom Ursprung und Teilchen mit negativer Geschwindigkeit am wahrscheinlichsten links vom Ursprung anzutreﬀen sind. Ein Problem stellt die Tatsache dar, dass die Varianz der Geschwindigkeit ohne Beschr¨ ankung linear anw¨ achst, denn diese Gr¨oße ist direkt mit der mittleren kinetischen Energie verkn¨ upft: 1 1 Ekin = mv 2 = mv 2 2 2

(4.45)

Dass die mittlere Energie immer weiter anw¨ achst, ist nat¨ urlich nicht akzeptabel und stellt einen Fehler unseres Modells dar, den wir erst korrigieren m¨ ussen, bevor wir den gewonnenen Ergebnissen vertrauen k¨onnen. Zu diesem Zweck erinnern wir uns an die Einsteinsche Interpretation der Brownschen Bewegung: die relativ großen, sichtbaren Teilchen erhalten St¨oße durch andere, kleine und deswegen nicht wahrnehmbare Teilchen. Nach heutigem Sprachgebrauch bilden diese kleinen Teilchen ein Reservoir, das als so groß angenommen wird, dass es durch die sichtbaren Teilchen nicht beeinﬂusst wird. Wir m¨ ussen nun einige Eigenschaften dieses Reservoirs kennen, ohne dass wir uns jedoch f¨ ur die Dynamik der einzelnen Teilchens des Reservoirs zu interessieren brauchen. Grunds¨ atzlich geht man davon aus, dass das Reservoir im thermischen Gleichgewicht ist, was bedeutet, dass die Geschwindigkeitsverteilung in ihm Gauß-f¨ ormig ist. Wenn wir dar¨ uber hinaus annehmen, dass sich das Reservoir in Ruhe beﬁndet und nur aus einer Teilchensorte besteht, wird es durch nur zwei Parameter beschrieben: seiner Temperatur und der Masse seiner Teilchen.

4.6 Der Random-Walk

167

Betrachten wir nun etwas genauer die St¨ oße zwischen den sichtbaren Teilchen, die uns interessieren, und den nicht mehr wahrnehmbaren Teilchen. Wie stark dieser Stoß ist und welche Richtung der Impuls¨ ubertrag hat, h¨angt sowohl von der relativen Geschwindigkeit als auch vom sogenannten Stoßparameter ab. Dieser Stoßparameter ist der Abstand, in dem der Schwerpunkt des einen Teilchens an dem des anderen vorbeiﬂiegen w¨ urde, wenn es keine Wechabe (es also zu gar keinem Stoß selwirkung zwischen den beiden Teilchen g¨ kommen w¨ urde). In einer Dimension gibt es diesen Stoßparameter nat¨ urlich nicht, dort ist per deﬁnitionem jeder Stoß zentral. Um diese St¨ oße korrekt abzubilden, m¨ ussten wir streng genommen f¨ ur jede Relativgeschwindigkeit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Stoß mit einem bestimmten Impuls¨ ubertrag stattﬁndet – bzgl. dieser Vorgehensweise verweisen wir auf Abschn. 4.8. Wir vereinfachen das Modell jedoch dahingehend, dass die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Stoß unabh¨ angig von der Relativgeschwindigkeit ist und der Impuls¨ ubertrag ein bestimmter Prozentsatz der Relativgeschwindigkeit ist. Die erste Annahme ist sicherlich nie erf¨ ullt und auch die zweite Annahme ist nur in eindimensionalen Situationen erf¨ ullt, in denen jeder Stoß zentral ist. Trotzdem wollen wir dieses stark vereinfachte Modell analysieren und werden feststellen, dass es eine erstaunlich gute Beschreibung der Realit¨ at liefert. Zun¨ achst jedoch m¨ ussen wir uns u ¨berlegen, wie wir den obigen Annahmen in einem Algorithmus gerecht werden k¨ onnen: Als erstes bestimmt ein Zufallszahlengenerator die Geschwindigkeit v1 des stoßenden Teilchens. Da sich das Reservoir im thermischen Gleichgewicht beﬁndet und keine zus¨ atzliche Driftgeschwindigkeit aufweist, m¨ ussen diese Zufallszahlen Gauß-f¨ ormig um den Ursprung verteilt sein. – Durch Subtraktion der Geschwindigkeit v2 des gestoßenen Teilchens erhalten wir daraus die Relativgeschwindigkeit:

–

vrel = v2 − v1 . –

(4.46)

Da der Impuls¨ ubertrag proportional zu vrel sein soll, m¨ ussen wir jetzt nur noch mit einem festen Faktor multiplizieren, der zum einen von der H¨ auﬁgkeit von St¨ oßen und zum anderen vom Massenverh¨altnis des (sichtbaren) gestoßenen und der (unsichtbaren) stoßenden Teilchen abh¨angt.

Wir erkennen die Implementation dieser Vorgehensweise beim Programm rw4.cpp in Zeile 70: 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: rw4.cpp * * Zweck: Simuliert den Random-Walk - mit Skalierung * * verwendete Bibliothekl: GSL * **************************************************************************/

6 7

#include

168 8 9 10 11 12

4 Statistische Physik #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

13 14

using namespace std;

15 16

int main( int argc, char *argv[] )

17 18 19 20

{ const int N_max = 1000000; const int n_bins = 100;

21 22 23 24 25 26 27 28 29

//-- Definition der Variablen int histo[2*n_bins+1], N, n, n_step, n_step_max; double x[N_max][2], xmean, xvar, vmean, vvar, sum1, sum2, sum3, sum4; double t_max, t, dt, prob, v_therm, kick_strength, d_bins, dx, dv; ifstream in_stream; ofstream out_stream, out_stream2; const gsl_rng_type * T; gsl_rng * r;

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

//-- Fehlermeldung, if (argc<4) { cout << " Aufruf: cout << " cout << cout << " exit(1); }

wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden

rw4 infile1 outfile1\n"; outfile1: Zeitentwicklung von Mittelwert"; " und Varianz\n"; outfile2: Histogramm der Schlussverteilung\n";

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream2.open(argv[2]); inout(v_therm,"v_therm"); inout(kick_strength,"kick_strength"); inout(prob,"prob"); inout(t_max,"t_max"); inout(dt,"dt"); in_stream.close(); n_step_max = t_max / dt; prob = prob * dt;

51 52 53 54 55

//-- Initialisierung des Zufallszahlengenerators gsl_rng_env_setup(); T = gsl_rng_default; r = gsl_rng_alloc (T);

56 57 58 59

//-- Anfangsbedingungen t = 0; for (N=0; N
60 61 62 63 64 65 66

//-- Zeitschleife -for (n_step=1; n_step<=n_step_max; n_step++) { t = t+dt; sum1 = 0; sum2 = 0; sum3 = 0; sum4 = 0;

4.6 Der Random-Walk 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

169

for (n=0; n
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91

for (n=0; n<=2*n_bins+1; n++) histo[n] = 0; d_bins = sqrt(xvar) * 5 / n_bins; for (N=0; N=0) && (n<=2*n_bins+1)) histo[n]++; } out_stream.close(); out_stream2.close(); }

Betrachten wir nun in Abb. 4.7 wieder die Zeitentwicklung von Ort und ¨ Impuls (jeweils Mittelwert und Varianz) so sehen wir, dass nach einer Ubergangszeit, in der die Varianz der Geschwindigkeit linear anw¨achst, diese dann 100

(a)

0.002

x

x

(b)

2

0.0

50

-0.002 0 0

5

10

0

5

t

v

t

(c)

0.002

10

2

3

(d)

v

0.0

2

-0.002

1

-0.004 0 0

5

10

t

0

5

10

t

Abb. 4.7. Zeitentwicklung von Mittelwert und Varianz des Aufenthaltsortes und der Geschwindigkeit eines Teilchens mit einer – einigermaßen – realistischen Modellierung der Brownschen Bewegung.

170

4 Statistische Physik

einen stabilen Wert annimmt (Abb. 4.7(d)). Außerdem nimmt danach die Varianz des Ortes (Abb. 4.7(b)) nur noch linear und nicht mehr quadratisch zu. Das ist das Verhalten, wie es ein Brownsches Teilchen in der Realit¨at wirklich zeigt!

4.7 Thermisches Hu ¨ pfen Im vorangegangenen Abschnitt haben wir den Grundstein f¨ ur nichttriviale Probleme aus der statistischen Physik gelegt, auf dem wir nun aufbauen wollen. W¨ ahrend die Beispiele des letzten Abschnittes jedoch noch analytisch l¨osbar waren (also eigentlich gar keiner numerischen Behandlung bedurften), wenden wir uns nun Problemen zu, die ohne Hilfe des Computers nicht mehr gel¨ ost werden k¨ onnen. Dabei werden wir feststellen, dass wir unsere Grundprogramme nur geringf¨ ugig ver¨ andern m¨ ussen! Das Problem, dem wir uns nun zuwenden wollen, ist thermisches H¨ upfen. Stellen wir uns dazu ein Teilchen vor, das sich unter dem Einﬂuss einer Kraft bewegt, die wir als Gradient eines Potentials beschreiben k¨onnen. Dieses Potential soll mehrere Minima (also stabile Gleichgewichtszust¨ande) besitzen. Wenn das Teilchen nun in einem dieser Minima ruht, wird es dort f¨ ur immer verharren. Wenn wir uns jedoch vorstellen, dass es durch andere Teilchen gestoßen wird, kann es durch diese St¨ oße dieses Minimum verlassen und eventuell in einen anderen stabilen Zustand gelangen. Die Modiﬁkation gegen¨ uber rw3.cpp besteht lediglich darin, dass wir zu der statistischen Bewegung eine deterministische hinzuf¨ ugen – wir ersetzen also nur die Zeilen, in denen dv berechnet wird, durch: dv = (gsl_ran_gaussian(r,v_therm) - x[N][1]) * kick_strength + dv_det(x[N][0]);

Der deterministische Anteil h¨ angt nur vom Ort des Teilchens ab, da wir die Bewegung in einem zeitunabh¨ angigen Potential zugrunde legen wollen – die Verallgemeinerung auf zeitabh¨ angige Potentiale oder auf Kr¨afte, die nicht durch ein Potential beschrieben werden k¨ onnen, stellt jedoch kein gr¨oßeres Problem dar. Nun m¨ ussen wir noch das Potential festlegen, in dem sich das Teilchen bewegen soll. Grunds¨ atzlich sind alle Potentiale geeignet, die mehrere Minima haben – wir w¨ ahlen hier ein Polynom 4. Ordnung mit zwei unterschiedlich tiefen Minima (siehe Abb. 4.8): V (x) =

4 n=0

mit

an xn .

(4.47)

4.7 Thermisches H¨ upfen

171

Abb. 4.8. Potentialverlauf f¨ ur ein Brownsches Teilchen.

a2 = −0.5

(4.48)

a3 = −0.01 a4 = 0.005 .

(4.49) (4.50)

Die beiden verbleibenden Koeﬃzienten a0 und a1 sind null. Als letztes m¨ ussen wir noch einige Gedanken darauf verwenden, was wir als Anfangsverteilung P (x, t = 0) w¨ ahlen wollen und welche Variablen wir ausgeben wollen, um das H¨ upfen zu verfolgen. Als Ausgangssituation w¨ahlen wir sinnvollerweise, dass das Teilchen in einem der beiden Minima ruht. Um zu erreichen, dass das Teilchen mit einer m¨ oglichst hohen Wahrscheinlichkeit seine Ausgangsposition verl¨ asst und in die andere Potentialmulde h¨ upft, w¨ahlen wir als Anfangsort das ﬂachere der beiden Potentialminima, also das linke. Unser Programm soll dann zum einen f¨ ur jeden Zeitpunkt die Wahrscheinlichkeit ausgeben, das Teilchen links bzw. rechts zu ﬁnden. Zum anderen m¨ochten wir wenigstens am Ende der Zeitentwicklung auch die komplette Wahrscheinlichkeitsverteilung P (x, tend ) in einer getrennten Ausgabedatei abspeichern. Damit steht unser erstes Programm zum thermischen H¨ upfen: 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: th1.cpp * * Zweck: Simuliert thermisches Huepfen zwischen zwei Potentialminima * * verwendete Bibliothekl: GSL * **************************************************************************/

6 7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

13 14

using namespace std;

15 16 17 18

//-- globale Variablen double dt; double a1, a2, a3, a4;

19 20

//-------------------------------------------------------------------------

172

4 Statistische Physik

21 22

double dv_det(double x)

23 24 25 26 27

{ double a = -2*a2*x - 3*a3*sqr(x) - 4*a4*pow(x,3); return a * dt; }

28 29

//-------------------------------------------------------------------------

30 31

int main( int argc, char *argv[] )

32 33 34 35

{ const int N_max = 1000000; const int n_bins = 100;

36 37

//-- Definition der Variablen

38 39 40 41 42 43 44 45

int histo[2*n_bins+1], n, N, n_step, n_step_max; double x[N_max][2], xmean, xvar, sum1, sum2, sum3, sum4, dx, dv; double v_therm, kick_strength, prob_links, prob_rechts, t_max, t, d_bins; ifstream in_stream; ofstream out_stream; const gsl_rng_type * T; gsl_rng * r;

46 47 48 49 50 51 52

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<4) { cout << " Aufruf: th1 infile outfile1 outfile2\n"; exit(1); }

53 54 55 56 57 58 59 60

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von th1.cpp\n"; inout(v_therm,"v_therm"); inout(kick_strength,"kick_strength"); inout(t_max,"t_max"); inout(dt,"dt"); in_stream.close();

61 62 63 64 65

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter n_step_max = t_max / dt; v_therm = v_therm / sqrt(dt); kick_strength = kick_strength * dt;

66 67 68 69 70 71

//-a1 = a2 = a3 = a4 =

Festlegung des Potentials 0; -0.5; -0.01; 0.005;

72 73 74 75 76

//-- Initialisierung des Zufallszahlengenerators gsl_rng_env_setup(); T = gsl_rng_default; r = gsl_rng_alloc (T);

77 78 79

//-- Anfangsbedingungen t = 0;

4.7 Thermisches H¨ upfen 80 81 82 83 84

for (N=0; N
173

// Potentialmin. // in Ruhe

85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

//-- Zeitschleife -for (n_step=1; n_step<=n_step_max; n_step++) { t = t+dt; sum1 = 0; sum2 = 0; sum3 = 0; sum4 = 0; prob_links = 0; prob_rechts = 0; for (N=0; N
111 112

out_stream.close();

113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125

out_stream.open(argv[3]); for (n=0; n<2*n_bins+1; n++) histo[n] = 0; d_bins = sqrt(xvar) * 5. / float(n_bins); cout << xvar << " " << d_bins << " " << N_max << "\n"; for (N=0; N=0) && (n<2*n_bins+1)) histo[n]++; } for (n=0; n<2*n_bins+1; n++) out_stream << (n-n_bins) * d_bins << " " << histo[n] / float(N_max) / d_bins << "\n";

126 127 128

out_stream.close(); }

Das Programm th1.cpp liefert uns zum einen in der ersten Ausgabedatei den Zeitverlauf der Aufenthaltswahrscheinlichkeit links bzw. rechts (Zeile 109) und zum anderen in der zweiten Ausgabedatei die Wahrscheinlichkeitsdichte P (x) (Zeile 114–127). Wenn wir uns nun zun¨achst die beiden Aufenthaltswahrscheinlichkeiten rechts und links als Funktion der Zeit anschauen (Abb. 4.9), stellen wir fest, dass wie erwartet die Wahrscheinlichkeit links immer mehr abnimmt, w¨ ahrend sie rechts entsprechend zunimmt. Allerdings

174

4 Statistische Physik

sind im station¨ aren Zustand, der sich f¨ ur t → ∞ einstellt, nicht alle Teilchen im tieferen Minimum, vielmehr beﬁnden sich ca. 26% weiterhin auf der rechten Seite. Der Grund hierf¨ ur ist der geringe Unterschied in der Tiefe der beiden Potentialminima, was dazu f¨ uhrt, dass – bei eﬀektiv endlicher Temperatur des Reservoirs – Teilchen auch vom tieferen Minimum in das h¨ohere zur¨ uckh¨ upfen k¨ onnen.

Abb. 4.9. Aufenthaltswahrscheinlichkeit im linken (durchgezogene Linie) bzw. rechten Potentialminimum (gestrichelte Linie) als Funktion der Zeit

F¨ ur t → ∞ stellt sich das thermische Gleichgewicht ein, bei dem die beiden Potentialmulden so besetzt sind, dass sich das thermische H¨ upfen von links nach rechts sowie in der umgekehrten Richtung die Waage halten. Bei t = 300 ist dies bereits sehr gut erf¨ ullt – Abb. 4.10 zeigt uns diese Gleichgewichtsverteilung, wie sie in der zweiten Ausgabedatei von th1.cpp abgespeichert wurde:

Abb. 4.10. Aufenthaltswahrscheinlichkeit P (x), die sich bei t = 300 eingestellt hat

Interessant ist es, das Potential so zu variieren, dass der Potentialunterschied zwischen den beiden Mulden kontrolliert werden kann. Dies ist Gegen¨ stand der Ubungsaufgabe 4.2. Hier jedoch wollen wir das Potential in einer anderen Weise variieren, um uns einer anderen Fragestellung zuzuwenden. Uns interessiert an dieser Stelle die Zeitskala, die das System braucht, um den Gleichgewichtszustand zu erreichen. Dazu betrachten wir Potentiale der Form

4.7 Thermisches H¨ upfen

175

1 V (x) = −ax20 x2 + ax4 . (4.51) 2 angig von a hat dieses Potential zwei gleich tiefe Minima bei x = Unabh¨ ±x0 , an denen das Potential V den Wert −ax40 /2 annimmt. Der Parameter a erlaubt es uns, die H¨ ohe der Potentialbarriere zwischen diesen beiden Minima angig von a den Wert null. zu variieren, denn bei null hat V unabh¨ Wenn wir f¨ ur die Wahscheinlichkeit P1 , das Teilchen links anzutreﬀen, ein exponentielles Zeitverhalten der Form t 1 1 exp − (4.52) P1 (t) = + P1 (0) − 2 τ 2 ansetzen und die Anfangssituation so w¨ ahlen, dass P1 (0) = 1 ist, erhalten wir die f¨ ur das H¨ upfen charakterische Zeit τ aus der Bedingung, dass 1 1 1+ (4.53) P1 (τ ) = 2 e und entsprechend P2 (τ ) =

1 2

1−

1 e

(4.54)

ist. Die Modiﬁkationen, die wir – ausgehend vom Programm th1.cpp – machen m¨ ussen, sind also – Einschr¨ ankung der betrachteten Potentiale auf Potentiale vom Typ (4.51). – Die stochastische Diﬀerentialgleichung wird nicht mehr bis zu einer vorgegebenen Endzeit tend integriert, sondern bis zum ersten Mal P2 den durch (4.54) festgelegten Wert u ¨berschreitet. Sie ﬁnden das entsprechend modiﬁzierte Programm als th2.cpp auf der CDROM zum Buch. Das Ergebnis (Abb. 4.11) zeigt das erwartete starke Ansteigen der H¨ upfzeit τ mit der H¨ ohe der Potentialbarriere, also mit a.

Abb. 4.11. Charakteristische H¨ upfzeit τ als Funktion des Parameters a, der die H¨ ohe der Potentialbarriere charakterisiert

Bei genauem Hinsehen erkennen Sie in Abb. 4.11, dass die Thermalisierung f¨ ur a → 0 nicht verschwindet, was die Tatsache widerspiegelt, dass auch

176

4 Statistische Physik

ohne Barriere das Brownsche Teilchen Zeit braucht, um von seinem Startpunkt in die rechte H¨ alfte des Ortsbereichs zu gelangen. Erstaunlicher ist die Tatsache, dass τ mit wachsendem a zun¨ achst abnimmt und erst ab etwa a = 0.1 ansteigt.

4.8 Thermalisierung in Gasen ¨ In diesem Abschnitt werden wir uns genauer mit dem Ubergang ins thermische Gleichgewicht besch¨ aftigen und ein mikroskopisches Modell auf der Basis einer Master-Gleichung daf¨ ur aufstellen und behandeln. Dabei werden wir uns auf einatomige Gase beschr¨ anken. Bei ihnen gibt es nur translatorische Freiheitsgrade und die kinetische Energie ist eine Funktion der Geschwindigkeit: 1 (4.55) Ekin = mv 2 . 2 Da wir uns außerdem auf ein freies, homogenes Gas beschr¨anken, reduziert sich unsere Aufgabe darauf, die Geschwindigkeitsverteilung P (v) zu einem ¨ bestimmten Zeitpunkt zu kennen. Der einzige Prozess, der zu Anderungen in dieser Geschwindigkeitsverteilung – und damit zur Thermalisierung – f¨ uhrt, sind St¨ oße der Teilchen untereinander. Da wir rotatorische Freiheitsgrade ausgeschlossen haben und dar¨ uber hinaus annehmen wollen, dass die inneren Freiheitsgrade von Atomen zu hohe Energien erfordern, um angeregt zu werden, sind diese St¨ oße elastisch. Bezeichnen wir mit p(v1 , v2 , ∆v) die H¨ auﬁgkeit f¨ ur St¨ oße zwischen zwei Teilchen mit den Geschwindigkeiten v 1 und v 2 , bei denen der Geschwindigkeits¨ ubertrag vom zweiten auf das erste Teilchen ∆v ist, so erhalten wir f¨ ur P (v) die folgende Master-Gleichung: d P (v) = dv 1 dv 2 p(v 1 , v2 , v − v 1 ) dt − dv 2 d∆v p(v, v 2 , ∆v) . (4.56) Diese spezielle Master-Gleichung f¨ ur die Geschwindigkeitsverteilung in einem Gas wird Boltzmann-Gleichung genannt [27]. Der erste Term beschreibt St¨oße, bei denen eines der beiden Teilchen nach dem Stoß die Geschwindigkeit v hat; der zweite Term enth¨ alt die St¨ oße, bei denen ein Teilchen vor dem Stoß die Geschwindigkeit v hatte. Die H¨ auﬁgkeit von St¨oßen ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, Teilchen mit den erforderlichen Geschwindigkeiten anzutreﬀen. Der Proportionalit¨ atsfaktor – der diﬀerentielle Wirkungsquerschnitt σ – kann aus Symmetriegr¨ unden nur von der Relativgeschwindigkeit v 1 − v 2 und dem Geschwindigkeits¨ ubertrag ∆v abh¨ angen: p(v 1 , v 2 , ∆v) = P (v 1 )P (v 2 ) σ(v 1 − v 2 , ∆v) . Wenn wir dies in (4.56) einsetzen, erhalten wir:

(4.57)

4.8 Thermalisierung in Gasen

d P (v) = dt

177

dv 1 dv 2 P (v 1 )P (v 2 )σ(v 1 − v 2 , v − v 1 ) − dv 2 d∆v P (v)P (v 2 )σ(v − v 2 , ∆v) = dv 1 dv 2 d∆vP (v 1 )P (v 2 )σ(v 1 − v 2 , ∆v) × [δ(v − v 1 − ∆v) − δ(v 1 − v)] .

(4.58)

(4.59)

¨ Dieses Doppelintegral (4.59) k¨ onnen wir durch Ubergang zu den Fouriertransformierten Funktionen P˜ (u) = dv P (v) exp(iuv) (4.60) σ ˜ (u12 , ∆u) = dv 12 d∆v σ(v 12 , ∆v) exp(iu12 v 12 + i∆u∆v) .(4.61) auf ein Einfachintegral reduzieren: d ˜ 1 du1 P˜ (u1 )P˜ (u − u1 ) P (u) = dt (2π)3 ˜ (u − u1 , 0)) . × (˜ σ (u − u1 , u) − σ

(4.62)

¨ Zur besseren Ubersichtlichkeit verzichten wir im weiteren auf die Tilde zur Kennzeichnung, dass die Fouriertransformierten Funktionen gemeint sind. 4.8.1 Energieerhaltung Bevor wir uns an die numerische Implementierung der Bewegungsgleichung (4.62) machen k¨ onnen, m¨ ussen wir noch den Wirkungsquerschnitt σ festlegen. Hierzu m¨ ussen wir uns jedoch zun¨ achst u ¨berlegen, ob dieser diﬀerentielle Wirkungsquerschnitt irgendwelchen Einschr¨ ankungen durch einzuhaltende Erhaltungss¨ atze unterliegt. Die Geschwindigkeiten vor dem Stoß sind v1 bzw v2 vor dem Stoß und v1 + ∆v bzw. v2 − ∆v nach dem Stoß. Wir sehen, dass die Impulserhaltung automatisch erf¨ ullt ist, die Energieerhaltung m¨ ussen wir jedoch durch eine zus¨ atzliche Bedingung sicherstellen: v12 + v22 = (v1 + ∆v)2 + (v2 − ∆v)2 0 = 2(v1 − v2 )∆v + 2∆v 2 2 2 v2 − v1 v2 − v1 = . ∆v − 2 2

(4.63)

∆v liegt also auf einem Kreis um (v2 − v1 )/2, der durch den Ursprung und ubertrag keinen Konﬂikt durch v2 −v1 geht – ersteres besagt, dass kein Impuls¨ mit der Energieerhaltung darstellt, und letzteres besagt, dass auch St¨oße

178

4 Statistische Physik

erlaubt sind, bei denen nachher Teilchen 1 die Geschwindigkeit hat, die vorher Teilchen 2 hatte, und umgekehrt. Wenn wir uns der Anschaulichkeit halber auf zwei Dimensionen beschr¨ anken, so k¨ onnen wir das Fourierintegral von (4.61) auf diesen Kreis beschr¨ anken (bei drei Dimensionen w¨ urde Bedingung 4.63 zu einer Integration u ache f¨ uhren). Dazu f¨ uhren wir die folgenden Winkel ¨ber eine Kugeloberﬂ¨ ein, wobei wir die x-Achse in Richtung des Vektors u12 legen:

Abb. 4.12. Schematische Darstellung zur Berechnung des Wirkungsquerschnittes im Fourierraum

Damit ergibt sich u12 v 12 = u12 v12 cos φ12 (4.64) 1 (4.65) ∆u∆v = ∆u (v 12 + v12 eφ ) 2 1 = ∆uv12 (cos(φ12 − φ∆u ) + cos(φ − φ∆u )) . (4.66) 2 F¨ ur das Integral (4.61) erhalten wir: σ (u12 , ∆u) = dv12 dφ dφ12 σ(v 12 , ∆v(φ12 − φ∆u ), φ12 − φ∆u ) ∆uv12 × exp i u12 v12 cos φ12 (cos(φ12 − φ∆u ) + cos(φ − φ∆u )) 2 dφ dθ σ(v12 , φ ) = dv12 (4.67) ∆uv12 × exp i u12 v12 cos(θ + φ∆u ) + (cos θ + cos(φ + θ)) , 2 wobei wir die Winkel und

φ = φ − φ12 θ = φ12 − φ∆u

(4.68) (4.69)

4.8 Thermalisierung in Gasen

179

eingef¨ uhrt haben. Zun¨ achst u ¨berzeugen wir uns davon, dass der Imagin¨arteil von σ(u12 , ∆u) null ist: dθ σ(v12 , φ ) sin ξ , Im(σ(u12 , ∆u)) = dv12 dφ (4.70) mit ξ = u12 v12 cos(θ + φ∆u ) +

∆uv12 (cos θ + cos(φ + θ)) . 2

(4.71)

Wir m¨ ussen lediglich die Integration u ¨ber θ betrachten. ξ l¨asst sich mittels der Additionstheoreme in die Form ξ = A cos(θ + B)

(4.72)

bringen, wobei uns die Werte von A und B nicht zu interessieren brauchen. Da die Integration u ¨ber θ ohnehin u ¨ber alle Werte von −π bis π geht, k¨onnen wir die Verschiebung B eliminieren und erhalten einen Integranden, der antisymmetrisch in θ ist. Aufgrund des symmetrischen Integrationsbereiches [−π, π] muss das Integral also null ergeben. Schwieriger ist der Realteil von σ(u12 , ∆u), dessen Wert wir numerisch berechnen m¨ ussen. Dazu m¨ ussen wir zun¨ achst den Wirkungsquerschnitt im Geschwindigkeitsraum, dessen genaue Form wir bisher oﬀen gelassen haben, festlegen, z.B.: 2 cos2 (∆φ) (4.73) σ = σ0 exp −αv12 Wenn wir versuchen, das Dreifach-Integral (4.67) direkt numerisch f¨ ur viele Werte von u12 und ∆u zu berechnen, stellen wir schnell fest, dass die ben¨ otigten Rechenzeiten enorm sind. Gl¨ ucklicherweise k¨onnen wir f¨ ur die Abh¨ angigkeit (4.73) des Wirkungsquerschnitts von v12 die Integration u ¨ber uhren, so dass nur ein Doppelintegral verbleibt: v12 analytisch ausf¨ 2 a σ0 π dφ σ(u12 , ∆u) = dθ exp , (4.74) 2 α 4α wobei wir die Abk¨ urzung 1 a = u12 cos(θ + φ∆u ) + ∆u (cos θ + cos(φ + θ)) 2

(4.75)

eingef¨ uhrt haben. Das Programm sigma.cpp berechnet dieses Doppelintegral f¨ ur n3 ∆u n1 ∆u ∆u = ni = −nmax , . . . nmax . (4.76) u12 = n2 ∆u n4 ∆u

180 1 2 3 4 5 6

4 Statistische Physik /************************************************************************** * Name: sigma.cpp * * Zweck: Berechnet den Wirkungsquerschnitt im Fourierraum * * Gleichung: siehe Buch * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13 14 15

#include #include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

16 17

using namespace std;

18 19 20 21

//--globale Variablen double u_12, delta_u, phi_delta, alpha; int count_outer;

22 23 24 25 26 27

//--Parameter fuer die innere bzw. mittlere Integration struct param_type { double theta; };

28 29

//------------------------------------------------------------------------

30 31

double f_inner(double phi_s, void *params)

32 33 34 35

{ double a; double theta

= ((struct param_type *) params) -> theta;

36 37 38 39 40

a = u_12 * cos(theta+phi_delta) + 0.5 * delta_u * (cos(theta)+cos(phi_s+theta)); return 0.5 * sqrt(pi/alpha) * exp(-0.25*sqr(a)/alpha); }

41 42

//------------------------------------------------------------------------

43 44

double f_outer(double theta, void *params)

45 46 47 48 49 50

{ int limit = 1000; double epsabs = 1.e-8, epsrel = 1.e-8; double result, abserr; param_type params_inner;

51 52 53

gsl_integration_workspace *w_inner = gsl_integration_workspace_alloc(10000);

54 55 56 57

gsl_function F_inner; F_inner.function = &f_inner; F_inner.params = ¶ms_inner;

58 59

gsl_integration_qag(&F_inner, -pi, pi, epsabs, epsrel, limit,

4.8 Thermalisierung in Gasen

181

2, w_inner, &result, &abserr);

60 61 62

gsl_integration_workspace_free(w_inner);

63 64 65

return result; }

66 67

//------------------------------------------------------------------------

68 69

main( int argc, char *argv[] )

70 71

{

72 73 74 75 76 77 78 79

//-- Definition der Variablen int limit = 1000; int n, n1, n2, n3, nmax, nmax1; double epsabs = 1.e-5, epsrel = 1.e-5; double result, abserr; double u1, u2, du, dphi, delta_u_array[1001*1001], delta_u_2[1001*1001]; double mu = 10;

80 81 82

ifstream in_stream; ofstream out_stream;

83 84 85 86 87 88 89

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: sigma infile outfile\n"; exit(1); }

90 91 92 93 94 95 96 97 98

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von sigma\n"; inout(alpha,"alpha"); inout(du,"du"); inout(nmax1,"nmax1"); in_stream.close(); out_stream.precision(12);

99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

n = 0; gsl_vector *delta_u_array_sorted = gsl_vector_alloc((nmax1+2)*(nmax1+1)/2); for (n1 = 0; n1<=nmax1; n1++) for (n2 = 0; n2<=n1; n2++) { u1 = n1 * du; u2 = n2 * du; delta_u_array[n] = sqrt( sqr(u1)+sqr(u2) ); gsl_vector_set(delta_u_array_sorted,n,delta_u_array[n]); n++; } nmax = n;

112 113 114 115 116 117 118

size_t nsize = delta_u_array_sorted->size; gsl_permutation * perm = gsl_permutation_alloc(nsize); gsl_permutation * rank = gsl_permutation_alloc(nsize); gsl_sort_vector_index(perm, delta_u_array_sorted); gsl_permutation_inverse(rank,perm);

182 119 120 121 122 123 124 125

4 Statistische Physik delta_u_2[0] = 0; n = 1; for (n1=1; n1<(nmax1+2)*(nmax1+1)/2 ; n1++) if (delta_u_array[perm->data[n1]]!=delta_u_array[perm->data[n1-1]]) { delta_u_2[n] = delta_u_array[perm->data[n1]]; n++; } nmax = n; cout << " nmax = " << nmax << "\n";

126 127 128 129 130 131 132 133

for (n1=0; n1
134 135 136

gsl_integration_workspace *w_outer = gsl_integration_workspace_alloc(10000);

137 138 139 140

gsl_function F_outer; F_outer.function = &f_outer; F_outer.params = μ

141 142 143

gsl_integration_qags(&F_outer, -pi, pi, epsabs, epsrel, limit, w_outer, &result, &abserr);

144 145

gsl_integration_workspace_free(w_outer);

146 147 148 149 150 151

result = 0.5 * result; out_stream << u_12 << " " << delta_u << " " << result << "\n"; } cout << n1 << " " << result << "\n"; }

152 153 154

out_stream.close(); }

In den Funktionen f inner bzw. f outer erkennen Sie den Integranden f¨ ur die innere bzw. ¨ außere Integration, wobei letztere eine Integration u ¨ber f inner beinhaltet. Beachten Sie, dass der Integrand nur von den Betr¨agen angt. Das Programm macht davon insofern Gebrauch, als von u12 und ∆u abh¨ es in den Zeilen 100–111 die vorkommenden Betr¨age sortiert und eventuell mehrfach vorkommende Werte streicht. Im konkreten Fall von nmax = 35 reduziert dies den Aufwand von ca. 1.68 Millionen Berechnungen des Doppelintegrals auf 287296. Nachdem wir nun den Wirkungsquerschnitt im u-Raum kennen, k¨onnen wir die Zeitentwicklung (4.62) selbst implementieren: 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: therm.cpp * * Zweck: Berechnet die Thermalsierung von Gasen im Fourierraum * * Gleichung: siehe Buch * **************************************************************************/

6 7 8

#include #include

4.8 Thermalisierung in Gasen 9 10

183

#include <math.h> #include "tools.h"

11 12

using namespace std;

13 14 15 16 17

//-- globale const int const int const int

Variablen nmax = 35; nmax_sorted = 536; nges = 2*nmax+1;

18 19

//-------------------------------------------------------------------------

20 21

main( int argc, char *argv[] )

22 23

{

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

//-- Definition der Variablen int n1, n2, n3, n4, m1, m2, m3, m4, hit, n_t, n_t_max; double s, sum_real, sum_imag, dt, dv, v1, v2, du, u1, u2, t_max, arg; double N_1, v_1, sigma_1, a_1, N_2, v_2, sigma_2, a_2, v_quer, v2_quer; double min_real, max_imag, sigma[nges][nges][nges][nges]; double P_u_real[nges][nges], P_u_imag[nges][nges]; double P_v_real[nges][nges], P_v_imag[nges][nges]; double dP_dt_real[nges][nges], dP_dt_imag[nges][nges], P_1d[nges]; const double eps = 1.e-4; ifstream in_stream, in_stream2; ofstream out_stream;

36 37 38 39 40 41 42

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<4) { cout << " Aufruf: therm infile1 infile2 outfile\n"; exit(1); }

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); in_stream2.open(argv[2]); out_stream.open(argv[3]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von therm.cpp\n"; inout(N_1,"N_1"); inout(v_1,"v_1"); inout(sigma_1,"simga_1"); inout(N_2,"N_2"); inout(v_2,"v_2"); inout(sigma_2,"sigma_2"); inout(t_max,"t_max"); inout(n_t_max,"n_t_max"); in_stream.close();

53 54 55 56 57 58 59

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -du = 0.4; dt = t_max / n_t_max; dv = pi / du / nmax; a_1 = 0.5 / sqr(sigma_1); a_2 = 0.5 / sqr(sigma_2);

60 61 62 63 64 65 66 67

//-- Zustand im Geschwindigkeitsraum for (n1=-nmax; n1<=nmax; n1++) for (n2=-nmax; n2<=nmax; n2++) { v1 = n1*dv; v2 = n2*dv; P_v_real[n1+nmax][n2+nmax] = N_1 * exp(-a_1*(sqr(v1-v_1)+sqr(v2)))

184 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78

4 Statistische Physik + N_2 * exp(-a_2*(sqr(v1-v_2)+sqr(v2))); P_v_imag[n1+nmax][n2+nmax] = 0; P_u_imag[n1+nmax][n2+nmax] = 0; sum_real = sum_real + P_v_real[n1+nmax][n2+nmax]; } for (n1=-nmax; n1<=nmax; n1++) for (n2=-nmax; n2<=nmax; n2++) { P_v_real[n1+nmax][n2+nmax] = P_v_real[n1+nmax][n2+nmax] / sum_real; P_u_real[n1+nmax][n2+nmax] = P_v_real[n1+nmax][n2+nmax]; }

79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105

//-- Transformation in den u-Raum sum_real = 0; for (n1=0; n1
106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126

//-- Einlesen von sigma im u-Raum cout << "Einlesen!\n"; hit = 0; for (n1 = 0; n1> u1; in_stream2 >> u2; in_stream2 >> s; for (m1 = 0; m1<=nmax; m1++) { if (fabs(m1*du) > u1+eps) break; for (m2 = sqrt(sqr(u1/du)-sqr(m1)); m2<=nmax; m2++) if (fabs(sqrt(sqr(m1*du)+sqr(m2*du)) - u1) < eps) { for (m3 = 0; m3<=nmax; m3++) { if (fabs(m3*du) > u2+eps) break;

4.8 Thermalisierung in Gasen for (m4 = sqrt(sqr(u2/du)-sqr(m3)); m4<=nmax; m4++) if (fabs(sqrt(sqr(m3*du)+sqr(m4*du)) - u2) < eps) { sigma[m1+nmax][m2+nmax][m3+nmax][m4+nmax] = s; sigma[-m1+nmax][m2+nmax][m3+nmax][m4+nmax] = s; sigma[m1+nmax][-m2+nmax][m3+nmax][m4+nmax] = s; sigma[-m1+nmax][-m2+nmax][m3+nmax][m4+nmax] = s; sigma[m1+nmax][m2+nmax][-m3+nmax][m4+nmax] = s; sigma[-m1+nmax][m2+nmax][-m3+nmax][m4+nmax] = s; sigma[m1+nmax][-m2+nmax][-m3+nmax][m4+nmax] = s; sigma[-m1+nmax][-m2+nmax][-m3+nmax][m4+nmax] = s; sigma[m1+nmax][m2+nmax][m3+nmax][-m4+nmax] = s; sigma[-m1+nmax][m2+nmax][m3+nmax][-m4+nmax] = s; sigma[m1+nmax][-m2+nmax][m3+nmax][-m4+nmax] = s; sigma[-m1+nmax][-m2+nmax][m3+nmax][-m4+nmax] = s; sigma[m1+nmax][m2+nmax][-m3+nmax][-m4+nmax] = s; sigma[-m1+nmax][m2+nmax][-m3+nmax][-m4+nmax] = s; sigma[m1+nmax][-m2+nmax][-m3+nmax][-m4+nmax] = s; sigma[-m1+nmax][-m2+nmax][-m3+nmax][-m4+nmax] = s; hit++; break; } } break; }

127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151

}

152 153 154 155 156

185

} } cout << " hit = " << hit << " ( Sollwert: " << pow(nmax+1,4) << ")\n"; in_stream2.close();

157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185

//-- Zeitschleife for (n_t = 1; n_t <= n_t_max; n_t++) { sum_real = 0; sum_imag = 0; for (n1=-nmax; n1<=nmax; n1++) for (n2=-nmax; n2<=nmax; n2++) { dP_dt_real[n1+nmax][n2+nmax] = 0; dP_dt_imag[n1+nmax][n2+nmax] = 0; for (m1=max(-nmax,n1-nmax); m1<=min(nmax,n1+nmax); m1++) for (m2=max(-nmax,n2-nmax); m2<=min(nmax,n2+nmax); m2++) { dP_dt_real[n1+nmax][n2+nmax] = dP_dt_real[n1+nmax][n2+nmax] + P_u_real[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax] * P_u_real[m1+nmax][m2+nmax] * (sigma[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax][n1+nmax][n2+nmax] - sigma[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax][0+nmax][0+nmax]) - P_u_imag[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax] * P_u_imag[m1+nmax][m2+nmax] * (sigma[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax][n1+nmax][n2+nmax] - sigma[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax][0+nmax][0+nmax]); dP_dt_imag[n1+nmax][n2+nmax] = dP_dt_imag[n1+nmax][n2+nmax] + P_u_real[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax] * P_u_imag[m1+nmax][m2+nmax] * (sigma[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax][n1+nmax][n2+nmax] - sigma[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax][0+nmax][0+nmax]) + P_u_imag[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax] * P_u_real[m1+nmax][m2+nmax] * (sigma[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax][n1+nmax][n2+nmax] - sigma[n1-m1+nmax][n2-m2+nmax][0+nmax][0+nmax]); }

186 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197

4 Statistische Physik sum_real = sum_real + sqr(dP_dt_real[n1+nmax][n2+nmax]); sum_imag = sum_imag + sqr(dP_dt_imag[n1+nmax][n2+nmax]); } cout << n_t << " " << sum_real << " " << sum_imag << "\n"; for (n1=-nmax; n1<=nmax; n1++) for (n2=-nmax; n2<=nmax; n2++) { P_u_real[n1+nmax][n2+nmax] = P_u_real[n1+nmax][n2+nmax] + dP_dt_real[n1+nmax][n2+nmax] * dt; P_u_imag[n1+nmax][n2+nmax] = P_u_imag[n1+nmax][n2+nmax] + dP_dt_imag[n1+nmax][n2+nmax] * dt; }

198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244

//-- Ruecktransformation in den v-Raum sum_real = 0; v_quer = 0; v2_quer = 0; min_real = 1.e6; max_imag = 0; for (n1=0; n1max_imag) max_imag = fabs(P_v_imag[n1][n2]); P_1d[n1] = P_1d[n1] + P_v_real[n1][n2]; } out_stream << n1 << " " << P_1d[n1] << "\n"; } cout << " v_quer = " << v_quer << "\n"; cout << " v2_quer = " << v2_quer << "\n"; cout << " min_real = " << min_real << "\n"; cout << " max_imag = " << max_imag << "\n"; }

4.8 Thermalisierung in Gasen

187

245 246 247

out_stream.close(); }

Hierbei haben wir uns, was den Anfangszustand anbelangt, auf zwei additiv u ¨berlagerte Gaußfunktionen festgelegt, deren Mittelwerte und Standardabweichungen (v 1 und sigma 1 bzw. v 2 und sigma 2) aus der Eingabedatei eingelesen werden. Diese Situation deckt bereits zwei physikalisch interessante Problemstellungen ab: –

ein Gasstrom triﬀt auf einen anderen bzw. auf ein ruhendes Gas, wobei die kinetische Energie in W¨ arme umgewandelt wird, – ein Teil des Gases hat eine andere Temperatur als der Rest und das Gemisch thermalisiert. Nachdem wir in Zeile 61–78 den Ausgangszustand im Geschwindigkeitsraum konstruiert haben, m¨ ussen wir diesen in den u-Raum transformieren. Da dies eine Fouriertransformation darstellt, bietet sich hierf¨ ur eigentlich eine FFT (siehe Anhang F) an. Man stellt jedoch fest, dass diese bei einem so kleinen Wert von nmax kein befriedigendes Ergebnis liefert, so dass wir eine zwar langsamere aber etwas genauere Alternative direkt, d.h. ohne Bibliotheksroutine, implementieren (Zeile 80–105). Besondere Aufmerksamkeit verlangt auch das Einlesen des vorher berechneten Wirkungsquerschnitts σ (Zeile 107–154). Da das Programm sigma.cpp diese Werte nach den Betr¨ agen der beiden Argumente u12 und ∆u sortiert abspeichert, m¨ ussen diese nun nach dem Einlesen von therm.cpp wieder umsortiert werden. Die hier gew¨ ahlte Methode ist sicherlich nicht eﬀektiv, aber u ur jeden einge¨berschaubar und einigermaßen sicher: Im Prinzip werden f¨ lesenen Wert f¨ ur alle Kombinationen von u12 und ∆u u uft, ob deren ¨berpr¨ Betr¨ age mit den eingelesenen u ¨bereinstimmt. Etwas beschleunigt wird dieses Verfahren durch einige einfache Bedingungen, unter denen diese Suche abgebrochen werden kann. Zur Sicherheit wird zum Schluss (Zeile 155) u uft, ¨berpr¨ ob jedes Element des Arrays sigma gef¨ ullt wurde. Nun folgt ab Zeile 158 die eigentliche Berechnung der Zeitentwicklung. An dieser Stelle m¨ ussen wir uns fragen, was wir ausgeben wollen. Auf der einen Seite sind dies Kontrollparameter, die wir auf den Bildschirm ausgeben, und anhand derer wir vorab kontrollieren k¨onnen, ob das Ergebnis korrekt sein kann. Auf der anderen Seite sind das die Gr¨oßen, an denen wir letztendlich interessiert sind und die uns einen guten Einblick in die ablaufende Physik geben. Zur Kontrolle eignen sich folgende unmittelbar einsichtige Gesetzm¨ aßigkeiten ussen erhalten bleiben Impulserhaltung: Die Mittelwerte von vx und vy m¨ dabei ist insbesondere die x-Komponente interessant, da deren Mittelwert in der Ausgangsverteilung nicht notwendigerweise null ist. – Energieerhaltung: der Mittelwert von v 2 ist proportional zur Energie und ist deshalb ebenfalls eine Erhaltungsgr¨ oße.

–

188

– –

4 Statistische Physik

Im Geschwindigkeitsraum muss P reell sein. Im Geschwindigkeitsraum darf kein Wert von P negativ werden.

Die letzten beiden Aussagen ergeben sich aus der Wahrscheinlichkeitsinterpretation von P (v). Im Programm u ufen wir dies durch die Variablen ¨berpr¨ v quer (Impulserhaltung), v2 quer (Energieerhaltung), den betragsm¨aßig gr¨ oßten Imagin¨ arteil von P max imag, sowie den kleinsten Realteil von P min real. Schwieriger f¨ allt die Entscheidung, was man letztlich in der Ergebnisdatei haben m¨ ochte. In unserem Fall wollen wir einfach die Verteilung P (vx ) zu verschiedenen Zeitpunkten ausgeben. Dazu projezieren wir die uspr¨ unglich zweidimensionale Verteilung P (v), die im Feld P v real gespeichert ist, auf P 1d. Auf der CD ﬁnden Sie ein kleines Hilfsprogramm extract therm.cpp, das aus der Ergebnisdatei von therm.cpp einzelne Geschwindigkeitsverteilungen P (vx ) extrahiert.

P

0.06

(a)

P

0.03

0.06

(b)

P

0.03

0.0 0

5

vx

(c)

0.03

0.0 -5

0.06

0.0 -5

0

5

vx

-5

0

5

vx

Abb. 4.13. Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung P (vx ) bei der Thermalisierung eines Gases, bei dem ein Teil nach rechs und ein Teil nach links str¨ omt. Links dargestellt ist der Ausgangszustand, in der Mitte die Verteilung bei t = 50 und rechts die Geschwindigkeitsverteilung bei t = 500

In Abb. 4.13 sehen Sie zun¨ achst ganz links die Ausgangsverteilung, die aus zwei getrennten Gaußpaketen besteht: Das linke davon ist der Teil des Gases, der nach links str¨ omt, w¨ ahrend umgekehrt das rechte Gaußpaket zu den Gasmolek¨ ulen geh¨ ort, die nach rechts str¨omen. Im mittleren Bild (in den gew¨ ahlten Zeiteinheiten bei t = 50) sind beide Gaußpakete etwas verbreitert, ihre Position scheint sich aber nicht ver¨andert zu haben. In der Abbildung ganz rechts ﬁnden Sie schließlich den Zustand bei t = 500. Die uspr¨ ungliche Separation in zwei Gaußpakete ist nun verschwunden, und wir haben einen Zustand ¨ ahnlich dem, der sich als Endzustand einstellen wird: eine Gaußverteilung um den Urspung, die jedoch breiter ist als jedes der Anfangspakete ganz links war, da kinetische Energie in W¨arme umgewandelt wurde. Aus der Tatsache, dass die Verteilung auch bei t = 500 noch deutlich von einer Gaußfunktion abweicht, entnehmen wir, dass das thermische Gleichgewicht noch nicht erreicht wurde. Sie werden sich sicherlich fragen, warum wir den Endzustand, das sich einstellende thermische Gleichgewicht in Form einer Gauß-Verteilung, hier nicht zeigen: Der Grund ist, dass einer unserer Kontrollparameter, n¨ amlich v2 quer, der proportial zur Energie

¨ Ubungen

189

ist, eine langsame Drift zu gr¨ oßeren Werten hat. Mit anderen Worten: Die Energie in unserem System ist nicht genau erhalten, sondern steigt durch numerische Fehler langsam an. Da der Grund hierf¨ ur in der Tatsache liegt, dass der von uns ber¨ ucksichtigte Teil des Geschwindigkeitsraumes nur sehr geringe Geschwindigkeiten ber¨ ucksichtigt, kann dieses Problem etwas entsch¨arft werden, indem man die Anfangsverteilungen im Geschwindigkeitsraum sch¨arfer ahlt. Da dies jedoch den Nachteil hat, lokalisiert, also gr¨oßere a 1 und a 2 w¨ dass die Anfangsverteilung im u-Raum ausgedehnter wird und wir dann dort mit denselben Problem konfrontiert werden, verspricht das keine wirkliche L¨ osung dieses Problems. Wenn wir uns hingegen einer anderen Fragestellung zuwenden, die ebenfalls in die Kategorie Thermalisierung in Gasen f¨allt, kann sich die Situation zu unseren Gunsten ver¨ andern. Betrachten wir z.B. die Dynamik in einem ruhenden Gasgemisch, in dem eine chemische Reaktion stattﬁndet, z.B. 2 H2 + O2 → 2 H2 O , dann wird unsere Bewegungsgleichung zwar zun¨achst durch zwei neue Aspekte komplizierter: –

statt einer Teilchensorte haben wir es nun mit drei verschiedenen Gasmolek¨ ulen zu tun, was zur Folge hat, dass wir drei Wahrscheinlichkeitsverteilungen P1 , P2 und P3 unterscheiden m¨ ussen; – wir m¨ ussen auch rotatorische und vibratorische Freiheitsgrade ber¨ ucksichten; – die chemische Reaktion f¨ uhrt zu zus¨ atzlichen Termen in der Mastergleichung. Im Gegenzug kommen wir jedoch in den Genuss einer nicht zu untersch¨atzenden Vereinfachung: aus Symmetriegr¨ unden m¨ ussen alle Wahrscheinlichkeitsonnen also nur von |v| abh¨angen. verteilungen Pi (v) radialsymmetrisch sein, k¨

¨ Ubungen 4.1 Brownsche Bewegung mit diskreten Schritten Im Text betrug die Schrittweite bei der Brownschen Bewegung zun¨achst ±1 und wurde dann durch Gauß-f¨ ormig verteilte Schrittweiten ersetzt, um die in Abb. 4.2 zu erkennende ‘Kammstruktur’ zu eliminieren. Alternativ k¨onnen Sie Schritte mit den Schrittweiten ±1 (jeweils mit Wahrscheinlichkeit p < 1/2) und null (mit Wahrscheinlichkeit 1−2p) w¨ahlen. Das bedeutet, dass dem Teilchen neben der M¨ oglichkeit, nach links und nach rechts zu springen, auch die M¨ oglichkeit einger¨ aumt wird, bei der aktuellen Position zu verharren. Untersuchen Sie die sich ergebende Wahrscheinlichkeitsverteilung f¨ ur

190

4 Statistische Physik

– sehr kleine p, – p = 1/3, – Werte von p, die nur geringf¨ ugig kleiner als 1/2 sind. 4.2 Brownsche Bewegung mit Reibungsterm In Abschn. 4.6 haben wir die Annahme gemacht, dass bei jedem Stoß der Impuls¨ ubertrag proportional zur Relativgeschwindigkeit ist. Durch diese Annahme haben wir ein realistisches Verhalten inklusive dem Erreichen einer thermischen Gleichgewichtsverteilung im Geschwindigkeitsraum erreicht. Alternativ h¨ atten wir die unsichtbaren Teilchen auch als viskose Fl¨ ussigkeit auffassen k¨ onnen, was zu einem Reibungsterm im deterministischen Teil der Bewegungsgleichung f¨ uhrt: dv = −µv . (4.77) dt det ¨ Gehen Sie vom Programm rw4.cpp aus, implementieren Sie die n¨otigen Anderungen und untersuchen Sie das so beschriebene System. 4.3 Random-Walk Eine weitere Annahme in Abschn. 4.6 war, dass die Einzelschritte beim Random-Walk statistisch unabh¨ angig voneinander erfolgen. Diese Bedingung k¨ onnen Sie jedoch fallen lassen und stattdessen annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit nach rechts zu wandern, davon abh¨angt, ob der vorangegangene Schritt ebenfalls nach rechts erfolgte oder nicht. Gehen Sie dazu der Einfachheit halber von rw1.cpp aus und setzen f¨ ur die Wahrscheinlichkeit eines Sprunges nach links

(1/2) + α wenn Sprung n nach rechts erfolgte Pn+1,links = (4.78) (1/2) − α wenn Sprung n nach links erfolgte. Untersuchen Sie insbesondere F¨ alle mit positivem und negativem α. 4.4 Thermisches Gleichgewicht In Abschn. 4.7 haben wir gesehen, dass sich f¨ ur t → ∞ ein Gleichgewicht in der Besetzung der beiden Potentialmulden einstellt. Diese Gleichgewichtsverteilung h¨ angt von dem Potentialunterschied der beiden Minima ab. Schreiben Sie ein Programm, das diese Potentialdiﬀerenz in einer Schleife variiert und jeweils die Besetzung Plinks und Prechts im Gleichgewichtszustand ermittelt.

¨ Ubungen

191

4.5 Thermisches H¨ upfen In Abschn. 4.7 haben wir das thermisches H¨ upfen zwischen zwei Potentialminima betrachtet. Das dort vorgestellte Programm (je nach Fragestellung th1.cpp oder th2.cpp) l¨ asst sich aber leicht auf Potentiale erweitern, die mehr Minima aufweisen, z.B: V (x) = −V0 cos(αx) .

(4.79)

Beachten Sie, dass nun die Unterscheidung links ⇔ rechts zur Positionsbestimmung des Teilchens nicht mehr ausreicht. Untersuchen Sie, wie das Teilchen (ausgehend vom Minimum bei x = 0) zuerst in die beiden benachbarten Minima bei x = ±2π/α wandert, dann zu den u ¨bern¨achsten Minima bei x = ±4π/α und so weiter. Beschreiben Sie den Vorgang durch einen Random Walk mit endlicher, ﬁxer Sprungweite, wie wir es bei rw1.cpp getan haben. 4.6 Boltzmann-Verteilung Beim thermischen H¨ upfen in Abschn. 4.7 haben wir die sich f¨ ur t → ∞ einstellende Gleichgewichtsverteilung bestimmt (Abb. 4.10). Diese Verteilung sollte durch die Formel P (x) =

1 exp(−mβV (x)) N

(4.80)

(Boltzmann-Verteilung) beschrieben werden. N ist dabei ein Normierungsfaktor, der Parameter β = 1/kT (k ist die Boltzamnn-Konstante und T die Temperatur) kann aus der Tatsache bestimmt werden, dass im thermischen Gleichgewicht die mittlere Energie in jedem Freiheitsgrad durch kT /2 gegeben ist: 1 1 mv 2 = kT . (4.81) 2 2 F¨ ugen Sie in das Programm th1.cpp die Zeilen ein, um v 2 zu berechnen und auszugeben. Bestimmen Sie dann mβ und damit die Boltzmann-Verteilung (4.80). Wenn Sie dieses Ergebnis zusammen mit der Endverteilung P (x, tend ) in einem Diagramm darstellen, sollten die beiden Kurven nicht mehr voneinander zu trennen sein.

5 Quantenmechanik

In diesem Kapitel wollen wir in eine Welt eintauchen, die sich erst im letzten Jahrhundert aufgetan hat: der Welt der Quanten. Diese Welt blieb deshalb so lange unentdeckt, weil sie sich meistens erst erschließt, wenn man extrem kleine Objekte betrachtet bzw. es mit extrem niedrigen Energien zu tun hat. Diese Welt des Allerkleinsten scheint sich oft dem gesunden Menschenverstand zu entziehen – was darauf zur¨ uckzuf¨ uhren ist, dass letzterer aus unserer Erfahrungswelt mit normalen Dimensionen entstammt. Trotz seiner scheinbaren Widerspr¨ uche existiert ein – einigermaßen – sauberes mathematisches Modell, das in der Lage ist, alle Experimente mit ihren scheinbaren Widerspr¨ uchen zu beschreiben: die Quantenmechanik.

5.1 Die mathematische Struktur der Quantenmechanik Die mathematische Struktur der Quantenmechanik k¨onnte bereits ein Buch f¨ ur sich f¨ ullen – aus diesem Grund beschr¨ anken wir uns an dieser Stelle auf das N¨ otigste. Ein quantenmechanischer Zustand wird mathematisch durch einen sogenannten Zustandsvektor |ψ repr¨ asentiert. Hierbei haben wir gleich die in der Quantenmechanik u ¨bliche Schreibweise mit einem senkrechten Strich auf der einen Seite und einem nach außen gerichteten Winkel auf der anderen Seite eingef¨ uhrt. Der zu diesen Zustandsvektoren zugeh¨orige Vektorraum heißt Hilbertraum H und kann je nach Problem sehr unterschiedlich aussehen. Seine mathematische Struktur kann zum Beispiel diejenige des C N sein, also des Raumes der Vektoren mit N komplexen Zahlen; sie kann aber auch ¨aquivalent zu der der normierbaren komplexen Funktionen u ¨ber den reellen Zahlen sein.

5.2 Operationen im Hilbertraum In diesem Abschnitt wollen wir in Erinnerung rufen, welche Operationen mit Zustandsvektoren deﬁniert sind. Zum einen kann man zwei beliebige Vektoren des Hilbertraums addieren und diese Summe ist dann wieder ein Vektor des Hilbertraums. Diese Addition ist kommutativ, es gilt also:

194

5 Quantenmechanik

|ψ1 + |ψ2 = |ψ2 + |ψ1 .

(5.1)

Ebenso kann man jeden Vektor des Hilbertraumes mit komplexen Zahlen multiplizieren, und das Ergebnis dieser Multiplikation liegt wieder im Hilbertraum. α|ψ ∈ H . (5.2) Diese Multiplikation ist ebenfalls kommutativ und dar¨ uber hinaus assoziativ, d.h. bei aufeinanderfolgenden Multiplikationen ist die Reihenfolge irrelevant und wir k¨ onnen auch alternativ zuerst die beiden Multiplikatoren miteinander multiplizieren und anschließend das Produkt dieses Ergebnisses mit dem Zustandsvektor bilden: αβ|ψ = βα|ψ = (αβ)|ψ .

(5.3)

Wir k¨ onnen aber auch zwei Vektoren miteinander multiplizieren und erhalten auf diese Weise eine komplexe Zahl, das sogenannte Skalarprodukt. An dieser Stelle m¨ ochten wir die in Abschn. 5.1 eingef¨ uhrte Schreibweise um die f¨ ur den dazugeh¨ origen hermitesch transponierten Vektor erweitern: ψ|. Hiermit schreibt sich das Skalarprodukt zweier Vektoren besonders einfach: ψ1 |ψ2 ∈ C .

(5.4)

Mit der Einf¨ uhrung des Skalarproduktes k¨ onnen wir zwei Begriﬀe aus der Linearen Algebra u bertragen: ¨ –

Die L¨ ange l (oder auch der Betrag) eines Vektors |ψ deﬁniert sich durch l2 = ψ|ψ .

(5.5)

– Zwei Vektoren, deren L¨ angen von null verschieden sind und deren Skalarprodukt null ist, bezeichnen wir als orthogonal. An dieser Stelle nun k¨ onnen wir eine Einschr¨ ankung bez¨ uglich Zustandsvektoren im Hilbertraum machen: Es ist n¨ amlich nicht jeder Vektor des Hilbertraums ein erlaubter Zustandsvektor – vielmehr sind ausschließlich normierte Vektoren als Zustandsvektoren erlaubt. Abschließend wollen wir nun noch lineare Abbildungen innerhalb des Hilbertraumes einf¨ uhren. Eine solche Abbildung l¨ asst sich durch einen (linearen) Operator Aˆ beschreiben, der auf einen beliebigen Vektor des Hilbertraums angewendet einen neuen Vektor ebenfalls aus dem Hilbertraum ergibt: ˆ A|ψ ∈H. (5.6) Der Operatorcharakter wird durch das kleine H¨ utchen u ¨ber dem A explizit zum Ausdruck gebracht. Linear bedeutet in diesem Fall, dass f¨ ur beliebige λ ˆ ˆ A(λ|ψ ) = λ(A|ψ ) (5.7) ˆ ˆ ˆ A(|ψ + |χ ) = A|ψ + A|χ (5.8) gilt.

5.3 Eigenzust¨ ande und ihre Verwendung als Koordinatensysteme

195

F¨ ur das Folgende m¨ ussen wir außerdem festhalten, dass die Operatoren im Hilbertraum nicht unbedingt kommutativ sind, d.h. dass zwischen dem ˆ und B ˆ Aˆ unterschieden werden muss, wie man es z.B. auch von Produkt AˆB Matrizen kennt. Diese Nichtvertauschbarkeit von Operatoren spielt in der Quantenmechanik eine große Rolle, und weil derartige Ausdr¨ ucke sehr oft vorkommen, bekommt die Diﬀerenz ˆ B] ˆ = AˆB ˆ −B ˆ Aˆ [A,

(5.9)

ein eigenes Symbol – eben die eckigen Klammern auf der linken Seite der Gleichung – und wird Kommutator genannt. Bis zu diesem Punkt haben wir gegen¨ uber der klassischen Physik noch nichts Neues eingef¨ uhrt, da wir noch keinerlei Aussagen u ¨ber diese Operatoren getroﬀen haben. Der entscheidende Punkt und der endg¨ ultige Schritt zur Quantenmechanik wird nun durch ein Postulat (also eine prinzipiell nicht beweisbare Behauptung) gemacht: Der Kommutator von Operatoren, die in der klassischen Dynamik kanonisch konjugierte Gr¨oßen sind, ist i¯h, also z.B. [ˆ x, pˆx ] = i¯ h.

(5.10)

Der entsprechende Kommutator bei nicht kanonisch konjugierten Gr¨oßen hingegen soll null sein: [ˆ x, pˆy ] = 0 . (5.11) Abschließend wollen wir noch in Erinnerung rufen, was unter der Funktion eines Operators, z.B. unter sin(d/dx) zu verstehen ist. Die Festlegung ist die, dass solche Funktionen u ¨ber ihre Potenzreihen deﬁniert sind. In unserem Beispiel des Sinus ben¨ otigen wir also zun¨ achst die Potenzreihe der Sinusfunktion ∞ 1 (−1)n z n . (5.12) sin(z) = n! n=0 Wenn wir nun f¨ ur z den Operator d/dx einsetzen, erhalten wir den gesuchten Sinus der ersten Ableitung nach x. Beachten Sie bitte, dass der so gewonnene Operator beliebig hohe Ableitungen nach x enth¨alt!

5.3 Eigenzust¨ ande und ihre Verwendung als Koordinatensysteme Operatoren und Zust¨ ande sind zun¨ achst sehr abstrakte Begriﬀe – zumindest wenn wir konkrete Probleme numerisch l¨ osen wollen, m¨ ussen wir diese in eine in Zahlen gegossene Form bringen. Hierzu wollen wir zun¨achst auf spezielle Zust¨ ande im Hilbertraum eingehen, n¨ amlich die Eigenzust¨ ande zu einem ˆ Dabei handelt es sich um Zust¨ande, die sich bei vorgegebenen Operator A. Anwendung dieses Operators bis auf einen Faktor reproduzieren, also:

196

5 Quantenmechanik

ˆ A|λ = λ|λ .

(5.13)

Der Faktor λ wird in diesem Zusammenhang Eigenwert und (5.13) Eigenwertgleichung genannt, und wir haben die in der Quantenmechanik u ¨bliche Schreibweise benutzt, in der der Eigenzustand |λ durch seinen Eigenwert charakterisiert wird. Trotz der ¨ ahnlichen Schreibweise ist genau zwischen der Zahl λ und dem Zustand |λ zu unterscheiden! Die Situation ist u ¨brigens vollkommen analog zu Eigenvektoren und Eigenwerten zu einer Matrix M , falls Ihnen dies aus der Linearen Algebra vertraut ist. Zun¨ achst ohne Beweis ein paar Fakten u ¨ber Eigenzust¨ande und Eigenwerte, die wir kennen m¨ ussen, um das folgende nachvollziehen zu k¨onnen. Wenn Sie an den Beweisen dieser Behauptungen interessiert sind, ﬁnden Sie diese z.B. in [7] oder [28]. Wenn Sie einen Eigenzustand |λ zu einem Operator gefunden haben, erhalten Sie durch Multiplikation mit einer beliebigen (von null verschiedenen) Zahl α weitere Eigenzust¨ ande α|λ . – Hat man zu einem Eigenwert zwei Eigenvektoren, so ist auch die Summe dieser beiden wieder ein Eigenvektor zum selben Eigenwert. – f¨ ur selbstadjungierte Operatoren stehen Eigenzust¨ande zu verschiedenen Eigenwerte stehen immer senkrecht aufeinander, d.h. ihr Produkt ist null: –

λ1 |λ2 = 0 . –

(5.14)

Die Eigenzust¨ ande einer großen Klasse von Operatoren, n¨amlich der Hermiteschen Operatoren, bilden ein vollst¨ andiges System, d.h. jeder beliebige Zustand l¨ asst sich als Linearkombination dieser Eigenzust¨ande schreiben: ψλ |λ . (5.15) |ψ = λ

–

Die Operatoren zu allen physikalischen Gr¨ oßen sind Hermitesch.

An dieser Stelle wollen wir noch kurz erkl¨ aren, was unter Entartung zu verstehen ist. Die ersten beiden der oben angef¨ uhrten Punkte besagen, dass die Eigenvektoren zu einem Eigenwert unter Hinzunahme des Nullvektors einen (mindestens eindimensionalen) Untervektorraum des Hilbertraums bilden. Falls dieser Raum nun eine Dimension gr¨oßer als eins hat, spricht man von Entartung. Da die Ber¨ ucksichtigung von Entartung in den meisten F¨allen nur einen erh¨ ohten Schreibaufwand darstellt, werden wir dieses Ph¨anomen, wenn nicht explizit erforderlich, vernachl¨ assigen. Wieviele Eigenvektoren (und zugeh¨ orige Eigenwerte) gibt es nun zu einem vorgegebenen Operator? Das h¨ angt ganz vom Operator ab – es gibt Operatoren, zu denen u berhaupt keine Eigenvektoren existieren, es gibt aber auch ¨ Operatoren, die sozusagen die maximal m¨ ogliche Zahl von Eigenvektoren haben, deren Eigenvektoren n¨ amlich eine Basis bez¨ uglich des Hilbertraums

5.4 Orts- und Impulsdarstellung

197

darstellen. Insbesondere geh¨ oren alle Hermiteschen Operatoren in diese Kategorie. Auf diese Weise liefern uns Hermitesche Operatoren eine Basis, in die wir alle Vektoren des Hilbertraums entwickeln k¨onnen. Gegeben sei ein Hermitescher Operator Aˆ mit Eigenwerten a1 , a2 , . . . Da die zugeh¨ origen Eigenvektoren eine Basis bilden ist |ψ = ai |ψ |ai (5.16) i

=

ψi |ai .

(5.17)

i

Hierbei haben wir die Komponenten ψi durch ψi = ai |ψ

(5.18)

deﬁniert. Wir k¨ onnen jedoch nicht nur Zust¨ ande nach einer Basis entwickeln, sondern auch Operatoren: ˆ j |ai aj | ˆ= ai |O|a (5.19) O ij

=

Oij |ai aj | .

(5.20)

ij

Zusammenfassend sind wir nun in der Lage, sowohl Zust¨ande als auch Operatoren des Hilbertraums durch Zahlenwerte, n¨amlich durch Koordinaten bzgl. einer Basis, darzustellen.

5.4 Orts- und Impulsdarstellung Ein wichtiger Spezialfall des letzten Abschnittes ist die Darstellung bzgl. der Eigenzust¨ ande des Orts- bzw. des Impulsoperators. Im Vorgriﬀ auf den n¨ achsten Abschnitt stellen wir hier fest, dass die Eigenwerte der beiden Operatoren die Orts- bzw. die Impulsvektoren sind und damit ein dreidimensionales Kontinuum bilden. Unter Anwendung des vorhergehenden Abschnitts k¨ onnen wir einen beliebigen Zustand also nach Ortseigenzust¨anden (5.21) |ψ = d3 x x|ψ |x = d3 x ψ(x) |x (5.22) oder Impulseigenzust¨ anden

|ψ = =

d3 p p|ψ |p

(5.23)

d3 p ψ(p) |p

(5.24)

198

5 Quantenmechanik

entwickeln, wobei wir jedoch die Summation u ¨ber die Eigenzust¨ande durch entsprechende Integrale ersetzen m¨ ussen, da diese ein Kontinuum bilden. Wie sieht nun der Ortsoperator in der Ortsdarstellung aus? Dazu entwickeln wir x1 |x|x2 = x2 x1 |x2 = x2 δ(x1 − x2 ) . Der Ortsoperator selber ist also x ˆ = d3 x1 d3 x2 x2 δ(x1 − x2 )|x1 x2 | = d3 x x|x x| .

(5.25) (5.26)

(5.27) (5.28)

Wenn wir dies nun auf einen ebenfalls in Ortsdarstellung gegebenen Zustand ψ(x) anwenden, erhalten wir x|ˆ x|ψ = d3 x x x|x x |ψ (5.29) = x ψ(x) .

(5.30)

Der Ortsoperator x ˆ wird also lediglich zu einem Faktor x. Entsprechendes gilt nat¨ urlich f¨ ur den Impulsoperator in Impulsdarstellung. Wie aber sieht der Impulsoperator in Ortsdarstellung aus? Das einzige, was wir u ¨ber die Beziehung zwischen Orts- und Impulsoperator wissen, ist der Kommutator (5.10). Wenn dieser erf¨ ullt sein soll, muss der Impulsoperator durch −i¯ hd/dx gegeben sein, denn f¨ ur jede beliebige Funktion ψ(x) gilt: d d + i¯ h x ψ(x) = i¯ −xi¯ h hψ(x) . (5.31) dx dx Entsprechend ist der Ortsoperator in Impulsdarstellung i¯ hd/dp. Aus der Darstellung des Impulsoperators in Ortsdarstellung und umgekehrt kann man auch entnehmen, dass die Transformation von der einen in die andere Darstellung eine Fouriertransformation (siehe auch Anhang F) sein muss: 3 i 1 d3 x ψ(x) exp xp (5.32) ψ(p) = √ ¯h 2π¯ h und entsprechend ψ(x) =

1 √ 2π¯ h

3

i d p ψ(p) exp − xp . ¯h 3

(5.33)

5.6 Schr¨ odingergleichung

199

5.5 Die Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik Bis zu diesem Punkt haben wir jede Menge mathematischer Begriﬀe eingef¨ uhrt (Zustandsvektor, Skalarprodukt, Operator, Kommutator, . . . ), aber noch keinen physikalischen Bezug hergestellt. Letztendlich aber muss die Quantenmechanik wie jede andere physikalische Theorie den Ausgang von Experimenten vorhersagen. Diesen Zusammenhang zwischen dem mathematischen Formalismus und dem Ergebnis von Messvorg¨angen liefert die sogenannte Kopenhagener Interpretation, die sich in drei Postulate zusammenfassen l¨ asst. Das erste Postulat macht eine Aussage dar¨ uber, welche Ergebnisse die Messung haben kann. Wird an einem quantenmechanischen System die Messung einer Observablen O vorgenommen, so wird (Messfehler außer Acht ˆ gemessen. gelassen) immer ein Eigenwert o des zugeh¨ origen Operators O Das zweite Postulat konkretisiert nun das Gesagte, indem es eine Aussage u ur das Eintreﬀen der m¨oglichen Ergebnisse ¨ber die Wahrscheinlichkeit f¨ macht: Die Wahrscheinlichkeit P (o) f¨ ur einen konkreten Eigenwert o ist gleich dem Absolutbetrag der Projektion des Zustandsvektors auf den entsprechenden Eigenvektor: P (o) = |o|ψ |2 . (5.34) An dieser Stelle f¨ uhren wir also eine Zufallskomponente ein – auch wenn wir den Zustand des Systems genau kennen, k¨ onnen wir den Ausgang eines konkreten Experiments nicht vorhersagen – es sei denn, dieser Zustand ist ein Eigenzustand der Messobservablen. Dies hat eine andere Qualit¨at als der statistische Charakter aus der klassischen Physik (z.B. bei der Brownschen Bewegung), der daher r¨ uhrt, dass wir das System eben nicht vollst¨andig kennen. Das letzte Postulat schließlich legt fest, in welchem Zustand sich das System nach der Messung beﬁndet, n¨ amlich in der Projektion des urspr¨ unglichen Zustands |ψ auf den Eigenraum zum Eigenwert o. Mittels dieser Postulate l¨ asst sich der Mittelwert einer Observablen berechnen: P (on )on (5.35) O = n

=

ψ|on on on |ψ

(5.36)

n

ˆ = ψ|O|ψ .

(5.37)

5.6 Schr¨ odingergleichung Wodurch wird nun die Dynamik in der Quantenmechanik festgelegt? Die Grundgleichung – also das, was in der klassischen Mechanik die Newtonschen

200

5 Quantenmechanik

Axiome und in der Elektrodynamik die Maxwellschen Gleichungen sind – ist hier die Schr¨ odingergleichung, die festlegt, wie sich ein Zustand mit der Zeit ver¨ andert: d ˆ . (5.38) i¯ h |ψ(t) = H|ψ(t) dt ˆ der Hamiltonoperator, das quantenmechanische Pendant zur Hierbei ist H Hamiltonfunktion, die in der klassischen Mechanik – im skleronomen Fall – die Energie eines Systems als Funktion aller Orte und Impuls angibt. odingerbild beschr¨ankt, in Dabei haben wir uns auf das sogenannte Schr¨ dem die Zustandsvektoren zeitabh¨ angig sind und die Operatoren nur eine explizite Zeitabh¨ angigkeit haben k¨ onnen. Auf die umgekehrte Sichtweise des Heisenbergbildes werden wir in diesem Buch nicht eingehen.

5.7 Bestimmung des Hamilton-Operators Wie wir aus (5.38) entnehmen, m¨ ussen wir zun¨achst den Hamiltonoperator eines Problems bestimmen, ehe wir uns daran machen k¨onnen, seine Bewegungsgleichung zu l¨ osen. Dieser Schritt entspricht dem Bestimmen der Bewegungsgleichungen im Fall der klassischen Physik. F¨ ur Probleme, die eine klassische Entsprechung haben, also zum Beispiel die Bewegung eines Teilchens in einem Potential, kann der Hamiltonoperator der Quantenmechanik aus der Hamiltonfunktion der klassischen Physik bestimmt werden – daher auch die Namensgebung Hamiltonoperator. Dies geschieht einfach dadurch, dass man die klassischen Gr¨ oßen durch die entsprechenden Operatoren ersetzt – also die Ortsvariable x durch den Ortsoperator x ˆ, die Impulsvariable p durch den Impulsoperator pˆ und so weiter.

5.8 Das freie Teilchen Bevor wir uns komplizierteren Problemen zuwenden, wollen wir das in den beiden vorangegangenen Abschnitten Zusammengefasste festigen, indem wir es auf ein sehr einfaches Problem anwenden. Das einfachste Problem der klassischen Physik ist ein freies Teilchen ohne ¨ außere Kr¨afte, das sich in einem Inertialsystem bekanntlich gleichf¨ ormig bewegt. Seine Hamiltonfunktion ist durch 1 2 1 2 px + p2y + p2z p = (5.39) H= 2m 2m gegeben. Daraus ergibt sich der Hamiltonoperator des entsprechenden quantenmechanischen Problems: ˆ = 1 pˆ2x + pˆ2y + pˆ2z , H 2m

(5.40)

5.8 Das freie Teilchen

201

das heißt, sowohl H als auch die Impulskomponenten px , py und pz haben nun Operatorcharakter. Das gleiche gilt f¨ ur die Komponenten des Ortsvektors x, y und z, die in (5.40) aber nicht auftreten. Da der Hamiltonoperator eine Funktion des Impulsoperators ist, ist dieses Problem am Einfachsten in der Impulsdarstellung zu l¨osen. Dazu entwickeln wir die Schr¨ odingergleichung nach den Impulseigenzust¨anden |px , py , pz = |p (die analytische Betrachtung k¨ onnen wir dreidimensional durchf¨ uhren, w¨ ahrend wir uns bei der nachfolgenden numerischen Behandlung auf eine Dimension beschr¨ anken m¨ ussen): d 1 d3 p p|ψ(t) |p = d3 p p2 p|ψ(t) |p . i¯ h (5.41) dt 2m Da die Impulseigenzust¨ ande |p linear unabh¨ angig sind, kann dies nur erf¨ ullt sein, wenn die beiden Integranden gleich sind: i¯ h

d d p|ψ(t) = i¯ h ψ(p, t) dt dt 1 2 p ψ(p, t) . = 2m

(5.42) (5.43)

Diese Diﬀerentialgleichung l¨ asst sich direkt l¨ osen und wir erhalten als L¨osung: 1 2 ψ(p, t) = ψ(p, 0) exp −i p t . (5.44) 2m¯h Nachdem wir die L¨ osung im Impulsraum haben, k¨onnen wir diese mittels (5.33) in den Ortsraum transformieren: ψ(x, t) =

1 √ 2π¯ h

3

i d p ψ(p, t) exp − xp ¯h 3

.

(5.45)

Schreiten wir nun zur numerischen Implementation des Problems und beginnen mit der vielleicht naheliegendsten L¨ osung: Die Schr¨odingergleichung ist im Ortsraum eine partielle Diﬀerentialgleichung, die Ableitungen erster Ordnung nach der Zeit enth¨ alt: i¯ h

∂ h2 ∂ 2 ¯ ψ(x) = − ψ(x) . ∂t 2m ∂x2

(5.46)

Diese Diﬀerentialgleichung k¨ onnen wir direkt einer entsprechenden Bibliotheksroutine u onnte dann in ungef¨ahr so aussehen ¨bergeben. Das Ergebnis k¨ (im Folgenden setzen wir ¯h = m = 1): 1 2 3 4 5

/************************************************************************** * Name: frei1.cpp * * Zweck: Simuliert ein quantenmechanisches freies Teilchen * * Gleichung: Schroedingergleichung ohne Potential * * verwendete Bibiliothek: GSL *

202 6

5 Quantenmechanik **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13

#include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

14 15

using namespace std;

16 17 18

//-- Zahl der Stuetzstellen const int nmax = 8192;

19 20 21

//-- globale Variablen double dx;

22 23

//-------------------------------------------------------------------------

24 25

int f(double t, const double psi[], double dpsi_dt[], void *params)

26 27 28 29

{ int n; double norm, norm1, norm2;

30 31 32 33

//-- Realteil for (n=1; n
34 35 36

dpsi_dt[0] = -(psi[nmax+1]+psi[2*nmax-1]-2*psi[nmax]) / sqr(dx); dpsi_dt[nmax-1] = -(psi[nmax]+psi[2*nmax-2]-2*psi[2*nmax-1])/ sqr(dx);

37 38 39 40

//-- Imaginaerteil for (n=nmax+1; n<2*nmax-1; n++) dpsi_dt[n] = +(psi[n+1-nmax]+psi[n-1-nmax]-2*psi[n-nmax]) / sqr(dx);

41 42 43

dpsi_dt[nmax] = +(psi[1]+psi[nmax-1]-2*psi[0]) / sqr(dx); dpsi_dt[2*nmax-1] = +(psi[0]+psi[nmax-2]-2*psi[nmax-1]) / sqr(dx);

44 45 46

return GSL_SUCCESS; }

47 48

//--------------------------------------------------------------------

49 50 51

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dxdt[], void *params)

52 53 54 55

{ return GSL_SUCCESS; }

56 57

//-------------------------------------------------------------------------

58 59

main( int argc, char *argv[] )

60 61 62 63 64

{ //-- Definition der Variablen int n, n1, n_start, n_out, max_fct, status; double psi[2*nmax], dpsi_dt[2*nmax], t, t1, t2, tend, dt, rtol, atol;

5.8 Das freie Teilchen 65 66 67 68

203

double alpha, p_0, x, h, hmax, daux, sum; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

69 70 71 72 73 74 75

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: frei1 infile outfile\n"; exit(1); }

76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von frei1.cpp\n"; inout(tend,"tend"); inout(dx,"dx"); inout(n_out,"n_out"); inout(alpha,"alpha"); inout(p_0,"p_0"); inout(rtol,"rtol"); inout(atol,"atol"); in_stream.close();

86 87 88 89

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / n_out; h = 1.e-6;

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

//-- Anfangsbedingungen t = 0; max_fct = 1000000; for (n=0; n
101 102 103 104 105 106 107

for (n=0; n
// Imaginaerteil // Realteil

108 109 110 111

out_stream << t << "\n"; for (n=0; n
112 113 114 115 116 117

const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, 2*nmax); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(2*nmax); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, 2*nmax, &mu};

118 119 120 121 122 123

//-- Zeitschleife -t = 0; for (n=1; n<=n_out; n++) { t1 = n * dt;

204 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133

5 Quantenmechanik cout << n << " " << t << "\n"; while (t
134 135 136 137

gsl_odeiv_evolve_free(e); gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s);

138 139 140

out_stream.close(); }

Besonderes Augenmerk verdient hier die Berechnung der zweiten Ableitung der Wellenfunktion ψ nach der sogenannten Dreipunktformel in Zeilen 33 und 40: d2 1 ψ(xn ) ≈ (ψ(xn+1 ) − 2ψ(xn ) + ψ(xn−1 )) . d2 x (∆x)2

(5.47)

Am Rand des abgedeckten Intervalls, also bei x0 und xnmax−1 , l¨asst sich diese Formel nicht direkt anwenden, da ψ(x−1 ) und ψ(xnmax ) nicht bekannt sind. F¨ ur’s erste haben wir hier periodische Randbedingungen angenommen, bei denen diese beiden fehlenden Werte durch ψ(xnmax−1 ) und ψ(x0 ) ersetzt werden. Wir werden diesen Punkt noch eingehender beleuchten und verschiedene Alternativen zu dieser Wahl erl¨ autern. Ein zweiter Punkt, der der Erl¨ auterung bedarf, ist die Konstruktion des Ausgangszustandes in Zeile 91 bis 107. Wir k¨ onnten diesen Ausgangszustand zwar auch direkt aus der – entsprechend modiﬁzierten – Eingabedatei einlesen; wir werden uns aber an dieser Stelle auf eine kleine Klasse von Ausgangszust¨ anden beschr¨ anken, die durch lediglich zwei Parameter festgelegt werden. Dabei handelt es sich um Gauß-f¨ ormige Wellenpakete, die sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ursprung beﬁnden und sich mit einem mittleren Impuls p¯ bewegen. Außer diesem mittleren Impuls braucht man nur noch die anf¨ angliche Breite α des Wellenpakets im Ortsraum. Zun¨ achst aber wollen wir uns die Frage stellen, ob unser Programm vom Standpunkt der Performance und der Stabilit¨ at eine gute Implementation des gegebenen Problems darstellt. Die Antwort auf diese Frage muss – zumindest in der gegenw¨ artigen Form – eindeutig nein lauten; wir wollen jedoch hier schon anmerken, dass wir auf das Programm frei1.cpp noch zur¨ uckgreifen werden. Der Grund daf¨ ur, dass frei1.cpp in puncto Performance nicht zufriedenstellen kann, ist die Tatsache, dass wir keinerlei Gebrauch davon gemacht haben, dass uns im Impulsraum die analytische L¨osung bekannt ist (5.44), weswegen wir eine hohe Zahl von Teilschritten ∆t in Kauf nehmen, in die die Bibliotheksroutine zur L¨ osung der Diﬀerentialgleichung die

5.8 Das freie Teilchen

205

Zeit unterteilt. Ein auf der analytischen L¨ osung im Impulsraum aufbauendes Programm k¨ onnte folgendermaßen vorgehen: –

Transformation des Ausgangszustandes im Ortsraum ψ(x, t = 0) in den Impulsraum ψ(p, t = 0) durch Fouriertransformation. – Berechnung des Zustandes ψ(p, tn ) zu den Zeiten tn , zu denen die L¨osung erw¨ unscht ist mittels (5.44). – R¨ ucktransformation dieser Zust¨ ande in den Ortsraum durch inverse Fouriertransformation. Diese Vorgehensweise ist in dem folgenden Programm realisiert: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: frei2.cpp * * Zweck: Simuliert ein quantenmechanisches freies Teilchen * * Gleichung: Schroedingergleichung ohne Potential * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

13 14

using namespace std;

15 16 17

//-- Zahl der Stuetzstellen const int nmax = 8192;

18 19

//-------------------------------------------------------------------------

20 21

main( int argc, char *argv[] )

22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

{ //-- Definition der Variablen int n, n1, n_start, n_out, max_fct, status; double psi[2*nmax], psi_p[2*nmax], t, t1, t2, tend, dt, alpha; double x, dx, p, dp, p_0, arg, sum; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream; gsl_fft_complex_wavetable * wavetable; gsl_fft_complex_workspace * workspace;

33 34 35 36 37 38 39

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: frei2 infile outfile\n"; exit(1); }

40 41 42 43 44 45

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von frei2.cpp\n"; inout(tend,"tend"); inout(dx,"dx");

206 46 47 48

5 Quantenmechanik inout(n_out,"n_out"); inout(p_0,"p_0"); in_stream.close();

inout(alpha,"alpha");

49 50 51 52

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / n_out; dp = 2 * pi / dx / nmax;

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

//-- Anfangsbedingungen t = 0; for (n=0; n
// Imaginaerteil // Realteil

69 70 71 72

//--Anfangszustand im Impulsraum for (n=0; n<=2*nmax; n++) psi_p[n] = psi[n]; gsl_fft_complex_radix2_forward (psi_p, 1, nmax);

73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

//-- Zeitschleife -t = 0; for (n=1; n<=n_out; n++) { t1 = n * dt; cout << n << " " << t1 << " " << t1*dp*nmax/2 << "\n"; for (n1=0; n1
100 101 102

out_stream.close(); }

5.8 Das freie Teilchen

207

Betrachten wir nun die L¨ osungen, die uns dieses oder das vorangegangene Programm liefert, so scheint sich das Wellenpaket zun¨achst wie erwartet zu verhalten:

2

| |

0.003

(a)

2

| |

0.002 0.001 0.0 -100 -50

0.003

(b)

2

| |

0.002 0.001

0

50 100

x

0.0 -100 -50

0.003

(c)

0.002 0.001

0

50 100

0.0 -100 -50

x

0

50 100

x

Abb. 5.1. Zeitentwicklung eines Wellenpakets berechnet mit frei2.cpp. Zun¨ achst wandert das Paket nach rechts, wenn es den Rand des abgedeckten Ortsbereichs erreicht, verschwindet es dort und taucht am entgegengesetzten Ende wieder auf

Das Wellenpaket wandert aufgrund seines positiv gew¨ahlten Anfangsimauft das Wellenpaket auseinander, d.h. es pulses p0 nach rechts. Gleichzeit l¨ verliert an H¨ ohe und wird breiter. Interessant wird es, wenn es den Rand des betrachteten Ortsbereichs erreicht: W¨ ahrend ein Teil des Pakets scheinbar nach rechts das Intervall verl¨ asst, kommt ein Double unseres Wellenpakets am anderen Ende des Intervalls ins Spiel. Diese implizite Periodizit¨at k¨onnen wir schon am Programmcode an einigen Punkten festmachen: –

Im Programm frei1.cpp werden die Randbedingungen in den Zeilen 35/36 sowie in 42/43 explizit festgelegt. Indem wir z.B. das eigentlich ben¨ otigte psi[-1] (links vom x-Bereich) durch psi[nmax-1] (am rechten Rand des x-Bereichs) ersetzt haben, haben wir uns f¨ ur periodische Randbedingungen entschieden. An dieser Stelle lassen sich also die Randbedingungen verh¨ altnism¨ aßig einfach ¨ andern. – Im Programm frei2.cpp sehen wir, dass die Zeitentwicklung sich in Impulsdarstellung lediglich in einer Phase exp(−ip2 t/2) ¨außert (Zeile 84/85 und 91/92). Es ist also oﬀensichtlich, dass die Norm der Wellenfunktion erhalten bleibt und ein Wellenpaket nicht einfach an den Enden des Ortsbereichs verschwinden kann. – Die Periodizit¨at im Ortsbereich liegt im Programm frei2.cpp in der Verwendung der FFT, die eigentlich keine Fouriertransformation berechnet, sondern eine Fourierreihenentwicklung (siehe Anhang F). ¨ Versuchen wir es zun¨ achst mit einer Anderung der Randbedingungen in den Zeilen 35/36 und 42/43 von frei1.cpp, indem wir diese durch dpsi_dt[0] = - (psi[nmax+1]-2*pis[nmax]) / sqr(dx); dpsi_dt[nmax-1] = - (psi[2*nmax-2]-2*psi[2*nmax-1]) / sqr(dx)

bzw. durch dpsi_dt[nmax] = + (psi[1]-2*psi[0]) / sqr(dx); dpsi_dt[2*nmax-1] = + (psi[nmax-2]-2*psi[nmax-1]) / sqr(dx)

208

5 Quantenmechanik

ersetzen. Dadurch dass wir ψ jenseits des Intervalls ersatzlos haben wegfallen lassen, implizieren wir, dass die Wellenfunktion außerhalb des betrachteten Ortsbereichs null ist – was bei einem unendlich tiefen Potentialtopf der Fall ¨ ist. Entsprechend bekommen wir durch diese Anderung ein Verhalten analog zu dem beim Potentialtopf: das Wellenpaket wird beim Erreichen des Randes des Potentialtopfs an demselben reﬂektiert – auch nicht das Verhalten, das unschen wir in der Mehrheit der wir im Normalfall haben wollen. Vielmehr w¨ F¨alle, dass das Teilchen nach dem Erreichen des Randes den betrachteten Ortsbereich verl¨ asst ohne irgendwo anders wiederaufzutauchen. Um zu verstehen, wie wir ein solches Verhalten realisieren k¨onnen, m¨ ussen wir uns zun¨ achst Gedanken u ¨ber die Normerhaltung machen – denn genau diese m¨ ussen wir aushebeln, wenn wir wollen, dass das Teilchen irgendwo verschwindet. Betrachten wir hierzu die Dynamik eines Teilchens in einem Potential V (x). Die Schr¨ odingergleichung in Ortsdarstellung lautet in skalierten Einheiten i

1 d2 d ψ(x, t) = − ψ(x, t) + V (x)ψ(x) . dt 2 dx2

Damit k¨ onnen wir bestimmen, ob sich die Norm der Wellenfunktion d d N = dx ψ (x)ψ(x) dt dt d2 i dx ψ (x) 2 ψ(x) − c.c. = 2 dx − (ψ (x)(V (x) − V (x))ψ(x)) .

(5.48) ¨andert: (5.49) (5.50) (5.51)

Hierbei bedeutet c.c. den zum Vorausgegangenen konjugierten Ausdruck. ¨ Durch partielle Integration sieht man, dass der erste Term zu keiner Anderung der Norm f¨ uhren kann. Bei normalen, also reellen Potentialen verschwindet auch der zweite Term – wie es auch sein muss, da in Wirklichkeit kein Teilchen einfach verschwinden kann. Gleichzeitig liefert der Ausdruck (5.51) aber einen Hinweis, was man tun muss, um absorbierende Randbedingungen zu implementieren: Man muss in diesem Bereich ein imagin¨ares Potential V (x) hinzuf¨ ugen. Da solche Potentiale zuerst in der klassischen Optik verwendet wurden, werden diese auch als optische Potentiale bezeichnet. Ein solches – zwangsweise ortsabh¨ angiges Potential – f¨ uhrt jedoch dazu, dass das Problem nicht mehr durch Transformation in den Impulsraum gel¨ ost werden kann. Das Programm frei2.cpp kann also so nicht mehr verwendet werden. Andererseits haben wir festgestellt, dass frei1.cpp sehr viele Teilschritte und damit enorme Rechenzeiten ben¨otigt. Wir m¨ ussen also nach einem Weg suchen, die analytische L¨ osung f¨ ur das Ausgangsproblem (ohne Potential) mit einem ortsabh¨ angigen Potential zu verkn¨ upfen. Eine M¨oglichkeit besteht in der N¨ aherung ˆ 2 )∆t) ≈ exp(iH ˆ 1 dt) exp(iH ˆ 2 ∆t) , ˆ1 + H exp(i(H

(5.52)

5.8 Das freie Teilchen

209

die f¨ ur beliebige Operatoren H1 und H2 m¨ oglich ist. In unserem Fall w¨ahlen wir 1 H1 = − d2 dx2 2 H2 = V (x)

(5.53) (5.54)

und trennen die Dynamik damit in zwei Abschnitte, die diagonal im Impulsraum bzw. im Ortsraum sind. Den Fehler, den wir dabei machen, ist von der Ordnung ˆ 2 ](∆t)2 , ˆ 1, H [H (5.55) d.h. im Gegensatz zu der Situation ohne Potential m¨ ussen wir die Zeitentwicklung in viele kleine Zeitschritte unterteilen, um den Fehler gering zu halten, was zun¨ achst keine Verbesserung gegen¨ uber frei1.cpp verspricht. Außerdem stellen wir mit etwas Entt¨ auschung fest, dass der Fehler wesentlich gr¨oßer ist als bei den Verfahren zur Integration der Schr¨ odingergleichung im Ortsraum, die wir im Programm frei1.cpp eingesetzt haben (dort war der Fehler in der Gr¨ oßenordnung (∆t)5 ). Zun¨ achst ist also nicht einzusehen, warum ein auf dieser N¨ aherung basierendes Programm eine Verbesserung darstellen sollte. Einen Punkt wollen wir jedoch noch erw¨ ahnen, bevor wir daran gehen, die N¨ aherung (5.52) in ein konkretes Computerprogramm umzusetzen: Eine wichtige Eigenschaft bleibt dieser N¨ aherung n¨amlich exakt erhalten: wenn ˆ 1 und H ˆ 2 hermitesch sind, bleibt die Norm der Wellenfunktion erhalten. H 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: frei3.cpp * * Zweck: Simuliert ein quantenmechanisches freies Teilchen * * Gleichung: Schroedingergleichung mit optischem Potential * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12

#include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

13 14

using namespace std;

15 16 17

//-- Zahl der Stuetzstellen const int nmax = 8192;

18 19 20 21 22 23

//-- globale Variablen double psi[2*nmax], V[nmax]; double dp; gsl_fft_complex_wavetable * wavetable; gsl_fft_complex_workspace * workspace;

24 25

//-------------------------------------------------------------------------

26 27

int timestep(double dt)

28 29

{

210 30 31

5 Quantenmechanik int n, n1; double psi_p[2*nmax], arg, p;

32 33 34 35

//-- Zustand im Impulsraum for (n=0; n<=2*nmax; n++) psi_p[n] = psi[n]; gsl_fft_complex_radix2_forward (psi_p, 1, nmax);

36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

//-- Zeitentwicklung (freie Dynamik) for (n1=0; n1
- psi_p[2*n1+1] * sin(arg); + psi_p[2*n1+1] * cos(arg);

- psi_p[2*n1+1] * sin(arg); + psi_p[2*n1+1] * cos(arg);

52 53 54

//-- Ruecktransformation in den Ortsraum gsl_fft_complex_radix2_inverse (psi, 1, nmax);

55 56 57 58 59 60 61 62

//-- Zeitentwicklung (optisches Potential) for (n1=0; n1
63 64 65

return 0; }

66 67

//--------------------------------------------------------------------

68 69

main( int argc, char *argv[] )

70 71 72 73 74 75 76 77 78

{ //-- Definition der Variablen int n, n1, n_start, n_out, n_interm, max_fct, status; double t, t1, t2, tend, dt, rtol, atol; double alpha, x, dx, p, p_0, a_opt, b_opt, arg, sum; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

79 80 81 82 83 84 85

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: frei3 infile outfile\n"; exit(1); }

86 87 88

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]);

5.8 Das freie Teilchen 89 90 91 92 93 94 95 96

211

out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von frei3.cpp\n"; inout(tend,"tend"); inout(dx,"dx"); inout(n_out,"n_out"); inout(n_interm,"n_interm"); inout(alpha,"alpha"); inout(p_0,"p_0"); inout(rtol,"rtol"); inout(atol,"atol"); inout(a_opt,"a_opt"); inout(b_opt,"b_opt"); in_stream.close();

97 98 99 100

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / n_out / n_interm; dp = 2 * pi / dx / nmax;

101 102 103 104 105 106 107 108

//-- Berechnung des optischen Potentials for (n=0; n
109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

//-- Anfangsbedingungen for (n=0; n
// Imaginaerteil // Realteil

124 125 126 127 128

t = 0; out_stream << n*dt << "\n"; for (n1=0; n1
129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

//-- Zeitschleife -t = 0; for (n=1; n<=n_out; n++) { for (n1=0; n1
140 141 142

out_stream.close(); }

Zu den bisherigen Parametern kommen noch die H¨ohe a opt und die inverse Breite b opt des (Gaußschen) optischen Potentials hinzu, sowie are Zeitschritte jedes Zeitintern interm, das angibt, in wieviele intermedi¨

212

5 Quantenmechanik

vall zwischen zwei Zeiten, zu denen der Zustand abgespeichert wird, eingeteilt wird. Bei der Wahl der beiden Parameter a opt und b opt ist ein wenig Fingerspitzengef¨ uhl gefragt: – Ein zu kleines b opt schr¨ ankt den Bereich ein, in dem sich das Teilchen tats¨ achlich wie ein freies Teilchen verh¨ alt. – Ein zu großes b opt hingegen wirkt wie eine Wand: das Teilchen dringt nur zu einem Teil in den Potentialwall ein, wo es absorbiert wird, w¨ahrend der Rest reﬂektiert wird. – Ein zu großes a opt hat ebenfalls den Eﬀekt, dass ein nennenswerter Teil der Wellenfunktion am optischen Potential reﬂektiert wird, anstatt einzudringen. – Ein zu kleines a opt schließlich erlaubt dem Teilchen, das Potential zu durchdringen, und so auf der anderen Seite des Ortsbereichs wieder aufzutauchen. Zur Verdeutlichung illustrieren wir die Zeitentwicklung f¨ ur einige Parameter von a opt in Abb. 5.2. Sie sehen, dass in der oberen Reihe der Wert von

2

| |

0.1

(a) 2

| |

0.05 0.0 -100 -50

0

0.1

(b) | |

0.05 0.0 -100 -50

50 100

0

x 2

| |

0.1

2

| |

0.0 -100 -50

0

0.1

2

0.1

2

| | 0

50 100

x

0

| | 0

0.1

2

0.1

(f)

0.05 0.0 -100 -50

50 100

0

0.0 -100 -50

| | 0

50 100

x

50 100

x

(h)

0.05

50 100

x

x

(g)

0.0 -100 -50

0.0 -100 -50

50 100

0.05 0.0 -100 -50

50 100

0.05

(c)

0.05

(e)

x

| |

0.1

x

(d)

0.05

2

2

0.1

(i)

0.05 0.0 -100 -50

0

50 100

x

Abb. 5.2. Zeitentwicklung eines Wellenpakets und dessen Absorption sowie Reﬂektion an einem optischen Potential, das an den beiden Enden des dargestellten Ortsbereichs lokalisiert ist. In der oberen Bildreihe ist a opt = 0.1, in der mittleren Reihe ist a opt = 0.8 und in der unteren Reihe ist a opt = 3. Gezeigt wird jeweils der Ausgangszustand des Wellenpakets (linkes Bild), das Wellenpaket im Bereich des optischen Potentials (mittleres Bild) und das Wellenpaket nach Durchlaufen des optischen Potentials (rechtes Bild)

5.9 Eigenzust¨ ande des Hamiltonoperators

213

a opt zu klein ist – das Teilchen durchdringt rechts den Bereich des optischen Potentials, erreicht den Rand und taucht auf der linken Seite auf. In der mittleren Reihe ist der Parameter a opt so gew¨ahlt, dass das Teilchen das optische Potential nicht durchdringen kann, aber auch nicht an demselben reﬂektiert wird. In der unteren Reihe schließlich ist a opt zu groß gew¨ahlt, so dass das Wellenpaket nur zu einem Teil absorbiert wird, w¨ahrend der verbleibende Teil reﬂektiert wird. Ein vorteilhafter Aspekt des nun entwickelten Programms frei3.cpp ist, dass es durch minimale Modiﬁkationen auch die Entwicklung einer Wellenfunktion in einem beliebigen und sogar zeitabh¨angigen Potential berechnen kann. Dazu m¨ ussen lediglich die Zeilen 56–62 auf ein reelles Potential angepasst und die Zeilen 102–105 entsprechend ge¨andert werden. Dies werden wir uns im u achsten Abschnitt zu Nutze machen, vorher jedoch m¨ ussen ¨bern¨ wir noch lernen, wie wir zu einem vorgegebenen Potential die zugeh¨origen Eigenzust¨ ande und deren Energieniveaus berechnen k¨onnen.

5.9 Eigenzust¨ ande des Hamiltonoperators Die zeitabh¨ angige Schr¨ odingergleichung (5.38) ist besonders leicht zu l¨osen, wenn wir als Anfangszustand einen Eigenzustand |ψ(t = 0) = |E des Hamiltonoperators H w¨ ahlen, d.h. einen Zustand f¨ ur den H|E = E|E

(5.56)

gilt. In diesem Fall ist der Zustandsvektor zu einem beliebigen Zeitpunkt t durch |ψ(t) = exp(−iEt)|E (5.57) gegeben. Die Zeitentwicklung ¨ außert sich also lediglich in einem skalaren Faktor vom Betrag 1. Das bedeutet auch, dass sich der Erwartungswert eines beliebigen, nicht explizit zeitabh¨ angigen Operators nicht mit der Zeit ¨andert, sondern konstant bleibt: ˆ ˆ ˆ ψ(t)|O|ψ(t) = exp(iEt)E|O|E exp(iEt) = E|O|E .

(5.58)

Sie sehen also, dass den Eigenzust¨ anden des Hamiltonoperators eine besondere Bedeutung zukommt. In diesem Abschnitt wollen wir uns deshalb mit der numerischen Berechnung dieser Eigenzust¨ ande bei beliebig vorgegebenem aftigen. ¨außeren Potential besch¨ Die Grundlage daf¨ ur haben wir bereits in (5.47) gelegt, denn wenn wir ˆ einsetzen, erhalten wir die Dreipunktsformel f¨ ur die zweite Ableitung in H einen diskretsieren Hamiltonoperator in Matrixform: 1 + V (x) (∆x)2 1 1 = Hn,n+1 = − . 2 (∆x)2

Hn,n = Hn,n−1

(5.59) (5.60)

214

5 Quantenmechanik

Um die Eigenzust¨ ande des Hamiltonoperators zu erhalten, m¨ ussen wir also die Eigenvektoren dieser Matrix berechnen, wof¨ ur zum Gl¨ uck in jeder Standardbibliothek fertige Routinen zur Verf¨ ugung stehen. Betrachten wir das Programm eigen1.cpp: 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: eigen1.cpp * * Zweck: Berechnet Eigenzustaende zu vorgegebenem Potential * * Gleichung: Schroedingergleichung * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13

#include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

14 15

using namespace std;

16 17 18

//-- Zahl der Stuetzstellen const int nmax = 512;

19 20

//-------------------------------------------------------------------------

21 22

main( int argc, char *argv[] )

23 24 25 26 27 28 29

{ //-- Definition der Variablen int n, n1, n2; double x, dx, x2[nmax], psi[nmax], V[nmax]; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

30 31 32 33 34 35 36 37 38

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<4) { cout << " Aufruf: eigen1 infile outfile1 outfile2\n"; cout << " outfile1 enthaelt das Potential\n"; cout << " outfile2 enthaelt die Eigenwerte und Eigenzustaende\n"; return 0; }

39 40 41 42 43 44 45 46

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von eigen1.cpp\n"; inout(dx,"dx"); in_stream.close(); out_stream << "! Spalte 1: n Spalte 2: x_n Spalte 3: V(x_n)\n";

47 48 49 50 51 52 53 54

//-- Berechnung des reellen Potentials for (n=0; n
5.9 Eigenzust¨ ande des Hamiltonoperators 55

out_stream.close();

56 57 58 59 60 61 62 63 64

out_stream.open(argv[3]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von eigen1.cpp\n"; out_stream << "! nmax = " << nmax << "\n"; out_stream << "! dx = " << dx << "\n"; out_stream << "! Erster Teil: Spalte 1: n Spalte 2: E_n" << " Spalte 3: <xˆ2>_n\n"; out_stream << "! Zweiter Teil: Spalte 1: n Spalte 2: x" << " Spalte 3: psi_n(x)\n";

65 66 67 68 69 70

//-- Speicherplatz allokieren gsl_vector *eval = gsl_vector_alloc(nmax); gsl_matrix *evec = gsl_matrix_alloc(nmax, nmax); gsl_matrix *H = gsl_matrix_alloc(nmax, nmax); gsl_eigen_symmv_workspace * w = gsl_eigen_symmv_alloc(nmax);

71 72 73 74 75

//-- Hamiltonoperator konstruieren for (n1=0; n1
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88

for (n1=0; n1
89 90 91 92 93

//-- Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen und sortieren gsl_eigen_symmv(H, eval, evec, w); gsl_eigen_symmv_free(w); gsl_eigen_symmv_sort (eval, evec, GSL_EIGEN_SORT_VAL_ASC);

94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113

//-- Berechnung von <x*x> for (n1=0; n1
215

216

5 Quantenmechanik << gsl_matrix_get(evec, n2, n1) << "\n";

114 115

}

116 117 118 119

gsl_vector_free(eval); gsl_matrix_free(evec); gsl_matrix_free(H);

120 121 122

out_stream.close(); }

Nach dem Einlesen der Parameter wird das Potential V (x) an den St¨ utzstellen berechnet (Zeile 48–54) – das ist die einzige Stelle, die wir modiﬁzieren m¨ ussen, wenn wir die Eigenzust¨ ande zu anderen Potentialtypen berechnen wollen. Danach wird Speicherplatz f¨ ur die Matrix des Hamiltonoperators, f¨ ur deren Eigenwerte und Eigenvektoren, sowie f¨ ur die Berechnung dieser Eigenvektoren alloziert. Dann erfolgt die Aufstellung des Hamiltonoperators nach (5.59), die Berechnung der Eigenwerte und -vektoren, sowie die Ausgabe der Ergebnisse. ¨ Zur Uberpr¨ ufung des Programms eignen sich besonders Potentiale, bei denen die Eigenzust¨ ande analytisch berechnet werden k¨onnen, z.B. das Potential des harmonischen Oszillators: V (x) =

1 mω 2 x2 . 2

(5.61)

Dessen Eigenzust¨ ande ﬁnden sich in jedem Lehrbuch zur Quantenmechanik und lauten: 1 ψn (x) = Nn exp − k 2 x2 Hn (k 2 x) (5.62) 2 mit k2 = Nn =

mω h ¯

(5.63)

k2 √ . 2n n! π

(5.64)

ur die niedDie dabei auftretenden Hermiteschen Polynome Hn geben wir f¨ rigsten Ordnungen n explizit an: H0 (ξ) = 1 H1 (ξ) = 2ξ

(5.65) (5.66)

H2 (ξ) = 4ξ − 2 . 2

Die zu diesen Eigenzust¨ anden geh¨ orenden Energieniveaus sind: 1 . ¯ω n + En = h 2

(5.67)

(5.68)

5.9 Eigenzust¨ ande des Hamiltonoperators

217

Tabelle 5.1. Numerisch bestimmte Energieeigenwerte des harmonischen Oszillators n

E

n

E

0

0.49999

7

7.49985

1

1.49994

8

8.50359

2

2.49984

9

9.51658

3

3.49969

10

10.5515

4

4.49949

11

11.6277

5

5.49927

12

12.7666

6

6.49918

13

13.9861

Dieses analytische Ergebnis k¨ onnen wir nun mit dem numerischen Resultat von eigen1.cpp vergleichen. F¨ ur nmax=512 und dx = 0.02 erhalten wir die Eigenwerte: Die Energieniveaus werden also f¨ ur diese Parameter bis etwa n = 10 ganz gut wiedergegeben und weichen dann immer mehr von ihrem Sollwert n+1/2 ab. Was bei diesem Wert geschieht sehen wir, wenn wir die zugeh¨origen Eigenfunktionen betrachten (Abb. 5.3): Wir sehen, dass die Wellenfunktion ψ f¨ ur kleine n gut beim Ursprung lokalisiert ist, ihre Ausdehnung aber mit wachsendem n zunimmt. F¨ ur die-

1.0

(a)

(b)

0

1

0.5 0.0

0.5

-0.5 0.0 -4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

x (c) 2

4

x (d)

0.5

10

0.0

0.5 0.0

-0.5

-0.5 -4

-2

0

2

4

x

-4

-2

0

2

4

x

Abb. 5.3. Eigenzust¨ ande des harmonischen Oszillators: Vergleich des numerisch gewonnenen Ergebnisses (durchgezogene Linie) mit dem analytischen Ergebnis (gestrichelt) f¨ ur n = 0, n = 1, n = 2 und n = 10. Nur bei n = 10 kann ein kleiner Unterschied zwischen diesen beiden Kurven ausgemacht werden

218

5 Quantenmechanik

se n ist in Abb. 5.3 das numerische vom analytischen Ergebnis nicht mehr zu trennen. Bei etwa n = 10 erreicht die Wellenfunktion den Rand des abgedeckten Ortsbereichs, so dass verst¨ andlich ist, dass f¨ ur h¨ohere n unsere ¨ numerische Berechnung nicht mehr richtig sein kann. Trotzdem ist die Ubereinstimmung der gewonnenen Eigenfunktion (in Abb. 5.3 rechts unten) mit dem analyitschen Resultat (5.62) erstaunlich. Nachdem wir nun veriﬁziert haben, dass das Programm korrekt funktioniert, ist es verh¨ altnism¨ aßig einfach, das Potential beliebig zu variieren und jeweils Energieniveaus und die zugeh¨ origen Eigenfunktionen zu berechnen. Da wir f¨ ur den u achsten Abschnitt die Eigenzust¨ande zum Potential ¨bern¨ (5.69) V (x) = −a exp −b(x − x0 )2 ben¨ otigen, werden wir die Eigenzust¨ ande dieses Potentials kurz diskutieren – dar¨ uber hinaus kann dieses Potential auch gut als eindimensionales Modell eines Atoms herangezogen werden. Das Programm zur Berechnung der Eigenzust¨ande ﬁnden Sie auf der CD als eigen2.cpp. Wie schon oben erw¨ ahnt m¨ ussen nur die Zeilen ge¨andert werden, in denen das Potential V berechnet wird: ... 55 56 57 58 59 60

//-- Berechnung des reellen Potentials for (n=0; n
... Wenn wir die Eigenzust¨ ande und zugeh¨ origen Eigenwerte zu diesem Potential f¨ ur a = 1.5

b = 0.5

x0 = 0

(5.70)

berechnen, stellen wir zun¨ achst fest, dass das Spektrum der Eigenwerte aus zwei negativen und sehr vielen positiven Werten besteht. Die negativen Energieeigenwerte geh¨ oren zu gebundenen Zust¨ anden – d.h. die Energie des Elektrons reicht nicht aus, den Atomkern zu verlassen – w¨ahrend die positiven Energien zu ungebundenen Zust¨ anden geh¨ oren. Diese Aussage k¨onnen wir auf zwei Weisen untermauern: Zum einen k¨ onnen wir die Eigenzust¨ande direkt anschauen und werden sehen, dass tats¨ achlich die Eigenzust¨ande zu den negativen Energien am Potential lokalisiert sind, was bei den u ¨brigen Eigenzust¨ anden nicht zutriﬀt. Da wir dies aber nicht f¨ ur alle Eigenzust¨ande (in unserem Beispiel immerhin 512 St¨ uck) durchf¨ uhren k¨onnen, k¨onnen wir alternativ f¨ ur jeden Eigenzustand den Mittelwert x2 berechnen und ausgeben lassen. Die beiden gebundenen Zust¨ ande haben einen kleinen Wert von x2 , der sich zudem bei einer Vergr¨ oßerung des betrachteten Ortsbereichs nur wenig ¨ andert, w¨ ahrend diese Gr¨ oße bei den freien Zust¨anden sehr groß ist und mit anwachsendem Ortsbereich divergiert.

5.10 Variationsmethoden

219

5.10 Variationsmethoden Alternativ zur vorangegangenen Bestimmung der Eigenwerte u ¨ber die Aufstellung des Hamiltonoperators im Ortsraum kann jede beliebige Darstellung des Hilbertraumes verwendet werden. Dabei ist es auch nicht notwendig erforderlich, dass der Basissatz |φi , nach dem man einen beliebigen Zustand entwickelt, aus lauter zueinander orthogonalen Funktionen besteht – wichtig f¨ ur analytische Berechnungen ist lediglich die Vollst¨andigkeit des Funktionensatzes, d.h. jeder beliebige Zustand |ψ muss sich als Linearkombination ψi |φi (5.71) |ψ = i

darstellen lassen. Bei den meisten Problemen ist diese Forderung nur durch einen unendlich großen Satz an Entwicklungsfunktionen erf¨ ullbar. F¨ ur numerische Berechnungen ist es dann leider notwendig, sich auf einen endlichen Teilsatz zu beschr¨anken. Diese Notwendigkeit und der damit verbundene Fehler l¨ asst die Auswahl geeigneter Entwicklungsfunktionen unter einem ganz neuen Licht erscheinen: eine g¨ unstige Wahl kann eine sehr genaue Berechnung der Energieniveaus und Eigenzust¨ ande mit einem sehr kleinen Satz an Entwicklungsfunktionen erlauben. In diesem Zusammenhang ist nat¨ urlich jede Kenntnis u ¨ber die erwarteten Eigenfunktionen (z.B. deren Verhalten in der N¨ ahe kritischer Punkte oder f¨ ur große x bzw. p) hilfreich. Beginnen wir mit einer Betrachtung des Grundzustandes |ψ0 , von dem wir voraussetzen wollen, dass er nicht entartet ist. Unter allen normierten Zust¨ anden ist er derjenige mit dem niedrigsten Energieerwartungswert ψ0 |H|ψ0 ,

(5.72)

da alle anderen Zust¨ ande Anteile mit h¨ oherer Energie haben – dies ist u ¨brigens auch der Grundgedanke des Ritzschen Variationsprinzips. Wir k¨onnen den Grundzustand also als eine L¨ osung des Variationsproblems δ (ψ0 |H|ψ0 ) = 0

(5.73)

erhalten, wobei die Variation allerdings auf normierte Zust¨ande beschr¨ankt ist. Diese Beschr¨ ankung k¨ onnen wir fallenlassen, wenn wir statt des Ausdruckes (5.72) die leicht modiﬁzierte Gr¨ oße E=

ψ0 |H|ψ0 ψ0 |ψ0

(5.74)

variieren. Wir k¨ onnen den Grundzustand also anstatt als L¨osung der zeitunabh¨ angigen Schr¨ odingergleichung auch als L¨ osung des Variationsproblems δE =

1 2

(ψ|ψ )

(ψ|ψ δψ|H|ψ − ψ|H|ψ δψ|ψ

+ψ|ψ ψ|H|δψ − ψ|H|ψ ψ|δψ ) =0

(5.75) (5.76)

220

5 Quantenmechanik

erhalten. Auch die anderen Energieniveaus erh¨alt man als L¨osung dieses Variationsproblems. Beschr¨ ankt man sich nun auf einen endlichen Satz an Funktionen, nach denen man die gesuchten Zust¨ ande entwickelt, erstreckt sich die Suche nach dem Zustand minimaler Energie nur auf einen Teilraum des tats¨achlichen Hilbertraums. Aus diesem Grund ist die gefundene Grundzustandsenergie entweder zu hoch oder korrekt, kann aber niemals zu niedrig sein. Die Variationsaufgabe (5.75) kann auf die Form einer verallgemeinerten Eigenwertgleichung HA = EDA

(5.77)

gebracht werden. Dabei enth¨ alt die Matrix H die Elemente Hnm = φn |E|φm

(5.78)

¨ und die Uberlappmatrix D setzt sich aus Dnm = φn |φm

(5.79)

zusammen. Als konkretes Beispiel zur Berechnung von Eigenzust¨anden und Energieniveaus mittels (5.75) betrachten wir das Modellatom mit dem Potential V (x) = − √

β . 1 + αx2

(5.80)

Die Symmetrie des Potentials gew¨ ahrleistet, dass alle Eigenfunktionen entweder symmetrisch oder antisymmetrisch zu x = 0 sind. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, zwei S¨ atze von Testfunktionen aufzustellen, wobei der eine nur symmetrische und der andere nur antisymmetrische Entwicklungsfunktionen ¨ enth¨ alt. Der Ubersichtlichkeit halber beschr¨ anken wir uns hier auf symmetrischen Entwicklungsfunktionen. Bei der Auswahl des Funktionensatzes fn ist es von Vorteil, wenn m¨ oglichst viele der f¨ ur Dnm und Hnm ben¨otigten Erwartungswerte analytisch berechnet werden k¨ onnen. In unserem Fall w¨ahlen wir 1 (5.81) φn = √ x2n exp −µx2 /2 . n! √ Der Faktor 1/ n! soll bewirken, dass die Matrixelemente ¨ahnliche Gr¨oßenordnung haben – andernfalls handelt man sich an dieser Stelle vermeidbare ¨ numerische Fehler ein. Der Ubersichtlichkeit spalten wir die Matrix H in den kinetischen Anteil T und den vom Potential herr¨ uhrenden Teil V auf. ¨ Zun¨ achst ben¨ otigen wir die Uberlappintegrale Dnm = φn |φm ∞ 1 dx x2N exp −µx2 , = √ n!m! −∞

(5.82) (5.83)

5.10 Variationsmethoden

221

die Matrixelemente Tnm = φn |Tˆ|φm 1 =− √ 2 n!m!

(5.84) ∞

dx 2N (2N − 1)x2N −2 − (4N + 1)µx2N

−∞

2 2N +2

+α x

exp −µx2 ,

(5.85)

sowie Vnm = φn |Vˆ |φm ∞ x2N = −β dx √ exp −µx2 . 1 + αx2

(5.86) (5.87)

−∞

Hierbei haben wir die Abk¨ urzung N = n + m eingef¨ uhrt. Bis auf den letzten Integraltyp (5.87) k¨ onnen wir alle anderen Integrale auf Ausdr¨ ucke der Form ∞ In =

dx x2n exp −µx2

−∞

=

1 · 3 · . . . · (2n − 1) µn

π µ

(5.88)

(5.89)

zur¨ uckf¨ uhren: IN (5.90) n!m! 1 2N (2N − 1)IN −1 − (4N + 1)µIN + µ2 IN +1 .(5.91) = −√ 2n!m!

Dnm = √ Tnm

Entsprechend deﬁnieren wir ∞ dx √

Jn = −∞

x2n exp −µx2 , 2 1 + αx

(5.92)

welches wir jedoch numerisch bestimmen m¨ ussen. Aus dieser Hilfsgr¨oße erh¨alt man die fehlenden Matrixelemente f¨ ur die potentielle Energie Vnm = −βJN .

(5.93)

Wenn wir nun zur Umsetzung des Gesagten in einem Programm kommen, stoßen wir auf ein weiteres Hindernis: die Numerik-Bibliothek GSL verf¨ ugt u ¨ber keine Routine, die die verallgemeinerte Eigenwertgleichung (5.77) l¨ost. Wir k¨ onnten nun eine weitere Bibliothek zu Hilfe nehmen (z.B. CLAPACK),

222

5 Quantenmechanik

was jedoch wegen der verschiedenen Realisierung von Matrizen in GSL und CLAPACK etwas unsch¨ on ist. Alternativ k¨ onnen die Eigenvektoren der – offensichtlich symmetrischen – Matrix D dazu verwendet werden, (5.77) auf die Form einer gew¨ ohnlichen Eigenwertgleichung zu bringen. Hierzu multiplizieren wir (5.77) von rechts mit der Matrix T, deren Spalten die Eigenvektoren von D sind, und von links mit der adjungierten Matrix Tt . Verwendet man √ hierbei statt auf eins normierter Eigenvektoren, solche, die auf 1/ an (an ist der jeweilige Eigenwert) normiert sind, so erh¨ alt man: ˜ = Tt HT. H

(5.94)

˜ sind identisch mit den L¨osungen der verallDie Eigenwerte dieser Matrix H gemeinerten Eigenwertgleichung (5.77). 1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: var1.cpp * * Zweck: Berechnet Eigenzustaende zu vorgegebenem Potential * * Methode : Variationsmethode * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

18 19

using namespace std;

20 21 22 23

//-- globale Variablen int n; double alpha, beta, mu;

24 25

//-------------------------------------------------------------------------

26 27

double integr1(double x, void *params)

28 29 30 31

{ return 2. * pow(x,n) / sqrt(1.+alpha*sqr(x)) * exp(-mu*sqr(x)); }

32 33

//-------------------------------------------------------------------------

34 35

main( int argc, char *argv[] )

36 37 38 39 40 41 42

{ //-- Definition der Variablen int n1, n2, n3, nmax, limit=10000, N, m, signum; double x, dx, a1, b1, x1, res, abserr, sum, sum1, sum2, sum3; double nu = 10; double epsabs = 0;

5.10 Variationsmethoden 43 44 45 46 47

223

double epsrel = 1.e-6; ifstream in_stream; ofstream out_stream; gsl_function F; gsl_integration_workspace *w1;

48 49 50 51 52 53 54

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: var1 infile outfile\n"; return 0; }

55 56 57 58 59 60 61 62

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von var1.cpp\n"; inout(alpha,"alpha"); inout(beta,"beta"); inout(nmax,"nmax"); inout(mu,"mu"); in_stream.close();

63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

//-- Speicherplatz allokieren gsl_vector *eval = gsl_vector_alloc(nmax); gsl_vector *eval_D = gsl_vector_alloc(nmax); //gsl_vector *evec1 = gsl_vector_alloc(nmax); gsl_vector *I = gsl_vector_alloc(2*nmax+2); gsl_vector *J = gsl_vector_alloc(2*nmax+2); gsl_vector *fac = gsl_vector_alloc(2*nmax+2); gsl_matrix *evec = gsl_matrix_alloc(nmax, nmax); gsl_matrix *evec_D = gsl_matrix_alloc(nmax, nmax); gsl_matrix *D = gsl_matrix_alloc(nmax, nmax); gsl_matrix *D_copy = gsl_matrix_alloc(nmax, nmax); gsl_matrix *H = gsl_matrix_alloc(nmax, nmax); gsl_matrix *M = gsl_matrix_alloc(nmax, nmax); gsl_permutation *p = gsl_permutation_alloc(nmax);

78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

//-- Hilfsintegrale I und J berechnen gsl_vector_set_zero(I); gsl_vector_set_zero(J); gsl_vector_set(I,0,sqrt(pi/mu)); gsl_vector_set(fac,0,1); for (n1=1; n1<2*nmax+2; n1++) { gsl_vector_set(I,n1,gsl_vector_get(I,n1-1)*(2.*n1-1)/2./mu); gsl_vector_set(fac,n1,n1*gsl_vector_get(I,n1-1)); }

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98

for (n1=0; n1<2*nmax+2; n1++) { n = 2*n1; F.function = &integr1; F.params = ν w1 = gsl_integration_workspace_alloc(10000); gsl_integration_qagiu(&F, 0, epsabs, epsrel, limit, w1, &res, &abserr); gsl_vector_set(J,n1,res); gsl_integration_workspace_free(w1); }

99 100 101

//-- Ueberlappmatrix konstruieren gsl_eigen_symmv_workspace *w2 = gsl_eigen_symmv_alloc(nmax);

224 102 103 104 105 106 107 108 109

5 Quantenmechanik for (n1=0; n1
110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

//-- Energiematrix konstruieren for (n1=0; n1=1) res = res - n2*(2.*n2-1.)*gsl_vector_get(I,N-1); res = res / gsl_vector_get(fac,n1) / gsl_vector_get(fac,n2); gsl_matrix_set(H, n1, n2, res); } gsl_vector_free(I); gsl_vector_free(J); gsl_vector_free(fac);

124 125 126 127 128 129

// H durch Tˆ{-1} H T ersetzen for (n1=0; n1
130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146

for (n1=0; n1
147 148 149

gsl_matrix_free(D); gsl_vector_free(eval_D);

gsl_matrix_free(evec_D); gsl_matrix_free(M);

150 151 152 153 154 155

//-- Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen und sortieren gsl_eigen_symmv_workspace *w = gsl_eigen_symmv_alloc(nmax); gsl_eigen_symmv(H, eval, evec, w); gsl_eigen_symmv_free(w); gsl_eigen_symmv_sort (eval, evec, GSL_EIGEN_SORT_VAL_ASC);

156 157 158 159 160

//-- Ausgabe der Eigenwerte und Eigenvektoren for (n1=0; n1
5.10 Variationsmethoden 161 162

gsl_matrix_free(H); gsl_vector_free(eval);

225

gsl_matrix_free(evec);

163 164 165

out_stream.close(); }

Im Programm erkennen wir zun¨ achst die Deﬁnition des Integranden aus (5.92) in Zeile 27–31. Im Hauptprogramm wird dieses Integral in den Zeilen 89–98 f¨ ur verschiedene Werte von n berechnet. F¨ ur die Bestimmung der In wird zun¨ achst in Zeile 81 I0 berechnet und dann in den Zeilen 83–87 auf die Rekursionsformel 2n − 1 In = In−1 (5.95) 2µ zur¨ uckgegriﬀen. Anschließend konstruieren wir aus diesen Hilfsgr¨oßen die ¨ Uberlappmatrix D und die Energiematrix H. Nun m¨ ussen wir die Transformation (5.94) durchf¨ uhren, wof¨ ur wir zun¨ achst die Eigenwerte und Eigenvektoren von D ben¨ otigen (Zeile 106–109). Beachten Sie bitte, dass bei der Eigenwert- und Eigenvektorberechnung die jeweilige Matrix u ¨berschrieben wird, so dass Sie vorher eine Kopie erzeugen m¨ ussen, falls Sie die urspr¨ ungli˜ (das in unserem Proche Matrix noch ben¨ otigen. Die Transformation auf H gramm einfach die urspr¨ ungliche Matrix H ersetzt) geschieht dann in den Zeilen 125–146. Nach all dieser Vorarbeit ist die Berechnung der gesuchten Energieeigenwerte (Zeile 151–155) verh¨ altnism¨ aßig einfach. Die Eﬃzienz unseres Programms u ufen wir f¨ ur α = 1 und β = 2, ¨berpr¨ indem wir die Eigenenergien E0 und E2 des Grundzustands und des zweiten angeregten Zustands mit verschieden großen S¨atzen an Eigenfunktionen (jeweils mit µ = 1) bestimmen (beachten Sie, dass der erste angeregte Zustand antisymmetrisch sein muss und deswegen hier nicht auftaucht): Tabelle 5.2. Energieeigenwerte eines Modellatoms, bestimmt mit der Variationsmethode n

E0

E2

2

-1.476462496

0.0388704779

3

-1.482897851

-0.1979509319

4

-1.483099040

-0.3236953490

6

-1.483407203

-0.4120002016

8

-1.483432501

-0.4424870560

10

-1.483435439

-0.4548390169

12

-1.483435876

-0.4603066238

16

-1.483435970

-0.4640635221

226

5 Quantenmechanik

Sie erkennen, dass die gewonnenen Energien mit wachsendem n Grenzwerten zustreben. Wenn unser Funktionensatz nicht so gew¨ahlt wurde, dass selbst im Grenzfall n → ∞ noch relevante Bereiche des Hilbertraums nicht abgedeckt werden, sind diese Grenzwerte gleich den gesuchten Eigenenergien F¨ ur die Grundzustandsenegie ist der gefundene Wert auch f¨ ur verh¨altnism¨ aßig kleine n außerordentlich genau. Vergleichen Sie die Gr¨oße des hierbei verwendeten Funktionensatzes mit der Zahl an Ortspunkten, die wir im vorangegangen Abschnitt ben¨ otigt haben (oder noch besser mit der entspre¨ chenden Zahl bei Ubungsaufgabe 5.2)! Bei dem Energieeigenwert f¨ ur den zweiten angeregten Zustand stellen wir fest, dass wir hierf¨ ur mehr Testfunktionen ben¨ otigen – ein Sachverhalt, der ganz analog auch in Tabelle 5.1 zutage trat.

5.11 Quantentunneln Das Problem, das wir in diesem Abschnitt untersuchen wollen, ist eines jener Ph¨ anomene, die so erstaunlich sind, dass sie immer wieder diskutiert und auch experimentell untersucht werden, da sich an ihnen sowohl die Richtigkeit als auch die Unanschaulichkeit der Quantenmechanik eindrucksvoll dokumentieren l¨ asst. Beim sogenannten Quantentunneln ist ein Teilchen zun¨achst in einem Bereich, den es klassisch nicht verlassen kann, weil seine Energie nicht ausreicht, die es umgebenden Potentialbarrieren zu u ¨berwinden. Die Quantenmechanik erlaubt es dem Teilchen aber trotzdem zu entkommen – als ob es einen Tunnel durch die Barriere ﬁnden w¨ urde, daher der Name des Eﬀekts. Um dieses Ph¨ anomen zu diskutieren, konstruieren wir uns zun¨achst ein Potential, das u ugt, z.B. ¨ber zwei Minima verf¨ V (x) = −a1 exp(−b1 (x + x0 )2 ) − a2 exp(−b2 (x − x0 )2 ) .

(5.96)

Dieses Potential verf¨ ugt u ¨ber zwei Minima in der N¨ahe von ±x0 , deren Tiefe onnen. Im folgenden interessieren und Breite wir mit a1,2 und b1,2 festlegen k¨ wir uns f¨ ur zwei nur geringf¨ ugig verschiedene Parameters¨atze zur Festlegung des Potentials: a1 = a2 = 1.5

b1 = b2 = 4

x0 = 2

(5.97)

x0 = 2 .

(5.98)

bzw. a1 = 1.5

a2 = 1.6

b 1 = b2 = 4

W¨ahrend im ersten Fall die beiden Potentialmulden identisch sind, ist die rechte Potentialmulde im zweiten Fall ein bisschen tiefer (siehe Abb. 5.4). Das Programm qt1.cpp setzt nun den im vorigen Abschnitt 5.9 berechneten Grundzustand f¨ ur eine einzelne Potentialmulde in das linke Minmum des Potential ein und l¨ ost die zeitabh¨ angige Schr¨odingergleichung – beachten Sie, dass der Ausgangszustand durch die Hinzunahme der rechten Potentialmulde kein Eigenzustand mehr ist, so dass die Dynamik nicht einfach durch (5.57) gegeben ist:

5.11 Quantentunneln

227

Abb. 5.4. Doppeltopfpotential mit zwei Minima.

1 2 3 4 5 6

/************************************************************************** * Name: qt1.cpp * * Zweck: Simuliert quantenmechanisches Tunneln * * Gleichung: Schroedingergleichung mit optischem und reellem Potential * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/

7 8 9 10 11 12 13

#include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

14 15

using namespace std;

16 17 18

//-- Zahl der Stuetzstellen const int nmax = 8192;

19 20 21 22 23 24 25

//-- globale Variablen double psi[2*nmax]; double V[nmax], V_opt[nmax]; double t, dt, dp; gsl_fft_complex_wavetable * wavetable; gsl_fft_complex_workspace * workspace;

26 27

//-------------------------------------------------------------------------

28 29

int timestep(double dt)

30 31 32 33

{ int n, n1; double psi_p[2*nmax], arg, p, a, b;

34 35 36 37

//-- Zustand im Impulsraum for (n=0; n<=2*nmax; n++) psi_p[n] = psi[n]; gsl_fft_complex_radix2_forward (psi_p, 1, nmax);

38 39 40 41 42 43 44 45 46

//-- Zeitentwicklung (freie Dynamik) for (n1=0; n1
228 47 48 49 50 51 52 53

5 Quantenmechanik for (n1=nmax/2; n1
54 55 56

//-- Ruecktransformation in den Ortsraum gsl_fft_complex_radix2_inverse (psi, 1, nmax);

57 58 59 60 61 62 63 64

//-- Zeitentwicklung (optisches Potential) for (n1=0; n1
65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

//-- Zeitentwicklung (reelles Potential) for (n1=0; n1
76 77 78

return 0; }

79 80

//-------------------------------------------------------------------------

81 82

main( int argc, char *argv[] )

83 84 85 86 87 88 89 90 91

{ //-- Definition der Variablen int n, n1, n2, n_start, n_out, n_interm, max_fct, status, n_offset; double tend, x, dx, p, a, a1, b1, x1, a2, b2, x2, E, x_min, alpha; double arg, sum, a_opt, b_opt, prob_links, prob_rechts, rtol, atol; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

92 93 94 95 96 97 98

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: qt1 infile outfile\n"; return 0; }

99 100 101 102 103 104 105

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von qt1.cpp\n"; out_stream << "! nmax = " << nmax << "\n"; inout(tend,"tend"); inout(dx,"dx");

5.11 Quantentunneln 106 107 108 109 110 111 112

inout(n_out,"n_out"); inout(rtol,"rtol"); inout(a_opt,"a_opt"); inout(a1,"a1"); inout(x1,"x1"); inout(b2,"b2"); in_stream.close();

inout(n_interm,"n_interm"); inout(atol,"atol"); inout(b_opt,"b_opt"); inout(b1,"b1"); inout(a2,"a2"); inout(x2,"x2");

113 114 115 116

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = tend / n_out / n_interm; dp = 2 * pi / dx / nmax;

117 118 119 120 121 122 123 124 125 126

//-- Berechnung des optischen Potentials for (n=0; n
127 128 129 130 131 132 133

//-- Berechnung des reellen Potentials for (n=0; n
134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161

//-- Anfangsbedingungen for (n=0; n> n1; in_stream >> E;} for (n=0; n<512; n++) { in_stream >> n1; in_stream >> n2; in_stream >> a; psi[2*(n+n_offset)] = a; sum = sum + sqr(psi[2*(n+n_offset)]); } in_stream.close(); sum = 1 / sqrt(sum); for (n=0; n
162 163 164

t = 0; out_stream << n*dt << "\n";

229

230 165 166

5 Quantenmechanik for (n1=0; n1
167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182

//-- Zeitschleife -t = 0; for (n=1; n<=n_out; n++) { for (n1=0; n1
183 184 185

out_stream.close(); }

Als Ergebnis liefert das Programm zum einen die Zust¨ande zu den Zeitpunkten 0, dt, 2dt, . . . N dt und zum anderen die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu diesen Zeitpunkten in der linken oder in der rechten H¨alfte des Ortsbereiches zu ﬁnden. Diese beiden Wahrscheinlichkeiten – im Programmtext prob links und prob rechts genannt – werden auf dem Bildschirm ausgegeben, k¨ onnen jedoch auch in eine gesonderte Datei umgelenkt werden. Wie wir feststellen, ist dieser Zeitverlauf, der das Wechseln des Teilchens vom einen in das andere Potentialminimum wiedergibt, f¨ ur die beiden sehr aufe sehr unterschiedlich. Beginnen wir mit dem sym¨ahnlichen Potentialverl¨ metrischen Potentialverlauf, bei dem a1 = a2 = 1.5 ist (Abb. 5.5):

Abb. 5.5. Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in der linken (durchgezogene Linie) bzw. rechten Potentialmulde (gestrichelt dargestell) beim symmetrischen Doppelmuldenpotential

Das Teilchen pendelt also zwischen den beiden Potentialminima hin und her. Dieses Verhalten steht in krassem Gegensatz zu dem, was wir vom thermischen Tunneln her kennen, bei dem die Aufenthaltswahrscheinlichkeit sich monoton dem thermischen Gleichgewicht (f¨ ur zwei gleich tiefe Minima also der Gleichverteilung) n¨ ahert.

5.11 Quantentunneln

231

Die bisher besprochene Situation von zwei gleich tiefen Potentialmulden, die gut voneinander getrennt sind, l¨ asst sich in guter N¨aherung auch analytisch beschreiben. Dazu nehmen wir zun¨ achst an, wir w¨ urden die Eigenfunk(0) tionen ψi (x) einer einzelnen Potentialmulde V0 (x) kennen. Nun suchen wir die Eigenfunktionen des Doppelmuldenpotentials V (x) = V0 (x − x0 ) + V0 (x + x0 ) .

(5.99)

Da dieses Potential symmetrisch ist, m¨ ussen alle Eigenfunktionen entweder symmetrisch (ψ(x) = ψ(−x)) oder antisymmetrisch (ψ(x) = −ψ(−x)) sein. In niedrigster Ordnung St¨ orungstheorie mit Entartung m¨ ussen wir diese Eigenfunktionen aus den Eigenfunktionen gleicher Energie zum linken bzw. rechten Potential zusammensetzen (siehe z.B. [29] oder [30]): ψ0,1 (x) = αi (ψ0 (x − x0 ) ± ψ0 (x + x0 )) .

(5.100)

Der Normierungsfaktor α bestimmt sich f¨ ur gut separierte Potentialmulden durch N = dx ψ0,1 (x)ψ0,1 (x) (5.101) = αi2 2 ± 2Re dx ψ0 (x + x0 )ψ(x − x0 ) (5.102) ≈ 2αi2 , woraus folgt, dass

(5.103) √ αi = 1/ 2

(5.104)

ist. N¨ aherungen f¨ ur die zugeh¨ origen Energieniveaus erhalten wir durch Berechnung der entsprechenden Energieerwartungswerte: 2 E0,1 = αi dx ψ0,1 (x) d2 (5.105) × − 2 + V0 (x − x0 ) + V (x − x0 ) ψ0,1 (x) dx 1 (0) dx ψ0 ψ0 . (5.106) = 2E0 ± 2Re 2 Wenn wir nun den entsprechenden Zeitverlauf bei dem links etwas vertiefuberstellen (Abb. 5.6), so stellen wir ten Potential (a1 = 1.6, a2 = 1.5) gegen¨ fest, dass der Zeitabhnagigkeit beider Aufenthaltswahrscheinlichkeiten zwar wieder sinusoidal ist, die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen rechts anzutreﬀen, allerdings nie gr¨ oßer als etwa 52% ist. Abschließend m¨ ochten wir in diesem Abschnitt noch die Situation ansprechen, dass das Teilchen in einen ungebundenen Zustand tunneln kann.

232

5 Quantenmechanik

Abb. 5.6. Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in der linken (durchgezogene Linie) bzw. rechten Potentialmulde (gestrichelt dargestellt) beim leicht asymmetrischen Doppelmuldenpotential

Dies erreichen wir, indem wir das Potential so w¨ahlen, dass zu gebundenen Zust¨ anden auf der rechten Seite des Potentialwalls freie Zust¨ande vergleichbarer Energie auf der linken Seite existieren. Dies ist z.B. der Fall, wenn wir das Potentialminimum nach links beliebig verl¨angern:

fu ¨r x ≤ x0 −a1 exp b1 (x + x0 )2 − a2 exp b2 (x − x0 )2 . V (x) = −a1 exp b1 (2x0 )2 − a2 fu ¨r x > x0 (5.107)

Abb. 5.7. Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens in der linken (durchgezogene Linie) bzw. rechten (gestrichelt dargestellt) H¨ alfte des Ortsbereichs

Zun¨ achst f¨ allt in Abb. 5.7 auf, dass f¨ ur t → ∞ beide Wahrscheinlichkeiten gegen null gehen, was daran liegt, dass die ungebundenen Teilchen den betrachteten Ortsbereich verlassen und dabei vom optischen Potential absorbiert werden. Da dies ausschließlich links passiert, m¨ ussen diese fehlenden Teilchen eigentlich zu P2 hinzugerechnet werden. Trotzdem verbleibt die Tatsache, dass das Tunneln nicht mehr periodisch ist wie in den vorangegangen Beispielen, sondern irreversiblen Charakter hat: Ist das Teilchen erst einmal auf der linken Seite, ist die Wahrscheinlichkeit f¨ ur ein Zur¨ ucktunneln vernachl¨ assigbar.

5.12 Einf¨ uhrung in die Quantenstatistik

233

5.12 Einfu ¨ hrung in die Quantenstatistik In den folgenden Abschnitten wollen wir etwas expliziter auf die Dynamik von Atomen eingehen. Wir haben bereits an unserem eindimensionalen Modellatom aus Abschn. 5.9 gesehen, dass ein Atom u ¨ber diskrete Energieniveaus im negativen Energiebereich und ein dar¨ uberliegendes Kontinuum verf¨ ugt. oren zu gebundenen Zust¨anden, w¨ahrend Die diskreten Energieniveaus geh¨ bei den Zust¨ anden aus dem Kontinuum das Elektron nicht an den Atomkern gebunden ist. Einen Aspekt, den wir jedoch in unserem bisherigen Modell u onnen, ist wie ein Atom spontan von einem Ener¨berhaupt nicht verstehen k¨ gieniveau auf ein anderes (niedrigeres) springt und die u ussige Energie ¨bersch¨ in Form eines Photons abgibt. Denn wenn sich das Elektron in einem Eigenzustand des vom Atomkern erzeugten Potentials beﬁndet, sollte es f¨ ur immer und ewig in diesem Eigenzustand bleiben. Dieser spontane Zerfall wurde erst im Rahmen der Quantenfeldtheorie verst¨ andlich, als neben dem Atom auch das Vakuum mit seinen Nullpunktsﬂuktuationen in das Modell einbezogen wurde. Zum Gl¨ uck ist es in vielen F¨ allen nicht n¨ otig, dieses Vakuum explizit mitzubetrachten, sondern man beﬁndet sich in einer Situation, die ganz a ¨hnlich der in Abschn. 4.6 ist: die Vakuumﬂukationen sind eine St¨ orung, die die ansonsten Hamiltonsche Dynamik des Atoms st¨ ort, und wie dort kann man dieser St¨orung durch eine statistische Beschreibung gerecht werden, ohne diese explizit miteinzubeziehen. Dieser Grundgedanke ist die Basis der Quantenstatistik. Auf eine detaillierte Herleitung des Formalismusses m¨ ussen wir im Rahmen dieses Buches zwar verzichten, wir m¨ ochten allerdings die wichtigsten Punkte wiedergeben, so dass Sie die nachfolgenden Abschnitte verstehen k¨onnen, ohne zu einem anderen Buch greifen zu m¨ ussen. Letzteres k¨onnen wir Ihnen allerdings nicht ersparen, wenn Sie wissen m¨ochten, wie man zu den dargestellten Gleichungen kommt. Beginnen wir mit der Beschreibung eines Zustandes in der Quantenstatistik. W¨ ahrend dieser Zustand bisher durch einen Zustandsvektor |ψ beschrieben wurde, tritt nun an dessen Stelle der Dichteoperator ˆ – statt eines Vektors haben wir es nun also mit einer Matrix zu tun. Die bisher betrachteten Zustandsvektoren |ψ sind als sogenannte reine Zust¨ ande in dieser erweiterten Beschreibung enthalten, da Sie durch die Dichtematrix ˆ = |ψ ψ| ,

(5.108)

dargestellt werden K¨ onnen. Umgekehrt kann nicht jeder zul¨assige Dichteoperator in dieser Weise durch einen Zustandsvektor ausgedr¨ uckt werden, doch darauf gehen wir sp¨ ater noch genauer ein. Diese nicht reinen Zust¨ande heißen gemischt. Mittelwerte erh¨ alt man aus der Dichtematrix durch Spurbildung ˆ ˆ , ˆ = Tr O (5.109) O

234

5 Quantenmechanik

ˆ ) einer Matrix M ˆ deﬁniert durch die Summe ihrer dabei ist die Spur Tr(M Diagonalelemente: ˆ) = Mii . (5.110) Tr(M i

Diese Spur ist im Gegensatz zu den einzelnen Diagonalelementen unabh¨angig ˆ entwickelt. Sie k¨onnen von der Wahl der Basis, nach der man den Operator M sich davon u ¨berzeugen, dass wir im Fall von reinen Zust¨anden wieder zu Gleichung (5.37) aus Abschn. 5.5 zur¨ uckkommen: ˆ ˆ ˆ = Tr O (5.111) O ˆ (5.112) = Tr O|ψ ψ| = ψn On,m ψm (5.113) n,m

ˆ = ψ|O|ψ .

(5.114)

Schließlich ben¨ otigen wir noch die Bewegungsgleichung f¨ ur die Dichtematrix , also den Ersatz f¨ ur die Schr¨ odingergleichung, die ja die Bewegungsgleichung f¨ ur die Zustandsvektoren |ψ ist. Diese Bewegungsgleichung heißt in Anlehnung an ihr Analogon aus der klassischen Statistischen Physik ebenfalls Mastergleichung und spaltet sich in einen Hamiltonschen (reversiblen) Anteil und einen nicht-Hamiltonschen (irreversiblen) Anteil auf: D d d (t) = (t) (t) + . (5.115) dt dt dt rev irrev Ohne Speziﬁzierung auf ein konkretes Problem l¨asst sich allerdings nur der Hamiltonsche Anteil explizit angeben: d i = − [H, ] . (t) (5.116) dt h ¯ rev Auch hier k¨ onnen wir uns wieder davon u ¨berzeugen, dass die Beschreibung der Quantenstatistik f¨ ur reine Zust¨ ande und f¨ ur eine rein Hamiltonsche Dynamik wieder in die gew¨ ohnliche Quantenmechanik u ¨bergeht: 1 ∂ |ψ = H|ψ ⇒ ∂t i¯ h 1 ∂ |ψ ψ| = ((H|ψ ) ψ| − |ψ (Hψ|)) ∂t i¯ h i = − [H, |ψ ψ|] . h ¯

(5.117) (5.118) (5.119)

Als letzten Punkt wollen wir das quantenmechanische Analogon zur Entropie einf¨ uhren:

5.13 Ein Zwei-Niveau-System mit ¨ außerer Anregung

S = −Tr ln .

235

(5.120)

Dabei ist der Logarithmus einer Matrix im Sinne von Abschn. 5.2 zu verstehen, d.h. der Logarithmus wird u ¨ber seine Potenzreihe [31] deﬁniert: ln(1 + ) =

∞

(−1)n

n=1

n . n

(5.121)

In der Praxis wird man den Logarithmus von jedoch berechnen, indem man in Diagonaldarstellung (5.122) = TDT−1 bringt. Hierbei ist D eine Diagonalmatrix und die Zeilenvektoren von T sind die Eigenvektoren von . Dann ist (ln)nm = Tnl lnDll Tml . (5.123) l

Dabei haben wir schon davon Gebrauch gemacht, dass die Eigenvektoren von senkrecht aufeinander stehen und folglich T−1 = Tt

(5.124)

gilt. Im Fall reiner Zust¨ ande = |ψ ψ| erhalten wir S=0,

(5.125)

wovon man sich am Leichtesten u ¨berzeugt, indem man eine Basis w¨ahlt, in der |ψ einer der Basisvektoren ist. Dann reduziert sich die Spurbildung in (5.120) auf diesen Vektor: S = −1 ln 1 = 0 .

(5.126)

Aus der Tatsache, dass es Dichtematrizen gibt, bei denen der Wert der Entropie (5.120) von null verschieden ist, ergibt sich automatisch, dass diese Zust¨ ande nicht in der Form (5.108) geschrieben werden k¨onnen und daher nicht rein sind.

5.13 Ein Zwei-Niveau-System mit ¨ außerer Anregung Das System, dem wir uns zun¨ achst zuwenden wollen, hat einen denkbar einfachen, n¨ amlich nur zweidimensionalen Hilbertraum. Die naheliegendste Realisierung eines solchen Systems ist ein Atom, bei dem nur zwei gebundene Zust¨ ande betrachtet werden m¨ ussen – aber auch der innere Freiheitsgrad des Spins f¨ uhrt bei Spin 1/2 und einem einzelnen, freien Teilchen auf zwei diskrete Niveaus mit den Spineinstellungen ±1/2.

236

5 Quantenmechanik

Wenn wir die ¨ außere Anregung f¨ ur einen Moment ausser Acht lassen, wird der Hamiltonsche Anteil der Dynamik durch den Hamiltonoperator E1 0 H= (5.127) 0 E2 mit den Energieniveaus E1 und E2 beschrieben. Eine ¨außere Anregung, z.B. durch Einstrahlen von Licht, f¨ uhrt nun zu einem Zusatzterm im Hamiltonoperator: ∆E1 α . (5.128) Hext = α ∆E2 Interessant sind hierbei insbesondere die Nichtdiagonalelemente, die zu einer Kopplung der beiden Eigenzust¨ ande des ungest¨orten Systems f¨ uhren. Der Einfachheit halber setzen wir die beiden Diagonalelemente ∆E1 und ∆E2 null, und haben zusammen den Hamiltonoperator E1 α Hges = . (5.129) α E2 Ohne irreversible Terme in der Bewegungsgleichung w¨ urde dieses Problem auf die Diagonalisierung des Hamiltonoperators (5.129), also einer 2×2-Matrix ¨ hinauslaufen, und die L¨ osung w¨ are eine Uberlagerung der beiden so gewonnenen Eigenzust¨ ande. Dass dies nicht die ganze Wahrheit sein kann, sehen wir bereits an dem Problem ohne ¨ aussere Anregung: Bei dem Hamiltonoperator (5.127) m¨ usste ein Atom immer im angeregten Zustand verbleiben – die Wirklichkeit lehrt uns jedoch, dass jedes angeregte Atom mit einer f¨ ur diesen Anregungszustand typischen Zerfallszeit τ in den Grundzustand zur¨ uckkehrt. Diese Diskrepanz mit der Realit¨ at wird behoben, wenn wir das Atom an ein W¨ armebad ankoppeln, d.h. ein System mit vielen Freiheitsgraden, dessen Dynamik wir nicht kennen und uns auch gar nicht interessiert. Eine solche Ankopplung an ein W¨ armebad f¨ uhrt zu einem nicht-Hamiltonschen Zusatzterm in der Bewegungsgleichung: ∂ i ˆ γ21 ˆ = − [H, ] + [S− , Sˆ+ ] + [Sˆ− , Sˆ+ ] ∂t h ¯ 2 γ12 ˆ + [S+ , Sˆ− ] + [Sˆ+ , Sˆ− ] , 2 wobei die sogenannten Umklappoperatoren 00 01 S+ = sowie S− = 10 00

(5.130)

(5.131)

das System aus dem Grundzustand in den angeregten Zustand bef¨ordern ¨ bewirken (S− ). (S+ ) bzw. den umgekehrten Ubergang Neu sind in (5.130) die beiden Terme proportional zu γ21 bzw. γ12 . Der er¨ ste beschreibt den Ubergang vom angeregten in den Grundzustand, w¨ahrend

5.13 Ein Zwei-Niveau-System mit ¨ außerer Anregung

237

der Term in der zweiten Zeile den umgekehrten Vorgang beschreibt, der bei einem W¨ armebad endlicher Temperatur auch m¨oglich ist – schließlich muss sich im thermischen Gleichgewicht ein Zustand einstellen, bei dem die Besetzung der beiden Niveaus durch den Boltzmannfaktor wiedergegeben wird: N1 = exp {−(E1 − E2 )/kT } . N2

(5.132)

asst sich herleiten, dass Daraus l¨ γ12 = exp {−(E2 − E1 )/kT } . γ21

(5.133)

gelten muss. Hierbei ist k die Boltzmann-Konstante, die Sie in der Literatur auch als kB ﬁnden. Der Vollst¨ andigkeit halber m¨ ussen wir noch anmerken, dass die quantenmechanische Mastergleichung (5.130) nur gilt, wenn – der Grenzfall schwacher D¨ ampfung vorliegt: γ12 , γ21 (E2 − E1 )/¯h , – die Markov-Approximation gerechtfertigt ist, was bedeutet, dass kT /¯h > γ12 , γ21 sein muss. Abschließend wollen wir noch darauf hinweisen, dass im Grenzfall niedriger Temperaturen kT E2 −E1 der letzte Term in (5.130) vernachl¨assigt werden kann. Ausgeschrieben lautet die Diﬀerentialgleichung (5.130) ∂ 11 12 i α(21 − 12 ) −∆E12 + α(22 − 11 ) =− α(12 − 21 ) ∂t 21 22 h ∆E21 + α(11 + 22 ) ¯ γ21 222 −12 γ12 −211 −12 + + (5.134) −21 −222 −21 211 2 2 Die Implementation dieser Bewegungsgleichung in einem Programm stellt uns vor keine besonderen Schwierigkeiten: 1 2 3 4 5 6 7

/************************************************************************** * Name: zweiniveau.cpp * * Zweck: Dynamik eines Zweiniveau-Atoms mit aeusserer Anregung und * * Daempfung * * Gleichung: Quanten-Mastergleichung * * verwendete Bibliothekl: GSL * **************************************************************************/

8 9 10 11 12 13 14

#include #include #include #include #include #include

<math.h> "tools.h"

15 16 17

using namespace std;

238 18 19

5 Quantenmechanik //-- Definition von Konstanten const int imax_max = 100;

20 21 22

//-- Definition globaler Variablen double omega_12, alpha, gamma_down;

23 24

//-------------------------------------------------------------------------

25 26

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

27 28 29 30 31 32 33 34

{ int double double double double double

n, m, i, j; rho_11_real, rho_12_real, rho_21_real, rho_22_real; rho_11_imag, rho_12_imag, rho_21_imag, rho_22_imag; drhodt_11_real, drhodt_12_real, drhodt_21_real, drhodt_22_real; drhodt_11_imag, drhodt_12_imag, drhodt_21_imag, drhodt_22_imag; mu = *(double *)params;

35 36 37 38 39

rho_11_real rho_21_real rho_12_real rho_22_real

= = = =

x[0]; x[2]; x[4]; x[6];

rho_11_imag rho_21_imag rho_12_imag rho_22_imag

= = = =

x[1]; x[3]; x[5]; x[7];

40 41 42 43 44 45 46 47

//-Terme durch drhodt_11_real drhodt_21_real drhodt_21_imag drhodt_12_real drhodt_12_imag drhodt_22_real

Eigenenergien = 0; drhodt_11_imag = 0; = - omega_12 * rho_21_imag; = omega_12 * rho_21_real; = omega_12 * rho_12_imag; = - omega_12 * rho_12_real; = 0; drhodt_22_imag = 0;

//-Terme durch drhodt_11_real drhodt_11_imag drhodt_21_real drhodt_21_imag drhodt_12_real drhodt_12_imag drhodt_22_real drhodt_22_imag

Daempfung = drhodt_11_real = drhodt_11_imag = drhodt_21_real = drhodt_21_imag = drhodt_12_real = drhodt_12_imag = drhodt_22_real = drhodt_22_imag

//-Terme durch drhodt_11_real drhodt_11_imag drhodt_12_real drhodt_12_imag drhodt_21_real drhodt_21_imag drhodt_22_real drhodt_22_imag

Kopplung (z.B. durch Pumpen) = drhodt_11_real + alpha * (rho_21_imag-rho_12_imag); = drhodt_11_imag - alpha * (rho_21_real-rho_12_real); = drhodt_12_real + alpha * (rho_22_imag-rho_11_imag); = drhodt_12_imag - alpha * (rho_22_real-rho_11_real); = drhodt_21_real + alpha * (rho_11_imag-rho_22_imag); = drhodt_21_imag - alpha * (rho_11_real-rho_22_real); = drhodt_22_real + alpha * (rho_12_imag-rho_21_imag); = drhodt_22_imag - alpha * (rho_12_real-rho_21_real);

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

+ gamma_down + gamma_down -0.5*gamma_down -0.5*gamma_down -0.5*gamma_down -0.5*gamma_down gamma_down gamma_down

* * * * * * * *

rho_22_real; rho_22_imag; rho_21_real; rho_21_imag; rho_12_real; rho_12_imag; rho_22_real; rho_22_imag;

58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72

dxdt[0] dxdt[2] dxdt[4] dxdt[6]

= = = =

drhodt_11_real; drhodt_21_real; drhodt_12_real; drhodt_22_real;

73 74 75 76

return GSL_SUCCESS; }

dxdt[1] dxdt[3] dxdt[5] dxdt[7]

= = = =

drhodt_11_imag; drhodt_21_imag; drhodt_12_imag; drhodt_22_imag;

5.13 Ein Zwei-Niveau-System mit ¨ außerer Anregung 77

239

//------------------------------------------------------------------------

78 79 80

int jac(double t, const double x[], double *dfdx, double dxdt[], void *params)

81 82 83 84

{ return GSL_SUCCESS; }

85 86

//------------------------------------------------------------------------

87 88

int main( int argc, char *argv[] )

89 90

{

91 92 93 94 95 96 97 98

//-- Definition der Variablen int n, n1, n_out, neq; double t, t_end, t1, t2, dt, E_1, E_2, rtol, atol, h, hmax, daux; double x[6*imax_max]; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream;

99 100 101 102 103 104 105

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: zweiniveau infile outfile\n"; return 0; }

106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei generiert von zweiniveau.cpp\n"; inout(t_end,"t_end"); inout(n_out,"n_out"); inout(atol,"atol"); inout(rtol,"rtol"); inout(E_1,"E_1"); inout(E_2,"E_2"); inout(alpha,"alpha"); inout(gamma_down,"gamma_down"); inout(x[0],"x[0]"); inout(x[1],"x[1]"); inout(x[2],"x[2]"); inout(x[3],"x[3]"); inout(x[4],"x[4]"); inout(x[5],"x[5]"); inout(x[6],"x[6]"); inout(x[7],"x[7]"); in_stream.close();

120 121 122 123 124

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = t_end / n_out; neq = 8; omega_12 = E_2-E_1;

125 126 127

//-- Anfangsbedingungen t = 0;

128 129 130 131 132 133 134 135

//-- Initialisierung der GSL-Routine const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, neq); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(neq); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, neq, &mu};

240 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148

5 Quantenmechanik for (n=1; n<=n_out; n++) { t1 = n * dt; while (t
149 150 151 152

gsl_odeiv_evolve_free(e); gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s);

153 154 155

out_stream.close(); }

Wir haben die Real- und Imagin¨ arteile der vier Komponenten der Dichtematrix zu einem Vektor x der L¨ ange 8 zusammengefasst, wobei wir nicht davon Gebrauch gemacht haben, dass hermitesch sein muss. Damit ließe sich die Zahl der wirklich unabh¨ angigen Variablen auf vier halbieren – andererseits ist die Hermitizit¨ at von auch eine gute M¨oglichkeit, das Programm zu veriﬁzieren, wenn der Programmcode von dieser Eigenschaft nicht explizit Gebrauch macht. In der Funktion f ab Zeile 26 schreiben wir und dessen zeitliche Ab¨ leitung in einer Matrix-¨ ahnlichen Form, um die Ubereinstimmung mit der Bewegungsgleichung (5.134) deutlich zu machen.

Abb. 5.8. Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens im Grund- (durchgezogene Kurve) bzw. im angeregten Zustand (gestrichelte Kurve) eines 2-Niveau-Systems mit ¨ außerer Anregung und D¨ ampfung

Wir sehen in Abb. 5.8, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im angeregten Zustand abnimmt, w¨ ahrend die Besetzung des Grundzustands entspre¨ chend zunimmt – dies ist der Eﬀekt der D¨ ampfung. Uberlagert sehen wir die Oszillationen, die wir schon aus den Abb. 5.5 und 5.6 kennen und die von der Kopplung der beiden Niveaus, also der Anregung herr¨ uhrt. Diese hat auch zur Folge, dass f¨ ur t → ∞ die Besetzung des angeregten Niveaus nicht gegen null, sondern gegen einen endlichen Wert strebt.

5.14 Messprozess

241

5.14 Messprozess An dem Beispiel des Zweiniveausystems k¨ onnen wir nun den Einﬂuss des Messprozesses auf die Dynamik untersuchen. Zu diesem Zweck stellen wir uns vor, dass wir zu beliebigen Zeitpunkten eine Messung vornehmen, ob sich das System im Grund- oder angeregten Zustand beﬁndet. Eine solche Messung ogliche Ergebnisse, deren Wahrscheinlichkeiten aufgrund hat also nur zwei m¨ der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik (siehe Abschn. 5.5 bzw. 5.12) durch die Diagonalelemente 11 bzw. 22 gegeben sind. Auch den Zustand nach der Messung liefert uns die Kopenhagener Interpretation: Je nach Ausgang der Messung liegt der Zustand 10 00 oder (5.135) 00 01 vor. Wir implementieren diesen Vorgang im Programm zeno1.cpp mit Hilfe eines Zufallszahlengenerators, der entscheidet, welchen Ausgang die Messung nimmt: ... 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165

for (n=1; n<=n_out; n++) { t1 = n * dt; while (t
166 167 168 169

gsl_odeiv_evolve_free(e); gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s);

170 171 172

out_stream.close(); }

Es u ¨berrascht Sie hoﬀentlich nicht, dass das Ergebnis dieses Programms (Abb. 5.9) v¨ ollig anders aussieht als das des Programms zweiniveau.cpp.

242

5 Quantenmechanik

Abb. 5.9. Typischer Ausgang von aufeinanderfolgenden Messungen im zeitlichen Abstand ∆t = 0.1 an einem Zweiniveausystem. Null bedeutet, dass das System im Grundzustand ist – eins bedeutet, dass es sich im angeregten Zustand beﬁndet

5.15 Der Zeno-Eﬀekt Wir m¨ ussen uns auch klar dar¨ uber sein, dass das dargestellte Ergebnis zwar typisch ist, aber aufgrund des statistischen Charakters des Messvorgangs nicht das einzig m¨ ogliche. Um zu – zumindest im Prinzip – vergleichbaren Ergebnissen zu kommen, m¨ ussen wir viele solcher typischen Kurven sammeln und u ahnlich zu unserer Vorgehensweise in Kap. 4. Das ¨berlagern – ganz ¨ Hauptprogramm des so entstandenen zeno2.cpp sieht dann so aus: ... 86

//-------------------------------------------------------------------------

87 88

int main( int argc, char *argv[] )

89 90

{

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

//-- Definition der Variablen int m, n, n1, n_out, neq, N_ensemble; double t, t_end, t1, t2, dt, E_1, E_2, rand, rtol, atol, h, hmax, daux; double x[8], x_0[8]; double mu = 10; ifstream in_stream; ofstream out_stream; const gsl_rng_type * T1; gsl_rng * r1;

101 102 103 104 105 106 107

//-- Fehlermeldung, wenn Input- und Outputfilename nicht uebergeben wurden if (argc<3) { cout << " Aufruf: zeno2 infile outfile\n"; return 0; }

108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118

//-- Einlesen der Parameter -in_stream.open(argv[1]); out_stream.open(argv[2]); out_stream << "! Ergebnis-Datei inout(t_end,"t_end"); inout(atol,"atol"); inout(E_1,"E_1"); inout(alpha,"alpha"); inout(N_ensemble,"N_ensemble"); inout(x[0],"x_0[0]");

generiert von zeno2.cpp\n"; inout(n_out,"n_out"); inout(rtol,"rtol"); inout(E_2,"E_2"); inout(gamma_down,"gamma_down"); inout(x_0[1],"x[1]");

5.15 Der Zeno-Eﬀekt 119 120 121

inout(x[2],"x_0[2]"); inout(x[4],"x_0[4]"); inout(x[6],"x_0[6]");

inout(x_0[3],"x[3]"); inout(x_0[5],"x[5]"); inout(x_0[7],"x[7]");

122 123 124 125 126

//-- Berechnung einiger benoetigter Parameter -dt = t_end / n_out; neq = 8; omega_12 = E_2-E_1;

127 128 129

gsl_vector *results = gsl_vector_alloc(n_out); for (n=1; n<=n_out; n++) gsl_vector_set(results,n-1,0);

130 131 132 133 134

//-- Initialisierung des Zufallszahlengenerators gsl_rng_env_setup(); T1 = gsl_rng_default; r1 = gsl_rng_alloc (T1);

135 136 137 138 139 140 141

//-- Initialisierung der GSL-Routine const gsl_odeiv_step_type *T = gsl_odeiv_step_rkf45; gsl_odeiv_step *s = gsl_odeiv_step_alloc(T, neq); gsl_odeiv_control *c = gsl_odeiv_control_y_new(atol, rtol); gsl_odeiv_evolve *e = gsl_odeiv_evolve_alloc(neq); gsl_odeiv_system sys = {f, jac, neq, &mu};

142 143 144

for (m=0; m
145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168

//-- Anfangsbedingungen t = 0; x[0] = x_0[0]; x[1] = x_0[1]; x[2] = x_0[2]; x[3] = x_0[3]; x[4] = x_0[4]; x[5] = x_0[5]; x[6] = x_0[6]; x[7] = x_0[7]; for (n=1; n<=n_out; n++) { t1 = n * dt; while (t
169 170 171 172

for (n=0; n
173 174 175 176 177

gsl_odeiv_evolve_free(e); gsl_odeiv_control_free(c); gsl_odeiv_step_free(s);

243

244 178 179

5 Quantenmechanik out_stream.close(); }

Das Ergebnis dieses Programms (die durchgezogene Linie in Abb. 5.10) sieht nun dem Resultat von Abschn. 5.13 schon etwas ¨ahnlicher, es f¨allt jedoch sofort auf, dass die Wahrscheinlichkeit im Vergleich zu Abb. 5.8 viel langsamer und auch ohne die charakteristischen Oszillationen abnimmt:

Abb. 5.10. Wahrscheinlichkeit, ein Zweiniveausystem bei fortlaufenden Messungen im Grundzustand zu ﬁnden. Bei der durchgezogenen Kurve erfolgten die Messungen im zeitlichen Abstand von 1, bei der gestrichelten Kurve von 10−1 und bei der gepunkteten Kurve im Abstand von 10−2

Der Grund ist, dass wir durch die Messungen die Dynamik des Systems beeinﬂussen – ein Eﬀekt, den wir im vorangegangenen Abschnitt nicht ber¨ ucksichtigt haben, da wir dort lediglich die Mastergleichung des Systems gel¨ost haben. Diese L¨ osung lieferte zwar die Wahrscheinlichkeit, mit der man das System nach einer Zeit t in einem gegebenen Zustand ﬁndet – jedoch unter der Voraussetzung, dass bis zu diesem Zeitpunkt keine Messungen am System stattgefunden haben. Besonders drastisch wird dieser Unterschied, wenn wir sehr viele, kurz aufeinander folgende Messungen am System vornehmen. In diesem Fall hat das System fast keine Zeit, aus dem Zustand, in den es durch die vorhergehende Messung projiziert wurde, in den anderen u ¨berzugehen und das System wird – lediglich durch die Messungen – quasi eingefroren. Diesen Sachverhalt spiegeln die beiden weiteren Kurven in Abb. 5.10 wieder, bei denen die Frequenz der Messungen gegen¨ uber der durchgezogenen Kurve verzehnfacht (gestrichelte Kurve) bzw. verhundertfacht (gepunktet dargestellt) wurde. Wir wollen diesen Eﬀekt – den sogenannten Zeno-Eﬀekt – etwas n¨aher beleuchten, und dabei eine analytische L¨ osung f¨ ur den Grenzfall sehr kleiner Zeitabst¨ ande zwischen zwei aufeinander folgender Messungen herleiten. Wir bezeichnen mit n den Zustand nach und mit ˜n den Zustand unmittelbar vor der n-ten Messung. Unser erstes Ziel ist eine stroboskopische Beschreibung, die den Zusammenhang von n und n+1 angibt. Beginnen wir mit dem etwas langwierigeren Teil: dem Zusammenhang ussen wir die Mastergleichung u zwischen n und ˜n+1 . Dazu m¨ ¨ber das – kurze – Zeitintervall ∆t l¨ osen. Dabei ber¨ ucksichtigen wir zun¨achst jedoch nur den Hamiltonschen Anteil der Bewegung – aus Gr¨ unden, die im Folgenden

5.15 Der Zeno-Eﬀekt

245

sichtbar werden.

⇒

i ∂ = − [H, ] ∂t h ¯ ∂ i 11 = + α (21 − 12 ) ∂t h ¯ i ∂ 12 = − (∆E21 − α (22 − 11 )) ∂t h ¯ i ∂ 21 = − (−∆E12 + α (22 − 11 )) . ∂t h ¯

(5.136) (5.137) (5.138) (5.139)

Wir diﬀerenzieren (5.137) nach der Zeit und setzen (5.138) und (5.139) ein: ∂2 2α2 α∆E = (22 − 11 ) − (12 + 21 ) . 11 2 2 ∂t ¯ h h2 ¯

(5.140)

Unter der Voraussetzung, dass die Nichtdiagonalelemente von nicht besetzt sind (was wir weiter unten kl¨ aren werden), ist die L¨osung dieses Diﬀerentialgleichungssystems f¨ ur kleine Zeiten δt gegeben durch: α2 (n,22 + n,11 ) (δt)2 h2 ¯ α2 ˜n+1,22 (δt) = n,22 + 2 (n,22 + n,11 ) (δt)2 h ¯

˜n+1,11 (δt) = n,11 −

(5.141) (5.142)

¨ Der entscheidende Punkt an dieser Stelle ist, dass die Anderung der Dichtematrixelemente von der Gr¨ oßenordnung (δt)2 ist. Der Einﬂuss der Messung liefert uns schließlich den Zusammenhang zwiuck sehr einfach: n+1 setzt sich aus schen ˜n+1 und n+1 . Dieser ist zum Gl¨ den Dichtematrizen 10 00 und (5.143) 00 01 uckzusammen, wobei wir deren statistische Gewichte ˜n+1,11 bzw. ˜n+1,22 ber¨ sichtigen m¨ ussen. Wir erhalten also 10 00 ˜n+1,11 0 n+1 = ˜n+1,11 + ˜n+1,22 = (5.144) 00 01 0 ˜n+1,22 Die Messung vernichtet also quasi die Nichtdiagonalelemente, w¨ahrend die Diagonalelemente unangetastet bleiben. An dieser Stelle wird klar, warum wir bei der Zeitentwicklung davon ausgehen konnten, dass 12 und 21 beide anf¨ anglich null sind, und warum wir uns bei der L¨osung nicht f¨ ur deren Werte nach der kurzen Zeit δt interessiert haben: ersteres garantiert die vorangegange Messung und die nachfolgende Messung macht diese beiden Matrixelemente ohnehin zu null. Fassen wir nun die beiden Teile – die Entwicklung u ¨ber kurze Zeiten δt ((5.142) und (5.142)) und den Eﬀekt der Messung (5.144) zusammen, erhalten wir:

246

5 Quantenmechanik

n+1 =

n,11 + ξ(22 − 11 ) 0 0 n,22 − ξ(22 − 11 )

.

(5.145)

Dabei haben wir die Abk¨ urzung ξ=

2α2 2 (δt) h2 ¯

(5.146)

eingef¨ uhrt. Was passiert nun, wenn wir im Grundzustand starten und – wie in Abb. 5.10 – ein endliches Zeitintervall ∆t in sehr viele (N ) kleine Einheiten δt = ∆t/N zerteilen, nach denen jeweils eine Messung erfolgt? Nach der ersten Messung ist die Besetzung des angeregten Zustands ξ, nach der zweiten Messung 2ξ und so weiter. Entsprechend nimmt die Besetzung des Grundzustands ab. Nach N Messungen sind die beiden Diagonalmatrixelemente also 2α2 (∆t)2 ¯h2 N 2 2α (∆t)2 = . h2 N ¯

11 (∆t) = 1 − N ξ = 1 −

(5.147)

22 (∆t)

(5.148)

= Nξ

Wir sehen, dass in der Tat die Dynamik im Grenzfall N → ∞ eingefroren wird. Kommen wir nun noch zu der Frage, warum wir uns bei dieser Berechnung auf eine rein Hamiltonsche Zeitentwicklung beschr¨ankt habe und eventuelle dissipative Terme in der Mastergleichung ausgeschlossen haben. Der Grund ist einfach: wenn D¨ ampfung vorliegt, gibt es im allgemeinen den ¨ Zeno-Eﬀekt nicht. Berechnet man n¨ amlich wie vorhin die Anderung von zwischen zwei Messungen, erh¨ alt man Terme, die proportional zu δt sind uhren dazu, dass (und nicht wie in (5.146) proportional zu (δt)2 ). Diese f¨ die zu (5.147) und (5.148) entsprechenden Ausdr¨ ucke nicht f¨ ur N → ∞ in 11 (t = 0) und 22 (t = 0) u ¨bergehen. Diese Terme proportional zu δt verschwinden jedoch, wenn der Ausgangszustand von der dissipativen Dynamik nicht ber¨ uhrt wird, wenn also ∂ (t = 0) =0 (5.149) ∂t irrev ist; und genau diese Situation liegt Abb. 5.10 zugrunde.

5.16 Ein Ein-Atom-Laser In diesem Beispiel wollen wir einen einfachen Laser betrachten, wobei wir sowohl das Lichtfeld als auch das lichtemittierende Material quantenmechanisch behandeln wollen. Um das Problem in einem handhabbaren Rahmen zu halten, beschr¨ anken wir uns bei letzterem auf ein einziges Atom – und reißen dabei interessanterweise ein Themengebiet an, das in den letzten Jahren ein

5.16 Ein Ein-Atom-Laser

247

aktuelles Forschungsgebiet war: der Ein-Atom-Laser [32, 33]. Wir beginnen ¨ unsere Uberlegungen, indem wir das Zwei-Niveau-System aus Abschn. 5.13 durch Hinzunahme eines weiteren Niveaus zu einem Drei-Niveau-System erweitern:

Abb. 5.11. Energieschema eines Drei-Niveau-Systems, bei dem vom Grundzustand in den h¨ ochsten Zustand angeregt wird und das System durch Ankopplung an ein W¨ armebad von den angeregten Zust¨ anden in niedrigere Zust¨ ande u ¨bergehen kann

Die zugeh¨ orige Mastergleichung ist zwar l¨ anglich, wird jedoch durch den Vergleich mit ihrem Pendant bei zwei Energieniveaus (5.130) verst¨andlich: ∂ i ˆ = − [H, ] ∂t h ¯ γ21 ˆ + [S21 , Sˆ12 ] + [Sˆ21 , Sˆ12 ] + 2 γ31 ˆ + [S31 , Sˆ13 ] + [Sˆ21 , Sˆ12 ] + 2 γ23 ˆ + [S23 , Sˆ32 ] + [Sˆ23 , Sˆ32 ] + 2

(5.150) γ12 ˆ [S12 , Sˆ21 ] + [Sˆ12 , Sˆ21 ] 2 γ13 ˆ [S13 , Sˆ31 ] + [Sˆ12 , Sˆ21 ] 2 γ32 ˆ [S32 , Sˆ23 ] + [Sˆ32 , Sˆ23 ] , 2

wobei der Hamiltonoperator H durch die Eigenenergien und das Pumpen vom Grundzustand (1) in das oberste Energieniveau (2) bestimmt wird: ⎞ ⎛ E1 α 0 ˆ = ⎝ α E2 0 ⎠ . (5.151) H 0 0 E3 ¨ Die letzten drei Zeilen in (5.150) beinhalten zun¨achst den spontanen Ubergang von Niveau 2 nach 1, dann von Niveau 3 nach 1 und schließlich von Niveau 2 nach 3. Die Operatoren Sij deﬁnieren wir analog zu (5.131): (Sij )nm = δim δjn .

(5.152)

Wenn Sie (5.150) ausschreiben und in einem Computerprogramm (auf der CD dreiniveau.cpp) implementieren, erhalten Sie f¨ ur die Funktion f, die die Diﬀerentialgleichung festlegt, die folgenden Programmzeilen:

248

5 Quantenmechanik

... 23

//-------------------------------------------------------------------------

24 25

int f(double t, const double x[], double dxdt[], void *params)

26 27 28 29 30

{ int n1, n2, n3, n, m, i, j; double rho[3][3][2], drho_dt[3][3][2]; double sum;

31 32 33 34 35

n = 0; for (n1=0; n1<3; n1++) for (n2=0; n2<3; n2++) for (n3=0; n3<2; n3++) {rho[n1][n2][n3] = x[n]; n++;}

36 37 38 39 40 41 42 43

//-Terme durch Eigenenergien for (n1=0; n1<3; n1++) for (n2=0; n2<3; n2++) { drho_dt[n1][n2][0] = -omega[n1][n2] * rho[n1][n2][1]; drho_dt[n1][n2][1] = omega[n1][n2] * rho[n1][n2][0]; }

44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

for (n1=0; n1<2; n1++) { //-Terme durch Daempfung 2->1 drho_dt[0][0][n1] = drho_dt[0][0][n1] drho_dt[1][0][n1] = drho_dt[1][0][n1] drho_dt[0][1][n1] = drho_dt[0][1][n1] drho_dt[1][1][n1] = drho_dt[1][1][n1] drho_dt[2][1][n2] = drho_dt[2][1][n1] drho_dt[1][2][n1] = drho_dt[1][2][n1] //-Terme durch Daempfung 3->1 drho_dt[0][0][n1] = drho_dt[0][0][n1] drho_dt[2][0][n1] = drho_dt[2][0][n1] drho_dt[0][2][n1] = drho_dt[0][2][n1] drho_dt[2][2][n1] = drho_dt[2][2][n1] drho_dt[1][2][n1] = drho_dt[1][2][n1] drho_dt[2][1][n1] = drho_dt[2][1][n1] //-Terme durch Daempfung 2->3 drho_dt[2][2][n1] = drho_dt[2][2][n1] drho_dt[1][2][n1] = drho_dt[1][2][n1] drho_dt[2][1][n1] = drho_dt[2][1][n1] drho_dt[1][1][n1] = drho_dt[1][1][n1] drho_dt[0][1][n1] = drho_dt[0][1][n1] drho_dt[1][0][n1] = drho_dt[1][0][n1] }

+ gamma_12 -0.5*gamma_12 -0.5*gamma_12 gamma_12 -0.5*gamma_12 -0.5*gamma_12

* * * * * *

rho[1][1][n1]; rho[1][0][n1]; rho[0][1][n1]; rho[1][1][n1]; rho[2][1][n1]; rho[1][2][n1];

+ gamma_13 -0.5*gamma_13 -0.5*gamma_13 gamma_13 -0.5*gamma_13 -0.5*gamma_13

* * * * * *

rho[2][2][n1]; rho[2][0][n1]; rho[0][2][n1]; rho[2][2][n1]; rho[1][2][n1]; rho[2][1][n1];

+ gamma_32 -0.5*gamma_32 -0.5*gamma_32 gamma_32 -0.5*gamma_32 -0.5*gamma_32

* * * * * *

rho[1][1][n1]; rho[1][2][n1]; rho[2][1][n1]; rho[1][1][n1]; rho[0][1][n1]; rho[1][0][n1];

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

//-Terme durch Kopplung (z.B. durch drho_dt[0][0][0] = drho_dt[0][0][0] drho_dt[0][0][1] = drho_dt[0][0][1] drho_dt[0][1][0] = drho_dt[0][1][0] drho_dt[0][1][1] = drho_dt[0][1][1] drho_dt[1][0][0] = drho_dt[1][0][0] drho_dt[1][0][1] = drho_dt[1][0][1] drho_dt[1][1][0] = drho_dt[1][1][0] drho_dt[1][1][1] = drho_dt[1][1][1] drho_dt[0][2][0] = drho_dt[0][2][0]

Pumpen) + alpha - alpha + alpha - alpha + alpha - alpha + alpha - alpha + alpha

* * * * * * * * *

(rho[1][0][1]-rho[0][1][1]); (rho[1][0][0]-rho[0][1][0]); (rho[1][1][1]-rho[0][0][1]); (rho[1][1][0]-rho[0][0][0]); (rho[0][0][1]-rho[1][1][1]); (rho[0][0][0]-rho[1][1][0]); (rho[0][1][1]-rho[1][0][1]); (rho[0][1][0]-rho[1][0][0]); rho[1][2][1];

5.16 Ein Ein-Atom-Laser 80 81 82 83 84 85 86

drho_dt[0][2][1] drho_dt[1][2][0] drho_dt[1][2][1] drho_dt[2][0][0] drho_dt[2][0][1] drho_dt[2][1][0] drho_dt[2][1][1]

= = = = = = =

drho_dt[0][2][1] drho_dt[1][2][0] drho_dt[1][2][1] drho_dt[2][0][0] drho_dt[2][0][1] drho_dt[2][1][0] drho_dt[2][1][1]

+ + +

alpha alpha alpha alpha alpha alpha alpha

* * * * * * *

249

rho[1][2][0]; rho[0][2][1]; rho[0][2][0]; rho[2][1][1]; rho[2][1][0]; rho[2][0][1]; rho[2][0][0];

87 88 89 90 91

n = 0; for (n1=0; n1<3; n1++) for (n2=0; n2<3; n2++) for (n3=0; n3<2; n3++) {dxdt[n] = drho_dt[n1][n2][n3]; n++;}

92 93 94

return GSL_SUCCESS; }

95 96

//-------------------------------------------------------------------------

... Gegen¨ uber dem Programm zweiniveau.cpp haben wir die Darstellung ¨ der Dichtematrix ge¨ andert: der besseren Ubersichtlichkeit fassen wir alle Elemente von in einem Feld zusammen, dessen erste beiden Indizes die Quantenzahlen angeben, w¨ ahrend der letzte Index angibt, ob es sich um den Realteil oder den Imagin¨ arteil handelt. Zun¨ achst bestimmen wir in Zeile 37– 43 die Terme in den Bewegungsgleichungen, die von den Eigenenergien der atomaren Niveaus herr¨ uhren. Dazu deﬁnieren wir im Hauptprogramm eine Matrix omega, die die Energiediﬀerenzen zweier beliebiger Niveaus bereith¨alt: ... 150 151

for (n1=0; n1<3; n1++) for (n2=0; n2<3; n2++) omega[n1][n2] = E[n2]-E[n1];

... Anschließend ﬁnden Sie in den Zeilen 47 bis 68 alle D¨ampfungsterme und schließlich die Terme durch den Pumpprozess. Beachten Sie, dass die D¨ampfung z.B. von Niveau 2 nach 1 auch zu Termen in den Bewegungsgleichungen f¨ ur 23 oder 32 f¨ uhrt (siehe Zeile 52/53) und entsprechendes gilt nat¨ urlich auch f¨ ur die D¨ ampfung von Niveau 3 nach 1 bzw. von Niveau 2 nach 3. Um einen Laser zu realisieren, ben¨ otigen wir eine sogenannte Inversion, d.h. ein h¨ oheres Niveau ist – im Gegensatz zur Besetzung im thermischen Gleichgewicht – st¨ arker besetzt als ein niedrigeres Niveau. In unserem Beispiel kommen hierf¨ ur nur die Niveaus 3 und 1 in Frage: Wir regen das System durch Pumpen vom Grundzustand in den angeregten Zustand 2 an. Bevor dieser Zustand (durch Pumpen oder durch die D¨ ampfung) wieder in den Grundzustand u ¨bergeht, kann das Atom durch den zweiten D¨ ampfungsterm in den Zustand 3 u ¨bergehen. Dieses Bev¨olkern des Zustandes 3 auf dem Umweg u ¨ber 2 ist umso eﬀektiver, je – –

st¨ arker das Pumpen von 1 nach 2 ist, ¨ st¨ arker die D¨ ampfung von 2 nach 3 ist (erlaubter Ubergang)

250

–

5 Quantenmechanik

schw¨ acher die D¨ ampfung von 3 nach 1 und von 2 nach 1 ist (verbotene ¨ Uberg¨ ange). Diese Bedingungen sind bei γ21 = γ31 = 0.01 γ23 = 1

(5.153) (5.154)

gut erf¨ ullt und ergeben das folgende Resultat:

Abb. 5.12. Besetzung der drei Niveaus eines ged¨ ampften Dreiniveau-Systems mit außerer Anregung. Die Parameter sind so gew¨ ahlt, dass sich im station¨ aren Zu¨ stand eine Inversion zwischen Zustand 1 (Grundzustand, durchgezogene Kurve) und Zustand 3 (gestrichelt dargestellt) einstellt

Zu Beginn beﬁnden sich die Atome alle im Grundzustand (durchgezogene Linie) und werden – wie in Abschn. 5.13 durch das Pumpen in Niveau 2 (gepunktete Kurve) bef¨ ordert. Neu hinzugekommen ist die M¨oglichkeit, von dort zum Niveau 3 (gestrichelte Kurve) zu gelangen, wo sie – bedingt durch die Wahl einer kleinen D¨ ampfungskonstante γ31 lange bleiben. Auf diese Weise sammeln sich die Atome quasi in Niveau 3 und wir erhalten die gew¨ unschte Inversion relativ zum Grundzustand. Was uns nun noch zu einem Laser fehlt, ist die Ankopplung an eine Lichtmode. Mathematisch ist das elektromagnetische Feld des Lichts ¨aquivalent zum harmonischen Oszillator, weswegen wir die Eigenzust¨ande des Lichtfeldes wie beim harmonischen Oszillator in Abschn. 5.9 durch Angabe einer Quantenzahl n beschreiben k¨ onnen und die zugeh¨origen Eigenenergien durch 1 hω ¯ (5.155) En = n + 2 gegeben sind. Verwenden wir diese Zust¨ ande als Basis, werden die Elemente der Dichtematrix außer durch die zwei Atomniveaus noch durch zwei Quantenzahlen f¨ ur das Lichtfeld indiziert: ij

⇒

i,n;j,m .

(5.156)

5.16 Ein Ein-Atom-Laser

251

i und j nummerieren die atomaren Niveaus und laufen bei unserem DreiNiveau-Atom von null bis drei, w¨ ahrend n und m die Photonenzahl angeben und deswegen jede ganze Zahl gr¨ oßer gleich null annehmen k¨onnen. An dieser Stelle f¨ uhren wir Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ein, die einen Zustand mit n Photonen in einen mit n + 1 bzw. n − 1 Photonen u uhren (also ein Photon erzeugen bzw. vernichten): ¨berf¨ √ b+ |n = n + 1 |n + 1 (5.157) √ b|n = n |n − 1 . (5.158) Um die Bewegungsgleichung nun entsprechend zu erweitern, m¨ ussen wir drei verschiedene Terme ber¨ ucksichtigen: – – –

den Term durch die Energieniveaus des Lichtfelds (5.155), den Term durch Absorbtion / Emission eines Photons durch das Atom, die Terme durch die D¨ ampfung des Lichtfeldes.

Beginnen wir mit der Dynamik durch die Energieniveaus (5.155) – wie immer in skalierten Einheiten, wobei wir die bislang noch oﬀene Skalierung der Zeit so w¨ ahlen, daß ω = 1 ist: ∂ i,n;j,m = i(n − m)i,n;j,m . ∂t

(5.159)

Der zweite Teil, der die Absorbtion bzw. Emission eines Photons beschreibt, ist ebenfalls Hamiltonsch: H = β S − b+ + S + b (5.160) √ ∂ 1,n;j,m = iβ n 3,n−1;j,m ⇒ (5.161) ∂t √ ∂ 3,n;j,m = iβ n + 1 1,n+1;j,m (5.162) ∂t √ ∂ i,n;3,m = −iβ m + 1 i,n;1,m+1 (5.163) ∂t √ ∂ i,n;1,m = −iβ m i,n;3,m−1 . (5.164) ∂t Der neu eingef¨ uhrte Parameter β beschreibt die Kopplung des Atoms an das Lichtfeld, d.h. je gr¨ oßer dieser Wert ist, umso wahrscheinlicher ist der ¨ Ubergang von Niveau 3 nach 1 (bzw. umgekehrt) unter Emission (bzw. Absorbtion) eines Photons. Abschließend ben¨ otigen wir noch die Mastergleichung f¨ ur einen ged¨ampften harmonischen Oszillator, die dem eines atomaren Systems sehr ¨ahnlich ist: ∂ (5.165) = γphot 2b+ b − b+ b − bb+ . ∂t ur das Lichtfeld eingef¨ uhrt. Dabei haben wir die D¨ ampfungskonstante γphot f¨ Im Programm sieht das Ganze dann so aus:

252

5 Quantenmechanik

... 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

//-Terme durch Eigenenergien for (n1=0; n1<3; n1++) for (n2=0; n2<3; n2++) for (n3=0; n3
... 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168

//-Terme durch Emission/Absorbtion eines Photons for (n1=0; n1
169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184

//-Terme durch Daempfung der Lichtmode for (n1=0; n1<3; n1++) for (n2=0; n2<3; n2++) for (n3=0; n3
...

5.16 Ein Ein-Atom-Laser

253

Im Gegensatz zum Dreiniveau-Atom ohne Lichtfeld haben wir es nun mit einem unendlich-dimensionalen Hilbertraum zu tun, den das Programm laser.cpp nat¨ urlich beschneiden muss, was sich in der Beschr¨ankung auf ein maximales nmax f¨ ur die betrachtete Photonenzahl ¨außert. Dies birgt die Gefahr, dass man diesen Wert zu niedrig ansetzt und merkliche Anteile der Dichtematrix vernachl¨ assigt werden. Um dies auszuschließen bauen wir in den Hauptteil zwei Kontrollen ein: Zum einen berechnen wir eine Gr¨oße n edge, die angibt wie stark der k¨ unstlich eingef¨ uhrte Rand der Dichtematrix besetzt ist; zum anderen berechnen wir die Spur der Dichtematrix. Wenn alles korrekt ist, muss die erste Gr¨ oße sehr klein bleiben, w¨ahrend die Spur der Dichtematrix eins sein muss: ... 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264

n_phot = 0; n_edge = 0; n_1 = 0; n_2 = 0; n_3 = 0; for (n1=0; n1
... Als weitere Bedingung, die wir u ufen sollten, bevor wir einem Ergeb¨berpr¨ nis Glauben schenken, bietet sich die Tatsache an, dass alle Diagonalelemente der Dichtematrix positiv sein m¨ ussen, da sie als Wahrscheinlichkeiten interpretiert werden k¨ onnen. Abschließend m¨ ussen wir noch den Parametersatz f¨ ur das DreiniveauAtom um Werte f¨ ur die Kopplungskonstante β und die D¨ampfung γphot erg¨anzen. F¨ ur (5.166) β=1 γphot = 0.05 (die restlichen Parameter sind gegen¨ uber dem Drei-Niveau-Atom unver¨andert) erhalten wir Abb. 5.13. Beginnend bei t = 0 pumpen wir zun¨ achst das Atom vom Grundzustand (dessen Besetzung in Abb. 5.13 gestrichelt dargestellt ist) u ¨ber das Niveau 2 in das Niveau 3 (gepunktete Kurve in Abb. 5.13). Erst wenn dieses Niveau besetzt ist, erhalten wir durch spontane Emission Photonen (deren mittlere Zahl ist die durchgezogene Kurve in Abb. 5.13), was dann allerdings wieder zu einer Entv¨ olkerung des Niveaus 3 und zu einer st¨arkeren Besetzung des Grundzustands f¨ uhrt. An dieser Stelle k¨ onnen wir auch qualitativ erkl¨aren, warum der Ein-Atom-Laser so viel wissenschaftliches Interesse gewonnen hat: W¨ ahrend in einem normalen Laser mit vielen Atomen zwei Photonen unmittelbar hintereinander in die Lichtmode eingekoppelt werden k¨onnen, ist dies

254

5 Quantenmechanik

Abb. 5.13. Besetzung der Niveaus 1 und 3 (gestrichelte bzw. gepunktete Linie), eines Drei-Niveau-Atoms, das an ein Lichtfeld gekoppelt ist, sowie die Photonenzahl im Lichtfeld (durchgezogene Kurve)

bei einem Ein-Atom-Laser nicht m¨ oglich, da sich das einzige Atom nach der ersten Emission im Grundzustand beﬁndet. Man hat also guten Grund, anzunehmen, dass die Statistik der Photonen beim Ein-Atom-Laser grundlegend anders ist als beim konventionellen Laser. Um dies genauer zu beleuchten, m¨ ussten wir leider tief in die Quantenoptik eintauchen – den Leser, der u ¨ber ¨ entsprechende Kenntnisse verf¨ ugt, verweisen wir auf Ubung 5.7.

¨ Ubungen 5.1 Eigenzust¨ ande des Delta-Potentials Die Eigenzust¨ ande zu einem δ-f¨ ormigen Potential V (x) = aδ(x) k¨onnen ana¨ lytisch bestimmt werden. Gerade deswegen ist es aber ein gute Ubung, diese numerisch zu berechnen und mit dem analytischen Ergebnis zu vergleichen. Verwenden Sie als Ausgangspunkt das Programm eigen1.cpp aus Abschnitt 5.9 und modiﬁzieren Sie den Programmabschnitt, in dem das Potential festgelegt wird. Studieren Sie insbesondere die Abh¨angigkeit des Ergebnisses von den Parametern xmax und dx. 5.2 Eindimensionales Modell eines Atoms √ Das Potential V (x) = β/ 1 + αx2 kann als einfaches Modell f¨ ur ein Atom dienen, wobei die Parameter α und β die Breite und die Tiefe des vom Atomkern erzeugten Potentials festlegen. Berechnen Sie f¨ ur einige Parameters¨atze die gebundenen Zust¨ ande und deren Bindungsenergien. Letztere k¨onnen Sie mit den Ergebnissen aus Abschn. 5.10 vergleichen. Interessant ist es auch, die freien Zust¨ ande f¨ ur niedrige und f¨ ur große Energien zu betrachten.

¨ Ubungen

255

5.3 Eindimensionales Modell f¨ ur H+ 2 F¨ ugen Sie zwei der Einzelpotentiale aus der vorangegangenen Aufgabe zum Potential zweier Atomkerne im Abstand a zusammen und berechnen Sie wieder die Energieniveaus der gebundenen Zust¨ ande. Variieren Sie nun den Abstand a und bestimmen Sie die Grundzustandsenergie als Funktion dieses Parameters. Was Sie erhalten ist das eﬀektive Potential, in dem sich (aufgrund der großen Masse der Atomkerne auf einer viel gr¨oßeren Zeitskala) die beiden Kerne bewegen. Aus dem Potentialverlauf kann also sowohl der Abstand der beiden Kerne im Grundzustand als auch deren Schwingungsfrequenz entnommen werden. 5.4 Berechnung von Energieniveaus nach der Variationsmethode In Abschn. 5.10 haben wir die Eigenenergien eines Modellatoms (siehe auch Aufgabe 5.2) nach der Variationsmethode berechnet. Als Testfunktionen dienten uns dabei Funktionen vom Typ 1 fn = √ xn exp(−µx2 /2) , n!

(5.167)

wobei der Parameter µ fest gew¨ ahlt wurde. Untersuchen Sie, was passiert, wenn Sie diesen Parameter ver¨ andern – insbesondere, wenn Sie ein sehr großes oder ein sehr kleines µ nehmen. Interessant ist es auch, mehrere solche Funktionens¨ atze zu verschiedenen µ zu kombinieren und so einen gr¨oßeren Satz an Testfunktionen zu haben, aus denen man die Eigenzust¨ande und die dazugeh¨ origen Eigenenergien berechnet. 5.5 Quantenmechanische Entropie ¨ Uberlegen Sie sich, wie groß die in (5.120) deﬁnierte Entropie bei einem Zwei-Niveau- bzw. Drei-Niveau-Atom werden kann. Implementieren Sie nun eine Berechnung der Entropie in die Programme zweiniveau.cpp sowie dreiniveau.cpp und untersuchen Sie den Zeitverlauf der Entropie. 5.6 Zeno-Eﬀekt Wenn Sie bei den Parametern zum Programm zeno2.cpp (auf der CD-ROM) die Zahl der Messungen im Zeitintervall [0 : 100] auf 20 herabsetzen, werden Sie feststellen, dass die Abnahme der Besetzung des angeregten Zustandes wieder langsamer erfolgt – entgegen dem allgemeinen Trend. Woran liegt das? Betrachten Sie zum Vergleich noch einmal Abb. 5.8!

256

5 Quantenmechanik

5.7 Ein-Atom-Laser Durch Spurbildung u ¨ber die atomaren Freiheitsgrade kommen Sie von der Dichtematrix i,n;j,m aus Abschn. 5.16 auf eine Dichtematrix nur f¨ ur das Atom: i,n;i,m . (5.168) n;m = i

Aus dieser k¨ onnen Leser mit Kenntnissen in Quantenoptik (siehe z.B. [34]) die Quasiwahrscheinlichkeit Q(α) =

1 α||α π

(5.169)

berechnen. Dabei machen wir Gebrauch von den koh¨arenten Zust¨anden n α 1 √ |n . (5.170) |α = exp − |α|2 2 n! n

A Installation der Pakete unter Linux Diesem Buch liegt eine CD-ROM bei, auf der Sie alle f¨ ur die numerische Physik n¨ otigen Softwarepakete ﬁnden, so dass Sie nach deren Installation alle Programme dieses Buches ausprobieren und weiterentwickeln k¨onnen. Dabei m¨ ussen je nach der von Ihnen getroﬀenen Software-Auswahl noch Anpassungen an den Programmen vorgenommen werden. Wenn Sie Linux installiert haben – und davon geht dieser Abschnitt aus – ben¨otigen Sie noch folgende Programmpakete: – – – – –

einen Compiler einer h¨ oheren Programmiersprache, einen Editor, in dem Sie die Quellprogramme schreiben k¨onnen, eine Numerik-Bibliothek, die mathematische Standardaufgaben (z.B. die L¨ osung einer Diﬀerentialgleichung) u ¨bernimmt, ein Graﬁkprogramm zur Visualisierung der Ergebnisse, und ein Programm, mit dessen Hilfe die vom Graﬁkprogramm erzeugten Graﬁken auf dem Bildschirm dargestellt werden k¨onnen.

F¨ ur jeden dieser Punkte ﬁnden Sie auf der CD-ROM mehrere zur Auswahl stehende Programme, z.B. entspricht jedes Verzeichnis in /linux/editors einem unter Linux lauff¨ ahigen Editor. Wenn Sie sich nun f¨ ur einen Editor entschieden haben (selbstverst¨ andlich k¨ onnen Sie aber auch mehrere Editoren installieren) und sich den Inhalt des entsprechenden Verzeichnisses anschauen, so ﬁnden Sie dort typischerweise: –

ein Verzeichnis src, in dem Sie die Quelltexte des betreﬀenden SoftwarePaketes ﬁnden, – ein Verzeichnis bin mit bereits kompilierten Bin¨arversionen, – ein Verzeichnis doc mit dazu verf¨ ugbarer Dokumentation.

Installation von rpm-Paketen Am Einfachsten gestaltet sich die Installation, wenn Sie eine auf dem Red Hat Package Manager (kurz rpm) aufbauende Linux-Distribution haben, wie z.B. Red Hat oder SUSE. In diesem Fall k¨ onnen Sie f¨ ur die meisten Pakete auf ein passendes rpm-Paket im Unterverzeichnis bin zur¨ uckgreifen, z.B. gsl-1.3-155.i586.rpm

Der Dateiname setzt sich aus dem Namen des Pakets (hier gsl), der Versionsund der Releasenummer (hier 1.3 und 155) und einem Zusatz zusammen, der hier anzeigt, dass es sich um die Bin¨ arversion f¨ ur die Plattform i586 (IntelProzessoren ab dem Pentium oder kompatible Prozessoren wie der AMD Athlon) handelt. Zun¨ achst sollten Sie u ufen, ob das betreﬀende Paket bereits instal¨berpr¨ liert ist, z.B.:

258

A Installation der Pakete unter Linux > rpm -q gsl gsl-1.3-0

Das Kommando rpm dient allgemein der Verwaltung der gleichnamigen Pakete. Mit der Option -q liefert es entweder eine Meldung, dass das Paket nicht installiert ist, oder es zeigt den Namen des installierten Pakets mit Versions- und Revisionsnummer (hier 1.3 und 0). Wenn das Paket nicht installiert oder die installierte Version veraltet ist, k¨onnen Sie das Paket installieren, indem Sie als root das Kommando > rpm --install XXX

bzw. > rpm --freshen XXX

ausf¨ uhren, wobei XXX der Dateiname des betreﬀenden Pakets ist. Alternativ k¨ onnen Sie die Installation aus dem Installationsmanager der jeweiligen Distribution heraus ausf¨ uhren, z.B. yast2 bei SUSE. Sowohl bei dieser Vorgehensweise als auch bei der oben vorgestellten Installation aus der Kommandozeile heraus, wird die Installation direkt ausgef¨ uhrt, sofern dies m¨oglich ist. Unter Umst¨ anden kann es vorkommen, dass ein von dem zu installierenden Programm ben¨ otigtes Paket nicht installiert ist bzw. das zu installierende und ein bereits installiertes Paket nicht koexistieren k¨onnen, was jeweils zu einer entsprechenden Fehlermeldung f¨ uhrt. In diesem Fall m¨ ussen Sie vor der Installation des gew¨ unschten Software-Paketes das fehlende Paket installieren, bzw. ein st¨ orendes Paket deinstallieren (f¨ ur das Entfernen eines Pakets ersetzen Sie die Option --install durch --erase).

Installation von Debian-Paketen Die Installation bei Debian-orientierten Linux-Distributionen verl¨auft sehr ahnlich wie bei den eben besprochenen rpm-basierten Linux-Varianten. Al¨ lerdings kommt hier ein anderes Paket-Management zum Einsatz, so dass sowohl die Pakete als auch die Kommandos zur Installation ein anderes Format haben. Die Debian-Pakete erkennen Sie an der Endung .deb – ansonsten ist der Dateiname analog zu denen bei den rpm-Paketen aufgebaut, z.B. ist gsl-bin_1.1.1-1_i386.deb

ein Debian-Paket der GSL-Library Version 1.1.1, Revision 1. Vor der Installation eines Paketes u ufen Sie bitte, ob das betreﬀende Paket bereits ¨berpr¨ installiert ist: dpkg --status gsl-bin

A Installation der Pakete unter Linux

259

Das Kommando dpkg ist das Analogon zum Befehl rpm im vorhergehenden Abschnitt. Es dient der Installation, Deinstallation und Verwaltung der Programmpakete. Die Optionen f¨ ur Installation bzw. Deinstallation lauten --install und --purge. F¨ ur Details verweisen wir auf die im pdfFormat beigelegte Einf¨ uhrung Dwarf ’s Guide to Debian GNU/Linux von Dale Scheetz.

¨ Installation durch Ubersetzen der Quellprogramme Ist kein passendes rpm- bzw. Debian-Paket vorhanden, k¨onnen Sie auf die Quelltexte im Unterverzeichnis src ausweichen. Dort ﬁnden Sie im Allgemeinen eine Datei mit einem Namen wie README, READ.ME oder LIESMICH. Diese enth¨ alt detaillierte Anweisungen, wie die Quelltexte entpackt, kompiliert und installiert werden m¨ ussen. In vielen F¨ allen liegen die Quelltexte zu einer neueren Version bereits vor, w¨ ahrend sich die rpm-Pakete noch auf eine Vorg¨ angerversion beziehen.

Dokumentation Zu jedem Programmpaket existiert Dokumentation, die Sie im Unterverzeichnis doc ﬁnden. Diese kann in verschiedenen Formaten vorliegen, die Sie jeweils an Ihrer Endung erkennen k¨ onnen: –

Bei rpm liegt die Dokumentation selbst im rpm-Format vor und muss entsprechend installiert werden. Nach der Installation beﬁndet sich die Dokumentation in /usr/share/doc/packages/. – Die Endung ps kennzeichnet eine Postscript-Datei. Sie kann auf einem Postscript-f¨ ahigen Drucker direkt ausgedruckt oder z.B. mit ghostview am Bildschirm betrachtet werden. Wenn Ihr System sauber installiert ist, sollte ein Ausdruck auch dann m¨ oglich sein, wenn der Drucker nicht Postscript-f¨ ahig ist – in diesem Fall u ¨bersetzt ghostview die PostscriptBefehle in eine f¨ ur den Drucker verst¨ andliche Form. – Ebenfalls mit ghostview oder z.B. mit dem Acrobat Reader von Adobe k¨ onnen die pdf-Dateien (Portable Data Format) betrachtet werden. – Bei htm bzw. html handelt es sich um Dokumente in der Hypertext Markup Language, die bei Internet-Seiten verwendet wird. Zur Darstellung ist daher jeder Browser geeignet. – dvi ist das Ausgabeformat von TEX/LATEX und kann, wenn diese Pakete installiert sind, entweder mit xdvi auf dem Bildschirm betrachtet oder mittels dvips, dvipdf oder dvihtml in Postscript, pdf bzw. html umgewandelt werden. – Die Endung txt kennzeichnet eine Text-Datei, die mit jedem Editor betrachtet werden kann.

260

A Installation der Pakete unter Linux

Bei manchen Software-Paketen ist die Dokumentation nicht vom eigentlichen Programm getrennt, in diesem Fall erfolgt die Installation der Dokumentation in /usr/share/doc/packages/ automatisch, wenn Sie das Programm installieren.

Hilfe im Internet Auf den Internetseiten des jeweiligen Software-Paketes ﬁnden Sie meistens weitergehende Hilfen. Interessant sind hierbei insbesondere die FAQs (Frequently Asked Questions), die Probleme behandeln, u ¨ber die schon mehrere Anwender gestolpert sind und deswegen schon h¨auﬁg gestellt wurden. Zu vielen umfangreicheren Paketen gibt es auch eine Newsgroup, in der u ¨ber email ein reger Gedankenaustausch zu allen m¨ oglichen Aspekten der betreﬀenden Software stattﬁndet. Wenn Sie an dieser Newsgroup teilnehmen wollen, m¨ ussen Sie sich bei dieser anmelden – Hinweise dazu ﬁnden Sie im Allgemeinen auf der Homepage des Software-Paketes. An diese Newsgroup k¨onnen Sie sich auch mit einem konkreten Problem wenden, das Sie trotz Zuhilfenahme der Dokumentation nicht l¨ osen konnten. Es wird jedoch erwartet, dass man zun¨ achst die bereits erw¨ ahnten FAQs durchforstet, bevor man die Hilfe der Newsgroup-Mitglieder in Anspruch nimmt. Da Newsgroup-Beitr¨age meistens archiviert werden, ist dieses Archiv eine weitere n¨ utzliche Informtionsquelle, die man vorab konsultieren sollte.

B Installation der Pakete unter Windows Diesem Buch liegt eine CD-ROM bei, auf der Sie alle f¨ ur die numerische Physik n¨ otigen Softwarepakete ﬁnden, so dass Sie nach deren Installation alle Programme dieses Buches ausprobieren und weiterentwickeln k¨onnen. In diesem Anhang gehen wir von einer lauff¨ ahigen Windows-Version aus, so dass Sie noch folgende Programmpakete ben¨ otigen: – – – – – –

einen Compiler einer h¨ oheren Programmiersprache, einen Editor, in dem Sie die Quellprogramme schreiben k¨onnen, eine Numerik-Bibliothek, die mathematische Standardaufgaben (z.B. die L¨ osung einer Diﬀerentialgleichung) u ¨bernimmt, ein Graﬁkprogramm zur Visualisierung der Ergebnisse, und ein Programm, mit dessen Hilfe die vom Graﬁkprogramm erzeugten Graﬁken auf dem Bildschirm dargestellt werden k¨onnen. Da viele Programmpakete in gepackter Form vorliegen, brauchen Sie dar¨ uber hinaus ein Programm, das diese Archive entpackt. Solche Archivierprogramme ﬁnden Sie im Verzeichnis \windows\archiver. Sie ben¨otigen eigentlich nur unzip oder pkunzip, die Archive mit der Endung .zip entpacken k¨ onnen. Ich empfehle jedoch auch die Installation der entsprechenden Programme zip bzw. pkzip, die umgekehrt Dateien in ein Archiv packen k¨ onnen.

F¨ ur jeden dieser Punkte ﬁnden Sie auf der CD-ROM eines oder mehrere zur Auswahl stehende Programme, z.B. entspricht jedes Verzeichnis in \windows\editors einem unter Windows lauff¨ahigen Editor. Wenn Sie sich nun f¨ ur einen Editor entschieden haben (selbstverst¨andlich k¨onnen Sie aber auch mehrere Editoren installieren) und sich den Inhalt des entsprechenden Verzeichnisses anschauen, so ﬁnden Sie dort typischerweise: –

ein Verzeichnis src, in dem Sie die Quelltexte des betreﬀenden SoftwarePaketes ﬁnden, – ein Verzeichnis bin mit bereits kompilierten Bin¨arversionen, – ein Verzeichnis doc mit dazu verf¨ ugbarer Dokumentation.

Installation durch Entpacken Am Einfachsten gestaltet sich die Installation, wenn das zu installierende Programm nur aus einer ausf¨ uhrbaren Datei besteht. Wenn Sie dieses in ein Verzeichnis kopieren, das in der Umgebungsvariablen PATH enthalten ist, ist die Installation damit bereits abgeschlossen. In vielen F¨allen besteht das Software-Paket aber aus mehreren Dateien, z.B. dem ausf¨ uhrbaren Programm, einer Bibliothek und zum Programm geh¨orenden Hilfetexten. In diesem Fall sind normalerweise alle diese Dateien in einem Archiv (meistens im

262

B Installation der Pakete unter Windows

zip-Format) enthalten, das Sie auspacken m¨ ussen. Beachten Sie dabei, dass beim Entpacken jede Datei in das richtige Verzeichnis kommt – detaillierte Anweisungen ﬁnden Sie in der dazugeh¨ origen Installationsanleitung, die ¨ ﬁnden. Sie in einer Datei mit dem Namen README, READ.ME, LIESMICH o.A. In diesen Anleitungen steht auch, ob und welche Umgebungsvariablen Sie deklarieren m¨ ussen. Besonders komfortabel gestaltet sich die Installation, wenn das Anlegen der Verzeichnisse und das Entpacken der Dateien von einem Installationsprogramm durchgef¨ uhrt wird, das Sie interaktiv durch eine Installationsprozedur f¨ uhrt. Ein solches Programm nimmt auch die Deklaration von ben¨otigten Umgebungsvariablen in der Systemkonﬁguration vor.

Installation von djgpp Am kniﬄigsten ist die Installation der GNU-Compiler und der dazugeh¨origen Numerik-Bibliotheken. Wenn Sie auf Probleme stoßen, sind die Homepage von djgpp (http://www.delorie.com/djgpp/) und die der betreﬀenden Bibliothek sicherlich hilfreich. Diese Compiler sind urspr¨ unglich f¨ ur Unix entwickelt worden und erfordern die Installation der Unix-¨ahnlichen Laufzeitumgebung djgpp. Eine Anleitung ﬁnden Sie auf der CD in der Datei \windows\djgpp\install.txt. Um Ihnen diese etwas langwierige Prozedur weitgehend zu ersparen, beﬁndet sich auf der CD eine zip-Datei mit einer Art Komplettinstallation: djgpp komplett.zip. Diese Komplettinstallation umfasst die Basispakete von djgpp, n¨ utzliche Filterprogramme wie grep, Compiler f¨ ur C/C++ sowie FORTRAN und die dazugeh¨origen NumerikBibliotheken. Legen Sie zun¨ achst ein Verzeichnis an, in dem die kompletten djgpp-Pakete abgelegt werden sollen, z.B. C:\djgpp. Wechseln Sie in dieses Verzeichnis und entpacken Sie die zip-Datei mittels > pkunzip D:\windows\djgpp\bin\djgpp_komplett

Hierbei haben wir angenommen, dass Ihrem CD-Laufwerk der Laufwerksbuchstabe D zugeordnet ist. Nun sollten Sie unter anderem im Verzeichnis C:\djgpp\bin sehr viele EXE-Dateien und namensgleiche Dateien ohne Endung haben, z.B. ls.exe und ls. Abschließend m¨ ussen Sie nur noch eine Umgebungsvariable setzen, bei Windows 95/98/ME k¨onnen Sie das bewerkstelligen, indem Sie in der Datei autoexec.bat die Zeile set DJGPP=C:\djgpp\djgpp.env

eintragen – wobei Sie den dort angegeben Pfad entsprechend modiﬁzieren m¨ ussen, wenn das Hauptverzeichnis von djgpp bei Ihnen nicht C:\djgpp ist. Wenn djgpp erfolgreich installiert wurde, k¨ onnen Sie mit > bash

B Installation der Pakete unter Windows

263

in einen Kommandomodus wechseln, der die Funktionalit¨at der bourne-Shell aus der Unix-Welt bietet. Wenn Sie in diesem Modus ls eingeben, wird das oben genannte Programm C:\windows\djgpp\bin\ls ausgef¨ uhrt. Dieses Programm erzeugt eine Auflistung aller Dateien im Verzeichnis, ganz ¨ahnlich zu dem Ihnen bekannten Programm dir. Sie k¨onnen aber auch direkt in der DOS-Box ls eingeben – in diesem Fall wird das Programm C:\windows\djgpp\bin\ls.exe aufgerufen, das die selbe Auflistung von Dateien ergibt. Wie schon oben erw¨ ahnt, geh¨ oren zum Gesamtpaket djgpp die GNUCompiler, unter denen sich neben dem C-Compiler auch ein C++- und ein FORTRAN-Compiler ﬁndet. F¨ ur den, der seine Programme lieber in einer Entwicklungsumgebung als im gew¨ ohnlichen Editor schreibt, ist RHIDE interessant.

Installation von Cygwin Alternativ zu djgpp, bietet sich unter Windows Cygwin an, das ebenfalls die Tools der Unix-Welt dem Windows-Anwender in einer Shell zur Verf¨ ugung stellt. Sofern man diese bei der Installation ausgew¨ahlt hat, geh¨oren dazu auch die von uns ben¨ otigten GNU-Compiler, numerische Bibliotheken und Graﬁkprogramme. Letztlich bietet cygwin die selbe Funktionalit¨at wie djgpp und oﬀeriert zudem die M¨ oglichkeiten einer graphischen Schnittstelle zum Anwender, indem es das X-Protokoll in der Windows-Umgebung umsetzt. Sehr angenehm ist die Tatsache, dass f¨ ur Cygwin ein Installationsprogramm setup.exe existiert.

¨ Installation durch Ubersetzen der Quellprogramme Auch unter Windows liegen nicht alle Software-Pakete fertig u ¨bersetzt vor, insbesondere f¨ ur die von uns ben¨ otigten Numerik-Bibliotheken ist dies nicht der Fall. In diesem Fall m¨ ussen Sie auf die Quelltexte im Unterverzeichnis src ausweichen. Dort ﬁnden Sie im Allgemeinen eine Datei mit einem Namen wie README, READ.ME oder LIESMICH. Diese enth¨alt detaillierte Anweisungen, wie die Quelltexte entpackt, kompiliert und installiert werden m¨ ussen.

Dokumentation Die Dokumentation im Unterverzeichnis doc kann in verschiedenen Formaten vorliegen, die Sie jeweils an Ihrer Endung erkennen k¨onnen: –

Die Endung .ps kennzeichnet eine Postscript-Datei. Sie kann auf einem Postscript-f¨ ahigen Drucker direkt ausgedruckt oder z.B. mit ghostview am Bildschirm betrachtet werden.

264

B Installation der Pakete unter Windows

–

Ebenfalls mit ghostview oder z.B. mit dem Acrobat Reader von Adobe k¨ onnen die pdf-Dateien (Portable Data Format) betrachtet werden. – Bei .htm bzw. .html handelt es sich um die Hypertext Markup Language, die bei Internet-Seiten verwendet wird. Zur Darstellung ist daher jeder Browser geeignet. – Die Endung .txt kennzeichnet eine Text-Datei, die mit jedem Editor betrachtet werden kann. Bei manchen Software-Paketen ist die Dokumentation nicht vom eigentlichen Programm getrennt, in diesem Fall erfolgt die Installation der Dokumentation automatisch, wenn Sie das Programm installieren.

Hilfe im Internet Wie bei Linux-Software ﬁnden Sie auch zu freier Windows-Software auf den Internetseiten des jeweiligen Software-Paketes weitergehende Hilfen. Hervorzuheben sind hier die sogenannten Newsgroups, in denen u ¨ber e-mail ein reger Gedankenaustausch zu allen m¨ oglichen Aspekten der betreﬀenden Software stattﬁndet. Zu vielen umfangreicheren Paketen gibt es auch eine Newsgroup, in der u ¨ber e-mail ein reger Gedankenaustausch zu allen m¨oglichen Aspekten der betreﬀenden Software stattﬁndet. Insbesondere k¨onnen Sie – nachdem Sie sich bei der betreﬀenden Newsgroup angemeldet haben – an andere Teilnehmer Fragen zu einem konkreten Problem stellen, das Sie trotz Zuhilfenahme der Dokumentation nicht l¨ osen konnten. Um zu vermeiden, dass dabei immer wieder die selben Fragen gestellt werden, wurden die sogenannten FAQs (Frequently Asked Questions) zusammengstellt, die h¨auﬁg gestellte Fragen und kompetente Antworten dazu beinhalten. Es wird erwartet, dass man zun¨achst diese FAQs durchforstet, bevor man die Hilfe der Newsgroup-Mitglieder in Anspruch nimmt.

C Mathematische Bibliotheken F¨ ur die L¨ osung mathematischer Standardprobleme auf dem Computer gibt es — zum Gl¨ uck — fertige Routinen, die in wir in unsere Programme einbinden k¨ onnen. Diese Routinen werden in Bibliotheken zusammengefasst, aus denen der Compiler sich beim Linken (dem Erzeugen der ausf¨ uhrbaren Datei) die jeweils ben¨ otigten Unterprogramme bzw. Funktionen holt. Dazu m¨ ussen wir beim Aufruf des Compilers diese Bibliothek explizit mit der Option -l angeben, z.B. verwendet > gpp -o faden_lib faden_lib.cpp -lgsl -lgslcblas -lm

die Bibliotheken GSL, GSLCBLAS und M. Unter Unix haben die zugeh¨origen Dateien die Namen libgsl.a, libgslcblas.a und libm.a und beﬁnden sich im Verzeichnis /usr/lib. Von diesen Bibliotheken wollen wir in diesem Anhang einige vorstellen — ohne Anspruch auf Vollst¨andigkeit. Am Anfang dieser Zusammenstellung stehen Bibliotheken, die mehr oder weniger alle numerischen Standardprobleme abdecken, w¨ ahrend auf einen bestimmten Problemkreis spezialisierte Bibliotheken im Anschluss vorgestellt werden.

IMSL IMSL steht f¨ ur International Mathematics Standard Library und es gibt diese Bibliothek f¨ ur alle erdenklichen Plattformen (auch f¨ ur Linux und in einer f¨ ur FORTRAN und einer f¨ ur C gedachten Variante). Sie ﬁnden in IMSL praktisch f¨ ur jedes Problem eine geeignete Routine, die Vielfalt kann durchaus schon verwirrend sein. Da IMSL ein kommerzielles Produkt von Visual Numerics ist, kann es nicht auf der CD zur Verf¨ ugung gestellt werden.

NAG NAG steht f¨ ur Numerical Arithmetics Group, und bei deren gleichnamiger Numerik-Bibliothek handelt es sich ebenfalls um ein kommerzielles Produkt, das das gesamte Spektrum numerischer Probleme abdeckt. Auch diese Bibliothek gibt es in einer FORTRAN- und einer C-Variante: NAG bzw CNAG.

GSL GSL steht f¨ ur GNU Scientiﬁc Library und hat den Anspruch, eine frei verf¨ ugbare Alternative zu IMSL zu sein. Im Gegensatz zu IMSL steht GSL

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C Mathematische Bibliotheken

allerdings nur f¨ ur C++ zur Verf¨ ugung. Konzeptionell geht GSL eigene Wege, so dass beim Umstieg von einer anderen Bibliothek eine gewisse Umgew¨ ohnungsphase n¨ otig ist. Danach wird man jedoch dieses modulare Konzept zu sch¨ atzen wissen. Obwohl GSL bereits sehr umfangreich ist und kaum mehr W¨ unsche oﬀen l¨ asst, wird an dieser Bibliothek noch sehr eifrig weiterentwickelt. Schon aus diesem Grund lohnt sich ein Blick auf die Homepage http://sources.redhat.com/gsl/, wo man auch Links zu den Mailinglisten ﬁndet.

SLATEC SLATEC ist eine zwar schon etwas ¨ altere, aber sehr umfangreiche FortranBibliothek, die ebenfalls alle Gebiete abdeckt. Aufgrund seines Umfangs ist SLATEC die erste Wahl, wenn man eine frei verf¨ ugbare Fortran-Bibliothek sucht. Wie viele andere frei verf¨ ugbaren Bibliotheken ﬁnden Sie sie auf http://gams.nist.gov/.

MATPACK MATPACK ist ein sehr junges Projekt der Technischen Universit¨at M¨ unchen. Wie GSL ist MATPACK f¨ ur den Einsatz in C++-Programmen vorgesehen. Im Gegensatz zu GSL verfolgt MATPACK einen eher konventionellen Ansatz und ist daher f¨ ur Umsteiger einfacher zu handhaben. Da MATPACK erst am Anfang seiner Entwicklung steht, ist der Umfang der Bibliothek eher gering. Wer an dieser Bibliothek interessiert ist, sollte die Weiterentwicklung auf der Internetseite http://www.matpack.de/ verfolgen.

CERNLIB CERNLIB ist in dieser Liste die letzte Bibliothek, die alle numerischen Problemstellungen abdeckt. Urspr¨ unglich wurde CERNLIB f¨ ur die numerischen Problemstellungen im Zusammenhang mit Hochenergiephysik entwickelt – das Ergebnis ist eine ausgesprochen umfangreiche Bibliothek, die f¨ ur alle physikalischen Disziplinen geeignet ist. Auf der Internetseite http://wwwinfo.cern.ch/cernlib/overview.html. ﬁnden Sie die jeweils aktuelle Version der CERNLIB sowie Dokumentation.

BLAS und CBLAS BLAS steht f¨ ur Basic Linear Algebra System und beinhaltet Routinen rund um Matrizen- und Vektorrechnung. Solche Routinen werden auch in einer

C Mathematische Bibliotheken

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ganzen Reihe anderer Probleme ben¨ otigt (z.B. zur L¨osung nichtlinearer Gleichungssysteme) und da BLAS einen de-facto-Standard darstellt, greifen die meisten Mathematikbibliotheken auf BLAS zur¨ uck. In diesem Zusammenhang ist es interessant, dass es mehrere Implementationen von BLAS (mit einem deﬁnierten FORTRAN-Interface) und CBLAS (mit einem deﬁnierten C-Interface) gibt, die sich in der Performance erhebonnen. Die Verwendung einer gut optimierten BLASlich unterscheiden k¨ bzw. CBLAS-Bibliothek kann die Geschwindigkeit eines Programms deutlich erh¨ ohen, selbst wenn man direkt keine Routinen zur Linearen Algebra aufruft. Dem Leser sei insbesondere ein Blick auf das ATLAS-Projekt (http://math-atlas.sourceforge.net/) und – sofern ein Intel-Prozessor eingesetzt wird – die Intel Math Kernel Library (zu ﬁnden auf der InternetSeite http://developer.intel.com/software/products/mkl/index.htm) ans Herz gelegt.

FFTPACK, FITPACK, HOMPACK, ITPACK, MINPACK, . . . Hier handelt es sich um eine ganzen Reihe von Einzelbibliotheken, deren Name fast immer mit PACK endet und die frei verf¨ ugbar sind (MATPACK geh¨ ort nicht in diese Kategorie, dieses ist ein Paket, das das gesamte Spektrum der Numerik abdecken will). Sie ﬁnden diese Pakete auf http://www.netlib.org/XXX/index.html, wobei XXX durch den Namen des Pakets (klein geschrieben) ersetzt werden muss. In diesem Zusammenhang ist auch die Internetseite http://gams.nist.gov/ interessant, die eine Zusammenstellung von Numerikbibliotheken mit einer Kurzbeschreibung bietet. Alle diese Bibliotheken liegen als eine Sammlung von Quellprogrammen vor, die erst u ¨bersetzt und dann zu einer Bibliothek zusammengebaut werden m¨ ussen.

LAPACK LAPACK dient der L¨ osung von Aufgaben aus der Linearen Algebra. Im Gegensatz zu den vorher besprochenen Bibliotheken, die ebenfalls auf PACK enden, gibt es von LAPACK fertige rpm- und Debian-Pakete. Neben der urspr¨ unglichen, f¨ ur FORTRAN ausgelegten Variante von LAPACK gibt es eine C- und eine C++-Version namens CLAPACK bzw. LAPACK++.

D Fortran und C Wie bereits in der Einleitung dieses Buches festgestellt wurde, werden in der numerischen Physik haupts¨ achlich zwei Programmiersprachen eingesetzt: C/C++ und FORTRAN. F¨ ur welche dieser beiden Sprachen man sich entscheidet, h¨ angt von einer Vielzahl von Faktoren ab: –

Die Betreuungssituation am jeweiligen Institut: welche Programmiersprache verwenden der Betreuer und die u ¨brigen Institusmitglieder? – Der Fundus an bereis vorhandenen Quellprogrammen, auf die zur¨ uckgegriﬀen werden kann. – Die Bedeutung der Programmiersprache im sp¨ateren Berufsleben spricht f¨ ur C/C++. – Die Implementierung von komplexen Zahlen ist ein klarer Vorteil von FORTRAN. – C/C++ hat daf¨ ur Vorteile bei systemnahen Aufgaben. Dazu geh¨oren das Anlegen und L¨ oschen von Dateien und Vereichnissen ebenso wie Eingaben u ¨ber die Tastatur und Ausgabe auf den Bildschirm. In den meisten Situationen wird es Argumente sowohl f¨ ur C/C++ als auch f¨ ur FORTRAN geben. In diesem Fall ist es interessant, dass Programmteile in C/C++ und solche in FORTRAN miteinander verbunden werden k¨onnen. Das ist nicht weiter schwierig, wenn man einige kleinere Fallstricke kennt. Der erste Fallstrick besteht darin, dass FORTRAN-Compiler an alle Namen von Programmen oder Funktionen einen Unterstrich anh¨angen, w¨ahrend C das nicht macht. Wenn wir also eine C-Routine aus FORTRAN aufrufen wollen, m¨ ussen wir im C-Programm diesen Unterstrich explizit an den Namen der Routine anh¨ angen, z.B. void routine1 (). ¨ Der n¨ achste Fallstrick liegt in der Ubergabe von Parametern, wobei wir zun¨ achst mit einfachen Datentypen, also ganzen oder reellen Zahlen beginnen wollen. FORTRAN u ¨bergibt solche Parameter grunds¨atzlich by reference, d.h. wenn Fortran eine Routine gem¨ aß call unterprogramm(a)

aufruft, bekommt das Unterprogramm nicht den Wert der Variablen a, sondern dessen Adresse im Speicherbereich. Das Unterprogramm kann dann nicht nur den Wert der Variablen vor dem Aufruf verwenden (in diesem Fall handelt es sich um eine Eingabevariable), sondern auch deren Wert ver¨andern (in diesem Fall spricht man von einer Ausgabevariablen). Springt man dann aus dem Unterprogramm wieder ins Hauptprogramm zur¨ uck, bleiben alle ¨ Anderungen von Variablen, die im Unterprogramm vorgenommen wurden, erhalten. C hingegen u atzlich by value, d.h. die Unterpro¨bergibt Variablen grunds¨ ¨ ¨ gramme erhalten nur eine lokale Kopie der Ubergabeparameter. Andert die ¨ C-Routine nun den Wert dieser lokalen Kopie, sind solche Anderungen nach

270

D Fortran und C

der R¨ uckkehr ins Hauptprogramm verloren. Jetzt stellt sich nat¨ urlich die ¨ Frage, wie man es in C u dau¨berhaupt realisiert, dass Ubergabeparameter erhaft ge¨ andert werden (so etwas muss ja m¨ oglich sein!). Der Trick besteht darin, der Routine nicht die Variable selbst zu u ¨bergeben, sondern explizit die Speicheradresse (also das, was FORTRAN automatisch macht). Mit diesen beiden Punkten im Hinterkopf l¨asst sich ein einfaches Beispiel achst das aufrufende FORTRAN-Programm: realisieren. Zun¨ 1 2 3

****************************************************************** * FORTRAN-Programm, das eine C-Routine aufruft * ******************************************************************

4 5

program fc1_f

6 7

real*8

x

8 9 10 11

x = 0.d0 call fc1c(x) write(6,*) x

12 13 14

STOP end

Und nun die C-Routine: 1 2 3

/*------------------------------------------------------------C-Routine, die von einem FORTRAN-Programm aufgerufen wird -------------------------------------------------------------*/

4 5

void fc1c_(double *x)

6 7 8 9 10 11

{ printf(" %f\n", *x); *x = 1.; return; }

Das Hauptprogramm in FORTRAN deﬁniert eine doppelt genaue Zahl x und setzt diese auf null. Danach ruft es eine C-Routine namens fc1c auf. ¨ Im C-Programm sehen wir, dass hier der Name fc1c lautet und der Ubergabeparameter nicht einfach x wie im FORTRAN-Programm ist, sondern der Zeiger auf x. Die C-Routine gibt den anf¨ anglichen Wert von x auf den Bildschirm aus und setzt ihn danach auf 1. Nach der R¨ uckkehr ins Hauptprogramm wird wieder der Wert von x ausgegeben. Um dieses Programm zu testen, u ¨bersetzen wir zun¨achst die C-Routine: > gcc -c fc1_c.c

Die Option -c bewirkt, dass das Programm nur u ¨bersetzt, nicht aber gelinkt wird (also kein ausf¨ uhrbarer Code erzeugt wird). Nach diesem Kompiliervor¨ des gang haben wir eine Object-Datei fc1 c.o, die wir bei der Ubersetzung FORTRAN-Programms angeben m¨ ussen: > g77 -o fc1_f fc1_f.f fc1_c.o

D Fortran und C

271

Dies erzeugt nun ein ausf¨ uhrbares Programm fc1 f, und wenn wir dieses aufrufen, erhalten wir das erwartete Resultat: > fc1_f 0.000000 1.

Wie sieht es nun aus, wenn wir keine einfachen Datentypen u ¨bergeben, sondern Arrays (also Vektoren oder Matrizen)? Erstaunlicherweise ist das sogar einfacher, weil in C ein Array ein Zeiger auf das erste Element dieses Arrays ist. Dadurch ist das Verhalten von FORTRAN und C in diesem Fall identisch. Aufpassen muss man lediglich bei der Indizierung der einzelnen Elemente: –

In FORTRAN hat das erste Element standardm¨aßig den Index 1, was jedoch auf jeden beliebigen anderen Wert ge¨andert werden kann – in C hingegen hat das erste Element immer den Index 0. – Bei Arrays mit mehreren Indizes ¨ andert FORTRAN zun¨achst den ersten Index, w¨ ahrend C mit dem letzten Index anf¨angt. Ein Feld x mit 2 × 2 Elementen wird also bei FORTRAN in der Reihenfolge x(1,1), x(2,1), x(1,2), x(2,2) und in C in der Reihenfolge x[0][0], x[0][1], x[1][0], x[1][1] abgespeichert. Auch hier sagt ein Beispielprogramm mehr als l¨angliche Ausf¨ uhrungen: 1 2 3

****************************************************************** * FORTRAN-Programm, das eine C-Routine aufruft * ******************************************************************

4 5

program fc1_f

6 7

real*8

x(2,2)

8 9 10 11 12 13

do n1 = 1, 2 do n2 = 1, 2 x(n1,n2) = -n1-2*n2 enddo enddo

14 15

call fc2c(x)

16 17 18 19 20 21

do n1 = 1, 2 do n2 = 1, 2 write(6,*) n1, n2, x(n1,n2) enddo enddo

22 23 24

STOP end

Dieses FORTRAN-Programm ruft eine in C geschriebene Routine auf: 1 2 3

/*------------------------------------------------------------C-Routine, die von einem FORTRAN-Programm aufgerufen wird -------------------------------------------------------------*/

272

D Fortran und C

4 5 6

void fc2c_(x) double x[2][2];

7 8 9

{ int n1, n2;

10 11 12 13 14 15

for (n1=0; n1<2; n1++) for (n2=0; n2<2; n2++) { printf(" %i %i %f\n", n1, n2, x[n1][n2]); x[n1][n2] = n1+2*n2; }

16 17 18

return; }

¨ Die Ubersetzung der beiden Programmteile erfolgt analog zum vorhergehenden Beispiel und die Ausf¨ uhrung des Gesamtprogramms liefert: > fc2_f 0 0 -3.000000 0 1 -4.000000 1 0 -5.000000 1 1 -6.000000 1 1 0. 1 2 1. 2 1 2. 2 2 3.

Die ersten vier Zeilen sind die Ausgabe der C-Routine, d.h. die Indizierung beginnt C-gem¨ aß jeweils bei null, die Werte sind jedoch noch diejenigen, die der Matrix im Hauptprogramm zugewiesen wurden, also z.B. f¨ ur das erste Element −1 − 2 × 1 = −2 (die Indizes sind bei FORTRAN ja jeweils 1). Bei den letzten vier Zeilen verh¨ alt es sich genau umgekehrt: die Indizes entsprechen dem FORTRAN-Standard (beginnen also jeweils bei 1), die Werte sind jedoch noch aus der C-Routine, beginnen also mit 0 + 2 × 0 = 0. Außerdem erkennen sie in den mittleren beiden Zeilen dieses Blocks die Verdrehung, die durch die bereits erw¨ ahnte bei FORTRAN und C verschiedene Reihenfolge im Abspeichern kommt. Ansonsten w¨ urde man ja bei n1=1 und n2=2 als Wert (1 − 1) + 2 × (2 − 1) = 2 erwarten, und entsprechend sollte in der vorletzten Zeile (2 − 1) + 2 × (1 − 1) = 1 stehen. Bis jetzt haben wir uns auf C-Funktionen vom Typ void beschr¨ankt, die aus FORTRAN-Sicht wie eine subroutine aufgerufen werden. C-Funktionen hingegen, die einen Wert zur¨ uckgeben, entsprechen in FORTRAN einer function und werden dementsprechend eingesetzt. Auch hierzu wieder ein kleines Beispiel: 1 2 3

****************************************************************** * FORTRAN-Programm, das eine C-Routine aufruft * ******************************************************************

4 5

program fc3_f

6 7

real*8

x, y, func

D Fortran und C

273

8 9 10 11

x = 1.d0 y = func(x) write(6,*) x, y, sin(x) / x

12 13 14

STOP end

Dieses Programm ruft eine C-Funktion func auf, sin(x)/x berechnet: 1 2 3

/*------------------------------------------------------------C-Routine, die von einem FORTRAN-Programm aufgerufen wird -------------------------------------------------------------*/

4 5

#include <math.h>

6 7

double func_(double *x)

8 9 10

{ double y;

11 12 13 14

y = sin(*x) / (*x); return y; }

Zum Vergleich gibt das aufrufende FORTRAN-Programm in Zeile 11 nicht nur den Wert von f(x) aus, sondern berechnet selbst sin(x)/x f¨ ur x = 1. Anhand der Ausgabe > fc3_f 1. 0.841470985

0.841470985

k¨ onnen wir uns davon u ¨berzeugen, dass beide Werte u ¨bereinstimmen.

E Filterprogramme Filter nennt man in der Informatik einfache, kleine Programme, die eine immer wieder auftretende Aufgabe so l¨ osen, dass das Programm ein m¨oglichst breites Einsatzgebiet hat. Besondere Bedeutung haben solche Filter unter Unix gewonnen, da hier auf der Kommandozeile die Ausgabe eines Kommandos direkt als Eingabe f¨ ur ein neues Kommando verwendet werden kann, was man als Verkettung bezeichnet. Am Verst¨ andlichsten wird das an dem folgenden Beispiel. Das Filterprogramm head gibt die ersten Zeilen der u ¨bergebenen Datei an: > head faden_lib.cpp /************************************************************************** * Name: faden_lib.cpp * * Zweck: Simuliert die Dynamik eines Fadenpendels * * Gleichung: (dˆ2/d tˆ2) phi + sin(phi) = 0 * * verwendete Bibiliothek: GSL * **************************************************************************/ #include #include #include

Die oben erw¨ ahnte M¨ oglichkeit der Verkettung von Kommandos erlaubt auch, die Ausgabe eines beliebigen Programms auf die ersten Zeilen zu beschr¨anken, z.B. zeigt der folgende Aufruf die zehn neuesten Dateien: ls -t | head

Der vordere Teil ls -t liefert eine chronologische Liste der Dateien, die mittels des sogenannten Pipe-Symbols | in den zweiten Teil head umgelenkt wird. Dieser zweite Teil ﬁltert nun aus der Dateiliste die ersten zehn Zeilen heraus, die – wegen deren chronologischer Ordnung – die zehn neuesten Dateien enthalten. Hinter diesen Filtern steht eine Philosophie, die kontr¨ar zur Philosophie von DOS-Kommandos ist, n¨ amlich dass solche Aufgaben nicht durch Optionen f¨ ur das eigentliche Kommando (in diesem Fall ls) zu l¨osen sind, sondern durch universell einsetzbare Filter. Es gibt zwei Gr¨ unde, warum wir diesen Filtern einen speziellen Abschnitt widmen: Zum einen gibt es eine ganze Reihe von Standardﬁltern, deren Kenntnis einem auch bei der Auswertung von Ergebnisdateien helfen kann. In diesem Zusammenhang ist es sicherlich hilfreich, dass wir diese Filter hier – im Gegensatz zu Informatik-Lehrb¨ uchern – speziell im Umfeld zu numerischer Physik vorstellen. Zum anderen ﬁnden Sie auf der CD einige spezielle Filter f¨ ur numerische Probleme, die ich Ihnen zur Verf¨ ugung stellen m¨ochte. Sollte Ihnen bei einem der Standardﬁlter entfallen sein, wie er verwendet wird, erhalten Sie bei den meisten eine Hilfestellung, wenn Sie den Filter mit der Option --help aufrufen. UNIX-Anwendern stehen dar¨ uber hinaus die manual pages zur Verf¨ ugung, die man durch den Aufruf

276

E Filterprogramme man head

angezeigt bekommt. Bei den von mir selbst entwickelten Filtern erfolgt eine Kurzerkl¨ arung der Syntax, wenn Sie den Filter nicht mit der richtigen Zahl an Argumenten, also z.B. ganz ohne Argumente, aufrufen.

Die Standardﬁlter more und less Der Filter more wird sehr h¨ auﬁg gebraucht – n¨amlich immer dann, wenn die Ausgabe eines Kommandos nicht auf eine Bildschirmseite passt und man verhindern muss, dass die Ausgabe vorbeirauscht, bevor man Zeit hatte sie zu lesen. Genau dies leistet n¨ amlich dieser Filter: die Ausgabe wird angehalten, sobald eine Bildschirmseite voll ist, bis man durch Dr¨ ucken der Leertaste signalisiert, dass man den Inhalt zur Kenntnis genommen hat und man zur n¨achsten Seite wechseln m¨ ochte. Das zuerst entwickelte more hatte einen Nachteil: man konnte in der Bildschirmanzeige immer nur vorw¨arts bl¨attern, nicht aber wieder zur¨ uck. Dieses Manko behebt der Nachfolger, der ironischerweise less getauft wurde: mittels der Tasten Page Up und Page Down l¨asst sich beliebig in der Ausgabe hin und herbl¨ attern. Dar¨ uber hinaus erm¨oglicht less auch die Suche nach einer Zeichenkette.

Die Standardﬁlter head und tail Den Filter head haben wir bereits in der Einleitung zu diesem Abschnitt kennen gelernt. Er hat eine Reihe von Optionen, von denen aber zumindest ich immer nur eine gebraucht habe: > head -8

gibt nur die ersten 8 (statt standardm¨ aßig 10) Zeilen des Arguments aus. Alternativ hat head --lines=8 denselben Eﬀekt. Der Filter tail ist das Pendant zu head und konzentriert sich anstatt auf den Anfang des Arguments auf dessen Ende. Der Aufruf ls -t | tail liefert also die 10 ¨ altesten Dateien. Die Optionen von tail sind zu denen von head v¨ ollig analog, so dass z.B. tail -50 die letzten 50 Zeilen liefert. Beide Filter, head und tail, k¨ onnen nicht nur dazu herangezogen werden, den Anfang bzw. das Ende großer Ergebnisdateien schnell anzuschauen (ohne die gesamte Datei erst in einen Editor zu laden), sondern k¨onnen auch dazu verwendet werden, ohne großen Aufwand die Ausgabe eines Programms auf deren Anfang bzw. Ende zu beschr¨ anken, was insbesondere bei der Fehlersuche hilfreich ist.

E Filterprogramme

277

Der Standardﬁlter grep Der Filter grep durchsucht sein Argument auf Zeilen, die eine bestimmte Zeichenkette enthalten, z.B. liefert > grep "#" faden_lib.res

alle Zeilen der Ergebnisdatei faden lib.res, die ein # enthalten – also jene Zeilen, die die Programmparameter enthalten. Dieses Programm k¨onnen sie z.B. zur Aufbereitung von Datens¨ atzen verwenden, bei denen die Bedeutung der einzelnen Werte durch Schl¨ usselworte festgelegt wird, z.B. T=0.0000 X=0.0000 V=1.0000 A=0.0000 ============= T=1.0000 X=1.5000 V=2.0000 A=1.0000 =============

... In diesem Fall liefert Ihnen > grep "T=" result.dat > result_t.dat

aus der urspr¨ unglichen Datei result.dat eine neue Datei result t.dat, die nur noch die Zeitinformationen enth¨ alt. Interessant ist die Option -v, die die Suchbedingung quasi invertiert. > grep -v "#" faden_lib.res

liefert also alle Zeilen der Ergebnisdatei faden lib.res, die kein # enthalten.

Der Standardﬁlter cut Kommen wir auf das Beispiel im vorigen Abschnitt zur¨ uck, in dem wir mittels grep aus der Datei result.dat die Datei result t.dat erzeugt haben. Diese sieht nun etwa so aus: T=0.0000 T=1.0000 T=2.0000

... St¨ orend bei der Weiterverarbeitung sind f¨ ur die meisten Graﬁkprogramme die Zeilenanf¨ ange T=; eigentlich brauchen wir nur die Zahlen selbst. Diese Aufgabe k¨ onnen wir mit dem Filter cut l¨ osen, der aus Zeilen einen bestimmten Teil herausschneidet. Ein sogenannter Begrenzer (englisch Delimiter) legt fest, wo eine Spalte endet und die n¨ achste anf¨ angt: in unserem Beispiel k¨onnen wir das Gleichheitszeichen = als Delimiter festlegen, dann steht in der ersten Spalte immer der Buchstabe T und in der zweiten Spalte (auf der anderen Seite des Delimiters) die numerischen Werte der Zeiten. Der Aufruf

278

E Filterprogramme > cut -d"=" -f2 result_t.dat > result2_t.dat

liefert uns also eine Datei, die nur noch die Zeiten selbst – ohne voranstehenden Bezeichner – enth¨ alt. Die Option -d legt dabei den Delimiter fest, w¨ahrend die Option -f2 besagt, dass lediglich die zweite Spalte ausgegeben werden soll.

Der Standardﬁlter wc Das K¨ urzel wc steht f¨ ur word count, also Wortz¨ ahler. Entgegen dieser Bedeutung liefert dieser Filter jedoch nicht nur die Zahl der W¨orter, sondern auch die der Buchstaben und die der Zeilen: > wc faden_lib.cpp 127 399 3505 faden_lib.cpp

Die erste Zahl ist die Zahl der Zeilen, die zweite die Zahl der W¨orter und schließlich folgt die Zahl der Buchstaben. Durch die Optionen -m (f¨ ur Buchstaben), -w (f¨ ur W¨ orter) und -l (f¨ ur Zeilen) l¨asst sich die Ausgabe auf einen der drei Werte einschr¨ anken. ¨ Dieser Filter ist zum einen hilfreich, wenn Sie sich schnell einen Uberblick u ber den Umfang eines Datenbestandes machen wollen. In dem Beispiel von ¨ oben k¨ onnen wir mittels dieses Kommandos auch u berpr¨ u fen, ob der Aus¨ gangsdatensatz vollst¨ andig ist, und ob unsere Verarbeitung bis hin zur Datei ¨ result t2.dat korrekt war. F¨ ur die Uberpr¨ ufung der Vollst¨andigkeit geben wir die Kommandos > grep "T=" 1000 > grep "X=" 1000 > grep "V=" 1000 > grep "A=" 999

result.dat | wc -l result.dat | wc -l result.dat | wc -l result.dat | wc -l

ein. Wenn – wie hier – die Ergebnisse nicht alle u ¨bereinstimmen, ist mindestens einer der Bl¨ ocke mit Zeit, Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung nicht komplett. In diesem Beispiel fehlt in einem Block die Beschleunigung. Um zu u ufen, ob die Weiterverarbeitung korrekt verlief, verwenden ¨berpr¨ wir wieder den Filter wc: > wc -l result_t2.dat 1000

Das Ergebnis muss mit dem entsprechenden Ergebnis der Ausgangsdatei result.dat u ¨bereinstimmen, sonst sind irgendwo Zeilen verlorengegangen.

E Filterprogramme

279

Der Standardﬁlter sort In vielen F¨ allen sind Ergebnisdateien nicht so sortiert, wie dies f¨ ur eine bestimmte Darstellung erforderlich w¨ are. In einem Beispiel, das mit dem bisher besprochenen eng verwandt ist, haben wir eine Datei res.dat mit vier Spalten, in denen Zeit, Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Teilchens festgehalten sind: 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 1.5000 2.0000 1.0000 ...

Diese Datei hat bereits das Format, mit dem jedes Graﬁkprogramm zurechtkommen m¨ usste, so dass wir ohne Probleme z.B. den Ort als Funktion der Zeit darstellen k¨ onnen. Wenn wir aber die Beschleunigung als Funktion des Ortes haben m¨ ochten (z.B. um die an diesen Orten wirkende Kraft festzulegen), m¨ ussen wir die Datei nach aufsteigenden Orten x sortieren. Dies erledigt das Kommando sort: sort -k2 -n res.dat > res_sorted.dat

Die Option -k2 legt fest, dass nach der zweiten Spalte sortiert werden soll. Dabei wird standardm¨ aßig angenommen, dass Spalten durch Leerzeichen voneinander getrennt sind, sie k¨ onnen diesen Delimiter jedoch durch die Option -t ¨ andern. Die zweite oben verwendete Option ist -n, die bewirkt, dass die Sortierung numerisch (und nicht alphabetisch) erfolgt – andernfalls w¨are n¨ amlich 10 vor 1 statt dahinter.

Die Filter concat und enumerate Im Folgenden werden wir einige Filter vorstellen, die nicht Bestandteil von Unix sind, sondern die speziell f¨ ur die Anforderungen der Numerik geschrieben und auf die Struktur unserer Ergebnisdateien abgestimmt wurde. Sie ﬁnden diese Filter im Quellcode und als lauff¨ahige Binaries auf der CD im Verzeichnis filter. Alle Filter dienen der Weiterverarbeitung von Ausgabedateien, von denen angenommen wird, dass sie folgendermaßen aufgebaut sind: –

–

Am Programmanfang stehen einige Kommentarzeilen, die mit einem ! oder mit einem # beginnen. Diese Kommentarzeilen werden von den Fil¨ tern unver¨ andert u durch den Filter selbst ¨bernommen. Um die Anderung nachvollziehen zu k¨ onnen wird eine Kommentarzeile hinzugef¨ ugt, die den Filteraufruf mit allen Argumenten protokolliert. Im eigentlichen Datenteil sind die Werte in Spalten angordnet. Dieser Bereich wird durch den Filter bearbeitet und eventuell in modiﬁzierter Form in einer Ausgabedatei abgespeichert.

280

E Filterprogramme

Im Gegensatz zu den oben vorgestellten Standardﬁltern erfolgt bei diesen numerischen Filtern die Ausgabe nicht auf dem Bildschirm sondern in eine Datei – da die Filter jedoch im Quellcode vorliegen, k¨onnen Sie das leicht ¨andern, was insbesondere f¨ ur Linux-Anwender interessant ist, da dann mehrere Filter aneinander gekettet werden k¨ onnen. Aber auch wenn Sie die bash-Shell von djgpp benutzen, k¨ onnen Sie von dieser M¨ oglichkeit Gebrauch machen. Bevor wir zu den speziﬁsch numerischen Filtern kommen, stelle ich Ihnen an dieser Stelle zwei eigene Filter vor, die zwar eigentlich keine numerischen Aufgaben ausf¨ uhren, aber wohl nur im numerischen Umfeld ben¨otigt werden, und deswegen nicht zu den unter Unix standardm¨aßig verf¨ ugbaren Filtern geh¨ oren. Die Aufgabe von concat ist sehr einfach. Es liest jeweils eine Zeile aus zwei Eingabedateien ein und gibt diese durch ein Leerzeichen getrennt in einer einzigen Zeile wieder aus. Aus den Dateien Fest gemauert in der Erden Steht die Form, aus Lehm gebrannt. Heute muss die Glocke werden. Frisch Gesellen, seid zur Hand.

und Sein oder nicht sein? das ist hier die Frage... ob’s edler im Gemuet, die Pfeil’ und Schleudern

w¨ urde dieser Filter also Fest gemauert in der Erden Sein oder nicht sein? Steht die Form, aus Lehm gebrannt. das ist hier die Frage... Heute muss die Glocke werden. ob’s edler im Gemuet, Frisch Gesellen, seid zur Hand. die Pfeil’ und Schleudern

generieren, was ziemlichen Unsinn darstellt. Im Fall von Zahlen kann eine solche Zusammenziehung aus zwei getrennten Dateien jedoch durchaus sinnvoll sein. Als Beispiel greifen wir wieder auf die Ergebnisdatei der vorangegangen Abschnitte zur¨ uck, aus der wir mittels verschiedener Filter eine Datei result t2.dat generiert haben, die nur noch die Zeiten enth¨alt. Auf demselben Weg k¨ onnen wir uns nat¨ urlich auch eine zweite Datei result x2.dat erzeugen, die nur noch die Orte enth¨ alt. Unsere Graﬁkprogramme erwarten jedoch eine Datei, in der Zeit und Ort jeweils paarweise enthalten sind. Dies erzeugt uns nun der Filter concat: > concat result_t2.dat result_x2.dat > result_t_x.dat

Es gibt unter Unix den Standardﬁlter paste, der praktisch die selbe Funktion wie concat hat. Allerdings behandelt er die Kommentarzeilen genauso wie den Datenbereich und f¨ ugt nicht in die Ausgabe den Vermerk ein, dass diese Datei aus zwei Ergebnisdateien zusammengef¨ ugt wurde.

E Filterprogramme

281

Der Filter enumerate u ¨berspringt wie concat die Kommentarzeilen und stellt jeder nachfolgenden Zeile eine fortlaufende Nummer, beginnend bei eins, voran.

Der numerische Filter minmax Das kleine Programm minmax gibt einen Schnell¨ uberblick u ¨ber eine Zahlenreihe, die als Spalte in einer Datei steht. Als Argumente erwartet minmax die Datei, in der die Daten stehen, die Zahl der Spalten und die Nummer der Spalte, in der die zu analysierenden Daten stehen. Die Ausgabe von minmax umfasst die Zahl der Werte, den Wertebereich (also den minimalen und maximalen Wert), den Mittelwert und die Standardabweichung: > minmax hysterese.res 3 2 Zahl der Datensaetze : 10000 Minimum : -2 Maximum : 2 Mittelwert : 0.00504067 Standardabw.: 1.41576

Die numerischen Filter translate und scale Die Filter in diesem und den beiden folgenden Abschnitten werden von ge¨ ubten awk-Programmierern nicht ben¨ otigt, da sie die entsprechenden Modiﬁkationen ebenso schnell in awk ausgef¨ uhrt haben. Mit Hilfe von translate und awk k¨ onnen Sie zu allen Werten einer bestimmten Spalte eine feste Zahl hinzuaddieren bzw. alle Werte einer Spalte mit einer Zahl multiplizieren. Wenn z.B. in Spalte 2 einer Ausgabedatei result1.res mit insgesamt 5 Spalten die Temperatur in Grad Celsius steht, erzeugt > translate result1.res result2.res 5 2 -273.2

eine Datei result2.res, bei der diese Temperatur in Kelvin angegeben wird. Die anderen Spalten, sowie die Kommentarzeilen bleiben unver¨andert. Ganz analog erzeugt > scale result1.res result2.res 5 3 1/3600

eine Datei, bei der die Zeit in der dritten Spalte von Sekunden in Stunden umgerechnet wurde. Unter DOS m¨ ussen Sie den Wert von 1/3600 zun¨achst berechnen und dann dezimal angeben.

282

E Filterprogramme

Die numerischen Filter accumulate und differentiate In vielen F¨ allen erhalten wir Daten, die wir vor der Auswertung noch akkumulieren bzw. diﬀerenzieren m¨ ussen. Wenn wir die Werte der auszuwertenden Spalte mit (E.1) x1 , x2 , x3 , . . . , xi , . . . , xN bezeichnen, liefert das Programm accumulate i

(E.2)

x2 − x1 , x3 − x2 , . . . , xi − xi−1 , . . . , xN − xN −1

(E.3)

n=1

xn , . . .

N

xn ,

x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 , . . . ,

n=1

w¨ahrend differentiate daraus

macht. Beachten Sie, dass differentiate die Zahl der Datens¨atze um eins verringert. Als Argumente erwarten sowohl accumulate als auch differentiate die Namen der Ein- und Ausgabedatei, die Zahl der Spalten, sowie die Nummer der zu bearbeitenden Spalte – alle anderen Spalten bleiben unver¨andert.

Die numerischen Filter add, subtract, multiply und divide Diese vier Filter addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren die Werte aus zwei Spalten und h¨ angen das Ergebnis an die jeweilige Zeile an. Bei diesen vier Filtern kommt also eine neue Spalte zu unserer Datei hinzu. Der Aufruf ist analog zu accumulate oder differentiate, nur dass bei diesen Filtern zwei zu bearbeitende Spalten angegeben werden m¨ ussen, z.B. > subtract result1.res result2.res 5 2 1

Bei der so erzeugten Datei result2.res enth¨ alt die neu hinzugekommene sechste Spalte den Wert x2 − x1 , wobei x1 und x2 die Zahlen in der ersten bzw. zweiten Spalte sind.

Die numerischen Filter polyfit und polynom Besonders bei der Weiterverarbeitung von Messwerten m¨ ussen diese h¨auﬁg an ein bestimmtes Modell geﬁttet werden, d.h. alle freien Parameter des Modells m¨ ussen so bestimmt werden, dass die Abweichung zwischen Modell und Messwerten m¨ oglichst klein ist. Bei einem Polynomﬁt ist das Modell ein Polynom deﬁnierter Ordnung N

E Filterprogramme

fModell (x) =

N

an xn

283

(E.4)

n=0

und die Parameter a0 , a1 , . . . , aN sind die freien Parameter. Unser Filter polyfit erledigt diese Aufgabe und erwartet als Argumente eine Datei mit den Wertepaaren, den Namen der Ausgabedatei und die Ordnung N . Als Ergebnis liefert der Filter die Koeﬃzienten a0 bis aN . > poly_fit result.res mod_koeff.dat 3

W¨ ahrend polyfit aus Wertepaaren die (bestm¨oglichen) Koeﬃzienten berechnet, macht polynom den umgekehrten Schritt: bei gegebenen Koeﬃzienten a0 bis aN berechnet es die Modellkurve. Dazu braucht es neben der Datei mit den Koeﬃzienten noch die Parameter xmin , xmax und die Zahl M der St¨ utzstellen, an denen der Polynomwert berechnet werden soll. Als Ergebnis erh¨ alt man M Wertepaare mit x und f (x). > polynom mod_koeff.dat result.res -10 10 101

erzeugt eine Datei result.res, in der die Werte des Polynoms im Intervall [−10, 10] an 101 ¨ aquidistanten Punkten, also jeweils im Abstand 0.2, zu ﬁnden sind.

Der numerische Filter mod diff Der Filter mod diff vergleicht einen Datensatz mit einem Polynom-Modell f (x) =

N

an xn

(E.5)

n=0

und berechnet f¨ ur jedes Wertepaar (x, y) die Abweichung y−f (x) vom Modell. Als Parameter erwartet mod diff eine Datei, die die Koeﬃzienten ai des alt, eine Datei mit den Wertepaaren (x, y), Modells beginnend bei a0 enth¨ den Namen der Ausgabedatei und die Ordnung N des Polynommodells: > mod_diff mod_koeff.dat result.res 3

Der numerische Filter reduce Der letzte Filter, den ich hier vorstellen m¨ ochte, dient der Reduzierung großer Datens¨ atze. H¨ auﬁg enthalten Ergebnisdateien eine Datenf¨ ulle, die letztlich nicht gebraucht wird. Wenn wir diese Datens¨ atze vor der graphischen Darstellung verkleinern, sparen wir Rechenzeit und vor allem Speicherplatz, da die entstehenden Graﬁken wesentlich kleiner sind, ohne an Aussagekraft zu verlieren. Der Filter reduce erledigt diese Aufgabe, indem er vom urspr¨ unglichen Datensatz nur jeden n-ten u ¨bernimmt, wobei der Parameter n beim Programmaufruf u ¨bergeben wird.

284

E Filterprogramme > reduce result1.res result2.res 10

reduziert den Datenbestand der Datei result1.res also auf ein Zehntel und schreibt das Ergebnis in result2.res.

F Fouriertransformation und FFT-Routinen Eine gute mathematische Darstellung von Fourierreihen und der Fouriertransformation ﬁnden Sie in [35, 36] sowie in Teil II von [37]. Die meisten der in C vorgestellten mathematischen Bibliotheken stellen sogenannte FFT-Routinen (von Fast Fourier Transform, also schnelle Fouriertransformation) zur Verf¨ ugung. In diesem Anhang wollen wir zeigen, wie Sie diese Routinen einsetzen m¨ ussen, um die Fouriertransformierte einer Funktion zu erhalten. Als Ausgangssituation betrachten wir eine Funktion f , die wir an N ¨aquidistanten St¨ utzstellen xk kennen. Wie dies in vielen Anwendungen der Fall ist, wollen wir annehmen, dass diese St¨ utzstellen symmetrisch um null verteilt utzstelliegen: x−N/2 , x−N/2+2 , . . . , xN/2−1 . Die Funktionswerte an diesen St¨ len bezeichnen wir mit fk = f (xk ) = f (k ∆x). Was wir ben¨ otigen, ist die Fouriertransformierte ˆ f (y) = dxf (x) exp(−ixy),

(F.1)

(F.2)

oder wenigstens die Werte der Fouriertransformierten an einem endlichen Satz von St¨ utzstellen y−N/2 , y−N/2+1 , . . . yN/2−1 : fˆj = fˆ(yj ) = fˆ(j∆y) .

(F.3)

Da wir die Ausgangsfunktion nur an diskreten St¨ utzstellen kennen, m¨ ussen wir das Integral (F.2) durch eine Summe ersetzen – eine N¨aherung die nur sinnvoll ist, wenn die St¨ utzstellen hinreichend dicht liegen, so dass sich die Funktion f zwischen zwei St¨ utzstellen nur wenig ¨andert, und wenn die Funktion f außerhalb des von den St¨ utzstellen abgedeckten Bereichs ann¨ahernd null ist. Unter diesen Voraussetzungen erhalten wir: N/2−1

fˆj ≈ ∆x

fk exp(−iyj xk )

(F.4)

k =−N/2

=

N −1

f (xk−N/2 ) exp(−ij(k − N/2)∆y∆x)

(F.5)

k=0

= (−1)j

N −1

f (xk−N/2 ) exp(−ijk∆y∆x)

(F.6)

k=0

Dies ist im Wesentlichen das, was eine FFT-Routine liefert, n¨amlich

286

F Fouriertransformation und FFT-Routinen

gj =

N −1

fk exp(−2πijk/N ) ,

(F.7)

k=0

wobei die fk die Werte sind, die wir an die Routine als Eingangsdatensatz u ahrend die gj das Ergebnis der FFT darstellen. Wenn wir dies ¨bergeben, w¨ ¨ mit (F.6) vergleichen, so erhalten wir Ubereinstimmung, wenn und fˆj = gj 2π ∆y = N ∆x

(F.8) (F.9)

ist und wir den Faktor (−1)j ber¨ ucksichtigen. Abschließend m¨ ussen wir uns noch u ¨berlegen, wie wir die Fouriertransformierte bei negativen y bekommen. Der Schl¨ ussel hierzu ist die Tatsache, dass f¨ ur alle ganzen n exp(−2πin) = 1 (F.10) gilt. Wir k¨ onnen also diesen Faktor in (F.6) einf¨ ugen, wobei wir 2π mittels (F.9) als 2π = N ∆x∆y (F.11) schreiben: fˆj = (−1)j

N −1

f (xk−N/2 ) exp(−ijk∆y∆x) exp(−inN ∆x∆x) (F.12)

k=0

= fˆj+nN .

(F.13)

Die Tatsache, dass wir die Ausgangsfunktion nur an diskreten und ¨aquidistanten St¨ utzstellen kennen, f¨ uhrt also zu einer (scheinbaren) Periodizit¨at der Fouriertransformierten. Wir gehen jedoch davon aus, dass letztere in Wirklichkeit nur im Intervall [−N/2∆y, N/2∆y] merklich von null verschieden ist, und wir die Werte im negativen Teil dieses Intervalls in den fN/2 , fN/2+1 , ussen. . . . fN ﬁnden, wozu wir n = 1 in (F.13) einsetzen m¨

Fouriertransformierte in mehreren Dimensionen Liegt eine Funktion von mehreren unabh¨ angigen Variablen vor, z.B. f (x1 , x2 , x3 ) ,

(F.14)

so kann man die Fouriertransformation f¨ ur alle Variablen durchf¨ uhren: 1 fˆ(y1 , y2 , y3 ) = dx1 dx2 dx3 f (x1 , x2 , x3 ) (F.15) (2π)3/2 (F.16) × exp (i(x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ) .

F Fouriertransformation und FFT-Routinen

287

Es ist oﬀensichtlich, dass man diese Fouriertransformation nach x1 , x2 und x3 als eine Verkettung von Transformationen auﬀassen kann, die jeweils nur eine der drei Variablen betriﬀt: 1 f1 (y1 , x2 , x3 ) = √ dx1 f (x1 , x2 , x3 ) exp (ix1 y1 ) (F.17) 2π 1 dx2 f1 (y1 , x2 , x3 ) exp (ix2 y2 ) (F.18) f2 (y1 , y2 , x3 ) = √ 2π 1 dx3 f2 (y1 , y2 , x3 ) exp (ix3 y3 ) . (F.19) fˆ(y1 , y2 , y3 ) = √ 2π Diese Sichtweise hilft uns eine FFT in mehreren Dimensionen durchzuf¨ uhren, auch wenn die verwendete Numerik-Bibliothek nur FFT-Routinen f¨ ur eine Dimension zur Verf¨ ugung stellt. Zun¨ achst f¨ uhren wir die Transformation (F.17), dann (F.18) und schließlich (F.19) durch, die uns die gesuchte Fouriertransformierte fˆ liefert.

G Die GPL-Lizenz Aus lizenzrechtlichen Gr¨ unden geben wir hier den Text der GNU General Pu¨ blic License in Englisch wieder. Ubersetzungen in andere Sprachen ﬁnden Sie auf der Internetseite http://www.gnu.org/licenses/translations.html; diese haben jedoch im Zweifelsfall keinerlei rechtliche Relevanz.

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place counts as distribution of the source code, even though third parties are not compelled to copy the source along with the object code. You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Program except as expressly provided under this License. Any attempt otherwise to copy, modify, sublicense or distribute the Program is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance. You are not required to accept this License, since you have not signed it. However, nothing else grants you permission to modify or distribute the Program or its derivative works. These actions are prohibited by law if you do not accept this License. Therefore, by modifying or distributing the Program (or any work based on the Program), you indicate your acceptance of this License to do so, and all its terms and conditions for copying, distributing or modifying the Program or works based on it. Each time you redistribute the Program (or any work based on the Program), the recipient automatically receives a license from the original licensor to copy, distribute or modify the Program subject to these terms and conditions. You may not impose any further restrictions on the recipients’ exercise of the rights granted herein. You are not responsible for enforcing compliance by third parties to this License. If, as a consequence of a court judgment or allegation of patent infringement or for any other reason (not limited to patent issues), conditions are imposed on you (whether by court order, agreement or otherwise) that contradict the conditions of this License, they do not excuse you from the conditions of this License. If you cannot distribute so as to satisfy simultaneously your obligations under this License and any other pertinent obligations, then as a consequence you may not distribute the Program at all. For example, if a patent license would not permit royalty-free redistribution of the Program by all those who receive copies directly or indirectly through you, then the only way you could satisfy both it and this License would be to refrain entirely from distribution of the Program. If any portion of this section is held invalid or unenforceable under any particular circumstance, the balance of the section is intended to apply and the section as a whole is intended to apply in other circumstances. It is not the purpose of this section to induce you to infringe any patents or other property right claims or to contest validity of any such claims; this section has the sole purpose of protecting the integrity of the free software distribution system, which is implemented by public license practices. Many people have made generous contributions to the wide range of software distributed through that system in reliance on consistent application of that system; it is up to the author/donor to decide if he or she is willing to distribute software through any other system and a licensee cannot impose that choice. This section is intended to make thoroughly clear what is believed to be a consequence of the rest of this License. If the distribution and/or use of the Program is restricted in certain countries either by patents or by copyrighted interfaces, the original copyright holder who places the Program under this License may add an explicit geographical distribution limitation excluding those countries, so that distribution is permitted only in or among countries not thus excluded. In such case, this License incorporates the limitation as if written in the body of this License. The Free Software Foundation may publish revised and/or new versions of the General Public License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may diﬀer in detail to address new problems or concerns. Each version is given a distinguishing version number. If the Program speciﬁes a version number of this License which applies to it and “any later version”, you have the option of following the terms and conditions either of that version or of any later version published by the Free Software Foundation. If the Program does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published by the Free Software Foundation. If you wish to incorporate parts of the Program into other free programs whose distribution conditions are diﬀerent, write to the author to ask for permission. For software which is copyrighted by the Free Software Foundation, write to the Free Software Foundation; we sometimes make exceptions for this. Our decision will be guided by the two goals of preserving the free status of all derivatives of our free software and of promoting the sharing and reuse of software generally.

No Warranty 11. Because the program is licensed free of charge, there is no warranty for the program, to the extent permitted by applicable law. Except when otherwise stated in writing the copyright holders and/or other parties provide the program “as is” without warranty of any kind, either expressed or implied, including, but not limited to, the implied warranties of merchantability and fitness for a particular purpose. The entire risk as

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to the quality and performance of the program is with you. Should the program prove defective, you assume the cost of all necessary servicing, repair or correction. 12. In no event unless required by applicable law or agreed to in writing will any copyright holder, or any other party who may modify and/or redistribute the program as permitted above, be liable to you for damages, including any general, special, incidental or consequential damages arising out of the use or inability to use the program (including but not limited to loss of data or data being rendered inaccurate or losses sustained by you or third parties or a failure of the program to operate with any other programs), even if such holder or other party has been advised of the possibility of such damages.

End of Terms and Conditions

Appendix: How to Apply These Terms to Your New Programs If you develop a new program, and you want it to be of the greatest possible use to the public, the best way to achieve this is to make it free software which everyone can redistribute and change under these terms. To do so, attach the following notices to the program. It is safest to attach them to the start of each source ﬁle to most eﬀectively convey the exclusion of warranty; and each ﬁle should have at least the “copyright” line and a pointer to where the full notice is found. one line to give the program’s name and a brief idea of what it does. Copyright (C) yyyy name of author This program is free software; you can redistribute it and/or modify it under the terms of the GNU General Public License as published by the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later version. This program is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the GNU General Public License for more details. You should have received a copy of the GNU General Public License along with this program; if not, write to the Free Software Foundation, Inc., 59 Temple Place - Suite 330, Boston, MA 02111-1307, USA. Also add information on how to contact you by electronic and paper mail. If the program is interactive, make it output a short notice like this when it starts in an interactive mode: Gnomovision version 69, Copyright (C) yyyy name of author Gnomovision comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY; for details type ‘show w’. This is free software, and you are welcome to redistribute it under certain conditions; type ‘show c’ for details. The hypothetical commands show w and show c should show the appropriate parts of the General Public License. Of course, the commands you use may be called something other than show w and show c; they could even be mouse-clicks or menu items—whatever suits your program. You should also get your employer (if you work as a programmer) or your school, if any, to sign a “copyright disclaimer” for the program, if necessary. Here is a sample; alter the names: Yoyodyne, Inc., hereby disclaims all copyright interest in the program ‘Gnomovision’ (which makes passes at compilers) written by James Hacker. signature of Ty Coon, 1 April 1989 Ty Coon, President of Vice This General Public License does not permit incorporating your program into proprietary programs. If your program is a subroutine library, you may consider it more useful to permit linking proprietary applications with the library. If this is what you want to do, use the GNU Library General Public License instead of this License.

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Index

Aberration 111 Absorbtion 251 Astigmatismus 143 ¨ Ather 71, 99 Attraktor 54 Attraktor seltsamer 55 Attraktordiagramm 60 Basis 196 Beschreibung stroboskopische 244 Beugungsmuster 129 Bewegungsgleichung 3 Bifurkation 61 Bildfeldw¨ olbung 143 BLAS 266 Boltzmann-Konstante 237 Boltzmann-Verteilung 191 Boltzmannfaktor 237 Brechung 101, 105 Brechungsgesetz Snelliussches 102 Brownsche Bewegung 152 CBLAS 266 CERNLIB 266 Delta-Potential 254 Diamagnetismus 97 Dichtematrix 233 Dichteoperator 233 Dielektrizit¨ atskonstante 72 Dipol 73 Dokumentation unter Linux 259 unter Windows 263 Drei-Niveau-System 247

Dreipunktformel 204 Dynamik integrable 32 Eigenwert 196 Eigenwertgleichung 196 Eigenwertgleichung verallgemeinerte 220 Eigenzust¨ ande des Hamiltonoperators Eigenzustand 195 Ein-Atom-Laser 246 Emission 251 Entartung 196 Entropie 234

213

FAQ 260, 264 Feldlinien 76 Fernfeld 73 Freies Teilchen 200 Fresnelsche Formeln 103 Gegenkraft 1 Gesetz Hookesches 2 von Biot-Savart 80 Gesetze Newtonsche 1 Gnu Scientiﬁc Library 20 GNU Scientiﬁc Library 265 Gravitationsgesetz 2 Grenzzyklus 54 Hamilton-Formalismus 52 Hamiltonfunktion 200 Hamiltonoperator 200 Hamiltonsche Gleichungen 52 Hamiltonsches System 52 Heisenbergbild 200

296

Index Mastergleichung 153 Mastergleichung quantenmechanische 234 Mathematisches Pendel 4 MATPACK 20, 266 Maxwellsche Gleichungen 71 Mean-Field-N¨ aherung 93 Messprozess 241 Messung 199 Metrik 40 Moment 152 Monopol 73

Helmholtz-Spule 96 Hermitesche Polynome 216 Hilbertraum 193 Huygenssches Prinzip 128 Hysterese 72, 92 Impulsdarstellung 197 Impulsoperator 197, 198 IMSL 265 Inertialsystem 2 Intensit¨ at von Licht 125 Interferenz 127 Interferenz destruktive 127 konstruktive 127 Interferenzterm 127 Inversion 249

NAG 265 Newsgroup 260, 264 Newtonsche Gesetze 1 Normerhaltung 208 Normierungsbedingung 194 Nullpunktsﬂuktuationen 233

Koh¨ arenz 134 Koh¨ arenzfunktion 136 Koma 143 Kommutator 195 konjugiert kanonisch 52, 195 Koordinaten generalisierte 26 Kopenhagener Interpretatation Korrelation 150 Korrelationsfunktion 151 Lagrangeformalismus 26 Lagrangefunktion 26 Lagrangeparameter 26 Laser 246 Legendre-Transformation 52 Lichttheorie Huygenssche 99 Newtonsche 99 Linse asph¨ arische 105 sph¨ arische 105 Linsenfehler 111 Liouvillescher Satz 54 Lyapunov-Exponent 41 Magnetisierung 72 Markov-Approximation Massenpunkt 1

237

199

Objekth¨ ohe 106 Observable 199 ¨ Oﬀnungsfehler 143 Operator 194 Operator Erzeugungs- 251 Hermitescher 196 Vernichtungs- 251 Ortsdarstellung 197 Ortsoperator 197, 198 Oszillator harmonischer 216 Pendel Doppel- 26 Faden- 3 mathematisches 4 Permeabilit¨ atskonstante 72 Photon 100, 251 Plancksches Wirkungsquantum Poincar´e-Plot 32 Polarisation 72 Potential optisches 208 Potentialbarriere 226 Potentialmulde 226 Potentialtopf 208 Potenzreihe 5 Projektion 199

100

Index Umklappoperatoren

Pumpen 249 Punktladung 72

Variable dynamische 32 Variationsmethoden in der Quantenmechanik Variationsprinzip Ritzsches 219 Verbundwahrscheinlichkeit Verzeichnung 143

Quadrupol 73 Quantenfeldtheorie 233 Quantenoptik 100 Quantenstatistik 233 Quantentunneln 226 Randbedingungen periodische 204 Random Walk 153 Reﬂektion 101 Remaneszenz 97 Reservoir 166 rpm-Paket 257 Runge-Kutta-Verfahren

23

Schr¨ odingerbild 200 Schr¨ odingergleichung 199 Separatrix 14 Sinai-Billard 50 skleronom 52 SLATEC 20, 266 Spin 235 Spur 233 Stoßparameter 167 Strahlenoptik 100 ¨ Uberlappmatrix

220

236

W¨ armebad 236 Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit bedingte 150 Wellen ebene 126 Kugel- 126 Wellenpaket 204

147

Zeno-Eﬀekt 242, 244 Zerfall spontaner 233 Zufallskomponente 199 Zustand 193 Zustand gemischter 233 reiner 233 Zustandsvektor 193 Zwei-Niveau-System 235

219

150

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