Wendehorst Beispiele aus der Baupraxis, 3. Auflage

Otto W. Wetzell (Hrsg.) Wendehorst Beispiele aus der Baupraxis

Otto W. Wetzell (Hrsg.)

Wendehorst Beispiele aus der Baupraxis 3., aktualisierte und erweiterte Auflage Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Otto W. Wetzell, Fachhochschule Münster Bearbeitet von Prof. Dipl.-Phys. Herwig Baumgartner, Hochschule für Technik Stuttgart Prof. Dr.-Ing. Ernst Biener, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Johannes Feiser, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Heinemann, Fachhochschule Köln Prof. Dr.-Ing. Wolfram Jäger, Technische Universität Dresden Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel, Hochschule für Technik, Stuttgart Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Krings, Fachhochschule Köln Prof. Dr.-Ing. Wolfram Lohse, Fachhochschule Aachen Prof. Dipl.-Ing. Henning Natzschka, Fachhochschule für Technik, Stuttgart Prof. Dr.-Ing. Helmuth Neuhaus, Fachhochschule Münster Prof. Dr.-Ing. Winfried Roos, Fachhochschule Köln Prof. Dr.-Ing. Andreas Strohmeyer, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Ulrich Vismann, Fachhochschule Aachen Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weller, Technische Universität Dresden Prof. Dr.-Ing. Otto W. Wetzell, Fachhochschule Münster

STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr.-Ing. Otto W. Wetzell studierte Bauingenieurwesen an der Technischen Hochschule in Hannover und der Stanford University in Palo Alto, Kalifornien. Er promovierte an der TU Hannover und war als Partner einer Ingenieursozietät als Beratender Ingenieur und Gutachter tätig. Es folgte die Professur an die Fachhochschule Münster. Als Autor und Herausgeber veröffentlichte er zahlreiche Fachbücher und Artikel. Hinweise auf DIN-Normen in diesem Werk entsprechen dem Stand der Normung bei Abschluss des Manuskripts. Maßgebend für das Anwenden der DIN-Norm ist deren Fassung mit dem neuesten Ausgabedatum, die bei der Beuth Verlag GmbH, Burggrafenstraße 6, 10787 Berlin, erhältlich ist. Sinngemäß gilt das gleiche für alle in diesem Buch angezogenen amtlichen Richtlinien, Bestimmungen, Verordnungen usw.

1. Auflage 2005 2. Auflage 2007 3., aktualisierte und erweiterte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms | Sabine Koch Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: Annette Prenzer Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0684-0

Inhaltsregister Vermessung

Seite 1 bis 28

1

Bauphysik

Seite 29 bis 48

2

Schallimmissionsschutz

Seite 49 bis 64

3

Brandschutz

Seite 65 bis 86

4

Lastannahmen, Einwirkungen

Seite 87 bis 116

5

Statik und Festigkeitslehre

Seite 117 bis 138

6

Räumliche Aussteifungen

Seite 139 bis 166

7

Mauerwerksbau

Seite 167 bis 202

8

Stahlbeton und Spannbeton

Seite 203 bis 234

9

Stahlbau

Seite 235 bis 274

10

Holzbau

Seite 275 bis 316

11

Glasbau

Seite 317 bis 350

12

Geotechnik

Seite 351 bis 392

13

Hydraulik und Wasserbau

Seite 393 bis 422

14

Siedlungswasserwirtschaft

Seite 423 bis 462

15

Abfallwirtschaft

Seite 463 bis 500

16

Verkehrswesen

Seite 501 bis 538

17

Sachwortverzeichnis

Seite 539 bis 547

S

Vorwort Diese nun in dritter Auflage vorliegende Sammlung von ausführlich erläuterten Beispielen und komplett durchgerechneten Aufgaben aus allen Bereichen der Baupraxis wurde vollständig überarbeitet und um wichtige Teile ergänzt. Sie ist als ideale Ergänzung des "Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln" (BZ) zu sehen, an das sie sich eng anlehnt. Sie wendet sich vornehmlich an Studierende des Bauingenieurwesens an Universitäten und Fachhochschulen. Hier ist sie ein nützlicher Begleiter durchs Studium und von besonderem Wert bei der Borbereitung auf Klausuren und Prüfungen. Aber auch dem Baupraktiker wird sie von Nutzen sein, wenn er längere Zeit nicht gebrauchte Kenntnisse innerhalb weniger Tage auffrischen will oder muss. Behandelt werden die klassischen Sachgebiete Vermessung, Bauphysik, Schallimmissionsschutz, Brandschutz, Lastannahmen, Statik und Festigkeitslehre, Räumliche Aussteifungen, Mauerwerksbau, Stahlbetonbau, Stahlbau, Holzbau, Glasbau, Geotechnik, Hydraulik und Wasserbau, Siedlungswasserwirtschaft, Abfallwirtschaft und Verkehrswesen. In jedem Abschnitt wird den detailliert durchgerechneten Beispiel-Aufgaben eine kurze Einführung in die Thematik und eine Zusammenstellung der wichtigsten Formeln und Formelzeichen des Sachgebietes vorangestellt. Selbstverständlich basieren alle Beispiele und Aufgaben auf den aktuellen – das heißt jeweils neuesten – Ausgaben der zugehörigen Normen und sonstigen Technischen Regelwerke. Auf gute Lesbarkeit und leichte Verständlichkeit der Texte und Zeichnungen wurde wieder größter Wert gelegt. Verlag und Autoren sind dankbar für konstruktive Anregungen zur Verbesserung und Weiterentwicklung des Werkes. Münster/Ostbevem, im Sommer 2009

Otto W. Wetzell

Autorenverzeichnis Prof. Dipl.-Phys. Herwig Baumgartner studierte Physik an der Universität Freiburg und war anschließend in einem bauphysikalischen Beratungsbüro tätig. Später wurde er an die Fachhochschule Stuttgart - Hochschule für Technik in den Fachbereich Bauphysik berufen, in dem er derzeit Dekan ist. Seine Fachgebiete sind Bau- und Raumakustik, Schwingungstechnik sowie Allgemeine Bauphysik. Prof. Dr.-Ing. Ernst Biener war nach Studium und Promotion an der RWTH Aachen zunächst für einen internationalen Baukonzern im Bereich der Umwelttechnik tätig. Seit 1989 ist er Professor für Umwelttechnik im Fachbereich Bauingenieurwesen der Fachhochschule Aachen. Er ist außerdem von der IHK Aachen ö.b.u.v. Sachverständiger für Deponietechnik sowie Erkundung, Beurteilung und Sanierung von Grundwasser- und Bodenverunreinigungen und Beratender Ingenieur (Ingenieurkammer BauNW). Als Mitglied zahlreicher Berufsverbände (DGGT, ATV, VKS etc.) sowie Geschäftsführer der Ingenieurgesellschaft Umtec GbR ist er Autor zahlreicher Veröffentlichungen in nationalen und internationalen Fachmedien. Prof. Dr.-Ing. Johannes Feiser studierte Bauingenieurwesen an der RWTH Aachen und promovierte am dortigen Institut für Grundbau mit einem Thema aus dem Bereich der Felsmechanik. Er war danach in einer Ingenieurgesellschaft für Geotechnik in Aachen beschäftigt, anschließend als Geschäftsführer eines Geotechnikbüros in Neuss tätig und eingetragener Sachverständiger für Erd- und Grundbau nach DIN 1054. Seit 1996 ist er Professor an der Fachhochschule Aachen und vertritt dort die Lehrgebiete Geotechnik, Erd- und Tunnelstatik sowie Spezialtiefbau. Daneben bleibt er als Beratender Ingenieur und Geotechnischer Gutachter weiterhin in der Praxis aktiv. Prof. Dr.-Ing. Gerhard Haße studierte Bauingenieurwesen an der TU Berlin. Er promovierte während seiner sechsjährigen Tätigkeit als wissenschaftlicher Assistent an der TU Berlin mit einem Thema über den Einfluss zeitabhängiger Formänderungen auf vorgespannte statisch unbestimmte Verbundtragwerke. Vor, während und im Anschluss an diese Tätigkeit war er sowohl selbstständig als auch für verschiedene Bauunternehmen tätig. Auf eine Verwendung als Gutachter bei der Oberfinanzdirektion Münster folgte schließlich der Dienst als Hochschullehrer an der Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete waren Massivbau, Stahlbau, Baustatik und Datenverarbeitung. Als Autor war er an mehreren Fachbüchern beteiligt. Prof. Dr.-Ing. Ekkehard Heinemann studierte an der Ingenieurschule Siegen und der RWTH Aachen Bauingenieurwesen. Anschließend war er als wissenschaftlicher Assistent am Aachener Institut für Wasserbau und Wasserwirtschaft tätig und promovierte auf dem Gebiet von Wirbelströmungen. Viele Jahre wurde er von einer Ingenieurgesellschaft hauptsächlich für Auslandsprojekte der Wasserkraft- und Talsperrenplanung eingesetzt. Seit 1990 vertritt er an der Fachhochschule Köln die Gebiete der Wasserwirtschaft und des Wasserbaus. Als Autor beteiligte er sich an zahlreichen Fachbeiträgen und Büchern. Prof. Dr.-Ing. Wolfram Jäger studierte Bauingenieurwesen an der TU Dresden und an der Moskauer Bauhochschule (MISI) und promovierte in Dresden am Lehrstuhl für Baumechanik der Stabtragwerke und Bauwerksoptimierung. Professor Jäger hat viele Jahre als Beratender Ingenieur, Prüfingenieur und Leiter eines größeren Bauunternehmens gearbeitet und - neben zwei Fachbüchern in englischer Sprache - mehr als sechzig wissenschaftliche Aufsätze veröffentlicht

VIII

Autorenverzeichnis

zu Themen aus dem Bauwesen, insbesondere dem Holz- und Mauerwerksbau. Er ist Mitglied in mehreren Fachausschüssen und -gremien des DIN und des Deutschen Instituts für Bautechnik sowie Mitglied des Redaktionsbeirates der Zeitschrift „das Mauerwerk“. Professor Jäger ist Inhaber des Lehrstuhls für Tragwerksplanung der Fakultät Architektur der TU Dresden. Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel studierte an der Universität Stuttgart Geodäsie. Nach der Assistentenzeit am Geodätischen Institut Stuttgart promovierte er über ein Thema der Messtechnik. Nach anschließender Tätigkeit in der Vermessungsverwaltung in Baden-Württemberg und bei der Stadt Stuttgart erfolgte die Berufung an die Fachhochschule Stuttgart - Hochschule für Technik. Seine Fachgebiete sind Vermessungskunde, Präzisionstechnik, Elektronisches Messen und Geodätische Positionsbestimmung. Er ist Autor zahlreicher wissenschaftlicher Veröffentlichungen, Fach- und Lehrbücher. Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Krings studierte nach einem Ingenieurschulstudium in Essen an der neu gegründeten Ruhr-Universität Bochum Bauingenieurwesen. Er promovierte dort mit einem Finite Element-Thema und war anschließend 15 Jahre bei einer großen Baufirma als Statiker, Entwicklungsingenieur, Abteilungsleiter und Geschäftsführer einer Tochtergesellschaft tätig. Seit 1990 ist er an der Fachhochschule Köln und vertritt dort die Lehrgebiete Mechanik, Baustatik und Massivbau. Zahlreiche Veröffentlichungen über Dynamik, Finite Element-Methoden, Schalenstatik, Altlastensanierung und Berechnungsmethoden im Massivbau. Seit 2001 Ehrenprofessor der Staatlichen Akademie für Architektur und Bauwesen in Wolgograd. Prof. Dr.-Ing. Wolfram Lohse studierte an der Universität Karlsruhe Bauingenieurwesen und promovierte dort am Lehrstuhl für Stahl- und Leichtmetallbau über ein Thema aus dem Stahlbrückenbau. Während seiner Assistentenzeit entstanden unter anderem zahlreiche wissenschaftliche Gutachten über Schadensfälle im Stahlbau und zur Restnutzungsdauer von Eisenbahnbrücken. Anschließend wechselte er in die Stahlbauindustrie als technischer Leiter und Leiter des Verkaufs und ließ sich zum Schweißfachingenieur ausbilden. Ab 1985 ist er Professor für Stahlbau und Baustatik an der Fachhochschule Aachen und nebenberuflich tätig als Gutachter und Tragwerksplaner im eigenen Ingenieurbüro. 1998 wurde er zum Prüfingenieur für Baustatik ernannt und zwei Jahre später zum Prüfer für bautechnische Nachweise im Eisenbahnbau. Diese nebenberufliche Tätigkeit übt er seit 2001 als geschäftsführender Gesellschafter in der Ingenieurgemeinschaft Genähr & Partner in Dortmund aus. Prof. Dr.-Ing. Dieter Maurmaier assistierte und promovierte nach seinem Studium der Fachrichtung Bauingenieurwesen am Institut für Straßen- und Verkehrswesen der Universität Stuttgart. Er war als Partner im Ingenieurbüro Bender + Stahl tätig und gründete später die Firma MAP Prof. Maurmaier + Partner mit den Schwerpunkten Verkehrsplanung, Straßenentwurf, Verkehrstechnik und Immissionsschutz. Er lehrt an der Hochschule für Technik Stuttgart das Fachgebiet Verkehrswesen. Prof. Dipl.-Ing. Henning Natzschka studierte Bauingenieurwesen an der Universität Fridericana Karlsruhe (TH) und durchlief anschließend eine Referendarausbildung bei der Straßen- und Wasserbauverwaltung Baden-Württemberg., Abschluss Regierungsbaumeister. Die langjährige Arbeit als Mitglied im Vorstand eines Straßenbauamtes und Leiter der Neubauabteilung „Vogelfluglinie" des Landesamtes für Straßenbau Schleswig-Holstein hat ihn mit allen Fragen der Planung, Ausführung und Unterhaltung von Verkehrswegen und Verkehrswegebauten in engste Berührung gebracht. Professor Natzschka ist Leiter der Labore Bituminöser Straßenbau und Informatik im Bauwesen der Hochschule für Technik in Stuttgart sowie des Joseph-von-Egle-Instituts. Außerdem leitet er ein Ingenieurbüro für Straßen- und Verkehrsplanung. Er ist Mitglied mehrerer Forschungsgremien, Verfasser des Lehrbuchs „Straßenbau – Entwurf und Bautechnik“ und Autor von mehr als vierzig wissenschaftlichen Veröffentlichungen in Fachzeitschriften. Prof. Dr.-Ing. Helmuth Neuhaus studierte Bauingenieurwesen an der Ruhr-Universität Bochum. Er promovierte dort mit einem Thema aus dem Holzbau. Danach war er in der Bauabteilung einer Anlagenbaufirma tätig. 1986 ging er an die Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebie-

Autorenverzeichnis

te sind Holzbau und Bauphysik. Als Autor und Mitautor veröffentlichte er zahlreiche Aufsätze und ein Fachbuch. Er ist öffentlich bestellter und vereidigter Sachverständiger der IHK Münster für das Sachgebiet Holzbau. Prof. Dr.-Ing. Winfried Roos studierte Bauingenieurwesen an der RWTH Aachen. Nach einer mehrjährigen Tätigkeit als Statiker und Bauleiter für eine große deutsche Baufirma wechselte er an den Lehrstuhl für Massivbau der TU München. Dort promovierte er während seiner sechsjährigen Tätigkeit als wissenschaftlicher Assistent zur Thematik der Druckfestigkeit des gerissenen Stahlbetons in scheibenförmigen Bauteilen bei gleichzeitig wirkender Querzugbeanspruchung. Im Anschluss war er mehrere Jahre Partner und geschäftsführender Gesellschafter einer Ingenieurgesellschaft in Essen. Seit 1998 ist er an der Fachhochschule Köln und vertritt dort die Lehrgebiete Massivbau und Baustatik. Außerdem ist er seit 1999 öffentlich bestellter und vereidigter Sachverständiger der IHK Köln für Tragkonstruktionen im Massivbau. Prof. Dr.-Ing. Andreas Strohmeier studierte an der RWTH Aachen Bauingenieurwesen. Dort promovierte er auch während seiner wissenschaftlichen Assistententätigkeit mit einem Thema zum Leistungsvermögen von Abwasserbehandlungsanlagen. Er war in verschiedenen international tätigen Ingenieurunternehmen beschäftigt, unter anderem über sieben Jahre in einem der weltweit größten Wasser- und Abwasseraufbereitungsunternehmen. In Führungspositionen übernahm er praktische Ingenieurtätigkeiten aus dem Bereich der Wasser- und Abwassertechnik. Seit 1994 ist er Professor an der Fachhochschule Aachen im Fachbereich Bauingenieurwesen für das Lehrgebiet „Wasserversorgung und Abwassertechnik“. Er ist Autor zahlreicher internationaler Fachaufsätze. Prof. Dr.-Ing. Ulrich Vismann studierte Bauingenieurwesen mit dem Schwerpunkt Konstruktiver Ingenieurbau an der RWTH Aachen. Anschließend war er Assistent am dortigen Lehrstuhl für Baustatik und promovierte an der TU-München über ein Thema zur Sicherheitstheorie im Stahlbetonbau. Nach einer fünfjährigen Tätigkeit in der Bauindustrie wechselte er 1999 in die Selbständigkeit als Beratender Ingenieur. Seit 2001 ist er Professor für Massivbau und Baustatik an der Fachhochschule Aachen. Als Gastdozent lehrt er ebenfalls an der Polytechnic of Namibia in Windhoek. Darüber hinaus ist er von der Ingenieurkammer Bau NRW als ö.b.u.v. Sachverständiger für Massivbau vereidigt. Die Aufgaben als Sachverständiger und Beratender Ingenieur nimmt Herr Prof. Vismann als Geschäftsführer des Ingenieurbüros Kossin-Vismann+Partner wahr. Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weller studierte Bauingenieurwesen mit Vertiefung Konstruktiver Ingenieurbau an der RWTH Aachen. Später war er als Beratender Ingenieur tätig mit anschließender Promotion. Nach seiner Professur für Tragwerksplanung an der Fachhochschule Frankfurt/Main arbeitet er jetzt am Lehrstuhl für Baukonstruktionslehre an der TU Dresden und ist dort seit 2002 außerdem Direktor des Instituts für Baukonstruktion. Prof. Dr.-Ing. Otto W. Wetzell studierte Bauingenieurwesen an der TU in Hannover und der Stanford University in Palo Alto, Kalifornien. Er promovierte an der TU Hannover mit einem Thema aus der Mechanik und war danach als Beratender Ingenieur und Gutachter Partner einer Ingenieursozietät.. Später ging er an die Fachhochschule Münster. Seine Lehrgebiete waren Baustatik und Datenverarbeitung. Als Autor und Herausgeber veröffentlichte er zahlreiche Fachbücher und Aufsätze.

IX

Vermessung Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel

Inhalt 1 Vorbemerkungen ....................................................................................................................... 3 2 Grundaufgaben........................................................................................................................... 3 2.1 Richtungswinkelberechnung........................................................................................... 3 2.2 Polarpunktberechnung .................................................................................................... 5 2.3 Höhenübertragung mit dem Tachymeter (trigonometrische Höhenübertragung)............................................................................ 6 2.4 Transformationen ............................................................................................................ 7 2.4.1 Transformation mit zwei identischen Punkten: ................................................ 7 2.4.2 Transformation mit mehr als zwei identischen Punkten (Helmert-Transformation) ................................................................................ 8 2.5 Achsenschnitte .............................................................................................................. 10 2.5.1 Schnitt zweier geradliniger Achsen ............................................................... 10 2.5.2 Schnitt einer geradlinigen Achse mit einem Kreis ......................................... 13 3 Polygonzugsberechnung .......................................................................................................... 14 4 Freie Standpunktwahl .............................................................................................................. 17 5 Nivellement .............................................................................................................................. 21 6 Achsberechnung....................................................................................................................... 23 7 Mengenberechnung .................................................................................................................. 25

1 Vorbemerkungen Die Reihenfolge der Beispiele entspricht der Reihenfolge der Kapitel im Abschnitt „Vermessung“ der Bautechnischen Zahlentafeln. Die zur Lösung der Beispiele erforderlichen Formeln sind bei den Beispielen aufgeführt und für einige Beispiele speziell umgeformt. Zusätzlich wird auf die in den Bautechnischen Zahlentafeln vergebene Formelnummer verwiesen. Zwischenergebnisse werden meist auf Millimeter oder Zentimeter bzw. Milligon gerundet angegeben. Bei der Weiterrechnung werden jedoch nicht diese gerundeten Werte verwendet, sondern es wird mit den im Rechner vorhandenen und in der Regel wesentlich genaueren Werten gerechnet. Zu beachten ist auch, dass bei der Rechengenauigkeit nicht allein die Nachkommastellenzahl der eingegebenen Werte von Bedeutung ist sondern die Zahl der besetzten Wertstellen, also die Zahl der Vorkommastellen und der Nachkommastellen (z.B. bei den Transformationsparametern).

2 Grundaufgaben 2.1 Richtungswinkelberechnung

Gegeben: Koordinaten der Punkte P1 bis P5 (siehe Tabelle) Gesucht: Quadrantengerechte Richtungswinkel t von P1 zu den Punkten P2 bis P5 Lösung: ǻY = Yi − Y1 ǻX = X i − X1 t1,i = arctan

ΔY ΔX

Hierzu bei den Taschenrechnern die Winkeleinheit „gon“ wählen Der Richtungswinkel t muss immer im Intervall 0 ≤ t < 400 gon liegen. Abhängig vom Vorzeichen von ΔY und ΔX wird t im Quadranten I–IV liegen:

4

Vermessung

1 Quadrant I II III IV

Richtungswinkel ΔY t = arctan ΔX + + t + – t + 200gon – – t + 200gon – + t + 400gon Quadrantenfestlegung ΔY

ΔX

Für diese Aufgabe gibt es auch eine Formel, die den Quadranten automatisch festlegt: ΔY = Yi − Y1 + 1 ⋅ 10− a

a entspricht der Stellenzahl, mit der gerechnet wird (z.B. a = 6 bei sechsstelliger Genauigkeit).

ΔX = X i − X1 + 1 ⋅ 10− a

t[gon] =

200 ΔY arctan + 200 − (1 + sgn ΔX ) ⋅ sgn ΔY ⋅ 100 π ΔX

wobei sgn x = 1

für x > 0

sgn x = 0

für x = 0

sgn x = – 1

für x < 0

Pkt.-Nr. P1 P2 P3 P4 P5

Y [m] 1340,12 1407,89 1382,27 1295,62 1310,28

X [m] 2487,56 2513,32 2430,87 2417,23 2560,11

ΔY

ΔX

t [gon]

67,77 42,15 – 44,50 – 29,84

25,76 – 56,69 – 70,33 72,55

76,875 159,298 235,914 375,158

Die Lösungsformeln entsprechen den Formeln (2-1) bis (2-3) aus den Bautechnischen Zahlentafeln.

5

2 Grundaufgaben

2.2 Polarpunktberechnung

1 Gegeben: Koordinaten von Standpunkt S und Anschlusspunkt A Pkt.-Nr. S A

Y [m] 4826,27 5083,69

X [m] 3427,19 4217,38

Gemessen: Winkel α1 bis α 4 und Strecken S1 bis S4 zu den Neupunkten P1 bis P4 (siehe folgende Tabelle!) Gesucht: Koordinaten der Neupunkte P1 bis P4 Lösung: t S , A = arctan

YA − YS = 20, 0489 gon X A − XS

ti = tS,A + α i

wobei ti < 400 gon !

Yi = YS + Si ⋅ sin ti X i = X S + Si ⋅ cos ti

siehe auch Formeln (2-4) bis (2-7) der Bautechnischen Zahlentafeln. Pkt.-Nr. P1 P2 P3 P4

αi [gon] 67,1252 131,8927 252,0231 298,6125

Si [m] 120,125 80,090 170,605 147,820

ti [gon] 87,1741 151,9416 272,0720 318,6614

Yi [m] 4943,966 4881,149 4671,820 4684,755

Xi [m] 3451,227 3368,857 3354,725 3469,903

Umkehrung dieser Aufgabe: Berechnung polarer Absteckelemente Gegeben: Koordinaten des Standpunktes S, des Anschlusspunktes A und der abzusteckenden Punkte P1 bis P4 Gesucht: Die polaren Absteckelemente αi und Si

6

1

Vermessung

Lösung: ti = arctan

Yi − YS X i − XS

α i = ti − tS,A Si =

(Yi − YS ) 2 + ( X i − X S ) 2

Zahlenbeispiel: Siehe vorige Zahlentabelle!

2.3 Höhenübertragung mit dem Tachymeter (trigonometrische Höhenübertragung)

Gemessen:

Gesucht: Lösung:

Zenitdistanzen Zi und Schrägstrecken Si zu den Punkten Pi Instrumentenhöhe i auf dem Standpunkt und die Zielhöhen ti auf den Punkten Pi (siehe Tabelle!) Höhenunterschiede ΔHi zwischen Standpunkt und den Punkten Pi

ΔH i = Si ⋅ cos Zi +

Si 2 ⋅ 0,87 + i − ti 2R

Pkt.-Nr. Zi [gon] Si [m] P1 94,163 314,28 P2 99,432 426,17 P3 100,332 452,03 P4 106,728 287,65 Instrumentenhöhe: i = 1,425 m

ti [m] 1,380 1,520 1,425 1,485

ΔH1 = 28, 775 + 0, 007 + 1, 425 − 1, 380

= 28,827 m

ΔH 2 = 3,802 + 0, 012 + 1, 425 − 1, 520

= 3, 719 m

ΔH 3 = −2, 357 + 0, 014 + 1, 425 − 1, 425

= − 2, 343 m

ΔH 4 = − 30, 343 + 0, 006 + 1, 425 − 1, 485

= − 30, 397m

7

2 Grundaufgaben

2.4 Transformationen

1

2.4.1 Transformation mit zwei identischen Punkten:

Gegeben: Koordinaten der Punkte 10 und 20 im Ausgangssystem (System1) und im Zielsystem (System2), Koordinaten der Neupunkte 12, 13, und 15 im Ausgangssystem

Gesucht: Koordinaten der Neupunkte 12, 13 und 15 im Zielsystem

Pkt.-Nr. Identische Punkte 10 20 Neupunkte 12 13 15

Ausgangssystem y x

119,45 104,07

168,70 91,10

113,04 87,00 100,27

125,60 65,30 82,38

Zielsystem Y

X

27,33 17,05

10,20 88,60

Lösung: Berechnung der Parameter aus den Koordinaten der identischen Punkte: o=

( x20 − x10 ) (Y20 − Y10 ) − ( y20 − y10 ) ( X 20 − X10 ) = 0, 320138 ( x20 − x10 ) 2 + ( y20 − y10 ) 2

a=

( x20 − x10 ) ( X 20 − X10 ) + ( y20 − y10 ) (Y20 − Y10 ) = − 0,946859 ( x20 − x10 )2 + ( y20 − y10 )2

M = a 2 + o 2 = 0,999515

§o· © ¹

α = arctan ¨ ¸ = 179, 2437 gon a

Y0 = Y10 − o ⋅ x10 − a ⋅ y10 = 86, 425

X 0 = X 10 − a ⋅ x10 + o ⋅ y10 = 208,176

8

1

Vermessung

Koordinaten der Neupunkte im Zielsystem (y, x) → (Y, X): Yi = Y0 + o ⋅ xi + a ⋅ yi

X i = X 0 + a ⋅ xi − o ⋅ yi

Y12 = 19, 601

X12 = 53, 062

Y13 = 24,953

X13 = 118, 494

Y15 = 17,856

X15 = 98, 073

Rücktransformation (Y, X) → (y, x): yi =

a o (Yi − Y0 ) − ( Xi − X0 ) M2 M2

xi =

y12 = 113, 04 y13 = 87, 00 y15 = 100, 27

a o (Xi − X0) + (Yi − Y0 ) M2 M2

x12 = 125, 60 x13 = 65, 30 x15 = 82,38

2.4.2 Transformation mit mehr als zwei identischen Punkten (Helmert-Transformation) Gegeben: Gesucht:

Koordinaten der Punkte 121-124 im Ausgangs- und im Zielsystem Koordinaten der Neupunkte 125-127 im Ausgangssystem Koordinaten der Neupunkte 125-127 im Zielsystem Ausgangssystem

Pkt.-Nr. Identische Punkte 121 122 123 124 Neupunkte 125 126 127

Zielsystem

y

x

Y

X

3331,42 6016,76 4423,71 1618,10

6492,43 4370,94 657,01 2680,17

41132,12 43988,31 42717,27 39749,54

27133,89 25248,46 21412,31 23189,31

2436,17 3578,03 5402,89

1240,98 5822,36 6003,52

Lösung: Schwerpunktkoordinaten: yS =

1 n ¦ yi = 3847, 498 n i =1

xS =

1 n ¦ xi = 3550,138 n i =1

9

2 Grundaufgaben

YS =

1 n ¦ Yi = 41896,810 n i =1

XS =

Auf Schwerpunkt reduzierte Koordinaten x i = xi − xS y i = yi − yS

1 n ¦ X i = 24245,992 n i =1

Y i = Yi − YS

Pkt.-Nr.

y

x

121 122 123 124

–516,078 2169,262 576,212 –2229,398

2942,292 820,802 –2893,128 –869,968

X i = Xi − XS

Y –764,690 2091,500 820,460 –2147,270

Parameter: 4

¦ ( x i Y i + yi X i ) = − 2446071, 78 i =1 4

¦ ( yi Y i + x i i =1 4

2

¦ ( xi i =1

X i ) = 28628880, 69

2

+ y i ) = 28732101,92

4

¦ ( xi Y i − y i X i ) o=

i =1

4

2

2

¦ ( xi + y i )

= − 0, 08513376

i =1

4

¦ ( y i Y i + xi X i )

a = i =1

4

¦

2 ( xi

+

2 yi )

= 0,99640746

i =1

bzw.

§o· a 2 + o2 = 1, 00003779 α = arctan ¨ ¸ = 394,5739 gon ©a¹

M =

Y0 = YS − o ⋅ xS − a ⋅ yS = 38365,371 X 0 = X S − a ⋅ xS + o ⋅ yS = 20381, 057

Verbesserungen der Koordinaten der identischen Punkte: vy = Y − Y0 − o ⋅ x − a ⋅ y vy1 vy 2 v y3 vy14

= 0, 022 m = − 0, 091 m = 0, 015 m = 0, 055 m

¦= 0

vx = X − X 0 − a ⋅ x + o ⋅ y vx1 vx 2 vx 3 vx14

= 0,111 m = − 0, 064 m = − 0, 004 m = − 0, 043 m

¦= 0

1

X 2887,898 1002,468 –2833,682 –1056,682

10

Vermessung

n

1 S y = Sx =

¦ (vx2i + vy2i ) i =1

2n − 4

=

0, 0303 = 0, 087 m 4

Berechnung der Koordinaten der Neupunkte (yi, xi) → (Yi, Xi): Yi = Y0 + o ⋅ xi + a ⋅ yi

X i = X 0 + a ⋅ xi − o ⋅ yi

Y125 = 40687,140 Y126 = 41434,867 Y127 = 43237, 749

X125 = 21824,979 X126 = 26487,111 X127 = 26822,977

Rücktransformation (Yi, Xi) → (yi, xi): yi =

a (Yi − Y0 ) − o ( X i − X 0 ) a 2 + o2

y125 = 2436,17 y126 = 3578, 03 y127 = 5402,89

xi =

a ( X i − X 0 ) + o (Yi − Y0 ) a 2 + o2

x125 = 1240,98 x126 = 5822,36 x127 = 6003,52

Die Lösungsformeln entsprechen den Formeln (2-21) bis (2-31) in den Bautechnischen Zahlentafeln.

2.5 Achsenschnitte 2.5.1 Schnitt zweier geradliniger Achsen 1. Beispiel:

Gegeben: Erste Achse mit Punkten 1 und 2 Zweite Achse mit Punkten 3 und 4 Gesucht: Schnittpunkt S Pkt.-Nr. 1 2 3 4

Y 119,78 230,89 189,14 187,00

X 98,80 103,10 159,90 71,20

11

2 Grundaufgaben

Lösung:

1

Y − Y3 Y2 − Y1 = 25,839535 k2 = 4 = 0, 0241263 X4 − X3 X 2 − X1 (Y − Y ) − k2 ( X 3 − X1 ) = 101, 43 X S = X1 + 3 1 k1 − k2 YS = Y1 + k1 ( X S − X1 ) = 187, 73 k1 =

Siehe auch Formeln (2-32) bis (2-35) in den Bautechnischen Zahlentafeln. 2. Beispiel: Pkt.-Nr. 15 16 23 24

Y 106,20 154,10 170,83 200,14

X 205,70 266,19 270,34 219,24

k1 = 0, 7918664 k2 = − 0,5735812 X S = 280,19 YS = 165,18

3. Beispiel: Schnitt einer Achse mit einer Parallelen zu einer zweiten Achse

Gegeben: Erste Achse mit den Punkten 1 und 2 Zweite Achse mit den Punkten 3 und 4 Parallele zu 1-2 im Abstand d (liegt 5 rechts der Linie von 1 nach 2, dann ist d positiv, im anderen Fall negativ!). Gesucht: Schnittpunkt S Lösung: • Berechnung der Koordinaten des Punktes 5 t1,2 = arctan

Y2 − Y1 X 2 − X1

t1,5 = t1,2 + 100 gon

Y5 = Y1 + d ⋅ sin t1,5 X 5 = X1 + d ⋅ cos t1,5

falls t1,5 ≥ 400 gon dann 400 gon abziehen!

12

Vermessung

1

Unabhängig davon, ob Punkt 5 rechts oder links der Linie 1-2 liegt, führen diese Formeln immer auf das richtige Ergebnis, da d eine mit Vorzeichen versehene Größe ist! Hier: Parallele zur Achse von 1 nach 2 im Abstand d = – 5,00 m Pkt.-Nr. 1 2 3 4

Y 391,70 514,56 465,86 451,99

t1,2 = 116, 4972 gon

X 713,51 680,94 785,48 608,02

t1,5 = 216, 4972 gon Y5 = Y1 + (− 5, 00) ⋅ sin t1,5 = 392,981 X 5 = X1 + (− 5, 00) ⋅ cos t1,5 = 718,343

Parallele zur Achse von 1 nach 2 im Abstand d = –5,00m

• Schnitt der Achse 3-4 mit der Achse 5-6 k1 =

Y4 − Y3 X 4 − X3

XS = X3 +

k2 =

(Y5 − Y3 ) − k2 ( X 5 − X 3 ) k1 − k2

k1 = 0, 0781585

Y6 − Y5 Y − Y1 = 2 , da parallel! X6 − X5 X 2 − X1

YS = Y3 + k1 ( X S − X 3 )

k2 = − 3, 772183

X S = 700, 78 YS = 459, 24

4. Beispiel: Schnitt einer Achse mit einer Senkrechten zu einer Achse

Gegeben: Erste Achse mit Punkten 1 und 2 Zweite Achse mit Punkten 3 und 4 Senkrechte zu Achse 1-2 im gegebenen oder berechenbaren Punkt A Gesucht: Schnittpunkt S Lösung: Da A-S senkrecht auf 1-2 steht, gilt

tan tA,S = −

1 tan t1,2

wobei

tan t1,2 =

Y2 − Y1 X 2 − X1

Schnitt Achse 3-4 mit Achse A-S k1 =

Y4 − Y3 = tan t3,4 X4 − X3

k2 =

YS − YA 1 X − X1 = tan tA,S = − =− 2 tan t1,2 XS − X A Y2 − Y1

13

2 Grundaufgaben

XS = X3 +

(YA − Y3 ) − k2 ( X A − X 3 ) k1 − k2

1

YS = Y3 + k1 ( X S − X 3 ) Pkt.-Nr. 1 2 A 3 4

Y

X

601,96 547,22 585,21 633,10 596,43

796,49 867,15 818,12 773,82 872,41

k1 = − 0,3719444 k2 = 1, 2908294 X S = 837, 01 YS = 609, 60

2.5.2 Schnitt einer geradlinigen Achse mit einem Kreis Gegeben: Achse mit den Punkten 1 und 2 Kreis um Mittelpunkt 3 mit Radius r Gesucht: Schnittpunkt S1 bzw. S2 Pkt.-Nr. 1 2 3

Lösung: Mit Formeln (2-36) bis (2-42) α = |t1,3 − t1,2 | = |85,9743 − 116,9893| = 31, 0150 gon 13 = 111,331m

r 2 − 3H

2

2

1H = 13 − 3H

X 611,98 578,52 636,31

2

= 98,378m

1S 1 = 1H − HS 1 = 80,808m

3H = 13 ⋅ sin α = 52,118m HS1 = HS 2 =

Y 489,53 611,92 598,17 r = 55,00 m

= 17,570m

1S 2 = 1H + HS 2 = 115,948m

YS1 = Y1 + 1S 1 ⋅ sin t1,2 = 567, 48

YS2 = Y1 + 1S 2 ⋅ sin t1,2 = 590, 67

X S1 = X1 + 1S1 ⋅ cos t1,2 = 601,37

X S2 = X1 + 1S 2 ⋅ cos t1,2 = 581, 40

Siehe auch Formeln (2-36) bis (2-42) in den Bautechnischen Zahlentafeln (BZ).

14

1

Vermessung

3 Polygonzugsberechnung Gegeben: Koordinaten der Anschlusspunkte P0, P1, P7, P8 Genauigkeitsstufe 2 Gemessen: Brechungswinkel β1 bis β7 Reduzierte Horizontalstrecken S1,2, S2,3, S3,4, S4,5, S5,6, S6,7 Gesucht: Koordinaten der Neupunkte P2 bis P6 Pkt.-Nr.

Y [ m]

X [ m]

P0

3559383,06

5413732,71

P1

58219,68

13442,72

P7

58406,23

14234,58

P8

58927,64

15431,00

Pkt.-Nr.

β [gon]

S[m]

P1

335,218

P2

198,876

P3

197,822

126,79 123,20 152,08 P4

173,253 161,56

P5

227,959 109,98

P6

211,854 157,33

P7

196,725

¦S = 830,94 m Lösung: Berechnung der Anschlussrichtungen mit Gleichungen (3-1) und (3-2) in den BZ t0,1 = arctan

y1 − y0 (+ 200 gon) = 284,4482 gon x1 − x0

15

3 Polygonzugsberechnung

t7,8 = arctan

y8 − y7 = 26,1644 gon x8 − x7

1

Winkelabschlussverbesserung nach (3.5) in den BZ 7 § · vβ = t7,8 − ¨ t0,1 − 7 ⋅ 200 gon + ¦ β k (± 400 gon) ¸ = + 0, 0092 gon ¨ ¸ k =1 © ¹

vβ

= + 0, 0013 gon 7 Zulässige Winkelabweichung für Genauigkeitsstufe 2 ZW2 =

6002 (n − 1) 2 ⋅ n + 102 (¦ S )2

mit

¦ S = 830,94 und n = 7

folgt

→ eingehalten!

ZW2 = 15, 2mgon = 0, 0152 gon

Berechnung der Koordinaten der Neupunkte ΔY

ΔX

19,6675

38,550

120,787

– 0,002 – 0,009

18,5448

35,383

118,010

– 0,002 – 0,008

16,3681

38,672

147,081

– 0,002 – 0,010

389,6224

– 26,220

159,418

– 0,002 – 0,011

17,5827

29,991

105,812

– 0,002 – 0,007

29,4380

70,186

140,807

– 0,002 – 0,010

t

VΔY

VΔX

Y

X

58219,68

13442,72

58258,228

13563,498

58293,609

13681,500

58332,279

13828,571

58306,057

13987,978

58336,046

14093,783

58406,23

14234,58

Y7 − Y1 =

X 7 − X1 =

186,55

791,86

P0 284,4482 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 26,1644 P8

¦ ΔY = 186,562 ¦ ΔX = 791,915 v Y = − 0,012 m

vX

= − 0,055 m

L = − 0,056 m ZL2 = 0,095 m

Q = 0,001m ZQ2 = 0,091m

16

1

Vermessung

Hierzu wurden berechnet: Ausgeglichene Richtungswinkel t nach Gl. (3-6) ti,i +1 = ti −1,i − 200 gon + β i +

υβ 7

(± 400 gon)

Koordinatenunterschiede nach Gl. (3-7) und (3-8) ǻYi,i +1 = Si,i +1 ⋅ sin ti,i +1

ΔX i,i +1 = Si,i +1 ⋅ cos ti,i +1 Koordinatenabschlussverbesserungen nach Gl. (3-9) und (3-10) 6

υY = (Y7 − Y1 ) − ¦ ǻYk,k +1 = − 0, 012 m k =1 6

υX = ( X 7 − X1 ) − ¦ ǻX k,k +1 = − 0, 055 m k =1

Längs- und Querabweichung:

L= Q=

υ y (Y7 − Y1 ) + υ x ( X 7 − X1 ) P1 P7

υ y ( X 7 − X1 ) − υ x (Y7 − Y1 ) P1 P7

= − 0, 056 m = 0, 001 m

wobei P1 P7 = S = 813,54 m

Zulässige Längs- und Querabweichung für Genauigkeitsstufe 2: ZL2 = 0, 032 (n − 1) + 0, 062 = 0, 095 m

→ eingehalten!

ZQ2 = 0, 0032 ⋅ n3 + 0, 000052 ⋅ S 2 + 0, 062 = 0, 091 m

→ eingehalten!

Verbesserungen für die Koordinatenunterschiede nach Gl. (3-11) und (3-12)

υΔ Yi,i +1 = υΔ Xi,i +1 =

Si,i +1 830,94 Si,i +1 830,94

( − 0, 012) = −1, 444 ⋅ 10−5 ⋅ Si,i +1 (− 0, 055) = − 6, 619 ⋅ 10−6 ⋅ Si,i +1

Ausgeglichene Koordinaten der Neupunkte nach Gl. (3-13) und (3-14) Yi +1 = Yi + ΔYi,i +1 + υǻ Yi,i +1 X i +1 = X i + ΔX i,i +1 + υΔX i,i +1

Die angegebenen Formelnummern entsprechen den Formelnummern in den Bautechnischen Zahlentafeln.

17

4 Freie Standpunktwahl

4 Freie Standpunktwahl

1 Gegeben: Die Koordinaten der Anschlusspunkte 10-13 im Zielsystem Y, X

Gemessen auf „freiem“ Standpunkt O: Horizontalrichtungen r, Zenitdistanzen Z und Schrägstrecken S zu den Anschlusspunkten 10-13 und den Neupunkten 118-120

Gesucht: Koordinaten der Neupunkte 118-120 im Zielsystem

Pkt.-Nr.

Anschlusspunkte 10 11 12 13 Neupunkte 118 119 120

Richtung r [gon]

Standpunktsystem Zenitdistanz Z [gon]

Strecke S [m]

Zielsystem Y`

X

62,9839 126,1715 214,4462 360,0354

101,2385 97,0223 98,9315 103,9402

174,782 150,706 111,308 107,457

13412,62 13383,79 13215,85 13204,20

22800,90 22647,32 22621,19 22819,75

20,2345 168,0028 291,1249

102,3192 100,0238 96,9345

82,135 101,062 68,729

Lösung: Mit Formeln (4-1), (4-2) und (2-20) bis (2-29) Rechtwinklige Koordinaten der Anschlusspunkte im Standpunktsystem yi = Si ⋅ sin Zi ⋅ sin ri

xi = Si ⋅ sin Zi ⋅ cos ri

y10 = 146, 032

x10 =

y11 = 137,998

x11 = − 60,159

y12 = − 25, 038

x12 = − 108, 439

y13 = − 62,992

x13 =

95,978

86,803

18

1

Vermessung

Koordinaten der Schwerpunkte yS =

1 n yi = 49, 000 n i =1

xS =

YS =

1 n Yi = 13304,115 n i =1

XS =

¦

¦

1 n xi = 3,546 n i =1

¦

1 n X i = 22722, 290 n i =1

¦

Auf Schwerpunkt reduzierte Koordinaten y i = yi − yS

xi = xi − xS

Y i = Yi − YS

X i = Xi − XS

Pkt.-Nr. 10 11 12 13

y 97,032 88,998 – 74,038 – 111,992

x 92,432 – 63,705 – 111,985 83,257

Y

X

108,505 79,675 – 88,265 – 99,915

78,610 – 74,970 – 101,100 97,460

¦

0

0

0

0

Berechnung der Parameter der Helmert-Transformation 4

¦ ( xi Y i − yi X i ) = 6519,3711 + 2473,9931 = 8993,3642 i =1 4

¦ ( yi Y i + xi X i ) = 35344, 0176 + 31477,9541 = 66821,9716 i =1 4

2

¦ ( xi

2

+ yi ) = 67434, 0565

i =1

4

¦ ( xi Y i − y i X i )

o = i =1

4

¦

2 ( xi

+

2 yi )

= 0,13336532

i =1

4

¦ ( y i Y i + xi X i )

a = i =1

4

¦

2 ( xi

+

2 yi )

= 0,99092321

i =1

bzw. M =

a 2 + o 2 = 0,99985755

½ Y0 = YS − o ⋅ xS − a ⋅ yS = 13255, 087m ¾ X 0 = X S − a ⋅ xS + o ⋅ yS = 22725,311m ¿

§o· © ¹

α = arctan ¨ ¸ = 8,5169 gon a Entspricht Standpunktkoordinaten im Zielsystem!

19

4 Freie Standpunktwahl

Berechnung der Verbesserungen vyi = Yi − Y0 − o ⋅ xi − a ⋅ yi vy10 = 0, 026 m

vxi = X i − X 0 − a ⋅ xi + o ⋅ yi vx10 = − 0, 043 m

vy11 = − 0, 019 m

vx11 = 0, 026 m

vy12 = 0, 036 m

vx12 = − 0, 006 m

vy13 = − 0, 043 m

vx13 = 0, 023 m

¦= 0

¦= 0 Klaffungen

Zulässig bei Genauigkeitsstufe 2

vL = v y 2 + vx 2 vL10 = 0, 05 m

0, 04 m 0, 04 m

vL11 = 0, 03m

0, 04 m 0, 04 m

vL12 = 0, 04 m vL13 = 0, 05 m

Die Punkte 10 und 13 würden also die Fehlergrenzen (Baden-Württemberg) nicht mehr einhalten. Standardabweichung der Koordinaten im Zielsystem 4

S y = Sx =

¦ (vx2i + vy2i ) i =1

2⋅4− 4

=

0, 00727 = 0, 043 m 4

Berechnung der Neupunkte im rechtwinkligen Standpunktsystem yi = y118 y119 y120

Si ⋅ sin Zi ⋅ sin ri = 25, 652 = 48, 683 = −67,983

xi = x118 x119 x120

Si ⋅ sin Zi ⋅ cos ri = 77,969 = − 88,563 = − 9,539

Transformation der Neupunkte in das Zielsystem

Y119 = 13291,517

X i = X 0 + a ⋅ xi − o ⋅ yi X118 = 22799,152 X119 = 22631, 060

Y120 = 13186, 449

X120 = 22724,925

Yi = Y0 + o ⋅ xi + a ⋅ yi Y118 = 13290,904

1

20

Vermessung

1

Absteckung mit Freier Standpunktwahl: Zuvor berechnete rechtwinklige Koordinaten eines Objektes sollen mit Freier Stationierung abgesteckt werden.

Gegeben:

Übergeordnete Koordinaten Y, X der Anschlusspunkte und der Objektpunkte (siehe Tabelle) Richtungen r , Zenitdistanzen Z und Schrägstrecken S zu den Anschlusspunkten Richtungen r und Horizontalstrecken S zu den Objektpunkten (polare Absteckwerte)

Gemessen: Gesucht:

Pkt.-Nr.

Anschlusspunkte 10 11 12 13 Objektpunkte 51 52 53

System der übergeordneten Koordinaten

Standpunktsystem Richtung r [gon]

Zenitdistanz Z [gon]

Schrägstrecke S [m]

Y

X

62,9839 126,1715 214,4462 360,0354

101,2385 97,0223 98,9315 103,9402

174,782 150,706 111,308 107,457

13412,62 13383,79 13215,85 13204,20

22800,90 22647,32 22621,19 22819,75

13301,17 13360,85 13198,03

22765,02 22610,79 22732,11

Lösung: Berechnung der Parameter a, o, Y0 , X 0 für die Freie Standpunktwahl (siehe obiges Zahlenbeispiel!)

Rücktransformation der Objektpunkte bezogen auf das Standpunktsystem mit: a (Yi − Y0 ) − o ( X i − X 0 ) a 2 + o2 y51 = 40,380 y52 = 120,110

a ( X i − X 0 ) + o (Yi − Y0 ) a 2 + o2 x51 = 45,507 x52 = − 99, 405

yi =

xi =

y53 = − 57, 462

x53 = − 0,873

Berechnung ebener Polarkoordinaten r, S (Absteckwerte): y S i = yi2 + xi2 ri = arctan i xi S 51 = 60,840 m r51 = 46, 204 gon S 52 = 155,910 m r52 = 144, 013 gon S 53 = 57, 470 m r53 = 299, 033 gon Die hier angegebenen Formeln entsprechen den Formeln (4-1), (4-2) und (2-20) bis (2-29) in den Bautechnischen Zahlentafeln.

21

5 Nivellement

5 Nivellement 1. Beispiel:

1

Der Höhenunterschied zwischen Höhenpunkt 10 und Höhenpunkt 20 soll durch Hin- und Rücknivellement bestimmt werden. Gemessen: Vorwärtsablesungen V und Rückwärtsablesungen R auf den Instrumentenstandpunkten I1 bis I3 Gesucht: Höhenunterschied ΔH = H 20 − H10

Lösung: Δh = R – V Pkt.

ΔH = ¦ Δh

Ablesung: „rückwärts“ R

Ablesung: „vorwärts“ V

Δh = R – V

Zielweite

2,812 1,903 2,006

1,428 1,926 1,235

+ 1,384 – 0,023 + 0,771

30/30 40/40 35/35

¦R = 6,721

¦V = 4,589

10

20 ¦Δh = ΔHHin = + 2,132

¦Δh = ¦R – ¦V = +2,132 20 1,243 2,011 1,375

2,108 1,982 2,673

¦R = 4,629

¦V = 6,763

– 0,865 + 0,029 – 1,298

35/35 35/35 35/35

10 ¦Δh = ΔHRück = – 2,134

¦Δh = ¦R – ¦V = – 2,134

ΔH = H 20 − H10 =

1 (ΔH Hin − ΔH Rück ) = 2,133 m 2

Die verwendeten Lösungsformeln entsprechen den Formeln (7-1) bis (7-3) in den Bautechnischen Zahlentafeln.

22

1

Vermessung

2. Beispiel:

Die Höhe des Neupunkts 100 soll durch Anschluss an die gegebenen Höhenfestpunkte 50 und 60 bestimmt werden. Gegeben: H 50 = 267, 282 m H 60 = 258,956 m

Gemessen: Rückwärtsablesungen R1 bis R5 und Vorwärtsablesungen V1 bis V5 auf den Instrumentenstandpunkten I1 bis I5 Gesucht: Ausgeglichene Höhe H100 Lösung: Pkt.

Ablesung: „rückwärts“ R

Ablesung: „vorwärts“ V

Δh = R – V

vH n

0,827 0,402 0,571

3,232 3,476 2,839

– 2,405 – 3,074 – 2,268

+ 0,0006 + 0,0006 + 0,0006

1,234 1,553

1,867 1,502

– 0,633 +0,051

+ 0,0006 + 0,0006

50

Höhe

Zielweite

267,282

100

40/40 35/35 40/40 259,537

60

¦ R = 4,587 ¦V = 12,916

¦ Δh = − 8,329 „IST“

¦ R − ¦V =

40/40 35/35 258,956 H60 − H50 =

− 8,326 „SOLL“ s ≈ 380 m =ˆ 0,38 km

−8,329

vH = SOLL − IST = −8,326 + 8,329 = +0, 003 m Grenzwert F für den Widerspruch zwischen Messergebnis und vorgegebenem Höhenunterschied: F [mm] = 2 + 5 ⋅ s = 2 + 5 ⋅ 0,38 = 5 mm → eingehalten! vH = 0, 0006 m 5 v H100 = H 50 + ǻh1 + ǻh2 + ǻh3 + 3 H = 259,537 m 5 Die ausgeglichene Höhe des Punktes 100 beträgt 259,537m.

Kontrolle:

H 60 = H100 + ǻh4 + ǻh5 + 2

vH = 258,956 m 5

9

23

6 Achsberechnung

6 Achsberechnung Beispiel 1:

1

Zwei geradlinige Achsen, die sich im Schnittpunkt TS unter dem Winkel α schneiden, sind durch einen Kreisbogen mit Radius r zu verbinden. Gegeben: Radius r = 300 m, Schnittwinkel α = 60 gon Gesucht: Tangentenlänge lt = A − TS = TS − E , Bogenlänge lb von A nach E, rechtwinklige Koordinaten der Bogenpunkte mit den Stationswerten 0 + 50 und 0 + 100 und des Scheitelpunktes S

Lösung: lt = r ⋅ tan

α

= 152,858 m 2 π lb = r ⋅ α ⋅ = 282, 743m 200 50 m 200 ⋅ = 10, 6103 gon α = π r X 0 + 50 = r ⋅ sin(1 ⋅ α ) = 49, 769

Y0 + 50 = r − r ⋅ cos(1 ⋅ α ) = 4,157

X 0 +100 = r ⋅ sin(2 ⋅ α ) = 98,158

Y0 +100 = r − r ⋅ cos(2 ⋅ α ) = 16,513

X S = r ⋅ sin

Beispiel 2:

α 2

= 136,197

YS = r − r ⋅ cos

α 2

= 32, 698

Für eine Klotoide als Übergangsbogen zwischen Gerade und Kreis sind die Klotoidenelemente zu berechnen.

Gegeben: Anfangspunkt UA auf der geradlinigen Achse, Klotoidenparameter A = 300, Kreisbogenradius r = 400 m Gesucht: Länge l der Klotoide von UA bis UE, rechtwinklige Koordinaten von UE und von Kreismittelpunkt M

24

1

Vermessung

Lösung:

l=

A2 = 225, 000 m r

le =

l = 0, 750000 A

Für le ≤ 1 kann mit den folgenden Näherungsformeln gerechnet werden: §§ l4 · 1 · X UE = A ¨ ¨ e − ¸ le4 + 1¸ le = 223, 227 ¨ 3474,1 40 ¸ ¹ ©© ¹ § § l4 1 · 4 1· 3 YUE = A ¨ ¨ e − l + l = 20,975 ¨ 42410 336 ¸ e 6 ¸¸ e ¹ ©© ¹

§ 2 X τ = arctan ¨¨ UE2 ¨ 2A ©

4 § §X · · ⋅ ¨ 1 − 0, 27371 ⋅ ¨ UE ¸ ¸ ¨ © A ¹ ¸¹ ©

− 0,487134 ·

¸ = 17,90494 gon ¸ ¸ ¹

X M = X UE − r ⋅ sin τ = 112, 204 Δr = YUE − r (1 − cosτ ) = 5, 259

YM = r + Δr = 405, 259

Siehe auch Formeln (8-14) bis (8-21) in den Bautechnischen Zahlentafeln!

Beispiel 3:

Für einen unsymmetrischen Übergangsbogen (Klotoide-Kreisbogen-Klotoide) sind die Elemente zu berechnen. Gegeben: Klotoidenparameter A1 = 350 , A2 = 450

Kreisbogenradius r = 450 m

Tangentenschnittwinkel γ = 142,500 gon

Gesucht: Tangentenlängen SA und SE und die Trassenlänge von A nach E

25

7 Mengenberechnung

Lösung:

1

Berechnung der Tangentenlängen SA und SE : t1 = (r + ǻr1 ) tan

γ

2

t2 = (r + ǻr2 ) tan

= (450 + 6,839) tan 71, 250 = 941,869 m

γ

= (450 + 18,584) tan 71, 250 = 966, 083m 2 Δr1 bzw. Δr2 werden in Abhängigkeit von r und A1 bzw. r und A2 berechnet (siehe auch Beispiel 2!). d =

ǻr2 − ǻr1 = +14,956 m sin γ

T1 = SA = X M1 + t1 + d = 135, 697 + 941,869 + 14,956 = 1092,522 m T2 = SE = X M 2 + t2 − d = 223,138 + 966, 083 − 14,956 = 1174, 265 m XM1 bzw. XM2 werden in Abhängigkeit von r und A1 bzw. r und A2 berechnet (siehe auch Beispiel 2!). Berechnung des Kreisbogenstücks b :

α = γ − (τ1 + τ 2 ) = 142,500 − (19, 2558 + 31,8310) = 91, 4132gon wobei

τ1 =

A12 2r 2

⋅

200 π

b = r ⋅ α [ gon]

τ2 =

und

A22 2r 2

⋅

200 π

π = 646,162m 200

Trassenlänge LÜ von A nach E l1 =

A12 r

= 272, 222m und l2 =

A22 r

= 450, 000 m .

LÜ = l1 + b + l2 = 1368,384 m

7 Mengenberechnung Die beiden dargestellten Querprofile liegen in einer Linkskurve mit Radius 250,00m. Die zwischen beiden Stationen 0+200 und 0+220 liegende Menge für den Abtrag ist zu berechen.

26

Vermessung

1

Pkt.-Nr. 0 1 2 3 4 5

Station 0 + 200 Achsabstand Y 0,00 11,15 19,42 10,21 – 7,82 – 10,20

Höhe Z 204,25 206,15 205,83 200,07 200,20 201,52

Pkt.-Nr. 0 1 2 3 4 5

Station 0 + 220 Achsabstand Y 0,00 12,41 19,35 10,81 – 8,05 – 12,82

Höhe Z 201,31 204,75 205,81 200,53 200,75 198,72

Lösung: Mit Formeln (2-32) bis (2-35) und (9-1) bis (9-5) Berechnung des Schnittpunktes 6 zwischen Planum 3.4 und Gelände 5.0 für die Station 0 + 220. k1 =

Y4 − Y3 = − 85, 727272 Z 4 − Z3

Z 6 = Z3 +

k2 =

Y0 − Y5 = 4,9498070 Z 0 − Z5

(Y5 − Y3 ) − k2 ⋅ ( Z5 − Z3 ) = 200, 69 (k1 − k2 )

Y6 = Y3 + k1 ( Z 6 − Z3 ) = − 3, 06

Im Profil 0 + 200 ergibt die Querschnittsfläche A0123450 =

1 5 ( Zi (Yi +1 − Yi −1 )) = A1 = 105, 294m 2 2 i =0

¦

Im Profil 0+220 ergibt die Querschnittsfläche für den Abtrag A0123450 = A2 = 41,773 m2 Schwerpunktlage bei unsymmetrischem Querprofil berechnen: i=n

¦ ((Yi2 + Yi ⋅ Yi +1 + Yi2+1 ) ⋅ (Zi − Zi +1 ))

YS = i =1

6A Schwerpunktslage für Profil 0+200:

27

7 Mengenberechnung

Yi

Yi 2 + Yi ⋅ Yi + 1 + Yi 2+ 1 = Si

Zi − Zi + 1

Si ⋅ (Zi − Zi + 1)

124,3225 717,9919 679,6587 85,5543 244,9564 104,0400

– 1,90 0,32 5,76 – 0,13 – 1,32 – 2,73

– 236,2128 229,7574 3914,8341 – 11,1221 – 323,3424 – 284,0292

0,00 11,15 19,42 10,21 – 7,82 – 10,20

¦ 3289,8850 3289,8850 = 5, 2075 m 6 ⋅ A1 Schwerpunktslage für Profil 0 + 220: YS1 =

Yi

Yi 2 + Yi ⋅ Yi + 1 + Yi 2+ 1 = Si

Zi − Zi + 1

Si ⋅ (Zi − Zi + 1)

0,00 12,41 19,35 10,81 – 3,06

154,0081 768,5641 700,4521 93,1411 9,3636

– 3,44 – 1,06 5,28 – 0,16 – 0,62

– 529,7879 – 814,6779 3698,3871 – 14,9026 – 5,8054 ¦ 2333,2133

YS2 =

k200 =

2333, 2133 = 9,3091 m 6 ⋅ A2

r − YS1 r

da Linkskurve: r negativ!

k200 =

−250 − 5, 2075 = 1, 0208300 −250

k220 =

−250 − 9,3091 = 1, 0372364 −250

k=

1 (k200 + k220 ) = 1, 0290332 2

A + A2 V = 1 ⋅ 20 m ⋅ k = 1513,37 m3 2

Ohne Berücksichtigung der Schwerpunktlage hätte sich nach der Näherungsformel A + A2 V = 1 · 20 m 2 das Volumen 1470,67 m3, also 42,70 m3 zu wenig, ergeben.

1

Bauphysik Bearbeitet von Prof. Dipl.-Phys. Herwig Baumgartner, HfT Stuttgart

Inhalt 1 Wärmeschutztechnische Berechnungen ................................................................................... 31 1.1 Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten ........................................................ 31 1.2 Schichtgrenztemperaturen ............................................................................................ 34 1.3 Anwendung des Temperaturfaktors .............................................................................. 35 1.4 Wärmedurchgangskoeffizient von Fenstern nach DIN EN ISO 10077-1 .................... 36 2 Schalltechnische Berechnungen ............................................................................................... 37 2.1 Erläuterungen................................................................................................................ 37 2.2 Luftschalldämmmaße von Massivbauteilen (Bauteileigenschaft) ................................ 38 2.2.1 Einschalige Massivwände und -decken ......................................................... 38 2.2.2 Massivwände und -decken mit biegeweichen Vorsatzschalen bzw. schwimmenden Estrichen ...................................................................... 39 2.3 Trittschalldämmung von Massivdecken ....................................................................... 40 2.4 Schallschutznachweis ................................................................................................... 41 2.4.1 Beschreibung des Objektes ............................................................................ 41 2.4.2 Nachweise nach DIN 4109 ............................................................................ 43 2.4.3 Nachweise nach DIN EN 12354 Teil 1 und 2 ................................................ 44

1 Wärmeschutztechnische Berechnungen 1.1 Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten Trennt ein Bauteil zwei Umgebungen mit unterschiedlichen Temperaturen, so fließt ein Wärmestrom in Richtung des Temperaturgefälles. Er hängt ab von der Geometrie, dem Bauteilmaterial und Bauteilaufbau, den Luftbewegungen beidseits des Bauteils und der Temperaturdifferenz. Wenn die Temperaturen zeitlich nicht konstant sind, ist der Wärmestrom instationär. Beim Wärmeschutz im Hochbau werden normalerweise zeitlich stationäre Zustände und unendlich ausgedehnte, plattenförmige Bauteile betrachtet. Ecken und Anschlussbereiche werden also ausgeklammert und gesondert als Wärmebrücken berücksichtigt. Zahlenmäßig wird der Wärmestrom zwischen der warmen Seite und der kalten Seite beschrieben durch den Wärmedurchgangskoeffizienten U, der sich für plattenförmige Bauteile aus N hintereinander folgenden Schichten wie folgt berechnen lässt:

U=

1 N

Rsi + ¦

di

λ i =1 i

+ Rse

Rsi innerer Wärmeübergangswiderstand in m2 K/W in W/(m 2 ⋅ K) (1-1) Rse äußerer Wärmeübergangswiderstand di Dicke der i-ten Bauteilschicht in m λi Wärmeleitzahl der i-ten Schicht in W/(m · K).

Bei Anwendung der Gleichung (1-1) wird vorausgesetzt, dass das Bauteil in seiner gesamten Ausdehnung aus einer oder mehrerer aufeinanderfolgenden, homogenen, senkrecht zum Wärmestrom angeordneten Schichten besteht. Liegen jedoch Abschnitte mit unterschiedlichem Materialaufbau nebeneinander, so ergeben sich bei der Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten Fehler, deren Größe von der Differenz der wärmeschutztechnischen Qualität der nebeneinanderliegenden Abschnitte abhängt. Der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient eines inhomogenen Bauteils kann mit ausreichender Genauigkeit errechnet werden, indem zuerst ein oberer Grenzwert RT' und ein unterer Grenzwert RT" errechnet werden; der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient ergibt sich dann aus dem Mittelwert der beiden Grenzwerte. Neben den Materialeigenschaften werden daher die Flächenanteile der Bauteilabschnitte benötigt: fi = Ai /A

A

Gesamtfläche des Bauteils.

(1-2)

Oberer Grenzwert RT' Für jeden Abschnitt des Bauteils wird der Wärmedurchlasswiderstand und der Wärmedurchgangskoeffizient getrennt bestimmt. Sind m nebeneinanderliegende Bauteilabschnitte vorhanden,

32

Bauphysik

so ergibt sich der obere Grenzwert über die flächengewichteten Wärmedurchgangskoeffizienten der Einzelabschnitte:

2

RT' =

1

(1-3)

m

¦Ui ⋅ f i i =1

Unterer Grenzwert RT" Für jede Bauteilschicht wird aus den Wärmeleitzahlen der nebeneinanderliegenden Schichten flächengewichtet die mittlere Wärmeleitzahl λmittel berechnet:

λmittel =

m

¦ λi ⋅ fi i =1

Der Wärmedurchlasswiderstand des n-schichtigen Bauteils ergibt sich dann zu n

RT" = Rsi + ∑

di

λ i=1 mittel, i

+ Rse

(1-4)

Mittelwert und relativer Fehler Der Mittelwert aus oberem und unterem Grenzwert liefert den Näherungswert für den Wärmedurchlasswiderstand:

RT =

RT' + RT" ; 2

aus dessen Kehrwert errechnet sich der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient: U = 1/RT

(1-5)

Der relative Fehler ergibt sich zu

ε =

RT' − RT" R ' − RRT" = T 2 ⋅ RT RT' + RT"

(1-6)

Beispiel: Hinterlüftete Außenwand mit inhomogener Wärmedämmung Gegeben ist eine Außenwand mit folgendem Aufbau (von innen nach außen, in Klammern jeweils die Wärmeleitzahlen in W/(m · K)): 10 mm Innenputz (0,7) 175 mm Mauerwerk aus Kalksandvollsteinen (1,01) 100 mm Mineralwolle der WlfG 035 (0,035) zwischen senkrecht verlaufenden Hölzern, Holzabstand 625 mm, Holzbreite 60 mm (0,13) 60 mm Mineralwolle der WlfG 035 zwischen waagrecht verlaufenden Hölzern, Holzabstand 625 mm, Holzbreite 60 mm Unterspannbahn (–) 40 mm Unterkonstruktion, stark durchlüftet Äußere Abdeckung, z.B. Faserzementplatten.

33

1 Wärmeschutztechnische Berechnungen

Berechnungsgang: Da die äußere Abdeckung stark durchlüftet ist, endet die Konstruktion wärmetechnisch mit der Unterspannbahn, die auf Grund ihrer geringen Dicke nicht berücksichtigt wird. Die Übergangswiderstände werden nach DIN EN ISO 6946 wie folgt angesetzt:

Rsi = 0,13 · m2 K/W Rse = 0,13 · m2 K/W. Als Bezugsfläche wird ein Quadrat mit der Seitenlänge von 0.625 m + 0.685 m (Mineralwolle + 2 x 30 mm Holz) herangezogen. Gesamt- Bezugsfläche: 0,4692 m2 Flächenanteile im Bereich der Wärmedämmung: Nur Holz: 60 mm Holz + 100 mm Mineralwolle: 100 mm Holz + 60 mm Mineralwolle: Nur 160 mm Mineralwolle:

4 × 0,03 × 0,03 2 × 0,625 × 0,03 2 × 0,625 × 0,03 0,625 × 0,625

= 0,0036 m2, Anteil 0,0077 = 0,0375 m2, Anteil 0,0799 = 0,0375 m2, Anteil 0,0799 = 0,3906 m2, Anteil 0,8325.

U-Werte der nebeneinanderliegenden Bereiche: Bei allen Bereichen konstant ist die Summe der Wärmedurchlasswiderstände von Innenputz, Mauerwerk und Übergangswiderstände: Summe konstant:

0, 01 0,175 + + 0,13 + 0,13 = 0, 448 m 2 ⋅ K/W 0, 7 1, 01

Nur Holz:

U1 =

60 mm Holz + 100 mm Mineralwolle:

U2 =

100 mm Holz + 60 mm Mineralwolle:

U3 =

Nur Mineralwolle:

U4 =

1 = 0,596 W/(m 2 ⋅ K) 0,16 + 0, 448 0,13 1 = 0, 266 W/(m 2 ⋅ K) 0, 06 0.1 + + 0, 448 0,13 0, 035 1 = 0,341 W/(m 2 ⋅ K) 0,10 0, 06 + + 0, 448 0,13 0, 035 1 = 0,199 W/(m 2 ⋅ K) 0,16 + 0, 448 0, 035

Oberer Grenzwert RT' : RT' =

1 =4,572 m 2 ⋅ K/W 0, 0077 ⋅ 0,596 + 0, 0799 ⋅ 0, 266 + 0, 0799 ⋅ 0,341 + 0,8325 ⋅ 0,199

Mittlere Wärmeleitzahl aus Holz und Mineralwolle: In beiden Schichten der Wärmedämmung liegen jeweils 60 mm Holz neben 625 mm Mineralwolle. Die mittlere Wärmeleitzahl wird:

λMittel =

0, 06 ⋅ 0,13 + 0, 625 ⋅ 0, 035 = 0, 0433 W/(m ⋅ K) 0, 685

2

34

Bauphysik

Unterer Grenzwert RT" :

2

RT" =

0,16 + 0, 448 = 4,143 m 2 ⋅ K/W 0, 0433

Mittlerer U-Wert und relativer Fehler: 2 2 = = 0, 229 W/ (m 2 ⋅ K) 4,572 + 4,143 RT' + RT" 4,572 − 4,143 = 0.049 oder etwa 5 %. ε= 4,572 + 4,143

U mittel =

Der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient ist damit auf etwa 0,01 W/(m2 · K) genau bestimmt.

1.2 Schichtgrenztemperaturen Im stationären Zustand ergeben sich in einem Bauteil mit n homogenen Schichten folgende Oberflächentemperaturen:

ϑsi = ϑi − (ϑi − ϑe ) ⋅ U ⋅ Rsi ϑse = ϑe + (ϑi − ϑe ) ⋅ U ⋅ Rse

(1-7)

Die Schichtgrenztemperaturen an der Grenze zwischen den Schichten n und n + 1 errechnen sich nach der Formel § ¨ ©

di · ¸ λ ¸ i =1 i ¹ n

ϑn, n +1 = ϑi − (ϑi − ϑe ) ⋅ U ⋅ ¨ Rsi + ¦

(1-8)

Beispiel: Flachdach Gegeben ist folgender Flachdachaufbau (von innen, Wärmeleitzahlen in W/(m · K) in Klammern): 10 mm Innenputz (0,7) 200 mm Stahlbeton (2,1) 5 mm Dampfsperre (0,23) 160 mm Polyurethan-Hartschaum (0,03) 10 mm bituminöse Feuchteschutzisolierung.

Innerer und äußerer Wärmedurchlasswiderstand betragen 0,13 m2 · K/W und 0,04 m2 · K/W. Die Schichtgrenztemperaturen werden für – 10° C Außenlufttemperatur und + 20° C Raumtemperatur berechnet. Berechnung des Wärmedurchgangskoeffizienten: U=

1 = 0,166 W /(m 2⋅ K) 0, 01 0, 2 0, 005 0,16 0,1 0,10 + + + + + + 0, 04 0, 7 2,1 0, 23 0, 03 0, 23

35

1 Wärmeschutztechnische Berechnungen

Berechnung der Schichtgrenztemperaturen: Innenoberfläche:

ϑsi = 20 − (20 − (− 10)) ⋅ 0,166 ⋅ 0,10 = 19,5° C

2

Innenputz/Stahlbeton: ⎛

ϑ1/ 2 = 20 − 30 ⋅ 0,166 ⋅⎜ 0,10 + ⎝

0, 01⎞ ⎟= 19, 4° C 0, 7 ⎠

Stahlbeton/Dampfsperre: ⎛

ϑ2/3 = 20 − 30 ⋅ 0,166 ⋅⎜0,10 + ⎝

0, 01 0, 2 ⎞ + ⎟= 19, 4° C 0, 7 2,1 ⎠

Dampfsperre/Polyurethan-Hartschaum: ⎛

ϑ3/ 4 = 20 − 30 ⋅ 0,166 ⋅⎜ 0,10 + ⎝

0, 01 0, 2 0, 005 ⎞ + + ⎟= 18,9° C 0, 7 2,1 0, 23 ⎠

Polyurethan-Hartschaum/Feuchtigkeitsisolierung: ⎛

ϑ4/5 = 20 − 30 ⋅ 0,166 ⋅⎜ 0,10 + ⎝

0, 01 0, 2 0, 005 0,16 ⎞ + + + ⎟= − 7, 7° C 0, 7 2,1 0, 23 0, 03 ⎠

Feuchtigkeitsisolierung/Außenluft:

ϑse = − 10 + (20 − (− 10)) ⋅ 0,166 ⋅ 0, 04 = − 9,8° C Der gesamte Temperaturabbau erfolgt in der Wärmedämmschicht.

1.3 Anwendung des Temperaturfaktors Der (dimensionslose) Temperaturfaktor f Rsi ermöglicht es, für beliebige Kombinationen von Innen- und Außentemperaturen die Bauteiloberflächentemperatur im Bereich der Wärmebrücke zu errechnen: ϑ − ϑe f Rsi = si folgt t: ϑsi = ϑe + f Rsi ⋅ (ϑi − ϑe ) (1-9) ϑi − ϑe Dies ist vor allem dann von Bedeutung, wenn es gilt, das Tauwasserrisiko an einer Wärmebrücke abzuschätzen. Die Taupunkttemperatur der Raumluft ergibt sich bei gegebener Raumluftfeuchte ϕ und im Temperaturbereich von 0° C bis 30° C nach der Formel 1/ 8,02

§ ϕ · ts = ¨ ¸ © 100 ¹

⋅ (109,8 + ϑi ) − 109.8

(1-10)

Beispiel: Für eine Metallpaneelkonstruktion, wie sie bei Industriebauten als Außenwand verwendet wird, wurde für den Bereich der Wärmebrücke ein Temperaturfaktor von 0,71 > 0,7 errechnet. Die Metallkonstruktion soll nun in eine Produktionshalle eingebaut werden, in der eine Innentempera-

36

Bauphysik

tur von 25° C bei einer relativen Luftfeuchte von 70 % herrscht. Der Bauherr verlangt, dass die Bauteilinnenoberfläche bis zu einer Außentemperatur von – 5° C tauwasserfrei bleiben muss. Temperatur an der Wärmebrücke:

2

ϑsi = − 5 + 0, 71 ⋅ (25 − ( −5)) = 16,3° C Taupunktstemperatur: 1/ 8,02

§ 70 · ts = ¨ ¸ © 100 ¹

⋅ (109,8 + 25) − 109,8 = 19,1° C > 16,3° C

Damit wird an der Wärmebrücke bei – 5° C Außenlufttemperatur mit Sicherheit Kondensat auftreten. Die beiden Gleichungen können auch verwendet werden, um den erforderlichen Temperaturfaktor zu bestimmen, ab dem kein Kondensat auftritt. Es gilt t − ϑe 19.1 − ( −5) f Rsi, erf . = s = = 0,803 , ϑi − ϑe 25 − ( −5)

also deutlich höher als die Mindestanforderung.

1.4 Wärmedurchgangskoeffizient von Fenstern nach DIN EN ISO 10077-1 Der Wärmedurchgangskoeffizient ergibt sich nach folgender Gleichung: Uw =

Ag ⋅ U g + Af ⋅U f + lfg ⋅Ψ fg Ag + Af

(1-11)

mit folgenden Bedeutungen: Uw Ag Ug Af Uf lfg

Ψfg

Wärmedurchgangskoeffizient des Fensters [W/(m2 · K)] verglaste Fläche ohne Glasrand [m2] Wärmedurchgangskoeffizient der Verglasung ohne Berücksichtigung des Randeinflusses [W/(m2 · K)] Rahmenfläche [m2] (Index f: frame) Wärmedurchgangskoeffizient des Rahmens ohne Berücksichtigung des Randeinflusses [W/(m2 · K)] Gesamtumfang der Verglasung [m] linearer Wärmedurchgangskoeffizient in Folge des kombinierten Einflusses von Abstandshalter, Glas und Rahmen (Glasrandverbund) [W/(m · K)]

Für den linearen Wärmedurchgangskoeffizienten des Glasrandverbundes können folgende Anhaltswerte verwendet werden:

37

2 Schalltechnische Berechnungen

Materials des Abstandhalters

Ψ-Wert in W/(m · K)

Aluminium Edelstahl Kunstoff

0,8 0,053 0,045

Beispiel:

Doppelflügeliges Fenster, Rohbaumaß 1,975 × 1,625 m = 3,209 m2 Glasfläche: 2 × 0,75 × 1,40 = 2,10 m2 Länge des Glasrand-Verbundes: 4 × 0,75 + 4 × 1,4 = 8,60 m Rahmenfläche: 3,209 – 2,10 = 1,109 m2 Rahmenanteil: 1,109/3,209 × 100 = 34,56 %. U-Wert der Verglasung: Wärmeschutzglas, Ug = 1,1 W/(m2 · K) U-Wert des Rahmens: Holzrahmen, Uf = 1,4 W/(m2 · K) U-Wert des Fensters bei verschiedenen Glasrand-Verbundarten: Aluminium:

Uw =

2,10 ⋅ 1,1 + 1,109 ⋅ 1, 4 + 8, 6 ⋅ 0, 08 = 1, 42 W/(m 2 ⋅ K) 3, 209

Edelstahl: U w =

2,10 ⋅ 1,1 + 1,109 ⋅ 1, 4 + 8, 6 ⋅ 0, 053 = 1,35 W/(m 2 ⋅ K) 3, 209

Kunststoff: U w =

2,10 ⋅ 1,1 + 1,109 ⋅ 1, 4 + 8, 6 ⋅ 0, 045 = 1,32 W/(m2 ⋅ K) 3, 209

Entfällt der Mittelpfosten, so steigt die Glasfläche auf 1,4 × 1,75 = 2,45 m2 und der Rahmenanteil verringert sich entsprechend; die U-Werte des Fensters lauten dann: Aluminium: Uw = 1,38 W/(m2 · K) Edelstahl: Uw = 1,29 W/(m2 · K) Kunststoff: Uw = 1,26 W/(m2 · K).

2 Schalltechnische Berechnungen 2.1 Erläuterungen Im Sinne der europäischen Normungen nach DIN EN 12354 werden in diesem Abschnitt zunächst die schalltechnischen Eigenschaften von Einzelbauteilen errechnet. Erst danach wird ein ausführlicher Schallschutznachweis nach DIN 4109 zunächst mit den Methoden des Beiblattes 1 und dann mit den Verfahren der DIN EN 12354-1 und -2 geführt. Alle Berechnungen beziehen sich auf Einzahl – Angaben, also bewertete Schalldämmmaße bzw. bewertete Norm – Trittschallpegel.

2

38

Bauphysik

2.2 Luftschalldämmmaße von Massivbauteilen (Bauteileigenschaft)

2

2.2.1 Einschalige Massivwände und -decken Das bewertete Schalldämmmaß von massiven, einschaligen Wand- und Deckenkonstruktionen ergibt sich nach DIN 4109 unter Berücksichtigung von bauüblichen Nebenwegen aus der flächenbezogenen Masse m' in kg/m2 nach der Formel ' = 28 ⋅ log (m' ) − 20 in dB. Rw

(2-1)

Betrachtet man nach DIN EN 12354 nur das Bauteil alleine, also ohne Nebenwege, so ergibt sich das bewertete Schalldämmmaß als Bauteileigenschaft zu Rw = 37,5 ⋅ log (m' ) − 42 in dB.

(2-2)

Dabei beträgt m' ≥ 150 kg/m2. Für kleinere flächenbezogene Massen nennt die DIN EN 12354-1 keine Näherungsformel. Für Ziegelmauerwerk ohne schalltechnisch ungünstiges Lochbild, Kalksandvollsteine, Stahlbeton etc. kann man sich im Massenbereich zwischen 85 kg/m2 ≤ m' ≤ 150 kg/m2 mit folgender Gleichung behelfen: ' = 28 ⋅ log ( m ' ) − 18 in dB. Rw

(2-3)

Neuere Forschungen lassen erkennen, dass man in Zukunft wohl nicht mehr mit einer oder zwei Massenkurven auskommen wird, sondern Massenkurven für verschiedene Materialarten verwenden muss. Für Porenbeton z.B. ist folgende Massenkurve experimentell gut abgesichert und wird wohl in der Neufassung des Beiblattes 1 zu DIN 4109 Eingang finden: Rw = 26,1 ⋅ log (m' ) − 8.4 in dB.

(2-4)

Folgende Tafel 2-1 gibt einige Beispiele:

Tafel 2-1 Beispiele für das bewertete Schalldämmmaß von Wandaufbauten bewertetes Schalldämmmaß in dB nach Dicke Rohdichte m' einschl. Putz DIN 4109 DIN EN 12354-1 PorenbetonMaterial

in m

in kg/m3

in kg/m2

Beton

0,12

2300

290

Kalksandvollstein

mit Nebenw. ohne Nebenw. 48,9

50,3

formel –

0,175

1900

346,5

51,1

53,2

–

Ziegel

0,24

1600

398

52,8

55,5

–

Betonschalungssteine

0,24

2000

494

55,4

59,0

–

Porenbeton

0,12

500

60

(31,8)

–

38,0

Porenbeton

0,175

500

87,5

(36,4)

–

42,3

0,1

900

90

(36,7)

–

42,6

mass. Gipsplatten

39

2 Schalltechnische Berechnungen

2.2.2 Massivwände und -decken mit biegeweichen Vorsatzschalen bzw. schwimmenden Estrichen Nach DIN 4109 Beiblatt sind die bewerteten Schalldämmmaße für Massivwände mit biegeweicher Vorsatzschalen in einer Tabelle angegeben, wobei als Mindestabstand 60 mm angegeben sind, Hohlraum mit Mineralwolle gefüllt, Beplankung aus ≥ 12,5 mm dicken Gipskartonplatten oder 10 bis 16 mm dicken Spanplatten. Die Tabellenwerte der DIN können mit sehr guter Genauigkeit nach folgender Formel errechnet werden: § 300 · ' ' Rw mit VS = 28 ⋅ log (m ) + 10 ⋅ log ¨ ' ¸ − 15, 4 in dB, © m ¹

(2-5)

wobei m' die flächenbezogene Masse der Tragwand bedeutet. Nach DIN EN 12354-1 ergibt sich die Verbesserung des bewerteten Schalldämmmaßes einer Massivwand oder -decke nach Tafel 2-2:

Tafel 2-2 Verbesserung durch Vorsatzschalen nach DIN EN 12354-1 Resonanzfrequenz der Vorsatzschale in Hz f0 < 80 280 < f0 ≤ 1125 125 < f0 ≤ 1250 200 < f0 ≤ 1200 250 < f0 ≤ 1315 315 < f0 ≤ 1400 400 < f0 ≤ 1500 500 < f0 ≤ 1600 f0 > 1600

Verbesserung ΔRw in dB 35 – Rw/2 32 – Rw/2 28 – Rw/2 -2 -4 -6 -8 -10 -5

Rw bedeutet dabei das Schalldämmmaß des Basisbauteils in dB (Bauteileigenschaft, ohne Nebenwege). Diese Tabelle gilt sowohl für Wände wie für Massivdecken mit schwimmenden Estrichen. Nach DIN 4109 beträgt die Verbesserung der Luftschalldämmung einer Massivdecke durch einen schwimmenden Estrich generell 4 dB, sofern diese eine flächenbezogene Masse ≥ 350 kg/m2 aufweist. Die Resonanzfrequenzen des Systems aus Basiswand bzw. Decke und Vorsatzschale ergeben sich nach folgenden Gleichungen a) Luftschicht zwischen Vorsatzschale und 650 f0 = (2-6) Basisbauteil mit schallabsorbierender Einla' ⋅d m ge aus Mineralwolle: b) Dämmschicht mit beiden Schalen fest vers' bunden: f0 = 190 ⋅ (2-7) m' Darin bedeutet m' die flächenbezogene Masse der Vorsatzschale, d den Wandabstand in cm, und s' die dynamische Steifigkeit der Dämmschicht in MN/m3.

2

40

2

Bauphysik

Beispiel 1: Eine 175 mm dicke KSV-Wand mit einer flächenbezogenen Masse von 350 kg/m2 erhält eine biegeweiche Vorsatzschale aus 10 mm Gipsfaserplatten (m' = 12 kg/m2) mit 60 mm Wandabstand. Im Hohlraum sind Mineralwolleplatten. Resonanzfrequenz der Vorsatzschale: f0 =

650 12 ⋅ 6

= 77 Hz

Nach DIN 4109:

' = 28 ⋅ log (350) + 10 ⋅ log § 300 · − 15, 4 = 55 dB. Rw ¨ ¸ © 350 ¹

Nach DIN EN 12354-1:

37,5 ⋅ log (350) − 42 º ª Rw = 37,5 ⋅ log (350) − 42 + «35 − » = 62 dB. 2 ¬ ¼

Beispiel 2: Eine Stahlbetondecke mit 200 mm Dicke weist einen 50 mm dicken schwimmenden Zementestrich auf (m' = 100 kg/m2), der auf einer Dämmschicht mit einer dynamischen Steifigkeit von ≤ 10 MN/m3 aufgebracht ist. Resonanzfrequenz der Vorsatzschale: f0 = 190 ⋅

10 = 60 Hz 100

Nach DIN 4109:

' = 28 ⋅ log (460) − 20 + 4 = 59 dB. Rw

Nach DIN EN 12354-1:

37,5 ⋅ log (460) − 42 º ª Rw = 37.5 ⋅ log (460) − 42 + «35 − » = 64 dB. 2 ¬ ¼

2.3 Trittschalldämmung von Massivdecken Sowohl nach DIN 4109 wie auch nach DIN EN 12354-2 ergibt sich der bewertete NormTrittschallpegel Ln,w einer fertigen Deckenkonstruktion aus dem bewerteten äquivalenten NormTrittschallpegel Ln,w,eq der Rohdecke. Verbessernd wirken schwimmende Estriche bzw. Beläge; die Verbesserungsmaße ΔLw sind nach beiden Normen unterschiedlich, da bei DIN 4109 Schallübertragungen über flankierende Wände bereits in den Verbesserungsmaßen berücksichtigt sind, bei DIN EN 12354-2 dagegen nicht. Dementsprechend ergeben sich folgende Gleichungen: DIN 4109:

Ln, w = Ln, w, eq − ΔLw

(2-8)

DIN EN 12354-2:

Ln, w = Ln, w, eq − ΔLw + k

(2-9)

41

2 Schalltechnische Berechnungen

Darin berücksichtigt k den Einfluss der flankierenden Wände. Für übliche Estriche (Zement oder Anhydrit, flächenbezogene Masse m' = 100 kg/m2) ergeben sich folgende Verbesserungsmaße:

2

Tafel 2-3 Verbesserungsmaße von schwimmenden Estrichen mit m' = 100 kg/m2 Verbesserung in dB nach DIN 4109 DIN EN 12354-2

dynamische Steifigkeit der Dämmschicht in MN/m3 50 22 22

40 24 24

30 26 26

20 28 28

15 29 30

10 30 34

Der äquivalente bewertete Normtrittschallpegel errechnet sich nach folgender Formel: Ln, w, eq = 164 − 35 ⋅ log (m' )

(2-10)

Beispiel: Stahlbetondecke, Dicke 180 mm, 50 mm Zementestrich auf Dämmschicht mit dynamischer Steifigkeit s' = 15 MN/m3 Ln, w, eq = 164 − 35 ⋅ log (0,18 ⋅ 2300) = 72 dB ΔLw = 29 dB nach Beiblatt 1; ΔLw = 30 dB nach DIN EN 12354-2 Ln, w = 72 − 29 (30) = 43 (42) dB.

2.4 Schallschutznachweis 2.4.1 Beschreibung des Objektes Das nebenstehende Bild 2-1 zeigt einen Grundrissausschnitt eines Mehrfamilienwohnhauses. Das darunter liegende und das darüber liegende Geschoss sind gleichartig. In horizontaler Richtung wird der Nachweis des Schallschutzes geführt zwischen Elternzimmer und Elternzimmer (Pfeil). In vertikaler Richtung ergibt sich die ungünstigste Situation vom Kinderzimmer in die darunteroder darüber liegende Etage, weil hier die flankierenden Bauteile mit den geringsten flächenbezogenen Massen vorhanden sind. Die flankierenden Wände in horizontaler Richtung sind mit H1 und H2 bezeichnet, in vertikaler Richtung mit V1 bis V4. In horizontaler Richtung sind noch die untere und die obere Decke (H3 und H4, nicht dargestellt) an der Schallängsleitung beteiligt. Folgende Konstruktionen sind vorhanden: • Wohnungstrennwand: Mauerwerk aus 240 mm Kalksandvollsteinen, Steinrohdichteklasse 2.0, effektive Steinrohdichte 1900 kg/m3, beidseitig verputzt, flächenbezogene Masse 476 kg/m2 • Außenwand V1 bzw. H1: Außenliegendes Wärmedämmverbundsystem aus Polystyrolhartschaumplatten mit mineralischem Außenputz (kein Einfluss auf die Schallängsdämmung); Basiswand aus 200 mm Kalksandvollstein, Steinrohdichteklasse 2.0 (effektive Steinrohdichte 1900 kg/m3), mit ca 10 mm

42

2

Bauphysik

Innenputz, flächenbezogene Masse m' = 390 kg/m2, T-Stoß zu den trennenden Bauteilen Wohnungsdecke und Wohnungstrennwand • Innenwände V2 bis V4 und H2: Massive Gipswandbauplatten, 100 mm dick, Rohdichte 900 kg/m3, flächenbezogene Masse ca. 90 kg/m2, Kreuzstöße zu den trennenden Bauteilen • Obere Decke H3: 200 mm Stahlbeton mit schwimmendem Estrich, flächenbezogene Masse 460 kg/m2, Kreuzstöße zu den trennenden Bauteilen • Untere Decke H4: 50 mm Zementestrich als schwimmender Estrich auf Dämmschicht mit dynamischer Steifigkeit ≤ 10 MN/m3, 200 mm Stahlbeton, flächenbezogene Masse 460 kg/m2, Kreuzstöße zu den trennenden Bauteilen

Bild 2-1

Grundriss Wohnungen

Geometrische Daten:

Raumhöhe 2,40 m; Fläche der Trennwand 5 × 2,4 = 12,0 m2 Grundfläche Kinderzimmer 3,14 × 3,5 = 11,0 m2.

2 Schalltechnische Berechnungen

43

2.4.2 Nachweise nach DIN 4109 2.4.2.1 Luftschall in vertikaler Richtung

Nach Gleichung (2-1) beträgt das bewertete Schalldämmmaß der Geschossdecke einschließlich eines Zuschlags von 4 dB für den schwimmenden Estrich ' Rw, R, 300 = 28 ⋅ log[460] − 20 + 4 = 58 dB

Dieses Schalldämmmaß muss korrigiert werden, wenn die mittlere flächenbezogene Masse der flankierenden Bauteile von 300 kg/m2 abweicht: ' mmittel =

390 + 3 ⋅ 90 = 165 kg / m 2 ≈ 150 lg / m 2 4

der Korrekturwert KL, 1 nach DIN 4109 Beiblatt beträgt K L, 1 = − 3 dB;

der Rechen- und damit Beurteilungswert beträgt dann ' Rw, R = 58 − 3 = 55 dB. ' = 55 dB) erfüllt. Beurteilung: Anforderung nach erhöhtem Schallschutz (erf. Rw

2.4.2.2 Luftschall in horizontaler Richtung

Nach Gleichung (2-1) beträgt das bewertete Schalldämmmaß der massiven Trennwand ' Rw, R = 28 ⋅ log[476] − 20 = 55 dB

Der Korrekturwert KL, 1 für die flankierenden Bauteile ergibt sich aus der flächenbezogenen Masse der Außenwand, der oberen Decke und der Wand H2. Die untere Decke darf nicht mitgerechnet werden, da die Schalllängsdämmung durch den beidseitigen schwimmenden Estrich so ' verbessert wird, dass dieses Bauteil praktisch herausfällt. Es ergibt sich für mmittel : ' mmittel =

460 + 90 + 390 = 313 kg / m 2 ≈ 300 lg / m 2 3

Somit ist keine Korrektur erforderlich. ' = 55 dB) erfüllt. Beurteilung: Anforderung nach erhöhtem Schallschutz (erf. Rw 2.4.2.3 Trittschall in vertikaler Richtung

Die Trittschalldämmung zwischen den beiden Geschossen ergibt sich nach DIN 4109 ausschließlich aus den Eigenschaften der Rohdecke und ihres Aufbaues. Sie errechnet sich wie folgt: Äquivalenter bewerteter Normtrittschallpegel der Rohdecke: Ln, w, eq = 164 − 35 ⋅ log [460] = 71 dB

2

44

Bauphysik

Verbesserungsmaß des schwimmenden Estrichs nach Tafel 2-3: ΔLw, R = 30 dB

2

und für die gesamte Decke ergibt sich ein bewerteter Norm-Trittschallpegel von L'n, w, R = 71 − 30 = 41 dB.

Beim Trittschall muss ein Vorhaltemaß von 2 dB eingerechnet werden; bei der Beurteilung muss der Rechenwert also um 2 dB erhöht werden. Beurteilung: Anforderung nach erhöhtem Schallschutz (Ln, w, r ≤ 46 dB) erfüllt.

2.4.3 Nachweise nach DIN EN 12354 Teil 1 und 2 2.4.3.1 Luftschall in vertikaler Richtung

Trennendes Bauteil, RÐd Das bewertete Schalldämmmaß der Rohdecke ergibt sich nach Gleichung (2-2) zu Rw, Rohdecke = 37,5 ⋅ log[460] − 42 = 57,9 dB.

Die Resonanzfrequenz des schwimmenden Estrichs beträgt bei einer Estrichmasse von 100 kg/m2 und einer dynamischen Steifigkeit der Dämmschicht von ≤ 10 MN/m3

f R = 190 ⋅

10 = 60 Hz. 100

Das Verbesserungsmaß ergibt sich nach Tafel 2-2 zu R 57,9 ΔRw = 35 − w = 35 − = 6, 05 dB 2 2 Rw = 64 dB.

Der Einfluss der Schallängsleitung wird exemplarisch für die massive Gipswandbauplatte V4 errechnet. Allgemein gilt für das Schalldämmmaß auf den flankierenden Wegen: Rij, w = (Ri, w + Rj, w)/2 + ΔRij, W + Kij + 10 · log [S0/l0 · lf]

(2-11)

mit folgenden Bedeutungen: Ri, w Schalldämmung des flankierenden Bauteils auf der Sendeseite Rj, w Schalldämmung des flankierenden Bauteils auf der Empfangsseite ΔRij,w Verbesserung der Schalldämmung des flankierenden Bauteils auf der Sende- bzw. der Empfangsseite Kij Stoßstellendämmasse auf dem Übertragungsweg ij Fläche des trennenden Bauteils in m2 S0 Bezugslänge, 1 m l0 lf Verbindungslänge zwischen flankierendem Bauteil und trennendem Bauteil in m.

2 Schalltechnische Berechnungen

Schalldämmmaß der massiven Gipswandbauplatte V4: Nach den Formeln der DIN EN 12354 Teil 1 ist dies nicht möglich, da für flächenbezogene Massen unter 150 kg/m2 keine Näherungsformel angegeben ist. Massive Gipswandbauplatten lassen sich jedoch in sehr guter Näherung mit Gl. (2-4) berechnen: Rw = 26,1 ⋅ log[90] − 8, 4 = 42, 6 dB

Gipswandbauplatte als flankierendes Bauteil und Trenndecke bilden einen Kreuzstoß. Das Stoßstellendämmass Ki,j ergibt sich nach folgenden Formeln: ª m' º ª 460 º M = log « Rohdecke » = log « » = 0.709 ' ¬ 90 ¼ ¬ mFlanke ¼ K1,3 = 8, 7 + 17,1 ⋅ M + 5, 7 ⋅ M 2 = 5, 7 + 14,1 ⋅ 0, 709 + 5, 7 ⋅ 0, 7092 = 23, 7 dB K1,2 = 8, 7 + 5, 7 ⋅ M 2 = 11, 6 dB.

Die geometrische Korrektur ergibt sich aus der Trennfläche S0 = 12 m2 und der gemeinsamen Kantenlänge lf = 3,5 m zu ª 12 º 10 ⋅ log « » = 5,35 dB. ¬ 1 ⋅ 3,5 ¼

Die Schalldämmungen auf den einzelnen Übertragungswegen des Systems Trenndecke + flankierende Wand V4 ergeben sich dann wie folgt: • Alleinige Übertragung über die Trennwand, Weg Dd: RD,d = 57,9 + 6, 05 = 64 dB. • Weg Flanke-Flanke über die massive Gipswandbauplatte V4: R1,3 = (42, 6 + 42, 6)/2 + 23, 7 + 5,35 = 71, 65 dB • Weg Flanke (Energieaufnahme im Senderaum) auf trennendes Bauteil: R1,2 = (42, 6 + 57,9)/2 + 11, 6 + 5,35 = 67, 2 dB

Anmerkung: der schwimmende Estrich wirkt hier nicht, die Energieübertragung erfolgt von der Gipswandbauplatte auf die Stahlbetondecke. • Weg Trennendes Bauteil (Energieaufnahme im Senderaum) auf flankierendes Bauteil im Empfangsraum: R2,1 = (57,9 + 42, 6)/2 + 11, 6 + 6, 05 + 5,35 = 73, 25 dB Anmerkung: Hier wirkt der schwimmende Estrich, weil die Energieübertragung von der Stahlbetondecke auf die Gipswandbauplatte erfolgt.

Fasst man alle drei flankierenden Wege zusammen, so erhält man RV 4 = −10 ⋅ log[10−67,2/10 + 10 −71,65/10 + 10 −71,65/10 + 10 −73,25/10 ] = 64,3 dB.

45

2

46

Bauphysik

Schalllängsdämmmasse der flankierenden Bauteile V3 und V2: Beim flankierenden Bauteil V2 sind die gleichen Verhältnisse vorhanden wie beim Bauteil V4; bei V3 ergibt sich ein geringfügig anderer Wert durch die Geometrie:

2

RV 3 = 64, 7 dB.

Schalllängsdämmmaß des Bauteils V1: Die Schalldämmung ergibt sich analog zur obigen Rechnung, es ist jedoch die höhere flächenbezogene Masse des Flankenbauteils zu berücksichtigen sowie der T-Stoß. Die Formeln für die Stoßstellendämmmaße bei T-Stößen lauten: K1,3 = 5, 7 + 14,1 ⋅ M + 5, 7 ⋅ M 2 K1, 2 = 5, 7 + 5, 7 ⋅ M 2

Damit erhält man auf diesem Weg: RV1 = 66,8 dB

Gesamte Schalldämmung in vertikaler Richtung: Die gesamte Schalldämmung in vertikaler Richtung ergibt sich dann zu ' − RdD /10 + 10− RV1/10 + 10− RV 2/10 + 10− RV 3/10 + 10− RV 4/10 ] Rw, R = −10 ⋅ log[10

= −10 ⋅ log[10−6,4 + 2 ⋅ 10−6,43 + 10−6,47 + 10−6,68 ] = 57, 7 dB.

In einem Schallschutznachweis wird man dies auf 57 dB runden; Beurteilung: Anforderungen nach erhöhtem Schallschutz erfüllt. 2.4.3.2 Luftschall in horizontaler Richtung

Die Rechnung erfolgt vollkommen analog zu Abschnitt 2.4.3.1. Als Ergebnis erhält man ' Rw, R = 55,8 dB,

gerundet zu 55 dB. Beurteilung: Anforderungen nach erhöhtem Schallschutz erfüllt. 2.4.3.3 Trittschall nach DIN EN 12354 Teil 2

Die Trittschalldämmung zwischen den beiden Geschossen ergibt sich nach DIN EN 12354 aus den Eigenschaften der Rohdecke und ihres Aufbaues sowie aus den flächenbezogenen Massen des Trennbauteils und der flankierenden Bauteile. Sie errechnet sich wie folgt: Äquivalenter bewerteter Normtrittschallpegel der Rohdecke: Ln, w, eq = 164 − 35 ⋅ log[460] = 71 dB

Verbesserungsmaß des schwimmenden Estrichs nach Tafel 2-3: ΔLw, R = 34 dB

2 Schalltechnische Berechnungen

47

Der Korrekturwert ergibt sich aus der flächenbezogenen Masse des Trennbauteils mit 460 kg/m2 und der mittleren flächenbezogenen Masse der flankierenden Bauteile von 150 kg/m2 zu K = 3 dB,

und für die gesamte Decke ergibt sich ein bewerteter Norm-Trittschallpegel von L'n, w, R = 71 − 34 + 3 = 40 dB.

Beim Trittschall muss ein Vorhaltemaß von 2 dB eingerechnet werden; bei der Beurteilung muss der Rechenwert also um 2 dB erhöht werden. Beurteilung: Anforderung nach erhöhtem Schallschutz (Ln, w, r ≤ 46 dB) erfüllt.

2

Schallimmissionschutz Bearbeitet von Prof. Dipl.-Phys. Herwig Baumgartner, HfT Stuttgart

Inhalt 1 Lärmschutz an Straßen ............................................................................................................. 51 1.1 Durchschnittlicher Täglicher Verkehr, Geschwindigkeitsbeschränkungen .................. 51 1.2 Pegelminderung durch Abstand an langen, geraden Straßen; Luft- und Bodenabsorption ........................................................................................... 54 1.3 Abschirmung bei langen, geraden Straßen ................................................................... 55 1.4 Schallleistungspegel eines Parkplatzes ......................................................................... 57 2 Schallabstrahlung von Industriebauten .................................................................................... 58 2.1 Schallabstrahlung der Gebäudehülle ............................................................................ 58 2.2 Ausbreitung des Schalls im Freien ............................................................................... 59 3 Berechnung von Beurteilungspegeln nach TA – Lärm und EU – Umgebungsrichtlinie ......... 63

Vorbemerkung Die Berechnung der Schallimmissionen von Straßen, Schienen und Industrieanlagen wird heute fast ausschließlich mit umfangreichen EDV-Programmen ausgeführt. Nur so ist es möglich, farblich kodierte Lärmkarten oder Lärmkarten mit Isophonen (Linien gleicher Lautstärke) zu erstellen. Auch die in der EU-Umgebungslärmrichtlinie geforderten strategischen Lärmkarten lassen sich nur durch ein aufwändiges Zusammenspiel von Geoinformationssystemen und Schallausbreitungsmodellen erstellen. Für den Benutzer solcher Programme ist es aber wichtig, die physikalischen Hintergründe derartiger Programmpakete zu kennen, um deren Ergebnisse einordnen und beurteilen zu können. Darauf sind die nachfolgenden Beispiele abgestimmt. Auf Beispiele für den Schienenverkehr wird verzichtet, da deren Berechnung grundsätzlich gleich abläuft wie bei Straßen.

1 Lärmschutz an Straßen 1.1 Durchschnittlicher Täglicher Verkehr, Geschwindigkeitsbeschränkungen Der maßgebliche Emissionspegel einer Straße in 25 m Abstand hängt ab von der stündlichen Verkehrsmenge M und dem LKW-Anteil p in %: m L25 m,T bzw. N = 37,3 + 10 ⋅ log[ M ⋅ (1 + 0, 082 ⋅ p )]

Die stündliche Verkehrsmenge M ergibt sich entweder aus detaillierten Zählungen oder für die entsprechenden Straßentypen standardisiert nach Tafel 1-1: Tafel 1-1: Maßgebliche stündliche Verkehrsmenge M und LKW-Anteil p in % Straßengattung Bundesautobahn Bundesstraße Landes- Kreis-, GemeindeverbindungsGemeindestraße

Tags 6,00 – 22,00 Uhr M in KFZ/h p in % 0,06 DTV 25 0,06 DTV 20 0,06 DTV 20 0,06 DTV 10

Nachts 22,00 – 6,00 Uhr M in KFZ/h p in % 0,014 DTV 45 0,011 DTV 20 0,008 DTV 10 0,011 DTV 3

Da der maßgebliche Emissionspegel für eine Geschwindigkeit der PKW von 100 km/h und der der LKW von 80 km/h definiert ist, müssen für hiervon abweichende Geschwindigkeiten Korrekturen nach folgendem Formelsatz durchgeführt werden: ª100 + (100,1⋅ D − 1) ⋅ p º DV = LPKW − 37,3 + 10 ⋅ log « » 100 + 8,23 ⋅ p ¬ ¼

52

Schallimmissionschutz

LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ υPKW )3 ]

LLKW = 23,1 + 12,5 ⋅ log [υPKW ] D = LLKW − LPKW

3

Die Geschwindigkeit der PKW darf dabei von 30 km/h bis 130 km/h variiert werden, die der LKW zwischen 30 und 80 km/h. Beispiel 1: Bundesstraße, VPKW = 80/80 km/h, VLKW = 80/60 km/h Bundesstraße, DTV = 25000 KFZ/24 h Geschwindigkeitsreduktion PKW/LKW von 100/80km/h auf 80/80 km/h. Stündliche Verkehrsmengen nach Tafel 1: MTag = 0,06 · 25000 = 1500 KFZ/h MNacht = 0,011 · 25000 = 275 KFZ/h.

Die zugehörigen LKW-Anteile betragen jeweils 20 %. Daraus errechnen sich folgende maßgeblichen Emissionspegel in 25 m Abstand ohne alle Korrekturen: m L25 m,Tag = 37,3 + 10 ⋅ log [1500 ⋅ (1 + 0, 082 ⋅ 20) ] = 73,3 dB ( A) m L25 m, Nacht = 37,3 + log [ 275 ⋅ (1 + 0, 082 ⋅ 20) ] = 65,9 dB ( A)

Wird nun die Geschwindigkeit der PKW auf 80 km/h reduziert, so ergibt sich folgende Pegelminderung: LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ 80)3 ] = 34, 77 dB ( A)

LLKW = 23 + 12,5 ⋅ log [80] = 46, 79 dB ( A) D = 46, 79 − 34, 77 = 12, 02 dB ( A) ª100 + (100,1⋅12,02 − 1) ⋅ 20 º DV = 34, 77 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −0, 75 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 20 ¬ ¼

Die Geschwindigkeitsbeschränkung für die PKW alleine beträgt also weniger als 1 dB(A) und ist subjektiv kaum wahrnehmbar. Wird die Geschwindigkeit der PKW dagegen auf 80 km/h und die der LKW auf 60 km/h begrenzt, ergibt sich: LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ 80)3 ] = 34, 77 dB ( A) LLKW = 23 + 12,5 ⋅ log [60] = 45,32 dB ( A) D = 45, 23 − 34, 77 = 10, 46 dB ( A)

ª100 + (100,1⋅10,46 − 1) ⋅ 20 º DV = 34, 77 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −1,95 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 20 ¬ ¼

also eine Pegelreduktion um knapp 2 dB(A) und damit doch deutlich bemerkbar.

1 Lärmschutz an Straßen

53

Beispiel 2: Pegelminderung durch Ausweisung einer Zone mit 30 km/h im Wohngebiet In einem Wohngebiet mit einem LKW - Anteil von tagsüber 10 % und nachts 3 % soll eine Geschwindigkeitsbegrenzung von 50 km/h auf 30 km/h durchgeführt werden. Die erreichte Lärmpegelsenkung errechnet sich, in dem zuerst die Geschwindigkeitskorrektur für 50 km/h errechnet wird, danach die für 30 km/h und dann die Differenz gebildet wird: Korrektur für 50 km/h: LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ 50)3 ] = 30, 71 dB ( A) LLKW = 23,1 + 12,5 ⋅ log [50] = 44,34 dB ( A) D = 44,34 − 30, 71 = 13, 63 dB ( A)

ª100 + (100,1⋅13,63 − 1) ⋅ 10 º DV,Tag = 30, 71 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −4,14 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 10 ¬ ¼ ª100 + (100,1⋅13,63 − 1) ⋅ 3 º DV, Nacht = 30, 71 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −5,34 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 3 ¬ ¼

Korrektur für 30 km/h: LPKW = 27, 7 + 10 ⋅ log [1 + (0, 02 ⋅ 30)3 ] = 28, 05 dB ( A) LLKW = 23,1 + 12,5 ⋅ log [30] = 41,56 dB ( A) D = 41,56 − 28, 05 = 13,51 dB ( A)

ª100 + (100,1⋅13,51 − 1) ⋅ 10 º DV,Tag = 28, 05 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −6,88 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 10 ¬ ¼ ª100 + (100,1⋅13,51 − 1) ⋅ 3 º DV,Nacht = 28, 05 − 37,3 + 10 ⋅ log « » = −8, 05 dB ( A) 100 + 8,23 ⋅ 3 ¬ ¼

Die erreichbaren Pegelminderungen durch die Geschwindigkeitsbeschränkung betragen also: ΔLTag = 6,88 – 4,14 = 2,74 ~ 3 dB(A) ΔLNacht = 8,05 – 5,34 = 2,71 ~ 3 dB(A).

Subjektiv ist diese Lärmpegelsenkung spürbar.

3

54

Schallimmissionschutz

1.2 Pegelminderung durch Abstand an langen, geraden Straßen; Luft- und Bodenabsorption

3

Beispiel Eine vierspurige Autobahn hat einen maßgeblichen Schallemissionspegel von 76 dB(A) tagsüber und 70 dB(A) nachts. Der Mittelstreifen hat eine Breite von 1,5 m, die Breite der Fahrspuren beträgt jeweils 3,5 m. Diese Angaben sind erforderlich, da die Berechnungen getrennt vorzunehmen sind für den nächst liegenden und den fernsten Fahrstreifen. Ein Immissionsort befinde sich in 500 m Entfernung von der Straßenmitte. Die Entfernung zum nächsten Fahrstreifen ist folglich 500 – 0,75 – 3.5 – 3,5/2 = 494 m, die zum fernsten Fahrstreifen 506 m. Die Pegelminderung durch Geometrie und Luftabsorption berechnet sich nach der Formel Ds = 15,8 − 10 ⋅ log ( s⊥ ) − 0, 0142 ⋅ ( s⊥ )0,9

in dB(A) mit

s⊥ =

s⊥2 ,0 + ( H − 0,5)2

s⊥,0

Abstand des Fußpunktes des Immissionsortes zum Fahrstreifen

in m und

H Höhe des Immissionsortes.

Die Höhe der Schallquelle liegt dabei generell in 0.5 m Höhe, die Höhe des Immissionsortes ergibt sich entweder aus konkreten Angaben oder wird einheitlich mit 4 m über Gelände angenommen. Die Gesamtimmission ergibt sich durch logarithmische Addition der Immissionen des nächsten und des fernsten Fahrstreifens. Im Beispiel ergeben sich folgende Pegelminderungen: Nächster Fahrstreifen, s⊥ = 494 m: Ds = 15,8 – 10 log(494) – 0,0142 (494)0,9 = – 14,91 dB(A) Fernster Fahrstreifen, s⊥ = 506 m: Ds = 15,8 – 10 log(506) – 0.0142 (506)0,9 = – 15,10 dB(A) Der Einfluss von Bewuchs und Bebauung bei langen geraden Straßen ergibt sich nach folgender Formel: ª §h DBM = −4,8 ⋅ exp « − ¨ m « © s⊥ ¬

1,3 º

§ 100 · · ⋅ ¨ 8,5 + ¸¸ s⊥ ¹ ¹ ©

» » ¼

wobei hm die mittlere Höhe aus Emissions- und Immissionsort ist. Das folgende Bild 1-1 zeigt den Einfluss der Entfernung, der Luftabsorption und der Bodenabsorption in der Schallausbreitung. Für den Aufpunkt wurde eine Höhe von 4 m angenommen, so dass sich eine mittlere Höhe von (0,5 + 4)/2 = 2,25m ergibt.

1 Lärmschutz an Straßen

55

3

Bild 1-1

Einfluss von Entfernung, Luft- und Bodenabsorption bei der Schallausbreitung an Linienschallquellen

Bis zu Entfernungen von etwa 50 m von der Quelle «st nur die geometrische Ausbreitungsdämpfung maßgeblich. Bei Entfernungen ab 1000 m ist die Pegelminderung durch Luftabsorption und Bodenabsorption größer als die durch Entfernung.

1.3 Abschirmung bei langen, geraden Straßen Die Wirkung von Hindernissen bei der Schallausbreitung (Lärmschutzwände, Geländeerhebungen, Häuserzeilen) hängt in erster Linie vom Umweg ab, den der Schall von der Quelle zum Immissionsort über das Hindernis hinweg ausführt. Die Verhältnisse sind für einen Doppelschirm in Bild 2 dargestellt.

Bild 1-2

Geometrie am Doppelschirm

Im einzelnen bedeuten: a Abstand Emmissionsort bis Oberkante des ersten Schirms b Abstand Oberkante des letzten Schirms bis zum Immissionsort s Abstand zwischen Immissionsort und Emmissionsort c Abstand der beiden Schirmoberkanten.

56

Schallimmissionschutz

Ist nur ein Schirm vorhanden, entfällt die Größe c. Zusätzlich muss eine Witterungskorrektur KW⊥ eingeführt werden, mit der die Krümmung der Schallstrahlen durch positive Wind- oder Temperaturgradienten berücksichtigt wird. Die RLS 90 rechnet dabei mit Krümmungsradien von 2000 m. Diese Witterungskorrektur ergibt sich nach folgender Formel: ª a ⋅b⋅s º 1 K W ⊥ = exp « − ⋅ » 2⋅z ¼ ¬ 2000

3

Damit ergibt sich folgende Pegelminderung durch Abschirmung: 7 + 0, 25 ⋅ s ª 2 º ⋅ z ⋅ Kw Dz = 7 ⋅ log «5 + ⊥» 1 + 0, 2 ⋅ z ¬ ¼

in dB (A)

Die Einfügungsdämpfung De ergibt sich dann zu De = Dz − DDBM

in dB (A)

Betrachtet man die Gleichung für die Abschirmung Dz, so stellt man fest, dass bei einem z-Wert von null – wenn also gerade streifende Sichtverbindung zwischen Immissionsort und Quelle besteht – eine Abschirmwirkung von 7 · log(5) = 4,9 dB (A) vorhanden ist. Diese muss nun um die Bodenabsorption vermindert werden, die bei geringen Höhen und großen Abständen einen Wert von 4.8 dB(A) annimmt. Abschirmwirkung bei streifender Sicht über das Hindernis und Bodenabsorption heben sich dann gerade auf, so dass nur die Pegelabnahme durch Entfernung und Luftabsorption übrig bleibt. Im nachfolgenden Bild 1-3 ist die Einfügungsdämpfung einer 3 m hohen Lärmschutzwand für einen Immissionsort der Höhe 4 m als Funktion der Entfernung dargestellt, wobei der Abstand zur Fahrbahnmitte 4 m beträgt.

Bild 1-3

Einfügungsdämpfung einer 3 m hohen Lärmschutzwand für einen Immissionsort in 4 m Höhe als Funktion der Entfernung; Modell: lange, gerade Straße

57

1 Lärmschutz an Straßen

Bei sehr großen Abständen geht die Abschirmwirkung der Wand zurück bis auf 5 dB(A); da die Bodenabsorption davon abgezogen werden muss, geht die Einfügungsdämpfung gegen null.

1.4 Schallleistungspegel eines Parkplatzes

3

Der Schallleistungspegel Lw eines Parkplatzes ergibt sich nach folgender Formel: ªS º Lw = L"w + 10 ⋅ log « » in dB (A) ¬ S0 ¼ wobei sich der flächenbezogene Schalleistungspegel Lw für Parkplätze mit weniger als 150 Stellplätzen nach folgender Formel ergibt: ª ng º ªS º L"w = 63 + K Pa + K I + 10 ⋅ log «1 + » + 10 ⋅ log[n ⋅ N ] − 10 ⋅ log « » ¬ S0 ¼ ¬ 44 ¼

in dB (A)

Bedeutungen: KPa und KI Sie kennzeichnen die Zuschläge für die Parkplatzart und für das Taktmaximalpegelverfahren. Letzterer nimmt mit zunehmender Entfernung des Immissionsortes vom Parkplatz ab, da die Spitzenpegel in zunehmender Entfernung immer mehr im Hintergrundgeräusch untergehen. Aus Sicherheitsgründen werden sie jedoch unabhängig von der Entfernung berücksichtigt. ng: benennt die gesamte Anzahl von Stellplätzen auf dem Parkplatz, unabhängig davon, ob er in Teilflächen unterteilt werden muss N Bewegungshäufigkeit je Stunde n Anzahl der Stellplätze des Parkplatzes oder der Gästebetten oder der Netto – Verkaufsfläche/10 m2 oder der Netto – Gastraumfläche/10 m2 N · n = alle Fahrzeugbewegungen je Stunde auf der Parkplatzfläche S Gesamtfläche bzw. Teilfläche des Parkplatzes in m2 S0 Bezugsfläche, 1 m2. Die Zuschläge KPa und KI sowie die Bewegungshäufigkeit je Stunde ergeben sich nach den Tafeln 1-5 und 1-6 im Abschnitt Schallimmissionsschutz der BZ. Beispiel: Ein kleiner Verbrauchermarkt mit weniger als 5000 m2 Verkaufsfläche hat insgesamt 36 Stellplätze auf einer Gesamt - Parkplatzfläche von 750 m2. Die Zuschläge lauten: KPa = 3 dB(A) KI = 4 dB(A) nach Tafel 1-5 N = 1,05 nach Tafel 1-6. Flächenbezogener Schalleistungspegel und Gesamt - Schallleistungspegel: ª 36 º L"w = 63 + 3 + 4 + 10 ⋅ log «1 + » + 10 ⋅ log[36 ⋅ 1, 05] − 10 ⋅ log [750] = 59, 6 dB ( A) ¬ 44 ¼ Lw = 59, 6 + 10 ⋅ log [750] = 88, 4 dB ( A)

58

Schallimmissionschutz

2 Schallabstrahlung von Industriebauten 2.1 Schallabstrahlung der Gebäudehülle

3

Eine Industriefassade nach Bild 3 besteht aus zwei Fensterbändern, einem Tor und einer Trapezblechkonstruktion. Die Größen der Flächen betragen: Tor: 24 m2 Oberes Fenster: 54 m2 Unteres Fenster: 42 m2 Wand: 260 m2.

Bild 2-1 Industriefassade

Die gesamte Fassade wird zu einem Segment zusammengefasst Die Schallleistung der punktförmigen Ersatzquelle ergibt sich zu: ªS º Lw = Lp,in + Cd – R' + 10 · log « » ¬ S0 ¼

Darin bedeuten:

der Schalldruckpegel im Innern des Gebäudes, in 1 bis 2 m Abstand vor der Fassade gemessen oder gerechnet Diffusitätsfaktor für das Schallfeld im Innern des Gebäudes Gebäudes das Bau - Schalldämmmaß des Segments Fläche des abstrahlenden Bauteils Bezugsfläche, 1 m2.

Lp,in

Cd : R': S: S0:

Da das Segment nur aus großen Bauteilen besteht, errechnet sich das Schalldämmmaß des gesamten Segmentes zu ªm S º R ' = −10 ⋅ log « ¦ i ⋅ 10− Ri /10 » in dB S «¬ i =1 »¼ Der Diffusitätsterm beträgt – 5 dB. Der Innenpegel weist folgende Frequenzzusammensetzung auf: Innenpegel in dB bei Frequenz f in Hz 63

125

250

500

1000

2000

4000

80

80

80

78

75

72

70

59

2 Schallabstrahlung von Industriebauten

Die frequenzabhängigen Schalldämmmaße der Bauteile und die Schalldämmmaße R' des gesamten Segments sind in der folgenden Tabelle dargestellt: Bauteil

Teilfläche in m2

oberes Fenster

Schalldämmmaß R in dB bei Frequenz f in Hz 63

125

250

500

1000

2000

4000

54

15

19

23

25

25

25

25

unteres Fenster

42

18

22

27

34

37

39

37

Wand

260

32

36

36

33

39

49

57

Tor

24 R' gesamt

13

17

22

25

25

25

25

20,1

24,1

28,2

29,8

31,2

31,7

31,7

Steht das Tor offen, dann ist sein Schalldämmmaß gleich 0 dB zu setzen. Die gesamt Schalldämmung reduziert sich dann drastisch auf folgende Werte: R' gesamt

11,6

11,8

11,9

11,9

12,0

12,0

12,0

Damit ergeben sich folgende frequenzabhängigen Schallleistungspegel sowie die A-bewerteten Summenpegel: Bezeichnung

Schallleistungspegel in dB bei Frequenz in Hz 63

125

250

500

1000 2000 4000

Innenpegel

80

80

80

78

75

72

70

Diffusitätsterm

–5

–5

–5

–5

–5

–5

–5

Schalldämmmaß, Tor geschlossen

20,1

24,1

28,2

29,8

31,2

31,7

31,7

Schalldämmmaß, Tor offen

11,6

11,8

11,9

11,9

12,0

12,0

12,0

Schallleistungspegel, Tor geschlossen

80,7

76,7

72,6

69,0

64,6

61,1

59,1

89,2

89,0

88,9

86,9

83,8

80,8

78,8

– 26,2 – 16,1 – 8,6

– 3,2

0,0

1,2

1,0

Schallleistungspegel, Tor offen A-Bewertung: Summenpegel in dB(A), Tor geschl. Summenpegel in dB(A), Tor offen

70,3 88,8

2.2 Ausbreitung des Schalls im Freien Die Schallimmission der Fassade soll für einen Immissionsort berechnet werden, der sich in 150 m Entfernung und 4 m Höhe in einer Mitwind-Situation befindet. Der Nahbereich der Quelle ist Wiese (Bodenfaktor G = 1), Mittelbereich und Nahbereich des Immissionsortes sind asphaltiert (Bodenfaktor G = 0). Das Gelände ist eben, es sind keine Hindernisse vorhanden. Da der Abstand des Immissionsortes mit 150 m knapp 4 mal größer ist als die größte Abmessung des Segmentes, braucht dies nicht weiter aufgeteilt zu werden. Der Schalldruckpegel der Quelle am Immissionsort ergibt sich zu LfT(DW) = Lw + Dc – Atot mit folgenden Bedeutungen: LfT Schalldruckpegel der Punktquelle am Immissionsort Schalleistung der Punktquelle Lw

3

60

Schallimmissionschutz

Dc Atot Atot

3

Richtwirkungskorrektur der punktförmigen Ersatzschallquelle in Richtung des Aufpunktes die im Verlauf der Schallausbreitung auftretende Gesamtausbreitungsdämpfung, die sich aus folgenden Termen zusammensetzt: = Adiv + Aatm + Agr + Abar + Amisc

Die einzelnen Terme bedeuten: Adiv Dämpfung aufgrund der geometrischen Ausbreitung Aatm Dämpfung aufgrund von Luftabsorption Dämpfung durch Bodeneffekte Agr Abar Dämpfung durch Abschirmung Amisc Dämpfung durch andere Effekte wie durch Bewuchs, Industriegelände und Bebauungsflächen (Anhang A, nicht Gegenstand der eigentlichen Norm). Der Gesamtpegel am Immissionsort, der für die Berechnung der Beurteilung herangezogen wird, ergibt sich dann für n Quellen und j = 7 Frequenzen zu ª n ­ 7 ½° º ° LAT (DW ) =10 ⋅ log «¦ ® ¦ 10(Lff (i, j )+Af (j )/10) ¾» in dB(A) « i =1 ° j =1 » ¿° ¼ ¬ ¯

wobei Af die A-Bewertung darstellt. Da die Quelle eine senkrecht stehende Fassade darstellt, die in den Viertelraum abstrahlt, ergibt sich die Richtwirkungskorrektur Dc zu + 6 dB. Dämpfung aufgrund der geometrischen Ausbreitung; Adiv = 10 ⋅ log[4 ⋅ ʌ ⋅ d 2 ] = 10 ⋅ log[4 ⋅ ʌ ⋅ 1502 ] = 54,5 dB. Dämpfung aufgrund von Luftabsorption: Die Dämpfung durch Luftabsorption muss frequenzabhänig berechnet werden. Als Temperatur werden 10° C und 70 % relative Luftfeuchte angenommen. Es ergeben sich folgende frequenzabhängigen Werte:

Bezeichnung

Dämpfung in dB durch Luftabsorption 63

125

250

500

1000

2000

4000

Dämpfung in dB je km

0,1

0,4

1

1,9

3,7

9,7

32,8

Dämpfung für d = 150 m

0,0

0,1

0,2

0,3

0,6

1,5

4,9

Dämpfung durch Bodeneffekte: Die Höhe der Schallquelle wird in 2/3 der Fassadenhöhe angenommen, also in 6.33 m Höhe. Der Nahbereich der Quelle erstreckt sich über 30 hs, also 30 × 6,33 = 190 m. Es gibt also bei der Berechnung der Bodeneffekte keinen Mittelbereich. Der Empfängerbereich umfasst 30 × 4 = 120 m.

61

2 Schallabstrahlung von Industriebauten

Die Dämpfungsterme ergeben sich dann wie folgt: Bandmittenfrequenz in Hz

As oder Ar in dB

Am in dB

63

– 1,5

– 3 q2 a'(h)

125

– 1,5 + G

250

– 1,5 + G b'(h)

500

– 1,5 + G c'(h)

1000

d'(h)

– 1,5 + G

2000

– 1,5 (1 – G)

4000

– 1,5 (1 – G)

3 – 3 q(1 – Gm)

Dabei bedeutet Gm den Mittelwert der Faktoren für den Quellen- und Empfängerbereich. Für die verwendete Funktion q gilt: q = 0, wenn dp ≤ 30 · (hs + hr ); 30 ⋅ (hs + hr ) q = 1− wenn dp ≤ 30 · (hs + hr ); dp Die Funktionen a'(h), b'(h), c'(h) und d'(h) lauten: 2

2

2

a'(h) = 1,5 + 3 · e–0,12 · (h – 5) · (1 – e–dp/50) + 5,7 e–0,09 · h · (1 – e–2,8 · – 6 · d p) 2 b'(h) = 1,5 + 8,6 · e–0,09 · h · (1 – e–dp/50) 2 c'(h) = 1,5 + 14 · e–0,46 · h · (1 – e–dp/50) 2 d'(h) = 1,5 + 5 · e–0,9 · h · (1 – e–dp/50) Die Gesamtdämpfung durch Bodeneffekte ergibt sich aus As + Ar. Die frequenzabhängigen Werte sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Frequenz in Hz

As

Ar

Am

A Gesamt

63

– 1,50

– 1,50

0,00

– 3,00

125

2,31

– 1,50

0,00

0,81

250

0,26

– 1,50

0,00

– 1,24

500

0,03

– 1,50

0,00

– 1,47 – 1,47

1000

0,03

– 1,50

0,00

2000

0,00

– 1,50

0,00

– 1,50

4000

0,00

– 1,50

0,00

– 1,50

Mit Ausnahme der Frequenz von 125 Hz werden durch den harten Bodenfaktor im Empfängerbereich die Schallimmissionen durch Bodeneffekte erhöht.

Gesamtimmission Die Gesamtimmission der Fassade ist in der nachfolgenden Tabelle dargestellt.

62

Schallimmissionschutz

Bezeichnung Schallleistungspegel, Tor offen Richtwirkungskorrektur Einfluß Entfernung

3

Berechnungsgrößen in dB bei Frequenz f in Hz 63

125

250

500

1000

2000

4000

89,2

89,0

88,9

86,9

83,8

80,8

78,8

6,0

6,0

6,0

6,0

6,0

6,0

6,0

– 54,5 – 54,5 – 54,5 – 54,5 – 54,5 – 54,5 – 54,5

Luftabsorption

0

– 0,1

– 0,2

– 0,3

– 0,6

– 1,5

Bodeneffekte

3,0

– 0,8

1,2

1,5

1,4

1,5

1,5

Immissionspegel in dB

43,7

39,6

41,4

39,5

36,2

32,3

26,9

– 26,2

– 16,1

– 8,6

– 3,2

0,0

1,2

1,0

17,5

23,5

32,8

36,3

36,2

33,5

27,9

A – Bewertung: Immissionspegel in dB(A) Summenpegel in dB(A), Tor offen

– 4,9

40,7

Bleibt das Tor geschlossen, so verringert sich der Immissionspegel auf 22.3 dB(A). Anwendung der meteorologischen Korrektur Die Pegelminderung für verschiedene Windsituationen errechnet sich nach ΔLi = k · (1 – cos [εi – γ · sin(εi)]) (1-1) mit den beiden Konstanten k = 7,5 für den Tag und k = 5 für die Nacht. Die Winkel γ betragen 25° bzw. 45° für Tag und Nacht. Berechnet man die sich ergebenden Pegelminderungen für 30° – Schritte und addiert sie energetisch für die Mitwindsituation (εi = 0 ± 45° , Index m), Querwindsituation (εi = 90 ± 45° , Index q) und Gegenwindsituation (εi = 180 ± 45° , Index g), so erhält man folgende Pegelminderungen K: Kq = 5,1 dB Kg = 13,2 dB Tag: Km = 0,4 dB; Nacht: Km = 0,27 dB; Kq = 3,4 dB Kg = 8,8 dB. Geht man von folgenden Häufigkeitsverteilungen der Winde von der Quelle zum Immissionsort aus: Mitwind: Tm = 20 % Querwind: Tq = 50 % Gegenwind: Tg = 30 % so ergeben sich die zugehörigen Meteorologiefakten nach der Gleichung (1-1). Man erhält: C0 = 4,5 dB für den Tag C0 = 3,4 dB für die Nacht. Die auf den Immisionsort bezogene Korrektur ergibt sich nach der Formel ª h + hr º Cmet = C0 ⋅ «1 − 10 ⋅ s » wenn dp > 10 · (hs + hr) d p »¼ «¬

Mit hs + hr = 10,6 m und d = 150 m ergeben sich folgende Korrekturen: Cmet.Tag = 1,3 dB Cmet, Nacht = 1,0 dB.

63

3 Berechnung von Beurteilungspegeln

3 Berechnung von Beurteilungspegeln nach TA – Lärm und EU – Umgebungsrichtlinie

Ein Betrieb erzeugt in der Nachbarschaft folgende Schallimmissionen: Uhrzeit

Dauer in h

Immissionspegel in dB(A)

5,00 – 6,00

1

38,8

6,00 – 7,00

1

47,7

7,00 – 12,00

5

45,5

12,00 – 13,00

1

43,5

13,00 – 17,00

4

47,0

17,00 – 18,00

1

47,5

18,00 – 19,00

1

44,0

19,00 – 22,00

3

43,7

22,00 – 23,00

1

35,2

Zuschlag für schutzwürdige Zeiten nach TA Lärm 6

6

Nach TA – Lärm wird der Beurteilungspegel Lr aus folgender Formel errechnet: ª1 N º Lr = 10 ⋅ log « ⋅ t j ⋅ 100,1⋅( LA,eq,j − Cmet + K T,j + K1,j + K R,j ) » « Tr j =1 » ¬ ¼

¦

Darin bedeuten im einzelnen: Beurteilungspegel in dB(A) Lr Beurteilungszeitraum (16 h für den Tag, 1 h für die Nacht) TR N Anzahl der Teilzeiten tj tj j-te Teilzeit LAeq,j Mittelungspegel während der j-ten Teilzeit Cmet Meteorologische Korrektur KT,j Zuschlag für Ton- und Informationshaltigkeit während der Teilzeit j KI,j Zuschlag Impulshaltigkeit während der Teilzeit j KR,j Zuschlag für Tageszeiten, die besonders schutzwürdig sind. Der Beurteilungspegel wird dabei grundsätzlich für Tag und Nacht getrennt ermittelt. Besonders schutzwürdige Zeiten sind: 06.00 Uhr bis 07.00 Uhr 19.00 Uhr bis 22.00 Uhr an Werktagen 06.00 Uhr bis 09.00 Uhr 13.00 Uhr bis 15.00 Uhr 20.00 Uhr bis 22.00 Uhr an Sonn – und Feiertagen. In diesen Zeiten beträgt der Zuschlag auf den Mittelungspegel: KR,j = + 6 dB

3

64

Schallimmissionschutz

Sieht man von Zuschlägen für Ton – und Informationshaltigkeit und von Impulshaltigkeit ab und vernachlässigt die meteorologische Korrektur, dann errechnen sich nach TA – Lärm folgende Beurteilungspegel: Nachtzeit:

3

Der Beurteilungspegel während der Nachtzeit ist identisch mit dem Immissionspegel während der lautesten Nachtstunde. Diese liegt im Beispiel zwischen 5.00 und 6.00 Uhr morgens mit 38.8 dB(A).

Lr = 38,8 dB(A). Tageszeit:

Die Zeiten von 6.00 Uhr bis 7.00 Uhr und 19.00 Uhr bis 22.00 Uhr sind mit einem Zuschlag von + 6 dB(A) zu versehen.

Lr = 47,9 dB(A). Der Beurteilungspegel für den Tageszeitraum liegt also durch die Zuschläge für die besonders schutzwürdigen Zeiten höher als der höchste Immissionspegel von 47.0 dB(A) am Nachmittag. Nach der EU – Umgebungsrichtlinie ist folgender Beurteilungspegel zu bilden: ª1 º Lden = 10 ⋅ log « ⋅ {12 ⋅ 10( Lday ) /10 + 4 ⋅ 10( Levening + 5) /10 + 8 ⋅ 10( Lnight +10) /10 }» ¬ 24 ¼

mit folgenden Lärmpegeln: LDay äquivalenter Dauerschallpegel während des Tageszeitraums (6,00 bis 18,00 Uhr), Bezugszeitraum 1 Jahr LEvening äquivalenter Dauerschallpegel während des Abendzeitraums (18,00 bis 22,00 Uhr), Bezugszeitraum 1 Jahr äquivalenter Dauerschallpegel während des Nachtzeitraums LNight (22,00 bis 6,00 Uhr), Bezugszeitraum 1 Jahr. Anders als in der TA-Lärm wird also auch für die Nacht ein Dauerschallpegel ermittelt und beim gesamten Beurteilungspegel mit einem Zuschlag von 10 dB(A) berücksichtigt. Der Lden ist allerdings nicht nur für die Immissionen eines Betriebes anzuwenden, sondern auf alle Schallimmissionen am Einwirkungsort, also auch auf Straßen –, Schienenverkehrs – und Fluglärm. Berücksichtigt man nur die in der Tabelle angegebenen Immissionen, so erhält man folgende Beurteilungspegel: Lday Levening Lnight Lden

= 45,1 dB(A) = 43,8 dB(A) = 31,3 dB(A) = 45,9 dB(A).

Die Berechnung für Lden ist allerdings nicht korrekt, weil dabei davon ausgegangen wurde, dass im gesamten Jahr die Emissionen des Betriebs vorhanden sind. Samstage, Sonn- und Feiertage sind also nicht berücksichtigt. Geht man von 220 Arbeitstagen aus, so erniedrigt sich der Lden um den Faktor 10 log(220/365) = – 2.2 dB(A), beträgt also nur noch 43.7 dB(A).

Brandschutz Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weller, Dipl.-Ing. Sylvia Heilmann

Inhalt 1 Allgemeines ............................................................................................................................. 67 1.1 Abkürzungen ................................................................................................................ 67 1.2 Formelzeichen............................................................................................................... 67 1.3 Vorbemerkungen .......................................................................................................... 68 2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude............................................ 68 2.1 Bauliche Situation, Nutzung und Lage ......................................................................... 68 2.2 Bauordnungsrechtliche Grundlagen ............................................................................. 70 2.3 Brandschutzkonzeption Variante I ............................................................................... 71 2.4 Brandschutzkonzeption Variante II .............................................................................. 73 2.5 Brandschutzkonzeption Variante III ............................................................................. 75 2.6 Erster und zweiter Rettungsweg (gilt für alle Varianten) ............................................. 78 3 Zwei Brandschutzkonzeptionen nach M-IndBauRL für einen Industriebau ........................... 79 3.1 Bauliche Situation, Nutzung und Lage ......................................................................... 79 3.2 Bauordnungsrechtliche Grundlagen ............................................................................. 80 3.3 Brandschutzkonzeption Variante I nach Abschnitt 6 M-IndBauRL ............................. 81 3.4 Brandschutzkonzeption Variante II nach Abschnitt 6 M-IndBauRL ........................... 82 3.5 Nachweis des Rauchabzuges (RA) ............................................................................... 83 4 Konstruktiver Brandschutz ...................................................................................................... 84 4.1 Bemessung einer Holzbalkendecke .............................................................................. 84 4.2 Bemessung einer Stahlstütze ........................................................................................ 85 Literaturverzeichnis ....................................................................................................................... 86

1 Allgemeines

1.1 Abkürzungen NE MBO U/A GKF GKB DIN B/H ETK GKL F 30-B B1 M-IndBauRL

Nutzungseinheiten, die einer Büro- oder Verwaltungsnutzung dient Musterbauordnung Verhältnis Umfang zur Fläche des Bauteilprofils Gipskartonfeuerschutzplatte Gipskartonbauplatte Deutsches Institut für Normung e.V. Verhältnis Bauteilbreite zu Bauteilhöhe Einheitstemperaturzeitkurve Gebäudeklasse Feuerwiderstandsklasse für die Bauaufsichtliche Benennung feuerhemmend Baustoffklasse schwerentflammbar nach [17] Muster-Industriebaurichtlinie

1.2 Formelzeichen nach Tabelle 57 und 95 in [17] erf b erf d1 erf d3 erf d4 erf d5 zul l vor d1 vor d3 vor d4 vor d5 vor l erf d vor d K1 qR AW

erforderliche Mindestbreite der Holzbalken erforderliche Mindestdicke der unteren Beplankung erforderliche Mindestdicke der oberen Beplankung erforderliche Mindestdicke der Dämmschicht erforderliche Mindestdicke des schwimmenden Estrichs zulässige Spannweite der unteren Beplankung vorhandene Mindestdicke der unteren Beplankung vorhandene Mindestdicke der oberen Beplankung vorhandene Mindestdicke der Dämmschicht vorhandene Mindestdicke des schwimmenden Estrichs vorhandene Spannweite der unteren Beplankung erforderlich Mindestbekleidungsdicke der Stahlstütze vorhandene Mindestbekleidungsdicke der Stahlstütze Sicherheitskategorie nach M-IndBauRL Brandlast nach DIN 18230-1 [24] aerodynamische Rauchabzugsfläche nach DIN 18232-2 [23]

68

Brandschutz

z d

Höhe der Rauchschicht nach DIN 18232-2 [23] Höhe der raucharmen Schicht nach DIN 18232-2 [23]

1.3 Vorbemerkungen

4

Für zwei Gebäude mit jeweils definierter Nutzung (Büro/Verwaltung/Industrie/Gewerbe) werden im Abschnitt 2 und 3 unterschiedliche konzeptionelle Lösungsansätze für den vorbeugenden baulichen Brandschutz zusammengestellt und erläutert. Alle Brandschutzkonzeptionen sind gleichermaßen bauordnungsrechtlich zulässig und damit genehmigungsfähig. Die verschiedenen Brandschutzkonzepte haben insbesondere – funktionale; – technische; – bauliche; – konstruktive; – versicherungsrechtliche; – verfahrensrechtliche; – wirtschaftliche Auswirkungen auf die Gebäudeplanung und spätere Gebäudenutzung, was wiederum die hohe Priorität einer zweckmäßigen und wirtschaftlichen Brandschutzkonzeption verdeutlichen soll. Es werden nur die wesentlichen und sich unterscheidenden Brandschutzmaßnahmen aufgeführt. Darüber hinaus sind weitere bauliche oder auch organisatorische Anforderungen (z.B. Rauchabführung in den notwendigen Treppenräumen, Ausgänge aus dem Gebäude, Lüftung der Büroräume, Rettungspläne in den Geschossen usw.) zu beachten, die hier nicht aufgeführt werden. Im Abschnitt 4 wird die konstruktive Ausbildung ausgewählter Bauteile nach DIN 4102-4:199403 [17] erläutert.

2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude

2.1 Bauliche Situation, Nutzung und Lage Das Bürogebäude wird als Neubau ohne Keller und mit vier oberirdischen Geschossen errichtet. Das Gebäude hat eine Ausdehnung von 20 m × 41 m mit einer Grundfläche von etwa 820 m2. Das Gebäude soll ausschließlich als Bürogebäude mit etwa 65 Arbeitsplätzen genutzt werden. Bauart: Tragkonstruktion: Gebäudeaussteifung: Decken:

Massivbauweise Stahlbeton (Stützen/Pfeiler/Wände, Treppen, Aufzugsschacht) Wandscheiben aus Stahlbeton Stahlbeton

69

2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude

Flachdachkonstruktion: Treppenraumwände: Außenwände: Unterdecken: Trennwände: Erschließung:

Stahlbeton mit üblicher Flachdachabdichtung Stahlbeton Mauerwerk und Aluminium-Paneele abgehängte Gipskartondecken Mauerwerk, Trockenbaukonstruktionen Das Gebäude grenzt unmittelbar an die öffentliche Straße. Der Gebäudeabstand zu den Grundstücksgrenzen beträgt jeweils mehr als 2,50 m. Haupteingang (Foyer) im EG 2 notwendige Treppenräume TH1, TH2 mit jeweils einem direkten Ausgang ins Freie Aufzug innerhalb des Treppenraumes TH 2 Haupteingang

Büro

3

WF

Büro

A

Foyer

Büro

9,60

2

A

Büro

B 3,88

B Flur C

20,00

1

C TH 2 Büro

A

Büro

Büro

WC

Flur

Büro

28 m²

D 1

A

28 m²

Ausgang TH 1

2

19,63

6,52

TH 1

D 3

Ausgang TH 2 41,00

Bild 2-1

Grundriss Erdgeschoss

1

2

3 A

Büro

Büro

Büro

Büro

Büro

Büro

Büro

B 3,88

B Flur C

C TH 2 Büro

A

Büro

Büro

Büro

18 m²

D 1

Büro

Büro

A

28 m² 19,63

2

Grundriss Regelgeschoss

D 3

41,00

Bild 2-2

WC

6,52

TH 1

20,00

Büro

9,60

A

4

70

Brandschutz

Höhe über Gelände:

2

OK Dach=15,76m

3

OK RFH=11,82m

2. OG

OK RFH=7,88m

1.OG

OK RFH=3,94m

OK RFH=0,00m

Gelände

15,95 5

20 3,74

EG

3,74

20

3,74

20

3.OG

Gelände 20

4

3,73 5

20

1

± 10,00 m = Geländeoberfläche + 13,94 m + 17,88 m + 11,82 m + 15,76 m

Erdgeschoss 1. Obergeschoss 2. Obergeschoss 3. Obergeschoss Oberkante Dach

1

2

3 41,00

Bild 2-3

Schnitt A-A

2.2 Bauordnungsrechtliche Grundlagen Die Musterbauordnung (MBO) in der aktuellen Fassung vom November 2002 [16] soll hier ersatzweise für die jeweilige Landesbauordnung als gesetzliche Grundlage der Brandschutzkonzeptionen gelten. Gemäß § 2 (3) MBO [16] wird bei der Einordnung in die Gebäudeklasse die Höhe der Fußbodenoberkante des am höchsten über der im Mittel an das Gebäude angrenzenden Geländeoberfläche gelegenen Geschosses, in dem ein Aufenthaltsraum möglich ist, sowie die Anzahl und Größe der Nutzungseinheiten maßgebend. In dem Bürogebäude befindet sich der Fußboden der im 3. Obergeschoss befindlichen Aufenthaltsräume bei 11,82 m (> 7 m; < 22 m) über dem Gelände. Bauordnungsrechtliche Einordnung für die Varianten I und II Erfolgt eine Unterteilung des gesamten Gebäudes in Nutzungseinheiten < 400 m2 (Variante II) bzw. werden notwendige Flure (Variante I) ausgebildet, ist das Gebäude gemäß § 2 (3) Nr. 4 MBO [16] als Gebäude der Gebäudeklasse 4 zu bewerten. Bei dem Gebäude handelt es sich um keinen Sonderbau nach § 2 (4) Nr. 5 MBO [16], da die einzelnen Büroräume in beiden Varianten jeweils eine Fläche von weniger als 400 m2 aufweisen. Damit handelt es sich bei den Varianten I und II um ein Gebäude normaler Art und Nutzung. Hierfür wird nach Abschnitt 4.4, Tafel 4-2 [1] keine Prüfung des Brandschutznachweises erforderlich.

71

2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude

Bauordnungsrechtliche Einordnung für die Variante III Die Nutzungsbereiche weisen nach der Brandschutzkonzeption der Variante III insgesamt eine Grundfläche von mehr als 400 m2 auf. Daher ist das Gebäude gemäß § 2 (3) Nr. 5 MBO [16] als Gebäude der Gebäudeklasse 5 zu bewerten. Für die Variante III muss das Gebäude als Sonderbau nach § 2 (4) Nr. 5 MBO [16] bewertet werden, da eine bauliche Trennung der einzelnen Büroräume aus Brandschutzgründen nicht notwendig ist und somit ein Großraumbüro zulässig wäre. Es entsteht in diesem Fall eine Fläche des Großraumbüros von mehr als 400 m2. Hierfür wird nach Abschnitt 4.4, Tafel 4-2 [1] die Prüfung des Brandschutznachweises erforderlich. Grundstücksgrenzen Die Gebäudeabschlusswände haben jeweils einen Abstand von mehr als 2,50 m zur Grundstücksgrenze. Damit werden die aus Brandschutzgründen bauordnungsrechtlich vorgeschriebenen Gebäudeabstände nach § 30 (2) Nr.1 MBO [16] zu den Grundstücksgrenzen eingehalten.

2.3 Brandschutzkonzeption Variante I Brandschutzkonzeption: Ausbildung notwendiger Flure Der in Gebäudemitte gelegene Flur wird in jedem Geschoss als notwendiger Flur ausgebildet. Über diesen notwendigen Flur werden die Büroräume erschlossen, an deren Abtrennung untereinander keine Anforderungen bestehen. Sicherheitstechnische Brandschutzmaßnahmen, wie z.B. eine Brandmeldeanlage, sind in dieser Brandschutzkonzeption Variante I aus bauordnungsrechtlichen Gründen nicht notwendig. Die definierten Schutzziele werden im Gebäude der GKL 4 allein durch bauliche Maßnahmen erreicht (siehe Bild 2-4).

2

1

3 A

A

C

nicht abschließbar

Büro

Büro

Wand im Verlauf der Rauchabschnittsbildung

Büro

D 19,63

Büro

C

TH 2 WC

Büro

Büro

A

28 m²

2

D 3

41,00

Bild 2-4

B

F30-Flurwände und dichtschließende Bürotüren keine Leitungsführung zulässig oder F30 Unterhangdecke

Büro Büro

1

Büro

notwendiger Flur nach § 36 MBO

notw. Fl. RS-Tür

TH 1 A

Büro

Büro

Grundriss Regelgeschoss mit notwendigem Flur in Gebäudemitte

20,00

F30-Flurwände und dichtschließende Bürotüren keine Leitungsführung zulässig oder F30 Unterhangdecke

Büro

3,88

B

Büro

6,52

Büro

9,60

Wand im Verlauf der Rauchabschnittsbildung

4

72

Brandschutz

Bauteilanforderungen nach Abschnitt 4.5, Tafel 4-6 [1] für Variante I

4

Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer Tragende Wände, Stützen – im KG – in den Obergeschossen – im Dachraum – Balkone Außenwände – Nichttragende Außenwände und nichttragende Teile tragender Außenwände – Oberflächen von Außenwänden und Außenwandbekleidungen – Balkonbekleidungen – Fassade mit Hinterlüftung – Doppelfassaden Trennwände – zwischen Nutzungseinheiten, zwischen Nutzungseinheiten und anders genutzten Räumen (außer notwendigen Fluren) sowie zwischen Aufenthaltsräumen und anders genutzten Räumen im KG

– zum Abschluss von Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – Öffnungen in Trennwänden Brandwände

Bauteilanforderungen in GKL 4 – – – –

entfällt – hochfeuerhemmend (F60-BA) entfällt – entfällt –

§ 27 (1) MBO

– nichtbrennbare Baustoffe (A1/2) oder feuerhemmend (F30-B)

§ 28 (2) MBO

– schwerentflammbare Baustoffe (B1)

§ 28 (3) MBO

– entfällt – – entfällt – – entfällt – – entfällt – (Die Büroräume stehen in funktionalen und nutzungsspezifischen Zusammenhang, so dass diese in den Geschossen zu einer NE zusammengefasst werden können. Es erfolgt auch keine Fremdvermietung. So ergeben sich keine brandschutztechnischen Anforderungen an die Trennwände zwischen den Büroräumen.) – entfällt – – entfällt – – Brandwände aufgrund eines geringeren Gebäudeabstandes (< 2,50 m) zur Grundstücksgrenze sind nach Punkt 10.2.2 nicht erforderlich. – Das Gebäude hat eine Ausdehnung von etwa 20 m x 41 m mit einer Grundfläche von maximal 820 m2. Laut § 30 (2) Nr. 2 MBO ist ein Gebäude mit einer Ausdehnung von über 40 m durch innere Brandwände zu unterteilen, wobei dadurch Flächen von maximal 1.600 m2 zulässig sind. Das Bürogebäude weist nur eine Grundfläche von 820 m2 auf. Die Längenüberschreitung von 1 m stellt eine formale Abweichung von den Forderungen des § 30 MBO dar, was jedoch wegen der Geringfügigkeit der Überschreitung und der vorhandenen Grundfläche kein erhöhtes Risiko darstellt. Der Abweichung kann zugestimmt werden.

Decken – im KG – in den Obergeschossen – unter / über Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – für Geschosse im Dachraum – zwischen landwirtschaftlich genutzten Teil und Wohnteil

Grundlage

– entfällt – – hochfeuerhemmend (F60-BA) – entfällt – – entfällt – – entfällt –

§ 30 (2) Nr. 1 MBO § 30 (2) Nr. 2 MBO

§ 67 (1) MBO

§ 31 (1) MBO

73

2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer Fahrschachtwände

Dächer Rettungswege Notwendige Treppen – tragende Teile Notwendige Treppenraumwände Notwendige Flure in NE mit >400 m2 – Flurwände in Obergeschossen – Flurwände im Kellergeschoss und Türen darin zu Lagerräumen im KG – Öffnungen in Flurwänden

Bauteilanforderungen in GKL 4

Grundlage

– entfällt – (Der Aufzugsschacht befindet sich innerhalb eines notwendigen Treppenraumes in einem Gebäude mit einer Höhe der Fußbodenoberkante des letzten Aufenthaltsraumes von unter 22m.) Harte Bedachung

§ 32 (1) MBO

– nichtbrennbare Baustoffe (A 1/2)

§ 34 (4) MBO

– unter zusätzlicher mechanischer Beanspruchung hochfeuerhemmend (F60-BA)

§ 35 (4) MBO

– feuerhemmend (F30-B) – entfällt –

§ 36 (4) MBO

– dichtschließend – Notwendige Flure sind in maximal 30 m lange Rauchabschnitte zu unterteilen, was im Verlauf der Achse 2 durch eine nichtabschließbare Rauchschutztür nach DIN 18095 erfüllt wird. Diese Abschlüsse sind bis an die Rohdecke zu führen; sie dürfen bis an die Unterdecke der Flure geführt werden, wenn die Unterdecke feuerhemmend ist.

§ 36 (4) MBO § 36 (3) MBO

§ 39 (1) MBO

2.4 Brandschutzkonzeption Variante II Brandschutzkonzeption:

Bildung von NE mit einer Bruttogrundfläche von jeweils nicht mehr als 400 m2

Bei dieser brandschutztechnischen Gebäudekonzeption werden zwei NE gebildet, deren Bruttogrundfläche jeweils nicht mehr als 400 m2 beträgt. Die Grundfläche der Treppenräume wird nicht der Grundfläche der jeweiligen Nutzungseinheit zugerechnet, da die Treppenräume brandschutztechnisch in allen Geschossen von den Nutzungseinheiten abgetrennt sind. An die Trennwand zwischen den beiden Nutzungseinheiten (Bild 2-5: entlang der Achse 2) werden nach § 29 (2) Nr. 1 MBO [16] Brandschutzanforderungen gestellt. Entsprechend § 36 (1) Nr. 4 MBO [16] kann auf die Ausbildung von notwendigen Fluren in NE < 400 m2 verzichtet werden, wenn die Rettungswege in den beiden NE unabhängig voneinander nachgewiesen werden können. Auch bei dieser brandschutztechnischen Konzeption (Variante II) kann das gesetzlich verlangte Sicherheitsniveau allein durch bauliche Brandschutzmaßnahmen erreicht werden, so dass keine Sicherheitstechnik im Gebäude der GKL 4 erforderlich wird.

4

74

Brandschutz

2. RW

2. RW

Büro 2 Personen

B

Büro 1 Person

2. RW

2. RW Büro 1 Person

F60-BA Wand Büro 1 Person

C

TH 1

Büro 1 Person

Büro 1 Person

1

2. RW

Büro 1 Person

2. RW

2. RW

19,63

2. RW

Büro 1 Person

Büro 1 Person

Büro 1 Person

A

2. RW Büro 2 Personen

B

interner Flur, wenn 2. Rettungsweg durch Rettungsgeräte der Feuerwehr nachgewiesen werden F60-BA Wand Büro 2 Personen

A D

2. RW

3

365,40 m 2

Wand interner Flur, wenn 2. Rettungsweg F60-BA durch Rettungsgeräte der und Feuerwehr nachgewiesen werden T30+RS

4

2. RW

(BGF<400 m²)

9,60

Nutzungseinheit B

2

2. RW

WC

Büro 1 Person

TH 2

20,00

(BGF<400 m²) 2

3,88

Nutzungseinheit A

C Büro 1 Person

2. RW

A

6,52

1 A

D

2. RW 3

41,00

Bild 2-5

Grundriss Regelgeschoss mit Brandschutzunterteilung in 2 NE

Bauteilanforderungen nach Abschnitt 4.5, Tafel 4-6 [1] für Variante II Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer Tragende Wände, Stützen – im KG – in den Obergeschossen – im Dachraum – Balkone Außenwände – Nichttragende Außenwände und nichttragende Teile tragender Außenwände – Oberflächen von Außenwänden und Außenwandbekleidungen – Balkonbekleidungen – Fassade mit Hinterlüftung – Doppelfassaden Trennwände – zwischen Nutzungseinheiten, zwischen Nutzungseinheiten und anders genutzten Räumen (außer notwendigen Fluren) sowie zwischen Aufenthaltsräumen und anders genutzten Räumen im KG

Bauteilanforderungen in GKL 4 – – – –

entfällt – hochfeuerhemmend (F60-BA) entfällt – entfällt –

Grundlage

§ 27 (1) MBO

– nichtbrennbare Baustoffe (A1/2) oder feuerhemmend (F30-B)

§ 28 (2) MBO

– schwerentflammbare Baustoffe (B1)

§ 28 (3) MBO

– entfällt – – entfällt – – entfällt – – wie tragende und aussteifende Bauteile im Geschoss (Das Gebäude wird in 2 NE mit einer Fläche von jeweils weniger als 400 m2 unterteilt. Die Trennwand zwischen den beiden NE im Verlauf der Achse 2 muss hochfeuerhemmend (F60-BA) ausgebildet werden und bis zur Rohdecke, in Dachräumen bis zur Dachhaut führen.)

§ 29 (3) MBO

§ 29 (4) MBO – zum Abschluss von Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – Öffnungen in Trennwänden

– entfällt – – feuerhemmend (T30) und zusätzlich mit Rauchschutzfunktion (RS)

§ 29 (5) MBO

75

2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude Bauteile in GKL 4 Wände, Decken, Dächer Brandwände

Decken – im KG – in den Obergeschossen – unter / über Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – für Geschosse im Dachraum – zwischen landwirtschaftlich genutzten Teil und Wohnteil Fahrschachtwände

Dächer Rettungswege Notwendige Treppen – tragende Teile Notwendige Treppenraumwände Notwendige Flure in NE mit > 400 m2 – Flurwände in Obergeschossen – Flurwände im Kellergeschoss – Türen darin zu Lagerräumen im KG – Öffnungen in Flurwänden

Bauteilanforderungen in GKL 4

Grundlage

– Brandwände aufgrund eines geringeren Gebäudeabstandes (< 2,50 m) zur Grundstücksgrenze sind nach Punkt 10.2.2 nicht erforderlich. – Das Gebäude hat eine Ausdehnung von etwa 20 m x 41 m mit einer Grundfläche von maximal 820 m2. Laut § 30 (2) Nr. 2 MBO ist ein Gebäude mit einer Ausdehnung von über 40 m durch innere Brandwände zu unterteilen, wobei dadurch Flächen von maximal 1.600 m2 zulässig sind. Das Bürogebäude weist nur eine Grundfläche von 820 m2 auf. Die Längenüberschreitung von 1 m stellt eine formale Abweichung von den Forderungen des § 30 MBO dar, was jedoch wegen der Geringfügigkeit der Überschreitung und der vorhandenen Grundfläche kein erhöhtes Risiko darstellt. Der Abweichung kann zugestimmt werden.

§ 30 (2) Nr. 2 MBO

– entfällt – – hochfeuerhemmend (F60-BA) – entfällt –

§ 30 (2) Nr. 2 MBO

4

§ 67 (1) MBO

§ 31 (1) MBO

– entfällt – – entfällt – – entfällt – (Aufzugsschacht befindet sich innerhalb eines notwendigen Treppenraumes in einem Gebäude mit einer Höhe der Fußbodenoberkante des letzten Aufenthaltsraumes von unter 22m.) Harte Bedachung

§ 32 (1) MBO

– aus nichtbrennbaren Baustoffen (A1/2)

§ 34 (4) MBO

– unter zusätzlicher mechanischer Beanspruchung hochfeuerhemmend (F60-BA)

§ 35 (4) MBO

– entfällt – (Da die Rettungswege aus beiden NE jeweils separat und unabhängig voneinander nachgewiesen werden können (siehe Bild 10.5), ist der Verzicht auf die Ausbildung von notwendigen Fluren möglich. Anderenfalls sind notwendige Flure feuerhemmend (F30-B) herzustellen. Die Verbindungstür muss dauerhaft benutzbar sein.)

§ 39 (1) MBO

§ 36 (1) Nr. 4 MBO

2.5 Brandschutzkonzeption Variante III Brandschutzkonzeption:

NE größer als 400 m2 ohne notwendige Flure

Die in der MBO [16] geforderten baulichen Brandschutzmaßnahmen, wie z.B. die Ausbildung von notwendigen Fluren (siehe Punkt 2.3) oder die Bildung von NE mit nicht mehr als 400 m2 (siehe Punkt 2.4) resultieren aus der Annahme, dass keine sicherheitstechnischen Maßnahmen

76

vorgesehen werden. Im Umkehrschluss ermöglicht der Einsatz von geeigneter Sicherheitstechnik im Gebäude den Verzicht auf bestimmte bauliche Maßnahmen. Wird eine Brandmeldeanlage (BMA) der Kategorie 1 nach DIN 14675:2003-11 [18] (Vollschutz – alle Räume werden in den Überwachungsumfang einbezogen) eingesetzt, kann das erhöhte Risiko der Brandausbreitung aufgrund des Verzichtes auf notwendige Flure bzw. auf eine hochfeuerhemmende Trennwand in der Achse 2 kompensiert werden. Ein Brand kann unmittelbar und unabhängig erkannt werden, so dass frühzeitig in der Phase der Brandentstehung, nicht erst zum Zeitpunkt des Vollbrandes, erforderliche Flucht-, Rettungs- und Löscharbeiten eingeleitet werden können. Mit der Installation einer Brandmeldeanlage (BMA) kann das Schutzziel nach § 3 (1) MBO [16], siehe hierzu Abschnitt 4.1 und 4.2 [1], gleichermaßen erfüllt werden. Es werden die baulichen Maßnahmen nach MBO [16] durch sicherheitstechnische Maßnahmen ersetzt, die auf andere Weise zu einem bauordnungsrechtlich gleichwertigen Sicherheitsniveau im Gebäude der GKL 5 führen.

1

2

3 A

Großraumbüro mit BMA

B

B Überwachung mit einer BMA der Katagorie 1 nach DIN 14675

3,88

Überwachung mit einer BMA der Katagorie 1 nach DIN 14675

C

20,00

keine Anforderungen an die Trennwände zwischen den Büroräumen damit auch Großraumbüro zulässig

9,60

A

C TH 1

TH 2 WC

A

Empfang Großraumbüro

19,63

A

28 m²

D 1

Archiv mit BMA

Archiv mit BMA

2

6,52

4

Brandschutz

D 3

41,00

Bild 2-6

Grundriss Regelgeschoss beispielhaft als Großraumbüro mit BMA (Kat. I)

Verfahrensrechtlich stellt diese Brandschutzkonzeption eine Abweichung von den Vorschriften der MBO gemäß § 67 (1) MBO [16] dar, deren Zulässigkeit und Übereinstimmung mit den Forderungen des § 3 (1) MBO [16] im Rahmen eines Brandschutzkonzeptes nachgewiesen werden müssen. Dieser Nachweis muss einer unabhängigen Prüfung (Vier-Augen-Prinzip) unterzogen werden.

77

2 Drei Brandschutzkonzeptionen nach MBO für ein Bürogebäude

Bauteilanforderungen nach Abschnitt 4.5, Tafel 4-7 [1] für Variante III Bauteile in GKL 5 Wände, Decken, Dächer Tragende Wände, Stützen – im KG – in den Obergeschossen – im Dachraum – Balkone Außenwände – Nichttragende Außenwände und nichttragende Teile tragender Außenwände – Oberflächen von Außenwänden und Außenwandbekleidungen – Balkonbekleidungen – Fassade mit Hinterlüftung, – Doppelfassaden Trennwände – zwischen Nutzungseinheiten, zwischen Nutzungseinheiten und anders genutzten Räumen (außer notwendigen Fluren) sowie zwischen Aufenthaltsräumen und anders genutzten Räumen im KG – zum Abschluss von Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – Öffnungen in Trennwänden Brandwände

Bauteilanforderungen in GKL 5 – – – –

entfällt – feuerbeständig (F90-AB) entfällt – entfällt –

§ 27 (1) MBO

– nichtbrennbare Baustoffe (A1/2) oder feuerhemmend (F30-B)

§ 28 (2) MBO

– schwerentflammbare Baustoffe (B1)

§ 28 (3) MBO

– entfällt – – entfällt – – entfällt – – entfällt – (Die Büroräume stehen in funktionalen und nutzungsspezifischen Zusammenhang. Da keine brandschutztechnischen Anforderungen an die Trennwände zwischen den Büroräumen gestellt werden, kann auf sie auch verzichtet werden – Großraumbüro.) – entfällt – – entfällt – – Brandwände aufgrund eines geringeren Gebäudeabstandes (< 2,50 m) zur Grundstücksgrenze sind nach Punkt 10.2.2 nicht erforderlich. – Das Gebäude hat eine Ausdehnung von etwa 20 m x 41 m mit einer Grundfläche von maximal 820 m2. Laut § 30 (2) Nr. 2 MBO ist ein Gebäude mit einer Ausdehnung von über 40 m durch innere Brandwände zu unterteilen, wobei dadurch Flächen von maximal 1.600 m2 zulässig sind. Das Bürogebäude weist nur eine Grundfläche von 820 m2 auf. Die Längenüberschreitung von 1 m stellt eine formale Abweichung von den Forderungen des § 30 MBO dar, was jedoch wegen der Geringfügigkeit der Überschreitung und der vorhandenen Grundfläche kein erhöhtes Risiko darstellt. Der Abweichung kann zugestimmt werden.

Decken – im KG – in den Obergeschossen – unter/über Räumen mit Explosions- und erhöhter Brandgefahr – für Geschosse im Dachraum – zwischen landwirtschaftlich genutzten Teil und Wohnteil

Grundlage

– entfällt – – feuerbeständig (F90-AB) – entfällt – – entfällt – – entfällt –

§ 31 (1) MBO § 30 (2) MBO

§ 67 (1) MBO

§ 31 (1) MBO

4

78

Brandschutz Bauteile in GKL 5 Wände, Decken, Dächer Fahrschachtwände

4

Dächer Rettungswege Notwendige Treppen – tragende Teile Notwendige Treppenraumwände Notwendige Flure in NE mit > 400 m2

Bauteilanforderungen in GKL 5 – entfällt – (Aufzugsschacht befindet sich innerhalb eines notwendigen Treppenraumes in einem Gebäude mit einer Höhe der Fußbodenoberkante des letzten Aufenthaltsraumes von unter 22m.) Harte Bedachung – feuerhemmend und aus nichtbrennbaren Baustoffen (F30-A) – Wände in der Bauart von Brandwänden – entfällt – (Keine Ausbildung eines notwendigen Flures trotz der Größe der NE > 400 m2 aus bauordnungsrechtlicher Sicht wegen anderer gleichwertiger Maßnahme erforderlich! Abweichung muss begründet werden!)

Grundlage § 39 (1) MBO

§ 32 (1) MBO § 34 (4) MBO § 35 (4) MBO

§ 67 (1) MBO

2.6 Erster und zweiter Rettungsweg (gilt für alle Varianten) – Entsprechend § 33 (1) MBO [16] müssen Nutzungseinheiten mit Aufenthaltsräumen in jedem Geschoss mindestens zwei voneinander unabhängige Rettungswege ins Freie aufweisen, wobei beide Rettungswege innerhalb eines Geschosses über denselben notwendigen Flur führen dürfen (hier: Variante I – Punkt 2.3). – Für Nutzungseinheiten, die nicht zu ebener Erde liegen, muss der erste Rettungsweg über eine notwendige Treppe führen. Der zweite Rettungsweg kann nach § 33 (2) MBO [16] über eine weitere notwendige Treppe (hier: Variante III – Punkt 2.5) oder eine mit Rettungsgeräten der Feuerwehr erreichbare Stelle der Nutzungseinheit nachgewiesen werden (hier: Variante II – Punkt 2.4). Gebäude, deren zweiter Rettungsweg über Rettungsgeräte der Feuerwehr führt und bei denen die Oberkante der Brüstung von zum Anleitern bestimmten Fenstern oder Stellen mehr als 8 m über der Geländeoberfläche liegt, dürfen nach § 33 (3) MBO [16] nur errichtet werden, wenn die Feuerwehr über die erforderlichen Rettungsgeräte, wie Hubrettungsfahrzeuge, verfügt. Bei Sonderbauten ist der zweite Rettungsweg über Rettungsgeräte der Feuerwehr nur zulässig, wenn keine Bedenken wegen der Personenrettung bestehen. Hierfür ist insbesondere die zuständige Brandschutzdienststelle (örtliche Feuerwehr) zu befragen. Entsprechend § 35 (2) MBO [16] muss von jeder Stelle eines Aufenthaltsraumes mindestens ein Ausgang in einen notwendigen Treppenraum oder ins Freie in höchstens 35 m Entfernung erreichbar sein, der während der Betriebszeit jederzeit von Innen zu öffnen sein muss. – Bei dem vorliegenden Bürogebäude sind zwei notwendige Treppen jeweils in notwendigen Treppenräumen geplant. Bei einer Gebäudelänge von 41 m kann nach maximal 35 m der 1. Rettungsweg erreicht werden. Der 2. Rettungsweg wird baulich jeweils über den anderen notwendigen Treppenraum gewährleistet. – Bei Variante II (Punkt 2.4) muss im Brandfall der 2. Rettungsweg aus jeder Nutzungseinheit über die Rettungsgeräte der Feuerwehr möglich sein. Ist das nicht möglich, muss die Verbindungstür zwischen beiden NE immer benutzbar sein und der Flur innerhalb der jeweiligen NE als notwendiger Flur ausgebildet werden (siehe § 36 (1) Nr. 4 MBO [16]).

3 Zwei Brandschutzkonzepte nach M-IndBauRL

79

3 Zwei Brandschutzkonzepte nach M-IndBauRL für eine Industriehalle 3 Zwei Brandschutzkonzepte nach M-IndBauRL

3.1 Bauliche Situation, Nutzung und Lage Die Industriehalle (Bild 3-1) wird als Neubau ohne Keller und mit einem oberirdischen Geschoss errichtet. Das Gebäude hat eine Ausdehnung von 50 m x 41 m mit einer Grundfläche von 2.050 m2. Der Industriebau dient ausschließlich der Werkzeugfertigung mit etwa 35 Arbeitsplätzen. Bauart: Tragkonstruktion: Gebäudeaussteifung: Flachdachkonstruktion: Außenwände: Sicherheitstechnik: Erschließung:

Höhe über Gelände: Rauchabschnitte (RA): Geschossigkeit: Brandlast qR: Rohbaumaße Öffnungen:

Lichte Öffnungsmaße:

Stahlbauweise Stahlstützen, Stahlunterzüge Stahlzugglieder Stahltrapezblech mit üblicher Flachdachabdichtung (Mineralwolle) Aluminium-Paneele mit schwerentflammbarer Wärmedämmung Keine, Sicherheitskategorie K1 nach M-IndBauRL Das Gebäude grenzt unmittelbar an die öffentliche Straße. Der Gebäudeabstand zu den Grundstücksgrenzen beträgt jeweils mehr als 2,50 m. direkte Ausgänge aus der Halle ins Freie ± 0,00 m = Geländeoberfläche Der Industriebau hat eine Höhe von 6,00 m und wird durch eine Rauchschürze in zwei Rauchabschnitte (RA1 und RA2) á 1.025 m² unterteilt. ein- und erdgeschossig nach Pkt. 3.5 M-IndBauRL 83 kWh/m² Rauchabschnitt 1 1 Schnelllauftor á 2,50 m x 3,00 m (von außen öffenbar) 3 Dachlichtbänder á 1,25 m x 10,50 m (schmelzen im Brandfall aus) 3 Fenster á 1,15 m x 0,80 m (werden im Brandfall zerstört) 1 Türe á 1,01 m x 2,01 m (von außen öffenbar) Rauchabschnitt 2 1 Schnelllauftor á 2,50 m x 3,00 m (von außen öffenbar) 3 Dachlichtbänder á 1,25 m x 10,50 m (schmelzen im Brandfall aus) 3 Fenster á 1,15 m x 0,80 m (werden im Brandfall zerstört) 1 Türe á 1,01 m x 2,01 m (von außen öffenbar) Rauchabschnitt 1 3 RWA á 1,25 m x 2,50 m (aerodynamisches Maß: Aw = 2,11 m²) Rauchabschnitt 2 3 RWA á 1,25 m x 2,50 m (aerodynamisches Maß: Aw = 2,11 m²)

4

80

Brandschutz

50,00 Tür

Fenster

Tür

Fenster

1,25 WA

WA

WA

WA

Rauchabschnitt 1: 1.025 m² WA

RWA

RWA

RWA

Rauchabschnitt 2: 1.025 m²

41,00

Schnelllauftor mit Schlupftür

RWA

Rauchschürze, Höhe = 2,50 m

4

2,50

10,50

1,25

WA

RWA

RWA

Gelaende

6,00

Gelaende

2,50

Schnelllauftor mit Schlupftür

Bild 3-1 Grundriss und Schnitt durch Industriebau

3.2 Bauordnungsrechtliche Grundlagen Die Musterbauordnung (MBO) in der aktuellen Fassung vom November 2002 [16] soll hier ersatzweise für die jeweilige Landesbauordnung als gesetzliche Grundlage der Brandschutzkonzeptionen gelten. Der Fußboden in der Industriehalle befindet sich im Mittel bei ± 0,00 m über der Geländeoberfläche. Die Nutzungseinheiten sind größer als 400 m², so dass das Gebäude nach § 2 (3) Nr. 5 MBO in die Gebäudeklasse 3 eingeordnet wird. Das Gebäude ist aufgrund der Größe von mehr als 1.600 m² entsprechend § 2 (4) Nr. 3 MBO als Sonderbau einzustufen. Hier ist die Prüfpflicht nach Tafel 4-2 [1] zu beachten. Für die Werkzeugfertigung ist die Muster-Industriebaurichtlinie (siehe www.is-argebau.de) anzuwenden. Der Geltungsbereich der M-IndBauRL umfasst folgende Gebäudenutzungen: „Industriebauten sind Gebäude oder Gebäudeteile im Bereich der Industrie und des Gewerbes, die der Produktion (Herstellung, Behandlung, Verwertung, Verteilung) oder Lagerung von Produkten oder Gütern dienen.“

81

3 Zwei Brandschutzkonzepte nach M-IndBauRL

Die Industriehalle dient der Werkzeugfertigung, was eine Produktion darstellt, so dass die Bewertung nach M-IndBauRL zulässig ist. Werden die brandschutztechnischen Mindestanforderungen aus der M-IndBauRL umgesetzt, so gelten die in § 3 und § 14 MBO [16] definierten Schutzziele für die Industrienutzung als eingehalten. Die Forderungen der M-IndBauRL gelten als Erleichterungen bzw. besondere Anforderungen gemäß § 51 MBO [16].

3.3 Brandschutzkonzeption Variante I nach Abschnitt 6 M-IndBauRL

4 Für die eingeschossige Halle mit 2.050 m², die gleichzeitig ein erdgeschossiger Industriebau ist und in die Sicherheitskategorie K1 eingeordnet wird, ergibt sich nach Tabelle 1 M-IndBauRL für die tragenden und aussteifenden Bauteile eine Anforderung an den Feuerwiderstand von F30-B. Die Stahltragkonstruktion des Industriebaus muss daher hinsichtlich des Feuerwiderstandes so ertüchtigt werden (z. B. Trockenbauverkleidung oder dämmschichtbildender Anstrich), dass die Feuerwiderstandsklasse F30 erreicht wird. vorhanden: 2.050 m² < zulässig: 3.000 m² Es bestehen keine Anforderungen an die Breite des Industriebaus. Wärmeabzugsflächen sind nach Tabelle 1. M-IndBauRL nicht nachzuweisen. Tabelle 1 der M-IndBauRL Anzahl der Geschosse des Gebäudes

1) 2) 3)

Sicherheitskategorie

erdgeschossig

2

ohne Anforderung.

F 30

K1

118001)

13000

K2

127001)

K 3.1

132001)

K 3.2

136001)

K 3.3

142001)

K 3.4

145001)

K4

10000

3

4

5

F90

F 90

Feuerwiderstandsdauer der tragenden und aussteifenden Bauteile F 30

F 60

F90

F 60

F 90

18002) 3)

16002)

2400

12002) 3)

1800

1500

1200

14500

12002) 3)

24002)

3600

18002)

2700

2300

1800

15400

14002) 3)

29002)

4300

21002)

3200

2700

2200

16000

16002)

32002)

4800

24002)

3600

3000

2400

17000

18002)

36002)

5500

28002)

4100

3500

2800

17500

20002)

40002)

6000

30002)

4500

3800

3000

10000

8500

8500

8500

6500

6500

5000

4000

Breite des Industriebaus < 40m und Wärmeabzugsflächen nach DIN 18230 > 5% Wärmeabzugsflächen nach DIN 18230 > 5 % Gebäude der Gebäudeklasse 3 bis 1.600 m² zulässig

82

Brandschutz

3.4 Brandschutzkonzeption Variante II nach Abschnitt 6 M-IndBauRL Bei einer Sicherheitskategorie K1 sind nach Tabelle 1 der M-IndBauRL insgesamt 1.800 m² Brandabschnittsfläche zulässig, was hier nicht eingehalten wird. vorhanden: 2.050 m² > zulässig: 1.800 m²

4

Daher ist folgende alternative Lösung nach Abschnitt 6, Tabelle 1 der M-IndBauRL möglich: I Einbau einer Brandmeldeanlage Dann ist die Einordnung in die Sicherheitskategorie K 2 möglich und es sind 2.700 m² Brandabschnittsfläche erlaubt: vorhanden: 2.050 m² > zulässig: 2.700 m² II Weiterhin darf der Industriebau gemäß Kopfnote 1 aus Tabelle 1, M-IndBauRL nicht breiter als 40 m sein, was hier nicht eingehalten und bereits im Entwurf zu berücksichtigen ist (möglicher Weise kann auch eine Abweichung von der M-IndBauRL begründet werden). III Nachweis des ausreichenden Wärmeabzuges (WA) nach DIN 18230, Abschnitt 8.2 gemäß Kopfnote 1 aus Tabelle 1, M-IndBauRL Es muss eine Wärmeabzugsfläche von 5 % der Grundfläche der Industriehalle nachgewiesen werden. Der Wärmeabzug wird aus dem geometrischen und lichten Öffnungsmaß ermittelt. erforderliche Wärmeabzugsfläche: 2.050 m² x 5 % = 102,5 m² vorhandene geometrische Wärmeabzugsfläche in der Halle im Rohbau: 2 Schnelllauftore 2 x 2,50 m x 13,00 m = 15,00 m² 2 Türen 2 x 1,01 m x 12,01 m = 4,06 m² 6 Fenster 6 x 1,15 m x 10,80 m = 5,52 m² Dachlichtbänder 6 x 1,25 m x 10,50 m = 78,75 m² Summe Rohbau 103,33 m² Das Rohbaumaß der Wärmeabzugsflächen muss nun nach DIN 18230, Abschnitt 8.2 mit dem Faktor 0,9 zum lichten Maß reduziert werden: vorhandene lichte Wärmeabzugsfläche in der Industriehalle: 103,33 m² x 0,9 = 93 m² Zuzüglich sind die geometrischen (!) lichten Rauchabzugsflächen der RWA (ohne Faktor 0,9!) ansetzbar, da diese Rauchabzugsflächen ebenso als Wärmeabzugsflächen wirken: 6 x 1,25 m x 2,50 m = 18,75 m²

3 Zwei Brandschutzkonzepte nach M-IndBauRL

83

Insgesamt beträgt die vorhandene Wärmeabzugsfläche als lichtes geometrisches Öffnungsmaß: 93 m² + 18,75 m² = 111,75 m² Nachweis WA:

vorhanden: 111,75 m² > erforderlich: 102,5 m²

Die Wärmeabzugsflächen sind ausreichend.

3.5 Nachweis des Rauchabzuges (RA) Der Industriebau mit einer Gesamtfläche von 2.050 m² wird durch eine Rauchschürze in zwei Rauchabschnitte unterteilt. Da der Industriebau über 1.600 m² groß ist, muss nach Punkt 5.6.2 MIndBauRL der Nachweis einer mindestens 2,5 m hohen raucharmen Schicht über dem Fußboden geführt werden. Der Nachweis einer mind. 2,5 m hohen raucharmen Schicht kann nach DIN 18232-2 [23] erfolgen! Es werden dabei aerodynamisch wirksame Öffnungsflächen Aw (Rauchabzugsflächen) ermittelt! Bemessungsgruppe nach Tabelle 2 der DIN 18232-2 [23]: 5 Raumhöhe h: 6,0 m Höhe der Rauchschicht z: 2,5 m (Höhe der Rauchschürze) Höhe der raucharmen Schicht d: 3,5 m (erforderlich: 2,5 m < vorhanden: 3,5 m) Nach Tabelle 3 der DIN 18232-2 [23] muss in der Industriehalle eine aerodynamische wirksame Rauchabzugsfläche (AW) im Dach in jedem Rauchabschnitt von nachgewiesen werden. Nachweis RA:

11,8 m²

vorhandene RWA: 3 x 2,11 m² = 6,33 m² < erforderlich: 11,8 m²

Die vorhandene / geplante Rauchabzugsfläche in der Industriehalle ist nicht ausreichend. Es sind zusätzlich drei RWA á 2,11 m² oder zusätzlich zwei RWA mit jeweils einem Aw von 2,74 m² anzuordnen. Die NRA sind möglichst gleichmäßig verteilt innerhalb eines Rauchabschnittes anzuordnen. Es muss bei der Rauchableitung über Dach mindestens eine NRA je 200 m² Bodenfläche vorhanden sein. Die Industriehalle mit 2.050 m² (Grundfläche) und einer Unterteilung durch eine Rauchschürze in zwei je 1.025 m² große Rauchabschnitte erfordert nach DN 18232-2 [23] je Rauchabschnitt mindestens 5 NRA. Die wirksame Fläche der Zuluftöffnungen muss mindestens dem 1,5fachen der nach Tabelle 3 der DIN 18232-2 [23] erforderlichen aerodynamisch wirksamen Öffnungsflächen aller NRAÖffnungen des größten Rauchabschnittes betragen. Die notwendige Zuluftfläche ist nach der größten Rauchabschnittsfläche festzulegen. Die Eintrittsöffnungen der Zuluft sollten an mindestens 2 Gebäudeseiten angeordnet und gleichmäßig verteilt sein. vorhandene Zuluftfläche: 2 Schnelllauftore 2 x 2,50 m x 3,00 m = 15,00 m² 2 Türen 2 x 1,01 m x 2,01 m = 14,06 m²

4

84

Brandschutz

erforderliche Zuluftfläche für beide Rauchabschnitte: 1,5 x 11,80 m² = 17,70 m² Nachweis Zuluft: vorhanden: 19,06 m² > erforderlich: 17,70 m² Die vorhandene Zuluftfläche ist ausreichend.

4

4 Konstruktiver Brandschutz 4.1 Bemessung einer Holzbalkendecke nach [17] Für eine bestehende Holzbalkendecke mit verdeckten Holzbalken (B/H: 14/20) (Bild 4-1) muss der Nachweis einer Mindestfeuerwiderstandsklasse von F30-B vorgelegt werden. Nach Abschnitt 5.3.3.1 in [17] dürfen Holzbalkendecken nach den konstruktiven Angaben des Abschnittes 5.2 in [17] bemessen werden. Die Angaben in Abschnitt 5.2 [17] gelten somit für von unten oder oben beanspruchte Holzbalkendecken nach DIN 1052 Teil 1. Es wird zwischen Decken mit (brandschutztechnisch) notwendiger und nicht notwendiger Dämmschicht unterschieden (siehe Abschnitt 5.2.4 [17]), wobei in diesem Beispiel eine Dämmschicht zwischen den Holzbalken (nicht auf den Holzbalken) nicht notwendig sein soll.

Angaben nach Bestandsaufnahme der Holzbalkendecke:

Feuerwiderstandsklasse F30-B nach konstruktiven Vorgaben der DIN 4102-2, Tabelle 57: schwimmender Estrich aus Gips: Mindestdicke d5 = 20 mm

5 cm Anhydrit-Estrich 10 cm Dämmung

Dämmung mit Dichte >30 kg/cbm (aus B2 zulässig vgl. Abs. 5.2.5.2): Mindestdicke d4 = 15 mm obere Beplankung aus Holz werkstoffplatten (Dichte >600 kg/cbm): Mindestdicke d3 = 16 mm

3,5 cm Holzdielung 10 cm Dämmung 2,5 cm Einschubbretter B/H:14/20, Balkenabstand: ca. 60 cm 2,0 cm untere Beplankung (Dichte nicht bekannt, nicht dicht verlegt - Rauhspund) Rohrputzgeflecht entfernt

ersetzbar durch gespundete Bretterschalung d3 >21 mm

keine Brandschutzanforderungen Mindestbreite der Holzbalken: b > 40 mm (Bauschnittholz nach DIN 4074 -1 [21], Sortierklasse S 10, S 13; MS 10, MS 13, MS 17 (Achtung: z. B. visuelle Sortierung S13 der DIN 4074 entspricht der Festigkeitsklasse C30 nach EN 338 usw.) untere Beplankung aus Holz (Dichte > 600 kg/cbm): Mindestdicke d1 = 19 mm = 1,9 cm zulässige Spannweite l < 625 mm ersetzbar durch: 16 mm Holz + 9,5 mm GKB oder GKF

Abhänger, Grundprofil, Tragprofil für Trockenkonstruktion GKF d =15 mm

Werden die konstruktiven Angaben nach DIN 4102-2, Tabelle 57 [17] eingehalten, ist die erforderliche Feuerwiderstandsklasse von F30-B nachgewiesen! Nach der Bestandsaufnahme kann für die vorhandene Deckenkonstruktion ein Feuerwiderstand von 30 Minuten bestätigt werden. Die Klassifizierung F30-B nach DIN 4102-2, Tabelle 57 ist möglich!

Bild 4-1

Querschnitt durch eine Holzdeckenkonstruktion

85

4 Konstruktiver Brandschutz

Erforderliche Mindestmaße zum konstruktiven Nachweis der Feuerwiderstandsklasse F30B nach Tabelle 57 in [17] DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (Mindestbreite der Holzbalken) erf b = 40 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (schwimmender Estrich aus Gips) erf d5 = 20 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (Dämmschicht) erf d4 = 15 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (obere Beplankung aus Holzwerkstoffplatten) erf d3 = 16 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (untere Beplankung aus Holzwerkstoffplatten) erf d1 = 19 mm DIN 4102-4; Tab.57; Zeile 1: (zulässige Spannweite der unteren Beplankung) zul l = 625 mm Nachweis der vorhandenen Feuerwiderstandsklasse F30-B nach Tabelle 57 in [17] vor b = 14 cm

>

erf b = 4 cm

Nachweis erfüllt

vor d1 = 20 mm nicht dicht verlegt

>

erf d1 = 19 mm

Nachweis nicht erfüllt

daher Nachweis durch 20mm dicken Rauhspund + 15 mm GKF möglich

>

Nachweis erfüllt

vor d3 = 35 mm vor d4 = 100 mm vor d5 = 50 mm vor l = 600 mm

> > > <

nach Fußnote 1: ersatzweise 16 mm dicke Holzwerkstoffplatte + 9,5 mm dicke GKB oder GFK möglich erf d3 = 16 mm erf d4 = 15 mm erf d5 = 20 mm zul l = 625 mm

Nachweis erfüllt Nachweis erfüllt Nachweis erfüllt Nachweis erfüllt

4.2 Bemessung einer Stahlstütze nach [17] Für eine neue Stahlstütze muss der Nachweis einer Mindestfeuerwiderstandsklasse von F90-A vorgelegt werden. Das Verhältnis des Profilumfanges zur Profilfläche U/A beträgt ” 300 mm–1 bei geschlossener Oberfläche. Es soll eine 2lagige GKF-Bekleidung mit einer Plattendicke von jeweils 12,5 mm eingesetzt werden. Erforderliche Mindestmaße zum konstruktiven Nachweis der Feuerwiderstandsklasse F90A nach Tabelle 95 in [17] Bekleidung mit 3 Gipskarton- Feuerschutzplatten (GKF) DIN 4102-4; Tab. 95: nach DIN 18180 [19] mit einer Mindestdicke von 15 mm (Mindestbekleidungsdicke) Nachweis der vorhandenen Feuerwiderstandsklasse F90-A nach Tabelle 95 in [17] < erf d = 45 mm = 3 × 15 mm Nachweis nicht erfüllt vor d = 2 × 12,5 mm Daher sind GKF-Platten mit einer Dicke von 15 mm sowie eine weitere Lage GKF einzubauen. vor d = 3 × 15 mm

= erf d = 3 × 15 mm

Nachweis erfüllt

4

86

Brandschutz

Literaturverzeichnis

4

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DIN 14675: Brandmeldeanlagen – Aufbau und Betrieb, Ausgabe 11/2003, Berlin: Beuth Verlag.

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DIN 18180: Gipskartonplatten, Arten, Anforderungen, Prüfungen, Ausgabe 09/1989, Berlin: Beuth Verlag.

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Lastannahmen, Einwirkungen Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Winfried Roos

Inhalt 1 Einwirkungskombinationen, Bemessungssituationen .............................................................. 89 1.1 Allgemeines .................................................................................................................. 89 1.2 Dachdecke als Durchlaufträger..................................................................................... 89 1.3 Deckenplatte als Einfeldträger mit Kragarm ................................................................ 95 2 Windlasten ........................................................................................................................ 99 2.1 Allgemeines .................................................................................................................. 99 2.2 2-geschossiges Schulgebäude mit Pultdach .................................................................. 99 2.3 12-geschossiges Bürogebäude mit rechteckigem Grundriss....................................... 107 3 Schneelasten ...................................................................................................................... 111 3.1 Allgemeines ................................................................................................................ 111 3.2 Reihenhausbebauung .................................................................................................. 111 3.3 Sheddach einer Schule ................................................................................................ 113

1 Einwirkungskombinationen, Bemessungssituationen 1.1 Allgemeines Sowohl die auf ein Tragwerk anzusetzenden Einwirkungen als auch die Widerstandswerte der verwendeten Baustoffe sind Streuungen unterworfen; aus diesem Grund kann der „Versagensfall“ im Allgemeinen nicht mit absoluter Sicherheit ausgeschlossen werden. Es werden daher rechnerische Versagenswahrscheinlichkeiten definiert, die für alle Tragwerke gleichermaßen erreicht werden sollen um so ein möglichst einheitliches Sicherheitsniveau zu erzielen. Dabei wäre es in wirtschaftlicher Hinsicht unsinnig, die „Versagenswahrscheinlichkeit“ z.B. für Anforderungen an das Erscheinungsbild oder an die Funktion eines Tragwerks ähnlich gering festzulegen wie z.B. für Anforderungen an die Sicherheit von Personen oder an die Sicherheit des Tragwerks. Diese grundlegenden Gedanken sind im Nachweiskonzept der DIN 1055-100 in Form einer semiprobabilistischen Betrachtungsweise umgesetzt; dabei bilden wahrscheinlichkeitstheoretische Berechnungen die Grundlage festgelegter Einwirkungskombinationen und Bemessungssituationen mit zugehörigen Teilsicherheitsbeiwerten und Kombinationsbeiwerten, die für Nachweise in zwei Grenzzuständen mit grundsätzlich unterschiedlichen Bemessungszielen formuliert sind: - Grenzzustände der Tragfähigkeit (GZT oder ULS = ultimate limit state, Index u) Dies sind Zustände, bei deren Überschreiten durch Einsturz oder andere Versagensformen die Sicherheit von Menschen gefährdet ist; die Versagenswahrscheinlichkeit muss dementsprechend äußerst gering sein. - Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit (GZG oder SLS = serviceability limit state, Index s) Dies sind Zustände, bei deren Überschreiten festgelegte Nutzungsanforderungen (z.B. Grenzdurchbiegungen, Grenzrissbreiten im Stahlbetonbau etc.) nicht erreicht werden; die Versagenswahrscheinlichkeit kann im Vergleich zum GZT wesentlich höher sein. Alle wesentlichen Inhalte der DIN 1055-100 sind in „Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln, 33. Auflage, Kapitel 7 („Lastannahmen, Einwirkungen“), Abschnitt 1 („Grundlagen der Tragwerksplanung nach DIN 1055-100“) wiedergegeben bzw. erläutert. Nachfolgend werden die Regelungen nach DIN 1055-100 bezüglich der in den unterschiedlichen Grenzzuständen zu berücksichtigenden Einwirkungskombinationen bzw. Bemessungssituationen anhand von Beispielen verdeutlicht, die in der Baupraxis häufig vorkommen. Die innerhalb der Beispiele angegebenen Verweise [BZ, Abschnitt, Tafel, Bild] beziehen sich auf das o.a. Kapitel 7 der 33. Auflage des Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln.

1.2 Dachdecke als Durchlaufträger Bei dem nachfolgenden Beispiel handelt es sich um die Dachdecke eines Wohn- und Bürogebäudes in Passau (Bayern). Das Gebäude weist einen rechteckförmigen Grundriss mit den Abmes-

90

Lastannahmen, Einwirkungen

sungen 60,0 m × 19,5 m auf; die Geländehöhe im Bereich des 10 m hohen Gebäudes (incl. Attika) liegt bei ca. 300 m ü. NN. Die Dachdecke (Flachdach mit Attika) ist als 20 cm dicke Stahlbetonplatte ausgebildet und wird als Dachterrasse genutzt. Statisches System, Abmessungen In Gebäudelängsrichtung stehen die Außenwände sowie zwei innenliegende Stützenachsen mit Längsunterzügen für den Lastabtrag im obersten Geschoss zur Verfügung; statisches System und effektive Stützweiten der dementsprechend in Gebäudequerrichtung einachsig gespannten Deckenplatte sind in Bild 1-1 dargestellt.

5

6,0 m Bild 1-1

7,0 m

Statisches System der Deckenplatte

Einwirkungen • Ständige Einwirkungen Stahlbetonplatte gk Ausbaulasten Δgk •

6,0 m

= 0,2 · 25

= 5,0 kN/m2 = 2,2 kN/m2

Veränderliche Einwirkungen Nutzlast Dachterrasse [BZ, 3.4.1, Tafel 3-1] Kategorie Z qk = 4,0 kN/m2 Qk = 2,0 kN (für Nachweis der örtlichen Mindesttragfähigkeit; hier nicht erforderlich) Schneelast Schneelast sk auf dem Boden [BZ, 5.1, Bilder 5-1 und 5-2] Schneelastzone 2, h = 300 m ü. d. M. ĺ sk = 0,25 + 1,91 · ((300 + 140) / 760)2 = 0,89 kN/m2 • 0,85 kN/m2 (Mindestwert) Schneelast s1 auf dem Dach [BZ, 5.2.1, 5.2.2, 5.2.5, Tafel 5-1 und Bild 5-6] Dachneigung α = 0° ĺ μ1 = 0,8 ĺ s1 = 0,8 · 0,89 = 0,71 kN/m2 Windlast [BZ, 4.2, Tafeln 4-2 und 4-3] ĺ Windzone 1 mit qref = 0,32 kN/m2 sowie Geländekategorie III [BZ, 4.3, Tafel 4-4] ĺ Bauwerk mit ze = h + hp = 10 m (bis OK Attika); vereinfachter Ansatz des Geschwindigkeitsdruckes für Windzone 1, Binnenland q = 0,50 kN/m2

91

1 Einwirkungskombinationen, Bemessungssituationen

[BZ, 4.3] ĺ Winddruck we = cpe · q Abhängigkeit der aerodynamischen Druckbeiwerte von der jeweiligen Baukörperform und -anordnung; hier: Flachdach mit Attika [BZ, 4.5.3, Bild 4-6 und Tafel 4-8] ĺ hp / h = 1,0 / 9,0 § 0,10 cpe,10 = – 1,2 (Bereich F) // – 0,8 (Bereich G) // – 0,7 (Bereich H) // +0,2 / – 0,6 (Bereich I) Bild 1-2 zeigt den Grundriss der Dachfläche mit den anzusetzenden Winddrücken, unterschieden nach den Windanströmrichtungen „Wind auf Längsseite“ und „Wind auf Querseite“

-0,35

4,5 m

-0,4 51 m

Wind

-0,35 -0,3 +0,1

-0,4 10,5 m

Wind

4,5 m

4,5 m

-0,6

5

-0,6 -0,3 +0,1

-0,6 1,8 m 9,0 m

51,0 m

4,5 m

-0,6 1,8 m 9 m 10,5 m

Bild 1-2

Winddruckansätze für die Dachfläche in [kN/m2]

Lastfälle Die Schnittgrößenermittlung erfolgt unter Zugrundelegung der linearen Elastizitätstheorie. Bild 13 zeigt eine „computergerechte“ Zusammenstellung der vorliegend zu berücksichtigenden Lastfälle am Durchlaufträger: – LF 1, 2: unabhängige ständige Lasten; gk bzw. Δgk – LF 3, 4, 5: Nutzlast als feldweise, inclusive veränderliche Last (die einzelnen Lastfälle können gleichzeitig wirken); zur Ermittlung extremaler Auflager- und Schnittgrößen; qk – LF 6: Schneelast als veränderliche Last über alle Felder; s1 – LF 7, 8, 9: Windlast als exclusive veränderliche Last über alle Felder (die einzelnen Lastfälle schließen sich gegenseitig aus); die Lastfälle 7 und 8 erfassen beispielhaft den mittleren Grundrissbereich der Dachfläche bei „Wind auf Längsseite“ (vgl. Bild 1-2); Lastfall 9 erfasst ebenfalls beispielhaft u.a. auch den mittleren Grundrissbereich der Dachfläche bei „Wind auf Querseite“ (vgl. Bild 1-2)

92

Lastannahmen, Einwirkungen

5,0

5,0

LF 1

2,2

2,2

LF 2

4,0

LF 3 LF 4 LF 5

0,71

LF 6

4,0

4,0 4,0

4,0 4,0

5 0,71

0,4

0,35

0,3

1,8 m

7,2 m

10,5 m

0,4

0,35

LF 7

LF 8 0,1 0,1

Bild 1-3

0,1

LF 9

Lastfälle mit Lastordinaten in [kN/m2]

Einwirkungskombinationen Nachfolgend werden die Kombinationsmöglichkeiten exemplarisch für zwei stets zu betrachtende Nachweissituationen zusammengestellt: – Grenzzustand der Tragfähigkeit: ständige und vorübergehende Bemessungssituation – Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit: quasi-ständige Einwirkungskombination Dabei werden zunächst jeweils die grundsätzlich in Frage kommenden Kombinationsmöglichkeiten zusammengestellt; die computergestützte Auswertung liefert z.B. die jeweiligen Grenzlinien der Schnittgrößenverläufe. Anschließend wird jeweils für eine maßgebliche, nachzuweisende Stelle die Ermittlung des dort auftretenden Extremwertes einer Schnittgröße bei ingenieurmäßiger Betrachtungsweise erläutert. • GZT: ständige und vorübergehende Bemessungssituation [BZ: 1.2.3, Tafel 1-6] γG · Gk + γQ,1 · Qk,1 + ΣγQ,i · ψ0,i · Qk,i mit den Teilsicherheitsbeiwerten [BZ, 1.2.1.3, Tafel 1-5] γG,sup = 1,35; γG,inf = 1,00 γQ = 1,50

93

1 Einwirkungskombinationen, Bemessungssituationen

mit den Kombinationsbeiwerten für die unabhängigen veränderlichen Einwirkungen [BZ, 1.2.1.2, Tafel 1-4] Nutzlast (Einordnung entsprechend Gebäudenutzungskategorie: A/B): ψ0,N = 0,7 Schneelast: ψ0,S = 0,5 Windlast: ψ0,W = 0,6 Eine Überlagerung von Nutzlasten der Kategorie Z mit den Schneelasten ist gemäß Auslegung des NABau im DIN nicht erforderlich: ψ0,S = 0 bei Ansatz Qk,N ψ0,N = 0 bei Ansatz Qk,S In der nachfolgenden Tafel 1-1 sind die Kombinationsmöglichkeiten für die o.a. Bemessungssituation zusammengestellt. Dabei werden bei allen Kombinationen mit qk (K1, K2, K5 usw.) jeweils die Lastfälle 3, 4, 5, 3 + 4, 3 + 5, 4 + 5, 3 + 4 + 5 untersucht sowie bei allen Kombinationen mit we (K1, K3, K5, K6, K7 usw.) jeweils die Lastfälle 7, 8, 9. Damit ergeben sich für den dargestellten Fall bereits 240 Kombinationsmöglichkeiten bei der Ermittlung der Grenzlinien für die Schnittgrößenverläufe sowie der Extremwerte der Auflagerreaktionen. Selbstverständlich kann die Anzahl der zu untersuchenden Kombinationen bei ingenieurmäßiger Betrachtung, d.h. bei Vorabausschluss offensichtlich nicht relevanter Lastfälle bzw. Kombinationen von Lastfällen, im Einzelfall erheblich reduziert werden. Dies ist jedoch vor dem Hintergrund der computerunterstützten Berechnungsweise nicht zwingend erforderlich. Tafel 1-1 Kombinationsmöglichkeiten bei Anwendung der ständigen und vorübergehenden Bemessungssituation im GZT Kombination K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8

Ständige Einwirkungen gk Δgk 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35

Veränderliche Einwirkungen qk s1 we 1,5 0 1,5 · 0,6 1,5 0 0 0 1,5 1,5 · 0,6 0 1,5 0 1,5 · 0,7 0 1,5 0 1,5 · 0,5 1,5 0 0 1,5 0 0 0

K9 K10 K11 K12 K13 K14 K15 K16

1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35 1,35

1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

1,5 1,5 0 0 1,5 · 0,7 0 0 0

0 0 1,5 1,5 0 1,5 · 0,5 0 0

K17 – K24

1,0

1,35

wie bei K1 bis K8

K25 – K32

1,0

1,0

wie bei K1 bis K8

1,5 · 0,6 0 1,5 · 0,6 0 1,5 1,5 1,5 0

5

94

Lastannahmen, Einwirkungen

5

Dagegen ist im Rahmen von Vorberechnungen oder auch zur Überprüfung der programmgesteuerten Berechnung eine schnelle und überschaubare Ermittlung einzelner Extremwerte erforderlich und i.d.R. auch möglich. Dies wird nachfolgend an einem Beispiel verdeutlicht: Gesucht: min MBd (betragsmäßig größtes Stützmoment an der ersten Innenstütze; erforderlich für die Biegebemessung) Es gelten folgende ingenieurmäßige Betrachtungen: – ständige Einwirkungen maximieren (ĺ K9 bis K32 entfallen) – Nutzlast ist eindeutig die maßgebliche vorherrschende veränderliche Einwirkung (ĺ K3 bis K8 entfallen); min MB entsteht aus Superposition von LF3 mit LF4 (s. Bild 1-3) – nur Windlast mit Lastfall 9 wirkt sich vorliegend ungünstig aus; allerdings ist der Einfluss auf die Gesamtschnittgröße kleiner 1% (ĺ K1 entfällt; K2 ausreichend genau) min MBd = 1,35 · MB,(gk+δgk) + 1,5 · MB,qk = 1,35 · MB,LF(1+2) + 1,5 · MB,LF(3+4) •

GZG: quasi-ständige Einwirkungskombination [BZ: 1.6.3, Tafel 1-7] Gk + Σψ2,i · Qk,i mit den Kombinationsbeiwerten für die unabhängigen veränderlichen Einwirkungen [BZ, 1.2.1.2, Tafel 1-4] Nutzlast (Einordnung entsprechend Gebäudenutzungskategorie: A/B): ψ2,N = 0,3 Schneelast: ψ2,S = 0 Windlast: ψ2,W = 0 In der nachfolgenden Tafel 1-2 sind die Kombinationsmöglichkeiten für die o.a. Einwirkungskombination zusammengestellt. Dabei werden bei Kombination K1 mit qk jeweils die Lastfälle 3, 4, 5, 3 + 4, 3 + 5, 4 + 5, 3 + 4 + 5 untersucht. Damit ergeben sich für den dargestellten Fall 8 Kombinationsmöglichkeiten bei der Ermittlung der Grenzlinien für die Schnittgrößenverläufe. Tafel 1-2 Kombinationsmöglichkeiten bei Anwendung der quasi-ständigen Einwirkungskombination im GZG Kombination K1 K2

Ständige Einwirkungen gk Δgk 1,0 1,0 1,0 1,0

Veränderliche Einwirkungen qk s1 we 0,3 0 0 0 0 0

Auch hier ist eine schnelle und überschaubare Ermittlung einzelner Extremwerte leicht möglich. Dies wird nachfolgend an einem Beispiel verdeutlicht: Gesucht: max M2d (größtes Feldmoment im Innenfeld; erforderlich für den Nachweis der Rissbreitenbeschränkung infolge Lastbeanspruchung) Es gelten folgende ingenieurmäßige Betrachtungen: – Nutzlast wirkt sich ungünstig aus (ĺ K2 entfällt); max M2 entsteht aus LF4 max M2d = 1,0 · M2,(gk+Δgk) + 0,3 · M2,qk = 1,0 · M2,LF(1+2) + 0,3 · M2,LF4

95

1 Einwirkungskombinationen, Bemessungssituationen

1.3 Deckenplatte als Einfeldträger mit Kragarm Bei dem nachfolgenden Beispiel handelt es sich um die Deckenplatte mit anschließendem Balkon eines Wohngebäudes in Köln (Nordrhein-Westfalen). Die Geländehöhe im Bereich des Gebäudes liegt bei ca. 50 m ü. NN. Die Deckenplatte ist als 22 cm dicke Stahlbetonplatte ausgebildet. Statisches System, Abmessungen In Gebäudelängsrichtung stehen nur die Außenwände für den Lastabtrag im betrachteten Geschoss zur Verfügung; statisches System und effektive Stützweiten der dementsprechend in Gebäudequerrichtung einachsig gespannten Deckenplatte mit Kragarm sind in Bild 1-4 dargestellt.

5 2,8 m Bild 1-4

Statisches System der Deckenplatte mit Kragarm

Einwirkungen • Ständige Einwirkungen Stahlbetonplatte gk Ausbaulasten ĺ innen Δgk,i ĺ außen Δgk,a Brüstung / Geländer Gk •

6,8 m

= 0,22 · 25 = 5,5 kN/m2 = 1,2 kN/m2 = 1,8 kN/m2 = 3,8 kN/m

Veränderliche Einwirkungen Nutzlast Decke (innen) [BZ, 3.4.1, Tafel 3-1] Kategorie A2 Trennwandzuschlag [BZ, 3.2] Wandlast incl. Putz ” 5 kN/m Wandlänge

qk,i

= 1,5 kN/m2

Δqk,i = 1,2 kN/m2

Nutzlast Balkon [BZ, 3.4.1, Tafel 3-1] Kategorie Z qk,a = 4,0 kN/m2 Qk = 2,0 kN (für Nachweis der örtlichen Mindesttragfähigkeit; hier nicht erforderlich) Schneelast Schneelast sk auf dem Boden [BZ, 5.1, Bilder 5-1 und 5-2] Schneelastzone 1, h = 50 m ü. d. M. ĺ sk = 0,65 kN/m2 (Mindestwert maßgebend) Schneelast s1 auf dem Dach [BZ, 5.2.1, 5.2.2, 5.2.5, Tafel 5-1 und Bild 5-6] Dachneigung α = 0° ĺ μ1 = 0,8 ĺ s1 = 0,8 · 0,65 = 0,52 kN/m2

96

Lastannahmen, Einwirkungen

Windlast im vorliegenden Zusammenhang ohne Bedeutung Lastfälle Die Schnittgrößenermittlung erfolgt unter Zugrundelegung der linearen Elastizitätstheorie. Bild 15 zeigt eine Zusammenstellung der vorliegend zu berücksichtigenden Lastfälle am Einfeldträger mit Kragarm: – LF 1: unabhängige ständige Lasten; gk bzw. Δgk,i bzw. Δgk,a bzw. Gk – LF 2: Nutzlast im Innenbereich als unabhängige veränderliche Last; qk,i + Δqk,i – LF 3: Nutzlast im Balkonbereich als unabhängige veränderliche Last; qk,a – LF 4: Schneelast als unabhängige veränderliche Last; s1

5

3,8

1,8

1,2

5,5

5,5

1,2

1,2

1,5

1,5

LF 1

LF 2

4,0

4,0

LF 3

0,52

0,52

LF 4

Bild 1-5

Lastfälle mit Lastordinaten in [kN/m2] bzw. in [kN/m]

Einwirkungskombinationen Nachfolgend werden die Kombinationen exemplarisch für zwei vorliegend zu betrachtende Nachweissituationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit, jeweils für die ständige und vorübergehende Bemessungssituation, zusammengestellt: – Nachweis des Bauteilversagens – Nachweis der Lagesicherheit GZT: ständige und vorübergehende Bemessungssituation [BZ: 1.2.3, Tafel 1-6] γG · Gk + γQ,1 · Qk,1 + Σ γQ,i · ψ0,i · Qk,i

1 Einwirkungskombinationen, Bemessungssituationen

•

97

Nachweis des Bauteilversagens mit den Teilsicherheitsbeiwerten [BZ, 1.2.1.3, Tafel 1-5] γG,sup = 1,35; γG,inf = 1,00 γQ = 1,50 mit den Kombinationsbeiwerten für die unabhängigen veränderlichen Einwirkungen [BZ, 1.2.1.2, Tafel 1-4] Nutzlast (Einordnung entsprechend Gebäudenutzungskategorie: A): ψ0,N = 0,7 Schneelast: ψ0,S = 0,5 Eine Überlagerung von Nutzlasten der Kategorie Z mit den Schneelasten ist gemäß Auslegung des NABau im DIN nicht erforderlich. Beispielhaft werden nachfolgend das größte Stützmoment (min MAd) sowie die größte Querkraft am Endauflager (min VBd) ermittelt: Maßgebend für min MAd ist die Kombination aus LF (1+3): min MAd = 1,35 · MA,(gk+Δgk,i+Δgk,a+Gk) + 1,5 · MA,qk,a = -1,35 · ((5,5 + 1,8) · 2,82 / 2 + 3,8 · 2,8) – 1,5 · 4,0 · 2,82 / 2 = -76,5 kNm/m Maßgebend für min VBd ist die Kombination aus LF (1 + 2); dabei ist zu beachten, dass die ständigen Ausbaulasten im Balkonbereich und im Innenbereich unabhängig angenommen wurden: min VBd = 1,35 · VB,(gk+Δgk,i) + 1,0 · VB,(Δgk,a+Gk) + 1,5 · VB,qk,i+Δqk,i = 1 / 6,8 · (– 1,35 · 5,5 · 9,6 · 2 – 1,35 · 1,2 · 6,8 · 3,4 + 1,8 · 2,8 · 1,4 + 3,8 · 2,8 – 1,5 · (1,5 + 1,2) · 6,8 · 3,4) = -37,6 kN/m

•

Nachweis der Lagesicherheit mit den Teilsicherheitsbeiwerten [BZ, 1.2.1.3, Tafel 1-5] γG,sup = 1,10; γG,inf = 0,90 γQ = 1,50 mit den Kombinationsbeiwerten für die unabhängigen veränderlichen Einwirkungen [BZ, 1.2.1.2, Tafel 1-4] Nutzlast (Einordnung entsprechend Gebäudenutzungskategorie: A): ψ0,N = 0,7 Schneelast: ψ0,S = 0,5 Eine Überlagerung von Nutzlasten der Kategorie Z mit den Schneelasten ist gemäß Auslegung des NABau im DIN nicht erforderlich.

5

98

Lastannahmen, Einwirkungen

Bei diesem Nachweis sind destabilisierend und stabilisierend wirkende Einwirkungen als unabhängig zu betrachten [BZ, 1.5.2]; es ist nachzuweisen:

Md,dst < Md,stb Vorliegend wirken die Lastanteile auf dem Kragarm destabilisierend – sie sind somit zu maximieren – während die Lastanteile auf dem Feld stabilisierend wirken – sie sind somit zu minimieren. Es ergibt sich damit das Lastbild entsprechend Bild 1-6. 1,1 · 3,8 1,1 · (5,5 + 1,8)

5

1,5 · 4,0 0,9 · (5,5 + 1,2)

Bild 1-6

Lastbild für den Nachweis der Lagesicherheit; Lastordinaten in [kN/m2] bzw. in [kN/m]

Md,dst

= 1,1 · Md,dst,(gk+ Δgk,a+Gk) + 1,5 · Md,dst,qk,a

= 1,1 · ((5,5+1,8) · 2,82 / 2 + 3,8 · 2,8) + 1,5 · 4,0 · 2,82 / 2 = 66,7 kNm/m

Md,stb

= 0,9 · Md,stb,(gk+ Δgk,i) = 0,9 · ((5,5+1,2) · 6,82 / 2) = 139,4 kNm/m

Nachweis: 66,7 < 139,4

99

2 Windlasten

2 Windlasten 2.1 Allgemeines Lastansätze für die Einwirkungen infolge Wind sind in DIN 1055-4 geregelt; alle wesentlichen Inhalte dieser Norm sind in „Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln, 33. Auflage, Kapitel 7 („Lastannahmen, Einwirkungen“), Abschnitt 4 („Windlasten nach DIN 1055-4“) wiedergegeben bzw. erläutert. Nachfolgend werden die Regelungen nach DIN 1055-4 anhand von Beispielen verdeutlicht, die in der Baupraxis häufig vorkommen. Dabei dient Beispiel 2.2 der Erläuterung der Winddruckermittlung auf Bauwerksflächen mit Hilfe der aerodynamischen Druckbeiwerte für einzelne Flächen bzw. Teilflächen. Anhand Beispiel 2.3 wird die Ermittlung der resultierenden Gesamtwindkraft auf einen Baukörper mit Hilfe der aerodynamischen Kraftbeiwerte erläutert. Die innerhalb der Beispiele angegebenen Verweise [BZ, Abschnitt, Tafel, Bild] beziehen sich auf das o.a. Kapitel 7 der 33. Auflage des Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln.

2.2 2-geschossiges Schulgebäude mit Pultdach Bei dem nachfolgenden Beispiel handelt es sich um ein Schulgebäude in Köln (NordrheinWestfalen). Das Gebäude besteht im Querschnitt aus Erd- und Obergeschoss; den oberen Gebäudeabschluss bildet ein Pultdach. Alle im vorliegenden Zusammenhang wesentlichen Abmessungen sind in Bild 2-1 angegeben.

9,0 m

Grundriss

60,0 m 10° 8,6 m

7,0 m

Schnitt

9,0 m Bild 2-1

Grundriss und Schnitt des Schulgebäudes

Gegenstand der nachfolgenden Berechnungen sind allein die Winddruckansätze für Dach und Wände des vorliegenden Gebäudes.

5

100

Lastannahmen, Einwirkungen

Windlasten [BZ, 4.2, Tafeln 4-2 und 4-3] ĺ Windzone 1 mit qref = 0,32 kN/m2 sowie Geländekategorie III [BZ, 4.2, Tafel 4-4] ĺ Bauwerk mit ze = h = 8,6 m ĺ vereinfachter Ansatz des Geschwindigkeitsdruckes für Windzone 1, Binnenland q = 0,50 kN/m2 [BZ, 4.3] ĺ Winddruck we = cpe · q

5

Abhängigkeit der aerodynamischen Druckbeiwerte von der jeweiligen Baukörperform und -anordnung; im vorliegenden Fall sind zu unterscheiden: • Vertikale Wände von Baukörpern mit rechteckigem Grundriss [BZ, 4.5.2] • Pultdach [BZ, 4.5.4] Bei der Ermittlung der aerodynamischen Druckbeiwerte ist vorliegend zu unterscheiden nach den 3 Windanströmrichtungen Θ = 0° (Wind auf niedrige Traufe), Θ = 180° (Wind auf hohe Traufe) sowie Θ = 90° (Wind parallel zu hoher / niedriger Traufe). Windanströmrichtung Θ = 0° (Wind auf niedrige Traufe) ĺ Wandbereiche [BZ, 4.5.2, Tafel 4-7 und Bild 4-4] e ”b = 60,0 m ” 2 · h = 2 · 8,6 = 17,2 m (maßgebend) e/d = 17,2 / 9,0 = 1,91 •1 ”5 ĺ Wandbereiche A, B parallel zum Wind Breite der Fläche A: e/5 = 17,2 / 5 = 3,44 m h / d = 8,6 / 9 = 0,96 § 1 ĺ cpe,10 = -1,2 (A) / -0,8 (B) / +0,8 (D) / -0,5 (E) (Anmerkung zu Werten cpe,1 s.u.) Winddruck:

wA = – 1,2 · 0,5 = – 0,6 kN/m2 wB = – 0,8 · 0,5 = – 0,4 kN/m2 wD = + 0,8 · 0,5 = + 0,4 kN/m2 wE = – 0,5 · 0,5 = – 0,25 kN/m2

101

2 Windlasten

ĺ Dachbereiche [BZ, 4.5.4, Tafel 4-9 und Bild 4-7] e ”b = 60,0 m ” 2 · h = 2 · 8,6 = 17,2 m (maßgebend) ĺ Dachbereiche F, G, H Breite der Fläche F: e/4 = 17,2 / 4 = 4,30 m Tiefe der Flächen F, G: e/10 = 17,2 / 10 = 1,72 m

α = 10° ĺ cpe,10 = -1,3 (F) / -1,0 (G) / -0,4 bzw. +0,2 (H) Sind Lasteinzugsflächen < 10 m2, so sind ausschließlich für die Berechnung der Ankerkräfte und den Verankerungsnachweis von unmittelbar durch Windwirkung belasteten Bauteilen und ihrer Unterkonstruktion größere Druckbeiwerte anzusetzen (vorliegend z.B. bei Ausführung des Pultdaches als Pfettendach; Lasteinzugsfläche eines Sparrens bei Sparrenabstand z.B. 0,8 m: A < 10 m2; Nachweis der Verankerung eines Sparrens mit erhöhten Druckbeiwerten nach [BZ, 4.5.1]). Winddruck:

wF = – 1,3 · 0,5 = – 0,65 kN/m2 wG = – 1,0 · 0,5 = – 0,5 kN/m2 wH = – 0,4 · 0,5 = – 0,2 kN/m2 + 0,2 · 0,5 = + 0,1 kN/m2

Die Winddruckansätze sind in Bild 2-2 veranschaulicht.

5

102

Lastannahmen, Einwirkungen

Wände 0,4

A

B 4,30

0,6

Dach

F

5

0,4

D

GrundE riss

0,25

G

4,30

Wind

A

B

0,6

0,4

3,44 5,56

H

F 1,72 7,28

0,65 0,5

0,2 0,1

A

B Schnitt

Ansicht Bild 2-2

Winddruckansätze bei Anströmrichtung Θ = 0° (Abmessungen in [m]; Winddrücke in [kN/m2])

103

2 Windlasten

Windanströmrichtung Θ = 180° (Wind auf hohe Traufe) ĺ Wandbereiche [BZ, 4.5.2, Tafel 4-7 und Bild 4-4] Die Geometrieparameter b, h, d sind gegenüber Θ = 0° unverändert ĺ e unverändert und damit Flächenaufteilung unverändert ĺ h / d unverändert und damit Druckbeiwerte unverändert Winddruck:

wA = -1,2 · 0,5 wB = – 0,8 · 0,5 wD = + 0,8 · 0,5 wE = – 0,5 · 0,5

= = = =

– 0,6 kN/m2 – 0,4 kN/m2 + 0,4 kN/m2 – 0,25 kN/m2

ĺ Dachbereiche [BZ, 4.5.4, Tafel 4-9 und Bild 4-7] Die Geometrieparameter b, h sind gegenüber Θ = 0° unverändert ĺ e unverändert und damit Flächenaufteilung unverändert

α = 10° ĺ cpe,10 = -2,4 (F) / -1,3 (G) / -0,8 (H) (siehe vorangegangene Anmerkung zu Werten cpe,1) Winddruck:

wF = – 2,4 · 0,5 = – 1,2 kN/m2 wG = – 1,3 · 0,5 = – 0,65 kN/m2 wH = – 0,8 · 0,5 = – 0,4 kN/m2

Die Winddruckansätze sind in Bild 2-3 veranschaulicht.

5

104

Lastannahmen, Einwirkungen

0,4

0,6

B

A

Dach

F

4,30

Wände

5

E

GrundD riss

0,4

H

F B

A

7,28

0,4 0,6 5,56 3,44

B

0,4

Wind

G

4,30

0,25

1,72 1,2 0,65

A Schnitt

Ansicht Bild 2-3

Winddruckansätze bei Anströmrichtung Θ = 180° (Abmessungen in [m]; Winddrücke in [kN/m2])

105

2 Windlasten

Windanströmrichtung Θ = 90° (Wind parallel zu hoher/niedriger Traufe) ĺ Wandbereiche [BZ, 4.5.2, Tafel 4-7 und Bild 4-4] e ”b = 9,0 m (maßgebend) ” 2 · h = 2 · 8,6 = 17,2 m e/d = 9,0 / 60,0 = 0,15 <1 ĺ Wandbereiche A, B, C parallel zum Wind Breite der Fläche A: e/5 = 9,0 / 5 = 1,8 m Breite der Fläche B: 4/5 · e = 4/5 · 9,0 = 7,2 m Breite der Fläche C: d – e = 60,0 – 9,0 = 51,0 m h / d = 8,6 / 60,0 = 0,14 ” 0,25 ĺ cpe,10 = – 1,2 (A) / -0,8 (B) / – 0,5 (C) / +0,7 (D) / – 0,3 (E) (siehe vorangegangene Anmerkung zu Werten cpe,1) Winddruck:

wA = – 1,2 · 0,5 wB = – 0,8 · 0,5 wC = – 0,5 · 0,5 wD = + 0,7 · 0,5 wE = – 0,3 · 0,5

= = = = =

– 0,6 kN/m2 – 0,4 kN/m2 – 0,25 kN/m2 + 0,35 kN/m2 – 0,15 kN/m2

ĺ Dachbereiche [BZ, 4.5.4, Tafel 4-9 und Bild 4-7] e ”b = 9,0 m (maßgebend) ” 2 · h = 2 · 8,6 = 17,2 m ĺ Dachbereiche F, G, H, I Breite der Fläche F: e/4 = 9,0 / 4 = 2,25 m Tiefe der Flächen F, G: e/10 = 9,0 / 10 = 0,9 m Übergangsstelle H – I: e/2 = 9,0 / 2 = 4,5 m

α = 10° ĺ cpe,10 = – 2,2 (Fhoch) / – 1,8 (Ftief) / – 1,8 (G) / – 0,7 (H) / – 0,6 bzw. + 0,2 (I) (siehe vorangegangene Anmerkung zu Werten cpe,1) Winddruck:

wF,hoch wF,tief wG wH wI

= – 2,2 · 0,5 = – 1,8 · 0,5 = – 1,8 · 0,5 = – 0,7 · 0,5 = – 0,6 · 0,5 =+ 0,2 · 0,5

= = = = = =

– 1,1 kN/m2 – 0,9 kN/m2 – 0,9 kN/m2 – 0,35 kN/m2 – 0,3 kN/m2 + 0,1 kN/m2

Die Winddruckansätze sind in Bild 2-4 veranschaulicht.

5

106

Lastannahmen, Einwirkungen

Wände

Dach

0,15

E

D

55,5

B

H Ftief 2,25

0,35

Wind

Bild 2-4

hohe Traufe

0,6

Winddruckansätze bei Anströmrichtung Θ = 90° (Abmessungen in [m]; Winddrücke in [kN/m2])

G

2,25

4,5

Wind

4,5

A

I

0,9

A

niedrige Traufe

0,4

C

B

Ansicht

B

Grundriss

A

0,6

0,25

51,0

0,4

C

C

1,8

0,25

7,2

5

Fhoch

107

2 Windlasten

2.3 12-geschossiges Bürogebäude mit rechteckigem Grundriss Bei dem nachfolgenden Beispiel handelt es sich um ein Bürogebäude in Hannover (Niedersachsen). Das Gebäude besteht im Querschnitt aus einem Kellergeschoss sowie aus 12 Geschossen ab GOK; den oberen Gebäudeabschluss bildet ein Flachdach. Alle lastabtragenden Bauteile (Decken, Unterzüge, Wände, Stützen) sind als Stahlbetonbauteile ausgebildet; die im vorliegenden Zusammenhang wesentlichen Abmessungen sind in Bild 2-5 angegeben.

Grundriss

Schnitt

12 · 3,0 = 36,0 m

2 · 6,0 = 12,0 m

5

W3 W1

W2 W4 6 · 6,0 = 36,0 m

KG 12,0 m Bild 2-5

Grundriss und Schnitt des Bürogebäudes

Gegenstand der nachfolgenden Berechnungen sind allein die resultierenden Windlastansätze für den Nachweis der vertikalen aussteifenden Bauteile – die in Bild 2-5 im Grundriss dargestellten Stahlbetonwände, die über die gesamte Gebäudehöhe vorhanden sind. Dabei werden folgende Annahmen getroffen: • Das Gebäude ist durch die Stahlbetondeckenplatten (horizontale aussteifende Bauteile) in Verbindung mit den, jeweils in Längs- und Querrichtung symmetrisch angeordneten Stahlbetonwänden (vertikale aussteifende Bauteile; W1 bis W4 in Bild 2-5) ausgesteift und unverschieblich. • Das Kellergeschoss kann aufgrund der vielen vorhandenen Stahlbetonaußenwände und Stahlbetoninnenwände als unendlich steif angenommen werden; damit liegt die Einspannebene der aussteifenden Wände in OK Decke über KG und damit etwa in Höhe GOK. • Das Gebäude ist ausreichend steif und nicht schwingungsanfällig im Sinne von DIN 1055-4, so dass die Windwirkung durch den Ansatz einer statischen Ersatzlast erfasst werden kann.

108

Lastannahmen, Einwirkungen

Windlasten [BZ, 4.2, Tafeln 4-2 und 4-3] ĺ Windzone 2 mit qref = 0,39 kN/m2 sowie Geländekategorie III [BZ, 4.2, Tafel 4-5] ĺ Bauwerk mit mehr als 25 m Höhe ĺ Ansatz des höhenabhängigen Böengeschwindigkeitsdruckes im Regelfall; hier für Windzone 2, Binnenland (Hinweis: eine genauere Bewertung des Einflusses der Bodenrauigkeit ist nach DIN 1055-4, Anhang B, möglich)

5

q(z) = 1,5 · qref (bei z ” 7 m) 0,37 (bei 7 m < z ” 50 m) = 1,7 · qref · (z / 10) [BZ, 4.4] ĺ Resultierende Windkraft Fw Fwj

= cf · q(ze) · Aref bzw. = cfj · q(zej) · Aj

– Abhängigkeit des Windkraftansatzes von der Baukörpergeometrie (eine resultierende Kraft bei einer Bezugsfläche mit einem zugehörigen Geschwindigkeitsdruck – oder – resultierende Teilkräfte zu Teilflächen mit zugehörigen, abschnittsweise unterschiedlichen Geschwindigkeitsdrücken) – Abhängigkeit der aerodynamischen Kraftbeiwerte von der jeweiligen Baukörper- bzw. Bauteilgeometrie; vorliegend: Bauteil mit rechteckigem Querschnitt [BZ, 4.6.1] Die nachfolgenden Untersuchungen erfolgen beispielhaft für die resultierenden Windwirkungen in Gebäudequerrichtung, die von den aussteifenden Wände W1 und W2 aufzunehmen sind. Wind in Gebäudequerrichtung ĺ Geometrie, Windkraft h = 36 m; b = 36 m; d = 12 m [BZ, 4.4.1] h / b = 1,0 bzw. d / b = 0,33 ĺ jeweils < 2 ĺ keine abschnittsweise Unterteilung der Windkraft Fw

= cf · q(ze) · Aref

2 Windlasten

109

ĺ Aerodynamische Kraftbeiwerte, Bezugswerte hier: Bauteil mit rechteckigem Querschnitt [BZ, 4.6.1] cf = cf,0 · ψr · ψλ mit:

cf,0 = 2,16 ([BZ, 4.6.1, Bild 4-14] für d / b = 0,33) ψr = 1,0 ([BZ, 4.6.1, Bild 4-15] für r / b = 0) ψλ nach [BZ, 4.8]: effektive Schlankheit [BZ, 4.8, Tafel 4-14] λ = 36 / 36 = 1 • 2 (maßgebend) Völligkeit [BZ, 4.8, Bild 4-23] ϕ=1 ψλ = 0,63 [BZ, 4.8, Bild 4-22]

cf = 2,16 · 1,0 · 0,63 = 1,36 Aref

= 36 · 36 = 1296 m2 (angeströmte Fläche)

ze = 0,6 · 36 = 21,6 m (Bezugshöhe) q(ze) = 1,7 · 0,39 · (21,6 / 10)0,37 = 0,88 kN/m2 ĺ Resultierende Gesamtwindkraft [BZ, 4.4.1] Fw = 1,36 · 0,88 · 1296 = 1551 kN ĺ Windkraft je Wandscheibe W1, W2 [BZ, 4.4.1] Ansatz der Gesamtwindkraft mit einer Ausmitte e = b/10 = 36 / 10 = 3,6 m Die Deckenscheiben wirken für den Windlastabtrag als Einfeldträger mit 36 m Stützweite (Bild 2-6); je Wandscheibe W1 bzw. W2 ergibt sich damit maximal: Fw,1 = Fw,2 = 0,6 · 1551 = 931 kN

5

110

Lastannahmen, Einwirkungen

36,0 m

W1

Deckenscheibe

W2

5 q Fw 3,6m (3,6m) Bild 2-6

Aufteilung der Gesamtwindkraft auf die Wandscheiben W1 und W2

21,6 m Bild 2-7

36,0 m

Fw

Wandscheibe

W1 (W2)

Jede Wandscheibe wirkt wie ein Kragarm (Bild 2-7); damit ergibt sich das Einspannmoment in Höhe Decke über KG (Einspannebene): Mw,1 = Mw,2 = 931 · 21,6 = 20.110 kNm

Weiterleitung der Windkraft über eine Wandscheibe (W1, W2)

111

3 Schneelasten

3 Schneelasten 3.1 Allgemeines Lastansätze für die Einwirkungen infolge Schnee sind in DIN 1055-5 geregelt; alle wesentlichen Inhalte dieser Norm sind in „Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln, 33. Auflage, Kapitel 7 („Lastannahmen, Einwirkungen“), Abschnitt 5 („Schneelast nach DIN 1055-5“) wiedergegeben bzw. erläutert. Nachfolgend werden die Regelungen nach DIN 1055-5 anhand von Beispielen verdeutlicht, die in der Baupraxis häufig vorkommen. Die innerhalb der Beispiele angegebenen Verweise [BZ, Abschnitt, Tafel, Bild] beziehen sich auf das o.a. Kapitel 7 der 33. Auflage des Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln.

3.2 Reihenhausbebauung

2,5m

Bei dem nachfolgenden Beispiel handelt es sich um eine Reihenhausbebauung in Nürnberg (Bayern); die Geländehöhe liegt bei ca. 310 m ü. NN. Die vier Einfamilienhäuser weisen symmetrische Satteldächer auf, die als Pfettendachstühle ausgebildet sind. Beidseitig an die Reihenhauszeile schließen Garagen an, die als oberen Abschluss ein Flachdach aufweisen. Alle im vorliegenden Zusammenhang wesentlichen Abmessungen sind in Bild 3-1 angegeben.

2,5m

1m

45° 45°

2,5m

Bild 3-1

2,5m

5m

5m

Seitenansicht / Schnitt der Reihenhausbebauung

Schneelasten • Schneelast sk auf dem Boden [BZ, 5.1, Bilder 5-1 und 5-2] Schneelastzone 1, h = 310 m ü. d. M. ĺ sk = 0,65 kN/m2 (Mindestwert maßgebend) •

5m

Schneelast si auf Dächern ĺ Aneinandergereihte Satteldächer [BZ, 5.2.4, Bild 5-5] Dachneigungen α1 = α2 = 45° ĺ α = 0,5 · (α1 + α2) = 45°

5m

2,5m

2,5m

5

112

Lastannahmen, Einwirkungen

Formbeiwerte gemäß [BZ, 5.2.5, Tafel 5-1 und Bild 5-6] = μ1(α2) = μ1(α) = 0,8 · (60° – 45°) / 30° = 0,4 ĺ μ1(α1) = 1,6 (maßgebend) ĺ μ2(α) ” (γ · h) / sk + μ 1 ” (2 · 2,5) / 0,65 + 0,4 = 8,1 = 0,4 · 0,65 = 0,26 kN/m2 = 0,4 · 0,65 = 0,26 kN/m2 = 1,6 · 0,65 = 1,04 kN/m2 Die Lastbilder sind in Bild 3-2 dargestellt. ĺ Garagendächer Flachdächer [BZ, 5.2.2, 5.2.5, Tafel 5-1 und Bild 5-6] Dachneigung α = 0° ĺ Formbeiwert μ1 = 0,8

μ1 · sk μ1 · sk μ2 · sk

Lastbild (a): Lastbild (b):

5

Berücksichtigung des Höhensprungs [BZ, 5.2.7, Bild 5-9] Dachneigung Endhaus: α = 45° ĺ Länge des Verwehungskeils: =2m ls = 2 · 1,0 • 5 m (maßgebend) ” 15 m Die Länge des Verwehungskeils entspricht vorliegend der Länge des Flachdachbereiches (2 · 2,5 = 5,0 m). ĺ Formbeiwerte:

μ4 = μw + μs

Formbeiwert der abrutschenden Schneelast Hier: Neigung des oberen Daches (Reihenendhaus) > 15° ĺ Berechnung μs aus Zusatzlast S (50% der größten resultierenden Gesamtlast auf der anschließenden Dachseite des oberen Daches) S = 0,5 · (0,26 · 5,0 / 2) = 0,325 kN/m

μs = 2 · S / (ls · sk)

= 2 · 0,325 / (5,0 · 0,65) = 0,2

Formbeiwert der Schneelast aus Verwehung

μw = (5,0 + 2 · 2,5) / 2 · 1,0 = 5 ” (γ · h) / sk – μs

” (2 · 1,0) / 0,65 – 0,2 = 2,88 (maßgebend)

μ4 = 0,2 + 2,88

= 3,08 (maßgebend) • 0,8 ” 4,0

113

3 Schneelasten

ĺ Lastansätze: μ1 · sk = 0,8 · 0,65 = 0,52 kN/m2 μ4 · sk = 3,08 · 0,65 = 2,00 kN/m2 Die Lastbilder sind in Bild 3-2 dargestellt. 2,00

2,00

0,52

0,52

Lastbild (a) 0,26

Lastbild (b) 1,04

0,26

1,04 0,26

1,04 0,26

0,26

45° 45°

Bild 3-2

Lastbild; Lastordinaten in [kN/m2]

3.3 Sheddach einer Schule Bei dem nachfolgenden Beispiel handelt es sich um eine Schule mit Sheddach in GarmischPartenkirchen (Bayern); die Geländehöhe liegt bei ca. 750 m ü. NN. Alle im vorliegenden Zusammenhang wesentlichen Abmessungen sind in Bild 3-3 angegeben.

5

114

1,45 m

Lastannahmen, Einwirkungen

3,6 m

3,6 m

~ 30°

2,0 m

5 Bild 3-3

5,1 m

5,1 m

5,1 m

5,1 m

2,0 m

Seitenansicht / Schnitt der Schule mit Sheddach

Schneelasten • Schneelast sk auf dem Boden [BZ, 5.1, Bilder 5-1 und 5-2] Schneelastzone 3, h = 750 m ü. d. M. ĺ sk = 0,31 + 2,91 · ((750 + 140) / 760)2 = 4,30 kN/m2 (maßgebend) • 1,10 kN/m2 •

Schneelast si auf Dächern ĺ Flachdachbereich links [BZ, 5.2.2, 5.2.5, Tafel 5-1 und Bild 5-6] Dachneigung α = 0° ĺ Formbeiwert μ1 = 0,8 Lastansatz:

s1,Flachdach = 0,8 · 4,3 = 3,44 kN/m2

Das Lastbild ist in Bild 3-4 dargestellt. ĺ Sheddachbereich [BZ, 5.2.4, Bild 5-5] Dachneigung α = 30° Formbeiwerte gemäß [BZ, 5.2.5, Tafel 5-1 und Bild 5-6] ĺ μ1 = 0,8 ĺ μ2 = 0,8 + 0,8 · 30° / 30° = 1,6 ” (γ · h) / sk + μ1 ” (2 · 1,45) / 4,3 + 0,8 = 1,47 (maßgebend) Lastansätze: s1,Sheddach = 0,8 · 4,3 s2,Sheddach = 1,47 · 4,3 Das Lastbild ist in Bild 3-4 dargestellt.

= 3,44 kN/m2 = 6,32 kN/m2

115

3 Schneelasten

ĺ Flachdachbereich rechts [BZ, 5.2.2, 5.2.5, Tafel 5-1 und Bild 5-6] Dachneigung α = 0° ĺ Formbeiwert μ1 = 0,8 Schneeanhäufung infolge Verwehungen [BZ, 5.2.8, Bild 5-10] ĺ Formbeiwerte μ1 = 0,8 μ2 = 2 · 1,45 / 4,3 = 0,67 • 0,8 (maßgebend) ” 2.0 (es ergibt sich vorliegend keine Schneeanhäufung) Lastansatz:

5

s1,Flachdach = s2,Flachdach = 0,8 · 4,3 = 3,44 kN/m2

Das Lastbild ist in Bild 3-4 dargestellt.

Lastbild (a) 3,44

3,44

3,44

Lastbild (b) 6,32 3,44

6,32

3,44

6,32

6,32

6,32

6,32 3,44

3,44 3,44

3,44 3,44

~ 30°

Bild 3-4

6,32

Lastbild; Lastordinaten in [kN/m2]

3,44

Statik und Festigkeitslehre Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Krings Die angegebenen Verweise beziehen sich auf Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln, 33. Auflage.

Inhalt 1 Ausmittig beanspruchtes Rechteckfundament ....................................................................... 119 1.1 Abmessungen und Lastfälle ........................................................................................ 119 1.2 Lastfall 1 ..................................................................................................................... 119 1.3 Lastfall 2 ..................................................................................................................... 119 1.4 Lastfall 3 ..................................................................................................................... 120 2 Durchlaufträger nach Kraftgrößenverfahren.......................................................................... 120 2.1 System und Belastung................................................................................................. 120 2.2 Statisch bestimmtes Grundsystem .............................................................................. 120 2.3 Berechnung der statisch Unbestimmten...................................................................... 121 2.4 Fesselkräfte, Querkraft- und Biegemomentenzustand ................................................ 123 3 Einflusslinien von Durchlaufträgern ...................................................................................... 124 3.1 Einflusslinien der statisch Unbestimmten ................................................................... 124 3.2 Einflusslinie für Feldmoment in Feld 2 ...................................................................... 126 3.3 Einflusslinie der Querkraft in Feld 1 .......................................................................... 127 3.4 Einflusslinie der Auflagerkraft C................................................................................ 127 3.5 Numerische Ergebnisse .............................................................................................. 128 3.6 Graphen ...................................................................................................................... 129 4 Einfeldträger als UPE-Profil .................................................................................................. 130 4.1 System mit Bohlenfahrbahn........................................................................................ 130 4.2 System mit Stahlbetonfahrbahn .................................................................................. 131 5 Zweigelenkrahmen ................................................................................................................. 132 5.1 System und Belastung................................................................................................. 132 5.2 Eigengewicht .............................................................................................................. 133 5.3 Verkehrslast ................................................................................................................ 133 5.4 Windlast ...................................................................................................................... 133 5.5 Spannungsnachweise .................................................................................................. 134 5.6 Dynamische Betrachtungen ........................................................................................ 134 5.7 Lastfall Explosionswolke............................................................................................ 136 5.8 Lastfall Erdbeben ........................................................................................................ 137

1 Ausmittig beanspruchtes Rechteckfundament 1.1 Abmessungen und Lastfälle Es werden drei Lastfälle untersucht: (1) D1 = 800 kN; M a1 = 120 kNm (2) D2 = 500 kN; M a 2 = 250 kNm (3) D3 = 400 kN; M a 3 = 200 kNm; M b 3 = 75 kNm Fundamentabmessungen: a / b = 1,5 m/ 2,5 m Grundlage der Berechnungen ist BZ 33, Tafel 5-1.

1.2 Lastfall 1 z1 =

M a1 120 = = 0,150 m; D1 800

z1 0,150 = = 0, 060; b 2,50

y1 = 0 → μ1 = 1,36 a

Resultierende liegt im Kern (grauer Tafelbereich). max σ B1 = μ1

D1 800 kN = 1,36 ⋅ = 290 ab 1,5 ⋅ 2,5 m2

Da die resultierende Druckkraft im Kern der Fundamentfläche liegt, kann die Bodenpressung in diesem Fall auch wie bei einem biegesteifen Querschnitt berechnet werden: a b 2 1,5⋅ 2,52 = = 1,563 m3 6 6 M N 800 120 kN max σ B1 = 1 + a1 = + = 290 2 a b Wa 1,5⋅ 2,5 1,563 m

Wa =

1.3 Lastfall 2 z2 =

M a 2 250 = = 0,500 m; D2 500

z2 0,500 = = 0, 200; b 2,50

y2 = 0 → μ 2 = 2, 22 a (Klaffende Bodenfuge)

120

Statik und Festigkeitslehre

max σ B 2 = μ2

D2 500 kN = 2, 22 ⋅ = 296 ab 1,5 ⋅ 2,5 m2

1.4 Lastfall 3 z3 =

M a 3 200 = = 0,500 m; D3 400

y3 =

75 = 0,188 m; 400

max σ B3 = μ3

z3 0,500 = = 0, 200 b 2,50

y3 0,188 = = 0,125 → μ3 = 3, 23 a 1,50

(Klaffende Bodenfuge)

D3 400 kN = 3, 23⋅ = 345 2 ab 1,5⋅ 2,5 m

6 2 Durchlaufträger nach Kraftgrößenverfahren 2.1 System und Belastung

Bild 2–1 System und Belastung (E · I = const.)

2.2 Statisch bestimmtes Grundsystem Beim Kraftgrößenverfahren geht man von einem „statisch bestimmten Grund- oder Hauptsystem“ aus, dessen Schnittgrößenzustände mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden können. Dazu sind nach Maßgabe des Unbestimmtheitsgrades des Systems solche Bindungen zu lösen, die dem System eine möglichst hohe Stabilität belassen. Dies kann durch Einführen von Gelenken, Verschieblichkeiten und durch Entfernen von Fesseln geschehen. Beim Einführen von Gelenken entfernt man die Biegemomentenkontinuität, beim Einführen von Transversalverschieblichkeiten die Querkraftkontinuität und beim Einführen von Longitudinalverschieblichkeiten die Längskraftkontinuität. Beim Durchlaufträger führt man im allg. Gelenke über den Stützen und Randeinspannungen ein. Dadurch entsteht eine Gruppe von Einfeldträgern (Bild 2–2, oberes Teilbild: „Ursächlicher Zustand“).

2 Durchlaufträger nach Kraftgrößenverfahren

121

6 Bild 2-2

Zustandslinien am statisch bestimmten Grundsystem

Im gegebenen Fall erhält man die Größtwerte der Biegemomente jeweils in Feldmitte zu q1 l12 52⋅ 5, 602 = = 203,84 kNm 8 8 F l 200⋅ 7, 00 = 350, 00 kNm max M 2 = 2 2 = 4 4 max M1 =

max M 3 =

q3 l32 36⋅ 5, 602 = = 141,12 kNm 8 8

2.3 Berechnung der statisch Unbestimmten Die im statisch bestimmten Grundsystem zunächst außer Acht gelassenen unbestimmten Schnittgrößen (oder Fesselgrößen) werden als jeweils eigene Zustände betrachtet und mit den „ursächlichen“ überlagert: M ( x ) = 0 M ( x ) + 1M ( x ) ⋅ X1 + 2 M ( x ) ⋅ X 2 + 3M ( x ) ⋅ X 3

Der Hochindex 0 kennzeichnet den Zustand am statisch bestimmten Grundsystem infolge der ursächlichen Last, die übrigen Hochindizes die Zustände der entsprechenden statisch Unbestimmten. Die Beträge (Xi) der qualitativ bekannten unbestimmten Zustände (hier Xi · iM) folgen aus der Bedingung, dass die Kontinuität an den Unterbrechungsstellen wiederhergestellt werden muss. Im konkreten Fall müssen die Knickwinkel der Biegelinie (δi) an den eingeführten Gelenken verschwinden. Die Winkelsprünge können mit Hilfe der Arbeitsgleichung (bei Vernachlässigung des Querkrafteinflusses) berechnet werden:

δ i ( ⋅1) =

³

M ( x) i M ( x) d x EI

(System )

122

Statik und Festigkeitslehre 0

³

=

M iM d x + X1 ⋅ EI

(System )

³

+ X2 ⋅

1

M iM dx + EI

³

( System )

2

M iM d x + X3 ⋅ EI

(System )

³

3

M iM dx=0 EI

(System )

oder bei E I = const

E I δi =

6

=

³ M ( x)

i

M ( x) d x

(System )

³

0

M i M d x + X1 ⋅

(System ) + X2 ⋅

³

1

M iM d x +

(System )

2

M iM d x + X 3 ⋅

(System )

Das Integral [ E I ] δ ik =

³

³

³

3

M iM d x = 0

(System )

i

M kM d x

(der Faktor E I kann hier unterdrückt werden) kann

( System )

BZ 33, Tafel 11-1 entnommen werden. ⎛ δ11 δ12 ⎜ Mit δ =⎜ δ 21 δ 22 ⎜ ⎝ δ31 δ32

⎛ δ10 ⎞ ⎛ X1 ⎞ δ13 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ δ 23 ⎟, δ 0 =⎜ δ 20 ⎟ und X =⎜ X 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ δ33 ⎟ ⎠ ⎝ δ30 ⎠ ⎝ X3 ⎠

schreibt sich die Bedingung für alle drei Stellen: δ ⋅ X + δ 0 = 0 . l2 7, 00 § l1 + l2 5, 60 + 7, 00 · = 0 ¨ 3 = ¸ 3 6 6 ¨ ¸ § 4, 200 1,167 0 · l2 + l3 7, 00 + 5, 60 l3 5, 60 ¸ ¨ l2 7, 00 ¨ ¸ = = = = 1,167 4, 200 0,933 δ=¨ ¸m 6 6 3 3 6 6 ¸ ¨¨ ¨ ¸ 0 0,933 1,867 ¸¹ l3 5, 60 l3 5, 60 ¸ © ¨ = = 0 ¨ 6 6 3 3 ¸¹ © § l1 max M1 l2 max M 2 5, 60 ⋅ 203,84 7, 00 ⋅ 350, 00 · + = + ¨ ¸ 3 4 3 4 ¨ ¸ § 993, 00 · ¨ l max M 2 l3 max M 3 7, 00 ⋅ 350, 00 5, 60 ⋅141,12 ¸ ¨ ¸ 2 δ0 = ¨ 2 + = + ¸ = ¨ 875,92 ¸ kNm 4 3 4 3 ¨ ¸ ¨© 263, 42 ¸¹ l3 max M 3 5, 60 ⋅141,12 ¨ ¸ = ¨ ¸ 3 3 © ¹

123

2 Durchlaufträger nach Kraftgrößenverfahren

−1

X =− δ

⎛−198,3⎞ ⎜ ⎟ ⋅ δ 0 =⎜−137, 4⎟kNm ⎜ ⎟ ⎝ −72, 4 ⎠

2.4 Fesselkräfte, Querkraft- und Biegemomentenzustand Querkräfte: q l X 52 ⋅ 5, 60 ( −198,3) VAr = 1 1 + 1 = + = 110, 2 kN 2 l1 2 5, 60

q l X 52⋅ 5, 60 (− 198,3) VBl = − 1 1 + 1 = − + = − 181, 0 kN 2 2 5, 60 l1 F X − X1 200 ( −137, 4 ) − ( −198,3) VBr = 2 + 2 = + = 108, 7 kN 2 l2 2 7, 00 F X − X1 200 (− 137, 4)− (− 198,3) VCl = − 2 + 2 =− + = − 91,3 kN 2 l2 2 7,00 q l X − X 2 36 ⋅ 5, 60 ( −72, 4 ) − ( −137, 4 ) VCr = 3 3 + 3 = + = 112, 4 kN 2 l3 2 5, 60 q l X − X2 36⋅ 5, 60 (− 72, 4)− (− 137, 4) VDl = − 3 3 + 3 =− + = − 89, 2 kN 2 l3 2 5, 60

Auflagerkräfte: A = VAr = 110, 2 kN; B = VBr − VBl = 108, 7 − (− 181, 0) = 289, 7 kN

C = VCr − VCl = 112, 4 − (− 91,3) = 203, 7 kN; D = − VDl = − (− 89, 2) = 89, 2 kN Kontrolle der Auflagerkräfte: A + B + C + D = 110, 2 + 289, 7 + 203, 7 + 89, 2 = 52 ⋅ 5, 60 + 200 + 36 ⋅ 5, 60

692,8 kN = 692,8 kN

Feldmomente: max M1 =

2 VAr 110, 22 = = 116, 76 kNm 2 q1 2⋅ 52

max M 2 = max M 20 +

(− 198,3)+ (− 137, 4) X1 + X 2 = 350, 0 + = 182,15 kNm 2 2

6

124

Statik und Festigkeitslehre

max M 3 = X 2 +

2 VCr 112, 42 = − 137, 4+ = 38, 07 kN 2⋅ q3 2⋅ 36

6 Bild 2–3 V- und M-Zustandslinien, Auflagerkräfte

3 Einflusslinien von Durchlaufträgern Der Beispielrechnung wird das System von 2 zugrunde gelegt. Einflusslinien sind ein Mittel zur Bestimmung von Laststellungen, unter denen statische Größen (SG) Extremwerte annehmen.

ηSG = ηSG 0 + ¦ δ SGi η X i

(3-1)

Darin bedeuten ηSG0 die Einflusslinie (EL) der statischen Größe im statisch bestimmten Grundsystem, ηXi die EL für die statisch Unbestimmte i und δSGi das Klaffungsmaß an der Wirkungsstelle von Xi infolge ηSG0. Die ELn der statisch Unbestimmten müssen unter allen Umständen zuerst ermittelt werden.

3.1 Einflusslinien der statisch Unbestimmten Nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen ergibt sich die Einflusslinie einer statisch Unbestimmten als die Biegelinie infolge einer Klaffung (virtuellen Verrückung) vom Betrage –1 am Ort und im Sinne der Unbestimmten. Im Falle eines unbestimmten Momentes handelt es sich um einen Winkel-, im Falle einer unbestimmten Kraft um einen Wegsprung. Im gegebenen Fall ist demnach beispielsweise für „X1“ über der Stütze B der Winkelsprung (δ1 = –1) einzuprägen. An den übrigen Systemöffnungen dürfen keine Sprünge auftreten (δ2 = δ3 = 0). Der Winkelsprung verursacht im System Zwängungen, die einen zugehörigen Wertesatz für die statisch Unbestimmten zur Folge haben. Für ηXi erhält man einen Satz Belastungsglieder:

125

3 Einflusslinien von Durchlaufträgern

§1· ¨ ¸

δ1η1 = −1, δ 2η1 = δ 3η1 = 0 → δη1 = − ¨ 0 ¸ . ¨ 0¸ © ¹

§ δ11 δ12 δ13 · § X1η1 · § 1· ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ ¸ Die Rechnung ¨ δ 21 δ 22 δ 23 ¸ ⋅ ¨ X 2η1 ¸ = − ¨ 0 ¸ liefert die zugehörigen statisch Unbestimmten. ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ © 0¹ © δ 31 δ 32 δ 33 ¹ ©¨ X 3η1 ¹¸

Zweckmäßigerweise führt man aber die Berechnung für alle Unbestimmten-Einflusslinien (X-EL) in e i n e m Arbeitsgang durch. Die aneinandergereihten Belastungsgliedsätze aller X-EL bilden offenbar eine Einheitsmatrix. Daher ergeben sich die entsprechenden Unbestimmtensätze als negative Inverse der Elastizitätsbeiwertematrix: § δ11 δ12 δ13 · § X1η1 ¨ ¸ ¨ ¨ δ 21 δ 22 δ 23 ¸ ⋅ ¨ X 2η1 ¨ ¸ ¨ © δ 31 δ 32 δ 33 ¹ ©¨ X 3η1

§ X1η1 ¨ → ¨ X 2η1 ¨ ¨ X 3η1 ©

X1η 2 X 2η 2 X 3η 2

X1η 2 X 2η 2 X 3η 2

X1η 3 · § 1 0 0· ¸ ¨ ¸ X 2η 3 ¸ = − ¨ 0 1 0 ¸ → ¸ ¨ ¸ X 3η 3 ¹¸ ©0 0 1¹

6

X1η 3 · § δ11 δ12 δ13 · −1 ¸ ¨ ¸ X 2η 3 ¸ = ¨ δ 21 δ 22 δ 23 ¸ · (-1) ¸ ¨ ¸ X 3η 3 ¸¹ © δ 31 δ 32 δ 33 ¹

oder Xη = − δ −1 . Mit den Werten von 2.2 ergibt sich 0 · § 4, 200 1,167 ¨ ¸ Xη = − ¨ 1,167 4, 200 0,933 ¸ ¨ 0 0,933 1,867 ¸¹ ©

−1

§ −0, 26073 1 ¨ = ¨ 0, 08148 m ¨ © −0, 04074

0, 08148 −0, 29332 0,14666

−0, 04074 · ¸ 1 0,14666 ¸ . m −0, 60904 ¸¹

Die Einflusslinien können nun feldweise als Biegelinien infolge Randmomenteneinwirkung berechnet werden. Die allgemeine Biegelinienfunktion für diesen Belastungsfall lautet w ( X l , X r , ξ ) = η X (ξ ) =

l2 ª X l ( 2 − ξ ) + X r (1 + ξ ) º¼ ξ (1 − ξ ) , 6 ¬

(3-2)

x . l Mit Hilfe von Bild 3–1 können die Biegelinien konstruiert werden; die Funktionswerte sind mit Xl l2 zu multiplizieren (wegen E I = const ist diese Größe aus der Beziehung eliminiert). Die Ergebnisse sind im oberen Teil von Bild 3–2 dargestellt.

worin Xl und Xr die Momente am linken und rechten Rand des Feldes bedeuten. Ferner ist ξ =

126

Statik und Festigkeitslehre

6

Bild 3–1 Einheitsbiegelinie infolge eines linken Randmoments M

3.2 Einflusslinie für Feldmoment in Feld 2 Es soll die Einflusslinie für das Biegemoment an der Stelle 2ξ = 2ξM = 0,2775 im Feld 2 ermittelt werden (Der Hochindex zeigt das Bezugsfeld an). Nach Formel (3-1) sind folgende Elemente zu bestimmen: • die Einflusslinie ηM0 im statisch bestimmten Grundsystem, • die Beträge der Klaffungen an den Stellen gelöster Bindungen (hier bei {1} und {2}). Die Einflusslinien der statisch Unbestimmten (hier ηX1 und ηX2) sind bereits ermittelt. Die Figur ηM2 in Bild 3–2 zeigt die Konstruktion von ηM0. Für die Klaffungen bei {1} und {2} folgt daraus

(1 − ξ ) l 2

δ1M = +

δ2M = +

M

l2 2

ξ M l2 l2

2

(

)

= + 1 − 2ξM = 1 − 0, 2775 = 0, 7225;

= + 2ξ M = 0, 2775; δ 3M = 0

(

)

­ξ ≤ 0, 2775 : 1 − 2ξ l ξ = 0, 7225 ⋅ 7, 00 ⋅ ξ = 5, 0575 ⋅ ξ M 2 ° und damit 2ηM 0 = ® °ξ ≥ 0, 2775 : 2ξ M l2 (1 − ξ ) = 0, 2775 ⋅ 7, 00 ⋅ (1 − ξ ) = 1,9425 ⋅ (1 − ξ ) ¯

[m ] .

127

3 Einflusslinien von Durchlaufträgern

Damit ergibt sich die Funktion der Einflusslinie nach Formel (3-1): Feld 1: 1ηM = 0, 7225 ⋅ 1ηX1 + 0, 2775 ⋅ 1ηX 2

[ m]

­°ξ ≤ 0, 2775 : 5, 0575 ⋅ ξ Feld 2: 2ηM = ® °¯ξ ≥ 0, 2775 : 1,9425 ⋅ (1 − ξ )

+ 0, 7225 ⋅ 2ηX1 + 0, 2775 ⋅ 2ηX2

Feld 3: 3ηM = 0, 7225 ⋅ 3ηX1 + 0, 2775 ⋅ 3ηX 2

[m]

[ m]

3.3 Einflusslinie der Querkraft in Feld 1 Es soll die Einflusslinien für die Querkraft an der Stelle 1ξ = 1ξV = 0,8 im Feld 1 ermittelt werden. Es wird entsprechend 3.2 verfahren:

δ1V =

1 1 = = 0,17857 m −1; δ 2 V = δ 3V = 0 l1 5, 60

mit

1

ηV 0

­ξ ≤ 0,8 : −ξ =® ¯ξ ≥ 0,8 : 1 − ξ

Funktion der Einflusslinie: ­ξ ≤ 0,8 : Feld 1: 1ηV = ® ¯ξ ≥ 0,8 :

−ξ 1−ξ

+ 0,17857 ⋅ 1ηX1

Feld 2: 2ηV = 0,17857 ⋅ 2ηX1 Feld 3: 3ηV = 0,17857 ⋅ 3ηX1

3.4 Einflusslinie der Auflagerkraft C Die eingeprägte Verschiebung des Auflagerpunktes von – 1 (entgegen der Orientierung der Auflagerkraft C) führt im statisch bestimmten Grundsystem zu

δ1C =

1 1 1 1 = = 0,14286 m− 1; δ3C = = = 0,17857 m− 1 l2 7, 00 l3 5, 60

δ 2 C = − (δ1C + δ 3C ) = − ( 0,14286 + 0,17857 ) = −0,32143 m −1 Funktion der Einflusslinie: Feld 1: 1ηC = 0,14286 ⋅ 1ηX1 − 0,32143 ⋅ 1ηX 2 + 0,17857 ⋅ 1ηX3 Feld 2: 2ηC = ξ + 0,14286 ⋅ 2ηX1 − 0,32143 ⋅ 2ηX 2 + 0,17857 ⋅ 2ηX3 Feld 3: 3ηC = (1 − ξ ) + 0,14286 ⋅ 3ηX1 − 0,32143 ⋅ 3ηX 2 + 0,17857 ⋅ 3ηX3

6

128

Statik und Festigkeitslehre

3.5 Numerische Ergebnisse ξ


Feld A

1

0

ηX 3 0

3

D

ηV (Feld 1) 0

ηC 0

– 0,02108

– 0,08577

– 0,12409

– 0,03659

0,2

– 0,26135

0,08176

– 0,04088

– 0,16635

– 0,24672

– 0,07096

0,3

– 0,37230

0,11626

– 0,05813

– 0,23653

– 0,36643

– 0,10090

0,4

– 0,45788

0,14309

– 0,07154

– 0,29111

– 0,48176

– 0,12418

0,5

– 0,51103

0,15970

– 0,07985

– 0,32490

– 0,59125

– 0,13859

0,6

– 0,52329

0,16353

– 0,08176

– 0,33270

– 0,69344

– 0,14192

0,7

– 0,48650

0,15203

– 0,07602

– 0,30931

– 0,78687

– 0,13194

1/0

– 0,39247

0,12265

– 0,06132

– 0,24952

– 0,23303

0,07282

– 0,03641

– 0,14815

0

0

0

0

– 0,87008 0,12992 0,05839 0

– 0,10644 – 0,06320 0

0,1

– 0,29823

– 0,12337

0,06168

0,25604

– 0,05326

0,10806

0,2

– 0,48584

– 0,26829

0,13414

0,58629

– 0,08669

0,24084 0,38838

0,2775

C

0

0,04216

0,9

2

ηM (Feld 2)

– 0,13491

0,8r B

η X2 0

0,1

0,8l

6

ηX1 0

0,88881

0,3

– 0,57850

– 0,41641

0,20820

0,82623

– 0,10330

0,4

– 0,59407

– 0,54935

0,27468

0,59384

– 0,10608

0,54076

0,5

– 0,54895

– 0,64876

0,32438

0,39460

– 0,09803

0,68803

0,6

– 0,45992

– 0,69627

0,34814

0,25149

– 0,08213

0,82027

0,7

– 0,34375

– 0,67352

0,33676

0,14749

– 0,06138

0,92752

0,8

– 0,21719

– 0,65213

0,28106

0,07559

– 0,03878

0,99985

0,9

– 0,09702

– 0,34375

0,17187

0,02877

– 0,01732

1,02732

1/0

0

0

1,00000

0,1

0,05174

– 0,18627

0

– 0,18407

0

– 0,01431

0,00924

0,93440

0,2

0,08176

– 0,29435

– 0,39042

– 0,02261

0,01460

0,83657

0,3

0,09390

– 0,33804

– 0,59538

– 0,02596

0,01677

0,71575

0,4

0,09198

– 0,33115

– 0,77523

– 0,02543

0,01643

0,58115

0,5

0,07985

– 0,28745

– 0,90627

– 0,02208

0,01426

0,44197

0,6

0,06132

– 0,22076

– 0,96482

– 0,01696

0,01095

0,30743

0,7

0,04024

– 0,14488

– 0,92716

– 0,01113

0,00719

0,18675

0,8

0,02044

– 0,07359

– 0,76961

– 0,00565

0,00365

0,08914

0,9

0,00575

– 0,02070

– 0,46845

– 0,00159

0,00103

0,02382

1

0

0

0

0

0 m

0

0

3 Einflusslinien von Durchlaufträgern

129

3.6 Graphen

6

Bild 3–2 Einflusslinien des 3-Feldträgers

130

Statik und Festigkeitslehre

4 Einfeldträger als UPE-Profil Beim U-Profil fallen Biegeruhe- (Schwer-) und Drillruheachse (Schubmittelpunktsachse) nicht zusammen und liegen bei aufrechtem Einsatz in einer Ebene senkrecht zur Lastebene. Jede Wirkungsebene von Last- und Auflagerkräften, die die Drillruheachse nicht enthält, führt aber zu Torsionsbeanspruchung (Beispielvariante 4.1). Konstruktionsbedingt kann die Torsionsbelastung ausgeschlossen sein (Beispielvariante 4.2). Dies hat aber Rückwirkung auf die dafür eingesetzten Bauteile. Bild 4–2 und Bild 4–5 zeigen die Querschnittsausbildungen einer Grabenüberquerung in den beiden Konstruktionsarten. Die Breite des Übergangs beträgt aQ = 2,75m, die Stützweite der Längsträger l = 7,5 m. Die Ersatzlast für beide betrachtete Systemvarianten sei qQ = 20 kN/m2. UPE 400:

6

A=

91,9 cm 2

Iy =

4

ez = 2,98 cm

4

yM = 6, 06 cm

1,35 cm

t = 1,80 cm

IT = s=

20981 cm

82, 2 cm

b = 11,5 cm

Belastung der Längsträger: qQ aQ 20 ⋅ 2, 75 q= = = 27,5 kN/m 2 2

Extrema der Schnittgrößen in den Längsträgern: ql max V = VA = VzA = = 2 27,5 ⋅ 7,5 = = 103,125 kN 2 2 §l · ql max M = max M y = M ¨ ¸ = = 8 ©2¹ =

Bild 4–1 V und M in Längsträgern

27,5 ⋅ 7,52 = 193, 4 k Nm 8

4.1 System mit Bohlenfahrbahn Die querabtragenden Bauteile (z. B. Holzbohlen seien gelenkig auf die Untergurte der U-Längsträger aufgelegt. Stützweite der Bohlen ( eQ ≈ 6 cm ): lQ = aQ − 2 ⋅ eQ = 2, 75 − 2 ⋅ 0, 06 = 2, 63 m Biegebeanspruchung der Bohlen: Bild 4–2 Bohlenfahrbahn

max M Q(1) ≈

qQ lQ2 8

=

20⋅ 2, 632 kNm = 17, 29 8 m

131

4 Einfeldträger als UPE-Profil

Die Auflagerachse hat zur Drillruheachse den Abstand et = yM − ez + eQ = 6, 06 − 2,98 + 6, 00 = 9, 08 cm .

Daraus resultiert eine Torsionslast mt L = − q et = − 27,5 ⋅ 0, 0908 = − 2, 497

kNm und damit ein Torsionsmoment am m

Auflager von min M t = M tA =

mtL l − 2, 497⋅ 7,5 = = − 9,364 kNm . 2 2

Schubspannung min τ t =

max t ⋅ min M t 1,8⋅ (− 936, 4) kN = = − 20,5 (im Gebrauchszustand). IT 82, 2 cm 2

Diese Schubspannung ist zu groß. Daher wird hier eine andere Ausführungsvariante (4.2) gewählt.

4.2 System mit Stahlbetonfahrbahn

Bild 4–3 Stahlbetonfahrbahn

Die momentenschlüssig an die U-Profile angeschlossene Fahrbahnplatte verhindert praktisch die Verdrehung der U-Querschnitte und bewahrt so die Längsträger vor Torsionsbeanspruchung, — vorausgesetzt, die Platte wird entsprechend bemessen. Da die Lastebene bei geforderter Drillfreiheit durch die Drillruheachse des Längsträgers verlaufen muss, ist die Stützweite der Platte nicht zwischen den Auflagerlinien auf den Gurten, sondern zwischen den Schubmittelpunkten der Längsträger zu spannen: lQ = aQ + 2 ( yM − ez ) = 2, 75+ 2⋅ (0, 0606 − 0, 0298) = 2,812 m . max M Q(2) =

20⋅ 2,8122 = 19, 77 kNm . 8

Der Wert liegt um 14,3 % über dem der Konstruktionsvariante (1).

6

132

Statik und Festigkeitslehre

5 Zweigelenkrahmen 5.1 System und Belastung 7,00 Verkehrslast qk = 10 kN/m Eingengewicht gk = 25 kN/m HWind 11 kN 3,50

6 HA

HB A

B

Bild 5–1

Baustahl Riegel HEB 260 A = 118 cm2 W = 1150 cm3 I = 14920 cm4 Stiele HEB 220 A = 91 cm2 W = 736 cm3 I = 8090 cm4 Die Berechnung erfolgt nur für die charakteristischen Belastungen, also ohne Teilsicherheitsbeiwerte! (Berechnung mit BZ, 33. Auflage, 19 Rahmenformeln) Hilfsgröße c =

I R h 14920 3,50 ⋅ = ⋅ = 0,922 Is l 8090 7, 00

133

5 Zweigelenkrahmen

5.2 Eigengewicht A = B = 25 · 7,00 / 2 = 87,5 kN HA = HB =

25 ⋅ 7, 002 1 ⋅ = 18, 06 kN 4 ⋅ 3,50 2 ⋅ 0,922 + 3

MEcke = – 18,06 · 3,50 = – 63,21 kNm MFeld = – 63,21 +

25 ⋅ 7, 002 = + 89,92 kNm 8

5.3 Verkehrslast (Wie vor, aber Multiplikation mit

6

10 = 0,40!) 25

A = B = 0,40 · 87,5 = 35,0 kN HA = HB = 0,40 · 18,06 = 7,22 kN MEcke = – 0,40 · 63,21 = – 25,28 kNm MFeld = 0,40 · 89,92= 35,97 kNm N [kN]

–

89,92 (35,97) Bild 5-2

Eigengewicht und Verkehr

5.4 Windlast – A = B = 11 · – H A = HB =

3,50 = 5,5 kN 7, 00

11 = 5,5 kN 2

–

–

–

+

–

–

–

18,06 (7,22)

63,21 (25,28)

M [kNm]

87,5 (35,0)

134

Statik und Festigkeitslehre

11 · 3,50 = 19,25 kNm 2

M [kNm]

N [kN] 19,25

+

–

–

+

5,5 –

–

Bild 5-3

6

–

MEcke =

5,5

Wind

5.5 Spannungsnachweise (ohne Teilsicherheitsbeiwerte) Lastfall Eigengewicht + Verkehr + Wind Stiel, Ecke N = – 87,5 – 35,0 – 5,5 = – 128 kN M = – 63,21 – 25,28 – 19,25 = – 107,74 kNm − 128 − 107, 74 ⋅ 100 + = − 16, 05 kN/ cm 2 91 736 Riegel, Ecke N = – 18,06 – 7,22 – 5,50 = – 30,78 kN M= – 107,74 kNm

min σ =

− 30, 78 125,89 ⋅ 100 − = – 9,63 kN/cm2 118 1150 Riegel, Feld N = – 30,78 kN M = 89,92 + 35,97 = 125,89 kNm

min σ =

min σ =

− 30,87 125,89 ⋅ 100 − = − 11, 21 kN/cm 2 118 1150

5.6 Dynamische Betrachtungen Hier sollten die Sonderfälle Explosionswolke und Erdbeben mit einfachen Betrachtungen behandelt werden. Der einstöckige Rahmen wird durch einen Einmassenschwinger abgebildet.

135

5 Zweigelenkrahmen

k

F(t)

m

m F (t)

=

x (t)

Bild 5-4

dynamisches System

Masse:

Es wir nur die Riegelmasse in Folge Eigengewicht hier berücksichtigt! m=

g k ⋅ l 25 ⋅ 7, 00 kN = = 17840 kg g 9,81 m/s 2

Federsteifigkeit (Siehe auch Lastfall 5.4!) Berechnung Horizontalverschiebung mit dem Arbeitssatz

M Mii [kNm] [kNm]

+

+

–

+ + 19,25

1,75 –

"1"

–

–

H = 11 kN

6

M Mu [m] k [m]

Bild 5-5

xh =

2 ⎛ 350 cm⋅1925 kN cm⋅175 cm 350 cm⋅1925 kN cm⋅175 cm ⎞ ⎟ ⋅⎜ + E ⎝ 3 ⋅ 8090 cm 4 3 ⋅14920 cm 4 ⎠

xh = 0,714 cm k=

H 11, 0 = = 15, 41 kN/cm = 1541 kN/m xh 0, 714

Eigenkreisfrequenz k Ȧ= = m

m 1 ⋅ s 2 m = 9, 29 1 17840 kg s

1541⋅103 kg

Eigenfrequenz f=

ω 9, 29 = = 1, 48 Hz 2⋅ π 2⋅ π

136

Statik und Festigkeitslehre

Eigenschwingzeit

T=

1 = 0, 676 s f

5.7 Lastfall Explosionswolke Der Rahmen ist Teil eines wichtigen Gebäudes (z. B. Messwarte einer Chemieanlage). Bei einem Explosionsunfall dürfen lokale Gebäudeschäden auftreten; es darf aber nicht vollständig zerstört werden. Aus einem Gutachten sind folgende Daten entnommen: Maximaler Überdruck von 0,4 bar wirkend auf eine Fläche von 11 m2 pro Rahmen dem Zeitverlauf

6 15 Bild 5-6

t [ms]

30 Überdruck

1 bar = 105 Pa = 105

N m2

N = 4,4 · 105 N = 440 kN m2 Die Einwirkungsdauer der Explosionswolke von 30 ms = 0,030 s ist sehr gering im Vergleich zur Eigenschwingzeit T = 0,676. Daher kann mit hinreichender Genauigkeit diese Explosionsbelastung als Impuls angenähert werden.

max F(t) = 11 m2 · 0,4 · 105

1 · 0,030 s · 440 kN = 6000 Ns = 6600 kg · m/s 2 Dieser Impuls wirkt horizontal auf die Riegelmasse und verursacht die Anfangsgeschwindigkeit:

I = œ F(t) · dt =

vo =

J 6600 kg ⋅ m/s m = = 0,370 m 17840 kg s

und die Maximalverschiebung nach t = T/4 = 0,169 s max x(t) =

vo

ω

=

0,370 m/s = 0, 0398 m = 3,98 cm . 9, 29 1/s

Damit ergibt sich Horizontalkraft: max H = k · max x(t) = 1541

kN ⋅ 0, 0398 m = 61,3 kN m

und das Eckmoment: MEck =

− 61,3 ⋅ 3,50 = − 107,3 kNm 2

137

5 Zweigelenkrahmen

und die Stiellängskraft: N = −

61,3 ⋅ 3,50 = −30, 65 kN 7, 00

Spannung im Stiel min σ =

kN − 30, 65 − 107,3 ⋅ 100 + = − 14,92 2 91 736 cm

Diese Spannung ist noch mit der Spannung aus der Eigengewichtsbelastung zu überlagern: min σges = – 14,92 –

87,5 63, 21 ⋅ 100 − 91 736

= – 14,92 – 9,55 = – 24,47

kN cm2

6

5.8 Lastfall Erdbeben In DIN 4149 „Bauten in deutschen Erdbebengebieten-Lastannahmen, Bemessung und Ausführung üblicher Hochbauten“ vom April 2005 sind Antwortspektren für verschiedene Orte, Böden usw. angegeben. Für folgende Verhältnisse: – Erdbebenzone 2 (z.B. Köln) – flache Sedimentfüllung mit Lockergestein – Bedeutungsklasse III – Dampfung 5 % ergibt sich für horizontale Erdbebenwirkungen das elastische Antwortspektrum 2

Beschleunigung in m/s Beschleunugung in m/s2

2,25 1,31 0,90 in s

0,1 Bild 5-7

0,4

0,676

Antwortspektrum

Für die Eigenschwingzeit T = 0,676 s ergibt sich aus dem Antwortspektrum die Horizontalbeschleunigung von 1,31 m/s2 und damit die Ersatzhorizontalkraft von: H = 17.840 kg · 1,31 m/s2 = 23.370 N = 23,37 kN

138

Statik und Festigkeitslehre 23,37 kN

– + 11,685 kN

–

+

40,9 kNm

40,9 kNm

11,685 kN

M –11,685 kN

Bild 5-8

11,685 kN

Erdbebenbeanspruchung

Spannung in der Ecke im Stiel infolge Erdbeben: min σ = +

6

− 11, 685 − 40,9 ⋅ 100 + = − 5, 69 kN/ cm 2 91, 0 736

Diese Spannung aus dem Lastfall Erdbeben muss noch mit der Spannung aus dem Eigengewicht überlagert werden: min σ = – 5,69 –

87,5 63, 21 ⋅ 100 − = − 15, 24 kN/ cm 2 91, 0 736

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Gerhard Haße

Inhalt 1 Grundlagen............................................................................................................................. 141 1.1 Systemauffassung ....................................................................................................... 141 1.1.1 Verformungsmodell ..................................................................................... 141 1.1.2 Statisches System ......................................................................................... 142 1.2 Querschnittswerte ....................................................................................................... 142 1.2.1 Bezugssystem ............................................................................................... 143 1.2.2 Ursprüngliche Einheitsverschiebungen ........................................................ 143 1.2.3 Auf Si (Biegeruhepunkt bzw. Schwerpunkt) bezogene Teilquerschnittswerte ................................................................... 145 1.2.4 Auf D (gemeinsamer Drehpunkt) bezogene Querschnittswerte................... 145 1.2.5 Auf M (Drillruhepunkt, Schubmittelpunkt) bezogene Wölbquerschnittswerte................................................................. 145 1.3 Einwirkungen und Schnittgrößen ............................................................................... 146 1.3.1 Vertikale Beanspruchung (in Richtung –X) ................................................. 146 1.3.2 Horizontale Beanspruchung (Y- und Z-Richtung)........................................ 147 1.3.3 Torsion mit stetiger Lastfunktion und gleich bleibendem Querschnitt ........ 148 1.3.4 Torsion bei abschnittsweise stetiger Lastfunktion ....................................... 149 1.3.5 Wandnormalkräfte ....................................................................................... 151 1.3.6 Schubkräfte .................................................................................................. 151 2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen ....................................................... 152 2.1 Teilquerschnitte und Lage bezüglich Drehpunkt D .................................................... 152 2.2 Querschnittswerte ....................................................................................................... 153 2.2.1 Einheitsverschiebungen ............................................................................... 153 2.2.2 Flächen und Flächenmomente der Teilquerschnitte ..................................... 154 2.2.3 Biegeruhepunkt-Transformation für die Teilquerschnitte ............................ 155 2.2.4 Flächenmomente des Gesamtquerschnitts.................................................... 155 2.2.5 Transformation auf den Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt) M ................... 157 2.2.6 Transformation in Hauptrichtung:................................................................ 157 2.3 Schnittgrößen .............................................................................................................. 158 2.3.1 Schnittgrößen infolge Vertikallast ............................................................... 158 2.3.2 Windlast (EDIN 1055-4).............................................................................. 160 2.4 Bemessungswerte der Wand-Normalkräfte ................................................................ 161 2.5 Bemessungswerte der Schubkräfte ............................................................................. 164

Die angegebenen Verweise beziehen sich auf Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln, 32. Auflage (BZ 32). Dieser Abschnitt unterscheidet zwischen „Tafel“ und „Tabelle“. Tafeln enthalten allgemeine Ausdrücke wie Gleichungen etc., Tabellen enthalten konkrete Zahlenrechnungen.

1 Grundlagen Zur Indizierung Es werden Hochindizes links oben und Tiefindizes rechts unten am Hauptzeichen verwendet. Die Hochindizes kennzeichnen Bezugssysteme (z.B. SAyz = auf Schwerpunkt bezogen) oder Geltungsbereiche (z.B. i y, iS y = im Teilquerschnitt i gültig). Die Tiefindizes charakterisieren die bezeichnete Größe (z.B. Az , Ayz ), bezeichnen einen bestimmten Punkt (z.B. ya = etwa y am Anfang) oder sind ein Zähler (z.B. ya = Anfangspunkt der Wand j im Teilquerschnitt i).

1.1 Systemauffassung 1.1.1 Verformungsmodell Gebäudegrundrisse setzen sich im allg. aus Teilbereichen zusammenhängender Wandzüge (und Stützenquerschnitten) zusammen. Jeder Teilbereich bildet über die Gebäudehöhe ein Wandfaltwerk. Hinsichtlich der Querverformungen sind sie über die Geschossdeckenscheiben gekoppelt, hinsichtlich der Längsverformung durch die „weichen“ Deckenplatten jedoch praktisch voneinander unabhängig (Bild 1-1): Die Teilsysteme bilden ein „Stabbündel“. Bild 1-1

Formänderungsverhalten des Gebäudesystems

142

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

1.1.2 Statisches System Das Gebäude ist in statischer Hinsicht ein in das Kellergeschoß eingespannter Kragträger. Es wird durch seine Stabachse repräsentiert. Für die Teilstäbe werden Teilstabachsen eingeführt, die aber nur für Längseinwirkungen (iFx, iqx) und dadurch ausgelöste Längskräfte (Ni) und Momente (Myi, Mzi, Mωi) maßgebend sind. Das Achssystem des Gesamtstabs wird mit X, Y und Z bezeichnet, die Einheitsverwölbungen (W) der Querschnitte sind wegen der Deckenverdrehungen ebenfalls auf den Gesamtstab zu beziehen. Das Achssystem des Teilstabs i wird mit ix, iy, iz bezeichnet, die Einheitsverschiebungen seiner Querschnitte mit ix, iy, iz und iω.

7

Bild 1-2

Statisches System

1.2 Querschnittswerte Zusammenhängende Wandzüge des Grundrisses bilden einen Teilquerschnitt (Ai, i = 1 … n). Bei Betonbauweise begrenzen Tür- und Fensteröffnungsstränge den Querschnitt nur dann, wenn die Sturz- und/oder Brüstungshöhen keine ausreichende Schubsteifigkeit oder Bruchfestigkeit gewährleisten können. Insbesondere bei höheren Bauten werden so Verformungswidersprüche an den begrenzenden Leibungsfluchten vermieden und die Rissgefahr an den Sturzanschlüssen gemindert. Es muss allerdings beachtet werden, dass die verminderte Schubsteifigkeit im Öffnungsstreifen zu Beanspruchungsumlagerungen führt, die vor allem im unteren Gebäudebereich auch Spannungserhöhungen zur Folge haben (Bild 1-3). Tafel 1-1 Bezugssysteme Querschnitt Teilquerschnitt i Gesamtquerschnitt

Ursprung O i = Di D

System Querschnitt Stabachse iy, iz ix Y, Z X

Bild 1-3

Spannungsumlagerung infolge Wandöffnungen

143

1 Grundlagen

1.2.1 Bezugssystem Die Ursprünge der Koordinatensysteme (iy, iz) können frei gewählt werden, die Achsen müssen aber parallel laufen.

1.2.2 Ursprüngliche Einheitsverschiebungen Die Einheitsverschiebungen (1 iy iz iω) in den Bezugssystemen der Teilquerschnitte (Tafel 1-1) werden nach Tafel 1-2 ermittelt. Tafel 1-2 Einheitsverrückungen des Endpunkts j.e des Wandstücks j (Anfangspunkt: j. a) „iyj.e“

„1“

„izj.e“

„iωj.e“ iω j.a

1

+ iyj.a izj.e – izj.a iyj.e {+ Δωi.j}

Der Ausgangspunkt der Rechnung (Wandstück j = 1) und seine Verrückung ω können beliebig gewählt werden (im allg. iω1,a = 0 m2).

iz „iyj.e“ j.e (Punktkoordinate) (Punktkoordinate)

7

Der Beitrag in { } betrifft „geschlossene“ Querschnittsbereiche. Geschlossene Schächte werden an geeigneter Stelle aufgeschnitten

Tafel 1-3 Auf Oi = Di bezogener Querschnittswertebeitrag des Wandstücks j (j.a – j.e) in Teilquerschnitt i ti.j ( i y j .e − i y j .a )2 + ( i z j .e − i z j .a )2

Ai,j

1

Ayi.j

1 (i y j .a 2

Azi.j

1 (iz j .a 2

+

j .e ) Ai.j

3

Aωi.j

1 ( iω j .a 2

+ i ω j .e )Ai.j

4

1 (i y2 j .a 3

Ayi.j

1 (2 i y i j .a z j .a 6

Ayzi.j

j .a

iz

iy

j .e

+

i y 2 )A j .e i.j

+ i y j .a i z j .e + i y j .e i z j .a + 2 i y j .e i z j .e ) Ai.j

1 ( i z2 j .a 3

Azzi.j

+

iy

+ i y j .e )Ai.j

+

iz

j .a

iz

j .e

+

i z2 )A j .e i.j

2

5 6 7

Ayωi.j

1 (2 i y i i i i i i i j .a ω j .a + y j .a ω j .e + y j .e ω j .a +2 y j .e ω j .e ) Ai.j 6

8

Azωi.j

1 (2 i z i i i i i i i j .a ω j .a + z j .a ω j .e + z j .e ω j .a +2 z j .e ω j .e )Ai.j 6

9

Aωωi.j

1 ( iω 2 + iω i i 2 j .a ω j .e + ω j .e ) Ai.j j .a 3

It

1 t2 3 i.j

Ai.j (bei geschlossenen Querschnittsbereichen (Zellen) s. u.)

10 11

144

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

„Geschlossene“ Querschnittsbereiche (Zellen) Sind mehrfach zusammenhängende Wandzüge („geschlossene“ Bereiche, Zellen) vorhanden, so kann sich in den umschließenden Wänden keine freie Verwölbung – wie bei einfach zusammenhängenden („offenen“) Wandzügen – einstellen. Für die Berechnung von ω in den betroffenen Wänden müssen die Zellen an beliebiger Stelle zunächst aufgeschlitzt werden, so dass ein offener Querschnitt entsteht. In den Wandungen der Zelle  κ bildet sich ein Torsionsschubfluss aus, der Δ ω die (tatsächlich nicht vorhandene) Klaffung ț an der Schnittstelle durch die gegenläufige  Schubverzerrung Δω ț wieder schließt. Bei benachbarten Zellen ι, κ mit gemeinsamen Wandabschnitten überlagern sich die Einheitsschubflüsse Γι und Γκ. Rings um die Zelle κ entsteht durch Γκ bei einheitlichem Schubmodul G der Versatz si.j · ¸= (δ țȚ Γ Ț ) [↑↑= ⊕; ↑↓= ] (1-1) t ¸ (Ț ) (Ț ) © ( j (Ț ∧ ț ) ) i.j ¹ Die innere Σ erstreckt sich über alle Wandabschnitte, die sowohl der Zelle als auch der Zelle angehören. Das Vorzeichen richtet sich danach, ob der Schubfluss von Zelle in Orientierung des Schubflusses von Zelle (+) oder entgegengesetzt (–) verläuft.  Der Verwölbungssprung der geöffneten Zelle κ beträgt Δω ț = 2 Amț (Am: Zellfläche zwischen   den Wandachsen) und aus der Bedingung Δω ț + Δω ț = 0 für alle folgt das Gleichungssystem ( ι , κ = 1 nZ )



7

§

Δω ț =

¦ ¨¨ ± Γ Ț ¦

§ δ11 ¨ ¨  ¨ δκ 1 ¨ ¨  ¨δ n 1 © Z

 δ1Ț    δ țȚ    δ nZȚ

¦

 δ1nZ · § Γ 1 · § Am1 · ¨ ¸ ¸ ¨ ¸   ¸ ¨  ¸ ¨  ¸  δ țnZ ¸ ⋅ ¨ Γ ț ¸ = −2 ¨ Amț ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ ¸   ¸ ¨  ¸ ¨  ¸ ¨ Am n ¸  δ nZnZ ¸¹ ¨© Γ nZ ¸¹ Z ¹ ©

(1-2)

Der dem Wandabschnitt i.j zuzuordnende Verwölbungsausgleich beträgt



Δωi.j =

si.j ti.j

¦

( ț ∧ i.j )

±Γ κ

[↑↑= ⊕; ↑↓= ]

(1-3)

Die Querschnittswerte des Teilquerschnitts Ai werden als Summe der Beiträge jedes Wandstücks (j) tabellarisch ermittelt ((1-4) und (1-5)). § Ai ¨ Ayi Ai = ¨ ¨ Azi ¨¨ © AȦi

AȦi · Ayi.j Azi.j AȦi.j · § Ai.j ¸ ¨ ¸ AyȦi ¸ A A A A yi.j yyi.j yzi.j yȦi.j ¸ = ¨ (1-4) ¨ Azi.j Ayzi.j Azzi.ij AzȦi.j ¸ AzȦi ¸ ( j ) ¸ ¨¨ ¸¸ AȦȦi ¸¹ © AȦi.j AyȦi.j AzȦi.j AȦȦi.j ¹ Die Bezeichnungen entsprechen den Konventionen für Matrizenelemente. Die üblichen Bezeichnungen S und I eignen sich nicht, da eine Entsprechung streng genommen nur für Ay ԑ Sz und Az ԑ Sy gegeben ist, denn I y S Azz , I z S Ayy und I yz S Ayz sind im allg. auf den Biegeruhepunkt (Schwerpunkt S) und I ω M Aωω auf den Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt M) bezogen. St. Venant’sches Torsionsflächenmoment: Iti =

Ayi Ayyi Ayzi AyȦi

¦ I t i.j

(i.j )

Azi Ayzi Azzi AzȦi

¦

­° ½° Am i.ț Γ i.ț ¾ {falls nZi ®+2 ¯° (i.ț ) ¿°

¦

0}

(1-5)

145

1 Grundlagen

1.2.3 Auf Si (Biegeruhepunkt bzw. Schwerpunkt) bezogene Teilquerschnittswerte

SA

i

= Ψi Ai ΨiT

§ 1 ¨ i − y0 Ψi = ¨ i ¨ − z0 ¨ i © − ω0

mit

0 0 0· ¸ 1 0 0¸ 0 1 0¸ ¸ 0 0 1¹

(1-6)

Tafel 1-4 Biegeruhepunkt-Transformation der Querschnittswerte von Teilquerschnitt i iy

− i y0 − i z0 iω − iω 0

iS y

SA i

Ai

1

iSω

SA yyi

Ayy i −

SA yzi

Ayzi −

SA zzi

Azzi −

Ay i Ay i Ai

Ayi Azi Ai

Azi Azi Ai

2 3

iz

iS z

5

SA yω i

Ayωi −

6

SA zω i

Azωi −

7

SA ωω i

4

Ayi Aω i

8

Ai

Az i Aω i

9

Ai

Aωω i −

Aω i Aω i

10

Ai

Der Drehpunkt Di ist von der Transformation nicht betroffen; er behält seine Lage bei!

1.2.4 Auf D (gemeinsamer Drehpunkt) bezogene Querschnittswerte Tafel 1-5 Transformation der Wölbquerschnittswerte auf den gemeinsamen Drehpunkt D Dω

iSω

− Zi

ΔDAYWi

Yi DAYZi

ΔDAZWi

Yi DAZZi

iS y

+ Yi

iS z

−

Zi DAYYi

−

Zi DAYZi

1

DA YWi

SA yω i

+ ΔDAYWi

4

2

DA ZW i

SA zω i

ΔDAZWi

5

3

DA WW i

SA ωωi

+

+ Yi ΔDAZWi

−

Zi ΔDAYWi

6

Die übrigen Querschnittswerte sind von der Transformation nicht betroffen.

Auf D bezogene Querschnittswerte des Gesamtquerschnitts § Ayy i Ayz i AyȦi · ¨ ¸ DA DA A mit = = M Mi ¦ Mi ¨ Ayz i Azz i AzȦ i ¸ (i) ¨ AyȦ i AzȦ i AȦȦ i ¸ © ¹

(1-7)

1.2.5 Auf M (Drillruhepunkt, Schubmittelpunkt) bezogene Wölbquerschnittswerte Tafel 1-6 Transformation der Wölbquerschnittswerte auf den Drillruhepunkt M (Schubmittelpunkt)

YM

DA D D D YY AZW − AYZ AYW DA DA D 2 YY ZZ − AYZ

1

Mω

ZM

DA D D D YZ AZW − AZZ AYW DA DA D 2 YY ZZ − AYZ

2

MA WW

Dω

DA WW

+ ZM

iS y

− YM

iS z

+ ZM D AYW − YM D AZW

3 4

7

146

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

1.3 Einwirkungen und Schnittgrößen 1.3.1 Vertikale Beanspruchung (in Richtung –X) Eigen- und Verkehrslasten werden – soweit sie nicht aus den Wänden selbst stammen – als Auflagerkräfte der Deckenplatten gegebenenfalls über Balken als verteilte bzw. Einzellasten nach den Einzugsflächenregeln für Massivdecken in die Wände geleitet. Da im Rahmen der Beispiele die Vertikallasten nicht im Mittelpunkt der Betrachtung stehen, wird ein geschossweiser Beitrag aus den Deckenflächen von min gDd/max (gDd + qDd) = 6/10 [kN/m2] (1-8) zu Grunde gelegt. Der Eigengewichtsanteil der Wände wird mit (1-9) min gWd/max gWd = 15/21 [kN/m] angesetzt.

7

Bild 1-4 Schnittgrößen infolge Vertikallast

Die Schnittgrößen infolge Vertikallast werden als Produktintegrale der Lastfunktionen mit den Einheitsverrückungen über den Wandachsen berechnet. Für die in Bild 1-4 dargestellten Belastungsfiguren bestimmt man die Wandbeiträge nach (1-10) und Tafel 1-7. Allgemeiner Wandbeitrag zu den Schnittgrößen: S=

¦ ((1− γ k )va +γ k ve )Fk + (k)

§1 ©2

· ¹

1 6

(1-10)

 + ¨ (va +ve )qW + (((1− α )(2 − α ) + 1− β 2 )va +((1− β )(2 − β )+1− α 2 )ve )qD ¸ ⋅ l Tafel 1-7 Wandbeitrag zu den Schnittgrößen infolge Vertikallast S Ni.j

va

ve

Formel (1-10)

1

1

–S

MZi.j

iy

M Yi.j

iz

M Wi.j

iω

j.a

iy

j.e

S

j.a

iz

j .e

–S

j.a

iω

j .e

S

(Bezüglich Torsion siehe 1.3.2)

l 1 ( i y j .e − i y j.a )2 + ( i z j .e − i z j .a )2

2 3 4

147

1 Grundlagen

1.3.2 Horizontale Beanspruchung (Y- und Z-Richtung) Für die Beispielrechnung werden die Windlasten nach EDIN 1055-4 (08.2003) (siehe BH 32, Abschn. 5.4) für quaderförmige Baukörper angesetzt. Dabei wird die Windzone WZ II zu Grunde gelegt und von einer Gebäudehöhe h > 4 m ausgegangen: (1-11) qwd = γ Q cf q( x), (γ Q = 1,5) Mit dem Kraftbeiwert cf = ψ r ψ Ȝ cf,0

(1-12)

und dem Geschwindigkeitsdruck § x ⋅ [m −1 ] · q( x) = 2,1 qref,0 ¨ ¸ © 10 ¹ Bild 1-5

0,24

(1-13)

Windlast nach EDIN 1055-4

Für WZ II ist qref,0 = 0, 48 kN/m 2 . Der Funktionsverlauf von q( x) entspricht der gestrichelten Linie in Bild 1-5. Für scharfkantige Baukörper giltψ r = 1 . Die übrigen Parameter in (1-12) sind Bild 1-7 und Bild 1-6 zu entnehmen. Für die effektive Schlankheit gilt b ≥ 4h :

λeff =

b≤ h:

b/h h ≤ 15 m: h ≥ 50 m:

2, 0 h/b 1, 4 h/b

≤ 70 ≤ 70

(1-14)

(in den nicht erklärten Bereichen ist zu interpolieren).

Bild 1-7

Abminderungsbeiwert Ψ Ȝ

Aufgrund des Lastbildes (Bild 1-5) ergibt sich allgemein für einen Schnitt innerhalb des Abschnitts i, i = 1 … 3 der Schnittgrößenzustand mit iΔX = X i − X bzw. iΔξ = ξi − ξ iV

Bild 1-6

Grundkraftbeiwert c f,0

= Vi + (qi − 12 qi' i ΔX ) i ΔX = Vi + h(qi − 12 h qi' i Δξ ) i Δξ

iM =

(1-15)

Mi − (Vi + 12 (qi − 13 qi' i ΔX ) i ΔX ) i ΔX = Mi − h(Vi + 12 h(qi − 13 h qi' i Δξ ) i Δξ ) i Δξ (1-16)

7

148

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Darin bedeuten mit i = Abschnitt und Abschnittsendpunkt: § iVZ · ¨ ¸ = ¨ iVY ¸ ; ¨ iVW ¸ © ¹ § qYi · ¨ ¸ qi = ¨ qZi ¸ ; ¨m ¸ © Wi ¹

§ − iM Z · ¨ ¸ = ¨ iM Y ¸ ¨ − iM W ¸ © ¹

iV

iM

§ − M Zi · ¨ ¸ Mi = ¨ M Yi ¸ ; ¨ −M ¸ Wi ¹ ©

' · § qY i ¨ ¸ qi' = ¨ qZ' i ¸ ' ¸ ¨ mW i¹ © § VYi · ¨ ¸ Vi = ¨ VZi ¸ ¨V ¸ © Wi ¹

Schnittgrößen im Abschnitt i,

Quer- und Torsionslasten,

nach am Abschnittsende.

1.3.3 Torsion mit stetiger Lastfunktion und gleich bleibendem Querschnitt

7

Gegenüber der (maßgebenden) Drillruhe- oder Schubmittelpunktsachse wirken die Windlasten praktisch immer ausmittig. Es treten daher neben Biegemomenten stets auch Torsionsmomente auf, die den Gebäudequerschnitt als r e in e T o r sio n (St. Venanttorsion) u n d als (der Biegung verwandte) W ö lb k r a f tto r s io n beanspruchen. Wie sich das Torsionsmoment auf die beiden Torsionsarten verteilt, hängt hauptsächlich von der Querschnittsgestalt ab: Mt

M tr VW

Reine oder St. Venant-Torsion Wölbkrafttorsion

M t = M tr + VW .

Maßgebend für die Verteilung ist der charakteristische Wert: G It G It =h (1-17) E Iω E MAWW h Gebäudehöhe G It St. Venantsche Torsionssteifigkeit G Gleit- oder Schubmodul Darin bedeuten: It Torsionsflächenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitts E Iω Wölbtorsionssteifigkeit E Elastizitätsmodul Iw = MAWW Wölbflächenmoment 2. Grades des Gesamtquerschnitt

κ =h

Bei einem sehr kleinen Kennwert ( < 0,5) spielt die St. Venanttorsion praktisch keine Rolle und kann vernachlässigt werden. Bei einem großen Kennwert ( > 10) kann umgekehrt auf die Betrachtung der Wölbkrafttorsion verzichtet werden. Sonst muss die Torsionsverteilung berechnet werden. 2  = h κ 2 (m  t0d ξ + mt0d ) Die Lösung der Differentialgleichung für die Verdrehung ϑ −κ2ϑ G It

 t0d ξ lautet eines Stabes mit der Torsionslastfunktion mtd (ξ ) = mt0d +m

ϑ (ξ ) =

h2 (ețȟ G It

(

 t0d ξ ) ξ 2 eț (1-ȟ ) ξ 1 − ξ ) ⋅ c − 12 (mt0d + 13 m

)

(1-18)

149

1 Grundlagen

 t0d ξ + mt0d gilt (1-19). Für den Stab mit stetiger linear veränderlicher Torsionslast m § eț · −κ ¨ ¸ §  t0d mt0d + m · ț κe 1 ¨ 1 ¸⋅¨ ¸ c=  t0d ¸ κ 2 (e2ț + 1) ¨ −2 eț κ 2 (e2ț + 1) − κ (e2ț − 1) ¸ ¨ mt0d + 12 − 12 m κ ¹ ¨¨ ¸¸ © ț −κ (e2ț − 1) © −2 e ¹

)

(

(1-19)

Tafel 1-8 Torsionsmomente und Wölbbimoment unter linear veränderlicher Torsionslast

M td

§  t0d 1 + ξ ·¸ (1 − ξ )h ¨ mt0d + m 2 ¹ ©

M tr d

§ eκ ξ − e −κ ξ · § κ (1−ξ ) + e −κ (1−ξ ) ·  t0d ) − ¨ e  t0d −  ¸ (mt0d + m − κ ¸ mt0d + 21 − 12 m ¨ κ h − κ κ + e −κ κ e ¨ e +e ¸ © ¹ κ ¨ ¸  t0d ξ ξ ¸ ¨  − κ mt0d + 21 m © ¹

(

)

(

)

(

(

κ (1− ξ ) + e −κ (1−ξ ) § eκ ξ − e −κ ξ  t0d ) − e −¨ κ (mt0d + m mt0d + − κ eκ + e −κ © e +e

Vωd Mωd

1

(

κ (1− ξ ) − e −κ (1− ξ ) § eκ ξ + e −κ ξ  t0d ) + e (mt0d + m mt0d + ¨ κ − κ eκ + e−κ © e +e

(

1 2

−

(

1 2

1

)

κ2

−

1

κ2

2

)

) m ) − mκ t0d



)

t0d

·h ¸ ¹κ

3

· 2  t0d − (mt0d +m  t0d ξ ) ¸ h m 2 ¹κ

7 4

1.3.4 Torsion bei abschnittsweise stetiger Lastfunktion Für den einzelnen stetigen Belastungsabschnitt λ : ξ Ȝ −1 → ξ Ȝ ; λ = 1 nȜ gilt derselbe Lösungsansatz (1-18) wie bei durchweg stetigen Verhältnissen zweckmäßigerweise in angepasster Form: Ȝϑ

=

ț (ȟ − ȟ Ȝ −1 ) h2 §¨ (e G It ¨ ©

· ¸ (ξ − ξ Ȝ −1 )2 ¸ ¹

eț (ȟ Ȝ − ȟ ) ξ − ξ Ȝ −1 ξ Ȝ − ξ ) ⋅ cȜ − 

−

( 12 mtȜd + 16 m tȜd ξ − ξ Ȝ −1 )

(1-20)

Es gelten auch dieselben Randbedingungen. Allerdings sind die geometrischen( ϑ (0) = 0 und ϑ (0) = 0 ) am Abschnitt λ = 1 , die dynamischen ( M ω (1) = 0 und M t (1) = 0 ) aber am Abschnitt λ = nȜ zu erfüllen, für die unterschiedliche Integrationskonstantensätze cλ maßgebend sind. § e ț (ȟ − ȟ Ȝ −1 ) ¨ ț (ȟ − ȟ Ȝ −1 ) ȜU = ¨ κ e ¨ κ 2 e ț (ȟ − ȟ Ȝ −1 ) ¨¨ 0 ©

eț (ȟ Ȝ − ȟ ) ξ − ξ Ȝ −1 ξ Ȝ − ξ · ¸ − ( ) ț ȟ ȟ −κ e Ȝ 1 −1 ¸ κ 2 eț (ȟ Ȝ − ȟ ) 0 0 ¸ ¸ 0 1 −1 ¸¹

( (

) )

§ 1 mtȜ d + 1 m  (ξ − ξ Ȝ −1 ) (ξ − ξ Ȝ −1 )2 3 tȜ d ¨ 2 ¨  tȜ d (ξ − ξ Ȝ −1 ) (ξ − ξ Ȝ −1 ) mtȜ d + 12 m Ȝu = ¨ ¨  tȜ d (ξ − ξ Ȝ −1 )) / k −2 (mtȜ d + m ¨  tȜ d ¨ m  tȜ d (ξ − ξ Ȝ −1 ) (ξ − ξ Ȝ −1 ) − ¨ mtȜ d + 12 m κ2 ©

(

)

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

(1-21)

(1-22)

150

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Für ξ = 0 erhält man aus (1-21) und (1-22) § 0 · ¨ ¸ 0 ξ1 · ¨ 0 ¸ ¸ ¨ m ¸ −κ eț ȟ1 1 −1¸ ; r0 = 1u0 = ¨ t1d ¸ 2 eț ȟ1 0 0¸ ¨ κ ¸ ¸ ¨ m  t1d ¸ 0 1 −1¸¹ ¨− ¸ © κ2 ¹ Die ersten beiden Zeilen bilden die geometrischen Randbedingungen. Übergangsbedingung an der Grenze zwischen den Abschnitten 1 und ҞBezeichnungsbeispiel: (Abschnitt)U(Grenzpunkt): §1 ¨ κ R 0 = 1 U0 = ¨ ¨1 ¨¨ ©0

ȜU

Ȝ −1

eț ȟ1

⋅ c Ȝ − Ȝ u Ȝ −1 =

Ȝ −1 U

Ȝ −1

⋅ c Ȝ −1 −

Ȝ −1u

(1-23)

Ȝ −1 .

(1-24)

Darin ist mit der bezogenen Abschnittslänge Δξ Ȝ = ξ Ȝ − ξ Ȝ −1

7

§ e ț Δȟ Ȝ −1 ¨ ț Δȟ ¨ κ e Ȝ −1 Ȝ −1 U = Ȝ −1 ¨ e ț Δȟ Ȝ −1 ¨¨ 0 ©

1 −κ

Δξ Ȝ −1

1

0

0

1

0· ¸ −1¸ ; 0¸ ¸ −1¸¹

1

( (

§1 ¨ ¨κ ȜU = Ȝ −1 ¨1 ¨¨ ©0

eț Δȟ Ȝ −κ

e ț Δȟ Ȝ

e ț Δȟ Ȝ 0

0 Δξ Ȝ · ¸ 1 −1 ¸ und 0 0 ¸ ¸ 1 −1 ¸¹

) )

1 m 1 2 § 0 · § · tȜ −1d + 3 m tȜ −1d Δξ Ȝ −1 Δξ Ȝ −1 2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ 1  tȜ −1d Δξ Ȝ −1 Δξ Ȝ −1 mtȜ −1d + 2 m ¨ mtȜ d ¸ ¨ ¸ Ȝ −1u Ȝu Ȝ −1 = ¨ Ȝ −1 = ¨ ¸. ¸;  tȜ −1d Δξ Ȝ −1 ) / κ 2 (mtȜ −1d + m ¨ κ2 ¸ ¨ ¸ ¨ m  tȜ −1d ¸ ¨ m  tȜ d ¸  tȜ −1d Δξ Ȝ −1 Δξ Ȝ −1 − ¨− ¸ ¨ mtȜ −1d + 12 m ¸ 2 © ¹ κ © κ2 ¹ Mit Hilfe der Übergangsbedingungen wird in einer Übertragungsrechnung für λ = 1 nȜ cλ durch c1 substituiert:

(

ȜU

Ȝ −1

)

⋅ c Ȝ − Ȝ u Ȝ −1 = R Ȝ −1⋅ c1 − rȜ −1 .

Übertragungsrechnung für λ = 1 nȜ RȜ

= Ȝ U Ȝ ⋅ Ȝ U −Ȝ 1−1 ⋅ R Ȝ −1

rȜ

= Ȝ U Ȝ ⋅ Ȝ U −Ȝ 1−1 ⋅ (rȜ −1 − Ȝ u Ȝ −1 ) + Ȝ uλ

(1-25)

Rechnungsabschluss R nȜ ⋅ c1 − rnȜ liefert mit den Zeilen 3 und 4 dynamischen Randbedingungen, die in (1-23)ergänzt werden: § 1 ¨ R § 0;Z:1,2 · ¨ κ = R=¨ ¸ ¨ © R nȜ ;Z:3,4 ¹ ¨ R13 ¨R © 14

eț ȟ1

−κ

eț ȟ1

0

R23

1 R33

R24

R34

ξ1 ·

§0· ¸ ¨ ¸ r § 0;Z:1,2 · ¨ 0 ¸ −1 ¸ = ; r=¨ ¸ R43 ¸ © rnȜ ;Z:3,4 ¹ ¨ r3 ¸ ¸¸ ¨ ¸ R44 ¹ © r4 ¹

c1 = R −1 ⋅ r

(1-26)

(1-27)

Die übrigen Konstanten können mit (1-24) bestimmt werden: c Ȝ +1 =

Ȝ +1 U −1 Ȝ

⋅ ( Ȝ U Ȝ ⋅ cȜ − ȜuȜ +

Ȝ +1u

Ȝ)

(1-28)

151

1 Grundlagen

Tafel 1-9 Torsionsmomente und Wölbbimoment im Abschnitt λ λM λM

§ ¨ (0 0 1 −1) ⋅ cλ − mtλ d + ©

(

td

tr d

((κ eκ ξ

( − ξλ −1)

ωd

λM

 tλ d · m ¸h κ2 ¹

)

− ξλ −1) (ξ − ξ λ −1) −

(

−κ eκ (ξλ − ξ ) 1 −1) ⋅ c λ − mtλ d +

§ − ¨ (κ eκ (ξ −ξλ −1) ©

λV

1m  (ξ 2 tλ d

1m  (ξ 2 tλ d

−κ eκ (ξλ −ξ ) 0 0) ⋅ c λ −

)

1

)

− ξ λ −1) (ξ − ξ λ −1) h

2

 tλ d · m ¸h κ2 ¹

3

 tλ d (ξ − ξλ −1) · mtλ d + m § κ (ξ − ξ ) λ −1 eκ (ξλ − ξ ) 0 0) ⋅ cλ − ¨ (e ¸ h2 κ2 © ¹

ωd

4

1.3.5 Wandnormalkräfte Für die Bemessung der Wandquerschnitte werden die Normalkräfte/Wandlänge benötigt: nx = t σ (t = Wanddicke; σ = Normalspannung) (1-29) nx = t Ma T MA −1 MN (1-30) mit den auf die Biegeruhepunkte (Schwerpunkte) und den Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt) bezogenen Einheitsverrückungen im abgefragten Punkt, Querschnittswerten und Schnittgrößen § 1 · ¨ S ¸ y¸ Ma = ¨ ; ¨ Sz ¸ ¨M ¸ © ω¹

§A ¨ 0 MA = ¨ ¨0 ¨ ©0

0 SA YY

0 SA YZ

SA YZ

SA ZZ

0

0

§ A−1 0 ¨ S 0 AZZ D −1 MA −1 = ¨ ¨ 0 − SAYZ D −1 ¨ ¨ 0 0 ©

0 − SAYZ D −1 −1 SA YY D 0

· ¸ ¸; 0 ¸ ¸ MA WW ¹

0 0

§ N · ¨ S ¸ − MZ ¸ MN = ¨ ¨ SM Y ¸ ¨ M ¸ ©− MW ¹

(1-31)

· ¸ ¸ ; D = SA S S 2 YY AZZ − AYZ ¸ ¸ MA−1 ¸ WW ¹ 0 0 0

(1-32)

oder S S S S § N Sy SAZZ − Sz SAYZ SM + z AYY − y AYZ SM − nX =t ¨ − Z Y SA − SA2 SA SA − SA2 ¨ A SA YY ZZ YY ZZ © YZ YZ

MW MA WW

MM

W

· ¸¸ (1-33) ¹

mit der Einheitsverwölbung W im auf den Drillruhepunkt bezogenen System.

1.3.6 Schubkräfte Die Schubbeanspruchung infolge Biegung, Torsion und Wölbkrafttorsion hat insbesondere im Bereich von Öffnungen große Bedeutung. Stürze und Brüstungen sind darauf zu bemessen. Die Schubkraft in einem vertikalen Wandschnitt (z.B. durch einen Sturz) ergibt sich als Normalkraftdifferenz einer Gebäudeschicht (z.B. Stockwerk) in der Fläche des abgetrennten Querschnittsteils iAT . In Horizontalschnitthöhe X herrscht im abgetrennten Querschnitt T die Normalkraft NT (X )= MATT

MA −1 M M( X );

§ MA = ¨ T ¨ ¨ ©

SA § − SM Z · § SVY · yT · ¸ ¨ ¸ ¨ S ¸ SA M SM M zT ¸ ; M = ¨ Y ¸ ; V = ¨ VZ ¸ MA ¸ ¨ − MM W ¸ ¨ MVW ¸ WT ¹ © ¹ © ¹

(1-34)

7

152

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Die Flächenmomente 1. Grades des abgetrennten Querschnittsbereichs MA T werden entsprechend Tafel 1-3 mit den auf die Biegeruhe- bzw. den Drillruhepunkt bezogenen Einheitsverschiebungen berechnet. Für die Gebäudeschicht ΔX = X o − X u ergibt sich demnach ΔN T =

M A T MA −1 ( M M o T

−

MM

u)

=

M A T MA −1 M V u T

ΔX

(1-35)

Schubkraft in Zellwänden Bei Schnitten durch Zellen sind stets mehrere Wände durchtrennt. Hier muss die Schubkraft ΔN T /ΔX nach Gleichung (1-35) im Verhältnis der Steifigkeit auf die betroffenen Wände verteilt werden. Außerdem ist der Zellschubfluss zu berücksichtigen. ΔN T j =

tiT j

¦ tiT Ț

⋅ MATT

MA −1 ( M M

o

−

(Ț )

7

MM

u)

+

M tro − M tr u It

ΔX ¦ ± Γ ț

(1-36)

(ț )

Die Summe der ideellen Dicke der Wand j ( tiT j hSturz, j /hGeschoss ⋅ t j ) erstreckt sich über alle durchtrennten Wände (ι), die Summe über Γκ über alle Zellen (κ), denen die betrachtete Wand (zu tiT) angehört; das Vorzeichen richtet sich nach der Richtung des Schubflusses.

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen 2.1 Teilquerschnitte und Lage bezüglich Drehpunkt D Der Grundriss des Gebäudes besteht aus drei Teilquerschnitten. Teilquerschnitte sind nur über „biegeweiche“ Geschossdecken miteinander verbunden, die zwar keine Verdübelung der Teilquerschnitte bewirken können, wohl aber bündeln sie die drei Stäbe und erzwingen eine parallele Biege- und gemeinsame Torsionsverformung (siehe Bild 1-1). Das ganze Gebäude bildet einen in die Kellerbasis eingespannten Kragarm, dessen Schnittgrößen aus Querlast genau wie für einen einfachen Kragarm (also ein statisch bestimmtes Tragwerk) ermittelt werden. Bei Längseinwirkungen (vertikalen Lasten) verbleiben die Längskräfte (Ni) im zugehörigen Teilquerschnitt i, während die aus „Ausmitten“ herrührenden Momente ebenso wie die Momente aus Querlast in den Gesamtquerschnitt einfließen (siehe 1.1.1). Auch das Torsionsmoment lässt sich – abgesehen einmal vom im allg. aber nicht großen Beitrag der Vertikallasten – auf die übliche Weise am Kragarm ermitteln. Die Querlastenausmitte ist dabei auf die Drillruhe- oder Schubmittelpunktsachse zu beziehen. Es verteilt sich im allg. auf die beiden Torsionsarten: St. Venant- oder reine Torsion einerseits und die der Biegung verwandte Wölbkrafttorsion andererseits (siehe 1.3.3). Ob die Torsionsaufspaltung beachtet werden muss, hängt vom charakteristischen Wert κ (Gleichung (1.17)) ab. Mit den in Tabelle 2-2 berechneten Werten und den Daten aus Bild 2-1 ergibt sich St. Venanttorsion kann also vernachlässigt werden.

κ = 33 ⋅

8100 ⋅ 0, 0853 = 0, 255 < 0,5 . 30000 ⋅ 386, 2

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

153

Wegen der Unabhängigkeit hinsichtlich Längsdehnung erhalten die Teilquerschnitte eigene Bezugssysteme mit den Ursprüngen Oi (Bild 1-3). Die Achsen werden mit kleinen Zeichen (y, z) bezeichnet im Unterschied zu den Achsen des Gesamtbezugssystems (Y, Z) mit dem Ursprung D (Drehpunkt).

Bild 2-1 Gebäudegrundriss

7

Bild 2-2

Teilquerschnitte

2.2 Querschnittswerte 2.2.1 Einheitsverschiebungen Die im Verhältnis zu den Gebäudeabmessungen geringe Dicke der Wände erlaubt es, die Wandquerschnitte auf deren „dickenbelegte Systemlinien (Mittellinien)“ zu reduzieren. Geringfügig abweichende Dehnungen der Wandränder gegenüber der Wandmitte sind vernachlässigbar. Die Einheitsverschiebungen werden nur für die Systemlinien der Wandquerschnitte benötigt (Bild 2-3). Der Berechnung der Querschnittswerte geht die Ermittlung der Einheitsverschiebungen (1, y, z und ω) für die Eck- und Endpunkte der Wände voraus. Im Falle von y und z ist das gleichbedeutend mit der Feststellung der Koordinaten dieser Punkte. Die Wölbverrückung ω wächst dagegen von einem beliebig auf einer Wandachse festgelegten Nullpunkt den Wandverästelungen folgend proportional zum Abstand der Wände vom Drehpunkt D bzw. O = D an:

& ex s & & & ω ( s ) = ³ r ( s) × ds = 0 0

&

0

&

ey

&

ez

y

z

dsy

dsz

Der Vektor ds folgt der Tangentenrichtung im Punkt s. (Berechnung siehe Tafel 1-2.)

154

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Bild 2-3 zeigt das Ergebnis für die Einheitsverschiebungen. Die Wölbordinaten sind in Tabelle 2-2 nach Tafel 1-2 ermittelt worden.

2.2.2 Flächen und Flächenmomente der Teilquerschnitte § A ¨ Ay Ai = ¨ ¨ Az ¨¨ © AȦ

7

Ay Ayy

Az Azy

Ayz AyȦ

Azz AzȦ

AȦ · ¸ AȦy ¸ = AȦz ¸ ¸ AȦȦ ¸¹ i

O

§ A ¨ ¨ Sz ¨ Sy ¨ ¨ SȦ* ©

Sz Iz

Sy I yz

I zy * I zȦ

Iy * I yȦ

SȦ* · * ¸ I Ȧz ¸ * ¸ I Ȧy ¸ I Ȧ ¸¹ i

Fläche und Flächenmomente eines Teilquerschnitts i werden zweckmäßigerweise in einer Matrix zusammengefasst. Bei den doppelt indizierten Größen gilt die Vertauschbarkeit, z.B. AȦy ≡ AyȦ . (Der Gebrauch der zweiten Bezeichnungsvariante wird nicht empfohlen. Die mit * gekennzeichneten Größen sind nicht eindeutig definiert. I Ȧ ist für das Schubmittelpunkts-Bezugssystem reserviert. Der Hochindex O weist hier darauf hin, dass die Querschnittswerte auf die willkürlich gewählten Ursprünge Oi = Di, nicht auf die Biegeruhepunkte Si und den Drillruhepunkt M bezogen sind.) Tabelle 2-1

Einheitsverschiebungen

Pkt.

z

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

y

ω

– 1,000 4,000 28,000 3,000 4,000 12,000 3,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 2,000 0,000 – 3,000 0,000 0,000 – 5,000 0,000 0,000 – 2,000 0,000 0,000 – 1,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 – 4,000 0,000 – 2,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000 – 3,000 0,000 – 2,000 – 3,000 – 6,000

sy

sz

– 2,000 2,000 2,000 – 1,000 – 1,000 – 4,000 – 3,625 – 0,625 0,375 1,375 1,375 – 1,563 0,438 1,438 0,438 – 1,563 – 1,000 0,031

2,375 2,375 – 1,625 – 1,625 0,375 – 1,625 1,000 1,000 1,000 1,000 – 3,000 1,313 1,313 1,313 – 1,688 – 1,688 2,375 – 2,656

Mω 10,692 3,234 2,243 – 4,163 – 9,667 – 10,569 15,507 – 2,087 – 7,952 – 13,816 9,193 – 9,386 – 11,116 – 11,980 15,141 10,871 8,828 4,253

Die Berechnung der Flächen- und die Flächenmomentenbeiträge einer Wand j an den Querschnittswerten des Teilquerschnitts i wird in Tabelle 2-2 durchgeführt.

Bild 2-3 Graphen der Einheitsverschiebungen

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

Bild 2-4

Einheitsverschiebungen (Wand j = 2–1)

Der Berechnung liegen die allgemeinen Beziehungen für Produktintegrale zugrunde, wobei alle möglichen Kombinationen der vier Verschiebungszustände auftreten (Beispiel: Bild 2-4). In Tabelle 2-1 sind die Einheitsverschiebungen zusammengestellt. Die Spalten „y“ und „z“ enthalten die „Urdaten“ der Wandendpunkte, die Spalte „ω“ die nach Tafel 1-2 berechneten Werte der Einheitsverwölbung. Die zweite Spaltengruppe enthält die normierten Wert im S- bzw. M-System gemäß den Rechenanweisungen der Tafel 1-4, Tafel 1-5 und Tafel 1-6. Die Berechnung der normierten Einheitsverrückungen setzt die Querschnittswerteberechnung nach Tabelle 2-2 voraus. (Für die Durchführung der Rechnungen wird zweckmäßigerweise ein Tabellenkalkulationsprogramm – wie z.B. EXCEL – eingesetzt. Im weiteren Rechengang sind mathematische Problemlöser wie z.B MATHCAD oftmals besser geeignet) In Bild 2-4 ist beispielhaft die Einheitsverschiebungssituation der Wand j = 2–1 (zwischen den Punkten ja = 2 und je = 1 ) im Teilquerschnitt i = 1 dargestellt. Der Flächenbeitrag dieser Wand beträgt A1;2-1 = 0,20 · 4,00 = 0,800 m2.

Für das Wölbflächenmoment ³ y ω d A ergibt sich z.B.: AyȦ;2-1 = 16 (2 ⋅ 3 ⋅ 12 + 3 ⋅ 28 − 1 ⋅ 12 − 2 ⋅ 1 ⋅ 28) ⋅ 0,800 = 11, 733 m 2 (siehe Tabelle 2-2, Sp. 18, Z. 5). In den Zeilen 1 – 5, 9 – 12 und 16 – 19 sind alle Wandbeiträge berechnet. Die Summen (Zeilen 6, 13, 20) ergeben die zu den ursprünglichen Bezugssystemen gehörenden Teilquerschnittswerte (Gleichung (1-4)).

2.2.3 Biegeruhepunkt-Transformation für die Teilquerschnitte In den Zeilen 6 – 8, 13 – 15 und 20 – 22 der Tabelle 2-2 werden die Querschnittswerte auf die Biegeruhepunkte (Schwerpunkte) der Teilquerschnitte nach Gleichung (1-6) bzw. Tafel 1-4 transformiert. −1, 200 = −0, 750 m 2 ; 3ω16 = −6 − ( −0, 750) = −5, 250 m 2 Beispiel: 3ω0 = 1, 600 3, 200 ⋅ 20,800 SA und = 26,133 − 20,800 = 5,333 m5 . yȦ1 = 26,133 − 3, 200

2.2.4 Flächenmomente des Gesamtquerschnitts Wegen der Dehnungsunabhängigkeit der Teilquerschnitte ergibt die Berechnung einer Gesamtquerschnittsfläche keinen Sinn. Die Spannungsbeiträge der in den Biegeruhepunkten angreifenden Längskräfte verbleiben in den jeweiligen Teilquerschnitten. Anders ist das bei den Flächenmomenten, denn die Teilstabachsen werden durch die Deckenscheiben in eine parallele Krümmung gezwungen, die Biegedehnung wird aber durch die in Plattenrichtung verhältnismäßig weichen Decken kaum behindert (Die Querschnitte kippen um die lokalen Sy- bzw. Sz-Achsen). Die Gesamtsteifigkeit ergibt sich als Summe der Teilstabsteifigkeiten.

155

7

6 5 3 2 1

4 4 4 3 2

t m 0,20 0,20 0,20 0,20 0,20

4

11 9 8 7

0,20 0,20 0,00 0,20

13 13 13 15

14 12 15 16

0,20 0,20 0,20 0,20

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,438

0,000 0,000 -1,000 -2,000 -1,375

0,000 0,000 0,000 -3,000 -1,313

0,000 0,000 0,000 0,000 -1,000

0,000 0,000 0,000 0,000 -0,750

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

m 0,000 0,000 0,000 0,000 12,000 6,500

ω

7

Gesamtquerschnittswerte bezögen auf D i YD ZD 1 2,500 -4,000 2 -0,500 4,000 3 -3,500 -1,000 Gesamtquerschnitt Gesamtquerschnittswerte bezögen auf M YM ZM 5,252 -1,865

3 S3-Transformation

3 3 3 3

2 S2-Transformation

2 10 2 10 2 9 2 8

5 6 Anfangspunkt y z m m 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3,000 0,000 3,000 4,000 1,000 1,625

1,000 -2,000 0,000 -2,000

0,000 -1,000 -2,000 -5,000

0,000 0,000 -3,000 -3,000

-4,000 0,000 0,000 0,000

0,000 0,000 0,000 -6,000

0,000 0,000 0,000 0,000

9 10 Endpunkt y z ω m m m -3,000 0,000 0,000 0,000 2,000 0,000 3,000 0,000 0,000 3,000 4,000 12,000 -1,000 4,000 28,000

8

0,200 0,400 0,600 0,400 1,600

0,100 -0,400 0,000 -0,400 -0,700

0,000 -0,100 0,000 -2,100 -2,200

Ay m3 -0,900 0,000 0,900 2,400 0,800 3,200

A m2 0,600 0,400 0,600 0,800 0,800 3,200

0,800 0,200 0,000 0,600 1,600

12

11

0,000 0,000 -0,900 -1,200 -2,100

-1,600 0,000 0,000 0,000 -1,600

m3 0,000 0,400 0,000 1,600 3,200 5,200

Az

13

AYY 9,467 4,842 0,827 15,135

m4 1,800 0,000 1,800 7,200 1,867 12,667 -3,200 9,467 0,000 0,067 0,000 7,800 7,867 -3,025 4,842 0,067 0,533 0,000 0,533 1,133 -0,306 0,827

Ayy

15

AYZ 2,800 -2,200 0,281 0,881

m4 0,000 0,000 0,000 4,800 3,200 8,000 -5,200 2,800 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 -2,200 -2,200 0,000 0,000 0,000 1,200 1,200 -0,919 0,281

Ayz

16

AZZ 9,150 2,667 2,644 14,460

m4 0,000 0,533 0,000 4,267 12,800 17,600 -8,450 9,150 4,267 0,000 0,000 0,000 4,267 -1,600 2,667 0,000 0,000 1,800 3,600 5,400 -2,756 2,644

Azz

17

218,09 15135 0,881 14,460

Δ

0,000 0,000 0,000 -1,200 -1,200

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

m4 0,000 0,000 0,000 4,800 16,000 20,800

Aω

14

AYW 50,200 -18,267 0,918 32,851

m5 0,000 0,000 0,000 14,400 11,733 26,133 -20,800 5,333 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,600 1,600 -0,525 1,075

Ay ω

18

m6 0,000 0,000 0,000 38,400 337,067 375,467 -135,200 240,267 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 4,800 4,800 -0,900 3,900

Aωω

20

AZW AWW 77,075 762,588 7,467 69,333 -6,947 23,119 77,595 855,040 M AWW -468,813 386.227

m5 0,000 0,000 0,000 12,800 64,000 76,800 -33,800 43,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 3,600 3,600 -1,575 2,025

Azω

19

0.085

0,00267 0,00533 0,00800 0,00533

0,01067 0,00267 0,00000 0,00800

m4 0,00800 0,00533 0,00800 0,01067 0,01067

It

21

27 28

23 24 25 26

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Tabelle 2-2

1 S1-Transformation

je

ja

i

3

2

7

1

156

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Berechnung der Querschnittswerte

157

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

Ähnlich verhält es sich mit der Torsion. Die Teilquerschnitte können sich wegen der steifen Deckenscheiben nicht um ihre eigenen Achsen drehen. Sie haben vielmehr eine gemeinsame Drillachse, um die sie sich spiralartig winden. Neben der Drillung erfahren sie Biegungen – umso mehr je weiter sie von der Drillachse entfernt sind. Die Transformation der Wölbflächenmomente auf D wird nach Tafel 1-5 vorgenommen (Tabelle 2-2, Zeilen 23–25). D ist frei gewählt. Die Summen (Zeile 26) ergeben die Querschnittswerte des Gebäudes.

2.2.5 Transformation auf den Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt) M Für die Spannungsberechnung ist die Ermittlung des Drillruhepunkts nicht unbedingt erforderlich. Der Drillruhepunkt ist von Interesse für die Beurteilung des Gesamtquerschnittscharakters. Eine weit vom Windangriffsschwerpunkt entfernte Lage des Drillruhepunkts beansprucht die gegenüberliegenden Querschnittsteile besonders stark, zumal diese dann meist auch schwächer ausgebildet sind. Optimal ist eine möglichst zentrale Position. Außerdem wird das Wölbflächenmoment für die Berechnung des charakteristischen Wertes κ (Gleichung (1-17)) benötigt. Die Koordinaten des Drillruhepunkts und die auf M bezogenen Querschnittswerte berechnet man nach Tafel 1-6 (Tabelle 2-2, Zeilen 27–28). Die zugehörigen Einheitsverwölbungen enthält Tabelle 2-1. Beispiel:

3Dω 16

= − 5, 250 + ( −1, 000) ⋅ ( −1,563) − ( −3,500) ⋅ ( −1, 688) = −0,905 m 2 ,

3Mω 16

= − 0,905+( −1,865) ⋅ ( −1, 563) − 5, 252 ⋅ ( −1, 688) = 10,871 m 2 .

2.2.6 Transformation in Hauptrichtung: Tafel 2-1 Hauptachsentransformation DA YY

Größe

HA

DA YZ

DA

2 1 YZ arctan D 2 AYY − D AZZ

ϕH HA

DA

≠ DAZZ

DA YY

+ D AZZ 2

DA ZZ

YY

YY

+ D AZZ 2

+

−

DA

YY

− D AZZ 2

DA

YY

− D AZZ 2

±

1 + tan2 2ϕH

DA

YY

YY

= DAZZ DA

≠0

π 4

DA

Hy

Dy

cos ϕH + Dz sin ϕH

Hz

Dy

cos ϕH − Dz sin ϕH

YY

=0

beliebig

+ D AYZ DA

1 + tan2 2ϕH

YZ

YY

= DAZZ

− D AYZ

(Die Transformation in die Hauptrichtungen ist – jedenfalls für die Ermittlung von Normalspannungen – nicht von Vorteil. Schnittgrößen und vor allem die Punktkoordinaten müssen dann in die Hauptrichtungen transformiert werden! Das Arbeiten im Y-Z-System ist – insbesondere bei Ausnutzen von Matrizenoperationen – bequemer). Falls die Hauptachsen in Einzelfällen interessieren, kann die Transformation nach Tafel 2-1 durchgeführt werden. Für das Beispiel ergibt sich ein Hauptrichtungswinkel von

7

158

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

ϕ H = 12 arctan

2 ⋅ 0,881 = 15,135 − 14, 460

1 arctan 2, 610 2

= 34,52° .

In Bild 2-5 sind die Biegeruhepunkte (Schwerpunkte) Si der Teilquerschnitte und der Drillruhepunkt (Schubmittelpunkt M) des Gesamtquerschnittes eingetragen. Wegen des U-förmigen Teilquerschnitts 1 wird M weit nach links gerückt. Daraus resultiert eine verhältnismäßig große Torsionsbeanspruchung.

Bild 2-5

Lage der Biegeruhepunkte und des Drillruhepunkts

7 2.3 Schnittgrößen 2.3.1 Schnittgrößen infolge Vertikallast

Bild 2-6

Verteilung der Deckenlast auf Wände und Balken

Grundlage der Schnittgrößenermittlung ist die für Massivdecken zulässige Einflussflächenbildung aus Trapezen und Dreiecken (Bild 2-6). Im unmittelbar belasteten Geschoß werden die tragenden Bauglieder (Balken, Wände, Stützen) nach dieser Verteilung von den Auswirkungszuwächsen der Geschoßdecke beansprucht. In den darunter liegenden Geschossen verteilen sich die Zuwächse über die Lasteinleitungsstrecke im gesamten Querschnitt neu und bilden sich in der Teilquerschnittsnormalkraft und den Biegemomenten und Wölbbimoment des Gesamtquerschnitts ab.

Die Berechnung wird tabellarisch durchgeführt (Tabelle 2-3) mit den Gleichungen (1-8), (1-9) und (1-10) in Verbindung mit Tafel 1-7. Dabei ist es grundsätzlich unerheblich, ob die Belastung direkt in die Wände oder indirekt über Balken einfließt. Ausgenommen sind davon lediglich solche Balken, deren Auflager an unterschiedliche Teilquerschnitte anschließen. In diesen Fällen sind die Auflagerkräfte zu berechnen und den jeweiligen Teilquerschnitten zuzuweisen (letzter Block in Tabelle 2-3).

159

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

Berechnung der Einheits-Geschoßbeiträge an den Schnittgrößen

Tabelle 2-3 Wand

I

γa

Teilquerschnitt 1 3 4 3,00 45 2 17 3,00 45 4 6 3,00 30 17 1 1,00 30 7 3 4,00 45 60 17 5 2,00 60

γb

α

β

bq

30 30 30

0,366 0,366 0,500 1,000 0,275 0,549 0,433 0,000 0,000

0,634 0,634 0,500 0,000 0,275 0,000 0,000 0,549 0,433

1,098 1,098 0,866 0,577 1,098 1,902 1,500 1,902 1,500

45 60 60

5 4 2,00

sy

va sz

Mω

sy

ve sz

Mω

2,000 2,000 -1,000 -1,000 2,000

-1,625 2,375 -1,625 2,375 2,375

2,243 3,234 -4,163 8,828 3,234

-1,000 -1,000 -4,000 -2,000 2,000

-1,625 2,375 -1,625 2,375 -1,625

-4,163 8,828 -10,569 10,692 2,243

-1,000 2,375

45 8,213 10 7 5,00 45

-1,000 0,375 -9,667 -1,000 -1,625 -4,163 von

4,0

Balken: 18,0

30 45

Teilquerschnitt 3

14 13 1,00

3,0 3,0 3,0 1,0 4,0

8,828 -1,000 0,375 -9,667

Teilquerschnitt 2

10 11 4,00

N Wand Decke

0,458 0,542 1,566 1,375 1,000 -13,816 1,375 -3,000 9,193 1,000 0,000 0,577 0,366 0,366 1,830 1,375 1,000 -13,816 -3,625 1,000 15,507 von Balken:

4,0 5,0 9,0

0,000 0,000 0,634 0,000 0,500 0,423 0,634 0,423

1,000 0,000 0,366 0,915 0,289 0,244 0,366 0,244

1,000 3,170 1,268 3,170 1,500 1,268 0,732 0,732

0,250 0,000 0,500 0,750 1,000 0,915 0,866 0,000 0,000 0,500 0,366

0,750 1,000 0,500 0,250 0,000 0,000 0,000 1,000 0,289 0,289 0,634

0,433 0,577 0,866 0,750 1,000 3,170 1,500 0,577 1,500 1,500 1,830

1,438 1,313 -11,980 0,438 1,313 -11,116

1,0

0,438 1,313 -11,116 -1,563 1,313 -9,386

2,0

0,438 1,313 -11,116 0,438 -1,688 15,141

3,0

0,438 -1,688 15,141 -1,563 -1,688 10,871 -1,563 1,313 -9,386 -1,563 -1,688 10,871 von Balken: Beiträge der Balken zwischen den Teilquerschnitten

2,0

13 12 2,00

45 45

15 16 2,00 12 16 3,00

45 45 30 30

1 11 2,00

30

13 15 3,00

6 15 3,00

30 45 18 14 2,00 26,565 60 11 18 1,00

60

18 6 3,00

45

7 12 5,00

45

60 60 60 60 45 45

30 16,102 30 45

30 60 60 30

Hinweis: Nach dem Prinzip der virtuellen Verrückungen können die Auflagerkräfte (für beidseits gleichartige Lagerung) genauso berechnet werden wie die Schnittgrößen – als Produktintegrale der Belastung und den (dreieckigen) Verrückungsbildern (Gleichung (1-10), Term „qD“ mit (va, ve) = (1, 0) und (0, 1) für A bzw. B). In Bild 2-7 wird deutlich, dass die Summe der Auflagerkräfte der „Summe“ der

-2,000 2,375 10,692 1,375 -3,000 9,193 -4,000 -1,625 -10,569 0,438 -1,688 15,141 0,031 -2,656 4,253

1,438 1,313 -11,980

1,375 -3,000 9,193

0,031 -2,656 4,253

0,031 -2,656 4,253 -4,000 -1,625 -10,569 -3,625 1,000 15,507 -1,563 1,313 -9,386

Bild 2-7

Berechnung der Auflagerkräfte

8,0 0,3 0,4 0,6 0,3 0,3 1,2 0,3 0,2 2,2 1,3 2,5

1,6 1,6 1,3 0,3 3,2 2,8 2,4 2,8 2,4 5,9 24,2 3,1 1,2 5,8 7,8 17,9 0,5 3,2 1,3 3,4 2,7 2,5 0,7 1,5 6,1 22,0 0,2 0,2 0,6 0,4 0,7 2,3 0,6 0,1 1J 1,5 2,1

s

MY

s

MZ

s

MW

0,3 0,3 -3,2 -0,5 6,4 -3,0 -2,4 -2,6 -2,3

-2,4 -2,4 3,6 9,9 -2,1 -9,6 0,9 3,6 1,2 8,7 4,9 6,7 3,9 4,1 -2,5 -15,4 -2,0 -14,1

4,2 2,1 -6,5

-3,4 -5,0 0,0 -12,4 5,8 4,9

0,1 3,0 -0,6 -3,5 1,2 1,1 -0,3 -2,4

0,4 4,2 1,8 3,4 0,0 -0,1 -1,3 -0,1

-3,7 -36,6 -14,4 -24,4 1,1 1,8 10,7 -0,4

0,1 -0,5 3,5 0,5 -1,2 3,5 -2,3 -2,2 3,0 0,5 -1,1 -1,4 0,5 -2,2 0,3 1,8 -6,9 -0,3 1,0 -3,0 8,1 0,0 -0,5 0,8 -8,7 -7,8 -16,3 -4,9 -6,3 -6,4 -10,0 4,9 2,6 -29,8 -10,5 -89,6

7

160

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Dreiecke entspricht, die sich zu dem Rechteck ergänzen, das zur Berechnung des Balkenbeitrags zur Schnittkraft N verwendet wird (Verschiebungszustand „1“). Bei 17 Geschossen ergibt sich in der Einspannebene mit den Ergebnissen der Tabelle 2-3 der Schnittgrößenzustand: NV

§ N1 · § −498,5 · § −5483,5 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ = ¨ N 2 ¸ = 11 ⋅ ¨ −331, 7 ¸ = ¨ −3648, 7 ¸ kN ¨N ¸ ¨ −363, 6 ¸ ¨ −3999, 6 ¸ © 3¹ © ¹ © ¹

§ −MZ · § 298, 4 kNm · § 3282,4 kNm · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ M V = ¨ M Y ¸ = 11 ⋅ ¨ 104,9 kNm ¸ = ¨ 1153,9 kNm ¸ ¨ −M ¸ ¨ 896, 2 kNm2 ¸ ¨ 9858,2 kNm 2 ¸ W¹ © © ¹ © ¹

2.3.2 Windlast (EDIN 1055-4) Es wird mit den Lastannahmen für quaderförmige Baukörper gerechnet. Als Windangriffsbreite wird die Gesamtbreite der Bausilhouette und als Bauwerkstiefe die Gesamttiefe des Gebäudes angesetzt. Die Windlastannahmen werden für die Richtungen Y- und Zgetroffen. Abweichende Windrichtungen – etwa in Richtung der Hauptachsen könne daraus abgeleitet werden:

7

ϕq

wYd

= qwYd cos ϕ

ϕq

wZd

= qwZd sin ϕ

in beiden Richtungen gleichzeitig wirkend. Die auf das Gebäude einwirkenden Lasten gibt Bild 2-8 wieder. Grundlage der Berechnung sind Gleichungen (1-11) – (1-14) und Bild 1-5 – Bild 1-7. Bild 2-8

Windlast

Wind in Y-Richtung: bY /d Y = 8 m/11 m = 0, 727

Bild 1-6:

cf0,Y = cf0 (0, 727) = 2,373

Gleichung (1-14):

33 − 15 · 33 § = 6,98 b < h, 15 < h < 50 m λeff Y = ¨ 2 − 0, 6 ⋅ ¸ 35 ¹ 8 ©

Bild 1-7:

ψ ȜY = 0, 684 0,24

§ x [m−1]· Gleichungen (1-11) – (1-13): qwYd = 1,5 ⋅1⋅ 0,684 ⋅ 2,373⋅ 8,0 ⋅ 2,1⋅ 0,48 ⋅ ¨ ¸ © 10 ¹

0,24

§ x [m−1]· = 19,64 ⋅ ¨ ¸ © 10 ¹

kN m

161

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

An den Abschnittsgrenzen ergeben sich die Werte qYwd (8 m) = 18, 62 kN/m; qYwd (25 m) = 24, 47 kN/m; qYwd (33 m) = 26,16 kN/m . Der Einwirkungsschwerpunkt in Bezug auf die Drillruheachse ist anzusetzen mit eZw = Z M # b(Y) /10 = −1,865 # 8, 0/10 = −2, 665/ − 1, 065 [m] . Daraus folgt eine Torsionseinwirkung von mt wd(Y) = {−2, 665 m, − 1, 065 m} ⋅ qYwd Tabelle 2-4 Zusammenstellung der Windeinwirkung Wind in Y-Richtung 2,373 -1,865

ψλ,cf,0,ZM: 0,684

mime -2,665

Breite 8,0

maxe -1,065

Wind in Z-Richtung 1,919 5,252

ψλ,cf,0,ZM: 0,671

mime 4,152

Breite 11,0

maxe 6,352

Die Änderung der Einwirkung im mittleren Abschnitt beträgt

24, 47 − 18, 62 25, 0 − 8, 0 33,0 33,0 kN 25,0 22,0 = 0, 344 2 8,0 11,0 m 0,0 0,0 Entsprechend errechnen X q'wd minm'wd maxm'wd X q'wd minm'wd maxm'wd sich die Änderungen der 25,0 0,344 -0,918 -0,367 22,0 0,360 1,496 2,289 Torsionseinwirkung. Tabelle 2-5 Querkräfte und Torsionsmomente an den Abschnittsgrenzen Die Ergebnisse für beide Windrichtungen sind in Wind in Y-Richtung Wind in Z-Richtung Tabelle 2-4 zusammenX VYwd minVWwd maxVWwd X VZwd minVWwd maxVWwd gefasst. X

33,0 25,0 8,0 0,0

qwd minmwd maxmwd 26,16 -69,72 -27,86 24,47 -65,22 -26,06 18,62 -49,62 -19,83 18,62 -49,62 -19,83

0,0 209,3 575,6 724,5

0,0 -557,7 -1533,9 -1930,8

qwd minmwd maxmwd 28,51 118,36 181,07 25,86 107,38 164,28 21,90 90,93 139,11 21,90 90,93 139,11

X

0,0 -222,9 -613,0 -771,6

33,0 22,0 11,0 0,0

0,0 313,6 576,3 817,2

0,0 1302,0 2392,7 3392,9

0,0 1991,8 3660,5 5190,6

Tabelle 2-6 Biege- und Wölbbimomente an den Abschnittsgrenzen X

Wind in Y-Richtung –MZwd –minMWwd –maxMWwd

33,0 0,0 25,0 -837,1 8,0 -7649,2 0,0 -12849,4

0,0 2230,9 20385,1 34243,7

X

Wind in Z-Richtung –MYwd –minMWwd –maxMWwd

0,0 33,0 0,0 891,5 22,0 -1724,7 8146,4 11,0 -6658,7 13684,6 0,0 -14322,6

0,0 -7160,7 -27647,1 -59467,6

' qYwd =

0,0 -10955,0 -42296,4 -90977,4

Mithilfe der Abschnittsgrenzwerte qi, Vi und Mi können die Ergebnisse für V und M in beliebigen Schnitten mit den Gleichungen (1-15) und (1-16) berechnet werden.

2.4 Bemessungswerte der Wand-Normalkräfte Zur Bemessung werden die Wände im allg. in Abschnitte aufgeteilt, die sich nach den Abmessungen der Bewehrungselemente (Baustahlmatten) richten sollten. Für die Grenzpunkte werden die extremen Liniennormalkräfte = Normalspannungen×Wanddicke (Gleichung (1-29)) als Bemessungsgrundlage berechnet. Wegen der zahlreichen Bemessungsstellen ist es nicht zweckmäßig, nach Gleichung (1-33) zu verfahren. Weitaus einfacher ist es, Gleichung (1-30) unmittelbar zugrunde zu legen. Mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms gewinnt man sämtliche erforderlichen Spannungswerte in einem Arbeitsgang.

7

162

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

In Tabelle 2-7 werden die Linien-Normalkräfte der Wände berechnet. Dabei werden im Beispiel nur die Eck- und Endpunkten der Wände (Punkte 1 … 16) und diese nur in der Einspannebene betrachtet. Bei einheitlicher Wanddicke t erhält man im Teilquerschnitt i nach Gleichung (1-30) für den Lastfall lf: § Ni ,lf i T · = t¨ + a M ⋅ A −M1 ⋅ Mlf ¸ . A © i ¹ in ist ein Tupel, dessen Werteanzahl der Zahl der betrachteten Punkte im Teilquerschnitt i entX spricht (im Beispiel 6 für Teilquerschnitt 1 und je 5 für die Teilquerschnitte 2 und 3). Die einzelnen Lastfälle müssen aber nicht gesondert behandelt werden. Vielmehr werden sie besser zu einer Matrix zusammengesetzt und gemeinsam berechnet (M in Tabelle 2-7): in

· ¸ ¸. ¸ ¹ Entsprechend verhält es sich mit Ni. in inX besitzt so viele Wertetupel wie Lastfälle existieren, nämlich nlf. Die Lastfälle 1 und 2 betreffen die Vertikallasten, wobei sich LF 1 auf das Mindesteigengewicht G bezieht und LF 2 auf die größte anzunehmende Vertikallast γ G ⋅ G + γ Q ⋅ ψ ⋅ Q . in

7

Xlf

§ − M Z,1 − M Z,2 − M Z,nlf § 1 · ¨ − T 1 i Ni + a M ⋅ A M ⋅ M ¸ mit M = ¨ M Y,1 , M Y,2 ... M Y, nlf X = t¨ © Ai ¹ ¨ © − M W,1 − M W,2 − M W,nlf

Tabelle 2-7

Wandnormalkräfte nX in der Einspannebene

AM 15,135 0,881 0,000

0,881 14,460 0,000

1 0,000 0,000 386,227

2

3

Lastfall 4

minG moxG+Q WY(–e) -Mz= -692,6 -1154,3 MY= 1969,4 3282,4 -Mw= -5914,8 -9858,1

t · AM–1 1.326E-02 -8.082E-04 0.000E+00 -8.082E-04 1.388E-02 0.000E+00 0.000E+00 0,000E+00 5.178E-04

-10,78 27,90 -3,06

-17,96 46,49 -5,10

WY(–e) M -12849,4 -12849,4 0,0 0,0 34243,7 13684,6 t · AM–1 · M -170,40 -170,40 10,38 10,38 17,73 7,09

5

6

WZ(–e)

WZ(–e)

0,0 0,0 -14322,6 -14322,6 -59467,6 -90977,4 11,57 11,57 -198,80 -198,80 -30,79 -47,11

1n x

Punkt minN1d = maxN1d = A1 = minn1d = maxn1d =

-2125,1 kN -4520,8 kN 3,200 m2 -132,8 kN/m -282,6 kN/m

1 -77,8 2 -98,0 3 -206,6 4 -154,6 5 -82,0 6 -102,7

-190,8 -224,6 -405,5 -318,9 -197,8 -232,3

555,1 -258,8 -317,9 79,7 2,9 477,3

minN 2d = maxN2d = A2 = minn2d = maxn2d =

-1097,1 kN -2346,8 kN 1,600 m2 -137,1 kN/m -293,4 kN/m

7 -117,7 8 -96,1 9 -88,9 10 -81,7 11 -263,8

-260,9 -225,0 -213,0 -201,0 -504,5

903,1 79,9 -194,5 -468,9 -102,4

minN3d = maxN3d = A3 = mmn3d = maxn3d =

-1011,7 kN -2177,3 kN 1,600 m2 -63,2 kN/m -136,1 kN/m

12 19,0 13 2,7 14 -5,4 15 -161,4 16 -126,8

0,9 -26,2 -39,7 -299,7 -242,0

113,4 -258,0 -443,8 176,4 441,5

2

3

441,2 -293,2 -341,8 124,0 105,8 589,8

-824,6 -548,6 277,1 439,7 211,6 602,2

-999,0 -601,3 240,5 507,6 369,3 774,7

738,0 102,1 -109,9 -321,8 -200,3

-718,3 -141,8 50,4 242,6 329,2

-971,3 -107,7 180,1 468,0 179,2

213,4 -139,7 -316,2 15,2 325,8

10,0 86,4 124,6 -125,7 -17,4

163,2 267,8 320,1 -372,8 -194,7

nx

nx

kN/m

AM enthält die Überträge aus der Querschnittswerteberechnung (Tabelle 2-2), −1 die mit der Wanddit ⋅ AM cke multiplizierte Inverse dazu. In M unter „Lastfall“ 1 und 2 sind die Ergebnisse für die Vertikallast zusammengestellt. Die „Einheitsergebnisse“ nach Tabelle 2-3 werden mit den Lastannahmen (11.3.1) für min G bzw. max (G + Q) vervielfacht. Die zugehörigen Normalkraftanteile in den Teilquerschnitten sind links unten aufgeführt. Die Daten der Windlastfälle 3 – 6 entstammen Tabelle 26 Der nX-Block rechts unten enthält die Wandnormalkräfte in den ausgezeichneten Punkten als Matrizenprodukt der Einheitsverschiebungen (Tabelle 21) und t · A −M1 · M.

163

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

Tabelle 2-8 Punkt

Überlagerung zur Ermittlung der Extremwerte

G+W G+Q+W +WY–e –WY–e +WY+e –WY+e +WZ–e –WZ–e +WZ+e –WZ+e +WY–e –WY–e +WY+e –WY+e +WZ–e –WZ–e +WZ+e 1

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

nX(G+Q+W)

477,3 -632,8 363,5 -519,0 -902,3 746,8 -1076,8 921,3 364,3 -745,9 250,4 -632,0 -1015,4 -356,8 160,8 -391,2 195,2 -646,6 450,6 -699,4 503,3 -483,3 34,2 -517,8 68,7 -773,1 -524,5 111,3 -548,3 135,2 70,5 -483,7 33,9 -447,1 -723,4 -87,6 -747,2 -63,7 -128,4 -74,9 -234,3 -30,6 -278,6 285,0 -594,3 353,0 -662,2 -239,2 -398,6 -194,9 -442,9 120,8 -79,1 -84,8 23,8 -187,8 129,6 -293,5 287,3 -451,3 -194,9 -200,7 -92,0 -303,6 138 374,6 -580,0 487,1 -692,5 499,5 -704,9 672,0 -877,3 245,0 -709,6 357,5 -822,1 369,9 2 nX`(G+W) 785,4 -1020,7 620,3 -855,6 -836,0 -16,2 -176,0 60 -198,2 -237,9 283,4 105,6 -198,8 20,9 -38,5 550,7 387,2 -403,6 240,1 160,8 366,2 -161,4 -464,1 -63,5 65,4

132,4 -94,5 232,3 -255,3 260,7 -137,0 -449,2 438,3 -321,6 150 -337,8 -146,2 314,7 -568,3 199,0

3 nX(G+W) -194,4 29,0 142,4 89,2 310,8 1192 -176,6 -287,1 -452,5 -144,1

–WZ+e

1

nX(G+W)

600,6 -1089,0 853,6 642,1 -11640 45,6 -203,8 11,6 -145,1 -304,9 -139,3 91,2 -269,1 -407,5 -185 -324,3 386,3 -549,8 -669,9 267,9 -593,0 84,6 -443,0 -606,9 -402,0 89 182,2 -83,7 270,5 -130,1 3147 -35,7 -534,2 -109,4 -321,5

477,0 -122,9 -322,9 -522,8 -704,8

633,8 -1189,8 808,2 324,0 -825,9 376,8 -682,6 -165,0 -646,0 -758,6 188,7 -826,5 -409,4 171,5 -567,1 -834,5 542,3 1007,0

2 nX(G+Q+W) -998,9 -979,2 457,4 -1232,2 7104 -327,1 -366,8 -83,2 -332,7 -117,3 -103,1 -162,6 -263,4 -32,9 -393,2 120,8 41,5 -443,6 267,0 -669,0 -304,2 -175,2 -833,7 -325,2 -683,7

3 nX(G+Q+W) -144,2 114,3 -112,5 214,3 -212,4 11,0 91 164,1 -162,3 -265,1 -284,2 231,9 -165,9 113,5 60,3 -112,6 241,6 -294,0 -325,5 -483,5 404,0 -355,9 276,5 84,9 -164,4 280,4 -359,8 211,4 -123,3 -476,1 -284,5 -314,9 -425,4 -174,0 -672,5 73,1 68,0 199,5 -683,5 83,8 -567,7 -259,3 -224,6 -436,7 -47,2 kN/m

7

Bild 2-9

Liniennormalkräfte in der Einspannebene [kN/m]

164

Räumliche Aussteifung von Geschossbauten

Die Lastfälle 3 und 4 behandeln die Windeinwirkung in Y-Richtung und die Fälle 5 und 6 die Windeinwirkung in Z-Richtung und zwar jeweils mit der negativen bzw. der positiven Angriffsausmitte (± b/10). In Tabelle 2-8 werden die Ergebnisse aus Tabelle 2-7 für die Lastfälle 1 und 2 (Vertikallast) mit denen der Lastfälle 3 – 6 (Windlast) überlagert, wobei auch die umgekehrte Windrichtung zu berücksichtigen ist: Linker Tabellenblock: LF 1 ± LF 3 – 6, Rechter Tabellenblock: LF 2 ± LF 3 – 6. (In der Einspannebene sollten wegen der Schubverformung (Bild 1-3) vor allem bei Punkten 7 und 8 die Werte in der Größenordnung von 15 % angehoben werden. In den höher liegenden Bereichen ist dies nicht erforderlich) In Bild 2-9 sind die Wandnormalkräfte in der Einspannebene grafisch dargestellt.

2.5 Bemessungswerte der Schubkräfte

7

Schubkräfte sind in jedem Fall zu beachten, wenn Teilquerschnitte über Öffnungsschwächungen hinweg gebildet werden (Teilquerschnitt 2). Ihre Werte werden zur Bemessung der Stürze und Brüstungen benötigt. Mehrere Berechnungsvarianten stehen zur Verfügung, z.B. Gleichung (1-35). Liegen aber die Wandnormalspannungen in benachbarten Gebäudeschnitten, etwa UK-Geschoss ohnehin für die Bemessung der Wände schon vor, dann können die Sturzquerkräfte eines Geschosses (oder mehrerer aufeinander folgender) aus der Differenz der Spannungsintegrale an Ober- und Unterfläche der Gebäudeschicht gebildet werden. Die Spannungswerte in den Punkten 7 und 8 liegen für UK 0. Geschoss vor (Tabelle 2-7). Zur Berechnung der entsprechenden Werte UK 1. Geschoss müssen zunächst die Schnittmomente für die sechs Lastfälle ermittelt werden. Für Vertikallasten ergeben sie sich aus dem Verhältnis der belastenden Geschosse (10/11) aus den Ergebnissen für das 0. Geschoss, für die Windlasten nach Gleichung (1-16). M LF1,2 ( X = 3, 0) =

§ −692, 6 −1154,3 · § −629, 6 −1049, 4 · 10 ¨ ¸ ¨ ¸ 1969, 4 3282, 4 ¸ = ¨ 1790, 4 2984, 0 ¸ [kN, m] 11 ¨¨ ¸ ¨ ¸ © −5914,8 −9858,1 ¹ © −5377,1 −8961,9 ¹

0 · § 18, 62 18, 62 · § 0 ¨ ¸ ¨ ¸ q1,LF3,4 = ¨ 0 0 ¸ ; q1,LF5,6 = ¨ 21,90 21,90 ¸ ; = 0 [kN, m] ¨ −49, 62 −19,83 ¸ ¨ 90,93 139,11¸ © ¹ © ¹ 575, 6 · 0 0 · § 575, 6 § ¨ ¸ ¨ ¸ V1,LF3,4 = ¨ 0 0 ¸ ; V1,LF5,6 = ¨ 576,3 576,3 ¸ [kN, m] ¨ −1533,9 −613, 0 ¸ ¨ 2392, 79 3660,5 ¸ © ¹ © ¹ 0 0 § −7649, 2 −7649, 2 · § · ¨ ¸ ¨ ¸ M1,LF3,4 = ¨ M = − − 0 0 ; 6658, 7 6658, 7 1,LF5,6 ¨ ¸ ¸ [kN, m] ¨ 20385,1 8146, 4 ¸ ¨ −27647,1 −42296, 4 ¸ © ¹ © ¹

ΔX (1)LF3,4 = 8,0 − 3,0 = 5,0 m; ΔX (1)LF5,6 =11,0 − 3,0 = 8,0 m

165

2 Gebäude mit einfach zusammenhängenden Wandzügen

· § −7649, 2 −7649,2 · § § 575,6 575,6 · § 18,62 18,62 · ¸ ¨ ¸ ¨¨ ¸ 1¨ ¸ MLF3,4 ( X = 3,0) = ¨ 0 0 ¸ −¨¨ 0 0 ¸+ ¨ 0 0 ¸ ⋅ 5,0 ¸ ⋅ 5,0 2 ¨ 20385,1 8146,4 ¸ ¨ ¨ −1533,9 −613,0 ¸ ¨ −49,62 −19,83¸ ¸ © ¹ ©© ¹ © ¹ ¹ § −10759,7 −10759,7 · ¨ ¸ =¨ 0 0 ¸ [kN, m] ¨ 28674,6 11459,1 ¸ © ¹ 0 0 0 · § 0 0 · · § · §§ 0 ¸ ¨ ¸ ¨¨ ¸ 1¨ ¸ MLF5,6 ( X = 3,0) = ¨ −6658,7 −6658,7 ¸ − ¨ ¨ 576,3 576,3 ¸ + ¨ 21,90 21,90 ¸ ⋅8,0 ¸ ⋅8,0 2 ¨ ¸ ¨¨ ¸ ¨ ¸ ¸ © −27647,1 −42296,4 ¹ © © 2392,79 3660,5 ¹ © 90,93 139,11¹ ¹ 0 0 § · ¨ ¸ = ¨ −10924,1 −10924,1 ¸ [ kN, m] ¨ −49698,1 −76031,4 ¸ © ¹ Tabelle 2-9

Berechnung der Schubkraft 8 – 9 im 0. Geschoss

X 0,00 m 7 3,00 m Δ7 0,00 m 8 3,00 m Δ8 l7-8 = 3,0 m ΔN7-8 = LF 1 + | LF 3-6 | LF 1 – | LF 3-6 | Pkt

1 – 117,7 – 107,0 – 10,7 – 96,1 – 87,4 – 8,7

2 – 260,9 – 237,2 – 23,7 – 225,0 – 204,5 – 20,5

3 903,1 756,2 146,9 79,9 66,9 13,0

4 738,0 617,9 120,0 102,1 85,5 16,6

5 – 718,3 – 582,7 – 135,6 – 141,8 – 103,4 – 38,3

6 – 971,3 – 794,2 – 177,1 – 107,7 – 75,0 – 32,7

– 29,2

– 66,3

239,8 210,6 – 306,0

204,9 175,8 – 271,2

– 260,9 231,7 – 327,1

– 314,8 285,7 – 381,1

In Tabelle 2-9 sind die Normalkraftdifferenzen in den Punkten 7 und 8 (siehe unter 2.4) in den Schnitten unterhalb (X = 0 m) und oberhalb (X = 3,0 m) des zu bemessenden (0.) Geschosses ermittelt (Zeilen Δ). Das Produkt der Wandlänge mit dem Mittelwert der Werte für Punkt 7 und Punkt 8 ergibt die rechnerische Schubkraft in Sturz/Brüstung zwischen den Punkten 8 und 9 im untersten (0.) Geschoss. In der Nähe der Einspannebene wird die rechnerische Schubkraft allerdings wegen der Umlagerung (Bild 1-3) deutlich geringer ausfallen; ein großer Teil fließt in den Unterbau. In den darüber liegenden Ebenen bildet der Rechenwert eine verlässliche Bemessungsgrundlage.

7

Mauerwerksbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Wolfram Jäger

Inhalt 1 Allgemeine Erläuterungen und Formelsammlung ................................................................. 169 1.1 Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens ................................................... 169 1.2 Nachweis normalkraftbeanspruchter Wände .............................................................. 170 1.3 Nachweis schubbeanspruchter Wände ....................................................................... 172 1.4 Nachweis von Kellerwänden ...................................................................................... 173 2 Zahlenbeispiele ...................................................................................................................... 174 2.1 Normalkraftbeanspruchte Außenwand ....................................................................... 174 2.1.1 Beschreibung und Geometrie ....................................................................... 174 2.1.2 Belastungen .................................................................................................. 175 2.1.3 Nachweis nach DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren ................................. 175 2.1.4 Nachweis nach DIN 1053-1 genaueres Verfahren ....................................... 177 2.1.5 Nachweis nach DIN 1053-100 vereinfachtes Verfahren ............................. 181 2.1.6 Nachweis nach DIN 1053-100 genaueres Verfahren ................................... 182 2.2 Kellerwand.................................................................................................................. 187 2.2.1 Nachweis nach DIN 1053-1 ......................................................................... 189 2.2.2 Nachweis nach DIN 1053-100 ..................................................................... 191 2.3 Schubwand.................................................................................................................. 192 2.3.1 Nachweis nach DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren ................................. 194 2.3.2 Nachweis nach DIN 1053-1, genaueres Verfahren ...................................... 196 2.3.3 Nachweis nach DIN 1053-100, vereinfachtes Verfahren ............................ 197 2.3.4 Nachweis nach DIN 1053-100, genaueres Verfahren .................................. 200 3 Literatur ................................................................................................................................. 201

1 Allgemeine Erläuterungen und Formelsammlung Die im Mauerwerksbau am häufigsten nachzuweisenden Bauteile sind Wände unter vertikaler Belastung, Schubwände und Kellerwände. Die beim Nachweis dieser Bauteile auszuführenden Arbeitsschritte sowie die dazu benötigten Formeln sind in den folgenden Abschnitten tabellarisch angegeben. Eine umfassende Darstellung der Regelungen enthalten die jeweiligen Normentexte ([1], [2]) oder in aufbereiteter Form das Kapitel „Mauerwerksbau“ im Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln (33. Auflage [3]). Das vereinfachte Berechnungsverfahren hat sich im Mauerwerksbau als Standardverfahren herauskristallisiert. Aufgrund des höheren Rechenaufwandes ist die Anwendung des genaueren Berechnungsverfahrens nur dann notwendig, wenn die Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens überschritten werden oder der Nachweis eines Bauteils nach dem vereinfachten Verfahren nicht erbracht werden kann. Die DIN 1053-1 [1] und DIN 1053-100 [2] unterscheiden sich im Sicherheitskonzept und in den Nachweisformaten. Mit der Einführung der DIN 1053-100 erfolgt nun auch im Mauerwerksbau die Umstellung auf das Teilsicherheitskonzept, bei dem die anzusetzende Sicherheit, nach den Gesetzen der Zuverlässigkeitstheorie aufgesplittet, direkt den jeweiligen Eingangsgrößen zugewiesen werden. Diese selbst sind statistische Größen, die einer bestimmten Verteilung entsprechen. Gleichzeitig erfolgt der Übergang von den bekannten Spannungsnachweisen auf Tragkraftnachweise. Durch den näherungsweisen Ansatz eines Spannungsrechtecks anstelle der bisher als linear angesehenen Spannungsverteilungen vereinfachen sich die Nachweise. In beiden Fällen wird die Übertragung von Zugspannungen ausgeschlossen. Eine Unterscheidung in gerissenen und ungerissenen Querschnitt ist bei Verwendung des Spannungsrechtecks nicht mehr notwendig, was eine wesentliche Vereinfachung darstellt. Die Nachweise sind außerdem entsprechend dem heutigen wissenschaftlichen Erkenntnisstand überarbeitet bzw. angepasst worden.

1.1 Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens DIN 1053-1 und DIN 1053-100 Gebäudehöhe (Mittel zwischen First- und Traufhöhe) h ≤ 20 m Stützweite der aufliegenden Decken l ≤ 6,0 m Lichte Wandhöhe in Abhängigkeit von der Wanddicke und der Nutzlast nach folgender Tafel Lichte Wandhöhe hs Nutzlast p bzw. qk [kN/m2] Bauteil Wanddicke d [mm] (DIN 1053-1 bzw. -100) [m] 115 ≤ d < 240 ≤ 2,75 Innenwände ≥ 240 – ≤5 175a ≤ d < 240 ≤ 2,75 Einschalige Außenwände ≥ 240 ≤ 12 d ≤ 3c 115b ≤ d < 175b Tragschale zweischaliger ≤ 2,75 a 175 ≤ d < 240 Außenwände und zweischa≤5 lige Haustrennwände ≥ 240 ≤ 12 d a b c

Bei eingeschossigen Garagen und vergleichbaren Bauwerken, die nicht zum dauernden Aufenthalt von Menschen vorgesehen sind, auch d ≥ 115 mm zulässig. Geschossanzahl maximal zwei Vollgeschosse zuzüglich ausgebautem Dachgeschoss; aussteifende Querwände im Abstand ≤ 4,50 m bzw. Randabstand von einer Öffnung ≤ 2,0 m Einschließlich Zuschlag für nichttragende innere Trennwände

170

Mauerwerksbau

1.2 Nachweis normalkraftbeanspruchter Wände Tafel 1-1 Vorgehensweise nach DIN 1053-1 DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren

genaueres Verfahren

zul σ = k ⋅ σ0

βR = 2,67 ⋅ σ 0

Wände als Zwischenauflager

Knotenmomente aus Rahmenrechnung oder 5 %-Regel

k = k1 ⋅ k2

Wandkopf/Wandfuß

e=

Wände als einseitiges Endauflager k = min(k1 ⋅ k2 oder k1 ⋅ k3 ) ­0,8 für Pfeiler k1 = ® ¯1,0 für Wände oder Pfeiler

8

M d ≤ N 3

Wandmitte zusätzliche Ausmitte

­1,0 wenn hk /d ≤ 10 ° k2 = ® 25 − hk /d wenn 10 ≤ hk /d ≤ 25 ° ¯ 15

f =λ⋅

1+ m ⋅ hk 1800

λ =

⎧1,0 wenn l ≤ 4,20 m ⎪ k3 = ⎨1,7 − l /6 wenn 4,20 m < l ≤ 6,00 m ⎪ ⎩0,5 bei Dachdecken

m=

hk d 6⋅e d

Nachweis Normalspannung

vorh σ ≤ zul σ

Randspannung unter Berücksichtigung des Aufreißen des Querschnitts

γ · vorh σR ≤ 1,33 · βR und mittlere Spannung im überdrückten Querschnittsbereich

γ · vorh σR ≤ βR

171

1 Allgemeine Erläuterungen und Formelsammlung

Tafel 1-2 Vorgehensweise nach DIN 1053-100

DIN 1053-100 vereinfachtes Verfahren

genaueres Verfahren

NE d = 1,35 ⋅ NGk + 1,5 ⋅ NQk

min NE d = 1,0 ⋅ NGk NRd = Φ ⋅ A ⋅ fd fd = η ⋅

fk

γM

η = 0,85 Knotenmomente aus Rahmenrechnung oder 5 %-Regel

bei Biegung

Φ = Φ1 = 1 −

2⋅e d

Wandkopf/Wandfuß

bei Knickgefahr

§ hk · ¸ ©d ¹

2

eo,u =

Φ = Φ2 = 0,85 − 0,0011⋅ ¨

Wände als einseitiges Endauflager ­1/3 bei Dachdecken ° °0,9 wenn / ≤ 4,20 m Φ = Φ3 = ® 2 °1,6 − l /6 ≤ 0,9 wenn fk ≥ 1,8 N/ mm °1,6 − l /5 ≤ 0,9 wenn f < 1,8 N/ mm2 k ¯

Mo,u,d ­≤ 0,33 ⋅ d ® No,u,d ¯≥ 0,05 ⋅ d

Φo,u = 1 −

2 ⋅ eo,u d

Wandmitte

⎛ 2⋅em ⎞ hk ⎛ 2⋅ em ⎞ Φ = 1,14⋅⎜1− ⎟− 0,024⋅ ≤⎜1− ⎟ ⎝ d ⎠ d ⎝ d ⎠ em =

Mm,d hk + + emk 450 Nm,d

⎧0 für hk /d ≤10 ⎪ emk = ⎨ e ⎪0,002⋅ ϕ∞ ⋅ hk ⋅ m0 für hk /d >10 ⎩ d e m0 = ea =

Mm,d Nm,d

+ ea

hk 450

Nachweis bei zentrischer und exzentrischer Druckbeanspruchung NE d ≤ NRd

8

172

Mauerwerksbau

1.3 Nachweis schubbeanspruchter Wände Tafel 1-3 Vorgehensweise nach DIN 1053-1

DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren

genaueres Verfahren

c ⋅Q τ = A c = 1,0 für hw/l ≤ 1 c = 1,5 für hw/l ≥ 2 Nachweis Scheibenschub τ ≤ σ 0HS + 0,2 ⋅ σ Dm ≤ max τ

γ ⋅ τ ≤ βRHS + μ ⋅ σ σ βRZ

γ ⋅ τ ≤ 0,45 ⋅ βRZ ⋅ 1 + Nachweis Plattenschub τ ≤ σ 0HS + 0,3 ⋅ σ Dm Randdehnung M e= min N

γ ⋅ τ ≤ βRHS + μ ⋅ σ

⎛l ⎞ lc =⎜ w − e ⎟⋅ 3 ⎝2 ⎠

8

σD =

2 ⋅ min N lc ⋅ d

σD

σ

D = E 3000 ⋅ σ 0 Randdehnungsnachweis

εD =

εR = εD ⋅ ( l w / lc − 1) ≤ 1⋅ 10−4 Tafel 1-4 Vorgehensweise nach DIN 1053-100

DIN 1053-100 vereinfachtes Verfahren Scheibenschub fvk = fvko + 0,4 ⋅ σ Dd

genaueres Verfahren fvk = fvko + μ ⋅ σ Dd

fvk = max fvk

fvk = 0,45 ⋅ fbz ⋅ 1 +

σ Dd fbz

Plattenschub fvk = fvko + 0,6 ⋅ σ Dd VEd

fvk = fvko + μ ⋅ σ Dd

Nachweis = 1,35 ⋅ VGk + 1,5 ⋅ VQk ≤ VRd VRd = α s ⋅ fvd ⋅

­1,125 ⋅ l ¯1,333 ⋅ lc

α s = min ®

d c

fvd =

lc = 1,5 ⋅ (l − 2 ⋅ e) ≤ l

fvk

γM

173

1 Allgemeine Erläuterungen und Formelsammlung

­1,0 für hw /l ≤ 1 c =® ¯1,5 für hw /l ≥ 2

§ Zwischenwerte · ¨ ¸ © interpolierbar ¹ Randdehnung MEk e= min NEk ⎛l ⎞ l c =⎜ w − e ⎟⋅ 3 ⎝2 ⎠

σD =

2 ⋅ min NEk lc ⋅ d

σD

σ

D = E 1000 ⋅ fk Randdehnungsnachweis εR = εD ⋅ (lw / lc − 1) ≤ 1⋅10 −4

εD =

1.4 Nachweis von Kellerwänden Bei Kellerwänden darf der Nachweis auf Erddruck entfallen, wenn die nachfolgenden Bedingungen erfüllt sind: a) Lichte Höhe der Kellerwand hs ≤ 2,60 m, Wanddicke d ≥ 240 mm. b) Kellerdecke wirkt als Scheibe und kann aus dem Erddruck entstehenden Kräfte aufnehmen. c) Im Einflussbereich des Erddruck auf die Kellerwände beträgt die Verkehrslast aus der Geländeoberfläche nicht mehr als 5 kN/m2, die Geländeoberfläche steigt nicht an, und die Anschütthöhe he ist nicht größer als die Wandhöhe hs d) Die Wandlängskraft aus ständiger Last liegt entsprechend DIN 1053-1 innerhalb der in Tafel 1-5 angegebenen Grenzen bzw. der maßgebende Bemessungswert der Wandnormalkraft liegt entsprechend DIN 1053-100 innerhalb der in Tafel 1-6 angegebenen Grenzen. Anderenfalls ist die Aufnahme der Biegemomente aus Erddruck explizit nachzuweisen. Tafel 1-5 Vorgehensweise nach DIN 1053-1

DIN 1053-1 Nachweis Kellerwände am oder

Wandkopf

halbe Anschütthöhe d ⋅ βR max N = 3 ⋅γ

max No = 0,45 ⋅ d ⋅ σ 0 min No nach Tabelle 8 in [1] bzw. Tafel 3-14 in [3], Kap. 10

min N =

ρe ⋅ hs ⋅ he2 20 ⋅ d

zweiachsige Lastabtragung (Zwischenwerte sind geradlinig zu interpolieren) 1 No ≥ ⋅min No 2 b ≥ 2 ⋅ hs : No ≥ min No

1 N1 ≥ ⋅min N 2 b ≥ 2 ⋅ hs : N1 ≥ min N

b ≤ hs :

b ≤ hs : Nachweis

max N o ≥ N o ≥ min N o

max N ≥ N1 ≥ min N

8

174

Mauerwerksbau

Tafel 1-6 Vorgehensweise nach DIN 1053-100

DIN 1053-100 Nachweis Kellerwände am oder

Wandkopf No,Rd = 0,33 ⋅ d ⋅

fk

N1,Rd

γM

No,lim,d nach Tabelle 10 in [2] bzw. Tafel 4-10 in [3], Kap. 10

halbe Anschütthöhe f = 0,33 ⋅ d ⋅ k γM

N1,lim,d =

γ e ⋅ hs ⋅ he2 20 ⋅ d

zweiachsige Lastabtragung (Zwischenwerte sind geradlinig zu interpolieren)

b ≤ hs :

1 ⋅ No,lim,d 2 ≥ No,lim,d

b ≤ hs :

No,Ed,inf ≥

b ≥ 2 ⋅ hs : No,Ed,inf

1 N1,lim,d 2 ≥ N1,lim,d

N1,Ed,inf ≥

b ≥ 2 ⋅ hs :

N1,Ed,inf

Nachweis

No,Ed,sup ≤ No,Rd

8

N1,Ed,sup ≤ N1,Rd

2 Zahlenbeispiele Die Beispiele beschränken sich auf herausgeschnittene Mauerwerksbauteile, die vollständig nachgewiesen werden. Auf die Herleitung der Lasten bzw. Kräfte aus dem Gesamtgebäude wird verzichtet.

2.1 Normalkraftbeanspruchte Außenwand

2.1.1 Beschreibung und Geometrie Es wird eine Außenwand im 1. Obergeschoss eines Mehrfamilienhauses mit ausgebautem Dachgeschoss nach DIN 1053-1 [1] und DIN 1053-100 [2], jeweils nach dem vereinfachten und genaueren Verfahren, nachgewiesen. Die Gebäudehöhe beträgt 9,80 m über Gelände (Mittel aus First- und Traufhöhe). Die Wand dient als Endauflager einer einachsig gespannten Ortbetondecke (Beton B25 bzw. C 20/25, d = 18 cm) mit einer Spannweite von 4,48 m (teilaufliegende Decke). Auf beiden Seiten wird die Wand durch aussteifende Wände begrenzt (Achsabstand der aussteifenden Wände im Grundriss b = 4,25 m). Das Mauerwerk soll aus Hochlochziegeln HLz 8-0,9 in Leichtmörtel LM21 hergestellt werden.

175

2 Zahlenbeispiele

8 Bild 2-1

Vertikaler Schnitt durch die nachzuweisende Außenwand

2.1.2 Belastungen • Ständige Lasten Wandlast aus Dach- und 2. Obergeschoss Deckenauflagerkraft Decke 1. OG inkl. Fußbodenaufbau Eigengewicht der Wand inkl. Putz • Veränderliche Lasten Wandlast aus Dach- und 2. Obergeschoss Deckenauflagerkraft Deckenplatte 1. OG (p = 2,75 kN/m2)

gOG = 34,14 kN/m gDOG1 = 13,70 kN/m gW = 3,88 kN/m2 pOG = 19,16 kN/m pDOG1 = 6,16 kN/m

2.1.3 Nachweis nach DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren a) Überprüfung der Anwendbarkeit des vereinfachten Verfahrens Deckenstützweite l1 = 4,48 m < 6,00 m = zul l1 Lichte Geschosshöhe 1. OG hs = 2,51 m < 3,60 m = 12 d = zul hs Verkehrslast p = 2,75 kN/m2 < 5,00 kN/m2 = zul p Gebäudehöhe H = 9,80 m < 20,00 m = zul H Es sind alle Voraussetzungen für die Anwendung des vereinfachten Verfahrens erfüllt.

176

Mauerwerksbau

b) Schnittgrößen für die Nachweisführung Die bei den Nachweisen anzusetzenden Normalkräfte sind für die verschiedenen Nachweisstellen in Tafel 2-1 zusammengefasst. Die Normalkräfte dürfen beim vereinfachten Verfahren zentrisch wirkend angenommen werden. Tafel 2-1 Normalkräfte

Lastfall g Lastfall p Lastfall g + p

Wandkopf NK [kN/m] 47,84 25,32 73,16

Wandmitte NM [kN/m] 52,71 25,32 78,03

Wandfuß NF [kN/m] 57,58 25,32 82,90

Horizontallasten aus Wind brauchen beim vereinfachten Verfahren nicht berücksichtigt werden, wenn die Wand ausreichend horizontal ausgesteift ist, z.B. durch Decken mit Scheibenwirkung. Dies ist hier der Fall. c) Schlankheit

8

b = 4, 25 m < 30 ⋅ d = 9, 00 m

vierseitig gehaltene Wand

hs = 2,51 m < 3,50 m

→ Knicklängenbeiwert β nach [3], Kap. 10, Tafel 3-7

β = 0, 70 hk = β ⋅ hs = 0, 70 ⋅ 2,51 = 1, 76 m

λ=

hk 1, 76 = = 5,86 < 25 = zul λ d 0,3

d) Abminderungsfaktoren

k1 = 1, 0

für Wände (Pfeiler/Wand)

k2 = 1, 0

für λ ≤ 10

l 4, 48 k3 = 1, 7 − 1 = 1, 7 − = 0,96 6 6

(Kicken)

am Wandkopf und -fuß, da 4,20 m < l1 ≤ 6,0 m (Deckendrehwinkel)

k = min (k1 ⋅ k2 und k1 ⋅ k3 ) = min (1, 0 ⋅1, 0 und 1, 0 ⋅ 0,96) = 0,96 e) Nachweise

Grundwert der zulässigen Druckspannung für HLz 8-0,9/LM21 ([3], Kap. 10, Tafel 3-8b)

σ 0 = 0,8 MN/m2 Im vorliegenden Fall handelt es sich um eine nicht vollflächige aufgelagerte Deckenplatte. Dieser Fall wird von der DIN 1053-1 nicht explizit geregelt. Auf der sicheren Seite liegend wird zum Nachweis nur der Mauerwerksstreifen unter dem Deckenauflager angesetzt und die Normalkraft als zentrisch in der Deckenauflagertiefe wirkend angenommen. Der Nachweis wird am Wandfuß geführt (Index F).

177

2 Zahlenbeispiele

Zulässige Druckspannung

zul σ = k F ⋅ σ 0 = 0,96 ⋅ 0,8 = 0, 77 MN/m2 Nachweis der Normalspannung vorh σ =

NF 82,90 ⋅ 10−3 = = 0, 61 MN/m 2 < 0, 77 MN/m 2 = zul σ b ⋅ d A 1, 00 ⋅ 0,135

Die Tragfähigkeit der Wand ist somit nach dem vereinfachten Verfahren nachgewiesen.

2.1.4 Nachweis nach DIN 1053-1 genaueres Verfahren a) Lastzusammenstellung für Nachweisführung

Der Nachweis der Wand erfolgt an den Nachweisstellen Wandkopf, Wandfuß und Wandmitte. • Vertikallasten Die anzusetzenden Wandauflasten und Deckenauflagerkräfte sind in Tafel 2-2 zusammengestellt. Tafel 2-2

Zusammenstellung der Wandauflasten N und Deckenauflagerkräfte A

Infolge g Infolge p Infolge g + p

NOG1 [kN/m] 34,14 19,16 53,30

AOG1 = AEG [kN/m] 13,70 6,16 19,86

• Horizontallasten lichte Geschosshöhe OG hs = 2,51 m < 3,00 m = zul hs Gebäudehöhe H = 9,80 m < 20,00 m = zul H Wanddicke d = 0,30 m > 0,24 m = min d Horizontal wirkende Lasten aus Wind senkrecht zur Wandebene brauchen somit nicht berücksichtigt zu werden. b) Knotenmomente

Die Ermittlung der Knotenmomente ist vereinfacht unter Zuhilfenahme der 5 %-Regel (Bild 2-2) möglich, da die einschränkende Bedingung p = 2,75 kN/m2 < 5,00 kN/m2 eingehalten ist (s. Abschnitt 3.3.1 in [3], Kap. 10).

8

178

Mauerwerksbau

Bild 2-2

8

Knotenmomente nach der 5 %-Regel in den Außenwandknoten an Dach- und Zwischendecken

Ausmitten der Deckenauflagerkräfte am Wandkopf eK und Wandfuß eF infolge Deckeneinspannung

eK = eF = 0,05 ⋅ l1 = 0, 05 ⋅ 4, 48 = 0, 224 m • Wandkopf

min M K = − 0,5 ⋅ eK ⋅ Ag,DOG 1 = − 0,5 ⋅ 0, 224 ⋅13, 7 = − 1,54 kNm/m max M K = − 0,5 ⋅ eK ⋅ Ag+p,DOG 1 = − 0,5 ⋅ 0, 224 ⋅19,86 = − 2, 22 kNm/m • Wandfuß

min M F = 0,5 ⋅ eF ⋅ Ag,DEG = 0,5 ⋅ 0, 224 ⋅13, 7 = 1,54 kNm/m max M F = 0,5 ⋅ eF ⋅ Ag+p,DEG = 0,5 ⋅ 0, 224 ⋅19,86 = 2, 22 kNm/m c) Knicklänge

Die Wand darf als vierseitig gehalten angesehen werden, da b = 4, 25 m < 9, 00 = 30 ⋅ d Knicklängenbeiwert β (s. Abschnitt 3.3.2 in [3], Kap. 10) 3 d = 300 mm: a = 135 mm < 225 mm = ⋅ d 4

→ β = 1, 00

hs = 2,51 m < b = 4, 25 m hk =

1 § β ⋅ hs · 1+ ¨ ¸ © b ¹

2

⋅ β ⋅ hs =

1 § 1, 00 ⋅ 2,51 · 1+ ¨ ¸ © 4, 25 ¹

2

⋅1, 00 ⋅ 2,51 = 1,86 m

179

2 Zahlenbeispiele

d) Nachweise

Grundwert der zulässigen Druckspannungen für HLz 8-0,9/LM21 ([3], Kap. 10, Tafel 3-8b)

σ 0 = 0,8 MN / m2 Rechenwert der Druckfestigkeit (vgl. [3], Kap. 10, Abschnitt 3.3.3.1)

β R = 2, 67 ⋅ σ 0 = 2, 67 ⋅ 0,8 = 2,14 MN / m2 Sicherheitsbeiwert ([3], Kap. 10, Tafel 3-12)

γ W = 2, 0

(für Wände)

Unter der Annahme eines aufreißenden Querschnitts ist die maximale Randspannung σR und die mittlere Spannung σm im überdrückten Querschnittsbereich nachzuweisen. Ergeben sich Ausmitd d zurückgesetzt werden. ten der Gesamtresultierenden e > , so dürfen diese auf den Wert e = 3 3 In diesen Fällen ist jedoch mit einer Rissabzeichnung im Putz zu rechnen, der konstruktiv, z. B. durch Fugenausbildung oder Rissüberdeckung, entgegengewirkt werden sollte. • Wandkopf Maßgebend wird der Lastfall Volllast. N K = N g+p,OG 1 + Ag+p,DOG 1 = 53,30 + 19,86 = 73,16 kN/m

| eK |=

MK 2, 22 0,30 d = = 0, 03 m < 0, 05 m = = 6 6 N K 73,16

→ keine klaffende Fuge

Nachweis der Randspannung vorh σ R,K =

NK b⋅d

§ 6⋅ | eK | · 73,16 ⋅10−3 § 6 ⋅ 0, 03 · 2 ¨1 + d ¸ = 1, 00 ⋅ 0,30 ¨1 + 0,30 ¸ = 0,39 N/mm © ¹ © ¹

γ W ⋅ vorh σ R,K = 2, 0 ⋅ 0,39 = 0, 78 MN/m2 < 2,84 MN/m2 = 1,33 ⋅ 2,14 = 1,33 ⋅ β R Nachweis der mittleren Normalspannungen

σ m,K =

N K 73,16 ⋅10 −3 = = 0, 24 N/mm 2 b⋅d 1, 00 ⋅ 0,30

γ W ⋅ vorh σ m,K = 2, 0 ⋅ 0, 24 = 0, 48 MN/m2 < 2,14 MN/m2 = β R Die Nachweise am Wandkopf sind erfüllt. • Wandfuß Maßgebend wird der Lastfall Volllast N F = N g+p,OG1 + Ag+p,DOG 1 + hs ⋅ g W = 53,30 + 19,86 + 2,51 ⋅ 3,88 = 82,90 kN/m

eF =

MF 2, 22 0,30 d = = 0, 027 m < 0, 05 m = = 6 6 N F 82,90

→ keine klaffende Fuge

8

180

Mauerwerksbau

Nachweis der Randspannung vorh σ R,F =

NF b⋅d

§ 6 ⋅ eF · 82,90 ⋅10−3 § 6 ⋅ 0, 027 · 2 = ¨1 + ¸ = 0, 43 N / mm ¨1 + d ¸¹ 1, 00 ⋅ 0,30 © 0,30 ¹ ©

γ W ⋅ vorh σ R,F = 2, 0 ⋅ 0, 43 = 0,86 MN/m2 < 2,84 MN/m2 = 1,33 ⋅ 2,14 = 1,33 ⋅ βR Nachweis der mittleren Normalspannungen

σ m,F =

N F 82,90 ⋅10−3 = = 0, 28 N/mm 2 b⋅d 1, 00 ⋅ 0,30

γ W ⋅ vorh σ m,F = 2, 0 ⋅ 0, 28 = 0,56 MN/m2 < 2,14 MN/m2 = β R Die Nachweise am Wandfuß sind erfüllt. • halbe Wandhöhe In halber Wandhöhe ist die Knicksicherheit im Bruchzustand und das Klaffen der Fuge im Gebrauchszustand nachzuweisen. Die ungünstigste Beanspruchung für den Nachweis im Bruchzustand ergibt sich für den Fall voller Wandauflast bei gleichzeitig voller Verkehrslast auf der Deckenplatte über OG1 und ausschließlich Eigenlast der Deckenplatte über dem EG.

8

1 1 (max M K − min M F ) + min M F = (−2, 22 − 1,54) + 1,54 = −0,34 kNm/m 2 2 1 1 = N g+p,OG 1 + Ag+p,DOG 1 + ⋅ hs ⋅ g W = 53,30 + 19,86 + ⋅ 2,51⋅ 3,88 2 2 = 78, 03 kN/m

max M M = max N M

Knicknachweis (vgl. [3], Kap. 10, Abschnitt 3.3.3.2)

λ=

hK 1,86 = = 6, 20 d 0,30

eM = m=

(Schlankheit der Wand)

MM 0,34 = = 0, 004 m N M 78, 03

6 ⋅ eM 6 ⋅ 0, 004 = = 0, 08 d 0,30

1+ m 1 + 0, 08 ⋅ hk = 6, 20 ⋅ ⋅1,86 = 0, 007 m 1800 1800 e = eM + f = 0, 004 + 0, 007 = 0, 011 m f =λ⋅

(planmäßige Ausmitte) (bezogene planmäßige Ausmitte) (zusätzliche Ausmitte) (Gesamtexzentrizität)

Nachweis der Randspannung e = 0, 011 m < 0, 05 m = vorh σ R,M =

NM b⋅d

0,30 d = 6 6

§ 6 ⋅ eM ¨1 + d ©

→ Querschnitt komplett überdrückt

· 78, 03 ⋅10−3 § 6 ⋅ 0, 011 · 2 ¸ = 1, 00 ⋅ 0,30 ¨1 + 0,30 ¸ = 0,32 N/ mm ¹ © ¹

γ W ⋅ vorh σ R,M = 2, 0 ⋅ 0,31 = 0, 64 MN/m2 < 2,84 MN/m2 = 1,33 ⋅ 2,14 = 1,33 ⋅ βR

181

2 Zahlenbeispiele

Nachweis der mittleren Normalspannungen

σ m,M =

N M 78, 03 ⋅10−3 = = 0, 26 N/ mm 2 b⋅d 1, 00 ⋅ 0,30

γ W ⋅ vorhσ m,M = 2, 0 ⋅ 0, 26 = 0,52 MN/m2 < 2,14 MN/m2 = βR Der Nachweis der klaffenden Fuge fällt bei minimaler Wandauflast in Verbindung mit voller Verkehrslast auf der Deckenplatte über EG und ausschließlich dem Eigengewicht der Deckenplatte über OG1 am ungünstigsten aus. 1 1 (min M K − max M F ) + max M F = ( −1,54 − 2, 22) + 2, 22 = 0,34 kNm/m 2 2 1 1 min N M = N g,OG1 + Ag,DOG1 + ⋅ hs ⋅ g W = 34,14 + 13, 70 + ⋅ 2,51 ⋅ 3,88 = 49, 71 kN/m 2 2 max M M 0,34 0,30 d eM = = = 0, 007 m < 0,10 m = = min N M 49, 71 3 3 max M M =

Damit wurden alle erforderlichen Nachweise nach dem genaueren Verfahren erfolgreich erbracht.

2.1.5 Nachweis nach DIN 1053-100 vereinfachtes Verfahren a) Überprüfung der Anwendbarkeit des vereinfachten Verfahrens Für die Anwendung des vereinfachten Verfahrens gelten die gleichen Bedingungen wie nach DIN 1053-1 (siehe 2.1.3). b) Bemessungsschnittgrößen für die Nachweisführung

Bemessungswerte der Normalkräfte N Ed = 1,35 ⋅ N Gk + 1,5 ⋅ N Qk

Die bei den Nachweisen anzusetzenden charakteristischen Werte und Bemessungswerte der Normalkräfte sind für die verschiedenen Nachweisstellen in Tafel 2-3 zusammengefasst. Tafel 2-3

Bemessungswerte der Normalkräfte Wandkopf NK [kN/m] 47,84 25,32 102,56

Aus ständiger Last NGk Aus veränderlicher Last NQk Bemessungswert NEd

Wandmitte NM [kN/m] 52,71 25,32 109,14

Wandfuß NF [kN/m] 57,58 25,32 115,71

Horizontallasten aus Wind brauchen wiederum nicht berücksichtigt werden (analog 2.1.3). c) Knicklänge Die Ermittlung der Knicklänge entspricht dem genaueren Verfahren nach DIN 1053-1 (siehe 2.1.4) d) Abminderungsfaktoren (vgl. Tafel 1-2) ⎛ h k ⎞2 ⎛ 1,86 ⎞2 ⎟ 0,85 0,0011 = − ⋅ ⎜ ⎟ = 0,81 (Knicken) ⎟ ⎝ 0,30 ⎠ ⎝ d ⎠

Φ 2 = 0,85 − 0,0011⋅⎜ ⎜

l 4, 48 Φ 3 = 1,6 − 1 = 1,6 − = 0,853 < 0,90 am Wandkopf und -fuß, da l1 > 4,20 m und 6

6

fk = 2,5 N/mm2 > 1,8 N/mm2 (Deckenverdrehung)

8

182

Mauerwerksbau

⎧ ⎪ Φ = 0,81 Φ = min ⎨ 2 ⎪ ⎩Φ 3 = 0,86

e) Nachweise

Charakteristischer Wert der Druckfestigkeit für HLz 8-0,9/LM21 ([3], Kap. 10, Tafel 4-5)

f k = 2,5 MN/m2 Teilsicherheitsbeiwert der Baustoffeigenschaften für normale Einwirkungen

k0 = 1, 00

für Wände ([3], Kap. 10, Tafel 4-2)

γ M = 1,5 ⋅ k0 = 1,5 ⋅1, 00 = 1,5 η = 0,85

Berücksichtigung der Langzeitwirkung

Der Fall der nicht vollflächig aufgelagerten Deckenplatte wird auch in DIN 1053-100 nicht explizit geregelt. Auf der sicheren Seite liegend wird wiederum zum Nachweis nur das Mauerwerk unter dem Deckenauflager angesetzt und die Normalkraft als zentrisch in der Deckenauflagertiefe wirkend angenommen. Der Nachweis wird mit der maximalen Normalkraft (Wandfuß, Index F) geführt. Bemessungswert der aufnehmbaren Normalkraft

8

f 2,5⋅1000 NRd = Φ ⋅ A⋅ η⋅ k = 0,81⋅1,00⋅0,135⋅0,85⋅ = 154,91 kN/ m 1,5 γM

Nachweis NEd,F = 115,71 kN/ m < 154,91 kN/m = NRd

Damit ist die Tragsicherheit der Wand nach dem vereinfachten Verfahren nachgewiesen.

2.1.6 Nachweis nach DIN 1053-100 genaueres Verfahren a) Belastungskombinationen für Nachweisführung

Für den Nachweis der Wand sind insgesamt 12 verschiedene Lastfallkombinationen zu untersuchen. Bei günstiger Wirkung des Eigengewichts der Deckenplatten darf zusätzlich die halbe Verkehrslast wie ständige Last behandelt werden. Alle ständigen Lasten in einer Lastfallkombination dürfen mit dem gleichen Teilsicherheitsbeiwert angesetzt werden. Die Anzahl der zu untersuchenden Lastfallkombinationen lässt sich durch Ausschluss von offensichtlich nicht maßgeblichen werdenden Lastfallkombinationen auf neun reduzieren (siehe Bild 2-3). Die anzusetzenden Vertikallasten sind für die jeweiligen Lastfälle in Tafel 2-4 aufgeführt. Tafel 2-4 Zusammenstellung der Bemessungslasten

Lastkombination 1,35 gk + 1,5 qk 1,35 gk 1,35 (gk + qk/2) 1,0 gk + 1,5 qk 1,0 (gk + qk/2) 1,0 gk

Auflast Nd,OG1 [kN/m] 74,83 46,09 – – – 34,14

Deckenauflagerkraft Ad,DOG1 = Ad,DEG [kN/m] 27,74 – 22,65 22,94 16,78 –

2 Zahlenbeispiele

183

• Horizontallasten Lichte Geschosshöhe 1. OG hs = 2,51 m < 3,00 m = max hs Gebäudehöhe H = 9,80 m < 20,00 m = max H Wanddicke d = 0,30 m > 0,24 m = min d Horizontal wirkende Lasten aus Wind senkrecht zur Wandebene brauchen somit nicht berücksichtigt werden. Knotenmomente Die Ermittlung der Knotenmomente ist wiederum vereinfacht unter Zuhilfenahme der 5 %-Regel möglich, da die einschränkende Bedingung qk = 2,75 kN/m2 < 5,00 kN/m2 eingehalten ist (vgl. 2.1.4).

8

Bild 2-3

Bemessungsrelevante Lastkombinationen

Ausmitten der Deckenauflagerkräfte am Wandkopf eo und Wandfuß eu infolge der Einspannung der Deckenplatten in die Wand

eo = eu = 0, 05 ⋅ l1 = 0, 05 ⋅ 4, 48 = 0, 224 m Knotenmomente am Wandkopf MEd,o und am Wandfuß MEd,u M E d,o=− 0,5⋅eo ⋅ A d, DOG1

M E d, u= 0,5⋅e u⋅ A d, DEG Die sich ergebenden Knotenmomente sind für die verschiedenen Einwirkungskombinationen auf die Deckenplatten in Tafel 2-5 zusammengefasst.

184

Mauerwerksbau

Tafel 2-5 Knotenmomente nach Belastungsfällen

Lastkombination auf Decke 1,35 gk + 1,5 qk 1,35 (gk + qk/2) 1,0 gk + 1,5 qk 1,0 (gk + qk/2)

Wandkopf Md,o [kNm/m] – 3,11 – 2,54 – 2,57 – 1,88

Wandfuß Md,u [kNm/m] 3,11 2,54 2,57 1,88

b) Knicklänge (nach [3], Kap. 10, Abschnitt 3.3.2) Die Wand darf als vierseitig gehalten angesehen werden, da b = 4, 25 m < 9, 00 = 30 ⋅ d

Knicklängenbeiwert β (nach [3], Kap. 10, Tafel 3-7) Wanddicke d = 0,30 m > 0,125 m Auflagertiefe der Deckenplatte a = 0,135 m <

2 d = 0, 20 m → β = 1, 00 3

hs = 2,51 m < b = 4, 45 m hk =

8

1 § β ⋅ hs · 1+ ¨ ¸ © b ¹

2

⋅ β ⋅ hs =

1 § 1, 00 ⋅ 2,51 · 1+ ¨ ¸ © 4, 25 ¹

2

⋅1, 00 ⋅ 2,51 = 1,86 m

c) Nachweise Charakteristischer Wert der Druckfestigkeit für HLz 8-0,9/LM21 ([3], Kap. 10, Tafel 4-5)

f k = 2,5 MN/m2 Teilsicherheitsbeiwert der Baustoffeigenschaften für normale Einwirkungen k0 = 1, 00 für Wände ([3], Kap. 10, Tafel 4-2) γ M = 1,5 ⋅ k0 = 1,5 ⋅1, 00 = 1,5 η = 0,85 Berücksichtigung der Langzeitwirkung • Wandkopf Ergibt sich eine Ausmitte der Gesamtresultierenden von e > 1 3 ⋅ d , so darf diese zur Bestimmung der aufnehmbaren Normalkraft auf e = 1 3 ⋅ d abgemindert werden. In diesem Fall ist jedoch mit einer Rissabzeichnung im Putz zu rechnen, der konstruktiv, z.B. durch Fugenausbildung oder Rissüberdeckung, entgegengewirkt werden sollte. Mindestens ist jedoch eine Ausmitte von e = 0, 05 ⋅ d anzusetzen. Maßgebend wird Lastfallkombination LFK1 = LFK3. N Ed,o= 1,35⋅ Ng,OG 1 +1,5⋅ Nq,OG 1 +1,35⋅ Ng,DOG 1 +1,5⋅ Nq,DOG 1

= 74,83 + 27, 74 = 102,57 kN/m

M Ed,o = − 3,11 kNm/m | eo |=

M Ed,o N Ed,o

=

⎧ > 0,015 m = 0,05⋅0,30 = 0,05⋅ d 3,11 = 0,03 m ⎨ 102,57 ⎩ < 0,10 m = 1/3⋅d

185

2 Zahlenbeispiele

Abminderungsfaktor am Wandkopf

Φo = 1 −

2 ⋅ eo 2 ⋅ 0, 03 = 1− = 0,80 d 0,30

Aufnehmbare Normalkraft f 2,5 ⋅103 N Rd,o = Φ o ⋅ A ⋅ η ⋅ k = 0,80 ⋅1, 00 ⋅ 0,135 ⋅ 0,85 ⋅ = 153, 00 kN/m 1,5 γM

Nachweis N Ed,o = 102,57 kN/m < 153, 00 kN/m = N Rd,o

Der Nachweis am Wandkopf ist erfüllt. In Tafel 2-6 sind die wesentlichen Berechnungsgrößen für alle in Bild 2-3 enthaltenen Lastfallkombinationen zusammengefasst. Tafel 2-6 Rechenwerte für die Nachweisführung am Wandkopf

Nd,o [kN/m] Md,o [kNm/m] 102,57 – 3,11 97,48 – 2,54 73,83 – 3,11 68,74 – 2,54 57,08 – 2,57 50,92 – 1,88

LFK1 = LFK3 LFK2 LFK4 = LFK6 LFK5 LFK7 = LFK9 LFK8

|eo| [m] 0,015 < 0,030 < 0,100 0,015 < 0,026 < 0,100 0,015 < 0,042 < 0,100 0,015 < 0,037 < 0,100 0,015 < 0,045 < 0,100 0,015 < 0,037 < 0,100

Φo 0,80 0,83 0,72 0,75 0,70 0,75

NRd,o [kN/m] 340,00 351,17 305,65 320,31 297,43 320,39

• Wandfuß Maßgebend wird Lastfallkombination LFK3. N Ed,u = 1,35⋅ N g,OG 1 +1,5⋅ N q,OG 1 +1,35⋅ N g,DOG 1 +1,5⋅ N q,DOG 1 +1,35⋅hs ⋅ g W = 74,83+ 27, 74 +1,35⋅2,51⋅3,88 = 115, 72 kN/ m

M Ed,u = 3,11 kNm/m eu =

M Ed,u N Ed,u

=

⎧ > 0, 015 m = 0, 05⋅0,30 = 0, 05⋅ d 3,11 = 0, 027 m ⎨ 115, 72 ⎩ < 0,10 m = 1 / 3⋅ d

Abminderungsfaktor am Wandfuß

Φu = 1 −

2 ⋅ eu 2 ⋅ 0, 027 = 1− = 0,82 d 0,30

Aufnehmbare Normalkraft f 2,5⋅103 N Rd,u = Φ u ⋅ A⋅η⋅ k = 0,82⋅1, 00⋅0,135⋅0,85⋅ =156,83 kN/ m γM 1,5

Nachweis N E d,u = 115, 72 kN/ m < 156,83 kN/ m = N Rd,u

8

186

Mauerwerksbau

Der Nachweis am Wandfuß ist erfüllt. Analog zum Nachweis am Wandfuß sind in Tafel 2-7 die wesentlichen Berechnungsgrößen für alle in Bild 2-3 enthaltenen Lastfallkombinationen zusammengefasst. Tafel 2-7 Rechenwerte für die Nachweisführung am Wandfuß

Nd,u [kN/m] 115,72 110,63 115,72 86,98 81,89 86,98 66,82 60,66 66,82

LFK1 LFK2 LFK3 LFK4 LFK5 LFK6 LFK7 LFK8 LFK9

Md,u [kNm/m] 2,54 3,11 3,11 2,54 3,11 3,11 1,88 2,57 2,57

eu [m] 0,015 < 0,022 < 0,100 0,015 < 0,028 < 0,100 0,015 < 0,027 < 0,100 0,015 < 0,029 < 0,100 0,015 < 0,028 < 0,100 0,015 < 0,036 < 0,100 0,015 < 0,028 < 0,100 0,015 < 0,042 < 0,100 0,015 < 0,036 < 0,100

Φu 0,85 0,81 0,82 0,81 0,75 0,76 0,81 0,72 0,74

NRd,u [kN/m] 362,81 345,35 348,50 342,26 317,39 323,69 345,28 304,96 316,02

• Halbe Wandhöhe Maßgebend wird Lastfallkombination LFK1.

8

1 N Ed,m = 1,35⋅ Ng,OG 1 +1,5⋅ Nq,OG 1 +1,35⋅ Ng,DOG 1 +1,5⋅ Nq,DOG 1 +1,35⋅ ⋅ hs ⋅ g W 2 1 = 74,83+ 27, 74+1,35⋅ ⋅ 2,51⋅3,88 = 109,14 kN/ m 2

M Ed,m = | em 0 |=

1 1 ( M Ed,o − M Ed,u ) + M Ed,u = (−3,11 − 2,54) + 2,54 = −0, 25 kNm/m 2 2

M Ed,m N Ed,m

=

0, 25 = 0, 002 m 109,14

Ungewollte Ausmitte ea =

hk 1,86 = = 0, 004 m 450 450

Exzentrizität infolge Kriechen hk 1,86 = = 6, 20 < 10 d 0,30

→ emk = 0

Exzentrizität der einwirkenden Lasten em =

M Ed,m N Ed,m

+ emk + ea = 0, 002 + 0 + 0, 004 = 0, 006 m

187

2 Zahlenbeispiele

Abminderungsfaktor in halber Geschosshöhe hk § 2 ⋅ 0, 006 · 1,86 · ¸ − 0, 024 ⋅ d = 1,14 ⋅ ¨ 1 − 0,30 ¸ − 0, 024 ⋅ 0,30 = 0,94 © ¹ © ¹ 2 ⋅ em 2 ⋅ 0, 006 ≤ 0,96 = 1 − = 1− 0,30 d §

Φ m = 1,14 ⋅ ¨ 1 −

2 ⋅ em d

Aufnehmbare Normalkraft N Rd,m = Φ m ⋅ A ⋅η ⋅

fk

γM

= 0,94 ⋅1, 00 ⋅ 0,30 ⋅ 0,85 ⋅

2,5 ⋅103 = 399,50 kN/m 1,5

Nachweis N Ed,m = 109,14 kN < 399,50 kN = N Rd,m

Zusätzlich ist nachzuweisen, dass unter Gebrauchslasten der Querschnitt nicht weiter als bis Mitte aufklafft. Da bereits unter Bemessungslasten der Querschnitt nie so weit aufreißt (vgl. Tafel 2-8, Spalte |em0|), erübrigt sich der erneute Nachweis unter Ansatz der Gebrauchslasten. Alle Nachweise in halber Wandhöhe sind erfüllt. Damit sind alle Nachweise nach dem genaueren Verfahren erbracht. Die Wand ist nachgewiesen. Tafel 2-8 enthält wiederum die wesentlichen Berechnungsgrößen für alle in Bild 2-3 aufgeführten Lastfallkombinationen. Tafel 2-8 Zusammenfassung aller Lastfallkombinationen in halber Wandhöhe

LFK1 LFK2 LFK3 LFK4 LFK5 LFK6 LFK7 LFK8 LFK9

Nd,M [kN/m] 109,14 104,05 109,14 80,40 75,31 80,40 61,95 55,79 61,95

Md, M [kNm/m] 0,29 – 0,29 0,00 0,29 – 0,29 0,00 0,35 – 0,35 0,00

|em0| [m] 0,002 0,003 0,000 0,003 0,003 0,000 0,005 0,006 0,000

em [m] 0,006 0,006 0,004 0,006 0,008 0,004 0,009 0,010 0,004

Φm 0,94 < 0,96 0,94 < 0,96 0,96 < 0,97 0,94 < 0,95 0,93 < 0,95 0,96 < 0,97 0,92 < 0,94 0,96 > 0,93 0,96 < 0,97

NRd,M [kN/m] 399,50 399,70 408,02 397,43 396,78 408,02 391,34 389,65 408,02

2.2 Kellerwand Es soll eine Kelleraußenwand eines Einfamilienhauses nach DIN 1053-1 und DIN 1053-100 nachgewiesen werden. Die zu berechnende Wand ist eine einschalige Außenwand aus Kalksandsteinen (KS-R12-1,4) der Steinfestigkeitsklasse 12 mit Normalmörtel (MGII). Die Wand befindet sich unter einer Ter-

8

188

Mauerwerksbau

rasse und weist eine Länge von 5,25 m auf. Die Geschosshöhe beträgt 2,35 m bei einer Wandstärke von 24 cm (vgl. Bild 2-4). Sofern die vorhandenen Normalkräfte die Grenzlasten nach [3], Kap. 10, Tafel 3-14 nicht überbzw. unterschreiten, kann ein genauerer Nachweis auf Erddruck entfallen. Voraussetzung ist jedoch, dass die angegebenen Randbedingungen eingehalten sind. Die Grenzlasten wurden unter Ansatz eines Bogenmodells bestimmt. Bei den Formeln wurde von üblichem Erdstoff und aktivem Erddruck ausgegangen. Der Nachweis auf Plattenschub ist bei Einhaltung der Grenzlastbedingungen ebenfalls automatisch erfüllt.

8

Bild 2-4

Vertikalschnitt durch die nachzuweisende Kellerwand

Bei einem genauen Nachweis auf Erddruck ist ein geeignetes Modell (z. B. Bogenmodell) zu wählen und ein Nachweis auf Biegung bzw. Knicken unter minimaler und maximaler Auflast an den maßgebenden Querschnitten zu führen. Zunächst wird man jedoch stets versuchen, die Einhaltung der Grenzlasten nachzuweisen. a) Annahmen Einschalige Kelleraußenwand aus: Kalksandstein KS-R12-1,4 in Normalmörtel MG II

Abmessungen:

Wanddicke lichte Höhe Wandlänge Anschütthöhe

d hs b he

= 24,0 cm = 2,35 m = 5,25 m = 1,05 m

Bei Kellerwänden darf ein genauer Nachweis nach DIN 1053-1 bzw. DIN 1053-100 unter Berücksichtigung des Erdrucks nur dann ggf. entfallen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: – lichte Höhe der Kellerwand hs ” – Wanddicke d • – Verkehrslast auf der Geländeoberfläche p ”

2,60 m 24 cm 5 kN/m2

189

2 Zahlenbeispiele

– Anschütthöhe he ” hs – Geländeoberfläche verläuft waagerecht – Kellerdecke ist als Scheibe ausgebildet Alle Bedingungen sind eingehalten. Es darf der Nachweis ohne Ansatz des Erddrucks geführt werden. Die Wandnormalkraft aus ständiger Last muss entweder in halber Anschütthöhe oder am Wandkopf innerhalb bestimmter Grenzen liegen. Diese Grenzen werden in den folgenden Abschnitten ermittelt. (Vgl. [3], Kap. 10, Abschnitt. 3.4.2 und 4.5) b) Belastung Auf das Erdreich wirkende Verkehrslast p = 3,75 kN/m2 Wichte der Anschüttung ȡe = 19,0 kN/m3 (= γe in DIN 1053-100) Wandeigengewicht g = 14 kN/m3 · 2,35 m · 0,24 m = 7,9 kN/m Eigengewicht in halber Anschütthöhe g = 14 · (2,35 – 1,05/2) · 0,24 = 6,13 kN/m Tafel 2-9 Zusammenstellung der vertikalen Lasten

ständige Lasten [kN] 4,5 10,63 12,4

Wandkopf Σ halbe Anschütthöhe Σ Wandfuß

Verkehrslasten [kN] 5,0 5,0 5,0

Gesamt [kN] 9,5 15,63 17,4

8

2.2.1 Nachweis nach DIN 1053-1 Die Bedingung zum Wegfall des genaueren Nachweises für durch Erddruck belastete Kellerwände kann am Wandkopf oder in halber Anschütthöhe geprüft werden. ([3], Kap. 10, Abschnitt 3.4.2) Wandkopf maximale Auflast No,max = 9,5 kN/m minimale Auflast No,min = 4,5 kN/m obere Grenzlast max No = 0, 45 ⋅ d ⋅ σ 0 mit dem Grundwert der zulässigen Druckspannungen nach [3], Kap. 10, Tafel 3-8a ı0 = 1,2 MN/m2 (SFK 12, MGII)

max No = 0, 45 ⋅ 0, 24 ⋅1, 2 = 129,6 kN/m untere Grenzlast min No ([3], Kap. 10, Tafel 3-14) min No = 6 kN/m

(d = 0,24 m; he ≈ 1,0 m)

Sollte die Wandlänge b < 2 ⋅ hs sein, kann eine zweiachsige Lastabtragung angenommen werden, und damit die untere Grenze verringert werden.

b ≤ hs :

1 No ≥ ⋅min No 2

190

Mauerwerksbau

b ≥ 2 ⋅ hs :

No ≥ min No

(Zwischenwerte sind geradlinig zu interpolieren)

Da in dem Beispiel b = 5,25 m ≥ 4,7 m = 2 · 2,35 ist, liegt eine einachsige Lastabtragung vor. Nachweis der Grenzlasten max N o = 129, 6 kN/m > 4, 5 kN/m = N o,min < 6, 0 kN/m = min N o

Die untere Grenzlast ist damit am Wandkopf nicht eingehalten. Es darf jedoch der Nachweis in halber Anschütthöhe versucht werden. halbe Anschütthöhe maximale Auflast N1,max = 15,63 kN/m minimale Auflast N1,min = 10,63 kN/m Obere Grenzlast max N =

8

d ⋅ βR 3⋅γ

mit dem Rechenwert der Druckfestigkeit ȕR = 2,67 · ı0 = 2,67 · 1,2 = 3,20 MN/m2 max N =

0, 24 ⋅ 3, 20 = 128, 2 kN/m 3 ⋅ 2, 0

untere Grenzlast min N =

ρ e ⋅ hs ⋅ he2 20 ⋅ d

=

19 ⋅ 2,35 ⋅1, 052 = 10, 25 kN/m 20 ⋅ 0, 24

Aufgrund der einachsigen Lastabtragung kann die untere Grenze nicht weiter abgemindert werden. Nachweis der Grenzlasten max N = 128, 2 kN/m > 10, 63 kN/m = N1,min > 10, 25 kN/m = min N Es sind beide Grenzbedingungen eingehalten. Der genaue Nachweis auf Erddruck kann entfallen, da die Bedingungen nur am Wandkopf oder bei halber Anschütthöhe zu prüfen sind. Nach DIN 1053-1 [1] Abschnitt 8.1.2.3 sind für die Prüfung der Bedingung nur die ständigen Lasten anzusetzen. Nach Meinung des Autors ist aber zusätzlich die maximale Auflast gegen die obere Grenze zu prüfen. max N = 128, 2 kN/m > 15, 63 kN/m = N1

Diese Grenzbetrachtung gewinnt erst bei hoch belasteten Kellerwänden an Bedeutung.

191

2 Zahlenbeispiele

2.2.2 Nachweis nach DIN 1053-100 Die Prüfung der Grenzwerte nach DIN 1053-100 entspricht formal dem Verfahren nach DIN 1053-1. Die Formeln sind lediglich an das Konzept der Teilsicherheitsbeiwerte angepasst worden. Wandkopf maximale Auflast No,Ed,sup = 1,35 · 4,5 + 1,5 · 5 = 13,75 kN/m minimale Auflast No,Ed,inf = 1,0 · 4,5 = 4,5 kN/m obere Grenzlast f N o,Rd = 0, 33 ⋅ d ⋅ k

γM

mit dem charakteristische Wert der Druckfestigkeit ([3], Kap. 10, Tafel 4-10) (SFK 12, MGII) fk = 3,7 MN/m2 N o,Rd = 0, 33 ⋅ 0, 24 ⋅

3, 7 = 195,36 kN/m 1,5

8

untere Grenzlast No,lim,d ([3], Kap. 10, Tafel 4-10) (d = 0,24 m; he ≈ 1,0 m)

No,lim,d = 6 kN/m

Der Lastabtrag ist analog Abschnitt 2.2.2 als einachsig anzunehmen. Nachweis der oberen Grenzbedingung N o,Ed,sup = 13, 75 kN/m < 195, 36 kN/m = N o,Rd Nachweis der unteren Grenzbedingung N o,Ed,inf = 4, 5 kN/m < 6 kN/m = N o,lim,d

Die untere Grenzbedingung ist am Wandkopf nicht eingehalten. Es darf wiederum alternativ der Nachweis in halber Anschütthöhe versucht werden. halbe Anschütthöhe maximale Auflast N1,Ed,sup = 1,35 · 10,63 + 1,5 · 5 = 21,85 kN/m minimale Auflast N1,Ed,inf = 1,0 · 10,63 = 10,63 kN/m obere Grenzlast N1,Rd = 0,33 ⋅ d ⋅

fk

γM

= 0, 33 ⋅ 0, 24 ⋅

3, 7 = 195,36 kN/m 1, 5

untere Grenzlast N1,lim,d =

γ e ⋅ hs ⋅ he2 20 ⋅ d

=

19 ⋅ 2,35 ⋅1, 052 = 10, 25 kN/m 20 ⋅ 0, 24

(analog dem Wandkopf)

192

Mauerwerksbau

Der Lastabtrag ist analog Abschnitt 2.2.2 als einachsig anzunehmen. Nachweis der oberen Grenzlast N1,E d,sup = 21,85 kN/ m < 195, 36 kN/m = N1,R d

Nachweis der unteren Grenzlast N1,Ed,inf = 10, 63 kN/ m > 10, 25 kN/m = N1,lim,d

Es sind beide Grenzbedingungen eingehalten. Die Standsicherheit der Wand konnte erfolgreich nachgewiesen werden. Der genaue Nachweis auf Erddruck kann entfallen, da die Bedingungen wiederum nur am Wandkopf oder in halber Anschütthöhe zu prüfen sind.

2.3 Schubwand In diesem Beispiel soll eine aussteifende Innenwand (Bild 2-5) nach DIN 1053-1 und DIN 1053100 jeweils nach dem vereinfachten und dem genaueren Verfahren nachgewiesen werden.

8

Bild 2-5

Längsansicht der Aussteifungswand mit Belastungen

Die nachzuweisende Wand ist eine einschalige Innenwand aus Porenbeton-Plansteinen (PP6) der Steinfestigkeitsklasse 6, verlegt in Dünnbettmörtel. Die Wandstärke beträgt 24 cm. Für das statische System wird die Wand in Scheibenrichtung als Kragarm angenommen. Für den Kragarm ist

193

2 Zahlenbeispiele

der Schubnachweis am Wandkopf und Wandfuß zu führen. Bei einer am Wandkopf eingespannten Wand bzw. außermittig belasteten Wand ist zusätzlich ggf. ein Nachweis in Wandmitte zu führen. Die im Folgenden vorgeführten Nachweise beschränken sich auf die Scheibenbeanspruchung. Zum vollständigen Nachweis der Standsicherheit der Wand ist zusätzlich jedoch noch die ausreichende Normkrafttragfähigkeit nachzuweisen. a) Annahmen SFK 6, DM, unvermörtelte Stoßfugen Abmessungen Wanddicke d = 24 cm lichte Höhe hs = 2,51 m Wandlänge lw = 2,00 m Angaben für die Überprüfung der Anwendungsgrenzen des vereinfachten Verfahrens nach DIN 1053-1 [1] Abschnitt 6.1 bzw. DIN 1053-100 [2], Abschnitt 8.1 Gebäudehöhe über Gelände ” 20,00 m Stützweiten der aufliegenden Decken ” 6,00 m Verkehrslast der Decken ” 5 kN/m2 Die Kriterien für die Anwendung des vereinfachten Verfahrens gelten als erfüllt. (Vgl. [3], Kap. 10, Abschnitt 3.2.1) b) Belastung vertikale Lasten Die vertikale Belastung ergibt sich aus den auf der zu bemessenden Wand aufliegenden Decken und dem Eigengewicht. Die Linienlast wurde in eine resultierende Einzellast umgerechnet. Eigengewicht des Wandabschnittes

g = 7,5 kN/m3 · 2,51 m · 2,0 m · 0,24 m = 9,0 kN Tafel 2-10 Zusammenstellung der vertikalen Lasten

am Wandkopf Wandeigengewicht Σ Wandfuß

ständige Lasten [kN] 64,5 9,0 73,5

Verkehrslasten [kN] 29,1 29,1

Gesamt [kN] 93,6 9,0 102,6

horizontale Lasten Als horizontale Lasten sind die auf das Gebäude einwirkenden Windlasten und Lasten aus ungewollter Schiefstellung des Gebäudes anzusetzen. Diese Kräfte werden über die Decken und Aussteifungswände abgeleitet. Der auf eine Wand entfallende Anteil der Schubkraft ist nach der Lage und der Steifigkeit aller Aussteifungswände in jedem Geschoss zu bestimmen. Querkraft: [Klammerwerte sind Bezeichnungen nach DIN 1053-100] QW [VWk] = 10,4 kN Wandanteil aus Wind QS [VSk] = 1,56 kN Wandanteil aus der Schiefstellung des Gebäudes Einspannmomente am Wandfuß: [Klammerwerte sind Bezeichnungen nach DIN 1053-100] MW [MWk] = QW [VWk] · hs = 26,1 kNm (aus Wind) (aus der Schiefstellung des Gebäudes) MS [MSk] = QS [VSk] · hs = 3,92 kNm

8

194

Mauerwerksbau

2.3.1 Nachweis nach DIN 1053-1 vereinfachtes Verfahren Die Schubwand wird zuerst auf Biegung in Scheibenrichtung am Wandfuß nachgewiesen. Dies ist nur nach dem genaueren Verfahren möglich. Zunächst ist die Randspannung unter Berücksichtigung des Aufreißens des Querschnitts zu bestimmen. Ausmitte der Resultierenden

e=

­< d/3 = 2, 00/3 = 0, 66 m M 26,1 + 3,92 = = 0, 408 m ® min N 73,5 ¯> d/6 = 2, 00/6 = 0,33 m

→ teilweise gerissener Querschnitt überdrückte Wandlänge

§l · § 2, 00 · lc = ¨ w − e ¸ ⋅ 3 = ¨ − 0, 408 ¸ ⋅ 3 = 1, 78 m 2 2 © ¹ © ¹ Randspannung

σR =

8

2 ⋅ min N 2 ⋅ 73,50 ⋅10−3 = = 0,344 MN/m 2 lc ⋅ d 1, 78 ⋅ 0, 24

Rechenwert der Mauerwerksdruckfestigkeit ([3], Kap. 10, Abschnitt 3.3.3.1)

β R =2,67 ⋅ σ 0 =2,67 ⋅1,50 = 4, 00 MN/m2

(SFK 6 mit Dünnbettmörtel)

globaler Sicherheitsbeiwert

γ = 2,0

(für Wände, siehe [3], Kap. 10, Tafel 3-12)

Nachweis

σ R = 0,344 MN/m 2 < 2, 66 MN/m 2 = 1,33 ⋅

β 4, 00 MN/m 2 = 1,33 ⋅ R γ 2

Zusätzlich ist die Randdehnung auf der Zugseite der Wandscheibe nachzuweisen (vgl. Bild 2-6).

εD =

σR E

=

σR 3000 ⋅ σ 0

=

0,344 = 0,8 ⋅10−4 3000 ⋅1,5

ε R = ε D ⋅ (lw /lc − 1) = 0,8 ⋅10−4 ⋅ (2, 0/1, 78 − 1) = 9,9 ⋅10−6 < 1 ⋅10−4 Der Nachweis der Randdehnung ist erfüllt. Für den eigentlichen Schubnachweis nach [1], Abschnitt 6.9.5, ist die vorhandene Schubspannung wie folgt zu berechnen.

τ = c⋅

Q A

Der Faktor c für die Schubspannungsverteilung in der Wand, ist bei hs/lW = 2,51/2,0 = 1,25 zwischen 1,0 und 1,5 zu interpolieren. c = 1,128.

195

2 Zahlenbeispiele

Bild 2-6

Randdehnung bei Windscheiben

Schubspannung am Wandkopf

τ K = 1,128 ⋅

(10, 4 + 1,56) ⋅ 10 −3 = 0, 0281 MN/m 2 0, 24 ⋅ 2, 0

Schubspannung am Wandfuß (10, 4 + 1,56) ⋅ 10−3 = 0, 0316 MN/m 2 τ = 1,128 ⋅ 0, 24 ⋅ 1, 78 F

Die zulässige Schubspannung zul τ wird nach [1] Abschnitt 6.9.5 (6a) bzw. [3], Kap. 10, Abschn. 3.2.9.5, berechnet. Sie ergibt sich als kleinster Wert aus den beiden Fällen Reibungsversagen und Steinzugversagen. Versagensfall 1 (Reibungsversagen zwischen Stein und Mörtel) zul τ = σ0HS + 0,2 σDm

σ0HS = 0,055 MN/m2

(DM und unverm. Stoßfugen, [3], Kap. 10, Tafel 3-9)

Wandkopf

σ Dm =

N 64,5 ⋅10−3 = = 0,134 MN/m 2 d ⋅ lW 0, 24 ⋅ 2, 0

zul τ1K = 0, 055 + 0, 2 ⋅ 0,134 = 0, 082 MN/m 2

Wandfuß

σ Dm =

N 73,5 ⋅10−3 = = 0,173 MN/m 2 d ⋅ lc 0, 24 ⋅1, 78

zul τ1F = 0, 055 + 0, 2 ⋅ 0,173 = 0, 090 MN/m 2

8

196

Mauerwerksbau

Versagensfall 2 (Steinzugversagen) Wandkopf und Wandfuß max τ = 0, 014 ⋅ β NSt

(für Vollsteine ohne Grifföffnungen oder -löcher)

β NSt = 6, 0 MN/m 2

(für SFK 6 [3], Kap. 10, Abschnitt 3.2.9.5)

max τ = 0, 014 ⋅ 6, 0 = 0, 084 MN/m²

zulässige Schubspannung ­zul τ1 zul τ = min ® ¯max τ ­°0, 082 MN/m 2 ­°0, 090 MN/m 2 zul τ K = min ® , zul τ F = min ® 2 °¯0, 084 MN/m 2 °¯0, 084 MN/m Nachweis am Wandkopf

τ K = 0, 028 MN/m2 < 0, 082 MN/m2 = zulτ K Nachweis am Wandfuß

τ F = 0, 032 MN/m2 < 0, 084 MN/m 2 = zulτ F

8

Beide Nachweise sind erfüllt. Die Querkrafttragfähigkeit der Windscheibe ist nachgewiesen.

2.3.2 Nachweis nach DIN 1053-1, genaueres Verfahren Der Nachweis der Schubwand auf Biegung und Klaffen in Scheibenrichtung entspricht dem vereinfachten Verfahren (Abschnitt 2.3.1). Die Ermittlung der vorhandenen Schubspannungen erfolgt identisch zum vereinfachten Verfahren. Lediglich die Berechnung der zulässigen Schubspannungen ändert sich ([3], Kap. 10, Abschnitt 3.3.3.5). Versagensfall 1 (Reibungsversagen zwischen Stein und Mörtel) zul τ1 = β RHS + μ ⋅ σ

βRHS = 2 · σ0HS = 2 · 0,055 = 0,11 MN/m2

(σ0HS siehe vereinfachtes Verfahren)

μ = 0, 4 Die mittlere vertikale Spannung σ entspricht dem vereinfachten Verfahren. Wandkopf zul τ1K = 0,11 + 0,4 · 0,134 = 0,164 MN/m2

Wandfuß zul τ1F = 0,11 + 0,4 · 0,173 = 0,179 MN/m2

197

2 Zahlenbeispiele

Versagensfall 2 (Steinzugversagen) zul τ 2 = 0, 45 ⋅ β RZ ⋅ 1 + σ /β RZ

Steinzugfestigkeit βRZ = 0,040 · βNSt βRZ = 0,040 · 6 = 0,24 MN/m2

(für Vollsteine ohne Grifföffnungen oder -löcher)

Wandkopf zul τ 2K = 0,45 ⋅ 0,24 ⋅ 1 + 0,134/0, 24 = 0,135 MN/m 2

Wandfuß zul τ 2F = 0, 45 ⋅ 0, 24 ⋅ 1 + 0,173/0, 24 = 0,142 MN/m 2

zulässige Schubspannung ­zul τ1 zul τ = min ® ¯zul τ 2 ­°0,164 MN/m2 ­°0,179 MN/m2 zul τ K = min ® , zul τ F = min ® 2 2 °¯0,135 MN/m °¯0,142 MN/m

globaler Sicherheitsbeiwert

γ = 2,0

(für Wände, siehe [3], Kap. 10, Tafel 3-12)

Nachweis am Wandkopf

γ ⋅τ K = 2, 0 ⋅ 0, 028 = 0, 056 MN/m 2 < 0,135 MN/m 2 = zulτ K Nachweis am Wandfuß

γ ⋅τ F = 2, 0 ⋅ 0, 032 = 0, 064 MN/m 2 < 0,142 MN/m 2 = zulτ F Beide Nachweise sind erfüllt. Die Querkrafttragfähigkeit der Windscheibe ist nachgewiesen.

2.3.3 Nachweis nach DIN 1053-100, vereinfachtes Verfahren Im Gegensatz zum Nachweis nach DIN 1053-1 [1] erfolgt der Nachweis nach DIN 1053-100 [2] über Traglasten und nicht über zulässige Spannungen.

VEd = 1,35 ⋅ VSk + 1,5 ⋅ VWk = 1,35 ⋅ 1,56 + 1,5 ⋅ 10,4 = 17,7 kN MEd = 1,35 ⋅ MSk + 1,5 · MWk = 1,35 ⋅ 3,92 + 1,5 · 26,1 = 44,4 kNm (am Wandfuß) Die Lasten aus der Schiefstellung des Gebäudes wurden als ständige Lasten angesetzt. Da die vertikale Belastung für den Schubnachweis und den Nachweis des Klaffen günstig wirkt, ist hier die minimale Auflast anzusetzen. Wandkopf min NEd = 1,0 · 64,5 kN = 64,5 kN

8

198

Mauerwerksbau

Wandfuß min NEd = 1,0 · 73,5 kN = 73,5 kN Der Nachweis auf Biegung in Scheibenrichtung erfolgt analog Abschn. 2.1.5., jedoch ohne den Knicknachweis.

e=

M Ed 44, 4 = = 0, 604 m min N Ed 73,5

Φ1 = 1 −

2⋅e 2 ⋅ 0, 604 = 1− = 0,396 lw 2, 0

f k = 4, 7 MN/m 2

(SFK 6 mit DM nach [3], Kap. 10, Tafel 4-5)

N Rd = Φ1 ⋅ d ⋅ lw ⋅η ⋅

fk

γM

= 0,396 ⋅ 0, 24 ⋅ 2, 0 ⋅ 0,85 ⋅

4, 7 ⋅10−3 = 507 kN 1,5

Nachweis

N Ed = 73,5 kN < 507 kN = N Rd

8

Der Nachweis der Windscheibe auf Biegung aus der Schiefstellung des Gebäudes und des Winds ist erfüllt. Zusätzlich ist nun noch der Nachweis der Randdehnung und der Nachweis der klaffenden Fuge zu führen. Diese Nachweise werden im Gebrauchszustand, unter seltener Lastfallkombination geführt. Ausmitte der Resultierenden

e=

M Ed,rare min N Ed,rare

=

⎧< d /3 = 2, 00/3 = 0, 66 m 26,1+ 3,92 = 0, 408 m ⎨ 73,5 ⎩> d /6 = 2, 00/6 = 0,33 m

→ Der Querschnitt reißt nicht bis zum Schwerpunkt auf. überdrückte Wandlänge §l · § 2, 00 · − 0, 408 ¸ ⋅ 3 = 1, 78 m lc = ¨ w − e ¸ ⋅ 3 = ¨ 2 2 © ¹ © ¹ Randspannung 2 ⋅ min N Ek 2 ⋅ 73,50 ⋅10−3 = = 0,344 MN/m2 σD = lc ⋅ d 1, 78 ⋅ 0, 24 Randdehnung auf der Zugseite der Wandscheibe (vgl. Bild 2-6). σ σD 0,344 εD = D = = = 0, 73 ⋅10−4 E 1000 ⋅ f k 1000 ⋅ 4, 7

ε R = ε D ⋅ (lw /lc − 1) = 0, 73 ⋅10−4 ⋅ (2, 0/1, 78 − 1) = 9, 0 ⋅10−6 < 1 ⋅10−4 Der Nachweis der Randdehnung und der Nachweis der klaffenden Fuge ist erfüllt. Der charakteristische Wert der Schubfestigkeit ergibt sich wiederum als kleinster Wert aus den Versagensmechanismen Reibungsversagen und Steinzugversagen. Versagensfall 1 (Reibungsversagen zwischen Stein und Mörtel)

f vk = f vk0 + 0, 4⋅σ Dd

199

2 Zahlenbeispiele

f vk0 = 0,11 MN/m2

(unverm. Stoßfugen, siehe [3], Kap. 10, Tafel 4-6)

charakt. Schubfestigkeit am Wandkopf (e = 0) min N Ed 64,5 ⋅10−3 K σ Dd = = = 0,134 MN/m 2 d ⋅ lw 0, 24 ⋅ 2, 00 K f vk,1 = 0,11 + 0, 4 ⋅ 0,134 = 0,164 MN/m2

charakt. Schubfestigkeit am Wandfuß §l · § 2, 0 · lc = ¨ w − e ¸ ⋅ 3 = ¨ − 0, 604 ¸ ⋅ 3 = 1,19 m © 2 ¹ © 2 ¹ F σ Dd =

min N Ed 73,5 ⋅10−3 = = 0, 258 MN/m 2 d ⋅ lc 0, 24 ⋅1,19

F f vk,1 = 0,11 + 0, 4 ⋅ 0, 258 = 0, 213 MN/m2

Versagensfall 2 (Steinzugversagen) charakt. Schubfestigkeit am Wandkopf und Wandfuß max f vk = 0, 020 ⋅ f bk

(für Vollsteine ohne Grifföffnungen oder -löcher)

f bk = 6, 0 MN/m 2

(für SFK 6 [3], Kap. 10, Tafel 4-8)

max f vk = 0, 020 ⋅ 6, 0 = 0,120 MN/m 2

maßgebende charakt. Schubfestigkeit ­° f vk ,1 f vk = min ® °¯ max f vk ­°0,164 MN/m 2 ­°0, 213 MN/m 2 K F = min ® = min ® f vk , f vk 2 2 ¯°0,120 MN/m ¯°0,120 MN/m Schubtragfähigkeitsbeiwert bei überwiegender Scheibenbeanspruchung durch Wind

­1,125 ⋅ lw ¯1,333 ⋅ lc

αs = min ®

⎧1,125⋅2, 0 = 2, 250 m ⎪

⎧1,125⋅2, 0 = 2, 25 m ⎪ , αsF = min ⎨ ⎪1,333⋅2, 0 = 2, 666 m ⎪1,333⋅1,19 = 1,59 m ⎩ ⎩

αsK = min ⎨

Nachweis am Wandkopf K VRd = αsK ⋅

F f vk d 0,120 ⋅103 0, 24 ⋅ = 2, 25 ⋅ ⋅ = 38,3 kN γM c 1,5 1,128

K VEd = 17, 7 kN < 38,3 kN = VRd

8

200

Mauerwerksbau

Nachweis am Wandfuß F = α sF ⋅ VRd

F f vk 0,120 ⋅103 0, 24 d ⋅ = 1,59 ⋅ ⋅ = 27,1 kN 1,5 1,128 γM c

F VEd = 17, 7 kN < 27,1 kN = VRd

Der Nachweis der Querkrafttragfähigkeit ist damit erfüllt.

2.3.4 Nachweis nach DIN 1053-100, genaueres Verfahren Die Ermittlung der Einwirkungsgrößen sowie die Nachweise von Biegung in Scheibenebene und Randdehnung sind mit dem vereinfachten Verfahren identisch (siehe 2.3.3). Gleiches gilt für die Schubspannungsverteilung. Der einzige Unterschied im Nachweisverfahren besteht in einer genaueren Berechnung der Schubfestigkeit aus dem Versagensmechanismus Steinzugversagen. Die Berechnung der Schubfestigkeit aus dem Reibungsversagen ändert sich nur formal gegenüber dem vereinfachten Verfahren, das Ergebnis bleibt davon jedoch unverändert. Im Folgenden werden nur die Nachweisschritte dargelegt, die sich vom vereinfachten Verfahren (Abschn. 2.3.3) unterscheiden. Versagensfall 1 (Reibungsversagen zwischen Stein und Mörtel)

8

f vk = f vk0 + μ ⋅ σ Dd f vk0 = 0,11 MN/m 2

μ = 0, 4

(unverm. Stoßfugen, siehe [3], Kap. 10, Tafel 4-6)

(abgeminderter Reibungsbeiwert, siehe [3], Kap. 10, Abschn. 4.4.3.5)

charakt. Schubfestigkeit am Wandkopf K f vk,1 = 0,11 + 0, 4 ⋅ 0,134 = 0,164 MN/m2

charakt. Schubfestigkeit am Wandfuß F f vk,1 = 0,11 + 0, 4 ⋅ 0, 258 = 0, 213 MN/m 2

Versagensfall 2 (Steinzugversagen)

σ f vk = 0, 45 ⋅ f bz ⋅ 1 + Dd f bz f bz = 0, 040 ⋅ f bk

(für Vollsteine [3], Kap. 10, Tafel 4-9)

f bk = 6, 0 MN/m 2

(für SFK 6)

charakt. Schubfestigkeit am Wandkopf K f vk,2 = 0, 45 ⋅ 0, 04 ⋅ 6, 0 ⋅ 1 +

0,164 = 0,135 MN/m 2 0, 24

charakt. Schubfestigkeit am Wandfuß F f vk,2 = 0, 45 ⋅ 0, 040 ⋅ 6, 0 ⋅ 1 +

0, 258 = 0,156 MN/m 2 0, 24

201

3 Literatur

maßgebende charakt. Schubfestigkeit ­° f vk ,1 f vk = min ® °¯ f vk,2

­°0,164 MN/m 2 K f vk = min ® , 2 °¯0,135 MN/m

­°0, 213 MN/m 2 F f vk = min ® 2 °¯0,156 MN/m

Nachweis am Wandkopf K VRd = α sK ⋅

F f vk d 0,135 ⋅103 0, 24 ⋅ = 2, 25 ⋅ ⋅ = 43,1 kN 1,5 1,128 γM c

K VEd = 17, 7 kN < 43,1 kN = VRd

Nachweis am Wandfuß fF d 0,156 ⋅103 0, 24 F VRd = αsF ⋅ vk ⋅ = 1,59 ⋅ ⋅ = 35, 2 kN γM c 1,5 1,128 F VEd = 17, 7 kN < 27,1 kN = VRd

Beide Nachweise sind erbracht. Ein Nachweis der Schubtragfähigkeit nach dem genaueren Verfahren ist gegenüber dem vereinfachten Verfahren nur geringfügig aufwändiger, für aber oftmals zu günstigeren Bemessungsergebnissen. Es ist daher ratsam, stets die Schubtragfähigkeit nach dem genaueren Verfahren nachzuweisen. Für Konstruktion und Ausführung gilt weiterhin DIN 1053-1: 11/1996 [1].

3 Literatur [1] [2]

[3]

DIN 1053-1: 11/1996: Ausgabe 11.96. Mauerwerk, Teil 1: Berechnung und Ausführung. Deutsches Institut für Normung e.V., Beuth Verlag, Berlin 1996 DIN 1053-100: 09/2007: Mauerwerk, Teil 100: Berechnung auf der Grundlage des semiprobabilistischen Sicherheitskonzepts. (Konsolidierte Fassung) Deutsches Institut für Normung e.V., Beuth Verlag, Berlin 2007 Wetzell, O. W (Hrsg.): Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln, 33. Auflage, Vieweg + Teubner Verlag, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2009

8

Stahlbetonbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Ulrich Vismann Die Hinweise beziehen sich auf Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln (BZ), 33. Auflage, „Stahlbeton- und Spannbetonbau nach DIN 1045-1“:

Inhalt 1 2 3 4 5 6

Formelsammlung ................................................................................................................... 205 Gebäudeaussteifung ............................................................................................................... 210 Berechnung eines Vierfeldträgers .......................................................................................... 212 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung.................................................. 220 Mittig gedrückte Stütze .......................................................................................................... 227 Einzelfundament .................................................................................................................... 230

1 Formelsammlung Hier eine Zusammenstellung für Normalbeton bis C50/60 und für häufig vorkommende Aufgaben. Auswahl der Expositionsklasse(n) Auswahl der Feuchtigkeitsklasse Festlegung der Betondeckung

mit Tafel 6-2 in BZ: z.B. XC3, XF1, XM2 … mit Tafel 6-2, z.B. W0 oder WF cnom = cmin + Δc mit cmin ≥ Stabdurchmesser ∅ Mit Tafel 6-3 oder 6-4 in BZ; eventuell zusätzliche Anforderungen aus Brandschutzgründen beachten. in Abhängigkeit von der Expositionsklasse; z.B. C30/37 mit der charakteristischen Festigkeit

Festlegung der Betonfestigkeitsklasse

f ck = 30

MN m

2

und dem Bemessungswert f cd = α ⋅

f ck

γc

= 0,85 ⋅

30 MN = 17 1,5 m2

Wichtige Werkstoffkennwerte für Beton Normalbeton

C12/15

C16/20

C20/25

C25/30

C30/37

C35/45

C40/50

C45/55

C50/60

[N/mm2]

12

16

20

25

30

35

401

45

50

[N/mm2]

15

20

25

30

37

45

50

55

60

fcd

[N/mm2]

6,8

9,1

11,3

14,2

17,0

19,8

22,7

25,5

28,3

Ecm*

[N/mm2]

21800

23400

24900

26700

28300

29900

31400

32800

34300

fck fck,cube

* Ecm = (02,8+0,2·fcm/88)·Eco

Der Betonstahl BSt 500 hat die charakteristischen Festigkeit f yk = 500

f yk 500 MN MN kN und den Bemessungswert f yd = = = 435 2 = 43,5 2 2 γ s 1,15 m m cm

Wichtige Werkstoffkennwerte für Betonstahl Betonstahl

BSt 500 S (A)

Duktilität

BSt 500 S (A)

BSt 500 S (A)

Normal

BSt 500 S (A) hoch

fyk

[N/mm2]

fyd

[N/mm2]

435

ES

[N/mm2]

200 000

500

Statische Höhe d = h − cnom − ∅ Bügel − 0,5 ⋅ ∅ Längsbewehrung (hier einlagige Balkenbewehrung!) Stützweite

leff =

alinks a + ln + rechts i i

(Mittenauflager i = 2; Endauflager i = 2 bis 3)

Mit der lichten Weite ln und den Auflagerbreite a . Siehe auch Bild 5-5 in BZ.

206

Stahlbetonbau

Plattenbalken wirksame Stützweite l0 = δ ⋅ leff (Stützung δ = 0,15; Mittelfeld δ = 0, 70; Endfeld δ = 0,85; Kragarm δ = 1,50)

mitwirkende Breite beff = beff, 1 + beff, 2 + bw mit beff, i = 0, 2 ⋅ bi + 0,1 ⋅ l0 ≤ 0, 2 ⋅ l0 bzw. bi Belastung bei einer ständigen Einwirkung g k und einer veränderlichen Einwirkung qk Bemessungswerte gd = γ G ⋅ g k = 1,35 ⋅ g k qd = γ Q ⋅ qk = 1,50 ⋅ qk Begrenzung der Verformung (Tafel 6-12 in BZ) mit der Ersatzstützweite: li = α ⋅ leff

→

{

li 35 < 150 / li d

(Trennwände)

Momentenumlagerungsfaktor δҏ (Tafel 5-2 in BZ) mit der Druckzonenhöhe xd nach der Umlagerung ≥ 0, 70 Stahl A; hochduktil, z.B. spezieller Stabstahl

δ ≥ 0, 64 + 0,80 ⋅

xd ≥ 0,85 Stahl B; normalduktil, z.B. Lagermatten d

≤ 1,00 Abminderung der Stützmomente bei frei drehbarer Lagerung (Ausrundung der Momentenspitzen)

9

M reduziert = M Stütze − CEd ⋅ a / 8 > |min Md|

Abminderung der Stützmomente bei monolithischem Anschluss (Anschnittmoment): VEd li > min M d 2 VEd re M reduziert re = M Stütze − > min M d 2 minMd entspricht 65 % des Volleinspannmomentes eines entsprechenden einseitig oder beidseitig eingespannten Trägers mit der lichten Stützweite des Systems. Für gleichmäßig verteilte Streckenlasten gilt: M reduziert li = M Stütze −

min

|Md| = 0,65 ·

1 ⋅ p ⋅ ln2 8

p

ln min

|Md| = 0,65 ·

1 ⋅ p ⋅ ln2 12

p

ln

207

1 Formelsammlung

Biegebemessung M Eds = M Ed − N Ed ⋅ zs1 Näherung für N Ed = 0 ; z ≈ 0,9 ⋅ d ≈ 0,8 ⋅ h ; σ s = 43,5

kN cm 2

→

As, erf [cm 2 ] ≈

M Ed [kNm] 35 ⋅ h [m]

Bemessungstafel BT1 (hier Formeln ohne Druckbewehrung) d [cm]

kd - Verfahren mit kd =

As1, erf [cm 2 ] = ks1 ⋅

M Eds [kNm] b[m]

→ Ablesung → ks1

M Eds [kNm] N Ed [kN] + d [cm] σ sd [kN/cm 2 ]

Bemessungstafeln BT2 bis BT3f (hier Formeln ohne Druckbewehrung)

ω - Verfahren mit μ Eds = As1, erf =

ω1 f yd /fcd

⋅b ⋅d +

M Eds b ⋅ d 2 ⋅ f cd

Ablesung → ω1

N Ed

σ sd

Mindestbewehrung zur Sicherstellung des duktilen Verhaltens (7-6) in BZ As, min =

f ctm Wc, Zustand I ⋅ f yk z Zustand II

beim Rechteckquerschnitt As, min ≈ 0, 21 ⋅

fctm ⋅b ⋅h f yk

Begrenzung der Rissbreiten ohne direkte Berechnung (6-73) in BZ

σ s ⋅ As

f ct, eff ds = ds* ⋅ ≥ ds* ⋅ f ct, 0 4 ⋅ ( h − d ) ⋅ b ⋅ f ct, 0

σs

Stahlspannung im Zustand II bei quasi-ständiger Belastung

f ct, 0 = 3, 0N/mm 2

ds* = Grenzdurchmesser nach Tafel 7-11 in BZ in Abhängigkeit der

Stahlspannung σs und der zulässigen Rissbreite wk ds = modifizierter Grenzdurchmesser Querkraftbemessung (ohne Längskraft)

einwirkende Querkraft

VEd bei direkter Auflagerung im Abstand d vom Auflagerrand, sonst am Auflagerrand. aufnehmbare Querkraft ohne Querkraftbewehrung (6-8) in BZ VRd,ct [ MN ] =

0,15

γc

1 ⎡ MN ⎤ ⋅ κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ f ck [ MN ])3 − 0,12 ⋅ σ cd ⎢ 2 ⎥⋅ bw [ m ] ⋅ d [ m ] > VRd,ct,min ⎣m ⎦

⎡ MN ⎤ κ VRd,ct,min = 1 ⋅ κ 3 ⋅ f ck [ MN ] − 0,12 ⋅ σ cd⎢ 2 ⎥⋅ bw [ m ] ⋅ d [ m ] ⎣m ⎦ γc

mit

9

208

Stahlbetonbau

0, 0525 für d ≤ 0, 60 m κ1 = 0, 0375 für d > 0,80 m Zwischenwerte werden linear interpoliert

κ = 1+

Asl 200 ≤ 0, 02 ≤ 2, 0 Bewehrungsgrad ρl = bw ⋅ d d [mm]

Wahl der Druckstrebenneigung θ (6-11) in BZ z = d − 2cv,l ≥ d − cv,l − 30 mm

cv,l ist das Verlegemaß der Längsbewehrung 1

VRd, c [MN] = 0, 24⋅( fck [MN/m 2 ]) 3 ⋅bw [m]⋅ z[m] 0,58 ≤ cot θ ≤ 1−

1, 2 ≤ 3,00 VRd, c

18, 4° ≤ θ ≤ 60°

VEd

Vereinfachte Regel cot θ = 1,2 bei Biegung mit/ohne Längsdruckkraft cot θ = 1,0 bei Biegung mit Längszug maximale Querkrafttragfähigkeit am Auflagerrand für um α geneigte Bewehrung (6-12) in BZ

9

cot θ + cot α

≤ einwirkende Querkraft 1 + cot 2 θ erforderliche Querkraftbewehrung (Schubbewehrung) (6-14 in BZ) VRd, max = bw ⋅ z ⋅ 0, 75 ⋅ fcd ⋅

Asw, erf ª cm 2 º VEd [kN] « »= sw ¬ m ¼ ª kN º f yd « 2 » ⋅ z[m] ⋅ (cot θ + cot α ) ⋅ sin α ¬ cm ¼

Mindestquerkraftbewehrungsgrad (7-10) in BZ min

Asw sw

ª cm 2 º « » ≥ ρmin · bw [cm] · sin α · 100 ¬ m ¼

Bewehrungsgrad ρmin Spalte Zeile ȡ 1 in ‰ a

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

80

90

100

charakteristische Betondruckfestigkeit fck in N/mm² 12

16

20

25

30

35

40

45

50

55

0,51

0,6 1

0,70

0,83

0,93

1,02

1,12

1,21

1,31

1,34

60

70

1,41 1,47 1,54 1,60

1,66

Durchstanzbemessung (ohne Längskraft) einwirkende Querkraft VEd (bei Fundamenten reduziert um 50 % der Bodenpressungskraft innerhalb des kritischen Rundschnittes)

209

1 Formelsammlung

Mindestplattenmomente (6-45) und Tafel 6-6 in BZ mEd, x = mEd, y = η ⋅ VEd Mittelwerte für die statische Höhe und für den Bewehrungsgrad < 0,5 ⋅ fcd /f yd

ρl = ρ x ⋅ ρ y

d = (d x + d y )/2

< 0, 02

Der kritischer Rundschnitt mit dem Umfang ucrit befindet sich 1,5 ⋅ d außerhalb der Lastfläche Aload . einwirkende Querkraft (Streckenlast) (6-37) in BZ vEd = β ⋅

VEd u

β = 1, 0 bis 1,5

aufnehmbar ohne Durchstanzbewehrung (6-38) in BZ 1

vRd, ct

§ ª MN º ·3 ª MN º «¬ m »¼ = 0,14 ⋅ κ ⋅ ¨ 100 ⋅ ρl ⋅ f ck «¬ m 2 »¼ ¸ ⋅ d [m] mit © ¹

maximal aufnehmbar (6-41) in BZ

vRd, max = 1,5 ⋅ vRd, ct

maximaler Stabdurchmesser

ds ≤ 0, 05 ⋅ d

κ s = 0, 7 + 0,3 ⋅

erf. Durchstanzbewehrung (6-43) in BZ sw ≤ 0, 75 ⋅ d A sw, erf =

κ = 1+

0, 2 ≤ 2, 0 d [m]

d [ m ] − 0, 4 ≥ 0,7 ≤ 1,0 0, 4

(vEd − vRd, ct ) ⋅ u sw ⋅ κ s ⋅ f yd d

äußerer Rundschnitt lw = Bewehrungsbereich außerhalb Aload

9

κ a = 1−

0, 29 ⋅ lw ≥ 0, 71 3,5 ⋅ d

vRd, ct, a = κ a ⋅ vRd, ct ≤ vEd Bemessung unter Längsdruck (Theorie II. Ordnung), Modellstützenverfahren (Kap. 6.4.5.3)

Ersatzstablänge l0 = β ⋅ lcol

λ=

Schlankheit

e0 =

Ausmitte nach Theorie I. Ordnung ungewollte Ausmitte

l0 i

α a1 =

1 100 ⋅ lcol [m]

<

1 200

M Ed N Ed

ea = α a1 ⋅

l0 2

Ausmitte nach Theorie II. Ordnung K2 =

N ud − N Ed ≤1 N ud − N bal

1 2 ⋅ K 2 ⋅ f yd = r 0,9 ⋅ d ⋅ Es

K1

= λ /10 − 2,5 =1

l02 1 l2 e2 = K1 ⋅ ⋅ 0 = K1 ⋅ K 2 ⋅ r 10 2070 ⋅ d

( 25 ≤ λ ≤ 35) ( λ >35)

210

Stahlbetonbau

totale Ausmitte (ohne Kriechen) Berücksichtigung des Kriechens:

etot = e0 + ea + e2

etot = e0 + ea + e2+ k e2+ k = e2 ⋅ K ϕ K ϕ = 1 + β ⋅ ϕ eff ≥ 1

β = ( 0,35 + f ck 200 − λ 150) ≥ 0 M1,perm

ϕ eff = ϕ( ∞,t0 ) M1Ed

Bemessung für die Schnittgrößen

N Ed

und M Ed,II = | N Ed ⋅ etot |

2 Gebäudeaussteifung

9

Das Kellergeschoss ist durch Stahlbetonwände im Vergleich zur aufgehenden Konstruktion sehr viel steifer (Ein Nachweis erfolgt hierzu nicht.). Daher wird als Einspannebene die Oberkante der Kellerdecke, das ist ungefähr OK Gelände, angesetzt. Es erfolgt ein Nachweis für die Gebäudequerrichtung. In Längsrichtung ist das Gebäude verschieblich.

Bild 5-1

Grundriss und Querschnitt des Gebäudes, Querschnitte einzelner Bauteile

211

2 Gebäudeaussteifung

Lastzusammenstellung

Ständige Last für alle Decken gk = 7,00 kN/m2 Verkehrslast für alle Decken qk = 5,00 kN/m2 Fassade gk = 2,30 kN/m Die Lastermittlung für ein Geschoss (Decke, Unterzüge, Stützen, usw.) ergibt zirka: Ständig Lasten: Gk = 4.100 kN Veränderliche Lasten: Qk = 2.200 kN Nachweis der Seitensteifigkeit (6-47) in BZ 1 hges

Ecm I c ≥ 1/0, 6 FEd

für m = 9

hges = 27, 0 m Ecm = 31.900 MN/m 2 I c = 2 ⋅ 0,30 ⋅ 8,503 /12 = 30, 7 m 4

(ohne 14 Stützenquerschnitte!)

FEd = (4.100 + 2.200) ⋅ 9 = 56700 kN = 56, 7 MN

(Die Dachdecke wird hier näherungsweise wie eine Geschossdecke behandelt!) 1 31.900 ⋅ 30, 7 > 1/0, 6 27, 0 56, 7 4,91 > 1, 67

9 Der Nachweis ist erfüllt!

Das Tragwerk ist in Querrichtung ausgesteift und die lotrechten aussteifenden Bauteile sind im Gebäudegrundriss symmetrisch angeordnet. Horizontale aussteifende Bauteile, siehe Kap. 5.2 Imperfektion (Stabilisierung): H fd = ( N bc + N ba ) ⋅α a2

α a2 = 0, 008/ 2k = 0, 008/ 2 ⋅14 = 0, 0015 mit k = 14 (Anzahl der auszusteifenden Tragwerksteile 35/45 im Geschoss) Vertikale Lasten pro Geschoss: Fd = Gk ⋅ γ G + Qk ⋅ γ Q = 4.100 ⋅1,35 + 2.200 ⋅1,50 = 8.835 kN

Beispielhaft soll hier nur die 4. Geschossdecke oberhalb der Kellerdecke – diese befindet sich 4 · 3,00 = 12,00 m über Gelände - betrachtet werden: oberhalb ΣN bc = 5 ⋅ 8.835 ≈ 44.200 kN ΣN ba = 6 ⋅ 8.835 ≈ 53.000 kN unterhalb ΣH fd = (ΣN bc + ΣN ba ) = (44.200 + 53.000) ⋅ 0, 0015 = 145,8 kN max VEd =

145,8 = 72,9 kN 2

max M d = 145,8 ⋅

35, 00 = 637,9 kNm 8

212

Stahlbetonbau

Ad = Bd = ΣH fd /2 max M d = ΣH fd ⋅ 35, 0/8

Ersatzhorizontallasten (Stabilisierungskräfte) auf die horizontalen aussteifenden Bauteile

Bild 5-2

Zusätzlich sind hier noch die Momente infolge der Windbelastung zu berücksichtigen. Das Windmoment und das obige Moment aus der Imperfektion (der Stützen) sind von der Deckenscheibe aufzunehmen ( b = 0, 22 m und d ≈ 12,50 − 0,15 = 12,35 m ); ebenso ist die Querkraft von der Deckenscheibe auf zu nehmen. Hinweis: Ein vollständig durchgerechnetes Beispiel findet sich in: Heydel, Krings, Herrmann „Stahlbeton im Hochbau nach DIN 1045-1“, Ernst & Sohn, 2003

9

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

A

B

C

D

E

Bild 5-3

Umgebungsbedingung:

mäßige Feuchte; Expositionsklasse XC3, WO

Mindestbetonfestigkeitsklasse

C20/25 mit f cd = 0,85 ⋅

Betondeckung

cnom = cmin + Δc = 20 + 15 = 35 mm = Cv,Bü

20 MN = 11,33 1,50 m2

213

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

d = 86, 0 − 3,5 − 1, 2 −

Statische Höhe

2,5 ≈ 80 cm 2

(Schätzung: Bügeldurchmesser ds = 12 mm und einlagige Zugbewehrung mit ds = 25 mm ) Stützweiten: l = 0,30/3 + 9, 75 + 0,30/2 = 10, 00 m

Endfeld:

Innenfeld: l = 0,30/2 + 9, 70 + 0,30/2 = 10, 00 m beff = beff, 1 + beff, 2 + bw

Mitwirkende Breiten: Endfeld:

beff, 1 = beff, 2 = 0, 2 ⋅ 3, 70/2 + 0,1 ⋅ 0,85 ⋅ 10, 00 = 1, 22 m

< 3,70/2 m < 0,2 ⋅ 10,00 m

beff = 2 ⋅1, 22 + 0,30 = 2, 74 m

Innenfeld: beff, 1 = beff, 2 = 0, 2 ⋅ 3, 70/2 + 0,1 ⋅ 0, 70 ⋅10, 00 = 1, 07 m

< 3,70/2 m < 0,2 ⋅10,00 m

beff = 2 ⋅1, 07 + 0,30 = 2, 44 m

Stützung:

beff, 1 = beff, 2 = 0, 2 ⋅ 3, 70/2 + 0,1 ⋅ 0,30 ⋅10, 00 = 0, 67 m

< 3,70/2 m < 0,2 ⋅10,00 m

beff = 2 ⋅ 0, 67 + 0,30 = 1, 64 m

Charakteristische Werte der Einwirkungen:

ständige

Eigengewichte

9

Platte 0, 20 ⋅ 4, 00 ⋅ 25 = 20 kN/m 0, 66 ⋅ 0,30 ⋅ 25 = 5 kN/m Balken Bodenbelag und Putz ≈ 1,50 ⋅ 4, 00 = 6 kN/m g k = 31 kN/m

veränderliche Verkehrslast für Behandlungsraum

qk = 3,5 ⋅ 4, 00 = 14 kN/m

Bemessungswerte für den Grenzzustand der Tragfähigkeit: ständige veränderliche

gd = γ G ⋅ g k = 1,35 ⋅ 31 = 41,9 kN/m qd = γ Q ⋅ qk = 1,50 ⋅ 14 = 21,0 kN/m

gesamt

gd + qd =

62,9 kN/m

Nachweis der Begrenzung der Verformung:

Maßgebend ist das Endfeld mit einseitiger Einspannung und einer Stützweite von leff = 10, 00 m . li = α ⋅ leff = 0,80 ⋅10, 00 = 8, 00 m →

li 800 < 35 = = 10 < 150/li = 18,8 (Trennwände) d 80

Berechnung der Schnittgrößen im Grenzzustand der Tragfähigkeit:

214

Stahlbetonbau

linear elastische Berechnung (mit der Durchlaufträgertabelle)

min M B = (−0,107 ⋅ 41,9 − 0,121 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −448,3 − 254,1 = −702, 4 kNm = (−0, 071 ⋅ 41,9 − 0, 018 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −297,5 − 37,8 = −335,3 kNm

MC

max B = (1,143 ⋅ 41,9 + 1, 223 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = 478,9 + 256,8 = 735, 7 kN min VBl = (−0, 607 ⋅ 41,9 − 0, 621 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = −254,3 − 130, 4 = −384, 7 kN

min M C = (−0, 071 ⋅ 41,9 − 0,107 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −297,5 − 224, 7 = −522, 2 kNm M B = (−0,107 ⋅ 41,9 − 0, 036 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = −448,3 − 75, 6 = −523,9 kN max C = (0,929 ⋅ 41,9 + 1,143 ⋅ 21, 0) ⋅10, 00 = 389,3 + 240, 0 = 629,3 kN

9

MB

= (−0,107 ⋅ 41,9 − 0, 054 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −448,3 − 113, 4 = −561, 7 kNm

MC max A

= (−0, 071 ⋅ 41,9 − 0, 036 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = −297,5 − 75, 6 = −373,1 kNm = (0,393 ⋅ 41,9 + 0, 446 ⋅ 21, 0) ⋅ 10, 00 = 164, 7 + 93, 7 = 258, 4 kN 258, 4 2 /(2 ⋅ 62,9)

max M 1 =

= 530,8 kNm

max M 2 = (0, 036 ⋅ 41,9 + 0, 081 ⋅ 21, 0) ⋅10, 002 = 320,9 kNm

Hinweis:

Mit den hier ermittelten Schnittgrößen der linear elastischen Berechnung kann die Biegebemessung und die Querkraftbemessung erfolgen! Das soll hier aber nicht gezeigt werden. Es besteht noch die Möglichkeit die Stützmomente durch eine Umlagerung zu reduzieren. Dieser Weg wird hier weiter verfolgt.

Umlagerung der Stützmomente:

Stützung B:

kd =

80 702, 4 0,30

= 1, 65 → δ = 1, 00

Keine Umlagerung erlaubt!

(siehe Bemessungstafel BT1)

215

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

80

kd =

Stützung C:

522, 2 0,30

= 1,92 → δ = 0,877

(siehe Bemessungstafel, BT1)

δ ⋅ min M C = 0,877 ⋅ (−522, 2) = −458 kNm umgelagertes Stützmoment Kontrolle des Umlagerungsfaktors (Nicht unbedingt erforderlich!): 80

= 2, 05 → kx = 0, 295 → δ = 0, 64 + 0,8 ⋅ 0, 295 = 0,876 ≈ 0,877 458 0,30 Zugehörige weitere Schnittgrößen zu den umgelagerten Stützmomenten: Da nur das Stützmoment an der Stützung C umgelagert werden konnte, ändern sich für die entsprechenden Lastfälle die maßgebenden Feldmomente zur Bemessung nicht; weil für diese entsprechenden Lastfälle der Betrag des Stützmomentes MC kleiner als das umgelagerte Stützmoment von 458 kNm ist. Es ändert sich nur die maßgebende Auflagerkraft C für das umgelagerte Stützmoment: kd =

VCl = 62,9 ⋅10, 00/2 − (523,9 − 458, 0)/10, 00 = 314,5 − 6, 6 = 307,9 kN C = 2 ⋅ VCl = 2 ⋅ 307,9 = 615,8 kN Abminderung der Stützmomente bei frei drehbarer Lagerung:

(umgelagerte Größen)

9

− M B, red = 702, 4 − 735, 7 ⋅ 0,30 / 8 = 674,8 kNm − M C, red = 458, 0 − 615,8 ⋅ 0,30 / 8 = 434,9 kNm

Zusammenstellung der Schnittgrößen für die Bemessung: M Ed, 1 = 530,8 kNm

Feldmomente

M Ed, 2 = 320,9 kNm Stützmomente

− M Ed, B = 674,8 kNm − M Ed, C = 434,9 kNm

Querkraft

max VEd = VBl = 384, 7 kN

Biegebemessung mit Bemessungstafel BT1:

Feld 1

kd =

80 530,8 2, 74

= 5, 75 → ks1 = 2, 23 → As1, erf = 2, 23 ⋅

530,8 = 14,8 cm 2 80

Bemessung als Rechteckquerschnitt, weil Druckzonenhöhe kleiner als Plattendicke k x ≈ 0, 06 → x ≈ 0, 06 ⋅ 80 ≈ 5 cm < 20 cm

gewählt 5∅ 20 mit 15, 7 cm 2 > 14,8 cm 2

216

Stahlbetonbau

Feld 2

kd =

80 320,9 2, 44

= 6,98 → ks1 = 2, 22 → As1, erf = 2, 22 ⋅

320,9 = 8,9 cm 2 80

gewählt 3∅16 und 2∅14 mit 9,11 cm 2 > 8,90 cm 2

Stütze B kd =

80 674,8 0,30

= 1, 69 → ks1 = 2,80

As1, erf = 2,80 ⋅

674,8 = 23, 6 cm2 80

ks2 = 0, 06

As2, erf <<

gewählt 5∅ 25 mit 24,5 cm 2 > 23, 6 cm 2

Die hier erforderliche, unten liegende, geringe Druckbewehrung wird durch die vorhandene konstruktive Bewehrung gebildet! Stütze C kd =

9

80 434,9 0,30

= 2,10 → ks1 = 2,56 → As1, erf = 2,56 ⋅

434,9 = 13,9 cm 2 80

gewählt 3∅ 20 und 3∅14 mit 14,04 cm2 > 13,9 cm2 Mindestbewehrung zur Sicherstellung von duktilem Verhalten (7-6) in BZ:

Bild 5-4

Endfeld, untere Bewehrung Wc, Zustand I 2, 2 0, 055 f As, min = ctm ⋅ = ⋅ = 0, 00035 m 2 = 3,5 cm 2 < As, vorh f yk z Zustand II 500 0, 70

mit zZustand II ≈ d −

hf 0, 20 = 0,80 − = 0, 70 m und Wc, Zustand I = 0, 055 m3 2 2

217

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

Bild 5-5

Stützung, obere Bewehrung: As, min =

2, 2 0,118 ⋅ = 0, 00072 m2 = 7, 2 cm2 < As, vorh 500 0, 72

mit zZustand II ≈ 0,9 ⋅ d = 0,9 ⋅ 0,80 = 0, 72 m und Wc, Zustand I = 0,118 m3 Begrenzung der Rissbreiten ohne direkte Berechnung (6-59) in BZ:

Nachweis für das Endfeld mit quasi-ständiger Belastung und Rissbreite wk = 0,3 mm .

ψ 2 ⋅ qk = 0,5 ⋅14, 0 = 7, 0 kN/m

Belastung

g k = 31, 0 kN/mm

Schnittgrößen

A = (0,393 ⋅ 31, 0 + 0, 446 ⋅ 7, 0) ⋅10, 00 = 121,8 + 31, 2 = 153 kN max M1 =

1532 = 308 kNm 2 ⋅ (31, 0 + 7, 0)

vorhandene Bewehrung

5∅ 20 mit 15, 7 cm 2

Stahlspannung

308 kN N σs = = 25,5 = 255 2 0, 768 ⋅15, 7 cm mm 2

Modifizierungsfaktor

σ s ⋅ As 25,5 ⋅15, 7 = = 1,85 4 ⋅ (h − d ) ⋅ b ⋅ f ct, 0 4 ⋅ 0, 06 ⋅ 0,30 ⋅ 3000 f ct, eff f ct, 0

=

innerer Hebelarm z

0,96 ⋅ 80 = 76,8 cm 2

fctm 2, 2 = = 0, 73 f ct, 0 3, 0

ds = ds* ⋅1,85 > ds* ⋅ 0, 73

Ablesung aus Tabelle für

σ s = 255N/mm 2 → ds* = 17,5 mm

Nachweis Stabdurchmesser

max ds = 1,85 ⋅17,5 = 32, 4 mm > 20 mm = vorh ds

Weil die Bewehrung nicht über die gesamte Höhe der Zugzone verteilt ist, wird zirka 30 cm von unten eine Stegbewehrung von 2∅14 mit 2,1 cm 2 angeordnet. Höchstbewehrung: As, max = 0, 08 ⋅ Ac = 0, 08 ⋅ 30 ⋅ 80 = 192 cm 2

Die Mindest- und die Höchstbewehrungsgrade sind hier eingehalten! Querkraftbemessung: Hier erfolgt nur der Nachweis der ungünstigsten Stelle, das ist links neben dem Auflager B.

9

218

Stahlbetonbau

Es liegt ein direktes Auflager vor und die Querkraft im Abstand d vom Auflagerrand ist maßgebend:

A

B

C

D

E

§ Auflagerbreite · VEd = min VBl − ( gd + qd ) ⋅¨ + d ¸ = 384, 7 − 62,9 ⋅ (0,30/2 + 0,80) = 324,9 kN 2 © ¹

Aufnehmbare Querkraft ohne Querkraftbewehrung: 1

1

VRd, ct = 0,1⋅κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ f ck ) 3 ⋅ bw ⋅ d = 0,1⋅1,5 ⋅ (0, 41⋅ 20) 3 ⋅ 0,30 ⋅ 0,80 = 0, 0726 MN = 72, 6 kN VRd,ct,min =

0,375 ⋅ 1,53 ⋅ 20 ⋅ 0,30 ⋅ 0,80 = 0, 0493 [MN] = 49,3 [ kN] < VRd,ct = 72, 6 [kN] 1,5

κ1 = 0,375

VRd, ct = 72, 6 kN < 324,9 kN = VEd

Mit

9

κ = 1+

→

Querkraftbewehrung ist erforderlich!

0, 20 0, 20 = 1+ = 1,5 < 2, 0 und dem Längsbewehrungsgrad für d 0,80

ausreichend verankerte 2∅ 25 mit Asl = 9,82 cm2

ρl =

Asl 9,82 = = 0, 0041 < 0, 02 . bw ⋅ d 30 ⋅ 80

Wahl der Druckstrebenneigung θ : z = 0,9 ⋅ d = 0,9 ⋅ 0,80 = 0, 72 m z = d − 2cv,l ≥ d − cv,l − 30 mm = 0,80 − 2 ⋅ ( 0, 035 + 0, 008) = 0, 714 ≥ 0,8 + ( 0, 035 + 0, 008) − 0, 03 = 0, 727

Es wird 0,72 m gewählt!

VRd, c = 0, 24 ⋅ f ck1/ 3 ⋅ bw ⋅ z = 0, 24 ⋅ 201/ 3 ⋅ 0,30 ⋅ 0, 71 = 0,141 MN = 141 kN cot θ ≤ 1−

1, 2 = VRd, c VEd

1, 2 ≥ 0,58 = 2,12 ≤ 3, 00 141 1− 324,9

θ = 25,3° → cotθ = 2,12

maximale Querkrafttragfähigkeit für senkrechte Bügelbewehrung (α = 90°) : VRd, max = bw ⋅ z ⋅ 0, 75 ⋅ f cd ⋅

cot θ + cot α 2

1 + cot θ = 0, 708 MN = 708 kN

= 0,30 ⋅ 0, 72 ⋅ 0, 75 ⋅11,33 ⋅

VRd, max = 708 kN > VEd < 384,7 kN (Hier VEd = einwirkende Querkraft direkt am Auflagerrand!)

2,12 + 0 1 + 2,122

219

3 Berechnung eines Vierfeldträgers

erforderliche Querkraftbewehrung (Schubbewehrung): Asw, erf sw

=

gewählt

VEd 324,9 cm 2 = = 4,89 m f yd ⋅ z ⋅ (cot θ + cot α ) ⋅ sin α 43,5 ⋅ 0, 72 ⋅ (2,12 + 0) ⋅1 2-schnittige Bügel

∅8/20 mit 5,03

cm 2 cm 2 > 5,00 m m

Mindestbewehrung A A cm 2 cm 2 min sw = min ρ ⋅ bw ⋅100 = 0, 0007 ⋅ 30 ⋅100 = 2,1 <5,03 = vorh sw m m sw sw

Schub zwischen Balkensteg und Gurt des Plattenbalkens:

Nachweis im Endfeld neben dem Auflager A auf einer Länge av gleich dem halben Abstand zwischen dem Momentennullpunkt und der Stelle des maximalen Momentes. max A = 258, 4 kN x = 0, 00 m M =0 258, 4 x= max M = 530,8 kNm = 4,11 m 62,9 x = 0,5 ⋅ 4,11 = 2, 05 m M = 0, 75 ⋅ 530,8 = 398,1 kNm Mit dem inneren Hebelarm z ≈ 0,80 − 0, 20 / 2 = 0, 70 m ergibt sich die Druckkraft in einem Gurtabschnitt zu Fd, Gurt =

398,1 1, 22 ⋅ = 253 kN und die erforderliche Bewehrung mit 0, 70 2, 74

VEd = Fd, Gurt = 253 kN zu asw, erf =

VEd 253 cm 2 = = 2,36 av ⋅ f yd ⋅ cot θ 2, 05 ⋅ 43,5 ⋅1, 2 m

Diese Bewehrung ist zur Hälfte an der Ober- und Unterseite des Gurtes quer zur Balkenrichtung zu verlegen. Die Bewehrung aus der Plattenbiegung quer zur Balkenachse darf hierbei mit berücksichtigt werden und braucht nicht zusätzlich angeordnet werden! Spannungsnachweise im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit sind hier nicht zu führen, weil die Schnittgrößen bei der Bemessung um weniger als 15 % umgelagert wurden! (δ = 0,877 > 0,85; entspricht 100 % − 15 % !) Mindestbewehrung zur Einhaltung der Rissbreiten (6-72) in BZ: infolge Zwang

Nachweis für das Endfeld mit positivem Biegemoment (siehe Bild 5-6). k ⋅ k ⋅ ht f ct, eff ds = ds* ⋅ c ⋅ ≥ ds* ⋅ 4 ⋅ (h − d ) f ct, 0 kc = 0, 4 k = 0,8 ht = 64, 6 cm

f ct, eff f ct, 0 h = 86 cm d = 80 cm

kc ⋅ k ⋅ ht 0, 4 ⋅ 0,8 ⋅ 64, 6 = = 0,86 < 1 4 ⋅ (h − d ) 4 ⋅ (86 − 80)

9

220

Stahlbetonbau

Rissbildung infolge führen Zwang: f ct, eff = 0,5 ⋅ 2, 2 N/mm 2 = 1,1 N/mm 2 f ct, 0 = 3, 0 N/mm 2 ds = ds* ⋅

fct, eff fct, 0

→ ds* = ds ⋅

fct, 0 fct, eff

= 20 mm ⋅

3, 0 N/mm 2 0,5 ⋅ 2,2 N/mm2

= 54 mm

Für die Expositionsklasse XC3 aus Tafel 6-7 in BZ ergibt sich die Anforderungsklasse E und damit aus Tafel 6-8 in BZ der Rechenwert der Rissbreite von wk = 0,3 mm und dann aus Tafel 6-11 in BZ die Stahlspannung σ s ≈ 110N/mm 2 für den Stabdurchmesser ds* = 54 mm . As, min = kc ⋅ k ⋅

f ct, eff

σs

⋅ Act = 0, 4 ⋅ 0,8 ⋅

1,1 ⋅ 64, 6 ⋅ 30 = 6, 2 cm 2 < As, vorh 110

Bild 5-6

9

4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung Eine quadratische Platte (10 m × 10 m) ist an den Rändern frei drehbar gestützt. Zusätzlich ist die Platte in der Mitte noch durch eine Stütze (30 cm × 30 cm) unterstützt. Die Ecken können nicht abheben. Die ständig wirkende Belastung für die 20 cm Starke Platte mit Belag und Putz beträgt gk = 6,5 kN/m2 und die nicht ständig einwirkende Verkehrslast hat den Wert qk = 3,5 kN/m 2 . Damit ergibt sich die gesamte Bemessungsbelastung zu gd + qd = 1,35 ⋅ 6,5 + 1,5 ⋅ 3,5 = 14, 03 ≈ 14, 0 kN/m 2 Eine finite Element Berechnung ergab die folgenden Größen:

Auflagerkraft der Mittelstütze Max. Randquerkraft Stützmoment Feldmoment

VEd = 0,35 ⋅10, 002 ⋅14, 0 = 490 kN vEd = 23, 2 kN/m min M Ed = − 70 kNm/m max M Ed = + 29 kNm/m

Platte: h = 20 cm

Expositionsklasse XC1 Beton

Betondeckung: cnom = cmin + Δ c = 1, 0 + 1, 0 = 2, 0 cm

C30/37 mit f cd = 0,85 ⋅

30 = 17, 0 MN/m 2 1,5

221

4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung

Betonstahl BSt 500 mit f yd =

500 = 435 MN/m 2 = 43,5 kN/cm 2 1,15

f yd /fcd = 435/17 = 25, 6

Statische Höhen im Mittel:

d x = 20, 0 − 2, 0 − 10/2 = 17,5 cm d x = 20 − 2, 0 − 0,9 2 = 17,55 d = (17,55 + 16, 65) 2 = 17,1 cm

d y = 17,5− 1, 0 = 16,5 cm (Stützbereich) d y = 17,55 − 0,9 = 16, 65 (Feldbereich)

9

Bild 5-7

Bewertungsskizze Deckenplatte h = 20 cm

In Bild 5-7 ist die untere und obere Bewehrung der Platte exemplarisch gemeinsam dargestellt. Die untere Lage besteht im Wesentlichen aus einer Lagermatte Q424 A, die obere Lage aus der Bewehrung im Durchstanzbereich sowie der Drillbewehrung in den Ecken.

222

Stahlbetonbau

Biegebemessung mit Bemessungstafel BT2

(a) obere Stützbewehrung in x-Richtung

μEds =

0, 070 1, 00 ⋅ 0,1752 ⋅17, 0

gewählt

= 0,134 → ω = 0,141 → as, erf =

0,141 cm2 ⋅100 ⋅17,5 = 9, 64 25, 6 m

Q524A und Zulagen ∅ 8/11 mit 5,24 + 4,57 = 9,81 cm2/m > 9,64 cm2/m (Siehe auch Tafel 10-8 Lagermatten und Tafel 10-2 in BZ!)

Bewehrungsgrad

ρ lx = 9,81/17,5 = 0,56 % = 0, 0056 (b) obere Stützbewehrung in y-Richtung

μEds =

0, 070 1, 00 ⋅ 0,1682 ⋅17, 0

= 0,151 → ω = 0,161 → as, erf =

0,161 ⋅100 ⋅16,5 = 25, 6

cm 2 m Q524A und Zulagen ∅8/9 mit 5,03 + 5,59 = 10,83 cm2/m > 10,39 cm2/m

= 10,39 gewählt Bewehrungsgrad

ρ ly = 10,83/16,5 = 0, 65 % = 0, 0065 (c) untere Feldbewehrung

9

0, 057 cm 2 ⋅100⋅16,8 = 3, 74 25, 6 m gewählt Q424A mit 4,24 cm2/m > 3,74 cm2/m Bewehrungsgrad ρl = 4,24/17,1 = 0,25 % (d) Drillbewehrung Gewählt: Q424 A in den Ecken (siehe auch BZ Bild 7-2) auf einer Länge von 0,3·5 = 1,5 m

μEds =

0, 029

1, 00⋅ 0,1712 ⋅17, 0

= 0, 058 → ω = 0, 057 → as, erf =

Querkraftnachweis (am Plattenrand)

κ = 1+

0, 20 = 2,10 > 2, 0 → κ = 2, 0 0,166 1

1

vRd, ct = 0,10 ⋅κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ fck ) 3 ⋅ d = 0,10 ⋅ 2, 0 ⋅ (100 ⋅ 0, 0025 ⋅ 30) 3 ⋅ 0,166

= 0, 065 MN/m Weil vRd, ct = 65 kN/m > 23, 2 kN/m = vEd ist keine Plattenquerkraftbewehrung erforderlich! Durchstanznachweis, siehe Kapitel 6.4.4 VEd = 490 kN = 0, 490 MN einwirkende Querkraft Mindestplattenmomente mEd, x = mEd, y = 0,125 ⋅ VEd = 0,125 ⋅ 490 = 61,3 kNm/m < 70 kNm/m

Breite

0,30 ⋅ l = 0,3 ⋅ 5, 00 = 1,50 m

(Auf dieser Breite muss die eingelegte Stützbewehrung ein Mindestmoment von 61,3 kNm/m aufnehmen!)

223

4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung

Mittelwerte d = (17,5 + 16,5)/2 = 17, 0 cm = 170 mm

⎧

17, 0

⎪ ⎩

< 0, 0200

⎪ < 0,50⋅ = 0, 0195 ρl = 0,56⋅0, 65 = 0, 60 % = 0, 0060 ⎨ 435 kritischer Rundschnitt rcrit = 30/2 + 1,5 ⋅17, 0 = 15, 0 + 25,5 = 40,5 cm ucrit = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 25,8 = 120 + 162 = 280 cm

(Hinweis: Der Flächenlastanteil aus der Platte innerhalb des kritischen Rundschnittes könnte von der einwirkenden Querkraft abgezogen werden. Dieses wird hier nicht berücksichtigt.) einwirkende Querkraft im kritischen Rundschnitt

Innenstütze mit β = 1, 05

V 0, 490 vEd = β ⋅ Ed = 1, 05 ⋅ = 0,184 MN/m ucrit 2,84

aufnehmbare Querkraft ohne Durchstanzbewehrung

κ = 1+

0, 20 = 2, 08 > 2, 0 → κ = 2, 0 0,17 1

0, 21 ⋅ κ ⋅ (100⋅ ρl ⋅ fck ) 3 ⋅ d vRd, ct =

γc

9

1

vRd, ct = 0,14⋅ 2, 0⋅ (100⋅ 0, 006⋅ 30) 3 ⋅ 0,17 = 0,125 MN/m

maximal aufnehmbare Querkraft

vRd, max = 1,5 ⋅ vRd, ct = 1,5 ⋅ 0,125 = 0,187 MN/m vRd, ct = 0,125 MN/m < vEd = 0,184 MN/m < vRd, max = 0,187 MN/m Die Querkraft ist mit einer Durchstanzbewehrung aufnehmbar.

Wahl der Durchstanzbewehrung (rechtwinklig zur Plattenebene)

Maximaler Stabdurchmesser: ds ≤ 0, 05 ⋅ d = 0, 05 ⋅170 = 8,5 mm → gewählt ds ≤ 8 mm Nachweisschnitte für die Ermittlung der Durchstanzbewehrung

(Bügelbewehrung: sw ≤ 0, 75 ⋅ d = 0, 75 ⋅ 17, 0 = 12,8 cm gewählt: sw = 12, 0 cm

κ s = 0, 7 + 0,3 ⋅

0,170 − 0, 40 = 0,53 < 0, 70 → κ s = 0, 70 0, 40

1. Bewehrungsreihe r 1 = 30/2 + 0,5 ⋅17, 0 = 15 + 8,5 = 23,5 cm vEd = 1, 05 ⋅

0, 490 = 0, 297 MN/m 1, 73

u 1 = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 8,5 = 173 cm

224

Stahlbetonbau

A sw, erf =

(vEd − vRd, ct ) ⋅ u 1

κ s ⋅ f yd

=

(296 − 125) ⋅1, 73 = 9, 79 cm 2 0, 70 ⋅ 43,5

8 zweischnittige Bügel Ø8 und 4 zweischnittige Bügel Ø6 mit 8,04 + 2,26 = 10,30 cm2 > 9,77 cm2

gewählt

Mindestbewehrung ρw =

Asw ≥ min ρw sw ⋅ u

ρw, vorh =

10,30 = 0, 00496 > 1, 0 ⋅ 0, 00093 12, 0 ⋅173

2. Bewehrungsreihe r 2 = 15 + 8,5 + 12 = 15 + 20,5 = 35,5 cm

u 2 = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 20,5 = 249 cm

0, 490 = 0, 207 MN/m 2, 49 (vEd − vRd, ct ) ⋅ u 2 sw (207 − 125) ⋅ 2, 49 12, 0 = ⋅ = ⋅ = 4, 73 cm 2 d 0, 70 ⋅ 43,5 17, 0 κ s ⋅ f yd

vEd = 1, 05 ⋅ A sw, erf

8 zweischnittige Bügel Ø 6 mit 4,52 cm2 ≈ 4,73 cm2

gewählt

Mindestbewehrung

9

ρ w, vorh =

4,52 = 0, 00151 > 1, 0 ⋅ 0, 00093 12, 0 ⋅ 249

3. Bewehrungsreihe r 3 = 15 + 20,5 + 12 = 15 + 32,5 = 47,5 cm

u 3 = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 32,5 = 324 cm

0, 490 = 0,159 MN/m 3, 24 (vEd − vRd, ct ) ⋅ u 3 sw (159 − 125) ⋅ 3, 24 12, 0 = ⋅ = ⋅ = 2,55 cm2 κ s ⋅ f yd d 0, 70 ⋅ 43,5 17, 0

vEd = 1, 05 ⋅ A sw, erf

8 zweischnittige Bügel Ø 6 mit 4,52 cm2 > 2,55 cm2 4,52 = 0, 00116 > 0, 00093 Mindestbewehrung ρ w, vorh = 12, 0 ⋅ 325 gewählt

äußerer Rundschnitt r a = 15 + 32,5 + 1,5 ⋅17, 0 = 15 + 58, 0 = 73, 0 cm vEd = 1, 05 ⋅

u a = 4 ⋅ 30 + 2 ⋅ ʌ ⋅ 58, 4 = 484 cm

0, 490 = 0,106 MN/m 4,84

lw = 32,5 cm

κa = 1−

0, 29 ⋅ 32,5 = 0,84 > 0, 71 3,5 ⋅17, 0

vRd, ct, a = κ a ⋅ vRd, ct = 0,84 ⋅ 0,125 = 0,105 MN/m vEd = 0,106 MN/m ≈ vRd, ct, a = 0,105 MN/m

225

4 Kreuzweise gespannte Platte mit einer Einzelunterstützung

Kollapsbewehrung an der Plattenunterseite gemäß DIN 1045-1 13.3.2.(12) As =

VEd ( ermittelt mit γ F f yk

= 1, 0 )

≅

0, 490 1, 4 = 0, 0007 = 7, 0 cm2 500 Bewehrungsskizze Der Einbau der insgesamt 8 + 4 + 8 + 8 = 28 zweischnittigen Bügel ist auf der Baustelle wohl nur mit einem sehr hohen Aufwand möglich! In der Bewehrungsskizze (Bild 5-8) sind die Zulagen der oberen Lage ∅ 8/11 und ∅ 8/9 noch nicht eingetragen! Besser für die Einbaubarkeit ist die Anordnung von handelsüblichen „Dübelleisten“ mit einer „Allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassung“. Die Hersteller bieten eigene Formeln, bzw. Rechenprogramme für den Durchstanznachweis ihrer Dübelleisten an.

9

Bild 5-8

Die Bemessung für Dübelleisten wird für das vorliegende Beispiel mit Halfen Ankerleisten (HDB) gezeigt.

226

Stahlbetonbau

Bild 5-9

Durchstanzbewehrung in Form von Dübelleisten

Bemessung Durchstanzen nach DIN 1045-1

9

Platte : h = 20,0 cm dm = 17,0 cm Innenstütze : cx = 30,0 cm cy = 30,0 cm Baustoffe : Beton: C 30/37 , Stahl: BSt 500 S(A) Bewehrung : vorh ρ = 0,603 % cal bg = 100,0 cm Asx/Asy = 10,8 / 9,8 cm2 erf bg = 165,0 cm Asx/Asy = 17,8 / 16,1 cm2 Die Bewehrung des Stützmomentes ist nicht gestaffelt. Kollapsbewehrung unten Asu ≥ 7,0 cm2 (As = VEk/fyk) vorh vorh

Querkraft Erhöhung Rundschnitt

VEd = = Ucrit =

β

Bemessungsquerkraft Bemessungswiderstand Bemessungswiderstand

490,00 kN 1,05 280,2 cm (im Abst 1,5 · dm)

vEd = 183,6 kN/m vRd,ct = 125,0 kN/m vRd,max = 237,5 kN/m

vEd < vRd,max : Schubbewehrung ist erforderlich! Schubbewehrung aus HDB Ankerleisten Bauaufsichtliche Zulassung Nr. Z-15.1-213 v 10.12.03 äußerer Rundschnitt:

Ua = 500,1 cm erf Ls = 35,0 cm vRd,a = 100,2 kN/m vEd,a = 94,6 kN/m Ls = 42,0 cm Lochband 30/4,0, zul Abstand auf hm ≤ 29 cm vorh = 27 cm zul Abstand bei ls ≤ 60 cm vorh = 46 cm zul Abstand Dübel ≤ 14 cm vorh = 12 cm Anker BSt 500S ds = 10 mm mit zul F = 34,1 kN L = 16,5 cm erf

Ankeranzahl erf : 16 Stk-Zone C +

8 · 2 Stk-Zone D

227

5 Mittig gedrückte Stütze

Ankeranzahl gew : 8 Elemente ( 2 C + 2 D) Anker = 32 Stk-Ges gew. Leistentyp je Stütze (cu unten= 2,0, co oben = 2,0 cm): 8 Halfen-Ankerleisten HDB-10/165-4/480 (60/120/120/120/60)

5 Mittig gedrückte Stütze Die in der Mitte stehende Stütze (30 cm × 30 cm) des vorigen Beispiels soll nun berechnet werden. Die Stütze soll eine Höhe von 6,00 m haben und über zwei Etagen durchgehen. Die untere Stütze hat dann die Last von zwei Decken und ihr Eigengewicht zu tragen. Belastung (Bemessungswerte)

2 ⋅ 490 = 980 kN

Aus 2 Decken 2

≈ 0,30 ⋅ 25, 0 ⋅ 6, 00 ⋅1,35 =

Eigengewicht

36 kN

N Ed = 1016 kN ≈ 1, 02 MN

Gesamt

9

Bild 5-10

228

Stahlbetonbau

Baustoffe Beton C20/25 20 20 f cd = 0,85 ⋅ = 11,33 MN/m 2 (DIN 1045-1) f cd = = 13,33 MN/m2 (EC2) 1,5 1,5 (Bei Benutzung der Bemessungstafeln BT8 ist der Wert für den EC2 maßgebend!) 500 Betonstahl BSt 500 f yd = = 435 MN/m 2 1,15 Schätzung der Bewehrung und Festlegung der statischen Höhe Bügeldurchmesser 10 mm Längsbewehrungsdurchmesser Expositionsklasse XC1 Betondeckung Statische Höhe d ≅ 30, 0 − 2, 0 − 1, 0 − 2, 0/2 = 26, 0 cm

20 mm 2,0 cm

Nachweis

Ersatzstablänge (Als Knicklängenbeiwert ist hier β = 1 gewählt!) l0 = β ⋅ lcol = 1, 0 ⋅ 6, 00 = 6, 00 m

Schlankheit

λ=

l0 600 = = 69, 2 > 50 i 0, 289 ⋅ 30

schlankes Druckglied

Nachweis nach Theorie II. Ordnung erforderlich.

9

Ausmitten nach Theorie I. Ordnung e0 = 0 (weil M = 0 ) Ungewollte Ausmitte

α a1 =

1 100 ⋅ lcol

ea = α a1 ⋅

=

1 100 ⋅ 6, 00

=

1 1 < 245 200

l0 6, 00 = = 0, 0122 m 2 245 ⋅ 2

nach Theorie II. Ordnung (Schätzung: Längsbewehrung 4∅ 20 mit 12,6 cm 2 ) − N ud = f cd ⋅ Ac + f yd ⋅ As = 11,33 ⋅ 0,302 + 435 ⋅10−4 ⋅12, 6 = 1,57 MN − N Ed = 1, 02 MN − N bal = 0, 4 ⋅ fcd ⋅ Ac = 0, 4 ⋅11,33 ⋅ 0,302 = 0, 41 MN K2 =

N ud − N Ed −(1,57 − 1, 02) = = 0, 47 < 1 N ud − N bal −(1,57 − 0, 41)

λ = 69, 2 > 35 → K1 = 1 e2 = K1 ⋅ K 2 ⋅

l02 6, 002 = 1⋅ 0, 47 ⋅ = 0, 0314 m 2070 ⋅ d 2070 ⋅ 0, 26

229

5 Mittig gedrückte Stütze

totale Ausmitte (ohne Kriechen) etot = e0 + ea + e2 = 0 + 0, 0122 + 0, 0314 = 0, 0436 m

Moment nach Theorie II. Ordnung M Ed = etot ⋅ N Ed = 0, 0436 ⋅1, 02 = 0, 0445 MNm

Berechnung mit dem Bemessungsdiagramm BT 4b

Eingangswerte

ν Ed =

N Ed −1, 02 = = −1, 00 b ⋅ h ⋅ fcd 0,302 ⋅11,33

d1 = d 2 = 4, 0 cm → Ablesung (siehe Bild 5-11)

d1 4 = = 0,13 h 30

μEd = gewählt

M Ed 2

b ⋅ h ⋅ fcd

=

0, 0445 0,303 ⋅11,33

= 0,146

d1 = 0,15 h

ω tot ≈ 0, 41

Erforderliche Bewehrung As, erf = ω tot ⋅ b ⋅ h ⋅

f cd 11,33 = 0, 41 ⋅ 302 ⋅ = 9, 6 cm 2 f yd 435

Mindest- und Maximalbewehrung (siehe auch Bemessungsdiagramm!) As, min = 0,15 ⋅

| N Ed | 1, 02 4 = 0,15 ⋅ ⋅10 = 3,51 cm2 f yd 435

As, max = 0, 09 ⋅ Ac = 81 cm2

Bild 5-11

9

230

Stahlbetonbau

Wahl der Bewehrung

Längsbewehrung 4∅20 12,6 cm 2 > (9,6 cm 2 ) ∅ 6/24 12 ⋅ d Längsbewehrung = 12 ⋅ 2, 0 = 24 cm = Bügelabstand

Bügel

d Längsbewehrung

20 = = 5 mm 4 4 Unterhalb der Decke und oberhalb des Fundamentes ist auf einer Höhe von jeweils 30 cm – das ist die Stützenbreite – der Bügelabstand auf 0,6 · 24 cm ≈ 15 cm zu verringern. d Bügel = 6 mm ≥

Kontrolle der Betondeckung und der statischen Höhe

Gegenüber der anfänglichen Schätzung der Bewehrung hat sich der Bügeldurchmesser von 10 auf 6 mm verringert. Bezogen auf den Bügel ist eine Betondeckung von 20 mm einzuhalten. Bezogen auf den Längsstab ist eine Betondeckung von 30 mm einzuhalten! Mit der Folge, dass hier eine Betondeckung – bezogen auf den Bügel – von 30 − 6 = 24 mm maßgebend wäre. Da es aber keine handelsüblichen Abstandhalter von 24 mm gibt, wird endgültig die Betondeckung zu cnom = 25 mm gewählt. Die statische Höhe beträgt nun d = 30, 0 − 2,5 − 0, 6 − 2, 0/2 = 25,9 cm ≈ 26 cm ! Eine Neuberechnung ist nicht erforderlich!

9

6 Einzelfundament Last aus dem vorigen Beispiel N Ed = 1, 02 MN Boden

Zulässige Bodenpressung (Annahme)

σ Boden, zul = 400 kN/m 2 Bodenpressung (ohne Fundamentgewicht!)

σ Boden =

1020 1, 702

= 353 kN/m 2

Bodenpressung (mit Fundamentgewicht!)

σ Boden, vorh =

1020 + 1, 702 ⋅ 0,50 ⋅ 25 ⋅ 1,35 1, 70 2

= 369 kN/m 2 < σ Boden, zul = 400 kN/m 2

231

6 Einzelfundament

Beton

Alle Betonnachweise sind mit der Bodenpressung ohne Fundamentgewicht zu führen! Expositionsklasse XC3 Beton C20/25 Betonstahl BSt 500 Betondeckung cmin = 2, 0 cm Δc = 1,5 + 5, 0 = 6,5 cm cnom = 2, 0 + 6,5 = 8,5 cm (Das Vorhaltemaß ist hier um 5 cm zu erhöhen, weil auf den Baugrund betoniert wird!) statische Höhe d = 50, 0 − 8,5 − (≈ 2, 0/2) = 40,5 cm gewählt: d x ≈ d y ≈ d ≈ 40 cm Biegung M =

N Ed 1, 02 ⋅ (bFundament − bStütze ) = ⋅ (1, 70 − 0,30) = 0,179 MNm 8 8 m=

Das entspricht:

0,179 = 0,105 MNm/m 1, 70

Mindestplattenmoment für den Durchstanznachweis: mEd = η ⋅ VEd = 0,125 ⋅1, 02 = 0,128 MNm/m

Maßgebend ist hier das Mindestplattenmoment. f cd = 11,33 MN/m 2

μ Eds =

0,128 ⋅1, 70 1, 70 ⋅ 0, 402 ⋅ 11,33

gewählt in beiden Richtungen

f yd = 435 MN/m 2

f yd fcd

=

435 = 38, 4 11,33

= 0, 071 → ω = 0, 07 → As, erf =

0, 07 ⋅ 170 ⋅ 40 = 12, 4 cm2 38, 4

9∅14 mit 13,9 cm 2 > 12, 4 cm 2

Durchstanzen kritischer Rundschnitt 1,5 ⋅ d = 1,5 ⋅ 0, 40 = 0, 60 m Acrit = 0,302 + 4 ⋅ 0,30 ⋅ 0, 60 + ʌ ⋅ 0, 602 = 1,94 m 2 ucrit = 4 ⋅ 0,30 + 2 ⋅ 0, 60 ⋅ ʌ = 4,97 m

einwirkende Querkraft (Der innerhalb des kritischen Rundschnittes liegende Bodenpressungsanteil darf mit 50 % berücksichtigt werden!) VEd = N Ed − 0,50 ⋅ Acrit ⋅ σ Boden = 1, 02 − 0,50 ⋅1,94 ⋅ 0,353 = 0, 678 MN

Bei quadratischen Fundamenten β ≈ 1, 05 .

ν Ed = β ⋅

VEd 0, 678 = 1, 05 ⋅ = 0,143 MN/m ucrit 4,97

9

232

Stahlbetonbau

9 Bild 5-12

Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung Biegebewehrungsgrad

ρl =

As, vorh b⋅d

=

13,9 = 0, 002 170 ⋅ 40

κ = 1+

1

0, 20 0, 20 = 1+ = 1, 71 d 0, 40 1

vRd, ct = 0,14 ⋅ κ ⋅ (100 ⋅ ρl ⋅ fck ) 3 ⋅ d = 0,14 ⋅1, 71 ⋅ (100 ⋅ 0, 002 ⋅ 20) 3 ⋅ 0, 40 = 0,152 MN/m

vRd, ct > vEd = 0,143 MN/m → Es ist keine Durchstanzbewehrung erforderlich! Hinweis: Nach Heft 525 vom DafStb „Erläuterungen zu DIN 1045-1“ (10.5.3) ist der kritische Rundschnitt für dieses Fundament im Abstand 1, 0 ⋅ d und nicht 1,5 ⋅ d von der Lastfläche anzusetzen. Die Bodenpressung ist dann zu 100 % zu berücksichtigen. Außerdem ist dann auch noch die Größe vRd, ct im Verhältnis der kritische Umfänge zu modifizieren.

Der Nachweis ist dann wie folgt zu führen: kritischer Rundschnitt 1, 0 ⋅ d = 1, 0 ⋅ 0, 40 = 0, 40 m Acrit = 0,302 + 4 ⋅ 0,30 ⋅ 0, 40 + ʌ ⋅ 0, 402 = 1, 07 m 2

233

6 Einzelfundament

ucrit = 4 ⋅ 0,30 + 2 ⋅ 0, 40 ⋅ ʌ = 3, 71 m VEd = N Ed − 1, 0 ⋅ Acrit ⋅ σ Boden = 1, 02 − 1, 0 ⋅1, 07 ⋅ 0,353 = 0, 642 MN

ν Ed = β ⋅

VEd 0, 642 MN = 1, 05 ⋅ = 0,182 ucrit 3, 71 m

MN 4,97 m MN MN ⋅ = 0, 204 > vEd = 0,182 → m 3,71 m m m Keine Durchstanzbewehrung erforderlich!

vRd, ct =0,152

9

Stahlbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Wolfram Lohse

Inhalt 1 2 3 4 5

Vorwort .................................................................................................................................. 237 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen ............................................................................... 237 Knicken von Stäben und Stabwerken .................................................................................... 248 Verbundkonstruktionen ......................................................................................................... 261 Verbindungstechnik ............................................................................................................... 267 Literatur und Vorschriften ..................................................................................................... 274

Vorwort Es werden hier Beispiele behandelt entsprechend dem Inhalt und der Reihenfolge der Themen in [1]. Stichwortartige Erläuterungen dienen dem leichteren Verständnis der einzelnen Rechengänge. Auf eine vorangestellte Zusammenstellung der wichtigsten Formeln wird aus Platzgründen verzichtet, weil bei deren Anwendung sehr häufig auch noch auf Parameter aus umfangreichen Tafeln zurückgegriffen werden muss. Alle seitlich herausgestellten Verweise auf Formeln und Tabellen beziehen sich auf [1], sofern keine anderen Literaturquellen benannt sind. Mit Hilfe dieser Hinweise sollen die Beispiele leichter nachvollzogen werden können. Hier neu eingeführte Gleichungen werden kurz erläutert. Ihre Gleichungsnummern stehen im eckigen Klammern.

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen Mit den Tragsicherheitsnachweisen gegen Fließen – üblicherweise auch als Spannungsnachweis bezeichnet- wird sichergestellt, dass der Querschnitt, das Bauteil oder das Tagwerk die Beanspruchung mit Rücksicht auf die Festigkeit des Materials – dies ist i.d.R. die Streckgrenze fy (= Fließgrenze), in Ausnahmefällen die Zugfestigkeit fu-aufnehmen kann. Instabilitätserscheinungen wie Biegeknicken, Biegedrillknicken oder Beulen sind mit diesen Nachweisen (i.A.) nicht erfasst, ebenso wenig der Nachweis der Gebrauchstauglichkeit. Beispiel 1.1: Rippenlose Lasteinleitung in Walzträger; Bild 1-1 Für die Trägerkreuzung und Auflagerung sind die möglichen Lasten FR, d und FA, R, d zu ermitteln, die ohne Aussteifungsrippen möglich sind. Mit den Nachweisen wird auch die örtliche Beulung und das Stegkrüppeln erfasst. Die Träger bestehen aus Material S235, Abmessungen der Profile und Formeln siehe [1]. Die angegeben Spannungen sind in den Trägern direkt an der Kreuzungsstelle vorhanden.

238

Stahlbau

Bild 1-1 Rippenlose Lasteinleitung

Auflagerkraft FA, R, d: = 24,0 kN/cm2 fy, k

γM

= 1,1

l

= 5,0 + 2,5⋅(1,1 + 1,8) = 12,25 cm

FA, R, d = 0,7 ⋅ 12,25 ⋅ 24,0/1,1 = 187 kN

10

Vpl, R, d = ASteg ⋅ τR, d

n. Tafel 1-4 n. Abschnitt 2.1 n. Bild 2-5 n. Gl. (2-10a) n. Bild 2-8

= 13,9 ⋅ (24,0/ 3 )/1,1 = 175 kN (< 187 kN – maßgebend) Lasteinleitung an der Stelle 1: HE220-A: An der Lasteinleitungsstelle des Profils HE220-A haben σx und σz (aus Träger 2) unterschiedliche Vorzeichen. c1

= 0,56 + 1,61 ⋅ 1,2 + 5 ⋅ 0,85 = 6,74 cm

l2

= 6,74 + 5 ⋅ (1,1 + 1,8) = 21,24 cm

| σx |

= 15,0⋅[21 – 2⋅(1,1 + 1,8)]/21 = 10,86 kN/cm2 < 0,5 ⋅ 24,0 = 12 kN/cm2

n. Bild 2-5

(FR, d, 2 = 0,7 ⋅ 21,24 ⋅ 24,0 ⋅ (1,25 – 0,5 ⋅ 10,86/24,0)/1,1 = 14,87 ⋅ 24,0 ⋅ 1,02/1,1 = 330,9 kN)

n. Gl. (2-10)

Die Erhöhung von fy, k um 2 % ist wegen | σx | < 0,5⋅fy, k nicht zulässig FR, d, 1 = 0,7 ⋅ 21,24 ⋅ 24,0/1,1 = 324,4 kN IPE220:

An der Lasteinleitungsstelle des Profils IPE220 haben σx und σz (Träger 1) gleiches Vorzeichen

239

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

c2

= 0,7 + 1,61 ⋅ 1,8 + 5⋅1,1 = 9,10 cm

l1

= 9,10 + 5 ⋅ (0,85 + 1,2) = 19,35 cm

FR, d, 1 = 0,56 ⋅ 19,35 ⋅ 24,0/1,1 = 236,4 kN < 324,4 kN Damit kann an der Stelle 1 eine Kraft von 236,4 kN vom ΙPE220 auf den Träger HE220-A ohne Lasteinleitungsrippen übertragen werden. Beispiel 1.2 Überprüfung der Blechschlankheiten b/t beim Verfahren Elastisch-Plastisch (EP), Plastisch-Plastisch (P-P), siehe [1], Tafel 2-5. Bild 1-2: Mit diesem Nachweis wird sichergestellt, dass bei Einhaltung der grenz b/t – Werte der Querschnitt ohne Beulgefahr vollplastisch ausgenutzt werden darf. Plastische Grenzschnittgrößen nach [1], Tafel 2-8 und Umrechnung über das Streckengrenzenverhältnis Npl, d = 3469 ⋅ 36,0/24,0 = 5203 kN Mpl, d = 559 ⋅ 36,0/24,0 = 838 kNm

10 Bild 1-2 Blechschlankheit beim Verfahren E-P, P-P

Bemessungswerte der einwirkenden Schnittgrößen Nd = (–) 1050 kN Md = 740 kNm Vd sei vernachlässigbar klein Interaktionsnachweis nach [1], Tafel 2-6a 0,9 · 740/838 + 1050/5203 = 1,0 Überprüfung der Blechschlankheiten über die Spannungsverteilung Die Normalkraft wird über eine Höhe hSt, N – symmetrisch zur y-Achse – verteilt (statischer Satz der Fließgelenktheorie)

σR, d = 36,0/1,1 = 32,72 kN/cm2

240

Stahlbau

hSt, N = 1050/(1,1 · 32,72) = 29,2 cm Damit liegt die plastische Spannungsverteilung fest, siehe Bild 1-2: 295 Steg: α = = 0,99 298 ½ 240 ° < 37 ⋅ 360 = 30,5 (E-P) ° 0,99 ° b 298 ° = = 27,1 ¾ t 11 ° 240 ° ° 360 = 26,4 (P-P) ° > 32 ⋅ 0,99 ¿ (30, 0 − 1,1 − 2 ⋅ 2, 7) Gurt: b = = 11, 75 cm; α = 1, 0 2 ½ 240 ° 360 < 11 ⋅ = 8,98 (E-P) ° 1, 0 ° b 117,5 ° = = 6,18 ¾ t 19 ° 240 ° ° < 9 ⋅ 360 = 7,35 (P-P) ° 1, 0 ¿

10

n. Tafel 2-5

n. Tafel 2-5

Das Profil kann plastisch beansprucht werden. Ob im gesamten Tragsystem mehrere Fließgelenke auftreten können, hängt von den Spannungsverteilungen in den Fließgelenken und der Reihenfolge ihres Auftretens ab. Das behandelte Profil mit den angenommenen Schnittgrößen ist zunächst nur zugelassen für das Nachweisverfahren Elastisch-Plastisch. Beispiel 1.3: M-N-Interaktion für ein U-Profil; Bild 1-3 und 1-4: Die in DIN 18800-1 wiedergegebenen plastischen Interaktionsdiagramme -siehe [1], Tafel 2-6a und Tafel 2-7 gelten nur für doppelsymmetrische I-Querschnitte. Für einfachsymmetrische Querschnitte ist der Zusammenhang zwischen N und M im vollplastischen Zustand vom Vorzeichen der Schnittgrößen abhängig. Die Berechnung für ein UAP300-Profil erfolgt nach [1], Tafel 2-6b. Material S235, Querkraft vernachlässigbar klein.

UAP300

Bild 1-3 M-N-Interaktion für ein U-Profil

241

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

Mz > 0

Mz < 0 Vorwerte

A1 = 30 ⋅ 0,95 = 28,5 cm2 A2 = 0 A3 = (10 – 0,95/2) ⋅ 1,6 · 2 = 30,48 cm2

A1 = 0 A2 = 28,5 cm2 A3 = 30,48 cm2

(Momentendruckgurt) (Momentenzuggurt) (Steg)

ΣAi = A = 58,98 cm2 (vgl. UPE: A = 58,6 cm2) η = 1,0 δ1 = 28,5/58,98 = 0,48, δ2 = 0

η = 1,0 δ1 = 0, δ2 = 0,48 δ3 = 0,52

δ3 = 1 – 0,48 = 0,52

Bereich Ι: Plast. Nulllinie im Gurt A2

Entfällt

1 – 2 ⋅ 0,48 ≤ N ≤1 0, 04 ≤ N ≤ 1 : M ≤ 0,5 ⋅ 0,52 ⋅ (1 − N ) ≤ 0, 26 ⋅ (1 − N )

(c)

Bereich ΙΙ: Plast. Nulllinie im Steg 2 ⋅ 0, 48 − 1 ≤ N ≤ 1 − 2 ⋅ 0

2 ⋅ 0 − 1 ≤ N ≤ 1 − 2 ⋅ 0, 48

− 0, 04 ≤ N ≤ 1 :

− 1 ≤ N ≤ 0, 04 :

M ≤ (0, 48 + 0,5 ⋅ 0,52) ⋅ (1 − N )

M ≤ 0,5 + 0,52 ⋅ (1 − N )

− 0, 25 ⋅ (1 − N ) 2 / 0,52 M ≤ 0, 74 ⋅ (1 − N )[1 − 0, 65 ⋅ (1 − N )]

− 0, 25 ⋅ (1 − 2 ⋅ 0, 48 − N )2 / 0,52

(a)

M ≤ 0, 26 ⋅ (1 − N ) − 0, 48 ⋅ (0, 04 − N )2

Bereich ΙΙΙ: Plast. Nulllinie im Gurt A1 − 1 ≤ N ≤ 2 ⋅ 0, 48 − 1

entfällt

− 1 ≤ N ≤ −0, 04 : M ≤ 0,5 ⋅ 0,52 ⋅ (1 + N ) M ≤ 0, 26 ⋅ (1 − N )]

10

(b)

Zahlenwerte

Npl, V, d = Npl, d = 58,98 ⋅ 24,0/1,1 = 1287 kN h ⋅ Npl, d = (0,10 – 0,0095/2)⋅1287 = 122,6 kNm

(d)

242

Stahlbau

Aus Gl. (b) erhält man Mpl, d für N = 0: M = M pl,d = M pl,d /(h ⋅ N pl,d ) = 0, 26 ⋅1

Mpl, d = 0,26 ⋅ 122,6 = 31,88 kNm Die Auswertung der Gleichungen (a) bis (d) in den jeweiligen Gültigkeitsbereichen und unter Verwendung von h⋅Npl, d = Mpl, d/0,26 liefert das Interaktionsdiagramm, Bild 1-4.

Bild 1-4 Interaktionsdiagramm

10

Beispiel 1.4:

Fließgelenktheorie bei Durchlaufträgern Nachweisverfahren Plastisch-Plastisch (P-P); Bild 1-5 bis Bild 1-7: Für den in Bild 1-5 dargestellten Durchlaufträgern ist mit dem Nachweisverfahren P-P das kleinstmögliche ΙPE-Profil aus S235 zu bestimmen. Die angegebenen Lasten stellen die γM-fachen Bemessungswerte dar. Die beiden Einzellasten bilden jedoch eine Lasteinheit. Kippen sei konstruktiv ausgeschlossen.

Bild 1-5 Durchlaufträger nach der FG-Theorie

Regeln der Fließgelenktheorie (FG-Th.) bei Durchlaufträgern (siehe hierzu auch [2]) -FG = Fließgelenk 1. FG bilden sich über Stützen und an Stellen relativer Momentenhöchstwerte (im Feld) 2. Jedes Feld versagt für sich allein (Elementarketten) 3. Die statische Berechnung erfolgt sinnvollerweise über das Prinzip der virtuellen Verrückungen. Dieses Prinzip beinhaltet eine Gleichgewichtsaussage und lautet

243

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

δV Aa = δV Ai

[1-1]

mit

δVAa virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte auf einem beliebigen systemverträglichen δVAi

Verrückungszustand. Der Faktor 1/2 wie bei der wirklichen Arbeit einer Kraft entfällt hier. virtuelle innere Arbeit in einem FG; diese ist mit Gl. [1-1] stets positiv, d.h. das Vorzeichen von Mpl spielt keine Rolle.

δV Ai = ¦ Mpl, i · ϑi

[1-2]

mit

ϑi

virtueller Gelenkdrehwinkel im FG i.

Im dargestellten System können sich FG an durch • gekennzeichneten Stellen bilden: Im Feld ཱ unter der Einzellast, im Feld ི etwa 0,42 ⋅ l3 links vom Auflager C. Die möglichen FG-Ketten sind in Bild 1-6 bei einer virtuellen Verrückung infolge ϑ = 1 dargestellt. Die hierdurch hervorgerufenen Verschiebungswege (bei einer Starrkörperbewegung) sind ebenfalls eingetragen. Elementarkette E1:

δ V Aa = 75 ⋅1 ⋅ 2, 0 = 150 kNm ½° ¾ δ V Aa = δ V Ai : M pl, E1 = 150 kNm δ V Ai = M pl, E1 ⋅1, 0 °¿

10

Bild 1-6 Kinematische Ketten, Zustandslinien

244

Stahlbau

Elementarkette E2: Gleichstreckenlast q über Feldlänge l:

δVAa = (q · l) · δmax/2

[1-3]

δmax δVAa

Größtwert der virtuellen Lastverschiebung = 30 ⋅ 6,0 ⋅ (3,0/2) + 150 ⋅ 3,0 – 75 ⋅ 2,0 = 570 kNm (Die virtuelle Verrückung an der Kragarmspitze ist der Last entgegen gerichtet; die virtuelle Arbeit dieser Last ist daher negativ).

δVAi = Mpl, E2 ⋅ (2,0 + 1,0) = 3,0⋅Mpl, E2 δVAa = δVAi: 3,0 Mpl, E2 = 570 kNm

Mpl, E2 = 190 kNm (maßgebend)

Elementarkette E3:

δ V Aa = 120 ⋅ 4, 0 ⋅ (1, 66 / 2) = 398, 4 kNm ½° ¾ M pl, E 3 = 165 kNm δ V Ai = M pl, E 3 ⋅ (1, 709 + 0, 709) °¿ Mit Mpl = 190 kNm bildet sich unter den gegebenen Lasten die kinematische Kette E2. Es muss noch geprüft werden, ob die Querkraft im FG einen Einfluss auf das plastische Moment hat. Zustandsgrößen My und Vz Mit einer Schnittführung gemäß Bild 1-7 werden die restlichen Schnittgrößen bestimmt: 150

10

30 75

2,0

A

6,0

190 Bl

Bild 1-7 Trägerschnitt

A VA, l

= (75⋅8 + 150⋅3 + 30⋅6⋅3 – 190)/6,0 = 233,33 kN = – 75 kN; VA, r = 233,33 – 75 = 158,33 kN

Vm, l

= 158,33 – 30⋅3 = 68,33 kN;

Vm, r = – 81,67 kN

C

= 120⋅4/2 – 190/4 = 192,5 kN

VB, l B

= – 81,67 – 30⋅3 = – 171,67 kN ; = 171,67 + 287,5 = 459,17 kN

VB, r = – 192,5 + 120⋅4 = + 287,5 kN

Gewählter Querschnitt Mit Rücksicht auf die hohe Querkraft im FG über der Stütze B wird gewählt: IPE360: Mpl = 1,1 ⋅ 222 = 244 kNm; Vpl = 1,1 ⋅ 350 = 385 kN Nachweis – Interaktionsbeziehung n. Tafel 2-6a

n. Tafel 2-8

245

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

VB, l/Vpl = 287,5/285 = 0,75 > 0,33 0,88⋅(190/244) + 0,37 ⋅ 0,75 = 0,96 < 1 Beispiel 1.5: FG-Theorie bei seitenverschieblichen Systemen, Bild 1-8 bis 1-10: Es ist zunächst der Bemessungswert der plastischen Grenzlast Pd nach Theorie I. Ordnung zu bestimmen. Anschließend ist die Stütze im plastischen Grenzlastzustand nachzuweisen. Zur Umgehung einer iterativen Berechnung sollen die Querkräfte in den FG mit Vz, d/Vpl, d ≈ 0,5 abgeschätzt werden; Material S235.

Bild 1-8 Seitenverschieblicher Rahmen nach der FG-Theorie

Zur FG-Theorie bei verschieblichen Rahmensystemen Bei (seitlich) verschieblichen Rahmensystemen unterscheidet man als Elementarketten die Balkenketten von den Seitenverschiebungsketten. Beide lassen sich überlagern zu den kombinierten Ketten. Maßgebend ist der Versagenszustand, der zur kleinsten plastischen Grenzlast oder zum größten erforderlichen plastischen Moment führt. Lösung Querschnittswerte (n. Tafel 2-8)

IPE 400 HEA 260

Mpl,d 285 201

Npl, d 1843 1894

Vpl, z, d 419 224

Abtriebskräfte aus Imperfektion1) A* = ϕ 0 ⋅

¦ P = [(1/ 200) ⋅ (1 +

1/ 3) / 2] ⋅ 2 P = 0, 01 P

n. Tafel 3-1 und Gl. (2-3)

(n = 3 Stiele) Das aufnehmbare plastische Moment unter Berücksichtigung der (abgeschätzten) Querkraft ist nach Tafel 2-6a M pl,d,Vz = (1 − 0,37 ⋅ 0,5) ⋅ 285 / 0,88 = 264 kNm

1)

(ǿPE 400)

Da der Biegeknicknachweis für die Stiele nach dem Ersatzstabverfahren geführt werden soll, darf auf den Ansatz der Imperfektionen eigentlich verzichtet werden. Bei einem Nachweis nach Theorie II. Ordnung sind Imperfektionen jedoch zu berücksichtigen. Aus diesem Grund ist der Rechengang hier vorgeführt.

10

246

Stahlbau

Elementar- und kombinierte Ketten Die möglichen Elementarketten und die maßgebende kombinierte Kette sind im Bild 1-9a bis c dargestellt. P.d.v.V: für die kinematische Kette c

δ V Aa = 0,11 Pd ⋅1 ⋅ 4, 0 + Pd ⋅ 4, 0 / 2 = δ V Ai = M pl,d,Vz ⋅ (2 + 1) 2, 44 Pd = 3 ⋅ 264 Pd = 324,6 kN

10

Bild 1-9 Gelenkketten

Schnittgrößen AV = 324,6/2 – 264/4 BV = 2 ⋅ 324,6 – 96,3 – 132 M4 = 35,7 ⋅ 4 M1 = 96,3 ⋅ 2,0

Bild 1-10 Zustandslinien

= 96,3 kN = 420,9 kN = 142,8 kNm = 192,6 kNm

CV = 264/2 = 132 kN Bh = 0,11 ⋅ 324,6 = 35,7 kN M2, r = 132 ⋅ 4 – 324,6 ⋅ 2 = – 121,2 kNm

247

1 Tragsicherheitsnachweise gegen Fließen

Nachweis an der Stelle 2:

0,88 ⋅ 264/285 + 0,37 ⋅ 228,3/419 = 1,02 ≈ 1,0 Biegeknicknachweis Stiel Die Knicklänge des Stieles muss bei der FG-Theorie an jenem System ermittelt werden, dass sich unmittelbar vor Ausbildung des letzten FG bildet. In den anderen FG sind reibungsfreie Gelenke anzunehmen. Die richtige Lage des letzten FG zeichnet sich dadurch aus, dass für dieses System eine charakteristische Verformung- z.B. die Horizontalverschiebung des Rahmenknotens- maximal wird. In unserem Fall bildet sich das letzte FG im Punkt 3. Die Knicklänge ist daher am statischen System, Bild 1-11, zu ermitteln

Bild 1-11 System beim Knicken

10

n. Tafel 32

c = 10450/23130 = 0,45;

n = 0,54

β = 1 + 0,96 ⋅ 0,54 ⋅ 4 + 2,8 ⋅ 0, 45 + 0, 08 ⋅ 0, 45 λ y = 2,83 ⋅ 400 /(11, 0 ⋅ 92,9) Linie b: κ y = 0,53 ;

2

= 2,83 = 1,11

βm = 1,0

N /(κ y ⋅ N pl,d ) = 420,9 /(0,53 ⋅1894)

= 0,42

ǻn = 0, 42 ⋅ (1 − 0, 42) ⋅ 0,532 ⋅1,112

= 0,08 < 0,1

0,42 + 1,0⋅142,8/201 + 0,08

= 1,21 > 1

Nachweis

Der Stiel muss kräftiger ausgeführt werden (mindestens HE280-A).

n. Gl. (1-2) bis (1-5) (Tragwerk verschieblich)

n. Gl. (3-16)

248

Stahlbau

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

10

Allgemeines Bei stabilitätsgefährdeten Stäben oder Stabwerken ist nachzuweisen, dass sich das System im stabilen Gleichgewicht befindet. Zur Vereinfachung der Nachweise darf der i.a. räumliche Verformungszustand in die Fälle Biegeknicken (mit Verschiebungen w oder υ) und Biegedrillknicken (mit zusätzlichen Verdrehungen ϑ um die Stabachse) getrennt werden. Ausreichende Tragsicherheit kann nach den Verfahren Elastisch-Elastisch (E-E), Elastisch-Plastisch (E-P) oder PlastischPlastisch (P-P) nachgewiesen werden. Als Berechnungsverfahren stehen die Theorie II. Ordnung (fallweise unter Berücksichtigung der Wölbkrafttorsion) oder die vereinfachten Ersatzstabnachweise zur Verfügung. Bei Letzteren werden die aus dem Tragwerk herausgelöst gedachten Einzelstäbe mit den Stabendschnittgrößen aus dem Gesamtsystem und den direkt auf dem Einzelstab einwirkenden Beanspruchungen unter Berücksichtigung realistischer Lagerungsbedingungen untersucht. Der Nachweis gegen Biegeknicken wird in der Praxis – zumindest bei Stabwerkenhäufig mit Hilfe von Stabwerkprogrammen mit Theorie II. Ordnung geführt, während das Biegedrillknicken i.d.R. über einen Ersatzstabnachweis behandelt wird. Bei Anwendung der Ersatzstabnachweise muss die Knicklänge sK (für Biegeknicken) und das ideale Biegedrillknickmoment MKi, y bekannt sein. Manche Rechenprogramme können MKi, y „genau“ berechnen, während die meisten sich jedoch der Hilfsmittel in DIN 18800 bedienen. Bei Untersuchungen nach Th. II. O. sind geometrische Ersatzimperfektionen (Vorkrümmungen wo oder υo, Vorverdrehungen ϕ0 oder beide gleichzeitig) und in den Steifigkeiten der Materialsicherheitsbeiwert γM zu berücksichtigen. Alternativ darf auch mit den γM-fachen Lasten gerechnet werden. Es sei ausdrücklich darauf hingewiesen, dass bei den herkömmlichen Räumlichen Stabwerksprogrammen mit Theorie 2. Ordnung das Biegedrillknicken nicht erfasst ist. [2] enthält im Anhang eine systematische Zusammenstellung der wichtigsten Formeln zu den Tragsicherheitsnachweisen beim Knicken von Stäben und Stabwerken. Beispiel 2.1 Zur Wahl geometrischer Ersatzimperfektion; Bild 2-1 Imperfektionen sind so anzunehmen, dass sie sich auf die betrachtete Beanspruchung ungünstig auswirken. Sie soll möglichst affin zur 1. Knickeigenform (= Knickbiegelinie unter der kleinsten Verzweigungslast) sein. Da die meisten Rechenprogramme Module zur Berechnung der Knicklast und Knickeigenform haben, kann man mit ihrer Hilfe die richtige Vorverformung ermitteln. Es wird der Rahmen (als unverschieblicher bzw. verschieblicher) nach Bild 2-1 untersucht. Bild 2-1a, b zeigen die Abmessungen, allgemeine Belastung und Querschnitte sowie die Lagerung beim unverschieblichen System. In Bild 2-1c sind die maßgebenden Stielnormalkräfte angegeben. Bild 2-1d zeigt die 1. Eigenform des unverschieblichen Rahmens. Der Verzweigungslastfaktor (für alle Stäbe) beträgt ηKi = N Ki /N = 17, 28 . Mit sK = π ⋅ Eǿ/N Ki

erhält man z.B. für die Stäbe ཰ und ཱ mit EIy = 21 ⋅ 103 ⋅ 13670 ⋅ 10−4

= 28707 kNm2

sK,཰ = ʌ ⋅ 28707 /(17, 28 ⋅ 400)

= 6,40 m = 1,6 · l1

sK,ཱ = ʌ ⋅ 28707 /(17, 28 ⋅ 1040) = 3,97 m = 0,79 · l2

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

249

Die Imperfektionen sind gemäß Bild 2-1d (oder spiegelbildlich) mit einem Verformungsstich nach [1], Tafel 16 anzusetzen. Sie dürfen auf 2/3 reduziert werden beim Nachweisverfahren E-E. Bild 2-1e zeigt die 1. Eigenform des verschieblichen Rahmens. In diesem einfachen Fall sind Imperfektionen als Stieldrehwinkel ϕo anzusetzen. Interessant sind hier lediglich die Knicklängen der Stiele ཰ und ཱ. Mit ηKi = 2,24 erhält man für

sK,཰ = ʌ ⋅ 28707 /(2, 24 ⋅ 200) = 25,15 m = 6,29 ⋅ l1 und

sK,ཱ = ʌ ⋅ 28707 /(2, 24 ⋅ 540) = 15,30 m = 3,06 ⋅ l2

10

Bild 2-1 Zur Wahl von Imperfektionen: Rahmensystem, Abmessungen, Einwirkungen, Normalkräfte und Knickeigenformen

250

Stahlbau

Beispiel 2.2: Untersuchung eines Stabwerks nach Theorie ΙΙ. O. (Th. ΙΙ. O.): Bild 2-2 und 2-3: Die in Bild 2-2 dargestellte Kragstütze aus S235 mit angehängten Pendelstielen soll nach (Th. ΙΙ. O.) untersucht werden. Gesucht sind: 1. Knicklast und Knicklänge der Einspannstütze 2. Nachweis der Einspannstütze nach Th. ΙΙ. O. und dem Verfahren E-P 3. Abschätzung der Verformungen im Gebrauchszustand Angaben – Die Pendelstiele seien für sich knicksicher – Alle Stützenköpfe aus der Zeichenebene seitlich unverschieblich gehalten; – Biegedrillknicken sei konstruktiv ausgeschlossen – Ersatzlasten aus Imperfektionen sollen in den H-Lasten enthalten sein – Der gewichtete Teilsicherheitsbeiwert für Einwirkungen sei γ F, m = 1,45

Die Aufgabe wird mit einfachen, baustatischen Mitteln per Hand gelöst, indem eine Verformungsfigur (w(ξ)) mit freiem Parameter δ geschätzt wird. In Bild 2-2b sind die Verformungsfigur und die einwirkenden Lasten bei Erreichen der Knicklast angegeben. Die Biegelinie wird über w(ξ) = δ · (2ξ – ξ2) abgeschätzt. a)

ξ = x/l

P/4

P

PKi W (ξ )

H/2

Pd = 650 kN Hd = 25 kN

10

l /2 = 3,0 m

xlξ quadratische Parabel P/2

I=∞

I=∞

l /2 = 3,0 m

H IPE 400 S 235

b)

δ

δ

PKi/4 A1

w

l /2

ξ υ1

l /2

PKi

δ2′ υ

PKi/2 A2

δ2

υ2

Bild 2-2 Rahme nach Theorie II. Ordnung (Th. II. O.)

251

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

Knicklast und Knicklänge Verformungen: w(0) = 0; w(1/2) = δ2 = 0,75 ⋅ δ ; ϑ = δ /l ; ϑ1 = δ /(0,5 l) = 2 ⋅ ϑ ;

w(1) = δ ; δ 2' = δ – 0,75 ⋅ δ = 0,25 ⋅ δ ϑ2 = δ 2' /(0,5 l) = 0,50 ⋅ ϑ

Abtriebskräfte der Pendelstiele:

A1 = (0,25 PKi) ⋅ 2 ⋅ ϑ = 0,5 PKi ⋅ ϑ;

A2 = (0,5 PKi) ⋅ 0,5 ⋅ ϑ = 0,25 PKi ⋅ ϑ

Momentenbeanspruchung der Einspannstütze aus PKi, A1 und A2 Die einzelnen Lasten rufen in der Einspannstütze die in Bild 2-3 dargestellten M-Linien hervor. Die noch freie Stützenkopfverschiebung δ = ϑ ⋅ l wird mit Hilfe der Arbeitsgleichung, siehe [1], Kapitel 6, Abschn. 5.3, bestimmt:

Bild 2-3 M-Linien nach Th. II. O.

EΙy ⋅ ϑ = [l ⋅ ((5/12) + (1/3) ⋅ (1/2)) + 0,5 ⋅ l ((1/3) ⋅ (1/8) + (1/6) ⋅ (1/8) ⋅ (1/2))] ⋅ PKi ⋅ ϑ ⋅ l

ϑ [EΙy – (117/192) ⋅ PKi ⋅ l2] = 0 Im Knickfall ist ϑ ≠ 0 und die Knicklast PKi = (192/117) ⋅ EΙ/l2

EΙ = 21 ⋅ 103 ⋅ 23130 ⋅ 10–4 = 48573 kNm2; l = 6,0 m PKi = (192/117) ⋅ 48573/6,02 = 2214 kN sK = π ⋅ l ⋅ 117 /192 = 2,45 ⋅ l = 14,71 m * = 2256 = 1,02 ⋅ PKi) (Vergleich mit EDV: PKi

Nachweis der Stütze unter den gegebenen Lasten Die Einflüsse aus der Th. ΙΙ. O. sind mit den M-Linien für PKi vollständig beschrieben, wenn anstelle der (zuvor unbekannten) Knicklast PKi die tatsächliche Last Pd eingesetzt wird. Zusätzlich sind die M-Beanspruchungen aus den horizontalen Einwirkungen zu berücksichtigen (siehe Bild 2-3c):

10

252

Stahlbau

Pd = 650 kN;

Hd = 25 kN

(EΙ )d = 48573/1,1 = 44157 kNm2 (EΙ )d ⋅ ϑ II = (117/192) ⋅ Pd ⋅ ϑ II ⋅ l2 + Hd ⋅ l ⋅ l ⋅ [(1/3) ⋅ (1/2) + (1/3) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2)

ϑ ΙΙ

+ (1/6) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2) ⋅ (1/2)] 13 1 = ⋅ Hd ⋅ l 2 ⋅ 48 ( E Ι )d − 117 ⋅ Pd ⋅ l 2 /192

13 1 ⋅ 25 ⋅ 6, 0 2 ⋅ = 0, 0082 48 44157 − 117 ⋅ 650 ⋅ 6, 0 2 /192 Die Zusatzmomente an der Einspannstelle sind

ϑ ΙΙ =

ǻM EII = Pd ⋅ ϑ II ⋅ l ⋅ (1 + 1/ 2 + 1/ 8) = 13 Pd ⋅ϑ II ⋅ l / 8 Das gesamte Moment an der Einspannung ist dann M EII = H d ⋅ l + ǻM EII = 25 ⋅ 6, 0 + 13 ⋅ 650 ⋅ 0, 0082 ⋅ 6, 0 / 8

= 150 + 52 = 202 kNm Npl, d = 1843 kN; Mpl, d = 285 kN

n. Tafel 2-8

Nachweis

650/1843 + 0,9 ⋅ 202/285 = 0,99 < 1

n. Tafel 2-6a

Gebrauchstauglichkeit

Mit Pk = 650/1,45 = 448 kN; Hk = 25/1,45 = 17,24 kN und EΙ = EΙk

10

ϑ ΙΙ = δ

13 1 ⋅17, 24 ⋅ 6, 02 ⋅ 48 48573 − 117 ⋅ 448 ⋅ 6, 02 /192

= 0,0043 (< 0,0082/(1,45 ⋅ 1,1) = 0,0051) = 0,0043 ⋅ 600 = 2,6 cm (ฬ h/230)

Beispiel 2.3: Aussteifung einer Halle; Bild 2-4 und 2-5: in Längsrichtung durch Einspannstiele; Material S355. Neben dem Tragsicherheitsnachweis nach Th. ΙΙ. O. sind die Knicklast und die Knicklängen der Stiele zu bestimmen. Die Gebrauchstauglichkeit ist zu kontrollieren.

Bild 2-4 Aussteifung einer Halle

253

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

Knicklast, Knicklängen Die Knickfigur und die Beanspruchung der Einzelstiele (einschl. der unbekannten Koppelkraft X) sind in Bild 2-5 dargestellt. Es wird eine Parabel 2. Ordnung als Knickbiegelinie unterstellt.

Bild 2-5 Verformungsfigur und M-Linien

Aus der Gleichheit der Stützenkopfverschiebungen erhält man die Unbekannte X:

ϑ1 = [5 /12 ⋅ PKi ⋅ ϑ ⋅ h + 1/ 3 ⋅ X ⋅ h] ⋅ h /( E Ι 1 ) = [ (5 /12) ⋅ 2 PKi ⋅ ϑ ⋅ h + (1/ 3) ⋅ (10 P ⋅ ϑ − X ) ⋅ h ] ⋅ h /( E Ι 2 ) = ϑ2 Mit n = Ι1/Ι2 = 13251/17976 = 0,7371 erhält man

X = 5 ⋅ PKi ⋅ ϑ ⋅ (10 n − 1) /[4 ⋅ (1 + n)] X wird in die Beziehung für ϑ1 (oder ϑ2) eingesetzt und die Gleichung nach PKi aufgelöst. Man erhält

ϑ1 = ϑ = PKi =

5 ⋅ PKi ⋅ h 2 12 E Ι 1

ª 10 n − 1 º ⋅ «1 + ⋅ϑ 1 + n »¼ ¬

12 Eǿ1 1 + n ⋅ 5 ⋅ h2 11 n

[2-1]

Mit EΙz, 1 = 13251 kNm2 und EΙz, 2 = 17976 kNm2 erhält man

PKi = 12 ⋅ 13251 ⋅ (1 + 0, 7371) /[5 ⋅ 5, 0 2 ⋅ 11 ⋅ 0, 7371)] = 272,5 kN und

sK, ཰ = ʌ ⋅ 13251/ 272,5 = 21,90 m = 4,38 ⋅ h sK, ཱ = ʌ ⋅ 17976 /(2 ⋅ 272,5) = 18,04 m = 3,61 ⋅ h Tragsicherheitsnachweis nach Th. ΙΙ. O. Die Ersatzimperfektion von ϕ0 = 1/200 ⋅ r2 wird über eine gleichwertige Ersatzlast Hϕ0 berücksichtigt. Beim Nachweisverfahren E-E ist ϕ0 auf 2/3 ϕ0 reduzierbar; in Gl. (2-3) ist für n = 12 (= Anzahl der Stiele) zu setzen:

Hϕ0

1 2 1 ⋅ ⋅ ⋅ (1 + 1/12) ⋅ 13 ⋅ 112,5 = 3,15 kN 200 3 2

Hd,E = Hd + Hϕ0 = 31,85 + 3,15 = 35,0 kN Die Horizontallast wird näherungsweise auf die Stiele entsprechend ihrer Biegesteifigkeit aufgeteilt; es wird mit dem γM = 1,1-fachen Lasten gerechnet. Hd, E, 1 = 1,1 ⋅ 35 ⋅ 13251/(13251 + 17976) = 16,34 kN; Hd,E,2 = 22,16 kN

10

254

Stahlbau

MH, 1 = 16,34 ⋅ 5, 0 = 81,7 kNm; MH, 2 = 110,8 kNm EΙ1⋅ϑ =

5 ⋅ γ M ⋅ Pd ⋅ h2 ⋅ 11 ⋅ n 1 ⋅ ϑ + ⋅ M H, 1 ⋅ h 12 ⋅ (1 + n) 3

=

5 ⋅ 1,1 ⋅ 11 ⋅ 0, 7371 ⋅ 112,5 ⋅ 5, 02 ⋅ ϑ + 81, 7 ⋅ 5, 0 / 3 12 ⋅ (1 + 0, 7371)

ϑ ⋅ [EΙ1 – 6017] = 136,17 ϑ = 0,0188 X = 5 ⋅ 1,1 ⋅ 112,5 ⋅ 0, 0188 ⋅ (7,371 − 1) /(4 ⋅ 1, 7371) = 10,67 kN Damit betragen die Einspannmomente um die z-Achsen ME, 1 = 1,1 ⋅ 112,5 ⋅ 0, 0188 ⋅ 5, 0 + 10, 67 ⋅ 5, 0 + 81, 7 = 146,7 kNm ME,2 = 2 ⋅ 1,1 ⋅ 112,5 ⋅ 0, 0188 ⋅ 5, 0 + (10 ⋅ 1,1 ⋅ 112,5 ⋅ 0, 0188 − 10, 67) ⋅ 5, 0 + 110,8

= 197 kNm Nachweise:

σE, 1 = 1,1 ⋅ 112,5 /112 + 14670 / 421 = 35,95 kN/cm2 < 36,0 kN/cm2 σE, 2 = 2 ⋅ 1,1 ⋅ 112,5 /159 + 19700 / 571 = 36,06 kN/cm2 ≈ 36,0 kN/cm2 Gebrauchstauglichkeit Die Stützenkopfverschiebungen unter Gebrauchslasten (mit γ F = 1,35) werden auf der sicheren Seite abgeschätzt:

10

δ h ≤ 0, 0188 ⋅ 500 ⋅ 31,85 /(1,1 ⋅ 1,35 ⋅ 35, 0) = 5,76 cm = h/87 Die Verformungen sind zu groß. Beispiel 2.4: Nachweis einer Gitterstütze (Rahmenstütze) aus S235; Bild 2-6 Die 7,0 m lange Stütze ist im Fall A fachwerkartig ausgekreuzt und im Fall B über Bindebleche zu einem Vierendelrahmen verbunden. Die Berechnung erfolgt nach [1], Abschn. 3.3. Es sei sK, z = 7,0 m = 2⋅sK, y Fall A – Gitterstütze

AG = 42,3 cm2; Ιz, G = 248 cm4; iz = i1 = 2,42 cm; iy = 9,22 cm AD = 1,0 ⋅ 7,0 = 7,0 cm2; min Wz = 39,6 cm3

Knicken senkrecht zur Stoffachse (= Knicken um y-Achse) – λ, y = 0,5 ⋅ 700 /(9, 22 ⋅ 92,9) = 0,41; Linie c: κy = 0,892 Npl, d = 2 ⋅ 42,3 ⋅ 24, 0 /1,1 = 2 ⋅ 923 = 1846 kN

Nachweis : 1200/(0,892 ⋅ 1846) = 0,73 < 1

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

255

10

Bild 2-6 Mehrteiliger Druckstab

Knicken senkrecht zur stofffreien Achse (= Knicken um z-Achse)

η = 0; Iz = I z* = 2 ⋅ 42,3 ⋅ (20,46/2)2 = 8854 cm4 * = 21 ⋅ 103 ⋅ 8854 ⋅ 10–4/1,1 = 16903 cm3 EI z, d

Wz,* d = 8854/10,23 = 865 cm3 * = 2 ⋅ 21 ⋅ 103 ⋅ 7,0 ⋅ 0,866 ⋅ 0,52 = 63651 kN Sz, d

NKi, z, d =

1 = 3232 kN 7, 02 1 + ʌ 2 ⋅ 16903 63651

υ0 = l/500 = 700/500 = 1,40 cm

256

Stahlbau

Schnittgrößen am Gesamtstab

Mz =

1200 ⋅ 1, 4 = 2672 kNcm 1 − 1200 / 3232

max Vy = π ⋅ 2672/700 = 12 kN Nachweis des Einzelgurtes λ K, 1 = 100 /(2, 42 ⋅ 92,9) = 0,445; Linie c: κ = 0,873

NG = 1200/2 + 2672 ⋅ 42,4/865 = 731 kN Nachweis: 731/(0,873 ⋅ 923) = 0,91 < 1 Nachweis der Vergitterung ND = max Vy/(2 ⋅ sin 30° ) = 12/(2 ⋅ 0,5) = 12 kN min i = 0,289 ⋅ t = 0,289 cm

λ D = 49,74/(0,289 ⋅ 92,9) = 1,851; Linie c: κ = 0,224 Npl, d = 7,0 ⋅ 24,0/1,1 = 153 kN Nachweis: 12/(0,224 ⋅ 153) = 0,35 < 1 Anschluss der Diagonalen: 1 × M16, 5.6, SLP oder gleichwertige Schweißnähte. Fall B – Rahmenstütze (Bild 2-6d) yS = 20,46/2 = 10,23 cm Ιz = 2 ⋅ (42,3 ⋅ 10,232 + 248) = 9350 cm4; A = 2 ⋅ 42,3 = 84,6 cm2 iz = 9350 / 84, 6 = 10,51 cm

λz = 700/10,51 = 66,6 < 75; η = 1; I z = I z*

10

* = 21 ⋅ 103 ⋅ 9350 ⋅ 10–4/1,1 = 17850 kNm2 EI z, d

Wz,* d = 9350/10,23 = 914 cm3 * = 2 ⋅ ʌ 2 ⋅ 21 ⋅ 103 ⋅ 248 /(1,1 ⋅ 70 2 ) = 19073 kN Sz, d

NKi, z, d =

1 7, 02

+

ʌ 2 ⋅ 17850 Schnittgrößen am Gesamtstab

Mz =

1 19073

= 3025 kN

1200 ⋅ 1, 4 = 2785 kNcm 1 − 1200 / 3025

max Vy = π ⋅ 2785/700 = 12,5 kN Nachweis des Einzelgurtes NG = 1200/2 + 2785 ⋅ 42,4/914 = 729 kN Nachweis: 729/(0,873 ⋅ 923) = 0,90 < 1 Nachweis des Endfeldes (x = 0,7 m) Mz(x) = 2785 ⋅ sin(π ⋅ 0,7/7,0) = 861 kNcm MG = (12,5/2) ⋅ (70/2) = 219 kNcm

n. Gl. (3-26)

257

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

NG = 1200/2 + 861 ⋅ 42,3/865 = 642 kN

Nachweis: σ = 642/42,3 + 219/39,6 = 20,71 kN/cm2

σ /σR, d = 20,71/(24,0/1,1) = 0,95 < 1 Anschluss der Bindebleche Umlaufende Kehlnaht a = 4 mm Beispiel 2.5: Hallenrahmen; Bild 2-7 bis 2-10 Der in Bild 2-7a dargestellte Hallenrahmen aus S235 soll in den wesentlichen Elementen nachgewiesen werden. In den Horizontallasten ist eine Schiefstellung ϕ0 der Stiele bereits eingerechnet. Der Rahmen wird zunächst mit Hilfe eines Stabwerksprogramms nach Th. ΙΙ. O. und den γ F ⋅ γM = 1,35 ⋅ 1,1 = 1,485-fachen Lasten durchgerechnet. Das Programm berücksichtigt hierbei die 1,5 m langen Vouten, deren Querschnitte am Voutenanfang und -ende in Bild 2-7b dargestellt sind. Das Eigengewicht der Konstruktion wird vom Programm direkt erfasst.

10

Bild 2-7 Hallenrahmen

In Bild 2-8 sind die Ergebnisse der EDV-Berechnung dargestellt. Die geringfügige Überschreitung der Vergleichsspannung am Voutenanfang (σv/fy, k = 249,03/240 = 1,04) ist mit Rücksicht auf die plastischen Querschnittsreserven unbedenklich. Mit den Spannungen aus den Schnittgrößen nach Th. ΙΙ. O. ist das Biegeknicken des Rahmens (in Zeichenebene) sowohl für den Riegel, als auch für den Stiel abgedeckt. Für sie ist jedoch noch der Biegedrillknicknachweis erforderlich. Dieser soll für beide Elemente per Hand vorgeführt werden.

258

Stahlbau

Bild 2-8 Schnittgrößen und Spannungen aus EDV-Berechnung

Biegedrillknicknachweis Rahmenriegel Der Nachweis wird unter Berücksichtigung der angeschlossenen Randglieder (= Pfetten und Dachverband) geführt.

Bild 2-9 Ersatzstäbe beim Biegedrillknicknachweis

10

Voraussetzungen (s. Bild 2-9a) – gerader Rahmenriegel ohne Berücksichtigung der Voute (ΙPE360) – stahlbaumäßig befestigte Durchlaufpfetten (ΙPE160) im Abstand von b = 2,57 m – Dachverband mit gekreuzten Diagonalen (L60 × 6) soll 5,0 Rahmenriegel stabilisieren; Rahmenabstand 6,0 m – Gabellagerung an den Stabenden Vorwerte für ΙPE360

EΙy = 34167 kNm2; EΙz = 2184 kNm2; GΙT = 30,21 kNm2 EΙω = 65,86 kNm4 h = 0,36 – 0,0127 = 0,347 m; l = 18,0 m Drehbettung cϑ aus Pfetten ΙPE160 nach [2] k = 6 (Anzahl der Innenpfetten) 6 + 1 21, 0 ⋅ 8,1 ⋅ 106 17 ⋅ ⋅ ⋅ (0,8 ⋅ 1, 27)3 = 21 kNm/m 1800 3 34, 7 (Drehbettung aus Profilverformung) cϑ , P, k =

21 ⋅ 103 ⋅ 869 ⋅ 10−4 ⋅ 4, 0 = 473 kNm/m 6, 0 ⋅ 2,57 (Drehbettung aus Biegesteifigkeit Pfette) cϑ , M, k =

cϑ,A,k = ∞ (stahlbaumäßiger Anschluss der Pfetten)

259

2 Knicken von Stäben und Stabwerken

vorh cϑ,k = 1/(1/473 + 1/21) = 20,11 kNm/m erf cϑ,k = (1,1 ⋅ 222)2 ⋅ 3,5 ⋅ 0,35/2184 = 33,45 kNm/m > 20,11 kNm/m Der Rahmenriegel ist durch die angeschlossenen Pfetten nur drehelastisch gebettet; die Verdrehung ϑ des Riegels ist also nicht vollständig ausgeschlossen. Schubsteifigkeit des Dachverbandes nach [3], Tafel 3-4 AD = 6,91 cm2; d = 6, 02 + 2,57 2 = 6,53 m; Av = 20,1 cm2

sin α = 6,0/6,53 = 0,92; cos α = 2,57/6,0 = 0,43; tg α = 6,0/2,57 = 2,33 S* =

21 ⋅ 103 = 40892 kN 1 2,33 + 6,91 ⋅ 0,922 ⋅ 0, 43 20,1

Pro Rahmenriegel entfällt bei n = 5 hiervon S = 40892/5 = 8178 kN 2

70 § ʌ · 2 2 erf S ≥ ¨ ¸ ⋅ [65,86 + 30, 21 ⋅ (18, 0/ʌ) + 0, 25 ⋅ 0,347 ⋅ 21,84] ⋅ 0,347 2 © 18, 0 ¹ = 19893 kN n. Gl. (3-9) erf S ≥ 10,18 ⋅ (1,1 ⋅ 222) / 0,347 − 4,31 ⋅ 2184 ⋅ [ 1 + 1,86 ⋅ 4, 78 / 0,347 2 − 1] /18, 02 = 6942 kN n. [3], Gl. (6.18) c2 = (π2 ⋅ 65,86 + 30,21 ⋅ 18,02)/2184 = 4,78 m2 (Nach [3] ist die erforderliche Schubsteifigkeit zur Verhinderung der seitlichen Verschiebung des Rahmenriegelobergurtes wesentlich geringer als nach DIN 18800-2 ([1]). Mit vorh S = 8178 kN > erf S = 6942 kN wäre der Obergurt seitlich gehalten; es handelt sich dann um den Fall einer gebundenen Kippung). Mit dem Ergebnis nach [1] ist vorh S = 8178 kN < erf S = 19893 kN und der Riegelobergurt ist danach seitlich nur elastisch gestützt. Die vorhandene Drehbettung und Schubsteifigkeit wird (näherungsweise) in eine ideelle Torsionssteifigkeit umgerechnet, siehe [2]:

cy, k = 8178 ⋅ (π/18,0)2 = 249 kN/m2

ΙT, id = 37,3 + [20,11 + 249 ⋅ 0,182] ⋅

n. [2], Gl. (8.19) 18002 ʌ ⋅ 8,1 ⋅ 103

= 1179 cm4

Das ideale Biegedrillknickmoment wird nach [1], Gl. (3-13b) bestimmt: Stabendmomente siehe Bild 2-8 MA = – 269,3 kNm; MB = – 342,3 kNm qd = [(3,0 + 0,6) + 4,5] ⋅ 1,485 = 12,0 kN/m (incl. Riegeleigengewicht) c2 = (313,6 ⋅ 103 + 0,039 ⋅ 18002 ⋅ 1179)/1040 = 14,35 ⋅ 104 cm2 = 14,35 m2 G1 = [– (269,3 + 342,3)/2 + 12,0 ⋅ 18,02/9,2]2 = 13,64 ⋅ 103 kNm2 G2 = 12,0 ⋅ (– 0,18)/(2 ⋅ π2) = – 0,11 kN 14,35 G3 = = 1,37 ⋅ 10–4 18, 04

n. Gl. (3-6)

νKi = ʌ 2 ⋅ 2184 ⋅[−0,11 ± 0,11 2 + 13, 64 ⋅103 ⋅1,37 ⋅10−4 ] /13, 64 ⋅103 = 1,99 n. Gl. (3-13b)

10

260

Stahlbau

Wird die Momentenlinie des Rahmenriegels – siehe Bild 2-8d- mit υKi = 1,99 multipliziert, erhält man den Beanspruchungszustand beim Kippen (= MKi, y). An der Stoßstelle gilt:

MKi, y = 1,99 ⋅ 213,8 = 425,5 kNm

λ M = 1,1 ⋅ 222 / 425,5 = 0,76

n. Gl. (1-8)

1/ 2,5

§

1 · ¸ 2 2,5 ⋅ © 1 + 0, 76 ¹

κM = ¨

= 0,91

n. Gl. (3-8)

Nachweis: 213,8/(0,91 ⋅ 1,1 ⋅ 222) = 0,96 < 1 (Vergleich EDV. Mit genauer Ermittlung von MKi, y einschl. Drehbettung, Wegfedern und Vouten: MKi, y = 464 kNm, Nachweis: 0,90 < 1).

Biegedrillknicknachweis rechter Rahmenstiel (Bild 2-9b) Vorraussetzungen – Rahmeneckpunkt durch Wandverband seitlich gehalten – sK, z = 4,62 m – Stabendschnittgrößen: N = 117,6 kN; My = (–) 342,3 kNm – Gabellagerung an den Stabenden Vorwerte für ΙPE450

10

Npl = 1,1 ⋅ 2156 = 2372 kN;

Mpl, y = 1,1 ⋅ 371 = 408 kNm

EΙz = 3528 kNm2

iz = 4,12 cm = 0,0412 m

c2

= (791 ⋅

103

+ 0,039 ⋅

4622

⋅ 66,9)/1680 = 802 cm2 = 0,08 m2

n. Gl. (3-6)

Biegedrillknicknachweis

NKi, z = π2 ⋅ 3528/(4,62)2 = 1631 kN;

zp = 0 (keine Querlast)

ψ = 0: ξ = 1,77

n. Tafel 3-12

MKi, y = 1,77 ⋅ 1631 ⋅ 0, 08 = 816 kNm

n. Gl. (3-13)

λ M = 408 / 816 = 0,71

κM = 0,94

βM = 1,8

(ψ = 0)

λK

2372 /1631 = 1,21

Linie b: κz = 0,48

n. Gl. (1-8) und (3-8) n. Tafel 3-14 n. Gl. (1-5) n. Gl. (3-7), (3-8)

ay = 0,15 ⋅ (1,21 ⋅ 1,8 – 1) = 0,18 < 0,9 ky = 1 – 0,18 ⋅ 117,6/(0,48 ⋅ 2372) = 0,98 < 1 Nachweis: 117,6/(0,48 ⋅ 2372) + 342,3 ⋅ 0,98/(0,94 ⋅ 408) = 0,98 < 1 (Vergleich EDV: 0,95 < 1)

Abschließend soll noch gezeigt werden, dass ein so einfacher Rahmen auch noch schnell und zuverlässig per Hand behandelt werden kann. Die γ F ⋅ γ M-fachen Lasten einschl. des Riegeleingengewichts und der Stieleingengewichte sind in Bild 2-10 eingetragen. Wegen der im Voutenbe-

261

3 Verbundkonstruktionen

reich geneigten Stabachse wird mit einer gemittelten Rahmenhöhe von h' = 4,81 m gerechnet. Der Rechengang wird kommentarlos mitgeteilt (EDV-Ergebnisse in Klammer)

12,0

9,4

IPE 360 IPE 450

6,0

5,6

4,81

6,0

Bh 18,0

BV

Bild 2-10 Vereinfachtes System für Handrechnung

k = 16270 ⋅ 4,81/(33740 ⋅ 18) = 0,13

c = 1/k = 7,76

Bv = 12,0 ⋅ 18,0/2 + 6,0 + 15,0 ⋅ 4,81/18,0 = 118 kN (117,6) Bh =

12, 0 ⋅ 18, 02 + 15, 0/2 = 62,0 + 7,5 = 69,5 kN (74,4) 4 ⋅ 4,81 ⋅ (2 ⋅ 0,13 + 3)

β = 4 + 1, 4 ⋅ 7,76 + 0,02 ⋅ 7,762 = 4,01 EΙy = 21 ⋅ 103 ⋅ 33740 ⋅ 10–4 = 70854 kNm2 NKi, y = π2 ⋅ 70854/(4,01 ⋅ 4,81)2 = 1880 kN MEck = – [62 ⋅ 4,81 + 7,5 ⋅ 4,81 ⋅ 1/(1 – 118/1880)] = – 336,7 kNm (342,3) [Fehler: – 1,6 %] Man beachte, dass in MEck die Th. ΙΙ. O. nur in den antimetrischen Lastanteilen von Einfluss ist.

3 Verbundkonstruktionen Es werden Verbundkonstruktionen des Hochbaus nach DIN 18800-5 (03.07) behandelt. Diese nationale Norm ist weitgehendst identisch mit DIN EN 1994-1-1 (07.06) – Eurocode 4. Beispiel 3.1 -Bild 3–1: Einfeldträger mit Pendelstütze

Für den einfeldrigen Verbundträger mit Ortbetonplatte und die ausbetonierte Rundrohrstütze werden die wichtigen Tragsicherheits- und Verbundsicherungsnachweise geführt. Die Herstellung des Verbundträgers erfolgt ohne Eigengewichtsverbund, wobei der Stahlträger für die Last gk überhöht werden soll. Dabei sind Schwinden und Kriechen näherungsweise zu erfassen.

10

262

Stahlbau

Bild 3-1

Verbund – Einfeldträger mit Verbundstütze

Berechnung des Verbundträgers, Tragsicherheitsnachweise

= 24,0/1,1 = 21,82 kN/cm2

fyd

10

Gl. (5-2), (5-3) u.

= 0,85 ⋅ 2,5/1,5 = 0,85 ⋅ 1,667 = 1,42 = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2 = 0,33/2 + 0,15 = 0,315 m

fcd fsd had

kN/cm2

Tafel 5-1 bis 5-3 (Mattenbewehrung BSt 500M)

Npl, a, Rd= 133 ⋅ 21,82 = 2902 kN = 2902/(1,42 ⋅ 175) = 11,68 cm < 15,0 cm

zpl

n. Bild 5-5

Mpl, Rd = 2902 ⋅ (0,315 – 0,1168/2) = 744,6 kNm Av

= 133 – 2 ⋅ 30 ⋅ 1,65 + (0,95 + 2 ⋅ 2,7) ⋅1,65 = 44,48 cm²

VRd

= 44,48 ⋅ 21,82/ 3 = 560 kN

qd

= 1,35 ⋅ 30 + 1,5 ⋅ 12 = 58,5 kN/m

MEd

= 58,5 ⋅

10,02/8

n. Gl. (5-20 b) n. Gl. (5-19 a, b) n. Tafel 2-1

= 731,25 kNm

VEd = 58,5 ⋅ 10,0/2 = 292,5 kN Nachweis: MEd/Mpl, Rd = 731,25/744,6 = 0,98 < 1 VEd /V Rd

= 292,5/560 = 0,52 < 1

Verbundsicherung

VL, Ed= 2902 kN PR, d

= 0,25 ⋅ 1,0 ⋅

n. Gl. (5-27a) 192

⋅

3

25 ⋅ 26, 7 ⋅10 /1,25 ⋅

10–3

= 58.987,89 N = 59 kN n. Gl. (5-24b)

263

3 Verbundkonstruktionen

nf e

= 2902/59 = 49,19; = (5000 – 300)/(50/2)

nf = 50 Dübel zweireihig e = 185 mm

Dübelumrissfläche (in cm²/m)

Acv, 1 = (3,2 +2 ⋅ 12,5) ⋅ 100/1,0 = 2820 cm2/m Acv, 2 = (3,2 + 19 + 2 ⋅ 12,5) ⋅ 100/1,0 = 4720 cm2/m < 2 ⋅ 2820 cm2/m v Rd, max=

4220 ⋅ 0, 75 ⋅1, 42 = 2472 kN/m 1, 2 + 1 / 1, 2

n. Gl. (5-35)

vL,E d = 2 ⋅ 59/0,185 = 638 kN/m vL,E d /vRd, max = 638 / 2472 = 0,26 < 1 vL,Ed Asf 638 / 2 = = = 6,11 cm2/m n. Gl. (5-36) sf fsd ⋅ cot θ 43, 48⋅ 1, 2 gewählt: 2 × Q335 A (über Dübelhöhe verteilt) mit as = 2 ⋅ 3,35 = 6,7 cm2/m > 6,11 cm2/m

erf as,f =

η

= 6,7 ⋅ 100/(100 ⋅ 15) = 0,45 %

b'/b

= (1750 – 300)/(2 ⋅ 1750) = 0,41

vL,E d

= 2 ⋅ 59 ⋅ 0,41/0,185 = 262 kN/m

Plattenanschnitt

(15, 0 ⋅100 / 1, 0) ⋅ 0, 75 ⋅1, 42 = 786 kN/m 1, 2 + 1 / 1, 2

n. Gl. (5-35)

vRd, sy = 6,7 ⋅ 43,48 ⋅ 1,2= 350 kN/m (maßgebend)

n. Gl. (5-36)

vRd, max=

vL,Ed/vRd,sy = 262/350 = 0,75 < 1 Überhöhung für Eigengewicht gk Unter Langzeitlast können die Verformungen überschlägig mit E'c= Ecm/3 berechnet werden [EC3(02.94)]. Die Berechnung erfolgt über einen ideelen Gesamtquerschnitt, indem über das Verhältnis n = Ea/Ec der Betongurt in eine ideelle Stahlfläche umgewandelt wird, siehe [3], Abschn. 8.4.3.1.

n

= 21 ⋅ 103/(1/3 ⋅2670) = 23,60

Ac

= 15 ⋅ 175 = 2625 cm2;

Ιc

= 175 ⋅ 15 ⋅ 0,152/12 = 4,92 cm2m2; Ιcn = 4,92/23,60 = 0,210 cm2m2

Aa Ast Ai

= 133 cm2 = Aa = 133 + 111 = 244 cm2

Ιa = 27690 cm4 = 2,769 cm2m2

zi

= 133 ⋅ 0,24/244 = 0,131 m;

Si = (111 ⋅ 0,131) = 14,54 cm2m

Ιi

= 2,769 + 0,210 + 14,54 ⋅ 0,24 = 6,47 cm2m2

Acn = 2625/23,60 = 111 cm2

za = 7,5 + 33/2 = 24 cm = 0,24 m; zst = za

(EaΙ)i = 21 ⋅ 103 ⋅ 6,47 = 135870 kNm2

fgk

=

5 30 ⋅104 = 0,03 m ⋅ 384 135870

(Überhöhung in Feldmitte)

10

264

Stahlbau

Berechnung der Verbundstütze Der Umschnürungseffekt wird zunächst vernachlässigt, die Kriechzahl ϕt sei 1,0:

ηc

= 0; ηa = 1

d/t

= 508/6 = 84,7 < 90 (ε = 1)

-kein Beulen

Aa

= 94,6 cm2;

Ac

= π ⋅ 49,62/4 = 1932 cm2;

Ιa = 2,9812 cm2m2; dc = 508 – 2 ⋅ 6 =496 mm Ιc = π ⋅ (49,6/2)2 ⋅ (0,496/2)2/4 = 29,71 cm2m2

Npl, Rd = 94,6 ⋅ 21,82 + 1932 ⋅ 1,667 = 2064,2 + 3220,6 = 5285 kN Npl, R

n. Tafel (5-15)

n. Gl. (5-48)

= 94,6 ⋅ 24,0 + 1932 ⋅ 2,5 = 7100 kN

0,2 < δ < 2064,2/5285 = 0,39 < 0,9 -echte Verbundstütze NEd = 1,35 ⋅ (2365 + 30 ⋅ 10) + 1,5 ⋅ (915 + 12 ⋅ 10) =3598 + 1552 = 5150 kN

Ec,eff

= 2670 ⋅

1 =1582 kN/cm2 + 1 (3598 / 5150) ⋅1, 0

(EΙ)eff = 21 ⋅ 103 ⋅ 2,9812 + 0,6 ⋅ 1582 ⋅ 29,71 = 90,806 ⋅ 103 kNm2

10

n. Gl. (5-55) n. Gl. (5-54)

Ncr

= π2 ⋅ 90,806 ⋅ 103/3,52 = 73161 kN

λ

= 7100 / 73161 = 0,31 < 2,0

ηa0 ηc0

= 0,25 ( 3 + 2 ⋅ 0,31) = 0,91 < 1

n. Gl. (5-50)

= 4,9 –18,2⋅ 0,31 + 17⋅ 0,31² = 0,8 >0

n. Gl. (5-51)

Linie a: κ = 0,975

6 240 · § Npl, Rd = 0,91 ⋅ 2064,2 + 3220,6 ⋅ ¨1 + 0,8 ⋅ ⋅ = 5391 kN 508 25 ¸¹ © Nachweis: NEd/(κ ⋅ Npl, Rd) = 5150/(0,975 ⋅ 5391) = 0,98< 1

n. Gl. (5-49)

Beispiel 3.2: Verbunddurchlaufträger, Bild 3-2 und 3-3

Für den im Bild 3-2 dargestellten Durchlaufträger (in Abständen von 5,0 m) sind die Tragsicherheitsnachweise mit Hilfe der Fließgelenktheorie (FG-Theorie) unter Berücksichtigung der Querkräfte zu führen. Plastische Grenzschnittgrößen fyd = 24,0/1,1 = 21,82 kN/cm2

fcd = 0,85 ⋅ 3,0/1,5 = 1,70 kN/cm2:

bzw. fyd = 36,0/1,1 = 32,73 kN/cm2

fsd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2

Plastische Grenzschnittgrößen für die Stahlprofile nach [1], Tafel 2-8

265

3 Verbundkonstruktionen

Bild 3-2

Verbund-Durchlaufträger

HE500-A Npl, a, Rd Vpl, Z, Rd* Mpl, a, Rd *

S235 4309 947 861

S355 6464 1421 1292

gerechnet mit Av = 198 – 2⋅ 30 ⋅ 2,3 + (1,2 + 2⋅ 2,7) ⋅ 2,3 = 75,18 cm2

[kN, kNm] Gl. (5-20b)

Mittragende Breiten nach [1], Bild 37

Außenfeld: Innenfeld: Stütze:

¦ beff = 2 ⋅ (0,85 ⋅16) / 8 = 3,40 m < 5,0 m ¦ beff = 2 ⋅ (0, 7 ⋅16) / 8 = 2,80 m < 5,0 m ¦ beff = 2 ⋅ 0, 25 ⋅ (2 ⋅16) / 8 = 2,00 m < 5,0 m Außenfeld

Innenfeld

ha, d = 0,2 + 0,49/2 = 0,445 m zpl = 6464/(1,7 ⋅ 340) = 11,18 cm < 14,9 cm zpl = 4309/(1,7 ⋅ 280) = 9,05 cm Mpl, Rd = 6464 ⋅ (0,445 – 0,1118/2) Mpl, Rd = 4309 ⋅ (0,445 – 0,0905/2) = 2515 kNm = 1723 kNm

Das plastische Moment über der Stütze wird anhand der Spannungsblöcke – siehe Bild 3-2c – ermittelt (plastische Nulllinie im Trägerflansch)

Ns, Rd 1 = 12,56 ⋅ 2,0 ⋅ 43,48 = 1092 kN Ns, Rd 2 = 8,04 ⋅ 2,0 ⋅ 43,48 = 699 kN Nf = 2 ⋅ tf ⋅ bf ⋅ fyd = 2 ⋅ 2,3 ⋅ 30 ⋅ 21,82 = 3011 kN

10

266

Stahlbau

Plast. Nulllinie:

x = 1,92 cm < 2,3 cm 1791 + x ⋅ 30 ⋅ 21,82 = 4309 – x ⋅ 30 ⋅ 21,82 Na1,f = 2 ⋅ 1,92 ⋅ 30 ⋅ 21,82 = 2514 kN Mpl, Rd = 4309 ⋅ 0,445 – 2514 ⋅ 0,2096 – 699 ⋅ 0,12 – 1092 ⋅ 0,04 = 1263 kNm Plast. Moment ohne Steganteil Mf, Rd

Aa = 2 ⋅ 2,3 ⋅ 30 = 138 cm2; Npl, a, Rd = 138 ⋅ 21,82 = 3011 kN 1791 + x ⋅ 30 ⋅ 21,82 = 3011 – x ⋅ 30 ⋅ 21,82 x = 0,93cm < 2,3 cm Na1,f = 2 ⋅ 0,93 ⋅ 30 ⋅ 21,82 = 1218 kN Mf, Rd = 3011 ⋅ 0,445 – 1218 ⋅ 0,2047 – 699 ⋅ 0,12 – 1092 ⋅ 0,04 = 963 kNm Bestimmung der plast. Grenzlast qpl, d Sie wird zunächst ohne den Einfluss der Querkraft auf das plast. Moment über der Stütze ermittelt. Das FG in den Außenfeldern wird vereinfacht in Feldmitte angenommen.

10

Bild 3-3

Zur Bestimmung der plastischen Grenzlast

Es wird unterstellt, dass sich unter den gegebenen Lasten über der Stütze ein FG ausbildet.

A = 80 ⋅ 16/2 – 1263/16 = 561 kN VB, l = 80 ⋅ 16 – 561 = 719 kN = |max V| Mpl, Rd, Vz = 963 + (1263 – 963) ⋅ [1 – (2 ⋅ 719/947 – 1)2] = 1182 kNm Außenfeld A δvAa = qpl, d ⋅16 ⋅ 8, 0 / 2 = 1182 + 2 ⋅ 2515 = δvAi A qpl, d = 97,06 kN/m

(nicht maßgebend)

Innenfeld I qpl, d = 2 ⋅ (1182 + 1723)/(16 ⋅ 4) = 90,78 kN/m

Nachweis I qsd/ qpl, d = 80/90,78 = 0,88 < 1

(maßgebend)

267

4 Verbindungstechnik

4 Verbindungstechnik Es werden stahlbauübliche Stöße, Knotenpunkte und Anschlüsse mit Schrauben und Schweißnähten nachgewiesen. Auf eine Kommentierung der einzelnen Rechenschritte wird wegen ihrer Einfachheit verzichtet. Beispiel 4.1: Stoß eines gleichseitigen, dreieckigen Hohlprofils; Bild 4-1 und 4-2 Es werden Schrauben mit Gewinde bis zum Schraubenkopf verwendet und im Hohlprofil Gewindelöcher gebohrt.

Bild 4-1 Stoß eines Hohlquerschnittes

Normal- und Schubspannungen

A = 3 ⋅ 30 ⋅ 1,0 = 90 cm2 W1 = 6750/17,32 = 390 cm3

Ιy = 1,0 ⋅ 303/4 = 6750 cm4 W2, 3 = 780 cm3

σ1 = – 75/90 – 6500/390 = – 17,5 kN/cm2 < σR, d = 24,0/1,1 = 21,8 kN/cm2 σ2, 3 = – 75/90 + 6500/780 = + 7,5 kN/cm2 b' = 30 ⋅17,32/25,98 = 20 cm

A' = 2 ⋅ 20 ⋅ 1,0 = 40 cm2

Sy = 40 ⋅ (17,32/2) = 346 cm3 max τ = 50 ⋅ 346/(6750 ⋅ 2 ⋅ 1,0) = 1,28 kN/cm2 Stoßlaschenschnittgrößen Laschen ཰ཱ, ཰-ི: Bild 4-2c σm = (– 17,5 + 7,5)/2 = – 5,0 kN/cm2; NL = 30 ⋅ 1,0 ⋅ (– 5,0) = – 150 kN ML = 1,0 ⋅ (302/6) ⋅ 12,5 = 1875 kNcm VL = (50/2) ⋅ 30/25,98 = 29 kN

Laschen ཱ-ི: Nur NL = 30 ⋅ 7,5 = 225 kN Nachweis der Schrauben nach [1], Gl. (7-25) bis (7-28)

σM = ± (17,5 – 5,0) = ± 12,5 kN/cm2

10

268

40

Stahlbau

100

a 29

100

150

40

216,5

50

100

50

Bild 4-2 Schraubenkräfte

MS = 1875 + 29 ⋅ 10 = 2165 kNcm

¦ x2 = 6 ⋅ 5,02 = 150 cm2

¦ z 2 = 4 ⋅ 102 = 400 cm2

Ιp = 550 cm2

Schraube a: max Va, h = 150/6 + 2165 ⋅ 10/550 = 64,4 kN max Va, v = 29/6 + 2165 ⋅ 5/550 = 24,5 kN max Va = 64, 42 + 24,52 = 69 kN > 225/6 = 37,5 kN

10

Mit den Abständen e2/dL = 40/16 = 2,5 > 1,5; e1/dL = 50/16 = 3,125; e/dL = 100/16 = 6,25 > 3,0 wird αl = 3,0 Va, Rd = 68,36 kN; Vl, Rd = 1,0 ⋅ 1,6 ⋅ 3,0 ⋅ 21,8 = 104,6 kN > 68,36 kN n. Tafel 7-22 und 7-14, Gl. (7-15) Nachweis: max Va/Va, Rd = 69/68,36 = 1,0 Beispiel 4.2: Nachweise für eine Lastschwinge; Bild 4-3 Für die dargestellte Lastschwinge sind nach Maßgabe der größten Schraubenkraft für die Lastverhältnisse a) P2,d = 0,75 ⋅ P1,d und b) P2, d = 0 die möglichen Schwingenlasten zu ermitteln. Anschließend sollen die Tragsicherheitsnachweise für das mittige Anschlussblech und dessen Schweißnahtanschluss sowie für die Lastschwinge in den Schnitten a-a und b-b geführt werden. Es ist anzugeben, wie der Trägersteg im Anschlussbereich zu verstärken ist.

269

4 Verbindungstechnik

Bild 4-3 Lastschwinge mit gemischten Anschlüssen

Schraubenkräfte allgemein

r1

=( 4, 02 + 102 = 10,8 cm; r2 = 7,8 cm = 0,723 ⋅ r1; r3 = 4,0 cm = 0,37 ⋅ r1

VS

= P1 + P2

MS

= (P1 – P2) ⋅ a = 2 ⋅ ( N1MS ⋅ r1 + N 2MS ⋅ r2 ) + N3MS ⋅ r3

MS

= N1MS ⋅ r1 ⋅ (2 + 2 ⋅ 0,7232 + 0,37 2 ) = 3,182 ⋅ N1MS ⋅ r1

MS

N1

= MS/(3,182 ⋅ r1);

10

N1,MvS = N1MS ⋅ e / r1 ;

N1,MhS = N1MS ⋅ r3 / r1

N1, res = [VS / 5 + N1MS ⋅ e / r1 ]2 + ( N1MS ⋅ r3 / r1 ) 2

Va, Rd = 2 ⋅ 94,46 kN = 189 kN; e1/dL = 45/21 = 2,14; αl = 1,1 ⋅ 2,14 – 0,3 = 2,054 Vl, Rd = 2,5 ⋅ 2,1 ⋅ 2,054 ⋅ 21,8 = 235,3 kN > 189 kN Schwingenlast Fall a)

VS

= 1,75 ⋅ P1, d ;

MS = (1,0 – 0,75) ⋅ P1, d ⋅ 30 = 7,5 P1, d [kNcm]

VS/5

= 0,35 ⋅ P1, d ; N1MS = 7,5 ⋅ P1, d/(3,182 ⋅ 10,8) = 0,218 ⋅ P1,

N1,a res

= P1,a d ⋅ (0,35 + 0, 218 ⋅ 10 /10,8) 2 + (0, 218 ⋅ 4 /10,8) 2 ≤ 189 kN

P1,a d

≤ 339 kN

270

Stahlbau

Schwingenlast Fall b)

VS/5 = 0,2 ⋅ P1, d ;

MS = P1, d ⋅ 30

VS

= P1, d ;

N1MS

= 30 ⋅ P1, d/(3,182 ⋅ 10,8) = 0,873 ⋅ P1, d

N1,b res = P1,b d ⋅ (0, 2 + 0,873 ⋅ 10 /10,8)2 + (0,873 ⋅ 4 /10,8)2 ≤ 189 kN P1,b d

≤ 178 kN

Nachweise für Anschlussblech und Schwinge Anschlussblech VSa

= 1,75 ⋅ 339 = 593 kN;

M Sa = 7,5 ⋅ 339 = 2542 kNcm

VSb

= 178 kN;

¦a

= 2 ⋅ 10 = 20 mm < 25 mm – Nachweis nur für Nähte erforderlich

Aw

= 2,0 ⋅ 30 = 60 cm2;

M Sb = 178 ⋅ 30 = 5340 kNcm

Ww = 20 ⋅ 302/6 = 300 cm3

σw, R, d = 0,95 ⋅ 24/1,1 = 20,73 kN/cm2

n. Tafel 7-1

σ ⊥a

= 593/60 + 2542/300 = 18,36 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

σ ⊥b

= 178/60 + 5340/300 = 20,77 kN/cm2 ≈ 20,73 kN/cm2

Schwinge -Nachweis nur für Fall a) Kraftzerlegung im Schnitt b-b: N = 271 kN; Q = 203 kN

10

Ab

= 2 ⋅ 1,5 ⋅ 17 = 51 cm2;

σb σRd

= 271/51 + 271 ⋅ 12/144,5 = 26,48 kN/cm2 = 36,0/1,1 = 32,7 kN/cm2

Wb = 2 ⋅ 1,5 ⋅ 172/6 = 144,5 cm3

σb/σRd = 26,48/32,7 = 0,81 < 1

cm2

Aa

= 2 ⋅1,5 ⋅ 24 = 72

Wa,N

= (3,0 ⋅ 243/12 – 2 ⋅ 2,1 ⋅ 1,5 ⋅ 7,52)/12 = 258,5 cm3

σ

= 339 ⋅ 20/258,5 = 26,23 kN/cm2 < 32,7 kN/cm2

max τ = 1,5 ⋅ 339/72 = 7,06 kN/cm2 < 32,7/ 3 = 18,9 kN/cm2 Das Walzprofil sollte im Bereich des Anschlussbleches durch 2 × 8 mm dicke Bleche verstärkt werden (Bild 4-3)

271

4 Verbindungstechnik

Beispiel 4.3: Nachweis eines Rahmenecks; Bild 4-4: Das dargestellte Rahmeneck ist in den Details nachzuweisen.

10

Bild 4-4 Rahmeneck mit gemischten Anschlüssen

Schubnachweis des Eckbleches

Bild 4-5 Beanspruchung des Eckbleches

272

Stahlbau

To Tu Tl Tr

= 9700/38,65 – 12/2 = 9700/38,65 + 12/2 – 12 = 10000/20,4 – 68/2 = 10000/20,4 + 68/2 – 68

τ Eo, u

= 245/(20,4 ⋅ 0,86) = 13,96 kN/cm2

τ El, r

= 456/(38,65 ⋅ 0,86) = 13,72 kN/cm2

τm

= 13,84 kN/cm2 > τRd = (24,0/ 3 )/1,1 = 12,68 kN/cm2

= 245 kN = 245 kN = 456 kN = 524 – 68 = 456 kN

Das Eckblech wird einseitig mit t = 12 mm verstärkt und mit a = 6 mm umlaufend eingeschweißt. Nachweis der Zuglasche und des Stützenflansches ZL = Tl = 456 kN AN, L = 2 ⋅ 22,0 ⋅ 2,0 – 2 ⋅ 2,5 ⋅ 20 = 44 – 10 = 30 cm2 AN, f = 22 ⋅ 1,6 – 2 ⋅ 2,5 ⋅ 1,6 = 35,2 – 8,0 = 27,2 cm2 A/AN > 1,2 n. Gl. (2-4) NR,d = 27,2 ⋅ 36,0/(1,25 ⋅ 1,1) = 712 kN > 456 kN Va, Rd = 133,9 kN; e1/dL = 50/25 = 2,0; e/dL = 80/25 = 3,2 > 2,5 Vl, Rd = 1,6 ⋅ 103,6 = 165,8 kN > Va, Rd 456/(4 ⋅ 133,9) = 0,85 < 1 lw = 2 ⋅ (40 – 2 ⋅ 1,35) = 74,6 cm; Aw = 74,6 ⋅ 0,4 = 29,84 cm2

τ ||

e

Me

40 – 2 · 1,35 = 37,3

Anschluss Stützendruckflansch und Aussteifungsrippe D = 524 kN lw = 2 ⋅ 22 – 0,95 = 43 cm; σ⊥ = 524/43 = 12,4 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2 DSt ӽ 524 ⋅ 70/180 = 204 kN e = 9,0 – (7,0 + 0,86)/2 = 5,07 cm M = 204 ⋅ 5,07 = 1034 kNcm

343

10

= 456/29,84 = 15,28 kN/cm2 < σw, Rd = 0,95 ⋅ 24,0/1,1 = 20,73 kN/cm2

70

524 kN 180

Bild 4-6 Anschluss der Riegelsteife

Aw = 43 ⋅ 1,0 = 43 cm2

273

4 Verbindungstechnik

Aw, 1 Aw, 3

σ⊥, 1

= 2 ⋅ 7,0 ⋅ 1,0 = 14 cm2; Aw, 2 = 2 ⋅ 7 ⋅ 0,5 = 7,0 cm2; = 2 ⋅ 34,3 ⋅ 0,4 = 27,4 cm2 = 204/14 = 14,57 kN/cm2; τ ||, 1 = 1034/(37,3 ⋅ 14) = 1,98 kN/cm2

σw, v, 1 = 14,57 2 + 1,982 = 14,7 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2 τ ||, 2 τ ||, 3

= 1034/(37,3 ⋅ 7) = 3,96 kN/cm2 = 204/27,4 = 7,44 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

Beispiel 4.4: Knaggenanschluss eines Hochbauträgers; Bild 4-7 Der Knaggenanschluss ist in seinen Details nachzuweisen

10

Bild 4-7 Knaggenanschluss

σRd = 24,0/1,1 = 21,8 kN/cm2; σw, Rd = 0,95 ⋅ 24,0/1,1 = 20,73 kN/cm2

τRd = 21,8/ 3 = 12,6 kN/cm2;

Pressung

σ

= 350/(1,5 ⋅ 19) = 12,3 kN/cm2 < 21,8 kN/cm2

Stegnähte, Steg, Stirnplattenverbindungsnaht

Aw, V = 2 ⋅ 0,4 ⋅ (22 + 20) = 17,6 + 16,0 = 33,6 cm2 τ || = 350/33,6 = 10,42 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

274

Stahlbau

τSteg

= 350/40,9 = 8,56 kN/cm2 < 12,6 kN/cm2

Vdu

= 350 ⋅ 16/33,6 = 167 kN;

σ⊥

= 167/19 = 8,79 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

Aw = 1,0 ⋅ 19 = 19 cm2

Exzentrischer Anschluss der Kräfte Vd- Vdu (Bild 4-7b, c)

Me Aw ew

Ιw

= 350 ⋅ 2,75 – 167 ⋅ 0,5 = 879 kN/cm = (19 + 2 ⋅ 7,0) ⋅ 0,5 + 2 ⋅ 22 ⋅ 0,4 = 9,5 + 7,0 + 17,6 = 34,10 cm2 = (7 ⋅ 1,46 + 17,6 ⋅ 11,73)/34,10 = 6,35 cm = 2 ⋅ 0,4 ⋅ 223/12 + 9,5 ⋅ 6,352 + 7,0 ⋅ (6,35 – 1,46)2 + 17,6 ⋅ (11,73 – 6,35)2 = 1770 cm4

Wol

= 1770/(6,35 – 1,46) = 362 cm3;

Wu = 103 cm3

σ⊥u

= 879/103 = 8,53 kN/cm2

σw, v

= 8,532 + 10, 42 2 = 13,47 kN/cm2 < 20,73 kN/cm2

Anschluss Knagge

Aw, V = 2 ⋅ 0,5 ⋅ 20 = 20 cm2; Aw, Me = 0,5 ⋅ 19 = 9,5 cm2 2 τ || = 350/20 = 17,5 kN/cm < 20,73 kN/cm2 σ⊥ = 350 ⋅ 2,75/(20 ⋅ 9,5) = 5,07 kN/cm2

10 5 Literatur und Vorschriften [1]

Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln/Handbuch Bautechnik, 33. Auflage 2009, B.G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, Abschnitt 9 : Stahlbau [2] Wolfram Lohse: Stahlbau 1, 24. Auflage 2002, B.G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden [3] Wolfram Lohse: Stahlbau 2, 20. Auflage 2005, B:G. Teubner, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden DIN 18800-1 (11-08): Stahlbauten, Bemessung und Konstruktion DIN 18800-2 (11-08): Stahlbauten, Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Stabwerken DIN 18800-3 (11-08): Stahlbauten, Stabilitätsfälle, Plattenbeulen DIN 18800-5 (03-07): Stahlbauten, Verbundtragwerke aus Stahl und Beton, – Bemessung und Konstruktion

Holzbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Helmuth Neuhaus Nach DIN 1052: 2008-12

Inhalt 0 Technische Baubestimmungen, weiterführende Literatur und Vorbemerkungen.................. 279 1 Wichtige Nachweise und Werte............................................................................................. 280 2 Beispiele................................................................................................................................. 284 2.1 Berechnung einer Schwindverformung ...................................................................... 284 2.2 Nachweis eines Zugstabes aus Nadelvollholz ............................................................ 284 2.2.1 Holzbaustoff ................................................................................................. 285 2.2.2 Einwirkungen ............................................................................................... 285 2.2.3 Modifikationsbeiwerte ................................................................................. 285 2.2.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen ............................................. 286 2.2.5 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) ....................... 286 2.3 Nachweis einer Druckfläche rechtwinklig zur Faser .................................................. 286 2.3.1 Holzbaustoff ................................................................................................. 286 2.3.2 Einwirkungen ............................................................................................... 286 2.3.3 Modifikationsbeiwert ................................................................................... 287 2.3.4 Aufstandsfläche und Beiwert kc,90 ............................................................... 287 2.3.5 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) ....................... 287 2.4 Nachweis eines Biegeträgers aus Brettschichtholz, einaxiale Biegung ...................... 288 2.4.1 Holzbaustoff ................................................................................................. 288 2.4.2 Einwirkungen ............................................................................................... 288 2.4.3 Modifikationsbeiwerte ................................................................................. 289 2.4.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen ............................................. 289 2.4.5 Bemessungswerte der Beanspruchungen ..................................................... 289 2.4.6 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) (einfache, einaxiale Biegung)....................................................................... 289 2.4.7 Schub (Querschnittstragfähigkeit im Grenzzustand der Tragfähigkeit)....... 290 2.4.8 Kippen (Ersatzstabverfahren im Grenzzustand der Tragfähigkeit) .............. 291 2.4.9 Nachweis der Auflagerpressung .................................................................. 292 2.5 Nachweis einer Mittelpfette aus Brettschichtholz, zweiaxiale Biegung ..................... 293 2.5.1 Holzbaustoff ................................................................................................. 293 2.5.2 Einwirkungen ............................................................................................... 293 2.5.3 Modifikationsbeiwert ................................................................................... 294 2.5.4 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) ....................... 294 2.6 Nachweis eines Druckstabes mit dem Ersatzstabverfahren, mittiger Druck .............. 295 2.6.1 Holzbaustoff ................................................................................................. 295 2.6.2 Einwirkungen ............................................................................................... 296 2.6.3 Modifikationsbeiwert ................................................................................... 296 2.6.4 Knicken um die y-Achse (Ersatzstabverfahren) ........................................... 296

2.7

2.8

2.9

2.11

2.6.5 Knicken um die z-Achse (Ersatzstabverfahren) ........................................... 297 2.6.6 Querschnittsschwächungen und -tragfähigkeit im Druckstab ...................... 297 Berechnung der Ersatzlast qd und Qd für eine Aussteifungskonstruktion zwischen Brettschichtträgern (Parallelträgern) ........................................................... 297 2.7.1 Holzbaustoff ................................................................................................. 298 2.7.2 Aussteifungskonstruktion ............................................................................. 298 2.7.3 Kippbeiwert km............................................................................................. 298 2.7.4 Mittlere Normalkraft Nd im BST-Druckgurt eines jeden BS-Trägers .......... 299 2.7.5 Ersatzlasten für eine Aussteifungskonstruktion ........................................... 299 2.7.6 Anteilige Windlast wd auf Giebelwand für eine Aussteifungskonstruktion ............................................................................. 299 2.7.7 Gesamtlast qmax,d und Qmax,d für eine Aussteifungskonstruktion ............... 300 2.7.8 Einzelabstützungen, Mindeststeifigkeit........................................................ 300 Nachweis der Durchbiegungen eines Parallelträgers aus Brettschichtholz (Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit) ................................................................. 300 2.8.1 Holzbaustoff ................................................................................................. 300 2.8.2 Einwirkungen ............................................................................................... 300 2.8.3 Querschnittswerte und Überhöhung ............................................................. 300 2.8.4 Verformungsbeiwert und weitere Beiwerte ................................................. 301 2.8.5 Anfangs- und Enddurchbiegungen ............................................................... 301 2.8.6 Kombination der Durchbiegungen in der charakteristischen, seltenen (rare) Bemessungssituation .......................................................................... 301 2.8.7 Kombination der Durchbiegungen in der quasi-ständigen (perm) Bemessungssituation .................................................................................... 302 Bemessung einer Verbindung mit Stabdübeln, Anschluss einer Zug-Diagonalen an einen Gurt ................................................................................... 302 2.9.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel ........................................................... 303 2.9.2 Einwirkungen ............................................................................................... 303 2.9.3 Modifikationsbeiwerte ................................................................................. 303 2.9.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen ............................................. 304 2.9.5 Abstände der Stabdübel................................................................................ 304 2.9.6 Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit eines Stabdübels ....................... 304 2.9.7 Mindestdicken der Seiten- und Mittelhölzer und Mindesteindringtiefen ..... 305 2.9.8 Wirksame Anzahl nef der Stabdübel. ........................................................... 306 2.9.9 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Stabdübelverbindung ..................... 306 2.10 Bemessung einer Verbindung eines Zugstoßes mit Ringdübeln A1 ............ 307 2.10.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel ........................................................... 307 2.10.2 Einwirkungen ............................................................................................... 308 2.10.3 Modifikationsbeiwert ................................................................................... 308 2.10.4 Einzuhaltende Bedingungen für den Basiswert der Ringdübel A1 .............. 308 2.10.5 Weitere Mindestabstände der Ringdübel A1................................................ 309 2.10.6 Beiwerte zur Berechnung der charakteristischen Tragfähigkeit (Basiswert) ............................................................................. 309 2.10.7 Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit einer Verbindungseinheit.......... 309 2.10.8 Wirksame Anzahl der Ringdübel in Faserrichtung hintereinander .............. 310 2.10.9 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Ringdübelverbindung .................... 310 Bemessung einer Verbindung mit Nägeln (Abscheren), Anschluss einer Zug-Diagonalen an einen Gurt ......................................................... 310 2.11.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel ........................................................... 311 2.11.2 Einwirkungen ............................................................................................... 311

2.11.3 2.11.4 2.11.5 2.11.6 2.11.7 2.11.8

Modifikationsbeiwerte ................................................................................. 311 Abstände der Nägel. ..................................................................................... 312 Mindestholzdicken bei Nägeln ..................................................................... 312 Mindesteindringtiefe (Mindesteinschlagtiefe) der Nägel ............................. 314 Übergreifende Nägel im Mittelholz (Gurt) .................................................. 314 Charakteristischer Wert der Lochleibungsfestigkeit in Nagelverbindungen. ..................................................................................... 314 2.11.9 Charakteristischer Wert des Fließmomentes. ............................................... 314 2.11.10 Charakteristische Tragfähigkeit eines Nagels. ............................................. 314 2.11.11 Wirksame Anzahl nef der Nägel................................................................... 314 2.11.12 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Nagelverbindung ........................... 315

Technische Baubestimmungen DIN 1052 2008-12 DIN 1055-100

2001-03

Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken; Allgemeine Bemessungsregeln und Bemessungsregeln für den Hochbau Einwirkungen auf Tragwerke; Grundlagen der Tragwerksplanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregeln

Weiterführende Literatur [1] [2]

[3]

[4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14]

Becker, Kj.; Blaß, H.J.: Ingenieurholzbau nach DIN 1052. Einführung mit Beispielen. Berlin: Ernst, 2006 Blaß, H.J.(Hrsg.); Ehlbeck, J.(Hrsg); Kreuzinger, H.(Hrsg.); Steck, G. (Hrsg): Erläuterungen zu DIN 1052 : 2004-08. Entwurf, Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken. 2. Aufl. Deutsche Gesellschaft für Holzforschung. München/Karlsruhe: DGfH Innovations- und Service GmbH/Bruder, 2005 Blaß, H.J.; Ehlbeck, J.; Kreuzinger, H.; Steck, G.: Einführung in die Bemessung nach DIN 1052 : 2004. holzbau handbuch, Reihe 2, Teil 1, Folge 10. Informationsdienst Holz. Bonn/München: Holzabsatzfonds/DGfH Innovations- und Service GmbH, 2004. Bund Deutscher Zimmermeister: DIN 1052, Praxishandbuch Holzbau. Berlin/Kissing: Beuth/Weka MEDIA, 2005 Colling, F.: Holzbau. Grundlagen, Bemessungshilfen. Wiesbaden: Vieweg, 2004 Colling, F.: Holzbau-Beispiele. Musterlösungen, Formelsammlung, Bemessungstabellen. Wiesbaden: Vieweg, 2004 Neuhaus, H.: Holzbau nach DIN 1052 : 2008-12. In: Wetzell, O. (Hrsg.): Wendehorst, Bautechnische Zahlentafeln. 33. Aufl. Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2009 Neuhaus, H.: Ingenieurholzbau. 2. Aufl. Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 2009 Rug, W.; Mönck, W.: Holzbau. Bemessung und Konstruktion. 15. Aufl. Berlin: Huss-Medien, 2007 Scheer, C. (Hrsg.); Peter, M. (Hrsg.); Stöhr, S. (Hrsg.): Holzbau-Taschenbuch. Bemessungsbeispiele nach DIN 1052 Ausgabe 2004. 10. Aufl. Berlin: Wilhelm Ernst & Sohn, 2004 Schild, K., Völkner, S.: Praxishandbuch Ingenieurholzbau. Grundlagen, Bemessung, Konstruktion. Stuttgart: Frauenhofer IRB, 2005. Steck, G.: Euro-Holzbau. Teil 1, Grundlagen. Düsseldorf: Werner, 1997 Steck, G.: 100 Holzbau-Beispiele nach DIN 1052 (2004). München: Werner, Wolters Kluwer, 2005 Steck, G.; Nebgen, N.: 100 Holzbau kompakt. Nach DIN 1052 neu. 2. Aufl. Berlin: Bauwerk, 2008

Software für die Berechnung und Bemessung (Auswahl) [15]

Colling, F. : HoB.Ex. Excel-Bemessung DIN 1052 – neu. München: DGfH Innovations- und Service GmbH, Deutsche Gesellschaft für Holzforschung, 2004

Vorbemerkungen Die in den folgenden Beispielen angeführte DIN 1052: 2008-12 darf für Bauzwecke nur dann angewendet werden, wenn sie in den einzelnen Bundesländern bauaufsichtlich bekannt gemacht

280

Holzbau

worden ist, oder wenn bis zu diesem Zeitpunkt eine Zulassung im Einzelfall bei der zuständigen Bauaufsichtsbehörde eingeholt worden ist. Maßgebend für die Berechnung und Bemessung von Holzbauwerken ist stets die entsprechende bauaufsichtlich eingeführte Norm, derzeit die DIN 1052:2004-08 (Stand 02/2009). Für die „alte“ DIN 1052: 1988-04 und die „neue“ DIN 1052: 2004-08 bzw. 2008-12 gilt das Mischungsverbot.

1 Wichtige Nachweise und Werte Tafel 1-1 Wichtige Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit von Holzbauteilen nach DIN 1052: 2008-12 Kombination von Einwirkungen

¦ γ G,j ⋅ Gk,j + γ Q,1 ⋅ Qk,1 + ¦ γ Q,i ⋅ ψ 0,i ⋅ Qk,i j ≥1

i >1

Querschnittstragfähigkeit (nicht kipp- und nicht knickgefährdet) Zug in Faserrichtung (mittiger Zug) σ t,0,d Ft,d / An = ≤1 ft,0,d ft,0,d Druck in Faserrichtung (mittiger Druck) σ c,0,d Fc,d / An = ≤1 fc,0,d fc,0,d

11

Festigkeitseigenschaften X d = kmod ⋅ X k / γ M Ersatzstabverfahren (kipp- und/oder knickgefährdet)

σ c,0,d

=

kc ⋅ fc,0,d

Fc,d / A kc ⋅ fc,0,d

≤1

Druck rechtwinklig zur Faserrichtung σ c,90,d F /A = c,90,d ef ≤ 1 kc,90 ⋅ fc,90,d kc,90 ⋅ fc,90,d Biegung (einaxiale, einfache Biegung um die y- oder z-Achse)

σ m,d fm,d

=

σ m,d

Md / Wn ≤1 fm,d

km ⋅ fm,d

=

Md / Wn ≤1 km ⋅ fm,d

Biegung (zweiaxiale Biegung, Doppelbiegung um die y- und z-Achse)

σ m,y,d fm,y,d kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d fm,y,d

+

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

σ m,y,d

≤1

km ⋅ fm,y,d

≤1

kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d

+

km ⋅ fm,y,d

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

≤1 ≤1

Biegung und Zug (ausmittiger Zug, Zug und Biegung um die y- und z-Achse)1)

σ t,0,d ft,0,d

σ t,0,d ft,0,d

+

σ m,y,d fm,y,d

+ kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d fm,y,d

+

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

≤1 ≤1

σ t,0,d ft,0,d

σ t,0,d ft,0,d

+

σ m,y,d km ⋅ fm,y,d

+ kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d km ⋅ fm,y,d

+

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

≤1 ≤1

281

1 Wichtige Nachweise und Werte

Biegung und Druck (ausmittiger Druck, Druck und Biegung um die y- und z-Achse) 1) 2

§ σ c,0,d · σ m,y,d σ + kred ⋅ m,z,d ≤ 1 ¨¨ ¸¸ + fm,y,d fm,z,d © fc,0,d ¹ 2

§ σ c,0,d · σ m,y,d σ m,z,d + ≤1 ¨¨ ¸¸ + kred ⋅ f fm,y,d fm,z,d c,0,d © ¹ Schub aus Querkraft τd V ⋅S ≤1 allgemein: τ = I ⋅b fv,d 1)

σ c,0,d kc,y ⋅ fc,0,d

σ c,0,d kc,z ⋅ fc,0,d

+

σ m,y,d km ⋅ fm,y,d

+ kred ⋅

+ kred ⋅

σ m,y,d km ⋅ fm,y,d

+

σ m,z,d fm,z,d

σ m,z,d fm,z,d

für Rechteckquerschnitt: τ max =

≤1 ≤1

1,5 ⋅ V b⋅h

Die Abminderung mit kred gilt bei Doppelbiegung; bei einaxialer Biegung ist in beiden Gl. kred = 1.0 zu setzen

Tafel 1-2 Wichtige Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit von Verbindungen mit Bolzen, Stabdübeln und Passbolzen auf Abscheren nach DIN 1052: 2008-12 (Auswahl) Bolzen, Passbolzen, Stabdübel in Holz-Holz-Verbindungen (Abscheren) Charakteristische Tragfähigkeit Rk 1) Bemessungswert der Tragfähigkeit Rd R d = kmod · Rk/γM 2⋅β Rk = ⋅ 2 ⋅ M y,k ⋅ fh,1,k ⋅ d γ = 1,1 für stiftförmige VM aus Stahl M 1+ β

Mindestdicke t1,req des Seitenholzes 1

Mindestdicke t2,req des Seitenholzes 2 einer einschnittigen Verbindung

§ · M y,k β t1,req = 1,15 ⋅ ¨ 2 ⋅ + 2¸ ⋅ ¨ ¸ f β + 1 h,1,k ⋅ d © ¹ Mindestdicke t2,req des Mittelholzes einer zweischnittigen Verbindung

§ · M y,k 1 t2,req = 1,15 ⋅ ¨ 2 ⋅ + 2¸ ⋅ ¨ ¸ fh,2,k ⋅ d 1 + β © ¹ Abminderung der charakteristischen Tragfähigkeit Rk bei Holzdicken t1, t2 kleiner als die Mindestholzdicken t1,req , t2,req der kleinere Wert Rk,red = Rk ⋅ t1 / t1,req

§ 4 · M y,k t2,req = 1,15 ⋅ ¨ ⋅ ¨ 1 + β ¸¸ fh,2,k ⋅ d © ¹ Charakteristisches Fließmoment My,k für Kreisquerschnitte M y,k = 0,3 ⋅ fu,k ⋅ d 2,6 in Nmm

Rk,red = Rk ⋅ t2 / t 2,req

ist maßgebend

Verhältniswert ȕ

β = fh,2,k / fh,1,k

N/mm2

mit d in mm und fu,k in Charakteristische Lochleibungsfestigkeit fh,k für Nadel- und Laubhölzer für Bolzen, Passbolzen, Stabdübel Belastung in Faserrichtung Į = 0° Belastung unter Winkel Į zur Faserrichtung fh,0,k fh,0,k = 0,082 ⋅ (1 − 0,01 ⋅ d ) ⋅ ρk in N/mm2 fh,α,k = in N/mm2 3 k90 ⋅ sin2 α + cos2 α mit d in mm und ȡk in kg/m Nadelhölzer: k90 = 1,35 + 0,015 ⋅ d Laubhölzer: k90 = 0,90 + 0,015 ⋅ d Charakteristische Werte der Festigkeiten fu,k des Stahles Stabdübel fu,k in N/mm2 Bolzen, Passbolzen fu,k in N/mm2 Stahl S 235 S 275 S 355 Stahl 3.6 4.6/4.8 5.6/5.8 8.8 fu,k 360 430 510 fu,k 300 400 500 800 1)

die Rk-Werte von Bolzen und Passbolzen dürfen um den Anteil ΔRk = min {0,25 · Rk oder 0,25 · Rax,k} erhöht werden

11

282

Holzbau

Tafel 1-3 Wichtige Nachweise im Grenzzustand der Tragfähigkeit von Verbindungen mit Nägeln auf Abscheren nach DIN 1052: 2008-12 (Auswahl) Nägel in Holz-Holz-Verbindungen (Abscheren) Charakteristische Tragfähigkeit Rk Bemessungswert der Tragfähigkeit Rd

Rk =

Rd = kmod ⋅ Rk / γ M

2 ⋅ M y,k ⋅ fh,1,k ⋅ d

für Verbindungen v. Nadelholzbauteilen

γ M = 1,1 für stiftförmige VM aus Stahl

Mindesteindringtiefen treq im Holz mit der Mindestholzdicken treq (allgemein) Nagelspitze bei Nadelholzbauteilen bei Nadelholzbauteilen treq = 9 ⋅ d treq = 9 ⋅ d bei Eindringtiefen 4 · d < t < 9 · d: s. jedoch unten, Mindestholzdicken zur BerücksichtiRk-Werte abmindern wie bei Holzdicken, s. gung der Spaltgefahr bei Nagelung ohne Vorbohren einhalten unten, t < 4 · d nicht zulässig Nägel in Holz-Holz-Verbindungen (Abscheren) Mindestholzdicken t für Schnittholzbauteile aus Nadelvollholz ohne Vorbohren der Nagellöcher (berücksichtigt die Spaltgefahr des Holzes) für Schnittholz (außer Kiefernholz) für Schnittholz aus Kiefernholz ρk ½ ­ ρ ½ ­ ¾ in mm t = max ®14 ⋅ d oder (13 ⋅ d − 30) ⋅ k ¾ t = max ®7 ⋅ d oder (13 ⋅ d − 30) ⋅ 400 ¯ ¿ 200 ¿ ¯ t gilt auch für andere Nadelhölzer, wenn in mm Mindestrandabstände eingehalten werden: mit d in mm und ȡk in kg/m3

11

a2,t , a2,c ≥ 10 ⋅ d

für

ρk ≤ 420 kg/m3

a2,t , a2,c ≥ 14 ⋅ d

für

420 kg/m3 < ρk < 500kg/m3

Charakteristisches Fließmoment My,k für runde glattschaftige und Sondernägel Mindestzugfestigkeit fu,k = 600 N/mm2

Abminderung der charakteristischen Tragfähigkeit Rk bei Holzdicken t1, t2 kleiner als Mindestholzdicken t1,req, t2,req

M y,k = 0,3 ⋅ fu,k ⋅ d 2,6 in Nmm

Rk,red = Rk ⋅ t1 / t1,req

der kleinere Wert

Rk,red = Rk ⋅ t2 / t2,req

ist maßgebend

mit d in mm und fu,k in N/mm2 Lochleibungsfestigkeit fh,k für Holz nicht vorgebohrte Hölzer fh,k = 0,082 ⋅ ρk ⋅ d −0,3 in N/mm2

(für alle Winkel Į zwischen Kraft- und Faserrichtung) vorgebohrte Hölzer fh,k = 0,082 ⋅ (1 − 0,01 ⋅ d ) ⋅ ρk in N/mm2

mit d in mm und ȡk in kg/m3 Tafel 1-4 Wirksame Anzahl nef für mehrere in Faserrichtung hintereinander liegende Bolzen, Nägel, Stabdübel und Passbolzen nach DIN 1052: 2008-12 ª a1 °½ º 90 − α α °­ +n⋅ nef = «min ®n oder n 0,9 ⋅ 4 ¾» ⋅ 10 d 90 90 ⋅ ¯° ¿° ¼» ¬« n Anzahl der stiftförmigen Verbindungsmittel, die in Faserrichtung hintereinander liegen, für Nägel mit d ԛ 6 mm ist nef = n zu setzen α Winkel zwischen Kraft- und Faserrichtung d Durchmesser der stiftförmigen Verbindungsmittel a1 Abstand der Stabdübel untereinander in Faserrichtung des Holzes, für Winkel 0 < α < 90° darf der Mindestabstand a1 für α = 0° eingesetzt werden

283

1 Wichtige Nachweise und Werte

Tafel 1-5 Mindestabstände von Stabdübeln und Passbolzen nach DIN 1052: 2008-12

Bezeichnung a1 a2 a1,t a1,c a2,t a2,c

Benennung der Bezeichnungen untereinander parallel zur Faserrichtung untereinander rechtwinklig zur Faserrichtung vom beanspruchten Hirnholzende vom unbeanspruchten Hirnholzende vom beanspruchten Rand vom unbeanspruchten Rand

Mindestabstände (3 + 2 · cos Į) · d 3· d 7 · d, • 80 mm 7 · d · sin Į, •3·d 3·d 3·d

Tafel 1-6 Mindestabstände von Bolzen nach DIN 1052: 2008-12

Bezeichnung

Benennung der Bezeichnungen

Mindestabstände

a1

untereinander parallel zur Faserrichtung

(3 + 2·cos Į)·d,

a2

untereinander rechtwinklig zur Faserrichtung

4· d

a1,t

vom beanspruchten Hirnholzende

7·d,

• 80 mm

a1,c

vom unbeanspruchten Hirnholzende

7·d·sin Į,

• 4·d

a2,t

vom beanspruchten Rand

3· d

a2,c

vom unbeanspruchten Rand

3 ·d

• 4·d

Tafel 1-7 Mindestabstände von Nägeln in Holz-Holz-Verbindungen nach DIN 1052: 2008-12

Bezeichnung

nicht vorgebohrt

vorgebohrt

ȡk ” 420 kg/m3

420 < ȡk < 500 kg/m3

d < 5 mm: (5 + 5·cos Į)·d d • 5 mm: (5 + 7·cos Į)·d

(7 + 8·cos Į)·d

(3 + 2·cos Į)·d

7·d

3· d

(15 + 5·cos Į)·d

(7 + 5·cos Į)·d

15·d

7· d

a1

untereinander in Faserrichtung

a2

untereinander ⊥ 5· d zur Faserrichtung

a1,t

vom belasteten Hirnholzende

a1,c

vom unbelasteten d < 5 mm: 7·d Hirnholzende d • 5 mm: 10·d

a2,t

vom belasteten Rand

a2,c

vom unbelasteten 5· d Rand

d < 5 mm: (7 + 5·cos Į)·d d • 5 mm: (10 + 5·cos Į)·d

d < 5 mm: (5 + 2·sin Į)·d d • 5 mm: (5 + 5·sin Į)·d

d < 5 mm: (7 + 2·sin Į)·d (3 + 4·sin Į)·d d • 5 mm: (7 + 5·sin Į)·d 7·d

3· d

11

284

Holzbau

2 Beispiele Die folgenden Beispiele sind sehr ausführlich und umfangreich dargestellt, um die Einführung in die Berechnung/Bemessung des Holzbaus zu erleichtern; in der Praxis ist dieser gewählte Umfang im Allg. nicht notwendig und kann auf das Wesentliche reduziert werden. Die Angaben von Bildern, Tafeln und Gl. beziehen sich auf den Wendehorst: Bautechnische Zahlentafeln, 33. Aufl., 2009, Abschn. „Holzbau nach DIN 1052: 2008-12 [7]“ (Abschnitte, Gl. und Tafeln des Wendehorstes werden mit z.B. „nach Tafel 1-19“ oder „nach Gl. (2-1)“ zitiert, Abschnitte des vorliegenden Buches werden neu mit Zahlen zitiert, z.B. „nach 2.1“, Tafeln des vorliegenden Abschn. mit z.B. „oder Tafel 1-1 in diesem Abschn.“).

2.1 Berechnung einer Schwindverformung Berechnung der Querschnittsänderung eines Kantholzes durch Schwinden Kantholz aus Nadelholz: Holzfeuchte beim Einbau: Ȧ2 = 20 % b/h = 18/20 cm zu erwartende AusgleichsSchwindmaß nach Tafel 1-19: feuchte im Bauwerk: Ȧ1 = 10 % Į = 0,24 %/% Rechenwert der Verkleinerung ¨h über die Höhe h ¨h = Į ·(Ȧ2 – Ȧ1)· h = (0,24/100) · (20 – 10) · 20 = = 0,48 cm = 4,8 mm ¨h/2 = 4,8/2 = 2,4 mm etwa an Ober- und Unterkante Rechenwert der Verkleinerung ¨b über die Breite b:

11

¨b

= Į · (Ȧ2 – Ȧ1) · b = (0,24/100) · (20 – 10) · 18 = = 0,43 cm = 4,3 mm

¨b/2 = 4,3/2 = 2,2 mm etwa an beiden senkrechten Seitenflächen Bild 2-1

Anmerkungen: Nach Beendigung des Schwindens wird der Querschnitt voraussichtlich die Abmessungen b/h ! 17,6/19,5 cm besitzen, darüber hinaus ist eine ungleichmäßige Querschnittsänderung in Abhängigkeit vom Jahrringverlauf wahrscheinlich. Die durch den Schwindvorgang rechnerisch ermittelten Verkleinerungen der Querschnittsseiten sind gegebenenfalls bei der Konstruktion zu berücksichtigen, bei den Nachweisen der Tragfähigund Gebrauchstauglichkeit ist mit den Nennmaßen b/h = 18/20 cm zu rechnen.

2.2 Nachweis eines Zugstabes aus Nadelvollholz Bemessung eines Zugstabes, mittiger Zug in Faserrichtung Umgebungsklima: beheizter Innenraum

285

2 Beispiele

2.2.1 Holzbaustoff gewählt: Nadel-Vollholz, C24 (S10), b/h = 14/14 cm

Bild 2-2

Charakteristische Zugfestigkeit nach Tafel 1-1 ft,0,k = 14 N/mm2 = 1,4 kN/cm2

2.2.2 Einwirkungen Charakteristische Zugkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Ft,g,k = 50,0 kN aus ständiger Last Ft,s,k = 50,0 kN aus Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Bemessungswerte der Zugkraft aus ständiger Last Ft,g,d = 1,35 ⋅ Ft,g,k = 1,35 ⋅ 50,0 = 67,5 kN aus veränderlicher Last Ft,s,d = 1,5 ⋅ Ft,s,k = 1,5 ⋅ 50,0

= 75,0 kN

Kombination der Einwirkungen (Lasten) nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. Ft,d = 1,35 ⋅Ft,g,k + 1,5⋅Ft,s,k = 67,5 + 75,0

= 142,5 kN

2.2.3 Modifikationsbeiwerte Nutzungsklasse 1 nach Tafel 1-15 (beheizter Innenraum) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last (Eigenlast) bzw. „kurz“ für Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Modifikationsbeiwerte nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last bzw. kmod = 0,9 für Schneelast

11

286

Holzbau

2.2.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen Der größte Quotient aus Ft,d/kmod ergibt die für die Bemessung maßgebende Kombination. aus ständiger Last Ft,g,d/kmod = 67,5/0,6 = 112,5 aus ständiger und veränderlicher Last Ft,d/kmod = 142,5/0,9 = 158,3 (maßgebend) Anmerkung: Bei der Bemessung muss mit Ft,d = 142,5 kN gerechnet werden.

2.2.5 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) Querschnittsschwächung des Zugstabes durch einen Dübelanschluss, hier nicht dargestellt An = 157,6 cm2 Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Bemessungswert der Zugfestigkeit nach Gl. (2-2) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. ft,0,d = 0,9 ⋅ 1,4/1,3 = 0,97 kN/cm2 Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-1) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 142,5 /157, 6 0,90 = = 0,93 ≤ 1 0,9 ⋅ 1, 4 /1,3 0,97

2.3 Nachweis einer Druckfläche rechtwinklig zur Faser

11

Anschluss eines Druckpfostens (Rippe) an eine Schwelle (Fußrippe) über Flächenpressung Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk

2.3.1 Holzbaustoff, gewählt Pfosten: Nadel-Vollholz, C24 (S10), b/h = 8/12 cm Schwelle: Nadel-Vollholz, C24 (S10), b/h = 8/10 cm Charakteristische Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser nach Tafel 1-1 fc,90,k = 2,5

N/mm2

= 0,25

Bild 2-3

kN/cm2

2.3.2 Einwirkungen Charakteristische Druckkraft rechtwinklig zur Faser aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt)

287

2 Beispiele

Fc,90,k = 15,0 kN aus ständiger Last Bemessungswert der Druckkraft aus ständiger Last nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. Fc,90,d = 1,35 ⋅ Fc,90,k = 1,35 ⋅ 15,0 = 20,25 kN

2.3.3 Modifikationsbeiwert Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last

2.3.4 Aufstandsfläche und Beiwert kc,90 Länge der Druckfläche in Faserrichtung und tatsächliche Aufstandsfläche auf der Schwelle: l = hPf = 12 cm Druckflächenabstand zur benachbarten Druckfläche nach Bild 3-3 l1 • 2 · h (nur eine Druckfläche) Beiwert kc,90 für Nadelvollholz nach Tafel 3-2 kc,90 = 1,25 bei Schwellendruck wirksame Querdruckfläche nach Tafel 3-2 Aef = (l + 2 · 3,0 cm) · b = (12,0 + 6,0)· 8 = 144 cm2

2.3.5 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Bemessungswert der Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser nach Gl. (2-2) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. fc,90,d = 0,6 · 0,25/1,3 = 0,115 kN/cm2 Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-5) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 20, 25/144 = 0,98 ≤ 1 1, 25 ⋅ 0,115

11

288

Holzbau

2.4 Nachweis eines Biegeträgers aus Brettschichtholz, einaxiale Biegung Bemessung eines Parallelträgers aus Brettschichtholz Umgebungsklima: beheizter Innenraum

Bild 2-4

2.4.1 Holzbaustoff gewählt: Brettschichtholz GL28c (BS 14), b/h = 16/90 cm Charakteristische Biegefestigkeit für Brettschichtholz GL28c nach Tafel 1-3 fm,k = 28,0 N/mm2 = 2,8 kN/cm2

11

2.4.2 Einwirkungen Charakteristische Lasten: senkrechte, gleichmäßige Linienlasten (Gleichlasten), hier nicht gesondert errechnet qz,g,k = 5,00 kN/m

aus ständiger Last

qz,s,k = 3,75 kN/m

aus Schneelast

(Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Bemessungswerte der Linienlasten aus ständiger Linienlast qz,g,d = 1,35 · 5,00

= 6,75 kN/m

aus veränderlicher Linienlast qz,s,d = 1,5 · 3,75

= 5,63 kN/m

Kombination der Einwirkungen (Linienlasten) nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. qz,d

= 1,35 · qz,g,k + 1,5 ⋅ qz,s,k = 6,75 + 5,63 = 12,4 kN/m

289

2 Beispiele

2.4.3 Modifikationsbeiwerte Nutzungsklasse 1 nach Tafel 1-15 (beheizter Innenraum) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last (Eigenlast) bzw. „kurz“ für Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Modifikationsbeiwerte nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last bzw. kmod = 0,9 für Schneelast

2.4.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen Der größte Quotient aus qd/kmod ergibt die für die Bemessung maßgebende Kombination. aus ständiger Linienlast qz,g,d/kmod = 6,75/0,6 = 11,3 aus ständiger und veränderlicher Linienlast qz,d/kmod = 12,4/0,9

= 13,8 (maßgebend)

Anmerkung: Bei der Bemessung muss mit qz,d = 12,4 kN/m gerechnet werden.

2.4.5 Bemessungswerte der Beanspruchungen (s. Bild) Ad = Bd = 12,4 · 15,0/2 My,max,d = 12,4 ·

15,02/8

= 93 kN = 348,8 kNm

11 2.4.6 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) (einfache, einaxiale Biegung) Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Nutzbares Widerstandsmoment (keine Querschnittsschwächung) Wy = Wy,n = 16 · 902/6 = 21 600 cm3 Flachkant-Biegebeanspruchung der Lamellen nach Gl. (3-12) Trägerhöhe h = 90 cm > 60 cm, kh = 1 (keine Erhöhung zulässig) Hochkant-Biegebeanspruchung der Lamellen liegt im Beispiel nicht vor Bemessungswert der Biegefestigkeit nach Gl. (2-2) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. fm,d = 0,9 · 2,8/1,3 = 1,94 kN/cm2

290

Holzbau

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-10) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. Biegebeanspruchung um die y-Achse 34880/21 600 1, 61 = = 0,83 ≤ 1 0,9 ⋅ 2,8/1,3 1,94

2.4.7 Schub (Querschnittstragfähigkeit im Grenzzustand der Tragfähigkeit) (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) Charakteristische Schubfestigkeit für Brettschichtholz GL28c nach Tafel 1-3 fv,k = 2,5 N/mm2 = 0,25 kN/cm2 Bemessungswert der Schubfestigkeit nach Gl. (2-2) fv,d = 0,9 ⋅ 0,25/1,3 = 0,17 kN/cm2 Nachweis mit Querkraft Vmax max. Querkraft Vmax im Beispiel an den Auflagern nach 2.4.5 Ad = Bd = Vd = 93 kN Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-19) und (3-21) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 1,5 ⋅ 93, 0/(16 ⋅ 90) = 0,57 ≤ 1 0,17

11

Bild 2-5

Gabellager nicht dargestellt

291

2 Beispiele

Nachweis mit reduzierter Querkraft Vred nach Abschn. 3.4.1 (hier: alternativ) reduzierte Querkraft Vred im Abstand h vom Auflagerrand Vd,red = Vmax – qz,d · x1 = 93,0 – 12,4 (0,10 + 0,90) = 80,6 kN Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-19) und (3-21) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 1,5 ⋅ 80, 6/(16 ⋅ 90) = 0, 49 ≤ 1 0,17

2.4.8 Kippen (Ersatzstabverfahren im Grenzzustand der Tragfähigkeit) (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) Gabellagerung an beiden Auflagern, der Träger wird am Obergurtrand durch 2 Einzelabstützungen (und diese durch eine Aussteifungskonstruktion) seitlich unverschieblich gehalten: Aussteifungsabstand a = 5,00 m = 500 cm (Länge der seitlich nicht gehaltenen Biegedruckbereiche) Momentenverlauf im mittleren Biegeträgerbereich (innerhalb des mittleren Aussteifungsabstandes a = 5 m) nahezu konstant, deshalb wird für den Kipplängenbeiwert in guter Näherung ein konstanter Momentenverlauf angenommen, Kipplängenbeiwerte a1 und a2 nach Tafel 4-9 für gabelgelagerten Einfeldträger mit konstantem Biegemoment a1 = 1,0 und a2 = 0,0

11

Bild 2-6

Ersatzstablänge lef nach Tafel 4-8 lef =

500 ª a Bº 1, 0 ⋅ «1 − 0,0 ⋅ z ⋅ » l T ¬ ¼

= 500 cm

Charakteristische Steifigkeitskennwerte für Brettschichtholz GL28c nach Tafel 1-3 E0,05

= 10 500 N/mm2

= 1 050 kN/cm2

G05

= 600 N/mm2

= 60 kN/cm2

292

Holzbau

Bezogener Kippschlankheitsgrad für Rechteckquerschnitt nach Tafel 4-6

λrel,m =

500 ⋅ 90 ⋅ ʌ ⋅ 162

2,80 1, 4 ⋅ 1050 ⋅ 60

= 0, 726

Kippbeiwert km nach Tafel 4-6 oder aus Tafel 4-7 km = 1,56 – 0,726 · 0,79 = 1,0

Flachkant- bzw. Hochkant- Biegebeanspruchung der Lamellen, wie Abschn. 2.4.6 (keine Erhöhung zulässig) Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Nachweis des Kippens mit dem Ersatzstabverfahren nach Gl. (4-9) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. (maßgebende Bemessungswerte s. 2.4.6) 34880/21600 = 0,83 ≤ 1 1,0 ⋅ 1,94

2.4.9 Nachweis der Auflagerpressung (Maßgebende Kombination der Einwirkungen nach 2.4.4) Charakteristische Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser nach Tafel 1-3 fc,90,k = 2,7 N/mm2 = 0,27 kN/cm2

Bemessungswerte der Beanspruchungen nach 2.4.5

11

Ad = Bd = Fc,90,d = 12,4 · 15,0/2 = 93 kN

Aufstandsfläche und Beiwert kc,90 Länge der Druckfläche in Faserrichtung und tatsächliche Auflagerfläche nach Bild in 2.4.7: l = 20 cm

Druckflächenabstand zur benachbarten Druckfläche nach Bild in 2.4.7 „rechts“ vom Auflager: l1 • 2 · h (keine weitere Auflagerfläche) „links“ vom Auflager: ü = 10 cm (bis Trägerende) Beiwert kc,90 für Brettschichtholz bei l1 • 2 · h nach Tafel 3-2 kc,90 = 1,75 bei Auflagerdruck

wirksame Querdruckfläche nach Tafel 3-2 Aef = (3,0 + l + 3,0 cm)· b

= (3,0 + 20,0 + 3,0)· 16,0 = 416 cm2 Bemessungswert der Druckfestigkeit rechtwinklig zur Faser nach Gl. (2-2) fc,90,d = 0,9 · 0,27/1,3 = 0,187 kN/cm2

293

2 Beispiele

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-5) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. 93,0/416 = 0, 68 ≤ 1 1,75 ⋅ 0,187

Weitere Nachweise: Nachweis der Ersatzlasten einer Aussteifungskonstruktion, s. Beispiel 2.7 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit (Durchbiegung), s. Beispiel 2.8

2.5 Nachweis einer Mittelpfette aus Brettschichtholz, zweiaxiale Biegung Bemessung einer Mittelpfette (zweiaxiale Biegung, Doppelbiegung), nicht kippgefährdet, Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk

Bild 2-7

2.5.1 Holzbaustoff gewählt: Brettschichtholz GL36h (BS 18), b/h = 18/36 cm Charakteristische Biegefestigkeit für Brettschichtholz GL36h nach Tafel 1-4 fm,k = 36,0 N/mm2 = 3,6 kN/cm2

2.5.2 Einwirkungen Bemessungswerte der Biegemomente (Doppelbiegung) für Lastkombination ständige Last, Schnee- und Windlast, hier nicht gesondert errechnet My,d = 78,0 kNm aus ständiger Last und Schneelast Mz,d = 8,5 kNm aus Windlast

(Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m)

11

294

Holzbau

2.5.3 Modifikationsbeiwert Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer für o.a. Lastkombination nach Tafel 1-16 und 1-17, kurz für Schnee- und Windlast (maßgebend) Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,9 für Schnee- und Windlast (maßgebend)

2.5.4 Querschnittstragfähigkeit (Grenzzustand der Tragfähigkeit) Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Nutzbare Widerstandsmomente Wy = Wy,n = 18 · 362/6 = 3888 cm3 Wz = Wz,n = 36 · 182/6 = 1944 cm3

Erhöhung der charakteristischen Biegefestigkeiten bei Doppelbiegung und homogenem Brettschichtholz: Flachkant-Biegebeanspruchung der Lamellen für Biegung um die y-Achse nach Gl. (3-12) Trägerhöhe h = 36 cm ” 60 cm, Erhöhung zulässig, kh = (600/360)0,14 = 1,074 ≤ 1,1

11

Hochkant-Biegebeanspruchung der Lamellen bei homogenem Brettschichtholz um die z-Achse nach Abschn. 3.3.2: (Anzahl der hochkant- biegebeanspruchten Lamellen • 4) kl = 1,2

Erhöhte charakteristische Biegefestigkeit infolge Flachkantbiegung der Lamellen um die y-Achse fm,y,k,adv = kh · fm,k = 1,074 · 3,6 = 3,87 kN/cm2

Erhöhte charakteristische Biegefestigkeit infolge Hochkantbiegung der Lamellen um die z-Achse fm,z,k,adv = kl · fm,k = 1,2 · 3,6 = 4,32 kN/cm2

Bemessungswerte der Biegefestigkeiten nach Gl. (2-2) fm,y,d = 0,90 · 1,074 · 3,6/1,3 = 2,68 kN/cm2 fm,z,d = 0,90 · 1,2 · 3,6/1,3

= 2,99 kN/cm2

Nachweis der Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-13) und (3-14) oder Tafel 1-1 in diesem Abschn. Rechteckquerschnitt: h/b = 36/18 = 2 ” 4, Brettschichtholz Abminderung mit kred = 0,7 zulässig

295

2 Beispiele

7800/3888 850/1944 + 0, 7 ⋅ = 0, 749 + 0, 7 ⋅ 0,146 = 0,85 ≤ 1 2, 68 2,99 0, 7 ⋅

7800/3888 850/1944 + = 0, 7 ⋅ 0, 749 + 0,146 2, 68 2,99

= 0, 67 ≤ 1

Weitere Nachweise: (hier nicht geführt) Nachweis der Gebrauchstauglichkeit, falls erforderlich Nachweis für Schub

2.6 Nachweis eines Druckstabes mit dem Ersatzstabverfahren, mittiger Druck Knicknachweis eines einteiligen Druckstabes, Pendelstütze Umgebungsklima: beheizter Innenraum

2.6.1 Holzbaustoff gewählt: Brettschichtholz GL28c (BS 14), b/h = 16/32 cm

Charakteristische Druckfestigkeit in Faserrichtung nach Tafel 1-3 fc,0,k = 24,0 N/mm2 = 2,4 kN/cm2

Charakteristischer Steifigkeitskennwert nach Tafel 1-3 E0,05 = 10 500 N/mm2 = 1050 kN/cm2

Bild 2-8

11

296

Holzbau

2.6.2 Einwirkungen Charakteristische Druckkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Fc,0,k = 133,3 kN aus ständiger Last

Das Eigengewicht der Pendelstütze (FStütze = b · h · l · Ȗ = 0,16 · 0,32 · 5,0 · 5,0 = 1,28 kN) ist im Vergleich zur charakteristischen Druckkraft Fc,k sehr klein (FStütze/Fc,k = 1,28/133,3 < 0,01 = 1 %) und wird im Beispiel vernachlässigt. Bemessungswert der Druckkraft in Faserrichtung (ständig wirkend) Fc,0,d = 1,35 · 133,3 = 180 kN

2.6.3 Modifikationsbeiwert Nutzungsklasse 1 nach Tafel 1-15 (beheizter Innenraum) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last

2.6.4 Knicken um die y-Achse (Ersatzstabverfahren) Knicklänge nach Tafel 4-5, Zeile 2 (Pendelstütze) lef,y = 1,0 · 5,0 = 5,0 m = 500 cm

Schlankheitsgrad nach Tafel 4-1, Zeile 2

λy = 500/(0,289 · 32) = 54

11

Bezogener Schlankheitsgrad nach Tafel 4-1, Zeile 2

λrel,c,y =

500 2,40 ⋅ = 0,822 ʌ ⋅ 0,289 ⋅ 32 1050

Knickbeiwert kc,y nach Tafel 4-1 (oder aus Tafel 4-4 für λy = 54) k y = 0,5 ⋅ [1 + 0,1 ⋅ (0,822 − 0,3) + 0,8222 ] = 0,864 kc,y = 1/ (0,864 + 0,8642 − 0,8222 )

= 0,885 ≤ 1

Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Bemessungswert der Druckfestigkeit nach Gl. (2-2) fc,0,d = 0,6 · 2,40/1,3 = 1,11 kN/cm2

Nachweis der Tragfähigkeit für Knicken um die y-Achse nach Gl. (4-1) oder nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. 180/(16 ⋅ 32) = 0,36 ≤ 1 0,885 ⋅ 1,11

297

2 Beispiele

2.6.5 Knicken um die z-Achse (Ersatzstabverfahren) Knicklänge nach Tafel 4-5, Zeile 2 (Pendelstütze) lef,z = 1,0 ⋅ 5,0 = 5,0 m = 500 cm

Schlankheitsgrad nach Tafel 4-1, Zeile 2

λz = 500/(0,289 ⋅ 16) = 108 Bezogener Schlankheitsgrad nach Tafel 4-1, Zeile 2

λrel,c,z =

500 2, 40 ⋅ = 1, 646 ʌ ⋅ 0, 289 ⋅16 1050

Knickbeiwert kc,z nach Tafel 4-1 (oder aus Tafel 4-4 für λz = 108) kz = 0,5 ⋅ [1 + 0,1 ⋅ (1, 646 − 0,3) + 1, 6462 ]

= 1,922

kc,z = 1/(1,922 + 1,9222 − 1, 6462 )

= 0,343 ≤ 1

Bemessungswert der Druckfestigkeit s. Knicken um die y-Achse Nachweis der Tragfähigkeit für Knicken um die z-Achse nach Gl. (4-2) oder nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. 180/(16 ⋅ 32) = 0,92 ≤ 1 0,343 ⋅1,11

2.6.6 Querschnittsschwächungen und -tragfähigkeit im Druckstab Die Querschnittstragfähigkeit nach Gl. (3-4) für Druck in Faserrichtung ist bei knickgefährdeten Druckstäben zusätzlich zum Knicknachweis nachzuweisen, wenn Querschnittsschwächungen nach Abschn. 2.3.1 in den überwiegend nicht knickgefährdeten Stabbereichen, z.B. in der Nähe der Auflager, vorhanden sind. Liegen jedoch Querschnittsschwächungen in den knickgefährdeten Stabbereichen wie innerhalb des mittleren Drittels der Knicklänge vor, sind diese beim Knicknachweis gesondert zu berücksichtigen. Hierzu sind die Druckspannungen mit der Nettofläche An zu ermitteln, planmäßige Ausmitten aus Querschnittsschwächungen nach Gl. (4-3) und (4-4) oder nach „Druck und Biegung, Ersatzstabverfahren“ der Tafel 1-1 in diesem Abschn. zu berücksichtigen.

2.7 Berechnung der Ersatzlast qd und Qd für eine Aussteifungskonstruktion zwischen Brettschichtträgern (Parallelträgern) Fortführung des Beispiels 2.4 „Nachweis eines Biegeträgers aus Brettschichtholz“

11

298

Holzbau

2.7.1 Holzbaustoff, gewählt Brettschichtholz GL28c (BS 14), b/h = 16/90 cm

Charakteristische Steifigkeitskennwerte nach Tafel 1-3 E0,mean = 12 600 N/mm2 = 1 260 kN/cm2 E0,05 = 10 500 N/mm2 = 1 050 kN/cm2 Gmean = 720 N/mm2 = 72 kN/cm2 2 G05 = 600 N/mm = 60 kN/cm2 Charakteristische Biegefestigkeit nach Beispiel 2.1.4

Bild 2-9

2.7.2 Aussteifungskonstruktion vorhandener Aussteifungsabstand a in der Ebene der Brettschichtträger- (BST) Obergurte, s. auch Bild 2-6 im Beispiel 2.4.8 a = 5,0 m = Abstand der Verbandspfosten = Abstand der Einzelabstützungen in BST- Bereichen ohne Verband

Anzahl der auszusteifenden BS-Träger- Druckgurte n = 5 (in den Giebelwänden keine BST)

Anzahl der Aussteifungsverbände m=2

11

2.7.3 Kippbeiwert km Berechnung für den seitlich nicht ausgesteiften Druckgurt jeden BST- Trägers nach Tafel 8-2 Aussteifungsabstand a des seitlich nicht ausgesteiften Druckgurtes eines jeden BS- Trägers (= Stützweite l des Trägers im Beispiel), Gabellager an den Auflagern a = 15,0 m = 1500 cm Kipplängenbeiwerte a1 und a2 nach Tafel 4-9 für den gabelgelagerten Einfeldträger mit Gleichlast a1 = 1,13 und a2 = 1,44 Abstand des Lastangriffs az vom Schubmittelpunkt M nach Tafel 4-8 Lastangriff am oberen Trägerrand az = h/2 = 90/2 = 45 cm Teilsicherheitsbeiwert für Holz nach Tafel 2-1

γM = 1,3 Biegesteifigkeit B um die z-Achse für Rechteckquerschnitt nach Tafel 4-8 E = 1260/1,3 = 969 kN/cm2 B = 969 · 163 · 90/12 = 29,77 · 106 kNcm2

299

2 Beispiele

Torsionssteifigkeit T für Rechteckquerschnitt nach Tafel 4-8 G = 72/1,3 = 55,4 kN/cm2 T ӽ 55,4 · 163 · 90/3 = 6,808 · 106 kNcm2

Ersatzstablänge lef nach Tafel 4-8 lef =

1500 = 1459 cm ª 45 29, 77 º ⋅ 1,13 ⋅ «1 − 1, 44 ⋅ » 1500 6,808 ¼ ¬

Bezogener Kippschlankheitsgrad für Rechteckquerschnitt nach Tafel 4-6

λrel,m =

1459 ⋅ 90 ⋅ ʌ ⋅ 162

2,80 1, 4 ⋅ 1050 ⋅ 60

= 1, 24

Kippbeiwert km nach Tafel 4-6 oder aus Tafel 4-7 km = 1,56 – 0,75 ⋅ 1,24 = 0,63

2.7.4 Mittlere Normalkraft Nd im BST-Druckgurt eines jeden BS-Trägers Bemessungswert der Beanspruchungen (Biegung), s. Beispiel 2.4.5 My,max,d = 12,4 · 15,02/8 = 348,8 kNm Bemessungswert der mittleren Normalkraft im Druckgurt des Biegeträgers nach Tafel 8-2 N d = (1 − 0, 63) ⋅ 34880/90 = 143,4 kN

2.7.5 Ersatzlasten für eine Aussteifungskonstruktion Berechnung nach Tafel 8-2 für die Hälfte der auszusteifenden BS- Träger: n/2 = 5/2 kl = 15/15, 0 = 1

qd = 1⋅

(5/2) ⋅ 143, 4 = 0,80 kN/m 30 ⋅ 15, 0

Qd = 0,80⋅ 15, 0/2 = 6,0 kN

2.7.6 Anteilige Windlast wd auf Giebelwand für eine Aussteifungskonstruktion (hier nicht gesondert errechnet) wd = 1,20 kN/m Qw,d = 1,20 · 15,0/2 = 9,0 kN

11

300

Holzbau

2.7.7 Gesamtlast qmax,d und Qmax,d für eine Aussteifungskonstruktion qmax,d = 0,80 + 1,20 = 2,0 kN/m Qmax,d = 6,0 + 9,0 = 15,0 kN

2.7.8 Einzelabstützungen, Mindeststeifigkeit nach Tafel 8-1 I z = 90 ⋅ 163 /12 =

= 30 720 cm4

K u,mean = 4 ⋅ ʌ 2 ⋅ 1260 ⋅ 30720/5003

= 12,2 kN/cm

2.8 Nachweis der Durchbiegungen eines Parallelträgers aus Brettschichtholz (Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit) Fortführung des Beispiels 2.4 „Nachweis eines Biegeträgers aus Brettschichtholz“

2.8.1 Holzbaustoff, gewählt Brettschichtholz GL28c (BS 14), b/h = 16/90 cm

Charakteristische Steifigkeitskennwerte nach Tafel 1-3 E0,mean = 12 600 N/mm2

11

Gmean =

720 N/mm2

Bild 2-10

= 1 260 kN/cm2 =

72 kN/cm2

2.8.2 Einwirkungen Charakteristische Lasten: senkrechte, gleichmäßige Linienlasten (Gleichlasten), s. Beispiel 2.4.2 qz,g,k = 5,00 kN/m aus ständiger Last qz,s,k = 3,75 kN/m aus Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Nachweise der Gebrauchstauglichkeit sind mit den charakteristischen Werten der Einwirkungen zu führen, s. Abschn. 10.

2.8.3 Querschnittswerte und Überhöhung Flächenmoment 2. Grades Iy = 16 · 903/12 = 972 000 cm4

301

2 Beispiele

Parabelförmige Überhöhung des Parallelträgers aus Brettschichtholz, in Feldmitte w0 = 4, 0 cm

2.8.4 Verformungsbeiwert und weitere Beiwerte Nutzungsklasse 1, s. Beispiel 2.4.3 Verformungsbeiwert nach Tafel 1-14 kdef = 0,6 Beiwerte nach DIN 1055-100, Tab. A.2, für Schneelast, oder nach Abschn. Lastannahmen, Tafel 1-X ȥ0 = 0,5 und ȥ2 = 0,0

(Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m)

2.8.5 Anfangs- und Enddurchbiegungen nach Tafel 10-1 Elastische Anfangsdurchbiegung aus ständiger Einwirkung qz,g,k 5 0, 050 ⋅ 15004 ⋅ = 2, 69 cm 384 1260 ⋅ 972000 aus veränderlicher Einwirkung (Schneelast qz,s,k)

wG,inst =

wQ,inst = 2, 69 ⋅ 3, 75/5, 00 = 2, 02 cm Enddurchbiegungen aus ständiger Einwirkung qz,g,k wG,fin = 2, 69 ⋅ (1 + 0, 6) = 4,30 cm

aus veränderlicher Einwirkung (Schneelast qz,s,k) wQ,fin = 2, 02 ⋅ (1 + 0, 0 ⋅ 0, 6) = 2, 02 cm

2.8.6 Kombination der Durchbiegungen in der charakteristischen, seltenen (rare) Bemessungssituation nach Tafel 10-3 (bzw. Tafel 10-2) Kombination der elastischen Anfangsdurchbiegung elastische Anfangsdurchbiegung, gesamt (falls erforderlich) winst,rare = 2, 69 + 2, 02 = 4, 71 cm elastische Anfangsdurchbiegung infolge veränderlicher Einwirkungen

11

302

Holzbau

wQ,inst,rare = 4, 71 − 2, 69 = 2, 02 cm

empfohlener Grenzwert wQ,inst,max ≤ 1500/300 = 5, 0 cm

Nachweis wQ,inst,rare wQ,inst,max

=

2, 02 = 0, 40 ≤ 1 5, 0

Kombination der Enddurchbiegungen Enddurchbiegungen, gesamt wfin,rare = 4,30 + 2, 02 = 6,32 cm Enddurchbiegung abzgl. Anfangsdurchbiegung infolge ständiger Lasten wfin,net,rare = 6,32 − 2, 69 = 3, 63 cm festgelegter Grenzwert, abweichend vom empfohlenen wfin,rare,max ≤ 1500/300 = 5, 0 cm

Nachweis wfin,net,rare wfin,rare,max

=

3, 63 = 0, 73 ≤ 1 5, 0

2.8.7 Kombination der Durchbiegungen in der quasi-ständigen (perm) Bemessungssituation nach Tafel 10-3 (bzw. Tafel 10-2) Kombination der Enddurchbiegungen Enddurchbiegung, gesamt

11

wfin,perm = 4,30 + 0, 0 ⋅ 2, 02 = 4,30 cm

Enddurchbiegung abzgl. vorhandener Überhöhung w0 = 4, 0 cm wfin,net,perm = 4,30 − 4, 0 = 0,30 cm

festgelegter Grenzwert, abweichend vom empfohlenen wfin,perm,max ≤ 1500/300 = 5, 0 cm

Nachweis wfin,net,perm wfin,perm,max

=

0,3 = 0, 06 ≤ 1 5, 0

2.9 Bemessung einer Verbindung mit Stabdübeln, Anschluss einer Zug-Diagonalen an einen Gurt Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk

303

2 Beispiele

2.9.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel, gewählt Holzbaustoff: Nadel-Vollholz, C24 (S10), für Gurt- und Diagonalstab Charakteristischer Rohdichtekennwert nach Tafel 1-1

ρk = 350 kg/m3 Stiftförmige Verbindungsmittel Stabdübel ∅ 12 mm, Nennstahlgüte S 235

Bild 2-11

Charakteristische Festigkeit nach Tafel 14-4 oder nach Tafel 1-2 in diesem Abschn. fu,k = 360 N/mm2

2.9.2 Einwirkungen Charakteristische Zugkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Ft,g,k = 10,0 kN aus ständiger Last Ft,s,k = 21,0 kN aus Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Bemessungswerte der Zugkraft aus ständiger Last Ft,g,d = 1,35 ⋅ Ft,g,k = 1,35 ⋅ 10,0

= 13,5 kN

aus veränderlicher Last Ft,s,d = 1,5 ⋅ Ft,s,k = 1,5 ⋅ 21,0 = 31,5 kN Kombination der Einwirkungen (Lasten) nach Tafel 1-1 in diesem Abschn. Ft,d = 1,35 ⋅ Ft,G,k + 1,5 ⋅ Ft,s,k = 13,5 + 31,5

= 45,0 kN

2.9.3 Modifikationsbeiwerte Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last (Eigenlast) bzw. „kurz“ für Schneelast (Geländehöhe des Bauwerkstandortes über NN ” 1000 m) Modifikationsbeiwerte nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last bzw. = 0,9 für Schneelast

11

304

Holzbau

2.9.4 Maßgebende Kombination der Einwirkungen Der größte Quotient aus Ft,d/kmod ergibt die für die Bemessung maßgebende Kombination. aus ständiger Last Ft,g,d/kmod = 13,5/0,6 = 22,5 ständige und veränderliche Last Ft,d/kmod = 45,0/0,9 = 50,0 (maßgebend) Anmerkung: Bei der Bemessung muss mit Ft,d = 45,0 kN gerechnet werden.

2.9.5 Abstände der Stabdübel nach Tafel 14-5 oder nach Tafel 1-5 in diesem Abschn. Winkel α zwischen Kraft- und Faserrichtung Gurtstab: α = 45° Diagonalstab α = 0° Diagonalstab: α = 0° (Fußzeiger D) a1,D,min = (3 + 2⋅cos 0° )⋅12 = 60 mm > a1,D,min

a1,D

= 50,0/sin 45°

= 71 mm

a2,D

= 50 mm

> a2,D,min = 3 · 12

a1,t,D

= (50,0 + 20,0)/sin 45° = 99 mm > a1,t,D,min

= 60 mm = 36 mm = 7 · 12 = 84 mm • 80 mm

11

a2,c,D

= 45 mm

> a2,c,D,min = 3 ⋅ 12

= 36 mm

Gurtstab: α = 45° (Fußzeiger G) a1,G,min = (3 + 2⋅cos 45°) · 12

= 53 mm

a1,G

= 50,0/sin 45°

= 71 mm

> a1,G,min = 53 mm

a2,G

= 50 mm

> a2,G,min

= 3 · 12

= 36 mm

a2,t,G

= 50 mm

> a2,t,G,min = 3 · 12

= 36 mm

a2,c,G

= 50 mm

> a2,c,G,min = 3 · 12

= 36 mm

2.9.6 Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit eines Stabdübels Charakteristische Lochleibungsfestigkeit nach Tafel 14-4 oder Tafel 1-2 in diesem Abschn. Diagonalstab: α = 0°, (Seitenholz, gewählt als Stab 1 mit der höheren Lochleibungsfestigkeit)

305

2 Beispiele

fh,1,0,k

= 25,26 N/mm2

= 0,082⋅(1 – 0,01⋅12)⋅ 350

Gurtstab: α = 45° , (Mittelholz, gewählt als Stab 2 mit der niedrigeren Lochleibungsfestigkeit) k90

= 1,35 + 0,015 ⋅ 12

= 1,53

fh,2,0,k

= fh,1,0,k = 0,082 ⋅ (1 – 0,01⋅12)⋅ 350

= 25,26 N/mm2

fh,2,45,k = 25, 26/(1,53 ⋅ sin 2 45° + cos 2 45°) = 25,26/1,265 = 19,97 N/mm2 Charakteristischer Wert des Fließmomentes nach Tafel 14-4 oder Tafel 1-2 in diesem Abschn. My,k

= 0,3 · 360 · 122,6

= 69 070 Nmm

Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit eines Stabdübels nach Tafel 14-1 oder Tafel 1-2 in diesem Abschn., Holz-Holz-Verbindung, zweischnittig auf Abscheren, pro Scherfuge, s. auch Tafel 14-6

β

= 19,97/25,26

Rk =

= 0,791

2 ⋅ 0, 791 ⋅ 2 ⋅ 69070 ⋅ 25, 26 ⋅ 12 = 0,9398 ⋅ 6471 1 + 0, 791

= 6,08 kN

2.9.7 Mindestdicken der Seiten- und Mittelhölzer und Mindesteindringtiefen nach Tafel 14-1 und 14-6 oder nach Tafel 1-2 in diesem Abschn. für Seitenholz (Diagonale) § · 0, 791 69070 t1,req = 1,15 ⋅ ¨¨ 2 ⋅ + 2 ¸¸ ⋅ = 57,8 mm 1 + 0, 791 © ¹ 25, 26 ⋅ 12 < 80 mm = t1 (Holzdicke) < 80 mm = t1 (Eindringtiefe des Stabdübels)

für Mittelholz (Gurtstab), zweischnittig beansprucht § · 4 69070 t2,req = 1,15 ⋅ ¨ ⋅ ¨ 1 + 0, 791 ¸¸ 19,97 ⋅ 12 © ¹

= 58,4 mm

< 120 mm = t2 (Holzdicke) < 120 mm = t2 (Eindringtiefe des Stabdübels) Anmerkung: Die Angaben für die Mindestdicken (-Eindringtiefen) der Seiten-Mittelhölzer in Tafel 14-6 gelten für den Fall, dass der Stab 1 mit niedrigerer und der Stab 2 mit höherer Lochleibungsfestigkeit gewählt werden. Im vorliegenden Beispiel wird umgekehrt verfahren. Werden wie im Beispiel den Stäben 1 (höhere) und 2 (niedrigere) die „umgekehrten“ Lochleibungsfestigkeiten vergeben, können die zyklisch vertauschten ti,req der Seitenhölzer nach Tafel 14-6 benutzt werden, lediglich die Mindestdicke des Mittelholzes t2,req ist neu zu berechnen, da sie gegenüber dem Tafelwert prinzipiell größer wird.

11

306

Holzbau

2.9.8 Wirksame Anzahl nef der Stabdübel nach Gl. (14-2) oder Tafel 1-4 in diesem Abschn. Diagonalstab: α = 0° , (Seitenholz) Anzahl der Stabdübel, die in Faserrichtung hintereinander liegen, zwei Gruppen zu je n = 3 Stabdübel Abstand der Stabdübel untereinander in Faserrichtung a1 = 71 mm für eine Gruppe zu je n = 3 Stabdübel: 90 − 0 0 =3 + 3⋅ 90 90 § 71 · 90 − 0 0 nef = ¨¨ 30,9 ⋅ 4 ¸¸ ⋅ 90 + 3 ⋅ 90 = 2,36 ⋅ 10 12 © ¹ für zwei Gruppen zu je 3 Stabdübel: nef = 3 ⋅

nef = 2 · 2,36

= 4,72 (maßgebend)

Gurtstab: α = 45° , (Mittelholz) Anzahl der Stabdübel, die in Faserrichtung hintereinander liegen, drei Gruppen zu je n = 2 Stabdübel Mindestabstand der Stabdübel untereinander in Faserrichtung bei 0° < Į < 90° nach Gl. (14-2) und Tafel 14-5 oder nach Tafel 1-5 in diesem Abschn. a1 = (3 + 2⋅cos 0° )⋅12 = 60 mm für eine Gruppe zu je n = 2 Stabdübel: 90 − 45 45 + 2⋅ =2 90 90 § 60 · 90 − 45 45 = ¨¨ 20,9 ⋅ 4 + 2⋅ = 1,78 ¸¸ ⋅ ⋅ 10 12 90 90 © ¹

nef = 2 ⋅

11

nef

für drei Gruppen zu je 2 Stabdübel: nef = 3 · 1,78

= 5,34

2.9.9 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Stabdübelverbindung zweischnittig, auf Abscheren Anzahl der Scherfugen, gesamt n = 2 · 6 = 12 Scherfugen > nmin = 4 Scherfugen nach Tafel 14-3 Teilsicherheitsbeiwert für Stahl in Verbindungen nach Tafel 2-1 auf Biegung beanspruchte stiftförmige Verbindungsmittel

γM = 1,1 Bemessungswert der Tragfähigkeit nach Gl. (14-1) oder nach Tafel 1-2 in diesem Abschn.

307

2 Beispiele

für einen Stabdübel mit einer Scherfuge (einschnittig) Rd =

0,9 ⋅ 6, 08 = 4,97 kN 1,1

für einen Stabdübel mit vorhandenen zwei Scherfugen (zweischnittig): Rd = 4,97 · 2 = 9,94 kN wirksame (rechnerisch anzusetzende) Anzahl der Stabdübel, maßgebende wirksame Anzahl von Stabdübel aus 2.9.8 nef = 4,72 für zwei Gruppen zu je 3 = 6 Stabdübel Bemessungswert der Tragfähigkeit für alle 6 zweischnittigen Stabdübel Rtot,d = 4,72 ⋅ 9,94 = 46,9 kN Nachweis Ft,d Rtot,d

=

45, 0 = 0,96 ≤ 1 46,9

Nachweis der Zugverbindung und Querzugnachweis nach Abschn. 3.1.3 bzw. 6.3 führen.

2.10 Bemessung einer Verbindung eines Zugstoßes mit Ringdübeln A1 Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk

2.10.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel, gewählt

11

Holzbaustoff: Nadel-Vollholz, C 30 (S13), für Seiten- und Mittelholz Charakteristischer Rohdichtekennwert nach Tafel 1-1

ρk = 380 kg/m3 Verbindungsmittel: Ringdübel A1 nach Tafel 15-4 2 · 6 = 12 Ringdübel A1 ∅ 65 mm, mit 6 Bolzen M 12, U.S. 58/6 mm jeweils einschnittig, auf Abscheren

Bild 2-12

308

Holzbau

2.10.2 Einwirkungen Charakteristische Zugkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Ft,g,k = 75 kN aus ständiger Last Bemessungswert der Zugkraft aus ständiger Last Ft,d = 1,35 · Ft,g,k = 1,35 · 75 = 101,3 kN

2.10.3 Modifikationsbeiwert Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last

2.10.4 Einzuhaltende Bedingungen für den Basiswert der Ringdübel A1 nach Tafel 15-2, Zeile 1 bzw. Tafel 15-4 Winkel Į Kraft-Faserrichtung Į = 0: Įvorh = 0° für Seiten- und Mittelholz Charakteristische Rohdichte der miteinander verbundenen Bauteile: ȡk

• 350 kg/m3:

ȡk,vorh = 380 kg/m3 für Seiten- und Mittelholz

11

Endabstand der Dübel vom belasteten Hirnholzende in Faserrichtung: a1,t

• 2 · dc

a1,t,min = 2 · 65

= 130 mm

< a1,t,vorh = 150 mm

Randabstand der Dübel vom Holzrand ŏ Faserrichtung: a2,t (c) • 0,6·dc a2,t (c),min = 0,6·65 = 39 mm < a2,c,vorh

= 60 mm

Seitenholzdicke t1 • 3·he t1,req • 3·15

= 45 mm < t1,vorh

= 120 mm

= 75 mm < t2,vorh

= 160 mm

Mittelholzdicke t2 • 5·he t2,req • 5·15

309

2 Beispiele

2.10.5 Weitere Mindestabstände der Ringdübel A1 nach Tafel 15-3 bzw. 15-4 Winkel α zwischen Kraft- und Faserrichtung

α = 0° für Seiten- und Mittelholz a1,min = (1,2 + 0,8⋅cos 0° ) ⋅ 65 = 130 mm < a1,vorh = 150 mm a2,min = 1,2 ⋅ 65 a1,t s. oben nicht vorhanden a1,c nicht vorhanden a2,t s. oben a2,c

= 78 mm < a2,vorh = 80 mm

2.10.6 Beiwerte zur Berechnung der charakteristischen Tragfähigkeit (Basiswert) nach Tafel 15-2 Winkel zwischen Kraft- und Faserrichtung kĮ = 1

Į = 0:

charakteristische Rohdichte ȡk der verbundenen Bauteile ȡk = 380 kg/m3:

kȡ = 380/350

= 1,086 ” 1,75 Seitenholz- und Mittelholzdicken eingehalten, s. oben: kt = 1 Endabstand a1,t • 2·dc der Ringdübel vom belasteten Hirnholzende in Faserrichtung: eingehalten, s. oben: ka1 = 1

2.10.7 Charakteristischer Wert der Tragfähigkeit einer Verbindungseinheit Basiswert nach Tafel 15-4 für Ringdübel A1 ∅ 65 mm Rc,0,k = 18,3 kN oder nach Tafel 15-2, Zeile 1 Rc,0,k =

35 ⋅ 651,5 = 18340 N (maßgebend) bzw.

Rc,0,k = 31,5 ⋅ 65 ⋅15 = 30710 N eine Verbindungseinheit nach Gl. (15-1) Rc,0(Į),k = 1,0 · 1,086 · 1,0 · 1,0 · 18,3 = 19,9 kN

11

310

Holzbau

2.10.8 Wirksame Anzahl der Ringdübel in Faserrichtung hintereinander Seiten- und Mittelholz: α = 0° , Anzahl der Ringdübel, die in Faserrichtung hintereinander liegen je Seite zwei Gruppen zu je n = 3 Ringdübel, insgesamt: vier Gruppen zu je n = 3 Ringdübel wirksame Anzahl nef für eine Gruppe zu n = 3 Ringdübel nach Gl. (15-4) für n > 2: ª 3 · º 90 − 0 0 § nef = « 2 + ¨ 1 − ¸ ⋅ ( 3 − 2 ) » ⋅ + 3⋅ = 2,85 20 90 90 © ¹ ¬ ¼

wirksame Anzahl für vier Gruppen zu je n = 3 Ringdübel nef = 4 · 2,85 = 11,4

2.10.9 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Ringdübelverbindung Bemessungswert für eine Verbindungseinheit mit einem Ringdübel A1 nach Gl. (15-2) Rc,0(α ),d =

0, 6 ⋅19,9 = 9,18 kN 1,3

wirksame (rechnerisch anzusetzende) Anzahl aller Verbindungseinheiten mit je einem Ringdübel A1 maßgebende wirksame Anzahl aus 2.10.8 nef = 11,4 für vier Gruppen zu je 3 = 12 Verbindungseinheiten Bemessungswert der Tragfähigkeit aller Verbindungseinheiten mit Ringdübeln A1 nach Gl. (15-3)

11

Rj,d = 11,4 · 9,18 = 104,7 kN Nachweis Ft,d R j,d

=

101,3 = 0,97 ≤ 1 104, 7

Nachweis der Zugverbindung nach Abschn. 3.1.3 führen

2.11 Bemessung einer Verbindung mit Nägeln (Abscheren), Anschluss einer Zug-Diagonalen an einen Gurt Umgebungsklima: überdachtes Tragwerk, Einbaufeuchte Ȧ < 20 %

311

2 Beispiele

Bild 2-13

2.11.1 Holzbaustoff und Verbindungsmittel, gewählt: Holzbaustoff: Nadel-Vollholz C 24 (S10) für Gurt- und Diagonalstab Charakteristischer Rohdichtekennwert nach Tafel 1-1

ρk = 350 kg/m3 Stiftförmige Verbindungsmittel glattschaftige Nägel 3,4 × 90 mm, nicht vorgebohrt, nach Tafel 14-18 Charakteristische Festigkeit (Mindestzugfestigkeit) nach Tafel 14-13 fu,k = 600 N/mm2

2.11.2 Einwirkungen Charakteristische Zugkraft aus Statischer Berechnung (hier nicht dargestellt) Ft,g,k = 9,0 kN aus ständiger Last Bemessungswert der Zugkraft aus ständiger Last Ft,d = Ft,g,d = 1,35 · Ft,g,k = 1,35 · 9,0 = 12,15 kN

2.11.3 Modifikationsbeiwerte Nutzungsklasse 2 nach Tafel 1-15 (überdachtes Tragwerk) Lasteinwirkungsdauer nach Tafel 1-16 und 1-17 „ständig“ für ständige Last (Eigenlast) Modifikationsbeiwert nach Tafel 1-13 kmod = 0,6 für ständige Last

11

312

Holzbau

2.11.4 Abstände der Nägel nach Tafel 14-16 oder nach Tafel 1-7 in diesem Abschn. Winkel α zwischen Kraft- und Faserrichtung α = 45° Gurtstab: Diagonalstab α = 0° Nägel nicht vorgebohrt, Charakteristischer Rohdichte

ρk = 350 kg/m3 ” 420 kg/m3 Nageldurchmesser

d = 3,4 mm < d = 5 mm

Anmerkung: Bei den Mindestabständen darf der Winkel α berücksichtigt werden. Diagonale: α = 0° (Fußzeiger D) a1,D,min a1,D

= (5 + 5⋅cos 0°) ⋅ 3,4 = 30/sin 45°

a2,D

= 30 mm > a2,D,min = 5 ⋅ 3,4

= 17 mm

a1,t,D,min a1,t,D

= (7 + 5⋅cos 0°) ⋅3,4 = 35/sin 45°

= 41 mm = 50 mm

a2,c,D

> a1,t,D,min = 35 mm > a2,D,min = 5 · 3,4

= 41 mm = 17 mm

= 34 mm = 42 mm > a1,D,min

11

= 34 mm

Gurtstab: α = 45° (Fußzeiger G) a1,G,min a1,G

= (5 + 5⋅cos 45°) · 3,4 = 30/sin 45

a2,G

= 30 mm > a2,G,min = 5 ⋅ 3,4

= 17 mm

a2,t,G,min a2,t,G

= (5 + 2⋅sin 45°) ⋅ 3,4 = 35/sin 45°

= 22 mm = 50 mm

a2,c,G

= 35 mm > a2,G,min = 5⋅3,4

> a1,G,min

> a2,t,G,min

= 29 mm = 42 mm = 29 mm

= 22 mm = 17 mm

2.11.5 Mindestholzdicken bei Nägeln Mindestholzdicken bei Berechnung der charakteristischen Tragfähigkeit Rk nach Tafel 14-14, Zeile 1, Tafel 14-18 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. treq

= 9 · 3,4

= 31 mm

313

2 Beispiele

Anmerkung: (im Beispiel nicht vorhanden, da t = 40 mm > treq = 9 · 3,4 = 31 mm) wird treq auf eine Holzdicke t < treq = 9 · d unterschritten, ist die charakteristische Tragfähigkeit Rk nach Tafel 14-12 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. abzumindern Rk,red = Rk · t/treq charakteristische Tragfähigkeit Rk (der „letzten“ Scherfuge) rechnerisch nicht ansetzen, wenn Eindringtiefe t des Nagels in das Holz mit der Nagelspitze t<4·d im Beispiel: t = 4 · 3,4 = 13,6 mm Rk darf in voller Höhe angesetzt werden

Rk = 0 ” 90 - 40 = 50 mm

Zur Verhinderung der Spaltgefahr bei Nägeln sind einzuhalten: in Schnitthölzern ohne Vorbohrung nach Tafel 14-14, Tafel 14-18 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. entweder nach Tafel 14-14, Zeile 2 Mindestholzdicken t in Bauteilen aus Nadelholz außer Kiefernholz t = 14 · 3,4 = 48 mm (maßgebend) oder t = (13 · 3,4 – 30) · 350/200 = 25 mm oder nach Tafel 14-14, Zeile 3 und 4: bei Einhaltung folgender größerer Mindestrandabstände (Nägel ohne Vorbohrung) a2,t und a2,c • 10 ⋅ d (für ρk = 350 kg/m3 ” 420 kg/m3) die Mindestholzdicken t in Bauteilen aus Nadelholz t = 7 · 3,4 = 24 mm (maßgebend) oder t = (13 · 3,4 – 30) · 350/400 = 12 mm (t-Werte gelten auch für Bauteile aus Kiefernholz bei Einhaltung der Mindestabstände nach Tafel 14-16, ohne Einhalten der größeren Randabstände a2,t und a2,c • 10 · d)

Im Beispiel werden die Bedingungen der größeren Randabstände eingehalten: a2,c,D(G) = 35 mm (Diagonale und Gurt) = 35 mm (Gurt) a2,t,G • 10 · 3,4 mm = 34 mm einzuhaltende Holzdicken t = 7 · 3,4 = 24 mm (maßgebend) < 40 mm (Gurt) < 120 mm (Diagonale) Mindestholzdicken für tragende Einzelquerschnitte bei Vollholz nach Tafel 2-2 nie unterschreiten tmin = 24 mm

11

314

Holzbau

2.11.6 Mindesteindringtiefe (Mindesteinschlagtiefe) der Nägel (im Holz mit der Nagelspitze) nach Tafel 14-14, Tafel 14-18 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. für Nagel 3,4 × 90 mm treq = 9 · 3,4 = 31 mm ” t = (90 – 40) = 50 mm

2.11.7 Übergreifende Nägel im Mittelholz (Gurt) nach Gl. (14-5) und Bild 14-5 (120 – 50)

= 70 mm > 4 · 3,4 = 13,6 mm Übergreifende Nägel sind im Beispiel nicht vorhanden, die Nägel können von beiden Seiten in das Mittelholz eingeschlagen werden

2.11.8 Charakteristischer Wert der Lochleibungsfestigkeit in Nagelverbindungen nach Tafel 14-13 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. Die charakteristische Lochleibungsfestigkeit ist bei Nägeln unabhängig vom Kraft-Faserwinkel α. Diagonale und Gurt: nicht vorgebohrte Hölzer (Nägel) fh,1,k = 0,082 · 350 · 3,4-0,3

= 19,88 N/mm2

2.11.9 Charakteristischer Wert des Fließmomentes nach Tafel 14-13 oder nach Tafel 1-3 in diesem Abschn.

11

für runde glattschaftige Nägel My,k = 0,3 · 600 · 3,42,6

= 4336 Nmm

2.11.10 Charakteristische Tragfähigkeit eines Nagels nach Tafel 14-12, Tafel 14-18 oder Tafel 1-3 in diesem Abschn. Holz-Holz-Verbindung, nicht vorgebohrt, einschnittig auf Abscheren, pro Scherfuge: Rk =

2 ⋅ 4336 ⋅ 19,88 ⋅ 3, 4

= 765 N

2.11.11 Wirksame Anzahl nef der Nägel für Nägel mit Durchmessern d ” 6 mm wird keine wirksame Anzahl ermittelt. nef = n da d = 3,4 mm

” 6,0 mm

315

2 Beispiele

2.11.12 Bemessungswert der Tragfähigkeit der Nagelverbindung Nagelverbindung: einschnittig, auf Abscheren, im Beispiel werden 16 Nägel je Seite eingeschlagen, Anzahl der Nägel, gesamt ntot = 2 · 16 = 32 Nägel > 2 Nägel nach Tafel 14-11 > nmin Teilsicherheitsbeiwert für Stahl in Verbindungen nach Tafel 2-1 auf Biegung beanspruchte stiftförmige Verbindungsmittel (hier: Nägel) γM = 1,1 Bemessungswert der Tragfähigkeit nach Gl. (14-1) oder nach Tafel 1-3 in diesem Abschn. für einen Nagel mit einer Scherfuge (einschnittig) Rd =

0, 6 ⋅ 765 1,1

= 417 N = 0,417 kN

für 16 Nägel einer Anschlussseite (einschnittig) Rd = 0,417 · 16

= 6,67 kN

für alle 32 Nägel beider Anschlussseiten Rtot,d = 6,67 · 2

= 13,34 kN

Nachweis der Nagelverbindung Ft,d Rtot,d

=

12,15 = 0,91 ≤ 1 13,34

Weitere Nachweise: (hier nicht geführt) Nachweis der Zugverbindung und Querzugnachweis nach Abschn. 3.1.3 bzw. 6.3 führen

11

Glasbau Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Bernhard Weller, Dipl.-Ing. Dipl.-Wirt.-Ing. Stefan Reich und Dipl.-Ing. Jan Wünsch

Inhalt 1 Grundlagen............................................................................................................................. 319 1.1 Abkürzungen und Formelzeichen Abkürzungen ........................................................ 319 1.2 Materialeigenschaften ................................................................................................. 320 1.3 Baurechtliche Situation ............................................................................................... 320 2 Bemessung ............................................................................................................................. 321 2.1 Allgemeines ................................................................................................................ 321 2.2 Bemessung nach TRLV .............................................................................................. 321 2.3 Bemessung nach TRAV ............................................................................................. 322 3 Einwirkungen ......................................................................................................................... 323 3.1 Allgemeines ................................................................................................................ 323 3.2 Isochorer Druck .......................................................................................................... 323 3.3 Einwirkungskombinationen nach TRLV .................................................................... 324 3.4 Einwirkungskombinationen nach TRAV.................................................................... 325 4 Berechnungsverfahren ........................................................................................................... 325 4.1 Allgemeines ................................................................................................................ 325 4.2 Berechnungstafeln für allseitig linienförmig gelagerte Verglasungen ....................... 325 4.3 Mehrscheiben-Isolierglas ............................................................................................ 331 5 Beispiele................................................................................................................................. 332 5.1 Vertikalverglasung eines Kastenfensters .................................................................... 332 5.2 Isolierverglasung eines Atriums ................................................................................. 334 5.3 Überkopfverglasung eines unbeheizten Parkhauses ................................................... 339 5.4 Absturzsichernde Verglasung der Kategorie A .......................................................... 342 5.5 Begehbare Verglasung aus Verbund-Sicherheitsglas ................................................. 344 6 Literatur ................................................................................................................................. 348

1 Grundlagen 1.1 Abkürzungen und Formelzeichen Abkürzungen BRL ESG ESG-H MIG PVB SPG SZR TVG VG VSG Formelzeichen a, b a* a' BV B' c c1 , c 2 cpe d da di dPVB dSZR d* E g h H K mx, my P p p0 q s vorh. w vorh. σ w zul. w zul. σ

α γ

ΔH

Bauregellisten Einscheiben-Sicherheitsglas Heißlagerungsgeprüftes Einscheiben-Sicherheitsglas Mehrscheiben-Isolierglas Polyvinyl-Butyral Spiegelglas Scheibenzwischenraum Teilvorgespanntes Glas Verbundglas Verbund-Sicherheitsglas Seitenlängen Charakteristischen Kantenlänge Kürzere Seitenlänge Beiwert zur Ermittlung der charakteristischen Kantenlänge Längere Seitenlänge Spezifische Wärmekapazität Beiwert zur Ermittlung des isochoren Druckes Aerodynamischer Beiwert Plattendicke Dicke der äußeren Einzelscheibe eines MIG Dicke der inneren Einzelscheibe eines MIG Dicke der PVB-Folie eines VSG Dicke des SZR eines MIG Ersatzdicke der Platte bei VSG und VG Elastizitätsmodul Eigengewicht Holmlast, Gebäudehöhe Ortshöhe Plattensteifigkeit Momente Einzellast Verkehrslast Isochorer Druck Gleichlast Schneelast Vorhandene Durchbiegung Vorhandene Spannung Windlast Zulässige Durchbiegung Zulässige Spannung Mittlerer thermischer Ausdehnungskoeffizient Wichte Differenz der Ortshöhe zwischen Einbau- und Herstellungsort

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Glasbau

ΔT Δpmet δa, δi ηx, ηy

ηw λ μ ρ ϕ

Differenz der Temperatur zwischen Gebrauchszustand und Herstellung Differenz des meteorologischen Luftdruckes Anteile der Einzelscheiben an der Gesamtbiegesteifigkeit Momentenbeiwerte Durchbiegungsbeiwert Wärmeleitfähigkeit Querdehnzahl/Poissonzahl, Formbeiwert der Schneelast Dichte Faktor zur Ermittlung der Einwirkungsverteilung

1.2 Materialeigenschaften Der Werkstoff Glas verfügt, wie Stahl, über elastisches Materialverhalten und besitzt eine hohe Druckfestigkeit. Aufgrund seiner hohen Sprödigkeit ist Glas jedoch nicht in der Lage, lokale Spannungsspitzen durch Plastifizierung abzubauen. Die Zugfestigkeit von Glas wird stark von der Oberflächenbeschaffenheit beeinflusst. Kleinste Mikrorisse in der Oberfläche fuhren zu Spannungsspitzen und am Ende zum spontanen Versagen des Glases. Die physikalischen Eigenschaften von Basisgläsern sind in der DIN EN 572-1 [1] angegeben und in Tafel 1-1 zusammengefasst dargestellt. Tafel 1-1 Eigenschaften von Kalk-Natronglas Eigenschaft Dichte ρ Elastizitätsmodul E Querdehnzahl μ Spezifische Wärmekapazität c Mittlerer thermischer Ausdehnungskoeffizient α (20° C bis 300° C) Wärmeleitfähigkeit k

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Einheit kg/m3 N/mm2 – J/(kg · K)

Kalk-Natronglas DIN EN 572-1 2,5 · 103 7,0 · 104 0,2 0,72 · 103

K–1

9,0 · 10–6

W/(m · K)

1,0

Die in den Berechnungen anzusetzenden Werte werden in der TRLV [14] mit μ = 0,23 und E = 70000 N/mm2 festgelegt.

1.3 Baurechtliche Situation Neben reinen Berechnungs- und Bemessungskriterien sind bei der Ausführung von Verglasungen auch konstruktive Bestimmungen zu berücksichtigen. Dazu zählen beispielsweise der Glaseinstand, die Auflagerausbildung oder Abmessungsbeschränkungen. Die zurzeit bauaufsichtlich eingeführten Regelwerke für die Berechnung und Bemessung von Glasbauteilen sind die DIN 18516-4 „Außenwandbekleidung, hinterlüftet aus Einscheibensicherheitsglas“ [12], die „Technischen Regeln für die Verwendung von linienförmig gelagerten Verglasungen (TRLV)“ [14], die „Technischen Regeln für die Verwendung von absturzsichernden Verglasungen (TRAV)“ [13] sowie die „Technischen Regeln für die Bemessung und die Ausführung punkförmig gelagerter Verglasungen (TRPV)“ [15]. Darüber hinaus sind bei der Anwendung oben genannter Regelwerke die zusätzlichen Bestimmungen aus den Bauregellisten [16] und aus der Liste der Technischen Baubestimmungen des jeweiligen Bundeslandes anzuwenden.

321

2 Bemessung

Bauteile aus Glas, die nicht durch eine der eingeführten Regelwerke zu erfassen sind und für die keine allgemeine bauaufsichtliche Zulassung (abZ) oder ein allgemeines bauaufsichtliches Prüfzeugnis (abP) vorliegt, unterliegen stets der Zustimmung im Einzelfall (ZiE). Die ZiE wird durch die oberste Baubehörde des jeweils zuständigen Bundeslandes erteilt. Die Anforderungen im Rahmen der ZiE sind mit der zuständigen Behörde abzuklären.

2 Bemessung 2.1 Allgemeines Gegenwärtig wird die Bemessung von Glas nach dem deterministischen Sicherheitskonzept durchgeführt. Die vorhandenen Regelwerke und allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassungen geben die zulässigen Spannungen unter Berücksichtigung eines globalen Sicherheitsfaktors an. Der Nachweis der Tragfähigkeit ist nach Gleichung (2-1) und der Nachweis der Gebrauchstauglichkeit nach Gleichung (2-2) zu führen. vorh. σ ≤ zul. σ vorh. w ≤ zul. w

(2-1) (2-2)

2.2 Bemessung nach TRLV Die zulässigen Spannungen nach TRLV [14] gelten für linienförmig gelagerte Verglasungen. Unterschieden wird in Vertikal- und Überkopfverglasungen, wobei sich die Überkopfverglasung über einen Neigungswinkel von mehr als 10° zur Vertikalen definiert. Tafel 2-1 Zulässige Biegezugspannungen in N/mm2 [14] Glassorte ESG aus Spiegelglas ESG aus Gussglas Emailliertes ESG aus Spiegelglas2) Spiegelglas Gussglas VSG aus Spiegelglas TVG aus Spiegelglas 4) Emailliertes TVG aus Spiegelglas2) 4) 1) 2) 3) 4)

Überkopfverglasung1)

Vertikalverglasung

50 37 30 12 8 15 (25 3)) 29 18

50 37 30 18 10 22,5 29 18

Winkel zur Vertikalen > 10° . Emaille auf der Zugseite. Nur für die untere Scheibe einer Überkopfverglasung aus Isolierglas beim Lastfall „Versagen der oberen Scheibe“ zulässig. Die angegebenen Werte sind nicht der TRLV entnommen. Die zulässigen Spannungen sind mit der jeweiligen allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassung abzugleichen.

Die Beanspruchbarkeit von Spiegelgläsern, resultierend aus dem bruchmechanischen Verhalten, wird im Wesentlichen von den Einflussfaktoren Beanspruchungsdauer und Flächengröße bestimmt. Daraus ergeben sich unterschiedliche zulässige Spannungen für Vertikal- und Überkopfverglasungen. Thermisch vorgespannte Gläser zeigen diese Abhängigkeiten im Bereich der zulässigen Spannungen aufgrund des Vorspannungseffektes nicht.

12

322

Glasbau

Zusätzlich dürfen die Biegezugspannungen aus Tafel 2-1 bei Überlagerung von statischen Einwirkungen nach Abschnitt 4.1 der TRLV und klimatischen Einwirkungen nach Abschnitt 4.2 der TRLV um 15 % erhöht werden. Bei Vertikalverglasungen mit Scheiben aus Spiegelglas, einer Glasfläche von bis zu 1,6 m2 und der oben genannten Einwirkungskombination dürfen die zulässigen Biegespannungen um 25 % vergrößert werden. Zur Sicherstellung der Gebrauchstauglichkeit und Lagesicherung der Verglasung sind die in Tafel 2-2 angegebenen Durchbiegungsbegrenzungen einzuhalten. Tafel 2-2 Durchbiegungsbegrenzungen [14] Überkopfverglasung1)

Lagerung Vierseitig Zwei- und dreiseitig 1) 2) 3) 4)

Vertikalverglasung

1/100 der Scheibenstützweite in Haupttragrichtung2)

Keine Anforderung3)

Einfachverglasung: 1/100 der Scheibenstützweite in Haupttragrichtung

1/100 der freien Kante4)

Scheiben der Isolierverglasung: 1/200 der freien Kante

1/100 der freien Kante3)

Winkel zur Vertikalen > 10°. Die Durchbiegung einer begehbaren Verglasung darf 1/200 der Stützweite nicht überschreiten. Durchbiegungsbegrenzung des Isolierglasherstellers ist zu beachten. Auf die Einhaltung dieser Begrenzung kann verzichtet werden, sofern nachgewiesen wird, dass unter Last ein Glaseinstand von 5 mm nicht unterschritten wird.

Die Durchbiegungen der Auflagerkonstruktionen sind auf 1/200 der Auflagerlänge der Scheiben, jedoch auf höchstens 15 mm zu begrenzen. Neben den Vorgaben der TRLV sind erhöhte Anforderungen an die Durchbiegung seitens des Isolierglasherstellers zu beachten, da hier auch Gewährleistungsansprüche eine Rolle spielen können.

2.3 Bemessung nach TRAV

12

Beim Nachweis der Tragfähigkeit unter statischer Einwirkung sind bei absturzsichernden Verglasungen zusätzlich die Bestimmungen nach Abschnitt 5 der TRAV [13] zu beachten. Für den Nachweis der Tragfähigkeit unter stoßartiger Einwirkung existieren drei mögliche Arten der Nachweisführung. Dies sind der experimentelle Nachweis durch Pendelschlag nach Abschnitt 6.2 der TRAV, die Auswahl von Verglasungen mit bereits versuchstechnisch nachgewiesener Stoßsicherheit nach Abschnitt 6.3 der TRAV und der Nachweis der Stoßsicherheit mittels Spannungstabellen nach Abschnitt 6.4 der TRAV. Die in Tafel 2-3 angegebenen zulässigen Spannungen gelten nur für kurzzeitige Einwirkungen durch Pendelschlag und nur im Zusammenhang mit dem Nachweis der Stoßsicherheit mittels Spannungstabellen nach Abschnitt 6.4 TRAV. Tafel 2-3 Zulässige Biegezugspannungen in N/mm2 bei kurzzeitigen Einwirkungen [13] Glassorte1)

1)

Zulässige Spannungen

Spiegelglas

80

TVG aus Spiegelglas

120

ESG aus Spiegelglas

170

Es dürfen nur Gläser verwendet werden, die den Bestimmungen des Abschnittes 2 der TRAV entsprechen.

3 Einwirkungen

323

3 Einwirkungen 3.1 Allgemeines Die maßgeblichen statischen Einwirkungen für Einzelverglasungen bestehen im Rahmen der TRLV aus Eigengewicht, Wind und Schnee. Darüber hinaus sind bei im Rahmen der TRLV geregelten begehbaren Verglasungen statische Einwirkungen aus vertikalen Verkehrbelastungen zu berücksichtigen. Für Mehrscheiben-Isolierverglasungen werden zusätzlich klimatische Einwirkungen maßgeblich, die zu isochoren Druck im Scheibenzwischenraum führen. Im Rahmen der TRAV sind zusätzliche Einwirkungen aus horizontalen Verkehrslasten anzusetzen. Für besondere, zustimmungs- oder zulassungspflichtige Glaskonstruktionen können vertikale Verkehrsbelastungen aus bedingter Betretbarkeit für Wartungs- und Reinigungszwecke oder aus Begehbarkeit resultieren. Grundlage für die Ermittlung der Einwirkungen bildet die aktuelle Fassung der DIN 1055 [2, 3, 4, 5, 6], die auf dem semi-probabilistischen Sicherheitskonzept beruht. Die derzeit gültigen Richtlinien im Konstruktiven Glasbau basieren jedoch noch auf einem deterministischen Sicherheitskonzept, welches einen globalen Sicherheitsbeiwert vorsieht. Zunächst werden die charakteristischen Werte der Einwirkungsgrößen nach der aktuellen DIN 1055 bestimmt. Die Überlagerung zu Lastfallkombinationen erfolgt mit den entsprechenden Kombinationsbeiwerten ohne Anwendung von Teilsicherheitsbeiwerten. Die resultierenden Schnitt- und Verformungsgrößen werden dann für die zulässigen Werte nachgewiesen. Bei Standsicherheits- und Durchbiegungsnachweisen von VSG- oder VG-Einfachverglasungen darf ein günstig wirkender Schubverbund der Scheiben nicht berücksichtigt werden. Gleiches gilt für die Schubkopplung von Mehrscheiben-Isolierverglasungen über den Randverbund. Bei Vertikalverglasungen aus Mehrscheiben-Isolierglas mit Einzelscheiben aus VSG oder VG ist bei der Nachweisführung zusätzlich der Grenzzustand des vollen Schubverbundes zu berücksichtigen.

3.2 Isochorer Druck Die Einzelscheiben von Mehrscheiben-Isolierglas werden im Randbereich durch verklebte Abstandhalter tragend und luft- bzw. gasdicht verbunden. Im dadurch entstehenden Scheibenzwischenraum befindet sich ein abgeschlossenes Luft- beziehungsweise Gasvolumen, das eine mechanische Kopplung beider Scheiben bewirkt und Ursache für klimatische Belastungen ist. Die klimatischen Einwirkungen in Form von Druckdifferenzen, die sich aus der Veränderung der Temperatur und des meteorologischen Luftdruckes sowie aus der Differenz der Ortshöhe zwischen Herstellungs- und Einbauort ergeben, führen zu einer flächigen Belastung der Scheiben. Die Beanspruchung der Einzelscheiben durch isochoren Druck kann durch eine Verformung der Einzelscheiben abgebaut werden. Die endgültige Beanspruchung der Scheiben aus klimatischer Belastung ist somit vom Verglasungsformat und von den Steifigkeitsverhältnissen der Einzelscheiben abhängig. Vereinfachend können innerhalb der Standardbedingungen nach Anhang B der TRLV für den sommerlichen und den winterlichen Lastfall die Werte nach Tafel 3-1 für den isochoren Druck p0 angesetzt werden.

12

324

Glasbau

Tafel 3-1 Klimatische Einwirkungen und isochorer Druck unter Standardbedingungen [14] ΔT in K

Δpmet in kN/m2

ΔH in m

p0 in kN/m2

Sommer

+ 20

–2

+ 600

+ 16

Winter

– 25

+4

– 300

– 16

Einwirkungskombination

Eine exakte Berechnung des isochoren Druckes p0 ist notwendig, wenn von den Standardbedingungen ungünstig wirkend abgewichen wird. Veränderliche Einflussfaktoren, die in Gleichung (3-1) eingehen, sind Temperatur- und Höhendifferenzen. p0 = c1 ⋅ ǻT − ǻpmet + c2 ⋅ ǻH

(3-1)

mit c1 = 0,34 kPa/K und c2 = 0, 012 kPa/m Tafel 3-2 Zusätzliche Werte bei besonderen Temperaturbedingungen am Einbauort [14] Einwirkungskombination

Sommer

Winter

Ursache für erhöhte Temperaturdifferenz

ΔT in K

P0 in kN/m2

Absorption zwischen 30 % und 50 % Absorption größer 50 % Innen liegender Sonnenschutz (ventiliert) Innen liegender Sonnenschutz (nicht ventiliert) Dahinter liegende Wärmedämmung (Paneel) Unbeheiztes Gebäude

+9 + 18 +9 + 18 + 35 – 12

+3 +6 +3 +6 + 12 –4

3.3 Einwirkungskombinationen nach TRLV

12

Bei der Berechnung von linienförmig gelagerten Verglasungen erfolgt die Bemessung nach dem deterministischen Sicherheitskonzept der zulässigen Spannungen für die aufgeführten charakteristischen Einwirkungen in ungünstigster Laststellung. Günstig wirkende veränderliche Lasten werden dabei nicht addiert. Die einzelnen Lastfälle werden unter Anwendung der entsprechenden Kombinationsbeiwerte der aktuellen Fassung der DIN 1055-100 [6] überlagert. Die gleichzeitige Einwirkung verschiedener veränderlicher Lasten werden durch die Lastfallkombination: Σ Gk,i + Qk,1 + Σ ψ0,i · Qk,i

(3-2)

berücksichtigt. Der ungünstigere Wert der Lastfallkombination ist dabei maßgebend. Bei Mehrscheiben-Isolierverglasungen sind die Klimalasten als weiterer Lastfall der Lastfallkombination zu berücksichtigen. Ein realistischer Ansatz der Klimalasten ist dabei notwendig (Überlagerung sommerlicher Klimalasten mit sommerlicher Lastfallkombination und Überlagerung winterlicher Klimalasten mit winterlicher Lastfallkombination). Die Klimalasten sind eine komplexe Zusammensetzung von Einwirkungen aus Temperaturänderung, Höhendifferenz zwischen Herstell- und Einbauort und meteorologischem Luftdruck mit jeweils unterschiedlicher Wirkungsdauer. Die DIN 1055-100 gibt keinen Kombinationsbeiwert für die Überlagerung der Klimalasten mit anderen Lastarten an. Für die Kombination wird deshalb auf der sicheren Seite liegend der Beiwert ψ0 = 1,0 verwendet.

325

4 Berechnungsverfahren

3.4 Einwirkungskombinationen nach TRAV Die Einwirkungen Wind w und Holmlast h sind bei absturzsichernden Verglasungen zu überlagern. Bei Verglasungen aus Mehrscheiben-Isolierglas sind außerdem die Flächenersatzlasten aus dem isochoren Druck zu berücksichtigen. Im Falle der gleichzeitigen Beanspruchung einer Mehrscheiben-Isolierglasscheibe durch Wind w und Holmlast h dürfen die Beanspruchungen durch die Last aus der Druckdifferenz d vernachlässigt werden. Weiterhin darf statt der vollen Überlagerung die ungünstigere Lastfallkombination w + h/2 bzw. h + w/2

(3-3)

bzw. die Überlagerung h + d bzw. w + d

(3-4)

für die Bemessung zugrunde gelegt werden.

4 Berechnungsverfahren 4.1 Allgemeines Allgemein können Verglasungen mit Hilfe der Plattentheorie oder numerischer Verfahren berechnet werden. Für die Berechnung des isotropen Werkstoffes Glas wurden mit dem Ansatz der linearen Plattentheorie, unter Verwendung der Querdehnzahl von μ = 0,23, Bemessungsdiagramme für allseitige gelagerte, rechteckförmige Verglasungen erstellt [22]. Die Ergebnisse von Berechnungen nach der linearen Plattentheorie liefern im Vergleich zur nichtlinearen Schalentheorie auf der sicheren Seite liegende Werte. Die Berücksichtigung des Membrantragverhaltens der Schalentheorie erfolgt in der Praxis über nichtlineare numerische Berechnungsmodelle und führt häufig zu wirtschaftlicheren Ergebnissen. Aufgrund der konstruktiven Ausbildung der Glashaltekonstruktionen wird im Konstruktiven Glasbau mit frei verschieblichen und damit zwängungsfreien sowie gelenkigen Auflagerungen gerechnet. Beispiele aus der Praxis des Konstruktiven Glausbaus müssen hier im Umfang begrenzt bleiben. Eine ausführliche Anleitung für die prüffähige Berechnung von Glaskonstruktionen [24] behandelt das komplexe Thema in umfangreichen Beispielen mit anschaulichen Konstruktionszeichnungen.

4.2 Berechnungstafeln für allseitig linienförmig gelagerte Verglasungen Allseitig linienförmig gelenkig gelagerte, rechteckförmige Scheiben stellen den Großteil der eingebauten Verglasungen dar.

12

326

Glasbau

Für flächige Beanspruchungen aus Eigenlasten, Verkehrslasten und Klimalasten werden die Bilder 4-1 und 4-2 für die Berechnung der Biegemomente und Durchbiegungen an Vertikal- und Überkopfverglasungen verwendet [22].

Bild 4-1 Beiwerte ηx, ηy für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Flächenlast [22]

12

In Abhängigkeit von den Seitenverhältnissen b/a können die Beiwerte ηx und ηy für die Berechnung der zugehörigen Biegemomenten mx und my abgelesen werden. Die Berechnung erfolgt mit den Formeln: m x = ηx · a · b · q (4-1) (4-2) my = ηy · a · b · q

Die Berechnung der Durchbiegung erfolgt analog. Aus dem Seitenverhältnis b/a wird der Beiwert ηw ermittelt. Die Berechnung der Durchbiegung erfolgt mit der Formel: (4-3) vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K unter Berücksichtigung der Plattensteifigkeit (4-4) K = E · d3/(12 · (1 – μ2)) = 6159 MPa · d3

327

4 Berechnungsverfahren

Bild 4-2 Beiwert ηw für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Flächenlast [22]

Für die Berechnung von begehbaren [17] und von für Wartungs- und Reinigungszwecke bedingt betretbaren Verglasungen [8, 18] muss die Einwirkung Personenersatzlast berücksichtigt werden. Die Personenersatzlasten sind in ungünstigster Laststellung und mit einer Aufstandsfläche von 10 cm × 10 cm anzusetzen. Für die Einwirkung Personenersatzlast P in Feldmitte können die Biegemomente und die Durchbiegung anhand der Bilder 4-3 bis 4-5 ermittelt werden [22]. In Abhängigkeit der Seitenlängen a und b können die Beiwerte ηx und ηy für die Berechnung der zugehörigen Biegemomenten mx und my abgelesen werden. Die Berechnung erfolgt mit den Formeln: (4-5) m x = ηx · P my = ηy · P (4-6) Die Berechnung der Durchbiegung erfolgt analog. Anhand der Seitenlängen a und b wird der Beiwert ηw ermittelt. Die Berechnung der Durchbiegung erfolgt mit der Formel: vorh. w = 1/25000 · ηw · a2 · b2 · q/K unter Berücksichtigung der Flächenlast q = P/0,01 · m2 und der Plattensteifigkeit K = E · d3/(12 · (1 – μ2)) = 6159 MPa · d3

(4-7) (4-8) (4-4)

12

328

Glasbau

12

Bild 4-3 Beiwert ηx für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Einzellast [22]

4 Berechnungsverfahren

329

12

Bild 4-4 Beiwert ηy für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Einzellast [22]

330

Glasbau

12

Bild 4-5 Beiwert ηw für allseitig linienförmig gelagerte Verglasung unter Einzellast [22]

331

4 Berechnungsverfahren

4.3 Mehrscheiben-Isolierglas Bei der Berechnung von Mehrscheiben-Isolierglas ist der Kopplungseffekt, die Mitwirkung aller Einzelscheiben bei der Lastabtragung, zu berücksichtigen. Kommen Verglasungen aus VerbundSicherheitsglas oder Verbundglas im Mehrscheiben-Isolierglas zum Einsatz, so sind Grenzfallbetrachtungen zum vollen und ohne Schubverbund in der Berechnung zu berücksichtigen. Die Anteile der Einzelscheiben an der Gesamtbiegesteifigkeit berechnen sich aus:

δ a = da3 /(da3 + di3 ) = 1 − δ i

(4-9a)

δ i = di3 /(da3 + di3 ) = 1 − δ a

(4-9b)

Die Berechnung der charakteristischen Kantenlänge a* erfolgt mit der Formel (4-10) unter Berücksichtigung des Beiwertes BV aus Tafel 4-1. a* = 28,9 ⋅ 4 (dSZR ⋅ da3 ⋅ di3 ) /(da3 + di3 ) ⋅ BV

(4-10)

Tafel 4-1 Beiwert BV 1) [14] a'/b' 2) 3) BV 1) 2) 3)

1,0

0,9

0,8

0,0194 0,0237 0,0288

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0,0350 0,0421 0,0501 0,0587 0,0676 0,0767 0,0857

Die Werte wurden auf Basis der Kirchhoff sehen Plattentheorie für μ = 0,23 berechnet, Zwischenwerte können linear interpoliert werden. a' entspricht der kürzeren Kantenlänge. b' entspricht der längeren Kantenlänge.

Die Berechnung des Faktors ϕ zur Ermittlung der Einwirkungsverteilung erfolgt mit:

ϕ = 1/(1 + (a ' /a* ) 4 )

(4-11)

Die Verteilung der Einwirkung auf die Innen- und Außenscheibe des Mehrscheiben-Isolierglases erfolgt mit den Formeln der Tafel 4-2. Die Einwirkungsverteilung kann in Abhängigkeit von der Lastangriffsseite und der Art der Einwirkung abgelesen werden. Tafel 4-2 Verteilung der Einwirkungen 1) [14] Lastangriff auf

Einwirkung

Lastanteil der äußeren Scheibe

Lastanteil der inneren Scheibe

Wind wa

(δa + ϕ · δ i) · wa

(1 – ϕ) · δ i · wa

Schnee s

(δa + ϕ · δ i) · s

(1 – ϕ) · δ i · s

innere Scheibe

Wind wi

(ϕ · δa + δ i) · wi

beide Scheiben

Isochorer Druck p0

(1 – ϕ) · δa · wi – ϕ · p0

äußere Scheibe

1)

ϕ · p0

Vorzeichenreglung siehe Anhang B der TRLV

Für Mehrscheiben-Isolierverglasungen können die Lastabtragungsanteile der äußeren und inneren Einzelscheibe und die Einwirkungen infolge klimatischer Veränderungen unter Ansatz der Ersatzdicke d* ermittelt werden.

12

332

Glasbau

Die Ersatzdicke d* für die Berücksichtigung des vollen Schubverbundes errechnet sich mit der Formel: n

d* = ¦ di

(4-12)

i =1

Ohne Ansatz des Schubverbundes errechnet sich die Ersatzdicke d* mit der Formel: n

d* = 3 ¦ di3

(4-13)

i =1

Bei der Ermittlung der Ersatzdicke d* werden ausschließlich die Dicken der Einzelscheiben ohne Ansatz von Zwischenschichten berücksichtigt.

5 Beispiele 5.1 Vertikalverglasung eines Kastenfensters

12

Allgemeines Die Beispielverglasung ist ein vertikales Kastenfenster im mittleren Bereich eines Wohngebäudes. Die Verglasung befindet sich im Höhenbereich h ≤ 10 m der Windzone 1 Binnenland. Das zu bemessende Fenster befindet sich aufgrund der Gebäudegeometrie in den Bereichen B, D, oder E nach Abschnitt 12 der DIN 1055-4 [4]. Die Nachweiserleichterungen für Vertikalverglasungen aus Mehrscheiben-Isolierverglasungen bis Flächen ≤ 1,6 m2 nach Abschnitt 5.4 der TRLV [14] kommen bei Kastenfenstern nicht zum Einsatz. Systemabmessungen a = 0,50 m b = 1,25 m allseitig linienförmige Lagerung Glasaufbau und Materialkennwerte Einzelscheibe: d = 3 mm Spiegelglas E = 70000 MPa μ = 0,23 zul. σ = 18,0 MPa

vgl. Tafel 2-1

Bild 5-1 Kastenfenster

333

5 Beispiele

Einwirkungen Windlast h/d = 1 qw = 0,50 kN/m2 cpe,1(B) = -1,1 w = cpe,1(B) · qw w = -1,1 · 0,50 kN/m2 w = -0,55 kN/m2

vgl. DIN 1055-4, 12.1.2 Bild 4 vgl. DIN 1055-4, 10.2 Tab. 2 vgl. DIN 1055-4, 12.1.2 Tab. 3

Lastfallkombination Lastfall 1 q=w Berechnung Lastfall 1 m x = ηx · a · b · q m y = ηy · a · b · q b/a = 1,25/0,50 = 2,5 ηy = 0,045 (maßgebend) ηx = 0,014 my = 0,045 · 0,50 · 1,25 · -0,55 kNm/m my = 1,55 kNcm/m

vgl. Gl. (4-1) vgl. Gl. (4-2) vgl. Bild (4-1) vgl. Bild (4-1)

W = d2/6 W = 0,32/6 = 0,015 cm3/cm W = 1,50 cm3/m vorh. σy = my/W vorh. σy = |-1,55|/1,50 = 1,03 kN/cm2 vorh. σy = 10,3 MPa vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

ηw = 0,0018 K = E · d3/(12 · (1 – μ2)) K = 70000 · 33/(12 · (1 – 0,232)) = 166297 Nmm K = 0,166 kNm

vgl. Gl. (4-3) vgl. Bild (4-2) vgl. Gl. (4-4)

vorh. w = 0,0018 · 0,502 · 1,252 · |-0,55|/0,166 = 0,0023 m vorh. w = 2,3 mm Nachweis der Tragfähigkeit vorh. σ = 10,3 MPa ≤ 18,0 MPa = zul. σ Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Für Vertikalverglasungen mit vierseitiger Lagerung ist keine Durchbiegungsbegrenzung nach Tabelle 3 im Abschnitt 5.3 der TRLV nachzuweisen.

12

334

Glasbau

5.2 Isolierverglasung eines Atriums Allgemeines Dieses Beispiel einer Mehrscheiben-Isolierverglasung als Vertikalverglasung soll maßgeblich die Berechung der Klimalasten demonstrieren. Die Atriumsverglasung erfüllt keine absturzsichernde Funktion, sondern wird nur durch Wind und Klimaeinwirkungen belastet. Sie erstreckt sich über die gesamte Breite des Gebäudes. Die maßgebende Verglasung befindet sich im Höhenbereich 10 m ≤ h ≤ 18 m Windzone 4 Binnenland. Die Temperatur- und meteorologischen Druckdifferenzen zwischen Fertigungs- und Einbauort bestimmen die Größe des isochoren Druckes. Die Höhendifferenz zwischen Herstell- und Einbauort beträgt 300 m. Das Mehrscheiben-Isolierglas besitzt eine Beschichtung für die Einhaltung des sommerlichen Wärmeschutzes. Die daraus resultierende Absorption von Strahlungs- und Wärmeenergie ist größer als 50 % und muss bei der Berechnung durch eine erhöhte Temperaturdifferenz ΔT berücksichtigt werden. Da der Ansatz der Verbundwirkung bei Verbundsicherheitsgläserm höhere isochore Belastungen bedeuten kann, werden in diesem Beispiel unterschiedliche Lastfallkombinationen mit und ohne Verbund ermittelt. Die Nachweise der Tragsicherheit und Verformung erfolgen ohne den Ansatz der Verbundwirkung. Systemabmessungen a = b' = 2,40 m (b' ist die längere Kantenlänge) b = a' = 0,80 m (a ist die kürzere Kantenlänge) allseitig linienförmige Lagerung

12

Glasaufbau und Materialkennwerte Mehrscheiben-Isolierglas mit Aufbau von außen nach innen: da = 6 mm Einscheiben-Sicherheitsglas aus Spiegelglas dSZR = 16 mm Scheibenzwischenraum di,1 = 5 mm Spiegelglas dPVB = 0,38 mm Polyvinyl-Butyral-Folie di,2 = 5 mm Spiegelglas E = 70000 MPa μ = 0,23 zul σVSG = 22,5 MPa für VSG aus Spiegelglas zul σVSG = 50,0 MPa für ESG aus Spiegelglas

Bild 5-2 Isolierverglasung eines Atriums

vgl. Tafel 2-1 vgl. Tafel 2-1

335

5 Beispiele

Einwirkungen Windlast vgl. DIN 1055-4, 12.1.2 Bild 4 vgl. DIN 1055-4, 10.2 Tab. 2 vgl. DIN 1055-4, 12.1.2 Tab. 3

h/d = 0,8 qw = 1,15 kN/m2 cpe,1(A) = – 1,4 cpe,1(D) = 1,0 Windsog im Wandbereich A w1 = cpe,1(A) · qw w1 = – 1,4 · 1,15 kN/m2 w1 = – 1,61 kN/m2 Winddruck im Wandbereich D w2 = cpe,1(D) · qw w2 = 1,0 · 1,15 kN/m2 w2 = 1,15 kN/m2 Klimalast

vgl. TRLV, Anhang A

c1 = 0,34 kPa/K c2 = 0,012 kPa/m Sommerlicher Lastfall, detaillierte Ermittlung ΔTSLF = 20 + 18 = 38 K

Standardbedingungen und Absorption > 50 %, vgl. Tafeln 3-1 und 3-2

ΔH = 300 m Δpmet = – 2 kN/m2 p0,SLF = c1 · ΔTSLF – Δpmet + c2 · ΔH p0,SLF = 0,34 · 38 + 2 + 0,012 · 300 = 18,52 kPa p0,SLF = 18,52 kN/m2 Winterlicher Lastfall, überschlägliche Ermittlung p0,WLF = – 16,00 kN/m2

vgl. Tafel 3-1 vgl. Gl. (3-1)

12 vgl. Tafel 3-1

Lastfallkombinationen Belastungsverteilung beim Ansatz VSG mit voller Verbundwirkung di,mV = di,1 + di,2 di,mV = (5 + 5) mm di,mV = 10 mm

vgl. Tafel (4-12)

3 δ a,mV = da3 /(da3 + di,mV )

vgl. Tafel (4-9a)

δ a,mV = 63 /(63 + 103 )

δ a,mV = 0,178

336

Glasbau

vgl. Tafel (4-9b)

δ i,mV = 1 − δ a,mV δ i,mV = 1 − 0,178

δ i,mV = 0,822 a'/b' = 0,80/2,40 = 0,333 BV = 0,0647

vgl. Tafel 4-1

3 3 * amV = 28,9 ⋅ 4 (dSZR ⋅ da3 ⋅ di,mV ) /((d a3 + di,mV ) ⋅ BV )

vgl. Gl. (4-10)

* amV = 28,9 ⋅ 4 (16 ⋅ 63 ⋅ 103 ) /((63 + 103 ) ⋅ 0, 0647) * amV = 418 mm

* )4 ) ϕ mV = 1/(1 + (a ' /amV

vgl. Gl. (4-11)

ϕ mV = 1/(1 + (0,800 / 0, 418) 4 ) ϕ mV = 0, 070 Lastfall 1: Äußere Scheibe, sommerlicher Lastfall qa,mV,SLF = (δa,mV + ϕmV · δ i,mV) · w1 – ϕmV · p0,SLF qa,mV,SLF = ((0,178 + 0,070 · 0,822) · (– 1,61) – 0,070 · 18,52) kN/m2 qa,mV,SLF = – 1,68 kN/m2 Lastfall 2: Äußere Scheibe, winterlicher Lastfall qa,mV,WLF = (δ a,mV + ϕ mV ⋅ δ i,mV ) ⋅ w2 − ϕ mV ⋅ p0,WLF qa,mV,WLF = ((0,178 + 0,070 · 0,822) · 1,15 – 0,070 · (– 16,00)) qa,mV,WLF = 1,39 kN/m2

12

vgl. Tafel (4-2)

vgl. Tafel (4-2) kN/m2

Lastfall 1: Innere Scheibe, sommerlicher Lastfall qi,mV,SLF = (1 − ϕ mV ) ⋅ δ i,mV ⋅ w2 + ϕ mV ⋅ p0,SLF qi,mV,SLF = ((1 – 0,070) · 0,822 · 1,15 + 0,070 · 18,52) qi,mV,SLF = 2,18 kN/m2

vgl. Tafel (4-2) kN/m2

Lastfall 2: Innere Scheibe, winterlicher Lastfall qi,mV,WLF = (1 − ϕ mV ) ⋅ δ i,mV ⋅ w1 + ϕmV ⋅ p0,WLF

vgl. Tafel (4-2)

qi,mV,WLF = ((1 – 0,070) · 0,822 · (– 1,61) + 0,070 · (– 16,00)) kN/m2 qi,mV,WLF = – 2,35 kN/m2 Belastungsverteilung beim Ansatz VSG ohne Verbundwirkung 3 + d3 di,oV = 3 di,1 i,2

vgl. Gl. (4-13)

337

5 Beispiele

di,oV = 3 53 + 53 mm

di,oV = 6,3 mm 3 ) δ a,oV = da3 /(da3 + di,oV

vgl. Gl. (4-9a)

δ a,oV = 63 /(63 + 6,33 )

δ a,oV = 0, 464 δ i,oV = 1 − δ a,oV

vgl. Gl. (4-9b)

δ i,oV = 1 − 0, 464 δ i,oV = 0,536 a'/b' = 0,80/2,40 = 0,33 BV = 0,0647

vgl. Tafel (4-1)

3 3 * = 28,9 ⋅ 4 ( d 3 3 aoV SZR ⋅ da ⋅ di,oV ) /(( da + di,oV ) ⋅ BV )

vgl. Gl. (4-10)

* = 28,9 ⋅ 4 (16 ⋅ 63 ⋅ 6,33 ) /((63 + 6,33 ) ⋅ 0, 0647) aoV * = 376 mm aoV

* )4 ) ϕoV = 1/(1 + ( a' /aoV

ϕoV = 1/(1 + ϕoV = 0, 047

vgl. Gl. (4-11)

(0,800 / 0,376)4 )

Lastfall 3: Äußere Scheibe, sommerlicher Lastfall qa,oV,SLF = (δ a,oV + ϕ oV ⋅ δ i,oV ) ⋅ w1 − ϕ oV ⋅ p0,SLF

vgl. Tafel (4-2)

qa,oV,SLF = ((0,464 + 0,047 · 0,536) · (– 1,61) – 0,047 · 18,52) qa,oV,SLF = – 1,66 kN/m2

kN/m2

12

Lastfall 4: Äußere Scheibe, winterlicher Lastfall qa,oV,WLF = (δ a,oV + ϕ oV ⋅ δ i,oV ) ⋅ w2 − ϕ oV ⋅ p0,WLF

vgl. Tafel (4-2)

qa,oV,WLF = ((0,464 + 0,047 · 0,536) · 1,15 – 0,047 · (– 16,00)) qa,oV,WLF = 1,31 kN/m2

kN/m2

Lastfall 3: Innere Scheibe, sommerlicher Lastfall qi,oV,SLF = (1 − ϕ oV ) ⋅ δ i,oV ⋅ w2 − ϕ oV ⋅ p0,SLF qi,oV,SLF = ((1 – 0,047) · 0,536 · 1,15 + 0,047 · 18,52) qi,oV,SLF = 1,46 kN/m2

vgl. Tafel (4-2) kN/m2

338

Glasbau

Lastfall 4: Innere Scheibe, winterlicher Lastfall qi,oV,WLF = (1 − ϕ oV ) ⋅ δ i,oV ⋅ w1 + ϕoV ⋅ p0,WLF qi,oV,WLF = ((1 – 0,047) · 0,536 · (– 1,61) + 0,047 · (– 16,00)) qi,oV,WLF = – 1,57 kN/m2

vgl. Tafel (4-2) kN/m2

Berechnung

m x = ηx · a · b · q m y = ηy · a · b · q

vgl. Gl. (4-1) vgl. Gl. (4-2)

b/a = 0,80/2,40 = 0,33

ηx = 0,040 (maßgebend) ηy = 0,011

vgl. Bild (4-1) vgl. Bild (4-1)

qa,mV,SLF = – 1,68 kN/m2 (maßgebend für Außenscheibe) mx,a,mV,SLF = 0,040 · 2,40 · 0,80 · (– 1,68) = – 0,129 kNm/m mx,a,mV,SLF = – 12,9 kNcm/m qi,mV,SLF = – 2,35 kN/m2 (maßgebend für Innenscheibe mit Ansatz des Verbundes) mx,i,mV,SLF = 0,040 · 2,40 · 0,80 · (– 2,35) = – 0,180 kNm/m mx,i,mV,SLF = – 18,0 kNcm/m qi,oV,WLF = – 1,57 kN/m2 (maßgebend für Innenscheibe Ansatz des Verbundes) Die Belastungsaufteilung auf die Einzelscheiben der inneren Verbund-Sicherheitsglas-Scheibe beim Ansatz ohne Verbund erfolgt entsprechend den Steifigkeiten, hier (di,1 = di,2) jeweils zu 50 % der Gesamtbelastung. Die Nachweisführung erfolgt an der Einzelscheibe. mx,i,1,oV,WLF = 0,040 · 2,40 · 0,80 · (– 1,57 · 0,50) = – 0,060 kNm/m mx,i,1,oV,WLF = – 6,0 kNcm/m

12

Wa = d a2 / 6 Wa = 0,62/6 = 0,06 cm3/cm Wa = 6,00 Wi,mV = (di,1 + di,2)2/6 Wi,mV = 1,02/6 = 0,1667 cm3/cm Wi,mV = 16,67 cm3/m Wi,1,oV = di2,1 / 6 Wi,1,oV = 0,52/6 = 0,0417 cm3/cm Wi,1,oV = 4,17 cm3/m vorh. σx,a = mx,a,mV,SLF/Wa vorh. σx,a = |– 12,9|/6,00 = 2,15 kN/cm2 vorh. σx,a = 21,5 MPa vorh. σx,i,mV = mx,i,mV,SLF/Wi,mV vorh. σx,i,mV = | – 18,0 |/16,67 = 1,08 kN/cm2

339

5 Beispiele

vorh. σx,i,mV = 10,8 MPa vorh. σx,i,1,oV = mx,i,1,oV,WLF/Wi,1,oV vorh. σx,i,1,oV = | – 6,0 |/4,17 = 1,44 kN/cm2 vorh. σx,i,1,oV = 14,4 MPa vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

ηw = 0,0014

vgl. Gl. (4-3) vgl. Bild (4-2)

Ka = E ⋅ d a3 /(12 ⋅ (1 − μ 2 )) Ka = 70000 · 63/(12 · (1 – 0,232)) = 1330376 Nmm Ka = 1,330 kNm

vgl. Gl. (4-4)

Ki,mV = E · (di,1 + di,2)3 / (12 · (1 – μ2)) Ki,mV = 70000 · 103/(12 · (1 – 0,232)) = 6159153 Nmm Ki,mV = 6,159 kNm

vgl. Gl. (4-4)

3 /(12 ⋅ (1 − μ 2 )) Ki,1,oV = E ⋅ di,1

vgl. Gl. (4-4)

Ki,1,oV = 70000 · 53/(12 · (1 – 0,232)) = 769894 Nmm Ki,1,oV = 0,770 kNm

vorh. wa = 0,0014 · 2,402 · 0,802 · |– 1,68|/1,330 = 0,0065 m vorh. wa = 6,5 mm vorh. wi,mV = 0,0014 · 2,402 · 0,802 · |– 2,35|/6,159 = 0,0020 m vorh. wi,mV = 2,0 mm vorh. wi,1,oV = 0,0014 · 2,402 · 0,802 · (|– 1,57| · 0,50)/0,770 = 0,0053 m vorh. wi,1,oV = 5,3 mm Nachweis der Tragfähigkeit Bei gleichzeitigem Ansatz von Verkehrsbelastungen und Klimalasten dürfen die zulässigen Spannungen nach Abschnitt 5.2.1 der TRLV um 15 % erhöht werden.

vorh. σx,a = 21,5 MPa ≤ 57,5 MPa = 1,15 · 50 MPa = 1,15 · zul. σESG vorh. σx,i,1 = 14,4 MPa ≤ 25,8 MPa = 1,15 · 22,5 MPa = 1,15 · zul. σVSG Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Es besteht keine Durchbiegungsbegrenzung für Vertikalverglasungen mit vierseitiger Lagerung nach Tabelle 3 im Abschnitt 5.3 der TRLV.

5.3 Überkopfverglasung eines unbeheizten Parkhauses Allgemeines Das Beispiel beschreibt die Berechnung einer Überkopfverglasung. Entsprechend den technischen Bestimmungen der TRLV wird für die Einfachverglasung ein Verbund-Sicherheitsglas mit einer Zwischenschicht aus Polyvinyl-Butyral mit einer Dicke von dPVB ≥ 0,76 mm verwendet.

12

340

Glasbau

Die Dachverglasung erstreckt sich über die gesamte Grundrissfläche des Baukörpers und befindet sich im Höhenbereich h ≤ 10 m in der Windzone 2 Binnenland. Das Parkhaus ist nach DIN 10555 [5] in der Schneelastzone 3 einzuordnen und liegt in einer Höhenlage von H = 470 m HN. Die Reinigung der Dachverglasung erfolgt mit Hilfe einer getrennten Reinigungsbühne. Die Verglasung wird für Reinigungs- und Wartungsarbeiten nicht betreten. Systemabmessungen

a = 1,50 m b = 1,00 m α = 5° (Dachneigung)

allseitig linienförmige Lagerung

Glasaufbau und Materialkennwerte Verbund-Sicherheitsglas:

d1 = 8 mm Spiegelglas dPVB = 0,76 mm Polyvinyl-Butyral-Folie d2 = 8 mm Spiegelglas E = 70000 MPa μ = 0,23

γ = 25 kN/m3 zul. σ = 15 MPa für VSG aus Spiegelglas

zul. w = 1/100 · b = 1/100 · 1000 mm = 10 mm

12

Bild 5-3 Überkopfverglasung eines unbeheizten Parkhauses

vgl. DIN 1055-1, 6.1, Tab. 20 vgl. Tafel 2-1 vgl. Tafel 2-2

Einwirkungen Eigenlast

g = (d1 + d2) · γ · cos (α) g = (0,008 + 0,008) · 25 kN/m2 · cos (5°) g = 0,40 kN/m2

Windlast qw = 0,65 kN/m2 cpe,1(F) = – 2,5 cpe,1(G) = – 2,0 cpe,1 (H) = – 1,2 cpe,1 (I) = – 0,6/+0,2

Windsogbelastung im Dachbereich F w1 = cpe,1(F) · qw w1 = – 2,5 · 0,65 kN/m2 w1 = – 1,63 kN/m2

vgl. DIN 1055-4, 10.2 Tab. 2 vgl. DIN 1055-4, 12.1.4 Tab. 5

341

5 Beispiele

Winddruck im Dachbereich I w2 = cpe,1(I) · qw w2 = 0,2 · 0,65 kN/m2 w2 = 0,13 kN/m2

Schneelast sk = 0,31 + 2,91 · ((H + 140)/760)2 sk = 0,31 + 2,91 · ((470 + 140)/760)2 sk = 2,18 kN/m2

vgl. DIN 1055-5, 4.1

si = μi · sk

vgl. DIN 1055-5, 4.2

μ1 = 0,8

vgl. DIN 1055-5, 4.2.5 Tab. 1

s1 = μ1 · sk · cos (α) s1 = 0,8 · 2,18 kN/m2 · cos (5°) s1 = 1,73 kN/m2 Lastfallkombinationen Lastfall 1: Vorherrschende Einwirkung Windsog qLF1 = g + w1 qLF1 = 0,40 – 1,63 kN/m2 qLF1 = – 1,23 kN/m2

Lastfall 2: Vorherrschende Einwirkung Schnee qLF2 = g + s + ψ0 · w2 qLF2 = 0,40 + 1,73 + 0,6 · 0,13 kN/m2 qLF2 = 2,21 kN/m2

Lastfall 3: Vorherrschende Einwirkung Winddruck qLF3 = g + w2 + ψ0 · s qLF3 = 0,40 + 0,13 + 0,5 · 1,73 kN/m2 qLF3 = 1,40 kN/m2

12

Berechnung Lastfall 2

m x = ηx · a · b · q m y = ηy · a · b · q

vgl. Gl. (4-1) vgl. Gl. (4-2)

b/a = 1,00/1,50 = 0,67

ηx = 0,053 (maßgebend) ηy = 0,030 qLF2 = 2,21 kN/m2 (maßgebend)

vgl. Bild 4-1 vgl. Bild 4-1

342

Glasbau

Die Belastungsaufteilung auf die Einzelscheiben der Verbund-Sicherheitsglas-Scheibe erfolgt entsprechend den Steifigkeiten, hier (d1 = d2) jeweils zu 50 % der Gesamtbelastung. Die Nachweisführung erfolgt an der Einzelscheibe. mx,1 = 0,0530 · 1,50 · 1,00 · (2,21 · 0,50) = 0,088 kNm/m mx,1 = 8,8 kNcm/m W1 = d12 / 6 W1 = 0,82/6 = 0,1067 cm3/cm W1 = 10,67 cm3/m vorh. σx,1 = mx,1/W1 vorh. σx,1 = 8,8/10,67 = 0,82 kN/cm2 vorh. σx,1 = 8,2 MPa vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

vgl. Gl. (4-3)

ηw = 0,0035

vgl. Bild 8-2

K1 = E ⋅ d13 /(12 ⋅ (1 − μ 2 ))

K1 = 70000 · 83/(12 · (1 – 0,232)) = 3153486 Nmm K1 = 3,15 kNm

vorh. w1 = 0,0035 · 1,502 · 1,002 · (2,21 · 0,50)/3,15 = 0,0025 m vorh. w1 = 2,5 mm Nachweis der Tragfähigkeit

vorh. σx,1 = 8,2 MPa < 15 MPa = zul. σ Nachweis der Gebrauchstauglichkeit

12

vorh. w1 = 2,5 mm ≤ 10 mm = zul. w Nachweis der Resttragfähigkeit Die Verglasung kann unter Einhaltung der konstruktiven Bestimmungen der TRLV [14] (Verglasungsart, Abmessungen, Foliendicken, Lagerungsart) als Überkopfverglasung ausgeführt werden. Ein getrennter Nachweis der Resttragfähigkeit ist nicht erforderlich.

5.4 Absturzsichernde Verglasung der Kategorie A Allgemeines Die Verglasung ist raumhoch. Sie übernimmt eine absturzsichernde Funktion und weist keinen vorgesetzten lastabtragenden Holm auf. Dadurch wird die Verglasung in die Kategorie A nach TRAV [13] eingestuft. Die Nachweisführung auf experimentelle Art erfordert für die Kategorie A Pendelschlagversuche in Anlehnung an DIN EN 12600 [11] mit einer Pendelfallhöhe von 900 mm nach Abschnitt 6.2 der TRAV.

343

5 Beispiele

Verglasungen mit absturzsichernder Funktion müssen nicht gegen stoßartige Einwirkungen nachgewiesen werden, wenn sie m ihrer Ausführung mit Verglasungen mit versuchstechnisch nachgewiesener Stoßsicherheit übereinstimmen. Der Auswahl erfolgt für linienförmig gelagerte Verglasungen gemäß Abschnitt 6.3.2 der TRAV unter Einhaltung der konstruktiven Bestimmungen. Die Verglasung kann aus der Tabelle 2 der TRAV ausgewählt werden. Sie ist zusätzlich in ihrer Tragfähigkeit gegen statische Einwirkungen nach Abschnitt 5 der TRAV nachzuweisen. Für die Glashaltekonstruktion ist die Einhaltung der konstruktiven Bestimmungen nachzuweisen. Die nachzuweisenden Details sind ein ausreichender Glaseinstand, die Tragfähigkeit der Verschraubung von Klemmleisten in Richtung der Stoßeinwirkung beziehungsweise die Tragfähigkeit des Glasfalzanschlages bei Rahmensystemen. Die Nachweise sind versuchstechnisch durch ein allgemeines bauaufsichtliches Prüfzeugnis oder, soweit möglich, mit den eingeführten technischen Baubestimmungen zu fuhren. In diesem Beispiel soll es sich bei der Glashaltekonstruktion um eine Pfosten-RiegelKonstruktion aus Aluminium mit 18 mm allseitigem Glaseinstand handeln. Die Verschraubung der Klemmleiste am Tragprofil erfolgt im Abstand von 250 mm und die Auszugskraft der Verschraubung liegt bei mehr als 3 kN. Die charakteristische Auszugskraft wurde versuchstechnisch im Rahmen eines allgemeinen bauaufsichtlichen Prüfzeugnisses nachgewiesen. Systemabmessungen a = 1,50 m b = 2,60 m allseitig linienförmige Lagerung: Absturzsicherung der Kategorie A

12 Glasaufbau Mehrscheiben-Isolierglas mit Aufbau von außen nach innen: da,1 = 6 mm Spiegelglas dPVB = 0,76 mm Polyvinyl-Butyral-Folie da,2 = 6 mm Spiegelglas dSZR = 16 mm Scheibenzwischenraum di = 10 mm Einscheiben-Sicherheitsglas aus Spiegelglas Bild 5-4 Absturzsichernde Verglasung der Kategorie A

344

Glasbau

Nachweis der Tragfähigkeit unter stoßartiger Einwirkung Der gewählte Glasaufbau entspricht dem Glasaufbau mit versuchstechnisch nachgewiesener Stoßsicherheit nach den Zeile 7 der Tabelle 2 der TRAV [13] (vgl. Auszug in Tafel 5-1). Die zugehörige Glashaltekonstruktion erfüllt die konstruktiven Bestimmungen des Abschnittes 6.3.2 der TRAV. Die charakteristische Auszugskraft der Klemmleistenverschraubung wurde versuchstechnisch im Rahmen eines allgemeinen bauaufsichtlichen Prüfzeugnisses nachgewiesen. Tafel 5-1 Glasaufbauten mit nachgewiesener Stoßsicherheit, Auszug aus Tabelle 2 der TRAV [13] Kat

1)

Typ

Linienf. Lagerung

Breite [mm]

Höhe [mm]

min.

max.

min.

max. 7

1

2

3

4

5

6

1A

MIG

Allseitig

900

2500

1000

Glasaufbau [mm] (von innen nach außen) 1) 8

4000 8 ESG/SZR/6 SPG/0,76 PVB/6 SPG 7

Mit „innen“ ist die Angriffseite, mit „außen“ die Absturzseite der Verglasung gemeint.

Nachweis der Tragfähigkeit unter statischer Einwirkung Der Nachweis der Tragfähigkeit unter statischen Einwirkungen ist zusätzlich zum Nachweis der Stoßsicherheit zu führen. Die absturzsichernde Verglasung ist nach Abschnitt 5 der TRAV unter Berücksichtigung der Einwirkungen im Abschnitt 4 der TRAV nachzuweisen.

5.5 Begehbare Verglasung aus Verbund-Sicherheitsglas

12

Allgemeines Die Bemessung und konstruktive Durchbildung allseitig linienförmig gelagerter, begehbarer Verglasungen kann nach der TRLV [14] durchgeführt werden, sofern die darin vorgegebenen geometrischen und konstruktiven Randbedingungen eingehalten werden. Die Bemessung der Verglasung beschränkt sich dabei auf einen rechnerischen Standsicherheitsnachweis unter statischen Einwirkungen. Zusätzliche experimentelle Nachweise der Stoßsicherheit und Resttragfähigkeit sind bei Einhaltung der Regelungen für begehbare Verglasungen nach TRLV im Allgemeinen nicht zu erbringen. Begehbare Verglasungen außerhalb des Geltungsbereiches der TRLV sind zulassungs- oder zustimmungspflichtige Bauteile. Eine Grundlage für eine Zustimmung im Einzelfall ist in den meisten Bundesländern die Empfehlung aus den DIBt-Mitteilungen „Anforderungen an begehbare Verglasungen; Empfehlungen für das Zustimmungsverfahren" [17]. Neben den Nachweisen zur Tragfähigkeit unter statischen Einwirkungen sind experimentelle Nachweise zur Stoßsicherheit und zur Resttragfähigkeit gefordert. Die genauen Bedingungen für das Zustimmungsverfahren sind mit der jeweilig zuständigen Bauaufsichtsbehörde abzuklären. Für begehbare Verglasungen sind nach Abschnitt 2 in [17] mindestens Verbund-Sicherheitsgläser mit dreifachem Aufbau erforderlich. Dabei ist die oberste Scheibe als Verschleißscheibe anzusehen und für die statischen Nachweise nicht ansetzbar. Nach Abschnitt 3 in [17] sind die Lastannahmen nach DIN 1055-3 [3] maßgebend für den Ansatz der Verkehrslasten. Als Belastungen treten eine Verkehrsflächenlast sowie eine Personenersatz-

345

5 Beispiele

last als Einzellast auf. Die Personenersatzlast ist für die Berechnung mit einer Aufstandsfläche von 10 cm × 10 cm in ungünstigster Laststellung anzuordnen. Dieses Beispiel behandelt eine planmäßig begehbare Verglasung für ein Treppenpodest im Innenbereich eines Gebäudes. Die Verkehrsfläche ist öffentlich zugänglich. Die geometrischen und konstruktiven Gegebenheiten der Verglasung entsprechen nicht den in der TRLV angegebenen Festlegungen. Systemabmessungen

a = 1,00 m b = 2,00 m

allseitig linienförmige Lagerung

Glasaufbau und Materialkennwerte Dreifach-Verbundsicherheitsglas mit Aufbau von oben nach unten: d1 = 10 mm Teilvorgespanntes Glas aus Spiegelglas dPVB = 0,76 mm Polyvinyl-Butyral-Folie d2 = 12 mm Spiegelglas dPVB = 0,76 mm Polyvinyl-Butyral-Folie d3 = 12 mm Spiegelglas

E = 70000 MPa μ = 0,23

γ = 25 kN/m3 zul. σ = 15 MPa für VSG aus Spiegelglas

zul. w = 1/200 · a = 1/200 · 1000 mm = 5 mm

Bild 5-5 Begehbare Verglasung

vgl. DIN 1055-1, 6.1, Tab. 20 vgl. Tafel 2-1 vgl. Tafel 2-2

Einwirkungen Eigenlast

g = (d1 + d2 + d3) · γ g = (0,010 + 0,012 + 0,012) · 25 kN/m2 g = 0,85 kN/m2

Verkehrsflächenlast p = 5,00 kN/m2

vgl. DIN 1055-3, 6.1, Tab. 1

Personenersatzlast P = 2,00 kN

vgl. DIN 1055-3, 6.1, Tab. 1

12

346

Glasbau

Die Personenersatzlast ist mit einer Aufstandsfläche von 10 cm × 10 cm in ungünstigster Laststellung anzusetzen. Bei einer rechteckigen Verglasung mit allseitig linienförmiger Lagerung liegt die ungünstigste Laststellung in der Feldmitte der Verglasung [17]. Lastfallkombinationen Lastfall 1: Eigengewicht und Verkehrsflächenlast qLF1 = g + p qLF1 = 0,85 + 5,00 kN/m2 qLF1 = 5,85 kN/m2

Lastfall 2: Eigengewicht und Personenersatz qLF2 = g + P Berechnung Lastfall 1

m x = ηx · a · b · q m y = ηy · a · b · q

vgl. Gl. (4-1) vgl. Gl. (4-2)

b/a = 2,00/1,00 = 2,00

ηx = 0,020 ηy = 0,050 (maßgebend)

vgl. Bild (4-1) vgl. Bild (4-1)

Die Belastungsaufteilung auf die beiden unteren Einzelscheiben der Verbund-SicherheitsglasScheibe erfolgt entsprechend der Steifigkeiten, hier (d2 = d3) jeweils zu 50 % der Gesamtbelastung. Die Nachweisführung erfolgt an der Einzelscheibe. Die oberste Verschleißscheibe wird für die statischen Nachweise nicht angesetzt. my,2,LF1 = 0,050 · 2,00 · 1,00 · (5,85 · 0,50) = 0,293 kNm/m my,2,LF1 = 29,3 kNcm/m W2 = d 22 / 6

12

W2 = 1,22/6 = 0,24cm3/cm W2 = 24,0 cm3/m vorh. σy,2,LF1 = my,2,LF1/W2 vorh. σy,2,LF1 = 29,3/24,0 = 1,22 kN/cm2 vorh. σy,2,LF1 = 12,2 MPa vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

vgl. Gl. (4-3)

ηw = 0,0025

vgl. Bild (4-2)

K2 = E ⋅ d 23 /(12 ⋅ (1 − μ 2 ))

123/(12

K2 = 70000 · K2 = 10,643 kNm

· (1 –

vgl. Gl. (4-4) 0,232))

= 10643015 Nmm

vorh. w2,LF1 = 0,0025 · 2,002 · 1,002 · (5,85 · 0,5)/10,643 = 0,0028 m vorh. w2,LF1 = 2,8 mm

347

5 Beispiele

Lastfall 2 Die Belastungsaufteilung auf die beiden unteren Einzelscheiben der Verbund-SicherheitsglasScheibe erfolgt entsprechend den Steifigkeiten, hier (d2 = d3) jeweils zu 50 % der Gesamtbelastung. Die Nachweisführung erfolgt an der Einzelscheibe. Die oberste Verschleißscheibe wird für die statischen Nachweise nicht angesetzt. Anteil des Eigengewichtes m y = ηy · a · b · g my,2,LF2,g = 0,050 · 2,00 · 1,00 · (0,85 · 0,50) = 0,0425 kNm/m my,2,LF2,g = 4,25 kN/cm/m

vgl. Gl. (4-2)

vorh. w = ηw · a2 · b2 · q/K

vgl. Gl. (4-3)

ηw = 0,0025

vgl. Bild (4-2)

K2 = 10,643 kNm vorh. w2,LF2,g = 0,0025 · 2,002 · 1,002 · (0,85 · 0,50)/10,643 = 0,0004 m vorh. w2,LF2,g = 0,4 mm

Anteil der Personenersatzlast m x = ηx · P m y = ηy · P ηx = 0,257 ηy = 0,312 (maßgebend)

vgl. Gl. (4-5) vgl. Gl. (4-6) vgl. Bild (4-3) vgl. Bild (4-4)

my,2,LF2,P = 0,312 · (2,00 · 0,5) = 0,312 kNm/m my,2,LF2,P = 31,20 kNcm/m vorh. w = 1/25000 · ηw · a2 · b2 · q/K

vgl. Gl. (4-7)

q = P/0,01 m2

vgl. Gl. (4-8)

ηw = 1,02 q = (2,00 · 0,50)/0,01

vgl. Bild (4-5) m2

= 100

kN/m2

vorh. w2,LF2,P = 1/25000 · 1,02 · 1,002 · 2,002 · 100/10,643 = 0,0015 m vorh. w2,LF2,P = 1,5 mm

Superposition der Anteile my,2,LF2 = my,2,LF2,g + my,2,LF2,P my,2,LF2 = 4,25 + 31,20 kNcm/m my,2,LF2 = 35,45 kNcm/m W2 = 24,0 cm3/m vorh. σy,2,LF2 = my,2,LF2/W2 vorh. σy,2,LF2 = 35,47/24,0 = 1,48 kN/cm2 vorh. σy,2,LF2 = 14,8 MPa

12

348

Glasbau

vorh. w2,LF2 = vorh. w2,LF2,g + vorh. w2,LF2,P vorh. w2,LF2 = 0,4 + 1,5 mm vorh. w2,LF2 = 1,9 mm Nachweis der Tragfähigkeit

vorh. σy,2,LF2 = 14,8 MPa ≤ 15 MPa = zul. σ Nachweis der Gebrauchstauglichkeit

vorh. w2,LF1 = 2,8 mm ≤ 5 mm = zul. w Nachweis der Stoßsicherheit und Resttragfähigkeit Im Rahmen eines Zustimmungsverfahrens sind die Nachweise der Stoßsicherheit und der Resttragfähigkeit zu erbringen. Wenn keine vergleichbaren Versuchsergebnisse vorliegen, sind die Nachweise experimentell durchzuführen. Für Verglasungen mit einer allgemeinen bauaufsichtlichen Zulassung kann der experimentelle Nachweis entfallen.

6 Literatur [1]

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12

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6 Literatur

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12

Geotechnik Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Johannes Feiser

Inhalt 1 Flach- und Flächengründungen.............................................................................................. 353 1.1 Vereinfachte Bemessung des Einzelfundamentes einer Bauwerksstütze mit Hilfe der Tafeln für den aufnehmbaren Sohldruck ............................................... 353 1.2 Ausführlicher Nachweis der Tragfähigkeit eines Einzelfundamentes für die Stütze eines Hallenrahmens mit großer Spannweite ....................................... 354 1.3 Nachweis der Lagesicherheit eines Speicherbeckens im Grundwasser ...................... 359 1.4 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eines Stützenfundamentes bei Gründung auf geschichtetem Baugrund ..................................................................... 361 2 Pfahlgründungen .................................................................................................................... 364 2.1 Nachweis der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit eines Einzelpfahles aufgrund von Erfahrungswerten für den Pfahlwiderstand ................... 365 2.2 Nachweis der Tragfähigkeit eines Einzelpfahles aufgrund der Widerstandsermittlung durch drei Probebelastungen ................................................. 369 3 Baugrubenumschließungen .................................................................................................... 371 3.1 Nachweis der Tragfähigkeit eines einfach gestützten, im Boden frei aufgelagerten Trägerbohlwandverbaus ................................................................ 372 3.2 Nachweis der Tragsicherheit eines einfach gestützten, im Boden frei aufgelagerten Spundwandverbaus ........................................................................ 378

1 Flach- und Flächengründungen Die geotechnischen Nachweise zur Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Flach- und Flächengründungen sind in den Bautechnischen Zahlentafeln (BZ) in Kapitel 16 (Geotechnik), Abschnitt 6 behandelt. Je nach den vorhandenen Randbedingungen kann die Gründungsbemessung in vereinfachter Form oder ausführlich durch den zuverlässigen Ausschluss möglicher Versagensmechanismen und die Einhaltung zulässiger Verformungen erfolgen. Bei einfachen Baugrundverhältnissen (Geotechnische Kategorie GK1) reicht häufig eine vereinfachte Gründungsbemessung nach dem aufnehmbaren Sohldruck aus. Bei den für schwierigere Randbedingungen (Baugrund und/oder Bauwerk) maßgebenden Geotechnischen Kategorien GK2 oder GK3 muss wie folgt eine ausführliche Bemessung erfolgen: Nachweis der Tragfähigkeit für den GZ1B (Sicherheit gegen Kippen, Grundbruch, Gleiten und Materialversagen), ggf. zusätzlich für den GZ1A (Sicherheit gegen Aufschwimmen oder Abheben), Nachweis der Gebrauchstauglichkeit für den GZ2 (Zulässigkeit der Ausmitte der Sohldruckresultierenden, Verschiebungen, Setzungen und Verdrehungen).

1.1 Vereinfachte Bemessung des Einzelfundamentes einer Bauwerksstütze mit Hilfe der Tafeln für den aufnehmbaren Sohldruck Bei diesem vereinfachten Verfahren wird der rechnerische (einwirkende charakteristische) Sohldruck dem aufnehmbaren Sohldruck gegenübergestellt: σvorh ≤ σzul, σvorh rechnerischer Sohldruck, ggf. auf eine reduzierte Fundamentsohlfläche bezogen, mit σzul aufnehmbarer Sohldruck nach Tafeln der BZ, ggf. erhöht bzw. abgemindert. Da der Nachweis auf der Grundlage der charakteristischen Beanspruchungen erfolgt, sind keine von 1,00 verschiedenen Teilsicherheitsbeiwerte zu berücksichtigen.

Schnittgrößen auf OK Fundament aus der ungünstigsten Kombination der vorhandenen Einwirkungen: Ständige Last, vertikal: VG,k = 1000 kN Veränderliche Last, vertikal: VQ,k = 500 kN Veränderliche Last, horizontal: HQ,k = 150 kN Homogener Baugrund: Bodengruppe UL, Konsistenz steif – halbfest Bild 1-1

Fundament und Belastung

354

Geotechnik

Ermittlung der charakteristischen Beanspruchungen in der Gründungssohle: = 270 kN Eigengewicht des Fundamentes: Gk = 3,00 ⋅ 3,00 ⋅ 1,20 ⋅ 25,0 = 1270 kN (G) Charakt. Vertikalbeanspruchung: Vk = 1000 + 270 = 500 kN (Q) = 1770 kN (G + Q) Charakt. Horizontalbeanspruchung: Hk = 150 kN (Q) e=0m (G) Ausmitte: a) wegen HG,k = 0 b) e = MHQ/Vk = 150⋅1,20/1770 = 0,10 m (G + Q) = 0,085 (G + Q) Neigung der Resultierenden: Hk/Vk = 150/1770 Prüfung der Zulässigkeit des vereinfachten Bemessungsverfahrens: • Geländeoberfläche und Schichtgrenzen annähernd horizontal ? • Baugrund bis t = 2 ⋅ b in ausreichender Festigkeit ? • Fundament nicht dynamisch beansprucht bzw. Porenwasserdruck ? • resultierende charakteristische Sohlbeanspruchung (Hk/Vk ≤ 0,2) ? • zulässige Ausmitte der resultierenden charakteristischen Sohlbeanspruchung (e < b/6 (G) bzw. b/3 (G + Q)) ?

erfüllt erfüllt erfüllt erfüllt erfüllt

Ermittlung des Bemessungswertes des einwirkenden Sohldruckes: Aufgrund der durch die veränderliche Horizontallast bedingten Ausmitte wird für die Berechnung eine reduzierte Fundamentsohlfläche maßgebend: a = 3,00 m, b' = b – 2 ⋅ eb = 3,00 – 2 ⋅ 0,10 = 2,80 m A' = a · b' = 3,0 ⋅ 2,8 = 8,4 m2 Vertikale Gesamtbeanspruchung: Vk = 1770 kN σvorh = Vk/A' = 1770/8,4 = 211 kN/m2 Einwirkender charakteristischer Sohldruck: Ermittlung des Bemessungswertes des aufnehmbaren Sohldruckes: Grundwert aus Tafel 6-2 (BZ), Tabelle 3 (für t = 1,20 m): σzul = 196 kN/m2 (interpoliert) Erhöhung für Rechteckfundament a/b < 2 um 20 %: σzul = 1,2 ⋅ 196 = 235,2 kN/m2 Abminderung wegen a = b > 2 m um 10 % pro m Mehrbreite: σzul = 235,2 ⋅ (1 – 0,1) = 212 kN/m2 Vereinfachter Nachweis:

σvorh = 211 kN/m2 < σzul = 212 kN/m2.

13

Mit dem vereinfachten Nachweis ist auch die Sicherheit für den GZ1B nachgewiesen. Für das aufgehende Bauwerk sollten dabei Setzungen in einer Größenordnung von 2 bis 4 cm verträglich sein. Insbesondere bei Böden mit vergleichsweise kleinem Steifemodul empfiehlt es sich, letztgenannte Voraussetzung durch eine explizite Setzungsberechnung zu überprüfen.

1.2 Ausführlicher Nachweis der Tragfähigkeit eines Einzelfundamentes für die Stütze eines Hallenrahmens mit großer Spannweite Beim ausführlichen Nachweis der Tragfähigkeit sind die Versagensfälle Kippen, Gleiten und Grundbruch zu untersuchen sowie die Sicherheit gegen Materialversagen nachzuweisen. Die Sicherheit gegen Kippen ist nachgewiesen, wenn die aus ständigen und veränderlichen (charakteristischen) Einwirkungen ermittelte Sohldruckresultierende innerhalb der sogenannten 2. Kernweite angreift.

355

1 Flach- und Flächengründungen

Die für den Grenzzustand GZ1B zu untersuchende Sicherheit gegen Gleiten ist nachgewiesen, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Td ≤ Rt,d + Ep,d Td

Bemessungswert der parallel zur Sohlfläche gerichteten Komponente der resultierenden Beanspruchung, berechnet aus der ungünstigsten Kombination horizontaler Einwirkungen, Rt,d Bemessungswert des in der Sohlfläche verfügbaren Gleitwiderstandes, Ep,d Bemessungswert der sohlflächenparallelen Komponente des Erdwiderstandes. Die für den Grenzzustand GZ1B zu untersuchende Sicherheit gegen Grundbruch ist nachgewiesen, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: Nd ≤ Rn,d , Bemessungswert der rechtwinklig zur Sohlfläche gerichteten Komponente der resultierenden Beanspruchung, berechnet aus der ungünstigsten Kombination vertikaler Einwirkungen, Rn,d Bemessungswert des Grundbruchwiderstandes, berechnet aus dem nach DIN 4017 ermittelten charakteristischen Grundbruchwiderstand. Die Sicherheit gegen Materialversagen ist nach den für den jeweils verwendeten Baustoff gültigen Bauartnormen zu führen und daher kein geotechnischer Nachweis. Da die genannten Nachweise mit den Bemessungswerten für Beanspruchungen und Widerstände erfolgen, sind entsprechende Teilsicherheitsbeiwerte zu berücksichtigen. Nd

Schnittgrößen auf OK Fundament aus der ungünstigsten Kombination der vorhandenen Einwirkungen: Ständige Last, vertikal: VG,k = 900 kN Veränderliche Last, vertikal: VQ,k = 80 kN Ständige Last, horizontal: HG,k = 200 kN

Bild 1-2

Fundament und Belastung

Veränderliche Last, horizontal: HQ,k = 50 kN Homogener Baugrund: Bodengruppe UM, γ = 20 kN/m3, ϕ' = 27,5° , c' = 5 kN/m2

Ermittlung der charakteristischen Beanspruchungen in der Sohlfläche: Eigengewicht des Fundamentes: Gk = 2,50 ⋅ 1,50 ⋅ 0,80 ⋅ 25,0 = 75 kN = 975 kN Charakt. Vertikalbeanspruchung: Vk = Nk = 900 + 75 = 80 kN = 1055 kN Charakt. Horizontalbeanspruchung: Hk = Tk = 200 kN = 50 kN = 250 kN

(G) (Q) (G + Q) (G) (Q) (G + Q)

Eine vereinfachte Bemessung mit Hilfe der Tafeln für den aufnehmbaren Sohldruck ist im vorliegenden Fall nicht möglich, da mindestens eine der Bedingungen (Neigung der Gesamtresultierenden aus ständigen und veränderlichen Einwirkungen (G + Q)) Tk/Nk = 250/1055 = 0,24 < 0,20 (!) nicht erfüllt wird. Die Tragfähigkeit ist daher explizit für die Versagensarten Kippen, Gleiten und Grundbruch nachzuweisen.

13

356

Geotechnik

Ermittlung der Bemessungswerte der Beanspruchungen in der Sohlfläche: Für die Komponente senkrecht zur Sohlfläche: Nd = NG,k ⋅ γG + NQ,k ⋅ γQ = 975 ⋅ 1,35 + 80 ⋅ 1,50 = 1436 kN (LF1) = 975 ⋅ 1,20 + 80 ⋅ 1,30 = 1274 kN (LF2) Für die Komponente parallel zur Sohlfläche: Td = TG,k ⋅ γG + TQ,k ⋅ γQ = 200 ⋅ 1,35 + 50 ⋅ 1,50 = 345 kN (LF1) = 200 ⋅ 1,20 + 50 ⋅ 1,30 = 305 kN (LF2) Partialsicherheitsbeiwerte für Einwirkungen bzw. Beanspruchungen nach mit γG, γQ Tafel 5-1 (BZ). Die angegebenen veränderlichen Beanspruchungen sollen aus regelmäßig während der Funktionszeit des Bauwerkes auftretenden Einwirkungen resultieren und sind damit sämtlich dem Lastfall 1 zuzuordnen. Der Lastfall 2 soll hier nur den denkbaren Fall berücksichtigen, dass während der Funktionszeit des Bauwerkes auch Abgrabungen auf der Seite des Erdwiderstandes (z.B. späteres Verlegen einer Grundleitung, Reparaturarbeiten o.ä.) vorgenommen werden. Damit unterscheiden sich die für die Lastfälle 1 und 2 zu führenden Nachweise lediglich durch den bei den Widerständen anzusetzenden passiven Erddruck. Nachweis der Sicherheit gegen Kippen Für die aus den charakteristischen Werten der Gesamtbeanspruchung (G + Q) berechnete Ausmitte ergibt sich: e = (MG,k + MQ,k)/(NG,k + NQ,k) = (200 ⋅ 0,80 + 50 ⋅ 0,80)/(975 + 80) = = 200/1055 = 0,19 m < b/3 = 2,50/3 = 0,83 m Der Angriffspunkt der Resultierenden aus ständigen und veränderlichen Einwirkungen liegt damit innerhalb der 2. Kernweite der Fundamentfläche, womit die Kippsicherheit nachgewiesen ist.

13

Nachweis der Sicherheit gegen Gleiten Maßgebend für den Gleitsicherheitsnachweis ist der Bemessungswert der Beanspruchung parallel zur Sohlfläche (s.o.): Td = 345 kN (LF1), = 305 kN (LF2). Der Bemessungswert des Widerstandes setzt sich aus dem Gleitwiderstand (LF1 und LF2) sowie dem Erdwiderstand (nur LF1) zusammen und ergibt sich jeweils aus der Division des charakteristischen Widerstandes durch den zugehörigen Partialsicherheitsbeiwert. Da konsolidierte Verhältnisse vorliegen, gilt für den charakteristischen Gleitwiderstand Rt,k = Nk ⋅ tan δS,k = 1055 ⋅ tan 27,5° = 549 kN mit δS,k = ϕ k' = 27,5° für Ortbeton. Der Bemessungswert des Gleitwiderstandes ergibt sich daraus zu Rt,d = Rt,k/γGl = 549/1,10 = 499 kN (LF1 und LF2) mit γGl – Partialsicherheitsbeiwert für den Gleitwiderstand nach Tafel 5-2 (BZ).

357

1 Flach- und Flächengründungen

Der charakteristische Erdwiderstand wird unter der Annahme gekrümmter Gleitflächen und einem Wandreibungswinkel von δP = – ϕ'/3 ermittelt. Nach Bild 8-6 (BZ) ergibt sich bei ϕ' = 27,5° ein Beiwert von kpgh = 3,5. Daraus folgt Eph,k = 0,5 ⋅ γ ⋅ kpgh ⋅ d 2 = 0,5 ⋅ 20 ⋅ 3,5 ⋅ 0,82 = 22,4 kN/m bzw. 22,4 ⋅ 1,50 = 33,6 kN1 Der Bemessungswert des Erdwiderstandes ergibt sich daraus zu Eph,d = Eph,k/γEp = 33,6/1,4 = 24 kN (LF1) mit γEp Partialsicherheitsbeiwert für den Erdwiderstand nach Tafel 5-2 (BZ). Im Lastfall 2 gilt Eph,d = 0 (z.B. Abgrabung vor dem Fundament, s.o.). Nachweis für Lastfall 1: Nachweis für Lastfall 2:

Td ≤ (!) Rt,d + Eph,d 345 < 499 + 24 = 523 Td ≤ (!) Rt,d 305 < 499

(Gleitsicherheit erfüllt), (Gleitsicherheit erfüllt).

Nachweis der Sicherheit gegen Grundbruch Maßgebend für den Grundbruchsicherheitsnachweis ist der Bemessungswert der Beanspruchung senkrecht zur Sohlfläche (s.o.): Nd = 1436 kN (LF1), = 1274 kN (LF2). Der Bemessungswert des Grundbruchwiderstandes ergibt sich aus der Division des charakteristischen Widerstandes durch den zugehörigen Partialsicherheitsbeiwert. Der charakteristische Grundbruchwiderstand wird wie üblich aus der dreigliedrigen Grundgleichung nach DIN 4017 (03.06) ermittelt: Rn,k = a' ⋅ b' ⋅ σ mit σ = γ1 ⋅ d ⋅ Nd + γ2 ⋅ b' ⋅ Nb + c' ⋅ Nc und Ni = Ni0 ⋅ νi ⋅ ii ⋅ λi ⋅ ξi. Wegen der Außermittigkeit der aus ständigen und veränderlichen Einwirkungen resultierenden Gesamtbeanspruchung (s. Nachweis gegen Kippen) ist eine reduzierte Fundamentfläche anzusetzen: a' = a – 2 ⋅ ea = 2,50 – 2 ⋅ 0,19 = 2,12 m, b' = b = 1,50 m, A' = a' ⋅ b' = 2,12 ⋅ 1,5 = 3,18 m2. Wegen des horizontalen Geländes und der waagerechten Fundamentsohle gilt λi = ξi = 1. Mit den Gleichungen der DIN 4017 (03.06) lassen sich die notwendigen Beiwerte ermitteln: Tragfähigkeitsbeiwerte: Nd0 = 14, Nb0 = 7, Nc0 = 25, (Tafel 6-4 (BZ)) νd = 1,327, νb = 0,788, νc = 1,352, (Tafel 6-5 (BZ)) Formbeiwerte: Neigungsbeiwerte: id = 0,660, ib = 0,491, ic = 0,634, (Tafel 6-6 (BZ)) bzw. Nd = 14 ⋅ 1,327 ⋅ 0,660 = 12,26, Nb = 27 ⋅ 0,788 ⋅ 0,491 = 2,71, Nc = 25 ⋅ 1,352 ⋅ 0,634 = 21,43.

1

sehr stark vereinfacht

13

358

Geotechnik

Damit folgt für den charakteristischen Grundbruchwiderstand Rn,k = 3,18 ⋅ (20 ⋅ 0,80 ⋅ 12,26 + 20 ⋅ 1,50 ⋅ 2,71 + 5 ⋅ 21,43) = 1223 kN (LF2). Der für den charakteristischen Grundbruchwiderstand angegebene Wert gilt für den Lastfall 2, da zur Berechnung kein Erdwiderstand angesetzt wurde. Ist dieser allerdings nachweislich vorhanden, so erlaubt DIN 1054 (01.05) eine entsprechende Berücksichtigung durch Ansatz einer horizontalen Bodenreaktion Bk bis zur Größe des halben charakteristischen Erdwiderstandes. Die Kraft Bk wird dann bei der Ermittlung der charakteristischen Beanspruchung in der Sohlfläche wie eine Einwirkung mit berücksichtigt und reduziert daher die Horizontalkomponente aus ständigen und veränderlichen Einwirkungen. Im vorliegenden Fall gilt: Bk = 0,5 ⋅ Eph,k = 0,5 ⋅ 33,6 (s. Nachweis gegen Gleiten) = 16,8 kN. Mit Berücksichtigung von Bk reduziert sich die charakteristische horizontale Einwirkung auf 250 – 16,8 = 233,2 kN. Aufgrund der damit verbundenen steileren Neigung der resultierenden charakteristischen Beanspruchung ergeben sich größere Neigungsbeiwerte, eine geringere Ausmitte und damit ein größerer charakteristischer Grundbruchwiderstand. Aus analoger Berechnung nach DIN 4017 (03.06) folgt: A' = 3,21 m2, Nd = 14 ⋅ 1,324 ⋅ 0,681

= 12,62,

Nb = 27 ⋅ 0,790 ⋅ 0,519

= 02,87,

Nc = 25 ⋅ 1,349 ⋅ 0,656

= 22,12.

Damit folgt für den charakteristischen Grundbruchwiderstand (mit Ansatz von Eph,k bzw. Bk) Rn,k = 3,21 ⋅ (20 ⋅ 0,80 ⋅ 12,62 + 20 ⋅ 1,50 ⋅ 2,87 + 5 ⋅ 22,12) = 1280 kN (LF1). Insgesamt ergeben sich folgende Bemessungswerte des Grundbruchwiderstandes: Rn,d = Rn,k/γGr = 1280/1,40 = 914 kN (LF1), = 1223/1,30 = 941 kN (LF2).

13

(mit γGr – Partialsicherheitsbeiwerte für den Grundbruchwiderstand nach Tafel 5-2 (BZ)). Nachweis: Für Lastfall 1: Für Lastfall 2:

Nd ≤(!) Rn,d 1436 > 914 1274 > 941

(Nachweis nicht erbracht), (Nachweis nicht erbracht).

Zum Erfüllen der Sicherheit der Tragfähigkeit müssen folglich die Fundamentabmessungen und/oder die Einbindetiefe nennenswert erhöht werden. Der bei der ausführlichen Fundamentbemessung ebenfalls zu führende Nachweis der Gebrauchstauglichkeit wird an einem separaten Beispiel (s. Beispiel 1.4) erläutert.

359

1 Flach- und Flächengründungen

1.3 Nachweis der Lagesicherheit eines Speicherbeckens im Grundwasser Beim Nachweis der Lagesicherheit (Grenzzustand GZ1A) werden abweichend von den übrigen Nachweisen nur stabilisierende und destabilisierende Einwirkungen miteinander verglichen. Erfolgt die Sicherung des Gründungskörpers zusätzlich zum Eigengewicht durch Zugelemente, so sind diese wie gewohnt nach dem Grenzzustand GZ1B zu bemessen. Die Sicherheit gegen Aufschwimmen ist nachgewiesen, wenn die Bemessungswerte der stabilisierenden Einwirkungen größer sind als die Bemessungswerte der destabilisierenden Einwirkungen. Da die erforderlichen Nachweise mit Bemessungswerten geführt werden, sind entsprechende Teilsicherheitsbeiwerte zu berücksichtigen. Charakteristische Kennzahlen Stahlbeton: γ = 24 kN/m3, Baugrund: γ = 20 kN/m3, γ ' = 12 kN/m3, c'= 0, ϕ ' = 32,5°, qc = 10 MN/m2 (im Mittel).

Bild 1-3

Speicherbecken

Da es sich bei dem entleerten Becken um einen Revisionsfall (vorübergehender Zustand) handelt, werden die erforderlichen Nachweise für den Lastfall 2 geführt. Ermittlung der Lagesicherheit bei ausschließlichem Ansatz des Beckengewichtes Die destabilisierende Einwirkung ergibt sich aus dem Auftrieb des Beckens: Ak = γW ⋅ tGW ⋅ B = 10 ⋅ 6,50 ⋅ 15,0

= 975 kN/m.

Als stabilisierende Einwirkung wirkt lediglich das Beckengewicht: Gk,stb = Gk,Platte + Gk,Wände = (15 ⋅ 1,5 + 2 ⋅ 6 ⋅ 0,6) ⋅ 24 = 712,8 kN/m. Formal ist im vorliegenden Fall folgende Bedingung zu erfüllen: Ak ⋅ γG,dst ≤ (!) Gk,stb ⋅ γG,stb 975 ⋅ 1,00 = 975 > 712,8 ⋅ 0,90 = 641,5 kN/m Die Lagesicherheit ist bei Ansatz des Beckengewichtes nicht gewährleistet. Dies „erkennt“ man auch ohne formalen Nachweis bereits daran, dass die charakteristische Gewichtskraft geringer als die charakteristische Auftriebskraft ist. Ermittlung der Lagesicherheit bei Ansatz des Beckengewichtes und seitlichen Scherkräften aus Wandreibung Die stabilisierende Einwirkung wird auf beiden Beckenseiten durch die Vertikalkomponente des aktiven Erddruckes ergänzt.

13

360

Geotechnik

Der charakteristische Erddruck wird unter der Annahme ebener Gleitflächen und einem Wandreibungswinkel von δa = 2/3 ϕ' ermittelt. Nach Tafel 8-1 (BZ) ergibt sich bei ϕ' = 32,5° ein Beiwert von kagh = 0,25. Erddruckspannungen: Kote – 1,00: 20 ⋅ 1,0 ⋅ 0,25 = 5,0 kN/m2, Kote – 7,50: 5,0 + 12 ⋅ 6,5 ⋅ 0,25 = 24,5 kN/m2. Daraus folgt Eah,k = 5,0 ⋅ 1,0/2 + (5,0 + 24,5)/2 ⋅ 6,5 = 98,4 kN/m. Da die charakteristische Bodenwichte bei der Ermittlung der aktiven Erddruckkraft mit dem Anpassungsfaktor 0,80 abzumindern ist und die seitlichen Scherkräfte zu beiden Seiten des Beckens wirken, folgt für die charakteristischen Einwirkungen aus Wandreibung FS,k = 2 ⋅ 0,80 ⋅ Eah,k ⋅ tan δa = 2 ⋅ 0,80 ⋅ 98,4 ⋅ tan 21,7° = 62,5 kN/m. Im vorliegenden Fall ist folgende Bedingung zu erfüllen: Ak ⋅ γG,dst ≤(!) Gk,stb ⋅ γG,stb + FS,k ⋅ γG,stb 975 > 641,5 + 62,5 ⋅ 0,90 = 697,8 kN/m Die Lagesicherheit ist auch bei Ansatz der seitlichen Scherkräfte nicht gewährleistet. Bemessung einer schlaffen Sohlverankerung mittels gebohrter Ortbetonzugpfähle zur Gewährleistung der Lagesicherheit Da die Sicherheit gegen Aufschwimmen durch das Beckengewicht und die Wandreibung nicht erfüllt wird, sollen zur zusätzlichen Sicherung Zugelemente in die Sohlplatte integriert werden. Entlang der in Bild 1-3 gewählten Achsen sind dazu Bohrpfähle aus Stahlbeton mit einem Durchmesser von 80 cm und einer Länge von 4 m vorgesehen. Zu ermitteln ist der Abstand der Pfähle in Längsrichtung. Im vorliegenden Fall ist nach wie vor folgende Bedingung zu erfüllen: Ak ⋅ γG,dst ≤ (!) Gk,stb ⋅ γG,stb + FS,k ⋅ γG,stb + FZ,k ⋅ γG,stb, 975 ≤(!) 697,8 + FZ,k ⋅ 0,90 kN/m. Daraus ergibt sich die erforderliche charakteristische Pfahlkraft pro laufenden Meter Becken zu: FZ,k = (975 – 697,8)/0,90 = 308 kN/m. Für die vorgesehenen Zugpfähle ist ein ausreichender Pfahlwiderstand nach GZ1B nachzuweisen. Dieser Nachweis wird mit den Bemessungswerten der Beanspruchungen und Widerstände geführt. Als Bemessungswert für die Pfahlbeanspruchung pro lfdm Bauwerk ergibt sich:

13

E1,d = FZ,k ⋅ γG = 308 ⋅ 1,20 = 369,6 kN/m mit γG

Partialsicherheitsbeiwert für die Pfahlbeanspruchung nach Tafel 5-1 (BZ).

Auf der Basis der mit der Drucksondierung erhaltenen Information zur Baugrundtragfähigkeit kann der charakteristische Pfahlwiderstand eines Einzelpfahles aufgrund von Erfahrungswerten ermittelt werden (qc = 10 MN/m2 Ÿ qS,k = 80 kN/m2 nach Tafel 7-2 (BZ)): R1,k = π ⋅ D ⋅ L ⋅ qS,k = π ⋅ 0,8 ⋅ 4,0 ⋅ 80 = 804,2 kN. Daraus folgt für den Bemessungswert des Pfahlwiderstandes (Einzelpfahl) R1,d = R1,k/γP = 804,2/1,40 = 574,4 kN mit γP

Partialsicherheitsbeiwert für den Pfahlwiderstand nach Tafel 5-2 (BZ).

Für drei Pfähle in Reihe ergibt sich 3 ⋅ R1,d = 1723,2 kN.

361

1 Flach- und Flächengründungen

Bild 1-4

Mögliche Zugpfahlanordnung (Grundriss)

Auf der Grundlage der für die Sicherheit gegen Aufschwimmen zu erfüllenden Bedingung kann wie folgt formuliert werden: 3 ⋅ R1,d ≥ E1,d ⋅ aPfahl

bzw. aPfahl ≤ 3 ⋅ R1,d/E1,d aPfahl ≤ 1723,2/369,6 = 4,66 m.

Zur Sicherung des Speicherbeckens gegen Aufschwimmen ist daher eine Pfahlanordnung gemäß Bild 1-4 zu empfehlen. Der vorstehende Nachweis beinhaltet die Überprüfung der Tragsicherheit der einzelnen Zugelemente (Nachweis gegen Herausziehen). Zusätzlich wäre – als zweiter möglicher Grenzfall – die Gruppenwirkung der Verankerung zu berücksichtigen, indem in dem beschriebenen Nachweis anstelle der Einwirkungen der einzelnen Zugelemente die charakteristische Gewichtskraft des an die Pfahlgruppe angehängten Bodens einzusetzen ist. Dabei ist wie bei den seitlichen Scherkräften ein Anpassungsfaktor von 0,80 zu berücksichtigen.

1.4 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit eines Stützenfundamentes bei Gründung auf geschichtetem Baugrund Die Nachweise der Gebrauchstauglichkeit sind sämtlich dem Grenzzustand GZ2 zuzuordnen. Es sind die zulässige Lage der Sohldruckresultierenden sowie die Verformungsmöglichkeiten Verschiebung, Setzung und Verdrehung zu untersuchen. Die Nachweise können teilweise entfallen, wenn die Nachweise der Tragfähigkeit auch bei bestimmten ungünstigen Annahmen gelingen. Die zulässige Lage der Sohldruckresultierenden ist nachgewiesen, wenn die nur aus ständigen Einwirkungen ermittelte Sohldruckkraft innerhalb der sogenannten 1. Kernweite angreift. Die rechnerischen Setzungen sind – wie bisher – nach DIN 4019 zu ermitteln und hinsichtlich ihrer Tolerierbarkeit mit dem Tragwerksplaner abzustimmen. Die Nachweise gegen unzuträgliche Verschiebungen bzw. Verdrehungen können i.d.R. entfallen, wenn sowohl der Nachweis der Gleitsicherheit ohne Ansatz des Erdwiderstandes als auch der Nachweis der zulässigen Lage der Sohldruckresultierenden gelingen. Da sämtliche Nachweise mit den charakteristischen Werten der Beanspruchungen erfolgen, sind keine besonderen Teilsicherheitsbeiwerte zu berücksichtigen.

13

362

Geotechnik

Bild 1-5

Geschichteter Baugrund

Bild 1-6

Vertikalspannungen aus Bodeneigengewicht (σü) und aus Erstbelastung durch das Bauwerk (σz)

Die für die einzelnen Bodenschichten maßgebende Verformbarkeit soll idealisierend durch einen konstanten Wert für den Steifemodul erfasst werden. Bei der Gründung handelt es sich um ein starres Fundament.

13

Ermittlung des setzungserzeugenden Anteiles des charakteristischen Sohldruckes Sohldruck aus Bauwerkslast σBW = (ΣV + EGFund)/(a ⋅ b) = (1000 + 2,52⋅1,0 ⋅ 25)/2,52 = 185 kN/m2 σEG = γ ⋅ t1 = 20 ⋅ 2,5 = 150 kN/m2 Baugrundvorbelastung in Höhe der Gründungssohle Setzungserzeugende Spannung (Erstbelastung) σ0 = σBW – σEG = 185 – 50 = 135 kN/m2 Berechnung der Fundamentsetzung mit Hilfe der lotrechten Spannungsverteilung σz Die Verteilung der vertikalen Normalspannung aus dem setzungserzeugenden Anteil des Sohldruckes lässt sich mit Tafel 6-14 (BZ) berechnen und dann u.a. zur Festlegung/Überprüfung der Einflusstiefe zgr mit der Überlagerungsspannung vergleichen (vgl. Bild 1-6): a/b = 2,5/2,5 = 1 und z/b (Eingangswerte für i aus Tafel 6-14 (BZ))

363

1 Flach- und Flächengründungen

1) 2)

t

z

z/b

i

σÜ = Σ γi⋅ti

σz = i⋅σ0

[m]

[m]

[–]

[–]

[kN/m2]

[kN/m2]

2,5

0

0

1,0

50,0

135,0

4,5 6,0

2,0 3,5

0,8 1,4

0,2952) 0,1622)

88,0 119,5

39,8 21,9

7,51)

5,0

2,0

0,094

149,5

12,7

Einflusstiefe zgr wie üblich zu 2⋅b gewählt; zgr ausreichend, da dort σz < 0,2 ⋅ σÜ linear interpoliert

Die rechnerische Gesamtsetzung s ergibt sich bei diesem Verfahren über die für die einzelnen Schichten addierten Quotienten aus der jeweiligen Spannungsfläche Aσi und dem dazugehörigen Steifemodul. Vereinfachend wird dabei innerhalb jeder Bodenschicht die Spannungsfläche als Trapez idealisiert (vgl. Bild 1-6). s

= Σ (Aσi/ESi) = [(135,0 + 39,8)/2 ⋅ 2,0]/8000 + [(39,8 + 21,9)/2 ⋅ 1,5]/20000 + [(21,9 + 12,7)/2 ⋅ 1,5]/10000 = 0,027 m = 2,7 cm.

Alternative Berechnung der Fundamentsetzung mit Hilfe von Setzungseinflussbeiwerten Bei diesem Verfahren ist die Integration der Spannungsverteilung bereits in sogenannten Setzungseinflussbeiwerten berücksichtigt. Diese Beiwerte lassen sich aus Tafel 6-9 (BZ) entnehmen. a/b = 1 und z/b (Eingangswerte für fK aus Tafel 6-9 (BZ)) 1)

z

z/b

fK

[m] 2,0

[–] 0,8

[–] 0,436

3,5

1,4

0,5611)

5,0

2,0

0,638

linear interpoliert

Die rechnerische Gesamtsetzung kann bei diesem Verfahren wie folgt berechnet werden: Setzung s

= σz ⋅ b ⋅ Σ (fK,i – fK,i-1)/ESi)

Beiwert für die Unterkante der Bodenschicht i, fK,i fK,i-1 Beiwert für die Oberkante der Bodenschicht i.

Im vorliegenden Beispiel ergibt sich: s = 135 ⋅ 2,5 [0,436/8000 + (0,561 – 0,436)/20000 + (0,638 – 0,561)/10000] = 0,023 m = 2,3 cm. Somit sind unter dem betrachteten Fundament bei maximaler Vertikalbelastung Setzungen von etwa 2,5 cm zu erwarten. Da bei mittiger lotrechter Belastung keine Ausmitte vorhanden ist und wegen der fehlenden HLasten auch kein Gleitsicherheitsproblem auftritt, erübrigt sich ein Nachweis der Verschiebungen und Verdrehungen.

13

364

Geotechnik

2 Pfahlgründungen Die geotechnischen Nachweise zur Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Pfahlgründungen sind in den Bautechnischen Zahlentafeln (BZ) in Kapitel 16 (Geotechnik), Abschnitt 7 behandelt. Hierzu ist zunächst die Größe und Neigung der resultierenden Beanspruchung eines Pfahles mit charakteristischen Werten zu ermitteln. Dabei ist wegen der unterschiedlichen Nachweise nach ständigen und veränderlichen Einwirkungen sowie nach Beanspruchungen in Achsrichtung und quer zur Pfahlachse zu unterscheiden. Entscheidend für die Gründungsbemessung ist die zuverlässige Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes. Je nach dem Kenntnisstand über die in der Pfahlumgebung vorhandenen Baugrundverhältnisse werden hierzu statische oder dynamische Probebelastungen ausgeführt oder aus Kostengründen häufig auch eine Bemessung aufgrund von Erfahrungswerten erfolgen. Die ausreichende Tragfähigkeit eines Einzelpfahles ist beim neuen Sicherheitskonzept für den Grenzzustand GZ1B („Äußere“ Tragsicherheit) nachzuweisen. Zusätzlich ist der Sicherheitsnachweis gegen Materialversagen („Innere“ Tragsicherheit) zu führen. Eine ausreichende Tragsicherheit für einen axial belasteten Einzelpfahl wird eingehalten, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: E1,d ≤ R1,d

E1,d R1,d

Bemessungswert der resultierenden Beanspruchung, berechnet aus der ungünstigsten Kombination axial wirkender Einwirkungen, Bemessungswert des Pfahlwiderstandes.

Bei der Berechnung des Bemessungswertes der Pfahlbeanspruchung E1,d sind je nach dem Zweck des Pfahles und nach verschiedenen Beanspruchungsarten evtl. auch lastfallabhängige Partialsicherheitsbeiwerte aus DIN 1055-100 zu verwenden. Der Bemessungswert des Pfahlwiderstandes R1,d ergibt sich durch Division des charakteristischen Pfahlwiderstandes R1,k mit lastfallunabhängigen Teilsicherheitsbeiwerten. Die Nachweise der Gebrauchstauglichkeit erfolgen für den Grenzzustand GZ2 – wie gewohnt – sowohl für die Beanspruchungen als auch für die Widerstände mit charakteristischen Werten: E2,d

13

E2,d = E2,k ≤ R2,d = R2,k

R2,d

Charakteristischer Wert der resultierenden Beanspruchung, berechnet aus der ungünstigsten Kombination axial auftretender Einwirkungen, Charakteristischer Wert des Pfahlwiderstandes für eine (vom Tragwerksplaner) vorgegebene Pfahlkopfsetzung.

Tragfähigkeitsnachweise für quer zur Achse beanspruchte Pfähle sind nur bei Lasten erforderlich, die größer sind als 3 bzw. 5 % der Axiallasten des Pfahles. Dabei wird im besonderen die Mobilisierbarkeit des seitlichen Erdwiderstandes überprüft. Zusätzlich ist die Sicherheit gegen Materialversagen nachzuweisen. Pfahlgruppen erfordern besondere Untersuchungen, die aber im Wesentlichen den früheren Verfahren entsprechen.

365

2 Pfahlgründungen

2.1 Nachweis der Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit eines Einzelpfahles aufgrund von Erfahrungswerten für den Pfahlwiderstand Beim Nachweis der Tragfähigkeit von Bohrpfählen aufgrund von Erfahrungswerten wird der charakteristische Pfahlwiderstand aus spezifischen, vom Baugrund und den Pfahlkopfsetzungen abhängigen Werten für den Pfahlspitzen- und den Pfahlmantelwiderstand ermittelt und durch Division mit der entsprechenden Partialsicherheit in den Bemessungswiderstand umgerechnet. Darüber hinaus erlaubt dieses Verfahren die Konstruktion einer Widerstands-Setzungs-Linie (WSL) des Pfahles, die für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit benötigt wird. Für Verdrängungspfähle erfolgt der Tragfähigkeitsnachweis bei Verzicht auf eine Probebelastung analog. Nach EA-Pfähle (2007) kann insbesondere für Fertigrammpfähle eine WSL wie für Bohrpfähle konstruiert werden. Bei Verpresspfählen erfolgt dagegen der Tragsicherheitsnachweis im Moment noch ohne Berücksichtigung der Pfahlkopfsetzungen. Schnittgrößen auf OK Pfahl aus der ungünstigsten Kombination der vorhandenen Einwirkungen: Ständige Last, vertikal: Veränderliche Last, vertikal:

FG,k = 1000 kN FQ,k = 1450 kN

Die Abschätzung der Baugrundqualität erfolgt durch eine Rammsondierung DPH. Die für die einzelnen Bodenschichten angegebenen Schlagzahlen stellen vorsichtig eingeschätzte Mittelwerte dar. Bild 2-1

Einzelpfahl

Für den Entwurf sind zwei Pfahltypen zu vergleichen: 1. Bohrpfahl aus Stahlbeton ∅ 800, 2. Verdrängungspfahl aus Stahlbeton a = b = 40 cm. Die zulässige Pfahlkopfsetzung beträgt 1 cm. a. Bohrpfahl – Lösung Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes Der charakteristische Pfahlwiderstand und dessen Entwicklung in Abhängigkeit von der Pfahlkopfsetzung (s) wird ermittelt, indem man die maßgebende Querschnittsfläche (Ab) am Pfahlfuß mit dem Spitzenwiderstand (qb,k) und die Pfahlumfangsflächen (As) mit dem Mantelwiderstand (qs,k) des umgebenden Bodens multipliziert und addiert: R1,k(s) = R1b,k(s) + R1s,k(s) = qb,k(s) ⋅ Ab + Σ qs,k,i(s) ⋅ As,i. Die spezifischen Bodenwerte können den Tafeln 7-1 und 7-2 (BZ) in Abhängigkeit vom Spitzenwiderstand der Drucksonde (qc) entnommen werden. Bei Ausführung einer Rammsondierung lassen sich nach Anhang E der DIN 4094-3 (01.02) die Größen N10 und qc wie folgt korrelieren:

13

366

Geotechnik

Mittelsand: N10 = 18

Ÿ

qc ≈ 11,

N10 > 24

Ÿ

qc > 18.

Kiessand: Im vorliegenden Fall ergibt sich: qc qb,k (s/D = 0,02) qb,k (s/D = 0,03) qb,k (s/D = 0,10) Ab R1b,k (s = 1,6cm) R1b,k (s = 2,4cm) R1b,k (s = 8,0cm)4) qs,k As R1s,k4)

Einheit MN/m2 MN/m2 MN/m2 MN/m2 m2 MN MN MN MN/m2 m2 MN

mS, gs 11 – – – – – – – 0,0882) 7,54 0,66

f-m G,s 18 1,261) 1,621) 3,301) 0,50 0,63 0,81 1,65 0,120 2,51⋅tG 3) 0,30⋅tG

1),2) linear 3) 4)

interpoliert [1) aus Tafel 7-1, 2) aus Tafel 7-2] tG = Einbindetiefe im Kiessand Grenzwiderstand bei Erreichen von sg

Ermittlung der Pfahllänge über den Nachweis der Tragfähigkeit (nur Grenzwiderstand) Hierbei ist folgende Bedingung zu erfüllen: E1,d = FG,k ⋅ γG + FQ,k ⋅ γQ ≤ (!) R1,d = R1,k/γP mit γG, γQ, γP

Partialsicherheitsbeiwerte für Beanspruchungen bzw. Widerstände nach den Tafeln 5-1 und 5-2 (BZ).

= 1,0 ⋅ 1,35 + 0,45 ⋅ 1,50 ≤ (!) (1,65 + 0,66 + 0,3⋅tG)/1,40 = 2,03 MN ≤(!) 1,65 + 0,21⋅tG

13

Daraus folgt für die erforderliche Einbindetiefe des Pfahles in den Kiessand: tG ≥ 1,81 m. Gewählt: tG = 2,0 m. Konstruktion der Widerstandssetzungslinie (WSL) Der so bemessene Pfahl besitzt eine Länge von 10 m, wobei nur entlang der unteren 5 m eine Mantelreibung mobilisiert wird. Seine Aufstandsfläche liegt auf dem Niveau GOK – 12,0 (vgl. Bild 2-1). Da bis zum Übergang in den wenig tragfähigen Horizont (Braunkohle und Ton) noch ein tragfähiges Kiessandpaket von 5 m Mächtigkeit (Forderung mindestens 4 ⋅ DPfahl = 3,20 m) verbleibt, ist die Tragfähigkeit gewährleistet.

367

2 Pfahlgründungen

Bild 2-2

Widerstandssetzungslinie aufgrund von Erfahrungswerten

Für die Konstruktion der WSL sind neben den Angaben in der oben stehenden Tabelle noch folgende Größen erforderlich: Grenzsetzung beim Pfahlmantelwiderstand: ssg [cm] = 0,5 ⋅ Rs,k (ssg) [MN] + 0,5 = 0,5 ⋅ (0,66 + 0,3⋅2,0) + 0,5 = 0,5 ⋅ 1,26 + 0,5 = 1,13 cm. Gesamtwiderstand bei Erreichen von ssg: R1,k(ssg) = R1s,k (ssg) + R1b,k (ssg) = 1,26 + 1,13/1,6 ⋅ 0,63 = 1,70 MN. Damit und mit den für die markanten Setzungen maßgebenden Werten (R1b,k + R1s,k) aus der oben stehenden Tabelle ergibt sich die in Bild 2-2 dargestellte WSL wie folgt: Pfahlkopfsetzung s [cm] ssg = 1,13 1,60 2,40 8,00

Fußwiderstand R1b,k [MN] 0,44 0,63 0,81 1,65

Mantelwiderstand R1s,k [MN] 1,26 1,26 1,26 1,26

Gesamtwiderstand R1,k [MN] 1,70 1,89 2,07 2,91

Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Für die vom Tragwerksplaner vorgegebene zulässige Setzung von 1 cm kann aus der WSL ein Pfahlwiderstand für den GZ2 von R2,k (s = 1cm) = 1,52 MN abgelesen werden. Die mit charakteristischen Werten (γi = 1,0) ermittelte Pfahlbeanspruchung beträgt E2,k = FG,k + FQ,k = 1,0 + 0,45 = 1,45 MN. Da die Bedingung E2,d = E2,k < R2,k = R2,d eingehalten wird, ist auch dieser Nachweis erbracht.

13

368

Geotechnik

b. Verdrängungspfahl – Lösung Wegen der herstellungsbedingt (Bodenverspannung durch Verdrängung) deutlich höheren mobilisierbaren Bodenwiderstände soll untersucht werden, ob die geplante Gründung auch mit einem Rammpfahl aus Stahlbeton mit wesentlich kleinerem Querschnitt als der Bohrpfahl herstellbar ist. Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes Der charakteristische Pfahlwiderstand wird ermittelt, indem man die gleiche Bestimmungsgleichung wie bei der Bohrpfahllösung verwendet. Nach DIN 1054 (01.05) kann hierbei keine Abhängigkeit des Pfahlwiderstandes von der Pfahlkopfsetzung berücksichtigt werden. Nach EAPfähle (2007) ist dies allerdings analog zur Vorgehensweise bei Bohrpfählen möglich. Damit ergibt sich der Pfahlwiderstand wie folgt: R1,k = R1b,k + R1s,k = qb1,k ⋅ Ab + Σ qs1,k,i ⋅ As,i Die spezifischen Bodenwerte können den Tafeln 7-8 und 7-9 (BZ) in Abhängigkeit vom Spitzenwiderstand der Drucksonde (qc) entnommen werden. Im vorliegenden Fall ergibt sich bei Annahme von mittleren Werten der in den Tafeln 7-8 und 7-9 angegebenen Bandbreiten: Pfahlspitze Tafel 7-8: qc = 18 Pfahlmantel Tafel 7-9: qc = 11 qc = 18

Ÿ Ÿ Ÿ

qb1,k = 9,260 MN/m2 (linear interpoliert), qs1,k = 0,078 MN/m2 (linear interpoliert), qs1,k = 0,120 MN/m2 (linear interpoliert).

Mit den Querschnittswerten des Rammpfahles (a = b = 40 cm, Ab = 0,16 m2, As = 1,6⋅t) ergibt sich für den charakteristischen Pfahlwiderstand: R1,k = 9,26 ⋅ 0,16 + (0,078 ⋅ 1,6 ⋅ 3,0 + 0,120 ⋅ 1,6 ⋅ tG) = 1,86 + 0,192 tG. Ermittlung der Pfahllänge über den Nachweis der Tragfähigkeit Hierbei ist wiederum folgende Bedingung zu erfüllen: E1,d = FG,k ⋅ γG + FQ,k ⋅ γQ ≤ (!) R1,d = R1,k/γP = (1,86 + 0,192⋅tG)/1,40

13

2,03 ≤(!) = 1,33 + 0,14⋅tG Daraus folgt für die erforderliche Einbindetiefe des Pfahles in den Kiessand: tG ≥ 5,0 m. Der so bemessene Pfahl besitzt eine Länge von 13 m, wobei nur entlang der unteren 8 m eine Mantelreibung mobilisiert wird. Seine Aufstandsfläche liegt auf dem Niveau GOK – 15,0 (vgl. Bild 2-1). Da bis zum Übergang in den wenig tragfähigen Horizont (Braunkohle und Ton) noch ein tragfähiges Kiessandpaket von 2 m Mächtigkeit (Forderung mindestens 4 · DPfahl ≈ 1,80 m) verbleibt, ist die Tragfähigkeit gewährleistet. Nachweis der Gebrauchstauglichkeit Nach den Ausführungen im zu den Verdrängungspfählen gehörigen Anhang C der DIN 1054 (01.05) kann im vorliegenden Fall eine gesonderter Nachweis der Gebrauchstauglichkeit entfallen. Es wird allerdings darauf hingewiesen, dass die zu erwartenden Setzungen in der Regel unter 1,5 cm liegen. Analog zu den Borpfählen kann auch für Fertigrammpfähle nach EA-Pfähle (2007) eine WSL konstruiert werden. Im vorliegenden Fall (hier nicht explizit dargestellt) ergibt sich für die charakteristische Gesamtbeanspruchung des Pfahles von 1,45 MN eine Pfahlkopfsetzung von 8 mm, so dass der tolerierbare Wert von 1 cm eingehalten und damit die Gebrauchstauglichkeit nachgewiesen ist.

369

2 Pfahlgründungen

2.2 Nachweis der Tragfähigkeit eines Einzelpfahles aufgrund der Widerstandsermittlung durch drei Probebelastungen Die zuverlässigere Methode für den Nachweis der Tragfähigkeit von Pfählen stellt die Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes und dessen Abhängigkeit von der Pfahlkopfsetzung aufgrund von Probebelastungen dar. Für deren Auswertung ist nach DIN 1054 (01.03) ein Streuungsfaktor ξ ≥ 1,0 mit anzusetzen, der eine mögliche Veränderlichkeit des Baugrundes und mögliche Unregelmäßigkeiten bei der Pfahlherstellung berücksichtigen soll. Hinsichtlich der jeweiligen Auswertung wird nach folgenden Systemen unterschieden: Weiches System: Die einzelnen Pfähle wirken insbesondere in ihrem Setzungsverhalten unabhängig voneinander. In diesem Falle ist zum Nachweis der Tragfähigkeit eine fiktive Widerstandssetzungslinie maßgebend, die sich aus den Kleinstwerten aller Einzelwerte der Probebelastungsergebnisse ergibt. Der für den Nachweis der Tragfähigkeit maßgebende charakteristische Pfahlwiderstand ist dann nach folgender Gleichung abzumindern: R1,k = R1m,min/ξ. Steifes System:

Die einzelnen Pfähle sind durch eine biegesteife Kopfplatte miteinander verbunden, so dass eine Vergleichmäßigung der Einzelpfahlbelastung eintritt. In diesem Falle ist zum Nachweis der Tragfähigkeit eine mittlere Widerstandssetzungslinie maßgebend, die sich aus den arithmetischen Mittelwerten aller Einzelwerte der Probebelastungsergebnisse ergibt. Der für den Nachweis der Tragfähigkeit maßgebende Pfahlwiderstand ist dann nach folgender Gleichung abzumindern: R1,k = R 1m/ξ.

Für das weiche System werden konstant definierte Streuungsfaktoren in Abhängigkeit von der Anzahl der Probebelastungen angegeben. Für das steife System ist der jeweils maßgebende Streuungsfaktor neben der Anzahl der Probebelastungen zusätzlich vom Variationskoeffizienten der Versuchsergebnisse abhängig. Die nachfolgende Tabelle (Tabelle 4 aus DIN 1054 (01.03)) beinhaltet die entsprechenden Fälle für die Auswahl des Streuungsfaktors. Zahl der Probebelastungen N Spalte 1 1 2 >2 a)

Streuungsfaktor ξ Mittelwert R1ma) Spalte 2 Spalte 3 sN / R1m = 0 sN / R1m = 0,25 – – 1,05 1,10 1,00 1,05

Kleinstwert R1m,min Spalte 4 1,15 1,05 1,00

Zwischenwerte dürfen geradlinig interpoliert werden

In einem ähnlichen Baugrund wie in Beispiel 5 wurden an drei Bohrpfählen (∅ = 80 cm) Probebelastungen nach der „Empfehlung für statische axiale Pfahlprobebelastungen“ (DGGT, Arbeitskreis 2.1) durchgeführt. Bei einer voraussichtlichen charakteristischen Pfahlbeanspruchung von 1,5 – 1,6 MN wurden dazu die einzelnen Pfähle in acht gleich großen Belastungsstufen (je 400 kN) bis zum 2-fachen der voraussichtlichen Pfahlbeanspruchung (Rmax = 3,2 MN) belastet und die dabei auftretenden Pfahlkopfsetzungen gemessen. Die nachfolgende Tabelle zeigt die entsprechenden Versuchsergebnisse:

13

370

Geotechnik

In den einzelnen Laststufen gemessene Pfahlkopfsetzungen in [ cm ] Versuch 1 2 3

0,4 MN 0,20 0,25 0,30

0,8 MN 0,45 0,55 0,55

1,2 MN 0,80 0,95 0,90

1,6 MN 1,20 1,65 1,45

2,0 MN 1,85 2,55 2,40

2,4 MN 2,80 3,55 3,60

2,8 MN 4,15 4,75 5,55

3,2 MN 6,20 8,00 8,80

Das dazugehörige Versuchsergebnis ist in Bild 2-3 in Form von drei Widerstandssetzungslinien dargestellt. Da die Ermittlung des charakteristischen Pfahlwiderstandes über die Pfahlbelastung erfolgt, müssen die Ergebnisse der drei Versuche nach Widerständen gleicher Setzung umgeformt werden. Da sich der Grenzwiderstand in den einzelnen Kurven nicht unmittelbar erkennen lässt, wurde die Grenzsetzung zu 0,10 ⋅ Db = 0,10 ⋅ 80 = 8,0 cm festgelegt. Aus den drei Kurven lassen sich folgende Wertepaare ablesen: Bei gleichen Setzungen auftretende Pfahlwiderstände in [ MN ]: Versuch 1 2 3 Mittelwert

1 cm 1,41 1,23 1,29 1,31

2 cm 2,08 1,77 1,87 1,91

3 cm 2,46 2,19 2,23 2,29

4 cm 2,76 2,57 2,51 2,61

5 cm 3,02 2,85 2,72 2,86

6 cm 3,17 3,02 2,88 3,02

7 cm (3,29) 3,13 3,02 3,15

8 cm (3,37) 3,20 3,12 3,23

Da die Probebelastung nur bis zu einer Maximallast von 3,2 MN gefahren wurde, sind die beiden letzten Werte des Versuches 1 (Klammerwerte) extrapoliert.

13

Bild 2-3

Ergebnisse der axialen Probebelastungen

Bild 2-4

Charakteristische Widerstandssetzungslinie für ein weiches und ein steifes System

Weiches System: Die grau hinterlegten Zahlenwerte stellen den für gleiche Setzungen jeweils vorhandenen Kleinstwert des Pfahlwiderstandes (R1m,min) dar. Da mehr als zwei Probebelastungen ausgeführt wurden, sind diese Werte für die Bemessung von Einzelpfählen in einem weichen System nicht mehr

371

3 Baugrubenumschließungen

abzumindern (vgl. Tabelle 4 (DIN 1054) Spalte 4: ξ = 1,00 für N > 2), so dass diese Werte die maßgebende Widerstandssetzungslinie ergeben. Bild 2-4 zeigt die dazugehörige grafische Darstellung (Kurve für R1m,min). Steifes System: Die untere Zeile der Pfahlwiderstandstabelle enthält die für gleiche Setzungen sich jeweils ergebenden Mittelwerte des Pfahlwiderstandes ( R1,m ). Da mehr als zwei Probebelastungen ausgeführt wurden, sind diese Werte für die Bemessung von Einzelpfählen in einem steifen System in Abhängigkeit vom Variationskoeffizienten (auf den Mittelwert bezogene Standardabweichung) abzumindern (vgl. Tabelle 4 (DIN 1054) Spalten 2 und 3). Eine detaillierte Auswertung ergibt, dass lediglich die Werte für s = 1 cm um den Faktor 1,01 und für s = 2 cm um den Faktor 1,02 abgemindert werden müssen. Die für ein steifes System maßgebende WSL ergibt sich demnach zu: s [cm] R1,k [MN]

1 1,30

2 1,87

3 2,29

4 2,61

5 2,86

6 3,02

7 3,15

8 3,23

Bild 2-4 zeigt die dazugehörige grafische Darstellung (Kurve für R1,m /ξ ). Aus den so ermittelten Widerstandssetzungslinien ergeben sich folgende Grenzwiderstände: R1,k (sg) = 3,12 MN R1,k (sg) = 3,23 MN

(weiches System), (steifes System).

Damit würde der Nachweis der Tragfähigkeit für die Beanspruchung aus Beispiel 2.1 (a) im vorliegenden Fall auch gelingen: E1,d = 2,03 MN < R1,d = R1,k/γPc = 3,12/1,2 = 2,6 MN.

3 Baugrubenumschließungen Die geotechnischen Nachweise zur Tragfähigkeit und Gebrauchstauglichkeit von Baugrubenumschließungen sind in den Bautechnischen Zahlentafeln (BZ) in Kapitel 16 (Geotechnik), Abschnitt 10, die Nachweise für Verpressanker in Abschnitt 9 behandelt. Nach DIN 1054 (01.05) sind bei den üblichen dünnwandigen Baugrubenumschließungen (Trägerbohlwand, Spundwand o.ä.) die Nachweise der Sicherheit gegen • • • • • • •

Versagen des Erdwiderlagers Aufbruch des Verankerungsbodens vor Ankerplatten und Ankerwänden Versagen der Lastübertragung durch Ankerverpresskörper Versinken von Bauteilen Versagen in der tiefen Gleitfuge Versagen des Materiales (Verbau, Anker, Gurtung etc) ggf. hydraulischen Grundbruch

zu führen.

13

372

Geotechnik

Darüber hinaus ist insbesondere bei der Festlegung der Einbindetiefe die angenommene Mobilisierbarkeit der Wandreibung für den Erdwiderstand zu überprüfen. Generell ist zunächst die Größe und Neigung der resultierenden Beanspruchung des Verbaus mit charakteristischen Werten zu ermitteln. Dabei ist wegen der unterschiedlichen Partialsicherheiten nach ständigen und veränderlichen Einwirkungen zu unterscheiden. Die bei Baugruben maßgebende Beanspruchung resultiert aus den so genannten grundbauspezifischen Einwirkungen, i. d. R. Erddruck und Wasserdruck. Bei kohäsiven Böden ist hierbei eine Vergleichsberechung mit dem Mindesterddruck vorzunehmen. Bei umströmten Baugruben, z. B. infolge einer notwendigen Grundwasserabsenkung, muss der Einfluss der Strömung auf den Erddruck (erhöhend) und den Erdwiderstand (reduzierend) berücksichtigt werden, während er beim Ansatz des Wasserdrucks häufig unberücksichtigt bleiben kann (Hydrostatischer Ansatz). Abweichend zur bisher bekannten Vorgehensweise ergibt sich, dass insbesondere die früher übliche Überlagerung von Erddruck und Erdwiderstand unterhalb der Baugrubensohle nicht mehr zulässig ist, da der Erdwiderstand im Gegensatz zum Erddruck (Einwirkung) einen Widerstand darstellt. Folgerichtig darf bei gestütztem Baugrubenverbau eine Erddruckumlagerung auch nur bis zur Baugrubensohle angesetzt werden. Die ausreichende Tragfähigkeit eines Verbaus bzw. dessen Komponenten (Flächige Sicherung, Gurtung, Anker, Steifen, Erdauflager etc.) ist beim neuen Sicherheitskonzept für den Grenzzustand GZ1B (Überprüfung ausreichender Bauteilabmessungen) nachzuweisen. Die Nachweise erfolgen für den Lastfall LF2 mit Ausnahme der Bemessung von Steifen (LF1). Die Nachweise der Gebrauchstauglichkeit erfolgen in der Regel gesondert, und zwar nur in Fällen, in denen benachbarte Gebäude, Leitungen, andere bauliche Anlagen oder Verkehrsflächen gefährdet sein könnten. Für den Nachweis der Sicherheit gegen hydraulischen Grundbruch gilt der Grenzzustand GZ1A, für den Nachweis der Gesamtstandsicherheit (Geländebruch) der Grenzzustand GZ1C.

3.1 Nachweis der Tragfähigkeit eines einfach gestützten, im Boden frei aufgelagerten Trägerbohlwandverbaus

13

Das nachfolgende einfache Beispiel beschränkt sich auf die aus geotechnischer Sicht maßgebenden Nachweise der Sicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers und gegen Versinken von Bauteilen bei einer Trägerbohlwand. Es zeigt insbesondere, dass zwar eine durchgehend einheitliche Vorgehensweise wie bei anderen Aufgabenstellungen möglich ist, einige Nachweisführungen allerdings im Vergleich zu früher noch nicht konsequent umsetzbar sind. Im Baugrubenbereich steht geschichteter Baugrund an, bei dem der Einfachheit halber alle Schichten (A, S und G) keine Kohäsion aufweisen sollen. Neben der üblichen Flächenbelastung von 10 kN/m2 (BE, Lagerbereich) ist im Abstand von 1 m von der Baugrube eine Baustraße mit durchgängigem Schwerlastverkehr vorgesehen. Die für diesen Fall auf einer Breite von 3 m anzusetzende Ersatzlast von 33,3 kN/m2 wird als Zulage von 23,3 kN/m2 auf die ohnehin vorhandene großflächige Verkehrslast von 10 kN/m2 berücksichtig. Eine Begrenzung der Ersatzlast in Längsrichtung der Baugrube wird der Einfachheit halber vernachlässigt.

373

3 Baugrubenumschließungen

Einfach gestützter, im Boden frei aufgelagerter Trägerbohlwandverbau

Bild 3-1

Die den Nachweisen zugrunde liegenden Bodenkennwerte lauten: γ [kN/m3] 18,0 20,0 22,0

Schicht Auffüllung A Sand S Kies G

ϕ' bzw. ϕ" [° ] 30 30 35

Für die anzusetzende Wandreibung soll gelten:

δa = 2/3⋅ϕ', δp = – 2/3⋅ϕ'. Als Bohlträger wird ein gerammtes Profil IPB240 mit einer Einbindetiefe von 1,5 m gewählt (Alternativ könnte die Einbindetiefe natürlich auch optimiert werden). Der Bohlträgerabstand soll zunächst zu 2,80 m angenommen werden. Ermittlung der charakteristischen Werte des aktiven und des passiven Erddruckes Aus Tafel 8-1 (aktiver Erddruck, ebene Gleitflächen) sowie Bild 8-6 (passiver Erddruck, gekrümmte Gleitflächen) der BZ können die Erddruckbeiwerte entnommen werden. Der Gleitflächenneigungswinkel kann entweder als Näherung für den Rankine-Fall zu 45° + ϕ'/2 oder unter Berücksichtigung der Wandreibung (hier gewählt) bestimmt werden. Es ergibt sich: Schicht A, S G

δa [° ] 20,0 23,3

kagh [–] 0,28 0,22

ϑa [° ] 56,0 58,9

δp [° ] – -23,3

kpgh [–] – 7,30

Mit den angegebenen Größen kann die Erddruckverteilung aus Eigengewicht und großflächiger Verkehrslast errechnet werden. Hierbei wird angenommen, dass die großflächige Verkehrslast wie eine ständige Belastung und die für die Fahrfläche angenommene Zulage wie eine veränderliche Belastung zu behandeln sind. Kote ± 0,00 – 1,00 – 5,00 – 6,50

σz [kN/m2]

eagh [kN/m2]

18,0 98,0 131,0 (33,0)

5,04 27,44/21,56 28,82

eaph [kN/m2] 2,80 2,80 2,80/2,20 2,20

eah [kN/m2] 2,80 7,84 30,24/23,76 31,02

eph [kN/m2]

(240,9)

13

374

Geotechnik

Hierbei entspricht σz der mit der Tiefe zunehmenden Vertikalspannung hinter der Verbauwand (Klammerwert gilt für die Ermittlung des passiven Erddruckes auf der Baugrubenseite). Für die Berechnung des aktiven Erddruckes aus der Streifenlast (Schwerverkehr) wird der Ansatz nach Bild 8-4b (BZ) gewählt. Hierbei ist zu beachten, dass der aus der großflächigen Belastung von 10 kN/m2 resultierende Anteil bereits in eaph (s.o.) enthalten ist, so dass nur noch der Zuwachs aus der Streifenlast anzusetzen ist. Damit ergibt sich: Eap'h = p' ⋅ b ⋅ (sin (ϑa – ϕ) ⋅ cos δa)/cos (ϑa – ϕ – δa)

= 23,3⋅3,0 ⋅ (sin (56 – 30) ⋅ cos 20)/cos (56 – 30 – 20) = 28,95 kN/m Bei dreieckförmiger Verteilung über die wirksame Höhe von 5,35 m (Kotendifferenz 5,93 – 0,58, vgl. Bild 3-1) ergibt sich eine obere Ordinate von eap'h = 28,95/5,35 ⋅ 2 = 10,82 kN/m2 Die so ermittelte gesamte Erddruckverteilung ist in Bild 3-2 dargestellt. Hierbei entspricht die Größe eah der Beanspruchung aus ständigen und die Größe eap'h der Beanspruchung aus veränderlichen Lasten. Die Größe eph stellt demgegenüber einen Widerstand dar.

Bild 3-2

13

Erddruckverteilung

Die dargestellten Verteilungen des aktiven und des passiven Erddruckes gelten für ein linienförmiges Bauwerk, was bei einer Trägerbohlwand nur oberhalb der Baugrubensohle (BGS) der Fall ist. Die Lastfigur des aktiven Erddruckes aus ständigen Lasten oberhalb BGS kann nach EB69 [EAB] zur Berücksichtigung der Umlagerung vereinfacht werden. Bei der im vorliegenden Fall gewählten Höhenlage der Stützung (hK/H = 1,0/5,0 = 0,2, vgl. Bild 3-2) ergibt sich ein abgestuftes Rechteck mit einem Ordinatenverhältnis von 1,5. Mit einer mittleren Erddruckspannung bzw. Erddruckkraft von bzw.

eh = [(2,80 + 7,84)/2 ⋅ 1,0 + (7,84 + 30,24)/2 ⋅ 4,0]/5,0 = 16,30 kN/m2 Eh = 81,48 kN/m

folgt daraus: ehu = 2/2,5 ⋅ 16,30 = 13,04 kN/m2 eho = 1,5 ⋅ 13,04 = 19,56 kN/m2 Die so erhaltene wirklichkeitsnähere Verteilung für den aktiven Erddruck oberhalb BGS ist in Bild 3-2 ebenfalls mit eingetragen.

375

3 Baugrubenumschließungen

Ermittlung der Auflagerkräfte Die aus den charakteristischen Beanspruchungen resultierenden Auflagerkräfte sind getrennt für ständige (G) und veränderliche Einwirkungen (Q) zu ermitteln. Bei einer Trägerbohlwand darf dabei die Lage des unteren Erdauflagers in einer Tiefe von 0,6 ⋅ t unter BGS (hier: 0,6 ⋅ 1,5 = 0,9 m) angesetzt werden. Damit ergibt sich als statisches System ein Einfeldträger (Stützweite 4,90 m) mit Kragarm (Länge 1,0 m, vgl. Bild 3-2). Aus den Erddruckspannungen oberhalb BGS können folgende Auflagerreaktionen berechnet werden (zusätzlicher Index l für linienförmiges Bauwerk): Aus ständigen Einwirkungen (G)

ΣMBh,k = 0 Ÿ Ahl,k ⋅ 4,90 = 13,04⋅2,5⋅2,15 + 19,56⋅2,5⋅4,65 = 297,48 Ahl,k,G = 60,71 kN/m

ΣH = 0 Ÿ Bhl,k = Eh – Ahl,k = 81,48 – 60,71

Bhl,k,G = 20,77 kN/m

Bezogen auf den einzelnen Bohlträger (at = 2,80 m) ergibt sich für das untere Auflager: Bhk,G = 20,77 ⋅ 2,80 = 58,15 kN Aus veränderlichen Einwirkungen (Q)

ΣMBh,k = 0 Ÿ Ahl,k ⋅ 4,90 = 28,95 ⋅ 3,54 = 102,48 ΣH = 0 Ÿ Bhl,k = Eap'h – Ahl,k = 28,95 – 20,91

Ahl,k,Q = 20,91 kN/m Bhl,k,Q = 28,04 kN/m

Bezogen auf den einzelnen Bohlträger ergibt sich für das untere Auflager:

Bhk,Q = 8,04 ⋅ 2,80 = 22,51 kN Nachweis der Sicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers Die so berechneten Größen stellen die für den ebenen Fall und für den einzelnen Bohlträger ermittelten Auflagerreaktionen aus dem aktiven Erddruck oberhalb BGS dar. Beim Nachweis der Tragfähigkeit ist die Sicherheit gegen Versagen des Erdwiderlagers zu untersuchen. Hierzu ist zum einen der Bemessungswert des Erdwiderstandes hinter dem Einzelträger zu ermitteln. Darüber hinaus muss mit den entsprechenden Bemessungswerten – obwohl sich DIN 1054 (01.05) hierzu ausschweigt – wie früher ein ausreichender Erdwiderstand für ein Linienbauwerk aus der unteren Auflagerreaktion (s.o.) und dem unterhalb BGS wirksamen Erddruck nachgewiesen werden (früherer Nachweis des Differenzerddruckes).

Nachweis des Einzelträgers Hierbei ist folgende Bedingung zu erfüllen:

13

Bh,d = Bhk,G ⋅ γG + Bhk,Q ⋅ γQ ≤(!) Eph,d = Eph,k/γEp mit γG, γQ, γEp – Partialsicherheitsbeiwerte für Beanspruchungen bzw. Widerstände im LF2 nach den Tafeln 5-1 und 5-2 (BZ). Der charakteristische Erdwiderstand ergibt sich im vorliegenden Fall (keine Überschneidung der Bruchkörper wegen at = 2,80 m (Bohlträgerabstand) > t = 1,50 m (Einbindetiefe)) nach Abschnitt (BZ) aus

Eph,k = 0,5 ⋅ γ ⋅ ωR ⋅ t3 = 0,5 ⋅ 22 ⋅ 3,74 ⋅ 1,53 = 138,85 kN Damit folgt für den Nachweis

mit ωR nach Bild 10-17 (BZ)

376

Geotechnik

Bh,d = 58,15 ⋅ 1,20 + 22,51 ⋅ 1,30 ≤(!) Eph,d = 138,85/1,30 99,04 kN < 106,81 kN Nachweis des linienförmigen Bauwerkes (zusätzlicher Index l) Im vorliegenden Beispiel wird vereinfachend angenommen, dass der aktive Erddruck aus veränderlicher Einwirkung p' komplett oberhalb der BGS angreift, so dass er hier nicht mehr berücksichtigt werden muss (vgl. Bild 3-2). In diesem Fall ist folgende Bedingung zu erfüllen: Bhl,d = Bhl,k,G ⋅ γG + Bhl,k,Q ⋅ γQ + ΔEahl,k ⋅ γG ≤(!) Ephl,d = Ephl,k/γEp Der charakteristische Erdwiderstand ergibt sich hierbei aus dem ebenen Fall zu

Ephl,k = 0,5 ⋅ eph ⋅ t = 0,5 ⋅ 240,9 ⋅ 1,5 = 180,68 kN/m Analog beträgt die charakteristische Einwirkung aus Differenzerddruck ΔEahl,k = (23,76 + 31,02)/2 ⋅ 1,5 = 41,09 kN/m Damit folgt für den Nachweis

Bhl,d = 20,77 ⋅ 1,20 + 8,04 ⋅ 1,30 + 41,09 ⋅ 1,20 ≤(!) Ephl,d = 180,68/1,30 84,68 kN/m < 138,98 kN/m Damit ist die gewählte Einbindetiefe von 1,50 m als ausreichend zu bewerten. Auffällig bzw. zu beachten ist, dass bei Anwendung des neuen Sicherheitskonzeptes für den Nachweis am Einzelträger und den Nachweis am Linienbauwerk das gleiche Sicherheitsniveau gefordert wird (früher 2,0 für den Einzelträger und 1,5 für das Linienbauwerk). Nachweis der mobilisierbaren Mantelreibung Nach DIN 1054 (01.05) ist zusätzlich zu überprüfen, ob der bei der Ermittlung des Erdwiderstandes angenommene Wandreibungswinkel mit der Gleichgewichtsbedingung ΣV = 0 im Einklang steht. Hierzu ist auf der Grundlage von charakteristischen Werten folgende Bedingung zu erfüllen:

Vk Vk = ΣVk,i ≥ Bv,k

13

Bv,k

Vertikalkomponente der nach unten gerichteten charakteristischen Einwirkungen, nach oben gerichtete Vertikalkomponente der charakteristischen Auflagerkraft.

Im vorliegenden Fall ergibt sich (ebene Betrachtung ohne Differenzerddruck): Aus G:

Vk = Eh ⋅ tan δa > (!) Bv,k = Bhl,k,G ⋅ tan δp = 81,48 ⋅ tan 20 > (!) = 20,77 ⋅ tan 23,3 29,66 kN/m > 8,94 kN/m

Aus G + Q: Vk = (Eh + Eap'h ) ⋅ tan δa > (!) Bv,k = (Bhl,k,G + Bhl,k,Q) ⋅ tan δp = (81,48 + 28,95) ⋅ tan 20 > (!) = (20,77 + 8,04) ⋅ tan 23,3 40,19 kN/m > 12,56 kN/m Die für die Erdwiderstandsermittlung angesetzte Wandreibung kann demnach mobilisiert werden. Nachweis gegen Versinken von Bauteilen Nach DIN 1054 (01.05) ist zusätzlich nachzuweisen, dass die am Bohlträgerfuß auftretenden, nach unten gerichteten Vertikallasten vom umgebenden Baugrund aufgenommen werden können und der Bohlträger nicht im Boden versinkt.

377

3 Baugrubenumschließungen

Hierbei ist auf der Grundlage von Bemessungswerten folgende Bedingung zu erfüllen:

Vd = ΣVd,i ≤ Rd

Vd Bemessungswert der lotrechten Beanspruchung am Trägerfuß, Rd Bemessungswert des Bohlträgerwiderstandes im Bereich der Einbindetiefe (ähnlich einem Pfahlwiderstand).

Im vorliegenden Fall ergibt sich (Betrachtung am Einzelträger):

Vd

= G ⋅ γG + ΣEav,k,G⋅ γG + ΣEav,k,Q ⋅ γQ = G ⋅ γG + [(Eh ⋅ tan δa1 + ΔEah,k ⋅ tan δa2) ⋅ γG + Eap'h ⋅ tan δa1 ⋅ γQ] ⋅ at = 83,2⋅6,5/100 ⋅ 1,20 (aus Trägergewicht IPB240) + [(81,48 ⋅ tan 20 + 41,09 ⋅ tan 23,3) ⋅ 1,20 + 28,95 ⋅ tan 20 ⋅ 1,30] ⋅ 2,80 = 5,41 ⋅ 1,20 + [47,35 ⋅ 1,20 + 10,54 ⋅ 1,30] ⋅ 2,80 = 203,95 kN

Der charakteristische Bohlträgerwiderstand errechnet sich wie folgt:

R1,k = qb,k ⋅ Ab + qs,k ⋅ As, wobei die Fußfläche unter Berücksichtigung einer Pfropfenbildung ermittelt und als Mantelfläche der Trägerumfang im Einbindebereich angenommen werden kann. Im Hinblick auf den zu führenden Nachweis ergibt sich das Problem, dass für den Fall eines gerammten IPB-Trägers (Verdrängungspfahl) keine auf Erfahrungswerten beruhenden charakteristischen Widerstände für den GZ1B in DIN 1054 (01.05) mehr angegeben sind. In diesem Falle sollte man daher aushilfsweise auf die früher gültige Tabelle nach Schenck (Grenzzustand bei Rammpfählen) zurückgreifen. Für den im Einbindebereich der Bohlträger anstehenden Kiessand lassen sich daraus folgende Grenzwiderstände entnehmen:

qb,k = 3 MN/m2

qs,k = 25 kN/m2

Für den hier vorgesehenen IPB-Träger ergibt sich bei einer Profilhöhe und -breite von jeweils 240 mm und einer Einbindetiefe von 1,50 m

Ab = 0,242 = 0,058 m2

(Pfropfenbildung)

As = 1,35 ⋅ 1,50 = 2,03 m2

(Abgewickelter Trägerumfang)

Damit errechnet sich der charakteristische Bohlträgerwiderstand wie folgt:

R1,k = 3000 ⋅ 0,058 + 25 ⋅ 2,03 = 224,75 kN Für den Nachweis der Sicherheit gegen Versinken von Bauteilen folgt

Vd = 203,95 > Rd = R1,k/γP = 224,75/1,40 = 160,5

13

378

Geotechnik

Da aufgrund des Ergebnisses ein Versinken der Bohlträger nicht ausgeschlossen werden kann, ist der Trägerabstand zu reduzieren und/oder ein stärkeres Profil zu wählen. Im vorliegenden Fall gelingt der betreffende Nachweis, wenn der Trägerabstand auf 2,20 m reduziert wird. Damit „verbessert“ sich auch der Nachweis gegen Versagen des Erdwiderlagers am Einzelträger.

Die weiteren Nachweise (GZ1B, i.d.R. LF2), insbesondere gegen Materialversagen und hinsichtlich der Ankerbemessung, sollen an einem zusätzlichen Beispiel ausführlich veranschaulicht werden.

3.2 Nachweis der Tragsicherheit eines einfach gestützten, im Boden frei aufgelagerten Spundwandverbaus Das nachfolgende Beispiel beinhaltet sämtliche Nachweise der Tragsicherheit, die aus geotechnischer und zum Teil auch konstruktiver Sicht im Hinblick auf die Festlegung ausreichender Bauteilabmessungen einer Spundwand zu führen sind. Es zeigt insbesondere, dass der Aufwand zur Durchführung aller Berechnungen gegenüber dem bisher bekannten Konzept der globalen Sicherheiten zwar deutlich umfangreicher wird, die einzelnen Nachweise aber nunmehr eine durchgehend einheitliche Form aufweisen. Darüber hinaus wird insbesondere deutlich, dass zum einen auf sehr große Sorgfalt bei der vollständigen und nach ständigen und veränderlichen Einwirkungen getrennten Lastermittlung zu achten ist und zum anderen eine konsequente Indizierung der einzelnen Rechengrößen unabdingbar wird. Es zeigt sich aber auch, dass aufgrund der Tatsache, dass viele mit der neuen Norm DIN 1054 (01.05) gekoppelte Richtlinien noch nicht auf gleichem „Status Quo“ liegen, einige Nachweisführungen im Vergleich zu früher noch nicht konsequent umsetzbar sind. Im Baugrubenbereich steht eine 2,5 m mächtige bindige Deckschicht an, die von einem 8,5 m mächtigen Horizont aus stark kiesigem Sand unterlagert wird. Da weiter unterhalb ein Wasserstauer folgt, ist im Kiessand in einer Tiefe von 4,5 m unterhalb der Geländeoberfläche ein freier Grundwasserspiegel ausgebildet, der für die Baugrube um 2,0 m abgesenkt werden muss. Die Kennwerte der beiden für die Berechnung maßgebenden Bodenschichten lauten