Pseudodifferentialoperatoren 001

Pseudodifferentialoperatoren (2+0)-stu ¨ ndige Vorlesung im Wintersemester 2006/2007 ¨ JORG SEILER

Inhaltsverzeichnis 1 Fouriertransformation und Distributionen

3

2 Symbole und Pseudodifferentialoperatoren

6

3 Oszillator-Integrale

11

4 Doppelsymbole, Algebraeigenschaft und Elliptizit¨ at

16

5 Stetigkeit in Sobolevr¨ aumen

22

6 Elliptizit¨ at und Fredholm-Eigenschaft

26

7 Parameterabh¨ angige ψdo

35

8 Resolventen und H∞ -Funktionalkalk¨ ul

38

9 Wiederholung: Fredholm-Operatoren

44

10 Wiederholung: Unbeschr¨ ankte Operatoren

45

2

1

Fouriertransformation und Distributionen

Definition 1.1 Eine Funktion u : Rn → C heißt schnell fallend, falls sie unendlich oft partiell stetig differenzierbar ist und o n kukk := sup |xα ∂xβ u(x)| | x ∈ Rn , |α| + |β| ≤ k < ∞ ∀ k ∈ N0 . (1.1) Den Vektorraum aller solcher Funktionen bezeichnen wir mit S(Rn ). Mit den (Halb)normen aus (1.1) ist S(Rn ) ein Fr`echetraum. Definition 1.2 Eine linerare Abbildung T : S(Rn ) → C heißt eine temperierte Distribution, falls eine der folgenden ¨ aquivalenten Eigenschaften gilt: a) T ist stetig. b) T ist folgenstetig. c) Es gibt eine Konstante C ≥ 0 und ein k ∈ N0 , sodass |T (u)| ≤ Ckukk

∀ u ∈ S(Rn ).

Wir schreiben oft hT, ui = T (u). Den Vektorraum aller temperierten Distribution bezeichnen wir mit S 0 (Rn ). Er ist ein lokalkonvexer Raum mit den Halbnormen u ∈ S 0 (Rn ).1

kT ku = |hT, ui|

Beispiel 1.3 a) Regul¨ are Distributionen: Sei f : Rn → C meßbar mit (1+|x|)−N f (x) ∈ L1 (Rn ) und Z hTf , ui :=

f (x)u(x) dx

∀ u ∈ S(Rn ).

Rn

Die sogenannte Dichte f von Tf ist durch Tf eindeutig bestimmt.2 Die Abbildung f 7→ Tf : Lp (Rn ) −→ S 0 (Rn )

(1 ≤ p ≤ ∞)

ist also injektiv; in diesem Sinne gilt Lp (Rn ) ⊂ S 0 (Rn ). b) δ-Distribution(en): F¨ ur festes y ∈ Rn ist hδy , ui := u(y)

∀ u ∈ S(Rn ).

c) Der Cauchysche Hauptwert:3 D

1 E p.v. , u := lim ε→0+ x

Z |x|≥ε

u(x) dx x

∀ u ∈ S(R).

S 0 (Rn ) ist also der Dualraum von S(Rn ) versehen mit der schwach-∗-Topologie. d.h. Tf = 0 impliziert f = 0 fast u ¨berall 3 englisch: pricipal value

1

2

3

Z Wegen ε≤|x|≤1

1 dx = 0 gilt x D

1 E p.v. , u = x

Z |x|≤1

u(x) − u(0) dx + x

Z |x|≥1

u(x) dx. x

Definition 1.4 Es sei T ∈ S 0 (Rn ). Die α-te partielle Ableitung ∂ α T ∈ S 0 (Rn ) ist definiert durch h∂ α T, ui := (−1)|α| hT, ∂ α ui ∀ u ∈ S(Rn ). Ist a ∈ C ∞ (Rn ) von temperiertem Wachstum, d.h. ∀ α ∈ Nn0

|∂ α a(x)| ≤ C(1 + |x|)N

∃ C ≥ 0, N ∈ N :

∀ x ∈ Rn ,

so ist aT ∈ S 0 (Rn ) definiert durch ∀ u ∈ S(Rn ).

haT, ui := hT, aui

T 7→ ∂ α T und T 7→ aT sind stetige Abbildungen S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ). ( 1 x≥0 4 Beispiel 1.5 Sei T ∈ S 0 (R) die regul¨are Distribution mit Dichte h(x) = . 0 x<0 Dann ist T 0 = δ, da Z ∞ Z ∞ 0 0 0 hT , ui = −hT, u i = − h(x)u (x) dx = − u0 (x) dx = u(0) = hδ, ui. −∞

0

Definition 1.6 (Fouriertransformation) F¨ ur u ∈ S(Rn ) definiere5 Z u b(ξ) = (Fu)(ξ) := e−ixξ u(x) dx ∀ ξ ∈ Rn . Rn

Dabei xξ = x · ξ := (x, ξ)Rn = x1 ξ1 + . . . + xn ξn . Satz 1.7 F : S(Rn ) → S(Rn ) ist linear und stetig: F¨ ur alle k ∈ N0 gibt es ein C ≥ 0, sodass kb ukk ≤ Ckukk+n+1 ∀ u ∈ S(Rn ). (1.2) Weiterhin gilt ∀ u, v ∈ S(Rn ).

hb u, vi = hu, vbi Beweis:

Zun¨ achst ist f¨ ur m ∈ N (1 + |x|)m ≤ (1 + |x1 | + . . . + |xn |)m =

P |α|≤m

4 5

(1.3)

Die Funktion h nennt man oft die Heavyside-Funktion. diesselbe Definition macht auch Sinn f¨ ur u ∈ L1 (Rn )

4

cα,m |xα |

f¨ ur geeignete cα,m ∈ N. Daher ist Z Z |b u(ξ)| ≤ |u(x)| dx = (1 + |x|)−(n+1) (1 + |x|)n+1 |u(x)| dx n n R R Z ≤ Ckukn+1 (1 + |x|)−(n+1) dx = Ckukn+1 Rn

mit einer Konstante C ≥ 0.6 Wegen parieller Integration und ∂ξγ e−ixξ = (−i)|γ| xγ e−ixξ ist   b(ξ) = (−i)|α|+|β| F ∂xα (xβ u(x)) (ξ) ξ α ∂ξβ u

=⇒

|ξ α ∂ξβ u b(ξ)| ≤ Ck∂xα (xβ u(x))kn+1 .

Nach Produktregel (Leibniz-Formel) ist ∂xα (xβ u(x)) ( Da

∂xγ xβ

=

β! β−γ (β−γ)! x

:γ≤β

0

: sonst

  α (∂xγ xβ )(∂xα−γ u(x)). = γ γ≤α

P

, folgt

k∂xα (xβ u(x))kn+1 ≤ Cα,β kuk|α|+|β|+n+1 . Summiert man u ¨ber alle Multiindizes mit |α| + |β| ≤ k, so folgt (1.2). Schließlich Z Z nZ Z nZ o o −ixξ hb u, vi = u b(ξ)v(ξ) dξ = e u(x) dx v(ξ) dξ = e−ixξ v(ξ) dξ u(x) dx Z = vb(x)u(x) dx = hu, vbi nach Satz von Fubini. Satz 1.8 F¨ ur T ∈ S 0 (Rn ) definiere ∀ u ∈ S(Rn ).

hTb, ui = hT, u bi

Dann ist b= F : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ) stetig und hat folgende Eigenschaften: α T = i|α| ξ α T α T f¨ b und ∂ α Tb = (−i)|α| xd a) ∂d ur alle α ∈ Nn0 .

b) Ist C0 (Rn ) = {f ∈ C(Rn ) | lim|x|→∞ f (x) = 0} mit der Supremum-Norm versehen,7 so ist F : L1 (Rn ) → C0 (Rn ) stetig.8 Z d) Ist (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y) dy die Faltung von f, g ∈ L1 (Rn ), so ist Rn

F(f ∗ g) = fbgb. R R∞ Mit Polarkoordinaten: Rn (1 + |x|)−L dx = τn 0 tn−1 (1 + t)−L < ∞, falls n − 1 − L < −1, d.h. L > n. 7 dann ist C0 (Rn ) ein Banachraum 8 Lemma von Riemann-Lebesgue

6

5

Beispiel 1.9 Fouriertransformation der δ-Distribution: Z b hδy , ui = u b(y) = e−ixy u(x) dx = he−iy· , ui. Rn

Satz 1.10 Es sei

Z

eixξ u(ξ) d¯ξ,

u ˇ(x) =

1 dξ. (2π)n

d¯ξ =

Rn

Dann ist u ˇ : S(Rn ) → S(Rn ) stetig und es gilt F(ˇ u) = u,

∀ u ∈ S(Rn ).

(Fu)ˇ= u

Also ist F : S(Rn ) → S(Rn ) bijektiv mit Inverse F −1 =ˇ. Durch ∀ T ∈ S 0 (Rn )

hTˇ, ui := hT, u ˇi

∀ u ∈ S(Rn )

erh¨ alt man die Inverse F −1 von F : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ). Satz 1.11 (Plancherel) F schr¨ ankt sich ein zu einer bijektiven Abbildung F : L2 (Rn ) → n L2 (R ) mit (b u, vb)L2 (Rn ) = (2π)n (u, v)L2 (Rn ) ∀ u ∈ L2 (Rn ).

2

Symbole und Pseudodifferentialoperatoren

Notation:

F¨ ur y ∈ Rm schreiben wir hyi :=

p

1 + |y|2 .

Dies ist eine glatte9 Funktion in y und es gilt √ hyi ≤ (1 + |y|) ≤ 2 hyi

∀ y ∈ Rm .

Definition 2.1 Es sei µ ∈ R. Mit S µ (Rn ) bezeichnen wir denjenigen Unterraum von C ∞ (Rn × Rn )10 , dessen Elemente folgende Eigenschaft haben: F¨ ur alle k ∈ N0 ist (µ) kpkk := sup ∂xβ ∂ξα p(x, ξ) hξi|α|−µ < ∞. (2.1) x,ξ∈R, |α|+|β|≤k

Wir nennen solche p ein (Links-)Symbol der Ordnung µ. Setze S −∞ (Rn ) =

∩

µ∈R

S µ (Rn ).

Beispiel 2.2 Es sei µ ∈ N0 und p(x, ξ) =

P

aα (x)ξ α ,

aα ∈ Cb∞ (Rn ).

|α|≤µ

Dann ist p ∈ S µ (Rn ) ein Linkssymbol der Ordnung µ. 9 10

d.h. unendlich oft stetig partiell differenzierbare dies ist der Raum aller glatten Funktionen Rn × Rn → C

6

(2.2)

Beispiel 2.3 F¨ ur µ ∈ R ist hξiµ ∈ S µ (Rn ) ein von x unabh¨angiges Symbol. Denn per Induktion zeigt man: ∂ξα hξiµ ist eine endliche Linearkombination von Termen der Form pk (ξ)hξiµ−2l mit Polynomen pk vom Grad ≤ k und 2l − k ≥ |α|. Also |∂ξα hξiµ | ≤ Chξiµ−(2l−k) ≤ Chξiµ−|α| . Beispiel 2.4 Es sei µ ∈ R und p ∈ C ∞ (Rn × Rn ) erf¨ ulle p(x, tξ) = tµ p(x, ξ)

∀ x ∈ Rn

∀ |ξ| ≥ 1

∀t≥1

ur große ξ) und (man sagt p ist positiv homogen vom Grad µ f¨ sup x∈Rn , |ξ|≤1

|∂ξα ∂xβ p(x, ξ)| < ∞

∀ α, β ∈ Nn0 .

Dann ist p ∈ S µ (Rn ) ein Linkssymbol der Ordnung µ. Lemma 2.5 (Einfache Eigenschaften) Im folgenden seien µ, µ e ∈ R. a) S µ (Rn ) ist ein Fr`echetraum mit den (Halb-)Normen aus (2.1). b) p 7→ ∂ξα ∂xβ p : S µ (Rn ) → S µ−|α| (Rn ) ist linear und stetig. c) (p, pe) 7→ pe p : S µ (Rn ) × S µe (Rn ) → S µ+eµ (Rn ) ist bilinear und stetig. d) S µe (Rn ) ,→ S µ (Rn ),11 falls µ e ≤ µ. Beispiel 2.6 Es sei p(x, ξ) wie in (2.2) und P : S(Rn ) → S(Rn ) der Differentialoperator gegeben durch P (P u)(x) = aα (x)Dxα u(x). |α|≤µ

Wegen Satz 1.8.a) ist −1

α

α


ξ u b(ξ) (x) = aα (x)

aα (x)D u(x) = aα (x) F Z = eixξ aα (x)ξ α u b(ξ) d¯ξ.

Z Rn

eixξ ξ α u b(ξ) d¯ξ

Rn

Also erh¨ alt man Z (P u)(x) =

eixξ p(x, ξ)b u(ξ) d¯ξ

∀ u ∈ S(Rn ).

(2.3)

Rn

Definition 2.7 F¨ ur ein Linkssymbol p ∈ S µ (Rn ) und u ∈ S(Rn ) definiere Z [p(x, D)u](x) = [op(p)u](x) = eixξ p(x, ξ)b u(ξ) d¯ξ, x ∈ Rn . Rn

p(x, D) = op(p) heißt der Pseudodifferentialoperator (kurz: ψdo) mit Symbol p(x, ξ). 11

X ,→ Y meint hier, dass X ⊆ Y und dass x 7→ x : X → Y stetig ist, also dass die Topologie von X st¨ arker ist als die Spurtopologie von X bzgl. Y .

7

Beispiel 2.8 Jeder Differentialoperator mit Koeffizienten aus Cb∞ (Rn ) ist ein ψdo, vgl. Beispiel 2.6. Insbesondere gilt f¨ ur den Laplace-Operatoren: ∆ = ∂x21 + . . . + ∂x2n = −Dx21 − . . . − Dx2n = p(D),

p(ξ) = −ξ12 − . . . − ξn2 = −|ξ|2 .

Satz 2.9 Es sei p ∈ S µ (Rn ) ein Linkssymbol. Dann ist p(x, D) : S(Rn ) −→ S(Rn ) stetig und linear. Genauer: Zu jedem k ∈ N0 gibt es ein C ≥ 0 derart, dass (µ)

∀ u ∈ S(Rn )

kp(x, D)ukk ≤ Ckpkk kukk+2n+2+[µ]

∀ p ∈ S µ (Rn ),

wobei [µ] die kleinste nat¨ urliche Zahl mit max(µ, 0) ≤ [µ] bezeichnet. Beweis: Der Einfachheit halber sei µ ∈ N0 . Zun¨achst haben wir f¨ ur beliebiges q ∈ S µ (Rn ) und v ∈ S(Rn ), dass Z

hξi−n−1 |hξi−µ q(x, ξ)| |hξiµ+n+1 vb(ξ)| d¯ξ Z (µ) µ+n+1 ≤ kqk0 khξi vbk∞ hξi−n−1 d¯ξ

sup |[op(q)v](x)| ≤ sup x∈Rn

x∈Rn

Rn

Rn

1.7

(µ)

(µ)

≤ C kqk0 kb v kµ+n+1 ≤ C kqk0 kvkµ+2n+2 . F¨ ur α, β ∈ Nn0 und u ∈ S(Rn ) gilt nun xα ∂xβ [op(p)u](x)

α

P

=

Z

Cβ1 ,β2 x

β1 +β2 =β

Rn

b(ξ) d¯ξ. eixξ (∂xβ2 p)(x, ξ)ξ β1 u

Verwendet man nun Satz 1.8.a), dass xα eixξ = Dξα eixξ und partielle Integration, so folgt xα ∂xβ [op(p)u](x)

=

Z

P

Cβ1 ,β2 ,α1 ,α2

Rn

β1 +β2 =β α1 +α2 =α

=

P β1 +β2 =β α1 +α2 =α


eixξ (∂xβ2 ∂ξα2 p)(x, ξ)F xα1 ∂xβ1 u (ξ) d¯ξ


 Cβ1 ,β2 ,α1 ,α2 op ∂xβ2 ∂ξα2 p (xα1 ∂xβ1 u) (x).

Anwenden obiger Absch¨ atzung liefert sup |xα ∂xβ [op(p)u](x)| ≤

x∈Rn

(µ−|α2 |)

P β1 +β2 =β α1 +α2 =α

Cβ1 ,β2 ,α1 ,α2 k∂xβ2 ∂ξα2 pk0

(µ)

≤ Cα,β kpk|α|+|β| kukµ+2n+2+|α|+|β| . Summation u ¨ber alle |α| + |β| ≤ k ergibt die Behauptung. 8

kxα1 ∂xβ1 ukµ+2n+2

Definition 2.10 Es sei µ ∈ R und pj ∈ S µj (Rn ) f¨ ur j ∈ N0 , wobei j→∞

µ = µ0 ≥ µ1 ≥ µ2 ≥ . . . −−−→ −∞. Wir sagen, dass p ∈ S µ (Rn ) die asymptotische Summe der pj ist und schreiben p ∼

∞ P

pj ,

j=0

falls p−

NP −1

pj ∈ S µN (Rn )

∀ N ∈ N.

j=0

( 0 Notation: χ ∈ C ∞ (Rn ) heißt eine 0-Ausschneidefunktion, falls χ(ξ) = 1

: |ξ| ≤ 1 12 . : |ξ| ≥ 2

Satz 2.11 Es sei µ0 ∈ R und pj ∈ S µj (Rn ), j ∈ N0 , mit µj & −∞. Dann gibt es ein ∞ P p ∈ S µ0 (Rn ) derart, dass p ∼ pj . Dieses p ist modulo S −∞ (Rn ) eindeutig bestimmt. j=0

Beweis: |α| ≥ 1

Existenz: Sei χ eine 0-Ausschneidefunktion und 0 < ε ≤ 1. Dann ist f¨ ur |∂ξα χ(εξ)|

( Cα ε|α| ≤ 0

: ξ ∈ Rn . : |ξ| ≤ ε−1 oder 2ε−1 ≤ |ξ|

Da ε ≤ 2|ξ|−1 ≤ 4hξi−1 f¨ ur ε−1 ≤ |ξ| ≤ 2ε−1 ,13 folgt |∂ξα χ(εξ)| ≤ Cα hξi−|α|

∀ 0 < ε ≤ 1 ∀ ξ ∈ Rn

f¨ ur alle α ∈ Nn0 .14 Es folgt α β ∂ξ ∂x [χ(εξ)pj (x, ξ)] ≤ Cj,α,β hξiµj −|α| = (Cj,α,β hξi−1 )hξiµj +1−|α|

(2.4)

j→∞

Jetzt w¨ ahle eine Folge 1 ≥ ε0 > ε1 > . . . > εj −−−→ 0 mit Cj,α,β εj ≤ 2−j

∀ |α| + |β| ≤ j.

Da hξi−1 ≤ |ξ|−1 und χ(εj ξ) = 0 f¨ ur alle ξ mit |ξ|−1 ≥ εj ,15 folgt aus (2.4), dass α β ∀ (x, ξ) ∀ |α| + |β| ≤ j. ∂ξ ∂x [χ(εj ξ)pj (x, ξ)] ≤ 2−j hξiµj +1−|α| Jetzt definiere p(x, ξ) =

∞ P

χ(εj ξ)pj (x, ξ).

j=0 12

Statt 1 bzw. 2 kann man auch beliebige Konstanten √ 0 < c1 < c2 verwenden. F¨ ur |ξ| ≥ 1 ist hξi2 = 1 + |ξ|2 ≤ |ξ|2 , also |ξ|−1 ≤ 2hξi−1 . 14 d.h. {χ(εξ) | 0 < ε ≤ 1} ist eine beschr¨ ankte Teilmenge in S 0 (Rn ). −1 15 −1 also auch f¨ ur alle ξ mit hξi ≥ εj 13

9

(2.5)

Dies ist eine lokal endliche Summe, insbesondere p ∈ C ∞ (Rn × Rn ). F¨ ur beliebig gegebenes N ∈ N ist p−

NP −1

NP −1

pj =

j=0

(χ(εj ξ) − 1)pj

∞ P

+

j=0

χ(εj ξ)pj .

j=N

|

{z

}

|

∈S −∞ (Rn ), da ≡ 0 f¨ ur |ξ| ≥ 2ε−1 N −1

{z

=:qN (x,ξ)

}

Wir m¨ ussen zeigen, dass qN ∈ S µN (Rn ) ist. Seien dazu α, β ∈ Nn0 beliebig vorgegeben. W¨ahle j0 ∈ N mit j0 ≥ max(N, |α| + |β|) und µj0 + 1 ≤ µN . Dann ist qN (x, ξ) =

jP 0 −1

χ(εj ξ)pj +qj0 (x, ξ).

j=N

|

{z

∈S µN (Rn )

}

Nach Wahl von j0 und wegen (2.5) gilt  P  ∞ |∂ξα ∂xβ qj0 (x, ξ)| ≤ 2−j hξiµN −|α| ≤ hξiµN −|α| . j=j0

Daher ist |∂ξα ∂xβ qN (x, ξ)| ≤ Cα,β hξiµN −|α| . Eindeutigkeit: Seien p(1) , p(2) ∈ S µ0 (Rn ) und p(k) ∼

P

pj . Dann ist

  NP −1  NP −1  pj ∈ S µN (Rn ). p(1) − p(2) = p(1) − pj + p(2) − j=0

j=0

Also p(1) − p(2) ∈ ∩ S µN (Rn ) = S −∞ (Rn ). N ∈N

Definition 2.12 Das Symbol p ∈ S µ (Rn ), µ ∈ R, heißt ein klassisches oder polyhomogenes Symbol, falls es pj ∈ S µ−j (Rn ), j ∈ N0 , gibt mit pj (x, tξ) = tµ−j pj (x, ξ) und p ∼

P

j

∀x

∀ |ξ| ≥ 1

∀t≥1

µ pj . Den Raum aller solcher Symbole nennen wir Scl (Rn )

Beispiel 2.13 a) p(x, ξ) =

aα (x)ξ α =

P |α|≤µ

b) Es sei p(ξ) =

hξi−2

=

1 . 1+|ξ|2

µ P

pj (x, ξ) mit pj (x, ξ) =

j=0

Dann ist p ∈

S −2 (Rn )

|α|=µ−j

und

NP −1 (−1)j 1 1 1 − = (−1)N 2N 2 2(j+1) 1 + |ξ| |ξ| 1 + |ξ|2 |ξ| j=0

Sei χ eine 0-Ausschneidefunktion. Nach Beispiel 2.4 ist dann pj (ξ) = χ(2ξ) 16

(−1)j ∈ S −2(1+j) (Rn ). |ξ|2(j+1)

Induktion!

10

P

∀ ξ 6= 0.16

aα (x)ξ α .

∞ P

Dann ist p ∼

pj , da wegen oben und Lemma 2.5.c)

j=0

p(ξ) −

NP −1 j=0

3

pj (ξ) =

χ(2ξ) (−1)N + (1 − χ)(2ξ)p(ξ) | {z } |ξ|2N (1 + |ξ|2 )

∈ S −2(N +1) (Rn ).

∞ ∈Ccomp (Rn )⊂S −∞ (Rn )

Oszillator-Integrale

Bemerkung 3.1 Seien pj ∈ S µj (Rn ) und u, v ∈ S(Rn ). Dann Z Z  0 [op(pj )v](x) = ei(x−x )ξ pj (x, ξ)v(x0 ) dx0 d¯ξ. Wir f¨ uhren jetzt eine formale (und tats¨achlich falsche) Rechnung zur Komposition zweier ψdo durch. ZZ  ZZ  
 0 i(x−x0 )ξ 0 0 op(p1 ) op(p2 )u (x) = e p1 (x, ξ ) ei(x −z)ξ p2 (x0 , ξ)u(z) dzd¯ξ dx0 d¯ξ 0 ZZZZ 0 0 = ei(x−z)ξ e−i(x−x )(ξ−ξ ) p1 (x, ξ 0 )p2 (x0 , ξ)u(z) dx0 d¯ξ 0 dzd¯ξ. Nach Variablensubstitution y = x − x0 und η = ξ − ξ 0 folgt ZZ  ZZ  i(x−z)ξ = e e−iyη p1 (x, ξ + η)p2 (x + y, ξ) dyd¯η u(z) dzd¯ξ | {z } =:p(x,ξ)

= [op(p)u](x) Problem: Der Integrand in der Definition von p ist im allgemeinen nicht integrierbar. L¨osung: Verallgemeinerter Integralbegriff! Definition 3.2 (und Lemma) Am,τ (Rn ) (m, τ ∈ R) sei der Raum aller glatter Funktionen a : Rn × Rn → C mit n o α β −τ −m kakm,τ := sup |∂ ∂ a(y, η)|hyi hηi < ∞. η y k |α|+|β|≤k y,η∈Rn

Die Elemente von Am,τ (Rn ) heißen Amplitudenfunktionen. Dann ist Am,τ (Rn ) ein Fr`echetraum und S m (Rn ) ,→ Am,0 (Rn ). Satz 3.3 Es sei a ∈ Am,τ (Rn ) und χ ∈ S(Rn × Rn ) mit χ(0) = 1. Dann existiert der Grenzwert ZZ ZZ Os[a] = Os − e−iyη a(y, η) dyd¯η := lim e−iyη χ(εy, εη)a(y, η) dyd¯η. (3.1) ε→0

F¨ ur beliebige l, l0 ∈ N0 mit 2l > n + m und 2l0 > n + τ ist ZZ h i 0 0 Os[a] = e−iyη hyi−2l (1 − ∆η )l hηi−2l (1 − ∆y )l a(y, η) dyd¯η.

11

Beweis:

1. Schritt: Setze χε (y, η) = χ(εy, εη). Dann gilt

i) χε ∈ S(R2n ) f¨ ur alle ε > 0, n o ii) sup |∂ηα ∂yβ χε (y, η)| | 0 < ε ≤ 1, (y, η) ∈ R2n < ∞ f¨ ur alle α, β ∈ Nn0 , ( 1 iii) ∂ηα ∂yβ χε (y, η) −−−→ 0 ε→0

: |α| + |β| = 0 punktweise auf R2n . : sonst

1. Schritt: Es gilt 0

0

hyi−2l (1 − ∆η )l e−iyη = e−iyη = hηi−2l (1 − ∆y )l e−iyη . Bezeichnet Iε die rechte Seite von (3.1), so folgt durch partielle Integration ZZ

e−iyη hηi−2l (1 − ∆y )l (χε (y, η)a(y, η)) dyd¯η ZZ h i 0 0 = e−iyη hyi−2l (1 − ∆η )l hηi−2l (1 − ∆y )l (χε (y, η)a(y, η)) dyd¯η. | {z }

Iε =

gε (y,η)

Wegen h·ir ∈ S r (Rn ), ii) und Produktregel gilt 0

τ −2l |gε (y, η)| ≤ Cl,l0 kakm,τ hηim−2l . 2l+2l0 hyi

(3.2)

Also hat gε eine gleichm¨ aßige L1 -Majorante. Wegen iii) ist h i 0 0 ε→0 gε (y, η) −−−→ hyi−2l (1 − ∆η )l hηi−2l (1 − ∆y )l a(y, η) . Die Behauptung folgt aus dem Satz von Lebesgue u ¨ber dominierte Konvergenz. Folgerung 3.4 (3.1) h¨ angt nicht von der Wahl von χ ∈ S(R2n ) ab. Die Abbildung a 7→ Os[a] : Am,τ (Rn ) −→ C. ist stetig (beachte (3.2)). Ist a ∈ L1 (R2q ), so ist ZZ Os[a] =

e−iyη a(y, η) dyd¯η.

Satz 3.5 (Dominierte Konvergenz) Sei (aj )j∈N ⊂ Am,τ (Rn ) eine beschr¨ ankte Folge, die punktweise auf R2n gegen die Funktion a konvergiere. Dann ist a ∈ Am,τ (Rn ) und lim Os[aj ] = Os[a].

j→∞

12

Beweis:

Ein funktionalanalytisches Argument zeigt, dass a ∈ C ∞ (R2n ) und dass ∂ηα ∂yβ aj

j→∞

−−−→ ∂ηα ∂yβ a gleichm¨ aßig auf beschr¨ankten Mengen.17 Insbesondere gilt dann, dass h i j→∞ h i 0 0 0 0 hyi−2l (1 − ∆η )l hηi−2l (1 − ∆y )l aj (y, η) −−−→ hyi−2l (1 − ∆η )l hηi−2l (1 − ∆y )l a(y, η) punktweise auf R2n . Da (aj ) eine beschr¨ankte Folge ist, liefert (3.2) eine gleichm¨aßige L1 Majorante. Die Behauptung folgt aus dem Satz von Lebesgue u ¨ber dominierte Konvergenz. Lemma 3.6 Es sei a ∈ Am,τ (Rn ). Dann gelten: a) Partielle Integration: Os[y α a] = Os[Dηα a],

Os[η β a] = Os[Dyβ a].

b) Translationsinvarianz: Os[a] = Os[e−i(yη0 +y0 η+y0 η0 ) a(y + y0 , η + η0 )]. c) Ist a(y, η) = a(y), so ist Os[eixη a] = a(x). a) Wegen y α e−iyη = (−Dη )α und partieller Integration ist ZZ

α Os[y a] = lim e−iyη Dηα χ(εy, εη)a(y, η) dyd¯η = lim Os[Dηα χ(εy, εη)a(y, η) ].

Beweis:

ε→0

ε→0


Nun ist aber {Dηα χ(εy, εη)a(y, η) | 0 < ε ≤ 1} eine beschr¨ankte Teilmenge von Am,τ (Rn ) und
ε→0 Dηα χ(εy, εη)a(y, η) −−−→ Dηα a(y, η) punktweise auf R2n . Jetzt verwende Satz 3.5. c) W¨ahle χ ∈ S(Rn ) mit χ(0) = 1. Dann Z ZZ Z  ixη i(x−y)η ei(x−y)η χ(εη) d¯η dy Os[e a] = Os − e a(y) dyd¯η = lim χ(εy)a(y) ε→0 Z
dy = lim ε−n χ(εy)a(y)(F −1 χ) x−y ε ε→0 Z = lim χ(ε(x − εz))a(x − εz)(F −1 χ)(z) dz ε→0 Z = a(x) (F −1 χ)(z) dz = a(x)χ(0) = a(x).

Lemma 3.7 Es sei 0 ≤ f ∈ L1 (Rn ), a ∈ Am,τ (Rn ) und χ ∈ S(Rn ) mit χ(0) = 1. a) Ist |a(y, η)| ≤

Cf (y) hηim ,

ZZ so gilt Os[a] = lim

ε→0

e−iyη χ(εη)a(y, η) dyd¯η.

Zun¨ achst ist (aj ) eine beschr¨ ankte Folge in C ∞ (R2n ). Da C ∞ (R2n ) montelsch ist, hat jede Teilfolge von (aj ) eine konvergente Teilfolge. Wegen der punktweisen Konvergenz gegen a, muss der Grenzwert immer a sein. Somit konvergiert (aj ) selbst in C ∞ (R2n ) gegen a. Die Absch¨ atzungen f¨ ur eine Amplitudenfunktion bleiben unter dem Grenzwert erhalten. 17

13

b) Ist |a(y, η)| ≤ Chyiτ f (η), so gilt Os[a] = lim

ε→0

Z c) Gilt in a) zus¨ atzlich, dass

d) Gilt in b) zus¨ atzlich, dass

Z Z

 e−iyη a(y, η) dy d¯η.

e−iyη a(y, η) d¯η ∈ L1 (Rny ), so ist

Os[a] =

Beweis:

e−iyη χ(εy)a(y, η) dyd¯η.

e−iyη a(y, η) dy ∈ L1 (Rnη ), so ist

Os[a] = Z

ZZ

Z Z

 e−iyη a(y, η) d¯η dy.

Siehe Kumano-go, Theorem 6.9 in Chapter 1.

Lemma 3.8 (Ungleichung von Peetre) Es sei s ∈ R. Dann gilt hξ + ηis ≤ 2|s| hξis hηi|s| Beweis:

bzw.

hξis ≤ 2|s| hξ − ηis hηi|s|

∀ ξ, η ∈ Rn .

Zun¨ achst gilt hyi ≤ (1 + |y|) ≤

√

2hyi

∀ y ∈ Rn .18

Sei nun s ≥ 0. Dann 1 + |ξ + η| ≤ 1 + |ξ| + |η| ≤ (1 + |ξ|)(1 + |η|) =⇒ hξ + ηis ≤ (1 + |ξ|)s (1 + |η|)s ≤ 2s hξis hηis . F¨ ur s ≤ 0 gilt analog hξi−s ≤ 2−s hξ + ηi−s h−ηi−s ⇐⇒ hξ + ηis ≤ 2−s hξis hηi−s . Satz 3.9 (Fubini) Es sei a = a(y, y 0 , η, η 0 ) ∈ Am,τ (Rn+k ). Dann ist ZZ 0 0 b(y, η) = Os − e−iy η a(y, y 0 , η, η 0 ) dy 0 d¯η 0 ∈ Am,τ (Rn ) und ∂ηα ∂yβ b(y, η)

ZZ 0 0 = Os − e−iy η ∂ηα ∂yβ a(y, y 0 , η, η 0 ) dy 0 d¯η 0 .

Weiterhin gilt ZZ 0 0 Os − e−i(y,y )(η,η ) a(y, y 0 , η, η 0 ) d(y, y 0 )d¯(η, η 0 ) ZZ ZZ   0 0 −iyη = Os − e Os − e−iy η a(y, y 0 , η, η 0 )dy 0 d¯η 0 dyd¯η. 18

Sieht man leicht durch Quadrieren.

14

Beweis:

OBdA τ, m ≥ 0. Wegen der Ungleichung von Peetre ist h(y, y 0 )iτ h(η, η 0 )im ≤ 2m+τ hyiτ hy 0 iτ hηim hη 0 im .19

Daher ist ∂ηα ∂yβ a(y, ·, η, ·) ∈ Am,τ (Rk ) mit τ m k∂ηα ∂yβ a(y, ·, η, ·)km,τ ≤ Ck,m kakm,τ k k+|α|+|β| hyi hηi

f¨ ur alle k ∈ N0 . Aus Folgerung 3.4 (und (3.2)) folgt m,τ Os[∂ηα ∂yβ a(y, ·, η, ·)] ≤ Ckak2(l+l0 )+|α|+|β| hyiτ hηim , wobei 2l > n + k + m und 2l0 > n + k + τ . Wegen der zweiten Darstellung des OszillatorIntegrals in Satz 3.3 und des Satzes von Lebesgue u ¨ber Differenzierbarkeit von Parameterintegralen gilt Os[∂ηα ∂yβ a(y, ·, η, ·)] = ∂ηα ∂yβ Os[a(y, ·, η, ·)]. Weiterhin folgt, dass ZZ Os − e−iyη b(y, η) dyd¯η Z 0 0 0 0 3.3 = e−i(y,y )(η,η ) (hyihy 0 i)−2l ((1 − ∆η )(1 − ∆η0 ))l   d(y, y 0 , η, η 0 ) (hηihη 0 i)−2l ((1 − ∆y )(1 − ∆y0 ))l a(y, y 0 , η, η 0 ) (2π)n+k ZZ 0 0 = Os − e−i(y,y )(η,η ) (hηihη 0 i)−2l ((1 − ∆y )(1 − ∆y0 ))l a(y, y 0 , η, η 0 ) d(y, y 0 )d¯(η, η 0 ) ZZ 0 0 = Os − e−i(y,y )(η,η ) a(y, y 0 , η, η 0 ) d(y, y 0 )d¯(η, η 0 ), wobei die letzten beiden Gleichungen wegen Lemma 3.6.a) gelten. Satz 3.10 Es sei p ∈ S µ (Rn ). Dann definiert ZZ [P u](x) := Os − e−iyη p(x, η)u(x + y) dyd¯η, eine stetige Abbildung P : Cb∞ (Rn ) → Cb∞ (Rn ) mit ∀ u ∈ S(Rn ).

P u = op(p)u Schreibe daher wieder op(p) := P . Beweis:

F¨ ur festes x und u ∈ Cb∞ (Rn ) ist a(y, η) := p(x, η)u(x + y) ∈ Aµ,0 (Rn ).

19

Schreibe (y, y 0 ) = (y, 0) + (0, y 0 ).

15

u ∈ Cb∞ (Rn ),

Also ist P wohldefiniert. Die Abbildungseigenschaft folgt dann mit der Darstellung aus Satz 3.3 a¨hnlich wie in Satz 2.9. F¨ ur u ∈ S(Rn ) ist Z Z Z Z   i(x−y)η [op(p)u](x) = e p(x, η)u(y) dy d¯η = e−iyη p(x, η)u(x + y) dy d¯η | {z } ∈S(Rn η)

3.7.c)

= Os[p(x, η)u(x + y)]

Folgerung 3.11 Es sei p ∈ S µ (Rn ). Dann gilt p(x, ξ) = e−ixξ [op(p)eiξ· ](x)

∀ x, ξ ∈ Rn .

Insbesondere hat jeder ψdo ein eindeutig bestimmtes Linkssymbol. Beweis:

Es ist eiξ· ∈ Cb∞ (Rn ). Wegen Satz 3.10 gilt also ZZ e−ixξ [op(p)eiξ· ](x) = Os − e−iyη eiyξ p(x, η) dyd¯η ZZ 3.6.b) = Os − e−iyη p(x, ξ + η) dyd¯η Z Z  e−iyη χ(εy) dy χ(εη)p(x, ξ + η) d¯η = lim ε→0 Z b(η/ε)χ(εη)p(x, ξ + η) d¯η = lim ε−n χ ε→0 Z b(η)χ(ε2 η)p(x, ξ + εη) d¯η = lim χ ε→0 Z = p(x, ξ) χ b(η) d¯η = p(x, ξ)χ(0) = p(x, ξ),

wobei χ ∈ S(Rn ) mit χ(0) = 1.

4

Doppelsymbole, Algebraeigenschaft und Elliptizit¨ at 0

Definition 4.1 Es seien µ, µ0 ∈ R. Dann bezeichnet S µ,µ (Rn ×Rn ) den Raum aller glatten Funktionen p : Rn × Rn × Rn × Rn → C mit 0 α β α0 β 0 0 0 ∂ p(x, ξ, x , ξ ) ∂ ∂ ∂ kpkµ,µ := sup <∞ 0 ξ x ξ x0 k x,x0 ,ξ,ξ 0 ∈Rn , |α|+|α0 |+|β|+|β 0 |≤k

f¨ ur alle k ∈ N0 . Dies ist ein Fr`echetraum mit vorigen (Halb-)normen. Die Elemente nennen wir Doppelsymbole. 16

0

Satz 4.2 Es sei p ∈ S µ,µ (Rn × Rn ). Dann definiert ZZ 0 0 P u(x) := Os − e−i(y,y )(η,η ) p(x, η, x + y, η 0 )u(x + y + y 0 ) d(y, y 0 )d¯(η, η 0 ) einen stetigen Operatoren P : S(Rn ) → S(Rn ) bzw. P : Cb∞ (Rn ) → Cb∞ (Rn ). Wir schreiben wieder P = op(p) = p(x, Dx , x0 , Dx0 ). Es gilt Z P u(x) = Beweis:

ix0 ξ

e

Z

−ixξ

e

Z

ix0 ξ 0

e

Z

00 ξ 0

e−ix

   p(x, ξ, x0 , ξ 0 )u(x00 ) dx00 d¯ξ 0 dx0 d¯ξ.

F¨ ur festes x ist 0

a(y, y 0 , η, η 0 ) = p(x, η, x + y, η 0 )u(x + y + y 0 ) ∈ A|µ|+|µ |,0 (R2n ). Daher ist P u(x) wohldefiniert. F¨ ur die zweite Darstellung von P u(x) siehe Kumano-go, Lemma 2.3 in Chapter 2. Die Abbildungseigenschaft von P folgt aus (4.2), siehe unten. Beispiel 4.3 Es seien aj (x) ∈ Cb∞ (Rn ) und pj (ξ) ∈ S µj (Rn ). Dann ist p(x, ξ, x0 , ξ 0 ) = a1 (x)p1 (ξ)as (x0 )p2 (ξ 0 ) ∈ S µ1 ,µ2 (Rn × Rn ) und op(p) = Ma1 ◦ p1 (D) ◦ Ma2 ◦ p2 (D), wobei Maj den Operator der Multiplikation mit aj bezeichnet. Beispiel 4.4 Es seien pj ∈ S µj (Rn ) (j = 0, 1) zwei Linkssymbole. Dann ist p(x, ξ, x0 , ξ 0 ) := p1 (x, ξ)p2 (x0 , ξ 0 ) ∈ S µ1 ,µ2 (Rn × Rn ). Der Satz von Fubini 3.9 zeigt, dass die formale Rechnung aus Bemerkung (3.1) korrekt ist, wenn man Oszillator-Integrale verwendet, d.h.
p(x, Dx , x0 , Dx0 )u = p1 (x, D) ◦ p2 (x, D) u, u ∈ S(Rn ). 0

Satz 4.5 F¨ ur p ∈ S µ,µ (Rn × Rn ) setze ZZ pL (x, ξ) = Os − e−iyη p(x, ξ + η, x + y, ξ) dyd¯eta. Dann ist

0

0

p 7→ pL : S µ,µ (Rn × Rn ) −→ S µ+µ (Rn )

(4.1)

eine stetige Abbildung und pL (x, D) = p(x, Dx , x0 , Dx0 ).

(4.2)

Weiterhin gilt die asymptotische Entwicklung pL (x, ξ) ∼

∞ 1 P |α|=0

α!

∂ξα Dxα0 p(x, ξ, x0 , ξ 0 )

17

x0 =x,ξ 0 =ξ

.

(4.3)

Beweis: Zun¨ achst ist wegen der Peetreschen Ungleichung und der Kettenregel 0 α β α0 β 0 µ,µ0 ∂ξ ∂x ∂η ∂x0 p(x, ξ + η, x + y, ξ) ≤ Ckpk|α|+|β|+|α0 |+|β 0 | hηi|µ|+|α| hξiµ+µ −|α|

(4.4)

mit C = C(α, α0 , β, β 0 , µ0 ). Aus Satz 3.5 folgt,20 dass pL ∈ C ∞ (Rn × Rn ) mit h i ∂ξα ∂xβ pL (x, ξ) = Osy,η ∂ξα ∂xβ p(x, ξ + η, x + y, ξ) . Aus der Stetigkeit von Os[·], vgl. Folgerung 3.4, und (4.4) folgt (4.1). Per Taylor-Entwicklung gilt

P ηα

p(x, ξ + η, x + y, ξ) =

pα (x, ξ, x + y, ξ)+

|α|
α!

+N

P ηα Z |α|=N

α!

1

(1 − θ)N −1 pα (x, ξ + θη, x + y, ξ) dθ,

0

wobei pα (x, ξ, y, η) = ∂ξα p(x, ξ, y, η). Wegen Lemma 3.6.a) ist also

P 1

pL (x, ξ) =

Osy,η [(Dxα0 pα )(x, ξ, x + y, ξ)]+

|α|
α!

+N

P 1 Z |α|=N

α!

0

1

Osy,η [(Dxα0 pα )(x, ξ + θη, x + y, ξ)] dθ. {z } | =:rα,θ (x,ξ)

Nach Lemma 3.6.c) gilt Osy,η [(Dxα0 pα )(x, ξ, x + y, ξ)] = (Dxα0 pα )(x, ξ, x, ξ). Gleichm¨aßige Absch¨ atzungen in 0 ≤ θ ≤ 1 wie oben in (4.4) zeigen, dass {rα,θ | 0 ≤ θ ≤ 1} 0 eine beschr¨ ankte Menge in S µ+µ −|α| (Rn ) ist. Das zeigt (4.3). Sein nun χ ∈ S(Rn ) mit χ(0) = 1. Dann ist ZZ ε→0 pL,ε (x, ξ) := χ(εξ) e−iyη χ(εy)χ(εη)p(x, ξ + η, x + y, ξ) dyd¯η −−−→ pL (x, ξ) und, gleichm¨ aßig in 0 < ε ≤ 1, |pL,ε (x, ξ)| ≤ Chξi|µ|+µ

0

∀ x, ξ ∈ Rn .

Wegen dominierter Konvergenz ist also f¨ ur beliebiges u ∈ S(Rn ) ZZ 0 [pL (x, D)u](x) = lim eixξ pL,ε (x, ξ 0 )b u(ξ 0 ) d¯ξ 0 ε→0 Z Z Z   0 0 ixξ −ix0 ξ = lim e e eix ξ pε (x, ξ, x0 , ξ 0 )b u(ξ 0 ) d¯ξ 0 dx0 d¯ξ ε→0

mit pε (x, ξ, x0 , ξ 0 ) = χ(ε(ξ − ξ 0 ))χ(ε(x − x0 ))χ(εξ 0 )p(x, ξ, x0 , ξ 0 ). Drei mal dominierte Konvergenz zeigt, dass man lim ganz nach Innen ziehen kann. (4.2) ε→0

folgt dann aus Satz 4.2. 20

als Analogon zu den klassischen u ¨ber Differenzierbarkeit von Parameter-Integralen

18

Satz 4.6 F¨ ur pj ∈ S µj (Rn ) setze ZZ (p1 #p2 )(x, ξ) = Os − e−iyη p1 (x, ξ + η)p2 (x + y, ξ) dyd¯η.21 Dann ist (p1 , p2 ) 7→ p1 #p2 : S µ1 (Rn ) × S µ2 (Rn ) −→ S µ1 +µ2 (Rn )

(4.5)

bilinear und stetig und op(p1 )op(p2 ) = op(p1 #p2 ). Es gilt die asymptotische Entwicklung p1 #p2 ∼

Beweis:

∞ 1 P |α|=0 α!

(∂ξα p1 )(Dxα p2 ).

(4.6)

Folgt sofort aus Beispiel 4.4 und Satz 4.5.

Folgerung 4.7

a) Sind pj ∈ S µj (Rn ), so gilt p1 #p2 − p1 p2 ∈ S µ1 +µ2 −1 (Rn ).

b) Ist [A, B] = AB − BA der Kommutator von A und B, so gilt [op(p1 ), op(p2 )] ∈ S µ1 +µ2 −1 (Rn ). c) Seien p ∈ S µ (Rn ) und ϕ, ψ ∈ Cb∞ (Rn ) mit ϕψ = 0. Dann ist ϕ ◦ op(p) ◦ ψ ∈ S −∞ (Rn ). Definition 4.8 Das Symbol p ∈ S µ (Rn ) bzw. der Operator op(p) heißen elliptisch, falls es C, R ≥ 0 gibt derart, dass p(x, ξ) 6= 0 f¨ ur alle |ξ| ≥ R und Beispiel 4.9

1 ≤ Chξi−µ p(x, ξ)

∀x

∀ |ξ| ≥ R.

(4.7)

a) ∆ ist elliptisch der Ordnung 2, da ∆ = op(p) mit p(ξ) = −|ξ|2 . 0

b) Es sei p ∈ S µ (Rn ) elliptisch und p0 ∈ S µ (Rn ) mit µ0 < µ. Dann ist p + p0 elliptisch der Ordnung µ: F¨ ur |ξ| hinreichend groß ist p + p0 = p(1 + p0 /p)

und |p0 (x, ξ)/p(x, ξ)| ≤ 1/2.

Satz 4.10 Es sei p ∈ S µ (Rn ). Dann sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: a) p ist elliptisch. b) Es gibt ein qL ∈ S −µ (Rn ) mit 1 − qL #p ∈ S −∞ (Rn ). 21

p1 #p2 heißt das Leibniz-Produkt von p1 mit p2 .

19

c) Es gibt ein qR ∈ S −µ (Rn ) mit 1 − p#qR ∈ S −∞ (Rn ). qL heißt eine Linksparametrix, qR eine Rechtsparametrix. Beweis: b) ⇒ a): Sei r := 1 − qL #p ∈ S −∞ (Rn ). Nach Folgerung 4.7.a) gibt es dann ein s ∈ S −1 (Rn ) mit 1 − r = qL #p = qL p + s

=⇒

qL p = 1 − (r + s).

Da t := r + s ∈ S −1 (Rn ) gibt es ein R ≥ 0 mit |t(x, ξ)| ≤

1 2

∀ x ∀ |ξ| ≥ R.

F¨ ur |ξ| ≥ R gilt also 1 1 = qL (x, ξ). p(x, ξ) 1 + t(x, ξ) Offenbar gilt dann (4.7). a) ⇒ b): W¨ ahle eine Ausscheidefunktion χ mit χ(ξ) = 0 , falls |ξ| ≤ R. Setze dann q(x, ξ) := χ(ξ)

1 p(x, ξ)

∀ x, ξ ∈ Rn .

Dann gilt ∂ξα ∂xβ q(x, ξ) ≡ χ(ξ)∂ξα ∂xβ

1 p(x, ξ)

mod S −∞ (Rn ).

Per Induktion 1 ∂ξα ∂xβ

p

|α|+|β|

=

X

X

 1 1+k . Cα1 ,...,βk (∂ξα1 ∂xβ1 p) · · · (∂ξαk ∂xβk p) p =α

k=1 α1 +...+αk β1 +...+βk =β

Es folgt, dass q ∈ S −m (Rn ). Nach Folgerung 4.7.a) gibt es ein re ∈ S −1 mit q#p = qp + re = χ + re = 1 − ((1 − χ) − re). | {z } =:r∈S −1 (Rn )

Nach Satz 4.6 und Satz 2.11 gibt es ein qe ∈ S 0 (Rn ) mit qe ∼

∞ P j=0

r#j ,

r#j = r # . . . # r. | {z } j-mal

Setze dann qL := qe#q. Dann gilt qL #p = qe#(1 − r) ≡

NP −1

r#j #(1 − r) = 1 − r#N ≡ 1

j=0

Da man N ∈ N beliebig w¨ ahlen kann, gilt qL #p − 1 ∈ S −∞ (Rn ). a) ⇔ c): Analog. 20

mod S −N (Rn ).

Folgerung 4.11 Ist p ∈ S µ (Rn ) elliptisch, so ist jede Linksparametrix auch eine Rechtsparametrix und umgekehrt. Wir sprechen daher nur von einer Parametrix. Beweis:

Seien qL und qR die Links- bzw. Rechtsparametrix. Dann, modulo S −∞ (Rn ), qL = qL #1 ≡ qL #(p#qR ) = (qL #p)#qR ≡ 1#qR = qR .

Also folgt p#qL ≡ p#qR ≡ 1, sowie qR #p ≡ qL #p ≡ 1. Satz 4.12 Es sei p ∈ S µ (Rn ). Dann gibt es genau ein Symbol pt ∈ S µ (Rn ) bzw. p∗ ∈ S µ (Rn ) mit hop(p)u, vi = hu, op(pt )vi

bzw.

(op(p)u, v)L2 (Rn ) = (u, op(p∗ )v)L2 (Rn )

22

f¨ ur alle u, v ∈ S(Rn ). Es ist pt (x, ξ) ∼

∞ (−1)|α| P |α|=0

α!

(∂ξα Dxα p)(x, −ξ),

p∗ (x, ξ) ∼

∞ 1 P |α|=0 α!

∂ξα Dxα p(x, ξ).

op(pt ) bzw. op(p∗ ) heißen der transponierte bzw. formal adjungierte Operator von op(p). Beweis: Sei χ ∈ S(Rn ) mit χ(0) = 1 und χ(−ξ) = χ(ξ). Da χ(εξ)p(x, ξ) ∈ S µ (Rn ) gleichgm¨ aßig in 0 < ε ≤ 1 gilt Z  ZZ  ei(x−y)ξ χ(εξ)p(x, ξ)u(y) dyd¯η v(x) dx hop(p)u, vi = lim ε→0 Z  ZZ  0 ei(y−x )ξ χ(εξ)e p(x0 , ξ)v(x0 ) dx0 d¯ξ u(y) dy = hu, op(e p)vi = lim ε→0

angigen) Doppelsymbol pe(x0 , ξ) = p(x0 , −ξ). Nach Satz 4.5 gilt mit dem (von x, ξ 0 unabh¨ dann die Behauptung mit ZZ pt (x, ξ) = Os − e−iyη pe(x + y, ξ) dyd¯η. Die asymptotische Entwicklung ist gerade (4.3). Der formal adjungierte Operator geht analog. ur T ∈ S 0 (Rn ) definiert Folgerung 4.13 Es sei p ∈ S µ (Rn ). F¨ (op(p)T, ϕ) := (T, op(pt )ϕ)

∀ ϕ ∈ S(Rn )

eine Distribution op(p)T ∈ S 0 (Rn ). In diesem Sinne ist op(p) : S 0 (Rn ) −→ S 0 (Rn ). Die Einschr¨ ankung auf S(Rn ) bzw. Cb∞ (Rn ) stimmen mit den Abbildungen aus Definition 2.7 bzw. Definition 3.10 u ¨berein. 22

Dabei: hf, gi =

R

f (x)g(x) dx

21

5

Stetigkeit in Sobolevr¨ aumen

Definition 5.1 (und Satz) Es sei s ∈ R und   Z 1/2 s n 0 n 2s 2 H (R ) := u ∈ S (R ) | u b ist regul¨ ar und kuks := hξi |b u(ξ)| dξ <∞ . Dann ist H s (Rn ) ein Hilbertraum mit Skalarprodukt Z v (ξ) dξ. (u, v)s = hξi2s u b(ξ)b S(Rn ) ist eine dichte Teilmenge von H s (Rn ). Ist u ∈ S 0 (Rn ) und s ∈ N0 so gilt: u ∈ H s (Rn ) ⇐⇒ ∂ α u ∈ L2 (Rn )

∀ |α| ≤ s.

(5.1)

Jedes Funktional T ∈ (H s (Rn ))0 ist von der Form v ∈ H −s (Rn ).23

u 7→ (u, v)L2 (Rn ) , Definieren wir

Λµ := hDiµ = op(hξiµ ) : S 0 (Rn ) −→ S 0 (Rn ), so gilt

0

Λ0 = 1,

0

Λµ ◦ Λµ = Λµ+µ .

Insbesondere induziert Λµ Isomorphismen Λµ : H s (Rn ) −→ H s−µ (Rn )

∀ s ∈ R.24

(5.2)

Man nennt Λµ eine Ordnungs-Reduktion. Beweis: Zur Dichtheit: Die Abbildung Φs : u 7→ h·is u b ist ein isometrischer Isomorphiss n n −1 −1 −s mus H (R ) → L2 (R ) mit Φs (v) = F (h·i v). Jetzt verwende, dass S(Rn ) dicht in n n L2 (Rn ) ist und dass Φ−1 s : S(R ) → S(R ). F¨ ur (5.1) zeige allgemeiner: u ∈ H s (Rn ) ⇐⇒ u, D1 u, . . . , Dn u ∈ H s−1 (Rn ). Wegen hξi2 = 1 + ξ12 + . . . + ξn2 ist |hξis+1 u b(ξ)|2 = |hξis u b(ξ)|2 +

n P j=1

|hξis ξj u b(ξ)|2 = |hξis u b(ξ)|2 +

Es folgt kuk2s+1 = kuk2s +

n P j=1

µ u(ξ) = hξiµ u d (5.2) folgt aus Λ b(ξ). 23

Kurz gesagt: (H s (Rn )0 = H −s (Rn ).

22

k∂j uk2s .

n P j=1

2 d |hξis ∂ j u(ξ)| .

Satz 5.2 Es sei a : Rn × Rn → C 2n-mal stetig differenzierbar und α β π(a) := sup ∂η ∂y a(x, ξ) < ∞, x,ξ∈Rn , α,β≤(1,...,1)

sowie

Z [op(a)u](x) :=

eixξ a(x, ξ)b u(ξ) d¯ξ,

u ∈ S(Rn ).

Dann gibt es ein C ≥ 0, das nicht von a abh¨ angt, mit kop(a)ukL2 (Rn ) ≤ c π(a) kukL2 (Rn )

∀ u ∈ S(Rn ).

Insbesondere induziert op(a) einen stetigen Operatoren op(a) : L2 (Rn ) −→ L2 (Rn ). Beweis:

Wir verwenden folgende Notationen: F¨ ur α ∈ Nn0 und x ∈ Rn sei

(i + x)α = (i + x1 )α1 · · · (i + xn )αn ,

(i + D)α = (i + D1 )α1 · · · (i + Dn )αn .

Dann ist (i + Dx )α eixy = (i + y)α eixy . Wir setzen δ = (1, . . . , 1) und im folgenden sind u, v ∈ S(Rn ). 1. Schritt:

op(a)u ∈ L2 (Rn ), da nach partieller Integration Z −δ op(a)u(x) = (i + x) eixξ (i − Dξ )δ [a(x, ξ)b u(ξ)] d¯ξ . | {z } | {z } ∈L2 (Rn ) x

beschr¨ ankt

Nach dem Satz von Riesz und wegen der Dichtheit von S(Rn ) in L2 (Rn ) gilt kop(a)ukL2 =

2. Schritt:

(op(a)u, v)L2 . kvkL2 06=v∈S(Rn ) sup

Wir nehmen nun an, dass a kompakten Tr¨ager in R2n hat. Dann ZZZ (op(a)u, v)L2 = ei(x−y)ξ a(x, ξ)u(y)v(x) dyd¯ξdx ZZZZ = ei(x−y)ξ−ixη a(x, ξ)u(y)b v (η) dyd¯ξdxd¯η.

Partielle Integration liefert ZZZZ (op(a)u, v)L2 = ei(x−y)ξ−ixη (i − Dx )δ n (i − Dξ )δ a(x, ξ)

23

o u(y) vb(η) dyd¯ξdxd¯η. δ (i + x − y) (i + ξ − η)δ

(5.3)

Aus (i − D)δ (f g) =

P


(−1)|α| (i − D)δ−α f Dα g

α≤δ

folgt dann (op(a)u, v)L2 =

P ZZZZ

n o ei(x−y)ξ−ixη (−1)|α| Dxα (i − Dξ )δ a(x, ξ) ×

α≤δ

o u(y) vb(η) dyd¯ξdxd¯η δ (i + x − y) (i + ξ − η)δ ZZ n o P = eixξ Dxα (i − Dξ )δ a(x, ξ) fα (x, ξ)g(x, ξ) dxd¯ξ, n × (i − Dx )δ−α

α≤δ

wobei Z

vb(η) d¯η (i + ξ − η)δ Z |α| fα (x, ξ) = fα (x, ξ; u) = (−1) e−iyξ (i − Dx )δ−α g(x, ξ) = g(x, ξ; v) =

e−ixη

u(y) dy. (i + x − y)δ

Die H¨older-Ungleichung impliziert P (op(a)u, v)L2 ≤ C π(a) kfα kL2 (R2n ) kgkL2 (R2n ) . α≤δ

Wegen des Satzes von Plancherel ist kg(x, ξ)k2L2 (Rnx )

= (2π) n

2 vb(η)

(i + ξ − η)δ L2 (Rnη )

und kgk2L2 (R2n )

Z =

ZZ 2 vb(η) = (2π) dξdη δ (i + ξ − η) Z dξ |b v (η)|2 dη = Ckvk2L2

kg(x, ξ)k2L2 (Rnx ) dξ

= (2π)n

Z

1 (i + ξ)2δ

n

Analog hat man kfα k2L2 (R2n )

Z

ZZ 2 u(y) = = (2π) dxdy (i − Dx )δ−α (i + x − y)δ Z 2 Z 1 = (2π)n (i − Dx )δ−α dx |u(y)|2 dy = Cα kuk2L2 (i + x)δ kfα (x, ξ)k2L2 (Rn ) dx ξ

n

Insgesamt folgt (op(a)u, v)L2 ≤ C π(a) kukL2 kvkL2 . 3. Schritt:

Sei nun a allgemein. W¨ ahle χ ∈ S(Rn × Rn ) mit χ(0, 0) = 1 und setze aε (x, ξ) = χ(εx, εξ)a(x, ξ), 24

0 < ε ≤ 1.

Dann gilt π(aε ) ≤ Cχ π(a)

∀0<ε≤1

und, nach Schritt 2, ε→0

(op(a)u, v)L2 ←−−− (op(aε )u, v)L2 ≤ Cχ π(a) kukL2 kvkL2 . F¨ ur die Konvergenz setze bε = aε − a. Dann ist Z ε→0 [op(bε ]u)(x) = eixξ bε (x, ξ)b u(ξ) d¯ξ −−−→ 0 wegen dominierter Konvergenz und op(bε )u ist beschr¨ankt, gleichm¨aßig in ε. Wieder mit dominierter Konvergenz folgt Z ε→0 (op(bε )u, v)L2 = (Bε u)(x)v(x) dx −−−→ 0. Aus (5.3) folgt die Behauptung. Satz 5.3 Es sei p ∈ S µ (Rn ). Dann ist op(p) : H s (Rn ) −→ H s−µ (Rn ),

s ∈ R,

stetig und ebenso p 7→ op(p) : S µ (Rn ) −→ L(H s (Rn ), H s−µ (Rn )), Beweis: wir

s ∈ R.

Nach Satz 5.2 gelten die Behauptungen f¨ ur µ = s = 0. Im allgemeinen setzen
ap (x, ξ) = hξis−µ # p(x, ξ)hξi−s .

Dann ist p 7→ ap : S µ (Rn ) −→ S 0 (Rn ) stetig und op(p) = Λµ−s ◦ op(ap ) ◦ Λs . Anders gesagt, das folgende Diagramm ist kommutativ: op(ap )

L2 (Rn ) −−−−→ x  Λs 

L2 (Rn )   µ−s yΛ

op(p)

H s (Rn ) −−−−→ H s−µ (Rn ) Da Ordnungsreduktionen stetig sind folgt die Behauptung. Folgerung 5.4 (Elliptische Regularit¨ at) Es sei p ∈ S µ (Rn ) elliptisch. Es sei u ∈ t n ∪t∈R H (R ) eine L¨ osung von op(p)u = f und f ∈ H s (Rn ). Dann ist u ∈ H s+µ (Rn ). 25

Beweis: und

Sei q ∈ S −µ (Rn ) eine Parametrix von p. Dann ist r := q#p − 1 ∈ S −∞ (Rn ) op(q)f = op(q#p)u = u − op(r)u.

Nach Satz 5.3 sind op(q)f ∈ H s+µ (Rn ) und op(r)u ∈ H ∞ (Rn ). Folgerung 5.5

a) Ist u ∈ H s (Rn ) harmonisch,25 so ist u ∈ H ∞ (Rn ).

a) Ist p ∈ S µ (Rn ) elliptisch und µ > 0. Ist u ∈ H s (Rn ) und P u = λu mit λ ∈ C, so ist u ∈ H ∞ (Rn ). Folgerung 5.6 Ist p ∈ S µ (Rn ) so gilt (op(p)u, v)L2 (Rn ) = (u, op(p∗ )v)

6

∀ u ∈ H s (Rn )

∀ v ∈ H µ−s (Rn ).

Elliptizit¨ at und Fredholm-Eigenschaft

Definition 6.1 (Gewichtete Sobolevr¨ aume) Es seien s, δ ∈ R. Dann setze n o H s,δ (Rn ) = u ∈ S 0 (Rn ) | h·iδ u ∈ H s (Rn ) , (u, v)s,δ = (h·iδ u, h·iδ v)s . Man kann zeigen, dass S 0 (Rn ) =

∪

s,δ∈R

H s,δ (Rn ).

Satz 6.2 (Kolmogorov) Es sei 1 ≤ p < ∞ und A ⊂ Lp (Rn ). Genau dann ist A relativ kompakt, wenn: i) A ist beschr¨ ankt. ii) F¨ ur alle ε > 0 gibt es ein δ > 0 mit Z |u(x + h) − u(x)|p dx < ε

∀ |h| < δ

iii) F¨ ur alle ε > 0 gibt es ein R > 0 mit Z |u(x)|p dx < ε

∀ u ∈ A.

|x|≥R

Satz 6.3 F¨ ur s ≥ s0 und δ ≥ δ 0 ist 0

0

H s,δ (Rn ) ,→ H s ,δ (Rn ). Die Einbettung ist kompakt, falls s > s0 und δ > δ 0 . 25

d.h. ∆u = 0

26

∀ u ∈ A.

Beweis:

Wir beweisen die Aussage f¨ ur s0 = δ 0 = 0.26 Wegen H s (Rn ) ,→ L2 (Rn ) ist 5.3

kukL2 ≤ Cs kuks = Cs kh·i−δ h·iδ uks ≤ Cs,δ kh·iδ uks = Cs,δ kuks,δ

∀ u ∈ H s,δ (Rn ).

Wir m¨ ussen jetzt zeigen, dass A := {u ∈ H s,δ | kuks,δ ≤ 1} relativ kompakt in L2 (Rn ) ist. Eigenschaft 6.2.i) ist klar, und Z |u(x)|2 dx ≤ kh·iδ uk2L2 sup hxi−2δ ≤ Cs2 (1 + R2 )−δ |x|≥R

∀u∈A

|x|≥R

zeigt Eigenschaft 6.2.iii). Nach dem Satz von Plancherel gilt Z Z ihξ 2 2 2 2n e u |u(x + h) − u(x)| dx = (2π) b(ξ) − u b(ξ) dξ ≤ Cs,δ sup eihξ − 1 hξi−2s . ξ∈Rn

Zu gegebenem ε > 0 gibt es offenbar ein R ≥ 0 mit ihξ e − 1 2 hξi−2s ≤ 4hξi−2s < ε

∀ |ξ| ≥ R

Nach Taylorformel ist ihξ e − 1 2 hξi−2s ≤ C |hξ| sup |eihy | ≤ CR|h|

∀ h.

∀ |ξ| ≤ R

∀ h.

y∈Rn

Also gilt Eigenschaft 6.2.ii). Satz 6.4 Es seien µ, m ∈ R. Wir definieren S µ,m (Rn ) als Raum aller C ∞ -Funktionen mit kpkµ,m := k

sup x,ξ∈Rn |α|+|β|≤k

|∂ξα ∂xβ p(x, ξ)|hxi|β|−m hξi|α|−µ < ∞

f¨ ur alle k ∈ N0 . Dann verallgemeinern“ sich alle bisherigen Resultate entsprechend: ” a) F¨ ur p ∈ S µ,m (Rn ) ist op(p) : S(Rn ) → S(Rn ), op(p) : S 0 (Rn ) → S 0 (Rn ) und op(p) : H s,δ (Rn ) −→ H s−µ,δ−m (Rn )

∀ s, δ ∈ R.

b) F¨ ur pj ∈ S µj ,mj (Rn ) ist op(p1 )op(p2 ) = op(p1 #p2 )

p1 #p2 ∈ S µ1 +µ2 ,m1 +m2 (Rn ),

mit

mit der asymptotischen Entwicklung p1 #p2 ∼

∞ 1 P

(∂ξα p1 )(Dxα p2 ) | {z }

|α|=0 α!

,

∈S µ1 +µ2 −|α|,m1 +m2 −|α| (Rn )

d.h. f¨ ur alle N ∈ N0 ist p1 #p2 − 26

NP −1

1 α (∂ξ p1 )(Dxα p2 ) ∈ S µ1 +µ2 −N,m1 +m2 −N (Rn ). α! |α|=0

Der allgemeine Fall ben¨ otigt unten folgende Resultate.

27

c) p ∈ S µ,m (Rn ) heißt elliptisch, falls es C, R ≥ 0 gibt mit 1 ∀ |(x, ξ)| ≥ R. ≤ C hxi−m hξi−µ p(x, ξ) Dann (und nur dann!) hat p eine Parametrix q ∈ S −µ,−m (Rn ), d.h. p#q − 1, q#p − 1 ∈ S −∞,−∞ (Rn ). Beispiel 6.5 P = 1 − ∆ = op(hξi2 ) ist ein elliptischer Operator in S 2,0 (Rn ). Folgerung 6.6

a) Satz 6.3 gilt f¨ ur beliebige s0 , δ 0 .

b) p ∈ S µ−ε,m−ε (Rn ) mit ε > 0 induziert kompakte Operatoren op(p) : H s,δ (Rn ) −→ H s−µ,δ−m (Rn ) Beweis:

∀ s, δ ∈ R.

a) Das folgende Diagramm ist kommutativ: 0

id

0

H s−s ,δ−δ (Rn ) −−−−→ x 0 0  op(hξis )op(hxiδ ) id

H s,δ (Rn )

L2 (Rn )   yop(hxi−δ0 )op(hξis0 ) 0

0

−−−−→ H s ,δ (Rn )

Die Einbettung in der oberen Zeile ist kompakt. Jetzt verwende Satz 9.1.ii). op(p)

b) Nach a) ist H s,δ (Rn ) −−−→ H s−µ+ε,δ−m+ε (Rn ) ,→ H s−µ,δ−m (Rn ) kompakt. Satz 6.7 Es sei p ∈ S µ,m (Rn ) elliptisch und Ps,δ := op(p) : H s,δ (Rn ) → H s−µ,δ−m (Rn ),

s, δ ∈ R.

Dann gelten: a) Ps,δ sind Fredholm-Operatoren. b) Kern Ps,δ ⊂ S(Rn ) und ind Ps,δ sind unabh¨ angig von s, δ. Beweis: a) Eine Parametrix q ∈ S −µ,−m (Rn ) liefert eine Inverse von Ps,δ modulo Operatoren aus S −∞,−∞ (Rn ). Diese sind kompakt. b) Nach Elliptischer Regularit¨ at gilt Kern Ps,δ ⊂

∩

t,ρ∈R

H t,ρ (Rn ) = S(Rn ).

Da mit p auch p∗ ∈ S µ,m (Rn ) elliptisch ist, ist V := Kern(op(p∗ ) H s,δ ) ⊂ S(Rn ) unabh¨angig von s, δ und endlichdimensional. 28

Sei nun Js,δ : H s,δ (Rn ) → H −s,−δ (Rn ) derjenige Isomorphismus mit ∀ u, v ∈ H s,δ (Rn ).27

(u, v)s,δ = (u, Jv)L2

Dann gilt f¨ ur alle u ∈ H s,δ (Rn ) und v ∈ H s−µ,δ−µ (Rn ) (op(p)u, v)s−µ,δ−µ =(op(p)u, Js−µ,δ−m v)L2 = (u, op(p∗ )(Js−µ,δ−m v))L2 . Also ist v ∈ (Bild Ps,δ )⊥ ⇐⇒ Js−µ,δ−m v ∈ V. Insbesondere ist codim Bild Ps,δ = dim (Bild Ps,δ )⊥ = dim V unabh¨ angig von s, δ. Lemma 6.8 (und Definition) Es sei 0 < τ <

1 2

fest. F¨ ur y, η ∈ Rn und s > 0 setze

[I(s, y, η)u](x) = sτ n/2 eisxη u(sτ (x − y)),

u ∈ L2 (Rn ).

Dann ist I(s, y, η) ∈ L(L2 (Rn )) eine Isometrie mit Inverse [I(s, y, η)−1 u](x) = s−τ n/2 e−is(y+s

−τ x)η

u(y + s−τ x).

F¨ ur p ∈ S 0,0 (Rn ) ist I(s, y, η)−1 op(p) I(s, y, η) = op(p(s, y, η)) mit p(x, ξ; s, y, η) := p(y + s−τ x, sη + sτ ξ) ∈ S 0,0 (Rn ). F¨ ur alle α, β ∈ Nn0 gelten die Absch¨ atzungen |∂ξα ∂xβ p(x, ξ; s, y, η)| ≤ 2|α| kpk0,0 |α|+|β|

hξi|α| −τ |β| −(1−2τ )|α| s s , |η||α|

gleichm¨ aßig f¨ ur s ≥ 1 und x, ξ, y, η ∈ Rn . Beweis:

Die ersten Aussagen sind elementar. Wegen der Kettenregel ist τ −|α| −τ |β| τ |α| |∂ξα ∂xβ p(x, ξ; s, y, η)| ≤ kpk0,0 s s . |α|+|β| hsη + s ξi

Mit der Peetreschen Ungleichung folgt hsη + sτ ξi−|α| sτ |α| ≤ 2|α| hsηi−|α| hsτ ξisτ


|α|

≤ 2|α|

 s2τ (1 + s2τ |ξ|2 ) |α|/2 s2 |η|2

.

Schließlich ist, f¨ ur λ ≥ 1, s2τ (1 + s2τ |ξ|2 ) = s4τ (s−2τ + |ξ|2 ) ≤ s4τ (1 + |ξ|2 ) = s4τ hξi2 . Einsetzen liefert die Absch¨ atzung. 27

Nach dem Darstellungssatz von Riesz jedes Funktional auf einem Hilbertraum H von der Form x 7→ (x, y) mit y ∈ H.

29

Satz 6.9 Es seien p ∈ S µ,m (Rn ), s0 , δ0 ∈ R und P := op(p) : H s0 ,δ0 (Rn ) → H s0 −µ,δ0 −m (Rn ) sei ein Fredholm-Operator. Dann ist p elliptisch (der Ordnung µ, m). Beweis:

1. Schritt: Wir definieren pe ∈ S 0,0 durch pe(x, ξ) = (hxiδ0 −m hξis0 −µ )#p(x, ξ)#(hxi−δ0 hξi−s0 ).

das Diagramm op(p)

H s0 ,δ0 (Rn ) −−−−→ H s0 −µ,δ0 −m (Rn )  x   op(hxi−δ0 hξi−s0 ) yop(hxiδ0 −m hξis0 −µ ) op(e p)

L2 (Rn )

L2 (Rn )

−−−−→

kommutativ und die vertikalen Abbildungen sind Isomorphismen. Also ist op(e p) : L2 (Rn ) → 2 n L (R ) fredholmsch. Ist pe elliptisch, so auch p, da pe(x, ξ) = p(x, ξ)hxi−m hξi−µ

mod S −1,−1 (Rn ).

In anderen Worten: OBdA ist µ = m = s0 = δ0 = 0 und wir m¨ ussen zeigen, dass |p(x, ξ)| ≥ C > 0

∀ |(x, ξ)| ≥ R.

2. Schritt: Es sei Q ∈ L(L2 (Rn )) derart, dass K := 1 − QP kompakt ist. Wir zeigen, dass es ein R ≥ 0 gibt mit |p(x, ξ)| ≥

1 2kQk

∀ x ∈ Rn

∀ |ξ| ≥ R.

(6.1)

Angenommen nicht. Dann ∃ ((xk , ξk ))k ⊂ Rn × Rn : OBdA ist

k→∞

|ξk | −−−→ ∞ und |p(xk , ξk )| ≤

k→∞

p(xk , ξk ) −−−→ p∗

mit |p∗ | ≤

1 2kQk




1 . 2kQk

.

Wir setzen dann sk := |ξk |,

  Ik := I sk , xk , |ξξkk | ,

  pk (x, ξ) := p x, ξ; sk , xk , |ξξkk | .

Sei nun 0 6= u ∈ S(Rn ) fest gew¨ ahlt. Wir werden unten zeigen, dass k→∞

Ik−1 op(p)Ik u = op(pk )u −−−→ p∗ u

in L2 (Rn ).

Ist v ∈ S(Rn ), so gilt Z τ n/2 |(Ik u, v)L2 | = sk eixk ξk u(sτk (x − xk ))v(x) dx Z k→∞ −τ n/2 −τ n/2 ≤ sk |u(y)||v(xk + s−τ kvkL∞ kukL1 −−−→ 0. k y)| dy ≤ sk 30

(6.2)

Da Ik Isometrien sind und S(Rn ) dicht in L2 (Rn ), folgt k→∞

∀ v ∈ L2 (Rn )

|(Ik u, v)L2 | −−−→ 0

(6.3)

(d.h. (Ik u)k konvergiert schwach gegen 0 in L2 (Rn )). Jetzt folgt kuk = k(QP + K)Ik uk ≤ kQIk k kIk−1 op(p)Ik uk + kKIk uk k→∞

= kQk kop(pk )uk + kKIk uk −−−→ kQk |p∗ | kuk wegen (6.2), (6.3) und Satz 9.1.i). Dies steht im Widerspruch zu |p∗ | ≤ (6.1).

1 2kQk .

Also gilt

3. Schritt: Mit op(p) ist auch F op(p) F −1 : L2 (Rn ) −→ L2 (Rn ) ein Fredholm-Operator. Wir werden unten zeigen, dass F op(p) F −1 = op(e p)

mit pe(x, ξ) = p(−ξ, x) mod S −1,−1 (Rn ).

(6.4)

(6.1) gilt f¨ ur pe und es folgt, dass |p(x, ξ)| ≥

1 4kQk

∀ ξ ∈ Rn

∀ |x| ≥ R

f¨ ur ein hinreichen großes R ≥ 0. Also ist p elliptisch. Beweis (von (6.2)): Nach Lemma 6.8 mit η = ξk /|ξk | gilt insbesondere α ∂ (pk (x, ξ) − p∗ ) ≤ 2|α|+1 kpk0,0 hξi|α| ∀ x, ξ, k. ξ |α| Zusammen mit partieller Integration folgt Z
 2l ∗ u(ξ) d¯ξ ≤ Cl,u . hxi [op(pk )u](x) − p u(x) = eixξ (1 − ∆ξ )l (pk (x, ξ) − p∗ )b Daher ist [op(pk )u](x) − p∗ u(x) 2 ≤ C 2 hxi−4l ∈ L1 (Rnx ), l,u wenn man l > n/4 w¨ ahlt. Nach dominierter Konvergenz gen¨ ugt es also zu zeigen, dass k→∞

[op(pk )u](x) − p∗ u(x) −−−→ 0 Da ∗

Z

[op(pk )u](x) − p u(x) =

∀ x ∈ Rn .

eixξ (pk (x, ξ) − p∗ )b u(ξ) d¯ξ

gilt dies, falls k→∞

pk (x, ξ) − p∗ −−−→ 0 31

∀ x, ξ ∈ Rn .

Mit Taylor-Formel ist τ |pk (x, ξ) − p(xk , ξk )| = |pk (xk + s−τ k x, ξk + sk ξ) − p(xk , ξk )|  −τ  Z 1 s x −τ τ = (∇(x,ξ) p)(xk + θsk x, ξk + θsk ξ) kτ dθ sk ξ 0 Z 1   √ −τ τ τ −1 ≤ nkpk0,0 s |x| + s |ξ| hξ + θs ξi dθ k k k | {z 1 } k 0 =:c

Z 1   τ τ −1 ≤ c s−τ |x| + s |ξ| |ξ + θs ξ| dθ k k k k 0 Z  1 ξ −1  ξ6=0 ξk + θ = c s−τ |x| + dθ k sτk |ξ| |ξ| 0 Z 1 1−τ  ξ −1  ξk sk + θ = c s−τ |x| + dθ k |ξk | |ξ| |ξ| 0 Z 1  1−τ  −1  ξk sk −τ ≤ c sk |x| + dθ −1 |ξk | |ξ| 0 −1    s1−τ k→∞ k − 1 −−−→ 0, = c s−τ |x| + k |ξ| k→∞

da sk −−−→ ∞ (f¨ ur ξ = 0 ist man nach der zweiten Zeilen fertig). Also k→∞

pk (x, ξ) − p∗ = (pk (x, ξ) − p(xk , ξk )) + (p(xk , ξk ) − p∗ ) −−−→ 0. Beweis (von (6.4)): Es ist Z [op(p)u](ξ) =

0

eiξx p(ξ, x0 )b u(x0 ) d¯x0 ,

also Z (Fξ→x [op(p)ˇ u])(x) =

−iξx

e

Z

 0 eiξx p(ξ, x0 )u(x0 ) d¯x0 dξ

ZZ 0 = Os − ei(x−x )ξ p(−ξ, x0 )u(x0 ) dx0 d¯ξ. Also ist Fop(p)F −1 der ψdo mit Doppelsymbol p(−ξ, x0 ). Die asymptotische Entwicklung in Satz 4.528 liefert die Behauptung. Lemma 6.10 Es sei R : S(Rn ) → S 0 (Rn ). Dann sind ¨ aquivalent: a) R = op(r) f¨ ur ein r ∈ S −∞,−∞ (Rn ). 28

0

in der Version f¨ ur Doppelsymbolklassen S m,µ,m 0

,µ0

0

(Rn × Rn ), die definiert sind durch 0

|∂ξα ∂xβ ∂ξα0 ∂xβ0 p(x, ξ, x0 , ξ 0 | ≤ Chxim−|β| hξiµ−|α| hx0 im

32

−|β 0 |

0

hξ 0 iµ

−|α0 |

.

b) Es gibt ein k ∈ S(R2n ) mit (Ru)(x) =

Z

k(x, y)u(y) dy f¨ ur alle u ∈ S(Rn ).

a)⇒b): Da S −∞,−∞ (Rn ) = S(R2n (x,ξ) ), ist

Beweis:

Z e k(x, z) :=

eizξ r(x, ξ) d¯ξ ∈ S(R2n (x,z) ).

Wegen der Peetreschen Ungleichung ist also auch k(x, y) := e k(x, x − y) ∈ S(R2n (x,y) ). Offenbar ist [op(r)u](x) =

Z Z

i(x−y)ξ

e



Z

r(x, ξ) d¯ξ u(y) dy =

k(x, y)u(y) dy.

b)⇒a): Es ist Z (Ru)(x) =

Z Z  Z  iyξ ixξ k(x, y) e u b(ξ) d¯ξ dy = e ei(y−x)ξ k(x, y) dy u b(ξ) d¯ξ. | {z } =:r(x,ξ)

Es ist r ∈ S −∞,−∞ (Rn ). Satz 6.11 (Spektralinvarianz) Es sei p ∈ S µ,m (Rn ) und op(p) : H s,δ (Rn ) −→ H s−µ,δ−m (Rn ) ein Isomorphismus f¨ ur ein s = s0 und δ = δ0 . Dann ist op(p) ein Isomorphismus f¨ ur alle s, δ ∈ R und op(p)−1 = op(p(−1) ) f¨ ur ein p(−1) ∈ S −µ,−m (Rn ). Beweis: Wie im Beweis von Satz 6.9 k¨onnen wir oBdA annehmen, dass µ = m = 0 ∼ = und op(p) : L2 (Rn ) − → L2 (Rn ). 1. Schritt: Nach Satz 6.9 ist p elliptisch. Also gibt es eine Parametrix q ∈ S 0,0 (Rn ), also r0 := q#p − 1, r1 := p#q − 1 ∈ S −∞,−∞ (Rn ). Auf L2 (Rn ) gilt daher op(p)−1 = op(q) − op(r0 )op(p)−1 ,

op(p)−1 = op(q) − op(p)−1 op(r1 ).

Setzt man die erste in die zweite Gleichung ein, so folgt op(p)−1 = op(q) − op(q)op(r1 ) + op(r0 )op(p)−1 op(r1 ) =: op(q − q#r1 ) + R. Offenbar ist q − q#r1 ∈ S 0,0 (Rn ). 33

2. Schritt: Seien kj (x, y) ∈ S(R2n ) die Integralkerne von op(rj ), vgl. Lemma 6.10. Betrachte kj als k0 (x, y) ∈ S(Rnx , L2 (Rny )),

k1 (x, y) ∈ S(Rny , L2 (Rnx )).

Dann hat op(p)−1 op(r1 ) den Integralkern   e k1 (x, y) = op(p)−1 k1 (·, y) (x) ∈ S(Rny , L2 (Rnx )) und R hat den Integralkern Z k(x, y) =

k0 (x, z)e k1 (z, y) dz ∈ S(R2n (x,y) ).

Also ist R = op(r) mit r ∈ S −∞,−∞ . 3. Schritt: Es ist p(−1) := q − q#r1 + r ∈ S 0,0 (Rn ) und op(p)−1 = op(p(−1) ) auf L2 (Rn ). Offenbar op(p), op(p(−1) ) ∈ L(H s,δ (Rn )) ∀ s, δ ∈ R. k→∞

Zu u ∈ H s,δ (Rn ) gibt es Folge (uk )k ⊂ S(Rn ) mit uk −−−→ u in H s,δ (Rn ). Dann ist k→∞

k→∞

op(p)op(p(−1) )u = op(p#p(−1) )u ←−−− op(p#p(−1) )uk = op(p)op(p(−1) )uk = uk −−−→ u (Konvergenz in H s,δ (Rn )) und analog op(p(−1) )op(p)u = u. Dies zeigt die Behauptung. Satz 6.12 Es sei p ∈ S µ (Rn ) elliptisch und µ > 0. Es sei s ∈ R. Dann gibt es genau einen abgeschlossenen Operatoren P : D(P ) ⊂ H s (Rn ) −→ H s (Rn ) mit S(Rn ) ⊂ D(P ) und P = op(p) auf D(P ). Dieser ist gegeben durch D(P ) = H s+µ (Rn ), Beweis:

P u = op(p)u.29

1. Schritt: Definiere Pmax durch Pmax = op(p)

auf

D(Pmax ) := {u ∈ H s (Rn ) | op(p)u ∈ H s (Rn )} .

Dann ist Pmax abgeschlossen: Sei dazu (uk )k ⊂ D(Pmax ) mit k→∞

uk −−−→ u

k→∞

und Pmax uk −−−→ v

in H s (Rn ).

k→∞

Aus Satz 5.3 folgt, dass Pmax uk = op(p)uk −−−→ op(p)u in H s−µ (Rn ). Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes muss also op(p)u = v ∈ H s (Rn ) sein, d.h. u ∈ D(Pmax ) und Pmax u = v. 29

die analoge Aussage gilt f¨ ur p ∈ S µ,m mit µ, m ≥ 0. Dann ist D(P ) = H s+µ,δ+m (Rn ) ⊂ H s,δ (Rn ).

34

2. Schritt: Sei nun P irgendeine abgeschlossener Operator mit P = op(p) auf D(P ). Sei q ∈ S −µ (Rn ) eine Parametrix zu p und r := q#p − 1. Dann ist r ∈ S −∞ (Rn ) und f¨ ur u ∈ D(P ) gilt u = op(q#p)u − op(r)u = op(q)(P u) − op(r)u ∈ H s+µ (Rn ). Also ist D(P ) ⊂ H s+µ (Rn ). 3. Schritt: Nach dem ersten Schritt ist op(p) : S(Rn ) ⊂ H s (Rn ) −→ H s (Rn ) abschließbar. Bezeichne mit Pmin den Abschluß. Dieser ist gegeben durch  D(Pmin ) = u ∈ H s (Rn ) | ∃ (uk )k ⊂ S(Rn ) ∃ v ∈ H s (Rn ) : k→∞ k→∞ uk −−−→ u und op(p)uk −−−→ v in H s (Rn ) , Pmin u = v. Aus Satz 5.3 folgt, dass Pmin = op(p) auf D(Pmin ). Wegen der Dichtheit von S(Rn ) in H s+µ (Rn ) ist offenbar H s+µ (Rn ) ⊂ D(Pmin ). 4. Schritt: F¨ ur irgendeine abgeschlossenen Operatoren mit P = op(p) auf D(P ) gilt also H s+µ (Rn ) ⊂ D(Pmin ) ⊂ D(P ) ⊂ H s+µ (Rn ). Dies zeigt offenbar die Behauptung.

7

Parameterabh¨ angige ψdo

ur ein l ∈ N. Im folgenden sei Σ eine offene Teilmenge von Rl f¨ Definition 7.1 Es sei µ ∈ R. Wir definieren S µ (Rn ; Σ) als Raum aller C ∞ -Funktionen p : Rn × Rn × Σ → C mit kpkµk :=

sup x,ξ∈Rn , η∈Σ,

α |∂(ξ,η) ∂xβ p(x, ξ; η)|hξ, ηi|α|−µ < ∞

|α|+|β|≤k

f¨ ur alle k ∈ N0 , wobei hξ, ηi := h(ξ, η)i = (1 + |ξ|2 + |η|2 )1/2 . Wir sprechen von parameter-abh¨ angigen Symbolen. Weiterhin definiert Z [op(p)(η)u](x) =

eixξ p(x, ξ; η) d¯ξ,

eine Familie von ψdo mit Parameter η. 35

u ∈ S(Rn ),

Beispiel 7.2

P

a) Es sei a(x, ξ) =

|α|≤m

aα (x)ξ α mit aα ∈ Cb∞ (Rn ) und b(η) ein Polynom

in η vom Grad m0 . Dann ist p(x, ξ; η) := a(x, ξ) + b(η) ∈ S µ (Rn ; Rl ) f¨ ur µ := max(m, m0 ), da p ein Polynom vom Grad µ in (ξ, η) ist. b) F¨ ur Symbole a(x, ξ) ∈ S m (Rn ) ist die Aussage von a) im allgemeinen falsch! Satz 7.3 Es sei ν ≥ µ und s ∈ R. Dann gibt es ein k ∈ N0 und ein C ≥ 0 mit kop(p)(η)kL(H s (Rn ),H s−ν (Rn )) ≤ C kpkµk hηiµ−ν− ,

ν− := min(ν, 0),

f¨ ur alle p ∈ S µ (Rn ; Σ). Ist µ ≤ 0, so gilt insbesondere kop(p)(η)kL(H s (Rn )) ≤ C kpkµk hηiµ . Beweis: F¨ ur festes η ist pe(x, ξ) := p(x, ξ; η) ∈ S ν (Rn ) Nach Satz 5.3 ist op(p)(η) ∈ s n s−ν L(H (R ), H (Rn )) und kop(p)(η)kL(H s (Rn ),H s−ν (Rn )) ≤ Cs,ν

sup x,ξ∈Rn , |α|+|β|≤k

|∂ξα ∂xβ p(x, ξ; η)|hξi|α|−ν

mit einem k = k(s, ν). Nun ist aber |∂ξα ∂xβ p(x, ξ; η)|hξi|α|−ν ≤ kpkµk hξ, ηiµ−|α| hξi|α|−ν ≤ kpkµk hξ, ηiµ hξi−ν . F¨ ur µ ≥ 0 ist ν− = 0 und hξ, ηiµ hξi−ν ≤ 2µ hξiµ−ν hηiµ ≤ 2µ hηiµ

(da ν ≥ µ).30

F¨ ur µ ≤ 0 ist hξ, ηiµ hξi−ν ≤ hξ, ηiµ−ν− hξiν− −ν ≤ hξ, ηiµ−ν− ≤ hηiµ−ν− .31 Dies liefert offenbar die Behauptung. Satz 7.4 F¨ ur pj ∈ S µj (Rn ; Σ) ist op(p1 )(η) op(p2 )(η) = op(p1 #p2 )(η), wobei p1 #p2 ∼

P∞

1 α α |α|=0 α! (∂ξ p1 )(Dx p2 ),

(p1 #p2 )(x, ξ; η) − 30 31

d.h. f¨ ur alle N ∈ N0 ist

NP −1

1 α (∂ξ p1 )(x, ξ; η)(Dxα p2 )(x, ξ; η) ∈ S µ1 +µ2 −N (Rn ; Σ). α! |α|=0

schreibe hξ, ηi = h(ξ, 0) + (0, η)i und verwende die Peetresche Ungleichung die erste Ungleichung gilt, da ν− ≤ 0 ist, die letzte wegen µ − ν− ≤ 0

36

Satz 7.5 p ∈ S µ (Rn ; Σ) heißt (parameter-)elliptisch, falls es C, R ≥ 0 gibt mit

1 ≤ C hξ, ηi−µ p(x, ξ; η)

∀x

∀ |(ξ, η)| ≥ R.

Dann (und nur dann!) hat p eine Parametrix q ∈ S −µ (Rn ; Σ), d.h. (p#q)(x, ξ; η) − 1, (q#p)(x, ξ; η) − 1 ∈ S −∞,−∞ (Rn ; Σ). Notation: F¨ ur ein offenes U und einen Fr´echetraum E setze  S(U, E) = a ∈ C ∞ (U, E) | sup k∂ α a(x)khxiN < ∞ x∈U

f¨ ur alle α, N und jede Halbnorm k · k von E . Satz 7.6 Es sei p ∈ S µ (Rn ; Σ) elliptisch. Dann gibt es ein R ≥ 0 derart, dass op(p)(η) : H s+µ (Rn ) −→ H s (Rn ) ein Isomorphismus ist f¨ ur alle s ∈ R und f¨ ur alle η ∈ ΣR := {η ∈ Σ | |η| > R}. Weiterhin ist f¨ ur jede Parametrix q ∈ S −µ (Rn ; Σ) von p
0 op(p)(η)−1 − op(q)(η) ∈ S ΣR , L(H t (Rn ), H t (Rn ))

∀ t, t0 ∈ R.

Insbesondere: Ist µ ≥ 0, so gilt kop(p)(η)−1 kL(H s (Rn )) ≤ Cs hηi−µ

∀ |η| > R.

(7.1)

Beweis: Sei zun¨ achst s = s0 fixiert. Nach Wahl von q ist op(q)(η) : H s0 (Rn ) → H s0 +µ (Rn ) und r ∈ S −∞ (Rn ; Σ) = S(Σ, S −∞ (Rn )).

op(p)(η)op(q)(η) = 1 − op(r)(η), Insbesondere ist nach Satz 5.3


0 op(r)(η) ∈ S Σ, L(H t (Rn ), H t (Rn ))

∀ t, t0 ∈ R.

(7.2)

Also gibt es ein Rr ≥ 0 mit kop(r)(η)kL(H s0 (Rn )) ≤ Daher ist

1 2

∀ |η| ≥ Rr .


−1 op(p)(η)op(q)(η) 1 − op(r)(η) =1

∀ |η| ≥ Rr .

Analog konstruiert man eine Linksinverse von op(p)(η) f¨ ur |η| ≥ Rl . Also ist op(p)(η) invertierbar mit
−1 op(p)(η)−1 = op(q)(η) 1 − op(r)(η) ∀ |η| ≥ R := max(Rl , Rr ). 37

Weiterhin ist
−1
−1 = 1 + op(r)(η) − op(r)(η) 1 − op(r)(η) op(r)(η). 1 − op(r)(η) Setze nun


−1 S(η) = op(q#r)(η) − op(q#r)(η) 1 − op(r)(η) op(r)(η).

Wegen (7.2) ist
0 S(η) ∈ S ΣR , L(H t (Rn ), H t (Rn ))

∀ t, t0 ∈ R

und, als Operator H s0 (Rn ) → H s0 +µ (Rn ), op(p)(η)−1 = op(q)(η) + S(η)

∀ |η| ≥ R.

F¨ ur beliebiges s ∈ R ist As (η) := op(q)(η) + S(η) ∈ L(H s (Rn ), H s+µ (Rn )). Da As (η) = As0 (η) auf S(Rn ) und op(p)(η) : S(Rn ) → S(Rn ) gilt op(p)(η)As (η)u = u,

∀ |η| ≥ R

As (η)op(p)(η)v = v

f¨ ur alle u, v ∈ S(Rn ). Per Dichtheitsargument gelten diese Identit¨aten dann auch f¨ ur s n s+µ n u ∈ H (R ) und v ∈ H (R ). (7.1) folgt aus Satz 7.3 angewendet auf q.

8

Resolventen und H∞ -Funktionalkalku ¨l

Im folgenden sei Λθ = {reiϕ | r > 0 und θ < ϕ < 2π − θ} ⊂ C \ {0},

0 < θ < π.

(8.1)

Satz 8.1 (Erzeuger analytischer Halbgruppen) Es sei A : D(A) ⊂ X → X ein abgeschlossener, dicht definierter Operator im Banachraum X. Es gebe ein λ0 ∈ R und ein ε > 0 derart, dass λ0 + Λ π2 −ε ⊂ ρ(A) und k(λ − A)−1 kL(X) ≤ Dann ist e−zA :=

1 2πi

Z

C |λ − λ0 |

∀ λ ∈ λ0 + Λ π2 −ε .32

e−zλ (λ − A)−1 dλ ∈ L(X)

Γ

∀ z ∈ C \ Λ π2 −ε

holomorph in z und f¨ ur u(t) := e−tA u0 , u0 ∈ X, ist u ∈ C([0, ∞[, X) ∩ C ∞ (]0, ∞[, X) mit u(t) ˙ + Au(t) = 0

∀ t > 0,

Dabei ist Γ der Rand von (λ0 + Λ π2 −ε ) \ {λ | |λ| < 1}. 32

u(0) = u0 . 33

Beachte: Wegen Satz 10.4.c) ist dann auch λ0 + Λ π2 −ε \ {λ0 } ⊂ ρ(A) und es gilt dort diesselbe Absch¨ atzung. 33 von unten nach oben“ durchlaufen ”

38

Definition 8.2 Es sei Λ wie in (8.1) und A = op(a) mit a(x, ξ) = aα ∈ Cb∞ (Rn ). Weiterhin sei Σ ein Sektor derart, dass

P

|α|≤µ aα (x)ξ

α

und

η 7→ η µ : Σ −→ Λ eine Bijektion ist.34 A heißt Λ-elliptisch, falls p(x, ξ; η) := η µ − a(x, ξ) ∈ S µ (Rn ; Σ) elliptisch ist.35 Satz 8.3 Es sei A ein Λ π2 −ε -elliptischer Differentialoperator der Ordnung µ. Dann erf¨ ullt s n s+µ n A die Voraussetzungen von Satz 8.1 mit X = H (R ) und D(A) = H (R ) f¨ ur beliebiges s ∈ R. Beweis: Da p(x, ξ; 0) = −a(x, ξ), impliziert die Elliptizit¨at von p die von a. Nach Satz 6.12 ist A mit D(A) = H s+µ (Rn ) abgeschlossen in H s (Rn ). F¨ ur λ = η µ ist nach Satz 7.3 C C = µ |η| |λ|

k(λ − A)−1 k = kop(p)(η)−1 k ≤

falls |η| > R, d.h. |λ| > Rµ , mit einem geeigneten R ≥ 0. W¨ahle nun λ0 ∈ R derart, dass λ0 + Λ π2 −ε ⊂ Λ π2 −ε \ {λ | |λ| ≤ Rµ }. Dann gilt die gew¨ unschte Resolventenabsch¨atzung. Satz 8.4 Es sei Λ wie in (8.1) und A = op(a) mit a(x, ξ) = Cb∞ (Rn ). Dann sind ¨ aquivalent:

P

|α|≤µ aα (x)ξ

α

und aα ∈

a) A ist Λ-elliptisch. b) F¨ ur das sogenannte Hauptsymbol σ(A)(x, ξ) =

P

|α|=µ aα (x)ξ

α

von A gilt

D := {σ(A)(x, ξ) | x ∈ Rn , |ξ| = 1} ⊂ C \ Λ. Beweis:

Sei Σ zu Λ gew¨ ahlt wie in Definition 8.2.

Vorbemerkung: Wegen
η µ − a(x, ξ) = η µ − σ(A)(x, ξ) + σ(A)(x, ξ) − a(x, ξ) ≡ η µ − σ(A)(x, ξ) mod S µ−1 (Rn ; R2 ) ist A genau dann Λ-elliptisch, wenn es σ(A)(x, D) ist. Wir k¨onnen also oBdA annehmen, dass a = σ(A) ist. b) ⇒ a): Setze p(x, ξ; η) = η µ − a(x, ξ). Da f¨ ur ξ 6= 0 a(x, ξ) = |ξ|−µ a(x, ξ/|ξ|) ∈ |ξ|−µ D ⊂ C \ Λ 34 35

F¨ ur Λδ w¨ ahle zum Beispiel Σ = {seiα | s > 0, fasse dabei η µ als Polynom in η ∈ R2 auf

δ µ

<α<

39

2π−δ }. µ

ist p(x, ξ; η)−1 ∈ C ∞ (Rn × Rn × Σ). Weiterhin ist  p(x, ξ; η)−1 = |(ξ, η)|−µ p x,

ξ η −1 ; |(ξ, η)| |(ξ, η)|

∀ (ξ, η) 6= 0.

(8.2)

Wir zeigen jetzt, dass |p(x, ξ; η)−1 | < ∞.

sup

(8.3)

(x,ξ,η)∈Rn ×Rn ×Σ, |(ξ,η)|=1

Dies ist genau dann der Fall, wenn m :=

inf

(x,ξ,η)∈Rn ×Rn ×Σ, |(ξ,η)|=1

|η µ − a(x, ξ)| > 0.

k→∞

Sei ((xk , ξk , ηk ))k eine Folge mit |(ξk , ηk )| = 1 und |ηkµ − a(xk , ξk )| −−−→ m. OBdA gibt es k→∞

(ξ∗ , η∗ ) ∈ Rn × Σ mit (ξk , ηk ) −−−→ (ξ∗ , η∗ ). Ist ξ∗ = 0, so ist k→∞

|ηkµ − a(xk , ξk )| −−−→ |η∗µ − 0| = |η∗ |µ = 1, also m = 1. Ist ξ∗ 6= 0, so gibt es 0 < a < b < ∞ und ein k0 ∈ N mit e := {rd | r ∈ [a, b], d ∈ D} ⊂ C \ Λ a(xk , ξk ) = |ξk |−µ a(xk , ξk /|ξk |) ∈ D

∀ k ≥ k0 .

e kompakt. Daher ist Als Bild von [a, b] × D unter der stetigen Funktion (r, d) 7→ rd ist D e Λ) > 0 |ηkµ − a(xk , ξk )| ≥ dist(D,

∀ k ≥ k0

und somit auch m > 0. Aus (8.2) und (8.3) folgt offenbar, dass |p(x, ξ; η)−1 | ≤ C hξ, ηi−µ

∀ |(ξ, η)| ≥ 1.

¨ a) ⇒ b): Ahnlich. Beispiel 8.5 Es sei b ∈ Cb∞ (Rn , Rn×n ) punktweise symmetrisch mit (b(x)ξ, ξ)Rn ≥ c > 0

∀ x ∈ Rn

∀ |ξ| = 1.36

Ist dann A ein Differentialoperator wie oben mit µ = 2 und σ(A)(x, ξ) = (b(x)ξ, ξ), so ist A Λ-elliptisch f¨ ur jedes Λ mit Λ ⊂ C \ ]0, ∞[. Insbesondere ist A = −∆ ein solcher Operator. Definition 8.6 Es sei Λ wie in (8.1). Mit H = H(Λ) bezeichne den Raum aller holomorphen, beschr¨ ankten Funktionen f : C \ Λ → C f¨ ur die ein s = s(f ) > 0 existiert derart, dass sup (|λ|−s + |λ|s )|f (λ)| < ∞. λ∈C\Λ 36

d.h. b ist gleichm¨ aßig positiv definit

40

Bemerkung 8.7 Es sei f ∈ H(Λ). Dann existieren die nicht-tangentialen Grenzwerte f (z) = lim f (λ) Λ3λ→z

f.f.a. z ∈ ∂Λ

und man kann f ∂Λ ∈ L∞ (∂Λ) definieren. Ist A : D(A) ⊂ X → X wie in Satz 8.1 mit λ0 = 0, so existiert also Z 1 f (λ)(λ − A)−1 dλ ∈ L(X). (8.4) f (A) := 2πi ∂Λ Definition 8.8 Es sei A : D(A) ⊂ X → X wie in Satz 8.1 mit λ0 = 0. A besitzt einen beschr¨ ankten H∞ -Kalk¨ ul bez¨ uglich C \ Λ, falls es eine Konstante M ≥ 0 gibt mit kf (A)kL(X) ≤ M kf k∞

∀ f ∈ H(Λ),

wobei kf k∞ = supλ∈C\Λ |f (λ)|. Bemerkung 8.9 Besitzt A : D(A) ⊂ X → X einen beschr¨ankten H∞ -Kalk¨ ul und hat zus¨atzlich dichtes Bild, so kann man durch geeignete Approximation f¨ ur jedes beschr¨ankte, holomorphe F : C \ Λ → C ein F (A) ∈ L(X) definieren, f¨ ur den wieder gilt kF (A)kL(X) ≤ M kF k∞ . Zum Beispiel mit F (λ) = λit mit t ∈ R folgt F (A) = Ait ∈ L(X),

kAit kL(X) ≤ M eθ|t|

∀ t ∈ R,

(8.5)

wobei Λ = Λθ wie in (8.1). Man sagt, dass A beschr¨ankte imagin¨are Potenzen besitzt. Satz 8.10 (Dore-Venni) A : D(A) ⊂ X → X habe beschr¨ ankte imagin¨ are Potenzen und in (8.5) sei θ < π2 . Dann hat u(t) ˙ + Au(t) = f (t) f¨ ur 0 < t < T ,

u(0) = 0

f¨ ur jedes f ∈ Lp ([0, T ], X) mit 1 < p < ∞ genau eine L¨ osung u ∈ Wp1 ([0, T ], X) ∩ Lp ([0, 1], D(A)). P Satz 8.11 Es sei A = aα (x)Dxα mit aα ∈ Cb∞ (Rn ) Λ-elliptisch. Dann gibt es ein |α|≤µ

λ0 ≥ 0 derart, dass λ0 + A : H s+µ (Rn ) ⊂ H s (Rn ) −→ H s (Rn )

(s ∈ R beliebig )

einen beschr¨ ankten H∞ -Kalk¨ ul bzgl. C \ Λ besitzt. Lemma 8.12 Es seien die Voraussetzungen und Bezeichnungen wie in Satz 8.11 und at (x, ξ) := t +

aα (x)ξ α ,

P

t ∈ R.

|α|≤µ

Dann gibt es ein t ≥ 0 derart, dass f¨ ur jedes t ≥ t0 gilt:
−1 sup λ − at (x, ξ) (hξiµ + |λ|) < ∞. (ξ,λ) ∈ Rn ×Λ, x ∈ Rn

41

Beweis von Satz 8.11: e := 1. Schritt: Nach Lemma 8.12 und Satz 7.6 k¨onnen wir λ0 ≥ 0 so w¨ahlen, dass A λ0 + A folgende Eigenschaften hat:
−1 µ ∀ x ∈ Rn ∀ (ξ, η) ∈ Rn × Σ a(x, ξ) ≤ Chξ, ηi η −e e bezeichnet) und (wobei e a(x, ξ) das Symbol von A e −1 = op(q)(η) + S(η) (η µ − A)

∀η∈Σ

mit q(x, ξ; η) ∈ S −µ (Rn ; Σ),


S(η) ∈ ∩ S Rn , L(H r (Rn ), H t (Rn )) . r,t∈R

Insbesondere gilt e −1 kL(H s (Rn )) ≤ C 1 k(λ − A) |λ|

∀ 0 6= λ ∈ Λ.

Nach Konstruktion der Parametrix ist
−1 r(x, ξ; η) := q(x, ξ; η) − η µ − e a(x, ξ) ∈ S −µ−1 (Rn ; Σ).

(8.6)

2. Schritt:

Nach Definition ist Z Z 1 1 −1 e e −1 η µ−1 dη e f (λ)(λ − A) dλ = f (η µ )(η µ − A) f (A) = 2πi ∂Λ 2πi ∂Σ

f¨ ur f ∈ H(Λ). Wir wollen zeigen: Es gibt ein M ≥ 0 mit e L(H s (Rn )) ≤ M kf k∞ kf (A)k 3. Schritt: Offenbar ist

Z

µ µ−1 f (η )S(η)η dη

Z

L(H s (Rn ))

∂Σ

≤ kf k∞

∀ f ∈ H(Λ).

kS(η)kkL(H s (Rn )) |η|µ−1 dη = M kf k∞

∂Σ

mit M = M (S). 4. Schritt:

F¨ ur f ∈ H(Λ) setze rf (x, ξ) =

1 2πi

Z

f (η µ )r(x, ξ; η)η µ−1 dη

∂Σ

mit r aus (8.6). Bis auf Orientierung haben die beiden Teile von ∂Σ eine Parametrisierung der Form t 7→ teiϕ : [0, ∞[ → C. Es folgt, dass Z ∞ α β |∂ξ ∂x rf (x, ξ)| ≤ Cαβ kf k∞ hξ, ti−µ−1−|α| tµ−1 dt 0 Z ∞ t=shξi = Cαβ kf k∞ hξ, shξii−µ−1−|α| hξiµ sµ−1 ds. 0

42

Nun ist aber
hξ, shξii2 = 1 + |ξ|2 + s2 (1 + |ξ|2 ) = (1 + |ξ|2 )(1 + s2 ) = hξi2 hsi2 . Wir erhalten also |∂ξα ∂xβ rf (x, ξ)|

Z

∞

hξi−µ−1−|α| hsi−µ−1−|α| hξiµ sµ−1 ds 0 Z ∞ −1−|α| 0 ≤ Cαβ kf k∞ hξi hsi−2 ds = Cαβ kf k∞ hξi−1−|α| . ≤ Cαβ kf k∞

0

n

Also ist kf1k∞ rf | 0 6= f ∈ H(Λ) 5.3 gibt es also ein M ≥ 0 mit

o

eine beschr¨ankte Teilmenge von S −1 (Rn ). Nach Satz

kop(rf )kL(H s (Rn )) ≤ M kf k∞ 5. Schritt:

∀ f ∈ H(Λ).

F¨ ur f ∈ H(Λ) setze 1 pf (x, ξ) = 2πi

Z ∂Λ

f (λ)(λ − e a(x, ξ))−1 dλ.

Sei nun (x, ξ) fixiert. Dann ist der Integrand außerhalb der Menge Λ ∪ {λ ∈ C | |λ| ≤ ke akµ0 hξiµ } holomorph und ist dort O(|λ|−1−ε ) f¨ ur ein ε = ε(f ) > 0 (beachte das Abfallverhalten von Funktionen aus H(Λ)). Es folgt, dass Z 1 pf (x, ξ) = f (λ)(λ − e a(x, ξ))−1 dλ 2πi Cξ mit dem in Abbildung 1 dargestellten Integrationsweg Cξ . Auf dem Kreisanteil von Cξ gilt die Absch¨ atzung
−1 1 a(x, ξ) ≤ hξi−µ , λ−e ke akµ0 auf den radialen Teilen ist (insbesondere)
−1 a(x, ξ) ≤ C hξi−µ . λ−e Es folgt, dass |pf (x, ξ)| ≤ C kf k∞ L¨ ange(Cξ )hξi−µ ≤ 4C(π + 1) ke akµ0 kf k∞

∀ x, ξ ∈ Rn .

Unter Ber¨ ucksichtigung der Kettenregel kann man analog zeigen, dass |∂ξα ∂xβ pf (x, ξ)| ≤ Cαβ kf k∞ hξi−|α| ∀ x, ξ ∈ Rn . n o Also ist kf1k∞ pf | 0 6= f ∈ H(Λ) eine beschr¨ankte Teilmenge von S 0 (Rn ). Wieder nach Satz 5.3 gibt es ein M ≥ 0 mit kop(pf )kL(H s (Rn )) ≤ M kf k∞ 6. Schritt:

∀ f ∈ H(Λ).

Die Behauptung folgt nun aus e = op(pf ) + op(rf ) + 1 f (A) 2πi

43

Z ∂Σ

f (η µ )S(η)η µ−1 dη.

Abbildung 1: Der im Uhrzeiger Sinn zu durchlaufende Weg Cξ (blau)

9

Wiederholung: Fredholm-Operatoren

Satz 9.1 Es seien X0 , X1 Banachr¨ aume. Ein Operator K ∈ L(X0 , X1 ) heißt kompakt, wenn eine der folgenden ¨ aquivalenten Eigenschaften gilt: a) K bildet beschr¨ ankte in relativ kompakte Mengen ab. b) Ist (xn )n∈N eine beschr¨ ankte Folge, so hat (Kxn )n∈N eine konvergente Teilfolge. Sind X0 , X1 Hilbertr¨ aume, so sind a) und b) ¨ aquivalent zu n→∞

c) Es gibt (Kn )n∈N mit dim Bild Kn < ∞ und Kn −−−→ K in L(X0 , X1 ). Die Menge K(X0 , X1 ) := {K ∈ L(X0 , X1 ) | K kompakt} bildet einen abgeschlossenen Unterraum von L(X0 , X1 ). Es gelten folgende Aussagen: i) Ist (xn )n∈N schwach konvergent gegen x,37 so ist (Kxn )n∈N konvergent gegen Kx. ii) Sind P0 ∈ L(X, X0 ), P1 ∈ L(X1 , X), so sind KP0 ∈ K(X, X0 ) und P1 K ∈ K(X0 , X). Satz 9.2 Es seien X0 , X1 Banachr¨ aume. Ein P ∈ L(X0 , X1 ) heißt ein Fredholm-Operator, falls eine der folgenden ¨ aquivalenten Eigenschaften gilt: 37

n→∞

d.h. (y, xn ) −−−−→ (y, x) f¨ ur alle y ∈ X

44

a) Es ist dim Kern P < ∞

und

codim Bild P := dim X1 /Bild P < ∞.

b) P ist invertierbar modulo kompakter Operatoren, d.h. es gibt Q ∈ L(X1 , X0 ) mit QP − 1 ∈ K(X0 )

und

P Q − 1 ∈ K(X1 ).

In diesem Fall ist Bild P abgeschlossen in X1 und wir setzen ind P := dim Kern P − codim Bild P. Es gelten folgende Aussagen: i) Sind P ∈ F(X0 , X1 ) und K ∈ K(X0 , X1 ), so ist P + K ∈ F(X0 , X1 ) und ind (P + K) = ind P. ii) Sind Pj ∈ F(Xj , Xj+1 ) f¨ ur j = 0, 1, so ist P1 P0 ∈ F(X0 , X2 ) und ind P1 P0 = ind P0 + ind P1 . iii) F(X0 , X1 ) ist eine offene Teilmenge von L(X0 , X1 ) und ind : F(X0 , X1 ) → C ist lokal konstant.38

10

Wiederholung: Unbeschr¨ ankte Operatoren

Im folgenden sei X ein Banachraum mit Norm k · k. Definition 10.1 (und Satz) Eine linerare Abbildung A : D(A) ⊂ X → X heißt ein abgeschlossener Operator in X, falls gilt: i) Ist (xn )n ⊂ D(A) mit xn → x und Axn → y in X, so ist x ∈ D(A) und Ax = y. Dies ist ¨ aquivalent zu jeder der folgenden Eigenschaften: ii) Graph(A) := {(x, Ax)| x ∈ D(A)} ist ein abgeschlossener Unterraum von X ⊕ X. iii) D(A) versehen mit der Norm |kxk| := kxk + kAxk,

x ∈ D(A),

ist ein Banachraum. Satz 10.2 (vom abgeschlossenen Graphen) Es sei A : X → X linear. Dann: A ∈ L(X) ⇐⇒ A : D(A) = X → X abgeschlossen. 38

Insbesondere ist ind konstant auf den Zusammenhangskomponenten von F (X0 , X1 ).

45

Definition 10.3 (und Satz) Es sei A : D(A) ⊂ X → X abgeschlossen. Die Resolventenmenge von A ist ρ(A) := {λ ∈ C| λ − A : D(A) → X ist bijektiv} (wir identifizieren λ ∈ C mit der Abbildung x 7→ λx ∈ L(X)). Das Spektrum von A ist σ(A) := C \ ρ(A). F¨ ur jedes λ ∈ %(A) ist automatisch (λ − A)−1 ∈ L(X). Satz 10.4 Es sei A : D(A) ⊂ X → X abgeschlossen. Dann gelten: a) ρ(A) ist offen in C (und damit σ(A) abgeschlossen). Ist λ0 ∈ ρ(A), so ist (λ − A)−1 =

∞ X

(λ0 − λ)n (λ0 − A)−(n+1)

∀ |λ − λ0 | <

n=0

1 . k(λ0 − A)−1 kL(X)

b) λ 7→ (λ − A)−1 : ρ(A) → L(X) ist holomorph und dn (λ − A)−1 = (−1)n n! (λ − A)−(n+1) dλn

∀ n ∈ N.

c) Ist dist(λ, σ(A)) := inf{|λ − z| | z ∈ σ(A)} der Abstand von λ zu σ(A), so ist 1 ≤ k(λ − A)−1 kL(X) dist(λ, σ(A))

∀ λ ∈ ρ(A).

Definition 10.5 Ein lineare Abbildung A : D(A) ⊂ X → X heißt abschließbar, falls es einen abgeschlossenen Operatoren B : D(B) ⊂ X → X gibt mit D(A) ⊂ D(B). Jedes solche B heißt eine abgeschlossene Erweiterung von A. Satz 10.6 Es sei A : D(A) ⊂ X → X linear. Dann sind ¨ aquivalent: a) A ist abschließbar. b) Es gibt ein lineares B : D(B) ⊂ X → X mit Graph(B) = Graph(A). c) Ist (xn )n∈N eine beliebige Nullfolge in X f¨ ur die (Axn )n∈N in X konvergiert, so ist auch (Axn )n∈N eine Nullfolge. e In diesem Fall ist B die kleinste abgeschlossene Erweiterung von A, d.h. D(B) ⊂ D(B) e f¨ ur jede beliebige abgeschlossene Erweiterung B von A. Man schreibt A = Amin := B und spricht vom Abschluß bzw. der minimalen Erweiterung von A. Definition 10.7 (und Satz) Es sei H ein Hilbertraum mit Skalarprodukt (·, ·). Es sei A : D(A) ⊂ H → H linear und dicht definiert, d.h. D(A) sei dicht in H. Der adjungierte Operator A∗ von A ist definiert durch D(A∗ ) = {x ∈ H | ∃ y ∈ H

∀ z ∈ D(A) :

(y, z) = (x, Az)},

A∗ x = y.

A∗ ist immer abgeschlossen. Ist A abschließbar, so ist Amin = (A∗ )∗ . Gilt A = A∗ , so heißt A selbstadjungiert.

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