Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 001

Skriptum zur Vorlesung Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Peter Wagner VO 4 SoSe 1993 und 2004 ¨ Letzte Anderung: 22. 6. 2005

Institut fu ¨ r Technische Mathematik, Geometrie und Bauinformatik Baufakult¨ at, Universit¨ at Innsbruck

Inhaltsverzeichnis § 1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . § 2 Tangentialvektoren und Vektorfelder . . . . § 3 Tensoren auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . § 4 Borelmaße, Radonmaße, n-Formen und Orientierung . . . . . . . . . § 5 d, ∂, de Rham und Stokes . . . . . . . . . . § 6 Kanonisches Volumsmaß, Sternoperator . . . § 7 Geod¨atische Kurven und Normalkoordinaten § 8 Zusammenhang und kovariante Ableitung . § 9 Der Kr¨ ummungstensor . . . . . . . . . . . .

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1 16 39 53 71 85 98 115 130

Kap. I: Tensorrechnung auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten §1

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Abbildungen

Def.: M sei ein topologischer Raum. M heißt n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit: ⇐⇒ (i) M hausdorffsch (d.h. ∀x 6= y ∈ M : ∃ Umgebung U von x, V von y : U ∩ V = ∅) (ii) M erf¨ ullt 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom (d.h. ∃ abz¨ahlbare Basis der Topologie) und (iii) M lokal hom¨oomorph zu Rn (d.h. ∀x ∈ M : ∃ offene Umgebung U von x : ∃V ⊂ Rn offen: ∃ϕ : U −→V ˜ Hom¨oomorphismus).   x1  . Bsp.: 1) Rn mit u ¨blicher Topologie. Ich schreibe x =  ..  = (x1 , · · · , xn )T ∈ Rn xn ( T“= transponiert).  ” 2) Sn := x ∈ Rn+1 : |x| = 1 ist n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit mit der Spurtopologie. n j Zu (iii): F¨ ur j ∈ {1, ·· · , n + 1} sei Uj,+ 0}, Uj,− := −Uj,+ , := {x ∈ S1 : x >j−1 n ϕj,± : Uj,± −→ V := x ∈ R : |x| < 1 : x 7−→ (x , · · · , x , xj+1 , · · · , xn+1 )T . ϕj,+ und ϕj,− sind Hom¨oomorphismen, sind p die Umkehrabbildungen
1 j−1 j n 2 V −→ Uj,± : x 7−→ x , · · · , x , ± 1 − |x| , x , · · · , x . Da jedes x ∈ Sn in einem Uj,+ oder einem Uj,− enthalten ist, ist (iii) bewiesen. Bemerkung: Es l¨asst sich zeigen, dass eine topologische Mannigfaltigkeit nicht zugleich n und p-dimensional sein kann, wenn n 6= p. Dies folgt aus dem nicht trivialen invariance ” of domain theorem“: ∅ 6= U ⊂ Rn offen, V ⊂ Rp offen, U hom¨oomorph V =⇒ n = p. (Brouwer, 1911) Def.: M sei n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. 1) Eine Karte auf M ist ein Hom¨omorphismus ϕ : U −→ V, wobei U ⊂ M offen, V ⊂ Rn offen. 2) Eine S Menge A = {ϕα : Uα −→ Vα : α ∈ A} von Karten auf M heißt Atlas von M : ⇐⇒ Uα = M. α∈A

3) Ein Atlas A heißt C k -Atlas, k ∈ {0, 1, · · · , ∞} :⇐⇒ ∀ϕα , ϕβ ∈ A : Uα ∩ Uβ 6= ∅ =⇒ k ϕα ◦ ϕ−1 β : ϕβ (Uα ∩ Uβ ) → ϕα (Uα ∩ Uβ ) ist C (d.h. k-mal stetig differenzierbar). Bemerkung: Jeder Atlas ist C 0 . Jeder C k -Atlas ist auch C l f¨ ur l ≤ k. 1

Bsp.: 1) M ⊂ Rn offen =⇒ A = {id : M −→ M } ist C ∞ -Atlas. 2) M = Sn ; A := ϕj,+ , ϕj,− : j ∈ {1, · · · , n + 1} ist C ∞ -Atlas, denn f¨ ur j < k gilt p −1 1 n T 1 k−1 k n T ϕj,+ ◦ ϕk,+ : (x , · · · , x ) 7−→ x , · · · , x , 1 − |x|2 , x , · · · , x ) 7−→ p 1 j−1 j+1 k−1 (x , · · · , x , x , · · · , x , 1 − |x|2 , xk , · · · , xn )T ist C ∞ auf ϕk (Uj,+ ∩ Uk,+ ) ⊂ V =  n x ∈ R : |x| < 1 und in den F¨allen j ≥ k und − statt + ist es analog.

Def.: M sei eine topologische Mannigfaltigkeit, A1 , A2 C k -Atlanten auf M. A1 , A2 heißen C k -¨aquivalent: ⇐⇒ A1 ∪ A2 C k -Atlas. ¨ ¨ Hilfssatz: 1) C k -Aquivalenz ist eine Aquivalenzrelation auf der Menge der C k -Atlanten. ¨ 2) In jeder Aquivalenzklasse [A] ∃! maximaler C k -Atlas Amax , d.h. einer, der jeden C k ¨aquivalenten Atlas enth¨alt.

Beweis: 1) a) A1 , A2 C k −¨aquivalent ⇐⇒ ∀(ϕ1 : U1 −→ V1 ) ∈ A1 , ∀(ϕ2 : U2 −→ V2 ) ∈ k A2 : U1 ∩ U2 6= ∅ =⇒ ϕ1 ◦ ϕ−1 2 : ϕ2 (U1 ∩ U2 ) −→ ϕ1 (U1 ∩ U2 ) ist C . k k b) Es seien A1 , A2 C -¨aquivalent und A2 , A3 C -¨aquivalent und (ϕ1 : U1 −→ V1 ) ∈ A1 , (ϕ3 : U3 −→ V3 ) ∈ A3 und x ∈ ϕ3 (U1 ∩ U3 ) ⊂ Rn . A2 Atlas =⇒ ∃(ϕ2 : U2 −→ −1 V2 ) ∈ A2 mit ϕ−1 3 (x) ∈ U2 =⇒ x ∈ ϕ3 (U2 ∩ U3 ) und ϕ2 ϕ3 (x) ∈ ϕ2 (U1 ∩ U2 ) =⇒ bei −1 −1 −1 k x ist ϕ1 ϕ3 = ϕ1 ϕ2 ◦ ϕ2 ϕ3 auch C . ¨ Somit sind auch A1 , A3 C k -¨aquivalent. Also ist C k -Aquivalenz transitiv. Der Rest ist klar. S k k 2) Wenn A C -Atlas, so ist Amax := {A1 : A1 , A C -¨aquivalent} auch ein C k -Atlas. Amax ist C k -¨aquivalent zu A und maximal mit dieser Eigenschaft.  Bsp.: M = R, A1 := {id : R −→ R} und A2 := {R −→ R : x 7−→ x3 } sind 2 C ∞ -Atlanten, die nicht C 1 -¨aquivalent sind. Def.: M n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, k ∈ {0, 1, 2, · · · , ∞}. ¨ 1) Eine Aquivalenzklasse [A] von C k -Atlanten auf M heißt
C k -Struktur auf M . k 2) Wenn [A] C -Struktur auf M , so heißt das Paar M, [A] eine C k -Mannigfaltigkeit. k Oft schlampig:
k M C -Mannigfaltigkeit (so wie ”M topologischer Raum“). 3) M, [A] C -Mannigfaltigkeit. Wenn
ϕ : U −→ V im maximalen Atlas von [A]
enthalten ist, so heißt ϕ Karte auf M, [A] oder Karte der Mannigfaltigkeit M, [A] .

Bemerkung: W¨ahrend es auf M nur eine C 0 -Struktur gibt, gibt es f¨ ur k ≥ 1 unendlich viele verschiedene C k -Strukturen. Die Kenntnis der Topologie allein ist also nicht ausreichend f¨ ur die Mannigfaltigkeitsstruktur, wenn k ≥ 1. Notation: F¨ ur eine Karte ϕ schreibt man ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T . (Eigent
T lich m¨ usste es x 7−→ ϕ(x)1 , · · · , ϕ(x)n heißen.) Eine zweite Karte wird ψ : U 0 −→ 0 0 V 0 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T geschrieben.

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Bsp.: 1) Rn , Sn mit Atlanten wie oben sind C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Die entsprechenden C ∞ -Strukturen heißen Standardstrukturen.
k 2) M, [A]    C -Mannigfaltigkeit, U ⊂ M offen. A U := ϕ U ∩U1 : (ϕ : U1 −→ V1 ) ∈ A ist C k -Atlas auf U und A U h¨angt nur von [A]   ab. A U heißt induzierte C k -Struktur auf U.
3) Pn := Rn+1 \{0} modulo R, wobei xRy ⇐⇒ ∃λ ∈ R : x = λy. Pn ist der ¨ n-dimensionale projektive Raum. Ich schreibe [x] f¨ ur die Aquivalenzklasse von x ∈ Rn+1 .  1 F¨ ur j ∈ {1, · · · , n + 1} sei Uj := [x , · · · , xn+1 ] ∈ Pn : xj 6= 0 und ψj : Uj −→ Rn :  1 T x xj−1 xj+1 xn+1 . ,··· , j , j ,··· , j [x] 7−→ xj x x x n Alle ψj sind Karten auf P und A := ψ : j ∈ {1, · · · , n + 1} ist ein C ∞ -Atlas von Pn . j
Damit ist Pn , [A] C ∞ -Mannigfaltigkeit. 4) V endlich dimensionaler R-Vektorraum, ϕ : V −→R ˜ n Koordinatenabbildung bzgl. einer Basis, A := {ϕ}. Dann ist [A] von der gew¨ahlten Basis unabh¨angig und [A] heißt wieder Standardstruktur auf V .
Def.: Mi , [Ai ] ni -dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, l ≤ k, x0 ∈ U ⊂ M1 offen, f : U −→ M2 stetig in x0 . 1) f heißt C l in x0 :⇐⇒ ∃(∀)(ϕi : Ui
−→ Vi ) ∈ Ai mit x0 ∈ U1 und f (x0 ) ∈ U2 : −1 ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1 (U2 ) −→ V2 ist C l in ϕ1 (x0 ). 1 : ϕ1 U ∩ U 1 ∩ f

2) f heißt C l :⇐⇒ ∀x ∈ U : f stetig und C l in x.

3) f C k -Diffeomorphismus :⇐⇒ f bijektiv, f, f −1 C k . Hilfssatz: 1) M C k -Mannigfaltigkeit =⇒ id : M −→ M ist C k . 2) M1 , M2 , M3 C k Mannigfaltigkeit, f : M1 −→ M2 C k , g : M2 −→ M3 C k =⇒ g ◦ f : M1 −→ M3 C k . Beweis: leicht. Bemerkung: Die Menge der C k -Mannigfaltigkeiten bildet also eine Kategorie. Schreibweise und Definition: M1 , M2 C k -Mannigfaltigkeiten, f : M1 −→ M2 C k , k ≥ 1, ϕ1 : U1 −→ V1 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T C k -Karte auf M1 , ϕ2 : U2 −→ V2
: y 7−→ −1 (y 1 , · · · , y p )T C k -Karte auf M2 . F¨ ur die Abbildung ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1 (U2 ) −→ V2 1 : ϕ 1 U1 ∩ f 1 n T 1 p T schreibe ich f : x 7−→ y(x) oder f : (x , · · · , x ) 7−→ (y , · · · , y ) . Dies heißt Koordinatendarstellung von f bzgl. ϕ1 , ϕ2 .

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 ∂y 1 ∂y 1  i   ∂x1 · · · ∂xn   . ∂y ..   .. Die Jacobi-Matrix ist dann = .  .  ∂xj p  ∂y p ∂y · · · ∂x1  ∂xn  i ∂y Wenn x ∈ U1 ∩ f −1 (U2 ), so heißt Rgx f := Rg der Rang von f in x. ∂xj Rgx f ist von den gew¨ahlten Karten ϕ1 , ϕ2 unabh¨angig, denn wenn 0 0 0 0 ψ1 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T , ψ2 : y 7−→ (y 1 , · · · , y p )T andere  Karten  sind,  so ist i0 i i0 i0 k l ∂y ∂y ∂y ∂y ∂x ∂y = A B, wobei A, B 0 = 0 (Summenkonvention!), d.h. 0 j k l j j ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂xj invertierbare p × p- bzw. n × n-Matrizen sind. 

Hilfssatz: M1 , M2 C k -Mannigfaltigkeiten der Dimension n bzw. p, k ≥ 1, ¨ f : M1 −→ M2 C k . Aquivalent sind: k (i) f C -Diffeomorphismus (ii) f bijektiv und ∀x ∈ M1 : Rgx f = n = p. Beweis: a) Erinnerung Satz u ¨ber implizite Funktionen (SIF) U ⊂ Rn sei Umgebung von 0, k ≥ 1, f : U −→  i ∂f n k (0) 6= 0). Dann existiert U1 ⊂ U offen, sodass 0 ∈ R C , Rg0 f = n (d.h. det ∂xj U1 , f (U1 ) offen, f1 : U1 −→ f (U1 ) : x 7−→ f (x) bijektiv und f1−1 C k . Bemerkung: Beachte, dass f in einer Umgebung von 0 C k sein muss. Differenzierbar allein ist auch nicht genug, man braucht stetig differenzierbar. b) (i) =⇒ (ii): xi , y j Koordinaten  wie oben,  d.h. i ∂y f : (xi ) 7−→ (y j ) =⇒ Rgx f = Rg ≤ min{n, p}. j  i   i ∂x  i  i ∂y ∂y ∂y ∂x −1 f ◦f = idM1 =⇒ · = I =⇒ Rgx f = Rg = dim im ≥ n, j j j j ∂y ∂x ∂x ∂x  i ∂y wobei die Matrix als lineare Abbildung von Rn in Rp aufgefasst wird und im“ ” ∂xj den Bildraum bezeichnet. Ebenso: f ◦ f −1 = idM2 =⇒ Rgx f ≥ p. c) (ii) =⇒ (i): Es sei x0 ∈ M1 . Rgx0 f = n = p =⇒ (SIF) f −1 ist bei f (x0 ) C k .  Bemerkung: Die Invarianz der Dimension ist also bei C k -Diffeomorphismus, k ≥ 1, relativ leicht zu zeigen; vgl. die Bemerkung in S. 1 zum Fall k = 0.

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Bsp.: 1) f : Sn −→ Pn : x 7−→ [x] ist C ∞ , denn z.B. in den Karten ϕ1,+ von Sn und ψ2 auf Pn gilt: f - Pn Sn p  hp i 1 − |x|2 , x1 , · · · , xn 7−→ 1 − |x|2 , x1 , · · · , xn ∪ ∪ U1,+ U2 6 o ϕ1,+

?

x ∈ Rn : |x| < 1



o ψ2

?

?

Rn

(x1 , · · · , xn )

 p 1 − |x|2 x2 xn , 1,··· , 1 x1 x x


ist C ∞ auf ϕ1,+ U1,+ ∩ f −1 (U2 ) . 3 2) Die 2 Atlanten A1 = {id :
R −→ R} und R} sind zwar nicht
A2 = {x : R −→ ∞ ¨aquivalent auf R,
d.h. R, [A1 ]
und R, [A√ 2 ] sind verschiedene C -Mannigfaltigkeiten, aber f : R, [A1 ] −→ R, [A2 ] : x 7−→ 3 x ist ein C ∞ -Diffeomorphismus, denn f ist bijektiv und in Koordinaten gilt f : x 7−→ x. Beachte aber, dass g : R −→ N bzgl. [A1 ] C k sein kann und bzgl. [A2 ] nicht f¨ ur k ≥ 1.

k Hilfssatz und Definition: M , [A ] , M , [A ] C -Mannigfaltigkeiten. 1 1 2 2  A1 × A2 := (ϕ1 , ϕ2 ) : U1 × U2 −→ V1 × V2 : (ϕi : Ui −→ Vi ) ∈ Ai . Dann
ist A1 × A2 ein C k -Atlas auf M1 × M2 und die C k -Mannigfaltigkeit M
1 × M2 , [A1
× A2 ] h¨angt nur von [A1 ], [A2 ] ab. Sie heißt direktes Produkt von M1 , [A1 ] , M2 , [A2 ] . Beweis: leicht.

1 Bsp.: S · · × S}1 heißt n-dimensionaler Torus. | × ·{z n


Def.: M, [A] C ∞ -Mannigfaltigkeit, M sei Gruppe. 1) M heißt Liegruppe :⇐⇒ M × M −→ M : (x, y) 7−→ xy −1 ist C ∞ (bzgl. [A × A] auf M × M und [A] auf M ). 2) M, N Liegruppen, f : M −→ N heißt Liegruppenhomomorphismus :⇐⇒ f C ∞ und Gruppenhomomorphismus. Bsp.: 1) R V endlich dimensionaler Vektorraum =⇒ V ist Liegruppe bzgl. + und Standard C ∞ -Struktur. 2) R V endlich  dimensionaler Vektorraum, gl R (V ) := {A : V −→ V linear}. GlR (V ) := A ∈ glR (V ) : A invertierbar ⊂ glR (V ) offen =⇒ GlR (V ) ist C ∞ Mannigfaltigkeit (induziert von der Standardstruktur auf glR (V )). GlR (V ) mit ◦ ist Liegruppe, da (A, B) 7−→ A
◦ B −1 in Koordinaten durch

aik · (B ad )kj (aij ), (bij ) 7−→ (aij ) · (B −1 )ij = gegeben ist. det (B) 5


Def.: M, [A] sei eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, N ⊂ M, 0 ≤ p ≤ n. N heißt p − dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit von M :⇐⇒ ∀x0 ∈ N :  1 p p T ∃(ϕ : U −→V ˜ ) ∈ A max mit x0 ∈ U und ϕ(U ∩ N ) = V ∩ R := (x , · · · , x , 0, · · · , 0) ∈ V : x1 , · · · , x p ∈ R . Bild:

U ∪ U ∩N

ϕ

ϕ

U ∩N

-

V ∪ V ∩ Rp

Bemerkung: Wenn M, N, x0 , ϕ wie in der Definition sind und ψ ∈ Amax eine beliebige bei x0ist, ψ ◦ ϕ−1 : x 7−→ y, so ist Rg (ψ ◦ ϕ−1 ) = n und daher  Karte k1
∂(y , · · · , y kp ) det ϕ(x ) 6= 0 f¨ ur geeignete 1 ≤ k1 < · · · < kp ≤ n. 0 ∂(x1 , · · · , xp ) Nach SIF lassen sich dann (auf U1 ⊂ U offen mit x0 ∈ U1 ) y j als C k -Funktionen von y k1 , · · · , y kp , xp+1 , . . . , xn schreiben (vgl. auch den Beweis des n¨achsten Satzes). Speziell auf U1 ∩ N sind dann y j C k -Funktionen von (y k1 , · · · , y kp ) ∈ W ⊂ Rp offen. o n
1 x, |x| : x ∈ R =: N ist eine C 0 -, aber keine C 1 - Untermannigfaltigkeit von Bsp.:

R2 , denn wenn wir in der letzten Bemerkung die Karte ψn = id verwenden, so oist f¨ ur
1 2 1 1 x0 = (0, 0) ∈ U1 ⊂ R offen, U1 ∩ N weder von der Form y , f (y ) : y ∈ W noch o n
von der Form f (y 2 ), y 2 : y 2 ∈ W mit 0 ∈ W ⊂ R offen und f : W −→ R C 1 .
Hilfssatz und Definition: M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, N p-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit. Dann gilt: N ist mit der Spurtopologie eine p-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit und k p p B := ϕ U ∩N : U ∩ N −→ V ∩ R : ϕ ∈ Amax , ϕ(U ∩ N ) = V ∩ R ist ein C -Atlas auf N. [A] N := [B] heißt die auf N induzierte Mannigfaltigkeitsstruktur. Beweis: (ϕi : Ui −→ Vi ) ∈ A, i = 1, 2, mit ϕi (Ui ∩ N ) = Vi ∩ Rp und U1 ∩ U2 ∩ N 6= ∅. Es sei ψi := ϕi Ui ∩N −→ Vi ∩ Rp . ψ2 ◦ ψ1−1 : ψ1 (U1 ∩ U2 ∩ N ) −→ ψ2 (U1 ∩ U2 ∩ N ) ist dann die Einschr¨ankung von ϕ2 ◦ ϕ−1 1 auf ϕ1 (U1 ∩ U2 ) ∩ Rp und daher auch C k .  Bemerkung: Auch wenn N ⊂ M keine C k -Untermannigfaltigkeit ist, l¨asst sich mit ” Gewalt“ eine C k -Struktur auf N definieren. Allerdings ist diese unter Umst¨anden nicht ¨ 1.4): kanonisch“, wie z.B. bei einer Lemniskate (Ub. ”

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M = R2

(Hier ist N nicht einmal eine topologische Mannigfaltigkeit in der Spurtopologie.) Satz M, [A]) n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, 1 ≤ p ≤ n, f : M −→ Rp C k , N := f −1 (0), ∀x ∈ N : Rgx f = p. Dann ist N eine (n − p)-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit. Beweis: Es sei x0 ∈ N und (ϕ : U −→ V ) ∈ Amax mit x0 ∈ U und ϕ(x0 ) = 0. f ◦ ϕ−1 : V −→ Rp : (x1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y p )T hat Rang p in ϕ(x0 ) = 0. OEdA sei ∂y i det (0) 6= 0 (sonst Umordnung der Koordinaten x1 , · · · , xn , d.h. Verwen∂xj i=1,··· ,p j=1,··· ,p dung eines anderen ϕ). Dann ist ψ : V −→ Rn : (x1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y p , xp+1 , · · · , xn )T bei 0 C k und hat Rang n. Nach SIF (S. 4) ist dann ψ bei 0 bijektiv und ψ −1 ist auch C k bei 0. Also ist auch (ψ ◦ ϕ : U1 −→ V1 ) ∈ Amax f¨ ur ein U1 ⊂ U offen mit x0 ∈ U1 . Weiters gilt: f ◦ (ψ ◦ ϕ)−1 = f ◦ ϕ−1 ◦ ψ −1 : (y 1 , · · · , y p , xp+1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y p )T , d.h. f ◦ (ψ ◦ ϕ)−1 : V1 −→ Rp ist die Projektion auf die ersten p Koordinaten. Daher ist x1 ∈ U1 ∩ N ⇐⇒ x1 ∈ U1 , f (x1 ) = 0 ⇐⇒ x1 ∈ U1 , f ◦ (ψ ◦ ϕ)−1 ◦ (ψ ◦ ϕ)(x1 ) = 0 ⇐⇒ (ψ ◦ϕ)(x1 ) = (0, · · · , 0, xp+1 , · · · , xn ) mit geeigneten xp+1 , · · · , xn ∈ R ⇐⇒ (ψ ◦ϕ)(x1 ) ∈ V1 ∩ Rn−p . (Genaugenommen m¨ usste man noch durch eine Permutation die 0-en nach hinten bringen.) Also: (ψ ◦ ϕ)(U1 ∩ N ) = V1 ∩ Rn−p .  Bemerkung: F¨ ur die Behauptung des Satzes gen¨ ugt es auch, wenn N in der Umgebung ur ein C k fx mit Rgx fx = p). jeden Punktes x ∈ N sich durch fx−1 (0) darstellen l¨asst (f¨ Bsp.: M = Rn (mit Standardstruktur), f : M −→ R1 : x 7−→ |x|2 − 1, N = f −1 (0) =   ∂f ∂f , · · · , n = Rg(2x1 , · · · , 2xn ) = 1, da x 6= 0. Sn−1 3 x =⇒ Rgx f = Rg 1 ∂x ∂x n−1 ∞ Also ist S eine C -Untermannigfaltigkeit von Rn . Die induzierte C ∞ -Struktur ist dieselbe wie in S. 1, denn wenn U := {x ∈ Rn : xj > 0} f¨ ur ein j ∈ {1, · · · , n}, so ist n−1 1 j−1 j+1 ϕ : U −→ V ⊂ R × (−1, ∞) : x 7−→ (x , · · · , x , x , · · · , xn , |x|2 − 1)T eine Karte n auf R und ϕ(U ∩ N ) = V ∩ Rn−1 . Die Karte ϕ U ∩N der induzierten C ∞ -Struktur ist ¨ 1.8, S. 14). Daher nennen wir diese gerade ϕj,+ von S. 1. Analog f¨ ur ϕj,− . (Vgl. auch Ub. ∞ n−1 C -Struktur auf S auch Standardstruktur auf Sn−1 . 7

Hilfssatz: M C k -Mannigfaltigkeit, N ⊂ M p-dimensonale C k -Untermannigfaltigkeit (mit induzierter Struktur). Dann ist die Inklusionsabbildung i : N ,→ M C k und hat u ¨berall Rang p. Beweis: In Koordinaten entsprechend der Definition in S. 6 gilt i = (x1 , · · · , xp )T − 7 → 1 p T k (x , · · · , x , 0, · · · , 0) . Das ist C und hat Rang p.  Bemerkung: Die Umkehrung“ gilt leider nicht, siehe unten. ” Def.: M sei n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, N p-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, f : N −→ M C k , k ≥ 1. 1) f heißt Immersion :⇐⇒ ∀x ∈ N : Rgx f = p.

2) f heißt Einbettung :⇐⇒ (i) f Immersion, (ii) f injektiv. 3) f heißt regul¨are Einbettung :⇐⇒ (i) f Einbettung, (ii) f (N ) C k -Untermannigfaltigkeit von M.

Bemerkung: Manche Autoren haben einen anderen Sprachgebrauch. Unsere Untermannigfaltigkeit heißt dort regul¨are Untermannigfaltigkeit“ oder eingebettete Unter” ” mannigfaltigkeit“, w¨ahrend mit Untermannigfaltigkeit“ das Bild f (N ) einer Einbettung ” f : N −→ M bezeichnet wird.   cos x 1 Bsp.: 1) f : R −→ S : x 7−→ ist eine Immersion, aber keine Einbettung. sin x 2) Beispiele nicht regul¨arer Einbettungen sind die entsprechend dem Bild in S. 7 parametrisierten Lemniskaten oder der folgende Teil eines Cartesischen Blattes: T  3t2 3t 2 f : (−1, ∞) −→ R : t 7−→ , , 1 + t3 1 + t3 Bild:

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3) A1 = {id : R −→ R}, A2 = {x3 : R −→ R}, f : R, [A1 ] −→ R, [A2 ] : x 7−→ x ist C ∞ und bijektiv, aber keine Immersion, da Rg0 f = 0. 4) Die stereographische Projektion   1 2x · P : R −→ S : x 7−→ 2 |x|2 − 1 |x| + 1 n

n

ist eine regul¨are Einbettung. Bild:

|x|2 −1

1 |x|2 +1 (Beachte, dass = .) |x| |x| − |x|2|x| 2 +1

Denn: a) P injektiv:  P(x 1 ) = P (x2 ) =⇒ |x1 | = |x2 | =⇒ x1 = x2 .   0       ..   u . n n b) P (R ) = S \   , denn: ∈ Sn , u ∈ Rn , v ∈ R1 , |u|2 + v 2 = 1, v 6= 1 =⇒ v     0     1   T      |u|2 − (1 − v)2 2uT (1 − v) u u = = , . P 2 2 2 2 v 1−v |u| + (1 − v) |u| + (1 − v) Also ist P (Rn ) ⊂ Sn offen und damit eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Sn . c) P hat u ur |x| 6= 1 nachgepr¨ uft. Dann liegt P (x) in ¨berall Rang n. Dies werde z.B. f¨ 2x Un+1,± und in den Karten ϕn+1,± (vgl. S. 1) gilt P : x 7−→ =: y. |x|2 + 1  i ∂y muss rotationsinvariant sein (denn f¨ ur A : Rn −→ Rn orthogonal, ist det ∂xj
i ∂ y(Ax) ∂y i y(Ax) = Ay(x) =⇒ = (Ax) · akj . j k ∂x ∂x
i k k ∂ Ay(x) ∂y i j i ∂y i ∂y = a (x) =⇒ (Ax) = b a (x), wobei A−1 = (bij ) =⇒ k l k j j l j ∂x ∂x ∂x ∂x  i  i ∂y ∂y (Ax) = det (x)) und folglich gilt det j j ∂x i   ∂x 
∂y ∂y i det (x) = det |x|, 0, · · · , 0 = ∂xj ∂xj 9



1 − |x|2 2 0
2   |x|2 + 1
−1  0 2 |x|2 + 1 = det   ..  ... . 



···

2 |x|2 + 1


−1

  2   = 2n · 1 − |x|
n+1 6= 0.  |x|2 + 1  

F¨ ur |x| = 1 wird eine Karte ϕj,± verwendet. Dies ist etwas m¨ uhsamer.

Hilfssatz: M, [A] , N, [B] m- bzw. p-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k≥ 1,

f : N −→ M regul¨are Einbettung. Dann ist f1 : N, [B] −→ f (N ), [A] f (N ) ein C k -Diffeomorphismus. Beweis: Es sei x0 ∈ N, (ϕ
: U −→ V ) ∈ B mit x0 ∈ U, (ψ : U1 −→ V1 ) ∈ Amax mit f (x0 ) ∈ U1 und ψ f (N ) ∩ U1 = V1 ∩ Rq , q = dim f (N ). OEdA f (U ) ⊂ U1 . In den Karten ϕ
und ψ ist f gegeben durch f : (x1 , · · · , xp ) 7−→ (y 1 , · · · , y q , 0, · · · , 0). Da ψ f (N ) ∩ U1 = V1 ∩ Rq , ist f1 : (x1 , · · · , xp ) 7−→ (y 1 , · · · , y q ) bei ϕ(x0 ) C k und injektiv und hat Rang p (weil f Einbettung) =⇒ p ≤ q. Weil N eine abz¨ahlbare Basis ∞
S f (Wj ), Wj Kartengebiet in N. der Topologie hat, ist f (N ) ∩ U1 = f f −1 (U1 ) = j=1




∞
S W¨are p < q, so h¨atten ψ f (Wj ) und daher auch V1 ∩ Rq = ψ f (Wj ) Lebesguemaß j=1
−1 k 0. Also ist p = q und nach SIF f1 C bei ψ f (x0 ) . Somit ist f1 ein Diffeomorphismus. 

Def.: G Liegruppe, H ≤ G Untergruppe. H heißt Lieuntergruppe :⇐⇒ H ist C ∞ Untermannigfaltigkeit von G. Hilfssatz: Eine Lieuntergruppe ist mit der induzierten Mannigfaltigkeitsstruktur eine Liegruppe. Beweis: Zu zeigen ist, dass f : H × H −→ H : (x, y) 7−→ xy −1 C ∞ ist. Wenn man
Koordinaten wie in der Definition in S. 6 w¨ahlt, so gilt: f : (x1 , · · · , xp ), (y 1 , · · · , y p ) 7−→ (z 1 , · · · , z p ), wobei z 1 (x, y), · · · , z p (x, y) die ersten p Komponenten der Koordinatendarstellung von F : G × G −→ G : (x, y) 7−→ xy −1 sind.  Bsp.: 1)R V n-dimensionaler Vektorraum, det : glR (V ) −→ R hat Rang 1 in jedem
∂det A ∈ GlR (V ), denn in Koordinaten A = (aij ) gilt (A) = (Aad )ji und Aad = 0 ⇐⇒ i ∂aj Rg (A) ≤ n − 2 =⇒ A ∈ 6 Gl (V ). R  Also ist SlR (V ) := A ∈ glR (V ) : det A = 1 eine (n2 − 1)-dimensionale Lieuntergruppe von GlR (V ). 10

2) R V sei n-dimensionaler euklidischer Vektorraum mit innerem Produkt h , i.  -dimensionale OR (V ) := A ∈ GlR (V ) : ∀x, y ∈ V : hx, yi = hAx, Ayi ist eine n(n−1) 2 Lieuntergruppe von GlR (V ). T ∗ Beweis: AT : x∗ 7−→ x 7−→
Wenn A ∈ glR (V ), so ist A ∗ ∈ glR (V ) definiert durch
∗ ∗ x (Ax) . Verm¨oge h , i wird V mit V identifiziert: V −→V ˜ : x 7−→ y 7−→ hx, yi . Dann erhalten wir ATneu ∈ glR (V ) definiert durch ∀x, y ∈ V : hx, Ayi = hAT x, yi. Wenn auf V und glR (V ) Koordinaten mit einer ONB-Basis gew¨ahlt werden, so ist A = (aij ), AT = (bij ) mit ∀i, j : bij = aji . (Sonst bij = akl · gkj g il , siehe sp¨ater). A ∈ OR (V ) ⇐⇒ AT A = I ⇐⇒ ∀i, k : bij · ajk = δki . Es sei f = (fki )1≤i≤k≤n : glR (V ) −→ Rn(n+1)/2 , wobei ∀i ≤ k : fki (A) = bij · ajk − δki = n
P aji · ajk − δki . j=1

n(n + 1) Zu zeigen ist also: ∀A ∈ OR (V ) : RgA f = . 2  0 : i 6= l, k 6= l,    i m ∂fk ak : i = l 6= k, ∀i, k, m, l : m = m : k = l 6= i, a  ∂al   im 2al : i = k = l.  i ∂fk × n2 -Matrix. ist eine n(n+1) 2 ∂am 1≤i≤k≤n l 1≤m,l≤n

n(n + 1) Ihr Rang ist < ⇐⇒ die 2

n(n+1) 2

n × n-Matrizen



∂fki ∂am l



1≤m,l≤n

, 1 ≤ i ≤ k ≤ n,

sind linear abh¨angig ⇐⇒ ∃cki ∈ R, 1 ≤ i ≤ k ≤ n, nicht alle 0 : ∀m, l : Die letzte Gleichung ergibt:

n P

k=l+1

k am k ·cl +

l−1 P

∂fki k · ci = 0. ∂am l

m l l am i ·ci +2 al · cl = 0, ∀m, l ⇐⇒ A·D = 0, | {z } i=1 nicht

summieren!  k c : 1 ≤ l < k ≤ n,  l l k 2c (nicht summieren) : l = k, wobei dl =  ll ck : 1 ≤ k < l ≤ n. Wenn A ∈ GlR (V ), folgt daraus D = 0, i.e. ∀i, k : cki = 0. n(n + 1) f¨ ur A ∈ GlR (V ) ⊃ OR (V ).  Somit ist RgA f = 2 3) R V wie in 2); SOR (V ) := OR (V ) ∩ SlR (V ) ⊂ OR (V ) offen, da det A ∈ {+1, −1} -dimensionale Lieuntergruppe von f¨ ur A ∈ OR (V ) =⇒ SOR (V ) ist auch eine n(n−1) 2 GlR (V ). Bezeichnungen: Wenn V = Rn mit Standardskalarprodukt, dann schreibe ich gln (R) statt glR (V ), und analog sind Gln (R), Sln (R), On (R), SOn (R) zu verstehen.

11

¨ Ubungen ¨ 1.1 a) Es sei S := Rn ∪{∞} ˙ mit folgender Topologie: Ub. U ⊂ S offen: ⇐⇒ (U ⊂ Rn offen) ∨ (S\U ⊂ Rn kompakt). Zeige, dass S eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist.  b) Zeige, dass A = id : Rn −→ Rn , ϕ : S\{0} −→ Rn mit  
0 : x=∞ ϕ : x 7−→ ein C ∞ -Atlas auf S ist, und dass S, [A] diffeox : sonst |x|2 n morph zu S (mit der Standardstruktur) ist. Hinweis: Verwende die stereographische Projektion.
¨ 1.2 Es sei f : Sn −→ Pn : x 7−→ [x] (vgl. S. 5) und g : Pn −→ M, M, [A] C k Ub. Mannigfaltigkeit. Zeige: g C k ⇐⇒ g ◦ f Ck. ur j ∈ {1, · · · , n + 1} und Hinweis: Zeige zuerst, dass f Uj, : Uj, −→ f (Uj, ) f¨  ∈ {+, −} Diffeomorphismen sind.

¨ 1.3 Es sei X = (3, 5)×{0, 1} ⊂ R2 und auf X die Relation (a, b)R(c, d) :⇐⇒ a = c > 4 Ub. gegeben. X trage die Spurtopologie von R2 und Y := X/R die Quotiententopologie. Zeige, dass Y (ii) und (iii), nicht aber (i) in der Definition einer eindimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit erf¨ ullt. Hinweis: Zeige, dass die Projektion p : X −→ Y offen ist und dass p (3,5)×{i} , i ∈ {0, 1}, Hom¨oomorphismen auf die jeweiligen Bilder sind.  T t(1 + t2 ) t(1 − t2 ) 2 ¨ Ub. 1.4 a) Zeige, dass f± : R −→ R : t 7−→ C ∞ -Einbettungen ,± 1 + t4 n 1 + t4 o
x 2 2 2 2 2 2 ∈ R : (x + y ) = x − y sind, die als Bild beide die Lemniskate L = y haben. b) Zeige, dass L in der Spurtopologie keine topologische Mannigfaltigkeit ist. c) Zeige, dass die durch f+ und f− auf L u ¨bertragenen Topologien (und umso mehr ∞ die C -Strukturen) untereinander verschieden sind, und dass beide Topologien von der Spurtopologie verschieden sind. ¨ 1.5 a) Es werde R3 mit dem Standardskalarprodukt h−, −i und der StandardorientieUb. rung (und damit mit dem u ¨blichen ×-Produkt) betrachtet. Zeige, dass die Drehung Ax0 ,ϕ im R3 um die Achse λx0 , x0 ∈ R3 , |x0 | = 1, λ > 0, um den Winkel ϕ im Rechtsdrehsinn durch Ax0 ,ϕ x = x0 hx, x0 i(1 − cos ϕ) + x cos ϕ + x0 × x sin ϕ gegeben ist.

12


b) Mi , [Ai ] , i = 1, 2, seien C k -Mannigfaltigkeiten, k ≥ 1, N ⊂ M2 eine Untermannigfaltigkeit mit induzierter Struktur, f : M1 −→ N, f1 : M1 −→ M2 : x 7−→ f (x). Zeige: (f C k ⇐⇒ f1 C k ) und (∀x ∈ M1 : Rgx f = Rgx f1 ). Speziell: f Immersion ⇐⇒ f1 Immersion. 2

1

c) Zeige, dass f : S × S −→ SO3 (R) : (x0 , y0 ) 7−→ Ax0 ,ϕ , wobei y0 =

surjektiv und C ∞ ist. Wo ist Rg f < 3? F¨ ur welche xi , yi gilt f (x0 , y0 ) = f (x1 , y1 )?



 cos ϕ , sin ϕ

  0 Hinweis zu c): W¨ahle eine ONB im R3 , sodass x0 = 0 und betrachte f1 : 1 2 1 S × S −→ gl3 (R) entsprechend b). Verwende bei x0 die Karte ϕ3,+ und auf S1 den Winkel zur positiven x1 -Achse als Koordinate. ¨ 1.6 Es soll gezeigt werden, dass eine zusammenh¨angende 1-dimensionale C k -MannigUb.
faltigkeit M, [A] diffeomorph zu S1 oder zu R1 (mit den Standardstrukturen) ist. a) Zeige, dass es einen zu A ¨aquivalenten Atlas B = (ϕi : Ui −→ Vi ) : i ∈ I mit endlichem oder abz¨ahlbarem I gibt, sodass: (i) ∀i ∈ I : Vi ⊂ R offenes Intervall, (ii) ∀i ∈ I : Ui ⊂ M kompakt, (iii) ∀K ⊂ M kompakt: {i ∈ I : Ui ∩ K 6= ∅} ist endlich, (iv) ∀i ∈ I : ∃(ψi : Ui0 −→ Vi0 ) ∈ Amax mit Ui ⊂ Ui0 und ϕi = ψi Ui . b) Es sei B wie in a) und (ϕi : Ui −→ Vi ), (ϕj : Uj −→ Vj ) ∈ B. Wenn U := Ui ∩ Uj 6= ∅ und Ui 6⊂ Uj , Uj 6⊂ Ui , Vi = (a, b), Vj = (c, d) ⊂ R, dann gilt entweder n   (i) ∃a < α < b, ∃c < γ < d : ϕi (U ) = (a, α) ∨ ϕi (U ) = (α, b) ∧ ϕj (U ) = o (c, γ) ∨ ϕj (U ) = (γ, d) n   oder (ii) ∃a < α < β < b, ∃c < γ < δ < d : ϕi (U ) = (a, α) ∪ (β, b) ∧ ϕj (U ) = o (c, γ) ∪ (δ, d) . Hinweis: Wegen a) haben Ui und Uj jeweils 2 Randpunkte. c) Es sei (ii) in b) erf¨ ullt. Zeige, dass dann M = Ui ∪ Uj und M zu S1 diffeomorph ist. 3π Hinweis: Zeige, dass Ui ∪ Uj abgeschlossen ist. W¨ahle a = 0, b = , c = −π, d = 2 π und ¨andere ϕi so ab, dass es auf Ui ∩ Uj mit ϕj bzw. mit 2π + ϕj u ¨bereinstimmt. 2

13

 cos ϕλ (x) f¨ ur x ∈ Uλ , λ ∈ {i, j}. Setze dann f : M −→S ˜ : x 7−→ sin ϕλ (x)  d) Es sei B = (ϕi : Ui −→ Vi ) : i ∈ I wie in a) und I sei strikt geordnet, d.h. I = {1, · · · , N } oder I = N. Definiere k(1) := 1, k(2) := min{i ∈ I : Ui 6= Ui ∩ Uk(1) 6= ∅}, · · · , k(n + 1) :=  min i ∈ I : Ui 6= U i ∩ (Uk(1) ∪ · · · ∪ Uk(n) ) 6= ∅ , · · · . Zeige, dass B0 := (ϕk(i) : Uk(i) −→ Vk(i) ) : i = 1, 2, · · · ein zu B a¨quivalenter Atlas ist. 1



e) Nehme an, dass M nicht diffeomorph zu S1 ist. Zeige, dass M diffeomorph zu R1 ist. := := ϕk(1) , · · · , ψ U Hinweis: Definiere ψ : M −→R ˜ 1 rekursiv durch ψ U k(n+1) k(1) ϕk(n+1) nach Ab¨anderung von ϕk(n+1) auf Uk(n+1) ∩ (Uk(1) ∪ · · · ∪ Uk(n) ). Verwende hier, dass b) (i) gilt. ¨ 1.7 Es sei Gn,k := {V ≤ Rn k-dimensionaler Untervektorraum} f¨ Ub. ur k ∈ {0, · · · , n}.  n−1 n (Offenbar ist Gn,0 = {0} , Gn,1 = P , Gn,n = {R }.) Weiters sei Fn,k :=  (x1 , · · · , xk ) : {x1 , · · · , xk } ⊂ Rn linear unabh¨angig und p : Fn,k −→ Gn,k : (x1 , · · · , xk ) 7−→ R hx1 , · · · , xk i.

a) Zeige, dass Fn,k ⊂ Rnk offen ist und dass Gn,k mit der Finaltopologie bzgl. p eine k · (n − k)-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist. Verwende dazu die folgenden Hom¨oomorphismen: 0 Es sei j = (j1 , · · · , jk ) ∈ Nk , 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, 1 ≤ j10 < · · · < jn−k ≤  j 0 0 l n, {1, · · · , n} = {j1 , · · · , jk , j1 , · · · , jn−k }, Uj := x ∈ Fn,k : det (xi ) i=1,··· ,k 6= 0 , l=1,··· ,k   j0 −1 j10 j1 1 x1 · · · x k x1 · · · xjk1    . ··· ··· ϕj : p(Uj )−→R ˜ k(n−k) : hx1 , · · · , xk i 7−→   0 0 jk jk jn−k jn−k x1 · · · x k x1 · · · x k  b) Zeige, dass durch ϕj : p(Uj ) −→ Rk(n−k) : 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n ein C ∞ -Atlas auf Gn,k gegeben ist. (Gn,k mit dieser C ∞ -Struktur heißt Grassmann-Mannigfaltigkeit.)  ¨ 1.8 Es sei N ⊂ M eine C k -Untermannigfaltigkeit, k ≥ 1 und A = (ϕi : Ui −→ Vi ) : Ub. i ∈ I eine Menge ∀i ∈ I : Ui ⊂ N offen, Vi ⊂ Rn offen, S von Abbildungen mit (i) −1 Ui = N ; (iii) ∀i ∈ I : ϕi : Vi −→ M ist C k -Immersion. ϕi bijektiv; (ii) i=I

¨ Zeige, dass dann A ein C k -Atlas auf N ist, dessen Aquivalenzklasse die von M induzierte Struktur ist. Hinweis: Beachte den Hilfssatz in S. 10. 14

 ¨ 1.9 Es sei X := (cos(2ϑ), sin(2ϑ), u cos ϑ, u sin ϑ)T ∈ R4 : u, ϑ ∈ R . Ub. 4 a) Zeige, dassXeine Untermannigfaltigkeit  von R ist.  r r cos 2ϑ v    r sin 2ϑ    Hinweis: ψ :  ur r 6= 0 lokal diffeomorph. u 7−→ u cos ϑ − v sin ϑ ist f¨ ϑ u sin ϑ + v cos ϑ

¨ b) Zeige, dass die induzierte C ∞ -Mannigfaltigkeitsstruktur die Aquivalenzklasse −1 −1 ∞ des C
-Atlas {ϕ1 , ϕ2 } ist, wobei ϕ1 : (0, π) × R −→ im (ϕ1 ) ⊂ X, ϕ−1 : 2 −1 −1 π π T − 2 , 2 ×R −→ im (ϕ2 ) ⊂ X mit ϕj (ϑ, u) = cos(2ϑ), sin(2ϑ), u cos ϑ, u sin ϑ) . (X heißt M¨obius-Band.)

¨ 1.10 Seien M, [A] , N, [B] C k -Mannigfaltigkeiten, k ≥ 1, und f : N −→ M eine EinUb. f −1

bettung und f (N ) −→ N stetig. Zeige, dass dann f (N ) eine C k -Untermannigfaltigkeit von M ist, d.h. f eine regul¨are Einbettung ist.

15

§2

Tangentialvektoren und Vektorfelder


Definition und Hilfssatz: M, [A] n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, x0 ∈ M, W ⊂ R offen, 0 ∈ W. 1) x(t) : W −→ M C k mit x(0) = x0 heißt C k -Kurve durch x0 . (Zur Unterscheidung von Punkten x ∈ M schreibe ich x(t) f¨ ur Kurven, obwohl prinzipiell das Symbol x gen¨ ugen w¨ urde.) 2) x(t), y(t) C k -Kurven bei x0 . x(t), y(t) heißen tangential in x0 :⇐⇒ ∃(∀)(ϕ : U −→ d .) V ) ∈ A mit x0 ∈ U : (ϕ ◦ x)0 (0) = (ϕ ◦ y)0 (0) ∈ Rn . (0 steht hier f¨ ur dt ¨ ¨ 3) Die Menge der Aquivalenzklassen von C k -Kurven durch x0 bez¨ uglich der Aquivalenzrelation tangential in x0“ heißt Tangentialraum an M in x0 bzw. Tx0 M . ” ¨ Wenn [−]nwieder einmal die Aquivalenzklassen o bezeichnet, so ist also   k Tx0 M = x(t) : x(t) C -Kurve durch x0 . (Wegen ∃ ⇐⇒ ∀ in 2) h¨angt Tx0 M nur von der C k -Struktur [A], nicht vom speziellen Atlas A ab.)

Beweis von ∃ ⇐⇒ ∀ in 2): (ψ : U1 −→ V1 ) ∈ A mit x0 ∈ U1 , A := Jacobi-Matrix von ψ ◦ ϕ−1 in ϕ(x0 ) =⇒ (Kettenregel) (ψ ◦ x)0 (0) = (ψ ◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ x)0 (0) = A · (ϕ ◦ x)0 (0) = A · (ϕ ◦ y)0 (0) = (ebenso) = (ψ ◦ y)0 (0), wenn x(t), y(t) tangential sind. 
Hilfssatz und Definition: M, [A] n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, (ϕ : U −→ V ) ∈ A, x0 ∈ U.   1) Tx0 ϕ : Tx0 M −→ Rn : x(t) −→ (ϕ ◦ x)0 (0) ist bijektiv.

2) Wir betrachten Tx0 M als R-Vektorraum so, dass ∃(∀)(ϕ : U −→ V ) ∈ A mit x0 ∈ U : Tx0 ϕ R-Vektorraum-Isomorphismus. (Wegen (∃ ⇐⇒ ∀) ist die Vektorraumstruktur unabh¨angig von der Wahl von ϕ.)

Beweis: 1) Tx0 ϕ ist wohldefiniert und injektiv nach Definition. Wenn ξ ∈ Rn , so ist
ur ein  > 0 wohldefiniert, C k , und x(t) : (−, ) −→ M : t 7−→ ϕ−1 ϕ(x0 ) + ξt f¨   Tx0 ϕ x(t) = ξ. Also ist Tx0 ϕ auch bijektiv.

2) Wenn (ψ : U1 −→ V1 ) eine weitere C k -Karte mit x0 ∈ U1 ist und A := JacobiMatrix von ψ ◦ ϕ−1 in ϕ(x0 ), so gilt f¨ ur eine C k -Kurve x(t) durch x0 : (ψ ◦ x)0 (0) = A · (ϕ ◦ x)0 (0), d.h. Tx0 ψ = A ◦ Tx0 ϕ. Daher gilt: Tx0 ϕ linear ⇐⇒ Tx0 ψ linear. Also ist die R-Vektorraumstruktur von der Wahl der Karte ϕ unabh¨angig. 

16

1 n T Notation: ϕ : U −→ V : x 7−→ eine Karte (in A) mit x0 ∈ U (vgl.    (x  , · · · , x ) sei 0 1  ..   0     S. 3 f¨ ur die Schreibweise). e1 =  ..  , · · · , en =  .  sei die Standardbasis im Rn . 0  . 1 0 ∂ := (Tx0 ϕ)−1 (ej ) ∈ Tx0 M f¨ Man definiert ur j ∈ {1, · · · , n}. (Manchmal schreibe ich j ∂x   ∂ genauer .) ∂xj x0 ∂ ∂ , · · · , n eine Basis in Tx0 M. F¨ ur j ∈ {1, · · · , n} ist Nach dem letzten Hilfssatz ist 1 ∂x ∂x     ∂ ¨ die Aquivalenzklasse x(t) aller C k -Kurven durch x0 f¨ ur die (ϕ◦x)0 (0) = ej also ∂xj x0
gilt. Eine spezielle solche Kurve ist z.B. die Koordinatenlinie“ t 7−→ ϕ−1 ϕ(x0 ) + tej . ” ∂ h¨angt von der gesamten Karte ϕ ab und ¨andert seine Be(Vorsicht: Das Symbol ∂xj deutung auch dann, wenn sich nur x1 , · · · , xj−1 , xj+1 , · · · , xn ¨andern. Das ist ebenso wie ∂ bei den partiellen Ableitungen, und als solche wird in S. 20 interpretiert.) ∂xj

Wenn v ∈ Tx0 M und (Tx0 ϕ)(v) = (v 1 , · · · , v n )T = v j ej ∈ Rn , so ist h
i ∂ v = v j j = ϕ−1 ϕ(x0 ) + tv j ej . ∂x 0 0 Wenn ψ : U1 −→ V1 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T eine urlich C k ) mit x0 ∈ U1  Karte (nat¨  zweite i0
∂x ϕ(x ) , so gilt: ist, und A :=(Jacobi-Matrix von ψ ◦ ϕ−1 ) = 0 ∂xj i,j=1,··· ,n ∂ = (Tx0 ϕ)−1 (ej ) = (A−1 Tx0 ψ)−1 (ej ) = (Tx0 ψ)−1 (Aej ) = ∂xj  i0  0 ∂ ∂xi −1 ∂x = (Tx0 ψ) ei = · i0 . j j ∂x ∂x ∂x i0 ∂x ∂ ∂ = · i0 , wie wenn man formal k¨ urzen w¨ urde. Also: j j ∂x  ∂x  ∂x   0
∂xi ∂ ∂ ϕ(x0 ) · (Genauer: = .) j j ∂x x0 ∂x ∂xi0 x0 0 i0 ∂xi ∂ ∂ i0 ∂ i0 j ∂x = v mit v = v . Allgemein: v = v j j ∈ Tx0 M =⇒ v = v j j ∂x ∂x ∂xi0 ∂xi0 ∂xj In der Physik fasst man manchmal einen Tangentialvektor v als einen von der Karte i0 1 n T n i0 j ∂x abh¨angigen Vektor (v , · · · , v ) ∈ R auf, so dass bei Kartenwechsel gilt v = v . ∂xj Redeweise: Der Vektor transformiert sich kontravariant“. ” 17

Bsp.: 1) V n-dimensonaler R-Vektorraum mit x0 ∈ V. Dann kann  Standardstruktur,  man Tx0 V mit V identifizieren: Tx0 V −→V ˜ : x(t) 7−→ x0 (0) ∈ V. Bildlich wird v ∈ Tx0 V als Vektor in x0 dargestellt. Speziell f¨ ur V = Rn heißt das:  mit Anfangspunkt  ∂ Tx0 Rn −→R ˜ n : v i i 7−→ (v 1 , · · · , v n )T . (Oder allgemeiner, in einer linearen Karte ∂x ϕ bzgl. einer Basis e1 , · · · , en ∈ V, d.h. ϕ : V −→ Rn : v i ei 7−→ (v 1 , · · · , v n )T ist dann ∂ Tx0 V −→V ˜ : v i i 7−→ v i ei .) ∂x 2) N ⊂ M Untermannigfaltigkeit, x0 ∈ N. Da C k -Kurven auf N durch x0 auch solche   auf M sind und x(t), y(t) tangential in x0 auf N ⇐⇒ detto auf M , erhalten wir eine injektive lineare Abbildung Tx0 N ,→ Tx0 M. Im Fall x0 ∈ N ⊂ Rn Untermannigfaltigkeit ergibt sich der u ¨bliche Tangentialraum, wenn man Tx0 N parallel nach x0 verschiebt. Speziell, wenn x0 ∈ U ⊂ M offen, so ist Tx0 U = Tx0 M.   r sin ϑ cos ϕ 3) Die Kugelkoordinaten ψ : R3 −→ R3 : (r, ϑ, ϕ)T 7−→  r sin ϑ sin ϕ  liefern die C ∞ r cos ϑ −1 3 2 1 Karte ψ : U := {x ∈ R : x 6= 0 oder x > 0} ' (0, ∞) × (0, π) × (−π, π) auf M = R3 . ∂ ∂ ∂ ∂ Wenn x0 ∈ U und v ∈ Tx0 R3 , v = v i i , so gilt bzgl. ψ −1 : v = vr + vϑ + vϕ . ∂x ∂r ∂ϑ ∂ϕ Die Umrechnung geschieht entweder mit der Jacobi-Matrix, d.h. 3 v j xj P ∂xi ∂ xi0 ∂ ∂ 0 j ∂r = (x0 ) i = etc., vr = v (x0 ) = etc., i j ∂r ∂r ∂x r0 ∂x ∂x j=1 r0 ∂ ¨ ist die Aquivalenzklasse des Weges ψ(r0 +t, ϑ0 , ϕ0 ), wenn ψ −1 (x0 ) = oder geometrisch: ∂r "  # xi ∂ t ∂ = 0 etc. = x0 1 + (r0 , ϑ0 , ϕ0 )T =⇒ ∂r r0 r0 ∂xi 4) Es sei M = S2 , x0 ∈ U3,+ ∩ U1,+ . Wir wollen die Karten ϕ3,+ : (x1 , x2 , x3 )T 7−→ 0 0 (x1 , x2 )T und ϕ1,+ : (x1 , x2 , x3 )T 7−→ (x2 , x3 )T =: (x1 , x2 )T vergleichen. Zun¨achst zu p  
T ∂ ϕ3,+ . Dann ist 1 = x(t) ∈ Tx0 S2 , wobei x : t 7−→ x10 +t, x20 , 1 − (x10 + t)2 − (x20 )2 ∈ ∂x S2 . Wenn wir S2 ⊂ R3 als Untermannigfaltigkeit auffassen und Tx0 S2 ⊂ Tx0 R3 ' R3 wie  T  T ∂ x10 x20 ∂ und ebenso ur die in 1), 2) so gilt also = 1, 0, − 3 = 0, 1, − 3 . F¨ ∂x1 x ∂x2 x T T 0  20  3 ∂ x x ∂ Karte ϕ1,+ folgt ebenso − 10 , 1, 0 , − 01 , 0, 1 . Beachte, dass 0 = 0 = 1 2 ∂x x0 ∂x x0 ∂ ∂ ∂ 0 6= , da von der gesamten Karte abh¨angt. zwar x1 = x2 , aber ∂x10 ∂x2 ∂xi
Def.: M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, x0 ∈ M, x0 ∈ U1 , U2 ⊂ M offen, fi : Ui −→ R C k . 1) f1 , f2 stimmen bei x0 u ¨berein :⇐⇒ ∃U ⊂ U1 ∩ U2 offen mit x0 ∈ U : f1 = f2 . U

18

U

¨ ¨ 2) Eine Aquivalenzklasse bzgl. der Aquivalenzrelation in 1) heißt C k -Funktionskeim in x0 und wird (wieder einmal) mit [−] bezeichnet. k k +  -Funktionskeime in x0 } ist eine R-Algebra (wobei λ[f1 ] . µ[f2 ] = Cx0 (M ) := {C ur λ, µ ∈ R, U := U1 ∩ U2 ). (λf1 +. µf2 ) U f¨

3) D : Cxk0 (M ) −→ R heißt Derivation
(in x0 ) :⇐⇒
(i) D linear,
(ii) ∀[f ], [g] ∈ Cxk0 (M ) : D [f ] · [g] = f (x0 )D [g] + g(x0 )D [f ] . Derx0 (M ) := {D Derivation} ist ein R-Vektorraum.
Hilfssatz: M, [A] C ∞ -Mannigfaltigkeit,  x0 ∈ M.
Dann ist F : Tx0 (M ) −→ Derx0 (M ) : x(t) 7−→ [f ] 7−→ (f ◦ x)0 (0) ein VektorraumIsomorphismus.

Beweis: a) F ist wohldefiniert, denn in Koordinaten ϕ : x 7−→ (xi ) gilt:    
d(ϕ ◦ x1 )i ∂(f ◦ ϕ−1 ) α) [f ] = [g], x1 (t) = x2 (t) =⇒ (f ◦ x1 )0 (0) = ϕ(x ) · (0) = 0 ∂xi dt
d(ϕ ◦ x2 )i ∂(g ◦ ϕ−1 ) ϕ(x ) · (0) = (g ◦ x2 )0 (0) nach der Kettenregel und da = 0 ∂xi dt 
 ∂(f ◦ ϕ−1 ) 0 0 ϕ(x ) schreibt man (ϕ ◦ x1 ) (0) = (ϕ ◦ x2 ) (0) = (Tx0 ϕ) xi (t) . F¨ ur 0 ∂xi ∂f (schlampigerweise) einfach (x0 ). ∂xi   !
∂f ∂ [f ] = Mit dieser Schreibweise gilt dann F (x0 ), denn nach S. 17 ist j ∂x x0 ∂xj   d(ϕ ◦ x) ∂ = x(t) mit (0) = ej . j ∂x dt
0
0 β) (f · g) ◦ x (0) = (f ◦ x)  · (g ◦ x) (0) = f (x0 )(g ◦ x)0 (0) + g(x0 ) · (f ◦ x)0 (0) nach der   Produktregel =⇒ F x(t) ∈ Derx0 (M ). 




∂f [f ] = v i i (x0 ), vgl. a). ∂x  
j j i ∂ [x ] = v j und somit c) F ist injektiv, denn speziell f¨ ur f = x gilt F v i ∂x   ∂ i ∂ = 0 ⇐⇒ v i i = 0. F v i ∂x ∂x ∂ b) F ist linear, da F v ∂xi i

d) F ist surjektiv: Es sei D ∈ Derx0 (M ), [f ] ∈ Cx∞0 (M ), f : U −→ R. In Koordinaten ist f (x1 , · · · , xn ) = Z1
d = f (x0 ) + f x10 + t(x1 − x10 ), · · · , xn0 + t(xn − xn0 ) dt = dt 0

19

Z1


∂f 1 x0 + t(x1 − x10 ), · · · , xn0 + t(xn − xn0 ) dt . i ∂x 0 | {z } gi (x) C ∞ bei x0



Wenn 1 die konstante Funktion ist, so ist D [1] = D [1] · [1] = D[1] + D [1] =⇒  

    =⇒ D [1] = 0 =⇒ D [f ] = D f (x0 ) + D [xi − xi0 ] · gi (x) =  


∂f i i i i ∂ = 0 + gi (x0 )D [x − x0 ] = (x ) · D [x ] = F v [f ] , 0 i i ∂x ∂x
wenn v i := D [xi ] ∈ R, i = 1, · · · , n.  = f (x0 ) + (xi − xi0 )

∂ also ihre ∂xj u ¨bliche Bedeutung einer partiellen Ableitung, vgl. die Formel  in a) des Beweises. In  ∂ ∂ .) . (Genauer: (∂i )x0 = Zukunft schreibe ich auch ∂i := ∂xi ∂xi x0 Bemerkung: Als Derivationen aufgefasst, haben die Tangentialvektoren

Hilfssatz: M Menge, I beliebige Indexmenge, A = {ϕi : Ui −→ Vi : i ∈ I} erf¨ ulle S (i) (∀i ∈ I : Ui ⊂ M ) und ( Ui = M ), I1 ⊂ I abz¨ahlbar; i∈I1

(ii) ∀i ∈ I : Vi ⊂ Rn offen;

(iii) ∀i ∈ I : ϕi bijektiv; (iv) ∀x 6= y ∈ M : (∃i ∈ I : x, y ∈ Ui ) ∨ (∃i, j ∈ I : x ∈ Ui , y ∈ Uj , Ui ∩ Uj = ∅); (v) ∀i, j ∈ I : Ui ∩ Uj 6= ∅ =⇒ ϕi ◦ ϕ−1 : ϕj (Ui ∩ Uj ) −→ ϕi (Ui ∩ Uj ) ist ein j Hom¨oomorphismus von offenen Mengen. Ui trage die Initialtopologie bzgl. ϕi und es sei (U ⊂ M offen) :⇐⇒ (∀i ∈ I : U ∩Ui ⊂ Ui offen). Dann ist M eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit und A ein C 0 -Atlas auf M. S Beweis: a) Offenbar gilt (Uα ⊂ M offen, α ∈ A =⇒ Uα ⊂ M offen), (U, U 0 ⊂ M α∈A

offen ⇐⇒ U ∩ U 0 ⊂ M offen) und (∅, M ⊂ M offen). Also ist auf M eine Topologie erkl¨art. b) Ui, Sp sei Ui mit der von M induzierten Spurtopologie, Ui, Ini sei Ui mit der Initialtopologie bzgl. ϕi . Dann ist U ⊂ Ui, Sp offen ⇐⇒ U = W ∩ Ui , W ⊂ M offen =⇒ (nach Definition der Topologie auf M ) =⇒ U ⊂ Ui, Ini offen. Umgekehrt: U ⊂ Ui, Ini offen ⇐⇒ U = ϕ
−1 i (V ), V ⊂ Vi offen =⇒ ϕj (U ∩ Uj ) = −1 ⊂ ϕj (Ui ∩ Uj ) offen =⇒ ϕj (U ∩ Uj ) ⊂ Rn V ∩ ϕ (U ∩ U ) ϕj ϕ−1 ϕ (U ∩ U ) = ϕ ϕ i j i j j i i | {z i } ⊂Rn offen

20

offen =⇒ U ∩ Uj ⊂ Uj, Ini offen =⇒ U ⊂ M offen =⇒ U ⊂ Ui, Sp offen. Also ist Ui, Sp = Ui, Ini und Ui ⊂ M offen. Klarerweise ist dann M lokal euklidisch. c) M erf¨ ullt das 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom, da I1 endlich oder abz¨ahlbar ist und M ist Hausdorffsch wegen (iv). 
k Definition  und Hilfssatz: M, [A] C -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. T M := (x, v) : x ∈ M, v ∈ Tx M heißt Tangentialraum zu M . F¨ ur ϕ : U −→ V :
i n i 1 x 7−→ (x ) ∈ Amax sei T ϕ : T U −→ V × R : (x, v ∂i ) 7−→ (x , · · · , xn , v 1 , · · · , v n )T . Dann ist (i)–(v) oben erf¨ ullt und damit T M eine 2n-dimensionale topologische Mannigk−1 faltigkeit. Weiters ist B := {T ϕ : ϕ ∈
A} ein C -Atlas auf T M (∞ − 1 := ∞). k−1 Die C -Mannigfaltigkeit T M, [B] h¨angt nur von [A], nicht von A ab. p : T M −→ M : (x, v) 7−→ x heißt Projektionsabbildung. Beweis: Es gelten (i)–(v) des vorigen Hilfssatzes. 0 Speziell zu (v): ϕ1 : x 7−→ (xi ), ϕ2 : x 7−→ (xi ) seien 2 Karten in A mit U1 ∩ U2 6= ∅. Dann ist 0 0 0 0 T ϕ2 ◦ (T ϕ1 )−1 : (x1 , · · · , xn , v 1 , · · · , v n )T 7−→ (x, v i ∂i ) 7−→ (x1 , · · · , xn , v 1 , · · · , v n )T , 0 k wobei xi (x1 , · · · , xn ), d.h. die Komponenten von ϕ2 ◦ ϕ−1 1 , C sind und 0 ∂xi 0 v i = v j j (x1 , · · · , xn ) C k−1 sind. Daher ist B ein C k−1 -Atlas. ∂x Wenn A1 ⊂ A2 , so ist B1 ⊂ B2 . Also: [A1 ] = [A2 ] =⇒ [B1 ] = [B2 ].  Bemerkung: T M wird immer in dieser Weise als C k−1 -Mannigfaltigkeit aufgefasst. Bsp.: 1) V n-dimensionaler   R-Vektorraum. 
Dann ist T V −→V ˜ ×V : x0 , x(t) 7−→ x0 , x(0) ˙ ein C ∞ -Diffeomorphismus. (V ⊕V als Vektorraum mit Standardstruktur ergibt u ¨brigens dieselbe Mannigfaltigkeit wie V × V nach S. 5.)    
 2) F : T S1 −→ S1 ×R : x0 , x(t) 7−→ x0 , det x0 , x(0) ˙ ist ein C ∞ -Diffeomorphismus.   (Beachte, dass wie in S. 18 Tx0 S1 ⊂ Tx0 R2 ' R2 : x(t) 7−→ x(0), ˙ det ist die u ¨bliche Determinante auf R2 .) Denn z.B. in den Karten T ϕ2,+ und ϕ2,+ × id gilt: T U2,+ 6

(T ϕ2,+ )−1

F

- U 2,+ × R

ϕ2,+ × id ?

(−1, 1) × R

(−1, 1) × R

21



!!  v a √ , −a √ v 1 − a2 1 − a2

-

F

6



vgl. S. 18 

(a, v)

−v x0 , √ 1 − a2



?

 −v a, √ , 1 − a2

 a √ . Daher ist F in dieser Karte (und ebenso in den u wobei x0 = ¨brigen 3 1 − a2 Karten) C ∞ und bijektiv. F - 1 kommutiert und dass F auf den Außerdem gilt, dass S × R1 T S1 

@

p@

R @

S

1

pr1



Fasern“ Tx0 S1 linear ist. Diese Eigenschaften lassen sich mittels der Mannigfaltigkeits” struktur von T S1 allein nicht beschreiben. Daher:
Def.: M1 sei eine n1 -dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, M2 , [A2 ] eine n2 dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, n1 ≥ n2 , p : M1 −→ M2 stetig, surjektiv. 1) Ein C k -Atlas A1 auf M1 heißt Vektorraum-B¨ undelatlas bzgl. p :⇐⇒ (i) ∀(ϕ1 : U1 −→

−1 V1 ) ∈ A1 : U1 = p p(U1 ) und ∃ ϕ2 : p(U1 ) −→ V2 ∈ A2,max : V1 = V2 × Rn1 −n2 und ϕ1 U1 V1 (x1 , · · · , xn1 )T p

?

p(U1 )

pr1

ϕ2

?

- V 2

kommutiert;

?

(x1 , · · · , xn2 )T

0 (ii) ∀(ϕ1 : U1 −→ V1 ), (ψ1 : U10 −→ V10 ) ∈ A1 mit U1 ∩U10 6= ∅ : ψ1 ◦ϕ−1 1 : ϕ1 (U1 ∩U1 ) −→ ψ1 (U1 ∩U10 ) ist f¨ ur festes x1 , · · · , xn2 linear in den hinteren n1 −n2 Komponenten. (Beach0 0 0 0 −1 te, dass ψ1 ◦ϕ1 : (x1 , · · · , xn1 ) 7−→ (x1 , · · · , xn1 ), wobei x1 , · · · , xn2 nur von x1 , · · · , xn2 0 0 1 n2 abh¨angen, da (x1 , · · · , xn2 ) = ψ2 ◦ ϕ−1 ur ϕ2 , ψ2 wie in (i)). 2 (x , · · · , x ) f¨ 2) Wenn A1 wie in 1), so heißt ϕ ∈ A1 Vektorraumb¨ undelkarte. 3) Zwei Vektorraumb¨ undelatlanten A1 , A01 heißen ¨aquivalent :⇐⇒ A1 ∪ A01 Vektorraumb¨ undelatlas.   ¨ 4) M1 mit einer Aquivalenzklasse [A1 ] von Vektorraumb¨ undelatlanten heißt C k -Vektorraumb¨ undel bzgl. p.    undel und x0 ∈ M2 tr¨agt die Faser p−1 (x0 ) ka5) F¨ ur M1 , [A1 ] C k -Vektorraumb¨ ¨ nonisch die Struktur eines (n1 − n2 )-dimensionalen R-Vektorraums durch Ubertragung

22

 bzgl. ϕ1 p−1 (x0 ) : p−1 (x0 ) −→ ϕ2 (x0 ) × Rn1 −n2 , ϕ1 , ϕ2 wie in 1), (i).    n1 −n2 6) M2 ×R , [B] mit B := {ϕ×id : ϕ ∈ A2 } heißt triviales Vektorraumb¨ undel u ¨ber n1 −n2 n1 −n2 M2 mit Faser R . (F¨ ur p : M2 × R −→ M2 ist die Projektion zu nehmen.) 7) M1 bzw. N1 seien Vektorraumb¨ undel u ¨ber M2 bzw. N2 ; F1 : M1 −→ N1 C k heißt k C -Vektorraumb¨ undel-Homomorphismus :⇐⇒ (i) ∃F2 : M2 −→ N2 C k sodass M1

F1

p0

p

?

M2

- N 1

F2

?

kommutiert;

- N 2


0 (ii) ∀x0 ∈ M2 : F1 p−1 (x0 ) : p−1 (x0 ) −→ p −1 F2 (x0 ) ist R-linear (bzgl. der Vektorraumstruktur von 5)).

Bemerkung: Beachte, dass wegen 1) (i) p immer C k und offen ist.    k Bsp.: 1) Offenbar ist f¨ ur eine C -Mannigfaltigkeit M T M, [B] (mit B wie in S. 21)

ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel bzgl. p : T M −→ M. Es heißt Tangentialb¨ undel. 2) Das Bsp. 2) in S. 21 liefert einen Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus von T S1 mit dem trivialen B¨ undel S1 × R1 . n

3) Wenn p = pr1 : M1 = R2 −→ R1 = M2 , so sind A1 = {idR2 } und A01 = ϕ : R2 −→
o 2 1 2 1 2 R : (x , x ) 7−→ x , sinh (x ) 2 C ∞ -Vektorraumb¨ undelatlanten, die nicht ¨aquivalent ∞ 0 undel sind. Dennoch istdie C -Struktur [A1 ] = [A1 ]. (Auch sind die 2 Vektorraumb¨     0  2 2 R , [A1 ] und R , [A1 ] isomorph.)

4) Wir wollen das Tangentialb¨ undel von On (R) betrachten. Da On (R) ⊂ gln (R) eine Untermannigfaltigkeit ist (vgl. S. 11), k¨onnen wir f¨ ur A ∈ On (R) TA On (R) als Unterraum von gln (R) auffassen. B ∈ TA On (R) ⇐⇒ ∃A(t) : (−1, 1) −→ On (R) C ∞ mit A(0) = A, A0 (0) = B. d A(t) ∈ On (R) =⇒ A(t)T A(t) = I =⇒ dt anwenden, t = 0) =⇒ AT B + B T A = 0 =⇒ (AT B)T =−AT B. Es sei on (R) := C ∈ gln (R) : C T = −C . Dann ist AT B ∈ on , B ∈ A · on , d.h. TA On (R) ⊂ A · on (R). Hier gilt =, denn wenn C ∈ on (R), so setze ∞ Dn P eD := , eD1 · eD2 = eD1 +D2 falls D1 D2 = D2 D1 ; n=0 n!   T T A(t) := A · eCt =⇒ A(t)T A(t) = (eCt )T |A{z A} eCt = e(C +C)t = I und A(t) = A · C ∈ I

TA On (R).

23

Daher ist F : T On (R) −→ On (R)×on (R) : (A, B) 7−→ (A, AT B) jedenfalls wohldefiniert und bijektiv. F ist C ∞ , da es die Einschr¨ankung einer ebenso definierten C ∞ -Abbildung auf T gln (R) ist. Aus demselben Grunde ist auch F −1 : (A, C) 7−→ (A, AC) C ∞ . Also ¨ ist F ein C ∞ -Diffeomorphismus. Uberdies ist F offenbar ein C ∞ -Vektorraumb¨ undelIsomorphismus. Wie f¨ ur S1 ist auch f¨ ur On (R) das Tangentialb¨ undel isomorph zu einem trivialen B¨ undel und das liegt daran, dass beide Liegruppen sind (siehe S. 36). Def.: 1) p : M1 −→ M2 C k -Vektorraumb¨ undel. k s : M2 −→ M1 heißt Schnitt :⇐⇒ (i) s C (ii) p ◦ s = idM2 .
k 2) M, [A] C -Mannigfaltigkeit. Ein Schnitt des C k−1 -Vektorraumb¨ undels p : T M −→ M heißt Vektorfeld auf M . 1 T (M ) := {X Vektorfeld auf M }.   ∂ = (∂i )x0 bzgl. (ϕ : U −→ V ) ∈ A gilt also f¨ ur Bemerkung: In der Basis ∂xi x0 X ∈ T 1 (M ) : X(x0 ) = v i (x0 )(∂i )x0 , x0 ∈ U, wobei v i : U −→ R C k−1 . (Genaugenommen ist X(x0 ) = (x0 , v) mit v ∈ Tx0 M, aber man bezeichnet schlampigerweise die 2. Komponente v ebenfalls mit X(x0 ).) Bsp.: 1) M = Rn als C ∞ -Mannigfaltigkeit. X ∈ T 1 (Rn ) ⇐⇒ ∃(v 1 , · · · , v n ) : Rn −→ Rn C ∞ mit X(x) = v i (x)∂i . Hier braucht man nur die eine Karte id und kann daher die v i (x) global“ (d.h. auf ganz M ) definieren. ” 2) N ⊂ M C k -Untermannigfaltigkeit. Nach S. 18 ist f¨ ur x0 ∈ N Tx0 N ≤ Tx0 M. Daher gilt  T 1 (N )−→ ˜ X : N −→ T M C k−1 : ∀x0 ∈ N : X(x0 ) ∈ Tx0 N .

Speziell sei N = Sn ⊂ Rn+1 . Dann ist ein C k -Vektorfeld X auf Sn (mit der Standard C k+1 -Struktur) also gegeben Sn −→ Rn+1 C k mit ∀x0 ∈ Sn : X(x0 ) ⊥ x0 .  X :  durch − sin ϑ cos ϑ ein C ∞ -Vektorfeld. Eine andere Dar7−→ Z.B. ist X : S1 −→ R2 : cos ϑ sin ϑ d stellung von X ist X = in den Karten   dϑ   cos a cos ϑ 1 ϕa : S \ −→ (a, a + 2π) : 7−→ ϑ f¨ ur ϑ ∈ (a, a + 2π) denn in sin a   sin ϑ       d − sin ϑ0 cos ϑ0 cos a 0 −1 1 = ϕa (ϑ0 + t) (0) = . T x0 S , x 0 = 6= gilt cos ϑ0 sin ϑ0 sin a dϑ x0   d 1 6= 0. Beachte, dass ∀x0 ∈ S : X(x0 ) = dϑ x0 Der B¨ undelisomorphismus F : T S1 −→ S1 × R in S. 22 l¨asst sich auch so interpretie
ren: F x0 , vX(x0 ) = (x0 , v). Wie wir sp¨ater sehen werden, gibt es f¨ ur gerades n kein 1 n n X ∈ T (S ) mit ∀x0 ∈ S : X(x0 ) 6= 0 (vgl. S. 80). 24

Def.:


M, [A] C k -Mannigfaltigkeit.

1) C k (M ) := {f : M −→ R C k } ist eine kommutative R-Algebra mit (f +. g)(x) := f (x)+. g(x). 2) D : C k (M ) −→ C k−1 (M ) heißt Derivation (auf M ) :⇐⇒ (i) D R-linear, (ii) ∀f, g ∈ C k (M ) : D(f g) = f D(g) + gD(f ).  3) Der(M ) := D : C k (M ) −→ C k−1 (M ) Derivation ist ein C k−1 (M )-Modul mit der Definition (f D)(g) := f · D(g) ∈ C k−1 (M ). Bemerkung: So wie Tangentialvektoren Derivationen in x0 entsprechen (vgl. S. 19), so entsprechen den Vektorfeldern Derivationen auf M (zumindest f¨ ur k = ∞) :
Hilfssatz: M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1 in 1), k = ∞ in 2).

1) T 1 (M ) ist ein C k−1 (M )-Modul mit der Definition (f · X)(x0 ) := f (x0 )X(x0 ) ∈ Tx0 (M ) (f¨ ur f ∈ C k−1 (M ), X ∈ T 1 (M ), x0 ∈ M ). 

 2) F : T 1 (M ) −→ Der (M ) : X 7−→ f 7−→ x0 7−→ X(x0 ) [f ] ist ein C ∞ (M )Modul-Isomorphismus. Dabei ist [f ] der C ∞ -Funktionskeim
von f in0 x0 , f ∈ C ∞ (M ), und X(x ) ∈ T (M ) ' Der (M ), d.h. X(x ) [f ] = (f ◦ x) (0) wenn x0 x0 0   0 X(x0 ) = x(t) .

Beweis: 1) Mit Hilfe von Karten sieht man, dass f¨ ur f ∈ C k−1 (M ), X ∈ T 1 (M ) auch f · X : M −→ T M C k−1 ist. Der Rest ist klar.

2) a) X ∈ T 1 (M ),
f, g ∈ C ∞ (M ), x0 ∈ M =⇒ F X(f · g) (x ) = X(x ) [f g] = da 0 0

X(x0 ) ∈ Derx0 (M ) = f (x0 )X(x0 ) [g] +g(x0 )X(x0 ) [f ] =⇒ F X(f ·g) = f ·F X(g)+ ¨ g · F X(f ) =⇒ F ist wohldefiniert. Ahnlich sieht man, dass F C ∞ (M )-linear ist.
b) F injektiv: F (X) = 0 ⇐⇒ ∀f ∈ C ∞ (M ) : ∀x0 ∈ M : X(x0 ) [f ] = 0. Wenn x0 ∈ U und (ϕ : U −→ V ) ∈ A, so gibt es χ : V −→ R C ∞ mit χ = 1 bei ϕ(x0 ) und χ = 0 außerhalb einer Kugel K um ϕ(x0 ) mit K ⊂ V. Dann l¨asst sich (χ ◦ ϕ) · ϕ durch 0 außerhalb von U fortsetzen, d.h. (χ ◦ ϕ) · ϕ : M −→ Rn C ∞ , (χ ◦ ϕ) · ϕ = ϕ in einer Umgebung von x0 .  
= X(x0 ) [xj ] = v j , Wenn ϕ : x 7−→ (x1 , · · · , xn ), so ist 0 = X(x0 ) (χ ◦ ϕ) · ϕj | {z } ∈C ∞ (M )

j

wenn X(x0 ) = v ∂j . Somit ist X(x0 ) = 0 f¨ ur x0 ∈ M, d.h. X = 0. c) F surjektiv: Es sei D ∈ Der (M ) und [f ] ein C ∞ -Funktionskeim bei x0 ∈ M. Mittels einer Funktion χ wie in b) k¨onnen wir f
durch f1 ∈ C ∞ (M ) ersetzen, sodass [f ] = [f1 ]. Definiere Dx0 auf Cx∞0 (M ) durch Dx0 [f ] := D(f1 )(x0 ), wobei [f ] = [f1 ], f1 ∈ C ∞ (M ). Dies ist wohldefiniert, denn wenn f1 , f2 ∈ C ∞ (M ) bei x0 u ¨bereinstimmen, so ist auf M 25

f1 − f2 = (f1 − f2 ) · χ, wobei
χ ∈ C ∞ (M ), χ = 2 bei x0 , χ = 1 wo f1 6= f2 =⇒ D(f1 − f2 )(x0 ) = D (f1 − f2 )χ (x0 ) = χ(x0 ) D(f1 − f2 )(x0 ) + (f1 − f2 )(x0 ) D(χ)(x0 ) = {z } | {z } | 2

0

2D(f1 − f2 )(x0 ) =⇒ D(f1 −
f2 )(x0 ) = 0. Weiters gilt
dann Dx0 [f · g]
= D(f1 · g1 )(x0 ) = f1 (x0 )D(g1 )(x0 ) + g1 (x0 )D(f1 )(x0 ) = f (x0 )Dx0 [g] + g(x0 )Dx0 [f ] . Also ist Dx0 ∈ Derx0 (M ) ' Tx0 (M ). Definiere X : M −→ T M : x0 7−→ Dx0 . Es bleibt noch zu zeigen, dass X
C ∞ ist, denn
1 dann gilt offenbar X ∈ T (M ) und F (X)(f )(x0 ) = X(x0 ) [f ] = Dx0 [f ] = D(f )(x0 ), d.h. F X = D. Es sei (ϕ : U −→ V ) ∈ A, x0 ∈ U, χ wie in b). Dann ist dort wo χ ◦ ϕ = 1, d.h. f¨ ur x bei x0 :


X(x) = v j (x)∂j , wobei v j (x) = X(x) [xj ] = Dx [xj ] = D (χ ◦ ϕ) · ϕj (x) ∈ C ∞ . Somit ist X C ∞ bei x0 und daher auch auf M. 
Bemerkung: F¨ ur eine C ∞ -Mannigfaltigkeit M, [A] identifiziere ich T 1 (M ) und Der (M ), d.h. ich schreibe wieder X f¨ ur F X, X ∈ T 1 (M ).
Bsp.: 1) F¨ ur ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A bezeichnet man mit ∂j das Vektorfeld in T 1 (U ), das durch x0 7−→ (∂j )x0 ∈ Tx0 U gegeben ist. F¨ ur k = ∞ k¨onnen wir ∂j auch als Element von Der (U ) auffassen und dann wirkt es wie die partielle Ableitung nach xj , wenn f in Koordinaten geschrieben wird, d.h. ∂f ∂f ◦ ϕ−1 ∂j : C ∞ (U ) −→ C ∞ (U ) : f 7−→ (d.h. genaugenommen ◦ ϕ, vgl. S. 19). ∂xj ∂xj Beachte, dass ∂j sowohl f¨ ur ein Vektorfeld in T 1 (U ) als auch f¨ ur einen speziellen Tangentialvektor in Tx0 M steht (weil man ungern (∂j )x0 schreibt). ¨ Ubrigens ist (auch f¨ ur k < ∞) T 1 (U ) ein freier C k−1 (U )-Modul mit der Basis ∂1 , · · · , ∂n , denn X ∈ T 1 (U ) ⇐⇒ ∃v 1 , · · · , v n ∈ C k−1 (U ) : X = v i ∂i .  ∞ (R1 ) := f : R −→ R C ∞ : ∀ϑ ∈ R : f (ϑ + 2π) = f (ϑ) 2) C ∞ (S1 ) kann mit Cper identifiziert werden:    cos ϑ ∞ 1 ∞ 1 Cper (R )−→ ˜ C (S ) : f 7−→ 7−→ f (ϑ) . sin ϑ Wenn X ∈ T 1 (S1 ) wie in S. 24, so gilt X

C ∞ (S1 ) −→ C ∞ (S1 ) |o |o ∞ 1 ∞ Cper (R ) −→ Cper (R1 ) f 7−→ f0 wenn X als Derivation aufgefasst wird. 26

Bemerkung: Wir wissen, dass die Tangentialb¨ undel von S1 und von On (R) isomorph zu den entsprechenden trivialen B¨ undeln sind. Diese Eigenschaft soll durch Vektorfelder charakterisiert werden. Hilfssatz und Definition: Es sei M eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Dann sind a¨quivalent: (i) ∃ C k−1 Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus F : T M −→ M × Rn (= triviales B¨ undel) (ii) ∃X1 , · · · , Xn ∈ T 1 (M ) : ∀x0 ∈ M : X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) sind in Tx0 M linear unabh¨angig; (iii) T 1 (M ) ist ein freier C k−1 (M )-Modul. Wenn (i)-(iii) erf¨ ullt sind, heißt M parallelisierbar. Beweis: (i) =⇒ (ii): Es sei e1 , · · · , en die Standardbasis im Rn und Xj : M −→ T M : x0 7−→ F −1 (x0 , ej ), j = 1, · · · , n. Dann sind die Xj C k−1 und p ◦ Xj = id, d.h. Xj ∈ T 1 (M ). Außerdem sind X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) f¨ ur x0 ∈ M eine Basis in Tx0 M, da F (x0 , −) : Tx0 M −→ Rn linear und invertierbar ist (F Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus!) 1 (ii) =⇒ (iii): X1 , · · · , Xn ∈ T (M ) seien wie in (ii). Dann sind sie auch u ¨ber C k−1 (M ) linear unabh¨angig, denn f i Xi = 0, f i ∈ C k−1 (M ) ⇐⇒ ∀x0 : f i (x0 )Xi (x0 ) = 0 ⇐⇒ ∀x0 : ∀i : f i (x0 ) = 0 ⇐⇒ ∀i : f i = 0. Um zu zeigen, dass X1 , · · · , Xn ein Erzeugendensystem des C k−1 (M )-Moduls T 1 (M )

 sind, nehme X ∈ T 1 (M ). Dann gilt: X(x0 ) ∈ Tx0 M = X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) =⇒ ∃f i : M −→ R : ∀x0 ∈ M : X(x0 ) = f i (x0 )Xi (x0 ). Noch zu zeigen ist, dass ∀i : f i ∈ C k−1 (M ). In einer Karte ϕ : U −→ V gilt Xj = vji ∂i mit vji : U −→ R C k−1 .
Da Xj (x0 ) eine Basis von Tx0 M = Tx0 U ist f¨ ur x0 ∈ U, folgt: ∀x0 ∈ U : det vji (x0 ) 6= 0. Dann ist auch (vji )−1 =: (wji ) : U −→ Rn×n C k−1 und ∂j = wji · Xi . Wenn daher X = uj ∂j ∈ T 1 (U ), so ist X = uj wji · Xi =⇒ f i = uj wji sind C k−1 auf U und daher auf ganz M. (Dieser Beweisschritt l¨asst sich auch so formulieren: Wenn X1 , · · · , Xn wie in (ii), so

T ist T U −→ V × Rn : x0 , f i (x0 )Xi 7−→ ϕ(x0 ), f 1 (x0 ), · · · , f n (x0 ) eine Vektorraumb¨ undelkarte im maximalen B¨ undelatlas von T M ). (iii) =⇒ (i): Es seien X1 , · · · , Xm ∈ T 1 (M ) eine Basis von T 1 (M ) u ¨ber C k−1 (M ). Ich zeige zuerst, dass dann f¨ ur x0 ∈ M auch X1 (x0 ), · · · , Xm (x0 ) eine Basis in Tx0 (M ) sind (und speziell m = n gelten muss). Jedes v ∈ Tx0 M l¨asst sich als X(x0 ) f¨ ur X ∈ T 1 (M ) schreiben (unter Verwendung einer Abschneidefunktion wie in S. 25) =⇒ v = X(x0 ) = f i (x0 )Xi (x0 ) f¨ ur gewisse

 i k−1 f ∈ C (M ) =⇒ R X1 (x0 ), · · · , Xm (x0 ) = Tx0 M. Nach eventueller Umnummerierung ist daher X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) eine Basis in Tx0 M. Wenn Xj = vji ∂i wie in (ii) =⇒ (iii), so ist also det (vji )i,j=1,··· ,n (x0 ) 6= 0 und folglich 27

auch det (vji )i,j=1,··· ,n (x) 6= 0 f¨ ur x bei x0 . Annahme: m > n =⇒ (wie in (ii) =⇒ (iii)) bei x0 gilt Xn+1 (x) =

n P

f i (x)Xi (x) mit

i=1

f i C k−1 . Wenn χ ∈ C k−1 (M ), χ = 1 bei x0 , χ = 0 außerhalb einer gen¨ ugend kleinen Umgebung von x0 , so w¨are also χ · Xn+1 ∈ T 1 (M ) auf 2 Weisen durch Xi , i = 1, · · · , m, darstellbar =⇒ .


Man definiert F : T M −→ M × Rn : x0 , v i Xi (x0 ) 7−→ (x0 , v 1 , · · · , v n )T . Offenbar ist F bijektiv und linear in den Fasern. Dass F und F −1 C k−1 sind, sieht man in einer Karte wie in (ii) =⇒ (iii).  Bemerkung: Der letzte Satz l¨asst sich ebenso f¨ ur beliebige Vektorraumb¨ undel formulieren und beweisen. Bsp.: Wir wollen zeigen, dass S3 parallelisierbar ist und S2 nicht, bzw. noch schlimmer: ∀X ∈ T 1 (S2 ) : ∃x0 ∈ S2 : X(x0 ) = 0 (= 0-Vektor im Vektorraum Tx0 M !). Beides gilt f¨ ur die Standard C k -Struktur auf Sn mit beliebigem k ≥ 1. Wenn wir S2 ⊂ R3 als Untermannigfaltigkeit auffassen, so heißt das letztere (vgl. S. 24): ∀X : S 2 −→ R3 stetig und ∀x0 ∈ S2 : X(x0 ) ⊥ x0 : ∃x0 ∈ S2 : X(x0 ) = 0. Volkst¨ umlich formuliert man das auch so: Ein Igel l¨asst sich nicht k¨ammen“. ” a) Wir betrachten zun¨achst allgemein Sn aber in der Form S = Rn ∪˙ {∞} mit den x : S \ {0} −→ 2 Karten ϕ = id : Rn −→ Rn : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T und ψ = |x|2 1 0 0 ¨ 1.1, S. 12. In dieser DarstelRn : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T = (x1 , · · · , xn )T , vgl. Ub. |x|2 lung von Sn ist X ∈ T 1 (S) gegeben durch X(x) = v i (x1 , · · · , xn )∂i f¨ ur x ∈ Rn und ∂ 0 0 0 f¨ ur x ∈ S \ {0}. X(x) = v i (x1 , · · · , xn )∂i0 , ∂i0 = ∂xi 0  0   v1 v1  ..   ..  ur x ∈ S \ {0, ∞} =  .  und  .  sind also gew¨ohnliche“ Vektorfelder am Rn . F¨ ” 0 n n v v  i  i0 n n
δj P P 2xi xj i0 j 0 n i0 j ∂x j i 0 2 j . R \ {0} gilt (vgl. S. 17): v = v |x | − 2x x = v − δ = v j ∂xj |x|2 |x|4 j=1 j=1  10 0  n
P x xn i0 j 0 i 0 2 j i0 10 n0 f¨ ur x0 ∈ Rn \ {0}. |x | − 2x x δ v , · · · , Genauer: v (x , · · · , x ) = j 0 2 0 2 |x | |x | j=1 X ∈ T 1 (S) ist offenbar durch v 1 , · · · , v n schon festgelegt (in ∞ erhalten wir X(∞) als Limes f¨ ur x0 → 0.) Nach dem letztenSatzgilt also: Sn ist als C k -Mannigfaltigkeit vj1  ..  parallelisierbar ⇐⇒ ∃ Vektorfelder Xj =  .  ∈ T 1 (Rn ), j = 1, · · · , n, sodass: vjn 28

i α)  ∀x ∈ Rn : det(v  j )(x)  6= 0; 0 10 1 vn v1  ..   ..  β)  .  , · · · ,  .  lassen sich zu linear unabh¨angigen C k−1 -Vektorfeldern in x0 = 0 0 0 vnn v1n fortsetzen. Wenn wir (X1 , · · · , Xn ) =: B als Matrix auffassen, so heißt das also: α) ∀x ∈ Rn : det B(x) 6= 0;  0  x 0 β) A(x )B ist in x0 = 0 C k−1 fortsetzbar und hat dort Determinante 6= 0, wobei |x0 |2 0 0 die Matrix A(x0 ) = (aij )i,j=1,··· ,n (x0 ) durch aij (x0 ) = δji |x0 |2 − 2xi xj gegeben ist. b) Nun sei n = 3. Wir bestimmen
die Matrix B(x) durch die lineare Abbildung B(x) : R3 −→ R3 : t 7−→ 1 − |x|2 t + 2hx, tix + 2x × t, d.h. B(x) =   1 + (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 2x1 x2 − 2x3 2x1 x3 + 2x2 . 2x1 x2 + 2x3 1 + (x2 )2 − (x1 )2 − (x3 )2 2x2 x3 − 2x1 = 1 3 2 2 3 1 3 2 1 2 2 2 2x x − 2x 2x x + 2x 1 + (x ) − (x ) − (x ) x Wenn t1 , t2 , t3 eine positiv orientierte ONB-Basis im R3 mit t1 = ist, so gilt |x| B(x) : t1 7−→ |x|2 + 1)t1 , t2 7−→ 1 − |x|2 )t2 + 2|x|t3 , t3 7−→ 1 − |x|2 )t3 − 2|x|t2
3 =⇒ det B(x) = 1 + |x|2 6= 0. 0 Wegen  A(x0 ) :t 7−→ |x0 |2 t − 2hx0 , tix  gilt außerdem 0 2 1 2 x : t 7−→ 1 − 0 2 t + 0 4 hx0 , tix0 + 0 2 x0 × t 7−→ A(x0 )B 0 2 |x | |x | |x |  |x |
2 1 4 7−→ |x0 |2 − 1 t + 0 2 hx0 , tix0 + 2x0 × t − 2 1 − 0 2 hx0 , tix0 − 0 2 hx0 , tix0 = |x | |x | |x |
= |x0 |2 − 1 t − 2hx0 , tix0 + 2x0 × t. Daher sind α) und β) in a) erf¨ ullt. c) Schließlichwerde  n = 2 betrachtet.  1  v (x) v1 1 2 2 6= 0; Annahme: ∃ 2 ∈ T (R ) mit α) ∀x ∈ R : v 2 (x) v !  20 2  1 x0
0 0 0 v |x0 |2 (x ) − (x1 )2 −2x1 x2 β) lim existiert und ist 6= 0. 0
0 20 0 2 0 2 1 1 2 −2x x (x ) − (x ) x0 →0 v 2 |xx0 |2

α) ist nat¨ urlich ohne weiters erf¨ ullbar, das Problem Zur Abk¨ urzung sei R2 −→C ˜ :   0 ist β).  0 x x 0 0 0 0 (x1 , x2 )T 7−→ z := x1 + ix2 und w(z) := v 1 − iv 2 , z 2 = z · z! 0 2 |x | |x0 |2    −Re (z 2 ) −Im (z 2 ) Re w(z) β) bedeutet dann, dass lim existiert und ist 6= 0, 2 Re (z 2 ) −Im w(z) z→0 −Im (z ) 29

bzw. 0 6= a := lim z 2 · w(z) existiert. z→0

w

tz 1−t




Es sei s : (0, 1) × S1 −→ S1 : (t, z) 7−→
. tz w 1−t Wegen α) ist s wohldefiniert und stetig. F¨ ur t % 1 geht s(t, z) gleichm¨aßig (bzgl. z ∈ S1 ) b ur t & 0 gilt gegen , wobei b := v 1 (0) − iv 2 (0), f¨ |b|   a 1 w(tz) (tz)2 1 = lim s(t, z) = lim · , gleichm¨aßig bzgl. z ∈ S1 . · 2 t&0 t&0 |a| z 2 w(tz) |tz|2 z Also k¨onnen wir s stetig auf [0, 1] × S1 fortsetzen und s ist eine Homotopie der geschlosa b senen Wege s(0, −) und s(1, −). Die Wege s(0, −) : z 7−→ und s(1, −) : z 7−→ 2 |a|z |b|     1 sind aber nicht homotop, da π1 (S )−→Z ˜ : s(0, −) 7−→ ±2, s(1, −) 7−→ 0. Daher Widerspruch zur Annahme.  (Wenn man s durch s˜(t, z) := s(t, z) s(t, 1) ersetzt, so erh¨alt man Wege mit festem Anfangs- und Endpunkt 1, d.h. man ist in π1 (S1 , 1). Wenn man X C 1 voraussetzt, so kann die topologische ¨berZ Betrachtung am Schluss u dζ haupt vermieden werden, indem man setzt ν(t) := = Umlaufzahl von s(t, −) 2πiζ s(t,−)

und beachtet, dass ν(t) ∈ Z, ν(t) stetig, ν(0) = −2, ν(1) = 0 =⇒
Hilfsatz und Definition: M, [A] C ∞ -Mannigfaltigkeit.



)

1) Der (M ) (und damit T 1 (M )) wird durch [−, −] :Der (M )×Der (M ) −→ Der (M ):

(X1 , X2 ) 7−→ X1 ◦ X2 − X2 ◦ X1 =: [X1 , X2 ] : f 7−→ X1 (X2 (f ) − X2 X1 (f ) eine Liealgebra u ¨ber R, d.h. (i) [−, −] ist R-bilinear,     (ii) ) : [X1 , X2 ] = −[X2 , X1 ] und X1 , [X2 , X3 ] + X2 , [X3 , X1 ] +  ∀Xi ∈ Der(M  X3 , [X1 , X2 ] = 0. (Das letztere heißt Jacobi-Identit¨at.)

2) In einer Karte ϕ ∈ A gilt:


[v1i ∂i , v2j ∂j ] = v1i ∂i (v2j ) − v2i ∂i (v1j ) ∂j .

3) F¨ ur X1 , X2 ∈ T 1 (M ) heißt [X1 , X2 ] Lieklammer von X1 , X2 . Beweis: a) [−, −] ist wohldefiniert: In einer Karte ϕ ∈ A gilt Xi = vij ∂j , i = 1, 2, vij ∈ C ∞ (U ) =⇒ ∀f ∈ C ∞ (M ) : ∀x0 ∈ U : (X1 ◦ X2 − X2
◦ X1 )(f )(x0 ) = X1 (v
2j ∂j f )(x0 ) − X2 (v1j ∂j f )(x0 ) = = v1i ∂i (v2j ∂j f ) (x0 ) − v2i ∂i (v1j ∂j f ) (x0 ) = 30





= v1i ∂i (v2j )(∂j f ) (x0 ) + v1i v2j (∂i ∂j f ) (x0 ) − v2i v1j (∂i ∂j f ) (x0 ) − v2i ∂i (v1j )∂j f (x0 ) =
= (X3 f )(x0 ), wobei X3 = v1i ∂i (v2j ) − v2i ∂i (v1j ) ∂j . X3 ist offenbar wieder eine Derivation. Damit ist auch 2) gezeigt. b) [−, −] ist klarerweise R-bilinear und schiefsymmetrisch. Die Jacobi-Identit¨at gilt allgemein f¨ ur Homomorphismen einer Gruppe G in sich, d.h. wenn f1 , f2 : G −→ G und [f1 , f2 ] := f1 ◦ f2 − f2 ◦ f1 definiert wird. (Hier ist G = C ∞ (M ) mit der Addition.)      ! w1 v1 i 1 i 1 v ∂ w − w ∂ v i i     . Bsp.: 1) Wenn X =  ...  , Y =  ...  ∈ T 1 (Rn ), so ist [X, Y ] = .. . n n w v  1   1 2    1 2  x (x ) (x ) Z.B. x2  , (x2 )2  = (x2 )2  . x3 (x3 )2 (x3 )2  3   2  x x 1   0  ∈ T 1 (S2 ) berechnen. 2) Wir wollen z.B. [X, Y ] f¨ ur X = −x , Y = −x1 0  1  x 2 1 2 3 T In der Karte ϕ3,+ : U3,+ −→ x ∈ R , |x| < 1 : (x , x , x ) 7−→ 2 , vgl. S. 1, gilt: x     1 0 ∂1 =  0  , ∂2 =  1  ∈ Tx0 S2 , x0 ∈ U3,+ =⇒ −x10 /x30 −x20 /x30 p =⇒ X = x2 ∂1 − x1 ∂2 , Y = x3 ∂1 = 1 − (x1 )2 − (x2 )2 ∂1 =⇒ 1 [X, Y ] = (x2 ∂1 − x1 ∂2 )(x3 )∂1 − (x3 ∂1 )(x2 )∂1 + (x3 ∂1 )(x =  )∂2  !  1  2 0 x x = x2 − 3 − x 1 − 3 ∂1 − 0 + x 3 ∂2 = x 3 ∂2 =  x 3  . x x −x2 1 3 Das gibt dasselbe, wie wenn man [X, Y ] in T (R ) ausrechnet und keineswegs aus Zufall, ¨ 2.8, S. 37. vgl. Ub.
k Definition und Hilfssatz: M , [A ] C -Mannigfaltigkeit, f : M1 −→ M2 C k . i i    
 T f : T M1 −→ T M2 : x0 , x(t) 7−→ f (x0 ), f x(t) ist wohldefiniert und heißt : Tx0 M1 −→ Tf (x0 ) M2 heißt Differential von Tangentialabbildung zu f . Tx0 f := T f T x0 M 1

f in x0 (und wird manchmal mit dx0 f bezeichnet). Es gilt:

1) T f ist ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel-Homomorphismus;



2) wenn k = ∞ und v ∈ Tx0 M1 ' Derx0 (M1 ), so ist (Tx0 f )(v) [g] = v [g ◦ f ] f¨ ur ∞ [g] ∈ Cf (x) (M2 );

31

1 n T 3) in Koordinaten 7 → (y 1 , · · · , y m )T (vgl. S. 3) gilt   f : (x , j· · · , x ) − ∂ ∂y ∂ (Tx0 f ) v i i = v i i (x0 ) j ∈ Tf (x0 ) M2 . Speziell ist Rgx0 f = Rg(Tx0 f ); ∂x ∂x ∂y

4) T ist ein Funktor von der Kategorie der C k -Mannigfaltigkeit, in die der C k−1 Vektorraumb¨ undel, d.h. (i) T idM = idT M , (ii) T (g ◦ f ) = T g ◦ T f f¨ ur g : M2 −→ M3 C k . Bemerkung: Beachte, dass die Bezeichnungen Tx0 ϕ in S. 16 und T ϕ in S. 21 bereits entsprechend gew¨ahlt wurden. Auch f¨ ur i : N ,→ M Untermannigfaltigkeit wurde (und wird) verm¨oge T i : T N ,→ T M identifiziert.
Beweis: a) In Koordinaten ϕ1 : U1 −→ V1 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A1 ,
  ∂ ϕ2 : U2 −→ V2 : y 7−→ (y 1 , · · · , y m )T ∈ A2 gilt f¨ ur x(t) = v i i ∈ Tx0 M1 :      
 Def.    ∂x T f x0 , x(t) = f (x0 ), Tx0 f x(t) = f (x0 ), f ◦ x(t) =   
−1 = f (x0 ), (Tf (x0 ) ϕ2 )−1 (ϕ2 ◦ f ◦ ϕ1 ) ϕ1 (x(t)) 0 (0) {z } |
T y 1 (ϕ1 (x(t))),··· ,y m (ϕ1 (x(t)))  ! j
∂y Kettenregel = = f (x0 ), (Tf (x0 ) ϕ2 )−1 ej i ϕ1 (x0 ) v i ∂x   j
∂ i ∂y = f (x0 ), v ϕ1 (x0 ) . Daher ist T f wohldefiniert, ein B¨ undelhomomorphis∂xi ∂y j     
h 
i = mus und gilt 3). 4) folgt aus T g ◦ T f x0 , x(t) = g f (x0 ) , g f x(t)    = T (g ◦ f ) x0 , x(t) .
  b) Zu 2): Wenn v = x(t) ∈ Tx0 M1 und [g] ∈ Cf∞(x0 ) (M2 ), so gilt (Tx0 f )(v) [g] = h
i

= f x(t) [g] = (g ◦ f ◦ x)0 (0) = v [g ◦ f ] . 

Bsp.: Wir wollen T P f¨ ur die stereographische Projektion P : Rn −→ Sn (vgl. S. 9) berechnen. Wenn z.B. x0 ∈ Rn , |x0 | > 1, so k¨onnen wir die Karten id auf Rn , und ϕn+1,+ von Sn verwenden. In diesen Karten ist P : (x1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y n )T =     n P 2 2δ ij 4xi0 xj0 ∂ i 1 n T i ∂ v = = (x , · · · , x ) , (Tx0 P ) v −
2 2 i 2 2+1 |x| + 1 ∂x |x0 | + 1 ∂y j i=1 |x | 0   n P n+1 ∂ i j ∂ i = v (1 − y0 ) i − y0 y0 j . ∂y ∂y i=1   −1 ∂ n i 1 ) = + t, · · · , y , · · · , y = ϕ (y Wenn wir T Sn ⊂ T Rn+1 auffassen, so ist n+1,+ 0 0 0 ∂y i 32

p
T i = y01 , · · · , y0i + t, · · · , y0n , 1 − (y01 )2 − · · · − (y0i + t)2 − · · · − (y0n )2   0 i-te Stelle ..   .     n P 1   v i y0i gilt: =  ∈ Ty0 Sn , d.h. mit hv, ~y0 i := 0   i=1   ..   . =

h

−y0i /y0n+1 

   (Tx0 P )(v i ∂i ) =    

v 1 (1 − y0n+1 ) .. .





y01 .. .



        = n+1 − hv, ~ y i  n 0 v n (1 − y )   y0  0      n+1  1 2 n 2 1 − (y0 ) + · · · + (y0 ) /y0 hv, ~y0 i 1 − n+1 {z } | y 0

(y0n+1 )2 − 1 y0n+1

 v 1 (1 − y0n+1 ) − y01 hv, ~y0 i   ..   . = n  ∈ Ty0 Sn ⊂ Ty0 Rn+1 ' Rn+1 . n+1 n v (1 − y0 ) − y0 hv, ~y0 i (1 − y0n+1 )hv, ~y0 i ¨ Das war zur Ubung im Rechnen in Karten. Man kommt nat¨ urlich schneller ans Ziel, wenn man gleich die Tangentialabbildung von   |x|2 − 1 2x n n n+1 , , R −→ S ,→ R : x 7−→ P |x|2 + 1 |x|2 + 1

d.h. die Jacobi-Matrix berechnet. Unser Ergebnis zeigt auch neuerlich, dass P eine Immersion ist, denn dies heißt: ∀x0 ∈ Rn : Tx0 P ist injektiv. Wegen y0n+1 < 1 auf P (Rn ) ist aber Tx0 P (v i ∂i ) = 0 =⇒ hv, ~y0 i = 0 =⇒ ~v = 0.
Definition und Hilfssatz: G, [A], · Liegruppe, I := Einselement von G, x0 ∈ G, lx0 : G −→ G : x 7−→ x0 · x, rx0 : G −→ G : x 7−→ x · x0 . 1) X ∈ T 1 (G) heißt links- (bzw. rechts-) invariant :⇐⇒ ∀x0 ∈ G : l x0

G

- G

X

?

TG

X

Tl

x0

?

kommutiert,

- TG


d.h. ∀x0 , x1 ∈ G : X(x0 x1 ) = (T lx0 ) X(x1 ) (bzw. T r x0 ◦ X = X ◦ r x0 ). 33

2) Die links- bzw. rechts- invarianten Vektorfelder bilden Untervektorr¨aume Tl 1 (G) bzw. Tr1 (G) von T 1 (G) und die Abbildungen
L : TI G −→ Tl 1 (G) : v
7−→ x0 7−→ T lx0 (v) = TI lx0 (v) und R : TI G −→ Tr1 (G) : v 7−→ x0 7−→ T rx0 (v) sind wohldefiniert und Vektorraum-Isomorphismen. 3) Tl 1 (G) und Tr1 (G) sind jeweils unter [ , ] invariant (d.h. Lieunteralgebren von T 1 (G)). Verm¨oge L bzw.
R wird dann TI G eine Liealgebra mit [v1 , v2 ]L := L−1 [Lv1 , Lv2 ] und ¨ahnlich bzgl. R. Wenn J : G −→ G : x 7−→ x−1 , so ist TI J : TI G −→ TI G ein LiealgebraIsomorphismus von TI G mit [ , ]L auf TI G mit [ , ]R .

Beweis: 1) Beachte, dass l x0 und rx0 C ∞ sind, da lx0 : G −→ G × G −→ G : x 7−→ −1 −1 (x0 , x) 7−→ x0 · x und ¨ahnlich r x0 . Wegen (lx0 )−1 = lx0 , (rx0 )−1 = rx0 sind lx0 , rx0 Diffeomorphismen. x0 x0 Fasern linear sind und 2) a) Tl 1 (G) und Tr1 (G) sind Vektorr¨aume,
dai T l , T r in den x0 i i x0 daher (T l ◦ λ Xi )(x1 ) = λ T l Xi (x1 ) = λ Xi (x0 · x1 ) = (λi Xi ) ◦ lx0 (x1 ). b) L ist wohldefiniert: Die Multiplikationsabbildung m : G × G −→ G : (x, y) 7−→ x · y sei in Koordinaten durch (x1 , · · · , xn , y 1 , · · · , y n )T 7−→ (z 1 , · · · , z n )T gegeben. Dann ist lx0 :
T (y 1 , · · · , y n )T 7−→ z 1 (x0 , y), · · · , z n (x0 , y) und T lx0 : (y 1 , · · · , y n , v 1 , · · · , v n )T 7−→  T ∂z 1 1 n j z (x0 , y), · · · , z (x0 , y), j (x0 , y)v , · · · und folglich L(v) C ∞ und L linear. ∂y
L bildet TI (G) in Tl 1 (G) ab, da T lx0 ◦ L(v) (x1 ) = T lx0 ◦ T lx1 (v) = (T Funktor) = T lx0 ·x1 (v) = L(v)(x0 x1 ). Weil L(v)(I) = v, ist L injektiv. L ist surjektiv: Es sei X ∈ Tl 1 (G), v := X(I) =⇒ ∀x0 ∈ G : X(x0 ) = (T lx0 )(v) =⇒ X = L(v). Ebenso f¨ ur R. 1 3) a) Allgemein, wenn C
∞ (G), so ist
X ∈ T (G), x0 , x1 ∈ G und f ∈ x0 x0 (T l ◦ X)(x1 ) [f ] = (S. 31, 2)) = X(x1 ) [f ◦ l ] = X(f ◦ lx0 )(x1 ) und {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | ∈Derx0 x1 (G)

∈Cx∞0 x1 (G)







∈Derx1 (G)

∈Cx∞1 (G)

∈C ∞ (G)

(X ◦ lx0 )(x1 ) [f ] = X(x0 x1 ) [f ] = X(f )(x0 x1 ) = X(f ) ◦ lx0 )(x1 ). {z } | {z } | {z } | ∈Derx0 x1 (G)

∈Cx∞0 x1 (G) ∈ Tl 1 (G) x0

∈C ∞ (G) x0

Daher ist X ⇐⇒ ∀x1 : (T lx0 ◦ X)(x1 ) = (X ◦ l )(x1 ) ⇐⇒ ∀f ∈ C ∞ (G) : x0 X(f ◦ l ) = X(f ) ◦ l in C ∞ (G).
Speziell, wenn
X, Y ∈ Tl 1 (G), f
∈ C ∞ (G), x0 ∈
G, so ist [X, Y ](f ◦l x0 ) = X Y (f ◦lx0 ) − Y X(f ◦ lx0 ) = X Y (f ) ◦ lx0 − Y X(f ) ◦ lx0 = [X, Y ](f ) ◦ lx0 , d.h. [X, Y ] ∈ Tl 1 (G). Daher ist Tl 1 (G) (und analog Tr1 (G)) eine Lieunteralgebra von T 1 (G). b) Wenn X ∈ Tl 1 (G), so ist J(X) := T J ◦ X ◦ J ∈ Tr1 (G), denn T r x0 ◦ T J ◦ X ◦ J = −1

−1

T ( r|x0{z◦ J}) ◦ X ◦ J = T J ◦ T lx0 ◦ X ◦ J = T J ◦ X ◦ lx0 ◦ J = T J ◦ X ◦ J ◦ r x0 . −1

J◦lx0

34

Außerdem ist das Diagramm TI (G)

L

TI J

?

TI (G)

R

- T 1 (G) : X l ? ? - T 1 (G) : J(X) r


−1 x−1 0 (v) = T (J ◦ l x0 )(v) = T r x0 T J(v) = kommutativ, da T J ◦ L(v) ◦ J (x ) = T J ◦ T l 0 I
R (TI J)(v) (x0 ) f¨ ur v ∈ TI G.  
Es bleibt nur noch zu zeigen, dass J(X), J(Y ) = J [X, Y ] f¨ ur X, Y ∈ T 1 (G). Dies gilt etwas allgemeiner, vgl. das folgende Lemma.  Lemma: M, N C ∞ -Mannigfaltigkeiten, f : M −→ N Diffeomorphismus. Dann ist T 1 (M ) −→ T 1 (N ) : X 7−→ T f ◦X◦f −1 =: f (X) ein Liealgebren-Isomorphismus. 

 Beweis: Wegen f (X) : y0 7−→ f −1 (y0 ) 7−→ X f −1 (y0 ) 7−→ Tf −1 (y0 ) f X f −1 (y0 ) ∈ ¨ Ty0 N ist f (X) ∈ T 1 (N ). Offenbar ist f bijektiv. Ahnlich wie im Beweis 3) a) oben gilt
f¨ ur  −1 ∞ −1 g ∈ C (N ),
dass f (X)(g) = X(g◦f )◦f  denn: f (X)(g)(y0 ) = (T f ◦X◦f )(y0 ) [g] =
−1 X f (y ) [g ◦ f ] = X(g ◦ f )(f
−1 (y0 )) und daher: 0  
f (X), f (Y ) (g) = f (X) f (Y )(g) − f (Y ) f (X)(g) =


= X Y (g ◦ f ) ◦ f −1 − Y X(g ◦ f ) ◦ f −1 = f [X, Y ] (g). 

Bemerkung: Beachte, dass es f¨ ur allgemeine, nicht invertierbare f : M −→ N keine M¨oglichkeit gibt, kanonisch eine zugeh¨orige Abbildung T 1 (M ) −→ T 1 (N ) zu konstruieren.

Bsp.: Es sei G = Gln (R). Wir wollen die Liealgebrastruktur auf TI (G) ∼ = gln (R) bestimmen. Wenn L wie in S. 34 und B ∈ gln (R) ' TI (G), so ist das linksinvariante Vektorfeld L(B) ∈
Tl 1 (G)  gegeben durch Gln (R) −→ T Gln (R) ' Gln (R) × gln (R) : A A 7−→ T l [I + tB] = A · (I + tB) 7−→ (A, A · B). id

In der Karte Gln (R) −→ Rn×n : A 7−→ (aij ) ist also ∂ L(B) = (A · B)ij i f¨ ur B ∈ gln (R) ' TI G. ∂aj Nach S. 30, 2) folgt dann  
∂
∂ ∂ i ∂ k L(B1 ), L(B2 ) = (AB1 )ij i (A · B2 )kl − (AB ) = (A · B ) 2 1 j l ∂aj ∂aij ∂akl ∂akl
∂ ∂ ∂ = (AB1 )ij i akr (B2 )rl − · · · = (AB1 )ij δik (B2 )jl k − · · · = k ∂aj ∂al ∂al   ∂ ∂ = (AB1 B2 )il i − (AB2 B1 )il i , d.h. L(B1 ), L(B2 ) = L(B1 B2 − B2 B1 ) bzw. ∂al ∂al 35

[B1 , B2 ]L = B1 B2 − B2 B1 . ¨ 2.9). Ebenso sieht man, dass [B1 , B2 ]R = −[B1 , B2 ]L (vgl. Ub. Folgerung: Jede Liegruppe G ist parallelisierbar. Beweis: e1 , · · · , en sei eine Basis in TI G, Xi := L(ei ) ∈ Tl 1 (G), d.h. Xi (x0 ) = −1 TI lx0 (ei ). TI lx0 ist ein Vektorraum-Isomorphismus mit Inverser Tx0 lx0 =⇒ ∀x0 : X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) ist eine Basis in Tx0 G =⇒ G parallelisierbar. 
Bemerkung: Entsprechend S. 28 w¨are F : T G−→G ˜ × Rn : x0 , v i Xi (x0 ) 7−→
1 n T x0 , (v , · · · , v ) . Der B¨ undel-Isomorphismus T G−→G ˜ × TI G : (x0 , v) 7−→
x−1 x0 , Tx0 l 0 (v) ist sogar von der Wahl der Basis e1 , · · · , en unabh¨angig.

Bsp.: Wenn G = On (R),
TI G = on (R) und wir erhalten T On (R) ' On (R) × on (R) : −1 (A, B) 7−→ A, TA lA (B) = (A, A−1 B) = (A, AT B) wie in S. 23. ¨ Ubungen

¨ 2.1 a) Stelle f¨ Ub. ur Kugelkoordinaten wie in S. 18 ∂ ∂ ∂ ∂ , i = 1, 2, 3, dar. , , durch ∂r ∂ϑ ∂ϕ ∂xi b) Was ist vr , vϑ , vϕ f¨ ur v = v i ∂i ∈ T R3 ? c) Spezialisiere auf x0 = (1, 2, 2)T , v = 4∂1 − 2∂2 ∈ Tx0 R3 und gib eine C ∞ -Kurve ¨ bei x0 an, deren Aquivalenzklasse v ist.  
¨ 2.2 a) Mi −→ Ni , [Bi ] seien C k -Vektorraumb¨ Ub. undel, i = 1, 2. Zeige, dass pi    M1 × M2 −→ N1 × N2 , [{ϕ1 × ϕ2 : ϕi ∈ Bi , i = 1, 2}] ebenfalls ein C k p1 ×p2

Vektorraumb¨ undel ist. k b) M, N C -Mannigfaltigkeiten, Zeige, dass T  (M × N ) −→ T M × T N :   k ≥ 1. 

  
(x0 , y0 ), x(t), y(t) 7−→ x0 , x(t) , y0 , y(t) ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus ist.  ¨ 2.3 Es sei sln (R) := C ∈ gln (R) : tr C = 0 . Zeige ¨ahnlich wie in Bsp. 4, S. 23, dass Ub. T Sln (R) −→ Sln (R) × sln (R) : (A, B) 7−→ (A, A−1 B) ein C ∞ -Vektorraumb¨ undelIsomorphismus ist. Hinweis: tr“
= Spur. Verwende und ur eine C 1 -Kurve A(t) in gln (R)
zeige, dass f¨ ” 0 ad 0 gilt det A(t) = tr A (t) · A (t) .

¨ 2.4 Zeige, dass [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g) · Y − gY (f ) · X f¨ Ub. ur X, Y ∈ T 1 (M ), f, g ∈ ∞ ∞ C (M ), M C -Mannigfaltigkeit. 36

¨ 2.5 Es seien X1 = ∂x + ∂y , X2 = (x)2 ∂x + (y)2 ∂y ∈ T 1 (R2 ). Ub. a) In welchen Punkten (x0 , y0 ) ∈ R2 sind X1 , X2 (x0 , y0 ) eine Basis von T(x0 ,y0 ) R2 ? b) Dr¨ ucke [X1 , X2 ] f¨ ur x0 + y0 6= 0 durch X1 und X2 aus. n+1 P i i ¨ 2.6 Es seien v 1 , · · · , v n+1 , f ∈ C ∞ (Sn ) mit ∀x ∈ Sn : Ub. x v (x) = 0. Wenn, wie u ¨blich, i=1 
T  T Sn ⊂ T Rn+1 , so ist also X : Sn −→ T Sn : x 7−→ v 1 (x), · · · , v n+1 (x) ∈

T 1 (Sn ). n a) Was ergibt X(f ), wenn manX ∈ Der (S ) auffasst? 
x Hinweis: Dr¨ ucke X(f ) mittels g : x 7−→ f ∈ C ∞ Rn+1 \ {0} aus. |x| 1 2 3 b) Was ist speziell (x ∂2 − x ∂1 )(x ) ? 2 (Bzw. genauer: Was ist X(x3 ) f¨ ur X =(−x ˆ , x1 , 0, · · · , 0)T ?)

¨ 2.7 N ⊂ M sei eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit und X1 ∈ T 1 (M ) mit ∀x0 ∈ N : Ub. X1 (x0 ) ∈ Tx0 N (⊂ Tx0 M ). Es sei g ∈ C ∞ (M ), f := g N .
Zeige, dass X(f ) = X1 (g) N , wenn X : N −→ T N : x 7−→ X1 (x) ∈ T 1 (N ). ¨ 2.6 zu tun? Was hat dies mit Ub.

¨ 2.8 N ⊂ M sei eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit, X1 , Y1 ∈ T 1 (M ) mit X1 (N ), Y1 (N ) ⊂ Ub. T N (⊂ T M ). X := X1 N , Y := Y1 N . a) Zeige, dass X, Y ∈ T 1 (N ). b) Zeige, dass [X1 , Y1 ](N ) ⊂ T N und [X, Y ] = [X1 , Y1 ] N . c) Folgere, dass sich f¨ ur eine Lieuntergruppe H ≤ G die Liealgebra TI H bzgl. 1 LH : TI H −→T ˜ l (H) als Lieunteralgebra von TI G bzgl. LG : TI G−→T ˜ l 1 (G) ergibt. Was bedeutet dies speziell f¨ ur On (R) und Sln (R) ? ¨ 2.9 G sei eine Liegruppe, J : G −→ G : x 7−→ x−1 . Ub. −1 −1 a) Zeige, dass f¨ ur x ∈ G : Tx J = −TI lx ◦ Tx rx . b) Folgere, dass TI J = −id : TI G −→ TI G und dass ∀v1 , v2 ∈ TI G : [v1 , v2 ]R = [v2 , v1 ]L . ¨ 2.10 Wenn R V ein endlich dimensionaler R-Vektorraum ist, so auch glR V. Daher ist Ub.  

kanonisch T glR (V )−→gl ˜ R (V ) × glR (V ) : A, A(t) 7−→ A, A0 (0) . Weil GlR (V ) ⊂ glR (V ) offen ist, ist  auch 

T GlR V −→Gl ˜ 7−→ A, A0 (0) . R (V ) × glR (V ) : A, A(t) Andererseits liefert die Parallelisierung in S. 36 T GlR V −→Gl ˜ ˜ R V × TI GlR V −→Gl R V × glR V : 37


 

 −1  7−→ A, A−1 A0 (0) . A, A(t) 7−→ A, TA lA A(t) ¨ Uberlege warum, und ob dieses Ph¨anomen bei OR (V ) und SlR (V ) auch auftritt! ¨ 2.11 Bestimme die Gestalt der 3 Vektorfelder, welche in den Spalten von B(x) in S. 29 Ub. stehen, in der u ¨blichen Darstellung von S3 ⊂ R4 , d.h. berechne P (Xj ), wenn ¨ 1.1, S. 12 und P (Xj ) wie im B = (X1 , X2 , X3 ), P : S −→S ˜ 3 wie in S. 9 und Ub. Lemma in S. 35. Hinweis: Berechne die lineare Abbildung TP −1 (y) P · B(P −1 y) f¨ ur y ∈ S3 mittels der Formel f¨ ur T P in S. 33. ¨ 2.12 Gib ein nirgends verschwindendes Vektorfeld auf Sn , n ungerade, an. Ub. Hinweis: Betrachte entweder eine Spalte von B(x) in S. 29 oder die Vektorfelder ¨ 2.11. P (Xj ) in Ub. ¨ 2.13 Zeige, dass S7 parallelisierbar ist. Ub. Hinweis: Betrachte die folgenden 7 Vektorfelder S7 −→ T S7 : y 7−→  2   3   4   5   6   7   8  y y y y y y y −y 1  −y 4   y 3  −y 6   y 5  −y 8   y 7   4   1  2  7  8   5   6  y  −y  −y  −y   y   y  −y   3  2   1  8   7   6  5 −y   y  −y   y   y  −y  −y   6  ,  7  ,  8  ,  1  ,  2  ,  3  ,  4  ∈ T y S7 ⊂ T y R 8 .  y   y  −y  −y  −y  −y   y   5  8  7  2   1  4   3  −y  −y  −y   y  −y   y   y   8   5  6   3   4  1  2  y  −y   y   y  −y  −y  −y  −y 1 y2 −y 3 −y 4 y5 y6 −y 7  
¨ 2.14 Betrachte R, {id} als C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Ub.  3/2

Es sei |x| ], [fλ ] : λ ∈ Λ eine Basis von C01 (R), sodass R [fλ ] : λ ∈ Λi C02 (R) enth¨alt. (Mittels des
Zornschen Lemmas l¨asst sich eine solche Basis finden.) F¨ ur  3/2 1 . [f ] ∈ C0 (R) sei D [f ] der Koeffizient von [f ] bez¨ uglich des Basiselementes |x| Zeige, dass D eine Derivation ist! L¨asst sich D durch einen Tangentialvektor darstellen? ¨ 2.15 Es sei M := [0, 2π) × R und A = {ϕ1 , ϕ2 }, wobei Ub.
ϕ1 = id : (0,  2π) × R −→ (0, 2π) × R und ϕ2 : [0, 2π) \ {π} × R −→ (−π, π) × R : (t, u) : 0 ≤ t < π a) Zeige, dass A die Bedingungen (i), (t, u) 7−→ (t − 2π, −u) : π < t < 2π.
(ii), (iii), (v) in S. 20 erf¨ ullt und dass M,  [A] eine C ∞ -Mannigfaltigkeit ist. cos t b) Zeige, dass M −→ S1 : (t, u) 7−→ ein C ∞ -Vektorraumb¨ undel ist. sin t ¨ 1.9, S. 15. Zeige, dass M −→ X : (t, u) 7−→ c) X sei das M¨obiusband aus Ub.
T cos t, sin t, u cos 2t , u sin 2t ein Diffeomorphismus ist. 38

§3

Tensoren auf Mannigfaltigkeiten

 

Hilfssatz und Definition: p : M1 , [A1 ] −→ M2 , [A2 ] C k -Vektorraumb¨ undel. −1 −1 Dann hat p (x) f¨ ur x ∈ M2 die Struktur eines R-Vektorraums S. 22). p (x)∗ sei (vgl. k ∗ −1 ∗ undel der Dualraum. Dann ist M1 := (x, ω) : x ∈ M2 , ω ∈ p (x) ein C -Vektorraumb¨ ∗ ˜ mit der Projektion p : (x, ω) 7−→ x und dem Vektorraumb¨ u
ndelatlas A1 := {ϕ˜1 : ϕ1 ∈ A1 }, wobei f¨ ur (ϕ1 : U1 −→ V1 ) ∈ A1 , mit ϕ2 : p(U1 ) −→ V2 ∈ A2 und U1

ϕ1

p

?

p(U1 )

- V = V × Rn1 −n2 1 2

pr1

ϕ2

?

- V 2

 ˜1 := (x, ω) ∈ M1∗ : x ∈ p(U1 ) , ϕ˜1 : U˜1 −→ V1 : (x, ω) 7−→ (vgl. S. 22) definiert wird: U
ϕ2 (x), (ϕ1 p−1 (x) )T −1 (ω) . (Dabei ist ϕ1 p−1 (x) : p−1 (x) −→ Rn1 −n2 ein Vektorraum
T −1 Isomorphismus und daher ϕ1 p−1 (x) : p−1 (x)∗ −→ (Rn1 −n2 )∗ ' Rn1 −n2 eben    ˜ 1 ] h¨angt nur von [A1 ] ab und p∗ : M ∗ −→ M2 heißt das duale B¨ falls.) [A undel 1 zu p : M1 −→ M2 . Beweis: M1∗ wird eine topologische Mannigfaltigkeit nach dem Hilfssatz in S. 20. Nach˜ ein Vektorraumb¨ zupr¨ ufen ist nur, dass A undelatlas ist.  1  0     0  f ] .) ˜ (Dann folgt auch [A1 ] = [A1 ] =⇒ [A1 ] = [A 1 ˜ (i) und (ii) in S. 22 sind offenbar erf¨ ullt. Dass A1 C k ist, sieht man in Koordinaten: −1 1 n1 T 1 ψ1 ϕ1 : (x , · · · , x ) 7−→ (y , · · · , y n2 , a1j xn2 +j , · · · , ajn1 −n2 xn2 +j )T , wobei y 1 , · · · , y n2 , a1j , · · · , ajn1 −n2 von x1 , · · · , xn2 abh¨angige C k -Funktionen sind. 1 n1 T 1 n2 1 n2 +j Dann ist ψ˜1 ϕ˜−1 , · · · , bnj 1 −n2 xn2 +j )T mit 1 : (x , · · · , x ) 7−→ (y , · · · , y , bj x  B = AT −1 ebenfalls C k , wenn A = (aij ) ∈ R(n1 −n2 )×(n1 −n2 ) . Bemerkung: Wie sich sp¨ater zeigen wird, gibt es immer einen (allerdings nicht kanonischen) Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus: F : M1 −→ M1∗ (vgl. S. 89). Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. 1) (T M )∗ =: T ∗ M heißt Cotangentialraum zu M .  Es ist also T ∗ M = (x, ω) : x ∈ M, ω ∈ (Tx M )∗ =: Tx∗ M .

2) Ein Schnitt in T ∗ M heißt lineare Differentialform oder 1-Form. T1 M := {1-Formen} = {Ω : M −→ T ∗ M C k−1 : p∗ ◦ Ω = idM }.
Notation: M, [A] n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1.
Wenn ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A, so ist T ϕ : T U −→ V × Rn : 39

(x0 , v i ∂i ) 7−→ (x10 , · · · , xn0 , v 1 , · · · , v n )T im B¨ undelatlas von T M. Dann ist
∗−1 ∗ n f g T ϕ : T U = p (U ) = T U −→ V × R : (x0 , ω) 7−→ x10 , · · · , xn0 , (Tx0 ϕ)T −1 (ω) . Wenn e1 , · · · , en wieder die Standardbasis in Rn ' (Rn )∗ ist, so definiert man dxi := (Tx0 ϕ)T (ei ) (manchmal schreibe ich genauer dx0 xi ). Dann gilt also Tfϕ : (x0 , ωi dxi ) 7−→ (x10 , · · · , xn0 , ω1 , · · · , ωn )T . dx0 x1 , · · · , dx0 xn ∈ Tx∗0 M ist also die duale Basis zu (∂1 )x0 , · · · , (∂n )x0 , d.h. h∂j , dxi i = δji . (Wenn V ein RVektorraum, so ist h , i : V × V ∗ −→ R die Auswertung.) ∂xj i0 Daher gilt bei Kartenwechsel: dxj = (als ob man k¨ urzen w¨ urde, vgl. S. 17). 0 dx i ∂x Aus dieser Gleichung folgt, dass dx0 xj = dx0 x˜j , wenn xj = x˜j bei x0 . Im Unterschied zu ∂j (vgl. S. 17, 18) h¨angt dxj also nur von der Funktion xj selber, nicht von x1 , · · · , xj−1 , xj+1 , · · · , xn ab. ∂xj 0 F¨ ur die Koordinaten gilt ω = ωj dxj = ωi0 dxi ∈ Tx∗0 U =⇒ ωi0 = ωj i0 . Der Vektor ∂x (ω1 , · · · , ωn ) transformiert sich kovariant“. ” k−1 In der Karte Tfϕ ist Ω ∈ T1 M gegeben
durch eine C -Funktion n U −→ R : x 7−→ ω1 (x), · · · , ωn (x) , d.h. Ω(x) = ωi (x) dxi (eigentlich genaugenommen Ω(x) = x, ωi (x)dxi ), vgl. S. 24). Wenn wieder T1 (M ) als C k−1 (M )-Modul aufgefasst wird (s.u.), so ist also T1 (U ) ein freier C k−1 (U )-Modul mit der Basis dx1 , · · · , dxn . Bsp.: 1) V n-dimensionaler R-Vektorraum mit Standardstruktur. Dann ist T ∗ V ' V × V ∗ , wenn wie in S. 18 Tx0 V mit V identifiziert wird. Speziell f¨ ur V = Rn identifizieren wir weiters Rn∗ mit Rn und folglich ist T ∗ U ' U × Rn f¨ ur U ⊂ Rn offen. 2) Wenn N ⊂ M Untermannigfaltigkeit, so ist nicht T ∗ N ⊂ T ∗ M wie beim Tangentialraum, sondern wir erhalten einen kanonischen B¨ undelepimorphismus  (x, ω) ∈ T ∗ M : x ∈ N −→ T ∗ N : (x, ω) 7−→ (x, ω T ). xN

3) F¨ ur Kugelkoordinaten U −→ R3 : x 7−→ (r, ϑ, ϕ) wie in S. 18 ist 3 ∂r 1P 1 ∂xj i i i dr = dx = = ωj xj etc. x dx , ω = ω r j ∂xi r i=1 ∂r r 4) Man kann T ∗ Sn nach 2) zwar nicht kanonisch, aber dennoch in folgender Weise in T ∗ Rn+1 einbetten: F¨ ur x0 ∈ Sn sei F : Tx∗0 Sn ,→ Tx∗0 Rn+1 die duale Abbildung zu Tx0 Rn+1 o

?

Rn+1

- T Sn x0

-

o

?

w ∈ Rn+1 : hx0 , wi = 0 : v 7−→ v − x0 hx0 , vi 40

(wobei hx0 , vi =

n+1 P i=1

xi0 v i ).

Wir wollen sehen, was in den Karten ϕn+1,+ : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T auf Sn und id auf n P Rn+1 passiert. Wenn x0 ∈ Un+1,+ , d.h. xn+1 > 0, so identifizieren wir w = wi ∂i mit 0 i=1 T  1 ∈ Tx0 Rn+1 ' Rn+1 (vgl. etwa S. 18), d.h. w1 , · · · , w n , − n+1 (w1 x10 + · · · + w n xn0 ) x0 n P {w ∈ Rn+1 : hx0 , wi = 0} ' Tx0 Sn : w 7−→ w i ∂i . i=1

Wenn daher i ∈ {1, · · · , n}, v ∈ Rn+1 , so ist

 i  F (dxi ) , |{z} = dx , v − x0 hx0 , vi = wi = v i − xi0 hx0 , vi, v | {z } | {z } n+1 ∈Tx∗0 Rn+1 ∈Tx0 R

d.h. F (dx0 xi ) = dx0 xi − xi0

=w∈Tx0 Sn

n+1 P j=1

xj0 dx0 xj ∈ Tx∗0 Rn+1 .

Mit den gleich folgenden Definitionen kann man schreiben:  ! x . F : T ∗ Sn ,→ T ∗ Rn+1 : (x0 , dx0 g) 7−→ x0 , dx0 g |x| Hilfssatz und Definition: M sei C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. 1) T1 (M ) ist ein C k−1 (M )-Modul, wenn (f ·Ω)(x0 ) := f (x0 )Ω(x0 ) f¨ ur f ∈ C k−1 (M ), Ω ∈ T1 (M ) gesetzt wird. (Allgemeiner ist der Vektorraum der Schnitte eines C k -Vektorraumb¨ undels p : M1 −→ M2 ein C k (M2 )-Modul.)
2) d : C k (M ) −→ T1 (M ) : f 7−→ x0 7−→ dx0 f = T f Tx M : Tx0 M −→ Tf (x0 ) R ' R 0   x(t) 7−→ (f ◦ x)0 (0) ∂f dxi . ist R-linear und erf¨ ullt d(f · g) = f · dg + g · df. In Koordinaten gilt df = ∂xi (Speziell sind die fr¨ uheren Bezeichnungen dxi , dx0 xi konsistent.) 3) Allgemeiner, wenn auch N C k und f : M −→ N C k , so ist f ∗ : T1 (N ) −→ T1 (M ) : 


 Ω 7−→ ( x0 7−→ v 7−→ (Tx0 f ) (v), Ω f (x0 ) (oder anders geschrieben ∈M

∗

∈Tx0 M

(f Ω)(x0 ) = (Tx0 f )

T



Ω f (x0 )

∈Tf (x0 ) N




∈Tf∗(x ) N 0

) wohldefiniert und linear. Es gilt:

(i) g ∈ C k−1 (N ), Ω ∈ T1 (N ) =⇒ f ∗ (g · Ω) = (g ◦ f ) · f ∗ (Ω); (ii) g ∈ C k (N ) =⇒ f ∗ (dg) = d(g ◦ f ). Speziell gilt in Koordinaten, wenn f : (x1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y p )T : f ∗ (ωi dy i ) 41

∂y i j dx . 2) ergibt sich folgendermaßen als Spezialfall: ∂xj df = f ∗ (dt), wenn t die Koordinate auf R1 bezeichnet, d.h. dt ∈ T1 (R), dt : R −→ T ∗ R ' R × R : t 7−→ (t, 1).

= (ωi ◦ f )d(y i ◦ f ) = (ωi ◦ f )

Beweis: In Koordinaten ist 1) klar.   2) F¨ ur f ∈ C k (M ), x0 ∈ M, x(t) ∈ Tx0 M und Koordinaten x1 , · · · , xn bei x0 gilt:     ∂f 0 i 0 i (x0 )(x ) (0) und dx x(t) = (nach S. 40) = (df )(x ) x(t) = (f ◦ x) (0) = | {z 0} ∈Tx0 M ∂xi ∈Tx∗0 M



 i

∂f = (xi )0 (0). Also: df = dxi . i ∂x D

E = g f (x0 ) · f ∗ (Ω)(x0 )(v) =⇒ 3) (i) f ∗ (g · Ω)(x0 )(v) = (T f )(v), (g · Ω) f (x0 ) f ∗ (g · Ω) = (g ◦ f ) · f ∗ Ω.    D  
E  (ii) f ∗ (dg)(x0 ) x(t) = (T f ) x(t) , (dg) f (x0 ) = (g◦f ◦x)0 (0) = d(g◦f )(x0 ) x(t) |  {z  }

(Tx0 ϕ)

x(t)

f ◦x(t)

∗

=⇒ f (dg) = d(g ◦ f ).

∂y i j dx . ∂xj i (Vorsicht: In der letzten Formel steht y i f¨ ur y i ◦f bzw. genaugenommen f¨ ur (ϕ2 ◦f ◦ϕ−1 1 ) , vgl. S. 3.) Aus der Darstellung in Koordinaten sehen wir, dass f ∗ (Ω) ∈ T1 (M ) f¨ ur Ω ∈ T1 (N ). 

Daher ist f ∗ (ωi dy i ) = (ωi ◦ f )d(y i ◦ f ) = (ωi ◦ f )

Bemerkung: F¨ ur f ∈ C k (M ), v ∈ Tx0 M kann man dx0 f (v) als Richtungsableitung von f entlang v bezeichnen. dx0 f ∈ Tx∗0 M hat die Bedeutung des Gradienten von f in x0 . (Im Rn schreibt man ∇f als Spaltenvektor, weil man T Rn und T ∗ Rn identifiziert, vgl. § 6.) x Bsp.: Nochmals zu T ∗ Sn . Die Abbildung f : Rn+1 \ {0} −→ Sn : x 7−→ liefert |x| !     x x ∗ n n+1 . d g f : T1 (S ) −→ T1 (R \ {0}) : hdg 7−→ h |x| |x| Vorsicht: Das gibt nicht unmittelbar das F von S. 40. T1 (Sn ) und T ∗ Sn sind ganz verschiedene Dinge. Im allgemeinen gibt es auch kein T ∗ f : T ∗ N −→ T ∗ M. Hier haben wir noch zus¨atzlich die Abbildung i : Sn ,→ Rn+1 mit f ◦ i = id zur Verf¨ ugung und damit
 ∗ n ∗ n+1 kann man definieren G : T S −→ T R : (x0 , ω) 7−→ i(x0 ), (Ti(x0 ) f )T ω(i(x0 )) . Das liefert (mit (ii), S. 41, und!wenn wir wieder i(x0 ) = x0 setzen):   x G(x0 , dx0 g) = x0 , dx0 g f¨ ur x0 ∈ Sn , g ∈ Cxk0 (Sn ). |x| 42



 n+1 P j xi Speziell G(x0 , dx0 x ) = dx0 x0 dx0 xj = F (dx0 xi ), d.h. F = G. = dx0 xi − xi0 |x|   j=1   cos ψ cos(ϕ + ψ) liefert eine andere Einbettung von 7−→ f˜ : R2 \ {0} −→ S1 : eϕ sin ψ sin(ϕ + ψ) ¨ 3.2, S. 51). T ∗ S1 in T ∗ R2 (vgl. Ub. i

↑

→

G = F : T ∗ Sn ,→ T ∗ Rn+1 wie oben ergibt sich jedoch kanonisch, wenn wir zus¨atzlich die u ¨bliche Riemannsche Metrik auf Rn+1 zugrunde legen (siehe S. 89). Hilfssatz: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. T 1 (M )∗ sei der zu T 1 (M ) duale C k−1 (M ) 1 ∗ 1 Modul, d.h. T (M ) := h : T (M ) −→ C k−1 (M ) C k−1 (M )-linear . Dann ist  


F : T1 (M ) −→ T 1 (M )∗ : Ω 7−→ V1 7−→ x 7−→ V (x), Ω(x) ∈T (M )

∈M

|

ein C k−1 (M )-Modulisomorphismus.

∈Tx M ∈Tx∗ M

| {z ∈R {z

∈C k−1 (M )

}

}

Beweis: a) V (x) = v i (x)∂i , Ω(x) = ωi (x)dxi (lokal in einer Karte) =⇒

=⇒ V (x), Ω(x) = v i (x)ωi (x) ist C k−1 =⇒ F ist wohldefiniert und offenbar ein C k−1 (M )-Modulhomomorphismus. b) F ist injektiv: Wie Abschnitt b) in S. 25. c) F ist surjektiv: Wie Abschnitt c) in S. 25, 26.  Bsp.: 1) Da der duale Modul eines freien Moduls wieder frei ist, existiert eine Basis in T1 (Sn ) genau dann, wenn Sn parallelisierbar ist (wie man zeigen kann f¨ ur n ∈ {1, 3, 7}). ¨ 3.4, S. 52. Z.B. f¨ ur n = 1 ist dϑ eine Basis, vgl. S. 24, f¨ ur n = 3 siehe Ub. 43

Wegen f ∗ : T1 (Sn ) ,→ T1 (Rn+1 \ {0}) ist aber jedenfalls (vgl. S. 42) Ω ∈ T1 (Sn ) =⇒ f ∗ (Ω) = ωi (x)dxi , Ω = i∗ f ∗ (Ω) = ωi (x)dxi , d.h. dx1 , · · · , dxn+1 ist ein Erzeugendensy  n+1 P j j 1 stem von T1 (Sn ) u = x dx . ¨ber C k−1 (Sn ). Es gilt 0 = d 2 j=1

2) F¨ ur X ∈ T 1 (M ), f ∈ C k (M ) gilt hX, df i = X(f ), wenn rechts X als Derivation ∂f aufgefasst wird, denn in Koordinaten ist X = v i ∂i =⇒ hX, df i = v i i = X(f ). ∂x
(Auch f¨ ur k < ∞ ist F : T 1 (M ) −→ Der (M ) : X 7−→ f 7−→ X(f ) wohldefiniert und ¨ 2.14, S. 38). injektiv, aber nicht mehr surjektiv, vgl. Ub.

Operationen mit endlichdimensionalen Vektorr¨ aumen V, W, V1 , · · · , Vm seien endlichdimensionale Vektorr¨aume u ¨ber dem K¨orper K. Dann lassen sich folgende neue Vektorr¨aume und folgende kanonische Abbildungen definieren: 1) V1 × · · · × Vm =: V1 ⊕ · · · ⊕ Vm . 2) HomK (V1 , V2 ) := {f : V1 −→ V2 K-linear}, speziell: V ∗ := HomK (V, K).


3) HomK (V1 , V2 ) ' HomK (V2∗ , V1∗ ) : f 7−→ f T : v2∗ 7−→ v1 7−→ f (v1 ), v2∗ , speziell: V ' HomK (K, V ) ' HomK (V ∗ , K ∗ ) ' V ∗∗
- v ∗ 7−→ hv, v ∗ i . v

4) MulK (V1 , · · · , Vm | W ) := {f : V1 × · · · × Vm −→ W K-multilinear}, speziell: MulK (V1 , · · · , Vm ) := MulK (V1 , · · · , Vm | K) und MulK (V1 , · · · , Vm | W ) ' MulK (V1 , · · · , Vm , W ∗ ) 


- (v1 , · · · , vm , w ∗ ) 7−→ f (v1 , · · · , vm ), w ∗ f und HomK (V1 , V2 ) = MulK (V1 | V2 ) ' MulK (V1 , V2∗ ). 5) V1 ⊗ · · · ⊗ Vm := MulK (V1∗ , · · · , Vm∗ ),

∗ i : V1 × · · · × Vm −→ V1 ⊗ · · · ⊗ Vm : (v1 , · · · , vm ) 7−→ (v1∗ , · · · , vm ) 7−→

m Q

j=1

hvj , vj∗ i




ist K-multilinear. i(v1 , · · · , vm ) wird mit v1 ⊗· · ·⊗vm bezeichnet. Da i(V1 ×· · ·×Vm ) den Vektorraum V1 ⊗ · · · ⊗ Vm aufspannt, ist ein Homomorphismus von V1 ⊗ · · · ⊗ Vm nach W schon durch Angabe der Bilder von v1 ⊗ · · · ⊗ vm , vi ∈ Vi , bestimmt. (Da die Menge der v1 ⊗· · ·⊗vm nicht linear unabh¨angig ist, muss man allerdings separat zeigen, dass so ein Homomorphismus wohldefiniert ist.) Speziell nach 4): V1∗ ⊗V2 ' HomK (V1 , V2 ) :
∗ ∗ v1 ⊗ v2 7→ v1 7→ v2 hv1 , v1 i . 3) entspricht V1 ⊗ V2 ' V2 ⊗ V1 : v1 ⊗ v2 7−→ v2 ⊗ v1 . 44

6) Universelle Eigenschaft von ⊗ : MulK (V1 , · · · , Vm | W ) ' HomK (V1 ⊗ · · · ⊗ Vm , W )
- v1 ⊗ · · · ⊗ vm 7−→ f (v1 , · · · , vm ) f 7) Assoziativit¨at: (V1 ⊗ · · · ⊗ Vk ) ⊗ (Vk+1 ⊗ · · · ⊗ Vm ) ' V1 ⊗ · · · ⊗ Vm (v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) ⊗ (vk+1 ⊗ · · · ⊗ vm ) 7−→ v1 ⊗ · · · ⊗ vm 8) Verj¨ ungung: V1 ⊗ · · · ⊗ Vm ⊗ Vm∗ −→ V1 ⊗ · · · ⊗ Vm−1 ∗ ∗ v1 ⊗ · · · ⊗ v m ⊗ v m 7−→ hvm , vm iv1 ⊗ · · · ⊗ vm−1 , ∗ ∗ speziell: V1 ⊗ · · · ⊗ Vm ' (V1 ⊗ · · · ⊗ Vm )∗ m
Q ∗ 7−→ v1 ⊗ · · · ⊗ vm 7−→ v1∗ ⊗ · · · ⊗ vm hvj , vj∗ i j=1

9) Kommutativit¨at: σ ∈ Sm := Permutationen von {1, · · · , m} σ : V1 ⊗ · · · ⊗ Vm −→V ˜ σ(1) ⊗ · · · ⊗ Vσ(m) : v1 ⊗ · · · ⊗ vm 7−→ vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(m) .

10) Tensorpotenzen, symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren: Ab hier sei char K = 0. V ⊗0 := K, V ⊗m := V · · ⊗ V}, | ⊗ ·{z

m  S m (V ) := w ∈ V ⊗m : ∀σ ∈ Sm : σ(w) = w , Λm (V ) := w ∈ V ⊗m : ∀σ ∈ Sm : σ(w) = sign (σ)w 1 P S : V ⊗m −→ S m (V ) : w 7−→ σ(w). m! σ∈Sm 1 P sign (σ)σ(w). A : V ⊗m −→ Λm (V ) : w 7−→ m! σ∈S m Es ist S S m (V ) = idS m (V ) , A Λm (V ) = idΛm (V ) . P Man schreibt v1 ∧ · · · ∧ vm := m!A(v1 ⊗ · · · ⊗ vm ) = sign (σ)vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(m) . σ∈Sm

Wenn {e1 , · · · , en } eine Basis in V ist, so ist {ei1 ∧· ··∧eim
: 1 ≤ i1 < · · · < im ≤ n} n : 0≤m≤n m eine Basis in Λm (V ) und daher gilt dim Λm (V ) = 0 : m > n.  m In S (V ) ist hingegen  S(ei1 ⊗ ·· · ⊗ eim ) : 1 ≤ i1 ≤ · · · ≤ im ≤ n eine Basis und n+m−1 daher dim S m (V ) = . m Speziell: m = 0 : S 0 (V ) = Λ0 (V ) = K, m = 1 : S 1 (V ) = Λ1 (V ) = V, m = 2 : S 2 (V ) ⊕ Λ2 (V
) ' V ⊗2 S(w), A(w)  w 45

(F¨ ur m ≥ 3 zerf¨allt V ⊗m in Sm -invariante Unterr¨aume entsprechend den Youngtableaus.) 11) Die Algebra der schiefsymmetrischen Tensoren: bilinear Wir wollen ∧ : Λm1 (V ) × Λm2 (V ) −→ Λm1 +m2 (V ) so definieren, dass f¨ ur vi ∈ V gilt (v1 ∧ · · · ∧ vm1 ) ∧ (vm1 +1 ∧ · · · ∧ vm1 +m2 ) = v1 ∧ · · · ∧ vm1 +m2 . (Dann ist ∧ automatisch assoziativ, d.h. (w1 ∧ w2 ) ∧ w3 = w1 ∧ (w2 ∧ w3 ) f¨ ur wi ∈ Λmi (V ). Dazu sei w1 ∧ w2 := cm1 ,m2 A(w1 ⊗ w2 ) f¨ ur wi ∈ Λmi (V ) mit cm1 ,m2 ∈ K, A wie in S. 45, 10).PDann gilt f¨ ur w1 = v1 ∧ · · · ∧ vm1 , w2 = vm1 +1 ∧ · · · ∧ vm1 +m2 : w1 ∧ w2 = cm1 ,m2 · sign (σ)sign (τ ) · A(vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(m1 ) ⊗ vm1 +τ (1) ⊗ · · · ⊗ vm1 +τ (m2 ) ) = σ∈Sm1 τ ∈Sm2

= (wegen Aσ(w) = sign (σ)A(w)) = cm1 ,m2 m1 !m2 !A(v1 ⊗  · · · ⊗ vm1 +m 2 ) = m1 !m2 ! m1 + m 2 A(w1 ⊗ w2 ). · v1 ∧ · · · ∧ vm1 +m2 . Daher: w1 ∧ w2 := cm1 ,m2 m1 (m1 + m2 )!  −1 m 1 + m2 ˜ w2 := Vorsicht: Manchmal wird statt ∧ auch w1 ∧ · w1 ∧ w2 gem1 nommen. Dann ist also z.B. f¨ ur v1 , v2 ∈ V v1 ∧ v2 = v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1 aber 1 ˜ v2 = (v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1 ) = A(v1 ⊗ v2 ). v1 ∧ 2 In beiden F¨allen ist ∧ assoziativ und es gilt f¨ ur w1 ∈ Λm1 (V ), w2 ∈ Λm2 (V ) : w1 ∧ w2 = (−1)m1 m2 w2 ∧ w1 . n=dim(V L ) m Λ(V ) := Λ (V ) ist also eine assoziative Algebra. (Die obige Definitim=0

on von ∧ hat folgenden Vorteil: Wenn e1 , · · · , en eine Basis von V, e1 , · · · , en die duale Basis in V ∗ ist, so gilt e1 ∧ · · · ∧ en ∈ Λn V ∗ ⊂ MulK (V, · · · , V ) mit n Q P (e1 ∧ · · · ∧ en )(e1 , · · · , en ) = sign (σ) hei , eσ(i) i = 1, d.h. e1 ∧ · · · ∧ en : i=1

σ∈Sn

V × · · · × V −→ K ist die zur Basis e1 , · · · , en geh¨orende Determinantenabbildung.)

Hilfssatz und Definition: p : M −→ N, pi : Mi −→ N seien C k -Vektorraumb¨ undel, i = 1, · · · , m. T (M ) bezeichne den C k (N )-Modul der Schnitte von p. 1) Den obigen Vektorraumbildungen entsprechen C k -Vektorraumb¨ undel u ¨ber N, in−1 dem man f¨ ur x ∈ N Vi := pi (x) setzt. Diese B¨ undel werden mit M1 ⊕ · · · ⊕ ∗ Mm , M , HomR (M1 , M2 ), M1 ⊗ · · · ⊗ Mm , Mul(M1 , · · · , Mm−1 | Mm ), M ⊗m , S m (M ), Λm (M ), Λ(M ) bezeichnet. (Vorsicht: HomR (M1 , M2 ) ist ein Vektorraumb¨ undel, kein B¨ undelhomomorphismus!) 2) Den obigen linearen Abbildungen entsprechen B¨ undelhomomorphismen, den multilinearen Abbildungen multilineare B¨ undelmorphismen“ (die also in den Fasern ” 46

multilinear sind), z.B. M1 ⊗ M2 ' M2 ⊗ M1 : (x0 , v1 ⊗ v2 ) 7−→ (x0 , v2 ⊗ v1 )

F
G : M1 ⊕ · · · ⊕ Mm −→ M1 ⊗ · · · ⊗ Mm : x
0 , (v1 , · · · , vm ) 7→ (x0 , v1 ⊗ · · · ⊗ vm ) H : Λ(M ) ⊕ Λ(M ) −→ Λ(M ) : x0 , (w1 , w2 ) 7−→ (x0 , w1 ∧ w2 ) (F ist linear, G, H sind multilinear.)

3) Die obigen linearen Abbildungen liefern durch Zusammensetzung Abbildungen der Schnitte, z.B. T (M1 ⊗ M2 ) ' T (M2 ⊗ M1 ) : X 7−→ F ◦ X, T (M1 ) × · · · × T (Mm ) ' T (M1 ⊕ · · · ⊕ Mm ) −→ T (M1 ⊗ · · · ⊗ Mm ) (X1 , · · · , Xm ) 7−→ X1 ⊗ · · · ⊗ Xm : x0 7−→ X1 (x0 ) ⊗ · · · ⊗ Xm (x0 ) ∈p−1 ∈p−1 m (x0 ) 1 (x0 )


T Λ(M ) ×T Λ(M ) −→ T Λ(M ) : (X1 , X2 ) 7→ X1 ∧X2 : x0 7→ X1 (x0 )∧X2 (x0 )

Beweis: Wie f¨ ur M ∗ in S. 39.

Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, m, q ∈ {0, 1, 2, · · · }.

 m ⊗m ∗ ⊗q 1) Das Vektorraumb¨ u ndel T M := (T M ) ⊗ (T M ) = (x, t) : x ∈ M, t ∈ q ⊗m ∗ ⊗q heißt B¨ undel der Tensoren vom Typ (m, q) bzw. der Tx M ⊗ Tx M m-fach kontra- und q-fach kovarianten Tensoren.

2) Tqm (M ) := T (Tqm M ) 3 X heißt Tensorfeld vom Typ (m, q).

dim QM q Ω (M ) Ωq (M ) := T Λq (T ∗ M ) 3 Ω heißt q-Form, Ω(M ) := T Λ(T ∗ M ) = q=0

heißt Raum der Differentialformen.

Notation: Es sei p : Tqm M −→ M das Tensorb¨ undel vom Typ (m, q). 1 n T Wenn ϕ : U −→ V : x − 7 → (x , · · · , x ) eine Karte auf M ist und x0 ∈ U, so ist  j1 jq (∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂im ⊗ dx ⊗ · · · ⊗ dx )x0 : i1 , · · · , im , j1 , · · · , jq ∈ {1, · · · , n} eine Basis von Tx0 M ⊗m ⊗ Tx∗0 M ⊗q . Daher schreibt sich t ∈ p−1 (x0 ) so: i1 ···im j1 jq m t = tji11···i ···jq (∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂im ⊗ dx ⊗ · · · ⊗ dx )x0 mit tj1 ···jq ∈ R, die sich bei Basiswechsel i1 0 ∂xim 0 ∂xl1 ∂xlq k1 ···km ∂x m0 · · · · · · , vgl. S. 17 und S. 40. so transformieren: tji11···i = t ···jq l1 ···lq ∂xk1 ∂xkm ∂xj1 0 ∂xjq 0 Im folgenden wird, wie in der Physik u ¨blich, die Basis oft weggelassen, d.h. ich schreibe
m m m ). Wenn X ∈ T (M ), so heißt das, dass f¨ ur x0 ∈ U gilt: X(x0 ) = tji11···i t = (tji11···i q ···jq (x0 ) ···jq q ∗ m mit C k−1 -Funktionen tji11···i ···jq . Wenn x0 ∈ U und ω ∈ Λ (Tx0 M ), so ist ω =

P

1≤j1 <···<jq ≤n

=

P

1≤j1 <···<jq ≤n σ∈Sq

ωj1 ···jq dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq

sign (σ)ωj1 ···jq dxjσ(1) ⊗ · · · ⊗ dxjσ(q) = ωj1 ···jq dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjq 47

wobei ωj1 ···jq alternierend ist, d.h. ωjσ(1) ···jσ(q) = sign (σ) ωj1 ···jq f¨ ur σ ∈ Sq . Man kann also ω ∈ Λq (Tx∗0 M ) bzw. Ω ∈ Ωq (M ) entweder durch beliebige ωj1 ···jq , 1 ≤ j1 < · · · < jq ≤ n (in R bzw. C k−1 (U )) oder Tensorkoordinaten P durchi seinej alternierenden i j ωj1 ···jq angeben. Z.B. f¨ ur q = 2 : ω = ωij dx ∧ dx = ωij dx ⊗ dx mit ωij = −ωji . i<j

Bsp.: 1) Wegen HomR (V, V) ' V ⊗ V ∗ (vgl. S. 44) gilt T11 M ' HomR (T M, T M ) = (x, f ) : x ∈ M, f ∈ HomR (Tx M, Tx M ) : (x, tij ∂i ⊗ dxj ) 7−→ (x, v j ∂j 7−→ tij v j ∂i ) Ein spezieller Schnitt von HomR (T M, T M ) ist δ : x 7− → idTx M . In einer Karte gilt 1:i=j . δ = δji ∂i ⊗ dxj mit dem u ¨blichen Kroneckersymbol δji = 0 : sonst Beachte, dass δ ∈ T11 (M ) eines der wenigen Tensorfelder ist, dessen Koordinaten a) von ¨ 3.6, S. 52). der Karte und b) vom Punkt x unabh¨angig sind. (Vgl. auch Ub. 2) Die Abbildungen 7) und 9) in S. 45 liefern: m1 m2 1 +m2 T ˜ qm1 +q (M ) 2  q1 (M ) ⊗ T
q2 (M )−→T  i 1 +1 ···im1 +m2
i ···i i1 ···im2
i1 ···im1 7−→ x, sj11 ···jmq11 tjm x, sj1 ···jq1 ⊗ tj1 ···jq2 und entsprechend q1 +1 ···jq1 +q2

1 +m2 2 1 (M ) −→ Tqm (M ) : (S, T ) 7−→ S ⊗ T. (M ) × Tqm Tqm 1 +q2 2 1 3) F¨ ur 1 ≤ a ≤ m, 1 ≤ b ≤ ungungsabbildung  8), 9)in S. 45 eine Verj¨  q geben 7),

 i ···i i i ···i a 1 a−1 m−1 m−1 m − 7 → x, t und entsprechend Tqm (M ) −→ Tq−1 (M ) : x, tqi11···i ···qm j1 ···jb−1 i jb ···jq−1

m−1 (M ), vgl. S. 47. Tqm (M ) −→ Tq−1 4) Wenn M = V ein n-dimensionaler Vektorraum, so ist kanonisch Tqm V ' V × (V ⊗m ⊗ V ∗⊗q ). Man k¨onnte sogar Tqm V wieder als R-Vektorraum auffassen, d.h. Tqm V ' V ⊕ (V ⊗m ⊗V ∗⊗q ). Es ist aber nicht sehr sinnvoll, da damit zwei verschiedene Additionsarten entstehen: a) in der Faser: (x0 , s) + (x0 , t) = (x0 , s + t) (Vektorraumb¨ undel) b) als Vektorraum: (x0 , s) + (x1 , t) = (x0 + x1 , s + t). 5) Es sei R V ein n-dimensionaler Vektorraum und 0 6= det ∈ Λn (V ∗ ) gegeben. e1 , · · · , en sei eine Basis von V mit det (e1 , · · · , en ) = 1 und V −→ Rn : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T seien die Koordinaten bzgl. e1 , · · · , en . Die Volumsform D := dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∈ Tn (V ) ist von der Wahl der Koordinaten unabh¨angig, denn wenn e0i = aji ej eine zweite Basis 0 0 mit det (e01 , · · · , e0n ) = 1, d.h. det (aji ) = 1,X so gilt xj = xi aji , dxj = aji dxi =⇒ 0 0 0 sign(σ)a1σ(1) · · · anσ(n) dx1 ∧ · · · ∧ dxn0 = dx1 ∧ · · · ∧ dxn = a1i1 dxi1 ∧ · · · ∧ anin dxin = σ∈Sn

|

0

{z

det (aij )

}

dx1 ∧ · · · ∧ dxn0 . (Eine andere Beg¨ undung ist, dass, wenn wir Tx0 V ∗⊗n ' V ∗⊗n = Mul ( V, · · · , V ) identifizieren, D(x0 ) durch det gegeben ist.) Ebenso zeigt sich, dass | {z } n

X := xj ∂j ∈ T 1 (V ) basisunabh¨angig ist. Wir definieren (vgl. 3) oben) L := Verj¨ ungung 48

(X ⊗ D) =

P

σ∈Sn

sign (σ)xσ(1) dxσ(2) ⊗ · · · ⊗ dxσ(n) =

n P

j=1

xj

P

σ∈Sn ,σ(1)=j

sign (σ)dxσ(2) ⊗ · · · ⊗

dxσ(n) .  (j) {σ ∈ Sn : σ(1) = j} ' Permutationen von {1, · · · , j − 1, j + 1, · · · , n} =: Sn−1 : σ(k + 1) : k < j σ 7−→ τ : k 7−→ σ(k) : k > j.   1···j − 1 j j + 1···n Dann ist τ = σ ◦ (eingeschr¨ankt auf {1, · · · , n} \ {j}) =⇒ 2···j 1 j + 1···n n P P xj (−1)j−1 sign (τ ) dxτ (1) ⊗ · · · ⊗ dxˆτ (j) ⊗ sign(τ ) = (−1)j−1 sign (σ) =⇒ L = j=1

· · · ⊗ dxτ (n) =

n P

j=1

(j)

τ ∈Sn−1

(−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxn .

L heißt Leray’sche Differentialform und h¨angt also nur von der Festlegung von det ab. Offenbar ist L(x) 6= 0 f¨ ur x 6= 0. Definition und Hilfssatz: F¨ ur eine Tensorbildung mit nachfolgender Verj¨ ungung (vgl. ¨ Bsp. 5) oben) schreibe ich h , i (man nennt dies auch manchmal Uberschiebung“). Man ” 0 0 erh¨alt also so f¨ ur 0 ≤ q ≤ m, 0 ≤ m ≤ q : 0 bilinearer - T m−q0 (M ) q−m B¨ undelmorphismus    
i1 ···im−q0 k1 ···kq0 i1 ···im0 l1 ···lm0
m ) x0 , sji11···i , (t − 7 → x , s ) · t =: x0 , hs, ti 0 ···jq j1 ···jq0 j1 ···jq−m0 l1 ···lm0 k1 ···kq0 | {z } | {z } 0

Tqm (M ) ⊕ Tqm0 (M )

s

t



 0 m−q 0 x0 7−→ S(x0 ), T (x0 ) =: und analog Tqm (M ) × Tqm 0 (M ) −→ Tq−m0 (M ) : (S, T ) 7−→ hS, T i. Speziell sich so:  ergibt m 1 Tq (M ) ' h : T (M )q × T1 (M )m −→ C k−1 (M )-multilinear : T , Ω1 , · · · , Ωm ) 7−→ hT, X1 ⊗ · · · ⊗ Xq ⊗ Ω1 ⊗ · · · ⊗ Ωm i und Ωq (M ) '  7−→ 1 (X1 ,q · · · , Xqk−1 h : T (M ) −→ C (M ) C k−1 (M )-multilinear und alternierend . Beweis: Analog zu S. 43.

Hilfssatz und Definition: (vgl. S. 31 und 41) Mi C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, f : M1 −→ M2 C k . (T m Mi := T0m Mi , Tq Mi := Tq0 Mi ) 1) T m f : T m M1 −→ T m M2 : (x0 , v1 ⊗ · · · ⊗ vm ) 7−→ {z } | v
f (x0 ), (Tx0 f )(v1 ) ⊗ · · · ⊗ (Tx0 f )(vm ) ist ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel-Homomor| {z } =:(Txm0 f )(v)

phismus bzgl. f : M1 −→ M2 .

49



 ist wohldefiniert 2) f ∗ : Tq M2 −→ Tq M1 : Ω 7−→ x0 7−→ (Txq0 f )T Ω f (x0 ) und erf¨ ullt f ∗ (g · Ω) = (g ◦ f ) · f ∗ (Ω). Weiters gilt f ∗ : Ωq M2 −→ Ωq M1 und in Koordinaten ist f ∗ (ωi1 ···iq dy i1 ⊗· · ·⊗dy iq ) = (ωi1 ···iq ◦f )d(y i1 ◦f )⊗· · ·⊗d(y iq ◦f ) = ∂y i1 ∂y iq (ωi1 ···iq ◦ f ) j1 · · · jq dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjq . ∂x ∂x Ganz pr¨azise ausgedr¨ uckt heißt das: Wenn Ω = ωi1 ···iq dy i1 ⊗ · · · ⊗ dy iq in einer Umgebung von y0 = f (x0 ), so ist f ∗ (Ω) wie oben bei x0 .) Weiters gilt: f ∗ (Ω1 ⊗ Ω2 ) = f ∗ (Ω1 ) ⊗ f ∗ (Ω2 ) f¨ ur Ωi ∈ Tqi (M2 ) und f ∗ (Ω1 ∧ Ω2 ) = ∗ ∗ qi f (Ω1 ) ∧ f (Ω2 ), Ωi ∈ Ω (M2 ) 3) f : M1 −→ M2 , g : M2 −→ M3 C k =⇒ (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ . Beweis: Analog zu S. 32, 42. Bemerkung: Rein kovariante Tensorfelder lassen sich also zur¨ uckziehen“. F¨ ur kontra” variante Tensorfelder ist es nur bei Diffeomorphismen ebenso einfach, siehe unten. Bsp.: 1) Wenn i : N ,→ M Untermannigfaltigkeit, so erhalten wir also i∗ : Tq M −→ ∗ Tq N. Speziell, wenn g1 , · · · , gq : M −→ R C k , so
ist dg1 ⊗ · · · ⊗
dgq ∈ Tq M und i (dg1 ⊗ · · · ⊗ dgq ) = d(g1 ◦ i) ⊗ · · · ⊗ d(gq ◦ i) = d g1 |N ⊗ · · · ⊗ d gq |N . Allerdings schreibt man f¨ ur gj |N meistens wieder gj , sodass sich in dieser schlampigen Schreibweise i∗ (dg1 ⊗ · · · ⊗ dgq ) = dg1 ⊗ · · · ⊗ dgq“∈ Tq (N ) ergibt. Dieses Schreibungsproblem tritt auch manchmal ” bei anderen Abbildungen f statt i auf. Ebenso: dg1 ∧ · · · ∧ dgq ∈ Ωq N. n+1 P ˆj ∧ (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dx 2) Speziell f¨ ur i : Sn ,→ Rn+1 ist i∗ (L) = (schlampig) = j=1
∗ · · · ∧ dxn+1 . i∗ (L) ist rotationsinvariant, denn wenn A ∈ SOn+1 , so ist A|Sn i∗ (L) =
∗ i ◦ A|Sn L = (A ◦ i)∗ L = i∗ A∗ L = i∗ L nach S. 49. Um zu zeigen, dass i∗ L 6= 0, k¨onnen wir etwa x0 = (0, · · · , 0, 1)T ∈ Sn betrachten: i∗ (L)(x0 ) = (−1)m dx0 x1 ∧ · · · ∧ dx0 xn 6= 0. Da es ∀x0 , x1 ∈ Sn ein A ∈ SOn+1 mit Ax0 = x1 gibt, sind alle rotationsinvarianten Volumsformen auf Sn folglich durch c · i∗ (L), c ∈ R, gegeben. Eine ¨ahnliche Situation herrscht bei Liegruppen: Hilfssatz und Definition: 1) (Vgl. S. 35) f : M1 −→ M2 sei ein C k -Diffeomorphismus, k ≥ 1. Dann induziert dies
Tqm f : Tqm M1 −→ ˜ Tqm M2 : (x0 , t) 7−→ f (x0 ), (Tx0 f )⊗m ⊗ (Tf (x0 ) f −1 )⊗qT t und B¨ undeliso.

f : Tqm M1 −→ ˜ Tqm M2 : X 7−→ (Tqm f ) ◦ X ◦ f −1 =: f (X). VR-Iso

2) (Vgl. S. 33) G sei eine Liegruppe. X ∈ Tqm (G) heißt links- (bzw. rechts-) invariant : ⇐⇒ ∀x0 ∈ G : lx0 (X) = X (bzw. r x0 (X) = X). Wenn I = 1G und Tq,lm bzw. r und Ωql bzw. r die Vektorr¨aume der links- bzw. rechtsinvarianten Tensorfelder und Formen sind, so sind 50


m Tq,I (G) ' Tq,lm bzw. r (G) : t 7−→ x0 7−→ (Tqm lx0 )(t) bzw. (Tqm rx0 )(t) und Λq (TI∗ G) ' Ωql bzw. r Isomorphismen von R-Vektorr¨aumen. Beweis: Analog S. 34–35. Bemerkung: Speziell f¨ ur m = 0, q = 1, ω = dI g, g ∈ C ∞ (U ), U Umgebung von I,  −1 0 0 (G) ' T1,l (G) = Ω1l (G) : ω = dI g 7−→ x0 7−→ T10 lx0 (ω) = (Tx0 lx0 )T (dI g) = folgt T1,I =TI∗ G

= (l

x−1 0


 )∗ (dg)(x0 ) = dx0 g(x−1 0 x) .

Bsp.: Wenn G p-dimensional ist, so sind also Ωpl (G) und Ωpr (G) eindimensional. Wir
2 wollen ein Basiselement in Ωnl Gln (R) ausrechnen. Dazu nehmen wir die Karte id : 2 Gln (R) −→ Rn : A 7−→ (aij ) und ω = da11 ∧ · · · ∧ dan1 ∧ da12 ∧ · · · · · · ∧ da1n ∧ · · · ∧ dann ∈

2 2 ur Λn TI∗ Gln (R) . Diesem ist nach dem Hilfssatz Ω ∈ Ωnl Gln (R) zugeordnet, wobei f¨ j −1 A0 ∈ Gln (R) (entspricht dem x0 oben) mit A0 = (bi ) gilt: jn j1 −1 n 1 n 1 Ω(A0 ) = (vgl. die Bemerkung) = d(A−1 0 A)1 ∧· · ·∧d(A0 A)n = (bj1 da1 )∧· · ·∧(bjn da1 )∧
P 1 j j (b1jn+1 da2n+1 ) ∧ · · · · · · ∧ (bnjn2 dann2 ) = bσ1 (1) · · · bnσ1 (n) sign (σ1 )da11 ∧ · · · ∧ dan1 ∧ · · · ∧ σ1 ∈Sn X
1 n 1 bσn (1) · · · bσn (n) sign (σn ) dan ∧ · · · ∧ dann = σn ∈Sn

|

{z

det(A−1 0 ) −n det(A0 ) da11 ∧ · · · ∧

}

dan1 ∧ da12 ∧ · · · · · · ∧ dann . ¨ 3.5, S. 52. Zu G = Sln (R) vgl. Ub. ¨ Ubungen  ¨ 3.1 Betrache die C ∞ -Karte auf R2 : ϕ : R2 \ (x, 0)T : x ≤ 0 −→ (0, ∞) × (−π, π) : Ub.     r cos ϑ . Stelle dx1 , dx2 durch dr, dϑ und umgekehrt dar. 7−→ r ϑ sin ϑ ¨ 3.2 Bestimme die Form der Einbettung T ∗ S1 ⊂ T ∗ R2 , welche sich aus der Abbildung Ub. f˜ in S. 43 ergibt. ¨ 3.1 und H : T ∗ S1 −→ T ∗ R2 : Hinweis: Berechne H(x0 , dϑ|S1 ), wenn

ϑ wie in Ub. T (x0 , ω) 7−→ i(x0 ), (Ti(x0 ) f˜ ) ω(i(x0 )) .
¨ 3.3 M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, f : M −→ Rn−p C k , N = f −1 (0), ∀x ∈ N : Ub. Rgx f = n − p ( =⇒
N ⊂ M Untermannigfaltigkeit). Es sei weiters ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A und bzgl. f : (x1 , · · ·, xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y n−p )T .  ϕ sei ∂(y 1 , · · · , y n−p ) Schließlich sei x0 ∈ U ∩ N und det (x0 ) 6= 0. ∂(xi1 , · · · , xin−p ) a) Zeige, dass dx0 (xj1 |N ), · · · , dx0 (xjp |N ) eine Basis in Tx∗0 N ist, wenn 51

{i1 , · · · , in−p , j1 , · · · , jp } = {1, · · · , n}. b) Was bedeutet das z.B. f¨ ur M = Rn+1 , N = Sn ? ¨ 3.4 a) Bestimme eine Basis des freien C ∞ (S3 )-Moduls T1 (S3 ), vgl. S. 43. Ub. b) Stelle d(x1 |S3 ), · · · , d(x4 |S3 ) durch diese Basis dar, wenn S3 ,→ R4 : x 7−→ (x1 , · · · , x4 )T . ¨ 2.11, S. 38 bestimmte Basis von T 1 (S3 ) und Hinweis zu a): Verwende die in Ub. den folgenden Vektorraumb¨ undelisomorphismus T S3 ' T ∗ S3 : F¨ ur x0 ∈ S3 sei Tx0 S3 ,→ Tx0 R4 ' Tx∗0 R4 −→ Tx∗0 S3 ∂j −→ dxj 7−→ d(xj |S3 ). (Dies ist die Einschr¨ankung der Riemannschen Standardmetrik von R4 auf S3 .) ¨ 3.5 a) Zeige, dass da11 , · · · , dan1 , da12 , · · · · · · , da1n , · · · , dan−1 eine Basis in TI∗ Sln (R) ist. Ub. n 1 b) Zeige, dass Ω(A) = da11 ∧ · · · ∧ da1n ∧ da12 ∧ · · · ∧ da1n ∧ · · · ∧ dann−1 ∈ ad n (A ) n
2 Ωln −1 Sln (R) f¨ ur (Aad )nn 6= 0. Ist Ω auch rechtsinvariant?

  sign (σ) : j1 = iσ(1) , · · · , jm = iσ(m) ; m ¨ 3.6 Zeige, dass εji1 ···i j1 , · · · , jm sind paarweise verschieden, σ ∈ Sm ; Ub. := 1 ···jm  0 : sonst ein Tensorfeld in Tmm (M ) definiert (dessen Koordinaten also vom Punkt und von der Karte unabh¨angig sind). Welche lineare Abbildung entspricht
ur x ∈ M ? ε ∈ Tx (M )⊗m ⊗ Tx∗ (M )⊗m ' HomR Tx (M )⊗m , Tx (M )⊗m f¨ Was ergibt sich f¨ ur m = 1 und f¨ ur m = 2 ?

¨ 3.7 a) Zeige, dass da12 , da23 , da31 eine Basis in TI∗ SO3 (R) bildet. Ub.
b) Es sei Ω ∈ Ω3l SO3 (R) mit Ω(I) = da12 ∧ da23 ∧ da31 und f : S2 × S1 −→ SO3 (R) ¨ 1.5 c), S. 13. Zeige, dass f ∗ (Ω) ∈ Ω3 (S2 × S1 ) die Form g(ϕ) L ∧ dϕ wie in Ub. haben muss, wobei L = x1 dx2 ∧ dx3 + x2 dx3 ∧ dx1 + x3 dx1 ∧ dx2 ∈ Ω2 (S2 ) und ϕ die Winkelvariable in S1 ist. Hinweis: F¨ ur A ∈ SO3 (R) kommutiert das Diagramm S2 × S 1

A × id

? 2

S ×S

1

f

- SO (R) 3

B

? ? - SO (R) ABA−1 3



f ¨ 7.5, S. 113). Verwende, dass Ω3l SO3 (R) = Ω3r SO3 (R) (s. Ub.   c) Berechne g ! 0  Hinweis: Nach b) k¨onnen wir x0 = 0 ∈ S2 setzen. In Tx∗0 S2 gilt 1 dx3 = d(x1 x2 ) = d(x2 x2 ) = 0. 52

Kap. II: Integration auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten §4

Borelmaße, Radonmaße, n-Formen und Orientierung

Def.: X Menge, P(X) := Potenzmenge von X 1) Σ ⊂ P(X) heißt σ-Algebra :⇐⇒ (i) ∅ ∈ Σ (ii) A ∈ Σ =⇒ X \ A ∈ Σ ∞ S (iii) Ai ∈ Σ, i ∈ N =⇒ Ai ∈ Σ. i=1

2) Σ σ-Algebra; µ : Σ −→ [0, ∞] heißt Maß :⇐⇒ (i) µ(∅) = 0 (ii) A i ∈ Σ, i ∈ ∞ ∞ S P N, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j =⇒ µ( Ai ) = µ(Ai ) (wobei ∞ + a := ∞). i=1

i=1

Bemerkung: Wenn X ein topologischer Raum ist, m¨ochte man, dass Σ alle offenen Mengen enth¨alt. Außerdem sollen Maße durch ihre Integrale u ¨ber stetige Funktionen mit kompaktem Tr¨ager festgelegt sein. Schließlich will man noch, dass die Menge der Maße einen Vektorraum bildet. All das funktioniert f¨ ur einen lokalkompakten topologischen Hausdorff-Raum (=: LCH). Def.: X LCH. 1) B(X) := kleinste σ-Algebra, die {U ⊂ X : U offen} enth¨alt. B(X) heißt Borel σ-Algebra. 2) µ : B(X) −→ [0, ∞] heißt (lokalendliches) Borelmaß :⇐⇒ µ Maß ∧ ∀K ⊂ X kompakt: µ(K) < ∞.  3) µ : A ∈ B(X) : A kompakt −→ R heißt signiertes Borelmaß :⇐⇒ ∃µ1 , µ2 Borelmaße: µ = (µ1 − µ2 ) {A∈B(X):A kompakt} .  4) f : X −→ R; supp f := x : f (x) 6= 0 heißt Tr¨ager von f .  5) K(X) := f ∈ C(X) : supp f kompakt .

6) λ : K(X) −→ R heißt Radonmaß :⇐⇒ (i) λ linear; (ii) ∀K ⊂ X kompakt: ∃C > 0 : ∀f ∈ K(X) mit supp f ⊂ K : λ(f ) ≤ C max f (x) . x∈X

 7) K0 (X) := λ : K(X) −→ R Radonmaß . 53

8) λ ∈ K0 (X) heißt positiv :⇐⇒ ∀f ∈ K(X) mit (∀x ∈ X : f (x) ≥ 0) : λ(f ) ≥ 0.  9) K0 (X)+ := λ ∈ K0 (X) : λ positiv .

Bemerkung: 1) Die Eigenschaft (ii) in 6) bedeutet, dass λ stetig ist bzgl. einer gewissen lokalkonvexen Topologie auf K(X). ¨ 4.1, S. 67. 2) Aus 6) (i) und der Positivit¨at 8) folgt die Stetigkeit 6) (ii), vgl. Ub.  1 : x0 ∈ B Bsp.: 1) Wenn x0 ∈ X, so ist δx0 : B(X) −→ [0, ∞) : B 7−→ 0 : sonst ein Borelmaß. Das zugeh¨orige Radonmaß (vgl. n¨achster Satz) ist K(X) R −→ R : f 7−→ f (x0 ). 1 n n 2) Wenn g ∈ Lloc (R ), d.h. g : R −→ R messbar und |g(x)| dx < ∞ f¨ ur alle K ⊂ Rn K  R kompakt, so ist µ : A ∈ B(Rn ) : A kompakt −→ R : A 7−→ g(x) dx das signierte A R Borelmaß g dx“. Das zugeh¨orige Radonmaß ist K(Rn ) −→ R : f 7−→ f (x)g(x) dx. ” Rn R dx 1 3) B(R ) −→ [0, ∞] : B 7−→ |x| ist ein Maß auf der Borel σ-Algebra von R, aber kein B
Borelmaß, da µ [0, 1] = ∞ und [0, 1] kompakt ist.

Satz (Version des Darstellungssatzes von F. Riesz, 1909) X lokalkompakter Hausdorffraum, der das 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt (d.h. abz¨ahlbare Basis der Topologie). Dann gilt:
R {Borelmaße auf X} ' K0 (X)+ : µ 7−→ f 7−→ f (x)µ(x) und
R 0 {signierte Borelmaße auf X} ' K (X) : µ 7−→ f 7−→ f (x)µ(x) . Beweise: Berberian: Measure and Integration, Th. 1, p. 227; Weir: General Integration & Measure, Th. 4, p. 181, Ex. 8, p. 183; Janssen & Steen: Integration Theory, p. 138, Ex. 5, p. 144; Dieudonn´e (13.3.6); Rudin: R & C Analysis, 2.14/18, p. 40, 48; Malliavin: Int. et probabilit´es, 2.2., p. 62 und 5.3.3, p. 86.



Ab nun sei X LCH und erf¨ ulle das 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom, z.B. X Mannigfaltigkeit. Wir unterscheiden nicht mehr zwischen Borel- und Radonmaßen. Def.: 1) X topologische Gruppe. λ ∈ K0 (X)+ heißt (links-)Haarmaß :⇐⇒ (∗) ∀x0 ∈
X : ∀f ∈ K(X) : λ f (x0 · x) = λ(f ). Wenn λ ∈ K0 (X) (∗) erf¨ ullt, so heiße es signiertes (links-)Haarmaß. 2) Wenn X = V n-dimensionaler R-Vektorraum, so wird Haar“ durch Lebesgue“ ” ” ersetzt. (Da ist links“ bzw. rechts“ hier u ussig.) ¨berfl¨  V kommutativ, ” ” L(V )+ := λ ∈ K0 (V )+ Lebesguemaß}, L(V ) := {λ ∈ K0 (V ) signiertes Lebesguemaß}. 54

R Bsp.: V = Rn . Dann ist λ : K(Rn ) −→ R : f 7−→ f (x) dx1 · · · dxn in L(Rn )
+ und L(Rn ) = {c · λ : c ∈ R}, denn wenn λ1 ∈ L(Rn ) mit λ1 {x ∈ Rn : 0 ≤ xi < 1} =: c, dann ist f¨ ur k ∈
N, a1 , · · · , an ∈ R wegen der Verschiebungsinvarianz λ1 x ∈ Rn : i i a ≤ x < ai + k1 } = ck −n . Da sich jede offene Menge als disjunkte Vereinigung solcher Mengen schreiben l¨asst, ist λ1 = c · λ. (Allgemein ist L(X) 1-dimensional f¨ ur lokalkompakte hausdorffsche topologische Gruppen, vgl. Berberian Ch. 9, Dieudonn´e XIV.1.) In einem beliebigen (endlichdimensionalen) R-Vektorraum V erhalten wir einen Isomorphismus von L(V ) auf R erst nach Wahl einer Basis. Da Tx M, M Mannigfaltigkeit, keine kanonische Basis hat, sucht man eine basisfreie Darstellung. Hilfssatz: V n-dimensionaler R-Vektorraum, e1 , · · · , en Basis in V. Dann ist | · | : Λn (V ∗ ) −→ L(V )+R D 7−→ |D| : f 7−→ f (ei xi )|D(e1 , · · · , en )| dx1 · · · dxn Rn

von der Wahl der Basis unabh¨angig.

Beweis: e01 , · · · , e0n sei eine zweite Basis mit e0i = aji ej =⇒ Z 0 0 =⇒ f (ei 0 xi )|D(e1 0 , · · · , en 0 )| dx1 · · · dxn0 = = =

Z

RZn

Rn

Rn

0

0

f (ej aji xi )|D(e1 , · · · , en )| · |det(aji )| dx1 · · · dxn0 = |{z} {z } | =:xj

=dx1 ···dxn

f (ej xj )|D(e1 , · · · , en )| dx1 · · · dxn .



Bemerkung: 1) | · | kann auch so geschrieben werden: Wenn D ∈ Λn (V ∗ ), so ist |D| das Borelmaß µ mit:
∀v1 , · · · , vn ∈ V : µ {xi vi : 0 ≤ xi < 1} = |D(v1 , · · · , vn )|. 2) Leider gibt es keine M¨oglichkeit basisunabh¨angig Λn (V ∗ ) ' L(V ) zu definieren. Das f¨ uhrt zur Def.: V n-dimensionaler R-Vektorraum. ¨ 1) F¨ ur D1 , D2 ∈ Λn (V ∗ ) \ {0} sei D1 ∼ D2 :⇐⇒
∃c > 0 : D1 = c · D2 . Eine Aquin ∗ valenzklasse [D] ∈ O(V ) := Λ (V ) \ {0} / ∼ heißt Orientierung auf V. Weil Λn (V ∗ ) eindimensional ist, hat O(V ) genau 2 Elemente. −[D] := [−D]. 2) O(V ) ' O(V ∗ ) : [D] 7−→ [ e1 ∧ · · · ∧ en ], wobei D(e1 , · · · , en ) > 0. Eine Orientie| {z } F ∈Λn (V )\{0}

rung auf V ist daher auch durch eine angeordnete Basis e1 , · · · , en von V bestimmt.

55


3) Vˆ := V × O(V ) / ∼, wobei (v1 , o1 ) ∼ (v2 , o2 ) :⇐⇒ (v1 , o1 ) = ±(v2 , o2 ), heißt Raum der Pseudovektoren (oder axialen Vektoren) zu V. Vˆ ist ein R-Vektorraum mit α[v1 , o] + β[v2 , o] := [αv1 + βv2 , o]. Es gilt  
Vc∗ ' Vˆ ∗ : [v ∗ , o∗ ] 7−→ v, F −1 (o∗ ) 7−→ hv, v ∗ i , wobei F wie in 2). ¨ 4) Ahnlich definiert man zu V :

d ˆ R := R × O(V ) / ∼, V ⊗m := V ⊗m × O(V ) / ∼ und
cm (V ) := Λm (V ) × O(V ) / ∼ (Pseudoskalare, Pseudotensoren etc.) Λ d ⊗m etc. [ Beachte, dass V ⊗m 6= V e1 , · · · , en eine Basis von V ist, so nennt man v i1 ···im die Koordinaten von
 Wenn d bzgl. der geordneten Basis v i1 ···im ei1 ⊗ · · · ⊗ eim , F −1 [e1 ∧ · · · ∧ en ] ∈ V ⊗m e1 , · · · , e n .

Bsp.: 1) [ x1n ∗ ∧ · · · ∧ xn ] nennt man Standardorientierung auf Rn . Beachte, dass es ∈(R )

auf R V keine Standardorientierung  gibt.  |D| : o = [D], D 6= 0 ∗ n c −|D| : o = −[D], D 6= 0 2) Λ (V ) ' L(V ) : [D, o] 7−→  0 : D=0 In Worten: Den signierten Lebesguemaßen entsprechen die schiefsymmetrischen n-fach kovarianten Pseudotensoren (kurz: Pseudo-n-kovektoren). Der Abbildung | · | in S. 55 entspricht   cn (V ∗ ) : D 7−→ D, [D] . dann | · | : Λn (V ∗ ) −→ Λ 3) Wenn e1 , · · · , en eine Basis in V, e1 , · · · , en die duale Basis in V ∗ , o := [e1 ∧ · · · ∧ en ] ∈ O(V ) und v = v i ei ∈ V, so hat w := [v, o] ∈ Vˆ bzgl. e1 , · · · , en die Koordinaten v i .
0 0 Bei Basiswechsel gilt ei = aji ej 0 , v = aji v i ej 0 = v j ej 0 =⇒ v j = aji v i , o0 = sign det (akl ) o  0
 0 =⇒ w = [v j e0j , o] = v j sign det(akl ) , o0 , d.h. die Koordinaten von w ∈ Vˆ bzgl. der
angeordneten Basis e01 , · · · , e0n sind aji v i sign det (akl ) . Beachte, dass e1 , · · · , en und e01 , · · · , e0n keine Basen in Vˆ sind ! Bez¨ uglich Basen in Vˆ gilt nat¨ urlich die u ¨bliche Formel. ∼ 4) F¨ ur eine gew¨ahlte Orientierung o auf V erh¨alt man V −→ Vˆ : v 7−→ [v, o]. Das Paar (V, o) heißt orientierter Vektorraum. 5) R V sei ein 3-dimensionaler euklidischer Raum, d.h. h , i ∈ S 2 (V ∗ ) positiv definit sei gegeben. e1 , e2 , e3 sei eine ONB und e1 , e2 , e3 die duale Basis in V ∗ , D := e1 ∧ e2 ∧ e3 ∈ Λ3 (V ∗ ). Dann ist D bis auf das Vorzeichen eindeutig (daA ∈ OR (V ) =⇒ det A = ±1) und folglich das Kreuzprodukt V × V −→ Vˆ : (u, v) 7−→ w, [D] =: u × v wohldefiniert, wobei D(x, u, v) = hw, xi, ∀x ∈ V. 6) Allgemeiner sei R V ein n-dimensionaler euklidischer Raum, e1 , · · · , en ONB, e1 , · · · , en   cn (V ∗ ) unabh¨angig von duale Basis, D := e1 ∧ · · · ∧ en . Dann ist wiederum D, [D] ∈ Λ der Wahl der ONB. Es entspricht dem Lebesguemaß µ = |D| ∈ L(V ) (vgl. 2), oben). Wenn v1 , · · · , vn beliebige Vektoren in V sind, so ist (vgl. S. 55) 56

p
µ {xi vi : 0 ≤ xi < 1} = D(v1 , · · · , vn ) = det (hvi , ej i) = det (hvi , vj i) . Wie in 5) ergibt sich auch ein Kreuzprodukt V · · × V} −→ Vˆ . | × ·{z n−1

cn (V ∗ ) entspricht, so entsprechen den RaSo wie den Lebesguemaßen L(V ) der Raum Λ cn (T ∗ M ). Die n¨achste Definition donmaßen auf einer Mannigfaltigkeit M Schnitte von Λ bereitet dies vor und entspricht S. 39 bzgl. der Tensoren.

Hilfssatz und Definition: p : M1 −→ M2 sei ein C k -Vektorraumb¨ undel. Dann ist
S  S −1 −1 ˙ −1 \ ˆ [v, o] : v ∈ p (x), o ∈ O p (x) wieder ein C k -Vektorraump (x) = M1 := x∈M2

x∈M2

b¨ undel mit folgenden Karten:

F¨ ur

U1

ϕ1

p

pr1

?

p(U1 )

- V = V × Rn1 −n2 1 2

ϕ2

? - V2

wie in S. 22 sei ˆ 1 und ϕˆ1 : Uˆ1 −→ V1 Uˆ1 := [v, o] : v ∈ U1 ⊂ M [v, o] 7−→ ϕ1 (v) ∼ wenn x = p(v) und o verm¨oge ϕ1 p−1 (x) : p−1 (x) −→ Rn1 −n2 der Standardorientierung auf Rn1 −n2 entspricht. ur x ∈ p(U1 ) ∩ Beweis: ϕ1 , ϕ2 seien wie oben und ψ1 : U10 −→ V10 eine 2. Karte. F¨ 0 0 p(U1 ) seien o(x) bzw. o (x) jeweils die Orientierungen, die sich aus p−1 (x) −→ ϕ1 bzw. ψ1

2 Rn1 −n2 ergeben. Wenn e1 , · · · , en1 −n2 die Standardbasis in Rn1 −n ist z.B. o(x)
ist, so −1 −1 −1 durch die geordnete Basis ϕ1 ϕ2 (x), e1 ), · · · , ϕ1 ϕ2 (x), en1 −n2 von p (x) gegeben.

−1 ϕ (x), e mit C k Da M ein C k -Vektorraumb¨ undel ist, gilt ψ1−1 ψ2 (x),ei = aji (x)ϕ 2 j 1 
Funktionen aji auf p(U1 ∩ U10 ). Daher: o0 (x) = sign det aji (x) o(x) =⇒ auf jeder Zusammenhangskomponente von p(U1 ∩ U10 ) ist entweder o = o0 oder o = −o0 . Wenn −1 1 n1 T 10 n1 0 T 1 n1 T ˆ ψ1 ◦ ϕ−1 ) , so 1 : (y , · · · , y ) 7−→ (y , · · · , y  ist also ψ1 ◦ ϕˆ1 : (y , ·
·· , y ) 7−→ 0 0 1 n2 wieder C k . (y 1 , · · · , y n2 0 , y n2 +1 , · · · , y n1 0 )T mit  := sign det aji (ϕ−1 2 (y , · · · , y )) 

d c ˆ 1∗ ' M d1∗ und werden M1⊗m Bemerkung: Analog zu S. 55, 56 gilt M , Λm (M1 ) definiert.


cq (T ∗ M ) = S x, [ω, o] : [ω, o] ∈ Λ cq (Tx∗ M ), Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Λ x∈M

57

d.h. ω ∈ Λq (Tx∗ M ), o ∈ O(Tx M ) ist ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel (analog dem Hilfssatz in S. 57).
cq (T ∗ M ) 3 Ω ˆ heißt Pseudo-q-Form oder ungerade q-Form (vgl. S. 66). ˆ q (M ) := T Λ Ω  ˆ ˆ ∈Ω ˆ q (M ) die Darstellung Ω(x) Bemerkung: In Koordinaten hat Ω = ωi1 ···iq (x) dxi1 ⊗  · · · ⊗ dxiq , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] mit in den Indices schiefsymmetrischen C k−1 -Funktionen ωi1 ···iq (x) bzw. (vgl. S. 47) i h X ˆ Ω(x) = ωi1 ···iq (x) dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] . {z } | i1 <···
∈O(Tx M )

Bei Kartenwechsel gilt dann ωi1 ···iq

0

 k ! ∂x ∂xjq ∂xj1 ωj1 ···jq . = 0 ··· 0 sign det i i q 1 ∂x ∂x ∂xl 0

ˆ ∈Ω ˆ n (M ), n = dim M, entsprechende Radonmaß zu definieren, m¨ ussen Um das einem Ω wir lokalisieren. Dazu: Hilfssatz: M Mannigfaltigkeit, M =

S

i∈I

Ui , Ui ⊂ M offen.

1) λ ∈ K0 (M ) =⇒ λ Ui := λ K(Ui ) ∈ K0 (Ui ). 2) ∀i ∈ I : λi ∈ K0 (Ui ) und ∀i, j ∈ I : λi Ui ∩Uj = λj Ui ∩Uj =⇒ =⇒ ∃!λ ∈ K0 (M ) : ∀i ∈ I : λ = λi . Ui

(Anders ausgedr¨ uckt: U 7−→ K0 (U ) ist eine Garbe.)

Beweis: 1) klar; 2) χi sei eine lokalendliche C 0 -Zerlegung der 1 zu Ui (vgl. n¨achstes  Lemma). F¨ ur f ∈ K(M ) ist I(f ) := i ∈ I : χi supp f 6≡ 0 endlich und daher existiert ur λ muss gelten h¨ochstens ein λ ∈ K0 (M ) : ∀i ∈ I : λ Ui = λi , denn f¨ P P λ(f ) = λ(f · χi ) = λi (f χi ). i∈I(f )

i∈I(f )

Wenn umgekehrt ur K ⊂ M kompakt ist I(K) := λ so definiert ist, so ist λ linear und f¨  ur supp f ⊂ K : i ∈ I : χi K 6≡ 0 endlich und daher f¨ λ(f ) ≤ P λi (f · χi ) ≤ P Ci max (f · χi )(x) x∈Ui i∈I(K) i∈I(K) ≤ C · max f (x) . x∈M

0

Also ist λ ∈ K (M ). Schließlich, f¨ ur f ∈ K(Uj ) ist f · χi ∈ K(Ui ∩ Uj ) =⇒ λi (f · χi ) = P  λj (f · χi ) =⇒ λ(f ) = λj (f χi ) = λj (f ), d.h. f Uj = fj . i∈I(f )

58

Zerlegung der 1-Lemma: M C k -Mannigfaltigkeit, M =

existieren χi : M −→ R, i ∈ I, mit

S

i∈I

Ui , Ui ⊂ M offen. Dann

(i) χi 6≡ 0 f¨ ur h¨ochstens abz¨ahlbar viele i ∈ I; (ii) ∀K ⊂ M kompakt: χi K ≡ 0 f¨ ur fast alle i ∈ I (impliziert (i));

     (iii) ∀i ∈ I : χi ∈ C k (M ) und ∀x ∈ M : χi (x) ≥ 0 und [supp χi ⊂ Ui ; P χi (x) = 1. (iv) ∀x ∈ M : i∈I

{χi : i ∈ I} heißt lokalendliche C k -Zerlegung der 1 zu Ui . S

Vi,j mit Vi,j ⊂ M offen, Vi,j kompakt und χi,j (i)–(iv) bzgl. P χi,j (i)–(iv) bzgl. Ui (da nur endlich viele supp χi,j eine erf¨ ullt, so erf¨ ullt χi :=

Beweis: Wenn Ui =

j∈Ji

Vi,j

j∈Ji

vorgegebene kompakte Menge treffen). Also k¨onnen wir OEdA U i ⊂ M kompakt annehmen. a) M erf¨ ullt das 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom =⇒ ∃ endliche oder abz¨ahlbare Teilmenge S Ui = M. I1 ⊂ I : i∈I1

Setze χi = 0 f¨ ur i 6∈ I1 . Dann ist (i) erf¨ ullt. Also sei OEdA I = N. (Falls I endlich ist, setze Ui := ∅ f¨ ur fast alle i.) n n S S Vj }. Dann ist b) Definiere induktiv V1 := U1 , Vn+1 := Un+1 \ {U i : U i ⊂ i=1

j=1

V1 ∪ · · · ∪ Vn = U1 ∪ · · · ∪ Un (induktiv) und Vn ⊂ M offen, V n ⊂ M kompakt. N N S S ∀i ∈ N : ∃N : U i ⊂ Uj = Vj =⇒ ∀n > N : U i ∩ Vn = ∅. j=1

j=1

K ⊂ M kompakt =⇒ ∃n : K ⊂

n S

i=1

Ui =⇒ ∃N : ∀n > N : K ∩ Vn = ∅. Wenn wir Vi

statt Ui nehmen, so folgt also wegen supp χi ⊂ Ui (ii) aus (iii). OEdA sei daher im folgenden Ui durch Vi ersetzt, d.h. U i so, dass ∀K ⊂ M
kompakt: ∃N : ∀n > N : K ∩ Un = ∅. c) ∀x ∈ M : ∃ ϕx : Wx −→ y ∈ Rn : |y| < 1 ∈ Amax mit x ∈ Wx , ϕx (x) = 0 und Wx ⊂ Ui f¨ ur ein i ∈I = N.
 ˜ x := ϕ−1 y ∈ Rn : |y| < 12 und χ : y ∈ Rn : |y| < 1 −→ [0, ∞) mit Es sei W x ∞ C

χ(y) = 1 f¨ ur |y| ≤ 12 , χ(y) = 0 f¨ ur |y| ≥ 34 .

nk S ˜x . W U k kompakt =⇒ ∃xk,1 , · · · , xk,nk ∈ U k so, dass U k ⊂ k,l l=1 P χ ◦ ϕxk,l . Es sei ψi := Wxk,l ⊂Ui

59

Diese Summen sind endlich, denn Wxk,l ⊂ Ui =⇒ Ui ∩ Uk 6= ∅ (da xk,l ∈ Wxk,l ∩ U k ⊂ Ui ∩ U k ) =⇒ k beschr¨ankt nach b). Daher ist ψi ∈ C k (Ui ) mit supp ψi ⊂ Ui kompakt. ∞ P Weiters ist die Summe ψ(x) := ψi (x) lokalendlich nach b) und daher auch C k . Wegen

M =

∞ S

k=1

i=1

nk ∞ S S ˜ x ist auch: ∀x ∈ M : ∃k, l : x ∈ W ˜ x . Wenn Wx ⊂ Ui , so ist W Uk = k,l k,l k,l k=1 l=1

also ψi (x) ≥ 1. Also ist ∀x ∈ M : ψ(x) ≥ 1 und χi := ψi /ψ erf¨ ullt alle Bedingungen des Lemmas.  ˆ ∈Ω ˆ n (M ), n = dim M, einem Radonmaß auf M mit Im n¨achsten Satz sehen wir, dass Ω C k−1 -Dichte entspricht.  Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, l ≤ k. Kl0 (M ) := λ ∈ K0 (M ) : ∀(ϕ : U −→ V ) ∈ A : R ∃g ∈ C l (V ) : ∀f ∈ K(U ) : λ(f ) = g(x)(f ◦ϕ−1 )(x) dx heißt Raum der Radonmaße mit V

C l -Dichte.

Bsp.: 1) F¨ ur x0 ∈ M ist δx0 ∈ K0 (MR) \ K00 (M ).
∼ l n 2) C (R ) −→ Kl0 (Rn ) : g 7−→ f − 7 → f (x)g(x) dx . Rn

Satz M n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Dann gilt: ∼ 0 ˆ n (M ) −→ ˆ 7−→ λ, wobei Ω Kk−1 (M ) : Ω
 ˆ = g(x)dx1 ∧ · · · ∧ ∀ ϕ : U −→ V : x 7− → (x1 , · · · , xn )T ∈ A : ∀f ∈ K(U ) : Ω(x)  dxn , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] auf U Z =⇒ λ(f ) = g(x1 , · · · , xn )f (x1 , · · · , xn ) dx1 · · · dxn . V

1

n

(Beachte: g(x , · · · , x ) ist kurz f¨ ur g ◦ ϕ−1 (x1 , · · · , xn ) etc., vgl. S. 3) 0 Beweis: 1) Das oben definierte λ ist offenbar in Kk−1 (U ) (denn g ∈ C k−1 (U )). Wenn 0 0 10 n0 T Karte ist und f ∈ K(U ∩ U 0 ), so ist ψ : U −→ V : x 7−→ (x , · · · , x ) eine 2. !  k ∂x 1 0 10 n0 g (x) dx ∧ · · · ∧ dx = sign det =⇒ g(x) dx · · ∧ dxn} | ∧
·{z ∂xl 0 k =det

∂x

dx1 0 ∧···∧dxn0

0 ∂xl   ∂xk =⇒ g 0 (x) = g(x) det (vgl. auch S. 58) ∂xl 0 Z 0 0 0 ur mehrfa=⇒ g 0 (x1 , · · · , xn0 )f (x1 , · · · , xn0 ) dx1 · · · dxn0 = (Transformationssatz f¨

V0

che Integrale) =

Z

g(x1 , · · · , xn )f (x1 , · · · , xn ) dx1 · · · dxn .

V

60

0 Also ist λ nach dem Hilfssatz in S. 58 in Kk−1 (M ). 0 2) Umgekehrt, wenn λ ∈ Kk−1 (M ), so l¨asst sich seine Einschr¨ankung auf das Kartengebiet U mittelsR eines g ∈ C k−1 (U ) wie oben ausdr¨ ucken. g ist eindeutig, denn wenn ∀f ∈ K(U ) : (g1 − g2 ) · f dx = 0 und etwa (g1 − g2 )(x0 ) > 0, so g¨abe es eine V

Umgebung von x0 , wo g1 − g2 > 0 und 0 6≡ f ≥ 0 mit Tr¨ager in dieser Umgebung R =⇒ (g1 − g2 ) · f dx > 0 .   ˆ Die Rechnung in 1) zeigt, dass dann Ω(x) := g(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] von ˆ ∈Ω ˆ n (M ) und entspricht λ. der gew¨ahlten Karte unabh¨angig ist. Offenbar ist Ω  Bsp.: 1) Das Lebesguemaß dx1 · · ·dxn auf Rn = M korrespondiert also der Pseudo-nForm dx1 ∧· · ·∧dxn , [dx1 ∧· · ·∧dxn ] . Beachte, dass hier, im Gegensatz zu dx1 ∧· · ·∧dxn , die Reihenfolge der Koordinaten keine Rolle spielt ! ¨ 2) Ahnlich wie in S. 55 l¨asst sich einer n-Form immer der Betrag zuordnen: Z   n 0 | · | : Ω (M ) −→ K0 (M ) : Ω 7−→ |Ω| : f 7−→ g(x) f (x) dx , V

wobei Ω(x) = g(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn bzgl. (ϕ : U −→ V ) ∈ A. Allerdings ist |Ω| i.A. nicht mehr differenzierbar. Das Lebesguemaß dx1 · · · dxn auf Rn k¨onnte also auch als |dx1 ∧ · · · ∧ dxn | geschrieben werden. (Wenn wir M als C 1 -Mannigfaltigkeit betrachten ˆ n (M ) und K00 (M ) identifizieren, so ist | · | oben so gegeben: und Ω  0 : Ω(x) = 0 n n ˆ | . | : Ω (M ) −→ Ω (M ) : Ω 7−→ (x 7−→  .) Ω(x), [Ω(x)] : Ω(x) 6= 0 n+1 P

dj ∧· · ·∧dxn+1 ∈ Ωn (Sn ) (der K¨ (−1)j−1 xj dx1 ∧· · ·∧ dx urze halber L statt R ˆ n (Sn ) u i∗ (L), vgl. S. 49, 50). Wir wollen |L| ∈ Ω ¨ber Sn integrieren, d.h. |L|(1) = |L| Sn p 0 1 n T n+1 0 2 berechnen. In der Karte ϕn+1,+ ist x = 1 − |x | , x := (x , · · · , x ) =⇒ j n P dj ∧ · · · ∧ − x dxj + (−1)n xn+1 dx1 ∧ · · · ∧ dxn = (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dx =⇒ L = xn+1 j=1 n j 2 n+1 P (x ) (−1) dx1 ∧ · · · ∧ dxn = n+1 dx1 ∧ · · · ∧ dxn =⇒ = (−1)n n+1 x j=1 x Z
dx0 n n+1 p =⇒ |L| {x ∈ S : x > 0} = und |L|(1) w¨are das Doppelte. 1 − |x0 |2 {x0 ∈Rn :|x0 |<1} R Damit h¨atten wir |L| entsprechend dem letzten Satz (S. 60) als u ¨bliches Integral im n R angeschrieben. Zur Berechnung w¨ urde man jedenfalls Kugelkoordinaten verwenden. Dazu allgemein: 3) Es sei L =

j=1

61


xi ∈ C ∞ Rn+1 \ {0} =⇒ dx1 ∧ · · · ∧ dxn+1 = |x| n+1 P cj ∧ = d(ry 1 ) ∧ · · · ∧ d(ry n+1 ) = (y 1 dr + r dy 1 ) ∧ · · · = r n dr ∧ (−1)j−1 y j dy 1 ∧ · · · ∧ dy

4) Es sei r := |x|, y i :=

1

n+1

j=1 n+1

, denn dx0 y , · · · , dx0 y ⊥ [x0 + tx0 ] ∈ Tx0 Rn+1 . dy ∧ · · · ∧ dy {z } | =0
Die obige Gleichung gilt in Ωn+1 Rn+1 \ {0} . Wenn wir darauf den Diffeomorphismus Rn+1 \ {0} ' (0, ∞) × Sn
x 7−→ |x|, x/|x|
anwenden, so geht daher dx1 ∧ · · · ∧ dxn+1 u ¨ber in rn dr ∧ L ∈ Ωn+1 (0, ∞) × Sn , vgl. den Hilfssatz unten. Als Betrag ergibt sich (vgl. S. 63): 1 dx · dxn+1} = Lebesguemaß auf Rn+1 7−→ r|n{zdr} ⊗ |L| . | · ·{z |{z} ∈K0 ((0,∞)) ∈K0 (Rn+1 \{0}) ∈K0 (Sn ) R Nun k¨onnen wir |L| eleganter so berechnen: · · · ∧ dy

Z

n+1

+r

n+1

Sn

e

−(x1 )2 −···−(xn+1 )2

1

dx · · · dx

n+1

=

0

 Z∞

e

−x2

−∞

Rn+1

Z∞

1

k n −r 2

r e

dr ·

Z

Sn

|L| = ↓

(u=r 2 )

Z

Sn

|L| ·

Z∞ |0

u

du √ =⇒ e 2 u {z
}

n/2 −u

1 Γ 2

dx

n+1

=π Z

Sn

n+1 2

n+1 2

|L| =

2π (n+1)/2
. Γ n+1 2

F¨ ur |L| schreibt man meistens dω oder dσ. (Vorsicht: Dieses d hat nicht direkt mit der ¨ a¨ußeren Ableitung zu tun. Ahnlich ist ja auch das Symbol dx f¨ ur das Lebesguemaß n auf R nicht ganz korrekt, vgl. 1), 2)). In S. 92, 3) werden wir sehen, dass |L| auf S n , aber nicht allgemein auf Hyperfl¨achen, mit dem durch die Standardmetrik induzierten Oberfl¨achenmaß u ¨bereinstimmt. Hilfssatz und Definition: M1 , M2 Mannigfaltigkeiten, M := M1 × M2 . 1) Ωi ∈ Ωqi (Mi ), q = q1 + q2 . Dann sei Ω1 ∧ Ω2 := (pr1 )∗ Ω1 ∧ (pr2 )∗ Ω2 ∈ Ωq (M ), wobei pr1 : M = M1 × M2 −→ M1 : (x1 , x2 ) 7−→ x1 und pr2 : M = M1 × M2 −→ M2 : (x1 , x2 ) 7−→ x2 . 2) Vi Vektorraum. Dann ist O(V1 ) × O(V2
) −→ O(V1 ⊕ V2 ) [D1 ], [D2 ] 7−→ [D1 ∧ D2 ] =: [D1 ] ∧ [D2 ] wohldefiniert und liefert mit 1): ˆ q1 (M1 ) × Ω ˆ q2 (M2 ) −→ Ω ˆ q (M ) Ω ˆ 1, Ω ˆ 2 ) 7−→ Ω ˆ1 ∧ Ω ˆ 2. (Ω 62

ˆ i den Radonmaßen λi entsprechen, so entspricht Ω ˆ1 ∧ Ω ˆ2 Wenn qi = dim Mi und Ω dem Produktmaß 
 λ1 ⊗ λ2 : f (x1 , x2 ) 7−→ λ1 x1 7−→ λ2 x2 7−→ f (x1 , x2 ) .

ˆ ˆ Beweis: Zum letzten: λ entspreche  Ω1 ∧ Ω12 .  ˆ i (xi ) = gi (xi ) dxi ∧ · · · ∧ dxqi , [dx1i ∧ · · · ∧ dxqi ] , i = 1, 2, In Karten ϕi auf Mi gilt Ω i i  ˆ1 ∧ Ω ˆ 2 (x1 , x2 ) = g1 (x1 )g2 (x2 ) dx11 ∧ · · · ∧ dxq11 ∧ dx12 ∧ · · · ∧ dxq22 , [dx11 ∧ · · · ∧ dxq11 ∧ =⇒ Ω  dx12 ∧ · · · ∧ dxq22 ] =⇒ λ hat die Dichte g1 (x1 )g2 (x2 ) des Produktmaßes. 

Bsp.: Es sei Pn = Rn+1 \ {0}/R wie in S. 3 der projektive Raum.
ur x ∈ Sn . Dann ist P : Sn −→ Pn surjektiv, C ∞ (vgl. S. 5) und P −1 P (x) = {x, −x} f¨ n ∗ n n n F¨ ur Ω ∈ Tq (P ) ist also P (Ω) ∈ Tq (S ). Wenn J : S −→ S : x 7−→ −x, so ist P ◦J = P und daher J ∗ P ∗ (Ω) = P ∗ (Ω). ˜ ∈ Tq (Sn ) mit J ∗ (Ω) ˜ = Ω, ˜ so ist Ω ˜ = P ∗ (Ω) f¨ Umgekehrt, wenn Ω ur ein Ω ∈ Tq (Pn ). (Beweis davon: x ∈ Sn , U := {y ∈ Sn : hx, yi > 0} =⇒ P U : U −→ V := P (U ) −1
∗
˜ ∈ Tq (V ). Wenn z ∈ Pn , z ∈ V1 ∩ V2 , Vi = Diffeomorphismus =⇒ ΩV := P U Ω U P (Ui ) und yi ∈ Ui mit z = P (yi ), so ist entweder y1 = y2 und stimmen dann P Ui lokal
bei y1 = y2 u ¨berein =⇒ ΩV1 (z) = ΩV2 (z) oder y1 = −y2 =⇒ P U1 = P U2 ◦ J bei −1
∗
−1
∗
−1
∗
˜ =Ω ˜ =⇒ ˜ ˜ ˜ bei z, da J ∗ Ω = P Ω = J ◦ P Ω y1 =⇒ P U1 Ω U2 U1
U2 U2 U1 wieder ΩV1 (z) = ΩV2 (z) . Also ist ΩV1 V1 ∩V2 = ΩV2 V1 ∩V2 =⇒ Ω ∈ Tq (Pn ) wohldefiniert ˜ = P ∗ Ω. ) und Ω  ˜ =Ω ˜ . ˜ ∈ Ωn (Sn ) : J ∗ Ω Speziell folgt: Ωn (Pn ) ' Ω Ω 7−→ P ∗ (Ω).

 Da L ∈ Ωn (Sn ) nirgends verschwindet (vgl. S. 50), ist Ωn (Sn ) = f · L : f ∈ C ∞ (Sn ) . n+1
P J ∗L = J ∗ (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxn+1 = (−1)n+1 L. Daher gilt: j=1     gerade : n ungerade n n ∞ n n+1 Ω (P ) ' f ∈ C (S ) : f , d.h. f ◦ J = (−1) f , ungerade : n gerade Ω 7−→ f mit P ∗ (Ω) = f · L. F¨ ur ungerades n existiert also ΩL ∈ Ωn (Pn ) mit P ∗ ΩL := L. Da ∀x ∈ Sn : L(x) 6= 0 gilt auch ∀z ∈ Pn : ΩL (z) 6= 0. F¨ ur gerades n hingegen gilt: ∀Ω ∈ Ωn (Pn ) : ∃z ∈ Pn : Ω(z) = 0, denn wenn P ∗ Ω = f · L, f ∈ C ∞ (Sn ) ungerade =⇒ maxn f (x) = − minn f (x) =⇒ 0 ∈ f (Sn ); wenn x∈S x∈S
x ∈ Sn : f (x) = 0 =⇒ P ∗ (Ω)(x) = 0 =⇒ (da P lokal diffeomorph) =⇒ Ω P (x) = 0. Somit: Pn orientierbar ⇐⇒ n ungerade, vgl. n¨achste Definition. 63

Definition und Hilfsatz: M n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. 1) M heißt orientierbar :⇐⇒ ∃Ω ∈ Ωn (M ) : ∀x ∈ M : Ω(x) 6= 0 2) M sei orientierbar. Wenn Ωi wie in 1), so sei Ω1 ∼ Ω2 :⇐⇒ ∀x ∈ M : ∃c > 0 : Ω1 (x) = c Ω2 (x).  ¨ Eine Aquivalenzklasse bzgl. ∼, d.h. ein Element von O(M ) := Ω ∈ Ωn (M ) : ∀x ∈ M : Ω(x) 6= 0 / ∼ heißt Orientierung von M . Ein Paar (M, O), O ∈ O(M ) heißt orientierte Mannigfaltigkeit.   3) M sei orientierbar. F¨ ur [Ω] ∈ O(M ) sei −[Ω] := [−Ω] und [Ω](x) := Ω(x) ∈ O(Tx M ) f¨ ur x ∈ M. 4) Wenn M zusammenh¨angend und orientierbar ist, so besteht O(M ) aus zwei Elementen. Beweis: von 4): Wenn Ωi wie in 1) und ∀x ∈ M : Ω1 (x) = c(x)Ω2 (x), so ist c ∈ C k−1 (M ) und c(M ) ⊂ R \ {0}; M zusammenh¨angend =⇒ c(M ) ⊂ (0, ∞) oder ⊂ (−∞, 0) =⇒ [Ω1 ] = ±[Ω2 ].  Bemerkung: 1) Wenn V Vektorraum, so ist O(V ) nun auf 2 verschiedene Weisen definiert (f¨ ur V Vektorraum bzw. f¨ ur V Mannigfaltigkeit), die aber identifiziert werden k¨onnen: ∼ O(V )S. 55 −→ O(V )S. 64 : [x1 ∧ · · · ∧ xn ] 7−→ [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ]. ∈Λn (V ∗ )

∈Ωn (V )

2) Mit Zerlegung der 1 l¨asst sich zeigen, dass Orientierbarkeit von l unabh¨angig ist, wenn M C k -Mannigfaltigkeit und damit auch C l -Mannigfaltigkeit, 1 ≤ l ≤ k. Orientierbarkeit l¨asst sich sogar (allerdings nicht so) f¨ ur topologische Mannigfaltigkeiten definieren. ˆ q (M ) identifizieren. SpeF¨ ur eine orientierte Mannigfaltigkeit k¨onnen wir Ωq (M ) und Ω ziell f¨ ur q = n = dim M : Satz (M, O) orientierte n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Dann ist ∼ ˆn ∼ 0 Ωn (M ) −→ Ω (M ) −→ Kk−1 (M
)
R Ω 7−→ x 7−→ Ω(x), O(x) 7−→ f 7−→ g(x)f (x) dx ,
V 1 n T wobei ϕ : U −→ V : x 7−→ (x , · · · , x ) ∈ Amax mit O(x) = [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] ∈ O(Tx M ), x ∈ U und f ∈ K(U ) und Ω(x) = g(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn . ˆ n (M ) wie oben wohldefiniert ist. Beweis: Es ist zu zeigen, dass F : Ωn (M ) −→ Ω In einer Karte ϕ : U −→ V mit zusammenh¨angendem U ∃ ∈ {+1, −1} : O(x) = [dx1 ∧· · ·∧dxn ] (vgl. den Beweis oben). Wenn Ω(x) = g(x) dx1 ∧· · ·∧dxn , g ∈ C k−1 (U ), cn (T ∗ U ) (vgl. S. 57): so ist in der T ϕ entsprechenden Karte von Λ 64

U ϕ o ?

V

F (Ω)



- Λ cn (T ∗ U ) x, g dx1 ∧ · · · ∧ dxn , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ]




o

? - V ×R

?

ϕ(x), g(x)




ˆ n (M ). Die Bijektivit¨at ist klar. und daher F (Ω) C k−1 , d.h. F (Ω) ∈ Ω



Def.: (M, O) orientierte n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, kR ≥ 1, Ω ∈ Ωn (M ). 0 F¨ ur das zu Ω geh¨orige Radonmaß λ ∈ Kk−1 (M ) schreibt man f (x)Ω(x) = (genauM R er) f (x)Ω(x) := λ(f ), f ∈ L1 (M, λ). (M,O)

Bsp.: 1) Da ∀x ∈ Sn : L(x) 6= 0, ist Sn orientierbar.
2) Wenn Ω ∈ Ωn (M ) und ∀x ∈ M : Ω(x) 6= 0, so ist M, [Ω] eine orientierte Mannigfaltigkeit. Das dann zu Ω geh¨orige Radonmaß ist |Ω|. Hingegen ist −|Ω| das zu Ω bzgl. der Orientierung −[Ω] geh¨orige Radonmaß. 3) Wenn M parallelisierbar ist (speziell M Liegruppe), so ist M auch orientierbar. Denn wenn X1 , · · · , Xn ∈ T 1 (M ) wie in S. 26, Ω1 , · · · , Ωn ∈ T1 (M ) die duale Basis (vgl. S. 43), so verschwindet Ω1 ∧ · · · ∧ Ωn ∈ Ωn (M ) nirgends. 4) Nochmals Pn . F¨ ur n ungerade und eine gew¨ahlte Orientierung auf Pn ist Ωn (Pn ) ' 0 Kk−1 (Pn ) (Pn als C k -Mannigfaltigkeit betrachtet). F¨ ur gerades n ist Pn nicht orienˆ n (Pn ). (Man kann zwar einem tierbar und erh¨alt man die Radonmaße nur durch Ω n n n 0 urde man z.B. kein Ω ∈ Ω (P ) das positive Radonmaß |Ω| ∈ K0 (P ) zuordnen, aber so w¨ ˆ nirgends verschwindendes Radonmaß erhalten.) Wir wollen daher Ωn (Pn ) auch durch ˆ n (Sn ) charakterisieren, so wie das f¨ Ωn (Sn ) ' Ω ur Ωn (Pn ) in S. 63 geschehen ist. Dazu allgemeiner:
Definition und Hilfssatz: M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1.  1) M o := (x, o) : x ∈ M, o ∈ O(Tx M ) ist wieder eine C k -Mannigfaltigkeit mit folgendem ur (ϕ : U −→ A sei  Atlas: F¨
V)∈ U˜± := x, ±[dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] : x ∈ U und
ϕ˜± : U˜± −→ V : x, ±[dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] 7−→ ϕ(x).

2) P : M o −→ M : (x, o) 7−→ x und J : M o −→ M o : (x, o) 7−→ (x, −o) sind C k . ¨ (P : M o −→ M heißt orientierte Uberlagerung von M .)

3) M o ist orientierbar und es existiert eine kanonische Orientierung auf M o . 65

 ˜ =Ω ˜ : Ω 7−→ P ∗ Ω, ˜ ∈ Ωq (M o ) : J ∗ Ω 4) 0 ≤ q ≤ n. Ωq (M ) ' Ω  ˜ = −Ω ˜ :Ω ˆ 7−→ Ω ˜ : (x, o) 7−→ ˜ ∈ Ωq (M o ) : J ∗ Ω ˆ q (M ) ' Ω Ω

    ∗ M o ' Tx∗ M, und T(x,o) M o ' Tx M : x(t), o(t) 7−→ x(t) , T(x,o)   ˆ Ω(x) = ω(x, o), o .

ω(x, o) , wobei ∗ ∈Λq (T(x,o) M o)

ˆ ∈Ω ˆ q (M ) ist durch die Aussage Bemerkung: Der Ausdruck ungerade q-Form“ f¨ ur Ω ” in 4) motiviert. −1 k Beweis: 1) ψ˜± ◦ ϕ˜−1 C . ± = ψ◦ϕ 2) In Koordinaten sind P und J die identische Abbildung. S ¨ 3) M = Ui sei eine Uberdeckung durch Kartengebiete Ui und χi eine zugeh¨orige k lokalendliche C -Zerlegung der 1. F¨ ur Ui sei ein Ωi ∈ Ωn (Ui ) mit ∀x ∈ Ui : Ωi (x) 6= 0 gew¨ahlt. Setze ∗ M o )) (∈ Λn (Tx∗ M ) ' Λn (T(x,o) (   X Ωi (x) : Ωi (x) = o ˜ o) := Ω(x, χi (x) ·   −Ω (x) : Ω (x) = −o i i x∈Ui

In einer Karte (ϕ : U −→ V ) ∈ A gilt dann f¨ ur x ∈ U ∩ Ui : Ωi (x) = gi (x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn ˜ o) = mit nicht verschwindenden giP ∈ C k−1 (U ∩ U i ) =⇒ in den Karten ϕ˜± ist Ω(x,
˜ x, ±[dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] = ± χi (x) gi (x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn C k−1 und 6= 0. Offenbar ist Ω x∈Ui

˜ ∈ O(M o ) von der Wahl der Ui und Ωi unabh¨angig, da [Ω](x, ˜ [Ω] o) = o.  q q o ∗ ˜ ˜ ˜ ur P : Sn −→ Pn 4) Dass Ω (M ) ' Ω ∈ Ω (M ) : J Ω = Ω wird ebenso wie in S. 63 f¨ gezeigt.  ˆ q (M ) : In einer Karte ϕ : U −→ V ist Ω(x) ˆ Zu Ω = gi1 ···iq (x) dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxiq , [dx1 ∧ · · · ∧ 
˜ o) = Ω ˜ x, ±[dx1 ∧· · ·∧dxn ] = ±gi1 ···iq dxi1 ⊗· · ·⊗dxiq =⇒ dxn ] =⇒ bzgl. ϕ˜± ist Ω(x, ˜ = −Ω. ˜ ˜ ∈ Ωq (M o ) und J ∗ Ω  Ω Bsp.: 1) Wenn M orientierbar ist, so ist o

M ' M × {0, 1} : (x, o) 7−→



(x, 0) : o = O(x) (x, 1) : o = −O(x),

wenn O ∈ O(M ) fest gew¨ahlt wird. 2) Noch einmal Pn . Wenn n gerade ist, so k¨onnen wir P : (Pn )o −→ Pn mit P : Sn −→ Pn identifizieren: −1  
∼ I : Sn −→ (Pn )o : x 7−→ [x] , (Q∗ L)[x] , wobei Q = P U , x ∈ U ⊂ Sn offen, P U |{z} | {z } ∈Pn

∈O(T[x] Pn )

bijektiv.  
(Dass I C ∞ , sieht man in Karten. I ist injektiv, denn I(−x) = [x], (J ◦ Q)∗ L[x] = 66

 
[x], − (Q∗ L)[x] nach S. 63 und da n gerade ist.)  ˜ = −Ω ˜ . Speziell liefert L ein positives, nirgends ˜ ∈ Ωq (Sn ) : J ∗ Ω ˆ q (Pn ) ' Ω Also folgt Ω verschwindendes Radonmaß (mit C ∞ -Dichte) λ auf Pn . F¨ ur ungerades n setze man λ = |ΩL |, ΩL wie in S. 63. Dann ist

∀n ∈ N : {x ∈ Sn : xn+1 > 0}, |L| −→ [x] ∈ Pn : xn+1 6= 0 , λ ein maßtheoretischer P Z  π (n+1)/2 n n+1
. Isomorphismus. [x] ∈ P : x = 0 hat Maß 0 =⇒ λ= Γ n+1 2 Pn

¨ Ubungen

¨ 4.1 X LCH. Zeige, dass f¨ Ub. ur λ : K(X) −→ R linear und positiv (d.h. ∀f ∈ K(X) mit (∀x ∈ X : f (x) ≥ 0) : λ(f ) ≥ 0) gilt, dass λ ∈ K 0 (X), d.h. 6) (ii), S. 53. Hinweis: F¨ ur K ⊂ X kompakt: ∃U, V offen: K ⊂ U ⊂ U ⊂ V und V ist kompakt. V normal =⇒ (Urysohn) ∃χ ∈ C(V ) mit χ K ≡ 1, χ V \U ≡ 0 und ∀x ∈ V : χ(x) ≥ 0. Setze χ durch 0 auf X fort und sch¨atze λ(f ) = λ(χ · f ) , f ∈ K(X), supp f ⊂ K, ab. ¨ 4.2 Es sei Ub.

 sin ϑ1 · · · sin ϑn−1 cos ϕ  sin ϑ1 · · · sin ϑn−1 sin ϕ     sin ϑ1 · · · cos ϑn−1    ψ : (0, π)n−1 × (0, 2π) −→ Sn : (ϑ1 , · · · , ϑn−1 , ϕ) 7−→  . ..   .   1 2   sin ϑ cos ϑ 1 cos ϑ −1 n Dann ist ψ eine Karte auf S (=Kugelkoordinaten). 

a) Dr¨ ucke L durch diese Koordinaten aus. b) Berechne damit

Z

Sn

|L| = |L|(1) =

Z

L(x).

(Sn ,L)

1 Hinweis: F¨ ur x1 6= 0 ist L = 1 dx2 ∧ · · · ∧ dxn+1 (vgl. S. 61).
x Zπ 1+α √ Γ 2
, α > −1. sinα ϑ dϑ = π Γ 1 + α2 0

¨ 4.3 P : Rn −→ Sn sei die stereographische Projektion wie in S. 9. Ub. a) Berechne P ∗ (L) ∈ Ωn (Rn ).

67

Z

b) Berechne damit

Hinweis:

Z∞ 0

|L| =

Sn

Z

Rn

∗ P (L) .


π Γ n2 r dr = n n+1
. (1 + r2 )n 2 Γ 2 √

n−1

ˆ n (Pn ) wie in S. 66 in den Koordinaten ¨ 4.4 Dr¨ Ub. ucke λ ∈ Ω 

n

[z] ∈ P : z

n+1

n

6= 0 −→ R : [z] 7−→

aus und berechne so 



Z



z1 z n+1

zn , · · · , n+1 z

T

= (x1 , · · · , xn )T

λ.

Pn



z und ' {y ∈ Sn : y n+1 > 0} : [z] 7−→ |z|
√ Z∞ n π Γ 2
λ = |P ∗ L|. rn−1 (1 + r2 )−(n+1)/2 dr = . 2Γ n+1 2

Hinweis: P :

[z] ∈ Pn : z n+1 > 0

0

¨ 4.5 Es sei G = SO3 (R) und λ = |Ω|, Ω ∈ Ω3l (G) mit Ω(I) = da12 ∧ da23 ∧ da31 und Ub. ¨ 3.7, S. 52 ist f ∗ (Ω) = −2(1−cos ϕ)L∧dϕ ∈ f : S2 ×S1 −→ G wie in S. 13. Nach Ub. 3 2 1 Ω (S × S ). a) Berechne λ(1) =

Z

λ.

G Hinweis: f S2 ×{x∈S1 :x2 >0} ist injektiv.

b) Es sei λ1 := λ/λ(1) (= normalisiertes Haarmaß). Begr¨ unde theoretisch und
1 1 2 1 verifiziere durch Rechnung, dass λ1 (A 7−→ a1 ) = 0, λ1 A 7−→ (a1 ) = 3 .

c) Berechne λ1 (A 7−→ etA ), t ∈ R, und – durch Differenzieren – λ1 (A 7−→ An ), n ∈ N. Hinweis: Berechne λ1
(A 7−→ etA y) ∈ R3 f¨ ur y ∈ R3 mittels der Formel et Ax,ϕ y = iϕ iϕ iϕ xhy, xi et − Re (et e ) + yRe (et e ) + (x × y)Im (et e ). Verwende die Substitution z = eiϕ und den Residuensatz zur Berechnung des ϕ-Integrals.  ¨ 4.6 Es sei M := x ∈ R3 : |x| < π und h : M −→ SO3 (R) Ub.  x A |x| ,|x| : x 6= 1 x 7−→ I : x=1 wobei Ay,ϕ , y ∈ S2 , ϕ ∈ R, wie in S. 13. 68

a) Zeige, dass h C ∞ und injektiv und dass SO3 (R) \ h(M ) Maß 0 bzgl. λ hat. b) Bestimme das Maß auf M, das λ1 h(M ) entspricht.

¨ 4.7 a) Zeige, dass daij , 1 ≤ i < j ≤ n, eine Basis in TI∗ SOn (R) bildet. Es sei Ω(n) ∈ Ub.
n(n−1)/2 SOn (R) mit Ω(n) (I) = da12 ∧ da13
∧ da23 ∧ da14 ∧ da24 ∧ da34 ∧ · · · ∧ da1n ∧ Ωl · · · ∧ dan−1 und λ(n) := |Ω(n) ∈ K0 SOn (R) . n n P xi y i und f¨ ur x, y ∈ Sn−1 mit x + y 6= 0 sei b) F¨ ur x, y ∈ Rn sei hx, yi = i=1  hx, yi y − x x+y Ax,y u := u+hu, xi y + −hu, yi . Zeige, dass Ax,y ∈ SOn (R) hx, yi + 1 hx, yi + 1 mit Ax,y x = y.

  0  0  ..  x   0 n−1 ; e :=  .  ∈ Rn und c) F¨ ur x ∈ Rn sei x = n , x ∈ R x  0 1  0   0  x Bx SOn−1 (R) ,→ SOn (R) : B 7−→ 7−→ . n x xn
Zeige, dass f : Sn−1 \ {−e} × SOn−1 (R) −→ SOn (R) : (x, B) 7−→ Ae,x · B C ∞ und injektiv ist und dass SOn (R) \ im(f ) eine Nullmenge bzgl. λ ist. d) Zeige, dass f ∗ (Ω(n) ) = (−1)n−1 Ω(n−1) ∧ L, L ∈ Ωn−1 (Sn−1 ) (S. 62). Hinweis: f −1 : im(f ) −→ Sn−1 \ {−e} × SOn−1 (R) : C 7−→ (Cn , A−1 e,Cn C), wobei   1 cn  ..  Cn :=  .  ∈ Rn . Zeige, dass (f −1 )∗ (Ω(n−1) ∧ L) linksinvariant ist. cnn Z (n) (n) e) Berechne λ (1) = λ(n) ! Es sei λ1 := λ(n) /λ(n) (1). (n) Berechne λ1 Zπ

A 7−→

SOn (R)
(aij )k

f¨ ur k ∈ N.

cos2l ϑ sinn−2 ϑ dϑ =

Hinweis:

0

Γ

n−1 2




Γ l+
n Γ 2 +l

1 2




, l = 0, 1, 2, · · · , n ≥ 2.

¨ 4.8 Es sei Ω = ω1 dx2 ∧dx3 +ω2 dx3 ∧dx1 +ω3 dx1 ∧dx2 ∈ Ω2 (R3 ) und i : M ,→ R3 eine Ub. zweidimensionale Untermannigfaltigkeit mit Orientierung O ∈ O(M
). Schreibe R ∗ I := i Ω als Integral u ¨ber V an, wenn ϕ : U −→ V : x 7−→ uv eine Karte (U,O|U )

69

auf M ist. Wie l¨asst sich I als Durchflussintegral interpretieren? ¨ 4.9 a) Zeige, dass eine Mannigfaltigkeit genau dann orientierbar ist, wenn es einen Ub.
Atlas A gibt, sodass ∀ ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T , ψ : U 0 −→ V 0 : x 7−→   0
∂(x1 , · · · , xn0 ) 0 10 n0 T (x , · · · , x ) ∈ A : ∀x ∈ U ∩ U : det > 0. ∂(x1 , · · · , xn ) b) Zeige, dass Pn , n ungerade, orientierbar ist mittels a). Hinweis: Berechne die Funktionaldeterminante von
T n 1 y −1 ψj ψn+1 : (y 1 , · · · , y n )T 7−→ yyj , · · · , ybjj , · · · , yyj , y1j  und setze A := (−1)j−1 ψj : j = 1, · · · , n + 1 , wobei ψj wie in S. 3.

c) Zeige, dass eine Mannigfaltigkeit genau dann nicht orientierbar ist, wenn es
N ∈ N und Karten ϕi : Ui −→ Vi : x 7−→ (x1i , · · · , xni )T , i = 1, · · · , N + 1 gibt und mit ϕ1 = ϕN +1 ; ∀i : Ui zusammenh¨angend; ∀i ∈ {1, · · · , N } : Ui ∩ Ui+1 6= ∅; ∀x ∈ Ui ∩ Ui+1



∂(x1i+1 , · · · , xni+1 ) : det ∂(x1i , · · · , xni )

 

> 0 : i = 1, · · · , N − 1, < 0 : i = N.

d) Zeige mittels c), dass Pn , n gerade, nicht orientierbar ist. Hinweis: Setze ϕ1 = ψn+1 , ϕ2 = ψn {[x]:xn <0} , ϕ3 = ψn , ϕ4 = ψn {[x]:xn >0} .

e) Zeige, dass das M¨obiusband (vgl. S. 15, 38) nicht orientierbar ist.
¨ 4.10 Zeige, dass f¨ Ub. ur jede Mannigfaltigkeit M, [A] die Mannigfaltigkeiten T ∗ M und T M kanonisch orientierbar sind.
Hinweis: a) Es seien ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A und Tfϕ : T ∗ U −→ V × Rn : (x, ω) 7−→ (x1 , · · · , xn , ω1 , · · · , ωn )T wie in S. 40. Zeige, dass Ω := dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∧ dω1 ∧ · · · ∧ dωn von der Karte unabh¨angig ist. b) Definiere O ∈ O(T M ) lokal durch O T U = [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∧ dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n ], wenn T ϕ : T U −→ V × Rn : (x, ξ) 7−→ (x1 , · · · , xn , ξ 1 , · · · , ξ n )T , und konstruiere O wie in S. 66, 3).

70

§5

d, ∂, de Rham und Stokes

∂f F¨ ur f ∈ C k (M ) ist df ∈ T1 (M ) = Ω1 (M ) in Koordinaten durch df = dxi gegeben ∂xi
m ∈ Tqm (M ) versuchen, dX durch (vgl. S. 41). Wir k¨onnten allgemeiner f¨ ur X = tji11···i ···jq m ∂tji11···i ···iq ∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂im ⊗ dxj0 ⊗ · · · ⊗ dxjq zu definieren. Wenn dies ein Tensorfeld in j0 ∂x m (M ) w¨are, so m¨ usste bei Kartenwechsel gelten (vgl. S. 47): Tq+1 m ∂tji11···i ···jq

∂xj0 0 In Wahrheit ist aber m ∂tji11···i ···jq

∂xj0 0

0

0

=

···km ∂tlk11···l q

∂xl0

0

0

∂xi1 ∂xim ∂xl0 ∂xlq · · · · · · · =: a. 0 ∂xk1 ∂xkm ∂xj0 ∂xjq 0


0 k1 ···km ∂xi1 0 ∂xlq ∂xim ∂xl1 ∂xl0 ∂ tl1 ···lq ∂xk1 · · · ∂xkm ∂xj1 0 · · · ∂xjq 0 = · = ∂xl0 ∂xj0 0  i1 0  0 ∂x ∂xim ∂xl1 ∂ ∂xlq k1 ···km · · · km = a + tl1 ···lq · j 0 ··· j 0 . ∂x ∂xj1 0 ∂x 0 ∂xk1 ∂x q {z } | b

Der Term b sollte verschwinden, worauf wir sp¨ater allgemein zur¨ uckkommen. Nun sei speziell X ∈ Tq (M ), d.h. rein kovariant. Dann ist  l1  ∂xlq ∂x ∂ ··· j 0 . b = bj0 ···jq = tl1 ···lq j 0 ∂x 0 ∂xj1 0 ∂x q P sign (σ)bjσ(0) ···jσ(q) = 0. Der schiefsymmetrische Anteil von b verschwindet, d.h. σ∈Sq+1 1

(Hier Sq+1 = Permutationsgruppe von {0, · · · , q}.) Denn wenn f , · · · , f q C 2 -Funktionen von y 0 , · · · , y q sind, so tritt Summe   in der 1 P ∂f q ∂f q ∂2f i ∂f ∂f 1 ∂ · · · · · · · · · S = mit der Term sign (σ) σ(0) ∂y ∂y σ(1) ∂y σ(q) ∂y k1 ∂y k0 ∂y ki ∂y kq σ∈Sq+1 k1 =σ(1), · · ·  , ki\ = σ(i), · · · , k q = σ(q) zweimal auf, undzwar multipliziert mit 0 1 ··· i ··· q 0···q und k¨ urzt sich also weg. bzw. mit sign sign ki k1 · · · k 0 · · · k q k0 · · · k q Daher ist S = 0. Also ist auch f¨ ur X = (tj1 ···jq ) ∈ Tq (M ) und x0 ∈ M ∂tjσ(1) ···jσ(q) 1 P dx0 X := dX := dxj0 ⊗ · · · ⊗ dxjq sign (σ) q! σ∈Sq+1 ∂xjσ(0) ∂tj ···j 1 P = sign(σ) 1 j0 q dxjσ(0) ⊗ · · · ⊗ dxjσ(q) q! σ∈Sq+1 ∂x 1 ∂tj1 ···jq 1 = dxj0 ∧ · · · ∧ dxjq = dtj1 ···jq ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq ∈ j 0 q! ∂x q! 71

∈ Λq+1 (Tx∗0 M ) unabh¨angig von den gew¨ahlten Koordinaten. Bei der Summenbildung bzgl. j bleibt nur der schiefsymmetrische Anteil von X erhalten. Wir k¨onnen daher gleich mit Ω ∈ Ωq (M ) starten: X ωi1 ···iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq = ωi1 ···iq dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxiq Ω= i1 <···
mit schiefsymmetrischen ωi1 ···iq (vgl. S. 47) =⇒ dΩ =

X 1 dωi1 ···iq ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq = dωi1 ···iq ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq . q! i <···
(∗)

q

Definition und Hilfssatz: M n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit, Ω0 (M ) := C ∞ (M ). 1) 0 ≤ q ≤ n. Die ¨außere Ableitung d : Ωq (M ) −→ Ωq+1 (M ) ist durch die in jeder Karte g¨ ultige Formel (∗) definiert. Sie erf¨ ullt: a) Ωi ∈ Ωqi (M ) =⇒ d(Ω1 ∧ Ω2 ) = (dΩ1 ) ∧ Ω2 + (−1)q1 Ω1 ∧ dΩq . (Beachte, dass Ω1 ∧ Ω2 = Ω1 · Ω2 , wenn q1 = 0 oder q2 = 0.) b) F¨ ur f : M −→ N C ∞ und Ω ∈ Ωq (N ) ist f ∗ (dΩ) = df ∗ (Ω) ∈ Ωq+1 (M ). 2) 0 −→ Ω0 (M ) −→ Ω1 (M ) −→ · · · −→ Ωn (M ) −→ 0 ist ein Komplex“, d.h. ” d d d d ◦ d = 0. 3) F¨ ur beliebige f0 , · · · , fq ∈ C ∞ (M ) gilt d(f0 df1 ∧ · · · ∧ dfq ) = df0 ∧ df1 ∧ · · · ∧ dfq . Beweis: 1) Nach dem obigen ist d durch (∗) wohldefiniert und linear. Nach Umordnung folgt aus (∗) f¨ ur 1 ≤ i1 , · · · , iq ≤ n : d(f dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ) = df ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq . a) Wegen der Linearit¨at von d gen¨ ugt es Ω1 = f dxi1 ∧· · ·∧dxiq1 , Ω2 = g dxj1 ∧· · ·∧dxjq2 zu betrachten. d(Ω1 ∧ Ω2 ) = d(f g dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq1 ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq2 ) = (f dg + gdf ) ∧ dxi1 ∧ · · · · · · ∧ dxjq2 = g df ∧ dxi1 ∧ · · · · · · ∧ dxjq2 + (−1)q1 f dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq1 ∧ dg ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq2 = = (dΩ1 ) ∧ Ω2 + (−1)q1 Ω1 ∧ dΩ2 .
b) f ∗ d(g dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ) = f ∗ (dg ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ) =
= d(g ◦ f ) ∧ d(xi1 ◦ f ) ∧ · · · ∧ d(xiq ◦ f ) = d g ◦ f d(xi1 ◦ f ) ∧ · · · ∧ d(xiq ◦ f ) = = df ∗ (g dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ).   ∂f i1 iq i i1 iq 2) dd(f dx ∧ · · · ∧ dx ) = d = dx ∧ dx ∧ · · · ∧ dx ∂xi ∂2f dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq = = ∂xi ∂xj

72

=

P

i<j



∂2f ∂2f − i j j i |∂x ∂x {z ∂x ∂x} =0



dxj ∧ dxi ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq = 0.

3) folgt aus 1)a) und 2) durch Induktion.



Bemerkung: Nat¨ urlich kann man d auch auf Formen Ω ∈ Ωq (M ) einer C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 2, anwenden (d.h. Ω hat C k−1 -Koeffizienten in einer Karte) und erh¨alt dΩ mit C k−2 -Koeffizienten, d.h. dΩ ∈ Ωq+1 (M als C k−1 -Mannigfaltigkeit). Dies werde ich z.B. beim Satz von Stokes verwenden. Bsp.: 1) L =

n P

j=1

dj ∧ · · · ∧ dxn ∈ Ωn−1 (Rn ) =⇒ (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dx

=⇒ dL = n dx1 ∧ · · · ∧ dxn . 2) F¨ ur M = R3 gilt:

∂f ∂f ∂f dx1 + 2 dx2 + 3 dx3 = ˆ grad f“ 1 ” ∂x ∂x ∂x     ∂ω3 ∂ω2 ∂ω1 ∂ω3 d 1 3 2 3 i 2 3 Ω (R ) −→ Ω (R ) : ωi dx 7−→ − 3 dx ∧ dx + − 1 dx3 ∧ dx1 + 2 3 ∂x ∂x ∂x ∂x   ∂ω2 ∂ω1 ˆ rot ω“. − 2 dx1 ∧ dx2 = 1 ” ∂x ∂x d

Ω0 (R3 ) −→ Ω1 (R3 ) : f 7−→

d

Ω2 (R3 ) −→ Ω3 (R3 ) : ω1 dx2 ∧ dx3 + ω2 dx3 ∧ dx1 + ω3 dx1 ∧ dx2 7−→ 

∂ω1 ∂ω2 ∂ω3 + 2+ 3 ∂x1 ∂x ∂x



dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = ˆ div ω“. ”

d ◦ d = 0 heißt rot grad = 0, div rot = 0. Die Zuordnung von Vektorfeldern bzw. Funktionen zu diesen Differenzialformen ist erst mit Riemannscher Metrik m¨oglich, vgl. § 6. Man kann d auch, obwohl umst¨andlich, koordinatenfrei definieren: Hilfssatz: M C ∞ -Mannigfaltigkeit, Ω ∈ Ωq (M ), X0 , · · · Xq ∈ T 1 (M ), h , i wie in S. 49. Dann ist q
P ci ⊗ · · · ⊗ Xq i + hdΩ, X0 ⊗ · · · ⊗ Xq i = (−1)i Xi hΩ, X0 ⊗ · · · ⊗ X |{z} | {z } i=0 ∈Der (M ) ∈C ∞ (M )

 P ci ⊗ · · · ⊗ X cj ⊗ · · · ⊗ Xq . + (−1)i+j Ω, [Xi , Xj ] ⊗ X0 ⊗ · · · ⊗ X 0≤i<j≤q

Speziell: q = 0 : hdf, Xi = X(f )
(vgl. S. 44),


 q = 1 : hdΩ, X ⊗ Y i = X hΩ, Y i − Y hΩ, Xi − Ω, [X, Y ] 73

¨ 5.1, S. 82. Beweis: Ub. Aus der Physik ist bekannt, dass ein Kraftfeld im R3 genau dann ein Potential hat, wenn seine Rotation verschwindet. (In nicht einfach zusammenh¨angenden Gebieten ist es anders.) Wir formulieren diesen Sachverhalt in der Sprache der Differentialformen. Def.: M C ∞ -Mannigfaltigkeit 1) Ω ∈ Ωq (M ) heißt geschlossen (oder Cozykel): ⇐⇒ dΩ = 0. 2) Ω ∈ Ωq (M ) heißt exakt (oder Corand): ⇐⇒ ∃Ω1 ∈ Ωq−1 (M ) : dΩ1 = Ω. Bemerkung: Offenbar gilt immer: exakt =⇒ geschlossen. Im Rn gilt auch die Umkehrung: Poincar´esches Lemma: Wenn die C ∞ -Mannigfaltigkeit M zu Rn diffeomorph ist, so ist f¨ ur q > 0 jede geschlossene q-Form auch exakt. Beweis: OEdA M = Rn . Wir halten q fest und verwenden Induktion nach n − q. Induktionsbeginn: n = q. Es sei Ω ∈ Ωn (Rn ) (dann ist automatisch dΩ = 0) =⇒ Ω = f (x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn , f ∈ C ∞ (Rn ). Zx1 Setze Ω1 := g(x) dx2 ∧ · · · ∧ dxn mit g(x) := f (t, x2 , · · · , xn ) dt =⇒ Ω = dΩ1 . 0

Induktionsannahme: Das Lemma ist g¨ ultig f¨ ur Ωq (Rn−1 ). P Induktionsschluss: Es sei Ω = ωj1 ···jq dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq ∈ Ωq (Rn ) geschlossen 1≤j1 <···<jq ≤n

P

∂ωj1 ···jq i dx ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq = 0 ⇐⇒ ∀j0 < j1 < · · · < jq gilt: ⇐⇒ i ∂x j1 <···<jq der Koeffizient von dxj0 ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq ist 0, d.h. ∂ωj0 ···jq−1 ∂ωj1 ···jq ∂ωj0 j2 ···jq − + − · · · + (−1)q = 0. j j 0 1 ∂x ∂x ∂xjq

(∗)

Es sei f¨ ur 1 < k2 < · · · < kq ≤ n : ηk2 ···kq :=

Zx1

ω1k2 ···kq (t, x2 , · · · , xn ) dt

0

und Ω1 :=

P

1
dΩ1 =

P

1
ηk2 ···kq dxk2 ∧ · · · ∧ dxkq . Dann ist

ω1k2 ···kq dx1 ∧ dxk2 ∧ · · · ∧ dxkq + 74

+

P

n P

1
 Zx1 t=0

 ∂ω1k2 ···kq 2 n (t, x , · · · , x ) dt dxi ∧ dxk2 ∧ · · · ∧ dxkq . ∂xi

F¨ ur 1 < j1 < j2 < · · · < jq ≤ n ist der Koeffizient von dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq im zweiten Teil von dΩ1 das Integral u ¨ber ∂ω1j1 jb2 j3 ···jq ∂ωj1 ···jq ∂ω1j2 ···jq − + − · · · = (nach (∗)) = . j j 1 2 ∂x ∂x ∂x1 P Also: dΩ1 = ω1k2 ···kq dx1 ∧ dxk2 ∧ · · · ∧ dxkq + 1
|

{z

}

=:Ω2

Es gilt dΩ2 = dΩ − ddΩ1 = 0 und Ω2 ∈ Ωq (Rn−1 x2 ,··· ,xn ) =⇒ (Induktionsannahme) =⇒ n−1 q−1 =⇒ Ω2 = dΩ3 , Ω3 ∈ Ω (Rx2 ,··· ,xn ) =⇒ Ω = d(Ω1 + Ω3 )   x2   q n n n−1 (wobei P ∗ : Ωq (Rn−1 : x 7−→  ... ).  x2 ,··· ,xn ) ,→ Ω (R ), P : R −→ R n x

Das Poincar´esche Lemma l¨asst sich auch so formulieren: Die de Rhamschen Cohomologiegruppen von Rn verschwinden. Definition und Hilfssatz: 1) M n-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeit, q ∈ {0, 1, 2, · · · }. Der R-Vektorraum H q (M ) :=   {f ∈ C ∞ (M ) : df = 0} = {f ∈ C ∞ (M ) lokalkonstant } : q = 0 {Ω ∈ Ωq (M ) : dΩ = 0}/{dΩ : Ω ∈ Ωq−1 (M )} : 0 < q ≤ n  {0} : q > n heißt de Rhamsche Cohomologiegruppe der Ordnung q.

2) f : M −→ N C ∞ . Dann ist H q (f ) : H q (N ) −→ H q (M ) : [Ω] 7→ [f ∗ Ω] wohldefiniert und linear. H q ist ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der C ∞ -Mannigfaltigkeit in die der R-Vektorr¨aume, d.h. H q (id) = id, H q (f ◦ g) = H q (g) ◦ H q (f ). ˜ ∈ H q (N ) =⇒ Ω − Ω ˜ = dΩ1 , Ω1 ∈ Ωq−1 (N ) =⇒ Beweis: [Ω] = [Ω] ˜ ˜ = f ∗ dΩ1 = df ∗ Ω1 =⇒ [f ∗ Ω] = [f ∗ Ω]. =⇒ f ∗ Ω − f ∗ Ω 75



Bsp.: 1) H 0 (M ) ' RZ , Z = Menge der Zusammenhangskomponenten von M. 2) Wir bestimmen H 1 (S1 ). d (vgl. S. 24). T 1 (S1 ) hat als C ∞ (S1 )-Modul die Basis dϑ 1 1 1 Die duale Basis von T1 (S ) = Ω (S ) werde mit dϑ bezeichnet. F¨ ur festes a ∈ R und     cos ϑ cos a 7−→ ϑ −→ (a, a + 2π) : ϕa : S 1 \ sin ϑ sin a ist dϑ S1 \{(cos a)} = dϕa . (Beachte aber, dass das d“ in dϑ nur symbolisch ist, da ϑ 6∈ ” sin a  C ∞ (S1 ).) Es ist also Ω1 (S1 ) = f · dϑ : f ∈ C ∞ (S1 ) .
ϑ ¨ Wenn wir die universelle Uberlagerung“ U : R −→ S1 : ϑ 7−→ cos verwenden, so sin ϑ ” kommutiert d - 1 1 f (x) C ∞ (S1 ) f (x) dϑ Ω (S ) f

?


cos ϑ sin ϑ

U∗

U∗

?

d - 1?

0 Ω (R) : g 7−→ g dϑ f

∞

C (R)

cos ϑ sin ϑ


? dϑ

 ∞ (R1 ) bzw. Ω1,per (R1 ) = f dϑ : f ∈ Offenbar ist U ∗ injektiv und hat das Bild Cper ∞ Cper (R1 ) (vgl. auch S. 26). Also erhalten wir  0  ∞ ∞ (R1 ) (R1 ) g (ϑ) dϑ : g ∈ Cper H 1 (S1 ) ' f dϑ : f ∈ Cper  ∞ 1 0 ∞ ' Cper (R1 ) Cper (R ) . ∞ F¨ ur f ∈ Cper (R1 ) gilt: (∃g : f = g 0 ) ⇐⇒

Zϑ

∞ f (t) dt ∈ Cper (R1 ) ⇐⇒

∞ Cper (R1 )



∞ Cper (R1 )0

f (t) dt = 0.

0

0

Das liefert

Z2π

' R : [f ] 7−→

Z2π

f (t) dt.

0

Wenn wir wieder r¨ uckw¨arts gehen, ergibt sich 1

1

H (S ) ' R : [Ω] 7−→

Z

Ω.

(S1 ,[dϑ])

3) Allgemeiner, wenn M eine n-dimensionale orientierbare, kompakte C ∞ -Mannigfaltigkeit R ist, so ist H n (M ) 6= 0, denn f¨ ur O ∈ O(M ) ist F : H n (M ) −→ R : [Ω] 7−→ Ω wohl(M,O)

definiert, linear und surjektiv. Beweis daf¨ ur: a) Wir zeigen zuerst, dass

R

(M,O)

76

dΩ1 = 0 f¨ ur Ω1 ∈ Ωn−1 (M ).

(Dann ist F wohldefiniert.) Da M kompakt ist, existiert eine C ∞ -Zerlegung χ1 , · · · , χN der 1 mit supp χi ⊂ Ui wobei ∼ (ϕi : Ui −→ Rn ) ∈ Amax . N P ∗ 1 n dj Es ist dΩ1 = d(χi Ω1 ). Wenn (ϕ−1 i ) (χi Ω1 ) = fij dx ∧ · · · ∧ dx ∧ · · · ∧ dx , so ist Z

i=1

d(χi Ω1 ) =

(M,O) n X

=

j=1

±

Also ist

Z

Rn−1 Z

Z

χi ∈K(Ui )

d(χi Ω1 )

↓

=

j=1

(Ui ,O|Ui )



fij (x1 , · · · , xn )

n X

+∞

xj =−∞

dΩ1 = 0.

±

Z

∂fij dx = ∂xj

Rn

dj · · · dxn = 0, da supp fij ⊂ Rn kompakt. dx1 · · · dx

(M,O)

b) Wenn man ein Z (ϕ : U −→ V ) ∈ A und f ∈ K(V ) mit (∀x ∈ V : f (x) ≥ 0) und f 6≡ 0
nimmt, so ist ϕ∗ f (x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn 6= 0 und daher F surjektiv. (M,O)

Unser n¨achstes Ziel ist der Satz von Stokes. Es gibt im wesentlichen zwei Versionen davon. 1) Die de Rhamsche Version baut darauf auf, dass in einer Karte ϕ : U −→ V f¨ ur Ω ∈ Ωn (U ) (n = dim U ) und f ∈ K(U ) gilt: Z Z ∗ f · Ω = ϕ−1 (f · Ω) dx, vgl. S. 64.
V U,[ϕ∗ (dx1 ∧···∧dxn )]

R Man ben¨otigt also f¨ ur die Berechnung von f · Ω nicht eine Karte ϕ, sondern eine Parametrisierung“ ψ = ϕ−1 . Man integriert dann u ¨ber Ketten“= Linearkom” ” 1 binationen von Kettenelementen“ ψ : ∆ −→ M C , wobei ∆ ein Simplex, oder ” allgemeiner ein Polyeder ist. Vorteil: Unmittelbarer Zusammenhang mit den Homologiegruppen“ Hq (M ) der ” algebraischen Topologie. Nachteil: Man kann nicht u ¨ber eine Mannigfaltigkeit integrieren (wie U oder ∂U ), sondern ben¨otigt immer eine Triangulierung“ (d.h. Linearkombinationen von ψ ” wie oben).

2) Die allgemeinste Variante der 2. Version beruht auf dem Begriff Mannigfaltigkeit ” mit Rand“. Ich w¨ahle ein etwas spezielleres Konzept, das f¨ ur die meisten F¨alle gen¨ ugt.

77


Es sei M, [A] eine n-dimensionale C 2 -Mannigfaltigkeit, U ⊂ M offen, N := ∂U = U \U sei eine (n − 1)-dimensionale C 1 -Untermannigfaltigkeit von M und  es 2gelte: n T (∗) ∀x0 ∈ N : ∃(ϕ : W −→ V ) ∈ Amax : x0 ∈ W, ϕ(W ∩ N ) = (0, x , · · · , x ) ∈ V (vgl. S. 6) und ϕ(W ∩ U ) = (x1 , · · · , xn )T ∈ V : x1 < 0 . a) Allgemein, wenn N eine (n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit von M, x ∈ N, oM ∈ O(Tx M ), v ∈ Tx M \ Tx N, so kann man oM und v folgendermaßen ein ovN ∈ O(Tx N ) zuordnen: Wenn oM = [D], D ∈ Λn (Tx∗ M ), so sei ovN := [hv, Di] ∈ O(Tx N ), wobei hv, Di ∈ Λn−1 (Tx∗ N ), hv, Di : Tx N ⊗(n−1) −→ R w1 ⊗ · · · ⊗ wn−1 7−→ D(v, w1 , · · · , wn−1 ). v oN h¨angt nur davon ab, in welcher Zusammenhangskomponente von Tx M \ Tx N v liegt. Denn wenn v˜ = λv + w, w ∈ Tx N, λ > 0, so ist h˜ v , Di = λhv, Di =⇒ [h˜ v , Di] = [hv, Di] ∈ O(Tx N ). Man kann die Abbildung O(Tx M ) × (Tx M \ Tx N ) −→ O(Tx N ) auch so formulieren: Wenn ovN durch die angeordnete Basis w1 , · · · , wn−1 von Tx N definiert ist, so oM durch v, w1 , · · · , wn−1 . b) Speziell, wenn N = ∂U wie oben, so w¨ahlen wir v so, dass Unach  außen“  es ”von   t ∂  −1   0   = ϕ ϕ(x) +   . weist, d.h. in einer Karte ϕ wie in (∗) sei v = ∂x1 .. . Die Zuordnung O(Tx M ) −→ O(Tx N ) : oM 7−→ oaN ist dann unabh¨angig von der Karte ϕ, da f¨ ur 2 Karten ϕ, ϕ0         1 t  0   0 −1  0 0   0 T ϕ(v) =   und T ϕ(v ) = ϕ ϕ ϕ (x) +   beide im Halbraum .. .. . .

x1 > 0 liegen und daher v, v 0 in derselben Zusammenhangskomponente von Tx M \ Tx N. Wenn oM = [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ], so ist also oaN = [dx2 ∧ · · · ∧ dxn ]. ˆ q (M ) −→ Ω ˆ q (N ) wohldefiniert, wenn man in Karten Mit i : N = ∂U ,→ M ist also ia∗ : Ω ϕ wie in (∗) setzt:     Ω(x), [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] 7−→ i∗ Ω, [dx2 ∧ · · · ∧ dxn ] . ( a“ steht f¨ ur von U nach außen“). ” ”

c) Noch spezieller, wenn M durch O ∈ O(M ) orientiert ist, so erhalten wir eine Orientiea rung O ∂U auf N =1 ∂U : Wennnϕ : W −→ a V wie in (∗)2 oben, und nW zusammenh¨angend, so ist O W = [dx ∧ · · · ∧ dx ] und O W ∩∂U = [dx ∧ · · · ∧ dx ],  ∈ {±1}. (Um ein 78

a Ω ∈ Ωn−1 (N ) mit [Ω] = O N zu finden, nimmt der 1 χi ∈ K(N ) P man2 eine Zerlegung bzgl. W ∩ N, W wie in (∗), und setzt Ω := χi i dxi ∧ · · · ∧ dxni , vgl. S. 66.)

Satz von Stokes: M n-dimensionale C 2 -Mannigfaltigkeit, U ⊂ M offen, ∂U = U \ U sei eine (n−1)-dimensionale C 1 -Mannigfaltigkeit von M oder leer und es gelte (∗), S. 78.   ˆ ∈Ω ˆ n−1 (M ) habe kompakten Tr¨ager. dΩ(x) ˆ 1) Ω := dΩ(x), [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] , wenn   ˆ ∈Ω ˆ n−1 (∂U ) sei wie oben. ˆ in einer Karte Ω(x) := Ω(x), [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] . ia∗ Ω Z Z ˆ ˆ Dann gilt: dΩ = ia∗ Ω. U

∂U

2) Speziell sei (M, O) orientiert und O|a∂U wie oben definiert. Ω ∈ Ωn−1 (M ) habe kompakten Tr¨ager. Dann ist Z Z dΩ = i∗ Ω. (∂U,O|a ∂U )

(U,O|U )

Bemerkung:

R

ˆ = µ(U ), wenn dΩ ˆ dem Borelmaß µ entspricht. dΩ

U

    ˆ ˆ Beweis: 2) folgt aus 1), denn wenn Ω(x) = Ω(x), O(x) , so ist dΩ(x) = dΩ(x), O(x) a   ˆ = i∗ Ω(x), O ∂U (x) . und ia∗ Ω(x) Zu 1): Wir u ¨berdecken M mit Kartengebieten W, sodass entweder (∗) in der dritten Zeile in S. 78 gilt oder W ⊂ U oder W ⊂ M \ U . χi sei eine zugeh¨orige P lokalendliche 2 ˆ ˆ ˆ und C -Zerlegung der 1 nach S. 59. Da Ω kompakten Tr¨ager hat, ist Ω = endlich χi Ω ˆ ein χi Ω ˆ zu betrachten. Es sei also oEdA supp Ω ˆ es gen¨ ugt daher, anstelle von Ω R R ⊂ W. a ˆ ˆ ˆ = 0, Wenn W ⊂ M \ U , so ist alles 0. Wenn W ⊂ U, so ist i∗ (Ω) = 0 und dΩ = dΩ U

W

vgl. 3)a) in S. 76. Wenn schließlich W wie in (∗), S. 78, 3. Zeile, und in der Karte ϕ : W −→ V gilt   dj ∧ · · · ∧ dxn , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] , so ist ˆ = gj dx1 ∧ · · · ∧ dx Ω 0 Z Z Z n X ∂g j j−1 1 n ˆ= dΩ (−1) dx = g (x , · · · , x ) dx2 · · · dxn + 1 1 j ∂x x =−∞ j=1 U

+

n X j=2

=

Rn−1

(x1 ,··· ,xn )T ∈V x1 <0

Z

Z

c (x1 ,··· ,xj ,··· ,xn )T ∈Rn−1 x1 <0

(−1)

j−1

∞ dj · · · dxn = dx1 · · · dx gj (x , · · · , x ) j {z x =−∞} | 1

n

0 (da supp gj kompakt ist)

g1 (0, x2 , · · · , xn ) dx2 · · · dxn

Rn−1

79

  n dj ∧ · · · ∧ dxn ), [dx2 ∧ · · · ∧ dxn ] = ˆ = P i∗ (gj dx1 ∧ · · · ∧ dx und andererseits ia∗ Ω j=1   2 n 2 g1 (0, x , · · ·Z, x ) dx ∧ · · · ∧ Z dxn , [dx2 ∧ · · · ∧ dxn ] wegen i∗ (dx1 ) = 0. ˆ ebenfalls ia∗ Ω

Also ergibt

∂U

g1 (0, x2 , · · · , xn ) dx2 · · · dxn .



Rn−1

Bemerkungen: 1) Der Satz von Stokes ist also im Wesentlichen der Hauptsatz der Integralrechnung. 2) In gewissen F¨allen, wie z.B. bei der Oberfl¨ache einer Halbkugel, sind noch Zusatz¨ uberlegungen n¨otig. ˆ 3) Wenn U ⊂ M beschr¨ankt ist (d.h. U kompakt), so kann die Voraussetzung, dass Ω e ˆ := Ω ˆ · χ, wobei bzw. Ω kompakten Tr¨ager haben, fallengelassen werden. (Man setzt Ω R a R R e R a e ˆ ˆ = i∗ (Ω).) ˆ = dΩ ˆ = i∗ (Ω) χ ∈ K(M ), χ = 1 auf U , und erh¨alt dΩ U



U

∂U

∂U



Bsp.: 1) Wenn U = x ∈ Rn : |x| < 1 , so ist ∂U = Sn−1 und f¨ ur O = [dx1 ∧· · ·∧dxn ] ∈ a O(Rn ) gilt O Sn−1 = hxi ∂i , dx1 ∧· · ·∧dxn i = [L], vgl. S. 49. (Als Vektor v entsprechend S. 78 a) nehmen wir also xi ∂i = [x + tx] ∈ Tx Rn , x ∈ Sn−1 .) Der Z Z Z Satz vonZStokes ergibt |L| =

Sn−1

n dx1 ∧ · · · ∧ dxn = n

L=

(Sn−1 ,[L])

dx = n · Vol (U ).

U

(U,O|U )

(L steht hier f¨ ur i∗ L, vgl. S. 61.) Allgemeiner, wenn U ⊂ Rn wie im Satz von Stokes vorausgesetzt und außerdem beZ 1 schr¨ankt ist, so ist Vol (U ) (=Lebesguemaß von U ) = L. n (∂U,O|a ∂U )

Beachte, dass ∂U zwar orientierbar ist, L i.A. aber keine Orientierung auf ∂U liefert. 2) Wenn U ⊂ Rn wie im Satz von Stokes und beschr¨ankt ist, V sein Volumen und S ∈ Rn sein Schwerpunkt, und akij = akji ∈ R, i, j, k ∈ {1, · · · , n}, so gilt Z Z n X k−1 k i j 1 n dk ∧· · ·∧dx = 2ak xj dx = 2V ak S j . (−1) aij x x dx ∧· · ·∧ dx kj kj
k=1 U ∂U,[dx1 ∧···∧dxn ]|a ∂U

3) Sn ⊂ Rn+1 werde als C 3 -Mannigfaltigkeit betrachtet, X ∈ T 1 (Sn ) sei so, dass ∀x ∈ Sn : X(x) 6= 0. Wir zeigen, dass dann n ungerade sein muss (vgl. S. 28). Wegen T Sn ⊂ T Rn+1 k¨onnen wir X : Sn −→ Rn+1 \ {0} C 2 mit ∀x ∈ Sn : X(x) ⊥ x schreiben. Dann ist tx + (1 − t2 )X(x) F : R × Sn −→ Sn : (t, x) 7−→ tx + (1 − t2 )X(x) 80

wohldefiniert und C 2 , denn tx + (1 − t2 )X(x) = 0 =⇒ 1 − t2 = 0 =⇒ x = 0 ∗

n

n

2

n



.

n

Daher ist Ω := F (L) ∈ Ω (R × S als C -Mannigfaltigkeit), wenn L ∈ Ω (S ) wie in S. 61. Es sei U = (−1, 1) × Sn ⊂ M := R × Sn =⇒ ∂U = {−1, +1} × Sn . dΩ = F ∗ (dL) = F ∗ (0) = 0. Wie immerZsei i : ∂U ,→ M. i∗ Ω = 0.

Der Satz von Stokes liefert dann:

a


∂U,[dt∧L]

∂U

Es gilt i∗ Ω = i∗ F∗ (L) = (F ◦ i)∗ L, wobei F ◦ i : {−1, 1} × Sn −→ Sn : (, x) 7−→ x =⇒ L(x) :  = 1 vgl. S. 63. (F ◦ i)∗ L(, x) : ∗ n+1 (J L)(x) h= (−1) L(x) i :  = −1, a

∂  Schließlich ist [dt ∧ L] ∂U = ± ∂t , dt ∧ L = ±[L] auf {±1} × Sn =⇒
R =⇒ 0 = 1 + (−1)n |L| =⇒ n ungerade. Sn

˜ mit C 2 -Koeffizienten Wenn X nur ein stetiges Vektorfeld ist, so kann man es durch X approximieren und erh¨alt daher ebenfalls, dass n ungerade ist. 4) Der Satz von Gauß im Rn . U ⊂ Rn sei wie im Satz von Stokes, v j C 1 und mit kompaktem Tr¨ager. Dann gilt also: Z Z X n n X
∂v j ∗ j j−1 1 n d j dx. i v (−1) dx ∧ · · · ∧ dx ∧ · · · ∧ dx = j ∂x a
j=1 j=1 U | {z } ∂U,[dx1 ∧···∧dxn ] ∂U

= div X“ ”


T

X = (v 1 , · · · , v n ) . ∼ Wenn W ⊂ ∂U, W zusammenh¨angend mittels ψ : V −→ W : ξ 7−→ x parametrisiert  1
∂x j−1 j−1 1 n n−1 ∗ k dj ∧ · · · ∧ dx = (−1) ist, V ⊂ R , so ist i (−1) dx ∧ · · · ∧ dx dξ ∧ · · · ∧ ∂ξ k     n ∂(x1 , · · · , xbj , · · · , xn ) ∂x j−1 l dξ = (−1) det dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n−1 und daher l 1 n−1 ∂ξ ∂(ξ , · · · · · · , ξ ) | {z } =:D j

Z

i∗

a


W,[dx1 ∧···∧dxn ]

W

n X j=1

=±


dj ∧ · · · ∧ dxn = v j (−1)j−1 dx1 ∧ · · · ∧ dx Z X n

V

v j (ξ)Dj (ξ) dξ,

j=1

wobei + bzw. − zu w¨ahlen ist, je nachdem ob ψ die Orientierung erh¨alt. (V ⊂ Rn−1 ist a dabei durch [dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n−1 ] orientiert, W ⊂ ∂U durch [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] W .) 81

  ∂x ∂x ∂x ∂x y = 1 × · · · × n−1 ist definiert durch det z, 1 , · · · , n−1 = hz, yi, ∀z ∈ Rn . ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ (Da wir Rn mit der Standardorientierung versehen, ist y ein Vektor, kein Pseudovektor, vgl. S. 56).   

∂x ∂x ∂x Speziell ist y ⊥ ∂ξi : i = 1, · · · , n−1 = Tx (∂U ) und det y, 1 , · · · , n−1 > 0, d.h. ∂ξ ∂ξ R ∂x ∂x a [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] W ist durch die geordnete Basis 1 , · · · , n−1 von Tx (∂U ) gegeben, ∂ξ ∂ξ  1 : y weist aus U heraus wenn  := −1 : sonst.    ∂x ∂x j j Außerdem ist y = Koeffizient vom z in det z, 1 , · · · , n−1 = ∂ξ ∂ξ   ∂(x1 , · · · , xbj , · · · , xn ) j−1 = Dj = (−1) det ∂(ξ 1 , · · · , ξ n−1 ) Z n X
∗ dj ∧ · · · ∧ dxn = i v j (−1)j−1 dx1 ∧ · · · ∧ dx =⇒ a
j=1 W,[dx1 ∧···∧dxn ] W Z

 ∂x ∂x =  X, ∂ξ dξ, wobei X = (v 1 , · · · , v n )T . 1 × · · · × ∂ξ n−1 V

Oft schreibt man daf¨ ur noch

Z

hX, ni dσ, wobei

V

∂x ∂x  ∂ξ 1 × · · · × ∂ξ n−1 und n := Außeneinheitsnormale = ∂x ∂x 1 × · · · × ∂ξ n−1 ∂ξ ∂x ∂x dσ := 1 × · · · × n−1 dξ = Oberfl¨achenmaß auf W. Dazu siehe § 6. ∂ξ ∂ξ

¨ Ubungen

¨ 5.1 Beweise den Hilfssatz in S. 73. Ub. Hinweis: Es gen¨ ugt Ω = f 0 df 1 ∧ · · · ∧ df q zu
betrachten. Verwende hdΩ, X0 ⊗ · · · ⊗ Xq i = det Xk (f l ) k,l=0,··· ,q .

¨ 5.2 Die Maxwellschen Gleichungen sind Ub. ∂B ∂D (∗) rot E = − , rot H = j + , div D = %, divB = 0 ∂t ∂t (E/H = elektrische/magnetische Feldst¨arke, D/B = elektrische/magnetische Induktion, % = Ladung, j = Strom.) Es sei F := (E1 dx1 +E2 dx2 +E3 dx3 )∧dt+B1 dx2 ∧dx3 +B2 dx3 ∧dx1 +B3 dx1 ∧dx2 und G := −(H1 dx1 +H2 dx2 +H3 dx3 )∧dt+D1 dx2 ∧dx3 +D2 dx3 ∧dx1 +D3 dx1 ∧ 82

dx2 sowie γ := (j1 dx2 ∧ dx3 + j2 dx3 ∧ dx1 + j3 dx1 ∧ dx2 ) ∧ dt − % dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 . a) Zeige, dass (∗) ¨aquivalent zu dF = 0, dG = −γ ist. b) Folgere dγ = 0. Was bedeutet das klassisch? c) Folgere, dass in einem zu R4 diffeomorphen Gebiet U gilt F = dϕ, ϕ ∈ Ω1 (U ) (elektromagnetisches Vektorpotential). Was bedeutet das klassisch? ¨ 5.3 M = [0, 2π) × R sei das M¨obiusband in S. 38 und Ub. ϕi : Ui −→ Vi : (t, u) 7−→ (x1i , x2i )T , i = 1, 2, seien wie dort.   ˆ ∈Ω ˆ 2 (M ) durch Ω(t, ˆ u) := dx1i ∧ dx2i , [dx1i ∧ dx2i ] , (t, u) ∈ Ui , a) Zeige, dass Ω wohldefiniert ist.
ˆ eine Basis von Ω ˆ 2 (M ) u b) Warum ist Ω ¨ber C ∞ (M ) ? c) Setze U := [0, 2π) × (−1,1) ⊂ M und wende den Satz von Stokes an. ˆ = −dΩ ˆ 1, Ω ˆ 1 := x2i dx1i , [dx1i ∧ dx2i ] . Hinweis: Ω  ¨ 5.4 Es sei S1 = z ∈ C : |z| = 1 , n ∈ Z und fn : S1 −→ S1 : z 7−→ z n . Ub. a) Bestimme H 1 (fn ) : H 1 (S1 ) −→ H 1 (S1 ). b) Zeige, dass gilt: ∀f : S1 −→ S1 C ∞ : ∃n ∈ Z : ∀[Ω] ∈ H 1 (S1 ) : H 1 (f )[Ω] = n[Ω]. Hinweis: Verwende, dass f˜ : R1 −→ R1 existiert mit f ◦ U = U ◦ f˜, U wie in S. 76. ¨ 5.5 Es sei L = Ub.

n P

j=1

dj ∧ · · · ∧ dxn ∈ Ωn−1 (Sn−1 ) und (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dx

x . p : Rn \ {0} −→ Sn−1 : x 7−→ |x| j n P ∗ j−1 x dj ∧ · · · ∧ dxn ∈ Ωn−1 (Rn \ {0}). a) Zeige, dass p (L) = (−1) dx1 ∧ · · · ∧ dx n |x| j−1 Hinweis: L und p∗ (L) sind rotationsinvariant. b) Warum ist dp∗ (L) = 0 ? c) U ⊂ Rn erf¨ ulle die Voraussetzungen an den Satz von Stokes, sei beschr¨ankt und 0 6∈ ∂U. Zeige, dass ( Z 0 : 0 6∈ U R i∗ p∗ (L) = |L| : 0 ∈ U. a
Sn−1 ∂U,[dx1 ∧···∧dxn ] ∂U

Hinweis: Falls 0 ∈ U, integriere p∗ (L) u ¨ber ∂K, wobei K ⊂ U eine Kugel mit Mittelpunkt in 0 ist.
d) Warum ist H n−1 Rn \ {0} 6= {0} ?

¨ 5.6 Der Satz von Stokes des R3 . Es sei Ω = ωi dxi ∈ Ω1 (R3 ), (M, O) ⊂ R3 2Ub. dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit, U ⊂ M wie im Satz von Stokes und beschr¨ankt.

83

a) Zeige, dass

Z

a

(∂U,O

∂U

)

  + Z b * ω1 ∼ ω2  , x˙ dt, wenn x : [a, b) −→ ∂U eine Parai∗ Ω = ω3 a

metrisierung ist, sodass die Orientierung von Tx(t) M durch die angeordnete Basis n1 , x(t) ˙ gegeben ist, n1 := Außennormale in Tx M.   zu ∂U + Z Z * ω1 b) Zeige, dass dΩ = rot ω2  , n2 dσ, wenn ω3 U (U,O|U ) 1 |n2 | = 1, n2 ⊥ Tx U, O(x) = [dx ∧ dx2 ∧ dx3 ]nM2 in der Notation von S. 78, ∂x ∂x dσ = 1 × 2 · |dξ 1 ∧ dξ 2 |, vgl. S. 82. ∂ξ ∂ξ c) Formuliere die Koppelung von x(t), ˙ n1 , n2 anschaulich.

84

Kap. III: Riemannsche Mannigfaltigkeiten §6

Kanonisches Volumsmaß, Sternoperator

Eine Methode der Differentialgeometrie besteht darin, Begriffe der linearen Algebra auf die Vektorr¨aume Tx M anzuwenden. In § 3 wurden so der Dualraum (S. 39) und das Tensorprodukt (S. 44 ff.), in § 4 die Determinante behandelt. (d in § 5 ist hingegen ein Begriff der Analysis.) Nun betrachten wir innere Produkte, d.h. g : V ×V −→ R bilinear und symmetrisch. Nach S. 44 ist Mul(V, V ) ' Hom(V, V ∗ ) ' V ∗ ⊗ V ∗
 .  g 7−→ g˜ : v 7→ w 7→ g(v, w) 7−→ g˜˜
v 7→ hv, v ∗ iw∗ ←−| v ∗ ⊗ w∗ g symmetrisch bedeutet g˜ = g˜T bzw. g˜˜ ∈ S 2 (V ∗ ), s. S. 45. Ein symmetrisches g ist durch seine Werte auf der Diagonale festgelegt, d.h.

{g ∈ Mul (V, V ) symmetrisch} ' {g1 : V −→ R quadratische Form} g 7−→ g1 : v 7−→ g(v, v) Speziell gilt: g nicht ausgeartet (d.h. ∀0 6= v ∈ V : ∃w ∈ V : g(v, w) 6= 0) ⇐⇒ ⇐⇒ g˜ : V −→ V ∗ ist ein Isomorphismus. Koordinatendarstellung: e1 , · · · , en sei eine Basis in V, e1 , · · · , en die duale Basis in V ∗ . Dann hat V ⊗m ⊗ V ∗⊗q die Basis ei1 ⊗ · · · ⊗ eim ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejq , 1 ≤ i1 , · · · , im , j1 , · · · , jq ≤ n. Wenn g die Koordinaten gij hat, d.h. g(ei , ej ) = gij , so ist g˜(ei ) = gij ej . Wenn g nicht ausgeartet ist, so erh¨alt man f¨ ur 1 ≤ k ≤ m Isomorphismen V ⊗m ⊗ V ∗⊗q −−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ V ⊗ · · · ⊗ V ∗ ⊗ V ⊗ · · · ⊗ V ⊗ V ∗⊗q ' id ⊗ · · · ⊗ g˜ ⊗ id ⊗ · · · ⊗ id (k-te Stelle)

(k-te Stelle)

' V ⊗(m−1) ⊗ V ∗⊗(q+1) .

¨ Das ist eine Uberschiebung mit g˜˜ (vgl. S. 49), d.h.

i1 ···ik−1 l ik ···im−1 m · gl jq+1 ∈ V ⊗(m−1) ⊗ V ∗⊗(q+1) . tji11···i ···jq 7−→ tj1 ···jq

Manchmal schreibt man daf¨ ur

85



i ···i i ···i i ···i i ···i ti1 ···im j1 ···jq 7−→ t 1 k−1 l k+1 m j1 ···jq , wobei t 1 k−1 l k+1 m j1 ···jq := ti1 ···im j1 ···jq gik l , und nennt dies Senken des k-ten kontravarianten Index“. ” Ebenso l¨asst sich ein kovarianter Index heben“ (1 ≤ k ≤ q) : ” −−−−−−−−−−−→ V ⊗m ⊗ V ∗⊗k−1 ⊗ V ⊗ V ∗⊗(q−k) V ⊗m ⊗ V ∗⊗q −−−−−−−−−− id ⊗ · · · ⊗ g˜−1 ⊗ id ⊗ · · · ⊗ id
(m + k)-te Stelle ' V ⊗(m+1) ⊗ V ∗⊗(q−1)
liefert ti1 ···im j1 ···jq − 7 → ti1 ···im j

l 1 ···jbk ···jq


:= ti1 ···im j1 ···jq g jk l .

g ij ist dabei die Matrix der Abbildung g˜−1 : V ∗ −→ V. Es ist also (g ij ) die inverse Matrix zu (gij ). Beachte, dass man beim Heben und Senken der Indices diese nebeneinander schreiben muss, damit keine Zweideutigkeit entsteht. In dieser Schreibweise ist z.B. g i j = g ik gkj = δji = gj i . Ich werde von dieser Notation nur g ij f¨ ur die inverse Matrix von gij verwenden. Ein Paar (V, g) heiße innerer Produktraum (IPR), wenn (i) V endlich dimensionaler R-Vektorraum;
(ii) g : V × V −→ R bilinear und symmetrisch g ∈ S 2 (V ∗ ) .

f : (V, g) −→ (V 0 , g 0 ) heiße Homomorphismus von IPR: ⇐⇒
(i) f : V −→ V 0 linear (ii) ∀vi ∈ V : g(v1 , v2 ) = g 0 f (v1 ), f (v2 ) .

Der Satz von Sylvester (lineare Algebra) besagt, dass eine Isomorphieklasse von IPR durch 3 Zahlen n = dim (V ), r = rg (g), s = sign (g) gegeben ist, und zwar ∃ Basis k l P P e1 , · · · , en in V mit g(xi ei , y j ej ) = xi y i − xi+k y i+k , wobei r = k + l, s = k − l. i=1

i=1

Speziell gilt: g nicht ausgeartet ⇐⇒ r = n;
g positiv definit (d.h. ∀v 6= 0 : g(v, v) > 0 ⇐⇒ k = n ⇐⇒ r = s = n.

Def.: M n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1.

1) g ∈ T2 (M ) heißt Pseudo-Riemannsche Metrik : ⇐⇒ ∀x ∈ M : g(x) ∈ Tx∗ M ⊗2 ' Hom (Tx M, Tx∗ M ) ' Mul (Tx M, Tx M ) ist symmetrisch und nicht ausgeartet. 2) g ∈ T2 (M ) heißt Riemannsche Metrik : ⇐⇒ ∀x ∈ M : g(x) symmetrisch und positiv definit. 3) g ∈ T2 (M ) heißt Lorentz-Metrik (oder hyperbolische Metrik) : ⇐⇒ ∀x ∈ M : g(x) symmetrisch, rg g(x) = n, sign g(x) = 2 − n. 86

4) Ein Paar (M, g) mit g wie in 1), 2) bzw. 3) heißt C k -(Pseudo-)Riemannscher bzw. Lorentz-Raum. Bemerkung: In Koordinaten gilt also g(x) = gij (x) dxi ⊗ dxj mit gij = gji . 1) heißt det gij (x) 6= 0; 2) heißt gij (x) ist positiv definit; 3) heißt: ∃ Basis e0 , · · · , en−1 in Tx M : n−1 P i i g(x)(v i ei , wj ej ) = v 0 w0 − vw. i=1

Bsp.: 1) Wenn V ein IPR mit nicht ausgeartetem inneren Produkt h , i ist, so ist die Mannigfaltigkeit V ein Pseudo-Riemannscher Raum, indem man f¨ ur x ∈ V setzt h , i

g(x) : Tx V × Tx V ' V × V −→ R. Wenn e1 , · · · , en eine Basis von V ist, x1 , · · · , xn die Koordinaten dazu (=duale Basis) und gij = hei , ej i, so ist g = gij dxi ⊗ dxj ∈ T2 (V ). n P Diese Metrik heißt Standardmetrik auf V . Speziell f¨ ur V = Rn ist also g = dxi ⊗ dxi i=1

die Standardmetrik. 2) i : N −→ M C k , g Metrik auf M. Falls i∗ g wieder eine Metrik ist, so heißt sie von i induzierte Metrik. In jedem Fall ist i∗ g ∈ T2 (N ) symmetrisch. i∗ g ist z.B. eine Riemannsche Metrik, wenn g eine solche ist und i eine Immersion ist, denn dann ist Tx i : Tx N −→ Ti(x) M injektiv. Bei einer Pseudo-Riemannschen Metrik g kann i∗ g ausgeartet sein, auch wenn i eine Immersion ist. In Koordinaten: ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T sei eine Karte auf M, ψ : U 0 −→ V 0 : ξ 7−→ (ξ 1 , · · · , ξ p )T eine auf N mit i(U 0 ) ⊂ U und i : ξ 7−→ x(ξ), vgl. S. 3. Dann ist ∂xi ∂xj k (i∗ g)(ξ) = i∗ (gij dxi ⊗ dxj ) = gij k dξ ⊗ dξ l . ∂ξ ∂ξ l Wenn M = Rn , g wie in 1) und N ⊂ Rn eine Untermannigfaltigkeit, so bezeichnet man oft das innere Produkt (ψ −1∗ i∗ g)(ξ) auf Tξ V 0 ' Rp , das also durch die p × p-Matrix    ∂x ∂x ∂xi ∂xj = gegeben ist, als 1. Fundamentalform. Dies ist die Ko, gij k l ∂ξ ∂ξ k,l ∂ξ k ∂ξ l k,l ordinatendarstellung von i∗ g. n+1
P i 3) F¨ ur i : Sn ,→ Rn+1 heißt i∗ dx ⊗ dxi die Standardmetrik auf Sn . Speziell f¨ ur S2 i=1

erhalten wir in Kugelkoordinaten: 3
P i∗ g = i ∗ dxi ⊗ dxi = d(sin ϑ cos ϕ)⊗2 + d(sin ϑ sin ϕ)⊗2 + d(cos ϑ)⊗2 = i=1

= (cos ϑ cos ϕ dϑ−sin ϑ sin ϕ dϕ)⊗2 +(cos ϑ sin ϕ dϑ+sin ϑ cos ϕ dϕ)⊗2 +sin2 ϑ dϑ⊗dϑ = = dϑ ⊗ dϑ + sin2 ϑ dϕ ⊗ dϕ. Dass keine gemischten Glieder dϑ ⊗dϕ auftauchen,   liegt an der Orthogonalit¨at der Ko∂ ∂ ∂ ∂ ordinaten: (i∗ g)ϑϕ = (i∗ g) = = 0. , , ∂ϑ ∂ϕ ∂ϑ ∂ϕ 4) G Liegruppe. Die linksinvarianten Pseudo-Riemannschen Metriken entsprechen bijektiv den nicht ausgearteten inneren Produkten auf TI G, vgl. S. 50, 51. Ein Bsp. ist 87

1) oben. Riemannsche Metrik g z.B. durch PAufi G =i Gln (R) ist eine linksinvariante i g(I) = ) ergibt sich wie in S. 51: = (b daj ⊗ daj bestimmt. Mit A−1 0 j i,j P i i k P −1 i i bk bl daj ⊗ dalj . g(A0 ) = d(A−1 0 A)j ⊗ d(A0 A)j = i,j

i,j

Hilfsatz und Definition: (M, g) Pseudo-Riemannscher Raum. Es sei wie in S. 85 f¨ ur
∼ ∗ g x ∈ M g(x) : Tx M −→ Tx M : v 7→ w 7→ g(x)(v, w) . g
ist ein C k−1 -Vektorraumb¨ 1) g˜ : T M −→ T ∗ M : (x, v) 7−→ x, g(x)v undelisomorphismus. 2) g −1 ∈ T 2 (M ) ist wohldefiniert durch Tx M ⊗2 ' HomR (Tx∗ M, Tx M ) g −1 . g −1 (x) 7−→ g(x) F¨ ur die Koordinaten von g −1 wird g ij geschrieben.

3) Durch Zusammensetzung mit g˜ und g˜−1 erh¨alt man C k−1 (M )-Modulisomorphismen 1 2 von Tqm (M ) mit Tqm (M ), m1 + q1 = m2 + q2 (vgl. S. 85, 86). 1 2 In Koordinaten gilt also:
i ···i i ···i
tj11 ···jmq11 7−→ tj11 ···jmq11 giα1 l1 · · · giαr lr g jβ1 p1 · · · g jβs ps ,

f¨ ur feste 1 ≤ α1 < · · · < αr ≤ m1 , 1 ≤ β1 < · · · < βs ≤ q1 , m2 = m1 − r + s, q2 = q1 − s + r.
Beweis: In einer Karte ist g˜ : (x, v i ) 7−→ x, gij (x)v j . Da gij C k−1 -Funktionen sind, g −1 ∈ Hom (T ∗ M, Tx M ) ' ist dies ein C k−1 -Vektorraumb¨ undelhomomorphismus. g(x) x

Tx M ⊗2 hat ebenfalls C k−1 -Koordinaten g ij =⇒ g˜ ist ein Isomorphismus und g −1 ∈ T 2 (M ).  Bsp.: 1) F¨ ur M = Rn liefert die Standardmetrik n

∗

n

i

T R ' T R : (x, v ∂i ) 7−→ x,

n X i=1


v i dxi .

2) Wenn (M, g) RR, N ⊂ M Untermannigfaltigkeit mit Metrik i∗ g und T N ⊂ T M wie g g u ur v ∈ Tx N : i∗ g(x)(v) = i∗ g(x) (v, −) = g(x)(v, −) Tx N = g(x)(v) ∈ ¨blich, so ist f¨ Tx N Tx∗ N. ∼ Speziell f¨ ur Sn ⊂ Rn+1 erhalten wir T Sn −→ T ∗ Sn n+1 P i
v dx (x, v) 7−→ x, ∼

und T 1 Sn −→ T1 Sn : X 7−→

n+1 P

i=1

X i dxi .

i=1

88

Die Umkehrabbildung liefert dx0 xi 7−→ ei − xi0 x0 ∈ Tx0 Sn und damit die in S. 40, 41 so m¨ uhsam konstruierte Einbettung F : T ∗ Sn ,→ T ∗ Rn+1 : F : T ∗ Sn ' T Sn ,→ T Rn+1 ' T ∗ Rn+1 n+1 P j dx0 xi 7→ ei − xi0 x0 7→ ei − xi0 x0 7→ dx0 xi − xi0 x0 dx0 xj . j=1      ω1 x1 ∼      Ebenso: T1 Sn −→ T 1 Sn : ωi (x) dxi 7−→ x 7→  ...  − hx, ωi  ...  . ωn+1 xn+1

3) Auf Sn , n gerade, existiert keine Lorentz-Metrik. Denn w¨are h eine solche Metrik, so ließe es sich bzgl. der Standardmetrik g diagonali” g −1 ◦ h(x) g : Tx Sn −→ Tx Sn ist linear und symmetrisch bzgl. des inneren sieren“, d.h. g(x) Produkts g. Dann gibt es einen 1-dimensionalen Eigenraum zum einzigen positiven Eigenwert. Das liefert f : Sn −→ Pn stetig, wobei  g = λg(x)v g . f (x) = v ∈ Tx Sn : ∃λ > 0 : h(x)v

¨ Da P : Sn −→ Pn : x 7−→ [x] die universelle Uberlagerung von Pn ist, l¨asst sich f zu f1 : Sn −→ Sn mit f = P ◦ f1 liften (Topologie). Dies ist aber im Widerspruch zu Bsp. 3) in S. 80. Auf jeder Mannigfaltigkeit gibt es aber eine Riemannsche Metrik: Lemma M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Dann existiert eine Riemannsche Metrik auf M. ¨ Beweis: Ui , i ∈ I, sei
eine Uberdeckung von M durch Kartengebiete und ϕi : Ui −→ 1 n T Vi : x 7−→ (xi , · · · , xi ) ∈ Amax Karten, χi eine lokalendliche C k -Zerlegung der 1 zu Ui n P P χi · dxji ⊗ dxji ∈ T2 (M ) wohldefiniert und symmetrisch. (S. 59). Dann ist g := i∈I

j=1

g ist positiv definit, denn ∀x ∈ M : ∀v ∈ Tx M : g(x)(v, v) =

∂ v = vij j 6= 0. ∂xi

P

i∈I

χi (x)

n P

j=1

(vij )2 > 0, wenn



Bemerkung: Es existiert also immer ein Vektorraumb¨ undelisomorphismus T M ' T ∗ M. ur beliebige Vektorraumb¨ undel M1 −→ M2 . Ebenso zeigt man, dass M1 ' M1∗ f¨ p

Nach S. 56 existiert in einem euklidischen Vektorraum V ein kanonisches  1positivesnHaar1 n 1 n ˆ maß: e1 , · · · , en ONB in V, e , · · · , e duale Basis, D := |e ∧· · ·∧e | = e ∧· · ·∧e , [e1 ∧ 89

 cn (V ∗ )+ ' L(V )+ . · · · ∧ en ] ∈ Λ Nun sei g allgemeiner ein inneres Produkt auf V, d.h. g ∈ S 2 (V ∗ ). g induziert innere Produkte auf V ⊗m m
Q 0 g(vi , vi0 ) g ⊗m : V ⊗m × V ⊗m −→ R : (v1 ⊗ · · · ⊗ vm , v10 ⊗ · · · ⊗ vm ) 7−→ i=1

und damit auch auf Λm (V ) ≤ V ⊗m . Dabei gilt: Λm g = g ⊗m Λm (V )×Λm (V ) : Λm (V ) × Λm (V ) −→ R

0 mit Λm g(v1 ∧ · · · ∧ vm , v10 ∧ · · · ∧ vm )=

= m!

P

σ∈Sm

sign (σ)

m Q

i=1

P

σ,τ ∈Sm

sign (στ )


g(vσ(i) , vi0 ) = m! det g(vi , vj0 ) .

m Q

i=1

g(vσ(i) , vτ0 (i) ) =

Wenn n = dim V, so ist Λn (V ) eindimensional. Wenn allgemein W ein 1-dimensionaler R-Vektorraum, so l¨asst sich S 2 (W ∗ ) kanonisch (d.h. basisunabh¨angig) identifizieren mit d∗ : W  bijektiv  ∗  w1∗ ⊗ w1∗ : w1∗ = λw2∗ , λ ≥ 0 ∼ 2 ∗ ∗ ∗ d W −→ S (W ) : w1 , [w2 ] 7−→ −w1∗ ⊗ w1∗ : w1∗ = λw2∗ , λ ≤ 0. |{z} |{z} NICHT linear ∈W ∗

∈O(W )' O(W ∗ )

n (V )∗ ' Λ\ n (V ∗ ) ' Λ ˆ ∈ Λ\ cn (V ∗ ), das Λn g entspricht, und zwar ist Daher gilt also: ∃!D ˆ = [D, o], D ∈ Λn (V ∗ ), o ∈ O(V ) mit dann D  D ⊗ D : D = 0 oder o = [D] n Λ g= −D ⊗ D : D = 0 oder o = −[D].

Wenn wir den Faktor n! weglassen und vi = vi0 setzen, so ergibt sich: ˆ = [D, o] ∈ Λ cn (V ∗ ) : ∀v1 , · · · , vn ∈ V : ∃! D 
+1 : o = [D] 2 det g(vi , vj ) = D(v1 , · · · , vn ) · −1 : sonst.


ˆ = 0 ⇐⇒ rg (g) < n und (o = [D], d.h. D ˆ ∈Λ cn (V ∗ )+ ⇐⇒ l in S. 86 Offenbar ist D n ∗ ist gerade). Da D ∈ Λ (V ) schon durch seinen Wert auf einer Basis festgelegt ist, gilt: Wenn v1 , · · · , vn eine gij = g(vi , vj ), v 1 , · · · , v n die duale Basis in V ∗ , so ist p Basis in V, ˆ = [D, o], D = |det(gij )| v 1 ∧ · · · ∧ v n ∈ Λn (V ∗ ), D
  sign det(gij ) [v 1 ∧ · · · ∧ v n ] : det(gij ) 6= 0 ∈ O(V ). o= beliebig : sonst

90

Definition und Hilfssatz: ˆg ∈ Λ cn (V ∗ ) sei wie oben definiert. 1) (V, g) IPR. D

2) (M, g) Pseudo-Riemannscher Raum. Dann heißt
ˆ g : x 7−→ D ˆ g(x) ∈ Λ cn (Tx∗ M ) ∈ Ω ˆ n (M ) ' K0 (M ) Ω k−1 das kanonische Volumsmaß in M. In Koordinaten gilt:  p ˆ g (x) = |det g| dx1 ∧ · · · ∧ dxn , [g dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] , wobei Ω
det g := det gij (x) und g := sign (det g).

3) (M, g) Pseudo-Riemannscher Raum, i : N ,→ M p-dimensionale Untermannigfalˆ i∗ g ∈ Ω ˆ p (N ) heißt Oberfl¨achenmaß auf N (bzgl. g) und wird manchmal tigkeit. Ω ˆ i∗ g nur mit dσ bezeichnet. (Vorsicht: In Punkten, in denen i∗ g ausgeartet ist, ist Ω p 1 ˆ i∗ g ∈ Ω ˆ (N als C -Mannigfaltigkeit).) ein stetiges Maß, d.h. Ω

ˆ g C k−1 . Beweis zu 2): Da g nicht ausgeartet ist, ist det g 6= 0 und daher Ω



ˆ g wird oft als -Pseudo-Tensor“ und in der Relativit¨atstheorie als LeviBemerkung: Ω ” ” Civit`a-Symbol“ bezeichnet. Bsp.: 1) Das Oberfl¨achenmaß in Koordinaten: i : N ,→ M Untermannigfaltigkeit, ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T Karte auf M, ψ : U 0 −→ V 0 : x 7−→ (ξ 1 , · · · , ξ p )T Karte auf N. Dann ist q
p  ∂xi ∂xj ˆ i∗ g = Ω |det i∗ g| dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ p , [i∗ g dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ p ] = i∗ g det gij ∂ξ k ∂ξ l k,l dξ, vgl. S. 87. Z.B. auf S2 ergibt sich das Oberfl¨achenmaß dσ = sin ϑ dϑdϕ. Wenn N eine Kurve ist, d.h. p = 1, so erhalten wir in einer Parametrisierung (a, b) −→ N : t 7−→ x als Z Zb q
ˆ i∗ g = gij x(t) x˙ i (t)x˙ j (t) · sign(gij x˙ i x˙ j ) dt. Z.B. ergibt sich f¨ Kurvenl¨ange ur Ω a

N

die Kurvenl¨ange von raumartigen Kurven etwas Negatives im Minkowskiraum 3 P (R4 , dx0 ⊗ dx0 − dxi ⊗ dxi ). i=1

ˆ i∗ g durch das Kreuz2) Im Fall einer (n−1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit kann Ω produkt ausgedr¨ uckt werden. Dazu sei zun¨achst (V, g) ein IPR, g nicht ausgeartet. ˆ g = [D, o] und Es sei D V × · · · × V −→ Vˆ : (v1 , · · · , vn−1 ) 7−→ [v0 , o] =: v1 × · · · × vn−1 ,
wobei v0 := g˜−1 x 7−→ D(x, v1 , · · · , vn−1 ) , d.h. ∀x ∈ V : D(x, v1 , · · · , vn−1 ) = g(x, v0 ), | {z } ∈V ∗

vgl. auch S. 56.

91

1 n−1 Es seien v1 , · · · , vn−1 ∈ V linear unabh¨ ∈ angig, W := R hv1 , · · · , vn−1 i. Wenn v , · · · , v ∗ ∗ W die duale Basis ist und i g := g W ×W , so ist

ˆ i∗ g = D

hq i 1
det g(vi , vj ) v ∧ · · · ∧ v n−1 , [i∗ g v 1 ∧ · · · ∧ v n−1 ] . i,j=1,··· ,n−1


2 Andererseits ist g(v0 , v0 )2 = D(v , · · · , v ) =  det g(v , v ) = weil 0 n−1 g i j i,j=0,··· ,n−1

= g(v0 , vi ) = 0, i = 1, · · · , n − 1 = g g(v0 , v0 ) det g(vi , vj ) i,j=1,··· ,n−1

∗ = g i g sign g(v0 , v0 ) |g(v0 , v0 )| · det g(vi , vj )i,j=1,··· ,n−1 i hq 1 
1 n−1 n−1 ˆ ∗ |g(v0 , v0 ) v ∧ · · · ∧ v , g sign g(v0 , v0 ) v ∧ · · · ∧ v ] . =⇒ Di g =

Auf der (n − 1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit N eines Pseudo-Riemannschen T Raumes M gilt also in einer Karte ψ : x 7−→ (ξ 1 , · · · , ξ n−1 ) mit ∂ ˆ i∗ g = ∂ × · · · × ∂ g dξ, wobei vi = i ∈ Tx N =: W : dσ = Ω ∂ξ 1 ∂ξ ∂ξ n−1 ∂ ∂ × · · · × n−1 das Kreuzprodukt bzgl. g(x) ist und 1 ∂ξ ∂ξ
p |g(v, v)| . | · | : T[ x M −→ R : [v, o] 7−→ sign g(v, v)

F¨ ur M = Rn entfallen nat¨ urlich alle Signa und ergibt sich dσ wie in S. 82. 3) Wir wollen untersuchen, f¨ ur welche (n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeiten N n ∗ von R |i L| mit dσ u ¨bereinstimmt. In einer Karte ψ wie oben gilt: n P dj ∧ · · · ∧ dxn | = (vgl. S. 82) |i∗ L| = | (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dx j=1 ∂x  ∗ dξ und dσ = ∂x1 × · · · × ∂x = x, ∂ξ1 × · · · × ∂ξ∂x n−1 n−1 dξ, d.h. |i L|(x) = dσ(x) ⇐⇒ ∂ξ ∂ξ
|x| sin ](x, Tx N ) = 1. Das gilt z.B. f¨ ur N = Sn−1 . Das ×-Produkt kann als Spezialfall des ∗-Operators angesehen werden. Es sei wieder ∼ ˆg ∈ Λ cn (V ∗ ) wie oben. g˜ : V −→ (V, g) ein n-dimensionaler nicht ausgearteter IPR, D V∗ ∼ ˆ n−p (V ∗ ). liefert f¨ ur 0 ≤ p ≤ n : ∗ : Λp (V ∗ ) p−→ Λp (V ) ' Λ −1 Λ (˜ g

ˆgi h ,D

)

ˆ g = [D, o] =⇒ ∗(v1∗ ∧ · · · ∧ vp∗ ) = Genauer: D



  D ,o g˜−1 (v1∗ ) ∧ · · · ∧ g˜−1 (vp∗ ), |{z} {z } ∗⊗n |

|

∈V ⊗p

{z

∈V ∗⊗(n−p)

∈V

}

 wobei g˜−1 (v1∗ ) ∧ · · · ∧ g˜−1 (vp∗ ), D : V n−p −→ R
(v1 , · · · , vn−p ) 7−→ D g˜−1 (v1∗ ), · · · , g˜−1 (vp∗ ), v1 , · · · , vn−p (und genau genommen h , ihier = p !−1 h , i von S. 49). 1 In Koordinaten: e1 , · · · , en Basis in V, ep , · · · , en duale Basis, gij = g(ei , ej ), det g = det (gij ), g = sign (det g), D = |det g| e1 ∧ · · · ∧ en , o = [g e1 ∧ · · · ∧ en ] =⇒ 92

∗(ei1 ∧ · · · ∧ eip ) = [η, o], η ∈ V ∗⊗(n−p) mit η(ej1 , · · · , ejn−p ) = p = |det g| (e1 ∧ · · · ∧ en )(g i1 k1 ek1 , · · · , g ip kp ekp , ej1 , · · · , ejn−p ) = p
n . = |det g| g i1 k1 · · · g ip kp sign k11 ···kp...j1 ···jn−p (Beachte: sign = 0, wenn in der unteren Zeile gleiche Indices vorkommen; u ¨ber 1 ≤ k1 , · · · , kp ≤ Pn ist zu summieren.) Wenn also ω = ωi1 ···ip ei1 ∧ · · · ∧ eip ∈ Λp (V ∗ ), so ist 1≤i1 <···
1≤j1 <···<jn−p ≤n

sign

1 ... n k1 ···kp j1 ···jn−p


i ,o .

∼ ∗ cp (V ∗ ) −→ Weiters definiert man ∗ : Λ Λn−p )

p(V −1  [ω, o] − 7 →  Λ (˜ g )ω, D , g   d.h. ∗[ω, o], o = g ∗ ω. Es soll noch ∗∗ berechnet werden.  Dazu sei e1 , · · · , en eine Basis von V, in der n P 1 : i≤k i x i y i ,  i = g(xi ei , y j ej ) = , vgl. S. 86. Dann gilt −1 : i > k, i=1 h
i n = ∗ei1 ∧ · · · ∧ eip ej1 ∧ · · · ∧ ejn−p i1 · · · ip sign i11 ···ip ... , o , wobei j1 ···jn−p ↓

nicht summieren u ¨ ber j !

1 ≤ j1 < · · · < jn−p ≤ n und {1, · · · , n} = {i1 , · · · , ip , j1 , · · · , jn−p }.
n Daher folgt ∗ ∗ ei1 ∧ · · · ∧ eip = g i1 · · · ip j1 · · · jn−p sign i11 ···ip j...1 ···jn−p ·
i 1 ... n p(n−p) i i i e 1 ∧ · · · ∧ e p , d.h. ∗∗ = (−1)p(n−p) id. · sign j1 ···jn−p i1 ···ip e 1 ∧ · · · ∧ e p = (−1) Def.: (M, g) n-dimensionaler C k -Pseudo-Riemannscher Raum, 0 ≤ p ≤ n.

ˆ n−p (M ) und ∗ : Ω ˆ p (M ) −→ Ωn−p (M ) sind entsprechend dem 1) ∗ : Ωp (M ) −→ Ω obigen wohldefiniert. In Koordinaten und mit O = [g dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] gilt: P ˆ n−p (M ) mit a) Ω = ωi1 ···ip dxi1 ∧ · · · ∧ dxip ∈ Ωp (M ) =⇒ ∗Ω ∈ Ω 1≤i1 <···
ˆ = [Ω, O] ∈ Ω ˆ p (M ) =⇒ ∗Ω ˆ ∈ Ωn−p (M ) mit ∗Ω = g [∗Ω, ˆ O]. b) Ω p(n−p) Es gilt: ∗∗ = (−1) id. ˆ p (M ) −→ Ω ˆ p+1 (M ) sei lokal durch d[Ω, O] = [dΩ, O] definiert (vgl. auch 2) d : Ω ˆ 1 (M ). S. 79) und ¨ahnlich g˜ : T˜ 1 (M ) −→ Ω a) grad : C k (M ) −→ T 1 (M ) : f 7−→ g˜−1 df ; ∼ ˆ n−1 b) J : T 1 (M ) −→ Ω (M ) : X 7−→ ∗˜ g X; 1 k−2 c) k ≥ 2; div : T (M ) −→ C (M ) : X 7−→ ∗d JX; 93

d) k = ∞; δ : Ωp (M ) −→ Ωp−1 (M ) : Ω 7−→ (−1)n(p+1) ∗ d ∗ Ω; e) k = ∞; ∆ := dδ + δ d : Ωp (M ) −→ Ωp (M ); f) k = ∞; n = 3; rot : T 1 (M ) −→ Tˆ 1 (M ) : X 7−→ g˜−1 ∗ d˜ g X. ˆ g , ∗Ω ˆ g = ∗ ∗ 1 = 1. Bsp.: 1) ∗1 = Ω 1 n 2) In Koordinaten  O = [g dx ∧ · · · ∧ dx ] gilt:  und mit ∂f ∂ ∂f dxi = g ij i ∈ T 1 (M ). a) grad f = g˜−1 i ∂x ∂x ∂xj b) hJ(v l ∂l ) = ∗(v l gli dxi ) i p
1 1 ... n n l ik d k = dx ∧ · · · ∧ dx ∧ · · · ∧ dx , O |det g| v gli g sign k1···k···n ˆ hp i n P k dk ∧ · · · ∧ dxn , O . = |det g| v (−1)k−1 dx1 ∧ · · · ∧ dx k=1  
Z.B. im Rn : J(xl ∂l ) = L, [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] hp i n P dk ∧ · · · ∧ dxn , O c) div (v l ∂l ) = ∗dJ(v l ∂l ) = ∗d |det g| v k (−1)k−1 dx1 ∧ · · · ∧ dx k=1 p p

    n n P P∂ ∂ |det g| v k |det g| v k 1 1 n ˆ dx ∧ · · · ∧ dx , O = ∗ Ωg · p =∗ ∂xk ∂xk |det g| k=1 k=1 p
|det g| v k ∂ 1 . · =p ∂xk |det g|

d), e) F¨ ur p = 0 ist offenbar δ = 0. F¨ ur p = 1 ist δ : Ω1 (M ) −→ C ∞ (M ) : Ω 7−→ ∗d ∗ Ω = div g˜−1 Ω =⇒ f¨ ur f ∈ C ∞ (M ) gilt ∆f = δ df = div g˜−1 df = div grad f 1 ∂ p ij ∂f =p . |det g| g ∂xj |det g| ∂xi (Vorsicht: δ wird oft mit einem anderen Vorzeichen definiert.) f) Es sei dim M = 3, X = v l ∂l , Ω = g˜X = ωi dxi , d.h. ωi = v l gli .Dann ist ∂ωi2 i1 rot (X) = g˜−1 ∗ d˜ g X = g˜−1 ∗ d(ωi dxi ) = g˜−1 ∗ dx ∧ dxi2 ∂xi1 hp
j i ∂ωi2 i1 k1 i2 k2 1 2 3 dx , O = g˜−1 |det g| g g sign k1 k2 j ∂xi1 hp i
∂ ∂ωi2 i1 k1 i2 k2 i3 j 1 2 3 = g g g sign k1 k2 j , O |det g| ∂xi1 | {z } ∂xi3 |{z}
= sign (det g)[dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ] = det1 g sign i11 i22 i33 h i
1 ∂ 1 2 3 ∂ωi2 1 2 3 p = sign i1 i2 i3 , [dx ∧ dx ∧ dx ] ∂xi1 ∂xi3 |det g|     ∂/∂x 1 1 2 3 =p det  ω  “, [dx ∧ dx ∧ dx ] . |det g| ” ∂/∂x 3) Es sei z.B. M = S2 mit Kugelkoordinaten ϕ, ϑ. Dann ist also gϕϕ = sin2 ϑ, 94

gϕϑ = 0, gϑϑ = 1, g ϕϕ = (sin ϑ)−2 , g ϕϑ = 0, g ϑϑ = 1 (wenn der Deutlichkeit halber ϕ, ϑ statt 1,2 geschrieben wird). Es ergibt sich: ∂f ∂ 1 ∂f ∂ + ; grad f (ϕ, ϑ) = 2 sin ϑ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϑ ∂ϑ   J(X ϕ ∂ϕ + X ϑ ∂ϑ ) = sin ϑ X ϕ dϑ − X ϑ dϕ, [dϕ ∧ dϑ] ;   1 ∂X ϕ ∂(sin ϑX ϑ ) ∂X ϕ ∂X ϑ ϕ ϑ + + + ctg ϑX ϑ ; div (X ∂ϕ + X ∂ϑ ) = sin ϑ = sin ϑ ∂ϕ ∂ϑ ∂ϕ ∂ϑ "    # 1 ∂ ∂f ∂ 1 ∂f ∆f = = + sin ϑ sin ϑ ∂ϕ sin ϑ ∂ϕ ∂ϑ ∂ϑ 1 ∂2f ∂2f ∂f + + ctg ϑ . 2 2 2 ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ 4) Auf einem Pseudo-Riemannschen Raum kann der Stokes’sche Satz umformuliert werden. X ∈ T 1Z(M ) habeZkompakten Tr¨ Z Z ager, U sei wie im Satz von Stokes. Dann ist ˆ g. ia∗ JX = dJX = ∗ ∗ dJX = div (X) · Ω =

↑

Stokes

∂U

U

U

U

Weiters ist in einer Karte und mit O = [g dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] : X = v l ∂l , i hp n P dk ∧ · · · ∧ dxn , O . |det g| v k (−1)k−1 dx1 ∧ · · · ∧ dx JX = k=1

Wenn, wie fr¨ uher W ⊂ ∂U und ψ : W −→ a V : x 7−→ ξ eine Karte auf ∂U ist,  = ±1 je nachdem, ob ψ die Orientierung (d.h. O W und die kanonische auf V ) erh¨alt oder nicht, p ∂ ∂ und D = |det g| dx1 ∧· · ·∧dxn , ×· · ·× = [y, O] (vgl. Bsp. 2, S. 91), so folgt ∂ξ 1 ∂ξ n−1     n p P ∂ ∂ ∂(x1 , · · · , xbk , · · · , xn ) k k−1 . g(X, y) = D X, 1 , · · · , n−1 = |det g| v (−1) det ∂ξ ∂ξ ∂(ξ 1 , · · · · · · , ξ n−1 ) k=1 n P dk ∧ · · · ∧ dxn
Wie in S. 82 gilt (f¨ ur i : W ,→ M ) : i∗ v k (−1)k−1 dx1 ∧ · · · ∧ dx k=1

1 bk , · · · , xn )  ∂(x , · · · , x dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n−1 = v k (−1)k−1 det ∂(ξ 1 , · · · , ξ n−1 ) k=1   =⇒ ia∗ JX =  g(X, y) dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n−1 , [dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n−1 ] = g(X, y) dξ. Wenn speziell Mein Riemannscher Raum ist, d.h. g positiv definit ist, so ist  ∂ ∂ 0 < g(y, y) = D y, 1 , · · · , n−1 , d.h. [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ]yW = [dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n−1 ] in ∂ξ ∂ξ der Notation von S. 78. a y , Andererseits ist [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] W = [dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n−1 ] und daher gilt n = p g(y, y)
wenn n : ∂U −→
T M die Außeneinheitsnormale ist, d.h. (i) ∀η ∈ Tx ∂U : g η, n(x) = 0,
(ii) g n(x), n(x) = 1, (iii) n weist von U nach außen, d.h. T ϕ n(x) = v i ∂i mit v 1 > 0 n P



95

in einer Karte ϕ wie p in (∗), S. 78, 3. Zeile. ˆ i∗ g = dσ = g(y, y) dξ (vgl. S. 92) folgt schließlich: Mit Ω Z Z ˆ i∗ g = div(X) · Ω ˆg g(X, n) · Ω U

∂U

ˆ i∗ g in manchen Punk(Auf einem Pseudo-Riemannschen Raum kann g(y, y) und damit Ω ten oder auch auf ganz ∂U verschwinden und ist daher die obige Formulierung des Satzes von Gauß nicht m¨oglich. ia∗ JX kann dann nur in einem Kartengebiet durch g(X, y) dξ (wie in S. 95) ausgedr¨ uckt werden.) ¨ Ubungen ¨ 6.1 P : Rn −→ Sn sei die stereographische Projektion (S. 9). Bestimme die Metrik auf Ub. Rn , die von der Standardmetrik auf Sn induziert wird (vgl. S. 87). P Hinweis: Betrachte Rn −→ Sn ,→ Rn+1 statt P. N¨ utze die Rotationssymmetrie aus!  ¨ 6.2 Die Poincar´esche Metrik auf der Kreisscheibe D = z ∈ C : |z| < 1 ist durch Ub. g(z) = 1 − |z|2 )−2 [dx ⊗ dx + dy ⊗ dy] ∈ Tz∗ D⊗2 gegeben. a) Berechne die Kurvenl¨ange Rr von (0, r) ⊂ R ⊂ C f¨ ur 0 < r < 1.  b) Berechne die Oberfl¨ache Fr von z ∈ C : |z| < r f¨ ur 0 < r < 1.  c) Berechne die Kurvenl¨ange Ur von z ∈ C : |z| = r f¨ ur 0 < r < 1. d) Was passiert f¨ ur r % 1 ? Ur Ur − 2πRr Fr Fr − πRr2 , lim . e) Berechne lim 2 , lim , lim 4 r&0 Rr r&0 r&0 Rr r&0 Rr Rr3 ˆ g , grad, J, div, ∆, und rot in Kugelkoordinaten am R3 . ¨ 6.3 Berechne g, Ω Ub. ¨ 6.4 Die Metrik g auf Gln (R) sei wie in S. 88. Ub. ˆ g = | det A|−n |da11 ∧ · · · · · · ∧ dann |. a) Zeige, dass Ω ˆ g ein Haarmaß Hinweis: Verwende entweder, dass g linksinvariant ist und daher Ω ij k l ist, oder schreibe g = gkl dai ⊗ daj und berechne det (g), ij g : (Rn )∗ ⊗ Rn −→ Rn ⊗ (Rn )∗ : (xi ) ⊗ (y k ) 7−→ (gkl xi y k )jl unter Beachtung von g = id ⊗ A−1 (A−1 )T . P k l ∂2f ∂f b) Zeige, dass ∆f (A) = (2 − n)aij i + und berechne ∆ det a a ∂aj 1≤i,j≤n j j ∂aki ∂ali und ∆ tr. ¨ 6.5 a) Zeige, dass eine linksinvariante Metrik g auf einer Liegruppe auch rechtsinvariUb. ant ist ⇐⇒ J ∗ g = g, wobei J : G −→ G : x 7−→ x−1 . 96

−1

−1

Hinweis: Tx J = −TI lx ◦ Tx rx .
b) Es sei g ∈ T2 Gln (R) linksinvariant und symmetrisch, d.h. −1 −1 ji ij s r g(A0 ) = cij rs d(A0 A)i ⊗ d(A0 A)j mit crs = csr . i j i j Zeige, dass g rechtsinvariant ⇐⇒ ∃α, β ∈ R : cij rs = αδr δs + βδs δr . Folgere, dass es auf Gln (R), n ≥ 2, keine links- und rechtsinvariante Riemannsche Metrik gibt. Wie sind α, β zu w¨ahlen, dass g eine Pseudo-Riemannsche Metrik ist? Was ist j −1 i speziell die Signatur von g = d(A−1 0 A)j ⊗ d(A0 A)i ? ¨ 6.6 g sei die linksinvariante Metrik auf Gln (R) von S. 88. Ub. P a) Zeige, dass i∗ g = dakj ⊗ dakj , wenn i : SOn (R) ,→ Gln (R) und folgere, 1≤j,k≤n

dass i∗ g auch rechtsinvariant ist. ˆ i∗ g = 2n(n−1)/4 λ(n) wenn λ(n) wie in Ub. ¨ 4.7, S. 69. b) Zeige, dass Ω

ϕ ¨ 1.5, S. 13. c) f : S2 ⊗ S1 −→ SO3 (R) : x, cos 7−→ Ax,ϕ sei wie in Ub. sin ϕ 3
P P dakj ⊗ dakj = 2 dϕ ⊗ dϕ + 4(1 − cos ϕ) dxi ⊗ dxi . Zeige, dass g1 := f ∗ i=1 1≤j,k≤3   0 ¨ 3.7, b),c), S. 52. Hinweis: Berechne f ∗ (daij ) f¨ ur x = 0 , vgl. Ub. 1 ˆ g1 ∈ Ω ˆ 3 (S3 ⊗ S1 ) und vergleiche es mit der in Ub. ¨ 4.5, S. 68, anged) Berechne Ω ∗ gebenen Formel f¨ ur f (Ω).  e) Es sei N := A
x,ϕ : x ∈ S2 , ϕ ∈ (0, π) und ϕ : N −→ (0, π) : Ax,ϕ 7−→ ϕ. Berechne ∆ h(ϕ) (bzgl. der Metrik g1 ) f¨ ur h : (0, π) −→ R C 2 .

97

§7

Geod¨ atische Kurven und Normalkoordinaten

Def.: (M, g) Riemannscher Raum =: RR. 1) i : N ,→ M sei eine Untermannigfaltigkeit. Z ˆ i∗ g ∈ [0, ∞]. |N | := Volumen von N := Ω N



2) x, y ∈ M. d(x, y) := inf |N | : N ⊂ M 1−dimensionale Untermannigfaltigkeit
mit {x, y} = ∂N . inf {} := ∞; ∂N := N \ N d(x, y) heißt Abstand von x, y (bzgl. g). 3) N ⊂ M zusammenh¨angende  1-dimensionale Untermannigfaltigkeit. N heißt Minimallinie :⇐⇒ |N | = min |N1 | : ∂N = ∂N1 , N1 ⊂ M 1-dimensionale Untermannig faltigkeit .

Bemerkung: 1) Wenn N ⊂ M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist und durch x : (a, b) −→ N : t 7−→ x(t) parametrisiert ist (d.h. x Immersion) q und


 
d ˆ i∗ g x(t) = g x(t) x(t), ∈ Tx(t0 ) M, so ist Ω x(t ˙ 0 ) := x(t0 + t) = Tt0 x dt ˙ x(t) ˙ |dt| Zb q

g x(t) x(t), und daher |N | = ˙ x(t) ˙ dt bzw., falls N in einer Karte x 7−→ xi liegt, a

|N | =

Zb q a


gij x(t) x˙ i (t)x˙ j (t) dt, vgl. S. 91.

2) Das inf“ in 2) der Definition l¨asst sich i.A. nicht durch ein min“ ersetzen. Z.B. ” ” ist f¨ ur x ∈ R2 \ {0} = M d(x, −x) = 2|x|, es gibt aber kein N mit |N | = 2|x| und ∂N = {x, −x}. 3) Wenn man in 3) der Definition z.B. 2-dimensionale Untermannigfaltigkeiten betrachtet, erh¨alt man Minimalfl¨achen“. ” Hilfssatz: (M, g) zusammenh¨angender RR. Dann ist d : M × M −→ R eine Metrik auf M, die die Topologie von M erzeugt. Beweis: a) M zusammenh¨angend =⇒ M wegzusammenh¨angend =⇒ ∀x, y ∈ M : ∃ C 0 -Kurve von x nach y. Diese C 0 -Kurve wird von endlich vielen Kartengebieten u ¨berdeckt; dort kann man sie C k machen =⇒ ∃N ⊂ M 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit mit ∂N = {x, y} =⇒ d(x, y) < ∞. b) d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x), d(x,  y) +nd(y, z) ≥ d(x, z) sind klar. Es sei x0 6= x1 ∈ M und ϕ : U −→ x ∈ R : |x| < 2
eine Karte mit x0 ∈ U, ϕ(x0 ) = 0, x1 6∈ U ; A := ϕ−1 {x : |x| ≤ 1} , 98

p a := min gij (x)ξ i ξ j : ξ ∈ Rn , |ξ| = 1, x ∈ A . Da g stetig und positiv definit ist, ist a > 0. Wenn x2 ∈ ∂A und x : [0, 1] −→ M ein C 1 -Weg mit x(0) = x0 , x(1) = x2 , so ist Z1 p Z1 i j gij x˙ x˙ dt ≥ a |(x˙ 1 , · · · , x˙ n )| dt ≥ a und daher d(x0 , x2 ) ≥ a. Jeder C 1 -Weg von 0

0

x0 nach x1 schneidet ∂A (da M \ ∂A nicht zusammenh¨angend) =⇒ d(x0 , x1 ) ≥ a. Also ist d(x0 , x1 ) = 0 ⇐⇒x0 = x1 , d.h. d ist Metrik. c) Außerdem folgt, dass x : d(x0 , x) < a ⊂ A, d.h. die durch die Metrik erzeugte Topologie ist feiner als die urspr¨ ungliche. Umgekehrt, wenn nq o b := max gij (x)ξ i ξ j : ξ ∈ Rn , |ξ| = 1, x ∈ A ,   so ist d(x0 , x 1 ) ≤ b|ϕ(x1 )| f¨ ur x1 ∈ A und somit x ∈ U : |ϕ(x)| < /b ⊂ x : d(x0 , x) <  f¨ ur 0 <  < b, d.h. die urspr¨ ungliche Topologie ist feiner als die von d erzeugte.  Bsp.: F¨ ur M = Sn sind die Minimallinien Teile von Großhalbkreisen (s. S. 107) und n+1
P i i daher ist d(x, y) = arccos hx, yi , wobei x, y ∈ Sn ⊂ Rn+1 , hx, yi = xy. i=1

Nach dem  letzten Satz ist d : M × M −→ R f¨ ur zusammenh¨angende M stetig. Auf der Diagonale (x, x) : x ∈ M ist d aber nicht C 1 , da es sich lokal wie im Rn verh¨alt (vgl. den obigen Beweis), d.h. ∃0 < a < b : a|ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ d(x, y) ≤ b|ϕ(x) − ϕ(y)| f¨ ur eine Karte ϕ bei x und y bei x. Auf Sn ist d(x, y) außerdem in den Punkten x = −y nicht C 1 . In S. 106 e) werden wir sehen, dass d(x, y) zumindest f¨ ur y gen¨ ugend nahe bei x, y 6= x, C k−2 sein muss. Def.: (Mi , gi ) RR, f : M1 −→ M2 heißt Isometrie :⇐⇒ (i) f Diffeomorphismus (ii) f ∗ g2 = g1 . Bemerkung: Eine Isometrie f erh¨alt nat¨ urlich Minimallinien und d. F¨ ur zusammenh¨angende Mi ist f also auch eine Isometrie
der metrischen R¨aume (Mi , di ). Das Umgekehrte (d.h. ∀xi : d1 (x1 , x2 ) = d2 f (x1 ), f (x2 ) =⇒ (ii)) werden wir in S. 108 sehen.

Bsp.: Wenn P : Rn −→ Sn die stereographische ist und g die Standardme Projektion      0      ..        trik auf Sn , so ist P : (Rn , P ∗ g) −→ Sn \  .  , g  eine Isometrie.      0      1   n
P ¨ 6.1, S. 96 gilt P ∗ g = 4 |x|2 + 1 −2 Nach Ub. dxi ⊗ dxi . i=1

99

Notation: Obwohl oft q verwendet wird, schreibe ich weiter x. F¨ ur einen Tangentialvektor v wird x˙ geschrieben. Wenn ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T eine Karte ist, so ist dann T ϕ : T U −→ V × Rn : (x, x) ˙ 7−→ (x1 , · · · , xn , x˙ 1 , · · · , x˙ n ). 1 F¨ ur eine C -Kurve(a, b) −→ M
: t 7−→ x(t) setzt man (wie schon oben) d ∈ Tx(t0 ) M f¨ ur t0 ∈ (a, b). x(t ˙ 0 ) := x(t + t0 ) = Tt0 x dt i i Dann sind die Koordinaten x˙ von x(t ˙ 0 ) gerade die u (t0 ). ¨blichen Ableitungen dx dt Def.: 1) M, N C k -Mannigfaltigkeit, 1 ≤ l ≤ k, A ⊂ M. f : A −→ N heißt C l :⇐⇒ ∃U ⊃ A offen: ∃f1 : U −→ N C l : f = f1 A .

2) M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 3, [a, b] ⊂ R, F : [a, b] × T M −→ R C 2 . x0 (t) : [a, b] −→ M C 2 heißt station¨ar bzgl. F :⇐⇒ ∀xs (t) : [−1, 1] × [a, b] −→ M C 2 mit ∀s : xs (a) = x0 (a), xs (b) = x0 (b) (s, t) 7−→ xs (t) Z b 
d = 0. gilt: F t, xs (t), x˙ s (t) dt ds s=0

a

Bsp.: t 7−→ x(t) sei eine parametrisierte Minimallinie mit ∀t : x(t) ˙ 6= 0. Dann ist x(t) p
Rb station¨ar bzgl. F : T M −→ R : (x, x) ˙ 7−→ g(x)(x, ˙ dt ist ja ˙ x) ˙ , denn F x(t), x(t) a  sogar minimal. (Genau genommen ist F C 2 nur auf (x, x) ˙ ∈ T M : x˙ 6= 0 ; das macht aber nichts, wenn wir ∀t : x(t) ˙ 6= 0 voraussetzen.) Satz von Euler und Definition: In der Situation der letzten Definition gilt: 1) x(t) station¨ar bzgl. F ⇐⇒ ∀t ∈ [a, b] :∀(∃) Karte bei x(t) : ∀i = 1, · · · , n :

∂F d ∂F t, x(t), x(t) ˙ = t, x(t), x(t) ˙ . ∂xi dt ∂ x˙ i

∂F i x˙ − F wohldefiniert (d.h. kar∂ x˙ i tenunabh¨angig) und heißt Energiefunktion zu F . Auf einer station¨aren Kurve x(t)


 ∂F d t, x(t), x(t) ˙ . (Speziell: E x(t), x(t) ˙ konstant, gilt: E t, x(t), x(t) ˙ =− dt ∂t ∂F wenn ∂t = 0.)

2) E : [a, b] × T M −→ R C 1 ist durch E(t, x, x) ˙ :=

Beweis: 1) Zun¨achst sei x(t) = x0 (t) station¨ar, xs (t) wie in der Definition und xs (t) 6= x(t) nur wenn x(t) in einem festen Kartengebiet liegt.   ∂ Wenn y(t) := xs (t) , so gilt in den entsprechenden Koordinaten: ∂s s=0

100

Z b

 F t, xs (t), x˙ s (t) dt


Zb

∂F i ∂F i y + i y˙ dt = ∂xi ∂ x˙ s=0 a a  ! Zb d ∂F ∂F y i dt. − (partiell integrieren, y(a) = y(b) = 0) = ∂xi dt ∂ x˙ i d 0= ds

=

a

∂F ∂F (In ∂x ist dabei immer t, x(t), x(t) ˙ einzusetzen.) Damit erhalten wir =⇒ “ in 1). i , ∂x ˙i ” Umgekehrt, wenn die Eulerschen Differentialgleichungen gelten und xs (t) wie in der b 
d R abschnittweise wie oben berechnet F t, xs (t), x˙ s (t) dt Definition, so kann ds a s=0 ∂F i werden. Es treten zus¨atzlich von der partiellen Integration Randterme y auf. Diese ∂ x˙ i  sind kartenunabh¨angig, da y i (t) die Koordinaten von y(t) = s 7−→ xs (t) ∈ Tx(t) M =: V ∂F ∗ ∗ die Koordinaten von df ∈ Tx(t) sind und ˙ V ' V , wobei f : V −→ R ∂ x˙ i
v 7−→ F t, x(t), v . Daher heben sich die Randterme weg und x(t) = x0 (t) ist station¨ar.

2) F¨ ur f wie oben ist E = V hx, ˙ df iV ∗ − F und folglich kartenunabh¨angig.   ∂F ∂F ∂F ∂F d ∂F ∂F dE x˙ i + i x¨i − = − i x˙ i − i x¨i = − i dt dt ∂ x˙ ∂ x˙ ∂t ∂x ∂ x˙ ∂t

 Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 3. L : T M −→ R heißt (zeitunabh¨angige) Lagrangefunktion :⇐⇒ ∃g ∈ T2 (M ) Riemannsche Metrik: ∃U : M −→ R C 2 : L(x, x) ˙ = g(x)(x, ˙ x) ˙ − U (x). g heißt kinetische Energie, U potentielle Energie. Bemerkung: Es wird also vorausgesetzt, dass die kinetische Energie eine quadratische, positiv definite Funktion der Geschwindigkeit ist. g und U sind durch L eindeutig bestimmt, da U (x) = −L(x, 0). Ab nun sei der Einfachheit halber auf die explizite Zeitabh¨angigkeit verzichtet. Hilfssatz: L = g − U sei eine Lagrangefunktion. 1) E(x, x) ˙ = g(x)(x, ˙ x) ˙ + U (x). 2) Es sei speziell U = 0 und f : (0, ∞) −→ R C 2 . a) x(t) sei bzgl. L = g station¨ar und es sei ∀t : x(t) ˙ 6= 0. Dann ist x(t) auch bzgl. f (L) station¨ar. 101

b) x(t) sei bzgl. f (L)
station¨ar und ange para
nach einem Vielfachen der Bogenl¨ metrisiert (d.h. g x(t) x(t), ˙ x(t) ˙ = const). Weiters sei ∀t > 0 : f 0 (t) 6= 0. Dann ist x(t) auch bzgl. L station¨ar. Beweis: 1) In einer Karte gilt: g = gij (x) dxi ⊗ dxj , L(x, x) ˙ = gij x˙ i x˙ j − U (x) =⇒ ∂L = 2gij x˙ j =⇒ E(x, x) ˙ = 2gij x˙ i x˙ j − L = gij (x)x˙ i x˙ j + U (x) = g(x)(x, ˙ x) ˙ + U (x). ∂ x˙ i       ∂L d ∂f (L) d ∂L ∂L ∂L d d ∂f (L) 0 0 0 00 = f (L) i , f (L) i = f (L) (L) i +f (L) = , 2) a) ∂xi ∂x dt ∂ x˙ i dt ∂ x˙ dt ∂ x˙ dt ∂ x˙ i wobei wie immer u ˙ einzusetzen ist. Wenn x(t) bzgl. L station¨ar ist, so ¨berall x(t), x(t) d ist nach 1) E = L = const, d.h. (L) = 0. Dann erf¨ ullt auch f (L) die Eulerschen dt Gleichungen und es folgt a). (∀t : x(t) ˙ 6= 0 wird vorausgesetzt, damit L 6= 0 und f (L) definiert ist.) b) Umgekehrt, wenn x(t) bzgl. f (L) station¨ar ist und nach einem Vielfachen der Bod (L) = 0), so folgt aus dem Obigen wegen f 0 (L) 6= 0, genl¨ange parametrisiert (d.h. dt   d ∂L ∂L , d.h. dass x(t) bzgl. L station¨ar ist.  = dass i ∂x dt ∂ x˙ i p Anwendung: Minimallinien sind bzgl. g(x)(x, ˙ x) ˙ station¨ar. Wenn wir eine Minimallinie nach der Bogenl¨ange parametrisieren, ist sie nach 2)b) auch bzgl. L = g(x)(x, ˙ x) ˙ station¨ar. Die Eulerschen Gleichungen ergeben dann:   d ∂L d ∂L ∂gmk j k ∂gjk j k k = x ˙ x ˙ = = x˙ x˙ + 2gmk x¨k . (2g x ˙ ) = 2 mk m m m j ∂x ∂x dt ∂ x˙ dt ∂x Multiplikation mit

1 2

g im ergibt: i

∀i : x¨ + g |

im



 ∂gmk 1 ∂gjk − x˙ j x˙ k = 0. j m ∂x 2 ∂x {z } =:Aijk

Wenn wir f¨ ur festes i anstelle der Matrix Ai = (Aijk )j,k die symmetrische Matrix Γijk := 1 (Aijk + Aikj ) nehmen, ¨andert sich die quadratische Form Aijk x˙ j x˙ k nicht. 2 Wir erhalten also   1 im ∂gmk ∂gmj ∂gjk i i j k i x¨ + Γjk x˙ x˙ = 0 mit Γjk = g + − m 2 ∂xj ∂xk ∂x Def.: (M, g) C 3 -Riemannscher Raum. Die station¨aren Kurven von L(x, x) ˙ = g(x)(x, ˙ x) ˙ heißen geod¨atische Kurven oder Geod¨aten. Γijk heißen Christoffel-Symbole. 102

Folgerung: (M, g) C 3 -Riemannscher Raum. Dann sind die Geod¨aten die C 2 -Kurven, die in jedem Punkt und in einer (jeder) Karte x¨i + Γijk x˙ j x˙ k = 0 erf¨ ullen. Auf Geod¨aten gilt i j gij x˙ x˙ = konstant.  Bemerkungen: 1) Nach S. 101 2)a) sind geod¨atische Kurven (GK) station¨ar bzgl. p F (x, x) ˙ = g(x)(x, ˙ x) ˙ . Nach 2)b) sind nach (einem Vielfachen) der Bogenl¨ange parametrisierte Minimallinien (BM) geod¨atisch. Vorsicht: Anders parametrisierte Minimallinien sind zwar station¨ar bzgl. F nicht aber bzgl. g(x)(x, ˙ x), ˙ d.h. nicht geod¨atisch. Es ist also BM ⊂ GK. Die Umkehrung gilt zwar nicht global, wie ein Großkreis auf der Kugel zeigt, aber lokal, vgl. das Lemma in S. 106. 2) Vom physikalischen Standpunkt sind Geod¨aten die Bahnkurven von freien Teilchen, wenn die kinetische Energie auf M durch g gegeben ist. 3) Γijk ist i.A. kein Tensor, d.h. (Γijk ) 6∈ T21 (M ), vgl. § 8. Bsp.: 1) (M, g) = (Rn ,

n P

i=1

dxi ⊗ dxi ) =⇒ Γijk = 0.

Geod¨aten: x¨i = 0, x(t) = x0 +r tx1 , xi ∈ Rn .   n P ∂F d ∂F ∂F i i x˙ x˙ station¨ar =⇒ x(t) Minimallinie =⇒ F = = = =⇒ i i ∂x dt ∂ x˙ ∂ x˙ i i=1 x˙ const = ci =⇒ = const =⇒ x(t) nach der Bogenl¨ange parametrisiert ist |x| ˙ geod¨atisch. 2) a) Die Poincar´esche Metrik auf der Kreisscheibe ¨ 6.2, S. 96) ist gegeben durch g11 = g22 = D = z = x1 + ix2 ∈ C : |z| < 1 (vgl. Ub.
1 −2 =: h(x1 , x2 ), g12 = 0. Dann ist g 11 = g 22 = , g 12 = 0 und 1 − (x1 )2 − (x2 )2 h   1 Γijk = δ im ∂j (δmk h) + ∂k (δmj h) − ∂m (δjk h) 2h 1 i = [δ ∂j h + δji ∂k h − δjk ∂i h] 2h k √ = (δki ∂j + δji ∂k − δjk ∂i ) ln h; √
2xi ∂i ln h = −∂i ln 1 − (x1 )2 − (x2 )2 = 1 − (x1 )2 − (x2 )2 2x1 1 2 2 1 =⇒ Γ11 = Γ12 = Γ21 = −Γ22 = , 1 − (x1 )2 − (x2 )2 2x2 Γ222 = Γ112 = Γ121 = −Γ211 = . 1 − (x1 )2 − (x2 )2

103

Die Geod¨aten erf¨ ullen daher: x¨1 +

2 1−

(x1 )2

(x2 )2



 x1 (x˙ 1 )2 + 2x2 x˙ 1 x˙ 2 − x1 (x˙ 2 )2 = 0,

−   2 2 2 2 x¨2 + x (x˙ ) + 2x1 x˙ 1 x˙ 2 − x2 (x˙ 1 )2 = 0. 1 2 2 2 1 − (x ) − (x )

2x1 (x˙ 1 )2 = 0 mit Wenn man x = 0 setzt, so ergibt sich eine spezielle Geod¨ate mit x¨ + 1 − (x1 )2 der L¨osung x1 = th (at + b). (L¨osung der letzten Differentialgleichung mittels Ansatz a x˙ 1 = f (x1 ).) Dann ist x˙ 1 = 2 und daher tats¨achlich ch (at + b) 1 a2 gij x˙ i x˙ j = = a2 = const (vgl. S. 103 oben). ·
4 2 2 ch (at + b) 1 − th (at + b) Wenn wir noch  x(0)  = 0 fordern und die Geod¨ate nach der Bogenl¨ange parametrisieren, th t folgt x(t) = . 0 b) Das Intervall N = (0, a) ist f¨ ur 0 < a < 1 auch eine Minimallinie, denn

wenn N1 eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit von D ist mit Endpunkten 00 , a0 , und parametrisiert durch (α, β) −→ D : t 7−→ x(t), so ist 2

|N1 | =

1

Zβ α

|x(t)| ˙ dt ≥ 1 − x1 (t)2 − x2 (t)2

Zβ α

|x˙ 1 (t)| dt ≥ |N | = 1 − x1 (t)2

Za 0

dt = arth a. 1 − t2


Dies zeigt neuerlich (und schneller), dass t 7−→ th0 t eine Geod¨ate ist (da BM ⊂ GK, vgl. S. 103, Bemerkung 2)). c) Weitere Geod¨aten und Minimallinien erh¨alt man durch Anwendung von M¨obius” z − z0 transformationen“ f%,z0 : D −→ D : z 7−→ % mit %, z0 ∈ C, |%| = 1, |z0 | < 1. 1 − z0 z ¨ 7.1, S. 111). Daher ist auch (−1, 1) −→ D : t 7−→ f%,z0 ist eine Isometrie (vgl. Ub. f%,z0 (arth t) eine Geod¨ate. Als Minimallinien erhalten wir Teile von Kreisen, welche den Einheitskreis senkrecht schneiden.     z1 − z 0
z1 − z 0 , Speziell gilt d(z0 , z1 ) = d f%,z0 (z0 ), f%,z0 (z1 ) = d 0, % = artanh 1 − z z 1 − z z 0 1 0 1 1 − z0 z1 z1 − z0 · wenn % = gew¨ahlt wird. z1 − z 0 1 − z 0 z1

Aus dem n¨achsten Lemma folgt, dass eine Geod¨ate x(t) durch x(0), x(0) ˙ eindeutig bestimmt ist. Daher erhalten wir so schon alle Geod¨aten. In diesem Beispiel gilt also sogar GK=BM.

104

Hilfssatz und Definition: (M, g) C k -RR, k ≥ 3. 1) Eine Geod¨ate x(t) : I −→ M heißt maximal :⇐⇒6 ∃x1 (t) : I1 −→ M Geod¨ate mit I1 6⊇ I und x = x1 I .   2) Es gilt: ∀x0 ∈ M : ∀v ∈ Tx0 M : ∃! maximale Geod¨ate xv (t) mit v = xv (t) , d.h. xv (0) = x0 , x˙ v (0) = v. 3) ∀x0 ∈ M : ∃ > 0 : ∀v ∈ Tx0 M mit g(x0 )(v, v) <  : xv wie in 2) ist definiert auf [−1, 1]. 4) ∀x0 ∈ M: ∃ > 0 : ∃U ⊂ M offen mit x 0 ∈ U : expx0 : v ∈ Tx0 M : g(x0 )(v, v) <  −→ U : v 7−→ xv (1) =: expx0 (v) ist wohldefiniert und ein C k−2 -Diffeomorphismus. expx0 heißt Exponentialabbildung (bei x0 bzgl. g). Beweis: a) Erinnerung Satz u ¨ber die lokale L¨osbarkeit von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen (SLLD) U, V ⊂ Rn offen, f : U −→ V C l , l ≥ 1, ξ0 ∈ U. Dann gilt: ∃ > 0 : ∀ξ ∈ U mit |ξ −
ξ0 | <  : ∃! xξ (t) : (−, ) −→ U C l , sodass ∀|t| <  : x˙ ξ (t) = f xξ (t) und  xξ (0) = ξ. Außerdem ist auch (−, ) × ξ ∈ U : |ξ0 − ξ| <  −→ U C l (t, ξ) 7−→ xξ (t). Wenn weiters f C l von η ∈ W ⊂ Rm abh¨angt und η0 ∈ W, so kann  > 0 so gew¨ahlt werden, dass   (−, ) × ξ ∈ U : |ξ −
ξ0 | <  × η ∈ W : |η − η0 | <  −→ U : (t, ξ, η) 7−→ xξ,η (t) C l mit x˙ ξ,η (t) = f xξ (t), η , xξ,η (0) = ξ. Bemerkung: Lipschitzstetigkeit, d.h. ∃c > 0 : |f (ξ1 ) − f (ξ2 )| < c|ξ1 − ξ2 | f¨ ur ξi bei ξ0 , l anstelle von f C , l ≥ 1, w¨ urde gen¨ ugen. Stetigkeit von f w¨are zu wenig, umpEindeu1 2 tigkeit (∃ ! xξ ) zu erreichen: 4 t sign (t) und 0 sind beides L¨osungen zu f = |x| mit Anfangswert 0. b) (M, g) C k =⇒ g C k−1 =⇒ Γ C k−2 . Das Gleichungssystem x¨i + Γijk x˙ j x˙ k = 0 ist ¨aquivalent zu y˙ = f (y), wobei y = (x1 , · · · , xn , x˙ 1 , · · · , x˙ n )T , f (y 1 , · · · , y 2n ) = (y n+1 , · · · , y 2n , −Γ1jk y n+j y n+k , · · · , −Γnjk y n+j y n+k )T und ist nach a) lokal eindeutig l¨osbar. Wenn f¨ ur |v| < δ und |t| ≤ δ xv (t) die eindeutige L¨osung mit xv (0) = x0 , x˙ v (0) = v ist, so gilt xδv (t) = xv (δt), da auch xv (δt) eine Geod¨ate ist und xv (δt). (0) = δv. Daher ist xδv (t) f¨ ur |t| ≤ 1 definiert f¨ ur |v| < δ und expx0 f¨ ur |v| < δ 2 . Wenn man von den Koordinaten zur¨ uck geht auf M, ergibt sich 2) und 3). c) Nach a) b) ist expx0 wohldefiniert und C k−2 f¨ ur gen¨ ugend kleines . Um 4) zu zeigen, m¨ u ssen wir (nach SIF, S. 4) Rg ( exp 0 x0 ) = n nachweisen.  Wenn U1 := v ∈ Tx0 M : g(x0 )(v, v) <  , so ist T0 U1 ' Tx0 M (vgl. Bsp. 1, S. 18). 105


    F¨ ur w ∈ Tx0 M ' T0 U1 ist T0 expx0 (w) = T0 expx0 [tw] = expx0 (tw) = xtw (1) = b)   xw (t) = w, d.h. T0 expx0 = id.  Def.: (M, g) C k -RR, k ≥ 3, x0 ∈ M, ψ : Tx0 M −→ Rn seien Koordinaten bzgl. einer ONB auf Tx0 M, , U wie in 4), S. 105. Dann nennt man die C k−2 -Karte 
ϕ : U −→ x ∈ Rn : |x|2 <  : x 7−→ ψ exp−1 x0 (x)

(geod¨atische) Normalkoordinaten bei x0 .

Lemma (Gauß) Wenn ϕ : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T Normalkoordinaten bei x0 sind, so gilt: a) gij (x0 ) = δij ; b) die Geod¨aten in U durch x0 sind durch xi (t) = v i · t gegeben, v ∈ Rn , |v| · |t| < ; c) Γijk (x0 ) = 0 und Γijk (x)xj xk = 0 f¨ ur x ∈ U ; d) gij (x)xi wj =

n P

i=1

xi wi f¨ ur x ∈ U, w ∈ Rn ;


 e) f¨ ur x1 ∈ U mit x1 6= x0 ist ϕ−1 ϕ(x1 )t : 0 < t < 1 eine Minimallinie und ist rn P i 2 die einzige in M von x0 nach x1 . Es gilt d(x0 , x1 ) = (x1 ) . i=1

Beweis: a) b) folgen aus der Definition.
c) F¨ ur die Geod¨ate xi (t) = v i t gilt x¨i + Γijk x˙ j x˙ k = 0, d.h. Γijk x(t) v j v k = 0. Das liefert c).
d) Auf den Geod¨aten xi (t) = v i t ist g konstant, d.h. gij x(t) v i v j = gij (x0 )v i v j = n n P P (v i )2 . Also ist jedenfalls gij (x)xi xj = (xi )2 . i=1 i=1
Es seien nun v, w ∈ Rn , x(t) die Geod¨ate mit xi (t) = v i t und f (t) := w i gij x(t) v j . Es ist zu zeigen, dass f konstant ist.


k j
j k ∂gij i ∂gij x(t) x ˙ v = w x(t) v v . ∂xk ∂xk  
∂g ∂g ∂g ij ik jk Aus c) folgt: Γijk x(t) v j v k = 0 =⇒ + − v j v k = 0 =⇒ ∂xk ∂xj ∂xi
j k ∂gjk 1 x(t) v v . f 0 = wi 2 ∂xi n P Zu Beginn wurde festgestellt, dass gjk (x)xj xk = (xi )2 . Ableiten nach xi ergibt: f 0 = wi

i=1

∂gjk j k x x = 2xi − 2gik xk i ∂x 106

n n n n
1 P
P 1 P C P wi v i − gik wi v k = wi v i − f , tf 0 + f = wi v i , f = + v i wi . t i=1 t i=1 t i=1 i=1 n P Da f in 0 stetig ist, folgt f = v i wi . i=1 rn
P i 2 −1 i (x1 ) =: l. e) Die Linie ϕ ϕ(x1 )t ist die Geod¨ate x1 · t und hat daher L¨ange

=⇒ f 0 =

i=1

x(t), 0 ≤ t ≤ 1, sei eine weitere C 1 -Kurve von x0 nach x1 zun¨achst in U. OEdA x(t) 6= x0 Z1 q
f¨ ur t ∈ (0, 1]. Die L¨ange dieser Kurve ist l1 = gij x(t) x˙ i (t)x˙ j (t) dt. 0

n

i

i

i

Wenn x ∈ U und v, w ∈ R mit v = ax + w , und

n P

xi wi = 0, so ist nach d)

i=1

n n n
2  P P P gij (x)v v = gij (x)(a x x + w w ) ≥ a gij (x)x x = a2 (xi )2 = xi v i (xi )2 . i=1 i=1 v i=1 v 1 u u Z Z1 Pn i n n i X uX x˙ (t)x (t) d u t pi=1 xi (t)2 dt = t (xi1 )2 = l. Also ist l1 ≥ Pn i 2 dt ≥ dt i=1 i=1 x (t) i=1 i j

2 i j

0

i

j

2

i j

0

Wenn x(t) eine nicht nur in U verlaufende Kurve ist, so gibt es ein minimales t0 mit n n P P xi (t0 )2 = (xi1 )2 . Dann hat das Kurvenst¨ uck x(t), 0 < t < t0 , bereits mindestens i=1

i=1

L¨ange l.
Damit ist gezeigt, dass ϕ−1 ϕ(x1 )t eine Minimallinie ist. Dies ist die einzige mit Endpunkten x0 , x1 , da sonst in der obigen Absch¨atzung w = 0 und damit x˙ i = axi sein muss.  Bsp.: 1) M = Sn ⊂ Rn+1 mit induzierter Metrik. Wenn N eine Minimallinie von x0 ˜ ihre Spiegelung an einer Hyperebene durch nach x1 ist (d.h. ∂N = {x0 , x1 }) und N ˜ x0 , x1 , so hat N gleiche L¨ange. Da nach dem letzten Lemma Minimallinien lokal eindeu˜ sein, d.h. N besteht aus St¨ tig sind, muss f¨ ur x0 bei x1 N = N ucken von Großkreisen. Da n N Untermannigfaltigkeit von S , liegt N zur G¨anze auf einem Großkreis. Die geod¨atischen Kurven sind nach dem Lemma lokal Minimallinien und daher ebenfalls Teile von Großkreisen. Wenn x0 = (0, · · · , 0, 1)T , v ∈ Tx0 Sn = {w  ∈ Rn+1 : wn+1 = 0} ' Rn , so v
v
sin(|v|) |v| ist also xv (t) = sin |v|t . + cos |v|t x0 und expx0 (v) = cos(|v|) |v|  expx0 : v ∈ Tx0 Sn : g(x0 )(v, v) < π 2 −→ Sn \ {−x0 } ist ein C ∞ -Diffeomorphismus.  2) Wenn ϕ : U −→ x ∈ Rn : |x|2 <  geod¨atische Normalkoordinaten sind und ¨ 4.2, S. 67), so ist nach r, ϑ1 , · · · , ϑn−1 = ϕ Kugelkoordinaten auf Rn sind (vgl. Ub. d) des Lemmas in S. 106 grr = 1 und grϑi = 0. In diesen geod¨atischen Polarko” ordinaten“ ist also g = dr ⊗ dr + gϑi ϑj (r, ϑ1 , · · · , ϑn−1 ) dϑi ⊗ dϑj . Z.B. auf S2 sind r := ϑ, ϑ1 := ϕ, gϑ1 ϑ1 = sin2 (r) geod¨atische Polarkoordinaten. 3) Es seien (Mi , gi ) C k -RR, k ≥ 3, f : M1 −→ M2 ein Diffeomorphismus und es gelte: 107


∀xi ∈ M1 : d2 f (x1 ), f (x2 ) = d1 (x1, x2 ). Wenn x0 ∈ M1 , v ∈ Tx0 M1 und x(t) eine C k -Kurve mit x0 = x(0), v = x(0) ˙ = x(t) ist, so ist in Normalkoordinaten um x0 : v
pPn u n i 2 p uX d1 x(t), x0 i=1 x (t) lim = lim = t (v i )2 = g1 (x0 )(v, v) . t&0 t&0 t t i=1



2 d2 f x(t) , f (x0 ) = Daher ist (f g2 )(x0 )(v, v) = g2 f (x0 ) T f (v), T f (v) = lim 2 t&0 t
2 d1 x(t), x0 = lim = g1 (x0 )(v, v), d.h. da x0 , v beliebig sind, f ∗ g2 = g1 , d.h. f ist eine t&0 t2 Isometrie. ∗







Schließlich soll exp mit der Exponentialabbildung bei Liegruppen verglichen werden. Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. 1) X ∈ T 1 (M ), I ⊂ R offen. x(t) : I −→ M C k heißt Integralkurve zu X :⇐⇒
∀t ∈ I : x(t) ˙ = X x(t) . 2) F : R × M −→ M heißt globaler Fluss auf M :⇐⇒ ∂F (i) F C k−1 , : R × M −→ T M C k−1 ∂t (ii) ∀x ∈ M : F (0, x) = x
(iii) ∀s, t ∈ R, ∀x ∈ M : F s, F (t, x) = F (s + t, x). 3) U ⊂ R × M offen, U ⊃ {0} × M.

∂F k−1 C ∂t (ii) ∀x ∈ M : F (0, (iii) ∀s, t ∈ R, ∀x
x) = x
∈ M mit (t, x), s, F (t, x) , (s + t, x) ∈ U : F s, F (t, x) = F (s + t, x). F : U −→ M heißt multiplikativ :⇐⇒ (i) F,

4) Fi : Ui −→ M seien multiplikativ. F1 ∼ F2 :⇐⇒ ∃U3 ⊂ R×M offen: U3 ⊃ {0}×M ¨ bzgl. ∼ heißt lokaler Fluss auf M . und F1 U3 = F2 U3 . Eine Aquivalenzklasse  Fl (M ) := [F ] : F multiplikativ , Fg (M ) := {F : F globaler Fluss}.

Hilfssatz: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 2.

1) F ∈ Fg (M ), t ∈ R =⇒ F (t, −) : M −→ M ist ein C k−1 -Diffeomorphismus. (Deshalb nennt man F auch einparametrige Transformationsgruppe“.) ”  
1 2) i : Fl (M ) −→ T (M ) : [F ] 7−→ X : x 7−→ F (t, x) ∈ Tx M ist bijektiv. F¨ ur festes x ist dabei t 7−→ F (t, x) eine Integralkurve zu X f¨ ur |t| klein. 3) Wenn M kompakt ist, so ist Fg (M ) −→ Fl (M ) : F 7−→ [F ] bijektiv. 108

1 1 4) Wenn M = G eine Liegruppe und  X ∈ Tl (G) oder Tr (G) so existiert ein globaler Fluss mit ∀x ∈ G : X(x) = F (t, x) . Dann ist R −→ G : t 7−→ F (t, I) ein Liegruppenhomomorphismus.

Beweis: 1) F (±t, −) ◦ F (∓t, −) = id.   2) Zun¨achst sei [F ] ∈ Fl (M ), x ∈ M. Dann ist F (t, x) ∈ Tx M. In Koordinaten ist   k−1   ∂F (t, x)i ∂ und folglich X : M −→ T M : x − 7 → F (t, x) C , d.h. F (t, x) = ∂t ∂xi 1 X ∈ T (M ). Umgekehrt gibt es nach SLLD (S. 105) zu X ∈ T 1 (M ) ein F : U −→ M C k−1 mit ∂F U ⊂ R × M offen, U ⊃ {0} × M, ∀x ∈ M : F (0, x) = x und ∀(t, x) ∈ U : (t, x) = ∂t
∂F k−1 C . F ist (bis auf die Gr¨oße des Definitionsbereiches X F (t, x) . Dann ist auch ∂t 1 U ) eindeutig (hier braucht man
k ≥ 2, d.h. X C ). Daher ist F multiplikativ, denn F (t + t0 , x) und F t, F (t0 , x) sind L¨osungen derselben Differentialgleichung mit dem   ∂F (0, x) = gleichen Anfangswert. Also ist [F ] ∈ Fl (M ) und ∀x ∈ M : F (t, x) = ∂t
X F (0, x) = X(x) ∈ Tx M. Es ist also j : T 1 (M ) −→ Fl (M ) : X 7−→ [F ] wohldefiniert und i ◦ j = id.
Schließlich gilt f¨ ur F ∈ Fl (M ) mit X := i [F ] ∈ T 1 (M ) : t0 bei 0, x ∈ M =⇒   

∂F (t0 , x) = F (t + t0 , x) = F t, F (t0 , x) = X F (t0 , x) , d.h. F (t, x) ist f¨ ur festes ∂t x eine Integralkurve zu X. Aufgrund der Eindeutigkeitsaussage im SLLD ist daher [F ] durch X bestimmt, d.h. j ◦ i = id. 3) Wenn M kompakt ist und U ⊂ R × M offen und U ⊃ {0} × M, so ∃ > 0 : U ⊃ (−2, 2) × M. OEdA  sei also F : (−2, 2) × M −→ M multiplikativ. F (t, x)
: |t| < 2,  F t − , F (, x)
: 0 < t < 3, Es sei F1 (t, x) :=  F t + , F (−, x) : −3 < t < 0. ∂F1 k−1 F multiplikativ =⇒ F1 wohldefiniert und C k−1 , C . F¨ ur festes x ist t 7−→ F1 (t, x) ∂t
eine Integralkurve zu X := i [F ] ∈ T 1 (M ). Daher ist F1 wieder multiplikativ. Durch Induktion folgt, dass sich F zu F∞ ∈ Fg (M ) fortsetzen l¨asst. 4) Es sei X ∈ Tl 1 (G) und x(t) : (−, ) −→ G eine Integralkurve zu X mit x(0) = I. ist, ist f¨ Da X linksinvariant 
ur x1 ∈ G auch
t 7−→ x1 x(t) eine Integralkurve zu X, denn: x1 x1 x(t0 + t) = T l X x(t0 ) = X x1 x(t0 ) . Also ist F : (−, ) × G −→ G : (t, x1 ) 7−→ x1 x(t) ein lokaler Fluss zu X. Wie in 3) l¨asst sich F dann zu einem globalen Fluss fortsetzen.
 Speziell gilt F (s + t, I) = F t, F (s, I) = F (s, I)F (t, I). | {z } x1

109

Bsp.: Wenn M = R, so ist X ∈ T 1 (M ) durch X : R −→ R : x 7−→ X(x) ∈ Tx R ' R gegeben. F¨ ur festes x0 ist x(t) := F (t, x0 ) die L¨osung der Differentialgleichung x˙ = X(x) mit Anfangswert x(0) = x0 . Wenn X(x0 ) = 0, so ist die L¨osung x(t) = const = x0 , Zx du 1 = X(x)−1 und t(x) = . ansonsten gilt f¨ ur die Umkehrfunktion t(x) : t˙ = x˙ X(u) Somit ist F (−, x0 ) die Umkehrfunktion von x 7−→

Zx

x0

du . X(u)

x0

Wenn z.B. ∀x : X(x) = 1, so ist t(x) = x − x0 , F (t, x0 ) = x0 + t, d.h. F ist sogar ein globaler Fluss. Wenn wir jedoch M = (−1, 1) anstatt R nehmen, so ergibt sich nur mehr ein lokaler Fluss:  F : U = (x0 , t) ∈ R2 : |x0 | < 1, |x0 + t| < 1 −→ (−1, 1) : (x0 , t) 7−→ x0 + t

F ist hier lokal, da F M verl¨asst“. Aber auch im Fall M = R kann der Fluss unter ” Umst¨anden nur lokal sein, wenn n¨amlich |F (t, x0 )| → ∞ f¨ ur endliches t (“blow-up”). Zx du 1 1 x0 F¨ ur X(x) = x2 ist z.B. t(x) = = − , F (t, x0 ) = (gilt nachtr¨aglich 2 u x0 x 1 − x0 t x0 auch f¨ ur x0 = 0) =⇒ F : U = (x0 , t) ∈ R2 : 1 − x0 t > 0 −→ R. Definition und Hilfssatz: G Liegruppe. F¨ ur v ∈ TI G sei Fv ∈ Fg (G) der globale Fluss 1 (nach Hilfssatz, 4), S. 109) zu Xv ∈ Tl (G) mit Xv (I) = v (vgl. S. 34). Exp : TI G −→ G : v 7−→ Fv (1, I) heißt Exponentialabbildung (der Liegruppe G). Es gilt: a) Exp ist C ∞ ; b) ∀v ∈ TI G : R −→ G : t 7−→ Exp (tv) ist ein Liegruppenhomomorphismus; c) T0 Exp = id : T0 TI G ' TI G −→ TI G. Speziell ist Exp bei 0 ein Diffeomorphismus. Beweis: a) t 7−→ Fv (t, I) ist eine Integralkurve zu Xv und Xv (x) = T lx (v) h¨angt C ∞ von v ab =⇒ (nach SLLD, S. 105) (t, v) 7−→ Fv (t, I) C ∞ =⇒ Exp C ∞ . b) F¨ ur λ ∈ R ist Fv (λt, x) der Fluss zu λXv = Xλv =⇒ Exp (tv) = Ftv (1, I) = Fv (t, I). Also folgt b) aus 4) des Hilfssatzes in S. 109.     c) (T0 Exp)(v) = Exp(tv) = Ftv (1, I) = Fv (t, I) = Xv (I) = v. 

Bsp.: 1) G = Gln (R), TI G ' gln (R) 3 B =⇒ (vgl. S. 35) XB (A) = AB ∈ TA Gln (R) ' gln (R). F¨ ur festes B ist t 7−→ FB (t, I) =: A(t) die Integralkurve der Differentialgleichung 110


˙ = XB A(t) = A(t)B, A(0) = I. A(t) ∞ tn B n P etB = l¨ost diese Differentialgleichung, da det(etB ) = et tr B 6= 0 und (etB )˙ = n! n=0 BetB . Also ist A(t) = etB , Exp(B) = eB . 2) H ≤ G sei eine Lieuntergruppe, v ∈ TI H ≤ TI G, XvH ∈ T 1 (H), FvH ∈ Fg (H), XvG ∈ T 1 (G), FvG ∈ Fg (G) wie oben und bzgl. H bzw. G. F¨ ur x ∈ H ist XvG (x) = T lx (v) = XvH (x) und daher FvG R×H = FvH . Daher ist auch ExpG T H = ExpH . Speziell gilt z.B. I ¨ 2.3, S. 36). f¨ ur H = Sln (R) Exp : sln (R) −→ Sln (R) : B 7−→ eB (vgl. Ub. Def.: G Liegruppe. Eine links- und rechtsinvariante Riemannsche Metrik heißt biinvariant. P ¨ 6.6, S. 97), in Gln (R) gibt dakj ⊗ dakj biinvariant (vgl. Ub. Bsp.: In SOn (R) ist 1≤j,k≤n

¨ 6.5, S. 96). es hingegen keine biinvariante Metrik (vgl. Ub.

Satz G sei eine Liegruppe mit biinvarianter Metrik g, expI zu g wie in S. 105, Exp wie in S. 110. Dann gilt expI = Exp.   Beweis: F¨ ur v ∈ TI (G) sei (−, ) −→ G : t 7−→ xv (t) die Geod¨ate mit v = xv (t) ¨ 6.5, S. 96) f¨ (vgl. S. 105). Wenn g biinvariant ist, so gilt J ∗ g = g (vgl. Ub. ur −1 −1 J : G −→ G : x 7−→ x . Daher ist auch f¨ ur |t0 | <  t 7−→ x eine v (t0 )xv (t0 − t) Geod¨ a te. F¨ u r kleines t sind daher nach dem Lemma in S. 106 x (t) : 0 < t < t 0 v 0  und xv (t0 )xv (t0 − t)−1 : 0 < t < t0 Minimallinien mit denselben Randpunkten und stimmen also u ¨berein. Da beides Geod¨aten sind (und also nach einem Vielfachen der Bogenl¨ange parametrisiert), folgt xv (t) )xv (t0 − t)−1 bzw. xv (t + s) = xv
(s)xv (t)  = xv x(t0(s) f¨ ur kleines s, t. Daher ist xv (t + s) = T l v xv (t) = T lxv (s) v = Xv xv (s) , wenn Xv ∈ Tl 1 (G), Xv (I) = v und somit t 7−→ xv (t) eine Integralkurve zu Xv . Wegen der Eindeutigkeit (SLLD, S. 105) folgt xv (t) = Fv (t, I) f¨ ur kleines t. Wegen Fv (t + s, I) = Fv (t, I)Fv (s, I), ∀s, t ∈ R und wegen der Linksinvarianz von g ist dann R −→ G : t 7−→ Fv (t, I) die maximale Geod¨ate zu xv und folgt Exp(v) = Fv (1, I) = expI (v).  ¨ Ubungen ¨ 7.1 (D, g) sei wie in Ub. ¨ 6.2, S. 96, bzw. in Bsp. 2, S. 103. Zeige, dass Ub. z − z0 f%,z0 : D −→ D : z 7−→ % , % ∈ C, |%| = 1, z0 ∈ D, eine Isometrie ist. 1 − z0 z 2 P Hinweis: dxj ⊗ dxj = Re (dz ⊗ dz) ∈ T2 (D), wobei dz ∈ T1c (D) := T1 (D) ⊕ j=1

iT1 (D) =⇒ f ∗ (

2 P

j=1

f.

dxj ⊗ dxj ) = Re(df ⊗ df ) = |f 0 |2

111

2 P

j=1

dxj ⊗ dxj f¨ ur holomorphes

i j  ¨ 7.2 Es sei M = x ∈ Rn : |x| < 1 mit der Metrik g = gij dxi ⊗dxj , gij = δij + x x . Ub. 1 − |x|2

a) Bestimme d(x1 , x2 ) f¨ ur xi ∈ M und die Geod¨aten.

b) Berechne exp0 (v) f¨ ur v ∈ T0 M ' Rn , |v| < π.


x Hinweis: Zeige, dass M −→ {x ∈ Sn : xn+1 > 0} : x 7−→ √1−|x| eine Isometrie 2 n ist, wenn S mit der Standardmetrik versehen wird. ¨ 7.3 g sei die linksinvariante Riemannsche Metrik auf Gln (R) von Bsp. 4, S. 87, d.h. Ub. g(A)(B, C)P= hA−1 B, A−1 Ci, wobei A ∈ Gln (R), B, C ∈ TA Gln (R) ' gln (R), ur D, E ∈ gln (R). dij eij f¨ hD, Ei := i,j

˙ −1 A˙ + a) Zeige, dass die Differentialgleichung der Geod¨aten durch A¨ = AA AA˙ T A−1T A−1 A˙ − A˙ A˙ T A−1T gegeben ist. ˙ ˙ = hA−1 A, Hinweis: Bestimme die Eulersche Differentialgleichung zu L(A, A)     i  ˙ Beachte, dass dL(A, C) = ∂L , dA + ∂L , dC (wobei ∂L := A−1 Ai. ∂A ∂C ∂A j ∂L ) und dass dA−1 = −A−1 · dA · A−1 . ∂aij

b) Folgere, dass ur B ∈ gln (R) mit B ·B T = B T ·B (d.h. B normal) die Geod¨ate  f¨ A(t) mit A(t) = B ∈ TI Gln (R) durch A(t) = etB gegeben ist. qP n 2 c) Zeige, dass d(I, A) = i=1 ln (λi ) , wenn A symmetrisch ist, λi die Eigenwerte von A sind und A − I klein genug ist.

P ¨ 7.4 Wir betrachten G = SO3 (R) mit der biinvarianten Metrik g = 1 dak ⊗ dakj Ub. 2 1≤j,k≤3 j ¨ 6.6, S. 97). (vgl. Ub.  ¨ 4.6, S. 68. h : M = x ∈ R3 : |x| < π −→ SO3 (R) seiwie in Ub. 3 2 0 −x x 3 3  x 0 −x1  ∈ o3 (R). F¨ ur x ∈ R sei B(x) := 2 −x x1 0 ¨ 1.5, S. 12. x a) Zeige eB(x) = A |x| ur x ∈ R3 \ 0 und Ax,ϕ wie in Ub. ,|x| f¨ Hinweis: Bt = x × t f¨ ur t ∈ R3 .

b) Zeige, dass h−1 geod¨atische Normalkoordinaten bzgl. g sind.
c) Zeige, dass d(A, C) = arccos hA,Ci−1 f¨ ur A, C ∈ SO3 , hA, Ci = 2 Hinweis: tr (Ax,ϕ ) = 1 + 2 cos ϕ.

112

P

1≤i,j≤3

aij cij .

d) Zeige, dass f¨ ur h∗ g ∈ T2 (M ) in den geod¨atischen Polarkoordinaten r, ϑ, ϕ auf ¨ 6.6 c), S. 97 und Bsp. 3, S. 87) gilt: M (vgl. Ub. ∗ h g = dr ⊗ dr + 2(1 − cos r)[dϑ ⊗ dϑ + sin2 ϑ dϕ ⊗ dϕ]. e) Zeige, dass bzgl."h∗ g f¨ ur x, y ∈ M \ {0} gilt

2 |y| 2 |x| sin sin sin |x| sin |y| 2 2 · + hx, yi · + d(x, y) = arccos 2hx, yi2 2 2 |x| |y| |x| |y| # 3 P 2 |y| +2 cos2 |x| cos − 1 , wobei hx, yi = xi y i . 2 2 i=1

¨ 7.5 G sei eine n-dimensionale zusammenh¨angende kompakte Liegruppe. Ub. a) Zeige, dass Ωnl (G) = Ωnr (G). Hinweis: Ω ∈ Ωnl (G), x ∈ G =⇒ (r x )∗ Ω ∈ Ωnl (G).

b) Zeige, dass es auf G eine biinvariante Metrik gibt. Hinweis: Definiere g durch Z
g(x)(v, w) = (ru )∗ g1 (x)(v, w) λ(u), G

wobei x ∈ G, v, w ∈ Tx G, λ = |Ω| ∈ K0 (G), 0 6= Ω ∈ Ωnl (G) und 0 6= g1 eine linksinvariante Riemannsche Metrik ist. n
P  ¨ 7.6 Es sei B n := x ∈ Rn : |x| < 1 mit der Metrik gB := 1 − |x|2 −2 Ub. dxi ⊗ dxi . i=1

B n heißt n-dimensionaler hyperbolischer Raum.

a) Bestimme wie in Bsp. 1, S. 107, mittels Bsp. 2, S. 103, die Minimallinien in Bn.   |x − y| . b) Zeige, dass f¨ ur 0 6= x, y ∈ B n : d(x, y) = arth x − |x|y |x|

c) Bestimme die Normalkoordinaten exp−1 : B n −→ T0 B n ' Rn und stelle 0 n

P xi xi ⊗ d |x| dar (vgl. auch (exp0 )∗ gB in der Form d|x| ⊗ d|x| + h(|x|) d |x| i=1

S. 107, 2).

n P ur x = (x0 , · · · , xn )T , y = (y 0 , · · · , y n )T ∈ Rn+1 d) Es sei [x, y] = x0 y 0 − xi y i f¨ i=1  und H n := x ∈ Rn+1 : [x, x] = 1, x0 > 0 . n P dxi ⊗ dxi eine Riemannsche Metrik gH auf H Zeige, dass −dx0 ⊗ dx0 + i=1

113

induziert und dass    0 u x n 1 n f : H , gH −→ (B , gB ) : 7−→ 0 u 4 x +1 eine Isometrie ist.


e) Zeige, dass d(x, y) = arcosh [x, y] f¨ ur x, y ∈ H n bzgl. gH . Hinweis:  Da gH unter Lorentztransformationen invariant ist, kann man 1  0 x =   setzen. .. .

¨ 7.7 Der Zustandsraum eines Kreisels ist G = SO3 (R), wenn A ∈ G aufgefasst wird als Ub. die orthogonale Abbildung, die einem Referenzkoordinatensystem ein fest mit dem Kreisel verbundenes Koordinatensystem zuordnet. Die Tr¨agheitsmomente geben in dieser Interpretation eine linksinvariante Riemannsche Metrik g : F¨ ur A ∈ G ist 1 ˙ ˙ g(A)(A, A) die kinetische Energie, wenn der Kreisel Position A und Geschwin2
¨ 7.4, digkeit A˙ hat. F¨ ur x ∈ R3 , |x| = 1, ist g(I) B(x), B(x) (mit B(x) wie in Ub. S. 112) das klassische Tr¨agheitsmoment um die Achse Rx im Kreiselkoordinatensystem. ¨ 7.4? a) Welcher Kreiseltyp entspricht Ub. b) Was sind die Bahnlinien dieses Kreiseltyps?

114

§8

Zusammenhang und kovariante Ableitung

Wenn x(t) eine C 2 -Kurve in der C k -Mannigfaltigkeit M, k ≥ 2, ist, so ist t 7−→ x(t) ˙ 1 eine C -Kurve in T M und t 7−→ x¨(t) eine in T (T M ). Das Newton’sche Axiom Kraft = ” Masse × Beschleunigung“ urde aber bei Vorliegen eines Kraftvektorfeldes f ∈ T 1 (M )
w¨ verlangen, dass f x(t0 ) = x¨(t0 ), d.h. dass x¨(t0 ) ∈ Tx(t0 ) M. In einem Vektorraum V ist die Vorgangsweise so:  1 x(t ˙ 0 + h) − x(t ˙ 0) . h→0 h

x¨(t0 ) = lim

Eigentlich ist aber x(t ˙ 0 + h) ∈ Tx(t0 +h) V und x(t ˙ 0 + h) − x(t ˙ 0 ) kann nur gebildet werden, weil wir Tx(t0 +h) V ' V ' Tx(t0 ) V identifizieren. Wir brauchen also eine lineare Abbildung Fx : Tx M −→ Tx0 M f¨ ur x bei x0 , sodass Fx0 = id. Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 2, x0 ∈ U ⊂ M offen. 1) F : T U −→ Tx 0 M C k−1 heiße Tangentialtransport bei x0 :⇐⇒ (i) ∀x ∈ U : F Tx M : Tx M −→ Tx0 M linear, (ii) F Tx M = idTx0 M . 0

d(F ◦ x) ˙ 2) F¨ ur eine C 2 -Kurve x(t) mit x(t0 ) = x0 und F wie in 1) sei x¨F (t0 ) := (t0 ) = dt
F x(t ˙ 0 + h) − x(t ˙ 0) lim ∈ Tx0 M. h→0 h Notation: F sei ein Tangentialtransport bei x0 . In einer Karte x 7−→ (x1 , · · · , xn )T gilt dann: F x, v i (∂i )x ) = aik (x)v k (∂i )x0 = | {z } i

= v (∂i )x0 +

∂aik (x0 ) ∂xj

| {z }

j

·(x −

xj0 )v k (∂i )x0

=:Γijk

+o

P n

i=1

∈Tx M

i

|x −

xi0 |



.

x¨F (t0 ) ist bereits durch Γijk bestimmt: i
1h x¨F (t0 ) = lim x˙ i (t0 + h) + Γijk · xj (t0 + h) − xj0 x˙ k (t0 + h) − x˙ i (t0 ) + o(h) (∂i )x0 = h→0 h   = x¨i (t0 ) + Γijk x˙ j (t0 )x˙ k (t0 ) (∂i )x0 ∈ Tx0 M, kurz x¨F = (¨ xi + Γijk x˙ j x˙ k ) ∂i

Dies f¨ uhrt zur Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 2.

1) Die Tangentialtransporte F, F˜ bei x0 heißen ¨aquivalent :⇐⇒ ∃(∀) Karte(n) ϕ : ˜i . ∀i, j, k : Γijk = Γ jk 115

¨ 2) Eine Aquivalenzklasse von Tangentialtransporten bei x0 heißt (affiner) Zusammenhang bei x0 . 3) F : W −→ T M C k−2 , W ⊂ M × T M offen, heißt Tangentialtransport :⇐⇒ ∀x0 ∈ M : ∃x0 ∈ U ⊂ M offen: {x0 } × T U ⊂ W und F {x0 }×T U Tangentialtransport bei x0 und die Γijk sind C k−2 . 4) F, F˜ wie in 3) heißen ¨aquivalent :⇐⇒ ∀x0 ∈ M : F {x0 }×T U , F˜ {x0 }×T U˜ sind ¨aquivalente Tangentialtransporte bei x0 ⇐⇒ ∀x0 ∈ M : ∃(∀) Karte(n) ϕ : ∀i, j, k : ˜ i (x0 ). Γijk (x0 ) = Γ jk ¨ 5) Eine Aquivalenzklasse von Tangentialtransporten heißt (affiner) Zusammenhang  auf M . Z(M ) := Γ := [F ] : F Tangentialtransport auf M . 6) Ein Paar (M, Γ), Γ ∈ Z(M ), heißt Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang.

Bsp.: 1) Wenn V ein n-dimensionaler R-Vektorraum ist, so ist
v ) F : V × T V −→ T V : x0 , (x, |{z} v ) 7−→ (x0 , |{z} ∈Tx V 'V

∈Tx0 V 'V

ein Tangentialtransport. [F ] heißt Standardzusammenhang auf V. (Beachte, dass es aber keine Standardmetrik“ auf V gibt!) ” Wenn e1 , · · · , en eine Basis ist und xi ei 7−→ (x1 , · · · , xn )T die entsprechende lineare Karte, so ist aik = δki und Γijk = 0. In anderen Koordinaten muss dies nicht gelten, da Γijk kein Tensor ist (vgl. S. 117). 2) i : M ,→ Rn sei eine Untermannigfaltigkeit. Wir definieren
F : M × T M −→ T M : x0 , (x, v) 7−→ (x0 , prx0 v),

wobei v ∈ Tx M ,→ Tx Rn ' Rn und prx0 : Rn −→ Tx0 M ≤ Rn die orthogonale Projektion ist. Wenn x(t) eine Kurve in M ist und x0 = x(t0 ), so ist x(t) ˙ = y1 (t)
+ y2 (t) mit yi (t) ∈ Rn , y1 (t) ∈ Tx0 M ≤ Rn , y2 (t) ⊥ Tx0 M, d.h. y1 (t) = F x0 , x(t) ˙ und daher x¨F (t0 ) = y˙ 1 (t0 ) und y˙ 2 (t0 ) ⊥ Tx0 M und somit x¨F (t0 ) = Projektion des Beschleunigungsvektors x¨(t0 ) ∈ Rn auf Tx0 M. n P ϕ Wenn x0 ∈ U −→ V : x 7−→ (ξ 1 , · · · , ξ p )T eine Karte auf M ist und g := i∗ ( dxk ⊗dxk ) k=1     ∂ ∂x ∂x ∂ die von Rn auf M induzierte Metrik, so ist gij = g , j = , j , wobei i i ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ  n P ∂ mit hu, vi = ui v i f¨ ur u, v ∈ Rn (vgl. S. 87). F¨ ur v ∈ Rn ist prx0 v = αi ∂ξ i x0 i=1 116

* +    ∂x ∂x ∂x ∂x (x0 ), j (x0 ) = αi gij (x0 ) und daher αi = g ij (x0 ) v, j (x0 ) . v, j (x0 ) = αi ∂ξ ∂ξ i ∂ξ ∂ξ Daraus folgt:    !       ∂ ∂x ∂ ∂x ∂ i il ak = F x0 , x, · g (x0 ) (x), l (x0 ) und = ∂ξ i x0 ∂ξ k x ∂ξ i x0 ∂ξ k ∂ξ + * ∂x ∂2x (x0 ), (x0 ) . Γijk (x0 ) = g il (x0 ) j k ∂ξ ∂ξ ∂ξ l In S. 122 werden wir sehen, dass [F ] der Levi-Civit`a-Zusammenhang“ zu g ist. ” 3) Speziell sei M = S2 ⊂ R3 mit Kugelkoordinaten x(ϑ, ϕ) = (sin ϑ cos ϕ, sin ϑ sin ϕ, cos ϑ)T . 2 Dann ist gϑϑ = 1, gϑϕ = 0,gϕϕ = sin ϑ (vgl. S. 87), g ϑϑ = 1, g ϑϕ = 0,  ∂ 2 x ∂x ∂2x , ⊥ T x S2 , = 0 da g ϕϕ = sin−2 ϑ =⇒ Γϑϑϑ = 2 2 ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ  2   2  ∂ x ∂x ∂ x ∂x ϕ −2 ϑ ϑ , , Γϑϑ = sin ϑ = 0 (ebenso), Γϑϕ = Γϕϑ = = 0, ∂ϑ2 ∂ϕ ∂ϑ∂ϕ ∂ϑ *− cos ϑ sin ϕ − sin ϑ sin ϕ+ Γϕϑϕ = Γϕϕϑ = sin−2 ϑ  cos ϑ cos ϕ  ,  sin ϑ cos ϕ  = ctg ϑ, 0 0  2  ∂ x ∂x , Γϑϕϕ = = − sin ϑ cos ϑ, Γϕϕϕ = 0. ∂ϕ2 ∂ϑ ∂ ∂ ∂ ∂ F¨ ur eine Kurve x(ϑ, ϕ) gilt also x¨F = ϑ¨ + ϕ¨ + 2 ctg ϑ ϑ˙ ϕ˙ − sin ϑ cos ϑ ϕ˙ 2 . ∂ϑ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϑ 

Transformationsformel f¨ ur Γijk : 0

Dann ist f¨ ur x bei x0 ∈ M ψ : x 7−→ (x1 , · · · , xn0 )T sei eine weitere Karte,
[F ] ∈ Z(Mi). 0 0
i i0 0 i und v = v ∂i = v ∂i ∈ Tx M : F x0 , (x, v ∂i ) = F x0 , (x, v ∂i ) ∈ Tx0 M, d.h. 0 0 l aik (x0 , x)v k (∂i0 )x0 = am l (x0 , x)v (∂m )x0 0 l ∂xi m k 0 ∂x 0 = al (x0 , x)v (x)(∂i )x0 m (x0 ) ∂x ∂xk 0 0 i 0 i l ∂a ∂x ∂x 0 i 0 i m = (x) m (x0 ) =⇒ Γjk (x0 ) = kj 0 =⇒ ak = al ∂x ∂x x=x0 ∂xk 0 0 0 ∂xr ∂xi ∂xi ∂am ∂xl ∂ 2 xl l m = (x0 ) m (x0 ) + al (x0 , x0 ) j 0 k 0 (x0 ) m (x0 ), d.h. (x0 ) | {z } ∂x ∂x ∂xr x=x0 ∂xk 0 ∂x ∂x ∂xj 0 | {z } δlm Γm rl (x0 ) 0

Γijk = Γm rl

0

0

∂ 2 xl ∂xi ∂xi ∂xr ∂xl + · ∂xm ∂xj 0 ∂xk 0 ∂xj 0 ∂xk 0 ∂xl

Wegen des 2. Terms ist Γ 6∈ T21 (M ). 117

(∗)

Bsp.: Es soll mit (∗) Γijk f¨ ur den Standardzusammenhang auf R2 in Polarkoordinaten
r x 7−→ ϕ berechnet werden. Von (∗) bleibt dann nur der rechte Teil (den man auch aus der Formel in Bsp. 2, S. 116 herleiten k¨onnte). Dieser Teil ist symmetrisch in den ∂ 2 xi ∂r unteren Indices j, k. Es folgt: Γrrr = = 0 = Γϕrr , ∂r2 ∂xi 2 1 ∂xi P ∂ 2 xi ∂r xi 1 ∂r2 Γrrϕ = Γrϕr = · = · = · = 0, ∂r∂ϕ ∂xi i=1 r ∂ϕ r 2r2 ∂ϕ 2 1 ∂xi P ∂ϕ ∂ϕ 1 ∂ϕ 1 ∂ 2 xi · = · = = , Γϕrϕ = Γϕϕr = i i ∂r∂ϕ ∂x ∂x r ∂ϕ r i=1 r ∂ϕ 2 i i 2 P ∂r ∂ x x · = (−xi ) = −r, Γrϕϕ = 2 i ∂ϕ ∂x r i=1 2 i 2 P ∂ x ∂ϕ ∂ϕ = (−xi ) i = 0 (ϕ homogen vom Grad 0). Γϕϕϕ = ∂ϕ2 ∂xi i=1 ∂x   r(t) Somit gilt f¨ ur eine Kurve x(t) = : ϕ(t)   2r˙ ϕ˙ 2 ∂ϕ . x˙ = r∂ ˙ r + ϕ∂ ˙ ϕ , x¨ = (¨ r − rϕ˙ )∂r + ϕ¨ + r Notation: Wenn [F ] ∈ Z(M ), so nennt man Γijk wie in S. 115 seine Koordinaten (bzgl. der Karte ϕ). Sie erf¨ ullen (∗) bei Kartenwechsel. C k−2

Umgekehrt, wenn zu jeder Karte (ϕ : U −→ V ) ∈ A (Γijk ) : U −→ R3n gegeben ∞ S Um , (ϕm : Um −→ Vm ) ∈ A, χm eine lokalendliche sind, sodass (∗) gilt, wenn M = m=1

C k -Zerlegung der 1 zu Um (S. 59), so kann man durch


F : M × T M −→ T M : x0 , (x, v) 7−→

∞ X

m=1

  ψm (x)χm (x0 ) v i + Γijk (x0 )(xj − xj0 )v k (∂i )x0

einen Tangentialtransport definieren (wobei Γijk , v k , (∂i )x0 bzgl. ϕm zu nehmen sind und ψm ∈ C k (M ), supp ψm ⊂ Um , ψm supp χm ≡ 1). Wegen (∗) sind dann die Koordinaten von [F ] gerade Γijk . F¨ ur Γ := [F ] schreibt man daher auch Γ = (Γijk ). Definition und Hilfssatz: (M, Γ) Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang. s s 1 1) Γ ∈ Z(M ) sei definiert durch Γijk := (Γijk + Γikj ) und heißt symmetrischer Anteil 2 von Γ.

2) T (Γ) ∈ T21 (M als C k−1 -Mannigfaltigkeit) sei in einer Karte definiert durch T (Γ) := (Γijk − Γikj )∂i ⊗ dxj ⊗ dxk und heißt Torsion von Γ. 3) Γ heißt torsionsfrei oder symmetrisch :⇐⇒ T (Γ) = 0. 118

s

Beweis: 1) Offenbar erf¨ ullt Γijk wieder (∗) und definiert (nach dem vorigen) wieder einen Zusammenhang. 0 0 0 0 m r l 2) Aus (∗) folgt (Γijk − Γikj )∂i0 ⊗ dxj ⊗ dxk = (Γm rl − Γlr )∂m ⊗ dx ⊗ dx und daher ist T (Γ) wohldefiniert.  s

Bemerkung: Wegen Γijk x˙ j x˙ k = Γikj x˙ j x˙ k ist zur Berechnung von x¨ nur Γ von Bedeutung. Nach S. 71 ergibt die Ableitung eines Tensors nach den Koordinaten keinen Tensor. Auf einer Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang k¨onnen wir Tensorfelder differenzieren: Hilfssatz und Definition: (M, Γ) Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, Γ = [F ]. 1) F¨ ur x bei x0 ∈ M sei Fx0 ,x := F {x0 }×Tx M ∈ HomR (Tx M, Tx0 M ). Wegen Fx0 ,x0 = idTx0 M ist Fx0 ,x f¨ ur x nahe bei x0 invertierbar und wir erhalten m M := (Tx M )⊗m ⊗ (Tx∗ M )⊗q : mit Tq,x m m ⊗m (Fx0 ,x )m ⊗ (Fx−1T )⊗q t. q : Tq,x M −→ Tq,x0 M : t 7−→ (Fx0 ,x ) 0 ,x
m 2) ∇ : Tqm (M ) −→ Tq+1 (M als C k−1 -Mannigfaltigkeit): X 7−→ x0 7−→ (∇X)(x0 ) m m m M ) (vgl. S. 44) M ' HomR (Tx M, Tq,x M ' Tx∗0 M ⊗ Tq,x wobei ∇X(x0 ) ∈ Tq+1,x 0 0 0 definiert ist durch:   
0 m ∇X(x0 ) [x(t)] := (Fx0 ,x(t) )m (0) ∈ Tq,x M. X x(t) q 0 | {z } ∈Tx0 M

∇ heißt kovariante Ableitung und h¨angt nur von Γ = [F ] ab. In Koordinaten gilt
···im m =⇒ (∇X)ij10···i X = Xji11···j ···jq = q =

···im ∂Xji11···j q

∂xj0

+

m P

r=1

i ···i

Xj11···jr−1 q

kir+1 ···im

Γijr0 k −

q P

r=1

···im Xji11···j Γl . r−1 ljr+1 ···jq j0 jr

  Beweis: ϕ : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T sei eine Karte bei x0 , x(t) = uj (∂j )x0 ∈ Tx0 M. Bzgl. der Basen (∂i )x(t) und (∂i )x0 hat Fx0 ,x(t) dann die Matrix δki + tΓijk (x0 )uj + o(t) und (Fx0 ,x(t) )−1T die Matrix δik − tΓkji (x0 )uj+ o(t). 
F¨ ur X ∈ Tqm (M ) gilt daher (Fx0 ,x(t) )m = q X x(t) h m
P i1 ···ir−1 kir+1 ···im ···im (x0 )Γijr0 k (x0 )uj0 − Xj1 ···jq = Xji11···j x(t) + t q r=1 i q P ···im j0 l −t Xji11···j (x )u + o(t) ∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂im ⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjq und es folgt (x )Γ 0 0 j0 jr r−1 ljr+1 ···jq r=1

die Koordinatendarstellung von ∇X. Insbesondere sehen wir daraus, dass ∇X C k−2 ist und nur von Γ = [F ] abh¨angt.  119

Notation: Wenn X ∈ Tqm (M ) und in einer Karte X =
···im i1 ···im i1 ···im ∇j0 Xji11···j := (∇X) , d.h. ∇X = ∇ X j 0 j0 ···jq j1 ···jq . q


···im , so setzt man Xji11···j q

Bsp.: 1) Wenn (M, Γ) Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, U ⊂ M offen, so l¨asst sich Γ auf U einschr¨anken. Speziell sei U −→ V eine Karte, 1 ≤ k ≤ n = dim M und ϕ

X = ∂k ∈ T 1 (U ), d.h. X = (δki ). Dann ist ∇j X i = (∇X)ij = X m Γijm = Γijk bzw. ausgeschrieben ∇∂k = Γijk ∂i ⊗ dxj . Ebenso ergibt sich ∇dxi = −Γijk dxj ⊗ dxk . 2) M ⊂ Rn sei eine Untermannigfaltigkeit mit Zusammenhang wie in S. 116, X ∈ T 1 (M ) (der Einfachheit halber), x 7−→ (ξ 1 , · · · , ξ p ) eine Karte auf M. F¨ ur x0 ∈ M kann man X(x) = X1 (x) + X2 (x) ∈ Rn schreiben mit X1 (x) ∈ Tx0 M und X2 (x) ⊥ Tx0 M, d.h.
∂ X1 (x) = Fx0 ,x X(x) . Wenn f¨ ur i = 1, · · · , p ∇i X := ∇i X j j ∈ Tx M, so ist ∂ξ
∂Fx0 ,x X(x) ∂X1 ∂X = ∇i X(x0 ) = (x0 ) = Projektion von (x0 ) in Tx0 M. i i ∂ξ ∂ξ ∂ξ i x=x0 2 1 (M ), m = m1 + m2 , q = q1 + q2 , so ist (M ), T ∈ Tqm 3) Wenn S ∈ Tqm 2 1 
0 ∇(S ⊗ T )(x0 ) x(t) = (Fx0 ,x(t) )m q S ⊗ T x(t) (0) = h
i0
m2 m1 = (Fx0 ,x(t) )q1 S x(t) ⊗ (Fx0 ,x(t) )q2 T x(t) (0) =     = ∇S(x0 ) x(t) ⊗ T (x0 ) + S(x0 ) ⊗ ∇T (x0 ) x(t) ∈ Tx0 M ⊗m ⊗ Tx∗0 M ⊗(q+1) oder kurz ∇(S ⊗ T ) = (∇S) ⊗ T + S ⊗ ∇T. Weiters ist ∇ mit der Verj¨ ungung vertauschbar (da auch (Fx0 ,x )m ungung q mit der Verj¨ 1 kommutiert) und daher z.B. f¨ ur X ∈ T (M ), Ω ∈ T1 (M ) : dhX, Ωi = ∇hX, Ωi = h∇X, Ωi + hX, ∇Ωi = (∇j X i · Ωi + X i · ∇j Ωi ) dxj , wovon man sich auch durch Ausrechnen u ¨berzeugen kann. k 4) F¨ ur f ∈ C (M ) ist ∇f = df (wenn man der Vollst¨andigkeit halber (Fx0 ,x )00 := idR definiert). F¨ ur Ω ∈ T1 (M )  = Ω1 (M ) gilt in einer Karte Ω = ωk dxk =⇒ dΩ = dωk ∧ dxk = ∂ωk j ∂ωk ∂ωj ∂ωk ∂ωj dx ∧ dxk = − k dxj ⊗ dxk , d.h. (dΩ)jk = − k. j j ∂x ∂x ∂x ∂xj ∂x ∂ωk Andererseits ist (∇Ω)jk = − ωi Γijk , d.h. (∇Ω)jk − (∇Ω)kj = ∂xj

 ∂ωk ∂ωj i i − − ω (Γ − Γ ) =⇒ dΩ = 2A(∇Ω) + T (Γ), Ω , wobei = i jk kj ∂xj ∂xk 1 P sign (σ) · σ(T ) (vgl. S. 45) und A : T2 (M ) −→ Ω2 (M ) : T 7−→ 2 σ∈S2 ur Ωq (M ) h , i : T21 (M ) × T1 (M ) −→ T2 (M ), vgl. S. 49. Zur entsprechenden Formel f¨ ¨ 8.1, S. 128. siehe Ub. Hilfssatz und Definition: (M, g) C k -RR, k ≥ 3. Dann gilt: 1) ∃!Γ ∈ Z(M ) : (i) T (Γ) = 0, d.h. Γ symmetrisch, 120

(ii) ∇g = 0, d.h. wenn Γ = [F ],
so ist Fx0 ,x f¨ u
r x bei x0 in 1. Ordnung ein Isomorphismus der IPR Tx M, g(x) , (Tx M, g(x0 ) . Dieses Γ heißt Levi-Civit` aZusammenhang oder Riemannscher Zusammenhang von (M, g). 2) F¨ ur Γ wie in 1) gilt: a) Γijk sind die Christoffel-Symbole von g; b) wenn U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T geod¨atische Normalkoordinaten bei x0 ∈ ¨ M sind, so ist Γ(x0 ) die Aquivalenzklasse des Tangentialtransportes bei x0 i T U −→ Tx0 M : (x, v ∂i ) 7−→ (x0 , v i ∂i ). |{z} |{z} ∈Tx M

∈Tx0 M

Beweis: ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T seien geod¨atische Normalkoordinaten bei c

x0 ∈ M, Γ bezeichne die Christoffel-Symbole. α) In x0 gilt ∀i, j, k (vgl. S. 102, 106): c ∂gik ∂gij ∂gjk Γijk = 0 =⇒ + k = =⇒ (i → j → k → i) j ∂x ∂x ∂xi ∂gki ∂gik ∂gjk ∂gij ∂gji ∂gjk + = =⇒ (Subtraktion) = =⇒ (x0 ) = 0. k i j j i ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xk Wenn also Γ ∈ Z(M ), so ist bzgl. ϕ in x0 : (∇g)j0 j1 j2 = −glj2 Γlj0 j1 − gj1 l Γlj0 j2 = −Γjj20 j1 − Γjj10 j2 .

Falls (∇g)(x0 ) = 0 und T (Γ)(x0 ) = 0, gilt also in x0 : ∀i, j, k : Γijk = −Γkji = −Γkij = +Γjik = −Γijk , d.h. Γijk = 0. Daher m¨ ussen die Koordinaten von Γ bzgl. ϕ in x0 verschwinden und gibt es h¨ochstens ein Γ ∈ Z(M ) mit T (Γ) = 0 und ∇g = 0. Falls Γ existiert, ist dann auch 2 b) erf¨ ullt. c

β) Es bleibt noch zu zeigen, dass die Christoffel-Symbole Γijk bzgl. g einen Zusammenhang definieren. Wenn [F ] der Zusammenhang bei x0 entsprechend 2 b) ist und somit 0 Γijk = 0 bzgl. ϕ, so gilt in einer anderen Karte ψ : x 7−→ (x1 , · · · , xn0 )T : 0

∂ 2 xl ∂xi = · (vgl. (∗), S. 117). ∂xj 0 ∂xk 0 ∂xl   0 0 0 c ∂g ∂g ∂g 1 0 mk jk mj − m0 nach S. 102. + Andererseits ist Γijk 0 = g im 2 ∂x ∂xj 0 ∂xk 0 ∂g rs Wegen grs (x0 ) = δrs , g rs (x0 ) = δ rs und (x0 ) = 0 (vgl. α)) gilt in x0 : t   ∂x   s 2 r 0 r P ∂gmk ∂ x ∂ 2 xr ∂xr ∂ ∂xr ∂x ∂x . = grs m0 = · + · ∂x ∂xk 0 ∂xj 0 ∂xj 0 ∂xj 0 ∂xm0 ∂xk 0 ∂xj 0 ∂xk 0 ∂xm0 r 0 Γijk

121

Das ergibt in x0 :  PP 2 r  c ∂ 2 xr ∂xr 1 im 0 P ∂xr ∂PxPP ∂xr ∂ 2 x r  i 0 P·P 0 +  + · Γjk = g · +  PjP 2  ∂xj 0 ∂xm0 ∂xk 0 ∂xj 0 ∂xk 0 ∂xm0 ∂xk 0 ∂xm0 ∂x r   PP 2 r  2 r 2 r r r r ∂ x  ∂ x ∂PP xP ∂x ∂x ∂x 0 · P − + k0 j 0 · − =  0 ·PP j 0 0 m0  j m0 k k m0 ∂x  ∂x ∂x ∂xP ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x 0 P ∂xi 0 ∂xm0 ∂ 2 xr ∂ 2 xl ∂xr ∂xi 0 · · = Γijk . = = · · 0 0 0 0 l l m0 l j k j k ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x r,l



Bsp.: 1) F¨ ur M ⊂ Rn Untermannigfaltigkeit wurde in S. 116 einnZusammenhang Γ  2 P i ∂x ∂ x , definiert. Es ergab sich Γijk = g il , wobei g die von dx ⊗ dxi auf M j k l ∂ξ ∂ξ ∂ξ i=1 induzierte Metrik ist. Dies zeigt, dass T (Γ) = 0. Eine a hnliche Rechnung wie oben w¨ urde ¨   c ∂g ∂g ∂g 1 kl jk jl + j − ist, d.h. dass Γ der Levi-Civit`azeigen, dass Γijk gleich Γijk = g il 2 ∂ξ k ∂ξ ∂ξ l Zusammenhang zu g ist. Es folgt dies auch aus ∇g = 0, was man so sieht: F¨ ur v, w ∈ Tx0 M ist Fx−1 (v) = v1 , wenn v = v1 + v2 , v1 ∈ Tx M, v2 ⊥ Tx0 M 0 ,x −1 und ¨ahnlich Fx0 ,x (w)
= w1 und daher
g(x0 )(v, w) = hv, wi = hv1 , w1 i − hv2 , w2 i = 2 −1 (da v2 , w2 → 0 f¨ ur x → x0 ), d.h. (w) + O |x − x | (v), F g(x) Fx−1 0 x0 ,x 0 ,x
T −1 ⊗2 2 (Fx0 ,x ) g(x) = g(x0 ) + O |x − x0 | , ∇g(x0 ) = 0.

2) Z.B. f¨ ur M = S2 k¨onnen wir nach 1) Γ auch aus der Formel f¨ ur die Christoffel-Symbole ∂g ϕϕ = 2 sin ϑ cos ϑ 6= 0 =⇒ Γϑϑϑ = berechnen. gϑϑ = 1, gϑϕ = 0, gϕϕ = sin2 ϑ =⇒ nur ∂ϑ 1 1 1 Γϕϑϑ = Γϑϑϕ = Γϕϕϕ = 0, Γϕϑϕ = · 2 sin ϑ cos ϑ = cot ϑ, Γϑϕϕ = − 2 sin ϑ cos ϑ = 2 2 sin ϑ 2 − sin ϑ cos ϑ. Notation: Entsprechend Definition und Hilfssatz in S. 49 gilt  m Tq+1 (M ) ' T 1 (M ) −→ Tqm (M )
C k−1 (M ) - linear U 7−→ X 7−→ hX, U i

···im m bzw. in Koordinaten Uji01···j 7−→ (X i ) 7−→ (X l Ulji11···i ur U = ∇Y, Y ∈ ···jq ) . Speziell f¨ q ···im m ). Tq (M ) schreibt man ∇X Y := hX, ∇Y i. In Koordinaten ist also ∇X Y = (X l ∇l Yji11···j q Man kann ∇X als Richtungsableitung in Richtung des Vektorfeldes X bezeichnen. Im C ∞ -Fall ist also ∇ : T 1 (M ) × Tqm (M ) −→ Tqm (M ) : (X, Y ) 7−→ ∇X Y. Bsp.: Bei Einschr¨ankung von Γ auf ein Kartengebiet (vgl. Bsp. 1, S. 120) gilt: ∇∂j ∂k = h∂j , ∇∂k i = h∂j , Γilk ∂i ⊗ dxl i = Γijk ∂i . Beachte, dass ∇i X in Bsp. 2, S. 120 eigentlich ∇∂/∂ξi X ist. 122

Satz (Koszul 1950) M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 2. Dann gilt:  1 Z(M ) ' ∇ : T (M ) × T 1 (M ) −→ T 1 (M C k−1 -Mannigfaltigkeit) R-bilinear: ∀f ∈ C k−1 (M ), ∀X, Y ∈ T 1 (M ) : (i) ∇f X Y = f ∇X Y (ii) ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X(f )Y . Beweis: 1) Es seien Γ ∈ Z(M ), ∇ wie in der Notation, f ∈ C k−1 (M ), X, Y ∈ T 1 (M ). Dann gilt in einer Karte:     i   i ∂Y k i k i j j ∂Y + Y Γjk ∂i ⊗ dx = X + Y Γjk ∂i ∇X Y = hX, ∇Y i = X, ∂xj ∂xj

∂f ∂i = f ∇x Y + X(f )Y. ∂xj 1 1 1 2) Umgekehrt sei ∇ : T (M ) × T (M ) −→ T (M ) wie im Satz gegeben. Wenn X oder Y in einer Umgebung von x0 ∈ M verschwinden, so auch ∇X Y, denn f¨ ur f ∈ C k−1 (M ), f = 2 bei x0 und f = 0 auf supp X bzw. supp Y ist ∇X Y = ∇(1−f )X Y = (1−f )∇X Y bzw. ∇X Y = ∇X (1−f )Y = (1−f )∇X Y +X(1−f )·∇X Y =⇒ ∇X Y (x0 ) = −∇X Y (x0 ) (da X(1 − f )(x0 ) = 0) =⇒ ∇X Y (x0 ) = 0. Daher kann man f¨ ur U ⊂ M offen
∇ U : T 1 (U ) × T 1 (U ) −→ T 1 (U C k−1 -M.) : (X, Y ) 7−→ x0 7−→ ∇X1 Y1 (x0 ) und daher ∇f X Y = f ∇X Y und ∇X (f Y ) = f ∇X Y + X j Y i

definieren, wobei X1 , Y1 ∈ T 1 (M ) mit X1 = X bei x0 , Y1 = Y bei x0 . Dann werde Γijk in einer Karte durch ∇∂j ∂k = Γijk ∂i bestimmt (vgl. Bsp. in S. 122). Es folgt  l  ∂x ∂ 2 xl ∂xl 0 i 0 0 Γjk ∂i = ∇∂j0 ∂k = ∇∂j0 = ∂ ∂ + ∇ ∂ 0 (∂l ) = l l j ∂xk 0 ∂xj 0 ∂xk 0 ∂xk 0 |{z} r = ∂x 0 ∂r ∂xj

 0 l i0 r ∂ 2 xl ∂xi ∂ 2 xl ∂xl ∂xr m m ∂x ∂x ∂x + ∂i0 , d.h. = ∂l + k 0 Γ ∂m = Γrl ∂xj 0 ∂xk 0 ∂x ∂xj 0 rl ∂xk 0 ∂xj 0 ∂xm ∂xj 0 ∂xk 0 ∂xl Γ erf¨ ullt (∗) in S. 117 und liefert also einen Zusammenhang, vgl. S. 118.



Bsp.: 1)  (M, Γ) C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang. Dann l¨asst sich T (Γ) ∈ T21 (M ) ' T : T 1 (M ) × T 1 (M ) −→ T 1 (M ) C k−1 (M )-bilinear (vgl. S. 49) koordinatenfrei durch T (Γ)(X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] ∈ T 1 (M ), X, Y ∈ T 1 (M ), darstellen, denn in Koordinaten ist T (Γ)(X j ∂j , Y k ∂k ) = X j Y k (Γijk − Γikj )∂i und ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ] = X j ∇∂j (Y k ∂k ) − Y k ∇∂k (X j ∂j ) − [X, Y ] = = X j Y k (∇∂j ∂k − ∇∂k ∂j ) + X j ∂j (Y k )∂k − Y k ∂k (X j )∂j − [X, Y ] = X j Y k (Γijk − Γikj )∂i . | {z } 0

2) Wenn speziell T (Γ) = 0 (z.B. Riemannscher Zusammenhang), so gilt 123

[X, Y ] = ∇X Y − ∇Y X, d.h. ∇X Y − ∇Y X ist unabh¨angig von der Wahl des symmetrischen Zusammenhangs Γ (bzw. der Riemannschen Metrik g). Im Allgemeinen ist der s

symmetrische Anteil Γ von Γ (vgl. S. 118) gegeben durch s

∇ : (X, Y ) 7−→ ∇X Y −


1 1 T (Γ)(X, Y ) = ∇X Y + ∇Y X + [X, Y ] . 2 2

Bemerkung: Die Definition des Zusammenhangs in S. 115 entspricht der des Tangentialvektors bzw. Vektorfeldes, der Satz von Koszul entspricht der Darstellung von Vektorfeldern als Derivationen, vgl. S. 25. Das Analogon der Integralkurven bzw. Fl¨ usse sind Geod¨aten bzw. Paralleltransport. Definition und Hilfssatz: M C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang Γ = [F ], k ≥ 3, C : I −→ M : t 7−→ x(t) sei eine C 2 -Kurve. 1) F¨ ur t0 ∈ I sei x¨Γ (t0 ) := x¨F (t0 ), vgl. S. 115. 2) C heißt Geod¨ate (bzgl. Γ) :⇐⇒ ∀t ∈ I : x¨Γ (t) = 0 ⇐⇒ (in Koordinaten)
∀t ∈ I, ∀i : x¨i (t) + Γijk x(t) x˙ j (t)x˙ k (t) = 0.

3) Es gilt alles analog zum Hilfssatz in S. 105. Speziell: ∀x0 ∈ M : ∃0 ∈ W ⊂ Tx0 M offen, ∃x0 ∈ U ⊂ M offen und expx0 : W −→ U : v − 7 → xv (1) ist ein C k−2 Diffeomorphismus und heißt Exponentialabbildung. 4) Es sei I = [a, b], x0 := x(a), x1 := x(b) und TC : Tx0 M −→ Tx1 M : v(a)
7−→ v(b),
dFx(t0 ),x(t) v(t) wobei I −→ T M : t 7−→ x(t), v(t) erf¨ ullt: ∀a ≤ t0 ≤ b : (t0 ) = 0 dt
j k i i bzw. in Koordinaten ∀i : v˙ (t0 ) + Γjk x(t0 ) x˙ (t0 )v (t0 ) = 0. TC heißt Paralleltransport entlang C und ist ein Vektorraum-Isomorphismus. Beweis: 3) wird analog zum Beweis
in S. 105,h 106 gezeigt. i
dFx(t0 ),x(t) v(t) d i ak x(t0 ), x(t) v k (t) (t0 )(∂i )x(t0 ) = 4) In einer Karte ist (t0 ) = dt h i
j dtk i i = v˙ (t0 ) + Γjk x(t0 ) x˙ (t0 )v (t0 ) ∂i ∈ Tx(t0 ) M. Daher erf¨ ullen (v 1 , · · · , v n )(t) in einer Karte ein lineares Differentialgleichungssystem, das eine eindeutige, im gesamten Kartengebiet existierende L¨osung hat. (Wegen der Linearit¨at des Differentialgleichungs¨ systems ist kein “blow-up” (S. 110) m¨oglich.) Durch Uberdeckung der Kurve C mit endlich vielen Kartengebieten folgt die Aussage.  m ⊗m m Bemerkungen: 1) Ebenso kann man TC ⊗ Tx∗0 M ⊗q −→ Tq,x M m,q : Tq,x0 M = Tx0 M 1 C C⊗m CT −1⊗q definieren und erh¨alt Tm,q = T ⊗T . 2) Wenn F C 2 , C fest, a < α < b, Cα := C [a,α] , so gilt in einer Karte f¨ ur α & a

124

2 (beachte, dass v(t) h nach SLLD S. 105 C ist):
i
TCα v i (∂i )x0 = v i + (α − a)v˙ i + O (α − a)2 ∂i = h
i i i j k 2 = v − (α − a)Γjk x˙ (a)v + O (α − a) ∂i ∈ Tx(α) M
h
i

und Fx(α),x0 v i (∂i )x0 = v i + Γijk x(α) xj0 − x(α)j v k + O (α − a)2 ∂i = h
i = v i − (α − a)Γijk x˙ j (a)v k + O (α − a)2 ∂i ∈ Tx(α) M.
ur α & a. Somit ist TCα = Fx(α),x0 + O (α − a)2 f¨

Bsp.: 1) Wenn C
: t 7−→ x(t) eine C 2 -Kurve ist und X ∈ T 1 (M ) mit ∀t : x(t) ˙ = X x(t) , d.h. C eine Integralkurve zu X, so gilt f¨ ur t ∈ I :

 
j
∂X i k i j ∇X X x(t) = x˙ (t) j x(t) + Γjk x(t) x˙ (t)x˙ (t) ∂i = x¨Γ (t). ∂x


Daher schreibt man auch manchmal ∇x˙ x˙
f¨ ur x¨Γ . Geod¨aten erf¨ ullen in dieser Schreibwei1 se ∇x˙ x˙ = 0. Ebenso, wenn v(t) = V x(t) , V ∈ T (M ), so gilt beim Paralleltransport
in 4) ∇X V x(t) = 0.

2) F¨ ur einen Riemannschen Zusammenhang stimmen die Geod¨aten der Metrik mit denen des Zusammenhangs u ¨berein (vgl. S. 102). (Physikalisch bedeutet das: Die Bahnlinien unter kr¨aftefreier Bewegung sind lokal nach der Bogenl¨ange parametrisierte Minimallinien.) Weiters ist TC dann orthogonal, denn wenn X, V1 , V2 wie in 1) zu x(t), v1 (t), v2 (t), so ist D
E

X, d g(V1 , V2 ) = ∇X g(V1 , V2 ) = Verj¨ ungung X ⊗ ∇(V1 ⊗ V2 ⊗ g) = 0 auf C, vgl.

d S. 120 Bsp. 3), 4) und S. 121 1), (ii), und daher g x(t) v1 (t), v2 (t) = 0. dt

3) Auf einem Vektorraum V mit Standardzusammenhang ist TC : Tx0 V ' V ' Tx1 V nur von den Endpunkten von C abh¨angig. Im Allgemeinen  istdies nicht so (n¨aheres ϑ(t) s. § 9). Auf S2 z.B. gilt in Kugelkoordinaten, wenn x(t) = und v = v ϑ ∂ϑ + v ϕ ∂ϕ ϕ(t) (vgl. S. 122, Bsp. 2): v˙ ϑ = sin ϑ cos ϑ ϕ˙ v ϕ ,

v˙ ϕ = − cot ϑ(ϕ˙ v ϑ + ϑ˙ v ϕ ),

wenn v entlang x(t) parallel verschoben wird. Speziell, wenn C der Kreis ϑ = c ∈ (0, π), ϕ(t) = t um die x3 -Achse ist: v˙ ϑ = sin c cos c v ϕ ,

v˙ ϕ = − cot c v ϑ ,

v¨ϑ = − cos2 c v ϑ , 125

v¨ϕ = − cos2 c v ϕ =⇒



v ϑ (t) v ϕ (t)



=



cos(t cos c) sin c sin(t cos c) c) − sin(tsincos cos(t cos c) c



v ϑ (0) v ϕ (0)



Wenn C : [0, a] −→ S2 , so ist x0 = (sin c, 0, cos c)T , x1 = (cos a sin c, sin a sin c, cos c)T und TC : Tx0 S2 −→ Tx1 S2 hat bzgl. der Basen ∂ϑ , ∂ϕ die Matrix

  cos(a cos c) sin c sin(a cos c) 1 . In den ONB ∂ϑ , ∂ϕ hat TC die Matrix sin(a cos c) − sin c cos(a cos c) sin c   cos(a cos c) sin(a cos c) und ist also eine Drehung um den Winkel a cos c. − sin(a cos c) cos(a cos c) Tx0 S2 bzw. Tx1 S2

Speziell f¨ ur a = 2π erhalten wir TC 6= id, obwohl x0 = x1 . Dies h¨angt mit der Kr¨ ummung der Kugel zusammen, vgl. § 9. Schließlich sollen noch Zusammenh¨ange auf Liegruppen untersucht werden. Definition und Hilfssatz: G Liegruppe mit Einselement I. 1) a) Γ ∈ Z(G) heißt linksinvariant :⇐⇒ ∀X, Y ∈ T 1 (G), ∀x ∈ G : ∇lx (X) lx (Y ) = lx (∇X Y ) ∈ T 1 (G).  b) Zl (G) := Γ ∈ Z(G) linksinvariant . ∼

2) L : TI G −→ Tl 1 (G) sei wie in S. 34. Dann ist 1 α : Zl (G) −→ {f : TI G × TI G −→ TI G bilinear} ' T2,I G
Γ 7−→ αΓ : (v, w) 7−→ ∇L(v) L(w)(I)

bijektiv. Wenn ∀v ∈ TI G : αΓ (v, v) = 0, so sind die Geod¨aten von Γ durch t 7−→ x · Exp (vt), x ∈ G, v ∈ TI G gegeben und speziell ist expI = Exp.

126

Beweis: a) Da ∇ R-bilinear ist, ist α wohldefiniert. b) α injektiv: Wenn e1 , · · · , en eine Basis in TI G ist und Xi := L(ei ) ∈ Tl 1 (G), so ist X1 , · · · , Xn eine Basis von T 1 (G) u ¨ber C ∞ (G) (vgl. S. 36) =⇒ i j 1 ∀X = f Xi , Y = g Xj ∈ T (G) : ∇X (Y ) = f i Xi (g j )Yj + f i gj ∇
Xi Xj . Da Γ ∈ Zl (G), ist ∇Xi Xj ∈ Tl 1 (G) =⇒ ∇Xi Xj = L αΓ (ei , ej ) =⇒ ∇X Y und damit Γ sind durch αΓ bereits festgelegt. c) α surjektiv:
F¨ ur β ∈ TI G ⊗ TI∗ G⊗2 und X, Y wie oben sei ∇X Y = X(g j )Yj + f i gj L β(ei , ej ) . Dies erf¨ ullt (i), (ii) im Satz von Koszul in S. 122 und definiert daher einen Zusammenhang Γ ∈ Z(G). Offenbar ist Γ ∈ Zl (G) und β = αΓ . d) Wenn ∀v ∈ TI G : αΓ (v, v) = 0, so folgt ∀v ∈ TI G : ∇L(v) L(v) = 0. Eine Integralkurve von L(v) ist dann eine Geod¨ate von Γ (vgl. Bsp. 1, S. 125). Nach S. 109 4) und S. 110 sind die Integralkurven von L(v), v ∈ TI G, durch t 7−→ x Exp (vt), x ∈ G, gegeben und daher folgt die Aussage daraus, dass Geod¨aten x(t) durch x(0), x(0) ˙ eindeutig bestimmt sind.  Bsp.:   Es sei G = Gln (R). Wir wollen Γ ∈ Zl (G) mit αΓ = 0 bestimmen. ∂ ' (δri δjs )ij , 1 ≤ r, s ≤ n, bilden eine Basis in TI Gln (R) ' gln (R). ∂ars I   ∂ sind (vgl. S. 35): Die zugeh¨origen linksinvarianten Vektorfelder X(s) := L r ∂ars
X(s) : G −→ T G : A 7−→ A, A · (δri δjs ) . r | {z } =(air δjs )∈TA G'gln (R)

∂ i l ' (δm δj ) ∈ TA G ' gln (R) und daher m ∂al ( i1 ) = (A−1 )rm X(s) =⇒ Γ ji21 k1 = (j2 )(k2 ) r

Andererseits ist in der Karte id : A 7−→ (aij ) :

∂ ∂ und X(s) (A) = am r m m r ∂as ∂as  ∂ = ∇∂/∂aj1 k1 , daii12 = (wegen ∇X s X(s00 ) = 0) j2 ∂a (r ) r k2

∂ ∂ = j1 (A−1 )rk1 hX(k2 ) , daii12 i = j1 (A−1 )rk1 · air1 δik22 . r ∂aj2 ∂aj2
∂ −1 r −1 r −1 j2 Wegen dA−1 = −A−1 · dA · A−1 gilt j1 (A )k1 = −(A )j1 (A )k1 ∂aj2 ( i1 ) =⇒ Γ ji21 k1 = −δji11 δik22 (A−1 )jk21 . (j2 )(k2 ) ( i1 ) ˙ −1 A. ˙ Das liefert (A¨Γ )ii12 = a ¨ii12 + Γ ji21 k1 a˙ jj12 a˙ kk12 = a ¨ii12 − a˙ ij12 a˙ ki21 (A−1 )jk21 d.h. A¨Γ = A¨ − AA (j2 )(k2 ) ˙ −1 A˙ erf¨ Geod¨aten m¨ ussen A¨ = AA ullen und das ist f¨ ur die Kurven t 7−→ A · eB·t der Fall. (Aufgrund der eindeutigen Festlegung der L¨osungen durch Anfangswert und Geschwindigkeit sind es die einzigen.) 127

¨ Ubungen ¨ 8.1 (M, Γ) C ∞ -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, Ω ∈ Ωq (M ), Ub. P 1 A : Tq+1 (M ) −→ Ωq+1 (M ) : T 7−→ sign (σ)σ(T ) (vgl. S. 45), (q + 1)! σ∈Sq+1
h , i : T21 (M ) × Tq (M ) −→ Tq+1 (M ) : (sij0 j1 ), (tj1 ···jq ) 7−→ (sij0 j1 tij2 ···jq ).





A T (Γ), Ω . Zeige, dass dΩ = (q + 1)A(∇Ω) + q+1 2 Hinweis: Verwende, dass in Koordinaten  gilt  q ∂ωj0 ···jbi ···jq P ∂ωjσ(1)···jσ(q) 1 P i (dΩ)j0 ···jq = = (−1) vgl. S. 72. sign(σ) q! σ∈Sq+1 ∂xjσ(0) ∂xji i=0

¨ 8.2 G sei eine Liegruppe. Ub.

1 a) Zeige, dass T (Γ) ∈ T2,l (G), wenn Γ ∈ Zl (G).

b) Zeige, dass das folgende Diagramm kommutiert: 1 Zl (G) −→ T2,l (G) : Γ 7−→ T (Γ) S. 126 o S. 51 o

1 1 T2,I (G) −→ T2,I (G) : α 7−→ (v, w) 7→ α(v, w) − α(w, v) − [v, w]

c) Folgere unter Beachtung von S. 124 oben, dass auch Zl (G) −→ S. 126 o

s




Zl (G) : Γ 7−→ Γ S. 126 o 
 1 1 1 T2,I (G) −→ T2,I (G) : α 7−→ (v, w) 7→ α(v, w) + α(w, v) + [v, w] 2 kommutiert. ¨ 8.3 Ub.

a) (M, g) sei ein C ∞ -RR. Zeige, dass der Levi-Civit`a-Zusammenhang von g f¨ ur n

1 X g(Y, Z) + Y g(X, Z) − X, Y, Z ∈ T 1 (M ) die Gleichung g(∇X Y, Z) = 2



o Z g(X, Y ) − g X, [Y, Z] − g Y, [X, Z] + g Z, [X, Y ] ∈ C ∞ (M ) erf¨ ullt.
Hinweis: Verwende X g(Y, Z) = g(∇X Y, Z) + g(Y, ∇X Z), vgl. S. 125 und ∇X Z = ∇Z X + [X, Z], vgl. S. 123, Bsp. 2.

b) G sei eine Liegruppe mit linksinvarianter Metrik g und es werde h , i f¨ ur das Skalarprodukt g(I) auf TI G geschrieben. Γ sei der Levi-Civit`a-Zusammenhang von g und αΓ wie in S. 126. Zeige, dass f¨ ur u, v, w ∈ TI G gilt: 



o

 1 n

[u, v], w − [v, w], u + [w, u], v αΓ (u, v), w = 2 128

c) Es sei speziell G = Gln (R) mit g(A0 ) =

P i,j

T

−1 i i d(A−1 0 A)j ⊗ d(A0 A)j , vgl. S. 88,

d.h. hB, Ci = g(I)(B, C) = tr (BC ). Bestimme mittels b) αΓ (B, C) f¨ ur B, C ∈ gln (R).

(ii12 ) f¨ ur die Metrik in c) und u ufe die Geod¨atengleichung ¨berpr¨ (jj12 )(kk12 ) ¨ 7.3 a), S. 112. in Ub.

d) Berechne Γ

¨ 8.4 Ub.

a) Berechne die Christoffelsymbole in Kugelkoordinaten am R3 mittels der Transformationsformel (∗) in S. 117. ¨ b) Uberpr¨ ufe, dass sich dasselbe (und schneller) ergibt, wenn man die Differentialgleichung der Geod¨aten als Eulersche Differentialgleichung der Lagrangefunktion L(x, x) ˙ = g(x)(x, ˙ x) ˙ = r˙ 2 + r2 ϑ˙ 2 + r2 sin2 ϑ ϕ˙ 2 aufstellt.

¨ 8.5 G sei eine Liegruppe, α wie in S. 126. Ub.
−1 a) Es sei F : G × T G −→ T G : x0 , (x, v) 7−→ (x0 , T lx0 x v) und Γ0 := [F ] ∈ Z(G). Zeige, dass Γ0 ∈ Zl (G) und αΓ0 = 0.

b) Es sei C : [a, b] −→ G : t 7−→ x(t) C 2 . Zeige, dass TC = Fx(b),x(a) = −1 T lx(b)x(a) : Tx(a) G −→ Tx(b) G und insbesondere nur von den Endpunkten von C abh¨angt. c) Nun sei Γ ∈ Zl (G) und C : [a, b] −→ G : t 7−→ x(t) eine Geod¨ate mit x(a) = I, x(a) ˙ =: v ∈ TI G und β := αΓ (v, −) ∈ glR (TI G). Zeige, dass TC = T lx(b) ◦ e−bβ : TI G −→ Tx(b) G.

d) Speziell sei G = Gln (R) und Γ0 wie in a).
d ˙ FA(t0 ),A(t) A(t) (t0 ) (vgl. S. 115), dass Zeige mittels A¨Γ0 (t0 ) = dt ˙ −1 A˙ (vgl. S. 127). A¨Γ0 = A¨ − AA

129

§9

Der Kru ¨ mmungstensor

In Analogie zu den Isometrien, welche als Isomorphismen Riemannscher R¨aume eingef¨ uhrt wurden (vgl. S. 99), definiert man: Def.: 1) (Mi , Γi ), i = 1, 2, C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang. f : M1 −→ M2 heißt affine Transformation :⇐⇒ (i) f C k -Diffeomorphismus (ii) ∀X, Y ∈ T 1 (M1 ) : ∇f (X) f (Y ) = f (∇X Y ) ∈ T 1 (M2 ). (Zur Definition von f (X) siehe S. 35, 50). 2) M, [A], Γ) C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang heißt flach :⇐⇒ ∀x ∈ M : ∃ϕ ∈ Amax : ϕ : (U, Γ U ) −→ (V, Γ1 V ) ist eine affine Transformation, wenn Γ1 der Standardzusammenhang auf Rn ist.

Bsp.: 1) Wenn Γ ∈ Zl (G), G Liegruppe, und x ∈ G, so ist l x : G −→ G eine affine Transformation. 2) Wenn f : (M1 , g1 ) −→ (M2 , g2 ) eine Isometrie ist, so ist f auch eine affine Transformation der Riemannschen Zusammenh¨ange, da ∇ durch Γ und Γ durch g bestimmt sind. (Genau: Wenn ϕ : U2 −→ V2 eine Karte auf M2 ist, so ist ϕ ◦ f eine auf M1 und in 2
1
den entsprechenden Koordinaten ist g2,ij f (x) = g1,ij (x) =⇒ Γijk f (x) = Γijk (x) =⇒ 2

1

∇f (X) f (Y ) = f (∇X Y ).) 3) In einem Vektorraum V = M ist der Standardzusammenhang durch F : V × T V −→
T V : x0 , (x, v) 7−→ (x0 , v) gegeben (vgl. S. 116, Bsp. 1). V ist flach und es gilt ∂2 Fx0 ,x1 ◦ Fx1 ,x2 = Fx0 ,x2 und daher verschwindet auch RC := [Fx0 ,x(0,t) ◦ Fx(0,t),x(s,t) ◦ ∂s∂t M : (s, t) 7−→ x(s, t) ein parametriFx(s,t),x(s,0) ◦Fx(s,0),x0 ](0, 0), wenn C : [0, 1]×[0, 1] −→ 2 C

siertes Fl¨achenst¨ uck ist und x0 := x(0, 0). RC kann als Tangentialtransport entlang des ∂x ∂x idealisierten“ Parallelogramms mit den Kanten (0, 0), (0, 0) ∈ Tx0 M aufgefasst ” ∂s ∂t werden. Definition und Hilfssatz: (M, Γ) C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, k ≥ 4, Γ = [F ]. 1) C, RC seien wie oben. Dann h¨angt RC ∈ HomR (Tx0 M, Tx0 M ) nur von Γ, ∂x ∂x v := (0, 0) und w := (0, 0) ab und heißt ∂t ∂s Kr¨ ummung von Γ in v, w-Richtung =: Rv,w .

130

2) Tx0 M × Tx0 M −→ HomR (Tx0 M, Tx0 M ) :
(v, w) 7−→ Rv,w ist bilinear und daher R(x0 ) := (v ∗ , u, v, w) 7→ hv ∗ , Rv,w ui ∈ Mul(Tx∗0 M, Tx0 M, Tx0 M, Tx0 M ) = 1 Tx0 M ⊗ Tx∗0 M ⊗3 = T3,x M. 0 1 R(Γ) = R : M −→ T3 M ist C k−3 , d.h. R ∈ T31 (M C k−2 −Mannigfaltigkeit) und heißt Kr¨ ummungstensor. In Koordinaten gilt a Rbcd =

∂Γadb ∂Γacb − + Γace Γedb − Γade Γecb ∂xc ∂xd

a a Speziell ist Rbcd = −Rbdc , d.h. R ist in den hinteren zwei Indices antisymmetrisch.

3) Wenn f : (M1 , Γ1 ) −→ (M2 , Γ2 ) affin ist, so ist f (R1 ) = R2 . Beweis: F¨ ur y → x ∈ M gilt in einer Karte, s. S. 115: 
 Fx,y : Ty M −→ Tx M : ui ∂i 7−→ ui + Γijk (x)(y j − xj )uk + O |y − x|2 ∂i und daher f¨ ur s & 0 :


  Fx(s,0),x0 (ui ∂i ) = ui − sΓijk x(s, 0) wj uk + O(s2 ) ∂i . " #   2 j
∂ x Ebenso ist Fx(s,t),x(s,0) (z i ∂i ) = z i −tΓijk x(s, t) v j +s (0, 0) z k +O(s2 )+O(t2 ) ∂i ∂s∂t i und  daher Fx(s,t),x(s,0) ◦ Fx(s,0),x0 (u ∂i )



= ui − sΓijk x(s, 0) wj uk −tΓijk x(s, t) v j uk + stΓijk x(s, t) Γklm x(s, 0) v j wl um − | {z } zi 
∂ 2 xj i k 2 2 −stΓjk x(s, t) (0, 0)u + O(s ) + O(t ) ∂i . ∂s∂t " #   2 j
∂ x Aus Fx(0,t),x(s,t) (y i ∂i ) = y i +sΓijk x(0, t) wj +t (0, 0) y k +O(s2 )+O(t2 ) ∂i folgt ∂s∂t dann: ◦ Fx(s,t),x(s,0) ◦ Fx(s,0),x0 (ui ∂i ) = h A := Fx(0,t),x(s,t)



= ui − sΓijk x(s, 0) wj uk − tΓijk x(s, t) v j uk + stΓijk x(s, t) Γklm x(s, 0) v j wl um i


+sΓijk x(0, t) wj uk − stΓijk x(0, t) Γklm x(s, t) wj v l um + O(s2 ) + O(t2 ) ∂i .
Wegen sΓijk x(s, 0) = sΓijk (x0 ) + O(s2 ) ist

∂Γijk sΓijk x(0, t) − sΓijk x(s, 0) = st (x0 )v l + O(s2 ) + O(t2 ) und analog ∂xl
∂Γijk tΓijk x(s, t) = tΓijk (x0 ) + st (x0 )wl + O(s2 ) + O(t2 ). l ∂x "  i ∂Γjk i i j k (x0 )(wj uk v l − v j uk wl )+ Also: A = u − tΓjk (x0 )v u + st ∂xl 131

#



+Γijk (x0 )Γklm (x0 )(v j wl um − wj v l um ) + O(s2 ) + O(t2 ) ∂i .   Schließlich liefert Fx0 ,x(0,t) (ξ i ∂i ) = ξ i + tΓijk (x0 )v j ξ k + O(t2 ) ∂i , dass Fx0 ,x(0,t) A = ui ∂i +   a ∂Γacb ∂ a e a e 2 2 b c d ∂Γdb − + Γce Γdb − Γde Γcb . stRC (u) + O(s ) + O(t ), wobei RC (u) = u v w c d ∂x ∂x ∂xa a Daraus folgen 1) und 2). Wenn f affin ist, bleiben Γijk und damit Rbcd erhalten.  Der Kr¨ ummungstensor kann auch (weniger anschaulich) mittels der kovarianten Ableitung definiert werden (vgl. S. 123 f¨ ur T (Γ)): Hilfssatz: (M, Γ) C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, k ≥ 4. Dann gilt f¨ ur R(Γ) ∈ T31 (M C k−2 -Mannigfaltigkeit)' (s. S. 49)  ' T : T 1 (M ) × T 1 (M ) × T 1 (M ) −→ T 1 (M C k−2 ) : T C k−1 (M )-trilinear : ∀X, Y, Z ∈ T 1 (M ) : R(Γ)(X, Y, Z) = ∇Y (∇Z X) − ∇Z (∇Y X) − ∇[Y,Z] X. Beweis: Beide Seiten der Gleichung h¨angen f¨ ur x0 ∈ M nur von den Werten von X, Y, Z auf einer Umgebung von x0 ab. In Koordinaten ist: ∇∂c (∇∂d ∂b ) − ∇∂d (∇∂c ∂b ) − ∇[∂c ,∂d ] ∂b = ∇∂c (Γadb ∂a )− ∇∂d (Γacb ∂a ) =  ∂Γadb ∂Γacb a e a e = − + Γce Γdb − Γde Γcb ∂a . ∂xc ∂xd Wenn wir noch zeigen, dass T (X, Y, Z) := ∇Y (∇Z X) − ∇Z (∇Y X) − ∇[Y,Z] X C k−1 (M )-trilinear ist, sind wir fertig. Wegen ∇f Y (∇Z X) = f ∇Y (∇Z X), ∇Z (∇f Y X) = f ∇Z (∇Y X) + Z(f )∇Y X und ∇[f Y,Z] X = ∇f [Y,Z]−Z(f )Y X = f ∇[Y,Z] X − Z(f )∇Y X ist T in Y C k−1 (M )-linear. Aus Symmetriegr¨ unden ist T auch in Z C k−1 (M )-linear. Schließlich ist

∇Y (∇Z f X) = ∇Y Z(f )X +f ∇Z X = f ∇Y ∇Z X +Y (f )∇Z X +Z(f )∇Y X +Y Z(f ) X und daher T (f X, Y, Z) = f T (X, Y, Z).



1 Bsp.: G sei eine Liegruppe und Γ ∈ Zl (G) mit α = αΓ ∈ T2,I (G) wie in S. 126. Dann 1 1 ist R(Γ) ∈ T3,l (G) nach 3) in S. 131. Es gen¨ ugt also R(Γ)(I) ∈ T3,I (G) zu bestimmen. F¨ ur u, v, w ∈ TI G gilt:
R(Γ)(I)(u, v, w) = R(Γ) L(u), L(v), L(w) (I) =
= ∇L(v) ∇L(w) L(u)
− ∇L(w) ∇L(v) L(u)
− ∇[L(v),L(w)] L(u)
(I) = ∇L(v) L α(w, L(u) (I)
u) − ∇L(w) L
α(v, u) − ∇L([v,w])
= α v, α(w, u) − α w, α(v, u) − α [v, w], u ∈ TI G.

132

Nun k¨onnen wir auch die flachen R¨aume charakterisieren: Satz (M, Γ) C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, k ≥ 4. Dann gilt: M flach ⇐⇒ T (Γ) = 0 und R(Γ) = 0. Beweis: “ =⇒” folgt daraus, dass der Standardzusammenhang eines Vektorraums verschwindende Torsion und Kr¨ ummung hat. “ ⇐=” a) Es sei x0 ∈ M, ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T geod¨atische Normalkoordinaten bei x0 , X := xk ∂k ∈ T 1 (U ). Dann ist ∇X X = xj ∇∂j (xk ∂k ) = xj ∂j +xj xk Γijk (x)∂i ; nach S. 106 c) ist ∀i : ∀x ∈ U : xj xk Γijk (x) = 0 und daher ∇X X = X. b) Wegen R(Γ) = 0 gilt (vgl. S. 132): ∇X ∇∂j X − ∇∂j ∇X X = ∇[X,∂j ] X; [X, ∂j ] = −∂j (xk )∂k = −∂j =⇒ ∇X (∇∂j X) = ∇∂j X − ∇∂j X = 0. ∇∂j X = ∇∂j (xk ∂k ) = ∂j + xk Γijk ∂i k i k k i l =⇒ 0 = ∇ Γjk )∂i + xk Γm jk x ∇∂l ∂m   X (∂kj +i x Γjkk∂i )i = x k∇∂mk ∂jl +i X(x = X(x Γjk ) + x Γkj + x Γjk x Γlm ∂i .

Wegen T (Γ) = 0 ist fji := xk Γijk = xk Γikj ∈ C k−2 (U ) i m =⇒ ∀i, j : X(fji ) = −fji − fm fj .
n F¨ ur v ∈ R sei x(t) die Geod¨ate mit xk (t) = v k · t und aij (t) := tfji x(t) . Dann ist a˙ ij =





∂fji 1 i x(t) fjm x(t) = − 2 aim am tv k k x(t) + fji x(t) = X(fji ) x(t) + fji x(t) = −fm j , ∂x t
1 d.h. f¨ ur A(t) = aij (t) gilt A˙ = − 2 A2 . t Die L¨osungen dieses Differentialgleichungssystems sind analytisch f¨ ur t > 0. Wegen

Rt



t 1

fji (x0 ) = 0 gilt: ∃t0 : ∀0 < t < t0 : A(t) ≤ t. Daher A(t) = A(s)2 ds/s2 ≤ 2 4 0 und induktiv A(t) = 0 f¨ ur 0 < t < t0 und damit auch in der ganzen Karte. Das ergibt ∇ ∂j X = ∂ j . c) Wegen T (Γ) = 0 ist ∇X ∂j − ∇∂j X = [X, ∂j ] = −∂j (s. S. 123) =⇒ ∀j : ∇X ∂j = 0. Mit R(Γ) = 0 folgt: ∇∂j ∇X ∂k −∇X ∇∂j ∂k = ∇[∂j ,X] ∂k = ∇∂j ∂k = Γijk ∂i | {z } 0

l =⇒ −Γijk ∂i = ∇X (Γijk ∂i ) = X(Γijk )∂i + Γm jk x ∇∂l ∂m i =⇒ ∀i, j, k : X(Γijk ) = −Γijk − xl Γm jk Γlm .
Wieder sei v ∈ Rn und x(t) die Geod¨ate mit xk (t) = v k t und bijk (t) := tΓijk x(t) . vl Dann ist b˙ ijk = − bilm bm jk und mit demselben Argument wie in b) folgt ∀x ∈ U, ∀i, j, k : t i Γjk (x) = 0, d.h. M ist flach. 

133

Im folgenden betrachten wir haupts¨achlich den Kr¨ ummungstensor f¨ ur einen Riemannschen Zusammenhang. Wenn g = gij dxi ⊗ dxj eine Riemannsche Metrik in Koordinaten ist, so gilt: (   1 as ∂ ∂gsd ∂gsb ∂gdb ∂Γadb ∂Γacb − − = g + − ∂xc ∂xd 2 ∂xc ∂xb ∂xd ∂xs  ) ∂g as ∂g as ∂ ∂gsb ∂gsc ∂gcb e + − g Γ − gse Γecb . + − d se db ∂x ∂xc ∂xb ∂xs ∂xc ∂xd ∂(g as gse ) ∂g as ∂gse as Wegen 0 = = g + g folgt: se ∂xc ∂xc ∂xc   ∂ 2 gbd ∂ 2 gsc ∂ 2 gbc 1 as ∂ 2 gsd a Rbcd = g − − + − 2 ∂xb ∂xc ∂xs ∂xc ∂xb ∂xd ∂xs ∂xd

∂gse as e ∂gse as e g Γdb + g Γcb + Γace Γedb − Γade Γecb . c ∂x ∂xd   1 as ∂gsc ∂gse ∂gce ∂gse a as ∂gse Wegen Γce − g = −g as gef Γfsc ergibt sich = g + − − 62 ∂xc 2 ∂xe ∂xc ∂xs ∂xc ˜ := g˜R ∈ T4 (M ), d.h. R ˜ abcd = gas Rs : schließlich f¨ ur den rein kovarianten Tensor R bcd −

  ∂ 2 gac ∂ 2 gbc ∂ 2 gbd 1 ∂ 2 gad ˜ − + − Rabcd = + gef (Γebc Γfad − Γebd Γfac ) 2 ∂xb ∂xc ∂xb ∂xd ∂xa ∂xd ∂xa ∂xc

˜ abcd = R ˜ cdab . Von fr¨ ˜ abcd = −R ˜ abdc , d.h. R ˜ Dies zeigt, dass R uher wissen wir bereits, dass R ist sowohl in den 2 vorderen als auch in den 2 hinteren Komponenten antisymmetrisch. ˜ Daher ist f¨ ur x ∈ M R(x) durch die folgende symmetrische Bilinearform auf Λ2 (Tx M ) ˜˜ festgelegt: R(x) : Λ2 (Tx M ) × Λ2 (Tx M ) −→ R ˜ (t ∧ u, v ∧ w) 7−→ R(x)(t, u, v, w).
1 Wir betrachten Λ2 (Tx M ) als IPR mit der Metrik G(x) = Λ2 g(x) , d.h. (vgl. S. 90): 2   g(t, v) g(t, w) G(x)(t ∧ u, v ∧ w) = det . g(u, v) g(u, w) Da eindimensionale Riemannsche R¨aume flach sind, untersuchen wir als erstes den Fall ˜˜ = K · G. dim M = 2. Dann ist Λ2 (Tx M ) eindimensional =⇒ ∃!K ∈ C k−3 (M ) : R Def.: K heißt Gauß’sche Kr¨ ummung der Fl¨ache M. ˜ R1212 ˜ 1212 /det (g). In Koordinaten ist K = =R 2 g11 g22 − g12

134

∂gij (x0 ) = 0 (z.B. geod¨atische Normalkoordinaten bzgl. x0 ), so ∂xk 1 ∂ 2 g11 1 ∂ 2 g22 ∂ 2 g12 ˜ − − . folgt aus der obigen Formel f¨ ur R, dass in x0 gilt: K = ∂x1 ∂x2 2 (∂x2 )2 2 (∂x1 )2 Falls gij (x0 ) = δij und

3  P dxi ⊗ dxi , d.h. mit der von Bsp.: 1) r > 0, S2r := x ∈ R3 : |x| = r mit der Metrik i=1

˜ und G und ist K R3 induzierten Metrik. Da Drehungen isometrisch sind, erhalten sie R T konstant. Es gen¨ ugt also, x0 = (0, 0, r) zu betrachten. In der Karte x 7−→ (x1 , x2 )T ist xi xj ¨ 7.2, S. 112) und daher die Bedingung oben gij = δij + 3 2 , i, j = 1, 2 (vgl. auch Ub. (x ) 1 ∂ 2 g12 (x0 ) = 2 . erf¨ ullt. Also ist K = 1 2 ∂x ∂x r 2) Ebenso ist K f¨ ur die Poincar´esche Metrik 2 
−2 P D = x ∈ R2 : |x| < 1 , g = 1 − |x|2 dxi ⊗ dxi (vgl. S. 103) konstant. In 0 ist i=1

die Bedingung oben wieder erf¨ ullt und  daher

 1 1 −2 = −4. Somit ist (D, g) K = − ∆ 1 − |x|2 x=0 = − ∆ 1 + 2|x|2 + O |x|4 2 2 x=0 eine Fl¨ache mit konstanter negativer Kr¨ ummung −4.

Erinnerung: F¨ ur eine in R3 eingebettete Fl¨ache M wird die Gauß’sche Kr¨ ummung gew¨ohnlich als K = κ1 κ2 definiert, wobei κi die Kr¨ ummungen der Hauptnormalschnitte sind, d.h. wenn oEdA x0 = 0 und M bei x0 durch x3 = f (x1 , x2 ) mit f (0, 0) = 0 = ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) gegeben ist, so sind κi die Eigenwerte der Hessematrix ∂x1 ∂x2   2 ∂ f ∂2f  (∂x1 )2 ∂x1 ∂x2   (0). A=  ∂2f ∂2f  ∂x1 ∂x2 (∂x2 )2

3 P Andererseits gilt f¨ ur die von dxi ⊗ dxi auf M induzierte Metrik g bzgl. der Karte i=1  1 ∂f ∂f x x 7−→ , i, j = 1, 2. Daher ist die Bedingung oben erf¨ ullt und : gij = δij + i 2 x" ∂x ∂xj #    2   2  1 ∂2 1 ∂2 ∂f ∂f ∂f ∂f ∂2 (0) − − K(x0 ) = ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 2 (∂x1 )2 ∂x2 2 (∂x2 )2 ∂x1 "  2 2 #  2 2 ∂2f ∂2f ∂ f ∂ f = −2 · + (0) = det A = κ1 κ2 . 1 2 2 2 1 2 (∂x ) (∂x ) ∂x ∂x ∂x1 ∂x2 Dies zeigt, dass die beiden Definitionen u ¨bereinstimmen und insbesondere, dass κ1 κ2 nur vom RR (M, g) abh¨angt und unter Isometrie erhalten bleibt, das sogenannte “Theorema

135

egregium” von C.F. ur eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit i : M ,→ Rm   Gauß.  (F¨  m
P gerade κ1 · · · κ n durch M, i∗ ( dxj ⊗ dxj ) bestimmt.) f¨ ur n ist ungerade |κ1 · · · κn | j=1

Zum Verst¨andnis der Kr¨ ummung auf nicht eingebetteten Fl¨achen ist der folgende Satz wesentlich:

Satz (M,  g) 2-dimensionaler C k -Riemannscher Raum, k ≥ 4, x0 ∈ M, % > 0.  D% (x0 ) := x ∈ M : d(x, x0 ) < % , S% (x0 ) := x ∈ M : d(x, x0 ) = % . Dann ist f¨ ur k−2 kleines % S% (x0 ) Zeine eindimensionale C Z -Mannigfaltigkeit. ˆ i∗ g und F (%) := ˆ g , so ist U (%) bei 0 C k−2 und in 0 C k−1 und Wenn U (%) := Ω Ω S% (x0 )

D% (x0 )

F (%) bei 0 C k−1 und in 0 C k und es gilt: πK(x0 ) F (%) = %2 π − %4 + o(%4 ), % & 0, und 12 πK(x0 ) 0 + o(%3 ), % & 0. U (%) = F (%) = % · 2π − %3 3  1 x seien geod¨atische Normalkoordinaten. Dann ist f¨ ur % klein Beweis: ϕ : x 7−→ x2   genug (s. S. 106): D% (x0 ) = x : |ϕ(x)| < % und S% (x0 ) = x : |ϕ(x)| = % . Insbesondere ist S% (x0 ) eine eindimensionale C k−2 -Mannigfaltigkeit diffeomorph zu S1 . RR √ √ ˆ g = det g dx1 dx2 =⇒ F (%) = Ω det g dx1 dx2 . |x|<%

In Polarkoordinaten r, ϕ ist g = dr ⊗ dr + r 2 hϕ (r) dϕ ⊗ dϕ (vgl. S. 107), d.h. F (%) = R2π R% p uckt, ergibt sich r hϕ (r) drdϕ, U (%) = F (%)0 . Wenn man r, ϕ durch x1 , x2 ausdr¨ 0 0     1 ⊗2 ⊗2 x2 1 x1 2 (x1 )2 + hϕ (r)(x2 )2 1 x x2 2 2 1 + r hϕ (r) − 2 dx + 2 dx = dx + dx dx ⊗ g= r r r r r2
(x2 )2 + hϕ (r)(x1 )2 2 x1 x2 2 dx1 + dx ⊗ dx + 1 − hϕ (r) [dx1 ⊗ dx2 + dx2 ⊗ dx1 ]. Speziell ist 2 2 r r cos2 ϕ+hϕ (r) sin2 ϕ = g11 (r cos ϕ, r sin ϕ), sin2 ϕ+hϕ (r) cos2 ϕ = g22 (r cos ϕ, r sin ϕ) und daher hϕ (r) C k−2 bzgl. (r, ϕ), hϕ (0) = 1, h0ϕ (0) = 0. Das gibt g12 (x) = x1 x2 − 12 h00ϕ (0) +
∂ 2 g12 o(r) , d.h. ∀ϕ : h00ϕ (0) = −2 1 2 (x0 ). Wegen hπ/2 (r) = g11 (0, r), h0 (r) = g22 (r, 0) ∂x ∂x ∂ 2 g12 1 ∂ 2 g11 1 ∂ 2 g22 3 folgt K(x0 ) = (x ) − (x ) − (x0 ) = − h00ϕ (0) (vgl. S. 135 oben). 0 0 1 2 2 2 1 2 ∂x ∂x 2 (∂x ) 2 (∂x ) 2 p h00ϕ (0) 2 K(x0 ) 2 Das liefert hϕ (r) = 1 + r + o(r2 ) = 1 − r + o(r2 ) f¨ ur r & 0 und damit 4 6 das Ergebnis. 

Bsp.: Auf S2 ist S% (x0 ) ein Kreis mit Radius sin %, d.h. U (%) = 2π sin %, F (%) = Fl¨ache 136

R%

π 3 % + o(%3 ) 3 0 ¨ erhalten wir K = 1. Ahnlich k¨onnte die Kr¨ ummung der Poincar´eschen Metrik mittels ¨ 6.2, S. 96 berechnet werden. Ub. einer Kugelkappe =

U (t) dt = 2π(1 − cos %). Aus U (%) = 2π sin % = 2π% −

Schließlich untersuchen wir noch, wie die Metrik g aus der Gauß’schen Kr¨ ummung K bestimmt wird. In geod¨atischen Polarkoordinaten (s. S. 107, Bsp. 2) ist 1 ∂f g11 = 1, g12 = 0, g22 =: f und daher Γ111 = Γ112 = Γ211 = 0, Γ122 = − , 2 ∂x1 1 ∂f 1 ∂f , Γ222 = . Die Formel in S. 134 liefert dann Γ212 = 1 2f ∂x 2f  ∂x2  2 1 ∂2f 1 ˜ 1 ∂f ˜ R1212 = − und K = R + 1212 . 1 2 1 2 (∂x ) 4f ∂x f   ∂ 0 2 := : Wenn wir x festhalten, ergibt sich eine gew¨ohnliche Differentialgleichung 1 ∂x √ √ √ √ 0 2f f 00 − f 2 + 4K · f 2 = 0 bzw. f 00 + K f = 0, f (0) = 0, f 0 (0) = 1. F¨ ur K = 1 = const. hat dies die L¨osung f = sin2 (x1 ), was zur Metrik dϑ ⊗ dϑ + ˜ 1212 bzw. K sin2 ϑ dϕ ⊗ dϕ der Kugel f¨ uhrt. Man sieht auch, dass die Funktionen R beliebig vorgegeben werden d¨ urfen. Das ist f¨ ur n ≥ 3 falsch, vgl. die Bianchi-Identit¨at, S. 138. Als n¨achstes befassen wir uns mit dem Fall n = dim M = 3. Dann ist dim Tx M = 3. Allgemein, wenn (V, g) ein dreidimensionaler euklidischer Raum ist, so ist ∼ ∼ c 1 (V ) = V ˆ, ∗ : Λ2 (V ) −→ Λ2 (V ∗ ) −→ Λ 2 Λ (˜ g)

vgl. S. 92.

˜˜˜ ˜˜ auf Λ2 (V ) ergibt also eine auf Vˆ und damit ein R Eine symmetrische Bilinearform R auf V :   ˜˜˜ ˜˜ ∗−1 [v, o]
, ∗−1 [w, o]
, R : V × V −→ R : (v, w) 7−→ R

wobei o ∈ O(V ) beliebig ist. Wenn e1 , e2 , e3 eine ONB in V, e1 , e2 , e3 die duale Basis in ∼ V ∗ , o = [e1 ∧e2 ∧e3 ], so ist Λ2 (V ) −→ Vˆ : e1 ∧e2 7−→ [e3 , o], e2 ∧e3 7−→ [e1 , o], e3 ∧e1 7−→ ˜˜˜ ˜˜ [e2 , o] und daher R(e i , ej ) = R(ei+1 ∧ ei+2 , ej+1 ∧ ej+2 ), wenn e4 := e1 und e5 := e2 . Wenn ˜˜ durch R(t ˜˜ ∧ u, v ∧ w) = R(t, ˜ ∈ V ∗⊗4 durch R(e ˜ ,e ,e ,e ) = R ˜ ˜ u, v, w) R und R a

b

c

d

abcd

gegeben sind (vgl. S. 134), so erhalten wir in der Basis e1 , e2 , e3 und daher auch allgemein ˜˜˜ 1 ˜ aicj und s = g ij rij . R sgij − rij , wobei rij = g ac R ij = 2 Dies f¨ uhrt zur

137

Def.: 1) (M, Γ) C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, k ≥ 4, R = R(Γ). a r := Verj¨ ungung2 (R), d.h. rij = Riaj heißt Ricci-Tensor. 2) (M, g) C k -RR, k ≥ 4, Γ Levi-Civit`a-Zusammenhang von g. s := Verj¨ ungung (˜ g −1 r), d.h. s = g ij rij heißt Kr¨ ummungsskalar. ˜ abcd = K(gac gbd − gad gbc ) (s. S. 134) und daher Bsp.: 1) Im Fall n = 2 gilt R a Rbcd = K(δca gbd − δda gbc ), rij = K(δaa gij − δja gia ) = Kgij , d.h. r = K · g, s = 2K. ˜˜˜ ˜ durch R 2) Im Fall n = 3 k¨onnen wir nach dem obigen R und damit durch r und s ausdr¨ ucken. Nachrechnen in der Basis e1 , e2 , e3 ergibt: ˜ abcd = gac rbd − gad rbc + gbd rac − gbc rad − 1 s(gac gbd − gad gbc ) R 2 Wir untersuchen als n¨achstes, wie im Fall n = 3 die Metrik g durch R bestimmt wird. Wenn wir, wie in S. 137 f¨ ur n = 2, geod¨atische Polarkoordinaten verwenden, so sind noch die 3 Funktionen g22 , g23 , g33 unbekannt. Die Formel in S. 134 liefert daf¨ ur 6 partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung mit linker Seite ˜ abcd , abcd ∈ {1212, 1213, 1223, 1313, 1323, 2323}. R (Die u ¨brigen ergeben nichts Neues, vgl. auch S. 137.) Diese Differentialgleichungen sind a nicht voneinander unabh¨angig. Dies liegt daran, dass die Rbcd aufgrund der Vertauschi barkeit der 2. Ableitungen von Γjk die folgenden Differentialgleichungen 1. Ordnung erf¨ ullen m¨ ussen: Lemma (Bianchi-Gleichungen) (M, Γ) C k -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, k ≥ 4, R = R(Γ) ∈ T31 (M C k−2 -Mannigfaltigkeit). a a a Dann gilt ∀a, b, c, d, e : ∇e Rbcd + ∇c Rbde + ∇d Rbec = 0. Beweis: Wir rechnen in geod¨atischen Normalkoordinaten bzgl. x0 ∈ M. a a a ∂Rbcd ∂Rbde ∂Rbec Dann gilt in x0 (s. S. 131): + + = ∂xe ∂xc ∂xd ∂ 2 Γacb ∂ 2 Γaeb ∂ 2 Γacb ∂ 2 Γaeb ∂ 2 Γadb ∂ 2 Γadb @ @ − + + − − =0 e ∂xd d ∂xe ∂xe ∂xc ∂x@ ∂xc ∂xd ∂xc ∂xe ∂x@ ∂xd ∂xc @ @ Außerdem gilt noch eine algebraische Identit¨at: =



1 2 3 Lemma (M, Γ) C -Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang, k ≥ 4, σ = 2 3 1 
ω , u, v, w ) 7−→ T (x)(ω, v, w, u) σ : T31 (M ) −→ T31 (M ) : T 7−→ |{z} x , ( |{z} | {z } ∗ k

∈M

∈Tx M

138

∈Tx M





∈ S3 ,

S := id
+ σ + σ 2 : T31
(M ) −→ T31 (M ). Dann
gilt: S R(Γ) = S ∇T (Γ) . Speziell ist S R(Γ) = 0, wenn Γ symmetrisch ist. F¨ ur einen Riemannschen Zusammenhang ist R(Γ) bereits durch die Angabe von   2  1 : n = 2 1 n 6 : n=3 = Komponenten bestimmt.  6 2 20 : n = 4

∂Γadb ∂Γacb a − und daher Beweis: In Normalkoordinaten ist Rbcd = ∂xc a ∂xd a a
a ∂Γdb ∂Γcb ∂Γbc ∂Γadc ∂Γacd ∂Γabd a a a + Rcdb + Rdbc = S R(Γ) bcd = Rbcd − + − + − = ∂xc
∂xd ∂xd ∂xb ∂xb ∂xc

a S ∇T (Γ) bcd . Daher ist S R(Γ) = S ∇T (Γ) . ˜ bereits durch die Angabe der R ˜ abcd mit a < b, c < d, a ≤ c Im Riemannschen Fall ist
R


n 1 n bestimmt. (Dies sind 2 2 2 + 1 Komponenten.) Die Identit¨at S R(Γ) = 0, d.h. ˜ abcd + R ˜ acdb + R ˜ adbc = 0 liefert f¨ R ur b = c, b = d oder a = c nichts Neues. Wenn a < ˜ ˜ ˜ b < c < d, so ist Rabcd = Racbd − Radbc , d.h. durch die anderen F¨alle (d.h. a < c < d < b bzw. c <b < d) Daher sind h¨ochstens  festgelegt.     a<  1 n n(n − 1)  2 n2 (n2 − 1) n n = +1 − 3n − 3n + 6 − (n − 2)(n − 3) = 4 2 2 2 24 12 ˜ Komponenten von R unabh¨angig w¨ahlbar.  Um die Kr¨ ummung im Fall n = dim M > 2 zu interpretieren, f¨ uhren wir sie auf den Fall n = 2 zur¨ uck. Definition und Hilfssatz: R V endlich dimensionaler Vektorraum, 0 ≤ k ≤ dim V. Gk (V ) := {W ≤ R V :
dim W = k}. Dann ist i : Gk (V ) ,→ P Λk (V ) : R hv1 , · · · , vk i 7−→ [v1 ∧ · · · ∧ vk ] wohldefiniert und injektiv. (i heißt Pl¨ uckersche Abbildung“). ” Beweis: i wohldefiniert: Wenn R hv1 , · · · , vk i = R hv10 , · · · , vk0 i, so ist vj0 = aij vi , det(aij ) 6= 0 =⇒ v10 ∧ · · · ∧ vk0 = det(aij )v1 ∧ · · · ∧ vk , [v10 ∧ · · · ∧ vk0 ] = [v1 ∧ · · · ∧ vk ]. i injektiv: W := R hv1 , · · · , vk i 6= R hv10 , · · · , vk0 i =⇒ ∃v ∗ ∈ V ∗ : hvi0 , v ∗ i = 0 und oEdA hv1 , v ∗ i 6= 0. Dann ist dim(ker v ∗ ∩ W ) = k − 1. OEdA v2 , · · · , vk ∈ ker v ∗ =⇒ ∀v2∗ , · · · , vk∗ ∈ V ∗ : (v10 ∧ · · · ∧ vk0 )(v ∗ , v2∗ , · · · , vk∗ ) = 0 aber (v1 ∧ · · · ∧ vk )(v ∗ , v2∗ , · · · , vk∗ ) = hv1 , v ∗ i(v2 ∧ · · · ∧ vk )(v2∗ , · · · , vk∗ ) 6= 0 bei geeigneter Wahl der v2∗ , · · · , vk∗ .  Also ist [v1 ∧ · · · ∧ vk ] 6= [v1∗ ∧ · · · ∧ vk∗ ].

¨ 1.7, S. 14, ist Gk (V ) eine k(n − k)-dimensionale C ∞ Bemerkung: Entsprechend Ub. Mannigfaltigkeit, eine Grassmann-Mannigfaltigkeit“. Dann ist i sogar eine Immersion. ” ˜˜ F¨ ur x ∈ M ist R(x) durch die symmetrische Bilinearform R(x) : Λ2 (Tx M )×Λ2 (Tx M ) −→ 139

˜˜ ist durch die Werte auf der Diagonale und hier schon durch R bestimmt, vgl. S. 134. R(x) die Werte auf der Einheitskugel bzgl. G(x) festgelegt. Anders gesagt:
¯ R(x) : P Λ2 (Tx M ) −→ R : [ |{z} w ] 7−→ ∈Λ2 (Tx M )

˜˜ R(x)(w, w) G(x)(w, w)

bestimmt bereits R(x). Der n¨achste Satz zeigt, dass zur Kenntnis von R(x) bereits ¯ R(x) gen¨ ugt. Hierzu ben¨otigt man das 2. Lemma in S. 138. G2 (Tx M )

Definition und Satz: (M, g) C 4 -Riemannscher Raum, G2 (M ) := (x, W ) : x ∈ M, W ∈ G2 (Tx M ) .

˜˜
R(x)(v 1 ∧ v2 , v1 ∧ v2 ) K : G2 (M ) −→ R : x, R hv1 , v2 i − 7 → G(x)(v1 ∧ v2 , v1 ∧ v2 )

heißt Schnittkr¨ ummung. Es gilt:

1) Wenn (M, g1 ), (M, g2 ) C 4 -Riemannsche R¨aume und x ∈ M mit g1 (x) = g2 (x) und ∀W ∈ G2 (Tx M ) : K1 (x, W ) = K2 (x, W ), so ist R1 (x) = R2 (x). 2) Wenn (M, g) C 5 -Riemannscher Raum, x0 ∈ M, W ∈ G2 (Tx M ), so ist K(x0 , W ) die Gauß’sche ummung im Punkt x0 der C k−2 -Fl¨ ache (N, i∗ g), wobei  Kr¨ i : N := xv (t) : v ∈ W, g(x0 )(v, v) < 2 , |t| < 1 ,→ M,  klein und xv =[Geod¨ate in M mit xv (0) = x0 , x˙ v (0) = v]. ˜ 1 (x) − R ˜ 2 (x) ∈ Beweis: 1) Unter den gegebenen Voraussetzungen gilt f¨ ur X := R ur festes v ∈ Tx M X(v, −, v, −) ∈ Tx∗ M ⊗4 : ∀v1 , v2 ∈ Tx M : X(v1 , v2 , v1 , v2 ) = 0. Da f¨ Tx∗ M ⊗2 symmetrisch ist (vgl. S. 134), folgt: ∀v1 , v2 , v3 ∈ Tx M : X(v1 , v2 , v1 , v3 ) = 0. Das impliziert ∀v1 , v2 , v3 , v4 ∈ Tx M : X(v1 , v2 , v3 , v4 ) = −X(v3 , v2 , v1 , v4 ) und daher ist X alternierend, d.h. X ∈ Λ4 (Tx∗ M ). S. 138 ergibt 0 = S(X) = 3X, d.h. X = 0.
2) Es seien v1 , v2 eine ONB von W und ϕ Normalkoordinaten bei x0 mit ϕ xv1 (t) =
(t, 0, · · · , 0)T und ϕ xv2 (t) = (0, t, 0, · · · , 0)T (s. S. 106).   1 2 −1 1 2 2 2 2 eine C k−2 -Fl¨ache. F¨ ur Dann ist N = ϕ (x , x , 0, · · · , 0) : (x ) + (x ) <  v ∈ W, g(x0 )(v, v) < 2 , ist xv (t), |t| < 1, in N und dort eine Geod¨ate, da xv (t) station¨ar bzgl. (x, x) ˙ 7−→ g(x)(x, ˙ x) ˙ ist. Also liefert ϕ N geod¨atische Normalkoordinaten ∂ 2 g12 1 ∂ 2 g11 1 ∂ 2 g22 auf N und hat N in x0 die Kr¨ ummung (x0 ) − (x0 ) − (x0 ) = ∂x1 ∂x2 2 (∂x2 )2 2 (∂x1 )2 ˜˜ )(∂ ∧ ∂ , ∂ ∧ ∂ ) = K(x , W ). ˜ 1212 (x0 ) = R(x R  0 1 2 1 2 0 Bemerkung: Wenn v1 , v2 eine ONB in W ∈ G2 (Tx M ) ist, so ist ˜ K(x, W ) = R(x)(v 1 , v2 , v1 , v2 ), da g(x)(vi , vj ) = δij und folglich G(x)(v1 ∧v2 , v1 ∧v2 ) = 1. 140

Bsp.: F¨ ur M = Sn mit der Standardmetrik ist ∀(x, W ) ∈ G2 (M ) : K(x, W ) = 1, da N wie oben ein Teil der zweidimensionalen Kugel Sn ∩(W +Rx) (wobei W ≤ Tx Sn ⊂ Rn+1 ) mit Radius 1 ist. Def.: (M, g) C 4 -Riemannscher Raum. 1) x0 ∈ M heißt isotrop :⇐⇒ K G2 (Tx

0M)

ist konstant.

2) (M, g) heißt isotrop :⇐⇒ ∀x0 ∈ M : x0 isotrop.

3) (M, g) hat konstante Kr¨ ummung :⇐⇒ K : G2 (M ) −→ R ist konstant. Bsp.: 1) Jeder zweidimensionale Riemannsche Raum ist isotrop. 2) Sn hat konstante Kr¨ ummung K = 1. Satz 1) (M, g) C 4 -Riemannscher Raum, x0 ∈ M isotrop, K G2 (Tx M ) = K0 . 0 ˜ ˜ Dann gilt: R(x ) = K G(x ). 0

0

0

2) (Ein Satz von Schur) (M, g) C 4 -Riemannscher Raum, dim M ≥ 3. Dann gilt: (M, g) isotrop =⇒ (M, g) hat konstante Kr¨ ummung. Beweis: 1) Wenn X ∈ Tx∗0 M ⊗4 mit

˜ 0 )(v1 , · · · , v4 ) − K0 G(v1 ∧ v2 , v3 ∧ v4 ), X(v1 , · · · , v4 ) = R(x so folgt aus dem Beweis in S. 140, dass X = 0. ˜˜ = K(x)G, d.h. 2) Nach 1) gilt f¨ ur isotropes g : R
a Rbcd (x) = K(x) δca gbd (x) − δda gbc (x) . | {z } a

=:Gbcd

In geod¨atischen Normalkoordinaten bei x0 ergeben die Bianchi-Gleichungen (s. S. 138) in x0 : ∂K a ∂K a ∂K a Gbcd + c Gbde + d Gbec . 0= e ∂x ∂x ∂x Verj¨ ungen u ¨ber a und e liefert in x0 : ∂K ∂K ∂K ∂K ∂K ∂K gbd − d gbc + c gbd − n c gbd + n d gbc − d gbc c ∂x ∂x  ∂x ∂x ∂x  ∂x ∂K ∂K = (2 − n) gbd − d gbc . c ∂x ∂x

0 =

Wegen n > 2 folgt mit b = d 6= c :

∂K = 0, d.h. K = konstant. ∂xc 141