Fisica Cuantica

F´ısica cu´ antica Daniel R. Bes Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias Exactas y Naturales Universidad Favaloro 16-XI-2004

F´ısica cl´ asica Supongamos que un cartel de propaganda interrumpe nuestra visi´on de un m´ovil, y que ´este reaparece posteriormente (figura 1). No nos quedan dudas de que el m´ovil ha recorrido el camino detr´as del cartel. Esta seguridad se basa en millones de a˜ nos de experiencia de ver m´oviles, gracias a los cuales se han consolidado en nuestra mente los prejuicios siguientes: i) podemos realizar mediciones que no afecten al objeto medido; ii) podemos realizar mediciones tan precisas como querramos; iii) podemos identificar propiedades f´ısicas con n´ umeros, que pueden variar con el tiempo t (por ejemplo la posici´on x(t) y la velocidad v(t) de un m´obil). Aparece as´ı el concepto de trayectoria. Hace poco m´as de 400 a˜ nos, y tomando por ciertos estos prejuicios, Newton descubri´o su famosa f´ormula dp F = ma = . (1) dt donde F es la fuerza que act´ ua sobre la part´ıcula de masa m y velocidad v produciendo una aceleraci´on a y p = m v es el impoulso de la part´ıcula. Como oyeron en la charla de Diego Mazzitelli, esta ecuaci´on diferencial fue perfeccionada en 1917 por Einstein con la ter´ıa general de la relatividad. No menos espectacular, tanto por la s´ıntesis te´orica que signific´o como por sus consecuencias pr´acticas, fue la teor´ıa electromagn´etica de Maxwell que relaciona, tambi´en ~ ~ mediante ecuaciones diferenciales, campos el´ectricos E(t) y magn´eticos B(t) con cargas y corrientes. Por falta de tiempo no voy a entrar en detalles acerca de c´omo se derrumb´o este magn´ıfico edificio a principios del siglo pasado. S´olo dir´e que como consecuencia tanto de los prejuicios solidificados a trav´es de millones de a˜ nos, como de las ecuaciones validadas durante los u ´ltimos cientos de a˜ nos, podemos predecir que tanto ustedes como yo deber´ıamos desintegrarnos en fracciones de segundo. Hasta ahora nadie tuvo ´exito en el programa de conservar los prejuicios y encontrar un nuevo conjunto de ecuaciones diferenciales, cuya soluci´on fuese compatible con la existencia de ustedes y de la m´ıa. En este programa fracas´o nada menos que Einstein. Por otra parte remover los prejuicios es muy dif´ıcil, pero es lo que tengo que intentar hacer hoy ac´a.

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Figure 1: Trayectoria de un m´ovil detr´as de un cartel de propaganda.

F´ısica cu´ antica A diferencia de las grandes s´ıntesis de la f´ısica cl´asica, todas ellas asociadas con una figura paradigm´atica, la f´ısica cu´antica fue desarrollada por un conjunto de genios, en el lapso de tiempo relativamente breve que va de 1925 a 1928. Su cuna fue el centro y norte de Europa, es decir una regi´on desvastada por las crisis econ´omicas que siguieron a la primer guerra mundial. Otra caracter´ıstica fue la edad de los participantes en este desarrollo. En 1925 Dirac ten´ıa 23 a˜ nos, Heisenberg 24, Jordan 22 y Pauli 25. Los “ancianos” eran Bohr (40), Born (43) y Schr¨odinger (38). Las diferentes presentaciones de la f´ısica cu´antica difieren en el tipo y magnitud de la suciedad barridas debajo de la alfombra durante la presentaci´on. Creo que la que voy a introducir es una de las m´as limpias, si bien no es la m´as com´ un. Est´a facilitada por el uso del concepto de spin, una magnitud f´ısica de origen puramente cu´antico, que tiene la propiedad de ser muy simple. Por eso basaremos la mec´anica cu´antica en el spin y no en fen´omenos m´as complicados. Spin Consideremos un sistema simple constituido por una aguja imantada. La aguja tiene una energ´ıa potencial dada por el producto escalar de dos vectores: el momento magn´etico de la aguja y el campo magn´etico terrestre. V

= →

−µ B cos θ = −µz B −µ B

(2)

donde θ es el ´angulo entre los dos vectores. En la u ´ltima igualdad del primer rengl´on, hemos elegido un sistema de coordenadas en el cual el eje de las z est´a alineado con el campo magn´etico y entonces µz (= µ cos θ) es la proyecci´on del momento magn´etico sobe el eje de las z. La energ´ıa es m´ınima cuando la proyecci´on es m´axima (µz = µ). En consecuencia, la aguja imantada tiende a 2

Figure 2: Versi´on esqem´atica del experimento de Stern y Gerlach .

alinearse con el campo magn´etico, como ustedes conocen bien en el caso de una br´ ujula. Si, adem´as, el campo magn´etico no fuese homog´eneo, la aguja experimentar´ıa una fuerza neta F =−

dV d Bz = µz . dz dz

(3)

Esta es una ecuaci´on cl´asica, esto es derivada de la mec´anica de Newton y del electromagnetismo de Maxwell. All´a por el a˜ no 1920 los f´ısicos alemanes Stern y Gerlach intentaron verificar (3), para el caso de un ´atomo. Hicieron pasar un haz de ´atomos de plata a trav´es de un campo magn´etico no homog´eneo (figura 2). Era previsible que los ´atomos para los cuales la proyecci´on del momento magn´etico apuntaba en la direcci´on del gradiente del campo se desviasen hacia arriba del lugar donde hubiesen incidido en ausencia de campo magn´etico; si la proyecci´on apuntaba hacia abajo, se desviar´ıan hacia abajo. Como los ´atomos sal´ıan de un horno donde todas las orientaciones del momento magn´etico eran posibles, se esperaba que toda la pantalla estuviera impactada por ´atomos. Pero los ´atomos se concentraron en dos regiones de la pantalla: una arriba y otra abajo del lugar donde hubiese incidido el haz en ausencia del campo magn´etico. En lugar de un continuo de proyecciones del momento magn´etico, los ´atomos de plata s´olo ten´ıa dos proyecciones. La figura 3 reproduce la carta que Gerlach mand´o a Bohr en 1921 comunic´andole el resultado. Este resultado es tan extra˜ no como la desintegraci´on prevista de ustedes y m´ıa, pero mucho m´as simple. Desde ahora en lugar de momento magn´etico hablar´e de spin. La diferencia, en el experimento mencionado, es s´olo una constante. Podemos decir que el spin es la m´as cu´antica de todas las magnitudes f´ısicas, porque no es derivable de consideraciones cl´asicas. De acuerdo a lo expuesto, es un vector con dos proyecciones posibles sobre el eje de las z.

3

Figure 3: Reproducci´on de la carta que Gerlach envi´o a Bohr en 1921. Gerlach indica que la figura de la izquierda corresponde a la ausencia del campo magn´etico y que ´este era muy d´ebil en los bordes de la figura de la derecha.

Espacios vectoriales Notemos que el hecho de que una magnitud - en este caso, la proyecci´on del spin - pueda tener solamento 2 valores, no requiere por s´ı mismo salir de la f´ısica cl´asica. Una PC est´a constituida por bits, sistemas cl´asicos que pueden estar solamente en dos estados que indicaremos con ψ+ y ψ− . Otro ejemplo lo constituye un plano, que es un espacio f´ısico de dos dimensiones. Noten que estos dos ejemplos son muy distintos entre s´ı: en el primero, no tiene sentido la suma de dos estados. En una PC, un bit puede estar en uno u otro estado, pero no en una combinaci´on de ambos. En el plano, la suma de dos vectores da siempre otro vector Ψ = c↓ ψ↓ + c↑ ψ↑

(4)

donde c↓ , c↑ son las amplitudes del vector Ψ a lo largo de los ejes de coordenadas que denotaremos con los sub´ındices ↓, ↑, respectivamente y ψ↓ , ψ↑ son dos vectores de m´odulo uno a lo largo de cada uno de los dos ejes y, por consiguiente, perpendiculares entre s´ı (figura 4,arriba). El primer sistema bidimensional, el de los bits, no nos sirve, ya que da lugar a una PC cl´asica. El segundo s´ı, con el a˜ nadido de la condici´on de que la suma de los valores absolutos al cuadrado vale uno |c↓ |2 + |c↑ |2 = 1 . Bajo estas condiciones, el vector Ψ se llama “qubit” (de quantum cubit, t´ermino 4

inventado para las computadoras cu´anticas). Otra propiedad de los vectores en el plano es que, si rotamos el sistema de referencia, el vector Ψ (4) puede tambi´en ser expresado en funci´on de vectores unitarios χ↓ , χ↑ a lo largo de los nuevos ejes (figura 4,abajo) Ψ = 1 =

b↓ χ↓ + b↑ χ↑ |b↓ |2 + |b↑ |2

(5)

Podemos generalizar estas consideraciones a espacios de cualquier n´ umero de dimensiones, inclusive hasta dimensi´on infinito. Estos espacios abstractos se denominan Espacios de Hilbert. Las amplitudes correspondientes pueden ser n´ umeros complejos. Postulados de la f´ısica cu´ antica Hubo que pensar en nuevos principios y en nuevos formalismos. Por suerte los matem´aticos hab´ıan ya desarrollado formalismos que demostraron ser muy u ´tiles, aunque no fuesen utilizados hasta ese momento por los f´ısicos (como fue el caso de los espacios de Hilbert). El primer postulado de la mec´anica cu´antica dice que los estados posibles de los sistemas cu´anticos est´an representados por vectores (vectores de estado) en un espacio de Hilbert. En el caso del spin de un ´atomo de plata, el espacio de Hilbert se reduce al qubit (4). M´as a´ un, este qubit contiene toda la informaci´on que podemos conocer sobre el sistema spin. La cuesti´on es c´omo extraerla. ˆ son entes matem´aticos que transforman un vector dado Los operadores Q en otro vector ˆ Ψ = Ψ0 = c0↓ ψ↓ + c0↑ ψ↑ , Q

(6)

donde c0↓ , c0↑ son las componentes del vector Ψ0 en la base ψ↓ ,↑ usada inicialmente. Por ejemplo, una rotaci´on es un operador. Para discutir las propiedades de los operadores ayuda volver al espacio cotidiano de tres dimensiones: supongamos hacer dos rotaciones de 90 grados: ˆ x , alrededor del eje de las x y otra, R ˆ y , alrededor del eje de las y. Es inuna, R mediato verificar que el resultado final depende del orden de las dos operaciones (figura 5). Esto se expresa diciendo que las dos operaciones no conmutan y se representa con el s´ımbolo ˆx, R ˆ y ] 6= 0 [R

(7)

El segundo postulado de la mec´anica cu´antica dice que las magnitudes f´ısicas est´an representadas por operadores. Para el caso particular de las magnitudes posici´on x e impulso p = mv, los operadores correspondientes satisfacen la relaci´on [ˆ x, pˆ] = i h/2π

5

(8)

ϕy

cy ψ

cx χy

ϕx χx

ψ

bx

by ψ = cxϕ x+cyϕ y = bxχ x+byχ y

Figure 4: El mismo vector de estado Ψ expresado como suma de dos sistemas distintos de vectores base. Los sub´ındices (x, y) de la figura reemplazan a los sub´ındices (↑, ↓) del texto.

6

Figure 5: La orientaci´on final de los ejes depende del orden de las rotaciones.

donde i es la unidad imaginaria y h, la constante de Planck es una de las constantes fundamentales de la f´ısica, a la par que la velocidad de la luz c. Sistemas cl´asicos son aquellos en los cuales puede despreciarse la constante de Planck. Esto sucede en nuestra escala humana, pero no en la escala at´omica. Notemos que (8) contiene dos dificultades con que la mayor´ıa de ustedes no est´a acostumbrado a lidiar: la existencia de un ´algebra no conmutativa y el uso de n´ umeros complejos c = a + i b donde i2 = −1. Ambas cosas son absolutamente esenciales en mec´anica cu´antica. Por otra parte no son dificultades esenciales, y uno puede acostumbrarse a usar estos elementos b´asicos con relativa facilidad. ˆ sobre el vector de estado ΨA resulte el Puede suceder que al operar con Q mismo estado multiplicado por una constante qA ˆ ΨA = qA ΨA Q

(9)

ˆ correspondiente al autoestado ΨA . En ese caso se dice que qA es autovalor de Q Por ejemplo, imaginen ustedes la dilataci´on de un vector en el espacio cotidiano: obtenemos un vector con la misma orientaci´on pero distinta longitud. Supongamos ahora que los estados base ψ↓ , ψ↑ son autoestados del operador ˆ Q con autovalores q↓ , q↑ , respectivamente. Es decir, ˆ ψ↓ = q↓ ψ↓ ; Q

ˆ ψ↑ = q↑ ψ↑ Q

(10)

El tercer postulado de la mec´anica cu´antica dice que los u ´nicos resultados posiˆ son bles de la medici´on de la magnitud f´ısica Q correspondiente al operador Q los autovalores q↓ , q↑ . M´as a´ un, si el sistema est´a representado por el vector (4), 7

ψ = ϕy ϕy

cy

2

|cy|

ϕx

ϕy

ψ

cx ψ = cxϕ x+cyϕ y

ϕx 2

|cx|

ψ = ϕx

Figure 6: El cambio del vector de estado a ra´ız de la medici´on.

con la condici´on (5), la probabilidad de obtener el autovalor q↓ est´a dada por |c↓ |2 y la de obtener el autovalor q↑ es |c↑ |2 . Obviamente la suma de las dos probabilidades vale uno, lo que est´a de acuerdo con (5). Noten que solamente podemos conocer la probabilidad de obtener uno u otro autovalor en el proceso de medici´on. Toda la certidumbre de la f´ısica cl´asica desaparece, salvo cuando el sistema est´a en uno de los dos autoestados ψ↓ , ψ↑ . En el caso del spin, Stern y Gerlach verificaron experimentalmente que s´olo aparec´ıan los dos resultados posibles q↓ , q↑ . Una vez efectuada una medici´on, que di´o como resultado un autovalor, la repetici´on inmediata de la misma medici´on debe dar el mismo resultado. Lo que era antes probabilidad se convierte despu´es de la medici´on en certeza y, en consecuencia, el vector de estado Ψ debe transformarse (instant´anemente) en el del autoestado correspondiente al autovalor obtenido. Es en este sentido que hay que entender la afirmaci´on de que la medici´on cambia el estado del sistema (figura 6). En este momento la mayor´ıa de ustedes se enfrentan con dos tipos de dificultades: una de ellas consiste en la aparici´on de instrumentos matem´aticos no demasiado usados, como son entes que satisfacen un ´algebra no conmutativa y los n´ umeros complejos. Pero estas dificultades no son importantes, ya que pueden ser superadas con s’olo un poco de pr´actica. El segundo tipo de inconvenientes es consecuencia de la conformaci´on de nuestra mente, productode est´ımulos puramente cl´asicos recibidos durante millones de a˜ nos.

8

Tratar´e de aclarar el contenido f´ısico de la mec´anica cu´antica se˜ nalando que hemos presentado nuevas conexiones entre el mundo f´ısico y la matem´atica: las magnitudes f´ısicas est´an relacionadas con operadores (que en general no conmutan entre s´ı). Con estos operadores se construyen vectores que representan estados del sistema. La realimentaci´on al mundo f´ısico se consigue mediante mediciones de diversas magnitudes f´ısicas, que arrojan como resultado los autovalores de los mismos. Otra forma de decir lo mismo es la siguiente: Supongamos que se prepara un sistema f´ısico en un cierto estado Ψ. Esta correlaci´on entre estado f´ısico y vector de estado se verifica midiendo distintas magnitudes f´ısicas Q, cuyos autoestados ψj conocemos y por consiguiente podemos construir la suma X Ψ= cj ψj . (11) j

De este modo podemos predecir la probabilidad |cj |2 con la cual el autovalor qj aparecer´a en una medici´on y con ello verificar la bondad de la descripci´on del estado inicial por medio del estado Ψ. Con esto ustedes conocen en principio casi toda la cu´antica (salvo los dos postulados que falta enunciar). Pero conocer “en principio” es solamente un comienzo. La parte dif´ıcil es desarrollar el sentimiento o conocimiento visceral de c´omo aplicar el formalismo abstracto a los fen´omenos que ocurren en el laboratorio. Invariablemente estas aplicaciones incluyen la elaboraci´on de modelos abstractos y simplificados de los fen´omenos reales. Los mejores f´ısicos tienen una intuci´on extraordinaria para decidir cu´ales caracter´ısticas de los fen´omenos investigados son esenciales y deben estar presentes en los modelos abstractos, y cu´ales son olvidables. Toma a˜ nos desarrollar esta intuici´on. El tercer postulado ha dado - y contin´ ua haci´endolo - origen a toneladas de escritos y discusiones acerca de su interpretaci´on. Existe en Gran Breta˜ na un club, el club de los que no entienden mec´anica cu´antica, formado por quienes, a pesar de muchos esfuerzos, claman que no entienden la f´ısica cu´antica. Una actitud alternativa, tomada por la mayor´ıa de los f´ısicos, fue usar la mec´anica cu´antica sin preocuparse por su interpretaci´on, con lo que fue predicha la antimateria, se entendi´o la radiactividad y dem´as fen´omenos nucleares, se explic´o el comportamiento de materiales como semiconductores y superconductores, se describi´o la interacci´on de luz y materia (que condujo al l´aser) y entre ondas de radio y n´ ucleos (que dio origen a la resonancia magn´etica). La extensi´on de la mec´anica cu´antica a la teor´ıa cu´antica de campos es el fundamento a las formas modernas de describir las part´ı culas elementales. La formulaci´on axiom´atica de la mec´anica cu´antica requiere al menos otros dos postulados, relativos a sistemas de 2 o m´as part´ıculas id´enticas y a la evoluci´on temporal, respectivamente. Por falta de tiempo, no los discutir´e en esta charla. Consecuencias de los postulados. Dualidad onda-part´ıcula

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Veamos otras consecuencias antiintuitivas del formalismo. Para ello es u ´til hacer experimentos ideales. Esto es, experimentos en la pantalla, sin equipamiento experimental, muy convenientes tambi´en desde el punto de vista del manejo de los presupuestos. Por otra parte les menciono que la mayor´ıa de estas experiencias, que pod´ıan ser s´olo ideales cuando se desarroll´o la cu´antica, han sido realizados en el laboratorio durante los u ´ltimos 10 o 20 a˜ nos. Esto no quiere decir que la f´ısica cu´antica est´e probada experimentalmente. La experiencia puede probar que una teor´ıa no sirve, si est´a en contradicci´on con hechos experimentales. Hasta ahora la cu´antica viene aprobando todos los ex´amenes. Pero no se puede asegurar qu alguna vez aparezca una experiencia que demuestre limitaciones a su validez. Vamos a perfeccionar - idealmente - el equipo de Stern y Gerlach, a˜ nadiendo en una segunda mitad un campo magn´etico de forma tal que devuelva al ´atomo la direcci´on que ten´ıa inicialmente (figura 7). Adem´as uno de los dos cananales, o ninguno, o ambos, pueden ser interrumpidos en medio del recorrido. Llamamos equipo SG a este filtro . Tal como lo subrayaron los fundadores de la cu´antica, en especial Niels Bohr, en toda medici´on debemos especificar claramente las condiciones iniciales. En las sucesivas experiencias que realizaremos a continuaci´on ´atomos se forman en un horno sin especificar los coeficientes c↓ , c↑ . Por eso la etapa de preparaci´on incluye un SG con el canal inferior cerrado, de modo que s´olo emergen ´atomos en el estado ψ↑ . Esta primera etapa se llama fuente (Figura 7(a)). Es igualmente importante discutir c´omo funciona el detector. En nuestra experiencia, ´este consiste en otro SG y una pantalla. En cada una de las experiencias que a continuaci´on estudiaremos, haremos una primer medida con el canal superior abierto y el inferior cerrado, y otra con estas condiciones invertidas. Las part´ıculas inciden sobre una pantalla donde las detecta un observador. La primera experiencia consiste en preparar los ´atomos en el estado ψ↑ y a continuaci´on verificar el estado de los mismos con el detector. Si el canal de arriba del detector est´a abierto, pasan todos los ´atomos que emergen de la fuente; si est´a cerrado no pasa ninguno. En la segunda experiencia rotamos el detector. Entonces ser´a sensible a las componentes del spin a lo largo de la nueva direcci´on del campo magn´etico (5). Los autoestados del spin en la nueva direcci´on son χ↓ , χ↑ . Podemos escribir el estado que representa a los ´atomos saliendo de la fuente como una combinaci´on de los nuevos autoestados. ψ↑ = a↓ χ↓ + a↑ χ↑

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donde las amplitudes a↓ , a↑ dependen del ´angulo de rotaci´on del campo magn´etico. Los ´atomos pasar´an por el canal de arriba del SG rotado con probabilidad |a↑ |2 y por el de abajo con probabilidad |a↓ |2 . Hasta ahora no ha aparecido nada fundamentalmente distinto de lo que podemos esperar cl´asicamente (salvo la introducci´on de la palabra “probabilidad”). Pero no introdujimos toda esta parafernalia s´olo para presentar resultados muy similares a los de la f´ısica cl´asica. Pero ahora presentar´e resultados que son 10

Figure 7: Experimentos cu´anticos imaginarios: (a) representaci´on esquem´atica de un filtro; (b) preparaci´on del estado del ´atomo; (c) detector (filtro, placa colectora y observador); (d)-(e) experimentos (ver texto). Las barritas verticales indican bloqueos fijos, mientras que las inclinadas denotan que el camino puede abrirse o cerrarse.

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completamente antintuitivos, esto es, totalmente distintos a los que predecir´ıa la f´ısica cl´asica. En un tercer experimento preparamos el haz como siempre y lo hacemos pasar por un equipo SG rotado, en el cual el canal inferior est bloqueado. En la etapa final el haz es analizado por un detector que recuper´o la orientaci´on inicial. Recordemos que el haz sale de la fuente en el estado puro ψ↑ , y del SG intermedio en el estado χ↑ . Este u ´ltimo vector puede estar expresado como combinaci´on de los vectores ψ↓ , ψ↑ , para lo cual tenemos que invertir (12) χ↑ = b↓ ψ↓ + b↑ ψ↑

(13)

Cuando en el detector cerramos el canal de abajo, detectamos ´atomos con probabilidad |b↑ |2 ; cuando obturamos el canal de arriba, con probabilidad |b↓ |2 6= 0. Este u ´ltimo resultado no es explicable cl´asicamente, pues la componente ψ↓ estaba completamente anulada en el haz que sali´o de la fuente. Desde el punto de vista cl´asico no puede entenderse la reconstrucci´on de la componente ψ↓ (cl´asicamente, en el segundo detector no alteramos el estado del spin sino que medimos el spin desde un sistema rotado; cl´asicamente, la medici´on no altera el estado del sistema). Sin embargo el detector verifica la existencia de part´ıculas con spin hacia abajo. Cuarta experiencia: en el SG intermedio abrimos tambi´en el canal de abajo. Cuando lo hacemos, no llegan m´as al detector ´atomos con spin hacia abajo en el detector. Es decir, la intensidad disminuye a pesar de que abrimos m´as canales. Dejar pasar por el SG intermedio todas las part´ı culas es agual a suprimir el SG intermedio. El sistema emerge en el mismo estado ψ↑ en que sali´o de la fuente. Este u ´ltimo resultado es equivalente a un fen´omeno de interferencia. Cl´asicamente estos fen´omenos est´an asociados con ondas. Sin embargo, y a diferencia de lo que sucede con ondas, cuya intensidad puede disminuirse tanto como uno quiera, los ´atomos producen siempre una se˜ nal del mismo tama˜ no en la pantalla. Nunca se detectan fracciones de un ´atomo. En consecuencia, estos experimentos ideales exhiben la dualidad onda-part´ıcula, que est´a embebida en los tres principios enunciados. El gran f´ısico norteamericano Richard Feynman coment´o as´ı el resultado de estos experimentos ideales: legimos examinar un fen´omeno que es imposible, absolutamente imposible de explicar en alguna forma cl´asica, y que contiene el n´ ucleo esencial de la mec´anica cu´antica. En realidad, contiene el u ´nico misterio.” Mediciones cu´ anticas. Principio de incertidumbre En las pr´acticas de laboratorio que ustedes han realizado, una medici´on consiste en mediciones de la misma propiedad en sistemas preparados id´enticamente, con el objeto de aplicar la teor´ıa de errorres. Como en estas mediciones, calculamos el “valor m´as esperado” o “valor medio”, dado por la suma de resultados

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obtenidos qj multiplicados por la probabilidad1 de obtenerlos |cj |2 X hQi = qj |cj |2

(14)

j

Obviamente el valor medio hQi puede no coincidir con ninguno de los valores obtenidos qj . Tambi´en calculamos el “error” o “incertifumbre” del resultado, medido por la desviaci´on media cuadr´atica  1/2 X ∆Q = (Q − hQi)i1/2 =  (qj − hQi)2 |cj |2  (15) j

Supongamos medir dos magnitudes f´ısicas, Q y R. Es decir, preparamos muchos sistemas en el mismo estado Ψ, y en algunos medimos Q y en otros R. Como consecuencia de los postulados, es posible demostrar que 1 ¯¯ ˆ ˆ ¯¯ R]i¯ (16) ∆Q × ∆R ≥ ¯h[Q, 2 Es decir, que el producto de las incertidumbres en las mediciones de las dos magnitudes f´ısicas siempre es mayor o igual al valor absoluto del valor medio del conmutador de los operadores correspondientes. Aplicando este resultado al caso particular de las magnitudes f´ısicas posici´on e impulso, obtenemos el principio de incertidumbre de Heisenberg (ver (8)) ∆x × ∆p ≤

h , 4π

(17)

donde h es la constante de Planck. Supongamos un haz de part´ıculas bien colimado: este resultado dice que el haz tender´a a descolimarse, porque siempre habr´a una componente no nula de la velocidad o del impulso en las dos direcciones perpendiculares al haz. La importancia conceptual de este hecho es muy grande aunque sus efectos en la vida cotidiana son despreciables debido a la peque˜ nez del valor del conmutador, del orden de la constante de Planck. El f´ısico George Gamow ha escrito un libro divertido acerca de lo que pasar´ıa si vivi´esemos en un mundo en el cual la magnitud cotidiana de la magnitud f´ısica acci´on fuese del orden de h. Por ejemplo, no podr´ıamos pasar por ninguna puerta, porque nos desviar´ıamos y chocar´ıamos contra las paredes que la circundan; un cazador, por mejor punter´ıa que tuviese, no podr´ıa dar en el blanco; si bien un alefante, por su gran masa, podr´ıa ubicarse en un lugar bastante definido, un mosquito aparecer´ıa como una nube por la indeterminaci´on en su posici´on. Estados entrelazados y teletransportaci´ on 1 En las mediciones que ustedes han realizado en distintos laboratorios, la probabilidad est´ a dada por el n´ umero de eventos que dieron el resultado qj dividido por el n´ umero total de eventos.

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“Esta mec´ anica cu´ antica no es la de tus abuelos” Actualmente la f´ısica cu´antica experimenta una revoluci´on. No es que su sustancia est´e cambiando, pero existen dos desarrollos mayores que interesan tanto a los f´ısicos como a la sociedad en general. En primer lugar, la posibilidad de realizaci´on en el laboratorio de experimentos otrora considerados como ideales confirman en forma cada vez m´as convincentemente la realidad de resultados antiintuitivos. En segundo lugar, la posibilidad de construir computadoras cu´anticas, con una capacidad de procesar informaci´on enormemente aumentada. No s´e cu´ando apareci´o la pel´ıcula sobre la guerra de galaxias, incluyendo la idea de teletransportaci´on. En cu´antica, dicha posibilidad fue descubierta te´oricamente en 1993 y realizada experimentalmente en 1997. Hace un par de meses fue noticia en todos los medios del mundo el hecho de que el equivalente de un qubit fue teletransportado de una ribera del Danubio a otra. Consideremos el caso de dos part´ıculas. Generalizando (4), el vector que representa el estado del spin de dos part´ıculas, Ψ(1, 2), puede escribirse como combinaci´on de estados “producto” ψa (1)ψb (2) Ψ(1, 2) = a↓↓ ψ↓ (1)ψ↓ (2) + a↓↑ ψ↓ (1)ψ↑ (2) + a↑↓ ψ↑ (1)ψ↓ (2) + a↑↑ ψ↑ (1)ψ↑ (2) (18) Alternativamente, podemos sustituir los vectores base tipo “producto” usados en (18) por la nueva base φB1

=

φB3

=

1 √ (ψ↓ (1)ψ↓ (2) + ψ↑ (1)ψ↑ (2)) ; 2 1 √ (ψ↓ (1)ψ↑ (2) + ψ↑ (1)ψ↓ (2)) ; 2

1 φB2 = √ (ψ↓ (1)ψ↓ (2) − ψ↑ (1)ψ↑ (2)) 2 1 φB4 = √ (ψ↓ (1)ψ↑ (2) − ψ↑ (1)ψ↓ (2)) 2 (19)

Los estados 19) se llaman entrelazados. El entrelazamiento constituye una correlaci´on profunda y no cl´asica entre dos o m´as part´ıculas: i) los estados entrelazados no pueden ser escritos como productos de estados de una part´ıcula; ii) la medici´on del spin de una part´ıcula destroza el estado entrelazado; iii) la medici´on del spin de una part´ıcula fija el spin de la otra, independientemente de la distancia entre ambas; iv) el estado de cada part´ıcula no est´a definido, si bien el estado total s´ı lo est´a. An´alogamente a lo hecho en (5), podemos expresar Ψ(1, 2) (18) por medio de los vectores de la base (19) Ψ(1, 2) = bB1 φB1 + bB2 φB2 + bB3 φB3 + bB4 φB4

(20)

Tambi´en podemos realizar la transformaci´on inversa a (19) y expresar los estados producto como combinaci´on de estados entrelazados. Supongamos ahora que dos observadores, tradicionalmente llamados Alicia y Roberto, est´an a distancia macrosc´opica uno de otro. Alicia tiene un qubit en 14

el estado Ψc (1) Ψc (1) = c↓ ψ↓ + c↑ ψ↑ .

(21)

El objetivo de la teletransportaci´on es poner una part´ıcula de Roberto en ese estado, sin transportar la part´ıcula o enviar informaci´on acerca del estado por medios cl´asicos. Para ello se preparan los qubitos 2,3 en uno de los estados (19), por ejemplo en el estado φB1 (2, 3). Alicia se lleva uno de los qubitos y Roberto el otro. El estado del sistema total es Ψ(1, 2, 3)

= =

Ψc (1) φB1 (2, 3) 1 √ (c↓ ψ↓ (1)ψ↓ (2)ψ↓ (3) + c↓ ψ↓ (1)ψ↑ (2)ψ↑ (3) 2 + c↑ ψ↑ (1)ψ↓ (2)ψ↓ (3) + c↑ ψ↑ (1)ψ↑ (2)ψ↑ (3))

(22)

Invirtiendo (19), podemos expresar los dos qubitos en poder de Alicia en t´erminos de estados entrelazados (19) Ψ(1, 2, 3)

=

1 (φB1 (1, 2) (c↑ ψ↓ (3) + c↓ ψ↑ (3)) + φB2 (1, 2) (c↑ ψ↓ (3) − c↓ ψ↑ (3)) 2 + φB3 (1, 2) (c↓ ψ↓ (3) + c↑ ψ↑ (3)) + φB4 (1, 2) (−c↓ φ↓ (3) + c↑ φ↑ (3))) (23)

Alicia filtra ahora sus dos qubitos y obtiene un estado (19) bien definido. Simult´aneamente el qubit de Roberto tambi´en se proyecta en un estado bien definido, pero Roberto ignora la relaci´on entre este estado y el qubit inicial de Alicia. Esta informaci´on debe ser provista por Alicia usando m´etodos convencionales, a una velocidad ighual o inferior a la de la luz, con lo cual se preserva la limitaci´on relativista respecto de la velocidad de transmisi´on de informaci´on. Pero notemos: i) Alicia puede no conocer el estado teletransportado Ψc . Si intentase medirlo, lo destruir´ıa; ii) La duraci´on de una transmisi´on convencional de las amplitudes c↓ , c↑ aumenta con precisi´on requerida (cada una es un n´ umero real con infinitas cifras significativas). Sin embargo, el resultado del experimento cu´antico es un n´ umero entero, de 1 a 4. En teleportaci´on cu´antica, informaci´on discreta se transforma en informaci´on continua.

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