Wiedereintrittsaerodynamik 001

Wiedereintrittsaerodynamik

Dr.-Ing. Christian Stemmer ¨r Aerodynamik Lehrstuhl fu ¨nchen TU Mu Prof. Dr.-Ing. habil. Rainer Friedrich ¨ mungsmechanik Fachgebiet Stro ¨nchen TU Mu

Danksagung Das vorliegende Vorlesungsmanuskript basiert auf den Vorlesungen “Str¨omungen verdu ¨nnter Gase” und “Aerodynamik der Raumfahrzeuge”, die von Prof. Dr. R. Friedrich zusammengestellt wurden. Mein Dank gebu ¨hrt Prof. Dr. R. Friedrich vom Fachbereich Str¨omungsmechanik am Lehrstuhl fu ¨r Aerodynamik fu ¨r das Zurverfu ¨gungstellen der Unterlagen und der Unterstu ¨tzung bei der Vorbereitung auf diese Vorlesung.

Literatur J.D. Anderson, Hypersonic and high temperature gas dynamics. McGrawHill, 1989, reprint of AIAA publishing, Reston, VA., 2000. J.D. Anderson, Modern Compressible Flow. McGraw-Hill, 3. Auflage, 2003. H. Oertel Jr., Aerothermodynamik. Springer-Verlag, 1994. E.H. Hirschel, Basis of Aerothermodynamics. Springer-Verlag, 2005. A. Frohn, Einf¨uhrung in die Kinetische Gastheorie. AULA-Verlag Wiesbaden, 2. Aufl. 1988.

Inhaltsverzeichnis Nomenklatur

vii

Vorbemerkung

x

1 Planetenatmosph¨ aren und einfache Probleme des Wiedereintritts 1 1.1 Planetenatmosph¨aren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Mond und Merkur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3

Mars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.4

Venus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Wiedereintritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1

Aerodynamische Abbremsung . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2

Eintrittskorridor

1.2.3

Aerodynamische Erw¨armung . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.2.4

Ablationsschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.5

Strahlungsk¨ uhlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Hyperschallstr¨ omungen

30

2.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1

Einleitung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.2

Senkrechter Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.3

Schiefer und gekr¨ ummter Verdichtungsstoß . . . . . . . 34

2.1.4

Machzahl-Unabh¨angigkeitsprinzip . . . . . . . . . . . . 38 iv

2.2 Verfahren zur Berechnung reibungsfreier HyperschallStr¨omungen bei idealem Gas konstanter spezifischer W¨arme. . 41 2.2.1

Newtonsche Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2

Modifizierte Newtonsche Theorie . . . . . . . . . . . . 43

2.2.3

Newton-Busemann-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.4

Anwendungen der Newtonschen Theorie . . . . . . . . 47

2.2.5

Theorie kleiner St¨orungen im Hyperschall

2.2.6

. . . . . . . 55 ¨ Charakteristikenverfahren f¨ ur station¨are ebene Uberund Hyperschallstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.2.7

Str¨omungsfeld im Nasenbereich stumpfer K¨orper . . . . 69

3 Flugkonfigurationen und Antriebssysteme

72

3.1 Flugkonfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.1.1

Raumkapseln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.2

Raumgleiter – Wiedereintrittsflugk¨orper . . . . . . . . 74

3.1.3

Wellenreiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Antriebssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.1

Luftatmende Triebwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.2

Raketentriebwerke

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4 Aerodynamische Aufheizung und Ablation

85

4.1 Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1.1

Kriterien f¨ ur die Wahl der Flugbahn . . . . . . . . . . 85

4.1.2

Ort der Maxima des W¨armeflusses und der aerodynamischen Kr¨afte beim Wiedereintritt . . . . . . . . . . . 91

4.2 Thermochemische und Verd¨ unnungseffekte beim W¨arme¨ ubergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.2.1

Thermochemische Effekte unter Kontinuumsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.2

Verd¨ unnungseffekte beim W¨arme¨ ubergang . . . . . . . 113

4.2.3

W¨arme¨ ubergang f¨ ur einzelne Komponenten des Wiedereintrittsk¨orpers LB 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3 W¨armestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 v

4.3.1

Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4.3.2

Das nichtabsorbierende strahlende Gas . . . . . . . . . 124

4.4 W¨armeschutzsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4.1

Prinzipielle L¨osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.4.2

Berechnung der Temperaturverteilung in der W¨armeschutzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.4.3

Isolationsmaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4.4.4

Aufbau von W¨armeschutzsystemen . . . . . . . . . . . 134

5 Experimentelle Hyperschallforschung

138

5.1 Die Notwendigkeit von Windkanalversuchen . . . . . . . . . . 138 ¨ 5.2 Ahnlichkeitsparameter und Problematik der Simulation im Windkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.3 Zwei Beispiele f¨ ur Hyperschallkan¨ale . . . . . . . . . . . . . . 142 5.3.1

Plasmakanal (Hochenthalpiekanal) . . . . . . . . . . . 142

5.3.2

Stoßwellenrohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 ¨ Ubersicht u ¨ ber Hochenthalpie-Windkan¨ale . . . . . . . 144

5.3.3

vi

Nomenklatur Lateinische Buchstaben: A Auftrieb a Schallgeschwindigkeit a Themperaturakkommodationskoeffizient B Ballistischer Faktor Bν Strahlungsintensit¨at des schwarzen Strahers c Konzentration c mittlere Teilchengeschwindigkeit cA Auftriebkoeffizient cp Druckbeiwert cs Strahlungskonstante cv spezifische W¨armekapazit¨at bei konstantem Volument cW Widerstandskoeffizient D Diffusionskoeffizient Da Damk¨ohlerzahl E totale Energie Ea Aktivierungsenergie e spezifische innere Energie F (Querschnitts-) Fl¨ache f Gravitationskonstante g Erdbeschleunigung G Gewichtskraft h spezifische Enthalpie H H¨ohe in der Atmosph¨are Iν Strahlungsintensit¨at Jν Emissionskoeffizient j Diffusionsstrom K Tsienscher Hyperschallparameter k Boltzmann-Konstante l L¨ange vii

Le M Ma m Nu n O P Pr p q R R0 R S St s T t u U V W W

Lewiszahl Molek¨ ulmasse Machzahl Masse Nusseltzahl Lastvielfaches Oberfl¨achenelement Kraft Prandtlzahl Druck W¨armefluß Abstand, Radius Planetenradius Gaskonstante Entropie Stantonzahl Ort Temperatur Zeit Geschwindigkeitsvektor Geschwindigkeitsbetrag Volumen Widerstand Geschwindigkeit

Griechische Buchstaben: α Winkel β Wikel δ Keilwinkel γ Adiabatenexponent (Verh¨altnis der spez. W¨armen) γ Flugbahnwinkel ǫ Emissionskoeffzient ζ ben¨otigte Energie/Masse zur Verdampfung (Ablation) ϕ Winkel κν Absorptionskoeffizient λT W¨armeleitf¨ahigkeit λ mittlere freie Wegl¨ange µ dynamische Z¨ahigkeit ν kinematische Z¨ahigkeit ρ Dichte σ Stoßwinkel viii

τ τ Ψ η,ξ

Schubspannung Linearfaktor Stromfunktion (transformierte) Orts-Kooordinate

Koordinaten: x, x1 Koordinate eines kartesischen Koordinatensystems oder Axialkoordinate eines Zylinderkoordinatensystems y, x2 Koordinate eines kartesischen Koordinatensystems z, x3 Koordinate eines kartesischen Koordinatensystems r Radialkoordinate eines Kugel- oder Zylinderkoordinatensystems φ L¨angenkoordinate eines Kugeloder Tangentialkoordinate eines Zylinderkoordinatensystems ψ Breitenkoordinate eines Kugelkoordinatensystems u, u1 v, u2 w, u3

Indizes: i W ∞

Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung (kartesische oder Zylinderkoordinaten), in r-Richtung (Kugelkoordinaten) Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung oder φ-Richtung Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung (kartesische Koordinaten), in r-Richtung (Zylinderkoordinaten), in ψ-Richtung (Kugelkoordinaten)

Spezies Wand unendlich

ix

Kapitel Vorbemerkung Der 4. Oktober 1957 kann als die Geburtsstunde der Raumfahrt angesehen werden. An diesem Tag gelang es russischen Wissenschaftlern und Technikern einen k¨ unstlichen Satelliten, Sputnik I (83 kg schwer, Gr¨oße eines Basketballs) in eine Umlaufbahn um die Erde zu schicken (http://history.nasa.gov/sputnik/index.html), nachdem zuvor zahlreiche Versuche mit ballistischen Raketen erfolgt waren, die die Erdatmosph¨are verlassen hatten. Dabei wurde von amerikanischer wie auch von russischer Seite auf Erfahrungen deutscher Wissenschaftler zur¨ uckgegriffen, die sie im 2. Weltkrieg mit der V-1 und V-2 Rakete gesammelt hatten, die haupts¨achlich zum Angriff auf England und Holland benutzt wurden (z.B. http://www.raumfahrtgeschichte.de/space1/peenemuende1.htm oder http://www.peenemuende.de/site/flash/museum.html). Am 3. November 1957 folgte Sputnik II, trug wesentlich gr¨oßere, vor allem lebende Nutzlast, n¨amlich den Hund Laika (http://history.nasa.gov/sputnik/index.html). Diese Erfolge auf russischer Seite f¨ uhrten zu einem russisch-amerikanischen Wettlauf um den Weltraum. Am 1. Oktober 1958 gr¨ undeten die Amerikaner die NASA (National Aeronautics and Space Administration) aus der NACA (National Advisory Committee for Aeronautics) und anderen offiziellen Agenturen. Wernher von Braun und seine Mannschaft in Huntsville (Alabama) wurden mit der Entwicklung des Explorer-Satelliten betraut. Tr¨agerrakete ist die Jupiter C, ein direkter Abk¨ommling der deutschen A-4 (V-2). Explorer I startete am 31. Januar 1958 nach einer Konstruktionszeit von nur 84 Tagen und entdeckte die nach dem Wissenschaftler Van Allen bekannten G¨ urtel magnetischer Strahlung um die Erde. W¨ahrend Explorer II als Fehlschlag endete, best¨atigte Explorer III die wissenschaftlichen Ergebnisse zur magnetischen Strahlung.

x

Die amerikanische Nation unter Dwight D. Eisenhower war vom Weltraumfieber gepackt. Der Schock der russischen Erfolge gab der amerikanischen Forschungslandschaft eine neue Richtung. Universit¨aten boten Kurse u ¨ ber Hypersonische Str¨omungen, Str¨omungen verd¨ unnter Gase, Himmelsmechanik, Aerothermochemie usw. an. Regierung, Industrie und Hochschulen entwickelten gemeinsam Windkanalanlagen f¨ ur hohe Enthalpien, niedere Dr¨ ucke. Die meisten heute noch g¨ ultigen B¨ ucher stammen aus den 60er Jahren. Mitte der 60er Jahre wurde auch in Deutschland die Notwendigkeit erkannt, auf dem Gebiet hocherhitzter und verd¨ unnter Gase Grundlagenforschung zu betreiben. Von der DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft) wurden Schwerpunktprogramme u ¨ber ’Hocherhitzte Gase’ gef¨ordert. Den USA brachten die bemannten Mondmissionen (1968-1972) mit den Missionen Apollo 8 bis 17 weltweite Anerkennung. Insgesamt wurden 9 bemannte ¨ Fl¨ uge zum Mond durchgef¨ uhrt. Sie unterstrichen die amerikanische Uberlegenheit in der Raumfahrt. Vermutlich reichten diese Erfolgserlebnisse und die leeren staatlichen Kassen aus, um von politischer Seite den Mut zu haben, die Raumfahrtprogramme hinfort drastisch zu k¨ urzen. Erst in den 80er Jahren hat die amerikanische Raumfahrt wieder an Attraktivit¨at gewonnen, mit dem Raum-Transportsystem Space Shuttle, den Planungen f¨ ur eine Raumstation und ein Hyperschallflugzeug (NASP, National Aerospace Plane). Die Planungen zu NASP wurden aus Kostengr¨ unden gestoppt. Eine internationale Raumstation wurde erst im Jahr 2000 Wirklichkeit. Unter den deutschen Beitr¨agen zur Raumfahrt sind die Planungen zu S¨anger II bemerkenswert. Dabei handelt es sich um ein zweistufiges Raumtransportsystem (http://www.astronautix.com/lvs/saegerii.htm) mit einer luftatmenden Hyperschallstufe (Mach 4) und einer raketengetriebenen Oberstufe. Die DFG hat seit 1989 drei Sonderforschungsbereiche in Aachen, M¨ unchen und Stuttgart gef¨ordert, um auf dem Gebiet der Raumfahrtaerodynamik Grundlagenforschung voranzutreiben. In letzter Zeit sind auch wieder einige fliegende Testst¨ande vorangetrieben worden (ESA – Expert, NASA – X-43A oder HyperX, Japan Aerospace Exploration Agency (JAXA) – HOPE-X, University of Queensland, Australien – HyShot), da die Notwendigkeit einer neuer Generation von Weltraumtransportern (Nachfolge des Space Shuttles sowie eigene Weltraumtransportprojekte anderer L¨ander) erkannt worden ist. Die folgenden Kapitel fassen einige Grundlagen der Aerodynamik der Raumfahrzeuge zusammen. Sie konzentrieren sich auf das Wiedereintrittsproblem. Details u ¨ ber die chemischen Vorg¨ange in Hyperschallstr¨omungen k¨onnen der Vorlesung “Hyperschallstr¨omungen”, angeboten im Wintersemester, entnommen werden. xi

Kapitel 1 Planetenatmosph¨ aren und einfache Probleme des Wiedereintritts 1.1

Planetenatmosph¨ aren

Im astronomischen Sinne handelt es sich bei dem, der gegenw¨artigen Raumfahrt zug¨anglichen Weltraum lediglich um den interplanetaren Raum. Er wird, im Gegensatz zu den Tiefen des Alls, in erheblichem Maße durch die Sonne beherrscht (solare Gravitation, Wellenstrahlung und Partikel). Von dem interplanetaren Raum unterscheidet sich noch wesentlich jener ebenfalls in der Praxis als Weltraum bezeichnete Bereich oberhalb von ca. 100 km u usse unseres Planeten (Hochat¨ber der Erdoberfl¨ache, in welchem die Einfl¨ mosph¨are, Erdmagnetfeld) von erheblicher Bedeutung sind. Der darunter liegende Bereich (0–100 km) einer Planetenatmosph¨are ist f¨ ur Start- und Landeman¨over von Raumflugk¨orpern von gr¨oßter Bedeutung, denn dort treten die st¨arksten mechanischen und thermischen Belastungen an den Flugk¨orpern auf. Da diese vom Zustand und der Zusammensetzung der Planetenatmosph¨are abh¨angen, ist es wichtig, sich erst einmal damit zu besch¨aftigen.

1

1.1.1

Erde

Unsere Erdatmosph¨are l¨aßt sich in mehrere Zonen einteilen, welche durch den Temperaturverlauf als Funktion der H¨ohe definiert werden (Abb. 1.1). Unmittelbar u ¨ber dem Erdboden beginnt die Troposph¨are, bei der die Temperatur in der Regel mit zunehmender H¨ohe abnimmt. In ihr spielen sich im wesentlichen die Wettervorg¨ange sowie ein großer Teil des Luftverkehrs ab. Am oberen Rand (8–12 km H¨ohe) der Troposph¨are (Tropopause) beginnt die Stratosph¨are. In dieser Schicht wird die von der Sonne einfallende Strahlung (Energiefluß etwa 1,4 kW/m3 ) absorbiert und hierdurch der Atmosph¨are Energie zugef¨ uhrt, was sich in einem Temperaturanstieg (Aufheizung) bemerkbar macht. Die Temperatur erreicht ein relatives Maximum in der Stratopause. Dar¨ uber schließt sich zwischen ca. 50 und 80 km H¨ohe wieder ein Gebiet fallender Temperatur, die Mesosph¨are, an. Oberhalb des Minimums, bei ca. 80 km, steigt die Temperatur bis in H¨ohen von 200 bis 300 km wieder an (Thermosph¨are) und erreicht in dar¨ uber liegenden Schichten (Exosph¨are) einen nahezu konstanten Wert (ca. 700 bis 1800 K). Eine andere Betrachtungsweise basiert auf der chemischen Zusammensetzung der elektrisch neutralen Bestandteile der Atmosph¨are. Bis in etwa 80 km H¨ohe reichen die Mischungsvorg¨ange (Turbulenz) aus, um der Atmosph¨are eine gleichm¨aßige chemische Zusammensetzung zu erhalten, die derjenigen am Erdboden entspricht (N2 : O2 : Ar = 78 : 21 : 1V ol.%). Das mittlere Molekulargewicht betr¨agt hier, in der sog. Homosph¨are, ca. 29 g/mol. Ganz anders verh¨alt sich die chemische Zusammensetzung in dem oberhalb 120 km H¨ohe liegenden Bereich, wo keine nennenswerte Durchmischung mehr stattfindet. Dort stellen sich die Partialdr¨ ucke jeder einzelnen Gaskomponente so ein, wie wenn diese allein vorhanden w¨are. Entsprechend der barometrischen H¨ohenformel dpi dρi gmi = =− dH pi ρi kT

(1.1)

nimmt der Partialdruck pi einer Komponente (i) im Schwerefeld der Erde (g) bei gegebener Temperatur (T) um so schneller mit der H¨ohe (H) ab, je gr¨oßer die Masse (mi ) eines Molek¨ uls (bzw. Atoms) des betreffenden Gases ist. Dies f¨ uhrt zu einer Anreicherung der schwereren Gase (O2, N2 ) in den tiefen bzw. zu einer Vermehrung des Prozentualanteils der leichteren Gase (O, He, H) in den h¨oheren Schichten. Die chemische Zusammensetzung ist somit nicht mehr homogen, sondern h¨ohenabh¨angig (Heterosph¨are). Den schematischen Sachverhalt zeigt Abbildung 1.2.

2

Abbildung 1.1: Temperaturverlauf in der Atmosph¨are

3

Abbildung 1.2: Heterosph¨are

Die barometrische H¨ohenformel nach Gl. (1.1) ergibt sich aus der Betrachtung des hydrostatischen Gleichgewichts in folgender Weise: (s. Abbildung 1.3) ρ(H) · F · dH · g = −dp · F Die ideale Gasgleichung lautet; p = RT ρ Unter der Annahme einer isothermen Atmosph¨are (T = const), also dp = dρ · RT erh¨alt man die barometrische H¨ohenformel in der Form (1.1). Die Gleichung l¨aßt sich f¨ ur g = const. (relativ geringe H¨ohe) integrieren zu: lnρ = −

g H + const. RT

F¨ ur H = 0 (Meeresh¨ohe) ist ρ = ρ0 und damit in erster N¨aherung

4

Abbildung 1.3: Hydrostatisches Gleichgewicht in der Atmosph¨are

  g 0 ·H ρ = ρ0 · exp − RT

(1.2)

Die Gr¨oße H + = RT /g0 kann als charakteristische H¨ohe gedeutet werden. Wenn sie erreicht ist, ist die Dichte auf den Wert ρ0 /e ≃ 0,37ρ0 abgefallen. H + nimmt mit der Temperatur zu (heiße Gase dehnen sich aus) und ist kleiner je gr¨oßer die Schwerebeschleunigung. Die Abbildungen 1.4 und 1.5 zeigen den Dichte- und Druckverlauf nach der barometrischen H¨ohenformel. Die barometrische H¨ohenformel macht - auf andere Planeten angewandt - bereits wesentliche Merkmale im Aufbau ihrer Atmosph¨aren verst¨andlich. Um die Zusammensetzung einer Atmosp¨are zu verstehen, ist es weiterhin wichtig, sich zu u ¨berlegen, unter welchen Umst¨anden eine Atmosph¨are entweichen kann.

5

Abbildung 1.4: Dichteverlauf gem¨aß der barometrischen H¨ohenformel

Abbildung 1.5: Druckverlauf gem¨aß der barometrischen H¨ohenformel

6

Betrachten wir zun¨achst die kosmischen Geschwindigkeiten: 1. die Kreisbahngeschwindigkeit UK : Aus dem Gleichgewicht zwischen Schwerkraft und Zentrifugalkraft folgt: mU 2 = mg0 bzw. R0

UK = R0 ≃ Planetenradius

p

g0 R0

(1.3)

g0 = Schwerebeschleunigung in der N¨ahe der Planetenoberfl¨ache 2. die Fluchtgeschwindigkeit UE : ¨ Sie ergibt sich aus der Uberlegung, dass die kinetische Energie eines K¨orpers der Masse m1 , der sich aus dem Anziehungsbereich des Planeten der Masse m2 entfernen will (vgl. Abb. 1.6), gleich der gegen die Gravitation zu leistenden Arbeit ist:

Abbildung 1.6: Zur Berechnung der Fluchtgeschwindigkeit

7

m1 UE2 = 2

Z

∞

K(r)dr

R0

m1 m2 = m1 g r2 m1 m2 ; m1 g0 = f R02

K(r) = f

g R2 = 20 g0 r f = Gravitationskonstante UE2

=2

Z

∞

R0

UE =

g0 R02

dr = 2g0R0 r2

p √ 2g0 R0 = 2UK

(1.4)

Nachdem die Fluchtgeschwindigkeit unserer Planeten nun errechnet werden kann, soll im folgenden das Kriterium gefunden werden, unter welchem Gase dauernd auf einem Himmelsk¨orper festgehalten werden k¨onen. Entweichen der Atmosph¨are Gasteilchen befinden sich bekanntlich in st¨andiger willk¨ urlicher Bewegung, wobei alle Geschwindigkeitsrichtungen und -betr¨age auftreten. Es l¨aßt sich aber eine mittlere Teilchengeschwindigkeit c definieren, die ungef¨ahr gleich der Wurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat der Teilchen ist: 3 mc2 = kT 2 2

(Temperaturdefinition)

p

c2 =

r

3kT ≃c m

(1.5)

Wie sich Gl. (1.5) entnehmen l¨aßt, ist die mittlere Teilchengeschwindigkeit der Wurzel aus der Temperatur proportional und umgekehrt proportional zur Wurzel aus dem Atom- bzw. Molekulargewicht. Nach Jeans k¨onnen Gase

8

dann von einem Planeten entweichen, wenn die mittlere Teilchengeschwindigkeit gr¨oßer als etwa 1/5 der Fluchtgeschwindigkeit ist. Dieser Fall tritt insbesondere dann ein, wenn die in einer Atmosph¨are herrschenden Temperaturen hoch oder die Gase leicht sind (H, He ) bzw. die Gravitation klein ist. r

1.1.2

1p 3kT 2g0 R0 . > m 5

(1.6)

Mond und Merkur

Selbst wenn der Mond fr¨ uher von einer Gash¨ ulle umgeben war, muss er diese im Laufe seiner weiteren Entwicklung verloren haben. Bei der geringen Gravitation an der Mondoberfl¨ache (1,62 m/s2 ) und den dort herrschenden Temperaturen k¨onnen sich daher leichte Gase (H, He , O2 , N2 ) nicht dauernd halten. Kleine Mengen bei radioaktivem Zerfall entstehender Edelgase (Ar) sowie eine m¨ogliche, gelegentliche Freisetzung von Gasen an der Oberfl¨ache liefern keinen hinreichenden Ausgleich. Nach heutiger Kenntnis ist die Dichte der Mondatmosph¨are an der Oberfl¨ache um einen Faktor 10−13 geringer als die Dichte der Erdatmosph¨are am Erdboden. Das Fehlen einer nennenswerten Mondatmosph¨are ließ sich schon vor dem Einsatz von Raumsonden aus folgenden Beobachtungstatsachen ableiten: 1. Die von Bergen erzeugten Schatten zeigen keine Kontrastschw¨arzung wie sie bei einer dichteren Atmosph¨are durch Lichtstreuung hervorgerufen w¨ urde. 2. W¨ahrend bei der Venus (die, ¨ahnlich wie der Mond, Phasen zeigt) eine deutliche Verl¨angerung der Sichelspitzen durch Lichtstreuung in der Atmosph¨are erfolgt, wurde ein derartiger Effekt beim Mond nicht nachgewiesen. 3. Auch die Analyse des vom Mond reflektierten Sonnenlichtes zeigt keine Ver¨anderungen, die auf Gase einer Mondatmosph¨are hinweisen. Spektroskopische Untersuchungen (CO2 ) und polarimetrische Messungen (Rayleighstreuung) liefern eine so niedrige obere Schranke f¨ ur die Dichte bzw. den Druck einer hypothetischen Merkuratmosph¨are (Oberfl¨achendruck < 0,1 mbar), dass man den Planeten als praktisch atmosph¨arelos bezeichnen kann. Dies ist auch plausibel, denn einmal ist die Gravitationsbeschleunigung an 9

Abbildung 1.7: Merkur der Merkuroberfl¨ache (≃ 3,6m/s2 ) mit der des Mondes weit eher vergleichbar als mit derjenigen unserer Erde (9,81m/s2 ). Zum anderen empf¨angt Merkur in Vergleich zum Mond bei a¨hnlichem Absorptionsverm¨ogen etwa den 7-fachen Strahlungsfluß von der Sonne. Wegen der hieraus resultierenden hohen Temperaturen (im Mittel 610 K) und der geringen Gravitationsbeschleinigung k¨onnen leichte Gase (H2 , He, aber auch O2 , N2 ) nicht dauernd vom Planeten festgehalten werden.

1.1.3

Mars

Vor 1965 (Mariner IV) bestand die Vorstellung, dass auf der Marsoberfl¨ache ¨ ein Druck von ca. 85 mbar (1 atm ≃ 1,0133 bar) herrsche. Eine Anderung dieser Anschauungen trat durch das mit der Mariner IV-Sonde ausgef¨ uhrte 1 Okkultationsexperiment ein. F¨ ur den Druck der Neutralatmosph¨are an der 1

Bei ihrem Vorbeiflug am Mars wurde die Sonde auf ihrer Bahn in eine Zone gef¨ uhrt, in der die Blickrichtung von der Erde zur Sonde durch den Planeten Mars verdeckt war. Kurz vor dem Verschwinden der Sonde hinter dem Mars mussten die zur Telemetrie verwendeten Radiowellen (2300 MHz) auf ihrem Weg zur Erde die Marsatmosph¨are streifend durchdringen. Da sowohl in der Ionosph¨ are als auch in der Neutralatmosp¨are der Brechungsindex

10

Marsoberfl¨ache folgte der u ¨berraschend geringe Wert von 5 bis 7 mbar. Die Resultate der Modellrechnungen sind davon abh¨angig, welches Mischungsverh¨altnis zwischen CO2 und anderen Neutralgasen (A, N2 ) angenommen wird. Als haups¨achlicher Bestandteil der Atmosph¨are wird das Kohlendioxid angesehen (40 - 100 Vol. %). Die neueren errechneten Atmosph¨arendr¨ ucke an der Marsoberfl¨ache liegen zwischen ca. 5 und 15 mbar. Nach neuen Messungen verschiedener Marssonden (Mars Rover, Global Surveyor) besteht die Marsatmosph¨are zu 95,3 Vol% CO2 , 2,7 Vol% N2 , 1,6 Vol% Ar und 0,13 Vol% O2 , sowie Spuren von Wasserdampf, Neon, Krypton und Xenon. Der mittlere Atmosph¨arendr¨ ucke an der Marsoberfl¨ache liegen bei 6 mbar. Die Oberfl¨achentemperatur liegt im Mittel bei 218 K mit einer Maximaltemperatur von 300 K und einer Minimaltemperatur von 140 K. Auch die Existenz einer Mars-Ionosph¨are wurde durch Mariner IV festgestellt. Aus den Okkultationsmessungen konnte eine Elektronendichte von ca. 105 Elektronen/cm3 auf der Tagseite abgeleitet werden, w¨ahrend auf der Nachtseite keine Ionosph¨are nachgewiesen wurde. Bemerkenswert sind die in der Marsatmosph¨are beobachteten Wolkentypen. Man spricht von weißen, blauen und gelben Wolken. Bei den weißen Wolken handelt es sich nach der Theorie von Dollfus um cirrus¨ahnliche Gebilde aus ¨ Eiskristallen, die oftmals große Fl¨achen bedecken. Sie treten in der Aquatorgegend und in den gem¨aßigten Zonen auf. Eine andere Hypothese deutet die weißen Wolken als CO2 -Kristalle. Bei den blauen Wolken d¨ urfte es sich um Eiskristalle im Submikronbereich handeln, die ¨ahnlich wie leuchtende Nachtwolken auf der Erde in gr¨oßeren H¨ohen auftreten. Die gelben Wolken bestehen aus Staub (Limonitstaub, 2Fe2 O3 3H2 O), der von der Oberfl¨ache durch die Atmosph¨are aufgewirbelt wurde. Wegen der geringen Schwerkraft ist die Sinkgeschwindigkeit einmal in der Atmosph¨are befindlicher Partikel trotz der niedrigen Atmosph¨arendichte gering, so dass sich derartige Staubwolken einige Zeit halten k¨onnen.

1.1.4

Venus

Das mit der amerikanischen Sonde Mariner V (Okt. 1967) durchgef¨ uhrte Okkultationsexperiment l¨aßt bei Venus auf Oberfl¨achendr¨ ucke um 70 atm und Temperaturen bei 800 K schließen. Als mittleres Molekulargewicht der von 1 verschieden ist, ergibt sich bei sonst gleichen Verh¨altnissen eine Phasenverschiebung gegen¨ uber der entsprechenden Ausbreitung im reinen Vakuum. Nach Elimination s¨amtlicher u ¨berlagerter Effekte (z.B. Bahnbewegung von Sonde und Erde, Erdatmosph¨are) konnte die durch die Marsatmosph¨ are allein verursachte Phasenverschiebung als Funktion der Zeit gewonnen werden.

11

Abbildung 1.8: Mars

Abbildung 1.9: Mariner IV (links) und der Mars-Rover (rechts)

12

Atmosph¨are wurden etwa 40 g/molermittelt. Dies entspricht einer Zusammensetzung von 69 bis 87 % CO2 und einem Restgehalt an N2 oder anderen Gasen (H2 , He, Ar). Das Experiment zeigte ferner, daß Venus eine Ionosph¨are (Tagseite 105 −106 Elektronen/cm3 ) besitzt. Durch Wechselwirkung dieser Ionosph¨are mit dem solaren Wind bildet sich eine Stoßwelle aus wie sie von der irdischen Magnetosph¨are her bekannt ist.

Abbildung 1.10: Venus Messungen der russischen Sonden Venera V und VI, die am 16. und 17. Mai 1969 in die Venusatmosph¨are eintauchten, ergaben Temperaturwerte von 800 bzw. 700 K an der Oberfl¨ache und entsprechende Dr¨ ucke von 140 bzw. 60 atm. Als Zusammensetzung der Atmosph¨are wurden 93 bis 97 % CO2 , h¨ochstens 0,4 % O2 und als Rest chemisch tr¨age Gase angegeben. Von den bestehenden Theorien u ¨ber die Venusatmosph¨are scheint das sog. Treihausmodell am ehesten mit den Sondenmessungen im Einklang zu sein. Die Erw¨armung der Oberfl¨ache beruht hiernach darauf, daß einerseits die sichtbare Sonnenstrahlung, welche den gr¨oßten Anteil der von der Sonne gelieferten Energie enth¨alt, durch die Atmosph¨are zum Boden vordringen und diesen erw¨armen kann. Die heiße Planetenoberfl¨ache hat dagegen das Maximum ihrer spektralen Energieverteilung im Infraroten. Enth¨alt die Atmosph¨are eines Planeten Gase in gen¨ ugender Konzentration, die in diesem 13

Bereich stark absorbieren (z.B. H2 O, CO2 ), so kann die Strahlungsenergie der Oberfl¨ache nicht ungehindert in den Weltraum entweichen. Sie wird vielmehr in den unteren Atmosph¨arenschichten zun¨achst absorbiert, so dass sich unmittelbar an der Oberfl¨ache und dar¨ uber sehr hohe Temperaturen aufbauen. F¨ ur die chemische Zusammensetzung der Venusatmosph¨are gibt Rasool (1968) an:

CO2 N2

90 Vol.-% < 7 Vol.-%

H2 O 0,1 - 1 Vol.-% CO

0,004 Vol.-%

Die Sondenmessungen ergaben, wie bereits erw¨ahnt, einen etwas h¨oheren CO2 -Gehalt. Die in der Atmosph¨are beobachteten Wolken d¨ urften nicht aus fl¨ ussigen Tr¨opfchen, sondern aus Eiskristallen bestehen. Gemessene Infrarottemperaturen (230 K) entsprechen vermutlich der Wolkenobergrenze. ¨ Die Abbildungen 1.11 und 1.12 geben einen Uberblick u ¨ber den Dichteverlauf und die wichtigsten Parameter der Atmosph¨aren von Erde, Mond, Merkur, Venus und Mars.

Abbildung 1.11: Dichteverlauf in Planetenatmosph¨aren

14

Abbildung 1.12: Parameter von Planetenatmosph¨aren

1.2 1.2.1

Wiedereintritt Aerodynamische Abbremsung

Die f¨ ur den interplanetaren Flug ben¨otigten Geschwindigkeiten von Raumflugk¨orpern sind in der Regel gr¨oßer als entsprechende Fluchtgeschwindigkeiten. Ein beispielsweise in die Erdatmosph¨are eintauchender Flugk¨orper erf¨ahrt daher eine außerordentlich starke Verz¨ogerung und nimmt trotz der kurzen Flugzeit sehr hohe W¨armemengen auf. Es gibt drei M¨oglichkeiten, einen solchen Flugk¨orper unversehrt zur Erde zur¨ uckzubringen: a) Man kann einen Großteil der u ¨ bergehenden W¨arme mit Hilfe eines vom Kern des Flugk¨orpers isolierten W¨armeschutzschildes abstrahlen. Die Intensit¨at der W¨armestrahlung w¨achst mit der 4. Potenz der Temperatur. Der Schild muss also eine m¨oglichst hohe Temperatur vertragen. Der W¨armestrom in den Schutzschild ist nur in großen H¨ohen so klein, dass er bei realisierbaren Schildtemperaturen abgestrahlt werden kann.

15

Die Bremsung des Flugk¨orpers muss also w¨ahrend eines m¨oglichst langen Fluges in m¨oglichst großen H¨ohen vorgenommen werden (Eintauchen mit hinreichend kleiner Neigung gegen¨ uber der Horizontalen). b) Man kann einen dickeren schmelzenden und verdampfenden W¨armeschutzschild verwenden. Dabei spielt die W¨armekapazit¨at des Schildes, seine Schmelz- und Verdampfungsw¨arme und auch die K¨ uhlung der Grenzschicht durch den W¨arme aufnehmenden Dampf eine Rolle. Man nennt den Vorgang des Schmelzens und Verdampfens infolge des aerodynamischen W¨arme¨ uberganges Ablation. c) Man bremst den Flugk¨orper bereits außerhalb der Atmosph¨are mit Hilfe einer Retrorakete ab. Diese M¨oglichkeit ist die bei weitem unwirtschaftlichste. Bei den kleinen in Frage kommenden Neigungen der R¨ uckkehrbahn gegen die Horizontale (M¨oglichkeit a) m¨ ussen die Erdkr¨ ummung und die Schwerkraft ber¨ ucksichtigt werden. Bei zu kleiner Anfangsneigung taucht der Raumflugk¨orper nur kurz in die Erdatmosph¨are ein und verl¨asst sie dann wieder (overshoot). Soll die R¨ uckkehr trotz sehr kleiner Anfangsneigung ohne Abprallen erfolgen, so ist m¨oglicherweise eine Abtrieb erzeugende K¨orperform erforderlich. 1.2.1.1

Ballistischer Wiedereintritt

Wir wollen im Folgenden f¨ ur den Fall a) eine stark vereinfachte Absch¨atzung der beim Wiedereintritt auftretenden Verz¨ogerungen durchf¨ uhren und nehmen dabei an, dass der Eintauchvorgang mit konstanter Neigung gegen die Horizontale erfolgt. Des Weiteren vernachl¨assigen wir die Schwerkraft, was bei hohen kinetischen Energien des eintauchenden K¨orpers durchaus zul¨assig ist. Der K¨orper der Masse m (Kugel) u ¨berstreicht in der Zeit dt das Volumen U · dt · F . Dabei geht ein Bruchteil cw /2 des Gesamtimpulses der ankommenden Str¨omung, n¨amlich ρU(U dt F ), an den K¨orper u ¨ ber (Abb. 1.13). Der Impulserhaltungssatz liefert: −m dU = −m

cw ρU(U dt F ) oder 2

dU ρ = cw U 2 F. (Luftwiderstand) dt 2 16

(1.7)

Abbildung 1.13: Zur Abbremsung eines Flugk¨orpers

Die zeitliche Abnahme der Flugh¨ohe (Abb. 1.14) ergibt sich aus:

Abbildung 1.14: Neigung der Flugbahn −dH = Udt sin α

(1.8)

Wir beschreiben die Zunahme der Luftdichte mit abnehmender H¨ohe mit der Gleichung ρ = ρ0 exp



und eliminieren dt aus (1.7) und (1.8): 17

H  − + H

(1.9)

cw ρ0 F −H/H + dU = e dH U 2m sin α

(1.10)

B + U = U1 exp(− e−H/H ) 2

(1.11)

Die Integration ergibt

mit U1 = Anfangsgeschwindigkeit bei Eintritt in die Atmosph¨are, Eintrittsgeschwindigkeit (H hierf¨ ur sehr groß), B=

cw ρ0 F H + m sin α

= ballistischer Faktor

Die maximale Verz¨ogerung betr¨agt  dU  dt

max

=−

U12 sin α 2eH +

(1.12)

mit e = 2,718282 und wird in einer H¨ohe H = H + ln B bei einer Dichte ρ=

m sin α ρ0 = + cw F H B

(1.13)

(1.14)

erreicht (vgl. Abb. 1.15). Wir erhalten somit das wichtige Ergebnis, dass die maximale Verz¨ogerung zwar vom Eintrittswinkel und der charakteristischen H¨ohe H + abh¨angt, jedoch nicht von Form und Gewicht des Flugk¨orpers. Bei vertikalem Eintritt (steep entry, Abb. 1.16) mit parabolischer Geschwindigkeit (11,2km/s) betr¨agt die maximale Verz¨ogerung 330 g0 . Da Piloten nur Beschleunigungen bis etwa 10 g0 vertragen, kommt beim bemannten Raumflug nur ein Zur¨ ucktauchen mit kleiner Neigung gegen die Horizontale in Frage (grazing entry, flacher Wiedereintritt). 1.2.1.2

Auftriebsgestu ¨tzter Wiedereintritt

Der obige ballistische Wiedereintritt (wie wir ihn auch von Meteoriten kennen) stellt einen Grenzfall des auftriebsgest¨ utzten Wiedereintritts dar, bei dem das Verh¨altnis aus Auftrieb A zu Widerstand W verschwindet 18

Abbildung 1.15: Maximale Verz¨ogerung beim Eintritt in die Erdatmosph¨are

Abbildung 1.16: Flacher und steiler Eintritt

19

(A/W → 0). Wir wollen den allgemeineren Fall (A/W 6= 0), der f¨ ur den bemannten Wiedereintritt von entscheidender Bedeutung ist, weil er Kurskorrekturen zul¨asst und die aerodynamischen Lasten zu steuern erlaubt, im Folgenden behandeln.

I @   @ W A @  PP  PP@ er P@ s eΘ q mPP PPvΘ @P α PP qPlokaler Horizont P @   vr  mg @  @  R U @  Flugbahn         :  R0       Θ  

Abbildung 1.17: Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen f¨ ur eine auftriebsgest¨ utzte Abstiegsbahn ohne Seitenkr¨afte F¨ ur einen kugelsymmetrischen Planeten, eine kugelsymmetrische Atmosph¨are und unter der Annahme, dass keine Seitenkr¨afte vorliegen, erfolgt der Widereintritt in einer Meridianebene. Wir k¨onnen also Polarkoordinaten (r, Θ) verwenden, um die Bewegungsgleichungen aufzustellen. Sie folgen Newtons Gesetz: ma = f .

(1.15)

Masse m des Flugger¨ats mal Beschleunigung a entspricht der Summe der angreifenden Kr¨afte f. In Abh¨angigkeit der Einheitsvektoren (er , eΘ ) in r- und Θ-Richtung und der Geschwindigkeitskomponenten (vr , vΘ ) in Richtung und 20

senkrecht zum lokalen Horizont (Abb. 1.17) lautet die vektorielle Beschleunigung a = er

 dv 2  vΘ vr vΘ  Θ + eΘ . − + dt r dt r

 dv

r

(1.16)

F¨ ur den momentanen Flugbahnwinkel α gilt: tan α = −

vr . vΘ

(1.17)

Die Geschwindigkeitskomponenten vr , vΘ sind mit der Fluggeschwindigkeit durch vr = −U sin α,

vΘ = U cos α

(1.18)

verkn¨ upft. Die vektorielle Kraft, die auf das Flugger¨at wirkt, lautet: f = (−mg + A cos α + W sin α)er + (A sin α − W cos α)eΘ .

(1.19)

In Komponentenschreibweise ergeben sich die Bewegungsgleichungen im Polarkoordinatensystem zu: m

v2 dvr = m Θ − mg + A cos α + W sin α dt r

(1.20)

dvΘ vr vΘ = −m + A sin α − W cos α. dt r

(1.21)

m

F¨ ur den Radius r gilt: r = R0 + H.

(1.22)

Aus ihm folgt die radiale Geschwindigkeit vr =

dr dH = . dt dt

(1.23)

¨ Die zeitliche Anderung kann auch mit Hilfe von dH = −U sin α dt durch die H¨ohen¨anderung ausgedr¨ uckt werden. Der erste Term auf der rechten Seite von (1.21) kann ohne große Einschr¨ankung vernachl¨assigt werden. Dies l¨asst sich folgendermaßen begr¨ unden: 21

|vΘ dr | | dr | |vr vΘ | dt = dvΘ = dvrΘ ≪ 1 dvΘ r| dt | r| dt | | vΘ |

(1.24)

Beim Wiedereintrittsvorgang ist sicher |dr/r| klein gegen¨ uber |dvΘ /vΘ |. Dies wird vielleicht einsichtiger, wenn wir formulieren: | 1r drdt| ∼ 1 U 2 | sin α cos α| 1 U 2 | sin α cos α|2eH ∗ ≈ ≪ 1. = R0 |dUdt cos α| R0 U12 | sin α cos α| | v1Θ dvdtΘ |

(1.25)

F¨ ur dU/dt haben wir n¨aherungsweise das ballistische Ergebnis (1.12) eingesetzt. Chapman (1958) gelingt es mit Hilfe einer (durch ’trial and error’ gefundenen) Transformation, das gekoppelte Differentialgleichungssystem (1.20, 1.21) in eine nichtlineare gew¨ohnliche Differentialgleichung u uhren. ¨ berzuf¨ Wir beschr¨anken uns darauf, zwei Grenzf¨alle zu betrachten:

Ballistischer Wiedereintritt: Aus (1.21) folgt unter Vernachl¨assigung des ersten Terms der rechten Seite f¨ ur A = 0 und α = const.: dU m = −W. (1.26) dt Das ist die in Gleichung (1.7) hergeleitete Bewegungsgleichung.

Maximale Nutzung des Auftriebs (A/W → ∞):

Neben der maximalen Verz¨ogerung (Gl. (1.12)) wollen wir nun einen Grenzwert f¨ur die Wiedereintrittsgeschwindigkeit ermitteln, der mit aerodynamischen Mitteln nicht mehr u ¨berschritten werden kann. H¨ohere Geschwindigkeiten k¨onnen nur noch durch Retroraketen abgebremst werden. Wir betrachten den Fall des Horizontalflugs (α = 0) und interpretieren A/W → ∞ n¨ahe¨ rungsweise als W → 0. Dann verschwinden die zeitlichen Anderungen von vr und vΘ und es herrscht Kr¨aftegleichgewicht zwischen Auftrieb, Gewicht des Flugk¨orpers und Zentrifugalkraft U2 0=m − mg + A. r

(1.27)

Um auf einer Kreisbahn zu bleiben, muss das Flugger¨at allerdings einen R¨ uckenflug durchf¨ uhren. Aus dem Auftrieb in Abb. 1.17 wird ein Abtrieb 22

(−A). Damit folgt aus (1.27): A + mg0 =

mU 2 R0

(1.28)

wobei R0 den Erdradius darstellt. Ist n ein zul¨assiges Vielfaches der Schwerebeschleunigung g0 (Lastvielfaches) und A = nmg0 , dann folgt: U 2 = (n + 1)R0 g0 oder √ √ Umax = UK n + 1 = 7,9 n + 1

(1.29)

Diese maximale Eintrittsgeschwindigkeit stellt insofern keine ganz realistische obere Grenze dar, als angenommen wurde, dass der Flugk¨orper keinen Widerstand besitzt (A/W → ∞), was einem unendlich langen Wiedereintrittsvorgang entspricht.

1.2.2

Eintrittskorridor

Ein wichtiges Problem beim Wiedereintritt mit Geschwindigkeiten, die gr¨oßer sind als die Kreisbahngeschwindigkeit UK , ist das der erforderlichen Genauigkeit des Eintauchman¨overs. Dabei sollen nat¨ urlich u ¨ berm¨aßige Verz¨ogerungen und Aufheizungen vermieden werden. Bei Fl¨ ugen im Bereich der Erde k¨onnen Steuerungsfehler bekannterweise noch korrigiert werden, so etwa kann ¨ ein Uberschreiten der maximal erlaubten Verz¨ogerung (undershoot) beispielsweise durch kurzzeitiges Wiederz¨ unden der Triebwerke oder durch Erzeugen von positivem Auftrieb ausgeglichen und der Vorgang des ’overshoot’ nach einer oder mehreren Erdumkreisungen (falls die Eintrittsgeschwindigkeit nicht gr¨oßer als die Fluchtgeschwindigkeit ist) vermieden werden. Bei Raumfl¨ ugen hingegen k¨onnen Steuerungsfehler, wenn ’undershoot’ vorliegt zur Zerst¨orung des Flugk¨orpers f¨ uhren und bei ’overshoot’ (f¨ ur hyperbolische Geschwindigkeiten, U > UE ) besteht die Gefahr eines Fluges ohne R¨ uckkehr. Die numerische L¨osung des Systems (1.20, 1.21) der Bewegungsgleichungen ¨ kann in Form der Abbildung 1.18 diskutiert werden. Zeitliche Anderungen in den Gleichungen erscheinen dann als H¨ohen¨anderungen (dH = −U dt sin α). Die Gleitzahl A/W ist Parameter der Kurvenschar in einem (H-U)-Diagramm. Die Grenzgeschwindigkeit Umax entspricht maximalem Abtrieb und macht es erforderlich, dass der Eintauchvorgang in der H¨ohe H = 0 (gr¨oßte Dichte) erfolgt, was nat¨ urlich unrealistisch ist.

23

Abbildung 1.18: Eintrittskorridor der Erdatmosph¨are Abb. 1.19 zeigt die H¨ohe des Eintrittskorridors in Abh¨angigkeit von der Gleitzahl A/W bei parabolischer Eintrittsgeschwindigkeit UE . Die Kurve in Abb. 1.19 stellt praktisch einen Schnitt durch Abbildung 1.18 bei UE = 11,2km/s dar. Die beiden Parameter, die eine Variation der H¨ohe des Eintrittskorridors erm¨oglichen, sind also der Auftrieb und der Widerstand. Die Korridorh¨ohe H steigt bei konstanter Eintrittsgeschwindigkeit zun¨achst stark, dann schw¨acher mit A/W . Wir erkennen also durchaus den Nutzen eines Flugk¨orpers, der Auftrieb erzeugt: Einerseits kann die H¨ohe des Eintrittskorridors vergr¨oßert, andererseits k¨onnen Steuerungsfehler korrigiert werden. Es sei an dieser Stelle vermerkt, dass die Forderung nach großem A/W der Forderung nach großem W und damit geringen thermischen Lasten (siehe unten !) widerspricht. Es l¨asst sich keine Wiedereintrittsgeschwindigkeit finden, die hohes A/W (oder cA /cW ) mit hohem cW verbindet.

1.2.3

Aerodynamische Erw¨ armung

Die aerodynamische Abbremsung von Raumflugk¨orpern beim Wiedereintritt bringt nat¨ urlich neben Steuer- und Stabilit¨atsproblemen auch Probleme der aerodynamischen Erw¨armung mit sich. Die Vorgabe einer maximal zul¨assigen Verz¨ogerung f¨ uhrt zu einem gewissen maximalen Eintrittswinkel α (Kap. 1.2.1). Daraus folgen schließlich relativ lang dauernde Wiedereintrittsvorg¨ange (grazing entry), verbunden mit geringeren konvektiven W¨arme24

Abbildung 1.19: Einfluss der Gleitzahl A/W auf die H¨ohe des Eintrittskorridors

25

str¨omen als bei steilerem Eintritt. Es hat sich jedoch gezeigt, dass die Probleme des konvektiven W¨arme¨ ubergangs beim bemannten Wiedereintritt (kleine α) schwerer zu bew¨altigen sind als jene, die f¨ ur sehr steile Flugbahnen auftreten. Flugk¨orper, die f¨ ur den steilen Wiedereintritt konzipiert sind, m¨ ussen nat¨ urlich sehr hohen konvektiven W¨armestr¨omen, allerdings nur f¨ ur kurze Zeiten, widerstehen k¨onnen. Hierf¨ ur ist der Ablationsschild besonders geeignet. Beim Wiedereintritt unter ’overshoot’-Bedingungen (Abb. 1.20) w¨ urde ein solcher Hitzeschild infolge der langen Flugzeiten zu viel W¨arme absorbieren und somit u ur solche ¨ berm¨aßig abschmelzen. Optimale Hitzeschilde f¨ Zwecke wirken zum Teil als W¨armesenken und zum Teil als W¨armestrahler. Wir wollen im folgenden eine Absch¨atzung der Aufheizung eines Flugk¨orpers beim Wiedereintritt durchf¨ uhren und vernachl¨assigen der Einfachheit halber den Eigenw¨armeinhalt des K¨orpers gegen¨ uber der kinetischen Energie der Str¨omung. Ebenso ist die vom Flugk¨orper abgestrahlte W¨arme klein gegen¨ uber der durch aerodynamische Aufheizung entstehenden W¨arme. (Solche Annahmen sind bei hohen Eintrittsgeschwindigkeiten durchaus zul¨assig). Die in der Zeit dt auf den K¨orper u ¨bergehende W¨armemenge ist proportional zur entsprechenden augenblicklichen kinetischen Energie des Gases und damit in Analogie zu Gl. (1.7) ρ dq = cH U 2 (U · dt)F. (1.30) 2 Durch Kombination von (1.7) mit (1.30) ergibt sich dq = −

cH m 2 cH mU dU = − dU cw cw 2

(1.31)

Wir integrieren die obige Gleichung f¨ ur den Fall, dass cH /cw = const. und die Masse m des Flugk¨orpers sich nicht ¨andert (W¨armesenke, keine Ablation!). Die gesamte W¨armemenge, die vom Beginn des Eintauchvorgangs bis zur Landung an den K¨orper u ¨bergeht, betr¨agt: q=

Z0

dq =

U =U1

cH mU12 . cw 2

(1.32)

Bei der Abbremsung von der Geschwindigkeit U1 auf 0 geht also der Bruchteil cH /cw der gesamten kinetischen Energie des K¨orpers als W¨arme an diesen u urlich niedrig halten will, muss man ¨ber. Da man die W¨armemenge q nat¨ das Verh¨altnis von W¨arme¨ ubergangs- zu Widerstandskoeffizient klein machen, d.h., bei gegebener Masse des Flugk¨orpers f¨ ur gr¨oßtm¨oglichen Widerstand sorgen (stumpfe K¨orper). Im ’ung¨ unstigsten’ Fall geht cH gegen 1 (vgl. 26

Abbildung 1.20: Wiedereintrittskorridor

27

Gl. (1.30)). Ein Grenzwert f¨ ur cw ergibt sich dadurch, dass nach Gl. (1.7) der Faktor cw /2 maximal 1 werden kann, also: cw ≤ 2.

(1.33)

Daraus folgt, dass maximal die H¨alfte der kinetischen Energie m2 U12 in Form von W¨arme auf den K¨orper u ¨ bertragen werden kann (cH /cw = 1/2).

1.2.4

Ablationsschild

Kleine Werte f¨ ur cH erreicht man durch Anwendung der Ablation. Deshalb ersetzen wir in unseren Betrachtungen die W¨armesenke jetzt durch einen Ablationsschild, der bei der starken Erw¨armung verdampft. Der Vorteil liegt dabei in der kontinuierlichen Massenverringerung des Flugk¨orpers: dq = −ζdm = −

cH m d(U 2 ) cw 2

(1.34)

ζ ist hierbei die zum Verdampfen des Ablationsmaterials n¨otige Energie pro Masseneinheit. Es wird dann cH 1 dm = dU 2 , m cw 2ζ

(1.35)

so dass sich bei konstantem cH /cw die Masse des Flugk¨orpers m bei der Geschwindigkeit U zu   cH 2 2 m = m1 exp (U − U1 ) (1.36) 2ζcW ergibt. U1 bezeichnet die Geschwindigkeit bei Eintritt in die Atmosph¨are und m1 die entsprechende K¨orpermasse.

1.2.5

Strahlungsku ¨ hlung

¨ Die gesamten Uberlegungen des Kapitels 1.2 gestatten jetzt die Skizzierung eines Flugh¨ohen-Fluggeschwindigkeiten-Korridors (schematisch) f¨ ur langdauernden Hyperschallflug (Abb. 1.21). Die sog. Festigkeits- oder Beschleunigungsgrenze ist durch das Gleichgewicht zwischen der u ¨ bergehenden und der vom K¨orper abgestrahlten W¨arme gegeben. Dieser Zustand ist f¨ ur heutige Materialien etwa bei Wandtemperaturen von 1400K erreicht. Andererseits darf die Flugh¨ohe nicht zu groß oder die Fluggeschwindigkeit nicht zu klein sein, wenn ein aerdynamischer Flug m¨oglich sein soll. 28

6

100 H[km] 75

Zentrifugalkraft gr¨oßer als Auftrieb + Gewicht

       

50

aerodynamische Grenze

Festigkeitsgrenze

Wandtemperatur u ¨ber 1400 K

Korridor 25

-

0 2

4 U[km/s]

6

8

Abbildung 1.21: Aerodynamische und thermische Grenzen des Wiedereintritts Kr¨aftegleichgewicht der aerodynamischen Grenze: mU 2 ρ = mg0 + cA U 2 F R0 + H 2 Thermisches Gleichgewicht f¨ ur die Festigkeitsgrenze: s  T 4 ρ(H) 3 W K U = ǫκ RN 100

(1.37)

(1.38)

Mit K = Empirischer Zahlenwert, RN = Nasenradius, ǫ = Emissionskoeffizient und κ = Stefan-Boltzmann Konstante.

29

Kapitel 2 Hyperschallstr¨ omungen 2.1 2.1.1

Allgemeine Betrachtungen Einleitung und Definition

Es ist u urlichen Abgrenzung bei allen Str¨omun¨ blich, in einer etwas willk¨ gen mit Machzahlen oberhalb Ma = 5 von Hyperschallstr¨omungen zu sprechen. Zwei Aufgabenstellungen sind hier charakteristisch: Einmal das Umstr¨omungsproblem eines K¨orpers bei hoher Machzahl, wobei man zwischen einem stumpfen und einem spitzen K¨orper zu unterscheiden hat und zum anderen das Beschleunigungsproblem, d.h. die Expansion einer Str¨omung zu hohen Machzahlen in der D¨ use. Bei der K¨orperumstr¨omung kommt es zu einem Verdichtungsstoß, der beim stumpfen K¨orper abgehoben ist, beim spitzen K¨orper dagegen anliegt. In jedem Fall handelt es sich bei hoher Anstr¨om-Machzahl (Ma >> 1) um einen starken Stoß, der mit einer betr¨achtlichen Zunahme von Druck, Temperatur und Dichte gegen¨ uber den Werten der Anstr¨omung verbunden ist. Hieraus geht hervor, dass es bei der Umstr¨omung zu einer starken Aufheizung der K¨orperoberfl¨ache kommt, denn der Stoß verl¨auft in unmittelbarer Nachbarschaft der K¨orperoberfl¨ache. Beim spitzen K¨orper legt sich der Stoß wie eine zweite Haut an die Oberfl¨ache an, so dass die Beeinflussung der Str¨omung durch den K¨orper auf den schmalen Bereich zwischen Stoß und Oberfl¨ache beschr¨ankt ist. In diesem Bereich k¨onnen Reibungseffekte entscheidenden Einfluss haben, insbesondere dann, wenn der Abstand des Stoßes von der K¨orperoberfl¨ache von der Gr¨oßenordnung der Grenzschichtdicke ist (StoßGrenzschichtinterferenz).

30

Zwischen der Umstr¨omung eines stumpfen und eines spitzen K¨orpers gibt es einige typische Unterscheidungsmerkmale: Beim stumpfen K¨orper kommt es in der Umgebung des Staupunktes hinter dem Stoß zu einem lokalen Unterschallgebiet, das wie ein Polster vor dem K¨orper liegt. Stromab wird die Str¨omung wieder zu h¨oheren Geschwindigkeiten beschleunigt. Demgegen¨ uber wird das Geschwindigkeitsfeld beim vorn spitzen K¨orper nur unwesentlich ge¨andert. Man spricht hier h¨aufig von einer reinen Hyperschallstr¨omung. Bei der Expansion einer Str¨omung in der D¨ use steigt die Geschwindigkeit in Str¨omungsrichtung, w¨ahrend Druck, Dichte und Temperatur abnehmen. Nach der klassischen Stromfadentheorie kann diese Expansion im Prinzip bis zum Erreichen des Vakuums durchgef¨ uhrt werden, wobei die Geschwindigkeit einem Maximalwert zustrebt und Druck, Dichte und Temperatur verschwinden. Die zugeh¨orige Machzahl ist unendlich. Diese Aussagen sind nat¨ urlich nur bedingt richtig, da die Stromfadentheorie (Kontinuumstheorie) mit abnehmender Dichte ihre G¨ ultigkeit verliert. Dann werden statistische Methoden ben¨otigt (kinetische Gastheorie - freie Molek¨ ulstr¨omung). Die Abnahme der Temperatur in Str¨omungsrichtung bringt es mit sich, dass man bei der Expansion in einer D¨ use vielfach von einer kalten Hyperschall-Str¨omung im Gegensatz zur oben diskutierten heißen Hyperschallstr¨omung spricht. Begleiterscheinungen dieser Temperaturabnahme sind Kondensations- und Relaxationseffekte, die komplexe thermodynamische Betrachtungen erfordern. Zum Schluss dieser einleitenden Bemerkungen machen wir uns wieder anhand des schon bekannten H¨ohen-Geschwindigkeitsdiagramms f¨ ur r¨ uckkehrende Flugk¨orper klar, dass w¨ahrend des Wiedereintrittvorgangs außergew¨ohnlich hohe Machzahlen auftreten. Wie Abb. 2.1 zeigt, sind die Machzahlen u ¨ber den gr¨oßten Bereich der Flugbahn hypersonisch. Es scheint sogar die Frage berechtigt, was in einem rein str¨omungsphysikalischen Sinn passiert, wenn die Machzahlen gegen ∞ gehen. Dieser Frage werden wir in Abschnitt 2.1.4 nachgehen.

2.1.2

Senkrechter Verdichtungsstoß

Der senkrechte Stoß interessiert im Hyperschall haupts¨achlich im Hinblick auf die Umstr¨omung des stumpfen K¨orpers. In Staupunktn¨ahe kann man hier mit dem Auftreten eines solchen Stoßes rechnen. F¨ ur den Zusammenhang zwischen den Zustandsgr¨oßen vor und hinter dem Stoß gelten die Erhaltungss¨atze f¨ ur:

31

Abbildung 2.1: H¨ohen-Geschwindigkeitsdiagramm f¨ ur den Wiedereintritt aus einer Kreisbahnmission mit u berlagerten Kurven konstanter Machzahl. ¨

Masse :

ρ1 u1 = ρ2 u2

(2.1)

Impuls : p1 + ρ1 u21 = p2 + ρ2 u22

(2.2)

Energie : h1 + u21 /2 = h2 + u22 /2

(2.3)

die sog. Hugoniot-Beziehungen. Die Indizes 1, 2 bezeichnen jeweils Zust¨ande vor bzw. hinter dem Stoß. Die Hugoniot-Beziehungen lassen sich aus den Navier-Stokes-Gleichungen herleiten. F¨ ur die station¨are, eindimensionale Str¨omung (∂/∂t ≡ 0, ui = (u,0,0), (∂/∂x2 = ∂/∂x3 = 0) lauten diese Gleichungen: ∂ (ρu) = 0 ∂x ∂ ∂ (ρu2 ) = ∂x ∂x

  4 ∂u −p + µ 3 ∂x

32

(2.4)

(2.5)

∂ ∂ (ρuH) = ∂x ∂x



∂T λT ∂x



∂ + ∂x



4 ∂u µu 3 ∂x



.

(2.6)

Wenn wir die Wegstrecke x in mittleren freien Wegl¨angen messen, dann wird folgende Stoßstruktur sichtbar: T2 u1

T1 u2 

-

Stoß

-

0

1

2

3

x/λ

Unter Normalbedingungen kann der Stoß weiterhin als ’Unstetigkeit’ der Str¨omung betrachtet werden. Die Gleichungen (2.4) - (2.6) beschreiben die Vorg¨ange innerhalb des Stoßes bis zu Machzahlen von etwa 2,2 mit ausreichender Genauigkeit. Da sie Erhaltungsform besitzen, k¨onnen wir sie formal integrieren und erhalten: ρu = C1

(2.7)

4 ∂u ρu2 + p − µ = C2 3 ∂x

(2.8)

ρu(h + u2 /2) − λT

4 ∂u ∂T − µu = C3 . ∂x 3 ∂x

(2.9)

C1 , C2 , C3 sind Integrationskonstanten, die aus den Str¨omungszust¨anden vor (1) und nach dem Stoß (2) bestimmt werden. Da vor und nach dem Stoß weder Geschwindigkeits- noch Temperaturgradienten vorliegen, folgen aus (2.7) - (2.9) die Hugoniot-Beziehungen (2.1) - (2.3).

33

Aus (2.1)-(2.3) folgen die Dichte-, Druck- und Temperaturverh¨altnisse in Abh¨angigkeit der Machzahl vor dem Stoß, sowie deren Grenzwerte f¨ ur Ma1 → ∞: ρ1 /ρ2 = u2 /u1

  2 1 γ−1 = 1− 1− → , 2 γ+1 γ+1 Ma1

p2 /p1 = 1 +


2γ 2γ Ma21 − 1 → Ma21 , γ+1 γ+1

T2 /T1 = p2 /p1 · ρ1 /ρ2 =

2γ (γ − 1) 2 Ma1 . (γ + 1)2

(2.10)

(2.11)

(2.12)

Diese Beziehungen dr¨ ucken die Tatsache aus, dass u ¨ber den Stoß hinweg das Dichteverh¨altnis endlich bleibt, w¨ahrend die u ¨brigen Zustandsgr¨oßen mit der Machzahl beliebig anwachsen.

2.1.3

Schiefer und gekru ¨ mmter Verdichtungsstoß

¨ Der Ubergang vom senkrechten zum schiefen Stoß geschieht bekanntlich ¨ durch Uberlagerung einer konstanten Geschwindigkeit v1 = v2 l¨angs des Stoßes (Ergebnis der Massenerhaltung senkrecht zum Stoß und der Impulserhaltung parallel zum Stoß). Die Gln. (2.10) bis (2.12) k¨onnen auf den schiefen Stoß direkt u ¨bertragen werden, wenn in ihnen Ma1 durch Ma1 sin σ 1 ersetzt wird, also:   1 γ−1 u2 2 ρ1 1− → = = 1− , 2 2 ρ2 u1 γ+1 γ+1 Ma1 sin σ
p2 2γ 2γ Ma21 sin2 σ − 1 → = 1+ Ma2 sin2 σ , p1 γ+1 γ+1 1 1

(2.13)

(2.14)

Ma1 sin σ ist die mit der Komponente u1 = w1 sin σ gebildete Machzahl vor dem Stoß.

34

Abbildung 2.2: Geschwindigkeitsdreiecke des schiefen Stoßes.

p2 ρ1 2γ (γ − 1) 2 2 T2 = · = Ma1 sin σ . T1 p1 ρ2 (γ + 1)2

(2.15)

Den Zusammenhang zwischen Stoßwinkel σ und Str¨omungs- oder Keilwinkel δ erh¨alt man sehr einfach aus den folgenden Beziehungen (Abb. 2.2): v1 = u1 / tan σ v2 = u2 / tan (σ − δ)

(2.16)

Mit v1 = v2 und u2 /u1 = ρ1 /ρ2 (Massenbilanz) folgt: tan σ = ρ2 /ρ1 . tan (σ − δ)

(2.17)

Aus Gleichung (2.17) k¨onnen wir nun im hypersonischen Fall interessante Schl¨ usse ziehen. Bei Kombinationen der Machzahl Ma1 und des Keilwinkels δ, die zu sehr hohen Machzahlen senkrecht zum Stoß (Ma1 sin σ) f¨ uhren, geht das Dichteverh¨altnis ρ2 /ρ1 nach (2.13) u ber in ¨ ρ2 /ρ1 =

35

γ+1 . γ−1

Zwei Grenzwerte des Dichteverh¨altnisses sind dann m¨oglich: F¨ ur γ = 1,4 ρ2 /ρ1 → 6

(2.18)

ρ2 /ρ1 → ∞.

(2.19)

und f¨ ur γ = 1

Bei schlanken K¨orpern kann nun tan δ ≃ δ und tan (σ − δ) ≃ σ − δ gesetzt werden, womit sich f¨ ur γ = 1,4 der Zusammenhang

σ =

γ+1 δ = 1,2δ 2

(2.20)

σ = δ

(2.21)

und f¨ ur γ = 1

ergibt. Daraus folgt, dass sich der Stoß bei sehr hohen Machzahlen sehr eng an der K¨orper anlegt, im Grenzfall wie eine Haut. Die in dem schmalen Bereich zwischen Stoß und K¨orperoberfl¨ache auftretenden hohen Temperaturen verursachen starke Effekte in den Molek¨ ulfreiheitsgraden und in der Gaszu¨ sammensetzung und damit große Anderungen in der spezifischen W¨arme, 2 so dass schließlich γ → 1 . Der Fall γ → 1, der sich also aufgrund der Physik der Vorg¨ange ann¨ahernd einstellt, besagt aber, dass der Stoß mit der K¨orperoberfl¨ache zusammenf¨allt. Diese Tatsache rechtfertigt (f¨ ur Ma1 → ∞) die Verwendung der Newtonschen Theorie, bei der sich die Fluidteilchen auf geradlinigen Bahnen ungest¨ort bis zum Auftreffen auf der K¨orperoberfl¨ache bewegen (siehe Kap. 2.2.1). In hypersonischen Str¨omungen ist nun der den K¨orper umgebende Stoß fast u ummt. Wir erl¨autern deshalb kurz einige mit der ¨berall schief und gekr¨ Kr¨ ummung eines Stoßes zusammenh¨angende Erscheinungen. Es stellt sich heraus, dass die Entropie des Gases hinter einem solchen Stoß eine Funktion des Stoßwinkels σ ist. Sie ¨andert sich also von Stromlinie zu Stromlinie (Abb. 2.3), und die Str¨omung ist nicht mehr homentrop wie etwa 2

Nach erfolgter Dissoziation der Teilchen steigt die Zahl der inneren Freiheitsgrade der Atome infolge elektronischer Anregung wieder an, und damit nimmt γ weiter ab.

36

Abbildung 2.3: Gekr¨ ummter Stoß hinter einer ebenen Stoßfront. Der Croccosche Wirbelsatz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Entropiegradienten in der Str¨omung und der Drehung und liefert damit die Aussage, dass bereits die reibungslose Str¨omung hinter dem gekr¨ ummten Stoß drehungsbehaftet ist. Die erzeugte Drehung (Wirbelst¨arke) h¨angt nat¨ urlich von der Kr¨ ummung dσ/dx und in besonderem Maße vom Dichteverh¨altnis ρ2 /ρ1 ab. Sie w¨achst bei gegebenem σ und gegebener Kr¨ ummung mit ρ2 /ρ1 . Der Croccosche Wirbelsatz l¨asst sich aus der station¨aren Eulerschen Bewegungsgleichung ∂p ∂uj =− (2.22) ρuj ∂xj ∂xi und der Gibbschen Fundamentalgleichung in der Form T ds = dh − dp/ρ

(2.23)

herleiten. Wir erweitern die linke Seite von (2.22) und f¨ uhren den Wirbelvektor ωi = ǫijk ∂uk /∂xj sowie den Rotationstensor rij = −1/2ǫijk ωk ein:   ∂uj ∂uj ∂s ∂h ∂ui + ρuj ρuj − = ρT −ρ . (2.24) ∂xj ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi Daraus folgt: −ρǫijk uj ωk = ρT

∂s ∂ 1 −ρ (h + uj uj ). ∂xi ∂xi 2 37

(2.25)

Nachdem f¨ ur den station¨aren gekr¨ ummten Stoß die Totalenthalpie (h+ 21 uj uj ) nach dem Stoß u ¨ berall denselben Wert hat, verschwindet der letzte Term in Gl. (2.25) und es folgt der Croccosche Wirbelsatz in symbolischer Schreibweise −u × ω = T ∇s.

(2.26)

Aufgrund der unterschiedlichen Entropieerh¨ohung am gekr¨ ummten Stoß, entsteht also hinter dem Stoß Drehung.

2.1.4

Machzahl-Unabh¨ angigkeitsprinzip

Wir wollen nun eine Eigenschaft von Hyperschallstr¨omungen kennen lernen, n¨amlich die Machzahl-Unabh¨angigkeit gewisser aerodynamischer Gr¨oßen, wenn die Machzahl der ungest¨orten Str¨omung (stromauf des Stoßes) sehr groß wird. Die Umstr¨omung eines stumpfen K¨orpers f¨ uhrt zu einem abgehobenen, gekr¨ ummten Stoß, vgl. Abb. 2.3. F¨ ur die Str¨omungsgr¨oßen hinter dem Stoß gelten die Beziehungen (2.13) - (2.16), die wir diesmal etwas anders formulieren: ρ2 (γ + 1)Ma21 sin2 σ = ρ1 (γ − 1)Ma21 sin2 σ + 2

(2.27)

(γ − 1)Ma21 sin2 σ + 2 u2 = w1 (γ + 1)Ma21 sin2 σ

(2.28)

v2 (γ − 1)Ma21 sin2 σ + 2 1 = · 2 2 w1 tan(σ − δ) (γ + 1)Ma1 sin σ

(2.29)

2γ p2 =1+ (Ma21 sin2 σ − 1) p1 γ+1

(2.30)

T2 2γ(γ − 1) 2 2 = Ma1 sin σ. T1 (γ + 1)2

(2.31)

Aus (2.17) und (2.13) folgt die klassische Beziehung zwischen Machzahl Ma1 , Stoßwinkel σ und Umlenkungswinkel δ: 

Ma21 sin2 σ − 1 tan δ = 2 cot σ Ma21 (γ + cos 2σ) + 2 38



(2.32)

und daraus die Relation f¨ ur tan(σ − δ):

tan(σ − δ) =

tan σ[Ma21 (γ + cos 2σ) + 2] − 2 cot σ[Ma21 sin2 σ − 1] Ma21 [γ + cos 2σ + 2 sin2 σ]

(2.33)

Der Aerodynamiker arbeitet gerne mit dem Druckbeiwert cp und definiert ihn folgendermaßen: cp =

p2 − p1 ρ1 w12 /2

(2.34)

F¨ ur die Str¨omung hinter dem schiefen Stoß lautet er: cp =



   4 1 2 p2 2 = sin σ − . −1 p1 (γ + 1) γMa21 Ma21

(2.35)

Im Grenzfall beliebig großer Machzahl, dem sog. Hyperschall-Limes (Ma1 → ∞), erhalten wir aus den Gleichungen (2.27) - (2.35) folgende Grenzwerte: γ+1 ρ2 → ρ1 γ −1

(2.36)

u2 γ−1 → sin σ w1 γ+1

(2.37)

v2 → cos σ w1

(2.38)

cp →

4 sin2 σ γ+1

(2.39)

p2 2γ → Ma2 sin2 σ p1 γ+1 1

(2.40)

2γ(γ − 1) 2 2 T2 → Ma1 sin σ T1 (γ + 1)2

(2.41)

Dieses Ergebnis l¨asst sich wie folgt zusammenfassen:

39

Im Grenzfall hoher Machzahl sind die Dichte (ρ2 ), die Geschwindigkeitskomponenten (u2 , v2 ) und der Druckbeiwert (cp ) unabh¨angig von der Machzahl (Ma1 ) vor dem Stoß. Lediglich das Druck- und Temperaturverh¨altnis (und nat¨ urlich weitere Zustandsgr¨oßen wie die innere Energie, Enthalpie etc.) wachsen unbegrenzt mit Ma1 . Dieses sog. Machzahlunabh¨angigkeitsprinzip ist experimentell belegt. Abb. 2.4 zeigt den Widerstandsbeiwert cw in Abh¨angigkeit der Machzahl f¨ ur die Kugel und eine Kegel-Zylinder-Anordnung. Man erkennt den raschen ¨ Anstieg des cw -Wertes im Transschall und ein Abklingen bei Uberschallanstr¨omung. Bei Hyperschallanstr¨omung (Ma∞ ≥ 5) erreicht der Widerstandsbeiwert ein Plateau und wird damit von der Machzahl praktisch unabh¨angig. Bemerkenswert ist, dass dieser Zustand f¨ ur die Kugel fr¨ uher (d.h. bei niederer Machzahl) eintritt als bei der Kegel-Zylinder-Anordnung. Der Grund daf¨ ur 2 2 liegt in der Tatsache, dass die Gr¨oße Ma∞ sin σ beim stumpfen K¨orper (also der Kugel) gr¨oßer ist als bei der Kegel-Zylinder-Anordnung.

Abbildung 2.4: Widerstandsbeiwert f¨ ur Kugel- und Kegel-ZylinderAnordnung aus ballistischen Messungen. Illustration des MachzahlUnabh¨angigkeitsprinzips.

40

2.2

2.2.1

Verfahren zur Berechnung reibungsfreier Hyperschall-Str¨ omungen bei idealem Gas konstanter spezifischer W¨ arme. Newtonsche Theorie

In Kap. 2.1.3 waren wir bereits auf den Grenzfall des Hyperschallimes (Ma1 sin σ → ∞) eingegangen und hatten dabei festgestellt, dass das Newtonsche Modell formal diesem Grenzfall mit γ → 1 entspricht, was sich bekanntlich in verschwindendem Dichteverh¨altnis (ρ1 /ρ2 → 0) und einem Zusammenfallen von Stoß und K¨orperoberfl¨ache ¨außert. In den klassischen Newtonschen Vorstellungen jedoch fehlt der Begriff des Verdichtungsstoßes. Hier wird davon ausgegangen, dass das str¨omende Medium aus einzelnen Teilchen besteht, die sich bis zum Auftreffen auf der K¨orperoberfl¨ache auf geradlinigen Bahnen bewegen. Erst beim Auftreffen werden sie umgelenkt und geben die Normalkomponente ihres Impulses an den K¨orper ab, w¨ahrend ihre Tangentialkomponente unver¨andert bleibt. Die Teilchen bewegen sich entlang der K¨orperkontur. Demzufolge wirkt nur eine Kraft auf die der Str¨omung zugewandten Seite. Die R¨ uckseite (Abb. 2.5) erf¨ahrt keine Beeinflussung, man sagt, sie liegt im aerodynamischen Schatten 3 .

Abbildung 2.5: Angestellte ebene Platte in Newtonscher Str¨omung. Wir bestimmen im Folgenden die Kraft, die ein K¨orper nach der Newtonschen 3

Die Analogie zwischen den klassischen Newtonschen Gedanken und dem Hyperschallimes (Ma∞ sin σ → ∞) im Falle γ → 1 ergibt sich aus der Tatsache, dass beide Konzepte zum selben Ergebnis f¨ uhren.

41

Theorie erf¨ahrt und beschr¨anken uns zun¨achst auf das ebene Problem, da der ¨ Ubergang zum dreidimensionalen Fall nichts prinzipiell Neues liefert.

Abbildung 2.6: Beliebiger K¨orper in Newtonscher Str¨omung. Der Massenstrom, der auf ein Fl¨achenelement dF trifft, betr¨agt: dm ˙ = ρU∞ · dF sin δ

(2.42)

Damit ergibt sich eine Kraft dPN (Abb. 2.6) senkrecht zur K¨orperoberfl¨ache: 2 dPN = dmU ˙ ∞ sin δ = ρU∞ · sin2 δ dF .

(2.43)

Der Druck auf den K¨orper betr¨agt:

pK =

dPN 2 = ρU∞ · sin2 δ , dF

(2.44)

womit man f¨ ur den Druckbeiwert erh¨alt: cp =

pK − p∞ ≃ ρ 2 U 2 ∞

42

pK ρ 2 U 2 ∞

= 2 sin2 δ .

(2.45)

F¨ ur die Gr¨oße des Druckbeiwertes ist also nur die Neigung der K¨orperoberfl¨ache gegen¨ uber der Anstr¨omrichtung maßgebend. Auf denjenigen K¨orperpartien, die von Fluidteilchen nicht erreicht werden (R¨ uckseite), gilt cp = 0, da kein Impulsaustausch mit der Oberfl¨ache stattfinden kann. Es herrscht hier nach der Newtonschen Theorie absolutes Vakuum. Die Formel (2.45) f¨ ur den Druckbeiwert, wie sie Newton errechnete, deckt sich mit der f¨ ur cp nach Gleichung (2.39). Wenn wir darin γ = 1 setzen, dann f¨allt der Stoß mit der K¨orperkontur zusammen und σ entspricht δ.

2.2.2

Modifizierte Newtonsche Theorie

Diese Theorie stellt eine Verbesserung der Newtonschen Hyperschalln¨aherung (siehe Kap. 2.2.1) f¨ ur den stumpfen K¨orper dar. Die Beziehung (2.45) w¨ urde uhren. im Staupunkt S eines solchen K¨orpers zu cps = 2 f¨

Abbildung 2.7: Zur Erl¨auterung der modifizierten Newtonschen Theorie Ein anderer Wert ergibt sich jedoch, wenn wir den Druckbeiwert so berechnen, dass auf der Staustromlinie nacheinander folgende Zustands¨anderungen gelten: 1. ein senkrechter Stoß (f¨ ur einen schmalen Bereich ist diese Annahme zul¨assig) und 2. eine Abbremsung der Str¨omung auf isentropem Wege, wobei der Zustand im Staupunkt dem Ruhezustand hinter dem Stoß entspricht (Abb. 2.7). F¨ ur das Druckverh¨altnis ps /p1 gilt dann: ps ps p2 = · . p1 p2 p1 F¨ ur ps /p2 hat man den isentropen Zusammenhang 43

(2.46)

ps = p2

 γ  γ − 1 2 γ−1 , 1+ Ma2 2

und mit 1+

Ma22 =

1+

γ−1 γ+1 2γ γ+1

Ma21 − 1 Ma21 − 1

gilt ps = p2

γ+1 Ma21 2 2γ Ma21 γ+1

1+

−1







(2.47)




γ ! γ−1

(2.48)

Zusammen mit Gl. (2.11) f¨ ur p2 /p1 ergibt sich dann:    1  γ
− γ−1 ps 2γ γ + 1 2 γ−1 2 · 1+ = Ma1 − 1 Ma1 p1 2 γ+1

(2.49)

sowie f¨ ur den Druckbeiwert cps : cp s =

ps − p1 2 · ρ1 2 = U γMa21 2 1



ps −1 p1



=



2   γMa21  1+


γ 2 γ−1

γ+1 Ma1 2 2γ γ+1

Ma21 − 1



 − 1 1
 γ−1 (2.50)

F¨ ur Ma1 → ∞ erhalten wir hieraus cp s

2 = γ



γ+1 2

γ   γ−1

γ+1 2γ

1  γ−1

(= 1,84 f u ¨r γ = 1,4)

(2.51)

Wie Abb. 2.8 zeigt ist der Druckbeiwert im Staupunkt f¨ ur γ = 1,4 kleiner als der aus der Newtonschen Theorie erhaltene Wert (cp = 2, bei γ = 1). Daher liegt es nahe, Gl. (2.45) so abzu¨andern, dass im Staupunkt der richtige Wert erscheint. Hierzu wird die Winkelabh¨angigkeit beibehalten und cp = cps sin2 δ

(2.52)

gesetzt, wobei cps durch (2.50) bzw (2.51) gegeben ist. (2.52) erlaubt also ¨ einen Ubergang zu beliebigen γ-Werten. Diese Verbesserung ist als modifizierte Newtonsche Theorie bekannt und geht auf Lees zur¨ uck. Nach (2.52) ermittelte Druckverteilungen an stumpfen K¨orpern stimmen u ¨berraschend gut mit exakten Rechnungen u ¨berein. 44

Abbildung 2.8: Druckbeiwert im Staupunkt in Abh¨angigkeit von γ und Machzahl.

2.2.3

Newton-Busemann-Theorie

Der Druckbeiwert cp der Newtonschen Theorie, gem¨aß (2.45), ist korrekt, wenn der Grenzfall verschwindenden Druckverh¨altnisses p1 /p2 (Ma1 → ∞) vorliegt und damit die Kontur des Stoßes mit der K¨orperkontur identisch ist. Dabei ist zu beachten, dass Gl. (2.45) den Druck unmittelbar hinter dem Stoß (Zustand ’2’) wiedergibt. Dieser Druck ist nat¨ urlich nur dann gleich dem Druck auf der K¨orperoberfl¨ache, wenn die Fluidteilchen nach dem Stoß geradlinigen Bahnkurven folgen. Dies ist beispielsweise bei der Keil- und Kegelumstr¨omung der Fall. Liegt ein K¨orper mit gekr¨ ummter Oberfl¨ache vor, dann m¨ ussen die Teilchen gekr¨ ummten Bahnen folgen. Die Zentrifugalkr¨afte, die dabei entstehen, spiegeln sich in einer Druckdifferenz quer zur Str¨omung in der Schicht zwischen Stoß und K¨orper wieder. Busemann ber¨ ucksichtigte als erster diesen Effekt, der vielfach als Zentrifugalkraft-Korrektur bezeichnet wird. Den folgenden Betrachtungen liegt die Annahme zugrunde, dass der Spalt zwischen Stoß und K¨orper infinitesimal klein ist. Das Gleichgewicht zwischen Zentrifugal- und Druckkr¨aften (Querdruckgleichung) am Ort s liefert (Abb. 45

Abbildung 2.9: Zentrifugalkraft-Korrektur der Newtonschen Theorie 2.9): dp =

ρu2 dn R(s)

(2.53)

F¨ ur den Kr¨ ummungsradius R(s) hat man die Beziehung

R(s) = −

1 dyk ds =− . dδk sin δk dδk

(2.54)

Mit Hilfe der Kontinuit¨atsgleichung w1 ρ1 dy = ρu dn

(2.55)

u(s) = u(s′),

(2.56)

der Beziehung

die hier in erster N¨aherung angenommen wird (f¨ ur den schiefen Stoß gilt sie exakt) und der Relation 46

u(s′) ≃ w1 cos σ(s′ ) ≃ w1 cos δk (s′ )

(2.57)

kann die Geschwindigkeit u aus (2.53) eliminiert werden. Wir erhalten f¨ ur die Druckdifferenz: dp =

−ρ1 w12 sin δk (s)



dδk dyk



cos δk (s′ ) dy(s′).

(2.58)

s

Der Druck am Ort s unterscheidet sich also vom Druck unmittelbar hinter dem Stoß (’2’) um den Betrag:

pk − p2 =

Zpk

p2



dδk dp = ρ1 w12 sin δk (s) dyk



s

·

yZk (s)

cos δk (y) dy.

(2.59)

0

Die Herleitung der Beziehung (2.59) geschah unter der Annahme eines ebenen Problems. Eine analoge Formel ergibt sich im rotationssymmetrischen Fall (siehe Anderson(1989)). F¨ ur den Druckbeiwert hat man nach der NewtonBusemannschen Theorie:

cp s

dδk = 2[sin2 δk + sin δk dyk

Zyk

cos δk (y)dy] .

(2.60)

0

2.2.4

Anwendungen der Newtonschen Theorie

2.2.4.1

1. Angestellte ebene Platte

Abbildung 2.10 zeigt schematisch die hypersonische Str¨omung Ma∞ → ∞, γ=1 um eine ebene Platte. Bei der Umstr¨omung der Platte bildet sich auf der Unterseite ein Stoß aus, der ganz mit der Oberfl¨ache zusammenf¨allt und auf der Oberseite eine Expansionsstr¨omung. Zur Bestimmung des Normalkraftbeiwertes cN greifen wir direkt auf Gl. (2.45) zur¨ uck. Es gilt: cN = cp = 2 sin2 α

47

(2.61)

Abbildung 2.10: Angestellte ebene Platte (Newtonsche Theorie). und entsprechend f¨ ur den Auftriebs- und Widerstandsbeiwert: cA = 2 sin2 α cos α , (2.62) 3

cW = 2 sin α . Druckverteilung auf der Unterseite der Platte sowie Auftriebsverteilung sind konstant. F¨ ur den Auftriebsbeiwert ergibt sich nach (2.62) in hypersonischer Str¨omung also ein nichtlinearer Zusammenhang mit dem Anstellwinkel α, im Gegensatz zu den linearen Gesetzm¨aßigkeiten f¨ ur schlanke, ebene K¨orper ¨ bei moderaten Uberschallgeschwindigkeiten (vgl. Schlichting–Truckenbrodt: Aerodynamik des Flugzeugs). 2.2.4.2

2. Kreiszylinder

Wir betrachten einen senkrecht zu seiner Achse angestr¨omten unendlich langen Kreiszylinder (ebenes Problem). Wegen der Symmetrie der Str¨omung wirkt auf den Zylinder nur eine Wi¨ derstandkraft in x-Richtung (Abb. 2.11). Uberdies herrscht auf der R¨ uckseite wieder absolutes Vakuum. Wir berechnen den Widerstand, bezogen auf die L¨angeneinheit, in Achsenrichtung des Zylinders. Wenn p der ¨ortliche Druck auf dem Zylinder ist und p∞ der statische Druck der ankommenden Str¨omung, dann gilt f¨ ur eine differentiell kleine Widerstandskraft pro L¨angeneinheit: ρ∞ 2 dW = (p − p∞ ) cos ϑr dϑ = cp U cos ϑ r dϑ. (2.63) 2 ∞ 48

Abbildung 2.11: Kreiszylinder (Newtonsche Theorie) Der gesamte Widerstand pro L¨angeneinheit lautet in Abh¨angigkeit des Widerstandsbeiwertes cW und mit der Beziehung (2.45) f¨ ur cp : ρ∞ 2 ρ∞ 2 W = cW U∞ · 2r = 4 U∞ ·r 2 2

Zπ/2 π sin2 ( − ϑ) cos ϑ dϑ . 2

(2.64)

0

Nach Umformung und Integration ergibt sich f¨ ur den Widerstandsbeiwert eines Zylinders der L¨ange eins:

cW

Zπ/2 = 2 cos3 ϑ dϑ = 4/3 .

(2.65)

0

Bei diesen Betrachtungen wurde nat¨ urlich, entsprechend dem Konzept der (einfachen) Newtonschen Theorie, der Kr¨ ummungseffekt des Zylinders vernachl¨assigt. Dieser w¨ urde aufgrund der bei der tangentialen Umstr¨omung des Zylinders auftretenden Zentrifugalkr¨afte zu geringeren ¨ortlichen Dr¨ ucken und damit zu einem gegen¨ uber (2.65) verminderten cW -Wert f¨ uhren. 2.2.4.3

3. Kreiskegel

Es handelt sich hier um das klassische Beispiel eines K¨orpers f¨ ur den Hochgeschwindigkeitsflug, obgleich nat¨ urlich die spitze Kegelnase wegen der aerodynamischen Aufheizung vermieden werden m¨ usste. Bei symmetrischer Anstr¨omung tritt kein Zentrifugalkrafteffekt auf. 49

Abbildung 2.12: Kreiskegel (Newtonsche Theorie) Aus der Geometrie des Kegels (Abb. 2.12) folgt: dx = dl · cos δ y = x tan δ .

(2.66)

Ein Oberfl¨achenelement des Kegels, dO, hat dann die Gr¨oße dO = 2πy dl = 2π

tan δ xdx . cos δ

(2.67)

Der auf die Grundfl¨ache des Kegels bezogene Widerstandsbeiwert lautet: cW

W 2 = ρ∞ 2 = 2 2 U∞ · πr ρ∞ U∞ · πr 2 2 =

4 tan2 δ sin2 δ r2

Zh

Zh 0

(p − p∞ ) sin δ dO (2.68)

x dx

0

Die Integration liefert unter Ber¨ ucksichtigung von r = h tan δ cW = 2 sin2 δ .

50

(2.69)

2.2.4.4

4. Kugel

Abbildung 2.13: Kugel (Newtonsche Theorie) Die auf die Kugel wirkende Gesamtkraft resultiert bei der Newtonschen N¨aherung aus den Druckkr¨aften, die auf jedem Oberfl¨achenelement senkrecht stehen. Wie beim Kreiszylinder gilt f¨ ur den Druckbeiwert: cp = 2 sin2 δ = 2 cos2 δ .

(2.70)

uber der Str¨omung um den Winkel δ Ein Oberfl¨achenelement, das gegen¨ (Abb. 2.13) geneigt ist, hat die Gr¨oße dO = 2πr sin ϑ · rdϑ , womit sich f¨ ur den Widerstand W der Kugel ergibt: R π/2 W = cW q∞ πr 2 = 0 (p − p∞ ) cos ϑ dO 2

= 4πr q∞

R π/2 0

(2.71)

(2.72)

3

cos ϑ sin ϑ dϑ

Der Widerstandsbeiwert bezogen auf die maximale Querschnittsfl¨ache r 2 π ist dann: cW = 1 .

51

(2.73)

2.2.4.5

5. Rotationssymmetrischer K¨ orper unter Anstellwinkel

Die Newtonsche Theorie liefert Druckbeiwerte cp = 0 an K¨orperzonen, die nicht von der Str¨omung erreicht werden (Expansionsgebiete). Diese von der Str¨omung ’abgeschirmten’ Gebiete (Abb. 2.14) sind durch Grenzlinien, f¨ ur die cp = 0 gilt, von den Kompressionszonen getrennt.

Abbildung 2.14: Angestellter rotationssymmetrischer K¨orper (Newtonsche Theorie) Die Grenzlinien sind dadurch gekennzeichnet, dass der Tangentenvektor ~t in jedem Punkt dieser Linie und der Geschwindigkeitsvektor ~u∞ in ein und derselben Ebene liegen, n¨amlich der Tangentialebene. F¨ ur den nicht angestellten rotationssymmetrischen K¨orper liegt die Grenzlinie nat¨ urlich in einer Ebene senkrecht zur x-Achse. Der Druckbeiwert auf jener K¨orperoberfl¨ache, die der freien Str¨omung ausgesetzt ist, ergibt sich bei Anstr¨omung unter dem Winkel α (Truitt, ’Hypersonic Aerodynamics’ (1959), Kap. (3.5)) zu: cp = 2(cos α sin δ − sin α cos δ sin β)2 .

(2.74)

Die Bedingung cp = 0 liefert dann einen Zusammenhang zwischen dem Anstellwinkel α und der Geometrie des K¨orpers β, δ(x), n¨amlich die Gleichung der Grenzlinie: sin βu = tan δu / tan α .

52

(2.75)

In einer Semesterarbeit4 wurden von R. Meisinger die aerodynamischen Beiwerte von rotationssymmetrischen K¨orpern nach der Newtonschen Theorie berechnet und zwar u.a. f¨ ur die Halbkugel, den Kugelsegmentk¨orper, die ebene Platte. Ergebnisse dieser Untersuchungen finden sich in den folgenden Abbildungen 2.15 - 2.16.

Abbildung 2.15: Widerstandsbeiwert, cW , f¨ ur das Kugelsegment (Newtonsche Theorie) 4 Semesterarbeit Nr.70/7: Berechnung der aerodynamischen Beiwerte von rotationssymmetrischen Wiedereintrittsk¨ orpern nach der Theorie von Newton. Institut f¨ ur Str¨omungsmechanik, TU M¨ unchen, 1970.

53

Abbildung 2.16: Auftriebsbeiwert, cA , f¨ ur das Kugelsegment (Newtonsche Theorie)

54

2.2.5

Theorie kleiner St¨ orungen im Hyperschall

2.2.5.1

Einfu ¨hrung

Der Begriff umfasst im Hyperschall alle Theorien, die zur Beschreibung schlanker K¨orper dienen. Kleine St¨orungen bedeuten, dass die St¨orgeschwindigkeiten klein sind verglichen mit der Geschwindigkeit der ankommenden Str¨omung w∞ und die Druck¨anderungen klein verglichen mit dem Geschwindigkeitsdruck q∞ . Hingegen sind die St¨orgeschwindigkeiten nicht klein gegen¨ uber der Schallgeschwindigkeit a∞ und die Druck¨anderungen nicht klein gegen¨ uber dem statischen Druck p∞ . Die St¨orungen sind also durchaus nicht klein im Sinne einer u ¨blichen linearen Theorie. Bei der Theorie kleiner St¨orungen im Hyperschall handelt es sich haupts¨achlich um eine nichtlineare Theorie. Die Nichtlinearit¨at kann man sich folgendermaßen verdeutlichen: Wir betrachten einen station¨aren, isentropen Str¨omungsvorgang, etwa eine isentrope Entspannung eines Gases im Hyperschall (Eckenstr¨omung). Die thermodynamischen Gr¨oßen sind dann mit der Geschwindigkeit durch die folgenden Beziehungen l¨angs der Stromlinie verkn¨ upft (Stromfadentheorie, Eulersche Gleichungen): ρwA = const. , w dw + dp/ρ = 0 ,

(2.76)

ds = 0 . A ist die Querschnittsfl¨ache des Stromfadens. Die Differentiale bezeichnen ¨ Anderungen l¨angs des Stromfadens. Die zweite der Gleichungen ist die Eulersche Bewegungsgleichung f¨ ur station¨are, reibungsfreie und kompressible Str¨omung. F¨ ur ein ideales Gas mit konstanter spezifischer W¨arme lassen sich dann mit der Zustandsgleichung p = ρRT , den Ausdr¨ ucken f¨ ur die Entropie p 2 s = cv ln γ und die Schallgeschwindigkeit a = γp/ρ = dp/dρ, leicht die ρ folgenden Beziehungen herleiten: dp dρ dw =γ = −γMa2 , p ρ w dT da dw =2 = −(γ − 1)Ma2 , T a w

55

(2.77)

    da 2 γ − 1 2 dw dMa =− 1+ = 1+ Ma . Ma 2 w (γ − 1)Ma2 a Hieraus folgt, dass f¨ ur Ma ≫ 1 kleine relative Geschwindigkeits¨anderungen ¨ zu großen relativen Anderungen von Druck, Dichte, Temperatur und Schall¨ geschwindigkeit f¨ uhren. Die Anderung der Machzahl hat ihre Ursache in der ¨ gegensinnigen Anderung der Schallgeschwindigkeit (und damit der thermodynamischen Gr¨oßen) und nicht in der Variation der Geschwindigkeit. Dieses Verhalten hypersonischer Str¨omungen steht im Gegensatz zum Verhalten einer Str¨omung bei niedrigen Unterschallgeschwindigkeiten (Ma ≪ 1), ¨ bei der die relativen Anderungen der thermodynamischen Gr¨oßen sehr klein ¨ sind. Anderungen der Machzahl werden hierbei prinzipiell durch Geschwin¨ digkeits¨anderungen (und nicht durch Anderungen der Schallgeschwindigkeit, wie im Fall Ma ≫ 1) hervorgerufen.

Was f¨ ur die isentrop verlaufende Str¨omung gerade gezeigt wurde, kann ebenso f¨ ur eine Str¨omung mit Verdichtungsstoß nachgewiesen werden. Wir betrachten eine Hyperschallstr¨omung um einen Keil, die folgende Bedingungen erf¨ ullt: δ ≪ 1 und Ma1 δ = O(1) oder ≫ 1 Ma1 ≫ 1

(2.78)

y 6  Stoß   1   1u     v1  B u1 v 1 w 2( ( 1BN 2 (   B (((   ( w2y  ( ((( N B w2x((((((( w1  ((((  ((( (  ( (  ( ((( ( σ δ ( 

-

x Abbildung 2.17: Anliegender Stoß (Theorie kleiner St¨orungen) Es soll gezeigt werden, dass kleine relative Geschwindigkeits¨anderungen (w2 − ¨ w1 )/w1 große Anderungen der thermodynamischen Gr¨oßen hervorrufen. Mit den Beziehungen (2.13) und (2.16) folgt (vgl. auch Abb. 2.17):

56



w2 w1

2

=

 2 u2 u1

v1 u1

1 +

=1 −

 2

+  2

=

v1 u1



γ−1 γ+1

2

+ (cot σ)2

1 + (cot σ)2 (2.79)

4γ 2 2 sin σ (γ + 1)

Durch Entwickeln des Ausdrucks w2 /w1 = (1 − 4γ sin2 σ/(γ + 1)2 )1/2 in eine binomische Reihe, ergibt sich f¨ ur den schlanken K¨orper, wenn nur das erste γ+1 δ gesetzt wird: Glied ber¨ ucksichtigt und σ = 2 w2 ∆w γ −1 = = − δ2 . w1 w1 2

(2.80)

Das Ergebnis (2.80) besagt also, dass die Geschwindigkeit w1 u ¨ber den Stoß hinweg nur geringf¨ ugig abnimmt (die St¨orung (∆w/w1 ) ist dem Quadrat des Umlenkwinkels δ proportional). Die St¨orungen in der Dichte und dem Druck sind jedoch wesentlich gr¨oßer, wie sich gleich zeigen wird. Aus (2.13) und (2.14) folgt unter den Bedingungen (2.78): ρ2 − ρ1 ∆ρ = = O(1) , ρ1 ρ1 ∆p p2 − p1 = = O(Ma21 δ 2 ) , p1 p1 cp =

(2.81)

p2 − p1 = O(δ 2) . q1

ur Da Ma1 δ nach (2.78) von der Ordnung 1 oder gr¨oßer ist, ergibt sich f¨ den Stoß tats¨achlich ein qualitativ ¨ahnliches Verhalten wie f¨ ur die isentrope Str¨omung (vgl. (2.77)). Im Hinblick auf das folgende Kapitel ist es n¨ utzlich, sich an dieser Stelle noch die Gr¨oßenordnungen der St¨orgeschwindigkeiten zu u ur ei¨berlegen, wie sie f¨ ne Hyperschallstr¨omung, die die Bedingungen (2.78) erf¨ ullt, charakteristisch sind. F¨ ur die x- bzw. y-Komponente der Geschwindigkeit w2 hat man: 57

w2x = w2 cos δ = O(w2 ) , w2y = w2 sin δ = O(w2δ) .

(2.82)

Die St¨orgeschwindigkeiten in x- bzw. y-Richtung sind dann unter Beachtung von (2.80):   w2 cos δ − w1 = O(∆w) = w1 δ 2 , w2x − w1 = w1 w1 (2.83)   w2 sin δ w2y = w1 = O(∆w · δ + w1 δ) = w1 δ . w1 Sie sind also f¨ ur den schlanken K¨orper im Hyperschall von unterschiedlicher Gr¨oßenordnung im Gegensatz zu den entsprechenden Aussagen beim linearen ¨ Unter- und Uberschall. 2.2.5.2

¨ Hypersonisches Ahnlichkeitsgesetz

Die oben angestellten Betrachtungen u ¨ber Str¨omungen mit kleinen St¨orge¨ schwindigkeiten (∆w) f¨ uhren unmittelbar zu einem Ahnlichkeitsgesetz und damit zu invarianten Gleichungen f¨ ur das Problem der station¨aren hypersonischen Umstr¨omung eines schlanken K¨orpers. Wir behalten hier die Bedingung (2.78) bei, wobei die Gr¨oße δ jetzt allgemeiner verstanden werden soll, n¨amlich entweder als Dickenverh¨altnis des K¨orpers oder als maximaler Neigungswinkel der Oberfl¨ache gegen¨ uber der Anstr¨omrichtung. In jedem Fall ist δ ein kleiner Parameter. Betrachten wir hier der Einfachkeit halber das ebene Problem. Es sollen die beiden Geschwindigkeitskomponenten u, v5 , der Druck p und die Dichte ρ in dem an den K¨orper grenzenden reibungsfreien Str¨omungsfeld bestimmt werden. Dazu ben¨otigen wir: 1. Die Bewegungsgleichungen in differentieller Form, die das Gebiet stromabw¨arts vom Stoß beschreiben. 2. Die Erhaltungss¨atze f¨ ur den Stoß und 5

Entgegen der Bezeichnungsweise in Kap. 2.2.5.1 werden hier die x, y-Komponenten des Geschwindigkeitsvektors w hinter dem Stoß mit u, v bezeichnet. Alle u ¨ brigen Gr¨oßen hinter dem Stoß sind ohne Index (p, ρ). ∞ weist auf den ungest¨orten Zustand hin.

58

3. Die Randbedingungen f¨ ur die K¨orperoberfl¨ache und im Unendlichen. Die Bewegungsgleichungen in differentieller Form beinhalten die Erhaltungss¨atze f¨ ur Masse, Impuls in x- und y- Richtung und Energie, also: ∂(ρu) ∂(ρv) + ∂x ∂y u

∂u 1 ∂p ∂u +v + ∂x ∂y ρ ∂x

= 0 , = 0 , (2.84)

∂v 1 ∂p ∂v +v + u ∂x ∂y ρ ∂y u

= 0 ,

∂(p/ργ ) ∂(p/ργ ) +v = 0 . ∂x ∂y

F¨ ur den schiefen Stoß (vgl. Kap. 2.1.3) gelten die Beziehungen: ρ = ρ∞

γ+1 , +γ−1

2 Ma2∞ sin2 σ


p 2γ Ma2∞ sin2 σ − 1 , = 1+ p∞ γ+1

(2.85)

tan σ = ρ/ρ∞ , tan (σ − δ)

die mit σ = 90◦ in die Gleichungen f¨ ur den senkrechten Stoß u ¨bergehen. S = S(x,y) ist die Gleichung der Stoßkontur. Die Randbedingung am K¨orper lautet, dass die Normalkomponente der Geschwindigkeit auf der K¨orperoberfl¨ache verschwindet (im Einklang mit der Definition der Stromlinie). Wenn F (x,y) = 0 die Gleichung f¨ ur die K¨orperkontur ist und w ~ der aus u, v resultierende Geschwindigkeitsvektor, dann gilt: w · grad F = 0 oder

59

u

∂F ∂F +v = 0 , auf F = 0 . ∂x ∂y

(2.86)

Die Randbedingung im Unendlichen beinhaltet das Verschwinden s¨amtlicher St¨orgr¨oßen weit vor dem K¨orper, also: u v p ρ

→ → → →

w∞ 0 p∞ ρ∞

f¨ ur x → −∞ .

(2.87)

Das Gleichungssystem (2.84) - (2.87), welches das ebene Problem der hypersonischen Umstr¨omung eines K¨orpers vollst¨andig beschreibt, soll jetzt f¨ ur schlanke K¨orper (δ ≪ 1) vereinfacht werden. Die Vereinfachung besteht darin, dass neue, unabh¨angige und abh¨angige Variable eingef¨ uhrt werden, die im ganzen Str¨omungsfeld von der Gr¨oßenordnung 1 sind. Die Form der Transformation st¨ utzt sich auf die Ergebnisse des vorhergehenden Kapitels, die hier wiederholt werden sollen: 1. Das Dichteverh¨altnis ρ/ρ∞ u ¨ bersteigt nie den Wert (γ + 1)/(γ − 1), 2. die relative St¨orgeschwindigkeit ∆w/w∞ und der Druckbeiwert cp sind von der Gr¨oßenordnung δ 2 , 3. die seitliche Ausdehnung des Str¨omungsfeldes ist ein Vielfaches von δ. Die Transformationen lauten:

x′ = x (2.88) y ′ = y/δ

u = w∞ [1 + δ 2 · u′ (x′ ,y ′ )] ′

′

′

v = w∞ δ · v (x ,y )]

60

(2.89)

p = γMa2∞ δ 2 · p∞ p′ (x′ ,y ′ ) ′

′

(2.90)

′

ρ = ρ∞ ρ (x ,y )

F =

F ′ (x′ ,y ′ ) (2.91)

S =

′

′

′

S (x ,y )

Abbildung 2.18: Zur Illustration der St¨orgeschwindigkeiten im Hypersoni¨ schen Ahnlichkeisgesetz. Es wird dabei angenommen, dass alle abh¨angigen Variablen u′ , v ′, p′ , ρ′ (vgl. Abb. 2.18) und die Funktionen F ′ und S ′ von der Gr¨oßenordnung 1 sind, wenn bei festem Ma∞ δ die Gr¨oße δ → 0 geht. Ferner wird vorausgesetzt,

61

dass f¨ ur die reziproken Werte dieser Variablen ebenfalls O(1) gilt.6 Wegen der Randbedingung (2.87) verschwinden die dimensionslosen Gr¨oßen, u′ und v ′ weit vor dem K¨orper. Die Transformationsgleichungen (2.88) - (2.91) werden jetzt in das Gleichungssystem (2.84) - (2.87) eingesetzt, wobei Glieder mit δ 2 vernachl¨assigt werden (Problem 1. Ordnung). Wir erhalten das vereinfachte Gleichungssystem f¨ ur den schlanken K¨orper in der Form: (Masse)

∂(ρ′ ) ∂(ρ′ v ′ ) + ∂x′ ∂y ′

= 0

(x-Imp.)

′ ∂u′ 1 ∂p′ ′ ∂u +v ′ + ′ ′ ∂x′ ∂y ρ ∂x

= 0

(y-Imp.)

′ 1 ∂p′ ∂v ′ ′ ∂v + v + ∂x′ ∂y ′ ρ′ ∂y ′

(Energie)

′ ′γ ∂(p′ /ρ′γ ) ′ ∂(p /ρ ) + v = 0 ∂x′ ∂y ′

(2.92)

sin σ ≃ tan σ = δ · ρ′ p′

= =

∂S ′ ∂x

S ′2 (

1 2 + γ−1 γ+1 Ma2 δ 2 γ+1 ∞

  = δ · S′       

)S ′2

2γMa2∞ δ2 S ′2 −(γ−1) γ(γ+1)Ma2∞ δ2

Randbedingungen: ′ ∂F ′ ′ ∂F + v = 0 auf ∂x′ ∂y ′

6

 u′ , v ′ → 0  p′ → γMa12 δ2 ∞  ρ′ → 1

= 0

Stoß

(2.93)

       

F =0

f¨ ur x′ → −∞

(2.94)

Die Bezeichnung O(1) schließt sowohl den Fall ein, dass die Gr¨oße im Grenzfall beliebig klein wird, als auch den Fall, dass sie einem konstanten, von null verschiedenen Wert zustrebt.

62

Das Gleichungssystem (2.92) - (2.94), das hochgradig nichtlinear ist, enth¨alt die beiden Parameter δ und Ma∞ nur in Form des Produktes Ma∞ δ. Diese Gr¨oße wird nach ihrem Entdecker Tsienscher Hyperschallparameter K = Ma∞ δ genannt. Man erkennt die zentrale Bedeutung dieses Parameters. Str¨omungen um K¨orper mit verschiedenen Parametern δ1 , δ2 sind dann ¨ahnlich, wenn die Machzahlen (Ma∞ )1,2 so ge¨andert werden, dass K konstant ist: K = (Ma∞ δ)1 = (Ma∞ δ)2 .

(2.95)

Wenn also Ma∞ δ konstant ist, dann bleiben die Gr¨oßen u′ , v ′, p′ und ρ′ an einander entsprechenden Punkten des Str¨omungsfeldes unver¨andert. Der Sinn ¨ der Transformation (2.88) - (2.91) liegt also vornehmlich in den Ahnlichkeitsaussagen (2.95).

2.2.6

Charakteristikenverfahren fu are ebene ¨ r station¨ ¨ Uberund Hyperschallstr¨ omung

Ausgangspunkt (dieses speziellen Berechnungsverfahrens, das nur dann anwendbar ist, wenn die lokale Str¨omungsgeschwindigkeit die Schallgeschwindigkeit u ¨bersteigt) ist die gasdynamische Grundgleichung (a2 − u2 )

∂v ∂u ∂v ∂u + (a2 − v 2 ) − uv( + )=0 ∂x ∂y ∂y ∂x

(2.96)

sowie der Croccosche Wirbelsatz in Komponentenschreibweise:

v(

∂u ∂v a2 ∂s − )− = 0 ∂y ∂x cp (γ − 1) ∂x

(2.97)

2

u(

∂u ∂v a ∂s − )+ = 0 ∂y ∂x cp (γ − 1) ∂y

die Entropie s ist f¨ ur das ideale Gas konstanter spezifischer W¨arme gegeben durch p s = cv ln( γ ) . (2.98) ρ

63

Die Gasdynamische Grundgleichung (2.96) ist nichts anderes als eine Linearkombination der Eulerschen Gleichungen (2.84): ∂ρ ∂ρ u +v +ρ ∂x ∂y



∂u ∂v + ∂x ∂y



=0

(2.99)

u

∂u ∂u 1 ∂p +v + =0 ∂x ∂y ρ ∂x

(2.100)

u

∂v 1 ∂p ∂v +v + =0 ∂x ∂y ρ ∂y

(2.101)

    γp ∂ρ ∂p ∂p ∂ρ − u = 0. u +v +v ∂x ∂y ρ ∂x ∂y

(2.102)

Die 2. Klammer in der Entropiegleichung (2.102) eliminieren wir mit Hilfe der Massenbilanz (2.99) und erhalten:     ∂p ∂u ∂v ∂p 2 u + ρa = 0. +v + ∂x ∂y ∂x ∂y

(2.103)

Die 1. Klammer in (2.103) ergibt sich aus der Summe der mit ρu bzw. ρv multiplizierten Bewegungsgleichungen (2.100), (2.101) zu:       ∂p ∂u ∂v ∂p ∂u ∂v u = −ρu u − ρv u . +v +v +v ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

(2.104)

Wird (2.104) in (2.103) eingesetzt und wird nach den Gradienten ∂u/∂x, ∂v/∂y geordnet, folgt die gasdynamische Grundgleichung. Das Gleichungssystem (2.96) - (2.97) setzt eine isoenergetische Str¨omung voraus, d.h. eine Str¨omung, bei der im ganzen Feld der Staupunktwert der Enthalpie h0 = h + w 2/2 konstant ist. Das System beinhaltet lediglich konstante Entropie l¨angs der Stromlinie, jedoch nicht im ganzen Str¨omungsfeld. Die Str¨omung kann also drehungsbehaftet sein. Gerade dies ist wegen der auftretenden gekr¨ ummten Verdichtungsst¨oße ein entscheidendes Charakteristikum der Hyperschallstr¨omungen. Nachdem das Gleichungssystem (2.96) - (2.97) den Eulerschen Gleichungen ¨ von den ¨aquivalent ist, mag man sich fragen, welchen Vorteil der Ubergang ’primitiven’ Variablen ρ, u, v, p zu den Variablen u, v, s bringt. Die Antwort ist einfach, dass man sich eine Differentialgleichung spart, und dies ist im 64

Hinblick auf das Charakteristikenverfahren von Vorteil. Der Vollst¨andigkeit halber muss noch erw¨ahnt werden, dass die Schallgeschwindigkeit a keine Unbekannte darstellt, sondern f¨ ur isoenergetische Str¨omung idealer Gase mit konstanter spezifischer W¨arme aus a20 = a2 +

(γ − 1) 2 (u + v 2 ) 2

(2.105)

folgt, wobei a20 = γRT0 im ganzen Feld konstant ist. Im Folgenden erl¨autern wir die L¨osung der drei partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung f¨ ur u, v, s, (2.96), (2.97). Das Differentialgleichungssystem ist quasilinear, da die Koeffizienten (a2 − u2 ), uv, a2 /[cp (γ − 1)] etc. von x, y und u, v, s abh¨angen. Es ist ’linear’ bez¨ uglich der Ableitungen der gesuchten Funktionen, jedoch nicht in Bezug auf diese Funktionen selbst. Das System ist homogen. Um es integrieren zu k¨onnen, f¨ uhren wir es in ein ¨aquivalentes System gew¨ohnlicher Differentialgleichungen u ¨ber, das sog. charakteristische System. Wir bilden so viele Linearkombinationen des partiellen Differentialgleichungssytems, wie abh¨angige Variablen vorhanden sind – also 3 – und fordern, dass in jeder dieser Linearkombinationen die Funktionen u, v, s nur nach einer Richtung, der charakteristischen Richtung σ = dy/dx, differenziert vorkommen. Zun¨achst multiplizieren wir jede der Gleichungen (2.96) - (2.97) mit einem Linearfaktor τi , addieren die Gleichungen und fassen folgendermaßen zusammen: ∂u ∂u + [−τ1 · uv + τ2 · v + τ3 · u] + ∂x ∂y ∂v 2 2 ∂v [−τ1 · uv − τ2 · v − τ3 · u] + [τ1 (a − v )] + ∂x ∂y a2 ∂s a2 ∂s [−τ2 · ] + [τ3 · ] =0 . cp (γ − 1) ∂x cp (γ − 1) ∂y [τ1 (a2 − u2 )]

(2.106)

Die Bedingung daf¨ ur, dass beispielsweise u in der obigen Linearkombination nur nach σ = dy/dx differenziert vorkommt, also als Richtungsableitung ∂u dy ∂u du = + · dx ∂x dx ∂y erscheint, ist offenbar: dy [−τ1 · uv + τ2 · v + τ3 · u] =σ= dx τ1 (a2 − u2 ) 65

oder umgeformt: τ1 [σ(a2 − u2 ) + uv] − τ2 v − τ3 u = 0 .

(2.107)

Zwei entsprechende Bedingungen folgen f¨ ur v und s: − τ1 [σuv + (a2 − v 2 )] − τ2 σv − τ3 σu = 0 , − τ2 σ − τ3 = 0 .

(2.108)

Wir haben also ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Linearfaktoren τ1 , τ2 , τ3 . Es ist homogen und die Bedingung f¨ ur die Existenz nichttrivialer L¨osungen lautet: [σ(a2 − u2 ) + uv] −v −u [−σuv − (a2 − v 2 )] −σv −σu =0 . 0 −σ −1

(2.109)

Gleichung (2.109) wird als Richtungsgleichung bezeichnet. Sie liefert die 3 charakteristischen Richtungen σν als Wurzeln der obigen Gleichung dritten Grades: v σ1 = , u σ2 = σ3 =

a2

√ 1 (a u2 + v 2 − a2 − uv) , 2 −u

(2.110)

√ 1 (−a u2 + v 2 − a2 − uv) . a2 − u2

σ1 = (dy/dx)1 = v/u stellt die Gleichung der Stromlinien dar. Die Wurzeln σ2 und σ3 geben die Richtungen der von einem Punkt (x, y) ausgehenden 66

rechts- und linksl¨aufigen Machlinien an, was hier nur festgestellt und nicht bewiesen werden soll. Falls alle charakteristischen Richtungen σν reell aber nicht notwendigerweise voneinander verschieden sind, bezeichnen wir das urspr¨ ungliche partielle Differentialgleichungssystem als hyperbolisch. Dies ¨ ist f¨ ur Uberschallstr¨ omungen mit u2 + v 2 − a2 > 0 der Fall. F¨ ur jede charakteristische Richtung σν ergibt sich jetzt aus (2.107) - (2.108) gerade ein L¨osungsvektor (τ1 , τ2 , τ3 ) und damit jeweils eine Linearkombination (2.106). Wir haben:

τ1

τ2

τ3

σ1

σ2

σ3

0

1

1

1

σ2 (a2 − u2) + uv ) v − uσ2

σ3 (a2 − u2 ) + uv ) v − uσ3

−

v u

−

σ2 (a2 − u2 ) + uv ) v − uσ2

-

(2.111)

σ3 (a2 − u2) + uv ) v − uσ3

Die Linearkombinationen oder auch Vertr¨aglichkeitsbedingungen lauten nun: ∂s v ∂s ds + = = 0 , d.h., s = const ∂x u ∂y dx

(2.112)

l¨angs Stromlinien und √ (a2 − v 2 ) a2 a u2 + v 2 − a2 (a − u ) du + dv − ds = 0 σ2 cp (γ − 1) v − uσ2

(2.113)

√ a2 a u2 + v 2 − a2 (a2 − v 2 ) dv + ds = 0. (a − u ) du + σ3 cp (γ − 1) v − uσ3

(2.114)

2

2

2

2

l¨angs Mach-Linien, welche die Stromlinien unter dem Mach-Winkel α schneiden. 67

Die Richtungsbedingungen (2.110) bilden mit den Vertr¨aglichkeitsbedingungen (2.112) - (2.114) das charakteristische System. Die L¨osung dieses Systems gew¨ohnlicher Differentialgleichungen erfolgt auf numerischem Wege mit Hilfe eines Differenzenverfahrens. Wir ersetzen das charakteristische System durch die folgenden Differenzengleichungen:  y(P1) − y(A1 ) v(P1 )   = σ1 (P1 ) = ,    x(P1 ) − x(A1 ) u(P1 )           y(P ) − y(A ) 1 2 = σ2 (A2 ) ,  x(P1 ) − x(A2 )            y(P1) − y(A3 )   = σ3 (A3 ) ,  x(P1 ) − x(A3 )

(2.115)

 s(P1 ) − s(A1 ) = 0 ,            (a2 −v2 )A2  2 2  (a − u ) [u(P ) − u(A )] + [v(P1 ) − v(A2 )]−  A 1 2 2 σ2 (A2 )      i h √   2 +v 2 −a2 1 a3 uv−uσ [s(P1 ) − s(A2 )] = 0 , − cp (γ−1) 2 A2          (a2 −u2 )   (a2 − u2 )A3 [u(P1 ) − u(A3 )] + σ3 (A3 )A3 [v(P1 ) − v(A3 )]+       i h √    1 3 u2 +v2 −a2  + a [s(P ) − s(A )] = 0 . cp (γ−1)

v−uσ3

A3

1

3

Sie beziehen sich auf die Eckpunkte des Gitters in Abbildung 2.19. Der Rechengang ist nun folgender: Die Funktionswerte u, v, s sind in den Punkten A1 , A2 , A3 , . . . der Anfangskurve gegeben. Die Koordinaten von P1 folgen aus den beiden Machrichtungen σ2 (A2 ) und σ3 (A3 ). Ersetzt man in der 2. und 3. Gleichung von (2.116) den Wert s(P1 ) in erster N¨aherung durch s(A2 ) oder s(A3 ), so folgen aus diesen beiden Gleichungen die Gr¨oßen u(P1 ), v(P1 ) und damit die Koordinaten des Punktes A1 . Jetzt kann der 68

Abbildung 2.19: Aus Charakteristiken aufgebautes Rechengitter. Entropiewert in P1 durch s(P1 ) = s(A1 ) verbessert werden und die Berechnung von u(P1 ), v(P1 ) von neuem beginnen und zwar so lange, bis sich die gerechneten Werte um beliebig kleine Betr¨age von den vorher ermittelten Werten unterscheiden. Die obige Skizze veranschaulicht zum einen die Tatsache, dass die Funktionswerte u, v, s in einem Punkt Q1 vollst¨andig durch die zwischen A2 und A5 liegenden Anfangswerte bestimmt sind (Abh¨angigkeitsbereich) und zum anderen, dass die Str¨omungsgr¨oßen in A3 den Bereich beeinflussen, der von den durch A3 gehenden Machkurven A3 P1 und A3 P3 begrenzt wird (Einfluߨ bereich). Das hier erl¨auterte Charakteristikenverfahren gilt f¨ ur Uberund Hyperschallstr¨omungen beliebiger Machzahl und enth¨alt keine Vereinfachungen der Art, wie sie beispielsweise in Kapitel 2.2.5 f¨ ur schlanke K¨orper im Hyperschallbereich besprochen wurden.

2.2.7

Stro ¨mungsfeld K¨ orper

im

Nasenbereich

stumpfer

Bei der Beschleunigung eines Flugk¨orpers in der Erdatmosph¨are auf hohe Geschwindigkeiten bzw. beim Hyperschallflug sind geringe Widerst¨ande erw¨ unscht, was schlanke K¨orperformen vorschreibt. Beim Wiedereintauchen in die Erdatmosph¨are hingegen m¨ ussen Flugk¨orper von der hohen Geschwindigkeit m¨oglichst schnell abgebremst werden, ohne dass die damit zwangsl¨aufig verbundene Erw¨armung der Oberfl¨ache ein zul¨assiges Maß u ¨berschreitet. Zur Erf¨ ullung dieser beiden Bedingungen eignet sich der vorn 69

stumpfe K¨orper. Er verf¨ ugt u ¨ ber einen hohen Widerstand. Die Berechnung der Hyperschallstr¨omung im Nasenbereich stumpfer K¨orper geschieht heute ausschließlich numerisch. In Staupunktn¨ahe befindet sich hinter dem Stoß ein lokales Unterschallgebiet, dessen Polsterwirkung ganz wesentlich den Str¨omungsablauf und damit ¨ den Str¨omungszustand am K¨orper bestimmt. Weiter stromab liegt ein Uberschallgebiet vor. Aus mathematischer Sicht sind die Str¨omungsgleichungen ¨ im Unterschallgebiet elliptisch und im Uberund Hyperschallgebiet hyperbolisch. In der Umgebung der Schalllinie wechseln sie wiederholt ihren Typ. Wir untersuchen nun das Str¨omungsfeld um einen stumpfen K¨orper etwas detaillierter anhand der Umstr¨omung einer Kugel bzw. eines Kreiszylinders f¨ ur 3 verschiedene Machzahlen.

Abbildung 2.20: Einfluß der Machzahl auf das Str¨omungsfeld im Nasenbereich In der Umgebung der Staustromlinie liegt hinter der Kopfwelle ein Un¨ terschallgebiet. Stromabw¨arts wird die Str¨omung wieder auf Uberschallgeschwindigkeit beschleunigt. Die Lage der Kopfwelle ist bei vorgegebener Machzahl und Geometrie des K¨orpers nicht von vornherein bekannt. Ebenso wenig kennen wir die Lage der Grenzcharakteristik oder Grenzmachlinie ¨ (limiting characteristic), die stromabw¨arts denjenigen Teil des Uberschallgebietes begrenzt, der seinerseits noch das lokale Unterschallgebiet beeinflusst. Die Grenzmachlinie ist n¨amlich die letzte vom K¨orper kommende (linksl¨aufige) Machsche Linie, die auf die Schallinie trifft und damit ein Signal in das

70

Unterschallgebiet tragen kann. Die Str¨omung im Unterschallgebiet h¨angt damit nur von dem Teil der K¨orperkontur ab, der zwischen dem Staupunkt und dem Fußpunkt der Grenzmachlinie liegt. Im Gegensatz dazu begrenzt die rechtsl¨aufige Machlinie (Abb. 2.20b) stromabw¨arts dasjenige Gebiet, das gerade noch von einer aus dem lokalen Unterschallgebiet kommenden St¨orung erreicht werden kann. Die Str¨omung in dem speziellen von Schallinie und den Grenzmachlinien eingeschlossenen Gebiet hat transsonischen Charakter. ¨ Das Uberschallgebiet stromabw¨arts der Grenzmachlinien kann in jedem Fall mit der Charakteristikenmethode (siehe 2.2.6) behandelt werden. Dazu m¨ ussen allerdings die Str¨omungsgr¨oßen auf einer Anfangskurve, beispielsweise den Grenzmachlinien, bekannt sein.

71

Kapitel 3 Flugkonfigurationen und Antriebssysteme In dem vorliegenden Kapitel soll auf verschiedene Konzepte f¨ ur Hyperschallflugk¨orper eingegangen werden. Dabei sind zwei Gruppen zu unterscheiden. F¨ ur die Weltraumfahrt sind R¨ uckkehrmissionen von Bedeutung, bei denen hohe Geschwindigkeiten, hohe, aber kurzzeitige W¨armebelastung, und der Wiedereintrittskorridor zu beachten sind. F¨ ur den Transportverkehr mit hypersonischen Geschwindigkeiten ist dagegen ein geringer Widerstand und die Dauerk¨ uhlung von herausragender Bedeutung. Dies f¨ uhrt zu unterschiedlichen Konzepten und Konfigurationen, die im ersten Teil besprochen werden. Im zweiten Teil des Kapitels werden die verschiedenen Antriebskonzepte vorgestellt. Dabei werden auch einige Studien vorgestellt, die nicht u ¨ber die Planungsphase hinausgekommen sind. Dabei ist meist nicht die technische Machbarkeit das Problem, sondern Umwelt- und Kostenaspekte treten bei der Realisierung in den Vordergrund.

3.1

Flugkonfigurationen

Das erste Flugger¨at, das im hypersonische Geschwindigkeitsbereich flog, war die X-15 der NASA (Abb. 3.1), die ihren Erstflug am 17. September 1959 durchf¨ uhrte. Fluggeschwindigkeiten u ¨ber Mach 5 wurden zum ersten Mal am 14. Dezember 1962 zum 75. Flug erreicht. Insgesamt wurden u ¨ber 199 Fl¨ uge in den 60er Jahren durchgef¨ uhrt. Als Antrieb kam ein Raketentriebwerk zum Einsatz. Die Vorhersagen aufgrund der damals zur Verf¨ ugung stehenden 72

Abbildung 3.1: X-15 kurz nach dem Ausklinken vom Tr¨agerflugzeug Berechnungsmethoden lagen teilweise deutlich neben den tats¨achlich gemessenen Werten. Somit wurden umfangreiche Erfahrungen mit hypersonischer Aerothermodynamik gesammelt die auch f¨ ur die Wiedereintrittsaerodynamik von Bedeutung waren.

3.1.1

Raumkapseln

Die ersten Objekte, die intakt aus dem All wieder in die Atmosph¨are eintraten waren die Raumkapseln, die die Astronauten wieder auf die Erde zur¨ uck brachten. Dabei wurde in Ermangelung besserer Werkstoffe auf die Ablationsk¨ uhlung zur¨ uckgegriffen. Dabei wurde teilweise (absichtlich) das Hitze-

Abbildung 3.2: verbrannte Unterseite der Apollo Kapsel nach dem Wiedereintritt 73

schutzschild um einen zus¨atzlichen Faktor von 3 u ¨ berdimensioniert, um die Unsicherheiten auf jeden Fall auszuschalten.

3.1.2

Raumgleiter – Wiedereintrittsflugk¨ orper

3.1.2.1

Hermes

¨ Hermes war als Aquivalent zum amerikanischen Space Shuttle entwickelt worden. Die st¨arkste europ¨aische Rakete Ariane 5 sollte als Startvehikel f¨ ur die Hermes-Oberstufe dienen. Dabei sollten durch austauschbare Module entweder Personen oder Versorgungsg¨ uter in die niedrige Erdumlaufbahn (low earth orbit – LEO) gebracht werden k¨onnen. Wie das Space Shuttle sollte es horizontal nach dem Wiedereintritt auf einer Landebahn selbstst¨andig landen k¨onnen. Grundkonfiguration L¨ange 12,69 m Umfang 9,01 m H¨ohe 2,96 m Durchmesser 2,74 m max. Masse 15 000 kg max. Nutzlast (Orbit) 1 500 kg Astronauten 3 Antriebsart Ariane 5 Raketen 3.1.2.2

S¨ anger I+II

Das Konzept einer luftatmenden Unterstufe, die horizontal startet und landet wurde von Eugen S¨anger bereits w¨ahrend des 2. Weltkriegs entwickelt. In einer H¨ohe von ca. 37 km bei Mach 6,6 sollte dann eine raketengetriebene Oberstufe ausgeklinkt werden, die die niedere Erdumlaufbahn erreichen kann und dann ebenfalls wie Hermes oder das Space Shuttle wie ein Flugzeug landen kann.

74

Hypersonische L¨ange Spannweite Durchmesser max. Masse Schub Geschwindigkeit Reichweite Antriebsart

Unterstufe 84,5 m 41 m 14 m 254 000 kg 6 x 400 kN Mach 6,6 11 000 km Luft-LH2

Oberstufe HORUS L¨ange 27,6 m Spannweite 15,6 m max. Masse ∼ 112 000 kg max. Nutzlast (LEO) 6 000 kg 3.1.2.3

HOTOL

HOTOL steht f¨ ur “horizontal take-off and landing”. Dabei sollte mit Hilfe eines Tr¨agersystems der anf¨angliche Beschleunigungsvorgang unterst¨ utzt werden. Damit ist HOTOL sehr eng mit S¨anger verwandt. HOTOL wurde aus Kostengr¨ unden Anfang der 90er Jahre nach einigen kosteng¨ unstigeren, abgespeckten Interimsentw¨ urfen verworfen. Die von der British Aerospace schon seit den 60er Jahren verfolgte Konzept fiel u.a. durch das heute noch geheime Antriebskonzept auf. Der Motor wurde mit fl¨ ussigem Wasserstoff und fl¨ ussigem Sauerstoff betrieben. Dabei ist bemerkenswert, dass in der Aufstiegsphase durch die Atmosph¨are, Sauerstoff verfl¨ ussigt werden sollte, um Last einzusparen.

Grundkonfiguration L¨ange 63 m Umfang 28 m Durchmesser 7m max. Masse ∼ 250 000 kg max. Nutzlast (LEO) 7 000 kg Antriebsart LH2-LO2 Antriebsart (RB545)

75

3.1.2.4

Skylon

Die Firma reaction engines limited (http://www.reactionengines.co.uk) hat eine Studie entwickelt, die den Transport von ca. 12 t Nutzlast in 300 km H¨ohe erlaubt. Bis Mach 5 soll der Sauerstoff der Atmosph¨are zur Verbrennung herangezogen werden, danach wird mitgef¨ uhrter Sauerstoff verbrannt. Die Entwicklngskosten werden mit $10 Milliarden veranschlagt. Der Wiederverwendbare Flugk¨orper ist f¨ ur mehr als 200 Fl¨ uge ausgelegt und die Kosten pro Start sollen nicht mehr als $40 Millionen betragen. Skylon mit SABRE Antrieb L¨ange 80 m Spannweite 25 m Durchmesser 6,25 m Leermasse ∼ 41 000 kg max. Masse ∼ 220 000 kg max. Nutzlast (LEO) 12 000 kg Antriebsart LH2-LO2

3.1.2.5

Hopper

Als Ersatz f¨ ur die Ariane 5 geplant, ist dieses Shuttle-Konzept in Erprobung (als PHOENIX im Massstab 1:6), allerdings d¨ urfte mit dem FLPP (Future Launcher Project) auch diese Studie noch einmal Ver¨anderungen erfahren.

76

Grundkonfiguration L¨ange 38 m Spannweite 22 m max. Masse 328 000 kg Nutzlast (LEO) 7 100 kg Antrieb 3 x Vulcain II (300t) Raketenantrieb 3.1.2.6

Space Shuttle

Das einzige Weltraumtransportsystem, das im Moment in Dienst steht ist das sog. Space Shuttle (im NASA Jargon STS - space transportation system genannt). Die Entwicklung des Shuttles fand in den 70er Jahren statt und der Erstflug fand am 20. M¨arz 1981 statt. So ist es nicht verwunderlich, daß die NASA plant, das Shuttle bis 2010 aus Altersgr¨ unden außer Dienst zu stellen (ohne allerdings ein funktionierendes Nachfolgesystem vorweisen zu k¨onnen).

Orbiter L¨ange 37 m Spannweite 24 m H¨ohe 17 m max. Masse 110 880 kg Gesamtmasse 2 041 200 kg Nutzlast (LEO) 25 000 kg Schub ∼33 327 kN Antrieb LH2-LO2 Shuttleantrieb Al + NH4ClO4 Boosterantrieb

Das Shuttle ist ebenfalls das erste und einzige Weltraumfahrzeug, das wiederverwendbar ist. Damit erhoffte man sich eine deutliche Kostenersparnis ohne Erfahrungen mit Alterungsprozessen bei Weltraumfahrzeugen zu besitzen, so daß es auch Stimmen gibt, die Einmalraketen wieder bevorzugen. Dadurch wurden aber f¨ ur den Wiedereintritt neue Konzepte notwendig, die 77

Abbildung 3.3: Beispielhafte Konfigurationen des Wellenreiters zu der Entwicklung der sog. Hitzeschutzkacheln f¨ uhrte. Dabei ist der Begriff ’Kachel’ irref¨ uhrend, denn der Schaum, der von einer Lage Kohlefaserverbundwerkstoff bedeckt ist, ist extrem leicht und widerstandsf¨ahig gegen Hitze (allerdings nicht sehr gegen Aufprall) und hat nichts mit einer ’Kachel’ im landl¨aufigen Sinne gemein außer daß es sich um einen keramischen Werkstoff handelt. Der Eintrittskorridor des Shuttles ist in Abbildung 1.21 dargestellt. Dabei treten Temperaturen oberhalb von ca. 2000 K f¨ ur 90 Sekunden auf.

3.1.3

Wellenreiter

Das Wellenreiterkonzept beruht auf der Tatsache, dass sich bei runden Vorderkanten abgehobene St¨oße bilden. Dies ist durchaus gewollt, um die thermische Last der Flugk¨orper zu verringern. Geht man nun u ¨ber zu scharfen Vorderkanten, so liegt der Stoß eng an der Oberfl¨ache an und die Luft kann nicht mehr ausweichen, da eine Str¨omung zur¨ uck durch den Stoß ausgeschloßen ist. So entstehen h¨ohere Dr¨ ucke an der Unterseite des Flugger¨ats und damit h¨oherer Auftrieb. In der Abbildung 3.4 sind prinzipielle einfache Formen, die aus inversen Entwurfsverfahren berechnet wurden (dabei werden die Str¨omung und die St¨oße vorgegeben und auf die K¨orperform r¨ uckgerechnet, die solche Str¨omungen verursacht). Der dabei erh¨ohte Auftrieb ist in Abbildung 3.3 dargetellt und empirisch von Kuchemann in folgender Formel ausgedr¨ uckt   L 4(M∞ + 3) = (3.1) D max M∞ Der einzige flugf¨ahige Vertreter dieses Konzepts war die XB-70 der NASA. Dabei wurden Geschwindigkeiten von u ¨ber Mach 3 erreicht. 78

Abbildung 3.4: Auftrieb zu Widerstand f¨ ur einen Wellenreiter und einen stumpfen K¨orper im Vergleich

Abbildung 3.5: Die XB-70 Valkyrie der NASA

79

Die X43 (siehe Abschnitt 3.2.1.1) ist ebenfalls als Wellenreiter entworfen worden, befindet sich allerdings noch in der Erprobungsphase.

3.2 3.2.1

Antriebssysteme Luftatmende Triebwerke

Die Verbrennung bei hypersonischen Geschwindigkeiten erf¨ahrt die gleichen Problematiken wie bei supersonischen Triebwerken. Einerseits str¨omt das Gas so schnell vorbei, dass die Flamme in der Brennkammer vor dem Ausblasen gesch¨ utzt werden muss. Andererseits ist in großen H¨ohen die Luftdichte sehr gering und somit sehr wenig Sauerstoff vorhanden. Da herk¨ommliche Flug¨ zeugturbinenkonzepte im Uberschall nicht mehr funktionieren, muss auf neue Konzepte u ¨bergegangen werden. 3.2.1.1

RAMJET

RAMJET (Staustrahltriebwerk) Ohne beweglich Teile komprimiert dieser Antrieb Luft, die mit M>1 anstr¨omt, durch die geometrische Anordnung des Einlaufs damit in der Brennkammer bei Unterschall verbrannt werden kann. Erste Versuche mit einem Ramjet wurden an der X-15 ( Abbildung 3.1) durchgef¨ uhrt. Dabei wurde ein Triebwerk ohne Brennstoff unten an die X-15 angeschraubt, um die Str¨omung durch das Triebwerk zu untersuchen.

Abbildung 3.6: Prinzipskizze eines RAMJET Antriebs

3.2.1.2

SCRAMJET

Die Abk¨ urzung SCRAMJET steht f¨ ur supersonic combustion ramjet 80

Abbildung 3.7: Prinzipskizze SCRAMJET Dabei funktioniert das Triebwerk wie ein RAMJET, allerdings findet die Verbrennung im supersonischen Bereich statt (daher der Name). Der erst erfolgreiche Flug mit einem SCRAMJET-Antrieb (Abb. 3.7) gelang der NASA mit der X43 im Jahre 2004. Dabei wurden Geschwindigkeiten bis zu Mach 10 erreicht (insgemat wurden im Jahre 2004 3 Fl¨ uge durchgef¨ uhrt. Weiter Fl¨ uge sind nicht in Planung).

Abbildung 3.8: X43A – L¨ange 4,74 m

Abbildung 3.9: Windkanalmodell der X43A

Es gibt auch von universit¨arer Seite Bestrebungen, Freiflugexperimente im hypersonischen Geschwindigkeitsbereich durchzuf¨ uhren (Windkanalversuche werden in Kapitel 5 besprochen). Dabei ist die University of Queensland, Australien, eine der f¨ uhrenden Institutionen. Mit dem HyShot Experiment, das mit Hilfe einer Rakete in u ¨ber 50 Km H¨ohe geschossen wird und beim Abstieg den SCRAMJET an der Spitze mit Wasserstoff z¨ undet. Ende M¨arz 2006 finden die Fl¨ uge 3+4 statt.

81

Abbildung 3.10: HyShot-Experiment der University of Queensland

3.2.2

Raketentriebwerke

Raketentriebwerke werden in Versuchen als Beschleunigungsmittel f¨ ur die Erreichung hypersonischer Geschwindigkeiten verwendet. Bei der Weltraumfahrt im Aufstieg steigt die Rakete sehr viel schneller auf als dass sie Geschwindigkeit aufnimmt. Daher spielen hypersonische Str¨omungen beim Aufstieg keine große Rolle in der Auslegung solcher Systeme. Nichtsdestotrotz finden sich innerhalb der Raketend¨ usen hypersonische Str¨omungszust¨ande wieder, bei denen es aber eher darum geht, dass die Struktur der D¨ use vor den heissen Produkten der Verbrennung in der Brennkammer gesch¨ utzt werden. Es gibt zwei Konzepte bei Raketentriebwerken - die Fl¨ ussigtriebwerke die oft mit einer Mischung von fl¨ ussigem Sauerstoff/Wasserstoff betrieben werden und mit Turbopumpen versorgt werden m¨ ussen, die selbst kleine Turbinen sind. So f¨ordert das Vulcain 2 Triebwerk der Ariane 5 309 kg/s Treibstoff und Oxidator mit 2 Turbopumpen in die Brennkammer. Als alternatives Konzept stehen Feststoffantriebe zur Verf¨ ugung.

82

3.2.2.1

Feststoffraketen Ein Schnitt durch den Booster der Ariane 5 Rakete zeigt einen typischen Aufbau einer Feststoffrakete, die hier mit Ammoniumperchlorat und Aluminiumpulver gef¨ ullt sind. Der Vorteil von Feststoffraketen ist die h¨ohere Energiedichte des Treibstoffs. Der Nachteil liegt darin, dass dder Motor, ist er einmal angeschaltet, nicht mehr abgeschaltet werden kann und bis zum Ende brennen muss, was aus Sicherheitsgr¨ unden nicht so gerne gesehen wird. Um die Oberfl¨ache der Verbrennung zu erh¨ohen sind L¨angsrillen in den Treibstoff eingebracht, der die Konsistenz eines (alten, blauen) Radiergummis besitzt.

Abbildung 3.11: Feststoffbooster der Ariane 5 3.2.2.2

Flu ¨ssigraketen

Fl¨ ussigraketen werden meist mit fl¨ ussigem Sauerstoff (LOX) als Oxidator betrieben und als Brennstoff kommen fl¨ ussiger Wasserstoff (LH) oder auch Kerosinabk¨ommlinge zum Einsatz. Diese Triebwerke sind regelbar sowie anund abschaltbar, was sie sicherer im Betrieb und vielseitiger einsetzbar macht. Im Bild 3.12 ist das Haupttriebwerk der Ariane 5 beim Probebetrieb auf dem Pr¨ ufstand zu sehen. Es entwickelt einen Schub von 860 kN im Vergleich zu 6000 kN Schub eines einzigen Feststoffboosters (Abb. 3.11).

83

Abbildung 3.12: Vulcain 2 – Haupttriebwerk der Ariane 5 im Test

84

Kapitel 4 Aerodynamische Aufheizung und Ablation 4.1 4.1.1

Allgemeine Betrachtungen Kriterien fu ¨ r die Wahl der Flugbahn

In der Raumfahrt spielt beim Aufstieg von Tr¨agerraketen die Aerodynamik eine vergleichsweise bescheidene Rolle. Ein Auftrieb ist kaum vorhanden, die Schuberzeugung erfolgt unabh¨angig von der Atmosph¨are und der aerodynamische Widerstand ist von untergeordneter Bedeutung. Ganz anders sind die Verh¨altnisse beim Wiedereintritt in die Atmosph¨are. Bei Eintrittsgeschwindigkeiten zwischen 8 und 11 km/s kommt es am Raumfahrzeug zu extremen und praktisch nicht vermeidbaren aero-thermischen Belastungen, die an die Technik h¨ochste Anforderungen stellen. Die Unterschiede zwischen einem raketengetriebenen Auftrieb und einem aerodynamischen Wiedereintritt zeigen sich deutlich anhand eines H¨ohenMachzahl-Diagramms in Abb. 4.1. Beim Aufstieg des Raumtransporters ’Space Shuttle’ liegen die Flugmachzahlen bis zu einer H¨ohe von 150000 f t (45,7 km) unter 5. In der dichten Atmosph¨are treten also nur unbedeutende thermische Lasten auf. Bei der R¨ uckkehr des ’Space Shuttle’ werden wesentlich h¨ohere Machzahlen erreicht. Zum Vergleich sind zwei Aufstiegsbahnen eines hypothetischen einstufigen Raumtransporters eingezeichnet, bei denen mit noch h¨oheren thermischen Lasten bereits w¨ahrend der Aufstiegsphase mit einem luftatmenden Antrieb zu rechnen ist. Im Folgenden diskutieren wir exemplarisch Ergebnisse von berechneten thermischen Lasten, die f¨ ur einen auftriebsgest¨ utzten Wiedereintrittsk¨orper der 85

Abbildung 4.1: H¨ohen-Machzahl-Diagramm f¨ ur verschiedene Flugbahnen und Flugger¨ate (Bussing & Eberhardt, AIAA Paper No. 87-1292). Fa. ERNO (Entwicklungsring Nord, Bremen (1969)) erarbeitet wurden. Abb. 4.2 zeigt drei Ansichten des Flugk¨orpers. Er besitzt Seitenleitwerke, H¨ohen- und Seitenruder. Die Oberseite ist eben und m¨ undet in gepfeilte Seitenflanken, die Viertelzylinder darstellen. Eine Kugelkalotte bildet die Nase des Wiedereintrittsk¨orpers. In Abb. 4.3 sind die Anfangsbedingungen und der Verlauf der Wiedereintrittsbahn gezeigt. Es ergibt sich bei zun¨achst nur geringer Geschwindigkeits¨anderung ein stetiger H¨ohenverlust. In etwa 80 km H¨ohe tritt dann die thermisch gr¨oßte Belastung auf. Die Strahlungsgleichgewichtstemperatur im Staupunkt der Kugelnase mit einem Radius von 31,5 cm betr¨agt etwa 1900 K. Die hier zur Demonstration der Aufheizungsrechnung gew¨ahlte Abstiegsbahn bei konstantem Anstellwinkel stellt nur einen sehr einfachen Fall dar. Durch eine entsprechend abgestimmte Anstellwinkel- oder auch Querneigungswinkel-Steuerung l¨asst sich die zeitliche Verteilung der W¨armezufuhr noch in gewissem Maße beeinflussen. St¨arkeren Einfluss auf die Wiedereintrittsbahn und damit auf die thermischen Belastungen u ¨ ben andere Anfangsbedingungen oder grundlegend andere aerodynamische Beiwerte aus. Einen interessanten Einblick in die W¨armebelastung verschiedener Wieder86

Abbildung 4.2: Geometrie des ERNO Wiedereintrittsk¨orpers LB10

Abbildung 4.3: Typische Wiedereintrittsbahn des Flugk¨orpers LB 10 f¨ ur vorgegebene Anfangsbedingungen. 87

eintrittskonfigurationen gibt Abb. 4.4. Große Eintrittswinkel und fehlende Auftriebskr¨afte f¨ uhren zu kurzen Eintrittszeiten und hohen Spitzenbelastungen. Auftriebsgest¨ utzte Wiedereintrittsk¨orper bauen bei l¨angerer Flugzeit die Spitzenbelastungen ab, w¨ahrend die insgesamt zugef¨ uhrte W¨armemenge zunimmt.

Abbildung 4.4: Einfluss von Bahnneigungswinkel und Auftrieb auf den W¨armefluss im Staupunkt. Generell l¨ast sich sagen, dass die W¨armelasten beim Wiedereintritt durch folgende Parameter und Eigenschaften eines Wiedereintrittsk¨orpers festgelegt sind: 1. Bedingungen bei Beginn des Wiedereintritts (Anfangsbedingungen): Der Flugzustand beim Eintauchen in die Atmosph¨are ist von entscheidender Bedeutung f¨ ur die sp¨ater erreichbare Abstiegsbahn. Folgende Gr¨oßen sind dabei zu beachten: (a) die Anfangsgeschwindigkeit Ui (U1 ) 88

(b) der Flugbahnwinkel γi 2. Aerodynamische Eigenschaften des Flugk¨orpers: Die genaue Abstiegsbahn ergibt sich aus den Anfangsbedingungen und den Gleiteigenschaften des K¨orpers. Zu ber¨ ucksichtigen sind insbesondere: (a) der Anstellwinkel α, bzw. das Verh¨altnis von Auftrieb zu Widerstand (b) die Fl¨achenbelastung G/F , bzw. der ballistische Faktor cW F/G. 3. Formgebung des Flugk¨orpers: Sie nimmt Einfluss auf die Entwicklung der Grenzschicht, deren Zustand f¨ ur die Intensit¨at des W¨arme¨ ubergangs entscheidend ist. F¨ ur die Beurteilung einer Abstiegsbahn sind, um das fr¨ uher Gesagte zusammenzufassen, 2 Gesichtspunkte wesentlich: i) die erreichten W¨armeflussmaxima und ii) die Dauer der Aufheizung, d.h. die Gesamtmenge der w¨ahrend des Abstiegs von der Struktur aufzunehmenden W¨arme. Da die W¨armebelastungsspitzen stets zu extremen Wandtemperaturen f¨ uhren, erh¨alt man u ¨ber die Grenztemperatur, welche die verwendeten Materialien gerade noch aushalten, bereits ein erstes Kriterium f¨ur die Bahnauswahl. Die unter ii) genannte Frage der akzeptablen Gesamtw¨armemenge h¨angt dagegen sehr stark vom vorliegenden Isolationssystem ab. Die Außenhaut des Flugk¨orpers wird am heißesten, wenn man eine ideale Isolation dahinter annimmt, die keinerlei W¨arme durchl¨asst. In diesem Fall wird die Temperatur in der Haut solange ansteigen, bis die abgestrahlte W¨armemenge gleich der ankommenden ist. Der dann erreichte Zustand ist durch die sog. ’Gleichgewichtstemperatur’ gekennzeichnet. Fordert man, dass diese Gleichgewichtstemperatur zu keiner Zeit gr¨oßer als eine vorgegebene Grenztemperatur wird (Keramik ca. 2000 K), so hat man damit eine Begrenzung f¨ ur den Bahnverlauf. Das entsprechende Kriterium hierf¨ ur liefert i.A. der konvektive W¨armefluss in Staupunkt, als der h¨ochstbelasteten Stelle. Lees hat eine ¨ Uberschlagsformel f¨ ur den konvektiven W¨armefluß im Staupunkt der Kugel angegeben, deren Struktur wir weiter unten herleiten werden: √ ρ∞ 3  kcal  U qkonv. = K √ , K = 4,35 · 10−8 (4.1) 2 RN ∞ m s 89

Die in den Raum abgestrahlte W¨armemenge ist: qR = εcs ε ≃ 0,6



T 100

4

,

(4.2)

h (Emissionskoeffizient) i

cs = 4,965 m2 hkcal · grd4 (Strahlungskonstante des schwarzen K¨orpers) Aus qkonv. = qR ergibt sich die jeweils erreichte Gleichgewichtstemperatur: s √ 8 ρ∞ 4 κ · 10 ·√ · U3 . (4.3) TGleichgew. = ε · cs RN ∞ Umgekehrt kann man bei Vorgabe von TGleichgew. = Tmax.Material f¨ ur ein bestimmtes U∞ das erlaubte ρ∞ und damit die untere Grenze f¨ ur die momentane Flugh¨ohe festlegen vgl. Abb. 4.5.

Abbildung 4.5: Flugbahn und Materialgrenze f¨ ur den ERNO Flugk¨orper LB10 bei der R¨ uckkehr aus einer Kreisbahnmission.

90

Die Isolation ist in Wirklichkeit nat¨ urlich niemals ideal (qkonv. 6= qR ) und es wird stets ein gewisser Anteil des Gesamtw¨armeflusses von der Isolation aufgenommen. Hier wird die erlaubte Steigerung der Innenwandtemperatur zum zus¨atzlichen Kriterium. Es hat sich gezeigt, dass der Isolationsaufwand, abgesehen von den kurzzeitigen Maximalbelastungen, haupts¨achlich durch die Flugzeit beeinflusst wird. Relativ g¨ unstig ist eine Isolation, deren Deckhaut stets eine Temperatur nahe der Gleichgewichtstemperatur hat, weil hier der u uckge¨berwiegende Teil der anfallenden W¨arme in den freien Raum zur¨ strahlt wird.

4.1.2

Ort der Maxima des W¨ armeflusses und der aerodynamischen Kr¨ afte beim Wiedereintritt

Es l¨aßt sich leicht nachweisen, dass die W¨armeflussspitzen wesentlich fr¨ uher (d.h. in gr¨oßerer H¨ohe) wirksam werden, als die maximalen aerodynamischen ¨ Kr¨afte. Ausgehend von der Leesschen Uberschlagsformel f¨ ur qkonv. oder einer allgemeineren Beziehung: r ρ∞ a qkonv. ∼ U∞ RN und den fr¨ uheren Absch¨atzungen f¨ ur den Wiedereintritt unter konstantem Neigungswinkel gegen die Horizontale, B RT ρ = ρ0 exp (−H/H ∗ ), U∞ = U1 exp(− exp (−H/H ∗ )), H ∗ = 2 g0 cW ρ0 F H ∗ B= = ballistischer Faktor m · sinα findet man f¨ ur die Werte der Fluggeschwindigkeit, Dichte und Flugh¨ohe bei maximalem W¨armefluss bzw. maximaler Verz¨ogerung:

qmax ≃

a U∞ /



p aBRN

dU∞ dt



max

2 U∞ sin α =− 2eH ∗

(U∞ )qmax = U1 e−1/(2a)

>

(U∞ )U˙ ∞max = U1 e−1/2

(ρ)qmax = ρ0 /aB

<

(ρ)U˙ ∞max = ρ0 /B

(H)qmax = H ∗ · ln(aB)

>

(H)U˙ ∞max = H ∗ · ln(B)

91

Aufgetragen erh¨alt man das folgende Bild:

Abbildung 4.6: Maximale mechanische und maximale thermische Lasten treten beim Wiedereintritt in unterschiedlichen H¨ohen auf.

4.2

Thermochemische und Verdu ¨ nnungseffekte beim W¨ armeu ¨ bergang

4.2.1

Thermochemische Effekte unter Kontinuumsbedingungen

Beim Wiedereintritt eines Flugk¨orpers in die Atmosph¨are treten der Reihe nach die 4 Str¨omungszust¨ande auf: freie Molek¨ ulstr¨omung, u ¨bergangsstr¨omung, Gleitstr¨omung und Kontinuumsstr¨omung. W¨ahrend sich der W¨arme¨ ubergang im Bereich der freien Molek¨ ulstr¨omung noch relativ einfach erfassen l¨asst, da nur die Wechselwirkung zwischen K¨orper und Molek¨ ul zu betrachten ist, erweist sich die Berechnung in den anderen Bereichen als schwierig. Den W¨arme¨ ubergang im Kontinuumsbereich erh¨alt man nur u ¨ber eine Berechnung der kompressiblen Reibungsschicht, wobei die Kenntnis der Außenstr¨omung (siehe Kap. 2) vorausgesetzt werden muss. Eine Erschwernis bei der Rechnung kommt dadurch hinzu, dass sich die Luft bei den hohen Fluggeschwindigkeiten nicht wie ein ideales Gas verh¨alt. Neben den translatorischen und rotatorischen Freiheitsgraden werden beim Durchgang durch einen Verdichtungsstoß auch die Schwingungsfreiheitsgrade der Molek¨ ule angeregt, es kommt zur Dissoziation und evtl. auch zur Ionisation. Diese Mechanismen werden in der Vorlesung “Hyperschallstr¨omungen” ausf¨ uhrlich diskutiert.

92

Dort werden auch Ergebnisse numerischer Simulationen diskutiert. Allerdings wurden dort die ’reibungsfreien’ Str¨omungsgleichungen gel¨ost, d.h. Reibungs, W¨armeleit- und Diffusionsvorg¨ange in der wandnahen Grenzschicht blieben außer acht. Der vorliegende Abschnitt ist gerade diesen Effekten in Staupunktn¨ahe gewidmet. Dort ist die Grenzschicht mit Sicherheit laminar. Sie schl¨agt erst stromab des Staupunktes in den turbulenten Zustand um, wenn die Str¨omung durch Beschleunigung ausreichend hohe Geschwindigkeiten erreicht hat. Um den W¨armestrom im Staupunkt unter der Annahme chemischer Reaktionen, die selbst an der K¨orperoberfl¨ache ablaufen k¨onnen (katalytische Wand), zu berechnen, gehen wir in folgenden Schritten vor: • Formulierung der Grenzschichtgleichungen f¨ ur chemisch reagierende Gase • Diskussion der Randbedingungen f¨ ur katalytische W¨ande ¨ • Ahnlichkeitstransformation der Grenzschichtgleichungen nach Lees¨ Dorodnitsyn. Diskussion der Ahnlichkeitsl¨ osung f¨ ur den Staupunkt • Berechnung des Wandw¨armestroms im Staupunkt und Vergleich mit dem Fall nichtreagierender Str¨omung. 4.2.1.1

Grenzschichtgleichungen fu ¨r chemisch reagierende Gase

Die Navier-Stokes-Gleichungen und Spezies-Transportgleichungen lassen sich f¨ ur Grenzschichten vereinfachen. Grenzschichten sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre Dicke δ klein ist gegen¨ uber ihrer Laufl¨ange oder dem Nasenradius des Flugk¨orpers. Folglich dominieren zweite Ableitungen von Str¨omungsgr¨oßen senkrecht zur Wand gegen¨ uber solchen in axialer und spannweitiger Richtung. Ludwig Prandtl hat 1904 sein bis heute g¨ ultiges Grenzschichtkonzept vorgeschlagen, bei dem in den Navier-Stokes- und Spezies-TransportGleichungen weitgehende Vereinfachungen gemacht werden d¨ urfen, die hier nicht alle begr¨ undet werden k¨onnen. Wir wollen lediglich das Ergebnis dieser Vereinfachungen f¨ ur ebene bzw. axialsymmetrische station¨are, reagierende Str¨omungen angeben. Der Einfachheit halber beschr¨anken wir uns darauf, Diffusionsvorg¨ange nur zwischen schweren und leichten Teilchen zuzulassen (bin¨ares Gas). Nachdem f¨ ur die Diffusionsstr¨ome gilt X β

ρβ · v β = 0,

93

(4.4)

folgt nach dem Fickschen Gesetz (4.5) j β ≡ ρβ v β = −ρDβm ∇cβ

(4.5)

f¨ ur die Diffusionsgleichung ρD12 ∇c1 + ρD21 ∇c2 = 0

(4.6)

und wegen c1 = 1 − c2 ρ∇c2 (D21 − D12 ) = 0 oder D21 = D12 .

(4.7)

Die Grenzschichtgleichungen f¨ ur ein bin¨ares reagierendes Gasgemisch lauten f¨ ur eine ebene bzw. axialsymmetrische Str¨omung unter Vernachl¨assigung von Zentrifugaleffekten: Globale Massenbilanz: ∂(ρur j ) ∂(ρvr j ) + =0 ∂x ∂y

(4.8)

Speziestransport: ∂cβ ∂ ∂cβ + ρv = ρu ∂x ∂y ∂y



∂cβ ρD12 ∂y



+ ωβ

(4.9)



(4.10)

x-Impuls: ∂u ∂u ∂p ∂ ρu + ρv =− + ∂x ∂y ∂x ∂y



∂u µ ∂y

y-Impuls: ∂p =0 ∂y Energie:

94

(4.11)

ρu

∂h ∂h + ρv = ∂x ∂y

∂ ∂y



∂T λT ∂y



∂ + ∂y

ρD12

X β

∂cβ hβ ∂y

!



∂u +µ ∂y

2

∂p +u . ∂x

(4.12)

In Gleichung (4.8) entspricht j = 0 der 2-dimensionalen und j = 1 der axialsymmetrischen Str¨omung. Abb. 4.7 erl¨autert die geometrischen und physikalischen Vorg¨ange in der Umgebung eines Staupunkts. Neben der Energiebilanz in Form der Gleichung (4.12) ist es n¨ utzlich, die Bilanz der Totalenthalpie H zu formulieren: ρu

∂H ∂H + ρv = ∂x ∂y ∂ ∂y



∂T λT ∂y



∂ + ∂y

ρD12

X β

∂cβ hβ ∂y

!

∂ + ∂y

  ∂u µu , ∂y

(4.13)

wobei in der Definition von H = h + u2 /2 die v-Komponente vernachl¨assigt wurde (v ≪ u).

Bei Nichtgleichgewichtsgrenzschichten greift man gerne auf die Energiebilanz in Form der W¨armetransportgleichung zur¨ uck, da die Ratenkonstanten von T abh¨angen. Wegen h=

X

cβ hβ

(4.14)

β

folgt X ∂hβ ∂h = cβ ∂x ∂x β X

cβ cpβ

β

cpf

∂T ∂x

∂T ∂x

+

X

∂cβ = ∂x

hβ

∂cβ = ∂x

hβ

∂cβ . ∂x

β

+

X β

+

X β

95

hβ

(4.15)

Abbildung 4.7: Grenzschicht in der Umgebung des Staupunkts

96

In der letzen Zeile wurde die spezifische W¨armekapazit¨at f¨ ur gefrorene Str¨omung X cpf = cβ cpβ (4.16) β

eingesetzt. Damit lautet die Grenzschichtform der W¨armetransportgleichung: ρucpf ∂ ∂y X



∂T ∂T + ρvcpf = ∂x ∂y ∂T λT ∂y

cpβ

β







∂u +µ ∂y

∂cβ ρD12 ∂y



2

+u

∂p + ∂x

(4.17)

∂T X − hβ ωβ . ∂y β

Man beachte, dass nur in der Temperaturgleichung die chemischen Produktionsraten in expliziter Form erscheinen und die Enthalpien der einzelnen Spezies die Bildungsenthalpien (△h◦f )β enthalten:

hβ =

ZT

cpβ dT + (△h◦f )β .

(4.18)

0

4.2.1.2

Randbedingungen an der Oberfl¨ ache und am Grenzschichtrand

Impuls-Randbedingungen: An festen W¨anden, die nicht abschmelzen oder verdampfen (keine Ablation), gelten die Haftbedingungen: u = v = 0 fu ¨r y = 0.

(4.19)

An Oberfl¨achen, die por¨os sind und Gase zur K¨ uhlung ausstoßen oder abschmelzen (Ablation), gilt: u = 0, v = vw

fu ¨r y = 0.

(4.20)

vw ist eine nichtverschwindende Normalgeschwindigkeit, die aus dem Massenstrom ρvw folgt. ρ ist die Dichte das Gasgemisches an der Wand. 97

Thermische Randbedingungen: Die isotherme Wand ist der einfachste Fall einer Randbedingung. F¨ ur sie gilt: T = Tw

fu ¨r y = 0

(4.21)

F¨ ur die adiabate Wand verschwindet der W¨armestrom. Er besteht im allgemeinsten Fall aus W¨armeleitung, Diffusion und W¨armestrahlung: ~q = −λT ∇T +

X

ρβ ~vβ hβ + ~qR .

(4.22)

β

Wenn wir W¨armestrahlung vernachl¨assigen und bin¨are Diffusion annehmen, gilt f¨ ur die adiabate Wand: X ∂cβ ∂T λT + ρD12 hβ ∂y ∂y β

!

= 0 fu ¨r y = 0.

(4.23)

w

Nur f¨ ur nichtreagierende Gase ergibt sich die klassische Bedingung der adiabaten Wand, n¨amlich 

∂T ∂y



= 0 fu ¨r y = 0.

(4.24)

w

Spezies-Randbedingungen: Wenn die Wand aus einem Material besteht, das chemische Reaktionen direkt an der Oberfl¨ache durch Katalyse f¨ordert, dann sprechen wir von katalytischen W¨anden. Wir unterscheiden zwischen • vollkatalytischen W¨anden, bei denen die chemischen Reaktionen beliebig rasch ablaufen und • teilweise katalytischen W¨anden, f¨ ur die endliche Reaktionsraten charakteristisch sind. Technische Oberfl¨achen sind in der Regel nur teilweise katalytisch. Bei der vollkatalytischen Wand entsprechen die Massenbr¨ uche an der Wand ihren Gleichgewichtswerten bei den lokalen Werten von p, T . cβ = (cβ )∗

fu ¨r y = 0 98

(4.25)

Bei einer teilweise katalytischen Wand laufen die chemischen Reaktionen mit endlicher Geschwindigkeit ab. Mit (ωc )β bezeichnen wir den Massenanteil der Spezies β, der an der Oberfl¨ache pro Fl¨ache und Zeit durch Katalyse verloren geht. Dieser Massenanteil wird durch Diffusion aus der Umgebung herbeigeschafft (vgl. Abb. 4.8). Unter station¨aren Bedingungen gilt: (ωc )β dA = −(ρβ vβ )w dA = ρD12



∂cβ ∂y



dA

w

oder (ωc )β = ρD12



∂cβ ∂y



fu ¨r y = 0.

(4.26)

w

Der Gradient des Massenbruchs an der Wand wird also von der Reaktionsrate diktiert.

Abbildung 4.8: Zur Modellvorstellung einer teilweise katalytischen Wand Eine nichtkatalytische Wand zeichnet sich dadurch aus, dass keine Rekombination erfolgt, dass also (ωc )β = 0. Aus (4.26) folgt dann 

∂cβ ∂y



= 0 fu ¨r y = 0.

(4.27)

w

Das Thema ’Oberfl¨achenkatalyse’ ist f¨ ur die thermische Aufheizung beim Wiedereintritt von zentraler Bedeutung. Wir werden noch feststellen, dass eine katalytische Oberfl¨ache um einen Faktor 2 (oder dar¨ uber) h¨ohere thermische Lasten erfahren kann als eine nichtkatalytische Oberfl¨ache.

99

Grenzschichtl¨osungen erfordern Randbedingungen am Grenzschichtrand. Da die molekularen Stoffgr¨oßen (Koeffizienten der Viskosit¨at, W¨armeleitf¨ahigkeit und Diffusion) i.A. unterschiedlich sind, definieren wir einen Rand der Impulsgrenzschicht (y = δu ), der thermischen Grenzschicht (y = δT ) und der Konzentrationsgrenzschicht (y = δc ). An diesen R¨andern gelten folgende Randbedingungen: u = ue fu ¨r y = δu T = Te fu ¨r y = δT cβ = (cβ )e f u ¨r y = δc . 4.2.1.3

(4.28)

¨ Ahnlichkeitstransformation der Grenzschichtgleichungen

Die Grenzschichtgleichungen (4.8) - (4.12), (4.13) und (4.17) stellen partielle Differentialgleichungen in (x, y) dar, die man heute im Prinzip direkt numerisch l¨osen kann. In den 50er Jahren des letzten Jahrhunderts hat man in Ermangelung genauer numerischer Methoden und leistungsf¨ahiger Rechner versucht, selbst¨ahnliche L¨osungen zu finden, bei denen das partielle Differentialgleichungssystem auf ein gew¨ohnliches Differentialgleichungssystem zur¨ uckgef¨ uhrt wird. Diese L¨osungen sind auch heute noch von unsch¨atzbarem Wert, da sie die Struktur des Problems besser durchblicken lassen und außerdem als n¨ utzliche Datenbasis f¨ ur den Vergleich mit den Ergebnissen der Simulation dienen. Einem Vorschlag von Lees, Dorodnitsyn u.a. folgend werden die unabh¨angigen Grenzschichtvariablen wie folgt transformiert:

ξ = ξ(x) =

Zx

ρw µw ue r 2 dx

(4.29)

Zy

(4.30)

0

rue η = η(x,y) = √ 2ξ

ρ dy.

0

An die Stelle der (x, y)-Koordinaten treten jetzt die (ξ, η)-Koordinaten. Die Transformationsbeziehungen (4.29) - (4.30) gelten sowohl f¨ ur den axialsymmetrischen, wie f¨ ur den ebenen Str¨omungsfall. Ebene Str¨omung ergibt sich f¨ ur r = 1. Die unabh¨angigen Variablen transformieren sich dann wie folgt: ∂ = ∂x



∂ ∂ξ



∂ξ ∂x



100

+



∂ ∂η



∂η ∂x



(4.31)

∂ = ∂y



∂ ∂ξ



∂ξ ∂y



+



∂ ∂η



∂η ∂y



.

(4.32)

Aus den Transformationsbeziehungen (4.29) - (4.30) ergibt sich: ∂ξ = ρw µw ue r 2 , ∂x

(4.33)

∂ξ = 0, ∂y

(4.34)

rue ρ ∂η = √ . ∂y 2ξ

(4.35)

Wie sich noch zeigen wird, f¨allt ∂η/∂x sp¨ater aus den Gleichungen heraus, so dass sich eine Berechnung dieses Terms er¨ ubrigt. Unter Verwendung von (4.33) - (4.35) lauten die transformierten Ableitungen: ∂ ∂ = ρw µw ue r 2 + ∂x ∂ξ



∂η ∂x



rue ρ ∂ ∂ = √ . ∂y 2ξ ∂η

∂ ∂η

(4.36)

(4.37)

Nun gilt es, auch die abh¨angigen Variablen u, H, cβ zu transformieren. Es werden folgende Funktionen definiert: u ∂f = = f ′ (ξ,η) ue ∂η

(4.38)

H h + u2 /2 = = g(ξ,η) He He

(4.39)

cβ = sβ (ξ,η). cβ e

(4.40)

Da die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand, ue , nur von x, also ξ abh¨angt (ue = ue (ξ)), gilt f¨ ur die Ableitungen von u(ξ,η): ∂u due ∂f ′ = f′ + ue , ∂ξ dξ ∂ξ 101

(4.41)

∂u = ue f ′′ , ∂η

(4.42)

wobei f ′′ = ∂ 2 f /∂η 2 . f stellt im Wesentlichen eine Stromfunktion Ψ dar, welche die Massenbilanz (4.8) erf¨ ullt und folgendermaßen definiert ist: ∂Ψ = ρur, ∂y

(4.43)

∂Ψ = −ρvr. ∂x

(4.44)

In den neuen Variablen lautet dann Gleichung (4.43): ∂Ψ p = 2ξf ′ ∂η

und integriert

Ψ=

p

(4.45)

2ξf + F (ξ).

(4.46)

Wenn an der Wand keine Massenzufuhr (z.B. durch Ablation) erfolgt, dann ist Ψ(ξ,0) = 0. Die einzige M¨oglichkeit, diese Randbedingung zu erf¨ ullen, ist durch f (ξ,0) = 0 und F (ξ) = 0 gegeben. Daher lautet die Stromfunktion Ψ=

p 2ξf.

(4.47)

Aus ihr l¨asst sich der vertikale Massenstrom in der Grenzschicht, ρv, berechnen: 



p ∂f 1 +√ f 2ξ ρv = − ρw µw ue r ∂ξ 2ξ



 1p ′ ∂η 2ξf + . r ∂x

(4.48)

Um den Druck p zu eliminieren, ber¨ ucksichtigen wir, dass ∂p/∂y, gem¨aß (4.11), in der ganzen Grenzschicht verschwindet, d.h. ∂ ∂x



∂p ∂y



∂ = ∂y



∂p ∂x



= 0.

∂p/∂x ist also von y unabh¨angig und gleich dem Wert am Grenzschichtrand:

102

dpe ∂p = . ∂x dx

(4.49)

Dort gelten die Eulerschen Gleichungen, so dass wir setzen k¨onnen: −

dpe due due = ρe ue = ρw µw ρe u2e r 2 . dx dx dξ

(4.50)

Nun sind wir in der Lage, die transformierten Grenzschichtgleichungen f¨ur ein reagierendes Gasgemisch anzuschreiben: x-Impuls:    2 ρe ′ 2 d(ln ue ) ′ ∂ f ′′ ∂f , − (f ) = 2ξ f −f (lf ) + f f + 2 ρ d(ln ξ) ∂η∂ξ ∂ξ ′′ ′



′′

(4.51)

Speziestransport:   ∂ 2ξωβ l ′ (Le)cβ + f c′β + = ∂η Pr ρw µw u2e r 2 ρcβe   d(ln cβe ) ∂f ′ ′ ∂cβ 2ξ f − cβ + 2f ′ cβ , ∂ξ ∂ξ d(ln ξ)

(4.52)

Energie: ∂ ∂η " ∂ l ∂η Pr



    1 u2e ∂ l ′ ′ ′′ ′ 1− lf f + g + fg + Pr He ∂η Pr X cβ β

e

He

hβ

!

(Le − 1)c′β

#

  ∂f ′ ′ ∂g = 2ξ f − g . ∂ξ ∂ξ

(4.53)

In diesen Gleichungen bedeutet der Strich (′ ) eine partielle Ableitung nach η und l entspricht dem Quotienten l = ρµ/(ρw µw ). Die Pradtlzahl Pr und die Lewis-Zahl Le sind definiert durch: Pr =

µcpf ρD12 cpf , Le = . λT λT

(4.54)

W¨ahrend die Prandtlzahl Reibungs- und W¨armeleiteffekte vergleicht, stellt die Lewiszahl Diffusions- und W¨armeleiteffekte einander gegen¨ uber. In den 103

obigen Gleichungen sind diese Parameter noch Funktionen der ¨ortlichen Temperatur, des Drucks und der Massenbr¨ uche. Zur numerischen L¨osung dieser Gleichungen sind nat¨ urlich Annahmen n¨otig, die weiter unten besprochen werden. ¨ Um zu einer Ahnlichkeitsl¨ osung der Gleichungen (4.51) - (4.53) in der Umgebung des Staupunkts zu gelangen, nehmen wir an, dass f, g, cβ nur von η abh¨angen. Ferner gilt dort, r ≈ x, wobei x sehr klein ist. F¨ ur die Geschwindigkeit am Grenzschichtrand gilt: ue =



due dx



x.

(4.55)

S

Der Index S bezeichnet den Staupunkt. Damit ergibt sich f¨ ur ξ: ξ = ρw µw



due dx



S

x4 . 4

(4.56)

und f¨ ur dξ/dx: dξ = ρw µw dx



due dx



x3 .

(4.57)

due due dx 1 = = dξ dx dξ ρw µw x3

(4.58)

S

F¨ ur den Gradienten due /dξ erhalten wir:

und schließlich f¨ ur den Quotienten: ξ due 1 d(ln ue ) = = . d(ln ξ) ue dξ 4

(4.59)

In den Gleichungen (4.51) - (4.53) streichen wir alle Ableitungen von f, g, cβ nach ξ und vernachl¨assigen in der Energiebilanz außerdem den mit u2e /He multiplizierten Term, da ue in Staupunktn¨ahe klein ist. Dann ergibt sich f¨ur den axialsymmetrischen Staupunkt das folgende gekoppelte gew¨ohnliche Differentialgleichungssystem:

104

  1 ρe ′2 (lf ) + f f + =0 −f 2 ρ ′′ ′



l ′ g Pr

′′



l (Le)c′β Pr

′

" d l + f g′ + dη Pr

′

+ f c′β +

ωβ =0 2(due /dx)S ρcβe

X cβ β

e

He

hβ

!

(4.60) #

(Le − 1)c′β = 0.

Dieses Gleichungssystem wurde (1958) von Fay und Riddell numerisch gel¨ost, wobei die folgenden transformierten Randbedingungen verwendet wurden: Grenzschichtrand: f ′ = 1,

g = 1,

sβ = 1 f u ¨r η → ∞.

(4.61)

(cβ )e wurde aus einer reibungsfreien Gleichgewichtsl¨osung bestimmt. Wand: f ′ (0) = 0,

f (0) = 0,

g(0) = gw

fu ¨r η = 0

(4.62)

Vollkatalytische Wand: sβ (0) =

cβ (0) cβ e

fu ¨r η = 0.

(4.63)

Nichtkatalytische Wand: s′β (0) = 0 f u ¨r η = 0.

(4.64)

Bei der vollkatalytischen Wand spielt es keine Rolle, ob die Grenzschicht im Zustand chemischen Gleichgewichts oder gefrorener Str¨omung ist. In jedem Fall ist cβ (0) = [cβ (0)]eq derjenige Wandwert, der den lokalen Gleichgewichtswerten von ρw , Tw entspricht.

105

4.2.1.4

Berechnung des Wandw¨ armestroms im Staupunkt

Fay und Riddell haben das gekoppelte System mit einem Schießverfahren gel¨ost. Dabei wurden die Parameter Pr, Le der Einfachheit halber als Konstante angesetzt, mit den Werten Pr = 0,71, Le = 1,4. Le ist auch f¨ ur jede der beiden Komponenten gleich. Die Abb. 4.9 und 4.10 zeigen zwei charakteristische Ergebnisse f¨ ur das Enthalpieverh¨altnis g (Abb. 4.9) sowie das Temperaturverh¨altnis Θ = T /Te und den Massenbruch der Atome sβ = cA /cAe bei isothermer (Tw = 300K) und vollkatalytischer Wand. Die Enthalpieprofile in Abb. 4.9 geben f¨ ur den chemischen Gleichgewichtszustand h¨ohere Enthalpiewerte wieder, als f¨ ur den gefrorenen Zustand. Dies h¨angt damit zusammen, dass durch Rekombination von Atomen Energie freigesetzt wird. Damit sind auch die Temperaturprofile in Abb. 4.10 verst¨andlich. Dass der Massenbruch der Atome in der Grenzschicht bei gefrorener Chemie nicht konstant gleich dem Außenwert ist, liegt daran, dass die Wand vollkatalytisch ist und der Massenbruch cA (0) sich nach den Gleichgewichtswerten pw , Tw richtet. Die Machzahl der ankommenden Str¨omung ist f¨ ur die Ergebnisse irrelevant, da in der Staupunktsgrenzschicht sehr kleine Geschwindigkeiten vorliegen.

Abbildung 4.9: Enthalpieprofile f¨ ur eine Staupunktgrenzschicht, die sich im gefrorenen Zustand bzw. chemischen Gleichgewicht befindet. Die Wand ist vollkatalytisch. Der W¨armestrom am Staupunkt und in seiner unmittelbaren Umgebung errechnet sich aus: 106

Abbildung 4.10: Temperatur- und Konzentrationsprofile f¨ ur eine Staupunktgrenzschicht, die sich im gefrorenen Zustand, bzw. chemischen Gleichgewicht befindet. Die Wand ist vollkatalytisch.

  ∂T qw = λT + ∂y w

ρD12

X β

∂cβ hβ ∂y

!

.

(4.65)

w

Zu qw tragen also W¨armeleitung und Diffusion bei. Die Temperatur- und Konzentrationsgradienten, die in (4.65) vorkommen, sind Ergebnis der numerischen L¨osung des Gleichungssystems (4.60), die Fay und Riddell (1958) f¨ ur unterschiedliche Fluggeschwindigkeiten, Flugh¨ohen und Wandtemperaturen zwischen 300K und 3000K ermittelt haben. Sie haben aus diesen Ergebnissen folgende Korrelationsformeln gewonnen: 1. Gleichgewichtsgrenzschicht und vollkatalytische Wand (Kugelnase) −0,6

qw = 0,76 Pr

0,4

(ρe µe ) (ρw µw )

0,1



due dx

1/2 S

   hD 0,52 , · 1 + (Le − 1) He wobei hD =

P

β

cβe (△h◦f )β . 107

(He − hw ) ·

(4.66)

2. Gefrorene Grenzschicht und vollkatalytische Wand (Kugelnase) −0,6

qw = 0,76 Pr

0,4

(ρe µe ) (ρw µw )

0,1



due dx

1/2 S

(He − hw ) ·

   hD 0,63 · 1 + (Le − 1) . He

(4.67)

3. Gefrorene Grenzschicht und nichtkatalytische Wand (Kugelnase)

−0,6

qw = 0,76 Pr

0,4

(ρe µe ) (ρw µw )

0,1



due dx

1/2 S

  hD (He − hw ) · 1 − . He (4.68)

Die Formeln (4.66) und (4.67) besagen, dass der treibende Mechanismus f¨ ur den Wandw¨armestrom bei vollkatalytischer Wand die Enthalpiedifferenz (He − hw ) ist. Dieses Resultat findet man auch f¨ ur den Fall nichtreagierender Str¨omung. Die F¨alle 1 und 2 unterscheiden sich nur schwach im Exponenten der Lewiszahl. Im Grunde bedeutet dieser geringf¨ ugige Unterschied, dass es (bez¨ uglich qw ) kaum ins Gewicht f¨allt, ob Rekombinationseffekte in den k¨alteren Zonen der Grenzschicht (Gleichgewichtsfall) oder an der Wand (gefrorenen Str¨omung mit vollkatalytischer Wand) erfolgen. Dieses Ergebnis √wird auch aus Abb. 4.11 klar, in welcher der W¨armestromkoeffizient, Nu/ Re, u ¨ber einem Rekombinationsparameter C1 aufgetragen ist. Ohne den Parameter C1 zu definieren (Siehe Fay & Riddell), gen¨ ugt es, zu wissen, dass große Werte von C1 dem chemischen Gleichgewicht und kleine der gefrorenen Str¨omung entsprechen. Wir entnehmen Abb. 4.11, dass vollkatalytische W¨ande den h¨ochsten Wandw¨armestrom liefern, unabh¨angig von C1 . Eine nichtkatalytische Wand hingegen erzeugt bei gefrorener Str¨omung wesentlich geringere W¨armelasten als im Gleichgewichtsfall. Die Differenz zwischen den Kurven 1 und 3 entspricht dem Wand-W¨armestrom durch Diffusion. In Abb. 4.11 sind die Nusseltzahl und Reynoldszahl wie folgt definiert: Nu =

qw x(cp /λT )w , (hs − hw )

Daraus folgt qw zu:

108

Re = ρw ue x/µw .

(4.69)

Abbildung 4.11: Einfluss der katalytischen Wand auf den W¨armestrom im Staupunkt (Aus Fay und Riddell (1958)).

 1/2   Nu due qw = √ (hs − hw )/Pr. ρw µw dx s Re

(4.70)

Zum Abschluss noch eine Anmerkung zur Struktur der Korrelationsformeln (4.66) - (4.68). Wenn wir uns auf nichtreagierende Str¨omungen beschr¨anken, dann lautet die Energiegleichung aus (4.60) f¨ ur konstantes Pr: (lg ′ )′ Prf =− ′ lg l

(4.71)

oder integriert: 

lg ′ = lw g ′ (0) exp −P r

Zη 0



f  dη . l

Nach nochmaliger Integration von der Wand bis ins Unendliche folgt: 1/3   6lw 4 , lw (1 − g(0)) ≈ g (0)lw Γ 3 Prf ′′ (0) ′

oder 109

f ′′ (0) ≈ 1,2326

(4.72)



Pr g (0) ≈ 0,66(1 − g(0)) lw ′

1/3

(4.73)

Nachdem g ′ (0) ∼ qw und (1 − g(0)) ∼ (he − hw ) l¨asst sich auch schreiben: 

Pr qw ∼ 0,66(he − hw ) lw

1/3

.

(4.74)

¨ Diese Formel hat durchaus Ahnlichkeit mit den Formeln (4.66), (4.67), insbesondere wenn man bedenkt, dass in der Umgebung des Staupunkts, wegen u2e /He ≈ 0, He ∼ he ∼ hs .

Der Geschwindigkeitsgradient (due /dx)s in den Gleichungen (4.66) - (4.68) enth¨alt noch eine wichtige Information. Wir berechnen ihn unter Zuhilfenahme der Newtonschen Theorie. Abb. 4.12 erl¨autert dabei die geometrischen Verh¨altnisse.

Abbildung 4.12: Zur Geometrie des Staupunkts Die Newtonsche Theorie liefert: cp = 2 sin2 δ = 2 cos2 φ oder 110

(4.75)

pe = ρ∞ u2∞ cos2 φ + p∞

(4.76)

dφ dp∞ = −2ρ∞ u2∞ cos φ sin φ dx dx

(4.77)

Daraus folgt

und wegen der Eulerschen Bewegungsgleichung (4.50) due ρ∞ u2∞ dφ =2 cos φ sin φ . dx ρe ue dx

(4.78)

F¨ ur ue gilt in Staupunktn¨ahe ue =



due dx



S

△x.

(4.79)

F¨ ur kleines φ gilt ferner: cos φ ≈ 1, sin φ ≈ φ ≈ △φ ≈

△x dφ 1 , . = RN dx RN

(4.80)

Damit ergibt sich aus (4.78): 1 due = dx RN

s

2(pe − p∞ ) . ρe

(4.81)

Der W¨armestrom im Staupunkt nimmt also in dem Maße zu wie die Wurzel aus dem Nasenradius RN abnimmt: qw ∼ √

1 RN

(4.82)

Zur Reduktion der W¨armelasten im Staupunkt verwendet man beim Wiedereintritt daher stumpfe K¨orper. Dieses Ergebnis wird durch Abb. 4.13 (f¨ ur den Fall ohne chemische Reaktionen) untermauert, in dem die Stantonzahl St =

qw ρ∞ u∞ (haw − hw ) 111

(4.83)

u ¨ber der Reynoldszahl, gebildet mit dem Nasendurchmesser, aufgetragen ist. haw ist die Enthalpie an der Wand, wenn diese thermisch dicht ist, Abb. 4.13 zeigt in doppelt-logarithmischer Auftragung eine Steigung von −0,5, was −1/2 qw ∼ RN best¨atigt.

Abbildung 4.13: Stantonzahl in Abh¨angigkeit der Reynoldszahl, gebildet mit dem Nasendurchmesser. Formel (4.83) enth¨alt im Prinzip auch die plausible Aussage, dass der Wandw¨armestrom im Staupunkt, qw , mit der 3. Potenz von u∞ variiert (Vgl. die Leessche Formel (4.1)). Dies l¨asst sich folgendermaßen zeigen. haw = he + r

u2e , 2

(4.84)

mit dem Recoveryfaktor r. Am Grenzschichtrand gilt ferner: u2 u2e = h∞ + ∞ . (4.85) 2 2 Im Hyperschall ist u2∞ /2 sehr viel gr¨oßer als h∞ . F¨ ur r ≈ 1 ist dann: H = he +

haw = H ≈ 112

u2∞ . 2

(4.86)

Obwohl die Oberfl¨achentemperatur hoch ist, gilt dennoch hw ≪ H. Folglich ergibt sich aus (4.83): 1 qw = Stρ∞ u∞ (haw − hw ) ≈ ρ∞ u3∞ St. 2

4.2.2

(4.87)

Verdu armeu ¨ nnungseffekte beim W¨ ¨ bergang

Durch die Luftverd¨ unnung in großen H¨ohen treten Ver¨anderungen in der Grenzschicht auf, die den W¨arme¨ ubergang stark beeinflussen. Die klassische Grenzschichttheorie geht von der Annahme einer sehr d¨ unnen reibungsbehafteten Randschicht und einer davor liegenden reibungsfreien Str¨omung aus. Die Stoßfront wird als verschwindend d¨ unne Diskontinuit¨atsfl¨ache gedeutet, in der die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit und die Ruheenthalpie unver¨andert bleiben. Die Grenzschichtdicke ist eine Funktion von Maa /Reb (a > 0, b > 0): δ = f(

U∞ ρ∞ U∞ L Maa ), Ma = , Re = , b a µ∞ Re

d.h. sie w¨achst mit der Geschwindigkeit und H¨ohe (ρ∞ ↓) sehr stark an. In Abb. 4.14 hatten wir den Reynoldszahl-Bereich dargestellt, der von einem auftriebserzeugenden Flugk¨orper beim Wiedereintritt in etwa belegt wird (Reynoldszahlen mit L = 1 m gebildet). Man erkennt den starken Abfall mit zunehmender H¨ohe. Diese Verringerung hat neben dem Anstieg der Grenzschichtdicke noch eine Verdickung der Stoßfront zur Folge. Damit ¨andern sich auch die Bedingungen an der Wand sehr wesentlich. Bei kleinen Re-Zahlen verringert sich die Wandreibung, es entsteht ein Gleiten und ein Temperatursprung. Wenn die mittlere freie Wegl¨ange λ∞ in die Gr¨oßenordnung der Grenzschichtdicke kommt, tritt zuerst die beschriebene Verdickung der Grenzschicht und schließlich ihre v¨ollige Aufl¨osung ein. Auch die Stoßfront verdickt sich so stark, dass schließlich die Grenzen zwischen Stoß und Grenzschicht v¨ollig verwischen. Reibungseinfl¨ usse sind dann im ganzen Feld zu ber¨ ucksichtigen. ¨ Den W¨armefluss im Ubergangsgebiet erh¨alt man durch Interpolation zwischen den Grenzwerten f¨ ur Gleitstr¨omung und freie Molek¨ ulstr¨omung. Im Bereich der Gleitstr¨omung gilt folgende Gesetzm¨aßigkeit (Abb. 4.15): qslip qKont. Staupunkt

≃

1 1 + 14940 λ∞ 113

q

ρH∞ /ρH=0 3,28 · RN

,

(4.88)

6

160 freie Molek¨ ulstr¨omung

H[km] 120

s

¨ Ubergangsgebiet 103 104

80

Kontinuum

Slip Flow 105

s Re x

40

(1) (3)

s

= 106

UK -

0 2

4 U[km/s]

6

8

10

Abbildung 4.14: Str¨omungsbereiche beim auftriebsgest¨ utzten Wiedereintritt in die Erdatmosph¨are (Bahn(1)−G/F = 981[P a], Bahn(3)−G/F = 2943[P a]). λ∞ = mittlere freie Wegl¨ange [m] RN = Nasenradius [m] Der Einfluss der Gleitstr¨omung beginnt also relativ fr¨ uh und erreicht an der ¨ Grenze zum Ubergangsgebiet in ca. 80 km H¨ohe beachtliche Werte. Im Bereich freier Molek¨ ulstr¨omung wird der W¨arme¨ ubergang insgesamt gesehen gegen¨ uber dem f¨ ur die Gleitstr¨omung herabgesetzt. Bei hohen Fluggeschwindigkeiten kann die Eigengeschwindigkeit der Molek¨ ule vernachl¨assigt werden und man erh¨alt f¨ ur den W¨arme¨ ubergang: (diffuse Reflexion) a 3 qfreie Molek¨ulstr. = ρ∞ U∞ cos ϕ . 2

(4.89)

ϕ = Winkel zwischen Str¨omung und K¨orpernormalen a = Temperaturakkommodationskoeffizient (Metall a = 0,87 ÷ 0,95) 114

Abbildung 4.15: Slip-Flow Korrektur im Staupunkt

Abbildung 4.16: W¨armefluss im Staupunkt als Funktion der Flugzeit f¨ ur den Flugk¨orper LB10. 115

In Abb. 4.16 ist der Verlauf der konvektiven W¨arme f¨ ur den Staupunkt in Abh¨angigkeit von der Flugzeit dargestellt. Man erkennt, dass im Bereich kleiner Dichten die W¨armefl¨ usse so gering sind, dass die Frage, ob mit freier oder gest¨orter Molek¨ ulstr¨omung (¨ ubergangsgebiet) zu rechnen ist, f¨ ur die Auslegung der Isolation keine Rolle spielt. Abb. 4.17 zeigt die W¨armeflussverteilung in der Symmetrieebene des Flugk¨orpers.

Abbildung 4.17: W¨armeflussverteilung Flugk¨orpers LB10 bei Tw = 400K.

4.2.3

in

der

Symmetrieebene

des

W¨ armeu ¨ bergang fu ¨ r einzelne Komponenten des Wiedereintrittsk¨ orpers LB 10

Beim Wiedereintrittsk¨orper LB 10 liegen die Stellen gr¨oßter Erhitzung im Staugebiet der K¨orpernase und an den gepfeilten Vorderkanten, wo die Normalkomponente der Anstr¨omgeschwindigkeit aufgestaut wird. Die in diesen Zonen auftretenden hohen Dr¨ ucke f¨ uhren zu sehr d¨ unnen Grenzschichten mit großen Temperaturgradienten. In Staupunktn¨ahe ist die Grenzschicht laminar und je nach Situation reagierend oder nichtreagierend. F¨ ur die vorliegenden Betrachtungen gehen wir ¨ von der einfachen Leesschen Uberschlagsformel f¨ ur die Kugel aus: qStaupunkt = K 116

r

ρ∞ 3 U . RN ∞

(4.90)

Sie besitzt dieselbe Abh¨angigkeit von u∞ wie (4.87). F¨ ur den ungepfeilten Zylinder gilt folgende Korrelationsformel: 

qzyl. Λ=0 qKugel



lam.

1 =√ . 2

(4.91)

Diese Beziehung folgt aus der allgemeinen Beziehung f¨ ur einen nichtrotationssymmetrischen K¨orper (mit Rz → ∞). q = qKugel

r

1 + (Rx /Rz )1/2 . 2

(4.92)

Rx < Rz , Kr¨ ummungsradien. F¨ ur den K¨orper mit verschiedenen Nasenradien gilt die Umrechnungsformel: q1 = q2

r

R2 . R1

(4.93)

Je kleiner der Nasenradius, desto h¨oher die W¨armebelastung. Nach Reshotko und Beckwith (NACA TN 3986, 1957) ver¨andert sich die Intensit¨at der Aufheizung am Zylinder mit dem Pfeilwinkel Λ in der folgenden Weise: qΛ qΛ=0

= (cos Λ)n .

(4.94)

Liegt die Normalkomponente der Machzahl im Unterschall, so ist n ≃ 0,5, ¨ f¨ ur den Transschall ist n = 1 und f¨ ur den Uberschall ist n = 1.1. Stromab vom Staupunkt an der K¨orpernase und sogar l¨angs der Staulinien an den gepfeilten Seitenfl¨achen (hier ist eine tangentiale Geschwindigkeitskomponente vorhanden) kann die zun¨achst laminare Grenzschicht turbulent werden. Der Umschlag tritt jedoch erst in der letzten Flugphase auf, da wegen der geringen Dichten in gr¨oßeren H¨ohen die Grenzschicht nicht turbulent, sondern nur laminar sein kann. Bei turbulenter Grenzschicht (Abb. 4.18) erh¨oht sich der W¨armefluss, denn der Mischungsaustausch innerhalb der Grenzschicht f¨ uhrt zu einem besseren konvektiven W¨armetransport an die Wand. 117

Aufgrund der Reynoldsschen Analogiebeziehung zwischen Wandreibung und W¨arme¨ ubergang ist das Problem des turbulenten W¨arme¨ ubergangs gel¨ost, wenn geeignete Wandreibungsgesetze gefunden sind. Nach der Analogie besteht ein Zusammenhang zwischen dem Reibungskoeffizienten cf und dem W¨arme¨ ubergangskoeffizienten, ausgedr¨ uckt durch die Stantonzahl, St =

qw ρδ uδ (H − hw )

von der Form: St =

cf −2/3 Pr . 2

(4.95)

Abbildung 4.18: Wandgrenzschicht Man beachte die gegen¨ uber Gl. (4.83) leicht ge¨anderte Definition von St. Das Kriterium f¨ ur den Umschlag ist die mit der Impulsverlustdicke δ2 gebildete kritische Reynoldszahl. Crabtree (1965) nennt als Zahlenwert: Reδ2krit = 300 ÷ 1000 .

(4.96)

¨ Um zu demonstrieren, wie stark der W¨armefluss an der Wand beim Ubergang laminar-turbulent im Hyperschall steigt, geben wir in Abb. 4.19 gemessene Transitionsbereiche am Space-Shuttle wieder und in Abb. 4.20 gemessene und gerechnete Wandw¨armefl¨ usse. Die Messdaten wurden w¨ahrend der STS-2 Mission im November 1981 ermittelt, welche die Columbia in eine H¨ohe von 290 km und nach 2 Tagen Aufenthalt im All wieder zur¨ uck zur Erde brachte. Die Rechnungen haben Hamilton et al. (AIAA paper 85-0245) durchgef¨ uhrt. Zun¨achst einmal ist der unregelm¨aßige Verlauf der Transitionszone 118

bemerkenswert, f¨ ur den es vielerlei Gr¨ unde geben kann (u.a. Oberfl¨achenunebenheiten). Stromauf dieser Transitionszone ist die Str¨omung laminar. Wie Abb. 4.20 zeigt, stimmen dort Messung und Rechnung gut u ¨berein. Nahe der Hinterkante decken sich Messung und Vorhersage des turbulenten W¨armestroms. Der turbulente Wandw¨armestrom ist ca. dreimal so groß wie der laminare.

Abbildung 4.19: Auf dem Fl¨ ugel des Space Shuttle (Columbia, Nov. 1981) gemessene Transitionszone (DeJarnette et al., I. Thermodynamics & Heat Transfer, vol. 1, 1987, pp. 5ff)

119

Abbildung 4.20: Axiale Verteilung des Wandw¨armestroms am Fl¨ ugel des Space Shuttle (Columbia) an der spannweitigen Position 2x/b = 0,5

4.3 4.3.1

W¨ armestrahlung Allgemeines

Durch thermische Zusammenst¨oße der Molek¨ ule gelangen die Elektronen in den Atomstrukturen aus dem Grundzustand in h¨ohere Energieniveaus und kehren dann spontan zu niedrigeren Niveaus zur¨ uck. Die Energieabgabe wird also nicht durch Zusammenst¨oße verursacht. Man spricht von Eigenstrahlung des Gases, vgl. Abb. 4.21. Ein Energietransport durch W¨armestrahlung findet erst bei hohen Temperaturen des Gases statt. F¨ ur Luft sind Temperaturen von ca. 10 000 K notwendig, um betr¨achtliche Eigenstrahlungseffekte zu beobachten. Der Energietransport durch W¨armestrahlung liefert dann einen wesentlichen Beitrag zum gesamten W¨arme¨ ubergang im Staupunkt. Starke Strahlung kann die ¨ Str¨omung eines Gases wesentlich beeinflussen; umgekehrt ruft eine Anderung des Str¨omungszustandes andere Strahlungseigenschaften des Gases hervor. Bei der Beschreibung des Energietransfers durch Strahlung m¨ ussen wir zwei Begriffe unterscheiden, die Strahlungsintensit¨at Iν und den Strahlungsfluss qν . Die spezifische Strahlungsintensit¨at Iν folgt aus der Strahlungsenergie dE, die im Frequenzintervall ν und ν + dν w¨ahrend eines Zeitintervalls dt aus 120

Abbildung 4.21: Zur Erl¨auterung der Eigenstrahlung eines Gases. allen Richtungen innerhalb des Raumwinkels dω durch das Fl¨achenelement dA transportiert wird: Iν ≡

lim



9 > dA > > > > > dω = →0 > dν > > > > > dt ;

 dE . dA dω dν dt

Abb. 4.22 dient zur Erl¨auterung dieser Definition. dA steht senkrecht auf der Richtung r, in die dE ausgestrahlt wird. Iν ist also die in r-Richtung durch die Fl¨ache 1 pro Frequenz-, Zeit- und Raumwinkel-Einheit ausgestrahlte, gerichtete Energie. Der Strahlungsfluss qν ist diejenige Energie, die sekundlich pro Frequenzeinheit durch die Fl¨ache 1, bei Ber¨ ucksichtigung aller Raumrichtungen, ausgestrahlt wird: qν =

Z

Iν (θ,φ) cos θ dω.

(4.97)

ω

Der Raumwinkel dω ist definiert als die Fl¨ache dσ durch L2 : dω ≡

dσ (Ldθ)(L sin θ dφ) = = sin θ dθdφ. 2 L L2

Die entsprechenden Winkel und Gr¨oßen sind in Abb. 4.23 angegeben. 121

(4.98)

Abbildung 4.22: Zur Erl¨auterung der Strahlungsintensit¨at

Abbildung 4.23: Zur Erl¨auterung des Strahlungsflusses qν

122

Der gesamte Strahlungsfluss, resultierend aus allen Frequenzen, ergibt sich dann aus:

q=

Z∞ Z2π Zπ 0

0

Iν (θ,φ) cos θ sin θ dθdφdν.

(4.99)

0

Jedem guten Physikbuch entnimmt man, dass der klassische schwarze Strahler Energie mit einer Intensit¨at von Bν =

2~ν 3

(4.100)

c2 (e~ν/kT − 1)

emittiert. Bν ist die Strahlungsintensit¨at des schwarzen Strahlers bei der Frequenz ν und Temperatur T . ~, k, c bezeichnen der Reihe nach das Plancksche Wirkungsquantum, die Boltzmann-Konstante und die Lichtgeschwindigkeit. F¨ ur ein Fluidelement der Kantenl¨ange ds, das sich in einem strahlenden Gas befindet, a¨ndert sich die Strahlungsintensit¨at in s-Richtung dadurch, dass es Strahlung emittiert und gleichzeitig absorbiert, gem¨aß der Bilanzgleichung dIν = Jν − κν Iν . ds

(4.101)

Man bezeichnet Jν als Emissionskoeffizienten und κν als Absorptionskoeffizienten. Wenn wir diese Gleichung u ¨ber alle Frequenzen und Raumwinkel integrieren, erhalten wir daraus die Divergenz des Strahlungsflussvektors, die in der Energiebilanz auftritt:

∇ · ~qR =

Z∞ Z

Jν dωdν −

0 4π

Z∞ Z

κν Iν dωdν.

(4.102)

0 4π

Da das Fluidelement die Energie gleichm¨aßig in alle Raumrichtungen emittiert, kann das erste Intergral auch so geschrieben werden: Z∞ Z

Jν dωdν = 4π

0 4π

Z∞

Jν dν = 4πJ.

(4.103)

0

Wenden wir die Bilanzgleichung (4.101) auf ein Gas an, das sich wie ein schwarzer Strahler verh¨alt, dann gilt Iν = Bν und es folgt: 123

dIν = 0 = Jν − κν Bν . ds

(4.104)

Da die von einem Gas emittierte Strahlung aber unabh¨angig von der empfangenen Strahlung ist, muss Gl. (4.104) ganz allgemein gelten. Die allgemeine Form der Strahlungsbilanzgleichung lautet daher: dIν = κν Bν − κν Iν , ds

(4.105)

mit

J=

Z∞

κν Bν dν.

(4.106)

0

4.3.2

Das nichtabsorbierende strahlende Gas

4.3.2.1

Strahlungsfluss eines nichtabsorbierenden Gases

Wenn das strahlende Gas nicht selbst Strahlung absorbiert, l¨asst sich eine L¨osung der allgemeinen Bilanzgleichung (4.105) leicht finden. Uns interessiert der Strahlungsfluss, der durch die Fl¨ache dA um Punkt P geht, resultierend aus der Strahlung, die von jedem Element eines beliebigen Volumens V ausgeht (Abb. 4.24). Die von einem Volumenelement dV emittierte und in dA ankommende Strahlungsenergie ist (J dV ) | {z }

dA cos β r2 } | {z

×

Energie pro Raumwinkel

Raumwinkel, der durch dA und die Lage von dV definiert ist

Durch Integration u ¨ber alle Volumenelemente und Division durch dA erhalten wir den Strahlungsfluss, der durch P geht: q=

Z

J cos β 1 dV = 2 r 4π

V

Z

E cos β dV. r2

(4.107)

V

E ist die vom Gas in alle Richtungen pro Zeit und Volumen emittierte Energie, E = 4πJ. 124

Abbildung 4.24: Strahlungsfluss, der von einem nichtabsorbierenden Gasvolumen V ausgeht. Dieses Ergebnis wenden wir nun auf eine nichtabsorbierende Gasschicht der Dicke δ an, die u ¨berall gleiche Dichte ρ und Temperatur T hat. Dann ist E in der ganzen Schicht konstant (Abb. 4.25) Wir betrachten ein ringf¨ormiges Volumenelement dV = 2πr sin β(rdβdr).

(4.108)

Aus Gleichung (4.107) folgt, durch Einsetzen dieses Elements:

E q= 4π

Zπ/2 δ/Zcos β

β=0

Eδ cos β 2 2πr sin β dβdr = r2 2

Zπ/2 Eδ . sin β dβ = 2

(4.109)

0

r=0

Dieses Ergebnis erlaubt es uns, die Aufheizung eines Flugk¨orpers in Staupunktn¨ahe durch W¨armestrahlung abzusch¨atzen. δ ist dabei der Stoßabstand vom K¨orper und E wird mit den Werten hinter dem senkrechten Stoß berechnet, E = E(TS ,ρS ), vgl. Abb. 4.26: Der W¨armestrom durch W¨armestrahlung im Staupunkt ist: 125



−∞

-

6

dr @ @ @ @

r dβ dV

∞

δ 

r

βR ?

Abbildung 4.25: Ebene Schicht eines nichtabsorbierenden Gas

Abbildung 4.26: Stoßzone f¨ ur ein nichtabsorbierendes, strahlendes Gas.

126

(qR )Staupunkt =

Eδ . 2

(4.110)

Wenn wir nach Hayes und Probstein (1959) des Stoßabstand δ gem¨aß δ ρ∞ /ρS p = RN 1 + 2ρ∞ /ρS

(4.111)

oder im Hyperschall-Limes durch

ρ1 δ ≈ RN ρ2

(4.112)

absch¨atzen, dann folgt aus (4.110) das wichtigste Ergebnis: (qR )Staupunkt =

E ρ∞ RN . 2 ρS

(4.113)

Es besagt folgendes: Ein nichtabsorbierendes Gas in der Stoßschicht strahlt eine W¨armemenge ab, die proportional zum Nasenradius RN ist. Dies steht im Widerspruch zum Verhalten des konvektiven W¨armestroms, f¨ ur den (qKonv )Staupunkt ∼ √

1 RN

(4.114)

gilt. Im Hinblick auf den W¨arme¨ ubergang an den K¨orper durch Eigenstrahlung des Gases, sind K¨orper mit kleinem Nasenradius g¨ unstiger. Der konvektive W¨arme¨ ubergang verlangt demgegen¨ uber gerade K¨orper mit großem Nasenradius.

4.4 4.4.1

W¨ armeschutzsysteme Prinzipielle L¨ osungen

Die Struktur eines Wiedereintrittsk¨orpers muss vor der hohen thermischen Belastung w¨ahrend des Wiedereintritts durch eine Isolationsschicht gesch¨ utzt werden. Grunds¨atzlich sind zwei Schutzsysteme m¨oglich, die Ablation und die Strahlungsk¨ uhlung. Bei der Ablation wird die W¨armezufuhr zur Struktur im Wesentlichen durch folgende Effekte blockiert: 127

¨ 1. Anderung des Aggregatzustandes 2. Abstrahlung von W¨arme von der Oberfl¨ache 3. Transpirationsk¨ uhlung durch Zufuhr von Gas zur Grenzschicht. Es gibt vier verschiedene Typen von Ablationsmaterialien: 1. Sublimierende Ablatoren (z.B. Teflon) 2. Schmelzende Ablatoren (z.B. Quarz) 3. Verkohlende Ablatoren (charring ablators, z.B. Nylon verst¨arkte Phenolharze) 4. Oxidierende Ablatoren (z.B. Graphit) F¨ ur Wiedereintrittsk¨orper sind die verkohlenden Ablatoren am besten geeignet. Nachdem das Material verkohlt ist, bleibt eine Koksschicht an der Oberfl¨ache stehen, die erst bei hohen Temperaturen oxydiert. Wegen der hohen Oberfl¨achentemperatur und geringen W¨armeleitf¨ahigkeit der Koksschicht wirken die verkohlenden Ablatoren wie ein Strahlungsk¨ uhlungssystem. Ablatoren wurden mit Erfolg bei den Mercury-, Gemini- und ApolloProgrammen erprobt. Bei der Strahlungsk¨uhlung wird versucht, durch eine m¨oglichst geringe W¨armeleitf¨ahigkeit der Isolationsschicht den W¨armefluss in der N¨ahe der Oberfl¨ache zu stauen. Dadurch erh¨alt man eine hohe Oberfl¨achentemperatur, bei der ein großer Teil der zugef¨ uhrten W¨armemenge wieder abgestrahlt wird. Bei den Strahlungsk¨ uhlungssystemen unterscheidet man metallische ¨ und nichtmetallische Hitzeschilde. Die folgende Ubersicht zeigt die Vor- und Nachteile der beiden Systeme:

128

Deckhaut

Vorteil

Nachteil

Metallische Hitzeschilde hochwarmfestes Metall (TDNIC = Thorium dispersed Nickle-Chronium) Unkompliziertheit bei Verarbeitung, geringes Gewicht

Nichtmetallische Hitzeschilde hochschmelzende Ablatoren, Keramik

Keramik besitzt niedrige W¨armeleitf¨ahigkeit und hohe Temperaturbest¨andigkeit. Systeme besitzen hohen Sicherheitsfaktor, da beim ¨ Uberschreiten der Grenztemperatur die ¨außere Schicht wie ein Ablator wirkt. teure Herstellung und Bear- Keramik spr¨ode und W¨armebeitung. schockempfindlich. Betrieb nur bis Grenztempe- Verbindung mit der Struktur ratur schwierig

Beim ERNO-Lifting-Body wurde ein metallisches Strahlungsk¨uhlungssystem aus folgenden Gr¨ unden gew¨ahlt: 1. Der Flugk¨orper soll wiederverwendbar sein. Eine st¨andige Erneuerung des Schutzsystems ist unerw¨ unscht. 2. Die Kontur des Flugk¨orpers soll sich w¨ahrend des Fluges nicht ¨andern, ¨ was bei einem Ablationssystem der Fall ist. (Anderung der Flugeigenschaften w¨ahrend des Fluges unerw¨ unscht). 3. Der Abstieg des Lifting-Body dauert ca. 3/4 Stunden, d.h. es w¨are eine große Menge eines niedrig-schmelzenden Ablators n¨otig. Bei hoch-schmelzenden Ablatoren ergeben sich dieselben W¨armeleitungsprobleme wie bei der Strahlungsk¨ uhlung.

4.4.2

Berechnung der Temperaturverteilung in der W¨ armeschutzschicht

Die W¨armeleitungsrechnung beginnt zum Zeitpunkt des Wiedereintritts mit einer vorgegebenen Temperaturverteilung. Die zugef¨ uhrte W¨arme ergibt sich aus der Bilanzgleichung:

129

qzu = qkonv. − qabstr. = λw |

 ∂T . ∂x w {z }



(4.115)

an der Deckhaut

(4.115) ist die Randbedingung. (Genau genommen sollte qkonv. auch die durch Strahlung zugef¨ uhrte ’W¨arme’ enthalten). Es muss die instation¨are W¨armeleitungsgleichung gel¨ost werden (dies geschieht numerisch): ρc

∂ ∂T ∂T = (λ ) . ∂t ∂x ∂x

(4.116)

ρ = Dichte des Strukturmaterials c = spez. W¨arme λ = W¨armeleitf¨ahigkeit.

Gl. (4.116) ist die eindimensionale W¨armeleitungsgleichung. Zweidimensionale Rechnungen sind nicht n¨otig, da die Temperaturgradienten quer zur Oberfl¨ache wesentlich gr¨oßer sind als die parallel dazu. Abbildung 4.27 zeigt den Vergleich zwischen ein- und zweidimensionaler Rechnung. Am Beispiel des Temperaturverlaufs in einer Staupunktisolation in Abbildung 4.28 erkennt man, dass an der Innenwandung die gr¨oßten Temperaturen erst nach der Landung auftreten.

4.4.3

Isolationsmaterialien

Bevor die Brauchbarkeit von Isolationsmaterialien diskutiert wird, muss man sich die Anforderungen vor Augen halten. Sechs Punkte sind wesentlich: 1. Mechanische Mindestfestigkeit der Deckschicht 2. Oxydationsbest¨andigkeit der Deckschicht 130

Abbildung 4.27: Oberfl¨achentemperatur bei zweidimensionaler W¨armeleitung an der Kugelnase

Abbildung 4.28: Temperaturverlauf in einer Staupunktisolation

131

3. hoher Schmelzpunkt der Deckschicht 4. kleine W¨armeleitf¨ahigkeit 5. große spezifische W¨arme 6. kleines spezifisches Gewicht. Naturgem¨aß erf¨ ullt kein Material alle diese Eigenschaften optimal. Man baut daher die Isolationsschicht aus mehreren Schichten auf. Die Isolationsmaterialien lassen sich durch Isolationskennzahlen charakterisieren, die man aus der Differentialgleichung f¨ ur eindimensionale W¨armeleitung ableiten kann. Unter der Annahme geeigneter zeitlicher und ¨ortlicher Mittelwerte f¨ ur die Stoffgr¨oßen ρ, c, λ folgt aus (2.50): λ 1 ∂2T ∂T = ∂t ρc s2 ∂ x¯2

(4.117)

∂T soll m¨oglichst klein sein, damit am Ende des Fluges die Temperatur der ∂t

Abbildung 4.29: Zur Erl¨auterung von Gl. (4.117) und der Anforderungen an den Temperaturverlauf. ∂T Struktur klein ist. ( )Außenwand soll m¨oglichst groß sein, damit bei hoher ∂x Außenwandtemperatur Tinnen klein bleibt.

132

Abbildung 4.30: Vergleich der Isolationskennzahlen verschiedener Materialien auf der Basis gleicher Schichtdicke ∂T )Innenwand klein sein, damit wenig W¨arme zur Struktur ∂x ∂T ∂2T groß sein. Damit aber klein bleibt, fließt (Abb. 4.29). Folglich muss 2 ∂x ∂t λ 1 ∂2T groß ist, muß nach (4.117) klein sein. wenn 2 ∂x ρc s2 Nicht immer ist f¨ ur die Isolation so viel Platz vorhanden, dass die Schicht beliebig dick werden darf. Will man auf begrenztem Raum eine m¨oglichst hohe W¨armed¨ammung erzielen, so muss der Vergleich der Isolationsmaterialien bei gleicher Schichtdicke erfolgen. F¨ ur s = const erh¨alt man die Isolationskennzahl Gleichzeitig muss (

Is = λ/(ρc) .

(4.118)

In Abbildung 4.30 sind Isolationskennzahlen f¨ ur verschiedene Werkstoffe aufgetragen. Hinsichtlich ihrer Maximaltemperatur lassen sich 3 Gruppen von Stoffen unterscheiden: 1. Werkstoffe, die bis ca. 2000 K einsetzbar sind (Zirkonoxid ZrO2, Al2 O3 Keramik, SiC-Keramik) 133

2. Werkstoffe, die bis ca. 1400 K einsetzbar sind (K2 T i6 O13 (Tippersul = Firmenname), SiO2 (Quarzfasermatten ↔ Refrasil = Firmenname)) 3. Werkstoffe, die bis ca. 800 K einsetzbar sind (Bor-Silikat-Glasfaser ↔ Unbounded Fiber-Batt).

4.4.4

Aufbau von W¨ armeschutzsystemen

Aus den obigen Betrachtungen folgt, dass eine gewichtsoptimale Isolation eine Mehrschichtenisolation sein muss. Die a¨ußere Schicht muss dabei der hohen thermischen und mechanischen Belastung standhalten k¨onnen. Hierf¨ ur kann Keramik oder je nach Temperaturbereich auch Metall genommen werden. Die als eigentliche Isolation wirkende zweite Schicht (bestehend aus mehreren Schichten) soll sehr hohen W¨armewiderstand und geringes Gewicht haben. Bei geringem Gewicht ist aber auch die W¨armekapazit¨at der Isolation gering, so dass bereits kleinste W¨armemengen, die in die Isolation fließen, große Temperaturerh¨ohungen hervorrufen. Als 3. Schicht ist deshalb noch eine mit hoher W¨armekapazit¨at n¨otig, die als W¨armesenke wirkt und f¨ ur geringe Innenwandtemperatur sorgt (Abb. 4.31).

Abbildung 4.31: Aufbau einer Mehrschichtenisolation

134

4.4.4.1

Beispiel Space Shuttle

Die komplexe Aufgabe der W¨armeisolation an einem r¨ uckkehrf¨ahigen Raumtransportsystem soll anhand des Space Shuttles verdeutlicht werden. Die errechnete Temperaturverteilung auf Ober- und Unterseite ist in Abb. 4.32 zu erkennen. Dabei treten sehr unterschiedliche Temperaturen auf. Die Nase und die Fl¨ ugelvorderkante sind die am st¨arksten aufgeheizten Teile mit Temperature von u ¨ber 1500K. Sie erfordern spezielle Maßnamen, die durch eine CC (Kohlefaserverst¨arkter Kohlenstoff) Nase realisiert wurden. Die Oberseite dagegen wird nur Temperature von 300-400K ausgesetzt, wobei SiO2 (Glasfaserverbundwerkstoffe) mit viel Zwischenraum zur Gewichtsersparnis zur Anwendung kommt. Die genaue Verteilung der verschiedenen Hitzeschutzsysteme ist in Abb. 4.33 zu erkennen. Dieses komplexe Hitzeschutzsystem hat nat¨ urlich auch seine Nachteile, wie man an der Tabelle 4.1 ersehen kann. Etwa 40.000 Arbeitsstunden werden ¨ auf die Reparatur und erneute Uberpr¨ ufung des Hitzeschutzschildes nach jedem Raumflug verwendet. Dabei ist das Hitzeschutzsystem eigentlich recht zuverl¨assig, wenn man bedenkt, daß durchschnittlich nur rund 0,08% der Kacheln pro Raumflug besch¨adigt werden. Anzahl besch¨adigter Kacheln/Flug Anzahl von ausgetauschten Kacheln/Flug HRSI Kacheln (SiO2 Fasern, mit Borsilikat und Tetrasilikat Beschichtung) TUFI Kacheln (h¨artere, leichtere HRSI-Kacheln) FRCI Kacheln (Aluminiumborsilikat 80%, SiO2 20%, Fasern) LRSI Kacheln (∼99,8% SiO2 Fasern) FIB-Decken FRSI-Decken (SiO2 Fasern in Glasfaserlagen)

∼20 ∼75 ∼19,700 (4 Kg) 525 (10 Kg) 306 (3,6 Kg) 2,950 (5,4 Kg) 725 (4 Kg) 77 (5,4 Kg) Fl¨ache 196 m2 Fl¨ache188 m2

Tabelle 4.1: Daten zum Hitzeschutzschild des Space Shuttles

135

Abbildung 4.32: Temperaturverteilung (gerechnet) auf dem Space Shuttle

136

Unterseite

Oberseite HRSI (schwarz) Kacheln LRSI (weiss) Kacheln AFRSI Decken FRSI Faserverst¨arkter Kohlefaserverbund Glas offene Metalloberfl¨ache

Abbildung 4.33: Hitzeschutzschild des Space Shuttles

137

Kapitel 5 Experimentelle Hyperschallforschung 5.1

Die Notwendigkeit von Windkanalversuchen

Trotz der F¨ ulle der heute bekannten Berechnungsverfahren f¨ ur das Umstr¨omungsproblem und den W¨arme¨ ubergang bei Wiedereintrittsk¨orpern, kann auf eine versuchsm¨aßige Untermauerung der f¨ ur ein bestimmtes Modell durchgef¨ uhrten Rechnungen aus folgenden Gr¨ unden nicht verzichtet werden: (a) F¨ ur den W¨arme¨ ubergang sind Zustands- und Transportgr¨oßen innerhalb der Grenzschicht und an deren R¨andern wichtig. Da die Berechnung der Grenzschicht mit hohem Aufwand und mit Unsicherheiten verbunden ist, sind Messungen der Druck- und Temperaturverteilung erforderlich. (b) Sehr wichtig f¨ ur den W¨arme¨ ubergang ist außerdem die Form und Lage der Stoßfronten. Die Ermittlung der Abl¨osegebiete und der komplexen Stoßformen sollte experimentell geschehen. Die Sichtbarmachung der Str¨omung ist hier ein wichtiges Hilfsmittel. (Gesamter Anstellwinkelbereich) (c) Da chemische Reaktionen und Effekte durch Molek¨ ulfreiheitsgrade den W¨arme¨ ubergang erheblich beeinflussen k¨onnen (bei Satellitengeschwindigkeit k¨amen f¨ ur das ideale Gas Ruhetemperaturen in der Gr¨oßenordnung von 20000 K heraus), muss der ¨ortliche W¨arme¨ ubergang direkt 138

gemessen werden. (Aber auch da gibt es Schwierigkeiten, weil der Anstr¨omzustand im Kanal nicht dem im Freiflug entspricht).

5.2

¨ Ahnlichkeitsparameter und Problematik der Simulation im Windkanal

Die allgemein u ¨ bliche Windkanalsimulation beruht darauf, dass man in der Messkammer des Windkanals die Str¨omungszust¨ande, so einstellt, dass nach ¨ M¨oglichkeit die f¨ ur den Freiflug charakteristischen Ahnlichkeitsparameter erhalten werden. Im Idealfall der vollst¨andigen Simulation einer station¨aren Anstr¨omung im thermodynamischen Gleichgewicht (d.h. ohne Effekte durch Molek¨ ulfreiheitsgrade und Gasverd¨ unnung) bedeutet dies, dass die folgenden dimensionslosen Kennzahlen im Freiflug und Windkanal u ussen: ¨bereinstimmen m¨ cp γ= = Verh¨altnis der spez. W¨armen1 cv Ma = Machzahl1 Re = Reynoldszahl ucp Pr = = Prandtlzahl. λT Aus praktischen Gr¨ unden l¨asst sich meist nur eine partielle Simulation durchf¨ uhren, d.h. nur die f¨ ur die betreffende Fragestellung entscheidenden Kennzahlen werden reproduziert. Die obige Art der Simulation versagt aber grunds¨atzlich bei Windkan¨alen hoher Enthalpie und geringer Dichte, weil bei diesen das str¨omende Arbeitsgas nicht im thermodynamischen Gleichgewicht (oder schwach gest¨orten Gleichgewicht) ist, im Gegensatz zum Zustand der ruhenden Atmosph¨are beim Freiflug. Schematisch lassen sich die Zusammenh¨ange bei der Simulation wie in Abb. 5.1 darstellen. Mit (n) werde im folgenden symbolisch die Gesamtheit der den mechanischen und thermodynamischen Zustand im Bereich (n) charakterisierenden Gr¨oßen bezeichnet. Die direkte Simulation besagt dann: 1

klassische Gasdynamik ohne Reibung und W¨armeleitung

139

Abbildung 5.1: Problematik der Messung im Hyperschallwindkanal ¨ (3) ↔ (1) Ahnlichkeit der Zust¨ande

(4) gemessen, (4) ↔ (2)

Wie bereits erw¨ahnt, ist in Bereich (3) (im Windkanal) die Str¨omung nicht im Gleichgewicht. (Bei der Durchstr¨omung der D¨ use eines Hochenthalpiekanals friert die Str¨omung i.A. ein). Es existiert also f¨ ur jeden Relaxationsprozeß ¨ ein neuer Ahnlichkeitsparameter, die sog. Damk¨ohlerzahl Da =

140

tf . τ

Sie erscheint bei der Dimensionslosmachung der Relaxationsgleichung f¨ ur den betreffenden Nichtgleichgewichtsprozeß (vgl. Vorlesung “Hyperschallstr¨omungen”) und dr¨ uckt das Verh¨altnis einer f¨ ur das Problem typischen Str¨omungszeit tf = L/U zur Relaxationszeit τ dieses Prozesses aus. F¨ ur das ruhende Gas gilt tf = ∞. F¨ ur die ruhende Atmosph¨are, in der sich die Großausf¨ uhrung beim Freiflug bewegt, gilt also: Da = ∞ . Im Windkanal ist dagegen, wegen der endlichen Anstr¨omgeschwindigkeit: Da 6= ∞ . Eine extreme Situation tritt in Hyperschall-Windkan¨alen geringer Dichte ein, wo die Relaxationsprozesse i.a. unmittelbar stromab der sonischen Stelle einfrieren. Dann gilt τ → ∞ und es folgt: Da → 0 . Da bei derartigen Nichtgleichgewichtsstr¨omungen die Damk¨ohlerzahlen der Freiflug-Anstr¨omung im Windkanal nicht reproduziert werden k¨onnen, ist eine vollst¨andige direkte Simulation in diesem Fall ausgeschlossen. Weitere Punkte sind zu ber¨ ucksichtigen, wenn es gilt, den W¨arme¨ ubergang im Staupunkt zu simulieren. Dieser ist besonders stark von den Zustandsgr¨oßen der aufgestauten Str¨omung und wesentlich geringer vom Wandzustand abh¨angig. Unabdingbare Voraussetzung sind die Simulation der Stauenthalpie, Stautemperatur und Dichte. Die Stautemperatur muss auch im Hinblick auf den W¨arme¨ ubergang durch ¨ Strahlung simuliert werden. Die Forderung nach Ubereinstimmung der Temperatur macht in der experimentellen Verwirklichung große Schwierigkeiten. Temperaturen bis zu 40000 K, wie sie etwa beim Eintritt in die JupiterAtmosph¨are zu erwarten sind, lassen sich in heutigen Stoßrohren mit Testgas, die der Jupiter-Atmosph¨are entsprechen (60% H2 , 40% He) nicht erreichen.

141

5.3 5.3.1

Zwei Beispiele fu ale ¨ r Hyperschallkan¨ Plasmakanal (Hochenthalpiekanal)

Es handelt sich hierbei um einen heißen Windkanal, bei dem das aus Oxydationsgr¨ unden inerte Testgas (z.B. Argon oder Stickstoff) durch einen elektrischen Lichtbogen im sog. Plasmabrenner (Abb. 5.2) aufgeheizt wird. Durch Zumischung von Sauerstoff hinter dem Brenner kann man dann die Atmosph¨are gut simulieren. Ansonsten entspricht der Kanal einem u ¨blichen Windkanal mit offenem Kreislauf. Die Betriebsgrenzen werden abgesteckt durch den erreichbaren Ruhezustand (p0 , T0 ) und das maximale Saugvolumen bei minimalem Durchsatz.

Abbildung 5.2: Schema eines Plasmawindkanals (PK1, DLR K¨oln-Porz). F¨ ur den Plasmakanal PK 1 des DLR in Porz Wahn gelten folgende Kenndaten: Ruhedruck

p0

0,3 ÷ 3 bar

Ruhetemperatur

T0

1500 ÷ 8000 K (6000 K bei N2 )

Machzahl

Ma 5 ÷ 20

Anstr¨omgeschwindigkeit V

1500 ÷ 3000 m/s

H¨ohensimulation

40 ÷ 120 km

Messquerschnitt

7 ÷ 30 cmø

142

Neben der guten H¨ohensimulation und der f¨ ur W¨arme¨ ubergangsmessungen unbedingt erforderlichen Ruheenthalpien liegt der Vorteil des Kanals in dem darin m¨oglichen kontinuierlichen Betrieb. Daraus folgen große Messzeiten bzw. unkomplizierte Messapparaturen, jedoch hohe Betriebskosten.

5.3.2

Stoßwellenrohr

Es besteht aus einem durch zwei Membranen abgeschlossenen Hoch- und Niederdruckteil und einem sich anschließenden Messquerschnitt. Beim Bersten der Membranen l¨auft eine Stoßfront in den Niederdruckteil hinein, w¨ahrend gleichzeitig eine r¨ ucklaufende Expansionswelle das Treibgas auf eine hohe Geschwindigkeit bringt (Abb. 5.3). Die Stroßfront l¨auft durch das Arbeits-

Abbildung 5.3: Stoßwellenrohr gas des Niederdruckteils hindurch und komprimiert dieses und erzeugt in ihm eine Nachlaufgeschwindigkeit, die gleich der Geschwindigkeit des expandierenden Treibgases ist. Der Stoß zerst¨ort Membran 2. Die Machzahl des Arbeitsgases ist jedoch relativ niedrig, weshalb es noch durch eine Lavald¨ use geschickt wird. Der Stoß wird am konvergierenden Teil der D¨ use reflektiert, l¨auft zur¨ uck und wird an der Mediengrenze gebrochen. Dabei entsteht je nach den besonderen Versuchsbedingungen eine in Richtung Laufende wandernde Stoß- oder Expansionswelle. Das Eintreffen dieser Welle am Laufende bedeutet das Ende konstanten Zustandes vor der D¨ use. Die Messzeit entspricht also 143

der Zeit zwischen Reflexion des prim¨aren Stoßes an der D¨ use und Ankunft der von der Mediengrenze ausgehenden Welle. Die Messzeit h¨angt ab von der L¨ange des Rohres, von der Art und dem Zustand des Treib- und Testgases. Leistungsdaten des Aachener Kanals: Treibgas: H2 oder He, Testgas: Luft Treibgasdruck

p5

525 bar

Druckverh¨altnis

p5 /p1 7,72 · 103

Ruhetemperatur T0

4500 K (He/Luft), 7500 K (H2 /Luft)

Machzahl

6 ÷ 14

Ma

Anstr¨omgeschw. V

2000 ÷ 5000 m/s

Messquerschnitt

30 · 30 cm2

Messzeit

1 ÷ 18 ms

Vorteile:

Geringe Betriebskosten

Nachteile:

Messzeiten nehmen mit zunehmender Machzahl ab. Die Messverfahren sind sehr aufwendig, die Messaparaturen sehr teuer.

Eine Simulation des Wiedereintritts f¨ ur den ERNO-Lifting Body LB 10 ist in den in Deutschland vorhandenen Kan¨alen gut m¨oglich.

5.3.3

¨ Ubersicht u ale ¨ ber Hochenthalpie-Windkan¨

Abbildungen 5.4,5.5 sind der Referenz “Review of the aerothermodynamics facilities in europe: the high enthalpy facilities example” C. P´elissier, J.C. Traineau, A.M. Kharitonov, V.I. Lapygin, V.A. Gorelov, ICMAR 2002 entnommen.

144

‡

145

¨ Abbildung 5.4: Ubersicht u ¨ ber Hochenthalpiekan¨ale europaweit2

Name – Year of operation F4 1992

Company and location

Mach number

ONERA Fauga-Mauzac

7 to 21

Nozzle exit diameter [m] φ 0.43

φ 0.258

φ 0.67

φ 0.402 φ 0.558 tbc φ 0.5

HEG - high enthalpy - 1991

DLR Göttingen

7.8 - 8.2

φ 0.93 φ 0.88

HEG - low enthalpy - 2002 IT-2

DLR Göttingen

8

φ 0.59

10 to 22

φ 0.2, 0.53, 0.9

16,3 to 17,9

φ 0.44

4 to 20

PGU U-11 1959/1993

TsAGI Zhukovsky

TsNIIMash Korolev, Moscow Reg.

SMGDU 1980

TsAGI Zhukovsky

5 to 15 (4 to 8 km/s)

TH2

RWTH Aachen

6 to 12

Useful core [m]

Test gas Air N2 CO2

Flow regime Hot-shot

T0 [K]

P0 [atm]

Re 10-7 [1/m]

>7500

200 to 1000

0.5 at M=10

Running Acquisition Channels time [ms] <200

0.1 at M=21

Air N2 CO2

Shock tube

φ 0.38

idem

φ 0.12 to 0.54

φ 0.4 φ 0.8

72 anal

16 digital

7000 to 9900

350 to 900

0.02 to 0.07

1

72 + 12

idem

3100

175

0.46

< 10

72 + 12

Air Ar N2 CO2

Hot-shot

<7500

1500

0.02-4

100

30

φ 0.264

Air N2

500-4000

< 2500

0.01 - 30

<3000

32 digital

φ 0.48

Non-isentropic multi-cascade compression

CO2 10000 if He up to 12000

<100

500 to 1500

<600

0,05 to 0,35

<6

64

φ 1.4, L = 6 (test section) 0.2*0.2

φ 0.12

φ 0.576 φ 0.586 φ 1.098 φ 2.0

φ 0.3456 φ 0.3516 φ 0.6588 φ 1.2

He Air + 1%KN a

Blow down + MHD accelerator Shock tube

1500 to 4700

Measurement Forces:3 or 6 component balance Temperature: thermocouples, IR, thin film Pressure Visualization: Schlieren, EBF Optical system: LDAS Forces: axial, under development Temperature: thermocouples, thin film (under development) Pressure: Pitot/static Visualization: Schlieren/shadowgraph, holographic interferometry, time resolved Schlieren Optical system: (P)LIF, DLAS Force:3 Components balance Temperature - Pressure Visualization: stiller method Measurement of electron concentration Jet simulation Force:6component balance Temperatures: thermocouples, IR, thin films Pressure – Damping parameter Visualization: Schlieren Jet simulation Temperature: thermocouples, Calorimeters Visualization: Teppler with resonant fluorescence Force:6 Components balance Pressure: Temperature: thermocouple, thin film Visualization: Shadowgraph

Condition p0 [MPa] T0 [K] h0 [MJ/kg] p∞ [Pa] T∞ [K] ρ∞[g/m³] M∞ u∞ [km/s] **RE(m) ***RE(Lref) M∞/(RELref)1/2 ρ∞.Lref

I 35 9100 22 660 1140 1.7 8.2 5.9 200000 106000 0.025 0.0009

II 85 9900 23 170 1450 3.5 7.8 6.2 420000 220000 0.017 0.0019

III 44 7000 12 790 800 3.3 8.1 4.7 390000 210000 0.018 0.0017

IV 90 8100 15 1680 1060 5.3 8.0 5.2 670000 360000 0.013 0.0028

*V 45 6400 11 825 710 3.9 8.2 4.4 460000 240000 0.017 0.0021

*VI 85 6900 12 1300 760 5.9 8.2 4.6 700000 370000 0.013 0.0031

Abbildung 5.5: Benutzermodi des HEG G¨ottingen

146

§Low h0 17 3100 3 1800 224 27.0 8.0 2.4 4600000 2440000 0.005 0.0140